不等

数学上，不等是表明两个对象的大小或者顺序的二元关系，与相等相对。不等关系主要有四种： a < b {\displaystyle a<b} ，即 a {\displaystyle a} 小于 b {\displaystyle b} a > b {\displaystyle a>b} ，即 a {\displaystyle a} 大于 b {\displaystyle b} 上述两个属于严格不等。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} ，即 a {\displaystyle a} 小于等于 b {\displaystyle b} a ≥ b {\displaystyle a\geq b} ，即 a {\displaystyle a} 大于等于 b {\displaystyle b} a ≠ b {\displaystyle a\neq b} ，即 a {\displaystyle a} 不等于 b {\displaystyle b} 将两个表达式用不等符号连起来，就构成了不等式。 若不等关系对变量的所有元素都成立，则称其为“绝对的”或“无条件的”。若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分将改变方向或失效，则称为条件不等。 不等式两边同时加或减相同的数，或者两边同时乘以或除以同一个正数，不等关系不变。不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等关系改变方向。 符号 a ≫ b {\displaystyle a\gg b} 表示 a {\displaystyle a} “远大于” b {\displaystyle b} 。其含义是不确定的，可以是 100 倍的差异，也可能是10个数量级的差异。和方程相联系，它被用来给出一个非常大的值而使方程的输出满足一个特定的结果。 不等具有下列性质： 三一律： 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} ，只有下列之一是真的： a < b {\displaystyle a<b} a = b {\displaystyle a=b} a > b {\displaystyle a>b} 調換性質： 對任意實數 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} ： a < b {\displaystyle a<b} 和 b > a {\displaystyle b>a} 是等價的。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 和 b ≥ a {\displaystyle b\geq a} 是等價的。 传递性： 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} ： 如果 a < b {\displaystyle a<b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ，则 a < c {\displaystyle a<c} 。 如果 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ，則 a ≤ c {\displaystyle a\leq c} 。 如果 a < b {\displaystyle a<b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} ，則 a < c {\displaystyle a<c} 。 如果 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b < c {\displaystyle b<c} ，則 a < c {\displaystyle a<c} 。 加法性质： 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} ： 若 a > b {\displaystyle a>b} ；则 a + c > b + c {\displaystyle a+c>b+c} 。 若 a < b {\displaystyle a<b} ；则 a + c < b + c {\displaystyle a+c<b+c} 。 乘法性质： 对任意实数 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} ，且有 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ： 若 c {\displaystyle c} 为 正数 且 a > b {\displaystyle a>b} ；则 a c > b c {\displaystyle ac>bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 正数 且 a < b {\displaystyle a<b} ；则 a c < b c {\displaystyle ac<bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 负数 且 a > b {\displaystyle a>b} ；则 a c < b c {\displaystyle ac<bc} 。 若 c {\displaystyle c} 为 负数 且 a < b {\displaystyle a<b} ；则 a c > b c {\displaystyle ac>bc} 。 注意：当遇上不等关系求解时，比如已知 A > B {\displaystyle A>B} ， C > D {\displaystyle C>D} ，不可以认为 A − C > B − D {\displaystyle A-C>B-D} ，但根據此描述可知 A − D > B − C {\displaystyle A-D>B-C} 是真的。 a < b < c {\displaystyle a<b<c} 代表「 a < b {\displaystyle a<b} 且 b < c {\displaystyle b<c} 」。 a ≤ b ≤ c {\displaystyle a\leq b\leq c} 代表「 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} 」。 a < b ≤ c {\displaystyle a<b\leq c} 代表「 a < b {\displaystyle a<b} 且 b ≤ c {\displaystyle b\leq c} 」。 a ≤ b < c {\displaystyle a\leq b<c} 代表「 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 b < c {\displaystyle b<c} 」。 若 x > 0 {\displaystyle x>0} ；则 x x ≥ ( 1 e ) 1 e , {\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}},} 若 x > 0 {\displaystyle x>0} ；则 x x x ≥ x {\displaystyle x^{x^{x}}\geq x\,} 若 x , y , z > 0 {\displaystyle x,y,z>0} ；则 ( x + y ) z + ( x + z ) y + ( y + z ) x > 2 {\displaystyle (x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2\,} 若 x , y , z > 0 {\displaystyle x,y,z>0} ；则 x x y y z z ≥ ( x y z ) x + y + z 3 , {\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{\frac {x+y+z}{3}},} 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ；则 a a + b b ≥ a b + b a {\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}\,} 若 a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} ；则 a e a + b e b ≥ a e b + b e a {\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}\,} 若 a , b , c > 0 {\displaystyle a,b,c>0} ；则 a 2 a + b 2 b + c 2 c ≥ a 2 b + b 2 c + c 2 a {\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}\,} 若 a 1 , … , a n > 0 {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}>0} ；则 a 1 a 2 + a 2 a 3 + ⋯ + a n a 1 > 1 {\displaystyle a_{1}^{a_{2}}+a_{2}^{a_{3}}+\cdots +a_{n}^{a_{1}}>1} 對於實數 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 d {\displaystyle d} ，若 a < b {\displaystyle a<b} 且 c < d {\displaystyle c<d} ；則 對於實數 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 、 d {\displaystyle d} ，若 a < b {\displaystyle a<b} 且 c < d {\displaystyle c<d} ；則 二元关系 偏序关系 不等號 不等式列表