類氫原子

似氫原子模型（Hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He+, Li2+, Be3+與B4+等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。 稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為單電子波函數，或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符 L {\displaystyle L} 與其 z-軸分量算符 L z {\displaystyle L_{z}} 的本徵函數。由於能量本徵值 E n {\displaystyle E_{n}} 跟量子數 l {\displaystyle l} ， m {\displaystyle m} 無關，而只跟主量子數 n {\displaystyle n} 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 n {\displaystyle n} 、角量子數 l {\displaystyle l} 、磁量子數 m {\displaystyle m} ，獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 m s = ± 1 / 2 {\displaystyle m_{s}=\pm 1/2} 。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數 n {\displaystyle n} ．這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數 l {\displaystyle l} 、磁量子數 m {\displaystyle m} 、自旋量子數 m s {\displaystyle m_{s}} 的值域。 除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量 e ( Z − 1 ) {\displaystyle e(Z-1)} ；其中， e {\displaystyle e} 是單位電荷量， Z {\displaystyle Z} 是原子序數。離子像He+、Li2+、Be3+、B4+、等等，都是類氫原子。 在元素周期表中，第 IA 族的鹼金屬元素，其原子的最外電子層都有一個電子，而第二外層電子層的亞層，不論是 s 亞層或 p 亞層，凡是內中有電子的亞層．都已被填滿。例如，鈉元素有11個電子。電子排佈為 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 1 {\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{1}} 。最外層只有一個電子。第二外層的 2 s {\displaystyle 2s} 與 2 p {\displaystyle 2p} 亞層都已填滿。鉀元素有19個電子。電子排佈為 1 s 2 2 s 2 2 p 6 3 s 2 3 p 6 4 s 1 {\displaystyle 1s^{2}2s^{2}2p^{6}3s^{2}3p^{6}4s^{1}} 。第二外層的 3 s {\displaystyle 3s} 與 3 p {\displaystyle 3p} 亞層都已填滿。由於 3 p {\displaystyle 3p} 亞層的軌域的能量較高，最外層唯一的一個電子的軌域是 4 s {\displaystyle 4s} 。受到內層電子的緊密屏蔽，這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以，這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數，來近似地表達這電子的量子態。 因為電子與電子之間的庫侖相互作用，擁有多個電子的原子或離子沒有解析解，必須用數值法來做量子力學計算，才能求得近似的波函數以及其它有關性質。由於哈密頓量的球對稱性，一個原子的角動量 L {\displaystyle L} 守恆。許多數值程序，開始於單電子算符 L 2 {\displaystyle L^{2}} 與 L z {\displaystyle L_{z}} 的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或斯萊特軌域 (Slater orbitals) 。應用角動量偶合方法 (angular momentum coupling) ，可以設定 L {\displaystyle L} （或許也可以設定 S {\displaystyle S} ）的多電子本徵函數。 類氫原子問題的薛丁格方程式為 − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ + V ( r ) ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +V(r)\psi =E\psi } ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， μ {\displaystyle \mu } 是電子與原子核的約化質量， ψ {\displaystyle \psi } 是量子態的波函數， E {\displaystyle E} 是能量， V ( r ) {\displaystyle V(r)} 是庫侖位勢： V ( r ) = − Z e 2 4 π ϵ 0 r {\displaystyle V(r)=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}} ； 其中， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是真空電容率， Z {\displaystyle Z} 是原子序， e {\displaystyle e} 是單位電荷量， r {\displaystyle r} 是電子離原子核的距離。 採用球坐標 ( r ,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )} ，將拉普拉斯算子展開： − ℏ 2 2 μ r 2 { ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 sin 2 ⁡ θ [ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + ∂ 2 ∂ ϕ 2 ] } ψ − Z e 2 4 π ϵ 0 r ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu r^{2}}}\left\{{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}\psi -{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi =E\psi } 。 猜想這薛丁格方程式的波函數解 ψ ( r ,   θ ,   ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\ \theta ,\ \phi )} 是徑向函數 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 與球諧函數 Y l m ( θ ,   ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\ \phi )} 的乘積： ψ ( r ,   θ ,   ϕ ) = R n l ( r ) Y l m ( θ ,   ϕ ) {\displaystyle \psi (r,\ \theta ,\ \phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\ \phi )} 。 