伴随矩阵

在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵（英語：adjugate matrix）是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的伴随矩阵记作 a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )} ，或 A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} 。 设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。 定义：A关于第i行第j列的代数余子式是： C i j = ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}} 。 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。 引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵： a d j ( A ) = C T {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}} ， 也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。 简言之，伴随矩阵就是把原来余子矩阵C每一列的代数余子式横着写： [ a d j ( A ) ] i j = C j i {\displaystyle \left[\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\right]_{ij}=\mathbf {C} _{ji}} 。 一个 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 矩阵 A = [ a b c d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}} 的伴随矩阵是 adj ⁡ ( A ) = [ d − b − c a ] {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix}}} 对于 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} 的矩阵，情况稍微复杂一点： A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}} 其伴随矩阵是： adj ⁡ ( A ) = [ + | a 22 a 23 a 32 a 33 | − | a 21 a 23 a 31 a 33 | + | a 21 a 22 a 31 a 32 | − | a 12 a 13 a 32 a 33 | + | a 11 a 13 a 31 a 33 | − | a 11 a 12 a 31 a 32 | + | a 12 a 13 a 22 a 23 | − | a 11 a 13 a 21 a 23 | + | a 11 a 12 a 21 a 22 | ] T {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}^{T}} 其中 | a i m a i n a j m a j n | = det [ a i m a i n a j m a j n ] = det | a i m a i n a j m a j n | {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left[{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right]=\det \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|} 要注意伴随矩阵是餘因子矩陣的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。 对于数值矩阵， 例如求矩阵 A = [ − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}} 的伴随矩阵 adj ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)} ， 只需将数值代入上节得到的表达式中。 即： adj ⁡ ( A ) j i = C i j = ( − 1 ) i + j ( M i j ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{ji}=C_{ij}=(-1)^{i+j}(M_{ij})} 。 其中， M i j {\displaystyle M_{ij}} 為刪掉矩陣 A {\displaystyle A} 的第 i 橫列與第 j 縱行後得到的行列式， C j i {\displaystyle C_{ji}} 為矩陣 A {\displaystyle A} 的餘因子。 例如： adj ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (A)} 中第3行第2列的元素为 adj ⁡ ( A ) 32 = C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 det ⁡ [ − 3 2 3 − 4 ] = − ( ( − 3 ) ⋅ ( − 4 ) − 2 ⋅ 3 ) = − 6 {\displaystyle \operatorname {adj} (A)_{32}=C_{23}=(-1)^{2+3}\;\operatorname {det} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2\\\,3&\!-4\end{bmatrix}}=-((-3)\cdot (-4)-2\cdot 3)=-6} 依照其順序一一計算，便可得到计算后的结果是： adj ⁡ ( A ) = adj ⁡ [ − 3 2 − 5 − 1 0 − 2 3 − 4 1 ] = [ − 8 18 − 4 − 5 12 − 1 4 − 6 2 ] {\displaystyle \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} {\begin{bmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\!-8&18&\,-4\\\,-5&12&\,-1\\\!4&\!-6&\,2\end{bmatrix}}} 作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有： A a d j ( A ) = a d j ( A ) A = det ( A ) I ( ∗ ) {\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \qquad (*)} 其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是 ∑ j = 1 n a i ; j C i , j {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{i;j}C_{i,j}} 。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。 如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是 ∑ k = 1 n a i ; k C j , k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{i;k}C_{j,k}} 。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。 由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。 这是因为如果A可逆，那么 1 = det ( I ) = det ( A A − 1 ) = det ( A ) det ( A − 1 ) {\displaystyle 1=\det(\mathbf {I} )=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1})} ， 如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明 A − 1 = det ( A ) − 1 a d j ( A ) {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )} 对 n × n {\displaystyle n\times n} 的矩阵A和B，有： a d j ( I ) = I {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} } ， a d j ( A B ) = a d j ( B ) a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )} ， a d j ( A T ) = a d j ( A ) T {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{T}} ， det ( a d j ( A ) ) = det ( A ) n − 1 {\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}} ， a d j ( k A ) = k n − 1   a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (k\mathbf {A} )=k^{n-1}\ \mathrm {adj} (\mathbf {A} )} 当n>=2时， a d j ( a d j ( A ) ) = ( det A ) n − 2 A {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} } 如果A可逆，那么 a d j ( A − 1 ) = a d j ( A ) − 1 = A det A {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{-1})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{-1}={\frac {A}{\det A}}} 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。 