哈恩-巴拿赫定理

在泛函分析中，哈恩－巴拿赫定理是一个极为重要的工具。它允许了定义在某个向量空间上的有界线性算子扩张到整个空间，并说明了存在“足够”的连续线性泛函，定义在每一个賦範向量空間，使对偶空间的研究变得有趣味。这个定理以汉斯·哈恩和斯特凡·巴拿赫命名，他们在1920年代後期独立证明了这个定理。 定理的最一般的表述需要一些准备。给定标量體 K {\displaystyle \mathbb {K} } （实数域或复数域）上的一个向量空间 V {\displaystyle V} ，一个函数 N : V → R {\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} } 称为次线性的，如果： N ( a x + b y ) ≤ | a | N ( x ) + | b | N ( y ) ∀ x , y ∈ V ∀ a , b ∈ K . {\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad \forall a,b\in \mathbb {K} .} 可以很容易证明， V {\displaystyle V} 上的每一个范数和每一个半范数都是次线性的。其它的次线性函数也可以是很有用的。 哈恩－巴拿赫定理说明，如果 N : V → R {\displaystyle {\mathcal {N}}:V\rightarrow \mathbb {R} } 是一个次线性函数， φ : U → K {\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {K} } 是 V {\displaystyle V} 的子空间 U {\displaystyle U} 上的一个线性泛函，满足： | φ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle |\varphi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in U} 那么存在φ到整个空间 V {\displaystyle V} 的一个线性扩张 ψ : V → K {\displaystyle \psi :V\rightarrow \mathbb {K} } ，也就是说，存在一个线性泛函ψ，使得： ψ ( x ) = φ ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U} 以及： | ψ ( x ) | ≤ N ( x ) ∀ x ∈ V . {\displaystyle |\psi (x)|\leq {\mathcal {N}}(x)\qquad \forall x\in V.} 扩张ψ一般不是由φ唯一指定的，定理的证明也没有给出任何求出ψ的方法：在无穷维空间 V {\displaystyle V} 的情形中，它依赖于佐恩引理——选择公理的一个表述。 我们可以把 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 的次线性条件稍微减弱，只需要： N ( a x + b y ) ≤ | a | N ( x ) + | b | N ( y ) ∀ x , y ∈ V | a | + | b | = 1 ∈ R {\displaystyle {\mathcal {N}}(ax+by)\leq |a|{\mathcal {N}}(x)+|b|{\mathcal {N}}(y)\qquad \forall x,y\in V\quad |a|+|b|=1\in \mathbb {R} } 根据（Reed and Simon, 1980）。这揭示了哈恩-巴拿赫定理与凸性的密切联系。 这个定理有一些重要的结果，其中有些也有时称为“哈恩-巴拿赫定理”： 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且φ : U → K是连续和线性的，那么存在φ的一个扩张ψ : V → K，也是连续和线性的，且范数与φ相同（关于线性映射的范数的讨论，参见巴拿赫空间）。也就是说，在赋范向量空间的范畴中，空间 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是一个内射对象。 如果V是一个赋范向量空间，其子空间为U（不一定是闭的），且z是V的一个元素，不在U的闭包内，那么存在一个连续线性映射ψ : V → K，对于U内的所有x都满足ψ(x) = 0，ψ(z) = 1，且||ψ|| = 1/dist(z,U)。 哈恩-巴拿赫定理的另外一种形式，称为哈恩-巴拿赫分离定理。它在凸几何中有许多用途。 定理：设 V {\displaystyle V} 为  K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的一个拓扑向量空间， A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B}  是  V {\displaystyle V} 的非空凸子集。假设 A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。那么： 如果 A {\displaystyle A} 是开集，那么存在一个连续线性映射 λ : V → K {\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} } 和  t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ，使得对于所有的 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 和 b ∈ B {\displaystyle b\in B} ，都有  Re λ ( a ) < t ≤ Re λ ( b ) {\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t\leq \operatorname {Re} \,\lambda (b)} 。 如果 V {\displaystyle V}  是局部凸的， A {\displaystyle A}  是紧集，且 B {\displaystyle B}  是闭集，那么存在一个连续线性映射  λ : V → K {\displaystyle \lambda \colon V\to \mathbb {K} } 和  s , t ∈ R {\displaystyle s,t\in \mathbb {R} } ，使得对于所有的 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 和 b ∈ B {\displaystyle b\in B} ，都有  Re λ ( a ) < t < s < Re λ ( b ) {\displaystyle \operatorname {Re} \,\lambda (a)<t<s<\operatorname {Re} \,\lambda (b)} 。 前面已经提到，从选择公理可以推出哈恩-巴拿赫定理。然而，反过来不成立。注意超滤子引理比选择公理更弱，但从它也可以推出哈恩-巴拿赫定理（反过来则不行）。实际上，哈恩-巴拿赫定理还可以用比超滤子引理更弱的假设来证明。对于可分巴拿赫空间，Brown和Simpson证明了哈恩-巴拿赫定理可以从WKL0——一个二阶算术的弱子系统推出。 M·里斯扩张定理 自反空间 Klaus Thomsen, 哈恩-巴拿赫分离定理 （页面存档备份，存于互联网档案馆），Aarhus University, 高等分析讲座 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gabriel Nagy, 实分析 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 讲座 （页面存档备份，存于互联网档案馆） R. Harvey and H. B. Lawson, "An intrinsic characterisation of Kahler manifolds," Invent. Math 74 (1983) 169-198. D. Pincus, The strength of Hahn–Banach's Theorem, in: Victoria Symposium on Non-standard Analysis, Lecture notes in Math. 369, Springer 1974, pp. 203-248. Citation from M. Foreman and F. Wehrung, The Hahn-Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set （页面存档备份，存于互联网档案馆），"Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), p. 13-19. D. K. Brown and S. G. Simpson, Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn-Banach theorem?, Annals of Pure and Applied Logic, 31, 1986, pp. 123-144. Source of citation （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times", Topology and its Applications, Volume 77, Issue 2 (1997) Pages 193-211. Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6. 泛函分析中的定理 阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理