譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。 讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。 人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。 由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。 以下固定一個阿貝爾範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 r 0 {\displaystyle r_{0}} 及下述資料： 對所有整數 r ≥ r 0 {\displaystyle r\geq r_{0}} ，有範疇中的一個對象 E r {\displaystyle E_{r}} 。 自同態 d r : E r → E r {\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}} ，滿足 d r 2 = 0 {\displaystyle d_{r}^{2}=0} ，稱為邊界映射或微分。 從 E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} 到 H ( E r , d r ) {\displaystyle H(E_{r},d_{r})} 的同構。 通常省去 E r + 1 {\displaystyle E_{r+1}} 與 H ( E r , d r ) {\displaystyle H(E_{r},d_{r})} 的同構，而寫成等式。 最基本的例子是鏈複形 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} ，它帶有一個微分 d {\displaystyle d} 。取 r 0 = 0 {\displaystyle r_{0}=0} ，並令 E 0 = C ∙ {\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }} ，於是必有 E 1 = H ( C ∙ ) {\displaystyle E_{1}=H(C_{\bullet })} ；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 E 1 = E 2 = ⋯ {\displaystyle E_{1}=E_{2}=\cdots } 。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列： E 0 = C ∙ {\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }} E r = H ( C ∙ ) ( r ≥ 1 ) {\displaystyle E_{r}=H(C_{\bullet })\;(r\geq 1)} 由於只有 r = 0 {\displaystyle r=0} 時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。 較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} ，此時的微分映射次數與 r {\displaystyle r} 有關：對於上同調譜序列， d r : E r → E r {\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}} 的次數是 ( r , − r + 1 ) {\displaystyle (r,-r+1)} 。對於同調譜序列，通常將各項寫成 E r {\displaystyle E_{r}} ，微分映射 d r : E r → E r {\displaystyle d^{r}:E_{r}\to E_{r}} 的次數是 ( − r , r − 1 ) {\displaystyle (-r,r-1)} 。 譜序列之間的態射 f : E → E ′ {\displaystyle f:E\to E'} 定義為一族態射 f r : E r → E r ′ {\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E_{r}'} ，使之與同構 E r + 1 ≃ H ( E r , d r ) {\displaystyle E_{r+1}\simeq H(E_{r},d_{r})} 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。 交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。 同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模） A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，一個正合偶是： 一對對象 A , C {\displaystyle A,C} 三個態射： f : A → A {\displaystyle f:A\to A} g : A → C {\displaystyle g:A\to C} h : C → A {\displaystyle h:C\to A} 使之滿足下述正合條件： Image f = Kernel g Image g = Kernel h Image h = Kernel f 將這組資料簡記為 ( A , C , f , g , h ) {\displaystyle (A,C,f,g,h)} 。正合偶通常以三角形表示。 C {\displaystyle C} 對應到譜序列的 E 0 {\displaystyle E_{0}} 項，而 A {\displaystyle A} 是一些輔助資料。 為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令： d := g ∘ h {\displaystyle d:=g\circ h} A ′ := f ( A ) {\displaystyle A':=f(A)} C ′ := K e r ( d ) / I m ( d ) {\displaystyle C':=\mathrm {Ker} (d)/\mathrm {Im} (d)} f ′ := f | A ′ {\displaystyle f':=f|_{A'}} h ′ : C ′ → A ′ {\displaystyle h':C'\to A'} 由 h {\displaystyle h} 導出。 g ′ : A ′ → C ′ {\displaystyle g':A'\to C'} 定義如下：若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 為某個環上的模範疇，對任一 a ∈ A ′ {\displaystyle a\in A'} ，存在 b ∈ A ′ {\displaystyle b\in A'} 使得 a = f ( b ) {\displaystyle a=f(b)} ，定義 g ′ ( a ) {\displaystyle g'(a)} 為 g ( b ) {\displaystyle g(b)} 在 C ′ {\displaystyle C'} 中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 g ′ {\displaystyle g'} 。 現在可以驗證 ( A ′ , C ′ , f ′ , g ′ , h ′ ) {\displaystyle (A',C',f',g',h')} 構成正合偶。 C ′ {\displaystyle C'} 對應到譜序列的 E 1 {\displaystyle E_{1}} 項。續行此法，可以得到一族正合偶 ( A ( n ) , C ( n ) , f ( n ) , g ( n ) , h ( n ) ) {\displaystyle (A^{(n)},C^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})} 。