位置算符

在量子力學裏，位置算符（position operator）是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記，位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 的本徵態 | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } 滿足方程式 x ^ | x ⟩ = x | x ⟩ {\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle } ； 其中， x {\displaystyle x} 是本徵值，是量子態為 | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } 的粒子所處的位置， x {\displaystyle x} 只是一個數值。 設定量子態 | Ψ ⟩ = x ^ | ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle } 。量子態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } 、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的位置空間表現，即波函數，分別定義為 Ψ ( x )   = d e f   ⟨ x | Ψ ⟩ {\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle } 、 ψ ( x )   = d e f   ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle } 。 在位置空間裡，定義算符 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}} 為 x ^ ψ ( x )   = d e f   x ψ ( x ) {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ x\psi (x)} 。 在位置空間裡，使用連續本徵態 | x ′ ⟩ {\displaystyle |x'\rangle } 所組成的基底，任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 展開為 | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle } 。 將量子算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，可以得到 x ^ | ψ ⟩ = x ^ ∫ − ∞ ∞ d x ′   | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   x ′ | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   x ′ ψ ( x ′ ) | x ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   x ^ ψ ( x ′ ) | x ′ ⟩ {\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ x'\psi (x')|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')|x'\rangle } 。 應用狄拉克正交歸一性， ⟨ x | x ′ ⟩ = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')} ，這方程式與左矢 ⟨ x | {\displaystyle \langle x|} 的內積為 ⟨ x | x ^ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   x ^ ψ ( x ′ ) ⟨ x | x ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   x ^ ψ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) = x ^ ψ ( x ) {\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ {\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x')\delta (x-x')={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)} 。 量子態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } 的展開式為 Ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | Ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   Ψ ( x ′ ) | x ′ ⟩ {\displaystyle \Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ |x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')|x'\rangle } 。 應用狄拉克正交歸一性，這方程式與左矢 ⟨ x | {\displaystyle \langle x|} 的內積為 ⟨ x | Ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   Ψ ( x ′ ) ⟨ x | x ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d x ′   Ψ ( x ′ ) δ ( x − x ′ ) = Ψ ( x ) {\displaystyle \langle x|\Psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\langle x|x'\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} x'\ \Psi (x')\delta (x-x')=\Psi (x)} 。 所以，兩個波函數 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 之間的關係為 Ψ ( x ) = x ^ ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)={\hat {\mathfrak {x}}}\psi (x)} 。 總結，位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的結果 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ，表現於位置空間，等價於波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 與 x {\displaystyle x} 的乘積 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 。位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 的位置空間表現是位算符 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}} ，可以稱算符 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}} 為位置算符。 假設，在位置空間裡，位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}} 的本徵值為 q {\displaystyle q} 的本徵函數是 g q ( x ) {\displaystyle g_{q}(x)} 。用方程式表達， x ^ g q ( x ) = q g q ( x ) {\displaystyle {\hat {\mathfrak {x}}}g_{q}(x)=qg_{q}(x)} 。 