收敛半径

收敛半径是数学分析中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内的紧集上，幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是，在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。 定义幂级数f 为： f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( z − a ) n , {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},} 。其中常数a是收敛圆盘的中心，cn为第n个複系数，z为变量。 收敛半径r是一个非负的实数或无穷大（ ∞ {\displaystyle \scriptstyle \infty } ），使得在 | z − a | < r {\displaystyle |z-a|<r} 时幂级数收敛，在 | z − a | > r {\displaystyle |z-a|>r} 时幂级数发散。 具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。 根据达朗贝尔审敛法，收敛半径 R {\displaystyle R} 满足：如果幂级数 ∑ c n z n {\displaystyle \sum c_{n}z^{n}} 满足 lim n → ∞ | c n + 1 c n | = ρ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left\vert {c_{n+1} \over c_{n}}\right\vert =\rho } ，则： 根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式： R = lim inf n → ∞ | c n | − 1 n {\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}} 或者 1 R = lim sup n → ∞ | c n | 1 n {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|c_{n}\right|^{\frac {1}{n}}} 。 将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画： 一个中心为a的幂级数f 的收敛半径R 等于a与离a 最近的幂级数无定义点的距离。到a 的距离严格小于R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘。 最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数 f ( z ) = 1 1 + z 2 {\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}} 没有复根。它在零处的泰勒展开为： ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z 2 n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}} 运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 在±i存在奇点，其与原点0的距离是1。 三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数： arctan ⁡ ( z ) = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ . {\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots .} 运用审敛法可以知道收敛半径为1。 考虑如下幂级数展开： z e z − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n n ! z n {\displaystyle {\frac {z}{e^{z}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}} 其中有理数Bn是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当z=0时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得 e z − 1 = 0 {\displaystyle e^{z}-1=0} 的复数z。设z = x + iy，那么 e z = e x e i y = e x ( cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) ) , {\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos(y)+i\sin(y)),\,} 要使之等于1，则虚部必须为零。于是有 y = k π {\displaystyle y=k\pi } ，其中 k ∈ Z   ,   k ≠ 0 {\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0} 。同时得到 x = 0 {\displaystyle x=0} 。回代后发现 k {\displaystyle k} 只能为偶数，于是使得分母为零的z为 2 k π i {\displaystyle 2k\pi i} 的形式，其中 k ∈ Z   ,   k ≠ 0 {\displaystyle k\in Z\ ,\ k\neq 0} 。 离原点最近距离为 2 π {\displaystyle 2\pi } ，于是收敛半径为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足 |z − a| = r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。 例1:函数ƒ(z) = (1 − z)−1在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。 例2:函数g(z) = ln(1 − z)在z = 0处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数ƒ(z)是 -g(z)的复导数。 例3:幂级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 z n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}z^{n}} 的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z後的导数。h(z)是双对数函数。 例4:幂级数 P ( z ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n ⋅ n ( z 2 n − 1 + ⋯ + z 2 n − 1 ) {\displaystyle P(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}\cdot n}}(z^{2^{n-1}}+\cdots +z^{2^{n}-1})} 的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。 将下列函数在x = 0处展开： f ( x ) = sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯   ∀ x {\displaystyle f(x)=\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ \forall x} 可以看到收敛半径为 ∞ {\displaystyle \scriptstyle \infty } ，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到ƒ(0.1) = sin(0.1)的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在x = 1时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于ƒ(10)，需要18项，对于ƒ(100)则需要141项。 可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。 考虑亚纯函数 f ( z ) = 1 1 + z 2 {\displaystyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}} ，对应的模长二元函数图像见右。函数在 z = ± i {\displaystyle z=\pm i} 处有极点。 由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在z = 0处的泰勒级数收敛当且仅当 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 。 与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的收敛度规，也就是使得级数 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}}} 收敛的最小的s，其只依赖于数列an。 无穷级数 幂级数 阿贝尔定理 阿贝尔型定理和陶伯型定理 哈代-李特爾伍德圓法 收敛度规 Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka 29, 1918, 29: 263–266  Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill, 1989, ISBN 978-0-07-010905-6  Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2003, ISBN 0-691-11385-8  幂级数. [2008-09-10]. （原始内容存档于2008-11-21）.  毕节学院复变函数教程. [2008-09-10]. [永久失效連結] （英文）收敛半径是什么？. [2008-09-10]. （原始内容存档于2008-06-18）.