正多面體列表

在幾何學中，正多面體是指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的多面體。除了五種凸正多面體（柏拉圖立體）外，亦有其他能符合上述條件的立體，例如四種星形正多面體（克卜勒－龐索立體）。 在不考慮其他空間（如雙曲空間、複數空間）的情況下，麥克馬倫在其論文中共整理並列出了48種正多面體。 所有正多面體皆可以使用施萊夫利符號來表示，其可以計為{n, m}。其中n表示構成面的頂點數，m則表示與頂點相鄰的多邊形數量。在中文語境中，一般被大眾認知的正多面體通常代表只有五種的凸正多面體，又稱為柏拉圖立體，其包括了正四面體、立方體、正八面體、正十二面體和正二十面體。然而在定義上，正多面體僅指每個面是正多邊形、每條邊等長每個角等角且每面全等的多面體，而符合上述定義的多面體不一定是凸多面體，也可能是星形多面體、抽象多面體或扭歪多面體等。這些多面體除了五種凸正多面體外，還有四種非凸正多面體（克普勒–龐索立體）、五種抽象正多面體和五種複合正多面體。 下表列出了所有標記可以在其對稱性上傳遞的多面體，換句話說，即該多面體皆同時具有等邊、等角和等面的特性。 大部分的正多面體都只有有限個，如凸正多面體5個、星形多面體4個、正扭歪無限面體3個與難以良好具像化的抽象正多面體5個等。然而在部分正多面體的種類有無窮多個，如同正多邊形的邊數可以無窮上升一般，例如除了柏拉圖立體、黑塞二十七面體、雙黑塞二十七面體與截半黑塞二十七面體之外的複正多面體，或內接於雙曲仿緊空間堆砌中的极限球（英语：Horosphere）上的雙曲鑲嵌等幾何結構。 在幾何學中，平面鑲嵌可以被視為多面的的一種退化成平面的退化形式，即無限面體。然而諞面鑲嵌或雙曲鑲嵌可以用類似多面體堆砌填充三為歐氏空間的方法來填滿雙曲空間，這種結構稱為蜂巢體，在這種情況下，蜂巢體中的每一個胞皆為一個平面鑲嵌或雙曲鑲嵌，即前面所述的退化多面體或無限面體。這些退化的幾何結構由於形成雙曲空間蜂巢體可以內接在一個雙曲極限球（即只與單一雙曲無窮遠點相交的雙曲空間球體）或雙曲超極限球（無法交於單一雙曲無窮遠點的雙曲空間球體）上，因此，此時也能把此結構視為一個雙曲空間的多面體，當這個多面體具有正多面體性質時，也可以稱為一種廣義的正多面體，例如六邊形鑲嵌蜂巢體中的六邊形鑲嵌或三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌。 正三角形組成的雙曲無限面體 正方形組成的雙曲無限面體 正五邊形組成的雙曲無限面體 正六邊形組成的雙曲無限面體 正七邊形組成的雙曲無限面體 正八邊形組成的雙曲無限面體 正無限邊形組成的雙曲無限面體 在雙曲空間的無限邊形又稱為超無限邊形或偽多邊形。 一般的凸正多面體只能由正三角形、正方形和正五邊形構成；若考慮非凸的情況則可以由正五角星構成；若允許複數 C 3 {\displaystyle \mathbb {C} ^{3}} 的空間，則莫比烏斯－坎特八邊形也能構成正多面體。然而正七邊形難以存在於平坦空間的立體中。而目前已知存有正七邊形的正多面體存於雙曲空間中。 二角形組成的正多面體 正三角形組成的正多面體 正方形組成的正多面體 五邊形組成的正多面體 六邊形組成的正多面體 七邊形組成的正多面體 在實數空間的歐幾里得空間（平坦空間）中，正七邊形無法構成正多面體。由正七邊形組成的正多面體（如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌形狀的胞）只能存於雙曲空間中。 八邊形組成的正多面體 在實數空間的歐幾里得空間（平坦空間）中，正八邊形無法構成正多面體，更精確地說，即多邊形邊數超過5的正多邊形（如正六邊形、正七邊形、正八邊形等）皆無法組成正多面體，這個觀點在歐幾里得的《幾何原本》中給出了證明（參見柏拉圖立體 § 幾何證明）。因此由正八邊形組成的正多面體只能存於其他空間中，如雙曲空間中正八邊形鑲嵌形狀的胞、部分視為球面多面體的球面鑲嵌（如正八邊形二面體）以及複空間中的一種由8條三元邊和8個頂點構成的多邊形（莫比烏斯－坎特八邊形）可以構成2種複空間正多面體。 柏拉圖立體可以透過康威變換轉換成13種阿基米德立體，其他正多面體也可以透過康威變換轉換成半正多面體或均勻多面體： 備註：粗體或灰底表示變換完的結果仍為正多面體者。 正圖形列表 正多面體 Bertrand, J. 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