餘調

在同調論與代數餘鏈中，餘調表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列，經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間（比同調）更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之，餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中，到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法，現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論，而在很多應用中比同調更自然，但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看，這與幾何的情況中的函數與拉回有關：給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ，對任何映射 f : X → Y ，與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積，稱為杯積，使其具有環的結構。所以，餘調常是比同調更強的不變量。 广义上的同调理论（其他代数或几何结构的不变式，而不是拓扑空间的不变式）包括：代数K理论，李代数同调，晶体同调等。 奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量，将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射 f :   X → Y {\displaystyle f:\ X\to Y} 都决定了从Y的上同调环到X的上同调环的同态，这对X到Y的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群等更微妙的不变式，对于感兴趣的空间来说，实际上往往是可以计算的。 对拓扑空间X，奇异上同调的定义始于奇异链复形： ⋯ → C i + 1 → ∂ i + 1 C i → ∂ i   C i − 1 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to C_{i+1}{\stackrel {\partial _{i+1}}{\to }}C_{i}{\stackrel {\partial _{i}}{\to }}\ C_{i-1}\to \cdots } 由定义，X的奇异同调是这链复形的同调（一个同态的核对前一个的像取模）。更详细地说， C i {\displaystyle C_{i}} 是从标准i单纯形到X（称作“X中的奇异i单形（simplice）”）的连续映射集的自由阿贝尔群； ∂ i {\displaystyle \partial _{i}} 是第i个边界同态。i为负数时，群 C i {\displaystyle C_{i}} 为零。 现固定一个阿贝尔群A，把每个群Ci换成其对偶群 C i ∗ := H o m ( C i , A ) , {\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},A),} ；把 ∂ i {\displaystyle \partial _{i}} 换成对偶同态 d i − 1 : C i − 1 ∗ → C i ∗ . {\displaystyle d_{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.} 这会把原复形的“所有箭头都逆转”，留下上链复形 ⋯ ← C i + 1 ∗ ← d i   C i ∗ ← d i − 1 C i − 1 ∗ ← ⋯ {\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {d_{i}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {d_{i-1}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots } 对任意整数i，X的第i个系数在A中的上同调群定义为 k e r ( d i ) / i m ( d i − 1 ) , {\displaystyle {\rm {ker}}(d_{i})/{\rm {im}}(d_{i-1}),} 记作 H i ( X ,   A ) . {\displaystyle H^{i}(X,\ A).} i为负数时，群为零。 C i ∗ {\displaystyle C_{i}^{*}} 的元素称作奇异i上链，系数在A中。（等价地，X上的i上链可从X中到A的奇异i单形集函数中辨别出来）ker(d)、im(d)中的元素分别称作上循环和上边界（coboundary）， k e r ( d ) / i m ( d ) = H i ( X ,   A ) {\displaystyle {\rm {ker}}(d)/{\rm {im}}(d)=H^{i}(X,\ A)} 的元素则称作上同调类（因为是上循环的等价类）。 下文时而省略系数群A不写。通常取A为交换环R，则上同调群为R模。标准的选择是整数环Z。 上同调的一些形式性质与同调基本一致： 连续映射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 决定了同调上的前推同态 f ∗ : H i ( X ) → H i ( Y ) {\displaystyle f_{*}:H_{i}(X)\to H_{i}(Y)} 与上同调上的拉回同态 f ∗ : H i ( Y ) → H i ( X ) {\displaystyle f^{*}:H^{i}(Y)\to H^{i}(X)} ，这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群（或R模）的反变函子。 X到Y的两个同伦映射会在上同调引起相同的同态（如在同调上）。 迈尔–维托里斯正合列是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加（而非减少）了上同调的度；即，若空间X是开子集U与V的交，则有长正合序列： ⋯ → H i ( X ) → H i ( U ) ⊕ H i ( V ) → H i ( U ∩ V ) → H i + 1 ( X ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(U)\oplus H^{i}(V)\to H^{i}(U\cap V)\to H^{i+1}(X)\to \cdots } 对空间X的任意子空间Y，有相关上同调群 H i ( X , Y ; A ) . {\displaystyle H^{i}(X,Y;A).