图论术语

图论中有许多专有名词，此处总结了一些名词的一般意义和用法。 一个图（一般记作 G {\displaystyle G} ）由两类元素构成，分别称为“顶点”（或节点、结点）和“边”。每条边有两个顶点作为其端点，我们称这条边“连接”了它的两个端点。因此，边可定义为由两个顶点构成的集合（在有向图中为有序对，见下文“方向”一节）。 图也可以用其他模型来表示，如定义在顶点集合上的二元布尔函数，或者方形(0,1)-矩阵。 顶点或边上有标号的图称为有标号的，否则为无标号的。它们的区别在于，无标号的图并没有为顶点或边指定一个特定的顺序。 图的标号一般指按某一规则为图的顶点或边指定一个标号。标号通常是自然数，且一般互不相同。 一个超边是允许连接任意多个（可以多于两个）顶点的“边”。含有超边的“图”称为超图。边可视为恰连接两个顶点的超边，因此图可视为一种特殊的超图。 空图或秃图是没有边的图。 如果一个图有无穷多的顶点和/或边，则称其为无穷的，否则为有穷的。如果一个图是无穷的，但每个顶点的度（见下）是有限的，则称为局部有穷的。一般假定“图”指有穷图。 两个图 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} ，如果存在 V ( G ) {\displaystyle V(G)} 与 V ( H ) {\displaystyle V(H)} 之间的一一对应，使得图 G {\displaystyle G} 中两个顶点相连当且仅当它们在图 H {\displaystyle H} 中的对应顶点相连，则称图 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} 同构，记作 G ≃ H {\displaystyle G\simeq H} 。类似地，如果仅仅是 V ( G ) {\displaystyle V(G)} 到 V ( H ) {\displaystyle V(H)} 的映射而不一定是一一对应，则称此映射是 G {\displaystyle G} 到 H {\displaystyle H} 的同态。 图论中最有名图之一。 一条边一般表示为连接其两个端点的曲线。以两个顶点 u {\displaystyle u} 、 v {\displaystyle v} 为端点的边一般记作 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 、 { u , v } {\displaystyle \{u,v\}} 或 u v {\displaystyle uv} 。一条边连接两个顶点u、v时，称u与v相邻。图 G {\displaystyle G} 的边集一般记作 E ( G ) {\displaystyle E(G)} ，当不发生混淆时可简记为 E {\displaystyle E} 。 图 G {\displaystyle G} 的补图 G ¯ {\displaystyle {\bar {G}}} 是这样一的图，它的点集与 G {\displaystyle G} 相同，而每条边 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 存在于 G ¯ {\displaystyle {\bar {G}}} 中当且仅当它不存在于 G {\displaystyle G} 中。 一个顶点一般表示为一个点或小圆圈。一个图 G {\displaystyle G} 的顶点集（点集）一般记作 V ( G ) {\displaystyle V(G)} ，当不发生混淆时可简记为 V {\displaystyle V} 。图 G {\displaystyle G} 的阶为其顶点数目，亦即| V ( G ) {\displaystyle V(G)} |。 若两个点之间有一条边，则这两个点相邻。关联一个点 v {\displaystyle v} 的边的条数称为是 v {\displaystyle v} 度数（degree）或价（valency）。特别的，若 G {\displaystyle G} 不是多重图时，它等于这一点的邻点个数。 一个顶点被称作孤立顶点，当它的度数为 0 {\displaystyle 0} 。 G {\displaystyle G} 的最小度记为 δ ( G ) := m i n { d ( v ) | v ∈ V } {\displaystyle \delta (G):=min\left\{d(v)|v\in V\right\}} G {\displaystyle G} 的最大度记为 Δ ( G ) := m a x { d ( v ) | v ∈ V } {\displaystyle \Delta (G):=max\left\{d(v)|v\in V\right\}} G {\displaystyle G} 的平均度记为 d ( G ) := ∑ v ∈ V d ( v ) | V | {\displaystyle d(G):={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}} 称 G {\displaystyle G} 为k-正则的，当 G {\displaystyle G} 的所有顶点都有相同的顶点度k。特别的，3-正则图被称作立方图。 一個圖的獨立集是圖中一些兩兩不相鄰的頂點所形成的集合。 图G是二分图当且仅当它的点集V能被划分成两块X和Y，使得对于G中的任意一条边，它有一个端点属于X而另一个端点属于Y。 看环（图论）。 距离是两个顶点之间经过最短路径的边的数目，通常用 d G ( u , v ) {\displaystyle d_{G}(u,v)} 表示。 顶点 v {\displaystyle v} 的偏心率（eccentricity），用来表示连接图 G {\displaystyle G} 中的顶点 v {\displaystyle v} 到图 G {\displaystyle G} 中其它顶点之间的最大距离，用符号 ϵ G ( v ) {\displaystyle \epsilon _{G}(v)} 表示。 