庞加莱度量

数学中，庞加莱度量（Poincaré metric），以昂利·庞加莱命名，描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何和黎曼曲面中广为使用的自然度量。 在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型，在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型在单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系，等距由莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上，通常表示为与 q-类似（Q-analog）的关系，这种形式不同于前两种。 复平面上的度量可写成一般形式 d s 2 = λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ {\displaystyle ds^{2}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}} 这里 λ 是 z 与 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 的一个实正函数。复平面上曲线 γ 的长度为 l ( γ ) = ∫ γ λ ( z , z ¯ ) | d z | . {\displaystyle l(\gamma )=\int _{\gamma }\lambda (z,{\overline {z}})\,|dz|.} 复平面上子集 M 之面积是 Area ( M ) = ∫ M λ 2 ( z , z ¯ ) i 2 d z ∧ d z ¯ , {\displaystyle {\mbox{Area}}(M)=\int _{M}\lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,{\frac {i}{2}}dz\wedge d{\overline {z}},} 这里 ∧ {\displaystyle \wedge } 是用于构造体积形式的外积。度量的行列式等于 λ 4 {\displaystyle \lambda ^{4}} ，故而行列式的平方根是 λ 2 {\displaystyle \lambda ^{2}} 。复平面上的欧几里得体积形式为 d x ∧ d y {\displaystyle dx\wedge dy} ，从而我们有 d z ∧ d z ¯ = ( d x + i d y ) ∧ ( d x − i d y ) = − 2 i d x ∧ d y . {\displaystyle dz\wedge d{\overline {z}}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)=-2i\,dx\wedge dy.} 函数 Φ ( z , z ¯ ) {\displaystyle \Phi (z,{\overline {z}})} 称为度量的势能（potential of the metric），如果 4 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ Φ ( z , z ¯ ) = λ 2 ( z , z ¯ ) . {\displaystyle 4{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}\Phi (z,{\overline {z}})=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).} 拉普拉斯–贝尔特拉米算子为 Δ = 4 λ 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ = 1 λ 2 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) . {\displaystyle \Delta ={\frac {4}{\lambda ^{2}}}{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right).} 度量的高斯曲率由 K = − Δ log ⁡ λ , {\displaystyle K=-\Delta \log \lambda ,} 给出，这个曲率是里奇数量曲率的一半。 等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上，等距与坐标变换等价：即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而，比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ {\displaystyle \lambda ^{2}(z,{\overline {z}})\,dzd{\overline {z}}} 而 T 是带有度量 μ 2 ( w , w ¯ ) d w d w ¯ {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\,dw\,d{\overline {w}}} 的黎曼曲面，则映射 f : S → T {\displaystyle f:S\to T\,} 以及 f = w ( z ) {\displaystyle f=w(z)} 是等距当且仅当它是共形的以及 μ 2 ( w , w ¯ ) ∂ w ∂ z ∂ w ¯ ∂ z ¯ = λ 2 ( z , z ¯ ) . {\displaystyle \mu ^{2}(w,{\overline {w}})\;{\frac {\partial w}{\partial z}}{\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial {\overline {z}}}}=\lambda ^{2}(z,{\overline {z}}).} 在这里，映射为共形的也就是条件 w ( z , z ¯ ) = w ( z ) , {\displaystyle w(z,{\overline {z}})=w(z),} 即 ∂ ∂ z ¯ w ( z ) = 0. {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}w(z)=0.} 庞加莱半平面模型中上半平面 H 的庞加莱度量张量为 d s 2 = d x 2 + d y 2 y 2 = d z d z ¯ y 2 , {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}}={\frac {dzd{\overline {z}}}{y^{2}}},} 这里我们记 d z = d x + i d y {\displaystyle dz=dx+i\,dy} 。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是，如果我们记 z ′ = x ′ + i y ′ = a z + b c z + d , {\displaystyle z'=x'+iy'={\frac {az+b}{cz+d}},} 对 a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} ，则我们可算得 x ′ = a c ( x 2 + y 2 ) + x ( a d + b c ) + b d | c z + d | 2 , {\displaystyle x'={\frac {ac(x^{2}+y^{2})+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^{2}}},} 与 y ′ = y | c z + d | 2 , {\displaystyle y'={\frac {y}{|cz+d|^{2}}},} 无穷小变换为 d z ′ = d z ( c z + d ) 2 , {\displaystyle dz'={\frac {dz}{(cz+d)^{2}}},} 从而 d z ′ d z ¯ ′ = d z d z ¯ | c z + d | 4 . {\displaystyle dz'd{\overline {z}}'={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{|cz+d|^{4}}}.} 这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。 不变体积元素为 d μ = d x d y y 2 . {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{y^{2}}}.