高斯散度定理

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)} 在 Ω {\displaystyle \Omega } 上具有一阶连续偏导数，则有 ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = {\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=} ∯ {\displaystyle \oiint } Σ {\displaystyle \scriptstyle \Sigma } P d y ∧ d z + Q d z ∧ d x + R d x ∧ d y {\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y} 或 ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v = {\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=} ∯ {\displaystyle \oiint } Σ {\displaystyle \scriptstyle \Sigma } ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ ) d S {\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S} 这里 Σ {\displaystyle \Sigma } 是 Ω {\displaystyle \Omega } 的边界（boundary）， cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ {\displaystyle \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma } 是 Σ {\displaystyle \Sigma } 在点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 处的單位法向量的方向余弦。 这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ∬ Σ ( P , Q , R ) ⋅ n d S {\displaystyle \iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S} ，其中 n {\displaystyle \mathbf {n} } 是曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } 的向外單位法向量。 这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。 高斯公式用散度表示为： ∭ Ω d i v F d v = {\displaystyle \iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=} ∯ {\displaystyle \oiint } Σ {\displaystyle \scriptstyle \Sigma } F ⋅ n d S . {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.} 其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 n {\displaystyle \mathbf {n} } 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。 令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积， F {\displaystyle \mathbf {F} } 是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果 d S {\displaystyle d\mathbf {S} } 是外法向向量面元，则 ∫ S F ⋅ d S = ∫ V ∇ ⋅ F d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V} 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得： ∭ V ( F ⋅ ( ∇ g ) + g ( ∇ ⋅ F ) ) d V = ∬ ∂ V g F ⋅ d S {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } 对于两个向量场 F × G {\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} } 的向量积，应用高斯公式可得： ∭ V ( G ⋅ ( ∇ × F ) − F ⋅ ( ∇ × G ) ) d V = ∬ ∂ V ( F × G ) ⋅ d S {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} } 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得： ∭ V ∇ f d V = ∬ ∂ V f d S {\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} } 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得： ∭ V ∇ × F d V = ∬ ∂ V d S × F . {\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .} 假设我们想要计算 ∯ {\displaystyle \oiint } S {\displaystyle \scriptstyle S} F ⋅ n d S , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,} 其中S是一个单位球面，定义为 S = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 = 1 } . {\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.} F是向量场 F = 2 x i + y 2 j + z 2 k . {\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .} 直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化： ∭ W ( ∇ ⋅ F ) d V = 2 ∭ W ( 1 + y + z ) d V = 2 ∭ W d V + 2 ∭ W y d V + 2 ∭ W z d V . {\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.} 其中W是单位球: W = { x , y , z ∈ R 3   :   x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 } . {\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.} 由于函数y和z是奇函数，我们有： ∭ W y d V = ∭ W z d V = 0. {\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.} 因此： ∯ {\displaystyle \oiint } S {\displaystyle \scriptstyle S} F ⋅ n d S = 2 ∭ W d V = 8 π 3 , {\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},} 因为单位球W的体积是4π/3. 二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。 两个向量 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 和 b {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} 并排放在一起所形成的量 a b {\displaystyle {\boldsymbol {ab}}} 被称为向量 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 和 b {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} 的并矢或并矢张量。要注意，一般来说， a b ≠ b a {\displaystyle {\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}} 。 a b = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {ab}}=0} 的充分必要条件是 a = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0} 或 b = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0} 。 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。 a b {\displaystyle {\boldsymbol {ab}}} 分别线性地依赖于 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 和 b {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} 。 二阶张量 T {\displaystyle \mathbf {T} } 和向量 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 的縮併 T ⋅ a {\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}} 以及 a ⋅ T {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} } 对 T {\displaystyle \mathbf {T} } 和 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 都是线性的。 特别是，当 T = u v {\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}} 时， T ⋅ a = ( u v ) ⋅ a = u ( v ⋅ a ) , a ⋅ T = a ⋅ ( u v ) = ( a ⋅ u ) v , {\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},} 所以，一般说来， T ⋅ a ≠ a ⋅ T {\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} } 。 下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的縮併来重新写 ( a × b ) × c {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}} 和 a × ( b × c ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})} 。 ( a × b ) × c = ( a ⋅ c ) b − ( b ⋅ c ) a = − ( a b − b a ) ⋅ c , a × ( b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c = − a ⋅ ( b c − c b ) . {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.} 我们还用到二阶张量 T {\displaystyle \mathbf {T} } 的转置 T ′ {\displaystyle \mathbf {T} '} （又可以记为 T t {\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathrm {t} }} ），定义如下： T ′ {\displaystyle \mathbf {T} '} 仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于 T {\displaystyle \mathbf {T} } 。 ( u v ) ′ = v u {\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}} 。 定理：设 V {\displaystyle V} 是三维欧几里得空间中的一个有限区域， S {\displaystyle S} 是它的边界曲面， n ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}} 是 S {\displaystyle S} 的外法线方向上的单位向量， T {\displaystyle \mathbf {T} } 是定义在 V {\displaystyle V} 的某个开邻域上的 C 1 {\displaystyle C^{1}} 连续的二阶张量场， T ′ {\displaystyle \mathbf {T} '} 是 T {\displaystyle \mathbf {T} } 的转置，则 ∬ S n ^ ⋅ T d S = ∭ V ∇ ⋅ T d V , ∬ S T ⋅ n ^ d S = ∭ V ∇ ⋅ T ′ d V . {\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.} 证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为 F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} ，则 e i ⋅ F = e i ⋅ ∬ S T ⋅ n ^ d S = ∬ S e i ⋅ T ⋅ n ^ d S = ∬ S T i j e j ⋅ n ^ d S . {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.} 接下来利用向量场的高斯公式，可得 e i ⋅ F = ∭ V ∇ ⋅ ( T i j e j ) d V = ∭ V ∂ T i j ∂ x j d V , {\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,} 于是 F = e i ( e i ⋅ F ) = e i ∭ V ∂ T i j ∂ x j d V = ∭ V e i ∂ T i j ∂ x j d V = ∭ V ∇ ⋅ T ′ d V . {\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.} 至此证毕。 格林定理 斯托克斯定理 UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details （页面存档备份，存于互联网档案馆）.The Indian Express.September 22, 2019. 提要251：第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem) （页面存档备份，存于互联网档案馆）.中华大学.2011-12-22. 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005