狄拉克場

在量子場論中，狄拉克場用於描述自旋-1/2的費米子，如：電子、質子、夸克等粒子。並且狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上可以表示成有四的分量的旋量或一對兩個分量的外爾旋量。 雖然都用於描述自旋-1/2的費米子，其與馬約拉那場不同。狄拉克場描述的粒子存在反粒子，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。 自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守反正則對易關係，數學上使用到反交換子 { a , b } = a b + b a {\displaystyle \{a,b\}=ab+ba} 而非交換子 [ a , b ] = a b − b a {\displaystyle [a,b]=ab-ba} 。其中的反對易關係就暗示了費米-狄拉克統計，並且也能推導出泡利不相容原理：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。 狄拉克場表示成 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 。其自由場的運動方程式為狄拉克方程式： ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ( x ) = 0. {\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi (x)=0.\,} 其中 γ μ {\displaystyle \gamma ^{\mu }\,} 為γ矩陣（或稱作狄拉克矩陣），m代表質量。這個方程式最簡單的解為平面波 ψ 1 ( x ) = u ( p ) e − i p . x {\displaystyle \psi _{1}(x)=u(p)e^{-ip.x}\,} 和 ψ 2 ( x ) = v ( p ) e i p . x {\displaystyle \psi _{2}(x)=v(p)e^{ip.x}\,} 。平面波組成了一個 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下： ψ ( x ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 E p ∑ s ( a p s u s ( p ) e − i p ⋅ x + b p s † v s ( p ) e i p ⋅ x ) . {\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\textbf {p}}^{s}u^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\textbf {p}}^{s\dagger }v^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,} a {\displaystyle a\,} 、 b {\displaystyle b\,} 標示了旋量的指標， s {\displaystyle s\,} 表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的協變性。由於 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} 可以視作一個算符，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此， a p s {\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s}} 以及 b p s † {\displaystyle b_{\textbf {p}}^{s\dagger }} 為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} 和 ψ ( y ) † {\displaystyle \psi (y)^{\dagger }} 遵守反對易關係： { ψ a ( x ) , ψ b † ( y ) } = δ ( 3 ) ( x − y ) δ a b , {\displaystyle \{\psi _{a}({\textbf {x}}),\psi _{b}^{\dagger }({\textbf {y}})\}=\delta ^{(3)}({\textbf {x}}-{\textbf {y}})\delta _{ab},} 藉由將 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} 和 ψ ( y ) {\displaystyle \psi (y)\,} 作展開，我們可以得到係數間的反對易關係： { a p r , a q s † } = { b p r , b q s † } = ( 2 π ) 3 δ 3 ( p − q ) δ r s , {\displaystyle \{a_{\textbf {p}}^{r},a_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=\{b_{\textbf {p}}^{r},b_{\textbf {q}}^{s\dagger }\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}({\textbf {p}}-{\textbf {q}})\delta ^{rs},\,} 於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋： a p s † {\displaystyle a_{\textbf {p}}^{s\dagger }} 產生一個動量 p {\displaystyle {\textbf {p}}\,} 自旋為s的粒子，而 b q r † {\displaystyle b_{\textbf {q}}^{r\dagger }} 產生一個動量 q {\displaystyle {\textbf {q}}\,} 自旋為r的反粒子。因此，廣義的 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} 現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛 ψ ¯   = d e f   ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} 與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。 有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出勞侖茲協變性的場。最單純的量為 ψ ¯ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,} ，當中 ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} 。其他可能的勞侖茲協變性量 ψ ¯ γ μ ∂ μ ψ {\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi } 。 由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的拉格朗日密度，並且其歐拉－拉格朗日方程必須回到狄拉克方程式。 L D = ψ ¯ ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi \,} 這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下： L D = ψ ¯ a ( i γ a b μ ∂ μ − m I a b ) ψ b {\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\bar {\psi }}_{a}(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab})\psi _{b}\,} 由 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ，我們可以建構出狄拉克場的費曼傳播子： D F ( x − y ) = ⟨ 0 | T ( ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) ) | 0 ⟩ {\displaystyle D_{F}(x-y)=\langle 0|T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))|0\rangle } 我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質： T ( ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) )   = d e f   θ ( x 0 − y 0 ) ψ ( x ) ψ ¯ ( y ) − θ ( y 0 − x 0 ) ψ ¯ ( y ) ψ ( x ) {\displaystyle T(\psi (x){\bar {\psi }}(y))\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \theta (x^{0}-y^{0})\psi (x){\bar {\psi }}(y)-\theta (y^{0}-x^{0}){\bar {\psi }}(y)\psi (x)} 。 對上列的式子作平面波的展開，得到： D F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 i ( p / + m ) p 2 − m 2 + i ϵ e − i p ⋅ ( x − y ) {\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}} 在此我們用上了費曼斜線標記。這個式子相當合理，因為係數 i ( p / + m ) p 2 − m 2 {\displaystyle {\frac {i(p\!\!\!/+m)}{p^{2}-m^{2}}}} 即為狄拉克方程式中作用在 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,} 的相反算符。 純量場的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在光錐外為零。就如同我們從量子力學中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的勞侖茲協變性，並維持了因果律。 而更複雜、包含交互作用的場論（湯川理論（Yukawa theory）或量子電動力學）同樣可以微擾或非為擾方法作分析。 在粒子物理標準模型中，狄拉克場扮演很重要的要素。 狄拉克方程式 狄拉克旋量 Edwards, D. (1981). The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories, International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7. Peskin, M and Schroeder, D. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press. (See pages 35-63.) Srednicki, Mark (2007). Quantum Field Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497. Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press.