导心

在物理学中，单一带电粒子的运动在较强的磁场中的运动可以被分解成两种运动的叠加：粒子绕着被称为导心（guiding center） 的一点进行相对较快的圆周运动，导心则以相对较慢的速度进行漂移（drift）运动。由于各粒子的电荷量、质量、温度有所不同，漂移速度亦会有所差异，可能会导致对电流密度的净贡献或者是化学分离。 如果磁场是均匀的且不考虑其他作用力，洛伦兹力就会给粒子一个垂直于磁场和粒子速度的加速度。这不会影响粒子平行于磁场方向的运动，但在垂直磁场平面会导致以固定速度进行的圆周运动。这一圆周运动被称为回旋运动（gyromotion）。质量为 m {\displaystyle m} 、电荷量为 q {\displaystyle q} 的粒子运动在磁感应强度为 B {\displaystyle B} 的磁场中，其回旋频率（gyrofrequency 或 cyclotron frequency）为 ω c = | q | B m . {\displaystyle \omega _{\rm {c}}={\frac {|q|B}{m}}.\,\!} 垂直磁场的速度为 v ⊥ {\displaystyle v_{\perp }} 时，回旋轨道的曲率半径被称为回旋半径（ gyroradius ）或拉莫尔半径（Larmor radius） ρ L = v ⊥ ω c . {\displaystyle \rho _{\rm {L}}={\frac {v_{\perp }}{\omega _{\rm {c}}}}.\,\!} 由于磁场施加的 Lorentz 力总是垂直于磁场，故该力对平行方向上的运动无影响（从最低阶而言）不考虑其它力，在均匀磁场中的带电粒子会绕磁力线作回旋运动并沿磁力线滑行，前者取决于垂直磁场的速度，后者取决于平行磁场的速度；从而产生一螺旋形的轨道。如果有外力且平行方向有分量，粒子和其导心就会相应地加速。 如果磁场场强在平行方向上有一梯度，有限 Larmor 半径的粒子会有向弱场强一侧的加速度，这一效应被称为磁镜。 一般而言，当某种力对粒子的作用在垂直于磁场的方向上有分量时，导心会向既垂直于这种力、又垂直于磁场的方向漂移。记 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} 为作用在一粒子上的力，则对应的漂移速度为 u f = 1 q F × B B 2 . {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}={\frac {1}{q}}{\frac {{\boldsymbol {F}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}.} 与磁镜效应和非均匀磁场漂移不同，这些漂移不依赖于有限 Larmor 半径，也存在于冷等离子体。这看上去可能有些反直觉。如果一开始作用力时粒子是静止的，垂直于该力的运动是如何而来的？为何这一力不会引起平行于它的运动？答案是磁场在其中起到了作用。该力一开始引起平行于其方向的加速度，但磁场将运动转向（deflect）漂移方向。等粒子走到漂移方向上的时候，磁场又将其转向和外力方向相反的方向，故在外力的方向上平均的加速度即为零。不过，在该力作用的方向上能发生最大为 ( F / m ) ω c − 2 {\displaystyle (F/m)\omega _{c}^{-2}} 的位移，这可以视为开启该力时的极化漂移（见下文）的结果。这一运动实际上是一条摆线。更一般地说，回旋运动（gyration）和均匀的垂直漂移运动的叠加是一条次摆线. 所有的漂移都可视为力漂移的特殊情况，尽管这不总是思考的最合适办法。电场力和重力是力漂移的典型案例。 ∇ B {\displaystyle \nabla B} 漂移可以视为在磁场幅度梯度下作用在磁偶极子上的力引起的漂移。曲率、惯性、极化漂移则可视为其对应的加速度充当虚性力（fictitious force）下的漂移。逆磁漂移可从压强梯度力中推导而来。最后，其他的力也可以引起漂移，比如辐射压强和碰撞。 重力场是力漂移的一个简单例子，电离层中的等离子体就可考虑它。其漂移速度是 u g = m q g × B B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{g}={\frac {m}{q}}{\frac {{\boldsymbol {g}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}} 由于对质量的依赖，重力漂移对电子的影响通常可以忽略。 对粒子电荷的依赖意味着电子离子的这一漂移速度是反向的，会贡献于净电流密度。从流体的图象上来看，正是这一电流叉乘磁场后提供了拮抗（counteract）所施加力的力。 由电场导致的这一漂移经常被称为 E × B {\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}} (E-cross-B) 漂移，这一漂移特殊在电场力和电荷量成正比。 结果就是，不管什么质量和电荷量的离子和电子都在相同的方向上以相同的速度漂移，故而这一漂移对净电流密度无贡献 (如果等离子体是近中性的)。在狭义相对论中，以该速度运动的参考系中，电场会变换为零。漂移速度的值是 u E = E × B B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{E}={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}} 如果电场是非均匀的，以上公式修正为 u E = ( 1 + 1 4 ρ L 2 ∇ 2 ) E × B B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{E}=\left(1+{\frac {1}{4}}\rho _{\rm {L}}^{2}\nabla ^{2}\right){\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}} 导心漂移不仅可能来源于外部力的作用，也有可能来源于磁场的非均匀性。用平行和垂直动能表示这些漂移较为方便 K ‖ = 1 2 m v ‖ 2 K ⊥ = 1 2 m v ⊥ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}K_{\|}=&{\frac {1}{2}}mv_{\|}^{2}\\K_{\perp }=&{\frac {1}{2}}mv_{\perp }^{2}\end{aligned}}} 这种情况下，对质量的显式依赖就看不到了。如果离子和电子温度相当，则会有着大小相当、方向相反的漂移速度。 当某一粒子走到强场的一侧时，曲率半径较小；走到弱场一侧，曲率半径便较大。在垂直磁场方向看，其轨迹从均匀磁场下的圆轨往摆线（cycloid）的形状发展。