Θ函數

數學中，Θ函數是一種多複變（英语：Several complex variables）特殊函數。其應用包括阿貝爾簇（英语：Abelian variety）與模空間、二次形式、孤立子理論；其格拉斯曼代數推廣亦出現於量子場論，尤其於超弦與D-膜理論。 Θ函數最常見於椭圓函數理論。相對於其「z」 變量，Θ函數是拟周期函数（quasiperiodic function），具有「擬周期性」。在一般下降理論（英语：Descent (mathematics)）中，Θ函數是來自線叢（英语：Line bundle）條件。 雅可比Θ函數取二變量 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ，其中 z {\displaystyle z\,} 為任何複數，而 τ {\displaystyle \tau \,} 為上半複平面上一點；此函數之定義為： ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞   e ( π i n 2 τ + 2 π i n z ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\ e^{(\pi in^{2}\tau +2\pi inz)}} 。 若固定 τ {\displaystyle \tau \,} ，則此成為一週期為 1 {\displaystyle 1\,} 的單變量 ( z ) {\displaystyle (z)\,} 整函數的傅里葉級數： ϑ ( z + 1 ; τ ) = ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau )} 。 在以 τ {\displaystyle \tau \,} 位移時，此函數符合： ϑ ( z + a + b τ ; τ ) =   e ( − π i b 2 τ − 2 π i b z ) ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\ e^{(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz)}\vartheta (z;\tau )} ； 其中 a {\displaystyle a\,} 與 b {\displaystyle b\,} 為整數。 可定義輔助函數： ϑ 01 ( z ; τ ) = ϑ ( z + 1 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=\vartheta (z+{\frac {1}{2}};\tau )} ϑ 10 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i z ϑ ( z + τ 2 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }z}\vartheta (z+{\frac {\tau }{2}};\tau )} ϑ 11 ( z ; τ ) = e π i τ 4 + π i ( z + 1 2 ) ϑ ( z + τ + 1 2 ; τ ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{{\frac {\pi {\mathrm {i} }\tau }{4}}+\pi {\mathrm {i} }(z+{\frac {1}{2}})}\vartheta (z+{\frac {\tau +1}{2}};\tau ).} 其中符號依黎曼與芒福德之習慣；雅可比的原文用變量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 替換了 τ {\displaystyle \tau \,} ，而稱本条目中的Θ為 θ 3 {\displaystyle \theta _{3}\,} ， ϑ 01 {\displaystyle \vartheta _{01}} 為 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}\,} ， ϑ 10 {\displaystyle \vartheta _{10}} 為 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,} ， ϑ 11 {\displaystyle \vartheta _{11}} 為 − θ 1 {\displaystyle -\theta _{1}\,} 。 若設 z = 0 {\displaystyle z=0\,} ，則我们可從以上獲得四支單以 τ {\displaystyle \tau \,} 為變量之函數，其中 τ {\displaystyle \tau \,} 取值於上半複平面。此等函數人稱「Θ『常量』」（theta constant）；我们可以用Θ函數定義一系列模形式，或參數化某些曲線。由「雅可比 恆等式」可得： ϑ ( 0 ; τ ) 4 = ϑ 01 ( 0 ; τ ) 4 + ϑ 10 ( 0 ; τ ) 4 {\displaystyle \vartheta (0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}} , 是為四次費馬曲線。 雅可比恆等式描述模羣在Θ函數之作用；模羣之生成元為T: τ ↦ τ+1與S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。設： α = ( − i τ ) 1 2 e π i z 2 τ {\displaystyle \alpha =(-{\mathrm {i} }\tau )^{\frac {1}{2}}e^{{\pi {\mathrm {i} }z^{2}}{\tau }}\,} 則 ϑ ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta ({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta (z;\tau )} ϑ 01 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 10 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{10}(z;\tau )} ϑ 10 ( z τ ; − 1 τ ) = α ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{10}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=\alpha \vartheta _{01}(z;\tau )} ϑ 11 ( z τ ; − 1 τ ) = − α ϑ 11 ( z ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{11}({\frac {z}{\tau }};-{\frac {1}{\tau }})=-\alpha \vartheta _{11}(z;\tau )} 我们可用變量 w {\displaystyle w\,} 與 q {\displaystyle q\,} ，代替 z {\displaystyle z\,} 與 τ {\displaystyle \tau \,} ，來表示ϑ。設 w = e π i z {\displaystyle w=e^{\pi {\mathrm {i} }z}\,} 而 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi {\mathrm {i} }\tau }\,} 。則ϑ可表示為： ϑ ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 而輔助Θ函數可表示為： ϑ 01 ( w ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n q n 2 , {\displaystyle \vartheta _{01}(w;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n}q^{n^{2}},} ϑ 10 ( w ; q ) = q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n + 1 q n 2 + n , {\displaystyle \vartheta _{10}(w;q)=q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n+1}q^{n^{2}+n},} ϑ 11 ( w ; q ) = i q 1 4 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n w 2 n + 1 q n 2 + n . {\displaystyle \vartheta _{11}(w;q)={\mathrm {i} }q^{\frac {1}{4}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}w^{2n+1}q^{n^{2}+n}.