拉開

在數學中，拉開（法文：éclatement，英文：blowing up）、單項變換或σ-過程是一種幾何的操作，代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇或複流形 M {\displaystyle M} 上一點 Z {\displaystyle Z} 的拉開是將該點換為該點法叢的射影叢，或者具體地說是換為該點切空間的射影空間，從而得到拉開態射 B l Z : M ~ → M {\displaystyle \mathrm {Bl} _{Z}:{\tilde {M}}\rightarrow M} ，這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。 當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作，然而拉開也有外在的描述法，例如取一平面曲線，並對它所處的射影平面作某類變換；這是古典的進路，其想法至今仍反映於用語上。 以下僅考慮複數域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的情形，一般構造準此可知。 令 Z {\displaystyle Z} 為複仿射空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 的原點，仿射空間的元素以坐標表為 ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} 。令 P n − 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}} 為 ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -維複射影空間，其元素以齊次坐標表示為 ( y 1 : … : y n ) {\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{n})} 。 令 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}} 為 C n × P n − 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}} 中由等式 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} 定義之閉子集，其中 i , j = 1 , … , n {\displaystyle i,j=1,\ldots ,n} 。則投影態射 π : C n × P n − 1 → C n {\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}\to \mathbb {C} ^{n}} 自然地導出態射（特別也是全純函數） π : C n ~ → C n . {\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\to \mathbb {C} ^{n}.} 此態射 π {\displaystyle \pi } （或者更常指空間 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}} ）稱為 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 的拉開。 例外除數 E {\displaystyle E} 定義為 Z {\displaystyle Z} 對態射 π {\displaystyle \pi } 的逆像。可以證明 E = Z × P n − 1 ⊆ C n × P n − 1 {\displaystyle E=Z\times \mathbb {P} ^{n-1}\subseteq \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{n-1}} 同構於射影空間。它是個非負除數，而且在 E {\displaystyle E} 之外 π : C n ~ ∖ E → C n ∖ Z {\displaystyle \pi :{\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}\setminus E\rightarrow \mathbb {C} ^{n}\setminus Z} 是同構。因此 π {\displaystyle \pi } 是 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}} 與 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 之同構。 一般來說，我們可以開任何餘維為 k {\displaystyle k} 的複子流形 Z ⊂ C n {\displaystyle Z\subset \mathbb {C} ^{n}} 。設 Z {\displaystyle Z} 由方程式 x 1 = ⋯ = x k = 0 {\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0} 定義，並設 ( y 1 : … : y k ) {\displaystyle (y_{1}:\ldots :y_{k})} 為 P k − 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}} 上的齊次坐標。沿 Z {\displaystyle Z} 的拉開 C n ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbb {C} ^{n}}}} 定義為方程 x i y j = x j y i {\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}} （對所有 i , j {\displaystyle i,j} ）在空間 C n × P k − 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {P} ^{k-1}} 中定義的閉子集。 進一步推廣，我們可拉開任何複流形 X {\displaystyle X} 的任一複子流形 Z {\displaystyle Z} ，方式是局部上化約到上述情形，拉開後再予以黏合。效果依然，我們將 Z {\displaystyle Z} 拉開為例外除子 E {\displaystyle E} 。而拉開態射 π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\to X} 依然是雙有理的，並在 E {\displaystyle E} 外是同構。 E {\displaystyle E} 可自然地視作 Z {\displaystyle Z} 的法叢的射影化，因此 π | E : E → Z {\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z} 局部上是纖維化映射，其纖維為 P k − 1 {\displaystyle \mathbb {P} ^{k-1}} 。 由於 E {\displaystyle E} 是平滑除子，其法叢為線叢。對於曲面的情形，可證明 E {\displaystyle E} 的自相交數為負，這表明其法叢沒有整體上定義的截面。 E {\displaystyle E} 是其同調類在 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 上的唯一代表，原因在於：假設 E {\displaystyle E} 經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形，則它和 E {\displaystyle E} 的相交數必為正，故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。 設 V {\displaystyle V} 維某個 X {\displaystyle X} 中不等於 Z {\displaystyle Z} 的複子流形。若 V {\displaystyle V} 不交 Z {\displaystyle Z} ，則它本質上不受沿 Z {\displaystyle Z} 的拉開影響。然而若有相交，則 V {\displaystyle V} 在 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 中導出兩個幾何對象：一者是真變換或稱嚴格變換，它是 π − 1 ( V ∖ Z ) {\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)} 在 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 中的閉包，其法叢一般與 V {\displaystyle V} 的不同。另一者是全變換，包含 E {\displaystyle E} 的全體或一部分，其同調類基本上是 V {\displaystyle V} 的上同調類之拉回。 拉開可以在一般的概形上定義。令 X {\displaystyle X} 為一概形，並設 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 為其上一凝聚理想層， X {\displaystyle X} 沿 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 的拉開是概形 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 及真態射 π : X ~ → X {\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X} 使得 π − 1 I ⋅ O Y {\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}} 是可逆層，此拉開由下述泛性質刻劃： 對任何態射 f : Y → X {\displaystyle f:Y\rightarrow X} ，若它使得 f − 1 I ⋅ O Y {\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}} 是可逆層，則 f {\displaystyle f} 唯一地透過 π {\displaystyle \pi } 分解。 此拉開可具體地由 X ~ = P r o j ( ⊕ n = 0 ∞ I n ) {\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} (\oplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n})} 構造。當 X {\displaystyle X} 是擬射影概形時， π {\displaystyle \pi } 將是射影態射。 在平滑的射影曲面上，任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。 以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具： 定理 . 設 X {\displaystyle X} 為平滑射影曲面， D = ∑ C i {\displaystyle D=\sum C_{i}} 為 X {\displaystyle X} 上一個既約除數，若其相交矩陣 ( C i ⋅ C j ) i j {\displaystyle (C_{i}\cdot C_{j})_{ij}} 負定，則 X {\displaystyle X} 可表成某個代數曲面的拉開，使得 D {\displaystyle D} 為其例外除數。 向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 X {\displaystyle X} 及其閉子概形 V {\displaystyle V} ，我們在 Y := X × A 1 {\displaystyle Y:=X\times \mathbb {A} ^{1}} 中拉開 V × ( 0 ) {\displaystyle V\times (0)} ，則 Y ~ → X × A 1 {\displaystyle {\tilde {Y}}\to X\times \mathbb {A} ^{1}} 是纖維化映射。沿著 A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} 的一般纖維自然同構於 X {\displaystyle X} ，而中心纖維則是兩個概形的并集：一者是 X {\displaystyle X} 沿 V {\displaystyle V} 的拉開；另一者則是 V {\displaystyle V} 的法錐，其中我們將纖維緊化為射影空間。 拉開也可以在辛流形的範疇中施行，稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構，然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義，我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式，因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 E {\displaystyle E} 延拓，而必須在 E {\displaystyle E} 的一個鄰域上修改之；或藉著將 Z {\displaystyle Z} 的一個開鄰域切下，然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論，其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。 Fulton, William. 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