磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。 科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（quadrupole）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。 一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積： μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} ； 其中， μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 為磁偶極矩， I {\displaystyle I\,\!} 為電流， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。 處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為： τ = μ × B {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!} 、 U = − μ ⋅ B {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} ； 其中， τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 為力矩， B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 為磁場， U {\displaystyle U\,\!} 為勢能。 許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為： μ s = − g s μ B S / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}=-g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!} ； 其中， μ s {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}\,\!} 為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子 g s {\displaystyle g_{s}\,\!} 是一項比例常數， μ B {\displaystyle \mu _{B}\,\!} 為波耳磁子， S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 為電子的自旋， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數。 採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法： 1 安培·公尺2 = 1 焦耳／特斯拉。 CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。 磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。 在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。 在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種： 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。 像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推導出來，得到的結果也已經通過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。 整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和： 電子的自旋。 電子環繞著質子的軌域運動。 質子的自旋。 再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。 對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 是 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} ； 其中， I {\displaystyle I\,\!} 是迴圈所載有的恆定電流， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是平面迴圈的面積向量。 面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。 這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。 對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流 I {\displaystyle I\,\!} ，則其磁偶極矩為 μ = I ∫ S d a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} \,\!} ； 其中， S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 是積分曲面， C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} 是 S {\displaystyle \mathbb {S} \,\!} 邊緣的閉合迴路， d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} \,\!} 是微小面積元素， d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 是微小線元素， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是 d ℓ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 的位置。 引用向量恆等式 ∫ S d a = 1 2 ∮ C r × d ℓ {\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathrm {d} \mathbf {a} ={\frac {1}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} ， 即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式 μ = I 2 ∮ C r × d ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {I}{2}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {r} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,\!} 。 對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為 μ = 1 2 ∫ V r × J   d V {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {r} \times \mathbf {J} \ \mathrm {d} V\,\!} ； 其中， V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 是積分體積， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是源電流位置， J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 是電流密度， d V {\displaystyle \mathrm {d} V\,\!} 是微小體積元素。 任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。 在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為 μ {\displaystyle \mu \,\!} ，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩： 欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。 載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。 思考一個載有恆定電流 I {\displaystyle I\,\!} 的任意局域迴路 C {\displaystyle \mathbb {C} \,\!} ，其磁矢勢 A {\displaystyle \mathbf {A} \,\!} 為 A ( r ) = μ 0 I 4 π ∮ C ′   d ℓ ′ | r − r ′ | {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\oint _{\mathbb {C} '}\ {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!} ； 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 是檢驗位置， r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!} 是源頭位置，是微小線元素 d ℓ ′ {\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!} 的位置， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是磁常數。 假設檢驗位置足夠遠， r > r ′ {\displaystyle r>r'\,\!} ，則表達式 1 | r − r ′ | {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\!