歐拉運動定律

歐拉運動定律（Euler's laws of motion）是牛頓運動定律的延伸，可以應用於多粒子系統運動或剛體運動，描述多粒子系統運動或剛體的平移運動、旋轉運動分別與其感受的力、力矩之間的關係。在艾薩克·牛頓發表牛頓運動定律之後超過半個世紀，於1750年，萊昂哈德·歐拉才成功地表述了這定律。 剛體也是一種多粒子系統，但理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到作用力，在剛體內部，點與點之間的距離都不會改變。 歐拉運動定律也可以加以延伸，應用於可變形體內任意部分的平移運動與旋轉運動。 歐拉第一定律表明，從某慣性參考系觀測，施加於剛體的淨外力，等於剛體質量與質心加速度的乘積。歐拉第一定律以方程式表達為 F ( e x t ) = m a c m {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}} ； 其中， F ( e x t ) {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} 是剛體感受到的淨外力， m {\displaystyle m} 、 a c m {\displaystyle \mathbf {a} _{cm}} 分別是剛體的質量、質心加速度。 剛體的平移運動等同於位於其質心、具有其質量的粒子，感受到同樣的淨外力，而呈現的運動。 思考由 n {\displaystyle n} 個粒子組成的多粒子系統，其質心位置 r c m {\displaystyle \mathbf {r} _{cm}} 為 r c m = d e f ∑ i = 1 n m i r i m {\displaystyle \mathbf {r} _{cm}{\stackrel {def}{=}}{\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{m}}}  ; 其中， m i {\displaystyle m_{i}} 、 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 分別為第 i {\displaystyle i} 個粒子的質量、位置， m = ∑ i = 1 n m i {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}m_{i}} 是系統的質量。 質心速度 v c m {\displaystyle \mathbf {v} _{cm}} 為 v c m = d r c m d t = ∑ i = 1 n m i v i m {\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{m}}} ； 其中， v i = d r i d t {\displaystyle \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的速度。 質心加速度 a c m {\displaystyle \mathbf {a} _{cm}} 為 a c m = d v c m d t = ∑ i = 1 n m i a i m {\displaystyle \mathbf {a} _{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{cm}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {a} _{i}}{m}}} ； 其中， a i = d 2 r i d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} _{i}={\frac {\mathrm {d^{2}} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的加速度。 第 i {\displaystyle i} 個粒子感受到的力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 為 F i = F i ( e x t ) + ∑ j = 1 , j ≠ i n F j i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}} ； 其中， F i ( e x t ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(ext)}} 是這粒子感受到的外力， F j i {\displaystyle \mathbf {F} _{ji}} 是第 j {\displaystyle j} 個粒子施加於第 i {\displaystyle i} 個粒子的內力。 系統感受到的淨力 F {\displaystyle \mathbf {F} } 是所有粒子感受到的力的向量和： F = ∑ i = 1 n F i = ∑ i = 1 n F i ( e x t ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 , j ≠ i n F j i {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}} 。 根據牛頓第三定律，內力與其反作用力的關係為 F j i = − F j i {\displaystyle \mathbf {F} _{ji}=-\mathbf {F} _{ji}} 。 所以，所有粒子彼此施加於對方的內力的向量和為零，淨力等於所有外力的向量和 （淨外力 F ( e x t ) {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} ）： F = ∑ i = 1 n F i ( e x t ) = F ( e x t ) {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{(ext)}=\mathbf {F} ^{(ext)}} 。 根據牛頓第二定律，第 i {\displaystyle i} 個粒子感受到的力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 與這粒子的加速度之間的關係為 F i = m i a i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}} 。 總和所有粒子所感受到的力， F = ∑ i = 1 n F i = ∑ i = 1 m i a i = m a c m {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}m_{i}\mathbf {a} _{i}=m\mathbf {a} _{cm}} 。 所以，淨外力 F ( e x t ) {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}} 與質心加速度的關係為 F ( e x t ) = m a c m {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}=m\mathbf {a} _{cm}} 。 多粒子系統的動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 是組成這系統的所有粒子的動量的向量和： p = ∑ i = 1 n p i = ∑ i = 1 n m i v i = m v c m {\displaystyle \mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {p} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}=m\mathbf {v} _{cm}} ； 其中， p i {\displaystyle \mathbf {p} _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 個粒子的動量。 歐拉第一定律又可以表達為 F ( e x t ) = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} 。 假設淨外力為零，則系統的動量守恆。 歐拉第二定律表明，設定某慣性參考系的固定點O（例如，原點）為參考點，施加於剛體的淨外力矩，等於角動量的時間變化率。歐拉第二定律以方程式表達為 τ O ( e x t ) = d L O d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}} ； 其中， τ O ( e x t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}} 是對於點O淨外力矩， L O {\displaystyle \mathbf {L} _{O}} 是對於點O的角動量。 