群上同調

在同調代數中，群上同調是一套研究群及其表示的代數工具。群上同調源於代數拓撲，在代數數論上也有重要應用；它是現代類域論的基本構件之一。 群論中的指導思想之一，是研究群 G {\displaystyle G} 及其表示的關係。群 G {\displaystyle G} 的表示是 G {\displaystyle G} -模的特例：一個 G {\displaystyle G} -模是一個阿貝爾群 M {\displaystyle M} 配上 G {\displaystyle G} 在 M {\displaystyle M} 上的群作用 G → E n d ( M ) {\displaystyle G\to \mathrm {End} (M)} 。等價的說法是： M {\displaystyle M} 是群環 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} 上的模。通常將 G {\displaystyle G} 的作用寫成乘法 m ↦ g m {\displaystyle m\mapsto gm} 。全體 G {\displaystyle G} -模自然地構成一個阿貝爾範疇。 對給定的 G {\displaystyle G} -模 M {\displaystyle M} ，最重要的子群之一是其 G {\displaystyle G} -不變子群 M G = { x ∈ M : ∀ g ∈ G   g x = x } . {\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M:\forall g\in G\ gx=x\rbrace .} 若 N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} 是一個 G {\displaystyle G} -子模（即：是 M {\displaystyle M} 的子群，且在 G {\displaystyle G} 的作用下不變），則 M / N {\displaystyle M/N} 上賦有自然的 G {\displaystyle G} -模結構， N G ⊂ M G {\displaystyle N^{G}\subset M^{G}} ，但是未必有 ( M / N ) G = M G / N G {\displaystyle (M/N)^{G}=M^{G}/N^{G}} 。第一個群上同調群 H 1 ( G , N ) {\displaystyle H^{1}(G,N)} 可以設想為兩者間差異的某種量度。一般而言，可以定義一族函子 H n ( G , − ) {\displaystyle H^{n}(G,-)} ，其間關係可以由長正合序列表示。 以下假設 G {\displaystyle G} 為有限群，全體 G {\displaystyle G} -模構成阿貝爾範疇，其間的態射 H o m G ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{G}(M,N)} 定義為滿足 f ( g x ) = g f ( x ) {\displaystyle f(gx)=gf(x)} 的群同態 f : M → N {\displaystyle f:M\to N} 。由於此範疇等價於 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} -模範疇，故有充足的內射對象。 函子 M → M G {\displaystyle M\to M^{G}} 是從 G {\displaystyle G} -模範疇映至阿貝爾群範疇的左正合函子。定義 H n ( G , M ) {\displaystyle H^{n}(G,M)} 為其導函子。根據導函子的一般理論，可知： H 0 ( G , M ) = M G {\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}} 長正合序列：若 0 → M ′ → M → M ″ → 0 {\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0} 為 G {\displaystyle G} -模的短正合序列，則導出相應的長正合序列 ⋯ → H i − 1 ( G , M ″ ) → H i ( G , M ′ ) → H i ( G , M ) → H i ( G , M ″ ) → H i + 1 ( M ′ ) → H i + 1 ( M ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{i-1}(G,M'')\to H^{i}(G,M')\to H^{i}(G,M)\to H^{i}(G,M'')\to H^{i+1}(M')\to H^{i+1}(M)\to \cdots } 在上述定義中，若固定一個域 k {\displaystyle k} ，並以 k [ G ] {\displaystyle k[G]} 代替 Z [ G ] {\displaystyle \mathbb {Z} [G]} ，得到的上同調群依然同構。 導出函子的定義來自內射分解，不便於具體計算。然而注意到 M G = H o m G ( Z , M ) {\displaystyle M^{G}=\mathrm {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)} ，其中 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 被賦予平凡的 G {\displaystyle G} 作用： g x = x {\displaystyle gx=x} ，故群上同調可以用Ext函子表達為 H i ( G , M ) = E x t i ( Z , M ) {\displaystyle H^{i}(G,M)=\mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)} 另一方面， G {\displaystyle G} -模範疇中也有充足的射影對象，若取一 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的射影分解 0 ← Z ← P ∙ {\displaystyle 0\leftarrow \mathbb {Z} \leftarrow P_{\bullet }} ，則有自然的同構 E x t i ( Z , M ) ≃ H i ( H o m ( P ∙ , M ) ) {\displaystyle \mathrm {Ext} ^{i}(\mathbb {Z} ,M)\simeq H^{i}(\mathrm {Hom} (P_{\bullet },M))} 。