模糊集

模糊集是模糊数学上的一个基本概念，是数学上普通集合的扩展。 给定一个论域 U {\displaystyle U} ，那么从 U {\displaystyle U} 到单位区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的一个映射 μ A : U ↦ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu _{A}:U\mapsto [0,1]} 称为 U {\displaystyle U} 上的一个模糊集，或 U {\displaystyle U} 的一个模糊子集。 模糊集可以记为 A {\displaystyle A} 。映射（函数） μ A ( ⋅ ) {\displaystyle \mu _{A}(\cdot )} 或简记为 A ( ⋅ ) {\displaystyle A(\cdot )} 叫做模糊集 A {\displaystyle A} 的隶属函数。对于每个 x ∈ U {\displaystyle x\in U} ， μ A ( x ) {\displaystyle \mu _{A}(x)} 叫做元素 x {\displaystyle x} 对模糊集 A {\displaystyle A} 的隶属度。 模糊集的常用表示法有下述几种： 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。 Zadeh记法，例如 A = 1 x 1 + 0.5 x 2 + 0.72 x 3 + 0 x 4 {\displaystyle A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}} 。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为0，该项可以忽略不写。 序偶法，例如 A = { ( x 1 , 1 ) , ( x 2 , 0.5 ) , ( x 3 , 0.72 ) , ( x 4 , 0 ) } {\displaystyle A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}} ，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = ( 1 , 0.5 , 0.72 , 0 ) {\displaystyle A=(1,0.5,0.72,0)} 。 和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} （單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集 A {\displaystyle A} 的歸屬函數為 M {\displaystyle M} ，而 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 為三個元素；如果 M ( a ) = 1 {\displaystyle M(a)=1} ， M ( b ) = 0 {\displaystyle M(b)=0} ， M ( c ) = 1 2 {\displaystyle M(c)={\frac {1}{2}}} ，則可以說 「 a {\displaystyle a} 完全屬於 A {\displaystyle A} 」，「 b {\displaystyle b} 完全不屬於 A {\displaystyle A} 」，「 c {\displaystyle c} 對 A {\displaystyle A} 的歸屬度為 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 」（注意没有說「 c {\displaystyle c} 有一半屬於 A {\displaystyle A} 」，因為尚未規定 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函数（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。 设 A {\displaystyle A} 为 U {\displaystyle U} 上的模糊集（记作 A ∈ F ( U ) {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}(U)} ），任取 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} ，则 A λ = { u ∈ U ∣ A ( u ) ≥ λ } {\displaystyle A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}} ， 称 A λ {\displaystyle A_{\lambda }} 为 A {\displaystyle A} 的 λ {\displaystyle \lambda } 截集，而 λ {\displaystyle \lambda } 称为阈值或置信水平。将上式中的 ≥ {\displaystyle \geq } 替换为 > {\displaystyle >} ，记为 A S λ {\displaystyle A_{S\lambda }} ，称为强截集。 截集和强截集都是经典集合。此外，显然 A 1 {\displaystyle A_{1}} 为 A {\displaystyle A} 的核，即 ker ⁡ A {\displaystyle \ker A} ；如果 ker ⁡ A ≠ ∅ {\displaystyle \ker A\neq \varnothing } ，则称 A {\displaystyle A} 为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。 截积是数与模糊集的积： 设 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} ， A ∈ F ( U ) {\displaystyle A\in F(U)} ，则 ∀ u ∈ U {\displaystyle \forall u\in U} ， λ {\displaystyle \lambda } 与 A {\displaystyle A} 的截积（或称为 λ {\displaystyle \lambda } 截集的数乘，记为 λ A {\displaystyle \lambda A} ）定义为： ( λ A ) ( u ) = λ ∧ A ( u ) = { A ( u ) , λ ≥ A ( u ) , λ , λ < A ( u ) . {\displaystyle (\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}} 根据定义，截积仍是 U {\displaystyle U} 上的模糊集合。 分解定理： 设 A ∈ F ( U ) {\displaystyle A\in F(U)} ，则 A = ⋃ λ ∈ [ 0 , 1 ] λ A λ {\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }} 即任一模糊集 A {\displaystyle A} 都可以表达为一族简单模糊集 { λ a λ } {\displaystyle \left\{\lambda a_{\lambda }\right\}} 的并。