积分第一中值定理

积分第一中值定理的内容为： 设 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 为一连续函数， g : [ a , b ] → R {\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R} } 要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点 ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} 使得 ∫ a b f ( x ) g ( x ) d x = f ( ξ ) ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx} 。 事实上，可以证明，上述的中值点 ξ {\displaystyle \xi } 必能在开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内取得，见下方中值点在开区间内存在的证明。 因为 f   {\displaystyle f\ } 是闭区间上的连续函数， f   {\displaystyle f\ } 取得最大值 M   {\displaystyle \mathrm {M} \ } 和最小值 μ   {\displaystyle \mu \ } 。于是 M g ( x ) ≥ f ( x ) g ( x ) ≥ μ g ( x ) {\displaystyle \mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)} 。 对不等式求积分，我们有 M ∫ α β g ( x ) d x ≥ ∫ α β f ( x ) g ( x ) d x ≥ μ ∫ α β g ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x} 。 若 ∫ α β g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0} ，则 ∫ α β f ( x ) g ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0} 。 ξ   {\displaystyle \xi \ } 可取 [ α , β ]   {\displaystyle [\alpha ,\beta ]\ } 上任一点。 设 ∫ α β g ( x ) d x > 0 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0} ，那么 M ≥ ∫ α β f ( x ) g ( x ) d x ∫ α β g ( x ) d x ≥ μ {\displaystyle \mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu } 。 因为 M ≥ f ( x ) ≥ μ {\displaystyle \mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu } 是连续函数，根據介值定理，必存在一点 ξ ∈ [ α , β ] {\displaystyle \xi \in [\alpha ,\beta ]} ，使得 f ( ξ ) = ∫ α β f ( x ) g ( x ) d x ∫ α β g ( x ) d x {\displaystyle f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}} 。 已知 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续，设 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt} 。 知 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续，在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 内可导，应用拉格朗日中值定理，可得： F ( b ) − F ( a ) b − a = F ′ ( ξ ) {\displaystyle {\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )} ，其中 ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \xi \in (a,b)} 即 ∫ a b f ( t ) d t − ∫ a a f ( t ) d t b − a = f ( ξ ) {\displaystyle {\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )} 所以 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) , ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)} 。 华东师范大学数学系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219页.  由微积分基本性质，当被积函数在[a,b]上连续时，原函数在[a,b]上是可导的，而拉格朗日定理的假设是“f(x)在（a,b）内可导" 所以原文中“知F(x)在[a,b]上连续，在[a,b]内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：”应该改为 “知F(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，应用拉格朗日中值定理，可得：” 否则无法排除ξ只取在a或者b上的可能 此说法并不严密。现根据以上对原定理的证明，来解释为什么 ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} 可以改为 ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \xi \in (a,b)} 。 因为 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续，所以 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上有最大值 M {\displaystyle M} 和最小值 m {\displaystyle m} 。设 f ( x 1 ) = m {\displaystyle f(x_{1})=m} ， f ( x 2 ) = M {\displaystyle f(x_{2})=M} ， x 1 {\displaystyle x_{1}} ， x 2 {\displaystyle x_{2}} ∈ [ a , b ] {\displaystyle \in [a,b]} ，如果 m = M {\displaystyle m=M} ，则 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是常值函数，任取 ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \xi \in (a,b)} 即可。如果 m < M {\displaystyle m<M} ，由于函数 M − f ( x ) {\displaystyle M-f(x)} 连续且有一点 x 1 {\displaystyle x_{1}} 使 M − f ( x 1 ) > 0 {\displaystyle M-f(x_{1})>0} ，所以由积分性质有 ∫ a b [ M − f ( x ) ] d x > 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0} ，即 M ( b − a ) > ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle M(b-a)>\int _{a}^{b}f(x)\,dx} 同理可得 m ( b − a ) < ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle m(b-a)<\int _{a}^{b}f(x)\,dx} ,故有 m < 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x < M {\displaystyle m<{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx<M} 由连续函数的介值定理，至少存在一点 ξ ∈ ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle \xi \in (x_{1},x_{2})} ⊂ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} （或 ( x 2 , x 1 ) {\displaystyle (x_{2},x_{1})} ⊂ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ），使得 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) {\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )} ，即 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a)} 注：以上内容参考延边大学出版社《数学分析辅导及习题精解 华东师大．第四版 上册》 中值定理