高斯圓問題

數學中，高斯圓問題（英語：Gauss circle problem）問以原點為中心， r {\displaystyle r} 為半徑的圓內，有多少個整數點（英语：Integer lattice）。答案與圓的面積相近，因此，真正的問題是如何準確地描述點數與面積的差異。問題得名自數學家卡爾·弗里德里希·高斯。 考慮 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中以原點為中心和以 r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} 為半徑的一個圓。高斯圓問題詢問該圓中有多少個點 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 使 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 都是整数。由於在笛卡爾坐標系中，這個圓的方程式是 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ，問題等價於詢問有多少對整數 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 使得 m 2 + n 2 ≤ r 2 . {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.} 以 N ( r ) {\displaystyle N(r)} 表示輸入為 r {\displaystyle r} 時的答案。以下第一行先列出 r {\displaystyle r} 由 0 {\displaystyle 0} 至 12 {\displaystyle 12} 時， N ( r ) {\displaystyle N(r)} 的值，第二行列出 π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 四捨五入到最接近的整數，以作比較： 1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 （OEIS數列A000328） 0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 （OEIS數列A075726） N ( r ) {\displaystyle N(r)} 大概是 π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} ，半徑範圍內的區域 r {\displaystyle r} 。這是因為平均而言，每個單位正方形包含一個格子點。因此，圓中格子點的實際數量大約等於其面積， π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 。因此，應該預期 N ( r ) = π r 2 + E ( r ) {\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,} 對於某些錯誤項 E ( r ) {\displaystyle E(r)} 具有相對較小的絕對值。找到正確的上限 ∣ E ( r ) ∣ {\displaystyle \mid E(r)\mid } 因此是問題採取的形式。注意 r {\displaystyle r} 不必是整數。後 N ( 4 ) = 49 {\displaystyle N(4)=49} 一個有 N ( 17 ) = 57 , N ( 18 ) = 61 , N ( 20 ) = 69 , N ( 5 ) = 81. {\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.} 在這些地方 E ( r ) {\displaystyle E(r)} 之後它減少（以 2 π r {\displaystyle 2\pi r} ），直到下一次增加為止。 高斯設法證明 | E ( r ) | ≤ 2 2 π r . {\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.} 谢尔品斯基将指數改进至 2 / 3 {\displaystyle 2/3} ，以大O符号表示，即證明 | E ( r ) | = O ( r 2 / 3 ) {\displaystyle |E(r)|=O(r^{2/3})} ，约翰内斯·范德科皮特（英语：Johannes van der Corput）引进了他关于外尔和的估计，从而证明了指數為 37 / 56 {\displaystyle 37/56} 的結果（此數略小於 2 / 3 {\displaystyle 2/3} ）。以后不少数学家改进这一结果。中国数学家华罗庚与陈景润分别证得指數為 13 / 20 {\displaystyle 13/20} 與 24 / 37 {\displaystyle 24/37} 的上界。 未解決的數學問題：設 E ( r ) {\displaystyle E(r)} 表示以原點為圓心， r {\displaystyle r} 為半徑的圓，其面積與圓內整點數之差，則使 | E ( r ) | = O ( r t + ε ) {\displaystyle |E(r)|=O(r^{t+\varepsilon })} 對一切 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 皆成立的最小 t {\displaystyle t} 值為何？ 下界方面，哈代和Landau分別獨立證明 | E ( r ) | ≠ o ( r 1 / 2 ( log ⁡ r ) 1 / 4 ) , {\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),} 其中用到小o表示。據推測，正確的界線是 | E ( r ) | = O ( r 1 / 2 + ε ) . {\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right).} 設 E ( r ) ≤ C r t {\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}} 總成立，則關於 t {\displaystyle t} 的最小可能值 t 0 {\displaystyle t_{0}} ，目前所知的結果是 1 2 < t 0 ≤ 131 208 = 0.6298 … , {\displaystyle {\frac {1}{2}}<t_{0}\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots ,} 其中下界是1915年Hardy和Landau所證，上界於2000年由馬丁·赫克斯利（英语：Martin Huxley）证明。 