霍普夫代數

在數學中，霍普夫代數（英文: Hopf algebra）是一類雙代數，亦即具有相容的結合代數與餘代數結構的向量空間，配上一個對極映射，後者推廣了群上的逆元運算 g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}} 。霍普夫代數以數學家海因茨·霍普夫命名，此類結構廣見於代數拓撲、群概形、群論、量子群等數學領域。 所謂霍普夫代數，是指一個域 K {\displaystyle K} 上的雙代數 ( H , ∇ , Δ , η , ϵ ) {\displaystyle (H,\nabla ,\Delta ,\eta ,\epsilon )} ，配上一個線性映射 S : H → H {\displaystyle S:H\to H} （稱為對極映射），使得下述圖表交換： 利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為 ∀ c ∈ C , S ( c ( 1 ) ) c ( 2 ) = c ( 1 ) S ( c ( 2 ) ) = ϵ ( c ) 1 {\displaystyle \forall c\in C,\quad S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1} 對極映射可理解為 i d : H → H {\displaystyle \mathrm {id} :H\to H} 對卷積之逆，故其若存在必唯一。當 S 2 = i d {\displaystyle S^{2}=\mathrm {id} } ，則稱 H {\displaystyle H} 為對合的；交換或餘交換霍普夫代數必對合。 根據定義，有限維霍普夫代數的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數結構。 群代數. 設 G {\displaystyle G} 為群，可賦予群代數 K [ G ] {\displaystyle K[G]} 下述霍普夫代數結構： Δ : K [ G ] → K [ G ] ⊗ K [ G ] , ∀ g ∈ G , Δ ( g ) = g ⊗ g {\displaystyle \Delta :K[G]\to K[G]\otimes K[G],\quad \forall g\in G,\Delta (g)=g\otimes g} ϵ : K [ G ] → K , ∀ g ∈ G , ϵ ( g ) = 1 {\displaystyle \epsilon :K[G]\to K,\quad \forall g\in G,\epsilon (g)=1} S : K [ G ] → K [ G ] , ∀ g ∈ G , S ( g ) = g − 1 {\displaystyle S:K[G]\to K[G],\quad \forall g\in G,S(g)=g^{-1}} 有限群上的函數. 設 G {\displaystyle G} 為有限群，置 K G {\displaystyle K^{G}} 為所有 G → K {\displaystyle G\to K} 的函數，並以逐點的加法與乘法使之成為結合代數。此時有自然的同構 K G ⊗ K G = K G × G {\displaystyle K^{G}\otimes K^{G}=K^{G\times G}} 。定義： Δ : K G → K G × G , Δ ( f ) ( x , y ) = f ( x y ) {\displaystyle \Delta :K^{G}\to K^{G\times G},\quad \Delta (f)(x,y)=f(xy)} ϵ : K G → G , ϵ ( f ) = f ( e ) {\displaystyle \epsilon :K^{G}\to G,\quad \epsilon (f)=f(e)} S : K G → K G , S ( f ) ( x ) = f ( x − 1 ) {\displaystyle S:K^{G}\to K^{G},\quad S(f)(x)=f(x^{-1})} 仿射代數概形的座標環：處理方式同上。 泛包絡代數. 假設 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 是域 K {\displaystyle K} 上的李代數，置 U := U ( g ) {\displaystyle U:=U({\mathfrak {g}})} 為其泛包絡代數，定義： Δ : U → U ⊗ U , ∀ g ∈ g , Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x {\displaystyle \Delta :U\to U\otimes U,\quad \forall g\in {\mathfrak {g}},\Delta (x)=x\otimes 1+1\otimes x} S : U → U , ∀ x ∈ g , S ( x ) = − x {\displaystyle S:U\to U,\quad \forall x\in {\mathfrak {g}},S(x)=-x} 後兩條規則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個 U {\displaystyle U} 上。 李群的上同調代數構成一個霍普夫代數，其代數結構由上同調的上積給出，餘代數結構則來自群乘法 G × G → G {\displaystyle G\times G\to G} ，由此導出 H ∙ ( G ) → H ∙ ( G × G ) = H ∙ ( G ) ⊗ H ∙ ( G ) {\displaystyle H^{\bullet }(G)\to H^{\bullet }(G\times G)=H^{\bullet }(G)\otimes H^{\bullet }(G)} 對極映射來自 G → G : g ↦ g − 1 {\displaystyle G\to G:g\mapsto g^{-1}} 。這是霍普夫代數的歷史起源，事實上，霍普夫藉著研究這種結構，得以證明李群上同調的結構定理： 定理（霍普夫，1941年）. 設 A {\displaystyle A} 為 K {\displaystyle K} 上的有限維分次交換、餘交換之霍普夫代數，則 A {\displaystyle A} （視為 K {\displaystyle K} -代數）同構於由奇數次元素生成的自由外代數。 上述所有例子若非交換便是餘交換的。另一方面，泛包絡代數的某些「變形」或「量子化」可給出非交換亦非餘交換的例子；這類霍普夫代數常被稱為量子群，儘管嚴格而言它們並不是群。這類代數在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數群可以由其座標環構成的霍普夫代數刻劃，而這些霍普夫代數的變形則可設想為某類「量子化」了的代數群（實則非群）。 Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0 Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups, (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X Ross Moore, Sam Williams and Ross Talent: Quantum Groups: an entrée to modern algebra Pierre Cartier, A primer of Hopf algebras, IHES preprint, September 2006, 81 pages H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. of Math. 42 (1941), 22-52. Reprinted in Selecta Heinz Hopf, pp. 119-151, Springer, Berlin (1964). MR4784