量子上同调

辛拓扑和代数几何中，量子上同调环是闭辛流形的普通上同调环的推广。有“小环”和“大环”两种定义，一般来说后者更复杂，包含的信息也更多。系数环（一般是诺维科夫环）的选择也会对其结构产生重大影响。 普通上同调的上积描述了子流形如何相交，而量子上同调的量子上积则描述了子空间如何以“模糊”“量子”的方式相交。更确切地说，若它们通过伪全纯曲线相连接，就是相交的。计算曲线的格罗莫夫-威滕不变量在量子上积的展开式中作为系数出现。 量子上同调表达了格罗莫夫-威滕不变量的结构或模式，因此对枚举几何有重要意义，还与数学物理和镜像对称中的许多观点相关。特别是，它与辛弗洛尔同调是环同构的。 本文中X是闭辛流形，具有辛形式ω。 X的量子上同调的系数环有多种选择，通常我们会选择能编码X的第二同调信息的环，这样下面定义的量子上积就能记录X中仿全纯曲线的信息。例如，令 H 2 ( X ) = H 2 ( X , Z ) / t o r s i o n {\displaystyle H_{2}(X)=H_{2}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} } 为第二同调模其挠（torsion）。令R为任意有单位元的交换环，Λ是形式为 λ = ∑ A ∈ H 2 ( X ) λ A e A , {\displaystyle \lambda =\sum _{A\in H_{2}(X)}\lambda _{A}e^{A},} 的形式幂级数的环，其中 系数 λ A {\displaystyle \lambda _{A}} 来自R； e A {\displaystyle e^{A}} 为形式变量，服从关系 e A e B = e A + B {\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{A+B}} ； 对每个实数C，只有有限多个ω(A)小于等于C的A具有非零系数 λ A {\displaystyle \lambda _{A}} 。 变量 e A {\displaystyle e^{A}} 的度数为 2 c 1 ( A ) {\displaystyle 2c_{1}(A)} ，其中 c 1 {\displaystyle c_{1}} 是切丛TX的第一陈类，通过选择任意与ω相配的殆复结构，可将其视为复向量丛。因此，Λ是分次环，称作ω的诺维科夫环（其他定义亦常见）。 令 H ∗ ( X ) = H ∗ ( X , Z ) / t o r s i o n {\displaystyle H^{*}(X)=H^{*}(X,\mathbf {Z} )/\mathrm {torsion} } 为X模挠（torsion）的上同调。系数为Λ的小量子上同调定义为 Q H ∗ ( X , Λ ) = H ∗ ( X ) ⊗ Z Λ . {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )=H^{*}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\Lambda .} 其元素是形式为 ∑ i a i ⊗ λ i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i}} 的有限和。小量子上同调是分次R模： deg ⁡ ( a i ⊗ λ i ) = deg ⁡ ( a i ) + deg ⁡ ( λ i ) . {\displaystyle \deg(a_{i}\otimes \lambda _{i})=\deg(a_{i})+\deg(\lambda _{i}).} 普通上同调 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} 通过 a ↦ a ⊗ 1 {\displaystyle a\mapsto a\otimes 1} 嵌入 Q H ∗ ( X ,   Λ ) {\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )} ，后者由 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} 作为Λ模生成。 对 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} 中任意两个纯度（pure degree）的上同调类a、b，以及 H 2 ( X ) {\displaystyle H_{2}(X)} 中任意的A，定义 ( a ∗ b ) A {\displaystyle (a*b)_{A}} 为 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} 的唯一元素，使得 ∫ X ( a ∗ b ) A ⌣ c = G W 0 , 3 X , A ( a , b , c ) . {\displaystyle \int _{X}(a*b)_{A}\smile c=GW_{0,3}^{X,A}(a,b,c).