波斯纳–罗宾逊定理

波斯納–羅賓遜定理（英語：Posner–Robinson Theorem）是可计算性理论中关于不可解度的定理。 设 B ⊆ N {\displaystyle B\subseteq \mathbb {N} } 不可计算，则存在集合 G {\displaystyle G} 令 G ⊕ B ≥ T G ′ {\displaystyle G\oplus B\geq _{T}G^{\prime }} 。 这一定理证明如下：令 Φ G ⊆ ω × { 0 , 1 } × 2 < ω {\displaystyle \Phi _{G}\subseteq \omega \times \{0,1\}\times 2^{<\omega }} ，则 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} 可以看作是一个函数 2 ω → 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }\to 2^{\omega }} ，具体定义为 a ∈ Φ G ( X ) {\displaystyle a\in \Phi _{G}(X)} 当且仅当存在 n ∈ ω {\displaystyle n\in \omega } 使 ( a , 1 , X | n ) ∈ Φ G {\displaystyle (a,1,X|n)\in \Phi _{G}} 。 然而 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} 的每一个元素都可以用自然数编码，因此 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} 本身也是 2 ω {\displaystyle 2^{\omega }} 的元素，因此可以求出其图灵跳跃。显然 Φ G ( X ) {\displaystyle \Phi _{G}(X)} 可以从 Φ G ⊕ X {\displaystyle \Phi _{G}\oplus X} 计算得出，因此假若存在 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} 使得 Φ G ( X ) = Φ G ′ {\displaystyle \Phi _{G}(X)=\Phi _{G}^{\prime }} ，则 Φ G ⊕ X ≥ T Φ G ′ {\displaystyle \Phi _{G}\oplus X\geq _{T}\Phi _{G}^{\prime }} 。因此证明过程只需给出构造 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} 的方法。 为了构造 Φ G {\displaystyle \Phi _{G}} ，我们给出一对序列 ( Φ p , X ¯ p ) p ∈ ω {\displaystyle (\Phi _{p},{\bar {X}}_{p})_{p\in \omega }} ，其中： Φ p ⊆ ω × { 0 , 1 } × 2 < ω {\displaystyle \Phi _{p}\subseteq \omega \times \{0,1\}\times 2^{<\omega }} X ¯ p ⊆ 2 ω {\displaystyle {\bar {X}}_{p}\subseteq 2^{\omega }} 该序列满足以下条件，若 q > p {\displaystyle q>p} 则有： Φ p ⊆ Φ q {\displaystyle \Phi _{p}\subseteq \Phi _{q}} 且 X ¯ p ⊆ X ¯ q {\displaystyle {\bar {X}}_{p}\subseteq {\bar {X}}_{q}} 若 X ∈ X ¯ p {\displaystyle X\in {\bar {X}}_{p}} 则 Φ q ( X ) = Φ p ( X ) {\displaystyle \Phi _{q}(X)=\Phi _{p}(X)} 若 ( x p , y p , η ) ∈ Φ q ∖ Φ p {\displaystyle (x_{p},y_{p},\eta )\in \Phi _{q}\backslash \Phi _{p}} 且 ( x q , y q , σ ) ∈ Φ p {\displaystyle (x_{q},y_{q},\sigma )\in \Phi _{p}} 则 | η | > | σ | {\displaystyle \vert \eta \vert >\vert \sigma \vert } 首先令 Φ 0 = X ¯ 0 = ∅ {\displaystyle \Phi _{0}={\bar {X}}_{0}=\varnothing } ，其后对任何 ( Φ p , X ¯ p ) {\displaystyle (\Phi _{p},{\bar {X}}_{p})} 如下构造 ( Φ p + 1 , X ¯ p + 1 ) {\displaystyle (\Phi _{p+1},{\bar {X}}_{p+1})} ：令 ϕ p := ∃ n θ p ( n , Z | n ) {\displaystyle \phi _{p}:=\exists n\,\theta _{p}(n,Z\vert n)} 为编号为 p {\displaystyle p} 的 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 公式（详见算数阶层）。