柄分解

数学中，m-流形M的柄分解（handle decomposition）是并 ∅ = M − 1 ⊂ M 0 ⊂ M 1 ⊂ M 2 ⊂ ⋯ ⊂ M m − 1 ⊂ M m = M {\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M} 其中 M i {\displaystyle M_{i}} 都由 M i − 1 {\displaystyle M_{i-1}} 附加一个i-柄（handle）而来。柄分解之于流形就像CW分解之于拓扑空间—在很多方面，柄分解的目的是得到一种适用于光滑流形情形的类CW复形的语言。因此，i-柄就是i-胞腔的光滑类似物。流形的柄分解是从莫尔斯理论自然产生的。并结构的修改与瑟夫理论密切相关。 考虑n-球的标准CW分解，其中有一个零胞腔与一个n-胞腔。从光滑流形的角度来看，这是球面的退化分解，因为没有自然方法从分解的角度来看 S n {\displaystyle S^{n}} 的光滑结构—尤其是0-胞腔附近的光滑结构取决于特征映射 χ : D n → S n {\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}} 在 S n − 1 ⊂ D n {\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}} 的邻域中的行为。 CW分解的问题在于，胞腔的附着映射不属于流形间的光滑映射。管状邻域定理是纠正这一缺陷的萌芽。给定流形M中的点p，其闭管状邻域 N p {\displaystyle N_{p}} 微分同胚于 D m {\displaystyle D^{m}} ，因此我们将M分解为沿 N p {\displaystyle N_{p}} 、 M ∖ int ⁡ ( N p ) {\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})} 的共同边界胶合的不交并。这里的关键问题是，胶合映射是微分同胚映射。同样，取 M ∖ int ⁡ ( N p ) {\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})} 中的光滑嵌入弧，其管状邻域微分同胚于 I × D m − 1 {\displaystyle I\times D^{m-1}} 。这样就可以把M写成三个流形的并，沿它们一部分边界胶合：1) D m {\displaystyle D^{m}} 2) I × D m − 1 {\displaystyle I\times D^{m-1}} 3) M ∖ int ⁡ ( N p ) {\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})} 中弧的开管状邻域的补。注意所有胶合映射都是光滑的，特别是将 I × D m − 1 {\displaystyle I\times D^{m-1}} 胶合至 D m {\displaystyle D^{m}} 时，等价关系由 ( ∂ I ) × D m − 1 {\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}} 在 ∂ D m {\displaystyle \partial D^{m}} 中的嵌入生成，根据管状邻域定理它是光滑的。 柄分解是斯蒂芬·斯梅尔的发明。他的最初表述中，将j-柄附着到m-流形M的过程假定有 f : S j − 1 × D m − j → ∂ M {\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M} 的光滑嵌入。令 H j = D j × D m − j {\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}} ，流形 M ∪ f H j {\displaystyle M\cup _{f}H^{j}} （即M沿f并上一个j-柄）是指M与 H j {\displaystyle H^{j}} 的不交并， S j − 1 × D m − j {\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}} 与其在 ∂ M {\displaystyle \partial M} 中的像相等，即 M ∪ f H j = ( M ⊔ ( D j × D m − j ) ) / ∼ {\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim } 其中等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 由 ( p , x ) ∼ f ( p , x ) {\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)} 生成， ∀ ( p , x ) ∈ S j − 1 × D m − j ⊂ D j × D m − j {\displaystyle \forall (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}} 。 若M的并具有有限多个j-柄，且微分同胚于流形N，则称N来自在M上附着j-柄。则柄分解的定义与概述中相同。于是，若流形微分同胚于球的不交并，则流形的柄分解将只有0-柄。连通流形只含有两种柄（即0-柄与j-柄，其中j为定值），也称作柄体。 M并上j-柄 H j {\displaystyle H^{j}} 时， M ∪ f H j = ( M ⊔ ( D j × D m − j ) ) / ∼ {\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim } f ( S j − 1 × { 0 } ) ⊂ M {\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M} 称作被附着球面（attaching sphere）。 f有时也称作被附着球面的框架（framing），因为它将其法丛平凡化。 { 0 } j × S m − j − 1 ⊂ D j × D m − j = H j {\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}} 是柄 H j {\displaystyle H^{j}} 在 M ∪ f H j {\displaystyle M\cup _{f}H^{j}} 中的带球（belt sphere）。 将g个k-柄附着到圆盘 D m {\displaystyle D^{m}} 所得的流形是亏格为g的(m,k)-柄体。 配边W的柄演示中有 ∂ W = M 0 ∪ M 1 {\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}} ，且有渐进并 W − 1 ⊂ W 0 ⊂ W 1 ⊂ ⋯ ⊂ W m + 1 = W {\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W} 其中M是m维的，W是m+1维的， W − 1 {\displaystyle W_{-1}} 微分同胚于 M 0 × [ 0 , 1 ] {\displaystyle M_{0}\times [0,1]} ， W i {\displaystyle W_{i}} 来自 W i − 1 {\displaystyle W_{i-1}} 附着以i-柄。若说柄分解之于流形好比胞腔分解之于拓扑空间，择配边的柄演示之于有界流形就好比相关胞腔分解之于空间对。 给定紧无界流形M上的莫尔斯函数 f : M → R {\displaystyle f:M\to \mathbb {R} } ，使f的临界点 { p 1 , … , p k } ⊂ M {\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M} 满足 f ( p 1 ) < f ( p 2 ) < ⋯ < f ( p k ) {\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})} ，并有 t 0 < f ( p 1 ) < t 1 < f ( p 2 ) < ⋯ < t k − 1 < f ( p k ) < t k , {\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},} 则 ∀ j ,   f − 1 [ t j − 1 , t j ] {\displaystyle \forall j,\ f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]} 微分同胚于 ( f − 1 ( t j − 1 ) × [ 0 , 1 ] ) ∪ H I ( j ) {\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}} ，其中 I ( j ) {\displaystyle I(j)} 是临界点 p j {\displaystyle p_{j}} 的指标，是黑塞矩阵为负定的切空间 T p j M {\displaystyle T_{p_{j}}M} 的最大子空间的维度。 令指标满足 I ( 1 ) ≤ I ( 2 ) ≤ ⋯ ≤ I ( k ) {\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)} ，则这是M的柄分解；由于流形上必有这样的莫尔斯函数，所以它们都有柄分解。相似地，给定配边W满足 ∂ W = M 0 ∪ M 1 {\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}} 、函数 f : W → R {\displaystyle f:W\to \mathbb {R} } ，其在内部是莫尔斯的，在边界为常数，且满足指标递增，则配边W有诱导柄演示。 若f是M上的莫尔斯函数，则-f也是莫尔斯函数。相应的柄分解/演示称作对偶分解。 闭有向3-流形的希加德分裂将3-流形分解为两(3,1)-柄体沿共同边界之并，公共边界称作希加德分裂面。3-流形的希加德分裂有好几种自然的产生方式：给定3-流形的柄分解，0、1-柄之交是(3,1)-柄体，3、2-柄的并也是(3,1)-柄体（从对偶分解的角度来看），于是是希加德分裂。若3-流形有三角化T，则有诱导希加德分裂，其中第一个(3,1)-柄体是1-骨架（skeleton） T 1 {\displaystyle T^{1}} 的正则邻域，其他(3,1)-柄体是对偶1-骨架的正则邻域。 相继附着两个柄 ( M ∪ f H i ) ∪ g H j {\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}} 时，有可能切换附着的阶，使得 j ≤ i {\displaystyle j\leq i} ，即此流形微分同胚于形式为 ( M ∪ H j ) ∪ H i {\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}} 的流形。 M ∪ f H j {\displaystyle M\cup _{f}H^{j}} 的边界与沿有框架球f的边界 ∂ M {\displaystyle \partial M} 是微分同胚。这是割补、柄与莫尔斯函数之间的主要联系。 因此，当且仅当可通过对 S m {\displaystyle S^{m}} 中的有框架链接（framed link）集进行割补，得到m维流形M时，M是m+1维流形W的边界。举例，由从René Thom关于配边的研究，我们知道每个3-流形都是某4-流形的边界（相似地，有向、有旋的3-流形分别是有向、有旋的4-流形的边界）。于是，3-流形都可从3-球中有框架链接的割补得到。在有向情形，常规做法是将这种有框架链接简化为圆的不交并的有框架嵌入。 h-配边定理通过简化光滑流形的柄分解证明。 卡森柄 配边 CW复形 柄体 卡比演算 流形分解 S. Smale, "On the structure of manifolds" Amer. J. Math. , 84 (1962) pp. 387–399 A. Kosinski, Differential Manifolds Vol 138 Pure and Applied Mathematics, Academic Press (1992). Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6