霍爾婚配定理

数学上，霍爾婚配定理（英語：Hall's marriage theorem）是菲利浦·霍爾最先證明的圖論定理，又稱霍爾定理，描述二分图中，能將一側全部頂點牽線匹配到另一側的充要條件。定理另有一個等價的組合敍述，確定一族有限集合在何種充要條件下，可自每個集合各揀選一個元素，而使所選元素兩兩互異（即沒有元素是重復的）。 設 S {\displaystyle S} 為 X {\displaystyle X} 的有限子集組成的有限多重族。 S {\displaystyle S} 的一個代表系（英语：Transversal (combinatorics)）是 S {\displaystyle S} 至 X {\displaystyle X} 的單射，且該單射 f {\displaystyle f} 將族中任意集合 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 映至該集合的某元素 f ( s ) {\displaystyle f(s)} 。換言之， f {\displaystyle f} 從 S {\displaystyle S} 中每個集合，選出一個代表元，使得不同的集合由不同元素代表（「單射」之義）。代表系又稱為「截面」或「遍歷」（transversal）。 族 S {\displaystyle S} 滿足霍爾條件，意思是對每個子族 W ⊆ S {\displaystyle W\subseteq S} ，有 | W | ≤ | ⋃ A ∈ W A | . {\displaystyle |W|\leq \left|\bigcup _{A\in W}A\right|.} 用文字複述，該條件斷言對於 S {\displaystyle S} 的每個子族，其各集合一共擁有的不同成員數，不小於該子族的集合數。若不滿足該條件，則不存在代表系，因為在某子族 W {\displaystyle W} （設有 k {\displaystyle k} 個集合）中，各集合一共衹有少於 k {\displaystyle k} 個互異元素，如此由鴿巢原理，為 k {\displaystyle k} 個集合所選的 k {\displaystyle k} 個代表元之中，必有兩者相等。霍爾定理說明，前述命題的否命題也成立，即若滿足霍爾條件，則必存在代表系。 霍爾定理：一族有限集有代表系，當且僅當其滿足霍爾條件，即其任意子族皆滿足以上不等式。 證明見§ 圖論表述。 例一：考慮集族 S = { A 1 , A 2 , A 3 } {\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3}\}} ，其中 A 1 = { 1 , 2 , 3 } , A 2 = { 1 , 4 , 5 } , A 3 = { 3 , 5 } . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{1,2,3\},\\A_{2}&=\{1,4,5\},\\A_{3}&=\{3,5\}.\end{aligned}}} 合適的代表系有 ( 1 , 4 , 5 ) {\displaystyle (1,4,5)} ，但並不唯一，例如 ( 2 , 1 , 3 ) {\displaystyle (2,1,3)} 亦可。 例二：考慮 S = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } {\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}} ，其中 A 1 = { 2 , 3 , 4 , 5 } , A 2 = { 4 , 5 } , A 3 = { 5 } , A 4 = { 4 } . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{2,3,4,5\},\\A_{2}&=\{4,5\},\\A_{3}&=\{5\},\\A_{4}&=\{4\}.\end{aligned}}} 此時，無合適的代表系。子族 W = { A 2 , A 3 , A 4 } {\displaystyle W=\{A_{2},A_{3},A_{4}\}} 違反霍爾條件，因為該族有 | W | = 3 {\displaystyle |W|=3} 個集合，但該三個集之並為 A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 = { 4 , 5 } {\displaystyle A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}=\{4,5\}} ，僅得兩個元素。 例三：同樣設 S = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 } {\displaystyle S=\{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}} ，但換成 A 1 = { 1 , 2 , 3 } , A 2 = { 2 , 4 } , A 3 = { 1 , 2 , 4 } , A 4 = { 2 , 4 } . {\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=\{1,2,3\},\\A_{2}&=\{2,4\},\\A_{3}&=\{1,2,4\},\\A_{4}&=\{2,4\}.