方根

在数学中，一數 b {\displaystyle b} 為数 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根，則 b n = a {\displaystyle b^{n}=a} 。在提及实数 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根的时候，若指的是此数的主 n {\displaystyle n} 次方根，則可以用根号（ t {\displaystyle {\sqrt {\color {white}t}}} ）表示成 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 。例如：1024的主10次方根为2，就可以记作 1024 10 = 2 {\displaystyle {\sqrt[{10}]{1024}}=2} 。當 n = 2 {\displaystyle n=2} 時，則 n {\displaystyle n} 可以省略。定义实数 a {\displaystyle a} 的主 n {\displaystyle n} 次方根为 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根，且具有与 a {\displaystyle a} 相同的正负号的唯一实数 b {\displaystyle b} 。在 n {\displaystyle n} 是偶数時，负数没有主 n {\displaystyle n} 次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。 方根也是幂的分数指数，即數 b {\displaystyle b} 為数 a {\displaystyle a} 的 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 次方： b = a n = a 1 n {\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}} 最早的根号“√”源于字母「r」的变形（出自拉丁语latus的首字母，表示“边长”），没有线括号（即被开方数上的横线），后来数学家笛卡尔给其加上线括号，但与前面的方根符号是分开的，因此在复杂的式子显得很乱。直至18世纪中叶，数学家卢贝将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（当根指数为2时，省略不写。）。形成了现在所熟悉的开方运算符号 x {\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}} 。 考慮在计算机中的输入问题，有时也可以使用sqrt(a,b)来表示a的b次方根。 带有根号的运算可由如下公式推導而得: a b n = a n b n a ≥ 0 , b ≥ 0 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}\qquad a\geq 0,b\geq 0} a b n = a n b n a ≥ 0 , b > 0 {\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}\qquad a\geq 0,b>0} a m n = ( a n ) m = ( a 1 n ) m = a m n , {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},} 这裡的a和b是正数。 对于所有的非零复数 a {\displaystyle a} ，有 n {\displaystyle n} 个不同的复数 b {\displaystyle b} 使得 b n = a {\displaystyle b^{n}=a} ，所以符号 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 就會出現歧义（通常這樣寫是取 n {\displaystyle n} 個值當中主幅角最小的）。 n {\displaystyle n} 次单位根是特别重要的。 当一个数从根号形式变换到幂形式，幂的规则仍适用（即使对分数幂），也就是 a m a n = a m + n {\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}} ( a b ) m = a m b m {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{m}={\frac {a^{m}}{b^{m}}}} ( a m ) n = a m n {\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}} 例如: a 5 3 a 4 5 = a 5 3 a 4 5 = a 5 3 + 4 5 = a 37 15 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}{\sqrt[{5}]{a^{4}}}=a^{\frac {5}{3}}a^{\frac {4}{5}}=a^{{\frac {5}{3}}+{\frac {4}{5}}}=a^{\frac {37}{15}}} 若要做加法或减法，需考慮下列的概念。 a 5 3 = a a a a a 3 = a 3 a 2 3 = a a 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}={\sqrt[{3}]{aaaaa}}={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}=a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}} 若已可以简化根式表示式，则加法和减法就只是群的“同类项”问题。 例如 a 5 3 + a 8 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a^{5}}}+{\sqrt[{3}]{a^{8}}}} = a 3 a 2 3 + a 6 a 2 3 {\displaystyle ={\sqrt[{3}]{a^{3}a^{2}}}+{\sqrt[{3}]{a^{6}a^{2}}}} = a a 2 3 + a 2 a 2 3 {\displaystyle =a{\sqrt[{3}]{a^{2}}}+a^{2}{\sqrt[{3}]{a^{2}}}} = ( a + a 2 ) a 2 3 {\displaystyle =({a+a^{2}}){\sqrt[{3}]{a^{2}}}} 未經化簡的根數，一般叫做“不尽根数”（surd），可以处理为更简单的形式。 如下恒等式是處理不尽根数的基本技巧: a 2 b = a b s ( a ) b {\displaystyle {\sqrt {a^{2}b}}=abs(a){\sqrt {b}}} a m b n = a m n b n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}b}}=a^{\frac {m}{n}}{\sqrt[{n}]{b}}} a b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}} ( a + b ) − 1 = 1 ( a + b ) = a − b ( a + b ) ( a − b ) = a − b a − b {\displaystyle \left({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}\right)^{-1}={\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}} 方根可以表示为无穷级数: ( 1 + x ) s t = ∑ n = 0 ∞ ∏ k = 0 n ( s + t − k t ) ( s + t ) n ! t n x n ( | x | < 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(1+x)^{\frac {s}{t}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(s+t-kt)}{(s+t)n!t^{n}}}x^{n}\\&(|x|<1)\end{aligned}}} 任何数的所有的根，实数或复数的，可以通过简单的算法找到。