九点圆定理

九点圆定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圆，这个圆被称为九點圓，又称歐拉圓、費爾巴哈圓。 九點圓具有以下性質： 九點圓的半徑是外接圓的一半。 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（柯立芝-大上定理）[來源請求]。 1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。 如圖： D {\displaystyle D} 、 E {\displaystyle E} 、 F {\displaystyle F} 為三邊的中點， G {\displaystyle G} 、 H {\displaystyle H} 、 I {\displaystyle I} 為垂足， J {\displaystyle J} 、 K {\displaystyle K} 、 L {\displaystyle L} 為和頂點到垂心的三條線段的中點。 容易得出 △ A B S ∼ △ A F J {\displaystyle \triangle ABS\sim \triangle AFJ} 、 △ C B S ∼ △ C D L {\displaystyle \triangle CBS\sim \triangle CDL} （ S A S {\displaystyle SAS} 相似） 因此 F J ¯ / / B H ¯ / / D L ¯ {\displaystyle {\overline {FJ}}//{\overline {BH}}//{\overline {DL}}} 同樣可得出 △ A B C ∼ △ F B D {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle FBD} 、 △ A S C ∼ △ J S L {\displaystyle \triangle ASC\sim \triangle JSL} （ S A S {\displaystyle SAS} 相似） 因此 F D ¯ / / A C ¯ / / J L ¯ {\displaystyle {\overline {FD}}//{\overline {AC}}//{\overline {JL}}} 又 B H ¯ ⊥ A C ¯ {\displaystyle {\overline {BH}}\perp {\overline {AC}}} ，可得出四邊形 D F J L {\displaystyle DFJL} 是矩形（四點共圓） 同理可證 F K L E {\displaystyle FKLE} 也是矩形（ D K F J E L {\displaystyle DKFJEL} 共圓） ∠ J L D = ∠ J G D = 90 ∘ {\displaystyle \angle JLD=\angle JGD=90^{\circ }} ，因此可知 G {\displaystyle G} 也在圓上（圓周角相等） 同理可證 H {\displaystyle H} 、 I {\displaystyle I} 兩點也在圓上（九點共圓） 九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。 在直角坐標系中，已知圓的方程為 ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}} ，其中 r {\displaystyle r} 為圓的半徑， ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點 ( x S , y S ) {\displaystyle (x_{S},y_{S})} 的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為： ( x − x 0 + x S 2 ) 2 + ( y − y 0 + y S 2 ) 2 = ( r 2 ) 2 {\displaystyle \left(x-{\frac {x_{0}+x_{S}}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}+y_{S}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}} 設 r {\displaystyle r} 為外接圓的半徑、 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} 為外接圓的圓心坐標、點 ( x S , y S ) {\displaystyle (x_{S},y_{S})} 為垂心坐標。 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。 同時還可以得出下面的性質： 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為 ( | x 1 2 + y 1 2 − 2 ( x 2 x 3 + y 2 y 3 ) y 1 1 x 2 2 + y 2 2 − 2 ( x 3 x 1 + y 3 y 1 ) y 2 1 x 3 2 + y 3 2 − 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) y 3 1 | 4 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | , | x 1 x 1 2 + y 1 2 − 2 ( x 2 x 3 + y 2 y 3 ) 1 x 2 x 2 2 + y 2 2 − 2 ( x 3 x 1 + y 3 y 1 ) 1 x 3 x 3 2 + y 3 2 − 2 ( x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 1 | 4 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | ) {\displaystyle \left({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}}\right)} 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。 垂心四面体的12点共球九点圆是垂心四面体各棱的中点和垂足（相对于对棱）共球的特例，两者是同构的 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓 三線坐標中，九點圓的座標為 cos ⁡ ( B − C ) : cos ⁡ ( C − A ) : cos ⁡ ( A − B ) {\displaystyle \cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)} 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為 1 − cos ⁡ ( B − C ) : 1 − cos ⁡ ( C − A ) : 1 − cos ⁡ ( A − B ) {\displaystyle 1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)} 萊昂哈德·歐拉 卡尔·威廉·費爾巴哈 Ôue, Shigetaka. A geometrical use of complex numbers. Tohoku Mathematical Journal, First Series. 1916, 10: 225–228 [2024-03-27]. （原始内容存档于2024-03-27）.  幾何明珠 ISBN 957-603-197-4 [1] 幾何寶庫（页面存档备份，存于互联网档案馆） [2]（页面存档备份，存于互联网档案馆） Feuerbach's Theorem: a Proof（页面存档备份，存于互联网档案馆）