偶极子天线

偶极子天线（英語：Dipole antenna或doublet）是在无线电通信中，使用最早、结构最简单、应用最广泛的一类天线。它由一对对称放置的导体构成，导体相互靠近的两端分别与馈电线（英语：Feed_line）相连。用作发射天线时，电信号从天线中心馈入导体；用作接收天线时，也在天线中心从导体中获取接收信号。常见的偶极子天线由两根共轴的直导线构成，这种天线在远处产生的辐射场是轴对称的，并且在理论上能够严格求解。偶极子天线是共振天线，理论分析表明，细长偶极子天线内的电流分布具有驻波的形式，驻波的波长正好是天线产生或接收的电磁波的波长。因而制作偶极子天线时，会通过工作波长来确定天线的长度。最常见的偶极子天线是半波天线，它的总长度近似为工作波长的一半。除了直导线构成的半波天线，有时也会使用其他种类的偶极子天线，如直导线构成全波天线、短天线，以及形状更为复杂的笼形天线、蝙蝠翼天线等。历史上，海因里希·赫兹在验证电磁波存在的实验中使用的天线就是一种偶极子天线。 在洛仑兹规范下，任意电流电荷体系在场点 r {\displaystyle r} 产生的矢势由推迟势公式给出： A ( r , t )   =   μ 0 4 π ∫ V ′ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 其中 t r {\displaystyle t_{r}} 是推迟时刻。 对于一般的偶极子天线，天线上变化的电流会产生辐射场，辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线，设其内部的电场的切向分量为 E z {\displaystyle E_{z}} 。这样在天线内部，矢势的切向分量 A z {\displaystyle A_{z}} 满足方程： ∂ 2 A z ∂ z 2 − 1 c 2 ∂ 2 A z ∂ t 2 = − 1 c 2 ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ t − 1 c 2 ∂ 2 A z ∂ t 2 = 1 c 2 ∂ E z ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}} 将推迟势公式代入，即可得到天线内部的电流密度 J z {\displaystyle J_{z}} 满足的积分方程： μ 0 4 π ∫ V ′ ( ∂ 2 ∂ z 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) ( J z ( r ′ , t r ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = 1 c 2 ∂ E z ∂ t {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}} 如果使用单频交流电馈电，利用分离变量法，可以将方程转化为： μ 0 4 π ∫ V ′ J z ( r ′ ) ( ∂ 2 ∂ z 2 + k 2 ) ( exp ⁡ ( − i k | r − r ′ | ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = i k c E z {\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}} 该方程被称为波克灵顿（英語：Pocklington）积分方程。它需要在适当的边界条件（如天线末端 J z = 0 {\displaystyle J_{z}=0} ）下求解。 如果天线由良导体构成，则 E z {\displaystyle E_{z}} 只在天线中心的空气隙中（ z = 0 {\displaystyle z=0} ）明显地不为零，而在导体中近似为零，可以用狄拉克δ函数 U δ ( z ) {\displaystyle U\delta (z)} 代替。此时 A z {\displaystyle A_{z}} 满足一维波动方程，具有驻波形式，满足： ∫ V ′ J z ( r ′ ) ( exp ⁡ ( − i k | r − r ′ | ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = C cos ⁡ ( k z ) − i ω ϵ 0 2 k U sin ⁡ ( k | z | ) {\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}} 待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英語：Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。 对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为： ∫ − L / 2 L / 2 I ( z ′ ) ( exp ⁡ ( − i k | r − r ′ | ) | r − r ′ | ) d 3 r ′ = C cos ⁡ ( k z ) − i ω ϵ 0 2 k U sin ⁡ ( k | z | ) {\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}} 如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60)，可以近似认为在积分中，只有z附近的 I ( z ′ ) {\displaystyle I(z')} 才对 A z {\displaystyle A_{z}} 有贡献， I {\displaystyle I} 与 A z {\displaystyle A_{z}} 具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式： I ( z , t ) = I 0 c o s ( 2 π λ ( L / 2 − | z | ) ) cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)} 其中 L {\displaystyle L} 是天线全长， ω {\displaystyle \omega } 是交流电的频率。