平方根

在數學中，一個數 x {\displaystyle x} 的平方根 y {\displaystyle y} 指的是滿足 y 2 = x {\displaystyle y^{2}=x} 的數，即平方結果等於 x {\displaystyle x} 的數。例如，4和-4都是16的平方根，因为 4 2 = ( − 4 ) 2 = 16 {\displaystyle 4^{2}=(-4)^{2}=16} 。 任意非負實數 x {\displaystyle x} 都有唯一的非負平方根，称为算术平方根或主平方根（英語：principal square root），記為 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} ，其中的符号 {\displaystyle {\sqrt {\quad }}} 称作根号。例如，9的算术平方根为3，记作 9 = 3 {\displaystyle {\sqrt {9}}=3} ，因为 3 2 = 3 × 3 = 9 {\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9} 并且3非负。被求平方根的数称作被开方数（英語：radicand），是根号下的数字或者表达式，即例子中的数字9。 正数 x {\displaystyle x} 有兩個互为相反数的平方根：正数 x {\displaystyle {\sqrt {x}}} 与负数 − x {\displaystyle -{\sqrt {x}}} ，可以将两者一起记为 ± x {\displaystyle \pm {\sqrt {x}}} 。 負數的平方根在複數系中有定義。而實際上，對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其“平方根”（例如矩陣的平方根）。 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。 耶鲁大学的巴比伦藏品YBC 7289是一块泥板，制作于前1800年到前1600年之间。泥板上是一个画了两条对角线正方形，标注了 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的六十进制数字 1;24,51,10。十六进制的 1;24,51,10 即十进制的 1.41421296，精确到了小数点后5位（1.41421356...）。 莱因德数学纸草书大约成书于前1650年，内容抄写自更早年代的教科书。书中展示了埃及人使用反比法求平方根的过程。 古印度的《绳法经》大约成书于前800年到前500年之间，书中记载了将2的平方根的计算精确到小数点后5位的方法。 古希腊的《几何原本》大约成书于前380年，书中还阐述了如果正整数不是完全平方数，那么它的平方根就一定是无理数——一种无法以两个整数的比值表示的数（无法写作m/n，其中m和n是整数）。 中国的《书》成书于汉朝（约前202年到前186年之间），书中介绍了使用盈不足术求平方根的方法。 古代未有劃一的平方根符號時，人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。 中世紀時，拉丁語中的latus（正方形邊）的首個字母“L”被不少歐洲人採用；亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫，在被開方的數下畫一線。 最有影響的是拉丁語的radix（平方根），1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞（R右下角的有一斜劃，像P和x的合體）；⎷（沒有上面的橫劃）是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用，據說是小寫r的變型；后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的（即“⎷‾”），因此在复杂的式子中它显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写），从而形成了现在人們熟知的开方运算符号 n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\,\,}}} 。 x {\displaystyle x} 的平方根亦可用指數表示，如： x 1 2 = x {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}} x {\displaystyle x} 的絕對值可用 x 2 {\displaystyle x^{2}} 的算數平方根表示： | x | = x 2 ( = { x ( x ≥ 0 ) − x ( x < 0 ) ) {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)} 若正整數 x {\displaystyle x} 是平方數，則其平方根是整數。若正整數 x {\displaystyle x} 不是平方數，則其平方根是無理數。 對於正數 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} ，以下式成立： x y = x y x y = x y {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}} 正数和负数的平方都是正数，0的平方是0，因此负数没有实数平方根。然而，我们可以把我们所使用的数字集合扩大，加入负数的平方根，这样的集合就是複數。首先需要引入一个实数集之外的新数字，记作 i {\displaystyle i} （也可以记作 j {\displaystyle j} ，比如电学场景中 i {\displaystyle i} 一般表示电流），称之为虚数单位，定义即为 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ，故 i {\displaystyle i} 是-1的平方根，而且 ( − i ) 2 = i 2 = − 1 {\displaystyle (-i)^{2}=i^{2}=-1} ，所以 − i {\displaystyle -i} 也是-1的平方根。通常称-1的算术平方根是 i {\displaystyle i} ，如果 x {\displaystyle x} 是任意非负实数，则 − x {\displaystyle -x} 的算术平方根就是： − x = i x {\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}} 例如-5的平方根有两个，它们分别为 5 i {\displaystyle {\sqrt {5}}i} 和 − 5 i {\displaystyle -{\sqrt {5}}i} 。 之所以等式右侧（包括其对应的负值）是 − x {\displaystyle -x} 的算术平方根，是因为： ( i x ) 2 = i 2 ( x ) 2 = ( − 1 ) x = − x {\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x} 负数的兩個平方根为一对共轭的纯虚数。 