伯特蘭定理

在經典力學裏，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢 V {\displaystyle V} 可以給出閉合軌道： 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 V ( r ) = − k r {\displaystyle V(r)={\frac {-k}{r}}} 。 徑向諧振子勢： V ( r ) = 1 2 k r 2 {\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}} 。 其中， r {\displaystyle r} 是徑向座標， k {\displaystyle k} 是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。 1687年，物理学家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裏提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉为何遵守克卜勒定律。此后許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。该定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。 在現代物理學裏，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。 所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。 採用極坐標 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} ，一個移動於連心勢 V ( r ) {\displaystyle V(r)} 的粒子，其拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是 L = 1 2 m r ˙ 2 + 1 2 m r 2 θ ˙ 2 − V ( r ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\theta }}^{2}-V(r)} 。 其中， m {\displaystyle m} 是粒子質量， r ˙ {\displaystyle {\dot {r}}} 、 θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} 分別表示 r {\displaystyle r} 、 θ {\displaystyle \theta } 對於時間 t {\displaystyle t} 的導數。 這粒子的拉格朗日方程式為 m r ¨ − m r θ ˙ 2 + d V d r = 0 {\displaystyle m{\ddot {r}}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dV}{dr}}=0} 、 d d t ( m r 2 θ ˙ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})=0} 。 由於角坐標 θ {\displaystyle \theta } 顯性地跟拉格朗日量無關， θ {\displaystyle \theta } 是個可略坐標，其共軛動量（角動量） ℓ {\displaystyle \ell } 守恆， ℓ {\displaystyle \ell } 是個常數： ℓ = ∂ L ∂ θ ˙ = m r 2 θ ˙ {\displaystyle \ell ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}} 。 將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個 r {\displaystyle r} 的二次微分方程式， m r ¨ − ℓ 2 m r 3 + d V d r = 0 {\displaystyle m{\ddot {r}}-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}+{\frac {dV}{dr}}=0} 。 假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個項目是零，則如同期待的，連心力 − d V d r {\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}} 等值於離心力 − ℓ 2 m r 3 {\displaystyle -{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}} 。 對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為 d d t = ℓ m r 2 d d θ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}} 。 將這公式代入，可推導出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式： ℓ r 2 d d θ ( ℓ m r 2 d r d θ ) − ℓ 2 m r 3 = − d V d r {\displaystyle {\frac {\ell }{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {\ell }{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {\ell ^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}} 。 設定變數 u = 1 r {\displaystyle u={\frac {1}{r}}} ，改換方程式的變數為 u {\displaystyle u} ，同時將方程式兩邊乘以 m ℓ 2 u 2 {\displaystyle {\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}} ，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式： d 2 u d θ 2 + u = − m ℓ 2 d d u V ( 1 / u ) {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)} 。 如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定（穩定在這裏定義為長久地公轉於同一條軌道），也可能不閉合。本段落會證明，穩定的閉合軌道只發生於平方反比連心勢或徑向諧振子勢（一個必要條件）。下一個段落會證明，這些位勢的確會產生穩定的閉合軌道（一個充分條件）。 