塞邁雷迪-特羅特定理

匈牙利语人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。 塞邁雷迪－特羅特定理為組合幾何的定理，其斷言給定歐氏平面上任意 n {\displaystyle n} 個點和 m {\displaystyle m} 條直線，至多發生 O ( n 2 3 m 2 3 + n + m ) {\displaystyle O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right)} 次重合（incidence，即二元組 ( p , ℓ ) {\displaystyle (p,\ell )} ，其中 p {\displaystyle p} 為一點， ℓ {\displaystyle \ell } 為直線，且 p {\displaystyle p} 在 ℓ {\displaystyle \ell } 上）。 此上界已經是最優的上界了，唯一的改進只可能出現在大O符號中隱藏的常數倍數。 考慮隱藏常數的話，保奇·亞諾什（英语：János Pach）、拉多什·拉多伊契奇（Radoš Radoičić）、陶爾多什·加博爾（英语：Gábor Tardos）、托特·蓋薩（英语：Géza Tóth）四人給出上界 2.5 n 2 / 3 m 2 / 3 + n + m {\displaystyle 2.5n^{2/3}m^{2/3}+n+m} 。此後，由於交叉數不等式的常數得到改進，塞邁雷迪－特羅特定理的常數也相應得到改進。截至2019年末，最優的常數是 2.44 {\displaystyle 2.44} 。 另一方面，保奇和托特證明，若將上式的常數 2.5 {\displaystyle 2.5} 換成 0.42 {\displaystyle 0.42} ，則不再為重合數的上界。 定理也有以下等價形式：若給定 n {\displaystyle n} 個點和整數 k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} ，則經過至少 k {\displaystyle k} 個點的直線數至多為 O ( n 2 k 3 + n k ) . {\displaystyle O\left({\frac {n^{2}}{k^{3}}}+{\frac {n}{k}}\right).} 定理得名自塞邁雷迪·安德烈和威廉·特羅特（英语：William T. Trotter），其最先的證明較複雜，用到稱為「胞分解」（cell decomposition）的組合技巧。其後，塞凱利·拉茲洛（Székely László）利用圖的交叉數不等式，給出更簡單的證明， 詳見下文。 塞邁雷迪－特羅特定理可推導出若干其他定理，例如重合幾何的貝克定理（英语：Beck's theorem (geometry)）和算術組合學（英语：Arithmetic combinatorics）的艾狄胥－塞邁雷迪和積定理（英语：Erdős–Szemerédi theorem）。 先考慮僅經過至多兩點的直線。該些直線產生的重合數至多為 2 m {\displaystyle 2m} 。於是現在僅需考慮餘下的直線，而該些直線每條經過至少三點。 若一條直線上恰有 k {\displaystyle k} 個點，則該些點將直線截斷成 k − 1 {\displaystyle k-1} 條線段（不計首尾僅得一端點的射線）。由於假設 k ≥ 3 {\displaystyle k\geq 3} （已無須考慮僅經過至多兩點的直線），有 k − 1 ≥ k / 2 {\displaystyle k-1\geq k/2} ，即每條直線截成的線段數至少為其上點數之半。對所有直線求和，可知該些線段的總數 e {\displaystyle e} 亦至少為總重合數之半，從而只需證明 e = O ( n 2 3 m 2 3 + n + m ) . {\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).} 以該 n {\displaystyle n} 點為頂點，並以該 e {\displaystyle e} 條線段為邊建圖。每條線段皆為 m {\displaystyle m} 條直線中某一條的部分，且每兩條直線交於至多一點，故圖的交叉數至多為 m ( m − 1 ) / 2 {\displaystyle m(m-1)/2} 。再由交叉數不等式知，或者有 e ≤ 7.5 n {\displaystyle e\leq 7.5n} ，或者有 m ( m − 1 ) / 2 ≥ e 3 / 33.75 n 2 {\displaystyle m(m-1)/2\geq e^{3}/33.75n^{2}} 。兩者皆推出 e ≤ 3.24 ( n m ) 2 / 3 + 7.5 n {\displaystyle e\leq 3.24(nm)^{2/3}+7.5n} ，從而得到上界 e = O ( n 2 3 m 2 3 + n + m ) . {\displaystyle e=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right).} 因為過兩點至多只有一條直線，且 k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} ，所以經過至少 k {\displaystyle k} 個點的直線至多只有 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 條。若 k {\displaystyle k} 很小（ k {\displaystyle k} 小於某個絕對常數 C {\displaystyle C} ），則此上界 n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} 已足以證明定理的第二形式。於是，以下僅需考慮 k {\displaystyle k} 較大的情況（ k ≥ C {\displaystyle k\geq C} ）。 設經過至少 k {\displaystyle k} 個點的直線恰有 m {\displaystyle m} 條直線，則其上至少有 m k {\displaystyle mk} 次重合，故由定理的第一形式，得 m k = O ( n 2 3 m 2 3 + n + m ) , {\displaystyle mk=O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),} 所以 m k = O ( n 2 / 3 m 2 / 3 ) {\displaystyle mk=O(n^{2/3}m^{2/3})} 、 m k = O ( n ) {\displaystyle mk=O(n)} 、 m k = O ( m ) {\displaystyle mk=O(m)} 三式至少有一式成立。