广群

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为： 以偏函数取代二元运算的群； 所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。 在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的 g : A → B {\displaystyle g:A\rightarrow B} 、 h : B → C {\displaystyle h:B\rightarrow C} 。于是组合是全函数： ∘ : ( B → C ) → ( A → B ) → A → C {\displaystyle \circ :(B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C} ，于是 h ∘ g : A → C {\displaystyle h\circ g:A\rightarrow C} 。 广群的特例包括： 集合体（Setoid），即带有等价关系的集合； G-集合，即带有G 的作用的集合。 广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。 广群指的是代数结构 ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,\ast )} ，包含非空集G与定义在G上的二元偏函数' ∗ {\displaystyle \ast } '。 广群是具备一元运算 − 1 : G → G , {\displaystyle {}^{-1}:G\to G,} 与偏函数 ∗ : G × G ⇀ G {\displaystyle *:G\times G\rightharpoonup G} 的集合G，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。 运算*、−1有以下公理性质： ∀ a ,   b ,   c ∈ G {\displaystyle \forall a,\ b,\ c\in G} ： 结合律：若定义了 a ∗ b ,   b ∗ c {\displaystyle a*b,\ b*c} ，则 ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 。 逆元： a − 1 ∗ a {\displaystyle a^{-1}*a} 、 a ∗ a − 1 {\displaystyle a*{a^{-1}}} 总有定义。 单位元：若定义了 a ∗ b {\displaystyle a*b} ，则 a ∗ b ∗ b − 1 = a ;   a − 1 ∗ a ∗ b = b {\displaystyle a*b*{b^{-1}}=a;\ {a^{-1}}*a*b=b} 。（由前两条性质可推知。） 从中可得到两个简单方便的性质： ( a − 1 ) − 1 = a {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=a} ； 若定义了 a ∗ b {\displaystyle a*b} ，则 ( a ∗ b ) − 1 = b − 1 ∗ a − 1 {\displaystyle (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}} 。 广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群G是对象集合 G 0 {\displaystyle G_{0}} ，其中 每对对象x、y，都有从x到y的态射（或箭头）的（可能是空）集合 G ( x ,   y ) {\displaystyle G(x,\ y)} ，其中的元素写作 f :   x → y ; {\displaystyle f:\ x\to y;} 每个对象x， G ( x ,   x ) {\displaystyle G(x,\ x)} 的指定元素 i d x ; {\displaystyle \mathrm {id} _{x};} 对任意三个元素x、y、z都有函数 c o m p x , y , z : G ( y , z ) × G ( x , y ) → G ( x , z ) : ( g , f ) ↦ g f ; {\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;} 对任意两个元素x、y都有函数 i n v : G ( x , y ) → G ( y , x ) : f ↦ f − 1 ,   ∀ f :   x → y ,   g :   y → z ,   h :   z → w ; {\displaystyle \mathrm {inv} :G(x,y)\rightarrow G(y,x):f\mapsto f^{-1},\ \forall f:\ x\to y,\ g:\ y\to z,\ h:\ z\to w;} f   i d x = f {\displaystyle f\ \mathrm {id} _{x}=f} 、 i d y   f = f ; {\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f;} ( h g ) f = h ( g f ) ; {\displaystyle (hg)f=h(gf);} f f − 1 = i d y {\displaystyle ff^{-1}=\mathrm {id} _{y}} 、 f − 1 f = i d x . {\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.} 若 f ∈ G ( x ,   y ) {\displaystyle f\in G(x,\ y)} 则称x为f的源，记作 s ( f ) {\displaystyle s(f)} ；y称作f的目标，记作 t ( f ) {\displaystyle t(f)} 。广群G有时记作 G 1 ⇉ G 0 {\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}} ，当中 G 1 {\displaystyle G_{1}} 是所有态射的集合，两个箭头 G 1 → G 0 {\displaystyle G_{1}\to G_{0}} 代表源和目标。 更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。 代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合 G ( x ,   y ) {\displaystyle G(x,\ y)} 的不交并（即x到y的态射的集合）；则 c o m p {\displaystyle \mathrm {comp} } 、 i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } 就成了G上的偏运算，而 i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } 事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为 c o m p {\displaystyle \mathrm {comp} } 、−1为 i n v {\displaystyle \mathrm {inv} } ，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及 G 0 {\displaystyle G_{0}} （及 i d {\displaystyle \mathrm {id} } ）。 反过来，给定代数定义的广群G，用 ∼ {\displaystyle \sim } 定义其元素上的等价关系： a ∼ b {\displaystyle a\sim b} ，若 a ∗ a − 1 = b ∗ b − 1 . {\displaystyle a*a^{-1}=b*b^{-1}.} 令G0为 ∼ {\displaystyle \sim } 的等价类集合，即 G 0 := G / ∼ {\displaystyle G_{0}:=G/\!\!\sim } 。