也即，一个模糊集可以由其自身分解出的集合套而“拼成”。 表现定理： 设 H {\displaystyle H} 为 U {\displaystyle U} 上的任何一个集合套，则 A = ⋃ λ ∈ [ 0 , 1 ] λ H ( λ ) {\displaystyle A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )} 是 U {\displaystyle U} 上的一个模糊集，且 ∀ λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \forall \lambda \in [0,1]} ，有 （1） A S λ = ∪ α > λ H ( α ) {\displaystyle A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )} （2） A λ = ∩ α < λ H ( α ) {\displaystyle A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )} 即任一集合套都能拼成一个模糊集。 一个模糊集 A {\displaystyle A} 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一个直观的定义是这样的： 设映射 D : F ( U ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle D:F(U)\rightarrow [0,1]} 满足下述5条性质： 清晰性： D ( A ) = 0 {\displaystyle D(A)=0} 当且仅当 A ∈ P ( U ) {\displaystyle A\in P(U)} 。（经典集的模糊度恒为0。） 模糊性： D ( A ) = 1 {\displaystyle D(A)=1} 当且仅当 ∀ u ∈ U {\displaystyle \forall u\in U} 有 A ( u ) = 0.5 {\displaystyle A(u)=0.5} 。（隶属度都为0.5的模糊集最模糊。） 单调性： ∀ u ∈ U {\displaystyle \forall u\in U} ，若 A ( u ) ≤ B ( u ) ≤ 0.5 {\displaystyle A(u)\leq B(u)\leq 0.5} ，或者 A ( u ) ≥ B ( u ) ≥ 0.5 {\displaystyle A(u)\geq B(u)\geq 0.5} ，则 D ( A ) ≤ D ( B ) {\displaystyle D(A)\leq D(B)} 。 对称性： ∀ A ∈ F ( U ) {\displaystyle \forall A\in F(U)} ，有 D ( A c ) = D ( A ) {\displaystyle D(A^{c})=D(A)} 。（补集的模糊度相等。） 可加性： D ( A ∪ B ) + D ( A ∩ B ) = D ( A ) + D ( B ) {\displaystyle D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)} 。 则称 D {\displaystyle D} 是定义在 F ( U ) {\displaystyle F(U)} 上的模糊度函数，而 D ( A ) {\displaystyle D(A)} 为模糊集 A {\displaystyle A} 的模糊度。 可以证明符合上述定义的模糊度是存在的，一个常用的公式（分别针对有限和无限论域）就是 D p ( A ) = 2 n 1 / p ( ∑ i = 1 n | A ( u i ) − A 0.5 ( u i ) | p ) 1 / p D ( A ) = ∫ − ∞ + ∞ | A ( u ) − A 0.5 ( u ) | d u {\displaystyle {\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}} 其中 p > 0 {\displaystyle p>0} 是参数，称为 Minkowski 模糊度。特别地，当 p = 1 {\displaystyle p=1} 的时候称为 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指标，当 p = 2 {\displaystyle p=2} 的时候称为 Euclid 模糊度。 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是輿集 X {\displaystyle \mathrm {X} } 的一種。 用 g {\displaystyle g} 函數定義 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} ，包含下列3項特性稱為模糊測度: ① g ( 0 ) = 0 , g ( X ) = 1 {\displaystyle g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1} --- g {\displaystyle g} 函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。 g {\displaystyle g} 函數代 X {\displaystyle X} 表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。 ②若 A , B ∈ B {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}} 和 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , 則 g ( A ) ≤ g ( B ) {\displaystyle g(A)\leq g(B)} . --- A , B {\displaystyle A,B} 是屬於 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 的一部分， A {\displaystyle A} 在 B {\displaystyle B} 裡面也可能跟 B {\displaystyle B} 一樣大，則 g ( A ) ≤ g ( B ) {\displaystyle g(A)\leq g(B)} ③If A n {\displaystyle A_{n}} ∈ B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} , A 1 {\displaystyle A_{1}} ⊆ A 2 {\displaystyle A_{2}} ⊆…,then lim n → ∞ g ( A n ) = g ( lim n → ∞ A n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})} ---當 A n {\displaystyle A_{n}} 屬於 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 同時 A 1 {\displaystyle A_{1}} 包含於 A 2 ⊆ … {\displaystyle A_{2}\subseteq \ldots } ，則將 A n {\displaystyle A_{n}} 代入 g {\displaystyle g} 函數趨小所得的值等同於先趨小 A n {\displaystyle A_{n}} 再代入 g {\displaystyle g} 函數所求得的值。 