费马小定理

费马小定理（英語：Fermat's little theorem）是数论中的一个定理。假如 a {\displaystyle a} 是一个整数， p {\displaystyle p} 是一个質数，那么 a p − a {\displaystyle a^{p}-a} 是 p {\displaystyle p} 的倍数，可以表示为 a p ≡ a ( mod p ) {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} 如果 a {\displaystyle a} 不是 p {\displaystyle p} 的倍数，這個定理也可以寫成更加常用的一種形式 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 註：如果 a {\displaystyle a} 是 p {\displaystyle p} 的倍数，則 a p − 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}} 費馬小定理的逆敘述不成立，即假如 a p − a {\displaystyle a^{p}-a} 是 p {\displaystyle p} 的倍数， p {\displaystyle p} 不一定是一个質数。例如 2 341 − 2 {\displaystyle 2^{341}-2} 是 341 {\displaystyle 341} 的倍数，但 341 = 11 × 31 {\displaystyle 341=11\times 31} ，不是質数。滿足費馬小定理的合數被稱為费马伪素数。 皮埃爾·德·費馬于1636年发现了这个定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。在他的信中费马还提出a是一个素数的要求。 1736年，歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio）”的論文集，其中第一次给出了證明。但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。 有些數學家獨立提出相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國猜想），當 2 p ≡ 2 ( mod p ) {\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}} 成立時，p是質數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如， 2 341 ≡ 2 ( mod 341 ) {\displaystyle 2^{341}\equiv 2{\pmod {341}}} ，而341=11×31是一個偽素數。所有的偽素數都是此假說的反例。 如上所述，中國猜想仅有一半是正确的。符合中國猜想但不是素数的数被称为伪素数。 更极端的反例是卡迈克尔数： 假設 a {\displaystyle a} 與561互质，則 a 560 {\displaystyle a^{560}} 被561除都余1。这样的数被称为卡邁克爾數，561是最小的卡邁克爾数。Korselt在1899年就给出了卡邁克爾數的等价定义，但直到1910年才由卡邁克爾（Robert Daniel Carmichael）发现第一个卡邁克爾数：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance证明了卡邁克爾数有无穷多个。 （i）若 a {\displaystyle a} 是整数， p {\displaystyle p} 是质数，且 gcd ( a , p ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,p)=1} 。若 p {\displaystyle p} 不能整除 x − y {\displaystyle x-y} ，则 p {\displaystyle p} 不能整除 a ( x − y ) {\displaystyle a(x-y)} 。取整數集 A {\displaystyle A} 为所有小於 p {\displaystyle p} 的正整数集合（ A {\displaystyle A} 构成 p {\displaystyle p} 的完全剩余系，即 A {\displaystyle A} 中不存在两个数同余 p {\displaystyle p} ）， B {\displaystyle B} 是 A {\displaystyle A} 中所有的元素乘以 a {\displaystyle a} 组成的集合。因为 A {\displaystyle A} 中的任何两个元素之差都不能被 p {\displaystyle p} 整除，所以 B {\displaystyle B} 中的任何两个元素之差也不能被 p {\displaystyle p} 整除。 換句話說， gcd ( a , p ) = 1 {\displaystyle \gcd(a,p)=1} ，考慮 1 × a , 2 × a , 3 × a , . . . . ( p − 1 ) × a {\displaystyle 1\times a,2\times a,3\times a,....(p-1)\times a} 共 ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)} 個數，將它們分別除以 p {\displaystyle p} ，餘數分別為 r 1 , r 2 , r 3 , . . . . , r p − 1 {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{p-1}} ，則集合 { r 1 , r 2 , r 3 , . . . . , r p − 1 } {\displaystyle \{r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{p-1}\}} 為集合 { 1 , 2 , 3 , … , ( p − 1 ) } {\displaystyle \{1,2,3,\ldots ,(p-1)\}} 的重新排列，即 1 , 2 , 3 , … , ( p − 1 ) {\displaystyle 1,2,3,\ldots ,(p-1)} 在餘數中恰好各出現一次；這是因為對於任兩個相異 k ∗ a {\displaystyle k*a} 而言（ k = 1 , 2 , 3 , … , ( p − 1 ) {\displaystyle k=1,2,3,\ldots ,(p-1)} ），其差不是 p {\displaystyle p} 的倍數（所以不會有相同餘數），且任一個 k ∗ a {\displaystyle k*a} 亦不為 p {\displaystyle p} 的倍數（所以餘數不為0）。