位移場

力學中的位移場是指物體當中的所有點，其位移向量所組成的向量場。位移向量以一個點或是粒子原來的位置為準，標明其新的位置。例如，固體形變的效果就可以用位置場來表示。 在考慮位移之前，需要定義形變之前的狀態。此狀態下，所有點的座標都知道，而且可以用以下函數描述： R → 0 : Ω → P {\displaystyle {\vec {R}}_{0}:\Omega \to P} 其中 R → 0 {\displaystyle {\vec {R}}_{0}} 是位移向量 Ω {\displaystyle \Omega } 是物體的所有點 P {\displaystyle P} 是物體的所有點在空間中的位置。 此一狀態也常常是沒有外力的狀態。 給定物體的其他狀態，其中所有點的座標可以用 R → 1 {\displaystyle {\vec {R}}_{1}} 來描述，則二個物體狀態之間的位移場為： u → = R → 1 − R → 0 {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {R}}_{1}-{\vec {R}}_{0}} 其中 u → {\displaystyle {\vec {u}}} 是位移場，物體的每一個點都有一個對應的位移向量。 物體的位移可以分為二個分量：剛體位移以及形變。 剛體位移包括物體的平移或旋轉，物體的形狀、大小都維持不變。 形變表示物體形狀或大小的變化，從未形變的組態 κ 0 ( B ) {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} 變成形變後的組態 κ t ( B ) {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} 。 連續體組態的變化可以用位移場來描述。位移場是物體中所有點的位移向量組合成的場，可以找到形變後組態和形變前組態之間的關係。物體中二點之間的距離改變，若且唯若物體出現形變。若物體有位移，但沒有形變，即為剛體運動。 依照Lagrange描述法及Eulerian描述法，可以定義兩種位移梯度張量。 粒子i的位移可以表示為下式。未變形組態 P i {\displaystyle P_{i}} 的粒子，在變形組態 p i {\displaystyle p_{i}} ，其位移向量為 p i − P i {\displaystyle p_{i}-P_{i}} ，以下表示為 u i {\displaystyle u_{i}} 或 U i {\displaystyle U_{i}} 。 用 X {\displaystyle \mathbf {X} } 代替 P i {\displaystyle P_{i}} ，用 x {\displaystyle \mathbf {x} } 代替 p i {\displaystyle p_{i}\,\!} ，這二個都是從坐標系統原點到對應點的向量，可得位移向量的Lagrangian描述法： u ( X , t ) = u i e i {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}} 其中 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 是定義空間（局部参考框架（英语：lab frame））坐標系統基的正交單位向量。 若用物質坐標表示位移場， u {\displaystyle \mathbf {u} } 會是 X {\displaystyle \mathbf {X} } 的函數，位移場是： u ( X , t ) = b ( t ) + x ( X , t ) − X or u i = α i J b J + x i − α i J X J {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}} 其中 b ( t ) {\displaystyle \mathbf {b} (t)} 是表示剛體移動的位移向量。 位移向量相對物質坐標的偏导数可得物質位移梯度張量 ∇ X u {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!} 。可得 ∇ X u = ∇ X x − R = F − R or ∂ u i ∂ X K = ∂ x i ∂ X K − α i K = F i K − α i K {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\alpha _{iK}=F_{iK}-\alpha _{iK}} 其中 F {\displaystyle \mathbf {F} } 是物質位移梯度張量，而 R {\displaystyle \mathbf {R} } 為旋轉。 在Eulerian描述法下，未變形組態的粒子 P {\displaystyle P} ，延伸到其變形組態的向量為位移向量： U ( x , t ) = U J E J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}} 其中 E i {\displaystyle \mathbf {E} _{i}} 是定義物質坐標系統的基的正交單位向量。 若用空間坐標表示位移場， U {\displaystyle \mathbf {U} } 會是 x {\displaystyle \mathbf {x} } 的函數，位移場是： U ( x , t ) = b ( t ) + x − X ( x , t ) or U J = b J + α J i x i − X J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}} 空間導數，也就是位移向量相對空間坐標的偏导数，即為空間位移梯度張量 ∇ x U {\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!} ，可得 ∇ x U = R T − ∇ x X = R T − F − 1 or ∂ U J ∂ x k = α J k − ∂ X J ∂ x k = α J k − F J k − 1 , {\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,} 其中 F − 1 = H {\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} } 空間位移梯度張量。 α J i {\displaystyle \alpha _{Ji}} 是物質坐標和空間坐標的單位向量 E J {\displaystyle \mathbf {E} _{J}} 及 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!} 的方向餘弦，因此 E J ⋅ e i = α J i = α i J {\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}} u i {\displaystyle u_{i}} 和 U J {\displaystyle U_{J}} 的關係為 u i = α i J U J or U J = α J i u i {\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}} 已知 e i = α i J E J {\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}} 因此 u ( X , t ) = u i e i = u i ( α i J E J ) = U J E J = U ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)} 常常會疊合變形組態及未變形組態的坐標系統，是在 b = 0 {\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!} 下的結果，而方向餘弦變成克罗内克δ函数 E J ⋅ e i = δ J i = δ i J {\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}} 在材料（未變形）的坐標裡，位移可以表示為： u ( X , t ) = x ( X , t ) − X or u i = x i − δ i J X J {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}} 在空間（已變形）的坐標裡，位移可以表示為： U ( x , t ) = x − X ( x , t ) or U J = δ J i x i − X J {\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}} 應力 应变 (物理学) Continuum Mechanics - Kinematics. School of Engineering. Brown University. [2018-07-25]. （原始内容存档于2024-05-07）.  2.080 Lecture 3: The Concept of Stress, Generalized Stresses and Equilibrium (PDF). MIT OpenCourseWare. [2018-07-25]. （原始内容存档 (PDF)于2022-02-05）.