正則變換

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變， ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。 點變換（point transformation）將廣義坐標 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})} 變換成廣義坐標 Q = ( Q 1 ,   Q 2 ,   … ,   Q N ) {\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})} ，點變換方程式的形式為 q i = q i ( Q 1 ,   Q 2 ,   … ,   Q N ,   t )   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   N {\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N} ； 其中， t {\displaystyle t} 是時間。 在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量 p = ( p 1 ,   p 2 ,   … ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})} 同樣地都是自變量（independent variable），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為 q i = q i ( Q 1 ,   Q 2 ,   … ,   Q N ,   P 1 ,   P 2 ,   … ,   P N ,   t )   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   N {\displaystyle q_{i}=q_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N} ， p i = p i ( Q 1 ,   Q 2 ,   … ,   Q N ,   P 1 ,   P 2 ,   … ,   P N ,   t )   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … ,   N {\displaystyle p_{i}=p_{i}(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N},\ P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots ,\ N} ； 其中， P = ( P 1 ,   P 2 ,   … ,   P N ) {\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})} 是新的廣義動量。 為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。 在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標 ( q ,   p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 變換為一組新的正則坐標 ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為 q ˙ =     ∂ H ∂ p {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}} ， p ˙ = − ∂ H ∂ q {\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}} ； 新的哈密頓方程式為 Q ˙ =     ∂ K ∂ P {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=~~{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}} ， P ˙ = − ∂ K ∂ Q {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}} ； 其中， H ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 、 K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。 思考一個物理系統的哈密頓量 H = H ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。 假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 無關，則稱 q i {\displaystyle q_{i}} 為可略坐標（ignorable coordinate），或循環坐標（cyclic coordinate）： ∂ H ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0} 。 在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是 p ˙ i = − ∂ H ∂ q i = 0 {\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}=0} 。 所以，廣義動量 p i {\displaystyle p_{i}} 是常數 k i {\displaystyle k_{i}} 。 假設一個系統裏有 n {\displaystyle n} 個廣義坐標是可略坐標。找出這 n {\displaystyle n} 個可略坐標，則可以使這系統減少 2 n {\displaystyle 2n} 個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。 主項目：正則變換生成函數 採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從 ( q ,   p ,   H ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ {\mathcal {H}})} 變換到 ( Q ,   P ,   K ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ {\mathcal {K}})} 。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理 δ ∫ t 1 t 2 [ p ⋅ q ˙ − H ( q ,   p ,   t ) ] d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]dt=0} 、 δ ∫ t 1 t 2 [ P ⋅ Q ˙ − K ( Q ,   P ,   t ) ] d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\right]dt=0} 。 那麼，必須令 σ [ p ⋅ q ˙ − H ( q ,   p ,   t ) ] = P ⋅ Q ˙ − K ( Q ,   P ,   t ) + d G d t {\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)+{\frac {dG}{dt}}} ； 其中， σ {\displaystyle \sigma } 是標度因子， G {\displaystyle G} 是生成函數。 假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（scale transformation）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（extended canonical transformation）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。 任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個 σ ≠ 1 {\displaystyle \sigma \neq 1} 的延伸正則變換表示為 σ [ p ⋅ q ˙ − H ] = P ′ ⋅ Q ˙ ′ − K ′ + d G ′ d t {\displaystyle \sigma \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}\right]=\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}}} 。 則可以設定另外一組變數與哈密頓量： Q = α Q ′ {\displaystyle \mathbf {Q} =\alpha \mathbf {Q} '} 、 P = β P ′ {\displaystyle \mathbf {P} =\beta \mathbf {P} '} 、 K = α β K ′ {\displaystyle {\mathcal {K}}=\alpha \beta {\mathcal {K}}\,'} 、 G = α β G ′ {\displaystyle G=\alpha \beta G\,'} ；其中， α ,   β {\displaystyle \alpha ,\ \beta } 是用來刪除 σ {\displaystyle \sigma } 的常數， σ = 1 α β {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\alpha \beta }}} 。經過一番運算，可以得到 ∂ K ∂ P = α ∂ K ′ ∂ P ′ = α Q ˙ ′ = Q ˙ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}=\alpha {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {P} '}}=\alpha {\dot {\mathbf {Q} }}'={\dot {\mathbf {Q} }}} 、 ∂ K ∂ Q = β ∂ K ′ ∂ Q ′ = − β P ˙ ′ = − P ˙ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=\beta {\frac {\partial {\mathcal {K}}\,'}{\partial \mathbf {Q} '}}=-\beta {\dot {\mathbf {P} }}'=-{\dot {\mathbf {P} }}} 、 p ⋅ q ˙ − H = α β ( P ′ ⋅ Q ˙ ′ − K ′ + d G ′ d t ) = P ⋅ Q ˙ − K + d G d t {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\alpha \beta (\mathbf {P} '\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}'-{\mathcal {K}}\,'+{\frac {dG\,'}{dt}})=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}} 。（1） 顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。 假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（restricted canonical transformation）。 生成函數 G {\displaystyle G} 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} 保證是正則變換。 