球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為 − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ + V ( r ) ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi } ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是普朗克常數， μ {\displaystyle \mu } 是粒子的質量， ψ {\displaystyle \psi } 是粒子的波函數， V {\displaystyle V} 是位勢， r {\displaystyle r} 是徑向距離， E {\displaystyle E} 是能量。 由於球對稱位勢 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 只與徑向距離有關，與天頂角 θ {\displaystyle \theta } 、方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 無關，為了便利分析，可以採用球坐標 ( r ,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )} 來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。 採用球坐標 ( r ,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )} ，將拉普拉斯算子 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 展開： − ℏ 2 2 μ r 2 { ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 sin 2 ⁡ θ [ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + ∂ 2 ∂ ϕ 2 ] } ψ + V ( r ) ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi +V(r)\psi =E\psi } 。 滿足薛丁格方程式的本徵函數 ψ {\displaystyle \psi } 的形式為： ψ ( r ,   θ ,   ϕ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )} ， 其中， R ( r ) {\displaystyle R(r)} ， Θ ( θ ) {\displaystyle \Theta (\theta )} ， Φ ( ϕ ) {\displaystyle \Phi (\phi )} ，都是函數。 Θ ( θ ) {\displaystyle \Theta (\theta )} 與 Φ ( ϕ ) {\displaystyle \Phi (\phi )} 時常會合併為一個函數，稱為球諧函數， Y l m ( θ ,   ϕ ) = Θ ( θ ) Φ ( ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )} 。這樣，本徵函數 ψ {\displaystyle \psi } 的形式變為： ψ ( r ,   θ ,   ϕ ) = R ( r ) Y l m ( θ ,   ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )} 。 參數為天頂角 θ {\displaystyle \theta } 、方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的球諧函數 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} ，滿足角部分方程式 − 1 sin 2 ⁡ θ [ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + ∂ 2 ∂ ϕ 2 ] Y l m ( θ , ϕ ) = l ( l + 1 ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )} ； 其中，非負整數 l {\displaystyle l} 是角動量的角量子數。 m {\displaystyle m} （滿足 − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} ）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的 l {\displaystyle l} 與 m {\displaystyle m} 給予不同的球諧函數解答 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} ： Y l m ( θ ,   ϕ ) = ( i ) m + | m | ( 2 l + 1 ) 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l m ( cos ⁡ θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }} ； 其中， i {\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P l ( x ) {\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)} ； 而 P l ( x ) {\displaystyle P_{l}(x)} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為 P l ( x ) = 1 2 l l ! d l d x l ( x 2 − 1 ) l {\displaystyle P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}} 。 將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式： { − ℏ 2 2 μ r 2 d d r ( r 2 d d r ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 + V ( r ) } R ( r ) = E R ( r ) {\displaystyle \left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+V(r)\right\}R(r)=ER(r)} 。(1) 設定函數 u ( r ) = r R ( r ) {\displaystyle u(r)=rR(r)} 。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到 − ℏ 2 2 μ d 2 u ( r ) d r 2 + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 u ( r ) + V ( r ) u ( r ) = E u ( r ) {\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}u(r)+V(r)u(r)=Eu(r)} 。