2的算術平方根

2的算術平方根，俗称“根号2”，记作 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派的希帕索斯首先提出了“ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不是有理数”的命题：若一个直角三角形的两个直角边都是1，那么它的斜边长，无法用整数或分数表示。 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 其最初65位為 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… （OEIS數列A002193） 人們發現了许多方法证明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是无理数。以下是反證法的證明 假設 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理數，即有整數 a 0 {\displaystyle a_{0}} 、 b 0 {\displaystyle b_{0}} ，使得 a 0 b 0 = 2 {\displaystyle {\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\sqrt {2}}} 將 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 重寫成最簡分數 a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} ，即 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 互質，且 ( a b ) 2 = 2 {\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)^{2}=2} 所以 a 2 b 2 = 2 {\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2} ，即 a 2 = 2 b 2 {\displaystyle a^{2}=2b^{2}} 因為 2 b 2 {\displaystyle 2b^{2}} 必為偶数，故 a 2 {\displaystyle a^{2}} 亦是偶数 故 a {\displaystyle a} 為偶数（奇数的平方不會是偶数） 所以必有一整數 k {\displaystyle k} ，使得 a = 2 k {\displaystyle a=2k} 將（3）的式子代入（6）： 2 b 2 = ( 2 k ) 2 {\displaystyle 2b^{2}=\left(2k\right)^{2}} 化简得 b 2 = 2 k 2 {\displaystyle b^{2}=2k^{2}} 因为 2 k 2 {\displaystyle 2k^{2}} 是偶数，所以 b 2 {\displaystyle b^{2}} 是偶数， b {\displaystyle b} 亦是偶数 所以 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 都是偶数，跟 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} 是最簡分數的假設矛盾 因為導出矛盾，所以（1）的假設錯誤， 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 不是有理數，即是無理數 這個證明可推廣至證明任何非完全平方數的正整數 n {\displaystyle n} ，其算術平方根 n {\displaystyle {\sqrt {n}}} 為無理數。 另外一個 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數的反證法證明較少為人所知，但證明方法也相當漂亮： 假設 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理數，便可以表示成最簡分數 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} ，其中 m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} 為正整數 2 = 2 1 = ( 2 − 2 ) ( 2 + 1 ) 2 − 1 = ( 2 − 2 ) ( 2 + 1 ) ( 2 − 1 ) ( 2 + 1 ) = 2 − 2 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{2-1}}={\frac {(2-{\sqrt {2}})({\sqrt {2}}+1)}{({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)}}={\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}} 由於 2 = m n {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}} ，所以 2 − 2 2 − 1 = 2 − m n m n − 1 = 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {2-{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}-1}}={\frac {2-{\frac {m}{n}}}{{\frac {m}{n}}-1}}={\frac {2n-m}{m-n}}} 因為 m − n n = 2 − 1 {\displaystyle {\frac {m-n}{n}}={\sqrt {2}}-1} 2 > 2 ⇒ 1 + 1 > 2 ⇒ 2 − 1 < 1 {\displaystyle 2>{\sqrt {2}}\Rightarrow 1+1>{\sqrt {2}}\Rightarrow {\sqrt {2}}-1<1} 所以 m − n < n {\displaystyle m-n<n} 故 2 n − m m − n {\displaystyle {\frac {2n-m}{m-n}}} 是比 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} 更簡的分數，與 m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} 是最簡分數的假設矛盾 從一個直角邊為 n {\displaystyle n} ，斜邊為 m {\displaystyle m} 的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為 m − n {\displaystyle m-n} ，斜邊為 2 n − m {\displaystyle 2n-m} 的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。 2的算术平方根可以表示为以下的级数或无穷乘积： 1 2 = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − 1 ( 4 k + 2 ) 2 ) = ( 1 − 1 4 ) ( 1 − 1 36 ) ( 1 − 1 100 ) ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots } 2 = ∏ k = 0 ∞ ( 4 k + 2 ) 2 ( 4 k + 1 ) ( 4 k + 3 ) = ( 2 ⋅ 2 1 ⋅ 3 ) ( 6 ⋅ 6 5 ⋅ 7 ) ( 10 ⋅ 10 9 ⋅ 11 ) ( 14 ⋅ 14 13 ⋅ 15 ) ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots } 2 = ∏ k = 0 ∞ ( 1 + 1 4 k + 1 ) ( 1 − 1 4 k + 3 ) = ( 1 + 1 1 ) ( 1 − 1 3 ) ( 1 + 1 5 ) ( 1 − 1 7 ) ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .} 1 2 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( π 4 ) 2 k ( 2 k ) ! . {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.} 2 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k + 1 ( 2 k − 3 ) ! ! ( 2 k ) ! ! = 1 + 1 2 − 1 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ⋅ 6 − 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 + ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots .} 2 = ∑ k = 0 ∞ ( 2 k + 1 ) ! ( k ! ) 2 2 3 k + 1 = 1 2 + 3 8 + 15 64 + 35 256 + 315 4096 + 693 16384 + ⋯ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{(k!)^{2}2^{3k+1}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .} 2的算术平方根的连分数展开式为：   2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ⋱ . {\displaystyle \!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.} 註: 令   x = 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ⋱ {\displaystyle \!\ x=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}} ， 由觀察可知 x = 2 + 1 x {\displaystyle x=2+{\frac {1}{x}}} ，即 x 2 − 2 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-2x-1=0} ， 解方程，取正根，得 x = 1 + 2 {\displaystyle x=1+{\sqrt {2}}} ， 因此 2 = x − 1 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ⋱ {\displaystyle {\sqrt {2}}=x-1=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}} 。 3的算術平方根 5的算術平方根 平方根 无理数 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強（页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2） 舊題新解 — 根號2是無理數，張海潮 張鎮華[永久失效連結]（數學傳播 第 30 卷 第 4 期）