角平分线长公式

在平面几何中，角平分線長公式是計算三角形內、外角平分線長度的公式。在三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} 中， ∠ A {\displaystyle \angle A} 的内角平分線交对边 B C {\displaystyle BC} 于点 D {\displaystyle D} ，外角平分線交直线 B C {\displaystyle BC} 于点 E {\displaystyle E} ，则三角形的内、外角平分線的长度为： A D = A B ⋅ A C − D B ⋅ D C {\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}} A E = E B ⋅ E C − A B ⋅ A C {\displaystyle AE={\sqrt {EB\cdot EC-AB\cdot AC}}} 若记 B C {\displaystyle BC} 边长为 a {\displaystyle a} ， A C {\displaystyle AC} 边长为 b {\displaystyle b} ， A B {\displaystyle AB} 边长为 c {\displaystyle c} ，记内角平分線 A D {\displaystyle AD} 长为 t a {\displaystyle t_{a}} ，外角平分線 A E {\displaystyle AE} 长为 t a ′ {\displaystyle t_{a}'} ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为： 作 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的内角平分線交对边 B C {\displaystyle BC} 于点 D {\displaystyle D} 。延长 A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} 至点 E {\displaystyle E} ，使 ∠ A E B = ∠ A C D {\displaystyle \angle AEB=\angle ACD} 。 △ A E B ∼ △ A C D ⇒ A E ⋅ A D = A B ⋅ A C {\displaystyle \triangle AEB\sim \triangle ACD\Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC} △ D E B ∼ △ D C A ⇒ D E ⋅ A D = B D ⋅ D C {\displaystyle \triangle DEB\sim \triangle DCA\Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC} A D 2 = ( A E − D E ) ⋅ A D = A E ⋅ A D − D E ⋅ A D = A B ⋅ A C − D B ⋅ D C {\displaystyle AD^{2}=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC} 得内角平分线长公式（i）： A D = A B ⋅ A C − D B ⋅ D C {\displaystyle AD={\sqrt {AB\cdot AC-DB\cdot DC}}} 作 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的外角平分線交直线 B C {\displaystyle BC} 于点 D ′ {\displaystyle D'} 。延长 D ′ A ¯ {\displaystyle {\overline {D'A}}} 至点 E ′ {\displaystyle E'} ，使 ∠ A E ′ B = ∠ A C D ′ {\displaystyle \angle AE'B=\angle ACD'} 。 △ A E ′ B ∼ △ A C D ′ ⇒ A E ′ ⋅ A D ′ = A B ⋅ A C {\displaystyle \triangle AE'B\sim \triangle ACD'\Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC} △ D ′ E ′ B ∼ △ D ′ C A ⇒ D ′ E ′ ⋅ A D ′ = B D ′ ⋅ D ′ C {\displaystyle \triangle D'E'B\sim \triangle D'CA\Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C} A D ′ 2 = ( D ′ E ′ − A E ′ ) ⋅ A D ′ = D ′ E ′ ⋅ A D ′ − A E ′ ⋅ A D ′ = D ′ B ⋅ D ′ C − A B ⋅ A C {\displaystyle AD'^{2}=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC} 得外角平分线长公式（i）： A D ′ = D ′ B ⋅ D ′ C − A B ⋅ A C {\displaystyle AD'={\sqrt {D'B\cdot D'C-AB\cdot AC}}} 根据角平分线定理，有： 代入式（i），得到角平分线长公式（ii）： 将余弦公式代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）： 将半角公式代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）： 角平分线长公式是斯图尔特定理的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 △ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} 的任意一边 B C {\displaystyle BC} 上的任意一点 D {\displaystyle D} ，有： A D 2 = A B 2 ⋅ D C B C + A C 2 ⋅ D B B C − D B ⋅ D C {\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {DC \over BC}+AC^{2}\cdot {DB \over BC}-DB\cdot DC} 当点 D {\displaystyle D} 是内角平分线足时，根据角平分线定理，有： A B D B = A C D C = A B + A C B C {\displaystyle {AB \over DB}={AC \over DC}={AB+AC \over BC}} 联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。 利用角平分線長公式，可以证明施泰纳-莱穆斯定理——有两条内角平分线长度相等的三角形是等腰三角形。 t a = t b   ⇒   b c ( 1 − a 2 ( b + c ) 2 ) = a c ( 1 − b 2 ( a + c ) 2 ) {\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}} 化简后得到： c ( a + b + c ) ( a − b ) [ ( a + b ) ( c 2 + a b ) + 3 a b c + c 3 ] = 0 {\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0} 连乘的其他各项都为正数，从而推出： a − b = 0 {\displaystyle a-b=0} 在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。在中国大陆，内角平分線長公式（i）被称为“斯库顿定理”，归功于荷兰数学家弗兰斯·范斯霍滕（英语：Frans van Schooten）。而在欧美，范斯霍滕定理（英语：Van Schooten's theorem）指的是等边三角形外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。 中線長公式 角平分線定理 孙建斌. Schooten定理的证明. 数学教学研究. 1986, (1): 3-6.  别列标尔金（俄语：Перепёлкин, Дмитрий Иванович）. 初等几何学教程 上卷. 马忠林 (译). 北京: 高等教育出版社. 1955: 202-204.  Amarasinghe, G. W. I. S. On the standard lengths of angle bisectors and the angle bisector theorem (PDF). Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries. 2012, 1 (1): 15-27 [2023-06-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-06-18） （英语）.  Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements (PDF) II. Cambridge: Cambridge University Press. 1908: 197 [2023-06-24]. （原始内容存档 (PDF)于2022-02-02） （英语）.  Hadamard, Jacques. Leçons de géométrie élémentaire (géométrie plane). Paris: Armand Colin et Cie. 1898: 122-125 （法语）.  The angle bisector. Formula 2. mathvox.com. [2023-06-24]. （原始内容存档于2023-06-17） （英语）.  Trigg, Charles W. Mathematical Quickies. New York: Dover Publications. 1985: 103 [1967]. ISBN 0-486-24949-2 （英语）.  刘运谊. 斯库顿定理及其应用. 数学教学通讯. 1994, (6): 12+39.  黄家礼. 几何明珠. 北京: 科学普及出版社. 1997: 78. ISBN 7-110-03511-5.  Raymond, Viglione. Proof Without Words: van Schooten's Theorem. Mathematics Magazine. 2016, 89 (2): 132 （英语）.