树 (数据结构)

在計算機科學中，樹（英語：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是實作這種抽象数据类型的数据结构，用來模擬具有樹狀結構性質的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点： 每个节点都只有有限个子节点或無子節點； 没有父节点的节点称为根节点； 每一个非根节点有且只有一个父节点； 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树； 樹裡面沒有環路(cycle) 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 树的度：一棵树中，最大的节点度称为树的度； 叶节点或终端节点：度为零的节点； 非终端节点或分支节点：度不为零的节点； 父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推； 深度：对于任意节点n,n的深度为从根到n的唯一路径长，根的深度为0； 高度：对于任意节点n,n的高度为从n到一片树叶的最长路径长，所有树叶的高度为0； 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟； 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点； 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林； 有序/无序： 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树。 有序树/搜索树/查找树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树。即树的所有节点按照一定的顺序排列，这样进行插入、删除、查找时效率就会非常高 平衡/不平衡： 平衡树 绝对平衡树：所有叶节点在同一层 非绝对平衡树 不平衡树 节点的分叉情况： 等叉树：是每个节点的键值个数都相同、子节点个数也都相同 二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树； 完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树； 满二叉树：所有叶节点都在最底层的完全二叉树； 平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树； 排序二叉树：也称二叉查找树、二叉搜索树、有序二叉树； 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树； 多叉树（英语：m-ary tree） 不等叉树：每个节点的键值个数不一定相同、子节点个数也不一定相同 B树：对不等叉树的节点键值数和插入、删除逻辑添加一些特殊的要求，使其能达到绝对平衡的效果。B树全称Balance Tree。如果某个B树上所有节点的分叉数最大值是m，则把这个B数叫做m阶B树。 设已有链队列类型LinkQueue的定义及基本操作（参见队列）。 清空或销毁一个树也是同样的操作 void ClearTree(PTree *T) { T->n = 0; } void CreateTree(PTree *T) { LinkQueue q; QElemType p,qq; int i=1,j,l; char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 临时存放孩子节点数组 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ printf("请输入根节点(字符型，空格为空): "); scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根节点序号为0，%*c吃掉回车符 */ if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空树 */ { T->nodes[0].parent=-1 ; /* 根节点无父节点 */ qq.name=T->nodes[0].data; qq.num=0; EnQueue(&q,qq); /* 入队此节点 */ while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 数组未满且队不空 */ { DeQueue(&q,&qq); /* 节点加入队列 */ printf("请按长幼顺序输入节点%c的所有孩子: ",qq.name); gets(c); l=strlen(c); for(j=0;j<l;j++) { T->nodes[i].data=c[j]; T->nodes[i].parent=qq.num; p.name=c[j]; p.num=i; EnQueue(&q,p); /* 入队此节点 */ i++; } } if(i>MAX_TREE_SIZE) { printf("节点数超过数组容量\n"); exit(OVERFLOW); } T->n=i; } else T->n=0; } Status TreeEmpty(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：若T为空树，则返回TRUE，否则返回FALSE */ return T->n==0; } int TreeDepth(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的深度 */ int k,m,def,max=0; for(k=0;k<T->n;++k) { def=1; /* 初始化本节点的深度 */ m=T->nodes[k].parent; while(m!=-1) { m=T->nodes[m].parent; def++; } if(max<def) max=def; } return max; /* 最大深度 */ } TElemType Root(PTree *T) { /* 初始条件：树T存在。操作结果：返回T的根 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].parent<0) return T->nodes[i].data; return Nil; } TElemType Value(PTree *T,int i) { /* 初始条件：树T存在，i是树T中节点的序号。操作结果：返回第i个节点的值 */ if(i<T->n) return T->nodes[i].data; else return Nil; } Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是树T中节点的值。操作结果：改cur_e为value */ int j; for(j=0;j<T->n;j++) { if(T->nodes[j].data==cur_e) { T->nodes[j].data=value; return OK; } } return ERROR; } TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非根节点，则返回它的父节点，否则函数值为＂空＂*/ int j; for(j=1;j<T->n;j++) /* 根节点序号为0 */ if(T->nodes[j].data==cur_e) return T->nodes[T->nodes[j].parent].data; return Nil; } TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e是T的非叶子节点，则返回它的最左孩子，否则返回＂空＂*/ int i,j; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根据树的构造函数，孩子的序号＞其父节点的序号 */ if(T->nodes[j].parent==i) /* 根据树的构造函数，最左孩子(长子)的序号＜其它孩子的序号 */ return T->nodes[j].data; return Nil; } TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e) { /* 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个节点 */ /* 操作结果：若cur_e有右(下一个)兄弟，则返回它的右兄弟，否则返回＂空＂*/ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e，其序号为i */ break; if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent) /* 根据树的构造函数，若cur_e有右兄弟的话则右兄弟紧接其后 */ return T->nodes[i+1].data; return Nil; } void Print(PTree *T) { /* 输出树T。