倒數伽瑪函數

Γ函數的倒數 在數學中，倒數伽瑪函數（英語：Reciprocal gamma function）是指伽瑪函數的倒數： f ( z ) = 1 Γ ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}} 其中，Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数，因此其倒數是一個整函数。 倒數伽瑪函數是一個1階整函數，其表示了log log |1/Γ(z)|的成長速度不會高過log |1/Γ(z)|。雖為1階整函數但屬無窮型，也就是說log |1/Γ(z)|的增長速度比任何|z|的倍數都快，因為它的增長與左手平面上的|z| log |z|大致成比例。 由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長，在程式計算上較伽瑪函數容易，例如其泰勒級數，因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點，一些軟體除了計算伽瑪函數外，會額外提供倒數伽瑪函數。 魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數，並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展。 根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義，可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積： 1 Γ ( z ) = z ∏ n = 1 ∞ 1 + z n ( 1 + 1 n ) z 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}} 其中 γ ≈ 0.577216... {\displaystyle \gamma \approx 0.577216...} 是歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。 倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為： 1 Γ ( z ) = z + γ z 2 + ( γ 2 2 − π 2 12 ) z 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=z+\gamma z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)z^{3}+\cdots } 其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。對n > 2的情形，其zn的系數an可由遞迴定義求出： a n = a 2 a n − 1 − ∑ j = 2 n − 1 ( − 1 ) j ζ ( j ) a n − j n − 1 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{2}a_{n-1}-\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j}\,\zeta (j)\,a_{n-j}}{n-1}}} 其中ζ(s)代表黎曼ζ函數。2014年，Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示： a n = ( − 1 ) n π n ! ∫ 0 ∞ e − t ℑ [ ( log ⁡ ( t ) − i π ) n ] d t . {\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\Im [(\log(t)-i\pi )^{n}]dt.} 其前幾項的值為： 而an的近似值為： a n ≈ ( − 1 ) n 2 π n n ! ℑ ( e − n z 0 z 0 1 / 2 − n 1 + z 0 ) , {\displaystyle a_{n}\approx (-1)^{n}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {\sqrt {n}}{n!}}\Im \left(e^{-nz_{0}}{\frac {z_{0}^{1/2-n}}{\sqrt {1+z_{0}}}}\right),} 其中， z 0 = e W − 1 ( − n ) − n {\displaystyle z_{0}={\frac {e^{W_{-1}(-n)}}{-n}}} 而 W − 1 {\displaystyle W_{-1}} 是分支為負一的朗伯W函数。 當|z|在arg(z)為一固定值的情形下趨於無窮，則有： ln ⁡ ( 1 / Γ ( z ) ) ∼ − z ln ⁡ ( z ) + z + 1 2 ln ⁡ ( z 2 π ) − 1 12 z + 1 360 z 3 − 1 1260 z 5 for | arg ⁡ ( z ) | < π {\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi } 倒數伽瑪函數可使用圍線積分（英语：contour integration）（contour integration）表示，此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出，其為： 1 Γ ( z ) = i 2 π ∮ H ( − t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,} 其中，H為漢克爾圍線（英语：Hankel contour）。 階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積： ∏ k = 1 n 1 k = 1 n ! ∀ n ≥ 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{n!}}\quad \forall n\geq 1} 其無窮級數收斂在e： ∑ n = 0 ∞ ∏ k = 1 n 1 k = e {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=e} 由於階乘可以用伽瑪函數來定義，因此階乘倒數也可以表示為： 1 n ! = 1 Γ ( z + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{\Gamma (z+1)}}} . 對於 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 的正整數，其階乘倒數可以用一個積分表示 ： 1 n ! = 1 2 π ∫ − π π e − n ı ϑ e e ı ϑ   d ϑ {\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-n\imath \vartheta }e^{e^{\imath \vartheta }}\ d\vartheta } . 同理，倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數 c > 0 {\displaystyle c>0} 且 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式： 1 Γ ( z ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( c + ı t ) − z e c + ı t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+\imath t)^{-z}e^{c+\imath t}dt,} 其中在 z := n + 1 / 2 {\displaystyle z:=n+1/2} 的特定情況下，則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係： 1 ( 2 n − 1 ) ! ! = π 2 n ⋅ Γ ( n + 1 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}} 將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為： ∫ 0 ∞ 1 Γ ( x ) d x ≈ 2.80777024 , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,} （OEIS數列A058655） 這個值又稱為弗朗桑－羅賓遜常數（英语：Fransén–Robinson_constant）。 伽瑪函數 反伽瑪函數 Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） pdf (PDF). [2018-12-22]. （原始内容存档 (PDF)于2018-12-22）. . HAL archives, Hazewinkel, Michiel (编), Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001 [1994], ISBN 978-1-55608-010-4 [失效連結] Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682. 圍線積分 contour integration. [2018-12-28]. （原始内容存档于2019-06-10）.  Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语）  142.D Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1994: 566.  Integral formula for 1 / Γ ( z ) {\displaystyle 1/\Gamma (z)} . Math Stack Exchange. [2018-11-18]. （原始内容存档于2019-06-06）.  Finch, S. R. 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