Ext函子

在同調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但其應用遍佈許多領域。 設 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 為有充足內射元的阿貝爾範疇，例如一個環 R {\displaystyle R} 上的左模範疇 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } 。固定一對象 A {\displaystyle A} ，定義函子 T A ( − ) := H o m C ( A , − ) {\displaystyle T_{A}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)} ，此為左正合函子，故存在右導函子 R ∙ T A ( − ) {\displaystyle R^{\bullet }T_{A}(-)} ，記為 E x t C ∙ ( A , − ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,-)} 。當 C = R − M o d {\displaystyle {\mathcal {C}}=R-\mathbf {Mod} } 時，常記之為 E x t R ∙ ( A , − ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,-)} 。 根據定義，取 B {\displaystyle B} 的內射分解 J ( B ) ⟵ B ⟵ 0 {\displaystyle J(B)\longleftarrow B\longleftarrow 0} 並取 H o m C ( A , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,-)} ，得到 H o m C ( A , J ( B ) ) ⟵ H o m C ( A , B ) ⟵ 0 {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,J(B))\longleftarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longleftarrow 0} 去掉首項 H o m C ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)} ，最後取上同調群，便得到 E x t C ∙ ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)} 。 另一方面，若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中也有充足射影元（例如 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } ），則可考慮右正合函子 G B ( − ) := H o m C ( − , B ) {\displaystyle G_{B}(-):=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)} 及其左導函子 L ∙ G B ( − ) {\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(-)} ，可證明存在自然同構 L ∙ G B ( A ) = E x t C ∙ ( A , B ) {\displaystyle L_{\bullet }G_{B}(A)=\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)} 。換言之，對 A {\displaystyle A} 取射影分解： P ( A ) ⟶ A ⟶ 0 {\displaystyle P(A)\longrightarrow A\longrightarrow 0} 並取 H o m C ( − , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,B)} ，得到 H o m C ( P ( A ) , B ) ⟶ H o m C ( A , B ) ⟶ 0 {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P(A),B)\longrightarrow \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)\longrightarrow 0} 去掉尾項 H o m C ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)} ，其同調群同構於 E x t C ∙ ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B)} 。 若 A {\displaystyle A} 是射影對象或 B {\displaystyle B} 是內射對象，則對所有 i > 0 {\displaystyle i>0} 有 E x t C i ( A , B ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{i}(A,B)=0} 。 反之，若 E x t C 1 ( A , − ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,-)=0} ，則 A {\displaystyle A} 是射影對象。若 E x t C 1 ( − , B ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(-,B)=0} ，則 B {\displaystyle B} 是內射對象。 E x t C ∙ ( ⨁ i A i , B ) = ∐ i E x t C ∙ ( A i , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(\bigoplus _{i}A_{i},B)=\coprod _{i}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A_{i},B)} E x t C ∙ ( A , ∏ j B j ) = ∏ j E x t C ∙ ( A , B j ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,\prod _{j}B_{j})=\prod _{j}\mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }(A,B_{j})} 根據導函子性質，對每個短正合序列 0 → B ′ → B → B ″ → 0 {\displaystyle 0\to B'\to B\to B''\to 0} ，有長正合序列： ⋯ → E x t C n − 1 ( A , B ″ ) → E x t C n ( A , B ′ ) → E x t C n ( A , B ) → E x t C n ( A , B ″ ) → E x t C n + 1 ( A , B ″ ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B'')\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A,B'')\to \cdots } 承上，若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 有充足的射影元，則對第一個變數也有長正合序列；換言之，對每個短正合序列 0 → A ′ → A → A ″ → 0 {\displaystyle 0\to A'\to A\to A''\to 0} ，有長正合序列 ⋯ → E x t C n − 1 ( A ′ , B ) → E x t C n ( A ″ , B ) → E x t C n ( A , B ) → E x t C n ( A ′ , B ) → E x t C n + 1 ( A ″ , B ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n-1}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A'',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A',B)\to \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n+1}(A'',B)\to \cdots } 今設 A , B {\displaystyle A,B} 為含單位元的環，並固定一環同態 A → B {\displaystyle A\to B} 。