Jury穩定性準則

Jury穩定性準則（Jury stability criterion）是在信号处理及控制理论中，判斷線性離散系統穩定性的方式，是利用分析特徵多項式來進行分析。Jury穩定性準則是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的離散時間版本。Jury稳定性判据要求系統的極點都要位在以原點為圓心的單位圓內，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系統的極點在複數平面的左半邊。Jury穩定性準則得名自伊拉克裔美籍工程師殷巴爾·易卜拉欣·朱瑞（英语：Eliahu Ibraham Jury）。 系統的特徵多項式如下 f ( z ) = a n + a n − 1 z 1 + a n − 2 z 2 + ⋯ + a 1 z n − 1 + a 0 z n {\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}} 用以下的方式來建構表格： 因此，第一行是多項式的係數，從常數項次而高次項次排列，第二行則是第一行的反序。 第三行是將第一行減去第二行乘以 a n a 0 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}} ，而第四行是第三行的反序（並且維持最後一個元素為零）。 a 0 a 1 … a n − 1 a n a n a n − 1 … a 1 a 0 ( a 0 − a n a n a 0 ) ( a 1 − a n − 1 a n a 0 ) … ( a n − 1 − a 1 a n a 0 ) 0 ( a n − 1 − a 1 a n a 0 ) … ( a 1 − a n − 1 a n a 0 ) ( a 0 − a n a n a 0 ) 0 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}} 表格繼續往下延伸，直到有一行只有一個非零元素為止。 針對頭兩行相減的係數是 a n a 0 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}} ，針對第三行及第四行相減的係數就變成 b n − 1 b 0 {\displaystyle {\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}} ，因此所得的多項式會少一項。 若 a 0 > 0 {\displaystyle {a_{0}}>0} ，而 a 0 {\displaystyle {a_{0}}} , b 0 {\displaystyle {b_{0}}} , c 0 {\displaystyle {c_{0}}} ...都是正值，表示系統的根都在單位圓內，系統穩定。只要上述有任何一個小於零，表示系統至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。 若Jury穩定性準則發現 a 0 {\displaystyle {a_{0}}} , b 0 {\displaystyle {b_{0}}} , c 0 {\displaystyle {c_{0}}} ...中有一個為負值，即可結束測試，因為至少有一個根都在單位圓外，系統不穩定。 此方式用電腦的動態陣列很容易實現。也可以確認系統所有的根（實根或是複數根）都在單位圓內。向量v是原多項式的係數，從最高項次到常數項。 /* vvd is the jury array */ vvd.push_back(v); // Store the first row reverse(v.begin(),v.end()); vvd.push_back(v); // Store the second row for(i=2;;i+=2) { v.clear(); double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article. for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult); vvd.push_back(v); reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row vvd.push_back(v); if(v.size()==1) break; } // Check is done using for(i=0;i<vvd.size();i+=2) { if(vvd[i][0]<=0) break; } if(i==vvd.size()) "All roots lie inside unit disc " else "no" 若已知 H ( z ) {\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )} 的分母多項式為 A ( z ) = 4 z 4 − 4 z 3 + 2 z 1 − 1 {\displaystyle \mathrm {A} (\mathrm {z} )={\color {Blue}4z^{4}}-{\color {Brown}4z^{3}}+{\color {Brown}2z^{1}}-1} ，判斷該系統是否穩定。 解答:因為 A ( 1 ) = 4 − 4 + 2 − 1 = 1 > 0 {\displaystyle \mathrm {A} (1)=4-4+2-1=1>0} ( − 1 ) 4 A ( − 1 ) = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 > 0 {\displaystyle (-1)^{4}\mathrm {A} (-1)=4+4-2-1=5>0} 將 A ( z ) {\displaystyle \mathrm {A} (z)} 的係數排列成朱利表(如下): 且 4 > | − 1 | {\displaystyle 4>\left|-1\right|} 15 > | 4 | {\displaystyle 15>\left|4\right|} 209 > | 56 | {\displaystyle 209>\left|56\right|} 即滿足Jury穩定條件，因此 H ( z ) {\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )} 所有極點位於 | z | < 1 {\displaystyle \left|z\right|<1} 內，故系統是穩定的。 林纳德–奇帕特判据：由劳斯–赫尔维茨稳定性判据產生的另一個連續系統稳定性判据。 Discrete-time control systems (2nd ed.), pg. 185. Prentice-Hall, Inc. Upper Saddle River, NJ, USA ©1995 ISBN 0-13-034281-5 若需要更多細節，可以參考以下連結： A note on the reduced Schur–Cohn criterionArchive.is的存檔，存档日期2013-06-28 Wikibooks on Control Systems - Jury's Test （页面存档备份，存于互联网档案馆） 進階參考資料： 存档副本 (PDF). [2019-03-10]. （原始内容 (PDF)存档于2008-08-02）.  Benidir, M. On the root distribution of general polynomials with respect to the unit circle. Signal Processing. 1996, 53: 75. doi:10.1016/0165-1684(96)00077-1.  http://www.laas.fr/~henrion/Papers/lyap.ps.gz （页面存档备份，存于互联网档案馆） 有關實現的資料： http://www.ticalc.org/archives/files/fileinfo/426/42696.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） (TI-83+/84+ graphing calculators)