算术-几何平均值不等式

算术-几何平均值不等式，簡稱算几不等式，是一个常见而基本的不等式，表现算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 为 n {\displaystyle n} 个非負实数，它们的算术平均数是 A n = x 1 + x 2 + ⋯ + x n n {\displaystyle \mathbf {A} _{n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}} ，它们的几何平均数是 G n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n {\displaystyle \mathbf {G} _{n}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}} 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的非负实数 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ： A n ≥ G n {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}} 等号成立当且仅当 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 。 通常用于两个数之间，设这两个数为 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} ，也就是 a + b 2 ⩾ a b {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqslant {\sqrt {ab}}} 算术-几何平均值不等式仅适用于非負实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式有時被称为平均值不等式（或均值不等式），其實后者是一组更廣泛的不等式。 在 n = 4 {\displaystyle n=4} 的情况，设： x 1 = 3.5 ,   x 2 = 6.2 ,   x 3 = 8.4 ,   x 4 = 5 {\displaystyle x_{1}=3.5,\ x_{2}=6.2,\ x_{3}=8.4,\ x_{4}=5} ，那么 A 4 = 3.5 + 6.2 + 8.4 + 5 4 = 5.775 ,   G 4 = 3.5 × 6.2 × 8.4 × 5 4 ≈ 5.4945 {\displaystyle \mathbf {A} _{4}={\frac {3.5+6.2+8.4+5}{4}}=5.775,\ \mathbf {G} _{4}={\sqrt[{4}]{3.5\times 6.2\times 8.4\times 5}}\approx 5.4945} 可见 A 4 ≥ G 4 {\displaystyle \mathbf {A} _{4}\geq \mathbf {G} _{4}} 。 历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情况很早就为人所知，但对于一般的 n {\displaystyle n} ，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。 1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出一个使用逆向归纳法的证明： 命题 P n {\displaystyle P_{n}} ：对任意的 n {\displaystyle n} 个正实数 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ， A n ≥ G n {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}} 当 n = 2 {\displaystyle n=2} 时， P 2 {\displaystyle P_{2}} 显然成立。假设 P n {\displaystyle P_{n}} 成立，那么 P 2 n {\displaystyle P_{2n}} 成立。证明：对于 2 n {\displaystyle 2n} 个正实数 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}} ， x 1 + x 2 + ⋯ + x n + y 1 + ⋯ y n 2 n =   1 2 ( x 1 + ⋯ + x n n + y 1 + ⋯ + y n n ) {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+y_{1}+\cdots y_{n}}{2n}}=\ {\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}+{\frac {y_{1}+\cdots +y_{n}}{n}}\right)} ≥   1 2 ( x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n + y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n n ) ≥   x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n ⋅ y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n n {\displaystyle \geq \ {\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}+{\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}\right)\geq \ {\sqrt {{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\cdot {\sqrt[{n}]{y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}}}} =   x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n y 1 ⋅ y 2 ⋯ y n 2 n {\displaystyle =\ {\sqrt[{2n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}y_{1}\cdot y_{2}\cdots y_{n}}}} 假设 P n {\displaystyle P_{n}} 成立，那么 P n − 1 {\displaystyle P_{n-1}} 成立。证明：对于 n − 1 {\displaystyle n-1} 个正实数 x 1 , ⋯ , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n-1}} ，设 A n − 1 = x 1 + ⋯ + x n − 1 n − 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}}{n-1}}} ， G n − 1 = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 n − 1 {\displaystyle \mathbf {G} _{n-1}={\sqrt[{n-1}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}}}} ，那么由于 P n {\displaystyle P_{n}} 成立， x 1 + ⋯ + x n − 1 + A n − 1 n ≥ x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 A n − 1 n {\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n-1}+\mathbf {A} _{n-1}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}\mathbf {A} _{n-1}}}} 。 