勒文海姆–斯科伦定理

在数理逻辑中，经典勒文海姆–斯科伦定理（Löwenheim–Skolem theorem）声称对于标识（signature）为 < C , F , R , σ > {\displaystyle <\mathbf {C} ,\mathbf {F} ,\mathbf {R} ,\sigma >} 的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M，存在一个可数无限基本子结构 N ⊆ {\displaystyle \subseteq } M。 这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。 这里的标识由常量集合 C {\displaystyle \mathbf {C} } 、函数集合 F {\displaystyle \mathbf {F} } 、关系符号集合 R {\displaystyle \mathbf {R} } 、和表示函数和关系符号的元数的函数 σ : F ∪ R → N {\displaystyle \sigma :\mathbf {F} \cup \mathbf {R} \rightarrow \mathbb {N} } 组成。在这个上下文中 L-结构，由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义就是 M 的成員。类似的， σ ( f )   {\displaystyle \sigma (f)\ } -元函数 f ∈ F {\displaystyle f\in \mathbf {F} } 被指派为 M 中的 σ ( f )   {\displaystyle \sigma (f)\ } -元函数 M σ ( f ) → M {\displaystyle M^{\sigma (f)}\rightarrow M} 的图，而 σ ( R )   {\displaystyle \sigma (R)\ } -元关系 R ∈ R {\displaystyle R\in \mathbf {R} } 的释义被指派为 M 中的 σ ( R )   {\displaystyle \sigma (R)\ } -元关系。语言 L 是可数的，如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。 一个周知的不可数模型是所有实数的集合，带有次序关系 "<" 作为唯一的关系，和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子；最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域，因此不同于实数域，但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域，它不能满足最小上界公理)。例如，特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子，因此在断言了其存在的可数子模型中是真的，当且仅当它在实数域中是真的。 数学家考虑的多数数学结构，特别是多数范畴的多数成员，是这里定义意义上的模型。勒文海姆–斯科伦定理告诉我们如果它们是不可数的，它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。 对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子 ∀ x   ∃ y   R ( x , y ) {\displaystyle \forall x\ \exists y\ R(x,y)} 或 ∀ x 1   ⋯   ∀ x n   ∃ y 1   ⋯   ∃ y m R ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y m ) {\displaystyle \forall x_{1}\ \cdots \ \forall x_{n}\ \exists y_{1}\ \cdots \ \exists y_{m}R(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m})} 有一个Skolem 函数 f，就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数，使得 ∀ x   R ( x , f ( x ) ) {\displaystyle \forall x\ R(x,f(x))} 在 M 中为真。因为有很多这样的 y 的值，必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。 这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义，就是说，它们的存在被如下形式的句子所断言 ∃ y 1   ⋯   ∃ y m R ( y 1 , … , y m ) {\displaystyle \exists y_{1}\ \cdots \ \exists y_{m}R(y_{1},\dots ,y_{m})} 并且因为只有可数多个一阶公式，只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。 证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合，并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。 上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的勒文海姆–斯科伦定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理，断言更小的子模型的存在(“向下”勒文海姆–斯科伦定理)；其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上”勒文海姆–斯科伦定理)。 勒文海姆-斯科伦定理: 如果 Δ {\displaystyle \Delta } 是一个含有有限可数个数的命题组成的集合，并且集合 Δ {\displaystyle \Delta } 是可以满足的( Δ {\displaystyle \Delta } SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派，或叫作解释 (Interpretation)) 用符号记作 I, I ⊨ Δ {\displaystyle I\models \Delta } ,且这个模型 I 指派解释也是可数的 证明: 前提:在语言集合L中如果我们有一个可满足式的有限可数命题公式的集合 Δ {\displaystyle \Delta } ，且 ϕ ∈ Δ {\displaystyle \phi \in \Delta } , ϕ {\displaystyle \phi } 是 Δ {\displaystyle \Delta } 中的命题公式 如果我们有一个集合，用字母记作 S ,并且 S = ⋃ ϕ ∈ Δ C L ( ϕ ) {\displaystyle S=\bigcup _{\phi \in \Delta }CL(\phi )} ，其中集合 C L ( ϕ ) {\displaystyle CL(\phi )} 是由命题公式 ϕ {\displaystyle \phi } 转换成子句结构(Clause)所组成的集合，我们有一个定理(记作Th): 如果 ψ {\displaystyle \psi } 是可满足式的(Satisfaisable)公式，当且仅当Clause( ψ {\displaystyle \psi } )也是可满足式的，通过这个定理，我们确保S是可满足的，并且也是可数的 如果我们有一个基于语言集合L的等价公理集合，记作 E = {\displaystyle E_{=}} (该集合是为了用于Skolemisation方法中,也就是 ϕ {\displaystyle \phi } 在转化成Clause( ϕ {\displaystyle \phi } )过程中，去除有限量词 ∃ {\displaystyle \exists } 的方法Skolemisation,化为Skolem范式) 那么很显然 S ⋃ E = {\displaystyle S\bigcup E_{=}} 也是可满式的集合，那么 I F ( S ⋃ E = ) {\displaystyle IF(S\bigcup E_{=})} 同样是可满足的 由于语言集合L中的元素是可数的 所以 I F ( S ⋃ E = ) {\displaystyle IF(S\bigcup E_{=})} 是也是有限可数的集合 如果我们有一个模型，记作 I 且 I ⊨ I F ( S ⋃ E = ) {\displaystyle I\models IF(S\bigcup E_{=})} ,赫尔不兰特定理(Theoreme de Herbrand)告诉我们如果我们要构造一个模型M,并且 M ⊨ S ⋃ E = {\displaystyle M\models S\bigcup E_{=}} ，那么模型M的模型解释指派域(记作)D是一个以I(t)为元素的指派域(其中t是在S中的所有的项)，那么模型M是通过Congurence关系来解释指派等价性关系(Egalite) 由于我们说语言理合L是可数的，那么指派解释域D也是可数的 那么我们可以构造另一个模型M'，并且基于解释域 D / M = {\displaystyle D/M_{=}} (我们通过等价关系来指派解释等价性)且 M ′ ⊨ S {\displaystyle M'\models S} ,那么M'必然也是可数的，那么根据Th定理， M ′ ⊨ S {\displaystyle M'\models S} ,那么我们就可以说 M ′ ⊨ Δ {\displaystyle M'\models \Delta } 所以我们证明了勒文海姆-斯科伦定理 Skolem悖论 模型论 Wilfrid Hodges (1997), "A Shorter Model Theory", Cambridge University Press, ISBN 0521587131 María Manzano (1999), "Model Theory", Oxford University Press, ISBN 0198538510 Rothmaler, Philipp (2000), "Introduction To Model Theory", CRC