因此 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋯ ⋅ ( p − 1 ) ≡ ( 1 ⋅ a ) ⋅ ( 2 ⋅ a ) ⋅ ⋯ ⋅ ( ( p − 1 ) ⋅ a ) ( mod p ) , {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot (p-1)\equiv (1\cdot a)\cdot (2\cdot a)\cdot \dots \cdot ((p-1)\cdot a){\pmod {p}},} 即 W ≡ W ⋅ a p − 1 ( mod p ) , {\displaystyle W\equiv W\cdot a^{p-1}{\pmod {p}},} 在这里 W = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ … ⋅ ( p − 1 ) {\displaystyle W=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (p-1)} ，且 ( W , p ) = 1 {\displaystyle (W,p)=1} ，因此将整个公式除以 W {\displaystyle W} 即得到： a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 也即 a p ≡ a ( mod p ) {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} （ii）若 p {\displaystyle p} 整除 a {\displaystyle a} ，则显然有 p {\displaystyle p} 整除 a p {\displaystyle a^{p}} ，即 a p ≡ a ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{p}\equiv a\equiv 0{\pmod {p}}} 。 若 p {\displaystyle p} 为质数， n {\displaystyle n} 为整数，且 p ≥ n {\displaystyle p\geq n} 。考慮二項式係數 ( p n ) = p ! n ! ( p − n ) ! {\displaystyle {\tbinom {p}{n}}={\tfrac {p!}{n!(p-n)!}}} ，並限定 n {\displaystyle n} 不為 p {\displaystyle p} 或 0 {\displaystyle 0} ，則由於分子有質數 p {\displaystyle p} ，但分母不含 p {\displaystyle p} ，故分子的 p {\displaystyle p} 能保留，不被約分而除去，即 ( p n ) {\displaystyle {\tbinom {p}{n}}} 恆為 p {\displaystyle p} 的倍數。 再考慮 ( b + 1 ) p {\displaystyle (b+1)^{p}} 的二項式展開，模 p {\displaystyle p} ，則 ( b + 1 ) p ≡ ( p p ) b p + ( p p − 1 ) b p − 1 + ( p p − 2 ) b p − 2 + ⋯ + ( p 2 ) b 2 + ( p 1 ) b 1 + ( p 0 ) b 0 ( mod p ) {\displaystyle (b+1)^{p}\equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{p-1}}b^{p-1}+{\dbinom {p}{p-2}}b^{p-2}+\dots +{\dbinom {p}{2}}b^{2}+{\dbinom {p}{1}}b^{1}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}} ≡ ( p p ) b p + ( p 0 ) b 0 ( mod p ) {\displaystyle \equiv {\dbinom {p}{p}}b^{p}+{\dbinom {p}{0}}b^{0}{\pmod {p}}} ≡ b p + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv b^{p}+1{\pmod {p}}} 因此 ( b + 1 ) p ≡ b p + 1 ( mod p ) {\displaystyle (b+1)^{p}\equiv b^{p}+1{\pmod {p}}} ≡ ( b − 1 ) p + 1 + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv (b-1)^{p}+1+1{\pmod {p}}} ≡ ( b − 2 ) p + 1 + 1 + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv (b-2)^{p}+1+1+1{\pmod {p}}} ≡ ( b − 3 ) p + 1 + 1 + 1 + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv (b-3)^{p}+1+1+1+1{\pmod {p}}} … {\displaystyle \dots } ≡ 1 + 1 + ⋯ + 1 + 1 ⏟ b + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv {\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1+1} \\b+1\end{matrix}}{\pmod {p}}} ≡ b + 1 ( mod p ) {\displaystyle \equiv b+1{\pmod {p}}} 令 a = b + 1 {\displaystyle a=b+1} ，即得 a p ≡ a ( mod p ) {\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} 。 