谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。 令λ1, ..., λn是矩陣A ∈ Cn×n中的特徵值，則其谱半径 ρ(A) is 定義為： ρ ( A ) = max { | λ 1 | , … , | λ n | } . {\displaystyle \rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.} A {\displaystyle A} 的条件数可以用譜半徑表示，公式為 ρ ( A ) ρ ( A − 1 ) {\displaystyle \rho (A)\rho (A^{-1})} 。 譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面， ρ ( A ) ⩽ ‖ A ‖ {\displaystyle \rho (A)\leqslant \|A\|} 對每一個矩陣範數 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 都成立，Gelfand公式指出 ρ ( A ) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 / k {\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}} 。不過，針對任意向量 v ∈ C n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}} ，譜半徑不一定會滿足 ‖ A v ‖ ⩽ ρ ( A ) ‖ v ‖ {\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|} 。若要說明原因，可以令 r > 1 {\displaystyle r>1} 為任意數，考慮矩陣 C r = ( 0 r − 1 r 0 ) {\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}} 。 C r {\displaystyle C_{r}} 的特徵多項式是 λ 2 − 1 {\displaystyle \lambda ^{2}-1} ，因此其特徵值為 ± 1 {\displaystyle \pm 1} ，且 ρ ( C r ) = 1 {\displaystyle \rho (C_{r})=1} 。不過 C r e 1 = r e 2 {\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}} ，因此 ‖ C r e 1 ‖ = r > 1 = ρ ( C r ) ‖ e 1 ‖ {\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|} ，其中 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 是 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的任何 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 範數。至於可以當 k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } 時，讓 ‖ C r k ‖ 1 / k → 1 {\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1} 的原因是 C r 2 = I {\displaystyle C_{r}^{2}=I} ，因此當 k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } 時，使 ‖ C r k ‖ 1 / k ⩽ ‖ C r ‖ 1 / k = r 1 / k → 1 {\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1} 。 ‖ A v ‖ ⩽ ρ ( A ) ‖ v ‖ {\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|} 針對所有 v ∈ C n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}} 成立的條件是 A {\displaystyle A} 為埃尔米特矩阵及 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 為欧几里得範數。 有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。 此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C）。此情形下，針對圖G可定義： ℓ 2 ( G ) = { f : V ( G ) → R   :   ∑ v ∈ V ( G ) ‖ f ( v ) 2 ‖ < ∞ } . {\displaystyle \ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.} 令γ是 G的邻接算子： { γ : ℓ 2 ( G ) → ℓ 2 ( G ) ( γ f ) ( v ) = ∑ ( u , v ) ∈ E ( G ) f ( u ) {\displaystyle {\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}} G的谱半径定義為有界線性算子γ的谱半径。 以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界： 命題：令A ∈ Cn×n，其譜半徑為ρ(A)，以及相容（Consistent）矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數 k ⩾ 1 {\displaystyle k\geqslant 1} : ρ ( A ) ≤ ‖ A k ‖ 1 k . {\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} 證明 令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得： | λ | k ‖ v ‖ = ‖ λ k v ‖ = ‖ A k v ‖ ≤ ‖ A k ‖ ⋅ ‖ v ‖ {\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|} 因為v ≠ 0，可得 | λ | k ≤ ‖ A k ‖ {\displaystyle |\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|} 因此 ρ ( A ) ≤ ‖ A k ‖ 1 k . {\displaystyle \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} 有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若 ( k − 2 ) ( k − 3 ) 2 ≤ m − n ≤ k ( k − 3 ) 2 {\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}} 其中 3 ≤ k ≤ n {\displaystyle 3\leq k\leq n} 為整數，則 ： ρ ( G ) ≤ 2 m − n − k + 5 2 + 2 m − 2 n + 9 4 {\displaystyle \rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}} 谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立： 定理：令A ∈ Cn×n，其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若 lim k → ∞ A k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=0.} 另一方面，若ρ(A) > 1, lim k → ∞ ‖ A k ‖ = ∞ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty } 。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。 假設問題中的極限值為零，可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特征值和特征向量對。因為Akv = λkv可得： 0 = ( lim k → ∞ A k ) v = lim k → ∞ ( A k v ) = lim k → ∞ λ k v = v lim k → ∞ λ k {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}} 因為假設v ≠ 0，會得到 lim k → ∞ λ k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0} 表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。 