审敛法

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。 如果序列通项的极限不为零或无定义，即 lim n → ∞ a n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\neq 0} ，那么级数不收敛。在这种意义下，部分和是柯西数列的必要条件是极限存在且为零。这一判别法在通项极限为零时无效。 假设对任何的 n {\displaystyle n} ， a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} 。如果存在 r {\displaystyle r} 使得： lim n → ∞ | a n + 1 a n | = r {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=r} 如果 r < 1 {\displaystyle r<1} ，那么级数绝对收敛。如果 r > 1 {\displaystyle r>1} ，那么级数发散。如果 r = 1 {\displaystyle r=1} ，比例判别法失效，级数可能收敛也可能发散，此时可以考虑高斯判别法。 设 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 是要判断审敛性的级数，其中（至少从某一项开始） a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} 。倘若其相邻项比值 a n a n + 1 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}} 可以被表示为： a n a n + 1 = λ + μ n + θ n n 2 {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=\lambda +{\frac {\mu }{n}}+{\frac {\theta _{n}}{n^{2}}}} 其中 λ {\displaystyle \lambda } 和 μ {\displaystyle \mu } 都是常数，而 θ n {\displaystyle \theta _{n}} 是一个有界的序列，那么 当 λ > 1 {\displaystyle \lambda >1} 或 λ = 1 , μ > 1 {\displaystyle \lambda =1,\mu >1} 时，级数收敛； 当 λ < 1 {\displaystyle \lambda <1} 或 λ = 1 , μ ≤ 1 {\displaystyle \lambda =1,\mu \leq 1} 时，级数发散。 r = lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} 其中 lim sup {\displaystyle \limsup } 表示上极限（可能为无穷，若极限存在，則极限值等于上极限）。 如果 r < 1 {\displaystyle r<1} ，级数绝对收敛。如果 r > 1 {\displaystyle r>1} ，级数发散。如果 r = 1 {\displaystyle r=1} ，开方判别法无效，级数可能收敛也可能发散。 级数可以与积分式比较来确定其敛散性。令 f ( n ) = a n {\displaystyle f(n)=a_{n}} 为一正项单调递减函数。如果： ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = lim t → ∞ ∫ 1 t f ( x ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty } 那么级数收敛。如果积分发散，那么级数也发散。 如果 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} 是一個絕對收斂級數且對於足夠大的 n {\displaystyle n} ，有 | a n | ≤ | b n | {\displaystyle |a_{n}|\leq |b_{n}|} ，那麼級數 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 也絕對收斂。 如果 { a n } ≥ 0 , { b n } > 0 {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\geq 0,\left\{b_{n}\right\}>0} ，并且极限 lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 存在非零，那么 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 收敛当且仅当 ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} 收敛。 具有以下形式的级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 。其中所有的 a n {\displaystyle a_{n}} 非负，被称作交错级数。如果当 n {\displaystyle n} 趋于无穷时，数列 a n {\displaystyle a_{n}} 的极限存在且等于 0 {\displaystyle 0} ，并且每个 a n {\displaystyle a_{n}} 小于或等于 a n − 1 {\displaystyle a_{n-1}} （即数列 a n {\displaystyle a_{n}} 是单调递减的），那么级数收敛。如果 L {\displaystyle L} 是级数的和 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n = L {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=L\!} 那么部分和 S k = ∑ n = 0 k ( − 1 ) n a n {\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}(-1)^{n}a_{n}\!} 逼近 L {\displaystyle L} 有截断误差 | S k − L | ≤ | S k − S k − 1 | = a k {\displaystyle \left|S_{k}-L\right\vert \leq \left|S_{k}-S_{k-1}\right\vert =a_{k}\!} 。 给定两个实数项数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} ，如果数列满足 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 收敛， { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} 是单调且有界的，则级数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} 收敛。 狄利克雷判别法 拉比判别法 Flowchart for choosing convergence test（页面存档备份，存于互联网档案馆） Convergence of infinite series（页面存档备份，存于互联网档案馆）