Sinc函数

sinc函数（英語：sinc function）是一種函數，在不同的領域它有不同的定義。數學家們用符號 s i n c ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,} 表示這種函數。 sinc函数可以被定義为归一化的或者非归一化的，不過兩種函數都是正弦函数和单调的递减函数 1/x的乘积： 在数字信号处理和通信理论中，人們把归一化sinc函数定义为 對於所有x ≠ 0， s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}} 在数学领域中，人們以前使用的非归一化sinc函数 （for sinus cardinalis）被定义为 對於所有x ≠ 0， s i n c ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}} 在这两种情况下，當x=0時sinc函数的值被定义为以下的極限值，因此 sinc 函数是处处可解析的。 對於任何實數 a ≠ 0， sinc ⁡ ( 0 ) := lim x → 0 sin ⁡ ( a x ) a x = 1 {\displaystyle \operatorname {sinc} (0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1} 非归一化sinc函数等同于归一化sinc函数，只是它的变量中没有放大系数 π 。 归一化 sinc 函数的特性使得它在插值与带限函数中得到理想应用： 对于 k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0\,} 与 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,} （整数）， s i n c ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,} 和 s i n c ( k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,} ；也就是说，它是一个插值函数。 函数 x k ( t ) = s i n c ( t − k )   {\displaystyle x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ } 在函数空间 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} 形成一个带限函数的正交基，它的最大角频率是 ω H = π {\displaystyle \omega _{\mathrm {H} }=\pi \,} ，也就是说最大的循环频率是 f H = 1 / 2 {\displaystyle f_{\mathrm {H} }=1/2\,} 。 这两个 sinc 函数的其它特性包括： 非归一化 sinc 函数 sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} ；对应于它与余弦函数的交点。也就是说，如果 sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} 的导数是 0 ，即在 x = a {\displaystyle x=a\,} 有极值，那么 sin ⁡ ( a ) a = cos ⁡ ( a ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\sin(a)}{a}}\end{matrix}}=\cos(a)\,} 。 非归一化 sinc 是第一类零阶球贝塞尔函数 j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(x)}{x}}\end{matrix}}\,} 。归一化 sinc 是 j 0 ( π x ) {\displaystyle j_{0}(\pi x)\,} 。 非归一化 sinc 的过零点是 π {\displaystyle \pi \,} 的非零倍数；归一化 sinc 函数  s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}   的过零点出现在非零整数。 归一化 sinc 函数  s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,}   的对于普通频率的连续傅里叶变换是   r e c t ( f ) {\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,} 。 ∫ − ∞ ∞ s i n c ( t ) e − 2 π i f t d t = r e c t ( f ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}dt=\mathrm {rect} (f)} , 其中矩形函数在 –1/2 到 1/2 之间值为 1，在其它区域值为 0。 积分 ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( π x ) π x d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\,dx=1} 是广义积分。因为： ∫ − ∞ ∞ | sin ⁡ ( π x ) π x |   d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\begin{matrix}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\end{matrix}}\right|\ dx=\infty \,} 所以它不是勒貝格積分。 s i n c ( x ) = sin ⁡ π x π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)} s i n c ( x ) = sin ⁡ π x π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) = 1 x ! ( − x ) ! {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}={\frac {1}{x!(-x)!}}} 其中 Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} 是 Γ函数。 尽管不是分布，归一化 sinc 函数也可以作为 nascent δ函数（参见狄拉克δ函数）使用。 归一化 sinc 函数通过下式与δ分布 δ(x) 发生联系 lim a → 0 1 a sinc ( x / a ) = δ ( x ) . {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x).} 由于等式左侧并不收敛，所以这不是普通的 limit，而是说明对于任意的緊支撐平滑函数 φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} 有 lim a → 0 ∫ − ∞ ∞ 1 a sinc ( x / a ) φ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ δ ( x ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi (x)\,dx=\varphi (0),} 在上面的表达式中，随着 a 趋近于 0，sinc 函数每个单元长度上的振动次数趋近于无限，然而不管 a 是什么值，这个表示通常在 ±1/(πx) 内振动。这与 δ(x) 的非正式表示有所矛盾，δ(x) 除了 x=0 之外其它 x 上的值都是 0，这表明了将δ函数作为函数而不是分布带来的问题。在吉布斯现象（Gibbs phenomenon）中也有类似的状况。 抗混叠 Sinc滤波器 维塔克–山侬插值公式（英语：Whittaker–Shannon interpolation formula） 波尔文积分 数学主题 埃里克·韦斯坦因. Sinc Function. MathWorld.