若 a ∈ G {\displaystyle a\in G} 且 x ∈ G 0 {\displaystyle x\in G_{0}} ，用 1 x {\displaystyle 1_{x}} 记a ∗ a−1。 现在定义 G ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)} 为所有使 1 x ∗ f ∗ 1 y {\displaystyle 1_{x}*f*1_{y}} 存在的f的集合。给定 f ∈ G ( x , y ) ,   g ∈ G ( y , z ) , {\displaystyle f\in G(x,y),\ g\in G(y,z),} 其组合定义为 g f := f ∗ g ∈ G ( x , z ) . {\displaystyle gf:=f*g\in G(x,z).} 这是良定义的，因为可观察到 ( 1 x ∗ f ) ∗ 1 y {\displaystyle (1_{x}*f)*1_{y}} 、 1 y ∗ ( g ∗ 1 z ) {\displaystyle 1_{y}*(g*1_{z})} 都存在， ( 1 x ∗ f ∗ 1 y ) ∗ ( g ∗ 1 z ) = f ∗ g {\displaystyle (1_{x}*f*1_{y})*(g*1_{z})=f*g} 也存在。这样，x的恒等态射就是 1 x {\displaystyle 1_{x}} ，f的范畴论逆是f−1。 上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。 给定广群G，其中的顶点群或迷向群或轨道群是 G ( x ,   x ) ( x ∈ G ) {\displaystyle G(x,\ x)(x\in G)} 的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。 广群G在点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 处的轨道由集合 s ( t − 1 ( x ) ) ⊆ X {\displaystyle s(t^{-1}(x))\subseteq X} 给出，当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上，则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构：若 f :   x → y {\displaystyle f:\ x\to y} ，则同构由 g → f g f − 1 {\displaystyle g\to fgf^{-1}} 给出。 轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。 G ⇉ X {\displaystyle G\rightrightarrows X} 的子广群是子范畴 H ⇉ Y {\displaystyle H\rightrightarrows Y} ，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即 ∀ x , y ∈ Y {\displaystyle \forall x,y\in Y} 都有 X = Y {\displaystyle X=Y} 或 G ( x , y ) = H ( x , y ) {\displaystyle G(x,y)=H(x,y)} ，则也称其为宽或满。 广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。 有几种特殊的广群态射值得关注。若 ∀ x ∈ E ,   ∀ b ∈ B :   p ( x ) → , {\displaystyle \forall x\in E,\ \forall b\in B:\ p(x)\to ,} 都有 e ∈ E :   x → {\displaystyle e\in E:\ x\to } ，使得 p ( e ) = b {\displaystyle p(e)=b} ，则广群的态射 p : E → B {\displaystyle p:E\to B} 称作纤维化。若这样的e是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。 同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。 给定拓扑空间X，令 G 0 {\displaystyle G_{0}} 为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。 先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} （有时是 Π 1 ( X ) {\displaystyle \Pi _{1}(X)} ）。通常的基本群 π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} 于是就是点x的顶点群。 基本广群 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。 这一思想的重要推广是考虑基本广群 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} ，其中 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} 是选定的基点集合。当中 π 1 ( X , A ) {\displaystyle \pi _{1}(X,A)} 是 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。 若X是集合体，即具有等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成： 广群对象是X的元素； ∀ x ,   y ∈ X , {\displaystyle \forall x,\ y\in X,} 有单态射 ( y , x ) :   x → y {\displaystyle (y,x):\ x\to y} ，当且仅当 x ∼ y {\displaystyle x\sim y} ； ( z , y ) {\displaystyle (z,y)} 与 ( y , x ) {\displaystyle (y,x)} 的组合是 ( z , x ) {\displaystyle (z,x)} 。 这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子： X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个 X × X {\displaystyle X\times X} 作为箭头集，且是传递的。 X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集， s = t = i d X {\displaystyle s=t=id_{X}} ，是完全不传递的（每个单子 { x } {\displaystyle \{x\}} 都是轨道）。 若 f : X 0 → Y {\displaystyle f:X_{0}\to Y} 是光滑流形的光滑满射浸没，则 X 0 × Y X 0 ⊂ X 0 × X 0 {\displaystyle X_{0}\times _{Y}X_{0}\subset X_{0}\times X_{0}} 是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，Y与 X 0 {\displaystyle X_{0}} 的商拓扑拓扑同构。若记 X 1 = X 0 × Y X 0 {\displaystyle X_{1}=X_{0}\times _{Y}X_{0}} 则可得广群 X 1 ⇉ X 0 {\displaystyle X_{1}\rightrightarrows X_{0}} 有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群。 若放宽自反性要求、考虑偏等价关系，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作PER模型。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。 