N ( r ) {\displaystyle N(r)} 的值可以由幾個形式給出，例如以下取整函數表示成以下和式： N ( r ) = 1 + 4 ∑ i = 0 ∞ ( ⌊ r 2 4 i + 1 ⌋ − ⌊ r 2 4 i + 3 ⌋ ) . {\displaystyle N(r)=1+4\sum _{i=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).} 這是雅可比二平方和定理（英语：Sum of two squares theorem）的結果，該定理來自雅可比三重積（英语：Jacobi triple product）。 如果將平方和函數（英语：Sum of squares function） r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} 定義為將自然數 n {\displaystyle n} 寫為兩個整數平方之和的方法數，則 r 2 ( n ) / 4 {\displaystyle r_{2}(n)/4} 是一个积性函数，且可寫出較簡單的和式： N ( r ) = ∑ n = 0 r 2 r 2 ( n ) {\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)} Hardy首次發現了以下的最新成果： N ( x ) − r 2 ( x 2 ) 2 = π x 2 + x ∑ n = 1 ∞ r 2 ( n ) n J 1 ( 2 π x n ) , {\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),} 其中 J 1 {\displaystyle J_{1}} 表示第一種階數為1的貝塞爾函數。 儘管最初的問題要求在一個圓內的整數點個數，但沒有理由不考慮其他形狀，例如圓錐形。的確，狄利克雷（Dirichlet）的除數問題是用矩形雙曲線替換圓的等價問題。同樣，可以將問題從二維擴展到更高的維度，並在球體或其他物體中求整數。關於這些問題有大量文獻。如果忽略幾何學而僅將問題視為Diophantine不等式的代數之一，則可能會增加問題中出現的指數，從平方到立方，甚至更高次方。 另一個概括是計算互質整數解數量 m , n {\displaystyle m,n} 的不等式 m 2 + n 2 ≤ r 2 . {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,} 此問題稱為原始圓問題，因為它涉及搜索原始圓問題的原始解。可以直觀地理解為在原點的歐幾里得果園中可見多少距離為r的樹木的問題。如果表示此類解決方案的數量 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 然後的值 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 為了 r {\displaystyle r} 取小整數值是 0，4，8，16，32，48，72，88，120，152，192 （OEIS中的數列A175341） 使用與普通的高斯圓問題相同的方法，以及兩個整數互質的機率為 6 / π 2 {\displaystyle 6/\pi ^{2}} ，容易證明 V ( r ) = 6 π r 2 + O ( r 1 + ε ) . {\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).} 與普通的圓問題一樣，原始圓問題的問題部分在於減少誤差項中的指數。如果假設黎曼猜想正確，目前最著名的指數是 221 / 304 + ε {\displaystyle 221/304+\varepsilon } 。在不假設黎曼猜想正確的情況下，最著名的上限是 V ( r ) = 6 π r 2 + O ( r exp ⁡ ( − c ( log ⁡ r ) 3 / 5 ( log ⁡ log ⁡ r 2 ) − 1 / 5 ) ) {\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r^{2})^{-1/5}))} 其中 c {\displaystyle c} 為正常數 。 特別是，目前不假設黎曼猜想正確的情況下，對於任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ， 1 − ε {\displaystyle 1-\varepsilon } 的誤差項沒有限制。 G.H. Hardy, Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, (1959), p.67. 王元. 数学大辞典. 高斯圆问题. Ke xue chu ban she. 2017. ISBN 7-03-053336-4. OCLC 1124964888.  G.H. Hardy, On the Expression of a Number as the Sum of Two Squares, Quart. J. Math. 46, (1915), pp.263–283. R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Third edition, Springer, (2004), pp.365–366. M.N. Huxley, Integer points, exponential sums and the Riemann zeta function, Number theory for the millennium, II (Urbana, IL, 2000) pp.275–290, A K Peters, Natick, MA, 2002, MR1956254 D. Hilbert and S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, New York: Chelsea, (1999), pp.37–38. Hirschhorn, Michael D. Partial fractions and four classical theorems of number theory. 美國數學月刊. 2000, 107 (3): 260–264. CiteSeerX 10.1.1.28.1615 . JSTOR 2589321. doi:10.2307/2589321.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002654. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Landau, Edmund. 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