完整群

微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（英語：holonomy，又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種單值性（英语：monodromy）現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。 流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。 對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由Élie Cartan （1926）引入，以用於對稱空間（英语：symmetric space）的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年，馬塞爾·伯格（英语：Marcel Berger） 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。 設 M 為光滑流形，E 為其上的 k 維向量丛，∇ 為 E 上的聯絡。給定 M 上一點 x 和以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 該聯絡定義了一個平行移动映射 Pγ : Ex → Ex. 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL(Ex) 的元素。∇ 以 x 為基點的和樂群定義為 Hol x ⁡ ( ∇ ) = { P γ ∈ G L ( E x ) ∣ γ  为 以     x  为 基 点 的 环 圈  } . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ 为 以}}\ \ x{\text{ 为 基 点 的 环 圈 }}\}.} 以 x 為基點的限制和樂群是由可縮（英语：contractible）環圈 γ 給出的子群 Hol x 0 ⁡ ( ∇ ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )} . 若 M 連通，則不同基點 x 的和樂群 僅相差 GL(k, R) 的共軛作用。更具體說，若 γ 為 M 中由 x 到 y 的路徑，則 Hol y ⁡ ( ∇ ) = P γ Hol x ⁡ ( ∇ ) P γ − 1 . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.} 選取 Ex 的另一組基（即以另一種方式將 Ex 視為與 Rk 等同）同樣會使和樂群變成 GL(k, R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。 和樂群的重要性質包括： Hol 0 ⁡ ( ∇ ) {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 是 GL(k, R) 的連通李子群。 Hol 0 ⁡ ( ∇ ) {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 是 Hol ⁡ ( ∇ ) {\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )} 的單位連通支（英语：identity component）。 存在自然的滿群同態 π 1 ( M ) → Hol ⁡ ( ∇ ) / Hol 0 ⁡ ( ∇ ) , {\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),} 其中 π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} 是 M 的基本群。該同態將同倫類 [ γ ] {\displaystyle [\gamma ]} 映到陪集 P γ ⋅ Hol 0 ⁡ ( ∇ ) . {\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).} 若 M 單連通，則 Hol ⁡ ( ∇ ) = Hol 0 ⁡ ( ∇ ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).} ∇ 為平（即曲率恆零）当且仅当 Hol 0 ⁡ ( ∇ ) {\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )} 為平凡群。 在物理学中，威爾森迴圈是 tr(P)（特徵標理論的跡）。 主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 G 為李群，P 為仿緊光滑流形 M 上的主 G 叢。設 ω 為 P 上的聯絡。給定 M 中一點 x, 以 x 為基點的分段光滑環圈 γ : [0,1] → M, 以及 x 纖維上一點 p, 該聯絡定義了唯一的水平提升 γ ~ : [ 0 , 1 ] → P {\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P} 使得 γ ~ ( 0 ) = p . {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.} 水平提升的終點 γ ~ ( 1 ) {\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)} 未必是 p, 因為其可為 x 纖維上的另一點 p·g. 若兩點 p 和 q 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 p ~ q. 如此，~ 是 P 上的等價關係。 ω 以 p 為基點的和樂群定義為 Hol p ⁡ ( ω ) = { g ∈ G ∣ p ∼ p ⋅ g } . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.} 若在定義中僅允許可縮（英语：contractible）環圈 γ 的水平提升，則得到以 p 為基點的受限和樂群 Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} . 其為和樂群 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 的子群。 若 M 和 P 皆連通，則不同基點 p 的和樂群僅在 G 互為共軛。更具體說，若 q 是另一個基點，則有唯一的 g ∈ G 使得 q ~ p·g. 於是， Hol q ⁡ ( ω ) = g − 1 Hol p ⁡ ( ω ) g . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.} 特別地， Hol p ⋅ g ⁡ ( ω ) = g − 1 Hol p ⁡ ( ω ) g , {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,} 再者，若 p ~ q, 則 Hol p ⁡ ( ω ) = Hol q ⁡ ( ω ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).} 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。 和樂群的若干性質包括： Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 是 G 的連通李子群。 Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 是 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 的單位連通支（英语：identity component）。 存在自然的滿群同態 π 1 ( M ) → Hol p ⁡ ( ω ) / Hol p 0 ⁡ ( ω ) . {\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).} 若 M 單連通，則 Hol p ⁡ ( ω ) = Hol p 0 ⁡ ( ω ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).