切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形X的开覆盖 U = { U i } i ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}} 所给出的等价关系相关联。其对象由不交并 G 0 = ∐ U i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}} 给出，其箭头是相交 G 1 = ∐ U i j {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}=\coprod U_{ij}} . 源映射与目标映射由诱导映射给出 s = ϕ j : U i j → U j t = ϕ i : U i j → U i {\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}} 包含映射 ε : U i → U i i {\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}} 则给出了广群的结构。实际上，还可设置 G n = G 1 × G 0 ⋯ × G 0 G 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}} 为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中 G n {\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}} 表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为 U i j k → U i j ↓ ↓ U i k → U i {\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}} 是笛卡儿图，其中到 U i {\displaystyle U_{i}} 的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环 [ σ ] ∈ H ˇ k ( U , A _ ) {\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})} 对某个阿贝尔群之常数层可表为函数 σ : ∐ U i 1 ⋯ i k → A {\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A} 给出了上同调类的明确表示。 若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群： 对象是X的元素； ∀ x ,   y ∈ X {\displaystyle \forall x,\ y\in X} ，态射 x → y {\displaystyle x\to y} 对应 g ∈ G {\displaystyle g\in G} ，使得 g x = y {\displaystyle gx=y} ； 态射的复合解释了G的二元运算。 更明确地说，作用广群是小范畴 o b ( C ) = X {\displaystyle \mathrm {ob} (C)=X} 、 h o m ( C ) = G × X {\displaystyle \mathrm {hom} (C)=G\times X} ，源映射和目标映射分别为 s ( g , x ) = x {\displaystyle s(g,x)=x} 、 t ( g , x ) = g x {\displaystyle t(g,x)=gx} 。通常表示为 G ⋉ X {\displaystyle G\ltimes X} （对于右作用记为 X ⋊ G {\displaystyle X\rtimes G} ）。广群中的乘法（或组合）就是 ( h , y ) ( g , x ) = ( h g , x ) {\displaystyle (h,y)(g,x)=(hg,x)} ，定义条件是 y = g x {\displaystyle y=gx} 。 ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} ，顶点群由 g x = x {\displaystyle gx=x} 的 ( g , x ) {\displaystyle (g,x)} 组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。 另一种描述G集合的方法是函子范畴 [ G r , S e t ] {\displaystyle [\mathrm {Gr} ,\mathrm {Set} ]} ，当中 G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } 是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合 X = F ( G r ) ;   ∀ g ∈ G {\displaystyle X=F(\mathrm {Gr} );\ \forall g\in G} （即对 G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } 中的每个态射）诱导了双射 F g {\displaystyle F_{g}} ： X → X {\displaystyle X\to X} 。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F： G r → S e t {\displaystyle \mathrm {Gr} \to \mathrm {Set} } 是G的凯莱表示。事实上，这个函子与 H o m ( G r , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,-)} 同构，因此将 o b ( G r ) {\displaystyle \mathrm {ob} (\mathrm {Gr} )} 送到集合 H o m ( G r , G r ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Gr} ,\mathrm {Gr} )} ，后者的定义就是“集合”G和 G r {\displaystyle \mathrm {Gr} } 的态射g（即G的元素g）到集合G的置换 F g {\displaystyle F_{g}} 。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群 { F g ∣ g ∈ G } {\displaystyle \{F_{g}\mid g\in G\}} 。 考虑 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 在有限集 X = { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } {\displaystyle X=\{-2,-1,0,1,2\}} 上的群作用，其将每个数取负，于是 − 2 ↦ 2 {\displaystyle -2\mapsto 2} 、 1 ↦ − 1 {\displaystyle 1\mapsto -1} 。商广群 [ X / G ] {\displaystyle [X/G]} 是这个群作用的等价类集合 { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] } {\displaystyle \{[0],[1],[2]\}} ， [ 0 ] {\displaystyle [0]} 在其上有群作用 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} 。 任何映射到 G L ( n ) {\displaystyle GL(n)} 的有限群G都会在仿射空间 A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} 上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是 [ A n / G ] {\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/G]} ，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间 P ( n 1 , … , n k ) {\displaystyle \mathbb {P} (n_{1},\ldots ,n_{k})} 及其子空间，如卡拉比-丘轨形。 