Λ演算

λ演算（英語：lambda calculus，λ-calculus）是一套從數學邏輯中發展，以變數綁定和替換的規則，來研究函式如何抽象化定義、函式如何被應用以及遞迴的形式系統。它由數學家阿隆佐·邱奇在20世紀30年代首次發表。lambda演算作為一種廣泛用途的計算模型，可以清晰地定義什麼是一個可計算函式，而任何可計算函式都能以這種形式表達和求值，它能模擬單一磁帶图灵机的計算過程；儘管如此，lambda演算強調的是變換規則的運用，而非實現它們的具體機器。 lambda演算可比擬是最根本的編程語言，它包括了一條變換規則（變數替換）和一條將函式抽象化定義的方式。因此普遍公認是一種更接近軟體而非硬體的方式。對函數式編程語言造成很大影響，比如Lisp、ML语言和Haskell语言。在1936年邱奇利用λ演算給出了對於判定性問題（Entscheidungsproblem）的否定：關於兩個lambda運算式是否等價的命題，無法由一個「通用的演算法」判斷，這是不可判定效能夠證明的頭一個問題，甚至還在停机问题之先。 lambda演算包括了建構lambda項，和對lambda項執行歸約的操作。在最簡單的lambda演算中，只使用以下的規則來建構lambda項： 產生了諸如：(λx.λy.(λz.(λx.zx)(λy.zy))(x y))的表達式。如果表達式是明確而沒有歧義的，則括號可以省略。對於某些應用，其中可能包括了邏輯和數學的常量以及相關操作。 本文討论的是邱奇的“无类型lambda演算”，此后，已经研究出来了一些有类型lambda演算。 λ演算是图灵完备的，也就是说，这是一个可以用于模拟任何图灵机的通用模型。 λ也被用在λ表达式和λ项中，用来表示将一个变量绑定在一个函数上。 λ演算可以是有类型或者无类型的，在有类型λ演算中（上文所述是无类型的），函数只能在参数类型和输入类型符合时被应用。有类型λ演算比无类型λ演算要弱——后者是这个条目的主要部分——因为有类型的λ运算能表达的比无类型λ演算少；与此同时，前者使得更多定理能被证明。例如，在简单类型λ演算中，运算总是能够停止，然而无类型λ演算中这是不一定的（因为停机问题）。目前有许多种有类型λ演算的一个原因是它们被期望能做到更多（做到某些以前的有类型λ演算做不到的）的同时又希望能用以证明更多定理。 λ演算在数学、哲学、语言学和计算机科学中都有许多应用。它在程式語言理論中占有重要地位，函数式编程实现了λ演算支持。λ演算在范畴论中也是一个研究热点。 作为对数学基础研究的一部分，数学家阿隆佐·邱奇在20世纪30年代提出了λ演算。 但最初的λ演算系统被证明是逻辑上不自洽的——在1935年斯蒂芬·科尔·克莱尼和J. B. Rosser举出了Kleene-Rosser悖论（英语：Kleene–Rosser paradox）。 随后，在1936年邱奇把那个版本的关于计算的部分抽出独立发表—现在这被称为无类型λ演算。 在1940年，他创立了一个计算能力更弱但是逻辑上自洽的系统，这被称为简单类型λ演算。 直到1960年，λ演算与编程语言的关系被确立了；在这之前它只是一个范式。由于理查德·蒙塔古和其他语言学家将λ演算应用于自然语言语法的研究，λ演算已经开始在语言学和计算机科学学界拥有一席之地。 至于为何邱奇选择λ作为符号，连他本人的解释也互相矛盾：最初是在1964年的一封信中，他明确解释称这是来源于《数学原理》一书中的类抽象符号（脱字符），为了方便阅读，他首先将其换成逻辑与符号（ ∧ {\displaystyle \land } ）作为区分，然后又改成形状类似的λ。他在1984年又重申了这一点，但再后来他又表示选择λ纯粹是偶然。 在λ演算中，每个表达式都代表一个函数，这个函数有一个参数，并且會返回一个值。不论是参数和返回值，也都是一个单参的函数。可以这么说，λ演算中只有一种“类型”，那就是这种单参函数。函数是通过λ表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。 例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2（或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要），而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合的：f x y =(f x) y。 考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式： (λf.f 3)(λx.x+2) 与 (λx.x + 2) 3 与 3 + 2 是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这樣表达：一个单一参数的函数，它的返回值又是一个单一参数的函数（参见柯里化）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式： (λx.λy.x - y) 7 2 与 (λy.7 - y) 2 与 7 - 2 也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性，无法找到某个通用的函数来判定。 并非所有的lambda表达式都能被歸约至上述那样的确定值，考虑 (λx.x x)(λx.x x) 或 (λx.x x x)(λx.x x x) 然后试图把第一个函数作用在它的参数上。