斯特灵数

在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由詹姆士·史特靈（英语：James Stirling (mathematician)）引入並以其命名，以第一類史特靈數（英语：Stirling numbers of the first kind）和第二類史特靈數（英语：Stirling numbers of the second kind）的稱呼區分。此外，有時候也將拉赫數（英语：Lah number）稱爲第三類史特靈數。 第一類史特靈數（英语：Stirling numbers of the first kind）可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數，即 ( x ) n = ∑ k = 0 n s ( n , k ) x k {\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}s(n,k)x^{k}\,} 其中， s ( n , k ) {\displaystyle s(n,k)\,} （ 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n\,} ）即爲第一類史特靈數。例如： ( x ) 3 = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle (x)_{3}=x(x-1)(x-2)\,} 則 ( x ) 3 = 0 ⋅ x 0 + 2 ⋅ x − 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 {\displaystyle (x)_{3}=0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}\,} 於是 s ( 3 , 0 ) = 0 {\displaystyle s(3,0)=0\,} ， s ( 3 , 1 ) = 2 {\displaystyle s(3,1)=2\,} ， s ( 3 , 2 ) = − 3 {\displaystyle s(3,2)=-3\,} ， s ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle s(3,3)=1\,} 。 由此可知， s ( n , k ) {\displaystyle s(n,k)\,} 是代數數，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。 有符號史特靈數的絕對值 | s ( n , k ) | {\displaystyle |s(n,k)|\,} 可以看作（或直接定義爲）把 n {\displaystyle n\,} 個元素排列成 k {\displaystyle k\,} 個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以 | s ( n , k ) | {\displaystyle |s(n,k)|\,} 是算術數，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲 c ( n , k ) {\displaystyle c(n,k)\,} 或 [ n k ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} 。例如：把 1 {\displaystyle 1\,} ， 2 {\displaystyle 2\,} ， 3 {\displaystyle 3\,} 三個數排列成 0 {\displaystyle 0\,} 個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成 1 {\displaystyle 1\,} 個非空圓圈，有 ( 1 2 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\2&&3\end{matrix}}\right)\,} ， ( 1 3 2 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}&1&\\3&&2\end{matrix}}\right)\,} 兩種方法；排列成 2 {\displaystyle 2\,} 個非空圓圈，有 ( 1 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,} ( 2 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}2&3\end{matrix}}\right)\,} ， ( 1 2 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&2\end{matrix}}\right)\,} ( 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,} 和 ( 1 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1&3\end{matrix}}\right)\,} ( 2 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,} 三種方法；排列成 3 {\displaystyle 3\,} 個非空圓圈，有 ( 1 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}1\end{matrix}}\right)\,} ( 2 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}2\end{matrix}}\right)\,} ( 3 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}3\end{matrix}}\right)\,} 一種方法，所以 [ 3 0 ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]=0\,} [ 3 1 ] = 2 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]=2\,} ， [ 3 2 ] = 3 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]=3\,} ， [ 3 3 ] = 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]=1\,} 。可以看到這和前面有符號史特靈數 s ( n , k ) {\displaystyle s(n,k)\,} 在 n = 3 {\displaystyle n=3\,} 時的結果一致（只是符號差異）。 與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數，即 ( x ) n ¯ = ∑ k = 0 n [ n k ] x k {\displaystyle (x)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]x^{k}\,} 其中， [ n k ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} （ 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n\,} ）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號 [ n k ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} 有時候會用來表示高斯二项式系数。 