正則變換生成函數

在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 ( q ,   p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )} ， ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式 p ⋅ q ˙ − H = P ⋅ Q ˙ − K + d G d t {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}} ；(1) 其中， q = ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})} 是舊廣義坐標， p = ( p 1 ,   p 2 ,   … ,   p N ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})} 是舊廣義動量， Q = ( Q 1 ,   Q 2 ,   … ,   Q N ) {\displaystyle \mathbf {Q} =(Q_{1},\ Q_{2},\ \dots ,\ Q_{N})} 是新廣義坐標， P = ( P 1 ,   P 2 ,   … ,   P N ) {\displaystyle \mathbf {P} =(P_{1},\ P_{2},\ \dots ,\ P_{N})} 是新廣義動量， H ( q ,   p ,   t ) ,   K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量， G ( − ,   − ,   t ) {\displaystyle G(-,\ -,\ t)} 是生成函數， t {\displaystyle t} 是時間。 生成函數 G {\displaystyle G} 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} 保證是正則變換。 第一型生成函數 G 1 {\displaystyle G_{1}} 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關， G = G 1 ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle G=G_{1}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數， p ⋅ q ˙ − H ( q ,   p ,   t ) = P ⋅ Q ˙ − K ( Q ,   P , t ) + ∂ G 1 ∂ t + ∂ G 1 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 1 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}} 。 新廣義坐標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 和舊廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 都是自變量，其對於時間的全導數 Q ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}} 和 q ˙ {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}} 互相無關，所以，以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 個方程式都必須成立： p =     ∂ G 1 ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}} ，(2) P = − ∂ G 1 ∂ Q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}} ，(3) K = H + ∂ G 1 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}} 。(4) 這 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 個方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ，步驟如下： 第一組的 N {\displaystyle N} 個方程式 (2) ，設定了 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 p = p ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 在理想情況下，這些方程式可以逆算出 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 Q = Q ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。(5) 第二組的 N {\displaystyle N} 個方程式 (3) ，設定了 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 P = P ( q ,   Q ,   t ) {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 代入函數方程式 (5) ，可以算出 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的 N {\displaystyle N} 個函數方程式 P = P ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。(6) 從 2 N {\displaystyle 2N} 個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 2 N {\displaystyle 2N} 個函數方程式 q = q ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} ， p = p ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 代入新哈密頓量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 的方程式 (4) ，可以得到 K = K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 第二型生成函數 G 2 {\displaystyle G_{2}} 只跟舊廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 、新廣義動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 有關 ： G ≡ − Q ⋅ P + G 2 ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle G\equiv -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{2}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} ； 代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數： p ⋅ q ˙ − H ( q , p , t ) = − Q ⋅ P ˙ − K ( Q , P , t ) + ∂ G 2 ∂ t + ∂ G 2 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 2 ∂ P ⋅ P ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-{\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}} 。 由於舊廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 與新廣義動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 必須彼此無關，以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式必須成立： p = ∂ G 2 ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}} ，(7)　 Q = ∂ G 2 ∂ P {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}} ，(8) K = H + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}} 。(9) 這 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 個方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} 。步驟如下： 第一組的 N {\displaystyle N} 個方程式 (7) ，設定了 p {\displaystyle \mathbf {p} } 的函數方程式 p = p ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 在理想情況下，這些方程式可以逆算出 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的函數方程式 P = P ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。(10) 第二組的 N {\displaystyle N} 個方程式 (8) ，設定了的函數方程式 Q = Q ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 代入函數方程式 (10) ，可以算出 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 函數方程式 Q = Q ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。(11) 由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式 q = q ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} ， p = p ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {p} (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到 K = K ( Q ,   P ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)} 。 第三型生成函數只跟舊廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新廣義坐標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 有關： G ≡ q ⋅ p + G 3 ( p ,   Q ,   t ) {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +G_{3}(\mathbf {p} ,\ \mathbf {Q} ,\ t)} 。 以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ： q = − ∂ G 3 ∂ p {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}} ， P = − ∂ G 3 ∂ Q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}} ， K = H + ∂ G 3 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}} 。 第四型生成函數 G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} 只跟舊廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 、新廣義動量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 有關： G ≡ q ⋅ p − Q ⋅ P + G 4 ( p , P , t ) {\displaystyle G\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} 。 以下 2 N + 1 {\displaystyle 2N+1} 方程式設定了變換 ( q ,   p ) → ( Q ,   P ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )} ： q = − ∂ G 4 ∂ p {\displaystyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}} ， Q =     ∂ G 4 ∂ P {\displaystyle \mathbf {Q} =~~{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}} ， K = H + ∂ G 4 ∂ t {\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {H}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}} 。 第一型生成函數有一個特別簡易案例： G 1 ≡ q ⋅ Q {\displaystyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} } 。 方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為 p =     ∂ G 1 ∂ q = Q {\displaystyle \mathbf {p} =~~{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} } ， P = − ∂ G 1 ∂ Q = − q {\displaystyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} } ， K ( Q ,   P ,   t ) = H ( q ,   p ,   t ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)} 。 再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓 G 2 ≡ g ( q ;   t ) ⋅ P {\displaystyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)\cdot \mathbf {P} } ； 這裏， g {\displaystyle \mathbf {g} } 是一組 N {\displaystyle N} 個函數。 答案是一個廣義坐標的點變換， Q = ∂ G 2 ∂ P = g ( q ;   t ) {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;\ t)} 。 有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量， H = a P 2 + b Q 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=aP^{2}+bQ^{2}} 。 例如，假若哈密頓量為 H = 1 2 q 2 + p 2 q 4 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2q^{2}}}+{\frac {p^{2}q^{4}}{2}}} ；(12) 這裏， p {\displaystyle p} 是廣義動量， q {\displaystyle q} 是廣義坐標。 一個優良的正則變換選擇是 P = p q 2 {\displaystyle P=pq^{2}} ，(13) Q = − 1 q {\displaystyle Q=-{\frac {1}{q}}} 。(14) 代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同： H = Q 2 2 + P 2 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {Q^{2}}{2}}+{\frac {P^{2}}{2}}} 這變換用的是第三型生成函數 G 3 ( p ,   Q ) {\displaystyle G_{3}(p,\ Q)} ；其對於 Q {\displaystyle Q} 的導數是 ∂ G 3 ∂ Q = − P {\displaystyle {\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-P} 。 代入方程式 (13) 、(14) ， ∂ G 3 ∂ Q = − p Q 2 {\displaystyle {\frac {\partial G_{3}}{\partial Q}}=-{\frac {p}{Q^{2}}}} 。 對於 Q {\displaystyle Q} 積分，可以得到生成函數 G 3 {\displaystyle G_{3}} ： G 3 ( p ,   Q ) = p Q {\displaystyle G_{3}(p,\ Q)={\frac {p}{Q}}} 。 最後，檢查答案是否正確： q = − ∂ G 3 ∂ p = − 1 Q {\displaystyle q=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p}}={\frac {-1}{Q}}} 。 哈密頓-亞可比方程式 帕松括號 正則變換列表 Goldstein, Herbert. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 978-0-201-65702-9.