第一型生成函數 G 1 {\displaystyle G_{1}} 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關， G = G 1 ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數， p ⋅ q ˙ − H ( q ,   p ,   t ) = P ⋅ Q ˙ − K ( Q ,   P , t ) + ∂ G 1 ∂ t + ∂ G 1 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 1 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}} 。 新廣義坐標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 和舊廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 都是自變量，其對於時間的全導數 Q ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}} 和 q ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}} 互相無關，所以，以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 個方程式都必須成立： p =     ∂ G 1 ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}} ，（2） P = − ∂ G 1 ∂ Q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}} ，（3） K = H + ∂ G 1 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}} 。（4） 這 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 個方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，步驟如下： 第一組的 N {\displaystyle N} 個方程式（2），設定了 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 p = p ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 在理想情況下，這些方程式可以逆算出 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 Q = Q ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。（5） 第二組的 N {\displaystyle N} 個方程式（3），設定了 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 P = P ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 代入函數方程式（5），可以算出 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 P = P ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。（6） 從 2 N {\displaystyle 2N} 個函數方程式（5）、（6），可以逆算出 2 N {\displaystyle 2N} 個函數方程式 q = q ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} ， p = p ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 代入新哈密頓量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 的方程式（4），可以得到 K = K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 第二型生成函數 G 2 {\displaystyle G_{2}} 的參數是舊廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 、新廣義動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 與時間： G = − Q ⋅ P + G 2 ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle G=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} ； 以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ： p = ∂ G 2 ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}} ，　 Q = ∂ G 2 ∂ P {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}} ， K = H + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}} 。 第三型生成函數 G 3 {\displaystyle G_{3}} 的參數是舊廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新廣義坐標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 與時間： G = q ⋅ p + G 3 ( p , Q , t ) {\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)} 。 以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ： q = − ∂ G 3 ∂ p {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}} ， P = − ∂ G 3 ∂ Q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}} ， K = H + ∂ G 3 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}} 。 第四型生成函數 G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} 的參數是舊廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新廣義動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 與時間： G = q ⋅ p − Q ⋅ P + G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} 。 以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ： q = − ∂ G 4 ∂ p {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}} ， Q =     ∂ G 4 ∂ P {\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}} ， K = H + ∂ G 4 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}} 。 第一型生成函數有一個特別簡易案例： G 1 = q ⋅ Q {\displaystyle G_{1}=\mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} } 。 生成函數的導數分別為 p =     ∂ G 1 ∂ q = Q {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} } ， P = − ∂ G 1 ∂ Q = − q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} } 。 舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同： K ( Q ,   P ,   t ) = H ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。 再擧一個比較複雜的例子。讓 G 2 ≡ g ( q ;   t ) ⋅ P {\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} } ； 這裏， g {\displaystyle \mathbf {g} } 是一組 N {\displaystyle N} 個函數。 答案是一個廣義坐標的點變換， Q = ∂ G 2 ∂ P = g ( q ;   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)} 。 正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。 辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個 2 N × 1 {\displaystyle 2N\times 1} 的豎矩陣 ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}  : ξ T = [ q 1 ,   q 2 ,   q 3 ,   … ,   q N ,   p 1 ,   p 2 ,   p 3 ,   … ,   p N ] {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}^{T}=[q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N}]} 。 變數向量 ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 將 q {\displaystyle \mathbf {q} } 與 p {\displaystyle \mathbf {p} } 包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為 ξ ˙ = Ω ∂ H ∂ ξ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}} ； 這裏， Ω {\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}} 是辛連結矩陣、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 是哈密頓量。 應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標 ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 改變成新正則坐標 Ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}} ， ξ → Ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}} ；哈密頓量也從舊的哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 改變成新的哈密頓量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} ， H → K {\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {K}}} ；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變： Ξ ˙ = Ω ∂ K ∂ Ξ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}} ； 這裏， K = H + d G d t + P Q ˙ − p q ˙ {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {dG}{dt}}+\mathbf {P} {\dot {\mathbf {Q} }}-\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}} 。 