曲线的微分几何

曲线的微分几何是几何学的一个分支，使用微分与积分专门研究平面与欧几里得空间中的光滑曲线。 从古代开始，许多具体曲线已经用综合方法深入研究。微分几何采取另外一种方式：把曲线表示为参数形式，将它们的几何性质和各种量，比如曲率和弧长，用向量分析表示为导数和积分。分析曲线最重要的工具之一为 Frenet 标架，是一个活动标架，在曲线每一点附近给出“最合适”的坐标系。 曲线的理论比曲面理论及其高维推广的范围要狭窄得多，也简单得多。因为欧几里得空间中的正则曲线没有内蕴几何。任何正则曲线可以用弧长（“自然参数”）参数化，从曲线上来看不能知道周围空间的任何信息，所有曲线都是一样的。不同空间曲线只是由它们的弯曲和扭曲程度区分。数量上，这由微分几何不变量曲线的“曲率”和“挠率”来衡量。曲线基本定理断言这些不变量的信息完全确定了曲线。 设 n {\displaystyle n} 是一个正整数， r {\displaystyle r} 是正整数或 ∞ {\displaystyle \infty } ， I {\displaystyle I} 是实数非空区间， t {\displaystyle t} 属于 I {\displaystyle I} 。一个 C r {\displaystyle C^{r}} 类（即 γ {\displaystyle \gamma } 为 r {\displaystyle r} 次连续可微）向量值函数 γ : I → R n {\displaystyle \mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}} 称为一条 C r {\displaystyle C^{r}} 类参数曲线或曲线 γ {\displaystyle \gamma } 的一个 C r {\displaystyle C^{r}} 参数化， t {\displaystyle t} 称为曲线 γ {\displaystyle \gamma } 的参数， γ ( I ) {\displaystyle \gamma (I)} 称为曲线的像。将参数曲线 γ {\displaystyle \gamma } 和它的像 γ ( I ) {\displaystyle \gamma (I)} 区别开来是非常重要的，因为一个给定的 R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 的子集可以是许多不同的参数曲线的像。 可以想象参数 t {\displaystyle t} 代表时间，而曲线 γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} 作为空间中一个运动粒子轨迹。 如果 I 是闭区间 [a, b]，我们称 γ(a) 为曲线 γ 的起点而 γ(b) 为终点。 如果 γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)} ，我们说 γ 是闭的或是一个环路。进一步，我们称 γ 是一条闭 Cr-曲线，如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 对所有 k ≤ r。 如果 γ : ( a , b ) → R n {\displaystyle \gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}} 为单射，我们称为简单曲线。 如果参数曲线 γ {\displaystyle \gamma } 局部可写成幂级数，我们称曲线解析或是 C ω {\displaystyle C^{\omega }} 类。 记号 - γ {\displaystyle \gamma } 表示朝相反的方向运动的曲线。 一条 C k {\displaystyle C^{k}} -曲线 γ : [ a , b ] → R n {\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} 称为 m {\displaystyle m} 阶正则当且仅当对任何 t {\displaystyle t} 属于 I {\displaystyle I} { γ ′ ( t ) , γ ″ ( t ) , . . . , γ ( m ) ( t ) } ,  m ≤ k {\displaystyle \lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...,\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k} 在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中线性无关。 特别地，一条 C 1 {\displaystyle C^{1}} -曲线 γ {\displaystyle \gamma } 是正则的如果 γ ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle \gamma '(t)\neq 0} 对任何 t ∈ I . {\displaystyle t\in I\,.} 给定一条曲线的像我们可以定义曲线的许多不同的参数化。微分几何旨在描述在一定的参数化下不变的性质。所以我们需在所有参数曲线集合上定义一种合适的等价关系。曲线的微分几何性质（长度，Frenet 标架和广义曲率）在重新参数化下不变从而满足等价类性质。这个等价类称为 Cr 曲线，是曲线的微分几何研究的中心。 两个 Cr 参数曲线 γ 1 : I 1 → R n {\displaystyle \mathbf {\gamma _{1}} :I_{1}\to R^{n}} 与 γ 2 : I 2 → R n {\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} :I_{2}\to R^{n}} 要称为等价，就要存在一个 Cr 双射 ϕ : I 1 → I 2 {\displaystyle \phi :I_{1}\to I_{2}} 使得 ϕ ′ ( t ) ≠ 0 ( t ∈ I 1 ) {\displaystyle \phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I_{1})} 和 γ 2 ( ϕ ( t ) ) = γ 1 ( t ) ( t ∈ I 1 ) . {\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma _{1}} (t)\qquad (t\in I_{1})\,.