則由雙函子的自然同構 H o m B ( − , H o m A ( B , − ) ) ≃ H o m A ( − , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{B}(-,\mathrm {Hom} _{A}(B,-))\simeq \mathrm {Hom} _{A}(-,-)} 導出格羅滕迪克譜序列：對每個 B {\displaystyle B} -模 M {\displaystyle M} 及 A {\displaystyle A} -模 N {\displaystyle N} ，有譜序列 E 2 p q = E x t B p ( M , E x t A q ( B , N ) ) ⇒ E x t A p + q ( M , N ) {\displaystyle E_{2}^{pq}=\mathrm {Ext} _{B}^{p}(M,\mathrm {Ext} _{A}^{q}(B,N))\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{p+q}(M,N)} 這個關係稱為換底。 Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說，給定兩個對象 A , B ∈ C {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}} ，在擴張 0 → B → C → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0} 的等價類與 E x t C 1 ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)} 之間有一一對應，下將詳述。 對任兩個擴張 0 → B → C → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A\rightarrow 0} 與 0 → B → C ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C'\rightarrow A\rightarrow 0} 可以構造其 Baer 和 為 0 → B → C × A C ′ / Δ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow C\times _{A}C'/\Delta \rightarrow A\rightarrow 0} ，其中 Δ := ( 1 , − 1 ) ( C ⊔ B C ′ ) {\displaystyle \Delta :=(1,-1)(C\sqcup _{B}C')} （反對角線）。這在等價類上構成一個群運算，可證明此群自然地同構於 E x t C 1 ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{1}(A,B)} 。 對更高階的擴張，同樣可定義等價類；對任兩個 n-擴張（n>1） 0 → B → X n → ⋯ → X 1 → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} 與 0 → B → X n ′ → ⋯ → X 1 ′ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow X'_{n}\rightarrow \cdots \rightarrow X'_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} 此時的 Baer 和定為 0 → B → Y n → X n − 1 ⊕ X n − 1 ′ → ⋯ → X 2 ⊕ X 2 ′ → X 1 ″ → A → 0 {\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow Y_{n}\rightarrow X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\rightarrow \cdots \rightarrow X_{2}\oplus X'_{2}\rightarrow X''_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} 其中 A := X 1 × A X 1 ′ / Δ 1 {\displaystyle A:=X_{1}\times _{A}X_{1}'/\Delta _{1}} （反對角線 Δ 1 {\displaystyle \Delta _{1}} 之定義同上）， Y n := X n ⊔ B X n ′ {\displaystyle Y_{n}:=X_{n}\sqcup _{B}X_{n}'} 。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算，此群自然同構於 E x t C n ( A , B ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{n}(A,B)} 。藉此，能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。 設 G {\displaystyle G} 為群，取環 R := Z G {\displaystyle R:=\mathbb {Z} G} ，可以得到群上同調： E x t Z G ∙ ( Z , M ) = H ∙ ( G , M ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} G}^{\bullet }(\mathbb {Z} ,M)=H^{\bullet }(G,M)} 。 設 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 為局部賦環空間 X {\displaystyle X} 上的 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -模範疇，可以得到層上同調： E x t C ∙ ( O X , F ) = H ∙ ( X , F ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{\mathcal {C}}^{\bullet }({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})=H^{\bullet }(X,{\mathcal {F}})} 。 設 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 為李代數，取環 R := U ( g ) {\displaystyle R:=U({\mathfrak {g}})} 為其泛包絡代數，可以得到李代數上同調： E x t R ∙ ( R , M ) = H ∙ ( g , M ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(R,M)=H^{\bullet }({\mathfrak {g}},M)} 。 設 k {\displaystyle k} 為域， A {\displaystyle A} 為 k {\displaystyle k} -代數，取環 R := A × A o p {\displaystyle R:=A\times A^{\mathrm {op} }} ， A {\displaystyle A} 帶有自然的 R {\displaystyle R} -模結構，此時得到 Hochschild 上同調： E x t R ∙ ( A , M ) = H H ∙ ( A , M ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{\bullet }(A,M)=HH^{\bullet }(A,M)} 。 Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1