调和级数

调和级数（英語：Harmonic series）是正整數的倒數之和，是发散的无穷级数，表达式为： ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \,\!} 这级数名字源于泛音及泛音列：振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的 1 2 {\textstyle {\frac {1}{2}}} 、 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} 、 1 4 {\textstyle {\frac {1}{4}}} ……等。调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样也源自音乐。 早在14世纪，尼克尔·奥里斯姆已经证明调和級數发散，但知道的人不多。17世纪时，皮耶特罗·曼戈里（義大利語：Pietro Mengoli）、约翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。 调和序列历来很受建筑师重视；在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。 对刚接触这级数的人而言，调和级数违反直觉——尽管随 n {\displaystyle n} 不断增大， 1 n {\textstyle {\frac {1}{n}}} 无限接近0，但它却是发散级数。调和级数也因此成为一些佯谬的原型。“橡皮筋上的蠕虫”就是其中一例。假设蠕虫沿着1米长的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分钟匀速伸展1米。如果相对于其所在的橡皮筋，蠕虫的爬行速度是每分钟1厘米，那么它最终会到达橡皮筋的另一头吗？与直觉相反，答案是肯定的： n {\displaystyle n} 分钟之后，蠕虫爬行过的距离与橡皮筋总长度的比值为： 1 100 ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} 。 调和级数发散（证明见本条目“发散”一节），即 n {\displaystyle n} 趋于无穷大时级数也趋于无穷大，这比值也必定在某时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这时刻的n的值极其之大，约为 e 100 {\displaystyle e^{100}} ，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散，但它发散的速度非常慢。 另一例：假设有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它们可以叠在一起，并使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要骨牌够多，就可以使最上层的骨牌與最底层骨牌水平距離无穷远。较简单的证明如下： 设每一块骨牌的长度为 l 0 {\displaystyle l_{0}} 。再设一叠 n {\displaystyle n} 塊平衡的骨牌的质心与最底层骨牌最右端的距离为 d n {\displaystyle d_{n}} ；在只有1塊骨牌时，质心就在骨牌的几何中心（假设骨牌密度均匀），即 d 1 = l 0 2 {\displaystyle d_{1}\,=\,{\frac {l_{0}}{2}}} 。对于一叠刚好平衡的骨牌（即对于任意一层骨牌，在其之上的骨牌的质心恰好落在其边缘），新骨牌不置于其上方（否则使得质心往右偏移而倒塌），而是垫在整叠骨牌之下，并使得原有骨牌的质心刚好落在新骨牌的最左端（则原来的骨牌不会倒塌）；设从上往下第n层骨牌突出其下方骨牌的长度为 l n {\displaystyle l_{n}} ，则有： d n + l n = l 0 {\displaystyle d_{n}+l_{n}=l_{0}} 。根据质心的坐标系计算公式，可得到新的骨牌叠的质心为： d n + 1 = ( d n + l n ) n + l 0 2 n + 1 = l 0 ⋅ n + l 0 2 n + 1 = l 0 ⋅ ( n + 1 ) − l 0 2 n + 1 = l 0 − l 0 2 n + 1 {\displaystyle d_{n+1}\,=\,{\frac {(d_{n}+l_{n})n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot (n+1)-{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,l_{0}-{\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}} 则 l n + 1 = l 0 − d n + 1 = l 0 2 n + 1 {\displaystyle l_{n+1}=l_{0}-d_{n+1}={\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}} ，即 l n = l 0 2 ⋅ 1 n {\displaystyle l_{n}={\frac {l_{0}}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}} 。 也就是说，理想的摆法是：最顶层骨牌与第二层之间水平距离是骨牌长度的 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ，第二、三层间水平距离是骨牌长度的 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} ，第三、四层之间水平距离是骨牌长度的 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} ……依此类推。最终，最顶层和最底层骨牌的水平距离是： l t o t a l = l 0 2 ⋅ ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle l_{\mathrm {total} }={\frac {l_{0}}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} 调和级数发散，当骨牌数目 n {\displaystyle n} 趋于无穷大时，水平距离也趋于无穷大。 ∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 3 + 1 4 ] + [ 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ] + [ 1 9 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right.} ≥ ∑ k = 1 ∞ 2 − ⌈ log 2 ⁡ k ⌉ {\displaystyle \geq \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\,\!} = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + [ 1 16 + ⋯ {\displaystyle =1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right.\,\!} = 1 +   1 2   + 1 2   +   1 2     +     ⋯ = ∞ . {\displaystyle =1+\ {\frac {1}{2}}\ +\qquad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots \,\!\;=\;\;\infty .} 因此该级数发散。 将调和级数的和与一个瑕积分比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列：长方形宽1单位、高 1 n {\textstyle {\frac {1}{n}}} 单位（换句话说，每个长方形的面积都是 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} ），所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\displaystyle =1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots } 而曲线 y = 1 x {\textstyle y={\frac {1}{x}}} 以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积 = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ {\displaystyle =\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\infty } 。这部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确说，这证明了 ∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ⁡ ( k + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;>\;\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\ln(k+1)} 这方法的拓展即积分判别法。 