可均群

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，而且G在函數上的群作用，不會改變所取得的平均。 在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的勒貝格測度，存在不可測的有界子集。豪斯多夫研究能否在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上定義新的測度，使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，就是移動及反射一個有界子集，不會改變其測度。不過，新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），就是可數無限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，就是有限個不相交子集的測度總和，等於其並集的測度。 但是，豪斯多夫、巴拿赫和塔斯基後來的研究，發現了維度不小於3的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中，任意兩個有內點的有界子集，可以將其一分成有限塊，再移動拼合成另一個，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。因此3維以上 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。 馮紐曼研究他們的證明，發現問題關鍵不是在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的結構，而是在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的旋轉群上。3維以上的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ，其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時，旋轉群沒有這樣的子群。 於是豪斯多夫原來的測度問題，可以把對象轉到群上面。新的問題是：在一個群G上，是否存在有限可加的概率測度 μ {\displaystyle \mu } ，是G-不變的，即是在G對其中的子集的群作用下不變：對任何 E ⊂ G {\displaystyle E\subset G} 和任何 g ∈ G {\displaystyle g\in G} ， μ ( g E ) = μ ( E ) {\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)} 。這樣的概率測度稱為不變平均。（函數以這測度積分，像是取加權平均。）由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，法文名稱groupe moyennable，其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字，故此Mittelbare，moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group，是英國數學家Mahlon M. Day所譯，字面上與德文及法文不同，但這是藉諧音玩的文字遊戲，因為amenable的英式讀音，與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），故此說出來其實也是「可以有一個平均」。 設G為局部緊群。G上存在左哈爾測度 μ {\displaystyle \mu } 。考慮在測度空間 ( G , μ ) {\displaystyle (G,\mu )} 上的複值本質有界函數空間 L ∞ ( G ) {\displaystyle L^{\infty }(G)} 。 線性泛函 Λ : L ∞ ( G ) → C {\displaystyle \Lambda :L^{\infty }(G)\to \mathbb {C} } 稱為平均，如果 Λ {\displaystyle \Lambda } 的範數是1，並且是非負的：若實值函數 f ∈ L ∞ ( G ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(G)} 適合 f ≥ 0 {\displaystyle f\geq 0} ，則 Λ ( f ) ≥ 0 {\displaystyle \Lambda (f)\geq 0} 。 如果 Λ {\displaystyle \Lambda } 是一個平均，則有 Λ ( 1 G ) = 1 {\displaystyle \Lambda (1_{G})=1} ，其中 1 G {\displaystyle 1_{G}} 是G的特徵函數。而且對任何實值函數 f ∈ L ∞ ( G ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(G)} ， * ⁡ e s s   i n f x ∈ G f ( x ) ≤ Λ ( f ) ≤ * ⁡ e s s   s u p x ∈ G f {\displaystyle \operatorname {*} {ess\ inf}_{x\in G}f(x)\leq \Lambda (f)\leq \operatorname {*} {ess\ sup}_{x\in G}f} 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。 一個平均是左不變的，如果對任何 s ∈ G {\displaystyle s\in G} ， f ∈ L ∞ ( G ) {\displaystyle f\in L^{\infty }(G)} ，在左作用 s ⋅ f ( x ) = f ( s − 1 x ) {\displaystyle s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)} 下，都有 Λ ( s ⋅ f ) = Λ ( f ) {\displaystyle \Lambda (s\cdot f)=\Lambda (f)} 。 局部緊群G如果有一個左不變平均，就稱為可均群。 可均群有很多等價定義。其中一個是Følner條件： 對任何 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，任何緊子集 C ⊂ G {\displaystyle C\subset G} ，都存在一個緊子集 K ⊂ G {\displaystyle K\subset G} ， 0 < μ ( K ) < ∞ {\displaystyle 0<\mu (K)<\infty } ，使得對所有 x ∈ C {\displaystyle x\in C} 都符合不等式 μ ( x K △ K ) / μ ( K ) < ϵ {\displaystyle \mu (xK\triangle K)/\mu (K)<\epsilon } 此處 △ {\displaystyle \triangle } 是對稱差。 