決定公理

在數學上，決定公理（Axiom of determinacy，常記做AD）是一個在1962年由​​揚·米切爾斯基（英语：Jan Mycielski）和​​雨果·斯坦豪斯（英语：Hugo Steinhaus）所提出的可能的集合論公理，這公理探討的是特定類型且長度為ω的二人​拓樸遊戲（英语：Topological game），而決定公理聲稱，任何這類的遊戲都是決定的（英语：determinacy），也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。 他們發展出決定公理的動機是這公理的有趣結果，他們並指出這公理可在集合論的最小自然模型​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立，這模型只接受較弱版本的選擇公理，但包括了所有的實數和序數。決定公理的一些結果，可由早前由斯特凡·巴拿赫、斯坦尼斯瓦夫·馬祖爾（英语：Stanisław Mazur）以及莫頓·戴維斯（Morton Davis）等人證明的定理得出；而米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏則證明了另一個結果，那就是在決定公理下，所有實數的集合都是勒貝格可測的。之後Donald A. Martin等人證明了更多重要的結果，尤其在描述集合論方面更是如此。在1988年，約翰·斯蒂爾（英语：John R. Steel）與​烏丁（英语：W. Hugh Woodin）總結了一長串的研究，並證明說在類似 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 的不可數基數存在的狀況下，米切爾斯基與斯坦豪斯兩氏原先的猜想，也就是「決定公理在集合論的最小自然模型​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立」這點是對的。 決定公理所談論的遊戲具有特定的定義，而其定義如次： 考慮所有自然數的無限序列組成的貝爾空間（英语：Baire space (set theory)） ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} 的子集合 A {\displaystyle A} ，而其中兩個玩家1p與2p輪流選取自然數 n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , . . . {\displaystyle n_{0},n_{1},n_{2},n_{3},...} 在經過無限步後，可得一序列 ( n i ) i ∈ ω {\displaystyle (n_{i})_{i\in \omega }} ，其中玩家1p獲勝當且僅當這序列是 A {\displaystyle A} 的元素。而決定公理講的是任何這類的遊戲都是決定的，也就是這兩個玩家中其中一人有必勝策略。 不是所有的遊戲的決定性，都需要動用決定公理來證明。在 A {\displaystyle A} 是一個閉開集的情況下，那這遊戲基本是有限的，也因此是決定的；相似地，若 A {\displaystyle A} 是一個閉集，那這遊戲是決定的。在1975年，唐纳德·A·馬丁（英语：Donald A. Martin）證明說若一個遊戲必勝策略是一個博雷爾集的話，那這遊戲是決定的；此外，在有足夠大的基數存在的狀況下，所有必勝策略是射影集（英语：projective set）的遊戲都是決定的，而決定公理在​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立。 另外，決定公理蘊含說對於任何實數線的子空間 X {\displaystyle X} 而言，巴拿赫－馬祖爾遊戲（英语：Banach–Mazur game） B M ( X ) {\displaystyle BM(X)} 是決定的（也因此所有的實數集合都具有貝爾性質）。 在假定選擇公理成立的狀況下，我們可以構造決定公理的一個反例。集合 S 1 {\displaystyle S_{1}} 是 ω {\displaystyle \omega } －遊戲 G {\displaystyle G} 中玩家一的所有策略，其大小與連續統相同；而類似地， S 2 {\displaystyle S_{2}} 是同樣遊戲中玩家二的所有策略。設 S G {\displaystyle SG} 為 G {\displaystyle G} 中所有可能序列的集合，並假定 A {\displaystyle A} 是 S G {\displaystyle SG} 中使玩家一獲勝的子序列，那麼利用選擇公理我們可以為連續統構造一個良序，且我們可以構造出一個任何真初始部分都小於連續統的排序，而我們可利用這樣的良序集 J {\displaystyle J} 來給 S 1 {\displaystyle S_{1}} 跟 S 2 {\displaystyle S_{2}} 上指標，並藉此將 A {\displaystyle A} 給構造成決定公理的一個反例。 我們從空集合 A {\displaystyle A} 與 B {\displaystyle B} 開始。設 α ∈ J {\displaystyle \alpha \in J} 是集合 S 1 {\displaystyle S_{1}} 跟 S 2 {\displaystyle S_{2}} 的指標，我們考慮玩家一的所有策略 S 1 = s 1 ( α ) {\displaystyle S_{1}={s1(\alpha )}} 及玩家二的所有策略 S 2 = s 2 ( α ) {\displaystyle S_{2}={s2(\alpha )}} 以確保對於任何策略，都會有另一個玩家的策略能將之勝過。對於任何玩家考慮的策略，我們都可生成一個序列，使得另一個玩家獲勝。