高斯光束

在光学中，高斯光束（英語：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。 描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。 高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。 亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。 高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅 E ( r , z ) = E 0 w 0 w ( z ) exp ⁡ ( − r 2 w 2 ( z ) ) exp ⁡ ( − i k z − i k r 2 2 R ( z ) + i ζ ( z ) )   , {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ ,} 这里 r {\displaystyle r} 为径向坐标，以光轴中心为参考点 z {\displaystyle z} 为轴向坐标，以光轴上光波最狭窄（束腰）位置为参考点 i {\displaystyle i} 为虚数单位（即 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ） k = 2 π λ {\displaystyle k={2\pi \over \lambda }} 为波数（以“弧度/米”为单位） E 0 = | E ( 0 , 0 ) | {\displaystyle E_{0}=|E(0,0)|} w ( z ) {\displaystyle w(z)} 为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径 w 0 = w ( 0 ) {\displaystyle w_{0}=w(0)} 为激光的束腰宽度 R ( z ) {\displaystyle R(z)} 为光波波前的曲率半径 ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} 为轴对称光波的 Gouy 相移，对高斯光束的相位也有影响 此外，上式中默认忽略了含时项 e i ω t {\textstyle e^{i\omega t}} 。 对应的辐照度时域平均值为 I ( r , z ) = | E ( r , z ) | 2 2 η = I 0 ( w 0 w ( z ) ) 2 exp ⁡ ( − 2 r 2 w 2 ( z ) )   , {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,} 这里 I 0 = I ( 0 , 0 ) {\displaystyle I_{0}=I(0,0)} 为光波束腰中心处的辐照度。常数 η {\displaystyle \eta \,} 为光波所在传播介质中的波阻抗（英语：Wave impedance）。在真空中， η = η 0 = μ 0 ε 0 = 1 / ( ε 0 c ) ≈ 376.7   Ω {\displaystyle \eta =\eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=1/(\varepsilon _{0}c)\approx 376.7\ \mathrm {\Omega } } 。 高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。 对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑（英语：spot size）位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 w 0 {\displaystyle w_{0}} ，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 λ {\displaystyle \lambda } 的光波的腰斑位置在 z {\displaystyle z} 轴上的分布为 w ( z ) = w 0 1 + ( z z R ) 2   . {\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .} 这里将 z = 0 {\displaystyle z=0} 定义为束腰的位置。 z R = π w 0 2 λ {\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}} 被称为瑞利距离。 与束腰轴向距离等于瑞利距离 z R {\displaystyle z_{R}} 处的束宽为 w ( ± z R ) = w 0 2 . {\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,} 这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。 b = 2 z R = 2 π w 0 2 λ   . {\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .} R ( z ) {\displaystyle R(z)} 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数 R ( z ) = z [ 1 + ( z R z ) 2 ]   . {\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .} 当 z ≫ z R {\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }} ，参数 w ( z ) {\displaystyle w(z)} 与 z {\displaystyle z} 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于 θ ≃ λ π w 0 ( θ   i n   r a d i a n s ) . {\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).} 在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为 Θ = 2 θ   . {\displaystyle \Theta =2\theta \ .} 由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。 由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 2 λ / π {\displaystyle 2\lambda /\pi } 的光束适用。 激光束的质量可以用束参数乘积（英语：beam parameter product）（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 w 0 {\displaystyle w_{0}} 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。 光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为 ζ ( z ) = arctan ⁡ ( z z R )   . {\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .} 当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 e − i k z {\displaystyle e^{-ikz}} 外，多出一个额外的 Gouy 相移 π {\displaystyle \pi } 。 可以通过复数形式的光束参数 q ( z ) {\displaystyle q(z)} 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息， q ( z ) = z + q 0 = z + i z R   . {\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .} 倒数 1 / q ( z ) {\displaystyle 1/q(z)} 显式提供了 q ( z ) {\displaystyle q(z)} ， w ( z ) {\displaystyle w(z)} 与 R ( z ) {\displaystyle R(z)} 间的关系： 1 q ( z ) = 1 z + i z R = z z 2 + z R 2 − i z R z 2 + z R 2 = 1 R ( z ) − i λ π w 2 ( z ) . {\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.} 光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。 利用复数光束参数 q {\displaystyle q} ，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例 u ( x , z ) = 1 q x ( z ) exp ⁡ ( − i k x 2 2 q x ( z ) ) . {\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).} 在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式 u ( x , y , z ) = u ( x , z ) u ( y , z ) , {\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),} 对于圆对称的普遍情况， q x = q y = q {\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}} 且 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ，可以得出 u ( r , z ) = 1 q ( z ) exp ⁡ ( − i k r 2 2 q ( z ) ) . {\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).} 流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为 P ( r , z ) = P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ]   , {\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,} 这里 P 0 = 1 2 π I 0 w 0 2 {\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}} 为电磁波传播的总能量 流经以 r = w ( z ) {\displaystyle r=w(z)\,} 为半径的圆的能量占总能量的比值为 P ( z ) P 0 = 1 − e − 2 ≈ 0.865   . {\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .} 类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 r = 1.07 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,} 的圆形面积，总能量的95%通过 r = 1.224 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,} 的圆形面积，总能量的99%会通过 r = 1.52 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.52\cdot w(z)} 的圆。 在与束腰的轴向距离为 z {\displaystyle z} 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值 I ( 0 , z ) = lim r → 0 P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] π r 2 = P 0 π lim r → 0 [ − ( − 2 ) ( 2 r ) e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] w 2 ( z ) ( 2 r ) = 2 P 0 π w 2 ( z ) . {\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.} 可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 w ( z ) {\displaystyle w(z)} 的圆的面积。 平頂光束 雷射光束光點分析儀（英语：Laser beam profiler） 貝索光束（英语：Bessel beam） Siegman (1986) p. 630. See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29 Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107. Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267. Siegman, Anthony E. Lasers. University Science Books. 1986. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16. Yariv, Amnon. Quantum Electronics 3rd. Wiley. 1989. ISBN 0-471-60997-8.  F. Pampaloni and J. Enderlein. Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer. 2004. arXiv:physics/0410021  |class=被忽略 (帮助).  Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega. Ince Gaussian beams. Opt. Lett. (OSA). 2004, 29 (2): 144–146 [2012-04-05]. Bibcode:2004OptL...29..144B. PMID 14743992. doi:10.1364/OL.29.000144. （原始内容存档于2020-05-16）.  E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato. Hypergeometric-Gaussian beams. Opt. 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