} 可以泰勒展開為 1 | r − r ′ | = 1 r ∑ n = 0 ∞   ( r ′ r ) n P n ( cos ⁡ θ ′ ) {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{\infty }\ \left({\frac {r'}{r}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta ')\,\!} ； 其中， P n ( cos ⁡ θ ′ ) {\displaystyle P_{n}(\cos \theta ')\,\!} 是勒讓德多項式， θ ′ {\displaystyle \theta '\,\!} 是 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 與 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '\,\!} 之間的夾角。 所以，磁矢勢展開為 A ( r ) = μ 0 I 4 π ∑ n = 0 ∞   1 r n + 1 ∮ C ′   ( r ′ ) n P n ( cos ⁡ θ ′ ) d ℓ ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\ {\frac {1}{r^{n+1}}}\oint _{\mathbb {C} '}\ (r')^{n}P_{n}(\cos \theta ')\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'\,\!} 。 思考 n = 0 {\displaystyle n=0\,\!} 項目，也就是磁單極子項目： A 0 ( r ) = μ 0 I 4 π r ∮ C ′   d ℓ ′ = 0 {\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r}}\oint _{\mathbb {C} '}\ \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'=0\,\!} 。 由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。 再思考 n = 1 {\displaystyle n=1\,\!} 項目，也就是磁偶極子項目： A 1 ( r ) = μ 0 I 4 π r 2   ∮ C ′   r ′ cos ⁡ θ ′ d ℓ ′ = μ 0 I 4 π r 2   ( − r ^ × ∮ S ′ d a ′ ) {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ \oint _{\mathbb {C} '}\ r'\cos \theta '\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,'={\frac {\mu _{0}I}{4\pi r^{2}}}\ (-{\hat {\mathbf {r} }}\times \oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} ')\,\!} 。 注意到磁偶極矩為 μ = I ∮ S ′ d a ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\oint _{\mathbb {S} '}\mathrm {d} \mathbf {a} '\,\!} ，偶極磁矢勢可以寫為 A 1 ( r ) = μ 0 4 π   μ × r ^ r 2 {\displaystyle \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\ {\frac {{\boldsymbol {\mu }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}\,\!} 。 偶極磁場 B 1 {\displaystyle \mathbf {B} _{1}\,\!} 為 B 1 ( r ) = ∇ × A 1 ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} _{1}(\mathbf {r} )\,\!} 。 由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點 O {\displaystyle \mathbf {O} } ），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為 B 1 ( r ) = μ 0 4 π r 3 [ 3 ( μ ⋅ r ^ ) r ^ − μ ] + 2 μ 0 3 μ δ 3 ( r ) {\displaystyle \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\left[3({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-{\boldsymbol {\mu }}\right]+{\frac {2\mu _{0}}{3}}{\boldsymbol {\mu }}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!} ； 其中， δ 3 ( r ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )\,\!} 是狄拉克δ函數。 偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。 給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。 如圖右，假設載有電流 I {\displaystyle I\,\!} 的一個方形迴圈處於外磁場 B = B 0 z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。方形迴圈四個邊的邊長為 w {\displaystyle w\,\!} ，其中兩個與 y ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\,\!} 平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為 − θ + π / 2 {\displaystyle -\theta +\pi /2\,\!} 。 垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為 τ = ( I w B 0 w sin ⁡ θ 2 + I w B 0 w sin ⁡ θ 2 ) y ^ = I w 2 B 0 sin ⁡ θ y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\left(IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}+IwB_{0}{\frac {w\sin {\theta }}{2}}\right){\hat {\mathbf {y} }}=Iw^{2}B_{0}\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\,\!} 。 另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 μ = I w 2 μ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=Iw^{2}{\hat {\boldsymbol {\mu }}}\,\!} 。所以，這迴圈感受到的磁力矩為 τ = μ × B {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {B} \,\!} 。 令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持 μ = I a {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=I\mathbf {a} \,\!} 不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。 當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值 μ B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} ；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。 將載流迴圈從角弧 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 扭轉到角弧 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ，磁場所做的機械功 W {\displaystyle W\,\!} 為 W = − ∫ θ 1 θ 2 τ   d θ = − ∫ θ 1 θ 2 μ B 0 sin ⁡ θ   d θ = μ B 0 ( cos ⁡ θ 2 − cos ⁡ θ 1 ) {\displaystyle W=-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ d\theta =-\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\mu B_{0}\sin {\theta }\ d\theta =\mu B_{0}(\cos {\theta _{2}}-\cos {\theta _{1}})\,\!} 。 注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而 θ {\displaystyle \theta \,\!} 是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定 θ 1 = π / 2 {\displaystyle \theta _{1}=\pi /2\,\!} ，則 W = μ B 0 cos ⁡ θ 2 = μ ⋅ B {\displaystyle W=\mu B_{0}\cos {\theta _{2}}={\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧 π / 2 {\displaystyle \pi /2\,\!