约瑟夫斯问题

約瑟夫斯置換是一個出現在計算機科學和數學中的問題。在計算機編程的算法中，類似問題又被稱為約瑟夫環。 人們站在一个等待被處決的圈子里。 计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定方向围绕圆圈进行。 在跳过指定数量的人之后，處刑下一个人。 对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。 问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。 这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。 比较简单的做法是用循环单链表模拟整个过程，时间复杂度是O(n*m)。如果只是想求得最后剩下的人，则可以用数学推导的方式得出公式。且先看看模拟过程的解法。 # -*- coding: utf-8 -*- class Node(object): def __init__(self, value): self.value = value self.next = None def create_linkList(n): head = Node(1) pre = head for i in range(2, n+1): newNode = Node(i) pre.next= newNode pre = newNode pre.next = head return head n = 5 #總的個數 m = 2 #數的數目 if m == 1: #如果是1的话，特殊處理，直接輸出 print (n) else: head = create_linkList(n) pre = None cur = head while cur.next != cur: #终止條件是節點的下一个節點指向本身 for i in range(m-1): pre = cur cur = cur.next print (cur.value) pre.next = cur.next cur.next = None cur = pre.next print (cur.value) #include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstdio> using namespace std; typedef struct _LinkNode { int value; struct _LinkNode* next; } LinkNode, *LinkNodePtr; LinkNodePtr createCycle(int total) { int index = 1; LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL; head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode)); head->value = index; prev = head; while (--total > 0) { curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode)); curr->value = ++index; prev->next = curr; prev = curr; } curr->next = head; return head; } void run(int total, int tag) { LinkNodePtr node = createCycle(total); LinkNodePtr prev = NULL; int start = 1; int index = start; while (node && node->next) { if (index == tag) { printf("%d\n", node->value); if (tag == start) { prev = node->next; node->next = NULL; node = prev; } else { prev->next = node->next; node->next = NULL; node = prev->next; } index = start; } else { prev = node; node = node->next; index++; } } } int main() { if (argc < 3) return -1; run(atoi(argv[1]), atoi(argv[2])); return 0; } 我们将明确解出 k = 2 {\displaystyle k=2} 时的问题。对于 k ≠ 2 {\displaystyle k\neq 2} 的情况，我们在下面给出一个一般的解法。 设 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 为一开始有 n {\displaystyle n} 个人时，生还者的位置(注意：最终的生还者只有一个)。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为 x {\displaystyle x} 的人一开始在第 2 x − 1 {\displaystyle 2x-1} 个位置。因此位置为 f ( 2 n ) {\displaystyle f(2n)} 的人开始时的位置为 2 f ( n ) − 1 {\displaystyle 2f(n)-1} 。这便给出了以下的递推公式： f ( 2 n ) = 2 f ( n ) − 1. {\displaystyle f(2n)=2f(n)-1.\,} 如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为 x {\displaystyle x} 的人原先位置为 2 x + 1 {\displaystyle 2x+1} 。这便给出了以下的递推公式： f ( 2 n + 1 ) = 2 f ( n ) + 1. {\displaystyle f(2n+1)=2f(n)+1.\,} 如果我们把 n {\displaystyle n} 和 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的值列成表，我们可以看出一个规律： 从中可以看出， f ( n ) {\displaystyle f(n)} 是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从 f ( n ) = 1 {\displaystyle f(n)=1} 开始。因此，如果我们选择m和l，使得 n = 2 m + l {\displaystyle n=2^{m}+l} 且 0 ≤ l < 2 m {\displaystyle 0\leq l<2^{m}} ，那么 f ( n ) = 2 ⋅ l + 1 {\displaystyle f(n)=2\cdot l+1} 。注意：2^m是不超过n的最大幂，l是留下的量。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。 定理：如果 n = 2 m + l {\displaystyle n=2^{m}+l} 且 0 ≤ l < 2 m {\displaystyle 0\leq l<2^{m}} ，则 f ( n ) = 2 l + 1 {\displaystyle f(n)=2l+1} 。 证明：对 n {\displaystyle n} 应用数学归纳法。 n = 1 {\displaystyle n=1} 的情况显然成立。我们分别考虑 n {\displaystyle n} 是偶数和 n {\displaystyle n} 是奇数的情况。 