良擬序

数学分支序理论中，良擬序或良預序（英語：well-quasi-ordering，簡寫作wqo或WQO）是特殊的擬序，其元素的任意无穷序列 x 0 , x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots } 中，必有先後兩項遞增，即存在 i < j {\displaystyle i<j} 使 x i ≤ x j {\displaystyle x_{i}\leq x_{j}} 。 良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。 以冪集運算為例。給定集合 X {\displaystyle X} 上的擬序 ≤ {\displaystyle \leq } ，可以定義冪集 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 上的擬序 ≤ + {\displaystyle \leq ^{+}} ，使 A ≤ + B {\displaystyle A\leq ^{+}B} 當且僅當對 A {\displaystyle A} 的每個元素，皆可在 B {\displaystyle B} 中找到元素大於等於該元素。可以證明 ≤ + {\displaystyle \leq ^{+}} 不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。 集合 X {\displaystyle X} 上的良擬序（well-quasi-ordering）是一種预序关系（即滿足自反性 x ≤ x {\displaystyle x\leq x} 、传递性 x ≤ y ∧ y ≤ z ⟹ x ≤ z {\displaystyle x\leq y\wedge y\leq z\implies x\leq z} 的的二元關係 ≤ {\displaystyle \leq } ），使得 X {\displaystyle X} 中任意无穷序列 x 0 , x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots } ，皆有先後兩項 x i ≤ x j {\displaystyle x_{i}\leq x_{j}} （ i < j {\displaystyle i<j} ）遞增。若有此種良擬序，則 X {\displaystyle X} 本身稱為良擬序集（well-quasi-ordered set），簡寫為wqo。 良偏序（well-partial-ordering）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性 x ≤ y ∧ y ≤ x ⟹ x = y {\displaystyle x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y} 。 良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列 x 0 > x 1 > x 2 > ⋯ {\displaystyle x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots } ，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 為良擬序當且僅當 ( X , < ) {\displaystyle (X,<)} 良基，且不含無窮反链。（與§ 無窮遞增子序列的拉姆齊論證相似。） 給定擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} ，在冪集上有另一擬序 ( P ( X ) , ≤ + ) {\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\leq ^{+})} ，其中 A ≤ + B ⟺ ∀ a ∈ A , ∃ b ∈ B , a ≤ b {\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b} 。此關係為良基當且僅當 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 本身是wqo。 給定良擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} ，若有一列子集 S 0 ⊆ S 1 ⊆ ⋯ ⊆ X {\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X} ，其中每個子集皆向上封閉，則該序列終必恆定，即自某個 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 起，以後各項 S n = S n + 1 = ⋯ {\displaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots } 。假若不然，則對每個 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，存在 ∃ j > i {\displaystyle \exists j>i} 使 S j ∖ S i {\displaystyle S_{j}\setminus S_{i}} 非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。 給定良擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} ， X {\displaystyle X} 的任何子集 S {\displaystyle S} 關於 ≤ {\displaystyle \leq } 僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。 若 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 為wqo，則任意無窮序列 x 0 , x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots } ，皆有無窮上升子序列 x n 0 ≤ x n 1 ≤ x n 2 ≤ ⋯ {\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots } （各下標 n 0 < n 1 < n 2 < ⋯ {\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots } ）。此種子序列或稱為「完美」（perfect）。可用拉姆齊證法：給定序列 ( x i ) i {\displaystyle (x_{i})_{i}} ，考慮全部 i {\displaystyle i} 中，何者使 x i {\displaystyle x_{i}} 右邊沒有任何 j > i {\displaystyle j>i} 滿足 x j ≥ x i {\displaystyle x_{j}\geq x_{i}} 。記此種 i {\displaystyle i} 的集合為 I {\displaystyle I} 。若 I {\displaystyle I} 無窮，則以 I {\displaystyle I} 為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與 X {\displaystyle X} 為wqo的假設抵觸。所以， I {\displaystyle I} 為有限集。衹要 n {\displaystyle n} 大於 I {\displaystyle I} 中所有元素，則 n {\displaystyle n} 不屬 I {\displaystyle I} ，故有某個 m > n {\displaystyle m>n} 使 x m ≥ x n {\displaystyle x_{m}\geq x_{n}} ，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。 「任意序列皆有無窮上升子列」與wqo的條件等價，亦可作為另一種定義。 ( N , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )} ，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序 ( Z , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )} ，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一） ( N , | ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,|)} ，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二） ( N k , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {N} ^{k},\leq )} ，自然數 k {\displaystyle k} 元組的集合逐分量排序（英语：product order），是良偏序。此為迪克遜引理（英语：Dickson's lemma）（圖三）。更一般地，若 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 為良擬序，則對任意正整數 k {\displaystyle k} ，積序（英语：product order） ( X k , ≤ k ) {\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})} 亦是良擬序。 設 X {\displaystyle X} 為有限集，且至少有兩個元素。克莱尼星号 X ∗ {\displaystyle X^{*}} 是字母取自 X {\displaystyle X} 的全體有限字串之集。按字典序， X ∗ {\displaystyle X^{*}} 不是良擬序，因為有無窮遞降序列 b , a b , a a b , a a a b , … {\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots } 。同樣， X ∗ {\displaystyle X^{*}} 關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而， X ∗ {\displaystyle X^{*}} 倘按子序列關係排序，則是良偏序。（在 X {\displaystyle X} 衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。） 推而廣之，以 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 為字母集的有限串集 ( X ∗ , ≤ ) {\displaystyle (X^{*},\leq )} ，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 本身是良擬序，此結論稱為希格曼引理（英语：Higman's lemma）。其中所謂字串 u {\displaystyle u} 可以嵌入到 v {\displaystyle v} ，意思是 v {\displaystyle v} 中有與 u {\displaystyle u} 等長的子序列，逐項大於等於 u {\displaystyle u} 。若取子母集為無序集 ( X , = ) {\displaystyle (X,=)} ，則字串 u ≤ v {\displaystyle u\leq v} 當且僅當 u {\displaystyle u} 是 v {\displaystyle v} 的子序列，退化成前款情況。 相反，良擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 上的無窮序列集，記為 ( X ω , ≤ ) {\displaystyle (X^{\omega },\leq )} ，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入優擬序（英语：Better-quasi-ordering），以期望推廣希格曼引理。 以wqo ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是wqo，即克魯斯克爾樹定理（英语：Kruskal's tree theorem）。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。 無窮樹之間的嵌入關係是wqo，由克里斯平·納許-威廉斯（英语：Crispin St. J. A. Nash-Williams）所證。 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣散佈（英语：scattered order）全序類之間亦然。（萊弗定理（英语：Laver's theorem）） 可數布尔代数的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。 有限圖按图子式序組成良擬序集。（羅伯遜-西摩定理（英语：Robertson–Seymour theorem）） 對每個正整數 t {\displaystyle t} ，樹深（英语：tree-depth）至多為 t {\displaystyle t} 的圖，按导出子图序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。此外，補可約圖（英语：cograph）按導出子圖序，構成良擬序。 字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：一方面，wpo必為wqo。另一方面，若有某wqo，則其各等價類組成wpo。舉例整數集 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的整除序是擬序 ( Z , | ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,|)} （但不是良擬序），其等價類形如 { ± m } {\displaystyle \{\pm m\}} ，所以等價類組成的偏序同構於 ( N , | ) {\displaystyle (\mathbb {N} ,|)} 。 據米爾納，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 與閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，托馬斯·福斯特（英语：Thomas Forster (mathematician)）稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然鏈完備（英语：Chain complete），但並不完備（英语：Completeness (order theory)），若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。 擬序（quasi-ordering）為預序（preorder）的別名。 x < y {\displaystyle x<y} 謂 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 且 y ≰ x {\displaystyle y\nleq x} 。 此處有濫用術語，稱擬序 ( X , ≤ ) {\displaystyle (X,\leq )} 良基實際是說嚴格序 ( X , < ) {\displaystyle (X,<)} 為良基。 子集 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 向上封閉，意思是 ∀ x , y ∈ X , x ≤ y ∧ x ∈ S ⇒ y ∈ S {\displaystyle \forall x,y\in X,x\leq y\wedge x\in S\Rightarrow y\in S} 。 拉姆齊定理斷言，無窮個頂點的圖中，每邊染紅藍兩色之一，則必有同色無窮階完全圖。此處若 i < j {\displaystyle i<j} 且 x j ≥ x i {\displaystyle x_{j}\geq x_{i}} 則邊 i j {\displaystyle ij} 染紅，否則染藍。Wqo條件即無紅色無窮階完全圖，故必有藍色無窮階完全圖，即遞增子序列。 x ≤ y {\displaystyle {\boldsymbol {x}}\leq {\boldsymbol {y}}} 是逐個分量有 x i ≤ y i {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}} 。 即拓撲圖子式（英语：topological minor）關係。 沒有多於一個元素的稠密子序。 兩元素 x , y {\displaystyle x,y} 等價定義為 x ≤ y ∧ y ≤ x {\displaystyle x\leq y\land y\leq x} 。 Kruskal, J. 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