对应漂移速度是 u ∇ B = K ⊥ q B B × ∇ B B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\nabla B}={\frac {K_{\perp }}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {B}}\times \nabla B}{B^{2}}}} 当带电粒子沿弯折的磁力线走时，其向心力（centripetal force）会对应于一垂直于曲率平面的漂移速度 u R = 2 K ‖ q B R c × B R c 2 B {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{R}={\frac {2K_{\|}}{qB}}{\frac {{\boldsymbol {R}}_{c}\times {\boldsymbol {B}}}{R_{c}^{2}B}}} 其中 R c {\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{c}} 是向外指的曲率半径，由最逼近粒子矢径处磁力线的圆弧（circular arc）的圆心向外指。 u i n e r t i a l = v ∥ ω c b ^ × d b ^ d t , {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\rm {inertial}}={\frac {v_{\parallel }}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times {\frac {\mathrm {d} {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\mathrm {d} t}},} 其中 b ^ = B / B {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {b}}}={\boldsymbol {B}}/B} 是磁场方向的单位向量。这一惯性漂移可以被分解成曲率漂移和以下漂移的总和 v ‖ ω c b ^ × [ ∂ b ^ ∂ t + ( v E ⋅ ∇ b ^ ) ] . {\displaystyle {\frac {v_{\|}}{\omega _{c}}}\,{\hat {\boldsymbol {b}}}\times \left[{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+({\boldsymbol {v}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}})\right].} 当磁场处于稳态且弱电场时，惯性漂移由曲率漂移主导。 时变的电场也会导致一项漂移 u p = m q B 2 d E d t {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{p}={\frac {m}{qB^{2}}}{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {E}}}{\mathrm {d} t}}} 显然这一漂移不同于其他漂移，它不能无限期地延续。一般而言，振荡的电场会引起振荡的极化漂移，相位相差 90 度。由于对质量的依赖，这一效应被称为惯性漂移（inertia drift）。电子质量小，对它而言，这一漂移往往可以忽略。 单粒子的导心在缓变电磁场中的非相对论运动方程由 Theodore G. Northrop 给出。 将粒子位矢分解为 r ≡ R + ϱ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\equiv {\boldsymbol {R}}+{\boldsymbol {\varrho }}} ，记 R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} 为导心，回旋运动的矢径定义为 ϱ := m q B B 2 × ( v − E × B B 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varrho }}:={\frac {m}{q}}{\frac {\boldsymbol {B}}{B^{2}}}\times \left({\boldsymbol {v}}-{\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}\right)} ，其中 E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}} 、 B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} 取在粒子位矢 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} 位置处的值。如此，导心便有了精确的定义 R := r − ϱ {\displaystyle {\boldsymbol {R}}:={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\varrho }}} 。符号上面加一点表示对时间的导数 d / d t {\displaystyle \mathrm {d} /\mathrm {d} t} ，小参数取为 ϵ := m / q {\displaystyle \epsilon :=m/q} ， ρ ∼ ϵ {\displaystyle \rho \sim \epsilon } ， ω ∼ ϵ − 1 {\displaystyle \omega \sim \epsilon ^{-1}} ，从而可效仿牛顿第二定律得到导心的运动方程， R ¨ = g ( R ) + q m [ E ( R ) + R ˙ × B ( R ) ] − μ m ∇ B ( R ) + O ( ϵ ) , {\displaystyle {\ddot {\boldsymbol {R}}}={\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {R}})+{\frac {q}{m}}[{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {R}})+{\dot {\boldsymbol {R}}}\times {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {R}})]-{\frac {\mu }{m}}\nabla B({\boldsymbol {R}})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),} 其中 μ := m ( ρ ω ) 2 2 B {\displaystyle \mu :={\frac {m(\rho \omega )^{2}}{2B}}} 是磁矩，是一绝热不变量，初始速度 R ˙ ( 0 ) {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {R}}}(0)} 取 [ b ^ b ^ ⋅ v + ( E × B / B 2 ) ] t = 0 + O ( ϵ ) {\displaystyle \left[{\hat {\boldsymbol {b}}}{\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\left({\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}/B^{2}\right)\right]_{t=0}+{\mathcal {O}}(\epsilon )} 。