倒頻譜

倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里叶变换，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。 倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下： 字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。 數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m為實數） 演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱 複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。 x ^ [ n ] = ∫ − 1 2 1 2 X ^ ( F ) e j 2 π F d F {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF} 其中 X ^ [ F ] = log ⁡ | X ( F ) | + j arg ⁡ [ X ( F ) ] {\displaystyle {\widehat {X}}\left[F\right]=\log |X(F)|+j\arg[X(F)]} 可能遭遇的問題 1. log ⁡ 0 = − ∞ {\displaystyle \log 0=-\infty } 2. arg ⁡ [ X [ n ] ] {\displaystyle \arg[X[n]]} 有無限多的解 當輸入是實數時,因為 log ⁡ | X ( F ) | {\displaystyle \log |X(F)|} 偶對稱， arg ⁡ [ X ( F ) ] {\displaystyle \arg[X(F)]} 奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數 C [ n ] = ∫ − 1 2 1 2 log ⁡ | X ( F ) | e j 2 π F n d F {\displaystyle C\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}\log |X(F)|e^{j{2\pi }Fn}dF} 可能遭遇的問題 1. log ⁡ 0 = − ∞ {\displaystyle \log 0=-\infty } 倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震回音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。 自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。 倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。 倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。 倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑干擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。 語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。 倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。 倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。 頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。 濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。 x ^ [ n ] = ∫ − 1 2 1 2 X ^ ( F ) e j 2 π F d F {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF} 問題: X ^ ( F ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(F\right)} 可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解 先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式 X ( Z ) = A Z r ∏ k = 1 m i ( 1 − a k Z − 1 ) ∏ k = 1 m 0 ( 1 − b k Z ) ∏ k = 1 P i ( 1 − c k Z − 1 ) ∏ k = 1 P 0 ( 1 − d k Z ) {\displaystyle X\left(Z\right)={\cfrac {A{Z^{r}}\prod _{k=1}^{m_{i}}(1-{a_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{m_{0}}(1-{b_{k}}Z)}{\prod _{k=1}^{P_{i}}(1-{c_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{P_{0}}(1-{d_{k}}Z)}}} 其中 | a k | , | b k | , | c k | , | d k | ≤ 1 {\displaystyle \left|a_{k}\right|,\left|b_{k}\right|,\left|c_{k}\right|,\left|d_{k}\right|\leq 1} 分子: 第一項A是係數 第二項 Z r {\displaystyle Z^{r}} 是延遲 第三項是位於單位圓內的零點 第四項是位於單位圓外的零點 分母: 第一項是位於單位圓內的極點 第二項是位於單位圓外的極點 對 X ( Z ) {\displaystyle X\left(Z\right)} 取log變成 X ^ ( Z ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)} X ^ ( Z ) = l o g X ( Z ) = log ⁡ A + r log ⁡ Z + ∑ k = 1 m i log ⁡ ( 1 − a k Z − 1 ) + ∑ k = 1 m 0 log ⁡ ( 1 − b k Z ) − ∑ k = 1 P i log ⁡ ( 1 − c k Z − 1 ) − ∑ k = 1 P 0 log ⁡ ( 1 − d k Z ) {\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)=logX\left(Z\right)=\log A+r\log Z+\sum _{k=1}^{m_{i}}\log(1-{a_{k}}{Z^{-1}})+\sum _{k=1}^{m_{0}}\log(1-{b_{k}}Z)-\sum _{k=1}^{P_{i}}\log(1-{c_{k}}{Z^{-1}})-\sum _{k=1}^{P_{0}}\log(1-{d_{k}}Z)} 假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形 根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換 x ^ [ n ] = { log ⁡ A if  n = 0 − ∑ k = 1 m i a k n n + ∑ k = 1 P i c k n n if  n > 0 ∑ k = 1 m 0 b k − n n − ∑ k = 1 P 0 d k − n n if  n < 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}\log A&{\mbox{if }}n=0\\-\sum _{k=1}^{m_{i}}{\cfrac {{a_{k}}^{n}}{n}}+\sum _{k=1}^{P_{i}}{\cfrac {{c_{k}}^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n>0\\\sum _{k=1}^{m_{0}}{\cfrac {{b_{k}}^{-n}}{n}}-\sum _{k=1}^{P_{0}}{\cfrac {{d_{k}}^{-n}}{n}}&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}} 注意事項 1. x ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]} 總是IIR(無限脈衝響應) 2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況, c k = 0 , d k = 0 {\displaystyle c_{k}=0,d_{k}=0} Z ⋅ X ^ ′ ( Z ) = Z ⋅ X ′ ( Z ) X ( Z ) {\displaystyle Z\cdot {\widehat {X}}'\left(Z\right)=Z\cdot {\cfrac {{X}'\left(Z\right)}{{X}\left(Z\right)}}} Z X ′ ( Z ) = Z X ^ ′ ( Z ) ⋅ X ( Z ) {\displaystyle Z{X}'\left(Z\right)=Z{\widehat {X}}'\left(Z\right)\cdot {X}\left(Z\right)} 對其做Z的反轉換 n x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ k x ^ [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle nx[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }k{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]} 故 x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ k n x ^ [ k ] x [ n − k ] f o r   n ≠ 0 {\displaystyle x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n\neq 0} 分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸 1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. x [ n ] = x ^ [ n ] = 0 , n < 0 {\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]=0,n<0} 對於 x [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ k n x ^ [ k ] x [ n − k ] f o r   n ≠ 0 {\displaystyle x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n\neq 0} 可得出 x [ n ] = ∑ k = 0 ∞ k n x ^ [ k ] x [ n − k ] f o r   n > 0 {\displaystyle x[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n>0} 故 x [ n ] = x ^ [ n ] x [ 0 ] + ∑ k = 0 n − 1 k n x ^ [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]x[0]+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]} 2.對於x[n]是最小相位(minimum phase) x ^ [ n ] = { 0 if  n < 0 x [ n ] x [ 0 ] − ∑ k = 0 n − 1 k n x ^ [ k ] x [ n − k ] x [ 0 ] if  n > 0 log ⁡ A if  n = 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n<0\\{\cfrac {x[n]}{x[0]}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]{\cfrac {x[n-k]}{x[0]}}&{\mbox{if }}n>0\\\log A&{\mbox{if }}n=0\end{cases}}} 3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. x [ n ] = x ^ [ n ] = 0 , n > 0 {\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]=0,n>0} x [ n ] = ∑ k = n 0 k n x ^ [ k ] x [ n − k ] f o r   n < 0 = x ^ [ n ] x [ 0 ] + ∑ k = n + 1 0 k n x ^ [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle {\begin{aligned}x[n]&=\sum _{k=n}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n<0\\&={\widehat {x}}\left[n\right]x[0]+\sum _{k=n+1}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\\\end{aligned}}} 4.