(2) 徑向方程式變為 − ℏ 2 2 μ d 2 u ( r ) d r 2 + V e f f ( r ) u ( r ) = E u ( r ) {\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2}u(r) \over dr^{2}}+V_{\mathrm {eff} }(r)u(r)=Eu(r)} ；(3) 其中，有效位勢 V e f f ( r ) = V ( r ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2\mu r^{2}}}} 。 這正是函數為 u ( r ) {\displaystyle u(r)} ，有效位勢為 V e f f {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }} 的薛丁格方程式。徑向距離 r {\displaystyle r} 的定義域是從 0 {\displaystyle 0} 到 ∞ {\displaystyle \infty } 。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。 為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。 在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是： V ( r ) = 0 {\displaystyle V(r)=0} ：原方程變為亥姆霍兹方程 ( ∇ 2 + 2 μ E ℏ 2 ) A = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+{\frac {2\mu E}{\hbar ^{2}}})A=0} ，使用球諧函數為正交歸一基，解析眞空狀況實例。這實例可以做為別的實例的基礎。 當 r < r 0 {\displaystyle r<r_{0}} 時， V ( r ) = 0 {\displaystyle V(r)=0} ；否則， V ( r ) = ∞ {\displaystyle V(r)=\infty } ：這實例比第一個實例複雜一點，可以描述三維的圓球形盒子中的粒子的量子行為。 V ( r ) ∝ r 2 {\displaystyle V(r)\propto r^{2}} ：研討三維均向性諧振子的實例。在量子力學裏，是少數幾個存在簡單的解析解的量子模型。 V ( r ) ∝ 1 / r {\displaystyle V(r)\propto 1/r} ：關於類氫原子的束縛態的實例，也有簡單的解析解。 思考 V ( r ) = 0 {\displaystyle V(r)=0} 的狀況，設定 k   = d e f   2 μ E ℏ 2 {\displaystyle k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2\mu E \over \hbar ^{2}}}} ，在設定無因次的變數 ρ   = d e f   k r {\displaystyle \rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr} 。 代入方程式(2)，定義 J ( ρ )   = d e f   ρ R ( r ) {\displaystyle J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)} ，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式： ρ 2 d 2 J d ρ 2 + ρ d J d ρ + [ ρ 2 − ( l + 1 2 ) 2 ] J = 0 {\displaystyle \rho ^{2}{d^{2}J \over d\rho ^{2}}+\rho {dJ \over d\rho }+\left[\rho ^{2}-\left(l+{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0} 。 貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數 J l + 1 / 2 ( ρ ) {\displaystyle J_{l+1/2}(\rho )} ；而 R ( r ) {\displaystyle R(r)} 是第一類球貝塞爾函數 （真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）： R ( r ) = j l ( k r )   = d e f   π / ( 2 k r ) J l + 1 / 2 ( k r ) {\displaystyle R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{l+1/2}(kr)} 。(4) 在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積： ψ ( r ,   θ ,   ϕ ) = A k l j l ( k r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\ \theta ,\ \phi )=A_{kl}j_{l}(kr)Y_{lm}(\theta ,\phi )} ； 其中，歸一常數 A k l = 2 π k {\displaystyle A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k} ， l {\displaystyle l} 是非負整數， m {\displaystyle m} 是整數， − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} ， k {\displaystyle k} 是實數， k ≥ 0 {\displaystyle k\geq 0} 。 這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。 波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 1 = A k l 2 ∫ 0 ∞   r 2 j l 2 ( k r )   d r {\displaystyle 1=A_{kl}^{2}\int _{0}^{\infty }\ r^{2}j_{l}^{2}(kr)\ dr} 。 根據球貝塞爾函數的封閉方程式， ∫ 0 ∞   x 2 j α ( k 1 x ) j α ( k 2 x )   d x = π 2 k 1 2 δ ( k 1 − k 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ x^{2}j_{\alpha }(k_{1}x)j_{\alpha }(k_{2}x)\ dx={\frac {\pi }{2k_{1}^{2}}}\delta (k_{1}-k_{2})} ； 其中， α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ， δ k {\displaystyle \delta _{k}} 为克罗内克δ。 