} ω 為平（即曲率恆零）当且仅当 Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 為平凡群。 同上，設 M 為連通仿緊流形，P 為其上的主 G 叢，ω 為 P 上的聯絡。設 p ∈ P 為主叢上的任意一點。以 H (p) 表示 P 中可與 p 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 H (p) 連同其到 M 的投影也構成 M 上的主叢，且具有結構群 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} （即 H (p) 是主 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 叢）。 此主叢稱為該聯絡 ω 經過 p 的和樂叢。ω 限制到 H (p) 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 H (p) 不變。故 H (p) 是該聯絡的約化主叢。此外，H (p) 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。 與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 P 中等變。具體說，若 q ∈ P 是另一個基點，則有 g ∈ G 使得 q ~ p g（按假設，M 是路連通的）。故 H (q) = H (p) g. 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 g. 和樂叢 H (p) 是主 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 叢，因此受限和樂群 Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} （作為全個和樂群的正規子群）也作用在 H (p) 上。離散群 Hol p ⁡ ( ω ) / Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 稱為聯絡的單延拓（英语：Monodromy）群。其作用在商叢 H ( p ) / Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 上。存在滿同態 φ : π 1 → Hol p ⁡ ( ω ) / Hol p 0 ⁡ ( ω ) , {\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),} 使得 φ ( π 1 ( M ) ) {\displaystyle \varphi (\pi _{1}(M))} 作用在 H ( p ) / Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。 若 π: P → M 為主叢，ω 為 P 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 M 的開集的纖維上。若 U 為 M 的連通開集，則將 ω 限制到 U 上可得叢 π−1U 的聯絡。該叢的和樂群記為 Hol p ⁡ ( ω , U ) , {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U),} 而受限和樂群則記為 Hol p 0 ⁡ ( ω , U ) , {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U),} 其中 p 為滿足 π(p) ∈ U 的點。 若 U ⊂ V 為包含 π(p) 的兩個開集，則有包含關係 Hol p 0 ⁡ ( ω , U ) ⊂ Hol p 0 ⁡ ( ω , V ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).} p 點的局域和樂群定義為 Hol p ∗ ⁡ ( ω ) = ⋂ k = 1 ∞ Hol p 0 ⁡ ( ω , U k ) , {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U_{k}),} 其中 Uk 為任意一族滿足 ⋂ k U k = π ( p ) {\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)} 的遞降（即 U k ⊂ U k + 1   ∀ k {\displaystyle U_{k}\subset U_{k+1}\ \forall k} ）連通開集。 局域和樂群有以下性質： 其為受限和樂群 Hol p 0 ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )} 的連通李子群。 每點 p 都有鄰域 V 使得 Hol p ∗ ⁡ ( ω ) = Hol p 0 ⁡ ( ω , V ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).} 局域和樂群僅取決於 p, 而非序列 Uk 的選取。 局域和樂群在結構群 G 的作用下等變，即對任意 g ∈ G, Hol p g ∗ ⁡ ( ω ) = Ad ⁡ ( g − 1 ) Hol p ∗ ⁡ ( ω ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega ).} （注意由性質 1, 局域和樂群是 G 的連通李子群，故伴隨 Ad 有定義。 局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理： 若局域和樂群的維數恆定，則局域和樂群與受限和樂群相等，即 Hol p ∗ ⁡ ( ω ) = Hol p 0 ⁡ ( ω ) . {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).} 英文Holonomy與「全純」（Holomorphic）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生夏爾·布里奧（法语：Charles Briot）（1817–1882）和讓-克勞迪·波桂（法语：Jean-Claude Bouquet）（1819–1895）引入，來自希臘文ὅλος（holos）和μορφή（morphē），意思分別是「全」、「形態」。 "Holonomy"與"holomorphic"的前半（holos）一樣。至於後半： 非常難在網絡上找出holonomic（或holonomy）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）： 我相信潘索（Louis Poinsot）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （"holonomic"）系統，所以它的意思「整體法則」（"entire-law"）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（counting）。它與我們的詞數字"number"來自同一個印歐詞根。 ——S. Golwala 參見νόμος（nomos）和-nomy。 安布羅斯－辛格定理（得名自Warren Ambrose and Isadore M. Singer （1953））描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。 