非完整系統

在古典力學裏，假如，一個系統有任何約束是非完整約束，則稱此系統為非完整系統。非完整約束不是完整約束。完整約束可以用方程式表示為 f ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   … ,   x N ,   t ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{N},\ t)=0} ； 這裏， f {\displaystyle f} 是每一個粒子 P i {\displaystyle P_{i}} 之位置 x i {\displaystyle x_{i}} 和時間 t {\displaystyle t} 的函數。非完整約束不能夠用上述方程式表示。 完整約束方程式與位置、時間有關，與速度無關。完整約束方程式可以很簡易地除去指定的變數。假設變數 x d {\displaystyle x_{d}} 是完整約束函數 f k {\displaystyle f_{k}} 裏的一個參數，現在指定除去 x d {\displaystyle x_{d}} 。重新編排上述約束方程式，求出表示 x d {\displaystyle x_{d}} 的函數 g k {\displaystyle g_{k}} ： x d = g k ( x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   … ,   x d − 1 ,   x d + 1 ,   … ,   x N ,   t ) {\displaystyle x_{d}=g_{k}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t)} 。 將函數 g k {\displaystyle g_{k}} 代入所有提到 x d {\displaystyle x_{d}} 的方程式。這樣，可以除去所有指定變數 x d {\displaystyle x_{d}} 。 假設一個物理系統原本的自由度是 N {\displaystyle N} 。現在，將 h {\displaystyle h} 個完整約束作用於此系統。那麼，這系統的自由度減少為 m = N − h {\displaystyle m=N-h} 。可以用 m {\displaystyle m} 個獨立廣義座標 ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q m ) {\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})} 來完全描述這系統的運動。座標的轉換方程式可以表示如下： x i = x i ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q m ,   t )   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … N {\displaystyle x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots N} 。 換句話說，由於非完整約束無法依照上述方法，來除去其所含廣義座標，完全描述非完整系統，所需要的廣義座標數目，大於自由度。 約束有時可以用微分形式的約束方程式來表示。思考第 i {\displaystyle i} 個約束的微分形式的約束方程式： ∑ j   c i j d q j + c i d t = 0 {\displaystyle \sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0} ； 這裏， c i j {\displaystyle c_{ij}} ， c i {\displaystyle c_{i}} 分別為微分 d q j {\displaystyle dq_{j}} 與 d t {\displaystyle dt} 的係數。 假若此約束方程式是可積分的。也就是說，有一個函數 f i ( q 1 ,   q 2 ,   q 3 ,   … ,   q N ,   t ) = 0 {\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N},\ t)=0} 的全微分滿足下述等式： d f i = ∑ j   c i j d q j + c i d t = 0 {\displaystyle df_{i}=\sum _{j}\ c_{ij}dq_{j}+c_{i}dt=0} ； 那麼，此約束是完整約束；否則，此約束是非完整約束。因此，所有的完整約束與某些非完整約束可以用微分形式的方程式來表示。不是所有的非完整約束都可以這樣表示。含有廣義速度的非完整約束就不能這樣表示。所以，假若知道一個約束的微分形式的約束方程式，這約束到底是完整約束，還是非完整約束，需要看微分形式的約束方程式能否積分來決定。 表示非完整約束的方程式往往比較複雜。因此，非完整系統也比較難分析，只有簡易一點的非完整系統能用形式論來分析。假如，一個非完整系統的約束可以用以下方程式表示： f i ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ,   q ˙ 1 ,   q ˙ 2 ,   … ,   q ˙ N ) = 0   , i = 1 ,   2 ,   3 ,   … n {\displaystyle f_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})=0\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ 3,\ \dots n} ； 則稱此系統為半完整系統；這裏， q ˙ j {\displaystyle {\dot {q}}_{j}} 是廣義速度。 半完整系統可以用拉格朗日形式論來分析。更具體地說，分析半完整系統必須用到拉格朗日乘子 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} ∑ i = 1 n   λ i f i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}=0} ； 這裏， λ i = λ i ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ,   q ˙ 1 ,   q ˙ 2 ,   … ,   q ˙ N ,   t ) {\displaystyle \lambda _{i}=\lambda _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)} 是未知函數。 假設哈密頓原理成立，則下述方程式成立： δ ∫ t 1 t 2   L   d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ L\ dt=0} ； 這裏， L {\displaystyle L} 是拉格朗日量， t 1 {\displaystyle t_{1}} 與 t 2 {\displaystyle t_{2}} 分別為積分的時間下限與上限。經過變分法運算，可以得到方程式 ∫ t 1 t 2   ∑ j   ( ∂ L ∂ q j − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ j ) ) δ q j   d t = 0 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right)\delta q_{j}\ dt=0} 。 由於這 N {\displaystyle N} 個廣義座標中，仍舊有 n {\displaystyle n} 個不獨立廣義座標，不能將拉格朗日方程式提取出來；必須加入拉格朗日乘子項目： δ ∫ t 1 t 2   ( L + ∑ i = 1 n   λ i f i )   d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \left(L+\sum _{i=1}^{n}\ \lambda _{i}f_{i}\right)\ dt=0} 。 經過變分法運算，可以得到方程式 ∫ t 1 t 2   ∑ j   ( ∂ L ∂ q j − d d t ( ∂ L ∂ q ˙ j ) + F j ) δ q j   d t = 0 {\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\ \sum _{j}\ \left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)+{\mathcal {F}}_{j}\right)\delta q_{j}\ dt=0}  ; 這裏， F j {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}} 是廣義力的 j {\displaystyle j} 分量： F j = ∑ i   [ ∂ ( λ i f i ) ∂ q j − d d t ( ∂ ( λ i f i ) ∂ q ˙ j ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}_{j}=\sum _{i}\ \left[{\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial (\lambda _{i}f_{i})}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\right]} 。 雖然還有 n {\displaystyle n} 個不獨立廣義座標，仍舊可以調整 n {\displaystyle n} 加入的拉格朗日乘子，使總和公式內的每一個虛位移 δ q j {\displaystyle \delta q_{j}} 的係數都等於0。因此， d d t ( ∂ L ∂ q ˙ j ) − ∂ L ∂ q j = F j {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}={\mathcal {F}}_{j}} 。 這 N {\displaystyle N} 個方程式加上 n {\displaystyle n} 個約束方程式，給予了 N + n {\displaystyle N+n} 個方程式來解 N {\displaystyle N} 個未知廣義座標與 n {\displaystyle n} 個拉格朗日乘子。 非完整系統至少存在於以下三個狀況： 物體在做滾動運動。 系統的約束包括不等式。 系統的約束與速度有關（例如普法夫約束）。 拉格朗日力學 哈密頓力學 完整系統 定常系統 單演系統 保守系統 平行停車問題 落貓問題 自行車及摩托車的動力學 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 46–47. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Jack Sarfatti. Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics (PDF). Pedagogical Review from the Classics of Physics. 2000-03-26. （原始内容 (PDF)存档于2007-10-20） （英语）.