度量空间

在數學中，賦距空間（英語：Metric space）是具有距離這一個概念的集合，具體來說，是裝配了一個稱為度量的函數，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法国數學家莫里斯·弗雷歇在1906年于其意大利语著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》首次使用。 賦距空間中最符合人们对于现实直观理解的為三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念即是欧几里得距离四个周知的性质之推广。欧几里得度量定义了两点间之距离为连接這兩點的直线段之长度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狭义相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。 賦距空間还能導出开集與闭集之類的拓扑性质，这导致了对更抽象的拓扑空间之研究。 M {\displaystyle M} 為集合，若其裝配了函数 d : M × M → R {\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} } ，對任意 x , y , z ∈ M {\displaystyle x,\,y,\,z\in M} 滿足： 則稱 d {\displaystyle d} 為定義在 M {\displaystyle M} 上的度量(metric)或是距离函数，且稱 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 為度量空間。若依上下文可知道使用的度量為何，通常會省略 d {\displaystyle d} ，只稱「 M {\displaystyle M} 為度量空間 」。 雖然大部分的書籍會將「 對任意 x , y ∈ M {\displaystyle x,\,y\in M} ， d ( x , y ) ≥ 0 {\displaystyle d(x,y)\geq 0} 」列入度量的定義中，但由上面的三個定義就足以推出這個性質，這是因為 0 = d ( x , x ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , x ) = 2 d ( x , y ) {\displaystyle 0=d(x,\,x)\leq d(x,\,y)+d(y,\,x)=2d(x,\,y)} 所以本節並沒有把這個性質列入定義。 直觀上，對於任何道路系統與地形，兩個位置間之距離可被定義為連接這些位置的最短路徑的長度，這樣上面的三角不等式正代表距離是最短路徑。 具有由絕對值給出的距離函數 d ( x , y ) = | y − x | {\displaystyle d(x,y)=\vert y-x\vert } 之實數集合為完备度量空间。具有相關度量的有理數集合也會形成一個度量空間，但不完備。 具有距離函數 d ( x , y ) = | log ⁡ ( y / x ) | {\displaystyle d(x,y)=\vert \log(y/x)\vert } 的正實數集合為完備度量空間。 賦範向量空間的度量定義為 d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ {\displaystyle d(x,y)=\lVert x-y\rVert } 若 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 為一度量空間，則對 M {\displaystyle M} 之任意子集 X ⊆ M {\displaystyle X\subseteq M} ， ( X , d | X × X ) {\displaystyle (X,\,d|_{X\times X})} 亦為一度量空間。 离散度量，其中 d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} ，若 x = y {\displaystyle x=y} ，不然 d ( x , y ) = 1 {\displaystyle d(x,y)=1} 。離散度量是個简单但重要的例子，可适用于任何非空集合。特别是，離散度量证明了对于任何非空集合，总是有一个度量空间与之关联。使用此一度量，每個點都是開球，且因此每個子集都是開的，且該空間具有離散拓撲。 如果 G {\displaystyle G} 是无向连通图，则 G {\displaystyle G} 的顶点集合 V {\displaystyle V} 可通过定义 d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} 为连接 x {\displaystyle x} 的 y {\displaystyle y} 的最短路径的长度，变成度量空间。在幾何群論裡，該度量可適用於一個群的凱萊圖上，並稱之為字度量。 萊文斯坦距離是衡量兩個字串 u {\displaystyle u} 與 v {\displaystyle v} 間之差異的方法，定義為字串透過刪除、插入或取代將 u {\displaystyle u} 轉變成 v {\displaystyle v} 所需的最少步驟。該距離可被視為一個圖中最短路徑度量的特例，亦為編輯距離的一個例子。 如果 M {\displaystyle M} 是连通黎曼流形，则通过把在两点之间的距离定义为连接兩點的路径（连续可微曲线）之长度的下确界，將 M {\displaystyle M} 变成度量空间。 类似的，在 3D 中在多面体的表面上的度量包括平常的度量，在表面上的距离；在多面体的边上第三个度量是路径为边的度量。例如，在单位立方体相对顶点之间的距离分别是 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} 、 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 和 3 {\displaystyle 3} 。 