特徵標理論

在數學裡，尤其是在群表示理論裡，一個群表示的特徵標（character）是一個將群的每個元素映射對應矩陣的跡(Trace)的函數。特徵標蘊藏著群的許多重要性質，且因此可以用來做群的研究。 特徵標理論是對有限簡單群分類的一個有重要的工具。在范特-湯普遜定理證明接近一半的地方會有一個用到特徵標的複雜計算。另外還有一些較簡單但一樣重要的結論需用在特徵標理論，如伯恩賽德定理及理查·布勞爾和鈴木通夫所證出之定理，此定理表示有限簡單群不會有一個為廣義四元群的西洛2-子群。 設V為一個域F上的有限維向量空間且設 ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} (V)} 為一個群G於V上的表示。則ρ的特徵標即為如下給定之函數 χ ρ ( g ) = T r ( ρ ( g ) ) {\displaystyle \chi _{\rho }(g)=\mathrm {Tr} (\rho (g))\,} 其中 T r {\displaystyle \mathrm {Tr} } 為矩陣的跡數。 一個特徵標χρ若被稱為是不可約的，即表示ρ是一個不可約表示。若被稱為是線性的，則表示ρ的維度等於1。χρ的核為集合 ker ⁡ χ ρ := { g ∈ G ∣ χ ρ ( g ) = χ ρ ( 1 ) } {\displaystyle \ker \chi _{\rho }:=\left\lbrace g\in G\mid \chi _{\rho }(g)=\chi _{\rho }(1)\right\rbrace } 其中 χ ρ ( 1 ) {\displaystyle \chi _{\rho }(1)} 是χρ在群單位元上的值。當ρ是G的k維表示且1為G的單位元時， χ ρ ( 1 ) = Tr ⁡ ( ρ ( 1 ) ) = Tr ⁡ [ 1 0 ⋱ 0 1 ] = ∑ i = 1 k 1 = k = dim ⁡ ρ {\displaystyle \chi _{\rho }(1)=\operatorname {Tr} (\rho (1))=\operatorname {Tr} {\begin{bmatrix}1&&0\\&\ddots &\\0&&1\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{k}1=k=\dim \rho } 和特徵標群的情況不同，一個群的特徵標通常不會自己「形成」一個群。 在調和分析中，通常定義局部緊阿貝爾拓撲群 G {\displaystyle G} 的特徵標為連續群同態 χ : G → S 1 {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {S} ^{1}} ；在此， S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 表示單位圓構成的群，等價地說就是 R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } 。 部份作者將特徵標的定義放寬為連續群同態 χ : G → C × {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} ^{\times }} ，而將取值在 S 1 {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} 者稱作么特徵標。其他人則保留原初定義，而將這類廣義的特徵標稱為擬特徵標。 G {\displaystyle G} 的全體特徵標構成一個群 G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} ，群二元運算的定義是 ( χ ⋅ η ) ( g ) = χ ( g ) → η ( g ) {\displaystyle (\chi \cdot \eta )(g)=\chi (g)\to \eta (g)} ，稱為對偶群。龐特里雅金對偶性總結了對偶群的一般性質。 特徵標是一個類函數，即為對一個共軛類內的所有元素來說，χ會是個常數。 两个同構的表示會有相同的特徵標。若系数域的特征char(F)=0，则两个表示為同構的，若且唯若它们有著完全相同的特徵標。 若一個表示可以是多個子表示的直和： V = W 1 ⊕ W 2 ⊕ ⋅ ⊕ W r {\displaystyle V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \cdot \oplus W_{r}} ，則其相對應的特徵標會是其所有子表示的特徵標之和： ∀ g ∈ G ,   χ V ( g ) = χ W 1 ( g ) + χ W 2 ( g ) + ⋅ + χ W r ( g ) {\displaystyle \forall g\in G,\ \chi _{V}(g)=\chi _{W_{1}}(g)+\chi _{W_{2}}(g)+\cdot +\chi _{W_{r}}(g)} 。 在有限群的情况下，每個特徵標 χ   ( g ) {\displaystyle \chi \ (g)} 都是n個m次單位根之和，其中n為表示內域的維度，m則是g的阶。 