这个数应当首先被写为如下形式 a e i φ {\displaystyle ae^{i\varphi }} (参见欧拉公式)。接着所有的n次方根给出为: e ( φ + 2 k π n ) i × a n {\displaystyle e^{({\frac {\varphi +2k\pi }{n}})i}\times {\sqrt[{n}]{a}}} 对于 k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1} ，这裡的 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 表示 a {\displaystyle a} 的主 n {\displaystyle n} 次方根。 所有 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 或 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根，这裡的 a {\displaystyle a} 是正实数，的复数解由如下简单等式给出: e 2 π i k n × a n {\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\times {\sqrt[{n}]{a}}} 对于 k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1} ，这裡的 a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} 表示 a {\displaystyle a} 的主 n {\displaystyle n} 次方根。 曾经有數學猜想，認為多项式的所有根可以用根号和四則运算来表达；但是阿贝尔-鲁菲尼定理断言了这不是普遍为真的。例如，方程   x 5 = x + 1 {\displaystyle \ x^{5}=x+1} 的解不能用根号表达。 要解任何n次方程，参见求根算法。 對於正數 A {\displaystyle A} ，可以通過以下算法求得 A n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}} 的值： 猜一個 A n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}} 的近似值，將其作為初始值 x 0 {\displaystyle x_{0}} 設 x k + 1 = 1 n [ ( n − 1 ) x k + A x k n − 1 ] {\displaystyle x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]} 。記誤差為 Δ x k = 1 n [ A x k n − 1 − x k ] {\displaystyle \Delta x_{k}={\frac {1}{n}}\left[{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}-x_{k}\right]} ，即 x k + 1 = x k + Δ x k {\displaystyle x_{k+1}=x_{k}+\Delta x_{k}} 。 重複步驟2，直至絕對誤差足夠小，即： | Δ x k | < ϵ {\displaystyle |\Delta x_{k}|<\epsilon } 。 求 A n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{A}}} 之值，亦即求方程 x n − A = 0 {\displaystyle x^{n}-A=0} 的根。 設 f ( x ) = x n − A {\displaystyle f(x)=x^{n}-A} ，其導函數即 f ′ ( x ) = n x n − 1 {\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}} 。 以牛頓法作迭代，便得 x k + 1 = x k − f ( x k ) f ′ ( x k ) {\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}} = x k − x k n − A n x k n − 1 {\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}} = x k − x k n + A n x k n − 1 {\displaystyle =x_{k}-{\frac {x_{k}}{n}}+{\frac {A}{nx_{k}^{n-1}}}} = 1 n [ ( n − 1 ) x k + A x k n − 1 ] {\displaystyle ={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]} 設 x k {\displaystyle x_{k}} 為迭代值， y {\displaystyle y} 為誤差值。 令 A = ( x k − y ) n {\displaystyle A=(x_{k}-y)^{n}} （*），作牛頓二項式展開，取首兩項： A ≈ x k n − n x k n − 1 y {\displaystyle A\approx x_{k}^{n}-nx_{k}^{n-1}y} 調項得 y ≈ x k n − A n x k n − 1 = 1 n ( x k − A x k n − 1 ) {\displaystyle y\approx {\frac {x_{k}^{n}-A}{nx_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left(x_{k}-{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}\right)} 將以上結果代回（*），得遞歸公式 x k + 1 = x k − y = 1 n [ ( n − 1 ) x k + A x k n − 1 ] {\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-y={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]} 增乘开平方法 幂 无理数 分母有理化 双重根号 2的12次方根 数学主题 高階根號求解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。此法亦可求任意正實數指數值 立方根與高次方根[永久失效連結] 指數-高中數學教案 法国心算天才70.2秒算出200位数13次方根(图) （页面存档备份，存于互联网档案馆）