日出方程式

日出方程式和隨後的那些分程式，可以計算出太陽在不同的赤緯時，地球各地不同緯度的日出和日落時間之精確地方時： cos ⁡ ω o = − tan ⁡ ( ϕ ) × tan ⁡ ( δ ) {\displaystyle \cos \omega _{o}=-\operatorname {tan} (\phi )\times \operatorname {tan} (\delta )} 此處： ω o {\displaystyle \,\!\omega _{o}} 是日出（當數值為負數時）或日落（當數值為正值時）時，以度為單位的時角； ϕ {\displaystyle \,\!\phi } 是在地球上觀測者的緯度； δ {\displaystyle \,\!\delta } 是太陽的赤緯。 地球自轉的角速度是 15°/小時，因此 ω o / 15 o {\displaystyle \,\!\omega _{o}/15^{o}} 給了日出時間與當地正午之前相隔的小時數，或是日落時間與當地正午之後相隔的小時數。「當地正午」這個專有名詞（術語）在這裡的含意是太陽精確的位於正南方、正北方或正頭頂上位置的時刻。 在國際的協定上，當在赤道時 ϕ {\displaystyle \,\!\phi } 的值是0，在北半球是正值，在南半球是負值。當春分或秋分，太陽正好在赤道上空時， δ {\displaystyle \,\!\delta } 是0，在北半球的夏天是正值，而在北半球的冬天是負值。 需要注意的是，上面的方程式只適用於有日出和日落的地區，也就是在北半球的夏天時， − 90 o + δ < ϕ < 90 o − δ {\displaystyle \,\!-90^{o}+\delta <\phi <90^{o}-\delta } ；和在北半球的冬天， − 90 o − δ < ϕ < 90 o + δ {\displaystyle \,\!-90^{o}-\delta <\phi <90^{o}+\delta } 的地區，在這個緯度範圍之外的地區，不是24小時白天的永晝，就是24小時夜晚的永夜。 同時要注意的還有，上面的方程式忽略了大氣折射的影響（當太陽在地平面時會被抬升約0.6°），和太陽盤面的大小（大約0.5°）。在天文曆書上，通常使用下面的方程式來修正這兩項因素影響，重新設置日出和日落的時刻： cos ⁡ ( ω o ) = sin ⁡ ( a ) − sin ⁡ ( ϕ ) × sin ⁡ ( δ ) cos ⁡ ( ϕ ) × cos ⁡ ( δ ) {\displaystyle \cos(\omega _{o})={\dfrac {\sin(a)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}} 太陽盤面中心點的高度 (a)大約在地平面下-0.85° （或-51弧分）。 一般化的方程式在本身需要的計算之前，先要計算許多其它的變數。這些方程式中有全部的太陽-地球常數，都以角度形式的常數被置入。 n ⋆ = J d a t e − 2451545 − 0.0009 − l w 360 {\displaystyle n^{\star }=J_{date}-2451545-0.0009-{\dfrac {l_{w}}{360}}} n = r o u n d ( n ⋆ ) {\displaystyle n=round(n^{\star }){\dfrac {}{}}} 此處： Jdate是儒略日期； lw是觀測者在地球上的西經度數（西經是負值、東經是正值）； n是以2000年1月1日為基準(0)的儒略世紀數。 J ⋆ = 2451545 + 0.0009 + l w 360 + n {\displaystyle J^{\star }=2451545+0.0009+{\dfrac {l_{w}}{360}}+n} 此處： J ⋆ {\displaystyle J^{\star }} 是在地面經度lw的太陽正午大約時刻。 M = [ 357.5291 + 0.98560028 × ( J ⋆ − 2451545 ) ] mod 360 {\displaystyle M=[357.5291+0.98560028\times (J^{\star }-2451545)]\mod 360} 此處： M是太陽的平近點角。 C = 1.9148 × sin ⁡ ( M ) + 0.0200 × sin ⁡ ( 2 M ) + 0.0003 × sin ⁡ ( 3 M ) {\displaystyle C=1.9148\times \sin(M)+0.0200\times \sin(2M)+0.0003\times \sin(3M){\dfrac {}{}}} 此處： C是中心差。 λ = ( M + 102.9372 + C + 180 ) mod 360 {\displaystyle \lambda =(M+102.9372+C+180)\mod 360} 此處： λ是黃經。 J t r a n s i t = J ⋆ + ( 0.0053 × sin ⁡ ( M ) ) − ( 0.0069 × sin ⁡ ( 2 λ ) ) {\displaystyle J_{transit}=J^{\star }+(0.0053\times \sin(M))-(0.0069\times \sin(2\lambda ))} 此處： Jtransit是太陽過中天（太陽正午）的恆星時。 δ = sin − 1 ⁡ ( sin ⁡ ( λ ) × sin ⁡ ( 23.45 ) ) {\displaystyle \delta =\sin ^{-1}(\sin(\lambda )\times \sin(23.45)){\dfrac {}{}}} 此處： δ是太陽的赤緯。 這時來自上面修正太陽盤面的方程式。 ω o = cos − 1 ⁡ ( sin ⁡ ( − 0.83 ) − sin ⁡ ( ϕ ) × sin ⁡ ( δ ) cos ⁡ ( ϕ ) × cos ⁡ ( δ ) ) {\displaystyle \omega _{o}=\cos ^{-1}\left({\dfrac {\sin(-0.83)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}\right)} 此處： ωo是時角； ϕ {\displaystyle \phi } 是觀測者在地球上的緯度（北緯是正值、南緯是負值）。 這是修正太陽盤面的主要方程式 J s e t = 2451545 + 0.0009 + ( ω o + l w 360 + n + 0.0053 sin ⁡ M ) − 0.0069 sin ⁡ 2 λ {\displaystyle J_{set}=2451545+0.0009+\left({\dfrac {\omega _{o}+l_{w}}{360}}+n+0.0053\,\sin M\right)-0.0069\,\sin 2\lambda } J r i s e = J t r a n s i t − ( J s e t − J t r a n s i t ) {\displaystyle J_{rise}=J_{transit}-(J_{set}-J_{transit}){\dfrac {}{}}} 此處： Jset是日落的正確儒略日； Jrise是日出的正確儒略日。 日出 日落 日長 Sunrise, sunset, or sun position for any location （页面存档备份，存于互联网档案馆） 日出方程式-基本式推導 （页面存档备份，存于互联网档案馆）