辐角原理

在复分析中，辐角原理（Argument principle）或称柯西辐角原理（Cauchy's argument principle）说如果 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 是在某个围道 C {\displaystyle C} 上以及内部一个亚纯函数，且 f {\displaystyle f} 在 C {\displaystyle C} 上没有零点或极点，则下列公式成立 ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( N − P ) {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)} 这里 N {\displaystyle N} 与 P {\displaystyle P} 分别表示 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在围道 C {\displaystyle C} 内部的零点与极点个数，每个零点计重数，极点计阶数。定理的陈述假设围道 C {\displaystyle C} 是简单的，即没有自交，以及它是逆时针方向定向的。 更一般地，假设 C {\displaystyle C} 是一条曲线，逆时针方向定向，在复平面中一个开集 Ω {\displaystyle \Omega } 中可缩为一点。对每个 z ∈ Ω {\displaystyle z\in \Omega } ，令 n ( C , z ) {\displaystyle n(C,z)} 是 C {\displaystyle C} 绕点 z {\displaystyle z} 的卷绕数。则 ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( ∑ a n ( C , a ) − ∑ b n ( C , b ) ) , {\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),} 这里第一个求和对 f {\displaystyle f} 所有零点 a {\displaystyle a} 进行并计重数，第二个求和在 f {\displaystyle f} 的所有极点 b {\displaystyle b} 上进行并计重数。 设 z N {\displaystyle z_{N}} 是 f {\displaystyle f} 的一个零点。我们可将 f {\displaystyle f} 写成 f ( z ) = ( z − z N ) k g ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-z_{N})^{k}g(z)} 这里 k {\displaystyle k} 是零点 z N {\displaystyle z_{N}} 的重数，从而 g ( z N ) ≠ 0 {\displaystyle g(z_{N})\neq 0} 。我们有 f ′ ( z ) = k ( z − z N ) k − 1 g ( z ) + ( z − z N ) k g ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)=k(z-z_{N})^{k-1}g(z)+(z-z_{N})^{k}g'(z)\,\!} 以及 f ′ ( z ) f ( z ) = k z − z N + g ′ ( z ) g ( z ) . {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{N}}+{g'(z) \over g(z)}.} 因 g ( z N ) ≠ 0 {\displaystyle g(z_{N})\neq 0} ， g ′ ( z ) g ( z ) {\displaystyle {\frac {g'(z)}{g(z)}}} 在 z N {\displaystyle z_{N}} 没有奇点，从而在 z N {\displaystyle z_{N}} 解析，这意味着 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 在 z N {\displaystyle z_{N}} 的留数是 k {\displaystyle k} 。 设 z P {\displaystyle z_{P}} 是 f {\displaystyle f} 的一个极点。我们可写成 f ( z ) = ( z − z P ) − m h ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-z_{P})^{-m}h(z)} 这里 m {\displaystyle m} 是极点 z P {\displaystyle z_{P}} 的阶数，从而 h ( z P ) ≠ 0 {\displaystyle h(z_{P})\neq 0} 。我们有 f ′ ( z ) = − m ( z − z P ) − m − 1 h ( z ) + ( z − z P ) − m h ′ ( z ) . {\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.} 以及 f ′ ( z ) f ( z ) = − m z − z P + h ′ ( z ) h ( z ) {\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}} 因为 h ( z P ) ≠ 0 {\displaystyle h(z_{P})\neq 0} ， h ′ ( z ) h ( z ) {\displaystyle {\frac {h'(z)}{h(z)}}} 在 z P {\displaystyle z_{P}} 没有奇点，从而在 z P {\displaystyle z_{P}} 解析。我们发现 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 在 z P {\displaystyle z_{P}} 的留数是 − m {\displaystyle -m} 。 将它们放在一起， f {\displaystyle f} 的每个 k {\displaystyle k} 重零点 z N {\displaystyle z_{N}} 产生 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 的一个留数为 k {\displaystyle k} 的单极点，而 f {\displaystyle f} 的每个 m {\displaystyle m} 阶极点 z P {\displaystyle z_{P}} 产生 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 的一个留数为 − m {\displaystyle -m} 的单极点（这里一个单极点指一阶极点）。另外，可以证明 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 没有其它极点，从而没有其它留数。 由留数定理我们有关于 C {\displaystyle C} 的积分是 2 π i {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} } 与这些留数之和的乘积。