沙普利-福克曼引理

沙普利-福克曼引理是凸幾何（英语：Convex geometry）的一條引理，其於数理经济学有應用。引理描述向量空間子集的閔可夫斯基和有何性質。若干個集合的閔可夫斯基和，即從各集合分別取一個元素相加，組成的集合：例如，將整數 0 {\displaystyle 0} 和 1 {\displaystyle 1} 組成的集合，與自身相加，得到由 0 ,   1 ,   2 {\displaystyle 0,\ 1,\ 2} 組成的集合，以符號可寫成： { 0 , 1 } + { 0 , 1 } = { 0 , 1 , 2 } . {\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2\}.} 「許多個集合的閔氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。集合稱為凸，意思是連接其中任意兩點的线段，必為該集合的子集：舉例，實心圓盤  ∙ {\displaystyle \bullet } 為凸集，但圓  ∘ {\displaystyle \circ } 則不然，因為連接相異兩點的線段  ⊘ {\displaystyle \oslash } 並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出向量空間的維數，則其閔氏和將近凸。 沙普利-福克曼引理引入時，是作為證明沙普利-福克曼定理的一步，該定理斷言閔氏和與其凸包的距離不超過某個上界。所謂集合 Q {\displaystyle Q} 的凸包，是包含 Q {\displaystyle Q} 的最小凸集。而當且僅當和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於維數 D {\displaystyle D} 及求和項的形狀，但不取決於求和的項數 N {\displaystyle N} ，而只需 N > D {\displaystyle N>D} 。只要其中 D {\displaystyle D} 個求和項的形狀，就足以確定 N {\displaystyle N} 個集合的閔可夫斯基平均集 1 N ( Q 1 + Q 2 + ⋯ + Q N ) {\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}\right)} 與其凸包的距離的上界。當 N {\displaystyle N} 趨向無窮時，該上界遞減至零（需要各求和項的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為沙普利-福克曼-斯塔定理。 劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：Jon Folkman）的引理，最先由經濟學家羅斯·斯塔（英语：Ross Starr）發表，其時斯塔正在肯尼斯·阿罗門下，研究經濟均衡的存在性。斯塔在論文中，研究凸化（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。羅歇·蓋內里（英语：Roger Guesnerie）評論：「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：Convexity in economics）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。 沙普利-福克曼引理在優化論和概率论皆有應用。優化論中，可以引理解釋，在求多個函数之和的最小值時，為何一些解法可以成功。概率論中，引理適用於證明隨機集（英语：Stochastic geometry）的「大數定律」。此定理先前僅在凸集的情況得證。 考慮凸的實數區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} ，其包含整數子集 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} ，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} ，複製成三份，並按元素求和，得到 { 0 , 1 } + { 0 , 1 } + { 0 , 1 } = { 0 , 1 , 2 , 3 } . {\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}=\{0,1,2,3\}.} （此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為閔氏和。）和集的凸包則為區間 [ 0 , 3 ] {\displaystyle [0,3]} 。 區間 [ 0 , 3 ] {\displaystyle [0,3]} 中，每個數 x {\displaystyle x} 都可以寫成區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中某三個實數（允許重複）之和，例如將 x {\displaystyle x} 等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論： [ 0 , 3 ] {\displaystyle [0,3]} 的每個數，都可以寫成 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 中某兩個整數（允許重複），與 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中某一個實數之和。 凸包 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中的點，到 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的距離，至多為 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ： 1 2 = | 1 2 − 0 | = | 1 2 − 1 | , {\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|{\frac {1}{2}}-0\right|=\left|{\frac {1}{2}}-1\right|,} 然而，考慮三個區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的閔氏平均 1 3 ( { 0 , 1 } + { 0 , 1 } + { 0 , 1 } ) = { 0 , 1 3 , 2 3 ,   1 } , {\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\left\{0,{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},\ 1\right\},} 與其凸包 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的距離，僅為 1 / 6 {\displaystyle 1/6} ，即未平均前 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 與 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 距離（ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨被加項數增加，而趨向於零。此為沙普利-福克曼定理的結論。 沙普利-福克曼引理需要用到凸幾何（英语：convex geometry）的若干定義和定理，本節將作簡介。 二維的實向量空間上，有笛卡兒坐標系，將每點視為一對實數，稱為「坐標」，按慣例記為 x ,   y {\displaystyle x,\ y} 。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標相加： ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) . {\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}).} 此外，點也可以逐個坐標與實數 λ {\displaystyle \lambda } 相乘： λ ( x , y ) = ( λ x , λ y ) . {\displaystyle \lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y).} 更一般而言，任何 D {\displaystyle D} 維（有限維）實向量空間，均可視為 D {\displaystyle D} 個實數組成的D元組的集合 { ( v 1 , v 2 , … , v D ) } {\displaystyle \{(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{D})\}} ，並配備兩種運算：向量加法和標量乘法。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。 實向量空間中，非空子集 Q {\displaystyle Q} 稱為凸集，意思是，對於 Q {\displaystyle Q} 的任意兩個點，連接兩點成一線段，其上的所有點仍在 Q {\displaystyle Q} 中。例如，實心圓盤  ∙ {\displaystyle \bullet } 為凸，但圓  ∘ {\displaystyle \circ } 則不然，因為連接相異兩點的線段  ⊘ {\displaystyle \oslash } 並不是圓的子集。三個整數的集合 { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} 非凸，但其為區間 [ 0 , 2 ] {\displaystyle [0,2]} 的子集，而該區間為凸。又例如，實心立方體為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如彎月形（英语：Crescent），則非凸。空集也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義，也可能是因為要滿足的條件是空真命題（英语：Vacuous truth）。 更嚴謹而言，集合 Q {\displaystyle Q} 稱為凸，意思是，對 Q {\displaystyle Q} 中任意兩點 v 0 , v 1 {\displaystyle v_{0},v_{1}} ，和單位區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中的任意實數 λ {\displaystyle \lambda } ，點 ( 1 − λ ) v 0 + λ v 1 {\displaystyle (1-\lambda )v_{0}+\lambda v_{1}} 仍是 Q {\displaystyle Q} 的元素。 由數學歸納法，集合 Q {\displaystyle Q} 為凸，當且僅當其任意多個元素的凸組合仍在 Q {\displaystyle Q} 中。所謂向量空間子集 { v 0 , v 1 , … , v D } {\displaystyle \{v_{0},v_{1},\ldots ,v_{D}\}} 的凸組合，是其元素的任意加權平均 λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + ⋯ + λ D v D {\displaystyle \lambda _{0}v_{0}+\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{D}v_{D}} ，而各 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 可以是總和為 1 {\displaystyle 1} 的任意非負實數，即只需 λ 0 + λ 1 + ⋯ + λ D = 1 {\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{D}=1} 。 