非線性系統

在物理科學中，如果描述某個系統的方程其輸入（自變數）與輸出（應變數）不成正比，則稱為非線性系統。由於自然界中大部分的系統本質上都是非線性的，因此許多工程師、物理學家、數學家和其他科學家對於非線性問題的研究都極感興趣。非線性系統和線性系統最大的差別在於，非線性系統可能會導致混沌、不可預測，或是不直觀的結果。 一般來說，非線性系統的行為可以用一組非線性聯立方程來描述。非線性方程裡含有由未知數構成的非線性函數；換句話說，一個非線性方程並不能寫成其未知數的線性組合。非線性微分方程，則是指方程裡含有未知函數及其導函數的乘冪不等於一的項。在判定一個方程是線性或非線性時，只需考慮未知數（或未知函數）的部分，不需要檢查方程中是否有已知的非線性項。例如在微分方程中，若所有的未知函數、未知導函數皆為一次，即使出現由某個已知變數所構成的非線性函數，仍稱它是線性微分方程。 由於非線性方程非常難解，因此常常需要以線性方程來近似一個非線性系統（線性近似）。這種近似對某範圍內的輸入值（自變數）是很準確的，但線性近似之後反而會無法解釋許多有趣的現象，例如孤波、混沌和奇點。這些奇特的現象，也常常讓非線性系統的行為看起來違反直覺、不可預測，或甚至混沌。雖然「混沌的行為」和「隨機的行為」感覺很相似，但兩者絕對不能混為一談；也就是說，一個混沌系統的行為絕對不是隨機的。 舉例來說，許多天氣系統就是混沌的，微小的擾動即可導致整個系統產生各種不同的複雜結果。就目前的科技而言，這種天氣的非線性特性即成了長期天氣預報的絆腳石。 某些書的作者以非線性科學來代指非線性系統的研究，但也有人不以為然： 「在科學領域裡使用『非線性科學』這個詞，就如同把動物學裡大部分的研究對象稱作『非大象動物』一樣可笑。」 ——斯塔尼斯拉夫·烏拉姆 在數學上，一個線性函數（映射） f ( x ) {\displaystyle f(x)} 擁有以下兩個性質： 疊加性： f ( x + y )   = f ( x )   + f ( y ) {\displaystyle \textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y)} ； 齊次： f ( α x )   = α f ( x ) {\displaystyle \textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x)} 。 在 α 是有理數的情況下，一個可疊加函數必定是齊次函數（在討論線性與否時，齊次函數專指一次齊次函數）；若 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是連續函數，則只要 α 是任意實數，就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數 α 時，疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說，在複數的世界裡存在一種反線性映射，它滿足疊加性，但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起，稱之為疊加原理： f ( α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ) {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\,} 。 對於一個表示為 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C\,} 的方程，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是一個線性映射，則稱為線性方程，反之則稱為非線性方程。另外，如果 C = 0 {\displaystyle C=0} ，則稱此方程齊次（齊次在函數和方程上的定義不同，齊次方程指方程內沒有和 x 無關的項 C，即任何項皆和 x 有關）。 這裡 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} 的定義是很一般性的， x {\displaystyle x} 可為任何數字、向量、函數等，而 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可以指任意映射，例如有條件限制（給定初始值或邊界值）的微分或積分運算。如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 內含有對 x {\displaystyle x} 的微分運算，此方程即是一個微分方程。 代數方程又稱為多項式方程。令某多項式等於零可得一個多項式方程，例如： x 2 + x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0\,} 。 利用勘根法可以找出某個代數方程的解；但若是代數方程組則較為複雜，有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解（見希爾伯特零點定理）。即使如此，對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言，我們已經找到解的方法，並且也已充分了解這種系統的行為。代數方程組的研究是代數幾何裡重要的一環，而代數幾何正是現代數學裡的其中一個分枝。 若將一個序列前項和後項之間的關係定義成某個非線性映射，則稱為非線性遞迴關係，例如單峰映射和侯世達數列（英语：Hofstadter sequence）。由非線性遞迴關係構成的非線性離散模型，在實際應用中包括 NARMAX（Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs，外部輸入非線性自迴歸移動平均）模型、非線性系統辨識和分析程序等。這些方法可以用來分析時域、頻域和時空域（spatio-temporal domains）裡複雜的非線性行為。 若描述一個系統的微分方程是非線性的，則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程的問題，系統彼此間的表現差異極大，而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程，以及生物學的洛特卡－沃爾泰拉方程。 解非線性問題最大的難處在於找出未知的解：一般來說，我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程的未知解；而在線性的系統裡，卻可以利用一組線性獨立的解，透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題，其解（時間的函數）可以寫成許多不同頻率之正弦函數的線性組合，而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程的特解，但由於此時疊加原理並不適用，故無法利用這些特解來建構出其他新的解。 一階常微分方程常常可以利用分離變數法來解，特別是自守方程 d u d x = f ( u ) {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=f(u)\,} 。 例如 d u d x = − u 2 {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}\,} 這個方程式的通解為 u = 1 x + C {\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}} ，特解為 u = 0（即通解在 C 趨近於無限大時的極限）。