超几何函数

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个正则奇点（英语：Regular singular point）的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。 当 c {\displaystyle c} 为正整数时，对于|z| < 1，超几何函数可用如下幂级数定义 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∑ n = 0 ∞ a ( n ) b ( n ) c ( n ) z n n ! {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a^{(n)}b^{(n)} \over c^{(n)}}\,{z^{n} \over n!}} 其中   x ( n ) {\displaystyle \ x^{(n)}} 是遞進階乘，定义为: q ( n ) = { 1 if  n = 0 q ( q + 1 ) ⋯ ( q + n − 1 ) if  n > 0 {\displaystyle q^{(n)}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if }}n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&{\mbox{if }}n>0\end{array}}\right.} 当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。 对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = Γ ( b − a ) Γ ( c ) ( − z ) − a Γ ( b ) Γ ( c − a ) ∑ k = 0 ∞ ( a ) k ( a − c + 1 ) k z − k k ! ( a − b + 1 ) k + Γ ( a − b ) Γ ( c ) ( − z ) − b Γ ( a ) Γ ( c − b ) ∑ k = 0 ∞ ( b ) k ( b − c + 1 ) k z − k k ! ( − a + b + 1 ) k / ; | z | ≥ 1 ∧ a − b ∉ Z {\displaystyle {\begin{aligned}&_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (b-a)\Gamma (c)(-z)^{-a}}{\Gamma (b)\Gamma (c-a)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(a-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(a-b+1)_{k}}}+{\frac {\Gamma (a-b)\Gamma (c)(-z)^{-b}}{\Gamma (a)\Gamma (c-b)}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(b)_{k}(b-c+1)_{k}z^{-k}}{k!(-a+b+1)_{k}}}/;\\&|z|\geq 1\wedge a-b\notin \mathbb {Z} \end{aligned}}} 很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下： ln ⁡ ( 1 + z ) = z 2 F 1 ( 1 , 1 ; 2 ; − z ) {\displaystyle \ln(1+z)=z\,_{2}F_{1}(1,1;2;-z)} . ( 1 − z ) − a = 2 F 1 ( a , 1 ; 1 ; z ) {\displaystyle (1-z)^{-a}=\,_{2}F_{1}(a,1;1;z)} arcsin ⁡ z = z 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 3 2 ; z 2 ) {\displaystyle \arcsin z=z\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {3}{2}};z^{2}\right)} 合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下 M ( a , c , z ) = lim b → ∞ 2 F 1 ( a , b ; c ; b − 1 z ) {\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\rightarrow \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)} 因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。 勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如 2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; z ) = Γ ( c ) z 1 − c 2 ( 1 − z ) c − 1 2 P − a 1 − c ( 1 − 2 z ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)} 很多多项式，例如贾可比多项式 P(α,β) n及其特殊情形勒让德多项式, 车比雪夫多项式, Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示 2 F 1 ( − n , α + 1 + β + n ; α + 1 ; x ) = n ! ( α + 1 ) n P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)} 其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式, Meixner多项式, Meixner–Pollaczek多项式。 椭圆模函数（英语：Elliptic modular function）有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若 τ = i 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; 1 − z ) 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; z ) {\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z)}{{}_{2}F_{1}({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z)}}} 则 z = κ 2 ( τ ) = θ 2 ( τ ) 4 θ 3 ( τ ) 4 {\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}} 是τ的椭圆模函数. 不完整的beta函数 Bx(p,q) 表示成 B x ( p , q ) = x p p 2 F 1 ( p , 1 − q ; p + 1 ; x ) {\displaystyle B_{x}(p,q)={\frac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)} 完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出 K ( k ) = π 2 2 F 1 ( 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)} E ( k ) = π 2 2 F 1 ( − 1 2 , 1 2 ; 1 ; k 2 ) {\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)} 超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数) z ( z d d z + a ) ( z d d z + b ) w = z d d z ( z d d z + c − 1 ) w , w ( z ) = 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle z\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a\right)\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+c-1\right)w,\quad w(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)} . 展开后，得 z ( 1 − z ) d 2 w d z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d w d z − a b w = 0. {\displaystyle z(1-z){\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} z}}-abw=0.} 它有三个正则奇点：0, 1, ∞. 超几何方程的指标方程（英语：Frobenius method）为 ρ ( ρ − 1 ) + c ρ = 0 {\displaystyle \rho (\rho -1)+c\rho =0} 它的两个指标 ρ 是 0 和 1-c。 