常层

数学中，拓扑空间X上与集合A相关联的常层（constant sheaf）是X上的集合层，其茎全部等于A，记作 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} 或 A X {\displaystyle A_{X}} 。值为A的常预层（constant presheaf）是为X的每个开子集赋A值的预层，其所有限制映射都是恒等映射 A → A {\displaystyle A\to A} 。关联于A的常层是关联于A的常预层的层化。这个层等同于X上局部常的A-值函数的层。 有时，集合A可换成某范畴 C {\displaystyle {\textbf {C}}} 中的对象A（如 C {\displaystyle {\textbf {C}}} 是阿贝尔群范畴或交换环范畴）。 阿贝尔群的常层会作为系数出现于层上同调。 设X为拓扑空间，A为集合。常层 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} 在开集U上的截面可解释为连续函数 U → A {\displaystyle U\to A} ，其中A具有离散拓扑。若U连通，则这些局部常函数就是常的。若 f : X → { pt } {\displaystyle f:X\to \{{\text{pt}}\}} 是到单点空间的唯一映射，A被视作 { pt } {\displaystyle \{{\text{pt}}\}} 上的层，则逆像 f − 1 A {\displaystyle f^{-1}A} 是X上的常层 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} 。 A _ {\displaystyle {\underline {A}}} 的层空间是射影映射A（其中 X × A → X {\displaystyle X\times A\to X} 被赋予离散拓扑）。 设X是两点p、q组成的拓扑空间，具有离散拓扑。X有4个开集： ∅ , { p } , { q } , { p , q } {\displaystyle \varnothing ,\{p\},\{q\},\{p,q\}} 。图中显示了X的开集的5个非平凡包含。 X上的预层为X的每个开集选择一个集合，并为9个包含（5个非平凡，4个平凡）的每个选择一个限制映射。值为 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 的常预层（将表为F）选择4个集合均为 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} （整数集）、选择9个限制映射均为恒等映射。F是函子，因此也是预层，因为它是常的；其满足胶合公理，但不是层，因为在空集上局部恒等公理失效——空集被空集族覆盖：空集上F的任意两截面限制到空集族的任何集合都相等。因此，局部恒等公理意味着F在空集上的任意两截面都相等，但实际上并非如此。 类似地，在空集上满足局部恒等公理的预层G的构造如下。设 G ( ∅ ) = 0 {\displaystyle G(\varnothing )=0} ，其中0是单元集。在非空集合上，为G赋值 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 。对开集的每个包含，若较小的集合是空的，则G返回到0的唯一映射；否则，返回 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 上的恒等映射。 注意：由于空集的局部恒等公理，所有涉及空集的限制映射都是无趣的。这适用于任何满足空集局部恒等公理的预层，尤其适用于任何层。 G是分离预层（即满足局部恒等公理），但不满足胶合公理，这与F不同。 { p , q } {\displaystyle \{p,q\}} 被两开集 { p } ,   { q } {\displaystyle \{p\},\ \{q\}} 覆盖，交为空。 { p } {\displaystyle \{p\}} 或 { q } {\displaystyle \{q\}} 上的截面是 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 的元素，即是一个数。选择 { p } {\displaystyle \{p\}} 上的截面m、 { q } {\displaystyle \{q\}} 上的截面n，假定 m ≠ n {\displaystyle m\neq n} ；由于m、n在 ∅ {\displaystyle \varnothing } 上限制于同一个元素0，胶合公理要求在 G ( { p , q } ) {\displaystyle G(\{p,q\})} 上存在唯一截面s，其在 { p } {\displaystyle \{p\}} 上限制到m，在 { q } {\displaystyle \{q\}} 上限制到n。但由于 { p , q } {\displaystyle \{p,q\}} 到 { p } {\displaystyle \{p\}} 的限制映射是恒等映设，所以 s = m ,   s = n {\displaystyle s=m,\ s=n} ，于是有 m = n {\displaystyle m=n} ，自相矛盾。 G ( { p , q } ) {\displaystyle G(\{p,q\})} 太小了，无法同时携带 { p } {\displaystyle \{p\}} 、 { q } {\displaystyle \{q\}} 的信息。设 H ( { p , q } ) = Z ⊗ Z {\displaystyle H(\{p,q\})=\mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z} } ，就可以将其放大以满足胶合公理。令 π 1 {\displaystyle \pi _{1}} 、 π 2 {\displaystyle \pi _{2}} 为两射影映射 Z ⊗ Z → Z {\displaystyle \mathbf {Z} \otimes \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} } ；定义 H ( { p } ) = im ( π 1 ) = Z {\displaystyle H(\{p\})={\text{im}}(\pi _{1})=\mathbf {Z} } ， H ( { q } ) = im ( π 2 ) = Z {\displaystyle H(\{q\})={\text{im}}(\pi _{2})=\mathbf {Z} } 。对剩下的开集和包含，令 H = G {\displaystyle H=G} 。H是X上的常层，值为 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 。由于 Z {\displaystyle {\textbf {Z}}} 是环，且所有限制映射都是环同态，所以H是交换环层。 局部常层 Does the extension by zero sheaf of the constant sheaf have some nice description?. Mathematics Stack Exchange. [2022-07-08]. （原始内容存档于2022-09-24） （英语）.  Section II.1 of Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York: Springer-Verlag, 1977, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157  Section 2.4.6 of Tennison, B.R., Sheaf theory, 1975, ISBN 978-0-521-20784-3