总之，每个零点 z N {\displaystyle z_{N}} 的 k {\displaystyle k} 之和是计重数的零点个数，对极点类似，故我们得到了欲证之结论。 假设 C {\displaystyle C} 是一个以原点为中心的闭围道，通过考虑 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 关于 0 {\displaystyle 0} 的卷绕数可得出一些推论。我们看到 f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} 在 C {\displaystyle C} 上的积分是 log ⁡ f ( z ) {\displaystyle \log f(z)} 值的变化。因为 C {\displaystyle C} 是闭的我们只需考虑 arg ⁡ f ( z ) ⋅ i {\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} } 在 C {\displaystyle C} 上的变化，它将是 2 π i {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} } 的某个整数倍（但可能绕原点卷多圈）。但从辐角原理 ∮ C f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( N − P ) {\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)} 约去因子 2 π i {\displaystyle 2\pi \mathrm {i} } ，我们得到 N − P = I ( C , 0 ) {\displaystyle N-P=I(C,0)} 这里 I ( C , 0 ) {\displaystyle I(C,0)} 表示 f {\displaystyle f} 在 C {\displaystyle C} 上关于 0 {\displaystyle 0} 的卷绕数，且有 I ( C , 0 ) = ∑ a n ( C , a ) {\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)} ，（这里的求和对 f {\displaystyle f} 所有零点 a {\displaystyle a} 进行并计重数）。 一个推论是更广泛的定理，在同样的假设下，如果 g {\displaystyle g} 是 Ω {\displaystyle \Omega } 中一个解析函数，则 1 2 π i ∮ C g ( z ) f ′ ( z ) f ( z ) d z = ∑ a n ( C , a ) g ( a ) − ∑ b n ( C , b ) g ( b ) . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).} 例如，如果 f {\displaystyle f} 是以一个简单围道 C {\displaystyle C} 内部 z 1 , … , z p {\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}} 为零点的多项式，以及 g ) z ) = z k {\displaystyle g)z)=z^{k}} ，则 1 2 π i ∮ C z k f ′ ( z ) f ( z ) d z = z 1 k + z 2 k + ⋯ + z p k , {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},} 是 f {\displaystyle f} 的根的次方和對稱多項式。 另一个推论是如果我们计算复积分： ∮ C f ( z ) g ′ ( z ) g ( z ) d z , {\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,} 对一个合适的 f {\displaystyle f} ，我们有阿贝尔-普兰纳公式（英语：Abel–Plana_formula）： ∑ n = 0 ∞ f ( n ) − ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = f ( 0 ) / 2 + i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,} 这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。 按照弗兰克·史密西斯一书（Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997）的说法，在奥古斯丁·路易·柯西从法国到都灵（当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国的首都）的自我放逐途中，柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理（见177页）。但是根据此书，只提到了零点，没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表，故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中，零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量（compteurs logarithmiques，相当于现代教材中的对数留数）等于 Z 与 1/Z 根的个数之差（相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点）。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。 反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理，将其作为奈奎斯特稳定性判据的理论基础。哈里·奈奎斯特1932年原理的论文（H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932）用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中，奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来，Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在，辐角原理可在复分析或控制工程学的现代教材中都可以找到。 Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.  埃里克·韦斯坦因. Argument Principle. MathWorld.  Module for the Argument Principle by John H. Mathews An Illustration of the Argument Principle （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Keith Schneider, The Wolfram Demonstrations Project. 儒歇定理 路径积分 奈奎斯特稳定性判据 奥古斯丁·路易·柯西