守恆量

在經典力學裏，對於一個動力系統，隨著時間的演進，所有保持不變的物理量都稱為守恆量（conserved quantity），又稱為運動常數。由於很多物理定律會表達某種守恆行為，對應的守恆量時常會出現於真實系統。例如，假設在某系統內涉及的作用力是保守力，則此系統的能量是守恆量。假設涉及的作用力是連心力，則此系統的角動量是守恆量。 根據動量守恆定律，假若一個粒子所感受到的外力，其總向量和為零，則這粒子的動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻速運動或著靜止不變。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力為零： F = 0 {\displaystyle \mathbf {F} =0} 。 根據牛頓第二定律，淨外力與動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的關係式為 F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} 。 所以，動量是一個常數，是一個守恆量。 根據角動量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力矩，其其總向量和為零，則這粒子的角動量保持不變，是一個守恆量。在這狀況下，粒子會呈勻角運動或直線運動。以方程式表達，假設粒子感受到的淨外力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} 為零： τ = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0} 。 淨外力矩與角動量 ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}} 的關係式為 τ = d ℓ d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}} 。 所以，角動量是一個常數，是一個守恆量。 在經典力學裏，粒子的能量定義為動能與勢能的代數和。根據能量守恒定律，假若一個粒子所感受到的外力都是保守力，則這粒子的能量保持不變，是一個守恆量。以方程式表達，能量 E {\displaystyle E} 為動能 T {\displaystyle T} 與勢能 V {\displaystyle V} 的代數和 E = T + V {\displaystyle E=T+V} 。 粒子的動能與運動速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 的關係為 T = m v 2 / 2 {\displaystyle T=mv^{2}/2} ； 其中， m {\displaystyle m} 是粒子的質量。 而對於保守系統，勢能與淨保守力 F {\displaystyle \mathbf {F} } 的關係為 F = − ∇ V {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V} ； 能量對於時間的導數為 d E d t = m v ⋅ d v d t + v ⋅ ∇ V = v ⋅ ( m a − F ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0} 。 所以，能量是一個常數，是一個守恆量。 思考一個物理系統，其拉格朗日量是动能 T {\displaystyle T} 与势能 V {\displaystyle V} 的差值： L = T − V {\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V} 。 通常，動能的參數為廣義速度 q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N {\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}} （符號上方的點號表示對於時間 t {\displaystyle t} 的全導數），而勢能的參數為廣義坐標 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; t {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t} ，所以，拉格朗日量的參數為 q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ; t {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t} 。 這物理系統的運動軌道，以拉格朗日方程式表示為 d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0} ； 其中， t {\displaystyle t} 是时间。 拉格朗日量對於時間的全導數為 d L d t = ∑ i ∂ L ∂ q i q ˙ i + ∑ i ∂ L ∂ q ˙ i q ¨ i + ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}} 。 將拉格朗日方程式代入，可以得到 d L d t = ∑ i d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) q ˙ i + ∑ i ∂ L ∂ q ˙ i q ¨ i + ∂ L ∂ t = ∑ i d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i q ˙ i ) + ∂ L ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}} 。 定義「能量函數」 h ( q 1 , q 2 , q 3 , … ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … ; t ) {\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)} 為 h   = d e f   ∑ i ∂ L ∂ q ˙ i q ˙ i − L {\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}} ， 則能量函數與拉格朗日量的關係為 d h d t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}} 。 假若拉格朗日量顯性地與時間無關， ∂ L ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0} ， L = L ( q 1 , q 2 , q 3 , … , q N ; q ˙ 1 , q ˙ 2 , q ˙ 3 , … , q ˙ N ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})} ，則能量函數是一個常數，是一個守恆量。設定 h = E {\displaystyle {\mathit {h}}=E} ，這常數 E {\displaystyle E} 可以稱為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。 李亞普諾夫函數 哈密頓系統 守恆定律 Morin, David. Introduction to classical mechanics: with problems and solutions. Cambridge University Press. 2008: 138. ISBN 9780521876223.  Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley: pp. 2–5, 61, 312–324, 1980, ISBN 0201657023 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)