HP滤波

HP滤波（英語：Hodrick–Prescott filter或Hodrick–Prescott decomposition）是宏观经济学中用到的时间序列分析方法，尤其在实际经济周期理论（英语：real business cycle theory）中较为常用。HP滤波可以从原始数据中分离出周期性的部分，并得到一条平滑的曲线来表述整个时间序列，即把对短期波动更敏感的数据转成了对长期波动更敏感的表示方式，改变乘数 λ {\displaystyle \lambda } 可以调整其敏感程度。20世纪90年代，两位经济学家罗伯特·霍德里克（英语：Robert J. Hodrick）和诺贝尔奖得主爱德华·普雷斯科特发表了这种方法并受到学界欢迎。不过实际上早在1923年惠特克（英语：E. T. Whittaker）就首次发表了该方法。 这个方法的思想类似于时间序列分解（英语：decomposition of time series）。令 { y t } ,   t = 1 , 2 , . . . , T {\displaystyle \{y_{t}\},\ t=1,2,...,T\,} 表示一组时间序列变量的对数，则 { y t } {\displaystyle \{y_{t}\}} 由一系列趋势项 τ t {\displaystyle \tau _{t}} 、周期项 c t {\displaystyle c_{t}} 和误差项 ϵ t {\displaystyle \epsilon _{t}} 组成，即 y t   = τ t   + c t   + ϵ t {\displaystyle y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\ +\epsilon _{t}} 。给定合适的正数 λ {\displaystyle \lambda } ，存在一个趋势项满足 min τ ( ∑ t = 1 T ( y t − τ t ) 2 + λ ∑ t = 2 T − 1 [ ( τ t + 1 − τ t ) − ( τ t − τ t − 1 ) ] 2 ) {\displaystyle \min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right)} 。 上式第一项表示变量偏离趋势项的误差 d t = y t − τ t {\displaystyle d_{t}=y_{t}-\tau _{t}} 的平方和，从而控制了周期项的大小；第二项用乘子 λ {\displaystyle \lambda } 乘上趋势项二阶差分的平方和，从而控制了趋势项变化的剧烈程度。 λ {\displaystyle \lambda } 越大，后者的控制就越强。霍德里克和普雷斯科特建议季度数据 λ {\displaystyle \lambda } 取为1600，若单位不是季度则 λ {\displaystyle \lambda } 正比于每单位所含季度数的平方，即年度数据取100、月度数据取14,400。雷文（Ravn）和乌利希（Uhlig）则在2002年发表的文章中提出 λ {\displaystyle \lambda } 应该正比于数据每单位所含季度数的四次方，即年度数据 λ {\displaystyle \lambda } 应取6.25、月度数据取129,600。 麦克尔罗伊的一篇论文中给出了双侧HP滤波谱分解的精确数学表达式。 HP滤波很容易实现，不过它也存在一定缺陷，只在以下严苛条件下才能做出最优估计： 时间序列是二阶整合（英语：Order of integration）的，否则HP滤波会得到偏离实际情况的趋势项。 如果发生了单次的永久性冲击（permanent shock）或存在稳定的趋势增长率，HP滤波得到的周期项也会扭曲。 样本中的周期项是白噪音，或者趋势项和周期项中的随机变化机制相同。 标准的双侧HP滤波不应该用来估计基于递归状态空间表达的DSGE模型，这是因为HP滤波使用未来的观测 t + i , i > 0 {\displaystyle t+i,i>0} 去构造当前时间点 t {\displaystyle t} 的结果，但递归状态空间要求当前的观测仅基于当前和过去的状态。要解决这个问题，可以使用单侧HP滤波。 带通滤波器 卡尔曼滤波 Hodrick, Robert; Prescott, Edward C. Postwar U.S. Business Cycles: An Empirical Investigation. Journal of Money, Credit, and Banking. 1997, 29 (1): 1–16. JSTOR 2953682.  Whittaker, E. T. On a New Method of Graduation. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Association. 1923, 41: 63–75. doi:10.1017/S001309150000359X.  - as quoted in Philips 2010 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Kim, Hyeongwoo. "Hodrick–Prescott Filter （页面存档备份，存于互联网档案馆）" March 12, 2004 Ravn, Morten; Uhlig, Harald. On adjusting the Hodrick–Prescott filter for the frequency of observations (PDF). The Review of Economics and Statistics. 2002, 84 (2): 371 [2019-07-06]. doi:10.1162/003465302317411604. （原始内容存档 (PDF)于2019-03-29）.  McElroy. Exact Formulas for the Hodrick-Prescott Filter. Econometrics Journal. 2008, 11: 209–217. doi:10.1111/j.1368-423x.2008.00230.x.  French, Mark W. Estimating Changes in Trend Growth of Total Factor Productivity: Kalman and H-P Filters versus a Markov-Switching Framework. FEDS Working Paper No. 2001-44. 2001. SSRN 293105 .  Carvalho V, Harvey A, Trimbur T. A note on common cycles, common trends, and convergence (PDF). Journal of Business & Economic Statistics. 2007, 25 (1): 12-20 [2019-07-06]. doi:10.1198/073500106000000431. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-06）.  Stock; Watson. Forecasting Inflation. Journal of Monetary Economics. 1999, 44: 293–335. doi:10.1016/s0304-3932(99)00027-6.  Enders, Walter. Trends and Univariate Decompositions. Applied Econometric Time Series Third. New York: Wiley. 2010: 247–7. ISBN 978-0470-50539-7.  Favero, Carlo A. Applied Macroeconometrics. New York: Oxford University Press. 2001: 54–5 [2019-07-06]. ISBN 0-19-829685-1. （原始内容存档于2020-09-22）.  Mills, Terence C. Filtering Economic Time Series. Modelling Trends and Cycles in Economic Time Series. New York: Palgrave McMillan. 2003: 75–102. ISBN 1-4039-0209-7.  普雷斯科特给出的Fortran代码（页面存档备份，存于互联网档案馆） Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆） 单侧HP滤波的Matlab实现（页面存档备份，存于互联网档案馆） R语言实现的HP滤波，包名mFilter（页面存档备份，存于互联网档案馆） 在线进行HP滤波（页面存档备份，存于互联网档案馆）