蚌线

在平面几何中，蚌线是一类曲线，可以由一条给定的曲线、一个定点和一个给定的长度来确定。更具体地说，过定点 O {\displaystyle O} 的动直线与给定曲线 c {\displaystyle c} 相交，动直线上满足“与交点距离为定长 k {\displaystyle k} ”的点的轨迹定出的新曲线，就是原曲线 c {\displaystyle c} 关于极点 O {\displaystyle O} 和迹距 k {\displaystyle k} 的蚌线。 用解析几何的方式来表述：平面曲线 c {\displaystyle c} 的极坐标方程为 ρ = f ( θ ) {\displaystyle \rho =f(\theta )} ，则以 ρ = f ( θ ) ± k {\displaystyle \rho =f(\theta )\pm k} 为方程的曲线是 c {\displaystyle c} 关于原点的蚌线。 “蚌线”也常特指原曲线为直线的蚌线，即尼科美迪斯蚌线。尼科美迪斯（英语：Nicomedes (mathematician)）是古希腊数学家，他利用这种蚌线来解决古希腊数学三大难题中的两个——三等分角和倍立方体。 有定直线 l {\displaystyle l} 和直线外一固定点 O {\displaystyle O} ，过点 O {\displaystyle O} 的动直线与 l {\displaystyle l} 相交，动直线上满足“与交点距离为定长”的点的轨迹，就是直线 l {\displaystyle l} 关于极点 O {\displaystyle O} 的蚌线 c {\displaystyle c} ，即尼科美迪斯蚌线。一条尼科美迪斯蚌线有内外两支，两支的渐近线都为 l {\displaystyle l} 。 通常记 l {\displaystyle l} 与点 O {\displaystyle O} 的距离为 a {\displaystyle a} ，迹距为 b {\displaystyle b} 。根据 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的关系，内支有三种不同形态： 当 b < a {\displaystyle b<a} 时，蚌线内支没有尖点或结点，极点与内支不相交。 当 a = b {\displaystyle a=b} 时，蚌线内支有一个尖点，尖点与极点重合。 当 b > a {\displaystyle b>a} 时，蚌线内支有一个结点，结点与极点重合。 尼科美迪斯蚌线是轴对称图形，对称轴与 l {\displaystyle l} 垂直并通过极点 O {\displaystyle O} 。 古希腊数学家尼科美迪斯（英语：Nicomedes (mathematician)）是最早研究蚌线的人。他发明了绘制直线之蚌线的工具，这是人们第一次用仪器绘制出直线和圆之外的几何曲线。他关于蚌线的论著已经失传，只有一部分通过帕普斯的《数学汇编》得以保存下来。帕普斯指出，存在“四种”蚌线，但只记录了“第一种”蚌线，也就是直线蚌线的外支，用来解决尺规作图三大难题中的两个：三等分角和倍立方体。剩下的“三种”蚌线，很可能指的是直线蚌线内支的三种形态。 帕普斯将该曲线称为“螺线”（κοχλοειδὴς γραμμή），这很可能是尼科美迪斯最初的叫法。后来的普罗克洛等人才改称该曲线为“蚌线”（κογχοειδὴς γραμμή）。 17世纪的大数学家艾萨克·牛顿认为蚌线是仅次于直线和圆的、定义第三简洁的曲线，并利用蚌线构造出多种三次平面曲线。但及至当代，蚌线变得很少被数学家研究和关注。 作线段 A B = 1 {\displaystyle AB=1} 。以点 A {\displaystyle A} 为圆心、 A B {\displaystyle AB} 为半径作圆，以点 B {\displaystyle B} 为圆心、 A B {\displaystyle AB} 为半径作圆，交于点 C {\displaystyle C} 。 过点 A {\displaystyle A} 作线段 A C {\displaystyle AC} 的垂线 l {\displaystyle l} 。以点 C {\displaystyle C} 为极点、 A B {\displaystyle AB} 为迹距作直线 l {\displaystyle l} 的蚌线外支。 延长 B A {\displaystyle BA} 交蚌线于点 D {\displaystyle D} 。延长 A B {\displaystyle AB} 交圆 B {\displaystyle B} 于点 E {\displaystyle E} 。连接 C D {\displaystyle CD} 交 l {\displaystyle l} 于点 F {\displaystyle F} 。线段 C F {\displaystyle CF} 的长度即为 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 。 作任意直角三角形 △ O A B {\displaystyle \triangle OAB} ，点 A {\displaystyle A} 为垂足。以点 O {\displaystyle O} 为极点、 2   O B {\displaystyle 2\ OB} 为迹距作直线 A B {\displaystyle AB} 的蚌线外支。 过点 B {\displaystyle B} 作直线 A B {\displaystyle AB} 的垂线，交蚌线于点 C {\displaystyle C} 。 O C {\displaystyle OC} 就是 ∠ A O B {\displaystyle \angle AOB} 的三等分线。 