勒壤得轉換

勒壤得轉換（英語：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬裡·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。该操作是一个实变量的实值凸函数的对合变换。它经常用于经典力学中从拉格朗日形式到哈密顿形式的推导、热力学中热力学势的推导以及多变量微分方程的求解。 為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 改用一個新函數 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 來表示，其變數 p {\displaystyle p\,\!} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的導數， p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!} 。而 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的值是如右圖藍線在 y 軸的负截距 換句話說，從 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))\,\!} x 值到 y 值的函數，轉換成 ( p , f ⋆ ( p ) ) {\displaystyle (p,f^{\star }(p))\,\!} f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數 這程序是由阿德里安-馬裡·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 為 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒壤得轉換； 用方程式表示 f ⋆ ( p ) = p u − f ( u ) | d [ p u − f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!} 。 此式子表示 f ⋆ ( p ) = p u − f ( u ) {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)} 中的 u 對 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)} 而言是個參數，且參數 u 會滿足 d [ p u − f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle {{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!} 的 u {\displaystyle u} 。即求算表達式關於變數 u {\displaystyle u\,\!} 的極值。 為方便討論，把討論限定在 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 p = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle p=f'(x_{0})} 也就是斜率不變的狀況下，對每個 x 0 {\displaystyle x_{0}} 而言，所有與曲線 ( u , f ( u ) ) {\displaystyle (u,f(u))} 相交且斜率為 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} 的直線族為 y = f ′ ( x 0 ) ( x − u ) + f ( u ) {\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!} 。若令 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} ，該直線即是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在 u = x 0 {\displaystyle u=x_{0}} 的情況下， y = f ′ ( x 0 ) ( x − u ) + f ( u ) = f ′ ( x 0 ) x − [ f ′ ( x 0 ) u − f ( u ) ] {\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]} 值是最小的，也就是說直線方程式中 [ f ′ ( x 0 ) u − f ( u ) ] {\displaystyle [f'(x_{0})u-f(u)]} 這部分是最大的，而正好 f ⋆ ( p ) = p u − f ( u ) | d [ p u − f ( u ) ] d u = 0 {\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!} ，正是原方程式所求的極值。 勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 設定的函數關係可以用 ( x ,   y = f ( x ) ) {\displaystyle (x,\ y=f(x))\,\!} 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。 若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。 给定区间I ⊂ ℝ和凸函数f : I → ℝ，则其勒让德变换为函数f* : I* → ℝ， f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ I ( x ∗ x − f ( x ) ) , x ∗ ∈ I ∗ {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}} 其中 sup {\displaystyle \sup } 表示上确界，定义域 I ∗ {\displaystyle I^{*}} 为 I ∗ = { x ∗ ∈ R : sup x ∈ I ( x ∗ x − f ( x ) ) < ∞ }   . {\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.} 当f(x)为凸函数时，这个函数有良好的定义。 不难将勒让德变换推广到定义在凸集X ⊂ ℝn 上的凸函数f : X → ℝ：其变换f * : X* → ℝ为定义在 X ∗ = { x ∗ ∈ R n : sup x ∈ X ( ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) ) < ∞ } {\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}} 上的函数 f ∗ ( x ∗ ) = sup x ∈ X ( ⟨ x ∗ , x ⟩ − f ( x ) ) , x ∗ ∈ X ∗   , {\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,} 其中 ⟨ x ∗ , x ⟩ {\displaystyle \langle x^{*},x\rangle } 表示x*和 x的点积。 对于实轴上具有可逆一阶导数的凸函数 f {\displaystyle f} ，其勒让德变换 f ∗ {\displaystyle f^{*}} 的一阶导数与 f {\displaystyle f} 的一阶导数互为反函数，反过来说，这个条件可以给出至多相差一个常数的 f ∗ {\displaystyle f^{*}} 。 更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 L ( x ,   p ) = p x − f ( x ) {\displaystyle L(x,\ p)=px-f(x)\,\!} 關於 x {\displaystyle x\,\!} 的最大值，設定 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 關於 x {\displaystyle x\,\!} 的偏導數為零： ∂ ∂ x ( p x − f ( x ) ) = p − d f ( x ) d x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!} 。 則 p = d f ( x ) d x {\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!} 。(1) 這表達式必為最大值。因為，凸函數 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 的二阶导数是負數： ∂ 2 ∂ x 2 ( x p − f ( x ) ) = − d 2 f ( x ) d x 2 < 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!} ； 用方程式 (1) 來計算函數 f {\displaystyle f\,\!} 的反函數 x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。代入 L ( x ,   p ) {\displaystyle L(x,\ p)\,\!} 方程式，即可以得到想要的形式： f ⋆ ( p ) = g ( p )   p − f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!} 。 計算 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的勒壤得轉換，所需的步驟為： 找出导函數 p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!} ， 計算导函數 p = d f d x {\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!} 的反函數 x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} ， 代入 F ( x ) {\displaystyle F(x)\,\!} 方程式來求得新函數 f ⋆ ( p ) = g ( p )   p − f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!} 。 這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} ；其新自變數為 p = d f d x {\displaystyle p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!} 。 另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 與 f ⋆ ( p ) {\displaystyle f^{\star }(p)\,\!} 的一階導數是互相的反函數； d d x f ( x ) = ( d d p f ∗ ) − 1 ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!} ， 或者， d d p f ∗ ( p ) = ( d d x f ) − 1 ( p ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!} ， 則 f {\displaystyle f\,\!} 與 f ⋆ {\displaystyle f^{\star }\,\!} 互相為彼此的勒壤得轉換。 