哈密頓原理

在物理學裏，哈密頓原理（英語：Hamilton's principle）是愛爾蘭物理學家威廉·哈密頓於1833年發表的關於平穩作用量原理的表述。哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數，所構成的泛函的變分問題解答，可以表達這物理系統的動力行為。拉格朗日函數又稱為拉格朗日量，包含了這物理系統所有的物理內涵。這泛函稱為作用量。哈密頓原理提供了一種新的方法來表述物理系統的運動。不同於牛頓運動定律的微分方程式方法，這方法以積分方程式來設定系統的作用量，在作用量平穩的要求下，使用變分法來計算整個系統的運動方程式。 雖然哈密頓原理本來是用來表述經典力學，這原理也可以應用於經典場，像電磁場或重力場，甚至可以延伸至量子場論等等。 微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，又加上已知這變數在某一點的數值或導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。 哈密頓原理用積分方程式來表述物理系統的運動。我們只需要設定系統在兩個點的狀態，叫做最初狀態與最終狀態。然後，經過求解系統作用量的平穩值，我們可以得到系統在，兩個點之間，其他點的狀態。不但是關於經典力學中的一個單獨粒子，而且也關於經典場像電磁場與萬有引力場，這表述都是正確的。更值得一提的是，現今，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。 用變分法數學語言來表述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演變（就是說，系統怎樣從一個狀態演變到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演變對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演變的微分方程式。 哈密頓原理闡明，一個物理系統的拉格朗日函數 L {\displaystyle L\,} 所構成的作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,} ，其平穩值是這物理系統的真實演化。 以數學方程式表示，定義作用量為 S   = d e f   ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt\,} ； 其中， L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,} 是系統的拉格朗日函數，廣義坐標 q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)\,} 是時間 t {\displaystyle t\,} 的函數， t 1 {\displaystyle t_{1}\,} 和 t 2 {\displaystyle t_{2}\,} 分別為初始時間和終結時間。 假若，作用量的一次變分 δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,} ，作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,} 為平穩值，則 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,} 正確地描述這系統的真實演化。 從哈密頓原理可以推導出拉格朗日方程式。假設 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,} 是系統的正確運動，微擾函數 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,} 為一個虛位移 δ q {\displaystyle \delta \mathbf {q} \,} ，虛位移在軌道的兩個端點的值是零： ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,} 。 取至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,} 的一階微擾，作用量泛函的一次變分為 δ S = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + ε , q ˙ + ε ˙ , t ) − L ( q , q ˙ , t ) ] d t = ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q + ε ˙ ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}},t)-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,} 。 這裏，我們將拉格朗日量 L {\displaystyle L\,} 展開至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,} 的一階微擾。 應用分部積分法於最右邊項目： δ S = [ ε ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ] t 1 t 2 + ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q − ε ⋅ d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt} 。 邊界條件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,} 使第一個項目歸零： δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,} 。 作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,} 平穩的要求意味著，對於正確運動的任意微擾 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,} ，一次變分 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,} 必須等於零： δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,} 。 特別注意，我們沒有對廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} \,} 做任何要求。在這裏，我們要求所有的廣義坐標都互不相依；也就是說，這系統是完整系統。這樣，我們可以應用變分法基本引理而得到拉格朗日方程式： ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,} 。 在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。 物理学主题 變分法 拉格朗日力學 哈密頓力學 諾特定理 作用量 列夫, 朗道. 理论物理学教程-第一卷 力学. 北京: 高等教育出版社. 2007. ISBN 9787040208498.  W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308（页面存档备份，存于互联网档案馆）; Part II (1835) p. 95-144（页面存档备份，存于互联网档案馆）.（From the collection Sir William Rowan Hamilton (1805-1865）: Mathematical Papers（页面存档备份，存于互联网档案馆） edited by David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Ireland.（2000）; also reviewed as On a General Method in Dynamics（页面存档备份，存于互联网档案馆）) Herbert Goldstein (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69. 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, Mechanics, Course of Theoretical Physics（Butterworth-Heinenann, 1976）, 3rd ed., Vol. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Arnold VI.（1989）Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61. 維基教科書中的相關電子教程：理论力学/哈密顿原理