单调收敛定理

在数学中，有许多定理称为单调收敛定理（英語：Monotone convergence theorem）；这里我们介绍一些主要的例子。 如果ak是一个单调的实数序列（例如ak ≤ ak+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。当且仅当序列是有界的，这个极限是有限的。 我们证明如果递增序列 ⟨ a n ⟩ {\displaystyle \langle a_{n}\rangle } 有上界，则它是收敛的，且它的极限为 sup n { a n } {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}} 。 由于 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理， c = sup n { a n } {\displaystyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}} 存在，且是有限的。现在，对于每一个 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，都存在一个 a N {\displaystyle a_{N}} ，使得 a N > c − ε {\displaystyle a_{N}>c-\varepsilon } ，否则 c − ε {\displaystyle c-\varepsilon } 是 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 的一个上界，这与 c {\displaystyle c} 为最小上界 sup n { a n } {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}} 的事实矛盾。于是，由于 ⟨ a n ⟩ {\displaystyle \langle a_{n}\rangle } 是递增的，对于所有的n > N，都有 | c − a n | = c − a n ≤ c − a N < ε {\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}<\varepsilon } ，因此根据定义， ⟨ a n ⟩ {\displaystyle \langle a_{n}\rangle } 的极限为 sup n { a n } {\displaystyle \sup _{n}\{a_{n}\}} 。证毕。 类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。 如果对于所有的自然数j和k，aj,k都是非负实数，且aj,k ≤ aj+1,k，则（参见第168页）： lim j → ∞ ∑ k a j , k = ∑ k lim j → ∞ a j , k {\displaystyle \lim _{j\to \infty }\sum _{k}a_{j,k}=\sum _{k}\lim _{j\to \infty }a_{j,k}} 这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。 设( X, A, μ {\displaystyle \mu } )为一个测度空间。若序列 f 1 , f 2 , … {\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots } 為定義域是 X {\displaystyle X} ，對應域是 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 的 μ {\displaystyle \mu } -可测单调递增函数序列。也就是说 ∀ x ∈ X , k ∈ N {\displaystyle \forall x\in X,\,k\in \mathbb {N} } ，有 0 ≤ f k ( x ) ≤ f k + 1 ( x ) {\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)} 。 接着，设序列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 的逐点极限为 f {\displaystyle f} 。也就是说 ∀ x ∈ X , {\displaystyle \forall x\in X,} f ( x ) := lim k → ∞ f k ( x ) {\displaystyle f(x):=\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)} 。 則 f {\displaystyle f} 會是 μ {\displaystyle \mu } -可测函數，且： lim k → ∞ ∫ X f k d μ = ∫ X f d μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu } 。（参见第21.38节） 注意其積分值不一定是有限值，也就是左右兩邊可能都是無限大。 我们首先证明f是 μ {\displaystyle \mu } -可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 的一个子区间。那么： f − 1 ( I ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ I } {\displaystyle f^{-1}(I)=\{x\in X|f(x)\in I\}} 。 另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此： f ( x ) ∈ I ⇔ f k ( x ) ∈ I ,   ∀ k ∈ N {\displaystyle f(x)\in I\Leftrightarrow f_{k}(x)\in I,~\forall k\in \mathbb {N} } 。 所以： { x ∈ X | f ( x ) ∈ I } = ⋂ k ∈ N { x ∈ X | f k ( x ) ∈ I } {\displaystyle \{x\in X|f(x)\in I\}=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }\{x\in X|f_{k}(x)\in I\}} 。 注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在 μ {\displaystyle \mu } -可测函数 f k {\displaystyle f_{k}} 下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是 μ {\displaystyle \mu } -可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。 现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是 μ {\displaystyle \mu } -可测的事实，意味着表达式 ∫ f d μ {\displaystyle \int fd\mu } 是定义良好的。 我们从证明 ∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu } 开始。 根据勒贝格积分的定义， ∫ f d μ = s u p { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } {\displaystyle \int fd\mu =sup\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\}} ， 其中SF是X上的 μ {\displaystyle \mu } -可测简单函数的交集。由于在每一个 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，都有 f k ( x ) ≤ f ( x ) {\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)} ，我们便有： { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f k } ⊆ { ∫ g d μ | g ∈ S F , g ≤ f } . {\displaystyle \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f_{k}\right\}\subseteq \left\{\int gd\mu |g\in SF,g\leq f\right\}.} 因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有： ∫ f d μ ≥ lim k ∫ f k d μ . {\displaystyle \int fd\mu \geq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .} 右面的极限存在，因为序列是单调的。 我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明： ∫ f d μ ≤ lim k ∫ f k d μ . {\displaystyle \int fd\mu \leq \lim _{k}\int f_{k}d\mu .} 从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递減序列gn，它几乎处处逐点收敛于f，且： lim k ∫ g k d μ = ∫ f d μ . {\displaystyle \lim _{k}\int g_{k}d\mu =\int fd\mu .} 只需证明对于每一个 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ，都有： ∫ g k d μ ≤ lim j ∫ f j d μ {\displaystyle \int g_{k}d\mu \leq \lim _{j}\int f_{j}d\mu } 这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。 我们证明如果gk是简单函数，且 lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)} 几乎处处，则： lim j ∫ f j d μ ≥ ∫ g k d μ . {\displaystyle \lim _{j}\int f_{j}d\mu \geq \int g_{k}d\mu .} 由于积分是线性的，我们可以把函数 g k {\displaystyle g_{k}} 分拆成它的常数部分，化为 g k {\displaystyle g_{k}} 是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设 f j {\displaystyle f_{j}} 是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。 为了证明这个结果，固定 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，并定义可测集合的序列： B n = { x ∈ B : f n ( x ) ≥ 1 − ϵ } . {\displaystyle B_{n}=\{x\in B:f_{n}(x)\geq 1-\epsilon \}.} 根据积分的单调性，可以推出对于任何的 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，都有： μ ( B n ) ( 1 − ϵ ) = ∫ ( 1 − ϵ ) 1 B n d μ ≤ ∫ f n d μ {\displaystyle \mu (B_{n})(1-\epsilon )=\int (1-\epsilon )1_{B_{n}}d\mu \leq \int f_{n}d\mu } 根据 lim j f j ( x ) ≥ g k ( x ) {\displaystyle \lim _{j}f_{j}(x)\geq g_{k}(x)} 的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于 B n {\displaystyle B_{n}} 内，因此： ⋃ n B n = B {\displaystyle \bigcup _{n}B_{n}=B} 。 所以，我们有： ∫ g k d μ = ∫ 1 B d μ = μ ( B ) = μ ( ⋃ n B n ) . {\displaystyle \int g_{k}d\mu =\int 1_{B}d\mu =\mu (B)=\mu (\bigcup _{n}B_{n}).} 利用测度的单调性，可得： μ ( ⋃ n B n ) = lim n μ ( B n ) ≤ lim n ( 1 − ϵ ) − 1 ∫ f n d μ {\displaystyle \mu (\bigcup _{n}B_{n})=\lim _{n}\mu (B_{n})\leq \lim _{n}(1-\epsilon )^{-1}\int f_{n}d\mu } 取 k → ∞ {\displaystyle k\rightarrow \infty } ，并利用这对任何正数 ϵ {\displaystyle \epsilon } 都正确的事实，定理便得证。 无穷级数 勒贝格控制收敛定理 J Yeh. Real analysis. Theory of measure and integration. 2006.  Erik Schechter. 21.38. Analysis and Its Foundations. 1997.