格林公式

在物理學與數學中，格林定理给出了沿封閉曲線 C 的線積分與以 C 為邊界的平面區域 D 上的雙重積分的联系。格林定理是斯托克斯定理的二維特例，以英國數學家喬治·格林（George Green）命名。 设闭区域 D {\displaystyle D} 由分段光滑的简单曲线  L {\displaystyle L} 围成，函数  P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} 及 Q ( x , y ) {\displaystyle Q(x,y)} 在 D {\displaystyle D} 上有一阶连续偏导数，则有 ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y = ∮ L + ( P d x + Q d y ) {\displaystyle \iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\oint _{L^{+}}(P\mathrm {d} x+Q\mathrm {d} y)} 其中 L + {\displaystyle L^{+}} 是 D {\displaystyle D} 的取正向的边界曲线。 此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线 L {\displaystyle L} 的曲线积分与 L {\displaystyle L} 所包围的区域 D {\displaystyle D} 上的二重积分之间的关系。另见格林恆等式。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。 以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C1和C3是水平的直线。 如果我们可以证明 ∫ C L d x = ∬ D ( − ∂ L ∂ y ) d A ( 1 ) {\displaystyle \int _{C}L\,\mathrm {d} x=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(1)} } 以及 ∫ C M d y = ∬ D ( ∂ M ∂ x ) d A ( 2 ) {\displaystyle \int _{C}M\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,\mathrm {d} A\qquad \mathrm {(2)} } 那么就证明了格林公式是正确的。 把右图中I型的区域D定义为： D = { ( x , y ) | a ≤ x ≤ b , g 1 ( x ) ≤ y ≤ g 2 ( x ) } {\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}} 其中g1和g2是区间[a, b]内的连续函数。计算(1)式中的二重积分： 现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C1、C2、C3和C4的并集。 对于C1，使用参数方程：。那么： ∫ C 1 L ( x , y ) d x = ∫ a b { L ( x , g 1 ( x ) ) } d x {\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\Big \{}L(x,g_{1}(x)){\Big \}}\,\mathrm {d} x} 对于C3，使用参数方程： x = x , y = g 1 ( x ) , a ≤ x ≤ b {\displaystyle x=x,\,y=g_{1}(x),\,a\leq x\leq b} 。那么： ∫ C 3 L ( x , y ) d x = − ∫ − C 3 L ( x , y ) d x = − ∫ a b [ L ( x , g 2 ( x ) ) ] d x {\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}[L(x,g_{2}(x))]\,\mathrm {d} x} 沿着C3的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C2和C4上，x是常数，因此： ∫ C 4 L ( x , y ) d x = ∫ C 2 L ( x , y ) d x = 0 {\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{C_{2}}L(x,y)\,\mathrm {d} x=0} 所以： (3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。 使用格林公式，可以用线积分计算区域的面积。因为区域D的面积等于 A = ∬ D d A {\displaystyle A=\iint _{D}dA} ，所以只要我们选取适当的L与M使得 ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y = 1 {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1} ，就可以通过 A = ∮ C ( L d x + M d y ) {\displaystyle A=\oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)} 来计算面积。 一种可能的取值是 A = ∮ C x d y = − ∮ C y d x = 1 2 ∮ C x d y − y d x {\displaystyle A=\oint _{C}x\,\mathrm {d} y=-\oint _{C}y\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\oint _{C}x\mathrm {d} y-y\mathrm {d} x} 。 高斯公式 斯托克斯公式 格林函數 George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green did not actually derive the form of "Green's theorem" which appears in this article; rather, he derived a form of the "divergence theorem", which appears on pages 10-12 （页面存档备份，存于互联网档案馆） of his Essay. In 1846, the form of "Green's theorem" which appears in this article was first published, without proof, in an article by Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (On integrals that extend over all of the points of a closed curve), Comptes rendus, 23: 251-255. (The equation appears at the bottom of page 254, where (S) denotes the line integral of a function k along the curve s that encloses the area S.) A proof of the theorem was finally provided in 1851 by Bernhard Riemann in his inaugural dissertation: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Basis for a general theory of functions of a variable complex quantity), (Göttingen, (Germany): Adalbert Rente, 1867); see pages 8 - 9. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 Stewart, James. Calculus 6th. Thomson, Brooks/Cole. 2007.