垂足三角形

在幾何學上，垂足三角形（英語：Pedal triangle）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。 具體地說，考慮一個三角形 A B C {\displaystyle ABC} ，選定一個異於頂點 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 的點 P {\displaystyle P} 。通過 P {\displaystyle P} 對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與 B C ↔ , A C ↔ , A B ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {BC}},{\overleftrightarrow {AC}},{\overleftrightarrow {AB}}} 的交點分別命名為 L , M , N {\displaystyle L,M,N} ，則三角形 L M N {\displaystyle LMN} 是一個垂足三角形。 如果 A B C {\displaystyle ABC} 不是鈍角三角形，則其垂足三角形 L M N {\displaystyle LMN} 的內角角度分別為 180 ∘ − 2 A {\displaystyle 180^{\circ }-2A} 、 180 ∘ − 2 B {\displaystyle 180^{\circ }-2B} 、 180 ∘ − 2 C {\displaystyle 180^{\circ }-2C} 。 若 P {\displaystyle P} 點位於三角形 A B C {\displaystyle ABC} 的特殊中心上，則有一些特殊情況： 若 P {\displaystyle P} 是 A B C {\displaystyle ABC} 的垂心，則 L M N {\displaystyle LMN} 是垂心三角形（英語：Orthic triangle）。 若 P {\displaystyle P} 是 A B C {\displaystyle ABC} 的內心，則 L , M , N {\displaystyle L,M,N} 是 A B C {\displaystyle ABC} 之內切圓的三個切點。 若 P {\displaystyle P} 是 A B C {\displaystyle ABC} 的外心，則 L M N {\displaystyle LMN} 是中點三角形。 若 P {\displaystyle P} 點以三角形 A B C {\displaystyle ABC} 為基準的三線坐標是 p : q : r {\displaystyle p:q:r} ，則其垂足三角形的頂點 L , M , N {\displaystyle L,M,N} 坐標為： L = 0 : q + p cos ⁡ C : r + p cos ⁡ B {\displaystyle L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}} M = p + q cos ⁡ C : 0 : r + q cos ⁡ A {\displaystyle M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}} N = p + r cos ⁡ B : q + r cos ⁡ A : 0 {\displaystyle N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0} 若 P {\displaystyle P} 點位於 A B C {\displaystyle ABC} 的外接圓上，則 L , M , N {\displaystyle L,M,N} 共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（英語：Pedal line），又稱為西姆松線（英語：Simson line）。 A , B , C , L , M , N {\displaystyle A,B,C,L,M,N} 六點滿足以下等式： A N ¯ 2 + B L ¯ 2 + C M ¯ 2 = N B ¯ 2 + L C ¯ 2 + M A ¯ 2 {\displaystyle {\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}} 過 A {\displaystyle A} 作一條垂直於 P A ¯ {\displaystyle {\overline {PA}}} 的直線，過 B {\displaystyle B} 作一條垂直於 P B ¯ {\displaystyle {\overline {PB}}} 的直線，過 C {\displaystyle C} 作一條垂直於 P C ¯ {\displaystyle {\overline {PC}}} 的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（英語：Antipedal triangle）。在這個反垂足三角形中，設與 A {\displaystyle A} 相對的頂點為 A ′ {\displaystyle A^{\prime }} ，與 B {\displaystyle B} 相對的頂點為 B ′ {\displaystyle B^{\prime }} ，與 C {\displaystyle C} 相對的頂點為 C ′ {\displaystyle C^{\prime }} 。 A B C {\displaystyle ABC} 是 A ′ B ′ C ′ {\displaystyle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }} 在 P {\displaystyle P} 點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。 若 P {\displaystyle P} 點以三角形 A B C {\displaystyle ABC} 為基準的三線坐標是 p : q : r {\displaystyle p:q:r} ，則反垂足三角形的頂點 A ′ , B ′ , C ′ {\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }} 坐標為： A ′ = − ( q + p cos ⁡ C ) ( r + p cos ⁡ B ) : ( r + p cos ⁡ B ) ( p + q cos ⁡ C ) : ( q + p cos ⁡ C ) ( p + r cos ⁡ B ) {\displaystyle A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})} B ′ = ( r + q cos ⁡ A ) ( q + p cos ⁡ C ) : − ( r + q cos ⁡ A ) ( p + q cos ⁡ C ) : ( p + q cos ⁡ C ) ( q + r cos ⁡ A ) {\displaystyle B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})} C ′ = ( q + r cos ⁡ A ) ( r + p cos ⁡ B ) : ( p + r cos ⁡ B ) ( r + q cos ⁡ A ) : − ( p + r cos ⁡ B ) ( q + r cos ⁡ A ) {\displaystyle C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})} 一個特殊的例子是，如果 P {\displaystyle P} 點位於內心，則該反垂足三角形以 A B C {\displaystyle ABC} 的三個旁心為頂點。 Trigonometry/Circles and Triangles/The Pedal Triangle - Wikibooks, open books for an open world. en.wikibooks.org. [2020-10-31]. （原始内容存档于2021-08-22）.  Alfred S. Posamentier; Charles T. Salkind. Challenging problems in geometry. New York: Dover. 1996: 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.  Weisstein, Eric W. (编). Antipedal Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2021-08-22]. （原始内容存档于2021-08-22） （英语）.