Zadeh 算子， max {\displaystyle \max } 即为并， min {\displaystyle \min } 即为交 a ∨ b = max { a , b } a ∧ b = min { a , b } {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}} 代数算子（概率和、代数积） a + ∧ b = a + b − a b a ⋅ b = a b {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}} 有界算子 a ⊕ b = min { 1 , a + b } a ⊙ b = max { 0 , a + b − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}} Einstein 算子 a ϵ + b = a + b 1 + a b a ϵ ⋅ b = a b 1 + ( 1 − a ) ( 1 − b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}} Hamacher 算子，其中 ν ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \nu \in [0,+\infty )} 是参数，等于1时转化为代数算子，等于2时转化为 Einstein 算子 a ν + b = a + b − a b − ( 1 − ν ) a b ν + ( 1 − ν ) ( 1 − a b ) a ν ⋅ b = a b ν + ( 1 − ν ) ( a + b − a b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}} Yager 算子，其中 p {\displaystyle p} 是参数，等于1时转化为有界算子，趋于无穷时转化为 Zadeh 算子 a Y p b = min { 1 , ( a p + b p ) 1 / p } a y p b = 1 − min { 1 , [ ( 1 − a ) p + ( 1 − b ) p ] 1 / p } {\displaystyle {\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}} λ − γ {\displaystyle \lambda -\gamma } 算子，其中 λ , γ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda ,\gamma \in [0,1]} 是参数 a λ b = λ a b + ( 1 − λ ) ( a + b − a b ) a γ b = ( a b ) 1 − γ ( a − a b ) γ {\displaystyle {\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}} Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \lambda \in [0,1]} 是参数 a ∨ d b = a + b − a b − min { ( 1 − λ ) , a , b } max { λ , 1 − a , 1 − b } a ∧ d b = a b max { λ , a , b } {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}} 参见集合代数和布尔代数。 主要算子的性质对比表如下（.表示不满足，-表示未验证）： 线性补偿是指： ( ∀ x , y , k ∈ [ 0 , 1 ] ) ( x + k ∧ y − k   ⇒   U ( x + k , y − k ) = U ( x , y ) ) {\displaystyle (\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))} 可以使用一般的度量理论来描述模糊集之间的距离。在这个意义上，我们需要在模糊幂集 F ( U ) {\displaystyle F(U)} 上建立一个度量，此外，我们还可能需要将此度量标准化，也即映射到 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 区间上。例如可以这样来标准化 Minkowski 距离： d ~ ( x , y ) = ( 1 n ∑ i = 1 n | x i − y i | p ) 1 p {\displaystyle {\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}} 另一种是使用贴近度概念。在某种意义上，贴近度就是 1 - 距离（这里的距离是上述标准化意义上的距离）。而之所以应用这个变换，是考虑到“度”的概念的直觉反映——距离越近，贴近的程度显然越“高”，因此它恰为距离的反数。 除了距离外，还有一些与模糊集的特殊操作有关系的贴近度定义。 最大最小贴近度 σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∨ B ( u i ) ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}} 算术平均最小贴近度 σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) 1 2 ∑ i = 1 n ( A ( u i ) + B ( u i ) ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}} 几何平均最小贴近度 σ ( A , B ) = ∑ i = 1 n ( A ( u i ) ∧ B ( u i ) ) ∑ i = 1 n A ( u i ) ⋅ B ( u i ) {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}} 指数贴近度 σ ( A , B ) = 1 e ‖ A − B ‖ {\displaystyle \displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}} 粗集合 解模糊 要注意，严格地说，模糊集或子集是映射所确定的序对集，但由于模糊子集完全由其隶属函数所确定，因而我们不区分映射和映射所确定的序对集，而总是直接把模糊子集定义为一个满足上述定义的映射。 L. A. Zadeh (1965) "Fuzzy sets" 互联网档案馆的存檔，存档日期2007-11-27.. Information and Control 8 (3) 338–353. D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York. 陈水利等，模糊集理论及其应用，科学出版社，2005年，第20页。 Etienne E. Kerre 等，模糊集理论与近似推理，武汉大学出版社，2004年，第103页。