} 此表示式不需要指數函數，所以適用於指數函數無每一處定義域，如p進數域。 雅可比三重積恆等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有複數 w {\displaystyle w\,} 和 q {\displaystyle q\,} ，其中 | q | < 1 {\displaystyle |q|<1\,} 而 w ≠ 0 {\displaystyle w\neq 0\,} ，則 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + w 2 q 2 m − 1 ) ( 1 + w − 2 q 2 m − 1 ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 此式可以用基本方法證明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》（英語：An Introduction to the Theory of Numbers）。 若用nome變量 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }\,} 與 w = e π i z {\displaystyle w=e^{\pi iz}\,} 表示，則有： ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ exp ⁡ ( π i τ n 2 ) exp ⁡ ( π i z 2 n ) = ∑ n = − ∞ ∞ w 2 n q n 2 . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(\pi iz2n)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.} 由此得到Θ函數的積公式： ϑ ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − exp ⁡ ( 2 m π i τ ) ) ( 1 + exp ⁡ ( ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i z ) ) ( 1 + exp ⁡ ( ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i z ) ) {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-\exp(2m\pi i\tau )\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau +2\pi iz)\right)\left(1+\exp((2m-1)\pi i\tau -2\pi iz)\right)} 三重積等式左邊可以擴展成： ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + ( w 2 + w − 2 ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) , {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+(w^{2}+w^{-2})q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),} 即 ϑ ( z | q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) {\displaystyle \vartheta (z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right)} 。 这个式子在z取實值時尤為重要。 各輔助Θ函數亦有類似之積公式： ϑ 01 ( z | q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m − 1 + q 4 m − 2 ) . {\displaystyle \vartheta _{01}(z|q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).} ϑ 10 ( z | q ) = 2 q 1 / 4 cos ⁡ ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 + 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle \vartheta _{10}(z|q)=2q^{1/4}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).} ϑ 11 ( z | q ) = − 2 q 1 / 4 sin ⁡ ( π z ) ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q 2 m ) ( 1 − 2 cos ⁡ ( 2 π z ) q 2 m + q 4 m ) . {\displaystyle \vartheta _{11}(z|q)=-2q^{1/4}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).} 雅可比Θ函數可用積分表示，如下： ϑ ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π u ) sin ⁡ ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u) \over \sin(\pi u)}du} ϑ 01 ( z ; τ ) = − i ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z ) sin ⁡ ( π u ) d u . {\displaystyle \vartheta _{01}(z;\tau )=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz) \over \sin(\pi u)}du.} ϑ 10 ( z ; τ ) = − i e i z + i π τ / 4 ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π u + π τ u ) sin ⁡ ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta _{10}(z;\tau )=-ie^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du} ϑ 11 ( z ; τ ) = e i z + i π τ / 4 ∫ i − ∞ i + ∞ e i π τ u 2 cos ⁡ ( 2 u z + π τ u ) sin ⁡ ( π u ) d u {\displaystyle \vartheta _{11}(z;\tau )=e^{iz+i\pi \tau /4}\int _{i-\infty }^{i+\infty }{e^{i\pi \tau u^{2}}\cos(2uz+\pi \tau u) \over \sin(\pi u)}du} 黎曼常用關係式 ϑ ( 0 ; − 1 τ ) = ( − i τ ) 1 2 ϑ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta (0;-{\frac {1}{\tau }})=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )} 以證黎曼ζ函數之函數方程。他寫下等式： Γ ( s 2 ) π − s 2 ζ ( s ) = 1 2 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( 0 ; i t ) − 1 ] t s 2 d t t {\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (0;it)-1\right]t^{\frac {s}{2}}{\frac {dt}{t}}} ； 而此積分於替換 s → 1 − s {\displaystyle s\to 1-s} 下不變。 z {\displaystyle z\,} 非零時之積分，在赫尔维茨ζ函數一文有描述。 