消失矩

消失矩(Vanishing Moments)，在連續小波變換(Continuous Wavelet Transform)，是一項非常重要的參數，用來檢視母小波(Mother wavelet)是否為高頻的函數。 Vanish moment 越高，經過內積後被濾掉的低頻成分越多 在實務上，Vanish moment=5 在連續小波變換中，母小波有4個主要限制如下。 1. 有值區間必須是有限的(Compact Support): 母小波不能是一個無限長的函數。 2. 必須是實函數(Real) : 因為要處理的影像不會是複數信號，且為了方便計算。 3. 偶對稱(Even Symmetric)或是奇對稱(Odd Symmetric) 4. 消失矩越高越好: 這項是最難滿足的一項。 5. Admissibility Criterion 要存在才存在反小波轉換 首先定義第 k {\displaystyle k} 個動量( k t h {\displaystyle k_{th}} moment): m k = ∫ t k ψ ( t ) d t {\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt} 若 m 0 = m 1 = m 2 = . . . = m p − 1 = 0 {\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{2}=...=m_{p-1}=0} ， 則我們說 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 有 p {\displaystyle p} 個消失矩。 我們可以看到 m k = ∫ t k ψ ( t ) d t {\displaystyle m_{k}=\int t^{k}\psi (t)\,dt} 不太好計算，尤其是 k {\displaystyle k} 很大的時候。 此時，可以善用傅立葉轉換來進行計算。 首先，觀察傅立葉轉換的公式: G ( f ) = ∫ g ( t ) e − j 2 π f t d t {\displaystyle G(f)=\int g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt} 當令 f = 0 {\displaystyle f=0} 時，可以看到以上公式變成: G ( 0 ) = ∫ g ( t ) d t {\displaystyle G(0)=\int g(t)\,dt} 正是第0個動量 m 0 {\displaystyle m_{0}} 。 因此，若要計算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的第0個動量，可以先計算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的傅立葉轉換，再取直流項(也就是 f = 0 {\displaystyle f=0} )。 我們可以同樣利用傅立葉轉換來計算第 k {\displaystyle k} 個動量。 首先，傅立葉轉換有一個性質: 在頻域微分 k {\displaystyle k} 次，就相當於時域乘上 t k {\displaystyle t^{k}}  : 1 ( − j 2 π ) k G ( k ) ( f ) = ∫ t k g ( t ) e − j 2 π f t d t {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(f)=\int t^{k}g(t)e^{-j2\pi ft}\,dt} 當令 f = 0 {\displaystyle f=0} 時，可以看到以上公式變成: 1 ( − j 2 π ) k G ( k ) ( 0 ) = ∫ t k g ( t ) d t {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt} 正是第 k {\displaystyle k} 個動量 m k {\displaystyle m_{k}} 。 因此，若要計算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的第k個動量，可以先計算 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 的傅立葉轉換的k次微分，再取直流項(也就是 f = 0 {\displaystyle f=0} )。 分成兩類連續函數與連續函數的離散係數 連續函數:哈爾基底、墨西哥帽函數 連續函數的離散係數:多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet 哈爾小波轉換是最簡單的一種小波轉換，使用哈爾基底(Haar Basis)來做母小波。 而墨西哥帽函數(Mexican hat function)也常被用來當母小波。 哈爾基底的數學表示式如下: ψ ( t ) = { 1 0 ≤ t < 1 / 2 , − 1 1 / 2 ≤ t < 1 , 0 otherwise. {\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1/2,\\-1&1/2\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 是一個奇函數，所以 m 0 = ∫ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle m_{0}=\int \psi (t)\,dt=0} 但 t ψ ( t ) {\displaystyle t\psi (t)} 是偶函數，所以 m 1 = ∫ t ψ ( t ) d t ≠ 0 {\displaystyle m_{1}=\int t\psi (t)\,dt\neq 0} 因此，哈爾基底的消失矩為1。 墨西哥帽函數的數學表示式: ψ ( t ) = 2 5 / 4 3 ( 1 − 2 π t 2 ) e − π t 2 {\displaystyle \psi (t)={\frac {2^{5/4}}{\sqrt {3}}}(1-2\pi t^{2})e^{-\pi t^{2}}} 仔細觀察， ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 其實是高斯函數的二次微分: ψ ( t ) = C d 2 d t 2 e − π t 2 , C = {\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}},C=} 常數。 