重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。 标度上的变化称为“标度变换（英语：Scale transformation）”。重整化群与“标度不变性（英语：Scale invariant）”和“共形不变性（英语：Conformal invariant）”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。 基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程： g(μ) = G−1( (μ/M)d G(g(M)) ) , g(κ) = G−1( (κ/μ)d G(g(μ)) ) = G−1( (κ/M)d G(g(M)) ) 费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正規化等想法应用于量子电动力学。 利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。 然后肯尼斯·威爾森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相變。 他1982年赢了诺贝尔奖。 这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。 首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为 T {\displaystyle T} ，相互作用的强度使用耦合常数 J {\displaystyle J} 来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为 H ( T , J ) {\displaystyle H(T,J)} 。 现在，我们把这个系统分为有着 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数 T {\displaystyle T} 和 J {\displaystyle J} 不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。 原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到 H ( T ″ , J ″ ) {\displaystyle H(T'',J'')} ，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。 现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数 J {\displaystyle J} 代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点： T = 0 {\displaystyle T=0} 和 J → ∞ {\displaystyle J\to \infty } 。从宏观上来看，温度对系统的影响变得可以忽略不计。这时系统处于铁磁相。 T → ∞ {\displaystyle T\to \infty } 和 J → 0 {\displaystyle J\to 0} 。与第1种情形正好相反，温度对系统的影响占据了主导，系统在宏观上变得无序。 T = T c {\displaystyle T=T_{c}} 且 J = J c {\displaystyle J=J_{c}} 。在这一特定的状态上，改变系统的标度不改变系统的物理性质，因为系统处于分形态上。这对应居里相变，这个点称为临界点。 假设有一个可以用状态变量 { s i } {\displaystyle \{s_{i}\}} 和一组耦合常数 { J k } {\displaystyle \{J_{k}\}} 表示的函数 Z {\displaystyle Z} 。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。 现在我们考虑状态变量上的块变换 { s i } → { s ~ i } {\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}} ， s ~ i {\displaystyle {\tilde {s}}_{i}} 所包含的数目必须小于 s i {\displaystyle s_{i}} 。接下来我们可以把函数 Z {\displaystyle Z} 只用 s ~ i {\displaystyle {\tilde {s}}_{i}} 来表示。如果 { J k } → { J ~ k } {\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}} 也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。 最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。 变量的变换可以由一个β函数实现： { J ~ k } = β ( { J k } ) {\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})} 。这一函数可以在 J {\displaystyle J} 空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。 由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。 参见Phi fourth theory（英语：Quartic interaction）（四次交互论； ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} 论）。欧几里得空间的拉氏量是 L ( ϕ ) = m 2 2 ϕ 2 + 1 2 ( ∂ μ ϕ ) 2 + λ 4 ! ϕ 4 . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )={m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}.} 配分函数或泛函积分是： Z = ∫ D ϕ exp ⁡ [ − ∫ d ( d ) x ( m 2 2 ϕ 2 + 1 2 ( ∂ μ ϕ ) 2 + λ 4 ! ϕ 4 ) ] . {\displaystyle Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].} 通过重正化以及正规化 Λ {\displaystyle \Lambda } ： [ D ϕ ] Λ = ∏ | p | < Λ d ϕ ( p ) {\displaystyle [D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)} Z = ∫ [ D ϕ ] Λ exp ⁡ [ − ∫ d ( d ) x ( m 2 2 ϕ 2 + 1 2 ( ∂ μ ϕ ) 2 + λ 4 ! ϕ 4 ) ] . {\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)\right].} 若 0 < b < 1 {\displaystyle 0<b<1} ： ϕ ^ ( p ) = { ϕ ( p ) , if  b Λ ⩽ | p | < Λ 0 , if  | p | < b Λ {\displaystyle {\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\0,&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}} ϕ ( p ) = { 0 , if  b Λ ⩽ | p | < Λ ϕ ( p ) , if  | p | < b Λ {\displaystyle \phi (p)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda \\\phi (p),&{\mbox{if }}|p|<b\Lambda \end{cases}}} 所以 Z = ∫ [ D ϕ ] b Λ ∫ D ϕ ^ exp ⁡ [ − ∫ d ( d ) x ( m 2 2 ( ϕ + ϕ ^ ) 2 + 1 2 ( ∂ μ ϕ + ∂ μ ϕ ^ ) 2 + λ 4 ! ( ϕ + ϕ ^ ) 4 ) ] . {\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}(\phi +{\hat {\phi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+{\lambda \over 4!