這方程式的一般解為， g q ( x ) = g 0 δ ( x − q ) {\displaystyle g_{q}(x)=g_{0}\delta (x-q)} ； 其中， g 0 {\displaystyle g_{0}} 是常數， δ ( x − q ) {\displaystyle \delta (x-q)} 是狄拉克δ函數。 注意到 g q ( x ) {\displaystyle g_{q}(x)} 無法歸一化： ∫ − ∞ ∞   g q ∗ ( x ) g q ( x )   d x = | g 0 | 2 ∫ − ∞ ∞   δ 2 ( x − q )   d x = ? {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q}^{*}(x)g_{q}(x)\ dx=|g_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta ^{2}(x-q)\ dx={\mbox{?}}} 。 設定 g 0 = 1 {\displaystyle g_{0}=1} ，函數 g q ( x ) {\displaystyle g_{q}(x)} 滿足下述方程式： ∫ − ∞ ∞   g q 1 ∗ ( x ) g q 2 ( x )   d x = ∫ − ∞ ∞   δ ( x − q 1 ) δ ( x − q 2 )   d x = δ ( q 1 − q 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ g_{q1}^{*}(x)g_{q2}(x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \delta (x-q1)\delta (x-q2)\ dx=\delta (q1-q2)} 。 這性質不是普通的正交歸一性，這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質，位置算符的本徵函數具有完備性，也就是說，任意波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 都可以表達為本徵函數的線性組合： ψ ( x ) = ∫ − ∞ ∞   ψ ( q ) g q ( x )   d q {\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi (q)g_{q}(x)\ dq} 。 雖然本徵函數 g q ( x ) {\displaystyle g_{q}(x)} 所代表的量子態是無法實際體現的，並且嚴格而論，不是一個函數，它可以視為代表一種理想量子態，這種理想量子態具有準確的位置 q {\displaystyle q} ，因此，根據不確定性原理，這種理想量子態的動量呈均勻分佈。 採用位置空間表現，設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏，希爾伯特空間是 H = L 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )} ，是實值定義域的平方可積函數的空間。兩個態向量的內積是 ⟨ ψ 1 | ψ 2 ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ 1 ∗ ( x ) ψ 2 ( x ) d x {\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{1}^{*}(x)\psi _{2}(x)\,\mathrm {d} x} 。 對於任意量子態 ψ {\displaystyle \psi } ，可觀察量 x {\displaystyle x} 的期望值為 ⟨ x ⟩   = d e f   ⟨ ψ | x ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle } 。 位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的結果，表現於位置空間，等價於波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 與 x {\displaystyle x} 的乘積，所以， ⟨ x ⟩ = ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x ) x ψ ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x | ψ ( x ) | 2 d x {\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }x\,|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x} 。 粒子處於 x {\displaystyle x} 與 x + d x {\displaystyle x+dx} 微小區間內的機率是 p ( x ) d x = ψ ∗ ( x ) ψ ( x ) d x {\displaystyle p(x)\mathrm {d} x=\psi ^{*}(x)\psi (x)\mathrm {d} x} 。 粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分，就是粒子位置的期望值。 推廣至三維空間相當直截了當，參數為三維位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的波函數為 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} ，位置的期望值為 ⟨ r ⟩ = ∫ V r | ψ ( r ) | 2 d 3 r {\displaystyle \langle \mathbf {r} \rangle =\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } ； 其中， V {\displaystyle \mathbb {V} } 是積分體積。 位置算符 r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} } 的作用為 r ^ ψ = r ψ {\displaystyle \mathbf {\hat {\mathfrak {r}}} \psi =\mathbf {r} \psi } 。 位置算符與動量算符的對易算符，當作用於波函數時，會得到一個簡單的結果： [ x ^ ,   p ^ ] ψ = ( x ^ p ^ − p ^ x ^ ) ψ = x ℏ i ∂ ψ ∂ x − ℏ i ∂ ( x ψ ) ∂ x = i ℏ ψ {\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi } 。 所以， [ x ^ ,   p ^ ] = i ℏ {\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar } 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 與 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言， x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 的本徵態與 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} 的本徵態不同。 根據不確定性原理， Δ A   Δ B ≥ | ⟨ [ A ,   B ] ⟩ 2 i | {\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|} 。 由於 x {\displaystyle x} 與 p {\displaystyle p} 是兩個不相容可觀察量， | ⟨ [ x ^ ,   p ^ ] ⟩ 2 i | = ℏ / 2 {\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2} 。所以， x {\displaystyle x} 的不確定性與 p {\displaystyle p} 的不確定性的乘積 Δ x   Δ p {\displaystyle \Delta x\ \Delta p} ，必定大於或等於 ℏ / 2 {\displaystyle \hbar /2} 。 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914