毕奥-萨伐尔定律

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」；源變數的標記的後面有單撇號「 ′ {\displaystyle '\,\!} 」。 在靜磁學裏，必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）以方程式描述，電流在其周圍所產生的磁場。採用靜磁近似，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當載流導線緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關。必歐-沙伐定律是以法國物理學者让-巴蒂斯特·毕奥與菲利克斯·沙伐命名。 必歐-沙伐定律表明，假設源位置為 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的微小線元素 d ℓ ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'} 有電流 I {\displaystyle I} ，則 d ℓ ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'} 作用於場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 的磁場為 d B = μ 0 I 4 π d ℓ ′ × r − r ′ | r − r ′ | 3 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} ； 其中， d B {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {B} } 是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場）， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數。 已知電流密度 J ( r ′ ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')} ，則有： B ( r ) = μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ ) × r − r ′ | r − r ′ | 3   d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\ \mathrm {d} ^{3}{r}'} ； 其中， d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'} 為微小體積元素， V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 是積分的體積。 在流体力学中，以渦度對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算渦線（vortex line）導出的速度。 必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制，用方程式表示， B ( r ) = μ 0 I 4 π ∫ L ′ d ℓ ′ × r − r ′ | r − r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\mathbb {L} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}} ； 其中， I {\displaystyle I} 是源電流， L ′ {\displaystyle \mathbb {L} '} 是積分路徑， d ℓ ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'} 是源電流的微小線元素。 應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的疊加原理成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於電場和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組線性微分方程式的解答。更明確地說，它們是馬克士威方程組的解答。 當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 的積分方程式： B ( r ) = μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ ) × r − r ′ | r − r ′ | 3 d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'} ； 其中， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度， d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}r'} 是微小體積元素。 必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於庫侖定律之於靜電學。必歐-沙伐定律和安培定律的關係，則如庫侖定律之於高斯定律。 假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用傑斐緬柯方程式。 由於點電荷的運動不能形成電流，所以，必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷 q {\displaystyle q} 以等速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 移動，在時間 t {\displaystyle t} 的位置為 w = v t {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} t} 。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場： E = q 4 π ϵ 0 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v 2 sin 2 ⁡ θ / c 2 ) 3 / 2 r − w | r − w | 3 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}} 、 B = v × 1 c 2 E {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {v} \times {\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} } ； 其中， θ {\displaystyle \theta } 是 v {\displaystyle \mathbf {v} } 和 r − w {\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {w} } 之間的夾角。 當 v 2 ≪ c 2 {\displaystyle v^{2}\ll c^{2}} 時，電場和磁場可以近似為 E = q 4 π ϵ 0   r − w | r − w | 3 {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}} 、 B = μ 0 q v 4 π × r − w | r − w | 3 {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q\mathbf {v} }{4\pi }}\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {w} }{|\mathbf {r} -\mathbf {w} |^{3}}}} 。 這方程式最先由奧利弗·黑維塞於1888年推導出來，稱為必歐-沙伐點電荷定律。 這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出安培定律和高斯磁定律。若想查閱此證明，請點選「顯示」。 狹義相對論 向量分析 散度定理 安培律 Jackson, John David. Classical Electrodynamics 3rd ed. New York: Wiley. 1999. Chapter 5. ISBN 0-471-30932-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律. 台灣: 天下文化書. 2008: pp. 142–144. ISBN 978-986-216-231-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)