雅可比橢圓函數

在數學中，雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於擺之類的應用問題，並具有與三角函數相似的性質。 雅可比橢圓函數有十二種，各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作 s {\displaystyle s\,} c {\displaystyle c\,} d {\displaystyle d\,} n {\displaystyle n\,} 。 視此矩形為複數平面的一部分， s {\displaystyle s\,} 是原點， c {\displaystyle c\,} 是實軸上的一點 K , d {\displaystyle K,d\,} 是 K + i K ′ {\displaystyle K+{\rm {i}}K'\,} ， n {\displaystyle n\,} 是 i K ′ {\displaystyle {\rm {i}}K'\,} 。 K {\displaystyle K\,} 與 i K ′ {\displaystyle {\rm {i}}K'\,} 稱作四分之一週期。 十二個橢圓函數分別記為 s c , s d , s n , c s , c d , c n , d s , d c , d n , n s , n c , n d {\displaystyle {\rm {sc}},{\rm {sd}},{\rm {sn}},{\rm {cs}},{\rm {cd}},{\rm {cn}},{\rm {ds}},{\rm {dc}},{\rm {dn}},{\rm {ns}},{\rm {nc}},{\rm {nd}}\,} 。為方便起見，取變數 p , q {\displaystyle p,q\,} 意指矩形上的任一對頂點，則函數 p q {\displaystyle pq\,} 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數 p {\displaystyle p\,} 是單零點， q {\displaystyle q\,} 是單極點。 p q {\displaystyle pq\,} 在 p q → {\displaystyle {\vec {pq}}} 方向的週期等於 p , q {\displaystyle p,q\,} 距離的兩倍。對另兩個從 p {\displaystyle p\,} 出發的方向， p q {\displaystyle pq\,} 亦滿足同樣性質。 p q {\displaystyle pq\,} 在頂點 p {\displaystyle p\,} q {\displaystyle q\,} 的展式首項係數均為一。 表列如次： 一般而言，須以平行四邊形代替上述矩形，以考慮更一般的週期。 以上定義略顯抽象，更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設 u = ∫ 0 ϕ d θ 1 − m sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}.} 橢圓正弦函數 sn u 定義為 sn u = sin ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {sn} \;u=\sin \phi \,} 而橢圓余弦函數 cn u 定義為 cn u = cos ⁡ ϕ {\displaystyle \operatorname {cn} \;u=\cos \phi } 同理，椭圆德尔塔函数有 dn u = 1 − m sin 2 ⁡ ϕ . {\displaystyle \operatorname {dn} \;u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\phi }}.\,} 這裡的 m ∈ R {\displaystyle m\in \mathbb {R} } 是自由變元，通常取 0 ≤ m ≤ 1 {\displaystyle 0\leq m\leq 1} 。 剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。 雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆，这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样，雅可比椭圆函数的反函数也是多值的，因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达： a r c s n ( z , k ) = ∫ 0 z d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) {\displaystyle \mathrm {arcsn} \,(z,k)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}} a r c c n ( z , k ) = ∫ z 1 d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 + k 2 t 2 ) {\displaystyle \mathrm {arccn} \,(z,k)=\int _{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}} a r c d n ( z , k ) = ∫ z 1 d t ( 1 − t 2 ) ( t 2 + k 2 − 1 ) {\displaystyle \mathrm {arcdn} \,(z,k)=\int _{z}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+k^{2}-1)}}}} a r c n s ( z , k ) = ∫ 0 ∞ d t ( t 2 − 1 ) ( t 2 − k 2 ) {\displaystyle \mathrm {arcns} \,(z,k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(t^{2}-k^{2})}}}} a r c n c ( z , k ) = ∫ 1 z d t ( t 2 − 1 ) ( 1 − k 2 ) ( k 2 + t 2 ) {\displaystyle \mathrm {arcnc} \,(z,k)=\int _{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-k^{2})(k^{2}+t^{2})}}}} a r c n d ( z , k ) = ∫ 1 z d t ( t 2 − 1 ) ( 1 − ( 1 − k 2 ) t 2 ) {\displaystyle \mathrm {arcnd} \,(z,k)=\int _{1}^{z}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(t^{2}-1)(1-(1-k^{2})t^{2})}}}} 雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把 ϑ ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta (0;\tau )} 简写为 ϑ {\displaystyle \vartheta } ，把 ϑ 01 ( 0 ; τ ) , ϑ 10 ( 0 ; τ ) , ϑ 11 ( 0 ; τ ) {\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )} 分别简写为 ϑ 01 , ϑ 10 , ϑ 11 {\displaystyle \vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}} （Theta常数），那么椭圆模k是 k = ( ϑ 10 ϑ ) 2 {\displaystyle k=({\vartheta _{10} \over \vartheta })^{2}} 。如果我们设 u = π ϑ 2 z {\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z} ，我们便有： sn ( u ; k ) = − ϑ ϑ 11 ( z ; τ ) ϑ 10 ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle {\mbox{sn}}(u;k)=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}} cn ( u ; k ) = ϑ 01 ϑ 10 ( z ; τ ) ϑ 10 ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle {\mbox{cn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}} dn ( u ; k ) = ϑ 01 ϑ ( z ; τ ) ϑ ϑ 01 ( z ; τ ) {\displaystyle {\mbox{dn}}(u;k)={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}} cn 2 + sn 2 = 1 , {\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1,\,} dn 2 + k 2 sn 2 = 1. {\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}=1.