} （右式是0亏格3点格罗莫夫-威滕不变量。）接着，定义 a ∗ b := ∑ A ∈ H 2 ( X ) ( a ∗ b ) A ⊗ e A . {\displaystyle a*b:=\sum _{A\in H_{2}(X)}(a*b)_{A}\otimes e^{A}.} 根据线性关系，可以推广为定义良好的Λ双射 Q H ∗ ( X , Λ ) ⊗ Q H ∗ ( X , Λ ) → Q H ∗ ( X , Λ ) {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to QH^{*}(X,\Lambda )} 即小量子上积（small quantum cup product）。 类 A = 0 {\displaystyle A=0} 中唯一的仿全纯曲线是常值映射，其像是点。因此 G W 0 , 3 X , 0 ( a , b , c ) = ∫ X a ⌣ b ⌣ c ; {\displaystyle GW_{0,3}^{X,0}(a,b,c)=\int _{X}a\smile b\smile c;} 即 ( a ∗ b ) 0 = a ⌣ b . {\displaystyle (a*b)_{0}=a\smile b.} 于是量子上积包含普通上积；也就是说，这定义将普通上积推广到了非零类A。 一般来说， ( a ∗ b ) A {\displaystyle (a*b)_{A}} 的庞加莱对偶对应着通过a、b的庞加莱对偶的类A的仿全纯曲线空间。所以，普通上同调认为只有当a、b在一定的点上相遇才算做相交，而量子上同调则记录了a和b的非零相交，只要有仿全纯曲线相连接即可。诺维科夫环仅仅提供了足够大的记录系统，可以记录所有类A的相交信息。 令X为具有标准辛形式（对应富比尼–施图迪度量）和复结构的复射影平面。令 ℓ ∈ H 2 ( X ) {\displaystyle \ell \in H^{2}(X)} 为线L的庞加莱对偶，则 H ∗ ( X ) ≅ Z [ ℓ ] / ℓ 3 . {\displaystyle H^{*}(X)\cong \mathbf {Z} [\ell ]/\ell ^{3}.} 唯一非零的格罗莫夫-威滕不变量是类 A = 0 {\displaystyle A=0} 或 A = L {\displaystyle A=L} 的不变量。可得 ∫ X ( ℓ i ∗ ℓ j ) 0 ⌣ ℓ k = G W 0 , 3 X , 0 ( ℓ i , ℓ j , ℓ k ) = δ ( i + j + k , 2 ) {\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{0}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,0}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,2)} 及 ∫ X ( ℓ i ∗ ℓ j ) L ⌣ ℓ k = G W 0 , 3 X , L ( ℓ i , ℓ j , ℓ k ) = δ ( i + j + k , 5 ) , {\displaystyle \int _{X}(\ell ^{i}*\ell ^{j})_{L}\smile \ell ^{k}=GW_{0,3}^{X,L}(\ell ^{i},\ell ^{j},\ell ^{k})=\delta (i+j+k,5),} 其中δ是克罗内克δ函数。于是， ℓ ∗ ℓ = ℓ 2 e 0 + 0 e L = ℓ 2 , {\displaystyle \ell *\ell =\ell ^{2}e^{0}+0e^{L}=\ell ^{2},} ℓ ∗ ℓ 2 = 0 e 0 + 1 e L = e L . {\displaystyle \ell *\ell ^{2}=0e^{0}+1e^{L}=e^{L}.} 这时，可以方便地将 e L {\displaystyle e^{L}} 重命名为q，并使用更简单的系数环 Z [ q ] {\displaystyle \mathbf {Z} [q]} ，其中的q之度为 6 = 2 c 1 ( L ) {\displaystyle 6=2c_{1}(L)} 。则 Q H ∗ ( X , Z [ q ] ) ≅ Z [ ℓ , q ] / ( ℓ 3 = q ) . {\displaystyle QH^{*}(X,\mathbf {Z} [q])\cong \mathbf {Z} [\ell ,q]/(\ell ^{3}=q).} 对纯度（pure degree）的a、b， deg ⁡ ( a ∗ b ) = deg ⁡ ( a ) + deg ⁡ ( b ) {\displaystyle \deg(a*b)=\deg(a)+\deg(b)} 且 b ∗ a = ( − 1 ) deg ⁡ ( a ) deg ⁡ ( b ) a ∗ b . {\displaystyle b*a=(-1)^{\deg(a)\deg(b)}a*b.