Β函数

Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义： B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t {\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,\mathrm {d} t\!} 其中 Re ( x ) , Re ( y ) > 0 {\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,} 。 Β函数具有以下對稱性質： B ( x , y ) = B ( y , x ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!} 当x,y是正整数的时候，我们可以从伽马函数定义得到如下式子： B ( x , y ) = ( x − 1 ) ! ( y − 1 ) ! ( x + y − 1 ) ! {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!} 它有许多其它的形式，包括： B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!} B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π 2 ( sin ⁡ θ ) 2 x − 1 ( cos ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ , Re ( x ) > 0 ,   Re ( y ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!} B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t , Re ( x ) > 0 ,   Re ( y ) > 0 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,\mathrm {d} t,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!} B ( x , y ) = ∑ n = 0 ∞ ( n − y n ) x + n , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!} B ( x , y ) = ∏ n = 0 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!} B ( x , y ) ⋅ B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ⁡ ( π y ) , {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!} B ( x , y ) = 1 y ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n y n + 1 n ! ( x + n ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\dfrac {y^{n+1}}{n!(x+n)}}\!} 其中 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 是伽玛函数。 就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数： ( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}} 为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为： Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ 0 ∞   e − u u x − 1 d u ∫ 0 ∞   e − v v y − 1 d v . {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,\mathrm {d} u\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,\mathrm {d} v.\!} 现在，设 u = a 2 {\displaystyle u=a^{2}} , v = b 2 {\displaystyle v=b^{2}} ，因此： Γ ( x ) Γ ( y ) = 4 ∫ 0 ∞   e − a 2 a 2 x − 1 d a ∫ 0 ∞   e − b 2 b 2 y − 1 d b = ∫ − ∞ ∞   ∫ − ∞ ∞   e − ( a 2 + b 2 ) | a | 2 x − 1 | b | 2 y − 1 d a d b . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,\mathrm {d} b\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,\mathrm {d} a\,\mathrm {d} b.\end{aligned}}\!} 利用变量代换 a = r cos ⁡ θ {\displaystyle a=r\cos \theta } 和 b = r sin ⁡ θ {\displaystyle b=r\sin \theta } ，可得： Γ ( x ) Γ ( y ) = ∫ 0 2 π   ∫ 0 ∞   e − r 2 | r cos ⁡ θ | 2 x − 1 | r sin ⁡ θ | 2 y − 1 r d r d θ = ∫ 0 ∞   e − r 2 r 2 x + 2 y − 2 r d r ∫ 0 2 π   | ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 | d θ = 1 2 ∫ 0 ∞   e − r 2 r 2 ( x + y − 1 ) d ( r 2 ) 4 ∫ 0 π 2   ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ = Γ ( x + y ) 2 ∫ 0 π 2   ( cos ⁡ θ ) 2 x − 1 ( sin ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ = Γ ( x + y ) B ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,\mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\frac {1}{2}}{\color {red}{\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,\mathrm {d} (r^{2})}}\,4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}={\color {red}{\Gamma (x+y)}}\,2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,\mathrm {d} \theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}} 因此，有： B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.} 贝塔函数的导数是： ∂ ∂ x B ( x , y ) = B ( x , y ) ( Γ ′ ( x ) Γ ( x ) − Γ ′ ( x + y ) Γ ( x + y ) ) = B ( x , y ) ( ψ ( x ) − ψ ( x + y ) ) {\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))} 其中 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是双伽玛函数。 斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式： B ( x , y ) ≈ 2 π x x − 1 2 y y − 1 2 ( x + y ) x + y − 1 2 . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\approx {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}.} 不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。 不完全贝塔函数定义为： B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t . {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!} 当x = 1，上式即化为贝塔函数。 正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义： I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) . {\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!} 当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得： I x ( a , b ) = ∑ j = a a + b − 1 ( a + b − 1 ) ! j ! ( a + b − 1 − j ) ! x j ( 1 − x ) a + b − 1 − j . {\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.} 正则不完全贝塔函数是Β分布的累積分布函數，可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布： F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) = 1 − I p ( k + 1 , n − k ) {\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)} 其中p為試驗成功機率，n為樣本數。 I 0 ( a , b ) = 0 {\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,} I 1 ( a , b ) = 1 {\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,} I x ( a , b ) = 1 − I 1 − x ( b , a ) {\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,} Β分布 二项分布 伽玛函数 M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） （页面存档备份，存于互联网档案馆） W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4) 用拉普拉斯变换来计算贝塔函数. PlanetMath.  贝塔函数计算器 不完全贝塔函数计算器 正则不完全贝塔函数计算器