} 扭轉到角弧 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} ，所做的機械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} 為 W a = − W = − μ ⋅ B {\displaystyle W_{a}=-W=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 定義載流迴圈的勢能 U {\displaystyle U\,\!} 等於這機械功 W a {\displaystyle W_{a}\,\!} ，以方程式表示為 U = − μ ⋅ B {\displaystyle U=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} \,\!} 。 與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值 − μ B 0 {\displaystyle -\mu B_{0}\,\!} ；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值 μ B 0 {\displaystyle \mu B_{0}\,\!} 。 假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路 C ′ {\displaystyle \mathbb {C} '\,\!} 的磁場力等於零： F = I ∮ C ′ d ℓ ′ × B = 0 {\displaystyle \mathbf {F} =I\oint _{\mathbb {C} '}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}'\times \mathbf {B} =0\,\!} 。 假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為 F ℓ = ∇ ( μ ⋅ B ) {\displaystyle \mathbf {F} _{\ell }=\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} )\,\!} 。 另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為 F d = ( μ ⋅ ∇ ) B {\displaystyle \mathbf {F} _{d}=({\boldsymbol {\mu }}\cdot \nabla )\mathbf {B} \,\!} 。 兩者之間的差別為 F l = F d + μ × ( ∇ × B ) {\displaystyle \mathbf {F} _{l}=\mathbf {F} _{d}+{\boldsymbol {\mu }}\times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,\!} 。 假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式， ∇ × B = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =0\,\!} ， 兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。 一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑 r ′ {\displaystyle r'\,\!} 為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為： μ = π r ′ 2 I = π × 0.05 2 × 1 ≈ 0.008 [ A ⋅ m 2 ] = 0.008 [ J / T ] {\displaystyle \mu =\pi r'\,^{2}I=\pi \times 0.05^{2}\times 1\approx 0.008\;[\mathrm {A} \cdot \mathrm {m} ^{2}]=0.008\;[\mathrm {J/T} ]\,\!} 。 磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據： 假設場位置的距離 r {\displaystyle r\,\!} 超遠於迴圈半徑 r ′ = 0.05   m {\displaystyle r'=0.05\ \mathrm {m} \,\!} ，則磁場會呈反立方減弱： 沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 平行： B = μ 0 4 π r 3 2 μ = 4 π × 10 − 7 4 π r 3 × 2 × 0.008 ≈ 1.6 × 10 − 9 r 3 [ T ⋅ m 3 ] {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}2\mu ={\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 2\times 0.008\approx {\frac {1.6\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!} 。 在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置： B = − μ 0 4 π r 3 μ = −   4 π × 10 − 7 4 π r 3 × 0.008 ≈ −   0.8 × 10 − 9 r 3 [ T ⋅ m 3 ] {\displaystyle B=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}\mu =-\ {\frac {4\pi \times 10^{-7}}{4\pi r^{3}}}\times 0.008\approx -\ {\frac {0.8\times 10^{-9}}{r^{3}}}\;[\mathrm {T} \cdot \mathrm {m} ^{3}]\,\!} 。 負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。 假設在地球的某地方，地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 的數值大約為0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ，則此迴圈所感受到的力矩為 τ ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5 = 4 × 10 − 7   [ N ⋅ m ] {\displaystyle \tau \approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ]\,\!} 。 應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} ，旋轉至磁針的磁矩與地磁場 B E {\displaystyle \mathbf {B} _{E}\,\!} 呈相同方向，則這羅盤-地球系統釋放出的能量 U {\displaystyle U\,\!} 為 U ≈ 0.008 × 5 × 10 − 5 = 4 × 10 − 7   [ J ] {\displaystyle U\approx 0.008\times 5\times 10^{-5}=4\times 10^{-7}\ [\mathrm {J} ]\,\!} 。 由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。 一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。 假設螺線管的匝數為 N {\displaystyle N\,\!} ，每一匝線圈面積為 a {\displaystyle a\,\!} ，通過電流為 I {\displaystyle I\,\!} ，則其磁矩為 μ = N I a {\displaystyle \mu =NIa\,\!} 。 假設，一個點電荷 q {\displaystyle q\,\!} 以等速 v {\displaystyle v\,\!} 繞著z-軸，移動於半徑為 r {\displaystyle r\,\!} 的平面圓形路徑，則其電流為 I = q v 2 π r {\displaystyle I={\frac {qv}{2\pi r}}\,\!} 。 其磁矩為 μ = q v 2 π r π r 2 = q v r 2 z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {qv}{2\pi r}}\pi r^{2}={\frac {qvr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 其角動量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 為 J = m v r z ^ {\displaystyle \mathbf {J} =mvr{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 其中， m {\displaystyle m\,\!} 是載電粒子的質量。 所以，磁矩與角動量的經典關係為 μ = q 2 m J {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {q}{2m}}\mathbf {J} \,\!} 。 對於電子，這經典關係為 μ = −   e 2 m e J {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e}{2m_{e}}}\mathbf {J} \,\!} ； 其中， m e {\displaystyle m_{e}\,\!} 是電子的質量， e {\displaystyle e\,\!} 是電子的絕對電量。 假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力， 1 4 π ϵ 0   e 2 r 2 = m e v 2 r {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}=m_{e}{\frac {v^{2}}{r}}\,\!} ； 其中， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,\!