若F是代數封閉的且char(F)不可以整除G的阶|，則G的不可約特徵標之數量等於G的共軛類數： | I r r ( G ) | = | C o n j ( G ) | {\displaystyle |Irr(G)|=|Conj(G)|} 。 令 ρ {\displaystyle \rho } 和 σ {\displaystyle \sigma } 為G的兩個表示，則有下列的等式成立： χ ρ ⊕ σ = χ ρ + χ σ {\displaystyle \chi _{\rho \oplus \sigma }=\chi _{\rho }+\chi _{\sigma }} χ ρ ⊗ σ = χ ρ ⋅ χ σ {\displaystyle \chi _{\rho \otimes \sigma }=\chi _{\rho }\cdot \chi _{\sigma }} χ ρ ∗ = χ ρ ¯ {\displaystyle \chi _{\rho ^{*}}={\overline {\chi _{\rho }}}} χ Alt 2 ρ ( g ) = 1 2 [ ( χ ρ ( g ) ) 2 − χ ρ ( g 2 ) ] {\displaystyle \chi _{{\textrm {Alt}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}-\chi _{\rho }(g^{2})\right]} χ Sym 2 ρ ( g ) = 1 2 [ ( χ ρ ( g ) ) 2 + χ ρ ( g 2 ) ] {\displaystyle \chi _{{\textrm {Sym}}^{2}\rho }(g)={\frac {1}{2}}\left[\left(\chi _{\rho }(g)\right)^{2}+\chi _{\rho }(g^{2})\right]} 其中 ρ ⊕ σ {\displaystyle \rho \oplus \sigma } 為兩者的直和、 ρ ⊗ σ {\displaystyle \rho \otimes \sigma } 為兩者的張量積、 ρ ∗ {\displaystyle \rho ^{*}} 為 ρ {\displaystyle \rho } 的共軛轉置、以及Alt称为交替積 Alt 2 ρ = ρ ∧ ρ {\displaystyle {\textrm {Alt}}^{2}\rho =\rho \wedge \rho } 而Sym則称为對稱方，其值由下式決定 ρ ⊗ ρ = ( ρ ∧ ρ ) ⊕ Sym 2 ρ {\displaystyle \rho \otimes \rho =\left(\rho \wedge \rho \right)\oplus {\textrm {Sym}}^{2}\rho } . 設 G {\displaystyle G} 為有限群， H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 為其子群，而 ρ {\displaystyle \rho } 為 G 的表示，其特徵標記為 χ {\displaystyle \chi } 。令 I n d H G ( χ ) {\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )} 為誘導表示 I n d H G ( ρ ) {\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\rho )} 的特徵標；根據弗羅貝尼烏斯互反定理，對所有 G {\displaystyle G} 的特徵標 η {\displaystyle \eta } ，恆有下述等式 ⟨ I n d H G ( χ ) , η ⟩ G = ⟨ χ , η | H ⟩ H {\displaystyle \langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi ),\eta \rangle _{G}=\langle \chi ,\eta |_{H}\rangle _{H}} 此等式可用來刻劃類函數 I n d H G ( χ ) {\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )} 。事實上，若選定陪集分解 G = ⋃ t H t {\displaystyle G=\bigcup _{t}Ht} 還可以明確地寫下 I n d H G ( χ ) {\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )} 的取值： I n d H G ( χ ) ( g ) = { ∑ t h t − 1 ∈ H χ ( t h t − 1 ) ,  if g is conjugate to some h ∈ H 0 ,  otherwise {\displaystyle \mathrm {Ind} _{H}^{G}(\chi )(g)={\begin{cases}\sum _{tht^{-1}\in H}\chi (tht^{-1}),{\mbox{ if g is conjugate to some h}}\in H\\0,{\mbox{ otherwise}}\end{cases}}} 一個有限群的不可約特徵標可以形成一個特徵標表，其蘊含著許多有關群G在緊緻形式時的有用資訊。