巴都萬數列

巴都萬數列（Padovan Sequence）是一個整數數列，其起始數值跟遞歸關係定義為： P ( 0 ) = P ( 1 ) = P ( 2 ) = 1 {\displaystyle P(0)=P(1)=P(2)=1} P ( n ) = P ( n − 2 ) + P ( n − 3 ) {\displaystyle P(n)=P(n-2)+P(n-3)} P(n) 的前几个值是： 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... （OEIS數列A000931） 此數列以建築師理察·巴都萬（英语：Richard Padovan）命名，理察·巴都萬把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰（英语：Hans van der Laan）在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》。1996年6月，艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。 P n = P n − 1 + P n − 5 {\displaystyle P_{n}=P_{n-1}+P_{n-5}} （此關係可從圖中見得） P n = P n − 2 + P n − 4 + P n − 8 {\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-4}+P_{n-8}} P n = P n − 3 + P n − 4 + P n − 5 {\displaystyle P_{n}=P_{n-3}+P_{n-4}+P_{n-5}} P n = P n − 4 + P n − 5 + P n − 6 + P n − 7 + P n − 8 {\displaystyle P_{n}=P_{n-4}+P_{n-5}+P_{n-6}+P_{n-7}+P_{n-8}} 佩蘭數列滿足相同的遞歸關係。它亦可從巴都萬數列定義： P e r r i n n = P n + 1 + P n − 10 {\displaystyle Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}} 使用遞歸關係 P − n = P − n + 3 − P − n + 1 {\displaystyle P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}} 可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反斐波那契數列相似。另一方面，反斐波那契數列取絕對值便和斐波那契數列相等，但反巴都萬數列卻不： ... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ... 首 n {\displaystyle n} 項（包括第0項）之和比 P n + 5 {\displaystyle P_{n+5}} 少2： ∑ m = 0 n P m = P n + 5 − 2. {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.} 下面是每隔數項的和： ∑ m = 0 n P 2 m = P 2 n + 3 − 1 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1} ∑ m = 0 n P 2 m + 1 = P 2 n + 4 − 1 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1} ∑ m = 0 n P 3 m = P 3 n + 2 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}} ∑ m = 0 n P 3 m + 1 = P 3 n + 3 − 1 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1} ∑ m = 0 n P 3 m + 2 = P 3 n + 4 − 1 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1} ∑ m = 0 n P 5 m = P 5 n + 1 . {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.} 下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關： ∑ m = 0 n P m 2 = P n + 2 2 − P n − 1 2 − P n − 3 2 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}} ∑ m = 0 n P m 2 P m + 1 = P n P n + 1 P n + 2 {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}} ∑ m = 0 n P m P m + 2 = P n + 2 P n + 3 − 1. {\displaystyle \sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.} P n 2 − P n + 1 P n − 1 = P − n − 7 . {\displaystyle P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.} 巴都萬數列跟二項式係數之和有關： ∑ 2 m + n = k ( m n ) = P k − 2 . {\displaystyle \sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.} x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} 有三個根：唯一的實數根 p {\displaystyle p} （即銀數）和兩個複數根 q {\displaystyle q} 和 r {\displaystyle r} 。 P n = p n ( 3 p 2 − 1 ) + q n ( 3 q 2 − 1 ) + r n ( 3 r 2 − 1 ) . {\displaystyle P_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.} 因為 q {\displaystyle q} 和 r {\displaystyle r} 的絕對值都少於1，當 n {\displaystyle n} 趨近無限，其冪會趨近0。因此，對於很大的 n {\displaystyle n} ，可以以下面的公式估計： P n ≈ p n ( 3 p 2 − 1 ) = p n 4.264632... . {\displaystyle P_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.} 從上面的公式亦知 P n + 1 P n {\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}} 的值趨近銀數。 P n {\displaystyle P_{n}} 可以用不同的整數分拆來定義。 P n {\displaystyle P_{n}} 是將 n + 2 {\displaystyle n+2} 寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如 P 6 = 4 {\displaystyle P_{6}=4} ，有4種方法將8寫成這類和式： 2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2 P 2 n − 2 {\displaystyle P_{2n-2}} 是將 n {\displaystyle n} 寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 P 5 × 2 − 2 = P 8 = 7 {\displaystyle P_{5\times 2-2}=P_{8}=7} ，有7種方法將5寫成這類和式： 1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5 P n {\displaystyle P_{n}} 是將 n {\displaystyle n} 寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 P 9 = 9 {\displaystyle P_{9}=9} ，有9種方法將9寫成這類和式： 9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1 若上述情況改為 P 8 = 8 {\displaystyle P_{8}=8} ，則數列如下： 1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8 P n {\displaystyle P_{n}} 是將 n + 4 {\displaystyle n+4} 寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如 P 7 = 5 {\displaystyle P_{7}=5} ，有5種方法將11寫成這類和式： 11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2 巴都萬數列的生成函數為 G ( P n ; x ) = 1 + x 1 − x 2 − x 3 . {\displaystyle G(P_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.} 它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式，例如： ∑ m = 0 ∞ P n 2 n = 12 5 . {\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {P_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.} 巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。 P n ( x ) = { 1 , if  n = 0 x , if  n = 1 x 2 , if  n = 2 x P n − 2 ( x ) + P n − 3 ( x ) , if  n ≥ 3 {\displaystyle P_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.} 首七個巴都萬多項式為： P 0 ( x ) = 1 {\displaystyle P_{0}(x)=1\,} P 1 ( x ) = x {\displaystyle P_{1}(x)=x\,} P 2 ( x ) = x 2 {\displaystyle P_{2}(x)=x^{2}\,} P 3 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle P_{3}(x)=x^{2}+1\,} P 4 ( x ) = x 3 + x {\displaystyle P_{4}(x)=x^{3}+x\,} P 5 ( x ) = x 3 + x 2 + x {\displaystyle P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,} P 6 ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 1 {\displaystyle P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,} P 7 ( x ) = x 4 + 2 x 3 + x 2 + x {\displaystyle P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,} 第 n {\displaystyle n} 個巴都萬數即 P n ( 1 ) {\displaystyle P_{n}(1)} 。 奇偶性：按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。 數列中的質數： P 3 , 4 = 2 ; P 5 = 3 ; P 7 = 5 ; P 8 = 7 ; P 14 = 37 ; P 19 = 151 ; P 30 = 3329 ; P 37 = 23833 ; . . . {\displaystyle P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...} （OEIS:A000931） 數列中的平方數： P 0 , 1 , 2 = 1 ; P 6 = 2 2 ; P 9 = 3 2 ; P 11 = 4 2 ; P 15 = 7 2 {\displaystyle P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}} Weisstein, Eric W. (编). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407. Padovan Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）（MathWorld） Tales of a Neglected Number，艾恩·史都華在雜誌發表的文章 學生科技網--中學生科技：美丽的螺旋线 黄金分割漫谈之三，李颍伯 Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Richard Padovan