離散正交轉換

數學上，任一的 M × N {\displaystyle M\times N} 離散線性轉換皆可表示成矩陣（Matrix） 的型式： Y = A X {\displaystyle {\boldsymbol {Y=AX}}} [ y [ 0 ] y [ 1 ] y [ 2 ] ⋮ y [ M − 1 ] ] = [ a 0 [ 0 ] a 0 [ 1 ] a 0 [ 2 ] ⋯ a 0 [ N − 1 ] a 1 [ 0 ] a 1 [ 1 ] a 1 [ 2 ] ⋯ a 1 [ N − 1 ] a 2 [ 0 ] a 2 [ 1 ] a 2 [ 2 ] ⋯ a 2 [ N − 1 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a M − 1 [ 0 ] a M − 1 [ 1 ] a M − 1 [ 2 ] ⋯ a M − 1 [ N − 1 ] ] [ x [ 0 ] x [ 1 ] x [ 2 ] ⋮ x [ N − 1 ] ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}y\left[{0}\right]\\y\left[{1}\right]\\y\left[{2}\right]\\\vdots \\y\left[{M-1}\right]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a_{0}\left[0\right]}&{a_{0}\left[1\right]}&{a_{0}\left[2\right]}&\cdots &{a_{0}\left[N-1\right]}\\{a_{1}\left[0\right]}&{a_{1}\left[1\right]}&{a_{1}\left[2\right]}&\cdots &{a_{1}\left[N-1\right]}\\{a_{2}\left[0\right]}&{a_{2}\left[1\right]}&{a_{2}\left[2\right]}&\cdots &{a_{2}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{a_{M-1}\left[0\right]}&{a_{M-1}\left[1\right]}&{a_{M-1}\left[2\right]}&\cdots &{a_{M-1}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\left[{0}\right]\\x\left[{1}\right]\\x\left[{2}\right]\\\vdots \\x\left[{N-1}\right]\end{bmatrix}}.} C A S E 1 {\displaystyle \mathbf {{CASE}\,{1}} } 再進一步假設，若矩陣 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} by正交基底 (Orthogonal basis) 列向量（Row vector） 所組成： [ ϕ 0 ∗ ϕ 1 ∗ ϕ 2 ∗ ⋮ ϕ M − 1 ∗ ] = [ ϕ 0 ∗ [ 0 ] ϕ 0 ∗ [ 1 ] ϕ 0 ∗ [ 2 ] ⋯ ϕ 0 ∗ [ N − 1 ] ϕ 1 ∗ [ 0 ] ϕ 1 ∗ [ 1 ] ϕ 1 ∗ [ 2 ] ⋯ ϕ 1 ∗ [ N − 1 ] ϕ 2 ∗ [ 0 ] ϕ 2 ∗ [ 1 ] ϕ 2 ∗ [ 2 ] ⋯ ϕ 2 ∗ [ N − 1 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ϕ M − 1 ∗ [ 0 ] ϕ M − 1 ∗ [ 1 ] ϕ M − 1 ∗ [ 2 ] ⋯ ϕ M − 1 ∗ [ N − 1 ] ] = A . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\phi }}_{0}^{*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}_{1}^{*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}_{2}^{*}}\\\vdots \\{{\boldsymbol {\phi }}_{M-1}^{*}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\phi _{0}^{*}\left[0\right]}&{\phi _{0}^{*}\left[1\right]}&{\phi _{0}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi _{0}^{*}\left[N-1\right]}\\{\phi _{1}^{*}\left[0\right]}&{\phi _{1}^{*}\left[1\right]}&{\phi _{1}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi _{1}^{*}\left[N-1\right]}\\{\phi _{2}^{*}\left[0\right]}&{\phi _{2}^{*}\left[1\right]}&{\phi _{2}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi _{2}^{*}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\phi _{M-1}^{*}\left[0\right]}&{\phi _{M-1}^{*}\left[1\right]}&{\phi _{M-1}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{\phi _{M-1}^{*}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {A}}.