電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式（英语：homogeneous differential equation）。這方程式的形式，以電場 E {\displaystyle \mathbf {E} \,\!} 和磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 來表達為 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E   =   0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!} 、 ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B   =   0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!} ； 其中， ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\,\!} 是拉普拉斯算符， c {\displaystyle c\,\!} 是電磁波在真空或介質中傳播的速度， t {\displaystyle t\,\!} 是時間。 由於光波就是電磁波， c {\displaystyle c\,\!} 也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏， c = c 0 = 299 , 792 , 458 {\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!} ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。 在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說 ： 這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，並且，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。 — 詹姆斯·麦克斯韦 在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為 ∇ ⋅ E = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!} 、(1) ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!} 、(2) ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!} 、(3) ∇ × B = μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!} ；(4) 其中， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是真空磁導率， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!} 是真空電容率。 分別取公式(2)、(4)的旋度， ∇ × ( ∇ × E ) = − ∂ ∂ t ( ∇ × B ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!} 、 ∇ × ( ∇ × B ) = μ 0 ε 0 ∂ ∂ t ( ∇ × E ) = − μ o ε o ∂ 2 B ∂ t 2 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!} 。 應用一則向量恆等式（這裏， ∇ 2 V {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} } 應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子） ∇ × ( ∇ × V ) = ∇ ( ∇ ⋅ V ) − ∇ 2 V {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!} ； 其中， V {\displaystyle \mathbf {V} \,\!} 是任意向量函數。 將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式： ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) E   =   0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!} 、(5) ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) B   =   0 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!} ；(6) 其中， c = c 0 = 1 μ 0 ε 0 = 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!} ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。 電磁四維勢 A μ {\displaystyle A^{\mu }\,\!} 是由電勢 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 與矢量勢 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 共同形成的，定義為 A μ   = d e f   ( ϕ / c , A ) {\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!} 。 採用勞侖次規範： ∂ A μ ∂ x μ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!} 。 前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為   ◻ A μ = 0 {\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!} ； 其中， ◻ = ∂ ν ∂ ν = ∂ 2 ∂ x ν ∂ x ν = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!} 是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。 齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为 A μ ; μ   = d e f   ∂ A μ ∂ x μ = 0 {\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!} 。 那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為 − A α ; β β + R α β A β = 0 {\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!} ； 其中， R α β {\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!} 是里奇曲率张量。 追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。 在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式 1 c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 − ∇ 2 f   =   0 {\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!} ；(7) 其中， f {\displaystyle f\,\!} 是任意良態函數， 純量波動方程式的一般解的形式為 f ( r , t ) = g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} ； 其中， g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 是任意良態函數， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是位置向量， t {\displaystyle t\,\!} 是時間， k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 是波向量， ω {\displaystyle \omega \,\!} 是角頻率。 函數 g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 描述一個波動，隨著時間的演化，朝著 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 的方向傳播於空間。將函數 g ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!} 代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係： ω 2 = c 2 k 2 {\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!} ， 或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值： ω = c | k | {\displaystyle \omega =c|k|\,\!} 。 假設，函數 g {\displaystyle g\,\!} 的波形為正弦波： f = f 0 cos ⁡ ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) {\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!} ； 其中， f 0 {\displaystyle {f}_{0}\,\!} 是實值波幅， ϕ 0 {\displaystyle \phi _{0}\,\!} 是初相位。 根據歐拉公式， e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!} ， 函數 f {\displaystyle f\,\!} 也可以表達為一個複數的實值部分 f = Re ⁡ { f 0 e i ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) } {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!} 。 以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 為 f ~ = f 0 e i ( k ⋅ r − ω t + ϕ 0 ) = f ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} ； 其中， f ~ 0 = f 0 e i ϕ 0 {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!} 是複值波幅。 那麼， f = Re ⁡ { f ~ } {\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!} ； 純量波動方程式的正弦波解的形式為 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 的實值部分。任意涉及實函數 f {\displaystyle f\,\!} 的線性方程式，都可以用複函數 f ~ {\displaystyle {\tilde {f}}\,\!} 來代替 f {\displaystyle f\,\!} 。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。 由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。 任意波動 f ( r , t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!} 可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加： f ( r , t ) = ∫ 0 ∞ f ~ 0 ( r , ω ) e − i ω t   d ω {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!} 。 所以，只要能得知單獨頻率的波動 f ~ 0 ( r , ω ) {\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!} （單色波）的表達式，就可以求算整個波動 f ( r , t ) {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!} 的表達式。 從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為： E ~ ( r , t ) = E ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} 、 B ~ ( r , t ) = B ~ 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!} ； 其中， E ~ 0 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!} 、 B ~ 0 {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!} 分別為複值電場 E ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}} 和複值磁場 B ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}} 的複常數振幅向量。 這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 的方向。由於方程式(1)和(3)， k ⋅ E ~ ( r , t ) = k ⋅ E ~ 0 = 0 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!} 、 k ⋅ E ~ ( r , t ) = k ⋅ B ~ 0 = 0 {\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!} ， 電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。 由於法拉第電磁感應定律方程式(2)， ∇ × E ~ = ( ∇ e i ( k ⋅ r − ω t ) ) × E ~ 0 = i k × E ~ = − ∂ B ~ ∂ t = i ω B ~ {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!} 。 將角頻率與波數的色散關係式 ω = c k {\displaystyle \omega =ck\,\!} 帶入： B ~ = k ω × E ~ = 1 c k ^ × E ~ {\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!} 。 所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。 由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為 E ( r , t ) = E 0 cos ⁡ ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!} 、 B ( r , t ) = B 0 cos ⁡ ( ω t − k ⋅ r + ϕ 0 ) {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!} 。 波向量與角頻率的關係為 k = | k | = ω c = 2 π λ {\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!} ； 其中， λ {\displaystyle \lambda \,\!} 是波長。 按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。 如圖右，思考一條由半徑為 a {\displaystyle a\,\!} 的無窮長的直導線，和半徑為 b {\displaystyle b\,\!} 的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸 E z = 0 {\displaystyle E_{z}=0\,\!} 和 B z = 0 {\displaystyle B_{z}=0\,\!} 的電磁橫波，採用圓柱坐標 ( s , ϕ , z ) {\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!} ，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為 E ( r , t ) = E 0 s cos ⁡ ( k z − ω t ) s ^ {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!} 、 B ( r , t ) = E 0 c s cos ⁡ ( k z − ω t ) ϕ ^ {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!} 。 這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。 思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩 m = m 0 cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!} 。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標 ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!} ，則在離原點很遠的位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ，電場和磁場分別為 E ( r , t ) = E 0 sin ⁡ θ r [ cos ⁡ ( k r − ω t ) − 1 k r [ sin ⁡ ( k r − ω t ) ] ϕ ^ {\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!} 、 B ( r , t ) = − E 0 sin ⁡ θ c r [ cos ⁡ ( k r − ω t ) − 1 k r [ sin ⁡ ( k r − ω t ) ] θ ^ {\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!} 。 這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (PDF): pp. 499, 1864 [2009-12-15], （原始内容存档 (PDF)于2011-07-28）  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8.  Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X.  Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7. Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.