狄拉克定理

狄拉克定理解释了图染色数与完全细分图的关系。 任何一个最小染色数大于等于4的图（ χ ( G ) ≥ 4 {\displaystyle \chi (G)\geq 4} ）均存在一个4阶完全图的细分图（ K 4 − s u b d i v i s i o n {\displaystyle K_{4}-subdivision} ）。 对于给定的图 G {\displaystyle G} ，存在 k {\displaystyle k} 种颜色和一种染色方案，将图中 G {\displaystyle G} 每一个顶点都染成 k {\displaystyle k} 种颜色中的一种。如果染色方案满足一下条件，那么将称该染色方案为恰当的染色方案：对于图 G {\displaystyle G} 中任意两个顶点 u , v {\displaystyle u,v} ，如果 u v ∈ E ( G ) {\displaystyle uv\in E(G)} ，那么 u , v {\displaystyle u,v} 所染成的颜色不同。 对于图 G {\displaystyle G} ，如果存在一个 k {\displaystyle k} 种颜色的恰当染色方案，我们称 G {\displaystyle G} 是染色的。在所有满足条件的 k ∈ Z + {\displaystyle k\in \mathbb {Z_{+}} } ,我们称最小的那个 k {\displaystyle k} 为 χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 。 给定一条边 e = v 1 v 2 {\displaystyle e=v_{1}v_{2}} ，在边 e {\displaystyle e} 中添加一个点 w {\displaystyle w} 使得 e {\displaystyle e} 变为一条由 v 1 w , w v 2 {\displaystyle v_{1}w,wv_{2}} 组成的路径，称为边的细分。 对于图 G {\displaystyle G} ，将其中一些边进行细分而得到的图 G ′ {\displaystyle G'} 称为 G {\displaystyle G} 的细分图 如果对于图 G {\displaystyle G} ，其任意真子图 G ′ ⊂ G {\displaystyle G'\subset G} 均满足 χ ( G ′ ) < χ ( G ) {\displaystyle \chi (G')<\chi (G)} ，则称 G {\displaystyle G} 为色临界图。对于任何一张图 G {\displaystyle G} ，均存在 G ′ ⊆ G , χ ( G ′ ) = χ ( G ) {\displaystyle G'\subseteq G,\chi (G')=\chi (G)} 且 G ′ {\displaystyle G'} 是色临界图。 对图中点的数量 n ( G ) {\displaystyle n(G)} 进行递归 当 n ( G ) = 4 {\displaystyle n(G)=4} 的时候， G {\displaystyle G} 的最小染色数为4，故 G {\displaystyle G} 只能为一张完全图，所以 G {\displaystyle G} 中存在 K 4 {\displaystyle K_{4}} 的细分图（自身）。 假设当 n ( G ) ≤ k − 1 {\displaystyle n(G)\leq k-1} 时成立，现考虑当 n ( G ) = k {\displaystyle n(G)=k} 时。由于 χ ( G ) ≥ 4 {\displaystyle \chi (G)\geq 4} ，存在 H ⊆ G , χ ( H ) = 4 {\displaystyle H\subseteq G,\chi (H)=4} 且 H {\displaystyle H} 是色临界图。由子图可知， n ( H ) ≤ k {\displaystyle n(H)\leq k} 。 由于 H {\displaystyle H} 是色临界图， H {\displaystyle H} 不存在割点。 如果 κ ( H ) = 2 {\displaystyle \kappa (H)=2} ，设 S = { x , y } {\displaystyle S=\{x,y\}} 为 H {\displaystyle H} 的割集。根据色临界图割集的性质， x y ∉ E ( H ) {\displaystyle xy\notin E(H)} 且任意选择 H i {\displaystyle H_{i}} 为 H − { x , y } {\displaystyle H-\{x,y\}} 的连通分支， H ′ {\displaystyle H'} 为 H i ∪ { x , y } {\displaystyle H_{i}\cup \{x,y\}} 的生成子图，有 χ ( H ′ + x y ) = χ ( G ) = 4 {\displaystyle \chi (H'+xy)=\chi (G)=4} 。