朗道-利夫希兹方程

在物理學上，朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨和T·L·吉爾伯特命名的物理方程，以差分方程為基礎闡述一個進動磁性粒子的自發磁化。由T·L·吉爾伯特修改列夫·達維多維奇·朗道、叶夫根尼·利夫希茨的方程得到。该方程可以描述无外场作用下粒子受平均场作用而产生的运动。该方程直接暗示了自旋系统存在孤子。 朗道-利夫希兹方程是非线性偏微分方程，该方程有单一孤子的严格解，对于多孤子情形，可以采取数值方法求解。該方程在在不同情形下模擬微磁性磁場的鐵磁性磁場，尤其孤子於磁場的時閾行為。. 附加方程用於闡述自旋极化电流对磁体的影响。 設一個鐵磁體，磁化強度M可在其內部發生變化，但每一點擁有相等的磁飽和強度MS.朗道-利夫希兹-吉爾伯特方程對磁化響應于轉矩的旋轉，引入: 其中，γ 是孤子旋磁比，λ是現象阻尼參數，則： λ = α γ M s , {\displaystyle \lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},} 其中，α是一个无量纲常数，称为阻尼因子。有效場場Heff為外部場的一個組合時，退磁場（磁化磁場）的量子力學效應。解方程前提是包含用於退磁場的附加方程。 採用不可逆的統計力學法，可獨立推導出朗道-利夫希茲方程。 1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項： 其中，η 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程： 由此： γ ′ = γ 1 + γ 2 η 2 M s 2 and λ = γ 2 η 1 + γ 2 η 2 M s 2 . {\displaystyle \gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.} 此情形的朗道-利夫希茲方程中，進動期γ'依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時，阻尼較大。 该方程的基本思想就是，在规范场作用下，粒子的运动本身会产生电磁场，而这种电磁场可以自我驱动于每一个粒子 m → ˙ ( x , t ) = m → × ∇ 2 m → {\displaystyle {\dot {\vec {m}}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}} 协变情况下， D t = ∂ t + i v ⋅ ∇ {\displaystyle D_{t}=\partial _{t}+iv\cdot \nabla } , 这里的速度代表的是粒子运动的群速度。 D t m → ( x , t ) = m → × ∇ 2 m → {\displaystyle D_{t}{\vec {m}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}} 平均场引发的自我驱动往往具有自持效果，这种效果的体现就是一群粒子可以形成稳定的孤子波。这就是磁性孤子。 Landau-Lifshitz equation, B Guo and S Ding, World Scientific, ISBN 109812778756 Yang, Bo. Numerical Studies of Dynamical Micromagnetics. [8 August 2011]. （原始内容存档于2017-01-19）.  存档副本. [2015-07-04]. （原始内容存档于2015-04-07）.  Aharoni 1996 harvnb error: no target: CITEREFAharoni1996 (help) Brown 1978 harvnb error: no target: CITEREFBrown1978 (help) Chikazumi 1997 harvnb error: no target: CITEREFChikazumi1997 (help) T. Iwata, J. Magn. Magn. Mater. 31–34, 1013 (1983); T. Iwata, J. Magn. Magn. Mater. 59, 215 (1986); V.G. Baryakhtar, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 87, 1501 (1984); S. Barta (unpublished, 1999); W. M. Saslow, J. Appl. Phys. 105, 07D315 (2009). Amikam Aharoni. Introduction to the Theory of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1996. ISBN 0-19-851791-2. （原始内容存档于2011-06-29）.  William Fuller Brown, Jr. Micromagnetics. Robert E. Krieger Publishing Co. 1978 [Originally published in 1963]. ISBN 0-88275-665-6.  Chikazumi, Sōshin. Physics of Ferromagnetism. Clarendon Press. 1997. ISBN 0-19-851776-9.  Gilbert, T.L., A Lagrangian formulation of the gyromagnetic equation of the magnetic field, Physical Review, 1955, 100: 1243, Bibcode:1955PhRv..100.1235., doi:10.1103/PhysRev.100.1235.  This is only an abstract; the full report is "Armor Research Foundation Project No. A059, Supplementary Report, May 1, 1956", but was never published. A description of the work is given in Gilbert, T. L., A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials, IEEE Trans. Mag., 2004, 40 (6): 3443–3449, Bibcode:2004ITM....40.3443G, doi:10.1109/TMAG.2004.836740  Landau, L.D.; Lifshitz, E.M., Theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies, Phys. Z. Sowietunion, 1935, 8, 153  Skrotskiĭ, G V, The Landau-Lifshitz equation revisited, Sov. Phys. Usp., 1984, 27 (12): 977–979, Bibcode:1984SvPhU..27..977S, doi:10.1070/PU1984v027n12ABEH004101  Guo, Boling; Ding, Shijin, Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, 2008, ISBN 978-981-277-875-8  Cimrak, Ivan, A Survey on the Numerics and Computations for the Landau-Lifshitz Equation of Micromagnetism (PDF), Archives of Comp. Meth. Eng., 2007, 15 (3): 1–37 [2015-07-04], doi:10.1007/BF03024947, （原始内容 (PDF)存档于2015-07-05）  M, Lakshmanan, The fascinating world of the Landau–Lifshitz–Gilbert equation: an overview (PDF), Phil. Trans. R. Soc. A, 2010, 369 (1939): 1280–1300, Bibcode:2011RSPTA.369.1280L, arXiv:1101.1005 , doi:10.1098/rsta.2010.0319