可测函数

可测函数（英語：measurable function）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。 可測函數的定義 — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 與 ( Y , Σ Y ) {\displaystyle (Y,\Sigma _{Y})} 為可测空间。那函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 對任意 B ∈ Σ Y {\displaystyle B\in \Sigma _{Y}} 若滿足： f − 1 ( B ) ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}} 則稱 f {\displaystyle f} 為一個 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - Σ Y {\displaystyle \Sigma _{Y}} 可測函數。 取本節定義中的 Y {\displaystyle Y} 為实数系 R {\displaystyle \mathbb {R} } ，然後取： I = { A ∈ P ( R ) | ( ∃ a ) ( ∃ b ) [ ( a , b ∈ R ) ∧ ( A = ( a , b ) ) ] } {\displaystyle {\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}} B R := σ ( I ) = ⋂ { Σ | ( Σ  is a sigma algebra. ) ∧ ( I ⊆ Σ ) } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}} 換句話說， B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }} 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 本身是個拓扑基），那麼這樣的 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - B R {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }} 可測函數 f {\displaystyle f} ，通常會簡稱為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。 如果 ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\tau _{X})} 與 ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数： σ ( τ X ) = ⋂ { Σ | ( Σ  is a sigma algebra. ) ∧ ( τ X ⊆ Σ ) } {\displaystyle \sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}} σ ( τ Y ) = ⋂ { Σ | ( Σ  is a sigma algebra. ) ∧ ( τ Y ⊆ Σ ) } {\displaystyle \sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}} 換句話說， σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} 是由 X {\displaystyle X} 上开集所生成的博雷爾代數； σ ( τ Y ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Y})} 是由 Y {\displaystyle Y} 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} - σ ( τ X ) {\displaystyle \sigma (\tau _{X})} 可测函数 f {\displaystyle f} 又称为 τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 博雷爾函数（Borel function）。 根據拓撲空間连续函數的定義， τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 博雷爾函数必定 τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。 定理(1) — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间， Y {\displaystyle Y} 為一集合，且有函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 。那 Σ = { B ∈ P ( Y ) | f − 1 ( B ) ∈ Σ X } {\displaystyle \Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}} 為 Y {\displaystyle Y} 的σ代數。 定理(2) —  ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间 ， F Y ⊆ P ( Y ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)} 是集合 Y {\displaystyle Y} 的一個子集族 ，那對函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 來說，以下兩敘述等價： 對所有 B ∈ F Y {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}_{Y}} 有 f − 1 ( B ) ∈ Σ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}} f {\displaystyle f} 是 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( F Y ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})} 可測函數 定理(3) — 設 ( X , Σ X ) {\displaystyle (X,\Sigma _{X})} 為可测空间， ( Y , τ Y ) {\displaystyle (Y,\tau _{Y})} 與 ( Z , τ Z ) {\displaystyle (Z,\tau _{Z})} 為拓扑空间，若： f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( τ Y ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Y})} 可測函數 g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} 為 τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} - τ Z {\displaystyle \tau _{Z}} 连续函數 則复合函数 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 為 Σ X {\displaystyle \Sigma _{X}} - σ ( τ Z ) {\displaystyle \sigma (\tau _{Z})} 可測函數。 两个可测的实函数的和与积也是可测的。 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。） 卢辛定理 勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合 { x ∈ R : f ( x ) > a } {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}} 都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。 不是所有的函数都是可测的。例如，如果 A {\displaystyle A} 是实数轴 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的一个不可测子集，那么它的指示函数 1 A ( x ) {\displaystyle 1_{A}(x)} 是不可测的。 可测函数的向量空间： L p {\displaystyle L^{p}} 空间 保测动态系统 Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.