合流超几何函数

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。 根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有： Kummer 函数（第一类合流超几何函数）M(a,b,z) 是 Kummer 方程的解。注意有另一个相异且无关的函数也被称为 Kummer 函数； Tricomi 函数（第二类合流超几何函数）U(a,b,z)是 Kummer 方程的另一个线性无关的解，有时会写成 Ψ(a,b,z)； 惠泰克函数 是惠泰克方程的解，惠泰克方程里的参数与 Kummer 方程的参数所对应的李代数参数相关； 根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=1F1(a;b;z) 满足的微分方程为： z ( z d d z + a ) w = z d d z ( z d d z + b − 1 ) w {\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b-1\right)w} . 展开后就得到 Kummer 方程， z d 2 w d z 2 + ( b − z ) d w d z − a w = 0 {\displaystyle z{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+(b-z){\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-aw=0} , 它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数： M ( a , b , z ) = 1 F 1 ( a ; b ; z ) = ∑ n = 0 ∞ ( a ) ( n ) ( b ) ( n ) z n n ! {\displaystyle M(a,b,z)=\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)^{(n)}}{(b)^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} 式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。 Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形： 1 F 1 ( a ; c ; z ) = lim b → ∞ 2 F 1 ( a , b ; c ; z b ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=\lim _{b\rightarrow \infty }\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})} 高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为： z 1 − c 2 F 1 ( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z ) {\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)} 按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）： z 1 − b 1 F 1 ( 1 + a − b ; 2 − b ; z ) {\displaystyle z^{1-b}\,_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)} 但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合： U ( a , b , z ) = Γ ( 1 − b ) Γ ( a − b + 1 ) M ( a , b , z ) + Γ ( b − 1 ) Γ ( a ) z 1 − b M ( a − b + 1 , 2 − b , z ) . {\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a-b+1)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).} 它与另一个广义超几何函数有下列关系： U ( a , b , z ) = z − a ⋅ 2 F 0 ( a , a − b + 1 ; ; − z − 1 ) {\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1})} 但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 2F0 对应的超几何级数视为渐近级数。 U ( a , b , z ) ≈ z − a ⋅ 2 F 0 ( a , a − b + 1 ; ; − z − 1 ) , z → ∞ , | arg ⁡ z | < 3 π 2 {\displaystyle U(a,b,z)\approx z^{-a}\cdot {}_{2}F_{0}(a,a-b+1;;-z^{-1}),\quad z\rightarrow \infty ,|\arg z|<{\frac {3\pi }{2}}} Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。 大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程 ( A + B z ) d 2 w d z 2 + ( C + D z ) d w d z + ( E + F z ) w = 0 {\displaystyle (A+Bz){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0} 先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式： z d 2 w d z 2 + ( C + D z ) d w d z + ( E + F z ) w = 0 {\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(C+Dz){\frac {dw}{dz}}+(E+Fz)w=0} 这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到： z d 2 w d z 2 + ( C + D D 2 − 4 F z ) d w d z + ( E D 2 − 4 F + F D 2 − 4 F z ) w = 0 {\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(C+{\frac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}z\right){\frac {dw}{dz}}+\left({\frac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}}+{\frac {F}{D^{2}-4F}}z\right)w=0} 它的解为， w ( z ) = exp ⁡ [ − ( 1 + D D 2 − 4 F ) z 2 ] f ( z ) , f ( z ) = k 1 M ( a , C , z ) + k 2 U ( a , C , z ) , a = ( 1 + D D 2 − 4 F ) C 2 − E D 2 − 4 F , k 1 , k 2 ∈ C {\displaystyle w(z)=\exp[-(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {z}{2}}]f(z),\quad f(z)=k_{1}M(a,C,z)+k_{2}U(a,C,z),\quad a=(1+{\tfrac {D}{\sqrt {D^{2}-4F}}}){\tfrac {C}{2}}-{\tfrac {E}{\sqrt {D^{2}-4F}}},k_{1},k_{2}\in \mathbb {C} } Kummer 方程的李代数参数定义为 α = b − 1 , θ = 2 a − b , {\displaystyle \alpha =b-1,\theta =2a-b,} 其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为 F α , θ ( z )  and  z − α F − α , θ ( z ) {\displaystyle F_{\alpha ,\theta }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\theta }(z)} 惠泰克方程的形式为： d 2 w d z 2 + ( − 1 4 + κ z + 1 / 4 − μ 2 z 2 ) w = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.} 它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系： M κ , μ ( z ) = exp ⁡ ( − z / 2 ) z μ + 1 2 M ( μ − κ + 1 2 , 1 + 2 μ ; z ) {\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)} W κ , μ ( z ) = exp ⁡ ( − z / 2 ) z μ + 1 2 U ( μ − κ + 1 2 , 1 + 2 μ ; z ) {\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)} 注意到 M κ , μ ( z ) = exp ⁡ ( − z / 2 ) z μ + 1 2 F 2 μ , − 2 κ ( z ) {\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}F_{2\mu ,-2\kappa }(z)} 故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。 