} 由长正合序列与通常的上同调群相关联： ⋯ → H i ( X , Y ) → H i ( X ) → H i ( Y ) → H i + 1 ( X , Y ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{i}(X,Y)\to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to \cdots } 泛系数定理用Ext群描述了上同调，即有短正合序列 0 → Ext Z 1 ⁡ ( H i − 1 ⁡ ( X , Z ) , A ) → H i ( X , A ) → Hom Z ⁡ ( H i ( X , Z ) , A ) → 0. {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(\operatorname {H} _{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\to H^{i}(X,A)\to \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\to 0.} 相关的说法是，对域F， H i ( X , F ) {\displaystyle H^{i}(X,F)} 正是向量空间 H i ( X , F ) {\displaystyle H_{i}(X,F)} 的对偶空间。 若X是拓扑流形或CW复形，则对大于X的维度的i，上同调群 H i ( X , A ) {\displaystyle H^{i}(X,A)} 为零。若X是紧流形（可能有界），或是在每个维度都有有限多单元的CW复形，且R是交换诺特环，则R模 H i ( X ,   R ) {\displaystyle H^{i}(X,\ R)} 对每个i都是有限生成模。 另一方面，上同调有同调没有的重要结构：对任意拓扑空间X与交换环R，有称作上积的双线性映射： H i ( X , R ) × H j ( X , R ) → H i + j ( X , R ) , {\displaystyle H^{i}(X,R)\times H^{j}(X,R)\to H^{i+j}(X,R),} 从奇异上链的明确公式定义。上同调类u与v的积写作u ∪ v或只是uv，这个积使得直和 H ∗ ( X , R ) = ⨁ i H i ( X , R ) {\displaystyle H^{*}(X,R)=\bigoplus _{i}H^{i}(X,R)} 变为分次环，称作X的上同调环，在如下意义上是分次交换环： u v = ( − 1 ) i j v u , u ∈ H i ( X , R ) , v ∈ H j ( X , R ) . {\displaystyle uv=(-1)^{ij}vu,\qquad u\in H^{i}(X,R),v\in H^{j}(X,R).} 对任意连续映射 f : X → Y , {\displaystyle f\colon X\to Y,} ，拉回 f ∗ : H ∗ ( Y , R ) → H ∗ ( X , R ) {\displaystyle f^{*}:H^{*}(Y,R)\to H^{*}(X,R)} 是分次R代数的同态。可见，若两空间同伦等价，则它们的上同调环就同构。 下面是上积的一些几何解释。除非另有说明，否则默认流形无界。闭流形是（不含边界）紧流形，而流形M的闭子流形N是M的闭子集的子流形，不必是紧流形（不过，若M紧，则N必紧）。 令X为n维闭有向流形，则庞加莱对偶性给出同构 H i X ≅ H n − i X {\displaystyle H^{i}X\cong H_{n-i}X} 。于是，X中余维度为i的闭有向子流形决定了 H i X {\displaystyle H^{i}X} 中的上同调类，称作 [ S ] . {\displaystyle [S].} 在这些术语中，上积描述了子流形的相交：若S、T是余维度为i、j的子流形，并横截地相交，则 [ S ] [ T ] = [ S ∩ T ] ∈ H i + j ( X ) , {\displaystyle [S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),} 当中的交S ∩ T是余维度为i+j的子流形，方向由S、T、X的方向确定。在光滑流形的情形下，若S、T不横截着相交，则这公式仍可计算上积 [ S ] [ T ] {\displaystyle [S][T]} ，方法是扰动S或T使其横截相交。 更一般地，X不需有向，其闭子流形与法丛上的方向决定了X上的一个上同调类。若X是非紧流形，则闭子流形（不需是紧的）决定了X上的上同调类。两种情形下，上积仍可用子流形之交来描述。 注意勒内·托姆在光滑14维流形上构造了度为7的积分上同调类，不是任何光滑子流形的类。另一方面，他证明了光滑流形上所有度为正的积分上同调类都有正倍数，其是光滑子流形的类。而且，流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”（即单纯形，在余维度至少为2的闭子集之外是流形）表示。 对光滑流形X，德拉姆定理表明，具有实系数的X的奇异上同调与X的德拉姆上同调同构，由微分形式定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分形式的积是分次交换的，而奇异上链的积只在链同伦意义上分次交换。事实上，对系数在整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 或 Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} （p为使积在鼻上分次交换的素数）中的奇异上链，无法修改其定义。上链层面上分次交换性失效，导致了模p上同调上的斯廷罗德运算。 非常不正式地说，对任意拓扑空间X， H i ( X ) {\displaystyle H^{i}(X)} 的元素都可认为是可在X上自由移动的余维度为i的子空间。举例来说，定义元素的一种方法是给出从X到流形M的连续映射f，以及M的余维度为i的闭子流形N，且在法丛上有向。形式上说，可将结果类 f ∗ ( [ N ] ) ∈ H i ( X ) {\displaystyle f^{*}([N])\in H^{i}(X)} 视为位于X的子空间 f − 1 ( N ) {\displaystyle f^{-1}(N)} 上；这是合理的，因为类 f ∗ ( [ N ] ) {\displaystyle f^{*}([N])} 在开子集 X − f − 1 ( N ) {\displaystyle X-f^{-1}(N)} 的上同调中限制为零。