群同構

在抽象代數中，群同構是在兩個群之間的函數，它以關照到了群運算的方式架設了在群的元素之間的一一對應。如果兩個群之間存在一個同構，則這兩個群叫做同構的。從群論的立場看，同構的群有相同的性質而不需要區分。 給定兩個群 (G, *) 和 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } )，從 (G, *) 到 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 的群同構是從 G 到 H 的雙射群同態。這意味著群同構是雙射函數 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} 使得對於所有 G 中的 u 和 v 有著 f ( u ∗ v ) = f ( u ) ⊙ f ( v ) {\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v)} 。 兩個群 (G, *) 和 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 是同構的如果存在一個群同構。這寫為: ( G , ∗ ) ≅ ( H , ⊙ ) {\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot )} 經常使用簡寫符號。在關於群運算沒有歧義的情況下，可以省略它: G ≅ H {\displaystyle G\cong H} 有時甚至簡寫為 G = H。這種表示是否引起歧義或混淆依賴於上下文。例如，在這兩個群是同一個群的子群的時候就不適合。參見后面的例子。 反過來說，給定群 (G, *)、集合 H 和雙射 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} ，我們可以通過定義 f ( u ) ⊙ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v)} 制造一個群 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } )。 如果 H = G 并且 ⊙ {\displaystyle \odot } = * 則雙射是自同構。 實數集帶有加法的群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } ,+) 同構於正實數集帶有乘法的群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } +,×): ( R , + ) ≅ ( R + , × ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )} 通過同構 f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}\,} (參見指數函數)。 整數集帶有加法的群 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的子群，而因子群 R {\displaystyle \mathbb {R} } / Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 同構於絕對值為 1 的複數組成的乘法群 S 1 {\displaystyle S^{1}} : R / Z ≅ S 1 {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}} 同構給出為 f ( x + Z ) = e 2 π x i {\displaystyle f(x+\mathbb {Z} )=e^{2\pi xi}} 對于所有 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 。 克萊因四元群同構於 Z 2 = Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 的兩個復本的直積(參見模算術)，并因此寫為 Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} 。另一個符號是 Dih2，因為它是二面體群。 如果 (G, *) 是無限循環群，則 (G, *) 同構於整數集帶有加法的群。從代數的觀點看，這意味著所有整數的集合帶有加法運算是唯一的無限循環群。 某些群可以依賴於選擇公理證明是同構的，但在理論上不能構造出具體的同構。比如: 群 ( R {\displaystyle \mathbb {R} } , +) 同構於所有複數組成的加法群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } , +)。 非零複數集帶有乘法的群 ( C {\displaystyle \mathbb {C} } *, ·) 同構於上面提及的群 S1。 從 (G, *) 到 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 的同構的核總是 {eG} 這里的 eG 是群 (G, *) 的單位元。 如果 (G, *) 同構於 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } )，并且如果 G 是阿貝爾群則 H 也是。 如果 (G, *) 是同構於 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 的有限群，這里 f 是同構，則如果 a 屬于 G 并有階 n，則 f(a) 也是。 如果 (G, *) 是同構於 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 的局部有限群，則 (H, ⊙ {\displaystyle \odot } ) 也是局部有限群。 前面的例子展示了同構總是保持“群性質”。 從定義可以得出任何同構 f : G → H {\displaystyle f:G\rightarrow H} 將映射 G 的單位元到 H 的單位元， f ( e G ) = e H {\displaystyle f(e_{G})=e_{H}} 并且映射逆元到逆元， f ( u − 1 ) = [ f ( u ) ] − 1 {\displaystyle f(u^{-1})=\left[f(u)\right]^{-1}} 和更一般的，n 次冪到 n 次冪 f ( u n ) = [ f ( u ) ] n {\displaystyle f(u^{n})=\left[f(u)\right]^{n}} 對於所有 u ∈ G，并且逆映射 f − 1 : H → G {\displaystyle f^{-1}:H\rightarrow G} 也是群同構。 “同構”關係滿足等價關係的所有公理。如果 f 是在兩個群 G 和 H 之間的同構，則關於 G 的只與群結構有關的所有為真的事情都可以通過 f 轉換成關於 H 的同樣為真的陳述，反之亦然。 從群 (G,*) 到自身的同構叫做這個群的自同構。就是說這是雙射 f : G → G {\displaystyle f:G\rightarrow G} 使得 f ( u ) ∗ f ( v ) = f ( u ∗ v ) {\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v)} 。 自同構總是映射單位元到自身。共軛類在自同構下的像總是共軛類(同一個或另一個)。一個元素的像有同這個元素相同的階。 兩個自同構的復合也是自同構，并且群 G 的所有自同構的集合在復合運算下自身形成了一個群，即 G 的自同構群，指示為 Aut(G)。 對于所有阿貝爾群，至少有把群的元素替換為它的逆元的自同構。但是，在所有元素都等於它的逆元的群中這是一個平凡自同構，比如在克萊因四元群中。對於這種群三個非單位元素的所有置換都是自同構，所以這個自同構群同構於 S3 和 Dih3。 在對於素數 p 的 Zp 中，一個非單位元元素可以被替換為另一個，帶有在其他元素中的相應變更。這個自同構群同構於 Zp − 1。例如，對于 n = 7，Z7 的所有元素乘以 3 再模以 7，是在這個自同構群中的一個 6 階自同構，因為 36 = 1 ( modulo 7 )，而更低的冪不得出 1。因為這個自同構生成了 Z6。這里還有一個自同構有這個性質: Z7 的所有元素乘以 5 再模以 7。因此這兩個對應於 Z6 的元素 1 和 5，以這個次序或反過來。 Z6 的自同構群同構於 Z2，因為只有兩個元素 1 和 5 的每一個能生成 Z6，所以除了單位元之外我們只能互換它們。 Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2 的自同構群有階 168，這可以如下這樣找到。所有 23 - 1 = 7 個非單位元元素扮演相同的角色，所以我們可以選擇讓誰扮演 (1,0,0) 的角色。余下的 23 - 21 = 6 中的任何一個都可以被選擇來扮演 (0,1,0) 的角色。這確定了誰對應於 (1,1,0)。對 (0,0,1) 我們可以有 23 - 22 = 4 個選擇，這就確定了余下的。因此我們有了 7 × 6 × 4 = 168 個自同構。它們對應於Fano平面的成員，它的 7 個點對應於 7 個非單位元元素。連接三個點的線對應於群運算: a, b 和 c 在一條線上意味 a+b=c, a+c=b 和 b+c=a。參見在有限域上的一般線性群。 對於阿貝爾群除了平凡的之外的所有自同構叫做外自同構。 非阿貝爾群有非平凡的內自同構群，并可能也有外自同構。 同構基本定理