莫雷角三分線定理

在欧几里得幾何中，莫雷角三分線定理（Morley's theorem）說明對所有的三角形，其三個内角作角三分線，靠近公共边三分線的三個交點，是一個等邊三角形。此定理由法蘭克·莫雷在1899年發現。对外角作外角三分線，也會有类似的性质，可以再作出4個等邊三角形。 此定理沒辦法用尺規作圖作出其等邊三角形，因為已經證明出尺規作圖無法作出三等分角。 由三倍角公式及和差公式可得出： sin ⁡ 3 θ ≡ 4 sin ⁡ θ sin ⁡ ( 60 ∘ + θ ) sin ⁡ ( 120 ∘ + θ ) {\displaystyle \sin 3\theta \equiv 4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )} sin ⁡ 3 θ = 3 sin ⁡ θ − 4 sin 3 ⁡ θ {\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta } = sin ⁡ θ ( 3 − 4 sin 2 ⁡ θ ) = sin ⁡ θ ( 3 cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle =\sin \theta (3-4\sin ^{2}\theta )=\sin \theta (3\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )} = sin ⁡ θ ( 3 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ ) ( 3 cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle =\sin \theta ({\sqrt {3}}\cos \theta +\sin \theta )({\sqrt {3}}\cos \theta -\sin \theta )} = 4 sin ⁡ θ ( 3 2 cos ⁡ θ + 1 2 sin ⁡ θ ) ( 3 2 cos ⁡ θ − 1 2 sin ⁡ θ ) {\displaystyle =4\sin \theta ({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta +{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )({\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta -{\tfrac {1}{2}}\sin \theta )} = 4 sin ⁡ θ sin ⁡ ( 60 ∘ + θ ) sin ⁡ ( 120 ∘ + θ ) {\displaystyle =4\sin \theta \sin(60^{\circ }+\theta )\sin(120^{\circ }+\theta )} 在 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 中： α {\displaystyle \alpha } 是 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的三等分角 β {\displaystyle \beta } 是 ∠ B {\displaystyle \angle B} 的三等分角 γ {\displaystyle \gamma } 是 ∠ C {\displaystyle \angle C} 的三等分角 作6條角三分線分別為 B X ¯ {\displaystyle {\overline {BX}}} 、 X C ¯ {\displaystyle {\overline {XC}}} 、 C Y ¯ {\displaystyle {\overline {CY}}} 、 Y A ¯ {\displaystyle {\overline {YA}}} 、 A Z ¯ {\displaystyle {\overline {AZ}}} 、 Z B ¯ {\displaystyle {\overline {ZB}}} ，作 D {\displaystyle D} 、 E {\displaystyle E} 、 F {\displaystyle F} 在 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} 上，且 B C ¯ ⊥ X D ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}\bot {\overline {XD}}} 、 ∠ B X E = ∠ C X F = 60 ∘ {\displaystyle \angle BXE=\angle CXF=60^{\circ }} 容易得出 α + β + γ = 60 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =60^{\circ }} ，由此等式還可以得出以下三式： ∠ B X C = 120 ∘ + α {\displaystyle \angle BXC=120^{\circ }+\alpha } ∠ C Y A = 120 ∘ + β {\displaystyle \angle CYA=120^{\circ }+\beta } ∠ A Z B = 120 ∘ + γ {\displaystyle \angle AZB=120^{\circ }+\gamma } 由正弦定理可得出： sin ⁡ ( 120 ∘ + β ) = A C ¯ sin ⁡ γ A Y ¯ {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\beta )={\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}} sin ⁡ ( 120 ∘ + γ ) = A B ¯ sin ⁡ β A Z ¯ {\displaystyle \sin(120^{\circ }+\gamma )={\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}} 從這裡可以得出 △ X E F {\displaystyle \triangle XEF} 的三個內角，計算出 ∠ X E F {\displaystyle \angle XEF} 和 ∠ X F E {\displaystyle \angle XFE} 的正弦值： ∠ E X F = α {\displaystyle \angle EXF=\alpha } ∠ X E F = 60 ∘ + β ⇒ sin ⁡ ( 60 ∘ + β ) = X D ¯ X E ¯ {\displaystyle \angle XEF=60^{\circ }+\beta \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\beta )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}} ∠ X F E = 60 ∘ + γ ⇒ sin ⁡ ( 60 ∘ + γ ) = X D ¯ X F ¯ {\displaystyle \angle XFE=60^{\circ }+\gamma \Rightarrow \sin(60^{\circ }+\gamma )={\tfrac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}} 我們知道： A B ¯ sin ⁡ 3 β = A C ¯ sin ⁡ 3 γ {\displaystyle {\overline {AB}}\sin 3\beta ={\overline {AC}}\sin 3\gamma } 從引理我們可以得出： A B ¯ 4 sin ⁡ β sin ⁡ ( 60 ∘ + β ) sin ⁡ ( 120 ∘ + β ) = A C ¯ 4 sin ⁡ γ sin ⁡ ( 60 ∘ + γ ) sin ⁡ ( 120 ∘ + γ ) {\displaystyle {\overline {AB}}4\sin \beta \sin(60^{\circ }+\beta )\sin(120^{\circ }+\beta )={\overline {AC}}4\sin \gamma \sin(60^{\circ }+\gamma )\sin(120^{\circ }+\gamma )} A B ¯ sin ⁡ β X D ¯ X E ¯ A C ¯ sin ⁡ γ A Y ¯ = A C ¯ sin ⁡ γ X D ¯ X F ¯ A B ¯ sin ⁡ β A Z ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\sin \beta {\frac {\overline {XD}}{\overline {XE}}}{\frac {{\overline {AC}}\sin \gamma }{\overline {AY}}}={\overline {AC}}\sin \gamma {\frac {\overline {XD}}{\overline {XF}}}{\frac {{\overline {AB}}\sin \beta }{\overline {AZ}}}} 化簡後得出： X E ¯ X F ¯ = A Z ¯ A Y ¯ ⇒ △ X E F ≈ △ A Z Y {\displaystyle {\frac {\overline {XE}}{\overline {XF}}}={\frac {\overline {AZ}}{\overline {AY}}}\Rightarrow \triangle XEF\approx \triangle AZY} 因為 △ X E F {\displaystyle \triangle XEF} 和 △ A Y Z {\displaystyle \triangle AYZ} 相似，所以可得出： ∠ A Z Y = ∠ X E F = 60 ∘ + β {\displaystyle \angle AZY=\angle XEF=60^{\circ }+\beta } ∠ A Y Z = ∠ X F E = 60 ∘ + γ {\displaystyle \angle AYZ=\angle XFE=60^{\circ }+\gamma } 同理可得出： ∠ B Z X = 60 ∘ + α {\displaystyle \angle BZX=60^{\circ }+\alpha } ∠ C Y X = 60 ∘ + α {\displaystyle \angle CYX=60^{\circ }+\alpha } 綜合以上結果，可得出 ∠ X Z Y = ∠ X Y Z = 60 ∘ {\displaystyle \angle XZY=\angle XYZ=60^{\circ }} ，因此 △ X Y Z {\displaystyle \triangle XYZ} 是等邊三角形 更一般的莫雷角三分線定理由Taylor和Marr於1914年發表，將6條角三分線順時鐘和逆時鐘旋轉120°，其交點共可得出27個不同的等邊三角形。 三等分角 三角恆等式 Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, pp. 253-256, 1929. Morley's Miracle — Several proofs of Morley's theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） Morleys Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） MathWorld Morley's Trisection Theorem MathPages