艾狄胥-斯通定理

匈牙利文人名顺序为先姓后名。本条目中的译名遵从此顺序。 極值圖論（英语：extremal graph theory）中，埃尔德什－斯通定理（英語：Erdős–Stone theorem）是禁止某子圖 H {\displaystyle H} 出現後，圖邊數的漸近上界，推廣了图兰定理（即僅允許 H {\displaystyle H} 為完全圖的情況）。定理由埃尔德什·帕尔與阿瑟·斯通（英语：Arthur Stone (mathematician)）於1946年證明，因而得名。博洛巴什·貝洛（英语：Béla Bollobás）稱其為「極值圖論的基本定理（英语：fundamental theorem）」。 先定義極值函數（英語：extremal function） e x {\displaystyle \mathrm {ex} } 如下： e x ( n ; H ) {\displaystyle \mathrm {ex} (n;H)} 是眾多 n {\displaystyle n} 個頂點的圖之中，不包含子圖（同構於） H {\displaystyle H} 的圖的邊數最大值。圖蘭定理斷言，當 H {\displaystyle H} 取為完全圖 K r {\displaystyle K_{r}} 時，有 e x ( n ; K r ) = t r − 1 ( n ) {\displaystyle \mathrm {ex} (n;K_{r})=t_{r-1}(n)} ，即 n {\displaystyle n} 個頂點的 r − 1 {\displaystyle r-1} 部圖蘭圖（英语：Turán graph）的邊數，且僅得該圖蘭圖取到最大值。埃尔德什－斯通定理推廣到禁止 K r ( t ) {\displaystyle K_{r}(t)} 子圖的情況，即禁止各分部恰有 t {\displaystyle t} 個頂點的完全 r {\displaystyle r} 部圖（亦可記為圖蘭圖（英语：Turán graph） T ( r t , r ) {\displaystyle T(rt,r)} ）： ex ( n ; K r ( t ) ) = ( r − 2 r − 1 + o ( 1 ) ) ( n 2 ) . {\displaystyle {\mbox{ex}}(n;K_{r}(t))=\left({\frac {r-2}{r-1}}+o(1)\right){n \choose 2}.} 若 H {\displaystyle H} 為任意圖，色數為 r > 2 {\displaystyle r>2} ，則對於足夠大的 t {\displaystyle t} ， H {\displaystyle H} 必為 K r ( t ) {\displaystyle K_{r}(t)} 的子圖（比如取 t {\displaystyle t} 大於 H {\displaystyle H} 的某個 r {\displaystyle r} 染色中，用得最多的顏色所用的次數），但 H {\displaystyle H} 並非圖蘭圖 T ( n , r − 1 ) {\displaystyle T(n,r-1)} 的子圖，因為該圖蘭圖的任意子圖皆可 r − 1 {\displaystyle r-1} 染色。 由此可見， H {\displaystyle H} 的極值函數至少為 T ( n , r − 1 ) {\displaystyle T(n,r-1)} 的邊數，但至多為 K r ( t ) {\displaystyle K_{r}(t)} 的極值函數。所以，仍有 ex ( n ; H ) = ( r − 2 r − 1 + o ( 1 ) ) ( n 2 ) . {\displaystyle {\mbox{ex}}(n;H)=\left({\frac {r-2}{r-1}}+o(1)\right){n \choose 2}.} 然而，對於二部圖 H {\displaystyle H} ，定理給出的上界並非最優，因為已知當 H {\displaystyle H} 為二部圖時， e x ( n ; H ) = o ( n 2 ) {\displaystyle \mathrm {ex} (n;H)=o(n^{2})} ，不過對於一般二部圖的極值函數，仍然所知甚少，見扎蘭凱維奇問題（英语：Zarankiewicz problem）。 定理亦有若干個定量版本已獲證，較確切刻劃 n , r , t {\displaystyle n,r,t} 與餘項 o ( 1 ) {\displaystyle o(1)} 的關係。先對 0 < ε < 1 / ( 2 ( r − 1 ) ) {\displaystyle 0<\varepsilon <1/(2(r-1))} ，定義 s r , ε ( n ) {\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)} 為最大的 t {\displaystyle t} ，使得子圖 K r ( t ) {\displaystyle K_{r}(t)} 能於任意具 n {\displaystyle n} 個頂點及 ( r − 2 2 ( r − 1 ) + ε ) n 2 {\displaystyle \left({\frac {r-2}{2(r-1)}}+\varepsilon \right)n^{2}} 條邊的圖中找到。 埃尔德什、斯通證明對充份大的 n {\displaystyle n} ，有 s r , ε ( n ) ≥ ( log r − 1 ⁡ n ) 1 / 2 , {\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)\geq \left(\log ^{r-1}n\right)^{1/2},} 其中 log r − 1 {\displaystyle \log ^{r-1}} 是對數函數的 r − 1 {\displaystyle r-1} 次疊代。 s r , ε ( n ) {\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)} 的正確增長階數，由博洛巴什與埃尔德什找出：固定 r , ε {\displaystyle r,\varepsilon } ，則存在常數 c 1 ( r , ε ) {\displaystyle c_{1}(r,\varepsilon )} 與 c 2 ( r , ε ) {\displaystyle c_{2}(r,\varepsilon )} 使得 c 1 ( r , ε ) log ⁡ n < s r , ε ( n ) < c 2 ( r , ε ) . {\displaystyle c_{1}(r,\varepsilon )\log n<s_{r,\varepsilon }(n)<c_{2}(r,\varepsilon ).} 赫瓦塔爾與塞邁雷迪隨後確定 s r , ε ( n ) {\displaystyle s_{r,\varepsilon }(n)} 如何隨 r {\displaystyle r} 和 ε {\displaystyle \varepsilon } 變化（但可以差常數倍）：對充份大的 n {\displaystyle n} ，有 1 500 log ⁡ ( 1 / ε ) log ⁡ n < s r , ε ( n ) < 5 log ⁡ ( 1 / ε ) log ⁡ n . {\displaystyle {\frac {1}{500\log(1/\varepsilon )}}\log n<s_{r,\varepsilon }(n)<{\frac {5}{\log(1/\varepsilon )}}\log n.} Erdős, P.; Stone, A. H. On the structure of linear graphs [論線段圖的結構]. Bulletin of the American Mathematical Society. 1946, 52 (12): 1087–1091. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08715-7  （英语）.  Bollobás, Béla. Modern Graph Theory [近世圖論]. New York: Springer-Verlag. 1998: 120. ISBN 0-387-98491-7 （英语）.  Bollobás, Béla. Extremal graph theory [極值圖論]. R. L. Graham; M. Grötschel; L. Lovász (编). Handbook of combinatorics [組合手冊]. Elsevier. 1995: 1244. ISBN 0-444-88002-X （英语）.  Bollobás, B.; Erdős, P. On the structure of edge graphs [論邊圖的結構]. Bulletin of the London Mathematical Society. 1973, 5 (3): 317–321. doi:10.1112/blms/5.3.317 （英语）.  Chvátal, V.; Szemerédi, E. On the Erdős-Stone theorem [論埃尔德什－斯通定理]. Journal of the London Mathematical Society. 1981, 23 (2): 207–214. doi:10.1112/jlms/s2-23.2.207 （英语）.