最自然的分解是標準分解 L i := ∑ ( g 0 , … , g i ) ∈ G Z ( g 0 , … , g i ) {\displaystyle L_{i}:=\sum _{(g_{0},\ldots ,g_{i})\in G}\mathbb {Z} (g_{0},\ldots ,g_{i})} g ( g 0 , … , g i ) = ( g g 0 , … , g g i ) {\displaystyle g(g_{0},\ldots ,g_{i})=(gg_{0},\ldots ,gg_{i})} d ( g 0 , … , g i ) = ∑ j = 0 i ( g 0 , … , g ^ j , … , g i ) {\displaystyle d(g_{0},\ldots ,g_{i})=\sum _{j=0}^{i}(g_{0},\ldots ,{\hat {g}}_{j},\ldots ,g_{i})} 而 L 0 → Z {\displaystyle L_{0}\to \mathbb {Z} } 由 g 0 ↦ 1 {\displaystyle g_{0}\mapsto 1} 給出。 定義 K i := H o m G ( L i , M ) {\displaystyle K^{i}:=\mathrm {Hom} _{G}(L_{i},M)} ，其元素為形如 f : G i + 1 ↦ M {\displaystyle f:G^{i+1}\mapsto M} 的函數，並滿足 f ( g g 0 , … , g g i ) = g f ( g 0 , … , g i ) {\displaystyle f(gg_{0},\ldots ,gg_{i})=gf(g_{0},\ldots ,g_{i})} ，稱之為齊次上鏈。根據 G {\displaystyle G} 在 L i {\displaystyle L_{i}} 上的作用，這種 f {\displaystyle f} 由它在形如 ( e , g 1 , g 1 g 2 , … , g 1 … , g i ) {\displaystyle (e,g_{1},g_{1}g_{2},\ldots ,g_{1}\ldots ,g_{i})} 的元素上的取值確定。藉此，可將上鏈複形 K i {\displaystyle K^{i}} 描述為 K i {\displaystyle K^{i}} 的元素為 G i → M {\displaystyle G^{i}\to M} 之函數。 ( d f ) ( g 1 , … , g i + 1 ) = g 1 f ( g 2 , … , g i + 1 ) + ∑ j = 1 i ( − 1 ) j f ( g 1 , … , g j g j + 1 , … , g i + 1 ) + ( − 1 ) i + 1 f ( g 1 , … , g i ) {\displaystyle (df)(g_{1},\ldots ,g_{i+1})=g_{1}f(g_{2},\ldots ,g_{i+1})+\sum _{j=1}^{i}(-1)^{j}f(g_{1},\ldots ,g_{j}g_{j+1},\ldots ,g_{i+1})+(-1)^{i+1}f(g_{1},\ldots ,g_{i})} 其中的元素稱為非齊次上鏈。 綜上所述，得到 H i ( K ∙ ) = H i ( G , M ) {\displaystyle H^{i}(K^{\bullet })=H^{i}(G,M)} 。 較常用的上同調是 H 1 {\displaystyle H^{1}} 與 H 2 {\displaystyle H^{2}} 。從標準分解可導出以下的描述： H 1 ( G , M ) = { f : G → M | ∀ g , g ′ , f ( g g ′ ) = g f ( g ′ ) + f ( g ) } { f : G → M : ∃ m ∀ g , f ( g ) = g m − m } {\displaystyle H^{1}(G,M)={\dfrac {\{f:G\to M|\forall g,g',\;f(gg')=gf(g')+f(g)\}}{\{f:G\to M:\exists m\,\forall g,\;f(g)=gm-m\}}}} 準此要領，亦有 H 2 ( G , M ) = { f : G 2 → M | g f ( g ′ , g ″ ) − f ( g g ′ , g ″ ) + f ( g , g ′ g ″ ) − f ( g , g ′ ) = 0 } { f : G 2 → M : ∃ h : G → M , f ( g , g ′ ) = g h ( g ′ ) − h ( g g ′ ) + h ( g ) } {\displaystyle H^{2}(G,M)={\dfrac {\{f:G^{2}\to M|gf(g',g'')-f(gg',g'')+f(g,g'g'')-f(g,g')=0\}}{\{f:G^{2}\to M:\exists h:G\to M,f(g,g')=gh(g')-h(gg')+h(g)\}}}} 上述理論有一對偶版本：對於任一 G {\displaystyle G} -模 M {\displaystyle M} ，定義 D M {\displaystyle DM} 為形如 g m − m {\displaystyle gm-m} 的元素生成之子模。考慮從 G {\displaystyle G} -模範疇映至阿貝爾群範疇的函子 M → M G := M / D M = Z ⊗ Z [ G ] M {\displaystyle M\to M_{G}:=M/DM=\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M} 這是一個右正合函子，其導出函子稱為為群同調 H n ( G , M ) {\displaystyle H_{n}(G,M)} 。群同調可以藉Tor函子描述為 H i ( G , M ) ≃ T o r i Z [ G ] ( Z , M ) {\displaystyle H_{i}(G,M)\simeq \mathrm {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)} 對於有限群，群同調與群上同調可在塔特上同調群的理論下得到一貫的描述。 將上述定義中的 G {\displaystyle G} -模 M {\displaystyle M} 改成一般的群 A {\displaystyle A} （未必交換），並帶有 G {\displaystyle G} 的作用 a ↦ g ( a ) {\displaystyle a\mapsto g(a)} （稱之為 G {\displaystyle G} -群）。