如果 M {\displaystyle M} 是度量空间，則 M {\displaystyle M} 的所有紧致子集按豪斯多夫距离 d ( X , Y ) := inf { r | ( ∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y ( d ( x , y ) < r ) ) ∧ ( ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X ( d ( x , y ) < r ) ) } {\displaystyle d(X,Y):=\inf \lbrace r|(\forall x\in X\exists y\in Y(d(x,y)<r))\land (\forall y\in Y\exists x\in X(d(x,y)<r))\rbrace } 組成度量空间 K ( M ) {\displaystyle K(M)} 。在这个度量中，两个元素是相互邻近的，如果一个集合的所有元素邻近于另一个集合某个元素。可以证明 K ( M ) {\displaystyle K(M)} 是完备的如果 M {\displaystyle M} 是完备的。 由某些域上的所有 n × m {\displaystyle n\times m} 矩阵所組成之集合，是個具有秩距离 d ( X , Y ) = r a n k ( Y − X ) {\displaystyle d(X,Y)=\mathrm {rank} (Y-X)} 的度量空间。 度量空間是個仿緊緻豪斯多夫空間，因此是個正規空間（且實際上是個完美正規空間）。度量空間也是個第一可數空間，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。 依據提策擴展定理，每個度量空間都能具有單位分解，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函數均能擴展成整個空間的連續映射。每個定義於度量空間的子集上之實數值利普希茨連續映射亦能擴展成整個空間的利普希茨連續映射。 對於度量空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 內的任一點 x {\displaystyle x} ，可定義中心為 x {\displaystyle x} ，半徑為 r > 0 {\displaystyle r>0} 的開球 B ( x ; r ) := { y ∈ M | d ( x , y ) < r } {\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}} 這樣的話，若取所有開球構成的集合為拓撲基（詳見基的範例） B d := { A ∈ P ( M ) | ∃ a ∃ r { ( a ∈ M ) ∧ ( r > 0 ) ∧ ( ∀ x ∈ M ) [ ( a ∈ A ) ⇔ ( d ( x , a ) < r ) ] } } {\displaystyle {\mathcal {B}}_{d}:=\left\{A\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists a\exists r\{(a\in M)\wedge (r>0)\wedge (\forall x\in M)[\,(a\in A)\Leftrightarrow (d(x,\,a)<r)\,]\}\right\}} 那就可以定義以下的拓撲結構 τ d := { O ∈ P ( M ) | ∃ A [ ( A ⊆ B d ) ∧ ( O = ⋃ A ) ] } {\displaystyle \tau _{d}:=\left\{O\in {\mathcal {P}}(M)\,{\bigg |}\,\exists {\mathcal {A}}\left[\,({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}_{d})\wedge \left(O=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\,\right]\right\}} 也就是把開集定義成任意個開球的并集，這樣的話任意度量空間都自然地是個拓撲空間。簡便起見，也會以度量空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 來稱呼這個自然存在的拓撲空間 ( M , τ d ) {\displaystyle (M,\,\tau _{d})} 。 反之，若可從某拓撲空間內建構出一個符合上述關係的度量，則稱此拓撲空間為可度量化空間；進一步的細節請見烏雷松度量化定理。 定理 — 度量空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 內的子集 X {\displaystyle X} 是閉的，若且唯若每個 X {\displaystyle X} 的极限点都在 X {\displaystyle X} 內。 複數數列的極限是基於絕對值去定義的，但考慮到絕對值本身是一個定義在复数系 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的度量，很自然地可以對度量空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 作如下推廣： { a i ∈ M } i ∈ N {\displaystyle {\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }} 是 M {\displaystyle M} 上的一個序列，若存在 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 使得 「對任意正实数 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使任意的正整數 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要有 i > n {\displaystyle i>n} ，就有 d ( a i , a ) < ϵ {\displaystyle d(a_{i},\,a)<\epsilon } 。」 