諧振子

古典力學中，一個諧振子（英語：harmonic oscillator）乃一個系統，當其從平衡位置位移，會感受到一個恢復力 F {\displaystyle F} 正比於位移 x {\displaystyle x} ，並遵守虎克定律： F = − k x {\displaystyle F=-kx\,} 其中 k {\displaystyle k} 是一個正值常數。 如果 F {\displaystyle F} 是系統僅受的力，則系統稱作簡諧振子（簡單和諧振子）。而其進行簡諧運動——正中央為平衡點的正弦或餘弦的振動，且振幅與頻率都是常數（頻率跟振幅無關）。 若同時存在一摩擦力正比於速度，則會存在阻尼現象，稱這諧振子為阻尼振子。在這樣的情形，振動頻率小於無阻尼情形，且振幅隨著時間減小。 若同時存在跟時間相關的外力，諧振子則稱作是受驅振子。 力學上的例子包括了單擺（限於小角度位移之近似）、連接到彈簧的質量體，以及聲學系統。其他的相類系統包括了電學諧振子（electrical harmonic oscillator，參見RLC電路）。 簡諧振子沒有驅動力，也沒有摩擦（阻尼），所以淨力單純為： F = − k x {\displaystyle F=-kx\,} 利用牛頓第二定律 F = m a = − k x {\displaystyle F=ma=-kx\,} 則加速度 a {\displaystyle a} 等於是 x {\displaystyle x} 的二次微分導數： m d 2 x d t 2 = − k x {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx} 若定義 ω 0 2 = k / m {\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m} ，則方程式可以寫為如下： d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0} 可以觀察到： d 2 x d t 2 = x ¨ = d x ˙ d t d x d x = d x ˙ d x d x d t = d x ˙ d x x ˙ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}} 然後代回原式得到 d x ˙ d x x ˙ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0} d x ˙ ⋅ x ˙ + ω 0 2 x ⋅ d x = 0 {\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0} 積分可得 x ˙ 2 + ω 0 2 x 2 = K {\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K} 其中K是積分常數，設K = (A ω0)2 x ˙ 2 = A 2 ω 0 2 − ω 0 2 x 2 {\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}} x ˙ = ± ω 0 A 2 − x 2 {\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}} d x ± A 2 − x 2 = ω 0 d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t} 經過積分，結果（包括積分常數φ）為 { arcsin ⁡ x A = ω 0 t + ϕ arccos ⁡ x A = ω 0 t + ϕ {\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}} 並有一般解 x = A cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,} 其中振幅 A {\displaystyle A\,} 以及相位 ϕ {\displaystyle \phi \,} 可透過初始條件來決定。 另外也可以將一般解寫成 x = A sin ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,} 其中 ϕ {\displaystyle \phi \,} 的值與前面形式相比，偏移了 π / 2 {\displaystyle \pi /2\,} ； 又可以寫作 x = A sin ⁡ ω 0 t + B cos ⁡ ω 0 t {\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,} 其中 A {\displaystyle A\,} 與 B {\displaystyle B\,} 為透過初始條件決定的常數，以替代前面形式的 A {\displaystyle A\,} 與 ϕ {\displaystyle \phi \,} 。 振動頻率則為 f = ω 0 2 π {\displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}} 動能為 T = 1 2 m ( d x d t ) 2 = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega _{0}t+\phi )} . 以及勢能（位能）為 U = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega _{0}t+\phi )} 所以系統總能為定值： E = 1 2 k A 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}kA^{2}} 一受驅諧振子滿足如下非齊次（nonhomogeneous）二階線性微分方程 d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = A 0 cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)} ， 其中 A 0 {\displaystyle A_{0}} 是驅動振幅而 ω {\displaystyle \omega } 是驅動頻率，針對的是一弦波式的驅動機制。這樣的系統出現在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統（沒有內部力學阻力或外部的空氣阻力）。 一阻尼諧振子滿足如下二階微分方程 d 2 x d t 2 + b m d x d t + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=0} ， 其中 b {\displaystyle b} 是由實驗決定的阻尼常數，滿足關係式 F = − b v {\displaystyle F=-bv} 。遵守此方程式的系統，其中一例為置於水中的加權彈簧（weighted spring），若假設水所施的阻尼力與速度 v {\displaystyle v} 呈線性比例關係。 阻尼諧振子的頻率為 ω 1 = ω 0 2 − R m 2 {\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-R_{m}^{2}}}} 其中 R m = b 2 m {\displaystyle R_{m}={\frac {b}{2m}}} 。 受驅阻尼振子滿足方程式 m d 2 x d t 2 + r d x d t + k x = F 0 cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+r{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)} 。 其一般解為兩個解的和，一為暫態解（無驅動阻尼諧振子之齊次常微分方程的解），與初始條件相關；另一為穩態解（非齊次常微分方程式之特殊解），與初始條件無關，只與驅動頻率、驅動力、阻尼力有關。 穩態解為 x ( t ) = F 0 Z m ω sin ⁡ ( ω t − ϕ ) {\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{Z_{m}\omega }}\sin(\omega t-\phi )} 其中 Z m = r 2 + ( ω m − k ω ) 2 {\displaystyle Z_{m}={\sqrt {r^{2}+\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)^{2}}}} 為阻抗（impedance）或線性響應函數（linear response function）之絕對值 Z = r + i ( ω m − k ω ) {\displaystyle Z=r+i\left(\omega m-{\frac {k}{\omega }}\right)} 而 ϕ = arctan ⁡ ( ω m − k ω r ) {\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {\omega m-{\frac {k}{\omega }}}{r}}\right)} 為相對於驅動力（相位定為0）的振動相位。 可以觀察到，當在某特定驅動頻率 ω {\displaystyle \omega } 時，振子振動之振幅（相對於一給定之 F 0 {\displaystyle F_{0}} ）達到最大。這發生在頻率為 ω r = k m − 2 ( r 2 m ) 2 {\displaystyle {\omega }_{r}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-2\left({\frac {r}{2m}}\right)^{2}}}} 之時，而此現象稱之為（位移上的）共振。 總結來說，在穩態時，振動頻率等同於驅動力的頻率，但振動與驅動力在相位上有偏移；且振幅大小與驅動頻率相關，當驅動頻率與振動系統偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。 例子：RLC電路；電阻類比於阻尼。 多數諧振子，至少近似上地說，是在解以下的微分方程式： d 2 x d t 2 + b m d x d t + ω 0 2 x = A 0 cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {b}{m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\omega _{0}}^{2}x=A_{0}\cos(\omega t)} 其中t是時間，b是阻尼常數，ωo是本徵角頻率，而Aocos(ωt)代表驅動系統的某種事物，其振幅Ao而角頻率ω。x是進行振盪的被測量量；可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關，關係式為 f = ω 2 π {\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}} 。 振幅：偏離平衡點的最大的位移量。 週期：系統完成一個振盪循環所需的時間，為頻率的倒數。 頻率：單位時間內系統執行的循環總數量（通常以赫茲 = 1/秒為量度）。 角頻率： ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} 相位：系统完成了循环的多少（开始时，系统的相位为零；完成了循环的一半时，系统的相位为 π {\displaystyle \pi } ）。 初始條件：t = 0时系统的状态。