一致收斂

均勻收斂，或稱均匀收敛，（英語：Uniform convergence），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 fn 一致收斂至函數 f，代表對所有定義域中的點 x，fn(x) 收斂至 f(x) 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。 當函數序列中的函數的對應域是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 時，此時均勻收歛的定義為： 讓 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 是定義在 S {\displaystyle S} 上，對應域為 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的一組函數序列，若序列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 均勻收歛至函數 f {\displaystyle f} 在集合 S {\displaystyle S} 上，即表示對所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ，使得當所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 且 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 時有 | f n ( x ) − f ( x ) | < ϵ . {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .} 可將這定義推廣到一般的度量空間： 設 S {\displaystyle S} 為一集合， ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 為度量空間。若對一組函數序列 f n : S → M {\displaystyle f_{n}:S\to M} ，存在函數 f : S → M {\displaystyle f:S\to M} 滿足 對所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ，使得當所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} 且 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 時有 d ( f n ( x ) , f ( x ) ) < ϵ , {\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,} 則稱序列 f n {\displaystyle f_{n}} 一致收斂到 f {\displaystyle f} 。 注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 N {\displaystyle N} 的選取仅与 ϵ {\displaystyle \epsilon } 相关，而在逐点收敛中 N {\displaystyle N} 还多了与點 x {\displaystyle x} 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。 例子一：對任何 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上的連續函數 f {\displaystyle f} ，考慮多項式序列 P n ( x ) := ∑ k = 0 n f ( k n ) ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k {\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}} 可證明 P n {\displaystyle P_{n}} 在區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上一致收斂到函數 f {\displaystyle f} 。其中的 b k , n ( x ) := ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k {\displaystyle b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}} 稱為伯恩斯坦多項式。 透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。 例子二：考慮區間 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} 上的函數序列 f n ( x ) := sin n ⁡ ( x ) {\displaystyle f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)} ，它逐點收斂到函數 f ( x ) = { 0 , x ≠ π / 2 1 , x = π / 2 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}} 然而這並非一致收斂。直觀地想像：當 x {\displaystyle x} 愈靠近 π / 2 {\displaystyle \pi /2} ，使 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} 接近 0 {\displaystyle 0} 所需的 n {\displaystyle n} 便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中 f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} 皆連續，而 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 不連續。 讓 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 為一組函數序列，對應域為 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } ，此時有下述性質： 連續性：若函數序列 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 均勻收歛至函數 f {\displaystyle f} ，則有： 假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 I {\displaystyle I} ，且 a {\displaystyle a} 是 I {\displaystyle I} 的中的一點。若每個 f n {\displaystyle f_{n}} 都在 a {\displaystyle a} 點連續，則 f {\displaystyle f} 也在 a {\displaystyle a} 點連續。 若对集合 I {\displaystyle I} 的每個緊緻子集 J {\displaystyle J} ，每個 f n {\displaystyle f_{n}} 都在 J {\displaystyle J} 上連續，則 f {\displaystyle f} 在 I {\displaystyle I} 上連續。 與積分的交換：令 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 為定義在緊緻區間 I {\displaystyle I} 的函數序列，且序列 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 均勻收歛至函數 f {\displaystyle f} 。若每個 f n {\displaystyle f_{n}} 都是黎曼可積，則 f {\displaystyle f} 也是黎曼可積，而且 lim n → ∞ ∫ S f n d x = ∫ S f d x . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad } 與微分的交換：可微函數序列 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 均勻收歛至函數 f {\displaystyle f} ，並不能保證 f {\displaystyle f} 是可微的，還需要對該函數序列的微分， ( f n ′ ) {\displaystyle (f'_{n})} ，做些限制，請參看以下定理： 讓 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 為定義在閉區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的可微函數序列，且存在一點 x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,b]} 使得極限 lim n → ∞ f n ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})} 存在（且有限）。若序列的微分 ( f n ′ ) {\displaystyle (f'_{n})} 在區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 一致收斂到函數 g {\displaystyle g} ，則序列 ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} 均勻收歛至函數 f {\displaystyle f} 且 f {\displaystyle f} 亦是可微函數，且有： f ′ = g = lim n → ∞ f n ′ {\displaystyle f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}} 。 所以才會用「均勻」或「一致」來形容這種模式的收歛 在勒貝格積分的框架下能得到更廣的結果。 Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2. G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918） Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X