根軌跡圖

根軌跡圖（root locus）是控制理論及穩定性理論中，繪圖分析的方式，可以看到在特定參數（一般會是回授系統的环路增益）變化時，系統極點的變化。根軌跡圖是由Walter R. Evans（英语：Walter R. Evans）所發展的技巧，是經典控制理論中的稳定性判据，可以判斷線性非時變系統是否穩定。 根軌跡圖是在複數s-平面中，系統閉迴路傳遞函數的极点隨著增益參數的變化（參照極零點圖（英语：Pole–zero plot））。 除了確認系統的穩定性外，根軌跡圖也可以用來設計回授系統的阻尼比（ζ）及自然頻率（ωn）。定阻尼比的線是從原點往外延伸的線，而固定自然頻率的線是圓心在原點的圓弧。在根軌跡圖上選擇有想要的阻尼比及自然頻率的點，可以計算增益K並且實現其控制器。在許多教材科書上有利用根軌跡圖設計控制器的精細技巧，例如超前-滞后补偿器、PI、PD及PID控制器都可以用此技巧來近似設計。 以上使用阻尼比及自然頻率的定義，前提是假設整個回授系統可以用二階系統來近似，也就是說系統有一對主要的複數極點，不過多半的情形都不是如此，因此在實做時仍需要針對系統再進行模擬，確認符合需求。 回授系統的根軌跡圖是用繪圖的方式在複數s-平面上畫出在系統參數變化時，回授系統閉迴路極點的可能位置。這些點是根軌跡圖中滿足角度條件（angle condition）的點。根軌跡圖中特定點的參數數值可以用量值條件（magnitude condition）來計算。 假設有個回授系統，輸入信號 X ( s ) {\displaystyle X(s)} 、輸出信號 Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} 。其順向路徑传递函数為 G ( s ) {\displaystyle G(s)} ，回授路徑传递函数為 H ( s ) {\displaystyle H(s)} 。 此系統的閉迴路傳遞函數為 T ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) {\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}} 因此，閉迴路傳遞函數的極點為特徵方程式 1 + G ( s ) H ( s ) = 0 {\displaystyle 1+G(s)H(s)=0} 的根，方程式的根可以令 G ( s ) H ( s ) = − 1 {\displaystyle G(s)H(s)=-1} 來求得。 若是一個沒有純粹延遲的系統， G ( s ) H ( s ) {\displaystyle G(s)H(s)} 的乘積為有理的多項式函數，可以表示為 G ( s ) H ( s ) = K ( s + z 1 ) ( s + z 2 ) ⋯ ( s + z m ) ( s + p 1 ) ( s + p 2 ) ⋯ ( s + p n ) {\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}} 其中 − z i {\displaystyle -z_{i}} 為 m {\displaystyle m} 個零點， − p i {\displaystyle -p_{i}} 為 n {\displaystyle n} 個極點，而 K {\displaystyle K} 為增益。一般而言，root locus diagram會標示在不同參數 K {\displaystyle K} 時，傳遞函數極點的位置。而root locus plot就會畫出針對任意 K {\displaystyle K} 值下，使 G ( s ) H ( s ) = − 1 {\displaystyle G(s)H(s)=-1} 的極點 ，但無法看出 K {\displaystyle K} 值變化時，極點移動的趨勢。 因為只有 K {\displaystyle K} 的係數以及簡單的單項，此有理多項式的值可以用向量的技巧來計算，也就是將量值相乘或是相除，角度相加或是相減。向量公式的由來是因為有理多項式 G ( s ) H ( s ) {\displaystyle G(s)H(s)} 的每一個因式 ( s − a ) {\displaystyle (s-a)} 就表示一個s-平面下由 a {\displaystyle a} 到 s {\displaystyle s} 的向量，因此可以透過計算每一個向量的量值及角度來計算多項式。 根據矩陣數學，有理多項式的相角等於所有分子項的角度和，減去所有分母項的角度和。因此若要測試s-平面上的一點是否在根軌跡圖上，只要看開迴路的零點及極點即可，這稱為角度條件。 有理多項式的量值也是所有分子項的量值乘積，再除以所有分母項量值的乘積。若只是要確認一個s-平面上的點是否在根軌跡圖上，不需要計算有理多項式的量值，因為 K {\displaystyle K} 值會變，而且可以是任意的整數。針對根軌跡圖上的每一點，都可以計算其對應的 K {\displaystyle K} 值，此即為量值條件。 以前繪製根軌跡圖會使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用來確認角度並且繪製根軌跡圖 根軌跡圖只能提供在增益 K {\displaystyle K} 變化時閉迴路極點的位置資訊。 K {\displaystyle K} 的數值不影響零點的位置，閉迴路零點和開迴路的零點相同。 複數s平面上的點 s {\displaystyle s} 若滿足下式，即符合角度條件（angle condition） ∠ ( G ( s ) H ( s ) ) = π + 2 k π {\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi +2k\pi } 其中 k {\displaystyle k} 為整數。 也就是說 ∑ i = 1 m ∠ ( s + z i ) − ∑ i = 1 n ∠ ( s + p i ) = π + 2 k π {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi +2k\pi } 開迴路零點到 s {\displaystyle s} 點角度的和，減去開迴路極點到 s {\displaystyle s} 點角度的和，除 2 π {\displaystyle 2\pi } 後的餘數需等於 π {\displaystyle \pi } 。 