上积

代数拓扑中，上积或杯积（cup product）是将两个度为p和q的上循环联接起来，形成度为p+q的复合循环的方法。这定义了上同调中的结合（与分散）分次交换积，将空间X的上同调转变为分次环 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} ，称作上同调环。上积由詹姆斯·韦德尔·亚历山大、爱德华·切赫与哈斯勒·惠特尼于1935–1938年间提出，1944年塞缪尔·艾伦伯格给出了一般定义。 奇异上同调中，上积构造给出了拓扑空间X的分次上同调环 H ∗ ( X ) {\displaystyle H^{*}(X)} 上的积。 构造始于上链之积：若 α p {\displaystyle \alpha ^{p}} 是p上链，且 β q {\displaystyle \beta ^{q}} 是q上链，则 ( α p ⌣ β q ) ( σ ) = α p ( σ ∘ ι 0 , 1 , . . . p ) ⋅ β q ( σ ∘ ι p , p + 1 , . . . , p + q ) {\displaystyle (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})(\sigma )=\alpha ^{p}(\sigma \circ \iota _{0,1,...p})\cdot \beta ^{q}(\sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q})} 其中σ是奇异 ( p + q ) {\displaystyle (p+q)} -单纯形， S ⊂ { 0 , 1 , . . . , p + q } {\displaystyle S\subset \{0,1,...,p+q\}} , ι S {\displaystyle \iota _{S}} 是S张成的单纯形规范嵌入 ( p + q ) {\displaystyle (p+q)} -单纯形，后者的顶点索引为 { 0 , . . . , p + q } {\displaystyle \{0,...,p+q\}} 。 非正式地， σ ∘ ι 0 , 1 , . . . , p {\displaystyle \sigma \circ \iota _{0,1,...,p}} 是σ的第p个正面（front face）， σ ∘ ι p , p + 1 , . . . , p + q {\displaystyle \sigma \circ \iota _{p,p+1,...,p+q}} 是σ的第q个背面（back face）。 上链 α p {\displaystyle \alpha ^{p}} 与 β q {\displaystyle \beta ^{q}} 的上积的上边缘（coboundary）为 δ ( α p ⌣ β q ) = δ α p ⌣ β q + ( − 1 ) p ( α p ⌣ δ β q ) . {\displaystyle \delta (\alpha ^{p}\smile \beta ^{q})=\delta {\alpha ^{p}}\smile \beta ^{q}+(-1)^{p}(\alpha ^{p}\smile \delta {\beta ^{q}}).} 两个上循环的上积仍是上循环，上边缘与上循环（任意顺序）的积仍是上边缘。上积在上同调中引入了双线性运算 H p ( X ) × H q ( X ) → H p + q ( X ) . {\displaystyle H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X).} 上同调中的上积满足以下特性 α p ⌣ β q = ( − 1 ) p q ( β q ⌣ α p ) {\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p})} 因此相应的乘法是分次交换的。 上积的函子性体现在以下方面：若 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 是连续函数， f ∗ : H ∗ ( Y ) → H ∗ ( X ) {\displaystyle f^{*}\colon H^{*}(Y)\to H^{*}(X)} 是上同调中的诱导同态，则 f ∗ ( α ⌣ β ) = f ∗ ( α ) ⌣ f ∗ ( β ) , {\displaystyle f^{*}(\alpha \smile \beta )=f^{*}(\alpha )\smile f^{*}(\beta ),} 对 H ∗ ( Y ) {\displaystyle H^{*}(Y)} 中所有类α、β。也就是说，f *是（分次）环同态。 可将上积 ⌣ : H p ( X ) × H q ( X ) → H p + q ( X ) {\displaystyle \smile \colon H^{p}(X)\times H^{q}(X)\to H^{p+q}(X)} 视作由下面的组合诱导而来： C ∙ ( X ) × C ∙ ( X ) → C ∙ ( X × X ) → Δ ∗ C ∙ ( X ) {\displaystyle \displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\to C^{\bullet }(X\times X){\overset {\Delta ^{*}}{\to }}C^{\bullet }(X)} 以 X {\displaystyle X} 与 X × X {\displaystyle X\times X} 的链复形表示，其中第一个映射是克奈映射，第二个映射由对角 Δ : X → X × X {\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X} 诱导。 