譜圖論

數學上，譜圖論（英語：spectral graph theory）是圖論的分支，研究图的性質與其邻接矩阵、调和矩阵等的特徵多項式、特征值和特征向量有何關聯。 n {\displaystyle n} 個頂點的圖，其鄰接矩陣是 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣，各分量分別以 0 {\displaystyle 0} 或 1 {\displaystyle 1} 表示對應的兩頂點之間是否有連邊。簡單無向圖的鄰接矩陣是實對稱矩陣，從而可正交對角化（英语：Orthogonal diagonalization），其特徵值皆是實代數整數。 雖然鄰接矩陣取決於如何標記頂點以作排序，但是矩阵的谱是圖不變量，不取決於標記方式。（不過也不是完備不變量，不足以完全刻畫圖的全部性質。） 譜圖論亦關注藉圖的矩陣特徵值重數定義的參數，如科蘭·德韋迪耶爾數（英语：Colin de Verdière graph invariant）。 兩幅圖稱為「共譜」（cospectral）或「等譜」（isospectral），意思是兩者的鄰接矩陣等譜（英语：isospectral），特徵值不僅數值相等，連重數也一樣，即組成的多重集相等。 共譜圖不必同構，但同構圖必然共譜。 圖 G {\displaystyle G} 由譜決定（determined by its spectrum），意思是具有該譜的圖必與 G {\displaystyle G} 同構。簡單例子包括： 完全圖 有限星狀樹（英语：starlike tree），即恰有一個頂點度數大於 2 {\displaystyle 2} 的樹。 若一對圖具有相同的譜，但是不同構，則稱為「共譜配偶」（cospectral mates）。最小一對共譜配偶是 { K 1 , 4 , C 4 ⊔ K 1 } {\displaystyle \{K_{1,4},C_{4}\sqcup K_{1}\}} ，前者是五個頂點的星，而後者是四個頂點的環，與獨一個頂點的不交並，如考拉茲和西诺戈维茨於1957年所述。最小一對多面體共譜配偶是兩個八頂點的九面體。 幾乎所有树皆會與另一樹共譜。換言之，隨頂點數增加，有共譜樹的樹所佔比率趨於 1 {\displaystyle 1} 。一對正則圖共譜當且僅當其補圖亦共譜。一對距離正則圖（英语：distance-regular graph）共譜，當且僅當其相交陣列相等。 共譜圖亦可藉砂田方法（英语：isospectral）構造。尚有另一類共譜圖，來自各種點線幾何。此種幾何中，以各點為頂點，有直線過兩點則連邊，可得「點共線圖」（point-collinearity graph）。反之，以直線為頂點，兩直線相交則連邊，可得「線相交圖」（line-intersection graph）。兩幅圖必共譜，但經常不同構。 黎曼几何中，對於緊黎曼流形 M {\displaystyle M} ，有等周定理的推廣，稱為奇格不等式（英语：Cheeger constant）。其斷言， n {\displaystyle n} 維區域 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} 的體積一定時，邊界 ∂ A {\displaystyle \partial A} 的面積不能太小，相比 A {\displaystyle A} 的體積，比例常數有某個下界，與拉普拉斯－貝爾特拉米算子的特徵值有關。此不等式在圖論的離散情況下有類比，拉－貝二氏算子對應的概念是拉氏矩陣。譜圖論的奇格不等式在算法方面有應用，因為藉由拉氏算子的第二特徵值，可以估算圖的最小割之值。 图的奇格常數（Cheeger constant），或作奇格數（Cheeger number）、等周數（isoperimetric number），直觀理解是用作衡量該圖是否有「瓶頸」。多個學科需要衡量瓶頸程度，所以其用途包括：建造非常連通的计算机网络、洗牌、低維拓撲（尤其研究雙曲3流形時）。 對於一幅 n {\displaystyle n} 個頂點的圖 G {\displaystyle G} ，奇格常數 h ( G ) {\displaystyle h(G)} 的定義，可用符號寫成： h ( G ) = min 0 < | S | ≤ n 2 | ∂ ( S ) | | S | . {\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial (S)|}{|S|}}.} 式中的最小值取遍一切大小不過半的非空頂點集合 S {\displaystyle S} ，而 ∂ ( S ) {\displaystyle \partial (S)} 表示 S {\displaystyle S} 的邊邊界（edge boundary），即恰有一端屬 S {\displaystyle S} 的邊所組成的集。 當 G {\displaystyle G} 為 d {\displaystyle d} 正則時， h ( G ) {\displaystyle h(G)} 與度數及第二特徵值之差 d − λ 2 {\displaystyle d-\lambda _{2}} （又稱「譜隙」）有關。多久克及阿隆、米爾曼（英语：Vitali Milman）二人分別獨立證出以下不等式： 1 2 ( d − λ 2 ) ≤ h ( G ) ≤ 2 d ( d − λ 2 ) . {\displaystyle {\frac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}.} 此不等式與马尔可夫链的奇格界（英语：Cheeger bound）密切相關，亦是黎曼几何中，奇格不等式（英语：Cheeger constant）的離散變式。 更一般情況，可考慮連通圖 G {\displaystyle G} ，不必正則，此時金芳蓉的書中有另一條不等式： 1 2 λ ≤ h ( G ) ≤ 2 Δ λ , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\lambda }\leq {\boldsymbol {h}}(G)\leq {\sqrt {2\Delta \lambda }},} 式中 λ {\displaystyle \lambda } 是（未歸一的）拉氏算子最小非平凡特徵值， Δ {\displaystyle \Delta } 是最大度，而 h ( G ) {\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)} 是經歸一化的奇格常數： h ( G ) = min ∅ ≠ S ⊂ V ( G ) | ∂ ( S ) | min ( v o l ( S ) , v o l ( S ¯ ) ) , {\displaystyle {\boldsymbol {h}}(G)=\min _{\emptyset \not =S\subset V(G)}{\frac {|\partial (S)|}{\min({\mathrm {vol} }(S),{\mathrm {vol} }({\bar {S}}))}},} 其中 v o l ( Y ) {\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)} 表示 Y {\displaystyle Y} 中各頂點的度數和。 