凸集的定義推出，兩個凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個不交的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。 對於實向量空間的每個子集 Q {\displaystyle Q} ，其凸包 C o n v ( Q ) {\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)} 是包含 Q {\displaystyle Q} 的最小凸集。所以， C o n v ( Q ) {\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)} 是所有覆蓋 Q {\displaystyle Q} 的凸集的交。等價地，可以將 C o n v ( Q ) {\displaystyle \mathrm {Conv} (Q)} 定義成 Q {\displaystyle Q} 的點的所有凸组合的集合。作為例子，整數集合 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的凸包，是實數閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} ，其兩端為原有的整數 0 , 1 {\displaystyle 0,1} 。单位圆的凸包則是閉单位圆盘，其包含單位圓。 在任何向量空間（或有定義加法的代數結構） X {\displaystyle X} 中，兩個非空子集 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} 的閔可夫斯基和，定義為其元素之和的集合，即 A + B := { x + y ∣ x ∈ A ,   y ∈ B } {\displaystyle A+B:=\{x+y\mid x\in A,~y\in B\}} （參見)。例如： { 0 , 1 } + { 0 , 1 } = { 0 + 0 , 0 + 1 , 1 + 0 , 1 + 1 } = { 0 , 1 , 2 } . {\displaystyle \{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.} 此運算定義在非空子集族上，且滿足結合律和交換律。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果 ∑ n = 1 N Q n = Q 1 + Q 2 + ⋯ + Q N {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots +Q_{N}} 。由數學歸納法，可見 ∑ n = 1 N Q n = { ∑ n = 1 N q n | q n ∈ Q n ,   1 ≤ n ≤ N } . {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}Q_{n}=\left\{\left.\sum _{n=1}^{N}q_{n}\right|q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.} 閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間 X {\displaystyle X} 的任意子集 A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} ，其閔氏和的凸包等於其凸包的閔氏和。換言之， C o n v ( A + B ) = C o n v ( A ) + C o n v ( B ) . {\displaystyle \mathrm {Conv} (A+B)=\mathrm {Conv} (A)+\mathrm {Conv} (B).} 故由數學歸納法得 C o n v ( ∑ n = 1 N Q n ) = ∑ n = 1 N C o n v ( Q n ) {\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})=\sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (Q_{n})} 對任意 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 和非空子集 Q n ⊆ X {\displaystyle Q_{n}\subseteq X} （ 1 ≤ n ≤ N {\displaystyle 1\leq n\leq N} ）成立。 由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點 x ∈ C o n v ( ∑ n = 1 N Q n ) {\displaystyle x\in \mathrm {Conv} \left(\sum _{n=1}^{N}Q_{n}\right)} ，都存在各凸包的 q n ( x ) ∈ C o n v ( Q n ) {\displaystyle q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})} （ n {\displaystyle n} 取遍 1 {\displaystyle 1} 至 N {\displaystyle N} ），使得 ∑ n = 1 N q n ( x ) = x {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)=x} 。各點 q n ( x ) {\displaystyle q_{n}(x)} 的位置取決於 x {\displaystyle x} 。 有了以上背景，沙普利-福克曼引理斷言， x {\displaystyle x} 的表示法 x = ∑ n = 1 N q n ( x ) {\displaystyle x=\sum _{n=1}^{N}q_{n}(x)} 中，僅需要不多於 D {\displaystyle D} 個被加項 q n ( x ) {\displaystyle q_{n}(x)} 取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合 Q n {\displaystyle Q_{n}} 。以符號復述，即有以上方法表示 x {\displaystyle x} ，且滿足 | { l ≤ n ≤ N ∣ q n ( x ) ∈ C o n v ( Q n ) ∖ Q n } | ≤ D {\displaystyle |\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in \mathrm {Conv} (Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D} 。不妨將下標重新排序，然後就有 x = ∑ n = 1 D q n ( x ) + ∑ n = D + 1 N q n ( x ) {\displaystyle x=\sum _{n=1}^{D}q_{n}(x)+\sum _{n=D+1}^{N}q_{n}(x)} 其中對 1 ≤ n ≤ D {\displaystyle 1\leq n\leq D} ，有 q n ∈ C o n v ( Q n ) {\displaystyle q_{n}\in \mathrm {Conv} (Q_{n})} ，而對 D + 1 ≤ n ≤ N {\displaystyle D+1\leq n\leq N} ，則有 q n ∈ Q n {\displaystyle q_{n}\in Q_{n}} 。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點 x {\displaystyle x} 。再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成 C o n v ( ∑ n = 1 N Q n ) ⊆ ⋃ I ⊆ { 1 , 2 , … N } :   | I | = D ∑ n ∈ I C o n v ( Q n ) + ∑ n ∉ I Q n . {\displaystyle \mathrm {Conv} (\sum _{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq \bigcup _{I\subseteq \{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum _{n\in I}\mathrm {Conv} (Q_{n})+\sum _{n\notin I}Q_{n}.} 舉例，集合 [ 0 , 2 ] = [ 0 , 1 ] + [ 0 , 1 ] = C o n v ( { 0 , 1 } ) + C o n v ( { 0 , 1 } ) {\displaystyle [0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm {Conv} (\{0,1\})+\mathrm {Conv} (\{0,1\})} 中的每個點，根據引理，必定可以寫成 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的某個元素，與 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的某個元素之和。 反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實向量空間的維數。具體而言，若某向量空間，對於某個自然數 D {\displaystyle D} 滿足引理的結論，但對小於 D {\displaystyle D} 的數不滿足，則其維數恰好為 D {\displaystyle D} 。引理僅對有限維向量空間成立。 沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為凸化（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下： 凸化和 C o n v ( ∑ Q n ) {\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)} 的任一點，到（未凸化）和集 ∑ Q n {\displaystyle \sum Q_{n}} 的歐氏距離平方，不超過各集合 Q n {\displaystyle Q_{n}} 的外接半徑中，最大 D {\displaystyle D} 個的平方和。(所謂外接半徑，定義為包圍該集合的最小球面的半徑。）此上界與求和項數 N {\displaystyle N} 無關（但要求 N > D {\displaystyle N>D} ，且集合不能越來越大）。 上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。當且僅當閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數 D {\displaystyle D} 及各被加項的形狀，但只要 N > D {\displaystyle N>D} ，就不取決於項數 N {\displaystyle N} 。 