對於x[n]是最大相位(maximum phase) x ^ [ n ] = { 0 if  n > 0 x [ n ] x [ 0 ] − ∑ k = n + 1 0 k n x ^ [ k ] x [ n − k ] x [ 0 ] if  n < 0 log ⁡ A if  n = 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n>0\\{\cfrac {x[n]}{x[0]}}-\sum _{k=n+1}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]{\cfrac {x[n-k]}{x[0]}}&{\mbox{if }}n<0\\\log A&{\mbox{if }}n=0\end{cases}}} 1. 複數倒頻譜至少以 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 的速度衰退 | x ^ [ n ] | = c | α n n | − ∞ < n < ∞ {\displaystyle |{\widehat {x}}\left[n\right]|=c|{\frac {{\alpha }^{n}}{n}}|\quad -\infty <n<\infty } 其中 α = m a x ( a k , b k , c k , d k ) {\displaystyle \alpha =max(a_{k},b_{k},c_{k},d_{k})} 2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則 x ^ [ n ] = 0 f o r   a l l   n < 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=0\quad for\ all\ n<0} 因為 b k , d k = 0 {\displaystyle b_{k},d_{k}=0} 3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則 x ^ [ n ] = 0 f o r   a l l   n > 0 {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=0\quad for\ all\ n>0} 因為 a k , c k = 0 {\displaystyle a_{k},c_{k}=0} 4. 如果x[n]是有限長度, 則 x ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]} 是無限長度 同態解卷積有非常多應用面，尤其是在聲學工程和語音分析方面的實用性 (1) 回聲的均衡化 y [ n ] = x [ n ] + α x [ n − N p ] {\displaystyle y[n]=x[n]+{\alpha }x[n-N_{p}]} 其中 y [ n ] {\displaystyle y[n]} 是接收到的訊號， x [ n ] {\displaystyle x[n]} 是原始訊號， N p {\displaystyle N_{p}} 是延遲的樣本數， α {\displaystyle {\alpha }} 是衰減係數 令 p [ n ] {\displaystyle p[n]} 是脈衝響應，描述原始訊號與回聲訊號之間的關係 p [ n ] = δ [ n ] + α δ [ n − N p ] {\displaystyle p[n]={\delta }[n]+{\alpha }{\delta [n-N_{p}]}} ，其中 δ {\displaystyle {\delta }} 是單位脈衝函數 y [ n ] = x [ n ] + α x [ n − N p ] = x [ n ] ∗ p [ n ] {\displaystyle y[n]=x[n]+{\alpha }x[n-N_{p}]=x[n]*p[n]} 系統函數 P ( Z ) = 1 + α Z − N p {\displaystyle P(Z)=1+{\alpha }Z^{-N_{p}}} 透過對系統函數進行對數轉換，簡化回聲成分的分析和處理 P ^ ( Z ) = l o g ( 1 + α Z − N p ) = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 α k k Z − k N p {\displaystyle {\hat {P}}(Z)=log(1+{\alpha }Z^{-N_{p}})={\sum _{k=1}^{\infty }}(-1)^{k+1}{\frac {\alpha ^{k}}{k}}Z^{-kN_{p}}} 將 P ^ ( Z ) {\displaystyle {\hat {P}}(Z)} 轉換到時域 p ^ [ n ] = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 α k k δ ( n − k ⋅ N P ) {\displaystyle {\hat {p}}[n]={\sum _{k=1}^{\infty }}(-1)^{k+1}{\frac {\alpha ^{k}}{k}}{\delta }(n-k{\cdot }N_{P})} (2) 聲學工程 y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] {\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]} ，其中 y [ n ] {\displaystyle y[n]} 是合成音樂， x [ n ] {\displaystyle x[n]} 是原始音樂， h [ n ] {\displaystyle h[n]} 是脈衝響應(例如建築物空間的影響) (3) 語音分析 透過在complex cepstrum domain中進行濾波，分離這些成分，使得對語音訊號的理解和處理更為精確。 s [ n ] = g [ n ] ∗ v [ n ] ∗ p [ n ] {\displaystyle s[n]=g[n]*v[n]*p[n]} ，其中 s [ n ] {\displaystyle s[n]} 是語音波， g [ n ] {\displaystyle g[n]} 是全局波形， v [ n ] {\displaystyle v[n]} 是聲道脈衝， p [ n ] {\displaystyle p[n]} 是音高，*是卷積 (4) 地震信號分析 (5) 任意波傳播的多路徑分析 梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於: 梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。 梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。 梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。 梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。 梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟： 將信號做傅立葉變換 頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。 對每個梅爾頻率取對數。 作離散餘弦轉換。 求得梅爾頻率倒頻譜係數。 梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。 利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。 梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。 相較於原始的倒頻譜 有絕對值平方 倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加： x 1 ∗ x 2 → x 1 ′ + x 2 ′ {\displaystyle x_{1}*x_{2}\rightarrow x'_{1}+x'_{2}} x ^ d ( n ) = Z − 1 X ′ ( Z ) X ( Z ) {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}(n)=Z^{-1}{\frac {X'(Z)}{X(Z)}}} 或 x ^ d [ n ] = ∫ − 1 2 1 2 X ′ ( F ) X ( F ) e i 2 π F d F {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\frac {X'(F)}{X(F)}}e^{i2\pi F}dF} ( d d Z X ^ d ( Z ) = d d Z l o g X ( Z ) = X ′ ( Z ) X ( Z ) ) {\displaystyle ({\frac {d}{dZ}}{\widehat {X}}_{d}(Z)={\frac {d}{dZ}}logX(Z)={\frac {X'(Z)}{X(Z)}})} If x ( n ) = x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) {\displaystyle x(n)=x_{1}(n)*x_{2}(n)} X ( Z ) = X 1 ( Z ) X 2 ( Z ) {\displaystyle X(Z)=X_{1}(Z)X_{2}(Z)} X ′ ( Z ) = X 1 ′ ( Z ) X 2 ( Z ) + X 1 ( Z ) X 2 ′ ( Z ) {\displaystyle X'(Z)=X_{1}'(Z)X_{2}(Z)+X_{1}(Z)X_{2}'(Z)} X ′ ( Z ) X ( Z ) = X 1 ′ ( Z ) X 1 ( Z ) ) + X 2 ′ ( Z ) X 2 ( Z ) ) {\displaystyle {\frac {X'(Z)}{X(Z)}}={\frac {X_{1}'(Z)}{X_{1}(Z)}})+{\frac {X_{2}'(Z)}{X_{2}(Z)}})} ∴ x ^ d ( n ) = x ^ 1 d ( n ) + x ^ 2 d ( n ) {\displaystyle \therefore {\widehat {x}}_{d}(n)={\widehat {x}}_{1d}(n)+{\widehat {x}}_{2d}(n)} 優點: (a)沒有模糊的相位 (b)可以處理延遲問題 (1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。 ex: y [ n ] = A X [ n − r ] {\displaystyle y[n]=AX[n-r]} ⇒ y ^ d ( n ) = { x ^ d ( n ) , n ≠ 1 − r + x ^ d ( 1 ) , n = 1 {\displaystyle \Rightarrow {\widehat {y}}_{d}(n)={\begin{cases}{\widehat {x}}_{d}(n),n\neq 1\\-r+{\widehat {x}}_{d}(1),n=1\end{cases}}} (proof): Y ( z ) = A z − r X ( z ) {\displaystyle Y(z)=Az^{-r}X(z)} Y ( z ) = A z − r X ′ ( z ) − r A z − r − 1 X ( z ) {\displaystyle Y(z)=Az^{-r}X'(z)-rAz^{-r-1}X(z)} Y ′ ( z ) Y ( z ) = X ′ ( z ) X ( z ) − r z − 1 {\displaystyle {\frac {Y'(z)}{Y(z)}}={\frac {X'(z)}{X(z)}}-rz^{-1}} (2)複數倒頻譜 C ^ [ n ] {\displaystyle {\widehat {C}}[n]} 與 微分倒頻譜 x ^ d [ n ] {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]} 和原訊號x[n]有關 C ^ ( n ) = − x ^ d ( n + 1 ) n , n ≠ 0 {\displaystyle {\widehat {C}}(n)={\frac {-{\widehat {x}}_{d}(n+1)}{n}},n\neq 0} diff cepstrum − ( n − 1 ) x ( n − 1 ) = ∑ k = − ∞ ∞ x ^ d ( n ) x ( n − k ) {\displaystyle -(n-1)x(n-1)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {x}}_{d}(n)x(n-k)} recursive formula ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到 (3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則 x ^ d [ n ] = 0 {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=0} ,當 n ≤ 0 {\displaystyle n\leq 0} minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外 (4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則 x ^ d [ n ] = 0 {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=0} ,當 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內 (5)如果x(n)為有限區間,則 x ^ d [ n ] {\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]} 為無限區間 複數倒頻譜的衰減率反比於n 微分倒頻譜的衰減率下降 ∴ x ^ d ( n + 1 ) = n c ^ ( n ) ∝ n 1 n = 1 {\displaystyle \therefore {\widehat {x}}_{d}(n+1)=n{\widehat {c}}(n)\varpropto n{\frac {1}{n}}=1} x [ 0 ] = 1 , x [ 1 ] = 0.5 {\displaystyle x[0]=1,x[1]=0.5} ,otherwise 