波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布 f {\displaystyle f} 的波前集 WF ( f ) {\displaystyle {\text{WF}}(f)} 在奇异支集 singsupp ( f ) {\displaystyle {\text{singsupp}}(f)} 的基础上进一步刻画了 f {\displaystyle f} 的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由 拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。 在欧式空间的一个区域 X ⊂ R n {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}} 中，一个分布 u ∈ D ′ ( X ) {\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)} 在一个点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 处的奇异纤维 Σ x ( u ) {\displaystyle \Sigma _{x}(u)} ，作为 R n ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} 的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换， ξ ∈ R n ∖ { 0 } {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}} 不属于 Σ x ( u ) {\displaystyle \Sigma _{x}(u)} 当且仅当存在紧支集光滑函数 ϕ ∈ C 0 ∞ ( X ) {\displaystyle \phi \in C_{0}^{\infty }(X)} 以及 ξ {\displaystyle \xi } 的一个锥邻域（在正实数乘法下不变） Γ {\displaystyle \Gamma } 使得 ϕ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \phi (x)\neq 0} ，并且在 Γ {\displaystyle \Gamma } 中有如下估计：对于任意正整数 N {\displaystyle N} ，存在正常数 C N {\displaystyle C_{N}} 使得 | ( ϕ u ) ^ ( η ) | ≤ C N ( 1 + | η | ) − N ∀ η ∈ Γ . {\displaystyle |{\widehat {(\phi u)}}(\eta )|\leq C_{N}(1+|\eta |)^{-N}\;\;\;\forall \;\eta \in \Gamma .} （我们经常将这个估计写为 | ϕ u ^ ( η ) | = O ( ⟨ η ⟩ − ∞ ) {\displaystyle |{\widehat {\phi u}}(\eta )|=O(\langle \eta \rangle ^{-\infty })} 。） f {\displaystyle f} 的波前集 WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(u)} 定义为 WF ( u ) = { ( x , ξ ) ∈ R n × ( R n ∖ { 0 } ) : ξ ∈ Σ x ( u ) } . {\displaystyle {\text{WF}}(u)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}):\xi \in \Sigma _{x}(u)\}.} 由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形 X {\displaystyle X} 上的分布 f {\displaystyle f} 的波前集 WF ( f ) {\displaystyle {\text{WF}}(f)} 为余切丛去掉零截面 T ∗ X ∖ 0 {\displaystyle T^{\ast }X\setminus 0} 的一个锥子集。 如果 B : C 0 ∞ ( X ) → D ′ ( Y ) {\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)} 有Schwarz核 K B ∈ D ′ ( Y × X ) {\displaystyle K_{B}\in {\mathcal {D}}'(Y\times X)} ，定义 WF ′ ( B ) = { ( y , η , x , ξ ) ∈ T ∗ Y × T ∗ X : ( y , η , x , − ξ ) ∈ WF ( K B ) . {\displaystyle {\text{WF}}'(B)=\{(y,\eta ,x,\xi )\in T^{\ast }Y\times T^{\ast }X:(y,\eta ,x,-\xi )\in {\text{WF}}(K_{B}).} 对于拟微分算子 A ∈ Ψ m ( X ) {\displaystyle A\in \Psi ^{m}(X)} ， 可以验证 WF ′ ( A ) {\displaystyle {\text{WF}}'(A)} 包含于 ( T ∗ X ∖ 0 ) × ( T ∗ X ∖ 0 ) {\displaystyle (T^{\ast }X\setminus 0)\times (T^{\ast }X\setminus 0)} 的对角线 Δ ( T ∗ X ∖ 0 ) = { ( x , ξ , x , ξ ) : ( x , ξ ) ∈ T ∗ X ∖ 0 } {\displaystyle \Delta (T^{\ast }X\setminus 0)=\{(x,\xi ,x,\xi ):(x,\xi )\in T^{\ast }X\setminus 0\}} 中。并且如果我们定义 WF ( A ) ⊂ T ∗ X ∖ 0 {\displaystyle {\text{WF}}(A)\subset T^{\ast }X\setminus 0} 如下： ( x 0 , ξ 0 ) ∉ WF ( A ) {\displaystyle (x_{0},\xi _{0})\not \in {\text{WF}}(A)} 当且仅当在 ( x 0 , ξ 0 ) {\displaystyle (x_{0},\xi _{0})} 的一个锥邻域中， A {\displaystyle A} 的象征满足估计 σ ( A ) ( x , ξ ) = O ( ⟨ ξ ⟩ − ∞ ) {\displaystyle \sigma (A)(x,\xi )=O(\langle \xi \rangle ^{-\infty })} 那么我们有 ( x , ξ ) ∈ WF ( A ) {\displaystyle (x,\xi )\in {\text{WF}}(A)} 当且仅当 ( x , ξ , x , ξ ) ∈ WF ′ ( A ) {\displaystyle (x,\xi ,x,\xi )\in {\text{WF}}'(A)} 。 Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用： WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(u)} 是所有满足如下性质的点 ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} 在 T ∗ X ∖ 0 {\displaystyle T^{\ast }X\setminus 0} 中的补集： 存在 ( x , ξ ) {\displaystyle (x,\xi )} 的锥邻域 Γ {\displaystyle \Gamma } 使得对于任意的满足 WF ( A ) ⊂ Γ {\displaystyle {\text{WF}}(A)\subset \Gamma } 的拟微分算子 A ∈ Ψ 0 ( X ) {\displaystyle A\in \Psi ^{0}(X)} ， 有 A u ∈ C ∞ {\displaystyle Au\in C^{\infty }} 。 