泊松方程

泊松方程（法語：Équation de Poisson）是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程式，因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。 泊松方程式為 Δ φ = f {\displaystyle \Delta \varphi =f} 在這裡 Δ {\displaystyle \Delta } 代表的是拉普拉斯算子，而 f {\displaystyle f} 和 φ {\displaystyle \varphi } 可以是在流形上的實數或複數值的方程式。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯算子通常表示為 ∇ 2 {\displaystyle {\nabla }^{2}} ，因此泊松方程通常寫成 ∇ 2 φ = f {\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f} 在三維直角坐標系，可以寫成 ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) φ ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) . {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).} 如果有 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} 恒等于0，這個方程式就會變成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。 Δ φ = 0. {\displaystyle \Delta \varphi =0.\!} 泊松方程可以用格林函數來求解；如何利用格林函數來解泊松方程可以參考屏蔽泊松方程（英语：Screened Poisson equation）。現在也发展出很多種數值解，如松弛法（英语：relaxation method）（一种迭代法）。 通常泊松方程式表示为 − Δ φ = f {\displaystyle -\Delta \varphi =f} 这里 Δ {\displaystyle \Delta } 代表拉普拉斯算子， f {\displaystyle f} 为已知函数，而 φ {\displaystyle \varphi } 为未知函数。当 f = 0 {\displaystyle f=0} 时，这个方程被称为拉普拉斯方程。 为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: { − Δ φ = f in   Ω φ = g auf   ∂ Ω {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta \varphi =f&{\text{in}}\ \Omega \\\varphi =g&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}} 其中 Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 为有界开集。 这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为: Φ ( x ) = { − 1 2 π ln ⁡ | x | n = 2 1 n ( n − 2 ) ω n 1 | x | n − 2 n ≥ 3 {\displaystyle \Phi (x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{2\pi }}\ln |x|&n=2\\{\dfrac {1}{n(n-2)\omega _{n}}}{\dfrac {1}{|x|^{n-2}}}&n\geq 3\end{cases}}} 其中 ω n {\displaystyle \omega _{n}} 为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积 ( Φ ∗ f ) {\displaystyle (\Phi *f)} 得到 − Δ φ = f {\displaystyle -\Delta \varphi =f} 的解。 为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数 G ( x , y ) = Φ ( y − x ) − ϕ x ( y ) {\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y)} ϕ x {\displaystyle \phi ^{x}} 为一个校正函数，它满足 { Δ ϕ x = 0 in   Ω ϕ x = Φ ( y − x ) auf   ∂ Ω {\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi ^{x}=0&{\text{in}}\ \Omega \\\phi ^{x}=\Phi (y-x)&{\text{auf}}\ \partial \Omega \end{cases}}} 通常情况下 ϕ x {\displaystyle \phi ^{x}} 是依赖于 Ω {\displaystyle \Omega } 。 通过 G ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)} 可以给出上述边界条件的解 u ( x ) = − ∫ ∂ Ω g ( y ) ∂ G ∂ ν ( x , y ) d σ ( y ) + ∫ Ω f ( y ) G ( x , y ) d y {\displaystyle u(x)=-\int _{\partial \Omega }g(y){\frac {\partial G}{\partial \nu }}(x,y)\mathrm {d} \sigma (y)+\int _{\Omega }f(y)G(x,y)\mathrm {d} y} 其中 σ {\displaystyle \sigma } 表示 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } 上的曲面测度。 此方程的解也可通过变分法得到。 在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電位的問題。在國際單位制（SI）中： ∇ 2 Φ = − ρ ϵ 0 {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}} 此 Φ {\displaystyle \Phi \!} 代表電勢（單位為伏特）， ρ {\displaystyle \rho \!} 是體電荷密度（單位為庫侖/立方公尺），而 ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\!} 是真空電容率（單位為法拉/公尺）。 如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則 ρ = 0 , {\displaystyle \rho =0,\,} 此方程式就變成拉普拉斯方程： ∇ 2 Φ = 0. {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =0.} 如果有一個三維球對稱的高斯分佈電荷密度 ρ ( r ) {\displaystyle \rho (r)} ： ρ ( r ) = Q σ 3 2 π 3 e − r 2 / ( 2 σ 2 ) , {\displaystyle \rho (r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},} 此處，Q代表總電荷 此泊松方程式： ∇ 2 Φ = − ρ ϵ 0 {\displaystyle {\nabla }^{2}\Phi =-{\rho \over \epsilon _{0}}} 的解Φ(r)則為 Φ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 Q r erf ( r 2 σ ) {\displaystyle \Phi (r)={1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{\frac {Q}{r}}\,{\mbox{erf}}\left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)} erf(x)代表的是误差函数. 注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 1 4 π ϵ 0 Q r {\displaystyle {1 \over 4\pi \epsilon _{0}}{Q \over r}} ；正如我們所預期的。 离散泊松方程（英语：Discrete Poisson equation） 泊松-玻尔兹曼方程 泊松方程的唯一性定理（英语：Uniqueness theorem for Poisson's equation） Jackson, Julia A.; Mehl, James P.; Neuendorf, Klaus K. E. (编), Glossary of Geology, American Geological Institute, Springer: 503, 2005 [2015-05-30], ISBN 9780922152766, （原始内容存档于2020-11-20） . Poisson Equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） at EqWorld: The World of Mathematical Equations. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9. Hazewinkel, Michiel (编), Poisson equation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Poisson's equation （页面存档备份，存于互联网档案馆） on PlanetMath.