參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式 − 1 sin 2 ⁡ θ [ sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + ∂ 2 ∂ ϕ 2 ] Y l m ( θ , ϕ ) = l ( l + 1 ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big (}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}{\Big )}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]Y_{lm}(\theta ,\phi )=l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )} ； 其中，非負整數 l {\displaystyle l} 是軌角動量的角量子數。磁量子數 m {\displaystyle m} （滿足 − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 l {\displaystyle l} 與 m {\displaystyle m} 給予不同的軌角動量函數解答 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} ： Y l m ( θ ,   ϕ ) = ( i ) m + | m | ( 2 l + 1 ) 4 π ( l − | m | ) ! ( l + | m | ) ! P l m ( cos ⁡ θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2l+1) \over 4\pi }{(l-|m|)! \over (l+|m|)!}}}\,P_{lm}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }} ； 其中， i {\displaystyle i} 是虛數單位， P l m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{lm}(\cos {\theta })} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P l ( x ) {\displaystyle P_{lm}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{l}(x)\,} ； 而 P l ( x ) {\displaystyle P_{l}(x)} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為 P l ( x ) = 1 2 l l ! d l d x l ( x 2 − 1 ) l {\displaystyle P_{l}(x)={1 \over 2^{l}l!}{d^{l} \over dx^{l}}(x^{2}-1)^{l}} 。 徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式： [ − ℏ 2 2 μ r 2 d d r ( r 2 d d r ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 μ r 2 − Z e 2 4 π ϵ 0 r ] R n l ( r ) = E R n l ( r ) {\displaystyle \left[-{\hbar ^{2} \over 2\mu r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{d \over dr}\right)+{\hbar ^{2}l(l+1) \over 2\mu r^{2}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right]R_{nl}(r)=ER_{nl}(r)} 。 方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。 除了量子數 ℓ {\displaystyle \ell } 與 m {\displaystyle m} 以外，還有一個主量子數 n {\displaystyle n} 。為了滿足 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 的邊界條件， n {\displaystyle n} 必須是正值整數，能量也離散為能級 E n = − ( Z 2 μ e 4 32 π 2 ϵ 0 2 ℏ 2 ) 1 n 2 = − 13.6 Z 2 n 2   ( e V ) {\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}={\frac {-13.6Z^{2}}{n^{2}}}\ (eV)} 。隨著量子數的不同，函數 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 與 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} 都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為 R n l ( r ) = ( 2 Z n a μ ) 3 ( n − l − 1 ) ! 2 n [ ( n + l ) ! ] 3 e − Z r / n a μ ( 2 Z r n a μ ) l L n − l − 1 2 l + 1 ( 2 Z r n a μ ) {\displaystyle R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^{3}}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{l}L_{n-l-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)} ； 其中， a μ = 4 π ε 0 ℏ 2 μ e 2 {\displaystyle a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}} 。 a μ {\displaystyle a_{\mu }} 近似於波耳半徑 a 0 {\displaystyle a_{0}} 。假若，原子核的質量是無限大的，則 a μ = a 0 {\displaystyle a_{\mu }=a_{0}} ，並且，約化質量等於電子的質量， μ = m e {\displaystyle \mu =m_{e}} 。 L n − l − 1 2 l + 1 {\displaystyle L_{n-l-1}^{2l+1}} 是廣義拉格耳多項式，定義為 L i j ( x ) = ( − 1 ) j   d j d x j L i + j ( x ) {\displaystyle L_{i}^{j}(x)=(-1)^{j}\ {\frac {d^{j}}{dx^{j}}}L_{i+j}(x)} ； 其中， L i + j ( x ) {\displaystyle L_{i+j}(x)} 是拉格耳多項式，可用羅德里格公式表示為 L i ( x ) = e x i !   d i d x i ( x i e − x ) {\displaystyle L_{i}(x)={\frac {e^{x}}{i!}}\ {\frac {d^{i}}{dx^{i}}}(x^{i}e^{-x})} 。 為了要結束廣義拉格耳多項式的遞迴關係，必須要求 l < n {\displaystyle l<n} 。 