所以， 1 = A k l 2 π 2 k 2 {\displaystyle 1=A_{kl}^{2}{\frac {\pi }{2k^{2}}}} 。取平方根，歸一常數 A k l = 2 π k {\displaystyle A_{kl}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,k} 。 思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達： V ( r ) = { 0 , if  r ≤ r 0 ∞ , if  r > r 0 {\displaystyle V(r)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}r\leq r_{0}\\\infty ,&{\mbox{if }}r>r_{0}\end{cases}}} 。 其中， r 0 {\displaystyle r_{0}} 是球對稱阱的半徑。 立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數 R ( r ) = j l ( k r ) {\displaystyle R(r)=j_{l}(kr)} 。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標 r = r 0 {\displaystyle r=r_{0}} 之處必須等於0： j l ( k r 0 ) = 0 {\displaystyle j_{l}(kr_{0})=0} 。 設定 ξ n l {\displaystyle \xi _{nl}} 為 l {\displaystyle l} 階球貝塞爾函數 j l {\displaystyle j_{l}} 的第 n {\displaystyle n} 個0點，則 k n l r 0 = ξ n l {\displaystyle k_{nl}r_{0}=\xi _{nl}} 。 那麼，離散的能級 E n l {\displaystyle E_{nl}} 為 E n l = ℏ 2 k n l 2 2 μ = ℏ 2 ξ n l 2 2 μ r 0 2 {\displaystyle E_{nl}={\frac {\hbar ^{2}k_{nl}^{2}}{2\mu }}={\frac {\hbar ^{2}\xi _{nl}^{2}}{2\mu r_{0}^{2}}}} 。 薛丁格方程式的整個解答是 ψ n l m ( r ,   θ ,   ϕ ) = A n l j l ( ξ n l r / r 0 ) Y l m ( θ ,   ϕ ) {\displaystyle \psi _{nlm}(r,\ \theta ,\ \phi )=A_{nl}j_{l}(\xi _{nl}\,r/r_{0})\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )} ； 其中，歸一常數 A n l = ( 2 r 0 3 ) 1 / 2 1 j l + 1 ( ξ n l ) {\displaystyle A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}} 。 波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為 1 = A n l 2 ∫ 0 r 0   r 2 j l 2 ( k n l r )   d r {\displaystyle 1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}j_{l}^{2}(k_{nl}r)\ dr} ； 將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分： 1 = A n l 2 ∫ 0 r 0   r 2   π 2 k n l r   J l + 1 / 2 2 ( k n l r )   d r = A n l 2 π 2 k n l ∫ 0 r 0   r J l + 1 / 2 2 ( k n l r )   d r {\displaystyle 1=A_{nl}^{2}\int _{0}^{r_{0}}\ r^{2}\ {\frac {\pi }{2k_{nl}r}}\ J_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr=A_{nl}^{2}{\frac {\pi }{2k_{nl}}}\int _{0}^{r_{0}}\ rJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r)\ dr} 。 設定變數 x = r / r 0 {\displaystyle x=r/r_{0}} ，代入積分： 1 = A n l 2 π r 0 2 2 k n l ∫ 0 1   x J l + 1 / 2 2 ( k n l r 0 x )   d x = A n l 2 π r 0 3 2 ξ n l ∫ 0 1   x J l + 1 / 2 2 ( ξ n l x )   d x {\displaystyle 1=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{2}}{2k_{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(k_{nl}r_{0}x)\ dx=A_{nl}^{2}{\frac {\pi r_{0}^{3}}{2\xi _{nl}}}\int _{0}^{1}\ xJ_{l+1/2}^{2}(\xi _{nl}x)\ dx} 。 根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式， ∫ 0 1 x J α ( x ξ m α ) J α ( x ξ n α ) d x = δ m n 2 J α + 1 ( ξ n α ) 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(x\xi _{m\alpha })J_{\alpha }(x\xi _{n\alpha })dx={\frac {\delta _{mn}}{2}}J_{\alpha +1}(\xi _{n\alpha })^{2}} ； 其中， α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} ， δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 为克罗内克δ， ξ n α {\displaystyle \xi _{n\alpha }} 表示 J α ( x ) {\displaystyle J_{\alpha }(x)} 的第 n {\displaystyle n} 個0點。 注意到 j l ( x ) {\displaystyle j_{l}(x)} 的第 n {\displaystyle n} 個0點 ξ n l {\displaystyle \xi _{nl}} 也是 J l + 1 / 2 ( x ) {\displaystyle J_{l+1/2}(x)} 的第 n {\displaystyle n} 個0點。