克雷洛夫子空间

线性代数中，由n阶方阵A与n维向量b生成的r阶克雷洛夫子空间是b在A的前r次幂下（始于 A 0 = I {\displaystyle A^{0}=I} ）的列空间张成的线性子空间，即 K r ( A , b ) = span { b , A b , A 2 b , … , A r − 1 b } . {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}.} 这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov，他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。 K r ( A , b ) , A K r ( A , b ) ⊂ K r + 1 ( A , b ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b),A\,{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)} . 令 r 0 = dim ⁡ span { b , A b , A 2 b , … } {\displaystyle r_{0}=\operatorname {dim} \operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots \}} ，则 { b , A b , A 2 b , … , A r − 1 b } {\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}} 是线性无关的，除非 ∀ r > r 0 ,   K r ( A , b ) ⊂ K r 0 ( A , b ) {\displaystyle \forall r>r_{0},\ {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)} ， dim ⁡ K r 0 ( A , b ) = r 0 {\displaystyle \operatorname {dim} {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)=r_{0}} 。因此 r 0 {\displaystyle r_{0}} 是克雷洛夫子空间 K r ( A , b ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)} 的最大维度。 最大维度满足 r 0 ≤ 1 + rank ⁡ A ,   r 0 ≤ n {\displaystyle r_{0}\leq 1+\operatorname {rank} A,\ r_{0}\leq n} . 考虑 dim ⁡ span { I , A , A 2 , … } = deg p ( A ) {\displaystyle \dim \operatorname {span} \,\{I,A,A^{2},\ldots \}=\deg \,p(A)} ，其中 p ( A ) {\displaystyle p(A)} 是A的极小多项式。我们有 r 0 ≤ deg p ( A ) {\displaystyle r_{0}\leq \deg \,p(A)} 。此外 ∀ A ,   ∃ b {\displaystyle \forall A,\ \exists b} ，对它来说此约束是紧密的，即 r 0 = deg p ( A ) {\displaystyle r_{0}=\deg \,p(A)} 。 K r ( A , b ) {\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)} 是由b产生的扭化 k [ x ] {\displaystyle k[x]} -模 ( k n ) A {\displaystyle (k^{n})^{A}} 的循环子模，其中 k n {\displaystyle k^{n}} 是k上的线性空间。 k n {\displaystyle k^{n}} 可分解为克雷洛夫子空间的直和。[需要解释] 克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。控制论的很多线性动态系统检测，特别是与可控制性和可观测性相关的测试，都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间，因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值，或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算，而将向量与矩阵相乘。从向量b开始，可以计算 A b {\displaystyle Ab} ，然后将向量与A相乘，求得 A 2 b {\displaystyle A^{2}b} 等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法，是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形，从而产生了无矩阵法。 由于幂迭代的特性，向量很快就会变得近乎线性相关，因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化，例如厄米矩阵的兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法。 最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法、稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。 迭代法 Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Springer series in operation research and financial engineering 2nd. New York, NY: Springer. 2006: 108. ISBN 978-0-387-30303-1.  Simoncini, Valeria, Krylov Subspaces, Nicholas J. Higham; et al (编), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press: 113–114, 2015  Krylov, A. N. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем [On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR. 1931, 7 (4): 491–539 （俄语）.  Hespanha, Joao, Linear Systems Theory, Princeton University Press, 2017  Nevanlinna, Olavi. Convergence of iterations for linear equations. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Basel: Birkhäuser Verlag. 1993: viii+177 pp. ISBN 3-7643-2865-7. MR 1217705.  Saad, Yousef. Iterative methods for sparse linear systems 2nd. SIAM. 2003. ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114.  含有內容需登入查看的頁面 (link) Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). ISBN 978-3-030-55250-3, url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0. Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, ISBN 978-1119618683 (Sep., 2020).