(λx.x x)被称为ω 组合子，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω2，以此类推。若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑。 在數學和計算機科學中，「可計算的」函式是基礎觀念。對於所謂的可計算性，λ-演算提供了一個簡單明確的語義，使計算的性質可以被形式化研究。λ-演算結合了兩種簡化方式，使得這個語義變得簡單。第一種簡化是不給予函式一個確定名稱，而“匿名”地對待它們。例如，兩數的平方和函式 s q u a r e _ s u m ⁡ ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle \operatorname {square\_sum} (x,y)=x^{2}+y^{2}} 可以用匿名的形式重新寫為： ( x , y ) ↦ x 2 + y 2 {\displaystyle (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}} （理解成一包含x和y的數組被映射到 x 2 + y 2 {\textstyle x^{2}+y^{2}} ） 同樣地， id ⁡ ( x ) = x {\displaystyle \operatorname {id} (x)=x} 可以用匿名的形式重新寫為： x ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} （即輸入是直接對應到它本身。） 第二個簡化是λ演算只使用單一個參數輸入的函數。如果普通函數需要兩個參數，例如 s q u a r e _ s u m {\textstyle \operatorname {square\_sum} } 函數，可轉成接受單一參數，傳給另一個函數中介，而中介函數也只接受一個參數，最後輸出結果。例如， ( x , y ) ↦ x 2 + y 2 {\displaystyle (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}} 可以重新寫成： x ↦ ( y ↦ x 2 + y 2 ) {\displaystyle x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2})} 這是稱為柯里化的方法，將多參數的函數轉換成為多個中介函數的複合鏈，每個中介函數都只接受一個參數。 將 s q u a r e _ s u m {\textstyle \operatorname {square\_sum} } 函數應用於參數(5,2)，直接產生結果 ( ( x , y ) ↦ x 2 + y 2 ) ( 5 , 2 ) {\textstyle ((x,y)\mapsto x^{2}+y^{2})(5,2)} = 5 2 + 2 2 {\textstyle =5^{2}+2^{2}} = 29 {\textstyle =29} , 而對於柯里化轉換版的評估，需要再多一步： ( ( x ↦ ( y ↦ x 2 + y 2 ) ) ( 5 ) ) ( 2 ) {\textstyle {\Bigl (}{\bigl (}x\mapsto (y\mapsto x^{2}+y^{2}){\bigr )}(5){\Bigr )}(2)} = ( y ↦ 5 2 + y 2 ) ( 2 ) {\textstyle =(y\mapsto 5^{2}+y^{2})(2)} //在內層表達式中 x {\displaystyle x} 的定義為 5 {\displaystyle 5} ，這就像β-歸約一樣。 = 5 2 + 2 2 {\textstyle =5^{2}+2^{2}} // y {\displaystyle y} 的定義為 2 {\displaystyle 2} ，再次如同β-歸約。 = 29 {\textstyle =29} 得出相同結果。 lambda演算是由特定形式語法所組成的一種語言，一組轉換規則可操作其中的lambda項。這些轉換規則被看作是一個等式理論或者一個操作定義。如上節所述，lambda演算中的所有函數都是匿名的，它們沒有名稱，它們只接受一個輸入變量，柯里化用於實現有多個輸入變量的函數。 lambda演算的語法將一些表達式定義為有效的lambda演算式，而某一些表達式無效，就像C編程語言中有些字串有效，有些則不是。有效的lambda演算式稱為“lambda項”。 以下三個規則給出了語法上有效的lambda項，如何建構的歸納定義： 變量 x {\displaystyle x} 本身就是一個有效的lambda項 如果 t {\displaystyle t} 是一個lambda項，而 x {\displaystyle x} 是一個變量，則 ( λ x . t ) {\displaystyle (\lambda x.t)} 是一個lambda項（稱為lambda抽象）； 如果 t {\displaystyle t} 和 s {\displaystyle s} 是lambda項，那麼 ( t s ) {\displaystyle (ts)} 是一個lambda項（稱為應用）。 其它的都不是lambda項。因此，lambda項若且唯若可重複應用這三個規則取得時，才是有效的。一些括號根據某些規則可以省略。例如，最外面的括號通常不會寫入。 “lambda抽象”是指一個匿名函數的定義，它將單一輸入的 λ x . t {\displaystyle \lambda x.t} 替換成 t {\displaystyle t} 的表達式，所以產生了一個匿名函數，它採用 x {\displaystyle x} 的值並返回 t {\displaystyle t} 。例如， λ x . x 2 + 2 {\displaystyle \lambda x.x^{2}+2} 是表示使用函數 f ( x ) = x 2 + 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2} 作為 t {\displaystyle t} 項的一個lambda抽象。lambda抽象只是先“設置”了函數定義，還沒使用它。這個抽象在 t {\displaystyle t} 項中綁定了變量 x {\displaystyle x} 。一個應用 t s {\displaystyle ts} 表示將函數 t {\displaystyle t} 應用在輸入 s {\displaystyle s} ，亦即對輸入 s {\displaystyle s} 使用函數 t {\displaystyle t} 產生 t ( s ) {\displaystyle t(s)} 。 lambda演算中並沒有變量聲明的概念。如 λ x . x + y {\displaystyle \lambda x.x+y} （即 f ( x ) = x + y {\displaystyle f(x)=x+y} ）的定義中，lambda演算將 y {\displaystyle y} 當作尚未定義的變量。lambda抽象 λ x . x + y {\displaystyle \lambda x.x+y} 在語法上是有效的，並表示將其輸入添加到未知 y {\displaystyle y} 的函數。 可用圓括弧對來消除歧義。例如， λ x . ( ( λ x . x ) x ) {\displaystyle \lambda x.((\lambda x.x)x)} 和 ( λ x . ( λ x . x ) ) x {\displaystyle (\lambda x.(\lambda x.x))x} 表示不同的項（儘管它們剛好化簡到相同值）。這裡第一個例子定義了一個包含子函數的抽象，並將子函數應用於x（先應用後傳回）的結果；而第二個例子定義了一個傳回任何輸入的函數，然後在應用過程中傳回對輸入為x的應用（返回函數然後應用）。 在lambda演算中，函數被認為是頭等物件，因此函數可以當作輸入，或作為其它函數的輸出返回。 例如， λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} 表示映射到本身的函數， x ↦ x {\displaystyle x\mapsto x} 和 ( λ x . x ) y {\displaystyle (\lambda x.x)y} 表示將這個函數應用於 y {\displaystyle y} 。此外， ( λ x . y ) {\displaystyle (\lambda x.y)} 則表示無論輸入為何，始終返回 y {\displaystyle y} 值的常數函數 x ↦ y {\displaystyle x\mapsto y} 。lambda演算中的函數應用是左結合的，因此 s t x {\displaystyle stx} 表示 ( s t ) x {\displaystyle (st)x} 。 有幾個“等價”和“化簡”的概念，允許將各個lambda項“縮減”為“相同”的lambda項。 對於lambda項，等價的基本形式定義，是 α {\displaystyle \alpha } -等價。它捕捉了直覺概念，在lambda抽象中一個綁定變量的特別選擇（通常）並不重要。 比如， λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} 和 λ y . y {\displaystyle \lambda y.y} 是 α {\displaystyle \alpha } -等價的lambda項，它們都表示相同的函數（自映射函數）；但如 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 項則不是 α {\displaystyle \alpha } -等價的，因為它們並非以lambda抽象方式綁定的。 在許多演示中，通常會確定 α {\displaystyle \alpha } -等價的lambda項。 為了能夠定義 β {\displaystyle \beta } -歸約，需要以下定義： 所謂的自由變量是那些在lambda抽象不受到綁定的變量。表達式中的一組自由變量定義歸納如下： x {\displaystyle x} 的自由變量就只是 x {\displaystyle x} λ x . t {\displaystyle \lambda x.t} 的自由變量集合，是在 t {\displaystyle t} 中移除了 x {\displaystyle x} 的自由變量集合。 t s {\displaystyle ts} 的自由變量是 t {\displaystyle t} 的一組自由變量，與 s {\displaystyle s} 的一組自由變量，這兩項變量的並集。 例如，代表映射自身的 λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} ，其中的lambda項沒有自由變量，但是在函數 λ x . y x {\displaystyle \lambda x.yx} 中的lambda項，有一個自由變量 y {\displaystyle y} 。 