方程求解

數學中的方程求解是指找出哪些值（可能是數、函數、集合）可以使一個方程成立，或是指出這様的解不存在。方程是兩個用等號相連的數學表示式，表示式中有一個或多個未知數，未知數為自由變數，解方程就是要找出未知數要在什麼情形下，才能使等式成立。更準確的說，方程求解不一定是要找出未知數的值，也有可能是將未知數以表示式來表示。方程的解是一組可以符合方程的未知數，也就是說若用方程的解來取代未知數，會使方程變為恆等式。 例如方程 x + y = 2 x − 1 {\displaystyle x+y=2x-1} 的解為 x = y + 1 {\displaystyle x=y+1} ，因為若將方程中 x {\displaystyle x} 取代為 y + 1 {\displaystyle y+1} ，方程會變成恆等式 ( y + 1 ) + y = 2 ( y + 1 ) − 1 {\displaystyle \left(y+1\right)+y=2\left(y+1\right)-1} 。也可以將 y {\displaystyle y} 視為未知數，解則為 y = x − 1 {\displaystyle y=x-1} 。也可以將 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 都視為未知數，此時會有許多組的解，像是 ( x , y ) = ( 1 , 0 ) {\displaystyle (x,y)=\left(1,0\right)} 或是 ( x , y ) = ( 2 , 1 ) {\displaystyle (x,y)=\left(2,1\right)} 等，所有滿足 ( x , y ) = ( a + 1 , a ) {\displaystyle (x,y)=(a+1,a)} 的都是上述方程的解。 依問題的不同，方程求解可能只需要找到一組可以滿足方程的解，也有可能是要找到所有的解（解集合（英语：Solution set））。有時方程會存在許多解，但要找到某種最佳解，這類的問題稱為最佳化問題，找出最佳化問題的解一般不視為方程求解。 有些情形下，方程求解會需要找到解析解，也就是以解析表達式來表達的解。有些情形下，方程求解只需要找到數值解，也就是數值分析的方法求解近似值。許多方程不存在解析解，或是沒有簡單形式的解析解，例如五次方程以及更高次的代數方程，不存在根式解（用有限次的四則運算及根號組合而成的解析解），這是由數學家尼爾斯·阿貝爾證明的。 考慮一個具一般性的例子，有一個以下的方程： f ( x 1 , … , x n ) = c {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c} , 其中 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} 為未知數，而 c {\displaystyle c} 為常數。其解為反像集合的成員 f − 1 [ c ] = { ( a 1 , … , a n ) ∈ T 1 × … × T n | f ( a 1 , … , a n ) = c } {\displaystyle f^{-1}[c]=\left\{\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)\in T_{1}\times \ldots \times T_{n}|f\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)=c\right\}} 其中 T 1 , … , T n {\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{n}} 為函數 f {\displaystyle f} 的定義域。注意解集合可能為空集合（沒有解）、单元素集合（唯一解）、有限個元素的集合及無限多個元素的集合（有無限多的解）。 例如，以下的方程： 3 x + 2 y = 21 z {\displaystyle 3x+2y=21z} 其未知數為 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 及 z {\displaystyle z} ，可以在等式二側同減 21 z {\displaystyle 21z} ，得到以下的式子： 3 x + 2 y − 21 z = 0 {\displaystyle 3x+2y-21z=0} 以此例而言，方程不會只有唯一解，方程解的個數有無限多個，可以寫為以下的集合 { ( x , y , z ) | 3 x + 2 y − 21 z = 0 } {\displaystyle \left\{\left(x,y,z\right)|3x+2y-21z=0\right\}} . 其中一個特殊解為 x = 0 , y = 0 , z = 0 {\displaystyle x=0,y=0,z=0} ，而 x = 3 , y = 6 , z = 1 {\displaystyle x=3,y=6,z=1} 和 x = 8 , y = 9 , z = 2 {\displaystyle x=8,y=9,z=2} 也是其解。解集合描述一個三維空間中，恰好穿過上述三個點的平面。 若解集合（英语：solution set）為空集合，表示不存在 x i {\displaystyle x_{i}} 使得以下方程成立 f ( x 1 , … , x n ) = c {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c} , 其中 c {\displaystyle c} 為一特定常數。 例如考慮一個經典的單變數例子，考慮定義域為整數的平方函數 f {\displaystyle f} ： f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} , 考慮以下方程 f ( x ) = 2 {\displaystyle f(x)=2} . 其解集合為 { } {\displaystyle \left\{\right\}} ，是空集合。因為2不是任何整數的平方，因此不可能找到整數可以使以上方程成立。但若修改函數的定義域，將其定義域改為所有實數，則上式有二個解，其解集合為 { 2 , − 2 } {\displaystyle \left\{{\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\right\}} . 有些方程的解集合可能形成一個平面或曲面。例如在學習基礎數學時，有提及形式為 a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} 的方程，其中 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , 和 c {\displaystyle c} 都是實數的常數，且 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 至少有一個不為零，其解集合形成向量空間 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中的一條直線。不過有些解集合不易用圖解表示，例如 a x + b y + c z + d w = k {\displaystyle ax+by+cz+dw=k} （ a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} , and k {\displaystyle k} 為實數的常數）的解集合會形成超平面。 方程组 等化系数（英语：Equating coefficients） 数学分析 数值分析 阿米爾·艾克塞爾（Amir D. Aezel）. 費馬最後定理. 台北: 時報出版. 1998: p.87. ISBN 957-13-2648-8.  引文格式1维护：冗余文本 (link)