等化子

在數學的範疇論分支，若干個函數的等化子（英語：equaliser）是使其值相等的參數的集合。換言之，兩個函數 f , g {\displaystyle f,g} 的等化子，是方程 f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 的解集（英语：solution set）。僅得兩個函數時，也稱為其差核，因為等於兩個函數之差的核（英语：Kernel (category theory)）。 設 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} 為集合。又設 f , g {\displaystyle f,g} 為從 X {\displaystyle X} 至 Y {\displaystyle Y} 的函數。則 f {\displaystyle f} 與 g {\displaystyle g} 的等化子為 X {\displaystyle X} 中所有滿足 f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 的元素 x {\displaystyle x} 的集合，以符號表示為： Eq ⁡ ( f , g ) := { x ∈ X ∣ f ( x ) = g ( x ) } . {\displaystyle \operatorname {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}.} 等化子可以表示成 E q ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)} 或類似的符號，如改成小楷 e q {\displaystyle \mathrm {eq} } 。有時非正式地寫成 { f = g } {\displaystyle \{f=g\}} 。 上述定義用到兩個函數 f , g {\displaystyle f,g} ，但其實不必限制為兩個函數，甚至不必為有限多個函數。一般而言，若 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是一族函數，從 X {\displaystyle X} 映向 Y {\displaystyle Y} ，則 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的元素的等化子，是使 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 對所有 f ∈ F {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}} 皆相等的元素 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 的集合。以符號表示： Eq ⁡ ( F ) := { x ∈ X ∣ ∀ f , g ∈ F , f ( x ) = g ( x ) } . {\displaystyle \operatorname {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall f,g\in {\mathcal {F}},\;f(x)=g(x)\}.} 若 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 可以寫成 { f , g , h , … } {\displaystyle \{f,g,h,\ldots \}} ，則等化子亦記為 E q ( f , g , h , … ) {\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g,h,\ldots )} 。此情況下，亦可非正式地寫成 { f = g = h = ⋯ } {\displaystyle \{f=g=h=\cdots \}} 。 作為一般定義的退化，考慮 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 為單元集 { f } {\displaystyle \{f\}} 。由於 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 必然等於自己，等化子等於整個定義域 X {\displaystyle X} 。更退化的情況下，設 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 為空集。則等化子仍為全個定義域 X {\displaystyle X} ，因為條件的全稱量化命題為空真命題（英语：vacuously true）。 二元的等化子（即兩個函數的等化子）又稱差核（英語：difference kernel）。 f , g {\displaystyle f,g} 的差核可以記為 D i f f K e r ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {DiffKer} (f,g)} 、 K e r ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)} 、 K e r ( f − g ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (f-g)} 。最後一種寫法表明名稱的由來，是兩個函數之差的核，而且抽象代数中，該寫法亦最常用。此外，單一個函數 f {\displaystyle f} 的核，可以作為差核 E q ( f , 0 ) {\displaystyle \mathrm {Eq} (f,{\boldsymbol {0}})} 找到，其中 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} 表示取零值的常數函數。 以上假設核的意義如同抽象代數中，解作某函數作用下， 0 {\displaystyle 0} 的原像，但在範疇論定義中，並不一定。 等化子可以用泛性質定義，以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇。 一般地，在任意範疇中，設 X , Y {\displaystyle X,Y} 為物件，而 f , g {\displaystyle f,g} 為自 X {\displaystyle X} 往 Y {\displaystyle Y} 的態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅圖，而 f , g {\displaystyle f,g} 的等化子，則是該圖表的極限。 具體而言，等化子是物件 E {\displaystyle E} 與態射 e q : E → X {\displaystyle \mathrm {eq} :E\to X} 的整體，滿足 f ∘ e q = g ∘ e q {\displaystyle f\circ eq=g\circ eq} ，且對任意物件 O {\displaystyle O} 與態射 m : O → X {\displaystyle m:O\to X} ，若有 f ∘ m = g ∘ m {\displaystyle f\circ m=g\circ m} ，則存在唯一的態射 u : O → E {\displaystyle u:O\to E} ，使得 e q ∘ u = m {\displaystyle \mathrm {eq} \circ u=m} 。 其中態射 m : O → X {\displaystyle m:O\rightarrow X} 滿足的條件，即 f ∘ m = g ∘ m {\displaystyle f\circ m=g\circ m} ，又稱為等化（英語：equalise） f {\displaystyle f} 與 g {\displaystyle g} 。 在泛代数範疇，例如有定義差核的範疇，或集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } ，物件 E {\displaystyle E} 總可以按原始定義（即 { x : f ( x ) = g ( x ) } {\displaystyle \{x:f(x)=g(x)\}} ）選取，而相應的態射 e q {\displaystyle \mathrm {eq} } 則是 E {\displaystyle E} 作為 X {\displaystyle X} 子集的包含映射。 可以直接推廣到多於兩支態射的情況，只要用在圖中，添加更多支態射，然後再取極限便可。同樣，只有一支態射的退化情況也很直接，而 e q {\displaystyle \mathrm {eq} } 可以取為任何由 E {\displaystyle E} 至 X {\displaystyle X} 的同構。 但是，無態射的退化情況較為特殊，要較仔細畫出正確的圖。一開始，可能會嘗試畫出物件 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ，然後不加任何態射。然而，此為不正確，因為該圖的極限，是 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的範疇論積，而非所求的等化子（應為 X {\displaystyle X} ）。正確觀念是，等化子的定義，與定義域 X {\displaystyle X} 密切相關（例如在集合範疇的情況下， X {\displaystyle X} 出現在定義式中），但與 Y {\displaystyle Y} 的關聯則僅在於 Y {\displaystyle Y} 是圖中態射的陪域。 所以，若無態射，則 Y {\displaystyle Y} 不必出現，故圖僅有 X {\displaystyle X} 。此圖的極限，是任何 E {\displaystyle E} 與 X {\displaystyle X} 間的同構。 可以證明，任意範疇中的等化子，皆為單態射。反之，若逆命題成立，即單態射皆為某兩支態射的等化子，則該範疇（在單態射意義下）稱為正則（英語：regular）。更一般地，任意範疇中，正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格，要求其為某兩個態射的二元等化子。然而，若所考慮的範疇完備（英语：complete category），則兩種定義一致。 範疇論中，也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中（於阿貝爾群範疇（英语：Category of abelian groups）上濃縮（英语：enriched category）的範疇，粗略而言，即每個態射集 H o m ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)} 皆具阿貝爾群結構），「差核」一詞能逐字理解，因為兩支（相同端點的）態射之差有定義，即 E q ( f , g ) = K e r ( f − g ) {\displaystyle \mathrm {Eq} (f,g)=\mathrm {Ker} (f-g)} ，其中 K e r {\displaystyle \mathrm {Ker} } 表示範疇論核（英语：kernel (category theory)）。 若範疇有拉回（纖維積）及積，則有等化子。 餘等化子（英语：Coequalizer），等化子的對偶（英语：dual (category theory)）概念，將定義中所有態射的方向反轉而得。 重合理論（英语：Coincidence theory），不動點理論的推廣，拓撲學中，研究拓撲空間等化子的理論。 拉回，可以用等化子和範疇論積構造的一類極限。 Barr, Michael; Wells, Charles. Category theory for computing science [電腦科學用的範疇論] (PDF). 1998: 266 [2013-07-20]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04） （英语）.  nLab的Equalizer條目 一個互動網站，給出有限集範疇中的等化子例子。由Jocelyn Paine編寫。