正切半角公式

正切半角公式又称万能公式，这一组公式有四个功能： 将角统一为 α 2 {\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}} ； 将函数名称统一为 tan {\displaystyle \tan } ； 任意实数都可以 tan ⁡ α 2 {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}} 的形式表達，可用正切函数换元。 在某些积分中，可以将含有三角函数的积分变为有理分式的积分。 因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式求得的。 sin ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} cos ⁡ α = 1 − tan 2 ⁡ α 2 1 + tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} cot ⁡ α = 1 − tan 2 ⁡ α 2 2 tan ⁡ α 2 {\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}} sec ⁡ α = 1 + tan 2 ⁡ α 2 1 − tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} csc ⁡ α = 1 + tan 2 ⁡ α 2 2 tan ⁡ α 2 {\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\tan {\frac {\alpha }{2}}}}} 而被称为萬能公式的原因是利用 tan ⁡ α 2 {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}} 的代換可以解決一些有關三角函数的積分。参见三角换元法。 tan ⁡ ( η 2 ± θ 2 ) = sin ⁡ η ± sin ⁡ θ cos ⁡ η + cos ⁡ θ = − cos ⁡ η − cos ⁡ θ sin ⁡ η ∓ sin ⁡ θ , tan ⁡ ( ± θ 2 ) = ± sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = ± tan ⁡ θ sec ⁡ θ + 1 = ± 1 csc ⁡ θ + cot ⁡ θ ,         ( η = 0 ) tan ⁡ ( ± θ 2 ) = 1 − cos ⁡ θ ± sin ⁡ θ = sec ⁡ θ − 1 ± tan ⁡ θ = ± ( csc ⁡ θ − cot ⁡ θ ) ,         ( η = 0 ) tan ⁡ ( π 4 ± θ 2 ) = 1 ± sin ⁡ θ cos ⁡ θ = sec ⁡ θ ± tan ⁡ θ = csc ⁡ θ ± 1 cot ⁡ θ ,         ( η = π 2 ) tan ⁡ ( π 4 ± θ 2 ) = cos ⁡ θ 1 ∓ sin ⁡ θ = 1 sec ⁡ θ ∓ tan ⁡ θ = cot ⁡ θ csc ⁡ θ ∓ 1 ,         ( η = π 2 ) 1 − tan ⁡ θ 2 1 + tan ⁡ θ 2 = 1 − sin ⁡ θ 1 + sin ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta }{2}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan {\frac {\theta }{2}}}{1+\tan {\frac {\theta }{2}}}}&={\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}} 由二倍角公式，有： sin ⁡ α = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 cos 2 ⁡ α 2 + sin 2 ⁡ α 2 = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 ÷ cos 2 ⁡ α 2 ( cos 2 ⁡ α 2 + sin 2 ⁡ α 2 ) ÷ cos 2 ⁡ α 2 = 2 sin ⁡ α 2 cos ⁡ α 2 1 + sin 2 ⁡ α 2 cos 2 ⁡ α 2 = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{(\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}})\div \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}={\frac {2{\frac {\sin {\frac {\alpha }{2}}}{\cos {\frac {\alpha }{2}}}}}{1+{\frac {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}}={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 − tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} 再由同角三角函数间的关系，得出 cos ⁡ α = sin ⁡ α tan ⁡ α = 2 tan ⁡ α 2 1 + tan 2 ⁡ α 2 2 tan ⁡ α 2 1 − tan 2 ⁡ α 2 = 1 − tan 2 ⁡ α 2 1 + tan 2 ⁡ α 2 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\tan \alpha }}={\frac {\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}{\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}} 在单位圆内， t = tan ⁡ ϕ 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {\phi }{2}}} 。根据相似关係， t sin ⁡ ϕ = 1 1 + cos ⁡ ϕ {\displaystyle {\frac {t}{\sin \phi }}={\frac {1}{1+\cos \phi }}} ，可得出 t = sin ⁡ ϕ 1 + cos ⁡ ϕ = sin ⁡ ϕ ( 1 − cos ⁡ ϕ ) ( 1 + cos ⁡ ϕ ) ( 1 − cos ⁡ ϕ ) = 1 − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ {\displaystyle t={\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}={\frac {\sin \phi (1-\cos \phi )}{(1+\cos \phi )(1-\cos \phi )}}={\frac {1-\cos \phi }{\sin \phi }}} 。 显然 tan ⁡ a + b 2 = sin ⁡ a + b 2 cos ⁡ a + b 2 = sin ⁡ a + sin ⁡ b cos ⁡ a + cos ⁡ b {\displaystyle \tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\sin {\frac {a+b}{2}}}{\cos {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}}} 。 此公式亦可以对双曲函数起到类似的作用，由双曲线右支上的一点 ( cosh ⁡ θ , sinh ⁡ θ ) {\displaystyle (\cosh \theta ,\sinh \theta )} 给出。从 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 到y轴给出了如下等式： t = tanh ⁡ 1 2 θ = sinh ⁡ θ cosh ⁡ θ + 1 = cosh ⁡ θ − 1 sinh ⁡ θ {\displaystyle t=\tanh {\frac {1}{2}}\theta ={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}} 可以得到 和 卡尔·维尔斯特拉斯引入这个式子来省去查找原函数的麻烦。 θ {\displaystyle \theta } 在 T {\displaystyle T} 而得出下面的双曲反正切函數和自然对数之间的关系： artanh ⁡ t = 1 2 ln ⁡ 1 + t 1 − t . {\displaystyle \operatorname {artanh} t={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+t}{1-t}}.} 三角恒等式 唐小謙. 歡樂品數學：愛上你眼中的魔鬼學科. 清文華泉. 2020: 234. ISBN 9789865552176.  Planetmath上的正切半角公式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）