所以， 1 = A n l 2   π r 0 3 4 ξ n l   J l + 3 / 2 2 ( ξ n l ) = A n l 2   r 0 3 2   j l + 1 2 ( ξ n l ) {\displaystyle 1=A_{nl}^{2}\ {\frac {\pi r_{0}^{3}}{4\xi _{nl}}}\ J_{l+3/2}^{2}(\xi _{nl})=A_{nl}^{2}\ {\frac {r_{0}^{3}}{2}}\ j_{l+1}^{2}(\xi _{nl})} 。 取平方根，歸一常數 A n l = ( 2 r 0 3 ) 1 / 2 1 j l + 1 ( ξ n l ) {\displaystyle A_{nl}=\left({\frac {2}{r_{0}^{3}}}\right)^{1/2}{\frac {1}{j_{l+1}(\xi _{nl})}}} 。 三維均向諧振子的位勢為 V ( r ) = 1 2 μ ω 2 r 2 {\displaystyle V(r)={\tfrac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}} ； 其中， ω {\displaystyle \omega } 是角頻率。 用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是 E n = ℏ ω ( n + N 2 ) with n = 0 , 1 , … , ∞ , {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+{\tfrac {N}{2}})\quad {\hbox{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,} 。 所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是 [ − ℏ 2 2 μ d 2 d r 2 + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 + 1 2 μ ω 2 r 2 − ℏ ω ( n + 3 2 ) ] u ( r ) = 0 {\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over dr^{2}}+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}+{\frac {1}{2}}\mu \omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega (n+{\frac {3}{2}})\right]u(r)=0} 。(5) 設定常數 γ {\displaystyle \gamma } ， γ ≡ μ ω ℏ {\displaystyle \gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}} 。 回想 u ( r ) = r R ( r ) {\displaystyle u(r)=rR(r)} ，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答： R n l ( r ) = N n l r l e − 1 2 γ r 2 L 1 2 ( n − l ) ( l + 1 2 ) ( γ r 2 ) {\displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})} ； 其中，函數 L k ( α ) ( γ r 2 ) {\displaystyle L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})} 是广义拉盖尔多项式， N n l {\displaystyle N_{nl}} 是歸一化常數： N n l = [ 2 n + l + 2 γ l + 3 2 π 1 2 ] 1 2 [ [ 1 2 ( n − l ) ] ! [ 1 2 ( n + l ) ] ! ( n + l + 1 ) ! ] 1 2 {\displaystyle N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {[{\frac {1}{2}}(n-l)]!\;[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}{(n+l+1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}} 。 本徵能級 E n {\displaystyle E_{n}} 的本徵函數 R n l {\displaystyle R_{nl}} ，乘以球諧函數 Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )} ，就是薛丁格方程式的整個解答： ψ n l m = R n l ( r ) Y l m ( θ ,   ϕ ) {\displaystyle \psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\ \phi )} ； 其中 l = n ,   n − 2 ,   … ,   l m i n {\displaystyle l=n,\ n-2,\ \ldots ,\ l_{\mathrm {min} }} 。假若 n {\displaystyle n} 是偶數，設定 l m i n = 0 {\displaystyle l_{\mathrm {min} }=0} ；否則，設定 l m i n = 1 {\displaystyle l_{\mathrm {min} }=1} 。 在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。 首先，將徑向坐標無因次化，設定變數 y = γ r {\displaystyle y={\sqrt {\gamma }}r} ；其中， γ ≡ μ ω ℏ {\displaystyle \gamma \equiv {\frac {\mu \omega }{\hbar }}} 。則方程式(5)變為 [ d 2 d y 2 − l ( l + 1 ) y 2 − y 2 + 2 n − 3 ] v ( y ) = 0 {\displaystyle \left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}-y^{2}+2n-3\right]v(y)=0} ；(6) 其中， v ( y ) = u ( y / γ ) {\displaystyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)} 是新的函數。 當 y {\displaystyle y} 接近0時，方程式(6)最顯著的項目是 [ d 2 d y 2 − l ( l + 1 ) y 2 ] v ( y ) = 0 {\displaystyle \left[{d^{2} \over dy^{2}}-{l(l+1) \over y^{2}}\right]v(y)=0} 。 所以， v ( y ) {\displaystyle v(y)} 與 y l + 1 {\displaystyle y^{l+1}} 成正比。 