}(\phi +{\hat {\phi }})^{4}\right)\right].} 介绍 ϕ ϕ ^ {\displaystyle \phi {\hat {\phi }}} ： Z = ∫ [ D ϕ ] b Λ e − ∫ d ( d ) x L ( ϕ ) ∫ D ϕ ^ exp ⁡ [ − ∫ d ( d ) x ( m 2 2 ϕ ^ 2 + 1 2 ( ∂ μ ϕ ^ ) 2 + λ ( 1 6 ϕ 3 ϕ ^ + 1 4 ϕ 2 ϕ ^ 2 + 1 6 ϕ ϕ ^ 3 + 1 4 ! ϕ ^ 4 ) ) ] . {\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}(\phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({m^{2} \over 2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\lambda ({1 \over 6}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{1 \over 4}\phi ^{2}{\hat {\phi }}^{2}+{1 \over 6}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{1 \over 4!}{\hat {\phi }}^{4})\right)\right].} 所以新的拉氏量是 L eff ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )} 以及 Z = ∫ [ D ϕ ] b Λ exp ⁡ [ − ∫ d ( d ) x L eff ( ϕ ) ] , {\displaystyle Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )\right]},} L eff ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )} 不同于 L ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )} ，因为 λ , ϕ {\displaystyle \lambda ,\phi } 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory（英语：effective field theory）。若 x ′ = b x , p ′ = p b , | p | < Λ {\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda } . ∫ d ( d ) x L eff ( ϕ ) = ∫ d ( d ) x ′ b − d [ 1 2 ( 1 + Δ Z ) b 2 ( ∂ μ ′ ϕ ) 2 + 1 2 ( m 2 + Δ m 2 ) ϕ 2 + 1 4 ! ( λ + Δ λ ) ϕ 4 + Δ B b 4 ( ∂ μ ′ ϕ ) 4 + Δ C ϕ 6 + . . . ] {\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d}\left[{1 \over 2}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{1 \over 2}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{1 \over 4!}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4}+\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+...\right]} 假设 ϕ ′ = [ b ( 2 − d ) ( 1 + Δ Z ) ] 1 / 2 ⋅ ϕ {\displaystyle \phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi } m ′ 2 = ( 1 + Δ Z ) − 1 ( m 2 + Δ m 2 ) b − 2 {\displaystyle m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2}} λ ′ = ( 1 + Δ Z ) − 2 ( λ + Δ λ ) b d − 4 {\displaystyle \lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4}} B ′ = ( 1 + Δ Z ) − 2 ( B + Δ B ) b d {\displaystyle B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d}} C ′ = ( 1 + Δ Z ) − 3 ( C + Δ C ) b 2 d − 6 {\displaystyle C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}} 所以 ∫ d ( d ) x L eff ( ϕ ) = ∫ d ( d ) x ′ [ 1 2 ( ∂ μ ′ ϕ ′ ) 2 + 1 2 m ′ 2 ϕ ′ 2 + 1 4 ! λ ′ ϕ 4 + Δ B ( ∂ μ ′ ϕ ′ ) 4 + Δ C ′ ϕ ′ 6 + . . . ] {\displaystyle \int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\left[{1 \over 2}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{1 \over 2}m'^{2}\phi '^{2}+{1 \over 4!}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{6}+...\right]} 耦合常數的变量为 Δ m 2 , Δ Z , Δ λ {\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda } 。耦合常數的演进是动力系统的临界点： m ′ 2 = m 2 b − 2 , λ ′ = λ b d − 4 , B ′ = B b d , C ′ = C b 2 d − 6 {\displaystyle m'^{2}=m^{2}b^{-2},\lambda '=\lambda b^{d-4},B'=Bb^{d},C'=Cb^{2d-6}} 无关耦合（irrelevant）：耦合减少了 相关耦合（relevant）：耦合增加了 边缘耦合（marginal）：耦合不变 若 d = 4 {\displaystyle d=4} ，因为 b < 1 {\displaystyle b<1} 所以B和C是无关的，m是相关的，并且 λ {\displaystyle \lambda } 是边缘的。 而且 ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} 论是可重整化的。 米切爾·費根鮑姆使用重整化群计算費根鮑姆常数，而且将重整化应用于分岔理論。 阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、費根鮑姆常數等 其他应用包括： 混沌理论 湍流 分形 随机微分方程、Kardar–Parisi–Zhang equation（英语：Kardar–Parisi–Zhang equation）、参见马丁·海雷尔的研究 渗流理论 等 重整化 密度矩陣重整化群 临界现象 普遍性 S. 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