测量平差

在测量学中，测量平差，也称为平差或最小二乘平差（英語：Least-squares adjustment），是指依据某类最优化准则对带有观测误差的测量数据进行调整，以求得测量对象的最佳估计值的理论和方法。测量平差的问题来源于测量过程中的多余观测。受到测量误差的影响，通过多余观测得到的测量值必然无法精确满足测量对象之间应存在的数学关系，这些测量值之间的不一致性被称为不符值或闭合差。包含多余观测的观测值在数学上组成了一个无精确解的超定系统（英语：Overdetermined system），但根据所选取的最优化准则，可以从该系统中求得一个符合该准则的近似解。 测量平差的基本任务即是处理观测值之间的不符值，并依据选取的最优化准则，求得观测量的最佳估计值，并对其精度进行评定。由于经典的测量平差方法通常选取最小二乘准则作为最优化准则，这类经典的平差方法也被称为最小二乘平差。依据经典测量平差求得的估计值是测量对象的最优线性无偏估计。 平差的函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型。这些数学关系即可是几何关系，也可是物理关系。例如，大地测量中的测量控制网和摄影测量中的共线方程描述的是几何关系，而在重力测量、卫星定轨或是形变监测中使用的模型描述的则是物理关系。函数模型中的观测量在实际的观测过程中确定，而未知量可根据模型的需要进行选取，测量平差的目的即是对这些未知量做出最优估计。 函数模型的观测量指经测量得到的测量对象的测量值，可分为必要观测量和多余观测量。 必要观测量是唯一确定函数模型所需要的观测量，仅与函数模型有关，必要观测量之间相互独立。以平面三角形为例，唯一确定其形状需要两个角度观测量，必要观测数为2；而唯一确定其形状和大小则需要两个角度及一条边长、一个角度及两条边长，或是三条边长的观测量，必要观测数为3。 平差模型中的总观测数 n {\displaystyle n} 与必要观测数 t {\displaystyle t} 之间必须满足 t ≥ n {\displaystyle t\geq n} ，才能保证该模型满秩，平差模型有解。 多余观测量则是在必要观测以外进行额外观测得到的观测量，其数目 r {\displaystyle r} 亦称为自由度或冗余度（英語：Redundancy），由总观测数 n {\displaystyle n} 和必要观测数 t {\displaystyle t} 确定： r = n − t {\displaystyle r=n-t} 由多余观测可列出与其数目相对应的条件方程，从而检核出条件方程中的不符值或闭合差，进而对测量对象的理论值和测量精度进行估计。 函数模型的未知量通常特指模型的待求参数。其与观测量的区别在于，这些未知量既可以是被直接观测的对象（例如上述的角度和边长），亦可以是对观测量产生影响的因素（例如几何图形中点的坐标）。将观测量表达成未知量的函数的方程即为观测方程。函数模型中未知量（参数）的数目 u {\displaystyle u} 与必要观测量的数目 t {\displaystyle t} 之间的数量关系与函数模型的类型一一对应： 当 u = 0 {\displaystyle u=0} 时，函数模型中只存在表达观测量间约束关系的条件方程，此时的平差方法为条件平差； 当 0 < u < t {\displaystyle 0<u<t} 时，除了表达观测量之间约束关系的条件方程外，还需在函数模型中增设 u {\displaystyle u} 条对参数作出约束的条件方程，此时的平差方法为附有参数的条件平差； 当 u = t {\displaystyle u=t} 时，函数模型中的所有观测量都可通过 u {\displaystyle u} 个相互独立的参数所组成的观测方程进行表达，此时的平差方法为间接平差； 当 u > t {\displaystyle u>t} 时，除了 u {\displaystyle u} 个相互独立的参数，函数模型中还存在 s = u − t {\displaystyle s=u-t} 个可表达为其他参数的函数的多余参数，因此需增设 s {\displaystyle s} 个条件方程对其进行约束，此时的平差方法为附有限制条件的间接平差。 测量平差中的条件方程是指描述各观测量之间，以及各观测量与参数之间应当满足的数学关系的方程式，其数学形式可统一为 F ⁡ ( L ^ , X ^ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0} 式中， L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} 表示经测量得到的观测量的理论值， X ^ {\displaystyle {\hat {X}}} 表示选取的参数的理论值。根据函数模型中选取参数的不同，条件方程有以下特殊形式： 当平差模型中没有另选参数时，条件方程的形式化为 F ⁡ ( L ^ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {F} ({\hat {L}})=0} ，该条件方程是间接平差的函数模型； 当条件方程仅表示对参数的约束条件，方程当中没有观测量时，条件方程的形式化为 Φ ⁡ ( X ^ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0} ，被特称为约束条件方程或限制条件方程，而其他形式的条件方程亦被统称为一般条件方程。 在大地测量中，条件方程选取的依据通常是观测量之间的几何关系。 