赫尔维茨ζ函数

赫尔维茨ζ函数(Hurwitz zeta function)定义如下 ζ ( s , q ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( q + n ) s . {\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.} 其中 q {\displaystyle q} 、 s {\displaystyle s} 都是复数，并且有 R e ( q ) > 0 {\displaystyle Re(q)>0} , R e ( s ) > 0 {\displaystyle Re(s)>0} 对于给定的q,s,此函数可以扩展到 s≠1的亚纯函数. 黎曼ζ函数= ζ ( s , 1 ) {\displaystyle \zeta (s,1)} 赫尔维茨ζ函数可以展开成级数：: ζ ( s , q ) = 1 s − 1 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( q + k ) 1 − s . {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.} 此级数在S空间的紧空间子集中均匀收敛成为一个整函数。 赫尔维茨ζ函数可以表示为下列梅林变换 ζ ( s , q ) = 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ t s − 1 e − q t 1 − e − t d t {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt} 其中 ℜ s > 1 {\displaystyle \Re s>1} 及 ℜ q > 0. {\displaystyle \Re q>0.} ζ ( 1 − s , x ) = 1 2 s [ e − i π s / 2 β ( x ; s ) + e i π s / 2 β ( 1 − x ; s ) ] {\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]} 其中 β ( x ; s ) = 2 Γ ( s + 1 ) ∑ n = 1 ∞ exp ⁡ ( 2 π i n x ) ( 2 π n ) s = 2 Γ ( s + 1 ) ( 2 π ) s Li s ( e 2 π i x ) {\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})} 对于 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} and s > 1成立，其中 Li s ( z ) {\displaystyle {\text{Li}}_{s}(z)} 代表 多重对数. 赫尔维茨ζ函数的导数是平移： ∂ ∂ q ζ ( s , q ) = − s ζ ( s + 1 , q ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).} 因此赫尔维茨ζ函数的泰勒级数可表示为: ζ ( s , x + y ) = ∑ k = 0 ∞ y k k ! ∂ k ∂ x k ζ ( s , x ) = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) ( − y ) k ζ ( s + k , x ) . {\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).} 或 ζ ( s , q ) = 1 q s + ∑ n = 0 ∞ ( − q ) n ( s + n − 1 n ) ζ ( s + n ) , {\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),} 其中 | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} . 令 ϑ ( z , τ ) {\displaystyle \vartheta (z,\tau )} 代表 雅可比 Θ函數, 则 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( z , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = π − ( 1 − s ) / 2 Γ ( 1 − s 2 ) [ ζ ( 1 − s , z ) + ζ ( 1 − s , 1 − z ) ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]} 对于 ℜ s > 0 {\displaystyle \Re s>0} and 复数z 成立，但对于 z=n 整数，则有 ∫ 0 ∞ [ ϑ ( n , i t ) − 1 ] t s / 2 d t t = 2   π − ( 1 − s ) / 2   Γ ( 1 − s 2 ) ζ ( 1 − s ) = 2   π − s / 2   Γ ( s 2 ) ζ ( s ) . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).} 其中 ζ 代表黎曼ζ函数. 正整数m的赫尔维茨ζ函数与 多伽玛函数有下列关系: ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z )   . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .} For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials: ζ ( − n , x ) = − B n + 1 ( x ) n + 1   . {\displaystyle \zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .} The 巴恩斯ζ函数是赫尔维茨ζ函数的推广。 The 勒奇超越函数也是赫尔维茨ζ函数的推广: Φ ( z , s , q ) = ∑ k = 0 ∞ z k ( k + q ) s {\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}} 即： ζ ( s , q ) = Φ ( 1 , s , q ) . {\displaystyle \zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,} 赫尔维茨ζ函数与超几何函数的关系： ζ ( s , a ) = a − s ⋅ s + 1 F s ( 1 , a 1 , a 2 , … a s ; a 1 + 1 , a 2 + 1 , … a s + 1 ; 1 ) {\displaystyle \zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)} 其中 a 1 = a 2 = … = a s = a  and  a ∉ N  and  s ∈ N + . {\displaystyle a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.} Meijer G函数 ζ ( s , a ) = G s + 1 , s + 1 1 , s + 1 ( − 1 | 0 , 1 − a , … , 1 − a 0 , − a , … , − a ) s ∈ N + . {\displaystyle \zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.} Hasse, Helmut, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, Mathematische Zeitschrift, 1930, 32 (1): 458–464 [2015-02-04], JFM 56.0894.03, doi:10.1007/BF01194645, （原始内容存档于2017-08-05）  Vepsta卄s, Linas. An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions. 2007. arXiv:math.CA/0702243 .  cite arXiv模板填写了不支持的参数 (帮助) Apostol (1976) p.264 Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303.  Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, 100: 201–206 [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. （原始内容存档于2010-03-16）.  Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF). [2015-02-04]. （原始内容存档 (PDF)于2021-03-10）.  Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.