假設 t {\displaystyle t} ， s {\displaystyle s} 和 r {\displaystyle r} 是lambda項，而 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是變量。如果寫成 t [ x := r ] {\displaystyle t[x:=r]} 是一種避免被捕獲的記法方式，表示在 t {\displaystyle t} 這個lambda項中，以 r {\displaystyle r} 來替換 x {\displaystyle x} 變量的值。這定義為： x [ x := r ] = r {\displaystyle x[x:=r]=r} ； y [ x := r ] = y {\displaystyle y[x:=r]=y} ，如果 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} ； ( t s ) [ x := r ] = ( t [ x := r ] ) ( s [ x := r ] ) {\displaystyle (ts)[x:=r]=(t[x:=r])(s[x:=r])} ； ( λ x . t ) [ x := r ] = λ x . t {\displaystyle (\lambda x.t)[x:=r]=\lambda x.t} ； 如果 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 而且 y {\displaystyle y} 不在lambda項 r {\displaystyle r} 的自由變量中，則 ( λ y . t ) [ x := r ] = λ y . ( t [ x := r ] ) {\displaystyle (\lambda y.t)[x:=r]=\lambda y.(t[x:=r])} 。對於lambda項 r {\displaystyle r} ，變量 y {\displaystyle y} 被稱為是“新鮮”的。 例如， ( λ x . x ) [ y := y ] = λ x . ( x [ y := y ] ) = λ x . x {\displaystyle (\lambda x.x)[y:=y]=\lambda x.(x[y:=y])=\lambda x.x} 和 ( ( λ x . y ) x ) [ x := y ] = ( ( λ x . y ) [ x := y ] ) ( x [ x := y ] ) = ( λ x . y ) y {\displaystyle ((\lambda x.y)x)[x:=y]=((\lambda x.y)[x:=y])(x[x:=y])=(\lambda x.y)y} 。 新鮮度條件（要求 y {\displaystyle y} 不在lambda項 r {\displaystyle r} 中的自由變量中）對於確保替換不會改變函數的意義很重要。例如，忽視新鮮度條件的替代： ( λ x . y ) [ y := x ] = λ x . ( y [ y := x ] ) = λ x . x {\displaystyle (\lambda x.y)[y:=x]=\lambda x.(y[y:=x])=\lambda x.x} 。此替換會將原本意義為常量函數的 λ x . y {\displaystyle \lambda x.y} ，轉換成意義為映射自身函數的 λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} 。 一般來說，在無法滿足新鮮度條件的情況，可利用 α {\displaystyle \alpha } -重新命名使用一個合適的新變量來補救，切換回正確的替換概念；比如在 ( λ x . y ) [ y := x ] {\displaystyle (\lambda x.y)[y:=x]} 中，使用一個新變量 z {\displaystyle z} 重新命名這個lambda抽象，獲取 ( λ z . y ) [ y := x ] = λ z . ( y [ y := x ] ) = λ z . x {\displaystyle (\lambda z.y)[y:=x]=\lambda z.(y[y:=x])=\lambda z.x} ，則替換就能保留原本函數的義涵。 β-歸約規定了形式如 ( λ x . t ) s {\displaystyle (\lambda x.t)s} 的應用，可以化簡成 t [ x := s ] {\displaystyle t[x:=s]} 項。符號記法 ( λ x . t ) s → t [ x := s ] {\displaystyle (\lambda x.t)s\to t[x:=s]} 用於表示 ( λ x . t ) s {\displaystyle (\lambda x.t)s} 經過β-歸約轉換為 t [ x := s ] {\displaystyle t[x:=s]} 。例如，對於每個 s {\displaystyle s} ，可轉換為 ( λ x . x ) s → x [ x := s ] = s {\displaystyle (\lambda x.x)s\to x[x:=s]=s} 。