梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem），以古希腊数学家梅涅勞斯（英语：Menelaus of Alexandria）為名。它指出：如果一直线与 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 的边BC、CA、AB或其延長線分别交于L、M、N，则有： A N N B ⋅ B L L C ⋅ C M M A = 1 {\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1} 。 它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 的边BC、CA、AB或其延长线上（有一点或三点在延长线上），且满足 A N N B ⋅ B L L C ⋅ C M M A = 1 {\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1} 则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 如果在上式中线段用有向线段表示，那么右面的结果为-1。 该定理与塞瓦定理的等式仅在条件上有所不同，二者互为对偶定理。 如情况一，连接 A L {\displaystyle AL} 、 C N {\displaystyle CN} ，有 A N N B ⋅ B L L C ⋅ C M M A = S △ L N A S △ L N B ⋅ S △ L N B S △ L N C ⋅ S △ L N C S △ A N L = 1 {\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNA}}{\mathrm {S} _{\triangle LNB}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNB}}{\mathrm {S} _{\triangle LNC}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle LNC}}{\mathrm {S} _{\triangle ANL}}}=1} 如情況一，设 ∠ A N M = α {\displaystyle \angle ANM=\alpha } ， ∠ A M N = β {\displaystyle \angle AMN=\beta } ， ∠ M L C = γ {\displaystyle \angle MLC=\gamma } ，則在 △ A M N {\displaystyle \triangle AMN} 中由正弦定理，有 A N A M = sin ⁡ β sin ⁡ α , {\displaystyle {\frac {AN}{AM}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }},} 同理，因對頂角相等在 △ N B L {\displaystyle \triangle NBL} 和 △ C L M {\displaystyle \triangle CLM} 中有 B L B N = sin ⁡ α sin ⁡ γ , {\displaystyle {\frac {BL}{BN}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},} 及 C M C L = sin ⁡ γ sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}.} 三式相乘即得 A N A M ⋅ B L B N ⋅ C M C L = sin ⁡ β sin ⁡ α ⋅ sin ⁡ α sin ⁡ γ ⋅ sin ⁡ γ sin ⁡ β = 1 , {\displaystyle {\frac {AN}{AM}}\cdot {\frac {BL}{BN}}\cdot {\frac {CM}{CL}}={\frac {\sin \beta }{\sin \alpha }}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}\cdot {\frac {\sin \gamma }{\sin \beta }}=1,} 即 A N N B ⋅ B L L C ⋅ C M M A = 1. {\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1.} 目前不确定是谁首先发现了梅涅劳斯定理。现存最早的关于定理的内容出现在梅涅劳斯的著作《球面三角学》中。在本书中，定理的平面版本被用作证明该定理的球形版本的引理。 在《天文学大成》中，托勒密将该定理应用于球形天文学中的许多问题。 在伊斯兰黄金时代，穆斯林学者投入了大量从事梅涅劳斯定理研究的著作，他们称之为“关于割线的命题”（shakl al-qatta'）。完全四边形在他们的术语中被称为“割线图”。比鲁尼的作品“天文学的钥匙”列出了其中的一些作品；这些作品都可被归类为托勒密的《天文学大成》内容的一部分，如al-Nayrizi和al-Khazin的作品，其中每个作品都展示了梅涅劳斯定理的特殊形式（如用角的正弦表示的等式），或作为独立论文组成的作品，例如： 塔比·伊本·库拉撰写的“关于割线图的论述”（Risala fi shakl al-qatta'）。 Husam al-DIn al-Salar的《揭开割线图的奥秘》（Kashf al-qina'as asrar al-shakl al-qatta'），也被称为《割线图之书》（Kitab al-shakl al-qatta') ，或在欧洲被称为“完全四边形的论文”。 Al-Tusi和Nasir al-Din al-Tusi提到了其中丢失的内容。 阿尔·锡杰齐的工作。 Abu Nasr ibn的《Tahdhib》。 Roshdi Rashed和Athanase Papadopoulos，Menelaus'Spherics的早期翻译和al-Mahani'/ al-Harawi的版本（来自阿拉伯手稿的Menelaus Spherics的重要版本，以及历史和数学评论）, De Gruyter, Series: Scientia Graeco-Arabica, 21, 2017, 890 pages. ISBN 978-3-11-057142-4 Russell, John Wellesley. Ch. 1 §6 "Menelaus' Theorem". Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.  塞瓦定理 Smith, D.E. History of Mathematics II. Courier Dover Publications. 1958: 607. ISBN 0-486-20430-8.  Rashed, Roshdi. Encyclopedia of the history of Arabic science 2. London: Routledge. 1996: 483. ISBN 0-415-02063-8.  Moussa, Ali. Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations. Arabic Sciences and Philosophy (Cambridge University Press). 2011, 21 (1). doi:10.1017/S095742391000007X.  維基教科書中的相關電子教程：梅涅劳斯定理 Alternate proof （页面存档备份，存于互联网档案馆） of Menelaus's theorem, from PlanetMath Menelaus From Ceva （页面存档备份，存于互联网档案馆） Ceva and Menelaus Meet on the Roads （页面存档备份，存于互联网档案馆） Menelaus and Ceva at MathPages Demo of Menelaus's theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jay Warendorff. The Wolfram Demonstrations Project. 埃里克·韦斯坦因. Menelaus' Theorem. MathWorld.