拉薩爾不變集原理

拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。 考慮以下方程式的系統 x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)} 其中 x {\displaystyle \mathbf {x} } 為符合以下條件的變數向量 f ( 0 ) = 0 . {\displaystyle f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .} 若可以找到 C 1 {\displaystyle C^{1}} 函数 V ( x ) {\displaystyle V(\mathbf {x} )} ，使下式成立 V ˙ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0} 針對所有 x {\displaystyle \mathbf {x} } （半負定） 則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 內， I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 是其完整軌跡完全在 { x : V ˙ ( x ) = 0 } {\displaystyle \{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}} 集合的聯集。 若 V {\displaystyle V} 函數又有正定的性質，即 V ( x ) > 0 {\displaystyle V(\mathbf {x} )>0} ，針對所有的 x ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} } V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(\mathbf {0} )=0} 而且 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 除了 x ( t ) = 0 {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} } for t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} 的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。 再者，若 V {\displaystyle V} 是徑向無界（radially unbounded） 當 ‖ x ‖ → ∞ {\displaystyle \Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty } 時， V ( x ) → ∞ {\displaystyle V(\mathbf {x} )\to \infty } 原點為全域漸近穩定。 若 V ( x ) > 0 {\displaystyle V(\mathbf {x} )>0} ，當 x ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} } 時 V ˙ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0} 當 x {\displaystyle \mathbf {x} } 在原點的鄰域 D {\displaystyle D} 內才成立，且集合 { V ˙ ( x ) = 0 } ⋂ D {\displaystyle \{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D} 除了 x ( t ) = 0 , t ≥ 0 {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0} 的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。 If V ˙ ( x ) {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )} 為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若 V ˙ ( x ) {\displaystyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )} 只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。 此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下[1]： m l θ ¨ = − m g sin ⁡ θ − k l θ ˙ {\displaystyle ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}} 其中 θ {\displaystyle \theta } 是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度， m {\displaystyle m} 是單擺的質量， k {\displaystyle k} 是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。 因此可以將系統方程式表示如下 x ˙ 1 = x 2 {\displaystyle {\dot {x}}_{1}=x_{2}} x ˙ 2 = − g l sin ⁡ x 1 − k m x 2 {\displaystyle {\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}} 利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近 x 1 = x 2 = 0 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=0} ，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義 V ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle V(x_{1},x_{2})} 為 V ( x 1 , x 2 ) = g l ( 1 − cos ⁡ x 1 ) + 1 2 x 2 2 {\displaystyle V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}} V ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle V(x_{1},x_{2})} 即為系統的能量[2]。 V ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle V(x_{1},x_{2})} 在原點附近，半徑 π {\displaystyle \pi } 的開球體內為正定。計算其導數 V ˙ ( x 1 , x 2 ) = g l sin ⁡ x 1 x ˙ 1 + x 2 x ˙ 2 = − k m x 2 2 {\displaystyle {\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}} 可觀察到 V ( 0 ) = V ˙ ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)={\dot {V}}(0)=0} 。若 V ˙ < 0 {\displaystyle {\dot {V}}<0} 成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜， V ˙ ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}\leq 0} 及 V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} 只是半負定。不過，以下集合 S = { ( x 1 , x 2 ) | V ˙ ( x 1 , x 2 ) = 0 } {\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}} 也就是 S = { ( x 1 , x 2 ) | x 2 = 0 } {\displaystyle S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}} 除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 t {\displaystyle t} , x 2 ( t ) = 0 {\displaystyle x_{2}(t)=0} ，則因為 x 1 {\displaystyle x_{1}} 必需小於 π {\displaystyle \pi } ，則 sin ⁡ x 1 ≠ 0 {\displaystyle \sin x_{1}\neq 0} 且 x ˙ 2 ( t ) ≠ 0 {\displaystyle {\dot {x}}_{2}(t)\neq 0} 。因此，軌跡不會停留在集合 S {\displaystyle S} 內。 不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當 t → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty } 時，最後都會收斂到原點[3]。 此結果是由約瑟夫·皮爾·拉薩爾（英语：J.P. LaSalle）（在RIAS（英语：Research Institute for Advanced Studies））及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基（英语：Nikolai Nikolaevich Krasovsky）兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理[4]。 穩定性理論 李雅普诺夫稳定性 LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆）) Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄语）.  Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963. LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961.  Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. 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