上同调类 f ∗ ( [ N ] ) {\displaystyle f^{*}([N])} 可在X上自由移动，即N可被M内N的任意连续变形所代替。 下面默认上同调系数为整数。 点的上同调环是度为0的环Z。根据同伦不变性，这也是任何可紧空间的上同调环，如欧氏空间Rn。 对正整数n，N维球面 S n {\displaystyle S^{n}} 的上同调环是 Z [ x ] / ( x 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2})} （多项式环对给定理想的商环），x的度为n。根据上述庞加莱对偶性，x是球面上一点的类。 环面 ( S 1 ) n {\displaystyle (S^{1})^{n}} 的上同调环是度为1的n个生成器上的Z的外代数。例如，令P表示圆 S 1 {\displaystyle S^{1}} 中的点，Q为2维环面 ( S 1 ) 2 {\displaystyle (S^{1})^{2}} 中的点(P,P)。则， ( S 1 ) 2 {\displaystyle (S^{1})^{2}} 的上同调有如下形式的自由Z模基：度为0的元素1、度为1的 x : = [ P × S 1 ] {\displaystyle x\mathrel {\mathop {:} } =[P\times S^{1}]} 及 y : = [ S 1 × P ] {\displaystyle y\mathrel {\mathop {:} } =[S^{1}\times P]} 、度为2的 x y = [ Q ] . {\displaystyle xy=[Q].} （此处隐含地固定了环面和两个圆的方向）注意由分次交换性可知， y x = − x y = − [ Q ] . {\displaystyle yx=-xy=-[Q].} 更一般地，令R为交换环、令X与Y为使 H ∗ ( X ,   R ) {\displaystyle H^{*}(X,\ R)} 为所有度都是有限生成自由R模的任意拓扑空间（Y不需要假设）。则据克奈定理，积空间 X × Y {\displaystyle X\times Y} 的上同调环是R代数的张量积： H ∗ ( X × Y , R ) ≅ H ∗ ( X , R ) ⊗ R H ∗ ( Y , R ) . {\displaystyle H^{*}(X\times Y,R)\cong H^{*}(X,R)\otimes _{R}H^{*}(Y,R).} 实射影空间 R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} 的上同调环（系数位于 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} ）是 Z / 2 [ x ] / ( x n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /2[x]/(x^{n+1})} ，x的度为1。当中x是 R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} 中的超平面 R P n − 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n-1}} 的类，即使 R P j {\displaystyle \mathbb {RP} ^{j}} （j为正偶数）无向也成立，因为 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 系数的庞加莱对偶性适于任意流形。 若系数是整数，就比较复杂了。 R P 2 a {\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a}} 的Z上同调具有度为2的元素y，使整个上同调是度为0的元素1张成的Z与 y i   ( i = 1 ,   … ,   a ) {\displaystyle y^{i}\ (i=1,\ \ldots ,\ a)} 张成的Z/2的直和。 R P 2 a + 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{2a+1}} 的Z上同调也如此，只是多了一份度为2a+1的Z。 复射影空间 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 的上同调环是 Z [ x ] / ( x m + 1 ) {\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{m+1})} ，其中x的度为2。x是 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 中超平面 C P n − 1 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-1}} 的类；更一般地说， x j {\displaystyle x^{j}} 是 C P n {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}} 中线性子空间 C P n − j {\displaystyle \mathbb {CP} ^{n-j}} 的类。 亏格g ≥ 0的闭有向面X的上同调环有如下形式的自由Z模的基：度为0的元素1、度为1的 A 1 ,   … ,   A g {\displaystyle A_{1},\ \ldots ,\ A_{g}} 及 B 1 ,   … ,   B g {\displaystyle B_{1},\ \ldots ,\ B_{g}} 、度为2的点的类P。积由下面的定义给出： A i A j = B i B j = 0 ,   ∀ i ,   j ; A i B j = 0   ( i ≠ j ) ; A i B j = 0   ( i ≠ j ) ,   A i B i = P ,   ∀ i . {\displaystyle A_{i}A_{j}=B_{i}B_{j}=0,\ \forall i,\ j;\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j);\quad A_{i}B_{j}=0\ (i\neq j),\ A_{i}B_{i}=P,\ \forall i.} 由分次交换性，可知有BiAi = −P 在任意拓扑空间上，上同调环的分次交换性都表明，对任意度为奇的上同调类x都有 2 x 2 = 0. {\displaystyle 2x^{2}=0.