二體問題

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在經典力學裏，二體問題（英語：two-body problem）研究兩個粒子因彼此互相作用而產生的運動。這是個很重要的天文學問題，常見的應用有衛星繞著行星公轉、行星繞著恆星公轉、雙星系統、雙行星、一個經典電子繞著原子核運動等等。 二體問題可以表述為兩個獨立的單體問題，其中一個是平凡的單體問題，另外一個單體問題研究一個粒子因外力作用而呈現的運動。由於很多單體問題有精確解（exact solution），即不需借助近似方法就可得到問題的解答；其對應的二體問題連帶地也可解析。顯然不同地，除了特別案例以外，三體問題（或者更複雜的多體問題）並沒有精確解。 在一個物理系統裏，假設兩個粒子的質量分別為 m 1 {\displaystyle m_{1}\,\!} 、 m 2 {\displaystyle m_{2}\,\!} ，在時間 t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 的初始位置分別為 x 10 {\displaystyle \mathbf {x} _{10}\,\!} 、 x 20 {\displaystyle \mathbf {x} _{20}\,\!} ，初始速度分別為 v 10 {\displaystyle \mathbf {v} _{10}\,\!} 、 v 20 {\displaystyle \mathbf {v} _{20}\,\!} ，計算這兩個粒子的軌跡函數 x 1 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!} 及 x 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!} 的問題，稱為二體問題。 根據牛頓第二定律： F 12 ( x 1 , x 2 ) = m 1 x ¨ 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}\,\!} —— (1)、 F 21 ( x 1 , x 2 ) = m 2 x ¨ 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}\,\!} —— (2)； 其中， F A B {\displaystyle \mathbf {F} _{AB}\,\!} 表示粒子B施加於粒子A的作用力。 將方程式(1)與方程式(2)相加，可以得到一個方程式，專門描述兩個粒子的質心運動。將方程式(1)與方程式(2)的相減，則可得到描述兩個粒子相對的位移向量 r = x 1 − x 2 {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\,\!} 與時間之間的關係。將這兩個獨立的單體問題的解答結合起來，就可以求得軌跡函數 x 1 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!} 和 x 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!} 。 質心的位置由兩個粒子的位置和質量給出： x c m   = d e f   ( m 1 x 1 + m 2 x 2 ) / M {\displaystyle \mathbf {x} _{cm}\ {\stackrel {def}{=}}\ (m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2})/M\,\!} ； 其中， M = m 1 + m 2 {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\,\!} 是系統的總質量。 質心的加速度為： x ¨ c m = ( m 1 x ¨ 1 + m 2 x ¨ 2 ) / M {\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2})/M\,\!} 。 由於沒有外力作用，將方程式(1)與(2)相加，根據牛頓第三定律，可以得到 M x ¨ c m = F 12 + F 21 = 0 {\displaystyle M{\ddot {\mathbf {x} }}_{cm}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0\,\!} 。 因此，質心的加速度等於零，質心的速度 v c m {\displaystyle \mathbf {v} _{cm}\,\!} 為常數： v c m = x ˙ c m = ( m 1 v 10 + m 2 v 20 ) / M {\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\dot {\mathbf {x} }}_{cm}=(m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20})/M\,\!} 。 這物理系統的動量守恆： m 1 v 1 + m 2 v 2 = M v c m = m 1 v 10 + m 2 v 20 {\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=M\mathbf {v} _{cm}=m_{1}\mathbf {v} _{10}+m_{2}\mathbf {v} _{20}\,\!} 。 從兩個粒子的初始位置和初始速度，就可以決定質心在任意時間的位置： x c m = v c m t + ( m 1 x 10 + m 2 x 20 ) / M {\displaystyle \mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!} 。 將方程式(1)、(2)分別除以 m 1 {\displaystyle m_{1}\,\!} 、 m 2 {\displaystyle m_{2}\,\!} ，然後相減，可以得到 r ¨ = x ¨ 1 − x ¨ 2 = ( F 12 m 1 − F 21 m 2 ) {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)\,\!} 。 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是個從粒子2位置指到粒子1位置的位移向量。 應用牛頓第三定律， F 12 = − F 21 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\,\!} 。所以， r ¨ = ( 1 m 1 + 1 m 2 ) F 12 {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}\,\!} 。 兩個粒子之間的作用力應該只是相對位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的函數，而不是絕對位置 x 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}\,\!} 、 x 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{2}\,\!} 的函數；否則，無法滿足物理的平移對稱，物理定律會因地而易，二體之間的物理關係無法普遍地成立於全宇宙。換句話說，在宇宙中，兩個粒子的絕對位置無關緊要，因為它們是宇宙中唯一的兩個粒子，是互相施加於彼此的作用力的源頭。誠然地，這是一個不實際的問題，可以被視為一個思想實驗。為了滿足這問題的要求，兩個粒子之間的作用力必須只是相對位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的函數。這樣，相減得到的方程式寫為 μ r ¨ = F 12 ( x 1 , x 2 ) = F ( r ) {\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!} ； 其中， μ = m 1 m 2 / M {\displaystyle \mu =m_{1}m_{2}/M\,\!} 是約化質量。 一旦求得函數 x c m ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{cm}(t)\,\!} 與 r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)\,\!} ，就可以計算出兩個粒子的軌跡方程式 x 1 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)\,\!} 與 x 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)\,\!} ： x 1 ( t ) = x c m ( t ) + m 2 r ( t ) / M {\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)+m_{2}\mathbf {r} (t)/M\,\!} 、 x 2 ( t ) = x c m ( t ) − m 1 r ( t ) / M {\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {x} _{cm}(t)-m_{1}\mathbf {r} (t)/M\,\!