分裂域

在抽象代数中，一个系数域为 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的多项式 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 的分裂域（根域）是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的“最小”的一个扩域 L {\displaystyle \mathbb {L} } ，使得在其中 P {\displaystyle P\,} 可以被分解为一次因式 x − r i {\displaystyle x-r_{i}\,} 的乘积，其中的 r i {\displaystyle r_{i}\,} 是 L {\displaystyle \mathbb {L} } 中元素。一个 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的多项式并不一定只有一个分裂域，但它所有的分裂域都是同构的：在同构意义上， K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的多项式的分裂域是唯一的。 称一个系数域为 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的多项式 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的某个扩域 L {\displaystyle \mathbb {L} } 中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积： P = ∑ i = 0 k a i x i = a k ∏ i = 1 k ( x − r i ) {\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})} 其中的 a i ∈ K {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} } ， r i ∈ L {\displaystyle r_{i}\in \mathbb {L} } 。换句话来说， P {\displaystyle P\,} 的根都在 L {\displaystyle \mathbb {L} } 中。 使得 P {\displaystyle P\,} 在其中分裂的扩域 L {\displaystyle \mathbb {L} } 有很多，譬如对于某个使得 P {\displaystyle P\,} 分裂的的 L {\displaystyle \mathbb {L} } ，它任意的扩域 L ′ {\displaystyle \mathbb {L} '} 也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域 E {\displaystyle \mathbb {E} } ： 在 E {\displaystyle \mathbb {E} } 里， P {\displaystyle P\,} ，可以分解为一次因式的乘积； 在 E {\displaystyle \mathbb {E} } 的任何真子域（不等于自身）里， P {\displaystyle P\,} 都无法如此分解。这样的扩域称为 P {\displaystyle P\,} 在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的分裂域。 如果 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ，多项式为 P ( x ) = x 3 − 2 {\displaystyle P(x)=x^{3}-2\,} 那么其分裂域 L {\displaystyle \mathbb {L} } 可以是在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中添加三次单位根 ω {\displaystyle \omega \,} 和2的立方根而得到的扩域： Q ( ω , 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})} 。因为这时 P {\displaystyle P\,} 可以写作： P = ( x − 2 3 ) ( x − ω 2 3 ) ( x − ω 2 2 3 ) {\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})} 同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如： 多项式 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1\,} 在实数域 R上的分裂域是复数域 C。 多项式 x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1\,} 在准有限域 GF7上的分裂域是GF72. 多项式 x 2 − 1 {\displaystyle x^{2}-1\,} 在准有限域 GF7上的分裂域是GF7，因为在其上 x 2 − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) {\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,} 已经分解完毕。 给定多项式 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} ，在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的分裂域 E {\displaystyle \mathbb {E} } ，假设在 E {\displaystyle \mathbb {E} } 里 P {\displaystyle P\,} ，分解为 P = a ∏ i = 1 k ( x − r i ) {\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})} 那么 E = K ( r 1 , r 2 , ⋯ , r k ) {\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})} 。 对于域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的一个代数闭域扩域 A {\displaystyle \mathbb {A} } 和 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的一个多项式 P {\displaystyle P\,} ，存在 P {\displaystyle P\,} 在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的唯一的一个分裂域 L {\displaystyle \mathbb {L} } ，使得 K ⊂ L ⊂ A {\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A} } 。 对于 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的一个可分扩张 K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} ， K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 的包含 K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了 K ′ {\displaystyle \mathbb {K} '} 中任意元素 a {\displaystyle a\,} ，在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的极小多项式在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的分裂域。 代数扩张 正规扩张 极小多项式 可分扩张 Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1][失效連結] David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2] 李華介，簡介Galois理論 （页面存档备份，存于互联网档案馆）