空间群

在数学和物理学中，空间群（space group）是空间中（通常是三维空间）一种形态的空间对称群。在三维空间中有219种不同的类型，或230种不同的手性类型。对超过三维的空间中的空间群也有研究，它们有时被称作比贝尔巴赫（英语：Ludwig Bieberbach）群，并且是离散的紧群，具有欧氏空间的等距同构。它是由俄国结晶学家费多洛夫和德国结晶学家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853-1928）于1890至1891年间各自独立地先后推导得出来的。 在晶体学中，空间群也被称为费奥多罗夫（英语：Evgraf Fedorov）群，是对晶体对称型的一种描述。三维空间群的权威参考文献是《国际晶体学表》。空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。其中73种为简单空间群，余下的157种为复杂空间群。 注: e 面是双滑移面，是在两个不同方向的滑移，存在于七个正交群，五个四方群和五个立方群中，都具有含有中心的晶格，官方的符号为e Barlow, W, Über die geometrischen Eigenschaften starrer Strukturen und ihre Anwendung auf Kristalle, Z. Kristallogr., 1894, 23: 1–63  Bieberbach, Ludwig, Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume, Mathematische Annalen, 1911, 70 (3): 297–336, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01564500  Bieberbach, Ludwig, Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume (Zweite Abhandlung.) Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich, Mathematische Annalen, 1912, 72 (3): 400–412, ISSN 0025-5831, doi:10.1007/BF01456724  Brown, Harold; Bülow, Rolf; Neubüser, Joachim; Wondratschek, Hans; Zassenhaus, Hans, Crystallographic groups of four-dimensional space, New York: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], 1978, ISBN 978-0-471-03095-9, MR0484179  Burckhardt, Johann Jakob, Die Bewegungsgruppen der Kristallographie, Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften 13, Verlag Birkhäuser, Basel, 1947, MR0020553  Burckhardt, Johann Jakob, Zur Geschichte der Entdeckung der 230 Raumgruppen, Archive for History of Exact Sciences, 1967, 4 (3): 235–246, ISSN 0003-9519, doi:10.1007/BF00412962, MR0220837  Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P., On three-dimensional space groups, Beiträge zur Algebra und Geometrie. Contributions to Algebra and Geometry, 2001, 42 (2): 475–507 [2013-03-04], ISSN 0138-4821, MR1865535, （原始内容存档于2021-04-18）  Fedorov, E. S., Symmetry of Regular Systems of Figures, Zap. Mineral. Obch., 1891, 28 (2): 1–146  Fedorov, E. S., Symmetry of crystals, ACA Monograph 7, American Crystallographic Association, 1971  Hahn, Th., Hahn, Theo , 编, International Tables for Crystallography, Volume A: Space Group Symmetry A 5th, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002 [2013-03-04], ISBN 978-0-7923-6590-7, doi:10.1107/97809553602060000100, （原始内容存档于2021-04-28）  Hall, S.R., Space-Group Notation with an Explicit Origin, Acta Cryst., 1981, A37: 517–525  Janssen, T.; Birman, J.L.; Dénoyer, F.; Koptsik, V.A.; Verger-Gaugry, J.L.; Weigel, D.; Yamamoto, A.; Abrahams, S.C.; Kopsky, V., Report of a Subcommittee on the Nomenclature of n-Dimensional Crystallography. II. Symbols for arithmetic crystal classes, Bravais classes and space groups, Acta Cryst. A, 2002, 58 (Pt 6): 605–621, doi:10.1107/S010876730201379X  Kim, Shoon K., Group theoretical methods and applications to molecules and crystals, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-64062-6, MR1713786  Litvin, D.B., Tables of crystallographic properties of magnetic space groups, Acta Cryst. A, May 2008, 64 (Pt 3): 419–24, Bibcode:2008AcCrA..64..419L, PMID 18421131, doi:10.1107/S010876730800768X  Litvin, D.B., Tables of properties of magnetic subperiodic groups, Acta Cryst. A, May 2005, 61 (Pt 3): 382–5, Bibcode:2005AcCrA..61..382L, PMID 15846043, doi:10.1107/S010876730500406X  Neubüser, J.; Souvignier, B.; Wondratschek, H., Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space by Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst. A, 2002, 58 (Pt 3): 301, doi:10.1107/S0108767302001368  Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T, Crystallographic Algorithms and Tables, Acta Cryst. A, 1998, 54 (Pt 5): 517–531, doi:10.1107/S010876739701547X  Plesken, Wilhelm; Hanrath, W, The lattices of six-dimensional space, Math. Comp., 1984, 43 (168): 573–587  Plesken, Wilhelm; Schulz, Tilman, Counting crystallographic groups in low dimensions, Experimental Mathematics, 2000, 9 (3): 407–411 [2013-03-04], ISSN 1058-6458, MR1795312, （原始内容存档于2021-04-18）  Schönflies, Arthur Moritz, Theorie der Kristallstruktur, Gebr. Bornträger, Berlin., 1891  Souvignier, Bernd, The four-dimensional magnetic point and space groups, Z. Kristallogr., 2006, 221: 77–82  Vinberg, E., Crystallographic group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Zassenhaus, Hans, Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen, Commentarii Mathematici Helvetici, 1948, 21: 117–141 [2013-03-04], ISSN 0010-2571, doi:10.1007/BF02568029, MR0024424, （原始内容存档于2012-11-28）  维基共享资源上的相关多媒体资源：空间群 International Union of Crystallography （页面存档备份，存于互联网档案馆） Point Groups and Bravais Lattices [1] Bilbao Crystallographic Server Space Group Info (old) Space Group Info (new) Crystal Lattice Structures: Index by Space Group Full list of 230 crystallographic space groups Interactive 3D visualization of all 230 crystallographic space groups （页面存档备份，存于互联网档案馆） Huson, Daniel H., The Fibrifold Notation and Classification for 3D Space Groups (PDF), 1999 [永久失效連結] The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions) （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) （页面存档备份，存于互联网档案馆） 又名向夫立符號