但是 x 1 + ⋯ + x n − 1 = ( n − 1 ) A n − 1 {\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{n-1}=(n-1)\mathbf {A} _{n-1}} ， x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n − 1 = G n − 1 n − 1 {\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n-1}=\mathbf {G} _{n-1}^{n-1}} ，因此上式正好变成 A n − 1 n ≥ G n − 1 n − 1 A n − 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}^{n}\geq \mathbf {G} _{n-1}^{n-1}\mathbf {A} _{n-1}} 也就是说 A n − 1 ≥ G n − 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n-1}\geq \mathbf {G} _{n-1}} 综上可以得到结论：对任意的自然数 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ，命题 P n {\displaystyle P_{n}} 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 k {\displaystyle k} ，命题 P 2 k {\displaystyle P_{2^{k}}} 都成立。因此对任意的 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ，可以先找 k {\displaystyle k} 使得 2 k ≥ n {\displaystyle 2^{k}\geq n} ，再结合第三条就可以得到命题 P n {\displaystyle P_{n}} 成立了。 使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（英语：George Chrystal）（George Chrystal）在其著作《代数论》（Algebra）的第二卷中给出的： 由对称性不妨设 x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} 是 x 1 , x 2 ⋯ x n + 1 {\displaystyle x_{1},x_{2}\cdots x_{n+1}} 中最大的，由于 A n + 1 = n A n + x n + 1 n + 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}={\frac {n\mathbf {A} _{n}+x_{n+1}}{n+1}}} ，设 x n + 1 = A n + b {\displaystyle x_{n+1}=\mathbf {A} _{n}+b} ，则 b ≥ 0 {\displaystyle b\geq 0} ，并且有 A n + 1 = A n + b n + 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}=\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}}} 。 根据二项式定理， A n + 1 n + 1 = ( A n + b n + 1 ) n + 1 ≥ A n n + 1 + ( n + 1 ) A n n b n + 1 = A n n ( A n + b ) = A n n x n + 1 ≥ G n n x n + 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}^{n+1}=(\mathbf {A} _{n}+{\frac {b}{n+1}})^{n+1}\geq \mathbf {A} _{n}^{n+1}+(n+1)\mathbf {A} _{n}^{n}{\frac {b}{n+1}}=\mathbf {A} _{n}^{n}(\mathbf {A} _{n}+b)=\mathbf {A} _{n}^{n}x_{n+1}\geq \mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}} = x 1 x 2 ⋯ x n + 1 = G n + 1 n + 1 {\displaystyle =x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}=\mathbf {G} _{n+1}^{n+1}} 于是完成了从 n {\displaystyle n} 到 n + 1 {\displaystyle n+1} 的证明。 此外还有更简洁的归纳法证明： 在 n {\displaystyle n} 的情况下有不等式 A n ≥ G n {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}} 和 x n + 1 + ( n − 1 ) G n + 1 ≥ n x n + 1 G n + 1 n − 1 n {\displaystyle x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}\geq n{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}} 成立，于是： x 1 + x 2 ⋯ + x n + x n + 1 + ( n − 1 ) G n + 1 n ≥ G n + x n + 1 G n + 1 n − 1 n ≥ 2 G n n x n + 1 G n + 1 n − 1 2 n = 2 G n + 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}+(n-1)\mathbf {G} _{n+1}}{n}}\geq \mathbf {G} _{n}+{\sqrt[{n}]{x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}\geq 2{\sqrt[{2n}]{\mathbf {G} _{n}^{n}x_{n+1}\mathbf {G} _{n+1}^{n-1}}}=2\mathbf {G} _{n+1}} 所以 ( n + 1 ) A n + 1 = x 1 + x 2 ⋯ + x n + x n + 1 ≥ 2 n G n + 1 − ( n − 1 ) G n + 1 = ( n + 1 ) G n + 1 {\displaystyle (n+1)\mathbf {A} _{n+1}=x_{1}+x_{2}\cdots +x_{n}+x_{n+1}\geq 2n\mathbf {G} _{n+1}-(n-1)\mathbf {G} _{n+1}=(n+1)\mathbf {G} _{n+1}} ，从而有 A n + 1 ≥ G n + 1 {\displaystyle \mathbf {A} _{n+1}\geq \mathbf {G} _{n+1}} 。 注意到几何平均数 G n {\displaystyle \mathbf {G} _{n}} 实际上等于 exp ⁡ ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n ) {\displaystyle \exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right)} ，因此算术-几何平均不等式等价于： ln ⁡ x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n {\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}} 。 由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。 