十二胞體

在幾何學中，十二胞體是指有12個胞或維面的多胞體。若一個十二胞體的12個胞全等且為正圖形，且每條邊等長、每個角等角則稱為十二胞體，若其有不止一種胞，且該胞都是半正多胞形或正圖形，則稱為半正十二胞體。四維或四維以上的空間僅有兩個維度存在正十二胞體，六維和十一維，其中六維空間的正十二胞體是六維超立方體（英语：6-cube）為一種立方形，十一維空間的正十二胞體是十一維正十二胞體為一種單純形。 在四維空間中沒有正十二胞體，但有四種柱體柱：三角九角柱體柱（英语：3-9 duoprism）、四角八角柱體柱（英语：4-8 duoprism）和五角七角柱體柱（英语：5-7 duoprism）和六角六角柱體柱（英语：6-6 duoprism），其中，六角六角柱體柱是由十二個全等的六角柱組成，但六角柱不是正圖形，因此不能算是正十二胞體。 在五維空間中，十二胞體由12個四維多胞體組成，雖然沒有正十二胞體，但存在許多半正多胞體，例如四種經過一次康威變換的半正多胞體。 在六維空間中，十二胞體為由12個五維多胞體所組成的多胞體，而由十二個五维超正方体所組成的十二胞體稱為六維超立方體（英语：6-cube）。 在十一維空間幾何學中，十一維正十二胞體（Dodecadakon或Dodeca-11-tope）又稱為11-單純形（11-simplex）是十一維空間的一種自身對偶的正多胞體，由12個十維正十一胞體組成，是一個十一維空間中的單純形。 四維正十二胞體共有12個維面、66個維軸和220個維端，其各維度的的胞數分別為12個十維胞、66個九維胞、220個八維胞、495個七維胞、792個六維胞、924個五維胞、792個四維胞、495個三維胞、220個面、66條邊和12個頂點，其二面角為cos−1(1/11)大約是84.78°。 邊長為2且幾何中心位於原點的十一維正十二胞體的頂點座標會落在： ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   1 / 21 ,   1 / 15 ,   1 / 10 ,   1 / 6 ,   1 / 3 ,   ± 1 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   1 / 21 ,   1 / 15 ,   1 / 10 ,   1 / 6 ,   − 2 1 / 3 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   1 / 21 ,   1 / 15 ,   1 / 10 ,   − 3 / 2 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   1 / 21 ,   1 / 15 ,   − 2 2 / 5 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   1 / 21 ,   − 5 / 3 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   1 / 28 ,   − 12 / 7 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   1 / 6 ,   − 7 / 4 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ 1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   1 / 45 ,   − 4 / 3 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ {\sqrt {1/45}},\ -4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   1 / 55 ,   − 3 1 / 5 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ {\sqrt {1/55}},\ -3{\sqrt {1/5}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( 1 / 66 ,   − 20 / 11 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left({\sqrt {1/66}},\ -{\sqrt {20/11}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} ( − 11 / 6 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ) {\displaystyle \left(-{\sqrt {11/6}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)} 十二面體 十二邊形 Olshevsky, George, Duoprism at Glossary for Hyperspace. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Coxeter, Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5) John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 409: Hemicubes: 1n1) (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]