內射維度、投射維度與同調維度

投射維度、內射維度與同調維度（又稱整體維度）是交換代數中考慮的重要不變量。 以下設 A {\displaystyle A} 為交換環，而 M {\displaystyle M} 為 A {\displaystyle A} -模。 M {\displaystyle M} 的內射維度 i d A ( M ) {\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)} 定義為其內射分解的最短長度（當 M = ( 0 ) {\displaystyle M=(0)} 時置 i d A ( 0 ) = − ∞ {\displaystyle \mathrm {id} _{A}(0)=-\infty } ）。投射維度 p d A ( M ) {\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)} 則定義為其投射分解的最短長度。 利用同調代數的工具，可以進一步得到下述刻劃： 命題一. 設 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 為整數，下述條件等價： i d A ( M ) ≤ n {\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)\leq n} 。 對所有 A {\displaystyle A} -模 N {\displaystyle N} ，有 i > n ⇒ E x t A i ( N , M ) = 0 {\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(N,M)=0} 。 對所有理想 I ⊂ A {\displaystyle I\subset A} ，有 E x t A n + 1 ( A / I , M ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(A/I,M)=0} 。 對所有正合序列 0 → M → I 0 → ⋯ → I n − 1 → Q → 0 {\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to \cdots \to I^{n-1}\to Q\to 0} ，若每個 I {\displaystyle I} 都是內射模，則 Q {\displaystyle Q} 也是內射模。 命題二. 設 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 為整數，下述條件等價： p d A ( M ) ≤ n {\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)\leq n} 。 對所有 A {\displaystyle A} -模 N {\displaystyle N} ，有 i > n ⇒ E x t A i ( M , N ) = 0 {\displaystyle i>n\Rightarrow \mathrm {Ext} _{A}^{i}(M,N)=0} 。 對所有正合序列 0 → K → P n − 1 → ⋯ → P 0 → M → 0 {\displaystyle 0\to K\to P_{n-1}\to \cdots \to P_{0}\to M\to 0} ，若每個 P {\displaystyle P} 都是投射模，則 K {\displaystyle K} 也是投射模。 當 A {\displaystyle A} 為諾特環而 M {\displaystyle M} 為有限生成 A {\displaystyle A} -模時，上述條件更等價於 對所有極大理想 m ⊂ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A} ，有 E x t A n + 1 ( M , A / m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n+1}(M,A/{\mathfrak {m}})=0} 對所有極大理想 m ⊂ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A} ，有 T o r n + 1 A ( M , A / m ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n+1}^{A}(M,A/{\mathfrak {m}})=0} 由此可定義環 A {\displaystyle A} 的同調維度 h d ( A ) {\displaystyle \mathrm {hd} (A)} 為： sup M p d A ( M ) {\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {pd} _{A}(M)} sup M i d A ( M ) {\displaystyle \sup _{M}\;\mathrm {id} _{A}(M)} 存在 A {\displaystyle A} -模 M , N {\displaystyle M,N} 使得 E x t A n ( M , N ) ≠ 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{n}(M,N)\neq 0} 的最大整數 n {\displaystyle n} （可能是無窮大）。 內射維度、投射維度與同調維度對局部化有下述關係： i d A ( M ) = sup p i d A p ( M p ) {\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {id} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})} p d A ( M ) = sup p p d A p ( M p ) {\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {pd} _{A_{\mathfrak {p}}}(M_{\mathfrak {p}})} 其中的 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 取遍 A {\displaystyle A} 的所有素理想（或極大理想），而投射維度給出 S p e c A → Z ∪ { ± ∞ } {\displaystyle \mathrm {Spec} A\to \mathbb {Z} \cup \{\pm \infty \}} 的上半連續函數。事實上，僅須考慮 M {\displaystyle M} 的支撐集中的素理想。 由此立刻得到 h d ( A ) = sup p h d ( A ) {\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\sup _{\mathfrak {p}}\;\mathrm {hd} (A)} 。 此外，它們與模的深度也有密切的關係，例如： 定理 （Auslander-Buchsbaum）：設 A {\displaystyle A} 為局部諾特環， M {\displaystyle M} 為有限生成 A {\displaystyle A} -模，而且其投射維度有限，則 p d A ( M ) + d e p t h A ( M ) = d e p t h ( A ) {\displaystyle \mathrm {pd} _{A}(M)+\mathrm {depth} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)} 定理：設 A {\displaystyle A} 為局部諾特環， M {\displaystyle M} 為有限生成 A {\displaystyle A} -模，而且其內射維度有限，則 i d A ( M ) = d e p t h ( A ) {\displaystyle \mathrm {id} _{A}(M)=\mathrm {depth} (A)} 最後，同調維度為正則局部環給出了一個完全內在的刻劃： 定理（Serre）：一個局部諾特環 A {\displaystyle A} 是正則局部環的充要條件是 h d ( A ) < + ∞ {\displaystyle \mathrm {hd} (A)<+\infty } ，此時 h d ( A ) = dim ⁡ A {\displaystyle \mathrm {hd} (A)=\dim A} 。 N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitre 10 (1998), Masson. ISBN 3-540-34394-6