杠杆

在力學裡，典型的槓桿是置放連結在一個支撐點上的硬棒，這硬棒可以繞著支撐點旋轉。當槓桿靜力平衡時，其施力乘以施力臂等於抗力乘以抗力臂，可以透過改變施力臂或抗力臂長度，使輸入力放大或縮小，有著相當實用的功能，古希臘人將槓桿歸類為簡單機械。 早在舊石器時代晚期，古人就知道使用槓桿的原理來製作投槍器。 考古學者认为，在古埃及4500多年前的金字塔時期，工人使用槓桿來移動、抬舉重量超過100英噸的方尖碑。 中国戰國时期，墨子在所著作的《墨子》一书中，提到應用杠杆的概念。 大約在西元前330年，亞里斯多德在著作《機械問題》（《Mechanical Problems》）裏，對於槓桿有詳細的論述，並且基本而言使用虛功的現代概念推導出槓桿原理。西元前3世紀，古希臘科學家阿基米德在著作《論平面圖形的平衡》裏用幾何方法推導出槓桿原理，並且宣稱：「給我一個支點，我就可以撬動整個地球。」 由於槓桿內部有一點為固定點，槓桿只能繞著這固定點做旋轉運動。相對於這一點，槓桿不能做平移運動。 槓桿內部的固定點稱為「支點」。 使槓桿旋轉的力 F 1 {\displaystyle F_{1}} 叫做「施力」，是輸入力。 施力作用於槓桿的位置叫做「施力點」。 阻碍槓桿旋轉的力 F 2 {\displaystyle F_{2}} 叫做「抗力」，是輸出力。 抗力作用於槓桿的位置叫做「抗力點」。 從支點到施力作用線的垂直距離 D 1 {\displaystyle D_{1}} 叫做「施力臂」。 從支點到抗力作用線的垂直距離 D 2 {\displaystyle D_{2}} 叫做「抗力臂」。 理想槓桿不會耗散或儲存能量，也就是說，支點與硬棒之間不會出現任何摩擦損耗，硬棒是一種剛體，不會被彎曲，發生形變。注意到硬棒不一定是直棒。彎曲的硬棒形成的槓桿稱為「曲槓桿」。對於理想槓桿案例，輸入槓桿的功率等於槓桿輸出的功率。輸出力與輸入力之間的比率，等於這兩個作用力分別與支點之間垂直距離的反比率，稱這相等式為「槓桿原理」，以方程式表達： F 2 : F 1 = D 1 : D 2 {\displaystyle F_{2}:F_{1}=D_{1}:D_{2}} ， 或者， F 1 D 1 = F 2 D 2 {\displaystyle F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}} 。 定義力矩 M {\displaystyle M} 為 M   = d e f   F D {\displaystyle M\ {\stackrel {def}{=}}\ FD} ； 其中， F {\displaystyle F} 是作用力， D {\displaystyle D} 是作用力與支點之間的垂直距離。 則輸入力矩等於輸出力矩： M 1 = M 2 {\displaystyle M_{1}=M_{2}} 。 槓桿原理表明，當靜力平衡時，施力乘以施力臂等於抗力乘以抗力臂： F 1 D 1 = F 2 D 2 {\displaystyle F_{1}D_{1}=F_{2}D_{2}} 。 靠著比較施力臂、抗力臂的長度，可以將槓桿分為三類： 施力臂長於抗力臂的槓桿是「省力槓桿」，這可以省力。开瓶器、撬棍等均为省力杠杆。 抗力臂長於施力臂的是「費力槓桿」，這可以省時。大部分剪刀、镊子、筷子、钓鱼竿、火钳、笔等均为费力杠杆。 施力臂和抗力臂長度相等的槓桿是「等臂槓桿」，跷跷板、天秤等均为等臂杠杆。 另外一種分類法式依照施力點、抗力點、支點在槓桿的相對位置來分類。 第一類槓桿的施力點、抗力點分別在支點的兩邊。例如，鐵撬、蹺蹺板、天平、尖嘴鉗。 第二類槓桿的施力點、支點分別在抗力點的兩邊。例如，獨輪車、胡桃鉗、開瓶器。這是一種省力槓桿，可以施加較小的力量來移動較重的物體，但是施力的位移較長. 第三類槓桿的抗力點、支點分別在施力點的兩邊。例如，鑷子、釘書機、掃把。這是一種費力槓桿，可以節省施力的位移。 槓桿是可以繞著支點旋轉的硬棒。當外力作用於槓桿內部任意位置時，槓桿的響應是其操作機制；假若外力的作用點是支點，則槓桿不會出現任何響應。 假設槓桿不會耗散或儲存能量，則槓桿的輸入功率必等於輸出功率。當槓桿繞著支點呈勻角速度旋轉運動時，離支點越遠，則移動速度越快，離支點越近，則移動速度越慢，由於功率等於作用力乘以速度，離支點越遠，則作用力越小，離支點越近，則作用力越大。 機械利益是抗力與施力之間的比率，或輸出力與輸入力之間的比率。假設施力臂 D 1 {\displaystyle D_{1}} 、抗力臂 D 2 {\displaystyle D_{2}} 分別為施力點、抗力點與支點之間的距離，施力 F 1 {\displaystyle F_{1}} 、抗力 F 2 {\displaystyle F_{2}} 分別作用於施力點、抗力點。則機械利益 M A {\displaystyle MA} 為 M A = F 2 F 1 = D 1 D 2 {\displaystyle MA={\frac {F_{2}}{F_{1}}}={\frac {D_{1}}{D_{2}}}} 。 通常在學習槓桿的初級理論時，會聚焦於輸入力和輸出力由於虛位移而做的虛功。虛位移可以定義為物體的移動速度乘以虛時間。這樣定義導致計算的物理量是功率，而不是功。這種方法有一個實在優點：在研究機械工程學或機構學時，功率是主要計算的物理量。