基数 (数学)

在日常交流中，基數（cardinal number，cardinal）或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。 在數學集合论中，基數或势，即集合中包含的元素的「个数」（參見势的比较），是日常交流中基數的概念在數學上的精確化（並使之不再受限於有限情形）。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如 { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} 的基數是3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。 康托尔在1874年－1884年引入最原始的集合論（現稱樸素集合論）時，首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 和 { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} ，它們並非相同，但有相同的基數。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？ 康托爾的答案，是通过所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。 最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,...\}} 及其無限子集。他把所有與 N {\displaystyle \mathbb {N} } 能一一對應的集為可數集。令康托爾意外的是，原來 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的所有無限子集都能與 N {\displaystyle \mathbb {N} } 一一對應。他把 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的基數稱為 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ，是最小的艾禮富數。 康托爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明了這一結果。實數集的基數，記作c，代表連續統。 接着康托爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康托爾發明集合論的主因。 康托爾隨後提出連續統假設：c就是第二個超窮基數 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} ，即継 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合论。 在非正式使用中，基数就是通常被称为计数的东西。它们同一于开始于 0 {\displaystyle 0} 的自然数（就是 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle 0,1,2,\ldots } ）。计数可以形式化地定义为有限基数，而无限基数只出现在高等数学和逻辑中。 更正式地，一個非零的数可以用于两个目的：描述一个集合的大小，或描述一个元素在序列中位置。对于有限集合和序列，可以轻易的看出着两个概念是相符的，因为对于所有描述在序列中的一个位置的数，我们可以构造一个有正好大小的集合，比如3描述了 c {\displaystyle c} 在序列 a , b , c , d , . . . {\displaystyle a,b,c,d,...} 中的位置，并且我们可以构造有三个元素的集合 { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} 。但是在处理无限集合的时候，在这两个概念之间的区别是本质的—这两个概念对于无限集合实际上是不同的。考虑位置的方面會引申出序数的概念，而大小則被这里描述的基数所廣義化。 在基数的形式定义背后的直觀想法是，可以构造一个記號來指明集合的相对大小，而不需理會它有哪些種類的成员。对于有限集合这是容易的：只需简单的數算一个集合的成员数目。为了比较更大集合的大小，得借助更加巧妙的概念。 一个集合 Y {\displaystyle Y} 至少等大小于（或稱大于等于）一个集合 X {\displaystyle X} ，如果有从 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 的一个单射（一一映射）。一一映射对集合 X {\displaystyle X} 的每个元素确定了一个唯一的集合 Y {\displaystyle Y} 的元素。通过例子就最易理解了；假设有集合 X = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle X=\{1,2,3\}} 和 Y = { a , b , c , d } {\displaystyle Y=\{a,b,c,d\}} ，我们可以注意到有一个映射： 1 → a {\displaystyle 1\to a} 2 → b {\displaystyle 2\to b} 3 → c {\displaystyle 3\to c} 这是一对一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出 Y {\displaystyle Y} 有大于等于 X {\displaystyle X} 的势。注意元素 d {\displaystyle d} 没有元素映射到它，但这是允许的，因为我们只要求一一映射，而不必须是一对一并且完全的映射。这个概念的好处是它可以扩展到无限集合。 我们可以把这个概念扩展到一个類似於等式的关系。两个集合 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 被称为有相同的"势"，如果存在 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 之间的双射。通过Schroeder-Bernstein定理，这等价于有从 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 和从 Y {\displaystyle Y} 到 X {\displaystyle X} 的两个一一映射。我们接着記之为 | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} 。 X {\displaystyle X} 的基数自身经常被定义为有着 | a | = | X | {\displaystyle |a|=|X|} 的最小序数 a {\displaystyle a} 。这叫做冯·诺伊曼基数指派；为使这个定义有意义，必须证明所有集合都有同某个序数一样的势；这个陈述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間相對的勢還是可以的。 一個经典例子是无限旅馆悖论，也叫做希尔伯特旅馆悖论。假设你是有无限个房间的旅馆主人。