解析容度

在复分析中，复平面的紧子集K的解析容度（analytic capacity）是一个标志了 C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \setminus K} 上的有界解析函数可以有“多大”的数。粗略地说，解析容度 γ ( K ) {\displaystyle \gamma (K)} 测量了 C ∖ K {\displaystyle \mathbb {C} \setminus K} 上的有界解析函数所组成的空间的单位球的大小。 这个概念最早由阿尔福斯在1940年代研究有界解析函数的奇点的可去性时引入。 紧集 K ⊂ C {\displaystyle K\subset \mathbb {C} } 的解析容度定义为 γ ( K ) = sup { | f ′ ( ∞ ) | : f ∈ H ∞ ( C ∖ K ) , ‖ f ‖ ∞ ≤ 1 , f ( ∞ ) = 0 } {\displaystyle \gamma (K)=\sup\{|f'(\infty )|:f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K),\|f\|_{\infty }\leq 1,f(\infty )=0\}} 其中， H ∞ ( U ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\infty }(U)} 表示有界解析函数 f : U → C {\displaystyle f:U\to \mathbb {C} } 组成的集合。此外， f ′ ( ∞ ) := lim z → ∞ z ( f ( z ) − f ( ∞ ) ) {\displaystyle f'(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{z(f(z)-f(\infty ))}} f ( ∞ ) := lim z → ∞ f ( z ) {\displaystyle f(\infty ):=\lim _{z\to \infty }{f(z)}} 注意如果令 g ( z ) = f ( 1 / z ) {\displaystyle g(z)=f(1/z)} ，则有 f ′ ( ∞ ) = g ′ ( 0 ) {\displaystyle f'(\infty )=g'(0)} 。但是，一般来说 f ′ ( ∞ ) ≠ lim z → ∞ f ′ ( z ) {\displaystyle f'(\infty )\neq \lim _{z\to \infty }{f'(z)}} 。 对任意集合 A ⊂ C {\displaystyle A\subset \mathbb {C} } ，定义 γ ( A ) = sup K ⊂ A γ ( K ) {\displaystyle \gamma (A)=\sup _{K\subset A}{\gamma (K)}} 其中K取遍所有包含于A的紧集。 设K是紧集，若对任意包含K的开集 Ω {\displaystyle \Omega } ，集合 Ω ∖ K {\displaystyle \Omega \setminus K} 上的有界全纯函数都可以解析延拓到整个 Ω {\displaystyle \Omega } 上，则称K是可去集。根据黎曼可去奇点定理，单点集都是可去的。这启发保罗·潘勒韦于1880年提出了一个更一般的问题：“ C {\displaystyle \mathbb {C} } 的哪些子集是可去的？” 容易看出，K是可去的当且仅当 γ ( K ) = 0 {\displaystyle \gamma (K)=0} 。然而，解析容度是纯复分析的概念，要得到更多的几何特性描述还有许多工作要做。 对紧集 K ⊂ C {\displaystyle K\subset \mathbb {C} } ，存在唯一的极值函数，即 f ∈ H ∞ ( C ∖ K ) {\displaystyle f\in {\mathcal {H}}^{\infty }(\mathbb {C} \setminus K)} 使得 ‖ f ‖ ≤ 1 , f ( ∞ ) = 0 , f ′ ( ∞ ) = γ ( K ) {\displaystyle \|f\|\leq 1,f(\infty )=0,f'(\infty )=\gamma (K)} 。这个函数称为K的阿尔福斯函数。 用 dim H {\displaystyle \dim _{H}} 表示豪斯多夫维数， H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}} 表示1维豪斯多夫测度。则 H 1 ( K ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)=0} 蕴含 γ ( K ) = 0 {\displaystyle \gamma (K)=0} ，而 dim H ⁡ ( K ) > 1 {\displaystyle \dim _{H}(K)>1} 保证了 γ ( K ) > 0 {\displaystyle \gamma (K)>0} 。然而， dim H ⁡ ( K ) = 1 {\displaystyle \dim _{H}(K)=1} 与 H 1 ( K ) > 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)>0} 的情况要复杂得多。 之前给出了紧集的1维豪斯多夫测度与解析容度的部分对应关系，据此可以猜想 γ ( K ) = 0 {\displaystyle \gamma (K)=0} 蕴含 H 1 ( K ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)=0} 。然而，这个猜想是错的。A. G. Vitushkin首先给出了反例，J. Garnett又给出了简单得多的例子。后者给出的构造如下： 设 K 0 := [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] {\displaystyle K_{0}:=[0,1]\times [0,1]} 是单位正方形。然后 K 1 {\displaystyle K_{1}} 是4个边长1/4的正方形的并，这4个小正方形分别位于 K 0 {\displaystyle K_{0}} 的四个角。以此类推， K n {\displaystyle K_{n}} 是 4 n {\displaystyle 4^{n}} 个边长为 4 − n {\displaystyle 4^{-n}} 的正方形（记做 Q n j {\displaystyle Q_{n}^{j}} ）的并，每个 Q n j {\displaystyle Q_{n}^{j}} 位于某个 Q n − 1 k {\displaystyle Q_{n-1}^{k}} 的一角。令K是所有 K n {\displaystyle K_{n}} 的交，则 H 1 ( K ) = 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)={\sqrt {2}}} ，但是 γ ( K ) = 0 {\displaystyle \gamma (K)=0} 。 设 K ⊂ C {\displaystyle K\subset \mathbb {C} } 是紧集，Vitushkin猜想叙述为 γ ( K ) ⟺ ∫ 0 π H 1 ( proj θ ⁡ K ) d θ = 0 {\displaystyle \gamma (K)\iff \int _{0}^{\pi }{{\mathcal {H}}^{1}(\operatorname {proj} _{\theta }{K})d\theta }=0} 其中 proj θ ⁡ ( x , y ) := x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {proj} _{\theta }(x,y):=x\cos \theta +y\sin \theta } 表示在方向 θ {\displaystyle \theta } 上的正交投影。根据上面的结果，当 dim H ⁡ ( K ) ≠ 1 {\displaystyle \dim _{H}(K)\neq 1} 时，Vitushkin猜想为真。 Guy David于1998年证明了Vitushkin猜想在 dim H ⁡ ( K ) = 1 {\displaystyle \dim _{H}(K)=1} 且 H 1 ( K ) < ∞ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(K)<\infty } 的情况。2002年，Xavier Tolsa证明了解析容度是半可数可加的（countably semiadditive）。即，存在常数 C > 0 {\displaystyle C>0} 使得对紧集 K = ⋃ i = 1 ∞ K i {\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{\infty }{K_{i}}} （其中 K i {\displaystyle K_{i}} 是博雷尔集）， γ ( K ) ≤ C ∑ i = 1 ∞ γ ( K i ) {\displaystyle \gamma (K)\leq C\sum _{i=1}^{\infty }{\gamma (K_{i})}} David与Tolsa的定理合起来能推导出，当K关于 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}} 是σ有限的时，Vitushkin猜想为真。可是，对于不是 H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}} σ有限的1维的K，这个猜想仍然有待解决。 Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1. Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag. J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699 G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479 Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4. Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.