这一运动方程等价于下面两式： 垂直磁场方向的各漂移运动速度方向完全由电磁场和场的时空变化所决定，导心本身的平行、垂直速度仅起到系数作用。导心垂直磁场方向的速度 R ˙ ⊥ := R ˙ − b ^ b ^ ⋅ R ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {R}}}_{\perp }:={\dot {\boldsymbol {R}}}-{\hat {\boldsymbol {b}}}{\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot {\dot {\boldsymbol {R}}}} 满足以下方程 R ˙ ⊥ = b ^ B × { − E + μ q ∇ B + m q [ − g + v ∥ ∂ b ^ ∂ t + v ∥ 2 ∂ b ^ ∂ s + v ∥ u E ⋅ ∇ b ^ + ∂ ∂ t u E + v ∥ ∂ ∂ s u E + u E ⋅ ∇ u E ] } + O ( ϵ 2 ) , {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {R}}}_{\perp }={\frac {\hat {\boldsymbol {b}}}{B}}\times {\Bigl \{}-{\boldsymbol {E}}+{\frac {\mu }{q}}\nabla B+{\frac {m}{q}}{\Bigl [}-{\boldsymbol {g}}+v_{\parallel }{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+v_{\parallel }^{2}{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial s}}+v_{\parallel }{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}_{E}+v_{\parallel }{\frac {\partial }{\partial s}}{\boldsymbol {u}}_{E}+{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}_{E}{\Bigr ]}{\Bigr \}}+{\mathcal {O}}\left(\epsilon ^{2}\right),} 其中 v ∥ := R ˙ ⋅ b ^ ( R ) {\displaystyle v_{\parallel }:={\dot {\boldsymbol {R}}}\cdot {\hat {\boldsymbol {b}}}({\boldsymbol {R}})} 是导心平行方向的速度标量、 u E := E × B B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{E}:={\frac {{\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}}{B^{2}}}} 是 E × B {\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}} 漂移速度，而 ∂ ∂ s := b ^ ⋅ ∇ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}:={\hat {\boldsymbol {b}}}\cdot \nabla } 表示沿磁场方向的方向导数。其中的 μ q = m ( ρ ω ) 2 2 q B ∼ ϵ {\displaystyle {\frac {\mu }{q}}={\frac {m(\rho \omega )^{2}}{2qB}}\sim \epsilon } 和 m q =: ϵ {\displaystyle {\frac {m}{q}}=:\epsilon } 均为一阶量。 v ∥ {\displaystyle v_{\parallel }} 的变化满足方程 m q d v ∥ d t = m q g ∥ + E ∥ − μ q ∂ B ∂ s + m q u E ⋅ ( ∂ b ^ ∂ t + v ∥ ∂ b ^ ∂ s + u E ⋅ ∇ b ^ ) + O ( ϵ 2 ) . {\displaystyle {\frac {m}{q}}{\frac {\mathrm {d} v_{\parallel }}{\mathrm {d} t}}={\frac {m}{q}}g_{\parallel }+E_{\parallel }-{\frac {\mu }{q}}{\frac {\partial B}{\partial s}}+{\frac {m}{q}}{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \left({\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial t}}+v_{\parallel }{\frac {\partial {\hat {\boldsymbol {b}}}}{\partial s}}+{\boldsymbol {u}}_{E}\cdot \nabla {\hat {\boldsymbol {b}}}\right)+{\mathcal {O}}\left(\epsilon ^{2}\right).} 逆磁漂移实际上不是导心的漂移。压强梯度不会导致单个粒子的漂移，而是贡献于宏观的流体速度。流体速度可视为通过某一参考面的粒子数，压强梯度会导致往某一方向漂移的粒子更多。这一漂移对流体净速度的贡献为 v D = − ∇ p × B q n B 2 {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{D}=-{\frac {\nabla p\times {\boldsymbol {B}}}{qnB^{2}}}} 除 E × B {\displaystyle {\boldsymbol {E}}\times {\boldsymbol {B}}} 漂移之外，不同带电粒子的漂移速度各有不同。它们之间的速度差会导致对电流密度的净的贡献，而漂移速度对密度的依赖亦可引起化学分离。 Baumjohann, Wolfgang; Treumann, Rudolf. Basic Space Plasma Physics. 1997. ISBN 978-1-86094-079-8.  Northrop, Theodore G. The guiding center approximation to charged particle motion. Annals of Physics. 1961-07-01, 15 (1). ISSN 0003-4916. doi:10.1016/0003-4916(61)90167-1 （英语）.