分数微积分

数学上，分數微積分（fractional calculus）是数学分析的一个分支，它研究微分算子 D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} 和积分算子J的实数次幂的可能应用（通常不写作I,以避免和其他I形符号产生混淆）。 在这个上下文中，幂指反复应用，和 f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) {\displaystyle \,f^{2}(x)=f(f(x))} 中的平方意义相同。例如，可以提出如何解释如下符号的问题 D = D 1 2 {\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}} 作为微分算子的平方根（半次操作），也就是一种算子操作两次以后可以有微分的效果。 更一般的， D n {\displaystyle D^{n}} 对于实数值的n，使得当n为整数时，若n>0,它等同于通常的幂n次操作，当n<0,它等同于n次积分J。 讨论这个问题有几个原因。一个是，这样幂Dn组成的半群可以看作一个连续的半群中取离散值的部分。连续半群在数学上有很好的研究，有一个有趣的理论。注意，分数是个错误的记号，因为指数可以取非有理数，但是分数微积分已成为习惯用法。 在應用數學與數學分析中，一個分數階的導數是一個可以為任意階實數或是複數的導數。這個概念第一次出現在1695年，萊布尼茲寫給洛必達的書信中。分數微積分則是第一次被介紹在阿貝爾的早期論文中，其中關於各種分數階的積分與微分的概念、微分與積分的關係、關於分數階的微分與積分其實都可以被視作一種廣義算子，以及統一關於實數階微分與積分的概念。該主題的基礎由劉維爾(Liouville)在1832年的論文中獨立奠定的，奧利弗·黑維塞(Oliver Heaviside)在1890年引入分數微分算子在電力傳輸分析中。分數微積分的理論與應用在19世紀跟20世紀中得到發展，許多貢獻者都給出了分數階導數與積分的定義。 一个很自然的想法是问，是否存在一个算子 H {\displaystyle H} 起到半导数的作用，即使得： H 2 f ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)} 结论是：这样的算子是存在的，对于任意 a > 0 {\displaystyle a>0} ,存在一个算子 P {\displaystyle P} ,满足： ( P a f ) ( x ) = f ′ ( x ) {\displaystyle (P^{a}f)(x)=f'(x)} ， 或者换一个说法, d n y d x n {\displaystyle {\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}} 的定义可以从正整数n扩充到所有的实数n. 在这里我们引入Γ函數将阶乘扩展到实数和复数域上. Γ函數的定义如下： n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)} ， 假设对函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ( x > 0 ) {\displaystyle (x>0)} 在0到x上求积分，我们可以形式的定义积分算子J: ( J f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t {\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\;dt} 重复这个过程，可得： ( J 2 f ) ( x ) = ∫ 0 x ( J f ) ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( s ) d s ) d t {\displaystyle (J^{2}f)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\;ds\right)\;dt} , 这个过程可以任意的重复下去。 利用重复积分的柯西公式，即： ( J n f ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{n}f)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\;dt} 我们可以直截了当的写出任意实数n的积分算子。 直接利用 Γ {\displaystyle \Gamma } 函数将离散的阶乘扩展为连续的函数。我们可以自然的得到分数积分算子的表达形式 ( J α f ) ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{\alpha }f)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\;dt} 这个算子定义明确而且具有良好的性质。 可以证明J算子满足如下关系 ( J α ) ( J β ) f = ( J β ) ( J α ) f = ( J α + β ) f = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − t ) α + β − 1 f ( t ) d t {\displaystyle (J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha +\beta -1}f(t)\;dt} 这个性质叫微分积分算符的半群性。然而用类似方法定义微分算子将变得相当困难，而且定义出来的微分算子D一般来说不对易也不具有叠加性。 假设有一个函数 f ( x ) = x k {\displaystyle f(x)=x^{k}\;} 。它的一阶导数一般是： f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 {\displaystyle f'(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\;} 。重复这一过程，得到更一般的结果： d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a {\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\;} ，将阶乘用伽玛函数替换，可得： d a d x a x k = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a {\displaystyle {\dfrac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a}\;} 。当k = 1,并且a = 1/2时我们可以得到函数 x {\displaystyle x} 的半导数： d 1 2 d x 1 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 2 + 1 ) x 1 − 1 2 = 1 ! Γ ( 3 2 ) x 1 2 = 2 x 1 2 π {\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\dfrac {\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\dfrac {1!}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}x^{\frac {1}{2}}={\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}} 。