實數的構造

在數學裡，實數系統可以透過不同方式被定義。其中，基本方法通過一些公理將實數系統定為一個完備的有序數域。通過集合論公理，可以證明基本方法中給定的公理是絕對的，即是說如果有兩個模型都符合那些公理，那麼這兩個模型必然是同構的。這樣的模型須是從更基礎的對象構建而成的，而多數的模型的建立都是借助於有理數域。 一個實數系統由一個集合 R {\displaystyle R} ， R {\displaystyle R} 當中的兩個不同元素 0 和 1 ， R {\displaystyle R} 上的兩種二元運算 + , × {\displaystyle +,\times } （分別叫做加法與乘法），以及 R {\displaystyle R} 上的一個二元關係 ≤ {\displaystyle \leq } （即序關係）構成。 而且這個模型符合以下性質： ( R , + , × ) {\displaystyle (R,+,\times )} 是一個域。即 ∀ x , y , z ∈ R , x + ( y + z ) = ( x + y ) + z , x × ( y × z ) = ( x × y ) × z {\displaystyle \forall x,y,z\in R,x+(y+z)=(x+y)+z,x\times (y\times z)=(x\times y)\times z} （加法與乘法的結合性） ∀ x , y ∈ R , x + y = y + x , x × y = y × x {\displaystyle \forall x,y\in R,x+y=y+x,x\times y=y\times x} （加法與乘法的交換性） ∀ x , y , z ∈ R , x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) {\displaystyle \forall x,y,z\in R,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)} （乘法對加法有分配律） ∀ x ∈ R , x + 0 = x {\displaystyle \forall x\in R,x+0=x} （存在加法單位元） ∀ x ∈ R , x × 1 = x {\displaystyle \forall x\in R,x\times 1=x} （存在乘法單位元） ∀ x ∈ R , ∃ − x ∈ R , x + ( − x ) = 0 {\displaystyle \forall x\in R,\exists -x\in R,x+(-x)=0} （存在加法逆元） ∀ x ∈ R , x ≠ 0 ⇒ ∃ x − 1 ∈ R , x × x − 1 = 1 {\displaystyle \forall x\in R,x\neq 0\Rightarrow \exists x^{-1}\in R,x\times x^{-1}=1} （存在乘法逆元） ( R , ≤ ) {\displaystyle (R,\leq )} 是一個全序集。即 ∀ x ∈ R , x ≤ x {\displaystyle \forall x\in R,x\leq x} (自反性) ∀ x , y ∈ R , {\displaystyle \forall x,y\in R,} 若 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 且 y ≤ x {\displaystyle y\leq x} ，則有 x = y {\displaystyle x=y} （反對稱性） ∀ x , y , z ∈ R , {\displaystyle \forall x,y,z\in R,} 若 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 且, y ≤ z {\displaystyle y\leq z} ，則有 x ≤ z {\displaystyle x\leq z} （傳遞性） ∀ x , y ∈ R , x ≤ y {\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq y} 或 y ≤ x {\displaystyle y\leq x} （完全關係性） R {\displaystyle R} 上的兩個運算 + , × {\displaystyle +,\times } 均與序關係 ≤ {\displaystyle \leq } 相容。即 ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \forall x,y\in R} ,若 x ≤ y , {\displaystyle x\leq y,} 則 x + z ≤ y + z {\displaystyle x+z\leq y+z} （加法下保持次序） ∀ x , y ∈ R {\displaystyle \forall x,y\in R} ,若 0 ≤ x {\displaystyle 0\leq x} 且 0 ≤ y {\displaystyle 0\leq y} ，則 0 ≤ x × y {\displaystyle 0\leq x\times y} （乘法下保持次序） 序關係 ≤ {\displaystyle \leq } 符合戴德金完備性: 若 R {\displaystyle R} 的一個非空子集 A {\displaystyle A} 有上界，那么 A {\displaystyle A} 也有上確界。換言之， 若 A {\displaystyle A} 是 R {\displaystyle R} 的一個非空子集，而且 A {\displaystyle A} 有上界，那麼 A {\displaystyle A} 有一上確界 u {\displaystyle u} ，使得對 A {\displaystyle A} 的任何上界 v {\displaystyle v} ，均有 u ≤ v . {\displaystyle u\leq v.