} 对 z 1 , z 2 ∈ H {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} } 度量为 ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1 ⁡ | z 1 − z 2 | | z 1 − z 2 ¯ | , {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}{\frac {|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|}},} ρ ( z 1 , z 2 ) = log ⁡ | z 1 − z 2 ¯ | + | z 1 − z 2 | | z 1 − z 2 ¯ | − | z 1 − z 2 | . {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\log {\frac {|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|+|z_{1}-z_{2}|}{|z_{1}-{\overline {z_{2}}}|-|z_{1}-z_{2}|}}.} 度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 C ^ = C ∪ ∞ {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \infty } 上任意四点 z 1 , z 2 , z 3 {\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}} 与 z 4 {\displaystyle z_{4}} ，交比定义为 ( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) = ( z 1 − z 2 ) ( z 3 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 4 − z 1 ) . {\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{1}-z_{2})(z_{3}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{4}-z_{1})}}.} 那么度量用交比表示为 ρ ( z 1 , z 2 ) = ln ⁡ ( z 1 , z 2 × ; z 2 , z 1 × ) . {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=\ln(z_{1},z_{2}^{\times };z_{2},z_{1}^{\times }).} 这里 z 1 × {\displaystyle z_{1}^{\times }} 与 z 2 × {\displaystyle z_{2}^{\times }} 是端点，位于实数轴上，测地线连接 z 1 {\displaystyle z_{1}} 与 z 2 {\displaystyle z_{2}} 。这些点是有顺序的故 z 1 {\displaystyle z_{1}} 位于 z 1 × {\displaystyle z_{1}^{\times }} 与 z 2 {\displaystyle z_{2}} 之间。 这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧（的一段），即端点位于实轴的上半圆周。 上半平面可以共形地映到单位圆盘，用莫比乌斯变换 w = e i ϕ z − z 0 z − z 0 ¯ , {\displaystyle w=e^{i\phi }{\frac {z-z_{0}}{z-{\overline {z_{0}}}}},} 这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中，常数 z0 可取上半平面上任何一点；这个点将映为圆盘的中心。实数轴 ℑ z = 0 {\displaystyle \Im z=0} 映为单位圆盘的边界 | w | = 1 {\displaystyle |w|=1} 。实常数 ϕ {\displaystyle \phi } 将圆盘旋转任意一个角度。 典范映射是 w = i z + 1 z + i {\displaystyle w={\frac {iz+1}{z+i}}} 将 i 映为圆盘的中心，0 映为圆盘的最低点。 庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量在单位圆盘 U = { z = x + i y : | z | = ( x 2 + y 2 ) ≤ 1 } {\displaystyle U=\{z=x+iy:|z|={\sqrt {(x^{2}+y^{2})}}\leq 1\}} 上为 d s 2 = d x 2 + d y 2 ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d z d z ¯ ( 1 − | z | 2 ) 2 . {\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dz\,d{\overline {z}}}{(1-|z|^{2})^{2}}}.} 体积形式为 d μ = d x d y ( 1 − ( x 2 + y 2 ) ) 2 = d x d y ( 1 − | z | 2 ) 2 . {\displaystyle d\mu ={\frac {dx\,dy}{(1-(x^{2}+y^{2}))^{2}}}={\frac {dx\,dy}{(1-|z|^{2})^{2}}}.} 对 z 1 , z 2 ∈ U {\displaystyle z_{1},z_{2}\in U} 的庞加莱度量为 ρ ( z 1 , z 2 ) = 2 tanh − 1 ⁡ | z 1 − z 2 1 − z 1 z 2 ¯ | . {\displaystyle \rho (z_{1},z_{2})=2\tanh ^{-1}\left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-z_{1}{\overline {z_{2}}}}}\right|.} 这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。 第二个将上半平面映成圆盘是 q-映射： q = e x p ( i π τ ) {\displaystyle q=exp(i\pi \tau )} 这里 q 是 nome（Nome）， τ {\displaystyle \tau } 是半周期比例（half-period ratio）。在上一节的记号中， τ {\displaystyle \tau } 是上半平面 ℑ τ > 0 {\displaystyle \Im \tau >0} 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘，因为值 q=0 不在映射的像中。 上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量 d s 2 = 4 | q | 2 ( log ⁡ | q | 2 ) 2 d q d q ¯ , {\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{|q|^{2}(\log |q|^{2})^{2}}}dqd{\overline {q}},} 度量的势能是 Φ ( q , q ¯ ) = 4 log ⁡ log ⁡ | q | − 2 . {\displaystyle \Phi (q,{\overline {q}})=4\log \log |q|^{-2}.} 庞加莱度量在调和函数上距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广，称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理（Schwarz-Alhfors-Pick theorem）。 富克斯群（Fuchsian group） 富克斯模型（Fuchsian model） 克莱因群 克莱因模型 庞加莱圆盘模型 庞加莱半平面模型 本原测地线（Prime geodesic） 施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4. Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3). Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)