伴随勒让德多项式

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼： ( 1 − x 2 ) d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + ( ℓ [ ℓ + 1 ] − m 2 1 − x 2 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})\,{\frac {d^{2}\,y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0} 该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。 因上述方程仅当 ℓ {\displaystyle \ell } 和 m {\displaystyle m\,} 均为整数且满足 0 ≤ m ≤ ℓ {\displaystyle 0\leq m\leq \ell } 时，才在区间 [−1, 1] 上有非奇异解，所以通常把 ℓ {\displaystyle \ell } 和 m {\displaystyle m\,} 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 ℓ {\displaystyle \ell } 和/或 m {\displaystyle m\,} 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。 当 m = 0 {\displaystyle m\,=0} 、 ℓ {\displaystyle \ell } 为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。 注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。 与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 [-1,1] 上也满足正交性。 ∫ − 1 1 P l m ( x ) P k m ( x ) d x = ( l + m ) ! ( l − m ) ! 2 2 l + 1 δ k l {\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{l}^{m}(x)P_{k}^{m}(x)\mathrm {d} x={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}} 这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的： { m 2 1 − x 2 − d d x [ ( 1 − x 2 ) d d x ] } P l m ( x ) = λ P l m ( x ) , λ = l ( l + 1 ) , l ∈ Z 0 + {\displaystyle \left\{{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\right]\right\}P_{l}^{m}(x)=\lambda P_{l}^{m}(x),\quad \lambda =l(l+1),l\in \mathbb {Z} _{0}^{+}} 正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。 ∫ 0 π P l m ( cos ⁡ θ ) P k m ( cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ d θ = ( l + m ) ! ( l − m ) ! 2 2 l + 1 δ k l {\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}^{m}(\cos \theta )P_{k}^{m}(\cos \theta )\sin \theta \mathrm {d} \theta ={\frac {(l+m)!}{(l-m)!}}{\frac {2}{2l+1}}\delta _{kl}} 连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到： P l m ( x ) = ( 1 − x 2 ) m / 2 P l ( m ) ( x ) {\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}P_{l}^{(m)}(x)} 等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。 连带勒让德函数（即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为： P ν μ ( z ) = 1 Γ ( 1 − μ ) ( z − 1 z + 1 ) μ / 2 2 F 1 ( − ν , ν + 1 , 1 − μ , 1 − z 2 ) {\displaystyle P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{\mu /2}\,_{2}F_{1}(-\nu ,\nu +1,1-\mu ,{\frac {1-z}{2}})} 注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。 显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为： P l − m ( x ) = ( − 1 ) m ( l − m ) ! ( l + m ) ! P l m ( x ) , m = 1 , … , l ; l ∈ Z + {\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=(-1)^{m}{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}P_{l}^{m}(x),\quad m=1,\ldots ,l;l\in \mathbb {Z} ^{+}} 容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。 注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取 P l − m ( x ) = P l m ( x ) {\displaystyle P_{l}^{-m}(x)=P_{l}^{m}(x)} 本文不采用这种定义。 球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。 采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为： Y l m ( θ , ϕ ) = ( l − m ) ! ( l + m ) ! 2 l + 1 4 π P l m ( cos ⁡ θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )={\sqrt {{\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}{\frac {2l+1}{4\pi }}}}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }} 由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系： ∫ Y l m ( θ , ϕ ) Y k n ∗ ( θ , ϕ ) d Ω = δ k l δ m n {\displaystyle \int Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )Y_{k}^{n*}(\theta ,\phi )\mathrm {d} \Omega =\delta _{kl}\delta _{mn}} 式中 dΩ 是立体角元。 吴崇试. 16. 数学物理方法（第二版）. 北京大学出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.  Dunster, T. M., Legendre and Related Functions, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (编), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248