線性無關

在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，则稱為線性無關或線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）。例如在三維歐幾里得空間R3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。 假設V是在域K上的向量空間。如果 v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} 是V的向量，若它們為線性相關，则在域K 中有非全零的元素 a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} ，使得 a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } ； 或更簡略地表示成， ∑ i = 1 n a i v i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} } 。 （注意右邊的零是V的零向量，不是K的零元素。） 如果K中不存在這樣的元素，那麼 v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} 是線性無關。 對線性無關可以給出更直接的定義。向量 v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} 線性無關，若且唯若它們滿足以下條件：如果 a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} 是K的元素，適合： a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } ， 那麼對所有 i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\dots ,n} 都有 a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} 。 在V中的一個無限集，如果它任何一個有限子集都是線性無關，那麼原來的無限集也是線性無關。 線性相關性是線性代數的重要概念，因為線性無關的一組向量可以生成一個向量空間，而這組向量則是這向量空間的基。 含有零向量的向量組，必定線性相關。 若有向量組 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} ，其中 a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} ，則 a 1 = 0 ⋅ a 2 + . . . + 0 ⋅ a s {\displaystyle a_{1}=0\cdot a_{2}+...+0\cdot a_{s}} 。 含有兩個相等向量的向量組，必定線性相關。 若有向量組 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} ，其中 a 1 = a 2 {\displaystyle a_{1}=a_{2}} ，則 a 1 = 1 ⋅ a 2 + 0 ⋅ a 3 + . . . + 0 ⋅ a s {\displaystyle a_{1}=1\cdot a_{2}+0\cdot a_{3}+...+0\cdot a_{s}} 。 若一向量組相關，則加上任意個向量後，仍然線性相關；即局部線性相關，整體必線性相關。 整體線性無關，局部必線性無關。 向量個數大於向量維數，則此向量組線性相關。 若一向量組線性無關，即使每一向量都在同一位置處增加一分量，仍然線性無關。 若一向量組線性相關，即使每一向量都在同一位置處減去一分量，仍然線性相關。 若 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 線性無關，而 b , a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle b,a_{1},a_{2},...,a_{s}} 線性相關，則 b {\displaystyle b} 必可由 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 線性表示，且表示係數唯一。 有向量組 I { a 1 , a 2 , . . . , a s } {\displaystyle {\textrm {I}}\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}} 和 II { b 1 , b 2 , . . . , b t } {\displaystyle {\textrm {II}}\{b_{1},b_{2},...,b_{t}\}} ，其中 t > s {\displaystyle t>s} ，且 II {\displaystyle {\textrm {II}}} 中每個向量都可由 I {\displaystyle {\textrm {I}}} 線性表示，則向量組 II {\displaystyle {\textrm {II}}} 必線性相關。即向量個數多的向量組，若可被向量個數少的向量組線性表示，則向量個數多的向量組必線性相關。 若一向量組 b 1 , b 2 , . . . , b t {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}} 可由向量組 a 1 , a 2 , . . . , a s {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{s}} 線性表示，且 b 1 , b 2 , . . . , b t {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{t}} 線性無關，則 t ≤ s {\displaystyle t\leq s} 。即線性無關的向量組，無法以向量個數較少的向量組線性表示。 设V = Rn，考虑V内的以下元素： e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}} 则e1、e2、……、en是线性无关的。 假设a1、a2、……、an是R中的元素，使得： a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n = 0. {\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0.\,\!} 由于 a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n = ( a 1 , a 2 , … , a n ) , {\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}),\,\!} 因此对于{1, ..., n}内的所有i，都有ai = 0。 设V是实变量t的所有函数的向量空间。则V内的函数et和e2t是线性无关的。 假设a和b是两个实数，使得对于所有的t，都有： aet + be2t = 0 我们需要证明a = 0且b = 0。我们把等式两边除以et（它不能是零），得： bet = −a 也就是说，函数bet与t一定是独立的，这只能在b = 0时出现。可推出a也一定是零。 R4内的以下向量是线性相关的。 [ 1 4 2 − 3 ] , [ 7 10 − 4 − 1 ] , [ − 2 1 5 − 4 ] {\displaystyle {\begin{matrix}\\{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\\\\\end{matrix}}} 我们需要求出标量 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 、 λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} 和 λ 3 {\displaystyle \lambda _{3}} ，使得： λ 1 [ 1 4 2 − 3 ] + λ 2 [ 7 10 − 4 − 1 ] + λ 3 [ − 2 1 5 − 4 ] = [ 0 0 0 0 ] . {\displaystyle {\begin{matrix}\\\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}} 可以形成以下的方程组： λ 1 + 7 λ 2 − 2 λ 3 = 0 4 λ 1 + 10 λ 2 + λ 3 = 0 2 λ 1 − 4 λ 2 + 5 λ 3 = 0 − 3 λ 1 − λ 2 − 4 λ 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\\\end{aligned}}} 解这个方程组（例如使用高斯消元法），可得： λ 1 = λ 1 λ 2 = ( − λ 1 ) / 3 λ 3 = ( − 2 λ 1 ) / 3. {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=\lambda _{1}\\\lambda _{2}&=(-\lambda _{1})/3\\\lambda _{3}&=(-2\lambda _{1})/3.\\\end{aligned}}} 由于它们都是非平凡解，因此这些向量是线性相关的。 Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 1.5.