對於負數 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} ，以下式成立： x y = − x i × − y i = x y i 2 = − x y x y = − x i − y i = − x − y = x y {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}} 虚数 i {\displaystyle i} 的算术平方根可以根据以下公式计算： i = 2 2 + i 2 2 = 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} 这个公式可以通过用代数方法推导，只需找到特定的实数 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} ，满足 i = ( a + b i ) 2 = a 2 + 2 a b i − b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}} 就可以得到方程组 { 2 a b = 1 a 2 − b 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}} 的解： a = b = ± 2 2 {\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 其中，算术平方根即为 a = b = 2 2 {\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}} 这个公式还可以通过棣莫弗公式得到，设 i = cos ⁡ ( π 2 ) + i sin ⁡ ( π 2 ) {\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)} 就可以推出 i = [ cos ⁡ ( π 2 ) + i sin ⁡ ( π 2 ) ] 1 2 = cos ⁡ ( π 4 ) + i sin ⁡ ( π 4 ) = 2 2 + i 2 2 = 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}} 对于任何一个非零的复数 z {\displaystyle z} 都存在两个複数 w {\displaystyle w} 使得 w 2 = z {\displaystyle w^{2}=z} 。 首先，我们将复数 x + i y {\displaystyle x+iy} 看作是平面上的点，即笛卡尔坐标系中的 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 点。这个点也可以写作极坐标的 ( r , φ ) {\displaystyle (r,\varphi )} ，其中 r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} ，是该点到坐标原点的距离， φ {\displaystyle \varphi } 则是从原点到该点的直线与实数坐标轴（ x {\displaystyle x} 轴）的夹角。复分析中，通常把该点记作 r e i φ {\displaystyle re^{i\varphi }} 。如果 z = r e i φ , − π < φ ≤ π {\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi } 那么我们将 z {\displaystyle z} 的算术平方根定义为： z = r e i φ 2 {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}} 因此，平方根函数除了在非正实数轴上以外是处处全纯的。 1 + x {\displaystyle {\sqrt {1+x}}} 的泰勒级数也适用于复数 x ( | x | < 1 ) {\displaystyle x(\left\vert x\right\vert <1)} 。 上面的公式还可以用三角函数的形式表达： r ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) = r ( cos ⁡ φ 2 + i sin ⁡ φ 2 ) {\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)} 如果使用笛卡尔坐标的形式表达复数 z，其算术平方根可以使用如下公式： z = | z | + ℜ ( z ) 2 ± i | z | − ℜ ( z ) 2 {\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}} 其中，方根虚部的符号与被开方数虚部的符号相同（为0时取正）；主值（英语：Principal value）实部永远非负。 在虛數裡，平方根函數的值不是連續的，以下等式不一定成立： z w = z w {\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}} w z = w z {\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}} z ∗ = ( z ) ∗ {\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}} 所以這是錯誤的： − 1 = i ⋅ i = − 1 ⋅ − 1 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 = 1 {\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1} 例：若 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ， x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 = | x 2 + 1 | = x 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {x^{4}+2x^{2}+1}}={\sqrt {(x^{2}+1)^{2}}}=|x^{2}+1|=x^{2}+1\,\!} 數學史中，最重要的平方根可以說是 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，它代表邊長為1的正方形的對角線長，是第一個公認的無理數，也叫毕达哥拉斯常数，其值到小數點14位約為1.4142135623731。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數，可由歸謬法證明： 設 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 為有理數，可表示為 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ，其中 p {\displaystyle p} 、 q {\displaystyle q} 為互質之正整數。 因為 ( 2 ) 2 = p 2 q 2 = 2 {\displaystyle \left({\sqrt {2}}\right)^{2}={\frac {p^{2}}{q^{2}}}=2} ，故 p 2 {\displaystyle p^{2}} 是2的倍數， p {\displaystyle p} 也是2的倍數，記為 2 k {\displaystyle 2k} ，其中 k {\displaystyle k} 為正整數。 但是 2 q 2 = p 2 = 4 k 2 {\displaystyle 2q^{2}=p^{2}=4k^{2}} ，故 q 2 = 2 k 2 {\displaystyle q^{2}=2k^{2}} ， q 2 {\displaystyle q^{2}} 是2的倍數， q {\displaystyle q} 也是2的倍數。 依上兩式， p {\displaystyle p} 、 q {\displaystyle q} 都是2的倍數，和 p {\displaystyle p} 、 q {\displaystyle q} 為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法，得證 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不是有理數，即 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數。 24 = 2 2 ⋅ 6 = 2 2 6 = 2 6 {\displaystyle {\sqrt {24}}={\sqrt {2^{2}\cdot 6}}={\sqrt {2^{2}}}{\sqrt {6}}=2{\sqrt {6}}} 。 