使用這種方法來對槓桿做靜力分析，就如同對於車子的傳動系統，或機械手臂做靜力分析，它們的機械利益的計算方式完全一樣。 複式槓桿是一組耦合在一起的槓桿，前一個槓桿的抗力會緊接地成為後一個槓桿的施力。幾乎所有的磅秤都會應用到某種複式槓桿機制。其它常見例子包括指甲剪、鋼琴鍵盤。1743年，英國伯明罕發明家約翰·外艾特（英语：John Wyatt）在設計計重秤時，貢獻出複式槓桿的點子。他設計的計重秤一共使用了四個槓桿來傳輸負載。 連桿組 機構學 單擺 負：衡木加重焉而不撓，極勝重也。右校交繩，無加焉而撓，極不勝重也。衡加重於其一旁必捶，權重相若也。相衡則本短標長，兩加焉重相若，則標必下，標得權也。 挈：有力也，引無力也。不正所挈之止於施也，繩制挈之也，若以錐刺之。挈，長重者下，短輕者上，上者愈得，下下者愈亡。繩直權重相若，則正矣。收，上者愈喪，下者愈得，上者權中盡，則遂。 ——《墨子·经说下》第二六、二七条 假設在與地心引力相同的均勻重力場做這表演，在一端為與地球質量相同的圓球，離支點距離1m，在另一端為70kg質量的實驗者，則實驗者與支點的距離為8.5×1022m。這距離大約是仙女座星系與地球之間距離的3.6倍。 Moon, Francis; Moon, F. C., The machines of Leonardo da Vinci and Franz Reuleaux:kinematics of machines from the Renaissance to the 20th century illustrated, annotated, Springer: pp. 28, 2007, ISBN 9781402055980  引文格式1维护：冗余文本 (link) Humphrey, John. Ancient technology illustrated. Greenwood Publishing Group. 2006: 17-18. ISBN 9780313327636.  Budge, E.A. Wallis. Cleopatra's Needles and Other Egyptian Obelisks. Kessinger Publishing. 2003: pp. 28. ISBN 9780766135246.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 吴毓江，墨子校注，北京：中华书局，1993年，第533页 墨子. 《經說下》. 中國哲學書電子化計劃. （原始内容存档于2021-03-07）.  Cotterell, Brian; Kamminga, John, Mechanics of pre-industrial technology: an introduction to the mechanics of ancient and traditional material culture illustrated, reprint, Cambridge University Press: pp. 75–76, 1992, ISBN 9780521428712  引文格式1维护：冗余文本 (link) Usher, Abbott. A history of mechanical inventions revised, illustrated. Courier Dover Publications. 1988: pp. 94. ISBN 9780486255934.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Mackay, Alan Lindsay. Archimedes ca 287–212 BC. A Dictionary of scientific quotations. London: Taylor and Francis. 1991: pp. 11. ISBN 9780750301060.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Davidovits, Paul, Physics in Biology and Medicine, Third edition, Academic Press: pp. 10, 2008, ISBN 978-0-12-369411-9  引文格式1维护：冗余文本 (link) Ceccarelli, Marco. Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science: Their Contributions and Legacies. Dordrecht: Springer. 2007: 16 [2010-01-17]. ISBN 1402063652. Then in 1743 John Wyatt (1700–1766) introduced the idea of the compound lever, in which two or more levers work together to further reduce effort.  中國古代機械工程網頁：槓桿 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。