向量空间

向量空間是一群可縮放和相加的數學實體（如實數甚至是函数）所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究对象。 給定域 ( K , + , × ) {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 和某集合 V {\displaystyle V} ，它們具有了以下兩種运算（函数）： 向量加法 ⊕ : V × V → V {\displaystyle \oplus :V\times V\to V} （其中 ⊕ ( u , v ) {\displaystyle \oplus (u,\,v)} 慣例上簡記為 u ⊕ v {\displaystyle u\oplus v} ） 标量乘法 ⋅ : K × V → V {\displaystyle \cdot :K\times V\to V} （其中 ⋅ ( a , v ) {\displaystyle \cdot \,(a,\,v)} 慣例上簡記為 a ⋅ v {\displaystyle a\cdot v} 甚至是 a v {\displaystyle av} ） 且這兩種運算滿足：（特別注意 + {\displaystyle +} 和 × {\displaystyle \times } 是域 K {\displaystyle K} 是本身具有的加法和乘法） 這樣稱 「 V {\displaystyle V} 為定義在域 K {\displaystyle K} 上的向量空間」，而 V {\displaystyle V} 裡的元素 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 被稱為向量；域 K {\displaystyle K} 裡的元素 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 被稱為标量。這樣域 K {\displaystyle K} 就是囊括所有标量的集合，所以為了解說方便，有時會將 K {\displaystyle K} 暱稱為标量域或是标量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 ⊕ {\displaystyle \oplus } 也可以簡寫成 + {\displaystyle +} 。 前四個條件規定 ( V , ⊕ ) {\displaystyle \left(V,\,\oplus \right)} 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 ( K , + , × ) {\displaystyle \left(K,\,+,\,\times \right)} 是個域，且 V {\displaystyle V} 是一個 K − {\displaystyle K-} 模」。 以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。 定理 （1） — 向量加法的單位元是唯一的。 以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 0 V {\displaystyle 0_{V}} 代表「向量加法 ⊕ {\displaystyle \oplus } 的唯一單位元」，並稱之為 V {\displaystyle V} 的零向量。 在不跟标量域的加法單位元 0 K ∈ K {\displaystyle 0_{K}\in K} 混淆的情況下，零向量 0 V ∈ V {\displaystyle 0_{V}\in V} 也可以簡寫成 0 {\displaystyle 0} 。 定理 （2） — 任意向量的向量加法逆元素是唯一的。 以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 u − 1 {\displaystyle u^{-1}} 代表「向量 u {\displaystyle u} 在向量加法 ⊕ {\displaystyle \oplus } 下的唯一逆元素」，甚至可以把 v ⊕ u − 1 {\displaystyle v\oplus u^{-1}} 簡記為 v ⊖ u {\displaystyle v\ominus u} ，並暱稱為向量減法。在不跟标量的加法混淆的情況下， u − 1 {\displaystyle u^{-1}} 也可記為 − u {\displaystyle -u} ； v ⊖ u {\displaystyle v\ominus u} 也可記為 v − u {\displaystyle v-u} 。 定理 （3） — 對所有的純量 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 都有 a ⋅ 0 V = 0 V {\displaystyle a\cdot 0_{V}=0_{V}} 。（零向量的伸縮還是零向量） 證明 考慮到标量乘法对向量加法的分配律和零向量的性質會有 a ⋅ 0 V = a ⋅ ( 0 V + 0 V ) = a ⋅ 0 V + a ⋅ 0 V {\displaystyle a\cdot 0_{V}=a\cdot (0_{V}+0_{V})=a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V}} 那取向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 為 a ⋅ 0 V {\displaystyle a\cdot 0_{V}} 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有 0 V = u + a ⋅ 0 V = u + ( a ⋅ 0 V + a ⋅ 0 V ) = ( u + a ⋅ 0 V ) + a ⋅ 0 V = 0 V + a ⋅ 0 V = a ⋅ 0 V {\displaystyle {\begin{aligned}0_{V}&=u+a\cdot 0_{V}\\&=u+(a\cdot 0_{V}+a\cdot 0_{V})\\&=(u+a\cdot 0_{V})+a\cdot 0_{V}\\&=0_{V}+a\cdot 0_{V}\\&=a\cdot 0_{V}\\\end{aligned}}} 故得証。 ◻ {\displaystyle \Box } 定理 （4） — 對所有的向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} ，若純量 0 K ∈ K {\displaystyle 0_{K}\in K} 是域加法的单位元，則 0 K ⋅ u = 0 V {\displaystyle 0_{K}\cdot u=0_{V}} 。 證明 考慮到域 K {\displaystyle K} 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律的話有 0 K ⋅ u = ( 0 K + 0 K ) ⋅ u = 0 K ⋅ u + 0 K ⋅ u {\displaystyle 0_{K}\cdot u=(0_{K}+0_{K})\cdot u=0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u} 那取向量 w ∈ V {\displaystyle w\in V} 為 0 K ⋅ u {\displaystyle 0_{K}\cdot u} 的向量加法逆元素，配上向量加法的结合律和单位元的定義會有 0 V = w + 0 K ⋅ u = w + ( 0 K ⋅ u + 0 K ⋅ u ) = ( w + 0 K ⋅ u ) + 0 K ⋅ u = 0 V + 0 K ⋅ u = 0 K ⋅ u {\displaystyle 0_{V}=w+0_{K}\cdot u=w+(0_{K}\cdot u+0_{K}\cdot u)=(w+0_{K}\cdot u)+0_{K}\cdot u=0_{V}+0_{K}\cdot u=0_{K}\cdot u} 故得証。 ◻ {\displaystyle \Box } 定理 （5） — 對所有的向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 和标量 a ∈ K {\displaystyle a\in K} ，如果 a ⋅ u = 0 V {\displaystyle a\cdot u=0_{V}} ，则 u = 0 V {\displaystyle u=0_{V}} 或 a = 0 K {\displaystyle a=0_{K}} ( 其中 0 K ∈ K {\displaystyle 0_{K}\in K} 是域加法的单位元)。 證明 若 K = { 0 K } {\displaystyle K=\{0_{K}\}} ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 K ≠ { 0 K } {\displaystyle K\neq \{0_{K}\}} 的狀況。 假設存在向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 和标量 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 滿足 u ≠ 0 V {\displaystyle u\neq 0_{V}} 且 a ≠ 0 K {\displaystyle a\neq 0_{K}} ，但 a ⋅ u = 0 V {\displaystyle a\cdot u=0_{V}} 。若以 1 K ∈ K {\displaystyle 1_{K}\in K} 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於标量乘法單位元的部分會有 u = 1 K ⋅ u = ( a × 1 a ) ⋅ u {\displaystyle {\begin{aligned}u&=1_{K}\cdot u\\&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\end{aligned}}} 那再根據定義關於标量乘法与域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有 u = ( a × 1 a ) ⋅ u = ( 1 a × a ) ⋅ u = 1 a ⋅ ( a ⋅ u ) {\displaystyle {\begin{aligned}u&=(a\times {\frac {1}{a}})\cdot u\\&=({\frac {1}{a}}\times a)\cdot u\\&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\end{aligned}}} 那再套用定理(3)和前提假設會有 u = 1 a ⋅ ( a ⋅ u ) = 1 a ⋅ 0 V = 0 V {\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{a}}\cdot (a\cdot u)\\&={\frac {1}{a}}\cdot 0_{V}\\&=0_{V}\end{aligned}}} 這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 和所有标量 a ∈ K {\displaystyle a\in K} ，只有可能「 u = 0 V {\displaystyle u=0_{V}} 或 a = 0 K {\displaystyle a=0_{K}} 」或「 a ⋅ u ≠ 0 V {\displaystyle a\cdot u\neq 0_{V}} 」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。 ◻ {\displaystyle \Box } 定理 （6） — 如果 − a ∈ K {\displaystyle -a\in K} 是 a ∈ K {\displaystyle a\in K} 的域加法逆元素，那對所有的向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} ， a ⋅ u {\displaystyle a\cdot u} 的向量加法逆元素必為 − a ⋅ u {\displaystyle -a\cdot u} 。 證明 以下設純量 0 K ∈ K {\displaystyle 0_{K}\in K} 是域加法的单位元。 考慮到域 K {\displaystyle K} 自身的定義，還有标量乘法对域加法的分配律會有 0 K ⋅ u = ( − a + a ) ⋅ u = − a ⋅ u + a ⋅ u {\displaystyle 0_{K}\cdot u=(-a+a)\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u} 0 K ⋅ u = [ a + ( − a ) ] ⋅ u = a ⋅ u + ( − a ) ⋅ u {\displaystyle 0_{K}\cdot u=[a+(-a)]\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u} 然後考慮到前面的定理(4)，就有 0 V = 0 K ⋅ u = − a ⋅ u + a ⋅ u {\displaystyle 0_{V}=0_{K}\cdot u=-a\cdot u+a\cdot u} 0 V = 0 K ⋅ u = a ⋅ u + ( − a ) ⋅ u {\displaystyle 0_{V}=0_{K}\cdot u=a\cdot u+(-a)\cdot u} 然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 a ⋅ u {\displaystyle a\cdot u} 的加法逆元素必為 − a ⋅ u {\displaystyle -a\cdot u} 。 ◻ {\displaystyle \Box } 系理 — 如果 − 1 K ∈ K {\displaystyle {-1}_{K}\in K} 是域加法單位元 1 K ∈ K {\displaystyle 1_{K}\in K} 的域加法逆元素，那對所有的向量 u ∈ V {\displaystyle u\in V} ，其向量加法逆元素必為 − 1 K ⋅ u {\displaystyle {-1}_{K}\cdot u} 。 研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下： 一個實數或複數向量空間加上長度概念（就是範數）則成為賦範向量空間。 一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念則成為內積空間。 