雅可比用Θ函數來構造椭圓函數，並使其有易於計算之形式，因为Θ函數中快速收敛的级数往往比积分容易计算。他表示他的椭圓函數成兩枚上述Θ函數之商，这可参见雅可比椭圆函数的定义。魏爾施特拉斯橢圓函數亦可由雅可比Θ構造： ℘ ( z ; τ ) = − ( log ⁡ ϑ 11 ( z ; τ ) ) ″ + c {\displaystyle \wp (z;\tau )=-(\log \vartheta _{11}(z;\tau ))''+c} 其中二次微分相對於z，而常數c使 ℘ ( z ) {\displaystyle \wp (z)} 的罗朗級數（於 z = 0）常項為零，因为雅可比椭圆函数单位胞腔内两极点互为相反数，和为零，而魏爾施特拉斯橢圓函數的所有极点留数均为零，所以这是必要的。 設η為戴德金η函數。則 ϑ ( 0 ; τ ) = η 2 ( τ + 1 2 ) η ( 2 τ + 1 ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )={\frac {\eta ^{2}\left(\tau +{\frac {1}{2}}\right)}{\eta (2\tau +1)}}} . 雅可比Θ函數為一維熱方程、於時間為零時符合週期邊界條件之唯一解。 設z = x取實值，τ = it而t取正值。則有 ϑ ( x , i t ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ ( − π n 2 t ) cos ⁡ ( 2 π n x ) {\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp(-\pi n^{2}t)\cos(2\pi nx)} 此解此下方程： ∂ ∂ t ϑ ( x , i t ) = 1 4 π ∂ 2 ∂ x 2 ϑ ( x , i t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it)} 。 於t = 0時，Θ函數成為「狄拉克梳状函数」（Dirac comb） lim t → 0 ϑ ( x , i t ) = ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n ) {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)} ， 其中δ為狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0時的（週期）邊界條件與Θ函數的卷積。 雅可比Θ函在海森堡羣之一離散子羣作用下不變。見海森堡羣之Θ表示一文。 若F為一n元二次型，則有一關連的Θ函數 θ F ( z ) = ∑ m ∈ Z n exp ⁡ ( 2 π i z F ( m ) ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in Z^{n}}\exp(2\pi izF(m))} 其中Zn為整數格。此Θ函數是模羣（或某適當子羣）上的權n/2 模形式。在其富理埃級數 θ F ( z ) = ∑ k = 0 ∞ R F ( k ) exp ⁡ ( 2 π i k z ) {\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)\exp(2\pi ikz)} 中，RF(k) 稱為此模形式之「表示數」（representation numbers）。 設 H n = { F ∈ M ( n , C ) s . t . F = F T and Im F > 0 } {\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\{F\in M(n,\mathbb {C} )\;\mathrm {s.t.} \,F=F^{T}\;{\textrm {and}}\;{\mbox{Im}}F>0\}} 為一集對稱方矩陣，其虚部為正定，一般稱Hn為“西格尔上半平面”（Siegel upper half-plane），它是上半複平面的高維推廣。模羣之n維推廣為辛羣Sp(2n,Z)： 當n = 1 時， Sp(2,Z) = SL(2,Z)。同余子群（congruence subgroup）的n維推廣為態射核 Ker { Sp ( 2 n , Z ) → Sp ( 2 n , Z / k Z ) } {\displaystyle {\textrm {Ker}}\{{\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} )\rightarrow {\textrm {Sp}}(2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )\}} 。 若設 τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} ，則可定義黎曼Θ函數： θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ⁡ ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ； θ ( z , τ ) = ∑ m ∈ Z n exp ⁡ ( 2 π i ( 1 2 m T τ m + m T z ) ) {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in Z^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\frac {1}{2}}m^{T}\tau m+m^{T}z\right)\right)} ； 其中 z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} 為一n維複向量，上標T為轉置。然則雅可比Θ函數為其特例（設n = 1、 τ ∈ H {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} } ；其中 H {\displaystyle \mathbb {H} } 為上半平面）。 在 C n × H n . {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.} 的緊緻子集上，黎曼Θ函數絶對一致收歛。 函數方程為： θ ( z + a + τ b , τ ) = exp ⁡ 2 π i ( − b T z − 1 2 b T τ b ) θ ( z , τ ) {\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{T}z-{\frac {1}{2}}b^{T}\tau b\right)\theta (z,\tau )} ； 此方程成立於 a , b ∈ Z n {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n}} , z ∈ C n {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}} ， τ ∈ H n {\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}} 。 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See section 16.27ff.) Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4 (See Chapter 6 for treatment of the Riemann theta) G. H. Hardy and E. M. Wright，An Introduction to the Theory of Numbers, fourth edition (1959) , Oxford University Press David Mumford，Tata Lectures on Theta I (1983), Birkhauser, Boston ISBN 3-7643-3109-7 James Pierpont Functions of a Complex Variable, Dover Harry E. Rauch and Hershel M. Farkas, Theta Functions with Applications to Riemann Surfaces, (1974) Williams & Wilkins Co. Baltimore ISBN 0-683-07196-3. 本條目含有来自PlanetMath《Integral representations of Jacobi theta functions》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。