合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为： B ( a , c − a ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z b ) = ∫ 1 ∞ t b − c ( t − 1 ) c − a − 1 ( t − z b ) − b d t = ∫ 1 ∞ t − c ( t − 1 ) c − a − 1 ( 1 − z b t ) − b d t , ℜ ( c ) > ℜ ( a ) > 0 , | arg ⁡ ( 1 − z b ) | < π {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\mathrm {d} t=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}(1-{\tfrac {z}{bt}})^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi } 式中的 Β 是beta函数。 两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示： B ( a , c − a ) 1 F 1 ( a ; c ; z ) = ∫ 1 ∞ t − c ( t − 1 ) c − a − 1 e z t d t , ℜ ( c ) > ℜ ( a ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a)\,{}_{1}F_{1}(a;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{-c}(t-1)^{c-a-1}e^{\tfrac {z}{t}}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0} 第二类合流超几何函数的积分表示为： Γ ( a ) U ( a , b , z ) = ∫ 0 ∞ e − z t t a − 1 ( 1 + t ) b − a − 1 d t , ℜ ( a ) > 0 {\displaystyle \Gamma (a)U(a,b,z)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt,\quad \Re (a)>0} 高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为： 2 F 1 ( a , b ; c ; z b ) = ( 1 − z b ) − b 2 F 1 ( c − a , b ; c ; 1 b b z z − b ) , | arg ⁡ ( 1 − z b ) | < π {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;{\tfrac {z}{b}})=(1-{\tfrac {z}{b}})^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {1}{b}}{\tfrac {bz}{z-b}}),\quad |\arg(1-{\tfrac {z}{b}})|<\pi } 两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式： 1 F 1 ( a ; c ; z ) = e z 1 F 1 ( c − a ; c ; − z ) {\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;c;z)=e^{z}\,{}_{1}F_{1}(c-a;c;-z)} 第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为： U ( a , b , z ) = z 1 − b U ( 1 + a − b , 2 − b , z ) {\displaystyle U(a,b,z)=z^{1-b}U\left(1+a-b,2-b,z\right)} . 很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。 第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为： I ν ( z ) = z ν 2 ν e z Γ ( ν + 1 ) M ( ν + 1 2 , 2 ν + 1 , z ) {\displaystyle I_{\nu }(z)={\frac {z^{\nu }}{2^{\nu }e^{z}\Gamma (\nu +1)}}M(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)} K ν ( z ) = π ( 2 z ) ν e − z U ( ν + 1 2 , 2 ν + 1 , z ) {\displaystyle K_{\nu }(z)={\sqrt {\pi }}(2z)^{\nu }e^{-z}U(\nu +{\frac {1}{2}},2\nu +1,z)} 不完全伽玛函数可以表示为： γ ( a , z ) = z a a M ( a , a + 1 , − z ) , a ∉ Z 0 − {\displaystyle \gamma (a,z)={\frac {z^{a}}{a}}M(a,a+1,-z),\quad a\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}} Γ ( a , z ) = e − z U ( 1 − a , 1 − a , z ) {\displaystyle \Gamma (a,z)=e^{-z}U(1-a,1-a,z)} 误差函数可以表示为： erf ⁡ ( z ) = 2 z π M ( 1 2 , 3 2 , − z 2 ) {\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}M({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-z^{2})} 拉盖尔函数可以表示为： L n ( α ) ( z ) = ( n + α n ) M ( − n , α + 1 , z ) , α ∉ Z − {\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,z),\quad \alpha \notin \mathbb {Z} ^{-}} 其中的二项式系数用贝塔函数来定义。 （物理学上的）厄米多项式可以表示为： H n ( z ) = 2 n U ( − n 2 , 1 2 , z 2 ) , n ∈ Z 0 + , ℜ ( z ) > 0 {\displaystyle H_{n}(z)=2^{n}U(-{\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}},z^{2}),\quad n\in \mathbb {Z} _{0}^{+},\Re (z)>0} 关于李代数参数，详见超几何函数 吴崇试. 17. 数学物理方法（第二版）. 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.  Daalhuis, Adri B. Olde, 合流超几何函数, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248  Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .  Chistova, E.A., c/c024700, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz & Tricomi, Francesco G. Higher transcendental functions. Vol. I. New York–Toronto–London: McGraw–Hill Book Company, Inc. 1953. MR 0058756.  Kummer, Ernst Eduard. De integralibus quibusdam definitis et seriebus infinitis. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1837, 17: 228–242 [2014-09-05]. ISSN 0075-4102. doi:10.1515/crll.1837.17.228. （原始内容存档于2014-08-19） （拉丁语）.  Slater, Lucy Joan. Confluent hypergeometric functions. Cambridge, UK: Cambridge University Press. 1960. MR 0107026.  Tricomi, Francesco G. Sulle funzioni ipergeometriche confluenti. Annali di Matematica Pura ed Applicata. Serie Quarta. 1947, 26: 141–175. ISSN 0003-4622. MR 0029451. doi:10.1007/bf02415375 （意大利语）.  Tricomi, Francesco G. Funzioni ipergeometriche confluenti. Consiglio Nazionale Delle Ricerche Monografie Matematiche 1. Rome: Edizioni cremonese. 1954. ISBN 978-88-7083-449-9. MR 0076936 （意大利语）.  Wolfram 函数大全上的 Kummer 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆） Wolfram 函数大全上的 Tricomi 超几何函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）