重构猜想

未解決的数学問題：一个图能够被它的子图唯一地决定吗？ 重构猜想(英语:Reconstruction Conjecture)，图论中的重構猜想，认为一个图能够由它的子图唯一决定。此猜想由PAUL J. KELLY和斯塔尼斯拉夫·乌拉姆共同提出。 给定图 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} , 其 顶点子图（英文：vertex-deleted subgraph）是在 G {\displaystyle G} 中删除了一个顶点得到的子图. 根据定义, 它是图 G {\displaystyle G} 的导出子图。 对于图 G {\displaystyle G} , 其deck, 记作 D ( G ) {\displaystyle D(G)} ,是由 G {\displaystyle G} 的所有顶点子图的同构类所组成的多重集。 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中的每一个图被叫做一张 card。两个拥有相同deck的图被称作彼此hypomorphic。 在给了以上的定义后，重构猜想可以表述为： 重构猜想: 任何两个顶点数大于等于3的彼此hypomorphic的图是同构的。 (这里要求两个图的顶点数大于等于3是必要的，因为顶点数为2的图本就有相同的deck） Harary 提出了一个更强的假设: 顶点重构猜想Set Reconstruction Conjecture: 对任意两个顶点数大于等于4的图，若它们的顶点子图均相等，则它们是同构的。 给定图 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} , 其 边子图（英文：edge-deleted subgraph）是在 G {\displaystyle G} 中删除了一条边得到的子图an edge-deleted subgraph of G {\displaystyle G} 对于图 G {\displaystyle G} , 其edge-deck, 记作 E D ( G ) {\displaystyle ED(G)} ,是由 G {\displaystyle G} 的所有边子图的同构类所组成的多重集。 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中的每一个图被叫做一张 edge-card。 边重构猜想 Edge Reconstruction Conjecture: (Harary, 1964) 对对任意两个边的个数大于等于4的图，若它们的边子图均相等，则它们是同构的。 在重构猜想中，一个图属性被称作 可识别的如果它可以被图的deck确定。以下的这些属性是可识别的： 图的阶数 – 图 G {\displaystyle G} 的阶数, | V ( G ) | {\displaystyle |V(G)|} ， 可以从 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中识别，因为 多重集 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 包含了每一个从 G {\displaystyle G} 中删除一个顶点的子图，因此 | V ( G ) | = | D ( G ) | {\displaystyle |V(G)|=|D(G)|} 图的边数 – 阶数为 n {\displaystyle n} 的图 G {\displaystyle G} 的边的个数 , | E ( G ) | {\displaystyle |E(G)|} ，是可识别的。首先要注意到， G {\displaystyle G} 中的每一条边会在 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中 n − 2 {\displaystyle n-2} 个图中出现。其原因是：根据 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 的定义，每次构造顶点子图时，当删掉的顶点并不是这条边的端点时，它就会在这个顶点子图中出现，因此它会出现 n − 2 {\displaystyle n-2} 次。根据以上这个观察， | E ( G ) | = ∑ q i n − 2 {\displaystyle |E(G)|=\sum {\frac {q_{i}}{n-2}}} ，其中 q i {\displaystyle q_{i}} 是 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中第i个图的边的个数。 度序列 – 图 G {\displaystyle G} 的度序列是可识别的，因为每一个顶点的度都是可识别的。为了找到vertex v i {\displaystyle v_{i}} 的度，我们研究删除这个顶点之后的图, G i {\displaystyle G_{i}} 。它包含了所有不和 v i {\displaystyle v_{i}} 相接的边，故如果 q i {\displaystyle q_{i}} 是 G i {\displaystyle G_{i}} 中边的个数，则 | E ( G ) | − q i = deg ⁡ ( v i ) {\displaystyle |E(G)|-q_{i}=\deg(v_{i})} 。 边连通性 –根据定义，图 G {\displaystyle G} 是 n {\displaystyle n} -边连通的如果删除任意一个顶点可以导出一个 n − 1 {\displaystyle n-1} -边连通图；因此，如果每一个card都是一个 n − 1 {\displaystyle n-1} -边连通图，我们知道原图是 n {\displaystyle n} -边连通图。 我们也可以确定原图是否是连通的，因为这等价于任意两个 G i {\displaystyle G_{i}} 是连通的。 Tutte polynomial 图的特征多项式 平面性 图中生成树的种类 色多项式 重构猜想和顶点重构猜想在图的阶数小于等于11的情况下均已被Brendan McKay验证。 Béla Bollobás提出，在概率意义下几乎所有的图都是可重构的。 ，这意味着随着图的阶数 n {\displaystyle n} 趋于无穷，一个随机选择的阶数为 n {\displaystyle n} 的图不能被重构的概率趋于0。事实上，可以证明不仅几乎所有的图重构的，而且重构它们并不需要整个deck，几乎所有的图都可以被deck中的3张card来决定。 重构猜想已经在一些种类的图上被验证。 正则图 - 通过直接应用一些能够被deck识别的属性,可以证明正则图是可重构的。给定一个 n {\displaystyle n} -正则图 G {\displaystyle G} 以及它的deck D ( G ) {\displaystyle D(G)} ,我们可以通过识别每个顶点的度来识别图的正则性。我们观察 D ( G ) {\displaystyle D(G)} 中的一个图, G i {\displaystyle G_{i}} 。 它有一些度为 n {\displaystyle n} 的顶点和 n {\displaystyle n} 个度为 n − 1 {\displaystyle n-1} 的顶点. 通过增加一个顶点，将其 n {\displaystyle n} 个度为 n − 1 {\displaystyle n-1} 的顶点相连，可以构造一个 n {\displaystyle n} -正则图， 该图与图 G {\displaystyle G} 同构。因此，所有的正则图都可以被它们的deck重构。一类特殊的正则图是完全图。 树 不连通图 Unit interval graph Separable graphs without end vertices 极大平面图 Maximal outerplanar graph Outerplanar graph Critical blocks 如果所有的2-conected图都是可重构的，则重构猜想正确。 顶点重构定理有一定的对偶性质，如果 G {\displaystyle G} 可重构，则其补 G ′ {\displaystyle G'} 可以以如下方式被 D ( G ′ ) {\displaystyle D(G')} 重构：从 D ( G ′ ) {\displaystyle D(G')} 中取出所有的card，分别取补得到 D ( G ) {\displaystyle D(G)} ，用它来重构 G {\displaystyle G} ，再取补得到 G ′ {\displaystyle G'} 。 边重构定理并没有这样的对偶性质：事实上，对于某些类型的边-可重构图来说，我们并不知道它们的补能否被边重构。 以下的一些图结构被证明在一般情况下都不能被重构： 有向图: 无数种不能被重构的有向图已经被发现：其中包括tournaments (Stockmeyer) 和 non-tournaments (Stockmeyer)。 如果一个tournament不是强连接（strongly connected)，则是可重构的。 一个针对有向图的弱版本的重构猜想可以详见new digraph reconstruction conjecture。 超图 (Kocay). 无限图-令无限图T每个顶点的度都为无穷的树，令nT 为n 个T 的disjoint union 。 这些图相互hypomorphic，因此它们并不是可重构的。这些图的任以顶点子图都是同构的：它们都是无数个T的无交并。 New digraph reconstruction conjecture Partial symmetry 更多关于重构猜想的内容详见 Nash-Williams的综述 Kelly, P. 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