小角度近似

小角度近似（small-angle approximations）可以在角度以弧度表示，且角度很小的情形下，近似部份三角函数的值： sin ⁡ θ ≈ θ cos ⁡ θ ≈ 1 − θ 2 2 ≈ 1 tan ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{aligned}}} 上述的近似常用在物理学和工程学的各分支學科中，包括力学、电磁学、光学、地图学、天文學和计算机科学。近似的一個理由是可以大幅簡化微分方程的計算，可以用在不需要精確解的情形下。 小角度近似可以用許多的方式說明，最直接的是用三角函數的馬克勞林級數，依照逼近的階數（英语：Order of approximation）不同， cos ⁡ θ {\displaystyle \textstyle \cos \theta } 可以近似為 1 {\displaystyle 1} 或 1 − θ 2 2 {\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} .。 圖1和圖2可以看出此近似的精度。在角度趨近零時，原始函數和近似函數的差也趨近零。 圖1：基本的奇三角函數的比較，當角度θ趨近0時，近似函數很接近原函數。 圖2：cos θ和1 − θ2/2的比較。當角度θ趨近0時，兩函數相當接近。 右圖中紅色部份d，是斜邊長度H和鄰邊長度A的差。如圖所示，H和A幾乎一樣長，意思是cos θ接近1，利用θ2/2可以減去紅色的部份 cos ⁡ θ ≈ 1 − θ 2 2 {\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} 。 其對邊O長度近似於藍色圓弧的長度s。根據幾何學，s = Aθ，根據三角函數，sin θ = O/H和tan θ = O/A，根據圖上O ≈ s且H ≈ A可得： sin ⁡ θ = O H ≈ O A = tan ⁡ θ = O A ≈ s A = A θ A = θ . {\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .} 簡化後可得 sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ ≈ θ . {\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .} 利用夾擠定理，可以證明 lim θ → 0 sin ⁡ ( θ ) θ = 1 , {\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,} 這是在小角度θ時， sin ⁡ ( θ ) ≈ θ {\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta } 近似式的正式敘述。 比較小心的應用夾擠定理可得 lim θ → 0 tan ⁡ ( θ ) θ = 1 , {\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,} ，因此可以得到在小角度θ時， tan ⁡ ( θ ) ≈ θ {\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta } 。 最後，利用洛必达法则可得 lim θ → 0 cos ⁡ ( θ ) − 1 θ 2 = lim θ → 0 − sin ⁡ ( θ ) 2 θ = − 1 2 , {\textstyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},} 可以整理為 cos ⁡ ( θ ) ≈ 1 − θ 2 2 {\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} ，在小角度θ時成立。也可以用倍角公式 cos ⁡ 2 A ≡ 1 − 2 sin 2 ⁡ A {\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A} 。令 θ = 2 A {\displaystyle \theta =2A} ，可得 cos ⁡ θ = 1 − 2 sin 2 ⁡ θ 2 ≈ 1 − θ 2 2 {\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}} 。 將正弦函數進行馬克勞林展開（在零附近的泰勒展開）可得 sin ⁡ θ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! θ 2 n + 1 = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}} 其中θ是以弧度表示的角度，上式也可以改寫如下： sin ⁡ θ = θ − θ 3 6 + θ 5 120 − θ 7 5040 + ⋯ {\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots } 可以看出在θ很小時，第二項（三次方項）會非常小。用θ為0.01為例，第二項的數量級為第一項的 6994100000000000000♠0.000001或1/7004100000000000000♠10000。因此可以單純的近似為： sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } 另外，因為小角度的餘弦函數接近1，因此正切函數（正弦函數除以餘弦函數）可以表示如下 tan ⁡ θ ≈ sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta } , 圖3是小角度近似的誤差，若以誤差在1%為準，以下是各近似函數誤差超過1%的角度： cos θ ≈ 1，約為 0.1408 弧度 (8.07°) tan θ ≈ θ，約為 0.1730 弧度 (9.91°) sin θ ≈ θ，約為 0.2441 弧度 (13.99°) cos θ ≈ 1 − θ2/2，約為 0.6620 弧度 (37.93°) 三角恒等式中的和角公式和差角公式，當其中一個角度很小時（β ≈ 0），可以簡化為下式： 在天文學上，天體的角直徑多半只有幾個角秒，其角度很小，因此可以用小角度近似。線性大小（D）和角直徑（X）以及與觀察者距離（d）之間有以下的公式： D = X d 206 265 {\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}} 其中X是用角秒表示。 數字7005206265000000000♠206265是圓用角秒表示的值（7006129600000000000♠1296000），除以2π。 精確的公式是 D = d tan ⁡ ( X 2 π 1 296 000 ) {\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)} 若tan X改為X，上式也適用。 在計算擺的势能时，二次餘弦近似非常的好用，可以應用在拉格朗日力学上，找到運動的間接方程（能量方程）。 在計算擺的頻率時，可以用正弦函數的小角度近近，將擺的微分方程轉換為簡諧運動的微分方程。 在光學上，小角度近似是近軸近似的基礎。 正弦和正切的小角度近似可以用在雙縫實驗或衍射光栅中，以簡化計算。 小角度近似常用在結構力學上，特別是和穩定性和分岔分析上（主要是軸向受壓力的柱，是否會產生挫曲的分析）。這部份簡化的程度很大。不過不過用在精確的分析上。 空中導航（英语：air navigation）中的1 in 60 rule（英语：1 in 60 rule）就是以小角度近似為基礎，加上一個弧度近似於60度的事實。 小角度的和角和差角公式可以在三角函數表的插值： 例如：sin(0.755) Skinny triangle（英语：Skinny triangle） 正矢 外正割 Holbrow, Charles H.; et al, Modern Introductory Physics 2nd, Springer Science & Business Media: 30–32, 2010 [2021-06-12], ISBN 0387790799, （原始内容存档于2021-08-04）.  Plesha, Michael; et al, Engineering Mechanics: Statics and Dynamics 2nd, McGraw-Hill Higher Education: 12, 2012 [2021-06-12], ISBN 0077570618, （原始内容存档于2021-08-04）.  Small-Angle Approximation | Brilliant Math & Science Wiki. brilliant.org. [2020-07-22]. （原始内容存档于2020-07-22） （美国英语）.  Larson, Ron; et al, Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions 4th, Cengage Learning: 85, 2006 [2021-06-12], ISBN 0618606254, （原始内容存档于2021-08-04）.  Boas, Mary L. Mathematical Methods in the Physical Sciences. Wiley. 2006: 26. ISBN 978-0-471-19826-0.  Green, Robin M., Spherical Astronomy, Cambridge University Press: 19, 1985 [2021-06-12], ISBN 0521317797, （原始内容存档于2021-08-04）.  存档副本. [2021-06-12]. （原始内容存档于2021-08-04）.