代數曲線

在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面 P 2 {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} 上由一個齊次多項式 f ( X , Y ) {\displaystyle f(X,Y)} 定義的零點。 定義在域 F {\displaystyle F} 上的仿射代數曲線可以看作是 F n {\displaystyle F^{n}} 中由若干個 n {\displaystyle n} -元多項式 g i ∈ F [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle g_{i}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]} 定義的公共零點，使得其维数為一。 利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ，其中 f ∈ F [ x , y ] {\displaystyle f\in F[x,y]} ，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。 射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程 g i = 0 {\displaystyle g_{i}=0} （ i = 1 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,\ldots ,n-1} ）中，我們作代換： g i ( x 1 , … , x n ) ⟶ ( X 0 ) deg ⁡ g i g i ( X 1 X 0 , … , X n X 0 ) {\displaystyle g_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\longrightarrow (X_{0})^{\deg g_{i}}g_{i}\left({\frac {X_{1}}{X_{0}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{0}}}\right)} 遂得到 n − 1 {\displaystyle n-1} 個齊次多項式，它們在射影空間 P F n {\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{n}} 中定義一條曲線，此射影曲線與開集 U 0 := { ( X 0 : ⋯ : X n ) | X 0 ≠ 0 } {\displaystyle U_{0}:=\{(X_{0}:\cdots :X_{n})|X_{0}\neq 0\}} 的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括 P Q 3 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{3}} 中的費馬曲線 X n + Y n + Z n = 0 {\displaystyle X^{n}+Y^{n}+Z^{n}=0} ，其上的有理點對應到費馬方程 X n + Y n = Z n {\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}} 的互素整數解。 代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域 F {\displaystyle F} 上的函數域 K {\displaystyle K} 是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素 x ∈ K {\displaystyle x\in K} 使得 x {\displaystyle x} 在 F {\displaystyle F} 上超越，而且 K / F ( x ) {\displaystyle K/F(x)} 是有限擴張。 以複數域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 為例，我們可以定義複係數有理函數域 C ( x ) {\displaystyle \mathbb {C} (x)} 。變元 x , y {\displaystyle x,y} 對代數關係 y 2 = x 3 − x − 1 {\displaystyle y^{2}=x^{3}-x-1} 生成的域 C ( x , y ) {\displaystyle \mathbb {C} (x,y)} 是一個橢圓函數域，代數曲線 { ( x , y ) ∈ C 2 : y 2 = x 3 − x − 1 } {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=x^{3}-x-1\}} 給出它的一個幾何模型。 若基域 F {\displaystyle F} 非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域 F := R {\displaystyle F:=\mathbb {R} } 並考慮其上的代數曲線 x 2 + y 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0} ，此方程定義了一個 R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} 的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而 { ( x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 + 1 = 0 } = ∅ {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}+1=0\}=\emptyset } 代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。 複射影曲線可以嵌入 n {\displaystyle n} 維複射影空間 C P n {\displaystyle \mathbb {C} P^{n}} 。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。 於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。 曲線在一點 P {\displaystyle P} 的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於 P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 中的曲線：設該曲線由 n − 1 {\displaystyle n-1} 個 n + 1 {\displaystyle n+1} 個變元的齊次多項式 g 1 , … , g n − 1 {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}} 定義，若其雅可比矩陣 ( ∂ g i ∂ x j ) i , j {\displaystyle \left({\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{i,j}} 在區線上一點 P {\displaystyle P} 滿秩，則稱它 P {\displaystyle P} 點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式 g 1 , … , g n − 1 {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-1}} 的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。 在平面射影曲線的例子，假設曲線 C {\displaystyle C} 由齊次方程式 f ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle f(x,y,z)=0} 定義，則 C {\displaystyle C} 的奇點恰為 C {\displaystyle C} 上使得 ∇ f {\displaystyle \nabla f} 為零的點，即： ∂ f ∂ x ( P ) = ∂ f ∂ y ( P ) = ∂ f ∂ z ( P ) = 0 ( P ∈ C ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0\quad (P\in C)} 在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。 曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線 x 3 = y 2 {\displaystyle x^{3}=y^{2}} 之於原點 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} 在一點 P {\displaystyle P} 的奇點性質可以透過下述方式理解： 透過平移，不妨假設 P = ( 0 , 0 ) {\displaystyle P=(0,0)} 。將多項式 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 寫成 f ( x , y ) = ∑ n ≥ 1 f n ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)=\sum _{n\geq 1}f_{n}(x,y)} 其中 f n ( x , y ) {\displaystyle f_{n}(x,y)} 是 n {\displaystyle n} 次齊次多項式。直觀地想像， f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} 在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為 f m ( x , y ) {\displaystyle f_{m}(x,y)} 。根據齊次性可以將之分解成 f m ( x , y ) = ∏ i = 1 m ( a i x − b i y ) {\displaystyle f_{m}(x,y)=\prod _{i=1}^{m}(a_{i}x-b_{i}y)} 換言之，曲線在原點附近將近似於 m {\displaystyle m} 條（含重複）直線 a i x − b i y = 0 {\displaystyle a_{i}x-b_{i}y=0} 的聯集。