推遲勢

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」；源變數的標記的後面有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」。 在電磁學裏，推遲勢指的是，響應含時電荷分佈或含時電流分佈，而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序，由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係，訊號以光速從源位置傳播到場位置，需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈，必須經過一段時間之後，才能夠將其影響傳播到場位置，產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。 對於靜態的電荷分佈和電流分佈，電勢 Φ ( r ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )} 和磁向量勢 A ( r ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )} 分別定義為 Φ ( r )   = d e f   1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 、 A ( r )   = d e f   μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} ； 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是場位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 是源位置， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是真空電容率， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是真空磁導率， ρ {\displaystyle \rho } 是電荷密度， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度， V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 是體積分的空間， d 3 r ′ {\displaystyle d^{3}\mathbf {r} '} 是微小體元素。 在電動力學裏，這兩個方程式必須加以延伸，才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間 t r {\displaystyle t_{r}} 為檢驗時間 t {\displaystyle t} 減去電磁波傳播的時間： t r   = d e f   t − | r − r ′ | c {\displaystyle t_{r}\ {\stackrel {def}{=}}\ t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}} ； 其中， c {\displaystyle c} 是光速。 假設，從源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 往場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 發射出一束電磁波，而這束電磁波在檢驗時間 t {\displaystyle t} 抵達觀測者的場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } ，則這束電磁波發射的時間是推遲時間 t r {\displaystyle t_{r}} 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的，觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 t {\displaystyle t} ，會不同於這電磁波發射的推遲時間 t r {\displaystyle t_{r}} 。 推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 與推遲向量勢 A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)} 分別用方程式定義為 Φ ( r , t )   = d e f   1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 、 A ( r , t )   = d e f   μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 。 請注意，在這兩個含時方程式內，源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間 t r {\displaystyle t_{r}} 有關，而不是與時間無關。 這兩個含時方程式，是用推理得到的啟發式，而不是用任何定律或公理推導出來的。訊號以光速傳播，從源位置到場位置，需要有限時間。所以在時間 t {\displaystyle t} 的推遲勢必定是由在推遲時間 t r {\displaystyle t_{r}} 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性，必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式。還有，勞侖次規範是一個常用的規範，可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。 含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢，必須遵守达朗贝尔方程，表達為 ∇ 2 Φ ( r , t ) − 1 c 2 ∂ 2 Φ ( r , t ) ∂ t 2 = − ρ ( r , t ) ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-{\rho (\mathbf {r} ,\,t) \over \epsilon _{0}}} 、 ∇ 2 A ( r , t ) − 1 c 2 ∂ 2 A ( r , t ) ∂ t 2 = − μ 0 J ( r , t ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t) \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)} 。 假若，這些用啟發法推理得到的推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 和推遲向量勢 A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)} 不能滿足非齊次的電磁波方程式，那麼，這些推遲勢很可能有重大錯誤，無法適用於期望的用途（從含時源生成電磁輻射）。 設定 R {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}} 為從源位置到場位置的分離向量： R = r − r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}=\mathbf {r} -\mathbf {r} '} 。 場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 、源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 和時間 t {\displaystyle t} 都是自變數（independent variable）。分離向量 R {\displaystyle {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}} 和其大小 R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} 都是應變數（dependent variable），跟場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 、源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 有關。推遲時間 t r = t − R / c {\displaystyle t_{r}=t-{\mathfrak {R}}/c} 也是應變數，跟時間 t {\displaystyle t} 、分離距離 R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} 有關。 推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 的梯度是 ∇ Φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ∇ ( ρ ( r ′ , t r ) R ) d 3 r ′ = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ [ ∇ ρ ( r ′ , t r ) R + ρ ( r ′ , t r ) ∇ ( 1 R ) ] d 3 r ′ {\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\nabla \left({\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\right)\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}+\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \left({\frac {1}{\mathfrak {R}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '} 。 源電荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})} 的全微分是 d ρ ( r ′ , t r ) = ∇ ′ ρ ⋅ d r ′ + ∂ ρ ∂ t r d t r = ∇ ′ ρ ⋅ d r ′ + ∂ ρ ∂ t r ( ∂ t r ∂ t d t + ∂ t r ∂ R d R ) = ∇ ′ ρ ⋅ d r ′ + ∂ ρ ∂ t r ( d t − 1 c d R ) = ∇ ′ ρ ⋅ d r ′ + ∂ ρ ∂ t r [ d t − 1 c ( ∇ R ⋅ d r ) + ∇ ′ R ⋅ d r ′ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}d\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}dt_{r}\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left({\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial t_{r}}{\partial {\mathfrak {R}}}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left(dt-{\frac {1}{c}}d{\mathfrak {R}}\right)\\&=\nabla '\rho \cdot d\mathbf {r} '+{\frac {\partial \rho }{\partial t_{r}}}\left[dt-{\frac {1}{c}}(\nabla {\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} )+\nabla '{\mathfrak {R}}\cdot d\mathbf {r} ')\right]\\\end{aligned}}} 。 注意到 ∂ ρ ( r ′ , t ) ∂ t = ∂ t r ∂ t   ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t r = ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t r {\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t}}={\frac {\partial t_{r}}{\partial t}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}={\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}} 、 ∇ R = R ^ {\displaystyle \nabla {\mathfrak {R}}={\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}} 。 所以，源電荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})} 的梯度是 ∇ ρ ( r ′ , t r ) = − 1 c   ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t r ∇ R = − 1 c   ∂ ρ ( r ′ , t r ) ∂ t R ^ = − ρ ˙ ( r ′ , t r ) c R ^ {\displaystyle \nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t_{r}}}\nabla {\mathfrak {R}}=-{\frac {1}{c}}\ {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\partial t}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}=-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}} ； 其中， ρ ˙ ( r ′ , t r ) {\displaystyle {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})} 定義為 ∂ ρ ( r ′ , t ) ∂ t r {\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ',\,t)}{\partial t_{r}}}} 。 