有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係： s ( n , k ) = ( − 1 ) n − k [ n k ] {\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} 無符號史特靈數有更多的應用。例如，將 n {\displaystyle n\,} 個元素分成 k {\displaystyle k\,} 組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數 [ n k ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} 求得。以 [ 4 2 ] = 11 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]=11\,} 爲例： (A,B)(C,D) (A,C)(B,D) (A,D)(B,C) (A)(B,C,D) (A)(B,D,C) (B)(A,C,D) (B)(A,D,C) (C)(A,B,D) (C)(A,D,B) (D)(A,B,C) (D)(A,C,B) 或用有向圖[來源請求]表示如下： 無符號史特靈數有如下遞推關係式： [ n + 1 k ] = n [ n k ] + [ n k − 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right]=n\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right]\,} 其中， k > 0 {\displaystyle k>0} ，且初始條件爲 [ 0 0 ] = 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,} ， [ n 0 ] = [ 0 n ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right]=0\,} （ n > 0 {\displaystyle n>0} ）。 有符號史特靈數有如下遞推關係式： s ( n + 1 , k ) = − n s ( n , k ) + s ( n , k − 1 ) {\displaystyle s(n+1,k)=-ns(n,k)+s(n,k-1)} 下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式： s ( n , k ) = ( − 1 ) n − k [ n k ] {\displaystyle s(n,k)=(-1)^{n-k}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\,} 求得。 觀察前面的“第一類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質： [ 0 0 ] = 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right]=1\,} ， [ n 0 ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right]=0\,} （ n > 0 {\displaystyle n>0\,} ）。 如果 k > 0 {\displaystyle k>0\,} ，我們有 [ 0 k ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right]=0\,} ； 或更一般地，如果 k > n {\displaystyle k>n\,} ，我們有 [ n k ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=0\,} 。 還有 [ n 1 ] = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right]=(n-1)!\,} ， [ n n ] = 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right]=1\,} ， [ n n − 1 ] = ( n 2 ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right]={n \choose 2}\,} ， [ n n − 2 ] = 1 4 ( 3 n − 1 ) ( n 3 ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right]={\frac {1}{4}}(3n-1){n \choose 3}\,} ， [ n n − 3 ] = ( n 2 ) ( n 4 ) {\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right]={n \choose 2}{n \choose 4}\,} 。 注：這裏記號 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}\,} 表示组合数。 第二類史特靈數（英语：Stirling numbers of the second kind）與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義爲 x n = ∑ k = 0 n { n k } ( x ) k {\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k}\,} 其中， { n k } {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,} 即爲第二類史特靈數，也可以記爲 S ( n , k ) {\displaystyle S(n,k)\,} 。例如： x 3 = { 3 0 } ( x ) 0 + { 3 1 } ( x ) 1 + { 3 2 } ( x ) 2 + { 3 3 } ( x ) 3 {\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}(x)_{0}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}(x)_{1}+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}(x)_{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}(x)_{3}\,} 即 x 3 = { 3 0 } + { 3 1 } x + { 3 2 } x ( x − 1 ) + { 3 3 } x ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}x+\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}x(x-1)+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x(x-1)(x-2)\,} 