给定具有广群态射的广群图 X ↓ Y → Z {\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}} 其中 f : X → Z {\displaystyle f:X\to Z} 、 g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} ，可组成广群 X × Z Y {\displaystyle X\times _{Z}Y} ，其对象为三元组 ( x , ϕ , y ) {\displaystyle (x,\phi ,y)} ，其中 x ∈ Ob ( X ) ,   y ∈ Ob ( Y ) ,   ϕ : f ( x ) → g ( y ) ,   ∈ Z {\displaystyle x\in {\text{Ob}}(X),\ y\in {\text{Ob}}(Y),\ \phi :f(x)\to g(y),\ \in Z} 。态射可定义为一对态射 ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} ，其中 α : x → x ′ ,   β : y → y ′ {\displaystyle \alpha :x\to x',\ \beta :y\to y'} ，使得对三元组 ( x , ϕ , y ) , ( x ′ , ϕ ′ , y ′ ) ,   Z {\displaystyle (x,\phi ,y),(x',\phi ',y'),\ Z} 中有 f ( α ) : f ( x ) → f ( x ′ ) ,   g ( β ) : g ( y ) → g ( y ′ ) ,   ϕ , ϕ ′ {\displaystyle f(\alpha ):f(x)\to f(x'),\ g(\beta ):g(y)\to g(y'),\ \phi ,\phi '} 的交换图。 具体阿贝尔范畴中对象的二项复形 C 1 → d C 0 {\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}} 可形成广群。其对象是集合 C 0 {\displaystyle C_{0}} ，箭头是集合 C 1 ⊕ C 0 {\displaystyle C_{1}\oplus C_{0}} ；源映射只是到 C 0 {\displaystyle C_{0}} 的映射，目标映射是对 C 1 {\displaystyle C_{1}} 与d的组合跟到 C 0 {\displaystyle C_{0}} 的映射的加法。也就是说，给定 c 1 + c 0 ∈ C 1 ⊕ C 0 {\displaystyle c_{1}+c_{0}\in C_{1}\oplus C_{0}} ，有 t ( c 1 + c 0 ) = d ( c 1 ) + c 0 . {\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.} 当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。 魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。 数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。这一广群作用作用于构型。 马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。 若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。 每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义） ( G , X ) {\displaystyle (G,X)} 同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。 注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象 x 0 {\displaystyle x_{0}} 、群同构 h :   G ( x 0 ) → G {\displaystyle h:\ G(x_{0})\to G} 、 ∀ x ≠ x 0 ,   {\displaystyle \forall x\neq x_{0},\ } 态射 ∈ G :   x 0 → x {\displaystyle \in G:\ x_{0}\to x} 。 若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群G与集合X）。 用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合X，而只需指定群G。例如， X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集； 具有等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 的集合X等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类； 具备群G的作用的集合X等价（作为广群）于作用的每个轨道的G的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。 即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个 G ( x ) {\displaystyle G(x)} ，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。 一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。 广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群G的子群H会产生‘’G对G中H的陪集集的作用，从而产生K到G的覆盖态射p，其中K是顶点群与H同构的广群。这样，群G的表示就可以“提升”到广群K的表示，这是获取子群H的表现信息的有用方法。 对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。 Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群 H , K {\displaystyle H,K} ，我们都可以构造广群 GPD ⁡ ( H , K ) {\displaystyle \operatorname {GPD} (H,K)} ，其对象是态射 H → K {\displaystyle H\to K} 、箭头是态射的自然等价。于是，若 H , K {\displaystyle H,K} 只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群 G , H , K {\displaystyle G,H,K} 都有自然双射 Grpd ⁡ ( G × H , K ) ≅ Grpd ⁡ ( G , GPD ⁡ ( H , K ) ) . {\displaystyle \operatorname {Grpd} (G\times H,K)\cong \operatorname {Grpd} (G,\operatorname {GPD} (H,K)).} 即使所有广群 G , H , K {\displaystyle G,H,K} 都只是群，这个结果也有意义。 Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。 