無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用来顯示嚴謹在數學中的重要性。 大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數 f {\displaystyle f} ，以觀察對某些 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ，會有 f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ，來（錯誤地）做出 x = y {\displaystyle x=y} 的結論。零除數是此類錯誤的一特例； f {\displaystyle f} 為將 x {\displaystyle x} 映射至 x × 0 {\displaystyle x\times 0} 的函數，而其錯誤的一步是起於將 x × 0 = y × 0 {\displaystyle x\times 0=y\times 0} 的等式做成 x = y {\displaystyle x=y} 的結論。相似地，下面證明了 5 = 4 {\displaystyle 5=4} 的句子也是以函數 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 會使得 x 2 = y 2 {\displaystyle x^{2}=y^{2}} 的一正確申論，然後做出了 x = y {\displaystyle x=y} 的一錯誤結論。 假設最大的正整數不是 1 {\displaystyle 1} ，而是 a {\displaystyle a} ，有 a > 1 {\displaystyle a>1} ； a > 1 > 0 {\displaystyle a>1>0} ， a {\displaystyle a} 為正的，所以由 a > 1 {\displaystyle a>1} 得到 a × a > a {\displaystyle a\times a>a} ； 但是 a × a {\displaystyle a\times a} 還是正整數，可是沒有任何正整數比 a {\displaystyle a} 大，矛盾； 所以最大的正整數是1。 Q.E.D. 此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。 由一等式開始 − 1 = − 1 {\displaystyle -1=-1\,} 將兩邊轉成假分數 − 1 1 = 1 − 1 {\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}} 將兩邊開方 − 1 1 = 1 − 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}} 其會等於 − 1 1 = 1 − 1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}} 兩邊同乘 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} 以來消去分數 − 1 − 1 = 1 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}} 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故 − 1 = 1 {\displaystyle -1=1\,} Q.E.D. 此一證明是無效的，因為負數的開方不是实数， 1 − 1 = − 1 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}} 推出 1 − 1 = − 1 1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}} 是错误的（事實上， 1 − 1 = − i {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i} ， − 1 1 = i {\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i} ）。 1.令 a = b {\displaystyle a=b\,} ，且 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 2.將兩邊乘以a a 2 = a b {\displaystyle a^{2}=ab\,} 3.將兩邊減掉 b 2 {\displaystyle b^{2}\,} a 2 − b 2 = a b − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,} 4.將兩邊因式分解 ( a + b ) ( a − b ) = b ( a − b ) {\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,} 5.將兩邊除以 a − b {\displaystyle a-b\,} a + b = b {\displaystyle a+b=b\,} 6.因為 a = b {\displaystyle a=b\,} 因此 b + b = b {\displaystyle b+b=b\,} 7.簡化 2 b = b {\displaystyle 2b=b\,} 8.將兩邊除以b 2 = 1 {\displaystyle 2=1\,} Q.E.D. 這個證明的錯誤點在於第五步， {\displaystyle \,} 正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。 由一等式開始 − 20 = − 20 {\displaystyle -20=-20\,} 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示 25 − 45 = 16 − 36 {\displaystyle 25-45=16-36\,} 將兩邊做因式分解 5 2 − 5 × 9 = 4 2 − 4 × 9 {\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9} 將兩邊加上相同的數 5 2 − 5 × 9 + 81 4 = 4 2 − 4 × 9 + 81 4 {\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}} 將兩邊再做一次因式分解 ( 5 − 9 2 ) 2 = ( 4 − 9 2 ) 2 {\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}} 將兩邊開方 5 − 9 2 = 4 − 9 2 {\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}} 消去相同的項 5 = 4 {\displaystyle 5=4\,} Q.E.D. 那一證明內的錯誤在於 x 2 = y 2 {\displaystyle x^{2}=y^{2}} 不表示 x = y {\displaystyle x=y} 的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上， − ( 5 − 9 2 ) = 4 − 9 2 {\displaystyle -\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}} 。需注意的是，若將4減去 9 2 {\displaystyle {\tfrac {9}{2}}} ，會得到 − 1 2 {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}} 。若再平方的話，則會得到正的 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} 。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 會等於 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 。原始的 − 20 = − 20 {\displaystyle -20=-20} 式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。 求 1 + 1 {\displaystyle 1+1} ︰ 1 + 1 = 1 + 1 = 1 + ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 + − 1 × − 1 = 1 + i × i = 1 + ( − 1 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}} Q.E.D. 此證明的錯誤在於 a b = a × b {\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}} 只有在a與b不皆為負數才成立， ( − 1 ) ( − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {(-1)(-1)}}} 並不等於 − 1 × − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}} 。 首先，設定一個無窮級數。 0 = 0 + 0 + 0 + ⋯ {\displaystyle 0=0+0+0+\cdots } 因為 0 = 1 − 1 {\displaystyle 0=1-1} ，因此： 0 = ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ⋯ {\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots } 拆括號之後在於不同的地方加上括號： 0 = 1 + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ( − 1 + 1 ) + ⋯ {\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots } − 1 + 1 = 0 {\displaystyle -1+1=0} ，因此： 0 = 1 + 0 + 0 + 0 + ⋯ {\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots } 0 = 1 {\displaystyle 0=1\,} Q.E.D. 這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 s = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\displaystyle s=1-1+1-1+1-1+\cdots } 。 − 1 b {\displaystyle -{\frac {1}{b}}} = − a a b {\displaystyle =-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}} = − a b ⋅ 1 a {\displaystyle =-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}} − a b − 1 b = 1 a {\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}} − a b ⋅ − b = 1 a {\displaystyle -{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}} a = 1 a {\displaystyle a={\frac {1}{a}}} Q.E.D. 這個證明的錯誤在於， − a b − 1 b {\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}} 不等於 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} ，正確等式應是 − 1 b − a b = 1 a {\displaystyle {\frac {-{\frac {1}{b}}}{-{\frac {a}{b}}}}={\frac {1}{a}}} （下一步： 1 b ⋅ b a = 1 a {\displaystyle {\frac {1}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {1}{a}}} ）。 首先，我們知道： 0 4 = 0 × 0 × 0 × 0 = 0 {\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,} 0 2 = 0 × 0 = 0 {\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,} 由於 a m − n = a m a n {\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}} 因此 0 4 0 2 = 0 4 − 2 = 0 2 = 0 {\displaystyle {\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0} 因此 0 0 = 0 {\displaystyle {\frac {0}{0}}=0} Q.E.D. 這個證明的錯誤在於， a m − n = a m a n {\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}} 成立的前提有 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 。 設 u = a   ,   v = b − c {\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,} 設 a = x − y   ,   b = ( x + y ) 2   ,   c = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,} 由和立方與差立方公式可知： ( u + v ) 3 = u 3 + 3 u 2 v + 3 u v + v v {\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}} ( u − v ) 3 = u 3 − 3 u 2 v + 3 u v − v v {\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}} 由於 u = a   ,   v = b − c {\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,} ( a + b − c ) 3 = a   ( a 2 + 3 b − 3 c ) + ( 3 a 2 + b − c ) b − c {\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}} ( a − b − c ) 3 = a   ( a 2 + 3 b − 3 c ) − ( 3 a 2 + b − c ) b − c {\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}} 將 a = x − y   ,   b = ( x + y ) 2   ,   c = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,} 代入 3 a 2 + b − c {\displaystyle 3a^{2}+b-c\,} ，可得： 3 a 2 + b − c = 3 ( x 2 − 2 x y + y 2 ) + x 2 + 2 x y + y 2 − 4 ( x 2 − x y + y 2 ) = 0 {\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,} 因此： ( a + b − c ) 3 = ( a − b − c ) 3 a + b − c = a − b − c b − c = 0 b − c = 0 b = c {\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}} 代入 b = ( x + y ) 2   ,   c = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,} ，可得： ( x + y ) 2 = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) x 2 + 2 x y + y 2 = 4 ( x 2 − x y + y 2 ) − 3 x 2 + 6 x y − 3 y 2 = 0 ( x − y ) 2 = 0 x − y = 0 x = y {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}} Q.E.D. 这个证明的错误在于： 1、在以上的假设下，可得 v = b − c = ( x + y ) 2 − 4 ( x 2 − x y + y 2 ) = − 3 ( x − y ) 2 = − 3 a 2 = − 3 u 2 {\displaystyle v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}} ，所以 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 并不是独立的； 2、在复数域中，由 x 3 = y 3 {\displaystyle x^{3}=y^{3}} 得不出 x = y {\displaystyle x=y} 。在此证明中，由 ( a + b − c ) 3 = ( a − b − c ) 3 {\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}} 得出 a + b − c = a − b − c {\displaystyle a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}} 是错误的。 给定三角形△ABC，证明AB = AC: 作∠A的角平分线。 作BC的垂直平分线，并设BC的中点为D。 设这两条直线的交点为P。 从P向AB和AC作垂线，并设垂足为E和F。 作直线PB和PC。 △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由于AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。 △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由于PD平分BC）。 △EPB ≅ △FPC（EP = FP由于△EAP ≅ △FAP；BP = CP由于△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由于它们是对顶角）。 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。 同理，AB = BC，AC = BC。 证毕。 这个证明的错误在于，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位于三角形的内部，而且AP与DP会重合。 给定一个矩形ABCD，证明∠DCB=∠ECB； 在矩形ABCD外作CE=CD。 联结AE。 作BC、AE的中垂线，它们的垂足分别是G、F，两条直线交于H。 在中垂线上的点到线段两端的距离是相等的，所以HA=HE，HB=HC。 矩形的对边相等，得AB=DC；加上作图要求，得AB=EC。 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。于是得∠ABH=∠ECH。 由于HB=HC，则得∠HBC=∠HCB。 等量减等量，得∠ABC=∠ECB。 矩形的四个角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。 Q.E.D. 这个证明的错误在于，由于△ABH≅△ECH，则∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋转，因AH穿过了矩形ABCD，则EH是不可能穿过矩形ABCD的。 我们从计算以下的不定积分开始： ∫ 1 x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx} 利用分部积分法，可得： u = 1 x {\displaystyle u={\frac {1}{x}}} ， d v = d x {\displaystyle dv=dx} 因此： d u = − 1 x 2 d x {\displaystyle du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx} ， v = x {\displaystyle v=x} 所以，有： ∫ 1 x d x = x x − ∫ ( − 1 x 2 ) x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx} ∫ 1 x d x = 1 + ∫ 1 x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx} 0 = 1 {\displaystyle 0=1\,} 证毕。 这个证明的错误在于，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到 1 + ∫ 1 x d x = 1 + ln ⁡   | x | + C = ln ⁡   | x | + C ′ {\displaystyle 1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'} 。 悖論