集合 (数学)

集合（英語：set）簡稱集，是一个基本的数学模型，指若干不同物件（英語：object）形成的总体。集合裡的物件称作元素或成员，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若 x {\displaystyle x} 是集合 A {\displaystyle A} 的元素，記作 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 。不包含任何元素的集合称为空集；只包含一个元素的集合称为单元素集合。集合可以包含有限或无限个元素。如果两个集合所包含的元素完全相同，我们称这两个集合相等。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。 简单来说，所谓的一个集合，就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。一般来讲，集合是具有某种特性的事物的整体，或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作“元素”或“成员”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或数字等。 在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如： 族、系：通常指它的元素也是一些集合。 元素通常用 a ,   b ,   c ,   d ,   x {\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x} 等小写字母來表示；而集合通常用 A ,   B ,   C ,   D ,   X {\displaystyle \mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} } 等大寫字母來表示。 當元素 a {\displaystyle a} 属于集合 A {\displaystyle \mathbf {A} } 時，记作 a ∈ A {\displaystyle a\in \mathbf {A} } 。 当元素 a {\displaystyle a} 不属于集合 A {\displaystyle \mathbf {A} } 时，记作 a ∉ A {\displaystyle a\not \in \mathbf {A} } 。 如果 A ,   B {\displaystyle \mathbf {A,\ B} } 两个集合所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B {\displaystyle \mathbf {A=B} } 。 无序性：一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。 集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。（参见序理论） 互异性：一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。 有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。 确定性：给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 集合可以用文字或数学符号描述，称为描述法，比如： A = {\displaystyle A=} 大于零的前三个自然数 B = {\displaystyle B=} 光的三原色和白色 集合的另一种表示方法是在大括号中列出其元素，称为列举法，比如： C = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle C=\left\{1,2,3\right\}} D = { {\displaystyle D=\{} 红色 , {\displaystyle ,} 蓝色 , {\displaystyle ,} 绿色 , {\displaystyle ,} 白色 } {\displaystyle \}} 尽管两个集合有不同的表示，它们仍可能是相同的。比如：上述集合中， A = C {\displaystyle A=C} 而 B = D {\displaystyle B=D} ，因为它们正好有相同的元素。 元素列出的顺序不同，或者元素列表中有重复，都和集合相同與否没有关系。比如：这三个集合 { 2 , 4 } {\displaystyle \left\{2,4\right\}} ， { 4 , 2 } {\displaystyle \left\{4,2\right\}} 和 { 2 , 2 , 4 , 2 } {\displaystyle \left\{2,2,4,2\right\}} 是相同的，因为它们有相同的元素。 集合在不严格的意义下也可以通过草图来表示，更多信息，请见文氏图。 集合 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} ，若 ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} ，有 a ∈ B ∴ A ⊆ B {\displaystyle a\in B\therefore A\subseteq B} 。则称 A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的子集，亦称 A {\displaystyle A} 包含于 B {\displaystyle B} ，或 B {\displaystyle B} 包含 A {\displaystyle A} ，记作 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 或 B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} ，否则称 A {\displaystyle A} 不是 B {\displaystyle B} 的子集，记作 A ⊈ B {\displaystyle A\nsubseteq B} 或 B ⊉ A {\displaystyle B\nsupseteq A} 。 若 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ，且 A ≠ B {\displaystyle A\neq B} ，则称 A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的真子集，亦称 A {\displaystyle A} 真包含于 B {\displaystyle B} ，或 B {\displaystyle B} 真包含 A {\displaystyle A} ，记作 A ⫋ B {\displaystyle A\subsetneqq B} 或 B ⫌ A {\displaystyle B\supsetneqq A} （有时也记作 A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} 或 B ⊃ A {\displaystyle B\supset A} ）。 包含关系“ ⊆ {\displaystyle \subseteq } ”是集合间的一个非严格偏序关系，因为它有如下性质： 自反性： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 S {\displaystyle S} ， S ⊆ S {\displaystyle S\subseteq S} ；（任何集合都是其本身的子集） 反对称性： A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 且 B ⊆ A ⇔ A = B {\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A=B} ；（这是证明两集合相等的常用手段之一） 传递性： A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 且 B ⊆ C ⇒ A ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C} ； 真包含关系“ ⫋ {\displaystyle \subsetneqq } ”是集合间的一个严格偏序关系，因为它有如下性质： 反自反性： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 S {\displaystyle S} ， S ⫋ S {\displaystyle S\subsetneqq S} 都不成立； 非对称性： A ⫋ B ⇒ B ⫋ A {\displaystyle A\subsetneqq B\Rightarrow B\subsetneqq A} 不成立；反之亦然； 传递性： A ⫋ B {\displaystyle A\subsetneqq B} 且 B ⫋ C ⇒ A ⫋ C {\displaystyle B\subsetneqq C\Rightarrow A\subsetneqq C} ； 显然，包含关系，真包含关系定义了集合间的偏序关系。