反扭稜大星形十二面體

反扭稜大星形十二面體是一種星形均勻多面體，由80個正三角形和12個正五角星組成，索引為U69，對偶多面體為大逆五角六十面体（維基數據所列：Q18048506），具有二十面體群對稱性（英语：Icosahedral symmetry）。 反扭稜大星形十二面體共由92個面、150條邊和60個頂點組成。在其92個面中，有80個正三角形面和12個正五角星面。這80個三角形面中有60個來自扭稜變換。 在反扭稜大星形十二面體的60個頂點中，每個頂點都是4個正三角形面和1個正五角星面的公共頂點，並且這些面在構成頂角的多面角時，以反向相接正五角星、正三角形、正三角形、正三角形和正三角形的順序排列，在頂點圖中可以用(5/3.3.3.3.3)來表示。 與扭稜大星形十二面體不同，反扭稜大星形十二面體中的五角星與周邊面相接的方式相反，因而構成了一個幾何上不同，但拓樸上相同的結構。其拓樸結構也與扭棱十二面体相同。 反扭稜大星形十二面體在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示為，在施萊夫利符號中可以表示為sr{5⁄3,3}，在威佐夫記號中可以表示為| 5/3 2 3。 若反扭稜大星形十二面體的邊長為單位長，則其外接球半徑為： R = 1 2 2 − x 1 − x = 0.816081 … {\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {2-x}{1-x}}}=0.816081\dots } 其中 x {\displaystyle x} 是 x 3 + 2 x 2 = ( 1 ± 5 2 ) 2 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}={\Big (}{\tfrac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Big )}^{2}} 的實根。 以 R 2 {\displaystyle R^{2}} 為變數的六次方程 4096 R 12 − 27648 R 10 + 47104 R 8 − 35776 R 6 + 13872 R 4 − 2696 R 2 + 209 = 0 {\displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0} 共有4個實根，分別是扭棱十二面体、扭稜大星形十二面體、反扭稜大星形十二面體和大反屈扭稜截半二十面體的外接球半徑。 反扭稜大星形十二面體的頂點座標為下列座標的偶置換： ( ± 2 α , ± 2 , ± 2 β ) {\displaystyle \left(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta \right)} 、 ( ± ( α − β τ − 1 τ ) , ± ( α τ + β − τ ) , ± ( − α τ − β τ − 1 ) ) {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau -{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left({\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right)\right)} 、 ( ± ( α τ − β τ + 1 ) , ± ( − α − β τ + 1 τ ) , ± ( − α τ + β + τ ) ) {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right),\pm \left(-\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta +\tau \right)\right)} 、 ( ± ( α τ − β τ − 1 ) , ± ( α + β τ + 1 τ ) , ± ( − α τ + β − τ ) ) {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}-1\right),\pm \left(\alpha +\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}+\beta -\tau \right)\right)} 和 ( ± ( α − β τ + 1 τ ) , ± ( − α τ − β − τ ) , ± ( − α τ − β τ + 1 ) ) {\displaystyle \left(\pm \left(\alpha -\beta \tau +{\frac {1}{\tau }}\right),\pm \left(-{\frac {\alpha }{\tau }}-\beta -\tau \right),\pm \left(-\alpha \tau -{\frac {\beta }{\tau }}+1\right)\right)} ， 帶有偶數個正號，其中 α = ξ − 1 ξ {\displaystyle \alpha ={\frac {\xi -1}{\xi }}} 且 β = − ξ τ + 1 τ 2 − 1 ξ τ {\displaystyle \beta =-{\frac {\xi }{\tau }}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}-{\frac {1}{\xi \tau }}} 其中 τ = 1 + 5 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 為黃金比例、 ξ {\displaystyle \xi } 是方程式 ξ 3 − 2 ξ = − 1 τ {\displaystyle \xi ^{3}-2\xi =-{\frac {1}{\tau }}} 的正實根，約為1.2224727。 若上述座標使用奇置換並帶有奇數個正號的話，則會得到反扭稜大星形十二面體的另一種形式，即另一種形式的手性對映體。 均勻多面體列表（英语：List_of_uniform_polyhedra） 扭稜大星形十二面體 David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Great Inverted Snub Icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-02-14）.  Weisstein, Eric W. (编). Great Inverted Snub Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Maeder, Roman. 69: great inverted snub icosidodecahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.  Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.  Robert Whittaker. The Great Inverted Snub Icosidodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22）.  Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #74, great inverted snub icosidodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2023-01-06）.  Jonathan Bowers. Polyhedron Category 6: Snubs. polytope.net. （原始内容存档于2021-10-19）.  Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.  Richard Klitzing. great inverted snub icosidodecahedron, great vertisnub icosidodecahedron, gisid. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-10-27）.  Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.  Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.  V.Bulatov. great inverted snub icosidodecahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-02-28）.