夾擠定理

夾擠定理（英語：Squeeze theorem），又稱夹逼定理、夹极限定理、三明治定理、逼近定理、迫敛定理，是有關函數的極限的数学定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，则第三個函數在該點的極限也相同。 設 I {\displaystyle I} 為包含某點 a {\displaystyle a} 的區間， f , g , h {\displaystyle f,g,h} 為定義在 I {\displaystyle I} 上，可能不包含a点的函數。若對於所有屬於 I {\displaystyle I} 而不等於 a {\displaystyle a} 的 x {\displaystyle x} ，有： g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} lim x → a g ( x ) = lim x → a h ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L} 則 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 。 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 和 h ( x ) {\displaystyle h(x)} 分別稱為 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的下界和上界。 a {\displaystyle a} 若在 I {\displaystyle I} 的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } ，這個定理還是可用的。 对于 lim x → 0 x 2 sin ⁡ 1 x {\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}} ， 在任何包含0的區間上，除了 x = 0 {\displaystyle x=0} ， f ( x ) = x 2 sin ⁡ 1 x {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}} 均有定義。 對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的絕對值也不大於 x 2 {\displaystyle x^{2}} 。設 g ( x ) = − x 2 {\displaystyle g(x)=-x^{2}} , h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)=x^{2}} ： − 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1 {\displaystyle -1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1} − x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ x 2 {\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}} g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} lim x → 0   g ( x ) = lim x → 0   h ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0} ，根據夾擠定理 lim x → 0 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)=0} 。 对于 lim x → 0 sin ⁡ x x {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}} ， 首先用幾何方法證明：若 0 < x < π 2 {\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}} ， cos ⁡ x < sin ⁡ x x < 1 {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1} 。 稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。 C {\displaystyle C} 在 O D {\displaystyle OD} 上，使得 A C {\displaystyle AC} 垂直 O D {\displaystyle OD} 。過 A {\displaystyle A} 作單位圓的切線，與 O D {\displaystyle OD} 的延長線交於 E {\displaystyle E} 。 由定義可得 x = ∠ A O D = a r c A D {\displaystyle x=\angle AOD=arcAD} ， tan ⁡ x = A E {\displaystyle \tan x=AE} 。 A C < A D < a r c A D {\displaystyle AC<AD<arcAD} sin ⁡ x < x {\displaystyle \sin x<x} sin ⁡ x x < 1 {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}<1} a r c A D < A E {\displaystyle arcAD<AE} x < tan ⁡ x {\displaystyle x<\tan x} cos ⁡ x < sin ⁡ x x {\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}} 因為 lim x → 0 + cos ⁡ x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1} ，根據夾擠定理 lim x → 0 + sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1} 。 另一邊的極限可用這個結果求出。 高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是 I ( a ) = ∫ 0 a e − x 2 d x {\displaystyle I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx} ，現在要求的是 I ( ∞ ) = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} 。 被積函數對於y軸是對稱的，因此 I ( ∞ ) {\displaystyle I(\infty )} 是被積函數對於所有實數的積分的一半。 ( 2 I ) 2 = [ 2 ∫ 0 a e − x 2 d x ] 2 = [ ∫ − a a e − x 2 d x ] 2 = ∫ − a a ∫ − a a e − ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle (2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy} 這個二重積分在一個 ( − a , − a ) , ( − a , a ) , ( a , − a ) , ( a , a ) {\displaystyle (-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)} 的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示： ∫ 0 2 π ∫ 0 a r e − r 2 d r d θ ≤ ( 2 I ) 2 ≤ ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r e − r 2 d r d θ {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta } π ( 1 − e − a 2 ) ≤ ( 2 I ) 2 ≤ π ( 1 − e − 2 a 2 ) {\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})} lim a → ∞ π ( 1 − e − a 2 ) = lim a → ∞ π ( 1 − e − 2 a 2 ) = π ⊢ [ 2 I ( ∞ ) ] 2 = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi } lim a → ∞ ( 2 I ) 2 = π {\displaystyle \lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi } I ( ∞ ) = π 2 {\displaystyle I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} 若 ∀ x ∈ R {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} } ， g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} ，而且 lim x → a h ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=0} 。 設 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，根據函數的極限的定義，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 使得：若 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } ，則 | h ( x ) | < ε {\displaystyle |h(x)|<\varepsilon } 。 由於 0 = g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle 0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)} ，故 | f ( x ) | ≤ | h ( x ) | {\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|} 。 若 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } ，則 | f ( x ) | ≤ | h ( x ) | < ε {\displaystyle |f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon } 。於是， lim x → a f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0} 。 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)} 0 ≤ f ( x ) − g ( x ) ≤ h ( x ) − g ( x ) {\displaystyle 0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)} 當 x → a {\displaystyle x\to a} ： h ( x ) − g ( x ) → L − L = 0 {\displaystyle h(x)-g(x)\to L-L=0} 根據上面已證的特殊情況，可知 f ( x ) − g ( x ) → 0 {\displaystyle f(x)-g(x)\to 0} 。 f ( x ) = [ f ( x ) − g ( x ) ] + g ( x ) → 0 + L = L {\displaystyle f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L} 。 Stewart, James. Chapter 15.2 Limits and Continuity. Multivariable Calculus (6th ed.). 2008: 909–910. ISBN 978-0495011637.