Verma模

Verma模（Verma module）是李代數表示理論中的基本研究對象，其名取自Daya-Nand Verma。Verma模之間的態射相應於旗流形上的不變微分算子。 可用Verma模來證明以下命題：最高權為 λ {\displaystyle \lambda } 的最高權表示的維數有限，若且僅若 λ {\displaystyle \lambda } 是支配整權（dominant integral weight）。 設： F {\displaystyle F} 為一域； g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ，為 F {\displaystyle F} 上一半單李代數； U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 為其泛包絡代數 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} 為其一Borel子代數 U ( b ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})} 為其泛包絡代數 h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 為其一嘉當子代數 λ ∈ h ∗ {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}} 為一固定之權。 F λ {\displaystyle F_{\lambda }} 為 F {\displaystyle F} 上的一維向量空間， 賦與 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} -模結構： h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} 的作用為「乘以 λ {\displaystyle \lambda } 」，正根的作用為零。由於 F λ {\displaystyle F_{\lambda }} 是一左 b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} －模，他同時亦是一左 U ( b ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})} －模。 由Poincaré-Birkhoff-Witt定理， U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 有一自然右 U ( b ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})} －模結構。由於 U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 亦是一左 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} －模， 所以是 ( g , U ( b ) ) {\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}}))} -雙模。 定義（最高權為 λ {\displaystyle \lambda } 之）Verma模 為 M λ = U ( g ) ⊗ U ( b ) F λ {\displaystyle M_{\lambda }={\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})\otimes _{{\mathcal {U}}({\mathfrak {b}})}F_{\lambda }} 此自然地是一左 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} －模。從Poincaré-Birkhoff-Witt定理可知： M λ {\displaystyle M_{\lambda }} ，作為一向量空間，同構於 U ( g − ) ⊗ F F λ {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}}_{-})\otimes _{F}F_{\lambda }} 其中 g − {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-}} 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 之負根生成之子李代數。 作為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} －模，Verma模是一最高權表示，即整個模由一最高權向量生成。此最高權向量是 1 ⊗ 1 {\displaystyle 1\otimes 1} 的像（其中前 1 {\displaystyle 1} 為 U ( g ) {\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathfrak {g}})} 之單位，後 1 {\displaystyle 1} 為域 F {\displaystyle F} 之單位元）；其權為 λ {\displaystyle \lambda } 。 Verma模是weight modules，即 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 是其權子空間之直和。每一權子空間 M μ {\displaystyle M_{\mu }} 是有限維的，其維度是 M μ {\displaystyle M_{\mu }} 權 λ − μ {\displaystyle \lambda -\mu } 寫成正根之和之方法之數（參見Kostant partition function）。 Verma模有一重要性質：若 V {\displaystyle V} 為任一最高權模，其最高權為 λ {\displaystyle \lambda } ，則存在一 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 滿射： M λ → V {\displaystyle M_{\lambda }\to V} 。換言之，任何最高權模都是 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 的商模。 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 內存在唯一極大子模，而 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 與此子模之商是不可約的。 Verma模 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 本身不可約 若且僅若 當其最高權 λ {\displaystyle \lambda } 分解成基本權（fundamental weight（英语：fundamental weight））之和時，每一系數都不是 { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \{0,1,2,\ldots \}} 。 稱Verma模 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 為regular，若其最高權λ位於一支配權 λ ~ {\displaystyle {\tilde {\lambda }}} 之仿射Weyl軌迹上。換言之，存在Weyl羣的元素w，使 λ = w ⋅ λ ~ {\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }}} ， 其中 ⋅ {\displaystyle \cdot } 是Weyl羣的仿射作用。 