而 ∅ {\displaystyle \varnothing } 是这个偏序关系的最小元素，即： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 S {\displaystyle S} ， ∅ ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq S} ；且若 S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } ，则 ∅ ⫋ S {\displaystyle \varnothing \subsetneqq S} ，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集） 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。 { 1 , 3 } ⫋ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \left\{1,3\right\}\subsetneqq \left\{1,2,3,4\right\}} { 1 , 2 , 3 , 4 } ⊆ { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \left\{1,2,3,4\right\}\subseteq \left\{1,2,3,4\right\}} 两个集合可以相"加"。 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的聯集是将 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的元素放到一起构成的新集合。 给定集合 A {\displaystyle A} ， B {\displaystyle B} ，定义运算 ∪ {\displaystyle \cup } 如下： A ∪ B = { e | e ∈ A {\displaystyle A\cup B=\{e|e\in A} 或 e ∈ B } {\displaystyle e\in B\}} 。 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} 称为 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的聯集。 { 1 , 2 } ∪ { {\displaystyle \{1,2\}\cup \{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 } = { 1 , 2 , {\displaystyle \}=\{1,2,} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 } {\displaystyle \}} { 1 , 2 , {\displaystyle \{1,2,} 绿色 } ∪ { {\displaystyle \}\cup \{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 , {\displaystyle ,} 绿色 } = { 1 , 2 , {\displaystyle \}=\{1,2,} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 , {\displaystyle ,} 绿色 } {\displaystyle \}} { 1 , 2 } ∪ { 1 , 2 } = { 1 , 2 } {\displaystyle \left\{1,2\right\}\cup \left\{1,2\right\}=\left\{1,2\right\}} 作为集合间的二元运算， ∪ {\displaystyle \cup } 运算具有以下性质。 交换律： A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} ； 结合律： ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)} ； 幂等律： A ∪ A = A {\displaystyle A\cup A=A} ； 幺元： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 A {\displaystyle A} ， A ∪ ∅ = A {\displaystyle A\cup \varnothing =A} ；（ ∅ {\displaystyle \varnothing } 是 ∪ {\displaystyle \cup } 运算的幺元）。 一个新的集合也可以通过两个集合均有的元素来构造。 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集，写作 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ，是既属于 A {\displaystyle A} 的、又属于 B {\displaystyle B} 的所有元素组成的集合。 若 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } ，则 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 称作不相交。 给定集合 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} ，定义运算 ∩ {\displaystyle \cap } 如下： A ∩ B = { e | e ∈ A {\displaystyle A\cap B=\{e|e\in A} 且 e ∈ B } {\displaystyle e\in B\}} 。 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 称为 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集。 作为集合间的二元运算， ∩ {\displaystyle \cap } 运算具有以下性质。 交换律： A ∩ B = B ∩ A {\displaystyle A\cap B=B\cap A} ； 结合律： ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) {\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)} ； 幂等律： A ∩ A = A {\displaystyle A\cap A=A} ； 空集合： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 A {\displaystyle A} ， A ∩ ∅ = ∅ {\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing } ；（ ∅ {\displaystyle \varnothing } 是 ∩ {\displaystyle \cap } 运算的空集合）。 其它性质还有： A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A {\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow A\cap B=A} { 1 , 2 } ∩ { {\displaystyle \{1,2\}\cap \{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 } = ∅ {\displaystyle \}=\varnothing } { 1 , 2 , {\displaystyle \{1,2,} 绿色 } ∩ { {\displaystyle \}\cap \{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 , {\displaystyle ,} 绿色 } = { {\displaystyle \}=\{} 绿色 } {\displaystyle \}} { 1 , 2 } ∩ { 1 , 2 } = { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}\cap \{1,2\}=\{1,2\}} 两个集合也可以相"减"。 A {\displaystyle A} 在 B {\displaystyle B} 中的相对补集，国际上通常写作 B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} ，中文教材中有时也会写作 B − A {\displaystyle B-A} 。