算术-几何平均数

两个正实数 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数定义如下： 首先计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 算术平均数（相加平均），称其为 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。然后计算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 几何平均数（相乘平均），称其为 g 1 {\displaystyle g_{1}} ；这是 x y {\displaystyle xy} 的算术平方根。 a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.} 然后重复这个步骤，这样便得到了两个数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} ： a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.} 这两个数列收敛于相同的数，这个数称为 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术-几何平均数，记为 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ，或 a g m ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)} 。 欲计算 a 0 = 24 {\displaystyle a_{0}=24} 和 g 0 = 6 {\displaystyle g_{0}=6} 的算术-几何平均数，首先算出它们的算术平均数和几何平均数： a 1 = 24 + 6 2 = 15 , {\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,} g 1 = 24 × 6 = {\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,} 12 {\displaystyle 12} 然后进行迭代： a 2 = 15 + 12 2 = 13.5 , {\displaystyle a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,} g 2 = 15 × 12 = {\displaystyle g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,} 13.416407864999 {\displaystyle 13.416407864999} etc. 继续计算，可得出以下的值： 24和6的算术-几何平均数是两个数列的公共极限，大约为13.45817148173。 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} 是一个介于 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算术平均数和几何平均数之间的数。 如果 r > 0 {\displaystyle r>0} ，则 M ( r x , r y ) = r M ( x , y ) {\displaystyle M(rx,ry)=rM(x,y)} 。 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} 还可以写为如下形式： M ( x , y ) = π 4 ⋅ x + y K ( x − y x + y ) {\displaystyle \mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}} 其中 K ( x ) {\displaystyle K(x)} 是第一类完全椭圆积分。 1和 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的算术-几何平均数的倒数，称为高斯常数。 1 M ( 1 , 2 ) = G = 0.8346268 … {\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots } 由算术几何不等式可得 g n ⩽ a n {\displaystyle g_{n}\leqslant a_{n}} 因此 g n + 1 = g n ⋅ a n ⩾ g n ⋅ g n = g n {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}} 这意味着 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} 是不降序列。同时，因为两个数的几何平均数是总是介于两个数之间，又可以得到该序列是有上界的（ x , y {\displaystyle x,y} 中的较大者）。根据单调收敛定理，存在 g {\displaystyle g} 使得: lim n → ∞ g n = g {\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g} 然而，我们又有: a n = g n + 1 2 g n {\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}} 从而: lim n → ∞ a n = lim n → ∞ g n + 1 2 g n = g 2 g = g {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g} 证毕。 该证明由高斯首次提出。 令 I ( x , y ) = ∫ 0 π 2 d θ x 2 cos 2 ⁡ θ + y 2 sin 2 ⁡ θ , {\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},} 将积分变量替换为 θ ′ {\displaystyle \theta '} , 其中 sin ⁡ θ = 2 x sin ⁡ θ ′ ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 ⁡ θ ′ , {\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},} 于是可得 I ( x , y ) = ∫ 0 π 2 d θ ′ ( 1 2 ( x + y ) ) 2 cos 2 ⁡ θ ′ + ( x y ) 2 sin 2 ⁡ θ ′ = I ( 1 2 ( x + y ) , x y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}} 因此，我们有 I ( x , y ) = I ( a 1 , g 1 ) = I ( a 2 , g 2 ) = ⋯ = I ( M ( x , y ) , M ( x , y ) ) = π 2 M ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}} 最后一个等式可由 I ( z , z ) = π 2 z {\displaystyle I(z,z)={\frac {\pi }{2z}}} 推出。 于是我们便可得到算术几何平均数的积分表达式： M ( x , y ) = π 2 I ( x , y ) . {\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.} David A. Cox. The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss. J.L. Berggren, Jonathan M. Borwein, Peter Borwein (编). Pi: A Source Book. Springer. 2004: 481 [2014-08-12]. ISBN 978-0-387-20571-7. （原始内容存档于2020-06-14）.  first published in L'Enseignement Mathématique, t. 30 (1984), p. 275-330 Jonathan Borwein, Peter Borwein, Pi and the AGM. A study in analytic number theory and computational complexity. Reprint of the 1987 original. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, 4. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1998. xvi+414 pp. ISBN 0-471-31515-X MR1641658 埃里克·韦斯坦因. Arithmetic-Geometric mean. MathWorld.  算术平均数 几何平均数