埃雷斯曼联络

微分几何中，埃雷斯曼联络（Ehresmann connection）是应用于任意纤维丛的联络概念的一个版本。 特别的是，它可以是非线性的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 它适用于主丛这一类特殊的纤维丛，通过联络形式表述，在这种情况联络至少是在一个李群的作用下等变。 埃雷斯曼联络以法国数学家夏尔·埃雷斯曼命名。 微分几何中经典的协变导数是一个线性微分算子，它以协变的方式取向量丛中截面的方向导数，也能用來闡述在 在特定向量方向上叢中截面為平行的概念：截面s沿着向量V平行，如果∇Vs = 0。所以一个协变导数提供了两个觀念：微分算子以及各个方向上的平行。埃雷斯曼联络完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络將纤维丛中的切丛的某些子空间指定为「水平空间」。如果 ds(V )处于水平空间中，則截面 s 是在 V 方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把 s 視为从底空间 M 映射到向量丛 E 的函数 s : M → E ，且 ds : TM → s*TE 是向量的前推。水平空间组成 TE 的一个子向量丛。 如此一來直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的纤维丛都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，曲率和和樂。 然而此定義除了线性之外還失去了协变性。在经典协变导数中，协变性乃是導數的后验特性。在构造過程中，要先指定「非协变」克氏记号的变换法则，才能給出符合协变的导数。對埃雷斯曼联络而言，可藉由引入作用在纤维丛裡纤维上的李群，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用等变。 埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表達为一个微分形式，和联络形式的情況類似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允許用曲率形式來定義曲率。 令π : E → M为纤维丛。E上的埃雷斯曼联络由如下数据组成： 对于每一点x ∈ E，给定E在x点的切空间向量子空间 Hx ⊂ TxE。Hx称为x点的水平空间。 随着x的变化，Hx必须定义出一个E的切丛的光滑子丛。（特别是，H必须有常数维度。） 令V = ker(dπ : TE → TM)为由所有沿着E的纤维方向的切向量组成的铅直丛。则Hx ∩ Vx = {0} 对于x ∈ E成立。 任何E的切向量必须可以分解为水平和铅直分量: TE = H + V。（特别是，根据上面第3条，这是一个直和分解。） 用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个射丛 JE → E的光滑截面。 等价的有，令Φ为到铅直丛V的投影。这可以由上述TE到水平和铅直分量的直和分解得到。则Φ满足： Φ2 = Φ Φ : TE → V是一个丛的满射。 反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H = ker Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。 令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为 R = 1 2 [ Φ , Φ ] {\displaystyle R={\frac {1}{2}}[\Phi ,\Phi ]} 其中[-,-]表示Φ ∈ Ω1(E,TE)和它自己的Frölicher-Nijenhuis括号。这样R ∈ Ω2(E,TE)就是一个E上取值在TE中的2－形式，定义为 R ( X , Y ) = Φ ( [ ( I d − Φ ) X , ( I d − Φ ) Y ] ) {\displaystyle R(X,Y)=\Phi \left([(Id-\Phi )X,(Id-\Phi )Y]\right)} , 或者说 R ( X , Y ) = [ X H , Y H ] V {\displaystyle R(X,Y)=[X_{H},Y_{H}]_{V}} , 其中X = XH + XV代表到H和V分量的分解。从上式可以看出，曲率为0当且仅当水平子丛是弗罗贝尼乌斯可积的。这样，曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛E → M的横截面的可积性条件。 一个埃雷斯曼的曲率也满足比安基恒等式（Bianchi identity）的一个扩展版本： [ Φ , R ] = 0 {\displaystyle [\Phi ,R]=0} 其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω1(E,TE)和R ∈ Ω2(E,TE)的Frölicher-Nijenhuis括号。 埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形 M 提升到纤维丛 E 的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些水平提升是其它版本的联络表述中的平行移动的直接对应。 精确来讲，设 γ(t) 为 M 中穿过点 P = γ(0) 的光滑曲线。令 e ∈ EP 为 P 上的纤维中的一点。γ 穿过 e 的一个提升就是一条曲线 γ ~ ( t ) {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)} ，它位于 E 中，并满足 γ ~ ( 0 ) = e {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=e} ，与 π ( γ ~ ( t ) ) = γ ( t ) . {\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).