拉格朗日方程式

拉格朗日方程式（Lagrange equation），因數學物理學家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力學的重要方程式，可以用來描述物體的運動，特別適用於理論物理的研究。拉格朗日方程式的功能相當於牛頓力學中的牛頓第二定律。 假設一個物理系統符合完整系統的要求，即所有廣義座標都互相獨立，則拉格朗日方程式成立： d d t ∂ L ∂ q ˙ − ∂ L ∂ q = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!} ； 其中， L ( q ,   q ˙ ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} 是拉格朗日量， q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,\!} 是廣義座標，是時間 t {\displaystyle t\,\!} 的函數， q ˙ = ( q ˙ 1 , q ˙ 2 , … , q ˙ N ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=\left({\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{N}\right)\,\!} 是廣義速度。 在分析力學裏，有三種方法可以導引出拉格朗日方程式。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程式（參閱達朗貝爾原理）；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程式（參閱哈密頓原理）；最簡明地，可以借用數學變分法的歐拉-拉格朗日方程式來推導： 設定函數 y ( x ) {\displaystyle \mathbf {y} (x)\,\!} 和 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!} ： y ( x ) = ( y 1 ( x ) ,   y 2 ( x ) ,   … , y N ( x ) ) {\displaystyle \mathbf {y} (x)=(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,y_{N}(x))\,\!} 、 y ˙ ( x ) = ( y ˙ 1 ( x ) ,   y ˙ 2 ( x ) ,   … ,   y ˙ N ( x ) ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {y} }}(x)=({\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x))\,\!} 、 f ( y ,   y ˙ ,   x ) = f ( y 1 ( x ) ,   y 2 ( x ) ,   … ,   y N ( x ) ,   y ˙ 1 ( x ) ,   y ˙ 2 ( x ) ,   … ,   y ˙ N ( x ) ,   x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=f(y_{1}(x),\ y_{2}(x),\ \ldots ,\ y_{N}(x),\ {\dot {y}}_{1}(x),\ {\dot {y}}_{2}(x),\ \ldots ,\ {\dot {y}}_{N}(x),\ x)\,\!} ； 其中， x {\displaystyle x\,\!} 是自變數（independent variable）。 若 y ( x ) ∈ ( C 1 [ a ,   b ] ) N {\displaystyle \mathbf {y} (x)\in (C^{1}[a,\ b])^{N}\,\!} 使泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( y ,   y ˙ ,   x ) d x {\displaystyle J(\mathbf {y} )=\int _{a}^{b}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)dx\,\!} 取得局部平穩值，則在區間 ( a ,   b ) {\displaystyle (a,\ b)\,\!} 內，歐拉-拉格朗日方程式成立： d d x ( ∂ ∂ y ˙ i f ( y ,   y ˙ ,   x ) ) − ∂ ∂ y i f ( y ,   y ˙ ,   x ) = 0   , i = 1 ,   2 ,   … ,   N {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\right)-{\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)=0\ ,\qquad \qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots ,\ N\!} 。 現在，執行下述轉換： 設定獨立變數 x {\displaystyle x\,\!} 為時間 t {\displaystyle t\,\!} 、 設定函數 y i {\displaystyle y_{i}\,\!} 為廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}\,\!} 、 設定泛函 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!} 為拉格朗日量 L ( q ,   q ˙ ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} ， 則可得到拉格朗日方程式 d d t ∂ L ∂ q ˙ − ∂ L ∂ q = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {0} \,\!} 。 為了滿足這轉換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，這系統必須是完整系統。 拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，這系統必須是單演系統。 主項目：參閱半完整系統 一個不是完整系統的物理系統是非完整系統，不能用上述形式論來分析。假若，一個非完整系統的約束可以以方程式表示為 g i ( q ,   q ˙ ) = 0   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … n {\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n\,\!} ； 則稱此系統為半完整系統。 半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 λ i {\displaystyle \lambda _{i}\,\!} ： ∑ i = 1 n   λ i g i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}=0\,\!} ； 其中， λ i = λ i ( q ,   q ˙ ,   t ) {\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} 是未知函數。 由於這 N {\displaystyle N\,\!} 個廣義坐標中，有 n {\displaystyle n\,\!} 個相依的廣義坐標，泛函 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!} 不能直接被轉換為拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} ；必須加入拉格朗日乘子，將泛函 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {\displaystyle f(\mathbf {y} ,\ {\dot {\mathbf {y} }},\ x)\,\!} 轉換為 L + ∑ i = 1 n   λ i g i {\displaystyle {\mathcal {L}}+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\,\!} 。