二項式係數

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} 為參數決定，寫作 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，定義為 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} 的多項式展開式中， x k {\displaystyle x^{k}} 項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 ( n 0 ) , ( n 1 ) , … , ( n n ) {\displaystyle {\binom {n}{0}},{\binom {n}{1}},\dots ,{\binom {n}{n}}} 寫成一行，再依照 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\dots } 順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。 二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上， ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 可以被理解為從 n {\displaystyle n} 個相異元素中取出 k {\displaystyle k} 個元素的方法數，所以 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 大多讀作「 n {\displaystyle n} 取 k {\displaystyle k} 」。二項式係數 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的定義可以推廣至 n {\displaystyle n} 是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。 雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 Halayudha（英语：Halayudha）寫的印度教典籍《宾伽罗的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。 二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括： C ( n , k ) {\displaystyle C(n,k)} 、 n C k {\displaystyle _{n}C_{k}} 、 n C k {\displaystyle ^{n}C_{k}} 、 C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} 、 C k n {\displaystyle C_{k}^{n}} ，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 P k n {\displaystyle P_{k}^{n}} ，例如寫作 P(n, k)。 對於非負整数 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} ，二項式係數 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 定義為 ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}} 的多項式展開式中， x k {\displaystyle x^{k}} 項的係數，即 ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k = ( n 0 ) + ( n 1 ) x + ⋯ + ( n n ) x n {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+\cdots +{\binom {n}{n}}x^{n}} 事實上，若 x {\displaystyle x} 、 y {\displaystyle y} 為交換環上的元素，則 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}} 此數的另一出處在組合數學，表達了從 n {\displaystyle n} 物中，不計較次序取 k {\displaystyle k} 物有多少方式，亦即從一 n {\displaystyle n} 元素集合中所能組成 k {\displaystyle k} 元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪 ( 1 + X ) n {\displaystyle (1+X)^{n}} 的 n {\displaystyle n} 個因數逐一標記為 i {\displaystyle i} （從1至 n {\displaystyle n} ），則任一 k {\displaystyle k} 元素子集則建構成展式中的一個 X k {\displaystyle X^{k}} 項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} 而言， ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由 n {\displaystyle n} 個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為 k {\displaystyle k} 的數目為 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，又如算式 k = a 1 + a 2 + ⋯ + a n {\displaystyle k=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}} ，其中每一 a i {\displaystyle a_{i}} 均為非負整數，則有 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}} 種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算 k {\displaystyle k} 個元素的組合的數量。 除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的值。 以下遞歸公式可計算二項式係數： ( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) ∀ n , k ∈ N {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}\quad \forall n,k\in \mathbb {N} } 其中特別指定： ( n 0 ) = 1 ∀ n ∈ N ∪ { 0 } , {\displaystyle {\binom {n}{0}}=1\quad \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\},} ( 0 k ) = 0 ∀ k ∈ N . {\displaystyle {\binom {0}{k}}=0\quad \forall k\in \mathbb {N} .} 此公式可由計算 ( 1 + x ) n − 1 ( 1 + x ) {\displaystyle (1+x)^{n-1}(1+x)} 中的 x k {\displaystyle x^{k}} 項，或點算集合 { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle \left\{1,2,\cdots ,n\right\}} 的 k {\displaystyle k} 個元素組合中包含 n {\displaystyle n} 與不包含 n {\displaystyle n} 的數量得出。 顯然，如果 k > n {\displaystyle k>n} ，則 ( n k ) = 0 {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0} 。而且對所有 n {\displaystyle n} ， ( n n ) = 1 {\displaystyle {\tbinom {n}{n}}=1} ，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。 