} 小量子上积满足分配律，是Λ双线性的。单位元 1 ∈ H 0 ( X ) {\displaystyle 1\in H^{0}(X)} 也是小量子同调的幺元。 小量子上积还满足结合律，这是格罗莫夫-威滕不变量的胶合定律（gluing law）的结果。这相当于，格罗莫夫-威滕势（0亏格格罗莫夫-威滕不变量的母函数）满足特定的三阶微分方程，即WDVV方程。 相交对 Q H ∗ ( X , Λ ) ⊗ Q H ∗ ( X , Λ ) → R {\displaystyle QH^{*}(X,\Lambda )\otimes QH^{*}(X,\Lambda )\to R} 的定义为 ⟨ ∑ i a i ⊗ λ i , ∑ j b j ⊗ μ j ⟩ = ∑ i , j ( λ i ) 0 ( μ j ) 0 ∫ X a i ⌣ b j . {\displaystyle \left\langle \sum _{i}a_{i}\otimes \lambda _{i},\sum _{j}b_{j}\otimes \mu _{j}\right\rangle =\sum _{i,j}(\lambda _{i})_{0}(\mu _{j})_{0}\int _{X}a_{i}\smile b_{j}.} （下标0表示 A = 0 {\displaystyle A=0} 系数。）其满足结合律 ⟨ a ∗ b , c ⟩ = ⟨ a , b ∗ c ⟩ . {\displaystyle \langle a*b,c\rangle =\langle a,b*c\rangle .} 基环R是C时，可将向量空间 Q H ∗ ( X ,   Λ ) {\displaystyle QH^{*}(X,\ \Lambda )} 的均匀分次部分H看做复流形。小量子上积限制为H上良定义的交换积。在较温和的假设下，具有相交对 ⟨ ,   ⟩ {\displaystyle \langle ,\ \rangle } 的H是弗罗贝尼乌斯代数。 量子上积可视作是切丛TH上的联络，称作杜布罗温联络。则，量子上积的交换性和结合性对应这个联络上的零挠率和零曲率条件。 存在 0 ∈ H {\displaystyle 0\in H} 的邻域U，使 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 和杜布罗温联络赋予U以弗罗贝尼乌斯流形的结构。 ∀ a ∈ U {\displaystyle \forall a\in U} 有量子上积 ∗ a : H ⊗ H → H , {\displaystyle *_{a}:H\otimes H\to H,} 定义为 ⟨ x ∗ a y , z ⟩ := ∑ n ∑ A 1 n ! G W 0 , n + 3 X , A ( x , y , z , a , … , a ) . {\displaystyle \langle x*_{a}y,z\rangle :=\sum _{n}\sum _{A}{\frac {1}{n!}}GW_{0,n+3}^{X,A}(x,y,z,a,\ldots ,a).} H上的积统称为大量子上同调（big quantum cohomology）。所有0亏格格罗莫夫-威滕不变量都可从中恢复；但一般来说，更简单的小量子上同调并非如此。 小量子上同调只有3点格罗莫夫-威滕不变量的信息，大量子上同调则有所有n点（n ≧ 4）格罗莫夫-威滕不变量的信息。为获得某些流形的枚举几何信息，需要用到大量子上同调。小量子上同调对应物理学中的3点相关函数，大量子上同调则对应所有n点相关函数。 McDuff, Dusa & Salamon, Dietmar (2004). J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications. ISBN 0-8218-3485-1. Fulton, W; Pandharipande, R. Notes on stable maps and quantum cohomology. 1996. arXiv:alg-geom/9608011 .  Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar & Schwarz, Matthias (1996). Symplectic Floer–Donaldson theory and quantum cohomology. In C. B. Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry, pp. 171–200. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57086-7