算符

在物理學领域裡，算符（operator）亦稱算子、運算子，有别于数学的算子，其作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。 對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。 對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。 一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。 在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量 L ( q ,   q ˙ ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)} 或哈密頓量 H ( q ,   p ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 決定；其中， q = ( q 1 , q 2 , q 3 , … , q n ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{n})} 、 q ˙ = ( q 1 ˙ , q 2 ˙ , q 3 ˙ , … , q ˙ n ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=({\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},{\dot {q_{3}}},\dots ,{\dot {q}}_{n})} 分別是廣義坐標、廣義速度， p = ( p 1 , p 2 , p 3 , … , p n ) = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{n})={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}} 是共軛動量， t {\displaystyle t} 是時間。 假設拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 或哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 與某廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 無關，則當 q i {\displaystyle q_{i}} 有所改變時， L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 或 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於 q i {\displaystyle q_{i}} 的共軛動量 p i {\displaystyle p_{i}} 守恆。對於廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。 特別而言，假設對於某種群 G {\displaystyle G} 的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設 S ∈ G {\displaystyle S\in G} ， S H ( q ,   p ) = H ( q ′ ,   p ′ ) = H ( q ,   p ) {\displaystyle S{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ',\ \mathbf {p} ')={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} 。 在這案例裏，所有 G {\displaystyle G} 的元素 S {\displaystyle S} 都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管 S {\displaystyle S} 作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。 舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」 T a {\displaystyle T_{a}} 能夠將粒子從坐標為 q i {\displaystyle q_{i}} 移動至坐標為 q i + a {\displaystyle q_{i}+a} ，以方程式表示： T a f ( q i ) = f ( q i − a ) {\displaystyle T_{a}f(q_{i})=f(q_{i}-a)} ； 其中， f ( q i ) {\displaystyle f(q_{i})} 是描述一群粒子的密度函數。 給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管 T a {\displaystyle T_{a}} 的作用，這物理系統的哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 是個不變量，對應於坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的動量 p i {\displaystyle p_{i}} 守恆。 R ( n ^ , θ ) {\displaystyle R({\hat {\mathbf {n} }},\theta )} 是旋轉矩陣， n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} 是旋轉軸向量， θ {\displaystyle \theta } 是旋轉角弧。 對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為 T ϵ ≈ I + ϵ A {\displaystyle T_{\epsilon }\approx I+\epsilon A} ； 其中， I {\displaystyle I} 是「單位算符」──變換群的單位元， ϵ {\displaystyle \epsilon } 是微小參數， A {\displaystyle A} 是專門用來設定平移變換群的生成元。 為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符 T ϵ {\displaystyle T_{\epsilon }} 作用於函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ： T ϵ f ( x ) = f ( x − ϵ ) {\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )} 。 由於 ϵ {\displaystyle \epsilon } 很微小，可以泰勒近似 f ( x − ϵ ) {\displaystyle f(x-\epsilon )} 為 T ϵ f ( x ) = f ( x − ϵ ) ≈ f ( x ) − ϵ f ′ ( x ) {\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x)} 。 重寫平移算符的方程式為 T ϵ f ( x ) = ( I − ϵ D ) f ( x ) {\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon \mathrm {D} )f(x)} ； 其中，導數算符 D = d d x {\displaystyle \mathrm {D} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 是平移群的生成元。 總結，平移群的生成元是導數算符。 在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做 N {\displaystyle N} 次微小平移變換 T a / N {\displaystyle T_{a/N}} ，來代替一個有限值為 a {\displaystyle a} 的平移變換 T a {\displaystyle T_{a}} ： T a f ( x ) = T a / N ⋯ T a / N   f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)=T_{a/N}\cdots T_{a/N}\ f(x)} 。 現在，讓 N {\displaystyle N} 變得無窮大，則因子 a / N {\displaystyle a/N} 趨於無窮小： T a f ( x ) = lim N → ∞ T a / N ⋯ T a / N f ( x ) = lim N → ∞ ( I − ( a / N ) D ) N f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)=\lim _{N\to \infty }(I-(a/N)\mathrm {D} )^{N}f(x)} 。 這表達式的極限為指數函數： T a f ( x ) = e − a D f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)=e^{-a\mathrm {D} }f(x)} 。 核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數： T a f ( x ) = ( I − a D + a 2 D 2 2 ! − a 3 D 3 3 ! + ⋯ ) f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-a\mathrm {D} +{a^{2}\mathrm {D} ^{2} \over 2!}-{a^{3}\mathrm {D} ^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x)} 。 