非交换概率空间

在数学的分支概率论和算子代数中，非交换概率空间是对经典概率空间、尤其是经典概率论的随机变量代数表述的推广。一般的非交换概率空间也称代数非交换概率空间，其定义为一个有单位元的代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，其上配备有一个保单位元的线性泛函 ϕ {\displaystyle \phi } 。 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中元素可视为是非交换版本的随机变量，而 ϕ {\displaystyle \phi } 则计算各随机变量的期望。出于各种实际目的，代数非交换概率空间定义中的要求往往需要加强，从而引出§ 非交换*-概率空间等概念。 非交换概率空间是非交换概率论的基本数学结构，非交换概率论可应用在谱理论、随机矩阵和量子力学中。 测度论表述中的概率论是基于所谓概率空间 ( Ω , Σ , P ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )} ，即一个总测度为一的（正）测度空间。所谓随机变量即是其上的实值可测函数，而随机变量的期望则是其勒貝格積分。 现在考虑全体本质有界的随机变量，它们构成了一个 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的代数，这里简单记作 L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} 。在这个代数上，期望映射 E : L ∞ → R {\displaystyle \mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R} } 是唯一能满足 ∀ X ∈ Σ ,   E ( 1 X ) = P ( X ) {\displaystyle \forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)} 且给出单调收敛性质的线性映射，其中 1 X {\displaystyle 1_{X}} 表示 X {\displaystyle X} 的指示函数。反过来，若具有单调收敛性质的非负线性映射 E : L ∞ → R {\displaystyle \mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R} } 满足 E ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mathbb {E} (\mathbf {1} )=1} （其中 1 {\displaystyle \mathbf {1} } 是值为一的常函数，即 L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} 上的乘法单位元），则可用 ∀ X ∈ Σ ,   E ( 1 X ) = P ( X ) {\displaystyle \forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)} 一式唯一地定义一个概率测度。在这个意义上，随机变量代数的期望映射和概率空间的概率测度是一一对应的。借助单调类定理（英语：Monotone class theorem），还可建立在单调收敛下封闭的 Ω {\displaystyle \Omega } 上的有界函数代数与 L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} 的一一对应。 对事件空间地位的降低，以及对代数性质的强调，使得概率论可以有较明显的推广方案，来兼容非交换的随机变量。 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一代数非交换概率空间，若 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的一个有单位元 1 A {\displaystyle 1_{\mathcal {A}}} 的代数， ϕ : A → C {\displaystyle \phi :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C} } 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上一个满足 ϕ ( 1 A ) = 1 {\displaystyle \phi (1_{\mathcal {A}})=1} 的线性泛函。一些作者也考虑代数无单位元的情况。 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一非交换*-概率空间，若 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一个代数非交换概率空间，且满足： A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个*-代数； ϕ {\displaystyle \phi } 是一个正映射，也就是说 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的正元总是被映为非负实数，或者等价地说 ∀ a ∈ A , ϕ ( a ∗ a ) ≥ 0. {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \phi (a^{*}a)\geq 0.} 这个条件结合 ϕ ( 1 A ) = 1 {\displaystyle \phi (1_{\mathcal {A}})=1} 意味着 ϕ {\displaystyle \phi } 是一个态（英语：State (functional Analysis)）。 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一非交换C*-概率空间，若 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一个非交换*-概率空间，且满足： A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个C*-代数； 态 ϕ {\displaystyle \phi } 是非退化的，也就是说 ‖ a ‖ ∞ = 0 ⟹ a = 0. {\displaystyle \|a\|_{\infty }=0\implies a=0.} 上面的 ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} 是一个 ϕ {\displaystyle \phi } 诱导的半范数，定义为 ∀ a ∈ A , ‖ a ‖ ∞ = sup { ‖ a x ‖ 2 | x ∈ A ∧ ‖ x ‖ 2 ≤ 1 } , {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {A}},\quad \|a\|_{\infty }=\sup\{\|ax\|_{2}|x\in {\mathcal {A}}\land \|x\|_{2}\leq 1\},} 形式上它类似于左乘映射 x ↦ a x {\displaystyle x\mapsto ax} 的算子范数。一些作者不要求 ϕ {\displaystyle \phi } 为非退化的，因为总是可商去满足 ‖ a ‖ ∞ = 0 {\displaystyle \|a\|_{\infty }=0} 的元素所构成的*-理想使其成为非退化的。 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一非交换W*-概率空间，若 ( A , ϕ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\phi )} 是一个非交换C*-概率空间，且满足： A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个W*-代数； 态 ϕ {\displaystyle \phi } 是正规的。或者等价地说， ϕ {\displaystyle \phi } 是超弱连续的。 值得一提的是，即便在非交换概率空间的定义中解除对有单位元的要求，如此定义的非交换W*-概率空间也必然有单位元。 Voiculescu, Dan (编). Free probability and operator algebras. Münster Lectures in Mathematics. Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. 2016. ISBN 978-3-03719-165-1.  254A, Notes 5: Free probability. What's new. 2010-02-11 [2024-04-21]. （原始内容存档于2023-12-17） （英语）.  Lowther, George. Algebraic Probability. Almost Sure. 2019-11-10 [2024-04-21]. （原始内容存档于2024-04-21） （英语）.  Lowther, George. States on *-Algebras. Almost Sure. 2019-12-08 [2024-04-20]. （原始内容存档于2024-04-20） （英语）.  Lowther, George. Noncommutative Probability Spaces. Almost Sure. 2020-02-05 [2024-04-20] （英语）.