假设调和级数收敛 , 则 lim n → ∞ S 2 n − S n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{n}=0} 但与 S 2 n − S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + 1 n + 3 + ⋯ + 1 2 n > n 2 n = 1 2 {\displaystyle S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}>{\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}} 矛盾，故假设不真，即调和级数发散。 调和级数发散的速度非常缓慢。举例来说，调和序列前1043项的和还不足100。调和数列的部分和呈对数增长。特别地， ∑ n = 1 k 1 n = ln ⁡ k + γ + ε k {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;=\;\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}} 其中 γ {\displaystyle \gamma } 是欧拉－马歇罗尼常数，而 ϵ k {\displaystyle \epsilon _{k}} 约等于 1 2 k {\displaystyle {\frac {1}{2k}}} ，并且随着 k {\displaystyle k} 趋于正无穷而趋于 0 {\displaystyle 0} 。这结果由欧拉给出。 当然无论调和级数发散率再怎样低，其都不是发散率最慢的级数，仍存在发散率比调和级数更低的级数。理论上没有发散率“最慢”的发散性级数和。 调和级数的第 n {\displaystyle n} 項部分和为： H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} ， 也叫作第n个调和数。 第n个调和数与 n {\displaystyle n} 的自然对数的差值（即 ∑ k = 1 n 1 k − ln ⁡ n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n} ）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。 两个不同的调和数之间的差值永远不是整数。 除了 n = 1 {\displaystyle n=1} 以外，没有任何调和数是整数。 如下级数： ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots } 称作交错调和级数。这级数可经交错级数判别法证明收敛。特别地，这级数的和等于2的自然对数： 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln ⁡ 2 {\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2} 。 这公式是墨卡托级数（自然对数的泰勒级数形式）的特例。 从反正切函数的泰勒展开式可导出相关级数： ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + ⋯ = π 4 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}} 。 这级数也称作π的莱布尼茨公式。 广义调和级数是指有如下形式的级数： ∑ n = 0 ∞ 1 a n + b {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}} 。 其中 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 且 b {\displaystyle b} 为实数。 由比较审敛法可证所有广义调和级数均发散。 调和级数广义化的其中一種结果是 p {\displaystyle p} -级数，定义如下： ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} ， P是任何正实数。当 p = 1 {\displaystyle p=1} ， p {\displaystyle p} -级数即调和级数。由积分判别法或柯西稠密判定法可知 p {\displaystyle p} -级数在 p > 1 {\displaystyle p>1} 时收敛（此时级数又叫过调和级数（over-harmonic series）），而在 p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} 时发散。当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时， p {\displaystyle p} -级数的和即 ζ ( p ) {\displaystyle \zeta (p)} ，也就是黎曼ζ函数在 p {\displaystyle p} 的值。 对凸实值函数 φ {\displaystyle \varphi } ，若满足以下条件： lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi ({\frac {u}{2}})}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}} 则级数 ∑ n ≥ 1 φ ( n − 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varphi (n^{-1})} 收敛。 随机调和级数定义如下： ∑ n = 1 ∞ s n n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}}} ， 其中 s n {\displaystyle s_{n}} 是恒等分布的独立随机变量，取值范围为+1和-1，取这两值的概率都是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。阿尔伯塔大学的拜伦·施姆兰研究此级数的性质，并发现这级数收敛的概率为1，并发现这随机变量有些有趣的性质。特别地，这随机变量的概率密度函数在+2和-2处的值为0.124999999999999999999999999999999999999999764…，与 1 8 {\displaystyle {\frac {1}{8}}} 只差不到10−42。施姆兰的论文解释了为什么这概率如此接近、但却不是 1 8 {\displaystyle {\frac {1}{8}}} 。这概率的精确值由无穷余弦乘积积分 C 2 {\displaystyle C_{2}} 除以 π {\displaystyle \pi } 而给出的。 贫化调和级数是将调和级数中、分母含有数字9的项去除后所剩的级数。这级数是收敛的，其和小於80。实际上，将包含任意数字串的项从调和级数中去除后，所剩级数都收敛。 调和级数是柯西发散的，而且很多常用的发散级数求和方法对它也不适用。但是，调和级数的拉马努金求和存在，且为欧拉-马斯刻若尼常数。 泛音列与调和级数英文同为harmonic series 如博雷尔求和法 维基共享资源上的相关多媒体资源：调和级数 无穷级数 调和平均数 黎曼ζ函数 George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51. Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren, Concrete Mathematics 2nd, Addison-Wesley: 258–264, 1989, ISBN 978-0-201-55802-9  Sharp, R.T., Problem 52: Overhanging dominoes, Pi Mu Epsilon Journal, 1954: 411–412  Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Weisstein, Eric W. (编). Harmonic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2011-01-16]. （原始内容存档于2013-05-16） （英语）.  Art of Problem Solving: "General Harmonic Series" （页面存档备份，存于互联网档案馆） "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003 Schmuland's preprint of Random Harmonic Series (PDF). [2011-01-16]. （原始内容 (PDF)存档于2011-06-08）.  Weisstein, Eric W. (编). Infinite Cosine Product Integral. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2010-11-14]. （原始内容存档于2011-12-28） （英语）.  Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72. 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