} 因此，对包含1/2的环R， H ∗ ( X ,   R ) {\displaystyle H^{*}(X,\ R)} 中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面，若R是 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 或 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，则度为奇的元素不必有平方零，正如例子 R P 2 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}} （系数 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} ）或 R P 4 × R P 2 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{4}\times \mathbb {RP} ^{2}} （系数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ）。 上积可视作来自对角映射 Δ :   X → X × X ,   x ↦ ( x ,   x ) . {\displaystyle \Delta :\ X\to X\times X,\ x\mapsto (x,\ x).} 也就是说，对于具有上同调类 u ∈ H i ( X ,   R ) ,   v ∈ H j ( Y ,   R ) {\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)} 的任意空间X、Y，有外积（或叉积）上同调类 u × v ∈ H i + j ( X × Y ,   R ) . {\displaystyle u\times v\in H^{i+j}(X\times Y,\ R).} 类 u ∈ H i ( X ,   R ) ,   v ∈ H j ( X ,   R ) {\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(X,\ R)} 的上积可定义为外积的对角线拉回： u v = Δ ∗ ( u × v ) ∈ H i + j ( X , R ) . {\displaystyle uv=\Delta ^{*}(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).} 另外，外积也可用上积定义。对空间X、Y，将两投影分别写作 f :   X × Y → X ,   g :   X × Y → Y {\displaystyle f:\ X\times Y\to X,\ g:\ X\times Y\to Y} ，则 u ∈ H i ( X ,   R ) ,   v ∈ H j ( Y ,   R ) {\displaystyle u\in H^{i}(X,\ R),\ v\in H^{j}(Y,\ R)} 两类的外积就是 u × v = ( f ∗ ( u ) ) ( g ∗ ( v ) ) ∈ H i + j ( X × Y , R ) . {\displaystyle u\times v=(f^{*}(u))(g^{*}(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).} 庞加莱对偶性的另一种解释是，闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说，令X为n维闭紧有向流形，F为域。则 H n ( X ,   F ) {\displaystyle H^{n}(X,\ F)} 同构于F，积 H i ( X , F ) × H n − i ( X , F ) → H n ( X , F ) ≅ F {\displaystyle H^{i}(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^{n}(X,F)\cong F} 对每个整数i是完美配对。特别地，向量空间 H i ( X ,   F ) ,   H n − i ( X ,   F ) {\displaystyle H^{i}(X,\ F),\ H^{n-i}(X,\ F)} 具有相同的（有限）维度。同样，积分上同调模挠、在 H n ( X ,   Z ) ≅ Z {\displaystyle H^{n}(X,\ \mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} } 中取值的积是Z上的完美配对。 拓扑空间X上秩为r的有向实向量丛E决定了X上的上同调类，即欧拉类 ξ ( E ) ∈ H r ( X ,   Z ) {\displaystyle \xi (E)\in H^{r}(X,\ \mathbb {Z} )} χ。非正式地说，欧拉类是E的一般截面的零集类。E若是光滑流形X上的光滑向量丛E，这种解释会更明确，因为此时X的一般光滑截面会在X的r余维子流形上归于零。 在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类，如陈类、施蒂费尔–惠特尼类、庞特里亚金类等。 对任意阿贝尔群A与自然数j，有空间 K ( A , j ) {\displaystyle K(A,j)} ，其第j个同伦群同构于A，其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间，对上同调是分类空间：有 H j ( K ( A , j ) , A ) {\displaystyle H^{j}(K(A,j),A)} 的自然元素u，每个空间X上每个度为j的上同调类都是u对某连续映射 X → K ( A , j ) {\displaystyle X\to K(A,j)} 的拉回。更确切地说，类u的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间X给出了双射 [ X , K ( A , j ) ] → ≅ H j ( X , A ) {\displaystyle [X,K(A,j)]{\stackrel {\cong }{\to }}H^{j}(X,A)} 当中 [ X , Y ] {\displaystyle [X,Y]} 表示X到Y的连续映射的同伦类集合。 例如，空间 K ( Z , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)} （同伦等价意义上）可看作是圆 S 1 {\displaystyle S^{1}} ，所以上面的描述说， H 1 ( X , Z ) {\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )} 的每个元素都是通过某映射 X → S 1 {\displaystyle X\to S^{1}} 从 S 1 {\displaystyle S^{1}} 是哪个一点的类u拉回的。 