连通图

连通图（英語：Connected graph）是图论中最基本概念之一，其定义基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点 v i {\displaystyle v_{i}} 到顶点 v j {\displaystyle v_{j}} 有路径相连（从 v j {\displaystyle v_{j}} 到 v i {\displaystyle v_{i}} 也一定有路径），则称 v i {\displaystyle v_{i}} 和 v j {\displaystyle v_{j}} 是连通的。如果G是有向图，那么连接 v i {\displaystyle v_{i}} 和 v j {\displaystyle v_{j}} 的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。 对一个图G= (V,E)中的两点 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ，若存在交替的顶点和边的序列 Γ = ( x = v 0 − e 1 − v 1 − e 2 − ⋯ − e k − v k = y ) {\displaystyle \Gamma =(x=v_{0}-e_{1}-v_{1}-e_{2}-\cdots -e_{k}-v_{k}=y)} （在有向图中要求有向边 v i − v i + 1 {\displaystyle v_{i}-v_{i+1}} 属于E），则两点 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是连通的。 Γ {\displaystyle \Gamma } 是一条 x {\displaystyle x} 到 y {\displaystyle y} 的连通路径， x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 分别是起点和终点。当 x = y {\displaystyle x=y} 时， Γ {\displaystyle \Gamma } 被称为回路。如果通路 Γ {\displaystyle \Gamma } 中的边两两不同，则 Γ {\displaystyle \Gamma } 是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通，则G是连通图。 一个有向图被称作弱连通(weakly connected)的，如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的，如果对于任意一对顶点 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} ，或者存在一条从 u {\displaystyle u} 到 v {\displaystyle v} 的有向路径，或者存在一条从 v {\displaystyle v} 到 u {\displaystyle u} 的有向路径，则该图是单连通(unilaterally conncected)的，如果对于如果对于任意一对顶点 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} ，同时存在一条从 u {\displaystyle u} 到 v {\displaystyle v} 的有向路径和一条从 v {\displaystyle v} 到 u {\displaystyle u} 的有向路径，则该图是强连通(strongly connected)的。 无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量（或连通分支）。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量，连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。 有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。 连通图 G {\displaystyle G} 的割点是指一个由顶点组成的集合，在 G {\displaystyle G} 删除了这些点之后，会变得不连通。点连通度 κ ( G ) {\displaystyle \kappa (G)} 是割点集阶数的最小值。如果图 G {\displaystyle G} 不是完全图，且 κ ( G ) = k {\displaystyle \kappa (G)=k} ,则图 G {\displaystyle G} 是 k {\displaystyle k} -点连通的。更确切地来说，如果图 G {\displaystyle G} （不论是否完全）可以在删除了 k + 1 {\displaystyle k+1} 个点之后变得不连通，却不能在删除 k − 1 {\displaystyle k-1} 个点之后变得不连通，则图 G {\displaystyle G} 是 k {\displaystyle k} -点连通的，特别地，阶数为 n {\displaystyle n} 的完全图是 n − 1 {\displaystyle n-1} -点连通的。 一对端点 u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} 的割点是是指一个由顶点组成的集合，在 G {\displaystyle G} 删除了这些点之后， u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} 会变得不连通。局部连通度 κ ( u , v ) {\displaystyle \kappa (u,v)} 是 u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} 的最小割点集的阶数。在无向图上，局部连通度是对称的，也就是说， κ ( u , v ) = κ ( v , u ) {\displaystyle \kappa (u,v)=\kappa (v,u)} ，另外，除了完全图之外， κ ( G ) {\displaystyle \kappa (G)} 为所有不相邻的点对 u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} 的局部联通度中的最小值。 类似的概念可以用来定义边连通度。如果在 G {\displaystyle G} 上删除一条边可以导致不连通性，则这条边被称作桥。更一般地，割边是指一个由边组成的集合，在 在 G {\displaystyle G} 删除了这些边之后，会变得不连通。边连通度在 λ ( G ) {\displaystyle \lambda (G)} 是最小的割边集的大小，局部边连通度 λ ( u , v ) {\displaystyle \lambda (u,v)} 是 如果图 G {\displaystyle G} 的边连通度大于等于 k {\displaystyle k} ，则它被称作 k {\displaystyle k} -边连通的。 在一个图上，以下的不等式成立: κ ( G ) ⩽ λ ( G ) ⩽ δ ( G ) {\displaystyle \kappa (G)\leqslant \lambda (G)\leqslant \delta (G)} ，其中 δ ( G ) {\displaystyle \delta (G)} 是 G {\displaystyle G} 的最小度(minimum degree)。 如果图 G {\displaystyle G} 的点连通度等于其最小度,则被称作极大连通的，如果它的边连通度等于其最小度，则它被称作极大边连通的。 如果图 G {\displaystyle G} 上，每一个最小的割点集都能孤立一个顶点，则图 G {\displaystyle G} 被称作super-connected或者 super-κ。如果 G {\displaystyle G} 删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量，并且其中一个是单点，那么图 G {\displaystyle G} 被称作hyper-connected或hyper-κ。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量，则图 G {\displaystyle G} 被称作semi-hyper-connected或semi-hyper-κ。 一个割点集 X {\displaystyle X} 被称作non-trivial的，如果对于任意不属于 X {\displaystyle X} 的顶点 v {\displaystyle v} ，其邻域 N ( u ) {\displaystyle N(u)} 都不包含在 X {\displaystyle X} 中。 