海森堡繪景

海森堡繪景（Heisenberg picture）是量子力學的一種表述，因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景，可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。 海森堡繪景與薛丁格繪景、狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏，描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。在狄拉克繪景裏，態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。 這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。 為了便利分析，位於下標的符號 H {\displaystyle {}_{\mathcal {H}}} 、 S {\displaystyle {}_{\mathcal {S}}} 分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。 在量子力學的海森堡繪景裏，態向量 | ψ ⟩ H {\displaystyle |\psi \rangle _{\mathcal {H}}} 不含時，而可觀察量的算符 A H {\displaystyle A_{\mathcal {H}}} 則含時，並且滿足「海森堡運動方程式」： ∂ ∂ t A H = 1 i ℏ [ A H , H ] {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A_{\mathcal {H}}={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}},\,H]} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， H {\displaystyle H} 是哈密頓量， [ A H , H ] {\displaystyle [A_{\mathcal {H}},\,H]} 是 A H {\displaystyle A_{\mathcal {H}}} 與 H {\displaystyle H} 的對易算符。 從某種角度來看，海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然，更具有基礎性，因為，經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量，例如，位置、動量等等，而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看，海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到：只要將對易算符改為帕松括號，海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式，其形式表示為 ∂ ∂ t A = [ A , H ] P o i s s o n {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {t}}}A=[A,\,H]_{Poisson}} ； 其中， [   ,   ] P o i s s o n {\displaystyle [\ ,\,\ ]_{Poisson}} 是帕松括號。 通過狄拉克量子化條件（英语：canonical quantization），可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式： [   ,   ] P o i s s o n   →   [   ,   ] i ℏ {\displaystyle [\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to \ {\frac {[\ ,\,\ ]}{i\hbar }}} 。 史東-馮諾伊曼理論（英语：Stone-von Neumann theorem）證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。 在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從 0 {\displaystyle 0} 流易到 t {\displaystyle t} ，而經過這段時間間隔，態向量 | ψ ( 0 ) ⟩ S {\displaystyle |\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} 演化為 | ψ ( t ) ⟩ S {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}} ，這時間演化過程以方程式表示為 | ψ ( t ) ⟩ S = U ( t , 0 ) | ψ ( 0 ) ⟩ S {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}=U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} ； 其中， U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 是時間從 0 {\displaystyle 0} 流易到 t {\displaystyle t} 的時間演化算符。 時間演化算符是么正算符： U ( t , 0 ) U † ( t , 0 ) = 1 = U † ( t , 0 ) U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)=1=U^{\dagger }(t,0)U(t,0)} 。 假設系統的哈密頓量 H {\displaystyle H} 不含時，則時間演化算符為 U ( t , 0 ) = e − i H t / ℏ {\displaystyle U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }} ， 而且，時間演化算符與哈密頓量相互對易： H U ( t , 0 ) = U ( t , 0 ) H {\displaystyle HU(t,0)=U(t,0)H} 。 注意到指數函數 e − i H t / ℏ {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }} 必須通過其泰勒級數計算。 在海森堡繪景裏，態向量 | ψ ( t ) ⟩ H {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}} 、算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 分別定義為 | ψ ( t ) ⟩ H = d e f | ψ ( 0 ) ⟩ H = | ψ ( 0 ) ⟩ S {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} 、 A H ( t ) = d e f U † ( t , 0 ) A S U ( t , 0 ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)} 。 由於 U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 、 U † ( t , 0 ) {\displaystyle U^{\dagger }(t,0)} 對於時間的偏導數分別為 ∂ U ( t , 0 ) ∂ t = 1 i ℏ H U ( t , 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}={1 \over i\hbar }HU(t,0)} 、 ∂ U † ( t , 0 ) ∂ t = − 1 i ℏ U † ( t , 0 ) H {\displaystyle {\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }(t,0)H} 。 