接下來假設A的譜半徑小於1。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的A ∈ Cn×n，存在V, J ∈ Cn×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得： A = V J V − 1 {\displaystyle A=VJV^{-1}} 而 J = [ J m 1 ( λ 1 ) 0 0 ⋯ 0 0 J m 2 ( λ 2 ) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 J m s − 1 ( λ s − 1 ) 0 0 ⋯ ⋯ 0 J m s ( λ s ) ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}} 其中 J m i ( λ i ) = [ λ i 1 0 ⋯ 0 0 λ i 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ i 1 0 0 ⋯ 0 λ i ] ∈ C m i × m i , 1 ≤ i ≤ s . {\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.} 因此可得 A k = V J k V − 1 {\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}} 因為J是分塊對角矩陣 J k = [ J m 1 k ( λ 1 ) 0 0 ⋯ 0 0 J m 2 k ( λ 2 ) 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋱ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 J m s − 1 k ( λ s − 1 ) 0 0 ⋯ ⋯ 0 J m s k ( λ s ) ] {\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}} 而 m i × m i {\displaystyle m_{i}\times m_{i}} 若尔当方塊矩陣k次方可以得到，針對 k ≥ m i − 1 {\displaystyle k\geq m_{i}-1} ： J m i k ( λ i ) = [ λ i k ( k 1 ) λ i k − 1 ( k 2 ) λ i k − 2 ⋯ ( k m i − 1 ) λ i k − m i + 1 0 λ i k ( k 1 ) λ i k − 1 ⋯ ( k m i − 2 ) λ i k − m i + 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ i k ( k 1 ) λ i k − 1 0 0 ⋯ 0 λ i k ] {\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}} 因此，若 ρ ( A ) < 1 {\displaystyle \rho (A)<1} ，則針對所有的i， | λ i | < 1 {\displaystyle |\lambda _{i}|<1} 都會成立。因此針對所有的i，可得： lim k → ∞ J m i k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0} 這也表示 lim k → ∞ J k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }J^{k}=0.} 因此 lim k → ∞ A k = lim k → ∞ V J k V − 1 = V ( lim k → ∞ J k ) V − 1 = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0} 另一方面，若 ρ ( A ) > 1 {\displaystyle \rho (A)>1} ，當k增加時，在J中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。 以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径 定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數 ||⋅||,，可得 ρ ( A ) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k . {\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.} . 令任意ε > 0，先建構以下二個矩陣： A ± = 1 ρ ( A ) ± ε A . {\displaystyle A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.} 則: ρ ( A ± ) = ρ ( A ) ρ ( A ) ± ε , ρ ( A + ) < 1 < ρ ( A − ) . {\displaystyle \rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).} 先將之前的定理應用到A+: lim k → ∞ A + k = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.} 這表示，根據級數極限定理，一定存在N+ ∈ N使得針對所有的k ≥ N+，下式都成立 ‖ A + k ‖ < 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}} 因此 ‖ A k ‖ 1 k < ρ ( A ) + ε . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}} 將之前的定理用在A−，表示 ‖ A − k ‖ {\displaystyle \|A_{-}^{k}\|} 無界，一定存在N− ∈ N使得針對所有的k ≥ N−，下式都成立 ‖ A − k ‖ > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}} 因此 ‖ A k ‖ 1 k > ρ ( A ) − ε . {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}} 令N = max{N+, N−},，可得： ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ k ≥ N ρ ( A ) − ε < ‖ A k ‖ 1 k < ρ ( A ) + ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon } 因此，依定義，可得下式 lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k = ρ ( A ) . {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).} 考慮以下矩陣 A = [ 9 − 1 2 − 2 8 4 1 1 8 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}} 其中的特徵值為5, 10, 10。依照定義，ρ(A) = 10。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算 ‖ A k ‖ 1 k {\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}} （注意，因為此矩陣特殊的形式， ‖ . ‖ 1 = ‖ . ‖ ∞ {\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }} ）: 針對有界線性算子 A 及算子范数 ||·||，可以得到 ρ ( A ) = lim k → ∞ ‖ A k ‖ 1 k . {\displaystyle \rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.} （複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於數值半徑（英语：numerical radius），可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。 聯合譜半徑 譜隙（英语：Spectral gap） 矩阵的谱 Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 （英语）.  此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8，以及Lax 2002，第195–197頁 Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963  Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1