爱因斯坦求和约定

在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（Einstein notation），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」 按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏， y = c i x i {\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\!} 的意思是 y = ∑ i = 1 3 c i x i = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\,\!} 。 請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏， x 1 {\displaystyle x^{1}\,\!} 、 x 2 {\displaystyle x^{2}\,\!} 、 x 3 {\displaystyle x^{3}\,\!} 分別表示 x {\displaystyle x\,\!} 坐標、 y {\displaystyle y\,\!} 坐標、 z {\displaystyle z\,\!} 坐標，而不是 x {\displaystyle x\,\!} 、 x {\displaystyle x\,\!} 的平方、 x {\displaystyle x\,\!} 的立方。 愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量： y = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ + c n x n {\displaystyle y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!} 。 通常會將這寫為求和公式形式： y = ∑ i = 1 n c i x i {\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!} 。 在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號： y = c i x i {\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\,\!} 採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。 在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如， a i {\displaystyle a^{i}\,\!} 。給予一個 n {\displaystyle n\,\!} 維向量空間 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 和其任意基底 e = ( e 1 , e 2 , … , e n ) {\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!} （可能不是標準正交基），那麼，向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 表示為 a = a i e i = [ a 1 a 2 ⋮ a n ] {\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!} 。 餘向量的分量是用下標來標明，例如， α i {\displaystyle \alpha _{i}\,\!} 。給予 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 的對偶空間 V ∗ {\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!} 和其任意基底 ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!} （可能不是標準正交基），那麼，餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 表示為 α = α i ω i = [ α 1 α 2 ⋯ α n ] {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!} 。 採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從 e {\displaystyle \mathbf {e} \,\!} 改變為 e ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!} ，反變向量會變換為 a ¯ i = ∂ x ¯ i ∂ x j a j {\displaystyle {\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!} ； 其中， a ¯ i {\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!} 是改變基底後的向量的分量， x ¯ i {\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!} 是改變基底後的坐標， x j {\displaystyle x^{j}\,\!} 是原先的坐標， 下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從 ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 改變為 ω ¯ {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!} ，共變向量會會變換為 α ¯ i = ∂ x i ∂ x ¯ j α j {\displaystyle {\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!} 。 矩陣 A {\displaystyle A\,\!} 的第 m {\displaystyle m\,\!} 橫排，第 n {\displaystyle n\,\!} 豎排的元素，以前標記為 A m n {\displaystyle A_{mn}\,\!} ；現在改標記為 A n m {\displaystyle A_{n}^{m}\,\!} 。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下： 給予向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 和餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ，其向量和餘向量的內積為純量： a ⋅ α = a i α i {\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a_{i}\alpha ^{i}\,\!} 。 給予矩陣 A {\displaystyle A\,\!} 和向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} ，它們的乘積是向量 b {\displaystyle \mathbf {b} \,\!} ： b i = A j i a j {\displaystyle b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!} 。 類似地，矩陣 A {\displaystyle A\,\!} 的轉置矩陣 B = A T {\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!} ，其與餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 的乘積是餘向量 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!} ： β j = B j i α i = α i B j i {\displaystyle \beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!} 。 矩陣乘法表示為 C k i = A j i B k j {\displaystyle C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!} 。 這公式等價於較冗長的普通標記法： C i k = ( A B ) i k = ∑ j = 1 N A i j B j k {\displaystyle C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!} 。 給予一個方塊矩陣 A j i {\displaystyle A_{j}^{i}\,\!} ，總和所有上標與下標相同的元素 A i i {\displaystyle A_{i}^{i}\,\!} ，可以得到這矩陣的跡 t {\displaystyle t\,\!} ： t = A i i {\displaystyle t=A_{i}^{i}\,\!} 。 M維向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 和N維餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 的外積是一個M×N矩陣 A {\displaystyle A\,\!} ： A = a α {\displaystyle A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 。 採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為 A j i = a i α j {\displaystyle A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!} 由於 i {\displaystyle i\,\!} 和 j {\displaystyle j\,\!} 代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣 A {\displaystyle A\,\!} 的標號。 一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量 i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!} 、 j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!} 及 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!} 來描述三維空間的向量。 u = u x i ^ + u y j ^ + u z k ^ {\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!} 。 把直角坐標系的基底向量 i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!} 、 j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!} 及 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!} 寫成 e ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!} 、 e ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!} 及 e ^ 3 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!