这个构成传给商，便给出了良定义的上同调映射，这就是上积。这种方法解释了上同调上积的存在，但没有解释同调上积： Δ : X → X × X {\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X} 诱导了映射 Δ ∗ : H ∙ ( X × X ) → H ∙ ( X ) {\displaystyle \Delta ^{*}\colon H^{\bullet }(X\times X)\to H^{\bullet }(X)} ，但还会诱导映射 Δ ∗ : H ∙ ( X ) → H ∙ ( X × X ) {\displaystyle \Delta _{*}\colon H_{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X\times X)} ，后者与我们定义积的方法相反。不过，这在定义下积时是有用的。 上积的这种表达体现了双线性，即 ( u 1 + u 2 ) ⌣ v = u 1 ⌣ v + u 2 ⌣ v {\displaystyle (u_{1}+u_{2})\smile v=u_{1}\smile v+u_{2}\smile v} ； u ⌣ ( v 1 + v 2 ) = u ⌣ v 1 + u ⌣ v 2 . {\displaystyle u\smile (v_{1}+v_{2})=u\smile v_{1}+u\smile v_{2}.} 上积可用来区分流形和具有相同上同调群的空间之楔。空间 X := S 2 ∨ S 1 ∨ S 1 {\displaystyle X:=S^{2}\vee S^{1}\vee S^{1}} 与环面T具有相同的上同调群，但具有不同的上积。在X的情况下，与 S 1 {\displaystyle S^{1}} 相关的上链的乘法是退化的；而在T中，第一个上同调群中的乘法可用于将环面分解为2胞图，从而使积等于Z（更一般地说是M，此处是基模）。 在德拉姆上同调中，微分形式的上积由楔积导出。即，两个闭微分形式的楔积属于两个原德拉姆类的上积的德拉姆类。 对于定向流形，有几何启发式，即“上积与相交是对偶的”。 令 M {\displaystyle M} 为 n {\displaystyle n} 维定向光滑流形。若两个余维分别是i、j的子流形 A , B {\displaystyle A,B} 横截着交，那么它们的交 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 又是余维是i + j的子流形。将这些流形的基本同调类的像置于包含（inclusion）之中，就可以得到同调上的双线性积，与上积是庞加莱对偶的，即取庞加莱对 [ A ] ∗ , [ B ] ∗ ∈ H i , H j {\displaystyle [A]^{*},[B]^{*}\in H^{i},H^{j}} 则有以下等式： [ A ] ∗ ⌣ [ B ] ∗ = [ A ∩ B ] ∗ ∈ H i + j ( X , Z ) {\displaystyle [A]^{*}\smile [B]^{*}=[A\cap B]^{*}\in H^{i+j}(X,\mathbb {Z} )} . 同样，环绕数也可用交来定义，将维数移动1，或者用链之补上的非零上积来定义。 上积是二元运算。可以定义三元甚至多元的高阶运算，称作梅西积，是上积的推广。它是一种高阶上同调运算，目前只定义了一部分（只定义了部分三元运算）。 奇异同调 同调 下积 梅西积 Hutchings, Michael. Cup Product and Intersections (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2023-03-08）.  Ciencias TV, Informal talk in Derived Geometry (Jacob Lurie), 2016-12-10 [2018-04-26], （原始内容存档于2021-12-21）  James R. Munkres, "Elements of Algebraic Topology", Perseus Publishing, Cambridge Massachusetts (1984) ISBN 0-201-04586-9 (hardcover) ISBN 0-201-62728-0 (paperback) Glen E. Bredon, "Topology and Geometry", Springer-Verlag, New York (1993) ISBN 0-387-97926-3 Allen Hatcher, "Algebraic Topology （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Cambridge Publishing Company (2002) ISBN 0-521-79540-0