哈密顿图

匈牙利人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。 哈密顿图（台湾作漢米頓圖）又稱漢密頓圖，是指存在哈密頓環的無向圖，由哈密顿爵士提出。 下列定義，既適用於無向圖，亦適用於有向圖。 哈密頓路徑 圖的一條路，經過每個頂點恰好一次。 哈密頓環 在一條哈密頓路的基礎上，再有一條邊將其首尾連接，所構成的圈。注意，若有一個哈密頓圈，則移除其任一條邊，皆可得到一條哈密頓路，但反之則不然，即給定一條哈密頓路，不一定能延伸成哈密頓圈，因為該路徑的首尾兩頂點之間，不一定有邊相連。 哈密頓圖 有哈密頓圈的圖。 半哈密頓圖 有哈密頓路，但無哈密頓圈的圖。 哈密頓連通圖 一幅圖，以其任意兩個頂點為起終點，皆存在一條哈密頓路。 哈密頓分解 將邊集分劃成若干個哈密頓圈。 亞哈密頓圖 亞哈密頓圖（英语：Hypohamiltonian graph）並非哈密頓圖，但只要移除任何一個頂點，就會變成哈密頓圖。 非哈密頓圖 半哈密頓圖 哈密頓圖 哈密尔顿图的必要条件： 若G=(V,E) 是一个哈密尔顿图，则对于V的每一个非空子集S，均有W(G－S) ≤|S|。其中|S|是S中的顶点数，W(G－S)表示图G擦去属于S中的顶点后，剩下子图的连通分支的个数。 對歐拉圖而言，有某個充要條件，可用作簡單判定一幅圖是否歐拉圖（歐拉定理）。然而，對於哈密頓圖，並無相應的結果。 不過，仍有一系列越來越鬆的判別條件，能夠斷定一幅圖必定為哈密頓圖。此類定理，最早見於蓋布瑞·狄拉克（英语：Gabriel Andrew Dirac）1952年的研究，其想法直觀，即只要有「足夠多」邊，就能迫得圖有哈密頓圈。用頂點的度推出存在哈密頓圈的定理之中，目前最優的，是1976年邦迪與赫瓦塔爾的定理。 以上是有關無向圖的部分。對於有向圖，相應的定理舉例有Ghouila–Houiri。 蓋布瑞·狄拉克（英语：Gabriel Andrew Dirac）於1952年證明以下定理： n {\displaystyle n} 個頂點的簡單圖（ n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ）中，若每個頂點的度皆至少為 n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} ，則必為哈密頓圖。 设 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} 是一个无向简单图， | V | = n {\displaystyle |V|=n} ， n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 。若对于任意两个不相鄰的顶点 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} ，都有 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 的度，即 d ( u ) {\displaystyle d(u)} 与 d ( v ) {\displaystyle d(v)} 满足 d ( u ) + d ( v ) ≥ n {\displaystyle d(u)+d(v)\geq n} ，那么， G {\displaystyle G} 是哈密尔顿图。 此条件由挪威图论数学家奧斯丁·歐爾在1960年给出。 波紹·拉約什（英语：Lajos Pósa (mathematician)）證明了幾條有關哈密頓圈的定理。以下具體引用一條1962年的定理，有關連邊少的頂點： 一幅 n {\displaystyle n} 個頂點的完全圖（ n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ），若滿足： 對所有滿足 1 ≤ k < n − 1 2 {\displaystyle 1\leq k<{\frac {n-1}{2}}} 的整數 k {\displaystyle k} ，度不大於 k {\displaystyle k} 的頂點個數，嚴格小於 k {\displaystyle k} ； 度不大於 n − 1 2 {\displaystyle {\frac {n-1}{2}}} 的頂點個數，小於或等於 n − 1 2 {\displaystyle {\frac {n-1}{2}}} ； 則必為哈密頓圖。 注意 n {\displaystyle n} 為偶時，條件2已包含於條件1，所以只在 n {\displaystyle n} 為奇數時，條件2才需要分開列出。 作為例子，考慮附圖中，具有 6 {\displaystyle 6} 個頂點的圖。其為哈密頓圖：已經將頂點排列好，使哈密頓圈 H {\displaystyle H} （以紅色標示）正好是外圈。 狄拉克定理不足以證明該圖為哈密頓圖。若要應用狄拉克定理，則所有頂點的度皆要至少為 3 {\displaystyle 3} ，然而圖中有頂點的度僅為 2 {\displaystyle 2} 。 奧爾定理同樣不敷使用，因為圖中標出的兩個不相鄰頂點 a , b {\displaystyle a,b} 的度，和僅為 d ( a ) + d ( b ) = 3 + 2 = 5 {\displaystyle d(a)+d(b)=3+2=5} ，但奧爾定理的條件中，至少要有 6 {\displaystyle 6} 。 