後牛頓形式論

在不同的引力度规理论中，决定时空度规的场方程具有很大的差异。但是，在弱场和慢运动及低能的情况下，几乎所有度规理论的时空度规都具有相同的结构，都可以写成闵可夫斯基度规加上微擾，并按照由系统的物质变量所定义的各种引力势的幂级数展开。各种度规理论都具有相同形式的度规展开式，它们的区别仅在于展开系数有不同的值。这样，就可以用一个统一的后牛顿理论来描述各种度规理论。这样一个统一的理论称为 参数化后牛顿（PPN）形式体系，度规展开式中的展开系数称为PPN参数。 采用近整体罗伦茲坐标系，其中的坐标为 ( t , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle \left(t,{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}}\right)} 。始终用3维欧几里得矢量记号。所有的坐标任意性（“规范自由度”）已用对标准的PPN规范专门化的坐标除去。 （1） ρ = {\displaystyle \rho =} 在与引力作用着的物质瞬时共动局部自由降落系中测量的静质量密度。 （2） v i = d x i d t = {\displaystyle {{v}^{i}}={\frac {d{{x}^{i}}}{dt}}=} 物质的坐标速度。 （3） w i = {\displaystyle {{w}^{i}}=} PPN坐标系（相对于宇宙平均静系）的坐标速度。 （4） p = {\displaystyle p=} 在与物质瞬时共动的自由降落系中测量的压强。 （5） π = {\displaystyle \pi =} 单位静质量的内能，它包括所有形式的非静质量、非引力的能量，即压力能和热能。 γ , β , ξ , α 1 , α 2 , α 3 , ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , ζ 4 {\displaystyle \gamma ,\beta ,\xi ,{{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}},{{\zeta }_{3}},{{\zeta }_{4}}} 1、 U = ∫ ρ ( x ′ ) | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle U=\int {\frac {\rho ({x}')}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 2、 U i j = ∫ ρ ( x → ′ ) | x → − x → ′ | 3 ( x i − x i ′ ) ( x j − x j ′ ) d 3 x ′ {\displaystyle {{U}_{ij}}=\int {{\frac {\rho ({\vec {x}}')}{{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}^{3}}}({{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime })({{x}_{j}}-{{x}_{j}}^{\prime }){{d}^{3}}{x}'}} 3、 Φ w = ∫ ρ ( x → ′ ) ρ ( x → ″ ) | x → − x → ′ | 3 ( ( x → − x → ′ ) ⋅ ( ( x → ′ − x → ″ ) | x → − x → ″ | − ( x → − x → ″ ) | x → ′ − x → ″ | ) ) d 3 x ′ d 3 x ″ {\displaystyle {{\Phi }_{w}}=\int {{\frac {\rho ({\vec {x}}')\rho ({\vec {x}}'')}{{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}^{3}}}\left(\left({\vec {x}}-{\vec {x}}'\right)\cdot \left({\frac {\left({\vec {x}}'-{\vec {x}}''\right)}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}''\right|}}-{\frac {\left({\vec {x}}-{\vec {x}}''\right)}{\left|{\vec {x}}'-{\vec {x}}''\right|}}\right)\right){{d}^{3}}{x}'{{d}^{3}}{x}''}} 4、 A = ∫ ρ ( x → ′ ) ( v → ′ ⋅ ( x → − x → ′ ) ) 2 | x → − x → ′ | 3 d 3 x ′ {\displaystyle A=\int {\frac {\rho ({\vec {x}}'){{\left({\vec {v}}'\centerdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}')\right)}^{2}}}{{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}^{3}}}{{d}^{3}}{x}'} 5、 Φ 1 = ∫ ρ ( x → ′ ) v ′ 2 | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{\Phi }_{1}}=\int {\frac {\rho ({{\vec {x}}'}){{{v}'}^{2}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 5、 Φ 1 = ∫ ρ ( x → ′ ) v ′ 2 | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{\Phi }_{1}}=\int {\frac {\rho ({{\vec {x}}'}){{{v}'}^{2}}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 6、 Φ 2 = ∫ ρ ( x → ′ ) U ( x → ′ ) | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{\Phi }_{2}}=\int {\frac {\rho ({\vec {x}}')U({\vec {x}}')}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 7、 Φ 3 = ∫ ρ ( x → ′ ) π ( x → ′ ) | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{\Phi }_{3}}=\int {\frac {\rho ({\vec {x}}')\pi ({\vec {x}}')}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 8、 Φ 4 = ∫ p ( x → ′ ) | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{\Phi }_{4}}=\int {\frac {p({\vec {x}}')}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'} 9、 V i = ∫ ρ ( x → ′ ) v i ′ | x → − x → ′ | d 3 x ′ {\displaystyle {{V}_{i}}=\int {{\frac {\rho ({\vec {x}}'){{{v}_{i}}'}}{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}}{{d}^{3}}{x}'}} 10、 W i = ∫ ρ ( x → ′ ) ( v → ′ ⋅ ( x → − x → ′ ) ) ( x i − x i ′ ) | x → − x → ′ | 3 d 3 x ′ {\displaystyle {{W}_{i}}=\int {{\frac {\rho ({\vec {x}}')\left({\vec {v}}'\centerdot ({\vec {x}}-{\vec {x}}')\right)\left({{x}_{i}}-{{x}_{i}}^{\prime }\right)}{{\left|{\vec {x}}-{\vec {x}}'\right|}^{3}}}{{d}^{3}}{x}'}} g 00 = − 1 + 2 U − 2 β U 2 − 2 ξ Φ w + ( 2 γ + 2 + α 3 + ζ 1 − 2 ξ ) Φ 1 + 2 ( 3 γ − 2 β + 1 + ζ 2 + ξ ) Φ 2 ⁡ + 2 ( 1 + ζ 3 ) Φ 3 + 2 ( 3 γ + 3 ζ 4 − 2 ξ ) Φ 4 − ( ζ 1 − 2 ξ ) A − ( α 1 − α 2 − α 3 ) w 2 U − α 2 w i w j U i j + ( 2 α 3 − α 1 ) w i V i + O ( ε 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{{g}_{00}}=-1+2U-2\beta {{U}^{2}}-2\xi {{\Phi }_{w}}\\&\mathop {} _{}+(2\gamma +2+{{\alpha }_{3}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi ){{\Phi }_{1}}\\&\mathop {} _{}+2(3\gamma -2\beta +1+{{\zeta }_{2}}+\xi ){{\Phi }_{2}}\\&\mathop {} _{}{\text{+}}2(1+{{\zeta }_{3}}){{\Phi }_{3}}\\&\mathop {} _{}+2(3\gamma +3{{\zeta }_{4}}-2\xi ){{\Phi }_{4}}\\&\mathop {} _{}-({{\zeta }_{1}}-2\xi )A-({{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}-{{\alpha }_{3}}){{w}^{2}}U\\&\mathop {} _{}-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{w}^{j}}{{U}_{ij}}+(2{{\alpha }_{3}}-{{\alpha }_{1}}){{w}^{i}}{{V}_{i}}+O\left({{\varepsilon }^{3}}\right)\\\end{aligned}}} g 0 i = − 1 2 ( 4 γ + 3 + α 1 − α 2 + ζ 1 − 2 ξ ) V i − 1 2 ( 1 + α 2 − ζ 1 + 2 ξ ) W i − 1 2 ( α 1 − 2 α 2 ) w i U − α 2 w i U i j + O ( ε 5 / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{{g}_{0i}}=-{\frac {1}{2}}\left(4\gamma +3+{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}+{{\zeta }_{1}}-2\xi \right){{V}_{i}}\\&-{\frac {1}{2}}\left(1+{{\alpha }_{2}}-{{\zeta }_{1}}+2\xi \right){{W}_{i}}-{\frac {1}{2}}\left({{\alpha }_{1}}-2{{\alpha }_{2}}\right){{w}^{i}}U-{{\alpha }_{2}}{{w}^{i}}{{U}_{ij}}+O\left({{\varepsilon }^{5/2}}\right)\\\end{aligned}}} g i j = ( 1 + 2 γ U ) δ i j + O ( ε 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{{g}_{ij}}=(1+2\gamma U){{\delta }_{ij}}+O\left({{\varepsilon }^{2}}\right)\end{aligned}}} T 00 = ρ ( 1 + π + v 2 + 2 U ) {\displaystyle {{T}^{00}}=\rho \left(1+\pi +{{v}^{2}}+2U\right)} T 0 i = ρ ( 1 + π + v 2 + 2 U + p ρ ) v i {\displaystyle {{T}^{0i}}=\rho \left(1+\pi +{{v}^{2}}+2U+{\frac {p}{\rho }}\right){{v}^{i}}} T i j = ρ v i v j ( 1 + π + v 2 + 2 U + p ρ ) + p δ i j ( 1 − 2 γ U ) {\displaystyle {{T}^{ij}}=\rho {{v}^{i}}{{v}^{j}}\left(1+\pi +{{v}^{2}}+2U+{\frac {p}{\rho }}\right)+p{{\delta }^{ij}}\left(1-2\gamma U\right)} (1)受应力的物质： T μ ν ; ν = 0 {\displaystyle {{T}^{\mu \nu }}_{;\nu }=0} (2)检验物体： d 2 x μ d λ 2 + Γ α β μ u α u β = 0 {\displaystyle {\frac {{{d}^{2}}{{x}^{\mu }}}{d{{\lambda }^{2}}}}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }{{u}^{\alpha }}{{u}^{\beta }}=0} (3)Maxswell方程组： F μ ν ; ν = μ 0 J μ , F μ ν = A ν ; μ − A μ ; ν {\displaystyle {{F}^{\mu \nu }}_{;\nu }={{\mu }_{0}}{{J}^{\mu }},{{F}_{\mu \nu }}={{A}_{\nu ;\mu }}-{{A}_{\mu ;\nu }}} 郑庆璋，崔世治. 广义相对论基本教程. 广州: 中山大学出版社. 1991 （中文）.  C.M.Will. Theory and experiment in gravitational Physics. Canbridge: Cambridge Uni.,Press. 1981 （英语）.  秦荣先，阎永廉. 广义相对论与引力理论实验检验. 上海: 上海科技日报社. 1987 （中文）.  Will, C.M. The Confrontation between General Relativity and Experiment. Living Rev. Relativity. 2009. （原始内容存档于2019-12-10） （英语）.