全集

数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则稱作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。 这个一般概念有數個精确的版本。最简单的情況下可以將任意集合 U {\displaystyle U} 定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线 R {\displaystyle \mathbb {R} } 就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以應用於实分析，這時他默认地使用著的全集就是实数线 R {\displaystyle \mathbb {R} } 。康托尔一开始关心的也只是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的子集。 这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集 U {\displaystyle U} 的大长方形內進行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是 U {\displaystyle U} 的子集。集合 A {\displaystyle A} 的补集则为长方形中表示 A {\displaystyle A} 的圆形的外面的部分。严格地说，这是 A {\displaystyle A} 对 U {\displaystyle U} 的相对补集' U ∖ A {\displaystyle U\backslash A} ；但在 U {\displaystyle U} 是全集的场合下，这可以被当成是 A {\displaystyle A} 的绝对补集' A C {\displaystyle A^{C}} 。同样的，有一個稱為空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就會是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即 U {\displaystyle U} ）下的所有东西组成的集合。 在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反， U {\displaystyle U} 的幂集，即 U {\displaystyle U} 的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集 U {\displaystyle U} 则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。 然而，當考虑過给定集合 X {\displaystyle X} 的子集（在康托尔的例子中， X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } ），可能就会进一步关心 X {\displaystyle X} 的子集组成的集合。 （例如： X {\displaystyle X} 上的一个拓扑就是一个 X {\displaystyle X} 的子集组成的集合。） 这些不同的 X {\displaystyle X} 的子集组成的集合本身，一般而言并不是 X {\displaystyle X} 的子集，却是 X {\displaystyle X} 的幂集 P X {\displaystyle \mathbf {P} X} 的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑 X {\displaystyle X} 的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考慮笛卡尔积 X × X {\displaystyle X\times X} ，或从 X {\displaystyle X} 映射到其自身的函数。接著，還可以考慮笛卡尔积上的函数，或从 X {\displaystyle X} 映射到 X × P X {\displaystyle X\times \mathrm {P} X} 的函数，等等。 这样，尽管主要关心的是 X {\displaystyle X} ，仍然需要一个比 X {\displaystyle X} 大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要 X {\displaystyle X} 上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下： 设 S 0 X {\displaystyle \mathbf {S} _{0}X} 为 X {\displaystyle X} 自身。 设 S 1 X {\displaystyle \mathbf {S} _{1}X} 为 X {\displaystyle X} 和 P X {\displaystyle \mathbf {P} X} 的并集。 设 S 2 X {\displaystyle \mathbf {S} _{2}X} 为 S 1 X {\displaystyle \mathbf {S} _{1}X} 和 P ( S 1 X ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} _{1}X)} 的并集。 一般的，设 S n + 1 X {\displaystyle \mathbf {S} _{n+1}X} 为 S n X {\displaystyle \mathbf {S} _{n}X} 和 P ( S n X ) {\displaystyle \mathbf {P} (S_{n}X)} 的并集。则 X {\displaystyle X} 上的超结构，写作 S X {\displaystyle \mathbf {S} X} ，为 S 0 X {\displaystyle \mathbf {S} _{0}X} ， S 1 X {\displaystyle \mathbf {S} _{1}X} ， S 2 X {\displaystyle \mathbf {S} _{2}X} ，等等，的并集；或 S X := ⋃ i = 0 ∞ S i X . {\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!} 注意到，无论初始集合 X {\displaystyle X} 如何，空集总是属于 S 1 X {\displaystyle \mathbf {S} _{1}X} 。重定义空集为冯·诺伊曼序数 [ 0 ] {\displaystyle [0]} 。则 { [ 0 ] } {\displaystyle \{[0]\}} ，是仅含有空集為元素的集合，属于 S 2 X {\displaystyle \mathbf {S} _{2}X} ；定义为冯·诺伊曼序数 [ 1 ] {\displaystyle [1]} 。类似的， { [ 1 ] } {\displaystyle \{[1]\}} 属于 S 3 X {\displaystyle \mathbf {S} _{3}X} ，则 { [ 0 ] } {\displaystyle \{[0]\}} 和 { [ 1 ] } {\displaystyle \{[1]\}} 的并集 { [ 0 ] , [ 1 ] } {\displaystyle \{[0],[1]\}} 也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数 [ 2 ] {\displaystyle [2]} 。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 属于这个超结构，则 { { x } , { x , y } } {\displaystyle \{\{x\},\{x,y\}\}} （这个集合表示了有序对 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定義域为冯·诺伊曼序数 [ n ] {\displaystyle [n]} 的函数。等等。 所以，就算仅从 X = { } {\displaystyle X=\{\}} 出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构裡的某個元素。但是，這樣 S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} 的每个元素都會是有限集合。每个自然数都属于 S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} ，但“所有”自然数的集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 不属于 S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} （尽管它是 S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} 的“子集”）。实际上， X {\displaystyle X} 上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克當時能使用到这个全集的話；他會相信每个自然数都存在，而集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } （一个"完全的无穷大"）則不然。 然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说， S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} 是不足够的，因为尽管 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是 S { } {\displaystyle \mathbf {S} \{\}} 的子集，但 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造 S ( S { } ) {\displaystyle \mathbf {S} (\mathbf {S} \{\})} 。不過，為简单起见，就只用给出的自然数集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 来构造 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } ，即 N {\displaystyle \mathbb {N} } 上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通過戴德金分割）都會属于 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } 。即使是非标准分析，也能够在自然数的一個非标准模型上的超结构中进行。 應當注意，这個部分在觀念上有些改变，这裡全集是任何被关心的集合 U {\displaystyle U} 。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管 P ( S X ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {S} X)} 是一个布尔格，但相应的 S X {\displaystyle \mathbf {S} X} 不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格 P A {\displaystyle \mathbf {P} A} ，这里 A {\displaystyle A} 是 S X {\displaystyle \mathbf {S} X} 中任意相应的集合；则 P A {\displaystyle \mathbf {P} A} 是 S X {\displaystyle \mathbf {S} X} 的子集（实际上它属于 S X {\displaystyle \mathbf {S} X} ）。 正式來說，可以給出一個精确定义，來說明為何 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } 为一般數學的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造 S {\displaystyle \mathbf {S} } 成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } 中进行，对 S N {\displaystyle \mathbf {S} \mathbb {N} } 的讨论則不再"一般"，而是轉向元数学的領域。 但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到 X = { } {\displaystyle X=\{\}} （空集），并用（标准的）符号 V i {\displaystyle V_{i}} 表示 S i { } {\displaystyle \mathbf {S} _{i}\{\}} 。则有 V 0 = { } {\displaystyle V_{0}=\{\}} ， V 1 = P { } {\displaystyle V_{1}=\mathbf {P} \{\}} ，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项： V ω {\displaystyle V_{\omega }} ，这里 ω {\displaystyle \omega } 为第一个无穷序数。按照序数知识，得到： V i := ⋃ j < i P V j {\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!} 可以对任意序数 i {\displaystyle i} 定义 V i {\displaystyle V_{i}} 。所有 V i {\displaystyle V_{i}} 的并集为冯·诺伊曼全集 V {\displaystyle V} ： V := ⋃ i V i {\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!} 。注意，每个单独的 V i {\displaystyle V_{i}} 都是集合，但他们的并集 V {\displaystyle V} 是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理斷言，每个集合都属于 V {\displaystyle V} 。 自由对象 Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc. Hazewinkel, Michiel (编), Universe, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  埃里克·韦斯坦因. Universal Set. MathWorld.