} 也可表示成級數和形式（Summation form）： y [ m ] = ⟨ ϕ m ∗ , x [ n ] ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 ϕ m ∗ [ n ] x [ n ] , for  m = 0 , 1 , ⋯ , M − 1. {\displaystyle y\left[m\right]=\left\langle {{\boldsymbol {\phi }}_{m}^{*}},x\left[n\right]\right\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}{\phi _{m}^{*}\left[n\right]}x\left[n\right],\quad {\mbox{for }}m=0,\,1,\,\cdots ,\,M-1.} 其中 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot \,,\cdot \right\rangle } 代表內積運算（Inner product）。 C A S E 2 {\displaystyle \mathbf {{CASE}\,{2}} } 同理也可假設，若矩陣 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} by正交基底行向量（Column vector） 所組成： [ β 0 ∗ β 1 ∗ β 2 ∗ ⋯ β N − 1 ∗ ] = [ β 0 ∗ [ 0 ] β 1 ∗ [ 0 ] β 2 ∗ [ 0 ] ⋯ β N − 1 ∗ [ 0 ] β 0 ∗ [ 1 ] β 1 ∗ [ 1 ] β 2 ∗ [ 1 ] ⋯ β N − 1 ∗ [ 1 ] β 0 ∗ [ 2 ] β 1 ∗ [ 2 ] β 2 ∗ [ 2 ] ⋯ β N − 1 ∗ [ 2 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ β 0 ∗ [ M − 1 ] β 1 ∗ [ M − 1 ] β 2 ∗ [ M − 1 ] ⋯ β N − 1 ∗ [ M − 1 ] ] = A . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\beta }}_{0}^{*}}&{{\boldsymbol {\beta }}_{1}^{*}}&{{\boldsymbol {\beta }}_{2}^{*}}&\cdots &{{\boldsymbol {\beta }}_{N-1}^{*}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\beta _{0}^{*}\left[0\right]}&{\beta _{1}^{*}\left[0\right]}&{\beta _{2}^{*}\left[0\right]}&\cdots &{\beta _{N-1}^{*}\left[0\right]}\\{\beta _{0}^{*}\left[1\right]}&{\beta _{1}^{*}\left[1\right]}&{\beta _{2}^{*}\left[1\right]}&\cdots &{\beta _{N-1}^{*}\left[1\right]}\\{\beta _{0}^{*}\left[2\right]}&{\beta _{1}^{*}\left[2\right]}&{\beta _{2}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{\beta _{N-1}^{*}\left[2\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\{\beta _{0}^{*}\left[M-1\right]}&{\beta _{1}^{*}\left[M-1\right]}&{\beta _{2}^{*}\left[M-1\right]}&\cdots &{\beta _{N-1}^{*}\left[M-1\right]}\end{bmatrix}}={\boldsymbol {A}}.} 也可表示成級數和： y [ m ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] β n ∗ [ m ] , for  m = 0 , 1 , ⋯ , M − 1. {\displaystyle y\left[m\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x\left[n\right]{\beta _{n}^{*}\left[m\right]},\quad {\mbox{for }}m=0,\,1,\,\cdots ,\,M-1.} 假若 M = N {\displaystyle M=N} 時，則 d e t ( A ) ≠ 0 {\displaystyle det(A)\neq 0} 可得 { Y = A X ( Forward transform ) X = A − 1 X ( Inverse transform ) . {\displaystyle {\begin{cases}Y=AX&({\mbox{Forward transform}})\\X=A^{-1}X&({\mbox{Inverse transform}})\end{cases}}.} 大致上，可簡單化將矩陣分類由（a）列向量（Row Vector）或（b）行向量（Column Vector）所組成。 