右连左极函数

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。 令 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 为度量空间，并令 E ⊆ R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} } 。函数 f : E → M {\displaystyle f:E\to M} 称为右连左极函数。若对于每一 t ∈ E {\displaystyle t\in E} ，都有 左极限 f ( t − ) := lim s ↑ t f ( s ) {\displaystyle f(t-):=\lim _{s\uparrow t}f(s)} 存在；且 右极限 f ( t + ) := lim s ↓ t f ( s ) {\displaystyle f(t+):=\lim _{s\downarrow t}f(s)} 存在并等於 f ( t ) {\displaystyle f(t)} ， 即 f {\displaystyle f} 是右连续的且有左极限。 全部连续函数都是右连左极函数。 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。 从 E {\displaystyle E} 到 M {\displaystyle M} 的所有右连左极函数的集合常记为 D ( E ; M ) {\displaystyle D(E;M)} 或简记为 D {\displaystyle D} ，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓撲結構，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收斂拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取 E = [ 0 , T ] {\displaystyle E=[0,T]} ， M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} （Billingsley的书中描述了更一般的拓扑） 首先我们必须定义连续性模的一个模拟 ϖ f ′ ( δ ) {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )} 。对於任意 F ⊆ E {\displaystyle F\subseteq E} ，使 w f ( F ) := sup s , t ∈ F | f ( s ) − f ( t ) | {\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|} 且对於 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为 ϖ f ′ ( δ ) := inf Π max 1 ≤ i ≤ k w f ( [ t i − 1 , t i ) ) , {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),} 其中最大下界对所有划分 Π = { 0 = t 0 < t 1 < ⋯ < t k = T } {\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}} ， k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 都存在，且 max i ( t i − t i − 1 ) < δ {\displaystyle \max _{i}(t_{i}-t_{i-1})<\delta } 。这一定义对於非右连左极函数 f {\displaystyle f} 是有意义的（就如通常的连续性模对於不连续函数是有意义的）且可以说明 f {\displaystyle f} 是右连左极函数当且仅当 δ → 0 {\displaystyle \delta \to 0} 时 ϖ f ′ ( δ ) → 0 {\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )\to 0} 。 这是令 Λ {\displaystyle \Lambda } 表示从 E {\displaystyle E} 到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令 ‖ f ‖ := sup t ∈ E | f ( t ) | {\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|} 表示 E {\displaystyle E} 上的函数的一致范数。将 D {\displaystyle D} 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric） σ {\displaystyle \sigma } 定义为 σ ( f , g ) := inf λ ∈ Λ max { ‖ λ − I ‖ , ‖ f − g ∘ λ ‖ } , {\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},} 其中 I : E → E {\displaystyle I:E\to E} 是恆等函數。以“蠕动”这种直观感觉来看， ‖ λ − I ‖ {\displaystyle \|\lambda -I\|} 度量了“时间的蠕动”，而 ‖ f − g ∘ λ ‖ {\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|} 度量了“空间的蠕动”。 我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由 σ {\displaystyle \sigma } 生成的拓扑 Σ {\displaystyle \Sigma } 称为 D {\displaystyle D} 上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。 E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应於C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。 虽然D 不是关於斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关於D 的拓扑等价度量 σ0 。 关於σ 或σ0 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波蘭空間。 通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列 ( μ n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }} 是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件： lim a → ∞ lim sup n → ∞ μ n { f ∈ D | ‖ f ‖ ≥ a } = 0 , {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,} 和 lim δ → 0 lim sup n → ∞ μ n { f ∈ D | ϖ f ′ ( δ ) ≥ ε } = 0  for all  ε > 0. {\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.} 在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。 Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.  Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.