所以，算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 對於時間的導數是 d d t A H ( t ) = ∂ U † ( t , 0 ) ∂ t A S U ( t , 0 ) + U † ( t , 0 ) A S ∂ U ( t , 0 ) ∂ t = − 1 i ℏ U † H A S U + 1 i ℏ U † A S H U = − 1 i ℏ U † H U U † A S U + 1 i ℏ U † A S U U † H U = 1 i ℏ [ U † A S U , U † H U ] {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HA_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}HU\\&=-{1 \over i\hbar }U^{\dagger }HUU^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U+{1 \over i\hbar }U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}UU^{\dagger }HU\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]\\\end{aligned}}} 。 由於不含時哈密頓量在海森堡繪景的形式與在薛丁格繪景相同，可以忽略下標： H H = U † H S U = H S = H {\displaystyle H_{\mathcal {H}}=U^{\dagger }H_{\mathcal {S}}U=H_{\mathcal {S}}=H} 。 將算符的定義式納入考量，就可以得到海森堡運動方程式： d d t A H ( t ) = 1 i ℏ [ A H ( t ) , H ] {\displaystyle {d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)={1 \over i\hbar }[A_{\mathcal {H}}(t),H]} 。 在薛丁格繪景裏，可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值為 ⟨ A ⟩ S = S ⟨ ψ ( t ) | A S | ψ ( t ) ⟩ S = S ⟨ ψ ( 0 ) | U † ( t , 0 ) A S U ( t , 0 ) | ψ ( 0 ) ⟩ S {\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {S}}|\psi (t)\rangle _{\mathcal {S}}={}_{\mathcal {S}}\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} 。 在海森堡繪景裏，可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值為 ⟨ A ⟩ H = H ⟨ ψ ( t ) | A H ( t ) | ψ ( t ) ⟩ H = H ⟨ ψ ( 0 ) | A H ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ H {\displaystyle \langle A\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (t)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}={}_{\mathcal {H}}\langle \psi (0)|A_{\mathcal {H}}(t)|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}} 。 注意到態向量 | ψ ( t ) ⟩ H {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}} 、算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 的定義式： | ψ ( t ) ⟩ H = d e f | ψ ( 0 ) ⟩ H = | ψ ( 0 ) ⟩ S {\displaystyle |\psi (t)\rangle _{\mathcal {H}}{\stackrel {def}{=}}|\psi (0)\rangle _{\mathcal {H}}=|\psi (0)\rangle _{\mathcal {S}}} 、 A H ( t ) = d e f U † ( t , 0 ) A S U ( t , 0 ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t){\stackrel {def}{=}}U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}U(t,0)} 。 所以，這兩種期望值的表述方式等價。 算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 的定義式涉及到指數函數 e − i H t / ℏ {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }} ，必須通過其泰勒級數計算，這是個很繁雜的過程，可以利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma）來計算 e B A e − B = A + [ B , A ] + 1 2 ! [ B , [ B , A ] ] + 1 3 ! [ B , [ B , [ B , A ] ] ] + ⋯ {\displaystyle {e^{B}Ae^{-B}}=A+[B,A]+{\frac {1}{2!}}[B,[B,A]]+{\frac {1}{3!}}[B,[B,[B,A]]]+\cdots } 。 對於算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} ，可以得到 A H ( t ) = A H ( 0 ) + i t ℏ [ H , A H ( 0 ) ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H , [ H , A H ( 0 ) ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H , [ H , [ H , A H ( 0 ) ] ] ] + ⋯ {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)=A_{\mathcal {H}}(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,A_{\mathcal {H}}(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,A_{\mathcal {H}}(0)]]]+\cdots } 。 由於帕松括號與對易算符的關係，在哈密頓力學裏，這方程式也成立。 本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 。設想自由粒子系統，其哈密頓量為 H = p 2 2 m {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}} 。 動量 p {\displaystyle p} 的海森堡運動方程式為 d d t p ( t ) = 1 i ℏ [ p , H ] = 0 {\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p,H]=0} 。 