高斯整數分解表

高斯整數分解表又稱高斯質因數表是一種數學用表，類似於素因子表，表中紀錄了高斯整數的高斯整數分解。 高斯整數可以是零、四個複數單位元素（±1和±i）之一、高斯質數或高斯合數。在高斯整數分解表中，高斯整數x + iy後面跟著的是其高斯整數分解或標標記該數為高斯質數。 高斯整數分解的形式則以複數單位元素乘以若干個高斯質數的整數冪。 高斯整數分解與一般質因數分解不一樣，有部分的實質數不是高斯質數。 例如5這個實質數，在高斯整數分解中，可以分解為2+i和2-i的積，即 5 = {\displaystyle 5=\,} ( 2 + i ) × ( 2 − i ) {\displaystyle \left(2+i\right)\times \left(2-i\right)} ，因此5在高斯整數分解表中不是高斯質數。 類似於質因數分解，高斯整數分解或高斯質因數分解是指將高斯整數分解成複數單位和若干個高斯質數的整數冪的乘積。 而若將每一個高斯整數的分解都列出並沒有意義，因為高斯整數x + iy的高斯整數分解與- x + iy、- x - iy和x - iy的結果將會非常類似，其僅差在乘上的單位不同或者不同高斯質因數互相共軛而已， 因此僅需要列出第一象限的高斯整數就能推導到其他象限的高斯整數之分解結果。 表的第二列僅包含高斯平面第一象限中的高斯整數，這代表實部x為正整數，虛部y為非負整數。 使用高斯平面的對稱性y + ix =i (x − iy)，這個表可以進一步地化簡高斯平面上的高斯整數。 高斯整數分解通常不是唯一的，因為單位可以被吸收到指數等於1其他因數中。 以 4+2i = −i(1+i)2(2+i)為例，其也可以寫成4+2i= (1+i)2(1−2i)。 表中透過以下約定解決了此種歧義：因數是右高斯半平面中的高斯質數，且實部的絕對值要大於或等於虛部的絕對值。 平面上，並非所有高斯整數的範數x2 + y2都有整數點，高斯整數分解表依照有整數點的範數（OEIS數列A001481）遞增排序。 表中窮舉了直到表尾的最大範數中，所有第一象限的高斯質數和高斯合數。 高斯質數是指無法被除了零、單位和本身外的其他高斯整數整除的高斯整數，其只出現在範數的子集中，也就是說，並非所有的範數都存在高斯質數 有高斯質數的範數前幾個為2、5、9、13、17、29、37、41、49......（OEIS數列A055025）。 前幾個高斯質數為1+i、1+2i、2+i、3、2+3i、3+2i、1+4i、4+i、2+5i、5+2i......（OEIS實部數列A103431和虛部數列A103432） 相對的，高斯合數是指可以被除了零、單位和本身外的其他高斯整數整除的高斯整數。 除了零和單位外，高斯整數不是高斯質數就是高斯合數。 在下表並未收錄純虛數的高斯整數，因為其質因數分解即為虛數單位乘以其虛部的高斯質因數分解。如2i，其高斯質因數分解為 {\displaystyle } ( 1 + i ) 2 {\displaystyle \left(1+i\right)^{2}} 與2的高斯質因數分解 {\displaystyle } − i × ( 1 + i ) 2 {\displaystyle -i\times \left(1+i\right)^{2}} 僅差一個負虛數單位倍，因此無須單獨列出。 高斯整數 素因子表 因數表（英语：Table of divisors） 整数分解 以x + iy的x為6、y為8為例， 6 + 8i高斯質因數分解為 {\displaystyle } − i × ( 1 + i ) 2 × ( 2 + i ) 2 {\displaystyle -i\times \left(1+i\right)^{2}\times \left(2+i\right)^{2}} 、 - 6 + 8i高斯質因數分解為 {\displaystyle } i × ( 1 + i ) 2 × ( 2 − i ) 2 {\displaystyle i\times \left(1+i\right)^{2}\times \left(2-i\right)^{2}} 、 - 6 - 8i高斯質因數分解為 {\displaystyle } i × ( 1 + i ) 2 × ( 2 + i ) 2 {\displaystyle i\times \left(1+i\right)^{2}\times \left(2+i\right)^{2}} 、 6 - 8i高斯質因數分解為 {\displaystyle } − i × ( 1 + i ) 2 × ( 2 − i ) 2 {\displaystyle -i\times \left(1+i\right)^{2}\times \left(2-i\right)^{2}} 可以看到差異通常僅在乘上的單位，或者高斯質因數互相共軛 計算過程：例如，3−5i不在表中，這時，透過等式y + ix =i (x − iy)得5 + 3i =i (3 − 5i)，同除i得−i(5 + 3i) = 3 − 5i，因此只需從表中查詢5 + 3i的結果為(1+i)·(4−i)即可推得3 − 5i的高斯整數分解為−i·(1+i)·(4−i)。 Gaussian integer factorization calculator. alpertron.com.ar. [2023-12-31]. （原始内容存档于2023-12-31）.  Gethner, Ellen; Wagner, Stan; Wick, Brian. A stroll through the Gaussian primes. Amer. Math. Monthly. 1998, 105 (4): 327–337. JSTOR 2589708. MR 1614871. doi:10.2307/2589708.  Michael Baake and Uwe Grimm and Dieter Joseph and Przemyslaw Repetowicz. Averaged shelling for quasicrystals (PDF). math/9907156, math.MG, arXiv. 1999 [2023-12-27]. doi:10.48550/arXiv.math/9907156. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-08）.  Weisstein, Eric W. (编). Gaussian Prime. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Dresden, Greg; Dymacek, Wayne. Finding factors of factor rings over the Gaussian integers. American Mathematical Monthly. 2005, 112 (7): 602–611. JSTOR 30037545. MR 2158894. doi:10.2307/30037545.  Reid, Legh Wilber. The elements of the theory of algebraic numbers. Macmillan Company. 1910.  Chap. V. Sven Simon. List with Gaussian primes (extended) of A103431/A103432. OEIS. [2023-12-31]. （原始内容存档于2023-12-29）.  LECTURE 10: GAUSSIAN INTEGERS (PDF). www.supermath.info. [2023-12-31]. （原始内容存档 (PDF)于2023-12-31）.  Matsui, Hajime. A bound for the least Gaussian prime omega with alpha < arg(omega) < beta. Arch. Math. 2000, 74 (6): 423–431. MR 1753540. doi:10.1007/s000130050463.