包含态射 i : G r p d → C a t {\displaystyle i:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {Cat} } 有左右伴随函子： hom G r p d ⁡ ( C [ C − 1 ] , G ) ≅ hom C a t ⁡ ( C , i ( G ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))} hom C a t ⁡ ( i ( G ) , C ) ≅ hom G r p d ⁡ ( G , C o r e ( C ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))} 当中， C [ C − 1 ] {\displaystyle C[C^{-1}]} 表示反转每个态射的范畴局部化， C o r e ( C ) {\displaystyle \mathrm {Core} (C)} 表示所有同构的子范畴。 神经函子 N : G r p d → s S e t {\displaystyle N:\mathbf {Grpd} \to \mathbf {sSet} } 将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。 神经有左伴随 hom G r p d ⁡ ( π 1 ( X ) , G ) ≅ hom s S e t ⁡ ( X , N ( G ) ) {\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))} 当中 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 表示单纯集X的基本广群。 广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子 s , t : G 1 → G 0 {\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}} 的广群 G 1 , G 0 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},{\mathcal {G}}_{0}} ，以及由恒等函子 i : G 0 → G 1 {\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}} 给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块 ∙ → ∙ ↓ ↓ ∙ → a ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \end{matrix}}} 与 ∙ → a ∙ ↓ ↓ ∙ → ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}} 其中 a {\displaystyle a} 是同一个态射，则可以垂直相连，得到图 ∙ → ∙ ↓ ↓ ∙ → a ∙ ↓ ↓ ∙ → ∙ {\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}} 可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。 研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。 从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。 ∞-广群 2-群 同伦类型论 Dicks & Ventura. The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group. 1996: 6.  Hazewinkel, Michiel (编), Brandt semi-group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  第一个性质的证明：由公理2、3，可知 a − 1 = a − 1 ∗ a ∗ a − 1 ;   ( a − 1 ) − 1 = ( a − 1 ) − 1 ∗ ( a − 1 ) ∗ ( a − 1 ) − 1 . {\displaystyle a^{-1}=a^{-1}*a*a^{-1};\ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*(a^{-1})*(a^{-1})^{-1}.} 将1式代入2式，再应用公理3： ( a − 1 ) − 1 = ( a − 1 ) − 1 ∗ a − 1 ∗ a ∗ a − 1 ∗ ( a − 1 ) − 1 = ( a − 1 ) − 1 ∗ a − 1 ∗ a = a . {\displaystyle (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a*a^{-1}*(a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1}*a^{-1}*a=a.} 得证。 第二个性质的证明：由于定义了 a ∗ b {\displaystyle a*b} ，于是是 ( a ∗ b ) − 1 ∗ a ∗ b . {\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b.} 因此也定义了 ( a ∗ b ) − 1 ∗ a ∗ b ∗ b − 1 = ( a ∗ b ) − 1 ∗ a {\displaystyle (a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}=(a*b)^{-1}*a} 。进一步地，由于定义了 a ∗ b {\displaystyle a*b} ，有 a ∗ b ∗ b − 1 = a ,   a ∗ b ∗ b − 1 ∗ a − 1 {\displaystyle a*b*b^{-1}=a,\ a*b*b^{-1}*a^{-1}} 也定义了。由公理3可知 ( a ∗ b ) − 1 = ( a ∗ b ) − 1 ∗ a ∗ a − 1 = ( a ∗ b ) − 1 ∗ a ∗ b ∗ b − 1 ∗ a − 1 = b − 1 ∗ a − 1 . {\displaystyle (a*b)^{-1}=(a*b)^{-1}*a*a^{-1}=(a*b)^{-1}*a*b*b^{-1}*a^{-1}=b^{-1}*a^{-1}.} 得证。 J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (see chapter 2) fundamental groupoid in nLab. ncatlab.org. [2017-09-17]. （原始内容存档于2023-04-06）.  Block, Jonathan; Daenzer, Calder. Mukai duality for gerbes with connection. 2009-01-09. arXiv:0803.1529  [math.QA].  Localization and Gromov-Witten Invariants (PDF): 9. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-12）.  An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction （页面存档备份，存于互联网档案馆）; Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019. Jim Belk (2008) Puzzles, Groups, and Groupoids （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Everything Seminar The 15-puzzle groupoid (1) 互联网档案馆的存檔，存档日期2015-12-25., Never Ending Books The 15-puzzle groupoid (2) 互联网档案馆的存檔，存档日期2015-12-25., Never Ending Books Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see delooping in nLab. ncatlab.org. [2017-10-31]. （原始内容存档于2023-04-05）. . 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