A = [ ϕ 0 ∗ ϕ 1 ∗ ϕ 2 ∗ ⋮ ϕ M − 1 ∗ ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\phi }}_{0}^{*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}_{1}^{*}}\\{{\boldsymbol {\phi }}_{2}^{*}}\\\vdots \\{{\boldsymbol {\phi }}_{M-1}^{*}}\end{bmatrix}}} 若 { ⟨ ϕ l ∗ , ϕ k ∗ ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 ϕ l ∗ [ n ] ( ϕ k ∗ [ n ] ) T = 0 , when  l ≠ k ⟨ ϕ l ∗ , ϕ l ∗ ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 ϕ l ∗ [ n ] ( ϕ l ∗ [ n ] ) T = C l = C o n s t a n t , {\displaystyle {\begin{cases}\;\left\langle {\boldsymbol {\phi }}_{l}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{k}^{*}\right\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}{\phi _{l}^{*}\left[n\right]}\left({\phi _{k}^{*}\left[n\right]}\right)^{T}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k\\\;\left\langle {\boldsymbol {\phi }}_{l}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{l}^{*}\right\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}{\phi _{l}^{*}\left[n\right]}\left({\phi _{l}^{*}\left[n\right]}\right)^{T}=C_{l}=Constant\end{cases}},} 其中， ϕ 0 ∗ , ϕ 1 ∗ , ϕ 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 ϕ M − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{M-1}^{*}}} 為一組列向量的正交集合且稱 A   {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ } 為一種離散正交轉換。 再者，若滿足 C l = 1 , for any  l {\displaystyle C_{l}=1,\;{\mbox{for any }}l} 。則 ϕ 0 ∗ , ϕ 1 ∗ , ϕ 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 ϕ M − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{M-1}^{*}}} 將組成一組列向量的正規化正交集合且稱 A   {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ } 為一種離散正規化正交轉換。 此時，我們可利用 ϕ 0 ∗ , ϕ 1 ∗ , ϕ 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\phi }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 ϕ M − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\phi }}_{M-1}^{*}}} 來求得 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 的反矩陣： A − 1 = [ C 0 − 1 ϕ 0 ∗ [ 0 ] C 1 − 1 ϕ 1 ∗ [ 0 ] C 2 − 1 ϕ 2 ∗ [ 0 ] ⋯ C N − 1 − 1 ϕ N − 1 ∗ [ 0 ] C 0 − 1 ϕ 0 ∗ [ 1 ] C 1 − 1 ϕ 1 ∗ [ 1 ] C 2 − 1 ϕ 2 ∗ [ 1 ] ⋯ C N − 1 − 1 ϕ N − 1 ∗ [ 1 ] C 0 − 1 ϕ 0 ∗ [ 2 ] C 1 − 1 ϕ 1 ∗ [ 2 ] C 2 − 1 ϕ 2 ∗ [ 2 ] ⋯ C N − 1 − 1 ϕ N − 1 ∗ [ 2 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C 0 − 1 ϕ 0 ∗ [ M − 1 ] C 1 − 1 ϕ 1 ∗ [ M − 1 ] C 2 − 1 ϕ 2 ∗ [ M − 1 ] ⋯ C N − 1 − 1 ϕ N − 1 ∗ [ M − 1 ] ] , {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}{C_{0}^{-1}\phi _{0}^{*}\left[0\right]}&{C_{1}^{-1}\phi _{1}^{*}\left[0\right]}&{C_{2}^{-1}\phi _{2}^{*}\left[0\right]}&\cdots &{C_{N-1}^{-1}\phi _{N-1}^{*}\left[0\right]}\\{C_{0}^{-1}\phi _{0}^{*}\left[1\right]}&{C_{1}^{-1}\phi _{1}^{*}\left[1\right]}&{C_{2}^{-1}\phi _{2}^{*}\left[1\right]}&\cdots &{C_{N-1}^{-1}\phi _{N-1}^{*}\left[1\right]}\\{C_{0}^{-1}\phi _{0}^{*}\left[2\right]}&{C_{1}^{-1}\phi _{1}^{*}\left[2\right]}&{C_{2}^{-1}\phi _{2}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{C_{N-1}^{-1}\phi _{N-1}^{*}\left[2\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{C_{0}^{-1}\phi _{0}^{*}\left[M-1\right]}&{C_{1}^{-1}\phi _{1}^{*}\left[M-1\right]}&{C_{2}^{-1}\phi _{2}^{*}\left[M-1\right]}&\cdots &{C_{N-1}^{-1}\phi _{N-1}^{*}\left[M-1\right]}\end{bmatrix}},} 其中 C m = ⟨ ϕ m ∗ , ϕ m ∗ ⟩ {\displaystyle C_{m}=\left\langle {\boldsymbol {\phi }}_{m}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{m}^{*}\right\rangle } 。