引入更多細節，若 σ : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → M {\displaystyle \sigma :[0,1]\times [0,1]\to M} 是 M {\displaystyle M} 中某曲面的坐標表示，則向量 V {\displaystyle V} 可以沿 σ {\displaystyle \sigma } 的邊界平行移動，由原點出發，先沿 ( x , 0 ) {\displaystyle (x,0)} ，再沿 ( 1 , y ) {\displaystyle (1,y)} ，再 ( x , 1 ) {\displaystyle (x,1)} （ x {\displaystyle x} 反方向，即由 1 {\displaystyle 1} 遞減至 0 {\displaystyle 0} ），最後 ( 0 , y ) {\displaystyle (0,y)} ，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量 V {\displaystyle V} 沿該圈平行移動的結果，相當於 σ {\displaystyle \sigma } 邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在 V {\displaystyle V} 上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應 σ {\displaystyle \sigma } 坐標中的區域 [ 0 , x ] × [ 0 , y ] {\displaystyle [0,x]\times [0,y]} ，而 x , y {\displaystyle x,y} 趨向於 0 {\displaystyle 0} ），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} 處的導數： D d x D d y V − D d y D d x V = R ( ∂ σ ∂ x , ∂ σ ∂ y ) V {\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V} 其中 R {\displaystyle R} 為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之， R ( X , Y ) {\displaystyle R(X,Y)} 是 Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 的李代數的元素。 一般來說，考慮結構群為 G {\displaystyle G} 的主叢 P → M {\displaystyle P\to M} 某聯絡的和樂。以 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 表示 G {\displaystyle G} 的李代數，則聯絡的曲率形式是 P {\displaystyle P} 上的 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 值2-形式 Ω {\displaystyle \Omega } 。安布羅斯－辛格定理斷言： Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 的李代數，是由 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中所有形如 Ω q ( X , Y ) {\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)} 的元素線性張成，其中 q {\displaystyle q} 取遍所有可以用水平曲線 ( q ∼ p ) {\displaystyle (q\sim p)} 與 p {\displaystyle p} 連接的點，而 X , Y {\displaystyle X,Y} 皆是 q {\displaystyle q} 處的水平切向量。 亦可用和樂叢的說法，複述如下： Hol p ⁡ ( ω ) {\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )} 的李代數，是 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中形如 Ω q ( X , Y ) {\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)} 的元素張成的線性子空間，其中 q {\displaystyle q} 取遍 H ( p ) {\displaystyle H(p)} 的元素，而 X , Y {\displaystyle X,Y} 取遍 q {\displaystyle q} 處的水平向量。 設 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 為任意一點，則和樂群 H o l ( M ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (M)} 作用在切空間 T x M {\displaystyle T_{x}M} 上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將 T x M {\displaystyle T_{x}M} 分解成正交子空間的直和 T x M = T x ′ M ⊕ T x ″ M , {\displaystyle T_{x}M=T'_{x}M\oplus T''_{x}M,} 而兩個子空間皆在 H o l ( M ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (M)} 作用下不變。此時亦稱 M {\displaystyle M} 可約。 設 M {\displaystyle M} 為可約流形。上式說明，在每一點 x {\displaystyle x} 處，切空間可以約化分解成 T x ′ M {\displaystyle T'_{x}M} 和 T x ″ M {\displaystyle T''_{x}M} ，所以當 x {\displaystyle x} 變動時，就定義出向量叢 T ′ M {\displaystyle T'M} 和 T ″ M {\displaystyle T''M} ，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的積分流形（英语：integral manifold）皆為完全測地（英语：Totally geodesic）子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察 M {\displaystyle M} ，是笛卡爾積 M ′ × M ″ {\displaystyle M'\times M''} 。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構： 設 M {\displaystyle M} 為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下， T M = T ( 0 ) M ⊕ T ( 1 ) M ⊕ ⋯ ⊕ T ( k ) M {\displaystyle TM=T^{(0)}M\oplus T^{(1)}M\oplus \cdots \oplus T^{(k)}M} 為切叢的完全約化分解，而和樂群在 T ( 0 ) M {\displaystyle T^{(0)}M} 上的作用平凡（恆等映射），則 M {\displaystyle M} 局部等距同構於乘積 V 0 × V 1 × ⋯ × V k , {\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},} 其中 V 0 {\displaystyle V_{0}} 是歐氏開集，而每個 V i {\displaystyle V_{i}} 是 T ( i ) M {\displaystyle T^{(i)}M} 的積分流形。更甚者， H o l ( M ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (M)} 是 H o l ( M i ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (M_{i})} 的直積（ M i {\displaystyle M_{i}} 是 T ( i ) {\displaystyle T^{(i)}} 過某點的極大積分流形）。 若同時假設 M {\displaystyle M} 測地完備（英语：geodesically complete）（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各 M i {\displaystyle M_{i}} 本身也是測地完備流形。 