\end{aligned}}} 此時， A 2 {\displaystyle A_{2}} 與 A 4 {\displaystyle A_{4}} 的代表必為 2 , 4 {\displaystyle 2,4} 或逆序，從而 A 3 {\displaystyle A_{3}} 的代表須為 1 {\displaystyle 1} 。所以，合適的代表系有且衹有 ( 3 , 2 , 1 , 4 ) {\displaystyle (3,2,1,4)} 或 ( 3 , 4 , 1 , 2 ) {\displaystyle (3,4,1,2)} 。 定理命名為「婚配」（marriage），是與以下例子有關。設有兩組人，一組 n {\displaystyle n} 男，一組 n {\displaystyle n} 女。每名女士心目中皆有一份名單（若干男士組成的子集），會接受名單中的男士的求婚，但會拒絕其他人。而該些男士別無所求，願意向任何女士求婚。媒人希望判斷是否存在方案，在尊重諸位女士的意願的前提下，將該兩組人撮合成 n {\displaystyle n} 對夫妻。 以 A i {\displaystyle A_{i}} 表示第 i {\displaystyle i} 名女士願意接受的男士集合，則霍爾定理講述，存在方案使每位女士與心儀對象結婚，且無重婚，當且僅當對於任意若干位女士組成的集合 I {\displaystyle I} ，願意與其中至少一位女士結婚的男士數 | ⋃ i ∈ I A i | {\displaystyle \left|\bigcup _{i\in I}A_{i}\right|} ，不小於該集合的女士數 | I | {\displaystyle |I|} 。 後一個條件為必要，否則該 | I | {\displaystyle |I|} 名女士根本無法找到足夠的配偶。較不明顯的是，該條件亦為充分，此即霍爾定理的肯綮。 設 G {\displaystyle G} 為有限二部圖，頂點集分為 X {\displaystyle X} 、 Y {\displaystyle Y} 兩部，以符號記為 G = ( X ⊔ Y , E ) {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)} 。 X {\displaystyle X} 完美匹配是圖上若干條邊組成的匹配，其兩兩無公共端點，且 X {\displaystyle X} 的每個頂點各有一條邊在該匹配中。 對於 X {\displaystyle X} 的任意子集 W {\displaystyle W} ，設 N G ( W ) {\displaystyle N_{G}(W)} 為 W {\displaystyle W} 在 G {\displaystyle G} 中的鄰域（英语：Neighbourhood (graph theory)），即 Y {\displaystyle Y} 中與 W {\displaystyle W} 至少一點有連邊的全體頂點之集。霍爾定理斷言，存在 X {\displaystyle X} 完美匹配，当且仅当對 X {\displaystyle X} 的每個子集 W {\displaystyle W} ，皆有： | W | ≤ | N G ( W ) | . {\displaystyle |W|\leq |N_{G}(W)|.} 換言之，與 W {\displaystyle W} 相鄰的頂點，不少於 W {\displaystyle W} 的頂點。上述不等式稱為霍爾條件。 「 ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } 」：假設有匹配 M {\displaystyle M} ，覆蓋頂點集 X {\displaystyle X} 。欲證霍爾條件對全部 W ⊆ X {\displaystyle W\subseteq X} 成立。記 M ( W ) {\displaystyle M(W)} 為 W {\displaystyle W} 經 M {\displaystyle M} 匹配到的頂點集，其為 Y {\displaystyle Y} 的子集。由匹配的定義，必有 | M ( W ) | = | W | {\displaystyle |M(W)|=|W|} ，同時 M ( W ) ⊆ N G ( W ) {\displaystyle M(W)\subseteq N_{G}(W)} ，因為 M ( W ) {\displaystyle M(W)} 的元素皆為 W {\displaystyle W} 的鄰舍。故 | N G ( W ) | ≥ | M ( W ) | {\displaystyle |N_{G}(W)|\geq |M(W)|} ，即 | N G ( W ) | ≥ | W | {\displaystyle |N_{G}(W)|\geq |W|} 。 「 ⟸ {\displaystyle \Longleftarrow } 」：假設無 X {\displaystyle X} 完美匹配，欲證有某子集 W ⊆ X {\displaystyle W\subseteq X} 違反霍爾條件。