反伽瑪函數

反伽瑪函數 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} （反Γ函數，Inverse gamma function）是伽瑪函數（Γ函數）的反函數。 換句話說，如果反Γ函數以 Γ − 1 ( x ) = y {\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y} 的形式表示，則其滿足 Γ ( y ) = x {\textstyle \Gamma (y)=x} 。 例如24的反伽瑪函數值為5， Γ − 1 ( 24 ) = 5 {\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5} ，因為5代到伽瑪函數為24。 一般而言，反伽瑪函數是指定義域在實數區間 [ β , + ∞ ) {\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)} 上且圖形在實數區間 [ α , + ∞ ) {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)} 上的主分支，其中 β = 0.8856031 … {\displaystyle \beta =0.8856031\ldots } 是伽瑪函數在正實軸上的最小值、 α = Γ − 1 ( β ) = 1.4616321 … {\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots } 是能使 Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} 最小的 x {\displaystyle x} 值。 反伽瑪函數可以透過伽瑪函數和階乘的關係來定義反階乘，即階乘的反函數。 限制在 [ α , + ∞ ) {\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)} 區間的反伽瑪函數稱為伽瑪函數的主逆函數（principal inverse function），可以表示為 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 。 在不同分支上的伽瑪函數也可以定義出反伽瑪函數，在第n個分支上的反伽瑪函數可以表示為 Γ n − 1 ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)} 。 由於反伽瑪函數是伽瑪函數的反函數，因此最簡單的情況下可以表示為： Γ ( Γ − 1 ( x ) ) = x {\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x} 更進一步的，反伽瑪函數可以用如下積分表達式來定義： Γ − 1 ( x ) = a + b x + ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 x − t − t t 2 − 1 ) d μ ( t ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)} 其中 ∫ − ∞ Γ ( α ) ( 1 t 2 + 1 ) d μ ( t ) < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty } 、a和b為滿足 b ≧ 0 {\displaystyle b\geqq 0} 的實數、 μ ( t ) {\displaystyle \mu (t)} 為博雷尔测度。 反伽瑪函數的分支可以透過先計算 Γ − 1 ( x ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)} 在分支點 α {\displaystyle \alpha } 附近的泰勒級數，接著截斷級數並求其反函數來得到更好的近似值。 例如，可以寫出關於反伽瑪函數的二次近似； Γ − 1 ( x ) ≈ α + 2 ( x − Γ ( α ) ) Ψ ( 1 ,   α ) Γ ( α ) . {\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.} 反伽瑪函數也有如下的渐近分析形式： Γ − 1 ( x ) ∼ 1 2 + ln ⁡ ( x 2 π ) W 0 ( e − 1 ln ⁡ ( x 2 π ) ) {\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}} 其中 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 是朗伯W函数。這個公式是利用史特靈公式求逆得到的，因此也可以展開為漸近級數。 要計算反伽瑪函數的級數展開可以先計算倒數伽瑪函數 1 Γ ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}} 在負整數極點附近的級數展開，然後再求級數的逆。 令 z = 1 x {\displaystyle z={\frac {1}{x}}} 可以得到第 n {\displaystyle n} 個分支的反伽瑪函數 Γ n − 1 ( z ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)} ，其中 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 。 Γ n − 1 ( z ) = − n + ( − 1 ) n n ! z + ψ ( 0 ) ( n + 1 ) ( n ! z ) 2 + ( − 1 ) n ( π 2 + 9 ψ ( 0 ) ( n + 1 ) 2 − 3 ψ ( 1 ) ( n + 1 ) ) 6 ( n ! z ) 3 + O ( 1 z 4 ) {\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)} 其中， ψ ( n ) ( x ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(x)} 是多伽玛函数。 反階乘是階乘的反函數，有時記為Factorial-1或ArcFactorial，其函數值可以透過反伽瑪函數或解伽瑪函數方程來得到。 例如120的反階乘為5，因為 5 ! = 120 {\displaystyle 5!=120} 。 目前反階乘的數學表達方式學界尚無共識。 反伽瑪函數與反階乘的關係為： Γ − 1 ( n ) = A r c F a c t o r i a l ( z ) + 1 {\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1} 這是由於： z ! = Γ ( z + 1 ) {\displaystyle z!=\Gamma (z+1)} 反階乘可以定義為： ( A r c F a c t o r i a l ( z ) ) ! = z {\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z} 條件是 A r c F a c t o r i a l ( z ) {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)} 在復平面上是全純的，並且沿著實軸的一部分進行切割，從正參數階乘的最小值開始，延伸到 − ∞ {\displaystyle -\infty } 。 在分支點 z = μ 0 {\displaystyle z=\mu _{0}} 附近的反階乘可以展開為； A r c F a c t o r i a l ( z ) = ν 0 + ∑ n = 1 N − 1 d n ⋅ ( log ⁡ ( z / μ 0 ) ) n / 2 {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}} 由於階乘與伽瑪函數之間的關聯，反階乘也可以透過反伽瑪函數近似公式來估計： A r c F a c t o r i a l ( z ) ≈ − 1 + α + 2 ( x − Γ ( α ) ) Ψ ( 1 ,   α ) Γ ( α ) . {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.} 因此，反階乘也可以寫成如下的渐近分析形式： A r c F a c t o r i a l ( x ) ∼ ln ⁡ ( x 2 π ) W 0 ( e − 1 ln ⁡ ( x 2 π ) ) − 1 2 {\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}} 其中 W 0 ( x ) {\displaystyle W_{0}(x)} 是朗伯W函数。 倒數伽瑪函數 數篇相關論文用了不同的表達方式，尚未找到一個統一的表達方式。 另有網友在reddit上討論反階乘應該用甚麼符號表達 What's best notation for arcfactorial? x¡ OR x? 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