雙曲正弦

在數學中，雙曲正弦是一種雙曲函數，是雙曲幾何中，與歐幾里得幾何的正弦函數相對應的函數。雙曲正弦可以視為正弦函數的類似物，然而雙曲正弦不具備週期性，且在定義域為實數的情況下，其值域也包括了整個實數域。一般的正弦可以表示為單位圓上特定角構成之弦長的一半，或該角與圓之交點的y座標；而雙曲正弦則代表單位雙曲線上特定雙曲角構成之雙曲弦長的一半，或該雙曲角與單位雙曲線之交點的y座標。雙曲正弦一般以sinh表示，在部分較舊的文獻中有時會以 S i n {\displaystyle {\mathfrak {Sin}}} 表示。 雙曲正弦一般計為 sinh {\displaystyle \sinh } （有時會簡寫為 sh {\displaystyle \operatorname {sh} } ），其在複變分析中定義為: sinh : z ↦ e z − e − z 2 {\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}} 其中 z ↦ e z {\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}} 是複變指數函數（日语：複素指数函数）。 也就是說，雙曲正弦等同於指數函數與其倒數之差的一半。雙曲正弦也可以視為自然指數函數的奇函數部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition） 在雙曲幾何中，雙曲正弦函數類似於歐幾里得幾何中的正弦函數。 雙曲正弦在實數中是一個連續函數，在複數中是一個全純函數，因此在整個複數域中雙曲正弦處處可微，其導函數為雙曲餘弦函數。 雙曲正弦是一個奇函數。 在實數域中，雙曲正弦是一個嚴格遞增函數。其中在區間 [ − ∞ , 0 ] {\displaystyle \left[-\infty ,0\right]} 上是凹函數、在區間 [ 0 , + ∞ ] {\displaystyle \left[0,+\infty \right]} 上是凸函數。 根據雙曲正弦與雙曲餘弦的指數定義，可以推得： e z = cosh ⁡ z + sinh ⁡ z {\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z} e − z = cosh ⁡ z − sinh ⁡ z {\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z} 其與經典的歐拉公式類似。 當 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 時，有以下恆等式: sinh ⁡ ( i x ) = e i x − e − i x 2 = i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)} sinh ⁡ ( x ) = − i sin ⁡ ( i x ) {\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)} sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + cosh ⁡ ( x ) sinh ⁡ ( y ) {\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)} sinh ⁡ x = 2 sinh ⁡ ( x 2 ) cosh ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)} sinh ⁡ x = x ∏ n = 1 ∞ cosh ⁡ ( x / 2 n ) {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}} sinh 2 ⁡ ( x 2 ) = cosh ⁡ ( x ) − 1 2 {\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}} 雙曲正弦存在一些特殊值： sinh ⁡ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \sinh(0)=0} sinh ⁡ ( 1 ) = e 2 − 1 2 e {\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}} sinh ⁡ ( i ) = i sin ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)} sinh ⁡ ( ln ⁡ φ ) = 1 2 {\displaystyle \sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2}}} 其中 φ {\displaystyle \varphi } 為黃金比例 正弦 (1999) Collins Concise Dictionary, 4th edition, HarperCollins, Glasgow, ISBN 0 00 472257 4, p. 1386 Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch, Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte, Fachbuchverlag Leipzig. 1956 （德文）  ISO 80000-2:2009. International Organization for Standardization. [1 July 2010]. （原始内容存档于2014-03-26）.  Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich. Table of Integrals, Series, and Products 6. Academic Press, Inc. 2000. ISBN 978-0-12-294757-5.  Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  sinh 双曲正弦. mathworks. [2021-07-11]. （原始内容存档于2021-07-12）.  Richard Hensh. Even and Odd Parts of an Exponential Function (PDF). math.msu.edu. [2021-07-11]. （原始内容存档 (PDF)于2021-07-11）.  Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29] （英语）.  The hyperbolic functions (PDF). mathcentre.ac.uk. [2021-07-11]. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-19）.  Hyperbolic Functions (PDF). teaching.martahidegkuti.com. [2021-09-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-01-13）.  Hyperbolic Functions. www.mathsisfun.com. [2020-08-29]. （原始内容存档于2022-03-03）.  Osborn, G. Mnemonic for hyperbolic formulae. The Mathematical Gazette. July 1902, 2 (34): 189 [2021-09-15]. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. （原始内容存档于2021-11-01）.