黎曼级数定理

黎曼级数定理（亦称黎曼重排定理），是一个有关於无穷级数性质的数学定理，得名于19世纪德国著名数学家波恩哈德·黎曼。黎曼级数定理说明，如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的，它的项在重新排列後，重新排列後的级数收敛的值可以收斂到任何一个给定的值，甚至发散。 许多有限项级数具有的性質，在一般的无穷级数不一定滿足，例如一般的有限项级数可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在无穷级数中，只有绝对收敛的无穷级数才可以重新排列各項而不改變收斂值。 给定无穷级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ，其部分和为： S n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} 。如果部分和的数列 { S 1 ,   S 2 ,   S 3 , … } {\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}} 收敛于某个数值： ℓ {\displaystyle \ell } ，则级数收敛。也就是说，如果对于任何的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，总存在一个整数N，使得如果 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ，则 | S n − ℓ | ≤   ϵ {\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \epsilon } . 那么级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 收敛。如果级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 收敛，但级数 ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right\vert } 发散，则称此级数是条件收敛的。:149 假设 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数 C {\displaystyle C} ，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列 σ : n ↦ σ ( n ) {\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) = C . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.} 此外，也存在另一种排列 σ ′ : n ↦ σ ′ ( n ) {\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ′ ( n ) = ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .} 类似地，也可以有办法使它的部分和趋于 − ∞ {\displaystyle -\infty } ，或没有任何极限。:192 反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。:193 交错调和级数是条件收敛级数的一个经典的例子： A h = ∑ n ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle A_{h}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}} 收敛，而 S h = ∑ n | ( − 1 ) n + 1 n | = ∑ n 1 n {\displaystyle S_{h}=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}} 是调和级数，它是发散的。虽然在标准的表示法中，交错调和级数收敛于ln(2)，我们可以把它的项重新排列，使它收敛于任何一个数，甚至发散。例如，如果排列为以下的形式， ( 1 − 1 2 ) − 1 4 + ( 1 3 − 1 6 ) − 1 8 + ( 1 5 − 1 10 ) − 1 12 + ⋯ {\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots } 那么这时的和等于 ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 n + 1 − 1 4 n + 2 − 1 4 n + 4 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 4 n + 2 − 1 4 n + 4 ) = 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}-{\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{4n+2}}-{\frac {1}{4n+4}}\right)={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}} 可以看出，它的和是原来的和的一半。:153-154:108-111 用不同的排列方法，可以让交错调和级数趋向任意一个给定的实数。事实上，由于调和级数 ∑ n 1 n {\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{n}}} 是发散的，它的部分和可以近似估计为： S N = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ = ∑ n = 1 N 1 n = γ + ln ⁡ N + o ( 1 ) , {\displaystyle S_{N}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=\gamma +\ln N+o(1),} 其中 o ( 1 ) {\displaystyle o(1)} 表示一个当N趋于无穷大时的无穷小， γ {\displaystyle \gamma } 指欧拉常数。