擴展實數線

擴展實數線又稱廣義實數（英語：extended real number），由實數線 R {\displaystyle \mathbb {R} } 加上 + ∞ {\displaystyle +\infty } 和 − ∞ {\displaystyle -\infty } 得到（注意 + ∞ {\displaystyle +\infty } 和 − ∞ {\displaystyle -\infty } 并不是实数），写作 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 、[−∞, +∞]或ℝ ∪ {−∞, +∞}。在不會混淆時，符號 +∞常簡寫成∞。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。 对任意实数 a {\displaystyle a} ，定义 − ∞ < a < + ∞ {\displaystyle -\infty <a<+\infty } ，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合 U {\displaystyle U} 是 + ∞ {\displaystyle +\infty } 的邻域，当且仅当它包含集合 { x : x > a } {\displaystyle \left\{x:x>a\right\}} ，这里 a {\displaystyle a} 是某个实数。 − ∞ {\displaystyle -\infty } 的邻域类似。 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} 同胚。 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的算术运算可以部分地扩展到 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} ，如下： a + ∞ = + ∞ + a = + ∞ a ≠ − ∞ a − ∞ = − ∞ + a = − ∞ a ≠ + ∞ a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ± ∞ a ∈ ( 0 , + ∞ ] a ⋅ ( ± ∞ ) = ± ∞ ⋅ a = ∓ ∞ a ∈ [ − ∞ , 0 ) a ± ∞ = 0 a ∈ R ± ∞ a = ± ∞ a ∈ ( 0 , + ∞ ) ± ∞ a = ∓ ∞ a ∈ ( − ∞ , 0 ) {\displaystyle {\begin{array}{l}a+\infty =+\infty +a=+\infty &a\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a=-\infty &a\neq +\infty \\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right]\\a\cdot \left(\pm \infty \right)=\pm \infty \cdot a=\mp \infty &a\in \left[-\infty ,0\right)\\{\dfrac {a}{\pm \infty }}=0&a\in \mathbb {R} \\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\pm \infty &a\in \left(0,+\infty \right)\\{\dfrac {\pm \infty }{a}}=\mp \infty &a\in \left(-\infty ,0\right)\end{array}}} 通常不定义 ∞ − ∞ , 0 ⋅ ( ± ∞ ) , ± ∞ ± ∞ {\displaystyle \infty -\infty ,0\cdot \left(\pm \infty \right),{\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}} , a 0 {\displaystyle {\frac {a}{0}}} 。同时 1 0 {\displaystyle {\frac {1}{0}}} 也不定义为 + ∞ {\displaystyle +\infty } （因為這樣忽視了 − ∞ {\displaystyle -\infty } ），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。 注意在这些定义下， R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 不是域，也不是环。 经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质： a + ( b + c ) {\displaystyle a+\left(b+c\right)} 和 ( a + b ) + c {\displaystyle \left(a+b\right)+c} 相等或同时没有定义。 a + b {\displaystyle a+b} 和 b + a {\displaystyle b+a} 相等或同时没有定义。 a ⋅ ( b ⋅ c ) {\displaystyle a\cdot \left(b\cdot c\right)} 和 ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle \left(a\cdot b\right)\cdot c} 相等或同时没有定义。 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} 和 b ⋅ a {\displaystyle b\cdot a} 相等或同时没有定义。 a ⋅ ( b + c ) {\displaystyle a\cdot \left(b+c\right)} 和 ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) {\displaystyle \left(a\cdot b\right)+\left(a\cdot c\right)} 若都有定义则相等。 若 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 a + c {\displaystyle a+c} 和 b + c {\displaystyle b+c} 都有定义，则 a + c ≤ b + c {\displaystyle a+c\leq b+c} 。 若 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} 且 c > 0 {\displaystyle c>0} 且 a ⋅ c {\displaystyle a\cdot c} 和 b ⋅ c {\displaystyle b\cdot c} 都有定义，则 a ⋅ c ≤ b ⋅ c {\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c} 。 通常只要表达式都有定义，所有算术性质在 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 上都成立。 使用极限，一些函数可以自然地扩展到 R ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}} 。例如可以定义 e − ∞ = 0 , e + ∞ = + ∞ , ln ⁡ 0 = − ∞ , ln ⁡ ( + ∞ ) = + ∞ {\displaystyle {\rm {{e}^{-\infty }=0,{\rm {{e}^{+\infty }=+\infty ,\ln {0}=-\infty ,\ln {\left(+\infty \right)}=+\infty }}}}} 等。 扩展的复平面