概形

概形（英語：scheme）是代數幾何學中的一個基本概念。概形是由亞歷山大在他1960年的论文《代數幾何基礎》中提出的，其中一個目的是為了解決代数几何中的一些問題，例如威爾猜想（英语：Weil conjectures） 。建立在交換代數的基礎之上，概形理論允許使用拓扑学、同調代數中有系統的方法。概形理論也將許多代數幾何和數論的問題統一，這也使得懷爾斯得以證明费马最后定理。 給定一個局部賦環空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} ，如果對 X {\displaystyle X} 的一個開集 V {\displaystyle V} ， ( V , O X | V ) {\displaystyle (V,{\mathcal {O}}_{X}|_{V})} 是仿射概形，稱 V {\displaystyle V} 爲仿射開集。 一個局部賦環空間 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 稱爲概形，如果 X {\displaystyle X} 的每一點 x {\displaystyle x} 都有仿射開邻域，即包含 x {\displaystyle x} 的仿射開集。 直觀上說，概形是由仿射概形粘起來得到的，正如流形是由歐幾里得空間粘起來得到的。 兩個概形之間的態射就是它們作爲局部賦環空間的態射。 全體概形構成範疇，其態射取為局部賦環空間之間的態射（另見概形的態射（英语：morphism of schemes））。給定概形 Y {\displaystyle Y} ，所謂 Y {\displaystyle Y} 之上的概形 X {\displaystyle X} （又稱 Y {\displaystyle Y} -概形）即是概形間的態射 X → Y {\displaystyle X\to Y} 。交換環 R {\displaystyle R} 上的概形 X {\displaystyle X} 即是態射 X → Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)} 。 域 k {\displaystyle k} 上的代數簇可定義為 k {\displaystyle k} 上的滿足特定條件的概形，但對於具體何種概形可稱為簇，有不同約定，其中一種定義為 k {\displaystyle k} 之上有限型（英语：Morphism of finite type）的整、分離概形。 態射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 確定了正則函數環上的拉回同態 f ∗ : O ( Y ) → O ( X ) {\displaystyle f^{*}:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)} 。對於仿射概形，此構造給出概形態射 Spec ⁡ ( A ) → Spec ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)} 與環同態 B → A {\displaystyle B\to A} 之間的一一對應。此意義下，概形論包含了交換環論的全部內容。 由於 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是交換環範疇（英语：category of commutative rings）的始对象，概形範疇對應以 Spec ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )} 為終對象。對於交換環 R {\displaystyle R} 上的概形 X {\displaystyle X} ，所謂 X {\displaystyle X} 的 R {\displaystyle R} 值點即是態射 X → Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)} 的截面（英语：section (category theory)），全體 R {\displaystyle R} 值點的集合記作 X ( R ) {\displaystyle X(R)} ，其對應的古典概念是定義 X {\displaystyle X} 的方程組在 R {\displaystyle R} 中的解集。若 R {\displaystyle R} 實為域 k {\displaystyle k} ，則 X ( k ) {\displaystyle X(k)} 亦稱為 X {\displaystyle X} 的 k {\displaystyle k} -有理點（英语：rational point）集。 推而廣之，設有交換環 R {\displaystyle R} ，其上有概形 X {\displaystyle X} 和交換代數 S {\displaystyle S} ，則 X {\displaystyle X} 的 S {\displaystyle S} 值點定義為 R {\displaystyle R} 之上的態射 Spec ⁡ ( S ) → X {\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to X} （該態射需要與射向 Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} 的態射組成交換圖表）， S {\displaystyle S} 值點的集合記作 X ( S ) {\displaystyle X(S)} 。（類比到方程組的情況，相當於將某個域 k {\displaystyle k} 擴張成 E {\displaystyle E} ，再考慮 E {\displaystyle E} 中的解集。）固定 R {\displaystyle R} 及其上的概形 X {\displaystyle X} 時，映射 S ↦ X ( S ) {\displaystyle S\mapsto X(S)} 為自交換 R {\displaystyle R} 代數範疇至集合範疇的函子。 R {\displaystyle R} 上的概形 X {\displaystyle X} 可從此點函子（英语：functor of points）確定。 概形的纖維積（英语：fiber product of schemes）總存在：對任意兩態射 X → Y , Z → Y {\displaystyle X\to Y,Z\to Y} ，皆可在概形範疇內找到纖維積 X × Y Z {\displaystyle X\times _{Y}Z} （即範疇學拉回）。