為了簡化標記，設定 J ( u ) = − m ℓ 2 d d u V ( 1 / u ) = − m ℓ 2 u 2 f ( 1 / u ) {\displaystyle J(u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)=-{\frac {m}{\ell ^{2}u^{2}}}f(1/u)} ；(1) 其中， f ( 1 / u ) {\displaystyle f(1/u)} 是連心力函數。 則軌道方程式為 d 2 u d θ 2 + u = J ( u ) {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=J(u)} 。 如果要得到半徑為 r 0 ≡ 1 u 0 {\displaystyle r_{0}\equiv {\frac {1}{u_{0}}}} 的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為 u 0 = J ( u 0 ) {\displaystyle u_{0}=J(u_{0})} 。 思考對於標準圓形運動軌道的變數 u {\displaystyle u} 的微擾 η ≡ u − u 0 {\displaystyle \eta \equiv u-u_{0}} ，函數 J ( u ) {\displaystyle J(u)} 在 u 0 {\displaystyle u_{0}} 的泰勒級數為 J ( u ) ≈ u 0 + η J ′ ( u 0 ) + 1 2 η 2 J ′ ′ ( u 0 ) + 1 6 η 3 J ′ ′ ′ ( u 0 ) + … {\displaystyle J(u)\approx u_{0}+\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})+\ldots } 。 將此展開示代入軌道方程式： d 2 η d θ 2 + η = η J ′ ( u 0 ) + 1 2 η 2 J ′ ′ ( u 0 ) + 1 6 η 3 J ′ ′ ′ ( u 0 ) … {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\eta =\eta J^{\prime }(u_{0})+{\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots } 。 設定常數 β 2 ≡ 1 − J ′ ( u 0 ) {\displaystyle \beta ^{2}\equiv 1-J^{\prime }(u_{0})} （ β = 0 {\displaystyle \beta =0} 的解答為標準圓形運動軌道）： d 2 η d θ 2 + β 2 η = 1 2 η 2 J ′ ′ ( u 0 ) + 1 6 η 3 J ′ ′ ′ ( u 0 ) … {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta ={\frac {1}{2}}\eta ^{2}J^{\prime \prime }(u_{0})+{\frac {1}{6}}\eta ^{3}J^{\prime \prime \prime }(u_{0})\ldots } 。(2) 取至 η {\displaystyle \eta } 的1次方： d 2 η d θ 2 + β 2 η = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\eta }{d\theta ^{2}}}+\beta ^{2}\eta =0} 。 β 2 {\displaystyle \beta ^{2}} 必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為 η ( θ ) = h 1 cos ⁡ ( β θ ) {\displaystyle \eta (\theta )=h_{1}\cos(\beta \theta )} ； 其中，振幅 h 1 {\displaystyle h_{1}} 是個積分常數。 假若這軌道是閉合軌道，則 β {\displaystyle \beta } 必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於 u {\displaystyle u} 的導數： J ′ ( u 0 ) = − m ℓ 2 ( − 2 f ( 1 / u ) u 3 | u 0 + 1 u 2 d f ( 1 / u ) d u | u 0 ) = − 2 J ( u ) u | u o + J ( u ) f ( 1 / u ) d f d u | u 0 = − 2 + u 0 f ( 1 / u 0 ) d f d u | u 0 = 1 − β 2 {\displaystyle {\begin{aligned}J^{\prime }(u_{0})&=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}\left(-\left.{\frac {2f(1/u)}{u^{3}}}\right|_{u_{0}}+\left.{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {df(1/u)}{du}}\right|_{u_{0}}\right)\\&=-\left.{\frac {2J(u)}{u}}\right|_{u_{o}}+{\frac {J(u)}{f(1/u)}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=-2+{\frac {u_{0}}{f(1/u_{0})}}\left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}=1-\beta ^{2}\\\end{aligned}}} 。 這方程式對於任意 u 0 {\displaystyle u_{0}} 值都必須成立，因此可以將 u 0 {\displaystyle u_{0}} 認定為函數 d f d u | u 0 {\displaystyle \left.{\frac {df}{du}}\right|_{u_{0}}} 的參數。用符號 u {\displaystyle u} 來代替 u 0 {\displaystyle u_{0}} ， d f d u = − ( β 2 − 3 ) f ( 1 / u ) u {\displaystyle {\frac {df}{du}}=-(\beta ^{2}-3){\frac {f(1/u)}{u}}} 。 將方程式的變數換回為 r {\displaystyle r} ， d f d r = ( β 2 − 3 ) f r {\displaystyle {\frac {df}{dr}}=\left(\beta ^{2}-3\right){\frac {f}{r}}} 。 這意味著作用力必須遵守冪定律： f ( r ) = − k r 3 − β 2 {\displaystyle f(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}} 。 代入方程式 (1) , J {\displaystyle J} 的一般形式為 J ( u ) = m k ℓ 2 u 1 − β 2 {\displaystyle J(u)={\frac {mk}{\ell ^{2}}}u^{1-\beta ^{2}}} 。