電荷泵鎖相迴路

電荷泵鎖相迴路（Charge-pump phase-locked loop）簡稱CP-PLL，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差。 鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD i ( t ) {\displaystyle i(t)} 的輸出信號只有三個狀態：0, + I p {\displaystyle +I_{p}} ,和 − I p {\displaystyle -I_{p}} 。 參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在 + I p {\displaystyle +I_{p}} 就不會變動。 VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在 − I p {\displaystyle -I_{p}} 就不會變動。 若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。 第一個二階CP-PLL的數學模型是由佛洛依德·加德納（英语：Floyd M. Gardner）在1980年提出的。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型。 CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）。 加德納的分析是以以下的近似為基礎：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為 t p = | θ e | / ω r e f ,   θ e = θ r e f − θ v c o . {\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.} CP-PLL的PDF平均輸出為 i d = I p θ e / 2 π {\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi } 對應的傳遞函數為 I d ( s ) = I p θ e ( s ) / 2 π {\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi } 若用濾波器傳遞函數 F ( s ) = R + 1 C s {\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}} 以及VCO傳遞函數 θ v c o ( s ) = K v c o I d ( s ) F ( s ) / s {\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s} ，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型: θ e ( s ) θ r e f ( s ) = 2 π s 2 π s + K v c o I p ( R + 1 C s ) . {\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.} 佛洛依德·加德納（英语：Floyd M. Gardner）在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」（加德納對CP-PLL的猜想）。 依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。 為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。 令參考信號第一個下降緣的時間為 t = 0 {\displaystyle t=0} 。 PFD狀態 i ( 0 ) {\displaystyle i(0)} 會依PFD的初始狀態 i ( 0 − ) {\displaystyle i(0-)} ，VCO的初始相位移 θ v c o ( 0 ) {\displaystyle \theta _{vco}(0)} ，以及參考信號 θ r e f ( 0 ) {\displaystyle \theta _{ref}(0)} 的值而不同。 若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流 i ( t ) {\displaystyle i(t)} 和輸出電壓 v F ( t ) {\displaystyle v_{F}(t)} 的關係為 v F ( t ) = v c ( 0 ) + R i ( t ) + 1 C ∫ 0 t i ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}} 其中 R > 0 {\displaystyle R>0} 是電阻， C > 0 {\displaystyle C>0} 是電感。 v c ( t ) {\displaystyle v_{c}(t)} 是電容器的電壓。 控制信號 v F ( t ) {\displaystyle v_{F}(t)} 會調整VCO頻率： θ ˙ v c o ( t ) = ω v c o ( t ) = ω v c o free + K v c o v F ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}} 其中 ω v c o free {\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}} 是VCO的自由運行頻率 （也就是 v F ( t ) ≡ 0 {\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0} )， K v c o {\displaystyle K_{vco}} 是VCO增益（靈敏度）、 θ v c o ( t ) {\displaystyle \theta _{vco}(t)} 是VCO相位。 最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下 v ˙ c ( t ) = 1 C i ( t ) , θ ˙ v c o ( t ) = ω v c o free + K v c o ( R i ( t ) + v c ( t ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}} 其中有以下的不連續分段常數非線性 i ( t ) = i ( i ( t − ) , θ r e f ( t ) , θ v c o ( t ) ) {\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}} 初始條件為 ( v c ( 0 ) , θ v c o ( 0 ) ) {\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}} . 此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。 假設參考信號頻率為常數: θ r e f ( t ) = ω r e f t = t T r e f , {\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},} 其中 T r e f {\displaystyle T_{ref}} 、 ω r e f {\displaystyle \omega _{ref}} 和 θ r e f ( t ) {\displaystyle \theta _{ref}(t)} 是參考資料的週期、頻率和相位。 令 t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} ， 這表示 t 0 m i d d l e {\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}} 是第一個PFD輸出為0的時間 （若 i ( 0 ) = 0 {\displaystyle i(0)=0} ，則 t 0 m i d d l e = 0 {\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0} ） 且 t 1 {\displaystyle t_{1}} 是VCO或參考信號的第一個下降緣。 其且，可以定義對應的遞減數列 { t k } {\displaystyle \{t_{k}\}} 、 { t k m i d d l e } {\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}} ，其中 k = 0 , 1 , 2... {\displaystyle k=0,1,2...} 。 