当 c不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为： 2 F 1 ( a , b ; c ; z )  and  z 1 − c 2 F 1 ( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)} 当 c 为 1 时，方程只有一个正则解。当 c 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。 事实上，当 c 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer G-函数： 2 F 1 ( a , b ; c ; z )  and  G 2 , 2 2 , 0 ( 1 − a , 1 − b ; 0 , c − 1 ; z ) ,  if  c ∈ Z + {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,c-1;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} ^{+}} z 1 − c 2 F 1 ( 1 + a − c , 1 + b − c ; 2 − c ; z )  and  G 2 , 2 2 , 0 ( 1 − a , 1 − b ; 0 , 1 − c ; z ) ,  if  c ∈ Z 0 − {\displaystyle \,z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z){\text{ and }}\,G_{2,2}^{2,0}(1-a,1-b;0,1-c;z),{\text{ if }}c\in \mathbb {Z} _{0}^{-}} 只需作代换 t=1-z，方程变为： t ( 1 − t ) d 2 w d t 2 + [ 1 + a + b − c − ( a + b + 1 ) t ] d w d t − a b w = 0. {\displaystyle t(1-t){\frac {d^{2}w}{dt^{2}}}+\left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right]{\frac {dw}{dt}}-abw=0.} 当 a+b-c 不是整数时，两个线性无关的正则特解为： 2 F 1 ( a , b ; 1 + a + b − c ; 1 − z )  and  ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − b , c − a ; 1 − a − b + c ; 1 − z ) {\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z){\text{ and }}(1-z)^{c-a-b}\,_{2}F_{1}(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)} 当 a-b 不是整数时，两个线性无关的正则特解为： z − a 2 F 1 ( a , 1 + a − c ; 1 + a − b ; z − 1 )  and  z − b 2 F 1 ( b , 1 + b − c ; 1 + b − a ; z − 1 ) . {\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right){\text{ and }}z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).} 在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。 F α , β , μ ( z ) = 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={}_{2}F_{1}(a,b;c;z)} α = c − 1 , β = a + b − c , μ = b − a {\displaystyle \alpha =c-1,\beta =a+b-c,\mu =b-a} a = 1 + α + β − μ 2 , b = 1 + α + β + μ 2 , c = 1 + α {\displaystyle a={\frac {1+\alpha +\beta -\mu }{2}},b={\frac {1+\alpha +\beta +\mu }{2}},c=1+\alpha } 参数 α,β,γ 称为李代数参数。 运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为： At  0 : F α , β , μ ( z )  and  z − α F − α , β , − μ ( z ) {\displaystyle {\text{At }}0:F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z){\text{ and }}z^{-\alpha }F_{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)} At  1 : F β , α , μ ( 1 − z )  and  ( 1 − z ) − β F − β , α , − μ ( 1 − z ) {\displaystyle {\text{At }}1:F_{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z){\text{ and }}(1-z)^{-\beta }F_{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)} At  ∞ : ( − z ) − 1 − α − β + μ 2 F − μ , β , − α ( z − 1 )  and  ( − z ) − 1 − α − β − μ 2 F μ , β , α ( z − 1 ) {\displaystyle {\text{At }}\infty :(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta +\mu }{2}}F_{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1}){\text{ and }}(-z)^{\frac {-1-\alpha -\beta -\mu }{2}}F_{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})} 从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 a,b,c 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。 引入记号： G ( m ; n , p ) = π sin ⁡ m π Γ ( n ) Γ ( p ) = G ( m ; p , n ) {\displaystyle G(m;n,p)={\frac {\pi }{\sin m\pi \Gamma (n)\Gamma (p)}}=G(m;p,n)} F α , β , μ ( z ) = 1 Γ ( 1 + α ) F α , β , μ ( z ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1+\alpha )}}F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)} 则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为： F β , α , μ ( 1 − z ) = G ( − α ; a − α , b − α ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; a , b ) z − α F − α , β , − μ ( z ) , {\displaystyle \mathbf {F} _{\beta ,\alpha ,\mu }(1-z)=G(-\alpha ;a-\alpha ,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,b)z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),} ( 1 − z ) − β F − β , α , − μ ( 1 − z ) = G ( − α ; 1 − a , 1 − b ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; b − β , a − β ) z − α F − α , β , − μ ( z ) = G ( − α ; 1 − a , 1 − b ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; 1 − ( a − α ) , 1 − ( b − α ) ) z − α F − α , β , − μ ( z ) ; {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta }\mathbf {F} _{-\beta ,\alpha ,-\mu }(1-z)&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b-\beta ,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-b)\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;1-(a-\alpha ),1-(b-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z);\end{array}}} ( − z ) − a F − μ , β , − α ( z − 1 ) = G ( − α ; 1 − b , a − α ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; a , a − β ) z − α F − α , β , − μ ( z ) , {\displaystyle (-z)^{-a}\mathbf {F} _{-\mu ,\beta ,-\alpha }(z^{-1})=G(-\alpha ;1-b,a-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;a,a-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z),} ( − z ) − b F μ , β , α ( z − 1 ) = G ( − α ; 1 − a , b − α ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; b , b − β ) z − α F − α , β , − μ ( z ) = G ( − α ; 1 − a , 1 − ( a − β ) ) F α , β , μ ( z ) + G ( α ; b , 1 − ( a − α ) ) z − α F − α , β , − μ ( z ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf {F} _{\mu ,\beta ,\alpha }(z^{-1})&=&G(-\alpha ;1-a,b-\alpha )\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,b-\beta )z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z)\\&=&G(-\alpha ;1-a,1-(a-\beta ))\mathbf {F} _{\alpha ,\beta ,\mu }(z)+G(\alpha ;b,1-(a-\alpha ))z^{-\alpha }\mathbf {F} _{-\alpha ,\beta ,-\mu }(z).\end{array}}} 分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。 完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。 B ( a , c − a ) 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ∫ 1 ∞ t b − c ( t − 1 ) c − a − 1 ( t − z ) − b d t , ℜ ( c ) > ℜ ( a ) > 0 , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle \mathrm {B} (a,c-a){}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{1}^{\infty }t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm {d} t,\Re (c)>\Re (a)>0,|\arg(1-z)|<\pi } 式中的 Β 是beta函数。 可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 z=0 附近的性质，可以确定它的具体形式。 设 p ( a , b , c ; t , z ) = t b − c ( t − 1 ) c − a − 1 ( t − z ) − b − 2 , w ( a , b , c ; t , z ) = ( t − z ) 2 p ( a , b , c ; t , z ) ; {\displaystyle p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^{2}p(a,b,c;t,z);} 则 ∂ w ∂ z = b ( t − z ) p ( a , b , c ; t , z ) , ∂ 2 w ∂ z 2 = b ( b + 1 ) p ( a , b , c ; t , z ) {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial z}}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)} z ( 1 − z ) ∂ 2 w ∂ z 2 + [ c − ( a + b + 1 ) z ] ∂ w ∂ z − a b w = b p ( a , b , c ; t , z ) { z ( 1 − z ) ( b + 1 ) + [ c − ( a + b + 1 ) z ] ( t − z ) − a ( t − z ) 2 } = b p ( a , b , c ; t , z ) { − a t 2 + [ c − ( b − a + 1 ) z ] t + ( b − c + 1 ) z } = b p ( a , b , c ; t , z ) { ( b − c + 1 ) ( t − 1 ) ( t − z ) + ( c − a ) t ( t − z ) + ( − b − 1 ) t ( t − 1 ) } = b ∂ ∂ t [ t ( t − 1 ) ( t − z ) p ( a , b , c ; t , z ) ] , {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {\partial w}{\partial z}}-abw\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+[c-(a+b+1)z](t-z)-a(t-z)^{2}\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^{2}+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\=&b{\frac {\partial }{\partial t}}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],\end{array}}} 上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 t 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。 另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 z 展开成幂级数，故可知等号右边应取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 C 为待定的常数。 对比积分表达式在 z=0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 C。 Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 β 与 μ 对换）： 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi } 由 a,b 的对称性自然有： 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − a 2 F 1 ( a , c − b ; c ; z z − 1 ) , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi } Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令 u = z z − 1 = 1 + 1 z − 1 {\displaystyle u={\tfrac {z}{z-1}}=1+{\tfrac {1}{z-1}}} 则 z = u u − 1 , ( 1 − z ) a = ( 1 − u ) − a , d u d z = − ( 1 − u ) 2 , d 2 u d z 2 = − ( 1 − u ) 3 {\displaystyle z={\tfrac {u}{u-1}},\quad (1-z)^{a}=(1-u)^{-a},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}=-(1-u)^{2},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-(1-u)^{3}} z ( 1 − z ) d 2 d z 2 [ ( 1 − z ) − b w ] + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d d z [ ( 1 − z ) − b w ] − a b ( 1 − z ) − b w = ( 1 − z ) − b − 1 { z [ b ( b + 1 ) + 