設 M {\displaystyle M} 為極大匹配，換言之，若再添加任何一條邊，則不再為匹配。設 u {\displaystyle u} 為 X {\displaystyle X} 中未獲覆蓋的頂點。考慮由 u {\displaystyle u} 出發的全體「交錯路徑」，即圖 G {\displaystyle G} 中的路徑，其首邊不屬 M {\displaystyle M} ，次邊屬於 M {\displaystyle M} ，第三邊又不屬 M {\displaystyle M} ，如此交錯排列。 u {\displaystyle u} 藉該些交錯路徑，與 Y {\displaystyle Y} 中若干頂點相連，該些頂點組成的子集記為 Z {\displaystyle Z} ；又與 X {\displaystyle X} 中若干頂點相連（此處 u {\displaystyle u} 亦視為與自己相連），得子集 W {\displaystyle W} 。極長的交錯路徑不能終於 Y {\displaystyle Y} ，否則其首尾皆不屬 M {\displaystyle M} ，故為「增廣路徑」：翻轉路徑上所有邊的狀態，將不屬 M {\displaystyle M} 者加入 M {\displaystyle M} ，屬 M {\displaystyle M} 者移走，則得到嚴格比 M {\displaystyle M} 多邊的匹配，此為不可能。至此，已證 Z {\displaystyle Z} 中每個頂點，皆經 M {\displaystyle M} 匹配到 W ∖ { u } {\displaystyle W\setminus \{u\}} 中某頂點。反之， W ∖ { u } {\displaystyle W\setminus \{u\}} 中任意一個頂點，亦有 Z {\displaystyle Z} 中某頂點與之匹配，即沿 u {\displaystyle u} 至 v {\displaystyle v} 的交錯路徑， v {\displaystyle v} 的前一頂點。所以， M {\displaystyle M} 給出 W ∖ { u } {\displaystyle W\setminus \{u\}} 與 Z {\displaystyle Z} 之間的一一對應，所以 | W | = | Z | + 1 {\displaystyle |W|=|Z|+1} 。另一方面，將證明 N G ( W ) ⊆ Z {\displaystyle N_{G}(W)\subseteq Z} 。設 v ∈ N G ( W ) {\displaystyle v\in N_{G}(W)} 是與某頂點 w ∈ W {\displaystyle w\in W} 鄰接。若邊 w v {\displaystyle wv} 在 M {\displaystyle M} 中，則自 u {\displaystyle u} 至 w {\displaystyle w} 的一切交錯路徑中， v {\displaystyle v} 皆在 w {\displaystyle w} 以先，故有 u {\displaystyle u} 至 v {\displaystyle v} 的交錯路徑。否則 w v {\displaystyle wv} 不屬 M {\displaystyle M} ，但已知有 u {\displaystyle u} 至 w {\displaystyle w} 的交錯路徑，末邊屬於 M {\displaystyle M} ，故可續以 w v {\displaystyle wv} ，亦得自 u {\displaystyle u} 至 v {\displaystyle v} 的交錯路徑。證畢 N G ( W ) ⊆ Z {\displaystyle N_{G}(W)\subseteq Z} ，故 | N G ( W ) | ≤ | Z | = | W | − 1 < | W | {\displaystyle \left|N_{G}(W)\right|\leq |Z|=|W|-1<|W|} ，違反霍爾條件。 若 X {\displaystyle X} 的子集 W {\displaystyle W} 滿足 | N G ( W ) | < | W | {\displaystyle |N_{G}(W)|<|W|} ，則定義 W {\displaystyle W} 為霍爾犯（英语：Hall violator）。若 W {\displaystyle W} 為霍爾犯，則無匹配能覆蓋 W {\displaystyle W} 的全部頂點。所以，也無匹配覆蓋 X {\displaystyle X} 。霍爾定理斷言，二部圖有 X {\displaystyle X} 完美匹配，當且僅當其不含任何霍爾犯。以下算法驗證定理較難的方向：輸入一幅二部圖，算法或輸出一個 X {\displaystyle X} 完美匹配，或輸出一個霍爾犯。 該算法調用以下子程序：輸入匹配 M {\displaystyle M} 及未匹配的某頂點 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} ，或輸出一條 M {\displaystyle M} 增廣路徑，或輸出一個霍爾犯。該子程序可以深度优先搜索實作。 