Artin群

數學上，阿廷群（或Artin group、稱廣義辮群），是指有如下展示的群： ⟨ x 1 , x 2 , … , x n | ⟨ x i , x j ⟩ m i , j = ⟨ x j , x i ⟩ m j , i , i , j ∈ { 1 , 2 , … , n } , i ≠ j ⟩ {\displaystyle {\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m_{i,j}}=\langle x_{j},x_{i}\rangle ^{m_{j,i}},i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j{\Big \rangle }} 其中 m i , j = m j , i ∈ { 2 , 3 , … , ∞ } {\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}} . 對 m < ∞ {\displaystyle m<\infty } ， ⟨ x i , x j ⟩ m {\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}} 表示長度為 m {\displaystyle m} 的 x i {\displaystyle x_{i}} 和 x j {\displaystyle x_{j}} 的交錯積，以 x i {\displaystyle x_{i}} 開首。例如： ⟨ x i , x j ⟩ 3 = x i x j x i {\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}} ， ⟨ x i , x j ⟩ 4 = x i x j x i x j {\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}} 。 若 m = ∞ {\displaystyle m=\infty } ，按慣例這表示 x i {\displaystyle x_{i}} 和 x j {\displaystyle x_{j}} 間沒有關係。 在整數 m i , j {\displaystyle m_{i,j}} 中加入 m i , i = 1 {\displaystyle m_{i,i}=1} ，可以組成一個對稱矩陣，稱為這個群的考克斯特矩陣（Coxeter matrix）。在Artin群中加入所有形為 x i 2 = 1 {\displaystyle {x_{i}}^{2}=1} 的關係，得到的商群是考克斯特群。這個考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩陣。從Artin群到對應的考克斯特群的群同態的核，稱為純阿廷群（pure Artin group）。 辮群是Artin群的一種，其考克斯特矩陣為 m i , i + 1 = 3 {\displaystyle m_{i,i+1}=3} ，及當 | i − j | > 1 {\displaystyle |i-j|>1} 時 m i , j = 2 {\displaystyle m_{i,j}=2} 。 用Artin群的考克斯特矩陣，可以定義出數類重要的Artin群： 若M是有限型考克斯特矩陣，使對應的考克斯特群W = A(M)是有限群，那麼Artin群A = A(M)稱為有限型Artin群（Artin group of finite type）。其「不可約型」標記為An , Bn = Cn , Dn , I2(n) , F4 , E6 , E7 , E8 , H3 , H4 。一個有限型純Artin群，可以表現為Cn中一個有限超平面配置的補集的基本群。皮埃爾·德利涅和Brieskorn-Saito用了這個幾何描述，算出A的中心、上同調，及解出字問題和共軛問題。 若矩陣M中除對角線外的元素都是2或∞，則對應的Artin群稱為直角Artin群（right-angled Artin group）。這類Artin群常用以下的方式標記：任何一個有n個頂點的圖 Γ，頂點標記為1, 2, …, n，都可定義一個矩陣M，其中若i和j在Γ中相連，則mij = 2，否則mij = ∞。與矩陣M對應的直角Artin群A(Γ)有n個生成元x1, x2, …, xn及關係 x i x j = x j x i {\displaystyle x_{i}x_{j}=x_{j}x_{i}\quad } 若i和j在 Γ {\displaystyle \Gamma } 中相連。 直角Artin群包括了有限秩的自由群，對應無邊線的圖，及有限生成的自由阿貝爾群，對應完全圖。事實上每個秩為r的直角Artin群都是一個秩為r-1的直角Artin群的HNN擴張，兩個極端例子是自由積和直積。這個構造法有一個推廣稱為群的圖積（graph product of groups）。直角Artin群是群的圖積的特例，其中每個頂點群都是秩1自由群（即無限循環群）。 Mladen Bestvina和Noel Brady建構了一個非正曲立方複形（nonpositively curved cubical complex）K，其基本群是一個給定的直角Artin群A(Γ)。他們在Artin群的幾何描述上用莫爾斯理論來論證，給出具有性質(FP2)的非有限展示群的第一批例子。 若一個Artin群或一個考克斯特群的對應矩陣中，對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 3，稱這個群是大型（large type）的；若對所有i ≠ j都有mi, j ≥ 4，則稱這個群是超大型（extra-large type）的。 凱尼斯·阿佩爾和P.E. Schupp探討Artin群的性質，證明了四條定理。這些定理之前已知對考克斯特群成立，而他們證明對Artin群也成立。他們發現可以使用小消去理論的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群，並可以把技巧改進來用在那些大型的群中。 他們證明的定理為： 設G為超大型Artin或考克斯特群。若J ⊆ I，則GJ有一個展示由考克斯特矩陣MJ定義，且GJ在G中的廣義字問題可解。若J, K ⊆ I則GJ ∩ GK = G (J ∩ K). 超大型Artin群是無扭（即無有限目的元素）的。 設G為超大型Artin群，則集合{ai2 : i ∈ I}自由生成G的一個自由子群。 超大型Artin或考克斯特群的共軛問題可解。 Mladen Bestvina, Noel Brady, Morse theory and finiteness properties of groups. Invent. Math. 129 (1997), no. 3, 445-470. Pierre Deligne, Les immeubles des groupes de tresses généralisés. Invent. Math. 17 (1972), 273-302. Egbert Brieskorn, Kyoji Saito, Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math. 17 (1972), 245--271. Ruth Charney, An introduction to right-angled Artin groups（页面存档备份，存于互联网档案馆） Montserrat Casals-Ruiz and Ilya V. Kazachkov, On systems of equations over free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆） Evgenii S. Esyp, Ilya V. Kazachkov, and Vladimir N. Remeslennikov, Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups（页面存档备份，存于互联网档案馆） Susan Hermiller, John Meier, Algorithms and geometry for graph products of groups（页面存档备份，存于互联网档案馆） Appel, Kenneth I., and P. E. Schupp. Artin Groups and Infinite Coxeter Groups. Inventiones Mathematicae 72.2 (1983): 201-220