柯西乘积

在数学上，以法国数学家奧古斯丁·路易·柯西命名的柯西乘积，是指两组数列 a n , b n {\displaystyle a_{n},b_{n}} 的离散卷积。 c n = ∑ k = 0 n a k b n − k . {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}.} 该数列乘积被认为是自然数 R [ N ] {\displaystyle R[\mathbb {N} ]} 的半群环的元素。 一个特别重要的例子是考虑两个严格的形式级数（不需要收敛） a n , b n {\displaystyle a_{n},b_{n}} ： ∑ n = 0 ∞ a n , ∑ n = 0 ∞ b n , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n},} 一般地，对于实数和复数，柯西乘积定义为如下的离散卷积形式： ( ∑ n = 0 ∞ a n ) ⋅ ( ∑ n = 0 ∞ b n ) = ∑ n = 0 ∞ c n , {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n},} 这里 c n = ∑ k = 0 n a k b n − k , n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k},\,n=0,1,2,\ldots } “形式”是指我们对级数运算时不考虑是否收敛，参见形式幂级数。 人们希望，通过对两组级数做实际卷积的有限和的类推，得到无穷级数 ∑ n = 0 ∞ c n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}} 等于如下乘积： ( ∑ n = 0 ∞ a n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ) {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)} 就如同两个数列的和是有限范围一样做乘法。 在充分良态的情况下，上述式子成立。而更重要的一点，尽管这两个无穷级数可能不收敛，它们的柯西乘积仍可能存在。 对于 i > n {\displaystyle i>n} 、 i > m {\displaystyle i>m} ，有 x i = 0 {\displaystyle x_{i}=0} ， y i = 0 {\displaystyle y_{i}=0} 即为有穷级数，则 ∑ x {\displaystyle \sum x} 和 ∑ y {\displaystyle \sum y} 柯西乘积可以展开为 ( x 0 + ⋯ + x n ) ( y 0 + ⋯ + y m ) {\displaystyle (x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})} ，因此可以直接计算乘积。 对某些 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } ，构造 x n = a n / n ! {\displaystyle x_{n}=a^{n}/n!\,} 和 y n = b n / n ! {\displaystyle y_{n}=b^{n}/n!\,} ，由定义和二项式展开可知： C ( x , y ) ( n ) = ∑ i = 0 n a i i ! b n − i ( n − i ) ! = ( a + b ) n n ! {\displaystyle C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}} 形式上， exp ⁡ ( a ) = ∑ x {\displaystyle \exp(a)=\sum x} ， exp ⁡ ( b ) = ∑ y {\displaystyle \exp(b)=\sum y} ，我们已表明 exp ⁡ ( a + b ) = ∑ C ( x , y ) {\displaystyle \exp(a+b)=\sum C(x,y)} 。由于该两个绝对收敛数列的柯西乘积等于两个数列极限的乘积，（见下面的证明），因此我们就可证明这个表达式对于 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 有 exp ⁡ ( a + b ) = exp ⁡ ( a ) exp ⁡ ( b ) {\displaystyle \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)} 另外一个例子，令 x ( n ) = 1 {\displaystyle x(n)=1} （ n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ），则 C ( x , x ) ( n ) = n + 1 {\displaystyle C(x,x)(n)=n+1} 对所有 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 成立，则柯西乘积 ∑ C ( x , x ) = ( 1 , 1 + 2 , 1 + 2 + 3 , 1 + 2 + 3 + 4 , … ) {\displaystyle \sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )} ，该乘积不收敛。 令x, y为实数数列，弗兰兹·梅尔滕斯（Franz Mertens）提出，如果级数 ∑ y {\displaystyle \sum y} 收敛到Y，且级数 ∑ x {\displaystyle \sum x} 绝对收敛到X，则他们的柯西乘积 ∑ C ( x , y ) {\displaystyle \sum C(x,y)} 收敛到XY。 对于两个级数为条件收敛时，结论未必成立。如下反例所示： 考虑下述两交错级数： a n = b n = ( − 1 ) n n + 1 , {\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,} 它们都是收敛的（其绝对值构成的级数因比较审敛法和调和级数的发散性而发散）。其柯西乘积的项由下式给出： c n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k + 1 ⋅ ( − 1 ) n − k n − k + 1 = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n 1 ( k + 1 ) ( n − k + 1 ) {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}} 其中整数 n ≥ 0。因为对于所有 k ∈ {0, 1, ..., n} 我们都有不等式 k + 1 ≤ n + 1 及 n – k + 1 ≤ n + 1，故对分母中的根式有 √(k + 1)(n − k + 1) ≤ n +1。因此，由于共有 n + 1 个被加项，故对于所有的整数 n ≥ 0有 | c n | ≥ ∑ k = 0 n 1 n + 1 = 1 {\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1} 因此，cn 在 n → ∞ 时并不趋于 0，级数 ∑ cn 发散（项测试）。 令 X n = ∑ i = 0 n x i {\displaystyle X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}} ， Y n = ∑ i = 0 n y i {\displaystyle Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}} ， C n = ∑ i = 0 n C ( x , y ) ( i ) {\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)} ， C n = ∑ i = 0 n ∑ k = 0 i x k y i − k = ∑ i = 0 n Y i x n − i {\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}} (重排后)。 则 C n = ∑ i = 0 n ( Y i − Y ) x n − i + Y X n {\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}} ，对任意给定的 ε > 0，因为 ∑ x {\displaystyle \sum x} 绝对收敛， ∑ y {\displaystyle \sum y} 收敛，因此存在一个整数N，对于任意n ≥ N | Y n − Y | < ε / 4 ∑ n = 0 ∞ | x n | + 1 {\displaystyle |Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}} ，和存在一个正整数M，对于所有 n ≥ M {\displaystyle n\geq M} ，有 | x n − N | < ε / 4 N sup | Y n − Y | + 1 {\displaystyle |x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon /4}{N\sup |Y_{n}-Y|+1}}} （由级数絕對收敛，则式子收敛到0），同样的，存在一个整数L ，如果有 n ≥ L {\displaystyle n\geq L} ，则 | X n − X | < ε / 2 | Y | + 1 {\displaystyle |X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}} 。 因此，对于所有n大于N, M, L，有： | C n − X Y | = | ∑ i = 0 n ( Y i − Y ) x n − i + Y ( X n − X ) | ≤ ∑ i = 0 N − 1 | Y i − Y | | x n − i | + ∑ i = N n | Y i − Y | | x n − i | + | Y | | X n − X | < ε {\displaystyle |C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon } 根据收敛的定义，即： ∑ C ( x , y ) → X Y . {\displaystyle \sum C(x,y)\to XY.} 如果x，y是实数数列，且 ∑ x → A {\displaystyle \sum x\to A} ， ∑ y → B {\displaystyle \sum y\to B} ，则有： 1 n ( ∑ i = 0 n C ( x , y ) n ) → A B . {\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB.} 所有上述证明也可推广到 C {\displaystyle \mathbb {C} } 复数级数。柯西乘积可以定义在乘法为内积的欧式空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上。这种情况下，如果两组数列绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛到数列极限的内积 。 我们可以定义柯西乘积为双向无限数列，视为 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上的函数。这种情况并非总能定义柯西乘积。例如：常数级数1和其本身的柯西乘积， ( … , 1 , … ) {\displaystyle (\dots ,1,\dots )} 。 有的有一些配对，比如任何级数与一个有限级数的乘积， ℓ 1 × ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{1}\times \ell ^{\infty }} 的乘积，这与Lp空间有关。