階加

在数学中，正整数的阶加（英語：Termial）是所有小于及等于该数的正整数的和，计为n?。例如： 5 ? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 . {\displaystyle 5?=5+4+3+2+1=15\,.} 根据空和的惯例，0?的值为0。 该术语是由高德纳在《计算机程序设计艺术》中创造的。它是从1到n的整数的积的階乘函数的加法模拟。他用它来说明域从正整数到实数的扩展。 正整数的阶加也称为三角形數。最初的几个（OEIS數列A000217）是 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666... 18世纪以来，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和其他一些数学家一直试图将阶乘函数的域扩展到实数甚至复数，并最终提出了Γ函数。1997年，高德纳在他的《计算机程序设计艺术》引入了阶加函数n?，作为阶乘的加法模拟，以便说明域扩展的含义。 阶加函数由和定义 n ? = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( n − 2 ) + ( n − 1 ) + n , {\displaystyle n?=1+2+3+\cdots +(n-2)+(n-1)+n\,,} 最初整数n ≥ 1。这可以用求和符号表示为 n ? = ∑ i = 1 n i . {\displaystyle n?=\sum _{i=1}^{n}i.} 从这些公式，可以得出遞迴關係式 n ? = n + ( n − 1 ) ? . {\displaystyle n?=n+(n-1)?\,.} 例如： 5 ? = 5 + 4 ? 6 ? = 6 + 5 ? 50 ? = 50 + 49 ? {\displaystyle {\begin{aligned}5?&=5+4?\\6?&=6+5?\\50?&=50+49?\end{aligned}}} 可以使用等差数列的求和公式来计算阶加函数： n ? = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle n?={\frac {n(n+1)}{2}}\,.} 例如： 100 ? = 100 × 101 2 = 5050 {\displaystyle 100?={\frac {100\times 101}{2}}=5050} 为了将递推关系扩展到n = 0，有必要定义 0 ? = 0 {\displaystyle 0?=0} 所以 1 ? = 1 + 0 ? = 1. {\displaystyle 1?=1+0?=1.} 非整数值的阶加函数也可以使用公式 n ? = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle n?={\frac {n(n+1)}{2}}} 。 例如： ( 1 2 ) ? = 3 8 {\displaystyle ({\frac {1}{2}})?={\frac {3}{8}}} 阶加在数学中不常使用，但它仍然在一些领域应用，如组合数学。 对于n个不同的元素，組合2个元素的方法数量等于(n − 1)?。这就是说 ( n 2 ) = ( n − 1 ) ? . {\displaystyle {n \choose 2}=(n-1)?\,.} 在玩4個4时，阶加可以是找到所需表达式的有用工具，尤其是在规则不允许使用小數點和平方根的情况下（这是因为数字0和2是不可用的）。例如： 13 = 4 ? + 4 − 4 ÷ 4 {\displaystyle 13=4?+4-4\div 4} 18 = 4 ! + 4 ? − 4 × 4 {\displaystyle 18=4!+4?-4\times 4} 类似于双阶乘，所有奇数直到某个正奇整数n的和称为n的双阶加，和表示为n??。定义为 ( 2 k − 1 ) ? ? = ∑ i = 1 k ( 2 i − 1 ) = 1 + 3 + 5 + ⋯ + ( 2 k − 3 ) + ( 2 k − 1 ) . {\displaystyle (2k-1)??=\sum _{i=1}^{k}(2i-1)=1+3+5+\cdots +(2k-3)+(2k-1)\,.} 例如： 9 ? ? = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 {\displaystyle 9??=1+3+5+7+9=25} . n = 1, 3, 5, 7,...的双阶加是平方数序列。它开始为 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...（OEIS數列A000290） 质数阶加可以作为質數階乘的一个类似物，表示为n§。它被定义为小于或等于n的质数之和，即 n § = p π ( n ) § = ∑ i = 1 π ( n ) p i , {\displaystyle n\S =p_{\pi (n)}\S =\sum _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}\,,} π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} 是素数计数函数。 例如： 11 § = p 5 § = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 {\displaystyle 11\S =p_{5}\S =2+3+5+7+11=28} 前几个结果是 0, 2, 5, 10, 17, 28, 41,...（OEIS數列A007504） 倒数阶加定义为前n个正整数的倒数之和。它等于第n个調和數。 ∑ i = 1 n 1 i = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = H n . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}.} 例如： ∑ i = 1 3 1 i = 1 + 1 2 + 1 3 = 11 6 . {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {11}{6}}.} 三角形數 求和符号 階乘 階冪 Donald E. Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms. 3rd Ed. Addison Wesley Longman, U.S.A. p. 48. Weisstein, Eric W. (编). Triangular Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. （原始内容存档于2007-10-08） （英语）.  Davis, P. J. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959, 66 (10) [30 December 2018]. doi:10.2307/2309786. （原始内容存档于2012-11-07）.  Weisstein, Eric W. (编). Double Factorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. （原始内容存档于2021-03-07） （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Square Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [30 December 2018]. （原始内容存档于2019-03-26） （英语）.  Graham, R. L.; Knuth, D. E.; and Patashnik, O. (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 272–282.