另一个有用的等价定义用到FBI变换。 （1） 如果记 π : T ∗ X ∖ 0 → X {\displaystyle \pi :T^{\ast }X\setminus 0\to X} 为余切丛上自然投影，则 π ( WF ( u ) ) = sing supp ( u ) {\displaystyle \pi ({\text{WF}}(u))={\text{sing supp}}(u)} 。 （2） 对于拟微分算子 A ∈ Ψ m {\displaystyle A\in \Psi ^{m}} ， WF ( A u ) ⊂ WF ( A ) ∩ WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(Au)\subset {\text{WF}}(A)\cap {\text{WF}}(u)} 。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子 a ( x , D ) {\displaystyle a(x,D)} ， WF ( a ( x , D ) u ) ⊂ WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(a(x,D)u)\subset {\text{WF}}(u)} 。 （3） 如果 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 是一个光滑映射，记 N f = { ( f ( x ) ; η ) ∈ T ∗ Y , T f ( x ) ′ η = 0 } {\displaystyle N_{f}=\{(f(x);\eta )\in T^{\ast }Y,{}^{T}f(x)'\eta =0\}} 为 f {\displaystyle f} 的法丛。如果 u ∈ D ′ ( Y ) {\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(Y)} 满足 WF ( u ) ∩ N f = ∅ {\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap N_{f}=\emptyset } ，那么我们可以“唯一的”定义 u {\displaystyle u} 在 f {\displaystyle f} 下的拉回 f ∗ u ∈ D ′ ( X ) {\displaystyle f^{\ast }u\in {\mathcal {D}}'(X)} 。并且我们有 WF ( f ∗ u ) ⊂ f ∗ WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)\subset f^{\ast }{\text{WF}}(u)} 。 特别的，如果 f {\displaystyle f} 是一个微分同胚， WF ( f ∗ u ) = f ∗ WF ( u ) {\displaystyle {\text{WF}}(f^{\ast }u)=f^{\ast }{\text{WF}}(u)} 。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。 （4）令 B : C 0 ∞ ( X ) → D ′ ( Y ) {\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)} 如果将 WF ′ ( B ) {\displaystyle {\text{WF}}'(B)} 视作从 T ∗ X {\displaystyle T^{\ast }X} 到 T ∗ Y {\displaystyle T^{\ast }Y} 的一个关系，并且记 WF X ′ ( B ) = W F ′ ( B ) − 1 ( 0 Y ) , WF Y ′ ( B ) = W F ′ ( B ) ( 0 X ) {\displaystyle {\text{WF}}'_{X}(B)=WF'(B)^{-1}(0_{Y}),\;\;{\text{WF}}'_{Y}(B)=WF'(B)(0_{X})} 。这里 0 X {\displaystyle 0_{X}} 和 0 Y {\displaystyle 0_{Y}} 分别是 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 上余切丛的零截面。则如果 u ∈ D ′ ( X ) {\displaystyle u\in {\mathcal {D}}'(X)} 满足 WF ( u ) ∩ WF X ′ ( B ) = ∅ {\displaystyle {\text{WF}}(u)\cap {\text{WF}}'_{X}(B)=\emptyset } ，那么我们可以“唯一的”定义 B u ∈ D ′ ( Y ) {\displaystyle Bu\in {\mathcal {D}}'(Y)} 。并且我们有 WF ( B u ) ⊂ WF ′ ( B ) ( WF ( u ) ) ∪ WF Y ′ ( B ) {\displaystyle {\text{WF}}(Bu)\subset {\text{WF}}'(B)({\text{WF}}(u))\cup {\text{WF}}'_{Y}(B)} 。 （5）如果 A : C 0 ∞ ( X ) → D ′ ( Y ) {\displaystyle A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Y)} 和 B : C 0 ∞ ( Y ) → D ′ ( Z ) {\displaystyle B:C_{0}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {D}}'(Z)} 满足 WF Y ′ ( A ) ∩ WF Y ′ ( B ) = ∅ {\displaystyle {\text{WF}}'_{Y}(A)\cap {\text{WF}}'_{Y}(B)=\emptyset } ，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 B ∘ A : C 0 ∞ ( X ) → D ′ ( Z ) {\displaystyle B\circ A:C_{0}^{\infty }(X)\to {\mathcal {D}}'(Z)} 。并且我们有 WF ′ ( B ∘ A ) ⊂ ( WF Z ′ ( B ) × ( 0 X ) ) ∪ ( 0 Z × WF X ′ ( A ) ) ∪ ( WF ′ ( B ) ∘ WF ′ ( A ) ) {\displaystyle {\text{WF}}'(B\circ A)\subset ({\text{WF}}'_{Z}(B)\times (0_{X}))\cup (0_{Z}\times {\text{WF}}'_{X}(A))\cup ({\text{WF}}'(B)\circ {\text{WF}}'(A))} 这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。 以上所定义的波前集描述的是分布的关于 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 WF A {\displaystyle {\text{WF}}_{A}} ，关于Gevery类 G s {\displaystyle G^{s}} 的波前集，关于Sobolev空间 H s {\displaystyle H^{s}} 的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。 Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183. Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990, ISBN 0-387-52345-6  Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities