斜方星形二十面體

在幾何學中，斜方星形二十面體（Rhombicosacron）是一種所有面皆全等的非凸多面體，由60個反平行四邊形組成，其索引為DU56，其對偶多面體是一種均勻多面體，由30個正方形和20個正六邊形組成，稱為斜方二十面體。 約克約克（YokYok）所設計的裝置藝術《鈷瑪芬》（Cobalt Muffin）的外型就是基於斜方星形二十面體設計的，曾於上海愚園路展出。 斜方星形二十面體由60個面、120條邊和50個頂點組成，因此是一種六十面體。其歐拉示性數為−10，虧格為6。 組成斜方星形二十面體的60個面皆為全等的反平行四邊形。 其120條邊中，有60條來自反平行四邊形的交叉邊、60條來自反平行四邊形外側的腰，也就是說，在斜方星形二十面體中，長邊（反平行四邊形的交叉邊）與短邊（反平行四邊形外側的腰）各有60條。 斜方星形二十面體的二面角為： cos − 1 ⁡ ( − 5 7 ) ≈ 2.366399 ≈ 135.58469 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}(-{\frac {5}{7}})\approx 2.366399\approx 135.58469^{\circ }} 如果斜方星形二十面體的幾何中心位於原點且其對偶邊長為1單位長，則其頂點座標為： ( 0 , ± 5 − 1 2 , ± 1 + 5 2 ) {\displaystyle (0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}})} 、 ( ± 1 + 5 2 , 0 , ± 5 − 1 2 ) {\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})} 、 ( ± 5 − 1 2 , ± 1 + 5 2 , 0 ) {\displaystyle (\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},0)} 、 ( 0 , 0 , ± 3 5 5 ) {\displaystyle (0,0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}})} 、 ( ± 3 5 5 , 0 , 0 ) {\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0,0)} 、 ( 0 , ± 3 5 5 , 0 ) {\displaystyle (0,\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{5}},0)} 、 ( ± 3 ( 5 − 5 ) 20 , ± 3 5 10 , ± 3 ( 5 + 5 ) 20 ) {\displaystyle (\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}})} 、 ( ± 3 ( 5 + 5 ) 20 , ± 3 ( 5 − 5 ) 20 , ± 3 5 10 ) {\displaystyle (\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}})} 、 ( ± 3 5 10 , ± 3 ( 5 + 5 ) 20 , ± 3 ( 5 − 5 ) 20 ) {\displaystyle (\pm {\frac {3{\sqrt {5}}}{10}},\pm {\frac {3\left(5+{\sqrt {5}}\right)}{20}},\pm {\frac {3\left(5-{\sqrt {5}}\right)}{20}})} 、 ( ± 1 , ± 1 , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)} 。 斜方星形二十面體由60個全等的反平行四邊形組成，每個反平行四邊形有四個角，其中兩個銳角為 arccos ⁡ ( 3 4 ) ≈ 41.409 622 109 27 ∘ {\displaystyle \arccos({\frac {3}{4}})\approx 41.409\,622\,109\,27^{\circ }} ，兩個鈍角為 arccos ⁡ ( − 1 6 ) ≈ 99.594 068 226 86 ∘ {\displaystyle \arccos(-{\frac {1}{6}})\approx 99.594\,068\,226\,86^{\circ }} ，交叉邊的交角為 arccos ⁡ ( 1 8 + 7 5 24 ) ≈ 38.996 309 663 87 ∘ {\displaystyle \arccos({\frac {1}{8}}+{\frac {7{\sqrt {5}}}{24}})\approx 38.996\,309\,663\,87^{\circ }} 。在整個立體中，長邊（反平行四邊形的交叉邊）與短邊（反平行四邊形外側的腰）各有60條。長邊和短邊的比為 3 2 + 1 2 5 {\displaystyle {\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}} ，恰好是黃金比例的平方。 斜方星形二十面體的面有跟其他的面相交的性質，其互相相交的部分恰好位於反平行四邊形自相交的交點處。 斜方星形二十面體的其中三個面，分別以紅色、藍色和綠色表示 斜方星形二十面體之面的形狀 約克約克（YokYok）的裝置藝術《鈷瑪芬》（Cobalt Muffin）是一個以斜方星形二十面體為外型設計的裝置藝術。其由CREATER委托約克約克设计。其設計是斜方星形二十面體的一半，由60個三角形組成。這是約克約克在中国的展示的第一个装置项目。《鈷瑪芬》從2019年10月1日至2020年7月1日在上海愚园路展出。 斜方二十面體 Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208  Eric W. Weisstein. Rhombicosacron is The Dual Polyhedron of the Rhombicosahedron.. 密西根州立大學圖書館. （原始内容存档于2023-11-29）.  Cobalt Muffin. www.atelieryokyok.com. （原始内容存档于2023-11-29）.  rhombicosacron. bulatov.org. [2023-11-29]. （原始内容存档于2021-10-28）.  FANTASTICI POLIEDRI (PDF). www.batmath.it. [2023-11-29]. （原始内容存档 (PDF)于2023-04-02）.  Versi-Quasi-Regular Duals: Rhombicosacron. dmccooey.com. [2023-11-29]. （原始内容存档于2023-05-21）.  Data of Rhombicosacron. dmccooey.com. [2023-11-29]. （原始内容存档于2017-10-03）.  atelier yokyok builds the cobalt muffin pavilion to float like a cloud over shanghai. designboom. [2023-11-29]. （原始内容存档于2023-04-27）.  Cobalt Muffin艺术装置，上海 / Atelier YokYok. 新浪地产设计. 2019-10-15. （原始内容存档于2023-11-29）.  埃里克·韦斯坦因. 斜方星形二十面體. MathWorld.