對正則圖的獨立集大小，可用特徵值計算出一個上界，最先由艾倫·霍夫曼（英语：Alan J. Hoffman）和菲利浦·德爾薩特（Philippe Delsarte）證明。不等式的敍述如下： 設 G {\displaystyle G} 是 n {\displaystyle n} 個頂點的 k {\displaystyle k} 正則圖，且最小一個特徵值為 λ m i n {\displaystyle \lambda _{\mathrm {min} }} ，則 G {\displaystyle G} 的獨立數 α ( G ) ≤ n 1 − k λ m i n . {\displaystyle \alpha (G)\leq {\frac {n}{1-{\frac {k}{\lambda _{\mathrm {min} }}}}}.} 此上界應用在合適的圖上，就能以代數方式證明艾狄胥-柯-雷多定理（英语：Erdős–Ko–Rado theorem），以及有關有限域上子空間相交族的類似定理。 對於一般不必正則的圖，考慮歸一化拉氏矩陣的最大特徵值 λ m a x ′ {\displaystyle \lambda '_{\mathrm {max} }} ，也能推導出類似的結論： α ( G ) ≤ n ( 1 − 1 λ m a x ′ ) Δ ( G ) δ ( G ) , {\displaystyle \alpha (G)\leq n\left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\frac {\Delta (G)}{\delta (G)}},} 式中 Δ ( G ) {\displaystyle \Delta (G)} 和 δ ( G ) {\displaystyle \delta (G)} 分別表示 G {\displaystyle G} 的最大度和最小度。此為另一不等式的特例：對於任意獨立集 X {\displaystyle X} ，有 v o l ( X ) ≤ ( 1 − 1 λ m a x ′ ) v o l ( V ( G ) ) , {\displaystyle {\mathrm {vol} }(X)\leq \left(1-{\frac {1}{\lambda '_{\mathrm {max} }}}\right){\mathrm {vol} }(V(G)),} 其中 v o l ( Y ) {\displaystyle {\mathrm {vol} }(Y)} 代表集合 Y {\displaystyle Y} 中所有頂點的度數之和。 譜圖論在1950年代至1960年代逐漸出現。图论有研究圖的結構與譜性質之間有何聯繫，除此之外，量子化学研究亦是另一源頭，但兩個方向的研究互不流通，要到很後期才合而為一。1980年茨維特科維奇、杜布、薩克斯的專著《圖之譜》概括了當時本領域的多數研究，其後由1988年《圖譜論之近期成果》和《圖之譜》1995年第三版再次更新。2000年代，砂田利一（英语：Toshikazu Sunada）開創離散幾何分析，並加以發展。此領域處理譜圖論的方式，是利用加權圖的離散拉氏算子，在形狀分析（英语：Spectral shape analysis）等領域有應用。近來，譜圖論應用廣泛，用於分析一些現實（如信號處理時）可能會遇到的圖。 強正則圖（英语：Strongly regular graph） 代数连通度 代数图论 譜聚類（粵语：譜聚類） 譜形分析（英语：Spectral shape analysis） 埃斯特拉達指標（英语：Estrada index） 洛瓦茲數ϑ（英语：Lovász number） 扩展图 Collatz, Lothar; Sinogowitz, Ulrich. Spektren endlicher Grafen [有限圖之譜]. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1957, 21: 63–77. doi:10.1007/BF02941924 （德语）.  Weisstein, Eric W. (编). Cospectral Graphs. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Hosoya, Haruo; Nagashima, Umpei; Hyugaji, Sachiko. Topological twin graphs. Smallest pair of isospectral polyhedral graphs with eight vertices [拓撲孿生圖。最小一對八頂點等譜多面體圖]. Journal of Chemical Information and Modeling. 1994, 34 (2): 428–431. doi:10.1021/ci00018a033 （英语）.  Schwenk, A. J. Almost All Trees are Cospectral [幾乎全體樹皆共譜]. Harary, Frank (编). New Directions in the Theory of Graphs [圖論之新方向]. New York: Academic Press. 1973: 275–307. ISBN 012324255X. OCLC 890297242 （英语）.  Godsil, Chris. Are Almost All Graphs Cospectral? [幾乎所有圖皆共譜嗎？] (PDF). 2007-11-07 [2022-01-04]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-04） （英语）.  Sunada, Toshikazu. Riemannian coverings and isospectral manifolds [黎曼覆疊和等譜流形]. Ann. of Math. 1985, 121 (1): 169–186. JSTOR 1971195. doi:10.2307/1971195 （英语）.  Brouwer, Andries; Haemers, Willem H. §14.2.2 Partial linear spaces [第14.2.2小節：半線性空間]. Spectra of Graphs [圖之譜] (PDF). Springer. 2011 [2022-02-18]. （原始内容 (PDF)存档于2022-02-04） （英语）.  Hoory, Linial & Wigderson (2006)的Definition 2.1 Dodziuk, J. Difference Equations, Isoperimetric inequality and Transience of Certain Random Walks [差分方程、等周不等式、某隨機遊走之暫現]. Trans. Amer. Math. Soc. 1984, 284 (2): 787–794 （英语）.  