代數 (環論)

在數學中，交換環上的代數或多元環是一種代數結構，上下文不致混淆時通常逕稱代數。 本頁面中的環都是指有單位的環，並使用么環一詞表示則是不一定有單位的環。 給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , . , × ) {\displaystyle (E,+,.,\times )} 。如果以下兩個條件成立： ( E , + , ⋅ ) {\displaystyle (E,+,\cdot )} 是一個 A {\displaystyle A} -模。 × {\displaystyle \times } 是一個 E {\displaystyle E} 的內部運算（即 × : E × E → E {\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E} ），並且是 A {\displaystyle A} -雙線性的。也就是說內部運算 × {\displaystyle \times } 符合以下三點： ∀ x , y , z ∈ E , ( x + y ) × z = x × z + y × z {\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z} ∀ x , y , z ∈ E , x × ( y + z ) = x × y + x × z {\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z} ∀ a ∈ A , ∀ x , y ∈ E , ( a ⋅ x ) × y = a ⋅ ( x × y ) = x × ( a ⋅ y ) {\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)} 那麼我們說四元組 ( E , + , ⋅ , × ) {\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )} 是一個 A {\displaystyle A} 上的代數（或稱 A {\displaystyle A} -代數），或簡稱集合 E {\displaystyle E} 是一個 A {\displaystyle A} -代數。 設 ( E , + , ⋅ , × ) {\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )} 為一個 A {\displaystyle A} -代數。 如果內部運算 × {\displaystyle \times } 符合結合律，那麼我們說 E {\displaystyle E} 是一個結合代數。 如果內部運算 × {\displaystyle \times } 有一個單位元（即 ∃ 1 E ∈ E , ∀ x ∈ E , 1 E × x = x = x × 1 E {\displaystyle \exists 1_{E}\in E,\forall x\in E,1_{E}\times x=x=x\times 1_{E}} ），那麼此單位元是唯一的並且我們說 E {\displaystyle E} 是一個有單位的代數。 如果內部運算 × {\displaystyle \times } 符合交換律，那麼我們說 E {\displaystyle E} 是一個交換代數。 註：有些作者用結合代數來稱呼結合且有單位的代數，或是用交換代數來稱呼結合、有單位且交換的代數。本頁面使用上述段落給的定義而不採用這些稱呼。 一樣給定一個交換環 A {\displaystyle A} 。 給定一個四元組 ( E , + , ⋅ , × ) {\displaystyle (E,+,\cdot ,\times )} 。 這是一個 A {\displaystyle A} 上的結合代數（ r e s p . {\displaystyle resp.} 結合且有單位的代數、 r e s p . {\displaystyle resp.} 結合、有單位且交換的代數）當且僅當以下三個條件成立： ( E , + , ⋅ ) {\displaystyle (E,+,\cdot )} 是一個 A {\displaystyle A} -模。 ( E , + , × ) {\displaystyle (E,+,\times )} 是一個環（ r e s p . {\displaystyle resp.} 一個幺環、 r e s p . {\displaystyle resp.} 一個交換環）。 × {\displaystyle \times } 是一個 E {\displaystyle E} 的內部運算（即 × : E × E → E {\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E} ），並且是 A {\displaystyle A} -雙線性的。 註：上述條件中的第三個條件在第一及第二條件成立下等價為： × {\displaystyle \times } 是一個 E {\displaystyle E} 的內部運算（即 × : E × E → E {\displaystyle \times :E\times E\rightarrow E} ），並符合 ∀ a ∈ A , ∀ x , y ∈ E , ( a ⋅ x ) × y = a ⋅ ( x × y ) = x × ( a ⋅ y ) {\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)} 上述只是將最初定義重整理一次。然而我們可以用別種結構來理解結合且有單位的代數： 給定一個結合且有單位的 A {\displaystyle A} -代數 E {\displaystyle E} 就等於給定一個二元組 ( E , f ) {\displaystyle (E,f)} ：其中 E {\displaystyle E} 是一個環，而 f : A → E {\displaystyle f:A\rightarrow E} 是一個滿足 f ( A ) ⊂ Z ( E ) {\displaystyle f(A)\subset Z(E)} 的環同態。（ Z ( E ) {\displaystyle Z(E)} 代表環 E {\displaystyle E} 的中心，也就是 Z ( E ) = { x ∈ E : ∀ y ∈ E , x × y = y × x } {\displaystyle Z(E)=\{x\in E:\forall y\in E,x\times y=y\times x\}} ）。 