(3) 假設實際軌道與圓形有更大的差別（也就是說，不能忽略 J {\displaystyle J} 函數的泰勒級數的更高次方項目），則可以用傅立葉級數來展開 η {\displaystyle \eta } ： η ( θ ) = h 0 + h 1 cos ⁡ ( β θ ) + h 2 cos ⁡ ( 2 β θ ) + h 3 cos ⁡ ( 3 β θ ) + … {\displaystyle \eta (\theta )=h_{0}+h_{1}\cos(\beta \theta )+h_{2}\cos(2\beta \theta )+h_{3}\cos(3\beta \theta )+\ldots } 。 因為高頻率項目的係數太小，傅立葉級數只取至 3 β {\displaystyle 3\beta } 項目。方程式 (2)也只取至 η {\displaystyle \eta } 的三次方。注意到 h 0 {\displaystyle h_{0}} 與 h 2 {\displaystyle h_{2}} 的數量級為 h 1 2 {\displaystyle h_{1}^{2}\!} ，超小於 h 1 {\displaystyle h_{1}} ； h 3 , {\displaystyle h_{3},\!} 的數量級為 h 1 3 {\displaystyle h_{1}^{3}} ，超小於 h 0 {\displaystyle h_{0}} 與 h 2 {\displaystyle h_{2}} 。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率項目的係數。這樣，可以得到一系列方程式： h 0 = h 1 2 J ′ ′ ( u 0 ) 4 β 2 {\displaystyle h_{0}=h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{4\beta ^{2}}}} ，(4) 0 = ( 2 h 1 h 0 + h 1 h 2 ) J ′ ′ ( u 0 ) 2 + h 1 3 J ′ ′ ′ ( u 0 ) 8 {\displaystyle 0=(2h_{1}h_{0}+h_{1}h_{2}){\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{2}}+h_{1}^{3}{\frac {J^{\prime \prime \prime }(u_{0})}{8}}} ，(5) h 2 = − h 1 2 J ′ ′ ( u 0 ) 12 β 2 {\displaystyle h_{2}=-h_{1}^{2}{\frac {J^{\prime \prime }(u_{0})}{12\beta ^{2}}}} 。(6) 求 J ( u ) {\displaystyle J(u)} 在 u 0 {\displaystyle u_{0}} 對於 u {\displaystyle u} 的微分： J ′ ( u 0 ) = ( 1 − β 2 ) m k ℓ 2 u 0 − β 2 = 1 − β 2 {\displaystyle J^{\prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}}=1-\beta ^{2}} J ′ ′ ( u 0 ) = ( 1 − β 2 ) ( − β 2 ) m k ℓ 2 u 0 − β 2 − 1 = − β 2 ( 1 − β 2 ) u 0 {\displaystyle J^{\prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2}){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-1}=-{\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})}{u_{0}}}} 。(7) J ′ ′ ′ ( u 0 ) = ( 1 − β 2 ) ( − β 2 ) ( − β 2 − 1 ) m k ℓ 2 u 0 − β 2 − 2 = β 2 ( 1 − β 2 ) ( 1 + β 2 ) u 0 2 {\displaystyle J^{\prime \prime \prime }(u_{0})=(1-\beta ^{2})(-\beta ^{2})(-\beta ^{2}-1){\frac {mk}{\ell ^{2}}}u_{0}^{-\beta ^{2}-2}={\frac {\beta ^{2}(1-\beta ^{2})(1+\beta ^{2})}{u_{0}^{2}}}} 。(8) 將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)： h 0 = − ( 1 − β 2 ) h 1 2 4 u 0 {\displaystyle h_{0}=-{\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{4u_{0}}}} ，(9) h 2 = ( 1 − β 2 ) h 1 2 12 u 0 {\displaystyle h_{2}={\frac {(1-\beta ^{2})h_{1}^{2}}{12u_{0}}}} 。(10) 再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果： β 2 ( 1 − β 2 ) ( 4 − β 2 ) = 0 {\displaystyle \beta ^{2}(1-\beta ^{2})(4-\beta ^{2})=0} 。 解答 β = 0 {\displaystyle \beta =0} 是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 ( β = 1 {\displaystyle \beta =1} )與徑向諧振子勢 ( β = 2 {\displaystyle \beta =2} )能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。 平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為 V ( r ) = − k r = − k u {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku} 。 處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為 d 2 u d θ 2 + u = − m ℓ 2 d d u V ( 1 / u ) = k m ℓ 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{\ell ^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{\ell ^{2}}}} 。 