另一方面，波紹定理能夠斷定該圖必為哈密頓圖，因為只有 0 {\displaystyle 0} 個度為 1 {\displaystyle 1} 的頂點，以及 1 {\displaystyle 1} 個度為 2 {\displaystyle 2} 的頂點，故已滿足條件1（因為 0 < 1 {\displaystyle 0<1} 且 0 + 1 < 2 {\displaystyle 0+1<2} ）。 超過2個頂點的完全圖是哈密顿图。 n {\displaystyle n} 階無向完全圖 K n {\displaystyle K_{n}} 上，不同的（無向）哈密頓圈有 ( n − 1 ) ! 2 {\displaystyle {\frac {(n-1)!}{2}}} 個。而若考慮方向，則有 ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} 個有向哈密頓圈。 n {\displaystyle n} 個頂點的圖當中，最少邊數的哈密頓圖是循環圖 C n {\displaystyle C_{n}} 。任何循環圖皆為哈密顿图。 循環賽圖（英语：Tournament (graph theory)）有奇數條（有向）哈密頓路徑。任意（多於兩個頂點的）循環賽圖為哈密頓圖當且僅當其為強連通。 任何以柏拉圖立體（凸正多面體）的邊與頂點構成的圖（「1-骨架（英语：n-skeleton）」）皆為哈密顿图。 同樣，棱柱與反棱柱的1-骨架也是哈密頓圖。 13種阿基米德立體的1-骨架皆為哈密頓圖，但13種卡塔蘭立體當中，僅有7個的1-骨架是哈密頓圖。. 赫歇爾圖（英语：Herschel graph）（附圖）是眾多不具哈密頓圈的凸多面體1-骨架當中，最小的一個。 哈密頓圖的線圖仍是哈密頓圖。 歐拉圖的線圖也是哈密頓圖。 寻找哈密顿路径是一个典型的NP-完全问题。后来人们也证明了，找一条哈密顿路的近似比为常数的近似算法也是NP-完全的。 寻找哈密顿路的确定算法虽然很难有多项式时间的，但是这并不意味着只能进行时间复杂度为 O ( n × n ! ) {\displaystyle O(n\times n!)} 暴力搜索。利用状态压缩动态规划[來源請求]，可以将时间复杂度降低到 O ( 2 n ⋅ n 3 ) {\displaystyle O(2^{n}\cdot n^{3})} ，具体算法是建立方程f[i][S][j]，表示经过了i个节点，节点都是集合S的，到达节点j时的最短路径。每次都按照点j所连的节点进行转移。 哈密頓路徑 哈密顿路径问题 Melissa DeLeon. Department of Mathematics and Computer Science, Seton Hall University , 编. A Study of Sufficient Conditions for Hamiltonian Cycles (PDF). [2021-09-19]. （原始内容存档 (PDF)于2012-12-22） （英语）.  Dirac, Gabriel Andrew. Some theorems on abstract graphs. Proc. London Math. Soc. 3. 1952, 2: 6––81. MR 0047308. doi:10.1112/plms/s3-2.1.69 （英语）.  Ronald Graham. Handbook of Combinatorics. MIT Press. 1995. ISBN 978-0-262-57170-8 （英语）.  Pósa, Lajos. A theorem concerning hamilton lines. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató ́Int. Közl. 1962, 7: 225–226 （英语）.  Nash-Williams, Crispin. On Hamiltonian circuits in finite graphs (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 1966, 17: 466–467 [2021-09-19]. （原始内容存档 (PDF)于2022-02-17） （英语）.  Graham 1995，第29 & 31頁 harvnb error: no target: CITEREFGraham1995 (help). Gardner, M. "Mathematical Games: About the Remarkable Similarity between the Icosian Game and the Towers of Hanoi." Sci. Amer. 196, 150–156, May 1957. [2021-09-03]. （原始内容存档于2016-10-22）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Xiong, Liming; Liu, Zhanhong. Hamiltonian iterated line graphs [哈密頓的疊代線圖]. Discrete Mathematics. 2002, 256: 407–422. doi:10.1016/S0012-365X(01)00442-3 （英语）.