原因是如果 E {\displaystyle E} 是一個結合且有單位的 A {\displaystyle A} -代數，那麼 E {\displaystyle E} 是一個環並且 f : a ∈ A ⟼ a ⋅ 1 E ∈ E {\displaystyle f:a\in A\longmapsto a\cdot 1_{E}\in E} 是一個環同態，滿足 f ( A ) ⊂ Z ( E ) {\displaystyle f(A)\subset Z(E)} 。反過來看，如果 E {\displaystyle E} 是一個環，而 f : A → E {\displaystyle f:A\rightarrow E} 是一個滿足 f ( A ) ⊂ Z ( E ) {\displaystyle f(A)\subset Z(E)} 的環同態，那麼我們可以定義外部運算 ⋅ : A × E → E , ( a , x ) ⟼ f ( a ) × x {\displaystyle \cdot :A\times E\to E,(a,x)\longmapsto f(a)\times x} （即 a ⋅ x = d e f f ( a ) × x {\displaystyle a\cdot x{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f(a)\times x} ）。 E {\displaystyle E} 上環的結構與此外部運算結構使其成為一個 A {\displaystyle A} -模並且成為一個結合且有單位的 A {\displaystyle A} -代數。 將上述性質套用在交換環上，我們便可得到結合、有單位且交換的代數的另一種看法： 給定一個結合、有單位且交換的 A {\displaystyle A} -代數 E {\displaystyle E} 就等於給定一個二元組 ( E , f ) {\displaystyle (E,f)} ：其中 E {\displaystyle E} 是一個交換環，而 f : A → E {\displaystyle f:A\rightarrow E} 是一個的環同態。 設 E , F {\displaystyle E,F} 是 A {\displaystyle A} -代數， A {\displaystyle A} -模間的同態 ϕ : E → F {\displaystyle \phi :E\rightarrow F} 被稱作 A {\displaystyle A} -代數間的同態，若且唯若它滿足 ∀ x , y ∈ E , ϕ ( x y ) = ϕ ( x ) ϕ ( y ) {\displaystyle \forall x,y\in E,\;\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)} 。因此所有 A {\displaystyle A} -代數構成一個範疇，也可以探討代數間的同構。詳閱主條目代數同態。 設 E {\displaystyle E} 是 A {\displaystyle A} -代數。當 E {\displaystyle E} 是個自由的有限秩 A {\displaystyle A} -模（當 A {\displaystyle A} 為域且 dim A ⁡ E < ∞ {\displaystyle \dim _{A}E<\infty } 時自動成立）時，可選定一組基底 e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} ，並將乘法寫作 e i e j = ∑ k c i j k e k {\displaystyle e_{i}e_{j}=\sum _{k}c_{ij}^{k}e_{k}\quad } （採用愛因斯坦記號） 此時常數 c i j k ∈ A {\displaystyle c_{ij}^{k}\in A} 稱作 E {\displaystyle E} 對基底 e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} 的結構常數。 對於 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ，矩陣環 M n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )} 附上矩陣乘法是一個非交換但結合且有單位的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代數。 對二階以上的矩陣環，假設域的特徵不等於 2。定義新的乘法為 { X , Y } = ( X Y + Y X ) / 2 {\displaystyle \{X,Y\}=(XY+YX)/2} ，此時得到一個交換、非結合、無單位的代數。這是一個約當代數的例子。 歐氏空間 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 對其外積構成一個非交換、非結合且無單位的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代數。這是一個李代數的例子。 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 是一個非交換但結合且有單位的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代數。 八元數 O {\displaystyle \mathbb {O} } 是一個非交換、非結合但有單位的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代數。 考慮所有在正無窮有極限且極限為0的函數 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } 所形成的集合，附上一般的運算會是一個結合且交換但無單位的 R {\displaystyle \mathbb {R} } -代數。 除了交換結合代數外，一般常研究的幾類代數包括李代數、克里福代數、約當代數等等。近來一些物理學家運用的幾何代數也是一例。 代數上也可以賦予拓撲結構，並要求代數運算是連續的；最突出的例子是巴拿赫代數，這是現代泛函分析的基石之一。 結合代數 代數同態 李代數 Nicholas Bourbaki, Algèbre: tome 1. Chapitres 1 à 3 ISBN 2-903684-00-6