1955年，馬塞爾·伯格（英语：Marcel Berger）將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地黎曼對稱（英语：Riemannian symmetric space））、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下： 1965年，愛德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）及Vivian Yoh Kraines同時研究和樂群為 S p ( n ) ⋅ S p ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\cdot \mathrm {Sp} (1)} 的流形，構造出其平行4形式。 愛德蒙·博南（英语：Edmond Bonan）於1966年最早引入和樂群為 G 2 {\displaystyle G_{2}} 或 S p i n ( 7 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (7)} 的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。 伯格原先的表中，未排除 S p i n ( 9 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (9)} （作為 S O ( 16 ) {\displaystyle SO(16)} 的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（Dmitri V. Alekseevsky）一人，與布朗（Brown）、格雷（Gray）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與凱萊平面（英语：Cayley plane） F 4 / S p i n ( 9 ) {\displaystyle F_{4}/\mathrm {Spin} (9)} 局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見 G 2 {\displaystyle G_{2}} 流形（英语：G2 manifold）和 S p i n ( 7 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (7)} 流形（英语：Spin(7) manifold）。 注意 S p ( n ) ⊂ S U ( 2 n ) ⊂ U ( 2 n ) ⊂ S O ( 4 n ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)} ，故超凱勒流形（英语：hyperkähler manifold）必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。 以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（Carlos E. Olmos）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非局部對稱空間（英语：locally symmetric space），而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是 S p i n ( 9 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (9)} （作用於 R 16 {\displaystyle \mathbb {R} ^{16}} ），以及 U ( 1 ) ⋅ S p ( m ) {\displaystyle U(1)\cdot \mathrm {Sp} (m)} （作用於 R 4 m {\displaystyle \mathbb {R} ^{4m}} ）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的凱萊射影平面（英语：Cayley projective plane））的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。 伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為： 但是，標 ( ∗ ) {\displaystyle (*)} 的兩種和樂群（分裂 S p i n ( 9 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (9)} 及複化 S p i n ( 9 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (9)} ），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群 S O ( n , C ) , G 2 ( C ) , S p i n ( 7 , C ) {\displaystyle SO(n,\mathbb {C} ),G_{2}(\mathbb {C} ),\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )} 三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為 S O ( n , H ) {\displaystyle SO(n,\mathbb {H} )} 子群的流形，R. McLean證明其為局部平。 對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間 G / H {\displaystyle G/H} 同構，其局部和樂群同構於 H {\displaystyle H} ，經已分類完畢。 最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。 一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立： H o l ( ω ) ⊆ U ( n ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq U(n)} ，當且僅當 M {\displaystyle M} 上存在平行的射影純旋量場。 若 M {\displaystyle M} 為旋量流形（英语：spin structure），則 H o l ( ω ) ⊆ S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {Hol} (\omega )\subseteq SU(n)} ，當且僅當 M {\displaystyle M} 具有至少兩個線性獨立的平行純旋量場。事實上，平行純旋量場足以確定由結構群到 S U ( n ) {\displaystyle SU(n)} 的典範歸約。 若 M {\displaystyle M} 是七維旋量流形，則 M {\displaystyle M} 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 G 2 {\displaystyle G_{2}} 的子群。 若 M {\displaystyle M} 為八維旋量流形，則 M {\displaystyle M} 具有非平凡平行旋量場，當且僅當和樂群是 S p i n ( 7 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (7)} 的子群。 么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。 具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具 S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} 或 S U ( 3 ) {\displaystyle SU(3)} 和樂的卡拉比–丘流形上，以及 G 2 {\displaystyle G_{2}} 流形（英语：G2 manifold）上。 