設 t {\displaystyle t} 是時間軸，其長度為 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 且這時間軸用於所有的遊戲序列中，我們可以利用 A {\displaystyle A} 上對 α {\displaystyle \alpha } 的超限遞歸來生成反例： 首先，考慮玩家一的策略 s 1 ( α ) {\displaystyle s1(\alpha )} 。 將這策略套用於 ω {\displaystyle \omega } －遊戲上，（連同玩家一的策略 s 1 ( α ) {\displaystyle s1(\alpha )} 一起）可生成 { a ( 1 ) , b ( 2 ) , a ( 3 ) , b ( 4 ) . . . a ( t ) , b ( t + 1 ) , . . . } {\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}} 這序列，而這序列不屬於 A {\displaystyle A} ，這是可能的，而這可能性是因為 { b ( 2 ) , b ( 4 ) , b ( 6 ) . . . } {\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}} 這些選項的數量與連續統相同，而這數量比 J {\displaystyle J} 的真初始部分 { β ∈ J | β < J } {\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}} 還要大所致。 現在（若這序列還不在 B {\displaystyle B} 之內的話）將這序列加入 B {\displaystyle B} 之中以表示 s 1 ( α ) {\displaystyle s1(\alpha )} 失敗。（輸給 { b ( 2 ) , b ( 4 ) , b ( 6 ) . . . } {\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}} ） 現在，考慮玩家二的策略 s 2 ( α ) {\displaystyle s2(\alpha )} 。 將這策略套用於 ω {\displaystyle \omega } －遊戲上，（連同玩家二的策略 s 2 ( α ) {\displaystyle s2(\alpha )} 一起）可生成 { a ( 1 ) , b ( 2 ) , a ( 3 ) , b ( 4 ) . . . a ( t ) , b ( t + 1 ) , . . . } {\displaystyle \{a(1),b(2),a(3),b(4)...a(t),b(t+1),...\}} 這序列，而這序列不屬於 B {\displaystyle B} ，這是可能的，而這可能性是因為 { a ( 1 ) , a ( 3 ) , a ( 5 ) . . . } {\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}} 這些選項的數量與連續統相同，而這數量比 J {\displaystyle J} 的真初始部分 { β ∈ J | β < J } {\displaystyle \{\beta \in J|\beta <J\}} 還要大所致。 現在（若這序列還不在 A {\displaystyle A} 之內的話）將這序列加入 A {\displaystyle A} 之中以表示 s 2 ( α ) {\displaystyle s2(\alpha )} 失敗。（輸給 { a ( 1 ) , a ( 3 ) , a ( 5 ) . . . } {\displaystyle \{a(1),a(3),a(5)...\}} ） 利用對 α {\displaystyle \alpha } 的超限歸納法，對 S 1 {\displaystyle S_{1}} 跟 S 2 {\displaystyle S_{2}} 的所有可能策略如是操作，對於所有在這之後不在 A {\displaystyle A} 或 B {\displaystyle B} 中的策略，將之任意分派給 A {\displaystyle A} 或 B {\displaystyle B} ，使得 B {\displaystyle B} 為 A {\displaystyle A} 的補集。 當這一切完成後，準備 ω {\displaystyle \omega } －遊戲 G {\displaystyle G} ，而在這遊戲中，對於任何玩家一的策略 s 1 {\displaystyle s1} ，存在一個 α ∈ J {\displaystyle \alpha \in J} 使得 s 1 = s 1 ( α ) {\displaystyle s1=s1(\alpha )} ，而 A {\displaystyle A} 的構造方式保證 s 1 ( α ) {\displaystyle s1(\alpha )} 失敗（輸給 { b ( 2 ) , b ( 4 ) , b ( 6 ) . . . } {\displaystyle \{b(2),b(4),b(6)...\}} ），因此 s 1 {\displaystyle s1} 失敗；類似地，任何玩家的任何其他策略都會失敗，因此決定公理與選擇公理不相容。 