} 有理數域 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 符合前三條公理，也就是說 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 是一個有序域（同時 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 還滿足阿基米德性，所以 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 是一個阿基米德有序域），但 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 不符合最后一條公理。所以戴德金完備性這一點在實數的定義中是不可或缺的。戴德金完備性蘊含了阿基米德性質。若有兩個模型符合公理1-4的話，它們必然是同構的，所以在同構意義下只有一個戴德金完備的阿基米德有序域。 附注：當我們說符合以上公理的兩個模型： ( R , 0 R , 1 R , + R , × R , ≤ R ) {\displaystyle (R,0_{R},1_{R},+_{R},\times _{R},\leq _{R})} 和 ( S , 0 S , 1 S , + S , × S , ≤ S ) {\displaystyle (S,0_{S},1_{S},+_{S},\times _{S},\leq _{S})} 是同構時，即是指存在一個保持運算和序的雙射。 確切地說存在 f : R → S {\displaystyle f:R\rightarrow S} 滿足 f {\displaystyle f} 是一個雙射 f ( 0 R ) = 0 S {\displaystyle f(0_{R})=0_{S}} 及 f ( 1 R ) = 1 S {\displaystyle f(1_{R})=1_{S}} . ∀ x , y ∈ R , f ( x + R y ) = f ( x ) + S f ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in R,f(x+_{R}y)=f(x)+_{S}f(y)} 及 f ( x × R y ) = f ( x ) × S f ( y ) . {\displaystyle f(x\times _{R}y)=f(x)\times _{S}f(y).} ∀ x , y ∈ R , x ≤ R y {\displaystyle \forall x,y\in R,x\leq _{R}y} 當且僅當 f ( x ) ≤ S f ( y ) . {\displaystyle f(x)\leq _{S}f(y).} 另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作 R {\displaystyle \mathbb {R} } ）、一个称之为序的二元关系（记作 < {\displaystyle <} ）、一个称之为加法的二元运算（记作 + {\displaystyle +} ）和常数 1 {\displaystyle 1} 。 序相关公理 ( R , < ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,<)} ： 公理一：如果 x < y {\displaystyle x<y} 成立，那么 y < x {\displaystyle y<x} 不成立，即“ < {\displaystyle <} ”为非对称关系。 公理二：如果 x < z {\displaystyle x<z} 成立，那么存在 y {\displaystyle y} 使得 x < y {\displaystyle x<y} 与 y < z {\displaystyle y<z} 同时成立，即“ < {\displaystyle <} ”在实数集稠密。 公理三：“ < {\displaystyle <} ”满足戴德金完备性，即对所有 X , Y ⊂ R {\displaystyle X,Y\subset \mathbb {R} } ，如果对所有 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 以及 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 均满足 x < y {\displaystyle x<y} ，那么存在 z {\displaystyle z} 使得对所有 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 以及 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 并且有 z ≠ x {\displaystyle z\neq x} 以及 z ≠ y {\displaystyle z\neq y} ，总有 x < z {\displaystyle x<z} 与 z < y {\displaystyle z<y} 成立。 加法相关公理 ( R , < , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+)} ： 公理四： x + ( y + z ) = ( x + z ) + y {\displaystyle x+(y+z)=(x+z)+y} 。 公理五：对所有 x {\displaystyle x} 与 y {\displaystyle y} ，总存在 z {\displaystyle z} 满足 x + z = y {\displaystyle x+z=y} 。 