大數假說

狄拉克大數假說（英語：Dirac large numbers hypothesis，縮寫：LNH）是由英國物理學家保羅·狄拉克在1937年提出的一個假設。他比較了兩個不帶因次的量值：基本作用力（在此為重力與電磁力）的比例與宇宙年齡的尺度，發現兩者皆落在約40個數量級。狄拉克猜測這可能並非巧合，兩者或許存在某種關聯性。基於這個假設，他設計了一個宇宙學的模型。 這個模型具有以下的特質： 重力常數反比於宇宙的年齡： G ∝ 1 / t {\displaystyle G\propto 1/t\,} 宇宙帶有的質量正比於宇宙年齡的平方： M ∝ t 2 {\displaystyle M\propto t^{2}} 然而這兩個性質並不為目前主流的宇宙學理論所接受。 狄拉克並非唯一一位注意到這種量值巧合的人。 對這類巧合的關注始於1919年，赫爾曼·外爾推測宇宙的半徑會等同於一個帶有電子引力自能量（self-energy）的粒子半徑： r H r e ≈ 10 42 ≈ R U r e {\displaystyle {\frac {r_{H}}{r_{e}}}\approx 10^{42}\approx {\frac {R_{U}}{r_{e}}}} ， r e = e 2 4 π ϵ 0 m e c 2 {\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{e}c^{2}}}} ， r H = e 2 4 π ϵ 0 m H c 2 {\displaystyle r_{H}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{H}c^{2}}}} ， m H c 2 = G m e 2 r e {\displaystyle m_{H}c^{2}={\frac {Gm_{e}^{2}}{r_{e}}}} 其中 r e {\displaystyle r_{e}} 代表古典電子半徑， m e {\displaystyle m_{e}} 為電子質量， m H {\displaystyle m_{H}} 為假想粒子的質量， r H {\displaystyle r_{H}} 則為其半徑， R U {\displaystyle R_{U}} 是可觀測宇宙的半徑。 這個理論被亞瑟·愛丁頓（1931年）繼續推廣，連結了宇宙中估計帶電粒子的數量 N {\displaystyle N} ： e 2 4 π ϵ 0 G m e 2 ≈ N ≈ 10 42 {\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}Gm_{e}^{2}}}\approx {\sqrt {N}}\approx 10^{42}} . 除了外爾和愛丁頓之外，喬治·勒梅特1933年在劍橋提出的觀點也影響了狄拉克。而隨時間改變的重力常數 G {\displaystyle G} 這個概念最早來自於愛德華·亞瑟·米爾恩的構想，比狄拉克的大數假說還要早上幾年。這個構想並非起於這類的大數巧合，而是源自於要打造一個不同於愛因斯坦的廣義相對論。對米爾恩而言，空間單純只是參考系統而並非一個結構。依照他的觀點，愛因斯坦的結論可以改寫為以下的式子： G = ( c 3 M U ) t {\displaystyle G=\left({\frac {c^{3}}{M_{U}}}\right)t} 當中 M U {\displaystyle M_{U}} 是整個宇宙的質量， t {\displaystyle t} 是以秒計算的宇宙年齡。根據這個關係， G {\displaystyle G} 會隨時間增大。 外爾與愛丁頓的比值可以用不同的方式作表示，例如： c t r e ≈ 10 40 {\displaystyle {\frac {ct}{r_{e}}}\approx 10^{40}} ， 當中 t 為宇宙年齡， c {\displaystyle c} 為光速，re 為古典電子半徑。如果用原子單位把 c {\displaystyle c} 和 re 定為1，則宇宙的年齡約為1040 個原子時間單位。這跟一個電子與質子間電磁力和重力的比值落在相同的數量級： 4 π ϵ 0 G m p m e e 2 ≈ 10 − 40 {\displaystyle {\frac {4\pi \epsilon _{0}Gm_{p}m_{e}}{e^{2}}}\approx 10^{-40}} 將電子電荷 e {\displaystyle e} 、電子質量、電子/質子質量 m p {\displaystyle m_{p}} / m e {\displaystyle m_{e}} 、介電常數因子 4 π ϵ 0 {\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}} 以原子單位（等於1）表示，則重力常數約為10−40。狄拉克解釋說這代表重力常數 G {\displaystyle G} 和時間成反比： G ≈ 1 / t {\displaystyle G\approx 1/t\,} 。根據廣義相對論， G {\displaystyle G} 必須為定值，否則能量不守恒。為解決這個問題，狄拉克將愛因斯坦方程式引入了一個規範方程式 β ，用來在原子單位下描述時空結構。另外，狄拉克作了大數假說中另外一個重要的假設：宇宙中不斷地產生新的物質。 新的物質由以下其中一種方法產生： 附加生成：新的物質從空間中均勻產生。 倍數生成：新的物質伴隨原有的物質產生。 S. Ray; U. Mukhopadhyay; P. P. Ghosh. Large Number Hypothesis: A Review. 2007. arXiv:0705.1836  [gr-qc].  H. Weyl. Zur Gravitationstheorie. Annalen der Physik. 1917, 359 (18): 117. Bibcode:1917AnP...359..117W. doi:10.1002/andp.19173591804.  H. Weyl. Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie. Annalen der Physik. 1919, 364 (10): 101. Bibcode:1919AnP...364..101W. doi:10.1002/andp.19193641002.  A. Eddington. Preliminary Note on the Masses of the Electron, the Proton, and the Universe. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1931, 27: 15. Bibcode:1931PCPS...27...15E. doi:10.1017/S0305004100009269.  E.A. Milne. Relativity, Gravity and World Structure. Oxford University Press. 1935.  H. Kragh. Cosmology and Controversy: The historical development of two theories of the universe. Princeton University Press. 1996: 61–62.  P.A.M. Dirac. A New Basis for Cosmology. Proceedings of the Royal Society of London A. 1938, 165 (921): 199–208. Bibcode:1938RSPSA.165..199D. doi:10.1098/rspa.1938.0053.  P.A.M. Dirac. The Cosmological Constants. Nature. 1937, 139 (3512): 323. Bibcode:1937Natur.139..323D. doi:10.1038/139323a0.  P.A.M. Dirac. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis. Proceedings of the Royal Society of London A. 1974, 338 (1615): 439–446. Bibcode:1974RSPSA.338..439D. doi:10.1098/rspa.1974.0095.  紀錄影片：狄拉克談論大數假說 狄拉克演講完整講稿 Cheng-Gang Shao, Jianyong Shen, Bin Wang: Dirac Cosmology and the Acceleration of the Contemporary Universe（页面存档备份，存于互联网档案馆） Saibal Ray, Utpal Mukhopadhyay, Partha Pratim Ghosh: Large Number Hypothesis: A Review（页面存档备份，存于互联网档案馆） gr-qc/0111034 Guillermo A. Mena Marugan, Saulo Carneiro: Holography and the large number hypothesis（页面存档备份，存于互联网档案馆） Robert Matthews: Dirac's coincidences sixty years on The Mysterious Eddington-Dirac Number（页面存档备份，存于互联网档案馆） A. Unzicker: A Look at the Abandoned Contributions to Cosmology of Dirac, Sciama and Dicke (arxiv:0708.3518)（页面存档备份，存于互联网档案馆）