拋物面坐標系

拋物面坐標系（英語：Paraboloidal coordinates）是一種三維正交坐標系，是二維拋物線坐標系的推廣。與大多數的三維正交坐標系的生成方法不同，拋物面坐標系不是由任何二維正交坐標系延伸或旋轉生成的。 從直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 變換至拋物面坐標 ( λ ,   μ ,   ν ) {\displaystyle (\lambda ,\ \mu ,\ \nu )} ： x 2 = ( A − λ ) ( A − μ ) ( A − ν ) B − A {\displaystyle x^{2}={\frac {\left(A-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(A-\nu \right)}{B-A}}} 、 y 2 = ( B − λ ) ( B − μ ) ( B − ν ) A − B {\displaystyle y^{2}={\frac {\left(B-\lambda \right)\left(B-\mu \right)\left(B-\nu \right)}{A-B}}} 、 z = 1 2 ( A + B − λ − μ − ν ) {\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(A+B-\lambda -\mu -\nu \right)} ； 其中，拋物面坐標遵守以下限制： λ < B < μ < A < ν {\displaystyle \lambda <B<\mu <A<\nu } 。 λ {\displaystyle \lambda } -坐標曲面是橢圓拋物面 (elliptic paraboloid) ： x 2 λ − A + y 2 λ − B = 2 z + λ {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\lambda -A}}+{\frac {y^{2}}{\lambda -B}}=2z+\lambda } 。 μ {\displaystyle \mu } -坐標曲面是雙曲拋物面 ： x 2 μ − A + y 2 μ − B = 2 z + μ {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\mu -A}}+{\frac {y^{2}}{\mu -B}}=2z+\mu } 。 ν {\displaystyle \nu } -坐標曲面也是橢圓拋物面 ： x 2 ν − A + y 2 ν − B = 2 z + ν {\displaystyle {\frac {x^{2}}{\nu -A}}+{\frac {y^{2}}{\nu -B}}=2z+\nu } 。 拋物面坐標的標度因子分別為 h λ = 1 2 ( μ − λ ) ( ν − λ ) ( A − λ ) ( B − λ ) {\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)}{\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)}}}} 、 h μ = 1 2 ( ν − μ ) ( λ − μ ) ( A − μ ) ( B − μ ) {\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\mu \right)\left(\lambda -\mu \right)}{\left(A-\mu \right)\left(B-\mu \right)}}}} 、 h ν = 1 2 ( λ − ν ) ( μ − ν ) ( A − ν ) ( B − ν ) {\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{\left(A-\nu \right)\left(B-\nu \right)}}}} 。 無窮小體積元素等於 d V = ( μ − λ ) ( ν − λ ) ( ν − μ ) 8 ( A − λ ) ( B − λ ) ( A − μ ) ( μ − B ) ( ν − A ) ( ν − B )   d λ d μ d ν {\displaystyle dV={\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{8{\sqrt {\left(A-\lambda \right)\left(B-\lambda \right)\left(A-\mu \right)\left(\mu -B\right)\left(\nu -A\right)\left(\nu -B\right)}}}}\ d\lambda d\mu d\nu } 。 其它微分算子，例如 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用橢球坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。 Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 664. ISBN 0-07-043316-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 184–185.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 119–120.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), 代替 uk 為 ξk. Moon P, Spencer DE. Paraboloidal Coordinates (μ,\ ν,\ λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 44–48 (Table 1.11). ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 数学主题 MathWorld 的拋物面坐標系 （页面存档备份，存于互联网档案馆）