二面體群

在數學中，二面體群 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 是正 n {\displaystyle n} 邊形的對稱群，具有 2 n {\displaystyle 2n} 個元素。某些書上則記為 D n {\displaystyle D_{n}} 。除了 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情形外， D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 都是非交換群。 抽象言之，首先考慮 n {\displaystyle n} 階循環群 C n {\displaystyle C_{n}} 。反射 τ : x ↦ x − 1 {\displaystyle \tau :x\mapsto x^{-1}} 是 C n {\displaystyle C_{n}} 上的自同構，而且 τ 2 = i d {\displaystyle \tau ^{2}={\rm {id}}} 。定義二面體群為半直積 D 2 n = C n ⋊ { e , τ } {\displaystyle D_{2n}=C_{n}\rtimes \{e,\tau \}} 任取 C n {\displaystyle C_{n}} 的生成元 σ {\displaystyle \sigma } ， D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 由 σ , τ {\displaystyle \sigma ,\tau } 生成，其間的關係是 σ n = e , τ 2 = e , τ σ τ = σ − 1 {\displaystyle \sigma ^{n}=e,\tau ^{2}=e,\tau \sigma \tau =\sigma ^{-1}\,} D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 的元素均可唯一地表成 σ k τ h {\displaystyle \sigma ^{k}\tau ^{h}} ，其中 0 ≤ k < n {\displaystyle 0\leq k<n} ， h = 0 , 1 {\displaystyle h=0,1\,} 。 二面體群也可以詮釋為二維正交群 O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} 中由 σ := ( cos ⁡ 2 π n − sin ⁡ 2 π n sin ⁡ 2 π n cos ⁡ 2 π n ) {\displaystyle \sigma :={\begin{pmatrix}\cos {2\pi \over n}&-\sin {2\pi \over n}\\\sin {2\pi \over n}&\cos {2\pi \over n}\end{pmatrix}}} （旋轉 2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}} 弧度） τ := ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \tau :={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} （對 x 軸反射） 生成的子群。由此不難看出 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 是正 n 邊形的對稱群。 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 的中心在 n {\displaystyle n} 為奇數時是 { e } {\displaystyle \{e\}} ，在 n {\displaystyle n} 為偶數時是 { e , σ n / 2 } {\displaystyle \{e,\sigma ^{n/2}\}} 。 當 n {\displaystyle n} 為奇數時， D 4 n {\displaystyle D_{4n}} 同構於 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 與二階循環群的直積。同構可由下式給出： σ k + ϵ n τ h ↦ ( σ k τ h , ϵ ) {\displaystyle \sigma ^{k+\epsilon n}\tau ^{h}\mapsto (\sigma ^{k}\tau ^{h},\epsilon )} 其中 h , ϵ = 0 , 1 {\displaystyle h,\epsilon =0,1} ， 0 ≤ k < n {\displaystyle 0\leq k<n} 。 當 n {\displaystyle n} 為奇數時， D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 n {\displaystyle n} 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 n {\displaystyle n} 邊形的頂點。 若 m | n {\displaystyle m|n} ，則 D 2 m ≤ D 2 n {\displaystyle D_{2m}\leq D_{2n}} ，由此可導出 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 共有 d ( n ) + σ ( n ) {\displaystyle d(n)+\sigma (n)} 個子群，其中的算術函數 d ( n ) {\displaystyle d(n)} 與 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 分別代表 n {\displaystyle n} 的正因數個數與正因數之和。 當 n {\displaystyle n} 為奇數時， D n {\displaystyle D_{n}} 有兩個一維不可約表示： τ ↦ ( − 1 ) k , σ ↦ 1 ( k = 0 , 1 ) {\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\;\sigma \mapsto 1\quad (k=0,1)} 當 n {\displaystyle n} 為偶數時， D n {\displaystyle D_{n}} 有四個一維不可約表示： e {\displaystyle e} σ {\displaystyle \sigma } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} σ 3 {\displaystyle \sigma ^{3}} σ 4 {\displaystyle \sigma ^{4}} σ 5 {\displaystyle \sigma ^{5}} σ 6 {\displaystyle \sigma ^{6}} σ 7 {\displaystyle \sigma ^{7}} τ {\displaystyle \tau } σ τ {\displaystyle \sigma \tau } σ 2 τ {\displaystyle \sigma ^{2}\tau } σ 3 τ {\displaystyle \sigma ^{3}\tau } σ 4 τ {\displaystyle \sigma ^{4}\tau } σ 5 τ {\displaystyle \sigma ^{5}\tau } σ 6 τ {\displaystyle \sigma ^{6}\tau } σ 7 τ {\displaystyle \sigma ^{7}\tau } τ ↦ ( − 1 ) k , σ ↦ ( − 1 ) h ( k , h = 0 , 1 ) {\displaystyle \tau \mapsto (-1)^{k},\sigma \mapsto (-1)^{h}\quad (k,h=0,1)} 其餘不可約表示皆為二維，共有 ⌊ n / 2 ⌋ {\displaystyle \lfloor n/2\rfloor } 個，形如下式： σ ↦ ( ω h 0 0 ω − h ) τ ↦ ( 0 − 1 − 1 0 ) {\displaystyle \sigma \mapsto {\begin{pmatrix}\omega ^{h}&0\\0&\omega ^{-h}\end{pmatrix}}\;\tau \mapsto {\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}} 其中 ω {\displaystyle \omega } 是任一 n 次本原單位根， h {\displaystyle h} 過 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 。由 h 1 , h 2 {\displaystyle h_{1},h_{2}} 給出的表示相等價若且唯若 h 1 + h 2 ≡ 0 mod n {\displaystyle h_{1}+h_{2}\equiv 0\mod n} 。