此方程是非線性的，因為它可以被改寫為 d u d x + u 2 = 0 {\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0\,} ， 而等號左邊並不是 u 的線性映射。若把此式的 u2 換成 u，則會變成線性方程（指数衰减）。 二階和高階非線性常微分方程組的解幾乎無法表示成解析解，反而較常表為隐函数或非初等函数積分的形式。 分析常微分方程常用的方法包括： 檢查是否有任何守恆量（特別是在處理哈密頓系統的時候）。 檢查有沒有類似守恆量的耗散量（見李亞普諾夫函數）。 利用泰勒展開式作線性近似。 利用變數變換法，改寫成較易分析的方程。 分岔理論。 微擾法（也可應用在代數方程上）。 研究非線性偏微分方程最常見也最基礎的方法就是變數變換，變換以後的方程會較簡單，甚至有可能會變成線性方程。有時候，變數變換後的方程可能會變成一個或兩個以上的常微分方程（如同用分離變數法解偏微分方程），不管這些常微分方程可不可解，都能幫助我們了解這個系統的行為。 另一個流體力學和熱力學裡常用的方法（但數學性較低），是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程，使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。 其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程時常用的方法。 非線性問題的一個典型的例子，就是重力作用之下單擺的運動。單擺的運動可由以下的方程來描述（用拉格朗日力學可以證明）： d 2 θ d t 2 + sin ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0\,} 。 這是一個非線性且無因次的方程， θ {\displaystyle \theta } 是單擺和它靜止位置所夾的角度，如動畫所示。此方程的一個解法是將 d θ d t {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}} 視為積分因子，積分以後得 ∫ d θ C 0 + 2 cos ⁡ ( θ ) = t + C 1 {\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}\,} 。 上述的解是隱解的形式，同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用，因為非初等函數積分（即使 C 0 = 0 {\displaystyle C_{0}=0} 仍然是非初等函數）把解的各種特性隱藏了起來，使我們不易看出單擺系統的行為。 另一個解法是把這個非線性方程作線性近似：利用泰勒展開式將非線性的 sine 函數線性化，並在某些特定的點附近討論解的情形。例如，若在 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 的點附近作線性近似（又稱小角度近似）， θ ≈ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} 時， sin ⁡ ( θ ) ≈ θ {\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta } ，故原方程可以改寫為 d 2 θ d t 2 + θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0\,} 。 近似後的方程變成了簡諧振盪，因此當單擺運動到底部附近時，可以對應到一個簡諧振子。而若在 θ = π {\displaystyle \theta =\pi } （即當單擺運動到圓弧的最高點時）附近作線性近似， sin ⁡ ( θ ) = sin ⁡ ( π − θ ) ≈ π − θ {\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta } ，故原方程可以改寫為 d 2 θ d t 2 + π − θ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0\,} 。 這個方程的解含有雙曲正弦函數，因此和小角度近似不同，這個近似是不穩定的，也就是說 | θ | {\displaystyle |\theta |} 會無限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。當我們把解對應回單擺系統後，就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡，也就是說，單擺在最高點時是不穩定的狀態。 另一個有趣的線性近似是在 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} 附近，此時 sin ⁡ ( θ ) ≈ 1 {\displaystyle \sin(\theta )\approx 1} ，故原方程可以改寫為 d 2 θ d t 2 + 1 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0\,} ， 這個近似後的方程可以對應到自由落體。 若把以上線性近似的結果合在一起看，就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程的方法，可以進一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的週期。 古典混沌（和量子混沌相對）—— 指系統裡無法預測的行為。 多穩態 —— 指系統在兩個或多個互斥的狀態之間切換。 非周期振盪 —— 指一個函數在任何周期上都不會固定重複其函數值（也稱作混沌振盪）。 振幅死亡（英语：Amplitude death） —— 指系統內的某振盪因系統的自回饋或受其他系統影響而停止的現象。 孤波 —— 指行進中能自我增強而不消散的孤立波。 交流電潮流模型（英语：AC power flow model） 代數黎卡提方程 球桿系統（英语：Ball and beam system） 最佳策略的貝爾曼方程 波茲曼方程 科爾布魯克方程（英语：Colebrook equation） 廣義相對論 金茲堡－朗道方程 流體力學的納維－斯托克斯方程 KdV 方程 非線性光學 非線性薛丁格方程（英语：Nonlinear Schrödinger equation） 未飽和層水流的理查氏方程（英语：Richards equation） Sine-Gordon 方程 朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程 石森方程（英语：Ishimori equation） 范德波爾方程 林納德方程（英语：Liénard equation） 弗拉索夫方程（英语：Vlasov equation） interalg （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— OpenOpt 和 FuncDesigner 架構下的求解器，可用來檢查一個非線性代數方程系統是否有任何解，或甚至找出其所有解。 非線性模型及其模擬展示（連結至蒙納許大學的虛擬實驗室） FyDiK （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— 可模擬非線性動態系統的軟體。 亞歷山大·李亞普諾夫 動態系统 初始條件 交互作用 線性系統 非線性偏微分方程列表 模態耦合（英语：Mode coupling） 向量光孤子（英语：Vector soliton） 沃爾泰拉級數（英语：Volterra series） 平坦性 Nonlinear Dynamics I: Chaos 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