莫爾圓

莫爾圓（Mohr's circle）得名自德國土木工程師克里斯汀·奧圖·莫爾（英语：Christian Otto Mohr），是一種用二維方式表示柯西应力张量轉換關係的圖。 先針對假設為連續的物體進行應力分析（英语：Stress–strain analysis），之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。 圓上每一個點的橫坐標 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及縱坐標 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。 卡爾·卡爾曼（英语：Karl Culmann）是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。 其他表示應力狀態的方式有拉梅應力橢球（英语：Lame's stress ellipsoid）及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。 莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。 考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是物體力（英语：Body force）），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。 在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過應力分析（英语：Stress–strain_analysis）來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階(2,0)型（英语：type of a tensor）的張量中的九個應力元素 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} 完全決定，此二階張量稱為柯西应力张量, σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} : σ = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] ≡ [ σ x x σ x y σ x z σ y x σ y y σ y z σ z x σ z y σ z z ] ≡ [ σ x τ x y τ x z τ y x σ y τ y z τ z x τ z y σ z ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]} 若確定了一物體在特定坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 下的應力分佈，有可能需要知道特定一點 P {\displaystyle P} 相對另一個有旋轉的坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 和原有的坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。 在二維下，一點 P {\displaystyle P} 相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 下，其應力分量為：法向應力 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 及 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} ，以及剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是 τ x y = τ y x {\displaystyle \tau _{xy}=\tau _{yx}} ，因此柯西應力張量可以寫成： σ = [ σ x τ x y 0 τ x y σ y 0 0 0 0 ] ≡ [ σ x τ x y τ x y σ y ] {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}\\\end{matrix}}\right]} 其目的是在另一個通過 P {\displaystyle P} 點，但存在角度差的坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 下，找到應力分量 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} （圖4）。坐標系統 ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle (x',y')} 和原坐標系統 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的角度差即為 θ {\displaystyle \theta } 。 要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置 P {\displaystyle P} 的二維的無限小方形元素（圖4），和 y {\displaystyle y} - z {\displaystyle z} 平面平行。 利用無限小元素上的力平衡，正向應力 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 的大小為： σ n = 1 2 ( σ x + σ y ) + 1 2 ( σ x − σ y ) cos ⁡ 2 θ + τ x y sin ⁡ 2 θ {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta } τ n = − 1 2 ( σ x − σ y ) sin ⁡ 2 θ + τ x y cos ⁡ 2 θ {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta } 上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 方向用力平衡計算是等效的。 這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中， 2 θ {\displaystyle 2\theta } 為參數，而 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 和 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 為橫軸， τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 縱軸，給定參數 θ {\displaystyle \theta } ，會給定在莫爾圓上的一點。 若從參數式中消去參數 2 θ {\displaystyle 2\theta } ，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得 [ σ n − 1 2 ( σ x + σ y ) ] 2 + τ n 2 = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 ( σ n − σ a v g ) 2 + τ n 2 = R 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\\(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=R^{2}\end{aligned}}} 其中 R = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 and σ a v g = 1 2 ( σ x + σ y ) {\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})} 這就是圓（莫爾圓）的方程 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 在 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 坐標系統中，其半徑 r = R {\displaystyle r=R} ，圓心在坐標 ( a , b ) = ( σ a v g , 0 ) {\displaystyle (a,b)=(\sigma _{\mathrm {avg} },0)} 處。 在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和地質力學（英语：geomechanics）用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。 上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。 為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 是作用在以 x {\displaystyle x} 軸正向為其法向量的平面上，而方向是往 y {\displaystyle y} 軸的正方向。 在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。 在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 為正，因為這二個剪應力的作用方向往 y {\displaystyle y} 軸及 x {\displaystyle x} 軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} ，其作用方向往 y {\displaystyle y} 軸及 x {\displaystyle x} 軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。 在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力） 不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 為正，而 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 為負。這和實體空間符號體系中 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 和 τ y x {\displaystyle \tau _{yx}} 符號相同的情形不同。 在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓： 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1） 將正的剪應力畫在下方，也就是 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 軸倒置（圖5，符號體系#2） 將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的 2 θ {\displaystyle 2\theta } 角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的 2 θ {\displaystyle 2\theta } 角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。 為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上 2 θ {\displaystyle 2\theta } 為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。 此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。 