} 是電常數。 現在施加外磁場 B = B z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為 v B {\displaystyle v_{B}\,\!} ，則 1 4 π ϵ 0   e 2 r 2 + e v B B = m e v B 2 r {\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {e^{2}}{r^{2}}}+ev_{B}B=m_{e}{\frac {v_{B}^{2}}{r}}\,\!} 。 所以， v B 2 − v 2 = ( v B + v ) ( v B − v ) = e v B B r m e {\displaystyle v_{B}^{2}-v^{2}=(v_{B}+v)(v_{B}-v)={\frac {ev_{B}Br}{m_{e}}}\,\!} 。 假設，兩個速度的差別 Δ v = v B − v {\displaystyle \Delta v=v_{B}-v\,\!} 超小，則 Δ v ≈ e B r 2 m e {\displaystyle \Delta v\approx {\frac {eBr}{2m_{e}}}\,\!} 。 所以，由於施加外磁場 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} ，磁矩的變化為 Δ μ = − e Δ v r 2 z ^ = − e 2 r 2 4 m e B z ^ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-{\frac {e\Delta vr}{2}}{\hat {\mathbf {z} }}=-{\frac {e^{2}r^{2}}{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 。 注意到 Δ μ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}\,\!} 與 B {\displaystyle \mathbf {B} \,\!} 呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。 為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為 Δ μ = −   e 2 ⟨ r 2 ⟩ 4 m e B z ^ {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\mu }}=-\ {\frac {e^{2}\langle r^{2}\rangle }{4m_{e}}}B{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} ； 其中， ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \langle r^{2}\rangle \,\!} 是半徑平方的期望值。 電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。 電子的磁矩是 μ = − g e μ B S / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{e}\mu _{B}\mathbf {S} /\hbar \,\!} ； 其中， g e {\displaystyle g_{e}\,\!} 是電子的朗德g因子， μ B = e ℏ / 2 m e {\displaystyle \mu _{B}=e\hbar /2m_{e}\,\!} 是波耳磁子， S {\displaystyle \mathbf {S} \,\!} 是電子的自旋角動量。 按照前面計算的經典結果， g e = 1 {\displaystyle g_{e}=1\,\!} ；但是，在狄拉克力學裏， g e = 2 {\displaystyle g_{e}=2\,\!} ；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些， g S = 2.002 319 304 36 {\displaystyle g_{S}=2.002\,319\,304\,36\,\!} 。 請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。 在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩 μ {\displaystyle \mu \,\!} 與總角動量 J {\displaystyle \mathbf {J} \,\!} 的關係為 μ = − g J μ B J / ℏ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{J}\mu _{B}\mathbf {J} /\hbar \,\!} ； 其中， g J {\displaystyle g_{J}\,\!} 是原子獨特的朗德g因子。 磁矩對於磁場方向的分量 μ z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是 μ z = − g J μ B J z / ℏ {\displaystyle \mu _{z}=-g_{J}\mu _{B}J_{z}/\hbar \,\!} ； 其中， J z = J m ℏ {\displaystyle J_{z}=J_{m}\hbar \,\!} 是總角動量對於磁場方向的分量， J m {\displaystyle J_{m}\,\!} 是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。 因為電子帶有負電荷，所以 μ z {\displaystyle \mu _{z}\,\!} 是負值。 處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為 1 γ d μ d t = μ × H {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} \,\!} ； 其中， γ {\displaystyle \gamma \,\!} 是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ， H {\displaystyle \mathbf {H} \,\!} 是磁場。 注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分： H = H e f f − λ γ μ d μ d t {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!} ； 其中， H e f f {\displaystyle \mathbf {H} _{eff}\,\!} 是有效磁場（外磁場加上任何自身場）， λ {\displaystyle \lambda \,\!} 是阻尼係數。 這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）： 1 γ d μ d t = μ × H e f f − λ γ μ μ × d μ d t {\displaystyle {\frac {1}{\gamma }}{\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}={\boldsymbol {\mu }}\times \mathbf {H} _{eff}-{\frac {\lambda }{\gamma \mu }}{\boldsymbol {\mu }}\times {\frac {d{\boldsymbol {\mu }}}{dt}}\,\!} 。 方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。 核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。 雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。 任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出： 假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻） 電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻） 依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。 氧分子，O2，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。 二氧化碳分子，CO2，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像13C或17O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。 氫分子，H2，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。 電偶極矩 磁化強度 磁化率 球多極矩 絕熱不變數 磁偶極間交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction） Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 186, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link) Cardarelli, F., Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures: Their SI Equivalences and Origins 2nd, Springer: pp. 20–25, 2004, ISBN 1-8523-3682-X  引文格式1维护：冗余文本 (link) 美國國家標準與技術研究院（NIST）的實驗値：電子磁矩 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 參閱美國國家標準與技術研究院的Fundamental Physical Constants網頁：. 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