這方程式的右手邊可以重寫為 f ( x ) − a f ′ ( x ) + a 2 2 ! f ″ ( x ) − a 3 3 ! f ‴ ( x ) + ⋯ {\displaystyle f(x)-af'(x)+{a^{2} \over 2!}f''(x)-{a^{3} \over 3!}f'''(x)+\cdots } 。 這正是 f ( x − a ) {\displaystyle f(x-a)} 的泰勒級數，也是 T a f ( x ) {\displaystyle T_{a}f(x)} 的原本表達式結果。 物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。 在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符[來源請求]。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。 物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。 假設，物理量 O {\displaystyle O} 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 可能有很多不同的本徵值 O i {\displaystyle O_{i}} 與對應的本徵態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } ，這些本徵態 | e i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots } ，形成了具有正交歸一性的基底： ⟨ e i | e j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}} ； 其中， δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克羅內克函數。 假設，某量子系統的量子態為 | ψ ⟩ = ∑ i   c i | e i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle } ； 其中， c i = ⟨ e i | ψ ⟩ {\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle } 是複係數，是在 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } 裏找到 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅。 測量這動作將量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 改變為本徵態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } 的機率為 p i = | c i | 2 {\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}} ，測量結果是本徵值 O i {\displaystyle O_{i}} 的機率也為 p i {\displaystyle p_{i}} 。 在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。 採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值 ⟨ O ⟩ {\displaystyle \langle O\rangle } 定義為 ⟨ O ⟩   = d e f   ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle } ； 其中， O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 是對應於可觀察量 O {\displaystyle O} 的算符。 將算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，會形成新量子態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ： | ϕ ⟩ = O ^ | ψ ⟩ = ∑ i   c i O ^ | e i ⟩ = ∑ i   c i O i | e i ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle } 。 從左邊乘以量子態 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} ，經過一番運算，可以得到 ⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ∑ i   c i O i ⟨ ψ | e i ⟩ = ∑ i   | c i | 2 O i = ∑ i   p i O i {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}} 。 所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值： ⟨ O ⟩ = ∑ i   p i O i {\displaystyle \langle O\rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}} 。 將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數 F ( O ) {\displaystyle F(O)} 的期望值： ⟨ F ( O ) ⟩ = ⟨ ψ | F ( O ^ ) | ψ ⟩ {\displaystyle \langle F(O)\rangle =\langle \psi |F({\hat {O}})|\psi \rangle } 。 例如， F ( O ^ ) {\displaystyle F({\hat {O}})} 可以是 O ^ 2 {\displaystyle {\hat {O}}^{2}} ，即重複施加算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 兩次： ⟨ O 2 ⟩ = ⟨ ψ | O ^ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle \langle O^{2}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {O}}^{2}\vert \psi \rangle } 。 假設兩種可觀察量 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 的算符分別為 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} ，它們的對易算符定義為 [ A ^ , B ^ ]   = d e f   A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}} 。 對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 時，會給出 [ A ^ , B ^ ] | ψ ⟩ = A ^ B ^ | ψ ⟩ − B ^ A ^ | ψ ⟩ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]|\psi \rangle ={\hat {A}}{\hat {B}}|\psi \rangle -{\hat {B}}{\hat {A}}|\psi \rangle } 。 假設 [ A ^ , B ^ ] = 0 {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=0} ，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則， [ A ^ , B ^ ] ≠ 0 {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0} ，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。 假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。 每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值是實值： ⟨ O ⟩ = ⟨ O ⟩ ∗ {\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，這關係都成立： ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}} 。 根據伴隨算符的定義，假設 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }} 是 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 的伴隨算符，則 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle } 。因此， O ^ = O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }} 。 這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。 