代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的有限维向量空间。 对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。 代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 。 域的扩张 域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素（一般以集合S记录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域L称为“F（添加S中元素得到）的扩域”。称F是L的子域。一般将“F到L的域扩张”记作F⊂L或L/F。 向量空间 另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域F为系数域的向量空间（通常称作F上的向量空间或F-向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组： ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} 。其中的n是基中向量的个数，也称为空间的维数。 有限扩张 设L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量，以F作为系数域，可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称L是F的有限扩张。L作为F-向量空间的维数，称为扩张的次数，记作[L : F]。 若域L是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张，则称之为代数数域:3。 最小最基本的代数数域是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 。因为 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 自身是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，维数是1。因此 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 自身的域扩张， [ Q : Q ] = 1. {\displaystyle [\mathbb {Q} :\mathbb {Q} ]=1.} 高斯有理数 Q ( i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} （i为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同： a + b i , a , b ∈ Q {\displaystyle a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q} } 的数构成的集合。可以证明， Q ( i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} 是域，而且是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，以 { 1 , i } {\displaystyle \{1,i\}} 为基，空间维数是2。所以 Q ( i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的二次扩张， [ Q ( i ) : Q ] = 2. {\displaystyle [\mathbb {Q} (i):\mathbb {Q} ]=2.} 给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数d，二次域 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中添加 d的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，以 { 1 , d } {\displaystyle \{1,{\sqrt {d}}\}} 为基，空间维数是2，即 [ Q ( d ) : Q ] = 2. {\displaystyle [\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}):\mathbb {Q} ]=2.} 考虑多项式方程 x n = 1 {\displaystyle x^{n}=1} 的n个复根 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}} ，它们被称做n次单位根，具体可以写作： ξ i = e 2 i π n , i ∈ { 0 , 1 , ⋯ , n − 1 } . {\displaystyle \xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.} 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中添加 ξ 1 , ξ 2 , ⋯ , ξ n {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\cdots ,\xi _{n}} 得到的扩域称为n次分圆域，记作 Q ( ξ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})} 。可以证明 Q ( ξ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\xi _{n})} 是有限维 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，维数为 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} （ φ {\displaystyle \varphi } 是数论中的欧拉函数），即 [ Q ( ξ n ) : Q ] = φ ( n ) . {\displaystyle [\mathbb {Q} (\xi _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n).} 实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 和p进数域 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 都不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的扩域，因此也不是代数数域。 全体规矩数构成的域 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 和全体代数数构成的域 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} （有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的有限扩张，因此都不是代数数域。 代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域L，依定义，域扩张 Q ⊂ L {\displaystyle \mathbb {Q} \subset L} 是有限扩张。设其次数为正整数m。将L看作是m维 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，在L中任意选一个不属于 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的数z，它可以被看作是m维 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的m + 1个向量： 1 , z , z 2 , ⋯ , z m {\displaystyle 1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}} 它们都属于L。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的m + 1个有理数： a 0 , a 1 , ⋯ , a m {\displaystyle a_{0},a_{1},\cdots ,a_{m}} ，使得： a 0 + a 1 z + ⋯ + a m z m = 0 {\displaystyle a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{m}z^{m}=0} . 考虑非零多项式 P = a 0 + a 1 X + ⋯ + a m X m {\displaystyle P=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{m}X^{m}} ， P ( z ) = 0 {\displaystyle P(z)=0} ，即z是多项式 P {\displaystyle P} 的根。所以z是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。 代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数:4。显然代数整数是一种代数数。任何整数n都是一次整系数多项式X - n的根，因此是代数整数。给定代数数域F，F中所有代数整数构成一个环，称作F中的（代数）整数环，也称为F-整数环，记作 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 。例如 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的代数整数环就是 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，因此在代数数域研究中 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。 代数数域F中的整数环 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 与 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 有不同的代数性质。 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 不一定是唯一分解整环。举例来说，设 F = Q ( − 5 ) {\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})} ，F中的整数环是 O F = Z [ − 5 ] {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 。 2 , 3 , 1 + − 5 , 1 − − 5 {\displaystyle 2,3,1+{\sqrt {-5}},1-{\sqrt {-5}}} 都是 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 中的“素数”。正整数6，作为 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 中的元素，它的素因数分解有两种方式： 6 = 2 × 3 = ( 1 + − 5 ) × ( 1 − − 5 ) . {\displaystyle 6=2\times 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\times \left(1-{\sqrt {-5}}\right).} 有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是： O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。 设F为n次代数数域，F的整数基是任一由n个F-整数组成的集合： B = { b 1 , b 2 , ⋯ , b n } {\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}} 使得任一个F-整数x都能唯一地表示为这n个F-整数的整线性组合，即： ∀ x ∈ O F , ∃ ! ( m 1 , m 2 , ⋯ , m n ) ∈ Z n {\displaystyle \forall x\in {\mathcal {O}}_{F},\;\;\exists !\;(m_{1},m_{2},\cdots ,m_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}} ，使得 x = m 1 b 1 + m 2 b 2 + ⋯ + m n b n . {\displaystyle x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.} 换句话说，整数基B是 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 作为自由 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模的基。给定F的一组整数基B，可以证明，所有F中元素x都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即： ∀ x ∈ F , ∃ ! ( q 1 , q 2 , ⋯ , q n ) ∈ Q n {\displaystyle \forall x\in F,\;\;\exists !\;(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}} ，使得 x = q 1 b 1 + q 2 b 2 + ⋯ + q n b n . {\displaystyle x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.} 这说明B是F作为n维 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间的一组基。而且由于B中元素都是F-整数，故B名为整数基。此外可以证明，x是F-整数当且仅当所有 q 1 , q 2 , ⋯ , q n {\displaystyle q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}} 都是有理整数。 设F为n次代数数域。作为n维 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -向量空间，F包含如下形式的基： B = { 1 , β , β 2 , ⋯ , β n − 1 } {\displaystyle B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}} 其中每个元素都是某个特定的数β的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的β一定存在，称为域扩张 Q ⊂ F {\displaystyle \mathbb {Q} \subset F} 的本原元。如果β不仅是本原元，还是F-整数，那么这时B也是整数基，称作乘幂整数基，称F为单衍域（monogenic field）。 狄利克雷单位定理, S-单位 库默尔扩张 闵可夫斯基定理 几何数论 Chebotarev稠密定理 射线类群 分解群 亏格域 “最小的”指所有同时包含F和S的域的交集。 任意有理数q都是一次多项式X - q的根。 此处假设这个域扩张不是平凡的，即L不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 自身，也即是说假设m大于1。 即不能表示成另两个 O F {\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}} 中的不等于1或-1的数的乘积，正式名称为不可约元素或素元。 在不计顺序的情况下。 蓝以中. 《高等代数简明教程》 第二版. 北京大学出版社. 2007年7月: 9. 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