將遞降階乘展開並合併同類項，得 x 3 = { 3 0 } + ( { 3 1 } − { 3 2 } + 2 { 3 3 } ) x + ( { 3 2 } − 3 { 3 3 } ) x 2 + { 3 3 } x 3 {\displaystyle x^{3}=\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x+\left(\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}\right)x^{2}+\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}x^{3}\,} 比較等式兩邊係數，得 { { 3 0 } = 0 { 3 1 } − { 3 2 } + 2 { 3 3 } = 0 { 3 2 } − 3 { 3 3 } = 0 { 3 3 } = 1 {\displaystyle {\begin{cases}\left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}-\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}+2\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}-3\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=0\\\left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\end{cases}}\,} 解得 { 3 0 } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,} ， { 3 1 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { 3 2 } = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,} ， { 3 3 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,} 。 第二類史特靈數計算的是將含有 n {\displaystyle n\,} 個元素的集合拆分爲 k {\displaystyle k\,} 個非空子集的方法數目。例如：對於集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,} ，若拆分爲 0 {\displaystyle 0\,} 個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲 1 {\displaystyle 1\,} 個非空子集，只有 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,} 一種方法；拆分爲 2 {\displaystyle 2\,} 個非空子集，有 { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}\,} { 2 , 3 } {\displaystyle \left\{2,3\right\}\,} ， { 1 , 2 } {\displaystyle \left\{1,2\right\}\,} { 3 } {\displaystyle \left\{3\right\}\,} ， { 2 } {\displaystyle \left\{2\right\}\,} { 1 , 3 } {\displaystyle \left\{1,3\right\}\,} 三種方法；拆分爲 3 {\displaystyle 3\,} 個非空子集，有 { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}\,} { 2 } {\displaystyle \left\{2\right\}\,} { 3 } {\displaystyle \left\{3\right\}\,} 一種方法。於是 { 3 0 } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right\}=0\,} ， { 3 1 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { 3 2 } = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\,} ， { 3 3 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right\}=1\,} 。 第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算： { n k } = 1 k ! ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) ( k − i ) n {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right)(k-i)^{n}\,} 取 { 3 2 } {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,} 進行驗算，有 { 3 2 } = 1 2 ! ∑ i = 0 2 ( − 1 ) i ( 2 i ) ( 2 − i ) 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2!}}\sum _{i=0}^{2}(-1)^{i}\left({\begin{matrix}2\\i\end{matrix}}\right)(2-i)^{3}\,} 即 { 3 2 } = 1 2 ( ( 2 0 ) × 2 3 − ( 2 1 ) × 1 3 + ( 2 2 ) × 0 3 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(\left({\begin{matrix}2\\0\end{matrix}}\right)\times 2^{3}-\left({\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\times 1^{3}+\left({\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right)\times 0^{3}\right)\,} 於是 { 3 2 } = 1 2 ( 1 × 8 − 2 × 1 + 1 × 0 ) = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}\left(1\times 8-2\times 1+1\times 0\right)=3\,} 將 n {\displaystyle n\,} 個人分成 k {\displaystyle k\,} 組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成 1 {\displaystyle 1\,} 組，只能所有人在同一組，因此 { 4 1 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\1\end{matrix}}\right\}=1\,} ；若所有人分成 4 {\displaystyle 4\,} 組，只能每人獨立一組，因此 { 4 4 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\4\end{matrix}}\right\}=1\,} ；若分成 2 {\displaystyle 2\,} 組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即： {甲, 乙}{丙, 丁} {甲, 丙}{乙,丁} {甲, 丁}{乙, 丙} {甲}{乙, 丙, 丁} {乙}{甲, 丙, 丁} {丙}{甲, 乙, 丁} {丁}{甲, 乙, 丙} 因此 { 4 2 } = 7 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right\}=7\,} 。