旅馆客满，而又来了一个新客人。可以让在房间1的客人转移到房间2，房间2的客人转移到房间3，以此类推，腾空房间1的方式安置这个新客人。我们可以明确的写出这个映射的一个片段： 1 ⟷ 2 {\displaystyle 1\longleftrightarrow 2} 2 ⟷ 3 {\displaystyle 2\longleftrightarrow 3} 3 ⟷ 4 {\displaystyle 3\longleftrightarrow 4} ... n ⟷ n + 1 {\displaystyle n\longleftrightarrow n+1} ... 在这种方式下我们可以看出集合 { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{1,2,3,...\}} 和集合 { 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{2,3,4,...\}} 有相同的势，因为已知这两个集合之间存在双射。这便給"无限集合"提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中 { 2 , 3 , 4 , . . . } {\displaystyle \{2,3,4,...\}} 是 { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{1,2,3,...\}} 的真子集。 当我们考虑这些大对象的时候，我们还想看看计数次序的概念是否符合上述为无限集合定义的基数。事實上是不一致的；通过考虑上面的例子，我们可以看到如果有“比无限大一”的某个对象存在，它必须跟起初的无限集合有一样的势。這時候可以使用另一種稱為序数的形式概念，它是建基于计数并依次考虑每个数的想法上。而我们會发现，势和序（ordinality）的概念对于无限的情況是有分歧的。 可以证明实数的势大于刚才描述的自然数的势，透過对角论证法可以一目瞭然。跟势相關的经典问题（比如连续统假设）主要关注在某一对无限基数之间是否有別的基数。現時数学家已经在描述更大更大基数的性质。 因为基数是数学中如此常用的概念，有各种各样的名字指涉它。势相同有时也叫做等势、均势或等多（equipotence, equipollence, equinumerosity）。因此称有相同势的两个集合为等势的、均势的或等多的（equipotent, equipollent, equinumerous）。 首先，給出集合 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ，我們稱 X {\displaystyle X} 的勢小於等於 Y {\displaystyle Y} ，記作 | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} ，當且僅當存在由 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 的單射；稱 X {\displaystyle X} 的勢與 Y {\displaystyle Y} 相等，記作 | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} ， 當且僅當存在由 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 的雙射（即一一對應）。 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出如果 | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} 及 | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} 則 | X | = | Y | {\displaystyle |X|=|Y|} 。 假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} ，有 | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} 或 | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} 。因此，我們可以定義序數，而 集合 X {\displaystyle X} 的基數則是與 X {\displaystyle X} 等勢的最小序數 α {\displaystyle \alpha } 。 （若不接受選擇公理，我們也可對非良序集 X {\displaystyle X} 定義基數，就是所有與 X {\displaystyle X} 等勢的集的階中下确界。） 自然數的一種定義是 0 = { } , 1 = { 0 } , 2 = { 0 , 1 } , 3 = { 0 , 1 , 2 } , … , N = { 0 , 1 , … , N − 1 } {\displaystyle 0=\{\},1=\{0\},2=\{0,1\},3=\{0,1,2\},\ldots ,N=\{0,1,\ldots ,N-1\}} 。可以見到，與數 N {\displaystyle N} 等勢的集必有 N {\displaystyle N} 個元素。如集合 { 2 , 3 , 5 } {\displaystyle \{2,3,5\}} 的基数为 3 {\displaystyle 3} 。 以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。 最小的無限集合是自然數集。 { 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … } {\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots ,n,\ldots \}} 与 { 2 , 4 , 6 , 8 , … , 2 n , … } {\displaystyle \{2,4,6,8,\ldots ,2n,\ldots \}} 基数相同，因为可以让前一集合的 n {\displaystyle n} 与后一集合的 2 n {\displaystyle 2n} 一一对应。从这个例子可以看出，对于一个无穷集合来说，它可以和它的一个真子集有相同的基数。 以下是无限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一个真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。 我們可在基數上定義若干算術運算，這是對自然數運算的推廣。 給出集合 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} ，定義 X + Y = { ( x , 0 ) : x ∈ X } ∪ { ( y , 1 ) : y ∈ Y } {\displaystyle X+Y=\{(x,0):x\in X\}\cup \{(y,1):y\in Y\}} ，則基數和是 | X | + | Y | = | X + Y | {\displaystyle |X|+|Y|=|X+Y|} 。 