格林函數

在數學中，格林函數（點源函數、影響函數）是一種用來解有初始条件或邊界條件的非齐次微分方程的函數。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)），有时并不符合数学上的定义。 格林函數的名稱是來自於英國數學家喬治·格林（George Green），早在1830年代，他是第一個提出這個概念的人。 给定流形 M {\displaystyle M\,} 上的微分算子 L {\displaystyle L\,} ，其格林函數 G ( x , s ) s , x ∈ M {\displaystyle G(x,s)\,s,x\in M} ，为以下方程的解 L G ( x , s ) = δ ( x − s )           ( 1 ) {\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)} 其中 δ {\displaystyle \delta \,} 為狄拉克δ函數。此技巧可用來解下列形式的微分方程： L u ( x ) = f ( x )         ( 2 ) {\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)} 若 L {\displaystyle L} 的 零空间非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一个广义函数。 格林函數在凝聚態物理學中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數和狀態密度有重要的關係。由於擴散方程式和薛定谔方程有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。 若可找到線性算符 L {\displaystyle L\,} 的格林函數 G {\displaystyle G\,} ，則可將 (1) 式兩側同乘 f ( s ) {\displaystyle f(s)\,} ，再對變數 s {\displaystyle s\,} 積分，可得： ∫ L G ( x , s ) f ( s ) d s = ∫ δ ( x − s ) f ( s ) d s = f ( x ) . {\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).} 由公式 (2) 可知上式的等號右側等於 L u ( x ) {\displaystyle Lu(x)\,} ，因此： L u ( x ) = ∫ L G ( x , s ) f ( s ) d s . {\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.} 由於算符 L {\displaystyle L\,} 為線式，且只對變數 x {\displaystyle x\,} 作用，不對被積分的變數 s {\displaystyle s\,} 作用），所以可以將等號右邊的算符 L {\displaystyle L\,} 移到積分符號以外，可得： L u ( x ) = L ( ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s ) . {\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).} 而以下的式子也會成立： u ( x ) = ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s .         ( 3 ) {\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)} 因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 f(x)，由於 L 為線性算符，可以用上述的方式得到 u(x)。換句話說， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ，就可以求出 u(x)。 並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左逆元素。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。 格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是施图姆-刘维尔问题。若 G 是算符 L 的格林函數，則方程式 Lu = f 的解 u 為 u ( x ) = ∫ f ( s ) G ( x , s ) d s . {\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.} 可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影量疊加的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程（英语：Fredholm_integral_equation）。 格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題。在近代的理論物理中，格林函數一般是用來作為費曼圖中的傳播子，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學中的关联函数（英语：Correlation function (quantum field theory)）。 令 L {\displaystyle L} 為一個施图姆-刘维尔算子，是一個以以下形式表示的線性微分算子 L = d d x [ p ( x ) d d x ] + q ( x ) {\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)} 而 D 是邊界條件算子 D u = { α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( l ) + β 2 u ( l ) {\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.} 令 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 為在 [ 0 , l ] {\displaystyle [0,l]} 區間的連續函數，並假設以下問題 L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}} 有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常解。 則存在唯一解 u ( x ) {\displaystyle u(x)\,} 滿足以下方程式 L u = f D u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}} 而其解的計算方式如下 u ( x ) = ∫ 0 ℓ f ( s ) g ( x , s ) d s {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds} 而中 g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)\,} 即為格林函數，有以下的特性： g ( x , s ) {\displaystyle g(x,s)\,} 對 x {\displaystyle x\,} 及 s {\displaystyle s\,} 連續。 對所有 x ≠ s {\displaystyle x\neq s} , L g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Lg(x,s)=0\,} . 對所有 s ≠ 0 , l {\displaystyle s\neq 0,l} , D g ( x , s ) = 0 {\displaystyle Dg(x,s)=0\,} . 微分跳躍： g ′ ( s + 0 , s ) − g ′ ( s − 0 , s ) = 1 / p ( s ) {\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,} . 對稱： g ( x , s ) = g ( s , x ) {\displaystyle g(x,s)=g(s,x)\,} . 若一微分算子 L 有一組完备的特徵向量 Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} （也就是一組函數 Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} 及純量 λ n {\displaystyle \lambda _{n}} 使得 L Ψ n = λ n Ψ n {\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}} 成立）則可以由特徵向量及特徵值產生格林函數。 先假設函數 Ψ n ( x ) {\displaystyle \Psi _{n}(x)} 滿足以下的完備性： δ ( x − x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ n ( x ′ ) . {\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').} 經由證明可得下式： G ( x , x ′ ) = ∑ n = 0 ∞ Ψ n ( x ) Ψ n ( x ′ ) λ n . {\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.} 若在等號兩側加上微分算子 L，則可以證明以上假設的完備性。 有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為弗雷德霍姆理論（英语：Fredholm theory）所要探討的內容。 先由格林定理開始： ∫ V ( ϕ ∇ 2 ψ − ψ ∇ 2 ϕ ) d V = ∫ S ( ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ) ⋅ d σ ^ {\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}} 假設線性算符 L 為拉普拉斯算子 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ，而 G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式： L G ( x , x ′ ) = ∇ 2 G ( x , x ′ ) = δ ( x − x ′ ) {\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')} 令格林定理中的 ψ = G {\displaystyle \,\!