泊松极限定理

在概率论中，泊松极限定理是指，在一定条件下，泊松分布可以用于近似二项分布，可以用来解释为什么泊松分布适合描述单位时间内随机事件发生的次数。这个定理是以法国数学家西梅翁·德尼·泊松的名字命名。该定理的一个推广形式是Le Cam定理。 设 p n {\displaystyle p_{n}} 是一个 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中的实数列，如果 n p n {\displaystyle np_{n}} 收敛到一个有限极限 λ {\displaystyle \lambda } ，那么 lim n → ∞ ( n k ) p n k ( 1 − p n ) n − k = e − λ λ k k ! {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}} lim n → ∞ ( n k ) p n k ( 1 − p n ) n − k ≃ lim n → ∞ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) … ( n − k + 1 ) k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = lim n → ∞ n k + O ( n k − 1 ) k ! λ k n k ( 1 − λ n ) n − k = lim n → ∞ λ k k ! ( 1 − λ n ) n − k {\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}&\simeq \lim _{n\to \infty }{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}\end{aligned}}} . 考虑到 lim n → ∞ ( 1 − λ n ) n = e − λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}=e^{-\lambda }} 以及 lim n → ∞ ( 1 − λ n ) − k = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}=1} 这就推出所需结论 ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≃ λ k e − λ k ! . {\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.} 由斯特林公式， ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = n ! ( n − k ) ! k ! p k ( 1 − p ) n − k ≃ 2 π n ( n e ) n 2 π ( n − k ) ( n − k e ) n − k k ! p k ( 1 − p ) n − k = n n − k n n e − k ( n − k ) n − k k ! p k ( 1 − p ) n − k . {\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&={\frac {n!}{(n-k)!k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(n-k\right)}}\left({\frac {n-k}{e}}\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&={\sqrt {\frac {n}{n-k}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}p^{k}(1-p)^{n-k}.\end{aligned}}} 令 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 以及 n p = λ {\displaystyle np=\lambda }  : ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≃ n n p k ( 1 − p ) n − k e − k ( n − k ) n − k k ! = n n ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k e − k n n − k ( 1 − k n ) n − k k ! = λ k ( 1 − λ n ) n − k e − k ( 1 − k n ) n − k k ! ≃ λ k ( 1 − λ n ) n e − k ( 1 − k n ) n k ! . {\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n-k}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}} 因为当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , ( 1 − x n ) n → e − x {\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}} ，所以： ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k ≃ λ k e − λ e − k e − k k ! = λ k e − λ k ! {\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{aligned}}} 我们也可以通过使用二项分布的生成函数来证明这个定理： G bin ( x ; p , N ) ≡ ∑ k = 0 N [ ( N k ) p k ( 1 − p ) N − k ] x k = [ 1 + ( x − 1 ) p ] N {\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{N-k}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}} 由二项式定理。令 N → ∞ {\displaystyle N\rightarrow \infty } 的同时使 p N ≡ λ {\displaystyle pN\equiv \lambda } 为常数，可以发现 lim N → ∞ G bin ( x ; p , N ) = lim N → ∞ [ 1 + λ ( x − 1 ) N ] N = e λ ( x − 1 ) = ∑ k = 0 ∞ [ e − λ λ k k ! ] x k {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}} 这是泊松分布的生成函数 （第二个等式成立是由于指数函数的定义)。