表示属于 B {\displaystyle B} 的、但不属于 A {\displaystyle A} 的所有元素组成的集合。 在特定情况下，所讨论的所有集合是一个给定的全集 U {\displaystyle U} 的子集。这样， U − A {\displaystyle U-A} 称作 A {\displaystyle A} 的绝对补集，或简称补集（餘集），写作 A ′ {\displaystyle A'} 或 ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} 。 补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。 给定集合 A {\displaystyle A} ， B {\displaystyle B} ，定义运算-如下： A − B = { e | e ∈ A {\displaystyle A-B=\{e|e\in A} 且 e ∉ B } {\displaystyle e\not \in B\}} 。 A − B {\displaystyle A-B} 称为 B {\displaystyle B} 对于 A {\displaystyle A} 的差集，相对补集或相对餘集。 在上下文确定了全集 U {\displaystyle U} 时，对于 U {\displaystyle U} 的某个子集 A {\displaystyle A} ，一般称 U − A {\displaystyle U-A} 为 A {\displaystyle A} （对于 U {\displaystyle U} ）的补集或余集，通常记为 A ′ {\displaystyle A'} 或 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} ，也有记为 A c {\displaystyle A^{\text{c}}} , A ′ {\displaystyle A'} , ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} ，以及 ∁ A {\displaystyle \complement A} 的。 作为集合间的二元运算，- 运算有如下基本性质： A − A = ∅ {\displaystyle A-A=\varnothing } ； 右幺元： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 A {\displaystyle A} ， A − ∅ = A {\displaystyle A-\varnothing =A} ；（ ∅ {\displaystyle \varnothing } 是 − {\displaystyle -} 运算的右幺元）。 左零元（英语：Zero element）： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 A {\displaystyle A} ， ∅ − A = ∅ {\displaystyle \varnothing -A=\varnothing } ；（ ∅ {\displaystyle \varnothing } 是 − {\displaystyle -} 运算的左零元）。 { 1 , 2 } − { {\displaystyle \{1,2\}-\{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 } = { 1 , 2 } {\displaystyle \}=\{1,2\}} { 1 , 2 , {\displaystyle \{1,2,} 绿色 } − { {\displaystyle \}-\{} 红色 , {\displaystyle ,} 白色 , {\displaystyle ,} 绿色 } = { 1 , 2 } {\displaystyle \}=\{1,2\}} { 1 , 2 } − { 1 , 2 } = ∅ {\displaystyle \{1,2\}-\{1,2\}=\varnothing } 若 U {\displaystyle U} 是整数集，则奇数的补集是偶数 给定集合 A {\displaystyle A} ， B {\displaystyle B} ，定义对称差运算 △ {\displaystyle \vartriangle } 如下： A △ B = ( A − B ) ∪ ( B − A ) {\displaystyle A\vartriangle B=(A-B)\cup (B-A)} 。 作为集合间的二元运算， △ {\displaystyle \vartriangle } 运算具有如下基本性质： 交换律： A △ B = B △ A {\displaystyle A\vartriangle B=B\vartriangle A} ； 结合律： ( A △ B ) △ C = A △ ( B △ C ) {\displaystyle (A\vartriangle B)\vartriangle C=A\vartriangle (B\vartriangle C)} ； 幺元： ∀ {\displaystyle \forall } 集合 A {\displaystyle A} ， A △ ∅ = A {\displaystyle A\vartriangle \varnothing =A} ；（ ∅ {\displaystyle \varnothing } 是 △ {\displaystyle \vartriangle } 运算的幺元）。 逆元： A △ A = ∅ {\displaystyle A\vartriangle A=\varnothing } ； 集合的运算除了以上情况之外，集合间还具有以下运算性质： 分配律: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} 对偶律: A ∪ B ¯ = A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}} A ∩ B ¯ = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} 上述每一个集合都有确定的元素个数；比如：集合 A 有三个元素、而集合 B 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: Card ⁡ ( A ) ,   # A ,   | A | ,   A ¯ ,   A ¯ ¯ {\displaystyle \operatorname {Card} (A),\ \#A,\ |A|,\ {\bar {A}},\ {\bar {\bar {A}}}} 。 集合可以没有元素。这样的集合叫做空集，用 { } {\displaystyle \{\}} 或符号 ∅ {\displaystyle \varnothing } 表示。比如：集合 A {\displaystyle A} 是2004年所有住在月球上的人，它没有元素，则 A = ∅ {\displaystyle A=\varnothing } 。在数学上，空集非常重要。更多資訊請參閱空集。 如果集合只含有限个元素，那么这个集合可以称为有限集合。 集合也可以有无穷多个元素，這樣的集合称为无限集合。比如：自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他資訊请见集合的势。 若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂罗素悖论。为解决罗素悖论，數學家提出公理化集合论。在公理集合论中，集合是一个不加定义的概念。 在更深層的公理化数学中，集合仅仅是一种特殊的类，是“良性类”，是能够成为其它类的元素的类。 类区分为两种：一种是可以顺利进行类运算的“良性类”，这种“良性类”称为集合；另一种是要限制运算的“本性类”，对于本性类，类运算并不是都能进行的。 定义 类A如果满足条件“ ∃ B ( A ∈ B ) {\displaystyle \exists B(A\in B)} ”，则称类A为一个集合(简称为集)，记为 Set ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Set} (A)} 。否则称为本性类。 这说明，一个集合可以作为其它类的元素，但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。 数学主题 公理化数学 类的理论 集合代数 Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9. Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6. Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications（英语：Dover Publications） (1979) ISBN 0-486-63829-4.