假設已知待研究物體上的點 P {\displaystyle P} 的應力分量 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 、 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 及 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} ，如圖4所示。以下方法可以繪製點 P {\displaystyle P} 的莫爾圓，以表示其應力狀態。 繪制笛卡爾坐標系統 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ，橫軸為 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} ，縱軸為 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 。 在 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 空間中，畫出二點 A ( σ y , τ x y ) {\displaystyle A(\sigma _{y},\tau _{xy})} 及 B ( σ x , − τ x y ) {\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})} ，分別是作用在二垂直平面 A {\displaystyle A} 平面和 B {\displaystyle B} 平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。 用線段 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 連接 A {\displaystyle A} 點和 B {\displaystyle B} 點，此即為圓的直徑。 繪製莫爾圓，其圓心 O {\displaystyle O} 是線段 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 的中點，也就是此線和 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 軸的交點。 主要應力的大小是點 C {\displaystyle C} 和點 E {\displaystyle E} （圖6中圓和 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} 的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而 σ 2 {\displaystyle \sigma _{2}} 最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為 σ 1 = σ max = σ avg + R {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\max }=\sigma _{\text{avg}}+R} σ 2 = σ min = σ avg − R {\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\min }=\sigma _{\text{avg}}-R} 其中平均正向應力 σ avg {\displaystyle \sigma _{\text{avg}}} 的大小是圓心 O {\displaystyle O} 的橫坐標，為 σ avg = 1 2 ( σ x + σ y ) {\displaystyle \sigma _{\text{avg}}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})} 其半徑的長度 R {\displaystyle R} 為 R = [ 1 2 ( σ x − σ y ) ] 2 + τ x y 2 {\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}} 最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心 O {\displaystyle O} 的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑 R {\displaystyle R} τ max , min = ± R {\displaystyle \tau _{\max ,\min }=\pm R} 如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點 P {\displaystyle P} 上的應力分量 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 、 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 及 τ x y {\displaystyle \tau _{xy}} 。這些應力分量作用在通過 P {\displaystyle P} 點的二垂直平面 A {\displaystyle A} 及 B {\displaystyle B} ，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上 D {\displaystyle D} 的應力分量 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 及 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ，事實是作用在 D {\displaystyle D} 平面上，此平面也通過 P {\displaystyle P} 點，和 B {\displaystyle B} 平面有夾角 θ {\displaystyle \theta } ，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes） 如圖6所示，若平面 D {\displaystyle D} 是平面 B {\displaystyle B} 再逆時針旋轉角度 θ {\displaystyle \theta } 後的平面，要找到在平面 D {\displaystyle D} 上的應力分量 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ，可以在莫爾圓上從已知應力點 B ( σ x , − τ x y ) {\displaystyle B(\sigma _{x},-\tau _{xy})} 同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 2 θ {\displaystyle 2\theta } ，旋轉到點 D ( σ n , τ n ) {\displaystyle D(\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} ，也就是讓 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 線和 O D ¯ {\displaystyle {\overline {OD}}} 線之間的夾角是 2 θ {\displaystyle 2\theta } 。 倍角法的作法源自於通過 P {\displaystyle P} 點的二實際平面之間的夾角 θ {\displaystyle \theta } （圖4），是其對應應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。 倍角關係是因為莫爾圓的參數式是 2 θ {\displaystyle 2\theta } 的函數。也可以從在材料點 P {\displaystyle P} 上的平面 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。 第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量 σ {\displaystyle \sigma } 及 τ {\displaystyle \tau } ，可以畫一條線通過莫爾圓上的 σ n {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }} 和 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} ，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是 σ x , {\displaystyle \sigma _{x},\!} , σ y , {\displaystyle \sigma _{y},\!} 及 τ x y , {\displaystyle \tau _{xy},\!} 。首先先從 B {\displaystyle B} 點畫一條線，平行 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 的作用平面，或是從 A {\displaystyle A} 點畫一條線，平行 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} 的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有 θ {\displaystyle \theta } 夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。 最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中 的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此 O B ¯ {\displaystyle {\overline {OB}}} 和 O C ¯ {\displaystyle {\overline {OC}}} 之間的夾角是角∠BOC，是 θ p {\displaystyle \theta _{p}} （主要平面和平面 B {\displaystyle B} 夾角）角度的二倍。 而 θ p 1 {\displaystyle \theta _{p1}} 和 θ p 2 {\displaystyle \theta _{p2}} 也可以用以下的方程取得 tan ⁡ 2 θ p = 2 τ x y σ x − σ y {\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}} 此方程的解會是二個角度，彼此相差 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓 τ n {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }} 等於零（主要平面上的剪應力為0）。 若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) {\displaystyle \left(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}\right)} 以及方向 ( n 1 , n 2 , n 3 ) {\displaystyle \left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)} 。 