对系数在任意阿贝尔群A（如CW复形X）中的第一上同调，都有相关的描述： H 1 ( X , A ) {\displaystyle H^{1}(X,A)} 与具有群A的X的伽罗瓦覆叠空间的同构类集（也称为X上的主A丛）一一对应。对连通的X， H 1 ( X , A ) {\displaystyle H^{1}(X,A)} 同构于 Hom ⁡ ( π 1 ( X ) , A ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),A)} ，曲线 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 是X的基本群。例如， H 1 ( X , Z / 2 ) {\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)} 分类了X的双覆叠空间，元素 0 ∈ H 1 ( X , Z / 2 ) {\displaystyle 0\in H^{1}(X,\mathbb {Z} /2)} 对应平凡双覆叠，即两个X的不交并。 对任意拓扑空间X、任意整数i、j、任意交换环R，下积是双线性映射 ∩ : H i ( X , R ) × H j ( X , R ) → H j − i ( X , R ) {\displaystyle \cap :H^{i}(X,R)\times H_{j}(X,R)\to H_{j-i}(X,R)} 得到映射 H ∗ ( X , R ) × H ∗ ( X , R ) → H ∗ ( X , R ) {\displaystyle H^{*}(X,R)\times H_{*}(X,R)\to H_{*}(X,R)} 使X的奇异上同调成为X的奇异上同调环上的模。 i = j {\displaystyle i=j} 时，下积给出了自然同态 H i ( X , R ) → Hom R ⁡ ( H i ( X , R ) , R ) , {\displaystyle H^{i}(X,R)\to \operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X,R),R),} 其是R域的同构。 例如，令X是有向流形，不必是紧的。则其余维为i的闭有向子流形Y（不必紧）确定了 H i ( X ,   R ) {\displaystyle H^{i}(X,\ R)} 中的一个元素，X的紧有向j维子流形Z确定了 H j ( X ,   R ) {\displaystyle H_{j}(X,\ R)} 中的一个元素。下积 [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H j − i ( X ,   R ) {\displaystyle [Y]\cap [Z]\in H_{j-i}(X,\ R)} 可通过扰动Y、Z使其横截相交，再取交集的类（即j-i维紧有向子流形）进行计算。 n维闭有向子流形X在 H n ( X ,   R ) {\displaystyle H_{n}(X,\ R)} 中具有基本类 [ X ] {\displaystyle [X]} 。庞加莱对偶同构 H i ( X , R ) → ≅ H n − i ( X , R ) {\displaystyle H^{i}(X,R){\overset {\cong }{\to }}H_{n-i}(X,R)} 可通过与X的基本类的下积定义。 上同调是现代代数拓扑的基础，但在同调论发展了40余年后，人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形，但后来才被发现。 上同调的前身多种多样。20世纪20年代中期，詹姆斯·韦德尔·亚历山大和所罗门·莱夫谢茨创立了流形上循环的相交理论。在闭有向n维流形M上，若i循环与j循环在一般位置有非空交，则其交就是(i+j-n)循环。这产生了同调类的乘法 H i ( M ) × H j ( M ) → H i + j − n ( M ) , {\displaystyle H_{i}(M)\times H_{j}(M)\to H_{i+j-n}(M),} 这与M的上同调的上积很相似。 1930年，亚历山大首次定义了上链，将空间X上的i上链看作是 X i + 1 {\displaystyle X^{i+1}} 中对角线小邻域上的函数。 1931年，乔治·德拉姆将同调与微分形式联系起来，证明了德拉姆定理。这一结果可以更简单地用上同调表述。 1934年，列夫·庞特里亚金证明了庞特里亚金对偶性定理，这是关于拓扑群的一个结果。这（在相当特殊的情形下）提供了用群特征解释庞加莱对偶和亚历山大对偶的方法。 1935年的莫斯科一次学术会议上，安德雷·柯尔莫哥洛夫和亚历山大引入了上同调，并试图建立上同调积结构。 1936年，诺曼·斯廷罗德通过对偶化切赫同调，构造了切赫上同调。 1936至1938年，哈斯勒·惠特尼与爱德华·切赫发展了上积（使上同调变为分次环）和下积，意识到庞加莱对偶性可用下积表示。他们的理论仍局限于有限多胞腔的复形。 1944年，塞缪尔·艾伦伯格克服了技术限制，给出了奇异同调和奇异上同调的现代定义。 1945年，艾伦伯格和斯廷罗德提出了艾伦伯格-斯廷罗德公理，下详。在1952年他们合著的《代数拓扑基础》（Foundations of Algebraic Topology）一书中，他们证明了现有的同调和上同调确实满足他们的公理。、 1946年，让·勒雷定义了层上同调。 1948年，埃德温·斯潘尼尔在亚历山大和柯尔莫哥洛夫的基础上，提出了亚历山大–斯潘尼尔上同调。 层上同调是奇异上同调的丰富推广，允许更一般的系数，而不限于阿贝尔群。对拓扑空间X上任意的阿贝尔群层，有上同调群 H i ( X ,   E ) {\displaystyle H^{i}(X,\ E)} （i为整数）。特别地，X上的常层与阿贝尔群A相关联的情形下，所得的群 H i ( X ,   A ) {\displaystyle H^{i}(X,\ A)} 与X的奇异上同调（流形或CW复形）重合（并非对任意X都成立）。20世纪50年代开始，层上同调成为了代数几何与复分析的核心部分，部分原因是正则函数层或全纯函数层的重要性。 亚历山大·格罗滕迪克用同调代数优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间X，并将层上同调视作从X上的阿贝尔范畴层到阿贝尔群的函子。