Mason-Stothers定理

Mason-Stothers定理，或簡稱Mason定理，是數學上關於多項式的定理，而這定理類似於整數上的abc猜想。這定理以1981年出版相關論述的Walter Wilson Stothers以及稍後獨立發現這定理的R. C. Mason為名。 此定理陳述如下： 設a(t)、b(t)、c(t)為一個域上彼此互質的多項式、a + b = c的導數不全是0（Vanishing）導數的多項式，那麼有 max { deg ⁡ ( a ) , deg ⁡ ( b ) , deg ⁡ ( c ) } ≤ deg ⁡ ( rad ⁡ ( a b c ) ) − 1. {\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leq \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.} 其中rad(f)是f所有相異的不可約多項式的乘積。對於代數閉域而言，這是與f有相同的根的最小多項式；在這狀況下，deg(rad(f))即代表f彼此相異的根的數量。 對特徵為0的域而言，a、b、c不全为0（Vanishing）導數的多項式的等價條件是這些多項式不全是常數。對於特徵為p > 0的域而言，假定這些多項式不全是常數並不足夠，像例如說，對特徵為p的域而言，tp + 1 = (t + 1)p這等式可給出三個多項式（其中a與b是等號左邊的加數，而c放在等號右邊）的最大次數為p，但其根基（也就是相異的根的數量）的次數僅僅為2。 設a(t) = tn及c(t) = (t+1)n可給出使得Mason-Stothers定理等號成立的例子，而這顯示說在一些狀況下，不等式是最佳可能。 Mason-Stothers定理的一個推論是費馬最後定理在函數域上的類比：對於彼此互質的多項式a、b、c，若a(t)n + b(t)n = c(t)n且相關聯的域的特徵不能除盡n且n > 2，那麼a、b、c至少有一個為0或者這三個多項式全是常數。 Snyder (2000)給出了以下關於Mason-Stothers定理的初等證明： 第一步、a + b + c = 0這條件表示說W(a, b) = ab′ − a′b、W(b, c)以及W(c, a)等朗斯基行列式全數相等，設其共通值為W。 第二步、a′、b′、c′這三個導數至少有一個不是消失的（Vanishing）及a、b、c這兩點表示說W不等於零。 像例如說，若W = 0，那麼ab′ = a′b，故a可除盡a′（而這是因為a與b彼此互質），因此a′ = 0，而這是因為在a非常數的狀況下，有deg a > deg a′之故。 第三步、W同時可被(a, a′)、(b, b′)以及(c, c′)這三組最大公因數除盡。由於這些多項式彼此互質之故，因此W可被其乘積除盡；且因W不等於零之故，因此有 deg (a, a′) + deg (b, b′) + deg (c, c′) ≤ deg W 第四步、將上式以下列不等式取代： deg (a, a′) ≥ deg a − （a相異的根的數量） deg (b, b′) ≥ deg b − （b相異的根的數量） deg (c, c′) ≥ deg c − （c相異的根的數量） （其中根取自某個代數閉包） 且因為 deg W ≤ deg a + deg b − 1 之故，因此有 deg c ≤ （abc相異的根的數量） − 1 而這正是所要證明的。 這定理有一個將多項式環以函數域取代的自然推廣，該推廣如下： 設k是一個特徵為零的代數閉域，設C/k是一個幾何虧格（英语：Geometric genus）為g的射影簇（英语：Projective variety），並設 a , b ∈ k ( C ) {\displaystyle a,b\in k(C)} 為一個C並滿足 a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} 的有理函數，並設S為C(k)中包含a及b所有零點和極點的集合，那麼有 max { deg ⁡ ( a ) , deg ⁡ ( b ) } ≤ max { | S | + 2 g − 2 , 0 } . {\displaystyle \max {\bigl \{}\deg(a),\deg(b){\bigr \}}\leq \max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}.} 其中函數在k(C)的次數是相應映射從C映至P^1的次數。而一個不同且較短的證明在同年由J. H. Silverman（英语：Joseph H. Silverman）發表。 此外還有一個推廣，這推廣由J. F. Voloch（英语：José Felipe Voloch）、 W. D. Brownawell（英语：W. Dale Brownawell）及D. W. Masser（英语：David Masser）等人獨立發現，此推廣給出了在ai的子集沒有一個是k─線性獨立的狀況下，有n個變數的S單位等式a1 + a2 + ... + an = 1的上界，他們證明了下式： max { deg ⁡ ( a 1 ) , … , deg ⁡ ( a n ) } ≤ 1 2 n ( n − 1 ) max { | S | + 2 g − 2 , 0 } {\displaystyle \max {\bigl \{}\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n}){\bigr \}}\leq {\frac {1}{2}}n(n-1)\max {\bigl \{}|S|+2g-2,0{\bigr \}}} Stothers, W. W., Polynomial identities and hauptmoduln, Quarterly J. Math. Oxford, 2, 1981, 32: 349–370, doi:10.1093/qmath/32.3.349 . Mason, R. C., Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series 96, Cambridge, England: Cambridge University Press, 1984 . Lang, Serge. Algebra. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 2002: 194. ISBN 0-387-95385-X.  Snyder, Noah, An alternate proof of Mason's theorem (PDF), Elemente der Mathematik, 2000, 55 (3): 93–94 [2023-12-21], MR 1781918, doi:10.1007/s000170050074 , （原始内容存档 (PDF)于2015-09-06） . Silverman, J. H., The S-unit equation over function fields, Proc. Camb. Philos. Soc., 1984, 95: 3–4  Voloch, J. F., Diagonal equations over function fields, Bol. Soc. Bras. Mat., 1985, 16: 29–39  Brownawell, W. D.; Masser, D. W., Vanishing sums in function fields, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1986, 100: 427–434  埃里克·韦斯坦因. Mason's Theorem. MathWorld.  Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Vishal Lama ─這是一篇Lang的書的證明的整理版。