個別二項式係數可用以下公式計算： ( n k ) = n k _ k ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ [ n − ( k − 1 ) ] k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 = ∏ i = 1 k n − ( k − i ) i , {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots [n-(k-1)]}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-(k-i)}{i}},} 上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從 n {\displaystyle n} 個元素中取出 k {\displaystyle k} 個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的 k {\displaystyle k} 個元素可有多少種排序方式。 二項式係數最簡潔的表達式是階乘: ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! for    0 ≤ k ≤ n . {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\mbox{for }}\ 0\leq k\leq n.} 其中「 n ! {\displaystyle n!} 」是 n {\displaystyle n} 的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以 ( n − k ) ! {\displaystyle (n-k)!} 取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性： 若將 n {\displaystyle n} 換成任意數值（負數、實數或複數） α {\displaystyle \alpha } ，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展： ( α k ) = α k _ k ! = α ( α − 1 ) ( α − 2 ) ⋯ ( α − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 1 for  k ∈ N  and arbitrary  α . {\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\mbox{for }}k\in \mathbb {N} {\mbox{ and arbitrary }}\alpha .} 此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故 ( α k ) {\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}} 仍能相稱地稱作二項式係數： 此公式對任何複數 α {\displaystyle \alpha } 及 X {\displaystyle X} ， | X | < 1 {\displaystyle \left\vert X\right\vert <1} 時成立，故此亦可視作 X {\displaystyle X} 的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如 ( 1 + X ) α ( 1 + X ) β = ( 1 + X ) α + β and ( ( 1 + X ) α ) β = ( 1 + X ) α β . {\displaystyle (1+X)^{\alpha }(1+X)^{\beta }=(1+X)^{\alpha +\beta }\quad {\mbox{and}}\quad ((1+X)^{\alpha })^{\beta }=(1+X)^{\alpha \beta }.} 若 α {\displaystyle \alpha } 是一非負整數 n {\displaystyle n} ，則所有 k > n {\displaystyle k>n} 的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於 α {\displaystyle \alpha } 的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。 帕斯卡法則是一重要的遞歸等式： 此式可以用於數學歸納法，以証明 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 對於所有 n {\displaystyle n} 和 k {\displaystyle k} 均為自然數（等同於証明 k ! {\displaystyle k!} 為所有 k {\displaystyle k} 個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。 帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形: 第 n {\displaystyle n} 橫行列出 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 的 k = 0 , … , n {\displaystyle k=0,\ldots ,n} 項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出 ( x + y ) 5 = 1 x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + 1 y 5 {\displaystyle (x+y)^{5}={\boldsymbol {1}}x^{5}+{\boldsymbol {5}}x^{4}y+{\boldsymbol {10}}x^{3}y^{2}+{\boldsymbol {10}}x^{2}y^{3}+{\boldsymbol {5}}xy^{4}+{\boldsymbol {1}}y^{5}} 在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式(3)的延伸意義。 二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如 共有 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 種方式從 n {\displaystyle n} 元素中選取 k {\displaystyle k} 項。見組合。 共有 ( n + k − 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}} 種方式從一個 n {\displaystyle n} 元素集合中選取（容許重覆選取） k {\displaystyle k} 元素建立多重集。 共有 ( n + k k ) {\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}} 個字符串包含 k {\displaystyle k} 個1和 n {\displaystyle n} 個零。 共有 ( n + 1 k ) {\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}} 個字符串包含 k {\displaystyle k} 個1和 n {\displaystyle n} 個零，且沒有兩個1相鄰。 卡塔蘭數是 ( 2 n n ) n + 1 {\displaystyle {\frac {\tbinom {2n}{n}}{n+1}}} 統計學中的二項式分佈是 ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\!} 貝茲曲線的公式。 就任就非負整數 k {\displaystyle k} ， ( t k ) {\displaystyle \scriptstyle {\binom {t}{k}}} 可表達為一多項式除以 k ! {\displaystyle k!} ： ( t k ) = ( t ) k k ! = ( t ) k ( k ) k = t ( t − 1 ) ( t − 2 ) ⋯ ( t − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ ( 2 ) ( 1 ) ; {\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {(t)_{k}}{k!