依照定義， d f ( x ) d x = p {\displaystyle {\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!} ， d f ⋆ ( p ) d p = x {\displaystyle {\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!} 。 思考下述運算： d d p ( x p − f ( x ) ) = x + p d x d p − d f d x d x d p = x = d f ⋆ ( p ) d p = x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!} 。 所以， f ⋆ ( p ) = x p − f ( x ) = g ( p )   p − f ( g ( p ) ) {\displaystyle f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!} ； 這裏， x = g ( p ) {\displaystyle x=g(p)\,\!} 。 這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定 f ⋆ ( p ) = f ( x ) − x p {\displaystyle f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!} ， 也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。 以下討論，函數 f {\displaystyle f\,\!} 的勒壤得轉換皆標記為 f ⋆ {\displaystyle f^{\star }\,\!} 。 勒壤得轉換有以下這些標度性質： f ( x ) = a ⋅ g ( x ) → f ⋆ ( p ) = a ⋅ g ⋆ ( p a ) {\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!} ， f ( x ) = g ( a ⋅ x ) → f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p a ) {\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!} ， 由此可知，一個 r {\displaystyle r\,\!} 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 s {\displaystyle s\,\!} 次齊次函數；這裏， 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!} 。 f ( x ) = g ( x ) + b → f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p ) − b {\displaystyle f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!} ， f ( x ) = g ( x + y ) → f ⋆ ( p ) = g ⋆ ( p ) − p ⋅ y {\displaystyle f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!} 。 f ( x ) = g − 1 ( x ) → f ⋆ ( p ) = − p ⋅ g ⋆ ( 1 p ) {\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!} 。 讓 A {\displaystyle A\,\!} 成為一個從 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 到 R m {\displaystyle R^{m}\,\!} 的線形變換。對於任何定義域為 R n {\displaystyle R^{n}\,\!} 的凸函數 f {\displaystyle f\,\!} ，必有 ( A f ) ⋆ = f ⋆ A ⋆ {\displaystyle \left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!} ； 這裏， A ⋆ {\displaystyle A^{\star }\,\!} 是 A {\displaystyle A\,\!} 的伴隨算子定義為 ⟨ A x , y ⋆ ⟩ = ⟨ x , A ⋆ y ⋆ ⟩ {\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!} 。 指数函数 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} 的勒让德变换为 f ∗ ( p ) = p ( ln ⁡ p − 1 ) {\displaystyle f^{*}(p)=p(\ln p-1)} ， 因为它们的一阶导数 ex与 ln p互为反函数。 在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變數，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變數，（此新自變數是舊函數對於舊自變數的偏導數）；將舊函數減去新自變數與舊自變數的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 U {\displaystyle U\,\!} 是外延量（extensive）熵 S {\displaystyle S\,\!} ，體積 V {\displaystyle V\,\!} ，與化學成份（chemical composition） N i {\displaystyle N_{i}\,\!} 的顯函數 U = U ( S ,   V ,   { N i } ) {\displaystyle U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!} 。 對於 − P V {\displaystyle -PV\,\!} ，函數 U {\displaystyle U\,\!} （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 H {\displaystyle H\,\!} ： H ( S ,   P ,   { N i } ) = U + P V {\displaystyle H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!} ， P = − ( ∂ U ∂ V ) S ,   { N i } {\displaystyle P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!} 。 一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。 對於 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函數 H {\displaystyle H\,\!} 勒壤得轉換為吉布斯能函數 G {\displaystyle G\,\!}  : G ( T ,   P ,   { N i } ) = H − T S {\displaystyle G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!} ， T = ( ∂ H ∂ S ) P ,   { N i } {\displaystyle T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!} 。 對於 T S {\displaystyle TS\,\!} ，函數 U {\displaystyle U\,\!} 勒壤得轉換為亥姆霍兹自由能函數 A {\displaystyle A\,\!}  : A ( T ,   V ,   { N i } ) = U − T S {\displaystyle A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!} ， T = ( ∂ U ∂ S ) V ,   { N i } {\displaystyle T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!} 。 這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。 在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!} 是廣義坐標 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!} 與廣義速度 q ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\,\!} 的函數；而哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 將函數的自變量轉換為廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 與廣義動量 p = ( p 1 ,   p 2 ,   … ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!} ： p = ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!} ， H ( q ,   p ,   t ) = p ⋅ q ˙ − L ( q ,   q ˙ ( q ,   p ,   t ) ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!} 。 正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變， ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!} ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為 ∂ K ∂ P = Q ˙ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!} ， ∂ K ∂ Q = − P ˙ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!} ， p ⋅ q ˙ − H = P ⋅ Q ˙ − K + d G d t {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!} ； 這裏， q ,   p {\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!} 是舊正則坐標， Q ,   P {\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!} 是新正則坐標， H {\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!} 是舊哈密頓量， K {\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!} 是新哈密頓量， G {\displaystyle G\,\!} 是生成函數。 哈密頓力學 切觸幾何 正則變換 Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.  Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.