特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性質的直角三角形，其特殊性質可能是使三角形的計算更加方便，或是存在一些較簡單的公式。例如有些三角形的內角有一些簡單的關係，例如45–45–90度三角形，這是各角有特殊關係的直角三角形。也有些直角三角形的各邊有特殊關係，例如各邊的比例可以用自然數表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黃金比例表示等。若在處理這些三角形時知道其特殊的邊關係或角關係，可以快速的計算一些幾何問題而不需用到一些較複雜的公式。 直角三角形的各角有其基本關係：最大角（直角）為90度，也等於另外二角的和。但有些直角三角形的各角還有其他特殊關係。 直角三角形的邊長一般會用單位圓或其他幾何方式推導而成，若角度為30°, 45°或60°，其三角函數的數值計算會比其他的角度會簡單很多。 以下是一些特殊角的三角函數 45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三種莫比斯三角形，任一內角都可以找到對應整數，使內角和整數的乘積為180，參照三角形群（英语：Triangle group）。 在平面幾何中，將正方形繪製一條對角線會產生一個角度比例為1 : 1 : 2的三角形，而內角和為180度（或是π弧度），因此各角角度為45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依畢氏定理可得其邊長比例為1 : 1 : √2，因此45–45–90度三角形為等腰直角三角形。若繪製45–45–90度三角形斜邊的中線，中線會將45–45–90度三角形分割為另外二個較小的45–45–90度三角形，邊長是原來的1/√2。 45–45–90度三角形為等腰直角三角形，在平面幾何中，這也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不過在球面幾何學或雙曲幾何中，有無限種也是等腰三角形的直角三角形。 若三角形各角的比例是1 : 2 : 3，其各角角度會是30°、60°和90°。各邊的比例會是1 : √3 : 2。 使用三角函數可以證明上述的事實．利用幾何學的證明如下： 繪製邊長為2的正三角形ABC，並令D點為線段BC的中點。連接線段AD，則三角形ABD為 30–60–90度三角形，其斜邊長度為2，一股BD長度為1。 另一股AD的長度為√3，可以由畢氏定理求得。 30–60–90度三角形是平面幾何中唯一一個角度呈等差數列的直角三角形。其證明很簡單：假設三個角的角度為等差數列，可以表示為為α, α+δ, α+2δ，因為內角和為180°，可得3α+3δ = 180°，其中有一角會是60度，而且最大角需為90度，因此最小角會是30度。 在平面幾何中，30–60–90度三角形是唯一一個角度呈等差數列的直角三角形，角度呈等比數列的直角三角形也只有一種，其角度為π/(2φ2)、π/(2φ)、π/2，其中公比為黃金比例φ。三個內角的比例為 1 : φ : φ 2 . {\displaystyle 1:\varphi :\varphi ^{2}.\,} 。 根據正弦定律，各邊的比例會是 sin ⁡ π 2 φ 2 : sin ⁡ π 2 φ : 1 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1} 。因為各邊長的關係也要滿足畢氏定理，因此可得 sin 2 ⁡ π 2 φ 2 + sin 2 ⁡ π 2 φ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1} 。 另外，存在以下的恆等式[來源請求]： cos ⁡ π φ + 1 + cos ⁡ π φ = 0 {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}+\cos {\frac {\pi }{\varphi }}=0} 有趣的是，若將餘弦函數以指數來表示，可以得到一個「黃金比例恆等式」，其中有出現黃金比例φ，和出現在歐拉恆等式中的五個數學基本常數π, e, i, 1, 0（不過歐拉恆等式比較簡潔）： e i π φ + 1 + e − i π φ + 1 + e i π φ + e − i π φ = 0. {\displaystyle e^{\frac {i\pi }{\varphi +1}}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}+e^{\frac {i\pi }{\varphi }}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi }}}=0.\,} 若三角形各邊為整數，三角形的三邊稱為勾股數，其各角的角度不會是整數。這類的直角三角形容易記憶，而且三角形的各邊比例只要一様，即為相似三角形，就會有一様的特質。利用歐幾里得產生勾股數的公式，勾股數的比例比必定滿足以下的關係 m 2 − n 2 : 2 m n : m 2 + n 2 {\displaystyle m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,} 其中m和n均為正整數，而且m>n。 以下是前五個勾股数： 其中3 : 4 : 5三角形是唯一邊長呈等差數列的直角三角形，在埃及稱為「埃及三角形」。