整除规则

整除是数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除，是指乙是甲的因數，且甲是乙的整数倍数，也就是甲除以乙没有餘数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数，且余数为零的一些规则。 0：所有非0的整數之倍數。 ±1：所有整數之因數。 2和5都是10的因数，在十进制判別是否有 2 k {\displaystyle 2^{k}} 或 5 k {\displaystyle 5^{k}} 的因數只須取其最後k位，除以 2 k {\displaystyle 2^{k}} 或 5 k {\displaystyle 5^{k}} ，可除盡即是： ±2：所有偶數（0、2、4、6、8結尾）皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454 ±4：最後兩位數可以被4除盡，即是。如9898989898540→40/4＝10 ±8：若最後三位數可以被8除盡，即是。如8000、1256000、95872 ±5：查看最後一位數。如果可以被5除盡（為0或5），即是。如5454545、45454500、50 ±10：看最後一位數為0（即末两位为10的整倍数）即是。如530、73500、50 ± 2 n {\displaystyle 2^{n}} ：最後n位數可以被 2 n {\displaystyle 2^{n}} 除盡。 ± 5 n {\displaystyle 5^{n}} ：最後n位數可以被 5 n {\displaystyle 5^{n}} 除盡。 ± 10 n {\displaystyle 10^{n}} ：最後n位數字都全部是0。 上面的性质亦可推广到求余数： ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 k − 1 10 r a r ( mod 2 k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {2^{k}}}} ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 k − 1 10 r a r ( mod 5 k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {5^{k}}}} ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 k − 1 10 r a r ( mod 10 k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{k-1}10^{r}a_{r}{\pmod {10^{k}}}} 甚至非十进制下也是一样。例如十二进制：2、3、4、6都是12的因数，故某数的末k位除以 2 k {\displaystyle 2^{k}} 、 3 k {\displaystyle 3^{k}} 、 4 k {\displaystyle 4^{k}} 、 6 k {\displaystyle 6^{k}} ，所得余数与原数同余。 ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 n a r ( mod 3 ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {3}}} ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 n a r ( mod 9 ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}a_{r}{\pmod {9}}} ±3：所有位數加起來為3的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/3＝27/3＝9 ±9：所有位數加起來為9的倍數，即是。如69255：（6＋9＋2＋5＋5）/9＝27/9＝3 注意到我们现在是在十进制运算，而9＝10－1。对于任意 p {\displaystyle p} 进制的非负整数除法，当除数是 p − 1 {\displaystyle p-1} 时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。 证明： 如被除数为零，命题是平凡。 在任何 p {\displaystyle p} 进制，首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数，该数可写成 d p i {\displaystyle dp^{i}} ，其中 d {\displaystyle d} 是最高位（第 i {\displaystyle i} 位）数字、 1 ≤ d ≤ p − 1 {\displaystyle 1\leq d\leq p-1} ，而 p i {\displaystyle p^{i}} 表示后面有 i {\displaystyle i} 个零。（ p {\displaystyle p} 进制逢 p {\displaystyle p} 进一， p {\displaystyle p} 的 i {\displaystyle i} 次方自然是1后面 i {\displaystyle i} 个零。） 那么 d p i = d p i − 1 p {\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}p} ，除以 p − 1 {\textstyle p-1} 得 d p i − 1 p p − 1 = d p i − 1 ( p − 1 ) + d p i − 1 p − 1 {\textstyle {\frac {dp^{i-1}p}{p-1}}={\frac {dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}}{p-1}}} ，前项显然整除，故 d p i = d p i − 1 ( p − 1 ) + d p i − 1 ≡ d p i − 1 ( mod p − 1 ) {\textstyle dp^{i}=dp^{i-1}(p-1)+dp^{i-1}\equiv dp^{i-1}{\pmod {p-1}}} ，推论得 d p i ≡ d p 0 = d ( mod p − 1 ) {\textstyle dp^{i}\equiv dp^{0}=d{\pmod {p-1}}} 。 而任何 p {\displaystyle p} 进制正整数均可写成 ∑ i = 0 n d i p i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}p^{i}} 的形式，根据上面的结果，这个和（即是该数本身）显然与所有数字之和 ∑ i = 0 n d i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}d_{i}} 同余。证毕。 ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ ∑ r = 0 n ( − 1 ) r a r ( mod 11 ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {11}}} ±11：將其奇數位之和及偶數位之和相減，如果是0、11等11的倍數，即是。如19866→1＋8＋6－（9＋6）＝0 ±7，±11，±13：设正整数 a = ∑ r = 0 n 1000 r a r {\displaystyle a=\sum _{r=0}^{n}1000^{r}a_{r}} ， 1001 = 7 × 11 × 13 {\displaystyle 1001=7\times 11\times 13} ，所以 a ≡ ∑ r = 0 n ( − 1 ) r a r ( mod 7 ) , a ≡ ∑ r = 0 n ( − 1 ) r a r ( mod 13 ) {\displaystyle a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {7}},a\equiv \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}a_{r}{\pmod {13}}} 若a＝75312289，则a=75×1000²＋312×1000＋289，289－312＋75＝52，a能被13整除，不能被7和11整除。 若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。 ±6：同時符合±2（末位是0、2、4、6、8）和±3（相加可除盡）的條件（6＝2×3），如66、7986252、99999996 ±12：同時符合±4和±3（相加可除盡）的條件（12＝ 2 2 {\displaystyle 2^{2}} ×3），如60 ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ a 0 + 10 ∑ r = 1 n 10 r − 1 a r ( mod k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}{\pmod {k}}} ±7：将个位前的数字乘以3再与个位数相加，得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7 ±13：将个位前的数字乘以3再与个位数相减，得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0 ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ a 0 + 10 a 1 + 100 ∑ r = 2 n 10 r − 2 a r ( mod k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv a_{0}+10a_{1}+100\sum _{r=2}^{n}10^{r-2}a_{r}{\pmod {k}}} ±23：将十位前的数字乘以15再与末兩位数相减，得出23的倍数即23的倍数。如207→23 ±31：将十位前的数字乘以7再与末兩位数相加，得出31的倍数即31的倍数。如155→62 ±37：将十位前的数字乘以11再与末兩位数相减，得出37的倍数即37的倍数。如333→0 若 ∑ r = 0 n 10 r a r ≡ 0 ( mod k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}10^{r}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}} ，且 10 x ≡ 1 ( mod k ) {\displaystyle 10x\equiv 1{\pmod {k}}} 則 a 0 + 10 ∑ r = 1 n 10 r − 1 a r ≡ x a 0 + ∑ r = 1 n 10 r − 1 a r ≡ 0 ( mod k ) {\displaystyle a_{0}+10\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv xa_{0}+\sum _{r=1}^{n}10^{r-1}a_{r}\equiv 0{\pmod {k}}} ±7：将个位数乘以2再与个位前的数字相減，得出7的倍数即7的倍数。如154→7 ±19：将个位数乘以2再与个位前的数字相加，得出19的倍数即19的倍数。如152→19 除法、短除法 因数 同余 闵嗣鹤 严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.