支撑集

支撑集（英語：support，简称支集），是一个数学概念，它是集合 X {\displaystyle X} 的一个子集，要求对给定的 X {\displaystyle X} 上定义的实值函数 f {\displaystyle f} 在这个子集上恰好非0。最常见的情形是， X {\displaystyle X} 是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数 f {\displaystyle f} 在此拓扑下连续。此时， f {\displaystyle f} 的支撑集被定义为这样一个闭集 C {\displaystyle C} ： f {\displaystyle f} 在 X ∖ C {\displaystyle X\backslash C} 中为 0 {\displaystyle {0}} ，且不存在 C {\displaystyle C} 的真闭子集也满足这个条件，即， C {\displaystyle C} 是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。 特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。 常见的情况出现为： X {\displaystyle X} 是一个拓扑空间（例如实轴或n维欧几里得空间），并且 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } 是连续的实值函数（或复值函数）。此时， f {\displaystyle f} 的支撑在拓扑上定义为使得 f {\displaystyle f} 非零的 X {\displaystyle X} 子集的闭包 ，即： supp ⁡ ( f ) := cl X ⁡ ( { x ∈ X : f ( x ) ≠ 0 } ) = f − 1 ( { 0 } c ) ¯ . {\displaystyle \operatorname {supp} (f):=\operatorname {cl} _{X}\left(\{x\in X\,:\,f(x)\neq 0\}\right)={\overline {f^{-1}\left(\{0\}^{c}\right)}}.} 由于闭集的交集也是闭集，所以 supp ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {supp} (f)} 是集合论中所有包含 f {\displaystyle f} 支撑的闭集的交集。 例如， f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } 定义如下： f ( x ) = { 1 − x 2 if  | x | < 1 0 if  | x | ≥ 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-x^{2}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1\end{cases}}} f {\displaystyle f} 的支撑是闭区间 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，因为 f {\displaystyle f} 在开区间 ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} 非零，其闭包为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 。 闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } （或 f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } 不需要）连续。 如果某函数的支撑集是 X {\displaystyle X} 中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 X {\displaystyle X} 的。例如，若 X {\displaystyle X} 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为 0 {\displaystyle 0} 的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，一个定义在实数轴 X {\displaystyle X} 上的函数 f {\displaystyle f} 在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 C {\displaystyle C} 来描述： | f ( x ) − 1 C ( x ) f ( x ) | < ϵ {\displaystyle |f(x)-1_{C}(x)f(x)|<\epsilon } 其中 1 C ( x ) {\displaystyle 1_{C}(x)} 表示 C {\displaystyle C} 的指示函数。 注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。 当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} 。此时，我们考虑一个测试函数 F {\displaystyle F} ，并且 F {\displaystyle F} 是光滑的，其支撑集不包括 0 {\displaystyle 0} 。由于 δ ( F ) {\displaystyle \delta (F)} （即 δ {\displaystyle \delta } 作用于 F {\displaystyle F} ）为 0 {\displaystyle 0} ，所以我们说 δ {\displaystyle \delta } 的支撑集为 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。 在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。 例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是 1 / x {\displaystyle 1/x} ，但这在 x = 0 {\displaystyle x=0} 时是不成立的。所以很明显地， x = 0 {\displaystyle x=0} 是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是 { 0 } {\displaystyle \{0\}} ，即对于一个支撑集包括 0 {\displaystyle 0} 的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。 对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。 支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。 Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。 X {\displaystyle X} 的一组闭子集 Φ {\displaystyle \Phi } 是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是 Φ {\displaystyle \Phi } 的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何 Y ∈ Φ {\displaystyle Y\in \Phi } ，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些 Z ∈ P i {\displaystyle Z\in Pi} 是一个邻域。如果 X {\displaystyle X} 是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。 Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132.  Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14.  Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8.  Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.