图的直径（diameter），表示取遍图的所有顶点，得到的偏心率的最大值，记作 d i a m ( G ) {\displaystyle diam(G)} 。相对于直径的一个概念是图的半径（radius），表示图的所有点的偏心率的最小值，记作 r a d ( G ) {\displaystyle rad(G)} 。这两者间的关系是： d i a m ( G ) ⩽ 2 r a d ( G ) {\displaystyle diam(G)\leqslant 2rad(G)} 图论中著名的问题。 称 G {\displaystyle G} 是连通的，如果非空图 G {\displaystyle G} 的任意两个顶点之间均有一条路相连。 称 G {\displaystyle G} 是k-连通的，如果非空图 G {\displaystyle G} 的任意两个顶点之间都有 k {\displaystyle k} 条独立路相连。k-连通的的另外一个定义是：若 ∣ G ∣> k ∈ N {\displaystyle \mid G\mid >k\in \mathbb {N} } ,且对任意满足 | X | < k {\displaystyle |X|<k} 的子集 X ⊆ V {\displaystyle X\subseteq V} 均有 G − X {\displaystyle G-X} 是连通的，则称 G {\displaystyle G} 是k-连通的。由门格尔定理，易知这两个定义是等价的。通过k-连通的概念，定义使得 G {\displaystyle G} 是k-连通的最大整数 k {\displaystyle k} 称作 G {\displaystyle G} 的连通度。 类似的，还可以引入k-边连通的概念：称一个 ∣ G ∣ {\displaystyle \mid G\mid } 的图 G {\displaystyle G} 是k-边连通的，如果对任意一个满足 ∣ F ∣< k {\displaystyle \mid F\mid <k} 的边的集合 F {\displaystyle F} ， G − F {\displaystyle G-F} 均是连通的。同样， G {\displaystyle G} 的边连通度是使得 G {\displaystyle G} 是k-边连通的最大整数。 计算机科学中最有名的问题之一。 一笔画问题、也看哈密尔顿环。 库拉托夫斯基定理描述了有点平面图。有名的欧拉公式也说：V-E+F=2. 这是欧拉示性数。 路径（walk），又译作途径。一个长度为 k {\displaystyle k} 的路径是一个非空的顶点和边的交错序列 v 0 e 0 v 1 e 1 . . . e k − 1 v k {\displaystyle v_{0}e_{0}v_{1}e_{1}...e_{k-1}v_{k}} ，使得对于所有 i < k {\displaystyle i<k} 均有 e i = v i v i + 1 {\displaystyle e_{i}={v_{i}v_{i+1}}} 。特别的，当 v 0 = v k {\displaystyle v_{0}=v_{k}} 时，称这个路径是闭的（closed）；当路径中的顶点互不相同，得到 G {\displaystyle G} 的一条路。 连通无圈图称为树，一般记为T。其中，度数为1的顶点称为叶子，否则称为内点。有时我们会从树中选出一个顶点作为特殊顶点，称之为根以示区分，此时称此树为有根树。有根树常作为有向无环图来处理。 树T的连通子图称为T的子树。 树也是一个团的森林。 无环（不一定连通）图称为森林，森林F的子图称为F的子森林。 如果图G的一个生成子图是树，则称该子图为生成树。 星是仅有一个顶点不是叶子的树。星也可以表示为完全二分图K1,n。 图中的团是由图中两两相邻的顶点构成的集合。 完全图是所有顶点两两相邻的图。n阶完全图，记作Kn。如图所示为K5。n阶完全图有n(n-1)/2条边。 重要的计算机科学、最优化理论、与算法学的题目。也看最大流最小割定理。 圍長定義為圖所包含的最短環長，也被称为"girth"。 兩頂點相鄰，意思是之間有一條邊。 看以上的树术语。 一个自环是两个端点为同一顶点的边。如果有多于一条边连接同一对顶点，则它们均被称为重边。一个图的重数是重复次数最多的边的重复次数。如果一个图不含自环或重边，则称为简单图。多数情况下，如无特殊说明，可以假定“图”总是指简单图。 图着色问题包含四色定理，数学中最有名的问题之一。现代的证明用电脑、文章很长。 两个图G和H，如果V(H)是V(G)的子集且E(H)是E(G)的子集（当然，E(H)中只能包含将V(H)中的顶点相连的边）则称H是G的子图。如果图G和H不相等，即V(H)是V(G)的真子集或E（H）是E（G）的真子集，则称H是G的真子图。如果H是G的子图或者存在一个G的子图与H同构，则称G包含H。 如果图G的子图H满足V(H)=V(G)，即图H包含图G的所有顶点，则称H是G的支撑子图或生成子图。 如果图G的子图H满足边(u,v)在图H中当且仅当边(u,v)在图G中，即图H包含了图G中所有两个端点都在V(H)中的边，则称H是G的导出子图。 对于图的某个性质而言，如果图G具有此性质而G的任一真子图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极小图。类似地，如果图G具有此性质而任一以G为真子图的图都不具有此性质，则称G是具有该性质的极大图。 重要的计算机科学、与算法学的题目。也看Dijkstra算法、Kruskal算法、等。 彼得森定理 布鲁克斯定理 柯尼格引理 柯尼格定理 (圖論)（英语：Kőnig's theorem (graph theory)） 库拉托夫斯基定理 拉姆齐定理（而且看拉姆齐理论） 门格尔定理（Menger's Theorem） 图特定理 Vizing定理 最大流最小割定理 代数图论 看以上的平面图。 R.Diestel. 图论 第四版. 高等教育出版社. : 10.  图 图论 图论话题列表 数学 离散数学 组合数学 算法 计算机科学 最优化 人工智能（神经网格） 连接组（承现峻，connectome） 网格科学 费曼图（Feynman diagram、物理、量子力学、统计力学）