张量积

在数学中，张量积，记为 ⊗ {\displaystyle \otimes } ，可以应用于不同的上下文中如向量、矩阵、张量、向量空间、代数、拓扑向量空间和模。在各种情况下这个符号的意义是同样的:最一般的双线性运算。在某些上下文中也叫做外积。 例子: b ⊗ a → [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] [ a 1 a 2 a 3 ] = [ a 1 b 1 a 2 b 1 a 3 b 1 a 1 b 2 a 2 b 2 a 3 b 2 a 1 b 3 a 2 b 3 a 3 b 3 a 1 b 4 a 2 b 4 a 3 b 4 ] {\displaystyle \mathbf {b} \otimes \mathbf {a} \rightarrow {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\b_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{2}b_{1}&a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{2}&a_{2}b_{2}&a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{3}&a_{2}b_{3}&a_{3}b_{3}\\a_{1}b_{4}&a_{2}b_{4}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}} 结果的秩为2、维数为 4×3 = 12。 这里的秩指的是“张量秩”（所需指标数），而维数计算在结果数组(阵列)中自由度的数目；矩阵的秩是 2。 代表情况是任何两个被当作矩阵的矩形数组的克罗内克积。在同维数的两个向量之间的张量积的特殊情况是并矢积。 有两个（或更多）张量积的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分别为 n 和 m 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为 ( V ⊗ U ) i 1 i 2 … i m + n = V i 1 i 2 i 3 … i n U i n + 1 i n + 2 … i n + m {\displaystyle (V\otimes U)_{i_{1}i_{2}\dots i_{m+n}}=V_{i_{1}i_{2}i_{3}\dots i_{n}}U_{i_{n+1}i_{n+2}\dots i_{n+m}}} 。 所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。 注意在张量积中，因子 V 消耗前 rank(V) 個指标，而因子 U 再消耗 rank(U) 個指标，所以 r a n k ( V ⊗ U ) = r a n k ( V ) + r a n k ( U ) {\displaystyle \mathrm {rank} (V\otimes U)=\mathrm {rank} (V)+\mathrm {rank} (U)} 设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 Uαβ；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 Vγ。则 U α β V γ = ( U ⊗ V ) α β γ {\displaystyle U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }=(U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }} 而 V μ U ν σ = ( V ⊗ U ) μ ν σ {\displaystyle V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }} 。 张量积继承它的因子的所有指标。 对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 U {\displaystyle U} 和 V {\displaystyle V} : U ⊗ V = [ u 11 V u 12 V ⋯ u 21 V u 22 V ⋮ ⋱ ] = [ u 11 v 11 u 11 v 12 ⋯ u 12 v 11 u 12 v 12 ⋯ u 11 v 21 u 11 v 22 u 12 v 21 u 12 v 22 ⋮ ⋱ u 21 v 11 u 21 v 12 u 21 v 21 u 21 v 22 ⋮ ] {\displaystyle U\otimes V={\begin{bmatrix}u_{11}V&u_{12}V&\cdots \\u_{21}V&u_{22}V\\\vdots &&\ddots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{11}v_{11}&u_{11}v_{12}&\cdots &u_{12}v_{11}&u_{12}v_{12}&\cdots \\u_{11}v_{21}&u_{11}v_{22}&&u_{12}v_{21}&u_{12}v_{22}\\\vdots &&\ddots \\u_{21}v_{11}&u_{21}v_{12}\\u_{21}v_{21}&u_{21}v_{22}\\\vdots \end{bmatrix}}} 。 给定多重线性映射 f ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})} 和 g ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})} 它们的张量积是多重线性函数 ( f ⊗ g ) ( x 1 , … , x k + m ) = f ( x 1 , … , x k ) g ( x k + 1 , … , x k + m ) {\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m})} 在域 K {\displaystyle K} 上的两个向量空间 V 和 W 的张量积 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 有通过“生成元和关系”的方法的形式定义。在这些 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 的关系下的等价类被叫做“张量”并指示为 v ⊗ w {\displaystyle v\otimes w} 。通过构造，可以证明在张量之间的多个恒等式并形成张量的代数。 要构造 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} ，采用在 K {\displaystyle K} 之上带有基 V × W {\displaystyle V\times W} 的向量空间，并应用（因子化所生成的子空间）下列多线性关系: ( v 1 + v 2 ) ⊗ w = v 1 ⊗ w + v 2 ⊗ w {\displaystyle (v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w+v_{2}\otimes w} v ⊗ ( w 1 + w 2 ) = v ⊗ w 1 + v ⊗ w 2 {\displaystyle v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}} c v ⊗ w = v ⊗ c w = c ( v ⊗ w ) {\displaystyle cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)} 这里的 v , v i , w , w i {\displaystyle v,v_{i},w,w_{i}} 是来自适当空间的向量，而 c {\displaystyle c} 来自底层域 K {\displaystyle K} 。 