指数积分

在数学中，指数积分是函数的一种，它不能表示为初等函数。 对于实数x，指数积分Ei(x)可以定义为： Ei ( x ) = ∫ − ∞ x e t t d t . {\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,} 其中 e t {\displaystyle e^{t}} 为指数函数。以上的定义可以用于正数x，但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。 对于自变量是复数的情形，这个定义就变得模棱两可了。为了避免歧义，我们使用以下的记法： E 1 ( z ) = ∫ z ∞ e − t t d t , | A r g ( z ) | < π . {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .} 当自变量的实数部分为正时，可以转换为： E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ e − t z t d t , ℜ ( z ) ≥ 0. {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.} Ei与E1有以下关系： E i ( − x ± i 0 ) = − E 1 ( x ) ∓ i π ,                 ( x > 0 ) {\displaystyle {\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)} − E i ( x ) = 1 2 E 1 ( − x + i 0 ) + 1 2 E 1 ( − x − i 0 ) ,                 ( x > 0 )   . {\displaystyle -{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.} 指数积分可以用以下的收敛级数来表示： Ei ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∑ k = 1 ∞ x k k k ! ,           x > 0 {\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0} E 1 ( z ) = − γ − ln ⁡ z + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 z k k k ! ,                 R e ( z ) > 0 {\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0} 其中   γ ≈ 0.5772156649015328606...   {\displaystyle ~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~} 是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的，但Ei的定义则需要   x > 0   {\displaystyle ~x\!>\!0~} 。 自变量的值较大时，用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下，我们可以使用发散（或渐近）级数： E 1 ( z ) = exp ⁡ ( − z ) z [ ∑ n = 0 N − 1 n ! ( − z ) n + O ( N ! z N ) ] {\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]} 这个截断和可以用来计算   R e ( z ) ≫ 1   {\displaystyle ~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~} 时函数的值。级数中的项数越多，自变量的实数部分就应该越大。 图中描述了以上估计的相对误差。   E 1   {\displaystyle ~E_{1}~} 在自变量较大时的表现类似指数函数，自变量较小时类似对数函数。   E 1   {\displaystyle ~E_{1}~} 是位于以下两个函数之间的： exp ⁡ ( − x ) 2   ln ( 1 + 2 x ) < E 1 ( x ) < exp ⁡ ( − x )   ln ( 1 + 1 x )                 x > 0 {\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0} 这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示，中间的黑色曲线是   E 1 ( x )   {\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~} ，不等式的右端用红色曲线来表示。 指数积分与对数积分li(x)有密切的关系： li(x) = Ei (ln (x))    对于所有正实数x ≠ 1。 另外一个有密切关系的函数，具有不同的积分限： E 1 ( x ) = ∫ 1 ∞ e − t x t d t = ∫ x ∞ e − t t d t . {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.} 这个函数可以视为把指数积分延伸到负数： E i ( − x ) = − E 1 ( x ) . {\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,} 我们可以把两个函数都用整函数来表示： E i n ( x ) = ∫ 0 x ( 1 − e − t ) d t t = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 x k k k ! . {\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.} 利用这个函数，我们可以用对数来定义： E 1 ( z ) = − γ − ln ⁡ z + E i n ( z ) ,             | A r g ( z ) | < π   {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~} 以及 E i ( x ) = γ + ln ⁡ x − E i n ( − x ) ,             x > 0. {\displaystyle {\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.} 指数积分还可以推广为： E n ( x ) = ∫ 1 ∞ e − x t t n d t , {\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,} 它是不完全伽玛函数的一个特例： E n ( x ) = x n − 1 Γ ( 1 − n , x ) . {\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,} 这个推广的形式有时成为Misra函数 φ m ( x ) {\displaystyle \varphi _{m}(x)} ，定义为： φ m ( x ) = E − m ( x ) . {\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,} 函数   E n   {\displaystyle ~{\rm {E}}_{n}~} 与   E 1   {\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}~} 的导数有以下简单的关系： E n ′ ( z ) n − 1 ( z ) ,                 ( | A r g ( z ) | < π ,       n > 0 ) {\displaystyle {{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)} 然而，这里假设了   n   {\displaystyle ~n~} 是整数；复数   n   {\displaystyle ~n~} 的推广还没有在文献中报导，虽然这种推广是有可能的。在 y=2x的圖形中，其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。 从以下的表示法中 E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ exp ⁡ ( − z t ) t d t ,             ( R e ( z ) ≥ 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)} 可以看出指数积分与正弦积分（Si）和余弦积分（Ci）之间的关系： E 1 ( i   x ) = − π 2 + S i ( x ) − i ⋅ C i ( x ) ,                   ( x > 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)} 图中的黑色和红色曲线分别描述了   E 1 ( x )   {\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~} 的实数和虚数部分。 Abramovitz, Milton; Irene Stegun. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Abramowitz and Stegun. New York: Dover. 1964 [2008-08-27]. ISBN 0-486-61272-4. （原始内容存档于2010-10-11）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) （页面存档备份，存于互联网档案馆） R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940) S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover 埃里克·韦斯坦因. Exponential Integral. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. En-Function. MathWorld.  Ei的公式和恒等式 （页面存档备份，存于互联网档案馆）