稱Verma模 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 為singular，若λ的仿射軌迹上無支配權。此時，存在權 λ ~ {\displaystyle {\tilde {\lambda }}} 使 λ ~ + δ {\displaystyle {\tilde {\lambda }}+\delta } 落於基本Weyl室之牆上；（其 中δ為各基本權之和）。 設 λ , μ {\displaystyle \lambda ,\mu } 為兩權。若存在態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }} ， 則 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的Weyl羣 W {\displaystyle W} 的 仿射作用 W {\displaystyle W} 必然能把 μ {\displaystyle \mu } 帶到 λ {\displaystyle \lambda } 。此為Harish-Chandra無限小中心特徵標定理之一推論。 每一Verma模 態射都是單射。態射空間之維度 d i m ( H o m ( M μ , M λ ) ) ≤ 1 {\displaystyle dim(Hom(M_{\mu },M_{\lambda }))\leq 1} 其中 μ , λ {\displaystyle \mu ,\lambda } 為任何兩權。因此，存在一非零態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }} 若且僅若 M μ {\displaystyle M_{\mu }} 同構於 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 的一（唯一）子模。 Verma模態射的完整分類來自I.N.伯恩斯坦、I.M.蓋爾芳特 與S.I.蓋爾芳特 的工作與N. Verma的工作。簡言之， 存在非零態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\rightarrow M_{\lambda }} 若且僅若 存在一串權 μ = ν 0 ≤ ν 1 ≤ … ≤ ν k = λ {\displaystyle \mu =\nu _{0}\leq \nu _{1}\leq \ldots \leq \nu _{k}=\lambda } 使得存在正根 γ i {\displaystyle \gamma _{i}} 使 ν i − 1 + δ = s γ i ( ν i + δ ) {\displaystyle \nu _{i-1}+\delta =s_{\gamma _{i}}(\nu _{i}+\delta )} （其中 s γ i {\displaystyle s_{\gamma _{i}}} 是根反映（根系），而 δ {\displaystyle \delta } 是所有基本權之和）且對每一 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} ， ( ν i + δ ) ( H γ i ) {\displaystyle (\nu _{i}+\delta )(H_{\gamma _{i}})} 為一自然數（其中 H γ i {\displaystyle H_{\gamma _{i}}} 是根 γ i {\displaystyle \gamma _{i}} 之對偶根（coroot（英语：coroot）））。 若Verma模 M μ {\displaystyle M_{\mu }} 與 M λ {\displaystyle M_{\lambda }} 俱為regular，則僅存支配權 λ ~ {\displaystyle {\tilde {\lambda }}} 與Weyl羣元w, w′使 P μ = w ′ ⋅ λ ~ {\displaystyle \mu =w'\cdot {\tilde {\lambda }}} 而且 λ = w ⋅ λ ~ , {\displaystyle \lambda =w\cdot {\tilde {\lambda }},} 其中 ⋅ {\displaystyle \cdot } 為Weyl羣的仿射作用。設此等權是整權（integral weight（英语：integral weight））。存在非零態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }} 若且僅若，在Weyl羣W 的Bruhat次序中， w ≤ w ′ {\displaystyle w\leq w'} 。 設 0 ⊂ A ⊂ B ⊂ M λ {\displaystyle 0\subset A\subset B\subset M_{\lambda }} 為一 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} －模序列，其中B/A為不可約表示，其最高權為μ。則存在非零態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }} 。 推論： 設 V μ , V λ {\displaystyle V_{\mu },V_{\lambda }} 為二最高權表示。若 V μ ⊂ V λ {\displaystyle V_{\mu }\subset V_{\lambda }} 則存在非零態射 M μ → M λ {\displaystyle M_{\mu }\to M_{\lambda }} 。 設 V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 為李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的一有限維不可約表示，其最高權為λ。我们已知：存在非零態射 M w ′ ⋅ λ → M w ⋅ λ {\displaystyle M_{w'\cdot \lambda }\to M_{w\cdot \lambda }} 若且僅若，在其Weyl羣的Bruhat次序中， w ≤ w ′ {\displaystyle w\leq w'} 。 以下定理描述如何分解 V λ {\displaystyle V_{\lambda }} 成Verma模的正合序列。 （此定理出現於 伯恩斯坦-蓋爾芳特-蓋爾芳特1975年的論文）: 存在由 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} －態射組成的正合序列 0 → ⊕ w ∈ W , l ( w ) = n M w ⋅ λ → … → ⊕ w ∈ W , l ( w ) = 2 M w ⋅ λ → ⊕ w ∈ W , l ( w ) = 1 M w ⋅ λ → M λ → V λ → 0 {\displaystyle 0\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=n}M_{w\cdot \lambda }\to \ldots \to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=2}M_{w\cdot \lambda }\to \oplus _{w\in W,\,\,l(w)=1}M_{w\cdot \lambda }\to M_{\lambda }\to V_{\lambda }\to 0} 其中n為Weyl羣最長元之長度。 一般研究員簡稱其為「BGG分解」。 廣義Verma模亦有類似分解。 近來有人研究此等分解之某些特例，以助理解拋物幾何（parabolic geometries（英语：parabolic geometries），嘉當幾何之特例）上之不變微分算子。嘉當幾何的定義依賴於一李羣G與其拋物子羣P。參閲、與。 Knapp, A. 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