} ，所以一個向量可以寫成： u = u 1 e ^ 1 + u 2 e ^ 2 + u 3 e ^ 3 = ∑ i = 1 3 u i e ^ i {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!} 。 根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和： u = u i e ^ i = ∑ i = 1 3 u i e ^ i {\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!} 。 由於基底是標準正交基， u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!} 的每一個分量 u i = u i {\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!} ，所以， u = ∑ i = 1 3 u i e ^ i {\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!} 。 兩個向量 u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!} 與 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 的内积是 u ⋅ v = ( u i e ^ i ) ⋅ ( v j e ^ j ) = ( ∑ i = 1 3 u i e ^ i ) ⋅ ( ∑ j = 1 3 v j e j ) = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 u i v j ( e ^ i ⋅ e ^ j ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!} 。 由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一： e ^ i ⋅ e ^ j = δ i j {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!} ； 其中，   δ i j {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!} 就是克羅內克函數。當 i = j {\displaystyle i=j\,\!} 時，則 δ i j = 1 {\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!} ，否則 δ i j = 0 {\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!} 。 邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數   δ i j {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!} ，就可以把方程式中的標號 i {\displaystyle i\,\!} 轉為 j {\displaystyle j\,\!} 或者把標號 j {\displaystyle j\,\!} 轉為 i {\displaystyle i\,\!} 。所以， u ⋅ v = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 u i v j δ i j = ∑ i = 1 3 u i v i {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!} 。 採用同樣的標準正交基 e ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!} 、 e ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!} 及 e ^ 3 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!} ，兩個向量 u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!} 與 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 的叉積，以方程式表示為 u × v = ( u j e ^ j ) × ( v k e ^ k ) = ( ∑ j = 1 3 u j e ^ j ) × ( ∑ k = 1 3 v k e ^ k ) {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!} = ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 u j v k ( e j × e k ) = ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 u j v k ϵ i j k e i {\displaystyle =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!} 。 注意到 e ^ j × e ^ k = ϵ i j k e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!} ； 其中，張量   ϵ i j k {\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\,\!} 是列维-奇维塔符号，定義為 所以， u × v = ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) e ^ 1 + ( u 3 v 1 − u 1 v 3 ) e ^ 2 + ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) e ^ 3 {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!} 。 設定 w = u × v {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!} ，那麼， w i e ^ i = ϵ i j k u j v k e ^ i {\displaystyle w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!} 。 所以，   w i = ϵ i j k u j v k {\displaystyle \ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!} 。 在歐幾里得空間 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量 b {\displaystyle \mathbf {b} \,\!} ，通過下述方程式，向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 唯一地確定了餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ： α ( b ) = a ⋅ b {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!} 。 逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 唯一地確定了向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。 給予 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 的一個基底 f = ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!} ，則必存在一個唯一的對偶基底 f ♯ = ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!} ，滿足 Y i ⋅ X j = δ j i {\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!} ； 其中，張量 δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!} 是克羅內克函數。 以這兩種基底，任意向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 可以寫為兩種形式 a = ∑ i a i [ f ] X i = f a [ f ] = ∑ i a i [ f ] Y i = f ♯ a [ f ♯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!} ； 其中， a i [ f ] {\displaystyle a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!} 是向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 對於基底 f {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!} 的反變分量， a i [ f ] {\displaystyle a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!} 是向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 對於基底 f {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!} 的共變分量， 在歐幾里得空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!} 裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!} ，就可以計算其對偶基底的基底向量： e 1 = e 2 × e 3 τ ; e 2 = e 3 × e 1 τ ; e 3 = e 1 × e 2 τ {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!} ； 其中， τ = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) {\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!} 是基底向量 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!} 共同形成的平行六面體的體積。 反過來計算， e 1 = e 2 × e 3 τ ′ ; e 2 = e 3 × e 1 τ ′ ; e 3 = e 1 × e 2 τ ′ {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!} ； 其中， τ ′ = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) = 1 / τ {\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!} 是基底向量 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!} 共同形成的平行六面體的體積。 雖然 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!} 與 e j {\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!} 並不相互標準正交，它們相互對偶： e i ⋅ e j = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!} 。 雖然 e i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!