悬链线

悬链线（Catenary）是一种常用曲线，物理上用于描绘質量均勻分佈而不可延伸的長鏈悬掛在两支点间，因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線，因此而得名。 雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線，但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨著吊掛重量的不同，在底端為最小、愈高的地方愈大，如此一來，它所形成的形狀就不是拋物線。 隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推导出數學模型。 它的公式为： y = a cosh ⁡ x a {\displaystyle y=a\cosh {\frac {x}{a}}} 或者简单地表示为 y = a ( e x a + e − x a ) 2 {\displaystyle y={\frac {a\left(e^{\frac {x}{a}}+e^{-{\frac {x}{a}}}\right)}{2}}} 其中cosh是雙曲余弦函数， a {\displaystyle a} 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数， x {\displaystyle x} 軸為其準線。具体来说， a = T 0 g λ {\displaystyle a={\frac {T_{0}}{g\lambda }}} ，其中 g {\displaystyle g} 是重力加速度， λ {\displaystyle \lambda } 是线密度（假设绳子密度均匀），而 T 0 {\displaystyle T_{0}} 是绳子上每一点处张力的水平分量，它取决于绳子的悬挂方式；若绳子两端在同一水平面上，则下面的方程决定了 a {\displaystyle a} L a = sinh ⁡ d a {\displaystyle {\frac {L}{a}}=\sinh {\frac {d}{a}}} 其中L是绳子总长的一半，d是端点距离的一半。 表达式的证明 如右图，设最低点 A {\displaystyle A} 处受水平向左的拉力 H {\displaystyle H} ，右悬挂点处表示为 C {\displaystyle C} 点，在 A C {\displaystyle AC} 弧线区段任意取一段设为 B {\displaystyle B} 点，则 A B {\displaystyle AB} 受一个斜向上的拉力 T {\displaystyle T} ，设 T {\displaystyle T} 和水平方向夹角为 θ {\displaystyle \theta } ，绳子的质量为 m {\displaystyle m} ,受力分析有： T sin ⁡ θ = m g {\displaystyle T\sin \theta =mg} ； T cos ⁡ θ = H {\displaystyle T\cos \theta =H} ， tan ⁡ θ = d y d x = m g H {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {mg}{H}}} ， m g = ρ s {\displaystyle mg=\rho s} ，　其中 s {\displaystyle s} 是右段 A B {\displaystyle AB} 绳子的长度， ρ {\displaystyle \rho } 是绳子线重量密度， tan ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta } 为切线方向，记 a = ρ H {\displaystyle a={\frac {\rho }{H}}} , 代入得微分方程 d y d x = a s {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=as} ; 利用弧长公式 d s = 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle \mathrm {d} s={\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ; 所以 s = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle s=\int {\sqrt {1+({\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}\mathrm {d} x} ; 再把 s {\displaystyle s} 代入微分方程得 d y d x = a ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x   ⋯ ⋯   ( 1 ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=a\int {\sqrt {1+({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}})^{2}}}{\mathrm {d} x}\ \cdots \cdots \ (1)} 对于 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 设 p = d y d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 微分处理 得 p ′ = ρ H 1 + p 2   ⋯ ⋯   ( 2 ) {\displaystyle p'={\frac {\rho }{H}}{\sqrt {1+p^{2}}}\ \cdots \cdots \ (2)} 其中 p ′ = d p d x = d 2 y d x 2 {\displaystyle p'={\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} ; 对(2)分离常量求积分 ∫ d p 1 + p 2 = ∫ a d x {\displaystyle \int {\frac {dp}{\sqrt {1+p^{2}}}}=\int adx} 得 l n ( p + 1 + p 2 ) = a x + C {\displaystyle ln(p+{\sqrt {1+p^{2}}})=ax+C} ，即 a r s i n h p = a x + C {\displaystyle \mathrm {arsinh} p=ax+C} 其中 a r s i n h p {\displaystyle \mathrm {arsinh} p} 为反双曲函数; 当 x = 0 {\displaystyle x=0} 时， d y d x = p = 0 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=0} ； 带入得 C = 0 {\displaystyle C=0} ； 整理得 a r s i n h p = ρ x H {\displaystyle \mathrm {arsinh} p={\frac {\rho x}{H}}} 悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用， a {\displaystyle a} 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法，会给工程应用带来很大帮助，公式及图像如下： y = a   ( cosh ⁡ x a − 1 ) {\displaystyle y=a\ \left(\cosh {\frac {x}{a}}-1\right)} 还有以下几个公式，可能也有用： L = a   sinh ⁡ x a {\displaystyle L=a\ \sinh {\frac {x}{a}}} tan ⁡ α = sinh ⁡ x a {\displaystyle \tan \alpha =\sinh {\frac {x}{a}}} F 0 = a   γ {\displaystyle F_{0}=a\ \gamma } 其中 L {\displaystyle L} 是曲线中某点到0点的链索长度， α {\displaystyle \alpha } 是该点的正切角， F 0 {\displaystyle F_{0}} 是0点处的水平张力， γ {\displaystyle \gamma } 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。 维基共享资源上的相关多媒体资源：悬链线 英文维基文库中的《1911年版大英百科全書》條目：Catenary