在机器学习，尤其流形學習（英语：manifold learning）方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量擴散映射（英语：Diffusion map）），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（英語：Geometric Manifold Component Estimator，簡寫GeoManCEr「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。 仿射和樂群（英語：affine holonomy groups），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（英語：non-metric holonomy groups）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。 伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於非局部對稱（英语：symmetric space）的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（英語：Berger's first criterion）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。 但伯格的列表，其後證實並未齊全。羅伯特·布萊恩特（英语：Robert Bryant (mathematician)）（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（exotic holonomies）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。 觀察到表中的群和埃爾米特對稱空間（英语：hermitian symmetric space）、四元數凱勒對稱空間（英语：quaternion-Kähler symmetric space）之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。 設 V {\displaystyle V} 為有限維複向量空間， H ⊆ A u t ( V ) {\displaystyle H\subseteq \mathrm {Aut} (V)} 為不可約半單複連通李子群，又設 K ⊆ H {\displaystyle K\subseteq H} 為極大緊子群。 若有不可約埃爾米特對稱空間形如 G / ( U ( 1 ) ⋅ K ) {\displaystyle G/(U(1)\cdot K)} ，則 H {\displaystyle H} 和 C ∗ ⋅ H {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H} 兩者皆為非對稱不可約仿射和樂群，其中 V {\displaystyle V} 為 K {\displaystyle K} 的切表示。 若有不可約四元數凱勒對稱空間形如 G / ( S p ( 1 ) ⋅ K ) {\displaystyle G/(\mathrm {Sp} (1)\cdot K)} ，則 H {\displaystyle H} 為非對稱不可約仿射和樂群，而當 dim ⁡ V = 4 {\displaystyle \dim V=4} 時， C ∗ ⋅ H {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\cdot H} 亦然。此時， S p ( 1 ) ⋅ K {\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\cdot K} 的複化切表示是 C 2 ⊗ V {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes V} ，而 H {\displaystyle H} 保 V {\displaystyle V} 上某個複辛形式。 上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有： S p ( 2 , C ) ⋅ S p ( 2 n , C ) ⊂ A u t ( C 2 ⊗ C 2 n ) , G 2 ( C ) ⊂ A u t ( C 7 ) , S p i n ( 7 , C ) ⊂ A u t ( C 8 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2n}\right),\\G_{2}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{7}\right),\\\mathrm {Spin} (7,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{8}\right).\end{aligned}}} 利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有： Z C ⋅ S L ( m , C ) ⋅ S L ( n , C ) ⊂ A u t ( C m ⊗ C n ) , Z C ⋅ S L ( n , C ) ⊂ A u t ( ∧ 2 C n ) , Z C ⋅ S L ( n , C ) ⊂ A u t ( S 2 C n ) , Z C ⋅ S O ( n , C ) ⊂ A u t ( C n ) , Z C ⋅ S p i n ( 10 , C ) ⊂ A u t ( Δ 10 + ) ≅ A u t ( C 16 ) , Z C ⋅ E 6 ( C ) ⊂ A u t ( C 27 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(m,\mathbf {C} )\cdot SL(n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{m}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{16}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot E_{6}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{27}\right),\end{aligned}}} 其中 Z C {\displaystyle Z_{\mathbb {C} }} 可取平凡群，亦可取為 C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} 。 同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有： S p ( 2 , C ) ⋅ S O ( n , C ) ⊂ A u t ( C 2 ⊗ C n ) , ( Z C ⋅ ) S p ( 2 n , C ) ⊂ A u t ( C 2 n ) , Z C ⋅ S L ( 2 , C ) ⊂ A u t ( S 3 C 2 ) , S p ( 6 , C ) ⊂ A u t ( ∧ 0 3 C 6 ) ≅ A u t ( C 14 ) , S L ( 6 , C ) ⊂ A u t ( ∧ 3 C 6 ) , S p i n ( 12 , C ) ⊂ A u t ( Δ 12 + ) ≅ A u t ( C 32 ) , E 7 ( C ) ⊂ A u t ( C 56 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbb {C} )\cdot SO(n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{n}\right),\\(Z_{\mathbb {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{2n}\right),\\Z_{\mathbb {C} }\cdot SL(2,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbb {C} ^{2}\right),\\\mathrm {Sp} (6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge _{0}^{3}\mathbb {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{14}\right),\\SL(6,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\wedge ^{3}\mathbb {C} ^{6}\right),\\\mathrm {Spin} (12,\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{32}\right),\\E_{7}(\mathbb {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbb {C} ^{56}\right).