位力定理

位力定理（英語：Virial theorem，又稱维里定理、均功定理）是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係。考慮一個有N個質點的體系，其數學表達式爲： ⟨ T ⟩ = − 1 2 ∑ k = 1 N ⟨ F k ⋅ r k ⟩ {\displaystyle \langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle {\boldsymbol {F}}_{k}\cdot {\boldsymbol {r}}_{k}\rangle } 其中：角括號表示對時間取平均， T {\displaystyle T} 是系统内部的总动能， F k {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{k}} 是第k個質點所受的力， r k {\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{k}} 是第k個質點的位置向量；等式右邊稱作均位力積（英語：virial，簡稱位力），反映體系內相互作用強度。英語virial一詞由德國物理學家魯道夫·克勞修斯於1870年根據拉丁語單詞vīs（意爲力、能量）命名。 特別地，若系統内任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離 r {\displaystyle r} 的 n {\displaystyle n} 次冪成正比的勢能 V ( r ) = α r n {\displaystyle V(r)=\alpha r^{n}} （其中 α , n {\displaystyle \alpha ,n} 為常數），則定理簡化為： 2 ⟨ T ⟩ = n ⟨ V Total ⟩ {\displaystyle 2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{Total}}\rangle } 即：體系的總動能2倍等於總勢能的n倍。對於引力勢能，這裏的 n = − 1 {\displaystyle n=-1} 。 位力定理的一個意義在於，它允許計算平均總動能，即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統，例如在統計力學中考慮的那些；根據能量均分定理，該平均總動能與系統溫度有關。然而，維里定理不依賴於溫度的概念，甚至適用於不處於熱平衡的系統。維里定理已以各種方式推廣，特別是張量形式。 考慮N = 2個質量相同的質點構成的孤立體系，它們受萬有引力相互作用。假設兩個質點分別以v1(t)和v2(t) = −v1(t)的速度（大小均為v，方向相反）圍繞共同質心做匀速圆周运动，半徑為r，兩者分別受到作用力F1(t)和F2(t) = −F1(t)（大小均爲F，方向相反）。則體系的時間平均縂動能為： ⟨ T ⟩ = ∑ k = 1 N 1 2 m k | v k | 2 = 1 2 m | v 1 | 2 + 1 2 m | v 2 | 2 = m v 2 {\displaystyle \langle T\rangle =\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}\right|^{2}={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}|^{2}=mv^{2}} 以共同質心為原點，兩者的位置向量分別爲r1(t)及r2(t) = −r1(t)（大小均爲常數r）。引力方向朝向原點，與位置向量方向相反，故F1(t) ⋅ r1(t) = F2(t) ⋅ r2(t) = −Fr。又，向心力大小等於萬有引力大小：F = mv2/r。代入得： − 1 2 ∑ k = 1 N ⟨ F k ⋅ r k ⟩ = − 1 2 ( − F r − F r ) = F r = m v 2 r ⋅ r = m v 2 = ⟨ T ⟩ {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle } 預先知識 對於 Virial theorem 的推導, 將需要用到齐次函数的如下性質, 既當 f ( x → ) {\displaystyle f({\vec {x}})} 為 k {\displaystyle k} 次 齊次函數時, 有: d f ( α x → ) d ( α x → ) ⋅ x → = ∂ ∂ α [ f ( α x → ) ] = ∂ [ α k f ( x → ) ] ∂ α = k α k − 1 f ( x → ) {\displaystyle {\frac {df(\alpha {\vec {x}})}{d(\alpha {\vec {x}})}}\cdot {\vec {x}}={\frac {\partial }{\partial {\alpha }}}[f(\alpha {\vec {x}})]={\frac {\partial [\alpha ^{k}f({\vec {x}})]}{\partial \alpha }}=k\alpha ^{k-1}f({\vec {x}})} 對於 a = 1 {\displaystyle a=1} 時有: x → ∇ → f ( x → ) = k f ( x → ) {\displaystyle {\vec {x}}{\vec {\nabla }}f({\vec {x}})=kf({\vec {x}})} 具體推導 注意到動能 T {\displaystyle T} 是一個關於速度 v → {\displaystyle {\vec {v}}} 的2次齊次函數: v → ⋅ ∂ T ∂ v → = 2 T {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial {\vec {v}}}}=2T} , 同時有 ∂ T ∂ v → = p → {\displaystyle {\frac {\partial {T}}{\partial {\vec {v}}}}={\vec {p}}} , 從而得到   2 T = v → ⋅ p → = d d t ( p → ⋅ x → ) − p → ˙ ⋅ x → {\displaystyle \ 2T={\vec {v}}\cdot {\vec {p}}={\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})-{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}} 計算上式對於時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} 的平均: < 2 T > Δ t = 1 Δ t ∫ 0 Δ t ( . . . ) ( 等 式 右 邊 )   d t {\displaystyle <2T>_{\Delta t}={\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}(...){\text{( 等 式 右 邊 )}}\ dt} 我們關注 Δ t → ∞ {\displaystyle \Delta t\rightarrow \infty } 的情況, 假設系統的運動是有限的 ( ( p → ⋅ x → ) {\displaystyle ({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})} 不會有 ∞ {\displaystyle \infty } 出現的情況), 此時等式右邊的前半部分將趨近於 0 {\displaystyle 0} : l i m Δ t → ∞ 1 Δ t ∫ 0 Δ t d d t ( p → ⋅ x → ) d t = l i m Δ t → ∞ ( p → ⋅ x → ) | ( Δ t ) − ( p → ⋅ x → ) | ( 0 ) Δ t → 0 {\displaystyle lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {1}{\Delta t}}\int _{0}^{\Delta t}{\frac {d}{dt}}({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})dt=lim_{\Delta t\rightarrow \infty }{\frac {({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(\Delta t)}-({\vec {p}}\cdot {\vec {x}})|_{(0)}}{\Delta t}}\rightarrow 0} 我們得到: 2 < T > t = − < p → ˙ ⋅ x → > t {\displaystyle 2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}} p → ˙ {\displaystyle {\dot {\vec {p}}}} 可以通過系統的勢能 V ( x → ) {\displaystyle V({\vec {x}})} 寫出: p → ˙ = − ∇ → V ( x → ) {\displaystyle {\dot {\vec {p}}}=-{\vec {\nabla }}V({\vec {x}})} ; 另外我們最終假設勢能 V ( x → ) {\displaystyle V({\vec {x}})} 為, k {\displaystyle k} 次齊次函數, 並利用預先知識中 a = 1 {\displaystyle a=1} 時的等式 就能夠得到位力定理: 2 < T > t = − < p → ˙ ⋅ x → > t =< x → ⋅ ∇ → V ( x → ) > t = k < V ( x → ) > t {\displaystyle 2<T>_{t}=-<{\dot {\vec {p}}}\cdot {\vec {x}}>_{t}=<{\vec {x}}\cdot {\vec {\nabla }}V({\vec {x}})>_{t}=k<V({\vec {x}})>_{t}} d P d r = − G m ( r ) ρ ( r ) r 2 ⇒ d P = − G m ( r ) ρ ( r ) r 2 d r . {\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}\Rightarrow dP=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}dr.} 考虑恒星的位力定理在天体物理学中的应用。如果将恒星的物质视为流体，则可以使用流体静力平衡条件来考虑恒星。这个假设条件允许将恒星的引力与其内部的压力建立关系，从而将引力势能与内能联系起来，即位力定理。基于引力势能 Ω ∝ r − 1 {\displaystyle \Omega \propto r^{-1}} ，我们期待内能与势能之间的关系为 E int = − 1 2 Ω {\displaystyle E_{\text{int}}=-{\frac {1}{2}}\Omega } 。 下面是更详细的推导过程：将恒星视为正球体来简化推导过程。气压 P {\displaystyle P} 是半径 r {\displaystyle r} 的函数： d P d r = − G m ( r ) ρ ( r ) r 2 ⇒ d P = − G m ( r ) ρ ( r ) r 2 d r . {\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}\Rightarrow dP=-{\frac {Gm(r)\rho (r)}{r^{2}}}dr.