微分叠

微分叠'是代数几何中的代数叠在微分几何中的类似物，可描述为微分流形上的叠，也可描述为森田等价下的李群胚。 微分叠很适合处理有奇点的空间（如轨形、叶空间、商），它们自然出现在微分几何中，且不是可微流形。例如，微分叠在叶状结构、泊松流形和扭K理论中都有应用。 回想在广群中纤维化的范畴（或称广群纤维化），包含范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 、到微分流形范畴的函子 π : C → M f d {\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } ，并满足 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 是纤维范畴，即对任意对象 u ∈ C {\displaystyle u\in {\mathcal {C}}} 和任意箭头 V → U   ∈ M f d {\displaystyle V\to U\ \in \mathrm {Mfd} } ，都有箭头 v → u {\displaystyle v\to u} ，在 V → U {\displaystyle V\to U} 上； 对 M f d {\displaystyle \mathrm {Mfd} } 中的任意交换三角 W → V → U {\displaystyle W\to V\to U} 及 W → U {\displaystyle W\to U} 上的任意箭头 w → u {\displaystyle w\to u} 、 V → U {\displaystyle V\to U} 上的 v → u {\displaystyle v\to u} ，在 W → V {\displaystyle W\to V} 上存在唯一的箭，使三角 w → v → u {\displaystyle w\to v\to u} 交换。 这些性质确保 ∀ U ∈ M f d {\displaystyle \forall U\in \mathrm {Mfd} } ，都可以定义其纤维 π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} 或 C U {\displaystyle {\mathcal {C}}_{U}} ，作为 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的子范畴，由 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 在U上的所有对象和在 i d U {\displaystyle id_{U}} 上的所有态射组成。根据这构造， π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} 是广群。叠是满足胶合性质的广群纤维，用下降表述。 任何流形X都定义了其切片范畴（英语：Overcategory） F X = H o m M d f ( − , X ) {\displaystyle F_{X}=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Mdf} }(-,X)} ，对象是流形U与光滑映射 f : U → X {\displaystyle f:U\to X} 组成的对子 ( U , f ) {\displaystyle (U,f)} ；则 F X → M d f , ( U , f ) ↦ U {\displaystyle F_{X}\to \mathrm {Mdf} ,(U,f)\mapsto U} 是广群纤维，实际上也是叠。广群纤维的态射 C → D {\displaystyle {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} 若满足以下条件，则称作可表浸没： 对流形U和任意态射 F U → D {\displaystyle F_{U}\to {\mathcal {D}}} ，纤维积 C × D F U {\displaystyle {\mathcal {C}}\times _{\mathcal {D}}F_{U}} 可表，即（对某个流形Y，）与作为广群纤维的 F V {\displaystyle F_{V}} 同构； 诱导光滑映射 V → U {\displaystyle V\to U} 是浸没。 对流形X，微分叠是叠 π : C → M f d {\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}\to \mathrm {Mfd} } 与特殊的可表浸没 F X → C {\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}} （上述每个浸没 V → U {\displaystyle V\to U} 都需要是满射）。映射 F X → C {\displaystyle F_{X}\to {\mathcal {C}}} 称作叠X的图集、呈现或覆叠。 回想范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上（广群的）预叠（也称作2-预层），是2-函子 X : C opp → G r p {\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } ，其中 G r p {\displaystyle \mathrm {Grp} } 是（集合论）广群的2-范畴、及其间的态射和自然变换。叠是满足胶合性质的预叠（类似层满足的胶合性质）。要精确说明这性质，需要定义景上的（预）叠，即配备了格罗滕迪克拓扑的范畴。 所有对象 M ∈ O b j ( C ) {\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} 定义了叠 M _ := H o m C ( − , M ) {\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,M)} ，与另一对象 N ∈ O b j ( C ) {\displaystyle N\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} 关联，形成态射 N → M {\displaystyle N\to M} 的广群 H o m C ( N , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(N,M)} 。