如果G是可數無限的離散群，Følner條件等價於： G中存在有限子集 S n {\displaystyle S_{n}} ，使得對任何 g ∈ G {\displaystyle g\in G} ， lim n → ∞ | g S n △ S n | | S n | = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\left|gS_{n}\triangle S_{n}\right|}{\left|S_{n}\right|}}=0} 這樣的 ( S n ) {\displaystyle (S_{n})} 稱為Følner序列。 可均群的閉子群都是可均的。 若H是可均群G的閉正規子群，那麼 G / H {\displaystyle G/H} 是可均群。 若H是局部緊群G的閉正規子群，而且H和 G / H {\displaystyle G/H} 都是可均群，那麼G也是可均群。 設G是局部緊群，I是有向集合， ( H i ) i ∈ I {\displaystyle (H_{i})_{i\in I}} 是G的閉可均子群組成的網，對任何 i ≤ j {\displaystyle i\leq j} ，有 H i ⊂ H j {\displaystyle H_{i}\subset H_{j}} 。那麼 H = ∪ i ∈ I H i ¯ {\displaystyle H={\overline {\cup _{i\in I}H_{i}}}} 是G的可均子群。 有限群是可均群。更一般地，緊群是可均群，其哈爾測度是一個不變平均。 整數群 ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} 和實數群 ( R , + ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,+)} 是可均群，一個在 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 或 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。 局部緊的阿貝爾群是可均群。因此，局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，則有導出列 G = G ( 0 ) ▹ G ( 1 ) ▹ ⋯ ▹ G ( k ) = { 1 } {\displaystyle G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}} 其中 G ( i + 1 ) = [ G ( i ) , G ( i ) ] {\displaystyle G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]} 。每個 G ( i ) / G ( i + 1 ) {\displaystyle G^{(i)}/G^{(i+1)}} 都是阿貝爾群，所以是可均的，而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質，得出G是可均群。 一個有限生成群G是次指數增長的，如果G中存在一個有限生成集合S，有對稱性 S = S − 1 {\displaystyle S=S^{-1}} ，使得 lim inf n → ∞ | S n + 1 | | S n | = 1 {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}}=1} 次指數增長的有限生成群是可均群。 證明 從定義知對每個 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，都存在 n i {\displaystyle n_{i}} 使得 | S n i + 1 | | S n i | < 1 + 1 i {\displaystyle {\frac {\left|S^{n_{i}+1}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<1+{\frac {1}{i}}} 對每個 a ∈ S {\displaystyle a\in S} ，有 S n i , a S n i ⊂ S n i + 1 {\displaystyle S^{n_{i}},aS^{n_{i}}\subset S^{n_{i}+1}} 。對任何 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 都有 | g S n i | = | S n i | {\displaystyle \left|gS^{n_{i}}\right|=\left|S^{n_{i}}\right|} 。於是 | a S n i △ S n i | ≤ | a S n i ∖ S n i | + | S n i ∖ a S n i | ≤ | S n i + 1 ∖ S n i | + | S n i + 1 ∖ a S n i | = ( | S n i + 1 | − | S n i | ) + ( | S n i + 1 | − | a S n i | ) = 2 ( | S n i + 1 | − | S n i | ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|aS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|aS^{n_{i}}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|S^{n_{i}+1}\setminus S^{n_{i}}\right|+\left|S^{n_{i}+1}\setminus aS^{n_{i}}\right|\\=&(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)+(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|aS^{n_{i}}\right|)\\=&2(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}} 每個 g ∈ G {\displaystyle g\in G} 都可寫成 g = a 1 a 2 ⋯ a m {\displaystyle g=a_{1}a_{2}\cdots a_{m}} 。設 g 0 = e {\displaystyle g_{0}=e} , g j = g j − 1 a j {\displaystyle g_{j}=g_{j-1}a_{j}} 。