費馬數

未解決的数学問題：当 n > 4 {\displaystyle n>4} 时，是否每个费马数都是合数？(可能可以用數學歸納法證明) 費馬數是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式： F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} 其中 n {\displaystyle n} 为非负整数。 若 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}+1} 是素数，可以得到n必须是2的幂。（若 n = a b {\displaystyle n=ab} ，其中 1 < a , b < n {\displaystyle 1<a,b<n} 且b为奇数，则 2 n + 1 ≡ ( 2 a ) b + 1 ≡ ( − 1 ) b + 1 ≡ 0 ( mod 2 a + 1 ) {\displaystyle 2^{n}+1\equiv (2^{a})^{b}+1\equiv (-1)^{b}+1\equiv 0{\pmod {2^{a}+1}}} ，即 2 a + 1 {\displaystyle 2^{a}+1} 是 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}+1} 的因數。）也就是说，所有具有形式 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n}+1} 的素数必然是費馬數，这些素数称为費馬素數。已知的費馬素數只有 F 0 {\displaystyle F_{0}} 至 F 4 {\displaystyle F_{4}} 五個。 费马数满足以下的递归关系： F n = ( F n − 1 − 1 ) 2 + 1 {\displaystyle F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1\,} F n = F n − 1 + 2 2 n − 1 F 0 ⋯ F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}} F n = F n − 1 2 − 2 ( F n − 2 − 1 ) 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}} F n = F 0 ⋯ F n − 1 + 2 {\displaystyle F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2} 其中 n ⩾ 2 {\displaystyle n\geqslant 2} 。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ⩽ i < j {\displaystyle 0\leqslant i<j} 且 F i {\displaystyle F_{i}} 和 F j {\displaystyle F_{j}} 有一个公因子 a > 1 {\displaystyle a>1} 。那么 a {\displaystyle a} 能把 F 0 ⋯ F j − 1 {\displaystyle F_{0}\cdots F_{j-1}} 和 F j {\displaystyle F_{j}} 都整除；则 a {\displaystyle a} 能整除它们相减的差。因为 a > 1 {\displaystyle a>1} ，这使得 a = 2 {\displaystyle a=2} 。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。 其他性质： F n {\displaystyle F_{n}} 的位数 D ( n , b ) {\displaystyle D(n,b)} 可以表示成以 b {\displaystyle b} 为基数就是 D ( n , b ) = ⌊ log b ⁡ ( 2 2 n + 1 ) + 1 ⌋ ≈ ⌊ 2 n log b ⁡ 2 + 1 ⌋ {\displaystyle D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{\overset {n}{}}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor } (参见高斯函数). 除了 F 1 = 2 + 3 {\displaystyle F_{1}=2+3} 以外没有费马数可以表示成两个素数的和。 当 p {\displaystyle p} 是奇素数的时候，没有费马数可以表示成两个数的p次方相减的形式。 除了 F 0 {\displaystyle F_{0}} 和 F 1 {\displaystyle F_{1}} ，费马数的最后一位是7。 所有费马数（OEIS數列A051158）的倒数之和是无理数。 (所罗门·格伦布,1963) 最小的12个費馬數为： 其中前八个来源于（OEIS數列A000215）。 質因數個數顏色： 紅色：2個因數；綠色：3個因數；粉色：4個因數；藍色：5個因數；橘色：6個因數；紫色：7個因數(含以上)； 只有最小的12个費馬數被人们完全分解了，目前最小不確定質性的費馬數是 F 33 {\displaystyle F_{33}} 。 不確定質性的數： F n {\displaystyle F_{n}} ，n = 33、34、35、44、45、46、... 1640年，费马提出了一个猜想，認為所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个費馬數成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了 F 5 {\displaystyle F_{5}} 的分解式： F 5 = 2 32 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417 {\displaystyle F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417} 歐拉證明費馬數的因數皆可表成 k 2 n + 1 + 1 {\displaystyle k2^{n+1}+1} ，之後卢卡斯證明費馬數的因數皆可表成 k 2 n + 2 + 1 {\displaystyle k2^{n+2}+1} 。 費馬的本猜測到了大數可說是大錯特錯，甚至多數數學家認為不存在第6個費馬質數。 高斯称：尺规作图正多边形的边数目的充分条件是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的费马素数的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。這個條件也是必要條件，但他沒有給出證明。 设 F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1} 为第 n {\displaystyle n} 个费马数。如果 n {\displaystyle n} 不等于零，那么： F n {\displaystyle F_{n}} 是素数，当且仅当 3 F n − 1 2 ≡ − 1 ( mod F n ) {\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}} 。 假设以下等式成立： 3 F n − 1 2 ≡ − 1 ( mod F n ) {\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}} 那么 3 F n − 1 ≡ 1 ( mod F n ) {\displaystyle 3^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}} ，因此满足 3 k = 1 ( mod F n ) {\displaystyle 3^{k}=1{\pmod {F_{n}}}} 的最小整数 k {\displaystyle k} 一定整除 F n − 1 = 2 2 n {\displaystyle F_{n}-1=2^{2^{n}}} ，它是2的幂。另一方面， k {\displaystyle k} 不能整除 F n − 1 2 {\displaystyle {\tfrac {F_{n}-1}{2}}} ，因此它一定等于 F n − 1 {\displaystyle F_{n}-1} 。特别地，存在至少 F n − 1 {\displaystyle F_{n}-1} 个小于 F n {\displaystyle F_{n}} 且与 F n {\displaystyle F_{n}} 互素的数，这只能在 F n {\displaystyle F_{n}} 是素数时才能发生。 假设 F n {\displaystyle F_{n}} 是素数。根据欧拉准则，有： 3 F n − 1 2 ≡ ( 3 F n ) ( mod F n ) {\displaystyle 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right){\pmod {F_{n}}}} , 其中 ( 3 F n ) {\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)} 是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现 2 2 n ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2^{2^{n}}\equiv 1{\pmod {3}}} ，因此 F n ≡ 2 ( mod 3 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}} ，以及 ( F n 3 ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=-1} 。因为 F n ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}} ，根据二次互反律，我们便可以得出结论 ( 3 F n ) = − 1 {\displaystyle \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=-1} 。 根據費馬平方和定理，可證明某些費馬數為合數。(因為 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} 型的質數皆可表示為兩正整數的平方和，且表示方法唯一) 例如： F 5 = ( 2 16 ) 2 + 1 2 = 20449 2 + 62264 2 {\displaystyle F_{5}=(2^{16})^{2}+1^{2}=20449^{2}+62264^{2}} F 6 = ( 2 32 ) 2 + 1 2 = 1438793759 2 + 4046803256 2 {\displaystyle F_{6}=(2^{32})^{2}+1^{2}=1438793759^{2}+4046803256^{2}} （英文） 費馬數的分解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）