思考由 n {\displaystyle n} 個粒子組成的多粒子系統。對於點O，第 i {\displaystyle i} 個粒子的角動量 L i {\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 為 L i = r i × p i = r i × m i v i {\displaystyle \mathbf {L} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}} 。 L i {\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 對於時間的導數為 d L i d t = d ( r i × m i v i ) d t = v i × m i v i + r i × m i a i = r i × m i a i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i})}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}+\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {a} _{i}} 。 根據牛頓第二定律，施加於第 i {\displaystyle i} 個粒子的力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 是這粒子的質量與加速度的乘積。所以， L i {\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 對於時間的導數為 d L i d t = r i × F i {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}} 。 第 i {\displaystyle i} 個粒子所感受到的淨力矩 τ i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 為 τ i = r i × F i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}} 。所以， τ i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 與 L i {\displaystyle \mathbf {L} _{i}} 的關係為 τ i = d L i d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}} 。 總和所有粒子所感受到的淨力矩，系統所感受到的淨力矩 τ O {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}} 與其角動量 L O {\displaystyle \mathbf {L} _{O}} 的關係為 τ O = ∑ i = 1 n τ i = d d t ∑ i = 1 n L i = d L O d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {L} _{i}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}} 。 第 i {\displaystyle i} 個粒子所感受到的淨力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 為 F i = F i ( e x t ) + ∑ j = 1 , j ≠ i n F j i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {F} _{ji}} 。 第 i {\displaystyle i} 個粒子所感受到的淨力矩 τ i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}} 為 τ i = r i × F i = r i × F i ( e x t ) + ∑ j = 1 , j ≠ i n r i × F j i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}} 。 物體感受到的淨力矩 τ O {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}} 為： τ O = ∑ i = 1 n τ i = ∑ i = 1 n r i × F i ( e x t ) + ∑ i = 1 n ∑ j = 1 , j ≠ i n r i × F j i {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}} 。 應用牛頓第三定律， r i × F j i + r j × F j i = r i × F j i − r j × F j i = ( r i − r j ) × F j i = r i j × F j i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}+\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{ji}-\mathbf {r} _{j}\times \mathbf {F} _{ji}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\times \mathbf {F} _{ji}=\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {F} _{ji}} ； 其中， r i j = r i − r j {\displaystyle \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}} 是從粒子 r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} 到粒子 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 的位移向量。 假設這系統的粒子遵守強版牛頓第三定律，即粒子運動為經典運動，速度超小於光速，則 r i j {\displaystyle \mathbf {r} _{ij}} 與 F j i {\displaystyle \mathbf {F} _{ji}} 同向，叉積為零。那麼，物體感受到的淨力矩是所有外力矩的向量和 τ O ( e x t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}} ： τ O = ∑ i = 1 n r i × F i ( e x t ) = τ O ( e x t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}^{(ext)}={\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}} 。 這樣，可以得到歐拉第二定律方程式 τ O ( e x t ) = d L O d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}^{(ext)}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{O}}{\mathrm {d} t}}} 。 假設施加於系統的淨外力矩為零，則系統的角動量的時間變化率為零，系統的角動量守恆。 所有粒子所感受到的淨力矩的向量和為 τ O = ∑ i = 1 n τ i = ∑ i = 1 n r i × ( m i a i ) = ∑ i = 1 n ( r c m + r i ′ ) × ( m i ( a c m + a i ′ ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r} _{cm}+\mathbf {r} '_{i})\times (m_{i}(\mathbf {a} _{cm}+\mathbf {a} '_{i}))} ； 其中， r i ′ = r i − r c m {\displaystyle \mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{cm}} 、 a i ′ = a i − a c m {\displaystyle \mathbf {a} '_{i}=\mathbf {a} _{i}-\mathbf {a} _{cm}} 分別是第 i {\displaystyle i} 個粒子相對於質心的相對位移與相對加速度。 