貝祖等式

在数论中，裴蜀等式（英語：Bézout's identity）或貝祖定理（Bézout's lemma）是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整數 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 和 m {\displaystyle m} ，关于未知数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）： a x + b y = m {\displaystyle ax+by=m} 有整数解时当且仅当 m {\displaystyle m} 是 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 的最大公约数 d {\displaystyle d} 的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组解 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} 都稱為裴蜀數，可用擴展歐幾里得演算法求得。 例如，12 和 42 的最大公因數是 6，则方程 12 x + 42 y = 6 {\displaystyle 12x+42y=6} 有解。事实上有 ( − 3 ) × 12 + 1 × 42 = 6 {\displaystyle (-3)\times 12+1\times 42=6} 、 4 × 12 + ( − 1 ) × 42 = 6 {\displaystyle 4\times 12+(-1)\times 42=6} 等。 特别来说，方程 a x + b y = 1 {\displaystyle ax+by=1} 有整数解当且仅当整数 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 互素。 裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义： d {\displaystyle d} 其實就是最小的可以寫成 a x + b y {\displaystyle ax+by} 形式的正整數。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。 历史上首先证明关于整数的裴蜀定理的并不是裴蜀，而是17世纪初的法国数学家克劳德-加斯帕·巴歇·德·梅齐里亚克（法语：Claude-Gaspard Bachet de Méziriac）。他在于1624年发表的著作《有关整数的令人快乐与惬意的问题集》（Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres）第二版中给出了问题的描述和证明。 然而，裴蜀推广了梅齐里亚克的结论，特别是探讨了多项式中的裴蜀等式，并给出了相应的定理和证明。 对任意两个整數 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} ，设 d {\displaystyle d} 是它们的最大公约数。那么关于未知数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的線性丟番圖方程（称为裴蜀等式）： a x + b y = m {\displaystyle \displaystyle ax+by=m} 有整数解 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 当且仅当 m {\displaystyle m} 是 d {\displaystyle d} 的整數倍。裴蜀等式有解时必然有无穷多个解。 证明： 如果 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 中有一个是0，比如 a = 0 {\displaystyle a=0} ，那么它们两个的最大公约数是 b {\displaystyle b} 。这时裴蜀等式变成 b y = m {\displaystyle \displaystyle by=m} ，它有整数解 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 当且仅当 m {\displaystyle m} 是 b {\displaystyle b} 的倍数，而且有解时必然有无穷多个解，因为 x {\displaystyle x} 可以是任何整数。定理成立。 以下设 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 都不为0。 设 A = { x a + y b ; ( x ; y ) ∈ Z 2 } {\displaystyle A=\{xa+yb;(x;y)\in \mathbb {Z} ^{2}\}} ，下面证明 A {\displaystyle A} 中的最小正元素是 a {\displaystyle a} 与 b {\displaystyle b} 的最大公约数。 首先， A ∩ N ∗ {\displaystyle A\cap \mathbb {N} ^{*}} 不是空集（至少包含 | a | {\displaystyle |a|} 和 | b | {\displaystyle |b|} ），因此由于自然数集合是良序的， A {\displaystyle A} 中存在最小正元素 d 0 = x 0 a + y 0 b {\displaystyle d_{0}=x_{0}a+y_{0}b} 。考虑 A {\displaystyle A} 中任意一个正元素 p {\displaystyle p} （ = x 1 a + y 1 b {\displaystyle =x_{1}a+y_{1}b} ）对 d 0 {\displaystyle d_{0}} 的带余除法：设 p = q d 0 + r {\displaystyle p=qd_{0}+r} ，其中 q {\displaystyle q} 为正整数， 0 ≤ r < d 0 {\displaystyle 0\leq r<d_{0}} 。但是 r = p − q d 0 = x 1 a + y 1 b − q ( x 0 a + y 0 b ) = ( x 1 − q x 0 ) a + ( y 1 − q y 0 ) b ∈ A {\displaystyle r=p-qd_{0}=x_{1}a+y_{1}b-q(x_{0}a+y_{0}b)=(x_{1}-qx_{0})a+(y_{1}-qy_{0})b\in A} 因此 r = 0 {\displaystyle r=0} ， d 0   |   p {\displaystyle d_{0}\ |\ p} 。