向量算子

向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义，包括梯度、散度和旋度。 grad ≡ ∇ {\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla } div ⁡   ≡ ∇ ⋅ {\displaystyle \operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot } curl ≡ ∇ × {\displaystyle \operatorname {curl} \equiv \nabla \times } 拉普拉斯算符表示为： ∇ 2 ≡ div ⁡   grad ≡ ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla } 向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧，例如： ∇ f {\displaystyle \nabla f} 得到f的梯度，但是 f ∇ {\displaystyle f\nabla } 是另一个向量算子，没有对任何量进行运算。 一个向量算子可对另一个向量算子进行运算，得到一个复合向量算子，例如上面的拉普拉斯算符。 令 U {\displaystyle U} 為空間位置 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 的多變數純量函數（英语：Function_of_several_real_variables） ，例如： U ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = r 2 {\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} 表示了一個球面，這是一個标量场，其中每點的值等於該球半徑的平方。 令 V {\displaystyle V} 為空間位置 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 的向量函數（英语：Vector-valued_function） ，它可以被拆成三個分量，寫成以下的向量形式： V ( x , y , z ) = V x ( x , y , z ) i ^ + V y ( x , y , z ) j ^ + V z ( x , y , z ) k ^ {\displaystyle V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}} 純量函數 U ( x , y , z ) {\displaystyle U(x,y,z)} 在三維笛卡兒坐標系的各個座標軸上有以下變率： ∂ U ∂ x , ∂ U ∂ y , ∂ U ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}} 因為是沿著座標軸的變率，所以可以寫成分量形式： ∂ U ∂ x i ^ , ∂ U ∂ y j ^ , ∂ U ∂ z k ^ {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}} 其加總即為 U {\displaystyle U} 的組合變率： ∂ U ∂ x i ^ + ∂ U ∂ y j ^ + ∂ U ∂ z k ^ {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}} 如同微分算子 D {\displaystyle D} 被用來表示某函數的導數，例如 D ( f ) {\displaystyle D(f)} 或 D f {\displaystyle Df} ，我們使用 ∇ {\displaystyle \nabla } 來表示組合變率： ∇ U = ∂ U ∂ x i ^ + ∂ U ∂ y j ^ + ∂ U ∂ z k ^ = V ( x , y , z ) {\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)} 其中 V {\displaystyle V} 為一向量函數。組合變率 ∇ U {\displaystyle \nabla U} 稱為 U {\displaystyle U} 的導數（derivative）， U {\displaystyle U} 則稱為 ∇ U {\displaystyle \nabla U} 的本原（primitive）。 ∇ U {\displaystyle \nabla U} 本身是一個向量函數。在幾何與物理上，它指向變化速率最大的那個方向，在這個意義上，它被稱為 U {\displaystyle U} 的梯度、或斜率。 我們可以把 ∇ {\displaystyle \nabla } 當作一個函數，唸為 d e l {\displaystyle del} ，記為 grad {\displaystyle \operatorname {grad} } ，它接受一個純量函數，並傳回一個向量函數。其運算式為： ∇ = ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ {\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}} ，因此： ∇ U = ( ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ) ( U ) = ∂ U ∂ x i ^ + ∂ U ∂ y j ^ + ∂ U ∂ z k ^ = grad ⁡ U {\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U} 將 ∇ {\displaystyle \nabla } 當作一個形式上的向量，則可以用向量的內積與叉積導出散度與旋度。 將 ∇ {\displaystyle \nabla } 當作一個形式向量，與向量函數 V {\displaystyle V} 做內積： ∇ ⋅ V = ( ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ) ⋅ ( V x i ^ + V y j ^ + V z k ^ ) = ∂ V x ∂ x + ∂ V y ∂ y + ∂ V z ∂ z = U ( x , y , z ) {\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)} 這裡得到一個純量函數 U {\displaystyle U} ，稱為 V {\displaystyle V} 的散度。 我們也可以將 ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } 當作一個算子，唸為 d e l   d o t {\displaystyle del\ dot} ，記為 div {\displaystyle \operatorname {div} } ，它接受一個向量函數，但是傳回一個純量函數： ∇ ⋅ V = div ⁡ V = i ^ ⋅ ∂ V ∂ x + j ^ ⋅ ∂ V ∂ y + k ^ ⋅ ∂ V ∂ z {\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}} 將 ∇ {\displaystyle \nabla } 當作一個形式向量，與向量函數 V {\displaystyle V} 做叉積： ∇ × V = ( ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ) × ( V x i ^ + V y j ^ + V z k ^ ) = i ^ ( ∂ V z ∂ y − ∂ V y ∂ z ) + j ^ ( ∂ V x ∂ z − ∂ V z ∂ x ) + k ^ ( ∂ V y ∂ x − ∂ V x ∂ y ) = | i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z V x V y V z | {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}} 這裡得到一個向量函數，稱為 V {\displaystyle V} 的旋度。 我們也可以將 ∇ × {\displaystyle \nabla \times } 當作一個算子，唸為 d e l   c r o s s {\displaystyle del\ cross} ，記為 curl {\displaystyle \operatorname {curl} } ，它接受一個向量函數，並傳回一個向量函數： ∇ × V = curl ⁡ V = i ^ × ∂ V ∂ x + j ^ × ∂ V ∂ y + k ^ × ∂ V ∂ z {\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}} 對一個純量函數做梯度運算，可以得到一個向量函數，再對該向量函數做散度運算，又得回一個純量函數，稱為梯度的散度： ∇ ⋅ ∇ = ( ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ) ⋅ ( ∂ ∂ x i ^ + ∂ ∂ y j ^ + ∂ ∂ z k ^ ) = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} 這稱為拉普拉斯算子，記為 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或者 Δ {\displaystyle \Delta } ，它接受一個純量函數，並傳回一個純量函數。 Nabla算符 达朗贝尔算符 Vector Analysis, Gibbs and Wilson, p.136, p.152, p.158 H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.