立方和

立方和是數學公式的一種，它屬於因式分解、乘法公式及恆等式，被普遍使用。立方和是指一個立方數，加上另一個立方數，即是它們的總和。公式如下： a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) = ( a ± b ) 3 ∓ 3 a b ( a ± b ) {\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=(a\pm b)^{3}\mp 3ab(a\pm b)} 立方和被因式分解後，答案分別包含二項式及三項式，與立方差相同。 驗證此公式，可透過因式分解，首先設以下公式： a 2 b − a 2 b + a b 2 − a b 2 = 0 {\displaystyle a^{2}b-a^{2}b+ab^{2}-ab^{2}=0\,\!} 然後代入： a 3 + b 3 = a 3 − a 2 b + a b 2 + a 2 b − a b 2 + b 3 {\displaystyle a^{3}+b^{3}=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!} 透過因式分解，可得： a 3 + b 3 = a ( a 2 − a b + b 2 ) + b ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} 這樣便可驗證： a 3 + b 3 ≡ ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}\equiv (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})} 透過和立方可驗證立方和的原理： ( x + y ) 3 {\displaystyle (x+y)^{3}\,\!} = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,\!} 那即是只要減去 3 x 2 y {\displaystyle 3x^{2}y} 及 3 x y 2 {\displaystyle 3xy^{2}} 便可得到立方和，可設： x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 − 3 x 2 y − 3 x y 2 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!} 右邊的方程 = ( x + y ) 3 − 3 x 2 y − 3 x y 2 {\displaystyle =(x+y)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}\,\!} 運用因式分解的方法： = ( x + y ) 3 − 3 x y ( x + y ) {\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!} = ( x + y ) [ ( x + y ) 2 − 3 x y ] {\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!} = ( x + y ) ( x 2 + 2 x y + y 2 − 3 x y ) {\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!} = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!} 這樣便可驗證出： x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!} 透過繪立體的圖像，也可驗證立方和。 根據右圖，設兩個立方，總和為： x 3 + y 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}\,\!} 把兩個立方體對角貼在一起，根據虛線，可間接得到： ( x + y ) 3 {\displaystyle (x+y)^{3}\,\!} 要得到 x 3 + y 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}} ，可使用 ( x + y ) 3 {\displaystyle (x+y)^{3}} 的空白位置。該空白位置可分割為3個部分： x × y × ( x + y ) {\displaystyle x\times y\times (x+y)} x × ( x + y ) × y {\displaystyle x\times (x+y)\times y} ( x + y ) × y × x {\displaystyle (x+y)\times y\times x} 把三個部分加在一起，便得： = x y ( x + y ) + x y ( x + y ) + x y ( x + y ) {\displaystyle =xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)\,\!} = 3 x y ( x + y ) {\displaystyle =3xy(x+y)\,\!} 之後，把 ( x + y ) 3 {\displaystyle (x+y)^{3}} 減去它，便得： = ( x + y ) 3 − 3 x y ( x + y ) {\displaystyle =(x+y)^{3}-3xy(x+y)\,\!} 上公式發現兩個數項皆有一個公因子，把它抽出，並得： = ( x + y ) [ ( x + y ) 2 − 3 x y ] {\displaystyle =(x+y)\left[(x+y)^{2}-3xy\right]\,\!} ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}} 可透過和平方公式，得到： = ( x + y ) ( x 2 + 2 x y + y 2 − 3 x y ) {\displaystyle =(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2}-3xy)\,\!} = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle =(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!} 這樣便可證明 x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,\!} 透過 ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})} 也可反驗證立方和。 ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} = a ( a 2 − a b + b 2 ) + b ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle =a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} = a 3 − a 2 b + a b 2 + a 2 b − a b 2 + b 3 {\displaystyle =a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}\,\!} = a 3 + b 3 {\displaystyle =a^{3}+b^{3}\,\!} 以上計算方法亦可簡化為一個表格： 這樣便可證明 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} 立方差也可以使用立方和來驗證，例如： 125 u 3 − 343 v 3 {\displaystyle 125u^{3}-343v^{3}\,\!} 把兩個數項都轉為立方數： = ( 5 u ) 3 − ( 7 v ) 3 {\displaystyle =(5u)^{3}-(7v)^{3}\,\!} 運用負正得負，可得： = ( 5 u ) 3 + ( − 7 v ) 3 {\displaystyle =(5u)^{3}+(-7v)^{3}\,\!} 然後運用立方和，可得： = [ 5 u + ( − 7 v ) ] [ 25 u 2 − ( 5 u ) ( − 7 v ) + ( − 7 v ) 2 ] {\displaystyle =\left[5u+(-7v)\right]\left[25u^{2}-(5u)(-7v)+(-7v)^{2}\right]} = ( 5 u − 7 v ) ( 25 u 2 + 35 u v + 49 v 2 ) {\displaystyle =(5u-7v)(25u^{2}+35uv+49v^{2})\,\!} 這個方法更可驗證到立方差的公式是 a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!} 有些整數可以有兩個立方和組合， 而最少的，已是過千的1729。它是兩組不同的立方和： 1729 = 1 3 + 12 3 {\displaystyle 1729=1^{3}+12^{3}\,\!} 1729 = 9 3 + 10 3 {\displaystyle 1729=9^{3}+10^{3}\,\!} 下一個同樣有兩個立方和組合的整數是4104： 4104 = 9 3 + 15 3 {\displaystyle 4104=9^{3}+15^{3}\,\!} 4104 = 2 3 + 16 3 {\displaystyle 4104=2^{3}+16^{3}\,\!} 首十個兩組立方和的數：1729、4104、13832、20683、32832、39312、40033、46683、64232、65728 幾何學 工程學 維基教科書中的相關電子教程：算术/立方和 Factorization of x^3 + y^3. Queen's College On The Web. [2018-10-16]. （原始内容存档于2021-02-06） （英语）.  History Dudeney Canterbury puzzles elliptic curves. [1994-11-12]. 原始内容存档于2007-08-08 （英语）.  请检查|access-date=中的日期值 (帮助) The Hardy-Ramanujan Number. Jimloy.com. [2018-01-16]. （原始内容存档于2013-05-28） （英语）.