魔群

魔群（英語：Monster group）或怪獸群，或友善巨人（the Friendly Giant）或費雪─格里斯怪獸（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是26個散在群的其中之一，一般常將之記作M或F1。 怪獸群的階是26個散在群中最大的，其階為 有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的18類可數無限族中，或不包含於那些可系統化模式的18類可數無限族中，那26個的「散單群」中。而怪獸群是那26個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個，其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散單群。 或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群（英语：Fischer group）的有限單群中階最小者（怪獸群雖為散在群中階最大的，但這不表示它是所有有限單群中階最大的，其他類的有限單群中有階比其更大者存在）。 怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer，他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M的階被格里斯以湯普森階公式(Thompson order formula)計算出，而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群。約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。 格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為階為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。 怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪兽月光理论的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。 在此設定下，怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現：亦即由一作用在怪獸李代數上，屬廣義Kac–Moody代數，且包含Griess代數的無窮維代數的頂點算子代數示現而出。 　　一個忠實的複數表示的最小度數是196,883，它是怪獸群階數可分得3個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是 24 · 37 · 53 · 74 · 11 · 132 · 29 · 41 · 59 · 71 (約 1020)點。他可被視為有理數上的一個伽罗瓦群(Thompson 1984，p. 443)而實現，並視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004) harv error: no target: CITEREFWilson2004 (help)。 　　怪獸群在單群中並不平常，因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素，而這並非起因於他大小的表示因素。例如，單群"A"100和SL20（2）相對是大，但容易計算，因為它們是具已知的置換或線性表示；交錯群具有與之的大小相較下的置換表示，且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示，以至於它們易於在計算機上工作（而難度僅次於怪物群的，為可分割成維度4370的小怪獸群(baby Monster)表示）。 怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram) E ~ 8 , {\displaystyle {\tilde {E}}_{8},} 亦存在著關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的E8觀察」(McKay's E8 observation) 怪獸群包含了至少44個共軛類的極大子群。六十數種同構類型的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。 怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。 2.B   對合(involution)的中心化子(Centralizer);包含一Sylow 47-子群的正規化子(normalizer) (47:23) × 2 。 21+24.Co1   對合的中心化子。 3.Fi24  階數3子群的正規化子;包含一Sylow 29-子群的正規化子((29:14) × 3).2。 22.2E6(22):S3   一Klein 4-群的正規化子。 210+16.O10+(2) 22+11+22.(M24 × S3)   一Klein 4-群的正規化子; 含一Sylow 23-子群的正規化子(23:11) × S4。 31+12.2Suz.2   階數3子群的正規化子。 25+10+20.(S3 × L5(2)) S3 × Th   階數3子群的正規化子;含一Sylow 31-子群的正規化子(31:15) × S3 。 23+6+12+18.(L3(2) × 3S6) 38.O8−(3).23 (D10 × HN).2   階數5子群的正規化子。 (32:2 × O8+(3)).S4 32+5+10.(M11 × 2S4) 33+2+6+6:(L3(3) × SD16) 51+6:2J2:4   階數5子群的正規化子。 (7:3 × He):2   階數7子群的正規化子。 (A5 × A12):2 53+3.(2 × L3(5)) (A6 × A6 × A6).(2 × S4) (A5 × U3(8):31):2   含一Sylow 19-子群的正規化子((19:9) × A5):2 。 52+2+4:(S3 × GL2(5)) (L3(2) × S4(4):2).2   含一Sylow 17-子群的正規化子 ((17:8) × L3(2)).2 。 71+4:(3 × 2S7)   階數7子群的正規化子。 (52:4.22 × U3(5)).S3 (L2(11) × M12):2   包含階數11子群的正規化子(11:5 × M12):2 。 (A7 × (A5 × A5):22):2 54:(3 × 2L2(25)):22 72+1+2:GL2(7) M11 × A6.22 (S5 × S5 × S5):S3 (L2(11) × L2(11)):4 132:2L2(13).4 (72:(3 × 2A4) × L2(7)):2 (13:6 × L3(3)).2   階數13子群的正規化子。 131+2:(3 × 4S4)   階數13子群的正規化子; 一Sylow 13-子群的正規化子。 L2(71)   Holmes & Wilson (2008) harvtxt error: no target: CITEREFHolmesWilson2008 (help) 含一Sylow 71-子群的正規化子71:35。 L2(59)   Holmes & Wilson (2004) harvtxt error: no target: CITEREFHolmesWilson2004 (help) 含一Sylow 59-子群的正規化子59:29。 112:(5 × 2A5)   Sylow 11-子群的正規化子。 L2(41)   Norton & Wilson (2013) harvtxt error: no target: CITEREFNortonWilson2013 (help) 找到此形式的極大子群; 此是由於Zavarnitsine指出一些先前的沒有這樣的極大子群存在。 L2(29):2   Holmes & Wilson (2002) harvtxt error: no target: CITEREFHolmesWilson2002 (help) 72:SL2(7)  一些過去7-局部子群的表中此被意外地忽略了。 L2(19):2   Holmes & Wilson (2008) harvtxt error: no target: CITEREFHolmesWilson2008 (help) 41:40   一Sylow 41-子群的正規化子。 超級單獨質數：魔群階數的質因數 Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram Archive.is的存檔，存档日期2012-07-13, by John F. 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