以下敍述算法的步驟： 初始時，設 M {\displaystyle M} 為空集，未選定任何邊。（其後會加邊入 M {\displaystyle M} 。） 檢查： M {\displaystyle M} 確為 G {\displaystyle G} 的匹配。 若 M {\displaystyle M} 已覆蓋 X {\displaystyle X} ，則為所求的 X {\displaystyle X} 完美匹配，輸出並結束程序。 否則，找到未匹配的頂點 x 0 ∈ X ∖ V ( M ) {\displaystyle x_{0}\in X\setminus V(M)} 。 調用尋找增廣路徑的子程序，視乎情況： 若找到霍爾犯，則輸出並結束。 若找到 M {\displaystyle M} 增廣路徑，則將該路徑上各邊的狀態翻轉，使 M {\displaystyle M} 的邊數增加一。返回第2步。 每次找到增廣路徑，都會使 M {\displaystyle M} 多一條邊。所以，前述算法的迴圈至多執行 | X | {\displaystyle |X|} 次，就會停機。每次尋找增廣路徑需時 O ( | E | ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(|E|)} 。總時間複雜度與不加權的最大匹配問題（英语：maximum cardinality matching）的福特-富爾克森算法相約。 設 S = ( A 1 , A 2 , … , A n ) {\displaystyle S=(A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})} ，其中 A i {\displaystyle A_{i}} 皆為有限集，不必相異。相應地，構造二部圖 G {\displaystyle G} ，一側頂點集 X = { v 1 , … , v n } {\displaystyle X=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}} 對應該 n {\displaystyle n} 個集合，另一側頂點集 Y {\displaystyle Y} 為該些集合之並。若 A i {\displaystyle A_{i}} 有元素 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ，則在圖中連一條邊 v i y {\displaystyle v_{i}y} 。如此，族 S {\displaystyle S} 的代表系即是 G {\displaystyle G} 的 X {\displaystyle X} 完美匹配，覆蓋 X {\displaystyle X} 的全部頂點。所以，以集族表述的霍爾問題，容易化成圖論表述的霍爾問題。反之亦然：給定二部圖 G = ( X ⊔ Y , E ) {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)} ， X {\displaystyle X} 完美匹配相當於鄰域（英语：Neighbourhood (graph theory)）族 { Γ ( x ) : x ∈ X } {\displaystyle \{\Gamma (x):x\in X\}} 的代表系。 利用拓撲組合學（英语：Topological combinatorics）的斯佩納引理（英语：Sperner's lemma），可得霍爾定理的非構造性證明。 定理有許多「非婚」應用。例如，取一疊啤牌（無鬼牌），洗勻後，派成13磴，每磴4張。由霍爾定理可證，必能從每磴揀選一張牌，使所選13張牌恰好出齊各點數（A、2、3、⋯⋯、Q、K）。更一般地，任意正則二部圖（允許重邊）皆有完美匹配。 較抽象的應用有雙邊陪集遍歷。設 G {\displaystyle G} 為群， H {\displaystyle H} 為其有限指數子群，則霍爾定理適用於證明存在集合 T {\displaystyle T} ，既是 H {\displaystyle H} 各左陪集的代表系，又是各右陪集的代表系。 霍爾定理亦用於證明，若 r < n {\displaystyle r<n} ，則任意 r × n {\displaystyle r\times n} 拉丁矩陣（英语：Latin rectangle）皆可擴展成 ( r + 1 ) × n {\displaystyle (r+1)\times n} 拉丁矩陣，並可重複，直至得到完整的拉丁方陣。 本定理可歸類到組合學的一列強力定理，其彼此關聯。若假設任何一條，則較易證得其他各條，但若要從頭開始，則較難證得任何一條。總括而言，該類定理各自斷言某類組合優化問題具有強對偶性（英语：Strong duality）。該些定理包括： 克尼格定理（英语：Kőnig's theorem (graph theory)）：二部圖的最大匹配，與最小頂點覆蓋（英语：Vertex cover）等大。 克尼格-艾蓋瓦里定理（英语：König–Egerváry theorem）（1931年），得名自克尼格·代奈什（英语：Dénes Kőnig）、艾蓋瓦里·耶內兩位匈牙利數學家，是克尼格定理的加權推廣。 门格尔定理（1927年）：邊最小割的大小，等於任意在所有頂點對之間可以找到的無公共邊的路徑的最大數量。