那稱 a ∈ M {\displaystyle a\in M} 為序列 { a i ∈ M } i ∈ N {\displaystyle {\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }} 的極限，且用 lim i → ∞ a i = a {\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a} 或更簡略的 a i ⟶ a {\displaystyle a_{i}\longrightarrow a} 來表達。 仿造以有理數柯西序列數列構造實數的過程，可以將任意度量空間擴張為完備空間，也就是在新度量空間取值的柯西序列，都會在新度量的意義下收斂。 以下的結果歷史上是由费利克斯·豪斯多夫於1914年首先提出的。 對於任意度量空間 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} ，若定義 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 為 M = { { a i ∈ M } i ∈ N | ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ n ∈ N ) ( ∀ i ∈ N ) ( ∀ j ∈ N ) [ ( i , j ≥ n ) ⇒ ( d ( a i , a j ) < ϵ ) ] } {\displaystyle {\mathcal {M}}=\left\{{\{a_{i}\in M\}}_{i\in \mathbb {N} }{\bigg |}(\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )(\forall j\in \mathbb {N} )[\,(i,\,j\geq n)\Rightarrow \left(\,d(a_{i},\,a_{j})<\epsilon \right)\,]\right\}} 也就是說， M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 為所有在 M {\displaystyle M} 上取值的柯西序列所構成的集合。然後定義以下的等价关系 ∼= { ( { a i } n ∈ N , { b i } n ∈ N ) ∈ M 2 | lim i → ∞ d ( a i , b i ) = 0 } {\displaystyle \sim =\left\{(\{a_{i}\}_{n\in \mathbb {N} },\,\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} })\in {\mathcal {M}}^{2}{\bigg |}\lim _{i\to \infty }d(a_{i},\,b_{i})=0\right\}} 也就是兩序列之間的距離趨近於零，則被認為是等價的。接下來取 M ¯ = M / ∼ {\displaystyle {\overline {M}}={\mathcal {M}}/\sim } ，也就是所有 ∼ {\displaystyle \sim } 在 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上的等价类所構成的集合。 這樣可以定義一個函數 d ¯ : M ¯ × M ¯ → R {\displaystyle {\overline {d}}:{\overline {M}}\times {\overline {M}}\to \mathbb {R} } 滿足 d ¯ ( [ { a i } n → N ] , [ { b i } n ∈ N ] ) = lim i → ∞ d ( a i , b i ) {\displaystyle {\overline {d}}\left([\{a_{i}\}_{n\to \mathbb {N} }],\,[\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }]\right)=\lim _{i\to \infty }d(a_{i},b_{i})} 也就是新的度量，是等價類之間距離的極限值。 為了證明的確可以定義這樣的函數，要先證明對任意柯西序列 { a i } n ∈ N , { b i } n ∈ N ∈ M {\displaystyle \{a_{i}\}_{n\in \mathbb {N} },\,\{b_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {M}}} ， lim i → ∞ d ( a i , b i ) {\displaystyle \lim _{i\to \infty }d(a_{i},b_{i})} 是存在的。 根據 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} （也就是柯西序列）的定義，對任意正实数 ϵ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )} ，可以取正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使任意的正整數 i , j ∈ N {\displaystyle i,\,j\in \mathbb {N} } 只要有 i , j > n {\displaystyle i,\,j>n} 就有 d ( a i , a j ) < ϵ 2 {\displaystyle d(a_{i},\,a_{j})<{\frac {\epsilon }{2}}} d ( b i , b j ) < ϵ 2 {\displaystyle d(b_{i},\,b_{j})<{\frac {\epsilon }{2}}} 度量空间 M 被称为有界的，如果存在某个数 r，使得对于所有 M 中的 x 和 y 有 d(x,y) ≤ r。