雷諾傳輸定理

雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理或雷諾输运定理，是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分的三維推廣。 雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾（1842–1912），用來調整積分量的微分，用來推導連續介質力學的基礎方程。 考慮在時變的區域 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 積分 f = f ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)} ，其邊界為 ∂ Ω ( t ) {\displaystyle \partial \Omega (t)} ，考慮上式對時間的微分： d d t ∫ Ω ( t ) f   dV   . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}~.} 若要求上述積分的導數，會有兩個問題， f {\displaystyle \mathbf {f} } 的時間相依性，及因 Ω {\displaystyle \Omega } 動態的邊界而增加或減少的空間，雷諾傳輸定理提供了必要的框架。 雷諾傳輸定理可表為以下形式是： d d t ∫ Ω ( t ) f   dV = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t   dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v b ⋅ n ) f   dA   {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA}}~} 其中 n ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {n} (\mathbf {x} ,t)} 為向外的單位法向量， x {\displaystyle \mathbf {x} } 為區域中的一點，也是積分變數， dV {\displaystyle {\text{dV}}} 及 dA {\displaystyle {\text{dA}}} 是位於 x {\displaystyle \mathbf {x} } 的體積元素及表面元素， v b ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} _{b}(\mathbf {x} ,t)} 為面積元素的速度而非流速。函數 f {\displaystyle \mathbf {f} } 可以是張量、向量或純量函數。注意等式左邊的積分只是時間的函數，所以採用全微分符號。 在連續介質力學中，此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊或固體中。若 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 為一流體塊，則存在速度函數 v = v ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)} 及邊界元素符合下式 v b ⋅ n = v ⋅ n . {\displaystyle \mathbf {v} ^{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .} 上式在替代後，可以得到以下的定理 d d t ( ∫ Ω ( t ) f   dV ) = ∫ Ω ( t ) ∂ f ∂ t   dV + ∫ ∂ Ω ( t ) ( v ⋅ n ) f   dA   . {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} ~{\text{dV}}\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}~{\text{dV}}+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} ~{\text{dA}}~.} 此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积（material volume）的形式，若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中，就會出現問題。 若 Ω {\displaystyle \Omega } 不隨時間改變，則 v b = 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{b}=0} ，且恆等式化簡為以下的形式 d d t ∫ Ω f   dV = ∫ Ω ∂ f ∂ t   dV   , {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Omega }f~{\text{dV}}=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}~{\text{dV}}~,} 不過若用了不正確的雷諾傳輸定理，無法進行上述的簡化。 此定理是積分符號內取微分的高維延伸，有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設 f {\displaystyle f} 和 y {\displaystyle y} 和 z {\displaystyle z} 無關，且 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} 為 y − z {\displaystyle y-z} 平面的單位方塊，且有 a ( t ) {\displaystyle a(t)} 及 b ( t ) {\displaystyle b(t)} 的極限，雷諾傳輸定理會簡化為 d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f   dx = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ f ∂ t   dx + ∂ b ( t ) ∂ t f ( b ( t ) , t ) − ∂ a ( t ) ∂ t f ( a ( t ) , t )   , {\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{a(t)}^{b(t)}f~{\text{dx}}=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}~{\text{dx}}+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f(b(t),t)-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f(a(t),t)~,} 上述是由積分符號內取微分來的表示式，但x及t變數已經對調。 積分符號內取微分 萊布尼茲積分律（英语：Leibniz integral rule） L. Gary Leal, 2007, p. 23. O. Reynolds, 1903, Vol. 3, p. 12–13 J.E. Marsden and A. Tromba, 5th ed. 2003 H. Yamaguchi, Engineering Fluid Mechanics, Springer c2008 p23 T. Belytschko, W. K. Liu, and B. Moran, 2000, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley and Sons, Ltd., New York. Gurtin M. E., 1981, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, p. 77. L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912. O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge. J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman . Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3, https://web.archive.org/web/20080327180821/http://www.catea.org/grade/mecheng/mod6/mod6.html#slide1 http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）