Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。 一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為 − ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m\,\!} 是粒子質量， x {\displaystyle x\,\!} 是粒子位置， E {\displaystyle E\,\!} 是能量， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} 是波函數， V ( x ) {\displaystyle V(x)\,\!} 是位勢，表達為 V ( x ) = λ δ ( x ) {\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)\,\!} ； 其中， δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)\,\!} 是狄拉克Delta函數， λ {\displaystyle \lambda \,\!} 是狄拉克Delta函數的強度。 這位勢壘將一維空間分為兩個區域： x < 0 {\displaystyle x<0\,\!} 與 x > 0 {\displaystyle x>0\,\!} 。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）： ψ L ( x ) = A r e i k x + A l e − i k x x < 0 {\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!} ， ψ R ( x ) = B r e i k x + B l e − i k x x > 0 {\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!} ； 其中， A r {\displaystyle A_{r}\,\!} 、 A l {\displaystyle A_{l}\,\!} 、 B r {\displaystyle B_{r}\,\!} 、 B l {\displaystyle B_{l}\,\!} 都是必須由邊界條件決定的常數，下標 r {\displaystyle r\,\!} 與 l {\displaystyle l\,\!} 分別標記波函數往右或往左的方向。 k = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!} 是波數。 由於 E > 0 {\displaystyle E>0\,\!} ， ψ L {\displaystyle \psi _{L}\,\!} 與 ψ R {\displaystyle \psi _{R}\,\!} 都是行進波。這兩個波必須滿足在 x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} 的邊界條件： ψ L = ψ R {\displaystyle \psi _{L}=\psi _{R}\,\!} ， d d x ψ L = d d x ψ R − 2 m λ ℏ 2 ψ R {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!} 。 特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在 x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} 並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有 − 2 λ ℏ 2 ψ R {\displaystyle -{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!} 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於 x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} 的一個非常小的鄰域： − ℏ 2 2 m ∫ − ϵ ϵ d 2 ψ d x 2 d x + ∫ − ϵ ϵ V ( x ) ψ d x = E ∫ − ϵ ϵ ψ d x {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!} ；(1) 其中， ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 是一個非常小的數值。 方程式(1)右邊的能量項目是 E ∫ − ϵ ϵ ψ d x ≈ E ⋅ 2 ϵ ⋅ ψ ( 0 ) {\displaystyle E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!} 。(2) 在 ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0\,\!} 的極限，這項目往著0去。 方程式(1)左邊是 − ℏ 2 2 m ( d ψ R d x | ϵ − d ψ L d x | − ϵ ) + λ ∫ − ϵ ϵ δ ( x ) ψ d x = 0 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!} (3) 根據狄拉克Delta函數的定義， ∫ − ϵ ϵ δ ( x ) ψ d x = ψ R ( 0 ) {\displaystyle \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!} 。(4) 而在 ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0\,\!} 的極限， lim ϵ → 0 d ψ L d x | − ϵ = d ψ L d x | 0 {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!} ，(5) lim ϵ → 0 d ψ R d x | ϵ = d ψ R d x | 0 {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!} 。(6) 將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在 x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} ， d ψ L d x = d ψ R d x − 2 m λ ℏ 2 ψ R {\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!} 。 從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式： A r + A l = B r + B l {\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!} ， i k ( A r − A l − B r + B l ) = − 2 m λ ℏ 2 ( B r + B l ) {\displaystyle ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!} 。 由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間， x < 0 {\displaystyle x<0\,\!} 或 x > 0 {\displaystyle x>0\,\!} 。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定 A r = 1 {\displaystyle A_{r}=1\,\!} ， A l = r {\displaystyle A_{l}=r\,\!} ， B l = 0 {\displaystyle B_{l}=0\,\!} ， B r = t {\displaystyle B_{r}=t\,\!} 。求算反射的機率幅 r {\displaystyle r\,\!} 與透射的機率幅 t {\displaystyle t\,\!} ： r = 1 i ℏ 2 k m λ − 1 {\displaystyle r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!} ， t = 1 i m λ ℏ 2 k + 1 {\displaystyle t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!} 。 反射係數是 R = | r | 2 = 1 1 + ℏ 4 k 2 m 2 λ 2 = 1 1 + 2 ℏ 2 E m λ 2 {\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!} 。 透射係數是 T = | t | 2 = 1 − R = 1 1 + m 2 λ 2 ℏ 4 k 2 = 1 1 + m λ 2 2 ℏ 2 E {\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!} 。 這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。 自由粒子 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 球對稱位勢 Delta位勢阱 量子穿隧效應