也就是说， A {\displaystyle A} 中任意一个正元素 p {\displaystyle p} 都是 d 0 {\displaystyle d_{0}} 的倍数，特别地： d 0   |   a {\displaystyle d_{0}\ |\ a} 、 d 0   |   b {\displaystyle d_{0}\ |\ b} 。因此 d 0 {\displaystyle d_{0}} 是 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的公约数。 另一方面，对 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的任意正公约数 d {\displaystyle d} ，设 a = k d {\displaystyle a=kd} 、 b = l d {\displaystyle b=ld} ，那么 d 0 = x 0 a + y 0 b = ( x 0 k + y 0 l ) d {\displaystyle d_{0}=x_{0}a+y_{0}b=(x_{0}k+y_{0}l)d} 因此 d   |   d 0 {\displaystyle d\ |\ d_{0}} 。所以 d 0 {\displaystyle d_{0}} 是 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的最大公约数。 在方程 a x + b y = m {\displaystyle ax+by=m} 中，如果 m = m 0 d 0 {\displaystyle m=m_{0}d_{0}} ，那么方程显然有无穷多个解： { ( m 0 x 0 + k b d ,   m 0 y 0 − k a d ) ∣ k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\left(m_{0}x_{0}+{\frac {kb}{d}},\ m_{0}y_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}} 。 相反的，如果 a x + b y = m {\displaystyle ax+by=m} 有整数解，那么 | m | ∈ A {\displaystyle |m|\in A} ，于是由前可知 d 0   |   | m | {\displaystyle d_{0}\ |\ |m|} （即 d 0   |   m {\displaystyle d_{0}\ |\ m} ）。 m = 1 {\displaystyle m=1} 时，方程有解当且仅当 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 互质。方程有解时，解的集合是 { ( m d x 0 + k b d ,   m d y 0 − k a d ) ∣ k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\left({\frac {m}{d}}x_{0}+{\frac {kb}{d}},\ {\frac {m}{d}}y_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k\in \mathbb {Z} \right\}} 。其中 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 是方程 a x + b y = d {\displaystyle ax+by=d} 的一个解，可由辗转相除法得到。 所有解中，恰有二解 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 满足 | x | ≤ | b / d | {\displaystyle |x|\leq |b/d|} 及 | y | ≤ | a / d | {\displaystyle |y|\leq |a/d|} ，等號只會在 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 其中一個是另一個的倍數時成立。輾轉相除法給出的解會是這兩解中的一個。 丟番圖方程 504 x + 651 y = 14 {\displaystyle 504x+651y=14} 没有整数解，因为504和651的最大公约数是21。而方程 504 x + 651 y = 21 {\displaystyle 504x+651y=21} 是有解的。为了求出通解，可以先约掉公约数21，这样得到方程： 24 x + 31 y = 1 {\displaystyle 24x+31y=1} 。 通过扩展欧几里得算法可以得到一组特解 ( x , y ) = ( − 9 , 7 ) {\displaystyle (x,y)=(-9,7)} ： 24 ⋅ ( − 9 ) + 31 ⋅ 7 = − 216 + 217 = 1 {\displaystyle 24\cdot (-9)+31\cdot 7=-216+217=1} 。 特解 ( x , y ) = ( − 9 , 7 ) {\displaystyle (x,y)=(-9,7)} 的求法 24 x + 31 y = 1 → 1 − 31 y = 24 x {\displaystyle {\color {Blue}24x+31y=1\rightarrow 1-31y=24x}} → 1 − 31 y ≡ 0 ( mod 24 ) → 1 − ( 31 − 24 ) y ≡ 0 ( mod 24 ) → 1 − 7 y ≡ 0 ( mod 24 ) {\displaystyle {\color {Blue}\rightarrow 1-31y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-(31-24)y\equiv 0{\pmod {24}}\rightarrow 1-7y\equiv 0{\pmod {24}}}} 令 1 − 7 y = 24 a → 1 − 24 a = 7 y {\displaystyle {\color {Red}1-7y=24a\rightarrow 1-24a=7y}} → 1 − 24 a ≡ 0 ( mod 7 ) → 1 − ( 24 − 7 × 3 ) a ≡ 0 ( mod 7 ) → 1 − 3 a ≡ 0 ( mod 7 ) {\displaystyle {\color {Red}\rightarrow 1-24a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-(24-7\times 3)a\equiv 0{\pmod {7}}\rightarrow 1-3a\equiv 0{\pmod {7}}}} 令 1 − 3 