相應的譜序列定義為 E n := C ( n ) {\displaystyle E_{n}:=C^{(n)}} ， d n := g ( n ) ∘ h ( n ) {\displaystyle d_{n}:=g^{(n)}\circ h^{(n)}} 。 一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 r , p , q {\displaystyle r,p,q} 。對每個 r {\displaystyle r} ，設想有一張方格紙，分別讓 p , q {\displaystyle p,q} 對應於橫、縱軸。每一個格子點 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 對應到對象 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 。微分 d r {\displaystyle d_{r}} 的次數為 ( r , − r + 1 ) {\displaystyle (r,-r+1)} ，方向如圖所示。 在第一個簡單的例子中，譜序列在 r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} 後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 E ∞ := E r ( r ≥ 1 ) {\displaystyle E_{\infty }:=E_{r}\;(r\geq 1)} 。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。 定義：若譜序列 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 對每個 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 都存在 r ( p , q ) ∈ N {\displaystyle r(p,q)\in \mathbb {N} } ，使得當 r ≥ r ( p , q ) {\displaystyle r\geq r(p,q)} 時， d r p − r , q + r − 1 : E r p − r , q + r − 1 → E r p , q {\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r-1}:E_{r}^{p-r,q+r-1}\to E_{r}^{p,q}} 及 d r p , q : E r p , q → E r p + r , q − r + 1 {\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}} 皆為零，則稱 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 之極限項為 E ∞ p , q := E r p , q {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}:=E_{r}^{p,q}} （取充分大的 r {\displaystyle r} ）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。 其中的指標 p {\displaystyle p} 指涉過濾結構。 若存在對象 E ∙ {\displaystyle E^{\bullet }} 、過濾結構 ⋯ ⊂ F p + 1 E ∙ ⊂ F p E ∙ ⊂ ⋯ {\displaystyle \cdots \subset F^{p+1}E^{\bullet }\subset F^{p}E^{\bullet }\subset \cdots } ，及一族同構 β p , q : E ∞ p , q ≃ g r p E p + q {\displaystyle \beta ^{p,q}:E_{\infty }^{p,q}\simeq \mathrm {gr} ^{p}E^{p+q}} ，滿足 ⋂ p F p E ∙ = ( 0 ) , ⋃ p F p E ∙ = E ∙ {\displaystyle \bigcap _{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup _{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }} （這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 收斂到 E ∙ {\displaystyle E^{\bullet }} ，通常表為下述符號： E r p , q ⇒ p E ∞ p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}} 習慣上，人們也常將左式寫成 E 2 p , q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} ，因為譜序列中最重要的頁往往是 E 2 p , q {\displaystyle E_{2}^{p,q}} 。 最簡單的收斂特例是退化： 定義：固定 r ∈ N {\displaystyle r\in \mathbb {N} } ，若對每個 s ≥ r {\displaystyle s\geq r} ，微分映射 d s {\displaystyle d_{s}} 都是零，則稱該譜序列在第 r {\displaystyle r} 頁退化。 退化性保證了 E r ≃ E r + 1 ≃ ⋯ {\displaystyle E_{r}\simeq E_{r+1}\simeq \cdots } ，此時 E r {\displaystyle E_{r}} 即其極限。如果一個雙分次譜序列 E r p , q {\displaystyle E_{r}^{p,q}} 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 r = 2 {\displaystyle r=2} 時退化。 最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 C {\displaystyle C} 及微分映射 d : C → C {\displaystyle d:C\to C} ，使之滿足 d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0} ，以及 C = F 0 C ⊃ F 1 C ⊃ ⋯ F n C ⊃ F n + 1 C = 0 {\displaystyle C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{n+1}C=0} d F p C ⊂ F p C {\displaystyle dF^{p}C\subset F^{p}C} 同調群上也有相應的過濾 F p H ( C , d ) := I m ( H ( F p C , d ) → H ( C , d ) {\displaystyle F^{p}H(C,d):=\mathrm {Im} (H(F^{p}C,d)\to H(C,d)} 對此，定義相應的分次對象 g r F C := ⨁ p ≥ 0 F p C / F p + 1 C {\displaystyle \mathrm {gr} _{F}C:=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}C/F^{p+1}C} g r F H ( C ) := ⨁ p ≥ 0 F p H ( C ) / F p + 1 H ( C ) ) {\displaystyle \mathrm {gr} _{F}H(C):=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}H(C)/F^{p+1}H(C))} 取微分映射為零，可視之為複形。 