第一价格密封拍卖

第一价格密封拍卖（英語：FPSBA）是拍卖的一个常见类型，属于盲拍（英語：blind auction）的一种。所有竞拍者同时提交密封的出价，没有人知道其他人的出价。出价最高者将以他们出的价格获得拍卖品。 在FPSBA中，每个出价者对拍卖品的估价是影响其出价的重要因素。 假设Alice是一位竞拍者，她的估价是a。那么，如果Alice是理性的，就有以下结论： Alice不可能出大于a的价格，这样只会让她的净收益变为负数。 如果Alice的出价恰好为a，那么她的净收益必定为零。 如果Alice的出价小于a，她可能会获得正的净收益，但这取决于其他人是否出比她更高的价格。 Alice想要出一个能让她赢得拍卖品的最小价格，并且这个价格小于a。例如，如果有另一个竞拍者Bob，他的出价 y {\displaystyle y} 满足 y < a {\displaystyle y<a} ，那么Alice就会出价 y + ε {\displaystyle y+\varepsilon } （其中 ε {\displaystyle \varepsilon } 是她最低可以加的价格，例如1分钱）。 然而，Alice无从知晓其他竞拍者出的价，她更不知道其他人的估价如何。所以，这是一个贝叶斯博弈——每个参与者无法完全得知其他参与者的收益函数。 即使只有两位参与者，要求得这类博弈的纳什均衡也不容易。一个简化的情形是，所有参与者的估价是独立同分布的，即所有参与者的估价都满足同一个概率分布。 设两个竞拍者Alice和Bob的估价分别是a和b，且这两个值满足[0,1]上的连续型均匀分布。那么，这个贝叶斯博弈的纳什均衡为每个竞拍者都选择自己估价的一半：Alice出价 a / 2 {\displaystyle a/2} ，Bob出价 b / 2 {\displaystyle b/2} 。 证明：以下从Alice的角度讨论。假定她已知Bob的出价是 f ( b ) = b / 2 {\displaystyle f(b)=b/2} ，但她不知道 b {\displaystyle b} 等于多少，我们来求Alice的最佳策略。假设Alice出价 x {\displaystyle x} ，那么有两种情况： x ≥ f ( b ) {\displaystyle x\geq f(b)} ，此时Alice赢得拍卖品，净收益是 a − x {\displaystyle a-x} 。这种情况发生的概率是 f − 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle f^{-1}(x)=2x} 。 x < f ( b ) {\displaystyle x<f(b)} ，此时Alice未赢得拍卖品，净收益为0。这种情况发生的概率是 1 − f − 1 ( x ) {\displaystyle 1-f^{-1}(x)} 。 因此，Alice的预期收益是 G ( x ) = f − 1 ( x ) ⋅ ( a − x ) {\displaystyle G(x)=f^{-1}(x)\cdot (a-x)} 。当 G ′ ( x ) = 0 {\displaystyle G'(x)=0} 时预期收益取到最大值，其中 G ′ ( x ) {\displaystyle G'(x)} 为： G ′ ( x ) = − f − 1 ( x ) + ( a − x ) ⋅ 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle G'(x)=-f^{-1}(x)+(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}} 当Alice的出价 x {\displaystyle x} 满足以下条件时导数为零： f − 1 ( x ) = ( a − x ) ⋅ 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle f^{-1}(x)=(a-x)\cdot {1 \over f'(f^{-1}(x))}} 现在，因为纳什均衡显然是对称的，Alice的出价 x {\displaystyle x} 也等于 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 。于是有： f − 1 ( f ( a ) ) = ( a − f ( a ) ) ⋅ 1 f ′ ( f − 1 ( f ( a ) ) ) {\displaystyle f^{-1}(f(a))=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(f^{-1}(f(a)))}} a = ( a − f ( a ) ) ⋅ 1 f ′ ( a ) {\displaystyle a=(a-f(a))\cdot {1 \over f'(a)}} a f ′ ( a ) = ( a − f ( a ) ) {\displaystyle af'(a)=(a-f(a))} 解得 f ( a ) = a / 2 {\displaystyle f(a)=a/2} 。 考虑所有的FPSBA。记： v i {\displaystyle v_{i}} 为第 i {\displaystyle i} 位竞拍者的估价； y i {\displaystyle y_{i}} 为除第 i {\displaystyle i} 位竞拍者以外的最大估价，即 y i = max j ≠ i v j {\displaystyle y_{i}=\max _{j\neq i}{v_{j}}} 。 FPSBA有一个对称纳什均衡，即第 i {\displaystyle i} 位竞拍者出价： E [ y i | y i < v i ] {\displaystyle E[y_{i}|y_{i}<v_{i}]} 下表列出了FPSBA和第二价格密封拍卖（SPSBA）的共同点和不同点： 拍卖商的收入是用上述样例计算的，其中每个参与者的估价独立均匀地随机分布在[0,1]中。不妨设 n = 2 {\displaystyle n=2} ： 在第一价格密封拍卖中，拍卖商获得两人出价中较大者，即 max ( a / 2 , b / 2 ) {\displaystyle \max(a/2,b/2)} 。 在第二价格密封拍卖中，拍卖商获得两人估价中较小者，即 min ( a , b ) {\displaystyle \min(a,b)} 。 以上两种情况中，拍卖商的预期收入都是1/3。 两种拍卖的预期收入相同并不是一个巧合，而是因为它们是收益等价定理（英语：revenue equivalence）的特例，在每个参与者估价都独立的情况下这条规则成立。如果估价不独立，则变为共同价值拍卖（英语：common value auction），此时拍卖商在第二价格密封拍卖中的收入大于第一价格密封拍卖。 Shor, Mikhael, "blind auction" Dictionary of Game Theory Terms. [2018-04-18]. （原始内容存档于2019-09-17）.  Krishna, Vijay, Auction Theory, San Diego, USA: Academic Press, 2002, ISBN 0-12-426297-X  McAfee, Dinesh Satam; McMillan, Dinesh, Auctions and Bidding (PDF), Journal of Economic Literature 25 (2) (American Economic Association), 1987, 25 (2): 699–738June 1987 [2008-06-25], JSTOR 2726107, （原始内容存档 (PDF)于2018-11-28）  Vazirani, Vijay V.; Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva. Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2007. ISBN 0-521-87282-0.  Daron Acemoglu and Asu Ozdaglar. Networks Lectures 19-21: Incomplete Information: Bayesian Nash Equilibria, Auctions and Introduction to Social Learning. MIT. 2009 [8 October 2016]. （原始内容存档于2016-10-22）.  假定有 n {\displaystyle n} 位参与者，他们的估价均为[0,1]之间的独立均匀随机分布 Nash equilibrium in first price auction - in math.stackexchange.com.