色临界图

數學分支圖論中，色临界图或臨界圖（英語：critical graph）是图染色问题中一类特殊的圖，從此類圖中，移除任何一邊或一點，皆會使圖的色數減少。这一类图具有一些非常好的性质，能在很多证明定理中发挥用处。 如果图 G {\displaystyle G} 的任意一个真子图 G ′ ⊂ G {\displaystyle G'\subset G} ，其色數均满足 χ ( G ′ ) < χ ( G ) {\displaystyle \chi (G')<\chi (G)} ，则称 G {\displaystyle G} 为 χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 色临界图（英語： χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} -critical graph）。 对于给定的图 G {\displaystyle G} ，存在 k {\displaystyle k} 种颜色和一种染色方案，将图中 G {\displaystyle G} 每一个顶点都染成 k {\displaystyle k} 种颜色中的一种。如果染色方案满足一下条件，那么将称该染色方案为恰当的染色方案：对于图 G {\displaystyle G} 中任意两个顶点 u , v {\displaystyle u,v} ，如果 u v ∈ E ( G ) {\displaystyle uv\in E(G)} ，那么 u , v {\displaystyle u,v} 所染成的颜色不同。 对于图 G {\displaystyle G} ，如果存在一个 k {\displaystyle k} 种颜色的恰当染色方案，我们称 G {\displaystyle G} 是 k {\displaystyle k} 染色的。在所有满足条件的 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z_{+}} } ，称最小的那个 k {\displaystyle k} 为 χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 。 对于任意一个图 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G'} ，如果 V ( G ′ ) ⊆ V ( G ) {\displaystyle V(G')\subseteq V(G)} 并且 E ( G ′ ) ⊆ E ( G ) {\displaystyle E(G')\subseteq E(G)} ，则称 G ′ {\displaystyle G'} 是 G {\displaystyle G} 的子图，记为 G ′ ⊆ G {\displaystyle G'\subseteq G} 。若 G ′ ≠ G {\displaystyle G'\neq G} ，则称 G ′ {\displaystyle G'} 是 G {\displaystyle G} 的真子图，记为 G ′ ⊂ G {\displaystyle G'\subset G} 。 对于图 G {\displaystyle G} 即其一个点的子集 S ⊆ V ( G ) {\displaystyle S\subseteq V(G)} 。 G − S {\displaystyle G-S} 有连通分支 G 1 , G 2 … G t {\displaystyle G_{1},G_{2}\dots G_{t}} 。对任意 G i {\displaystyle G_{i}} ，我们称 S ∪ G i {\displaystyle S\cup G_{i}} 在 G {\displaystyle G} 中的导出子图为 S {\displaystyle S} -叶（ S {\displaystyle S} -lobe）。 G {\displaystyle G} 是一个没有孤立点的色临界图，當且僅當對任意 e ∈ E ( G ) ,   χ ( G − e ) < χ ( G ) {\displaystyle e\in E(G),\ \chi (G-e)<\chi (G)} 。 证明：" ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } "由定义可知显然。" ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } "：由于 ∀ G ′ ⊂ G , ∃ e ∈ G − G ′ {\displaystyle \forall G'\subset G,\exists e\in G-G'} 。所以 χ ( G ′ ) ≤ χ ( G − e ) < χ ( G ) {\displaystyle \chi (G')\leq \chi (G-e)<\chi (G)} 。 设G是一个 k {\displaystyle k} -色临界图，则對任意 v ∈ V ( G ) {\displaystyle v\in V(G)} ，存在一种使用 k {\displaystyle k} 种颜色的恰当的染色方式使得 k − 1 {\displaystyle k-1} 种颜色均出现在鄰域（英语：Neighbourhood (graph theory)） N ( v ) {\displaystyle N(v)} 中。 证明：由于色临界图的定义知， χ ( G − v ) < k {\displaystyle \chi (G-v)<k} 。所以存在一种使用前 k − 1 {\displaystyle k-1} 种颜色对 G − v {\displaystyle G-v} 的恰当的染色方式。然后再对 v {\displaystyle v} 进行染色，则必须有 k − 1 {\displaystyle k-1} 种颜色均出现在 N ( v ) {\displaystyle N(v)} 中，否则可以用前 k − 1 {\displaystyle k-1} 種色中没有在出现 N ( v ) {\displaystyle N(v)} 的颜色对 v {\displaystyle v} 染色，那么就得到用前 k − 1 {\displaystyle k-1} 颜色对 G {\displaystyle G} 染色的方法，与 χ ( G ) = k {\displaystyle \chi (G)=k} 矛盾。 