博雷爾求和

博雷尔, 在他還是一個默默無名的年輕人時，就發現了他的求和方法，而且還可以對許多經興的發散級數給出「正確」的答案。於是，他決心到斯德哥爾摩拜會當時走在複分析領域前沿的哥斯塔·米塔-列夫勒。米塔-列夫勒禮貌地接見了他，聽完博雷爾的說話，然後按手在他老師魏尔斯特拉斯完整的文稿上，用拉丁語說：「大師禁止了它。」 馬克·卡茨（英语：Mark Kac）, 引用自Reed & Simon (1978，第38頁) 在數學上，博雷爾求和（英語：Borel summation）是一種发散级数的求和方法。這種求和法是由埃米尔 博雷尔 （1899）提出的，在處理發散的渐近展开時尤其有用。博雷爾和有時也會以其他形式出現，它的一般推廣是米塔-列夫勒和。 博雷爾求和大致上有兩種形式，它們僅在適用範圍上有差異；但整體上兩個方法是一致的，意思是，只要能適用於同一級數，則它們必定得到同樣的答案。 設A(z)是z的一個形式冪級數 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} ， 則定義A的博雷爾變換為其等價冪級數 B A ( t ) ≡ ∑ k = 0 ∞ a k k ! t k {\displaystyle {\mathcal {B}}A(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}t^{k}} 。 設An(z)為下列部分和： A n ( z ) = ∑ k = 0 n a k z k {\displaystyle A_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}} 。 博雷爾和的一種較弱的形式定義A的博雷爾和為 lim t → ∞ e − t ∑ n = 0 ∞ t n n ! A n ( z ) {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A_{n}(z)} 。 若此極限在某個z ∈ C時收斂至a(z)，則稱A的弱博雷爾和收斂於z，並記為 ∑ a k z k = a ( z ) ( w B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})} . 假設上述的博雷爾變換在實數上收斂，且下列的反常積分有意義，則A的博雷爾和定義為 ∫ 0 ∞ e − t B A ( t z ) d t . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(tz)\,dt.} 若積分在某個z ∈ C時收斂於a(z)，則稱A的博雷爾和在z收斂，並記為 ∑ a k z k = a ( z ) ( B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})} 。 實際上，積分求和法的條件中，博雷爾變換無需對所有t都收斂，只需在0附近收斂為t的一個解析函數，且它在正半軸上解析連續即可。 (B)和(wB)兩者都是正定的求和法，意味着若A(z)收斂，則博雷爾和與弱博雷爾和兩者都會收斂，並且其值等於原級數的值，亦即： ∑ k = 0 ∞ a k z k = A ( z ) < ∞ ⇒ ∑ a k z k = A ( z ) ( B , w B ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=A(z)<\infty \quad \Rightarrow \quad {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=A(z)\,\,({\boldsymbol {B}},\,{\boldsymbol {wB}})} 。 (B)的正定性容易由下式看出，若A(z)在z收斂，則 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k = ∑ k = 0 ∞ a k ( ∫ 0 ∞ e − t t k d t ) z k k ! = ∫ 0 ∞ e − t ∑ k = 0 ∞ a k ( t z ) k k ! d t {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a^{k}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{k}dt\right){\frac {z^{k}}{k!}}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\frac {(tz)^{k}}{k!}}dt} ， 其中最右式正是原級數在z處的博雷爾和。 (B)和(wB)的正定性代表了此方法可以提供A(z)的解析延拓。 對任意的級數A(z)，若它在z ∈ C處是弱博雷爾可求和的，則必定是博雷爾可求和的。然而，可以構造 一個例子，使得其弱博雷爾和發散，但博雷爾和收斂。以下的定理表明了兩者的等價性。 定理 (Hardy 1992，8.5) 設A(z) 是一個形式冪級數，並限定z ∈ C，則： 若 ∑ a k z k = a ( z ) ( w B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})} ，則 ∑ a k z k = a ( z ) , ( B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z),({\boldsymbol {B}})} 。 若 ∑ a k z k = a ( z ) ( B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {B}})} ，且 lim t → ∞ e − t B A ( z t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}{\mathcal {B}}A(zt)=0} ，則 ∑ a k z k = a ( z ) ( w B ) {\displaystyle {\textstyle \sum }a_{k}z^{k}=a(z)\,({\boldsymbol {wB}})} 。 (B) 是米塔-列夫勒求和法在α = 1時的特殊情況。 (wB) 可視為廣義歐拉求和法(E,q) 一個有限制的形式，其中 q → ∞ {\displaystyle q\rightarrow \infty } 。 考慮幾何級數 y ( z ) = ∑ k = 0 ∞ z k {\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}} 當 |z| < 1時，收斂到 1/(1 − z)。