其解答為軌道函數 u ( θ ) {\displaystyle u(\theta )} ： u = k m ℓ 2 [ 1 + e cos ⁡ ( θ − θ 0 ) ] {\displaystyle u={\frac {km}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]} ； 其中， e {\displaystyle e} 是橢圓軌道的離心率， θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 是相位差，是一個積分常數。 這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當 e = 0 {\displaystyle e=0} 時，這軌道對應於圓形軌道； 當 e < 1 {\displaystyle e<1} 時，這軌道是橢圓形軌道；當 e = 1 {\displaystyle e=1} 時，這軌道是拋物線軌道；當 e > 1 {\displaystyle e>1} 時，這軌道是雙曲線軌道。 離心率與粒子能量 E {\displaystyle E} 的關係為 e = 1 + 2 E ℓ 2 k 2 m {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{k^{2}m}}}}} 。 所以，當 E = − k 2 m 2 ℓ 2 {\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2\ell ^{2}}}} 時，這軌道是圓形軌道； 當 E < 0 {\displaystyle E<0} 時，這軌道是橢圓形軌道；當 E = 0 {\displaystyle E=0} 時，這軌道是拋物線軌道；當 E > 0 {\displaystyle E>0} 時，這軌道是雙曲線軌道。 為了方便解析這問題，採用直角坐標 r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} 。勢能可以寫為 V ( r ) = 1 2 k r 2 = 1 2 k ( x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}kr^{2}={\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})} 。 處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是 L = 1 2 m ( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 ) + 1 2 k ( x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {1}{2}}k(x^{2}+y^{2}+z^{2})} 。 這粒子的拉格朗日方程式為 d 2 x d t 2 + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x=0} 、 d 2 y d t 2 + ω 0 2 y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}y=0} 、 d 2 z d t 2 + ω 0 2 z = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}z=0} ； 其中， ω 0 = k / m {\displaystyle \omega _{0}=k/m} 是振動頻率。 常數 k {\displaystyle k} 必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為 x = A x cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ x ) {\displaystyle x=A_{x}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{x}\right)} 、 y = A y cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ y ) {\displaystyle y=A_{y}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{y}\right)} 、 z = A z cos ⁡ ( ω 0 t + ϕ z ) {\displaystyle z=A_{z}\cos \left(\omega _{0}t+\phi _{z}\right)} ； 其中， A x {\displaystyle A_{x}} 、 A y {\displaystyle A_{y}} 、 A z {\displaystyle A_{z}} 分別為x、y、z方向的振幅， ϕ x {\displaystyle \phi _{x}} 、 ϕ y {\displaystyle \phi _{y}} 、 ϕ z {\displaystyle \phi _{z}} 分別為其相位 由於上述方程式經過整整一周期 T ≡ 2 π / ω 0 {\displaystyle T\equiv {2\pi }/{\omega _{0}}} 後，會重複自己，軌道解答 r ( t ) = [ x ( t ) , y ( y ) , z ( t ) ] {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\left[x(t),y(y),z(t)\right]} 是閉合軌道。 牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子 α {\displaystyle \alpha } 是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力 Δ F ( r ) = k r 3 {\displaystyle \Delta F(r)={\frac {k}{r^{3}}}} 為 Δ F ( r ) = L 1 2 m r 3 ( 1 − α 2 ) {\displaystyle \Delta F(r)={\frac {L_{1}^{2}}{mr^{3}}}\left(1-\alpha ^{2}\right)} ； 其中， ℓ 1 {\displaystyle \ell _{1}} 是粒子原本的角動量， m {\displaystyle m} 是粒子的質量。 所以， α 2 = 1 − m k ℓ 1 2 {\displaystyle \alpha ^{2}=1-{\frac {mk}{\ell _{1}^{2}}}} 。 由於 α {\displaystyle \alpha } 是有理數， α {\displaystyle \alpha } 可以寫為分數 m / n {\displaystyle m/n} ；其中， m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成 m {\displaystyle m} 圈公轉的時間等於原本完成 n {\displaystyle n} 圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。 二體問題 三體問題 克卜勒定律 牛頓旋轉軌道定理 Bertrand, J. 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