若 X , Z {\displaystyle X,Z} 為域 k {\displaystyle k} 上的概形，則兩者在 Spec ⁡ ( k ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (k)} 上的纖維積可以視為 k {\displaystyle k} -概形範疇中的積，例如仿射空間 A m {\displaystyle \mathbb {A} ^{m}} 與 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 在 k {\displaystyle k} 上之積正是 A m + n {\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}} 。 由於概形範疇既有纖維積，又有終對象 Spec ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )} ，其有齊全部有限极限。 概形的概念是由亞歷山大·格羅滕迪克在20世紀50年代引入的。一開始稱為“預概形”（法語：préschéma，英語：prescheme），1967年左右改稱現名。 概形的中文名稱源自日文“概型”。 仿射概形的開子集不一定仿射，因此需要考慮（非仿射的）一般概形。例如，設 X = A n ∖ { 0 } {\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\setminus \{0\}} （基域取複域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 為例），則當 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 時， X {\displaystyle X} 不為仿射。（但對於 n = 1 {\displaystyle n=1} 的情況，仿射直線挖去原點，同構於仿射概形 Spec ⁡ C [ x , x − 1 ] {\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} [x,x^{-1}]} 。）欲證 X {\displaystyle X} 非仿射，可以證出當 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 時， X {\displaystyle X} 上的每個正則映射，皆可延拓至 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上。（對正則映射較易證明；對解析函數，則是複分析的哈托格斯延拓定理（英语：Hartogs's extension theorem））。換言之，嵌入 f : X → A n {\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}} 導出自 O ( A n ) = C [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]} 至 O ( X ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(X)} 的環同構。假若 X {\displaystyle X} 仿射，將由此得出 f {\displaystyle f} 本身亦為同構，但 f {\displaystyle f} 不為滿射，矛盾。因此，概形 X {\displaystyle X} 不為仿射。 設 k {\displaystyle k} 為域，則可數積 ∏ n = 1 ∞ k {\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }k} 的譜 Spec ⁡ ( ∏ n = 1 ∞ k ) {\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)} 為仿射概形，底下的拓撲空間為正整數集（離散）的斯通-切赫緊化，因為質理想與正整數集上的超滤子一一對應：超濾子 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 對應質理想 I = { x ∈ ∏ n = 1 ∞ k : { n ∈ Z + : x n = 0 } ∈ F } , {\displaystyle \quad I=\{x\in \prod _{n=1}^{\infty }k:\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:x_{n}=0\}\in {\mathcal {F}}\},} 特別地，正整數 n {\displaystyle n} 對應的主超濾子，對應的質理想是 { x : x n = 0 } {\displaystyle \{x:x_{n}=0\}} 。本例仿射概形為零維空間，故而每點自成一個既約分支（英语：irreducible component）。由於仿射概形皆擬緊，本例是擬緊但具有無窮多個既約分支的概形。（諾特概形（英语：Noetherian scheme）則與之相對，衹有有限多個既約分支。） Introduction of the first edition of "Éléments de géométrie algébrique". Stacks Project, Tag 020D, [2022-11-01], （原始内容存档于2022-11-01） . Hartshorne 1997，Proposition II.2.3. Eisenbud & Harris 1998，Proposition VI-2. Hartshorne 1997，Exercises I.3.6 and III.4.3. Arapura 2011，section 1. Arapura, Donu. Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces. Illinois Journal of Mathematics. 2011, 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. doi:10.1215/ijm/1373636688 .  Eisenbud, David; Harris, Joe. The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. 1998. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819.  Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry（粵语：代數幾何 (書)）. Springer-Verlag. 1997 [1977]. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157.  《代數幾何基礎》