篩法基本引理

在數論上，篩法基本引理（fundamental lemma of sieve theory）指的是數個對於把篩法套用到特定問題上的過程進行系統化結果。哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert） 寫道： 篩法文獻一個引人好奇的特性是盡管人們常用布朗篩法，但僅有少數人嘗試為布朗『定理』（如定理2.1）給出一個一般公式；而這結果就是，有令人驚訝多的論文不斷地在許多細節上，重複布朗的論證。 賈盟（Diamond）與哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）認為「基本引理」一詞源自約拿·古必柳（英语：Jonas Kubilius）。 此條目中，我們使用以下的符號： A {\displaystyle A} 是一個有 X {\displaystyle X} 個正整數的集合，而 A d {\displaystyle A_{d}} 則是由可被 d {\displaystyle d} 除盡的正整數組成的子集。 w ( d ) {\displaystyle w(d)} 及 R d {\displaystyle R_{d}} 是 A {\displaystyle A} 與 d {\displaystyle d} 的函數，這些函數可用以估計 A {\displaystyle A} 中可被 d {\displaystyle d} 除盡的元素的個數。而我們有以下的公式： | A d | = w ( d ) d X + R d . {\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.} 因此， w ( d ) / d {\displaystyle w(d)/d} 表示能被 d {\displaystyle d} 除盡的元素的大致密度；而 R d {\displaystyle R_{d}} 則表示剩餘項或誤差。 P {\displaystyle P} 是一個質數的集合，而 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 則是所有不大於 ≤ z {\displaystyle \leq z} 的質數的乘積。 S ( A , P , z ) {\displaystyle S(A,P,z)} 是 A {\displaystyle A} 中不為任何 P {\displaystyle P} 中不大於 ≤ z {\displaystyle \leq z} 的質數除盡的元素的數量。 κ {\displaystyle \kappa } 是一個常數，又稱作篩選密度（sifting density）。這篩選密度會出現在以下的假設中，表示被每個質數篩掉的同餘類數量的加權平均。 以下公式表示取自太能保母（Tenenbaum）。，其他的公式表示則可見於哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）、、葛里維斯（Greaves）及及弗里蘭（英语：John Friedlander）與伊萬尼茲等人的著作。 我們首先作出如下假設： w ( d ) {\displaystyle w(d)} 是一個積性函數。 對於某個常數 C {\displaystyle C} 及任意滿足 2 ≤ η ≤ ξ {\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi } 的實數 η {\displaystyle \eta } 及 ξ {\displaystyle \xi } 而言，篩選密度 κ {\displaystyle \kappa } 滿足如次條件： ∏ η ≤ p ≤ ξ ( 1 − w ( p ) p ) − 1 < ( ln ⁡ ξ ln ⁡ η ) κ ( 1 + C ln ⁡ η ) . {\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).} 對於 A {\displaystyle A} 、 X {\displaystyle X} 、 z {\displaystyle z} 及 u {\displaystyle u} 而言，我們有以下等式。此公式中的 u ≥ 1 {\displaystyle u\geq 1} 由使用者自行決定其數值： S ( A , P , z ) = X ∏ p ≤ z , p ∈ P ( 1 − w ( p ) p ) { 1 + O ( u − u / 2 ) } + O ( ∑ d ≤ z u , d | P ( z ) | R d | ) . {\displaystyle S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).} 在實際應用中，可對 u {\displaystyle u} 進行選取已得到最佳的結果。在這篩法中，其數值取決於容斥原理的使用層級數。 以下公式表示取自哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）的結果；另一個公式表示可見於賈盟（Diamond）與哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）的結果。 我們首先作出如下假設： w ( d ) {\displaystyle w(d)} 是一個積性函數。 對於某個常數 C {\displaystyle C} 及任意滿足 2 ≤ η ≤ ξ {\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi } 的實數 η {\displaystyle \eta } 及 ξ {\displaystyle \xi } 而言，篩選密度 κ {\displaystyle \kappa } 滿足如次條件： ∑ η ≤ p ≤ ξ w ( p ) ln ⁡ p p < κ ln ⁡ ξ η + C . {\displaystyle \qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.} 對於一些小且固定的 c {\displaystyle c} 及所有的 p {\displaystyle p} 而言， w ( p ) p < 1 − c {\displaystyle {\frac {w(p)}{p}}<1-c} 。 對於所有無平方因子、且質因數位於 P {\displaystyle P} 中的 d {\displaystyle d} 而言， | R ( d ) | ≤ w ( d ) {\displaystyle |R(d)|\leq w(d)} 。 使用上述的假定，塞爾伯格篩法基本引理跟組合篩法基本引理幾乎相同。設 u = ln ⁡ X / ln ⁡ z {\displaystyle u=\ln {X}/\ln {z}} ，則有如次結論： S ( A , P , z ) = X ∏ p ≤ z ,   p ∈ P ( 1 − w ( p ) p ) { 1 + O ( e − u / 2 ) } . {\displaystyle S(A,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.} 應當注意的是，在我們的處理中， u {\displaystyle u} 不再是一個獨立參數，而是一個取決於 z {\displaystyle z} 的參數。 另外值得注意的是，此處的誤差項弱於上述組合篩法基本引理的誤差項；而哈巴施潭（英语：Heini Halberstam）與理希（英语：Hans-Egon Richert）對此寫道說：「因此一直以來許多文獻假定的『塞爾伯格篩法總是比布朗篩法還要好』的這說法不全然為真。」 Halberstam, Heini; Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730.  Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6.  Greaves, George. Sieves in Number Theory. Berlin: Springer. 2001. ISBN 3-540-41647-1.  Tenenbaum, Gérald. Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41261-7.  Friedlander, John; Henryk Iwaniec. On Bombieri's asymptotic sieve. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa; Classe di Scienze. 4e série. 1978, 5 (4): 719–756 [2009-02-14]. （原始内容存档于2023-05-08）.