通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合 Q n {\displaystyle Q_{n}} 的內半徑定義為： 最小的正實數 r {\displaystyle r} ，滿足：若 q {\displaystyle q} 在 Q n {\displaystyle Q_{n}} 凸包中，則 q {\displaystyle q} 在 Q n {\displaystyle Q_{n}} 若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為 r {\displaystyle r} 的球內。 斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界： 沙普利-福克曼定理的斯塔推論： 凸化和 C o n v ( ∑ Q n ) {\displaystyle \mathrm {Conv} \left(\sum Q_{n}\right)} 的任一點，到（未凸化）和集 ∑ Q n {\displaystyle \sum Q_{n}} 的歐氏距離平方，不超過各集合 Q n {\displaystyle Q_{n}} 的內半徑中，最大 D {\displaystyle D} 個的平方和。 斯塔的推論確定， N {\displaystyle N} 個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的上界。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為非凸度。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於 D {\displaystyle D} 個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數 N {\displaystyle N} （假設 N > D {\displaystyle N>D} ）。 例如，非凸集 { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} 的非凸度為 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ，因為與其凸包（區間 [ 0 , 2 ] {\displaystyle [0,2]} ）的距離為 1 2 = | 1 − 1 2 | = | 0 − 1 2 | = | 2 − 3 2 | = | 1 − 3 2 | . {\displaystyle {\frac {1}{2}}=\left|1-{\frac {1}{2}}\right|=\left|0-{\frac {1}{2}}\right|=\left|2-{\frac {3}{2}}\right|=\left|1-{\frac {3}{2}}\right|.} 所以，既然 ∑ Q n {\displaystyle \sum Q_{n}} 的非凸度有不取決於項數 N {\displaystyle N} 的上界，就知平均集 1 N ( ∑ Q n ) {\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum Q_{n}\right)} 非凸度上界，會隨 N {\displaystyle N} 增加而遞減。例如，平均集 1 2 ( { 0 , 1 } + { 0 , 1 } ) = { 0 ,   1 / 2 ,   1 } {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\{0,1\}+\{0,1\}\right)=\{0,\ 1/2,\ 1\}} 和其凸包 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的距離僅為 1 / 4 {\displaystyle 1/4} ，等於被加項 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 與其凸包 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的距離（ 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ）之半。僅要最大 D {\displaystyle D} 個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以 N {\displaystyle N} 後，平均集與凸包的距離，在 N {\displaystyle N} 趨向無窮時，會遞減至零（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。 沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定存在該種表示法，而無說明如何構造。阿羅與哈恩、蓋士利（英语：J. W. S. Cassels）、斯奈德（Schneider）和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）擴展了埃科蘭德（英语：Ivar Ekeland）的簡潔抽象證明。也有未經出版的另證。1981年，斯塔發表一種疊代法，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。博赛卡斯的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與零和賽局的對偶間隙。 有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於經濟學、最优化理論、概率論。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。 經濟學中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其偏好程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族无差异曲线，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的偏好集，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的並集。稱消費者的偏好為凸，意思是其所有偏好集皆為凸。 如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在預算線支撐某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的函數，稱為消費者的需求。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是單元集，或是一條線段。 然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（狮鹫）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。 若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不連通。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述哈羅德·霍特林的話（宜配合所附動圖理解）： 若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，切點會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。 瓦爾特·迪韋爾特（英语：Walter Erwin Diewert）書中，稱赫爾曼·沃爾德（英语：Herman Wold）有強調研究非凸偏好的困難，也引述保羅·薩繆爾森稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」。 儘管有上述困難，《政治經濟期刊（英语：Journal of Political Economy）》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）、巴托爾（英语：Francis M. Bator）、科普曼斯、羅森博格（Rothenberg）。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。該些JPE論文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了罗伯特·奥曼提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。 肯尼斯·阿罗收集前人研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)）的文獻，列成表，並加入註解，交給羅斯·斯塔（英语：Ross Starr）。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，總需求皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家劳埃德·沙普利和強·福克曼（英语：Jon Folkman）參與，兩人「在私人通信中」證明現以兩人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。 斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為 p o p t {\displaystyle p_{\mathrm {opt} }} 的準均衡，滿足下列條件： 對每個準均衡 p o p t {\displaystyle p_{\mathrm {opt} }} ，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。 在該價格 p o p t {\displaystyle p_{\mathrm {opt} }} ，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。 每個準均衡的價格，皆「幾乎出清」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的距離有上界。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。 斯塔確立以下結論： 「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」 斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。羅歇·蓋內里（英语：Roger Guesnerie）如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」，還稱「這些結論的一般形式的推導，是戰後經濟理論的重大成就。」許多諾貝爾獎得主都曾研究經濟學中的非凸集（英语：Non-convexity (economics)），除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、傑拉德·德布魯（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保羅·克魯曼（2008）、保羅·薩繆爾森（1970）。至於互補的主題「經濟學中的凸集（英语：Convexity in economics）」，除以上得主著重外，還有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。 沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括微观经济学、一般均衡理論、公共經濟學（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、經濟學中的应用数学。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和积分理論。 沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的最小化問題，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（僅對於凸問題，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。 非线性规划依賴下列有關函數的若干定義： 函數 f {\displaystyle f} （定義在集合 D {\displaystyle D} 上）的圖像，是所有參數 x {\displaystyle x} 與相應取值 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 組成的二元組的集合： G r a p h ( f ) = { ( x , f ( x ) ) : x ∈ D } . {\displaystyle \mathrm {Graph} (f)=\{(x,f(x)):x\in D\}.} 實值函數（英语：Real-valued function） f {\displaystyle f} 的蓋圖（英语：Epigraph (mathematics)）是圖像上方的點的集合： E p i ( f ) = { ( x , u ) : f ( x ) ≤ u } . {\displaystyle \mathrm {Epi} (f)=\{(x,u):f(x)\leq u\}.} 實值函數稱為凸函数，意思是其蓋圖為凸集。 舉例，二次函数 f : x ↦ x 2 {\displaystyle f:x\mapsto x^{2}} 為凸，而绝对值函數 g : x ↦ | x | {\displaystyle g:x\mapsto |x|} 亦然，但正弦函數 sin {\displaystyle \sin } （如圖）則不然，因為在區間 ( 0 , π ) {\displaystyle (0,\pi )} 的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。 許多優化問題中，目標函數 f {\displaystyle f} 可分離變數（可分），即 f {\displaystyle f} 是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如： f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ n f n ( x n ) . {\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{n}f_{n}(x_{n}).} 又例如，线性规划問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解 x m i n = ( x 1 , x 2 , … , x n ) m i n , {\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} }=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})_{\mathrm {min} },} 在該點取到最小值 f ( x m i n ) {\displaystyle f({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {min} })} 。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項 f n {\displaystyle f_{n}} 的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列 ( x j , f ( x j ) ) j = 1 ∞ {\displaystyle ({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))_{j=1}^{\infty }} 的極限，其中 ( x j , f ( x j ) ) ∈ ∑ n = 1 N C o n v ( G r a p h ( f n ) ) . {\displaystyle ({\boldsymbol {x}}_{j},f({\boldsymbol {x}}_{j}))\in \sum _{n=1}^{N}\mathrm {Conv} (\mathrm {Graph} (f_{n})).} 當然，因為此點是 N {\displaystyle N} 個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。 以上分析，1974年由埃科蘭德（英语：Ivar Ekeland）發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對非線性最小值問題而言，對偶問題的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足特定条件，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家克勞德·勒馬雷沙爾（英语：Claude Lemaréchal）詫異，對已知非凸的問題使用凸問題的方法，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。 凸集常與概率论一同研究。卡拉西奧多里定理（英语：Carathéodory's theorem (convex hull)）說明， d {\displaystyle d} 維空間的（非空）子集 Q {\displaystyle Q} 凸包中的點，是取值於 Q {\displaystyle Q} 的簡單隨機向量（英语：Multivariate random variable）的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於 d + 1 {\displaystyle d+1} 個點處有非零概率。所以，對非空集 Q {\displaystyle Q} ，取值自 Q {\displaystyle Q} 的簡單隨機向量組成的集合，等於 Q {\displaystyle Q} 的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於隨機集的概率論（英语：Stochastic geometry），例如證明隨機集的大數定律、中央極限定理、大離差原理（英语：Large deviations theory）。要證明前列概率極限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。 概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如体积或向量测度的理論。沙普利-福克曼引理可以加強布倫-閔可夫斯基不等式（英语：Brunn–Minkowski theorem）。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。歐氏空間子集的體積，此處定義為其勒贝格测度。 高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明李亞普諾夫定理，即向量测度的值域為凸。值域（或像集）是函數所有可能取值的集合，而向量測度則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某测度空間有兩種概率测度 p 1 {\displaystyle p_{1}} 和 p 2 {\displaystyle p_{2}} ，則可定義一個向量測度 ( p 1 , p 2 ) {\displaystyle (p_{1},p_{2})} ，是對每個事件 ω {\displaystyle \omega } ，將其兩個概率結合為一個二元組，即 ( p 1 , p 2 ) ( ω ) = ( p 1 ( ω ) , p 2 ( ω ) ) . {\displaystyle (p_{1},p_{2})(\omega )=(p_{1}(\omega ),p_{2}(\omega )).} 李亞普諾夫定理在經濟學、(砰砰)控制論、統計理論（英语：Statistical theory）皆有應用。李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的連續版，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的離散類比。 Starr (1969) Howe (1979，第1頁) Starr (2008) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFStarr2008 (help) Guesnerie (1989，第138頁) (Ekeland 1999，第357–359頁): 1976年首部英文版中，埃科蘭德在附錄證明沙普利-福克曼引理，並在p. 373提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。 Bertsekas (1996，第364–381頁)於p. 374引用Ekeland (1999)，並在p. 381引用Aubin & Ekeland (1976)： Bertsekas, Dimitri P. 5.6 Large scale separable integer programming problems and the exponential method of multipliers [第5.6節：大規模可分整數規劃問題及乘子指數法]. Constrained optimization and Lagrange multiplier methods [受限優化和拉格朗日乘子法] 1982年Academic Press版的重印. Belmont, Mass.: Athena Scientific. 1996: xiii+395. ISBN 1-886529-04-3. MR 0690767 （英语）.  Bertsekas (1996，第364–381頁)將拉格朗日對偶法用到發電排程（英语：Scheduling (production processes)）上（即機組排程問題（英语：power system simulation）），此種問題有變量限制為整數，所以非凸： Bertsekas, Dimitri P.; Lauer, Gregory S.; Sandell, Nils R., Jr.; Posbergh, Thomas A. Optimal short-term scheduling of large-scale power systems [大規模電力系統的最優短期排程] (PDF). IEEE Transactions on Automatic Control. January 1983, 28 (1): 1–11 [2 February 2011]. doi:10.1109/tac.1983.1103136. （原始内容存档 (PDF)于2021-09-09） （英语）.  Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control, San Diego, CA, December 1981, pp. 432–443. Artstein & Vitale (1975，第881–882頁): Artstein, Zvi; Vitale, Richard A. A strong law of large numbers for random compact sets [隨機緊集的強大數定律]. The Annals of Probability. 1975, 3 (5): 879–882. JSTOR 2959130. MR 0385966. Zbl 0313.60012. doi:10.1214/aop/1176996275 （英语）.  