香农小波

在泛函分析中，香农小波（英語：Shannon wavelet）（或Sinc小波）是由理想带通滤波器进行信号分析定义的信号分解方法。香农小波可以是实小波，也可以是复小波。 香农小波在时域局域化特性不好（时域非紧支撑），但其傅里叶变换是带限的（频域是紧支撑）。因此香农小波的时间定位性能较差，但频率定位性能良好。这些特征恰好与哈尔小波相反，因为Haar和sinc系统是彼此的傅里叶对偶。 香农小波的构建从Sinc函数开始。 首先由sinc函数定义香农小波的尺度函数： ϕ (Sha) ( t ) := sin ⁡ π t π t = sinc ⁡ ( t ) . {\displaystyle \phi ^{\text{(Sha)}}(t):={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).} 其伸缩和平移为： ϕ k n ( t ) := 2 n / 2 ϕ (Sha) ( 2 n t − k ) {\displaystyle \phi _{k}^{n}(t):=2^{n/2}\phi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)} 其中， n , k {\displaystyle n,k} 为伸缩和平移的参数。 尺度函数的傅里叶变换为： Φ (Sha) ( ω ) = 1 2 π Π ( ω 2 π ) = { 1 2 π , if  | ω | ≤ π , 0 if  otherwise . {\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\Pi ({\frac {\omega }{2\pi }})={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }},&{\mbox{if }}{|\omega |\leq \pi },\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}} 其中（归一化的）矩形函数定义为： Π ( x ) := { 1 , if  | x | ≤ 1 / 2 , 0 if  otherwise . {\displaystyle \Pi (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}} 尺度函数在傅里叶域中的伸缩和平移定义为： Φ k n ( ω ) = 2 − n / 2 2 π e − i ω ( k + 1 ) / 2 n Π ( ω 2 n + 1 π ) {\displaystyle \Phi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n+1}\pi }})} 由尺度函数 Φ (Sha) {\displaystyle \Phi ^{\text{(Sha)}}} 和多分辨率近似，我们可以得出香农母小波在傅里叶域的形式： Ψ (Sha) ( ω ) = 1 2 π e − i ω ( Π ( ω π − 3 2 ) + Π ( ω π + 3 2 ) ) {\displaystyle \Psi ^{\text{(Sha)}}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}e^{-i\omega }{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}} 其伸缩和平移形式为： Ψ k n ( ω ) = 2 − n / 2 2 π e − i ω ( k + 1 ) / 2 n ( Π ( ω 2 n π − 3 2 ) + Π ( ω 2 n π + 3 2 ) ) {\displaystyle \Psi _{k}^{n}(\omega )={\frac {2^{-n/2}}{2\pi }}e^{-i\omega (k+1)/2^{n}}{\bigg (}\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}-{\frac {3}{2}})+\Pi ({\frac {\omega }{2^{n}\pi }}+{\frac {3}{2}}){\bigg )}} 对其进行逆傅里叶变换，可以得到香农母小波函数的伸缩和平移形式： ψ (Sha) ( t ) = sin ⁡ π ( t − ( 1 / 2 ) ) − sin ⁡ 2 π ( t − ( 1 / 2 ) ) π ( t − 1 / 2 ) = sinc ⁡ ( t − 1 2 ) − 2 sinc ⁡ ( 2 ( t − 1 2 ) ) {\displaystyle \psi ^{\text{(Sha)}}(t)={\frac {\sin \pi (t-(1/2))-\sin 2\pi (t-(1/2))}{\pi (t-1/2)}}=\operatorname {sinc} {\bigg (}t-{\frac {1}{2}}{\bigg )}-2\operatorname {sinc} {\bigg (}2(t-{\frac {1}{2}}){\bigg )}} ψ k n ( t ) = 2 n / 2 ψ (Sha) ( 2 n t − k ) {\displaystyle \psi _{k}^{n}(t)=2^{n/2}\psi ^{\text{(Sha)}}(2^{n}t-k)} 进一步了解香农小波的构建可以参考。 