背景场方法

在量子场论中，背景场方法是通过将场系统中一些量子场写成经典场（称为背景场）和量子场的叠加，从而计算原来的量子场的有效作用量（英语：Effective action）的方法。由于该方法能给出保持规范对称性的结果，它常被用于规范场的量子化。 量子场的格林函数（英语：Correlation_function_(quantum_field_theory)）可以由其生成泛函 Z [ J ] {\displaystyle Z[J]} 对外源 J {\displaystyle J} 的泛函微商给出： Z [ J ] = ∫ D ϕ exp ⁡ ( i ∫ d d x ( L [ ϕ ( x ) ] + J a ( x ) ϕ a ( x ) ) ) {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\phi (x)]+J^{a}(x)\phi ^{a}(x))\right)} 连通格林函数（英语：Ursell function）的生成泛函 W [ J ] {\displaystyle W[J]} 为： W [ J ] = − i ln ⁡ ( Z [ J ] ) {\displaystyle W[J]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J])} 有效作用量 Γ [ ϕ ] {\displaystyle \Gamma [\phi ]} 为 W [ J ] {\displaystyle W[J]} 的勒让德变换： Γ [ ϕ ] = W [ J ] − ∫ d d x J a ( x ) ϕ a ( x ) {\displaystyle \Gamma [\phi ]=W[J]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\phi ^{a}(x)} ，其中 J {\displaystyle J} 由方程 ϕ = δ W [ J ] δ J {\displaystyle \phi ={\frac {\delta W[J]}{\delta J}}} 决定。 Γ [ ϕ ] {\displaystyle \Gamma [\phi ]} 也是单粒子不可约格林函数的生成泛函。 如果将 ϕ {\displaystyle \phi } 写成经典场 B {\displaystyle B} （称为背景场）和量子场 η {\displaystyle \eta } 的叠加： ϕ ( x ) = B ( x ) + η ( x ) {\displaystyle \phi (x)=B(x)+\eta (x)} . 则同样可以定义背景场存在下量子场 η {\displaystyle \eta } 的生成泛函 Z [ J , B ] {\displaystyle Z[J,B]} ， W [ J , B ] {\displaystyle W[J,B]} 和有效作用量 Γ [ η , B ] {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]} ： Z [ J , B ] = ∫ D η exp ⁡ ( i ∫ d d x ( L [ η ( x ) + B ( x ) ] + J a ( x ) η a ( x ) ) ) {\displaystyle Z[J,B]=\int {\mathcal {D}}\eta \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[\eta (x)+B(x)]+J^{a}(x)\eta ^{a}(x))\right)} W [ J , B ] = − i ln ⁡ ( Z [ J , B ] ) {\displaystyle W[J,B]=-{\mathcal {i}}\ln(Z[J,B])} Γ [ η , B ] = W [ J , B ] − ∫ d d x J a ( x ) η a ( x ) {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=W[J,B]-\int \mathrm {d} ^{d}xJ^{a}(x)\eta ^{a}(x)} ， η a = δ W [ J , B ] δ J a {\displaystyle \eta ^{a}={\frac {\delta W[J,B]}{\delta J^{a}}}} 对 Z [ J , B ] {\displaystyle Z[J,B]} 的路径积分表达式作 η → ϕ − B {\displaystyle \eta \to \phi -B} 的变量代换，可以证明： Γ [ η , B ] = Γ [ ϕ ] ϕ = η + B {\displaystyle \Gamma [\eta ,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =\eta +B}} ，特别地， Γ [ 0 , B ] = Γ [ ϕ ] ϕ = B {\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{\phi =B}} 因此，为计算量子场 ϕ {\displaystyle \phi } 的有效作用量 Γ [ ϕ ] {\displaystyle \Gamma [\phi ]} ，只需计算 Γ [ 0 , B ] = Γ [ ϕ ] B = ϕ {\displaystyle \Gamma [0,B]=\Gamma [\phi ]_{B=\phi }} ，此方法即为背景场方法。实际计算通常会使用微扰方法：将作用量 S [ η + B ] {\displaystyle S[\eta +B]} 中 η {\displaystyle \eta } 的二次项当作无扰的作用量，用以构建 η {\displaystyle \eta } 场的传播子，包含 η {\displaystyle \eta } 更高阶次的项则视为相互作用项，并以微扰展开的方法处理。