應用基底的完備性，添加單位算符 I ^ = ∑ i | e i ⟩ ⟨ e i | {\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|} 於算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 的兩旁，可以得到 O ^ = ∑ i , j | e i ⟩ ⟨ e i | O ^ | e j ⟩ ⟨ e j | = ∑ i j O i , j | e i ⟩ ⟨ e j | {\displaystyle {\hat {O}}=\sum _{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|=\sum _{ij}O_{i,j}|e_{i}\rangle \langle e_{j}|} ； 其中， O i j = ⟨ e i | O ^ | e j ⟩ {\displaystyle O_{ij}=\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle } 是求和式內每一個項目的係數。 所以，量子算符可以用矩陣形式來代表： O ^   = r e p   ( O 11 O 12 ⋯ O 1 n O 21 O 22 ⋯ O 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ O n 1 O n 2 ⋯ O n n ) {\displaystyle {\hat {O}}\ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}} 。 算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 與它的伴隨算符 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }} 彼此之間的關係為 ⟨ e i | O ^ | e j ⟩ = ⟨ e j | O ^ † | e i ⟩ ∗ {\displaystyle \langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle =\langle e_{j}|{\hat {O}}^{\dagger }|e_{i}\rangle ^{*}} 。 所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。 用矩陣代數來計算算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 怎樣作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，假設系統因此變換為量子態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ： | ϕ ⟩ = O ^ | ψ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle } 。 從左邊乘以本徵態 ⟨ e i | {\displaystyle \langle e_{i}|} ，應用基底的完備性，添加單位算符 I ^ {\displaystyle {\hat {I}}} 於算符的右邊，可以得到 ⟨ e i | ϕ ⟩ = ⟨ e i | O ^ | ψ ⟩ = ∑ j ⟨ e i | O ^ | e j ⟩ ⟨ e j | ψ ⟩ = ∑ i j O i j ⟨ e j | ψ ⟩ {\displaystyle \langle e_{i}|\phi \rangle =\langle e_{i}|{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{j}\langle e_{i}|{\hat {O}}|e_{j}\rangle \langle e_{j}|\psi \rangle =\sum _{ij}O_{ij}\langle e_{j}|\psi \rangle } 。 右矢 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 分別用豎矩陣來代表 | ϕ ⟩   = r e p   ( ⟨ e 1 | ϕ ⟩ ⟨ e 2 | ϕ ⟩ ⋮ ⟨ e n | ϕ ⟩ ) {\displaystyle |\phi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}} 、　　　　 | ψ ⟩   = r e p   ( ⟨ e 1 | ψ ⟩ ⟨ e 2 | ψ ⟩ ⋮ ⟨ e n | ψ ⟩ ) {\displaystyle |\psi \rangle \ {\stackrel {rep}{=}}\ {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}} 。 兩個豎矩陣彼此之間的關係為 ( ⟨ e 1 | ϕ ⟩ ⟨ e 2 | ϕ ⟩ ⋮ ⟨ e n | ϕ ⟩ ) = ( O 11 O 12 ⋯ O 1 n O 21 O 22 ⋯ O 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ O n 1 O n 2 ⋯ O n n ) ( ⟨ e 1 | ψ ⟩ ⟨ e 2 | ψ ⟩ ⋮ ⟨ e n | ψ ⟩ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\phi \rangle \\\langle e_{2}|\phi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\phi \rangle \\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}O_{11}&O_{12}&\cdots &O_{1n}\\O_{21}&O_{22}&\cdots &O_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O_{n1}&O_{n2}&\cdots &O_{nn}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\langle e_{1}|\psi \rangle \\\langle e_{2}|\psi \rangle \\\vdots \\\langle e_{n}|\psi \rangle \\\end{pmatrix}}} 。 假設算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值 λ {\displaystyle \lambda } ： det ( O ^ − λ I ^ ) = 0 {\displaystyle \det \left({\hat {O}}-\lambda {\hat {I}}\right)=0} 。 在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。 只思考一維問題，將位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 施加於位置本徵態 | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } ，可以得到本徵值 x {\displaystyle x} ，即粒子的位置： x ^ | x ⟩ = x | x ⟩ {\displaystyle {\hat {x}}|x\rangle =x|x\rangle } 。 由於位置基底具有完整性， I ^ = ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | d x {\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x} ，任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可以按著位置本徵態形成的基底展開： | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ d x {\displaystyle |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x} 。 將位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 施加於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，由於算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 只作用於右矢 | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } ，與其它數學個體無關，可以移入積分式內： x ^ | ψ ⟩ = x ^ ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ d x = ∫ − ∞ ∞   x ^ | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ d x = ∫ − ∞ ∞   x | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ d x {\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle ={\hat {x}}\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ {\hat {x}}|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ x|x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x} 。 左矢 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} 與這方程式的內積為 ⟨ ψ | x ^ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞   x ⟨ ψ | x ⟩ ⟨ x | ψ ⟩ d x {\displaystyle \langle \psi |{\hat {x}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ x\langle \psi |x\rangle \langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x} 。 設定量子態 | α ⟩ = x ^ | ψ ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle } 。由於位置基底具有完整性， I ^ = ∫ − ∞ ∞   | x ⟩ ⟨ x | d x {\displaystyle {\hat {I}}=\int _{-\infty }^{\infty }\ |x\rangle \langle x|\mathrm {d} x} ，量子態 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} 與 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } 的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為 ⟨ ψ | α ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ⟨ ψ | x ⟩ ⟨ x | α ⟩ d x = ∫ − ∞ ∞   ⟨ ψ | x ⟩ ⟨ x | x ^ | ψ ⟩ d x {\displaystyle \langle \psi |\alpha \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|\alpha \rangle \mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \psi |x\rangle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle \mathrm {d} x} 。 將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式 ⟨ x | x ^ | ψ ⟩ = x ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {x}}|\psi \rangle =x\langle x|\psi \rangle } 。 設定量子態 | Ψ ⟩ = x ^ | ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle ={\hat {x}}|\psi \rangle } 。量子態 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } 、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的位置空間表現，即波函數，分別定義為 Ψ ( x )   = d e f   ⟨ x | Ψ ⟩ {\displaystyle \Psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\Psi \rangle } 、 ψ ( x )   = d e f   ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (x)\ {\stackrel {def}{=}}\ \langle x|\psi \rangle } 。 兩個波函數 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 、 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 之間的關係為 Ψ ( x ) = x ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)=x\psi (x)} 。 總結，位置算符 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的結果 | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle } ，表現於位置空間，等價於波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 與 x {\displaystyle x} 的乘積 Ψ ( x ) {\displaystyle \Psi (x)} 。 表現於位置空間，一維動量算符為 p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} 。 將動量算符 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} 施加於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，可以得到類似前一節得到的結果： ⟨ x | p ^ | ψ ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ x ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle } 。 應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ，可以得到更廣義的結果： ⟨ ϕ | p ^ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ⟨ ϕ | x ⟩ ⟨ x | p ^ | ψ ⟩ d x = ∫ − ∞ ∞   ⟨ ϕ | x ⟩ ( − i ℏ ∂ ∂ x ) ⟨ x | ψ ⟩ d x = ∫ − ∞ ∞   ϕ ∗ ( x ) ( − i ℏ ∂ ∂ x ) ψ ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \phi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \langle \phi |x\rangle \left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\langle x|\psi \rangle \mathrm {d} x\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \phi ^{*}(x)\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi (x)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}} ； 其中， ϕ ( x ) = ⟨ x | ϕ ⟩ {\displaystyle \phi (x)=\langle x|\phi \rangle } 、 ψ ( x ) = ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle } 分別是量子態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 、 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 表現於位置空間的波函數。 假設 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 是 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} 的本徵態，本徵值為 p {\displaystyle p} ，則可得到 ⟨ x | p ^ | ψ ⟩ = p ⟨ x | ψ ⟩ = − i ℏ ∂ ∂ x ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =p\langle x|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|\psi \rangle } 。 將 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 改寫為本徵值為 p {\displaystyle p} 的本徵態 | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } ，方程式改寫為 − i ℏ ∂ ∂ x ⟨ x | p ⟩ = p ⟨ x | p ⟩ {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\langle x|p\rangle =p\langle x|p\rangle } 。 這微分方程式的解析解為 ⟨ x | p ⟩ = 1 2 π e i p x / ℏ {\displaystyle \langle x|p\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ipx/\hbar }} 。 所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。 有界算符 表示論 算子 Kittel charles著,洪連輝等譯，固態物理學導論，第681頁。 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914  Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7  Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358  Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台灣: 天下文化書: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2  引文格式1维护：冗余文本 (link)