將這公式代入，推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 的梯度是 ∇ Φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ [ − ρ ˙ ( r ′ , t r ) c R ^ R − ρ ( r ′ , t r ) ( R ^ R 2 ) ] d 3 r ′ {\displaystyle \nabla \Phi (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} '} 。 推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 的拉普拉斯算符是 ∇ 2 Φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ [ − ∇ ρ ˙ ( r ′ , t r ) c ⋅ R ^ R − ρ ˙ ( r ′ , t r ) c ∇ ⋅ ( R ^ R ) − [ ∇ ρ ( r ′ , t r ) ] ⋅ ( R ^ R 2 ) − ρ ( r ′ , t r ) ∇ ⋅ ( R ^ R 2 ) ] d 3 r = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ [ − ρ ¨ ( r ′ , t r ) c 2 R − ρ ˙ ( r ′ , t r ) c R 2 + ρ ˙ ( r ′ , t r ) c R 2 − 4 π ρ ( r ′ , t r ) δ 3 ( R ) ] d 3 r ′ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 [ 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ , t r ) R d 3 r ′ ] − ρ ( r , t ) ϵ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {\nabla {\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\cdot {\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{\mathfrak {R}}}\right)-[\nabla \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})]\cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)-\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\nabla \cdot \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\mathfrak {R}}}}{{\mathfrak {R}}^{2}}}\right)\right]\,d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[-{\frac {{\ddot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}{\mathfrak {R}}}}-{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c{\mathfrak {R}}^{2}}}-4\pi \rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})\delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})\right]\,d^{3}\mathbf {r} '\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left[{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{\mathfrak {R}}}\,d^{3}\mathbf {r} '\right]-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}\\\end{aligned}}} ； 其中， δ 3 ( R ) {\displaystyle \delta ^{3}({\boldsymbol {\mathfrak {R}}})} 是三維狄拉克δ函數。 所以，推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式 ∇ 2 Φ ( r , t ) + 1 c 2 ∂ 2 Φ ( r , t ) ∂ t 2 = − ρ ( r , t ) ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\epsilon _{0}}}} 。 類似地，可以證明推遲向量勢 A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)} 滿足非齊次的電磁波方程式。 給予磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } ，並不是只有一個向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} } 滿足條件 B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式， ∇ × ( ∇ λ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \lambda )=0} ，給予任意函數 λ {\displaystyle \lambda } ，那麼， A = A + ∇ λ {\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \lambda } 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。 物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏，勞侖次規範是一個常用的規範，可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為 ∇ ⋅ A + 1 c 2 ∂ Φ ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{{\partial \Phi } \over {\partial t}}=0} 。 按照前述方法，可以證明推遲純量勢 Φ ( r , t ) {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} ,\,t)} 和推遲向量勢 A ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)} 滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。 推遲勢與電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 、磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的關係分別為 E = − ∇ Φ − ∂ A ∂ t {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \Phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}} 、 B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } 。 按照前述方法，可以得到電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 和磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的方程式，又稱為傑斐緬柯方程式： E ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ [ ρ ( r ′ , t r ) r − r ′ | r − r ′ | 3 + ρ ˙ ( r ′ , t r ) c r − r ′ | r − r ′ | 2 − J ˙ ( r ′ , t r ) c 2 | r − r ′ | ] d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\left[\rho (\mathbf {r} ',\,t_{r}){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\rho }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}-{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c^{2}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]d^{3}\mathbf {r} '} 、 B ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ V ′ [ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | 3 + J ˙ ( r ′ , t r ) c | r − r ′ | 2 ] × ( r − r ′ )   d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\left[{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}+{\frac {{\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{c|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2}}}\right]\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\ d^{3}\mathbf {r} '} 。 定義超前時間 t a {\displaystyle t_{a}} 為現在時間 t {\displaystyle t} 加上光波傳播的時間： t a   = d e f   t + | r − r ′ | c {\displaystyle t_{a}\ {\stackrel {def}{=}}\ t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}} 。 超前純量勢 Φ a ( r , t ) {\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)} 與超前向量勢 A a ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)} 分別用方程式表達為 Φ a ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ , t a ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 、 A a ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ , t a ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{a})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 。 這兩個方程式表明，在時間 t {\displaystyle t} 的超前純量勢與超前向量勢，乃是由在超前時間 t a {\displaystyle t_{a}} 的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢 Φ a ( r , t ) {\displaystyle \Phi _{a}(\mathbf {r} ,\,t)} 與超前向量勢 A a ( r , t ) {\displaystyle \mathbf {A} _{a}(\mathbf {r} ,\,t)} 也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範，但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題，未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏，超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題，並沒有任何實際用途。 非齊次的電磁波方程式 傑斐緬柯方程式 黎納-維謝勢 拉莫方程式 阿布拉罕-勞侖茲力 狹義相對論 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Alexander Komech; Andrew Komech. Principles of Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media. 5 October 2009. ISBN 978-1-4419-1095-0.