\psi =G} ，可得： ∫ V ϕ ( x ′ ) δ ( x − x ′ )   d 3 x ′ − ∫ V G ( x , x ′ ) ∇ 2 ϕ ( x ′ )   d 3 x ′ = ∫ S ϕ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′           ( 4 ) {\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)} 根據上式，可以解拉普拉斯方程 ∇ 2 ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0} 或 泊松方程 ∇ 2 ϕ ( x ) = − 4 π ρ ( x ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)} ，其邊界條件可以為狄利克雷邊界條件或是諾伊曼邊界條件。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} ： 已知 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} 在邊界上的值（狄利克雷邊界條件）。 已知 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} 在邊界上的法向導數（諾伊曼邊界條件）。 若想解在區域內的 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} ，由於狄拉克δ函數的特性，(4) 式等號左邊的第一項 ∫ V ϕ ( x ′ ) δ ( x − x ′ )   d 3 x ′ {\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}} 可化簡為 ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} ，再將 (4) 式等號左邊第二項 ∇ 2 ϕ ( x ′ ) {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x')} 用 ρ ′ ( x ′ ) {\displaystyle \,\!\rho '(x')} 表示，（若為泊松方程， ρ ′ ( x ) = − 4 π ρ ( x ) {\displaystyle \,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)} ，若為拉普拉斯方程， ρ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle \,\!\rho '(x)=0} ），可得： ϕ ( x ) = ∫ V G ( x , x ′ ) ρ ′ ( x ′ )   d 3 x ′ + ∫ S ϕ ( x ′ ) ∇ ′ G ( x , x ′ ) − G ( x , x ′ ) ∇ ′ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′           ( 5 ) {\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)} 上式即為調和函數（harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。 在靜電學中， ϕ ( x ) {\displaystyle \,\!\phi (x)} 為電位， ρ ( x ) {\displaystyle \,\!\rho (x)} 為電荷密度，而法向導數 ∇ ϕ ( x ′ ) ⋅ d σ ^ ′ {\displaystyle \nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'} 則為電場在法向的分量。 若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。 在自由空間的情形下（此時可將邊界條件視為： lim x ^ → ∞ ϕ ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0} ），拉普拉斯算子的格林函數為： G ( x ^ , x ^ ′ ) = 1 | x ^ − x ^ ′ | {\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}} 若 ρ ( x ^ ) {\displaystyle \,\!\rho ({\hat {x}})} 為電荷密度，則可得到電荷密度和電位 ϕ ( x ^ ) {\displaystyle \,\!\phi ({\hat {x}})} 的公式： ϕ ( x ^ ) = ∫ V ρ ( x ′ ) | x ^ − x ^ ′ |   d 3 x ′ {\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'} 針對以下微分方程 L u = u ″ + u = f ( x ) {\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)} D u = u ( 0 ) = 0 , u ( π 2 ) = 0 {\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0} 找出格林函數。 第 1 步 根據定理中，格林函數的特性 2，可得 g ( x , s ) = c 1 ( s ) ⋅ cos ⁡ x + c 2 ( s ) ⋅ sin ⁡ x {\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x} 在 x < s 時因特性 3 可知 g ( 0 , s ) = c 1 ( s ) ⋅ 1 + c 2 ( s ) ⋅ 0 = 0 , c 1 ( s ) = 0 {\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0} （此時不需考慮 g ( π 2 , s ) = 0 {\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0} 的式子，因 x ≠ π 2 {\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}} ）在 x > s 時因特性 3 可知 g ( π 2 , s ) = c 1 ( s ) ⋅ 0 + c 2 ( s ) ⋅ 1 = 0 , c 2 ( s ) = 0 {\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0} （此時不需考慮 g ( 0 , s ) = 0 {\displaystyle \quad g(0,s)=0} 的式子，因 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} ）整理上述的結果，可得以下的式子。 g ( x , s ) = { a ( s ) sin ⁡ x , x < s b ( s ) cos ⁡ x , s < x {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} 第 2 步 依格林函數的特性，找出 a(s)和b(s). 根據特性 1，可得 a ( s ) sin ⁡ s = b ( s ) cos ⁡ s {\displaystyle a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad } . 根據特性 4，可得 b ( s ) ⋅ [ − sin ⁡ s ] − a ( s ) ⋅ cos ⁡ s = 1 1 = 1 . {\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.} 解上述二式，可以求出 a(s)和b(s) a ( s ) = − cos ⁡ s ; b ( s ) = − sin ⁡ s {\displaystyle a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s} . 因此格林函數為 g ( x , s ) = { − 1 ⋅ cos ⁡ s ⋅ sin ⁡ x , x < s − 1 ⋅ sin ⁡ s ⋅ cos ⁡ x , s < x {\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.} 對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。 若流形為 R，而線性算符 L 為 d/dx，則单位阶跃函数 H(x − x0) 為 L 在 x0 處的格林函數。 若流形為第一象限平面 { (x, y) : x, y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件，而在y = 0 處有諾依曼邊界條件，則其格林函數為 G ( x , y , x 0 , y 0 ) = 1 2 π [ ln ⁡ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 − ln ⁡ ( x + x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] {\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]} + 1 2 π [ ln ⁡ ( x − x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 − ln ⁡ ( x + x 0 ) 2 + ( y + y 0 ) 2 ] . {\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].} 離散格林函數（英语：Discrete Laplace operator），可定義於圖以及網上。 脈衝響應 格林恆等式 基爾霍夫積分定理 Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9.（其中的第五章介绍如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題） A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9 埃里克·韦斯坦因. Green's Function. MathWorld.  Green's function for differential operator at PlanetMath. Green's function. PlanetMath.  格林函數簡介（英文）