如果将调和级数 A h {\displaystyle A_{h}} 中所有负项（也就是所有偶数项）相加，得到的级数会是： A h − = − 1 2 − 1 4 − 1 6 − 1 8 ⋯ = − 1 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ ) {\displaystyle A_{h}^{-}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\cdots =-{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)} 它的部分和是： A N − = − ∑ n = 1 N 1 2 n = − 1 2 γ − 1 2 ln ⁡ N + o ( 1 ) , {\displaystyle A_{N}^{-}=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2n}}=-{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\ln N+o(1),} 因此所有正项相加的级数 A h + = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ {\displaystyle A_{h}^{+}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots } 的部分和是： A N + = A N − A N − = ln ⁡ 2 + 1 2 ( γ + ln ⁡ N ) + o ( 1 ) , {\displaystyle A_{N}^{+}=A_{N}-A_{N}^{-}=\ln 2+{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\ln N\right)+o(1),} 这也是一个发散级数，趋向正无穷。因此，对任意给定的正实数 C {\displaystyle C} ，可以使用以下的算法来构造出趋向 C {\displaystyle C} 的重排级数 A σ {\displaystyle A^{\sigma }} 的每一项： 从第一项起，将 A h {\displaystyle A_{h}} 中的正项（奇数项）从前往后放入，一直放到超过 C {\displaystyle C} 为止：必定存在一个自然数 N 1 {\displaystyle N_{1}} ，使得 A N 1 − 1 + ⩽ C + < A N 1 + {\displaystyle A_{N_{1}-1}^{+}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}} （假设 A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} ）。将第1至第 N 1 {\displaystyle N_{1}} 项定义为： ∀ k = 1 , 2 , ⋯ , N 1 , σ ( k ) = 2 k − 1 {\displaystyle \forall k=1,2,\cdots ,N_{1},\,\,\sigma (k)=2k-1} 从第 N 1 + 1 {\displaystyle N_{1}+1} 项开始，将 A h {\displaystyle A_{h}} 中的负项（偶数项）从前往后放入，一直放到小于 C {\displaystyle C} 为止：必定存在一个自然数 N 2 > N 1 {\displaystyle N_{2}>N_{1}} ，使得 A N 1 + + A N 2 − N 1 − 1 − ⩽ C + < A N 1 + + A N 2 − N 1 − {\displaystyle A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}-1}^{-}\leqslant C+<A_{N_{1}}^{+}+A_{N_{2}-N_{1}}^{-}} 。将第 N 1 + 1 {\displaystyle N_{1}+1} 至第 N 2 {\displaystyle N_{2}} 项定义为： ∀ k = N 1 + 1 , N 1 + 2 , ⋯ , N 2 , σ ( k ) = 2 k − 2 N 1 {\displaystyle \forall k=N_{1}+1,N_{1}+2,\cdots ,N_{2},\,\,\sigma (k)=2k-2N_{1}} 交替重复这两步来重排级数，可以将重排级数的部分和 A N k σ {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }} 保持在 C {\displaystyle C} 上下，而因为 A N k σ {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }} 是重复第k步时首次“跨过” C {\displaystyle C} 时候的值，因而它与 C {\displaystyle C} 的差距必定不超过“跨越”时的“步长”，也就是 1 N k {\displaystyle {\frac {1}{N_{k}}}} 。随着 N k {\displaystyle N_{k}} 越来越大， A N k σ {\displaystyle A_{N_{k}}^{\sigma }} 与 C {\displaystyle C} 的差距也会越来越趋近于0. 因此使用这个算法构造出来的重排级数 A σ {\displaystyle A^{\sigma }} 最终会收敛于 C {\displaystyle C} 。:111-113 对一般的条件收敛级数，也可以用以上的算法来证明黎曼级数定理。上文中有关交错调和级数的算法之所以成立，原因有二：首先，所有正项构成的级数发散到正无穷大，所有负项构成的级数发散到负无穷大，所以每次超出（低于）目标值 C {\displaystyle C} 以后，只要不停地累加，必然能够再次低于（超出）目标值 C {\displaystyle C} ；其次，调和级数是由 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 相加而成，而随着 n {\displaystyle n} 趋向无穷， 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 趋向于0，也就是说“步长”趋向0，所以最终能够收敛。所以只需要证明，任何条件收敛级数都满足这两个性质： 所有正项构成的级数和所有负项构成的级数都是发散的； 级数的项随着项数趋于无穷而趋于0. 就能证明黎曼级数定理成立了。 性质一： 设有给定的条件收敛级数 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} ，级数和为 S {\displaystyle S} 。为了简便起见，假设 A {\displaystyle A} 中每一项都不等于0（否则可以随意将它们重排在任何地方）。 A {\displaystyle A} 中的正项和负项必定都有无穷多个。将 A {\displaystyle A} 中所有大于0的项按照它们原来在 A {\displaystyle A} 中的顺序重新标号排列，可以得到由所有正项排列而成的级数 A + = ∑ n a n + {\displaystyle A^{+}=\sum _{n}a_{n}^{+}} 。同样可以建立由所有负项排列而成的级数 A − = ∑ n a n − {\displaystyle A^{-}=\sum _{n}a_{n}^{-}} 。 A + {\displaystyle A^{+}} 是一个正项级数，所以它要么收敛到某个定值，要么发散到正无穷大。