柯西函數方程

柯西函數方程是以下的函數方程： f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )   {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ } 此方程的解被稱為加性函數。 在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 f ( x ) = c x   {\displaystyle f(x)=cx\ } ，其中 c {\displaystyle c} 任意給定的有理數。 在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如： 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。 若 f 在任一個區間上是單調的 若 f 在任一個區間上是有界的 另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾（英语：Georg Hamel）使用基的概念證明。 希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。 存在實數 c   {\displaystyle c\ } 使得 f ( c x ) ≠ c f ( x )   {\displaystyle f(cx)\neq cf(x)\ } 的解稱為柯西─哈默方程（英語：Cauchy-Hamel function(s)）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。 先設 y = 0   {\displaystyle y=0\ } ，得到： f ( x + 0 ) = f ( x ) + f ( 0 )   {\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ } f ( 0 ) = 0   {\displaystyle f(0)=0\ } 再設 y = − x   {\displaystyle y=-x\ } ： f ( x − x ) = f ( x ) + f ( − x )   {\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ } f ( − x ) = − f ( x )   {\displaystyle f(-x)=-f(x)\ } 反覆設 y = x   {\displaystyle y=x\ } 、 y = 2 x   {\displaystyle y=2x\ } 、...、 y = x + x + ⋯ + x {\displaystyle y=x+x+\cdots +x} ，可以得到 f ( m x ) = m f ( x )   {\displaystyle f(mx)=mf(x)\ } ...(1) 設 x = y n {\displaystyle x={\frac {y}{n}}} 並代入(1)式得到： f ( y n ) = 1 n f ( y )   {\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ } 或者 f ( x n ) = 1 n f ( x )   {\displaystyle f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\ } ...(2) 對於任意有理數 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} ，設 y = m n x {\displaystyle y={\frac {m}{n}}x} ，根據(1)、(2)兩式可知： f ( m n x ) = m n f ( x )   {\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ } 上式又可改寫為 f ( α q ) = q f ( α ) ∀ q ∈ Q , α ∈ R   {\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ } 令 α = 1   {\displaystyle \alpha =1\ } 就可以得到在有理數下的唯一解。 以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形 y = f ( x )   {\displaystyle y=f(x)\ } 在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。 不失一般性，假設解f滿足 f ( q ) = q , ∀ q ∈ Q {\displaystyle f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q} } ，且能找到實數 α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } 滿足 f ( α ) ≠ α {\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha } ，同時設 f ( α ) = α + δ , δ ≠ 0 {\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0} 任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 為圓心，其中滿足 x , y ∈ Q , x ≠ y {\displaystyle x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y} 。令實數 r > 0 {\displaystyle r>0} 為半徑的 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}} 倍，即半徑為 5 r 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}} 。 令 β = y − x δ {\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}} ，存在一個有理數 b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} 滿足： | β − b | < r 2 | δ | {\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}} 類似地，存在一個有理數 a {\displaystyle a} 使得： | α − a | < r 2 | b | {\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}} 設實數X,Y滿足： X = x + b ( α − a )   {\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ } Y = f ( X )   {\displaystyle Y=f(X)\ } 從原方程和以上的關係式可以得知： Y = f ( x + b ( α − a ) )   {\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ } = f ( x ) + f ( b α ) − f ( b a )   {\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ } = x + b f ( α ) − b f ( a )   {\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ } = ( y − δ β ) + b ( α + δ ) − b a   {\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ } = y + b ( α − a ) − δ ( β − b )   {\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ } 由以上關係式可知 | X − x | < r 2 , | Y − y | < r {\displaystyle \left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r} ∴ ( X , Y )   {\displaystyle (X,Y)\ } 在指定的小圓內， 於是 ( X , Y )   {\displaystyle (X,Y)\ } 在原本較大的圓內； 即在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中任意給定的圓內皆包含 y = f ( x )   {\displaystyle y=f(x)\ } 圖形的一點； 即 y = f ( x )   {\displaystyle y=f(x)\ } 的圖形在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中稠密，得證。 另一方法：如f 不是线性函数，存在 U = ( u , f ( u ) ) , V = ( v , f ( v ) ) {\displaystyle U=(u,f(u)),V=(v,f(v))} 在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 独立。任取 X ∈ R 2 {\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{2}} , X = α U + β V {\displaystyle X=\alpha U+\beta V} , α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } 是有理数序列的极限, X {\displaystyle X} 是f 的图形的聚点。 與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合 α Q {\displaystyle \alpha \mathbb {Q} } 上也成立，其中 α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } （表示所有有理數乘上 α   {\displaystyle \alpha \ } 的積的集合，以下亦同） 我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。 在承認選擇公理的前提下，在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上存在一個 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的基底，也就是這樣的集合： A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } ，使得對於任何實數 x   {\displaystyle x\ } ，存在唯一的有限集合 { a 1 , … , a n } ⊂ A {\displaystyle \left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A} 以及唯一對應的 n {\displaystyle n} 個有理數 { λ 1 , … , λ n } {\displaystyle \left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\}} ，滿足： x = ∑ i = 1 n λ i a i {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}} 設想函數方程在實數集的子集 x Q , x ∈ A {\displaystyle x\mathbb {Q} ,x\in A} 上成立，即滿足 f ( y ) = g ( x ) y {\displaystyle f(y)=g(x)\,y} ，其中 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的有理數倍。 運用前面推導的結論，得到對任意實數滿足方程的函數： f ( x ) = ∑ i = 1 n g ( a i ) λ i a i {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}}} 對於所有 g : A → R {\displaystyle g:A\rightarrow \mathbb {R} } ，以上 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是函數方程的解。其中 f {\displaystyle f} 為線性的充要條件是 g {\displaystyle g} 是常數函數。 V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington 羅格斯大學 （页面存档备份，存于互联网档案馆）網站上的解法（英文） The Hunt for Addi(c)tive Monster （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）