等差数列

等差数列，又名算术数列（英語：Arithmetic sequence），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common difference）。 例如数列： 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。 如果一个等差数列的首项記作 a1，公差記作 d，那么该等差数列第 n 项 an 的一般項为： a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} 換句話說，任意一個等差数列 {an} 都可以寫成 { a , a + d , a + 2 d , ⋯ , a + ( n − 1 ) d } {\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}} 在一個等差數列中，給定任意兩相連項 an+1 和 an ，可知公差 d = a n + 1 − a n {\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}} 給定任意兩項 am 和 an ，則有公差 d = a m − a n m − n {\displaystyle d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}} 此外，在一個等差数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之和，為原來該項的兩倍。舉例來說，a1 + a3 = 2a2。 更一般地說，有： a n − 1 + a n + 1 = 2 a n {\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}} 證明如下： a n − 1 + a n + 1 = [ a + ( n − 2 ) d ] + ( a + n d ) = 2 a + ( 2 n − 2 ) d = 2 [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a n {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}} 證畢。 從另一個角度看，等差數列中的任意一項，是其前一項和後一項的算術平均： a n = a n − 1 + a n + 1 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}} 此結果從上面直接可得。 如果有正整數 m, n, p, q，使得 m + n = p + q {\displaystyle m+n=p+q} ，那么则有： a m + a n = a p + a q {\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}} 證明如下： a m + a n = [ a + ( m − 1 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] = 2 a + ( m + n − 2 ) d = 2 a + ( p + q − 2 ) d = [ a + ( p − 1 ) d ] + [ a + ( q − 1 ) d ] = a p + a q {\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}} 由此可將上面的性質一般化成： a n − k + a n + k = 2 a n {\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}} a n = a n − k + a n + k 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}} 其中 k 是一個小於 n 的整數。 給定一個等差數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} ，則有： { b + a n } {\displaystyle \{b+a_{n}\}} 是一個等差數列。 { b ⋅ a n } {\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}} 是一個等差數列。 { b a n } {\displaystyle \{b^{a_{n}}\}} 是一個等比數列。 { b a n } {\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}} 是一個等諧數列。 從等差數列的一般項可知，任意一個可以寫成 a n = p + q n {\displaystyle a_{n}=p+qn} 形成的數列，都是一個等差數列，其中公差 d = q，首項 a = p + q。 一個等差數列的首 n 項之和，稱為等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算術級數（arithmetic series），記作 Sn。 舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。 等差數列求和的公式如下： S n = n 2 ( a + a n ) = n 2 [ 2 a + ( n − 1 ) d ] = a n + d ⋅ n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}} 等差数列和在中文教科書中常表达为: 一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。 公式證明如下： 将等差數列和写作以下两种形式： S n = a + ( a + d ) + ( a + 2 d ) + ⋯ + [ a + ( n − 2 ) d ] + [ a + ( n − 1 ) d ] {\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]} S n = [ a n − ( n − 1 ) d ] + [ a n − ( n − 2 ) d ] + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n {\displaystyle S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}} 将两公式相加来消掉公差 d，可得   2 S n = n ( a + a n ) {\displaystyle \ 2S_{n}=n(a+a_{n})} 整理可得第一種形式。 代入 a n = a + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a+(n-1)d} ，可得第二種及第三種形式。 從上面的第三種形式展開可見，任意一個可以寫成 S n = p n + q n 2 {\displaystyle S_{n}=pn+qn^{2}} 形成的數列和，其原來數列都是一個等差數列，其中公差 d = 2q，首項 a = p + q。 一個等差數列的首 n 項之積，稱為等差数列積（product of arithmetic sequence），記作 Pn。 舉例來說，等差數列 {1, 3, 5, 7} 的積是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。 等差数列積的公式较為复杂，須以Γ函數表示： P n = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyle P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}} 證明如下： P n = a ⋅ ( a + d ) ⋅ ( a + 2 d ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a + ( n − 1 ) d ] = d n ⋅ ( a d ) ⋅ ( a d + 1 ) ⋅ ( a d + 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ [ a d + ( n − 1 ) ] = d n ⋅ ( a d ) n ¯ = d n ⋅ Γ ( a d + n ) Γ ( a d ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}} 這裡的 x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} 为 x 的 n 次上升阶乘幂，例子如 1.1 3 ¯ = 1.1 × 2.1 × 3.1 {\displaystyle 1.1^{\overline {3}}=1.1\times 2.1\times 3.1} 。 使用上面的例子，對於數列 {1, 3, 5, 7} ： P 4 = 2 4 ⋅ Γ ( 1 2 + 4 ) Γ ( 1 2 ) = 16 ⋅ 11.6317 … 1.77245 … = 105 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}} 結果相等。 序列 數列 級數 算術平均 等比數列 等諧數列 也有人使用arithmetic progression，簡稱A.P. Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.