馬丁公理

在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由唐纳德·A·馬丁（英语：Donald A. Martin）和羅伯特·M·梭羅維（英语：Robert M. Solovay）引進的公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。 用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統 c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} 的基數，其行為會與 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} 大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。 給定任意的基數 κ {\displaystyle \kappa } ，我們可以定義一個如下的陳述，並將這陳述給記做 MA ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )} ： 對於任意滿足可數鏈條件的偏序 P {\displaystyle P} 及任意 P {\displaystyle P} 的稠密集的集族 D {\displaystyle D} 而言，若 D ≤ κ {\displaystyle D\leq \kappa } ，則存在一個 P {\displaystyle P} 上的濾子 F {\displaystyle F} ，使得對於任意的 d ∈ D {\displaystyle d\in D} 而言， F ∩ d {\displaystyle F\cap d} 非空。 由於這是一個使得 MA ⁡ ( c ) {\textstyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})} 不成立的ZFC定理之故，因此馬丁公理可表述如下： 馬丁公理（MA）：對於任意的 κ < c {\displaystyle \kappa <{\mathfrak {c}}} ， MA ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )} 成立 在這情況（應用可數鏈條件）下，一個反鏈 A {\displaystyle A} 是 P {\displaystyle P} 的子集，且這子集使得 A {\displaystyle A} 的任意兩個元素不兼容（若在偏序中存在一個低於兩者的共通元素，則說兩個元素是兼容的），而這與樹等情況下的反鏈是不同的。 MA ⁡ ( ℵ 0 ) {\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{0})} 為真，而這即是羅修娃－西葛斯基引理。 MA ⁡ ( 2 ℵ 0 ) {\textstyle \operatorname {MA} (2^{\aleph _{0}})} 為假： [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} 是一個緊緻豪斯多夫空間，因此是個可分空間並滿足可數鏈條件。這集合沒有孤立點，因此其中的點是無處稠密的；但這集合是 2 ℵ 0 = c {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}} 這麼多的點的聯集。（也可參見下述的與 MA ⁡ ( c ) {\displaystyle \operatorname {MA} ({\mathfrak {c}})} 等價的條件） 以下陳述與 MA ⁡ ( κ ) {\displaystyle \operatorname {MA} (\kappa )} 等價： 若 X {\displaystyle X} 是一個滿足可數鏈條件的緊緻豪斯多夫空間，那 X {\displaystyle X} 不會是 κ {\displaystyle \kappa } 個或更少的無處稠密集的聯集。 若 P {\displaystyle P} 是一個上升的、滿足可數鏈條件的偏序集，而 Y {\displaystyle Y} 是 P {\displaystyle P} 的餘有限子集的集族，且 | Y | ≤ κ {\displaystyle \left\vert Y\right\vert \leq \kappa } ，則存在一個向上的集合 A {\displaystyle A} 使得 A {\displaystyle A} 會見所有 Y {\displaystyle Y} 的元素。 若 A {\displaystyle A} 是一個滿足可數鏈條件的非零布爾代數而 F {\displaystyle F} 是 A {\displaystyle A} 的子集的集族，且 | F | ≤ κ {\displaystyle \left\vert F\right\vert \leq \kappa } ，那就存在一個布爾同態 Φ : A → Z / 2 Z {\displaystyle \Phi :A\rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } ，使得對於任意 F {\displaystyle F} 中的 X {\displaystyle X} 而言，要不有一個 a ∈ X {\displaystyle a\in X} ，使得 Φ ( a ) = 1 {\displaystyle \Phi (a)=1} ，要不有個 X {\displaystyle X} 有個上界 b {\displaystyle b} ，使得 Φ ( b ) = 0 {\displaystyle \Phi (b)=0} 馬丁公理在組合數學、數學分析跟拓樸學上有許多有其他有趣的結果： 在波蘭空間上的無原子σ-有限博雷爾測度中， κ {\displaystyle \kappa } 個或更少的零測集依舊是零測集；不僅如此，實數集的 κ {\displaystyle \kappa } 個或更少的勒貝格測度為零的子集的聯集，其勒貝格測度為零。 對於一個緊緻豪斯多夫空間 X {\displaystyle X} 而言，若 | X | ≤ 2 κ {\displaystyle \left\vert X\right\vert \leq 2^{\kappa }} ，則這空間是序列緊緻的，也就是說這空間中的每個序列都有一個收斂子序列。 在 N {\displaystyle \mathbb {N} } 上，沒有任何非主要的超濾子的基本基數會小於 κ {\displaystyle \kappa } 。 等價地，對於任意的 x ∈ β N   N {\displaystyle x\in \beta \mathbb {N} \ \mathbb {N} } ，有 χ ( x ) ≥ κ {\displaystyle \chi (x)\geq \kappa } ，此處的 χ {\displaystyle \chi } 是 x {\displaystyle x} 的特徵（英语：Cardinal function），因此 χ ( β N ) ≥ κ {\displaystyle \chi (\beta \mathbb {N} )\geq \kappa } 。 MA ⁡ ( ℵ 1 ) {\textstyle \operatorname {MA} (\aleph _{1})} 蘊含說滿足可數鏈條件的拓樸空間的乘積依舊滿足可數鏈條件，而這結果又蘊含說蘇斯林線（英语：Suslin line）不存在。 若馬丁公理成立，而連續統假設不成立，那就表示存在有非自由的懷特海群（Whitehead group）；細拉（英语：Saharon Shelah）用這結果證明說懷特海問題獨立於ZFC。 馬丁公理的一般化版本為真力迫公理（英语：proper forcing axiom）以及馬丁最大值（英语：Martin's maximum）。 謝爾頓·W·戴維斯（Sheldon W. Davis）在他的說中提出馬丁公理是受到貝爾綱定理的啟發而來的。 Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic. 1970, 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4 .  Davis, Sheldon W. Topology. McGraw Hill. 2005: 29. ISBN 0-07-291006-2.  Fremlin, David H. Consequences of Martin's axiom. Cambridge tracts in mathematics, no. 84. Cambridge: Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-25091-9.  Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2. Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.