Alon, N.; Milman, V. D. λ1, isoperimetric inequalities for graphs, and superconcentrators [λ1、圖之等周不等式、超集中器]. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 1985, 38 (1): 73–88. MR 0782626. doi:10.1016/0095-8956(85)90092-9 （英语）.  Hoory, Linial & Wigderson (2006)的Theorem 2.4。 Chung, Fan. Spectral Graph Theory [譜圖論]. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 1997 [2022-01-10]. ISBN 0821803158. MR 1421568. （原始内容存档于2020-02-14） （英语）前四章可於網頁查閱  Godsil, Chris. Erdős-Ko-Rado Theorems [艾狄胥-柯-雷多諸定理] (PDF). 2009-05 [2022-01-05]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-20） （英语）.  Godsil, Christopher; Meagher, Karen. Erdős–Ko–Rado theorems: algebraic approaches [艾狄胥-柯-雷多諸定理：代數進路]. Cambridge, United Kingdom. 2016. ISBN 9781107128446. OCLC 935456305. doi:10.1017/CBO9781316414958 （英语）.  Cvetković, Dragoš; Rowlinson, Peter; Simić, Slobodan. Eigenspaces of Graphs [圖之本徵空間]. Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-57352-1. doi:10.1017/CBO9781139086547 （英语）.  Cvetković, Dragoš M.; Doob, Michael; Sachs, Horst. Spectra of Graphs [圖之譜]. New York: Academic Press. 1980 （英语）.  Cvetković, Dragoš M.; Doob, Michael; Gutman, Ivan; Torgasev, A. Recent Results in the Theory of Graph Spectra [圖譜論之近期成果]. Annals of Discrete mathematics 36. 1988 [2022-01-05]. ISBN 0-444-70361-6. doi:10.1016/s0167-5060(08)x7010-4. （原始内容存档于2017-11-05） （英语）.  Sunada, Toshikazu. Discrete geometric analysis [離散幾何分析]. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 2008, 77: 51–86. ISBN 9780821844717. doi:10.1090/pspum/077/2459864 （英语）.  Shuman, David I; Ricaud, Benjamin; Vandergheynst, Pierre. Vertex-frequency analysis on graphs [圖上的頂點頻率分析]. Applied and Computational Harmonic Analysis. March 2016, 40 (2): 260–291. ISSN 1063-5203. arXiv:1307.5708 . doi:10.1016/j.acha.2015.02.005 （英语）.  Stankovic, Ljubisa; Dakovic, Milos; Sejdic, Ervin. Vertex-Frequency Analysis: A Way to Localize Graph Spectral Components [Lecture Notes] [頂點頻率分析：局部化圖譜分量的方法 [講義]]. IEEE Signal Processing Magazine. July 2017, 34 (4): 176–182. Bibcode:2017ISPM...34..176S. ISSN 1053-5888. doi:10.1109/msp.2017.2696572 （英语）.  Sakiyama, Akie; Watanabe, Kana; Tanaka, Yuichi. Spectral Graph Wavelets and Filter Banks With Low Approximation Error [譜圖小波和低近似誤差的濾波器組]. IEEE Transactions on Signal and Information Processing over Networks. September 2016, 2 (3): 230–245. ISSN 2373-776X. doi:10.1109/tsipn.2016.2581303 （英语）.  Behjat, Hamid; Richter, Ulrike; Van De Ville, Dimitri; Sornmo, Leif. Signal-Adapted Tight Frames on Graphs [圖上適應訊號的緊標架]. IEEE Transactions on Signal Processing. 2016-11-15, 64 (22): 6017–6029 [2022-01-05]. Bibcode:2016ITSP...64.6017B. ISSN 1053-587X. doi:10.1109/tsp.2016.2591513. （原始内容存档于2022-01-05） （英语）.  Hoory, Shlomo; Linial, Nathan; Wigderson, Avi. Expander graphs and their applications [擴展圖及其應用] (PDF). Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. 2006-10, 43 (4): 439–561 [2022-02-18]. doi:10.1090/S0273-0979-06-01126-8. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-13） （英语）.