遞進階乘與遞降階乘

在数学中，階乘冪（英語：Factorial power）是基于自然數数列积的一种运算，分為遞進階乘（英語：Rising factorial）和遞降階乘（英語：Falling factorial），或稱上升階乘和下降階乘， 遞進階乘与遞降階乘有多种书写方式。 由里奧·珀赫哈默尔（英语：Leo August Pochhammer）引进的珀赫哈默尔符號（Pochhammer symbol）是常用的一种，分別為   x ( n ) {\displaystyle \ x^{(n)}} 与   ( x ) n {\displaystyle \ (x)_{n}} 。 一种较为少见的写法将遞進階乘記作   ( x ) n + {\displaystyle \ (x)_{n}^{+}} 。 葛立恒、高德纳与奧倫·帕塔什尼克（英语：Oren Patashnik）在《具体数学》一书中，則引进符號 x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} 与 x n _ {\displaystyle x^{\underline {n}}} 。 在组合学和特殊函数理论中，遞進階乘用于表达上升自然數数列的积，定义为 x n ¯ = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! {\displaystyle x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}} 在组合学中也常用遞降階乘： x n _ = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n + 1 ) = x ! ( x − n ) ! {\displaystyle x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)={\frac {x!}{(x-n)!}}} 另外，值得一提的是遞降階乘实际上是排列 P n x {\displaystyle P_{n}^{x}} ，详见排列。 遞進階乘与遞降階乘，两者之间的关系为： x n ¯ = ( x + n − 1 ) n _ {\displaystyle x^{\overline {n}}=(x+n-1)^{\underline {n}}} 它們与阶乘的关系为： 1 n ¯ = n n _ = n ! {\displaystyle 1^{\overline {n}}=n^{\underline {n}}=n!} 零次幂的遞進階乘与遞降階乘都定義為空積 1 : x 0 ¯ = x 0 _ = 1 {\displaystyle x^{\overline {0}}=x^{\underline {0}}=1} 。 運用伽玛函数，階乘冪的定義域可以扩展到实数。 遞進階乘的定义變為 x n ¯ = Γ ( x + n ) Γ ( x ) x , x + n ≠ 0 , − 1 , − 2 , ⋯ {\displaystyle x^{\overline {n}}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}\quad x,x+n\neq 0,-1,-2,\cdots } 遞降階乘则为 x n _ = Γ ( x + 1 ) Γ ( x − n + 1 ) x , x + n ≠ − 1 , − 2 , − 3 , ⋯ {\displaystyle x^{\underline {n}}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}\quad x,x+n\neq -1,-2,-3,\cdots } 遞進階乘与遞降階乘都能以二项式系数形式表达： x n ¯ n ! = ( x + n − 1 n ) {\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{n!}}={x+n-1 \choose n}} x n _ n ! = ( x n ) {\displaystyle {\frac {x^{\underline {n}}}{n!}}={x \choose n}} 于是二项式系数适用的许多性质都适用于遞進階乘与遞降階乘。 显然，遞進階乘与遞降階乘作为 n 个连续整数的积，它定能被 n 整除，即 n | x n ¯ {\displaystyle n|x^{\overline {n}}} ； n | x n _ {\displaystyle n|x^{\underline {n}}} 。 當 n=4 ，遞進階乘与遞降階乘必定能表达为一个完全平方数减1，即 x 4 ¯ = k 2 − 1 {\displaystyle x^{\overline {4}}=k^{2}-1} ； x 4 _ = k 2 − 1 {\displaystyle x^{\underline {4}}=k^{2}-1} 。 遞進階乘与遞降階乘遵从一个类似二项式定理的规则: ( a + b ) n ¯ = ∑ r = 0 n ( n r ) a n − r ¯ b r ¯ {\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\overline {n-r}}b^{\overline {r}}} ( a + b ) n _ = ∑ r = 0 n ( n r ) a n − r _ b r _ {\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}a^{\underline {n-r}}b^{\underline {r}}} 其中系数为二项式系数。 因为遞降階乘是多项式环的基础，我们可以将遞降階乘的积表示为遞降階乘的线性组合： x m _ x n _ = ∑ k = 0 m ( m k ) ( n k ) k ! x m + n − k _ {\displaystyle x^{\underline {m}}x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}} 等式右边的系数则为二项式系数。 階乘冪能一般化至任意函數和公差： [ f ( x ) ] k / h = f ( x ) ⋅ f ( x + h ) ⋅ f ( x + 2 h ) ⋯ f ( x + ( k − 1 ) h ) {\displaystyle [f(x)]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f(x+(k-1)h)} [ f ( x ) ] k / − h = f ( x ) ⋅ f ( x − h ) ⋅ f ( x − 2 h ) ⋯ f ( x − ( k − 1 ) h ) {\displaystyle [f(x)]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f(x-(k-1)h)} 使用這個記號，原來的遞進階乘与遞降階乘便記作 [ x ] k / 1 {\displaystyle [x]^{k/1}} 和 [ x ] k / − 1 {\displaystyle [x]^{k/-1}} 。 差分方程里常使用遞降階乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似，不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中，遞降階乘 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} 替代微分中的 x k {\displaystyle x^{k}} 例如： Δ x k _ = k x k − 1 _ {\displaystyle \Delta x^{\underline {k}}=kx^{\underline {k-1}}\,} 与 ∂ ∂ x x k = k x k − 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}{x^{k}}=kx^{k-1}\,} 这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式的二项式型和谢费尔序列。 Pochhammer [ x , n ] = x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n − 1 ) = ( x + n − 1 ) ! ( x − 1 ) ! {\displaystyle {\text{Pochhammer}}[x,n]=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}} Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 . Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 . 埃里克·韦斯坦因. Pochhammer Symbol. MathWorld.  Elementary Proofs （页面存档备份，存于互联网档案馆） Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].