同理，可以得到 { 4 3 } = 6 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}4\\3\end{matrix}}\right\}=6\,} 。 第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式： { n + 1 k } = k { n k } + { n k − 1 } {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}\right\}=k\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}+\left\{{\begin{matrix}n\\k-1\end{matrix}}\right\}\,} 其中， k > 0 {\displaystyle k>0} ，且初始條件爲 { 0 0 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { n 0 } = { 0 n } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=\left\{{\begin{matrix}0\\n\end{matrix}}\right\}=0\,} （ n > 0 {\displaystyle n>0} ）。 下面爲部分第二類史特靈數： 觀察前面的“第二類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質： { 0 0 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { n 0 } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\0\end{matrix}}\right\}=0\,} （ n > 0 {\displaystyle n>0\,} ）。 如果 k > 0 {\displaystyle k>0\,} ，我們有 { 0 k } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}0\\k\end{matrix}}\right\}=0\,} ； 或更一般地，如果 k > n {\displaystyle k>n\,} ，我們有 { n k } = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=0\,} 。 還有 { n 1 } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\1\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { n 2 } = 2 n − 1 − 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\2\end{matrix}}\right\}=2^{n-1}-1\,} ， { n 3 } = 1 2 ( 3 n − 1 + 1 ) − 2 n − 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\3\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{2}}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\,} ， { n n } = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n\end{matrix}}\right\}=1\,} ， { n n − 1 } = ( n 2 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-1\end{matrix}}\right\}={n \choose 2}\,} ， { n n − 2 } = ( n 3 ) + 3 ( n 4 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-2\end{matrix}}\right\}={n \choose 3}+3{n \choose 4}\,} ， { n n − 3 } = ( n 4 ) + 10 ( n 5 ) + 15 ( n 6 ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\n-3\end{matrix}}\right\}={n \choose 4}+10{n \choose 5}+15{n \choose 6}\,} 。 貝爾數和第二類史特靈數有如下關係： B n = ∑ k = 0 n { n k } {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}\,} 第一類和第二類史特靈數可以看作互爲逆矩陣的關係： ∑ j ≥ 0 s ( n , j ) S ( j , k ) = ∑ j ≥ 0 ( − 1 ) n − j [ n j ] { j k } = δ n k ∑ j ≥ 0 s ( n , j ) S ( j , k ) = ∑ j ≥ 0 ( − 1 ) n − j [ n j ] { j k } = δ n k {\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}s(n,j)S(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{n-j}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j\\k\end{Bmatrix}}=\delta _{nk}\,} 以及 ∑ j ≥ 0 S ( n , j ) s ( j , k ) = ∑ j ≥ 0 ( − 1 ) j − k { n j } [ j k ] = δ n k ∑ j ≥ 0 S ( n , j ) s ( j , k ) = ∑ j ≥ 0 ( − 1 ) j − k { n j } [ j k ] = δ n k {\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}}{\displaystyle \sum _{j\geq 0}S(n,j)s(j,k)=\sum _{j\geq 0}(-1)^{j-k}{\begin{Bmatrix}n\\j\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}j\\k\end{bmatrix}}=\delta _{nk}\,} 其中， δ n k {\displaystyle \delta _{nk}\,} 是克羅內克爾δ。 