在极坐标系中，设点 O {\displaystyle O} 为坐标原点，则直线 l {\displaystyle l} 和蚌线 c {\displaystyle c} 的方程可以表示为： l :   ρ = a sec ⁡ θ {\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }} c :   ρ = a sec ⁡ θ ± b {\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b} ( − π 2 < θ < π 2   ,   a , b ∈ R + ) {\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})} 在直角坐标系中，设点 O {\displaystyle O} 为坐标原点，则直线 l {\displaystyle l} 和蚌线 c {\displaystyle c} 的方程可以表示为： l :   x = a {\displaystyle l:\ x=a} c :   ( x − a ) 2 ( x 2 + y 2 ) = b 2 x 2 {\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}} ( a , b ∈ R + ) {\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})} 或用参数方程表示为： { x = a ± b cos ⁡ θ y = a tan ⁡ θ ± b sin ⁡ θ {\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}} （上下正负号同号， − π 2 < θ < π 2   ,   a , b ∈ R + {\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}} ） 尼科美迪斯蚌线是四次平面曲线。 帕斯卡蜗线是一类外旋轮线，同时也是一类特殊的蚌线，是圆关于圆上一个定点的蚌线。由于极点在原曲线上，所以蚌线的内支和外支光滑相连为一条曲线。当迹距等于圆的直径时，就是心脏线。 作圆 O {\displaystyle O} 关于圆上一个定点 A {\displaystyle A} 、迹距等于圆的半径的蚌线。对于圆上任意一点 B {\displaystyle B} ，延长 B O {\displaystyle BO} 至圆外，与所作蚌线交于点 C {\displaystyle C} 。根据蚌线的性质，易知 ∠ A C B = 1 3 ∠ A O B {\displaystyle \angle ACB={1 \over 3}\angle AOB} 。这条特殊的蚌线被称为三等分角蜗线（英语：Limaçon_trisectrix）。 圆关于圆上一点、迹距小于圆径的蚌线 圆关于圆上一点、迹距等于圆径的蚌线，即心脏线 三等分角蜗线 圆对圆外一点的蚌线，迹距大于极点与圆的最大距离。极点与蚌线内支分离 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最大距离。极点为蚌线内支的尖点 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最大距离，大于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的结点 圆对圆外一点的蚌线，迹距等于极点与圆的最小距离。极点为蚌线内支的尖点 圆对圆外一点的蚌线，迹距小于极点与圆的最小距离。极点与蚌线内支分离 圆对圆内一点的一条蚌线 抛物线对线外一点的一条蚌线 正弦曲线对线外一点的一条蚌线 立方曲线对线外一点的一条蚌线 双曲线一支对线上一点的蚌线 椭圆对于中心、迹距等于半短轴的蚌线，内支有两个重合的尖点 别尔曼（俄语：Берман,_Георгий_Николаевич）. 摆线. 越民义 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5.  霍华德·伊夫斯（英语：Howard Eves）. 数学史概论. 第6版. 欧阳峰 (译). 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社. 2009: 126.  姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科学技术出版社. 1964: 289-293.  布隆什坦（俄语：Бронштейн, Илья Николаевич）; 谢缅佳也夫（俄语：Семендяев,_Константин_Адольфович）. 数学手册. 罗零, 石峥嵘 (译). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91.  高希尧. 数学术语详解词典. 西安: 陕西科学技术出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9.  莫里斯·克莱因. 古今数学思想 第1册. 张理京, 张锦炎, 江泽涵 (译). 上海: 上海科学技术出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9.  Thomas Heath（英语：Thomas_Heath_(classicist)）. A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 （英语）.   Chisholm, Hugh (编). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 （英语）.  大卫·S.里奇森（英语：David Richeson）. 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (译). 北京: 人民邮电出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.