环 (代数)

環（英文：Ring）是一種帶有兩個二元運算（抽象化的「加法」和「乘法」）、並且符合特定運算規則的集合。它抽象化了諸如整數、有理數、實數、複數、多項式、矩陣、函數、算子等等的代數結構。它是環論的主要研究對象，並且是構成各種抽象代數理論的重要基本概念。 環的具體定義並沒有完全統一。不同研究方向的學者對於環是否要有乘法單位元有不同見解，在部份情況下甚至不要求乘法有結合律。然而除非明確聲明，否則本條目所稱的「環」是指有乘法單位元、乘法有結合律的環。 給定一個集合 R {\displaystyle R} 以及兩個定義在 R {\displaystyle R} 上的二元運算 + {\displaystyle +} 和 × {\displaystyle \times } 。如果 R {\displaystyle R} 、 + {\displaystyle +} 和 × {\displaystyle \times } 具有以下八個性質，則稱 ( R , + , × ) {\displaystyle (R,+,\times )} 構成了一個環。 ( R , + ) {\displaystyle (R,+)} 是一個交換群： 加法有結合律——對所有的 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} ，都有： ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} 加法有交換律——對所有的 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} ，都有： a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} 有加法單位元——存在某個 0 R ∈ R {\displaystyle 0_{R}\in R} ，使得所有的 r ∈ R {\displaystyle r\in R} ，都有： 0 R + r = r {\displaystyle 0_{R}+r=r} 有加法反元素——對所有的 r ∈ R {\displaystyle r\in R} ，存在某個 − r ∈ R {\displaystyle -r\in R} ，使得： − r + r = 0 {\displaystyle -r+r=0} ( R , × ) {\textstyle (R,\times )} 是一個有單位元的半群： 乘法有結合律——對所有的 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,\,b,\,c\in R} ，都有： ( a × b ) × c = a × ( b × c ) {\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)} 有乘法單位元——存在某個 1 R ∈ R {\displaystyle 1_{R}\in R} ，使得所有的 r ∈ R {\displaystyle r\in R} ，都有： 1 R × r = r × 1 R = r {\displaystyle 1_{R}\times r=r\times 1_{R}=r} 乘法對於加法滿足分配律： （左）分配律——對所有的 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,\,b,\,c\in R} ，都有： a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) {\displaystyle a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)} （右）分配律——對所有的 a , b , c ∈ R {\displaystyle a,\,b,\,c\in R} ，都有： ( a + b ) × c = ( a × c ) + ( b × c ) {\displaystyle (a+b)\times c=(a\times c)+(b\times c)} 環的乘法經常依照慣例，不會寫出「 × {\displaystyle \times } 」這個符號。例如（左）分配律就可以寫成： a ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a(b+c)=ab+ac} 此外，加法單位元也經常稱為「零元素」或直接簡稱為「零」。 環的定義的分歧通常在於是否要求乘法單位元的存在。在 1960 年代以前，多數抽象代數的教科書通常會採用埃米·諾特的定義，不要求乘法單位元存在。然而在 1960 年後，越來越多的著名教科書作者（例如：尼古拉·布爾巴基、大衛·艾森佈德（英语：David_Eisenbud）、塞爾日·蘭）開始將乘法單位元的存在性納入定義中。不要求乘法單位元存在的作者，通常會將有乘法單位元的環稱為單位環（ unital ring ）；反之，要求乘法單位元存在的作者，可能會將不含乘法單位元（ identity ）的環（ ring ）稱為 rng 或偽環（ pseudo-ring ），或甚至乾脆不提及任何沒有單位元的環。 另外在交換代數的文獻中，通常還會額外約定環的乘法要滿足交換律。這類文獻的作者通常會事先聲明。 整數 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 、有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 、實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 和複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } ，連同尋常的加法和乘法，構成了一個環。它們的加法單位元是 0 {\displaystyle 0} ，乘法單位元是 1 {\displaystyle 1} ，是最典型的實際例子。 整係數多項式環 Z [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x]} 、有理係數多項式環 Q [ x ] {\displaystyle \mathbb {Q} [x]} ，實係數多項式環 R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} 、複係數多項式環 C [ x ] {\displaystyle \mathbb {C} [x]} ，連同多項式加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元也是 0 {\displaystyle 0} ，乘法單位元也是 1 {\displaystyle 1} 。