又當 y {\displaystyle y} 無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是 [ d 2 d y 2 − y 2 ] v ( y ) = 0 {\displaystyle \left[{d^{2} \over dy^{2}}-y^{2}\right]v(y)=0} 。 因此， v ( y ) {\displaystyle v(y)} 與 e − y 2 / 2 {\displaystyle e^{-y^{2}/2}} 成正比。 為了除去 v ( y ) {\displaystyle v(y)} 在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用 v ( y ) {\displaystyle v(y)} 的替換方程式： v ( y ) = y l + 1 e − y 2 / 2 f ( y ) {\displaystyle v(y)=y^{l+1}e^{-y^{2}/2}f(y)} 。 經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為 [ d 2 d y 2 + 2 ( l + 1 y − y ) d d y + 2 n − 2 l ] f ( y ) = 0 {\displaystyle \left[{d^{2} \over dy^{2}}+2\left({\frac {l+1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2l\right]f(y)=0} 。(7) 設定變數 x = y 2 {\displaystyle x=y^{2}} ，則微分算子為 d d y = d x d y d d x = 2 y d d x = 2 x d d x {\displaystyle {\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}}} ， d 2 d y 2 = d d y ( 2 y d d x ) = 4 x d 2 d x 2 + 2 d d x {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}} 。 代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式： x d 2 g d x 2 + ( ( l + 1 2 ) + 1 − x ) d g d x + 1 2 ( n − l ) g ( x ) = 0 {\displaystyle x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+{\Big (}(l+{\tfrac {1}{2}})+1-x{\Big )}{\frac {dg}{dx}}+{\tfrac {1}{2}}(n-l)g(x)=0} ； 其中，函數 g ( x ) ≡ f ( x ) {\displaystyle g(x)\equiv f({\sqrt {x}})} 。 假若， k ≡ ( n − l ) / 2 {\displaystyle k\equiv (n-l)/2} 是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式： g ( x ) = L k ( l + 1 2 ) ( x ) {\displaystyle g(x)=L_{k}^{(l+{\frac {1}{2}})}(x)} 。 因為 k {\displaystyle k} 是非負整數，要求 n ≥ l {\displaystyle n\geq l} 。 n {\displaystyle n} 與 l {\displaystyle l} 同時為奇數或同時為偶數。這證明了前面所述 l {\displaystyle l} 必須遵守的條件。 回憶到 u ( r ) = r R ( r ) {\displaystyle u(r)=rR(r)} ，徑向函數可以表達為 R n l ( r ) = N n l r l e − 1 2 γ r 2 L 1 2 ( n − l ) ( l + 1 2 ) ( γ r 2 ) {\displaystyle R_{nl}(r)=N_{nl}\,r^{l}\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(\gamma r^{2})} ； 其中， N n l {\displaystyle N_{nl}} 是歸一常數。 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 的歸一條件是 ∫ 0 ∞ r 2 | R n l ( r ) | 2 d r = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{2}|R_{nl}(r)|^{2}\,dr=1} 。 設定 q = γ r 2 {\displaystyle q=\gamma r^{2}} 。將 R n l {\displaystyle R_{nl}} 與 q {\displaystyle q} 代入積分方程式： N n l 2 2 γ l + 3 2 ∫ 0 ∞ q l + 1 2 e − q [ L 1 2 ( n − l ) ( l + 1 2 ) ( q ) ] 2 d q = 1 {\displaystyle {\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\int _{0}^{\infty }q^{l+{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-l)}^{(l+{\frac {1}{2}})}(q)\right]^{2}\,dq=1} 。 應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為 N n l 2 2 γ l + 3 2 ⋅ Γ [ 1 2 ( n + l + 1 ) + 1 ] [ 1 2 ( n − l ) ] ! = 1 {\displaystyle {\frac {N_{nl}^{2}}{2\gamma ^{l+{3 \over 2}}}}\cdot {\frac {\Gamma [{\frac {1}{2}}(n+l+1)+1]}{[{\frac {1}{2}}(n-l)]!}}=1} 。 因此，歸一常數可以表達為 N n l = 2 γ l + 3 2 ( n − l 2 ) ! Γ ( n + l 2 + 3 2 ) {\displaystyle N_{nl}={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,({\frac {n-l}{2}})!}{\Gamma ({\frac {n+l}{2}}+{\frac {3}{2}})}}}} 。 應用伽瑪函數的數學特性，同時注意 n {\displaystyle n} 與 l {\displaystyle l} 的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為 Γ [ 1 2 + ( n + l 2 + 1 ) ] = π ( n + l + 1 ) ! ! 