而高斯函數做傅立葉轉換仍是高斯函數: ψ ( t ) = C d 2 d t 2 e − π t 2 → − C 4 π 2 f 2 e − π f 2 {\displaystyle \psi (t)=C{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}e^{-\pi t^{2}}\to -C4\pi ^{2}f^{2}e^{-\pi f^{2}}} 。 利用 1 ( − j 2 π ) k G ( k ) ( 0 ) = ∫ t k g ( t ) d t {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt} 可以算出 m 0 = m 1 = 0 , m 2 ≠ 0 {\displaystyle m_{0}=m_{1}=0,m_{2}\neq 0} 。 所以墨西哥帽函數的消失矩為2。 墨西哥帽函數是高斯函數的二次微分，所以消失矩為2。 當 ψ ( t ) = d p d t p e − π t 2 {\displaystyle \psi (t)={\frac {d^{p}}{dt^{p}}}e^{-\pi t^{2}}} 其傅立葉轉換為 ( j 2 π f ) p e − π f 2 {\displaystyle (j2\pi f)^{p}e^{-\pi f^{2}}} 。 利用 1 ( − j 2 π ) k G ( k ) ( 0 ) = ∫ t k g ( t ) d t {\displaystyle {\frac {1}{(-j2\pi )^{k}}}G^{(k)}(0)=\int t^{k}g(t)\,dt} 可以算出 m 0 = m 1 = m p − 1 , m p ≠ 0 {\displaystyle m_{0}=m_{1}=m_{p-1},m_{p}\neq 0} 。 所以高斯函數p次微分的消失矩為p。 多貝西小波(Daubechies wavelet)、Symlet 、 Coiflet都是一些常用的離散小波，而且都是由連續小波的離散係數推導而來。 且這三種都是orthonormal filters 2 n {\displaystyle 2n} 點的多貝西小波，消失矩 = n {\displaystyle =n} 2 n {\displaystyle 2n} 點的Symlet，消失矩 = n {\displaystyle =n} Coiflet 6 n {\displaystyle 6n} 點的Coiflet，消失矩 = n {\displaystyle =n} 三者的比較 Symlet和多貝西小波非常類似，但是比多貝西小波還要對稱。 Coiflet 在scaling function 存在 vanish moment. ∫ − ∞ ∞ ϕ ( t ) d t ≠ 0 {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\phi (t)\,dt\neq 0} ∫ − ∞ ∞ t k ϕ ( t ) d t = 0 f o r 1 ≤ k ≤ p {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }t^{k}\phi (t)\,dt=0for1\leq k\leq p} 消失矩是用以判斷一個函數如何遞減的指標。舉例來說，對於函數 f ( t ) = sin ⁡ ( t ) t 2 {\displaystyle f(t)={\frac {\sin(t)}{t^{2}}}} 當輸入值 t {\displaystyle t} 逐漸往無限大增加時，此函數會以 1 t 2 {\displaystyle {\frac {1}{t^{2}}}} 的速率遞減。 我們可用利用定義中的動量積分式 ∫ − ∞ ∞ t k f ( t ) d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}f(t)\,dt} 來評估此函數的遞減速率。 回到此範例中的函數，當 k = 0 {\displaystyle k=0} 時，由於分子 sin ⁡ ( t ) {\displaystyle \sin(t)} 會在 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 之間震盪，使得整個函數在 [ − 1 t 2 , 1 t 2 ] {\displaystyle [-{\frac {1}{t^{2}}},{\frac {1}{t^{2}}}]} 震盪。 此性質使得 k = 0 {\displaystyle k=0} 時， ∫ − ∞ ∞ t k ( sin ⁡ ( t ) t 2 ) d t → 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t^{2}}})\,dt\to 0} 函數積分式必定會收斂於0，代表第0個動量 m 0 = 0 {\displaystyle m_{0}=0} 當 k = 1 {\displaystyle k=1} 時， ∫ − ∞ ∞ t k ( sin ⁡ ( t ) t ) d t = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}({\frac {\sin(t)}{t}})\,dt=\pi } 因此第1個動量 m 1 = π ≠ 0 {\displaystyle m_{1}=\pi \neq 0} 對於 k > 1 {\displaystyle k>1} 的情況，動量積分式均會隨著 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } 而發散。 由以上的範例，我們可藉由能夠讓動量積分式收斂為0的最大 k {\displaystyle k} 值來判斷函數的遞減速率，而此最大 k {\displaystyle k} 值便是函數的消失矩。 在連續小波轉換中，設計母小波的其中一個條件是有值區間比須是有限的，而母小波在有值區間內如何遞減的特性，則可由消失矩來描述。 依照定義，小波母函數 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 有 p {\displaystyle p} 個消失矩的條件為 ∫ − ∞ ∞ t k ψ ( t ) d t = 0 ,   f o r   0 ≤ k < p {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{k}\psi (t)\,dt=0,\ for\ 0\leq k<p} 然而由於此定義中包含了一個無限範圍的連續積分，因此在設計小波母函數上並不實用。 