菲鲁兹巴赫特猜想

在數論中，菲鲁兹巴赫特猜想（Firoozbakht's conjecture 或 Firoozbakht conjecture）是數學上關於質數分布的一個猜想。該猜想以伊朗女數學家法丽德·菲鲁兹巴赫特（英语：Farideh Firoozbakht）的名字命名，她於1982年提出此猜想。 該猜想聲稱， p n 1 / n {\displaystyle p_{n}^{1/n}} 是一個嚴格遞減函數（其中 p n {\displaystyle p_{n}} 是第 n {\displaystyle n} 個質數），也就是說 p n + 1 n + 1 < p n n  for all  n ≥ 1. {\displaystyle {\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1.} 或等價地 p n + 1 < p n 1 + 1 n  for all  n ≥ 1 , {\displaystyle p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}\qquad {\text{ for all }}n\geq 1,} 相關內容可見A182134及A246782。 藉由使用最大質數間隙（maximal gap）表，法丽德·菲鲁兹巴赫特確認她的猜想對大到 4.444 × 10 12 {\displaystyle 4.444\times 10^{12}} 的數都成立。利用廣度更大的最大質數間隙表，目前已知該猜想對任何小於 2 64 ∼ 1.84 × 10 19 {\displaystyle 2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}} 的質數都成立。 若此猜想成立，那麼質數間隙函數 g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} 會滿足下列關係： g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n  for all  n > 4. {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}\qquad {\text{ for all }}n>4.} 此外， g n < ( log ⁡ p n ) 2 − log ⁡ p n − 1  for all  n > 9 , {\displaystyle g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1\qquad {\text{ for all }}n>9,} 對此可見A111943。 該猜想是對質數間隙上界最強的猜想之一，甚至比克拉梅爾猜想和尚克斯猜想（Shanks' Conjecture）還強。從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與安德鲁·格兰维尔（英语：Andrew Granville）、平茨·亚诺什（匈牙利语：Pintz János）和赫尔穆特·迈尔（英语：Helmut Maier）等人的直觀猜測不一致。而這些人的直觀猜測認為，對任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 下式對無限多的數成立： g n > 2 − ε e γ ( log ⁡ p n ) 2 ≈ 1.1229 ( log ⁡ p n ) 2 , {\displaystyle g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}\approx 1.1229(\log p_{n})^{2},} 其中 γ {\displaystyle \gamma } 是歐拉-馬斯刻若尼常數。 兩個相關的猜想（可見A182514的討論）如下： 比菲鲁兹巴赫特猜想來得弱的猜想： ( log ⁡ ( p n + 1 ) log ⁡ ( p n ) ) n < e , {\displaystyle \left({\frac {\log(p_{n+1})}{\log(p_{n})}}\right)^{n}<e,} 比菲鲁兹巴赫特猜想來得強的猜想： ( p n + 1 p n ) n < n log ⁡ ( n )  for all  n > 5 , {\displaystyle \left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log(n)\qquad {\text{ for all }}n>5,} 質數定理 安德里卡猜想 勒讓德猜想 奥珀曼猜想 克拉梅爾猜想 Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004: 185. ISBN 9780387201696.  Rivera, Carlos. Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture. [22 August 2012].  Gaps between consecutive primes Kourbatov, Alexei. Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture.  Sinha, Nilotpal Kanti, On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture, 2010, arXiv:1010.1399  [math.NT] . Kourbatov, Alexei, Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture, Journal of Integer Sequences, 2015, 18 (Article 15.11.2), MR 3436186, Zbl 1390.11105, arXiv:1506.03042  . Granville, A., Harald Cramér and the distribution of prime numbers (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1995, 1: 12–28, MR 1349149, Zbl 0833.01018, doi:10.1080/03461238.1995.10413946, （原始内容 (PDF)存档于2016-05-02） . Granville, Andrew, Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1995, 1: 388–399, ISBN 978-3-0348-9897-3, Zbl 0843.11043, doi:10.1007/978-3-0348-9078-6_32 . Pintz, János, Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes, Funct. Approx. Comment. Math., 2007, 37 (2): 232–471, MR 2363833, S2CID 120236707, Zbl 1226.11096, doi:10.7169/facm/1229619660   Leonard Adleman（英语：Leonard Adleman） and Kevin McCurley, "Open Problems in Number Theoretic Complexity, II" (PS), Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci. 877: 291–322, Springer, Berlin, 1994. doi:10.1007/3-540-58691-1_70. ISBN 978-3-540-58691-3. Maier, Helmut, Primes in short intervals, The Michigan Mathematical Journal, 1985, 32 (2): 221–225, ISSN 0026-2285, MR 0783576, Zbl 0569.10023, doi:10.1307/mmj/1029003189   Ribenboim, Paulo. The Little Book of Bigger Primes Second Edition. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20169-6.  Riesel, Hans. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition. Birkhauser. 1985. ISBN 3-7643-3291-3.