焦散线

微分几何中，焦散线（caustic）指由流形反射或折射的射线的包络线。这与几何光学中的焦散现象有关。射线的来源可以是点（辐射点，radiant）或来自无穷远处某点的平行射线，这时要指定射线的方向向量。 一般来说，应用于辛几何与奇点理论中的焦散线指拉格朗日映射 ( π ∘ i ) :   L ↪ M ↠ B {\displaystyle (\pi \circ i):\ L\hookrightarrow M\twoheadrightarrow B} 的临界值集，其中 i :   L ↪ M {\displaystyle i:\ L\hookrightarrow M} 是拉格朗日子流形L到辛流形M的拉格朗日浸入， π :   M ↠ B {\displaystyle \pi :\ M\twoheadrightarrow B} 是辛流形M的拉格朗日纤维化。焦散是拉格朗日纤维化基空间B的子集。 集中的光线（如阳光）会灼伤人。“焦散”（caustic）一词来自希腊语καυστός“烧焦”，途经拉丁语causticus“燃烧”。 光线照射在酒杯上时，就会出现焦散现象。玻璃杯会投射出阴影，也会产生弯曲的亮区。在理想情况下（包括平行光射入时）会产生肾形光斑。光线穿过波浪照射在水体上时，通常会形成波纹状的焦散线。 彩虹是人们熟悉的另一种焦散现象。雨滴对光的散射会使不同波长的光折射成半径不同的弧线，从而产生彩虹。 回光线（catacaustic）是反射的情形。 对于点光源，它是辐射点正交（orthotomic）的渐屈线。 平面平行光源情况：假设方向向量是 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ，镜面曲线参数化为 ( u ( t ) , v ( t ) ) {\displaystyle (u(t),v(t))} 。某点的法向量为 ( − v ′ ( t ) , u ′ ( t ) ) {\displaystyle (-v'(t),u'(t))} ；方向向量的反射为（法向量需要特殊归一化处理） 2 proj n d − d = 2 n n ⋅ n n ⋅ d n ⋅ n − d = 2 n n ⋅ d n ⋅ n − d = ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 , b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) v ′ 2 + u ′ 2 {\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}} 将找到的反射向量的分量视作切线 ( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) = ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) . {\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).} 使用最简单的包络线形式 F ( x , y , t ) = ( x − u ) ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − ( y − v ) ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) {\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})} = x ( b u ′ 2 − 2 a u ′ v ′ − b v ′ 2 ) − y ( a v ′ 2 − 2 b u ′ v ′ − a u ′ 2 ) + b ( u v ′ 2 − u u ′ 2 − 2 v u ′ v ′ ) + a ( − v u ′ 2 + v v ′ 2 + 2 u u ′ v ′ ) {\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')} F t ( x , y , t ) = 2 x ( b u ′ u ″ − a ( u ′ v ″ + u ″ v ′ ) − b v ′ v ″ ) − 2 y ( a v ′ v ″ − b ( u ″ v ′ + u ′ v ″ ) − a u ′ u ″ ) {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')} + b ( u ′ v ′ 2 + 2 u v ′ v ″ − u ′ 3 − 2 u u ′ u ″ − 2 u ′ v ′ 2 − 2 u ″ v v ′ − 2 u ′ v v ″ ) + a ( − v ′ u ′ 2 − 2 v u ′ u ″ + v ′ 3 + 2 v v ′ v ″ + 2 v ′ u ′ 2 + 2 v ″ u u ′ + 2 v ′ u u ″ ) {\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')} 这可能不美观，但 F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} 给出了 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 中的线性系统，因此获得回光线的参数是很简单的，用克莱姆法则就可以。 令方向向量为(0,1)，镜面为 ( t , t 2 ) . {\displaystyle (t,t^{2}).} 则 u ′ = 1 {\displaystyle u'=1}   u ″ = 0 {\displaystyle u''=0}   v ′ = 2 t {\displaystyle v'=2t}   v ″ = 2 {\displaystyle v''=2}   a = 0 {\displaystyle a=0}   b = 1 {\displaystyle b=1} F ( x , y , t ) = ( x − t ) ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t ( y − t 2 ) = x ( 1 − 4 t 2 ) + 4 t y − t {\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t} F t ( x , y , t ) = − 8 t x + 4 y − 1 {\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1} 且 F = F t = 0 {\displaystyle F=F_{t}=0} 有解 ( 0 , 1 / 4 ) {\displaystyle (0,1/4)} ；即光线平行于抛物镜面的轴线进入，会通过焦点反射。 肾形线 Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9.  Circle Catacaustic （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Wolfram MathWorld. Retrieved 2009-07-17. Levi, Mark. Focusing on Nephroids. SIAM News. 2018-04-02 [2018-06-01]. （原始内容存档于2023-06-27）.  Rainbow caustics. [2024-01-09]. （原始内容存档于2013-04-19）.  Caustic fringes. [2024-01-09]. （原始内容存档于2012-06-12）.  埃里克·韦斯坦因. Caustic. MathWorld.