西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（英語：Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程，形式如下： A X + X B = C . {\displaystyle AX+XB=C.} 其中 A n × n {\displaystyle A_{n\times n}} 、 B m × m {\displaystyle B_{m\times m}} 及 C n × m {\displaystyle C_{n\times m}} 是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是复数。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是A与-B沒有共同的特徵值。 AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的谱不互交。 利用克罗内克积以及向量化量子（英语：Vectorization (mathematics)） vec {\displaystyle \operatorname {vec} } ，可以改寫西爾維斯特方程為 ( I m ⊗ A + B T ⊗ I n ) vec ⁡ X = vec ⁡ C , {\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,} 其中 I k {\displaystyle I_{k}} 為 k × k {\displaystyle k\times k} 單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為 m n × m n {\displaystyle mn\times mn} 維的線性系統。 命题 假定複數的 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} ，西爾維斯特方程針對任意 C {\displaystyle C} 有唯一解 X {\displaystyle X} ，若且唯 若 A {\displaystyle A} 和 − B {\displaystyle -B} 沒有共同的特徵值。 證明 考慮線性轉換 S : M n → M n {\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}} ， X ↦ A X + X B {\displaystyle X\mapsto AX+XB} . (i)假設 A {\displaystyle A} 和 − B {\displaystyle -B} 沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 和 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 的最大公因式為 1 {\displaystyle 1} ，因此存在複數多項式 p ( z ) {\displaystyle p(z)} 和 q ( z ) {\displaystyle q(z)} ，使得 p ( z ) f ( z ) + q ( z ) g ( z ) = 1 {\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1} 。依照Cayley–Hamilton定理， f ( A ) = 0 = g ( − B ) {\displaystyle f(A)=0=g(-B)} ；因此 g ( A ) q ( A ) = I {\displaystyle g(A)q(A)=I} 。令 X {\displaystyle X} 為 S ( X ) = 0 {\displaystyle S(X)=0} 的解，則 A X = − X B {\displaystyle AX=-XB} ，重複上述作法，可得 X = q ( A ) g ( A ) X = q ( A ) X g ( − B ) = 0 {\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0} 。因此依照秩－零化度定理， S {\displaystyle S} 是可逆的，因此針對所有的 C {\displaystyle C} 都存在唯一的解 X {\displaystyle X} 。 (ii) 相對的，若假設 s {\displaystyle s} 是 A {\displaystyle A} 和 − B {\displaystyle -B} 的共同特徵值，則 s ¯ {\displaystyle {\bar {s}}} 也是 A H {\displaystyle A^{H}} 的特徵值。存在非零向量 v {\displaystyle v} 和 w {\displaystyle w} 使得 A H w = s ¯ w {\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w} 以及 B v = − s v {\displaystyle Bv=-sv} 。選擇 C {\displaystyle C} 使得 C v = w {\displaystyle Cv=w} ，則 A X + X B = C {\displaystyle AX+XB=C} 沒有解 X {\displaystyle X} ，考虑 ⟨ ( A X + X B ) v , w ⟩ = ⟨ C v , w ⟩ = ⟨ w , w ⟩ {\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle } ，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 ⟨ ( A X + X B ) v , w ⟩ = ⟨ X v , A H w ⟩ − s ⟨ X v , w ⟩ = s ⟨ X v , w ⟩ − s ⟨ X v , w ⟩ = 0 {\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0} 。 假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣 [ A C 0 B ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}} 和 [ A 0 0 B ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}} 是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）。 可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則 [ I n X 0 I m ] [ A C 0 B ] [ I n − X 0 I m ] = [ A 0 0 B ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.} Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中。 西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法（英语：QR algorithm）將矩陣 A {\displaystyle A} 和矩陣 B {\displaystyle B} 轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算，計算複雜度是 O ( n 3 ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})} 個數學運算[來源請求]。也可以參考其中的sylvester函數。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解。 李亞普諾夫方程 代數Riccati方程 不過也常寫成等效的AX-XB=C. Bhatia and Rosenthal, 1997 不過若是要算其數值解，不建議寫成此形式，因為求解的計算量很高，而且可能會是病態方程 Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888.  Bhatia and Rosenthal, p.3 存档副本. [2017-12-27]. （原始内容存档于2018-11-14）.  存档副本. [2017-12-27]. （原始内容存档于2018-02-12）.  The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0 Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.  Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116.  Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.  Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.  Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.  Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572.  Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.