拉赫數（英语：Lah number）是由伊沃·拉赫（英语：Ivo Lah）在1954年發現的，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲第三類史特靈數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲 x ( n ) = ∑ k = 0 n L ( n , k ) ( x ) k {\displaystyle x^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,} 或 ( x ) n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k L ( n , k ) x ( k ) {\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}L(n,k)x^{(k)}\,} 其中， L ( n , k ) {\displaystyle L(n,k)\,} 即爲拉赫數。例如： x ( 3 ) = ∑ k = 0 3 L ( 3 , k ) ( x ) k {\displaystyle x^{(3)}=\sum _{k=0}^{3}L(3,k)(x)_{k}\,} 即 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) = L ( 3 , 0 ) ⋅ 1 + L ( 3 , 1 ) ⋅ x + L ( 3 , 2 ) ⋅ x ( x − 1 ) + L ( 3 , 3 ) ⋅ x ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle x(x+1)(x+2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x-1)+L(3,3)\cdot x(x-1)(x-2)\,} 等式兩邊展開並合併同類項，得 0 ⋅ x 0 + 2 ⋅ x + 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = L ( 3 , 0 ) + [ L ( 3 , 1 ) − L ( 3 , 2 ) + 2 L ( 3 , 3 ) ] ⋅ x + [ L ( 3 , 2 ) − 3 L ( 3 , 3 ) ] ⋅ x 2 + L ( 3 , 3 ) ⋅ x 3 {\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x+3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[L(3,2)-3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,} 比較等式兩邊係數，得 { L ( 3 , 0 ) = 0 L ( 3 , 1 ) − L ( 3 , 2 ) + 2 L ( 3 , 3 ) = 2 L ( 3 , 2 ) − 3 L ( 3 , 3 ) = 3 L ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{L(3,2)-3L(3,3)=3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,} 解得 L ( 3 , 0 ) = 0 {\displaystyle L(3,0)=0\,} ， L ( 3 , 1 ) = 6 {\displaystyle L(3,1)=6\,} ， L ( 3 , 2 ) = 6 {\displaystyle L(3,2)=6\,} ， L ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle L(3,3)=1\,} 。 或 ( x ) 3 = ∑ k = 0 3 ( − 1 ) 3 − k L ( 3 , k ) x ( 3 ) {\displaystyle (x)_{3}=\sum _{k=0}^{3}(-1)^{3-k}L(3,k)x^{(3)}\,} 即 x ( x − 1 ) ( x − 2 ) = L ( 3 , 0 ) ⋅ 1 + L ( 3 , 1 ) ⋅ x + L ( 3 , 2 ) ⋅ x ( x + 1 ) + L ( 3 , 3 ) ⋅ x ( x + 1 ) ( x + 2 ) {\displaystyle x(x-1)(x-2)=L(3,0)\cdot 1+L(3,1)\cdot x+L(3,2)\cdot x(x+1)+L(3,3)\cdot x(x+1)(x+2)\,} 等式兩邊展開並合併同類項，得 0 ⋅ x 0 + 2 ⋅ x − 3 ⋅ x 2 + 1 ⋅ x 3 = − L ( 3 , 0 ) + [ L ( 3 , 1 ) − L ( 3 , 2 ) + 2 L ( 3 , 3 ) ] ⋅ x + [ − L ( 3 , 2 ) + 3 L ( 3 , 3 ) ] ⋅ x 2 + L ( 3 , 3 ) ⋅ x 3 {\displaystyle 0\cdot x^{0}+2\cdot x-3\cdot x^{2}+1\cdot x^{3}=-L(3,0)+[L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)]\cdot x+[-L(3,2)+3L(3,3)]\cdot x^{2}+L(3,3)\cdot x^{3}\,} 比較等式兩邊係數，得 { L ( 3 , 0 ) = 0 L ( 3 , 1 ) − L ( 3 , 2 ) + 2 L ( 3 , 3 ) = 2 − L ( 3 , 2 ) + 3 L ( 3 , 3 ) = − 3 L ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle {\begin{cases}{L(3,0)=0}\\{L(3,1)-L(3,2)+2L(3,3)=2}\\{-L(3,2)+3L(3,3)=-3}\\{L(3,3)=1}\end{cases}}\,} 解得 L ( 3 , 0 ) = 0 {\displaystyle L(3,0)=0\,} ， L ( 3 , 1 ) = 6 {\displaystyle L(3,1)=6\,} ， L ( 3 , 2 ) = 6 {\displaystyle L(3,2)=6\,} ， L ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle L(3,3)=1\,} 。 