無窮元組合學

數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學、奇異基數（英语：Regular cardinal）後繼上的組合學。 設 κ ,   λ {\displaystyle \kappa ,\ \lambda } 為序數， m {\displaystyle m} 為基數， n {\displaystyle n} 為正整數。Erdős & Rado (1956)引入記號 κ → ( λ ) m n {\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}} 作為下列命題的速記： 若將 κ {\displaystyle \kappa } 所有 n {\displaystyle n} 元子集的集合 [ κ ] n {\displaystyle [\kappa ]^{n}} ，分劃為 m {\displaystyle m} 份，則有一份包含序型為 λ {\displaystyle \lambda } 的同質集。 所謂同質集，意思是 κ {\displaystyle \kappa } 的子集，且其所有 n {\displaystyle n} 元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法： 若有 m {\displaystyle m} 種色，並將 κ {\displaystyle \kappa } 的每個 n {\displaystyle n} 元子集，各染一種色，則必有序型為 λ {\displaystyle \lambda } 的同色集，即其所有 n {\displaystyle n} 元子集皆同色。 當 m {\displaystyle m} 為 2 {\displaystyle 2} 時，可省略不寫。 假設選擇公理（AC），則不存在序數 κ {\displaystyle \kappa } 使得 κ → ( ω ) ω {\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }} 。此即上段取 n {\displaystyle n} 有限的原因。雖然不允許 n {\displaystyle n} 為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的 n {\displaystyle n} 。符號 κ → ( λ ) m < ω {\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }} 表示命題「若將 κ {\displaystyle \kappa } 的所有有限子集染成 m {\displaystyle m} 種色，則有序型為 λ {\displaystyle \lambda } 的子集 X {\displaystyle X} ，使得其對每個 n {\displaystyle n} ， X {\displaystyle X} 的所有 n {\displaystyle n} 元子集皆同色。」（但不同的 n {\displaystyle n} 之間，無需同色。）同樣，當 m {\displaystyle m} 為 2 {\displaystyle 2} 時，可省略不寫。 還有變式： κ → ( λ , μ ) n {\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}} 表示「若將 κ {\displaystyle \kappa } 的所有 n {\displaystyle n} 元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為 λ {\displaystyle \lambda } 的子集，其所有 n {\displaystyle n} 元子集皆為紅，或有序型為 μ {\displaystyle \mu } 的子集，其所有 n {\displaystyle n} 元子集皆為藍。」 可以此記號表示的命題有：（下設 κ {\displaystyle \kappa } 為基數） ℵ 0 → ( ℵ 0 ) k n {\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}} 對所有有限的 n , k {\displaystyle n,k} 成立（拉姆齊定理）。 ℶ n + → ( ℵ 1 ) ℵ 0 n + 1 {\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}} （艾狄胥－雷多定理（英语：Erdős–Rado theorem））。 2 κ ↛ ( κ + ) 2 {\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}} （謝爾賓斯基定理） 2 κ ↛ ( 3 ) κ 2 {\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}} κ → ( κ , ℵ 0 ) 2 {\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}} (艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem））。 在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理（AD）的推論，例如，當勞·馬丁（英语：Donald A. Martin）證明，AD推出 ℵ 1 → ( ℵ 1 ) 2 ℵ 1 . {\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.} 一些大基數性質是用拉姆齊性質定義，如： 弱緊基數（英语：Weakly compact cardinal） κ {\displaystyle \kappa } 滿足 κ → ( κ ) 2 {\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}} ； α艾狄胥基數（英语：Erdős cardinal） κ {\displaystyle \kappa } 是滿足 κ → ( α ) ω {\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }} 的最小基數； 拉姆齊基數（英语：Ramsey cardinal） κ {\displaystyle \kappa } 滿足 κ → ( κ ) ω {\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }} 。 Blass, Andreas. Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum [第6章：連續統的組合基數特徵]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 （英语）.  Eisworth, Todd. Ch. 15: Successors of Singular Cardinals [第15章：奇異基數的後繼]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 （英语）.  Dushnik, Ben; Miller, E. W., Partially ordered sets [偏序集], American Journal of Mathematics, 1941, 63 (3): 600–610, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371374, MR 0004862, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377  （英语）  Erdős, Paul; Hajnal, András, Unsolved problems in set theory [集合論的未解問題], Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) [公理化集合論（加州大學，洛杉磯，加州，1967）], Proc. Sympos. Pure Math, XIII Part I, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 17–48, 1971, MR 0280381 （英语）  Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals [組合集合論：基數的分劃關係], Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1984, ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592 （英语）  Erdős, P.; Rado, R., A partition calculus in set theory [集合論的分劃算數], Bull. Amer. Math. Soc., 1956, 62 (5): 427–489, MR 0081864, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0  （英语）  Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings [更高的無窮：從源流談集合論的大基數] second. Springer. 2000. ISBN 3-540-00384-3 （英语）.  Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs [集合論：獨立性證明導論], Amsterdam: North-Holland, 1980, ISBN 978-0-444-85401-8 （英语）