} 提升是水平的，当曲线的每个切向量位于 TE 的水平子丛中： γ ~ ′ ( t ) ∈ H γ ( t ) . {\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{\gamma (t)}.} 对π和Φ利用秩-零化度定理可以证明每个向量v ∈ TPM有唯一的水平提升 v ~ ∈ T e E {\displaystyle {\tilde {v}}\in T_{e}E} 。特别是，γ的切向量场在拉回丛 γ-1E的总空间上产生一个水平向量场。利用皮卡定理，这个向量场是可积的。这样，对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点e，对于足够小的时间t总是存在唯一的穿过e的γ的水平提升。 埃雷斯曼联络允许曲线有局部水平提升。对于一个完备埃雷斯曼联络，曲线可以在整个定义域上水平提升。 联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端，非零曲率表示了联络的和乐群的存在。 对于主G-丛 E → B {\displaystyle E\to B} ，每个 x ∈ E {\displaystyle x\in E} ，令 T x ( E ) {\displaystyle T_{x}(E)} 代表在x的切空间，用 V x {\displaystyle V_{x}} 代表和纤维相切的铅直子空间。则联络是对 T x ( E ) {\displaystyle T_{x}(E)} 的水平子空间 H x {\displaystyle H_{x}} 的指定，并要满足 T x ( E ) {\displaystyle T_{x}(E)} 是 V x {\displaystyle V_{x}} 和 H x {\displaystyle H_{x}} 的直和， H x {\displaystyle H_{x}} 的分布在G在E上的作用下不变，也即 H a x = D x ( R a ) H x {\displaystyle H_{ax}=D_{x}(R_{a})H_{x}} 对于任何 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 和 a ∈ G {\displaystyle a\in G} 成立，这里 D x ( R a ) {\displaystyle D_{x}(R_{a})} 代表a在x的群作用的微分。 分布 H x {\displaystyle H_{x}} 光滑地依赖于x。 使用射丛 J E → E {\displaystyle JE\rightarrow E} 可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。 G的单参数子群铅直作用于E上。该作用的微分允许我们可以讲子空间 V x {\displaystyle V_{x}} 和G群的李代数g等同起来，譬如通过映射 ι : V x → g {\displaystyle \iota :V_{x}\to g} 。 然后，联络形式就是 E {\displaystyle E} 上的在g中取值的微分形式 ω {\displaystyle \omega } ，其定义为 ω ( X ) = ι ∘ v ( X ) {\displaystyle \omega (X)=\iota \circ v(X)} 其中 v {\displaystyle v} 代表在 x ∈ E {\displaystyle x\in E} 的从 X ∈ T x {\displaystyle X\in T_{x}} 到 V x {\displaystyle V_{x}} 的投影，且其核空间为 H x {\displaystyle H_{x}} 。 联络形式满足如下两个属性： 联络在G作用下等变： R h ∗ ω = Ad ( h − 1 ) ω {\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega } 对于所有h∈G成立。 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素： ω ( X ) = ι ( X ) {\displaystyle \omega (X)=\iota (X)} 对于所有X∈V成立。 反过来，可以证明这样一个g-值1－形式在一个主丛上产生一个水平分布，满足前面所说的属性。 给定一个局部平凡化，可以将 ω {\displaystyle \omega } （在该平凡化中）简化为水平向量场。它通过拉回在B上定义了一个形式 ω ′ {\displaystyle \omega '} 。该形式 ω ′ {\displaystyle \omega '} 完全确定了 ω {\displaystyle \omega } ，但是它依赖于平凡化的选择。（这个形式经常也称为联络形式并也记为 ω {\displaystyle \omega } 。） Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55. 这在更一般的情况也成立，这种情况下π:E→M是一个满 浸入: 也即，E是一个M上的纤维化流形。 埃雷斯曼联络的和乐群有时称为埃雷斯曼－瑞布和乐群（Ehresmann-Reeb holonomy）或者叶和乐群，参看瑞布首次使用埃雷斯曼联络研究叶状结构的文章：Reeb, G. Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees, Herman, Paris, 1952. Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", Proc. Symp. Pure Math., 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI. 嘉当联络 仿射联络 曲率形式