乘积法则

乘积法则（英語：Product rule），也称積定則、莱布尼兹法则，是数学中关于两个函数的积的導數的一个计算法则。 若已知两个可導函数 f , g {\displaystyle f,g} 及其导数 f ′ , g ′ {\displaystyle f',g'} ，则它们的积 f g {\displaystyle fg} 的导数为： ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,} 這個法則可衍生出积分的分部積分法。 人們將這個法則的發現歸功於莱布尼兹，以下是他的論述：设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么，uv的微分是： d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v . {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}} 由于du·dv的可忽略性（法语：Négligeabilité），因此有： d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,} 两边除以dx，便得： d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}} 若用拉格朗日符號來表達，則等式記為 ( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ . {\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,} 假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则，可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)（这是因为x2的导数是2x，sin(x)的导数是cos(x)）。 乘积法则的一个特例，是“常数因子法则”，也就是：如果c是实数，f(x)是可微函数，那么cf(x)也是可微的，其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。 乘积法则可以用来推出分部积分法和除法定则。 假设 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,} 且f和g在x点可导。那么： h ′ ( x ) = lim w → x h ( w ) − h ( x ) w − x = lim w → x f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) w − x . ( 1 ) {\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)} 现在，以下的差 f ( w ) g ( w ) − f ( x ) g ( x ) ( 2 ) {\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)} 是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。 这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为： f ( x ) ( g ( w ) − g ( x ) ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) ) . ( 3 ) {\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)} 因此，(1)的表达式等于： lim w → x ( f ( x ) ( g ( w ) − g ( x ) w − x ) + g ( w ) ( f ( w ) − f ( x ) w − x ) ) . ( 4 ) {\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)} 如果(5)式中的四个极限都存在，则(4)的表达式等于： ( lim w → x f ( x ) ) ( lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x ) + ( lim w → x g ( w ) ) ( lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x ) . ( 5 ) {\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)} 现在： lim w → x f ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,} 因为当w → x时，f(x)不变； lim w → x g ( w ) − g ( x ) w − x = g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)} 因为g在x点可导； lim w → x f ( w ) − f ( x ) w − x = f ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)} 因为f在x点可导；以及 lim w → x g ( w ) = g ( x ) {\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,} 因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。 现在可以得出结论，(5)的表达式等于： f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) . {\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,} 设f = uv，并假设u和v是正数。那么： ln ⁡ f = ln ⁡ u + ln ⁡ v . {\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,} 两边求导，得： 1 f d d x f = 1 u d d x u + 1 v d d x v {\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v} 把等式的左边乘以f，右边乘以uv，即得： d d x f = v d d x u + u d d x v . {\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.} 设 h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , {\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,} 且f和g在x点可导。那么： h ′ ( x ) = lim Δ x → 0 h ( x + Δ x ) − h ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}} = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x + Δ x ) + f ( x ) g ( x + Δ x ) − f ( x ) g ( x ) Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}} = lim Δ x → 0 [ f ( x + Δ x ) − f ( x ) ] ⋅ g ( x + Δ x ) + f ( x ) ⋅ [ g ( x + Δ x ) − g ( x ) ] Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}} = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) + lim Δ x → 0 f ( x ) ⋅ lim Δ x → 0 g ( x + Δ x ) − g ( x ) Δ x {\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}} = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} . 若有 n {\displaystyle n} 个函数 f 1 , f 2 , . . . , f n {\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}} ，则： ( ∏ k = 1 n f k ) ′ = ∑ k = 1 n ( f k ′ ⋅ ∏ j = 1 j ≠ k n f j ) {\displaystyle \left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}} （萊布尼茲法則）若 f , g {\displaystyle f,g} 均為可導 n {\displaystyle n} 次的函數，則 f g {\displaystyle fg} 的 n {\displaystyle n} 次導數為： ( f ⋅ g ) ( n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) f ( k ) g ( n − k ) {\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}} 其中 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 是二項式係數。 乘积法则的一个应用是证明以下公式： d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}} 其中n是一个正整数（该公式即使当n不是正整数时也是成立的，但证明需要用到其它方法）。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 1， d d x x 1 = lim h → 0 ( x + h ) − x h = 1 = 1 x 1 − 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}} 假设公式对于某个特定的k成立，那么对于k + 1，我们有： d d x x k + 1 = d d x ( x k ⋅ x ) = x d d x x k + x k d d x x = x ( k x k − 1 ) + x k ⋅ 1 = ( k + 1 ) x k . {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}} 因此公式对于k + 1也成立。 除法定则 倒数定则 鏈式法則 分部积分法