E (数学常数)

e {\displaystyle e} ，亦称自然常数、自然底数，或是歐拉數（Euler's number），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一个无限不循环小数，數值約是（小數點後20位， A001113）： e = 2.71828182845904523536 ⋯ {\displaystyle e=2.71828182845904523536\cdots } ，近似值為 271801 99990 {\displaystyle {\frac {271801}{99990}}} 。 有許多的函數都和 e {\displaystyle e} 有關：自然對數函數的底數即為 e {\displaystyle e} ，數學中的指数函数也常是指以 e {\displaystyle e} 為底數的指数函数。 約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數 e {\displaystyle e} ，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把 e {\displaystyle e} 看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值： lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} 上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。 已知的第一次用到常數 e {\displaystyle e} ，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以 b {\displaystyle b} 表示。1727年歐拉開始用 e {\displaystyle e} 來表示這常數；而 e {\displaystyle e} 第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母 c {\displaystyle c} 表示，但 e {\displaystyle e} 較常用，終於成為標準。 用 e {\displaystyle e} 表示的原因確實不明，但可能因為 e {\displaystyle e} 是指數函數（exponential）一字的首字母。另一看法則稱 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 有其他經常用途，而 e {\displaystyle e} 是第一個可用字母。 就像圓周率 π {\displaystyle \pi } 和虛數單位i， e {\displaystyle e} 是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。 定義 e {\displaystyle e} 爲下列極限值： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} e = lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t {\displaystyle e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}} 定義 e {\displaystyle e} 爲階乘倒數之無窮級數的和： e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots } 其中 n ! {\displaystyle n!} 代表 n {\displaystyle n} 的階乘。 定義 e {\displaystyle e} 爲唯一的正數 x {\displaystyle x} 使得 ∫ 1 x d t t = 1 {\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1} 定義 e {\displaystyle e} 爲唯一的實數 x {\displaystyle x} 使得 lim h → 0 x h − 1 h = 1 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1} 這些定義可證明是等價的，请参见文章指数函数的特征描述（英语：Characterizations of the exponential function）。 很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數 e x {\displaystyle e^{x}} 的重要性在於，唯独该函數（或其常數倍，即 x ↦ k e x {\displaystyle x\mapsto ke^{x}} ，其中 k {\displaystyle k} 為任意常數）與自身導數相等。即： d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} 。 e x {\displaystyle e^{x}} 的泰勒級數為 e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ∀ x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x} = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . {\displaystyle =1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...} x {\displaystyle x} 為複數時依然成立，因此根據 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 及 cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x} 當 x = π {\displaystyle x=\pi } 的特例是歐拉恆等式： e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }+1=0} 此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)} 即棣莫弗公式。 e {\displaystyle e} 是無理數和超越數（見林德曼－魏尔斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的数，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。 当 x = e {\displaystyle x=e} 时函數 f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}} 有最大值。 e {\displaystyle e} 的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417） e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , 1 , 12 , … ] {\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]} 就像以下的展開式： e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}} 證明 e {\displaystyle e} 是無理數可以用反證法。假設 e {\displaystyle e} 是有理數，則可以表示成 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}  ，其中 a , b {\displaystyle a,b} 為正整數。以 e {\displaystyle e} 的無窮級數展開式可以得出矛盾。 考慮數字 x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystyle x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)} ， 以下將推導出 x {\displaystyle x} 是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證 e {\displaystyle e} 是無理數。 x {\displaystyle x} 是整數，因為 0 < x = b ! ( e − ∑ i = 0 b 1 i ! ) = b ! ( a b − ∑ i = 0 b 1 i ! ) {\displaystyle 0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)} = a ( b − 1 ) ! − ∑ i = 0 b b ! i ! {\displaystyle =a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}} = a ( b − 1 ) ! − [ 1 + ∑ n = 0 b − 1 b ( b − 1 ) ⋯ ( n + 1 ) ] {\displaystyle =a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]} 。 x {\displaystyle x} 是小於1的正數，因為 0 < x = b ! ∑ n = b + 1 ∞ 1 n ! {\displaystyle 0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}} = 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) + 1 ( b + 1 ) ( b + 2 ) ( b + 3 ) + ⋯ {\displaystyle ={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots } < 1 b + 1 + 1 ( b + 1 ) 2 + 1 ( b + 1 ) 3 + ⋯ = 1 b ≤ 1 {\displaystyle <{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1} 。 但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出 e {\displaystyle e} 為無理數。 視 n {\displaystyle n} 為存在的數值，所以用二項式定理可證出： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} = lim n → ∞ ∑ i = 0 n C i n 1 n − i ( 1 n ) i {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}} = lim n → ∞ [ C 0 n 1 n ( 1 n ) 0 + C 1 n 1 n − 1 ( 1 n ) 1 + C 2 n 1 n − 2 ( 1 n ) 2 + C 3 n 1 n − 3 ( 1 n ) 3 + . . . + C n n 1 0 ( 1 n ) n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]} = lim n → ∞ [ 1 × 1 + n × 1 n + n ! ( n − 2 ) ! 2 ! × 1 n 2 + n ! ( n − 3 ) ! 3 ! × 1 n 3 + . . . + 1 × 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]} = lim n → ∞ [ 1 + 1 + n × ( n − 1 ) 2 n 2 + n × ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 × 2 n 3 + . . . + 1 n n ] {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]} = 2 + 1 2 + 1 6 + . . . {\displaystyle =2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...} = 2.71828... {\displaystyle =2.71828...} 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的 e {\displaystyle e} 十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，与圆周率有关。 Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在 e {\displaystyle e} 的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個 e {\displaystyle e} 中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。 著名電腦科學家高德納的软件Metafont的軟體版本號趨向 e {\displaystyle e} （就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），与之相对的有TeX的軟體版本號号是趋向于圆周率的。 e的π次方 无理数 超越数 欧拉数 圆周率 指数函数 自然對數 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004593 (Expansion of e in base 2). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A004599 (Expansion of e in base 8). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A027606 (e in duodecimal). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A170873 (Hexadecimal expansion of e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 （日语）  142.D Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation （页面存档备份，存于互联网档案馆） Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast （页面存档备份，存于互联网档案馆）