0 , Find its cepstrum. x [ n ] ⟶ Z t r a n s f o r m X ( Z ) ⟶ l o g X ^ ( Z ) ⟶ Z − 1 x ^ [ n ] {\displaystyle x[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad X(Z)\quad {\stackrel {log}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {x}}[n]} step 1. Z transform: X ( Z ) = 1 + 0.5 Z − 1 , p o l e = − 0.5 {\displaystyle X(Z)=1+0.5Z^{-1},pole=-0.5} step 2. log: X ^ ( Z ) = ∑ k = 1 m i l o g ( 1 − ( − 0.5 Z − 1 ) ) {\displaystyle {\widehat {X}}(Z)=\sum _{k=1}^{m_{i}}log(1-(-0.5Z^{-1}))} step 3. reverse Z transform: x ^ [ n ] = ∑ n = 0 N − − 0.5 n n , n > 0 {\displaystyle {\widehat {x}}[n]=\sum _{n=0}^{N}-{\frac {-0.5^{n}}{n}},n>0} x ^ [ 0 ] = 1 {\displaystyle {\widehat {x}}[0]=1} ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum. x ^ [ n ] ⟶ Z t r a n s f o r m X ^ ( Z ) ⟶ e x p X ( Z ) ⟶ Z − 1 x [ n ] {\displaystyle {\widehat {x}}[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {exp}{\longrightarrow }}\quad {X}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {x}[n]} step 1. Z transform: X ^ [ n ] = Z − 1 {\displaystyle {\widehat {X}}[n]=Z^{-1}} step 2. exp: e ( 1 z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 z n n ! {\displaystyle e({\frac {1}{z}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {1}{z^{n}}}{n!}}} step 3. reverse Z transform: x [ n ] = { 1 n ! , n ≥ 0 0 , o t h e r w i s e {\displaystyle x[n]={\begin{cases}{\frac {1}{n!}},n\geq 0\\0,otherwise\\\end{cases}}} Suppose that an IIR filter is H ( Z ) = 2 z 3 − 4 z 2 − z + 2 2 z 2 − 2 z + 1 {\displaystyle H(Z)={\frac {2z^{3}-4z^{2}-z+2}{2z^{2}-2z+1}}} x [ n ] ⟶ Z t r a n s f o r m X ( Z ) ⟶ l o g X ^ ( Z ) ⟶ Z − 1 x ^ [ n ] {\displaystyle x[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad X(Z)\quad {\stackrel {log}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {x}}[n]} step 1. Z transform: H ( Z ) = ( − 2 ) ( z ) ( z − 2 2 z − 1 ) ( z + 2 2 z − 1 ) ( 1 − 1 2 z ) ( 1 − 1 + j 2 z − 1 ) ( 1 − 1 − j 2 z − 1 ) {\displaystyle H(Z)={\frac {(-2)(z)(z-{\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})(z+{\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})(1-{\frac {1}{2}}z)}{(1-{\frac {1+j}{2}}z^{-1})(1-{\frac {1-j}{2}}z^{-1})}}} step 2. log: H ^ ( Z ) = l o g ( − 2 ) + 3 l o g ( z ) + l o g ( 1 ± 2 2 z − 1 ) + l o g ( 1 − 1 2 z ) − l o g ( 1 − 1 ± j 2 z − 1 ) {\displaystyle {\widehat {H}}(Z)=log(-2)+3log(z)+log(1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})+log(1-{\frac {1}{2}}z)-log(1-{\frac {1\pm j}{2}}z^{-1})} step 3. reverse Z transform: h ^ [ n ] = { l o g ( − 2 ) , n = 0 − ( 2 2 ) n + ( − 2 2 ) n n + ( 1 + j 2 ) n + ( 1 − j 2 ) n n , n > 0 ( 1 2 ) − n n , n < 0 {\displaystyle {\widehat {h}}[n]={\begin{cases}log(-2),n=0\\\displaystyle {-{\frac {{({\frac {\sqrt {2}}{2}})}^{n}+{({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}^{n}}{n}}+{\frac {{({\frac {1+j}{2}})}^{n}+{({\frac {1-j}{2}})}^{n}}{n}},n>0}\\\displaystyle {\frac {{({\frac {1}{2}})}^{-n}}{n}},n<0\\\end{cases}}} {\displaystyle } B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963. D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing（页面存档备份，存于互联网档案馆）," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008 Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2024