標準差

標準差，又稱標準偏差、均方差 （英語：standard deviation，縮寫SD，符號σ），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質： 為非負數值（因為平方後再做平方根）； 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。 一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。 標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。 簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。 例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。 表述“相差 k {\displaystyle k} 个标准差”，即在 X ¯ ± k S {\displaystyle {\overline {X}}\pm kS} 的样本（sample）范围内考量。 標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。 標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。 σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}} μ {\displaystyle \mu } 为平均值。 上述公式可以如下代換而簡化： ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 = ∑ i = 1 N ( X i 2 − 2 X i μ + μ 2 ) = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − ( 2 μ ∑ i = 1 N X i ) + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 2 μ ( N μ ) + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 2 N μ 2 + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − N μ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}} 所以： σ = 1 N ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 1 N N μ 2 = ∑ i = 1 N X i 2 N − μ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}\end{aligned}}} 根號裡面，亦即變異數（ σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} ）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。 一隨機變量 X {\displaystyle X} 的標準差定義為： σ = E ⁡ ( ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 ) = E ⁡ ( X 2 ) − ( E ⁡ ( X ) ) 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}} 須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量 X {\displaystyle X} 為 x 1 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}} 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。 若 X {\displaystyle X} 是由實數 x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} 構成的離散隨機變數（英語：discrete random variable），且每個值的機率相等，則 X {\displaystyle X} 的標準差定義為： σ = 1 N [ ( x 1 − μ ) 2 + ( x 2 − μ ) 2 + ⋯ + ( x N − μ ) 2 ] {\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}} 　，其中　 μ = 1 N ( x 1 + ⋯ + x N ) {\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})} 換成用 ∑ {\displaystyle \sum } 來寫，就成為： σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}} 　，其中　 μ = 1 N ( x 1 + ⋯ + x N ) {\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})} 目前為止，與母體標準差的基本公式一致。 然而若每個 x i {\displaystyle x_{i}} 可以有不同機率 p i {\displaystyle p_{i}} ，則 X {\displaystyle X} 的标准差定義為： σ = ∑ i = 1 N p i ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}} 　，其中　 μ = ∑ i = 1 N p i x i . {\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.} 这里， μ {\displaystyle \mu } 为 X {\displaystyle X} 的数学期望。 若 X {\displaystyle X} 為概率密度 p ( X ) {\displaystyle p(X)} 的连续随机变量（英語：continuous random variable），則 X {\displaystyle X} 的标准差定義為： σ = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx}}} 其中 μ {\displaystyle \mu } 为 X {\displaystyle X} 的数学期望： μ = ∫ x f ( x ) d x {\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx} 对于常数 c {\displaystyle c} 和随机变量 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ： σ ( X + c ) = σ ( X ) {\displaystyle \sigma (X+c)=\sigma (X)} σ ( c X ) = c ⋅ σ ( X ) {\displaystyle \sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)} σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) + 2 ⋅ cov ( X , Y ) {\displaystyle \sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}} 其中： cov ( X , Y ) {\displaystyle {\mbox{cov}}(X,Y)} 表示随机变量 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的协方差。 σ 2 ( X ) {\displaystyle \sigma ^{2}(X)} 表示 [ σ ( X ) ] 2 {\displaystyle [\sigma (X)]^{2}} ，即 V a r ( X ) {\displaystyle Var(X)} （ X {\displaystyle X} 的變異數），對 Y {\displaystyle Y} 亦同。 在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。 從一大組數值 X 1 , ⋯ , X N {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}} 當中取出一樣本數值組合 x 1 , ⋯ , x n : n < N {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}:n<N} ，常定義其樣本標準差： s = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}} 样本方差 s 2 {\displaystyle s^{2}} 是对总体方差 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 的无偏估计。