沙滕范数

泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。 令 H 1 ,   H 2 {\displaystyle H_{1},\ H_{2}} 是希尔伯特空间， T :   H 1 → H 2 {\displaystyle T:\ H_{1}\to H_{2}} 是（线性）有界算子。对 p ∈ [ 1 , ∞ ) {\displaystyle p\in [1,\infty )} ，定义T的沙滕p-范数为 ‖ T ‖ p = [ Tr ⁡ ( | T | p ) ] 1 / p , {\displaystyle \|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},} 其中 | T | := ( T ∗ T ) {\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}} ，平方根是算子平方根。 若T是紧的、 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},\,H_{2}} 可分离，则 ‖ T ‖ p := ( ∑ n ≥ 1 s n p ( T ) ) 1 / p {\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}} T的奇异值（即厄米算子 | T | := ( T ∗ T ) {\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}} 的特征值）满足 s 1 ( T ) ≥ s 2 ( T ) ≥ ⋯ ≥ s n ( T ) ≥ ⋯ ≥ 0 {\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0} 。 下面将p的范围推广到 [ 1 , ∞ ] {\displaystyle [1,\infty ]} ， ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} 表示算子范数。指标 p = ∞ {\displaystyle p=\infty } 的对偶是 q = 1 {\displaystyle q=1} 。 沙滕范数是酉不变的：对酉算子U、V、 p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p\in [1,\infty ]} ， ‖ U T V ‖ p = ‖ T ‖ p . {\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.} 它们满足赫尔德不等式： ∀ p ∈ [ 1 , ∞ ] ,   q {\displaystyle \forall p\in [1,\infty ],\ q} 使得 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ，以及定义在希尔伯特空间之间的算子 S ∈ L ( H 2 , H 3 ) , T ∈ L ( H 1 , H 2 ) {\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})} ， ‖ S T ‖ 1 ≤ ‖ S ‖ p ‖ T ‖ q . {\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.} 若 p , q , r ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]} 满足 1 p + 1 q = 1 r {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}} ，则 ‖ S T ‖ r ≤ ‖ S ‖ p ‖ T ‖ q {\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}} . 赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换 L p {\displaystyle L^{p}} 空间，而非沙滕-p类。对于矩阵，见）。 子乘性： ∀ p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle \forall p\in [1,\infty ]} 、定义在希尔伯特空间 H 1 , H 2 , H 3 {\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3}} 之间的算子 S ∈ L ( H 2 , H 3 ) , T ∈ L ( H 1 , H 2 ) {\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})} ， ‖ S T ‖ p ≤ ‖ S ‖ p ‖ T ‖ p . {\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.} 单调性：对于 1 ≤ p ≤ p ′ ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty } ， ‖ T ‖ 1 ≥ ‖ T ‖ p ≥ ‖ T ‖ p ′ ≥ ‖ T ‖ ∞ . {\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.} 对偶性：令 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} 为有限维希尔伯特空间， p ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p\in [1,\infty ]} ，q满足 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ，则 ‖ S ‖ p = sup { | ⟨ S , T ⟩ | ∣ ‖ T ‖ q = 1 } , {\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,} 其中 ⟨ S , T ⟩ = tr ⁡ ( S ∗ T ) {\displaystyle \langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)} 表示希尔伯特-施密特算子。 令 ( e k ) k , ( f k ′ ) k ′ {\displaystyle (e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}} 为希尔伯特空间 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} 的两个正交基，则对 p = 1 {\displaystyle p=1} ‖ T ‖ 1 ≤ ∑ k , k ′ | T k , k ′ | . {\displaystyle \|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.} 注意 ‖ ⋅ ‖ 2 {\displaystyle \|\cdot \|_{2}} 是希尔伯特-施密特范数（见希尔伯特-施密特算子）， ‖ ⋅ ‖ 1 {\displaystyle \|\cdot \|_{1}} 是迹类范数（见迹类算子）， ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} 是算子范数（见算子范数）。 对 p ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle p\in (0,1)} ，函数 ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 是拟赋范空间的例子。 具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子，其空间记作 S p ( H 1 , H 2 ) {\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})} 。此范数下 S p ( H 1 , H 2 ) {\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})} 是巴拿赫空间，对 p = 2 {\displaystyle p=2} 是希尔伯特空间。 注意 S p ( H 1 , H 2 ) ⊆ K ( H 1 , H 2 ) {\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})} ，后者即紧算子代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。 p = 1 {\displaystyle p=1} 情形常称作核范数（或迹范数、樊𰋀n-范数）。 矩陣範數#Schatten範数 Fack, Thierry; Kosaki, Hideki. Generalized s {\displaystyle s} -numbers of τ {\displaystyle \tau } -measurable operators. (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 1986, 123 (2) [2024-05-23]. （原始内容存档 (PDF)于2023-12-05）.  Ball, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. Sharp uniform convexity and smoothness inequalities for trace norms. Inventiones Mathematicae. 1994, 115: 463–482. S2CID 189831705. doi:10.1007/BF01231769.  Fan, Ky. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1951, 37 (11): 760–766. Bibcode:1951PNAS...37..760F. PMC 1063464 . PMID 16578416. doi:10.1073/pnas.37.11.760 .  Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997. John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011. Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.