結論換成頂點最小割與無公共（中間）頂點的路徑仍成立。 最大流最小割定理（福特-富爾克森算法）：任意网络流中，最大流的值等於最小割。 伯克霍夫-馮紐曼定理（英语：Birkhoff–Von Neumann theorem）（1946年）：一個方陣為雙隨機（英语：Doubly stochastic matrix），當且僅當其為置換方陣的凸組合。 迪爾沃思定理（英语：Dilworth's theorem）：覆蓋某偏序集所需的不交鏈數，與該集的最大反鏈等大。 欲要更具體描述各定理的關係，下列各等價關係有簡單證明： 迪爾沃思定理 ⇔ 霍爾定理 ⇔ 克尼格-艾蓋瓦里定理 ⇔ 克尼格定理。 馬歇爾·霍爾（英语：Marshall Hall (mathematician)）細察菲利浦·霍爾原先的證明，發現可以將結論修改成對（有限集組成的）無窮族 S {\displaystyle S} 仍成立。該證明直接使用佐恩引理。此外，也有較簡短的證明，用到命題邏輯的緊緻性定理： 設 S = { A i : i ∈ I } {\displaystyle S=\{A_{i}:i\in I\}} 。對每個 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 和 a ∈ A i {\displaystyle a\in A_{i}} ，以命題 p a , i {\displaystyle p_{a,i}} 表示「 a {\displaystyle a} 選為 A i {\displaystyle A_{i}} 的代表」。可以列出代表系須滿足的條件如下： 對應每個 i ∈ I {\displaystyle i\in I} ，各有一條命題斷言恰有一個 a ∈ A i {\displaystyle a\in A_{i}} 使 p a , i {\displaystyle p_{a,i}} 為真； 對應每對互異的 i , j ∈ I {\displaystyle i,j\in I} 和 a ∈ A i ∩ A j {\displaystyle a\in A_{i}\cap A_{j}} ，各有一條命題為 ¬ ( p a , i ∧ p a , j ) {\displaystyle \neg (p_{a,i}\wedge p_{a,j})} 。 如此，代表系即等價於同時滿足以上各命題的賦值。由有限族的霍爾定理，對 I {\displaystyle I} 的任意有限子集 J {\displaystyle J} ，相應的有限子族有代表系，故以上命題中，任意有限條皆可同時滿足。所以，由緊緻性定理，全部命題可同時滿足，即有整個無窮族的代表系。 以上一般情況的證明中，選擇公理（或等價命題如佐恩引理）為必須，因為給定一族無窮多個非空集（無額外條件），欲從每個集合中，選出一個代表（而無須相異），已需要選擇公理。 馬歇爾·霍爾給出下列反例，表明若允許有無窮集，則所組成的無窮族，即使滿足霍爾條件，亦不保證有代表系。 設族 S {\displaystyle S} 由可數多個集合 A 0 = { 1 , 2 , 3 , … } ,   A 1 = { 1 } ,   A 2 = { 2 } ,   … ,   A i = { i } ,   … {\displaystyle A_{0}=\{1,2,3,\ldots \},\ A_{1}=\{1\},\ A_{2}=\{2\},\ \ldots ,\ A_{i}=\{i\},\ \ldots } 構成。該族滿足霍爾條件，但無法選出代表系。 若妥為敍述，則的確可將霍爾定理推廣至適用於無窮集。給定二部圖，兩側頂點集為 A , B {\displaystyle A,B} ，若由 B {\displaystyle B} 的子集 C {\displaystyle C} 出發，在圖中找到單射（意思是衹能用二部圖的邊），射向 A {\displaystyle A} 的子集 D {\displaystyle D} ，則稱 C ≤ D {\displaystyle C\leq D} ，而若更甚者，圖中沒有反向的，由 D {\displaystyle D} 至 C {\displaystyle C} 的單射，則稱 C < D {\displaystyle C<D} 。前述定義中，若忽略「在圖中」三字，則所得大小的概念等同一般基數的大小比較。無窮集的婚配定理斷言： 圖中有 A {\displaystyle A} 至 B {\displaystyle B} 的單射，當且僅當對每個 D ⊆ A {\displaystyle D\subseteq A} ，皆有其鄰域 N ( D ) ≮ D {\displaystyle N(D)\nless D} 。 馬歇爾·霍爾也計算出給定有限族 S {\displaystyle S} 的代表系數目的下界，從而加強婚配定理。其敍述為： 設有一列有限集 ( A 1 , A 2 , … , A n ) {\displaystyle (A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n})} ，不必相異，但滿足霍爾條件，又設 | A i | ≥ r {\displaystyle |A_{i}|\geq r} 對 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} 成立。