极值定理

在微积分中，极值定理（或最值定理）说明如果实函数f在闭区间[a,b]上是连续函数，则它一定取得最大值和最小值，至少一次。也就是说，存在[a,b]内的c和d，使得： f ( c ) ≥ f ( x ) ≥ f ( d ) {\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)} 对于所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 。 一个相关的定理是有界性定理，它说明闭区间[a,b]内的连续函数f在该区间上有界。也就是说，存在实数m和M，使得： m ≤ f ( x ) ≤ M {\displaystyle m\leq f(x)\leq M} 对于所有 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 。 极值定理强化了有界性定理，它表明函数不仅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。 我们来证明f 的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数–f，也可推出f 的下界和存在最小值。 我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。 假设函数f在区间[a,b]内連續且没有上界，那么对于每一个自然数n，都存在[a,b]内的一个xn，使得f(xn) > n（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列{xn}。 由于[a,b]是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在{xn}的一个收敛的子序列 { x n k } {\displaystyle \{x_{n_{k}}\}} 。把它的极限记为x。由于[a,b]是闭区间，它一定含有x。因为f在x处连续，我们知道 { f ( x n k ) } {\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}} 收敛于实数f(x)。 但对于所有的k，都有 f ( x n k ) > n k ≥ k {\displaystyle f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k} ，这意味着 { f ( x n k ) } {\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}} 发散于无穷大。 前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，f在[a,b]内有上界。同理f在[a,b]内有下界。证毕。 基本步骤为： 寻找一个序列，它的像收敛于f 的最小上界。 证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。 用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。 我们现在证明函数f 在区间[a,b]内有最大值。根据有界性定理，f 有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，f 的最小上界M存在。我们需要寻找[a,b]内的一个d，使得M = f (d)。设n为一个自然数。由于M是最小上界，M – 1/n就不是 f 的上界。因此，存在[a,b]内的dn，使得M – 1/n < f (dn)。这便定义了一个序列{dn}。由于M是f 的一个上界，即便是对于所有的n，我们仍有M – 1/n < f (dn) ≤ M。因此，序列 { f ( d n ) } {\displaystyle \{f(d_{n})\}} 收敛于M。 根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列 { d n k } {\displaystyle \{d_{n_{k}}\}} ，它收敛于某个d，且由于[a,b]是闭区间， d ∈ [ a , b ] {\displaystyle d\in [a,b]} 。因为f 在d 处连续，所以序列 { f ( d n k ) } {\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}} 收敛于f (d)。但 { f ( d n k ) } {\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}} 是 { f ( d n ) } {\displaystyle \{f(d_{n})\}} 的一个子序列，收敛于M，因此M = f (d)。所以，f 在d 处取得最小上界M。证毕。 设M是f 在区间[a,b]上的最小上界，我们要证明存在 d ∈ [ a , b ] {\displaystyle d\in [a,b]} 使得 f ( d ) = M {\displaystyle f(d)=M} 。我们使用反证法：如若不然，对任意 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ， f ( x ) ≠ M {\displaystyle f(x)\neq M} ，所以，对任意的 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ， f ( x ) < M {\displaystyle f(x)<M} 。我们考虑正值的函数 g ( x ) = 1 M − f ( x ) . {\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.} 因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于M是f (x)的最小上界，所以存在 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ，使得f (x)可以无限地接近M，从而g(x)是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。 注: 上面构造函数g(x)来证明最大值能在某个d取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。 以下的例子说明了为什么函数的定义域需要是闭的和有界的。 定义在[0,∞)的函数f(x) = x没有上界。 定义在[0,∞)的函数f(x) = x/(1 + x)有界，但不取得最小上界1。 定义在(0,1]的函数f(x) = 1/x没有上界。 定义在(0,1]的函数f(x) = 1 –x有界，但不取得最小上界1。 如果把f的连续性减弱为半连续，则有界性定理和极值定理的对应的一半仍然成立，且扩展的实数轴上的值–∞和+∞也可以允许为可能的值。更加精确地： 定理：如果函数f : [a,b] → [–∞,∞)是上半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有： lim sup y → x f ( y ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \limsup _{y\to x}f(y)\leq f(x)} ， 那么f有上界，且取得最小上界。 证明：如果对于[a,b]内的所有x，都有f(x) = –∞，那么最小上界也是–∞，于是定理成立。在任何其它情况下，只需把上面的证明稍加修改便可。在有界性定理的证明中，f在x处的半连续性只意味着子序列 { f ( x n k ) } {\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}} 的上极限有上界f(x) < ∞，但这已足以得到矛盾。在极值定理的证明中，f在d处的半连续性意味着子序列 { f ( d n k ) } {\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}} 的上极限有上界f(d)，但这已足以推出f(d) = M的结论。证毕。 把这个结果应用于−f，可得： 定理：如果函数f : [a,b] → (–∞,∞]是下半连续的，也就是说，对于[a,b]内的所有x，都有： lim inf y → x f ( y ) ≥ f ( x ) {\displaystyle \liminf _{y\to x}f(y)\geq f(x)} 那么f有下界，且取得最大下界。 一个实函数是上半连续且下半连续的，当且仅当它是连续的。因此，从这两个定理就可以推出有界性定理和极值定理。 孙玉泉 文晓 薛玉梅 苑佳 杨义川. 工科数学分析 上. 北京: 北京航空航天大学出版社. 2019. ISBN 978-7-5124-3044-0.  存档副本 (PDF). [2022-10-16]. （原始内容存档 (PDF)于2022-10-16）.  Parzynski, William R. Introduction to Mathematical Analysis. McGraw-Hill, Inc. 1982: 102-104.  Michael Spivak. Calculus. Cambridge University Press. 2006.  cut-the-knot上极值定理的证明 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Boundedness Theorem. PlanetMath.  Extreme Value Theorem. PlanetMath.  埃里克·韦斯坦因. 极值定理. MathWorld.