這表明 λ x . x {\displaystyle \lambda x.x} 實際上的應用是映射自身函數。同樣地， ( λ x . y ) s → y [ x := s ] = y {\displaystyle (\lambda x.y)s\to y[x:=s]=y} ，表明了 λ x . y {\displaystyle \lambda x.y} 是一個常量函數。 lambda演算可視為函數式編程語言的理想化版本，如Haskell或ML語言。在這種觀點下，β-歸約對應於一組計算步驟。 這個步驟重複應用β-轉換，一直到沒有東西能再被化簡。在無型別lambda演算中，如本文所述，這個歸約過程可能無法終止， 比如 Ω = ( λ x . x x ) ( λ x . x x ) {\displaystyle \Omega =(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)} ，是個特殊的lambda項。這裡 ( λ x . x x ) ( λ x . x x ) → ( x x ) [ x := λ x . x x ] = ( x [ x := λ x . x x ] ) ( x [ x := λ x . x x ] ) = ( λ x . x x ) ( λ x . x x ) {\displaystyle (\lambda x.xx)(\lambda x.xx)\to (xx)[x:=\lambda x.xx]=(x[x:=\lambda x.xx])(x[x:=\lambda x.xx])=(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)} 也就是說，該lambda項在一次β-歸約中化簡到本身，因此歸約過程將永遠不會終止。 無型別lambda演算的另一方面是它並不區分不同種類的資料。例如，需要編寫只針對數字操作的功能。然而，在無型別的lambda演算中，沒有辦法避免函數被應用於真值、字串或其它非數字物件。 形式化地，我们从一个标识符（identifier）的可数无穷集合开始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x1, x2, ...}，则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF范式表达的上下文无关文法描述： <表达式> ::= <标识符> <表达式> ::= (λ<标识符>.<表达式>) <表达式> ::= (<表达式> <表达式>) 头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda抽象（规则2）和函数作用（规则3）中的括弧在不会产生歧义的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：（1）函数的作用是左结合的，和（2）lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。 类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数，因为变量y的出现是自由的，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。一个lambda表达式的自由变量的集合是通过下述规则（基于lambda表达式的结构归纳地）定义的： 在表达式V中，V是变量，则这个表达式里自由变量的集合只有V。 在表达式λV .E中（V是变量，E是另一个表达式），自由变量的集合是E中自由变量的集合减去变量V。因而，E中那些V被称为绑定在λ上。 在表达式 (E E')中，自由变量的集合是E和E'中自由变量集合的并集。 例，对于表达式λx.x（我们将第一个x视作变量，第二个x视作表达式），其中表达式x中，由1，它的自由变量集合是x，又由2，表达式λx.x的自由变量的集合是表达式x的自由变量集合减去变量x。所以对于表达式λx.x，它的自由变量集合是空。 例，对于表达式λx.x x由形式化描述的第3点，我们把它看作((λx.x)(x))，(λx.x)和(x)分别为表达式，由上一例知道(λx.x)的自由变量集合为空，表达式(x)的变量集合为变量x，所以对于λx.x x，它的自由变量集合为x与空的并，即x。 在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系(在此用==标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。 歸約的操作包括： Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说λx.x和λy.y是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。 Alpha-变换规则陈述的是，若V与W均为变量，E是一个lambda表达式，同时E[V:=W]是指把表达式E中的所有的V的自由出现都替换为W，那么在W不是 E中的一个自由出现，且如果W替换了V，W不会被E中的λ绑定的情况下，有 λV.E == λW.E[V:=W] 这条规则告诉我们，例如λx.(λx.x) x这样的表达式和λy.(λx.x) y是一样的。 Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的E'的自由出现在E [V:=E']中仍然是自由的情况下，有 ((λV.E) E') == E [V:=E'] 成立。 ==关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系（即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系）。 对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何beta归约的lambda表达式被称为Beta范式。并非所有的lambda表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形式参数替换为实际参数，直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当lambda表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser定理说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。 前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性的概念，在这里外延性指的是，对于任一給定的参数，当且仅当两个函数得到的结果都一致，則它们將被視同為一个函数。Eta-变换可以令 λ x . f x {\displaystyle \lambda x.fx} 和 f {\displaystyle f} 相互转换，只要 x {\displaystyle x} 不是 f {\displaystyle f} 中的自由變量。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的： 若 f {\displaystyle f} 与 g {\displaystyle g} 外延地等价，即， f a == g a {\displaystyle fa==ga} 对所有的 λ {\displaystyle \lambda } 表达式 a {\displaystyle a} 成立，则当取 a {\displaystyle a} 为在 f {\displaystyle f} 中不是自由出现的变量 x {\displaystyle x} 时，我们有 f ( x ) == g ( x ) {\displaystyle f(x)==g(x)} ，因此 λ x . f x == λ x . g x {\displaystyle \lambda x.fx==\lambda x.gx} ，由eta-变换f == g。所以只要eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。 相反地，若外延性是有效的，则由beta-归约，对所有的y有(λx .f x) y == f y，可得λx .f x == f，即eta-变换也是有效的。 基本的lambda演算法可用於建構布林值，算術，資料結構和遞歸的模型，如以下各小節所述。 在lambda演算中有许多方式都可以定义自然数，但最常见的还是邱奇数，下面是它们的定义： 0 = λf.λx.x 1 = λf.λx.f x 2 = λf.λx.f (f x) 3 = λf.λx.f (f (f x)) 以此类推。直观地说，lambda演算中的数字n就是一个把函数f作为参数并以f的n次幂为返回值的函数。换句话说，邱奇整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数f为参数，返回另一个单一参数的函数。 (注意在邱奇原来的lambda演算中，lambda表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义0)在邱奇整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以n为参数，返回n + 1： SUCC = λn.λf.λx.f(n f x) 加法是这样定义的： PLUS = λm.λn.λf.λx.m f (n f x) PLUS可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证 PLUS 2 3 与5是否等价。乘法可以这样定义： MULT = λm.λn.m (PLUS n) 0, 即m乘以n等于在零的基础上m次加n。另一种方式是 MULT = λm.λn.λf.m (n f) 正整数n的前驱元（predecessesor）PRED n = n - 1要复杂一些： PRED = λn.λf.λx.n (λg.λh.h (g f)) (λu.x) (λu.u) 或者 PRED = λn.n(λg.λk.(g 1) (λu.PLUS(g k) 1) k) (λl.0) 0 注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k表示的是，当g(1)是零时，表达式的值是k，否则是g(k)+ 1。 习惯上，下述两个定义（称为邱奇布尔值）被用作TRUE和FALSE这样的布尔值： TRUE := λx.λy.x FALSE := λx.