} 对于理想气体，内能 E int {\displaystyle E_{\text{int}}} 为： E int = 3 2 N k B T = 3 2 M m g k B T , {\displaystyle E_{\text{int}}={\frac {3}{2}}Nk_{B}T={\frac {3}{2}}{\frac {M}{m_{g}}}k_{B}T,} 其中 m g {\displaystyle m_{g}} 是粒子的平均质量， M {\displaystyle M} 是恒星的质量， k B {\displaystyle k_{B}} 是玻尔兹曼常数， T {\displaystyle T} 是温度。 考虑恒星的静力平衡条件，同时乘以体积 V = 4 π r 3 3 {\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}} ，并积分，得到： ∫ 0 R V d p = − 1 3 ∫ 0 R G m ( r ) r ρ ( r ) 4 π r 2 d r = − 1 3 ∫ 0 R G m ( r ) r d m ( r ) . {\displaystyle \int _{0}^{R}Vdp=-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{R}{\frac {Gm(r)}{r}}\rho (r)4\pi r^{2}dr=-{\frac {1}{3}}\int _{0}^{R}{\frac {Gm(r)}{r}}dm(r).} 右侧积分包含了恒星的重力势能 Ω = − ∫ 0 R G m ( r ) r d m ( r ) {\displaystyle \Omega =-\int _{0}^{R}{\frac {Gm(r)}{r}}dm(r)} ，所以我们可以得到： ∫ 0 R V d p = 1 3 Ω . {\displaystyle \int _{0}^{R}Vdp={\frac {1}{3}}\Omega .} 对左侧积分使用分部积分可得： ∫ 0 R V d P = P V | 0 R − ∫ 0 R P d V = − ∫ 0 R P d V , {\displaystyle \int _{0}^{R}VdP=PV|_{0}^{R}-\int _{0}^{R}PdV=-\int _{0}^{R}PdV,} 其中 P V | 0 R = 0 {\displaystyle PV|_{0}^{R}=0} ，因为恒星最外层压强为0，最内侧体积为0。对于理想气体， P V = N k b T {\displaystyle PV=Nk_{b}T} ，将其与理想气体内能公式结合，得到单位体积内的内能： U = E int V = 3 2 P ⇒ P = 2 3 U , {\displaystyle U={\frac {E_{\text{int}}}{V}}={\frac {3}{2}}P\Rightarrow P={\frac {2}{3}}U,} 将其应用到上面的积分，得到： − ∫ 0 R P d V = − 2 3 ∫ 0 R U d V = − 2 3 E int . {\displaystyle -\int _{0}^{R}PdV=-{\frac {2}{3}}\int _{0}^{R}UdV=-{\frac {2}{3}}E_{\text{int}}.} 将两侧积分结果相等，得到： − 2 3 E int = 1 3 Ω ⇒ E int = − 1 2 Ω . {\displaystyle -{\frac {2}{3}}E_{\text{int}}={\frac {1}{3}}\Omega \Rightarrow E_{\text{int}}=-{\frac {1}{2}}\Omega .} 这就是恒星在流体静力平衡下的位力定理。 通过这个公式，可以推算太阳的平均温度 ⟨ T ⊙ ⟩ {\displaystyle \langle T_{\odot }\rangle } 大约为 10 6 {\displaystyle 10^{6}} 开尔文，对应的内能大约为 1  keV {\displaystyle 1{\text{ keV}}} 。太阳的表面温度仅在 5774 {\displaystyle 5774} 开尔文左右，因此可以认为太阳的内部温度比表面高很多。由于电子的结合能仅为 1  eV {\displaystyle 1{\text{ eV}}} ，而太阳的平均内能远大于这个数值，因此可以认为太阳是离子气体。 在統計物理中，有求一般熱力學系宗宏觀壓強張量的位力展開[來源請求]： p = 2 V ( 1 2 ⟨ ∑ i = 1 N m i v i ⊗ v i ⟩ + 1 2 ⟨ ∑ i < j r i j ⊗ F i j ⟩ ) {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {2}{V}}\left({\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}\otimes \mathbf {v} _{i}\right\rangle +{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{i<j}{\boldsymbol {r}}_{ij}\otimes {\boldsymbol {F}}_{ij}\right\rangle \right)} 亦即體系壓強爲（與動能相關的）動理壓強和（與相互作用相關的）內壓強之和。上式中的第二項即爲均位力積相關項。 Clausius, RJE. On a Mechanical Theorem Applicable to Heat. Philosophical Magazine. Series 4. 1870, 40 (265): 122–127. doi:10.1080/14786447008640370.  Hydrostatic Equilibrium. burro.astr.cwru.edu. [2024-05-10]. （原始内容存档于2024-05-10）.