} γ2 称为 γ1 的重新参数化。这种 γ1 的重新参数化在所有参数 Cr 曲线的集合上定义了一种等价关系，其等价类称为 Cr 曲线。 对定向 Cr 曲线，我们可以定义一种“加细”的等价关系，要求 φ 满足 φ'(t) > 0。 等价的 Cr 曲线有相同的像；等价的定向 Cr 曲线有相同的运动方向。 C1 曲线 γ : [a, b] → Rn 的长度 l 可以定义为 l = ∫ a b | γ ′ ( t ) | d t . {\displaystyle l=\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.} 曲线的长度在重参数化下保持不变，从而是曲线的一个微分几何性质。 对任何正则 Cr （r 至少为 1）曲线 γ: [a, b] → Rn 我们可以定义一个函数 s ( t ) = ∫ t 0 t | γ ′ ( x ) | d x . {\displaystyle s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.} 写成 γ ( s ) ¯ = γ ( t ( s ) ) {\displaystyle {\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))} 这里 t(s) 是 s(t) 的逆函数，我们得到 γ 的一个新参数化 γ ¯ {\displaystyle {\bar {\gamma }}} ，称为自然、弧长或单位速度参数化；参数 s(t) 称为 γ 的自然参数。 我们偏爱这个参数，因为自然参数 s(t) 以单位速度转动 γ 的像，所以 | γ ′ ( s ( t ) ) ¯ | = 1 ( t ∈ I ) . {\displaystyle \vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).} 在实际中常常很难计算出一条曲线的自然参数，但在理论讨论中很有用。 给定一条参数化曲线 γ(t) 的自然参数化是在差一个参数移动的意义下是惟一的。 数量 E ( γ ) = 1 2 ∫ a b | γ ′ ( t ) | 2 d t {\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt} 经常称为曲线的能量或作用量；这个名称是有理由的，因为测地线方程是这个作用量的欧拉-拉格朗日运动方程。 一个 Frenet 标架是一个移动的参考标架，由描述曲线在每一点 γ(t) 局部性质的n 个正交向量 ei(t) 组成。这是微分几何处理曲线的主要工具，因为在这个局部参考系中，远比使用欧几里得那样的整体坐标系更容易和自然地描述局部性质（如曲率、挠率）。 给定 Rn 中一条 n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，曲线的 Frenet 标架是一组正交向量 e 1 ( t ) , … , e n ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)} 称为 Frenet 向量。它们是通过对 γ(t) 的各阶导数使用格拉姆-施密特正交化算法得到的： e 1 ( t ) = γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}} e j ( t ) = e j ¯ ( t ) ‖ e j ¯ ( t ) ‖ ,  e j ¯ ( t ) = γ ( j ) ( t ) − ∑ i = 1 j − 1 ⟨ γ ( j ) ( t ) , e i ( t ) ⟩ e i ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)} 实值函数 χi(t) 称为 广义曲率，定义为 χ i ( t ) = ⟨ e i ′ ( t ) , e i + 1 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}} Frenet 标架和广义曲率在重新参数化下是不变的，故它们是曲线的微分几何性质。 最初三个 Frenet 向量和广义曲率可以在三维空间中看到。它们有额外的名字以及与名称相关更多信息。 如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。 數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t0， 向量： γ ′ ( t 0 ) = d d t γ ( t ) , t = t 0 {\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t_{0}}} 是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。 切向量的長度： ‖ γ ′ ( t 0 ) ‖ {\displaystyle \|\mathbf {\gamma } '(t_{0})\|} 是在時間 t0 的速率。 第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義： e 1 ( t ) = γ ′ ( t ) ‖ γ ′ ( t ) ‖ . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.} 如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為： e 1 ( s ) = γ ′ ( s ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).} 單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。 法向量，有时也称为曲率向量，表明曲线和一条直线的偏离程度。 法向量定义为 e 2 ¯ ( t ) = γ ″ ( t ) − ⟨ γ ″ ( t ) , e 1 ( t ) ⟩ e 1 ( t ) . {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).