E的π次方

e π {\displaystyle e^{\pi }\,} 又稱格爾豐德常數（英語：Gelfond's constant）是一个数学常数。与e和π一样，它是一个超越数。这可以用格尔丰德-施奈德定理来证明，并注意到： e π = ( e i π ) − i = ( − 1 ) − i {\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}} 其中i是虚数单位。由于−i是代数数，但肯定不是有理数，因此eπ是超越数。这个常数在希尔伯特第七问题中曾提到过。一个相关的常数是 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}} ，又称为格尔丰德-施奈德常数。相关的值 π + e π {\displaystyle \pi +e^{\pi }\,} 也是无理数。 在十进制中，eπ大约为 e π ≈ 23.140692632779 … . {\displaystyle {{e}^{\pi }}\approx 23.140692632779\dots \,.} 它的值可以用以下迭代来求出。定义 k n = 1 − 1 − k n − 1 2 1 + 1 − k n − 1 2 {\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}} 其中 k 0 = 1 2 . {\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.} 则 ( 4 k N ) 2 1 − N {\displaystyle \left({\frac {4}{k_{N}}}\right)^{2^{1-N}}} 迅速收敛于 e π {\displaystyle e^{\pi }} 。 n维球体的体积由以下公式给出： V n = π n 2 R n Γ ( n 2 + 1 ) . {\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.} 所以，任何一个偶数维的单位球具有体积： V 2 n = π n n ! . {\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}.} 把所有偶数维的单位球的体积加起来，得出： ∑ n = 0 ∞ V 2 n = e π . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,} e π 163 = ( 格 爾 豐 德 常 數  ) 163 {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=({\text{格 爾 豐 德 常 數 }})^{\sqrt {163}}} 即所謂的拉馬努金常數，是黑格纳数的一個應用，其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。 同 eπ - π 一樣，eπ√163 非常接近整數： e π 163 = {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=} 7017262537412640768♠262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129... ≈ 640 320 3 + 744 {\displaystyle \approx 640\,320^{3}+744} 雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現，但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉马努金第一個預測它非常接近整數，因而以他為名。 這種非常近似於 6403203 + 744 的巧合，可以用 j-invariant（英语：j-invariant）的複數乘法（英语：complex multiplication）及q展開來表示。 j ( ( 1 + − 163 ) / 2 ) = ( − 640 320 ) 3 {\displaystyle j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}} 且 ( − 640 320 ) 3 = − e π 163 + 744 + O ( e − π 163 ) {\displaystyle (-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)} 而 O(e-π√163) 是誤差項。 O ( e − π 163 ) = − 196 884 / e π 163 ≈ − 196 884 / ( 640 320 3 + 744 ) ≈ − 0.000 000 000 000 75 {\displaystyle {\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)=-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}} 這解釋了為何 eπ√163 比 6403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。（這個證明的細節，可以參考黑格纳数）。 由 A018938 所給出 eπ - π 的十進位表示為 e π − π = {\displaystyle e^{\pi }-\pi =} 7001199990999791894♠19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516... 儘管這個數非常接近正整數 20 ，但目前沒有關於這個現象的解釋；因此，被認為是一種数学巧合。 由 A059850 給出的 πe 十進位表示為： π e = {\displaystyle \pi ^{e}=} 7001224591577183610♠22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315... 目前還不知此數是否是超越數。 須注意的是，根據 格尔丰德-施奈德定理，只有在 a 是代數數，而 b 是非有理數（a，b 都是复数，且 a ≠ 0, a ≠ 1）的情況下，ab 才為超越數。 之所以可以證明 eπ 是超越數，其原因在於複數的指數形式，因為 π 可以被視為複數 eπ 的模，而根據 (-1)-i 的等式，才可以使用 格尔丰德-施奈德定理 。 πe 則沒有如此的等式，所以，儘管 π 和 e 都是超越數，但我們不能由此說 πe 是超越數。 如同 πe，我們仍不知 eπ - πe 是否是超越性質的。甚至，目前還沒有證明說它是無理數： 由 A059850 給出的 eπ - πe 十進位表示為： e π − π e = {\displaystyle e^{\pi }-\pi ^{e}=} 6999681534914418223♠0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881... i i = ( e i π / 2 ) i = e − π / 2 = ( e π ) − 1 / 2 {\displaystyle i^{i}=(e^{i\pi /2})^{i}=e^{-\pi /2}=(e^{\pi })^{-1/2}} 由 A059850給出的 ii 十進位表示為： i i = {\displaystyle i^{i}=} 6999207879576350761♠0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353... 因為上述等式，可用格尔丰德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的： i 是代數數，但同時不是有理數，由此ii 是超越數。 格爾豐德-施奈德常數 格尔丰德-施奈德定理 希尔伯特第七问题 Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914.  Connolly, Francis. University of Notre Dame MathWorld（页面存档备份，存于互联网档案馆）