用集合關係式 A △ B ⊂ ( A △ C ) ∪ ( C △ B ) {\displaystyle A\triangle B\subset (A\triangle C)\cup (C\triangle B)} ，得出 | g S n i △ S n i | ≤ | ⋃ j = 1 m ( g j − 1 S n i △ g j S n i ) | ≤ ∑ j = 1 m | ( g j − 1 S n i △ g j S n i ) | = ∑ j = 1 m | g j − 1 ( S n i △ a j S n i ) | ≤ 2 m ( | S n i + 1 | − | S n i | ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|\\\leq &\left|\bigcup _{j=1}^{m}\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &\sum _{j=1}^{m}\left|\left(g_{j-1}S^{n_{i}}\triangle g_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\=&\sum _{j=1}^{m}\left|g_{j-1}\left(S^{n_{i}}\triangle a_{j}S^{n_{i}}\right)\right|\\\leq &2m(\left|S^{n_{i}+1}\right|-\left|S^{n_{i}}\right|)\end{aligned}}} 因此 | g S n i △ S n i | | S n i | < 2 m i {\displaystyle {\frac {\left|gS^{n_{i}}\triangle S^{n_{i}}\right|}{\left|S^{n_{i}}\right|}}<{\frac {2m}{i}}} 所以 ( S n i ) {\displaystyle (S^{n_{i}})} 是一個Følner序列，故G是可均群。 設 G 1 {\displaystyle G_{1}} 和 G 2 {\displaystyle G_{2}} 是有限生成群，而 G 2 {\displaystyle G_{2}} 是可均的。若 G 1 {\displaystyle G_{1}} 擬等距同構於 G 2 {\displaystyle G_{2}} ，那麼 G 1 {\displaystyle G_{1}} 也是可均群。 秩2的自由群 F 2 {\displaystyle F_{2}} 不是可均群。 證明 設a,b是 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的生成元。 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的元素都可以用a,b寫成字。假設 F 2 {\displaystyle F_{2}} 有不變平均M。考慮 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的一個子集A，A包含所有簡約字以 a n {\displaystyle a^{n}} 開首的元素。（n是某個不等於0的整數。）那麼A, bA, b 2 A {\displaystyle b^{2}A} 是 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的不相交子集，所以 3 M ( 1 A ) = M ( 1 A ) + M ( 1 b A ) + M ( 1 b 2 A ) ≤ M ( 1 F 2 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}3M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{bA})+M(1_{b^{2}A})\\&\leq M(1_{F_{2}})=1\end{aligned}}} 另一方面， A ∪ a A = F 2 {\displaystyle A\cup aA=F_{2}} ，所以 2 M ( 1 A ) = M ( 1 A ) + M ( 1 a A ) ≥ M ( 1 F 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}2M(1_{A})&=M(1_{A})+M(1_{aA})\\&\geq M(1_{F_{2}})\end{aligned}}} 這兩條不等式互相矛盾，故 F 2 {\displaystyle F_{2}} 上不存在不變平均，即 F 2 {\displaystyle F_{2}} 是非可均的。 所以一個群若包含 F 2 {\displaystyle F_{2}} 為離散子群，則不是可均群。 如把n維空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的旋轉群SO(n)看成離散群，則n不小於3時SO(n)包含 F 2 {\displaystyle F_{2}} 為（離散）子群，因此是非可均群，但SO(2)是阿貝爾群，因此是可均群。這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，在n等於2時不可行的原因。不過若用SO(n)原來的拓撲，則對所有n，SO(n)都是緊群，所以都是可均群。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，當且僅當G不包含 F 2 {\displaystyle F_{2}} 為離散子群。（設 G e {\displaystyle G_{e}} 是G的單位連通區。若 G / G e {\displaystyle G/G_{e}} 緊緻，則G稱為殆連通群。） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。G是一個塔斯基魔群，如果有一個固定的素數p，G中所有真子群除了平凡子群外，都是p階循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。 Pier，Ch. 1 §1. Paterson，Ch. 0. Pier，Ch. 2. Paterson，4.10. Pier，Prop. 12.1. Paterson，6.41. Ghys, de la Harp (éd.)，Ch. 1 Exercice 24. Paterson，3.8. Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984.  Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988.  É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.