令 b i = a i G n ( i = 1 , 2 , 3 , . . . , n ) {\displaystyle b_{i}={\frac {a_{i}}{{\mathbf {G} }_{n}}}(i=1,2,3,...,n)} ，于是有 b 1 b 2 ⋯ b n = 1 {\displaystyle b_{1}b_{2}\cdots b_{n}=1} ，再作代换 b 1 = c 1 c 2 , b 2 = c 2 c 3 , ⋯ , b n = c n c 1 {\displaystyle b_{1}={\frac {c_{1}}{c_{2}}},b_{2}={\frac {c_{2}}{c_{3}}},\cdots ,b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{1}}}} ，运用排序不等式得到： c 1 c 2 + c 2 c 3 + ⋯ + c n c 1 ⩾ c 1 c 1 + c 2 c 2 + . . . + c n c n = n {\displaystyle {\frac {c_{1}}{c_{2}}}+{\frac {c_{2}}{c_{3}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{c_{1}}}\geqslant {\frac {c_{1}}{c_{1}}}+{\frac {c_{2}}{c_{2}}}+...+{\frac {c_{n}}{c_{n}}}=n} ， 于是得到 a 1 + a 2 + ⋯ + a n ⩾ n G n {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\geqslant n{\mathbf {G} }_{n}} ，即原不等式成立。 此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。 算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。 不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}} 和 p 1 , ⋯ , p n {\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n}} 为正实数，并且 p 1 + p 2 ⋯ + p n = 1 {\displaystyle p_{1}+p_{2}\cdots +p_{n}=1} ，那么： p 1 x 1 + p 2 x 2 ⋯ + p n x n ≥ x 1 p 1 x 2 p 2 ⋯ x n p n {\displaystyle p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\cdots +p_{n}x_{n}\geq x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}} 。 加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。 算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵 [ a 11 ⋯ a 1 k ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nk}\end{bmatrix}}} 设 A j = 1 n ∑ i = 1 n a i j {\displaystyle A_{j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}} ， G i = ∏ j = 1 k a i j k {\displaystyle G_{i}={\sqrt[{k}]{\prod _{j=1}^{k}a_{ij}}}} ，那么有： A 1 A 2 ⋯ A k k ⩽ G 1 + G 2 + ⋯ + G n n {\displaystyle {\sqrt[{k}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{k}}}\leqslant {\frac {G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n}}{n}}} 也就是说：对 k {\displaystyle k} 个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对 n {\displaystyle n} 个横行取的 n {\displaystyle n} 个几何平均数的算术平均。 也称为积分形式：对任意在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上可积的正值函数 f {\displaystyle f} ，都有 ∫ 0 1 f ( x ) d x ≥ exp ⁡ ( ∫ 0 1 ln ⁡ f ( x ) d x ) {\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx\geq \exp(\int _{0}^{1}\ln f(x)dx)} 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 x 1 + x 2 + ⋯ + x n n ≥ exp ⁡ ( ln ⁡ x 1 + ln ⁡ x 2 + ⋯ + ln ⁡ x n n ) {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq \exp({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}})} 后，将两边的黎曼和中的 n {\displaystyle n} 趋于无穷大后得到的形式。 若再規定 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} 的调和平均数 H = n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n . {\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}.} 則有 A n ≥ G n ≥ H n {\displaystyle \mathbf {A} _{n}\geq \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}} 且等号依舊成立当且仅当 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 。 證明由算數-幾何平均值不等式知 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n n ≥ 1 x 1 1 x 2 ⋯ 1 x n n = 1 x 1 x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\frac {{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{{\frac {1}{x_{1}}}{\frac {1}{x_{2}}}\cdots {\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}} 故 x 1 x 2 ⋯ x n n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + . . . + 1 x n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}} 即 G n ≥ H n {\displaystyle \mathbf {G} _{n}\geq \mathbf {H} _{n}} 且等號成立於 1 x 1 = 1 x 2 = ⋯ = 1 x n {\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}={\frac {1}{x_{2}}}=\cdots ={\frac {1}{x_{n}}}} 即 x 1 = x 2 = ⋯ = x n {\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}} 平均数不等式 算术平均数 几何平均数 幂平均不等式 杨氏不等式 Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale 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