閉無界集

數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（英語：closed and unbounded set, club set）是极限序数的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。 嚴格而言，若 κ {\displaystyle \kappa } 為極限序數，則集合 C ⊆ κ {\displaystyle C\subseteq \kappa } 為閉當且僅當對每個 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } ，若 sup ( C ∩ α ) = α ≠ 0 {\displaystyle \sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0} ，則 α ∈ C {\displaystyle \alpha \in C} 。因此，若 C {\displaystyle C} 中，某序列的極限小於 κ {\displaystyle \kappa } ，則該極限也在 C {\displaystyle C} 中。 若 κ {\displaystyle \kappa } 為極限序數，且 C ⊆ κ {\displaystyle C\subseteq \kappa } ，則 C {\displaystyle C} 稱為在 κ {\displaystyle \kappa } 中無界，意思是對任意 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } ，皆有 β ∈ C {\displaystyle \beta \in C} 使 α < β {\displaystyle \alpha <\beta } 。 若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類 O n {\displaystyle \mathrm {On} } 中無界）。 例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } 構成的集合是 κ {\displaystyle \kappa } 的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是正規函數（英语：normal function）（即遞增且連續的函數）的值域。 更一般地可以定義何種 C ⊆ [ X ] λ {\displaystyle C\subseteq [X]^{\lambda }} 為閉無界集。若 X {\displaystyle X} 非空， λ {\displaystyle \lambda } 為基數，且 X {\displaystyle X} 中每個大小小於 λ {\displaystyle \lambda } 的子集都包含於 C {\displaystyle C} C {\displaystyle C} 的某個元素中，則 C {\displaystyle C} 稱為閉無界集。（參見固定集（英语：stationary set）） 設 κ {\displaystyle \kappa } 為極限序數，且其共尾性 λ {\displaystyle \lambda } 不可數。對 α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } ，設 ⟨ C ξ : ξ < α ⟩ {\displaystyle \langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle } 為 κ {\displaystyle \kappa } 的一列閉無界子集，則 ⋂ ξ < α C ξ {\displaystyle \bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }} 也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意 β 0 < κ {\displaystyle \beta _{0}<\kappa } ，又對每個 n < ω {\displaystyle n<\omega } ，從每個 C ξ {\displaystyle C_{\xi }} 中，選取元素 β n + 1 ξ > β n {\displaystyle \beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}} （可以如此選取，因為每個 C ξ {\displaystyle C_{\xi }} 都無界）。由於此為少於 λ {\displaystyle \lambda } 個序數，且每個都小於 κ {\displaystyle \kappa } ，其上確界也必小於 κ {\displaystyle \kappa } ，稱其為 β n + 1 {\displaystyle \beta _{n+1}} 。如此，得到可數序列 β 0 , β 1 , β 2 , … {\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots } ，其極限同樣會是序列 β 0 ξ , β 1 ξ , β 2 ξ , … {\displaystyle \beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots } 的極限，而由於每個 C ξ {\displaystyle C_{\xi }} 皆為閉，且 λ {\displaystyle \lambda } 不可數，後者的極限必在 C ξ {\displaystyle C_{\xi }} 中，所以 ( β n ) {\displaystyle (\beta _{n})} 的極限是上述交集的元素，且大於 β 0 {\displaystyle \beta _{0}} ，但 β 0 {\displaystyle \beta _{0}} 為任意，故交集無界，即為所求證。 由此可見，若 κ {\displaystyle \kappa } 為正則基數（英语：regular cardinal），則閉無界集生成 κ {\displaystyle \kappa } 上的非主 κ {\displaystyle \kappa } 完備濾子。該濾子可以符號表示成 { S ⊂ κ : ∃ C ⊆ κ , C ⊆ S , {\displaystyle \{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,} 且 C {\displaystyle C} 是 κ {\displaystyle \kappa } 中的閉無界集 } {\displaystyle \}} 。 若 κ {\displaystyle \kappa } 為正則基數，則閉無界集關於對角交運算（英语：Diagonal intersection）亦是封閉的。 反之，若 κ {\displaystyle \kappa } 正則，而 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 為 κ {\displaystyle \kappa } 上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如 { ξ < κ : ξ ≥ α } {\displaystyle \{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}} （其中 α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } ）的集合皆為 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的元素，則所有閉無界集均屬於 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。 閉無界濾子（英语：club filter） 固定集（英语：Stationary set） 梅花系原理（英语：Clubsuit） Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合論：第三千紀版，經修訂及擴展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 （英语）.  Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基礎集合論]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 （英语）.  本條目含有来自PlanetMath《club》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。