這是因為 p {\displaystyle p} 與 H {\displaystyle H} 對易。所以，動量 p {\displaystyle p} 是個常數： p ( t ) = p ( 0 ) {\displaystyle p(t)=p(0)} 。 位置 x {\displaystyle x} 的海森堡運動方程式為 d d t x ( t ) = 1 i ℏ [ x , H ] = p m {\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x,H]={\frac {p}{m}}} 。 所以，位置與時間的關係式為 x ( t ) = x ( 0 ) + p ( 0 ) m t {\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t} 。 換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為 x ( t ) = e i H t / ℏ x ( 0 ) e − i H t / ℏ {\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }} 。 利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma）， x ( t ) = x ( 0 ) + i t ℏ [ H , x ( 0 ) ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H , [ H , x ( 0 ) ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H , [ H , [ H , x ( 0 ) ] ] ] + ⋯ {\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots } 。 注意到以下兩個對易關係式： [ H , x ( 0 ) ] = − i ℏ p ( 0 ) m {\displaystyle [H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}} 、 [ H , p ( 0 ) ] = 0 {\displaystyle [H,p(0)]=0} 。 將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式： x ( t ) = x ( 0 ) + p ( 0 ) m t {\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {p(0)}{m}}t} 。 注意到位置在不同時間的對易子不等於零： [ x ( t ) , x ( 0 ) ] = [ p ( 0 ) t m , x ( 0 ) ] = − i ℏ t m {\displaystyle [x(t),x(0)]=\left[{\frac {p(0)t}{m}},x(0)\right]={\frac {-i\hbar t}{m}}} 。 本節運算只涉及海森堡繪景，為了簡便起見，忽略下標 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 。設想諧振子系統，其哈密頓量為 H = p 2 2 m + m ω 2 x 2 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}} ； 其中， ω {\displaystyle \omega } 為諧振子頻率。 動量算符 p {\displaystyle p} 、位置算符 x {\displaystyle x} 的海森堡運動方程式分別為 d d t p ( t ) = 1 i ℏ [ p ( t ) , H ] = − m ω 2 x ( t ) {\displaystyle {d \over dt}p(t)={1 \over i\hbar }[p(t),H]=-m\omega ^{2}x(t)} 、 d d t x ( t ) = 1 i ℏ [ x ( t ) , H ] = p ( t ) m {\displaystyle {d \over dt}x(t)={1 \over i\hbar }[x(t),H]={\frac {p(t)}{m}}} 。 再求這兩個方程式對於時間的導數， d 2 d t 2 p ( t ) = − m ω 2 i ℏ [ x ( t ) , H ] = − ω 2 p ( t ) {\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}p(t)={-m\omega ^{2} \over i\hbar }[x(t),H]=-\omega ^{2}p(t)} 、 d 2 d t 2 x ( t ) = 1 i m ℏ [ p ( t ) , H ] = − ω 2 x ( t ) {\displaystyle {d^{2} \over dt^{2}}x(t)={1 \over im\hbar }[p(t),H]=-\omega ^{2}x(t)} 。 設定動量算符、位置算符的初始條件分別為 p ( 0 ) = p 0 {\displaystyle p(0)=p_{0}} 、 x ( 0 ) = x 0 {\displaystyle x(0)=x_{0}} 。 則在初始時間， p ˙ ( 0 ) = − m ω 2 x 0 {\displaystyle {\dot {p}}(0)=-m\omega ^{2}x_{0}} 、 x ˙ ( 0 ) = p 0 m {\displaystyle {\dot {x}}(0)={\frac {p_{0}}{m}}} 。 所以，二次微分方程式的解答分別是 p ( t ) = p 0 cos ⁡ ( ω t ) − m ω x 0 sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle p(t)=p_{0}\cos(\omega t)-m\omega \!x_{0}\sin(\omega t)} 、 x ( t ) = x 0 cos ⁡ ( ω t ) + p 0 m ω sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {p_{0}}{m\omega }}\sin(\omega t)} 。 稍加運算，可以得到海森堡繪景裏的對易關係： [ p ( t 1 ) , p ( t 2 ) ] = i ℏ m ω sin ⁡ ( ω t 2 − ω t 1 ) {\displaystyle [p(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar m\omega \sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})} 、 [ x ( t 1 ) , x ( t 2 ) ] = i ℏ m ω sin ⁡ ( ω t 2 − ω t 1 ) {\displaystyle [x(t_{1}),x(t_{2})]={\frac {i\hbar }{m\omega }}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1})} 、 [ x ( t 1 ) , p ( t 2 ) ] = i ℏ cos ⁡ ( ω t 2 − ω t 1 ) {\displaystyle [x(t_{1}),p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1})} 。 假若 t 1 = t 2 {\displaystyle t_{1}=t_{2}} ，則立刻會得到熟悉的正則對易關係。 換另一種方法，算符隨著時間流易而演化的方程式為 x ( t ) = e i H t / ℏ x ( 0 ) e − i H t / ℏ {\displaystyle x(t)=e^{iHt/\hbar }x(0)e^{-iHt/\hbar }} 。 