几何中心

n 维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。非正式地说，它是X中所有点的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。 如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。 有限个点总存在几何中心，可以通过计算这些点的每个坐标分量的算术平均值得到。这个中心是空间中一点到这有限个点距离的平方和的唯一最小值点。点集的几何中心在仿射变换下保持不变。 一个凸对象的几何中心总在其内部。一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。 形心是三角形的幾何中心，是指三角形的三條中线（頂點和對邊的中點的連線）交點。 用塞瓦定理逆定理可以直接證出： B E E C ⋅ C F F A ⋅ A D D B = 1 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 1 = 1 {\displaystyle {\frac {BE}{EC}}\cdot {\frac {CF}{FA}}\cdot {\frac {AD}{DB}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1} 因此三線共點。 中心分每条中线比为2:1，这就是说距一边的距离是该边相对顶点距该边的1/3。如右图所示： 如果三角形是由均匀材料做成的薄片，那么几何中心也就是质量中心。它的笛卡尔坐标是三个顶点的坐标算术平均值。也就是说，如果三顶点位于 ( x a , y a ) {\displaystyle (x_{a},y_{a})} ， ( x b , y b ) {\displaystyle (x_{b},y_{b})} ，和 ( x c , y c ) {\displaystyle (x_{c},y_{c})} ，那么几何中心位于： ( 1 3 ( x a + x b + x c ) , 1 3 ( y a + y b + y c ) ) = 1 3 ( x a , y a ) + 1 3 ( x b , y b ) + 1 3 ( x c , y c ) {\displaystyle {\Big (}{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\;{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{a},y_{a})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{b},y_{b})+{\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}(x_{c},y_{c})} 设三角形ABC的中线AD，BE和CF交于三角形的中心G，延长AD至点O使得 A G = G O . {\displaystyle AG=GO.\,} 那么三角形AGE和AOC 相似（公共角A，AO = 2 AG，AC = 2 AE），所以OC平行于GE。但是GE是BG的延长，所以OC平行于BG。同样的，OB平行于CG。 从而图形GBOC是一个平行四边形。因为平行四边形对角线互相平分，对角线GO和BC的交点使得GD = DO，这样 G O = G D + D O = 2 G D . {\displaystyle GO=GD+DO=2GD.\,} 所以， A G = G O = 2 G D {\displaystyle AG=GO=2GD\,} ，或 A G : G D = 2 : 1 {\displaystyle AG:GD=2:1\,} ，这对任何中线都成立。 三角形的重心與三頂點連線，所形成的三個三角形面積相等。 頂點到重心的距離是中線的 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} 。 外心 O {\displaystyle O} 、重心 G {\displaystyle G} 、九點圓圓心 F {\displaystyle F} 、垂心 H {\displaystyle H} 四點依次序共線，其中 O G : G F : F H = 2 : 1 : 3 {\displaystyle OG:GF:FH=2:1:3} ，此線稱為歐拉線。 內心 I {\displaystyle I} 、重心 G {\displaystyle G} 、斯俾克心 S {\displaystyle S} 、奈格爾點 N {\displaystyle N} 四點依次序共線，其中 I G : G S : S N = 2 : 1 : 3 {\displaystyle IG:GS:SN=2:1:3} ，此線稱為奈格爾線。 三角形的重心同時也是中點三角形的重心。 在直角座標系中，若頂點的座標分別為 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 、 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} 、 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} ，則重心的座標為： ( x 1 + x 2 + x 3 3 , y 1 + y 2 + y 3 3 ) {\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)} 三線坐標中、重心的座標為： b c : c a : a b = 1 a : 1 b : 1 c = csc ⁡ A : csc ⁡ B : csc ⁡ C {\displaystyle bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C} 重心坐標中、重心的座標為： 1 : 1 : 1 {\displaystyle 1:1:1} 三角形的重心的等截共轭点也是三角形重心自己。 三角形的重心的等角共轭点称为类似重心。 类似三角形的中心的结论对四面体也成立，四面体的几何中心是所有顶点和相对平面中心的连线的交点。这些线段被中心分成3:1。这个结论能自然推广到任何 n {\displaystyle n} -维单形。如果单形的顶点集是 v 0 , . . . , v n {\displaystyle {v_{0},...,v_{n}}} ，将这些顶点看成向量，几何中心位于： 1 n + 1 ∑ i = 0 n v i . {\displaystyle {\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}\;.