積分常數

積分常數是（英語：Constant of integration）指在微積分中，函數的不定積分表示式中會出現的一個待定常數，一般會用C表示，一函數的反導數有無窮多個，但其中除了積分常數不同外，其餘部份均相同。 任何常數函數的導數均為零，因此只要發現一個函數的反導數 F ( x ) {\displaystyle F(x)} ，因為 ( F ( x ) + C ) ′ = F ′ ( x ) + C ′ = F ′ ( x ) {\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)} ，加上或減去一常數C後的函數也是反導數，積分常數可用來表示任何函數均有無限個不同的反導數。 例如，假設需要求得 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 的反導數， sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} 、 sin ⁡ ( x ) + 1 {\displaystyle \sin(x)+1} 及 sin ⁡ ( x ) − π {\displaystyle \sin(x)-\pi } 的導數都是 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} ，因此都是 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 的反導數。 同一個函數可以有許多的反導數，而這些反導數之間只相差一個常數，因此若要列出 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 所有的反導數，可以用以下的通式： ∫ cos ⁡ ( x ) d x = sin ⁡ ( x ) + C . {\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.} C即為積分常數，利用下式可以確認這些函數的確都是 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 的反導數： d d x [ sin ⁡ ( x ) + C ] = d d x [ sin ⁡ ( x ) ] + d d x [ C ] = cos ⁡ ( x ) + 0 = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}} 若利用線性代數的描述方式，微分算子可將k+1維的向量映射到k維的空間中，因此其反運算（積分）會多一個待確定的條件。 積分常數可以設為0，而且利用微積分基本定理計算定積分時，積分常數會互相抵消，積分常數看似沒有必要。 不過試圖將積分常數設為0的作法不一定合理，例如 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)} 可以用以二種方式積分： ∫ 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = sin 2 ⁡ ( x ) + C = − cos 2 ⁡ ( x ) + 1 + C ∫ 2 sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x = − cos 2 ⁡ ( x ) + C = sin 2 ⁡ ( x ) − 1 + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C\end{aligned}}} 即使將C設為0，仍然有些積分表示式中會出現常數，也就是說有些函數不存在一種最簡單的反導數。 使用積分常數的另一個原因，是有時會需要反導數在特定點為某特定值，就像是初值問題的情形一様。例如要求出 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} 的反導數，且x = π時的值為100，此時C只有一個數值才能滿足此條件（此例中C = 100）。 上述限制可以用微分方程的形式來描述：求解一個函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的反導數也就是求解微分方程 d y d x = f ( x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)} 。任何微分方程都有許多的解，每一個解都是一個良態初值問題的唯一解。上一段的問題中x = π時的值為100即為初始條件。每一個初值問題對應一個唯一的C值，若沒有積分常數C，許多初值問題就無法求解。 原因可以用以下定理來表示：令 F : R → R {\displaystyle F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 及 G : R → R {\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 為二個處處可微的函數。假設對於所有的實數x， F ′ ( x ) = G ′ ( x ) {\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)} 都成立，則存在一實數C使得對於所有的實數x， F ( x ) − G ( x ) = C {\displaystyle F(x)-G(x)=C} 皆成立。 若要證明此式，由於 [ F ( x ) − G ( x ) ] ′ = 0 {\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0} ，因此以下用F-G來代替F，而用常數函數0來代替G，待證明為一個處處可微，導數恆為0的函數一定是常數： 選擇一實數a，令 C = F ( a ) {\displaystyle C=F(a)} 。針對任意的x，依照微積分基本定理可得 ∫ a x 0 d t = F ( x ) − F ( a ) = F ( x ) − C , {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{x}0\,dt&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}} 因此可得 F ( x ) = C {\displaystyle F(x)=C} ，因此F為常數函數。 證明過程中，有二個條件相當重要。首先，實數數線為連通空間，若實數數線不是連通空間，就無法從固定的a點積分到任意的x點。例如一函數只在[0,1]及[2,3]的區間有定義，而a為0，因為函數在1到2之間沒有定義，不可能從0積分到3。此時會有二個常數，分別對應定义域中的二個連通空間。一般而言，若將常數改為局部常數函數（英语：locally constant function）s，可以將此定理延伸到不連通的空間中。例如 ∫ d x / x {\displaystyle \textstyle \int dx/x} 有二個積分常數，而 ∫ tan ⁡ x d x , {\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,} 有無限個積分常數。1/x積分的一般式為： ∫ 1 x d x = { ln ⁡ | x | + C − x < 0 ln ⁡ | x | + C + x > 0 {\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}} 再者，F和G的條件需是處處可微的函數，若F及G在某一點不可微，則以上定理不成立。例如令 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 单位阶跃函数，在x負值時為0，在x非負時為1，令 G ( x ) = 0 {\displaystyle G(x)=0} 。F在有定義導數的區域，其導數為0，G的導數恆為0，但F及G不只差一個常數而已。 甚至假設F及G為處處連續，幾乎處處可微，則以上定理仍然不成立。康托函數和常數函數0就是這樣的例子。 積分常數表示在反导数本身有一些模稜两可之處。若針對函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，而 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的一個反導數，則函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的所有反導數可以用 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} 來表示，其中C為任意值。有些積分表為了簡單起見，會省略不定積分的積分常數。 Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals 6th. Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-495-01166-5.  Larson, Ron; Edwards, Bruce H. Calculus 9th. Brooks/Cole. 2009. ISBN 0-547-16702-4.  Albert Tarantola, "Inverse Problems: Exercices. Chapter 8: The Derivative Operator, its Transpose, and its Inverse", 12 March 2007 "Reader Survey: log|x| + C （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Tom Leinster, The n-category Café, March 19, 2012