一個向量空間加上拓撲結構并滿足連續性要求（加法及標量乘法是連續映射）則成為拓撲向量空間。 一個向量空間加上雙線性算子（定義為向量乘法）則成為域代數。 對一般域F，V记為F-向量空間。若F是實數域ℝ，则V稱為實數向量空間；若F是複數域ℂ，则V稱為複數向量空間；若F是有限域，则V稱為有限域向量空間。 最简单的F-向量空間是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有： u + (v + w) = (u + v) + w， v + w = w + v， 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，v + 0 = v， 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数w = −v就满足v + w = 0。 标量乘法对向量加法满足分配律：a(v + w) = a v + a w. 向量乘法对标量加法满足分配律：(a + b)v = a v + b v. 标量乘法与标量的域乘法相容：a(bv) =(ab)v。 标量乘法有單位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，1v = v。 更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点 P {\displaystyle P} 都有一个坐标 P ( x , y ) {\displaystyle P(x,y)} ，并对应着一个向量 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。 同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为 v = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) {\displaystyle v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})} ，其中的 a 1 , a 2 , ⋯ , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}} 都是实数。定义向量的加法和标量乘法是： ∀ λ ∈ R , v = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ∈ R n , w = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ∈ R n {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} ,\,v=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\,w=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ， v + w = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) + ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) = ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ⋯ , a n + b n ) {\displaystyle v+w=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})+(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots ,a_{n}+b_{n})} λ v = λ ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ( λ a 1 , λ a 2 , ⋯ , λ a n ) {\displaystyle \lambda v=\lambda (a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},\cdots ,\lambda a_{n})} 可以验证这也是一个向量空间。 再考虑所有系数为实数的多项式的集合 R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} 。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法， R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} 也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合 C ( R , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )} 也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。 向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组： 3 x + 2 y − z = 0 {\displaystyle 3x+2y-z=0} x + 5 y + 2 z = 0 {\displaystyle x+5y+2z=0} 如果 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 和 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 都是解，那么可以验证它们的“和” ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 ) {\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})} 也是一组解，因为： 3 ( x 1 + x 2 ) + 2 ( y 1 + y 2 ) − ( z 1 + z 2 ) = ( 3 x 1 + 2 y 1 − z 1 ) + ( 3 x 2 + 2 y 2 − z 2 ) = 0 {\displaystyle 3(x_{1}+x_{2})+2(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=(3x_{1}+2y_{1}-z_{1})+(3x_{2}+2y_{2}-z_{2})=0} ( x 1 + x 2 ) + 5 ( y 1 + y 2 ) + 2 ( z 1 + z 2 ) = ( x 1 + 5 y 1 + 2 z 1 ) + ( x 2 + 5 y 2 + 2 z 2 ) = 0 {\displaystyle (x_{1}+x_{2})+5(y_{1}+y_{2})+2(z_{1}+z_{2})=(x_{1}+5y_{1}+2z_{1})+(x_{2}+5y_{2}+2z_{2})=0} 同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。 一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。 