加 */ int i; printf("节点个数=%d\n",T->n); printf(" 节点 父节点\n"); for(i=0;i<T->n;i++) { printf(" %c",Value(T,i)); /* 节点 */ if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父节点 */ printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父节点 */ printf("\n"); } } Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度+1，非空树c与T不相交 */ /* 操作结果：插入c为T中p节点的第i棵子树 */ int j,k,l,f=1,n=0; /* 设交换标志f的初值为1，p的孩子数n的初值为0 */ PTNode t; if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */ { for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序号 */ if(T->nodes[j].data==p) /* p的序号为j */ break; l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子树，则插在j+1处 */ if(i>1) /* c不是p的第1棵子树 */ { for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 从j+1开始找p的前i-1个孩子 */ if(T->nodes[k].parent==j) /* 当前节点是p的孩子 */ { n++; /* 孩子数加1 */ if(n==i-1) /* 找到p的第i-1个孩子，其序号为k1 */ break; } l=k+1; /* c插在k+1处 */ } /* p的序号为j，c插在l处 */ if(l<T->n) /* 插入点l不在最后 */ for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次将序号l以后的节点向后移c.n个位置 */ { T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>=l) T->nodes[k+c.n].parent+=c.n; } for(k=0;k<c.n;k++) { T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次将树c的所有节点插于此处 */ T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l; } T->nodes[l].parent=j; /* 树c的根节点的父节点为p */ T->n+=c.n; /* 树T的节点数加c.n个 */ while(f) { /* 从插入点之后，将节点仍按层序排列 */ f=0; /* 交换标志置0 */ for(j=l;j<T->n-1;j++) if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent) {/* 如果节点j的父节点排在节点j+1的父节点之后（树没有按层序排列），交换两节点*/ t=T->nodes[j]; T->nodes[j]=T->nodes[j+1]; T->nodes[j+1]=t; f=1; /* 交换标志置1 */ for(k=j;k<T->n;k++) /* 改变父节点序号 */ if(T->nodes[k].parent==j) T->nodes[k].parent++; /* 父节点序号改为j+1 */ else if(T->nodes[k].parent==j+1) T->nodes[k].parent--; /* 父节点序号改为j */ } } return OK; } else /* 树T不存在 */ return ERROR; } Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 删除标志数组(全局量) */ void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i) { /* 初始条件：树T存在，p是T中某个节点，1≤i≤p所指节点的度 */ /* 操作结果：删除T中节点p的第i棵子树 */ int j,k,n=0; LinkQueue q; QElemType pq,qq; for(j=0;j<=T->n;j++) deleted[j]=0; /* 置初值为0(不删除标记) */ pq.name='a'; /* 此成员不用 */ InitQueue(&q); /* 初始化队列 */ for(j=0;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].data==p) break; /* j为节点p的序号 */ for(k=j+1;k<T->n;k++) { if(T->nodes[k].parent==j) n++; if(n==i) break; /* k为p的第i棵子树节点的序号 */ } if(k<T->n) /* p的第i棵子树节点存在 */ { n=0; pq.num=k; deleted[k]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&qq); for(j=qq.num+1;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].parent==qq.num) { pq.num=j; deleted[j]=1; /* 置删除标记 */ n++; EnQueue(&q,pq); } } for(j=0;j<T->n;j++) if(deleted[j]==1) { for(k=j+1;k<=T->n;k++) { deleted[k-1]=deleted[k]; T->nodes[k-1]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>j) T->nodes[k-1].parent--; } j--; } T->n-=n; /* n为待删除节点数 */ } } void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)) { /* 初始条件：二叉树T存在,Visit是对节点操作的应用函数 */ /* 操作结果：层序遍历树T,对每个节点调用函数Visit一次且仅一次 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) Visit(T->nodes[i].data); printf("\n"); } /*树的孩子链表存储表示*/ typedef struct CTNode { // 孩子节点 int child; struct CTNode *next; } *ChildPtr; typedef struct { ElemType data； // 节点的数据元素 ChildPtr firstchild； // 孩子链表头指针 } CTBox; typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]； int n, r； // 节点数和根节点的位置 } CTree; 见二叉树相应章节 （中文）树-数据结构(Python)by EINDEX Data Structures and Algorithm Analysis in C (2nd edition) （页面存档备份，存于互联网档案馆）