機率流

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體。那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 。定義機率流 J {\displaystyle \mathbf {J} } 為 J   = d e f   ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ m Im ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) {\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m} 是質量， Ψ ∗ {\displaystyle \Psi ^{*}} 是 Ψ {\displaystyle \Psi } 是共軛複數， Im ( ) {\displaystyle {\mbox{Im}}()} 是取括弧內項目的虛部。 機率流滿足量子力學的連續方程式： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0} ； 其中， ρ = | Ψ | 2 {\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}} 是機率密度。 應用高斯公式，等價地以積分方程式表示， d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r + ∮ S J ⋅ d a = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0} ；(1) 其中， V {\displaystyle \mathbb {V} } 是任意三維區域， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的邊界曲面。 這就是量子力學機率守恆定律的方程式。 方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的通量，兩者的總和等於零。 測量粒子在三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率 P {\displaystyle P} 是 P = ∫ V ρ d 3 r = ∫ V | Ψ | 2 d 3 r {\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } 。 機率對於時間的導數是 d P d t = d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r = ∫ V ( ∂ Ψ ∂ t Ψ ∗ + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t ) d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} ；(2) 假設 Ψ {\displaystyle \Psi } 的含時薛丁格方程式為 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi } ； 其中， U ( r ) {\displaystyle U(\mathbf {r} )} 是位勢。 將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到 d P d t = − ∫ V ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ ) d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 應用一則向量恆等式，可以得到 ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ∇ Ψ ∗ ⋅ ∇ Ψ + Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − ∇ Ψ ⋅ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}} 。 這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入， d P d t = − ∫ V ∇ ⋅ [ ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) ] d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 將機率密度方程式與機率流定義式代入， ∫ V ∂ ρ ∂ t d 3 r = − ∫ V ( ∇ ⋅ J ) d 3 r {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 這相等式對於任意三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0} 。 設定一個粒子的波函數 Ψ {\displaystyle \Psi } 為三維空間的平面波， Ψ ( r , t ) = A e i k ⋅ r e i ω t {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\,t)=Ae^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{i\omega t}} ； 其中， A {\displaystyle A} 是振幅常數， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波數， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是位置， ω {\displaystyle \omega } 是角頻率， t {\displaystyle t} 是時間。 Ψ {\displaystyle \Psi } 的機率流是 J = ℏ 2 m i | A | 2 ( e − i k ⋅ r ∇ e i k ⋅ r − e i k ⋅ r ∇ e − i k ⋅ r ) = | A | 2 ℏ k m {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }{\boldsymbol {\nabla }}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}} 。 這只是振幅的平方乘以粒子的速度 v = p m = ℏ k m {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {p} }{m}}={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}} 。 請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點， d | Ψ | 2 d t = 0 {\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0} ，但是機率流仍舊不等於 0 {\displaystyle 0} 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。 思考一維盒中粒子問題，能級為 E n {\displaystyle E_{n}} 的本徵波函數 Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} 是 Ψ n = 2 L sin ⁡ ( n π L x ) , 0 ≤ x ≤ L {\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right),\qquad 0\leq x\leq L} ； 其中， L {\displaystyle L} 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 x = 0 {\displaystyle x=0} 與 x = L {\displaystyle x=L} 。 由於 Ψ n = Ψ n ∗ {\displaystyle \Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}} ，其機率流為 J n = ℏ 2 m i ( Ψ n ∗ ∂ Ψ n ∂ x − Ψ n ∂ Ψ n ∗ ∂ x ) = 0 {\displaystyle J_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0} 。 階梯位勢 透射係數