为了让 Φ G ( B ) = Φ G ′ {\displaystyle \Phi _{G}(B)=\Phi _{G}^{\prime }} ，我们需要让 ϕ p ∈ Φ G ( B ) {\displaystyle \phi _{p}\in \Phi _{G}(B)} 当且仅当 ⊨ ∃ n θ p ( n , Φ G | n ) {\displaystyle \vDash \exists n\,\theta _{p}(n,\Phi _{G}\vert n)} 。这是一个自引用的定义：我们需要在 Φ p {\displaystyle \Phi _{p}} 中加入 B {\displaystyle B} 枝上的元素以表达 ϕ p {\displaystyle \phi _{p}} 为真或为假，但是若 ϕ p {\displaystyle \phi _{p}} 需要为假，则加入元素的过程本身却可能将其变为真，这便是需要 X ¯ p {\displaystyle {\bar {X}}_{p}} 以控制之后可能加入的元素的原因。考虑以下两种情况： 若存在 Ψ ⊇ Φ {\displaystyle \Psi \supseteq \Phi } 满足条件3，且在 X ¯ p ∪ { B } {\displaystyle {\bar {X}}_{p}\cup \{B\}} 上不变（即满足条件2），则令 Φ p + 1 := Ψ ∪ { ( p , 1 , B | n ) } {\displaystyle \Phi _{p+1}:=\Psi \cup \{(p,1,B\vert n)\}} 、 X ¯ p + 1 := X ¯ p {\displaystyle {\bar {X}}_{p+1}:={\bar {X}}_{p}} （ n {\displaystyle n} 是满足条件3的足够大的自然数）。 若不存在如上所述的集合 Ψ {\displaystyle \Psi } ，则对任何满足条件3的集合 Ψ ⊇ Φ {\displaystyle \Psi \supseteq \Phi } 均有 X ∈ X ¯ p ∪ { B } {\displaystyle X\in {\bar {X}}_{p}\cup \{B\}} 使 Ψ ( X ) ≠ Φ ( X ) {\displaystyle \Psi (X)\neq \Phi (X)} 。定义类 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 如下： Z ¯ ∈ Z {\displaystyle {\bar {Z}}\in {\mathcal {Z}}} 当且仅当存在满足条件3的集合 Ψ ⊇ Φ {\displaystyle \Psi \supseteq \Phi } ，使若存在 n < | Ψ | {\displaystyle n<\vert \Psi \vert } 使公式 θ p ( n , Ψ | n ) {\displaystyle \theta _{p}(n,\Psi \vert n)} 得以满足，则存在 ( a , b , X ) ∈ Ψ ∖ Φ {\displaystyle (a,b,X)\in \Psi \backslash \Phi } 使 X ∈ Z ¯ {\displaystyle X\in {\bar {Z}}} 。 显然 X ¯ p ∪ { B } ∈ Z {\displaystyle {\bar {X}}_{p}\cup \{B\}\in {\mathcal {Z}}} 。注意观察 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 的定义：这里只有 Ψ {\displaystyle \Psi } 上的全称量词是无界量词，所以 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 是 Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} 类。因此，根据锥不相交定理，存在 Z ¯ ∈ Z {\displaystyle {\bar {Z}}\in {\mathcal {Z}}} 使 Z ¯ ≱ T B {\displaystyle {\bar {Z}}\not \geq _{T}B} ，也即 B ∉ Z ¯ {\displaystyle B\not \in {\bar {Z}}} 。因此只需令 Φ p + 1 := Φ p ∪ { ( p , 0 , B | n ) } {\displaystyle \Phi _{p+1}:=\Phi _{p}\cup \{(p,0,B\vert n)\}} 、 X ¯ p + 1 := X ¯ p ∪ Z ¯ {\displaystyle {\bar {X}}_{p+1}:={\bar {X}}_{p}\cup {\bar {Z}}} 。 根据以上描述的序列，显然 Φ G := ⋃ i ∈ ω Φ i {\displaystyle \Phi _{G}:=\bigcup _{i\in \omega }\Phi _{i}} 满足 Φ G ( B ) = Φ G ′ {\displaystyle \Phi _{G}(B)=\Phi _{G}^{\prime }} ，故定理得证。这一证明方式叫做隈部（日语：隈部正博）–斯莱曼（英语：Theodore Slaman）力迫法。 波斯特定理 克莱尼–波斯特定理 弗里德堡–穆奇尼克定理 波斯纳–罗宾逊定理 跳躍逆轉定理 Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer. 2004. ISBN 9780387152998 （英语）.  Theodore A. Slaman. Turing Degrees and Definability of the Jump (PDF). [2014-04-18]. （原始内容存档 (PDF)于2010-07-30） （英语）.