2 n + l 2 + 1 = π ( n + l + 1 ) ! 2 n + l + 1 [ 1 2 ( n + l ) ] ! {\displaystyle \Gamma \left[{1 \over 2}+\left({\frac {n+l}{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!!}{2^{{\frac {n+l}{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+l+1)!}{2^{n+l+1}[{\frac {1}{2}}(n+l)]!}}} 。 在這裏用到了雙階乘 (double factorial)的定義。 所以，歸一常數等於 N n l = [ 2 n + l + 2 γ l + 3 2 [ 1 2 ( n − l ) ] ! [ 1 2 ( n + l ) ] ! π 1 2 ( n + l + 1 ) ! ] 1 2 {\displaystyle N_{nl}=\left[{\frac {2^{n+l+2}\,\gamma ^{l+{3 \over 2}}\,[{1 \over 2}(n-l)]!\;[{1 \over 2}(n+l)]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+l+1)!}}\right]^{1 \over 2}} 。 類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律： V ( r ) = − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r {\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}} ； 其中， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是真空電容率， Z {\displaystyle Z} 是原子序， e {\displaystyle e} 是單位電荷量， r {\displaystyle r} 是電子離原子核的徑向距離。 將位勢代入方程式(1)， { − ℏ 2 2 μ r 2 d d r ( r 2 d d r ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 − 1 4 π ϵ 0 Z e 2 r } R ( r ) = E R ( r ) {\displaystyle \left\{-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\right\}R(r)=ER(r)} 。 這方程式的解答是 R n l ( r ) = ( 2 Z n a μ ) 3 ( n − l − 1 ) ! 2 n [ ( n + l ) ! ] 3 e − Z r / n a μ ( 2 Z r n a μ ) l L n − l − 1 2 l + 1 ( 2 Z r n a μ ) {\displaystyle R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)} ； 其中， a μ = 4 π ε 0 ℏ 2 μ e 2 {\displaystyle a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}} 。 a μ {\displaystyle a_{\mu }} 近似於波耳半徑 a 0 {\displaystyle a_{0}} 。假若，原子核的質量是無限大的，則 a μ = a 0 {\displaystyle a_{\mu }=a_{0}} ，並且，約化質量等於電子的質量， μ = m e {\displaystyle \mu =m_{e}} 。 L n − l − 1 2 l + 1 {\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}} 是广义拉盖尔多项式，定義為 L i j ( x ) = ( − 1 ) j   d j d x j L i + j ( x ) {\displaystyle L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)} ； 其中， L i + j ( x ) {\displaystyle L_{i+j}(x)} 是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為 L i ( x ) = e x i !   d i d x i ( x i e − x ) {\displaystyle L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})} 。 為了滿足 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 的邊界條件， n {\displaystyle n} 必須是正值整數，能量也離散為能級 E n = − ( Z 2 μ e 4 32 π 2 ϵ 0 2 ℏ 2 ) 1 n 2 = − 13.6 Z 2 n 2   ( e V ) {\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)} 。隨著量子數的不同，函數 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 與 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} 都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求 l < n {\displaystyle l<n} 。 知道徑向函數 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 與球諧函數 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} 的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答： ψ n l m = R n l ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )} 。 為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (atomic unit) E h = m e ( e 2 4 π ε 0 ℏ ) 2 {\displaystyle E_{\textrm {h}}=m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}} ， a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 {\displaystyle a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\textrm {e}}e^{2}}}} 。 