如果 n {\displaystyle n} 是偶数，则我们选择 l 1 {\displaystyle l_{1}} 和 m 1 {\displaystyle m_{1}} ，使得 n / 2 = 2 m 1 + l 1 {\displaystyle n/2=2^{m_{1}}+l_{1}} ，且 0 ≤ l 1 < 2 m 1 {\displaystyle 0\leq l_{1}<2^{m_{1}}} 。注意 l 1 = l / 2 {\displaystyle l_{1}=l/2} 。我们有 f ( n ) = 2 f ( n / 2 ) − 1 = 2 ( ( 2 l 1 ) + 1 ) − 1 = 2 l + 1 {\displaystyle f(n)=2f(n/2)-1=2((2l_{1})+1)-1=2l+1} ，其中第二个等式从归纳假设推出。 如果 n {\displaystyle n} 是奇数，则我们选择 l 1 {\displaystyle l_{1}} 和 m 1 {\displaystyle m_{1}} ，使得 ( n − 1 ) / 2 = 2 m 1 + l 1 {\displaystyle (n-1)/2=2^{m_{1}}+l_{1}} ，且 0 ≤ l 1 < 2 m 1 {\displaystyle 0\leq l_{1}<2^{m_{1}}} 。注意 l 1 = ( l − 1 ) / 2 {\displaystyle l_{1}=(l-1)/2} 。我们有 f ( n ) = 2 f ( ( n − 1 ) / 2 ) + 1 = 2 ( ( 2 l 1 ) + 1 ) + 1 = 2 l + 1 {\displaystyle f(n)=2f((n-1)/2)+1=2((2l_{1})+1)+1=2l+1} ，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。 答案的最漂亮的形式，与 n {\displaystyle n} 的二进制表示有关：把 n {\displaystyle n} 的第一位移动到最后，便得到 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 。如果 n {\displaystyle n} 的二进制表示为 n = b 0 b 1 b 2 b 3 … b m {\displaystyle n=b_{0}b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{m}} ，则 f ( n ) = b 1 b 2 b 3 … b m b 0 {\displaystyle f(n)=b_{1}b_{2}b_{3}\dots b_{m}b_{0}} 。这可以通过把 n {\displaystyle n} 表示为 2 m + l {\displaystyle 2^{m}+l} 来证明。 一般情况下，考虑生还者的号码从 n − 1 {\displaystyle n-1} 到 n {\displaystyle n} 的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始)： f ( n , k ) = ( f ( n − 1 , k ) + k ) mod n {\displaystyle f(n,k)=(f(n-1,k)+k){\bmod {n}}} ， f ( 1 , k ) = 0 {\displaystyle f(1,k)=0} 这种方法的运行时间是 O ( n ) {\displaystyle O(n)} 。 程序實現（C++） #include <iostream> using namespace std; //編號從0開始，也就是說如果編號從1開始結果要加1 int josephus(int n, int k) { //非遞回版本 int s = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) s = (s + k) % i; return s; } int josephus_recursion(int n, int k) { //遞回版本 return n > 1 ? (josephus_recursion(n - 1, k) + k) % n : 0; } int main() { for (int i = 1; i <= 100; i++) cout << i << ' ' << josephus(i, 5) << ' ' << josephus_recursion(i, 5) << endl; return 0; } 对于 k < n {\displaystyle k<n} ，可以将上述方法推广，将杀掉第k、2k、……、 ⌊ n / k ⌋ {\displaystyle \lfloor n/k\rfloor } 个人视为一个步骤，然后把号码改变，可得如下递推公式, 运行时间为 O ( k log ⁡ n ) {\displaystyle O(k\log n)} 。 f ( n , k ) = { 0 if  n = 1 ( f ( n − 1 , k ) + k ) mod n if  1 < n < k ⌊ k ( ( f ( n ′ , k ) − n mod k ) mod n ′ ) k − 1 ⌋ where  n ′ = n − ⌊ n k ⌋ if  k ≤ n {\displaystyle f(n,k)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=1\\(f(n-1,k)+k){\bmod {n}}&{\text{if }}1<n<k\\\left\lfloor {\frac {k((f(n',k)-n{\bmod {k}}){\bmod {n}}')}{k-1}}\right\rfloor {\text{where }}n'=n-\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor &{\text{if }}k\leq n\\\end{cases}}} 程序實現（C++） #include <cstdio> using namespace std; //編號從1開始，結果要加1 int josephus(int n, int k) { if (k == 1) return n - 1; int ans = 0; for (int i = 2; i <= n; ) { if (ans + k >= i) { ans = (ans + k) % i; i++; continue; } int step = (i - 1 - ans - 1) / (k - 1); //向下取整 if (i + step > n) { ans += (n - (i - 1)) * k; break; } i += step; ans += step * k; } return ans; } int main() { int n, k; while (scanf("%d%d", &n, &k) == 2) printf("%d\n", josephus(n, k) % n + 1); return 0; } The War of the Jews 3.387-391 Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 14: Augmenting Data Structures, pp.318. cut-the-knot上的约瑟夫斯游戏 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Java Applet） 埃里克·韦斯坦因. 约瑟夫斯问题. MathWorld.