第二基本形式

微分几何中，第二基本形式（second fundamental form）是三维欧几里得空间中一个光滑曲面的切丛上一个二次形式，通常记作 II。与第一基本形式一起，他们可定义曲面的外部不变量，主曲率。更一般地，若在黎曼流形中或洛伦兹流形中，的一个光滑超曲面上，选取了一个光滑单位法向量场，则可定义这样一个二形式。 R3 中一个参数曲面 S 的第二基本形式由高斯引入。最先假设曲面是两次连续可微函数的像，z = f(x,y)，且平面 z = 0 与曲面在原点相切。则 f 以及关于 x 和 y 的偏导数在 (0,0) 皆为零。从而 f 在 (0,0) 处的泰勒展开以二次项开始： z = f x x x 2 2 + f x y x y + f y y y 2 2 + o ( n ) {\displaystyle z=f_{xx}{\frac {x^{2}}{2}}+f_{xy}xy+f_{yy}{\frac {y^{2}}{2}}+o(n)} ， 记 L = f x x , M = f x y , N = f y y {\displaystyle L=f_{xx},M=f_{xy},N=f_{yy}} , 则在 (x, y) 坐标中原点处的第二基本形式是二次型： L d x 2 + 2 M d x d y + N d y 2 . {\displaystyle Ldx^{2}+2Mdxdy+Ndy^{2}.\,} 对 参数曲面S 上一个光滑点 p，总可以选取坐标系使得坐标的 z-平面与 S 切于 p，然后可以相同的方式定义第二基本形式。 一个一般参数曲面的第二基本形式定义如下。设 r=r(u,v) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 u 和 v 的偏导数为 ru 与 rv。参数化的正则性意味着 ru 与 rv 对 r 的定义域中任何 (u,v) 是线性无关的。等价地，叉积 ru × rv 是曲面的一个非零法向量。参数化这样就定义了一个单位法向量场 n(u,v)： n = r u × r v | r u × r v | . {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}.} 第二基本形式通常写成 I I = L d u 2 + 2 M d u d v + N d v 2 , {\displaystyle \mathrm {II} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},\,} 在基 {ru, rv} 下的矩阵是 [ L M M N ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.} 在参数化 uv-平面上一个给定点处系数 L, M, N 由 r 在那个点的二次偏导数到 S 的法线上投影给出，利用点积可计算如下： L = r u u ⋅ n , M = r u v ⋅ n , N = r v v ⋅ n . {\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} ,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} ,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} .} 一个通常曲面 S 的第二基本形式定义如下：设 r=r(u1,u2) 是 R3 中一个正则参数曲面，这里 r 是两个变量的光滑向量值函数。通常记 r 关于 uα 的偏导数为 rα，α = 1，2。参数化的正则性意味着 r1 与 r2 在 r 的定义域上是线性无关的，从而在每一点张成 S 的切空间。等价地，叉积 r1 × r2 是曲面的一个非零法向量。这样参数化定义了一个单位法向量场 n： n = r 1 × r 2 | r 1 × r 2 | {\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}} 第二基本形式通常写作 I I = b α β d u α d u β {\displaystyle \mathrm {II} =b_{\alpha \beta }du^{\alpha }du^{\beta }} 上式使用了爱因斯坦求和约定。 在参数 (u1, u2)-曲面给定点处系数 bαβ 由 r 的二次偏导数到 S 的法线的投影给出，利用点积可写成： b α β = r α β ⋅ n {\displaystyle b_{\alpha \beta }=\mathbf {r} _{\alpha \beta }\cdot \mathbf {n} } 在欧几里得空间中，第二基本形式由 I I ( v , w ) = ⟨ d ν ( v ) , w ⟩ {\displaystyle I\!I(v,w)=\langle d\nu (v),w\rangle } 给出，这里 ν {\displaystyle \nu } 是高斯映射，而 d ν {\displaystyle d\nu } 是 ν {\displaystyle \nu } 的微分视为一个向量值微分形式，括号表示欧几里得空间的度量张量。 更一般地，在一个黎曼流形上，第二基本形式是描述一个超曲面形算子（记作 S）的等价方法， I I ( v , w ) = ⟨ S ( v ) , w ⟩ = − ⟨ ∇ v n , w ⟩ = ⟨ n , ∇ v w ⟩ , {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle ,} 这里 ∇ v w {\displaystyle \nabla _{v}w} 表示周围空间的共变导数，n 超曲面上一个法向量场。如果仿射联络是无挠的，则第二基本形式是对称的。 第二基本形式的符号取决于 n 的方向的选取。（这称为曲面的余定向，对欧几里得空间中的曲面，等价于给定曲面的一个定向）。 第二基本形式可以推广到任意餘維數。在这种情形下，它是切空间上取值于法丛的一个二次型，可以定义为 I I ( v , w ) = ( ∇ v w ) ⊥ , {\displaystyle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },} 这里 ( ∇ v w ) ⊥ {\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }} 表示共变导数 ∇ v w {\displaystyle \nabla _{v}w} 到法丛的正交投影。 在欧几里得空间中，子流形的曲率张量可以描述为下列公式： ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .} 这叫做高斯方程，可以视为高斯绝妙定理的推广。在一个标准正交基中第二基本形式的本征值，是曲面的主曲率。一组正交规范本征向量称为主方向。 对一般的黎曼流形必须添加周围空间的曲率；如果 N 是嵌入黎曼流形 (M,g) 中一个流形，则 N 在诱导度量下的曲率张量 R N {\displaystyle R_{N}} 可以用第二基本形式与 M 的曲率张量 R M {\displaystyle R_{M}} 表示出来： ⟨ R N ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R M ( u , v ) w , z ⟩ + ⟨ I I ( u , z ) , I I ( v , w ) ⟩ − ⟨ I I ( u , w ) , I I ( v , z ) ⟩ . {\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .} 第一基本形式 高斯曲率 高斯-科达齐方程 Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7.  Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325.  请检查|date=中的日期值 (帮助) Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1.  关于第二基本形式的几何的一篇博士论文，作者为 Steven Verpoort: https://lirias.kuleuven.be/bitstream/1979/1779/2/hierrrissiedan!.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）