r 最小可能的值稱之為 M 的直徑。空间 M 稱之為预紧致的或完全有界的，如果对于所有 r > 0 存在有限多个半径為 r 的开球，其并集覆盖 M。因为这些球為有限個，所以該空間的直徑亦為有限值，从而得出(使用三角不等式)所有完全有界空间都是有界的。但逆命题不成立，因为任何无限集合均可給定其离散度量(上面第一个例子)，使得該空間是有界的，但不是完全有界的。 須注意，在討論實數空間的區間及歐氏空間的區域時，有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過，有界性與「有限」之間一般並無關連；有限通常意含著有界，但反之不一定成立。 度量空間 M 是緊緻的，若每個 M 內的序列均有個子序列，會收斂於 M 內的一點。這稱為序列緊緻性，且在度量空間（但不是一般拓撲空間）裡，這等價於可數緊緻與以開覆蓋定義之緊緻性等拓撲性質。 緊緻度量空間的例子包括具絕對值度量的閉區間 [0,1]、所有具有限多個點的度量空間，以及康托爾集。每個緊緻集合的閉子集亦是緊緻的。 一度量空間為緊緻的，若且唯若該空間是完備的，且為完全有界的。這即是所謂的海涅－博雷爾定理。須注意，緊緻性僅決取於拓撲，而有界性則決取於度量。 勒貝格數引理表示，對於緊緻度量空間 M 內的每個開覆蓋，均存在一個「勒貝格數」δ，使得每個 M 內直徑 < δ 的子集均會被包含於某些覆蓋內。 每個緊緻度量空間均為第二可數，且是康托爾集的連續像。（後者由帕维尔·亚历山德罗夫與帕維爾·薩穆伊洛維奇·烏雷松所證得。） 度量空間M稱為局部緊緻的，如果每一點都有一個緊緻鄰域。歐氏空間為局部緊紗的，但無限維巴拿赫空間則不是。 度量空間M稱為常態（proper）的，如果每個閉球都是緊緻的。常態空間是完備且局部緊緻的，但局部緊緻空間未必是常態的。 度量空間 M 是連通的，若既开又闭的子集只有空集與 M 本身。 度量空間 M 是路徑連通的，若對於 M 內的任兩點 x、y，均存在一個連續映射 f : [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle f\colon [0,1]\to M} ，其中 f(0)=x 且 f(1)=y。每個路徑連通空間都是連通的，但反之通常不成立。 上述性質均有相對的局部定義：局部連通空間與局部路徑連通空間。 單連通空間在某一層面上來說，可說是個沒有「洞」的空間。 一度量空間稱之為可分空間，若該空間有可數稠密子集。典型的例子為實數或任何一個歐氏空間。對於度量空間（但不包括一般拓撲空間）可分性等價於第二可數，亦等價於林德勒夫性質。 假設 (M1,d1) 與 (M2,d2) 為兩個度量空間。 映射 f : M 1 → M 2 {\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}} 是連續的，若具有下列任意一個（也就得到了以下所有的）等價性質： 一般拓撲學的連續性 對於每個在 M 2 {\displaystyle M_{2}} 內的開集 U {\displaystyle U} ，其原像 f − 1 ( U ) {\displaystyle f^{-1}(U)} 在 M 1 {\displaystyle M_{1}} 內是開的。 這是在拓撲學裡連續性的一般定義。 序列連續性 若　 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 是　 M 1 {\displaystyle M_{1}} 內一序列，且會收斂至 M 1 {\displaystyle M_{1}} 內的 x {\displaystyle x} ，則序列 ( f ( x n ) ) {\displaystyle (f(x_{n}))} 會收斂至 M 2 {\displaystyle M_{2}} 內的 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 。 這是由愛德華·海涅所提出的序列连续性（英语：Sequential_continuity）。 ε-δ定義 對於每個在 M 1 {\displaystyle M_{1}} 內的 x {\displaystyle x} ，任意给定 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，均存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得對於所有 M 1 {\displaystyle M_{1}} 內的 y {\displaystyle y} ， d 1 ( x , y ) < δ ⇒ d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε . {\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .} 這用到了極限的(ε, δ)定義，由奧古斯丁·路易·柯西所提出。 此外， f {\displaystyle f} 是連續的，若且唯若該函數在 M 1 {\displaystyle M_{1}} 的每個緊緻子集內都是連續的。 每個緊緻集合在連續函數下的像亦是緊緻的，且每個連通集合在連續函數下的像亦是連通的。 