收敛矩阵

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。 矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。 n阶方阵T若满足 则称T是是收敛矩阵。 令 T = ( 1 4 1 2 0 1 4 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}} T的幂是 T 2 = ( 1 16 1 4 0 1 16 ) , T 3 = ( 1 64 3 32 0 1 64 ) , T 4 = ( 1 256 1 32 0 1 256 ) , T 5 = ( 1 1024 5 512 0 1 1024 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}} T 6 = ( 1 4096 3 1024 0 1 4096 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}} 综之， T k = ( ( 1 4 ) k k 2 2 k − 1 0 ( 1 4 ) k ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}} 由于 lim k → ∞ ( 1 4 ) k = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0} lim k → ∞ k 2 2 k − 1 = 0 , {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,} T是收敛矩阵。注意其谱半径 ρ ( T ) = 1 4 {\displaystyle \rho (\mathbf {T} )={\frac {1}{4}}} ，因为 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} 是T唯一的特征值。 设T是n阶方阵，则下列表述等价于T的收敛矩阵： 对某自然范数， lim k → ∞ ‖ T k ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0} 对所有自然范数， lim k → ∞ ‖ T k ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0} ρ ( T ) < 1 {\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1} ∀ x ,   lim k → ∞ T k x = 0 {\displaystyle \forall \mathbb {x} ,\ \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0} } 一般的迭代法包含将线性方程组 转为等价方程组 的过程。选定初向量 x ( 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}} ，近似解向量序列的生成由 对任意初向量 x ( 0 ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}} ，序列 { x ( k ) } k = 0 ∞ {\displaystyle \lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }} 由(4)定义， ∀ k ≥ 0 ,   c ≠ 0 {\displaystyle \forall k\geq 0,\ \mathbf {c} \neq 0} ，当且仅当 ρ ( T ) < 1 {\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1} 收敛于(3)的唯一解，即T是收敛矩阵。 矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对(2)所示的线性方程组，若A可逆，则A就可分裂为 于是(2)可重写为(4)。当且仅当 B − 1 ≥ 0 ,   C ≥ 0 {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0} } 时，(5)式是A的正则分裂；即 B − 1 ,   C {\displaystyle \mathbf {B} ^{-1},\ \mathbf {C} } 只有非负元素。若分裂(5)是A的正则分裂、且 A − 1 ≥ 0 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\geq \mathbf {0} } ，则 ρ ( T ) < 1 {\displaystyle \rho (\mathbf {T} )<1} ，T是收敛矩阵，迭代法(4)收敛。 n阶方阵T，若极限 存在，则称之为半收敛矩阵。若A可能奇异，而(2)齐次，即b在A的范围内，则当且仅当T是半收敛矩阵时，对任何初向量 x ( 0 ) ∈ R n {\displaystyle \mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}} ，(4)定义的序列收敛到(2)的解。这时，分裂(5)称作A的半收敛分裂。 高斯-赛德尔迭代 雅可比法 矩阵列表 幂零矩阵 逐次超松弛迭代法 Burden & Faires (1993，第404頁) Isaacson & Keller (1994，第14頁) Varga (1962，第13頁) Burden & Faires (1993，第404頁) Isaacson & Keller (1994，第14,63頁) Varga (1960，第122頁) Varga (1962，第13頁) Burden & Faires (1993，第406頁) Varga (1962，第61頁) Burden & Faires (1993，第412頁) Isaacson & Keller (1994，第62–63頁) Varga (1960，第122–123頁) Varga (1962，第89頁) Meyer & Plemmons (1977，第699頁) Meyer & Plemmons (1977，第700頁) Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas, Numerical Analysis 5th, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1993, ISBN 0-534-93219-3  含有內容需登入查看的頁面 (link). Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop, Analysis of Numerical Methods, New York: Dover, 1994, ISBN 0-486-68029-0 . Carl D. Meyer, Jr.; R. J. Plemmons. Convergent Powers of a Matrix with Applications to Iterative Methods for Singular Linear Systems. SIAM Journal on Numerical Analysis. Sep 1977, 14 (4): 699–705. doi:10.1137/0714047.  Varga, Richard S. Factorization and Normalized Iterative Methods. Langer, Rudolph E. (编). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. 1960: 121–142. LCCN 60-60003.  Varga, Richard S., Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice–Hall, 1962, LCCN 62-21277 .