在抽象代数教科书中，费马小定理常作为教授拉格朗日定理时的一个简单例子。显然只需考虑 ( a , p ) = 1 {\displaystyle (a,p)=1} 情形。此时模 p {\displaystyle p} 所有非零的余数，在同余意义下对乘法构成一个群，这个群的阶是 p − 1 {\displaystyle p-1} 。考虑群中的任何一个元素 b {\displaystyle b} ，根据拉格朗日定理， b {\displaystyle b} 的阶必整除群的阶。证毕。 計算 2 100 {\displaystyle 2^{100}} 除以13的餘數 2 100 ≡ 2 12 × 8 + 4 ( mod 13 ) {\displaystyle 2^{100}\equiv 2^{12\times 8+4}{\pmod {13}}} ≡ ( 2 12 ) 8 ⋅ 2 4 ( mod 13 ) {\displaystyle \equiv (2^{12})^{8}\cdot 2^{4}{\pmod {13}}} ≡ 1 8 ⋅ 16 ( mod 13 ) {\displaystyle \equiv 1^{8}\cdot 16{\pmod {13}}} ≡ 16 ( mod 13 ) {\displaystyle \equiv 16{\pmod {13}}} ≡ 3 ( mod 13 ) {\displaystyle \equiv 3{\pmod {13}}} 故餘數為3。 證明對於任意整數a而言， a 13 − a {\displaystyle a^{13}-a} 恆為2730的倍數。 易由 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 推得 a n ( p − 1 ) + 1 ≡ 1 n ⋅ a ≡ a ( mod p ) {\displaystyle a^{n(p-1)+1}\equiv 1^{n}\cdot a\equiv a{\pmod {p}}} ，其中 n {\displaystyle n} 為正整數。 故對指數13操作如下：13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，根據定理的延伸表達式， a 13 − a {\displaystyle a^{13}-a} 為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即2*3*5*7*13=2730的倍數。 證明對於任意整數a而言， a 22 − a 2 {\displaystyle a^{22}-a^{2}} 恆為3300的倍數。 證明 a 22 − a 2 {\displaystyle a^{22}-a^{2}} 為132的倍數。 模仿前述操作，11減1為10，10的正因數有1, 2, 5, 10，分別加1，為2, 3, 6, 11，其中2, 3, 11為質數，因此 a 11 − a {\displaystyle a^{11}-a} 為2, 3, 11的最小公倍數的倍數，即66的倍數。 考慮 a 11 + a {\displaystyle a^{11}+a} ，因為奇數的11次方仍為奇數，且奇數與奇數之和為偶數，故當a為奇數時， a 11 + a {\displaystyle a^{11}+a} 為偶數；同理可知當a為偶數時， a 11 + a {\displaystyle a^{11}+a} 仍為偶數。因此當a為任意整數時， a 11 + a {\displaystyle a^{11}+a} 為偶數。 因此 a 22 − a 2 = ( a 11 − a ) ( a 11 + a ) = 66 {\displaystyle a^{22}-a^{2}=(a^{11}-a)(a^{11}+a)=66} 的倍數 × 2 {\displaystyle \times 2} 的倍數 = 132 {\displaystyle =132} 的倍數。 a 22 − a 2 {\displaystyle a^{22}-a^{2}} 為25的倍數。 由後文的欧拉定理可知 a 20 ≡ 1 ( mod 25 ) {\displaystyle a^{20}\equiv 1{\pmod {25}}} （當a與25互質時），即 a 21 ≡ a ( mod 25 ) {\displaystyle a^{21}\equiv a{\pmod {25}}} （當a為任意整數時）。因此 a 22 − a 2 = a ( a 21 − a ) {\displaystyle a^{22}-a^{2}=a(a^{21}-a)} 為25的倍數。 因此 a 22 − a 2 {\displaystyle a^{22}-a^{2}} 為132與25的的最小公倍數的倍數，即3300的倍數。 费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：如果 ( a , n ) = 1 {\displaystyle (a,n)=1} ，那么 a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 这里 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 是欧拉函数。欧拉函数的值是所有小于或等于 n {\displaystyle n} 的正整数中与 n {\displaystyle n} 互質的数的个数。