維塔利覆蓋引理

數學上，維塔利(Vitali)覆蓋引理是一個組合幾何的結果，用於實分析中。這引理說給出一族球，可以從中找到一族互不相交的球，將這些球半徑增加一定倍後，就能把其他的球都覆蓋住。 在一個度量空間中有一族閉球 B 1 , … , B n {\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}} ，則這一族球中存在互不相交的球 B i 1 , … , B i m {\displaystyle B_{i_{1}},\ldots ,B_{i_{m}}} ，適合條件 B 1 ∪ … ∪ B n ⊂ 3 B i 1 ∪ … ∪ 3 B i m {\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{n}\subset 3B_{i_{1}}\cup \ldots \cup 3B_{i_{m}}} 3 B i k {\displaystyle 3B_{i_{k}}} 表示和 B i k {\displaystyle B_{i_{k}}} 有相同中心，而半徑是 B i k {\displaystyle B_{i_{k}}} 的三倍的球。 在一個度量空間中有一族半徑為正數的閉球 { B i : i ∈ I } {\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}} ，這族球的半徑有有限的上界，即 sup I r a d ( B i ) < ∞ {\displaystyle \sup _{I}\mathrm {rad} (B_{i})<\infty } 則這一族球中存在互不相交的球 { B i : i ∈ I ′ } {\displaystyle \{B_{i}:i\in I'\}} ， I ′ ⊂ I {\displaystyle I'\subset I} ，適合條件 ⋃ i ∈ I B i ⊂ ⋃ i ∈ I ′ 5 B i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}B_{i}\subset \bigcup _{i\in I'}5B_{i}} 5 B i {\displaystyle 5B_{i}} 表示和 B i {\displaystyle B_{i}} 有相同中心，而半徑是 B i {\displaystyle B_{i}} 的五倍的球。 取這一族球中半徑最大的一個球 B i 1 {\displaystyle B_{i_{1}}} ，然後除去所有與 B i 1 {\displaystyle B_{i_{1}}} 相交的球。再從剩下的球中取半徑最大的為 B i 2 {\displaystyle B_{i_{2}}} ，如此類推。那麼任何其他的球必定因為和某個 B i k {\displaystyle B_{i_{k}}} 相交而被除去，這個球的半徑不大於 B i k {\displaystyle B_{i_{k}}} ，因此包含在 3 B i k {\displaystyle 3B_{i_{k}}} 之內。 設這一族球的半徑的上確界為R。將這一族按半徑分成子集 F j {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}} ，j為正整數； F j {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}} 包含半徑在區間 ( R / 2 j , R / 2 j − 1 ] {\displaystyle (R/2^{j},R/2^{j-1}]} 的球。依次取 G 1 , G 2 , ⋯ {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{2},\cdots } 如下： 設 F 1 ′ = F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}={\mathcal {F}}_{1}} 。取 G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} 為 F 1 ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}} 內互不相交球的子集之中的極大者，即其他在 F 1 ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{1}} 中的球都與這一子集中某個球相交。從佐恩引理知這樣的 G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}} 存在，以下同。 設已取 G 1 , ⋯ , G k − 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{k-1}} ，k為某大於1的整數。設 F k ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}} 是 F k {\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}} 中不與 G 1 ∪ ⋯ ∪ G k − 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\cup \cdots \cup {\mathcal {G}}_{k-1}} 中任何球相交的全部球的子集。取 G k {\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}} 為 F k ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}} 內互不相交球的子集之中的極大者。 設 G = ⋃ k = 1 ∞ G k {\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{k}} 。任何其他的球B必在某一個 F k ′ {\displaystyle {\mathcal {F}}'_{k}} 中，因此這個球與 G k {\displaystyle {\mathcal {G}}_{k}} 中一個球 B ′ {\displaystyle B'} 相交，而 B ′ {\displaystyle B'} 的半徑大於B的半徑的二分之一，故此B包含在 5 B ′ {\displaystyle 5B'} 之內。 因為有無限多球時，可能不存在半徑最大的球，所以在構造中，每一步選擇的球的半徑，只要求接近餘下的球的半徑的上確界。而結果中的5並非最佳常數。將 F j {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}} 的定義中的 2 j , 2 j + 1 {\displaystyle 2^{j},2^{j+1}} 的2換成任何大於1的數c，那麼就可把結果中的5換成1+2c，即可以用任何大於3的數取代。不過由於未必有半徑最大的球，以致不能像有限多球時用3取代，以下是一個簡單例子。 在平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中，給出如下的一族球：對每個正整數n， B n {\displaystyle B_{n}} 是半徑為 2 − 1 / n {\displaystyle 2-1/n} 的閉球，若n為奇數， B n {\displaystyle B_{n}} 的圓心在 ( 2 − 1 / n , 0 ) {\displaystyle (2-1/n,0)} ；若n為偶數，則圓心在 ( − 2 + 1 / n , 0 ) {\displaystyle (-2+1/n,0)} 。所有球都包含原點(0,0)，故任意兩個球都相交，因此包含互不相交的球的子集只能有一個球。這一族球的半徑上確界是2，然而全部球的半徑都小於2。若選任何一個 B n {\displaystyle B_{n}} 為這個子集，因有半徑更大的球 B n + 1 {\displaystyle B_{n+1}} 在原點的另一側，故此 3 B n {\displaystyle 3B_{n}} 不覆蓋 B n + 1 {\displaystyle B_{n+1}} 。 這條引理用於證明哈代－李特爾伍德極大不等式。 貝西科維奇覆蓋定理 Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.