史特芬十四面體

史特芬十四面體是一種彈性多面體，由克勞斯·史特芬（德语：Klaus Steffen）於1978年發現。這種多面體基於布里卡爾八面體但沒有自相交的面。這個多面體一共有14個三角形面，是最簡單的由非相交面組成的彈性多面體。其遵循強風箱猜想（strong bellows conjecture），這意味著其登不變量（英语：Dehn invariant）在形變過程皆保持不變。 史特芬十四面體由14個面、21條邊和9個頂點組成。其6個面又可以分成2個子群：來自布里卡爾八面體的6個三角形組，以及將這些三角形組拼起來的另外兩個三角形。 史特芬十四面體的頂點座標為： p 1 = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle p_{1}=\left(0,\,0,\,0\right)} p 2 = ( − 12 , 0 , 0 ) {\displaystyle p_{2}=\left(-12,\,0,\,0\right)} p 3 = ( 1 24 , − 17 287 24 , 0 ) {\displaystyle p_{3}=\left({\frac {1}{24}},\,-{\frac {17{\sqrt {287}}}{24}},\,0\right)} p 4 = ( x , r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle p_{4}=\left(x,\,r\cos \theta ,\,r\sin \theta \right)} 其中 x {\displaystyle x} 與 r {\displaystyle r} 可透過下列方程組得出： { ‖ p 1 − p 4 ‖ 2 = 25 ‖ p 2 − p 4 ‖ 2 = 100 {\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{1}-p_{4}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{2}-p_{4}\right\|^{2}=100\end{cases}}} p 5 {\displaystyle p_{5}} 、 p 6 {\displaystyle p_{6}} 、 p 7 {\displaystyle p_{7}} 皆是未知數，其可由下列方程組得出： { ‖ p 5 − p 4 ‖ 2 = 121 ‖ p 5 − p 2 ‖ 2 = 100 ‖ p 6 − p 4 ‖ 2 = 144 ‖ p 6 − p 1 ‖ 2 = 100 ‖ p 7 − p 2 ‖ 2 = 144 ‖ p 7 − p 3 ‖ 2 = 144 ‖ p 5 − p 6 ‖ 2 = 144 ‖ p 6 − p 7 ‖ 2 = 100 ‖ p 7 − p 5 ‖ 2 = 25 {\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{5}-p_{4}\right\|^{2}=121\\\left\|p_{5}-p_{2}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{6}-p_{4}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{1}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{2}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{7}-p_{3}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{5}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{7}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{5}\right\|^{2}=25\end{cases}}} p 8 {\displaystyle p_{8}} 、 p 9 {\displaystyle p_{9}} 亦是未知數，分別可由下列兩組方程組得出： { ‖ p 8 − p 3 ‖ 2 = 100 ‖ p 8 − p 6 ‖ 2 = 144 ‖ p 8 − p 7 ‖ 2 = 25 {\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{8}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{8}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{8}-p_{7}\right\|^{2}=25\end{cases}}} { ‖ p 9 − p 1 ‖ 2 = 25 ‖ p 9 − p 3 ‖ 2 = 100 ‖ p 9 − p 6 ‖ 2 = 144 {\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{9}-p_{1}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{9}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{9}-p_{6}\right\|^{2}=144\end{cases}}} 構成史特芬十四面體的14個三角形分別為 △ p 1 p 2 p 3 {\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}} 、 △ p 7 p 3 p 2 {\displaystyle \triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}} 、 △ p 1 p 4 p 2 {\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}} 、 △ p 2 p 4 p 5 {\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}} 、 △ p 2 p 5 p 7 {\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}} 、 △ p 1 p 6 p 4 {\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}} 、 △ p 4 p 6 p 5 {\displaystyle \triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}} 、 △ p 5 p 6 p 7 {\displaystyle \triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}} 、 △ p 6 p 8 p 7 {\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}} 、 △ p 6 p 9 p 8 {\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}} 、 △ p 1 p 9 p 6 {\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}} 、 △ p 3 p 7 p 8 {\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}} 、 △ p 3 p 8 p 9 {\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}} 、 △ p 1 p 3 p 9 {\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}} 。 根據風箱定理，多面體的體積必為多項式的根，多項式的係數僅取決於多面體的邊長。由於邊長不會隨著多面體的變形過程改變，因此體積必須保持在多項式的有限個根之一，而不會連續變化，因此史特芬十四面體在不同的變化狀態下體積皆保持不變。以上述頂點座標描述的史特芬十四面體為例，雖然其有不少頂點是可變的值，其在所有變化狀態下的體積皆為定值，其值約為200.777立方單位。 彈性多面體 Lijingjiao; et al. 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