以右图的平面测角三角网为例，其被测量的 a i {\displaystyle a_{i}} 、 b i {\displaystyle b_{i}} 和 c i {\displaystyle c_{i}} 等九个角度需要满足内角和条件、圆周条件和边长条件三类条件方程： 内角和条件，指同一三角形内观测的三个内角之和的理论值之和应等于180度，即 a ^ i + b ^ i + c ^ i − 180 ∘ = 0 {\displaystyle {\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}+{\hat {c}}_{i}-180^{\circ }=0} ； 圆周条件，指在中间点 D {\displaystyle D} 处观测的三个角度 c 1 {\displaystyle c_{1}} 、 c 2 {\displaystyle c_{2}} 和 c 3 {\displaystyle c_{3}} 的理论值之和应等于360度，即 c ^ 1 + c ^ 2 + c ^ 3 − 360 ∘ = 0 {\displaystyle {\hat {c}}_{1}+{\hat {c}}_{2}+{\hat {c}}_{3}-360^{\circ }=0} ； 边长条件，指经由不同方式求得的同一条边的长度理论值应当相等，对于右图中的测角三角网为 sin ⁡ a ^ 1 sin ⁡ b ^ 1 sin ⁡ a ^ 2 sin ⁡ b ^ 2 sin ⁡ a ^ 3 sin ⁡ b ^ 3 − 1 = 0 {\displaystyle {\frac {\sin {{\hat {a}}_{1}}}{\sin {{\hat {b}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{2}}}{\sin {{\hat {b}}_{2}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{3}}}{\sin {{\hat {b}}_{3}}}}-1=0} 上式可由正弦定理导出，将未知边长 C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} 通过两种方式表示由已知边长 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的求得： C D ¯ = A B ¯ sin ⁡ a ^ 1 sin ⁡ c ^ 1 sin ⁡ a ^ 2 sin ⁡ b ^ 2 = A B ¯ sin ⁡ b ^ 1 sin ⁡ c ^ 1 sin ⁡ b ^ 3 sin ⁡ a ^ 3 {\displaystyle {\overline {CD}}={\overline {AB}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{1}}}{\sin {{\hat {c}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{2}}}{\sin {{\hat {b}}_{2}}}}={\overline {AB}}{\frac {\sin {{\hat {b}}_{1}}}{\sin {{\hat {c}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {b}}_{3}}}{\sin {{\hat {a}}_{3}}}}} 消去作为系数的已知边长 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} ，即可得到仅由角度测量值表示的边长条件方程。 测量平差中的观测方程是指将观测量表达为参数的函数的方程式，其数学形式可统一成： L ^ = F ⁡ ( X ^ ) {\displaystyle {\hat {L}}=\operatorname {F} ({\hat {X}})} 在观测方程中，观测量和参数分别列于等号的两侧，且每一个观测量都对应一条观测方程。相较于条件方程，观测方程无需考虑观测量之间应满足的数学关系，更为简单且便于电算。 平差的随机模型描述的是平差模型中各类随机变量自身以及随机量之间的统计相关性质。在经典平差方法中，观测量被假设为仅包含偶然误差的随机变量，服从于正态分布。因此，常以方差和中误差描述这类随机变量自身的精度，并以协方差描述随机变量之间的相关性，而方差-协方差矩阵即是这类随机变量的随机模型： D = σ 0 2 Q = σ 0 2 P − 1 {\displaystyle D=\sigma _{0}^{2}Q=\sigma _{0}^{2}P^{-1}} 式中， D {\displaystyle D} 是随机变量的方差-协方差阵，通常直接简称为方差阵或协方差阵； Q {\displaystyle Q} 和 P {\displaystyle P} 分布是随机变量的协因数阵和权阵，且互为对方的逆； σ 0 2 {\displaystyle \sigma _{0}^{2}} 是该随机变量的先验单位权方差。 