对数正态分布

在概率论与统计学中，任意随机变量的对数服从正态分布,则这个随机变量服从的分布称为对数正态分布。如果 Y {\displaystyle Y} 是正态分布的随机变量，则 exp ⁡ ( Y ) {\displaystyle \exp(Y)} （指数函数）为对数正态分布；同样，如果 X {\displaystyle X} 是对数正态分布，则 ln ⁡ X {\displaystyle \ln X} 为正态分布。 如果一个变量可以看作是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布。一个典型的例子是股票投资的长期收益率，它可以看作是每天收益率的乘积。 对于 x > 0 {\displaystyle x>0} ，对数正态分布的概率密度函数为 f ( x ; μ , σ ) = 1 x σ 2 π e − ( ln ⁡ x − μ ) 2 / 2 σ 2 {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}} 其中 μ {\displaystyle \mu } 与 σ {\displaystyle \sigma } 分别是变量对数的平均值与標準差。它的期望值是 E ( X ) = e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} 方差为 v a r ( X ) = ( e σ 2 − 1 ) e 2 μ + σ 2 . {\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}.\,} 给定期望值与方差，也可以用这个关系求 μ {\displaystyle \mu } 与 σ {\displaystyle \sigma } μ = ln ⁡ ( E ( X ) ) − 1 2 ln ⁡ ( 1 + v a r ( X ) E ( X ) 2 ) , {\displaystyle \mu =\ln(\mathrm {E} (X))-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right),} σ 2 = ln ⁡ ( 1 + v a r ( X ) E ( X ) 2 ) . {\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\mathrm {var} (X)}{\mathrm {E} (X)^{2}}}\right).} 对数正态分布、几何平均数与几何標準差是相互关联的。在这种情况下，几何平均值等于 exp ⁡ ( μ ) {\displaystyle \exp(\mu )} ，几何標準差等于 exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \exp(\sigma )} 。 如果采样数据来自于对数正态分布，则几何平均值与几何标准差可以用于估计置信区间，就像用算术平均数与标准差估计正态分布的置信区间一样。 其中几何平均数 μ g e o = exp ⁡ ( μ ) {\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )} ，几何標準差 σ g e o = exp ⁡ ( σ ) {\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )} 原始矩为： μ 1 = e μ + σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} μ 2 = e 2 μ + 4 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}} μ 3 = e 3 μ + 9 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}} μ 4 = e 4 μ + 16 σ 2 / 2 {\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}} 或者更为一般的矩 μ k = e k μ + k 2 σ 2 / 2 . {\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.} 随机变量 X {\displaystyle X} 在阈值 k {\displaystyle k} 上的局部期望定义为 g ( k ) = ∫ k ∞ ( x − k ) f ( x ) d x {\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }(x-k)f(x)\,dx} 其中 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是概率密度。对于对数正态概率密度，这个定义可以表示为 g ( k ) = exp ⁡ ( μ + σ 2 / 2 ) Φ ( − ln ⁡ ( k ) + μ + σ 2 σ ) − k Φ ( − ln ⁡ ( k ) + μ σ ) {\displaystyle g(k)=\exp(\mu +\sigma ^{2}/2)\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu +\sigma ^{2}}{\sigma }}\right)-k\Phi \left({\frac {-\ln(k)+\mu }{\sigma }}\right)} 其中 Φ {\displaystyle \Phi } 是标准正态部分的累积分布函数。对数正态分布的局部期望在保险业及经济领域都有应用，著名的Black-Scholes期权定价公式便可由此推导出。 为了确定对数正态分布参数 μ {\displaystyle \mu } 与 σ {\displaystyle \sigma } 的最大似然估计，我们可以采用与正态分布参数最大似然估计同样的方法。我们来看 f L ( x ; μ , σ ) = 1 x f N ( ln ⁡ x ; μ , σ ) {\displaystyle f_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )} 其中用 f L ( ⋅ ) {\displaystyle f_{L}(\cdot )} 表示对数正态分布的概率密度函数，用 f N ( ⋅ ) {\displaystyle f_{N}(\cdot )} — 表示正态分布。因此，用与正态分布同样的指数，我们可以得到对数最大似然函数： ℓ L ( μ , σ | x 1 , x 2 , . . . , x n ) = − ∑ k ln ⁡ x k + ℓ N ( μ , σ | ln ⁡ x 1 , ln ⁡ x 2 , … , ln ⁡ x n ) =   = constant + ℓ N ( μ , σ | ln ⁡ x 1 , ln ⁡ x 2 , … , ln ⁡ x n ) . {\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{L}(\mu ,\sigma |x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&-\sum _{k}\ln x_{k}+\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})=\\\\\ &=&\operatorname {constant} +\ell _{N}(\mu ,\sigma |\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).\end{matrix}}} 由于第一项相对于 μ {\displaystyle \mu } 与 σ {\displaystyle \sigma } 来说是常数，两个对数最大似然函数 ℓ L {\displaystyle \ell _{L}} 与 ℓ N {\displaystyle \ell _{N}} 在同样的 μ {\displaystyle \mu } 与 σ {\displaystyle \sigma } 处有最大值。因此，根据正态分布最大似然参数估计器的公式以及上面的方程，我们可以推导出对数正态分布参数的最大似然估计 μ ^ = ∑ k ln ⁡ x k n ,   σ ^ 2 = ∑ k ( ln ⁡ x k − μ ^ ) 2 n . {\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.} 如果 Y = ln ⁡ ( X ) {\displaystyle Y=\ln(X)} 与 X ∼ L o g - N ⁡ ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})} ，则 Y ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} 是正态分布。 如果 X m ∼ L o g - N ⁡ ( μ , σ m 2 ) ,   m = 1... n ¯ {\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}} 是有同样 μ {\displaystyle \mu } 参数、而 σ {\displaystyle \sigma } 可能不同的统计独立对数正态分布变量 ，并且 Y = ∏ m = 1 n X m {\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{n}X_{m}} ，则 Y {\displaystyle Y} 也是对数正态分布变量： Y ∼ L o g - N ⁡ ( n μ , ∑ m = 1 n σ m 2 ) {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(n\mu ,\sum _{m=1}^{n}\sigma _{m}^{2}\right)} 。 Robert Brooks, Jon Corson 以及 J. Donal Wales 的 "The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Advances in Futures and Options Research, volume 7, 1994. 对数正态分布, Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues （页面存档备份，存于互联网档案馆）, E. Limpert, W. Stahel and M. Abbt,. BioScience, 51 (5), p. 341–352 (2001). 对数正态分布特性, John Hull, in Options, Futures, and Other Derivatives 6E (2005). ISBN 0-13-149908-4 Eric W. Weisstein et al. 对数正态分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆） at MathWorld. Electronic document, 2006年10月26日造訪. 几何平均数 几何标准差 误差函数