微分算子

在数学中，微分算子（英語：Differential operator）是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数。 最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括： d d x {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}} 、 D {\displaystyle D} （在不會搞混哪个变量微分時），以及 D x {\displaystyle D_{x}} （指明了变量）。 一阶导数如上所示，但当取更高阶n-次导数时，下列替代性记号是有用的： d n d x n {\displaystyle \mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}} 、 D n {\displaystyle D^{n}} 、 D x n {\displaystyle D_{x}^{n}} 。 记号D的发明与使用归于奥利弗·亥维赛，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子 ∑ k = 0 n c k D k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}} 另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为 Δ = ∇ 2 = ∑ k = 1 n ∂ 2 ∂ x k 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}} 另一个微分算子是Θ算子，定义为 Θ = z d d z {\displaystyle \Theta =z{\mathrm {d} \over \mathrm {d} z}} 有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于z的单项式： Θ ( z k ) = k z k , k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots } 在n个变量中齐次算子由 Θ = ∑ k = 1 n x k ∂ ∂ x k {\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}} 给出。与单变量一样，Θ的本征空间是齐次多项式空间。 给定一个线性微分算子T T u = ∑ k = 0 n a k ( x ) D k u {\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u} ， 这个算子的伴随定义为算子 T ∗ {\displaystyle T^{*}} 使得 ⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ {\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle } 这里记号 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。 在平方可积函数空间中，数量积定义为 ⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) ¯ d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x} 如果另外增添要求f或g当 x → a {\displaystyle x\to a} 与 x → b {\displaystyle x\to b} 等于零，我们也可定义T的伴随为 T ∗ u = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k D k [ a k ( x ) u ] {\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]} 此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当 T ∗ {\displaystyle T^{*}} 用这个公式定义时，它称为T的形式伴随。 一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。 如果Ω是Rn中一个区域，而P是Ω上一个微分算子，则P在L2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义： ⟨ f , P ∗ g ⟩ L 2 ( Ω ) = ⟨ P f , g ⟩ L 2 ( Ω ) {\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}} 对所有光滑L2函数f与g。因为光滑函数在L2中是稠密的，这在L2的一个稠密子集上定义了伴随：: P*是一个稠定算子。 施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式 L u = − ( p u ′ ) ′ + q u = − ( p u ″ + p ′ u ′ ) + q u = − p u ″ − p ′ u ′ + q u = ( − p ) D 2 u + ( − p ′ ) D u + ( q ) u . {\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!} 这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。 L ∗ u = ( − 1 ) 2 D 2 [ ( − p ) u ] + ( − 1 ) 1 D [ ( − p ′ ) u ] + ( − 1 ) 0 ( q u ) = − D 2 ( p u ) + D ( p ′ u ) + q u = − ( p u ) ″ + ( p ′ u ) ′ + q u = − p ″ u − 2 p ′ u ′ − p u ″ + p ″ u + p ′ u ′ + q u = − p ′ u ′ − p u ″ + q u = − ( p u ′ ) ′ + q u = L u {\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}} 这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory） 中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。 微分是线性的，即 D ( f + g ) = ( D f ) + ( D g ) {\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg)} D ( a f ) = a ( D f ) {\displaystyle D(af)=a(Df)} 这里f和g是函数，而a是一个常数。 任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则 ( D 1 ∘ D 2 , f ) = D 1 ( D 2 ( f ) ) {\displaystyle (D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))} 复合微分算子。需要一些注意：首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系： D x − x D = 1 {\displaystyle Dx-xD=1} 但这些算子的子环：D的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。 微分算子也服从移位定理（shift theorem）。 同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子。 在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设 E {\displaystyle E} 与 F {\displaystyle F} 是流形 M {\displaystyle M} 上两个向量丛。截面的一个 R {\displaystyle \mathbb {R} } -线性映射 P : Γ ( E ) → Γ ( F ) {\displaystyle P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)} 称为一个k-阶微分算子，如果它分解穿过节丛 J k ( E ) {\displaystyle J^{k}(E)} 。换句话说，存在一个向量丛的线性映射 i P : J k ( E ) → F {\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F} 使得 P = i ^ P ∘ j k {\displaystyle P={\hat {i}}_{P}\circ j^{k}} 这里 i ^ P {\displaystyle {\hat {i}}_{P}} 表示由 i P {\displaystyle i_{P}} ，在截面上诱导的映射，而 j k : Γ ( E ) → Γ ( J k ( E ) ) {\displaystyle j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))} ，是典范（或通用）k-阶微分算子。 这恰好意味着对一个给定的截面 s {\displaystyle s} of E {\displaystyle E} ， P ( s ) {\displaystyle P(s)} 在一个点 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 的值完全由 s {\displaystyle s} 在 x {\displaystyle x} 的k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着 P ( s ) ( x ) {\displaystyle P(s)(x)} 由 s {\displaystyle s} 在 x {\displaystyle x} 的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。 线性微分算子的一个等价的，但纯代数的描述如下： 一个 R {\displaystyle \mathbb {R} } -线性映射 P {\displaystyle P} 是一个k-阶微分算子，如果对任何(k + 1)阶光滑函数 f 0 , … , f k ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)} 我们有 [ f k [ f k − 1 [ ⋯ [ f 0 , P ] ⋯ ] ] = 0 {\displaystyle [f_{k}[f_{k-1}[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0} 这里括号 [ f , P ] : Γ ( E ) → Γ ( F ) {\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)} 定义为交换子 [ f , P ] ( s ) = P ( f ⋅ s ) − f ⋅ P ( s ) {\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s)} 线性算子的这个刻画说明，它们是一个交换代数上的模之间的一个特殊映射，使这个概念可视为交换代数的一部分。 在物理学的应用中，像拉普拉斯算子在建立与求解偏微分方程中起着主要的作用。 在微分拓扑中，外导数与李导数算子有内蕴意义。 在抽象代数中，导子的概念是微分算子不要求分析的一个推广。通常这样的推广用于代数几何与交换代数。另见节。 以计算机科学中高阶函数的方式 当然有理由不单限制于线性算子。例如在只考虑线性的情况下，施瓦茨导数（英语：Schwarz derivative）是一个熟知的非线性算子。 参见二阶导数的对称性 差分算子 德尔塔算子（英语：Delta operator） 分数微积分