連續性方程式

在物理學裏，連續性方程式（英語：continuity equation）是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。在適當條件下，質量、能量、動量、電荷等都是守恆量，因此很多傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。 連續性方程式是局域性的守恆定律方程式。與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律条件更强。本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達了同樣的思想──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另一個位置。 每一種連續性方程式都既可以用積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以用微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。其微分形式与積分形式通过散度定理相互关联。 一般的連續性方程式的微分形式為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = s {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s} ； 其中， φ {\displaystyle \varphi } 是某物理量 q {\displaystyle q} 的密度（每單位體積的物理量）， f {\displaystyle \mathbf {f} } 是 q {\displaystyle q} 的流量密度（每單位面積每單位時間的物理量）的向量函數（vector function）， s {\displaystyle s} 是 q {\displaystyle q} 在每單位體積每單位時間的生成量。 假若 s > 0 {\displaystyle s>0} 則稱 s {\displaystyle s} 為「源點」；假若 s < 0 {\displaystyle s<0} 則稱 s {\displaystyle s} 為「匯點」。假設 φ {\displaystyle \varphi } 是没有产生或湮滅的守恆量，（例如，電荷），則 s = 0 {\displaystyle s=0} ，連續性方程式變為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0} 。 從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。该方程式也是平流方程式（advection equation）的推廣。 另一些物理學中的方程式也具有類似連續性方程式的數學形式，例如電場的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被稱為連續性方程式，因為 f {\displaystyle \mathbf {f} } 並不代表真實物理量的流動。 根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式： d Q d t + ∮ S f ⋅ d a = S {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S} ； 其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是包住體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的任意固定（不隨時間改變）閉曲面， Q {\displaystyle Q} 是在體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的 q {\displaystyle q} 總量， S = ∫ V s   d 3 r {\displaystyle S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r} 是在積分體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內源點與匯點的總生成量每單位時間， d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} } 是微小面向量積分元素。 舉一簡例，假設 V {\displaystyle \mathbb {V} } 是台北101大樓， Q {\displaystyle Q} 是在大樓內某時間的總人數， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 s > 0 {\displaystyle s>0} ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。 在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 ρ {\displaystyle \rho } 的變率與電流密度 J {\displaystyle \mathbf {J} } 的散度，兩者的代數和等於零： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0} 。 馬克士威-安培方程式為 ∇ × B = μ 0 J + μ 0   ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}} ； 其中， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電場， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是電常數。 取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零， 0 = μ 0 ∇ ⋅ J + μ 0 ϵ 0 ∂ ( ∇ ⋅ E ) ∂ t {\displaystyle 0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}} 。 高斯定律的方程式為 ∇ ⋅ E = ρ / ϵ 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}} 。 將這方程式代入，可以得到 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0} 。 電流是電荷的流量。連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。 四維電流密度定義為 J α   = d e f   ( c ρ , J ) = ( c ρ , J x , J y , J z ) {\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})} ； 其中， α {\displaystyle \alpha } 標記時空坐標， c {\displaystyle c} 是光速。 電荷守恆可以簡潔地由四維電流密度的散度表達，即連續性方程式 ∂ α J α = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0} ； 其中， ∂ α   = d e f   ( ∂ ∂ r 0 , ∂ ∂ r 1 , ∂ ∂ r 2 , ∂ ∂ r 3 ) = ( ∂ c ∂ t , ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)} 。 在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。。此时連續性方程式与電路學的克希荷夫電流定律类似。「質量連續性方程式」的微分形式為 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0} ； 其中， ρ {\displaystyle \rho } 是流體質量密度， u {\displaystyle \mathbf {u} } 是流速向量場，兩者相乘後為质量通量。 假設流體是不可壓縮流，則密度 ρ {\displaystyle \rho } 是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式： ∇ ⋅ ( u ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} )=0} 。 這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。 在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。 根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，这意味着「能量連續性方程式」。這是在熱力學定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恆的另一种數學表述，即， ∂ u ∂ t + ∇ ⋅ q = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0} ； 其中， u {\displaystyle u} 是能量密度（單位體積的能量）， q {\displaystyle q} 是能量通量向量（數值大小為單位截面面積每單位時間傳輸的能量，方向為截面的外法线方向）。 根據傅立葉定律（Fourier's law），對於均勻傳導介質， q = − k ∇ T {\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T} ； 其中， k {\displaystyle k} 是熱導率， T {\displaystyle T} 是溫度函數。 能量連續性方程式又可寫為热传导方程， ∂ u ∂ t − k ∇ 2 T = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0} 。 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」假设一個量子系統的波函數為 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} ，機率流 J {\displaystyle \mathbf {J} } 的定義為 J   = d e f   ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ m Im ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) {\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m} 是質量， Ψ ∗ {\displaystyle \Psi ^{*}} 是 Ψ {\displaystyle \Psi } 是共軛複數， Im ( ) {\displaystyle {\mbox{Im}}()} 是取括弧內項目的虚部。 機率流滿足量子力學的連續方程式： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0} ； 其中， ρ = | Ψ | 2 {\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}} 是機率密度。 應用高斯公式，可以等價地以積分方程式表示， d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r + ∮ S J ⋅ d a = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0} ；(1) 其中， V {\displaystyle \mathbb {V} } 是任意三維區域， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的邊界曲面。 方程式 (1) 左邊第一個體積積分項（不包括對於時間的偏微分）是測量粒子位置時粒子在 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率對於時間的微分，与其流出三維區域的機率 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的通量，兩者之和等於零。 測得粒子在三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的機率 P {\displaystyle P} 是 P = ∫ V ρ d 3 r = ∫ V | Ψ | 2 d 3 r {\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} } 。 機率對於時間的導數是 d P d t = d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r = ∫ V ( ∂ Ψ ∂ t Ψ ∗ + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t ) d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} ；(2) 注意到 Ψ {\displaystyle \Psi } 的含時薛丁格方程式為 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi } ； 其中， U ( r ) {\displaystyle U(\mathbf {r} )} 是位勢。 將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到 d P d t = − ∫ V ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ ) d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 應用一則向量恆等式，可以得到 ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ∇ Ψ ∗ ⋅ ∇ Ψ + Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − ∇ Ψ ⋅ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}} 。 這方程式右手邊第一項與第三項互相抵銷，將抵銷後的方程式代入， d P d t = − ∫ V ∇ ⋅ [ ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) ] d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 將機率密度方程式與機率流定義式代入， ∫ V ∂ ρ ∂ t d 3 r = − ∫ V ( ∇ ⋅ J ) d 3 r {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}} 。 该等式對於任意三維區域 V {\displaystyle \mathbb {V} } 都成立，所以被積項目在任何位置都必須等於零： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0} 。 歐拉方程式 諾特定理 Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877.  Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London