} 其正规形式单位法向量，是 Frenet 向量 e2(t)，定义为 e 2 ( t ) = e 2 ¯ ( t ) ‖ e 2 ¯ ( t ) ‖ . {\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\|}}.} t 点的切向量和法向量张成 t 点的密切平面。 第一个广义曲率 χ1(t) 称为曲率，度量了曲线 γ 偏离密切平面上一条直线的程度。定义为 κ ( t ) = χ 1 ( t ) = ⟨ e 1 ′ ( t ) , e 2 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}} 称为 γ 在点 t 的曲率。 曲率的倒数 1 κ ( t ) {\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}} 称为曲率半径。 半径为 r 的圆周有常曲率 κ ( t ) = 1 r , {\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,} 但一条直线的曲率是 0 。 次法向量是第三个 Frenet 向量 e3(t) ， 总是正交于 t 点的单位切向量和单位法向量。其定义为 e 3 ( t ) = e 3 ¯ ( t ) ‖ e 3 ¯ ( t ) ‖ e 3 ¯ ( t ) = γ ‴ ( t ) − ⟨ γ ‴ ( t ) , e 1 ( t ) ⟩ e 1 ( t ) − ⟨ γ ‴ ( t ) , e 2 ( t ) ⟩ e 2 ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{2}(t)} 在 3 维空间中等式简化为 e 3 ( t ) = e 2 ( t ) × e 1 ( t ) . {\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{2}(t)\times \mathbf {e} _{1}(t)\,.} 第二广义曲率 χ2(t) 称为挠率，度量了 γ 和一条平面曲线的偏离程度。或者说，如果挠率为 0 则曲线完全在某平面内（任何 t 都在这一个平面内）。 τ ( t ) = χ 2 ( t ) = ⟨ e 2 ′ ( t ) , e 3 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ {\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}} 称为 γ 在点 t 的挠率。 给定 n 个函数 χ i ∈ C n − i ( [ a , b ] ) ,  1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n} 满足 χ i ( t ) > 0 ,  1 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle \chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1} 那么存在惟一的（在差一个欧几里得群作用的意义下） n 阶正则 Cn+1-曲线 γ，具有如下性质 ‖ γ ′ ( t ) ‖ = 1   ( t ∈ [ a , b ] ) {\displaystyle \|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])} χ i ( t ) = ⟨ e i ′ ( t ) , e i + 1 ( t ) ⟩ ‖ γ ′ ( t ) ‖ , {\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,} 这里集合 e 1 ( t ) , … , e n ( t ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)} 是曲面的 Frenet 标架。 再附加起始 t0 ∈ I，起始点 p0 ∈ Rn 以及一个初始正交标架 {e1, ..., en-1} 满足 γ ( t 0 ) = p 0 {\displaystyle \mathbf {\gamma } (t_{0})=\mathbf {p} _{0}} e i ( t 0 ) = e i ,  1 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{i}(t_{0})=\mathbf {e} _{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1} 那么我们可以排除欧几里得作用得到惟一的曲线 γ。 Frenet-Serret 公式是一组一阶常微分方程。其解为由广义曲率函数 χi 所刻画的曲线的 Frenet 向量组。 [ e 1 ′ ( t ) e 2 ′ ( t ) ] = [ 0 κ ( t ) − κ ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) e 2 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}} [ e 1 ′ ( t ) e 2 ′ ( t ) e 3 ′ ( t ) ] = [ 0 κ ( t ) 0 − κ ( t ) 0 τ ( t ) 0 − τ ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) e 2 ( t ) e 3 ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}} [ e 1 ′ ( t ) ⋮ e n ′ ( t ) ] = [ 0 χ 1 ( t ) 0 − χ 1 ( t ) ⋱ ⋱ ⋱ 0 χ n − 1 ( t ) 0 − χ n − 1 ( t ) 0 ] [ e 1 ( t ) ⋮ e n ( t ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}} Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions. 陈维桓，微分几何，北京大学出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709. 曲线论题列表（英语：List of curves topics） 曲线的仿射几何 弧 切线、切点、次切距 密切圆 包络线、转迹线 四顶点定理 测地线 等周问题 环绕数