事件 (概率论)

在概率論中，隨機事件（或簡稱事件）指的是一個被賦與機率的事物集合，也就是樣本空間中的一個子集。簡單來說，在一次隨機試驗中，某個特定事件可能出現也有可能不出現；但當試驗次數增多，我們可以觀察到某種規律性的結果，就是隨機事件。基本上，只要樣本空間是有限的，則在樣本空間內的任何一個子集合，都可以被稱為是一個事件。然而，當樣本空間是無限的時候，特別是不可數之時，就常常不能定義所有的子集為隨機事件了。因此，爲了定義一個概率空間，常常需要去掉樣本空間的某些子集，規定他們不能成為事件。 假設我們有一堆52張的撲克牌，并閉著眼睛在這堆牌中抽取一張牌，那麼用概率論的術語來說，我們實際上是在做一個隨機試驗。這時，我們的樣本空間是一個有著52個元素的集合，因為任意一張牌都是一個可能的結果。而一個隨機事件，則是這個樣本空間的任意一個子集（这个任意子集包括空集，一个元素的集合及多个元素的集合）。運用組合知識可以知道，隨機事件一共有 2 52 {\displaystyle 2^{52}} 種。當這個事件僅僅包括樣本空間的一個元素（或者說它是一個單元素集合）的時候，稱這個事件為一個基本事件。比如說事件“抽到的牌是黑桃7”。當事件是空集時，稱這個事件為不可能事件。當事件是全集時，則稱事件是必然事件。其它還有各種各樣的事件，比如： “抽到的牌是鬼牌”（也是不可能事件） “抽到的牌是紅桃3”（基本事件） “抽到的牌數字是9”（包含4個元素） “抽到的牌是方塊”（包含13個元素） “抽到的牌是紅顏色的並且數字小於等於10”（包含20個元素） “抽到的牌不是紅桃3”（包含51個元素） 由於事件是樣本空間的子集，所以也可以寫成集合的形式。有時候寫成集合的形式可能會很困難。有時候也可以用文氏圖來表示事件，這時可以用事件所代表圖形的面積來按比例顯示事件的概率。 當樣本空間有限，试验中每个基本事件发生的可能性相同的時候，稱為古典概型。這時可以（也是一般用到的）取樣本空間的所有的子集作為事件。然而，當樣本空間不是有限的時候，特別是當樣本空間是實數的時候，就不能取所有的子集作為事件了。其中的根本原因在於概率的定義。一般來說，當研究一個隨機事件的時候，我們希望知道它發生的概率。事件發生的概率是一個介於0和1之間的數。當樣本空間是不可數的時候，如果我們取樣本空間所有的子集，那麼概率論的公理系統會產生數學上的矛盾，也就是說，會有一些子集無法被定義概率。具體地說，概率論的公理系統是由三個部份 ( Σ , F , P ) {\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 組成的，又稱為概率空間。這個空間包括：樣本空間 Σ {\displaystyle \Sigma } 、事件集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} （又稱為事件體）以及定義在這上面的一個取概率的運算： P {\displaystyle \mathbb {P} } 。其中的事件集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是一個σ-代數，而取概率的運算 P {\displaystyle \mathbb {P} } 需要滿足概率的加法公理（σ-Additive）： 如果一系列事件 A 1 , A 2 , ⋯ {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots } 兩兩互斥（也就是說對任意的 i , j {\displaystyle i,j} ， A i ∩ A j {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}} 都是空集。此亦稱為pairwise disjoint）那麼就有： P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) {\displaystyle \mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (A_{i})} 這個公理是符合一般人的直覺的：如果幾件事情互相之間相互排斥，那麼“它們幾個中有一個發生”的概率應該等於其中每一個發生的概率的和。 然而，對於不可數的樣本空間，如果選全部的子集作為事件的話，會有一些子集，無論怎樣為他們定義概率，都會違反加法公理。 假設小明和小華玩一個遊戲，讓小華隨意說一個0到1之間的實數。小明爲了研究概率，選擇了所有[0,1]的子集作為概率集合。他將所有的0到1之間的有理數取出來。由於0到1之間的有理數是可數集合，所以可以做標號： q 1 , q 2 , ⋯ {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots } 。對於每一個0到1之間的實數 a {\displaystyle a} ，小明將 a + q 1 , a + q 2 , ⋯ {\displaystyle a+q_{1},a+q_{2},\cdots } 作為一個集合，如果其中有大於1的，就減去1。這個集合是由可數個數構成的，小明把它記作 S a {\displaystyle S_{a}} 。构造多个这样的集合 S a {\displaystyle S_{a}} 满足其並集是區間[0,1]，且它們之間兩兩不相交。然後將每個 S a {\displaystyle S_{a}} 寫成： S a = s a , 1 , s a , 2 , ⋯ {\displaystyle S_{a}=s_{a,1},s_{a,2},\cdots } 再令： T 1 = {\displaystyle T_{1}=} 遍歷所有 S a {\displaystyle S_{a}} 集合中的 s a , 1 {\displaystyle s_{a,1}} 所構成的集合。 T 2 = {\displaystyle T_{2}=} 遍歷所有 S a {\displaystyle S_{a}} 集合中的 s a , 2 {\displaystyle s_{a,2}} 所構成的集合。 