正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標 q = ( q 1 ,   q 2 ,   q 3 ,   …   q n ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})} ，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者采用爱因斯坦记号对坐标标号使用上标并非表示指数）。坐標曲面定義為特定坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的等值曲面，即 q i {\displaystyle q_{i}} 為常数的曲线、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 是一種正交坐標系，它的 x {\displaystyle x} 為常數， y {\displaystyle y} 為常數， z {\displaystyle z} 為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐标系是曲线坐标系的特殊的但极其常见的形式。 正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子 H 2 − {\displaystyle H_{2}\,^{-}} 的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的 n {\displaystyle n} 維問題變為 n {\displaystyle n} 個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程可以在13个正交坐标系中分离（本文列出的14个中圆环坐标系除外），而亥姆霍茲方程可以在11个正交坐标系中分离。 正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方 d s 2 {\displaystyle ds^{2}} ，可以寫為無窮小坐標位移的平方和： d s 2 = ∑ i = 1 n ( h i d q i ) 2 {\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}dq_{i}\right)^{2}} ； 其中， n {\displaystyle n} 是維數，標度因子 h i {\displaystyle h_{i}} 是度規張量的對角元素 g i i {\displaystyle g_{ii}} 的平方根： h i ( q )   = d e f   g i i ( q ) {\displaystyle h_{i}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{ii}(\mathbf {q} )}}} 。 這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。 在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系 ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} 的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數 z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} 的任何全純函數 w = f ( z ) {\displaystyle w=f(z)} ，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為 w = u + i v {\displaystyle w=u+iv} ，則 u {\displaystyle u} 與 v {\displaystyle v} 的等值曲線以直角相交，就如同原本的 x {\displaystyle x} 與 y {\displaystyle y} 的等值曲線以直角相交。 三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐标可以从一些必要的坐标曲面/曲线起步并通过考虑它们的正交轨迹线（英语：Orthogonal trajectory）而得到。 在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變： A ⋅ B = ∑ i = 1 n A i B i {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}} 。 從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的無窮小改變 d q i {\displaystyle dq_{i}} ，其相伴的長度是 d s i = h i d q i {\displaystyle ds_{i}=h_{i}dq_{i}} 。因此，一個位移向量的全微分 d r {\displaystyle d\mathbf {r} } 等於 d r = ∑ i = 1 n h i d q i e i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}h_{i}dq_{i}\mathbf {e} _{i}} ； 其中， e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 是垂直於 q i {\displaystyle q_{i}} 等值曲面的單位向量，指向著 q i {\displaystyle q_{i}} 增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。 因此，向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 沿著周線 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的線積分等於 ∫ C F ⋅ d r = ∑ i = 1 n ∫ C F i h i d q i {\displaystyle \int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {C} }F_{i}h_{i}dq_{i}} ； 其中， F i {\displaystyle F_{i}} 是向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 在單位向量 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 方向的分量： F i   = d e f   e i ⋅ F {\displaystyle F_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} } 。 類似地，一個無窮小面積元素是 d A = d s i d s j = h i h j d q i d q j , i ≠ j {\displaystyle dA=ds_{i}ds_{j}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j},\qquad i\neq j} ， 一個無窮小體積元素是 d V = d s i d s j d s k = h i h j h k d q i d q j d q k , i ≠ j ≠ k {\displaystyle dV=ds_{i}ds_{j}ds_{k}=h_{i}h_{j}h_{k}dq_{i}dq_{j}dq_{k},\qquad i\neq j\neq k} 。 例如，向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 對於一個曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的曲面積分是 ∫ S F ⋅ d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 d q 2 d q 3 + ∫ S F 2 h 3 h 1 d q 3 d q 1 + ∫ S F 3 h 1 h 2 d q 1 d q 2 {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}+\int _{\mathbb {S} }F_{2}h_{3}h_{1}dq_{3}dq_{1}+\int _{\mathbb {S} }F_{3}h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2}} 。 直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 與球坐標 ( r ,   θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\phi )} 的變換方程式為 x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi } 、 y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi } 、 z = r cos ⁡ θ {\displaystyle z=r\cos \theta } 。 直角坐標的全微分是 d x = sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ d r + r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ d θ − r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ d ϕ {\displaystyle dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi } 、 d y = sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ d r + r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ d θ + r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ d ϕ {\displaystyle dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi } 、 d z = cos ⁡ θ d r − r sin ⁡ θ d θ {\displaystyle dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta } 。 