公理六：如果 x + y < z + w {\displaystyle x+y<z+w} 成立，那么 x < z {\displaystyle x<z} 或 y < w {\displaystyle y<w} 成立。 常数 1 {\displaystyle 1} 相关公理 ( R , < , + , 1 ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,<,+,1)} 公理七： 1 ∈ R {\displaystyle 1\in \mathbb {R} } ； 公理八： 1 < 1 + 1 {\displaystyle 1<1+1} 。 首先我們需要一個定義。設 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 是一個有理數列，如果对于任何正有理數 r > 0 {\displaystyle r>0} ，存在一个正整数 N {\displaystyle N} 使得对于所有的整数 m , n > N {\displaystyle m,n>N} ，都有 | x m − x n | < r {\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<r} ，則稱 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 為有理數的柯西序列。 有理數集 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 配備上度量 | x − y | {\displaystyle |x-y|} （即一般的绝对值）後便是一個度量空間。而透過一個叫作完備化的過程，可以往度量空間加進新點，從而使得度量空間中的所有柯西序列都收斂到某點。 以下說明實數集 R {\displaystyle \mathbf {R} } 可定義為 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 對於度量 | x − y | {\displaystyle |x-y|} 的完備化。（關於 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 在其他度量下的完備化，參見p進數。） 記 R {\displaystyle R} 為由有理數的柯西序列組成的集合。定義兩個柯西序列的加法和乘法為： ( x n ) + ( y n ) = ( x n + y n ) {\displaystyle (x_{n})+(y_{n})=(x_{n}+y_{n})} ( x n ) × ( y n ) = ( x n × y n ) . {\displaystyle (x_{n})\times (y_{n})=(x_{n}\times y_{n}).} 運算得到的序列依然會是柯西序列。 稱兩個柯西序列是等價的，如果它們之間的差收斂到0。這樣便在 R {\displaystyle R} 上定義了一個等價關係。以 [ ( x n ) ] {\displaystyle [(x_{n})]} 表示包含序列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的等價類。 設 R {\displaystyle \mathbf {R} } 為包含所有等價類的集合，然後也在 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上定義加法和乘法： [ ( x n ) ] + [ ( y n ) ] = [ ( x n ) + ( y n ) ] {\displaystyle [(x_{n})]+[(y_{n})]=[(x_{n})+(y_{n})]} [ ( x n ) ] × [ ( y n ) ] = [ ( x n ) × ( y n ) ] {\displaystyle [(x_{n})]\times [(y_{n})]=[(x_{n})\times (y_{n})]} 同樣地，這兩個運算是良好定義的。 可以證明 ( R , + , × ) {\displaystyle (\mathbf {R} ,+,\times )} 是一個域。我們可以把 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 嵌入到 R {\displaystyle \mathbf {R} } ——只要把有理數 r {\displaystyle r} 對應於 ( r ) {\displaystyle (r)} 便可。 實數大小的比較也是透過在柯西序列上的定義而達成的： 稱一個實數是正的，即 [ ( x n ) ] > [ ( 0 ) ] {\displaystyle [(x_{n})]>[(0)]} ，當且僅當存在自然數 N {\displaystyle N} 和正有理數 r {\displaystyle r} ，使得對一切 n > N {\displaystyle n>N} 有 x n > r {\displaystyle x_{n}>r} 。稱 [ ( x n ) ] > [ ( y n ) ] , {\displaystyle [(x_{n})]>[(y_{n})],} 當且僅當 [ ( x n ) ] − [ ( y n ) ] > [ ( 0 ) ] {\displaystyle [(x_{n})]-[(y_{n})]>[(0)]} 。 較難推導的是 ≤ {\displaystyle \leq } 的完備性，具體可以參考。 常用的小數記法可以自然地理解為柯西序列，比如說， π = 3.1415926... {\displaystyle \pi =3.1415926...} 的記法意味著 π {\displaystyle \pi } 是柯西序列 ( 3 , 3.1 , 3.14 , 3.141 , 3.1415 , . . . ) {\displaystyle (3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...)