比例性质

比例性质是代数学中常用的分式性质，主要包括合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质以及它们的推广。这四条性质多用于分式的计算和证明，以及三角函数、相似三角形、平行线分线段成比例定理的应用中。其中尤其以等比性质的应用最为广泛。而比例的线性组合也具有多种多样的性质。 在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的后项的比。 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 a + b b = c + d d {\displaystyle {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}} 。 ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ∴ a b + 1 = c d + 1 {\displaystyle \therefore {\frac {a}{b}}+1={\frac {c}{d}}+1} ∴ a + b b = c + d d {\displaystyle \therefore {\frac {a+b}{b}}={\frac {c+d}{d}}} 证毕 在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 a − b b = c − d d {\displaystyle {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}} 。 ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ∴ a b − 1 = c d − 1 {\displaystyle \therefore {\frac {a}{b}}-1={\frac {c}{d}}-1} ∴ a − b b = c − d d {\displaystyle \therefore {\frac {a-b}{b}}={\frac {c-d}{d}}} 证毕 在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 a + b a − b = c + d c − d {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}} 。 ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 令 k = a b = c d {\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则 a = b ⋅ k , c = d ⋅ k {\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k} a + b a − b = b k + b b k − b = k + 1 k − 1 {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {bk+b}{bk-b}}={\frac {k+1}{k-1}}} c + d c − d = d k + d d k − d = k + 1 k − 1 {\displaystyle {\frac {c+d}{c-d}}={\frac {dk+d}{dk-d}}={\frac {k+1}{k-1}}} ∴ a + b a − b = c + d c − d {\displaystyle \therefore {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {c+d}{c-d}}} 证毕 在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 a + c b + d = a b = c d {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 。 ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 令 k = a b = c d {\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则 a = b ⋅ k , c = d ⋅ k {\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k} a + c b + d = b k + d k b + d = k {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {bk+dk}{b+d}}=k} ∴ a + c b + d = a b = c d {\displaystyle \therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 证毕 ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ∴ a c = b d {\displaystyle \therefore {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} 由合比性质 a + c c = b + d d {\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}} ∴ a + c b + d = c d {\displaystyle \therefore {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {c}{d}}} 即 a + c b + d = a b = c d {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 证毕 已知 a i , b i ∈ C , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n} ，且有 b i ≠ 0 {\displaystyle b_{i}\neq 0} ，如果 a 1 b 1 = a 2 b 2 = … = a n b n {\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}} ，则有 ∑ i n a i ∑ i n b i = a i b i {\displaystyle {\frac {\sum _{i}^{n}{a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}} 。 由上述性质以及其证明方法可以推广到任意的线性组合的比例性质。例如如下两条，分别从合分比性质和等比性质推广得到。 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 λ a + μ b ξ a + η b = λ c + μ d ξ c + η d {\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}} 。 证明： ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 令 k = a b = c d {\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则 a = b ⋅ k , c = d ⋅ k {\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k} λ a + μ b ξ a + η b = λ b k + μ b ξ b k + η b = λ k + μ ξ k + η {\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda bk+\mu b}{\xi bk+\eta b}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}} λ c + μ d ξ c + η d = λ d k + μ d ξ d k + η d = λ k + μ ξ k + η {\displaystyle {\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}={\frac {\lambda dk+\mu d}{\xi dk+\eta d}}={\frac {\lambda k+\mu }{\xi k+\eta }}} ∴ λ a + μ b ξ a + η b = λ c + μ d ξ c + η d {\displaystyle \therefore {\frac {\lambda a+\mu b}{\xi a+\eta b}}={\frac {\lambda c+\mu d}{\xi c+\eta d}}} 证毕 已知 a , b , c , d ∈ C {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} } ，且有 b ≠ 0 , d ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,d\neq 0} ，如果 a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则有 λ a + μ c λ b + μ d = a b = c d {\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 。 证明： ∵ a b = c d {\displaystyle \because {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 令 k = a b = c d {\displaystyle k={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} ，则 a = b ⋅ k , c = d ⋅ k {\displaystyle a=b\cdot k,c=d\cdot k} λ a + μ c λ b + μ d = λ b k + μ d k λ b + μ d = k {\displaystyle {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {\lambda bk+\mu dk}{\lambda b+\mu d}}=k} ∴ λ a + μ c λ b + μ d = a b = c d {\displaystyle \therefore {\frac {\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} 证毕 已知 a i , b i ∈ C , i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle a_{i},b_{i}\in \mathbb {C} ,i=1,2,\ldots ,n} ，且有 b i ≠ 0 {\displaystyle b_{i}\neq 0} ，如果 a 1 b 1 = a 2 b 2 = … = a n b n {\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}} ，则有 ∑ i n λ i a i ∑ i n λ i b i = a i b i {\displaystyle {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}} 。 证明： 令 k = a i b i {\displaystyle k={\frac {a_{i}}{b_{i}}}} ，则 a i = b i ⋅ k {\displaystyle a_{i}=b_{i}\cdot k} ∑ i n λ i a i ∑ i n λ i b i = ∑ i n λ i k b i ∑ i n λ i b i = k ∑ i n λ i b i ∑ i n λ i b i = k {\displaystyle {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}kb_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {k\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}=k} ∴ ∑ i n λ i a i ∑ i n λ i b i = a i b i {\displaystyle \therefore {\frac {\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}{\sum _{i}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}}={\frac {a_{i}}{b_{i}}}} 证毕