以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下： x ( n ) = ( − 1 ) n ∑ k = 0 n L ( n , k ) ( x ) k {\displaystyle x^{(n)}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(x)_{k}\,} 或 ( x ) n = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k L ( n , k ) x ( k ) {\displaystyle (x)_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}L(n,k)x^{(k)}\,} 無符號拉赫數計算的是將含有 n {\displaystyle n\,} 個元素的集合拆分爲 k {\displaystyle k\,} 個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \left\{1,2,3\right\}\,} ，若拆分爲 0 {\displaystyle 0\,} 個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲 1 {\displaystyle 1\,} 個非空線性有序子集，有 { ( 1 , 2 , 3 ) } {\displaystyle \left\{(1,2,3)\right\}\,} ， { ( 1 , 3 , 2 ) } {\displaystyle \left\{(1,3,2)\right\}\,} ， { ( 2 , 1 , 3 ) } {\displaystyle \left\{(2,1,3)\right\}\,} ， { ( 2 , 3 , 1 ) } {\displaystyle \left\{(2,3,1)\right\}\,} ， { ( 3 , 1 , 2 ) } {\displaystyle \left\{(3,1,2)\right\}\,} ， { ( 3 , 2 , 1 ) } {\displaystyle \left\{(3,2,1)\right\}\,} 六種方法；拆分爲 2 {\displaystyle 2\,} 個非空線性有序子集，有 { ( 1 ) } {\displaystyle \left\{(1)\right\}\,} { ( 2 , 3 ) } {\displaystyle \left\{(2,3)\right\}\,} ， { ( 1 ) } {\displaystyle \left\{(1)\right\}\,} { ( 3 , 2 ) } {\displaystyle \left\{(3,2)\right\}\,} ， { ( 2 ) } {\displaystyle \left\{(2)\right\}\,} { ( 1 , 3 ) } {\displaystyle \left\{(1,3)\right\}\,} ， { ( 2 ) } {\displaystyle \left\{(2)\right\}\,} { ( 3 , 1 ) } {\displaystyle \left\{(3,1)\right\}\,} ， { ( 3 ) } {\displaystyle \left\{(3)\right\}\,} { ( 1 , 2 ) } {\displaystyle \left\{(1,2)\right\}\,} ， { ( 3 ) } {\displaystyle \left\{(3)\right\}\,} { ( 2 , 1 ) } {\displaystyle \left\{(2,1)\right\}\,} 六種方法；拆分爲 3 {\displaystyle 3\,} 個非空線性有序子集，有 { ( 1 ) } {\displaystyle \left\{(1)\right\}\,} ， { ( 2 ) } {\displaystyle \left\{(2)\right\}\,} ， { ( 3 ) } {\displaystyle \left\{(3)\right\}\,} 一種方法。於是 L ( 3 , 0 ) = 0 {\displaystyle L(3,0)=0\,} ， L ( 3 , 1 ) = 6 {\displaystyle L(3,1)=6\,} ， L ( 3 , 2 ) = 6 {\displaystyle L(3,2)=6\,} ， L ( 3 , 3 ) = 1 {\displaystyle L(3,3)=1\,} 。 無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算： L ( n , k ) = ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! {\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,} 有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算： L ′ ( n , k ) = ( − 1 ) n ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! {\displaystyle L'(n,k)=(-1)^{n}{n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}\,} 無符號拉赫數有如下遞推關係： L ( n , k + 1 ) = n − k k ( k + 1 ) L ( n , k ) {\displaystyle L(n,k+1)={\frac {n-k}{k(k+1)}}L(n,k)} 或 L ( n + 1 , k ) = ( n + k ) L ( n , k ) + L ( n , k − 1 ) {\displaystyle L(n+1,k)=(n+k)L(n,k)+L(n,k-1)\,} 其中， L ( n , 0 ) = 0 {\displaystyle L(n,0)=0\,} ， L ( n , 0 ) = 0 {\displaystyle L(n,0)=0\,} ， L ( n , k ) = 0 {\displaystyle L(n,k)=0\,} （ k > n {\displaystyle k>n\,} ）， L ( 1 , 1 ) = 1 {\displaystyle L(1,1)=1\,} 下面爲部分無符號拉赫數： 觀察前面的“拉赫數表”，我們可以得到一些簡單性質： L ( 0 , 0 ) = 1 {\displaystyle L(0,0)=1} ， L ( n , 0 ) = 0 {\displaystyle L(n,0)=0} （ n > 0 {\displaystyle n>0} ） 如果 k > n {\displaystyle k>n} ，有 L ( 0 , 0 ) = 1 {\displaystyle L(0,0)=1} ， L ( n , k ) = 0 {\displaystyle L(n,k)=0} 還有 L ( n , 1 ) = n ! {\displaystyle L(n,1)=n!} L ( n , 2 ) = ( n − 1 ) n ! 2 {\displaystyle L(n,2)={\frac {(n-1)n!}{2}}} L ( n , 3 ) = ( n − 2 ) ( n − 1 ) n ! 12 {\displaystyle L(n,3)={\frac {(n-2)(n-1)n!}{12}}} L ( n , n − 1 ) = n ( n − 1 ) {\displaystyle L(n,n-1)=n(n-1)} L ( n , n ) = 1 {\displaystyle L(n,n)=1} ∑ n ≥ k L ( n , k ) x n n ! = 1 k ! ( x 1 − x ) k {\displaystyle \sum _{n\geq k}L(n,k){\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {1}{k!