} 。 兩個粒子的總角動量 L t o t {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!} 為 L t o t = x 1 × ( m 1 x ˙ 1 ) + x 2 × ( m 2 x ˙ 2 ) = x c m × M x ˙ c m + r × μ r ˙ = L c m + L r e l {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{tot}&=\mathbf {x} _{1}\times (m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1})+\mathbf {x} _{2}\times (m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2})=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}+\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\\&=\mathbf {L} _{cm}+\mathbf {L} _{rel}\\\end{aligned}}\,\!} 其中， L c m = x c m × M x ˙ c m {\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\mathbf {x} _{cm}\times M{\dot {\mathbf {x} }}_{cm}\,\!} 是質心對於原點的角動量， L r e l = r × μ r ˙ {\displaystyle \mathbf {L} _{rel}=\mathbf {r} \times \mu {\dot {\mathbf {r} }}\,\!} 是兩個粒子對於質心的角動量。 回想前面質心的軌跡方程式， x c m = v c m t + ( m 1 x 10 + m 2 x 20 ) / M {\displaystyle \mathbf {x} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t+(m_{1}\mathbf {x} _{10}+m_{2}\mathbf {x} _{20})/M\,\!} 。 為了簡化分析，設定質心的初始位置為 0 {\displaystyle 0\,\!} 。也就是說，質心的直線運動經過原點。那麼， L c m = v c m t × M v c m = 0 {\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\mathbf {v} _{cm}t\times M\mathbf {v} _{cm}=0\,\!} 、 L t o t = L r e l {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {L} _{rel}\,\!} 。 二体问题常用的换元的技巧是通过 u = 1 / r {\displaystyle u=1/r\!} 和 θ ˙ = L u 2 / m {\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!} 将原方程中对时间的求导转化为对角度 θ {\displaystyle \theta \!} 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程 ( L u ′ ) ′ + L u = 1 / L {\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!} 二體問題的總力矩 τ t o t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!} 是 τ t o t = x 1 × F 12 + x 2 × F 21 = r × F 12 {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}=\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {F} _{12}+\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {F} _{21}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{12}\,\!} 。 在物理學裏，時常會遇到的萬有引力、靜電力等等，都是連心力。假設，作用力 F 12 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!} 是連心力，則 F 12 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!} 與 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 同直線，總力矩 τ t o t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!} 等於0。根據角動量守恆定律， τ t o t = d L t o t d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}={\frac {d\mathbf {L} _{tot}}{dt}}\,\!} 。 因此，總角動量 L t o t {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!} 是個常數，總角動量守恆。 請注意，並不是每一種力都是連心力。假設，兩個粒子是帶電粒子。由必歐-沙伐定律與勞侖茲力定律所算出的作用力和反作用力並不是連心力。總力矩 τ t o t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{tot}\,\!} 不等於0。總角動量不守恆；這是因為還有角動量並沒有被計算在內。假若，將電磁場的角動量計算在內，則角動量守恆定律仍舊成立。 在很多物理系統裏，作用力 F ( r ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )\,\!} 是一種連心力，以方程式表示為 F ( r ) = F ( r ) r ^ {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}} ； 其中， r {\displaystyle r\,\!} 是徑向距離， r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!} 是徑向單位向量。 這物理系統的運動方程式為 μ r ¨ = F ( r ) r ^ {\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\,\!} 。 更詳盡細節，請參閱條目經典連心力問題（classical central force problem）。 總角動量與 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的點積為 r ⋅ L t o t = r ⋅ ( r × ( μ r ˙ ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} _{tot}=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {r} \times (\mu {\dot {\mathbf {r} }}))=0\,\!} 。 這兩個粒子的運動軌道必定包含於垂直於 L t o t {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!} 的平面。假設作用力為連心力，則由於角動量守恆，這兩個粒子必定運動於某特定平面，而常數向量 L t o t {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}\,\!} 垂直於這平面。 多體問題 克卜勒定律 克卜勒問題 拉普拉斯-龍格-冷次向量 伯特蘭定理 牛頓旋轉軌道定理 David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001: 58; Figure 2.15.  Luo, Siwei. The Sturm-Liouville problem of two-body system. Journal of Physics Communications. 22 June 2020, 4 (6): 061001. Bibcode:2020JPhCo...4f1001L. doi:10.1088/2399-6528/ab9c30 .  Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 7–8. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 书籍 Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 978-0-08-021022-3 (hardcover) and ISBN 978-0-08-029141-3 (softcover).