首先，取从X上的层E到其在X上的非局部截面的阿贝尔群的函子，即E(X)，它是左正合函子，而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子 E ↦ E ( X ) {\displaystyle E\mapsto E(X)} 的右导出函子。 这定义可以有很多推广。例如，可定义拓扑空间X的上同调，其系数可以在层的任意复形中，早先称作超上同调（现在则只叫做“上同调”）。从这角度来看，层上同调成了从X上的层导出范畴到阿贝尔群的函子序列。 更广义地讲，“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子，而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如，对于环R，Tor群 T o r i R ( M ,   N ) {\displaystyle {\rm {Tor}}_{i}^{R}(M,\ N)} 在每个簇形成“同调”，即R模的张量积 M ⊗ R N {\displaystyle M\otimes _{R}N} 的左导出函子。同样，Ext群 E x t R i ( M ,   N ) {\displaystyle {\rm {Ext}}_{R}^{i}(M,\ N)} 可视作是每个簇中的“上同调”，c即Hom函子 H o m R ( M ,   N ) {\displaystyle {\rm {Hom}}_{R}(M,\ N)} 的右导出函子。 层上同调与一种Ext群相关：对拓扑空间X上的层E， H i ( X ,   E ) {\displaystyle H^{i}(X,\ E)} 同构于 E x t i ( Z X ,   E ) {\displaystyle {\rm {Ext}}^{i}(\mathbb {Z} _{X},\ E)} ，当中 Z X {\displaystyle \mathbb {Z} _{X}} 表示与整数Z相关联的常层，Ext取X上的层的阿贝尔范畴。 有很多构造可计算代数簇的上同调。最简单的情形是确定 0 {\displaystyle 0} 特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构的工具，有助于计算这些簇类的上同调（增加了更精细的信息）。最简单的情形下， P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} 中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。 考虑有限或特征为 p {\displaystyle p} 的域上的簇，需要更有力的工具，因为同调/上同调的经典定义被打破了：有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法，并用平展拓扑上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征 p {\displaystyle p} 域上的簇的平展拓扑，可构造 ℓ {\displaystyle \ell } 进上同调（ ℓ ≠ p {\displaystyle \ell \neq p} ）： H k ( X ; Q ℓ ) := lim ← ⁡ H e t k ( X ; Z / ( ℓ n ) ) ⊗ Z ℓ Q ℓ {\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim H_{et}^{k}(X;\mathbb {Z} /(\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}\mathbb {Q} _{\ell }} 若有有限类型的概形 X = Proj ( Z [ x 0 , … , x n ] ( f 1 , … , f k ) ) {\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {Z} \left[x_{0},\ldots ,x_{n}\right]}{\left(f_{1},\ldots ,f_{k}\right)}}\right)} 则只要簇在两个域上都光滑， X ( C ) {\displaystyle X(\mathbb {C} )} 的贝蒂上同调和 X ( F q ) {\displaystyle X(\mathbb {F} _{q})} 的 ℓ {\displaystyle \ell } 进上同调的维度就相等。此外，还有韦尔上同调论，与奇异上同调的行为类似。有一种猜想，其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。 另一个有用的计算工具是爆破序列（blowup sequence）。给定余维度 ≥ 2 {\displaystyle \geq 2} 的子概形 Z ⊂ X {\displaystyle Z\subset X} ，有笛卡儿平方 E ⟶ B l Z ( X ) ↓ ↓ Z ⟶ X {\displaystyle {\begin{matrix}E&\longrightarrow &Bl_{Z}(X)\\\downarrow &&\downarrow \\Z&\longrightarrow &X\end{matrix}}} 由此，有相关的长正合序列 ⋯ → H n ( X ) → H n ( Z ) ⊕ H n ( B l Z ( X ) ) → H n ( E ) → H n + 1 ( X ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\to H^{n}(Z)\oplus H^{n}(Bl_{Z}(X))\to H^{n}(E)\to H^{n+1}(X)\to \cdots } 若子簇 Z {\displaystyle Z} 光滑，则连通态射均平凡，因此 H n ( B l Z ( X ) ) ⊕ H n ( Z ) ≅ H n ( X ) ⊕ H n ( E ) {\displaystyle H^{n}(Bl_{Z}(X))\oplus H^{n}(Z)\cong H^{n}(X)\oplus H^{n}(E)} 此外，利用法丛 N Z / X {\displaystyle N_{Z/X}} 的陈类，爆破的上同调环很容易计算，公式为 H ∗ ( ) {\displaystyle H^{*}()} 拓扑空间的上同调有多种定义（如奇异上同调、切赫上同调、亚历山大–斯潘尼尔上同调或层上同调）（此处层上同调只考虑系数在常层中）。这些理论对某些空间给出了不同结果，但对一大类空间都是一致的，这从公理上最容易理解：有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理，任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具，如单纯复形的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调、光滑流形的德拉姆上同调。 