Carter (2001，第93–94頁)，取n = 3。 Arrow & Hahn (1980，第375頁) Rockafellar (1997，第10頁) Arrow & Hahn (1980，第376頁)、Rockafellar (1997，第10–11頁)、Green & Heller (1981，第37頁) Arrow & Hahn (1980，第385頁)及Rockafellar (1997，第11–12頁) Schneider (1993，第xi頁)及Rockafellar (1997，第16頁) Rockafellar (1997，第17頁)及Starr (1997，第78頁) Schneider (1993，第2–3頁) Arrow & Hahn (1980，第387頁) Starr (1969，第35–36頁) Schneider (1993，第131頁) Schneider (1993，第140頁)歸功於Borwein & O'Brien (1978): Borwein, J. M.; O'Brien, R. C. Cancellation characterizes convexity [抵消之事，可以刻畫凸性]. Nanta Mathematica (Nanyang University). 1978, 11: 100–102. ISSN 0077-2739. MR 0510842 （英语）.  Schneider (1993，第129頁) Starr (1969，第36頁) Starr (1969，第37頁) Schneider (1993，第129–130頁) Arrow & Hahn (1980，第392–395頁) Cassels (1975，第435–436頁) Schneider (1993，第128頁) Ekeland (1999，第357–359頁) Artstein (1980，第180頁) Anderson (2005) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFAnderson2005 (help) Starr, Ross M. Approximation of points of convex hull of a sum of sets by points of the sum: An elementary approach [以集合之和的點迫近和集凸包的點：初等進路]. Journal of Economic Theory. 1981, 25 (2): 314–317. MR 0640201. doi:10.1016/0022-0531(81)90010-7 （英语）.  Bertsekas, Dimitri P. Convex Optimization Theory [凸優化論]. Belmont, Mass.: Athena Scientific. 2009. ISBN 978-1-886529-31-1 （英语）.  Mas-Colell (1985，第58–61頁) and Arrow & Hahn (1980，第76–79頁) Arrow & Hahn (1980，第79–81頁) Starr (1969，第26頁)：「畢竟，可能覺得車和艇差不多，但多數情況下，半車半艇的組合，既不能駕駛，也不能航行。」（譯文） Hotelling (1935，第74頁): Hotelling, Harold. Demand functions with limited budgets [有限預算的需求函數]. Econometrica. January 1935, 3 (1): 66–78. JSTOR 1907346. doi:10.2307/1907346 （英语）.  Diewert (1982，第552–553頁) Wold (1943b，第231 and 239–240頁): Wold, Herman. A synthesis of pure demand analysis II [純需求分析綜論二]. Skandinavisk Aktuarietidskrift [斯堪的納維亞精算期刊]. 1943b, 26: 220–263. MR 0011939. doi:10.1080/03461238.1943.10404737.  Wold & Juréen (1953，第146頁): Wold, Herman; Juréen, Lars (in association with Wold). 8 Some further applications of preference fields (pp. 129–148) [八、偏好域的其他應用]. Demand analysis: A study in econometrics [需求分析：計量經濟學研究]. Wiley publications in statistics. New York: John Wiley and Sons, Inc. 1953: xvi+358. MR 0064385 （英语）.  Samuelson (1950，第359–360頁): 會注意到，競爭市場中，不能觀測到無差異曲線凸處（而不是凹）的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽，除非我等令該消費者壟斷買方，且從非常凸的「預算曲線」上，選取所買的商品。（其沿此曲線，影響所買商品的價格。）在买方垄断的情況，仍可從均衡點觀測到的限制的斜算，推斷該人無差異曲線的斜率。［譯按：此處凸與凹的約定，與本條目相反。］ Samuelson, Paul A. The problem of integrability in utility theory [效用論的可積性問題]. Economica. New Series. November 1950, 17 (68): 355–385. JSTOR 2549499. MR 0043436. doi:10.2307/2549499 （英语）.  「永恆的黑暗」描述彌爾頓所著《失樂園》中的地獄，其卷二第592至594行將地獄的凹陷與塞波尼斯大沼澤（英语：Serbonian Bog）相比： A gulf profound as that Serbonian Bog Betwixt Damiata and Mount Casius old, Where Armies whole have sunk. 彌爾頓對凹陷的描寫，是Arrow & Hahn (1980，第169頁)第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好與生產的市場］的題辭（英语：epigraph (literature)）。該章講解Starr (1969)的成果。 Farrell, M. J. The Convexity assumption in the theory of competitive markets [競爭市場論的凸性假設]. The Journal of Political Economy. August 1959, 67 (4): 371–391. JSTOR 1825163. doi:10.1086/258197 （英语）.  Farrell, M. J. On Convexity, efficiency, and markets: A Reply [論凸性、效率、市場：回覆]. Journal of Political Economy. October 1961a, 69 (5): 484–489. JSTOR 1828538. doi:10.1086/258541 （英语）.  Farrell, M. J. The Convexity assumption in the theory of competitive markets: Rejoinder [競爭市場論的凸性假設：再回應]. Journal of Political Economy. October 1961b, 69 (5): 493. JSTOR 1828541. doi:10.1086/258544 （英语）.  Bator, Francis M. On convexity, efficiency, and markets [論凸性、效率、市場]. The Journal of Political Economy. October 1961a, 69 (5): 480–483. JSTOR 1828537. doi:10.1086/258540 （英语）.  Bator, Francis M. On convexity, efficiency, and markets: Rejoinder [論凸性、效率、市場：再回應]. Journal of Political Economy. October 1961b, 69 (5): 489. JSTOR 1828539. doi:10.1086/258542 （英语）.  Koopmans, Tjalling C. Convexity assumptions, allocative efficiency, and competitive equilibrium [凸假設、分配效率、競爭均衡]. The Journal of Political Economy. October 1961, 69 (5): 478–479. JSTOR 1828536. doi:10.1086/258539 （英语）.  Koopmans (1961，第478頁)、Farrell (1959，第390–391頁)、Farrell (1961a，第484頁)、Bator (1961a，第482–483頁)、Rothenberg (1960，第438頁)、Starr (1969，第26頁)評論了Koopmans (1957，第1–126, 尤其 9–16 [1.3 Summation of opportunity sets]、 23–35 [1.6 Convex sets and the price implications of optimality]、 35–37 [1.7 The role of convexity assumptions in the analysis]三節頁)： Koopmans, Tjalling C. Allocation of resources and the price system [資源分配與價格制度]. Koopmans, Tjalling C (编). Three essays on the state of economic science [三篇論經濟科學現況]. New York: McGraw–Hill Book Company. 1957: 1–126. ISBN 0-07-035337-9 （英语）.  Rothenberg (1960，第447頁): Rothenberg, Jerome. Non-convexity, aggregation, and Pareto optimality [非凸性、加總、帕累托最優]. The Journal of Political Economy. October 1960, 68 (5): 435–468. JSTOR 1830308. doi:10.1086/258363 （英语）.  （Rothenberg, Jerome. Comments on non-convexity [評非凸性]. Journal of Political Economy. October 1961, 69 (5): 490–492. JSTOR 1828540. doi:10.1086/258543 （英语）. ） Arrow & Hahn (1980，第182頁) Shapley & Shubik (1966，第806頁): Shapley, L. S.; Shubik, M. Quasi-cores in a monetary economy with nonconvex preferences [非凸偏好貨幣經濟中的準核]. Econometrica. October 1966, 34 (4): 805–827 [2021-08-30]. JSTOR 1910101. Zbl 0154.45303. doi:10.2307/1910101. （原始内容存档于2017-09-24） （英语）.  