} 一个由N个顶点（xi , yi）确定的不自交闭多边形的中心能如下计算： 记号（ xN , yN）与顶点（ x0 , y0）相同。多边形的面积为： A = 1 2 ∑ i = 0 N − 1 ( x i   y i + 1 − x i + 1   y i ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})} 多边形的中心由下式给出： C x = 1 6 A ∑ i = 0 N − 1 ( x i + x i + 1 ) ( x i   y i + 1 − x i + 1   y i ) {\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})} C y = 1 6 A ∑ i = 0 N − 1 ( y i + y i + 1 ) ( x i   y i + 1 − x i + 1   y i ) {\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{N-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})} 给定有限点集 x 1 , x 2 , … , x k {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}} 属于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ，它们的中心定义 C {\displaystyle C} 为 C = x 1 + x 2 + ⋯ + x k k {\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}} 。 面积中心和质量中心非常类似，面积中心只取决于图形的几何形状。如果物体是均匀的，质量中心将位于面积中心。 对于两部分组成的图形，将有如下等式： y ¯ = y 1 ¯ A 1 + y 2 ¯ A 2 A 1 + A 2 {\displaystyle {\overline {y}}={\dfrac {{\overline {y_{1}}}A_{1}+{\overline {y_{2}}}A_{2}}{A_{1}+A_{2}}}} y ¯ {\displaystyle {\overline {y}}} 是特定部分的面积中心到所选参考系的距离。 A {\displaystyle A} 是特定部分的面积。 当一个复杂几何图形可以分成一些已知的简单几何图形时，先计算各部分的面积中心，然后通过下面一般的公式计算整个图形的面积中心： x ¯ = ∑ x i ¯ A i ∑ A i {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {\sum {\overline {x_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}} y ¯ = ∑ y i ¯ A i ∑ A i {\displaystyle {\overline {y}}={\frac {\sum {\overline {y_{i}}}A_{i}}{\sum A_{i}}}} 这里从y-轴到中心的距离是 x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} ，从x-轴到中心的距离是 y ¯ {\displaystyle {\overline {y}}} ，中心的坐标是 ( x ¯ , y ¯ ) {\displaystyle ({\overline {x}},{\overline {y}})} 。 一个平面图形的中心的横坐标（x轴）由积分 C x = ∫ x f ( x ) d x ∫ f ( x ) d x {\displaystyle C_{x}={\frac {\int xf(x)\;dx}{\int f(x)\;dx}}} 给出。 这里f（x）是对象位于在横坐标x点y轴上的长度，是在x图形的测度。这个公式能由区域关于y-轴的第一矩得出。 这个过程等价于取加权平均。假设y-轴表示频率，x-轴表示欲求平均值的变量，那么沿着x-轴的中心即 x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} 。从而中心可以想象成表示特定形状的许多无限小元的加权平均。 对任意维数n，由相同的公式得出 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中一个对象的中心第一个坐标，假设f (x)是对象在坐标x的截面（也就是说，对象中第一个坐标为x的所有点的集合）的（n-1）-维测度。 注意到分母恰是对象的n- 维测度。特别的，在f为正规时，即分母为1，中心也称为f的平均。 当对象的测度为0或者积分发散，这个公式无效。 圆锥或棱锥的中心位于连接顶点和底的中心的线段上，分比为3:1。 如果中心确定了，那么中心是所有它对称群的不动点。从而对称能全部或部分确定中心，取决于对称的种类。另外可以知道，如果一个对象具有传递对称性，那么它的中心是不确定的或不在内部，因为一个传递变换群没有不动点。 地理学中，地球表面一个区域的几何中心也称为地理中心。 重心列表 帕普斯中心定理 K-平均算法 中點 外心 內心 垂心 奈格爾點 类似中线 歐拉線 西瓦定理 幾何原本ISBN 957-603-016-1 幾何明珠ISBN 957-603-197-4 Calculating the area and centroid of a polygon. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-16）.  Area Centroid. [2008-10-16]. （原始内容存档于2008-10-20）.  Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X (2). Triangle centers（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas. Characteristic Property of Centroid（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot Barycentric Coordinates（页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f (x) and g (x) （页面存档备份，存于互联网档案馆） Interactive animations showing Centroid of a triangle（页面存档备份，存于互联网档案馆） and Centroid construction with compass and straightedge（页面存档备份，存于互联网档案馆）