在二十世紀晚期，人們提出多種不同的無窮邏輯（英语：Infinitary logic），其中一個認為決定公理為真的理由是因為這公理可（在某種無窮邏輯當中）寫成以下形式： ∀ G ⊆ S e q ( S ) : {\displaystyle \forall G\subseteq Seq(S):} ∀ a ∈ S : ∃ a ′ ∈ S : ∀ b ∈ S : ∃ b ′ ∈ S : ∀ c ∈ S : ∃ c ′ ∈ S . . . : ( a , a ′ , b , b ′ , c , c ′ . . . ) ∈ G {\displaystyle \forall a\in S:\exists a'\in S:\forall b\in S:\exists b'\in S:\forall c\in S:\exists c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\in G} OR ∃ a ∈ S : ∀ a ′ ∈ S : ∃ b ∈ S : ∀ b ′ ∈ S : ∃ c ∈ S : ∀ c ′ ∈ S . . . : ( a , a ′ , b , b ′ , c , c ′ . . . ) ∉ G {\displaystyle \exists a\in S:\forall a'\in S:\exists b\in S:\forall b'\in S:\exists c\in S:\forall c'\in S...:(a,a',b,b',c,c'...)\notin G} 註： S e q ( S ) {\displaystyle Seq(S)} 是 S {\displaystyle S} 的所有 ω {\displaystyle \omega } －序列。此處的句子長度無限，且在省略號出現處，有可數無窮多的量化詞序列。 決定公理的相容性，與大基數相關公理的相容性息息相關。根據​烏丁（英语：W. Hugh Woodin）的一個定理，不帶有選擇公理而帶有決定公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性，等價於帶有選擇公理並帶有​烏丁基數（英语：Woodin cardinal）的策梅洛-弗蘭克爾集合論的相容性。由於​烏丁基數是強不可達基數之故，因此若決定公理是相容的，那不可達基數的無限性也是相容的。 此外，若假設有無窮多個烏丁基數，且其上還存在一個可測基數，大於該些烏丁基數，則可得到一個非常強的、關於勒貝格可測的實數集合的理論，而這是因為可以證明決定公理在​​L(R)（英语：​​L(R)）中成立，因此所有在​​L(R)（英语：​​L(R)）中的實數集合都是決定的之故。 ​實決定公理（英语：Axiom of real determinacy） (ADR) ​博雷爾決定性定理（英语：Borel determinacy theorem） ​馬丁測度（英语：Martin measure） ​拓樸遊戲（英语：Topological game） Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques. 1962, 10: 1–3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.  Mycielski, Jan; Świerczkowski, Stanisław. On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness. Fund. Math. 1964, 54: 67–71. doi:10.4064/fm-54-1-67-71 .  Woodin, W. Hugh. Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1988, 85 (18): 6587–6591. PMC 282022 . PMID 16593979. doi:10.1073/pnas.85.18.6587 .  Martin, Donald A.; Steel, John R. A Proof of Projective Determinacy. Journal of the American Mathematical Society. Jan 1989, 2 (1): 71–125. JSTOR 1990913. doi:10.2307/1990913 .  Jech, Thomas. Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. 2002. ISBN 978-3-540-44085-7.  Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite 2nd. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-3-540-88866-6.  Moschovakis, Yiannis N. Descriptive set theory (PDF) 2nd. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2009. ISBN 978-0-8218-4813-5. （原始内容 (PDF)存档于2014-11-12）.  Philipp Rohde, On Extensions of the Axiom of Determinacy, Thesis, Department of Mathematics, University of Bonn, Germany, 2001 Telgársky, R.J. Topological Games: On the 50th Anniversary of the Banach-Mazur Game （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Rocky Mountain J. Math. 17 (1987), pp. 227–276. (3.19 MB) "Large Cardinals and Determinacy" （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Stanford Encyclopedia of Philosophy