}}={\frac {(t)_{k}}{(k)_{k}}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (2)(1)}};\,\!} 此為帶有理數係數，變量是 t {\displaystyle t} 的多項式，可對任意實數或複數 t {\displaystyle t} 運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。 就任意 k {\displaystyle k} ，多項式 ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 可看成是惟一的 k {\displaystyle k} 次多項式 p ( t ) {\displaystyle p(t)} 滿足 p ( 0 ) = p ( 1 ) = … = p ( k − 1 ) = 0 {\displaystyle p(0)=p(1)=\ldots =p(k-1)=0} 及 p ( k ) = 1 {\displaystyle p(k)=1} . 其係數可以第一類斯特靈數表示，即： ( t k ) = ∑ i = 0 k s k , i k ! t i {\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {s_{k,i}}{k!}}t^{i}} ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 之導數可以對數微分計算： d d t ( t k ) = ( t k ) ∑ i = 0 k − 1 1 t − i . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {1}{t-i}}\,.} 在任何包含Q的域中，最多 d {\displaystyle d} 階的多項式有惟一的線性組合 ∑ k = 0 d a k ( t k ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}a_{k}{\binom {t}{k}}} 。係數 a k {\displaystyle a_{k}} 是數列 p ( 0 ) , p ( 1 ) , … , p ( k ) {\displaystyle p(0),p(1),\ldots ,p(k)} 的第k差分，亦即： 每一多項式 ( t k ) {\displaystyle {\tbinom {t}{k}}} 在整數參數時均是整數值（可在 k {\displaystyle k} 上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域 k {\displaystyle k} 的任何子環 R {\displaystyle R} ，在 K [ t ] {\displaystyle K[t]} 內的多項式在整數參數時之值均在 R {\displaystyle R} 內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的 R {\displaystyle R} -線性組合。 整數值多項式 3 t ( 3 t + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}} 可表達作： 9 ( t 2 ) + 6 ( t 1 ) + 0 ( t 0 ) {\displaystyle 9{\tbinom {t}{2}}+6{\tbinom {t}{1}}+0{\tbinom {t}{0}}} 从 t = 1 , 2 , 3 {\displaystyle t=1,2,3} 时 3 t ( 3 t + 1 ) 2 = 6 , 21 , 45 {\displaystyle {\frac {3t(3t+1)}{2}}=6,21,45} 用帕斯卡矩阵的逆可算出： ( ( t − 1 0 ) ( t − 1 1 ) ( t − 1 2 ) ) ( 1 0 0 − 1 1 0 1 − 2 1 ) ( 6 21 45 ) = ( ( t − 1 0 ) ( t − 1 1 ) ( t − 1 2 ) ) ( 6 15 9 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\21\\45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\tbinom {t-1}{0}}&{\tbinom {t-1}{1}}&{\tbinom {t-1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}6\\15\\9\end{pmatrix}}} = 6 ( t − 1 0 ) + 15 ( t − 1 1 ) + 9 ( t − 1 2 ) = 6 ( t 1 ) + 9 ( t 2 ) {\displaystyle =6{\tbinom {t-1}{0}}+15{\tbinom {t-1}{1}}+9{\tbinom {t-1}{2}}=6{\tbinom {t}{1}}+9{\tbinom {t}{2}}} 这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。 階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在 k {\displaystyle k} 是正整數時，對任意 n {\displaystyle n} 有： ( n + 1 k ) = ( n k ) + ( n k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n+1}{k}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}} ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}} ( n − 1 k ) − ( n − 1 k − 1 ) = n − 2 k n ( n k ) . {\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.} 两个组合数相乘可作变换： ( n i ) ( i m ) = ( n m ) ( n − m i − m ) {\displaystyle {\binom {n}{i}}{\binom {i}{m}}={\binom {n}{m}}{\binom {n-m}{i-m}}} ∑ r = 0 n ( n r ) = 2 n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}} ∑ r = 0 k ( n + r − 1 r ) = ( n + k k ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{k}{\binom {n+r-1}{r}}={\binom {n+k}{k}}} ∑ r = 0 n − k ( − 1 ) r ( n + 1 ) k + r + 1 ( n − k r ) = ( n k ) − 1 {\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}} ∑ r = 0 n ( d n d r ) = 1 d ∑ r = 1 d ( 1 + e 2 π r i d ) d n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}} ∑ i = m n ( a + i i ) = ( a + n + 1 n ) − ( a + m m − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {a+i}{i}}={\binom {a+n+1}{n}}-{\binom {a+m}{m-1}}} ( a + m m − 1 ) + ( a + m m ) + ( a + m + 1 m + 1 ) + . . . + ( a + n n ) = ( a + n + 1 n ) {\displaystyle {\binom {a+m}{m-1}}+{\binom {a+m}{m}}+{\binom {a+m+1}{m+1}}+...