2 b ( 1 − z ) d d z + ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 ] + [ c − ( a + b + 1 ) z ] [ b + ( 1 − z ) d d z ] − a b ( 1 − z ) } w = ( 1 − z ) − b − 1 { z ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 + ( 1 − z ) [ c − ( a − b + 1 ) z ] d d z + b ( c − a ) } w = ( 1 − u ) b + 1 { − u ( 1 − u ) d 2 d u 2 + 2 u d d u − ( 1 − u ) [ c + ( a − b + 1 ) ( 1 − u ) − 1 u ] d d u + b ( c − a ) } w = − ( 1 − u ) b + 1 { u ( 1 − u ) d 2 d u 2 + [ c − ( c − a + b + 1 ) u ] d d u − b ( c − a ) } w {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-b}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-b}w]-ab(1-z)^{-b}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][b+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a-b+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+b(c-a)\right\}w\\=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+2u{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+b(c-a)\right\}w\\=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[c-(c-a+b+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-b(c-a)\right\}w\end{array}}} 取 w = 2 F 1 ( c − a , b ; c ; u ) {\displaystyle w={}_{2}F_{1}(c-a,b;c;u)} 由 w(u) 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-z)-bw(z) 在 z=0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。 Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 β 变成 -β： 2 F 1 ( a , b ; c ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 F 1 ( c − a , b ; c ; z z − 1 ) = ( 1 − z ) − b ( 1 − z z − 1 ) a − c 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z z − 1 z z − 1 − 1 ) = ( 1 − z ) c − a − b 2 F 1 ( c − a , c − b ; c ; z ) , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\frac {z}{z-1}})\\&=&(1-z)^{-b}\left(1-{\frac {z}{z-1}}\right)^{a-c}\,{}_{2}F_{1}\left(c-a,c-b;c;{\frac {\frac {z}{z-1}}{{\frac {z}{z-1}}-1}}\right)\\&=&(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|<\pi \end{array}}} Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。 将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。 给定一组李代数参数(α,β,μ)，(±α,±β,±μ) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（Fα,β,μ 恒等于 Fα,β,-μ），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。 例如 Euler 变换可以表示为： F α , β , μ → Pfaff F α , μ , β ≡ F α , μ , − β → Pfaff F α , − β , μ {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,\mu ,\beta }\equiv F_{\alpha ,\mu ,-\beta }{\xrightarrow {\text{Pfaff}}}F_{\alpha ,-\beta ,\mu }} 下面是一个二次变换的例子： 2 F 1 ( a , b ; 2 a ; z ) = ( 1 − z ) − b 2 2 F 1 ( a − b 2 , b 2 ; a + 1 2 ; z 2 4 z − 4 ) , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2a;z)=(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}\,_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4z-4}}),\quad |\arg(1-z)|<\pi } 二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。 仿照上面 Pfaff 变换的证明，有： z ( 1 − z ) d 2 d z 2 [ ( 1 − z ) − b 2 w ] + [ c − ( a + b + 1 ) z ] d d z [ ( 1 − z ) − b 2 w ] − a b ( 1 − z ) − b 2 w = ( 1 − z ) − b 2 − 1 { z [ b 2 ( b 2 + 1 ) + b ( 1 − z ) d d z + ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 ] + [ c − ( a + b + 1 ) z ] [ b 2 + ( 1 − z ) d d z ] − a b ( 1 − z ) } w = ( 1 − z ) − b 2 − 1 { z ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 + ( 1 − z ) [ c − ( a + 1 ) z ] d d z + b 4 [ 2 ( c − 2 a ) + ( 2 a − b ) z ] } w {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]+\left[c-(a+b+1)z\right]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}[(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w]-ab(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z[{\tfrac {b}{2}}({\tfrac {b}{2}}+1)+b(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}]+[c-(a+b+1)z][{\tfrac {b}{2}}+(1-z){\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}]-ab(1-z)\right\}w\\=&(1-z)^{-{\tfrac {b}{2}}-1}\left\{z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\\end{array}}} 令 c = 2 a , u = z 2 4 z − 4 = 1 4 ( z + 1 − 1 1 − z ) {\displaystyle c=2a,\quad u={\tfrac {z^{2}}{4z-4}}={\tfrac {1}{4}}(z+1-{\tfrac {1}{1-z}})} 则 1 − u = ( z − 2 ) 2 4 ( 1 − z ) , d u d z = z ( z − 2 ) 4 ( 1 − z ) 2 , d 2 u d z 2 = − 1 2 ( 1 − z ) 3 {\displaystyle 1-u={\tfrac {(z-2)^{2}}{4(1-z)}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}={\tfrac {z(z-2)}{4(1-z)^{2}}},\quad {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}=-{\tfrac {1}{2(1-z)^{3}}}} z ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 + ( 1 − z ) [ c − ( a + 1 ) z ] d d z + b 4 [ 2 ( c − 2 a ) + ( 2 a − b ) z ] = z ( 1 − z ) 2 d 2 d z 2 + ( 1 − z ) [ 2 a − ( a + 1 ) z ] d d z + b 2 ( a − b 2 ) z = z 3 ( z − 2 ) 2 16 ( 1 − z ) 2 d 2 d u 2 − z 2 ( 1 − z ) d d u + z ( z − 2 ) ( 2 a − a z − z ) 4 ( 1 − z ) d d u + b 2 ( a − b 2 ) z = − z { u ( 1 − u ) d 2 d u 2 + [ a + 1 2 − ( a + 1 ) u ] d d u − b 2 ( a − b 2 ) } {\displaystyle {\begin{array}{cl}&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[c-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{4}}[2(c-2a)+(2a-b)z]\\=&z(1-z)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}+(1-z)[2a-(a+1)z]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&{\tfrac {z^{3}(z-2)^{2}}{16(1-z)^{2}}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}-{\tfrac {z}{2(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}}{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}+{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})z\\=&-z\left\{u(1-u){\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} u^{2}}}+[a+{\tfrac {1}{2}}-(a+1)u]{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}-{\tfrac {b}{2}}(a-{\tfrac {b}{2}})\right\}\end{array}}} 取 w = 2 F 1 ( a − b 2 , b 2 ; a + 1 2 ; u ) {\displaystyle w=\,{}_{2}F_{1}(a-{\tfrac {b}{2}},{\tfrac {b}{2}};a+{\tfrac {1}{2}};u)} 仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。 运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为 F α , β , μ ( z ) = f ( z ) F α ′ , β ′ , μ ′ ( g ( z ) ) , P ( z ) {\displaystyle F_{\alpha ,\beta ,\mu }(z)=f(z)F_{\alpha ',\beta ',\mu '}(g(z)),\quad P(z)} 其中 f(z),g(z) 是 z 的函数， P(z) 表示 z 要满足的约束。 下表给出了一些二次变换。 另外还有： 2 Γ ( 1 2 ) Γ ( a + b + 1 2 ) Γ ( a + 1 2 ) Γ ( b + 1 2 ) F − 1 2 , β , μ 2 ( z ) = F β , β , μ ( 1 2 − 1 2 z ) + F β , β , μ ( 1 2 + 1 2 z ) , | arg ⁡ z | < π , | arg ⁡ ( 1 − z ) | < π {\displaystyle {\tfrac {2\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {a+b+1}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {a+1}{2}})\Gamma ({\tfrac {b+1}{2}})}}F_{-{\tfrac {1}{2}},\beta ,{\tfrac {\mu }{2}}}(z)=F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right)+F_{\beta ,\beta ,\mu }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {z}}\right),\quad |\arg z|<\pi ,|\arg(1-z)|<\pi } 将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。 另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。 若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。 另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见Goursat (1881)。 2 F 1 ( a , b ; c ; 0 ) = 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;0)=1} 2 F 1 ( a , b ; c ; 1 ) = B ( a , c − a − b ) B ( a , c − a ) = Γ ( c ) Γ ( c − a − b ) Γ ( c − a ) Γ ( c − b ) , ℜ ( c ) > ℜ ( a + b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\tfrac {\mathrm {B} (a,c-a-b)}{\mathrm {B} (a,c-a)}}={\tfrac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\quad \Re (c)>\Re (a+b)} 这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。 2 F 1 ( a , b ; 1 + a − b ; − 1 ) = Γ ( 1 + a − b ) Γ ( 1 + 1 2 a ) Γ ( 1 + a ) Γ ( 1 + 1 2 a − b ) {\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}} 这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。 2 F 1 ( a , b ; 1 2 ( 1 + a + b ) ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 + a + b ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + b ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.} 2 F 1 ( a , 1 − a ; c ; 1 2 ) = Γ ( 1 2 c ) Γ ( 1 2 ( 1 + c ) ) Γ ( 1 2 ( c + a ) ) Γ ( 1 2 ( 1 + c − a ) ) . {\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.} 上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 z=1 时的特殊值得到。 Hazewinkel, Michiel (编), Hypergeometric function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  John Pearson, Computation of Hypergeometric Functions （页面存档备份，存于互联网档案馆） (University of Oxford, MSc Thesis) Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, The book "A = B" (freely downloadable) 埃里克·韦斯坦因. Hypergeometric Function. MathWorld.  Olde Daalhuis, A. B., Hypergeometric Function, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248  Goursat, Édouard. Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1881, 10: 3–142 [2008-10-16]. （原始内容存档于2021-03-08） （法语）.  Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .