对数恒等式

在数学中，有许多对数恒等式。 对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。 同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。 log θ ⁡ x = log ϕ ⁡ x log ϕ ⁡ θ {\displaystyle \log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}} 在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有ln和log10的按钮，但却没有 log 2 {\displaystyle \log _{2}} 的。要计算 log 2 ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \log _{2}(3)} ，只有计算 log 10 ⁡ ( 3 ) log 10 ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}} 。 这个公式有许多推论： log a ⁡ b = 1 log b ⁡ a {\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}} log a n ⁡ b = log a ⁡ b n {\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}} a log b ⁡ c = c log b ⁡ a {\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}} log a 1 ⁡ b 1 ⋯ log a n ⁡ b n = log a π ( 1 ) ⁡ b 1 ⋯ log a π ( n ) ⁡ b n , {\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,} π ( n ) {\displaystyle {\pi (n)}} 是下标 1 , … , n {\displaystyle 1,\ldots ,n} 的任意的排列。例如 log a ⁡ w ⋅ log b ⁡ x ⋅ log c ⁡ y ⋅ log d ⁡ z = log d ⁡ w ⋅ log a ⁡ x ⋅ log b ⁡ y ⋅ log c ⁡ z . {\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,} 下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用： log θ ⁡ ( X ± Υ ) = log θ ⁡ X + log θ ⁡ ( 1 ± Υ X ) {\displaystyle \log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)} 注意 log b ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \log _{b}(0)\!\,} 无定义，因为没有一个数 x {\displaystyle x\!\,} 使 b x = 0 {\displaystyle b^{x}=0\!\,} 成立。 lim x → 0 + log a ⁡ x = − ∞ if  a > 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1} lim x → 0 + log a ⁡ x = ∞ if  a < 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1} lim x → ∞ log a ⁡ x = ∞ if  a > 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1} lim x → ∞ log a ⁡ x = − ∞ if  a < 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1} lim x → 0 + x b log a ⁡ x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0} lim x → ∞ 1 x b log a ⁡ x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0} 最后一个极限经常被总结为“ x {\displaystyle x} 的对数增长得比 x {\displaystyle x} 的任何次方或方根都慢”。 d d x ln ⁡ x = 1 x = ln ⁡ e x {\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}} ln ⁡ x = ∫ 1 x 1 t d t {\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt} ∫ log a ⁡ x d x = x ( log a ⁡ x − log a ⁡ e ) + C {\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C} 为了记忆积分，可以方便的定义： x [ n ] = x n ( log ⁡ ( x ) − H n ) {\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})} x [ 0 ] = log ⁡ x {\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x} x [ 1 ] = x log ⁡ ( x ) − x {\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x} x [ 2 ] = x 2 log ⁡ ( x ) − 3 2 x 2 {\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}} x [ 3 ] = x 3 log ⁡ ( x ) − 11 6 x 3 {\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}} 于是， d d x x [ n ] = n x [ n − 1 ] {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}} ∫ x [ n ] d x = x [ n + 1 ] n + 1 + C {\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C} 对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数 2 32582657 − 1 {\displaystyle 2^{32582657}-1} 的近似值。先取对数（ − 1 {\displaystyle -1} 被忽略）， 2 32582657 {\displaystyle 2^{32582657}} 以10为底的对数等于 32,582,657 与 log 10 ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \log _{10}(2)} 的乘积，计算得到 9808357.09543 = 9808357 + 0.09543 {\displaystyle 9808357.09543=9808357+0.09543} 。再取指数消去对数，得到最后结果为 10 9808357 × 10 0.09543 ≈ 1.25 × 10 9808357 {\displaystyle 10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}} . 类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。 或 ln ⁡ ( 3 ) ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\ln(3)}{\ln(2)}}} ，两者结果一样 在使用时如果 X < Υ {\displaystyle \,\mathrm {X} <\Upsilon } ，等式右边的 X {\displaystyle \,\mathrm {X} } 和 Υ {\displaystyle \,\Upsilon } 必须互换。在 X = Υ {\displaystyle \,\mathrm {X} =\Upsilon } 时，因为0的对数无定义，所以此时减法等式无定义。 说函数的极限“等于无穷大”是不严密的，因为“无穷大”不是数。上面右边是无穷大的等式的意思是，函数可以无限制的增加/减少。