自守形式

數學上所謂的自守形式（英語：Automorphic form），是一類特別的複變數函數，並在某個離散變換群下滿足由自守因子描述之變換規律。模形式與馬斯形式是其特例。由自守形式可定義自守表示，嚴格言之，自守表示並非尋常意義下的群表示，而是整體赫克代數上的模。 龐加萊在1880年代曾研究過自守形式，他稱之為富克斯函數。郎蘭茲綱領探討自守表示與數論的深入聯繫。 設 Γ {\displaystyle \Gamma } 為作用於複區域 D {\displaystyle D} 的離散群。取定自守因子 j γ ( x ) , ( γ ∈ Γ , x ∈ D ) {\displaystyle j_{\gamma }(x),\;(\gamma \in \Gamma ,x\in D)} 及權 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 。相應的權 m {\displaystyle m} 自守形式是 D {\displaystyle D} 上滿足下述函數方程的全純函數 j γ ( x ) m f ( γ ( x ) ) = f ( x ) , x ∈ D , γ ∈ Γ {\displaystyle j_{\gamma }(x)^{m}f(\gamma (x))=f(x),\quad x\in D,\gamma \in \Gamma } 。 自守因子 j γ ( x ) {\displaystyle j_{\gamma }(x)} 當 γ {\displaystyle \gamma } 固定時是 D {\displaystyle D} 上的全純函數，並且是 Γ {\displaystyle \Gamma } 上的 1-閉上鏈。 定義中的複值函數 f {\displaystyle f} 可推廣成取值為矩陣的函數；權 m {\displaystyle m} 的限制亦可放鬆，例如半整數 m ∈ 1 2 + Z {\displaystyle m\in {\frac {1}{2}}+\mathbb {Z} } 。 自守形式另有群表示理論的詮釋，並牽涉數論，但無法完全涵攝古典定義。為簡單起見，以下設 G = G L ( n ) {\displaystyle G=\mathrm {GL} (n)} ，其中心可等同於 G m {\displaystyle \mathbb {G} _{m}} 。 考慮整體域 F {\displaystyle F} （例如 F = Q {\displaystyle F=\mathbb {Q} } ），由此定義 G {\displaystyle G} 的阿代爾點 G ( A F ) {\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})} ，賦予相應的拓撲結構，並取定標準的緊子群 K {\displaystyle K} 。 固定一擬特徵 ω : F × ∖ A F × → C × {\displaystyle \omega :F^{\times }\backslash \mathbb {A} _{F}^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }} 。以 ω {\displaystyle \omega } 為中心特徵的自守形式定為 G ( F ) ∖ G ( A F ) {\displaystyle G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F})} 上滿足下列條件的複值函數 f {\displaystyle f} ： f {\displaystyle f} 光滑：若 F {\displaystyle F} 為函數域，這代表 f {\displaystyle f} 是局部常數函數。否則意謂存在一組 G ( A F ) {\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})} 的開覆蓋 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ，對每個 h ∈ U ∈ U {\displaystyle h\in U\in {\mathcal {U}}} ， f ( h ) = f U ( h ∞ ) {\displaystyle f(h)=f_{U}(h_{\infty })} ，而 f U {\displaystyle f_{U}} 無窮可微。 对任何 z ∈ A F {\displaystyle z\in \mathbb {A} _{F}} 及任何 h {\displaystyle h} ，总有 f ( z ⋅ h ) = ω ( z ) f ( h ) {\displaystyle f(z\cdot h)=\omega (z)f(h)} 。 f {\displaystyle f} 右 K {\displaystyle K} -有限：函數 f ( ⋅ k ) ( k ∈ K ) {\displaystyle f(\cdot k)\;(k\in K)} 張成有限維向量空間。 承上，設 Z v {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}} 為泛包絡代數 U ( g l ( n , F v ) ) {\displaystyle U({\mathfrak {gl}}(n,F_{v}))} 之中心，則 f {\displaystyle f} 為 Z v {\displaystyle {\mathcal {Z}}_{v}} -有限。 緩增性：固定適當的高度函數 ‖ ⋅ ‖ : G ( A F ) → R > 0 {\displaystyle \|\cdot \|:G(\mathbb {A} _{F})\to \mathbb {R} _{>0}} （取法不影響定義），存在常數 C {\displaystyle C} 及 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } 使得 | f ( g ) | ≤ C ‖ g ‖ N {\displaystyle |f(g)|\leq C\|g\|^{N}} 。 註記. 若 v {\displaystyle v} 是 F {\displaystyle F} 的阿基米德賦值，條件二中張出的空間在李代數 g l ( n , F v ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F_{v})} 的作用 f ↦ X f {\displaystyle f\mapsto Xf} 下不變。條件三蘊含自守形式對阿基米德賦值是解析函數。 若對所有 r + s = n ( 0 < r , s < n ) {\displaystyle r+s=n\,(0<r,s<n)} 皆有 ∫ M r , s ( F ) ∖ M r , s ( A F ) f ( I r X 0 I s ) d X = 0 {\displaystyle \int _{M_{r,s}(F)\backslash M_{r,s}(\mathbb {A} _{F})}f{\begin{pmatrix}I_{r}&X\\0&I_{s}\end{pmatrix}}\,dX=0} 則稱 f {\displaystyle f} 為尖點形式。 定義 A ( G ( F ) ∖ G ( A F ) , ω ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 為中心特徵為 ω {\displaystyle \omega } 的自守形式集，子空間 A 0 ( G ( F ) ∖ G ( A F ) , ω ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 則為尖點形式集。 這兩個空間是有限阿代爾群 G ( A f i n ) {\displaystyle G(\mathbb {A} _{\mathrm {fin} })} 的表示；對阿基米德賦值則帶有 ( g , K ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},K)} -模結構。此套結構可以概括為整體赫克代數 H G ( A F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}} 的表示。注意：它們並非 G ( A ) {\displaystyle G(\mathbb {A} )} 的表示！ 一個自守表示是 H G ( A F ) {\displaystyle {\mathcal {H}}_{G(\mathbb {A} _{F})}} -模 A ( G ( F ) ∖ G ( A F ) , ω ) {\displaystyle {\mathcal {A}}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子商， ω {\displaystyle \omega } 稱作該自守表示的中心擬特徵。尖點自守表示是 A 0 ( G ( F ) ∖ G ( A F ) , ω ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}(G(F)\backslash G(\mathbb {A} _{F}),\omega )} 之子空間。 A.N. Parshin, Automorphic Form, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 Daniel Bump, Automorphic Forms and Representations, (1998), Cambridge Studies in Advanced Mathematics 55. ISBN 0-521-65818-7 . 本條目含有来自PlanetMath《Henri Poincaré》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。