用第一型生成函數 G = G 1 ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} ，則 K = H + ∂ G 1 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}} 。 取 Ξ = Ξ ( ξ ,   t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\Xi }}={\boldsymbol {\Xi }}({\boldsymbol {\xi }},\ t)} 關於時間 t {\displaystyle t} 的導數， Ξ ˙ = M ξ ˙ + ∂ Ξ ∂ t {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\Xi }}}=\mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}} ； 這裏， M {\displaystyle \mathbf {M} } 是亞可比矩陣， M i j = ∂ Ξ i ∂ ξ j {\displaystyle M_{ij}={\frac {\partial \Xi _{i}}{\partial \xi _{j}}}} 。 代入哈密頓方程式， M ξ ˙ + ∂ Ξ ∂ t = Ω ∂ K ∂ Ξ = Ω ∂ H ∂ Ξ + Ω ∂ 2 G 1 ∂ Ξ   ∂ t {\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial t}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}+{\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}\ \partial t}}}  ; 假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為 M ξ ˙ = Ω ∂ H ∂ Ξ {\displaystyle \mathbf {M} {\dot {\boldsymbol {\xi }}}={\boldsymbol {\Omega }}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}} 。 而 H = H ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {\xi }})} ，所以， ∂ H ∂ Ξ = ∂ ξ ∂ Ξ ∂ H ∂ ξ = ( M − 1 ) T ∂ H ∂ ξ = − ( M − 1 ) T Ω ξ ˙ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\xi }}}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}=-(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}{\dot {\boldsymbol {\xi }}}} 。 代回前一個方程式，取 ξ ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\xi }}}} 的係數，則可以得到 M = − Ω ( M − 1 ) T Ω {\displaystyle \mathbf {M} =-{\boldsymbol {\Omega }}(\mathbf {M} ^{-1})^{T}{\boldsymbol {\Omega }}} 。 經過一番運算， M T = − Ω M − 1 Ω {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}=-{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}{\boldsymbol {\Omega }}} ； M T Ω = Ω M − 1 {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}={\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ^{-1}} ； 可以求出辛條件： M T Ω M = Ω {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}} 。 在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。 在相空间裏，兩個函數 f ( q ,   p ) ,   g ( q ,   p ) {\displaystyle f(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ),\ g(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 關於正則坐標 q ,   p {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} } 的帕松括號定義為 [ f ,   g ] ( q ,   p ) = ∑ i = 1 N ( ∂ f ∂ q i ∂ g ∂ p i − ∂ f ∂ p i ∂ g ∂ q i ) {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)} 。 用辛標記， [ f ,   g ] ξ = ( ∂ f ∂ ξ ) T Ω   ∂ g ∂ ξ {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}} 。 立刻，可以得到下述關係： [ q i ,   q j ] ξ = [ p i ,   p j ] ξ = 0 {\displaystyle {\big [}q_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\big [}p_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=0} ， [ q i ,   p j ] ξ = − [ p i ,   q j ] ξ = δ i j {\displaystyle {\big [}q_{i},\ p_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=-{\big [}p_{i},\ q_{j}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\delta _{ij}} 。 定義基本帕松括號 [ ξ ,   ξ ] {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}} 為一個方矩陣，其中，元素 i j {\displaystyle ij} 的值是 [ ξ i ,   ξ j ] {\displaystyle {\big [}\xi _{i},\ \xi _{j}{\big ]}} 。那麼， [ ξ ,   ξ ] ξ = Ω {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}} 。 思考一個變換 ξ → Ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\rightarrow {\boldsymbol {\Xi }}} 。新坐標的基本帕松括號為 [ Ξ ,   Ξ ] ξ = ( ∂ Ξ ∂ ξ ) T Ω   ∂ Ξ ∂ ξ {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}} 。 這兩個正則坐標的亞可比矩陣 M {\displaystyle M} 是 M = ∂ Ξ ∂ ξ {\displaystyle M={\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}} 。 代入前一個方程式，則 [ Ξ ,   Ξ ] ξ = M T Ω M {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} } 。 假若這變換是正則變換，辛條件 M T Ω M = Ω {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}} 必須成立， [ Ξ ,   Ξ ] ξ = Ω {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}} 。 相反地，假若 [ Ξ ,   Ξ ] ξ = Ω {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\Xi }},\ {\boldsymbol {\Xi }}{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {\Omega }}} ，則辛條件成立，這變換是正則變換。 所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為 [ ξ ,   ξ ] {\displaystyle {\big [}{\boldsymbol {\xi }},\ {\boldsymbol {\xi }}{\big ]}} ，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。 思考兩個函数 f ,   g {\displaystyle f,\ g} 對於正則坐標 ξ {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}} 的泊松括號 [ f ,   g ] ξ = ( ∂ f ∂ ξ ) T Ω   ∂ g ∂ ξ = ( ∂ Ξ ∂ ξ ∂ f ∂ Ξ ) T Ω   ∂ Ξ ∂ ξ ∂ g ∂ Ξ = ( ∂ f ∂ Ξ ) T M T Ω M ∂ g ∂ Ξ     ∘ {\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial {\boldsymbol {\Xi }}}{\partial {\boldsymbol {\xi }}}}{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\\&=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}M^{T}{\boldsymbol {\Omega }}M{\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\ \ _{\circ }\\\end{aligned}}} 假若這變換是正則變換，辛條件 M T Ω M = Ω {\displaystyle \mathbf {M} ^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {M} ={\boldsymbol {\Omega }}} 必須成立， [ f ,   g ] ξ = ( ∂ f ∂ Ξ ) T Ω   ∂ g ∂ Ξ = [ f ,   g ] Ξ {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\xi }}=\left({\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}\right)^{T}{\boldsymbol {\Omega }}\ {\frac {\partial g}{\partial {\boldsymbol {\Xi }}}}={\big [}f,\ g{\big ]}_{\boldsymbol {\Xi }}} 。 所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為 [ f ,   g ] {\displaystyle {\big [}f,\ g{\big ]}} ，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。 正則變換列表 正則座標 帕松括號 辛矩陣 辛拓撲 辛群 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 384. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).