上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理：若P是单点，则 H i ( P ) = 0 ,   ∀ i ≠ 0. {\displaystyle H^{i}(P)=0,\ \forall i\neq 0.} 1960年左右，George W. Whitehead发现，完全省略维度公理很有意义：这就产生了广义（上）同调论（定义如下）。K理论或复配边之类的广义上同调论，提供了拓扑空间的丰富信息，且是奇异上同调无法直接提供的（这时，奇异上同调通常叫做“普通上同调”）。 由定义，广义同调论是从CW-拓扑对范畴 ( X ,   A ) {\displaystyle (X,\ A)} （于是X是CW复形，A是子复形）到阿贝尔群范畴的函子序列 h i {\displaystyle h_{i}} （i是整数），以及自然变换 ∂ i :   h i ( X ,   A ) → h i − 1 ( A ) {\displaystyle \partial _{i}:\ h_{i}(X,\ A)\to h_{i-1}(A)} ，称作边界同态（其中 h i − 1 ( A ) {\displaystyle h_{i-1}(A)} 是 h i − 1 ( A ,   ∅ ) {\displaystyle h_{i-1}(A,\ \emptyset )} 的简写）。公理如下： 同伦：若 f : ( X , A ) → ( Y , B ) {\displaystyle f:(X,A)\to (Y,B)} 同伦于 g : ( X , A ) → ( Y , B ) {\displaystyle g:(X,A)\to (Y,B)} ，则同调上的诱导同态相同。 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在同调上诱导了长正合序列： ⋯ → h i ( A ) → f ∗ h i ( X ) → g ∗ h i ( X , A ) → ∂ h i − 1 ( A ) → ⋯ . {\displaystyle \cdots \to h_{i}(A){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X){\overset {g_{*}}{\to }}h_{i}(X,A){\overset {\partial }{\to }}h_{i-1}(A)\to \cdots .} 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含 f :   ( A ,   A ∩ B ) → ( X ,   B ) {\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)} 会诱导同构 h i ( A , A ∩ B ) → f ∗ h i ( X , B ) {\displaystyle h_{i}(A,A\cap B){\overset {f_{*}}{\to }}h_{i}(X,B)} 可加性：若(X,A)是一组对 ( X α ,   A α ) {\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })} 的不交并，则对每个i，包含 ( X α ,   A α ) → ( X ,   A ) {\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)} 会诱导从直积出发的同构： ⨁ α h i ( X α , A α ) → h i ( X , A ) {\displaystyle \bigoplus _{\alpha }h_{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })\to h_{i}(X,A)} 广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说，广义上同调论是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列 h i {\displaystyle h^{i}} （i是整数），及自然变换d: hi(A) → hi+1(X,A)，称作边界同态 （其中 h i ( A ) {\displaystyle h^{i}(A)} 表示 h i ( A ,   ∅ ) {\displaystyle h^{i}(A,\ \emptyset )} 。公理如下： 同伦：同伦映射在上同调诱导相同的同态。 正合性：由结论f: A → X、g: (X,∅) → (X,A)，每对(X,A)都在上同调上诱导了长正合序列： ⋯ → h i ( X , A ) → g ∗ h i ( X ) → f ∗ h i ( A ) → d h i + 1 ( X , A ) → ⋯ . {\displaystyle \cdots \to h^{i}(X,A){\overset {g_{*}}{\to }}h^{i}(X){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A){\overset {d}{\to }}h^{i+1}(X,A)\to \cdots .} 切除：若X是子复形A、B的并，则对每个i，包含 f :   ( A ,   A ∩ B ) → ( X ,   B ) {\displaystyle f:\ (A,\ A\cap B)\to (X,\ B)} 会诱导同构 h i ( X , B ) → f ∗ h i ( A , A ∩ B ) {\displaystyle h^{i}(X,B){\overset {f_{*}}{\to }}h^{i}(A,A\cap B)} 可加性：若(X,A)是一组对 ( X α ,   A α ) {\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })} 的不交并，则对每个i，包含 ( X α ,   A α ) → ( X ,   A ) {\displaystyle (X_{\alpha },\ A_{\alpha })\to (X,\ A)} 会诱导到达积群的同构： h i ( X , A ) → ∏ α h i ( X α , A α ) {\displaystyle h^{i}(X,A)\to \prod _{\alpha }h^{i}(X_{\alpha },A_{\alpha })} 谱决定了广义（上）同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是：所有广义同调论都来自一个谱，所有广义上同调论也来自一个谱。