1 − 2 + 4 − 8 + …

在數學中，1 − 2 + 4 − 8 + …是一個无穷级数，它的每一项都是2的幂而加減號則是交錯地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。 ∑ k = 0 n ( − 2 ) k {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}} 作为实数级数，它发散到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一個廣義的和為⅓。 戈特弗里德·莱布尼茨於1673年已經細想過1 − 2 + 4 − 8 + …這個交替的发散级数。他認為經過從右邊或左邊相減，分別可以得到正無限及負無限，所以兩個答案都是錯的，而整個級數必為有限： "如果两个结论里没有一个是可被接受的，或者说因为无法判断哪个结论可被接受，自然一般会选择处在两个结论中间的结论，所以这个级数和是一个有限数。" 莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有和，但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。在十八世纪，“一个数项级数的和可能等于一个并不是其逐项叠加的结果的有限数”是一个十分普通的观点，尽管现代数学观点同当时的观点并没有任何分别。 当克里斯提安·沃尔夫在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数的解法后， 他对此解法非常满意，并设法通过这种方法去寻求更多解决发散级数问题的数学方法（如 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …）。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话，他得到的结果会是 4 m + 1 3 {\displaystyle {\tfrac {4m+1}{3}}} 或者 − 4 n + 1 3 {\displaystyle {\tfrac {-4n+1}{3}}} 。 这些值的平均值是 2 m − 2 n + 1 3 {\displaystyle {\tfrac {2m-2n+1}{3}}} ，然后假设m = n ，讨论到无限后就得到了级数和是 ⅓ 。莱布尼兹的直觉在这时让他避免了在沃尔夫的解法上费力气。他给沃尔夫回信，说他的解法有点意思，但是因几个原因而无效。 相邻的两个部分和并不收敛到任何一个特定值上，同时在任何有限条件下都有n = 2m，而不是n = m。总之，可求和级数的项最终都应收敛到零；即使 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下，认为他说不定“可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。” 任何具有规律性、线性和稳定性的求和方法都能对等比数列（几何级数）求和 ∑ k = 0 n a r k = a 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}} . 在这种情况下 a = 1 且 r = −2，所以级数和是 ⅓。 在他1755年的《Institutiones》上，莱昂哈德·欧拉采用了现在被称为欧拉变换的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + …，得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + …。因为後者的和为⅓，欧拉得出结论，认为1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓。他对於无穷级数的看法不太遵循现代方法。如今，我们称1 − 2 + 4 − 8 + …是欧拉可求和，其欧拉和是⅓。 欧拉变换以正项序列开始： a0 = 1, a1 = 2, a2 = 4, a3 = 8, …. 而前向差分序列是 Δa0 = a1 − a0 = 2 − 1 = 1, Δa1 = a2 − a1 = 4 − 2 = 2, Δa2 = a3 − a2 = 8 − 4 = 4, Δa3 = a4 − a3 = 16 − 8 = 8, …, 这一序列与上一序列正好相同。因此对於每一n，迭代前向差分序列均以Δna0 = 1开始。级数的欧拉变换如下： a 0 2 − Δ a 0 4 + Δ 2 a 0 8 − Δ 3 a 0 16 + ⋯ = 1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .} 上述级数是一收敛等比级数，按常规求和公式得出其和为⅓。 1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷尔和也是 ⅓；博雷尔于1896年介绍了博雷尔和极限的公式，这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + …后的首个实例之一。 Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《De progressionibus intervallorum tangentium a vertice》，拉丁语原文：“Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.” Ferraro and Panza，第21页 沃尔夫第一次对信件的引用是发表在《Acta Eruditorum》的来自德国哈雷的一封信中，日期为1712年6月12日；Gerhardt，第143－146页。 引言是Moore的解释（第2－3页）；出自Gerhardt pp.147-148莱布尼兹的信，日期为1712年7月13日，来自汉诺威。 Euler p.234 参见Korevaar p.325 Smail p. 7. Euler, Leonhard. Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum. 1755 [2010-02-26]. （原始内容存档于2008-02-25）.  Ferraro, Giovanni; Panza, Marco. Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis. Historia Mathematica. 2003-02-01, 30 (1) [2022-10-12]. ISSN 0315-0860. doi:10.1016/S0315-0860(02)00017-4. （原始内容存档于2022-10-17） （英语）.  Leibnitz, Gottfried Wilhelm freiherr von. Leibnizens gesammelte Werke, herausg. von G.H. Pertz (C.L. Grotefend, C.I. Gerhardt).. 1860 [2022-10-12]. （原始内容存档于2022-10-12） （拉丁语）.  Knobloch, Eberhard. Beyond Cartesian limits: Leibniz's passage from algebraic to “transcendental” mathematics. Historia Mathematica. The Origins of Algebra: From al-Khwarizmi to Descartes. 2006-02-01, 33 (1) [2022-10-12]. ISSN 0315-0860. doi:10.1016/j.hm.2004.02.001. （原始内容存档于2022-10-17） （英语）.  Korevaar, Jacob. Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer. 2004. ISBN 3-540-21058-X.  Leibniz, Gottfried. S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke , 编. Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen. Akademie Verlag. 2003 [2010-02-26]. ISBN 3-05-004003-3. （原始内容存档于2013-10-17）.  Moore, Charles. Summable Series and Convergence Factors. AMS. 1938. LCC QA1 .A5225 V.22.  Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925. LCC QA295 .S64.