角動量圖

在量子力學以及其應用如多體問題、量子化學等領域中，角動量圖是一種圖形表示法，用以代表一量子系統的角動量量子態，使得相關計算能以符號形式推演。此方法的箭號將角動量態與狄拉克符號連結。 此方法是由立陶宛物理學家阿朵發斯‧朱西斯（英语：Adolfas Jucys）於20世紀發明。在量子力學以及量子場論領域中，形似的符號表示法尚有費曼圖與潘洛斯圖形符號。這些圖樣包含有箭頭與頂點，有些還有量子數的標記。 單一粒子帶有總角動量量子數j與總磁量子數m = j, j − 1, ..., −j + 1, −j，其量子態向量以狄拉克符號的右矢（Ket）標記為|j, m⟩，其圖形則為單箭頭的箭號。有一相對應的左矢（Bra）為⟨j, m|，其圖形為雙箭頭的箭號，指向與右矢相反。 例子中 量子數j、m常標記在箭頭附近，以表示特定的角動量量子態， 箭頭常在線段的中間 等號"="置於等價的圖樣之間，如同相應的代數運算。 最基本的左矢與右矢圖形符號為： 箭號指向頂點或從頂點指出，分別為 標準表象（standard representation）以一條離開頂點的指向線段表示， 反標準表象（contrastandard representation）則是以一條進入頂點的指向線段表示。 箭號一個一個相接續。在反標準表象中，採用時間反轉算符T。T算符是么正的，也就是其厄米伴算符T†等於其反算符T−1，即T† = T−1。其作用在位置算符時，結果保持不變： T x ^ T † = x ^ {\displaystyle T{\hat {\mathbf {x} }}T^{\dagger }={\hat {\mathbf {x} }}} 線動量算符則變為負值： T p ^ T † = − p ^ {\displaystyle T{\hat {\mathbf {p} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {p} }}} 自旋算符也變為負值： T S ^ T † = − S ^ {\displaystyle T{\hat {\mathbf {S} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {S} }}} 既然軌域角動量算符L = x × p，在T算符作用後也會變為負值： T L ^ T † = − L ^ {\displaystyle T{\hat {\mathbf {L} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {L} }}} 也因此總角動量算符J = L + S也變為負值： T J ^ T † = − J ^ {\displaystyle T{\hat {\mathbf {J} }}T^{\dagger }=-{\hat {\mathbf {J} }}} 作用在角動量算符本徵態|j, m⟩，可得：（見註釋） T | j , m ⟩ ≡ | T ( j , m ) ⟩ = ( − 1 ) j − m | j , − m ⟩ {\displaystyle T\left|j,m\right\rangle \equiv \left|T(j,m)\right\rangle ={(-1)}^{j-m}\left|j,-m\right\rangle } 時間反轉的圖形符號為： 將頂點標記在正確位置相當重要，否則正向時間與反向時間的算符會相互混淆。 狀態|j1, m1⟩與狀態|j2, m2⟩的內積： ⟨ j 2 , m 2 | j 1 , m 1 ⟩ = δ j 1 j 2 δ m 1 m 2 {\displaystyle \langle j_{2},m_{2}|j_{1},m_{1}\rangle =\delta _{j_{1}j_{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}} 相應的圖形符號為： 將內積加總，也就是縮併的計算： ∑ m ⟨ j , m | j , m ⟩ = 2 j + 1 {\displaystyle \sum _{m}\langle j,m|j,m\rangle =2j+1} 習慣上會以一封閉圓來表示，並且標上j： 狀態|j1, m1⟩與狀態|j2, m2⟩的外積是一算符： | j 2 , m 2 ⟩ ⟨ j 1 , m 1 | {\displaystyle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \left\langle j_{1},m_{1}\right|} 相對應的圖形符號為： 將外積加總，也就是縮併的計算： ∑ m | j , m ⟩ ⟨ j , m | = ∑ m | j , − m ⟩ ⟨ j , − m | = ∑ m ( − 1 ) 2 ( j − m ) | j , − m ⟩ ⟨ j , − m | = ∑ m ( − 1 ) j − m | j , − m ⟩ ⟨ j , − m | ( − 1 ) j − m = ∑ m T | j , m ⟩ ⟨ j , m | T † {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}|j,m\rangle \langle j,m|&=\sum _{m}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{2(j-m)}|j,-m\rangle \langle j,-m|\\&=\sum _{m}{(-1)}^{j-m}|j,-m\rangle \langle j,-m|{(-1)}^{j-m}\\&=\sum _{m}T|j,m\rangle \langle j,m|T^{\dagger }\end{aligned}}} 時間反轉算符T的結果可見於上式T|j, m⟩。