一矩陣

在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣，通常以符號 J {\displaystyle J} 來表示，並以下標符號表示矩陣的維度，例如： J 2 = ( 1 1 1 1 ) ; J 3 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 2 , 5 = ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ; J 1 , 2 = ( 1 1 ) . {\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad } 部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：unit matrix）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣，兩者是不同的矩陣。 類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。 特別地， 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} 的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即 I 1 = J 1 = [ 1 ] {\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}} 。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。 所有的 n × n {\displaystyle n\times n} 的全一方陣（為方陣的全一矩陣） J n {\displaystyle J_{n}} 有以下性質： J n {\displaystyle J_{n}} 的跡為 n {\displaystyle n} 若 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ， J n {\displaystyle J_{n}} 的行列式為 det J n = 0 {\displaystyle \det J_{n}=0} 。對於小於2的情況，行列式為1，即 det J 1 = det [ 1 ] = 1 {\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1} 。（若也將 n = 0 {\displaystyle n=0} 考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1） 全一矩陣 J n {\displaystyle J_{n}} 的特徵多項式為 ( x − n ) x n − 1 {\displaystyle (x-n)x^{n-1}} 全一矩陣 J n {\displaystyle J_{n}} 的極小多項式為 ( x − n ) x {\displaystyle (x-n)x} 全一矩陣 J n {\displaystyle J_{n}} 的秩為1、特徵值為 n {\displaystyle n} （代數重数為1）和0（代數重数為 n − 1 {\displaystyle n-1} ） J k = n k − 1 J {\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J} ，其中 k = 1 , 2 , … . {\displaystyle k=1,2,\ldots .} 全一矩陣 J {\displaystyle J} 是阿達瑪乘積的單位元 當全一矩陣 J {\displaystyle J} 在實矩陣運算時，以下附加性質成立： 全一矩陣 J {\displaystyle J} 為半正定矩阵 1 n J n {\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}} 為幂等矩阵 全一矩陣 J {\displaystyle J} 的矩阵指数為 exp ⁡ ( J n ) = I + e n − 1 n J n {\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}} 全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果 A {\displaystyle A} 是 n {\displaystyle n} 個頂點無向圖 G {\displaystyle G} 的鄰接矩陣，且 J {\displaystyle J} 是與 A {\displaystyle A} 相同維度的全一矩陣，則若 A J = J A {\displaystyle AJ=JA} 時， G {\displaystyle G} 為正則圖，反之亦然。 零矩陣 矩陣單元 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 0.2.8 The all-ones matrix and vector, Matrix Analysis, Cambridge University Press: 8, 2012 [2022-04-24], ISBN 9780521839402, （原始内容存档于2022-04-24） . Weisstein, Eric W. (编). Unit Matrix. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  簡秋記. 單位矩陣 unit matrix. 力學名詞辭典, 國家教育研究院. 2002年12月 [2022-04-24]. （原始内容存档于2021-01-19）.  Akivis, M. A. and Goldberg, V. V., An Introduction to Linear Algebra and Tensors, New York: Dover, 1972  Stanley, Richard P., Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, 2013 [2022-04-24], ISBN 9781461469988, （原始内容存档于2022-05-01） . Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956  Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65 （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Timm, Neil H., Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer: 30, 2002 [2022-04-24], ISBN 9780387227719, （原始内容存档于2022-04-24） . Smith, Jonathan D. H., Introduction to Abstract Algebra, CRC Press: 77, 2011 [2022-04-24], ISBN 9781420063721, （原始内容存档于2022-04-24） . Godsil, Chris, Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, 1993 [2022-04-24], ISBN 9780412041310, （原始内容存档于2022-04-24） .