高斯磁定律

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在電磁學裏，高斯磁定律闡明，磁場（B場）的散度等於零。因此，磁場是一個螺線向量場。從這事實，可以推斷磁單極子不存在。磁的基本實體是磁偶極子，而不是磁荷。當然，假若將來科學家發現有磁單極子存在，那麼，這定律就必須做適當的修改，如稍後論述。高斯磁定律是因德國物理學者卡爾·高斯而命名。 在物理學界，很多學者使用「高斯磁定律」來指稱這定律，但並不是每一位學者都採用這名字。有些作者稱它為「自由磁單極子缺失」，或明確地表示這定律沒有取名字。還有些作者稱此定律為「橫向性要求」，因為在真空中或線性介質中傳播的電磁波必須是橫波。 高斯磁定律的方程式可以寫為兩種形式：微分形式和積分形式。根據散度定理，這兩種形式為等價的。 高斯磁定律的微分形式為 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!} ； 其中， B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 是磁感應強度。 這是馬克士威方程組中的一個方程式。 高斯磁定律的積分形式為 ∯ {\displaystyle \oiint } S {\displaystyle {\mathbb {S} }} B ⋅ d s = 0 {\displaystyle \mathbf {B} \cdot {\rm {d}}\mathbf {s} =0} 其中， S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 是一個閉曲面， d s {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} \,\!} 是微小面積分（請參閱曲面積分）。 這方程式的左手邊項目，稱為通過閉曲面的淨磁通量。高斯磁定律闡明這淨磁通量永遠等於零。 根據亥姆霍兹分解（Helmholtz decomposition），因為磁場的散度等於零，必定存在有向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 滿足條件 B = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,\!} 。 這向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 稱為磁向量勢。 請注意並不是只有一個向量場 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 滿足這條件。實際上，有無限多個解答。應用一項向量恆等式， ∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0\,\!} ， 給予任意函數 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} ，那麼， A = A + ∇ ϕ {\displaystyle \mathbb {A} =\mathbf {A} +\nabla \phi \,\!} 也是一個解答。磁向量勢的這種特性，稱為規範自由。 磁場，就像任何向量場，可以用場線來描繪其軌跡。磁場線是一組曲線，其方向對應於磁場的方向，其面密度與磁場的大小成正比。因為磁場的散度等於零，磁場線沒有初始點，也沒有終結點。磁場線或者形成一個閉迴圈，或者兩個端點都延伸至無窮遠。 假若，有科學家發現磁單極子存在於宇宙，則高斯磁定律不正確，必須修正。磁場的散度會與磁荷密度 ρ m {\displaystyle \rho _{m}\,\!} 成正比： ∇ ⋅ B = μ 0 ρ m {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{m}\,\!} 。 其中， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是磁常數。 從必歐-沙伐定律，可以推導出高斯磁定律。必歐-沙伐定律闡明，設定電流密度 J ( r ′ ) {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ')\,\!} ，則磁場為 B ( r ) = μ 0 4 π ∫ V ′ d 3 r ′ J ( r ′ ) × r − r ′ | r − r ′ | 3 {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'\mathbf {J} (\mathbf {r} ')\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\,\!} ； 其中， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!} 是源位置， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是場位置， V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '\,\!} 是積分的體積， d 3 r ′ {\displaystyle d^{3}r'\,\!} 是微小體積元素。 應用一項向量恆等式， r − r ′ | r − r ′ | 3 = − ∇ ( 1 | r − r ′ | ) {\displaystyle {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\,\!} ， 將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於梯度只作用於無單撇號的坐標，可以移到積分外，改為旋度： B ( r ) = μ 0 4 π ∇ × ∫ V ′ d 3 r ′ J ( r ′ ) | r − r ′ | {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \int _{\mathbb {V} '}d^{3}r'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!} 。 應用一項向量恆等式， ∇ ⋅ ( ∇ × A ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0\,\!} 。 所以，高斯磁定律成立： ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!} 。 磁矩 安培力定律 必歐-沙伐定律 電磁場的數學表述 Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999: pp. 237, 273. ISBN 978-0-471-30932-1.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 321. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Joannopoulos John D.; Johnson, Steve G.;Winn, Joshua N. and Meade, Robert D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton, NJ USA: Princeton University Press. 2008: pp. 9 [2009-10-01]. ISBN 978-0-691-12456-8. （原始内容存档于2011-07-22）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)