注意，6 的质因数分解为 2 × 3，不能写成某个数的平方，因此 2 6 {\displaystyle 2{\sqrt {6}}} 就是最简结果 。 《九章算术》和《孙子算经》都有筹算的开方法。宋代数学家贾宪发明释锁开平方法、增乘开平方法；明代数学家王素文，程大位发明珠算开平方法，而朱载堉《算学新说》首创用81位算盘开方，精确到25位数字。 長除式算平方根的方式也稱為直式開方法，原理是 . ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 = a 2 + ( 2 a + b ) b {\displaystyle .(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}=a^{2}+(2a+b)b} 。 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開，如98765.432內小數點前的65是一組，87是一組，9是一組，小數點後的43是一組，之後是單獨一個2，要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組，順序為1' 04. 85' 73'。 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數，並將該平方數的開方（應該是個位數）記下。 將上一步所得之差乘100，和下一組數加起來。 將記下的數乘20，然後將它加上某個個位數，再乘以該個個位數，令這個積不大於但最接近上一步所得之差，並將該個個位數記下，且將上一步所得之差減去所得之積。 記下的數一次隔兩位記下。 重覆第3步，直到找到答案。 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。 下面以 200 {\displaystyle {\sqrt {200}}} 為例子： 1     4 .     1     4     2 2 | 00.00 | 00 | 00 1   _ 1 × 1 ≤ 2 1   00 a = 1 0 , b = 4     96   _ ⇒ ( 2 a + b ) b = 2 4 × 4 = 96 ≤ 100   4   00 a = 1 4 0 , b = 1   2   81   _ ⇒ ( 2 a + b ) b = 28 1 × 1 = 281 ≤ 400   1   19   00 a = 1 4 1 0 , b = 4   1   12   96   _ ⇒ ( 2 a + b ) b = 282 4 × 4 = 11296 ≤ 11900     6   04   00 a = 1 4 1 4 0 , b = 2     5   65   64 _ ⇒ ( 2 a + b ) b = 2828 2 × 2 = 56564 ≤ 60400   38   36 {\displaystyle {\begin{array}{ll}\quad {\color {Red}1}~~{\color {Green}4}.~~{\color {Blue}1}~~{\color {Purple}4}~~{\color {Orange}2}\\{\sqrt {2|00.00|00|00}}\\\quad {\underline {1\quad ~}}&\quad {\color {Red}1}\times {\color {Red}1}\leq 2\\\quad 1~00&a={\color {Red}1}0,b={\color {Green}4}\\\quad {\underline {~~\,96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2{\color {Green}4}\times {\color {Green}4}=96\leq 100\\\qquad ~4~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}0,b={\color {Blue}1}\\\qquad ~{\underline {2~81\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=28{\color {Blue}1}\times {\color {Blue}1}=281\leq 400\\\qquad ~1~19~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}0,b={\color {Purple}4}\\\qquad ~{\underline {1~12~96\quad ~}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=282{\color {Purple}4}\times {\color {Purple}4}=11296\leq 11900\\\qquad \quad ~~6~04~00&a={\color {Red}1}{\color {Green}4}{\color {Blue}1}{\color {Purple}4}0,b={\color {Orange}2}\\\qquad \quad ~~{\underline {5~65~64}}&\quad \Rightarrow (2a+b)b=2828{\color {Orange}2}\times {\color {Orange}2}=56564\leq 60400\\\qquad \quad \quad ~\,38~36\\\end{array}}} 200 ≈ 14.14213562373095048801668872421 {\displaystyle {\sqrt {200}}\approx 14.14213562373095048801668872421} 四捨五入得答案為14.14。 事實上，將算法稍作改動，可以開任何次方的根，詳見n次方算法。 利用高精度长式除法可以计算出1至20的平方根如下： 如果要求 S ( S > 1 ) {\displaystyle S\,(S>1)} 的平方根，選取 1 < x 0 < S {\displaystyle 1\,<\,x_{0}\,<\,S} x n + 1 = 1 2 ( x n + S x n ) {\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)} 例子：求 125348 {\displaystyle {\sqrt {125348}}} 至6位有效數字。 x 0 = 3 6 = 729.000 {\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!} x 1 = 1 2 ( x 0 + S x 0 ) = 1 2 ( 729.000 + 125348 729.000 ) = 450.472 {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472} x 2 = 1 2 ( x 1 + S x 1 ) = 1 2 ( 450.472 + 125348 450.472 ) = 364.365 {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365} x 3 = 1 2 ( x 2 + S x 2 ) = 1 2 ( 364.365 + 125348 364.365 ) = 354.191 {\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191} x 4 = 1 2 ( x 3 + S x 3 ) = 1 2 ( 354.191 + 125348 354.191 ) = 354.045 {\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045} x 5 = 1 2 ( x 4 + S x 4 ) = 1 2 ( 354.045 + 125348 354.045 ) = 354.045 {\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045} 因此 125348 ≈ 354.045 {\displaystyle {\sqrt {125348}}\approx 354.045} . 