+{\binom {a+n}{n}}={\binom {a+n+1}{n}}} F n = ∑ i = 0 ∞ ( n − i i ) {\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}} F n − 1 + F n = ∑ i = 0 ∞ ( n − 1 − i i ) + ∑ i = 0 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i − 1 ) + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n + 1 − i i ) = ∑ i = 0 ∞ ( n + 1 − i i ) = F n + 1 {\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}} ∑ i = m n ( i a ) = ( n + 1 a + 1 ) − ( m a + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}} ( m a + 1 ) + ( m a ) + ( m + 1 a ) . . . + ( n a ) = ( n + 1 a + 1 ) {\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}} ∑ r = 0 n ( n r ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}} ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) = ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}} ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( 1 − x ) − r 1 − r 2 {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}} ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + n − 1 r 1 − 1 ) x n ) ( ∑ n = 0 ∞ ( r 2 + n − 1 r 2 − 1 ) x n ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) ) x n {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}} ( 1 − x ) − r 1 − r 2 = ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 ) x n {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}} ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = ( n + m k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}} ( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}} Higham (1998) Lilavati 第6節，第4章（見Knuth (1997)）。 Shilov (1977) 見(Graham, Knuth & Patashnik 1994)，其中就 k < 0 {\displaystyle k<0} 定義了 ( n k ) = 0 {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0} ，其他一般化形式包括考慮兩參數為實數或複數時以伽瑪函數為 k < 0 {\displaystyle k<0} 時定義 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ，但此舉會令大部分二項式係數的恆等式失效，故未有被廣泛採用。然而，此方法替不等於零的參數下定義則可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997中那種好看的「帕斯卡風車」，但是卻會令帕斯卡法則在原點失效。 此可視作泰勒定理的離散形式，亦與牛頓多項式有關，此式的交錯項之和可以Nörlund–Rice積分表示。 Muir, Thomas. Note on Selected Combinations. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 1902.  两个排列组合求和公式. [2014-01-05]. （原始内容存档于2019-05-02）.  赵丽棉 黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2014-01-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.  徐更生 何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2014-01-04]. （原始内容存档于2019-05-02）.  伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2014-05-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.  Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Mathematical Association of America. Bryant, Victor. Aspects of combinatorics. Cambridge University Press. 1993. ISBN 0521419743.  Flum, Jörg; Grohe, Martin. Parameterized Complexity Theory. Springer. 2006 [2011-07-28]. ISBN 978-3-540-29952-3. （原始内容存档于2007-11-18）.  Fowler, David. The Binomial Coefficient Function. The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America). January 1996, 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209. doi:10.2307/2975209.  Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics Second. Addison-Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5.  Higham, Nicholas J. Handbook of writing for the mathematical sciences. SIAM. 1998: 25. ISBN 0898714206.  Knuth, Donald E. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms Third. Addison-Wesley. 1997: 52–74. ISBN 0-201-89683-4.  Singmaster, David. Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients. J. London Math. Soc. (2). 1974, 8 (3): 555–560. doi:10.1112/jlms/s2-8.3.555.  Shilov, G. E. Linear algebra. Dover Publications. 1977. ISBN 9780486635187.  组合 Calculation of Binomial Coefficient 本條目含有来自PlanetMath《Binomial Coefficient》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。 本條目含有来自PlanetMath《Bounds for binomial coefficients》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。 本條目含有来自PlanetMath《C(n,k) is an integer》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。 本條目含有来自PlanetMath《Generalized binomial coefficients》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。