设G是一个 k {\displaystyle k} -色临界图，则对任意 e ∈ E ( G ) {\displaystyle e\in E(G)} ，任意使用 k − 1 {\displaystyle k-1} 种颜色对 G − e {\displaystyle G-e} 的恰当的染色方式均将 e {\displaystyle e} 两端点染成相同颜色。 证明：如果存在一种使用 k − 1 {\displaystyle k-1} 种颜色对 G − e {\displaystyle G-e} 的恰当的染色方式使得 e {\displaystyle e} 两端点染成不同颜色，那么这种方式同样能对 G {\displaystyle G} 使用，这样与 χ ( G ) = k {\displaystyle \chi (G)=k} 矛盾。 任意一个 k {\displaystyle k} -色临界图均为 k − 1 {\displaystyle k-1} -邊連通（英语：k-edge-connected graph）的。 证明用到以下引理： 设 G {\displaystyle G} 的最小染色数 χ ( G ) > k {\displaystyle \chi (G)>k} ，并且 X , Y {\displaystyle X,Y} 是对 V ( G ) {\displaystyle V(G)} 的一个划分。如果 X , Y {\displaystyle X,Y} 在 G {\displaystyle G} 上导出子图 G [ X ] , G [ Y ] {\displaystyle G[X],G[Y]} 均是 k {\displaystyle k} 可染色的，那么 G − G [ X ] − G [ Y ] {\displaystyle G-G[X]-G[Y]} 中至少有 k {\displaystyle k} 条边。 证明： 由于 G [ X ] , G [ Y ] {\displaystyle G[X],G[Y]} 均是 k {\displaystyle k} 可染色的，可以把 X {\displaystyle X} 划分为 k {\displaystyle k} 个独立集 X 1 , X 2 , … , X k {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}} ，把 Y {\displaystyle Y} 划分为 k {\displaystyle k} 个独立集 Y 1 , Y 2 , … , Y k {\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{k}} 。如果 X , Y {\displaystyle X,Y} 之间边少于 k {\displaystyle k} 条，則对 G {\displaystyle G} 进行染色。先对 X 1 , X 2 , … , X k {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}} 中的点染上 k {\displaystyle k} 种颜色。再分别对 Y 1 , Y 2 , … , Y k {\displaystyle Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{k}} 逐独立集染色，并且染每个独立集时，与其相邻以及染完色的独立集个数少于 k {\displaystyle k} 个，所以可在 k {\displaystyle k} 中颜色中选择餘下某种对其恰当染色。这样就对 G {\displaystyle G} 使用 k {\displaystyle k} 种颜色恰当染色，与 χ ( G ) > k {\displaystyle \chi (G)>k} 矛盾。引理证明完毕。 回到原证明，如果 G {\displaystyle G} 不是 k − 1 {\displaystyle k-1} -边连通的。那么存在 k − 2 {\displaystyle k-2} 条边 E ′ = { e 1 , e 2 … e k − 1 } {\displaystyle E'=\{e_{1},e_{2}\dots e_{k-1}\}} 使得 G − E ′ {\displaystyle G-E'} 不是连通图，取其一个连通分支 X {\displaystyle X} ，令 Y = V ( G ) − X {\displaystyle Y=V(G)-X} 。由于不连通性可知 G − G [ X ] − G [ Y ] {\displaystyle G-G[X]-G[Y]} 的邊皆屬 E ′ {\displaystyle E'} 。又 G {\displaystyle G} 是色临界图，有 χ ( G [ X ] ) < k , χ ( G [ Y ] ) < k {\displaystyle \chi (G[X])<k,\chi (G[Y])<k} ，所以均是 k − 1 {\displaystyle k-1} 可染色。利用凯南引理可知， G − G [ X ] − G [ Y ] {\displaystyle G-G[X]-G[Y]} 的邊數至多是 k − 1 {\displaystyle k-1} ，但 | E ′ | = k − 2 {\displaystyle |E'|=k-2} ，矛盾。 如果 G {\displaystyle G} 是 k {\displaystyle k} -色临界图，那么 G {\displaystyle G} 的割集（英语：Cut (graph theory)）均不是團。特别说明的是，如果 G {\displaystyle G} 有一个割集含有两个点 S = { x , y } {\displaystyle S=\{x,y\}} ，那么 x y ∉ G {\displaystyle xy\notin G} 并且 G {\displaystyle G} 存在一个 S {\displaystyle S} -叶 H {\displaystyle H} 使得 χ ( H + x y ) = k {\displaystyle \chi (H+xy)=k} 。 Douglas B.West. Introduction to Graph Theory. Pearson Enducation. : 210–220. ISBN 81-7808-830-4.