在这种处理下， Γ [ 0 , B ] {\displaystyle \Gamma [0,B]} 是背景场存在时，所有单粒子不可约的真空图（英语：Feynman_diagram#Vacuum_bubbles）的贡献之和。量子场只出现在这些图的内线中，而背景场只出现在这些图的外线中。进行重整化时，背景场的场强需要重整化，但量子场的场强不需要重整化。 背景场方法常被用于规范场的量子化。描述规范场论时，通常会从一个规范对称的作用量出发。然而为了量子化规范场，需要向作用量中引入规范固定项（对于非阿贝尔规范场还需引入鬼场），如下所示： Z [ J ] = ∫ D A × det [ δ G a δ θ b ] × exp ⁡ ( i ∫ d d x ( L [ A ( x ) ] − 1 2 ξ ( G a ( A ( x ) ) ) 2 + J μ a ( x ) A a μ ( x ) ) ) {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)} 其中 A μ a {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}} 是规范场， G a ( A ) {\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})} 是引入的规范固定项， θ {\displaystyle \theta } 是规范群的参数。 规范固定后的作用量失去了原有的规范对称性。选取特定的规范并不会对可观测量的计算带来影响，这些量仍然具有规范对称性。但是不可观测的量，如格林函数、有效作用量以及重整化时引入的抵消项，通常不再具有规范对称性。 如果使用背景场方法，在规范场上叠加一个经典场 B μ a {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}} ，并选取如下的规范固定项（这种规范也被称为背景场规范）： Z [ J , B ] = ∫ D A × det [ δ G a δ θ b ] × exp ⁡ ( i ∫ d d x ( L [ A ( x ) + B ( x ) ] − 1 2 ξ ( G a ( A ( x ) ) ) 2 + J μ a ( x ) A a μ ( x ) ) ) {\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]=\int {\mathcal {D}}{\mathcal {A}}\times \det[{\frac {\delta {\mathcal {G}}^{a}}{\delta \theta ^{b}}}]\times \exp \left(\mathrm {i} \int \mathrm {d} ^{d}x({\mathcal {L}}[{\mathcal {A}}(x)+{\mathcal {B}}(x)]-{\frac {1}{2\xi }}({\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}}(x)))^{2}+J_{\mu }^{a}(x){\mathcal {A}}^{a\mu }(x))\right)} G a ( A ) = ∂ μ A a μ + g f a b c A b μ B c μ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{a}({\mathcal {A}})=\partial _{\mu }{\mathcal {A}}^{a\mu }+gf^{abc}{\mathcal {A}}_{b}^{\mu }{\mathcal {B}}_{c\mu }} 那么生成泛函 Z [ J , B ] {\displaystyle Z[J,{\mathcal {B}}]} 在如下的无穷小规范变换下保持不变： A μ a → A μ a − f a b c θ b A μ c {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {A}}_{\mu }^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {A}}_{\mu }^{c}} ； B μ a → B μ a + 1 g ∂ μ θ a − f a b c θ b B μ c {\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}\to {\mathcal {B}}_{\mu }^{a}+{\frac {1}{g}}\partial _{\mu }\theta ^{a}-f^{abc}\theta ^{b}{\mathcal {B}}_{\mu }^{c}} ； J μ a → J μ a + f a b c θ b J μ c {\displaystyle J_{\mu }^{a}\to J_{\mu }^{a}+f^{abc}\theta ^{b}J_{\mu }^{c}} 因此，有效作用量 Γ [ 0 , B ] {\displaystyle \Gamma [0,{\mathcal {B}}]} 具有规范对称性。由它生成的所有单粒子不可约的格林函数也都是规范不变的，并且满足瓦德恒等式（英语：Ward–Takahashi_identity）（在一般的规范下，格林函数只满足更为复杂的斯拉夫诺夫－泰勒恒等式（英语：Slavnov–Taylor_identities））。运用背景场方法令规范场论变得更易于理解，同时也大大简化了计算。 背景场方法也可用来处理电弱标准模型，这种情况下，除了要为规范场引入背景场，也要为希格斯场引入背景场，并将对称性破缺带来的希场真空期望值放入背景场中，以避免树图水平上规范场和希场自由度的混合（参见Rξ规范（英语：Gauge_fixing#Rξ_gauges））。此外，背景场方法亦被用于处理引力和超引力相关的理论。 Abbott, L. 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