一致估计量

在统计学中，一致估计量(Consistent Estimater)、渐进一致估计量，亦称相合估计量、相容估计量。其所表征的一致性或（相合性）同渐进正态性是大样本估计中两大最重要的性质。随着样本量无限增加，估计误差在一定意义下可以任意地小。也即估计量的分布越来越集中在所估计的参数的真实值附近，使得估计量依概率收敛于 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 。 这里定义的一致性称弱相合性。如果将概率收敛的方式改为以概率1收敛此时称强相合性。 设 g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} 为定义在参数空间 Θ {\displaystyle \Theta } 上的一维数值函数，用 T ^ n = T ( X ( n ) ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=T(X^{(n)})} 去估计它。这里 X ( n ) = ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ) {\displaystyle X^{(n)}=(X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n})} 为样本， n {\displaystyle n} 为样本量。如果当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时，估计量 T ^ n {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}} 在某个意义 C {\displaystyle C} 之下收敛于被估计的 g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} ，则称 T ^ n {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}} 是 g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} 的一个意义 C {\displaystyle C} 之下的相合估计。在数理统计中最常考虑的有以下三种情况： C {\displaystyle C} 表示依概率收敛，即是 T ^ n → g ( θ ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {}{\to }}g(\theta )} ，这时所定义的相合性称弱相合。 C {\displaystyle C} 表示以概率1收敛，即是 T ^ n → a . s . g ( θ ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}{\overset {a.s.}{\to }}g(\theta )} ，这时所定义的相合性称强相合。 C {\displaystyle C} 表示以 r {\displaystyle r} 阶矩收敛( r > 0 {\displaystyle r>0} )，即是 E | T ^ n − g ( θ ) | r → 0 {\displaystyle \mathrm {E} |{\widehat {T}}_{n}-g(\theta )|^{r}\to 0} ，这时所定义的相合性称 r {\displaystyle r} 阶矩相合，简称矩相合。 根据定义显然可知强相合与矩相合可推得弱相合，反之不成立。强相合与矩相合之间没有从属关系。 如果 g ( θ ) = ( g 1 ( θ ) , g 2 ( θ ) , ⋯ , g k ( θ ) ) {\displaystyle g(\theta )=(g_{1}(\theta ),g_{2}(\theta ),\cdots ,g_{k}(\theta ))} 是多维的， ∀ i ∈ { 1 , 2 , ⋯ , k } {\displaystyle \forall i\in \{1,2,\cdots ,k\}} ， T ^ n i {\displaystyle {\widehat {T}}_{ni}} 为 g i ( θ ) {\displaystyle g_{i}(\theta )} 在某意义下的相合估计，则称估计量 T ^ n = ( T ^ n 1 , T ^ n 2 , ⋯ , T ^ n k ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}=({\widehat {T}}_{n1},{\widehat {T}}_{n2},\cdots ,{\widehat {T}}_{nk})} 在该意义下相合。 因此一般性讨论中可以只考虑 g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} 为1维的情况。 设参数空间 Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} ， g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} 为定义在开集 Θ ~ ⊂ Θ {\displaystyle {\widetilde {\Theta }}\subset \Theta } 上的实值连续函数。若 T ^ n {\displaystyle {\widehat {T}}_{n}} 是 θ {\displaystyle \theta } 的（强/弱）相合估计，则 g ( T ^ n ) {\displaystyle g({\widehat {T}}_{n})} 是 g ( θ ) {\displaystyle g(\theta )} 的（强/弱）相合估计。 该定理不适用于矩相合。 由该定理和Kolmogorov强大数定律可推知矩估计为强相合估计。 设参数空间 Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} ，独立同分布样本 X 1 , X 2 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}} 其总体分布函数是k维分布函数 F θ ( x ) {\displaystyle F_{\theta }(x)} 。若 ∀ θ ∈ Θ , ε > 0 {\displaystyle \forall \theta \in \Theta ,\varepsilon >0} 有 inf { sup x ∈ R k | F θ − F φ | : φ ∈ Θ , ‖ θ − φ ‖ > ε } > 0 {\displaystyle \inf\{\sup _{x\in \mathbb {R} ^{k}}|F_{\theta }-F_{\varphi }|:\varphi \in \Theta ,\|\theta -\varphi \|>\varepsilon \}>0} 则 θ {\displaystyle \theta } 的强相合估计存在。 设参数空间 Θ ⊂ R k {\displaystyle \Theta \subset \mathbb {R} ^{k}} ，独立同分布样本 X 1 , X 2 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}} 其总体分布函数是k维分布函数 F θ ( x ) {\displaystyle F_{\theta }(x)} 。若 θ {\displaystyle \theta } 的相合估计存在，且 θ ≠ φ ∈ Θ {\displaystyle \theta \neq \varphi \in \Theta } 时， F θ ≠ F φ {\displaystyle F_{\theta }\neq F_{\varphi }} 。 至今没有得到回答。 盛, 骤; 谢, 式千; 潘, 承毅. 概率论与数理统计（第四版）. 高等教育出版社. 2008. ISBN 978-7-04-023896-9.  Lehmann, E. L.; Casella, G. Theory of Point Estimation 2nd. Springer. 1998. ISBN 0-387-98502-6.  陈, 希孺. 高等数理统计学. 中国科学技术大学出版社. 2009. ISBN 978-7-312-02281-4.  Nikulin, M. S., Consistent estimator, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4