拉普拉斯算子

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由欧几里得空间中的一個函数的梯度的散度给出的微分算子，通常寫成 Δ {\displaystyle \Delta } 、 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或 ∇ ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla \cdot \nabla } 。 這名字是為了紀念法国数学家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天体力学在數學中首次应用算子，当它被施加到一个给定的重力位（Gravitational potential）的时候，其中所述算子给出的质量密度的常数倍。經拉普拉斯算子運算為零 Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} 的函數稱為调和函数，现在称为拉普拉斯方程，和代表了在自由空间中的可能的重力场。 拉普拉斯算子有許多用途，此外也是椭圆算子中的一個重要例子。 拉普拉斯算子出现描述许多物理现象的微分方程裡。例如，常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流体力学以及亥姆霍茲方程。在靜電學中，拉普拉斯方程和泊松方程的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程中的動能項。 拉普拉斯算子是最简单的椭圆算子，并且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在图像处理和计算机视觉中，拉普拉斯算子已经被用于诸如斑点检测和边缘检测等的各种任务。 拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为對函數 f {\displaystyle f} 先作梯度運算（ ∇ f {\displaystyle \nabla f} ）後，再作散度運算（ ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \nabla \cdot \nabla f} ）的結果。因此如果 f {\displaystyle f} 是二阶可微的实函数，则 f {\displaystyle f} 的拉普拉斯算子定义为： Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f} ── (1) f {\displaystyle f} 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x i {\displaystyle x_{i}} 中的所有非混合二阶偏导数： Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}} ── (2) 作为一个二阶微分算子，对于k ≥ 2，拉普拉斯算子把Ck函数映射到Ck-2函数。表达式（(1)或(2)）定义了一个算子Δ：Ck(Rn)→ Ck-2(Rn)，或更一般地，定义了一个算子Δ：Ck(Ω)→ Ck-2(Ω)，对于任何开集Ω。 函数的拉普拉斯算子也是该函数的海森矩阵的迹： Δ f = t r ( H ( f ) ) . {\displaystyle \Delta f=\mathrm {tr} (H(f)).\,\!} Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}} 其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標 另外極坐標的表示法為： Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}} 笛卡兒坐標系下的表示法 Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} 圓柱坐標系下的表示法 Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.} 球坐標系下的表示法 Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.} 在参数方程为 x = r θ ∈ R N {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}} （其中 r ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle r\in [0,+\infty )} 以及 θ ∈ S N − 1 {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} ）的 N {\displaystyle N} 维球坐标系中，拉普拉斯算子为： Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f} 其中 Δ S N − 1 {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}} 是 N − 1 {\displaystyle N-1} 维球面上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子。我们也可以把 ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} 的项写成 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}} 。 如果f和g是两个函数，则它们的乘积的拉普拉斯算子为： Δ ( f g ) = ( Δ f ) g + 2 ( ( ∇ f ) ⋅ ( ∇ g ) ) + f ( Δ g ) {\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)} 。 f是径向函数 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 且g是球谐函数 Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )} ，是一个特殊情况。这个情况在许多物理模型中有所出现。 f ( r ) {\displaystyle f(r)} 的梯度是一个径向向量，而角函数的梯度与径向向量相切，因此： 2 ( ∇ f ( r ) ) ⋅ ( ∇ Y l m ( θ , ϕ ) ) = 0 {\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0} 。 球谐函数还是球坐标系中的拉普拉斯算子的角部分的特征函数： Δ Y ℓ m ( θ , ϕ ) = − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} 。 因此： Δ ( f ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) ) = ( d 2 f ( r ) d r 2 + 2 r d f ( r ) d r − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 f ( r ) ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} 。 拉普拉斯算子的谱由特征值 λ {\displaystyle \lambda } 和对应的特征函数 f {\displaystyle f} 组成，满足： − Δ f = λ f {\displaystyle -\Delta f=\lambda f} 这就是所谓的亥姆霍兹方程。 如果 Ω {\displaystyle \Omega } 在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中有界，拉普拉斯算子的特征函数时希尔伯特空间 L 2 ( Ω ) {\displaystyle L^{2}(\Omega )} 下的一组标准正交基。这主要是因为紧自伴随算子的谱定理，适用于拉普拉斯的逆算子（根据庞加莱不等式和Rellich-Kondrachov定理，它是紧算子）。这也可以表明特征函数是无穷阶可微的函数。更一般地说，这些结果对任何有界紧黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子都是成立的，或者说对任何有边界上具有光滑系数的椭圆算子的Dirichlet特征值问题也成立。当Ω为N维球面时，拉普拉斯的特征函数是球谐函数。 拉普拉斯算子可以用一定的方法推广到非欧几里得空间，这时它就有可能是椭圆算子、双曲算子、或超双曲算子。 在闵可夫斯基空间中，拉普拉斯算子变为达朗贝尔算子（英語：d'Alembertian）： ◻ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 . {\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.} 达朗贝尔算子通常用来表达克莱因-戈尔登方程以及四维波动方程。第四个项前面的符号是负号，而在欧几里德空间中则是正号。因子c是需要的，这是因为时间和空间通常用不同的单位来衡量；如果x方向用寸来衡量，y方向用厘米来衡量，也需要一个类似的因子。 拉普拉斯算子作用在向量值函數上，其結果被定義爲一個向量，這個向量的各個分量分別爲向量值函數各個分量的拉普拉斯，卽 ∇ 2 A = ( ∇ 2 A x , ∇ 2 A y , ∇ 2 A z ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})} ． 更一般地，對沒有坐標的向量，我們用下面的方式定義（受向量恒等式的啓發）： ∇ 2 A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )} ，也可用類似于拉普拉斯－德拉姆算子的方式定義，然後證明“旋度的旋度”向量恒等式． 拉普拉斯算子也可以推广为定义在黎曼流形上的椭圆型算子，称为拉普拉斯-贝尔特拉米算子。达朗贝尔算子则推广为伪黎曼流形上的双曲型算子。拉普拉斯–贝尔特拉米算子还可以推广为运行于张量场上的算子（也称为拉普拉斯–贝尔特拉米算子）。 另外一种把拉普拉斯算子推广到伪黎曼流形的方法，是通过拉普拉斯–德拉姆算子，它作用在微分形式上。这便可以通过外森比克恒等式来与拉普拉斯–贝尔特拉米算子联系起来。 在圆柱和球坐标系中的del Feynman, R, Leighton, R, and Sands, M. Chapter 12: Electrostatic Analogs. The Feynman Lectures on Physics. Volume 2. Addison-Wesley-Longman. 1970.  Gilbarg, D and Trudinger, N. Elliptic partial differential equations of second order. Springer. 2001. ISBN 978-3540411604.  Schey, H. M. Div, grad, curl, and all that. W W Norton & Company. 1996. ISBN 978-0393969979.  MathWorld: Laplacian （页面存档备份，存于互联网档案馆） Derivation of the Laplacian in Spherical coordinates （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Swapnil Sunil Jain