中值定理

在數學分析中，均值定理（英語：Mean value theorem）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。 更仔細點講，假設函數 f {\displaystyle f} 在閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 連續且在開區間 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 可微，則存在一點 c , a < c < b {\displaystyle c,\,a<c<b} ，使得 f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。 微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。 當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。 如果函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续； 在开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内可导； 在区间端点处的函数值相等，即 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} ， 那么在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内至少有一点 ξ ( a < ξ < b ) {\displaystyle \xi (a<\xi <b)} ，使得 f ′ ( ξ ) = 0 {\displaystyle f^{\prime }(\xi )=0} 这个定理称为罗尔定理。 令 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 为闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的一个连续函数，且在开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内可导，其中 a < b {\displaystyle a<b} 。那么在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上存在某个 c {\displaystyle c} 使得 f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} 此定理称为拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。 这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 连续，且在開區間 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内对任意一點 x {\displaystyle x} ，极限 lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} 存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 。這版本定理应用的一个例子是函數 x → x 1 / 3 {\displaystyle x\to x^{1/3}} ，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。 注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 x {\displaystyle x} 定义 f ( x ) = e i x {\displaystyle f(x)=e^{ix}} 。那么 f ( 2 π ) − f ( 0 ) = 0 ≠ f ′ ( c ) ( 2 π − 0 ) {\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi -0)} 因 | f ′ ( x ) | = 1 ≠ 0 {\displaystyle |f'(x)|=1\neq 0} 时， c {\displaystyle c} 為開區間 ( 0 , 2 π ) {\displaystyle (0,2\pi )} 中任意一點。 柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 都在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续，且在开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上可导，那么存在某个 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} ，使得 ( f ( b ) − f ( a ) ) g ′ ( c ) = ( g ( b ) − g ( a ) ) f ′ ( c ) {\displaystyle (f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,} 当然，如果 g ( a ) ≠ g ( b ) {\displaystyle g(a)\neq g(b)} 且 g ( c ) ≠ 0 {\displaystyle g(c)\neq 0} ，則可表示成： f ′ ( c ) g ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}} 在几何上，这表示曲线 { [ a , b ] → R 2 t ↦ ( f ( t ) , g ( t ) ) {\displaystyle {\begin{cases}[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}}} 上存在一點其切線平行于由兩點（ f ( a ) , g ( a ) {\displaystyle f(a),g(a)} ）和（ f ( b ) , g ( b ) {\displaystyle f(b),g(b)} ）所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些 c {\displaystyle c} 值使 f ( c ) = g ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=g(c)=0} ，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子 t ↦ ( t 3 , 1 − t 2 ) {\displaystyle t\mapsto (t^{3},1-t^{2})} 在区间 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 上，曲线由 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 到 ( 1 , 0 ) {\displaystyle \left(1,0\right)} ，却并无一个水平切线，但在 t = 0 {\displaystyle t=0} 处有一个驻点（实际上是一个尖点）。 柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 g ( t ) = t {\displaystyle g(t)=t} 时的特殊情况。 积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。 设 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 为一连续函数， g : [ a , b ] → R {\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 要求 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \xi \in (a,b)} 使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx} 。 在不失去一般性的条件下，设对所有 x {\displaystyle x} ，有 g ( x ) ≥ 0 {\displaystyle g(x)\geq 0} ； 因为 f {\displaystyle f} 是闭区间上的连续函数， f {\displaystyle f} 取得最大值 M {\displaystyle M} 和最小值 m {\displaystyle m} 。于是 m g ( x ) ≤ f ( x ) g ( x ) ≤ M g ( x ) {\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)} 对不等式求积分，我们有 m ∫ a b g ( x ) d x ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ≤ M ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle m\int _{a}^{b}g(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\leq M\int _{a}^{b}g(x)\,dx} 。 若 ∫ a b g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=0} ，则 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=0} 。 ξ {\displaystyle \xi } 可取 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上任一点。 若不等于零那么 ∫ a b g ( x ) d x > 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx>0} ， m ≤ ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x ≤ M {\displaystyle m\leq {\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}\leq M} 因为 m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} 是连续函数，根據介值定理，则必存在一点 ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} ，使得 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}{\int _{a}^{b}g(x)\,dx}}} g ( x ) < 0 {\displaystyle g(x)<0} 的情况按同样方法证明。 在上式中令 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} ，则可得出： 设 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 为一连续函数，则∃ ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} ，使 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a {\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}} 它也可以由拉格朗日中值定理推出： 设 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上可导， f ( x ) = F ′ ( x ) {\displaystyle f(x)=F^{\prime }(x)} ，则∃ ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} ，使 f ( ξ ) = F ′ ( ξ ) = F ( b ) − F ( a ) b − a = ∫ a b f ( x ) d x b − a {\displaystyle f(\xi )=F^{\prime }(\xi )={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}={\frac {\int _{a}^{b}f(x)\,dx}{b-a}}} 积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。 若 f , g {\displaystyle f,g} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上黎曼可积且 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上单调，则存在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的点ξ使 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( a ) ∫ a ξ g ( x ) d x + f ( b ) ∫ ξ b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)g(x)\mathrm {d} x=}f(a)\int _{a}^{\xi }{g(x)\mathrm {d} x+}f(b)\int _{\xi }^{b}{g(x)\mathrm {d} x}} 令 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} ，则原公式可化为： ∫ a b f ( x ) d x = f ( a ) ( ξ − a ) + f ( b ) ( b − ξ ) {\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}=f(a)(\xi -a)+f(b)(b-\xi )} 进而导出： ∫ a ξ f ( x ) d x − f ( a ) ( ξ − a ) = f ( b ) ( b − ξ ) − ∫ ξ b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\xi }{f(x)dx}-f(a)(\xi -a)=f(b)(b-\xi )-\int _{\xi }^{b}{f(x)dx}} 此时易得其几何意义为： 能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II] 关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。 這个定理有兩種翻譯：均值定理跟中值定理，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆 罗尔定理 柯西中值定理 介值定理 极值定理