斯坦豪斯-莫澤表示法

斯坦豪斯-莫澤表示法，又稱斯坦豪斯-莫澤記號、斯坦豪斯-莫澤多邊形記號、多邊形記號，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯（英语：Hugo Steinhaus）發明，後來李奧·莫澤擴展了該表示法。 斯坦豪斯多邊形記號的定義如下： = nn = 「n放進n個三角形中」 = 「n放進n個正方形中」 斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數： 被稱為Mega數。 被稱為Megiston數。 莫澤多邊形記號是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。 、與斯坦豪斯的記號相同。 = 「n放進n個正方形中」（= ） 一般來說，「n放進m邊形中」=「n放進n個m - 1邊形中」 而「2放進邊形中」則被稱為莫澤數。 紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號： 「n放進p邊形中」使用 n [ p ] {\displaystyle n[p]\,} 來表示。（請注意：在本條目中， [ n ] {\displaystyle [n]} 都是表示某個數字放進正 n {\displaystyle n} 邊形中，並不是第 n {\displaystyle n} 級的超運算，為了避免搞混，第 n {\displaystyle n} 級的超運算在本條目中是使用 n − 2 {\displaystyle n-2} 個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法） [ … ] {\displaystyle [\ldots ]} 可以重複使用。例如，「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為 ( n [ q ] ) [ p ] {\displaystyle (n[q])[p]\,} 。 「n放進k個p邊形中」表示為 n [ p ] k {\displaystyle n[p]_{k}\,} 。換句話說， n [ p ] k {\displaystyle n[p]_{k}} 可以定義為 n [ p ] [ p ] . . . [ p ] ⏟ k {\displaystyle n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}} 。 多邊形記號可以使用這種表示法來定義： = n [ 3 ] = n n = n ↑↑ 2 {\displaystyle =n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,} = n [ 4 ] = n [ 3 ] n {\displaystyle =n[4]=n[3]_{n}\,} = {\displaystyle =\,} = n [ 5 ] = n [ 4 ] n {\displaystyle =n[5]=n[4]_{n}\,} 一般來說， n [ m ] = n [ m − 1 ] n = n [ m − 1 ] [ m − 1 ] . . . [ m − 1 ] ⏟ n {\displaystyle n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,} 。 上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。 其他例子： = n [ 3 ] 4 {\displaystyle =n[3]_{4}} 斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示： （Mega數） = 2 [ 5 ] {\displaystyle =2[5]} （Megiston數） = 10 [ 5 ] {\displaystyle =10[5]} 莫澤數 = 2 [ 2 [ 5 ] ] {\displaystyle 2[2[5]]} 2[3] = 22 = 4 2[4] = 2[3]2 = 2[3][3] = 4[3] = 44 = 256 = 2[5] = 2[4]2 = 2[4][4] = 256[4] = 256[3]256 256[3]n所代表的值如下（n從1開始）： 256 [ 3 ] = 256 256 {\displaystyle 256[3]=256^{256}} 256 [ 3 ] 2 = 256 [ 3 ] [ 3 ] = ( 256 256 ) 256 256 = 256 256 ↑↑ 2 = 256 256 × 256 256 = 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 2 257 {\displaystyle 256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257} , 256 [ 3 ] 3 = 256 [ 3 ] 2 [ 3 ] = 256 [ 3 ] 2 ↑↑ 2 = ( 256 256 257 ) 256 256 257 = 256 ( 256 257 × 256 256 257 ) = 256 256 ( 257 + 256 257 ) = ( 256 ↑ ) 2 ( 257 + 256 257 ) {\displaystyle 256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)} 這個數字可以「近似」如下： 256 [ 3 ] 3 = 256 256 257 + 256 257 ≓ 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 3 257 {\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257} 這個近似值跟 256 [ 3 ] 3 {\displaystyle 256[3]_{3}} 實際上差了非常多倍： 256 256 257 + 256 257 = ( 256 256 256 257 ) 256 257 ≫ 256 256 256 257 {\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}} 通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。 類似地， 256 [ 3 ] 4 ≓ ( 256 256 256 257 ) 256 256 256 257 = 256 ( 256 256 257 × 256 256 256 257 ) = 256 256 ( 256 257 + 256 256 257 ) ≓ 256 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 4 257 {\displaystyle 256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257} 256 [ 3 ] 5 ≓ 256 256 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 5 257 {\displaystyle 256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257} 這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數： = 256 [ 3 ] 256 ≓ ( 256 ↑ ) 256 257 {\displaystyle =256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257} 如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得： ≓ 256 ↑↑ 257 {\displaystyle \risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257} 實際上， ≫ ( 256 ↑ ) 256 257 ≫ 256 ↑↑ 257 {\displaystyle \gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257} 如果以10為底，則可表示成： ≈ ( 10 ↑ ) 255 ( 1.99 × 10 619 ) ≈ ( 10 ↑ ) 256 ( 6.19 × 10 2 ) ≈ ( 10 ↑ ) 257 ( 2.79 ) {\displaystyle \approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)} 因此Mega數的範圍為： 10 ↑↑ 257 < {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<} < 10 ↑↑ 258 {\displaystyle <10\uparrow \uparrow 258} = 10[5] = 10[4]10 = (10[4]9)[4] 通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得： a [ 4 ] = a [ 3 ] a ≓ a ↑↑ ( a + 1 ) {\displaystyle a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)} a [ 4 ] ≓ a ↑↑ ( a + 1 ) ≓ a ↑↑ a w h e n   a ≫ 1 {\displaystyle a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1} (*) 將a換成10，可得： 10 [ 4 ] = 10 [ 3 ] 10 ≓ 10 ↑↑ 11 {\displaystyle 10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11} 10 [ 4 ] 2 = 10 [ 4 ] [ 4 ] ≓ ( 10 ↑↑ 11 ) ↑↑ ( 10 ↑↑ 11 ) {\displaystyle 10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)} 下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的 10 ↑↑ 11 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 11} 換成n之後的計算（其中a↑b = ab）： ( a ↑↑ b ) ↑↑ n = ( a ↑↑ b ) ↑ ( ( a ↑↑ b ) ↑↑ ( n − 1 ) ) = ( a ↑ ( a ↑↑ ( b − 1 ) ) ) ↑ ( ( a ↑↑ b ) ↑↑ ( n − 1 ) ) = a ↑ ( ( a ↑↑ ( b − 1 ) ) × ( a ↑↑ b ) ↑↑ ( n − 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}} 當a, b皆足夠大時： a ↑↑ ( b − 1 ) ≪ ( a ↑↑ b ) ↑↑ ( n − 1 ) {\displaystyle a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)} 所以 ( a ↑↑ b ) ↑↑ n ≓ a ↑ ( ( a ↑↑ b ) ↑↑ ( n − 1 ) ) {\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))} 這是一個近似值。 此時重複上面的操作，直到n = 1為止： ( a ↑↑ b ) ↑↑ n ≓ a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ n − 1 ↑ ( ( a ↑↑ b ) ↑↑ 1 ) = a ↑ a ↑ ⋯ ↑ a ⏟ n − 1 ↑ ( a ↑↑ b ) ≓ a ↑↑ ( ( n − 1 ) + b ) {\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}} 因此，當 n ≫ b {\displaystyle n\gg b} 時 ( a ↑↑ b ) ↑↑ n ≓ a ↑↑ n {\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n} (**) 這是一個近似值。 使用(**)式，可得 10 [ 4 ] 2 {\displaystyle 10[4]_{2}} 的近似值： 10 [ 4 ] 2 ≓ 10 ↑↑ ( 10 ↑↑ 11 ) {\displaystyle 10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)} 以下的近似值使用(*)和(**)式： 10 [ 4 ] 3 = 10 [ 4 ] 2 [ 4 ] ≓ ( 10 ↑↑ ( 10 ↑↑ 11 ) ) ↑↑ ( 10 ↑↑ ( 10 ↑↑ 11 ) ) ≓ 10 ↑↑ ( 10 ↑↑ ( 10 ↑↑ 11 ) ) = 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 11 = ( 10 ↑↑ ) 3 11 {\displaystyle 10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11} 10 [ 4 ] 4 = 10 [ 4 ] 3 [ 4 ] ≓ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 11 = ( 10 ↑↑ ) 4 11 {\displaystyle 10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11} 10 [ 4 ] 5 = 10 [ 4 ] 4 [ 4 ] ≓ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 11 = ( 10 ↑↑ ) 5 11 {\displaystyle 10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11} 因此， 10 [ 4 ] 10 ≓ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 10 ↑↑ 11 = ( 10 ↑↑ ) 10 11 {\displaystyle 10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11} 所以Megiston數大致等於： ≓ 10 ↑↑↑ 11 {\displaystyle \risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11} 然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數： ≫ ( 10 ↑↑ ) 10 11 ≫ 10 ↑↑↑ 11 {\displaystyle \gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11} 莫澤數代表 2 [ {\displaystyle 2[} ] = 2 [ 2 [ 5 ] ] {\displaystyle ]=2[2[5]]} 。由於是相當巨大的數字，邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。 儘管是非常巨大的，跟相比來說仍是微不足道的。 提姆·周在1998年證明了下式[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆），可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）： M < 3 → 3 → ( ( 3 → 3 → 5 ) × 2 − 1 ) {\displaystyle M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)} 利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於 3 ↑↑ ⋯ ↑ 3 {\displaystyle 3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3} （-2個箭號）。 高德納箭號表示法 康威鏈式箭號表示法 Susan Stepney's Big Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆） 埃里克·韦斯坦因. Steinhaus-Moser notation. MathWorld.