开世定理

在几何学中，开世定理是欧几里得几何学中的一个定理，可以看做是托勒密定理的一个推广结果。开世定理得名于爱尔兰数学家约翰·开世。 开世定理的背景是圆的内切圆。设有半径为 R {\displaystyle \,R} 的一个圆 O {\displaystyle \,O} ，圆内又有四个圆 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} 内切于圆 O {\displaystyle \,O} （如右图）。如果将圆 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} 的外公切线的长度设为 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} ，那么开世定理声称，有下列等式成立。 t 12 ⋅ t 34 + t 14 ⋅ t 23 = t 13 ⋅ t 24 {\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}} 可以注意到，如果四个内切的圆都退化成点的话，就会变成圆 O {\displaystyle \,O} 上的四个点，而开世定理中的等式也会化为托勒密定理。 设大圆的圆心是点 O {\displaystyle \,O} ；四个圆的圆心分别是点 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} ，半径分别是 R 1 , R 2 , R 3 , R 4 {\displaystyle \,R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}} 。每个圆与大圆 O {\displaystyle \,O} 的切点分别是 K 1 , K 2 , K 3 , K 4 {\displaystyle \,K_{1},K_{2},K_{3},K_{4}} 。 首先，根据勾股定理可以推出：对于任意的i 和j，都有 t i j 2 = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 ⋯ ( 1 ) {\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(1)} 接下来的思路是将这个公式右边的各个长度用 K i , K j {\displaystyle \,K_{i},K_{j}} 来表示。 考虑三角形 O i O O j {\displaystyle \,O_{i}OO_{j}} ，根据三角形的余弦定理： O i O j ¯ 2 = O O i ¯ 2 + O O j ¯ 2 − 2 O O i ¯ ⋅ O O j ¯ ⋅ cos ⁡ ∠ O i O O j ⋯ ( 2 ) {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}\qquad \qquad \qquad \cdots \,\,(2)} 由于每个圆 O i {\displaystyle \,O_{i}} 都和大圆相切，所以： O O i ¯ = R − R i , ∠ O i O O j = ∠ K i O K j {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}} 设点 C {\displaystyle \,C} 为大圆 O {\displaystyle \,O} 上的任意一点，根据三角形的正弦定理，在三角形 K i C K j {\displaystyle \,K_{i}CK_{j}} 之中，有： K i K j ¯ = 2 R ⋅ sin ⁡ ∠ K i C K j = 2 R ⋅ sin ⁡ ∠ K i O K j 2 {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}} 所以，余弦式 cos ⁡ ∠ K i O K j = 1 − 2 sin 2 ⁡ ∠ K i O K j 2 = 1 − 2 ⋅ ( K i K j ¯ 2 R ) 2 = 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}} 将以上 O O i ¯ {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}} 与 cos ⁡ ∠ K i O K j {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}} 代入式子 ( 2 ) {\displaystyle (2)} 中，就可以得到： O i O j ¯ 2 = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) ( 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 ) {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)} = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle =(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} = ( ( R − R i ) − ( R − R j ) ) 2 + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle =((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} = ( R i − R j ) 2 + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle =(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}} 再代入式子 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 中，就得到 t i j {\displaystyle t_{ij}} 的表达式： t i j = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 = R − R i ⋅ R − R j ⋅ K i K j ¯ R {\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}} 以上等式对所有的i 和j 都成立，因此只要注意到四边形 K 1 K 2 K 3 K 4 {\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} 是圆内接四边形，那么对其应用应用托勒密定理就可以得到开世定理： t 12 t 34 + t 14 t 23 = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 2 ¯ ⋅ K 3 K 4 ¯ + K 1 K 4 ¯ ⋅ K 2 K 3 ¯ ) {\displaystyle t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)} = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 3 ¯ ⋅ K 2 K 4 ¯ ) = t 13 t 24 {\displaystyle ={\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)=t_{13}t_{24}} 证明完毕。 可以用类似的方法证明，只要当圆 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} 与大圆 O {\displaystyle \,O} 相切（不论是外切还是内切），就会有类似开世定理的等式成立。这是需要注明，对任意的i 和j： 如果圆 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} 是与大圆 O {\displaystyle \,O} 以同样的方式相切（都是外切或者都是内切）的话，则 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} 表示两个圆的外公切线的长度； 如果圆 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} 是与大圆 O {\displaystyle \,O} 以不同的方式相切（一个是外切而另一个是内切）的话，则 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} 表示两个圆的内公切线的长度。 另一个特点是：这定理的逆定理也成立。也就是说，如果开世定理的等式成立，那么这些圆必定以规定的方式与大圆相切。 在欧几里得几何学中，开世定理可以用来证明多种不同的结论。比如说费尔巴哈定理的一个简洁证明中就用到了它。 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry, p.123-125 （英文） Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. Dover. 2007. ISBN 978-0-486-46237-0. ，p.123-125 （1929年曾以《现代几何学》（modern geometry）之名出版。）. （英文）O. Bottema, Reinie Erne. Topics in Elementary Geometry. Springer. 2008. ISBN 978-0-387-78130-3.  埃里克·韦斯坦因. Casey's theorem. MathWorld.  Shailesh Shirali: On a generalized Ptolemy Theorem[永久失效連結]