考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用 x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} 坐標系統，並且假設 σ 1 > σ 2 > σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}} ，則在一法向量為 n {\displaystyle \mathbf {n} } 的平面，其應力向量 T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}} 的應力分量及剪力分量會滿足下式 ( T ( n ) ) 2 = σ i j σ i k n j n k σ n 2 + τ n 2 = σ 1 2 n 1 2 + σ 2 2 n 2 2 + σ 3 2 n 3 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(T^{(n)}\right)^{2}&=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}\\\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}\end{aligned}}} σ n = σ 1 n 1 2 + σ 2 n 2 2 + σ 3 n 3 2 . {\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}.} 由於 n i n i = n 1 2 + n 2 2 + n 3 2 = 1 {\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1} ，可以用高斯消去法求解 n 1 2 {\displaystyle n_{1}^{2}} , n 2 2 {\displaystyle n_{2}^{2}} , n 3 2 {\displaystyle n_{3}^{2}} ： n 1 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 2 ) ( σ n − σ 3 ) ( σ 1 − σ 2 ) ( σ 1 − σ 3 ) ≥ 0 n 2 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 3 ) ( σ n − σ 1 ) ( σ 2 − σ 3 ) ( σ 2 − σ 1 ) ≥ 0 n 3 2 = τ n 2 + ( σ n − σ 1 ) ( σ n − σ 2 ) ( σ 3 − σ 1 ) ( σ 3 − σ 2 ) ≥ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})}{(\sigma _{1}-\sigma _{2})(\sigma _{1}-\sigma _{3})}}\geq 0\\n_{2}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})}{(\sigma _{2}-\sigma _{3})(\sigma _{2}-\sigma _{1})}}\geq 0\\n_{3}^{2}&={\frac {\tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})}{(\sigma _{3}-\sigma _{1})(\sigma _{3}-\sigma _{2})}}\geq 0.\end{aligned}}} 因為 σ 1 > σ 2 > σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}>\sigma _{2}>\sigma _{3}} 及 ( n i ) 2 {\displaystyle (n_{i})^{2}} 都不是負值，因此其分子滿足 τ n 2 + ( σ n − σ 2 ) ( σ n − σ 3 ) ≥ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})\geq 0} 因為其分母 σ 1 − σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}>0} 而且 σ 1 − σ 3 > 0 {\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}>0} τ n 2 + ( σ n − σ 3 ) ( σ n − σ 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{3})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})\leq 0} 因為其分母 σ 2 − σ 3 > 0 {\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{3}>0} 而且 σ 2 − σ 1 < 0 {\displaystyle \sigma _{2}-\sigma _{1}<0} τ n 2 + ( σ n − σ 1 ) ( σ n − σ 2 ) ≥ 0 {\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}+(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{1})(\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{2})\geq 0} 因為其分母 σ 3 − σ 1 < 0 {\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{1}<0} 而且 σ 3 − σ 2 < 0. {\displaystyle \sigma _{3}-\sigma _{2}<0.} 方程式可以寫成 τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 2 + σ 3 ) ] 2 ≥ ( 1 2 ( σ 2 − σ 3 ) ) 2 τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 1 + σ 3 ) ] 2 ≤ ( 1 2 ( σ 1 − σ 3 ) ) 2 τ n 2 + [ σ n − 1 2 ( σ 1 + σ 2 ) ] 2 ≥ ( 1 2 ( σ 1 − σ 2 ) ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3})\right]^{2}\leq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})\right)^{2}\\\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})\right]^{2}\geq \left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\right)^{2}\\\end{aligned}}} 是三個應力莫爾圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} 和 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的方程，其半徑分別是 R 1 = 1 2 ( σ 2 − σ 3 ) {\displaystyle R_{1}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}-\sigma _{3})} , R 2 = 1 2 ( σ 1 − σ 3 ) {\displaystyle R_{2}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{3})} 及 R 3 = 1 2 ( σ 1 − σ 2 ) {\displaystyle R_{3}={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})} ，而其圓心分別在 [ 1 2 ( σ 2 + σ 3 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{2}+\sigma _{3}),0\right]} , [ 1 2 ( σ 1 + σ 3 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{3}),0\right]} , [ 1 2 ( σ 1 + σ 2 ) , 0 ] {\displaystyle \left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}),0\right]} 。 有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點 ( σ n , τ n ) {\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} },\tau _{\mathrm {n} })} 可能滿足圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的方程，或是在圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的外面，可能滿足圓 C 2 {\displaystyle C_{2}} 的方程，或是在圓 C 2 {\displaystyle C_{2}} 的裡面，可能滿足圓 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的方程，或是在圓 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的外面。 臨界面分析（英语：Critical plane analysis） Parry, Richard Hawley Grey. Mohr circles, stress paths and geotechnics 2. Taylor & Francis. 2004: 1–30 [2018-02-05]. ISBN 0-415-27297-1. （原始内容存档于2020-08-07）.  Russell C. Hibbeler. Mechanics Of Materials 8th Edition. 2010: 461–462. ISBN 978-0136022305 （英语）.  Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston; John T. DeWolf. Mechanics of Materials. McGraw-Hill Professional. 1992. ISBN 0-07-112939-1.  Brady, B.H.G.; E.T. Brown. Rock Mechanics For Underground Mining Third. Kluwer Academic Publisher. 1993: 17–29 [2018-02-05]. ISBN 0-412-47550-2. （原始内容存档于2020-08-07）.  Davis, R. O.; Selvadurai. A. P. S. Elasticity and geomechanics. Cambridge University Press. 1996: 16–26 [2018-02-05]. ISBN 0-521-49827-9. （原始内容存档于2020-08-07）.  Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. An introduction to geotechnical engineering. Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series. Prentice-Hall. 1981 [2018-02-05]. ISBN 0-13-484394-0. （原始内容存档于2019-06-08）.  Jaeger, John Conrad; Cook, N.G.W; Zimmerman, R.W. 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ISBN 0-486-61187-6.  维基共享资源上的相关多媒体资源：莫爾圓 Mohr's Circle and more circles by Rebecca Brannon （页面存档备份，存于互联网档案馆） DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle" （页面存档备份，存于互联网档案馆）