注意到所有粒子的相對位移與相對加速度，其向量和分別為零，所以， τ O = r c m × m a c m + ∑ i = 1 n r i ′ × m i a i ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{O}=\mathbf {r} _{cm}\times m\mathbf {a} _{cm}+\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}} 。 現在，假設將質心設定為參考點，則 r c m = 0 {\displaystyle \mathbf {r} _{cm}=0} ，方程式變為 τ c m = ∑ i = 1 n r i ′ × m i a i ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {a} '_{i}} 。 以質心為參考點，角動量 L c m {\displaystyle \mathbf {L} _{cm}} 為 L c m = ∑ i = 1 n r i ′ × m i v i ′ {\displaystyle \mathbf {L} _{cm}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} '_{i}\times m_{i}\mathbf {v} '_{i}} 。 所以，不論質心參考系是否為慣性參考系（即不論質心是否呈加速度運動），以質心為參考點，淨外力矩等於角動量的時間變化率： τ c m = d L c m d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{cm}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{cm}}{\mathrm {d} t}}} 。 在可變形體內部任意位置的內力密度不一定一樣，也就是說，其內部存在有應力分佈。這內部的內力的變化是由牛頓第二定律主控。通常，牛頓第二定律是應用於計算質點或粒子的動力運動，但在連續介質力學裏，被加以延伸後，可以應用於計算具有連續分佈質量的物體的運動行為。假設將物體模型化為由一群離散粒子組構而成，每一個粒子的運動都遵守牛頓第二定律，則可以推導出歐拉運動定律。不論如何，歐拉運動定律也可以直接視為專門描述大塊物體運動的公理，與物體結構無關。 在塑性力学（plasticity theory）裏，施加於一個連續物體B的力可以分類為兩種：「長程力」與「短程力」。長程力作用於整個物體的每一部分，稱為徹體力（body force），而短程力只能作用於物體表面，稱為接觸力（contact force）。這樣，施加於連續物體的淨力 F {\displaystyle \mathbf {F} } 分為淨徹體力 F b {\displaystyle \mathbf {F} _{b}} 、淨接觸力 F t {\displaystyle \mathbf {F} _{t}} ： F b = ∫ V b d m = ∫ V ρ b d V {\displaystyle \mathbf {F} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {b} \,\mathrm {d} m=\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V} 、 F t = ∫ S t d S {\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S} ； 其中， b {\displaystyle \mathbf {b} } 是徹體力場（量綱為力每單位質量）， d m {\displaystyle \mathrm {d} m} 是微小質量元素， ρ {\displaystyle \rho } 是質量密度， d V {\displaystyle \mathrm {d} V} 是微小體元素， V {\displaystyle \mathbb {V} } 是積分體區域， t {\displaystyle \mathbf {t} } 是表面曳力（surface traction）密度， d S {\displaystyle \mathrm {d} S} 是微小面元素， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是積分曲面。 由於徹體力與接觸力施加於物體，造成了以某設定點為參考點的對應力矩。這樣，對於原點的淨力矩 L {\displaystyle \mathbf {L} } 分為淨徹體力矩 L b {\displaystyle \mathbf {L} _{b}} 、淨接觸力矩 L t {\displaystyle \mathbf {L} _{t}} ： L b = ∫ V r × ρ b d V {\displaystyle \mathbf {L} _{b}=\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V} 、 L t = ∫ S r × t d S {\displaystyle \mathbf {L} _{t}=\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S} ； 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是微小體元素或微小面元素的位置。 歐拉第一定律（「力平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨外力等於淨動量的時間變化率： F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} 。 也就是說， ∫ V ρ b d V + ∫ S t d S = d d t ∫ V ρ v d V {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V} ； 其中， v {\displaystyle \mathbf {v} } 是微小體元素的速度。 歐拉第二定律（「角動量平衡定律」）表明，從某慣性參考系觀測，施加於連續物體內部任意部分的淨力矩等於淨角動量的時間變化率： τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}} 。 也就是說， ∫ V r × ρ b d V + ∫ S r × t d S = d d t ∫ V r × ρ v d V {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,\mathrm {d} V+\int _{\mathbb {S} }\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,\mathrm {d} S={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,\mathrm {d} V} 。 歐拉方程 (剛體運動) 歐拉旋轉定理 Beatty, Millard F. Principles of engineering mechanics Volume 2 of Principles of Engineering Mechanics: Dynamics-The Analysis of Motion,. Springer. 2006: pp. 405. ISBN 0387237046.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Bradley, Robert E., Sandifer, Charles. Leonhard Euler: life, work and legacy Volume 5 of Studies in the history and philosophy of mathematics. Elsevier. 2007: pp. 196. ISBN 9780444527288.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Rao, Anil Vithala. Dynamics of particles and rigid bodies. Cambridge University Press. 2006: 355. ISBN 978-0-521-85811-3.  Lubliner, Jacob. Plasticity Theory (Revised Edition) (PDF). Dover Publications. 2008: pp. 27–28. ISBN 0486462900. （原始内容 (PDF)存档于2010-03-31）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)