}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}} 無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展： L ( n , k ) = ( n − 1 k − 1 ) n ! k ! = ( n k ) ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! = ( n k ) ( n − 1 k − 1 ) ( n − k ) ! {\displaystyle L(n,k)={n-1 \choose k-1}{\frac {n!}{k!}}={n \choose k}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}={n \choose k}{n-1 \choose k-1}(n-k)!} L ( n , k ) = n ! ( n − 1 ) ! k ! ( k − 1 ) ! ⋅ 1 ( n − k ) ! = ( n ! k ! ) 2 k n ( n − k ) ! {\displaystyle L(n,k)={\frac {n!(n-1)!}{k!(k-1)!}}\cdot {\frac {1}{(n-k)!}}=\left({\frac {n!}{k!}}\right)^{2}{\frac {k}{n(n-k)!}}} 無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下： L ( n , k ) = ∑ j = 0 n [ n j ] { j k } {\displaystyle L(n,k)=\sum _{j=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\k\end{matrix}}\right\}\,} 取 L ( 3 , 2 ) {\displaystyle L(3,2)\,} 進行驗算，有 L ( 3 , 2 ) = ∑ j = 0 3 [ 3 j ] { j 2 } {\displaystyle L(3,2)=\sum _{j=0}^{3}\left[{\begin{matrix}3\\j\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}j\\2\end{matrix}}\right\}\,} 即 L ( 3 , 2 ) = [ 3 0 ] { 0 2 } + [ 3 1 ] { 1 2 } + [ 3 2 ] { 2 2 } + [ 3 3 ] { 3 2 } {\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\0\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}0\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\1\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}1\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}\,} 於是 L ( 3 , 2 ) = [ 3 2 ] { 2 2 } + [ 3 3 ] { 3 2 } = 3 × 1 + 1 × 3 = 6 {\displaystyle L(3,2)=\left[{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}2\\2\end{matrix}}\right\}+\left[{\begin{matrix}3\\3\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}3\\2\end{matrix}}\right\}=3\times 1+1\times 3=6\,} 由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有 ∑ j ≥ 0 L ( n , j ) L ( j , k ) = δ n k {\displaystyle \sum _{j\geq 0}L(n,j)L(j,k)=\delta _{nk}\,} 其中， δ n k {\displaystyle \delta _{nk}\,} 是克羅內克爾δ。 三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示： Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav. Handbook of Number Theory II. Kluwer Academic Publishers. 2004: 464. ISBN 9781402025464.  Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers. Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962). : 530–532,. JSTOR 2311194..  Antonio Salmeri (编). Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962). : pp. 44–54.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Knuth, D.E. (1992) (编). "Two notes on notation", Amer. Math. Monthly, 99. : 403-422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211 . doi:10.2307/2325085.  Brualdi,R.A. (编). 组合数学（原书第5版）. 由冯速等人翻译. 北京: 机械工业出版社. 2012.4: 176页. ISBN 978-7-111-37787-0.  请检查|date=中的日期值 (帮助) Weisstein, Eric W. (编). "Stirling Number of the Second Kind". at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-06]. （原始内容存档于2019-06-06） （英语）.  Lah, Ivo. A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics 9. 1954: 7–15.  |journal=被忽略 (帮助) John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Princeton University Press (1958, reissue 1980) ISBN 978-0-691-02365-6 (reprinted again in 2002 by Dover Publications). Petkovsek, Marko; Pisanski, Tomaz. Combinatorial Interpretation of Unsigned Stirling and Lah Numbers 12. Fall 2007: 417–424. JSTOR 24340704.  |journal=被忽略 (帮助); |number=被忽略 (帮助) Comtet, Louis. Advanced Combinatorics. Dordrecht, Holland: Reidel. 1974: 156.