重复这一过程，得： d 1 2 d x 1 2 2 π − 1 2 x 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 1 + 1 2 ) Γ ( 1 2 − 1 2 + 1 ) x 1 2 − 1 2 = 2 π − 1 2 Γ ( 3 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π x 0 2 π 0 ! = 1 {\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}x^{\frac {1}{2}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2\pi ^{-{\frac {1}{2}}}{\dfrac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma (1)}}x^{0}={\dfrac {2{\sqrt {\pi }}x^{0}}{2{\sqrt {\pi }}0!}}=1} ，这正是期望的结果： ( d 1 2 d x 1 2 d 1 2 d x 1 2 ) x = d d x x = 1 {\displaystyle \left({\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\dfrac {d}{dx}}x=1} 。 以上微分算子的扩展不仅仅局限于实数次。举个例子， ( 1 + i ) {\displaystyle (1+i)} 阶导数作用后， ( 1 − i ) {\displaystyle (1-i)} 阶导数再作用，可以得到二阶导数。同时如果a为负则可为求积分。 分数微分可以得到上述相同的结果（当 0 < α < 1 {\displaystyle 0<\alpha <1} ）。 D α f ( x ) = 1 Γ ( 1 − α ) d d x ∫ 0 x f ( t ) ( x − t ) α d t {\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{(x-t)^{\alpha }}}dt} 对于任意的 α {\displaystyle \alpha } ,由于伽玛函数的参数在实数部为负整数时没有定义，需要在分数微分前先进行整数微分。例如 D 3 2 f ( x ) = D 1 2 D 1 f ( x ) = D 1 2 d d x f ( x ) {\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)} 我們可以藉由拉普拉斯變換提出一個問題。已知 L { J f } ( s ) = L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } ( s ) = 1 s ( L { f } ) ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)} 以及 L { J 2 f } = 1 s ( L { J f } ) ( s ) = 1 s 2 ( L { f } ) ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)} 然後繼續下去，我們可以推斷: J α f = L − 1 { s − α ( L { f } ) ( s ) } {\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}} 舉例來說: J α ( t k ) = L − 1 { Γ ( k + 1 ) s α + k + 1 } = Γ ( k + 1 ) Γ ( α + k + 1 ) t α + k {\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}} 如同預期一樣。的確，我們給出捲積性質。 L { f ∗ g } = ( L { f } ) ( L { g } ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}} 然後為了方便，令 p(x) = xα − 1 ，我們發現到: ( J α f ) ( t ) = 1 Γ ( α ) L − 1 { ( L { p } ) ( L { f } ) } = 1 Γ ( α ) ( p ∗ f ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t p ( t − τ ) f ( τ ) d τ = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}} 即得到柯西所給出的樣子。 拉普拉斯在一些較少的函數上有效，但是它在解分數微分方程上卻非常有用。 WKB近似 对于一个一维的量子系统进行准经典的近似时，系统哈密顿量 H = p 2 + V ( x ) {\displaystyle H=p^{2}+V(x)} 中 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 的倒数 V − 1 ( x ) {\displaystyle V^{-1}(x)} 可由对态密度的半阶微分求出 V − 1 ( x ) = 2 π d 1 2 d x 1 2 n ( x ) {\displaystyle V^{-1}(x)=2{\sqrt {\pi }}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}n(x)} 这里采用了自然单位制，即 ℏ = 2 m = 1 {\displaystyle \hbar =2m=1} Γ函數 拉普拉斯轉換 Fractional Calculus. An Introduction for Physicists, by Richard Herrmann. Hardcover. Publisher: World Scientific, Singapore;（2014）ISBN 978-981-4551-09-0（http://www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/8934） （页面存档备份，存于互联网档案馆） 任意阶微积分 http://drhuang.com/chinese/science/mathematics/fractionalCalculus/ （页面存档备份，存于互联网档案馆） MathWorld - Fractional calculus （页面存档备份，存于互联网档案馆） MathWorld - Fractional derivative （页面存档备份，存于互联网档案馆） Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆） http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） https://web.archive.org/web/20040502170831/http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. （页面存档备份，存于互联网档案馆） http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/index.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） History, Definitions, and Applications for the Engineer（PDF）, by Adam Loverro, University of Notre Dame