知道徑向函數 R n l ( r ) {\displaystyle R_{nl}(r)} 與球諧函數 Y l m {\displaystyle Y_{lm}} 的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答： ψ n l m = R n l ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi )} 。 量子數 n {\displaystyle n} ， l {\displaystyle l} ， m {\displaystyle m} 都是整數，容許下述值： n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   … {\displaystyle n=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \dots } ， l = 0 ,   1 ,   2 ,   … ,   n − 1 {\displaystyle l=0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n-1} ， m = − l ,   − l + 1 ,   … ,   0 ,   … ,   l − 1 ,   l {\displaystyle m=-l,\ -l+1,\ \ldots ,\ 0,\ \ldots ,\ l-1,\ l} 。 為什麼 l < n {\displaystyle l<n} ？為什麼 − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} ？若想進一步知道關於這些量子數的群理論，敬請參閱氫原子量子力學。 每一個原子軌域都有特定的角動量向量 L {\displaystyle \mathbf {L} } 。它對應的算符是一個向量算符 L ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}} 。角動量算符的平方 L ^ 2 ≡ L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\equiv {\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}} 的本徵值是 L ^ 2 Y l m = ℏ 2 l ( l + 1 ) Y l m {\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}} 。 角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為 L ^ z Y l m = ℏ m Y l m {\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{lm}=\hbar mY_{lm}} 。 因為 [ L ^ 2 ,   L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]=0} ， L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}} 與 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} 是對易的， L 2 {\displaystyle L^{2}} 與 L z {\displaystyle L_{z}} 彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，以同時地測量到 L 2 {\displaystyle L^{2}} 與 L z {\displaystyle L_{z}} 的同樣的本徵值。 由於 [ L ^ x ,   L ^ y ] = i ℏ L ^ z {\displaystyle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]=i\hbar {\hat {L}}_{z}} ， L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} 與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} 互相不對易， L x {\displaystyle L_{x}} 與 L y {\displaystyle L_{y}} 彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} 的本徵態與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} 的本徵態不同。 給予一個量子系統，量子態為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 。對於可觀察量算符 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} ，所有本徵值為 l x i {\displaystyle l_{xi}} 的本徵態 | f i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {\displaystyle |f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots } ，形成了一組基底量子態。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可以表達為這基底量子態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   | f i ⟩ ⟨ f i | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle } 。對於可觀察量算符 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} ，所有本徵值為 l y i {\displaystyle l_{yi}} 的本徵態 | g i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {\displaystyle |g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots } ，形成了另外一組基底量子態。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可以表達為這基底量子態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   | g i ⟩ ⟨ g i | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle } 。 假若，測量可觀察量 L x {\displaystyle L_{x}} ，得到的測量值為其本徵值 l x i {\displaystyle l_{xi}} ，則量子態機率地塌縮為本徵態 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle } 。假若，立刻再測量可觀察量 L x {\displaystyle L_{x}} ，得到的答案必定是 l x i {\displaystyle l_{xi}} ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle } 。可是，假若改為立刻測量可觀察量 L y {\displaystyle L_{y}} ，則量子態不會停留於本徵態 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle } ，而會機率地塌縮為 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} 本徵值是 l y j {\displaystyle l_{yj}} 的本徵態 | g j ⟩ {\displaystyle |g_{j}\rangle } 。