半長軸

半長軸是幾何學中的名詞，用來描述橢圓和雙曲線的維度。与之对应的就是長軸，半長軸为長軸的一半，一般描述橢圓的最長的直徑。 橢圓的方程式是: ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,} 其中(h, k)是笛卡尔坐标系中橢圓的中心，其中任意點由(x, y)給出。 半長軸是橢圓距焦點的最大和最小距離 r max {\displaystyle r_{\text{max}}} 和 r min {\displaystyle r_{\text{min}}} 的平均值— 即從焦點到長軸端點的距離 a = r max + r min 2 . {\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.} 在天文學中，這些極值點稱為拱點。 一個橢圓的長軸是內部最長的直徑，會通過中心和兩個焦點，末端結束於橢圓曲線最寬處。半長軸是長軸的一半，始於中心點經過一個焦點並終結於橢圓的邊界。在特殊狀況a=b中，半長軸就是半徑。 半長軸的長度 a {\displaystyle a\!} 與半短軸 b {\displaystyle b\,\!} 的關係可以經由離心率 e {\displaystyle e\,\!} 和半正焦弦 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 推導如下： b = a 1 − e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!} ℓ = a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\,\!} . a ℓ = b 2 {\displaystyle a\ell =b^{2}\,\!} . 抛物線可以被視為是橢圓的極限，將一個焦點固定，而另一個焦點被隨意的移至無窮遠處的方向上，但 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 仍保持不變。因此 a {\displaystyle a\,\!} 和 b {\displaystyle b\,\!} 趨於無限大， a {\displaystyle a\,\!} 仍比 b {\displaystyle b\,\!} 長。 半長軸是橢圓的一個焦點至邊界的最大距離和最小距離的平均值。現在考慮在極座標中的方程式，其中一個焦點位於原點，另一個焦點在x軸上， r ( 1 − e cos ⁡ θ ) = l {\displaystyle r(1-e\cos \theta )=l\,\!} . 均值由 r = ℓ 1 + e {\displaystyle r={\ell \over {1+e}}\,\!} 和 r = ℓ 1 − e {\displaystyle r={\ell \over {1-e}}\,\!} ，是 a = ℓ 1 − e 2 {\displaystyle a={\ell \over {1-e^{2}}}\,\!} . 雙曲線的半長軸是兩個分支之間距離的一半。如果a是在X-軸的方向上，則方程式可以表示為： ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1} 在這個項目中的半正焦弦和離心率如下： a = ℓ e 2 − 1 {\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}} 雙曲線的橫軸延伸方向與半長軸的方向一致。 在太空動力學，以圓或橢圓軌道環繞中心天體運轉的小天體的軌道週期 T {\displaystyle T} ，是： T = 2 π a 3 / μ {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}} 此處： a {\displaystyle a} ，是軌道的半長軸 μ {\displaystyle \mu } 是標準重力參數 無論離心率是如何，半長軸相同的橢圓都有相同的軌道週期。 在天文學，是軌道的軌道元素中最重要的，他決定了軌道週期。對太陽系內的天體，半長軸與軌道週期的關係由克卜勒第三定律（原本只是經驗公式）來描述： T 2 ∝ a 3 {\displaystyle T^{2}\propto a^{3}} ， 此處T是週期，單位為年；a是半長軸，單位為AU。這個形式就是牛頓的二體問題簡化後的形式： T 2 = 4 π 2 G ( M + m ) a 3 {\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}} ， 此處G是重力常數，M是中心天體的質量，而m是軌道上天體的質量。通常，當中心天體的值量遠大於環繞的天體時，m的質量可以忽略不計。座著這樣的假設和簡化之後，克卜勒發現的以天文單位簡化的形式就出現了。 值得注意的是，在軌道上的天體和主要的天體環繞著質心運動的路徑都是橢圓形。在天文學上的半長徑總是主、伴兩星之間的距離，因此行星的軌道參數都是以太陽為中心的項目。在"主體為中心"和"絕對"軌道之間的差別通過對地月系統的認是說明可以有更清楚的認識。質量的比是81.30059，地心的月球軌道半長軸是384,400公里；另一方面，"質心"的月球軌道半長軸是379,700公里，兩著的差別是4,700公里。月球相對於質心的平均軌道速度是1.010公里/秒，地球是0.012公里/秒，兩者之和是1.022公里/秒；同樣的，以地心的半長軸得到的月球軌道速度也是1.022公里/秒。 經常會說半長軸是主伴兩天體的平均距離，其實這樣說是不夠精確的，這與如何取得平均值有關。 對偏近點角（q.v.）的平均距離的確就是半長軸。 對真近點角（從焦點上測量的真實軌道角度）的結果，說也奇怪，是軌道半短軸： b = a 1 − e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,\!} 。 最後，是對平近點角（以角度表示，經過近心點之後所經歷軌道週期的分數），是對時間的平均數（通常是對門外漢所謂的"平均"）： a ( 1 + e 2 2 ) {\displaystyle a(1+{\frac {e^{2}}{2}})\,\!} 。 橢圓的平均半徑，是以幾何上的中心來測量的，其值為 a b = a 1 − e 2 4 {\displaystyle {\sqrt {ab}}=a{\sqrt[{4}]{1-e^{2}}}\,\!} 。 時間的平均值與半徑成反比， r − 1 {\displaystyle r^{-1}\,\!} ，是 a − 1 {\displaystyle a^{-1}\,\!} 。 在太空動力學半長軸 a {\displaystyle a} ，可以從軌道狀態向量得到： a = − μ 2 ϵ {\displaystyle a={-\mu \over {2\epsilon }}} （橢圓軌道） a = μ 2 ϵ {\displaystyle a={\mu \over {2\epsilon }}} （雙曲線彈道） ϵ = v 2 2 − μ | r | {\displaystyle \epsilon ={v^{2} \over {2}}-{\mu \over \left|\mathbf {r} \right|}} （特殊軌道能量） μ = G M {\displaystyle \mu =GM} （標準重力參數） 此處： v {\displaystyle v} ，是從速度向量得到的軌道上物體的軌道速度， r {\displaystyle \mathbf {r} } ，是在笛卡尔坐标系上、相對於位置向量用於計算的軌道元素（即，對環繞地球的物體是以地球中心和赤道為基準，或對環繞太陽的天體是以太陽中心和黃道為基準）， G {\displaystyle G} ，是重力常數， M {\displaystyle M} ，是中心天體的質量。 對特定的中心天體和總比能，無論離心率是多少，半長軸是一個定值。換言之，對特定的一個中心天體和半長軸，具有的總比能是一個定值。 國際太空站的軌道週期是91.74分，它的軌道半長軸是6,738公里。 Semi-major and semi-minor axes of an ellipse（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation 7.1 Alternative Characterization. [2008-01-19]. （原始内容存档于2018-10-24）.