母小波是单位正交的： < ψ k n ( t ) , ψ h m ( t ) >= δ n m δ h k = { 1 , if  h = k  and  n = m 0 , otherwise {\displaystyle <\psi _{k}^{n}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=\delta ^{nm}\delta _{hk}={\begin{cases}1,&{\text{if }}h=k{\text{ and }}n=m\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 尺度 n = 0 {\displaystyle n=0} 的尺度函数的平移是正交的： < ϕ k 0 ( t ) , ϕ h 0 ( t ) >= δ k h {\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\phi _{h}^{0}(t)>=\delta ^{kh}} 尺度 n = 0 {\displaystyle n=0} 的尺度函数和母小波时正交的： < ϕ k 0 ( t ) , ψ h m ( t ) >= 0 {\displaystyle <\phi _{k}^{0}(t),\psi _{h}^{m}(t)>=0} 香农小波有无穷阶的消失矩 假设信号 f ( x ) ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle f(x)\in L_{2}(\mathbb {R} )} 满足 supp ⁡ FT ⁡ { f } ⊂ [ − π , π ] {\displaystyle \operatorname {supp} \operatorname {FT} \{f\}\subset [-\pi ,\pi ]} 并对任意伸缩和平移参数 n , k {\displaystyle n,k} 都有： | ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ϕ k 0 ( t ) d t | < ∞ {\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\phi _{k}^{0}(t)dt{\Bigg |}<\infty } , | ∫ − ∞ ∞ f ( t ) ψ k n ( t ) d t | < ∞ {\displaystyle {\Bigg |}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\psi _{k}^{n}(t)dt{\Bigg |}<\infty } 则 f ( t ) = ∑ k = ∞ ∞ α k ϕ k 0 ( t ) {\displaystyle f(t)=\sum _{k=\infty }^{\infty }\alpha _{k}\phi _{k}^{0}(t)} 是一致收敛的，其中 α k = f ( k ) {\displaystyle \alpha _{k}=f(k)} 在傅里叶变换中，香农母小波由下式给出： Ψ ( Sha ) ( w ) = ∏ ( w − 3 π / 2 π ) + ∏ ( w + 3 π / 2 π ) . {\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).} 其中（归一化）门函数由下式定义： ∏ ( x ) := { 1 , if  | x | ≤ 1 / 2 , 0 if  otherwise . {\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if}}{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}} 实香农小波的解析表达式可由逆傅里叶变换得到： ψ ( Sha ) ( t ) = sinc ⁡ ( t 2 ) ⋅ cos ⁡ ( 3 π t 2 ) {\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)} 也可按： ψ ( Sha ) ( t ) = 2 ⋅ sinc ⁡ ( 2 t − 1 ) − sinc ⁡ ( t ) , {\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t-1)-\operatorname {sinc} (t),} 其中 sinc ⁡ ( t ) := sin ⁡ π t π t {\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}} 是出现在香农采样定理中的常见正弦函数。 该小波有 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 级的可微性，但是在无穷远处缓慢减小并且没有有界支撑，因为有频带限制的信号没有时间限制。 对于香农MRA（或是正弦MRA）的缩放函数由下面示例函数给出： ϕ ( S h a ) ( t ) = sin ⁡ π t π t = sinc ⁡ ( t ) . {\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).} 复连续香农小波由下式定义： ψ ( C S h a ) ( t ) = sinc ⁡ ( t ) . e − j 2 π t {\displaystyle \psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t).e^{-j2\pi t}} , S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing,Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9. L.W. LIU, Construction of Interval Shannon Wavelet and Its Application in Solving Nonlinear Black-Scholes Equation, 2014， 9 pages. 冉启文; 谭立英. 小波分析与分数傅里叶变换及应用. 北京: 国防工业出版社. 2002. ISBN 7-118-02642-5. OCLC 50621155.