安培环路定律

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 安培環路定律（英語：Ampère's circuital law）常直接簡稱為“安培定律”，是由安德烈-馬里·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。 安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感应强度沿著環繞導線的任意閉合迴路（環路，closed loop）的路徑積分（環場積），兩者之間的關係為 ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I enc {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}} ； 其中， C {\displaystyle \mathbb {C} } 是環繞著導線的閉合迴路， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁感应强度（又稱為B場）， d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} 是微小線元素向量， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， I enc {\displaystyle I_{\text{enc}}} 是閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 所圍住的電流。 亦即，在真空中的稳恒电流会产生稳恒磁场，而磁感应强度B沿任意环绕载流导线的闭合路径的线积分值（环场积），等于该选取的环路（安培环路）所包围的总电流值（各个电流的代数和）乘以真空磁导率。 1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為 ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 ∫ S ( J + ∂ D ∂ t ) ⋅ d a {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\int _{\mathbb {S} }\left(\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} } ； 其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是邊緣為 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的任意曲面， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是穿過曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的電流的電流密度， D {\displaystyle \mathbf {D} } 是電位移， d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} } 是微小面元素向量。 載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。 右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。 安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理（即ℝ³上的斯托克斯公式），對於任意向量 F {\displaystyle \mathbf {F} } ， ∫ S ∇ × F ⋅ d a = ∮ C F ⋅ d ℓ {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}} 。 所以，這兩種形式是等價的。 电流 I {\displaystyle I} 在一个曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 上的通量，等於磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 沿著 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的邊緣閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的路徑積分。採用國際單位制（後面會講述CGS單位制版本），原版安培環路定律的積分形式可以寫為： ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I} 。 請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清： 第一，邊界曲線 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的正向与曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的侧符合右手规则。 第二，（固定 C {\displaystyle \mathbb {C} } ，）定理之成立與以 C {\displaystyle \mathbb {C} } 為邊界的 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的選擇無關。 安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的叠加性证明（請參閱必歐-沙伐定律）。在静磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。 根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為 ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} } 。 磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的旋度等于（产生该磁场的）传导电流密度 J {\displaystyle \mathbf {J} } 。 電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度 J {\displaystyle \mathbf {J} } 是 J = J f + J M + J P {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J_{f}+J_{M}+J_{P}} } ； 其中， J f {\displaystyle \mathbf {J} _{f}} 是自由電流密度或傳導電流密度， J M {\displaystyle \mathbf {J} _{M}} 是磁化電流密度， J P {\displaystyle \mathbf {J} _{P}} 是電極化電流密度。 從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 和微觀電流（包括自由電流和束縛電流）來表達的定律，有時候會被替代為等價的形式，以附屬磁場（又稱為H場） H {\displaystyle \mathbf {H} } 和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。 通常在教科書內所提及的单独的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由载流子（电子及阴阳离子）的定向移动。例如，通過一條導線或一個電池的電流。自由电流与后面提到的束缚电流明顯不同，后者出現於可以被磁化或電極化的宏觀物質裏（每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化）。 當一個物質被磁化的時候（例如，將此物質置入外磁場），電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是，它們的物理行為會有所改變（會與感受到的磁場耦合），產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏观電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」 J M {\displaystyle \mathbf {J} _{M}} ，用方程式定義為 J M   = d e f   ∇ × M {\displaystyle \mathbf {J} _{M}\ {\stackrel {def}{=}}\ \nabla \times \mathbf {M} } ； 其中， M {\displaystyle \mathbf {M} } 是磁化強度（單位體積的磁偶極矩）。 束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」 J P {\displaystyle \mathbf {J} _{P}} ，用方程式定義為 J P   = d e f   ∂ P ∂ t {\displaystyle \mathbf {J} _{P}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} ； 其中， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是電極化強度。 注意到電極化強度的定義式 ∇ ⋅ P   = d e f   − ρ b {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ -\rho _{b}} ； 其中， ρ b {\displaystyle \rho _{b}} 是「體束縛電荷密度」。 