這樣，可以得到拉格朗日廣義力方程式： d d t ∂ L ∂ q ˙ − ∂ L ∂ q = F {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}={\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!} ； 其中， F {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}\,\!} 是廣義力， F = ∂ ∂ q ( ∑ i = 1 n   λ i g i ) − d d t [ ∂ ∂ q ˙ ( ∑ i = 1 n   λ i g i ) ] {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)-{\frac {d}{dt}}\left[{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}g_{i}\right)\right]\,\!} 。 這 N {\displaystyle N\,\!} 個廣義力運動方程式加上 n {\displaystyle n\,\!} 個約束方程式，給出 N + n {\displaystyle N+n\,\!} 個方程式來解 N {\displaystyle N\,\!} 個未知廣義坐標與 n {\displaystyle n\,\!} 個拉格朗日乘子。 這個段落會展示拉格朗日方程式的兩個應用實例。第一個實例展示出，用牛頓方法與拉格朗日方法所得的答案相同。第二個實例展示出拉格朗日方法的威力，因為這問題比較不適合用牛頓方法來分析。 思考一個粒子從靜止狀態自由地下落。由於重力 F = m g {\displaystyle F=mg\,\!} 作用於此粒子，應用牛頓第二定律，可以得到運動方程式 x ¨ = g {\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!} ； 其中，x-坐標垂直於地面，由初始點（原點）往地面指。 這個結果也可以從拉格朗日形式論得到。動能 T {\displaystyle T\,\!} 是 T = 1 2 m v 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!} ， 位勢 V {\displaystyle V\,\!} 是 V = − m g x {\displaystyle V=-mgx\,\!} ； 所以，拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} 是 L = T − V = 1 2 m x ˙ 2 + m g x {\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+mgx\,\!} 。 將 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} 代入拉格朗日方程式， 0 = d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = m d x ˙ d t − m g {\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=m{\frac {d{\dot {x}}}{dt}}-mg\,\!} 。 運動方程式是 x ¨ = g {\displaystyle {\ddot {x}}=g\,\!} ； 與牛頓方法的運動方程式相同。 思考一個簡單擺系統。系統的x-軸平行於地面，y-軸垂直於x-軸，指向地面。擺錘P的質量是 m {\displaystyle m\,\!} ，位置是 ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)\,\!} 。擺繩的長度是 l {\displaystyle l\,\!} 。擺的支撐點Q的質量是 M {\displaystyle M\,\!} 。這支撐點Q可以沿著一條平行於x-軸的直線移動。點Q的位置是 ( X ,   0 ) {\displaystyle (X,\ 0)\,\!} 。擺繩與y-軸的夾角是 θ {\displaystyle \theta \,\!} 。那麼，動能是 T = 1 2 M X ˙ 2 + 1 2 m ( x ˙ 2 + y ˙ 2 ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)\,\!} ， 位勢為 V = − m g y {\displaystyle V=-mgy\,\!} 。 所以，拉格朗日量是 L = 1 2 M X ˙ 2 + 1 2 m ( x ˙ 2 + y ˙ 2 ) + m g y {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)+mgy\,\!} 。 兩個約束方程式為 x = X + l sin ⁡ θ {\displaystyle x=X+l\sin \theta \,\!} 、 y = l cos ⁡ θ {\displaystyle y=l\cos \theta \,\!} 。 將約束方程式代入拉格朗日量方程式, L = 1 2 M X ˙ 2 + 1 2 m [ ( X ˙ + l θ ˙ cos ⁡ θ ) 2 + ( l θ ˙ sin ⁡ θ ) 2 ] + m g l cos ⁡ θ {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}M{\dot {X}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {X}}+l{\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(l{\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mgl\cos \theta \,\!} 。 特別注意，在這裏，廣義坐標是 X {\displaystyle X\,\!} 與 θ {\displaystyle \theta \,\!} 。應用拉格朗日方程式，經過微分運算，對於 X {\displaystyle X\,\!} 坐標，可以得到 d d t [ ( M + m ) X ˙ + m l θ ˙ cos ⁡ θ ] = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta \right]=0\,\!} 。 運動方程式為 ( M + m ) X ¨ + m l θ ¨ cos ⁡ θ − m l θ ˙ 2 sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle (M+m){\ddot {X}}+ml{\ddot {\theta }}\cos \theta -ml{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,\!} 。 由於拉格朗日量不顯含廣義坐標 X {\displaystyle X\,\!} ，稱 X {\displaystyle X\,\!} 為可略坐標，而其相對應的廣義動量 p X {\displaystyle p_{X}\,\!} 是常數 K 1 {\displaystyle K_{1}\,\!} ： p X = ( M + m ) X ˙ + m l θ ˙ cos ⁡ θ = K 1 {\displaystyle p_{X}=(M+m){\dot {X}}+ml{\dot {\theta }}\cos \theta =K_{1}\,\!} 。 對於 θ {\displaystyle \theta \,\!} 坐標，可以得到 d d t [ m ( l 2 θ ˙ + X ˙ l cos ⁡ θ ) ] + m ( X ˙ l θ ˙ + g l ) sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left[m(l^{2}{\dot {\theta }}+{\dot {X}}l\cos \theta )\right]+m({\dot {X}}l{\dot {\theta }}+gl)\sin \theta =0\,\!} ； 所以，運動方程式為 θ ¨ + X ¨ l cos ⁡ θ + g l sin ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {X}}{l}}\cos \theta +{\frac {g}{l}}\sin \theta =0\,\!} 。 假如用牛頓第二定律，則必須仔細地辨明所有的相關作用力。這是一項既困難又容易出錯的工作。 物理学主题 拉格朗日量 拉格朗日力學 哈密頓力學 牛頓力學 變分法 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)