Aumann (1966，第1–2頁): Aumann, Robert J. Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders [市場有連續統多個交易人，則存在競爭均衡]. Econometrica. January 1966, 34 (1): 1–17. JSTOR 1909854. MR 0191623. doi:10.2307/1909854 （英语）.  Aumann (1966)用到 Aumann （1964, 1965）的結果： Aumann, Robert J. Markets with a continuum of traders [連續統多個交易人的市場]. Econometrica. January–April 1964, 32 (1–2): 39–50. JSTOR 1913732. MR 0172689. doi:10.2307/1913732 （英语）.  Aumann, Robert J. Integrals of set-valued functions [集合值函數的積分]. Journal of Mathematical Analysis and Applications. August 1965, 12 (1): 1–12. MR 0185073. doi:10.1016/0022-247X(65)90049-1  （英语）.  據Diewert (1982，第552頁)所言，Wold (1943b，第243頁)及Wold & Juréen (1953，第146頁)已於較早前討論過取非凸偏好的凸包。 Starr & Stinchcombe (1999，第217–218頁): Starr, R. M.; Stinchcombe, M. B. Exchange in a network of trading posts. Chichilnisky, Graciela (编). Markets, information and uncertainty: Essays in economic theory in honor of Kenneth J. Arrow [市場、資訊、不確定性：致敬肯尼斯·阿罗的經濟理論論文]. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1999: 217–234. ISBN 978-0-521-08288-4. doi:10.2277/0521553555 （英语）.  Arrow & Hahn (1980，第169–182頁)、Starr (1969，第27–33頁) Green & Heller (1981，第44頁) Guesnerie (1989，第99頁) Mas-Colell (1987) Varian (1992，第393–394頁): Varian, Hal R. 21.2 Convexity and size [21.2節：凸性與大小]. Microeconomic Analysis [微觀經濟分析] 3rd. W. W. Norton & Company. 1992. ISBN 978-0-393-95735-8. MR 1036734 （英语）.  Mas-Colell, Whinston & Green (1995，第627–630頁): Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. 17.1 Large economies and nonconvexities [第17.1節：大經濟體與非凸性]. Microeconomic theory [微觀經濟理論]. Oxford University Press. 1995. ISBN 978-0-19-507340-9 （英语）.  Arrow & Hahn (1980，第169–182頁) Mas-Colell (1985，第52–55, 145–146, 152–153, and 274–275頁): Mas-Colell, Andreu. 1.L Averages of sets [第1.L節：集合的平均]. The Theory of general economic equilibrium: A differentiable approach [一般經濟均衡理論：可微分的進路]. Econometric Society monographs 9. Cambridge University Press. 1985. ISBN 0-521-26514-2. MR 1113262 （英语）.  Hildenbrand (1974，第37, 115–116, 122, and 168頁): Hildenbrand, Werner. Core and equilibria of a large economy [大經濟體的核和均衡]. Princeton studies in mathematical economics 5. Princeton, N.J.: Princeton University Press. 1974: viii+251. ISBN 978-0-691-04189-6. MR 0389160 （英语）.  Starr (1997，第169頁)，及 Ellickson (1994，第xviii, 306–310, 312, 328–329, 347, and 352頁): Ellickson, Bryan. Competitive equilibrium: Theory and applications [競爭均衡：理論及應用]. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-31988-1. doi:10.2277/0521319889 （英语）.  Laffont, Jean-Jacques. 3. Nonconvexities [第3章：非凸性]. Fundamentals of public economics [公共經濟學基礎]. MIT Press. 1988: 63–65 [2021-08-30]. ISBN 0-262-12127-1. （原始内容存档于2021-08-30） （英语）.  Salanié (2000，第112–113 and 107–115頁): Salanié, Bernard. 7 Nonconvexities [第7章：非凸性]. Microeconomics of market failures [市場失靈的微觀經濟學] 1998年法文版Microéconomie: Les défaillances du marché (Economica, Paris)的英文翻譯. Cambridge, Mass.: MIT Press. 2000: 107–125. ISBN 0-262-19443-0 （英语）.  Ichiishi (1983，第24–25頁): Ichiishi, Tatsuro. Game theory for economic analysis [經濟分析的賽局理論]. Economic theory, econometrics, and mathematical economics. New York: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. 1983: x+164. ISBN 0-12-370180-5. MR 0700688 （英语）.  Cassels (1981，第127 and 33–34頁): Cassels, J. W. S. Appendix A Convex sets [附錄A：凸集]. Economics for mathematicians [數學家的經濟學]. London Mathematical Society lecture note series 62. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1981: xi+145. ISBN 0-521-28614-X. MR 0657578 （英语）.  Aubin (2007，第458–476頁): Aubin, Jean-Pierre. 14.2 Duality in the case of non-convex integral criterion and constraints (especially 14.2.3 The Shapley–Folkman theorem, pages 463–465) [第14.2節：非凸積分準則和限制下的對偶性（尤其第14.2.3小節：沙普利-福克曼定理，pp. 463–465]. Mathematical methods of game and economic theory [賽局與經濟理論的數學方法] 連新序言，重印1982年North-Holland修訂英文版. Mineola, N.Y.: Dover Publications, Inc. 2007: xxxii+616. ISBN 978-0-486-46265-3. MR 2449499 （英语）.  Carter (2001，第93–94, 143, 318–319, 375–377, and 416頁) Trockel (1984，第30頁): Trockel, Walter. Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences [市場需求：分析非凸偏好的大經濟體]. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems 223. Berlin: Springer-Verlag. 1984: viii+205. ISBN 3-540-12881-6. MR 0737006 （英语）.  Bertsekas (1999，第496頁): Bertsekas, Dimitri P. 5.1.6 Separable problems and their geometry [第5.1.6小節：可分問題及其幾何]. Nonlinear Programming [非線性規劃] Second. Cambridge, Mass.: Athena Scientific. 1999: 494–498. ISBN 1-886529-00-0 （英语）.  Rockafellar (1997，第23頁) 某集合內的序列的極限，必在該集合的閉包中，即最小而包含原集合的閉集。兩個閉集的閔氏和不必閉，故若以 C l {\displaystyle \mathrm {Cl} } 表示閉包，則雖然有包含關係 C l ( P ) + C l ( Q ) ⊆ C l ( P + Q ) , {\displaystyle \mathrm {Cl} (P)+\mathrm {Cl} (Q)\subseteq \mathrm {Cl} (P+Q),} 但可能為嚴格包含（左右不必相等）。據Rockafellar (1997，第49及75頁)，即使兩個被加項各已是閉凸集，仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉，則要取其閉包，即要添加所有收斂序列的極限。 Lemaréchal (1973，第38頁): Lemaréchal, Claude. Utilisation de la dualité dans les problémes non convexes [在非凸問題使用對偶] (报告). Domaine de Voluceau, Rocquencourt, Le Chesnay, France: IRIA（現INRIA）, Laboratoire de recherche en informatique et automatique: 41. April 1973 （法语）.  |issue=被忽略 (帮助) 勒馬雷沙爾的實驗，日後有下列論文討論： Aardal (1995，第2–3頁): Aardal, Karen. Optima interview Claude Lemaréchal [Optima訪問克勞德·勒馬雷沙爾] (PDF). Optima: Mathematical Programming Society Newsletter. March 1995, 45: 2–4 [2 February 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2021-09-09） （英语）.  Hiriart-Urruty & Lemaréchal (1993，第143–145, 151, 153, and 156頁): Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. XII Abstract duality for practitioners [第十二章：實踐用的抽象對偶性]. Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods [凸分析和最小化算法，第二卷：進階理論及束法]. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [數理科學的基本原理] 306. Berlin: Springer-Verlag. 1993: 136–193 （及pp. 334–335所列的文獻附註）. ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240 （英语）.  Ekeland, Ivar. Une estimation a priori en programmation non convexe [非凸規劃中的先驗估計]. Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences [（法國）科學院週刊]. Séries A et B. 1974, 279: 149–151. ISSN 0151-0509. MR 0395844 （法语）.  Aubin & Ekeland (1976，第226, 233, 235, 238, and 241頁): Aubin, J. P.; Ekeland, I. Estimates of the duality gap in nonconvex optimization [估計非凸優化的對偶間隙]. Mathematics of Operations Research. 1976, 1 (3): 225–245. JSTOR 3689565. MR 0449695. doi:10.1287/moor.1.3.225 （英语）.  Aubin & Ekeland (1976)及Ekeland (1999，第362–364頁)也考慮非凸最小值問題的閉凸包，即對原問題的蓋圖（英语：epigraph (mathematics)）取閉凸包所得的新問題。Di Guglielmo推廣到研究非凸多目標優化（英语：Multi-objective optimization）問題的擬凸閉包，即對目標函數的下水平集取凸閉包所得的問題： Di Guglielmo (1977，第287–288頁): Di Guglielmo, F. Nonconvex duality in multiobjective optimization [多目標優化的非凸對偶]. Mathematics of Operations Research. 1977, 2 (3): 285–291. JSTOR 3689518. MR 0484418. doi:10.1287/moor.2.3.285 （英语）.  Schneider & Weil (2008，第45頁): Schneider, Rolf; Weil, Wolfgang. Stochastic and integral geometry [隨機與積分幾何]. Probability and its applications. Springer. 2008. ISBN 978-3-540-78858-4. MR 2455326. doi:10.1007/978-3-540-78859-1 （英语）.  Cassels (1975，第433–434頁): Cassels, J. W. S. Measures of the non-convexity of sets and the Shapley–Folkman–Starr theorem [集合的非凸度與沙普利-福克曼-斯塔定理]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1975, 78 (3): 433–436. MR 0385711. doi:10.1017/S0305004100051884 （英语）.  Molchanov (2005，第195–198, 218, 232, 237–238 and 407頁): Molchanov, Ilya. 3 Minkowski addition [第3章：閔可夫斯基加法]. Theory of random sets [論隨機集]. Probability and its applications. London: Springer-Verlag London Ltd. 2005: 194–240. ISBN 978-1-84996-949-9. MR 2132405. doi:10.1007/1-84628-150-4 （英语）.  Puri & Ralescu (1985，第154–155頁): Puri, Madan L.; Ralescu, Dan A. Limit theorems for random compact sets in Banach space [巴拿赫空間隨機緊集的極限定理]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1985, 97 (1): 151–158. Bibcode:1985MPCPS..97..151P. MR 0764504. doi:10.1017/S0305004100062691 （英语）.  Weil (1982，第203, and 205–206頁): Weil, Wolfgang. An application of the central limit theorem for Banach-space–valued random variables to the theory of random sets [取值於巴拿赫空間隨機變量的中央極限定理，應用於隨機集理論]. Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete [概率論與相關領域期刊]. 1982, 60 (2): 203–208. MR 0663901. doi:10.1007/BF00531823 （英语）.  Cerf (1999，第243–244頁): Cerf, Raphaël. Large deviations for sums of i.i.d. random compact sets [獨立同分佈隨機緊集之和的大離差]. Proceedings of the American Mathematical Society. 1999, 127 (8): 2431–2436. MR 1487361. doi:10.1090/S0002-9939-99-04788-7  （英语）.  瑟夫（Cerf）用到 Puri & Ralescu (1985，第154–155頁)應用沙普利-福克曼引理的結果。 Ruzsa (1997，第345頁): Ruzsa, Imre Z. The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets [布倫-閔可夫斯基不等式與非凸集]. Geometriae Dedicata. 1997, 67 (3): 337–348. MR 1475877. doi:10.1023/A:1004958110076 （英语）.  Tardella (1990，第478–479頁): Tardella, Fabio. A new proof of the Lyapunov convexity theorem [李亞普諾夫凸性定理的新證]. SIAM Journal on Control and Optimization. 1990, 28 (2): 478–481. MR 1040471. doi:10.1137/0328026 （英语）.  Vind (1964，第168 and 175頁): Vind, Karl. Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders [多交易者交易經濟體中的埃奇沃思分配]. International Economic Review. May 1964, 5 (2): 165–77. JSTOR 2525560. doi:10.2307/2525560 （英语）.  1983年諾貝爾獎得主傑拉德·德布魯有注意維恩（Vind）的論文。Debreu (1991，第4頁)寫道： 凸集的概念（即該集合包含連接其任意兩點的線段），已經多次成為1964年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後，得以新眼光看待此事：若經濟體的每個參與者，對應商品空間的某個任意集合，而又對一族不重要的參與者取平均，則所得的集合必然為凸。[德布魯附註：「此為A. A. 李亞普諾夫的定理的直接推論，參見Vind (1964)。」] 但⋯⋯諸價格函數⋯⋯可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中，對一族不重要參與者加總可以得到凸性，是經濟理論⋯⋯從積分理論得來的觀察。 [刪節後譯文] Debreu, Gérard. The Mathematization of economic theory [經濟理論的數學化]. The American Economic Review. March 1991, 81 (Presidential address delivered at the 103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC): 1–7. JSTOR 2006785 （英语）.  Artstein (1980，第172–183頁) Artstein (1980)在致敬2008年諾貝爾經濟學獎得主羅伯特·奧曼的論文集（英语：Festschrift）重新出版：Artstein, Zvi. 22 Discrete and continuous bang–bang and facial spaces or: Look for the extreme points [第22篇：離散與連續砰砰及面空間，又或：找極值點]. Hart, Sergiu; Neyman, Abraham (编). Game and economic theory: Selected contributions in honor of Robert J. Aumann [賽局與經濟理論：致敬羅伯特·J. 奧曼的文選]. Ann Arbor, Mich.: University of Michigan Press. 1995: 449–462. ISBN 0-472-10673-2. （原始内容存档于24 May 2011） （英语）.  Mas-Colell (1978，第210頁): Mas-Colell, Andreu. A note on the core equivalence theorem: How many blocking coalitions are there? [記核等價定理：有多少個聯盟在阻礙？]. Journal of Mathematical Economics. 1978, 5 (3): 207–215. MR 0514468. doi:10.1016/0304-4068(78)90010-1 （英语）.  Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好與近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [經濟學201B: 經濟理論（課堂講義）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-10） （英语）.  Arrow, Kenneth J.; Hahn, Frank H. General competitive analysis [一般競爭分析]. Advanced Textbooks in Economics 12 San Francisco, CA: Holden-Day, Inc. Mathematical Economics Texts 6之重印版. Amsterdam: North-Holland. 1980 [1971]. ISBN 0-444-85497-5. MR 0439057 （英语）.  Artstein, Zvi. Discrete and continuous bang-bang and facial spaces, or: Look for the extreme points [離散與連續砰砰及面空間，又或：找極值點]. SIAM Review. 1980, 22 (2): 172–185. JSTOR 2029960. MR 0564562. doi:10.1137/1022026 （英语）.  Carter, Michael. Foundations of mathematical economics [數理經濟學基礎]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 2001: xx+649. ISBN 0-262-53192-5. MR 1865841. (作者網站有習題題解). （原始内容存档于15 September 2006） （英语）.  Diewert, W. E. 12 Duality approaches to microeconomic theory [第12章：微觀經濟學的對偶進路]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (编). Handbook of mathematical economics, Volume II [數理經濟學手冊・卷二]. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1982: 535–599 [2021-08-31]. ISBN 978-0-444-86127-6. MR 0648778. doi:10.1016/S1573-4382(82)02007-4. （原始内容存档于2012-12-10） （英语）.  Ekeland, Ivar. Appendix I: An a priori estimate in convex programming [附錄一：凸規劃的先驗估計]. Ekeland, Ivar; Temam, Roger (编). Convex analysis and variational problems [凸分析與變分問題]. Classics in Applied Mathematics 28 Corrected reprinting of the North-Holland. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). 1999: 357–373 [1976]. ISBN 0-89871-450-8. MR 1727362 （英语）.  Green, Jerry; Heller, Walter P. 1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics [第1章：數學分析與凸性，及在經濟學之應用]. Arrow, Kenneth Joseph; Intriligator, Michael D (编). Handbook of mathematical economics, Volume I. Handbooks in Economics 1. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. 1981: 15–52. ISBN 0-444-86126-2. MR 0634800. doi:10.1016/S1573-4382(81)01005-9 （英语）.  Guesnerie, Roger. First-best allocation of resources with nonconvexities in production [生產非凸的資源之最優分配]. Cornet, Bernard; Tulkens, Henry (编). Contributions to Operations Research and Economics: The twentieth anniversary of CORE (Papers from the symposium held in Louvain-la-Neuve, January 1987) [運籌學與經濟學投稿：二十周年（[[新魯汶]]1987年舉辦討論會的論文集）]. Cambridge, Mass.: MIT Press. 1989: 99–143. ISBN 0-262-03149-3. MR 1104662 （英语）.  网址－维基内链冲突 (帮助) Howe, Roger. On the tendency toward convexity of the vector sum of sets [論集合的向量和趨向凸] (PDF) (报告) 538. New Haven, Conn.: Cowles Foundation for Research in Economics, Yale University. 3 November 1979 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2011-08-07） （英语）.  Mas-Colell, A. Non-convexity [非凸性]. Eatwell, John; Milgate, Murray; Newman, Peter (编). The new Palgrave: A dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] first. Palgrave Macmillan. 1987: 653–661 [2021-08-31]. ISBN 9780333786765. doi:10.1057/9780230226203.3173. (Mas-Colell個人主頁的PDF檔). （原始内容存档于2017-11-21） （英语）.  Rockafellar, R. Tyrrell. Convex analysis [凸分析]. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton, N.J.: Princeton University Press. 1997: xviii+451. ISBN 0-691-01586-4. MR 1451876 （英语）.  1970年(MR274683) Princeton Mathematical Series 28的重印版。 Schneider, Rolf. Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory [凸體：布倫-閔可夫斯基理論]. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 44. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1993: xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521 （英语）.  Starr, Ross M. Quasi-equilibria in markets with non-convex preferences (Appendix 2: The Shapley–Folkman theorem, pp. 35–37) [有非凸偏好的市場的準均衡（附錄2:沙普利-福克曼定理，pp. 35–37）]. Econometrica. 1969, 37 (1): 25–38. JSTOR 1909201. doi:10.2307/1909201 （英语）.  Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in RN (new chapters 22 and 25–26 in (2011) second ed.) [第8章：RN中的凸集、分離定理、非凸集（及2011年第二版新增的第22、25、26諸章）]. General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理論：導論] First. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1997: xxiii+250. ISBN 0-521-56473-5. MR 1462618 （英语）.  Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (编). The new Palgrave dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始内容存档于2017-03-16） （英语）.  Anderson, Robert M. Nonconvex preferences and approximate equilibria [非凸偏好與近似均衡] (PDF). Economics 201B: Economic Theory (Handouts) [經濟學201B: 經濟理論（課堂講義）]. Robert M. Anderson's homepage (Berkeley, Calif.). 14 March 2005: 1–5 [1 January 2011]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-10）.  Starr, Ross M. 8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in RN (Section 8.2.3 Measuring non-convexity, the Shapley–Folkman theorem) [第8章：RN中的凸集、分離定理、非凸集（第8.2.3小節：量度非凸性、沙普利-福克曼定理）] (PDF). General equilibrium theory: An introduction [一般均衡理論：導論]. September 2009: 3–6 [2021-08-31]. ISBN 9781139174749. MR 1462618. doi:10.1017/CBO9781139174749. （第二版的書稿，來自斯塔在加州大學聖地亞哥分校經濟學系的課程）. （原始内容存档 (PDF)于2010-07-01） （英语）.  Starr, Ross M. Shapley–Folkman theorem [沙普利-福克曼定理]. Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (编). The new Palgrave dictionary of economics [新帕爾格雷夫經濟學詞典] Second. Palgrave Macmillan. 2008: 317–318 (1st ed.) [2021-08-31]. ISBN 978-0-333-78676-5. doi:10.1057/9780230226203.1518. （原始内容存档于2017-03-16） （英语）.