对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程： f ″ + 4 x f ′ + cos ⁡ ( x ) f = 0 {\displaystyle f''+4xf'+\cos(x)f=0} 出于和上面类似的理由，方程的两个解 f 1 {\displaystyle f_{1}} 和 f 2 {\displaystyle f_{2}} 的和函数 f 1 + f 2 {\displaystyle f_{1}+f_{2}} 也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。 如果一個向量空間V的一個非空子集合W对于V的加法及標量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的線性子空間（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空间 0 {\displaystyle {0}} 。 給出一個向量集合B，那么包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也称線性包络，记作span(B)。 給出一個向量集合B，若它的生成子空间就是向量空間V，则稱B為V的一个生成集。如果一个向量空間V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就稱V是一个有限维空间。 可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能够把基中元素按下标排列： B = { e 1 , e 2 , ⋯ , e n , ⋯ } {\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n},\cdots \right\}} ，那么空间中的每一个向量v便可以通过座標系統來呈現： v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ⋯ + λ n e n + ⋯ {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}+\cdots } 这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。 可以证明，一个向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的維度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基 B = { e 1 , e 2 , ⋯ , e n } {\displaystyle \mathbf {B} =\left\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\right\}} ，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为： v = λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + ⋯ + λ n e n {\displaystyle v=\lambda _{1}e_{1}+\lambda _{2}e_{2}+\cdots +\lambda _{n}e_{n}} 那么v可以用数组 v = ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) {\displaystyle v=(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{n})} 来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为： e 1 = ( 1 , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle e_{1}=(1,0,\cdots ,0)} e 2 = ( 0 , 1 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle e_{2}=(0,1,\cdots ,0)} e n = ( 0 , 0 , ⋯ , 1 ) {\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,1)} 可以证明，存在从任意一个n维的 F {\displaystyle \mathbf {F} } -向量空间到空间 F n {\displaystyle \mathbf {F} ^{n}} 的双射。这种关系称为同构。 給定兩個系数域都是F的向量空間V和W,定义由V到W的線性變換（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f： f : V → W {\displaystyle f:\,V\rightarrow W} ∀ a ∈ F , u , v ∈ V , f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) , f ( a ⋅ v ) = a ⋅ f ( v ) {\displaystyle \forall a\in F,u,v\in V,\,f(u+v)=f(u)+f(v),\,f(a\cdot v)=a\cdot f(v)} 所有线性变换的集合记为 L ( V , W ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)} ，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后， L ( V , W ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(V,W)} 中的线性变换可以通过矩阵来表示。 如果两个向量空間V和W之间的一个線性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那么稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之间存在同构 f : V → W {\displaystyle f:\,V\rightarrow W} ，那么其逆映射 g : W → V {\displaystyle g:\,W\rightarrow V} 也存在，并且对所有的 x ∈ V , y ∈ W {\displaystyle x\in V,\,y\in W} ，都有： g ∘ f ( x ) = x , f ∘ g ( y ) = y {\displaystyle g\circ f(x)=x,\,f\circ g(y)=y} 《中国大百科全书》 Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8. Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2. Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2. Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303. Gilbert Strang. "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8 Roman 2005, ch. 1, p. 27