若定義小波轉換中的尺度函數為 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} ，當以下小波母函數和尺度函數的關係成立時， | ψ ( t ) | = O ( ( 1 + t 2 ) − p / 2 − 1 ) {\displaystyle \left|\psi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})} | φ ( t ) | = O ( ( 1 + t 2 ) − p / 2 − 1 ) {\displaystyle \left|\varphi (t)\right|=O((1+t^{2})^{-p/2-1})} 下列四項敘述便是等價的： 1. 小波母函數 ψ ( t ) {\displaystyle \psi (t)} 有 p {\displaystyle p} 個消失矩。 2. ψ ( t ) ,   φ ( t ) {\displaystyle \psi (t),\ \varphi (t)} 的傅立葉轉換，以及前 p − 1 {\displaystyle p-1} 次微分在 ω = 0 {\displaystyle \omega =0} 處均為零。 3. h φ ( t ) ,   H φ ( e j ω ) {\displaystyle h_{\varphi }(t),\ H_{\varphi }(e^{j\omega })} 的傅立葉轉換，以及前 p − 1 {\displaystyle p-1} 次微分在 ω = 0 {\displaystyle \omega =0} 處均為零。 4. 對於 0 ≤ k < p {\displaystyle 0\leq k<p} 區間內的任意 k {\displaystyle k} 值 q k ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ n k φ ( t − n ) {\displaystyle q_{k}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n^{k}\varphi (t-n)} 是最高次方為 k {\displaystyle k} 的多項式函數。 當濾波器的傅立葉轉換滿足以下的條件時， | H φ ( ω ) | 2 + | H φ ( ω + π ) | 2 = 2 {\displaystyle {\left|H_{\varphi }(\omega )\right|}^{2}+{\left|H_{\varphi }(\omega +\pi )\right|}^{2}=2} 此濾波器滿足共軛鏡像濾波器的條件。其中 H φ ( ω ) {\displaystyle H_{\varphi }(\omega )} 代表離散低通濾波器 h φ [ n ] {\displaystyle h_{\varphi }[n]} 離散低通濾波器的傅立葉轉換。 結合共軛鏡像濾波器的條件與消失矩的第3個等價敘述，我們可以將低通濾波器表示為 H φ ( e j ω ) = 2 ( 1 + e j ω 2 ) ) p L ( e j ω ) {\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })} 其中 L ( x ) {\displaystyle L(x)} 為一多項式函數。 利用上述條件與消失矩的等價敘述，可以簡化設計小波函數的步驟。 在小波轉換中，尺度函數和小波母函數可利用離散濾波器來定義： φ ( t ) = ∑ n h φ [ n ] 2 φ ( 2 t − n ) {\displaystyle \varphi (t)=\sum _{n}^{}h_{\varphi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)} ψ ( t ) = ∑ n h ψ [ n ] 2 φ ( 2 t − n ) {\displaystyle \psi (t)=\sum _{n}^{}h_{\psi }[n]{\sqrt {2}}\varphi (2t-n)} 其中 h φ [ n ] {\displaystyle h_{\varphi }[n]} 為離散低通濾波器， h ψ [ n ] {\displaystyle h_{\psi }[n]} 則為離散高通濾波器，通常會利用支撐大小(Size of support)來表示濾波器的長度。 從上述 H φ ( e j ω ) = 2 ( 1 + e j ω 2 ) ) p L ( e j ω ) {\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })={\sqrt {2}}{({\frac {1+e^{j\omega }}{2}}))}^{p}L(e^{j\omega })} 的表示式可得知， 當我們選擇較高的消失矩 p {\displaystyle p} 時， H φ ( e j ω ) {\displaystyle H_{\varphi }(e^{j\omega })} 將會是具有較高 e j ω {\displaystyle e^{j\omega }} 次方的多項式函數，因此對應到的 h φ [ n ] {\displaystyle h_{\varphi }[n]} 便有較長的濾波器長度。 一般而言，擁有較高的消失矩與較短的濾波器長度是一個交換條件的關係，無法兩者同時滿足。 因此在設計連續小波轉換中的小波母函數時，除了消失矩外，也應當把所對應到的濾波器長度考慮進去。 Jian-Jiun Ding (2012), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆） [viewed 17/01/2012] Chun-Lin Liu, A Tutorial of the Wavelet Transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）, February 2010 S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed., Third Edition: The Sparse Way. Academic Press, 3 ed., December 2008.