Abc猜想

abc猜想（英語：abc conjecture）是一個未解決的數學猜想，最先由約瑟夫·奧斯特莱及大衛·馬瑟在1985年提出。abc猜想以三個互質正整數a, b, c描述，c是a及b的和，猜想因此得名。京都大學數理解析研究所望月新一教授於2012年提出論文證明，經過8年同行審查後於2020年4月发表，但对于该证明的正确性仍存在极大争议。对此也衍生出一BOINC項目「ABC@Home」。 abc猜想若得證，數論中很多著名猜想可以立時得出。多利安·哥德費爾德稱abc猜想為「丟番圖分析中最重要的未解問題」。(Goldfeld 1996) 對正整數 n {\displaystyle n} ， rad ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {rad} (n)} 表示 n {\displaystyle n} 的質因數的積，稱為 n {\displaystyle n} 的根基（radical）。例如 rad(16) = rad(24) = 2, rad(17) = 17, rad(18) = rad(2 ⋅ 32) = 2 · 3 = 6, rad(1000000) = rad(26 ⋅ 56) = 2 ⋅ 5 = 10. 若正整數a, b, c 彼此互質，且a + b=c，「通常」會有c < rad(abc)，例如： a = 2 {\displaystyle a=2} , b = 7 {\displaystyle b=7} , c = 9 {\displaystyle c=9} ： rad ⁡ ( a b c ) = 42 > c {\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=42>c} 。 a = 9 {\displaystyle a=9} , b = 16 {\displaystyle b=16} , c = 25 {\displaystyle c=25} ： rad ⁡ ( a b c ) = 30 > c {\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30>c} 。 但是也有反例，例如： a = 3 {\displaystyle a=3} , b = 125 {\displaystyle b=125} , c = 128 {\displaystyle c=128} ：因為 125 = 5 3 {\displaystyle 125=5^{3}} ， 128 = 2 7 {\displaystyle 128=2^{7}} ，故此 rad ⁡ ( a b c ) = 30 < c {\displaystyle \operatorname {rad} (abc)=30<c} 。 如上有多於一個整數可被小的質數的高次冪整除，使rad(abc) < c，是較特殊的情況。ABC@Home計劃目的在尋找更多這樣的例子。 abc猜想（一） 對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得 c > rad ⁡ ( a b c ) 1 + ϵ {\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon }} abc猜想也有以下等價的表述方式： abc猜想（二） 對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，存在常數 C ε > 0 {\displaystyle C_{\varepsilon }>0} ，使得對於互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，有： c < C ε rad ⁡ ( a b c ) 1 + ϵ , {\displaystyle c<C_{\varepsilon }\operatorname {rad} (abc)^{1+\epsilon },} abc猜想第三個表述方式，用到了三元組(a, b, c)的品質（quality），定義為： q ( a , b , c ) = log ⁡ ( c ) log ⁡ ( rad ⁡ ( a b c ) ) {\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log(\operatorname {rad} (abc))}}} 例如： q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820... q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565... 一般的互質正整數的三元組，通常有 rad(abc) > c，因此q(a, b, c) < 1。q大於1的情況較少出現。 abc猜想（三） 對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，只存在有限個互質正整數的三元組(a, b, c)，c = a + b，使得 q ( a , b , c ) > 1 + ϵ {\displaystyle q(a,b,c)>1+\epsilon } abc猜想中的ε不能去掉，不然命題就不成立。考慮以下例子： a n = 3 2 n − 1 {\displaystyle a_{n}=3^{2^{n}}-1} , b n = 1 {\displaystyle b_{n}=1} , c n = 3 2 n {\displaystyle c_{n}=3^{2^{n}}} 這三個正整數互質，且有 a n + b n = c n {\displaystyle a_{n}+b_{n}=c_{n}} 。注意到 a n {\displaystyle a_{n}} 可被 2 n + 2 {\displaystyle 2^{n+2}} 整除，因此有 rad ⁡ ( a n b n c n ) ≤ 3 ⋅ 2 ⋅ a n 2 n + 2 = 3 a n 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})\leq 3\cdot 2\cdot {\frac {a_{n}}{2^{n+2}}}={\frac {3a_{n}}{2^{n+1}}}} : 因此 c n > a n ≥ 2 n + 1 3 rad ⁡ ( a n b n c n ) {\displaystyle c_{n}>a_{n}\geq {\frac {2^{n+1}}{3}}\operatorname {rad} (a_{n}b_{n}c_{n})} 當n趨向無限大時， 2 n + 1 3 {\displaystyle {\frac {2^{n+1}}{3}}} 也趨向無限大。