所以，無窮小距離的平方是 d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 = d r 2 + ( r d θ ) 2 + ( r sin ⁡ θ d ϕ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\&=dr^{2}+(rd\theta )^{2}+(r\sin \theta d\phi )^{2}\\\end{aligned}}} 。 標度因子是 h r = 1 {\displaystyle h_{r}=1} 、 h θ = r {\displaystyle h_{\theta }=r} 、 h ϕ = r sin ⁡ θ {\displaystyle h_{\phi }=r\sin \theta } 。 向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 沿著周線 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的線積分等於 ∫ C F ⋅ d r = ∫ C F r   d r + F θ   r d θ + F ϕ   r sin ⁡ θ d ϕ {\displaystyle \int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbb {C} }F_{r}\ dr+F_{\theta }\ rd\theta +F_{\phi }\ r\sin \theta d\phi } 。 向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } 對於一個曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的曲面積分是 ∫ S F ⋅ d A = ∫ S F r   r 2 sin ⁡ θ d θ d ϕ + ∫ S F θ   r sin ⁡ θ d r d ϕ + ∫ S F ϕ   r d r d θ {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\theta }\ r\sin \theta drd\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\phi }\ rdrd\theta } 。 上面表达式可以使用列維-奇維塔符號 ϵ {\displaystyle \epsilon } 的更简洁形式书写，定义 H = h 1 h 2 h 3 {\displaystyle H=h_{1}h_{2}h_{3}} ，并使用爱因斯坦记号，即在同时出现上标和下标的项目上求此项所有可能的总和: 除了直角坐标系之外，下表列出其他常见的正交坐标系，为了简明性在坐标列中使用了区间符号。 一個函數 ϕ {\displaystyle \phi } 的梯度朝某個方向 n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 的分量，等於方向導數 d ϕ d s {\displaystyle {\frac {d\phi }{ds}}} 朝 n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 方向的值： ∇ Φ ⋅ n ^ = d ϕ d s {\displaystyle \nabla \Phi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {d\phi }{ds}}} ； 其中， d s {\displaystyle ds} 是朝 n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 方向的無窮小位移。 假若，這 n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 與正交坐標軸 e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} 同方向。那麼， d s = h i d q i {\displaystyle ds=h_{i}dq_{i}} 。所以，函數 ϕ {\displaystyle \phi } 的梯度朝 e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} 的分量是 ∂ ϕ h i ∂ q i {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{h_{i}\partial q_{i}}}} ；也就是說， ∇ Φ = e ^ 1 1 h 1 ∂ Φ ∂ q 1 + e ^ 2 1 h 2 ∂ Φ ∂ q 2 + e ^ 3 1 h 3 ∂ Φ ∂ q 3 {\displaystyle \nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}} 。 ∇ ⋅ F = ∇ ⋅ ( e ^ 1 F 1 + e ^ 2 F 2 + e ^ 3 F 3 ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})} 。 取右手邊第一個項目， ∇ ⋅ ( e ^ 1 F 1 ) = ∇ ⋅ [ ( e ^ 1 h 2 h 3 ) ( h 2 h 3 F 1 ) ] {\displaystyle \nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)\right]} 。 應用向量恆等式 ∇ ⋅ ( A ϕ ) = ϕ ∇ ⋅ A + A ⋅ ( ∇ ϕ ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot (\nabla \phi )} 與 ∇ ⋅ ( ∇ ϕ 1 × ∇ ϕ 2 ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi _{1}\times \nabla \phi _{2})=0} ，可以得到 ∇ ⋅ ( e ^ 1 F 1 ) = ( h 2 h 3 F 1 ) ∇ ⋅ ( e ^ 1 h 2 h 3 ) + ( e ^ 1 h 2 h 3 ) ⋅ ∇ ( h 2 h 3 F 1 ) = ( h 2 h 3 F 1 ) ∇ ⋅ [ ( ∇ q 2 ) × ∇ ( q 3 ) ] + ( e ^ 1 h 2 h 3 ) ⋅ ∇ ( h 2 h 3 F 1 ) = ( e ^ 1 h 2 h 3 ) ⋅ ∇ ( h 2 h 3 F 1 ) = 1 h 1 h 2 h 3 ∂ ∂ q 1 ( F 1 h 2 h 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot [(\nabla q_{2})\times \nabla (q_{3})]+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})\\\end{aligned}}} 。 總合所有項目， ∇ ⋅ F = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( F 1 h 2 h 3 ) + ∂ ∂ q 2 ( F 2 h 3 h 1 ) + ∂ ∂ q 3 ( F 3 h 1 h 2 ) ] {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]} 。 ∇ × F = ∇ × ( e ^ 1 F 1 + e ^ 2 F 2 + e ^ 3 F 3 ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})} 。 取右手邊第一個項目， ∇ × ( e ^ 1 F 1 ) = ∇ × [ ( e ^ 1 h 1 ) ( h 1 F 1 ) ] {\displaystyle \nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\left(h_{1}F_{1}\right)\right]} 。 應用向量恆等式 ∇ × ( A ϕ ) = ϕ ∇ × A − A × ( ∇ ϕ ) {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \phi )} ， ∇ × ( e ^ 1 F 1 ) = ( h 1 F 1 ) ∇ × ( e ^ 1 h 1 ) − ( e ^ 1 h 1 ) × ∇ ( h 1 F 1 ) = ( h 1 F 1 ) ∇ × ( ∇ q 1 ) − ( e ^ 1 h 1 ) × ( e ^ 2 h 2 ∂ ∂ q 2 ( h 1 F 1 ) + e ^ 3 h 3 ∂ ∂ q 3 ( h 1 F 1 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{1}F_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \nabla (h_{1}F_{1})\\&=(h_{1}F_{1})\nabla \times (\nabla q_{1})-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})\right)\\\end{aligned}}} 。 應用向量恆等式 ∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0} ， ∇ × ( e ^ 1 F 1 ) = e ^ 2 h 1 h 3 ∂ ∂ q 3 ( h 1 F 1 ) − e ^ 3 h 1 h 2 ∂ ∂ q 2 ( h 1 F 1 ) {\displaystyle \nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{1}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})-{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})} 。 總合所有項目， ∇ × F = e 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 2 ( h 3 F 3 ) − ∂ ∂ q 3 ( h 2 F 2 ) ] + e 2 h 3 h 1 [ ∂ ∂ q 3 ( h 1 F 1 ) − ∂ ∂ q 1 ( h 3 F 3 ) ] + e 3 h 1 h 2 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 F 2 ) − ∂ ∂ q 2 ( h 1 F 1 ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}} 。 ∇ 2 Φ = 1 h 1 h 2 h 3 [ ∂ ∂ q 1 ( h 2 h 3 h 1 ∂ Φ ∂ q 1 ) + ∂ ∂ q 2 ( h 3 h 1 h 2 ∂ Φ ∂ q 2 ) + ∂ ∂ q 3 ( h 1 h 2 h 3 ∂ Φ ∂ q 3 ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]} 。 Eric W. 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