三角积分

三角积分是含有三角函数的一种积分。一些简单的含有三角函数的积分，可在三角函数积分表中找到。 有两种不同的正弦积分： S i ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt} s i ( x ) = − ∫ x ∞ sin ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt} S i ( x ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,} 是 sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,} 的原函数，当 x = 0 {\displaystyle x=0\,} 时为零； s i ( x ) {\displaystyle {\rm {si}}(x)\,} 是 sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,} 的原函数，当 x = ∞ {\displaystyle x=\infty } 时为零。我们有： s i ( x ) = S i ( x ) − π 2 {\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}} 注意到 sin ⁡ t t {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} 是sinc函数，也是第零个球贝塞尔函数。 有两种不同的余弦积分： C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cos ⁡ t − 1 t d t {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt} c i ( x ) = − ∫ x ∞ cos ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt} C i n ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos ⁡ t t d t {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt} 其中 γ {\displaystyle \gamma } 是欧拉-马斯刻若尼常数. c i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,} 是 cos ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}} 的原函数，当 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 时为零。我们有： c i ( x ) = C i ( x ) {\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,} C i n ( x ) = γ + ln ⁡ x − C i ( x ) {\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,} S h i ( x ) = ∫ 0 x sinh ⁡ t t d t = s h i ( x ) . {\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).} C h i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cosh ⁡ t − 1 t d t = c h i ( x ) {\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)} 有各种各样的展开式，可以用于计算三角积分。 S i ( x ) = π 2 − cos ⁡ x x ( 1 − 2 ! x 2 + . . . ) − sin ⁡ x x ( 1 x − 3 ! x 3 + . . . ) {\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)} C i ( x ) = sin ⁡ x x ( 1 − 2 ! x 2 + . . . ) − cos ⁡ x x ( 1 x − 3 ! x 3 + . . . ) {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)} 这些级数是发散的，但可以用来估计，甚至是精确计算三角积分。 S i ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! ⋅ 3 + x 5 5 ! ⋅ 5 − x 7 7 ! ⋅ 7 ± ⋯ {\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots } C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n ( 2 n ) ! = γ + ln ⁡ x − x 2 2 ! ⋅ 2 + x 4 4 ! ⋅ 4 ∓ ⋯ {\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots } 这些级数对于任何复数的   x   {\displaystyle ~x~} 都是收敛的，但当 | x | ≫ 1 {\displaystyle |x|\gg 1} 时，计算非常缓慢，也不是很精确。 函数 E 1 ( z ) = ∫ 1 ∞ exp ⁡ ( − z t ) t d t     ,         ( R e ( z ) ≥ 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)} 称为指数积分，与正弦和余弦积分有以下的关系： E 1 ( i   x ) = i ( − π 2 + S i ( x ) ) − C i ( x ) = i   s i ( x ) − c i ( x ) ( x > 0 ) {\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)} 指数积分 对数积分 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See Chapter 5）（页面存档备份，存于互联网档案馆） 第5.2节，正弦和余弦积分（页面存档备份，存于互联网档案馆）