每一行標記著一個不可約特徵標且包含著此一特徵標在每個G的共軛類上的值。 下面是有三個元素之循環群C3的特徵標表： 其中的u為一個原三次單位根。 特徵標表總會是正方的，因為不可約表示的數目總會相等於共軛類的數目。特徵標表的第一個行總會是1，其對應至群的當然表示上。 有關特徵標表最重要的性質之一為其在行與列上都會有著正交關係。 對特徵標(即對特徵標表中的行)的內積由下給出： ⟨ χ i , χ j ⟩ := 1 | G | ∑ g ∈ G χ i ( g ) χ j ( g ) ¯ {\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{g\in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{j}(g)}}} 其中 χ j ( g ) ¯ {\displaystyle {\overline {\chi _{j}(g)}}} 表示 χ j {\displaystyle \chi _{j}} 在g上的值的複數共軛。 對於此一內積而言，不可約特徵標两两正規正交： ⟨ χ i , χ j ⟩ = { 0 如 果  i ≠ j 1 如 果  i = j {\displaystyle \left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&{\text{如 果 }}\,i\neq j\\1&{\text{如 果 }}\,i=j\end{cases}}} 對表中的列的正交關係則由下列給出： 對 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} ，其和為 1 | G | ∑ χ i χ i ( g ) χ i ( h ) ¯ = { 1 / | C G ( g ) |  如 果  g , h  共 軛  0  如 果  g , h  不 共 軛  {\displaystyle {\frac {1}{\left|G\right|}}\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)}}={\begin{cases}1/\left|C_{G}(g)\right|&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 共 軛 }}\\0&{\mbox{ 如 果 }}\,g,h{\mbox{ 不 共 軛 }}\end{cases}}} 其中相加的範圍為所有G的不可約特徵標 χ i {\displaystyle \chi _{i}} ，而符號 | C G ( g ) | {\displaystyle \left|C_{G}(g)\right|} 則表示為g的共軛類之大小。 此一正交關係可以幫助許多的運算，如： 將一個未知特徵標分解成不可約特徵標的線性組合。 當只有一些不可約特徵標為可知時，建構其完整的特徵標表。 求出群的共軛類的表示的中心化子的階。 求出群的階。 一個群G的某些性質可以由其特徵表中推導出來： G的階就是表上所有特徵標之在1上的取值的平方：(χ(1))2的總和（伯恩赛德公式）。 G是可換的若且唯若對每個在表上的特徵標，χ(1) = 1。 G有一個非當然正規子群(即G不是一個簡單群)若且唯若對於某些表上的非當然特徵標χ和一些於G內的非單位元素g，會有χ(1) = χ(g)。 特徵標表通常不會將群分至同構：例如，四元群Q和有8個元素的二面體群D4會有同樣的特徵標表。 對有限群之特別例子，詳見有限群表示理論。 一維表示的特徵標會形成一個特徵標群，其和數論中有著很重要的關連。 Fulton, William; and Harris, Joe. Representation Theory, A First Course. Springer, New York. 1991. ISBN 978-0-387-97495-8.  見第2章 Isaacs, I.M. Character Theory of Finite Groups. Dover. 1994. ISBN 978-0-486-68014-9.  1976年原版的修正重印版，由Academic Press所出版 James, Gordon; and Liebeck, Martin. Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. 2001. ISBN 978-0-521-00392-6.  http://planetmath.org/encyclopedia/Character.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） 化學中重要的點群的特徵標表 - 列出了大多數的點群並其在化學中使用之符號的特徵標表。