取電極化電流密度的散度： ∇ ⋅ J P = ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ P ) {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}={\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {P} )} 。 所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為 ∇ ⋅ J P = − ∂ ρ b ∂ t {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} _{P}=-{\frac {\partial \rho _{b}}{\partial t}}} 。 原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裏，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式， ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} } ； 其中， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是B場， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是總電流。 取散度於這方程式，則會得到 ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = μ 0 ∇ ⋅ J {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} } 。 應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以， ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0} 。 這意味著電流密度的散度等於零： ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0} 。 在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。 舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 L {\displaystyle \mathbb {L} } 的邊緣為閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。應用安培定律， ∮ C B ⋅ d ℓ = μ 0 I enc {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}I_{\text{enc}}} 。 在這裡， I enc {\displaystyle I_{\text{enc}}} 是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。所以，這任意曲面可以是表面 L {\displaystyle \mathbb {L} } ，而 I enc {\displaystyle I_{\text{enc}}} 是 I {\displaystyle I} ；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 S − L {\displaystyle \mathbb {S} -\mathbb {L} } ，而由於通過這任意曲面的電流是 0 {\displaystyle 0} ， I enc {\displaystyle I_{\text{enc}}} 是 0 {\displaystyle 0} 。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裏，是絕對不允許發生的事。 為了解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流項目加入了安培定律。 在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變量電極化強度 P {\displaystyle P} 來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。 位移電流密度 J D {\displaystyle \mathbf {J} _{D}} 定義為 J D   = d e f   ∂ D ∂ t {\displaystyle \mathbf {J} _{D}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} ； 其中， D {\displaystyle \mathbf {D} } 是電位移，定義為 D   = d e f   ε 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {def}{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } ； 其中， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是電極化強度。 所以，位移電流密度分為兩個部分： J D = ε 0 ∂ E ∂ t + ∂ P ∂ t {\displaystyle \mathbf {J} _{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} 。 這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。 將馬克士威修正項目加入安培方程式： ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}  ; 或者，使用H場 H {\displaystyle \mathbf {H} } 和位移電流 D {\displaystyle \mathbf {D} } 來表達， ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} 。 這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。 假若使用B場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱 ε 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} 項目為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論（正確地）光波是一種電磁波（請參閱電磁波條目）。 採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正項目，可以寫為 ∮ C B ⋅ d ℓ = 1 c ∫ S ( 4 π J + ∂ E ∂ t ) ⋅ d a {\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\int _{S}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} } ； 其中， c {\displaystyle c} 是光速。 其微分形式可以寫為 ∇ × B = 1 c ( 4 π J + ∂ E ∂ t ) {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)} 。 在物理学上，英语 loop 和 circuit 在特殊语境下同义；在以下內文中，汉语对此术语 closed loop 的同义用词另有：環路、迴路、迴圈、環線、迴線，或是閉環、閉路。 電荷守恆定律 沿著閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 線積分的方向有兩種（順時針方向及逆時針方向）。還有， I   {\displaystyle I\!\ } 是通過邊緣為閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的曲面 S {\displaystyle \mathbb {S} } 的淨自由電流，包括以某方向通過的電流，減去以相反方向通過的電流。但是，兩種方向中，任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處，必須使用右手定則：當右手食指朝著線積分方向指去時，伸直的大拇指會指向微小面元素向量，設定朝著這方向流動的電流為正值。 通過邊緣為閉合迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的曲面有無限多選擇（設想在一个閉合铁环上懸跨着一个肥皂泡，假若輕輕地往这个肥皂泡吹一口氣，則泡沫的形狀會變形）。不過選擇哪一曲面都無所謂，因為任何邊緣為 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的曲面皆可被證明為正確的選擇。 存档副本. [2022-04-21]. （原始内容存档于2022-04-21）.  David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295.  James C. Maxweel. On Physical Lines of Force (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961 [2009-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2009-06-12）.  Morgan, Kirby. 安培定律 (PDF). Project PHYSNET. [2009-08-08]. （原始内容 (PDF)存档于2006-02-21）.  外部链接存在于|publisher= (帮助) Smith, Walter Fox. 安培定律之歌 (PDF). PhysicsSongs.org. [2009-08-08]. （原始内容存档 (PDF)于2010-10-11）.  外部链接存在于|publisher= (帮助)