上式中相異的直線數 r {\displaystyle r} 稱作分支數，正整數 m {\displaystyle m} 稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量 δ P := dim ⁡ O C ~ , P / O C , P {\displaystyle \delta _{P}:=\dim {\mathcal {O}}_{{\tilde {C}},P}/{\mathcal {O}}_{C,P}} ，其中 C ~ → C {\displaystyle {\tilde {C}}\rightarrow C} 是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如一般尖點對應到 [ 2 , 1 , 1 ] {\displaystyle [2,1,1]} ，一般雙重點對應到 [ 2 , 1 , 2 ] {\displaystyle [2,1,2]} ，而一般n重點則對應到 [ n , n ( n − 1 ) 2 , n ] {\displaystyle [n,{\frac {n(n-1)}{2}},n]} 。 各奇點的不變量δP決定平面曲線 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} 的虧格：設 deg ⁡ f = d {\displaystyle \deg f=d} ，則有 g = 1 2 ( d − 1 ) ( d − 2 ) − ∑ P δ P , {\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},} 對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數：同樣假設 P = ( 0 , 0 ) {\displaystyle P=(0,0)} ，在原點附近夠小的四維球 B ϵ := { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 < ϵ } {\displaystyle B_{\epsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}<\epsilon \}} 內有 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) ⇒ ∇ f ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle (x,y)\neq (0,0)\Rightarrow \nabla f(x,y)\neq 0} ，此時有連續映射 ∇ f ( x , y ) : B ϵ − { ( 0 , 0 ) } → B ϵ − { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle \nabla f(x,y):B_{\epsilon }-\{(0,0)\}\rightarrow B_{\epsilon }-\{(0,0)\}} 由於 B ϵ − { ( 0 , 0 ) } {\displaystyle B_{\epsilon }-\{(0,0)\}} 同倫等價於三維球面 S 3 {\displaystyle \mathbb {S} ^{3}} ，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明： μ = 2 δ − r + 1 {\displaystyle \mu =2\delta -r+1} 事實上， { ( x , y ) ∈ C 2 : f ( x , y ) = 0 } ∩ { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 = ϵ } {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:f(x,y)=0\}\cap \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}} 在ε夠小時是 { ( x , y ) ∈ C 2 : | x | 2 + | y | 2 = ϵ } ≅ S 3 {\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:|x|^{2}+|y|^{2}=\epsilon \}\cong \mathbb {S} ^{3}} 中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如： x 3 = y 2 {\displaystyle x^{3}=y^{2}} 在尖點附近的奇點環圈是三葉結。 域 F {\displaystyle F} 上的有理曲線是雙有理等價於射影直線 P F 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{F}^{1}} 的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域 F ( t ) {\displaystyle F(t)} 。當 F {\displaystyle F} 代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由 x 2 + y 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0} 給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。 具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。 任何 F {\displaystyle F} 上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點 P {\displaystyle P} 而斜率為 t {\displaystyle t} 的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於 F {\displaystyle F} 的根已知，即 P {\displaystyle P} 的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於 F {\displaystyle F} ，而且能表作 t {\displaystyle t} 在 F {\displaystyle F} 上的有理函數。y坐標的作法相同。 例。考慮斜橢圓 E : x 2 + x y + y 2 = 1 {\displaystyle E:x^{2}+xy+y^{2}=1} ，其中 ( − 1 , 0 ) {\displaystyle (-1,0)} 是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線 y = t ( x + 1 ) {\displaystyle y=t(x+1)} ，並帶入E的等式，於是得到： x = 1 − t 2 1 + t + t 2 {\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}} 。 y = t ( x + 1 ) = t ( t + 2 ) 1 + t + t 2 {\displaystyle y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}} 這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。 將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線 X 2 + X Y + Y 2 = Z 2 {\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}\,\!} 以上參數化遂表為 X = 1 − t 2 , Y = t ( t + 2 ) , Z = t 2 + t + 1 {\displaystyle X=1-t^{2},\quad Y=t(t+2),\quad Z=t^{2}+t+1\,\!} 若取 t {\displaystyle t} 為整數，對應的 X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} 是不定方程 X 2 + X Y + Y 2 = Z 2 {\displaystyle X^{2}+XY+Y^{2}=Z^{2}} 的整數解；若將 X {\displaystyle X} 代以 − X {\displaystyle -X} ，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取 t = 2 {\displaystyle t=2} ，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。 橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式： y 2 z + a 1 x y z + a 3 y z 2 = x 3 + a 2 x 2 z + a 4 x z 2 + a 6 z 3 . {\displaystyle y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.\,\!} 橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } ，其中的 Λ {\displaystyle \Lambda } 由相應的橢圓函數給出。 對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據法爾廷斯定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括超橢圓曲線（英语：Hyperelliptic curve）、克萊因四次曲線（英语：Klein quartic）與一開始提到的費馬曲線（英语：Fermat curve）在 n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} 的情形。 Egbert Brieskorn and Horst Knörrer, Plane Algebraic Curves, John Stillwell, trans., Birkhäuser, 1986 Claude Chevalley, Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable, American Mathematical Society, Mathematical Surveys Number VI, 1951 Hershel M. 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