艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。 固定整數 k > 1 {\displaystyle k>1} 。對上半平面上的複數 τ {\displaystyle \tau } ，定義艾森斯坦級數 G 2 k {\displaystyle G_{2k}} 為 G 2 k ( τ ) = ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) 1 ( m + n τ ) 2 k . {\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.} 此級數是上半平面上的全純函數，此外它更是模群 Γ := S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \Gamma :=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} 的權 2 k {\displaystyle 2k} 模形式。換言之，若 a , b , c , d ∈ Z {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} } 滿足 a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} ，則 G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} 模形式理論中的一個基本事實是：模群 Γ {\displaystyle \Gamma } 的模形式俱可表為 G 4 {\displaystyle G_{4}} 與 G 6 {\displaystyle G_{6}} 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 G 4 , G 6 {\displaystyle G_{4},G_{6}} 的多項式。 置 d k := ( 2 k + 3 ) k ! G 2 k + 4 {\displaystyle d_{k}:=(2k+3)k!G_{2k+4}} ，遂有下述關係式： ∑ k = 0 n ( n k ) d k d n − k = 2 n + 9 3 n + 6 d n + 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}d_{k}d_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d_{n+2}} 在此 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 是二項式係數而 d 0 = 3 G 4 {\displaystyle d_{0}=3G_{4}} 、 d 1 = 5 G 6 {\displaystyle d_{1}=5G_{6}} 。 函數 d k {\displaystyle d_{k}} 可以表示魏爾斯特拉斯 ℘ {\displaystyle \wp } 函數： ℘ ( z ) = 1 z 2 + z 2 ∑ k = 0 ∞ d k z 2 k k ! = 1 z 2 + ∑ k = 1 ∞ ( 2 k + 1 ) G 2 k + 2 z 2 k {\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {d_{k}z^{2k}}{k!}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }(2k+1)G_{2k+2}z^{2k}} 置 q = e 2 π i τ {\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }} 。由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式 G 2 k ( τ ) = 2 ζ ( 2 k ) ( 1 + c 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c_{2k}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}\right)} 其中的傅立葉係數 c 2 k {\displaystyle c_{2k}} 是 c 2 k = ( 2 π i ) 2 k ( 2 k − 1 ) ! ζ ( 2 k ) = − 4 k B 2 k {\displaystyle c_{2k}={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}={\frac {-4k}{B_{2k}}}} 。 此處的 B n {\displaystyle B_{n}} 是伯努利數， ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} 是黎曼ζ函數，而 σ p ( n ) {\displaystyle \sigma _{p}(n)} 是 n {\displaystyle n} 的正因數的 p {\displaystyle p} 次冪和。 G 4 ( τ ) = π 4 45 [ 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ σ 3 ( n ) q n ] {\displaystyle G_{4}(\tau )={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left[1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n}\right]} G 6 ( τ ) = 2 π 6 945 [ 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ σ 5 ( n ) q n ] {\displaystyle G_{6}(\tau )={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left[1-504\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{5}(n)q^{n}\right]} 當 | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} ，對 q {\displaystyle q} 之和亦可化成蘭伯特級數 ∑ n = 1 ∞ q n σ a ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n a q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}} 。 有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數： E 2 k := G 2 k 2 ζ ( 2 k ) = 1 − 4 k B 2 k ∑ n = 1 ∞ σ 2 k − 1 ( n ) q n {\displaystyle E_{2k}:={\frac {G_{2k}}{2\zeta (2k)}}=1-{\frac {4k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{2k-1}(n)q^{n}} 。 拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式：定義 L ( q ) = 1 − 24 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 − q n = E 2 ( τ ) {\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )} M ( q ) = 1 + 240 ∑ n = 1 ∞ n 3 q n 1 − q n = E 4 ( τ ) {\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )} N ( q ) = 1 − 504 ∑ n = 1 ∞ n 5 q n 1 − q n = E 6 ( τ ) {\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau )} 則有 q d L d q = L 2 − M 12 {\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}} q d M d q = L M − N 3 {\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}} q d N d q = L N − M 2 2 {\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}} Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3) Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.