平坦模

在抽象代數中，一個環 R {\displaystyle R} 上的平坦模是一個 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} ，使得函子 − ⊗ R M {\displaystyle -\otimes _{R}M} 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模 域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。 自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。 當 R {\displaystyle R} 為交換環，一個 R {\displaystyle R} -模的平坦性等價於 N ↦ N ⊗ R M {\displaystyle N\mapsto N\otimes _{R}M} 是個從 R {\displaystyle R} -模到 R {\displaystyle R} -模之正合函子。 將環 R {\displaystyle R} 對一個積性子集 S {\displaystyle S} 的局部化 S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} 視作 R {\displaystyle R} -模，則它是平坦的。 當 R {\displaystyle R} 是諾特環而 M {\displaystyle M} 是有限生成 R {\displaystyle R} -模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模： M {\displaystyle M} 是平坦 R {\displaystyle R} -模若且唯若對任何素理想 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} ，局部化 M p {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}} 是自由 R p {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}} -模。事實上，對條件中的 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 僅須考慮極大理想即可。 當 R {\displaystyle R} 非交換時的定義須作如下修改：假設 M {\displaystyle M} 是左 R {\displaystyle R} -模，則稱之左平坦模，若且唯若對 M {\displaystyle M} 的張量積將右 R {\displaystyle R} -模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。 環上的張量積總是右正合函子，所以左 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 是平坦模的充要條件是：對任何右 R {\displaystyle R} -模的單射 K → L {\displaystyle K\rightarrow L} ，取張量積後的同態 K ⊗ R M → L ⊗ R M {\displaystyle K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M} 仍為單射。 一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 − ⊗ R M {\displaystyle -\otimes _{R}M} 與 H o m R ( M , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,-)} 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。 Lazard 在1969年證明了：模 M {\displaystyle M} 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。 一個阿貝爾群是平坦 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模的充要條件是其中沒有撓元。 平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 的平坦性等價於 n ≥ 1 ⇒ T o r n R ( − , M ) = 0 {\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0} ；類此，一個右 R {\displaystyle R} -模 N {\displaystyle N} 的平坦性等價於 n ≥ 1 ⇒ T o r n R ( N , − ) = 0 {\displaystyle n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0} 。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質： 考慮短正合序列 0 ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0} 若 A , C {\displaystyle A,C} 平坦，則 B {\displaystyle B} 亦然。 若 B , C {\displaystyle B,C} 平坦，則 A {\displaystyle A} 亦然。 若 A , B {\displaystyle A,B} 平坦， C {\displaystyle C} 不一定平坦；若假設 A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的純子模而 B {\displaystyle B} 平坦，則可推出 A {\displaystyle A} 與 C {\displaystyle C} 皆平坦。 設 R {\displaystyle R} 為交換環， I ⊂ R {\displaystyle I\subset R} 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。 定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價： M {\displaystyle M} 是平坦 R {\displaystyle R} -模。 R / I ⊗ R M {\displaystyle R/I\otimes _{R}M} 是平坦 R / I {\displaystyle R/I} -模，且 T o r 1 R ( M , R / I ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0} 。 R / I ⊗ R M {\displaystyle R/I\otimes _{R}M} 是平坦 R / I {\displaystyle R/I} -模，且典範同態 I ⊗ R M → I M {\displaystyle I\otimes _{R}M\rightarrow IM} 為同構。 對所有 R {\displaystyle R} -模 N {\displaystyle N} ，有 I N = 0 ⇒ T o r 1 R ( M , N ) = 0 {\displaystyle IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0} 。 對所有 R {\displaystyle R} -模 N {\displaystyle N} ，有 ∃ s ∈ N I s N = 0 ⇒ T o r 1 R ( M , N ) = 0 {\displaystyle \exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0} 。 對所有 s ∈ N {\displaystyle s\in \mathbb {N} } ， R / I s ⊗ R M {\displaystyle R/I^{s}\otimes _{R}M} 是平坦 R / I s {\displaystyle R/I^{s}} -模。 R / I ⊗ R M {\displaystyle R/I\otimes _{R}M} 是平坦 R / I {\displaystyle R/I} -模，且典範態射 γ : g r I 0 ( M ) ⊗ R / I g r I ∙ ( A ) → g r I ∙ ( M ) {\displaystyle \gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)} 為同構。 此判準在代數幾何中的用途尤大。 一個模 M {\displaystyle M} 的平坦分解是如下形式的正合序列： ⋯ → F i → F i − 1 → ⋯ → F 0 → M → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0} 使得其中每個 F i {\displaystyle F_{i}} 都是平坦模。 任何射影分解都是平坦分解。 一個 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 被稱作忠實平坦的，若且唯若 − ⊗ R M {\displaystyle -\otimes _{R}M} 是個忠實的正合函子。這也就是說： M {\displaystyle M} 是個平坦 R {\displaystyle R} -模。 典範映射 H o m R ( N 1 , N 2 ) → H o m ( N 1 ⊗ R M , N 2 ⊗ R M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)} 是單射。 當 R {\displaystyle R} 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃： M {\displaystyle M} 是忠實平坦的。 M {\displaystyle M} 是平坦的，且 N ⊗ R M = 0 ⇒ N = 0 {\displaystyle N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0} 。 M {\displaystyle M} 是平坦的，且對所有極大理想 m ⊂ R {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset R} 都有 R / m ⊗ R M ≠ 0 {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0} 。 一個序列 N ∙ {\displaystyle N_{\bullet }} 正合，若且唯若 N ∙ ⊗ R M {\displaystyle N_{\bullet }\otimes _{R}M} 正合。 Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33 Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.