我们可以推出恒等式 0 v ⊗ w = v ⊗ 0 w = 0 ( v ⊗ w ) = 0 {\displaystyle 0v\otimes w=v\otimes 0w=0(v\otimes w)=0} ， 零在 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 中。 结果的张量积 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 自身是向量空间，它可以直接通过向量空间公理来验证。分别给定 V 和 W 基 { v i } {\displaystyle \{v_{i}\}} 和 { w i } {\displaystyle \{w_{i}\}} ，形如 v i ⊗ w j {\displaystyle v_{i}\otimes w_{j}} 的张量形成 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 的基。张量积的维数因此是最初空间维数的积；例如 R m ⊗ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\otimes \mathbb {R} ^{n}} 有维数 m n {\displaystyle mn} 。 张量积可以用泛性质来刻画。考虑通过双线性映射 φ 把笛卡尔积 V × W 嵌入到向量空间 X 的问题。张量积构造 V ⊗ W 与给出自 ϕ ( u , w ) = u ⊗ w {\displaystyle \phi (u,w)=u\otimes w} 的自然嵌入映射 φ : V × W → V ⊗ W 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(X, ψ)，这里的 X 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 V × W → X，则存在一个唯一的线性映射 T : V ⊗ W → X {\displaystyle T:V\otimes W\rightarrow X} 使得 ψ = T ∘ ϕ {\displaystyle \psi =T\circ \phi } 。 假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。 直接推论是从 V × W 到 X 的双线性映射 B ( V × W , X ) {\displaystyle B(V\times W,X)} 和线性映射 L ( V ⊗ W , X ) {\displaystyle L(V\otimes W,X)} 的同一性。它是 ψ 到 T 的自然同构映射。 两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。 设 H 1 {\displaystyle H_{1}} 和 H 2 {\displaystyle H_{2}} 是两个希尔伯特空间，分别带有内积 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 1 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{1}} 和 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 2 {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}} 。构造 H1 和H2 的张量积 H 1 ⊗ ^ H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} 如下： 考虑他们的作为线性空间的张量积 H = H 1 ⊗ H 2 {\displaystyle H=H_{1}\otimes H_{2}} 。 H 1 {\displaystyle H_{1}} 和 H 2 {\displaystyle H_{2}} 上的内积自然地扩展到 H {\displaystyle H} 上： 由内积的双线性（Bilinearity），只需定义 ⟨ ϕ 1 ⊗ ϕ 2 , ψ 1 ⊗ ψ 2 ⟩ = ⟨ ϕ 1 , ψ 1 ⟩ 1 ⋅ ⟨ ϕ 2 , ψ 2 ⟩ 2 {\displaystyle \langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\cdot \langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}} 其中 ϕ 1 , ψ 1 ∈ H 1 {\displaystyle \phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}} 和 ϕ 2 , ψ 2 ∈ H 2 {\displaystyle \phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}} 即可。 现在 H {\displaystyle H} 是一未必完备的内积空间。将 H {\displaystyle H} 完备化，得到希尔伯特空间 H 1 ⊗ ^ H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} ，这就是 H1 和 H2作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中， H 1 ⊗ ^ H 2 {\displaystyle H_{1}{\hat {\otimes }}H_{2}} 具有如前所述的泛性质，即它是二者在该范畴内的乘积。 如果 H1 和 H2 分别有正交基 {φk} 和 {ψl}，则 {φk ⊗ ψl} 是 H1 ⊗ H2 的正交基。 在泛性质的讨论中，替代 X 为 V 和 W 的底层标量域生成空间 ( V ⊗ W ) ⋆ {\displaystyle (V\otimes W)^{\star }} （ V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 V × W {\displaystyle V\times W} 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。 只要 V {\displaystyle V} 和 W {\displaystyle W} 是有限维的，在 V ⋆ ⊗ W ⋆ {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }} 和 ( V ⊗ W ) ⋆ {\displaystyle (V\otimes W)^{\star }} 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 V ⋆ ⊗ W ⋆ ⊂ ( V ⊗ W ) ⋆ {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }} 。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。 类似的公式对反变以及混合型张量也成立。尽管许多情形，比如定义了一个内积，这种区分是无关的。 外积 并矢积 張量積模型變換