在根軌跡圖上的特定點 s {\displaystyle s} ，數值 K {\displaystyle K} 若使下式成立，就符合量值條件（magnitude condition） | G ( s ) H ( s ) | = 1 {\displaystyle |G(s)H(s)|=1} 也就是說 K | s + z 1 | | s + z 2 | ⋯ | s + z m | | s + p 1 | | s + p 2 | ⋯ | s + p n | = 1 {\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1} . 利用一些基本的技巧，可以用根軌跡法繪製Ｋ值變化時極點的軌跡。根軌跡圖可以看出回授系統在不同 K {\displaystyle K} 下的穩定性以及動態特性。其規則如下： 標示開迴路的極點及零點 將實軸上，在奇數個極點及零點左邊的線段標示下來（例如一個、三個極點及零點）。 找渐近线 令P為極點的個數，Z為零點的個數，兩者相減即為渐近线的數量： P − Z = number of asymptotes {\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,} 漸近線和實軸的交點在 α {\displaystyle \alpha } （稱為形心），往外延伸的角度為 ϕ {\displaystyle \phi } ： ϕ l = 180 ∘ + ( l − 1 ) 360 ∘ P − Z , l = 1 , 2 , … , P − Z {\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z} α = ∑ P − ∑ Z P − Z {\displaystyle \alpha ={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}} 其中 ∑ P {\displaystyle \sum _{P}} 為所有極點數值的和， ∑ Z {\displaystyle \sum _{Z}} 為所有明確零點數值的和 根據測試點的相位條件判斷其往外延伸的角度 計算分離點（breakaway/break-in points） 根軌跡圖上的分離點（二條根軌跡圖上的軌跡相交的點）是滿足下式的根 d G ( s ) H ( s ) d s = 0  or  d G H ¯ ( z ) d z = 0 {\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0} 只要解開z，實根即為分離點，若是虛數，表示沒有分離點。 劳斯–赫尔维茨稳定性判据 奈奎斯特稳定判据 增益裕度及相位裕度 波德圖 相位裕度 Kuo 1967，第331頁. Kuo 1967，第332頁. Evans, Walter R., Spirule Instructions, Whittier, CA: The Spirule Company, 1965  Evans, W. R., Graphical Analysis of Control Systems, Trans. AIEE, January 1948, 67 (1): 547–551, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1948.5059708  Evans, W. R., Control Systems Synthesis by Root Locus Method, Trans. AIEE, January 1950, 69 (1): 66–69, ISSN 0096-3860, doi:10.1109/T-AIEE.1950.5060121  Kuo, Benjamin C., Root Locus Technique, Automatic Control Systems second, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall: 329–388, 1967, ASIN B000KPT04C, LCCN 67016388, OCLC 3805225  Ash, R. H.; Ash, G. H., Numerical Computation of Root Loci Using the Newton-Raphson Technique, IEEE Trans. Automatic Control, October 1968, 13 (5), doi:10.1109/TAC.1968.1098980  Williamson, S. E., Design Data to assist the Plotting of Root Loci (Part I), Control Magazine, May 1968, 12 (119): 404–407  Williamson, S. 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Also visit the main page The root-locus method: Drawing by hand techniques "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows Root Locus at ControlTheoryPro.com Root Locus Analysis of Control Systems MATLAB function for computing root locus of a SISO open-loop model Wechsler, E. R., Root Locus Algorithms for Programmable Pocket Calculators (PDF), NASA: 60–64, January–March 1983 [2017-06-02], TDA Progress Report 42-73, （原始内容 (PDF)存档于2016-12-24）  Mathematica function for plotting the root locus （页面存档备份，存于互联网档案馆）