反函数的微分

数学上，可導雙射函數 f {\displaystyle f} 的反函數微分可由 f {\displaystyle f} 的導函數 f ′ {\displaystyle f'} 給出。若使用拉格朗日记法，反函数 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 的导数公式为： [ f − 1 ] ′ ( a ) = 1 f ′ ( f − 1 ( a ) ) , {\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}},} 该表述等价于 D [ f − 1 ] = 1 ( D f ) ∘ ( f − 1 ) , {\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},} 其中 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 表示一元微分算子（在函数的空间上）， ∘ {\displaystyle \circ } 表示二元复合算子。 記 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ，則上式可用莱布尼兹符号寫成： d x d y ⋅ d y d x = 1. {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.} 換言之，函數及其反函數的导数均可逆，并且乘积为1。这是链式规则的直接结果，因为 d x d y ⋅ d y d x = d x d x , {\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}},} 而 x {\displaystyle x} 相对于 x {\displaystyle x} 的导数为1。 几何上，函数和反函数有关于直线 y = x.镜像的图像，这种映射将任何线的斜率变成其倒数。 假设 f {\displaystyle f} 在 x {\displaystyle x} 的邻域有一个反函数并且它在该点的导数不为零，则它的反函数保证在 x 处是可微的，并有上述公式给出的导数。 y = x 2 {\displaystyle \,y=x^{2}} （ x {\displaystyle x} 为正）具有逆 x = y {\displaystyle x={\sqrt {y}}} 中。 d y d x = 2 x         ;         d x d y = 1 2 y = 1 2 x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}} d y d x ⋅ d x d y = 2 x ⋅ 1 2 x = 1. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.} 但是，在 x = 0有一个问题：平方根函数图像变为垂直的，相对应平方函数的水平切线。 y = e x {\displaystyle \,y=e^{x}} ( x {\displaystyle x} 为实数)具有逆 x = ln ⁡ y {\displaystyle \,x=\ln {y}} （ y {\displaystyle y} 为正值） d y d x = e x         ;         d x d y = 1 y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}} d y d x ⋅ d x d y = e x ⋅ 1 y = e x e x = 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1} 对反函数积分有如下公式 f − 1 ( x ) = ∫ 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) d x + C {\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+\mathrm {C} } 可见，具有连续导数的函数（光滑函数）在其导数非零的每一点的邻域内都有反函数。如果导数不连续的，则上述积分公式不成立。 上面给出的链式法则是通过对等式 x = f − 1 ( f ( x ) ) {\displaystyle x=f^{-1}(f(x))} 关于 x {\displaystyle x} 微分得到的。对于更高阶的导数，可以继续同样的过程。对恒等式对 x {\displaystyle x} 求导两次，得到 d 2 y d x 2 ⋅ d x d y + d d x ( d x d y ) ⋅ ( d y d x ) = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,} 使用链式法则进一步简化为 d 2 y d x 2 ⋅ d x d y + d 2 x d y 2 ⋅ ( d y d x ) 2 = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.} d 2 y d x 2 ⋅ d x d y + d 2 x d y 2 ⋅ ( d y d x ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0} 用之前得到的恒等式替换一阶导数，得到 d 2 y d x 2 = − d 2 x d y 2 ⋅ ( d y d x ) 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}} d 2 y d x 2 = − d 2 x d y 2 ⋅ ( d y d x ) 3 . {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.} 对三阶导数类似： d 3 y d x 3 = − d 3 x d y 3 ⋅ ( d y d x ) 4 − 3 d 2 x d y 2 ⋅ d 2 y d x 2 ⋅ ( d y d x ) 2 {\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}} 或者用二阶导数的公式， d 3 y d x 3 = − d 3 x d y 3 ⋅ ( d y d x ) 4 + 3 ( d 2 x d y 2 ) 2 ⋅ ( d y d x ) 5 {\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}} 这些公式是由Faa di Bruno公式推广。 这些公式也可以用拉格朗日表示法来表示。如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 是互逆的，则 g ″ ( x ) = − f ″ ( g ( x ) ) [ f ′ ( g ( x ) ) ] 3 {\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}} y = e x {\displaystyle \,y=e^{x}} 有逆运算 x = ln ⁡ y {\displaystyle \,x=\ln y} 。使用反函数的二次导数公式， d y d x = d 2 y d x 2 = e x = y         ;         ( d y d x ) 3 = y 3 ; {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};} 于是， d 2 x d y 2 ⋅ y 3 + y = 0         ;         d 2 x d y 2 = − 1 y 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}} , 与直接计算相同。 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 為 f {\displaystyle f} 的反函數，意思是若 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ，則 x = f − 1 ( y ) {\displaystyle x=f^{-1}(y)} 。准确定义请参阅反函数。 前提均存在 这仅在积分存在的情况下适用。特别地，需要 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 在整个积分范围内非零 微积分 反函数 链式法则 反函数定理 隐函数定理 反函数的积分