模的支撑

在 交换代数 中， 一个交换环上的 模  M {\displaystyle M} 的支撑是一个集合，它包含所有 A {\displaystyle A} 上的理想 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} ，使得 M p ≠ 0 {\displaystyle M_{\mathfrak {p}}\neq 0} .  通常可以记为 Supp ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)} . 由定义，支撑是 A {\displaystyle A} 的谱的子集。 M = 0 {\displaystyle M=0} 当且仅当它的支撑是空集。 令 0 → M ′ → M → M ″ → 0 {\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0} 是一个 A {\displaystyle A} 模正合序列. 那么 Supp ⁡ ( M ) = Supp ⁡ ( M ′ ) ∪ Supp ⁡ ( M ″ ) . {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').} 注意这里的并集不一定是不相交的. 如果 M {\displaystyle M} 是子模  M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 的和, 那么 Supp ⁡ ( M ) = ⋃ λ Supp ⁡ ( M λ ) . {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)=\bigcup _{\lambda }\operatorname {Supp} (M_{\lambda }).} 如果 M {\displaystyle M} 是一个有限生成 A {\displaystyle A} 模，那么 Supp ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {Supp} (M)} 是的所有的包含 M {\displaystyle M} 的消灭元所构成的素理想的集合. 特别的, 它在 Spec ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A)} 的 Zariski拓扑结构 中是闭的. 如果 M , N {\displaystyle M,N} 都是有限生成 A {\displaystyle A} -模，那么 Supp ⁡ ( M ⊗ A N ) = Supp ⁡ ( M ) ∩ Supp ⁡ ( N ) . {\displaystyle \operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).} 如果 M {\displaystyle M} 是一个有限生成模并且 I {\displaystyle I} 是 A {\displaystyle A}  的理想，那么  Supp ⁡ ( M / I M ) {\displaystyle \operatorname {Supp} (M/IM)} 是包含  I + Ann ⁡ ( M ) . {\displaystyle I+\operatorname {Ann} (M).} 素理想的集合. 这也就是 V ( I ) ∩ Supp ⁡ ( M ) {\displaystyle V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)} . 如果 F {\displaystyle F} 是概形 X上的一个 准凝聚层, 层 F {\displaystyle F} 的支撑是点集 x∈X 使得 stalk F {\displaystyle F} x 非零. 这个定义与空间 X上的 函数的支撑是一致的, 这就是我们使用"支撑"这个词的动机. 模上层的支撑的大部分性质都可以一字一句地推广到准凝聚层上来. 例如, 凝聚层 (更一般地, 一个有限型的层) 是空间 X的闭集. 如果 M {\displaystyle M} 是一个 A {\displaystyle A} -模, 那么 M {\displaystyle M} 作为模的支撑等价于 M {\displaystyle M} 诱导的仿射概形 Spec ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (A)} 上的准凝聚层 M ~ {\displaystyle {\tilde {M}}} 的支撑. 另外, 如果 { U α = Spec ⁡ ( A α ) } {\displaystyle \{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}} 是概形 X {\displaystyle X} 的一个仿射覆盖, 那么 F {\displaystyle F} 作为层的支撑等价于每个 A α {\displaystyle A_{\alpha }} -模 M α {\displaystyle M_{\alpha }} 作为模的支撑的并集. 由正合序列 0 → O X ( − D ) → O X → O D → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0} 对于一个在光滑射影簇 X {\displaystyle X} 中的除子 D, 如果我们令开集 U = X − D {\displaystyle U=X-D} 则有 O X ( − D ) ( U ) ≅ O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-D)(U)\cong {\mathcal {O}}_{X}(U)} , 这可以由线丛的定义得到, 并且注意到这里 U ∩ D = ∅ {\displaystyle U\cap D=\varnothing } . 由前面已知, 一个素理想 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 在模 M {\displaystyle M} 的支撑里, 当且仅当它包含 M {\displaystyle M} 的消灭元. 来看一个例子 C [ x , y , z , w ] ( x 4 + y 4 + z 4 + w 4 ) ∈ Mod ( C [ x , y , z , w ] ) {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})}}\in {\text{Mod}}(\mathbb {C} [x,y,z,w])} 作为模的消灭元是理想 ( x 4 + y 4 + z 4 + w 4 ) {\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})} . 这意味着 Supp ( M ) ≅ Spec ⁡ ( C [ x , y , z , w ] / ( x 4 + y 4 + z 4 + w 4 ) ) {\displaystyle {\text{Supp}}(M)\cong \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y,z,w]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}))} 也就是说它的支撑是多项式 x 4 + y 4 + z 4 + w 4 {\displaystyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}} 的零点. 现在来看短正合序列 0 → I → R → R / I → 0 {\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0} 我们可以认为理想 ( x 4 + y 4 + z 4 + w 4 ) {\displaystyle (x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})} 的支撑等价于 Spec ( C [ x , y , z , w ] ( x 4 + y 4 + z 4 + w 4 ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y,z,w]_{(x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4})})} 也就是多项式零点的补集. 在specialization[來源請求]意义下, 模的支撑总是闭的. 现在, 如果我们在一个整环里取两个多项式 f 1 , f 2 ∈ R {\displaystyle f_{1},f_{2}\in R} , 使得理想 ( f 1 , f 2 ) {\displaystyle (f_{1},f_{2})} 是完全交, 那么张量积的性质告诉我们 Supp ( R ( f 1 ) ⊗ R R ( f 2 ) ) = Supp ( R ( f 1 ) ) ∩ Supp ( R ( f 2 ) ) ≅ Spec ( R / ( f 1 , f 2 ) ) {\displaystyle {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\otimes _{R}{\frac {R}{(f_{2})}}\right)={\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{1})}}\right)\cap {\text{Supp}}\left({\frac {R}{(f_{2})}}\right)\cong {\text{Spec}}(R/(f_{1},f_{2}))} Associated prime Support (mathematics) EGA 0I, 1.7.1. The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01B4. 2017 [2018-12-20]. （原始内容存档于2020-11-30）.  The Stacks Project authors. Stacks Project, Tag 01AS. 2017 [2018-12-22]. （原始内容存档于2020-04-07）.  Eisenbud, David. Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry. corollary 2.7. : 67.