棣莫弗公式

棣莫弗公式（英語：de Moivre's formula）是一個關於複數和三角函數的公式，命名自法國數學家亞伯拉罕·棣美弗（1667年－1754年）。其內容為對任意实数 x {\displaystyle x} 和整數 n {\displaystyle n} ，下列性質成立： ( cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 其中 i {\displaystyle i} 是虛數單位（ i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ）。值得注意的是，儘管本公式以棣美弗本人命名，他從未直接地將其發表過。為了方便起見，我們常常將 cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \cos x+i\sin x} 合併為另一個三角函數cis(x)，也就是說： cis n ⁡ ( x ) = cis ⁡ ( n x ) {\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)} 在操作上，我們常常限制 x {\displaystyle x} 屬於實數，這樣一來就可藉由比較虛部與實部的方式把 cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} 和 sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)} 變化為 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 和 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 的形式。另外，儘管棣美弗公式限制 n {\displaystyle n} 須為整數，但倘若適當推廣本公式，便可將 n {\displaystyle n} 拓展到非整數的領域。 （证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形，并推广到负整数。） 令 P ( n ) = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ ( n θ ) + i sin ⁡ ( n θ ) , n ∈ N {\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} } （1）当 n = 0 {\displaystyle n=0} 时，显然成立。 （2）當 n = 1 {\displaystyle n=1} 时： 左式 = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) 1 = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = cos ⁡ ( 1 ⋅ θ ) + i sin ⁡ ( 1 ⋅ θ ) = {\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=} 右式 因此， P ( 1 ) {\displaystyle P(1)} 成立。 （3）當 n > 1 {\displaystyle n>1} 时： 假設 P ( k ) {\displaystyle P(k)} 成立，即 ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) k = cos ⁡ ( k θ ) + i sin ⁡ ( k θ ) {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )} 當 n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} 时： ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) k + 1 = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) k ⋅ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = ( cos ⁡ k θ + i sin ⁡ k θ ) ⋅ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = ( cos ⁡ k θ ⋅ cos ⁡ θ + i sin ⁡ k θ ⋅ i sin ⁡ θ ) + ( cos ⁡ k θ ⋅ i sin ⁡ θ + i sin ⁡ k θ ⋅ cos ⁡ θ ) = ( cos ⁡ k θ ⋅ cos ⁡ θ − sin ⁡ k θ ⋅ sin ⁡ θ ) + i ( cos ⁡ k θ ⋅ sin ⁡ θ + sin ⁡ k θ ⋅ cos ⁡ θ )   = 1 cos ⁡ ( k θ + θ ) + i sin ⁡ ( k θ + θ )   = cos ⁡ [ ( k + 1 ) θ ] + i sin ⁡ [ ( k + 1 ) θ ] {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&\ {\overset {1}{=}}\cos(k\theta +\theta )+i\sin(k\theta +\theta )\\&\ =\cos[(k+1)\theta ]+i\sin[(k+1)\theta ]\\\end{aligned}}} 等号1处使用和角公式。 因此， P ( k + 1 ) {\displaystyle P(k+1)} 也成立。 综上所述，根據數學歸納法， ∀ n ∈ N {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} } ， P ( n ) {\displaystyle P(n)} 成立。 另外，由恒等式： ( cos ⁡ ( n θ ) + i sin ⁡ ( n θ ) ) ⋅ ( cos ⁡ ( − n θ ) + i sin ⁡ ( − n θ ) ) = 1 {\displaystyle (\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))\cdot (\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))=1} 可知，公式对于负整数情况也成立。 证毕。 最简单的方法是应用欧拉公式。 由於 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,} 所以 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = e i ( n x ) = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle {\color {Green}(\cos x+i\sin x)^{n}}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=e^{i(nx)}={\color {Green}\cos(nx)+i\sin(nx)}} 此定理可用來求單位複數的 n {\displaystyle n} 次方根。設 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} ，表為 z = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle z=\cos \theta +i\sin \theta } 若 w n = z {\displaystyle w^{n}=z} ，則 w {\displaystyle w} 也可以表成： w = cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ {\displaystyle w=\cos \phi +i\sin \phi } 按照棣莫弗公式： w n = ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ ) n = cos ⁡ n ϕ + i sin ⁡ n ϕ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ = z {\displaystyle w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z} 於是得到 n ϕ = θ + 2 k π {\displaystyle n\phi =\theta +2k\pi } （其中 k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } ） 也就是： ϕ = θ + 2 k π n {\displaystyle \phi ={\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}} 當 k {\displaystyle k} 取 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1} ，我們得到 n {\displaystyle n} 個不同的根： w = cos ⁡ ( θ + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( θ + 2 k π n ) , k = 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1} Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444.  林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF). 中央研究院. 2006-12-22 [2017-06-18]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-19）.