拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。这定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。 設 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 是實希爾伯特空間，其內積記作 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } ，導出範數 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} ， a ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a(\cdot ,\cdot )} 是雙線性型，使得 在 H × H {\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}} 上連續： ∃ c > 0 , ∀ ( u , v ) ∈ H 2 ,   | a ( u , v ) | ≤ c ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|} ， 在 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上強制（有稱為 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} －橢圓性)： ∃ α > 0 , ∀ u ∈ H ,   a ( u , u ) ≥ α ‖ u ‖ 2 {\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}} ， L {\displaystyle L} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上的連續線性型。 那麼存在唯一的 u ∈ H {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}} ，使得對所有 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 都有 a ( u , v ) = L v {\displaystyle a(u,v)=Lv} ： ( 1 ) ∃ !   u ∈ H ,   ∀ v ∈ H , a ( u , v ) = L v {\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv} 。 而且如果 a {\displaystyle a} 是對稱的，那麼 u {\displaystyle u} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 中唯一的元素，使得以下泛函取最小值 J : H → R {\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} } ， J ( v ) = 1 2 a ( v , v ) − L v {\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv} 對所有 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} ，即： ( 2 ) ∃ !   u ∈ H , J ( u ) = min v ∈ H   J ( v ) {\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)} 。 套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的 f ∈ H {\displaystyle f\in {\mathcal {H}}} ，使得 L v = ⟨ f , v ⟩ {\displaystyle Lv=\langle f,v\rangle } 對任意 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 成立。 對所有 u ∈ H {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}} ，映射 v ↦ a ( u , v ) {\displaystyle v\mapsto a(u,v)} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的 A u ∈ H {\displaystyle A_{u}\in {\mathcal {H}}} ，使得 a ( u , v ) = ⟨ A u , v ⟩ {\displaystyle a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle } 對任意 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 成立。易知算子 A : u ↦ A u {\displaystyle A:u\mapsto A_{u}} 是一個 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上連續線性自同態。由此可把 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 表示成如下等價形式： ∃ !   u ∈ H ,   A u = f {\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f} 要證明此命題，只要證得 A {\displaystyle A} 是從 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 到 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。 從 a {\displaystyle a} 的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} α ‖ v ‖ 2 ≤ a ( v , v ) = ⟨ A v , v ⟩ ≤ ‖ A v ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|} 從而知對任何 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} ‖ A v ‖ ≥ α ‖ v ‖ {\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|} (*)。 這證明了 A {\displaystyle A} 是單射。 要證明滿射，考慮算子 A {\displaystyle A} 在 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 內的像 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 。 不等式(*)表示，如 A u n {\displaystyle Au_{n}} 是柯西序列，那麼 u n {\displaystyle u_{n}} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 內的柯西序列。由 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的完備性， u n {\displaystyle u_{n}} 收斂至 u ∈ H {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}} 。因 A {\displaystyle A} 連續，得出 A u n {\displaystyle Au_{n}} 收斂至 A u {\displaystyle Au} 。 Z {\displaystyle {\mathcal {Z}}} 因此為 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 中的閉子空間，由投影定理可知 H = Z ⊕ Z ⊥ {\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }} 。 再設元素 w ∈ Z ⊥ {\displaystyle w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }} ，從定義有 ⟨ A w , w ⟩ = 0 {\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0} ，因此 α ‖ w ‖ 2 ≤ a ( w , w ) = ⟨ A w , w ⟩ = 0 {\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0} 故得 w = 0 {\displaystyle w=0} 。所以 Z ⊥ {\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }} 為 { 0 } {\displaystyle \{0\}} ，證得 A {\displaystyle A} 是滿射。 自同態 A {\displaystyle A} 是雙射，故在 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 內存在唯一的 u {\displaystyle u} 使得 A u = f {\displaystyle Au=f} ，且可以由 u = A − 1 f {\displaystyle u=A^{-1}f} 得出。 不用求出 u {\displaystyle u} ，有其範數的上界估計 ‖ u ‖ ≤ ‖ L ‖ ′ α {\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}} 其中 ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} 表示對偶空間 H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} 的範數。 如果雙線性型 a {\displaystyle a} 對稱，那麼對所有 w ∈ H {\displaystyle w\in {\mathcal {H}}} 有： J ( u + w ) = J ( u ) + ( a ( u , w ) − L w ) + 1 2 a ( w , w ) {\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)} 因 u {\displaystyle u} 是命題(1)的唯一解，有 J ( u + w ) = J ( u ) + 1 2 a ( w , w ) {\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)} 從 a {\displaystyle a} 的強制性有： J ( u + w ) ≥ J ( u ) + α 2 ‖ w ‖ 2 {\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}} 取 v = u + w {\displaystyle v=u+w} ，從上式有 J ( u ) ≤ J ( v ) {\displaystyle J(u)\leq J(v)} 對任意 v ∈ H {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}} 成立，因而得到 ( 2 ) {\displaystyle (2)} 的結果。 這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 內求 u {\displaystyle u} ，而是在 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的有限 n {\displaystyle n} 維子空間 H n {\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}} 內求 u n {\displaystyle u_{n}} ，那麼 如果 a {\displaystyle a} 對稱，以 a {\displaystyle a} 為內積， u n {\displaystyle u_{n}} 是 u {\displaystyle u} 的投影。 給出 H n {\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}} 的基 ( φ i ) {\displaystyle (\varphi _{i})} ，上述問題化為求解線性方程組： A _ _ u n _ = b _ {\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}} 其中 A i j = a ( φ j , φ i ) {\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})} ， b i = L φ i {\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}} 。 泛函分析中的定理 阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理