假设独立观测值 L i {\displaystyle L_{i}} 的方差是 σ i 2 {\displaystyle \sigma _{i}^{2}} ，则其有方差阵 D = [ σ 1 2 0 ⋯ 0 0 σ 2 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ σ n 2 ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0&\cdots &0\\0&\sigma _{2}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}} 选定先验单位权中误差为 σ 0 2 {\displaystyle \sigma _{0}^{2}} ，按下式确定观测值的权 p i {\displaystyle p_{i}} ： p i = σ 0 2 σ i 2 {\displaystyle p_{i}={\frac {\sigma _{0}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}} 因此，各观测值之间权的比例仅取决于观测值的方差（即观测值的精度指标），即有 p 1 : p 2 : ⋯ : p n = σ 1 − 2 : σ 2 − 2 : ⋯ : σ n − 2 {\displaystyle p_{1}:p_{2}:\cdots :p_{n}=\sigma _{1}^{-2}:\sigma _{2}^{-2}:\cdots :\sigma _{n}^{-2}} ，按如下方式组成权阵 P = [ p 1 0 ⋯ 0 0 p 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ p n ] = σ 0 2 D − 1 {\displaystyle P={\begin{bmatrix}p_{1}&0&\cdots &0\\0&p_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}=\sigma _{0}^{2}D^{-1}} 又观测值的协因数阵与权阵互逆，则有 Q = P − 1 {\displaystyle Q=P^{-1}} . 若相关观测值有协方差阵 D = [ σ 1 2 σ 12 ⋯ σ 1 n σ 21 σ 2 2 ⋯ σ 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ σ n 1 σ n 2 ⋯ σ n 2 ] {\displaystyle D={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&\sigma _{12}&\cdots &\sigma _{1n}\\\sigma _{21}&\sigma _{2}^{2}&\cdots &\sigma _{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{n1}&\sigma _{n2}&\cdots &\sigma _{n}^{2}\end{bmatrix}}} 式中 σ i 2 {\displaystyle \sigma _{i}^{2}} 为各观测量自身的方差， σ i j = σ j i ( i ≠ j ) {\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}\,(i\neq j)} 为两相关观测量之间的协方差。 选定先验单位权中误差为 σ 0 2 {\displaystyle \sigma _{0}^{2}} ，相关观测值的协因数阵为 Q = 1 σ 0 2 D {\displaystyle Q={\frac {1}{\sigma _{0}^{2}}}D} ，相关观测量的权阵则被定义为 P = Q − 1 {\displaystyle P=Q^{-1}} . 以最小二乘为最优化准则的平差方法，可根据函数模型的不同分为条件平差、间接平差和混合平差等类型。这些模型的共同点在于，其模型中的误差均被假设为仅包含偶然误差，且通过最小二乘准则得到的观测量和参数的估计值具有相同的统计性质。因此，这些平差模型亦被统称为经典平差模型，其在形式上可以统一为概括平差模型。 各类平差模型的计算步骤类似，首先建立函数模型并对其进行线性化，其次组成法方程并求解，再次由解得的联系数或参数求出观测值的改正数和观测值的估计值，最后进行精度评定。 条件平差方法是以仅给出观测量之间约束条件的条件方程作为函数模型的平差方法，其函数模型的一般形式为 F ⁡ ( L ^ ) = 0 {\displaystyle \operatorname {F} ({\hat {L}})=0} ，所有的观测值和非零常数都位于方程组的同一侧。方程组中，条件方程的个数与多余观测量 r {\displaystyle r} 相等，观测量的个数则为 n {\displaystyle n} 。 取 A = d F d L ^ | L {\displaystyle A=\left.{\operatorname {d} \!\operatorname {F} \over \operatorname {d} \!{\hat {L}}}\right\vert _{L}} 作为系数矩阵， A 0 = F ⁡ ( L ^ ) − A L ^ {\displaystyle A_{0}=\operatorname {F} ({\hat {L}})-A{\hat {L}}} 作为常数向量，该函数模型可线性化为 A L ^ + A 0 = 0 {\displaystyle A{\hat {L}}+A_{0}=0} ； 又由 L ^ = L + V {\displaystyle {\hat {L}}=L+V} ，因此取闭合差为 W = A L + A 0 {\displaystyle W=AL+A_{0}} ，将上式表述为观测值改正数 V {\displaystyle V} 与观测值闭合差 W {\displaystyle W} 之间的关系式，即 A V + W = 0 {\displaystyle AV+W=0} 以最小二乘准则 V T P V = min {\displaystyle V^{T}PV=\min } 作为该函数模型的附加条件进行解算，最终观测值改正数和观测量估计值的解分别为 V = P − 1 A T K = Q A T K {\displaystyle V=P^{-1}A^{T}K=QA^{T}K} L ^ = L + V {\displaystyle {\hat {L}}=L+V} 由协因数传播律，观测值改正数和观测量估计值的协因数阵分别为 Q V V = Q A T N a a − 1 A Q {\displaystyle Q_{VV}=QA^{T}N_{aa}^{-1}AQ} Q L ^ L ^ = Q − Q V V {\displaystyle Q_{{\hat {L}}{\hat {L}}}=Q-Q_{VV}} 解算过程中出现的各矩阵和向量的大小、计算公式和含义如下表所示： 间接平差方法是以观测方程为函数模型的平差方法，亦称参数平差，其函数的一般形式为 L ^ = F ⁡ ( X ^ ) {\displaystyle {\hat {L}}=\operatorname {F} ({\hat {X}})} ，方程组中一侧仅有观测值，另一侧则是所选参数和非零常数，观测方程的个数与观测量的个数 n {\displaystyle n} 相等，参数的个数则与必要观测数 t {\displaystyle t} 相等。 类似于条件平差，取 B = d F d X ^ | X 0 {\displaystyle B=\left.{\operatorname {d} \!\operatorname {F} \over \operatorname {d} \!{\hat {X}}}\right\vert _{X^{0}}} 作为系数矩阵， d = L ^ − B X ^ {\displaystyle d={\hat {L}}-B{\hat {X}}} 作为常数向量，该函数模型可线性化为 L ^ = B X ^ + d {\displaystyle {\hat {L}}=B{\hat {X}}+d} ； 设参数有近似值 X 0 {\displaystyle X^{0}} ，即有 X ^ = X 0 + x ^ {\displaystyle {\hat {X}}=X^{0}+{\hat {x}}} ；又由 L ^ = L + V {\displaystyle {\hat {L}}=L+V} ，因此取约化观测量为 l = L − F ⁡ ( X 0 ) = L − ( B X 0 + d ) = L − L 0 {\displaystyle l=L-\operatorname {F} (X^{0})=L-(BX^{0}+d)=L-L^{0}} ，线性化后的函数模型亦可表示为 V = B x ^ − l {\displaystyle V=B{\hat {x}}-l} 该式也称误差方程，式中由参数改正数 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 表达的观测值改正数（即观测值的后验误差）需满足最小二乘准则 V T P V = min {\displaystyle V^{T}PV=\min } ，以此求得自由极值下的参数改正数和参数估计值分别为 x ^ = N B B − 1 W {\displaystyle {\hat {x}}=N_{BB}^{-1}W} X ^ = X 0 + x ^ {\displaystyle {\hat {X}}=X^{0}+{\hat {x}}} 在误差方程中，由参数改正数 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 表达的观测量、最终观测值改正数和观测量估计值的解分别为 V = B x ^ − l {\displaystyle V=B{\hat {x}}-l} L ^ = L + V {\displaystyle {\hat {L}}=L+V} 由协因数传播律，参数估计值、观测值改正数和观测量估计值的协因数阵分别为 Q X ^ X ^ = N B B − 1 {\displaystyle Q_{{\hat {X}}{\hat {X}}}=N_{BB}^{-1}} Q V V = Q − B N B B − 1 B T {\displaystyle Q_{VV}=Q-BN_{BB}^{-1}B^{T}} Q L ^ L ^ = B N B B − 1 B T {\displaystyle Q_{{\hat {L}}{\hat {L}}}=BN_{BB}^{-1}B^{T}} 解算过程中出现的各矩阵和向量的大小、计算公式和含义如下表所示： 概括平差方法的提出旨在同一条件平差和间接平差等经典平差方法的函数模型，以对其共性和特性进行研究。从概括平差方法出发可以证明各经典平差模型之间的等价性，从而将通过概括平差方法证明的数学性质推广到所有经典平差方法中。附有限制条件的间接平差模型和附有限制条件的条件平差模型均已被证明可作为概括模型的函数模型。 