伽辽金法

伽辽金方法（Galerkin method）是由俄罗斯数学家鲍里斯·格里戈里耶维奇·伽辽金（俄文：Борис Григорьевич Галёркин 英文：Boris Galerkin）发明的一种数值分析方法。应用这种方法可以将求解微分方程问题（通过方程所对应泛函的变分原理）简化成为线性方程组的求解问题。而一个高维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方法简化，从而达到求解微分方程的目的。 伽辽金法采用微分方程对应的弱形式，其原理为通过选取有限多项试函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界条件能够自动满足。 必须强调指出的是，作为加权余量法的一种试函数选取形式，伽辽金法所得到的只是在原求解域内的一个近似解（仅仅是加权平均满足原方程，并非在每个点上都满足）。 因为伽辽金方法的妙处在于研究它们的抽象方法，所以我们首先给出它们的抽象推导。最后我们再给出应用的例子。 常常用到伽辽金法的领域有： 有限元方法 Krylov空间法 我们通过一个抽象问题来引入伽辽金方法，将问题表示成在一个希尔伯特空间 V {\displaystyle V} 上的弱形式，也就是，求解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} 使得对于所有 v ∈ V {\displaystyle v\in V} a ( u , v ) = f ( v ) {\displaystyle a(u,v)=f(v)} 成立。这里， a ( . , . ) {\displaystyle a(.,.)} 是一个双线性型表达式,即 a ( u , v ) = u T a v = f ( v ) {\displaystyle a(u,v)=u^{T}av=f(v)} ， f {\displaystyle f} 是一个 V {\displaystyle V} 上的线性形表达式。 选取一个n 维子空间 V n ⊂ V {\displaystyle V_{n}\subset V} ，然后求解问题在子空间中的投影：求 u n ∈ V n {\displaystyle u_{n}\in V_{n}} 使得对于所有 v n ∈ V n {\displaystyle v_{n}\in V_{n}} a ( u n , v n ) = f ( v n ) . {\displaystyle a(u_{n},v_{n})=f(v_{n}).} 我们称这个方程为伽辽金方程。注意方程形式没有改变，但是求解域改变了。 这是使得伽辽金方法非常有效的关键性质。因为 V n ⊂ V {\displaystyle V_{n}\subset V} ，我们可以取 v n {\displaystyle v_{n}} 为原方程的一个试矢量。带入并相减，便得到误差的伽辽金正交性关系 a ( e n , v n ) = a ( u , v n ) − a ( u n , v n ) = f ( v n ) − f ( v n ) = 0. {\displaystyle a(e_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.} 这里 e n = u − u n {\displaystyle e_{n}=u-u_{n}} 是真实解 u {\displaystyle u} 和伽辽金方程的解 u h {\displaystyle u_{h}} 之间的误差。 因为伽辽金方法的目标是将问题简化为线性方程组，我们来构造它的矩阵形式，以便利用计算机进行数值求解。 令 e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}} 为 V n {\displaystyle V_{n}} 空间中的一组基。则显然依次选取这些基矢量作为伽辽金方程的试矢量是充分的，也即：求解 u n ∈ V n {\displaystyle u_{n}\in V_{n}} 使得 a ( u n , e i ) = f ( e i ) i = 1 , … , n . {\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.} 用上述基矢量表示出 u n {\displaystyle u_{n}} ： u n = ∑ j = 1 n u j e j {\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}} ，将其代入上面的方程得到 a ( ∑ u j e j , e i ) = ∑ u j a ( e j , e i ) = f ( e i ) i = 1 , … , n . {\displaystyle a(\sum u_{j}e_{j},e_{i})=\sum u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.} 这样我们就得到了上面这组 A u = f {\displaystyle Au=f} 型的线性方程组，式中 a i j = a ( e j , e i ) , f i = f ( e i ) . {\displaystyle a_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).} 由于矩阵项的定义，伽辽金方程的系数矩阵是对称矩阵的充要条件是双线性型表达式 a ( . , . ) {\displaystyle a(.,.)} 是对称的。 这里，我们只讨论对称双线性型，也即 a ( u , v ) = a ( v , u ) . {\displaystyle a(u,v)=a(v,u).} 虽然伽辽金方法并不要求一定对称，但这一限制使得标准理论的应用变得简单的多。而且，非对称情形的分析可能需要用到彼得罗夫－伽辽金方法。 下面我们分两步分析上述方法。第一步，论证伽辽金方程在哈达玛意义下是适定的，因此存在唯一解。第二步，讨论伽辽金解 u n {\displaystyle u_{n}} 的误差大小。 分析过程主要依据双线性型的两个性质： 有界性：对于所有 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} ，下式成立 a ( u , v ) ≤ C ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|} 椭圆性：对于所有 u ∈ V {\displaystyle u\in V} ，下式成立 a ( u , u ) ≥ c ‖ u ‖ 2 {\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}} 根据Lax-Milgram定理（参看弱形式），这两条性质保证了原问题的弱形式的适定性。下面章节中的所有范数都是使得上面的不等式成立的范数（这些范数通常称为能量范数）。 因为 V n ⊂ V {\displaystyle V_{n}\subset V} ，双线性型的有界性和椭圆性对于 V n {\displaystyle V_{n}} 也成立。因此，伽辽金问题的适定性实际上继承自其原问题的适定性。 真实解和伽辽金解之间的误差 e n = u − u n {\displaystyle e_{n}=u-u_{n}} 有如下估计 ‖ e n ‖ ≤ C c inf v n ∈ V n ‖ u − v n ‖ . {\displaystyle \|e_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.} 上式翻译成文字语言就是：伽辽金解 u n {\displaystyle u_{n}} 的误差（和真实解 u {\displaystyle u} 的差）能控制在 V h {\displaystyle V_{h}} 中最优解矢量的误差的 C / c {\displaystyle C/c} 倍以下（在量级上）。特别有用的是，从此对误差的估计可以只在空间 V n {\displaystyle V_{n}} 中进行考虑，而完全不用回到求解的方程。 因为证明非常简单，并且是各种伽辽金法的基本原理依据，因此简单介绍如下： 根据双线性型的椭圆性和有界性（下式中的两个不等号），以及伽辽金法的正交性（下式中间的等号），我们对于任意 v n ∈ V n {\displaystyle v_{n}\in V_{n}} 有： c ‖ e n ‖ 2 ≤ a ( e n , e n ) = a ( e n , u − v n ) ≤ C ‖ e n ‖ ‖ u − v n ‖ . {\displaystyle c\|e_{n}\|^{2}\leq a(e_{n},e_{n})=a(e_{n},u-v_{n})\leq C\|e_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.} 全式除以 c ‖ e n ‖ {\displaystyle c\|e_{n}\|} 并对所有可能的 v h {\displaystyle v_{h}} 取下确界得到该引理。 在有限元法中应用泊松方程 应用到共轭梯度法 通常，伽辽金法不是文献的单独主题。它们和它们的应用同时讨论。 因此，读者可以参考有限元方法的教科书。 譬如 P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978 在这个框架下的Krylov空间法的分析可以在这里找到： Y. Saad: Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd edition, SIAM, 2003 伽辽金法（英文）（Galerkin's Method） MathWorld对伽辽金法的介绍（页面存档备份，存于互联网档案馆）