以下式定義譜序列： Z r p := x ∈ F p C : d x ∈ F p + r C {\displaystyle Z_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{p+r}C}} E r p := Z r p / ( d Z r − 1 p − r + 1 + Z r − 1 p + 1 ) = Z r p / ( Z r p ∩ ( d F p − r + 1 C + F p + 1 C ) ) {\displaystyle E_{r}^{p}:=Z_{r}^{p}/(dZ_{r-1}^{p-r+1}+Z_{r-1}^{p+1})=Z_{r}^{p}/(Z_{r}^{p}\cap (dF^{p-r+1}C+F^{p+1}C))} 此時有 E 0 p = F p C / F p + 1 C , E 1 p = H ( g r p C ) {\displaystyle E_{0}^{p}=F^{p}C/F^{p+1}C,E_{1}^{p}=H(\mathrm {gr} ^{p}C)} ，且譜序列收斂： E r p ⇒ E ∞ p = g r p H ( C ) {\displaystyle E_{r}^{p}\Rightarrow E_{\infty }^{p}=\mathrm {gr} ^{p}H(C)} 通常也寫成 E r ⇒ H ( C ) {\displaystyle E_{r}\Rightarrow H(C)} 。 取 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 C {\displaystyle C} 是個上鏈複形 ⋯ → C q → C q + 1 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to C^{q}\to C^{q+1}\to \cdots } ， d {\displaystyle d} 是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 p , q , r {\displaystyle p,q,r} ，並可進一步化成下述形式： E 0 p , q = F p C p + q / F p + 1 C p + q {\displaystyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}} E 1 p , q = H p + q ( g r p C ∙ ) {\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\mathrm {gr} ^{p}C^{\bullet })} E ∞ p , q = g r p ( H p + q ( C ∙ ) ) {\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=\mathrm {gr} ^{p}(H^{p+q}(C^{\bullet }))} 以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組對象 C p , q {\displaystyle C^{p,q}} ，及兩組微分映射 d ′ : C p , q → C p + 1 , q {\displaystyle d':C^{p,q}\to C^{p+1,q}} 及 d ″ : C p , q → C p , q + 1 {\displaystyle d'':C^{p,q}\to C^{p,q+1}} ，滿足 d ′ 2 = d ″ 2 = 0 {\displaystyle d'^{2}=d''^{2}=0} d ′ d ″ + d ″ d ′ = 0 {\displaystyle d'd''+d''d'=0} 對一個雙複形，可定義其全複形 ( C , D ) {\displaystyle (C,D)} （也記為 T ( C ) {\displaystyle T(C)} 或 T o t ( C ) {\displaystyle \mathrm {Tot} (C)} ） 為 C n := ⨁ p + q = n C p , q {\displaystyle C^{n}:=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q}} D := d ′ + d ″ {\displaystyle D:=d'+d''} C {\displaystyle C} 上有兩組過濾，分別是： ( ′ F p C ) n := ⨁ i + j = n , i ≥ p C i , j {\displaystyle ('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,i\geq p}C^{i,j}} ( ″ F q C ) n := ⨁ i + j = n , j ≥ q C i , j {\displaystyle (''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,j\geq q}C^{i,j}} 它們給出兩個譜序列 ′ E r {\displaystyle 'E_{r}} 與 ″ E r {\displaystyle ''E_{r}} 。首先計算 ′ E 0 , ′ E 1 , ′ E 2 {\displaystyle 'E_{0},'E_{1},'E_{2}} 項： ′ E 0 i , j = C i , j {\displaystyle 'E_{0}^{i,j}=C^{i,j}} ′ E 1 i , j = H d ″ j ( C i , ∙ ) {\displaystyle 'E_{1}^{i,j}=H_{d''}^{j}(C^{i,\bullet })} ′ E 2 i , j = H d ′ i ( H d ″ j ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle 'E_{2}^{i,j}=H_{d'}^{i}(H_{d''}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad } （即：先取縱向上同調，再取橫向上同調） 同理可計算 ″ E 0 , ″ E 1 , ″ E 2 {\displaystyle ''E_{0},''E_{1},''E_{2}} ： ″ E 0 i , j = C j , i {\displaystyle ''E_{0}^{i,j}=C^{j,i}} ″ E 1 i , j = H d ′ j ( C ∙ , i ) {\displaystyle ''E_{1}^{i,j}=H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,i})} ″ E 2 i , j = H d ″ i ( H d ′ j ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle ''E_{2}^{i,j}=H_{d''}^{i}(H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad } （即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。 這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 r {\displaystyle r} 增大，它們都收斂到 H ( C ) {\displaystyle H(C)} ，由此可以得到一些有趣的比較定理。 利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構： T o r i ( M , N ) = T o r i ( N , M ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}(M,N)=\mathrm {Tor} _{i}(N,M)} 取定平坦分解 P ∙ → M → 0 {\displaystyle P_{\bullet }\to M\to 0} 及 Q ∙ → N → 0 {\displaystyle Q_{\bullet }\to N\to 0} 。