相等

在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“ = {\displaystyle =} ”； x = y {\displaystyle x=y} 当且仅当 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如 6 − 2 = 4 {\displaystyle 6-2=4} ，即 6 − 2 {\displaystyle 6-2} 與 4 {\displaystyle 4} 是相等的。 注意，有些时候“ A = B {\displaystyle A=B} ”并不表示等式。例如， T ( n ) = O ( n 2 ) {\displaystyle T(n)=O(n^{2})} 表示在数量级 n 2 {\displaystyle n^{2}} 上渐进。因為这裡的符号“ = {\displaystyle =} ”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上， O ( n 2 ) = T ( n ) {\displaystyle O(n^{2})=T(n)} 是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。 集合 A {\displaystyle A} 上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。 实际上，这是 A {\displaystyle A} 上唯一满足所有这些性质的关系。 去掉对反对称性的要求，就是等价关系。 相应的，给定任意等价关系 R {\displaystyle R} ，可以构造商集 A / R {\displaystyle A/R} ，并且这个等价关系将‘下降为’ A / R {\displaystyle A/R} 上的等于。 在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。 謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。 萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。 形式化這一說法，可以寫成 對任意 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ， x = y {\displaystyle x=y} 當且僅當對任意謂詞 P {\displaystyle P} ， P ( x ) {\displaystyle P(x)} 當且僅當 P ( y ) {\displaystyle P(y)} 。 然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理： 對任意 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ，若 x {\displaystyle x} 等於 y {\displaystyle y} ，則 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 當且僅當 P ( y ) {\displaystyle P(y)} 。 這條公理對任意單變量的謂詞 P {\displaystyle P} 都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 相等，則它們具有相同的性質。 可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向： 對任意 x {\displaystyle x} ， x {\displaystyle x} 等於 x {\displaystyle x} 。 則若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞 P {\displaystyle P} 是相同的。這裡謂詞 P {\displaystyle P} 為： P ( z ) {\displaystyle P(z)} 當且僅當 x = z {\displaystyle x=z} 。 由於 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 成立， P ( y ) {\displaystyle P(y)} 必定也成立（相同的性質），所以 x = y {\displaystyle x=y} （' ' P {\displaystyle P} 的變量為 y {\displaystyle y} ）. 对任意量 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 和任意表达式 F ( x ) {\displaystyle F(x)} ，若 a = b {\displaystyle a=b} ，则 F ( a ) = F ( b ) {\displaystyle F(a)=F(b)} （设等式两边都有意义）。 在一阶逻辑中，不能量化像 F {\displaystyle F} 这样的表达式（它可能是个函数谓词）。 一些例子： 对任意实数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，若 a = b {\displaystyle a=b} ，则 a + c = b + c {\displaystyle a+c=b+c} （这里 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 为 x + c {\displaystyle x+c} ） 对任意实数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，若 a = b {\displaystyle a=b} ，则 a − c = b − c {\displaystyle a-c=b-c} （这里 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 为 x − c {\displaystyle x-c} ） 对任意实数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，若 a = b {\displaystyle a=b} ，则 a c = b c {\displaystyle ac=bc} （这里 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 为 x c {\displaystyle xc} ） 对任意实数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} ，若 a = b {\displaystyle a=b} 且 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ，则 a / c = b / c {\displaystyle a/c=b/c} （这里 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 为 x / c {\displaystyle x/c} ） 对任意量 a {\displaystyle a} ， a = a {\displaystyle a=a} 。 这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。 例子：如果 a = b {\displaystyle a=b} ，那么 b = a {\displaystyle b=a} 例子：如果 a = b {\displaystyle a=b} ， b = c {\displaystyle b=c} ，那么 a = c {\displaystyle a=c} 实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。 尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。 「等于」符号或 「 = {\displaystyle =} 」被用来表示一些算术运算的结果，是由罗伯特·雷科德在1557年发明的。 由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。 约等于的符号是 ≈ {\displaystyle \approx } 或≒，不等于的符号是 ≠ {\displaystyle \neq } 。 等号 关系符号的早期使用（英文）