更一般地，可以考慮任何環 R {\displaystyle R} 的多項式環 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 。 整係數有理函數 Z ( x ) {\displaystyle \mathbb {Z} (x)} 、有理係數有理函數 Q ( x ) {\displaystyle \mathbb {Q} (x)} ，實係數有理函數 R ( x ) {\displaystyle \mathbb {R} (x)} 、複係數有理函數 C ( x ) {\displaystyle \mathbb {C} (x)} ，連同有理函數的加法和乘法，構成一個環。它們的加法單位元依然是 0 {\displaystyle 0} ，乘法單位元依然是 1 {\displaystyle 1} 。更一般地，可以考慮任何環 R {\displaystyle R} 的有理函數環 R ( x ) {\displaystyle R(x)} ；而「建構分式」的操作還是「分式體」以及更一般的「局部化」這些概念的起源。 大小為 n × n {\displaystyle n\times n} 的整係數矩陣 M n ( Z ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Z} )} 、有理係數矩陣 M n ( Q ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {Q} )} 、實係數矩陣 M n ( R ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {R} )} 、或複係數矩陣 M n ( C ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(\mathbb {C} )} ，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成一個環。它們的加法單位元是零矩陣 ： 0 n := [ 0 0 … 0 0 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 0 ] n × n {\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} 乘法單位元則是單位矩陣 ： I n := [ 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 1 ] n × n {\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} 同樣的，可以考慮任何環 R {\displaystyle R} 的矩陣環 M n ( R ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)} 。矩陣環也是典型的非交換環。 如果集合 R {\displaystyle R} 只有一個元素，那 R {\displaystyle R} 只可能定義出唯一的一種環結構——零環（英语：Zero ring）（ Zero ring ）。 零元素是唯一的 零乘以任何東西都是零 乘法單位元是唯一的 任何元素如果有乘法反元素，那是唯一的 多個環元素的分配律： ( ∑ i = 1 n a i ) ( ∑ j = 1 m b j ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i b j {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{m}b_{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{i}b_{j}} 環元素的整數倍與整數次方——整數可以用來當作是任何環的係數，只要定義以下的係數運算規則： n a := a + a + ⋯ a ⏟ n  次 ( − n ) a := ( − a ) + ( − a ) + ⋯ ( − a ) ⏟ n  次 0 a := 0 R {\displaystyle na:=\underbrace {a+a+\cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad (-n)a:=\underbrace {(-a)+(-a)+\cdots (-a)} _{n{\text{ 次}}}\qquad 0a:=0_{R}} 這種係數運算規則和普通係數的概念有許多一致性，例如： n ( a b ) = ( n a ) b = a ( n b ) {\displaystyle n(ab)=(na)b=a(nb)} ( n m ) a = n ( m a ) = m ( n a ) {\displaystyle (nm)a=n(ma)=m(na)} n ( a + b ) = n a + n b {\displaystyle n(a+b)=na+nb} ( n + m ) a = n a + m a {\displaystyle (n+m)a=na+ma} 而類似地如果把多次相加改成多次相乘，那麼可以定義冪運算： a n := a × a × ⋯ a ⏟ n  次 a − n := a − 1 × a − 1 × ⋯ a − 1 ⏟ n  次 a 0 := 1 R {\displaystyle a^{n}:=\underbrace {a\times a\times \cdots a} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{-n}:=\underbrace {a^{-1}\times a^{-1}\times \cdots a^{-1}} _{n{\text{ 次}}}\qquad a^{0}:=1_{R}} 二項式展開——如果 a b = b a {\displaystyle ab=ba} ，那麼它們總和的次方可以這樣計算： ( a + b ) n = a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ( n 2 ) a n − 2 b 2 + ⋯ + ( n n − 2 ) a 2 b n − 2 + ( n n − 1 ) a b n − 1 + b n = ∑ i + j = n n ! ( i ! ) ( j ! ) a i b j {\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}+{\binom {n}{1}}a^{n-1}b+{\binom {n}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-2}}a^{2}b^{n-2}+{\binom {n}{n-1}}ab^{n-1}+b^{n}=\sum _{i+j=n}{\frac {n!