則當 r ≤ n {\displaystyle r\leq n} 時，該族有限集至少有 r ! {\displaystyle r!} 個不同的代表系，而當 r > n {\displaystyle r>n} 時，至少有 r ( r − 1 ) ⋯ ( r − n + 1 ) {\displaystyle r(r-1)\cdots (r-n+1)} 個。 此處即使兩個代表系的元素一樣，衹要其次序不同，亦視為不同。例如，若 A 1 = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A_{1}=\{1,2,3\}} ， A 2 = { 1 , 2 , 5 } {\displaystyle A_{2}=\{1,2,5\}} ，則 ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} 和 ( 2 , 1 ) {\displaystyle (2,1)} 為兩個不同的代表系。 圖的分數匹配（fractional matching）是對各邊賦予非負權值，使每個頂點所連各邊的權值和不超逾 1 {\displaystyle 1} 。所謂 X {\displaystyle X} 完美的分數匹配，即是使 X {\displaystyle X} 中的每一頂點處，各邊權之和恰為 1 {\displaystyle 1} 。對於二部圖 G = ( X ⊔ Y , E ) {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)} ，下列各項等價： G {\displaystyle G} 有 X {\displaystyle X} 完美匹配。 G {\displaystyle G} 有 X {\displaystyle X} 完美分數匹配。（此為前項的直接推論。給定一個 X {\displaystyle X} 完美匹配，將該匹配所選的邊賦權 1 {\displaystyle 1} ，其餘邊賦 0 {\displaystyle 0} ，則得到 X {\displaystyle X} 完美分數匹配。） G {\displaystyle G} 滿足霍爾條件。（若有前項的分數匹配，則對於 X {\displaystyle X} 的每個子集 W {\displaystyle W} ，其所連各邊之和恰為 | W | {\displaystyle |W|} ，故至少要與對面的 | W | {\displaystyle |W|} 個頂點相連，因為對面每個頂點所連的邊值和不超過 1 {\displaystyle 1} 。） 假如霍爾條件不成立，則原定理僅斷言不存在完美匹配，但並未說明匹配最大可以多大。欲知此事，需要考慮圖的虧度（英语：Deficiency (graph theory)）。對於二部圖 G = ( X ⊔ Y , E ) {\displaystyle G=(X\sqcup Y,E)} ， G {\displaystyle G} 關於 X {\displaystyle X} 的虧度（deficiency）是 | W | − | N G ( W ) | {\displaystyle |W|-|N_{G}(W)|} 的最大值，其中 W {\displaystyle W} 可取 X {\displaystyle X} 的任意子集。虧度越大，則圖離霍爾條件越遠。 用霍爾定理可證，若二部圖的虧度為 d {\displaystyle d} ，則有大小為 | X | − d {\displaystyle |X|-d} 的匹配。（考慮在 Y {\displaystyle Y} 側添加 d {\displaystyle d} 個輔助點，與 X {\displaystyle X} 所有頂點連邊。新圖將滿足霍爾條件。） 若推廣至一般的圖（不必為二部圖），則其上有完美匹配的充要條件，由塔特定理描述。 若推廣至各類二部超圖（英语：bipartite hypergraph）（二部圖的超圖版本），則相應有各種霍爾式定理（英语：Hall-type theorems for hypergraphs）。 婚配之名見於。 Hall, Jr. 1986，pg. 51。也可以允許無窮集，但此時須限制族中的集合數有限（考慮重數），見§ 推廣。然而，不能放寬成無窮多個無窮集。 S {\displaystyle S} 可以放寬為無窮族，見§ 推廣。 即 S {\displaystyle S} 可以有重複的元素，且會考慮其重複次數。 此例子中，為使定理適用，需要假設該些人的婚姻為一夫一妻制。 即無法再延伸。 定理的名稱，文獻中略有出入。相關的定理既有二分圖匹配的表述，也有 (0,1) 矩陣覆蓋的表述。Hall, Jr. (1986)和van Lint & Wilson (1992)稱矩陣表述為克尼格定理，而Roberts & Tesman (2009)則稱之為克尼格-艾蓋瓦里定理。二部圖版本，Cameron (1994)和Roberts & Tesman (2009)皆稱為克尼格定理。 即行和與列和皆等於一，且各項非負。 兩人並非親屬。 此處的命題需要 A i {\displaystyle A_{i}} 為有限集，纔能用命題邏輯的語言寫出 毛华; 庞双杰. 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