留数定理

在複分析中，留数定理，又叫残数定理（英語：Residue theorem），是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推论。 假设 U {\displaystyle U} 是复平面上的一个单连通开子集， a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} 是复平面上有限个点， f {\displaystyle f} 是定义在 U ∖ a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle U\setminus {a_{1},\cdots ,a_{n}}} 的全纯函数。如果 γ {\displaystyle \gamma } 是一条把 a 1 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}} 包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个 a k {\displaystyle a_{k}} ，并且其起点与终点重合，那么： ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n I ⁡ ( γ , a k ) Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).} 如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, ak) = 1，因此： ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).} 在这里，Res(f, ak)表示f在点ak的留数，I(γ, ak)表示γ关于点ak的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点ak的次数。如果γ依逆时针方向绕着ak移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过ak，卷绕数就是零。 以下的积分 ∫ − ∞ ∞ e i t x x 2 + 1 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx} 在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等微积分计算并不容易。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为： ∫ C f ( z ) d z = ∫ C e i t z z 2 + 1 d z . {\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.} 由于eitz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z2 + 1为零时才具有奇点。由于z2 + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。 由于f(z)是 f(z)在z = i的留数是： Res z = i ⁡ f ( z ) = e − t 2 i . {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.} 根据留数定理，我们有： ∫ C f ( z ) d z = 2 π i ⋅ Res z = i ⁡ f ( z ) = 2 π i e − t 2 i = π e − t . {\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.} 路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得： ∫ straight + ∫ arc = π e − t {\displaystyle \int _{\mbox{straight}}+\int _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,} 因此 ∫ − a a = π e − t − ∫ arc . {\displaystyle \int _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int _{\mbox{arc}}.} 如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零： ∫ arc e i t z z 2 + 1 d z ≤ ∫ arc | e i t z z 2 + 1 | | d z | = ∫ arc | e i t z | | z 2 + 1 | | d z | = ∫ arc 1 | z 2 + 1 | | d z | ≤ ∫ arc 1 a 2 − 1 | d z | = π a a 2 − 1 → 0   as   a → ∞ . {\displaystyle \int _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\leq \int _{\mbox{arc}}\left|{e^{itz} \over z^{2}+1}\right|\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{|e^{itz}| \over |z^{2}+1|}\,|dz|=\int _{\mbox{arc}}{1 \over |z^{2}+1|}\,|dz|\leq \int _{\mbox{arc}}{1 \over a^{2}-1}\,|dz|={\frac {\pi a}{a^{2}-1}}\rightarrow 0\ {\mbox{as}}\ a\rightarrow \infty .} 上述结果也可以直接由Jordan引理（英语：Jordan%27s_lemma）得到，要注意这里的半圆弧上积分随半径增长趋于0必须要 t > 0 {\displaystyle t>0} 才能成立，所以如果 t < 0 {\displaystyle t<0} 就必须考虑下半平面上的半圆弧。 因此，如果t > 0，那么： ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.} 类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则 ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e t , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},} 因此我们有： ∫ − ∞ ∞ e i t z z 2 + 1 d z = π e − | t | . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.} （如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。） 由于 π cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle \pi \cot(\pi z)} 在 z {\displaystyle z} 为整数时皆为一阶极点，并且留数皆为 1 {\displaystyle 1} ，因此可以用来计算如下所示级数： ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)} 在此处令 f ( z ) = z − 2 {\displaystyle f(z)=z^{-2}} ，并且令 Γ N {\displaystyle \Gamma _{N}} 为 [ − N − 1 2 , N + 1 2 ] 2 {\displaystyle \left[-N-{\frac {1}{2}},N+{\frac {1}{2}}\right]^{2}} 的正方形正向（逆时针）围道（其中 N {\displaystyle N} 为整数），于是依留数定理： 1 2 π i ∫ Γ N f ( z ) π cot ⁡ ( π z ) d z = 1 2 π i ∫ Γ N π cot ⁡ ( π z ) z 2 d z = Res z = 0 + ∑ n = − N N n ≠ 0 1 n 2 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma _{N}}{\frac {\pi \cot(\pi z)}{z^{2}}}\mathrm {d} z=\operatorname {Res} _{z=0}+{\underset {n\neq 0}{\sum _{n=-N}^{N}}}{\frac {1}{n^{2}}}} 当 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } 时，等式左侧由于 O ( n − 2 ) {\displaystyle O(n^{-2})} 而趋于零；另一方面： z 2 cot ⁡ z 2 = 1 − B 2 z 2 2 ! + ⋯ = 1 − z 2 12 + ⋯ {\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}=1-{\frac {B_{2}z^{2}}{2!}}+\cdots =1-{\frac {z^{2}}{12}}+\cdots } 其中有伯努利数 B 2 = 1 6 {\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}} 。 （实际上有 z 2 cot ⁡ z 2 = i z 1 − e − i z − i z 2 {\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot {\frac {z}{2}}={\frac {\mathrm {i} z}{1-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}}-{\frac {\mathrm {i} z}{2}}} ）因此， Res z = 0 = − π 2 3 {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=0}=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}} ，可以得出： ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} 即为巴塞尔问题的证明之一。 留数 路径积分 莫雷拉定理 傅里叶变换 拉普拉斯变换 史济怀; 刘太顺. 复变函数. 合肥: 中国科学技术大学出版社. 1998-12-01. ISBN 9787312009990.  Ahlfors, Lars, Complex Analysis, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-085008-9  Mitronivić, Dragoslav; Kečkić, Jovan, The Cauchy method of residues: Theory and applications, D. Reidel Publishing Company, 1984, ISBN 90-277-1623-4  Lindelöf, Ernst, Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, Editions Jacques Gabay, 19051989, ISBN 2-87647-060-8  Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆） John H. Mathews所作的留数定理教程