} 的等價類。等式 [ ( 0.999... ) ] = [ ( 1 ) ] {\displaystyle [(0.999...)]=[(1)]} 則斷定了序列 ( 0 , 0.9 , 0.99 , 0.999 , . . . ) {\displaystyle (0,0.9,0.99,0.999,...)} 和 ( 1 , 1 , 1 , 1 , . . . ) {\displaystyle (1,1,1,1,...)} 是等價的，即它們之間的差收斂到 0 {\displaystyle 0} 。 把 R {\displaystyle \mathbf {R} } 作為 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 的完備化有一個好處，那就是這種方法並不限於此例；對於其他度量空間也是適用的。 實數可定義為有理數集上的戴德金分割，即是有理數集的一個劃分 ( A , B ) {\displaystyle (A,B)\,} ，其中 A , B {\displaystyle A,B} 都非空，而且A的每個元素都小於B的任意元素。為方便起見，不妨把劃分 ( A , B ) {\displaystyle (A,B)\,} 以其下組 A {\displaystyle A} 來代表，因為給定了 A {\displaystyle A} 就唯一確定了 B {\displaystyle B} 。所以直觀上，實數 r {\displaystyle r} 能被 { x ∈ Q : x < r } {\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<r\}} 所代表。 具體而言，一個實數 r {\displaystyle r} 是 Q {\displaystyle {\textbf {Q}}} 的符合以下條件的一個子集： r {\displaystyle r} 是非空集合 r ≠ Q {\displaystyle r\neq {\textbf {Q}}} r {\displaystyle r} 是向下封閉的，即： ∀ x , y ∈ Q x < y , y ∈ r → x ∈ r {\displaystyle \forall x,y\in {\textbf {Q}}x<y,y\in r\rightarrow x\in r} r {\displaystyle r} 沒有最大元。也就是說，不存在 x ∈ r {\displaystyle x\in r} ，使得對任何 y ∈ r {\displaystyle y\in r} 有 y ≤ x {\displaystyle y\leq x} 記 R {\displaystyle {\textbf {R}}} 為所有實數的集合，也就是說它包含了所有 Q {\displaystyle {\textbf {Q}}} 上的戴德金分割。然后在 R {\displaystyle {\textbf {R}}} 上定義這樣一個全序： x ≤ y ⇔ x ⊆ y {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow x\subseteq y} 有理數可以嵌入到 R {\displaystyle {\textbf {R}}} 裡，透過把 q {\displaystyle q} 對應於集合 { x ∈ Q : x < q } {\displaystyle \{x\in {\textbf {Q}}:x<q\}} 。 因為有理數在有理數集內是稠密的，所以這個集合沒有最大元，並滿足上述的各條件。 加法： A + B := { a + b : a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A+B:=\{a+b:a\in A\land b\in B\}} 減法： A − B := { a − b : a ∈ A ∧ b ∈ ( Q ∖ B ) } {\displaystyle A-B:=\{a-b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}} ，其中 Q ∖ B {\displaystyle {\textbf {Q}}\setminus B} 代表 B {\displaystyle B} 在 Q {\displaystyle {\textbf {Q}}} 裡的補集，即 { x : x ∈ Q ∧ x ∉ B } {\displaystyle \{x:x\in {\textbf {Q}}\land x\notin B\}} 負號是減法的特例： − B := { a − b : a < 0 ∧ b ∈ ( Q ∖ B ) } {\displaystyle -B:=\{a-b:a<0\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}} 乘法的定義較不直觀： 若 A , B ≥ 0 {\displaystyle A,B\geq 0} ，那麼 A × B := { a × b : a ≥ 0 ∧ a ∈ A ∧ b ≥ 0 ∧ b ∈ B } ∪ { x ∈ Q : x < 0 } {\displaystyle A\times B:=\{a\times b:a\geq 0\land a\in A\land b\geq 0\land b\in B\}\cup \{x\in \mathrm {Q} :x<0\}} 若 A {\displaystyle A\,} 和 B {\displaystyle B\,} 中有一個是負的，可以透過 A × B = − ( A × − B ) = − ( − A × B ) = ( − A × − B ) {\displaystyle A\times B=-(A\times -B)=-(-A\times B)=(-A\times -B)\,} 這定義式，把 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} 轉化為正數的情況，再採用上面的定義來計算。 