同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。 对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。 其过程如下：给定对象 X {\displaystyle X} ，首先定义链复形，它包含了 X {\displaystyle X} 的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模 A 0 , A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots } 的序列，群同态 d n : A n → A n − 1 {\displaystyle d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}} 满足任何两个相连的同态的复合为0: d n ∘ d n + 1 = 0 {\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0} 对于所有 n {\displaystyle n} 成立。这意味着第 n + 1 {\displaystyle n+1} 个映射的像包含在第 n {\displaystyle n} 个映射的核中，我们定义 X {\displaystyle X} 的 n {\displaystyle n} 阶同调群为商群（商模） H n ( X ) = k e r ( d n ) / i m ( d n + 1 ) . {\displaystyle H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).} 链复形称为正合的，如果（ n + 1 {\displaystyle n+1} ）阶映射的像总是等于 n {\displaystyle n} 阶映射的核。因此 X {\displaystyle X} 的同调群是衡量 X {\displaystyle X} 所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。 非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示 H 0 ( X ) , H 1 ( X ) , H 2 ( X ) , … {\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots } 其中第 k {\displaystyle k} 个同调群 H k ( X ) {\displaystyle H_{k}(X)} 描绘了 X {\displaystyle X} 中的 k {\displaystyle k} 维圈 (cycle)，实现为 k + 1 {\displaystyle k+1} 维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此 H 0 ( X ) {\displaystyle H_{0}(X)} 刻画了 X {\displaystyle X} 中的道路连通分支。 一维球面 S 1 {\displaystyle S^{1}} 是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出 H k ( S 1 ) ≅ { Z k = 0 , 1 0 k ≠ 0 , 1 {\displaystyle H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}} 其中 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 表示整数加群， 0 {\displaystyle 0} 表示平凡群。 H 1 ( S 1 ) ≅ Z {\displaystyle H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} } 表示 S 1 {\displaystyle S^{1}} 的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。 二维球面 S 2 {\displaystyle S^{2}} 有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为 H k ( S 2 ) ≅ { Z k = 0 , 2 0 k ≠ 0 , 2 {\displaystyle H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}} 一般地，对 n {\displaystyle n} 维球面 S n {\displaystyle S^{n}} ，其同调群为 H k ( S n ) ≅ { Z k = 0 , n 0 k ≠ 0 , n {\displaystyle H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}} 二维实心球 B 2 {\displaystyle B^{2}} 有一个道路连通分支，但与圆不同的是， B 2 {\displaystyle B^{2}} 没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群 H 0 ( B 2 ) ≅ Z {\displaystyle H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z} } 以外，其余阶的同调群均为平凡群。 环面被定义为两个圆 T 2 = S 1 × S 1 {\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}} 的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为 H k ( T 2 ) ≅ { Z k = 0 , 2 Z × Z k = 1 0 k ≥ 3 {\displaystyle H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}} 两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群 Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } . 引入同调的概念可以用单纯复形 X {\displaystyle X} 的单纯同调：设 C n {\displaystyle C_{n}} 为 X {\displaystyle X} 中的 n {\displaystyle n} 维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射 ∂ n : C n → C n + 1 {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}} 映射称为边缘映射 (boundary map)，它将 n {\displaystyle n} 维单纯形 σ : Δ n → X {\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X} 映射为如下交错和 ∑ i = 0 n ( − 1 ) i σ | [ e 0 , … , e i − 1 , e i + 1 , … , e n ] . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.} ，其中 σ | [ e 0 , ⋯ , e i − 1 , e i + 1 , ⋯ , e n ] {\displaystyle \sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}} 表示 σ {\displaystyle \sigma } 限制在 e 0 , ⋯ , e i − 1 , e i + 1 , ⋯ , e n {\displaystyle e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}} 对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则 X {\displaystyle X} 的 n {\displaystyle n} 阶同调的维数就是 X {\displaystyle X} 中 n {\displaystyle n} 维圈的个数。 仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间 X {\displaystyle X} 的奇异同调群。我们定义 X {\displaystyle X} 的上同调的链复形中的空间为 A n {\displaystyle A_{n}} 为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从 n {\displaystyle n} 为单纯形到 X {\displaystyle X} 的连续函数。同态 d n {\displaystyle d_{n}} 从单纯形的边缘映射得到。 同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子 F {\displaystyle F} 和某个模 X {\displaystyle X} 开始。 X {\displaystyle X} 的链复形定义如下：首先找到一个自由模 F 1 {\displaystyle F_{1}} 和一个满同态 p 1 : F 1 → X {\displaystyle p_{1}:F_{1}\rightarrow X} 。然后找到一个自由模 F 2 {\displaystyle F_{2}} 和一个满同态 p 2 : F 2 → k e r ( p 1 ) {\displaystyle p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})} 。以该方式继续，得到一个自由模 F n {\displaystyle F_{n}} 和同态 p n {\displaystyle p_{n}} 的序列。将函子 F {\displaystyle F} 应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调 H n {\displaystyle H_{n}} 仅依赖于 F {\displaystyle F} 和 X {\displaystyle X} ，并且按定义就是 F {\displaystyle F} 作用于 X {\displaystyle X} 的n阶导出函子。 链复形构成一个范畴：从链复形 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})} 到链复形 ( e n : B n → B n − 1 ) {\displaystyle (e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})} 的态射是一个同态的序列 ( f n : A n → B n ) {\displaystyle (f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})} ，满足 f n − 1 ∘ d n = e n − 1 ∘ f n {\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}} 对于所有 n {\displaystyle n} 成立。 n {\displaystyle n} 阶同调 H n {\displaystyle H_{n}} 可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。 若链复形以协变的方式依赖于对象 X {\displaystyle X} （也就是任何态射 X → Y {\displaystyle X\rightarrow Y} 诱导出一个从 X {\displaystyle X} 的链复形到 Y {\displaystyle Y} 的链复形的态射），则 H n {\displaystyle H_{n}} 是从 X {\displaystyle X} 所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。 同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于 X {\displaystyle X} ，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为 H n {\displaystyle H^{n}} ）构成从 X {\displaystyle X} 所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。 若 ( d n : A n → A n − 1 ) {\displaystyle (d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})} 是链复形，满足出有限个 A n {\displaystyle A_{n}} 外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数 χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( A n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})} （可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数: χ = ∑ ( − 1 ) n r a n k ( H n ) {\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})} 特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数 χ {\displaystyle \chi } 是拓扑空间的重要不变量。 此外，每个链复形的短正合序列 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0} 诱导一个同调群的长正合序列 ⋯ → H n ( A ) → H n ( B ) → H n ( C ) → H n − 1 ( A ) → H n − 1 ( B ) → H n − 1 ( C ) → H n − 2 ( A ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,} 这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射 H n ( C ) → H n − 1 ( A ) {\displaystyle H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)} 之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。 奇异同调 上同调 同调论 同调代数 Spanier 1966，第155頁 Gowers 2010，第390–391頁 harvnb error: no target: CITEREFGowers2010 (help) Hatcher 2002，第106頁 Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔細討論單複形、流形的同調論、奇異同調等。 Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398.  Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.