隐函数定理

在数学分析中，隐函数定理是一個用來回答下面的問題的工具：以隐函数表示的多變量函數，這函數的變量在局部上是否存在显式的关系？隐函数定理说明，对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数，如果它在某一点的偏微分满足某些条件，则在该点有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数： y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} 这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。 舉一個簡單例子：假設兩個變量 x, y 滿足隱函數 x2 + y2 − 1 = 0，此隱函數代表了平面上的單位圓，任取單位圓中的一點，那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形？ 答案是：除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外，其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。 有函數 f ( x , y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}} ，那么方程式 f ( x , y ) − 1 = 0 {\displaystyle f(x,y)-1=0} 的所有解的集合构成平面上的单位圆。圆上的点整體上是无法表示成單變數函數 y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} 的形式的，因为每个 x ∈ ( − 1 , 1 ) , {\displaystyle x\in (-1,1),} 都有两个 y {\displaystyle y} 的值与之对应，即 ± 1 − x 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}} 。 然而在某些點附近，局部地用 x {\displaystyle x} 來表示 y {\displaystyle y} 是可能的。比如给定圆上一点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ，如果 y > 0 {\displaystyle y>0} ，也就是说如果只選取圓的上半部分的话，在这一点附近 y {\displaystyle y} 可以写成关于 x {\displaystyle x} 的函数： y = 1 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} 。如果 y < 0 {\displaystyle y<0} ，在圓的下半部分 y {\displaystyle y} 也可以写成关于 x {\displaystyle x} 的函数： y = − 1 − x 2 {\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}} 。 但是，在点 ( ± 1 , 0 ) {\displaystyle (\pm 1,0)} 的附近， y {\displaystyle y} 无法写成关于 x {\displaystyle x} 的函数，因为這些點的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，也就是說对于附近的每一个 x {\displaystyle x} ，都有两个 y {\displaystyle y} 的值与之对应，這種情況下 y {\displaystyle y} 無法寫成 x {\displaystyle x} 的函數。 设 f : Rn+m → Rm 为一个连续可微函数。这里Rn+m 被看作是两个空间的直积： Rn×Rm，于是 Rn+m 中的一个元素写成 (x,y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym) 的形式。 我們的目標是找到一個函數 h: Rn → Rm ，讓這函數的圖形(graph of a function), (x, h(x)), 局部上恰好等於集合{ (x, y) | f(x,y) = 0}，當然這目標不見得一定可以達成，接下來我們會看需要哪些條件來保證函數 h 的局部存在。 固定一点(a,b) = (a1, ..., an, b1, ..., bm) 使得 f(a, b) = 0，我們希望在點 (a,b) 的附近找到一個 y 关于 x 的函数 h，严格来说，就是说存在 a 的鄰域 U ⊆ Rn 和 b 的邻域 V ⊆ Rm 以及函數：h : U → V，使得 h 的函數的圖形 (x, h(x)) 剛好等於 U × V 中 f(x,y) = 0 的集合，也就是說： { ( x , h ( x ) ) ∣ x ∈ U } = { ( x , y ) ∈ U × V ∣ f ( x , y ) = 0 } {\displaystyle \{(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}} 。 要保證这样的函数 h 存在，函数 f 的雅可比矩阵要满足某些性質。对于给定的一点 (a,b)，f 的雅可比矩阵写作： ( D f ) ( a , b ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( a , b ) | ∂ f 1 ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f 1 ∂ y m ( a , b ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ y 1 ( a , b ) ⋯ ∂ f m ∂ y m ( a , b ) ] = [ X | Y ] {\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]} 其中的矩阵 X {\displaystyle X} 是函數 f 关于變數 x 的偏微分，而矩陣 Y {\displaystyle Y} 是 f 关于變數 y 的偏微分。隐函数定理说明了：如果 Y {\displaystyle Y} 是一个可逆矩阵的话，那么满足前面性质的鄰域 U、V 和函数 h(x) 就会存在。正式的敘述就是： 设 f : Rn+m → Rm 为连续可微函数，讓 Rn+m 中的坐标记为 (x, y), (x, y) = (x1, ..., xn, y1, ..., ym)。给定一点  (a1, ..., an, b1, ..., bm) = (a,b) 使得   f(a,b)=0（0 ∈ Rm，是個零向量）。如果 m×m 矩陣 [(∂fi / ∂yj)(a, b) 是可逆矩阵的话（此矩陣即上面的矩陣 Y {\displaystyle Y} ），那么存在 a 的邻域 U ⊆ Rn、b 的邻域 V ⊆ Rm 以及唯一的连续可微函数 h:U → V，使得 h ( a ) = b {\displaystyle h(\mathbf {a} )=\mathbf {b} } 且 f ( x , h ( x ) ) = 0 , {\displaystyle f(\mathbf {x} ,h(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ,\,\,} 對所有的  x ∈ U {\displaystyle \mathbf {x} \in U} 。 设 E 1 {\displaystyle E_{1}} 、 E 2 {\displaystyle E_{2}} 和 F {\displaystyle F} 是三个巴拿赫空间，而 U {\displaystyle U} 、 V {\displaystyle V} 分别是 E 1 {\displaystyle E_{1}} 、 E 2 {\displaystyle E_{2}} 上的两个开集。设函数： f : U × V → F {\displaystyle f:U\times V\rightarrow F} 是一個 k   ( k ≥ 1 ) {\displaystyle k~(k\geq 1)} 階可微函數（見Fréchet導數（英语：Fréchet derivative）），并且对于 E 1 × E 2 {\displaystyle E_{1}\times E_{2}} 中的一点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} ，满足： f ( x 0 , y 0 ) = 0 {\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0} 映射 y ↦ ( D f ( x 0 , y 0 ) ) ( 0 , y ) {\displaystyle y\mapsto (Df(x_{0},y_{0}))(0,y)} 是一個從 E 2 {\displaystyle E_{2}} 到 F {\displaystyle F} 的同構 那么有如下结论： 存在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域 U 0 ⊂ U {\displaystyle U_{0}\subset U} 、 y 0 {\displaystyle y_{0}} 的邻域 V 0 ⊂ V {\displaystyle V_{0}\subset V} ，以及 k {\displaystyle k} 階Fréchet可微函數 φ : U 0 → V 0 {\displaystyle \varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}} ，使得： 对任意 ( x , y ) ∈ U 0 × V 0 {\displaystyle (x,y)\in U_{0}\times V_{0}} ，只要 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ，就有 y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} 。 反函数定理 不动点定理 压缩映射定理 微分 （英文）Arne Hallam. 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