闵可夫斯基不等式

在数学中，闵可夫斯基不等式（Minkowski inequality）表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S {\displaystyle S} 是一个测度空间， 1 ≤ p ≤ ∞ , f , g ∈ L p ( S ) {\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)} ，那么 f + g ∈ L p ( S ) {\displaystyle f+g\in L^{p}(S)} ，我们有： ‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} 如果 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ，等号成立当且仅当 ∃ k ≥ 0 , f = k g {\displaystyle \exists k\geq 0,f=kg} ，或者 g = k f {\displaystyle g=kf} . 闵可夫斯基不等式是 L p ( S ) {\displaystyle L^{p}(S)} 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样，闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式： ( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} 将所有实数 x 1 , ⋯ , x n , y 1 ,   ⋯ , y n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}} （ n {\displaystyle n} 为 S {\displaystyle S} 的维数）改成复数同样成立。 值得指出的是，如果 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n > 0 {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0} ， p < 1 {\displaystyle p<1} ，则 ≤ {\displaystyle \leq } 可以变为 ≥ {\displaystyle \geq } . 我们考虑 ‖ f + g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}} 的 p {\displaystyle p} 次幂： ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 p ⋅ p = ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − 1 d x {\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{{\frac {1}{p}}\cdot p}=\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx} （用三角形不等式展开 | f ( x ) + g ( x ) | {\displaystyle |f(x)+g(x)|} ） ≤ ∫ a b | f ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − 1 d x + ∫ a b | g ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − 1 d x {\displaystyle \leq \int _{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int _{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx} （用赫尔德不等式） ≤ ( ∫ a b | f ( x ) | p d x ) 1 p ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | q ( p − 1 ) d x ) 1 q + ( ∫ a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | q ( p − 1 ) d x ) 1 q {\displaystyle \leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}} = [ ( ∫ a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ] ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | q p − q d x ) 1 q {\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac {1}{q}}} （利用 p = q p − q {\displaystyle p=qp-q} ，因为 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ） = [ ( ∫ a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ] ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 q {\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{q}}} 现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子，即得 ( ∫ a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 p ≤ ( ∫ a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ a b | g ( x ) | p d x ) 1 p {\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}} 这正是我们所要的结论。 对于序列的情形，证明是完全类似的。 马勒不等式 邢家省; 王树泽. Young不等式在L~p空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007, (03): 19–22 [2022-03-04]. ISSN 1672-6634. （原始内容存档于2022-03-04）.  张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004, (01): 23–29 [2022-03-04]. ISSN 1004-3918. doi:10.13537/j.issn.1004-3918.2004.01.006. （原始内容存档于2022-03-04）.  匡继昌. 常用不等式. 山东科技出版社. 2004年. ISBN 7-5331-3618-7.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) （英）哈代（G.H.Hardy），（英）利特尔伍德（J.E.Littlewood），（美）波利亚（G.Polya）著；越民义 译. 《不等式》. 人民邮电出版社. 2008: 第二章 第十七节. ISBN 978-7-115-18802-1.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)