非均勻採樣

非均勻取樣（英語：Nonuniform sampling）是取樣定理下的產物，藉由拉格朗日插值法及均勻取樣理論的關係，來達成滿足取樣定理的概括化型態。取樣定理限制了在對連續訊號取樣時的條件，如奈奎斯特準則，以避免取樣後的重構時產生訊號缺陷。而非均勻取樣則是在不同時間有不同的取樣間隔，但平均下來，整段取樣滿足取樣定理的限制，根據取樣定理的回推，這樣的作法在有限頻寬訊號重構時不會造成缺陷。因此，雖然均勻取樣在訊號重構時較簡單，完整的重構訊號卻不見得一定要用均勻取樣來的訊號才能達到。 1967年藍道提出的對於非均勻取樣及非基頻取樣的泛用理論提到，平均後的取樣率，無論是否均勻取樣，若是知道使用的頻譜為前題下，必須要是訊號占用頻寬的兩倍大。1990年代末期，這個理論推廣到占用頻寬的數量已知，而實際上頻譜位置未知的情形。2000年代，非均勻取樣與壓縮取樣逐漸發展成一套完整的理論，並實際實作在訊號處理上。如果頻譜位置是未知的，取樣率必須至少兩倍大於奈奎斯特準則，也就是說未知頻譜位置的代價是至少多兩倍的頻寬。 奈奎斯特準則用取樣率限制了最大取樣頻率，若是超出這個頻率就會產生混疊。高於取樣頻率的成分將被重構成低於取樣頻率的訊號，因而導致重構失真，這樣的失真就稱為混疊，因為這兩個訊號有同樣的取樣值，重構時並不能主動判斷是哪一個成分訊號造成的。同樣的狀況也出現在數值分析裡的頻譜法。一般有兩個方式可以避免混疊的發生，一是提高取樣頻率，使之達到最凹訊號頻率的兩倍以上，意即使之符合奈奎斯特準則。二是引入低通濾波器，通常稱為抗混疊濾波器，用以濾除高於最大頻率之訊號。 然而，若是將每個取樣的時間點前後挪移一點單位，在重構訊號時，由於只有被取樣頻率的正弦波可以經過取樣點，原本會被誤重構二個頻率均不會經過取樣點。暫且不論重構訊號的方式，此法的確可以避免混疊，是為非均勻取樣。研究亦有指出，在正確進行非均勻取樣的前提下，每一個頻率都有對應的取樣數值組合，在上述的例子中也顯示其抗混疊的效用，意即成功重構是可能的。 最常使用的非均勻採樣抗混疊訊號處理法的實作，是引入一串高精度且已知的時間長度，作為取樣的間隔。雖然非均勻取樣可以解決混疊問題，然實際使用上，包含取樣率的上限計算等，與一般均勻取樣不全然相同。平均取樣率是藉由總取樣點除以總取樣時間得到，最小取樣數則在均勻與否的取樣皆相同，均勻取樣則常常有超過數量的取樣點，目的同樣是為了防止混疊。 當有n+1個時間點對應的值是知道的時候，可以建立一個n次多項式來重構此函數。假設這n+1個點為 z 0 , z 1 , … , z n {\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}} ，且其對應的值為 w 0 , w 1 , … , w n {\displaystyle w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}} 以上對應存在一個為一的多項式使得： p n ( z i ) = w i ,  where  i = 0 , 1 , … , n . {\displaystyle p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.} 而這個多項式可以用以下插值多項式加以簡化 I k ( z ) = ( z − z 0 ) ( z − z 1 ) ⋯ ( z − z k − 1 ) ( z − z k + 1 ) ⋯ ( z − z n ) ( z k − z 0 ) ( z k − z 1 ) ⋯ ( z k − z k − 1 ) ( z k − z k + 1 ) ⋯ ( z k − z n ) {\displaystyle I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}} 以上式子可表示如下 I k ( z j ) = δ k , j = { 0 , if  k ≠ j 1 , if  k = j {\displaystyle I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}} 便可以將前述多項式寫成 p n ( z ) = ∑ k = 0 n w k I k ( z ) {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)} p n ( z j ) = w j , j = 0 , 1 , … , n {\displaystyle p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n} 為了使式子形式更簡潔明瞭，引入以下函數 G n ( z ) = ( z − z 0 ) ( z − z 1 ) ⋯ ( z − z n ) {\displaystyle G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})} 以下便為拉格朗日插值多項式： p n ( z ) = ∑ k = 0 n w k G n ( z ) ( z − z k ) G n ′ ( z k ) {\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}} 令 f ( z j ) = p n ( z j ) , j = 0 , 1 , … , n , {\displaystyle f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,} 則此多項是又可以寫作 f ( z ) = ∑ k = 0 n f ( z k ) G n ( z ) ( z − z k ) G n ′ ( z k ) {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}} 惠特克將以上插值多項式的定義拓展到整函數上，他給出了以下插值形式 C f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( a + n W ) sin ⁡ [ π ( z − a − n W / W ) ] [ π ( z − a − n W / W ) ] {\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW/W)]}{[\pi (z-a-nW/W)]}}} 當點在 z n = a + n W {\displaystyle z_{n}=a+nW} 時，其函數值與前述 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 相同。 延續前一節的簡化，以上整函數形式的插值函數 C f ( z ) {\displaystyle C_{f}(z)} 亦可以簡化為 C f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( z n ) G ( z ) G ′ ( z n ) ( z − z n ) ,  where  G ( z ) = sin ⁡ [ π ( z − z n ) / W ]  and  z n = a + n W {\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW} 當 a=0且W=1時，以上函數與現時定義之WSK理論近幾一致： 若一個函數可以以下形式表達 f ( t ) = ∫ − σ σ e j x t g ( x ) d x ( t ∈ R ) , ∀ g ∈ L 2 ( − σ , σ ) , {\displaystyle f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),} 則此函數可以藉由以下方式重構 f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k π σ ) sin ⁡ ( σ t − k π ) σ t − k π ( t ∈ R ) {\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )} 若存在一序列 { t k } k ∈ Z {\displaystyle \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }} 滿足以下條件 D = sup k ∈ Z | t k − k | < 1 4 , {\displaystyle D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},} 則 f ( t ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t k ) G ( t ) G ′ ( t k ) ( t − t k ) , ∀ f ∈ B π 2 , ( t ∈ R ) , {\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),}  where  G ( t ) = ( t − t 0 ) ∏ k = 1 ∞ ( 1 − t t k ) ( 1 − t t − k ) , {\displaystyle {\text{ where }}G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),} B σ 2 . {\displaystyle B_{\sigma }^{2}.} 是Bernstein space， f ( t ) {\displaystyle f(t)} 均勻收斂於緊緻集。 以上稱為培力-威納-萊文森定理，為將WSK定理從均勻取樣時間拓展至非均勻取樣時間的定裡。 Landau, H. J. Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions. Acta Mathematica. 1967, 117 (0): 37–52. ISSN 0001-5962. doi:10.1007/bf02395039.  Bresler, Y.; Ping Feng. Spectrum-blind minimum-rate sampling and reconstruction of 2-D multiband signals. Proceedings of 3rd IEEE International Conference on Image Processing (IEEE). ISBN 0780332598. doi:10.1109/icip.1996.559595.  Mishali, M.; Eldar, Y.C. Blind Multiband Signal Reconstruction: Compressed Sensing for Analog Signals. IEEE Transactions on Signal Processing. 2009-03, 57 (3): 993–1009. ISSN 1053-587X. doi:10.1109/tsp.2009.2012791.  Nonuniform sampling : theory and practice. 1 (Book, 2013) [WorldCat.org]. WorldCat.org. 1999-02-22 [2019-07-19].