由勾股数的有理數組成的三角形都是海倫三角形，表示其邊長和面積都是有理數。 以下是所有二股都小於256的互質勾股数組： 從5開始，斐波那契數列中的第6項、第8項、第10項...等偶數項（假設0為第1項）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 為邊長為整數的直角三角形的斜邊，也就是勾股數中最大的一項。二股中較長的一股為上一個斐波那契三角形的三邊和，較短一股為跳過的斐波那契數減去上一個斐波那契三角形的最短邊。 第一個斐波那契三角形邊長為5, 4和3。跳過數字8，下一個斐波那契三角形邊長為13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳過數字21，下一個三角形邊長為34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此數列會一直延伸，最後會趨近以下的比值： 1 : 2 : 5 . {\displaystyle 1:2:{\sqrt {5}}.} Andrew Clarke建議將長度比例為: 1 : 2 : 5 {\displaystyle 1:2:{\sqrt {5}}} 的三角形稱為dom，因為此三角形可以由二格骨牌（domin）延對角線切割而成，此三角形是約翰·何頓·康威及查爾斯·雷丁（英语：Charles Radin）提出的非週期性（英语：aperiodic tiling）風車貼磚（英语：pinwheel tiling）的基礎。 等腰直角三角形的三邊不可能都是整數，但存在無限個「幾乎等腰」的直角三角形，也就是直角三角形的邊長為整數，而且二股長度只差一。這類幾乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程遞迴求解而得： a0 = 1, b0 = 2 an = 2bn–1 + an–1 bn = 2an + bn–1 an為斜邊的長度，n = 1, 2, 3, ....。最小的幾個三角形如下 开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于 1 : ϕ : ϕ {\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi } ，為等比數列，其中 ϕ {\displaystyle \phi } 是黄金比， ϕ = 5 + 1 2 {\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}} .德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。 整數三角形（英语：Integer triangle） 螺旋特奧多魯斯（英语：Spiral of Theodorus） 直角三角形 根據黃金比例的定義， 1 φ = φ − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1} ，由於 sin ⁡ π 2 φ = cos ⁡ ( π 2 − π 2 φ ) = cos ⁡ ( φ π 2 φ − π 2 φ ) = cos ⁡ ( φ − 1 ) π 2 φ = cos ⁡ 1 φ π 2 φ = cos ⁡ π 2 φ 2 {\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}} ，因此原式成立。 根據黃金比例的定義， 1 + φ = φ 2 {\displaystyle 1+\varphi =\varphi ^{2}} ，因此 cos ⁡ π φ + 1 = cos ⁡ π φ 2 = − cos ⁡ ( π − π φ 2 ) = − cos ⁡ ( φ 2 π φ 2 − π φ 2 ) = − cos ⁡ ( φ 2 − 1 ) π φ 2 = − cos ⁡ φ π φ 2 = − cos ⁡ π φ {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}} ； 或者， 1 φ + 1 + 1 φ = 1 φ 2 + 1 φ = 1 φ 2 + φ φ 2 = 1 + φ φ 2 = 1 + φ 1 + φ = 1 {\displaystyle {\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1} ，故 π φ + 1 + π φ = π {\displaystyle {\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi } ，此兩角度互補，其cos值為相反數。 OEIS:A180014 Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14） （英语）.  A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.  引文格式1维护：冗余文本 (link) C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.  3 : 4 : 5 triangle （页面存档备份，存于互联网档案馆） 30-60-90 triangle （页面存档备份，存于互联网档案馆） 45-45-90 triangle （页面存档备份，存于互联网档案馆）