假设 A + {\displaystyle A^{+}} 收敛到某个定值 S + {\displaystyle S^{+}} ，那么可以证明 A − {\displaystyle A^{-}} 也是收敛级数，级数和为 S − S + {\displaystyle S-S^{+}} 。因而可以证明，级数 ∑ n = 1 ∞ | a n | = A + − A − {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=A^{+}-A^{-}} 也是收敛级数，这与 A {\displaystyle A} 是条件收敛级数的设定矛盾。所以， A + {\displaystyle A^{+}} 发散到正无穷大。同理可证， A − {\displaystyle A^{-}} 发散到负无穷大。:154-155 性质二： 设 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} 是一个条件收敛的级数，级数和为 S {\displaystyle S} 。这说明，级数 A {\displaystyle A} 的部分和 S N = ∑ n = 1 N a n {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}} 趋向极限 S {\displaystyle S} 。所以对任意 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在自然数 M > 0 {\displaystyle M>0} 使得对任意 N > M {\displaystyle N>M} ，都有： | S N − S | < ϵ . {\displaystyle |S_{N}-S|<\epsilon .} 所以对任意 N > M + 1 {\displaystyle N>M+1} ， | a N | = | S N − S N − 1 | ⩽ | S N − S | + | S N − 1 − S | < 2 ϵ . {\displaystyle |a_{N}|=|S_{N}-S_{N-1}|\leqslant |S_{N}-S|+|S_{N-1}-S|<2\epsilon .} 这说明当 N {\displaystyle N} 趋于无穷大时， a N {\displaystyle a_{N}} 趋于0. 证明了性质一与性质二後，就可以用上文提到的算法构造趋向任何实数甚至发散的重排方式。对于任意实数 C {\displaystyle C} ，不妨假设 C ⩾ 0 {\displaystyle C\geqslant 0} . 首先将 A + {\displaystyle A^{+}} 的项按顺序累加，直到部分和超过 C {\displaystyle C} 为止，然后再将 A − {\displaystyle A^{-}} 的项按顺序累加在其後，直到部分和小于 C {\displaystyle C} 为止，接着再将 A + {\displaystyle A^{+}} 剩余的项按顺序累加在其後，直到部分和超过 C {\displaystyle C} 为止……这个算法可以一直进行下去，因为根据性质一， A + {\displaystyle A^{+}} 和 A − {\displaystyle A^{-}} 都是发散的。而在执行算法的过程中，部分和与 C {\displaystyle C} 会越来越接近。因为无论是在部分和低于 C {\displaystyle C} ，逐项增加到超过 C {\displaystyle C} 的过程中，还是在部分和超过了 C {\displaystyle C} ，逐项减少到低于 C {\displaystyle C} 的过程中，部分和与 C {\displaystyle C} 的差距（绝对值）都不超过前一次“跨越” C {\displaystyle C} 值的那一刻，部分和与 C {\displaystyle C} 的差距。而这个差距又小于等于部分和“跨越” C {\displaystyle C} 值时的“步长”。假设第 k {\displaystyle k} 次“跨越”的是在累加第 N k {\displaystyle N_{k}} 项的时候发生的，那么直到第 k + 1 {\displaystyle k+1} 次“跨越”时，部分和与 C {\displaystyle C} 的差距都小于等于 a N k {\displaystyle a_{N_{k}}} 。随着 k {\displaystyle k} 趋于无穷大， N k {\displaystyle N_{k}} 也趋于无穷大，因而根据性质二， a N k {\displaystyle a_{N_{k}}} 趋于0，也就是说部分和与 C {\displaystyle C} 的差距趋于0。这等价于说重排後的级数 A σ {\displaystyle A^{\sigma }} 收敛于 C {\displaystyle C} 。 如果 C < 0 {\displaystyle C<0} ，只需要将算法中的正负项颠倒即可。如果将算法中第 k {\displaystyle k} 次累加正项要超越的值从 C {\displaystyle C} 改为 C + k {\displaystyle C+k} ，然后累加负项直到低于 C + k {\displaystyle C+k} ，再开始第 k + 1 {\displaystyle k+1} 次累加正项直到超越 C + k + 1 {\displaystyle C+k+1} ，如此以往，就能得到发散到正无穷大的重排级数。反之也能得到发散到负无穷大的重排级数。而如果将算法中每次累加正项要超过的值设为1，将每次累加负项要低于的值设为0，那么重排级数的值将在0和1左右上下反复摆动，从而不收敛于任何定值。这就是黎曼级数定理。:193-197:154-156 此定理可推廣至斯坦尼兹定理（英语：Lévy–Steinitz theorem）。給定一個複數收斂級數∑ an，則重排後的級數∑ aσ (n)之和有以下幾種可能： 級數∑ an為絕對收斂，所以任何重排後的級數和都收斂到同一個值。 級數∑ an為條件收斂。令S為所有重排級數之和的集合，則S要不為整個複數平面C，要不為複數平面上C上的一條線L L = { a + t b : t ∈ R } , a , b ∈ C ,   b ≠ 0 {\displaystyle L=\{a+tb:t\in \mathbf {R} \},\quad a,b\in \mathbf {C} ,\ b\neq 0} 更一般的說，給定一個有限維度實向量空間E，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為E的仿射子空間。 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.  S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.  D. A. Brannan. A First Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press. 2006. ISBN 9781139458955.  Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）. 于2005年5月16日访问。