第三式不可能，因為已設 k {\displaystyle k} 為大，所以必有前兩者之一。但經初等運算可知，前兩者皆推出 m = O ( n 2 / k 3 + n / k ) {\displaystyle m=O(n^{2}/k^{3}+n/k)} 。 若不考慮上界隱含的常數，則塞邁雷迪－特羅特定理的上界已是最優。使重合數達到上界的例子如下：對任意正整數 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ，考慮整數格點集 P = { ( a , b ) ∈ Z 2   :   1 ≤ a ≤ N ; 1 ≤ b ≤ 2 N 2 } , {\displaystyle P=\left\{(a,b)\in \mathbb {Z} ^{2}\ :\ 1\leq a\leq N;1\leq b\leq 2N^{2}\right\},} 和一族直線 L = { ( x , m x + b )   :   m , b ∈ Z ; 1 ≤ m ≤ N ; 1 ≤ b ≤ N 2 } . {\displaystyle L=\left\{(x,mx+b)\ :\ m,b\in \mathbb {Z} ;1\leq m\leq N;1\leq b\leq N^{2}\right\}.} 於是，有 | P | = 2 N 3 {\displaystyle |P|=2N^{3}} 個點和 | L | = N 3 {\displaystyle |L|=N^{3}} 條直線。由於每條直線都通過 N {\displaystyle N} 點（每個 x ∈ { 1 , ⋯ , N } {\displaystyle x\in \{1,\cdots ,N\}} )對應一點），總重合數為 N 4 {\displaystyle N^{4}} ，已達上界 O ( N 4 + N 3 + N 3 ) = O ( N 4 ) {\displaystyle O(N^{4}+N^{3}+N^{3})=O(N^{4})} 。 潘卡傑·阿加爾瓦爾（英语：Pankaj K. Agarwal）及鮑里斯·阿洛諾夫（英语：Boris Aronov）發現定理的高維推廣：給定 d {\displaystyle d} 維空間 R d {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} 的 n {\displaystyle n} 點（記其集合為 S {\displaystyle S} ）和 m {\displaystyle m} 個（ d − 1 {\displaystyle d-1} 維）超平面（記其集合為 H {\displaystyle H} ），則 S {\displaystyle S} 和 H {\displaystyle H} 之間的重合數有上界 O ( m 2 3 n d 3 + n d − 1 ) . {\displaystyle O\left(m^{\frac {2}{3}}n^{\frac {d}{3}}+n^{d-1}\right).} 也可以等價寫成： H {\displaystyle H} 中通過至少 k {\displaystyle k} 個點的超平面數目至多為 O ( n d k 3 + n d − 1 k ) . {\displaystyle O\left({\frac {n^{d}}{k^{3}}}+{\frac {n^{d-1}}{k}}\right).} 赫伯特·埃德斯布倫內（英语：Herbert Edelsbrunner）給出了漸近最優的構造，從而上述上界亦不能再改進。 紹利莫希·約瑟夫（英语：József Solymosi）和陶哲軒考慮點和高維代數簇的情況，並在其滿足「某些擬直線（pseudo-line）類公設」的情況下，得到近乎最優的重合數上界。其證明運用到多項式火腿三文治定理（英语：Polynomial Ham Sandwich Theorem）。 實域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的塞邁雷迪－特羅特定理有若干證明依賴歐幾里得空間的拓撲，所以不能直接推廣到其他域上，塞邁雷迪和特羅特的原證明、多項式分割法、交叉數法皆屬此類，其不能適用於複域上的平面 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 。 托特·喬鮑（Tóth Csaba）將塞邁雷迪和特羅特的原證明推廣到 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 。喬書亞·扎爾（Joshua Zahl）利用另一個方法，也獨立地證明此結論。然而，其所得的上界的隱含常數與實域的情況有異：托特證明了該常數可取為 10 60 {\displaystyle 10^{60}} ，而扎爾的證明並無給出具體的常數。 若限定點集為笛卡兒積，則紹利莫希·約瑟夫（英语：József Solymosi）和陶爾多什·加博爾（英语：Gábor Tardos）更簡單地證明了塞邁雷迪－特羅特上界仍成立。 在一般域 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上，塞邁雷迪－特羅特上界不一定成立。例如：取有限域 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 的二維平面上全部 p 2 {\displaystyle p^{2}} 個點的集合 P = F p × F p {\displaystyle {\mathcal {P}}=\mathbb {F} _{p}\times \mathbb {F} _{p}} ，又取全部 p 2 {\displaystyle p^{2}} 條直線的集合 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} ，則每條直線經過 p {\displaystyle p} 個點，故有 p 3 {\displaystyle p^{3}} 次重合。