假如 n {\displaystyle n} 是一个素数，则 φ ( n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} ，即费马小定理。 证明 上面证明费马小定理的群论方法，可以同理地证明欧拉定理。 考虑所有与 n {\displaystyle n} 互素的数，这些数模 n {\displaystyle n} 的余数所构成的集合，记为 S {\displaystyle {\cal {S}}} ，并将群乘法定义为相乘后模 n {\displaystyle n} 的同余。显然 S {\displaystyle {\cal {S}}} 是一个群，因为它对群乘法封闭（若 ( a , n ) = 1 {\displaystyle (a,n)=1} 和 ( b , n ) = 1 {\displaystyle (b,n)=1} 则 ( a b , n ) = 1 {\displaystyle (ab,n)=1} ），含幺元（即“1”），且任何一个元素 a {\displaystyle a} 的逆元素也在集合中（因为若 a ∈ S {\displaystyle a\in {\cal {S}}} 则由群乘法封闭性任何 a {\displaystyle a} 的幂次都在 S {\displaystyle {\cal {S}}} 中，所以 ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } 是 S {\displaystyle {\cal {S}}} 这个有限集的子集）。根据定义， S {\displaystyle {\cal {S}}} 的阶是 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} ，于是根据拉格朗日定理， S {\displaystyle {\cal {S}}} 中任何一个元素的阶必整除 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 。证毕。 卡邁克爾函數比欧拉函数更小。费马小定理也是它的特殊情况。 a λ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 因為 p | x p − x ⇒ p k | ( x p − x ) k {\displaystyle p|x^{p}-x\Rightarrow p^{k}|(x^{p}-x)^{k}} 所以由 x N ( mod ( x p − x ) k ) {\displaystyle x^{N}{\pmod {(x^{p}-x)^{k}}}} 的結果可以得出 x N ( mod p k ) {\displaystyle x^{N}{\pmod {p^{k}}}} 的結果 用多項式除法可以得出 x N {\displaystyle x^{N}} 除以 ( x p − x ) k {\displaystyle (x^{p}-x)^{k}} 的次數少於 p k {\displaystyle p^{k}} 的餘式 例如 3 ∣ x 3 − x {\displaystyle 3\mid x^{3}-x} ，由多項式除法得到 x 5 = ( x 2 + 1 ) ( x 3 − x ) + x {\displaystyle x^{5}=(x^{2}+1)(x^{3}-x)+x} ，則 x 5 ≡ x ( mod 3 ) {\displaystyle x^{5}\equiv x{\pmod {3}}} 這個餘式的一般結果是： x p k ≡ ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 ( k i ) x p k − ( p − 1 ) i ( mod p k ) {\displaystyle \displaystyle x^{pk}\equiv \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {k}{i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}} （除式） x p k + ( p − 1 ) n ≡ ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 ( n + i − 1 i − 1 ) ( n + k k − i ) x p k − ( p − 1 ) i ( mod p k ) {\displaystyle \displaystyle x^{pk+(p-1)n}\equiv \sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}{\binom {n+i-1}{i-1}}{\binom {n+k}{k-i}}x^{pk-(p-1)i}{\pmod {p^{k}}}} n=0时为除式，用数学归纳法证明余式。 求 x 1000 ( mod 5 2 ) {\displaystyle x^{1000}{\pmod {5^{2}}}} x 10 + 4 n ≡ ( n + 2 ) x 6 − ( n + 1 ) x 2 ( mod 5 2 ) {\displaystyle x^{10+4n}\equiv (n+2)x^{6}-(n+1)x^{2}{\pmod {5^{2}}}} x 1000 ≡ 249 x 8 − 248 x 4 ≡ 24 x 8 − 23 x 4 ( mod 5 2 ) {\displaystyle x^{1000}\equiv 249x^{8}-248x^{4}\equiv 24x^{8}-23x^{4}{\pmod {5^{2}}}} 符号的应用请参见同餘和模算数。 费马大定理 拉格朗日定理 Fermat's Little Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）.WolframMathWorld.（英文） A proof of certain theorems regarding prime numbers. 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