類似地定義除法為： 若 A ≥ 0 ,   B > 0 {\displaystyle A\geq 0,\ B>0} ，則 A / B := { a / b : a ∈ A ∧ b ∈ ( Q ∖ B ) } {\displaystyle A/B:=\{a/b:a\in A\land b\in ({\textbf {Q}}\setminus B)\}} 若 A {\displaystyle A\,} 和 B {\displaystyle B\,} 中有一個是負的，可以藉助 A / B = − ( A / − B ) = − ( − A / B ) = − A / − B {\displaystyle A/B=-(A/{-B})=-(-A/B)=-A/{-B}\,} 的定義式，把 A {\displaystyle A} 換成非負數，以及把 B {\displaystyle B\,} 換成正數，再採用上面的定義來計算。 上確界：如果 R {\displaystyle {\textbf {R}}} 的非空子集 S {\displaystyle S} 有上界的話，那麼可以證明 ⋃ S {\displaystyle \bigcup S} 便是其上確界。 以下示範如何以戴德金分割代表根號2：設 A = { x ∈ Q : x < 0 ∨ x 2 < 2 } {\displaystyle A=\{x\in {\textbf {Q}}:x<0\lor x^{2}<2\}} 。 首先，對於任何自乘小於2的正有理數 x {\displaystyle x\,} ，都存在一個大於x的有理數 y {\displaystyle y\,} ，而且有 y × y < 2 {\displaystyle y\times y<2\,} 。選擇 y = 2 x + 2 x + 2 {\displaystyle y={\frac {2x+2}{x+2}}\,} 便可。所以我們證明了 A {\displaystyle A} 是一個實數。 要證明 A × A ≤ 2 {\displaystyle A\times A\leq 2} 成立，只需指出如果 r {\displaystyle r\,} 是小於2的有理數，那麼存在正的 x ∈ A {\displaystyle x\in A} ，且 r < x × x {\displaystyle r<x\times x\,} 。 這種方法的好處是每個實數都對應於唯一的分割。 西蒙·斯蒂文 首先提出了以小數來代表一切數（即現今的實數）的想法。具體地，可以將無限小數展開式作為實數的定義，然後規定像0.9999... 和1.0000... 這樣的兩種展開式是等價的，再形式化地定義好四則運算和大小次序。這種方法跟柯西序列和戴德金分割這兩種構造是等價的，而且它還給出了明確的收斂模（英语：Modulus of convergence）。這種方法不限於十進制，其他的進位制也是適用的。 用小數來構造的好處是，這跟我們對於實數的基本印象相符。一個證明“完全有序域的所有模型都同構”的標準做法便是，說明任意模型都同構於這個模型，因為我們可以系統地給每個元素建立小數展開式。 首先，透過超濾子從有理數構造出超有理數域*Q 。此處的超有理數之定義為兩個超整數的比。考慮由*Q裡所有有界（或者說有限）元素所組成的環B。 B 有著唯一的極大理想 I，即無窮小量。商環 B/I 給出了實數域 R {\displaystyle R} 。 注意B 並不是*Q的一個內在集合。 此外，這種構造在自然數集上使用了非主超濾子，而其存在性是依賴於選擇公理的。 這個極大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完備性的證明跟柯西序列一節中的論證類同。 每個有序域都可以嵌入到超現實數系統內。而實數組成了一個符合阿基米德性質的極大子域（意味著沒有實數是無窮大量）。這種嵌入方式並不是唯一的，儘管有標準的一種方式。 一個較不為人知的構造方法只需用到整數的加法群。 這種方法已由IsarMathLib project正式驗證了。 Shenitzer和Arthan將此構造稱為歐多克索斯實數。 設 f : Z → Z {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} } 為一函數，若然 { f ( n + m ) − f ( m ) − f ( n ) : n , m ∈ Z } {\displaystyle \{f(n+m)-f(m)-f(n):n,m\in \mathbb {Z} \}} 是有限集，則稱f為殆同態。稱兩個殆同態 f , g {\displaystyle f,g} 是 幾乎相等的，如果集合 { f ( n ) − g ( n ) : n ∈ Z } {\displaystyle \{f(n)-g(n):n\in \mathbb {Z} \}} 是有限集。如此便在殆同態上定義了一等價關係。實數被定義為各個等價類，可簡單記為[f]。實數的加法，對應於殆同態的加法運算；實數的乘法，則對應於殆同態的複合運算。最後，稱 0 ≤ [ f ] {\displaystyle 0\leq [f]} ，若 f {\displaystyle f} 是有界的，或者 f {\displaystyle f} 在 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 上無限多次取正值。這樣便在實數上建立了全序。 數學結構主義#實分析中的例子 The Real Numbers (PDF). 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