對偶間隙

對偶間隙是應用數學中最佳化問題的詞語，是指原始解和對偶解之間的差距。若 d ∗ {\displaystyle d^{*}} 是對偶問題解對應的值，而 p ∗ {\displaystyle p^{*}} 是原始問題最佳解對應的值，則對偶間隙為 p ∗ − d ∗ {\displaystyle p^{*}-d^{*}} 。針對最小化的最佳化問題，對偶間隙恆大於等於零。對偶間隙為零若且唯若強對偶（英语：strong duality）的條件成立，不然對偶間隙為嚴格正值，此時即為弱對偶（英语：weak duality）。 一般而言，給定二個對偶對（英语：dual pair）的分隔局部凸空間（英语：locally convex space） ( X , X ∗ ) {\displaystyle \left(X,X^{*}\right)} 及 ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)} 。假定函數 f : X → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} ，可以定義原始問題為 inf x ∈ X f ( x ) . {\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).\,} 若有限制條件，可以整合到函數 f {\displaystyle f} 中，方式是令 f = f + I constraints {\displaystyle f=f+I_{\text{constraints}}} ，其中 I {\displaystyle I} 是示性函数。則令 F : X × Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} 是擾動函數（英语：perturbation function）使得 F ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle F(x,0)=f(x)} 。則對偶間隙即為以下的差值 inf x ∈ X [ F ( x , 0 ) ] − sup y ∗ ∈ Y ∗ [ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) ] {\displaystyle \inf _{x\in X}[F(x,0)]-\sup _{y^{*}\in Y^{*}}[-F^{*}(0,y^{*})]} 其中 F ∗ {\displaystyle F^{*}} 為二個變數的凸共轭。 在計算最优化中，會提到另一種「對偶間隙」，是對偶解以及原始問題次最佳但是可行解之間的差距。這種對偶間隙反映了目前可行，但可能只是次最佳的迭代解，和對偶問題解之間的差距。對偶問題解是指規律性條件下，等於原始問題凸鬆弛（convex relaxation）下的解。凸鬆弛是指將問題中非凸可行集合改為閉凸包，將非凸函數改為凸的閉集（函數的上境圖（英语：epigraph (mathematics)）是原始目標函數的閉凸包）。 Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji. Techniques of Variational Analysis. Springer. 2005. ISBN 978-1-4419-2026-3.  Radu Ioan Boţ; Gert Wanka; Sorin-Mihai Grad. Duality in Vector Optimization. Springer. 2009. ISBN 978-3-642-02885-4.  Ernö Robert Csetnek. Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators. Logos Verlag Berlin GmbH. 2010. ISBN 978-3-8325-2503-3.  Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc. 2002: 106–113. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.  Ahuja, Ravindra K.; Magnanti, Thomas L.; Orlin, James B. Network Flows: Theory, Algorithms and Applications. Prentice Hall. 1993. ISBN 0-13-617549-X.  Bertsekas, Dimitri P. Nonlinear Programming 2nd. Athena Scientific. 1999. ISBN 1-886529-00-0.  Bonnans, J. Frédéric; Gilbert, J. Charles; Lemaréchal, Claude; Sagastizábal, Claudia A. Numerical optimization: Theoretical and practical aspects. Universitext Second revised ed. of translation of 1997 Optimisation numérique : Aspects théoriques et pratiques (French). Berlin: Springer-Verlag. 2006: xiv+490 [2020-07-12]. ISBN 3-540-35445-X. MR 2265882. doi:10.1007/978-3-540-35447-5. （原始内容存档于2013-07-19）.  Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. Convex analysis and minimization algorithms, Volume I: Fundamentals. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 305. Berlin: Springer-Verlag. 1993: xviii+417. ISBN 3-540-56850-6. MR 1261420.  Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. XII. Abstract Duality for Practitioners. Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 306. Berlin: Springer-Verlag. 1993: xviii+346. ISBN 3-540-56852-2. MR 1295240. doi:10.1007/978-3-662-06409-2_4.