再者，也可表示成級數和（Summation）形式： x [ n ] = ∑ m = 0 N − 1 C m − 1 ϕ m ∗ [ n ] y [ m ] , for  n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1. {\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum _{m=0}^{N-1}C_{m}^{-1}{\phi _{m}^{*}\left[n\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.} 若 C m = 1 {\displaystyle C_{m}=1} ，即簡化成， x [ n ] = ∑ m = 0 N − 1 ϕ m ∗ [ n ] y [ m ] , for  n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1. {\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum _{m=0}^{N-1}{\phi _{m}^{*}\left[n\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.} A = [ β 0 ∗ β 1 ∗ β 2 ∗ ⋯ β N − 1 ∗ ] {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}{{\boldsymbol {\beta }}_{0}^{*}}&{{\boldsymbol {\beta }}_{1}^{*}}&{{\boldsymbol {\beta }}_{2}^{*}}&\cdots &{{\boldsymbol {\beta }}_{N-1}^{*}}\end{bmatrix}}} 若 { ⟨ β l ∗ , β k ∗ ⟩ = ∑ m = 0 M − 1 ( β l ∗ [ m ] ) T β k ∗ [ m ] = 0 , when  l ≠ k ⟨ β l ∗ , β l ∗ ⟩ = ∑ m = 0 M − 1 ( β l ∗ [ m ] ) T β l ∗ [ m ] = C l = C o n s t a n t , {\displaystyle {\begin{cases}\;\left\langle {\boldsymbol {\beta }}_{l}^{*},{\boldsymbol {\beta }}_{k}^{*}\right\rangle =\sum _{m=0}^{M-1}\left({\beta _{l}^{*}\left[m\right]}\right)^{T}{\beta _{k}^{*}\left[m\right]}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k\\\;\left\langle {\boldsymbol {\beta }}_{l}^{*},{\boldsymbol {\beta }}_{l}^{*}\right\rangle =\sum _{m=0}^{M-1}\left({\beta _{l}^{*}\left[m\right]}\right)^{T}{\beta _{l}^{*}\left[m\right]}=C_{l}=Constant\end{cases}},} 其中， β 0 ∗ , β 1 ∗ , β 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 β N − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{N-1}^{*}}} 為一組行向量的正交集合且也稱 A   {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ } 是一種離散正交轉換。 再者，若滿足 C l = 1 , for any  l {\displaystyle C_{l}=1,\;{\mbox{for any }}l} 。則 β 0 ∗ , β 1 ∗ , β 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 β N − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{N-1}^{*}}} 將組成一組行向量的正規化正交集合且稱 A   {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\ } 為一種離散正規化正交轉換。 