在此以附有限制条件的条件平差为例，其具体形式为 { F ⁡ ( L ^ , X ^ ) = 0 Φ ⁡ ( X ^ ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0\\\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0\end{cases}}} 模型中共有 n {\displaystyle n} 个观测量和 u {\displaystyle u} 个参数，其中独立观测量的个数为 r {\displaystyle r} ，独立参数的个数为 u − s {\displaystyle u-s} ；因此，一般条件方程的个数为 c = r + u − s {\displaystyle c=r+u-s} ，限制条件方程的个数为 s {\displaystyle s} ，且满足 c + s = r + u {\displaystyle c+s=r+u} 的关系。 取 A = ∂ F ∂ L ^ | L {\displaystyle A=\left.{\operatorname {\partial } \!\operatorname {F} \over \operatorname {\partial } \!{\hat {L}}}\right\vert _{L}} 、 B = ∂ F ∂ X ^ | X 0 {\displaystyle B=\left.{\operatorname {\partial } \!\operatorname {F} \over \operatorname {\partial } \!{\hat {X}}}\right\vert _{X^{0}}} 和 C = ∂ Φ ∂ X ^ | X 0 {\displaystyle C=\left.{\operatorname {\partial } \!\Phi \over \operatorname {\partial } \!{\hat {X}}}\right\vert _{X^{0}}} 作为系数矩阵， W = F ⁡ ( L , X 0 ) {\displaystyle W=\operatorname {F} \left(L,X^{0}\right)} 和 W x = Φ ( X 0 ) {\displaystyle W_{x}=\Phi \left(X^{0}\right)} 作为常数项，将该函数模型线性化为 { A V + B x ^ + W = 0 C x ^ + W x = 0 {\displaystyle {\begin{cases}AV+B{\hat {x}}+W=0\\C{\hat {x}}+W_{x}=0\end{cases}}} 类似于条件平差模型，以最小二乘准则 V T P V = min {\displaystyle V^{T}PV=\min } 作为该函数模型的附加条件进行解算，最终参数改正数和观测值改正数的解分别为 x ^ = − ( N b b − 1 − N b b − 1 C T N c c − 1 C N b b − 1 ) W e − N b b − 1 C T N c c − 1 W x {\displaystyle {\hat {x}}=-(N_{bb}^{-1}-N_{bb}^{-1}C^{T}N_{cc}^{-1}CN_{bb}^{-1})W_{e}-N_{bb}^{-1}C^{T}N_{cc}^{-1}W_{x}} V = − Q A T N a a − 1 ( W + B x ^ ) {\displaystyle V=-QA^{T}N_{aa}^{-1}(W+B{\hat {x}})} 参数估计值和观测量估计值分别为 X ^ = X 0 + x ^ {\displaystyle {\hat {X}}=X^{0}+{\hat {x}}} L ^ = L + V {\displaystyle {\hat {L}}=L+V} 参数估计值、观测值改正数和观测量估计值的协方差阵分别为 Q X ^ X ^ = N b b − 1 − N b b − 1 C T N c c − 1 C N b b − 1 {\displaystyle Q_{{\hat {X}}{\hat {X}}}=N_{bb}^{-1}-N_{bb}^{-1}C^{T}N_{cc}^{-1}CN_{bb}^{-1}} Q V V = Q A T ( N a a − 1 − N a a − 1 B Q X ^ X ^ B T N a a − 1 ) A Q {\displaystyle Q_{VV}=QA^{T}\left(N_{aa}^{-1}-N_{aa}^{-1}BQ_{{\hat {X}}{\hat {X}}}B^{T}N_{aa}^{-1}\right)AQ} Q L ^ L ^ = Q − Q V V {\displaystyle Q_{{\hat {L}}{\hat {L}}}=Q-Q_{VV}} 解算过程中出现的各矩阵和向量的大小、计算公式和含义如下表所示： 根据概括平差方法和各类经典平差方法的函数模型，可以得出如下转换关系： 值得注意的是，当系数矩阵 A = − I {\displaystyle A=-I} 时，该方法转化为附有限制条件的间接平差方法，且该方法中亦包含有一般观测方程和限制条件方差。因此附有限制条件的间接平差方法是与附有限制条件的条件平差方法等价的概括平差方法。 这里的不同方式是指，通过不同方式列出的数学表达式中至少包含一个不同的独立变量 测量精度 测量误差 导线测量 估计理论 卡尔曼滤波 水准测量 最小二乘法 武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础（第三版）．武汉：武汉大学出版社，2014．ISBN 978-7-307-12922-1． 宁津生，陈俊勇，李德仁，等．测绘学概论（第三版）．武汉：武汉大学出版社，2016．ISBN 978-7-307-18610-1． Fan, Huaan. 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