因此不存在常數C，使得 c < C rad(abc)對所有適合條件的三元組都成立。 如果abc猜想得證，那麼有很多結果可以推導出來。其中一些結果，在abc猜想提出後，已經以其他方法得到證明，一些則仍然為猜想。 Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem） 費馬大定理對所有足夠大指數的情形（安德魯·懷爾斯已證一般情形） (Granville 2002) harv error: no target: CITEREFGranville2002 (help) Mordell猜想（格爾德·法爾廷斯已證一般情形）(Elkies 1991) Erdős–Woods猜想（英语：Erdős–Woods conjecture），除了有限多的反例。(Langevin 1993) 存在無限多非維費里希素數(Silverman 1988) Marshall Hall猜想（英语：Marshall Hall's conjecture）的弱形式(Nitaj 1996) 費馬－卡塔蘭猜想(Pomerance 2008) 用勒讓德符號構成的L函數L(s, χd)沒有西格尔零点（需要abc猜想在代數數域上的一致形式，不只在有理整數上。）(Granville 2000) harv error: no target: CITEREFGranville2000 (help) 對有至少3個簡單零點的多項式P(x)，在整數x取的所有值中，只有有限個次方數。 Tijdeman定理（英语：Tijdeman's theorem）的推廣形式，關於ym = xn + k的解的個數（定理是k=1的情形），及Pillai猜想，關於Aym = Bxn + k的解的個數。 等價於Granville–Langevin 猜想 等價於修改後的Szpiro猜想（英语：Szpiro's conjecture）(Oesterlé 1988) Brocard問題（英语：Brocard's problem）n! + A= k2，對任何給定的整數A，都只有有限個解。(Dąbrowski 1996) abc猜想導出c有abc的根基的接近線性函數的上界；不過，現在已知的是指數上界。確切結果如下： c < exp ⁡ ( K 1 rad ⁡ ( a b c ) 15 ) {\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}} (Stewart & Tijdeman 1986), c < exp ⁡ ( K 2 rad ⁡ ( a b c ) 2 3 + ε ) {\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}} (Stewart & Yu 1991), c < exp ⁡ ( K 3 rad ⁡ ( a b c ) 1 3 + ε ) {\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {1}{3}}+\varepsilon }\right)}} (Stewart & Yu 2001). 上述的上界中，K1是不依賴a, b, c的常數，而K2和K3是（以可有效計算的方式）依賴於ε的常數，但不依賴於a, b, c。上述的上界對c > 2的三元組都成立。 2006年，荷蘭的萊頓大學數學系與Kennislink科學研究所合作，開展ABC@Home計劃。這個計劃是網格計算系統，目的在找出更多的正整數三元組a, b, c使得rad(abc) < c。雖然有無限個例子或反例不能解決abc猜想，但是期望藉著這個計劃發現的三元組的模式，可以得出對這個猜想以至於數論的新的洞見。 下述的q是上節定義的品質。 截至2014年4月 (2014-04)[update]，ABC@Home找出 2380 萬個三元組，現今目標在找出c不大於263的所有三元組(a,b,c)。 1996年，艾倫·貝克（Alan Baker）提出一個較為精確的猜想，將 rad ⁡ ( a b c ) {\displaystyle \operatorname {rad} (abc)} 用 ε − ω rad ⁡ ( a b c ) {\displaystyle \varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc)} 取代，在此 ω {\displaystyle \omega } 是 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 的不同質因數的數目。 2007年，呂西安·施皮羅嘗試給出證明，後來被發現有錯誤。 2012年8月，日本京都大學數學家望月新一發表長約五百頁的abc猜想的證明，以他建立的宇宙際泰赫米勒理論（inter-universal Teichmüller theory）為基礎。該證明目前正由其他數學專家檢查中。当Vesselin Dimitrov和阿克沙伊·文卡泰什在2012年10月发现一处错误时，望月新一在他的网站确认了此错误，并声称这个错误能够在近期修补，不会影响最后的结果。2012年12月，望月新一在自己主页贴出了自己对所有四篇文章的修改稿。主要包含27条重要的修改。2012年12月-2013年2月，他又屡次对文章进行了修订，新修正了18处错误，當中很多也是打字错误。望月新一在網上公開了2013年以及2014年的檢驗進度報告。2018年8月，皮特·舒爾策和Jakob Stix（英语：Jakob Stix）指出，望月新一的證明論文中 Corollary 3.12 證明結尾的一行推理存在無法修復的缺陷。望月認為二者的批評存在“某種根本上的誤解”。 根基 Mason-Stothers定理—多項式環上的對應定理 存档副本 (PDF). 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