表面張力波

表面張力波（英語：Capillary wave）是延著液體相邊界（英语：phase boundary）行進的波，其動力學及相速度是由表面张力的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為漣漪。 表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而相速度約0.2-0.3公尺/秒。 若液體表面的波是受到表面张力、重力及液體慣性的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。 漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的波濤。 色散关系說明在波當中波长和頻率之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。 在表面張力波中的色散关系是 ω 2 = σ ρ + ρ ′ | k | 3 , {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},} 其中ω是角频率，σ是表面张力，ρ是較重流體的密度，ρ'是較輕流體的密度，k是波數。其波长為 λ = 2 π k . {\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.} 若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是 ω 2 = σ ρ | k | 3 . {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho }}\,|k|^{3}.} 一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下： ω 2 = | k | ( ρ − ρ ′ ρ + ρ ′ g + σ ρ + ρ ′ k 2 ) , {\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),} 其中g為標準重力，ρ和ρ'分別是二種流體的密度（ρ > ρ‘）。第一項的 ( ρ − ρ ′ ) / ( ρ + ρ ′ ) {\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')} 因子是阿特伍德数。 若波長較大（波數k = 2π/λ較小），主要會受第一項，重力波的影響。 若到極限時，波的群速度會是相速度的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。 若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2 mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。 在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長λm的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度cm的關係如下： λ m = 2 π σ ( ρ − ρ ′ ) g and c m = 2 ( ρ − ρ ′ ) g σ ρ + ρ ′ . {\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{and}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.} 針對空氣–水的界面，λm約為1.7 cm（0.67英寸），cm為0.23 m/s（0.75 ft/s）.。 若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現焦散（英语：caustic (optics)），對應最小相速 理查德·費曼曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形。 一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、表面张力及流體動力學。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。 能量來源的第三個是流體的动能，這部份最複雜，需要用流體動力學的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是保守向量场，因此流位流。 毛细现象 水波色散（英语：Dispersion (water waves)） 流體管（英语：Fluid pipe） 波濤 兩相流（英语：Two-phase flow） Airy波理論（英语：Airy wave theory） Lamb (1994), §267, page 458–460. Dingemans (1997), Section 2.1.1, p. 45. Phillips (1977), Section 3.2, p. 37. Falkovich, G. Fluid Mechanics, a short course for physicists. Cambridge University Press. 2011. Section 3.1 and Exercise 3.3. ISBN 978-1-107-00575-4.  理查德·費曼, R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '费曼物理学讲义. Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4. 在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description. Longuet-Higgins,M. S. The generation of capillary waves by steep gravity waves. Journal of Fluid Mechanics. 1963, 16 (1): 138–159. Bibcode:1963JFM....16..138L. ISSN 1469-7645. doi:10.1017/S0022112063000641.  Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.  Phillips, O. M. The dynamics of the upper ocean 2nd. Cambridge University Press. 1977. ISBN 0-521-29801-6.  Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapore. 1997: 2 Parts, 967 pages. ISBN 981-02-0427-2.  Safran, Samuel. Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes. Addison-Wesley. 1994.  Tufillaro, N. B.; Ramshankar, R.; Gollub, J. P. Order-disorder transition in capillary ripples. Physical Review Letters. 1989, 62 (4): 422–425 [2019-11-26]. Bibcode:1989PhRvL..62..422T. PMID 10040229. doi:10.1103/PhysRevLett.62.422. （原始内容存档于2017-09-22）.  维基共享资源上的相关多媒体资源：表面張力波 Capillary waves entry at sklogwiki （页面存档备份，存于互联网档案馆）