此時仍然可以定義第零個及第一個群上同調： H 0 ( G , A ) := A G = { a ∈ A | ∀ g ∈ G , g ( a ) = a } {\displaystyle H^{0}(G,A):=A^{G}=\{a\in A|\forall g\in G,\;g(a)=a\}} H 1 ( G , A ) := { a s : G → A | ∀ s , t ∈ G , a s t = a s s ( a t ) } { b s : G → A | ∃ a , b s = a − 1 s ( a ) } {\displaystyle H^{1}(G,A):={\dfrac {\{a_{s}:G\to A|\forall s,t\in G,\;a_{st}=a_{s}s(a_{t})\}}{\{b_{s}:G\to A|\exists a,b_{s}=a^{-1}s(a)\}}}} 須留意 H 0 ( G , A ) , H 1 ( G , A ) {\displaystyle H^{0}(G,A),H^{1}(G,A)} 並不是群，而是帶有一個指定元素的集合（來自 A {\displaystyle A} 的單位元素），以下所謂的正合性，都應該在此意義下理解。 若 1 → A → B → C → 1 {\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1} 是 G {\displaystyle G} -群的短正合序列，則有長正合序列 1 → A G → B G → C G → H 1 ( G , A ) → H 1 ( G , B ) → H 1 ( G , C ) {\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C)} 若 A {\displaystyle A} 落在 B {\displaystyle B} 的中心，此序列右端可再加一項 H 1 ( G , C ) → H 2 ( G , A ) {\displaystyle H^{1}(G,C)\to H^{2}(G,A)} 。 若 f : H → G {\displaystyle f:H\to G} 為群同態，則可將任一 G {\displaystyle G} -模透過 f {\displaystyle f} 視為 H {\displaystyle H} -模，此運算導出上同調之間的映射 H ∙ ( G , M ) → H ∙ ( H , M ) {\displaystyle H^{\bullet }(G,M)\to H^{\bullet }(H,M)} 此映射與群上同調的長正合序列相容。當 H {\displaystyle H} 是 G {\displaystyle G} 的子群而 f {\displaystyle f} 是包含映射，導出的映射稱為限制映射，記為 Res。 由於我們假設 G {\displaystyle G} 為有限群，必有 ( G : H ) < ∞ {\displaystyle (G:H)<\infty } ，此時映射 N G / H : M H → M G , N G / H ( m ) := ∑ g ∈ G / H g m {\displaystyle N_{G/H}:M^{H}\to M^{G},\quad N_{G/H}(m):=\sum _{g\in G/H}gm} 導出一個上限制映射 C o r : H ∙ ( H , M ) → H ∙ ( G , M ) {\displaystyle \mathrm {Cor} :H^{\bullet }(H,M)\to H^{\bullet }(G,M)} 。 定理. C o r ∘ R e s = ( G : H ) i d {\displaystyle \mathrm {Cor} \circ \mathrm {Res} =(G:H)\mathrm {id} } 若 M {\displaystyle M} 是平凡的 G {\displaystyle G} 模（即 ∀ g ∈ G , g m = m {\displaystyle \forall g\in G,\;gm=m} ），則 H 2 ( G , M ) {\displaystyle H^{2}(G,M)} 中的元素一一對應於 G {\displaystyle G} 對 M {\displaystyle M} 的中心擴張的等價類 0 → M → E → p G → 1 {\displaystyle 0\to M\to E{\stackrel {p}{\to }}G\to 1} 中心擴張意謂： 0 → M → E → G → 1 {\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 1} 是群擴張，而且 M {\displaystyle M} 落在 E {\displaystyle E} 的中心內。 具體描述方法是：任取一映射 s : G → E , p ∘ s = i d G {\displaystyle s:G\to E,p\circ s=\mathrm {id} _{G}} 。 s {\displaystyle s} 不一定是群同態，但存在函數 f : G 2 → M {\displaystyle f:G^{2}\to M} 使得 s ( g ) s ( g ′ ) = f ( g , g ′ ) s ( g g ′ ) {\displaystyle s(g)s(g')=f(g,g')s(gg')} 。 s {\displaystyle s} 及 f {\displaystyle f} 刻劃了 E {\displaystyle E} 的群結構。不難驗證 f ∈ K 2 {\displaystyle f\in K^{2}} 滿足 d f = 0 {\displaystyle df=0} ，而 s {\displaystyle s} 的選取對應於 f ↦ f + d h , h ∈ K 1 {\displaystyle f\mapsto f+dh,h\in K^{1}} ，所以 f ∈ H 2 ( G , A ) {\displaystyle f\in H^{2}(G,A)} 僅決定於唯一的一個中心擴張。反之，任一 f ∈ H 2 ( G , A ) {\displaystyle f\in H^{2}(G,A)} 都來自於某個中心擴張，證畢。 若 N ⊂ G {\displaystyle N\subset G} 是 G {\displaystyle G} 的正規子群，則有下述譜序列 H p ( G / N , H q ( N , A ) ) ⟹ H p + q ( G , A ) . {\displaystyle H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\implies H^{p+q}(G,A).\,} 對於射影有限群，此式依然成立。 Hopf, Heinz, Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe, Comment. 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