G {\displaystyle G} 的superconnectivity可以被表示成： κ ( G ) = {\displaystyle \kappa (G)=} = min{|X| : X is a non-trivial cutset}. 一个non-trivial 割边和edge-superconnectivity λ1(G)可以被类似地定义。 图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理，它用顶点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} 为图 G {\displaystyle G} 的两个顶点，一系列连接 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 的路径被称作点独立的，如果它们之间除了 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} 之外，不会有相同的顶点。类似地，它们被称作边独立的，如果它们不会有相同的边。 u {\displaystyle u} 和 u {\displaystyle u} 点独立的路径的个数被记作 κ ′ ( u , v ) {\displaystyle \kappa '(u,v)} ，边独立的路径的个数被记作 λ ′ ( u , v ) {\displaystyle \lambda '(u,v)} 。 门格尔定理告诉我们，若 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} 不相同，则 λ ′ ( u , v ) = λ ( u , v ) {\displaystyle \lambda '(u,v)=\lambda (u,v)} ，若 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} 不相同且不相邻，则 κ ′ ( u , v ) = κ ( u , v ) {\displaystyle \kappa '(u,v)=\kappa (u,v)} 。 事实上，这其实是最大流最小割定理的特殊情况。 判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决，例如广度优先算法。更一般地，判断一个图是否连通，以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决（例如使用并查集，一个简单算法的伪代码可以写成： 从 G {\displaystyle G} 的任意一个顶点开始 使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点，并计数 搜索完成，如果计数等于 G {\displaystyle G} 的阶数，则 G {\displaystyle G} 是连通的，否则 G {\displaystyle G} 不连通。 根据门格尔定理，在连通图 G {\displaystyle G} 上，对于任意一对顶点 u {\displaystyle u} ， v {\displaystyle v} ， κ ( u , v ) {\displaystyle \kappa (u,v)} ， λ ( u , v ) {\displaystyle \lambda (u,v)} 可以通过最大流最小割算法迅速的计算，因此， G {\displaystyle G} 的边连通度和点联通度分别作为 κ ( u , v ) {\displaystyle \kappa (u,v)} ， λ ( u , v ) {\displaystyle \lambda (u,v)} 的最小值，可以被迅速地计算。 n {\displaystyle n} 阶（小于等于16）的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 A001187中，前几个份量是 不连通图的边连通度和点连通度均为 0 {\displaystyle 0} 1-点连通等价于阶数大于等于 2 {\displaystyle 2} 的图的连通性。 n {\displaystyle n} 阶完全图的边连通度是 n − 1 {\displaystyle n-1} ,其他类型的 n {\displaystyle n} 阶图的边连通度严格小于 n − 1 {\displaystyle n-1} 在树中，任意两个顶点之间的局部边连通度都是 1 {\displaystyle 1} 连通性被图同态保持 如果 G {\displaystyle G} 是连通的，则它的线图 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 也是连通的 图 G {\displaystyle G} 是2-边连通的，当且仅当它有一个定向，且是强连通的。 根据G. A. Dirac的结论，如果图 G {\displaystyle G} 是 k {\displaystyle k} -点连通的，且 k ⩾ 2 {\displaystyle k\geqslant 2} ，则对于每k个顶点组成的集合，存在一个环经过这个集合上所有的顶点。 在 k = 2 {\displaystyle k=2} 时，反过来亦成立。 一个无向图G= (V,E)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一： | E | ≥ | V | − 1 {\displaystyle |E|\geq |V|-1} ，而反之不成立。 如果G= (V,E)是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目： | E | ≥ | V | {\displaystyle |E|\geq |V|} ，而反之不成立。 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于： | E | = | V | − 1 {\displaystyle \displaystyle |E|=|V|-1} 。 代数连通度 Cheeger constant (graph theory) Dynamic connectivity, 并查集 扩展图 Strength of a graph Chapter 11: Digraphs: Principle of duality for digraphs: Definition (PDF). [2020-10-04]. （原始内容存档 (PDF)于2020-01-10）.  Diestel, R. Graph Theory, Electronic Edition: 12. 2005 [2020-10-04]. （原始内容存档于2019-12-16）.  Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory. CRC Press. 2004: 335. ISBN 978-1-58488-090-5.  Liu, Qinghai; Zhang, Zhao. The existence and upper bound for two types of restricted connectivity. Discrete Applied Mathematics. 2010-03-01, 158 (5): 516–521. doi:10.1016/j.dam.2009.10.017.  Balbuena, Camino; Carmona, Angeles. On the connectivity and superconnectivity of bipartite digraphs and graphs. Ars Combinatorica. 2001-10-01, 61: 3–22.  Gibbons, A. Algorithmic Graph Theory. Cambridge University Press. 1985.  Nagamochi, H.; Ibaraki, T. Algorithmic Aspects of Graph Connectivity. Cambridge University Press. 2008.  Dirac, Gabriel Andrew. In abstrakten Graphen vorhandene vollständige 4-Graphen und ihre Unterteilungen. Mathematische Nachrichten. 1960, 22 (1–2): 61–85. MR 0121311. doi:10.1002/mana.19600220107. . Flandrin, Evelyne; Li, Hao; Marczyk, Antoni; Woźniak, Mariusz. A generalization of Dirac's theorem on cycles through k vertices in k-connected graphs. Discrete Mathematics. 2007, 307 (7–8): 878–884. MR 2297171. doi:10.1016/j.disc.2005.11.052. .