λy.y (注意FALSE等价于前面定义邱奇数零) 接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑运算： AND := λp q.p q FALSE OR := λp q.p TRUE q NOT := λp.p FALSE TRUE IFTHENELSE := λp x y.p x y 我们现在可以计算一些逻辑函数，比如： AND TRUE FALSE ≡(λp q.p q FALSE) TRUE FALSE →β TRUE FALSE FALSE ≡(λx y.x) FALSE FALSE →β FALSE 我们见到AND TRUE FALSE等价于FALSE。 “谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是ISZERO，当且仅当其参数为零时返回真，否则返回假： ISZERO := λn.n (λx.FALSE) TRUE 运用谓词与上述TRUE和FALSE的定义，使得"if-then-else"这类语句很容易用lambda演算写出。 有序对（2-元组）数据类型可以用TRUE、FALSE和IF来定义。 CONS := λx y.λp.IF p x y CAR := λx.x TRUE CDR := λx.x FALSE 链表数据类型可以定义为，要么是为空列表保留的值（e.g.FALSE），要么是CONS一个元素和一个更小的列表。 lambda演算出現在相當大量的編程習慣用法中，其中許多編程語言最初以lambda演算作為語義基礎，在此背景下開發的；有效地利用lambda演算作為基底。因為幾個編程語言部份含括了lambda演算（或者非常相似的東西），所以這些技術也可以在實際的編程中見到，但有可能被認為是模糊或外來的。 在lambda演算中，函式庫將採用預先定義好的函數集合，其中lambda項僅僅是特定的常量。純粹的lambda演算法並不具有命名常數的概念，因為所有的原子λ項都是變量；但是在程序主體中，我們可將一個變量當成常量的名稱，利用lambda抽象把這個變量綁定，並將該lambda抽象應用於預期的定義，來模擬命名常量的作法。因此在N（“主程序”的另一個lambda項）中，要以f來表示M（一些明確的lambda項），則寫成如下： (λf.N) M 作者經常引入類似如let的语法糖，允許以更直觀的次序撰寫上述內容： let f = M in N 通過等號鏈接這個命名常數，即可將lambda演算“編程”的一個lambda項，寫為零或多個函數的定義，而使用構成程序主體的那些函數。這個let顯著的限制，是在M中並沒有定義f名稱，因為M不在綁定f的lambda抽象範疇之內；這意味著遞歸函數定義不能以let來使用M。更進步的letrec語法糖允許以直覺的方式編寫遞歸函數定義，而不需用到不動點組合子。 递归是使用函数自身的函数定义；在表面上，lambda演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子，阶乘函数f(n)递归的定义为 f(n):= if n = 0 then 1 else n·f(n-1)。 在lambda演算中，你不能定义包含自身的函数。要避免这样，你可以开始于定义一个函数，这里叫g，它接受一个函数f作为参数并返回接受n作为参数的另一个函数： g := λf n.(if n = 0 then 1 else n·f(n-1))。 函数g返回要么常量1，要么函数f对n-1的n次应用。使用ISZERO谓词，和上面描述的布尔和代数定义，函数g可以用lambda演算来定义。 但是，g自身仍然不是递归的；为了使用g来建立递归函数，作为参数传递给g的f函数必须有特殊的性质。也就是说，作为参数传递的f函数必须展开为调用带有一个参数的函数g -- 并且这个参数必须再次f函数! 换句话说，f必须展开为g(f)。这个到g的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数f将再次出现，并将被再次展开为g(f)并继续递归。这种函数，这裡的f = g(f)，叫做g的不动点，并且它可以在lambda演算中使用叫做悖论算子或不动点算子来实现，它被表示为Y -- Y组合子： Y = λg.(λx.g(x x))(λx.g(x x)) 在lambda演算中，Y g是g的不动点，因为它展开为g(Y g)。现在，要完成我们对阶乘函数的递归调用，我们可以简单的调用 g(Y g)n，这裡的n是我们要计算它的阶乘的数。 比如假定n = 5，它展开为： (λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1)))) 5 if 5 = 0 then 1 else 5·(g(Y g，5-1)) 5·(g(Y g)4) 5·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 4) 5·(if 4 = 0 then 1 else 4·(g(Y g，4-1))) 5·(4·(g(Y g)3)) 5·(4·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 3)) 5·(4·(if 3 = 0 then 1 else 3·(g(Y g，3-1)))) 5·(4·(3·(g(Y g)2))) ... 等等，递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点，因此，使用Y所有递归定义的函数都可以表达为lambda表达式。特别是，我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。 