数学原理

伯特兰·罗素曾跟我说过他的一个噩梦。公元2100年，他站在大学图书馆的顶楼看着一名图书馆助理拖着一只大桶在书架间穿梭。助理时不时将書架上的书籍取下，随手翻阅几页，然后把它放回書架或丟到桶里。最后，他走到世上仅存的最后一套《数学原理》前，取下一卷，翻开沉重的书页扫视着，似乎对其中怪异的符号感到困惑。他合上书本，將書平放在他的手上犹豫着…… Hardy, G. H. 《一个数学家的辩白》.  《数学原理》（英語：Principia Mathematica，缩写PM）是由伯特兰·罗素与他的老师阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德合著的一本数学书籍，书籍共分三卷，分别出版于1910年，1912年，1913年。 它通常缩写為PM (Principia Mathematica)，為表述所有数学真理在一组数理逻辑內的公理和推理规则下，原则上都是可以证明的。因此这一雄心勃勃的项目對於数学史和哲学史都是非常重要的，然而在1931年，哥德尔不完备性定理证明對於数学原理或其他任何類似的尝试，这个崇高的目标皆永远无法达到；也就是说，任何尝试以一组公理和推理规则來建立的数学系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些数学真理不能由此系統推理演绎出來)。 数学原理的一个主要的灵感和动机来自于逻辑学家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特兰·罗素发现其允许建设有矛盾的集合（罗素悖论）。数学原理排除无限制创建任意的集合來试图避免这个问题，它以不同“类型”的集合來取代一般的集合，一组特定类型的集合只能包含套較低的类型。然而在当代数学，會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理论体系，來避免如罗素的笨拙方式。 现代图书馆將此書排在二十世纪英文非虚构书籍中的第23名。 原书仅囊括集合论、基数、序数和实数，并没有包括实分析等复杂定理。然而，前三卷所设基础已令许多读者相信，从理论上来说，书中所用的形式逻辑可以用来推导出绝大多数的已知数学定理，但其实际工作的繁琐程度亦显而易见。 作者原本筹划撰写涵盖几何的第四卷，但在完成第三卷后，作者灵感匮乏，未能成书。 由于在理论上由库尔特·哥德尔（下同）的批评指出，不同于形式主义理论，PM的“logicistic”理论有没有“形式主义的语法明确说明”。另一种看法是，在理论上，（在模型论的意义上）解释的真值的符号的行为来表述“⊢”（真理断言），“〜”（逻辑非）和“V”（逻辑或）。 真值：PM嵌入“真”和“假”的概念，“原始命题”的概念。原料（纯）形式主义理论所不能提供形成了“原始命题”诚，符号本身可能是绝对武断和陌生的符号的含义。该理论将符号行为也只是如何基于理论的语法指定。再后来，通过“价值”的分配，模式将指定什么公式说的解释。因此，在正式的克莱尼符号下方设置，“解释”什么样的符号通常是指，并暗示他们如何最终被采用，在括号内，例如，“¬（不）”。但是，这不是一个纯粹的形式主义理论。 下面的形式主义理论是作为对比PM的logicistic理论。一个现代的形式系统将构造如下： 使用的符号：该组是开始集合，其它符号可以出现，而是仅由从这些开始码的定义。起始组可能是Kleene从中导出的以下一组：逻辑符号“→”（意味着，IF-THEN“⊃”），“＆”（和）中，“V”（或），“¬”（不） “∀”（所有），“∃”（存在）;谓词符号“=”（等于）;函数符号“+”（算术加法），“∙”（算术乘法），“'”（继任者）;个别符号“0”（零）;变量“一”，“B”，“C”等;和括号“（”和“）”。 符号串：该理论将通过串联（并列）建立这些符号的“弦”. 形成规则：理论指定的语法规则（语法规则），通常为以“0”开头，并指定如何建立可接受的字符串或“合式公式”（Wff）递归定义这包括对于所谓的“变量”（相对于其他符号类型）中的符号串的规则对“替代”。 变换规则（S）：指定符号和符号序列的行为的公理。 推理，支队规则，肯定前件：允许理论从“前提”，导致到了“分离”一个“结论”的规则，并随后放弃“处所”（符号到行的左边│或符号线之上，如果水平）。如果不是这种情况，那么取代会导致在必须进行前向越来越长的字符串。事实上，假言推理的应用程序后，没有什么是离开，但结论，剩下的永远消失。 当代理论往往指定为第一公理古典或假言推理或“脱离规则”： A，A⊃乙│乙 符号“│”通常写为水平线，这里“⊃”是指“意味着”。符号A和B是“替身”的字符串;这种形式的符号被称为“公理模式”（即，有一种特殊形式的符号可以采取可数）。这可以读取类似的方式IF-THEN但有区别：给定的符号串IF A和A蕴涵B，那么B（并保留进一步使用仅B）。但符号都没有“解释”（例如，没有“真值表”或“真值”或“真理功能”）和假言推理机制上进行，由单独的语法。 PM理论既有相似之处显著，以及类似的差异，当代形式理论。克林指出，“这种演绎的数学与逻辑提供了直观希尔伯特的公理被设计成相信，或者至少被接受为关于世界的假设合理的。”事实上，PM理论不像形式主义理论，即操纵符号根据语法规则，PM引入了“真值”的概念，即在现实世界意义的真理和谬误，以及“断言真相”几乎立即作为理论结构的第五和第六元素（PM 1962：4-36）： 卷I有五个新增： 附录A,编号为8.15新增谢费尔竖线 附录B,编号为* 89,讨论感应没有还原性的公理 附录C、8页讨论命题函数 8页的列表定义最后,给急需的索引使用的大约500个符号。 1962年杯发表缩短平装版包含部分的第二版的卷I:新介绍,正文* 56,和附录a和C。 各種數學敘述 Irvine, Andrew D. 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