狄利克雷定理 (傅里叶级数)

在数学分析中，狄利克雷定理（或若尔当—狄利克雷定理,狄利克雷条件）是关于傅里叶级数逐点收敛的一个结果。这个定理的最初版本是由德国科学家狄利克雷在公元1829年证明的。由于当时还没有出现适合的积分理论，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都单调的函数）。 定理的推广版本则是由法国数学家卡米尔·若尔当在1881年的证明的，适用于所有局部有界变差函数。 设 f {\displaystyle f} 为一个在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的周期性的局部可积函数，其周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。给定 x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } ，假设有以下条件成立： 函数 f {\displaystyle f} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处有左极限和右极限，分别记为 f ( x 0 + ) {\displaystyle f(x_{0}^{+})} 和 f ( x 0 − ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})} 。 存在正实数： α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ，使得以下的两个积分收敛： ∫ 0 α | f ( x 0 + t ) − f ( x 0 + ) | t d t , ∫ 0 α | f ( x 0 − t ) − f ( x 0 − ) | t d t {\displaystyle \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}+t)-f(x_{0}^{+})|}{t}}{\mathrm {d} }t,\qquad \int _{0}^{\alpha }{\frac {|f(x_{0}-t)-f(x_{0}^{-})|}{t}}{\mathrm {d} }t} 那么，函数 f {\displaystyle f} 的傅里叶级数在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处收敛，并且有： lim n ( S n f ( x 0 ) ) = 1 2 ( f ( x 0 + ) + f ( x 0 − ) ) {\displaystyle \lim \limits _{n}(S_{n}f(x_{0}))={\frac {1}{2}}(f(x_{0}^{+})+f(x_{0}^{-}))} 定理成立的一个特例是当函数 f {\displaystyle f} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处有左导数和右导数的时候，又或者是当函数是分段 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 函数（见光滑函数）的时候。 定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过卷积以及拥有良好性质的三角多项式：狄利克雷核来计算。 D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x = sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) x ) sin ⁡ ( x / 2 ) , {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}},} S n ( f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π f ( t ) D n ( x − t ) d t = 1 2 π ∫ − π π D n ( t ) f ( x − t ) d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)D_{n}(x-t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)f(x-t)dt} 这里使用的是狄利克雷核的第二种形式： S n ( f ) ( x ) = 1 2 π ∫ − π π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x − t ) sin ⁡ t 2 d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt} 这种写法接近于使用黎曼-勒贝格定理所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 f ( x − t ) sin ⁡ ( t / 2 ) {\displaystyle {\frac {f(x-t)}{\sin(t/2)}}} 在0附近并不一定可积。但是由于： f ~ ( x ) = f ( x + ) + f ( x − ) 2 {\displaystyle {\tilde {f}}(x)={\frac {f(x^{+})+f(x^{-})}{2}}} 存在，可以考虑将区间 [ − π , 0 ) {\displaystyle [-\pi ,0)} 上的积分用 u = − t {\displaystyle u=-t} 换元，这样 S n ( f ) ( x ) {\displaystyle S_{n}(f)(x)} 就变成： S n ( f ) ( x ) = ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin ⁡ t 2 d t {\displaystyle S_{n}(f)(x)=\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt} 因此： S n ( f ) ( x ) − f ~ ( x ) = 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin ⁡ t 2 d t − 1 2 ( f ( x + ) + f ( x − ) ) {\displaystyle S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt-{\frac {1}{2}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)} 而由于狄利克雷核在区间 [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} 上的积分平均值是1，也就是说： 1 = 1 2 π ∫ − π π D n ( t ) d t = 1 2 π ∫ − π π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t / 2 ) d t = 2 ⋅ 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t / 2 ) d t {\displaystyle 1={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }D_{n}(t)dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt=2\cdot {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt} 1 2 = 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t / 2 ) d t {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin(t/2)}}dt} 因此： S n ( f ) ( x ) − f ~ ( x ) = 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) sin ⁡ t 2 d t − 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) sin ⁡ t 2 ( f ( x + ) + f ( x − ) ) d t = 1 2 π ∫ 0 π sin ⁡ ( ( n + 1 2 ) t ) f ( x + t ) + f ( x − t ) − f ( x + ) − f ( x − ) sin ⁡ t 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(f)(x)-{\tilde {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\\&-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right)}{\sin {\frac {t}{2}}}}\left(f(x^{+})+f(x^{-})\right)dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)t\right){\frac {f(x+t)+f(x-t)-f(x^{+})-f(x^{-})}{\sin {\frac {t}{2}}}}dt\end{aligned}}} 由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到： lim n → ∞ S n ( f ) ( x ) = f ~ ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}(f)(x)={\tilde {f}}(x)} 傅里叶级数 狄利克雷核 费耶核 狄利克雷, Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données, Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169 若尔当, Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230 （英文）Allan Pinkus,Samy Zafrany. Fourier series and integral transforms. Cambridge University Press. 1997. ISBN 9780521597715. p.46-52. （法文）Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset. Séries de Fourier et ondelettes. Cassini. 1998. ISBN 284225001X.