若 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} 不相交，則 | X | + | Y | = | X ∪ Y | {\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|} 。 基數積是 | X | | Y | = | X × Y | {\displaystyle |X||Y|=|X\times Y|} 其中 X × Y {\displaystyle X\times Y} 是 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的笛卡儿积。 基數指數是 | X | | Y | = | X Y | {\displaystyle |X|^{|Y|}=|X^{Y}|} 其中 X Y {\displaystyle X^{Y}} 是所有由 Y {\displaystyle Y} 到 X {\displaystyle X} 的函數的集合。 在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質： 加法和乘法是可交換的，即 | X | + | Y | = | Y | + | X | {\displaystyle |X|+|Y|=|Y|+|X|} 及 | X | | Y | = | Y | | X | {\displaystyle |X||Y|=|Y||X|} 加法和乘法符合結合律， ( | X | + | Y | ) + | Z | = | X | + ( | Y | + | Z | ) {\displaystyle (|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|)} 及 ( | X | | Y | ) | Z | = | X | ( | Y | | Z | ) {\displaystyle (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)} 分配律，即 ( | X | + | Y | ) | Z | = | X | | Z | + | Y | | Z | {\displaystyle (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z|} 。 | X | | Y | + | Z | = | X | | Y | | X | | Z | {\displaystyle |X|^{|Y|+|Z|}=|X|^{|Y|}|X|^{|Z|}} | X | | Y | | Z | = ( | X | | Y | ) | Z | {\displaystyle |X|^{|Y||Z|}=(|X|^{|Y|})^{|Z|}} ( | X | | Y | ) | Z | = | X | | Z | | Y | | Z | {\displaystyle (|X||Y|)^{|Z|}=|X|^{|Z|}|Y|^{|Z|}} 無窮集合的加法及乘法（假設選擇公理）非常簡單。若 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} 皆非空而其中之一為無限集，則 | X | + | Y | = | X | | Y | = max { | X | , | Y | } {\displaystyle |X|+|Y|=|X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}} 注意 2 | X | {\displaystyle 2^{|X|}} 是 X {\displaystyle X} 的幂集之基數。由对角论证法可知 2 | X | > | X | {\displaystyle 2^{|X|}>|X|} ，是以並不存在最大的基數。事实上，基数的类是真类。 還有些關於指數的性質： | X | 0 = 1 {\displaystyle |X|^{0}=1} （特别地， 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ）。 0 | Y | = 0 {\displaystyle 0^{|Y|}=0} ，若 Y {\displaystyle Y} 非空。 1 | Y | = 1 {\displaystyle 1^{|Y|}=1} 。 若 | X | ≤ | Y | {\displaystyle |X|\leq |Y|} ，則 | X | | Z | ≤ | Y | | Z | {\displaystyle |X|^{|Z|}\leq |Y|^{|Z|}} 。 若 | X | {\displaystyle |X|} 和 | Y | {\displaystyle |Y|} 俱有限且大於1，而 Z {\displaystyle Z} 是無窮集，則 | X | | Z | = | Y | | Z | {\displaystyle |X|^{|Z|}=|Y|^{|Z|}} 。 若X是無窮而 Y {\displaystyle Y} 是有限及非空，則 | X | | Y | = | X | {\displaystyle |X|^{|Y|}=|X|} 。 對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ，康托尔稱下一個為 ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} ，相类似的，还定义了如下一个序列： ℵ 0 , ℵ 1 , … , ℵ n … {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\ldots ,\aleph _{n}\ldots } 。 设 c = 2 ℵ 0 {\displaystyle c=2^{\aleph _{0}}} 。连续统假设猜想，就是 c = ℵ 1 {\displaystyle c=\aleph _{1}} 。 連續統假設是與一般集論公理（即Zermelo-Fraenkel公理系統加上選擇公理）是獨立的。 更一般的假設，即 ℵ n + 1 = 2 ℵ n {\displaystyle \aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}} 。 广义连续统假设，就是對所有無窮基數 ℵ {\displaystyle \aleph } ，都不存在介乎 ℵ {\displaystyle \aleph } 與 2 ℵ {\displaystyle 2^{\aleph }} 之間的基數。 Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956. Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). https://web.archive.org/web/20010528181608/http://logweb.terrashare.com/text/logic/infini.txt Infinite Ink: Cardinal Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）