哈恩多项式

哈恩多项式（Hahn polynomials）是一个以德国数学家Wolfgang Hahn命名的正交多项式，由下列广义超几何函数定义： Q n ( x ; α , β , N ) = 3 F 2 ( − n , − x , n + α + β + 1 ; α + 1 , − N + 1 ; 1 ) .   {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ } 前几个哈恩多项式为 h [ 5 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 4 ∗ α − 4 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 4 ∗ α − 4 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 6 ) ∗ ( − 2 ∗ α − 6 ) ) {\displaystyle h[5]:=1+27*x/(-4*\alpha -4)+3*x*\alpha /(-4*\alpha -4)+270*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+57*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-270*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-57*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))-3*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6))+990*x^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+299*x^{3}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-2970*x^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-897*x^{2}*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+1980*x/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+598*x*\alpha /((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+60*x*\alpha ^{2}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))+2*x*\alpha ^{3}/((-4*\alpha -4)*(-3*\alpha -6)*(-2*\alpha -6))} h [ 6 ] := 1 + 27 ∗ x / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 3 ∗ x ∗ α / ( − 5 ∗ α − 5 ) + 270 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 57 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 270 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 57 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 3 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) − 3 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ) + 990 ∗ x 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 299 ∗ x 3 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 2970 ∗ x 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 897 ∗ x 2 ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 30 ∗ x 3 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 90 ∗ x 2 ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 1980 ∗ x / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 598 ∗ x ∗ α / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 60 ∗ x ∗ α 2 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + x 3 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) − 3 ∗ x 2 ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) + 2 ∗ x ∗ α 3 / ( ( − 5 ∗ α − 5 ) ∗ ( − 4 ∗ α − 8 ) ∗ ( − 3 ∗ α − 9 ) ) . {\displaystyle h[6]:=1+27*x/(-5*\alpha -5)+3*x*\alpha /(-5*\alpha -5)+270*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+57*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-270*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-57*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+3*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))-3*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8))+990*x^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+299*x^{3}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-2970*x^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-897*x^{2}*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+30*x^{3}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-90*x^{2}*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+1980*x/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+598*x*\alpha /((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+60*x*\alpha ^{2}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+x^{3}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))-3*x^{2}*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9))+2*x*\alpha ^{3}/((-5*\alpha -5)*(-4*\alpha -8)*(-3*\alpha -9)).} 对于 α {\displaystyle \alpha } > -1 和 β {\displaystyle \beta } > -1 以及 α {\displaystyle \alpha } < -N β {\displaystyle \beta } < -N,下列正交关系成立 ∑ x = 0 N ( α + x x ) {\displaystyle \sum _{x=0}^{N}{\alpha +x \choose x}} ( β + N − x N − x ) ) ∗ Q m ( x ; α , β , N ) Q n ( x ; α , β , N ) = ( 1 ) n ( n + α + β + 1 ) N + 1 ( β + 1 ) n ∗ n ! 2 n + α + β + 1 ) ( α + 1 ) n ∗ ( − N ) n ∗ N ! ∗ δ m n {\displaystyle {\beta +N-x \choose N-x})*Q_{m}(x;\alpha ,\beta ,N)Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={\frac {(1)^{n}(n+\alpha +\beta +1)_{N+1}(\beta +1)_{n}*n!}{2n+\alpha +\beta +1)(\alpha +1)_{n}*(-N)_{n}*N!}}*\delta _{mn}} 哈恩多项式满足下列归递关系 − x ∗ Q n ( x ) {\displaystyle -x*Q_{n}(x)} = A n ∗ Q n + 1 ( x ) {\displaystyle A_{n}*Q_{n+1}(x)} - ( A n + C n ) ∗ Q n ( x ) {\displaystyle (A_{n}+C_{n})*Q_{n}(x)} * C n ∗ Q n − 1 ( x ) {\displaystyle C_{n}*Q_{n-1}(x)} 其中 Q n ( x ) = Q n ( x ; α , β , N ) {\displaystyle Q_{n}(x)=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)} 拉卡多项式→哈恩多项式 lim δ → ∞ R n ( λ ( x ) ; α , β , − N − 1 , δ ) = Q n ( x ; α , β , N ) , {\displaystyle \lim _{\delta \to \infty }R_{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,-N-1,\delta )=Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N),\,} 哈恩多项式→雅可比多项式 lim N → ∞ Q n ( N x ; α , β , N ) = P n ( α , β ) ( 1 − 2 x ) P n ( α , β ) ( 1 ) {\displaystyle \lim _{N\to \infty }Q_{n}(Nx;\alpha ,\beta ,N)={\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}{P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)}}} Roelof Koekoek, Peter A. Lesky, and René F. Swarttouw （2010, 14） Roelof Koekoek, p204 Roelof KoeKoek p204 Roelof,p206-207 Roelof Koekoek, Peter A.Lesky,ReneF.Swarttouw,Hypergeometric Orthogonal Polynomials ad Their q=Aalogues, Springer,2008.