贝克隆德变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系。 两个非线性偏微分方程 F 1 ( u , x , t , u x , u t , u x x , u t t , u x t , u t t ) = 0 , {\displaystyle F_{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{tt})=0,} F 2 ( w , ξ , η , w ξ , w η , w ξ , w ξ ξ , w ξ η , w η η ) = 0 {\displaystyle F_{2}(w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta },w_{\xi },w_{\xi \xi },w_{\xi \eta },w_{\eta \eta })=0} 之间的贝克隆德变换，指的是这样一对关系 ϕ 1 ( u , x , t , u x , u t , w , ξ , η , w ξ , w η ) = 0 , {\displaystyle \phi _{1}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0,} ϕ 2 ( u , x , t , u x , u t , w , ξ , η , w ξ , w η ) = 0. {\displaystyle \phi _{2}(u,x,t,u_{x},u_{t},w,\xi ,\eta ,w_{\xi },w_{\eta })=0.} 贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。 1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v u x t = sin ⁡ u . {\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,} v x t = sin ⁡ v . {\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,} 之间有如下关系： v x = u x − 2 β sin ⁡ ( u + v 2 ) v t = − u t + 2 β sin ⁡ ( v − u 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!} 这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。 将贝克隆德自变换第一式对t取微商，二式对x微商： b t 1 := ( 1 / 2 ) ∗ u x t − ( 1 / 2 ) ∗ v x t = β ∗ c o s ( ( 1 / 2 ) ∗ u + ( 1 / 2 ) ∗ v ) ∗ ( ( 1 / 2 ) ∗ u t + ( 1 / 2 ) ∗ v t ) {\displaystyle bt1:=(1/2)*u_{xt}-(1/2)*v_{xt}=\beta *cos((1/2)*u+(1/2)*v)*((1/2)*u_{t}+(1/2)*v_{t})} b t 2 := ( 1 / 2 ) ∗ u x t + ( 1 / 2 ) ∗ v x t = c o s ( ( 1 / 2 ) ∗ u − ( 1 / 2 ) ∗ v ) ∗ ( ( 1 / 2 ) ∗ u x + ( 1 / 2 ) ∗ v x ) / β {\displaystyle bt2:=(1/2)*u_{xt}+(1/2)*v_{xt}=cos((1/2)*u-(1/2)*v)*((1/2)*u_{x}+(1/2)*v_{x})/\beta } 消除v即得 u x t = sin ⁡ u . {\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,} ； 消除u项即得 v x t = sin ⁡ v . {\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,} 贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解： 利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程： 由贝克隆德自变换 v x = u x − 2 β sin ⁡ ( u + v 2 ) {\displaystyle v_{x}=u_{x}-2\beta \sin({\frac {u+v}{2}})} 令v=0，得 u x = 2 β sin ⁡ ( u 2 ) {\displaystyle u_{x}=2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u}{2}}{\Bigr )}} ，显然 2 ∗ β = u [ x ] / s i n ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) {\displaystyle 2*\beta =u[x]/sin((1/2)*u)} ，两边对x积分，得： 2 ∗ β ∗ x = 2 ∗ l n ( c s c ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) − c o t ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) ) {\displaystyle 2*\beta *x=2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))} 对贝克隆德自变换第二式作同样运算得： 2 ∗ t / β = 2 ∗ l n ( c s c ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) − c o t ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) ) {\displaystyle 2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))} 经过三角函数运算，二式简化为 2 β ∗ x = 2 ∗ l n ( t a n ( u / 4 ) ) {\displaystyle 2\beta *x=2*ln(tan(u/4))} 2 t / β = 2 ∗ l n ( t a n ( u / 4 ) ) {\displaystyle 2t/\beta =2*ln(tan(u/4))} 二式相加得： 2 ∗ b e t a ∗ x + 2 ∗ t / b e t a = 4 ∗ l n ( t a n ( ( 1 / 4 ) ∗ u ) ) {\displaystyle 2*beta*x+2*t/beta=4*ln(tan((1/4)*u))} ， 分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解： u ( x , t ) = 4 ∗ a r c t a n ( e β 2 ∗ x + t 2 β ) {\displaystyle u(x,t)=4*arctan(e^{\frac {\beta ^{2}*x+t}{2\beta }})} 又从 2 ∗ t / β = 2 ∗ l n ( c s c ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) − c o t ( ( 1 / 2 ) ∗ u ) ) {\displaystyle 2*t/\beta =2*ln(csc((1/2)*u)-cot((1/2)*u))} 直接接求u得另外两个解析解： u ( x , t ) = 2 ∗ a r c t a n ( 2 ∗ e x p ( ( 1 / 2 ) ∗ ( β 2 ∗ x + t ) / β ) / ( 1 + ( e x p ( ( 1 / 2 ) ∗ ( β 2 ∗ x + t ) / β ) ) 2 ) ) {\displaystyle u(x,t)=2*arctan(2*exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta )/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))} u ( x , t ) = − 2 ∗ a r c t a n ( ( ( e x p ( ( 1 / 2 ) ∗ ( β 2 ∗ x + t ) / β ) ) 2 − 1 ) / ( 1 + ( e x p ( ( 1 / 2 ) ∗ ( β 2 ∗ x + t ) / β ) ) 2 ) ) {\displaystyle u(x,t)=-2*arctan(((exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}-1)/(1+(exp((1/2)*(\beta ^{2}*x+t)/\beta ))^{2}))} 可积系统 KdV方程 Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年