映射 ƒ : M1 → M2 為一致連續的，若對於每個 ε > 0，均存在 δ > 0，使得 d 1 ( x , y ) < δ ⇒ d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε for all x , y ∈ M 1 . {\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon \quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.} 每個一致連續映射 ƒ : M1 → M2 均是連續的。若 M1 是緊緻的，則反向的陳述亦會成立。（海涅－康托爾定理） 一致連續映射會將 M1 內的柯西序列轉換成 M2 內的柯西序列。對於連續映射，該陳述則不一定會成立；例如，一個將開區間 (0,1) 滿射至實數線的連續映射即會將柯西序列轉換成無界的序列。 給定一數 K > 0，映射 ƒ : M1 → M2 為利普希茨連續，若 d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ K d 1 ( x , y ) for all x , y ∈ M 1 . {\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}.} 每個利普希茨連續映射均是一致連續的，但反之不一定成立。 若 K < 1，則 f 稱之為壓縮映射。令 M2 = M1，且 M1 是完備的。若 f 是個壓縮映射，則 f 會有個唯一的不動點（巴拿赫不動點定理）。若 M1 是緊緻的，則條件可稍微放寬一點：f 會有個唯一的不動點，若 d ( f ( x ) , f ( y ) ) < d ( x , y ) for all x ≠ y ∈ M 1 {\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}} . 映射 f:M1→M2 稱之為等距同構，若 d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) = d 1 ( x , y ) for all x , y ∈ M 1 {\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x,y\in M_{1}} 等距同構總會是單射的；緊緻或完備集合在等距同構下的像仍分別會是緊緻或完備的。不過，若等距同構不是滿射的，則閉（或開）集的像不一定是閉（或開）的。 映射　f : M1 → M2　稱之為擬等距同構，若存在常數 A ≥ 1 與 B ≥ 0，使得 1 A d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) − B ≤ d 1 ( x , y ) ≤ A d 2 ( f ( x ) , f ( y ) ) + B  for all  x , y ∈ M 1 {\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B{\text{ for all }}x,y\in M_{1}} 且有一個常數 C ≥ 0，使得 M2 內的每個點與像 f(M1) 內的某個點間之距離至多為 C。 須注意，擬等距同構不需要是連續的。擬等距同構比較度量空間的「大尺度結構」；多用於幾何群論內與字度量有關的理論。 度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函數，可給出不同等價的程度與類型。 给定两个度量空间 (M1, d1) 和 (M2, d2): 這兩個空間稱之為同胚（拓撲同構）的，若存在兩者間的同胚（即兩個方向均為連續的雙射）。在此條件下，這兩個空間能導出相同的拓撲空間。 這兩個空間稱之為一致同構的，若存在兩者間的一致同構（即兩個方向均為一致連續的雙射）。 這兩個空間稱之為等距同構的，若存在兩者間的等距同構雙射。在此一條件下，兩個度量空間基本上是相同的。 這兩個空間稱之為擬等距同構的，若存在兩者間的擬等距同構。 构造分离一个点与一个闭集的函数(作为完全正则空间的要求)的简单方式是考虑点和集合之间的距离。 如果 (M,d) 是度量空间，S 是 M 的子集而 x 是 M 的点，則可定义从 x 到 S 的距离为 d ( x , S ) = inf { d ( x , s ) : s ∈ S } {\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}} ，其中的 inf {\displaystyle \inf } 表示下確界。 d(x, S) = 0 若且唯若 x 包含於 S 的閉包內。此外，可將三角不等式推廣如下： d ( x , S ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , S ) , {\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),} 其中，可證明映射 x ↦ d ( x , S ) {\displaystyle x\mapsto d(x,S)} 是連續的。 給定兩個 M 內的子集 S 與 T，可定義豪斯多夫距離為 d H ( S , T ) = max { sup { d ( s , T ) : s ∈ S } , sup { d ( t , S ) : t ∈ T } } {\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}} ，其中的 sup {\displaystyle \sup } 表示上確界。 一般而言，豪斯多夫距離 dH(S,T) 可以是無限大的。兩個集合的在豪斯多夫距離上會互相靠近，若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。 豪斯多夫距離 dH 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K(M) 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的，則 K(M) 亦是完備的。