之所以 s {\displaystyle s} 中的分母要用 n − 1 {\displaystyle n-1} 而不是像总体样本差那样用 n {\displaystyle n} ，是因为 ( x i − x ¯ ) {\displaystyle \left(x_{i}-{\bar {x}}\right)} 的自由度为 n − 1 {\displaystyle n-1} ，这是由于存在约束条件 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0} 。 這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }： 第一步，計算平均值 x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} ︰ x ¯ = 1 N ∑ i = 1 N x i {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}} 當 N = 4 {\displaystyle {\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}} （因為集合裏有4個數），分別設為： x 1 = 5 , x 2 = 6 , x 3 = 8 , x 4 = 9 , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=5,\\x_{2}&=6,\\x_{3}&=8,\\x_{4}&=9,\end{aligned}}} 則平均值為 x ¯ = 1 4 ∑ i = 1 4 x i ( N = 4 ) = 1 4 ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) = 1 4 ( 5 + 6 + 8 + 9 ) = 7. {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}&={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}&(N=4)\\&={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)\\&={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)\\&=7.\end{aligned}}} 第二步，計算標準差 σ {\displaystyle \sigma \,} ︰ σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 = 1 4 ∑ i = 1 4 ( x i − x ¯ ) 2 ( N = 4 ) = 1 4 ∑ i = 1 4 ( x i − 7 ) 2 ( x ¯ = 7 ) = 1 4 [ ( x 1 − 7 ) 2 + ( x 2 − 7 ) 2 + ( x 3 − 7 ) 2 + ( x 4 − 7 ) 2 ] = 1 4 [ ( 5 − 7 ) 2 + ( 6 − 7 ) 2 + ( 8 − 7 ) 2 + ( 9 − 7 ) 2 ] = 1 4 ( ( − 2 ) 2 + ( − 1 ) 2 + 1 2 + 2 2 ) = 1 4 ( 4 + 1 + 1 + 4 ) = 10 4 ≈ 1.58114 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}&(N=4)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}&({\overline {x}}=7)\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}\\&={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}\\&={\sqrt {\frac {10}{4}}}\\&\approx 1.58114\,.\end{aligned}}} 在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。 f ( x ; μ , σ 2 ) = 1 σ 2 π e − 1 2 ( x − μ σ ) 2 {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}} Proportion = erf ⁡ ( z 2 ) {\displaystyle {\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)} Proportion ≤ x = 1 2 [ 1 + erf ⁡ ( x − μ σ 2 ) ] = 1 2 [ 1 + erf ⁡ ( z 2 ) ] {\displaystyle {\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]} . 一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設 X 1 , ⋯ , X N {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{N}} 為實數，定義函数： σ ( μ ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 {\displaystyle \sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}} 使用微積分或者通过配方法，不難算出 σ ( μ ) {\displaystyle \sigma (\mu )} 在下面情況下具有唯一最小值： μ = x ¯ {\displaystyle \mu ={\overline {x}}} 从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从 n {\displaystyle n} 维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值， X 1 , X 2 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} 。它们可以在3维空间中确定一个点 P = ( X 1 , X 2 , X 3 ) {\displaystyle P=(X_{1},X_{2},X_{3})} 。想像一条通过原点的直线 L = ( r , r , r ) : r ∈ R {\displaystyle L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }} 。如果这组数据中的3个值都相等，则点 P {\displaystyle P} 就是直线 L {\displaystyle L} 上的一个点， P {\displaystyle P} 到 L {\displaystyle L} 的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点 P {\displaystyle P} 作垂线 P R {\displaystyle PR} 垂直于 L {\displaystyle L} ， P R {\displaystyle PR} 交 L {\displaystyle L} 于点 R {\displaystyle R} ，则 R {\displaystyle R} 的坐标为这3个值的平均数： R = ( x ¯ , x ¯ , x ¯ ) {\displaystyle R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})} 运用一些代数知识，不难发现点 P {\displaystyle P} 与点 R {\displaystyle R} 之间的距离（也就是点 P {\displaystyle P} 到直线 L {\displaystyle L} 的距离）是 σ 3 {\displaystyle \sigma {\sqrt {3}}} 。在 n {\displaystyle n} 维空间中，这个规律同样适用，把 3 {\displaystyle 3} 换成 n {\displaystyle n} 就可以了。 Eric W. Weisstein. Distribution Function. MathWorld—A Wolfram Web Resource. [2014-09-30]. （原始内容存档于2021-04-02）.  Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）