令 t k < t k m i d d l e {\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}} . 則在 t ∈ [ t k , t k m i d d l e ) {\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})} 時， sign ( i ( t ) ) {\displaystyle {\text{sign}}(i(t))} 是非零的常數（ ± 1 {\displaystyle \pm 1} ）。 令 τ k {\displaystyle \tau _{k}} 為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號： τ k = ( t k m i d d l e − t k ) sign ( i ( t ) ) {\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))} for t ∈ [ t k , t k m i d d l e ) {\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})} τ k = 0 {\displaystyle \tau _{k}=0} for t k = t k m i d d l e {\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}} 若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則 τ k < 0 {\displaystyle \tau _{k}<0} ，反之，可得 τ k > 0 {\displaystyle \tau _{k}>0} 。 τ k {\displaystyle \tau _{k}} 可以看出二個信號下降緣的先後順序。在 ( t k m i d d l e , t k + 1 ) {\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})} 區間內，PFD輸出為零，PFD i ( t ) ≡ 0 {\displaystyle i(t)\equiv 0} ： v F ( t ) ≡ v k {\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}} for t ∈ [ t k m i d d l e , t k + 1 ) {\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})} . 將 ( τ k , v k ) {\displaystyle (\tau _{k},v_{k})} 變成下式的變數變換 p k = τ k T r e f , u k = T r e f ( ω v c o free + K v c o v k ) − 1 , {\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,} 可以讓參數減至二個： α = K v c o I p T r e f R , β = K v c o I p T r e f 2 2 C . {\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.} 此處 p k {\displaystyle p_{k}} 是正規化的相位偏移， u k + 1 {\displaystyle u_{k}+1} 是VCO頻率 ω v c o free + K v c o v k {\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}} 相對於參考頻率 1 T r e f {\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}} 的比例。 最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下 u k + 1 = u k + 2 β p k + 1 , p k + 1 = { − ( u k + α + 1 ) + ( u k + α + 1 ) 2 − 4 β c k 2 β ,  for  p k ≥ 0 , c k ≤ 0 , 1 u k + 1 − 1 + ( p k  mod  1 ) ,  for  p k ≥ 0 , c k > 0 , l k − 1 ,  for  p k < 0 , l k ≤ 1 , − ( u k + α + 1 ) + ( u k + α + 1 ) 2 − 4 β d k 2 β ,  for  p k < 0 , l k > 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}} 其中 c k = ( 1 − ( p k  mod  1 ) ) ( u k + 1 ) − 1 , S l k = − ( u k − α + 1 ) p k + β p k 2 , l k = 1 − ( S l k  mod  1 ) u k + 1 , d k = ( S l k  mod  1 ) + u k . {\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}} 此離散時間模型只在 ( u k = 0 , p k = 0 ) {\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)} 有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍。 若VCO過載，也就是 θ ˙ v c o ( t ) {\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)} 為零， 或者是以下的式子 ( p k > 0 , u k < 2 β p k − 1 ) {\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)} 或 ( p k < 0 , u k < α − 1 ) {\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)} , 則需要考慮額外的CP-PLL動態特性。 針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。 在實務上，需避免VCO的過載。 高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算 USA US3714463A,Jon M. Laune,「Digital frequency and/or phase detector charge pump」,发表于1973-01-30  F. Gardner. Charge-pump phase-lock loops. IEEE Transactions on Communications. 1980, 28 (11): 1849–1858. Bibcode:1980ITCom..28.1849G. doi:10.1109/TCOM.1980.1094619.  M. van Paemel. Analysis of a charge-pump pll: A new model. IEEE Transactions on Communications. 1994, 42 (7): 2490–2498. doi:10.1109/26.297861.  N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, and T. Mokaev. Comments on van Paemel's mathematical model of charge-pump phase-locked loop (PDF). Differential Equations and Control Processes. 2019, 1: 109–120 [2021-06-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-20）.  N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev. Charge pump phase-locked loop with phase-frequency detector: closed form mathematical model 1901 (1468). 2020. arXiv:1901.01468 .  N.V. Kuznetsov, A.S. Matveev, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. 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