微分形式

微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子，并且可以在f定义域内的一个区间[a, b]上进行积分： ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.} 类似地，表达式f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz是2-形式的一种，它在可定向曲面S上有曲面积分: ∫ S f ( x , y , z ) d x ∧ d y + g ( x , y , z ) d z ∧ d x + h ( x , y , z ) d y ∧ d z . {\displaystyle \int _{S}f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz.} 符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是k次齐次的。 我们从Rn中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数f. 当我们在Rn的m-维子空间S上对函数f积分时，我们将积分写作： ∫ S f d x 1 … d x m . {\displaystyle \int _{S}f\,dx_{1}\ldots dx_{m}.} 把dx1, ..., dxn当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负−dx1, ..., −dxn叫做基本1-形式。 我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件： 对所有i,j d x i ∧ d x j = − d x j ∧ d x i {\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}} 注意这意味着 d x i ∧ d x i = 0 {\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=0} . 我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积 d x i ∧ d x j ∧ d x k {\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}} 的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式'k-形式为一个0-形式乘以一个基本的k-形式，定义k-形式为一些单项式k-形式的和。 楔积可以推广到这些和上： ( f d x I + g d x J ) ∧ ( p d x K + q d x L ) = {\displaystyle (f\,dx_{I}+g\,dx_{J})\wedge (p\,dx_{K}+q\,dx_{L})=} f ⋅ p d x I ∧ d x K + f ⋅ q d x I ∧ d x L + g ⋅ p d x J ∧ d x K + g ⋅ q d x J ∧ d x L , {\displaystyle f\cdot p\,dx_{I}\wedge dx_{K}+f\cdot q\,dx_{I}\wedge dx_{L}+g\cdot p\,dx_{J}\wedge dx_{K}+g\cdot q\,dx_{J}\wedge dx_{L},} 等等，这里dxI和类似的项表示k-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。 现在，我们来定义光滑流形上的k-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个k-形式；一个全局的k-形式就是一组坐标领域上的k-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。 若f, g,w为任意微分形式，则 w ∧ ( f + g ) = w ∧ f + w ∧ g . {\displaystyle w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.} 若f为k-形式，g为l-形式： f ∧ g = ( − 1 ) k l g ∧ f . {\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f.} 在微分几何中，k阶微分k-形式是一个流形的余切丛的k阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点p,一个k-形式给出一个从切空间的k阶笛卡儿幂（cartesian power）到R的多线性映射。 例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。 1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。 k阶微分形式可以在k维链（chain）上积分。若k = 0,这就是函数在点上的取值。其他的k = 1, 2, 3, ...对应于线积分，曲面积分，体积分等等。 设 ω = ∑ a i 1 , ⋯ , i k ( x ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}} 为一微分形式，设S为一个我们想在其上积分的集合，其中S有参数化形式 S ( u ) = ( x 1 ( u ) , ⋯ , x n ( u ) ) {\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))} u属于参数域D。则[Rudin, 1976]定义S上微分形式的积分为 ∫ S ω = ∫ D ∑ a i 1 , ⋯ , i k ( S ( u ) ) ∂ ( x i 1 , ⋯ , x i k ) ∂ ( u 1 , ⋯ , u k ) d u {\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,d{\mathbf {u} }} 其中 ∂ ( x i 1 , ⋯ , x i k ) ∂ ( u 1 , ⋯ , u k ) {\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}} 是雅可比矩阵的行列式。 参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。 一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用d表示），和李导数。d2 = 0,细节请见德拉姆上同调。 外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。 Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.  Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.