现有叠 X : C opp → G r p {\displaystyle X:{\mathcal {C}}^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } ，若有对象 M ∈ O b j ( C ) {\displaystyle M\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})} 与叠的态射 M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} （常称作叠X的图集、呈现或覆叠）满足以下性质，则称其几何的： 态射 M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} 可表，即 ∀ Y ∈ C {\displaystyle \forall Y\in {\mathcal {C}}} 和任何态射 Y → X {\displaystyle Y\to X} ，纤维积 M _ × X Y _ {\displaystyle {\underline {M}}\times _{X}{\underline {Y}}} 同构于作为叠的 Z _ {\displaystyle {\underline {Z}}} （对某对象Z）； 诱导态射 Z → Y {\displaystyle Z\to Y} 满足取决于范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的范畴（如对流形，是要满足浸没。 微分叠是 C = M f d {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mfd} } （微分流形范畴，视作具有通常开覆叠拓扑的景）上的叠，即2-函子 X : M f d opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } ，其也满足几何性，即承认上面定义的图集 M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} 。 注意，将 M f d {\displaystyle \mathrm {Mfd} } 换成仿射概形范畴，就恢复到标准代数叠概念。相似地，把 M f d {\displaystyle \mathrm {Mfd} } 换成拓扑空间范畴，就得到拓扑叠定义。 回想李群胚，包含两微分流形G、M、两满射浸没 s , t : G → M {\displaystyle s,t:G\to M} 、偏乘法映射 m : G × M G → G {\displaystyle m:G\times _{M}G\to G} 、单位映射 u : M → G {\displaystyle u:M\to G} 、逆映射 i : G → G {\displaystyle i:G\to G} ，满足类似群的相容性。 两个李群胚 G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} 、 H ⇉ N {\displaystyle H\rightrightarrows N} 间若有主双丛P，即有主右H丛 P → M {\displaystyle P\to M} 、主左G丛 P → N {\displaystyle P\to N} ，使得对P的两作用交换，则称G、H森田等价。森田等价是李群胚间的等价，比同构弱，但足以保留许多几何性质。 微分叠记作 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} ，是某李群胚 G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} 的森田等价类。 任何纤维范畴 C → M d f {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} } 都定义了2-层 X : M d f o p p → G r p , U ↦ π − 1 ( U ) {\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{opp}\to \mathrm {Grp} ,U\mapsto \pi ^{-1}(U)} 。反过来，任何预叠 X : M d f opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mdf} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } 给出了范畴 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} ，其对象是流形U与对象 x ∈ X ( U ) {\displaystyle x\in X(U)} 的对子 ( U , x ) {\displaystyle (U,x)} ，态射是映射 ϕ : ( U , x ) → ( V , y ) {\displaystyle \phi :(U,x)\to (V,y)} ，使 X ( ϕ ) ( y ) = x {\displaystyle X(\phi )(y)=x} 。这样的 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 配备函子 C → M d f , ( U , x ) ↦ U {\displaystyle {\mathcal {C}}\to \mathrm {Mdf} ,(U,x)\mapsto U} 后，成为纤维范畴。 定义1、2中叠的胶合性质等价，同样，定义1中的图集诱导了定义2中的图集，反之亦然。 李群胚 G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} 给出了微分叠 B G : M f d opp → G r p {\displaystyle BG:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } ，将任何流形N发送到N上的G-旋子的范畴（即G-主丛）。 G ⇉ M {\displaystyle G\rightrightarrows M} 的森田类中，任何其他李群胚都诱导了一个同构叠。 反过来，任何微分叠 X : M f d opp → G r p {\displaystyle X:\mathrm {Mfd} ^{\text{opp}}\to \mathrm {Grp} } 都是 B G {\displaystyle BG} 形式，即可由李群胚表示。更精确地说，若 M _ → X {\displaystyle {\underline {M}}\to X} 是叠X的图集，则可定义李群胚 G X := M × X M ⇉ M {\displaystyle G_{X}:=M\times _{X}M\rightrightarrows M} ，并检查 B G X {\displaystyle BG_{X}} 是否同构于X。 