水仙花数

在数论中，水仙花数（Narcissistic number），也被稱為超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自戀數、自幂數、阿姆斯壯數或阿姆斯特朗數（Armstrong number） ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。 设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = dkdk-1...d1 ，则有： n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1, 如果该自然数n满足条件： n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k. 则这个自然数就被称为超完全数字不变数。 例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数： 153 = 13 + 53 + 33。 370 = 33 + 73 + 03。 371 = 33 + 73 + 13。 407 = 43 + 03 + 73。 若將條件放寬，一個N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，這樣的數稱為完全數字不變數（perfect digital invariant），例如數字4150等於各位數字的5次方。 4150 = 45 + 15 + 55 + 05, 水仙花数一定是完全數字不變數，但完全數字不變數不一定是水仙花数。 严格意义来说水仙花数指三位数。 十进制的水仙花數共有89個，最大的是 115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401 共有39位數。 完整的十进制水仙花数列表如下：（OEIS數列A005188） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 153 370 371 407 1634 8208 9474 54748 92727 93084 548834 1741725 4210818 9800817 9926315 24678050 24678051 88593477 146511208 472335975 534494836 912985153 4679307774 32164049650 32164049651 40028394225 42678290603 44708635679 49388550606 82693916578 94204591914 28116440335967 4338281769391370 4338281769391371 21897142587612075 35641594208964132 35875699062250035 1517841543307505039 3289582984443187032 4498128791164624869 4929273885928088826 63105425988599693916 128468643043731391252 449177399146038697307 21887696841122916288858 27879694893054074471405 27907865009977052567814 28361281321319229463398 35452590104031691935943 174088005938065293023722 188451485447897896036875 239313664430041569350093 1550475334214501539088894 1553242162893771850669378 3706907995955475988644380 3706907995955475988644381 4422095118095899619457938 121204998563613372405438066 121270696006801314328439376 128851796696487777842012787 174650464499531377631639254 177265453171792792366489765 14607640612971980372614873089 19008174136254279995012734740 19008174136254279995012734741 23866716435523975980390369295 1145037275765491025924292050346 1927890457142960697580636236639 2309092682616190307509695338915 17333509997782249308725103962772 186709961001538790100634132976990 186709961001538790100634132976991 1122763285329372541592822900204593 12639369517103790328947807201478392 12679937780272278566303885594196922 1219167219625434121569735803609966019 12815792078366059955099770545296129367 115132219018763992565095597973971522400 115132219018763992565095597973971522401 （OEIS數列A161949） 25:22+52=25 A5:A2+52=A5 577:53+73+73=577 668:63+63+83=668 A83:A3+83+33=A83 14765:15+45+75+65+55=14765 938A4:95+35+85+A5+45=938A4 顯然，任何一位數（從1到B）都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。 三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122 四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313 Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的存檔，存档日期2007-10-10. by Scott Moore PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz Armstrong Numbersl[永久失效連結] by Dik T. Winter PDIs by Harvey Heinz Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始内容存档于2018-01-20） （英语）.  Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254. Perfect Digital Invariants by Walter Schneider On a curious property of 3435 （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Daan van Berkel