尤尔卡特-里歇特定理

尤爾卡特-里歇特定理（Jurkat–Richert theorem）是篩法上的數學定理，這定理是關於歌德巴赫猜想的陳氏定理的關鍵部分。這定理在1965年由沃爾夫岡·B·尤爾卡特（Wolfgang B. Jurkat）及汉斯-埃贡·里歇特（英语：Hans-Egon Richert）所證明。 以下公式表示取自哈罗德·G·戴蒙德（Harold G Diamond）與哈伯斯塔姆（英语：Heini Halberstam）。其他的公式表示可見於尤爾卡特與里歇特、哈伯斯塔姆與里歇特、以及梅尔文·B·内桑森（英语：Melvyn B. Nathanson）等人的結果。 假定 A {\displaystyle A} 是一個整數的有限序列，而 P {\displaystyle P} 是質數集合，設 A d {\displaystyle A_{d}} 為 A {\displaystyle A} 中可被 d {\displaystyle d} 除盡的元素構成的集合，並設 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 為 P {\displaystyle P} 中小於 z {\displaystyle z} 的質數的乘積，然後再設 ω ( d ) {\displaystyle \omega (d)} 為一個使得 ω ( p ) / p {\displaystyle \omega (p)/p} 大致與 A {\displaystyle A} 中可被 p {\displaystyle p} 除盡的元素成比例的積性函數。然後 X {\displaystyle X} 為 A {\displaystyle A} 中元素的大致個數，則其餘項可表示如下： r A ( d ) = | A d | − ω ( d ) d X . {\displaystyle r_{A}(d)=\left|A_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.} 設 S ( A , P , z ) {\displaystyle S(A,P,z)} 為 A {\displaystyle A} 中與 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 彼此互質的元素的個數，則有下式： V ( z ) = ∏ p ∈ P , p < z ( 1 − ω ( p ) p ) . {\displaystyle V(z)=\prod _{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).} 再設 ν ( m ) {\displaystyle \nu (m)} 為 m {\displaystyle m} 彼此相異的質因數的數量，並設 F 1 {\displaystyle F_{1}} 及 f 1 {\displaystyle f_{1}} 為滿足特定微分差分方程的方程式。（可參見戴蒙德與哈伯斯塔姆的書以知其定義與性質）現在假定篩選密度的維度為一，也就是在存在常數 C {\displaystyle C} ，使得 2 ≤ z < w {\displaystyle 2\leq z<w} 的情況下，可得以下關係式： ∏ z ≤ p < w ( 1 − ω ( p ) p ) − 1 ≤ ( log ⁡ w log ⁡ z ) ( 1 + C log ⁡ z ) . {\displaystyle \prod _{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).} （戴蒙德與哈伯斯塔姆的書將此定理延伸到維度大於一的狀況）那麼尤爾卡特—里歇特定理就表示說對於任意滿足 2 ≤ z ≤ y ≤ X {\displaystyle 2\leq z\leq y\leq X} 的數 y {\displaystyle y} 與 z {\displaystyle z} 而言，有以下關係式： S ( A , P , z ) ≤ X V ( z ) ( F 1 ( log ⁡ y log ⁡ z ) + O ( ( log ⁡ log ⁡ y ) 3 / 4 ( log ⁡ y ) 1 / 4 ) ) + ∑ m | P ( z ) , m < y 4 ν ( m ) | r A ( m ) | {\displaystyle S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|} 及 S ( A , P , z ) ≥ X V ( z ) ( f 1 ( log ⁡ y log ⁡ z ) − O ( ( log ⁡ log ⁡ y ) 3 / 4 ( log ⁡ y ) 1 / 4 ) ) − ∑ m | P ( z ) , m < y 4 ν ( m ) | r A ( m ) | . {\displaystyle S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum _{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r_{A}(m)\right|.} Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996 [2009-03-14]. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003.  Jurkat, W. B.; Richert, H.-E. An improvement of Selberg's sieve method I (PDF). Acta Arithmetica. 1965, XI: 217–240 [2009-02-17]. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. （原始内容存档 (PDF)于2023-05-08）.  Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.  Halberstam, Heini; Richert, H.-E. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. Zbl 0298.10026.