\\\end{aligned}}} （第二行中， Z C {\displaystyle Z_{\mathbb {C} }} 必須取為平凡群，除非 n = 2 {\displaystyle n=2} ，此時可取為 C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}} 。） 從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為預齊性向量空間（英语：prehomogeneous vector space）。但是，未知此事實的概念性證明。 不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。 A-B效应 holonomy. 樂詞網. 國家教育研究院.  （繁體中文） Wu, Hongxi. On the de Rham decomposition theorem. DSpace@MIT. [2020-02-18]. （原始内容存档于2020-02-18）.  Kobayashi & Nomizu 1963，§II.7 Sharpe 1997，§3.7 Markushevich, A.I. 2005 harvnb error: no target: CITEREFMarkushevich,_A.I.2005 (help) Golwala 2007，第65–66頁 Spivak 1999，第241頁 Sternberg 1964，Theorem VII.1.2 Kobayashi & Nomizu 1963，Volume I, §II.8 Kobayashi & Nomizu，§IV.5 harvnb error: no target: CITEREFKobayashiNomizu (help) 定理亦可推廣至非單連通流形，但敍述更複雜。 Kobayashi, Nomizu & §IV.6 harvnb error: no target: CITEREFKobayashiNomizu§IV.6 (help) Olmos, Carlos E. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161: 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英语）.  Bryant, Robert L. Classical, exceptional, and exotic holonomies: a status report. Basse, Arthur L. (编). Actes de la table ronde de Géométrie Différentielle en l'honneur de Marcel Berger. Séminaires & Congrès 1. 1996: 93–165 [2021-10-02]. ISBN 2-85629-047-7. （原始内容存档于2020-07-31） （英语）.  Lawson & Michelsohn 1989，§IV.9–10 Baum 1991 harvnb error: no target: CITEREFBaum1991 (help) Gubser, S., Gubser S.; et al , 编, Special holonomy in string theory and M-theory  +Gubser, Steven S., Strings, branes and extra dimensions, TASI 2001. Lectures presented at the 2001 TASI school, Boulder, Colorado, USA, 4–29 June 2001., River Edge, NJ: World Scientific: 197–233, 2004, ISBN 978-981-238-788-2, arXiv:hep-th/0201114  . Pfau, David; Higgins, Irina; Botev, Aleksandar; Racanière, Sébastien, Disentangling by Subspace Diffusion, Advances in Neural Information Processing Systems, 2020, arXiv:2006.12982   Agricola, Ilka. The Srni lectures on non-integrable geometries with torsion [Srní講座：論有撓不可積幾何]. Arch. Math. 2006, 42: 5–84. arXiv:math/0606705  （英语）.  Ambrose, Warren; Singer, Isadore. A theorem on holonomy [關於和樂的定理]. Transactions of the American Mathematical Society. 1953, 75 (3): 428–443. JSTOR 1990721. doi:10.2307/1990721 （英语）.  Baum, H.; Friedrich, Th.; Grunewald, R.; Kath, I. Twistors and Killing spinors on Riemannian manifolds [黎曼流形上的扭量與基靈旋量]. B.G. Teubner. 1991 （英语）.  Berger, Marcel. Sur les groupes d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes [論仿射聯絡流形與黎曼流形的齊性和樂群]. Bull. Soc. Math. France. 1953, 83: 279–330 [2021-10-12]. MR 0079806. doi:10.24033/bsmf.1464. （原始内容存档于2022-06-16） （法语）.  Besse, Arthur L. Einstein manifolds [愛因斯坦流形]. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [數學與相關領域的結果（3）] 10. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1987: xii+510. ISBN 978-3-540-15279-8 （英语）.  Bonan, Edmond. Structure presque quaternale sur une variété différentiable [微分流形上的幾乎四元結構]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1965, 261: 5445–5448 （法语）.  Bonan, Edmond. Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7) [論有G2或Spin(7)和樂群的黎曼流形]. C. R. Acad. Sci. Paris. 1966, 320: 127–129 （法语）.  Borel, Armand; Lichnerowicz, André. Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes [黎曼流形的和樂群]. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences. 1952, 234: 1835–1837. MR 0048133 （法语）.  Bryant, Robert L. Metrics with exceptional holonomy [有例外和樂的度量]. Annals of Mathematics. 1987, 126 (3): 525–576. JSTOR 1971360. doi:10.2307/1971360 （英语）.  Bryant, Robert L. Two exotic holonomies in dimension four, path geometries, and twistor theory [兩個四維的特異和樂、路徑幾何、扭量論]. Amer. Math. Soc. Proc. Symp. Pure Math. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1991, 53: 33–88. ISBN 9780821814925. doi:10.1090/pspum/053/1141197 （英语）.  Bryant, Robert L. Recent Advances in the Theory of Holonomy [和樂論的近期進展]. Astérisque. Séminaire Bourbaki 1998–1999. 2000, 266: 351–374. arXiv:math/9910059  （英语）.  Cartan, Élie. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1926, 54: 214–264. ISSN 0037-9484. MR 1504900. doi:10.24033/bsmf.1105 （法语）.  Cartan, Élie. Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann [論一類特別的黎曼空間]. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1927, 55: 114–134. ISSN 0037-9484. doi:10.24033/bsmf.1113 （法语）.  Chi, Quo-Shin; Merkulov, Sergey A.; Schwachhöfer, Lorenz J. On the Incompleteness of Berger's List of Holonomy Representations [論伯格和樂表示列表不齊全之事]. Invent. Math. 1996, 126 (2): 391–411. Bibcode:1996InMat.126..391C. arXiv:dg-da/9508014 . doi:10.1007/s002220050104 （英语）.  Golwala, S. Lecture Notes on Classical Mechanics for Physics 106ab [物理106ab的古典力學講義] (PDF). 2007 [2020-01-24]. （原始内容 (PDF)存档于2013-10-21） （英语）.  Joyce, D. Compact Manifolds with Special Holonomy [具特別和樂的緊流形]. Oxford University Press. 2000. ISBN 978-0-19-850601-0 （英语）.  Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 & 2 [微分幾何基礎，卷1和2] New. Wiley-Interscience. 19631996. ISBN 978-0-471-15733-5 （英语）.  Kraines, Vivian Yoh. Topology of quaternionic manifolds [四元數流形的拓撲]. Bull. Amer. Math. Soc. 1965,. 71,3, 1 (3): 526–527. doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7 （英语）.  Lawson, H. B.; Michelsohn, M-L. Spin Geometry [Spin幾何]. Princeton University Press. 1989. ISBN 978-0-691-08542-5 （英语）.  Lichnerowicz, André. Global Theory of Connections and Holonomy Groups [聯絡與和樂群的全局理論] 1st. Leiden: Noordhof. 1976 （英语）.  Markushevich, A.I. Silverman, Richard A. , 编. Theory of functions of a Complex Variable [單複變函數論] 2nd. New York: American Mathematical Society. 2005: 112 [1977] [2020-01-24]. ISBN 978-0-8218-3780-1. （原始内容存档于2012-11-13） （英语）.  Merkulov, Sergei A.; Schwachhöfer, Lorenz J. Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections [無撓仿射聯絡的不可約和樂分類]. Annals of Mathematics. 1999, 150 (1): 77–149. JSTOR 121098. arXiv:math/9907206 . doi:10.2307/121098. 及其補遺Addendum. Ann. of Math. 1999, 150 (3): 1177–1179. JSTOR 121067. arXiv:math/9911266 . doi:10.2307/121067.  Olmos, C. A geometric proof of the Berger Holonomy Theorem [伯格和樂定理的幾何證明]. Annals of Mathematics. 2005, 161 (1): 579–588. doi:10.4007/annals.2005.161.579 （英语）.  Sharpe, Richard W. Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program [微分幾何：克萊因愛爾蘭根綱領的嘉當推廣]. New York: Springer-Verlag. 1997. ISBN 978-0-387-94732-7. MR 1453120 （英语）.  Schwachhöfer, Lorenz J. Connections with irreducible holonomy representations [具不可約和樂表示的聯絡]. Advances in Mathematics. 2001, 160 (1): 1–80. doi:10.1006/aima.2000.1973 （英语）.  Simons, James. On the transitivity of holonomy systems [論和樂系的遞移性]. Annals of Mathematics. 1962, 76 (2): 213–234. JSTOR 1970273. MR 0148010. doi:10.2307/1970273 （英语）.  Spivak, Michael. A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II [微分幾何綜論·卷二]. Houston, Texas: Publish or Perish. 1999. ISBN 978-0-914098-71-3 （英语）.  Sternberg, S. Lectures on differential geometry [微分幾何講義]. New York: Chelsea. 1964. ISBN 978-0-8284-0316-0 （英语）.