勾股数

勾股数，又名商高數或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）「 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 」之中， ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。 如果 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即 ( n a , n b , n c ) {\displaystyle (na,nb,nc)} 也是勾股数。若果 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数或本原勾股數組。 以下的方法可用来找出素勾股数。设 m > n {\displaystyle m>n} 、 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 均是正整数， a = m 2 − n 2 {\displaystyle a=m^{2}-n^{2}} b = 2 m n {\displaystyle b=2mn} c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}} 若 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 是互质，而且 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 為一奇一偶，计算出来的 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 就是素勾股数。（若 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 都是奇数， ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 就会全是偶数，不符合互质。） 所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。 以下是小于 100 的素勾股数： 有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现： ( 20 , 21 , 29 ) {\displaystyle (20,21,29)} 与 ( 20 , 99 , 101 ) {\displaystyle (20,99,101)} 。 其中最先例子是5，它在以下兩組勾股數之中出現 ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} 及 ( 5 , 12 , 13 ) {\displaystyle (5,12,13)} 。 在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是： 1229779565176982820 {\displaystyle 1229779565176982820} 1230126649417435981 {\displaystyle 1230126649417435981} 1739416382736996181 {\displaystyle 1739416382736996181} 与 1229779565176982820 {\displaystyle 1229779565176982820} 378089444731722233953867379643788099 {\displaystyle 378089444731722233953867379643788099} 378089444731722233953867379643788101 {\displaystyle 378089444731722233953867379643788101} 试考虑它的质因数分解 1229779565176982820 = 2 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47 {\displaystyle 1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47} 它质因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。 對於本原勾股數組 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} ， a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ，我們有 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 兩兩互質 a , b {\displaystyle a,b} 其中一個是3的倍數 a , b {\displaystyle a,b} 其中一個是4的倍數 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 其中一個是5的倍數 對於第二、三、四條性質的證明： 利用完全平方數 ≡ 0 , 1 ( mod 3 ) {\displaystyle \equiv 0,1{\pmod {3}}} 若 a , b {\displaystyle a,b} 都不是3的倍數，則 a 2 + b 2 ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 2{\pmod {3}}} ，導致 c 2 ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle c^{2}\equiv 2{\pmod {3}}} 矛盾，所以 a , b {\displaystyle a,b} 一定有且只有一個數是3的倍數。 因為 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 是本原勾股數組，所以必有 a , b {\displaystyle a,b} 一奇一偶。不妨設 a {\displaystyle a} 為奇數， b {\displaystyle b} 為偶數，這時候對 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 兩邊同時 mod 8 {\displaystyle {\bmod {8}}} ，則會得到 b 2 ≡ 0 ( mod 8 ) {\displaystyle b^{2}\equiv 0{\pmod {8}}} ，故 4 ∣ b {\displaystyle 4\mid b} ，所以 a , b {\displaystyle a,b} 一定有且只有一個數是4的倍數。 利用完全平方數 ≡ 0 , 1 , 4 ( mod 5 ) {\displaystyle \equiv 0,1,4{\pmod {5}}} 若 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 都不是5的倍數，則 a 2 + b 2 ≡ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv 0} 或 2 {\displaystyle 2} 或 3 ( mod 5 ) {\displaystyle 3{\pmod {5}}} ，而 c 2 ≡ 1 {\displaystyle c^{2}\equiv 1} 或 4 ( mod 5 ) {\displaystyle 4{\pmod {5}}} ，矛盾，所以 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 一定有且只有一個數是5的倍數。 證畢。 若需要一組最小數為奇數的勾股數，可任意選取一個 3 或以上的奇數，將該數自乘為平方數，除以 2，答案加減 0.5 可得到兩個新的數字，這兩個數字連同一開始選取的奇數，三者必定形成一組勾股數。但卻不一定是以這個選取數字為起首勾股數的最小可能或唯一可能，例如 ( 27 , 364 , 365 ) {\displaystyle (27,364,365)} 並非是以 27 為起首的唯一勾股數，因為存在另一個勾股數是 ( 27 , 36 , 45 ) {\displaystyle (27,36,45)} ，同樣也以 27 為首。 對於任何大於1的整數 x {\displaystyle x} ， x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 、 x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} 與 2 x {\displaystyle 2x} ，三個數必為畢氏數，例如：代入 x {\displaystyle x} 為2，則 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} 為5， x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1} 為3， 2 x {\displaystyle 2x} 為4， ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} 為一組畢氏數。 费马最后定理指出，若 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} ，而 n {\displaystyle n} 是大于 2 的整数， ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 即没有正整数解。 勾股定理 費馬最後定理 特殊直角三角形#常見的勾股数 談費瑪最後定理第 2 頁 勾股定理 Javascript 计算器，用以计算 ( m 2 − n 2 , 2 m n , m 2 + n 2 {\displaystyle m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}} ) 公式，以及如何推论此公式。 120 三元數組 (doc) 宋蕙君; 陳柏揚; 謝明君. 〈哇!這是什麼 5，4，3 啊!〉 (PDF). 桃園縣立大竹國民中學. 中華民國第四十八屆中小學科學展覽會. 2008年. （原始内容 (PDF)存档于2022-10-12）.