} 與 e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!} 並不相互標準正交，它們相互對偶： e i ⋅ e j = δ j i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!} 。 這樣，任意向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的反變分量為 a 1 = a ⋅ e 1 ; a 2 = a ⋅ e 2 ; a 3 = a ⋅ e 3 {\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!} 。 類似地，共變分量為 a 1 = a ⋅ e 1 ; a 2 = a ⋅ e 2 ; a 3 = a ⋅ e 3 {\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!} 。 這樣， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 可以表示為 a = a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!} ， 或者， a = a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!} 。 綜合上述關係式， a = ( a ⋅ e i ) e i = ( a ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!} 。 向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的共變分量為 a i = a ⋅ e i = ( a j e j ) ⋅ e i = ( e j ⋅ e i ) a j = g j i a j {\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!} ； 其中， g j i = e j ⋅ e i {\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!} 是度規張量。 向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的反變分量為 a i = a ⋅ e i = ( a j e j ) ⋅ e i = ( e j ⋅ e i ) a j = g j i a j {\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}  ; 其中， g j i = e j ⋅ e i {\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!} 是共軛度規張量。 共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。 思考維度為 n {\displaystyle n\,\!} 的向量空間 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 。給予一個可能不是標準正交基的基底 ( e 1 , e 2 , … , e n ) {\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!} 。那麼，在 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 內的向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} ，對於這基底，其分量為 v 1 {\displaystyle v^{1}\,\!} 、 v 2 {\displaystyle v^{2}\,\!} 、... v n {\displaystyle v^{n}\,\!} 。以方程式表示， v = v i e i . {\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!} 。 在這方程式右手邊，標號 i {\displaystyle i\,\!} 在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從 i {\displaystyle i\,\!} 等於 1 {\displaystyle 1\,\!} 到 n {\displaystyle n\,\!} ，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。 愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 用張量積和對偶性建立的向量空間。例如， V ⊗ V {\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!} ， V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 與自己的張量積，擁有由形式為 e i j = e i ⊗ e j {\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!} 的張量組成的基底。任意在 V ⊗ V {\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!} 內的張量 T {\displaystyle \mathbf {T} \,\!} 可以寫為 T = T i j e i j {\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!} 。 向量空間 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 的對偶空間 V ∗ {\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!} 擁有基底 ( e 1 , e 2 , … , e n ) {\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!} ，遵守規則 e i ⋅ e j = δ j i {\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!} ； 其中， δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!} 是克羅內克函數。 為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。 思考四維時空，標號的值是從0到3。兩個張量，經過張量縮併（tensor contraction）運算後，變為一個純量： c = a μ b μ = a 0 b 0 + a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 {\displaystyle c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!} 。 方程式的右手邊有兩個項目： c ν = a μ ν b μ + f ν = a 0 ν b 0 + a 1 ν b 1 + a 2 ν b 2 + a 3 ν b 3 + f ν {\displaystyle c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!} 。 由於運算結果與標號 μ {\displaystyle \mu \,\!} 和 ν {\displaystyle \nu \,\!} 無關，可以被其它標號隨意更換，所以， μ {\displaystyle \mu \,\!} 和 ν {\displaystyle \nu \,\!} 稱為傀標號。 自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個項目裏，而且在每一個項目裏只出現一次。在上述方程式裏， ν {\displaystyle \nu \,\!} 是自由標號，每一個項目都必須有同樣的自由標號。注意到在項目 a μ ν b μ {\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!} 裏，標號 μ {\displaystyle \mu \,\!} 出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這項目的所有可能值都必須總和在一起。稱 μ {\displaystyle \mu \,\!} 為求和標號。 思考在黎曼空間的弧線元素長度 d s {\displaystyle ds\,\!} ： d s 2 = g i j d x i d x j = g 0 j d x 0 d x j + g 1 j d x 1 d x j + g 2 j d x 2 d x j + g 3 j d x 3 d x j {\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!} 。請將這兩種標號跟自由變量和約束變量相比較。 進一步擴展， d s 2 = g 00 d x 0 d x 0 + g 10 d x 1 d x 0 + g 20 d x 2 d x 0 + g 30 d x 3 d x 0 {\displaystyle ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!} + g 01 d x 0 d x 1 + g 11 d x 1 d x 1 + g 21 d x 2 d x 1 + g 31 d x 3 d x 1 {\displaystyle \qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!} + g 02 d x 0 d x 2 + g 12 d x 1 d x 2 + g 22 d x 2 d x 2 + g 32 d x 3 d x 2 {\displaystyle \qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!} + g 03 d x 0 d x 3 + g 13 d x 1 d x 3 + g 23 d x 2 d x 3 + g 33 d x 3 d x 3 {\displaystyle \qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!} 。 注意到 d s 2 {\displaystyle ds^{2}\,\!} 是 d s {\displaystyle ds\,\!} 乘以 d s {\displaystyle ds\,\!} ，是 ( d s ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}\,\!} ，而不是 ( s 2 ) {\displaystyle (s^{2})\,\!} 坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。 狄拉克標記 抽象指标记号 潘洛斯圖形標記法（Penrose graphical notation） Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity, Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03], （原始内容 (PDF)存档于2007-07-22）  Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642  引文格式1维护：冗余文本 (link) Kuptsov, L.P., Einstein rule, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 . Rawlings, Steve, Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities (PDF), Oxford University, 2007-02-01 [2010-05-10], （原始内容 (PDF)存档于2017-01-06）