等价类

在数学中，假設在一个集合 X {\displaystyle X} 上定義一个等价关系（用 ∼ {\displaystyle \sim } 來表示），则 X {\displaystyle X} 中的某個元素 a {\displaystyle a} 的等价类就是在 X {\displaystyle X} 中等价于 a {\displaystyle a} 的所有元素所形成的子集: [ a ] = { x ∈ X | x ∼ a } {\displaystyle [a]=\{x\in X|x\sim a\}} 。 等价类的概念有助于从已经构造了的集合构造新集合。在 X {\displaystyle X} 中的给定等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 的所有等价类的集合表示为 X / ∼ {\displaystyle X/\mathrm {\sim } } 并叫做 X {\displaystyle X} 除以 ∼ {\displaystyle \sim } 的商集。这种运算可以（实际上非常不正式的）被认为是输入集合除以等价关系的活动，所以名字“商”和这种记法都是模仿的除法。商集类似于除法的一个方面是，如果 X {\displaystyle X} 是有限的并且等价类都是等势的，则 X / ∼ {\displaystyle X/\mathrm {\sim } } 的序是 X {\displaystyle X} 的序除以一个等价类的序的商。商集被认为是带有所有等价点都识别出来的集合 X {\displaystyle X} 。 对于任何等价关系，都有从 X {\displaystyle X} 到 X / ∼ {\displaystyle X/\mathrm {\sim } } 的一个规范投影映射 π {\displaystyle \pi } ，给出为 π ( x ) = [ x ] {\displaystyle \pi (x)=[x]} 。这个映射总是满射的。在 X {\displaystyle X} 有某种额外结构的情况下，考虑保持这个结构的等价关系，接着称这个结构是良好定义的，而商集在自然方式下继承了这个结构而成为同一个范畴的对象；从 a {\displaystyle a} 到 [ a ] {\displaystyle [a]} 的映射则是在这个范畴内的满态射。参见同余关系。 如果 X {\displaystyle X} 是轿车的集合，而 ∼ {\displaystyle \sim } 是“颜色相同”的等价类，则一个特定等价类由所有绿色轿车组成。 X / ∼ {\displaystyle X/\mathrm {\sim } } 自然的被认同于所有轿车颜色的集合。 考虑在整数集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上的“模 2 {\displaystyle 2} ” ﹝見同餘﹞等价关系: x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 当且仅当 x − y {\displaystyle x-y} 是偶数。这个关系精确的引发两个等价类: [ 0 ] {\displaystyle [0]} 由所有偶数组成， [ 1 ] {\displaystyle [1]} 由所有奇数组成。在这个关系下 [ 7 ] , [ 9 ] {\displaystyle [7],[9]} 和 [ 1 ] {\displaystyle [1]} 都表示 Z / ∼ {\displaystyle \mathbb {Z} /\mathrm {\sim } } 的同一个元素。 有理数可以构造为整数的有序对 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 的等价类的集合， b {\displaystyle b} 不能为零，这里的等价关系定义为 ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} 当且仅当 a d = b c {\displaystyle ad=bc} 。 这里的有序对 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 的等价类可以被认同于有理数 a / b {\displaystyle a/b} 。 任何函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 定义在X上的等价关系，通过 x 1 ∼ x 2 {\displaystyle x_{1}\sim x_{2}} 当且仅当 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} 。 x {\displaystyle x} 的等价类是在 X {\displaystyle X} 中被映射到 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的所有元素的集合，就是说，类 [ x ] {\displaystyle [x]} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的逆像。这个等价关系叫做 f {\displaystyle f} 的核。 给定群 G {\displaystyle G} 和子群 H {\displaystyle H} ，我们可以定义在 G {\displaystyle G} 上的等价关系，通过 x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 当且仅当 x y − 1 ∈ H {\displaystyle xy^{-1}\in H} 。这个等价类叫做H在G中的右陪集；其中之一是 H {\displaystyle H} 自身。它们都有同样数目的元素（在无限 H {\displaystyle H} 的情况下是势）。如果 H {\displaystyle H} 是正规子群，则所有陪集的集合自身是在自然方式下的一个群。 所有群都可以划分成叫做共轭类的等价类。 连续映射 f {\displaystyle f} 的同伦类是所有同伦于 f {\displaystyle f} 的所有映射的等价类。 在自然语言处理中，等价类是对一个个人、位置、事物或事件的所有提及的要么真实要么虚构的集合。例如，在句子“"GE股东将投票公司杰出的CEO Jack Welch的继任者”。“GE”和“公司”是同义的，所以构成一个等价类。对“GE股东”和“Jack Welch”有单独的等价类。 因为等价关系的 a {\displaystyle a} 在 [ a ] {\displaystyle [a]} 中和任何两个等价类要么相等要么不相交的性质。得出X的所有等价类的集合形成 X {\displaystyle X} 的划分：所有 X {\displaystyle X} 的元素属于一且唯一的等价类。反过来， X {\displaystyle X} 的所有划分也定义了在 X {\displaystyle X} 上等价关系。 它还得出等价关系的性质 a ∼ b {\displaystyle a\sim b} 当且仅当 [ a ] = [ b ] {\displaystyle [a]=[b]} 。 如果 ∼ {\displaystyle \sim } 是在 X {\displaystyle X} 上的等价关系，而 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 是 x {\displaystyle x} 的元素的一个性质，使得只要 x ∼ y , P ( x ) {\displaystyle x\sim y,P(x)} 为真如果 P ( y ) {\displaystyle P(y)} 为真，则性质 P {\displaystyle P} 被称为良好定义的或在关系 ∼ {\displaystyle \sim } 下“类恒定”的。常见特殊情况出现在 f {\displaystyle f} 是从 X {\displaystyle X} 到另一个集合 Y {\displaystyle Y} 的时候；如果 x 1 ∼ x 2 {\displaystyle x_{1}\sim x_{2}} 蕴涵 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} 则 f {\displaystyle f} 被称为在 ∼ {\displaystyle \sim } 下恒定的类，或简单称为在 ∼ {\displaystyle \sim } 下恒定。这出现在有限群的特征理论中。对函数 f {\displaystyle f} 的后者情况可以被表达为交换三角关系．参见不變量。 等价关系