負整數

負整數，在数学中是指小於0的整數。負整數是负数与整数的交集。和整數一样，負整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體Z-或 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 来表示。在任何大于0的自然数前面加上性质符号“−”，所得的数即为负整数，例如−1、−2、−3等。负整数可以被认为是自然数的扩展。負整數与0则统称为非正整数。 負整數是指小於零的整數。負整數存在最大值負一，但不存在最小值；負整數與負整數的和仍是負整數，而負整數與負整數的積會變為正整數。 由於負整數與負整數的積會變為正整數，因此負整數的平方與其相反數的平方數相同 ( − n ) 2 = n 2 {\displaystyle {(-n)}^{2}={n}^{2}} 若不考慮複數，負整數不能取平方根，但能夠取奇數次的方根。在複數域中，負整數的平方根為其相反數平方根的虛數單位倍。 − n = i n {\displaystyle {\sqrt {-n}}=i{\sqrt {n}}} 在實數域中，負整數的對數不存在。但在复数域，根据欧拉恒等式 e i π + 1 = 0 {\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0} ，可以得出-1的自然对数 ln ⁡ ( − 1 ) = i π {\displaystyle \ln {(-1)}=i\pi } ，再依據對數性質 log α ⁡ M N = log α M + log α N {\displaystyle \log _{\alpha }MN=\log _{\alpha }\!M+\log _{\alpha }\!N} ，負整數的對數 ln ⁡ ( − n ) = ln ⁡ ( − 1 × n ) = ln ⁡ ( − 1 ) + ln ⁡ ( n ) {\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(-1\times n)}=\ln {(-1)}+\ln {(n)}} ，得到： ln ⁡ ( − n ) = ln ⁡ ( n ) + i π {\displaystyle \ln {(-n)}=\ln {(n)}+i\pi } 負整數的正因數與其相反數的正因數相同。在質因數分解中，能夠透過將負一提出來完成質因數分解，而除了-1外，其他的質因數亦與其相反數相同。 -1 負數單位。 最大的負整數、最大的負奇數。 平方根為虛數單位。 -2 负数，因數有-2、-1、1和2。 質因數分解， − 1 × 2 {\displaystyle -1\times 2} 。 最大的負偶數。 立方體下闭集合中欧拉示性数的最小值。 -3 负数，因數有-3、-1、1和3。 質因數分解， − 1 × 3 {\displaystyle -1\times 3} 。 負三分貝為半能點。 二次域 Q [ − 3 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]} 為簡單歐幾里得整環。 四維超立方體（或四維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 -4 负数，因數有-4、-2、-1、1、2和4。 質因數分解， − 1 × 2 2 {\displaystyle -1\times 2^{2}} 。 五維超立方體（或五維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 平方根為2i -6 负数，因數有-6、-3、-2、-1、1、2、3和6。 質因數分解， − 1 × 2 × 3 {\displaystyle -1\times 2\times 3} 。 廣義的三角形數、廣義的六邊形數與雙Pochhammer三角形（Double Pochhammer triangle）（OEIS數列A039683）。 -7 负数，因數有-7、-1、1和7。 質因數分解， − 1 × 7 {\displaystyle -1\times 7} 。 二次域 Q [ − 7 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-7}}]} 為簡單歐幾里得整環。 -10 负数，因數有-10、-5、-2、-1、1、2、5和10。 質因數分解， − 1 × 2 × 5 {\displaystyle -1\times 2\times 5} 。 六維超立方體（英语：6-cube）（或六維超方形）下闭集合中欧拉示性数的最小值 -11 负数，因數有-11、-1、1和11。 質因數分解， − 1 × 11 {\displaystyle -1\times 11} 。 二次域 Q [ − 11 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-11}}]} 為簡單歐幾里得整環。 -14 负数，因數有-14、-7、-2、-1、1、2、7和14。 質因數分解， − 1 × 2 × 7 {\displaystyle -1\times 2\times 7} 。 -14是Glaisher's chi數（OEIS數列A002171） -14是廣義的斯特靈三角數（OEIS數列A049444） -40 负数，因數有-40、-20、-10、-8、-5、-4、-2、-1、1、2、4、5、8、10、20和40。 質因數分解， − 1 × 2 3 × 5 {\displaystyle -1\times 2^{3}\times 5} 。 華氏及攝氏溫標的平等點，即-40℉=-40℃。 正整數 在資訊領域中提到的負零一般不屬於數論中的負整數集合中。 有此性質的負數只有-11, -7, -3, -2, -1（OEIS數列A048981） Weisstein, Eric W. (编). Negative Integer. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2023-11-24]. （原始内容存档于2023-06-06） （英语）.  Factors of a Negative Number. sciencing.com. 2018-03-18 [2020-03-20]. （原始内容存档于2017-07-01）.  José Luis Gómez Pardo. Introduction to Cryptography with Maple. SpringerLink : Bücher. Springer Berlin Heidelberg. 2012: 336. ISBN 9783642321665. LCCN 2012944964.  Bard, G.V. Sage for Undergraduates. American Mathematical Society. 2015: 269. ISBN 9781470411114. LCCN 14033572.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A214283 (Smallest Euler characteristic of a downset on an n-dimensional cube). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  LeVeque, William J. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. 2002: II:57,81 [1956]. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.  埃里克·韦斯坦因. 負整數. MathWorld.