自由群

在數學中，一個群 G {\displaystyle G} 被稱作自由群，如果存在 G {\displaystyle G} 的子集 S {\displaystyle S} 使得 G {\displaystyle G} 的任何元素都能唯一地表成由 S {\displaystyle S} 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 s t − 1 = s u − 1 u t − 1 {\displaystyle st^{-1}=su^{-1}ut^{-1}} 之類）；此時也稱 G {\displaystyle G} 為集合 S {\displaystyle S} 上的自由群，其群結構決定於集合 S {\displaystyle S} ，記為 F ( S ) {\displaystyle F(S)} ， S {\displaystyle S} 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。 一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群（英语：free abelian group）。 在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。 整數的加法群 ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} 是自由群；事實上我們可取 S := { 1 } {\displaystyle S:=\{1\}} 。 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。 在代數拓撲學中， k {\displaystyle k} 個圓環的集束（即： k {\displaystyle k} 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 k {\displaystyle k} 個生成元的自由群。 今將構造集合 S {\displaystyle S} 上之自由群 F ( S ) {\displaystyle F(S)} ，分解動作如下。 對任何 s ∈ S {\displaystyle s\in S} ，引入符號 s − 1 {\displaystyle s^{-1}} ，稱作 s {\displaystyle s} 的逆元。 考慮所有由符號 s , s − 1 ( s ∈ S ) {\displaystyle s,s^{-1}\;(s\in S)} 構成的有限字串。 如果一個字串能透過將 s s − 1 {\displaystyle ss^{-1}} 或 s − 1 s {\displaystyle s^{-1}s} 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 。 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即： x ∼ y , x ′ ∼ y ′ ⇒ x x ′ ∼ y y ′ {\displaystyle x\sim y,x'\sim y'\Rightarrow xx'\sim yy'} 。故字串接合在 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 導出二元運算，並滿足交換律。 取 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 及字串接合運算構成一個群，字串 s 1 ± 1 ⋯ s n ± 1 {\displaystyle s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}} 之逆為 s n ∓ 1 ⋯ s 1 ∓ 1 {\displaystyle s_{n}^{\mp 1}\cdots s_{1}^{\mp 1}} 。此即所求。 若 S {\displaystyle S} 為空集，則 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 為平凡群。 上述構造 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 帶有一個自然的集合映射 ϕ : S → F ( S ) {\displaystyle \phi :S\rightarrow F(S)} 。這對資料 ( F ( S ) , ϕ ) {\displaystyle (F(S),\phi )} 滿足以下泛性質： 若 G {\displaystyle G} 為群， ψ : S → G {\displaystyle \psi :S\rightarrow G} 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 f : F ( S ) → G {\displaystyle f:F(S)\rightarrow G} 使得 f ∘ ϕ = ψ {\displaystyle f\circ \phi =\psi } 。 事實上我們僅須，也必須設 f ( s 1 ± 1 ⋯ s n ± 1 ) := ψ ( s 1 ) ± 1 ⋯ ψ ( p n ) ± 1 {\displaystyle f(s_{1}^{\pm 1}\cdots s_{n}^{\pm 1}):=\psi (s_{1})^{\pm 1}\cdots \psi (p_{n})^{\pm 1}} ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。 任兩個滿足上述泛性質的資料 ( F 1 , ϕ 1 ) {\displaystyle (F_{1},\phi _{1})} 、 ( F 2 , ϕ 2 ) {\displaystyle (F_{2},\phi _{2})} 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 F ( − ) : S ↦ F ( S ) {\displaystyle F(-):S\mapsto F(S)} 是遺忘函子的左伴隨函子。 任何群 G {\displaystyle G} 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 S {\displaystyle S} 為 G {\displaystyle G} 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 F ( S ) → G {\displaystyle F(S)\rightarrow G} 的核 R {\displaystyle R} 稱作關係， F ( S ) , K {\displaystyle F(S),K} 稱作 G {\displaystyle G} 的一個展示；若 S {\displaystyle S} 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。 如果 S {\displaystyle S} 有超過一個元素，則 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 非交換；事實上 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 的中心只有單位元素。 任兩個自由群 F ( S ) , F ( T ) {\displaystyle F(S),F(T)} 同構的充要條件是 S , T {\displaystyle S,T} 基數相同，此基數稱作自由群的階。 以下是一些相關定理： Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 G {\displaystyle G} 為 n {\displaystyle n} 階， ( G : H ) = k {\displaystyle (G:H)=k} ，則 H {\displaystyle H} 為 1 − n + n k {\displaystyle 1-n+nk} 階（在此設 n , k {\displaystyle n,k} 有限）。 設 F {\displaystyle F} 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 n {\displaystyle n} ， F {\displaystyle F} 中都存在 n {\displaystyle n} 階的自由子群。 自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。 將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 S {\displaystyle S} 上的自由阿貝爾群可視為自由 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模來構造，或取作 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 的「交換化」： F ( S ) / [ F ( S ) , F ( S ) ] {\displaystyle F(S)/[F(S),F(S)]} （換言之，在考慮字串時不計符號順序）。 塔斯基在1945年左右提出下述問題： 兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？ 目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。 Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770  W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976). Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 數學評論2238945  J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))