a = 7 b → 1 − 7 b = 3 a {\displaystyle {\color {Green}1-3a=7b\rightarrow 1-7b=3a}} → 1 − 7 b ≡ 0 ( mod 3 ) → 1 − ( 7 − 3 × 2 ) b ≡ 0 ( mod 3 ) → 1 − b ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle {\color {Green}\rightarrow 1-7b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-(7-3\times 2)b\equiv 0{\pmod {3}}\rightarrow 1-b\equiv 0{\pmod {3}}}} 取 b = 1 {\displaystyle b=1} 為滿足 1 − b ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle 1-b\equiv 0{\pmod {3}}} 的解 將 b = 1 {\displaystyle b=1} 代回 1 − 3 a = 7 b {\displaystyle 1-3a=7b} ，解一元一次方程式得 a = − 2 {\displaystyle a=-2} 將 a = − 2 {\displaystyle a=-2} 代回 1 − 7 y = 24 a {\displaystyle 1-7y=24a} ，得 y = 7 {\displaystyle y=7} 將 y = 7 {\displaystyle y=7} 代回 24 x + 31 y = 1 {\displaystyle 24x+31y=1} ，得 x = − 9 {\displaystyle x=-9} 故 ( x , y ) = ( − 9 , 7 ) {\displaystyle (x,y)=(-9,7)} 為一組特解 于是通解为： { ( 1 ⋅ − 9 + 31 k , 1 ⋅ 7 − 24 k ) | k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\left(1\cdot -9+31k,1\cdot 7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}} ，即 { ( − 9 + 31 k , 7 − 24 k ) | k ∈ Z } {\displaystyle \left\{\left(-9+31k,7-24k\right)|k\in \mathbb {Z} \right\}} 。 设 a 1 , ⋯ a n {\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}} 为 n {\displaystyle n} 个整数， d {\displaystyle d} 是它们的最大公约数，那么存在整数 x 1 , ⋯ x n {\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}} 使得 x 1 ⋅ a 1 + ⋯ x n ⋅ a n = d {\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=d} 。特别来说，如果 a 1 , ⋯ a n {\displaystyle a_{1},\cdots a_{n}} 互质（不是两两互质），那么存在整数 x 1 , ⋯ x n {\displaystyle x_{1},\cdots x_{n}} 使得 x 1 ⋅ a 1 + ⋯ x n ⋅ a n = 1 {\displaystyle x_{1}\cdot a_{1}+\cdots x_{n}\cdot a_{n}=1} 。 K {\displaystyle K} 为域时，对于多项式环 K [ X ] {\displaystyle K[X]} 裡的多项式，裴蜀定理也成立。设有一族 K [ X ] {\displaystyle \mathbb {K} [X]} 裡的多项式 ( P i ) i ∈ I {\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}} 。设 Δ {\displaystyle \Delta } 为它们的最大公约式（首项系数为1且次数最高者），那么存在多项式 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} 使得 Δ = ∑ i ∈ I A i P i {\displaystyle \textstyle \Delta =\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}} 。特别来说，如果 ( P i ) i ∈ I {\displaystyle \left(P_{i}\right)_{i\in I}} 互质（不是两两互质），那么存在多项式 ( A i ) i ∈ I {\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}} 使得 ∑ i ∈ I A i P = 1 {\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I}A_{i}P_{=}1} 。 对于两个多项式的情况，与整数时一样可以得到通解。 裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环 A {\displaystyle A} 是主理想环， a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 为环中元素， d {\displaystyle d} 是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 使得： a x + b y = d {\displaystyle ax+by=d} 这是因为在主理想环中， a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的最大公约元被定义为理想 a A + b A {\displaystyle aA+bA} 的生成元。 理想 (环论) 欧几里德整环 欧几里德引理 主理想环 整除 原版的网上版本（法文）. [2008-08-26]. （原始内容存档于2014-09-08）.  证明的网上版本（法文）. [2008-08-26]. （原始内容存档于2019-12-01）.  闵嗣鹤、严士健，初等数论，高等教育出版社，2003。 唐忠明，抽象代数基础，高等教育出版社，2006。 線上計算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）