（緊緻子集的收斂性亦可由庫拉托夫斯基收斂給出。） 然後，可定義任兩個度量空間之間的格羅莫夫-豪斯多夫距離為這兩個空間的等距同構嵌入版本間之最短豪斯多夫距離。使用此一距離，由所有（等距同構類型的）緊緻度量空間所組成的類本身即會形成一個度量空間。 如果 ( M 1 , d 1 ) , … , ( M n , d n ) {\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})} 是度量空间， | | ⋅ | | : R n → R {\displaystyle ||\cdot ||:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } 是在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的欧几里得范数，则由定義在 M 1 × … × M n {\displaystyle M_{1}\times \ldots \times M_{n}} 上的上的度量 ρ {\displaystyle \rho } ρ ( x → , y → ) = | | ( d 1 ( x 1 , y 1 ) , … , d n ( x n , y n ) ) | | {\displaystyle \rho ({\vec {x}},{\vec {y}})=||(d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}))||} 定義的度量空間 ( M 1 × … × M n , ρ ) {\displaystyle {\Big (}M_{1}\times \ldots \times M_{n},\rho {\Big )}} 等價於積空間，度量 ρ {\displaystyle \rho } 稱為積度量。此度量空間上的拓撲與積空間上的拓撲等價，同理，積空間 M 1 × … × M n {\displaystyle M_{1}\times \ldots \times M_{n}} 為可度量的。依據有限維的範數之等價性，曼哈頓範數、p-範數、最大範數，及其他當座標內的分量增加時不會減少（符合三角不等式）之範數，所給出的度量均拓撲同構。 同樣的，度量空间的可数積度量可以定義為如下度量： d ( x , y ) = ∑ i = 1 ∞ 1 2 i d i ( x i , y i ) 1 + d i ( x i , y i ) . {\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.} 度量空間的不可數積度量不一定是可度量化的。例如， R R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} 不是第一可數空間，因此不能度量化。 值得注意的是，在一個空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 中，距离映射 d : M × M → R + {\displaystyle d:M\times M\rightarrow \mathbb {R} ^{+}} 在上述任何一個積度量 N ( d , d ) {\displaystyle N(d,d)} 下均是一致连续的，且特别是，在 M × M {\displaystyle M\times M} 下的积拓扑會是连续的。 若 M 為度量空間，其度量為 d，且 ~ 為 M 上之等價關係，則可在商集合 M/~ 上賦加下面的（偽）度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y]，可定義 d ′ ( [ x ] , [ y ] ) = inf { d ( p 1 , q 1 ) + d ( p 2 , q 2 ) + ⋯ + d ( p n , q n ) } {\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\}} 其中， [ p 1 ] = [ x ] {\displaystyle [p_{1}]=[x]} 、 [ q i ] = [ p i + 1 ] {\displaystyle [q_{i}]=[p_{i+1}]} 、 [ q n ] = [ y ] {\displaystyle [q_{n}]=[y]} （即取從 [x] 至 [y] 經過所有等價類之路徑的最短長度）。一般來說，這僅能定義出一個偽度量，即 d'([x],[y])=0 不一定蘊涵 [x] = [y]。不過，對於良好的等價關係（如將多面體沿著面膠合），則會是個度量。此外，若 M 是個緊緻空間，則該度量在 M/~ 上導出之拓撲為商拓撲。 商度量 d 具有下列泛性質：若 f : ( M , d ) ⟶ ( X , δ ) {\displaystyle f:(M,d)\longrightarrow (X,\delta )} 是個度量空間之間的度量映射（英语：metric map）（即對於所有 x、y， δ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d ( x , y ) {\displaystyle \delta (f(x),f(y))\leq d(x,y)} ），滿足當 x ∼ y , {\displaystyle x\sim y,} 時，f(x)=f(y) 的條件，則函數 f ¯ : M / ∼⟶ X {\displaystyle {\overline {f}}\colon M/\sim \longrightarrow X} 定義為 f ¯ ( [ x ] ) = f ( x ) {\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)} ，亦會是個度量映射 f ¯ : ( M / ∼ , d ′ ) ⟶ ( X , δ ) {\displaystyle {\overline {f}}\colon (M/\sim ,d')\longrightarrow (X,\delta )} 。 