將變數 y = Z r / a 0 {\displaystyle y=Zr/a_{0}} 與 W = E / ( Z 2 E h ) {\displaystyle W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})} 代入徑向薛丁格方程式(2)： [ − 1 2 d 2 d y 2 + 1 2 l ( l + 1 ) y 2 − 1 y ] u l = W u l {\displaystyle \left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {l(l+1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{l}=Wu_{l}} 。(8) 這方程式有兩類解答： W < 0 {\displaystyle W<0} ：量子態是束縛態，其本徵函數是平方可積函數。量子化的 W {\displaystyle W} 造成了離散的能量譜。 W ≥ 0 {\displaystyle W\geq 0} ：量子態是散射態，其本徵函數不是平方可積函數。 這條目只講述第(1)類解答。設定正實數 α ≡ 2 − 2 W {\displaystyle \alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}} 與 x ≡ α y {\displaystyle x\equiv \alpha y} 。代入方程式(8)： [ d 2 d x 2 − l ( l + 1 ) x 2 + 2 α x − 1 4 ] u l = 0 {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0} 。(9) 當 x {\displaystyle x} 接近0時，方程式(9)最顯著的項目是 [ d 2 d x 2 − l ( l + 1 ) x 2 ] u l = 0 {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {l(l+1)}{x^{2}}}\right]u_{l}=0} 。 所以， u l ( x ) {\displaystyle u_{l}(x)} 與 x l + 1 {\displaystyle x^{l+1}} 成正比。 又當 x {\displaystyle x} 無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是 [ d 2 d x 2 − 1 4 ] u l = 0 {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{l}=0} 。 因此， u l ( x ) {\displaystyle u_{l}(x)} 與 e − x / 2 {\displaystyle e^{-x/2}} 成正比。 為了除去 u l ( x ) {\displaystyle u_{l}(x)} 在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用 u l ( x ) {\displaystyle u_{l}(x)} 的替換方程式： u l ( x ) = x l + 1 e − x / 2 f l ( x ) {\displaystyle u_{l}(x)=x^{l+1}e^{-x/2}f_{l}(x)} 。 經過一番運算，得到 f l ( x ) {\displaystyle f_{l}(x)} 的方程式： [ x d 2 d x 2 + ( 2 l + 2 − x ) d d x + ( ν − l − 1 ) ] f l ( x ) = 0 {\displaystyle \left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2l+2-x){\frac {d}{dx}}+(\nu -l-1)\right]f_{l}(x)=0} ； 其中， ν = ( − 2 W ) − 1 2 {\displaystyle \nu =(-2W)^{-{\frac {1}{2}}}} 。 假若， ν − l − 1 {\displaystyle \nu -l-1} 是個非負整數 k {\displaystyle k} ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式 L k ( 2 l + 1 ) ( x ) , k = 0 , 1 , … {\displaystyle L_{k}^{(2l+1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots } 。 採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是 W = − 1 2 n 2 {\displaystyle W=-{\frac {1}{2n^{2}}}} ； 其中，主量子數 n ≡ k + l + 1 {\displaystyle n\equiv k+l+1} 滿足 n ≥ l + 1 {\displaystyle n\geq l+1} ，或 l ≤ n − 1 {\displaystyle l\leq n-1} 。 由於 α = 2 / n {\displaystyle \alpha =2/n} ，徑向波函數是 R n l ( r ) = ( 2 Z n a 0 ) 3 ⋅ ( n − l − 1 ) ! 2 n [ ( n + l ) ! ] 3 e − Z r n a 0 ( 2 Z r n a 0 ) l L n − l − 1 2 l + 1 ( 2 Z r n a 0 ) {\displaystyle R_{nl}(r)={\sqrt {\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}\;e^{-{\textstyle {\frac {Zr}{na_{0}}}}}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{l}\;L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)} 。 能量是 E = − Z 2 2 n 2 E h = − Z 2 2 n 2 m e ( e 2 4 π ε 0 ℏ ) 2 , n = 1 , 2 , … {\displaystyle E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}}=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}m_{\textrm {e}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2},\qquad n=1,2,\ldots } 。 自由粒子 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 Delta位勢阱 Delta位勢壘 連心力 量子穿隧效應 盒中氣體 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (编), Chapter 22, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, 1965, ISBN 0-486-61272-4  Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.