加長型球狀屋頂

加長型球狀屋頂（日語：長球形屋根、英語：Sphenomegacorona）是一種由16個三角形和2個正方形組成的十八面體，為詹森多面體的其中一個，索引為J88。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來，是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述。 加長型球狀屋頂共由18個面、28條邊和12個頂點所組成。在其18個面中，有16個正三角形和2個正方形。在其12個頂點中，有2個頂點是4個正三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34]來表示、還有4個頂點是5個正三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[35]來表示、還有4個頂點是4個正三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34,4]來表示、剩下的2個頂點是2個正三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[32,42]來表示。 若一個加長型球狀屋頂邊長為 a {\displaystyle a} ，則其表面積 A {\displaystyle A} 為： A = ( 2 + 4 3 ) a 2 ≈ 8.92820 a 2 , {\displaystyle A=\left(2+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 8.92820a^{2},} 而其體積 V {\displaystyle V} 為： V = ξ a 3 ≈ 1.94811 a 3 , {\displaystyle V=\xi a^{3}\approx 1.94811a^{3},} 其中的常數 ξ {\displaystyle \xi } 由 A334114給出，其為下列多項式的其中一個實根，約為1.948108228859： 1680 x 16 − 4800 x 15 − 3712 x 14 + 17216 x 13 + 1568 x 12 − 24576 x 11 + 2464 x 10 + 17248 x 9 − 3384 x 8 − 5584 x 7 + 2000 x 6 + 240 x 5 − 776 x 4 + 304 x 3 + 200 x 2 − 56 x − 23. {\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}} 邊長為2的加長型球狀屋頂的頂點座標為： ( ± 1 , 0 , 2 B ) {\displaystyle \left(\pm 1,\,0,\,2B\right)} ( ± 1 , ± 2 k , 0 ) {\displaystyle \left(\pm 1,\,\pm 2k,\,0\right)} ( ± C + B B , 0 , D B ) {\displaystyle \left(\pm {\frac {C+B}{B}},\,0,\,{\frac {D}{B}}\right)} ( 0 , ± 1 , − 2 + 4 k − 4 k 2 ) {\displaystyle \left(0,\,\pm 1,\,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right)} ( ± ( 1 + C D B 3 ) , 0 , 2 k 4 − 1 B 3 ) {\displaystyle \left(\pm \left(1+{\frac {CD}{B^{3}}}\right),\,0,\,{\frac {2k^{4}-1}{B^{3}}}\right)} 其中， B {\displaystyle B} 、 C {\displaystyle C} 和 D {\displaystyle D} 為： B = 1 − k 2 {\displaystyle B={\sqrt {1-k^{2}}}} C = 3 − 4 k 2 {\displaystyle C={\sqrt {3-4k^{2}}}} D = 1 − 2 k 2 {\displaystyle D=1-2k^{2}} 其中， k {\displaystyle k} ≈ 0.59463是下列多項式的做小實根： 1680 x 16 − 4800 x 15 − 3712 x 14 + 17216 x 13 + 1568 x 12 − 24576 x 11 + 2464 x 10 + 17248 x 9 − 3384 x 8 − 5584 x 7 + 2000 x 6 + 240 x 5 − 776 x 4 + 304 x 3 + 200 x 2 − 56 x − 23. {\displaystyle {\begin{aligned}&1680x^{16}-4800x^{15}-3712x^{14}+17216x^{13}+1568x^{12}-24576x^{11}+2464x^{10}+17248x^{9}\\&\quad {}-3384x^{8}-5584x^{7}+2000x^{6}+240x^{5}-776x^{4}+304x^{3}+200x^{2}-56x-23.\end{aligned}}} 這些座標也可以由下列頂點的軌道的並集在沿xz平面和yz平面鏡射所產生的空間對稱群之群作用下給出： ( 0 , 1 , 2 1 − k 2 ) , ( 2 k , 1 , 0 ) , ( 0 , 3 − 4 k 2 1 − k 2 + 1 , 1 − 2 k 2 1 − k 2 ) , ( 1 , 0 , − 2 + 4 k − 4 k 2 ) , ( 0 , 3 − 4 k 2 ( 2 k 2 − 1 ) ( k 2 − 1 ) 1 − k 2 + 1 , 2 k 4 − 1 ( 1 − k 2 ) 3 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left(0,1,2{\sqrt {1-k^{2}}}\right),\,(2k,1,0),\,\left(0,{\frac {\sqrt {3-4k^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}}}}+1,{\frac {1-2k^{2}}{\sqrt {1-k^{2}}}}\right),\\&\left(1,0,-{\sqrt {2+4k-4k^{2}}}\right),\,\left(0,{\frac {{\sqrt {3-4k^{2}}}\left(2k^{2}-1\right)}{\left(k^{2}-1\right){\sqrt {1-k^{2}}}}}+1,{\frac {2k^{4}-1}{\left(1-k^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)\end{aligned}}} 球狀屋頂 （原始的球狀屋頂立體） 球狀屋頂欠側錐 （移除一個五角錐的球狀屋頂） 側錐球狀屋頂 （在正方形面疊上正四角錐的球狀屋頂） 加長型球狀屋頂 （正方形附近的4個位置上各加上1個正三角形的球狀屋頂） 廣底加長型球狀屋頂 （「屋頂」部分由3個正方形組成的球狀屋頂） 廣底加長型球狀屋頂欠側錐 （移除一個五角錐的廣底加長型球狀屋頂） 五角錐球狀屋頂 （合併兩個移除了兩個正三角形的球狀屋頂） 詹森多面體 多面體 Santiago Alvarez. Polyhedra in (Inorganic) Chemistry (PDF). Electronic Supplementary Information for Dalton Transactions. 2005 [2022-09-25]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21）.  Weisstein, Eric W. (编). Sphenomegacorona. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Johnson, Norman W.（英语：Norman Johnson (mathematician)）, Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 . V.Bulatov. sphenomegacorona. [2022-09-11]. （原始内容存档于2022-12-08）.  David I. McCooey. Johnson Solids: Sphenomegacorona. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-11）.  The Sphenomegacorona. qfbox.info. [2022-09-11]. （原始内容存档于2023-01-03）.  Sphenomegacorona. polyhedra.tessera.li. [2022-09-11]. （原始内容存档于2022-12-05）.  Richard Klitzing. sphenomegacorona, wamco. bendwavy.org. [2022-09-11]. （原始内容存档于2022-12-08）.  Wolfram, Stephen. "Sphenomegacorona". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.  Wolfram Research, Inc. Wolfram|Alpha Knowledgebase. Champaign, IL. 2020. PolyhedronData[{"Johnson", 88}, "SurfaceArea"]  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A334114. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 720. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.  埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Sphenomegacorona. MathWorld.