一個拓撲空間是序列的，若且唯若該空間是個度量空間的商空間。 每個度量空間都自然會是個一致空間，而每個一致空間也都自然會是個拓撲空間。因此，一致空間與拓撲空間均可視為度量空間的推廣。 若考量上面給定之度量空間的第一個定義，放寬定義中的第二個條件，則可得到偽度量空間。若移除第三個或第四個條件，則可分別得到擬度量空間與半度量空間。 若距離函數的對應域為擴展實數線 R∪{+∞}，定義中的四個條件維持不變，則稱該空間為「擴展度量空間」或「 ∞ {\displaystyle \infty } -度量空間」。若距離函數的對應域為某個（適當的）有序集（且三角不等式有對應的調整），則可得出「擴展超度量」這個概念。 趨近空間（英语：Approach space）是度量空間的推廣，以點對集合的距離取代點對點的距離。 連續性空間是度量空間與偏序集的推廣，用來統整度量空間與域的概念。 部分度量空間是為了對度量空間作最小化的推廣，使得每個點對自身的距離不再一定為零。 有序集 ( R , ≥ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )} 可透過令 a ≥ b {\displaystyle a\geq b} 時恰有一態射 a → b {\displaystyle a\to b} ，否則沒有態射，將之視為一個範疇。使用 + 作為張量積，0 作為單位元，該集合可變成一個么半範疇 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 。每個度量空間 (M, d) 均可被視為 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 上的豐富範疇 M ∗ {\displaystyle M^{*}} 。其步驟如下： 令 Ob ⁡ ( M ∗ ) := M {\displaystyle \operatorname {Ob} (M^{*}):=M} （M 內的元素為豐富範疇 M ∗ {\displaystyle M^{*}} 之物件）。 對於每個 M 內的元素 X、Y，令 Hom ⁡ ( X , Y ) := d ( X , Y ) ∈ Ob ⁡ ( R ∗ ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (X,Y):=d(X,Y)\in \operatorname {Ob} (R^{*})} （M 的度量為豐富範疇 M ∗ {\displaystyle M^{*}} 之態射）。 態射複合 Hom ⁡ ( Y , Z ) ⊗ Hom ⁡ ( X , Y ) → Hom ⁡ ( X , Z ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (Y,Z)\otimes \operatorname {Hom} (X,Y)\to \operatorname {Hom} (X,Z)} 亦為 R ∗ {\displaystyle R^{*}} 內的唯一態射，因為三角不等式 d ( y , z ) + d ( x , y ) ≥ d ( x , z ) {\displaystyle d(y,z)+d(x,y)\geq d(x,z)} 。 單位態射 0 → Hom ⁡ ( X , X ) {\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} (X,X)} 是唯一的，因為 0 ≥ d ( X , X ) {\displaystyle 0\geq d(X,X)} 。 三角不等式 利普希茨连续 等距同构，压缩映射和度量映射 范数 Fréchet, M. Maurice. Sur quelques points du calcul fonctionnel. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (1884-1940). 1906-12-01, 22 (1). ISSN 0009-725X. doi:10.1007/BF03018603 （意大利语）.  Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603. metric spaces are Hausdorff. PlanetMath.  G. Ye, Shilov. Mathematical Analysis: A Special Course. : Chapter 2.  PlanetMath: a compact metric space is second countable 互联网档案馆的存檔，存档日期2009-02-05. Goreham, Anthony. Sequential convergence in Topological Spaces （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Honours' Dissertation, Queen's College, Oxford (April, 2001), p. 14 Pascal Hitzler and Anthony Seda, Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. Chapman and Hall/CRC, 2010. 存档副本. [2015-10-04]. （原始内容存档于2017-07-27）.  Lawvere 2002 Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov. A Course in Metric Geometry. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0-8218-2129-6.  Victor Bryant. 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