對外積縮併計算來縮，正向時間與反向時間沒有差別，因此圖形符號表示是相同的，皆為一無指向的線段，其上僅標示j： n狀態|j1, m1⟩, |j2, m2⟩, ... |jn, mn⟩的張量積⊗可寫為： | j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , . . . j n , m n ⟩ ≡ | j 1 , m 1 ⟩ ⊗ | j 2 , m 2 ⟩ ⊗ ⋯ ⊗ | j n , m n ⟩ ≡ | j 1 , m 1 ⟩ | j 2 , m 2 ⟩ ⋯ | j n , m n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\left|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle &\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \otimes \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \otimes \cdots \otimes \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \\&\equiv \left|j_{1},m_{1}\right\rangle \left|j_{2},m_{2}\right\rangle \cdots \left|j_{n},m_{n}\right\rangle \end{aligned}}} 圖形符號則呈扇形——n項個別態的線段匯聚於一共同頂點。 頂點附近標有一正負號，以表示張量積的順序： 負號(−)表示順序為順時針走向 ↻ {\displaystyle \circlearrowright } ， 正號(+)表示順序為逆時針走向 ↺ {\displaystyle \circlearrowleft } . 有時候會在正負號之外，加上彎箭頭來表示上述的走向。 兩張量積態的內積： ⟨ j n ′ , m n ′ , . . . , j 2 ′ , m 2 ′ , j 1 ′ , m 1 ′ | j 1 , m 1 , j 2 , m 2 , . . . j n , m n ⟩ = ⟨ j n ′ , m n ′ | . . . ⟨ j 2 ′ , m 2 ′ | ⟨ j 1 ′ , m 1 ′ | | j 1 , m 1 ⟩ | j 2 , m 2 ⟩ . . . | j n , m n ⟩ = ∏ k = 1 n ⟨ j k ′ , m k ′ | j k , m k ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle j'_{n},m'_{n},...,j'_{2},m'_{2},j'_{1},m'_{1}|j_{1},m_{1},j_{2},m_{2},...j_{n},m_{n}\right\rangle \\=&\langle j'_{n},m'_{n}|...\langle j'_{2},m'_{2}|\langle j'_{1},m'_{1}||j_{1},m_{1}\rangle |j_{2},m_{2}\rangle ...|j_{n},m_{n}\rangle \\=&\prod _{k=1}^{n}\left\langle j'_{k},m'_{k}|j_{k},m_{k}\right\rangle \end{aligned}}} 物理学主题 角動量 狄拉克符號 克萊布希－高登係數 角動量算符 階梯算符 費曼圖 P.E.S. Wormer, J. Paldus. Angular Momentum Diagrams 51. Elsevier. 2006: 59–124 [2015-03-18]. ISSN 0065-3276. doi:10.1016/S0065-3276(06)51002-0. （原始内容存档于2019-04-11）.  |journal=被忽略 (帮助) These authors use the theta variant ϑ for the time reversal operator, here we use T. I. Lindgren, J. Morrison. Atomic Many-Body Theory. Chemical Physics 13 2nd. Springer-Verlag. 1986 [2015-03-18]. ISBN 3-540-166-491. （原始内容存档于2015-04-02）.  G.W.F. Drake. Springer Handbook of Atomic, Molecular, and Optical Physics 2nd. springer. 2006: 60 [2015-03-18]. ISBN 0-3872-6308-X. （原始内容存档于2015-04-09）.  U. Kaldor, S. Wilson. Theoretical Chemistry and Physics of Heavy and Superheavy Elements. Progress in Theoretical Chemistry and Physics 11. springer. 2003: 183 [2015-03-18]. ISBN 1-4020-1371-X. （原始内容存档于2015-04-11）.  E.J. Brändas, P.O. Löwdin, E. Brändas, E.S. Kryachko. Fundamental World of Quantum Chemistry: A Tribute to the Memory of Per-Olov Löwdin 3. Springer. 2004: 385 [2015-03-18]. 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