}{(i!)(j!)}}a^{i}b^{j}} 這可以推廣到多個元素 a 1 , a 2 , … , a m {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}} 總和的次方——如果任兩個元素的 a i {\displaystyle a_{i}} 和 a j {\displaystyle a_{j}} 的乘法都可以交換（即 a i a j = a j a i {\displaystyle a_{i}a_{j}=a_{j}a_{i}} ），那麼： ( a 1 + a 2 + ⋯ + a m ) n = ∑ i 1 + i 2 + ⋯ + i m = n n ! ( i 1 ! ) ( i 2 ! ) ⋯ ( i n ! ) a 1 i 1 a 2 i 2 ⋯ a m i m {\displaystyle (a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})^{n}=\sum _{i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{m}=n}{\frac {n!}{(i_{1}!)(i_{2}!)\cdots (i_{n}!)}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}\cdots a_{m}^{i_{m}}} 在初等環論中，以下四類型的環元素在任意的環中都有定義，它們是經常被討論的對象： 可逆元（ Unit 或 Invertible element ）：有乘法反元素的環元素。 零因子（ Zero divisor ）：相乘後為零的非零元素；相當於「零的因數」。 冪零元（ Nilpotent ）：自乘多次後變成零的環元素。 冪等元（ Idempotent ）：自乘任意多次都不變的環元素。 在環論中，環同態描述了環與環之間的關係。一個從環 R {\displaystyle R} 送往環 S {\displaystyle S} 的環同態（ Ring homomorphism ） f : R → S {\displaystyle f:R\to S} 簡單來說是一種「維持環結構」的映射；而具體來說， f {\displaystyle f} 要具有以下三個性質： 維持加法的結構——對所有的 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} ，都有： f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} 維持乘法的結構——對所有的 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in R} ，都有： f ( a b ) = f ( a ) ( b ) {\displaystyle f(ab)=f(a)(b)} 維持單位元的結構——也就是： f ( 1 R ) = 1 S {\displaystyle f(1_{R})=1_{S}} 對一個環同態 f {\displaystyle f} 來說，有以下兩個密切相關的概念： 核（ Kernel ）——送到零元素的那些元素： K e r ( f ) := f − 1 ( 0 S ) = { a ∈ R ∣ f ( a ) = 0 S } ⊆ R {\displaystyle \mathrm {Ker} (f):=f^{-1}(0_{S})=\{a\in R\mid f(a)=0_{S}\}\subseteq R} 像（ Image ）——把元素都送過去後的結果： I m ( f ) := f ( R ) = { f ( a ) ∈ S ∣ a ∈ R } ⊆ S {\displaystyle \mathrm {Im} (f):=f(R)=\{f(a)\in S\mid a\in R\}\subseteq S} 給定一個環 R {\displaystyle R} ，我們可以考慮它的： 子環（ Subring ）——某個送往 R {\displaystyle R} 的環同態在 R {\displaystyle R} 內的像。 雙邊理想（ Two side ideal ）——某個定義在 R {\displaystyle R} 上的環同態的核。 商環（ Quotient ）——（同構意義下）某個定義在 R {\displaystyle R} 上的環同態的像。 一個環的環同態、子環、雙邊理想、商環共同刻劃了環的結構。 如果一個環 R {\displaystyle R} 還額外滿足： 乘法的交換律：對於所有 a , b ∈ R {\textstyle a,b\in R} ： a × b = b × a {\displaystyle a\times b=b\times a} 則稱 R {\displaystyle R} 是一個交換環。交換環是最被深入研究的一類環，其中包括以下幾類： 整環（ Integral domain ）：沒有零因子的交換環。 唯一分解整環（ Unique factorization domain ）：可以唯一分解任何元素的整環。 主理想整環（ Principal ideal domain ）：所有理想都是主理想的整環。 歐幾里得整環（ Euclidean domain ）：可以進行歐幾里得演算法（輾轉相除法）的整環。 體（ Field ）：非零元素都有乘法反元素的交換環。 代數閉體（ Algebraically closed field ）：所有多項式都有根的體。 所謂的非交換環實際上是指「不假設是交換環」的環，這樣子的環有： 除環（ Division ring ）：非零元素都有乘法反元素的環（可能不交換）。 單環（ Simple ring ）：沒有非平凡雙邊理想的環。 