这种情形下，天线在场点 r {\displaystyle r} 处产生的矢势为： A ( r , t )   =   μ 0 I 0 z ^ 4 π ∫ − L / 2 L / 2 cos ⁡ ( k ( L / 2 − | z | ′ ) ) cos ⁡ ( ω t r ) | r − r ′ | d z ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'} 如果场点离天线的距离足够远，以至于下列三个条件同时满足时，场点处于辐射区： r >> L {\displaystyle r>>L} r >> λ {\displaystyle r>>\lambda } r >> L 2 / λ {\displaystyle r>>L^{2}/\lambda } 此时推迟势公式可近似为： A ( r , t )   =   μ 0 I 0 z ^ 4 π r ∫ − L / 2 L / 2 cos ⁡ ( k ( L / 2 − | z | ′ ) ) cos ⁡ ( ω t − k r + k z ′ cos ⁡ θ ) d z ′ = μ 0 I 0 cos ⁡ ( ω t − k r ) z ^ 2 π k r ( cos ⁡ ( k L / 2 cos ⁡ θ ) − cos ⁡ ( k L / 2 ) sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})} 略去不属于辐射场的高阶项，场点的磁感应强度 B {\displaystyle \mathbf {B} } 满足： B = ∇ × A ≈ μ 0 I 0 sin ⁡ ( ω t − k r ) ϕ ^ 2 π r ( cos ⁡ ( k L / 2 cos ⁡ θ ) − c o s ( k L / 2 ) sin ⁡ θ ) {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})} 辐射功率的角分布为： d P d Ω = μ 0 c I 0 2 8 π 2 ( cos ⁡ ( k L / 2 cos ⁡ θ ) − c o s ( k L / 2 ) sin ⁡ θ ) 2 {\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}} 对上式积分，利用三角积分函数，可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式: P = μ 0 c I 0 2 2 π sin 2 ⁡ ( k L / 2 ) { γ + ln ⁡ ( k L ) − Ci ⁡ ( k L ) + 1 2 sin ⁡ ( k L ) Si ⁡ ( 2 k L ) − 2 Si ⁡ ( k L ) + 1 2 cos ⁡ ( k L ) [ γ + ln ⁡ ( k L / 2 ) + Ci ⁡ ( 2 k L ) − 2 Ci ⁡ ( k L ) ] } = R d i p o l e I 0 2 {\displaystyle P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}} 若天线的半径与长度之比 a / L {\displaystyle a/L} 并不小，使用“电流驻波分布”的近似并不准确：有限的 a / L {\displaystyle a/L} 会为这一定律引入 ( ln ⁡ a / L ) − 1 {\displaystyle (\ln {a/L})^{-1}} 量级的相对修正。 长度远小于工作波长的天线为短天线。 Winder, Steve; Joseph Carr. Newnes Radio and RF Engineering Pocket Book, 3rd Ed.. Newnes. 2002: 4. ISBN 0080497470.  Dipole Antenna / Aerial tutorial. Resources. Radio-Electronics.com, Adrio Communications, Ltd. 2011 [April 29, 2013]. （原始内容存档于2018-07-18）.  Basu, Dipak. Dictionary of Pure and Applied Physics, 2nd Ed.. CRC Press. 2010: 21 [2016-07-06]. ISBN 1420050222. （原始内容存档于2014-07-20）.  Rouse, Margaret. Dipole Antenna. Online IT Encyclopedia. TechTarget.com. 2003 [April 29, 2013]. （原始内容存档于2020-10-27）.  Balanis, Constantine A. Modern Antenna Handbook. John Wiley & Sons. 2011: 2.3 [2016-07-06]. ISBN 1118209753. （原始内容存档于2014-07-20）.  約翰·戴維·傑克遜著，朱培豫译. 经典电动力学. 人民教育出版社. 1979: 444-446.