Dorette Pronk提出的一个定理指出，定义1的微分叠与李群胚之间的双范畴具有森田等价性。 任何流形M定义了微分叠 M _ := H o m H o m ( − , M ) {\displaystyle {\underline {M}}:=\mathrm {Hom} _{\mathrm {Hom} }(-,M)} ，由恒等映射 M _ → M _ {\displaystyle {\underline {M}}\to {\underline {M}}} 平凡地表示。叠 M _ {\displaystyle {\underline {M}}} 对应单位广群 u ( M ) ⇉ M {\displaystyle u(M)\rightrightarrows M} 的森田等价类。 李群G定义了微分叠 B G {\displaystyle BG} ，将任意流形N发送到N上的G-主丛的范畴，由平凡叠态射 p t _ → B G {\displaystyle {\underline {pt}}\to BG} 表示，将一点发送到G的分类空间上的通用G-丛。叠 B G {\displaystyle BG} 对应 G ⇉ { ∗ } {\displaystyle G\rightrightarrows \{*\}} 的森田等价类，视作点上的李群胚（即任意具有迷向群G的传递李群胚的森田等价类）。 流形M上的叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 由其叶空间定义了微分叠，对应完整广群 H o l ( F ) ⇉ M {\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M} 的森田等价类。 轨形都是微分叠，因为其是具有离散迷向的紧合李群胚（紧合李群胚的迷向是紧的，所以有限）的森田等价类。 给定M上的李群作用 a : M × G → M {\displaystyle a:M\times G\to M} ，其商（微分）叠是代数几何中商（代数）叠的可微部分。其定义为与流形X、主G-丛范畴 P → X {\displaystyle P\to X} 和G-等价映射 ϕ : P → M {\displaystyle \phi :P\to M} 相联系的叠 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} ，是由叠态射 M _ → [ M / G ] {\displaystyle {\underline {M}}\to [M/G]} 表示的微分叠，在任意流形X上的定义如下： M _ ( X ) = H o m ( X , M ) → [ M / G ] ( X ) , f ↦ ( X × G → X , ϕ f ) {\displaystyle {\underline {M}}(X)=\mathrm {Hom} (X,M)\to [M/G](X),\quad f\mapsto (X\times G\to X,\phi _{f})} 其中 ϕ f : X × G → M {\displaystyle \phi _{f}:X\times G\to M} 是G-等价映射 ϕ f = a ∘ ( f ∘ p r 1 , p r 2 ) : ( x , g ) ↦ f ( x ) ⋅ g {\displaystyle \phi _{f}=a\circ (f\circ \mathrm {pr} _{1},\mathrm {pr} _{2}):(x,g)\mapsto f(x)\cdot g} 。 叠 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} 对应作用广群 M × G ⇉ M {\displaystyle M\times G\rightrightarrows M} 的森田等价类。于是，可得到下列特殊情形： 若M是点，则微分叠 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} 与 B G {\displaystyle BG} 重合 若作用是半正则紧合作用（于是商 M / G {\displaystyle M/G} 是流形），则微分叠 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} 与 M / G _ {\displaystyle {\underline {M/G}}} 重合 若作用是紧合作用（于是商 M / G {\displaystyle M/G} 是轨形），则微分叠 [ M / G ] {\displaystyle [M/G]} 与轨形定义的叠重合 微分空间（differentiable space）是具有平凡稳定子的微分叠。例如，若李群半正则作用（不必紧合）于流形，则对其的商一般不是流形，而是微分空间。 微分叠X可以某种方式配备格罗滕迪克拓扑，这给出了X上的层概念。例如，X上微分p形式的层 Ω X p {\displaystyle \Omega _{X}^{p}} 可由流形U上 ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} 给出，使 Ω X p ( x ) {\displaystyle \Omega _{X}^{p}(x)} 为U上p形式的空间。层 Ω X 0 {\displaystyle \Omega _{X}^{0}} 称作X上的结构层，表示为 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 。 Ω X ∗ {\displaystyle \Omega _{X}^{*}} 带有外微分，因此是X上向量空间的复层：于是有了X的德拉姆上同调的概念。 现有微分叠间的满态射 G → X {\displaystyle G\to X} ，若 G → G × X G {\displaystyle G\to G\times _{X}G} 也是满态射，则前者称作X上的束。例如，若X是叠，则 B S 1 × X → X {\displaystyle BS^{1}\times X\to X} 是束。Giraud提出的一条定理称， H 2 ( X , S 1 ) {\displaystyle H^{2}(X,S^{1})} 一一对应于局部同构于 B S 1 × X → X {\displaystyle BS^{1}\times X\to X} 的X上的束集，束有其带（band）的平凡化。 Blohmann, Christian. 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