它的博雷爾變換為 B y ( t ) ≡ ∑ k = 0 ∞ 1 k ! t k = e t {\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}t^{k}=e^{t}} 因此，上述級數的博雷爾和為 ∫ 0 ∞ e − t B y ( t z ) d t = ∫ 0 ∞ e − t e t z d t = 1 1 − z {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t}e^{tz}\,dt={\frac {1}{1-z}}} 然而，這個積分能在更大的範圍 Re(z) <  1 內收斂到 1/(1 − z)，也就是原級數的和。 另外，對原級數使用弱博雷爾求和法，則其部分和為AN(z) = (1-zN+1)/(1-z)，因此其弱博雷爾和為 lim t → ∞ e − t ∑ n = 0 ∞ 1 − z n + 1 1 − z t n n ! = lim t → ∞ e − t 1 − z ( e t − z e t z ) = 1 1 − z {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}{\frac {t^{n}}{n!}}=\lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {e^{-t}}{1-z}}{\big (}e^{t}-ze^{tz}{\big )}={\frac {1}{1-z}}} ， 同樣在Re(z) < 1時收斂。這個結論可以由等價定理的第二部分看出，因為對Re(z) < 1， lim t → ∞ e − t ( B A ) ( z t ) = e t ( z − 1 ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{-t}({\mathcal {B}}A)(zt)=e^{t(z-1)}=0} 。 級數 y ( z ) = ∑ k = 0 ∞ k ! ( − 1 ⋅ z ) k {\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }k!\left(-1\cdot z\right)^{k}} 對任意非零的 z 都發散。它的博雷爾變換為 B y ( t ) ≡ ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ⋅ t ) k = 1 1 + t {\displaystyle {\mathcal {B}}y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }\left(-1\cdot t\right)^{k}={\frac {1}{1+t}}} 對任意的|t| < 1 都成立，且於  t ≥ 0 上解析連續。 因此，上述級數的博雷爾和為 ∫ 0 ∞ e − t B y ( t z ) d t = ∫ 0 ∞ e − t 1 + t z d t = 1 z ⋅ e 1 z ⋅ Γ ( 0 , 1 z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}{\mathcal {B}}y(tz)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{1+tz}}\,dt={\frac {1}{z}}\cdot e^{\frac {1}{z}}\cdot \Gamma \left(0,{\frac {1}{z}}\right)} （其中Γ是指不完全Γ函數） 這個廣義積分對任意的 z ≥ 0 都收斂，所以原來的發散級數是對任意這樣的 z 博雷爾可求和的. 這個函數實際上是當 z 趨近於 0 時，原發散級數的一個漸近展開。從這個例子可見，一些發散的級數，亦有可能以博雷爾求和的方式求出“正確”的發散漸近展開式。 以下是(Hardy 1992，8.5)所給出的例子的一個擴展。考慮 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ l = 0 ∞ ( − 1 ) l ( 2 l + 2 ) k ( 2 l + 1 ) ! ) z k . {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}.} 交換求和的順序後，上式的博雷爾變換為 B A ( t ) = ∑ l = 0 ∞ ( ∑ k = 0 ∞ ( ( 2 l + 2 ) t ) k k ! ) ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = ∑ l = 0 ∞ e ( 2 l + 2 ) t ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = e t ∑ l = 0 ∞ ( e t ) 2 l + 1 ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = e t sin ⁡ ( e t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}A(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\big (}(2l+2)t{\big )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin \left(e^{t}\right).\end{aligned}}} 在 z = 2 處，可求得博雷爾和為 ∫ 0 ∞ e t sin ⁡ ( e 2 t ) d t = ∫ 1 ∞ sin ⁡ ( u 2 ) d u = π 8 − S ( 1 ) < ∞ , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})du={\frac {\sqrt {\pi }}{8}}-S(1)<\infty ,} 其中 S(x) 表示菲涅耳積分。於是上述博雷爾積分對任意z ≤ 2 都收儉（但顯然積分對 z > 2發散）。 至於求弱博雷爾和時，注意到 lim t → ∞ e ( z − 1 ) t sin ⁡ ( e z t ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }e^{(z-1)t}\sin \left(e^{zt}\right)=0} 僅對 z < 1 成立，因此，實際上求得的弱博雷爾和只在一個較小的範圍內收斂。 發散級數 切薩羅求和 拉馬努金求和 Hardy, G. 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