質數定理

在數論中，素数定理（英語：Prime number theorem）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。 素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。 π ( x ) ≈ x ln x {\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}} 其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計： π ( x ) = L i ( x ) + O ( x e − 1 15 ln x ) {\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)} ，當x 趨近∞。 其中 L i ( x ) = ∫ 2 x d t ln t {\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}} （对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。 定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 x ln ⁡ x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} 的比值趨近 1。其數學式寫做 lim x → ∞ π ( x ) x ln ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1} 。 淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 x ln ⁡ x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} 。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為 π ( x ) ∼ x ln ⁡ x {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}} 。 注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限， π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 與 x ln ⁡ x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} 的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限， π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 與 x ln ⁡ x {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}} 的相對誤差趨近於 0。 因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是 1 ln ⁡ n {\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}} 。 質數定理有一個相關的定理，是關於第 n {\displaystyle n} 個素数 p n {\displaystyle p_{n}} 的下界，也就所謂的Rosser定理： p n > n ln n {\displaystyle p_{n}>n\ln \,n} 下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)： 1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測， π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 大約等於 x A ln ⁡ x + B {\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}} ，其中 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測： A = 1 {\displaystyle A=1} ， B = − 1.08366 {\displaystyle B=-1.08366} 。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 l i ( x ) {\displaystyle li(x)} ，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。 俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果 lim x → ∞ π ( x ) x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}} 存在且有限，則它一定是1。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大， π ( x ) x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}} 會界在兩個很靠近 1 的數字之間。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於 1 {\displaystyle 1} 的正整數 n {\displaystyle n} ，存在一個質數介於 n {\displaystyle n} 和 2 n {\displaystyle 2n} 之間。 1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《論小於給定數值的質數個數（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將 ζ {\displaystyle \zeta } 函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與 ζ {\displaystyle \zeta } 函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數 s {\displaystyle s} 可以寫成 1 + i t {\displaystyle 1+it} 的形式，且 t > 0 {\displaystyle t>0} ，則 ζ ( s ) ≠ 0 {\displaystyle \zeta (s)\neq 0} 。 進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了陶伯定理（英语：Tauberian theorem）讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家唐納德·J·紐曼（英语：Donald J. Newman）發現了一個簡潔的證明，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。 因為黎曼ζ函數與 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 關係密切，關於黎曼 ζ {\displaystyle \zeta } 函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為 π ( x ) = L i ( x ) + O ( x ln x ) {\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)} 至於大O項的常數則還未知道。[來源請求] 素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。 在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。 抽象解析数论 切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數 質數計數函數 A006880 A057835 A057752 C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863. Costa Pereira, N. A Short Proof of Chebyshev's Theorem. American Mathematical Monthly. August–September 1985, 92 (7): 494–495. JSTOR 2322510. doi:10.2307/2322510.  Nair, M. On Chebyshev-Type Inequalities for Primes. American Mathematical Monthly. February 1982, 89 (2): 126–129. JSTOR 2320934. doi:10.2307/2320934.  Ingham, A. E. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6.  Newman, Donald J. Simple analytic proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1980, 87 (9): 693–696. JSTOR 2321853. MR 0602825. doi:10.2307/2321853.  Zagier, Don. Newman's short proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1997, 104 (8): 705–708 [2019-05-03]. JSTOR 2975232. MR 1476753. doi:10.2307/2975232. （原始内容存档于2021-04-20）.