利用貝克-豪斯多夫引理（英语：Baker-Hausdorff lemma）， x ( t ) = x ( 0 ) + i t ℏ [ H , x ( 0 ) ] − t 2 2 ! ℏ 2 [ H , [ H , x ( 0 ) ] ] − i t 3 3 ! ℏ 3 [ H , [ H , [ H , x ( 0 ) ] ] ] + ⋯ {\displaystyle x(t)=x(0)+{\frac {it}{\hbar }}[H,x(0)]-{\frac {t^{2}}{2!\hbar ^{2}}}[H,[H,x(0)]]-{\frac {it^{3}}{3!\hbar ^{3}}}[H,[H,[H,x(0)]]]+\cdots } 。 注意到以下兩個對易關係式： [ H , x ( 0 ) ] = − i ℏ p ( 0 ) m {\displaystyle [H,x(0)]={\frac {-i\hbar p(0)}{m}}} 、 [ H , p ( 0 ) ] = i ℏ m ω 2 x ( 0 ) {\displaystyle [H,p(0)]=i\hbar m\omega ^{2}x(0)} 。 將這兩個對易關係式代入，可以得到同樣的位置與時間的關係式： x ( t ) = x ( 0 ) + p ( 0 ) m ω ω t − x ( 0 ) ω 2 t 2 2 ! − p ( 0 ) m ω ω 3 t 3 3 ! + ⋯ = x ( 0 ) cos ⁡ ( ω t ) + p ( 0 ) m ω sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=x(0)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\omega t-x(0){\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2!}}-{\frac {p(0)}{m\omega }}{\frac {\omega ^{3}t^{3}}{3!}}+\cdots \\&=x(0)\cos(\omega t)+{\frac {p(0)}{m\omega }}\sin(\omega t)\\\end{aligned}}} 。 類似地,也可以得到同樣的動量與時間的關係式。 各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化： 在薛丁格繪景裏，假若勢能與時間有關， V = V ( t ) {\displaystyle V=V(t)} ，則哈密頓算符 H = P 2 2 m + V ( t ) {\displaystyle H={\frac {P^{2}}{2m}}+V(t)} 也與時間有關。 当 U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 是无穷维矩阵时， U ( t , 0 ) U † ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)U^{\dagger }(t,0)} 与 U † ( t , 0 ) U ( t , 0 ) {\displaystyle U^{\dagger }(t,0)U(t,0)} 未必相等；甚至 U ( t , 0 ) {\displaystyle U(t,0)} 的行列指标可以分别是可数无穷维与连续不可数无穷维。 在薛丁格繪景裏，假若哈密頓算符含時， H S = H S ( t ) {\displaystyle H_{\mathcal {S}}=H_{\mathcal {S}}(t)} ，則時間演化算符會比較複雜。更詳盡內容，請查閱條目時間演化算符 處於不同時間 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} 的哈密頓算符 H ( t 1 ) {\displaystyle H(t_{1})} 、 H ( t 2 ) {\displaystyle H(t_{2})} 可能會不相互對易： [ H ( t 1 ) , H ( t 2 ) ] ≠ [ H ( t 2 ) , H ( t 1 ) ] {\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]} 。 對於這案例，時間演化算符必須用戴森級數（英语：Dyson series）來表示，時間演化算符與哈密頓算符也會不相互對易。 假若算符 A S {\displaystyle A_{\mathcal {S}}} 含時： A S = A S ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {S}}=A_{\mathcal {S}}(t)} ， 則算符 A H ( t ) {\displaystyle A_{\mathcal {H}}(t)} 對於時間的導數是 d d t A H ( t ) = ∂ U † ( t , 0 ) ∂ t A S U ( t , 0 ) + U † ( t , 0 ) A S ∂ U ( t , 0 ) ∂ t + U † ( t , 0 ) ∂ A S ∂ t U ( t , 0 ) = 1 i ℏ [ U † A S U , U † H U ] + U † ( t , 0 ) ∂ A S ∂ t U ( t , 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dt}A_{\mathcal {H}}(t)&={\frac {\partial U^{\dagger }(t,0)}{\partial t}}A_{\mathcal {S}}U(t,0)+U^{\dagger }(t,0)A_{\mathcal {S}}{\frac {\partial U(t,0)}{\partial t}}+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\&={1 \over i\hbar }[U^{\dagger }A_{\mathcal {S}}U,U^{\dagger }HU]+U^{\dagger }(t,0){\frac {\partial A_{\mathcal {S}}}{\partial t}}U(t,0)\\\end{aligned}}} 。 假若處於不同時間 t 1 {\displaystyle t_{1}} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}} 的哈密頓算符 H ( t 1 ) {\displaystyle H(t_{1})} 、 H ( t 2 ) {\displaystyle H(t_{2})} 不相互對易： [ H ( t 1 ) , H ( t 2 ) ] ≠ [ H ( t 2 ) , H ( t 1 ) ] {\displaystyle [H(t_{1}),H(t_{2})]\neq [H(t_{2}),H(t_{1})]} 。 則哈密頓量在兩種繪景裏的形式可能不相同。 Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013 [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-22）.  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914  Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.  Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.  Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）  Cohen-Tannoudji, Claude; Bernard Diu, Frank Laloe. Quantum Mechanics (Volume One). Paris: Wiley. 1977: 312–314. ISBN 047116433X.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 狄拉克標記