体积形式

数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。 在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。 有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。 许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。 流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。 用线丛的语言来说，称最高阶外积 Ω n ( M ) = Λ n ( T ∗ M ) {\displaystyle \Omega ^{n}(M)=\Lambda ^{n}(T^{*}M)} 为行列式线丛，n-形式是它的截面。 对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。 第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。 一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。 在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为 SL → GL + {\displaystyle {\mbox{SL}}\to {\mbox{GL}}^{+}} 是形变收缩（因为 GL + = SL × R + {\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}={\mbox{SL}}\times \mathbf {R} ^{+}} ，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个 GL + {\displaystyle {\mbox{GL}}^{+}} -结构，即是一个定向。 在线丛的语言中，行列式丛 Ω n ( M ) {\displaystyle \Omega ^{n}(M)} 的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。 对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个 SL ± {\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }} -结构，因为 SL ± → GL {\displaystyle {\mbox{SL}}^{\pm }\to {\mbox{GL}}} 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。 任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。 任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度： μ ω ( U ) = ∫ U ω . {\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!} 注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成 ∫ b a f d x = − ∫ a b f d x {\displaystyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx} ，将 d x {\displaystyle dx} 视为体积形式而不是测度， ∫ b a {\displaystyle \int _{b}^{a}} 表明“在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上沿着定向相反的反向积分”，有时记成 [ a , b ] ¯ {\displaystyle {\overline {[a,b]}}} 。 进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。 任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ωe 是 ⋀ n T e ∗ G {\displaystyle \bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G} 中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为 ω g = L g ∗ ω e {\displaystyle \omega _{g}=L_{g}^{*}\omega _{e}} ，这里Lg为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。 任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωn处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。 任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式： ω = | g | d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}} 这里流形为n-维， | g | {\displaystyle |g|} 是流形上度量张量行列式的绝对值， d x i {\displaystyle dx^{i}} 为组成流形余切丛一组基的1形式。 这个体积形式有许多不同的记号，包括： ω = v o l n = ϵ = ∗ ( 1 ) . {\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!} 这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。 尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。 一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。 体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集 U ⊂ R 2 {\displaystyle U\subset \mathbf {R} ^{2}} ，以及映射函数 ϕ : U → R n {\displaystyle \phi :U\to \mathbf {R} ^{n}} 定义了嵌入到 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为 λ i j = ∂ ϕ i ∂ u j {\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}} 指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为： g i j = ∑ k = 1 n λ k i λ k j = ∑ k = 1 n ∂ ϕ k ∂ u i ∂ ϕ k ∂ u j {\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}} 度量的行列式由 det g = | ∂ ϕ ∂ u 1 ∧ ∂ ϕ ∂ u 2 | 2 = det ( λ T λ ) {\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )} 给出，这里 ∧ {\displaystyle \wedge } 是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。 现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚 f : U → U , {\displaystyle f\colon U\to U,\,\!} 给出。从而坐标 ( u 1 , u 2 ) {\displaystyle (u_{1},u_{2})} 用 ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle (v_{1},v_{2})} 形式表示是 ( u 1 , u 2 ) = f ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})} 。坐标变换的雅可比矩阵为： F i j = ∂ f i ∂ v j {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}} 在新坐标系下，我们有： ∂ ϕ i ∂ v j = ∑ k = 1 2 ∂ ϕ i ∂ u k ∂ f k ∂ v j {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}} 从而度量变换为： g ~ = F T g F {\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF} 这里 g ~ {\displaystyle {\tilde {g}}} 是在v坐标系下的度量。行列式： det g ~ = det g ( det F ) 2 {\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}} . 给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集 B ⊂ U {\displaystyle B\subset U} 的面积由积分： Area ( B ) = ∬ B det g d u 1 d u 2 = ∬ B det g det F d v 1 d v 2 = ∬ B det g ~ d v 1 d v 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}} 给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。 注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。 体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。 给定M上一个处处函数f，和一个体积形式 ω {\displaystyle \omega } ， f ω {\displaystyle f\omega } 也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式 ω , ω ′ {\displaystyle \omega ,\omega '} ，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。 在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是 ω ′ {\displaystyle \omega '} 关于 ω {\displaystyle \omega } 的Radon–Nikodym导数。 一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。 正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形 M , N {\displaystyle M,N} ，分别具有体积形式 ω M , ω N {\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}} ，对任何点 m ∈ M , n ∈ N {\displaystyle m\in M,n\in N} ，存在一个映射 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} （这里 U {\displaystyle U} 是 m {\displaystyle m} 的一个邻域而 V {\displaystyle V} 是 n {\displaystyle n} 的一个邻域），使得N（限制在邻域 V {\displaystyle V} 上）上的体积形式拉回到 M {\displaystyle M} （限制在邻域 U {\displaystyle U} ）上的体积形式： f ∗ ω N | V = ω M | U {\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}} 。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。 在1维情形，可以这样证明：给定 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上一个体积形式 ω {\displaystyle \omega } ，定义 f ( x ) := ∫ 0 x ω {\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega } 那么标准勒贝格测度 d x {\displaystyle dx} 通过f: ω = f ∗ d x {\displaystyle \omega =f^{*}dx} 拉回到 ω {\displaystyle \omega } ，实际上， ω = f d x {\displaystyle \omega =f\,dx} 。 高维数时，给定任何一点 m ∈ M {\displaystyle m\in M} ，存在一个邻域局部同胚于 R × R n − 1 {\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}} ，我们可以进行相同的步骤。 连通流形M上一个体积形式有一个惟一的整体不变量，即总体积（记作 μ ( M ) {\displaystyle \mu (M)} ），在保持体积形式的映射下不变；总体积可能是无穷，比如 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 上的勒贝格测度。对于一个不连通流形，任何连通分支的体积是不变量。 用符号表示，如果 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 是流形的同胚，将 ω N {\displaystyle \omega _{N}} 拉回到 ω M {\displaystyle \omega _{M}} ，那么 μ ( N ) = ∫ N ω N = ∫ f ( M ) ω N = ∫ M f ∗ ω N = ∫ M ω M = μ ( M ) {\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)} 从而流形具有相同的体积。 体积形式也能在覆盖映射下拉回，在此情况下将体积乘以纤维的基数（形式地说，在纤维上积分）。在无穷重覆盖（比如 R → S 1 {\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}} ），有限体积流形上的体积形式拉回到一个无穷体积流形上的体积形式。 反过来，于尔根·莫泽的一个定理指出，对于连通紧流形上两个体积相等的体积形式 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 和 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} ，存在一个流形的微分自同胚将 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 拉回到 ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} ，事实上存在由的流形成同痕。 庞加莱度量给出了复平面上一个新的体积形式； 测度。 存档副本 (PDF). [2008-10-26]. （原始内容存档 (PDF)于2008-05-09）.  Michael Spivak, Calculus on Manifolds, (1965) W.A. Benjamin, Inc. Reading, Massachusetts ISBN 0-8053-9021-9（提供了一个微分几何的现代理念的初等介绍，只需要一般的微积分背景。）