如此等等， 那麼所得到的事件（也就是集合） T 1 , T 2 , ⋯ {\displaystyle T_{1},T_{2},\cdots } 的並集也是區間[0,1]，而且它們之間兩兩不相交。由於這些事件之間地位相等，所以它們的概率 P ( T n ) {\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})} 都是一樣的。 如果 P ( T n ) > 0 {\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})>0} ，那麼根據加法原則， 1 = P ( [ 0 , 1 ] ) = P ( ⋃ i = 1 ∞ T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T 1 ) = + ∞ {\displaystyle 1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{1})=+\infty } 而如果 P ( T n ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} (T_{n})=0} ，那麼根據加法原則，仍然有： 1 = P ( [ 0 , 1 ] ) = P ( ⋃ i = 1 ∞ T i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T i ) = 0 + 0 + ⋯ = 0 {\displaystyle 1=\mathbb {P} ([0,1])=\mathbb {P} (\bigcup _{i=1}^{\infty }T_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} (T_{i})=0+0+\cdots =0} 因此無論如何，都會導致矛盾。也就是說小明無法為事件 T 1 {\displaystyle T_{1}} 定出一個概率。在一般的測度理論中，這種集合稱為（勒貝格）不可測集合。 兩個隨機事件之間可以有各種各樣的關係。 包含關係：通常用符號 ⊂ {\displaystyle \subset } 表示。一個事件 A {\displaystyle A} 包含另一個事件 B {\displaystyle B} 記作： B ⊂ A {\displaystyle B\subset A} 。這時只要事件 B {\displaystyle B} 發生，那麼事件 A {\displaystyle A} 也一定發生。這個關係其實就是集合論中的包含關係。舉之前撲克牌的例子來說，假設事件 A {\displaystyle A} 是“抽出的牌上數字是8”，事件 B {\displaystyle B} 是“抽出的牌是梅花8”，那麼事件 A {\displaystyle A} 包含事件 B {\displaystyle B} ：只要抽出的是梅花8，牌上的數字自然就是8。 等價關係：兩個事件對應的子集完全相等，記作 A = B {\displaystyle A=B} 。例子：事件“抽出的牌花色是黑桃並且數字比3小並且數字是偶數”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等價的。 對立關係：兩個事件只能有一個發生，並且必然有一個發生，則它們是對立關係。這種關係對應的集合論術語是“補集”。 互斥關係：兩個事件只能有一個發生，但並不必然有一個發生。這時也稱兩個事件之間是互不相容的。 如果兩個事件同時發生的概率等於它們各自發生的概率的乘積，那麼就稱這兩個事件是相互獨立的。比如說，“抽到的牌是紅桃”和“抽到的牌數字是4”就是相互獨立的，因為兩者同時發生——抽到的牌是紅桃4——的概率是52分之1，而“抽到的牌是紅桃”的概率是4分之1，“抽到的牌數字是4”的概率是13分之1，兩者相乘便是52分之1。 事件 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} ：是事件 A {\displaystyle A} 和事件 B {\displaystyle B} 的和事件（並事件），指的是事件“事件 A {\displaystyle A} 發生或者事件 B {\displaystyle B} 發生”。 事件 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ：是事件 A {\displaystyle A} 和事件 B {\displaystyle B} 的積事件（交事件），指的是事件“事件 A {\displaystyle A} 發生且事件 B {\displaystyle B} 發生”。 事件 A − B {\displaystyle A-B} ：是事件 A {\displaystyle A} 和事件 B {\displaystyle B} 的差事件，指的是事件“事件 A {\displaystyle A} 發生且事件 B {\displaystyle B} 不發生”。 在概率運算時，還有： P ( A ∣ B ) {\displaystyle P(A\mid B)} ：指的是“设 A 与 B 为样本空间 Ω 中的两个事件，其中 P(B)>0。那么在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：” 隨機變量 σ-代數 龚光鲁. 概率论与数理统计. 清华大学出版社. 2006. ISBN 978-7-302-12723-9. ，第13頁 张育丽. Lebesgue不可测集的存在性及其应用. 烟台师范学院学报(自然科学版). 2004, 20: 103-104.  叶俊 赵衡秀. 《概率论与数理统计》. 清華大學出版社. 2005. ISBN 9787302095668.