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 d , e {\displaystyle d,e} 。考慮雙複形 C i , j := P i ⊗ Q j {\displaystyle C_{i,j}:=P_{i}\otimes Q_{j}} ，其微分映射定義為 d i , j := d i ⊗ i d + ( − 1 ) j i d ⊗ e j {\displaystyle d_{i,j}:=d_{i}\otimes \mathrm {id} +(-1)^{j}\mathrm {id} \otimes e_{j}} （以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到： ′ E p , q 2 = H p I ( H q I I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H p I ( P ∙ ⊗ H q I I ( Q ∙ ) ) {\displaystyle 'E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))} ″ E p , q 2 = H q I I ( H p I ( P ∙ ⊗ Q ∙ ) ) = H q I I ( Q ∙ ⊗ H p I ( P ∙ ) ) {\displaystyle ''E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes H_{p}^{I}(P_{\bullet }))} 由於複形 P ∙ , Q ∙ {\displaystyle P_{\bullet },Q_{\bullet }} 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為： H p I ( P ∙ ⊗ N ) = Tor p ( M , N ) {\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}_{p}(M,N)} H q I I ( Q ∙ ⊗ M ) = Tor q ( N , M ) {\displaystyle H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}_{q}(N,M)} 故 ′ E p , q 2 {\displaystyle 'E_{p,q}^{2}} 只在 p = 0 {\displaystyle p=0} 上有非零項，而 ″ E p , q 2 {\displaystyle ''E_{p,q}^{2}} 只在 q = 0 {\displaystyle q=0} 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構： Tor p ( M , N ) ≅ E p , q ∞ = gr p H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle {\mbox{Tor}}_{p}(M,N)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} Tor q ( N , M ) ≅ E p , q ∞ = gr q H p + q ( T ( C ∙ , ∙ ) ) {\displaystyle {\mbox{Tor}}_{q}(N,M)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))} 當 p = q {\displaystyle p=q} 時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。 運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 及一個交換群 C {\displaystyle C} ，所謂示性數是一個函數 χ : O b A → C {\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} {\mathcal {A}}\to C} ，滿足： ∀ 0 → Y → X , χ ( X ) = χ ( Y ) + χ ( X / Y ) {\displaystyle \forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)} X ≃ Y ⇒ χ ( X ) = χ ( Y ) {\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)} 例如：取 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 為某個域 k {\displaystyle k} 上的有限維向量空間範疇，則 χ : V ↦ dim k ⁡ V {\displaystyle \chi :V\mapsto \dim _{k}V} 是一個示性數。 對任一 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的有限複形 K ∙ {\displaystyle K^{\bullet }} ，定義 χ ( K ∙ ) = ∑ i ( − 1 ) i χ ( K i ) {\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})} 容易證明 χ ( K ∙ ) = ∑ i ( − 1 ) i χ ( H i ( K ∙ ) ) {\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))} 。考慮任一在 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的收斂譜序列 ( E r ∙ ) {\displaystyle (E_{r}^{\bullet })} ，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到 χ ( E r ∙ ) = χ ( E r + 1 ∙ ) = ⋯ = χ ( E ∞ ∙ ) {\displaystyle \chi (E_{r}^{\bullet })=\chi (E_{r+1}^{\bullet })=\cdots =\chi (E_{\infty }^{\bullet })} 然而 χ ( E n ) = ∑ p χ ( F p E n / F p + 1 E n ) = ∑ p χ ( E ∞ p , n − p ) {\displaystyle \chi (E^{n})=\sum _{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{p+1}E^{n})=\sum _{p}\chi (E_{\infty }^{p,n-p})} 於是得到 ∀ r , ∑ n ( − 1 ) n χ ( E n ) = χ ( E r ∙ ) {\displaystyle \forall r,\;\sum _{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E_{r}^{\bullet })} Leray, Jean. 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Spectral Sequences in Algebraic Topology (PDF). [2007-08-17]. （原始内容存档于2014-02-05）.  Chow, Timothy Y. You Could Have Invented Spectral Sequences (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, 53: 15––19 [2007-08-17]. （原始内容存档 (PDF)于2006-10-06）.