如果矩阵A和B相似，那么 a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )} 和 a d j ( B ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {B} )} 也相似。 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当 a d j ( A ) = ± A T {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\pm A^{T}} 当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。 设矩阵A在复域中的特征值为 λ 1 , λ 2 ⋯ λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}} (即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为 λ 2 λ 3 ⋯ λ n ,   λ 1 λ 3 ⋯ λ n , ⋯ , λ 1 λ 2 ⋯ λ n − 1 {\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}} 。 证明 这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。 分3种情况讨论： 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有： det A = λ 1 λ 2 ⋯ λ n {\displaystyle \det A=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}} 。只需证明A的伴随矩阵的特征值为 det A λ 1 , det A λ 2 , ⋯ , det A λ n {\displaystyle {\frac {\det A}{\lambda _{1}}},{\frac {\det A}{\lambda _{2}}},\cdots ,{\frac {\det A}{\lambda _{n}}}} 。考察矩阵 X I − a d j ( A ) {\displaystyle X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} )} ： det ( X I − a d j ( A ) ) {\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}     = det ( X I − det A ⋅ A − 1 ) {\displaystyle \ \ =\det(X\mathbf {I} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ^{-1})}     = det A − 1 ⋅ det ( X A − det A ⋅ I ) {\displaystyle \ \ =\det \mathbf {A} ^{-1}\cdot \det(X\mathbf {A} -\det \mathbf {A} \cdot \mathbf {I} )}     = 1 det A ⋅ X n ⋅ det ( A − det A X I ) {\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )} 由于 det ( A − X I ) = ∏ i = 1 n ( λ i − X ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} -X\mathbf {I} )=\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-X)} ，因此 det ( A − det A X I ) {\displaystyle \det(\mathbf {A} -{\frac {\det \mathbf {A} }{X}}\mathbf {I} )}     = ∏ i = 1 n ( λ i − det A X ) {\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-{\frac {\det \mathbf {A} }{X}})}     = 1 X n ∏ i = 1 n ( λ i X − det A ) {\displaystyle \ \ ={\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )} 因此 det ( X I − a d j ( A ) ) {\displaystyle \det(X\mathbf {I} -\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))}     = 1 det A ⋅ X n ⋅ 1 X n ∏ i = 1 n ( λ i X − det A ) {\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot X^{n}\cdot {\frac {1}{X^{n}}}\prod _{i=1}^{n}(\lambda _{i}X-\det \mathbf {A} )}     = 1 det A ⋅ λ 1 λ 2 ⋯ λ n ∏ i = 1 n ( X − det A λ i ) {\displaystyle \ \ ={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\cdot \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})}     = ∏ i = 1 n ( X − det A λ i ) {\displaystyle \ \ =\prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})} 可以看到 a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )} 的特征多项式为 ∏ i = 1 n ( X − det A λ i ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(X-{\frac {\det A}{\lambda _{i}}})} ，因此命题成立。 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是 λ 2 λ 3 ⋯ λ n ,   λ 1 λ 3 ⋯ λ n , ⋯ , λ 1 λ 2 ⋯ λ n − 1 {\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\ \lambda _{1}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n},\cdots ,\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n-1}} 全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。 如果A的秩等于n-1，即是说A至少有一个特征值为0，不妨设其为 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它至少有n-1个特征值为0。设剩余的一个为 α {\displaystyle \alpha } ，则其迹数为 α {\displaystyle \alpha } 。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为 C 11 + C 22 + ⋯ + C n n {\displaystyle C_{11}+C_{22}+\cdots +C_{nn}} 这个和恰好等于 ∑ i = 1 n ∏ k ≠ i λ k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\prod _{k\neq i}\lambda _{k}} ，即等于 λ 2 λ 3 ⋯ λ n {\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}\cdots \lambda _{n}} （其余都是0）。 综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。 设 p ( t ) = d e t ( A − t I ) {\displaystyle p(t)=\mathrm {det} (\mathbf {A} -t\mathbf {I} )} 为 A {\displaystyle \mathbf {A} } 的特征多项式，定义 q ( t ) = p ( 0 ) − p ( t ) t {\displaystyle q(t)={\frac {p(0)-p(t)}{t}}} ，那么： a d j ( A ) = q ( A ) = − ( p 1 I + p 2 A + p 3 A 2 + ⋯ + p n A n − 1 ) {\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})} , 其中 p i {\displaystyle p_{i}} 是 p ( t ) {\displaystyle p(t)} 的各项系数： p ( t ) = p 0 + p 1 t + p 2 t 2 + ⋯ p n t n {\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}} 。 伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。 逆矩阵 可逆元 余子矩阵 行列式 Strang, Gilbert. Section 4.4: Applications of determinants. Linear Algebra and its Applications 3. Harcourt Brace Jovanovich. 1988: 231–232. ISBN 0-15-551005-3 （英语）. [页码请求] 居余马. 线性代数 2. 清华大学出版社. 2002 （中文（中国大陆））. [页码请求] 矩阵论参考手册 (英文)（页面存档备份，存于互联网档案馆）