極大與極小元

数学分支序理论中，預序集子集 S {\displaystyle S} 的極大元（英語：maximal elements）不小於 S {\displaystyle S} 的任何元素。極小元（minimal elements）可對偶地（英语：Duality (order theory)）定義，其不大於 S {\displaystyle S} 的任何元素。 極大和極小的條件比最大和最小弱。預序集的子集 S {\displaystyle S} 的最大元需要「大於或等於」 S {\displaystyle S} 的全體元素（最小元同樣為其對偶），極大元則衹需「不小於」（例如不可比較（英语：Comparability））。若將預序集限縮至偏序集，則至多衹有一個最大元和一個最小元，但極大、極小元皆可有多於一個。但在全序集上，最大等價於極大，最小亦等價於極小。 以集族 S := { { 1 , 2 } , { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 , 4 } , { 2 , 3 , 5 } } {\displaystyle S:=\left\{\{1,2\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\},\{2,3,5\}\right\}} 為例，其上的偏序為包含關係。當中 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} 極小，因為不包含族中任何其他集合，反之 { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,2,3,4\}} 極大，因為不被其他集合包含。 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 則既非極小亦非極大，但 { 2 , 3 , 5 } {\displaystyle \{2,3,5\}} 同時為極小、極大。相比之下， S {\displaystyle S} 無最大元和最小元。 設 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 為预序集，又設 S ⊆ P {\displaystyle S\subseteq P} ，則 S {\displaystyle S} 中關於 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 的極大元定義為滿足以下性質的元素 m ∈ S {\displaystyle m\in S} ： 若有 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 使 m ≤ s , {\displaystyle m\leq s,} 則必有 s ≤ m . {\displaystyle s\leq m.} 與之類似， S {\displaystyle S} 中關於 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 的極小元是滿足以下性質的元素 m ∈ S {\displaystyle m\in S} ： 若有 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 使 s ≤ m , {\displaystyle s\leq m,} 則必有 m ≤ s . {\displaystyle m\leq s.} 等價地，亦可將 S {\displaystyle S} 關於 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 的極小元定義為 S {\displaystyle S} 關於 ≥ {\displaystyle \,\geq \,} 的極大元，其中對任意 p , q ∈ P {\displaystyle p,q\in P} ， q ≥ p {\displaystyle q\geq p} 當且僅當 p ≤ q {\displaystyle p\leq q} 。 若無明示子集 S {\displaystyle S} ，則所謂極大元預設是 P {\displaystyle P} 的極大元。 若預序集 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 實為偏序集，或者限縮到 ( S , ≤ ) {\displaystyle (S,\leq )} 是偏序集，則 m ∈ S {\displaystyle m\in S} 為極大當且僅當 S {\displaystyle S} 無嚴格較 m {\displaystyle m} 大的元素。換言之，不存在 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 使 m ≤ s {\displaystyle m\leq s} 及 m ≠ s . {\displaystyle m\neq s.} 將本段的 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 號一律換成 ≥ {\displaystyle \,\geq \,} 就得到極小元的描述。 極大/極小元不必存在。 例一：考慮實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的區間 S = [ 1 , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} } 。對任意元素 m ∈ S {\displaystyle m\in S} ， s = m + 1 {\displaystyle s=m+1} 仍在 S {\displaystyle S} 中，但 m < s {\displaystyle m<s} ，因此沒有元素 m {\displaystyle m} 為極大。 例二：考慮有理數系 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的子集 S = { s ∈ Q   :   1 ≤ s 2 ≤ 2 } {\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\}} ，因為根號2是無理數，對任何有理數 m ≤ 2 {\displaystyle m\leq {\sqrt {2}}} 皆可找到另一有理數 s {\displaystyle s} 使 m < s < 2 {\displaystyle m<s<{\sqrt {2}}} 。 但在某些情況下，極大/極小元保證存在。 若 S {\displaystyle S} 為有限非空子集，則必有極大元和極小元。（對無窮子集無此結論，如整數系 Z ⊆ R {\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} } 就沒有極大元。） 佐恩引理斷言：「若偏序集 P {\displaystyle P} 中，每個全序子集 S {\displaystyle S} 皆有上界，則 P {\displaystyle P} 至少有一個極大元。」此引理等價於良序定理和选择公理，在數學的多個分支有重要推論，例如可證任何向量空間皆有基（極大的代數無關子集），或是任何域皆有代數閉包（代數擴張偏序下的極大元）。 極大/極小元不必唯一。 帕累托效率中，「帕累托最優」的狀態即是帕累托改善偏序下的極大元，此類極大元的集合又稱為「帕累托前緣」（Pareto frontier）。 决策论中，可容決策規則（英语：admissible decision rule）是優勢（英语：dominating decision rule）偏序下的極大元。 现代投资组合理论中，風險（以低為優）與回報（以高為優）的積序（英语：product order）下，極大元稱為效率投資組合（efficient portfolio），組成的集合則為效率前緣（英语：efficient frontier）。 集合论中，某集合為有限當且僅當其任意非空子集族（以包含關係為偏序）皆有極小元。 抽象代数中，需要將最大公因數的概念推廣為極大公因子（英语：maximal common divisor），因為某些數系中，若干個元素的公因子集合可能有多於一個極大元（整除意義下）。 计算几何中，點集的極大元（英语：maxima of a point set）是逐分量比較下的極大元。 因此 p ≤ q {\displaystyle p\leq q} 連同 q ≤ p {\displaystyle q\leq p} 可推出 p = q {\displaystyle p=q} 。 定義為： ( a , b ) ≤ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)} 當且僅當 a ≤ c {\displaystyle a\leq c} 且 b ≤ d {\displaystyle b\leq d} 。高維情形亦同。 若有元素 a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots } ，則集族 { { a 0 , a 1 , a 2 , … } , { a 1 , a 2 , … } , { a 2 , … } , … } {\displaystyle \left\{\{a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{1},a_{2},\ldots \},\{a_{2},\ldots \},\ldots \right\}} 無極小元。 Richmond, Bettina; Richmond, Thomas, A Discrete Transition to Advanced Mathematics, American Mathematical Society: 181, 2009, ISBN 978-0-8218-4789-3 . Scott, William Raymond, Group Theory 2nd, Dover: 22, 1987, ISBN 978-0-486-65377-8  Jech, Thomas. The Axiom of Choice. Dover Publications（英语：Dover Publications）. 2008 [originally published in 1973]. ISBN 978-0-486-46624-8.