这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。 一个微妙问题是，从稳定同调范畴（谱的同伦范畴）到CW-拓扑对上的广义同调论的函子，虽然给出了同构类上的双射，但是不等价；在稳定同伦范畴中，有非零映射（即幻影映射（英语：phantom map）），其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样，从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。正是稳定同伦范畴具有三角化之类良好性质。 要将（上）同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间，一种标准方法是加入公理：所有弱同伦等价都会在（上）同调诱导一个同构（对奇异（上）同调是正确的，但层上同调等则不然）。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价，这公理将所有空间的（上）同调论还原为CW复形的相应理论。 广义上同调论的一些例子： 稳定上同伦群 π S ∗ ( X ) . {\displaystyle \pi _{S}^{*}(X).} 相应的同调论更常用：稳定同伦群 π ∗ S ( X ) . {\displaystyle \pi _{*}^{S}(X).} 各种配边群，从空间到流形的所有映射的角度研究空间：无向配边 M O ∗ ( X ) {\displaystyle MO^{*}(X)} 有向配边 M S O ∗ ( X ) , {\displaystyle MSO^{*}(X),} 复配边 M U ∗ ( X ) , {\displaystyle MU^{*}(X),} 等等。复配边在同伦论中尤为强大，经由丹尼尔·奎伦的定理，同形式群密切相关。 拓扑K理论的各种形式，从空间上所有向量丛的角度研究空间： K O ∗ ( X ) {\displaystyle KO^{*}(X)} （实周期K理论）、 k o ∗ ( X ) {\displaystyle ko^{*}(X)} （实连通K理论）、 K ∗ ( X ) {\displaystyle K^{*}(X)} （复周期K理论）、 k u ∗ ( X ) {\displaystyle ku^{*}(X)} （复连通K理论），等等。 布朗-彼得森上同调、莫拉瓦K理论、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。 各种椭圆上同调。 其中许多理论比普通上同调的信息更丰富，但更难计算。 上同调论E若满足 E ∗ ( X ) {\displaystyle E^{*}(X)} 对每个空间X都具有分次环的结构，则称E具有乘性。用谱的语言来说，有几个更精确的环谱概念，如E∞环谱，其中的积在很强的意义上是交换、结合的。 平展上同调 伽罗瓦上同调 群上同调 李代数上同调 非阿贝尔上同调 量子上同调 Hatcher 2001. Hatcher 2001，Theorem 3.5; Dold 1972，Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4. Dold 1972，Propositions IV.8.12 and V.4.11. Hatcher 2001，Theorem 3.11. Thom 1954. Hatcher 2001，Example 3.16. Hatcher 2001，Example 3.7. Hatcher 2001，Proposition 3.38. May 1999. Dieudonné 1989，Section IV.3. Hartshorne 1977，Section III.2. Switzer 1975，第117, 331頁，Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks. Are spectra really the same as cohomology theories?. MathOverflow.  Switzer 1975，7.68. Dieudonné, Jean, History of Algebraic and Differential Topology, Birkhäuser, 1989, ISBN 0-8176-3388-X, MR 0995842  含有內容需登入查看的頁面 (link) Dold, Albrecht, Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602  Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman, Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, ISBN 9780691627236, MR 0050886  Hartshorne, Robin, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157  Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354  （页面存档备份，存于互联网档案馆） Hazewinkel, Michiel (编), Cohomology, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 . May, J. Peter, A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, 1999, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278  互联网档案馆的存檔，存档日期[日期錯誤] (2)[日期不符]，. Switzer, Robert, Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, 1975, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836  Thom, René, Quelques propriétés globales des variétés différentiables, Commentarii Mathematici Helvetici, 1954, 28: 17–86, MR 0061823, S2CID 120243638, doi:10.1007/BF02566923 [失效連結]