終端速度

在流體動力學中，當物體在流體中運動時，在流體向物體運動反方向所施的力下，物體的運動速度因而不變，這時物體所移動的速度就是終端速度。 當向下的重力（Fg）相等於向上的阻力（Fd）時，自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零，因此物體的速度保持不變。 當物體加速的時候（一般是因為重力而向下加速），施向物體的抗力也在增加，使得加速度慢下來。在某一個速度下，所產生的抗力會相等於物體的重量（ m g {\displaystyle mg} ）。這時候物體停止加速，並持續以不變的速度下落，這個速度就是終端速度（也叫沉降速度）。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度，而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度（比方說它受一向下的力影響，或它掉進了較薄的大氣層區域，或它的形狀改變），它的速度會慢下來，直至達到終端速度為止。 舉例說，基於風阻，一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員，其終端速度約為195km/h（55m/s）。這個速度是整個加速過程的漸近極限值，因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中，愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中，要達到終端速度的50%只需要3秒，達到90%則需要8秒，而達到99%就需要15秒，如此類推。 如果跳傘員把四肢拉起來的話，終端速度會提高。在這個例子中，終端速度會提昇至320km/h（90m/s），幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度；一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面，又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告 。 競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度，2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下，速度為988km/h，當時位於海拔較高的地方，因此大氣層較為稀薄，空氣阻力較小 。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄，在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下，最高時速高達1357.6km/h，是目前的世界紀錄保持人。 一向着地球表面下墜物體的速度，每秒鐘會增加每秒鐘9.806米（即加速度為9.806m‧s-2）。物體會達到終端速度的原因是，阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時，阻力比重力要小得多，所以物體加速。當物體在加速時，阻力增加，直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因，相對於質量有着大投影面積的物體，如降落傘，比其他這方面小的物體，如子彈，有着更低的終端速度。 數學上，無視浮力的終端速度可用下式表示： V t = 2 m g ρ A C d {\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}} 其中 V t {\displaystyle V_{t}} 為終端速度， m {\displaystyle m} 為物體重量， g {\displaystyle g} 為地球所引起的加速度， C d {\displaystyle C_{d}} 為阻力係數， ρ {\displaystyle \rho } 為物體落下時所處的流體密度， A {\displaystyle A} 為物體的投影面積。 數學上，一物體漸近地到達終端速度。 由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應，可用阿基米德定律來描述：質量 m {\displaystyle m} 必須減去所排開的流體質量 ρ V {\displaystyle \rho {\mathcal {V}}} ，其中 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 為物體的體積。所以不使用 m {\displaystyle m} ，在各方程中改用約化質量 m r = m − ρ V {\displaystyle m_{r}=m-\rho {\mathcal {V}}} 。 在地球上，一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。 空氣密度隨着海拔減少而增加，海拔每減少80米，密度就增加約1%（使用氣壓公式）。若物體下降時穿越大氣層，每下降160米，終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後，若持續下降，則物體會因為新位置的終端速度而減速。 數學上，把向下定義為正方向，物體在接地球表面落下是所受的淨力Fnet為（根據牛頓第二運動定律）： F n e t = m a = m g − F D {\displaystyle F_{net}=ma=mg-F_{D}} 。 其中： a為加速度， FD為阻力。 根據阻力公式： F D = 1 2 ρ v 2 C d A {\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A} 。 將上兩式結合可得 F n e t = m g − 1 2 ρ v 2 A C d {\displaystyle F_{net}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }} 。 在平衡時，淨力為零（F=0）： m g − 1 2 ρ v 2 A C d = 0   {\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho v^{2}AC_{\mathrm {d} }=0\ } 。 解v可得， 2 m g ρ A C d   {\displaystyle {\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{\mathrm {d} }}}}\ } 。 當考慮浮力效應時，因自身質量而在流體中下沉的物體，若其淨力為零，就會達到終端速度（沉降速度）。當達到終端速度時，物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即： ( 1 ) W = F b + D {\displaystyle \quad (1)\qquad W=F_{b}+D} 其中 W {\displaystyle W} 為物體的重量， F b {\displaystyle F_{b}} 為作用於物體上的浮力，及 D {\displaystyle D} 為作用於物體上的阻力。 若下沉的物體是球狀的，則三種力的表示式如下： ( 2 ) W = π 6 d 3 ρ s g {\displaystyle \quad (2)\qquad W={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g} ( 3 ) F b = π 6 d 3 ρ g {\displaystyle \quad (3)\qquad F_{b}={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho g} {\displaystyle } ( 4 ) D = C d 1 2 ρ V 2 A {\displaystyle \quad (4)\qquad D=C_{d}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A} 其中 d {\displaystyle d} 為球體的直徑， g {\displaystyle g} 為重力加速度， ρ {\displaystyle \rho } 為流體的密度， ρ s {\displaystyle \rho _{s}} 為球體的密度， A = π d 2 / 4 {\displaystyle A=\pi d^{2}/4} 為球體投影面積， C d {\displaystyle C_{d}} 阻力係數，及 V {\displaystyle V} 為特徵速度（即終端速度， V t {\displaystyle V_{t}} ）。 將方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解 V t {\displaystyle V_{t}} 的值，得下式： ( 5 ) V t = 4 g d 3 C d ( ρ s − ρ ρ ) {\displaystyle \quad (5)\qquad V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}} 。 對流體內非常慢的運動而言，相對於其他力，流體的慣性力是無關重要的（假設流體無質量）。這樣的流被稱為蠕流，而蠕流需要滿足雷諾數 R e ≪ 1 {\displaystyle Re\ll 1} 的條件。蠕流的運動方程（簡化後的納維-斯托克斯方程）如下： ∇ p = μ ∇ 2 v {\displaystyle \nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }} 其中： v {\displaystyle {\mathbf {v} }} 為速度向量場， p {\displaystyle p} 為壓力場，及 μ {\displaystyle \mu } 為流體黏度。 流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力 ( 6 ) D = 3 π μ d V {\displaystyle \quad (6)\qquad D=3\pi \mu dV\qquad \qquad } 或 C d = 24 R e {\displaystyle \qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}} 其中雷諾數 R e = ρ d V μ {\displaystyle Re={\tfrac {\rho dV}{\mu }}} 。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。 把 C d {\displaystyle C_{d}} 的值代入至方程(5)，可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式： V t = g d 2 18 μ ( ρ s − ρ ) {\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right)} 。 蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降，及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計，一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。 斯托克斯定律 自由落體 終端速度. 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center. [2009-03-04]. （原始内容存档于2009-02-23）. （英文） Huang, Jian. 跳傘者的速度（終端速度）. The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999 [2017-02-24]. （原始内容存档于2020-11-24）. （英文） The Ballistician. Bullets in the Sky. W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. （原始内容存档于2008-03-31）.  奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘. BBC中文網. 2012-10-14 [2012-10-14]. （原始内容存档于2012-10-19）.  終端速度——美國太空總署頁面（英文） 終端速度與物體的大小尺度 （页面存档备份，存于互联网档案馆）物理動畫