色多项式

在代数图论中，色多项式是乔治·戴维·伯克霍夫为了尝试证明四色定理而定义的一种多项式。 色多项式 P ( G , t ) {\displaystyle P(G,t)} 的值是在图 G {\displaystyle G} 中顶点的不同的 t {\displaystyle t} -着色数目，是关于 t {\displaystyle t} 的多项式。 例如当图 G {\displaystyle G} 为一点时， P ( G , t ) = t {\displaystyle P(G,t)=t} 。 给定 n {\displaystyle n} 阶图 G {\displaystyle G} ，色多项式 P ( G , t ) {\displaystyle P(G,t)} 是关于 t {\displaystyle t} 的多项式，且满足以下性质： 多项式 P ( G , t ) {\displaystyle P(G,t)} 的次数为 n {\displaystyle n} 。 t n {\displaystyle t^{n}} 的系数为1。 t n − 1 {\displaystyle t^{n-1}} 的系数为 − | E ( G ) | {\displaystyle -|E(G)|} 。 t c , … , t n {\displaystyle t^{c},\dots ,t^{n}} 的系数不为0且正负交替出现。 特别的，设 G {\displaystyle G} 有 c {\displaystyle c} 个连通分量，分别为 G 1 , … , G c {\displaystyle G_{1},\dots ,G_{c}} ，那么 t 0 , … , t c − 1 {\displaystyle t^{0},\dots ,t^{c-1}} 的系数为0。 P ( G ) = ∏ k = 1 n P ( G k ) {\displaystyle P(G)=\prod _{k=1}^{n}P(G_{k})} 给定图 G {\displaystyle G} 与 e ∈ E ( G ) {\displaystyle e\in E(G)} ，那么 P ( G , k ) = P ( G − e , k ) − P ( G / e , k ) {\displaystyle P(G,k)=P(G-e,k)-P(G/e,k)} 其中 G / e {\displaystyle G/e} 代表边收缩：令 e {\displaystyle e} 所连接的两个顶点计为 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} ，而边收缩会使顶点 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 合并成一个新的顶点 w {\displaystyle w} ，并使原本与 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 相连的所有边都连到 w {\displaystyle w} 。 证明 假设 e {\displaystyle e} 所连接的两个顶点为 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} ，考虑图 G − e {\displaystyle G-e} 。 当 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 的颜色相同时，这种着色方式也是 G / e {\displaystyle G/e} 的一种合理着色方式，反之亦然。所以对图 G − e {\displaystyle G-e} 将 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 染上相同颜色的着色方式有 P ( G / e , k ) {\displaystyle P(G/e,k)} 种。 当 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 的颜色不同时，这种着色方式也是 G {\displaystyle G} 的一种合理着色方式，反之亦然。所以对图 G − e {\displaystyle G-e} 将 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 染上不同颜色的着色方式有 P ( G , k ) {\displaystyle P(G,k)} 种。 所以图 G − e {\displaystyle G-e} 的不同着色方式数目为 P ( G − e , k ) = P ( G / e , k ) + P ( G , k ) {\displaystyle P(G-e,k)=P(G/e,k)+P(G,k)} 若点 v {\displaystyle v} 在图 G {\displaystyle G} 上与其它所有点连边，则所有点的颜色都与该点的颜色互异，记除去顶点 v {\displaystyle v} 的图为 G − v {\displaystyle G-v} 。 P ( G , t ) = t P ( G − v , t − 1 ) {\displaystyle P(G,t)=tP(G-v,t-1)} P ( K n , t ) = t P ( K n − 1 , t − 1 ) = t ( t − 1 ) ( t − 2 ) . . . ( t − ( n − 1 ) ) {\displaystyle P(K_{n},t)=tP(K_{n-1},t-1)=t(t-1)(t-2)...(t-(n-1))} 在图 G {\displaystyle G} 的一边 e {\displaystyle e} 上添加点 v {\displaystyle v} 所得图记为 G + v e {\displaystyle G+v_{e}} ，两端点着同色时有 ( t − 1 ) P ( G ⋅ e ) {\displaystyle (t-1)P(G\cdot e)} 种着色法，两端点着不同色是有 ( t − 2 ) P ( G ) {\displaystyle (t-2)P(G)} 种着色法。 P ( G + v e ) = ( t − 2 ) P ( G ) + ( t − 1 ) P ( G ⋅ e ) {\displaystyle P(G+v_{e})=(t-2)P(G)+(t-1)P(G\cdot e)} 若 G {\displaystyle G} 为有 n {\displaystyle n} 个顶点的图，且它的独立数<3， P ( G , t ) = ( t ) n + a 1 ( t ) n − 1 + a 2 ( t ) n − 2 + . . . + a [ n 2 ] ( t ) [ n 2 ] {\displaystyle P(G,t)=(t)_{n}+a_{1}(t)_{n-1}+a_{2}(t)_{n-2}+...+a_{[{\frac {n}{2}}]}(t)_{[{\frac {n}{2}}]}} 其中 ( t ) n {\displaystyle (t)_{n}} 表示阶乘幂， a i {\displaystyle a_{i}} 为图 L ( G ¯ ) ¯ {\displaystyle {\overline {L({\overline {G}})}}} 中所含的完全子图 K i {\displaystyle K_{i}} 的个数。 如右图， L ( G ¯ ) ¯ {\displaystyle {\overline {L({\overline {G}})}}} 中有5个顶点，6条边，2个三角形，所以 P ( G , t ) = ( t ) 6 + 5 ( t ) 5 + 6 ( t ) 4 + 2 ( t ) 3 {\displaystyle P(G,t)=(t)_{6}+5(t)_{5}+6(t)_{4}+2(t)_{3}} Whitney, Hassler, The coloring of graphs, Annals of Mathematics (JSTOR), 1932: 688–718  Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael, Combinatorics and Graph Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag New York: 98–99, 2008, ISBN 978-0-387-79711-3, doi:10.1007/978-0-387-79711-3  林翠琴. 图的色多项式的几个递推公式. 数学杂志. 1987, (3) [2015-03-07]. （原始内容存档于2016-03-04）.  刘儒英. 关于图的色多项式. 青海师范大学学报(自然科学版). 1986, (Z1) [2015-03-07]. （原始内容存档于2019-06-16）.