另一方面，塞邁雷迪－特羅特上界僅為 O ( ( p 2 ) 2 / 3 ( p 2 ) 2 / 3 + p 2 ) = O ( p 8 / 3 ) {\displaystyle O\left((p^{2})^{2/3}(p^{2})^{2/3}+p^{2}\right)=O(p^{8/3})} 。此例子說明平凡上界 m n {\displaystyle mn} 已為最優。 讓·布爾甘、內茨·卡茨（英语：Nets Katz）、陶哲軒三人證明，除此例子外，平凡上界可以改進。 有限域上的重合數大致分為兩類： 點數與直線數有一者「遠大於」域的特徵； 兩者與域的特徵相比皆「不太大」。 設 q {\displaystyle q} 為奇質數冪。黎英榮（Lê Anh Vinh）證明， F q 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{2}} 上 n {\displaystyle n} 點與 m {\displaystyle m} 條直線的重合數至多為 n m q + q n m . {\displaystyle {\frac {nm}{q}}+{\sqrt {qnm}}.} 且上式並無隱含常數。 設 F {\displaystyle \mathbb {F} } 為域，且其特徵為 p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} 。蘇菲·史蒂文斯（Sophie Stevens）和弗蘭克·德齊烏（Frank de Zeeuw）證明，若 m − 2 n 13 ≤ p 15 {\displaystyle m^{-2}n^{13}\leq p^{15}} （ p = 0 {\displaystyle p=0} 時無需此條件），則 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} ^{2}} 上 n {\displaystyle n} 點和 m {\displaystyle m} 條直線的重合數至多為 O ( m 11 15 n 11 15 ) . {\displaystyle O\left(m^{\frac {11}{15}}n^{\frac {11}{15}}\right).} m 7 / 8 < n < m 8 / 7 {\displaystyle m^{7/8}<n<m^{8/7}} 時，此上界比塞邁雷迪－特羅特上界更優。 若限定點集為笛卡兒積，則其證明以下更佳的上界：證 P = A × B ⊆ F 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}=A\times B\subseteq \mathbb {F} ^{2}} 為有限點集，其中 | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} ，又設 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 為平面上有限條直線的集合。假設 | A | | B | 2 ≤ | L | 3 {\displaystyle |A||B|^{2}\leq |{\mathcal {L}}|^{3}} ，而若特徵為正就再加上條件 | A | | L | ≤ p 2 {\displaystyle |A||{\mathcal {L}}|\leq p^{2}} ，則 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 和 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 組成的重合數至多為 O ( | A | 3 4 | B | 1 2 | L | 3 4 + | L | ) . {\displaystyle O\left(|A|^{\frac {3}{4}}|B|^{\frac {1}{2}}|{\mathcal {L}}|^{\frac {3}{4}}+|{\mathcal {L}}|\right).} 此上界為最優。由於平面有點線對偶（英语：Duality (projective geometry)），也可以將上述定理中，點和線的角色互換，得到對偶版本，適用於直線集為笛卡兒積、點集任意的情況。 米沙·魯德涅夫（Misha Rudnev）和伊利亞·什克列多夫（Ilya D. Shkredov）研究了點集和直線集皆為笛卡兒積的情況（不論在實域或任意域），給出該情況下重合數的上界。此上界有時優於上列其他上界。 Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza. Improving the Crossing Lemma by Finding More Crossings in Sparse Graphs. Discrete & Computational Geometry. 2006, 36 (4): 527–552. doi:10.1007/s00454-006-1264-9  （英语）.  Ackerman, Eyal. On topological graphs with at most four crossings per edge. Computational Geometry. December 2019, 85: 101574. ISSN 0925-7721. doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 （英语）.  Pach, János; Tóth, Géza. Graphs drawn with few crossings per edge. Combinatorica. 1997, 17 (3): 427–439. doi:10.1007/BF01215922 （英语）.  Szemerédi, Endre; Trotter, William T. Extremal problems in discrete geometry. Combinatorica. 1983, 3 (3–4): 381–392. MR 0729791. doi:10.1007/BF02579194 （英语）.  Szemerédi, Endre; Trotter, William T. A Combinatorial Distinction Between the Euclidean and Projective Planes (PDF). 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