\,} 由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 P 3 ( C ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )} 中兩個二次曲面之交，這同構於一條橢圓曲線。曲線上的群運算由下列加法公式描述： cn ⁡ ( x + y ) = cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) − sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , {\displaystyle \operatorname {cn} (x+y)={\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},} sn ⁡ ( x + y ) = sn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) dn ⁡ ( y ) + sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( x ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) , {\displaystyle \operatorname {sn} (x+y)={\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {cn} (y)\;\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}},} dn ⁡ ( x + y ) = dn ⁡ ( x ) dn ⁡ ( y ) − k 2 sn ⁡ ( x ) sn ⁡ ( y ) cn ⁡ ( x ) cn ⁡ ( y ) 1 − k 2 sn 2 ⁡ ( x ) sn 2 ⁡ ( y ) . {\displaystyle \operatorname {dn} (x+y)={\operatorname {dn} (x)\;\operatorname {dn} (y)-k^{2}\;\operatorname {sn} (x)\;\operatorname {sn} (y)\;\operatorname {cn} (x)\;\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(x)\;\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.} − dn 2 ⁡ ( u ) + ( 1 − k 2 ) = − k 2 cn 2 ⁡ ( u ) = k 2 sn 2 ⁡ ( u ) − k 2 {\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}(u)+(1-k^{2})=-k^{2}\;\operatorname {cn} ^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {sn} ^{2}(u)-k^{2}} ( k 2 − 1 ) nd 2 ⁡ ( u ) + ( 1 − k 2 ) = k 2 ( k 2 − 1 ) sd 2 ⁡ ( u ) = k 2 cd 2 ⁡ ( u ) − k 2 {\displaystyle (k^{2}-1)\;\operatorname {nd} ^{2}(u)+(1-k^{2})=k^{2}(k^{2}-1)\;\operatorname {sd} ^{2}(u)=k^{2}\;\operatorname {cd} ^{2}(u)-k^{2}} ( 1 − k 2 ) sc 2 ⁡ ( u ) + ( 1 − k 2 ) = ( 1 − k 2 ) nc 2 ⁡ ( u ) = dc 2 ⁡ ( u ) − k 2 {\displaystyle (1-k^{2})\;\operatorname {sc} ^{2}(u)+(1-k^{2})=(1-k^{2})\;\operatorname {nc} ^{2}(u)=\operatorname {dc} ^{2}(u)-k^{2}} cs 2 ⁡ ( u ) + ( 1 − k 2 ) = ds 2 ⁡ ( u ) = ns 2 ⁡ ( u ) − k 2 {\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}(u)+(1-k^{2})=\operatorname {ds} ^{2}(u)=\operatorname {ns} ^{2}(u)-k^{2}} 三个基本的雅可比椭圆函数的导数为： d d z s n ( z ; k ) = c n ( z ; k ) d n ( z ; k ) , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {sn} \,(z;k)=\mathrm {cn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k),} d d z c n ( z ; k ) = − s n ( z ; k ) d n ( z ; k ) , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {cn} \,(z;k)=-\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {dn} \,(z;k),} d d z d n ( z ; k ) = − k 2 s n ( z ; k ) c n ( z ; k ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\,\mathrm {dn} \,(z;k)=-k^{2}\mathrm {sn} \,(z;k)\,\mathrm {cn} \,(z;k).} 根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解： s n ( x ; k ) {\displaystyle \mathrm {sn} \,(x;k)} 是微分方程 d 2 y d x 2 + ( 1 + k 2 ) y − 2 k 2 y 3 = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0,} 和 ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})} 的解； c n ( x ; k ) {\displaystyle \mathrm {cn} \,(x;k)} 是微分方程 d 2 y d x 2 + ( 1 − 2 k 2 ) y + 2 k 2 y 3 = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0,} 和 ( d y d x ) 2 = ( 1 − y 2 ) ( 1 − k 2 + k 2 y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})} 的解； d n ( x ; k ) {\displaystyle \mathrm {dn} \,(x;k)} 是微分方程 d 2 y d x 2 − ( 2 − k 2 ) y + 2 y 3 = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0,} 和 ( d y d x ) 2 = ( y 2 − 1 ) ( 1 − k 2 − y 2 ) {\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})} 的解。 Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  引文使用过时参数coauthors (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 見 第16章 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3 Alfred George Greenhill, The applications of elliptic functions (London, New York, Macmillan, 1892) H. Hancock Lectures on the theory of elliptic functions (New York, J. Wiley & sons, 1910) A. C. Dixon The elementary properties of the elliptic functions, with examples (Macmillan, 1894)