由于 n ( H ′ + x y ) < n ( G ) {\displaystyle n(H'+xy)<n(G)} ，所以 H ′ + x y {\displaystyle H'+xy} 中存在一个4阶完全图的细分图 A {\displaystyle A} 。如果 x y ∉ A {\displaystyle xy\notin A} ，则 A ⊆ H ′ ⊆ G {\displaystyle A\subseteq H'\subseteq G} 。那么根据归纳假设， G {\displaystyle G} 中存在4阶完全图的细分图 A {\displaystyle A} 。如果 x y ∈ A {\displaystyle xy\in A} ，对于 H − { x , y } {\displaystyle H-\{x,y\}} 的另一个连通分支 H j {\displaystyle H_{j}} ， H j ∪ { x , y } {\displaystyle H_{j}\cup \{x,y\}} 是连通图，存在一条从 x {\displaystyle x} 到 y {\displaystyle y} 的路径 P ∈ H ′ {\displaystyle P\in H'} 。则 P ∉ A {\displaystyle P\notin A} ，所以 A − x y ∪ P {\displaystyle A-xy\cup P} 是一个4阶完全图的细分图。 如果 κ ( H ) ≥ 3 {\displaystyle \kappa (H)\geq 3} ，任意选择 x ∈ V ( H ) {\displaystyle x\in V(H)} ，有 κ ( H − x ) ≥ 2 {\displaystyle \kappa (H-x)\geq 2} 。所以存在一个环 C ∈ H − x {\displaystyle C\in H-x} 。选取环 C {\displaystyle C} 上任意三个点 v 1 , v 2 , v 3 {\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}} ，在 H {\displaystyle H} 中添加一个点 u {\displaystyle u} 与三条边 e 1 = v 1 y , e 2 = v 2 y , e 3 = v 3 y {\displaystyle e_{1}=v_{1}y,e_{2}=v_{2}y,e_{3}=v_{3}y} 得到新的图 H ∗ {\displaystyle H^{\ast }} ，则仍然有 κ ( H ∗ ) ≥ 3 {\displaystyle \kappa (H^{\ast })\geq 3} 。所以对 x , y ∈ H ∗ {\displaystyle x,y\in H^{\ast }} ,存在三条从 x {\displaystyle x} 到 y {\displaystyle y} 内部互不相交的路径 P 1 ′ = P 1 + v 1 y , P 2 ′ = P 2 + v 2 y , P 3 ′ = P 3 + v 3 y {\displaystyle P'_{1}=P_{1}+v_{1}y,P'_{2}=P_{2}+v_{2}y,P'_{3}=P_{3}+v_{3}y} 。又由于 v 1 , v 2 , v 3 ∈ C {\displaystyle v_{1},v_{2},v_{3}\in C} 。存在环上3条内部互不相交的路径 P 4 , P 5 , P 6 {\displaystyle P_{4},P_{5},P_{6}} 分别从 v 1 {\displaystyle v_{1}} 到 v 2 {\displaystyle v_{2}} ， v 2 {\displaystyle v_{2}} 到 v 3 {\displaystyle v_{3}} ， v 3 {\displaystyle v_{3}} 到 v 1 {\displaystyle v_{1}} 。则 P 1 ∪ P 2 ∪ P 3 ∪ P 4 ∪ P 5 ∪ P 6 {\displaystyle P_{1}\cup P_{2}\cup P_{3}\cup P_{4}\cup P_{5}\cup P_{6}} 是图 G {\displaystyle G} 的一个子图且为4阶完全图的细分图。 任何一个最小染色数大于等于 k {\displaystyle k} 的图（ χ ( G ) ≥ k {\displaystyle \chi (G)\geq k} ）均存在一个 k {\displaystyle k} 阶完全图的细分图（ K k − s u b d i v i s i o n {\displaystyle K_{k}-subdivision} ）。 当 k = 2 , 3 , 4 {\displaystyle k=2,3,4} 的时候，答案是肯定的。 当 k ≥ 7 {\displaystyle k\geq 7} 的时候，答案是否定的。 对于 k = 5 , 6 {\displaystyle k=5,6} ，目前是个开放问题 Douglas B.West. Introduction to Graph Theory. Pearson Enducation. 2002: 232–240. ISBN 81-7808-830-4.