某一些lambda項有普遍接受的名稱： I := λx.x K := λx.λy.x S := λx.λy.λz.x z (y z) B := λx.λy.λz.x (y z) C := λx.λy.λz.x z y W := λx.λy.x y y U := λx.λy.y (x x y) ω := λx.x x Ω := ω ω Y := λg.(λx.g (x x)) (λx.g (x x)) 其中有幾個在“消除lambda抽象”中有直接的應用，將lambda項變為組合演算的術語。 如果N是一個沒有λ-抽象的lambda項，但可能包含了命名常量（組合子），則存在一個lambda項T(x,N)，這相同於一個缺少λ-抽象（除了作為命名常量的一部份，如果這些被認為是非原子的）的λx.N；也可以被視為匿名變量，就如同T(x,N)從N之中刪除所有出現的x，同時仍然允許在N包含x的位置替換參數值。 轉換函數T可由下式定義： T(x, x) := I T(x, N) := K N if x is not free in N. T(x, M N) := S T(x, M) T(x, N) 在這兩種情況下，形式T(x,N)P可藉由使初始的組合子I，K或S獲取參數P而化簡， 就像(λx.N) P經過β-歸約一樣。I返回那個參數。K則將參數拋棄，就像(λx.N)，如果x在N中不是以自由變量出現。S將參數傳遞給應用程序的兩個子句，然後將第一個結果應用到第二個的結果之上。 組合子B和C類似於S，但把參數傳遞給應用的一個子項（B傳給“參數”子項，而C傳給“函數”子項），如果子項中沒有出現x，則保存後續的K。與B和C相比，S組合子實際上混合了兩個功能： 重新排列參數，並複製一個參數，以便它可以在兩個地方使用。W組合子只做後者，產生了SKI组合子演算的B，C，K，W系統。 自然数的函数F: N → N是可计算函数，当且仅当存在着一个lambda表达式f，使得对于N中的每对x, y都有F(x) = y当且仅当f x == y，这裡的x和y分别是对应于x和y的邱奇数。这是定义可计算性的多种方式之一；关于其他方式和它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题。 比如计算平方的函数 square 在 Lisp 中可以表示为如下的 lambda 表达式 (lambda (x) (* x x)) 符号 lambda 创建一个匿名函数，给定参数列表 (x) ，以及一个作为函数体的表达式 (* x x)。 匿名函数有时称为 lambda 表达式。 很多命令式语言都有函数指针或者类似的机制。但是函数指针并不是类型中的一等公民，函数是一等公民当且仅当函数可以在运行时创建。 下面一些语言支持函数的运行时创建： Smalltalk、 JavaScript、 Kotlin、 Scala、 Python3、 C# ("delegates")、 C++11等。 邱奇-图灵论题 递归函数 可计算函数 柯里化 Turing, A. M. Computability and λ-Definability. The Journal of Symbolic Logic. December 1937, 2 (4): 153–163. JSTOR 2268280. doi:10.2307/2268280.  Coquand, Thierry, "Type Theory" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2013 Edition), Edward N. Zalta (ed.). Moortgat, Michael. Categorial Investigations: Logical and Linguistic Aspects of the Lambek Calculus. Foris Publications. 1988. ISBN 9789067653879.  Bunt, Harry; Muskens, Reinhard (编), Computing Meaning, Springer, 2008, ISBN 9781402059575  Mitchell, John C., Concepts in Programming Languages, Cambridge University Press: 57, 2003, ISBN 9780521780988  Pierce, Benjamin C. Basic Category Theory for Computer Scientists. : 53.  Church, A. A set of postulates for the foundation of logic. Annals of Mathematics. Series 2. 1932, 33 (2): 346–366. JSTOR 1968337. doi:10.2307/1968337.  For a full history, see Cardone and Hindley's "History of Lambda-calculus and Combinatory Logic" (2006). Kleene, S. C.; Rosser, J. B. The Inconsistency of Certain Formal Logics. The Annals of Mathematics. 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