給定數個環 R 1 , R 2 , … , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}} ，可以考慮這些環作為集合的笛卡爾積： ∏ i = 1 n R i := R 1 × R 2 × ⋯ × R n = { ( a 1 , a 2 , … , a n ) ∣ a 1 ∈ R 1 , a 2 ∈ R 2 , … , a n ∈ R n } {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}:=R_{1}\times R_{2}\times \cdots \times R_{n}=\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\mid a_{1}\in R_{1},a_{2}\in R_{2},\dots ,a_{n}\in R_{n}\}} 可以在這個集合上用以下方式定義加法和乘法： ( a 1 , a 2 , … , a n ) + ( b 1 , b 2 , … , b n ) := ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n})} ( a 1 , a 2 , … , a n ) × ( b 1 , b 2 , … , b n ) := ( a 1 × b 1 , a 2 × b 2 , … , a n × b n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}):=(a_{1}\times b_{1},a_{2}\times b_{2},\dots ,a_{n}\times b_{n})} 這使得 ∏ i = 1 n R i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}R_{i}} 構成一個環。稱為 R 1 , R 2 , … , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}} 的直積（ Direct product ）；它的法單位元是 ( 0 R 1 , 0 R 2 , … , 0 R n ) {\displaystyle (0_{R_{1}},0_{R_{2}},\dots ,0_{R_{n}})} 乘法單位元是 ( 1 R 1 , 1 R 2 , … , 1 R n ) {\displaystyle (1_{R_{1}},1_{R_{2}},\dots ,1_{R_{n}})} 這種概念可以推廣到無限多個環、甚至不可數多個環的直積。 給定一個環 R {\displaystyle R} ，可以考慮以這個環作為係數的多項式： R [ x ] := { ∑ i = 0 n a i x i   |   a i ∈ R , n = 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle R[x]:=\left\{\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}~{\Bigg |}~a_{i}\in R,n=1,2,3,\dots \right\}} 可以仿照一般的實係數多項式運算規則，為這個集合定義加法和乘法： ( ∑ i = 0 n a i x i ) + ( ∑ i = 0 n b i x i ) := ∑ i = 0 n ( a i + b i ) x i {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})x^{i}} ( ∑ i = 0 n a i x i ) × ( ∑ i = 0 m b i x i ) := ∑ i = 0 n + m ( ∑ j = 0 i a j b i − j ) x i {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\right)\times \left(\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{i}\right):=\sum _{i=0}^{n+m}\left(\sum _{j=0}^{i}a_{j}b_{i-j}\right)x^{i}} 在這樣的運算規則下， R [ x ] {\displaystyle R[x]} 被稱為是 R {\displaystyle R} 的多項式環；它的加法單位元以及乘法單位元與 R {\displaystyle R} 相同。 給定一個環 R {\displaystyle R} ，可以考慮以這個環作為係數、大小為 n × n {\displaystyle n\times n} 的矩陣： M n ( R ) := { [ a 1 , 1 a 1 , 2 … a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 … a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 … a n , n ] n × n   |   a i , j ∈ R , i , j = 1 , 2 , … , n } {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R):=\left\{{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}~{\bigg |}~a_{i,j}\in R,\quad i,j=1,2,\dots ,n\right\}} 同樣可以仿照一般的矩陣運算規則，為這個集合定義加法和乘法： [ a 1 , 1 a 1 , 2 … a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 … a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 … a n , n ] n × n + [ b 1 , 1 b 1 , 2 … b 1 , n b 2 , 1 b 2 , 2 … b 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 b n , 2 … b n , n ] n × n := [ a 1 , 1 + b 1 , 1 a 1 , 2 + b 1 , 2 … a 1 , n + b 1 , n a 2 , 1 + b 2 , 1 a 2 , 2 + b 2 , 2 … a 2 , n + b 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 + b n , 1 a n , 2 + b n , 2 … a n , n + b n , n ] n × n {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}+{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\dots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\dots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&a_{n,2}+b_{n,2}&\dots &a_{n,n}+b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} [ a 1 , 1 a 1 , 2 … a 1 , n a 2 , 1 a 2 , 2 … a 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n , 1 a n , 2 … a n , n ] n × n × [ b 1 , 1 b 1 , 2 … b 1 , n b 2 , 1 b 2 , 2 … b 2 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n , 1 b n , 2 … b n , n ] n × n := [ ∑ i = 1 n a 1 , i b i , 1 ∑ i = 1 n a 1 , i b i , 2 … ∑ i = 1 n a 1 , i b i , n ∑ i = 1 n a 2 , i b i , 1 ∑ i = 1 n a 2 , i b i , 2 … ∑ i = 1 n a 2 , i b i , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ i = 1 n a n , i b i , 1 ∑ i = 1 n a n , i b i , 2 … ∑ i = 1 n a n , i b i , n ] n × n {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}\times {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\dots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\dots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n,1}&b_{n,2}&\dots &b_{n,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}:={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{1,i}b_{i,n}\\\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{2,i}b_{i,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,1}&\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,2}&\dots &\sum _{i=1}^{n}a_{n,i}b_{i,n}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} 那麼 M n ( R ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)} 在這樣的運算規則下，構成一個環。它的加法單位元是零矩陣 ： 0 n := [ 0 R 0 R … 0 R 0 R 0 R … 0 R ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 R 0 R … 0 R ] n × n {\displaystyle \mathbf {0} _{n}:={\begin{bmatrix}0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} 乘法單位元則是單位矩陣 ： I n := [ 1 R 0 R … 0 R 0 R 1 R … 0 R ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 R 0 R … 1 R ] n × n {\displaystyle \mathrm {I} _{n}:={\begin{bmatrix}1_{R}&0_{R}&\dots &0_{R}\\0_{R}&1_{R}&\dots &0_{R}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{R}&0_{R}&\dots &1_{R}\\\end{bmatrix}}_{n\times n}} 同樣的，可以考慮任何環 R {\displaystyle R} 的矩陣環 M n ( R ) {\displaystyle \mathbf {M} _{n}(R)} 。矩陣環也是典型的非交換環。 局部化的概念並不是對任何的環都有效，在大多數時候，只會考慮交換環的局部化。粗略地說，局部化是「加入某些元素的乘法反元素」；而分式體則是透過「加入所有非零元素的乘法反元素」來定義。分式體最著名的例子就是從整數構造有理數的過程。 更抽象地講，一個環對某些元素的局部化是「使得這些元素可逆的、最小的環」；在這種意義下，分式體就是「使得非零元素可逆的、最小的環」。而這個概念實際上就是——「包含這個環的最小的體」。 交換環是乘法滿足交換律的環。這種環和代數幾何有著深遠的關聯性，體現在交換環範疇 C R i n g {\displaystyle \mathbf {CRing} } 和仿射概形範疇 A f f S c h {\displaystyle \mathbf {AffSch} } 有著如下對偶性： C R i n g o p ≅ A f f S c h {\displaystyle \mathbf {CRing} ^{\mathrm {op} }\cong \mathbf {AffSch} } 這種對偶性使得交換環的代數性質可以轉換成仿射概形的幾何性質。 模 理想 代數 偽環 分別稱為「 R {\displaystyle R} 的加法」和「 R {\displaystyle R} 的乘法」 稱為環公理 意思是 R {\displaystyle R} 連同 + {\displaystyle +} 和 × {\displaystyle \times } 這兩個二元運算一同提及 可以證明這樣子的元素實際上是唯一的 在不致混淆的情況下。 暫無廣為接受的中文翻譯 或稱平凡環（ Trivial ring ） 不論是乘在左邊還是乘在右邊 這邊暫定 a {\displaystyle a} 有成法反元素。如果沒有乘法反元素，那麼有關負數次方的結果不一定成立。 甚至是沒有單位元的環 另一種說法是不摧毀環結構。因為環同態確實會改變環的結構。 這個環同態實際上就是嵌入 同構定理 不包括常數多項式 康明昌. 《近世代數》. 聯經. 2000 [2024-05-21]. 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