半指數函數

在數學上，半指數函數（Half-exponential function）是指數函數的函數平方根（英语：Functional square root）；換句話說，若 f {\displaystyle f} 是一個半指數函數，則 f {\displaystyle f} 與自己的複合函數會是一個指數函數： f ( f ( x ) ) = a b x , {\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},} 其中 a {\displaystyle a} 與 b {\displaystyle b} .是常數。 假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數 f {\displaystyle f} ，那麼 f ( f ( x ) ) {\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}} 要不就是次指數的，要不就是超指數的，因此哈代L-函數（英语：Hardy field）不可能是半指數函數。 有無限多的函數，其半複合函數是與彼此相同的指數函數；特別地，對於任意位於開區間 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} 當中的數 A {\displaystyle A} 及任意從 [ 0 , A ] {\displaystyle [0,A]} 映至 [ A , 1 ] {\displaystyle [A,1]} 的嚴格遞增满射連續函数 g {\displaystyle g} 而言，都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數 f {\displaystyle f} ，使得 f ( f ( x ) ) = exp ⁡ x {\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x} .，而這 f {\displaystyle f} 是以下函數方程的唯一解： f ( x ) = { g ( x ) if  x ∈ [ 0 , A ] , exp ⁡ g − 1 ( x ) if  x ∈ ( A , 1 ] , exp ⁡ f ( ln ⁡ x ) if  x ∈ ( 1 , ∞ ) , ln ⁡ f ( exp ⁡ x ) if  x ∈ ( − ∞ , 0 ) . {\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}} 一個簡單的、使得 f {\displaystyle f} 處處有連續一階導數例子，是設 A = 1 2 {\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}} 且 g ( x ) = x + 1 2 {\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}} ，而這會得到下式： f ( x ) = { log e ⁡ ( e x + 1 2 ) if  x ≤ − log e ⁡ 2 , e x − 1 2 if  − log e ⁡ 2 ≤ x ≤ 0 , x + 1 2 if  0 ≤ x ≤ 1 2 , e x − 1 / 2 if  1 2 ≤ x ≤ 1 , x e if  1 ≤ x ≤ e , e x / e if  e ≤ x ≤ e , x e if  e ≤ x ≤ e e , e x 1 / e if  e e ≤ x ≤ e e , … {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}} 半指數函數出現於計算複雜性理論當中，在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。若一個函數 f {\displaystyle f} 的成長率至少與半指數函數一樣快（也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數），就表示說這函數是非遞減的，且對於任意 C > 0 {\displaystyle C>0} 而言，有 f − 1 ( x C ) = o ( log ⁡ x ) {\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)} 。 迭代函數 施羅德方程式（英语：Schröder's equation） 阿貝爾方程式（英语：Abel equation） Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x) = ex und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67 [2022-06-22]. MR 0035385. （原始内容存档于2022-05-18）.  Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21.  |contribution=被忽略 (帮助) van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function. Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7 .  Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494 .  Does the exponential function have a (compositional) square root? “Closed-form” functions with half-exponential growth