餘因子矩陣

在線性代數中，餘因子是一種關於方陣之逆及其行列式的建構，餘因子矩陣的項是帶適當符號的子行列式。 對一個 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} ，在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的子行列式（余子式） M i j {\displaystyle M_{ij}} 定義為刪掉 A {\displaystyle A} 的第 i 橫行與第 j 縱列後得到的行列式。令 C i j := ( − 1 ) i + j M i j {\displaystyle C_{ij}:=(-1)^{i+j}M_{ij}} ，稱為 A {\displaystyle A} 在 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 的餘因子（代数余子式）。矩陣 c o f ( A ) := ( C i j ) i , j {\displaystyle \mathrm {cof} (A):=(C_{ij})_{i,j}} 稱作 A {\displaystyle A} 的餘因子矩陣（余子矩阵）。餘因子矩陣的轉置稱為伴隨矩陣，記為 a d j ( A ) {\displaystyle \mathrm {adj} (A)} 。 考慮三階方陣 B = [ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}} 今將計算餘因子 C 23 {\displaystyle C_{23}} 。子行列式 M 23 {\displaystyle M_{23}} 是下述矩陣（在 B {\displaystyle B} 中去掉第 2 橫行與第 3 縱列）之行列式： M 23 = | b 11 b 12 ◻ ◻ ◻ ◻ b 31 b 32 ◻ | = | b 11 b 12 b 31 b 32 | = b 11 b 32 − b 31 b 12 {\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}} 根據定義得到   C 23 = ( − 1 ) 2 + 3 ( M 23 ) {\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}   C 23 = ( − 1 ) 5 ( b 11 b 32 − b 31 b 12 ) {\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}   C 23 = b 31 b 12 − b 11 b 32 . {\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.} 對一 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣： A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}} 其行列式 det A {\displaystyle \det A} 可以用餘因子表示：   det ( A ) = a 1 j C 1 j + a 2 j C 2 j + a 3 j C 3 j + . . . + a n j C n j {\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}} （對第 j 縱行的餘因子分解）   det ( A ) = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + a i 3 C i 3 + . . . + a i n C i n {\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}} （對第 i 橫列的餘因子分解） 「古典伴隨矩陣」(classical adjoint matrix) 是餘因子矩陣的「轉置矩陣」，它與逆矩陣的計算有極大的關係。 A − 1 = a d j ( A ) det ( A ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det(A)}}} 將餘因子矩陣 [ C 11 C 12 ⋯ C 1 n C 21 C 22 ⋯ C 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C n 1 C n 2 ⋯ C n n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}} 轉置之後，會得到「古典伴隨矩陣」： a d j ( A ) = [ C 11 C 21 ⋯ C n 1 C 12 C 22 ⋯ C n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ C 1 n C 2 n ⋯ C n n ] {\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}} 克萊姆法則可以用餘因子寫成下述簡鍊的形式： c o f ( A ) t A = A c o f ( A ) t = det ( A ) I n {\displaystyle \mathrm {cof} (A)^{t}A=A\mathrm {cof} (A)^{t}=\det(A)I_{n}} 當 det A ≠ 0 {\displaystyle \det A\neq 0} 時， A {\displaystyle A} 的逆矩陣由下式給出： A − 1 = c o f ( A ) t det A {\displaystyle A^{-1}={\dfrac {\mathrm {cof} (A)^{t}}{\det A}}} 此即線性方程組理論中的克萊姆法則。 Anton, Howard and Chris, Rorres, Elementary Linear Algebra, 9th edition (2005), John Wiley and Sons. ISBN 0-471-66959-8 MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare PlanetMath