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。 根據不確定性原理， Δ L x   Δ L y ≥ | ⟨ [ L ^ x ,   L ^ y ] ⟩ 2 i | = ℏ | ⟨ L ^ z ⟩ | 2 {\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}} 。 L x {\displaystyle L_{x}} 的不確定性與 L y {\displaystyle L_{y}} 的不確定性的乘積 Δ L x   Δ L y {\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}} ，必定大於或等於 ℏ | ⟨ L z ⟩ | 2 {\displaystyle {\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}} 。 類似地， L x {\displaystyle L_{x}} 與 L z {\displaystyle L_{z}} 之間， L y {\displaystyle L_{y}} 與 L z {\displaystyle L_{z}} 之間，也有同樣的特性。 電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 l {\displaystyle l} 、 m {\displaystyle m} 與自旋的投影 m s {\displaystyle m_{s}} ，而以量子數 j {\displaystyle j} ， m j {\displaystyle m_{j}} 來計算總角動量。 在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。 非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 n {\displaystyle n} 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 ( Z α ) 2 {\displaystyle (Z\alpha )^{2}} 效應；其中， Z {\displaystyle Z} 是原子序數， α {\displaystyle \alpha } 是精細結構常數。 在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數 n {\displaystyle n} 、總量子數 j {\displaystyle j} 有關，容許的能量為 E n j = E n [ 1 + ( Z α n ) 2 ( n j + 1 2 − 3 4 ) ] {\displaystyle E_{nj}=E_{n}\left[1+\left({\frac {Z\alpha }{n}}\right)^{2}\left({\frac {n}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4}}\right)\right]} 。 思考類氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼類氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出類氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即類氫原子的基態能量 E 0 {\displaystyle E_{0}} 大於某有限值： E 0 > − ∞ {\displaystyle E_{0}>-\infty } 。 量子力學的海森堡不確定性原理 Δ x Δ p ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq \hbar /2} 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 Δ x {\displaystyle \Delta x} 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 − ∞ {\displaystyle -\infty } ，同時維持有限的動能。 更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 Z {\displaystyle Z} ，原子的能量 E {\displaystyle E} 為 E = T + V = ∫ R 3 d x ( 1 2 | ∇ ψ ( x ) | 2 − Z | ψ ( x ) | 2 | x | ) {\displaystyle E=T+V=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} x\left({\frac {1}{2}}|\nabla \psi (x)|^{2}-Z{\frac {|\psi (x)|^{2}}{|x|}}\right)} ； 其中， T {\displaystyle T} 為動能， V {\displaystyle V} 為勢能， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 為描述類氫原子系統的波函數， x {\displaystyle x} 為位置坐標， R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 為積分體積。 應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。 E 0 = − 4 Z 2 / 3   [ R y ] {\displaystyle E_{0}=-4Z^{2}/3\ [Ry]} ； 其中， R y {\displaystyle Ry} 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。 總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。 氫原子 芮得柏原子 正子電子偶 拉普拉斯-龍格-冷次向量 精細結構 為了方便運算，採用 ℏ 2 / 2 = 1 {\displaystyle \hbar ^{2}/2=1} 、質量 m = 1 {\displaystyle m=1} 、基本電荷 | e | = 1 {\displaystyle |e|=1} 的單位制。 French, A.P. Introduction to Quantum Physics. W.W. Norton & Company. 1978: pp. 542.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 狄拉克方程式關於氫原子的解答 互联网档案馆的存檔，存档日期2008-02-18. Lieb, Elliot. THE STABILITY OF MATTER:FROM ATOMS TO STARS (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. 1990, 22 (1) [2014-09-30]. （原始内容存档 (PDF)于2013-12-19）.  Lieb, Elliot. The stability of matter (PDF). Review of Modern Physics. 1976, 48: 553–569 [2014-09-30]. （原始内容存档 (PDF)于2015-02-20）.  Tipler, Paul & Ralph Llewellyn (2003). Modern Physics (4th ed.). New York: W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1995: 131-200. ISBN 0-13-111892-7.