平方根可以简便地用连分数的形式表示，关于连分数请见连分数，其中1至20的算术平方根分别可用连分数表示为： 1 = 1 {\displaystyle {\sqrt {1}}=1} 2 = [ 1 ; 2 , 2 , 2 , 2... ] {\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]} 3 = [ 1 ; 1 , 2 , 1 , 2... ] {\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]} 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} 5 = [ 2 ; 4 , 4 , 4 , 4... ] {\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]} 6 = [ 2 ; 2 , 4 , 2 , 4... ] {\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]} 7 = [ 2 ; 1 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 1 , 4... ] {\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]} 8 = [ 2 ; 1 , 4 , 1 , 4... ] {\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]} 9 = 3 {\displaystyle {\sqrt {9}}=3} 10 = [ 3 ; 6 , 6 , 6 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]} 11 = [ 3 ; 3 , 6 , 3 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]} 12 = [ 3 ; 2 , 6 , 2 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]} 13 = [ 3 ; 1 , 1 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 1 , 1 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]} 14 = [ 3 ; 1 , 2 , 1 , 6 , 1 , 2 , 1 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]} 15 = [ 3 ; 1 , 6 , 1 , 6... ] {\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]} 16 = 4 {\displaystyle {\sqrt {16}}=4} 17 = [ 4 ; 8 , 8 , 8 , 8... ] {\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]} 18 = [ 4 ; 4 , 8 , 4 , 8... ] {\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]} 19 = [ 4 ; 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 8 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 8... ] {\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]} 20 = [ 4 ; 2 , 8 , 2 , 8... ] {\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]} 连分数部分均循环，省略号前为2或4个循环节。 巴比伦求平方根的算法实际上很简单：（假设要求一个数N的平方根） 预测一个平方根 x {\displaystyle x} ，初始另一个值 y {\displaystyle y} ，且 x y = N {\displaystyle xy=N} 求预测值与初始值的均值： x = x + y 2 {\displaystyle x={\frac {x+y}{2}}} , y = N x {\displaystyle y={\frac {N}{x}}} 比较 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的差值是否达到精度，如果无，继续步骤 這個方法是從佩爾方程演變過來的，它通過不斷減去奇數來求得答案。 給定線段AB和1，求一條長為 A B {\displaystyle {\sqrt {AB}}} 的線段。 畫線AB，延長BA至C使 A C = 1 {\displaystyle AC=1} 以BC的中點為圓心，OC為半徑畫圓 過A畫BC的垂直線，垂直線和圓弧交於D，AD即為所求之長度 將整個過程搬到直角座標上，已知AC=1，設 O= ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} AB= n {\displaystyle n} 直徑為BC的圓就是 x 2 + y 2 = ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}} （圓的方程式： x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ）（其中 r {\displaystyle r} 表示半径。） 將 ( n + 1 2 − 1 ) {\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)} （A,D所在的x座標）代入上面的方程式 ( n + 1 2 − 1 ) 2 + y 2 = ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}} 解方程，得 y = n {\displaystyle y={\sqrt {n}}} 。 另也可参见射影定理。 方根 增乘开平方法 二项式定理 牛顿法 Earliest Uses of Symbols of Operation（英文） The History of Mathematical Symbols: The radical symbol 开方公式的推导 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 平方根計算器 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文） 数学主题 Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. （原始内容存档于2020-03-12）.  Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag. Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.  Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. （原始内容存档于2016-04-23）. , Section 3.7.27, p. 17 互联网档案馆的存檔，存档日期2009-09-10. Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. （原始内容存档于2016-04-23）.  劳汉生《珠算与实用算术》ISBN 7-5375-1891-2/O