通量

通量（英語：Flux），或稱流束是通過一個表面或一個物質的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。 给定一个三维空间中的向量场 A {\displaystyle \mathbf {A} } 以及一个简单有向曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } ，则向量场 A {\displaystyle \mathbf {A} } 通过曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } 的通量就是曲面每一点 x {\displaystyle x} 上的场向量 A ( x ) {\displaystyle \mathbf {A} (x)} 在曲面法向方向上的分量的积分: Φ A ( Σ ) = ∬ Σ A ⋅ n d S {\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S} 其中 d S {\displaystyle \mathrm {d} S} 是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从裡朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。 通量這個詞源於拉丁語：fluxus 意為“流”，fluere 是“流動”的意思。而 fluxion 一詞是由牛頓引入微積分。 熱通量的概念是約瑟夫·傅立葉對熱傳遞現象分析的重要貢獻之一。他的重要著作《熱的分析理論》（英語：The Analytical Theory of Heat）中，將 fluxion 定義為一個核心量，並推導出了現在的通量表達式。這些表達式與平板的溫度差異有關，且更廣義地在其他幾何形狀的溫度梯度或溫度差異有關。根據詹姆斯·克拉克·馬克士威的研究，可以顯示其傳輸的定義早於磁通量定義。馬克士威的具體引言是： In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.（中文：就通量而言，我們必須以通過表面的每個通量對其表面取積分。這個操作的結果即通量的曲面積分。它呈現的是通過該表面的量。） —— 詹姆斯·克拉克·馬克士威 根據傳輸的定義，通量可為單一向量，也可以是位置的向量場／函數。後者的通量可以很容易地在一個表面上積分。相比之下，根據電磁學定義，通量是對表面的積分；對於第二種定義的通量進行積分是沒有意義的，因為這樣會對表面進行兩次積分。因此，馬克士威的引言只有在“通量”按照傳輸定義使用時才有意義（進一步來說，是向量場而不是單一向量）。這很諷刺，因為馬克士威是我們現在所稱的“電通量”和“磁通量”的主要發展者之一，而這些名稱是根據電磁學定義來的。根據該引言（和傳輸定義），它們應該被稱為“電通量的曲面積分”和“磁通量的曲面積分”。在這種情況下，“電通量”應定義為“電場”，“磁通量”應定義為“磁場”。這意味著馬克士威將這些場視為某種形式的流動／通量。 根據電磁學定義的通量，其相應的通量密度（假設使用這個術語）指的是沿積分表面的導數。根據微積分基本定理，相應的通量密度是根據傳輸定義的通量。給定一個流，例如電流——每單位時間的通電量，電流密度根據傳輸定義也是一個通量——每單位時間每單位面積的通電量。由於通量的定義衝突，以及在非技術性英語中通量、流動和電流的互換性，本文中的所有術語有時會被互相使用且可能含義模糊。本文其餘部分中具體的通量將根據其在文獻中的廣泛接受度來使用，無論該術語對應哪種通量的定義。 在輸送現象（熱傳、質傳和流體動力學），通量被定義為「每單位面積的流量的流動率」，其因次組成為 量 (物理)·[時間]−1·[面積]−1。這個面積是流“通過”或“穿過”的表面。例如，每秒鐘流經河流橫截面的水量除以橫截面的面積，或是每秒鐘落在地面一塊區域上的陽光能量除以該區域的面積，都是通量的例子。 以下是按複雜度遞增的三個定義。每個定義都是下面這個的一個特例。在所有情況下，常用符號 j {\textstyle j} （或 J {\textstyle J} ）表示通量， q {\textstyle q} 表示流動的物理量， t {\textstyle t} 表示時間， A {\textstyle A} 表示面積。當且唯當這些標識符是向量時，它們將以粗體顯示。 首先，通量作為一個（單一的）純量時： j = I A {\displaystyle j={\frac {I}{A}}} 其中 I = lim Δ t → 0 Δ q Δ t = d q d t {\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}} 在這種情況下，測量固定的通量的表面，且具有面積 A {\displaystyle A} 。假設該表面是平坦的，而流量在各處相對於位置是恆定的，並且垂直於表面。 其次，通量作為沿著表面定義的純量場，即作為表面上各點的函數： j ( p ) = ∂ I ∂ A ( p ) , {\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),} I ( A , p ) = d q d t ( A , p ) . {\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).} 如上所述，假設表面是平坦的，且流量在各處都垂直於表面。然而，流不需要是恆定的。此時， q {\displaystyle q} 是 p（表面上的一個點）的函數，面積 A {\displaystyle A} 亦是。與其測量通過整個表面的總流量，不如 q {\displaystyle q} 測量的是以 p 為中心、沿表面上面積 A 的圓盤通過的流量。 最後，通量作為一個向量場時： j ( p ) = ∂ I ∂ A ( p ) , {\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),} I ( A , p ) = a r g m a x n ^ n ^ p d q d t ( A , p , n ^ ) . {\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).} 在這種情況下，我們沒有固定的表面來測量。 q {\displaystyle q} 是一個點、面積和方向（由單位向量 n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 給定）的函數，並測量與該單位向量垂直的面積 A 的圓盤中的流量。 I {\displaystyle I} 的定義是選擇使該點周圍流量最大的單位向量，因為真正的流量在垂直於該單位向量的圓盤上達到最大值。因此，當單位向量指向流動的“真正方向”時，它唯一地最大化該函數。（嚴格來說，這是一種濫用符號，因為“arg max”無法直接比較向量；我們改為選擇具有最大範數的向量。） 這些直接的定義，尤其是最後一個，顯得相對不完善。例如，從經驗測度（英语：Empirical measure）來看，arg max 的構造是人工的，而使用風向標或類似工具可以簡單推斷出某一點的通量方向。與其直接定義向量通量，通常更直觀的是陳述一些關於它的性質。此外，通量可以根據這些性質唯一確定。 若通量 j 以角度 θ {\displaystyle \theta } 通過（ θ {\displaystyle \theta } 為該通量與該面積法向量 n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 形成之夾角），則其點積為： j ⋅ n ^ = j cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta } 也就是說，通過表面的通量分量（即垂直於表面的分量）是 j cos ⁡ θ {\displaystyle j\cos {\theta }} ，而沿切向通過表面的通量分量是 j sin ⁡ θ {\displaystyle j\sin {\theta }} ，但實際上沒有通量沿切向通過表面。唯一通過且垂直表面的通量分量是其餘弦分量。 對於向量通量，通量 j在表面 S {\displaystyle S} 上的曲面積分給出了每單位時間通過該表面的適當流量： d q d t = ∬ S j ⋅ n ^ d A = ∬ S j ⋅ d A {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} } 其中 A（及其無窮小量）是向量面積（英语：vector area）—— A = A n ^ {\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} } 的組合，結合了面積 A 的大小和垂直於該面的單位向量 n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } 。與第二組方程式不同的是，這裡不需要平坦的表面。 流量 光通量 磁通量 电通量 Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. Transport Phenomena. Wiley. 1960. ISBN 0-471-07392-X.  含有內容需登入查看的頁面 (link)