此時，我們再利用 β 0 ∗ , β 1 ∗ , β 2 ∗ , … , {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{0}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{1}^{*}},\;{{\boldsymbol {\beta }}_{2}^{*}},\;\ldots ,\;} 和 β N − 1 ∗ {\displaystyle {\;{\boldsymbol {\beta }}_{N-1}^{*}}} 來組成 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 的反矩陣： A − 1 = [ C 0 − 1 β 0 ∗ [ 0 ] C 0 − 1 β 0 ∗ [ 1 ] C 0 − 1 β 0 ∗ [ 2 ] ⋯ C 0 − 1 β 0 ∗ [ N − 1 ] C 1 − 1 β 1 ∗ [ 0 ] C 1 − 1 β 1 ∗ [ 1 ] C 1 − 1 β 1 ∗ [ 2 ] ⋯ C 1 − 1 β 1 ∗ [ N − 1 ] C 2 − 1 β 2 ∗ [ 0 ] C 2 − 1 β 2 ∗ [ 1 ] C 2 − 1 β 2 ∗ [ 2 ] ⋯ C 2 − 1 β 2 ∗ [ N − 1 ] ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C M − 1 − 1 β M − 1 ∗ [ 0 ] C M − 1 − 1 β M − 1 ∗ [ 1 ] C M − 1 − 1 β M − 1 ∗ [ 2 ] ⋯ C M − 1 − 1 β M − 1 ∗ [ N − 1 ] ] , {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}={\begin{bmatrix}{C_{0}^{-1}\beta _{0}^{*}\left[0\right]}&{C_{0}^{-1}\beta _{0}^{*}\left[1\right]}&{C_{0}^{-1}\beta _{0}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{C_{0}^{-1}\beta _{0}^{*}\left[N-1\right]}\\{C_{1}^{-1}\beta _{1}^{*}\left[0\right]}&{C_{1}^{-1}\beta _{1}^{*}\left[1\right]}&{C_{1}^{-1}\beta _{1}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{C_{1}^{-1}\beta _{1}^{*}\left[N-1\right]}\\{C_{2}^{-1}\beta _{2}^{*}\left[0\right]}&{C_{2}^{-1}\beta _{2}^{*}\left[1\right]}&{C_{2}^{-1}\beta _{2}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{C_{2}^{-1}\beta _{2}^{*}\left[N-1\right]}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{C_{M-1}^{-1}\beta _{M-1}^{*}\left[0\right]}&{C_{M-1}^{-1}\beta _{M-1}^{*}\left[1\right]}&{C_{M-1}^{-1}\beta _{M-1}^{*}\left[2\right]}&\cdots &{C_{M-1}^{-1}\beta _{M-1}^{*}\left[N-1\right]}\end{bmatrix}},} 其中 C n = ⟨ β n ∗ , β n ∗ ⟩ {\displaystyle C_{n}=\left\langle {\boldsymbol {\beta }}_{n}^{*},{\boldsymbol {\beta }}_{n}^{*}\right\rangle } 。再者，也可表示成級數和： x [ n ] = C n − 1 ∑ m = 0 N − 1 β n ∗ [ m ] y [ m ] , for  n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1. {\displaystyle x\left[{n}\right]=C_{n}^{-1}\sum _{m=0}^{N-1}{\beta _{n}^{*}\left[m\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.} 若 C n = 1 {\displaystyle C_{n}=1} ，即簡化成， x [ n ] = ∑ m = 0 N − 1 β n ∗ [ m ] y [ m ] , for  n = 0 , 1 , ⋯ , N − 1. {\displaystyle x\left[{n}\right]=\sum _{m=0}^{N-1}{\beta _{n}^{*}\left[m\right]}y\left[{m}\right],\quad {\mbox{for }}n=0,\,1,\,\cdots ,\,N-1.} 離散傅里葉變換 離散餘弦變換、離散正弦變換、離散哈特利轉換 瓦希轉換、哈爾小波轉換 離散勒詹德轉換 離散正交多項式轉換 如：哈恩轉換、Krawtchouk多項式、Charlier多項式。 其列向量型式與行向量型式為一體兩面的情形： 順向轉換（Forward Transform）：列向量型式 ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } 反向轉換（Inverse Transform）：行向量型式。 順向轉換（FT）：行向量型式 ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } 反向轉換（IT）：列向量型式。 於正規化正交情況下： 若為行向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的列向量形成的反矩陣 ( A − 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\left(A^{-1}\right)}}} 必為正規化正交矩陣。 若為列向量所組成的正規化正交矩陣，則它所對應的行向量形成的反矩陣 ( A − 1 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\left(A^{-1}\right)}}} 必為正規化正交矩陣。 彼此間的列向量（或行向量）不會互相產生干擾（Interference）。 在同一維度（dimension）下，DOT提供正交矩陣內的列向量（或行向量） 彼此間重要的正交特性，可藉由此避免其他使用者干擾進而來實現多工存取技術。 O r t h o g n a l : ⟨ ϕ l ∗ , ϕ k ∗ ⟩ = ∑ n = 0 N − 1 ϕ l ∗ [ m ] ϕ k ∗ [ m ] = 0 , when  l ≠ k . {\displaystyle {\boldsymbol {Orthognal:}}\quad \left\langle {\boldsymbol {\phi }}_{l}^{*},{\boldsymbol {\phi }}_{k}^{*}\right\rangle =\sum _{n=0}^{N-1}{\phi _{l}^{*}\left[m\right]}{\phi _{k}^{*}\left[m\right]}=0,\quad {\mbox{when }}l\neq k.} 其本身的FT與對應的IT結構為相當類似。 此外，離散正交轉換較非正交轉換（Non-orthogonal Transform）計算上較為簡單。 將DOT應用於影像重建（Reconstruction） 或壓縮上，可藉由增加正交基底（Orthogonal basis）來控制誤差的產生，是採用非正交轉換所能及的。 通常對於影像重建或壓縮上大都採用局部重建（Parital reconstruction）的機制，即： (a) 正交情況下 x k [ n ] = ∑ m = 0 K − 1 C m − 1 y [ m ] ϕ m ∗ [ n ] , for  K < N . {\displaystyle x_{k}\left[{n}\right]=\sum _{m=0}^{K-1}C_{m}^{-1}y\left[{m}\right]{\phi _{m}^{*}\left[n\right]},\quad {\mbox{for }}K<N.} 因此，對於局部重建所產生的平方誤差（Sqaure error）： ‖ x [ n ] − x k [ n ] ‖ 2 = ∑ n = 0 N − 1 ‖ ∑ m = k N − 1 C m − 1 y [ m ] ϕ m [ n ] ‖ 2 = ∑ n = 0 N − 1 ∑ m = k N − 1 C m − 1 y [ m ] ϕ m [ n ] ∑ h = k N − 1 C h − 1 y ∗ [ h ] ϕ h ∗ [ n ] = ∑ m = k N − 1 C m − 1 |   y [ m ] | 2 . {\displaystyle \left\|x\left[n\right]-x_{k}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum _{n=0}^{N-1}\left\|\sum _{m=k}^{N-1}C_{m}^{-1}y\left[{m}\right]\phi _{m}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=k}^{N-1}C_{m}^{-1}y\left[{m}\right]\phi _{m}\left[n\right]\sum _{h=k}^{N-1}C_{h}^{-1}y^{*}\left[{h}\right]\phi _{h}^{*}\left[n\right]=\sum _{m=k}^{N-1}C_{m}^{-1}\left|\ y\left[{m}\right]\right|^{2}.} 從此結果可發現 C m − 1 |   y [ m ] | 2 {\displaystyle C_{m}^{-1}\left|\ y\left[{m}\right]\right|^{2}} 必定為正的，因此可藉由增加正交基底數來改善影像重建後的平方誤差值。 （b）非正交情況下 x k [ n ] = ∑ m = 0 K − 1 B [ n , m ] y [ m ] , for  K < N . {\displaystyle x_{k}\left[{n}\right]=\sum _{m=0}^{K-1}B\left[{n,m}\right]y\left[m\right],\quad {\mbox{for }}K<N.} 因此，對於局部重建所產生的平方誤差： ‖ x [ n ] − x k [ n ] ‖ 2 = ∑ n = 0 N − 1 ‖ ∑ m = k N − 1 B [ n , m ] y [ m ] ‖ 2 = ∑ m = k N − 1 ∑ h = k N − 1 y [ m ] y ∗ [ h ] ∑ n = 0 N − 1 B [ n , m ] B ∗ [ n , h ] . {\displaystyle \left\|x\left[n\right]-x_{k}\left[n\right]\right\|^{2}=\sum _{n=0}^{N-1}\left\|\sum _{m=k}^{N-1}B\left[{n,m}\right]y\left[m\right]\right\|^{2}=\sum _{m=k}^{N-1}\sum _{h=k}^{N-1}y\left[{m}\right]y^{*}\left[h\right]\sum _{n=0}^{N-1}B\left[{n,m}\right]B^{*}\left[{n,h}\right].} 從此結果可發現 y [ m ] y ∗ [ h ] ∑ n = 0 N − 1 B [ n , m ] B ∗ [ n , h ] {\displaystyle y\left[{m}\right]y^{*}\left[h\right]\sum _{n=0}^{N-1}B\left[{n,m}\right]B^{*}\left[{n,h}\right]} 不一定為正的，所以無法利用增加基底數來改善平方誤差。 離散傅里葉變換 離散餘弦變換 離散正弦變換 哈爾小波轉換 正交矩陣 Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008. http://fourier.eng.hmc.edu/e101/lectures/Image_Processing/node15.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）. http://mathworld.wolfram.com/KrawtchoukPolynomial.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.