米迪定理

米迪定理說明如果将 a p {\displaystyle {\frac {a}{p}}} 化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数，则有以下性质： 若將這個分數用循環小數寫成 0. a 1 a 2 a 3 . . . a n a n + 1 . . . a 2 n ¯ {\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}a_{n+1}...a_{2n}}}} ，则 a i + a i + n = b − 1 {\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=b-1} a 1 … a n + a n + 1 … a 2 n = b n − 1. {\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^{n}-1.} 這個定理還可再推廣为广义米迪定理：若把长度2n的循环节划分为长度为k的 2 n k {\displaystyle {\frac {2n}{k}}} 个组，即 0. a 1 a 2 ⋯ a k a k + 1 ⋯ a 2 k ⋯ a 2 n − k + 1 a 2 n − k + 2 ⋯ a 2 n ¯ {\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}}} ，则 a 1 a 2 . . . a k + a k + 1 a k + 2 . . . a 2 k + . . . + a 2 n − k + 1 a l − k + 2 . . . a 2 n {\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{k}+a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}+...+a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}} 是 b k − 1 {\displaystyle b^{k}-1} 的倍數。 1 17 = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}} （10进制） 循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1…… 05882352 + 94117647 = 10 8 − 1 {\displaystyle 05882352+94117647=10^{8}-1} 1 19 = 0. 052631578947368421 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}} （10进制） 循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1…… 052631578 + 947368421 = 10 9 − 1 {\displaystyle 052631578+947368421=10^{9}-1} 052631 + 578947 + 368421 = 10 6 − 1 {\displaystyle 052631+578947+368421=10^{6}-1} （广义米迪定理，k=6） 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 × ( 10 3 − 1 ) {\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^{3}-1)} （广义米迪定理，k=3） 1 19 = 0. 032745 ¯ 8 {\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}} 032 8 + 745 8 = 777 8 {\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8}} 03 8 + 27 8 + 45 8 = 77 8 . {\displaystyle 03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.} 米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而，也可以用算术和同余来证明米迪定理： 设p为素数，a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中，a/p的展开式的周期为l，所以： a p = [ 0. a 1 a 2 … a l ¯ ] b {\displaystyle {\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}} ⇒ a p b l = [ a 1 a 2 … a l . a 1 a 2 … a l ¯ ] b {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=[a_{1}a_{2}\dots a_{l}.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}} ⇒ a p b l = N + [ 0. a 1 a 2 … a l ¯ ] b = N + a p {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}} ⇒ a p = N b l − 1 {\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{l}-1}}} 其中N是在b进制中的展开式为a1a2...al的整数。 因为 a p ( b l − 1 ) = N {\displaystyle {\frac {a}{p}}(b^{l}-1)=N} 且N为整数，所以 b l − 1 {\displaystyle b^{l}-1} 必为p的倍数。另外，对于任何小于l的n，bn−1都不是p的倍数，否则在b进制中a/p的周期将小于l，这是不可能的。 现在，假设l=hk。那么bl−1是bk − 1的倍数。设bl − 1 = m(bk − 1)，因此： a p = N m ( b k − 1 ) . {\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.} 但bl−1是p的倍数；bk−1不是p的倍数（因为k小于l）；且p是素数；因此m一定是p的倍数，且 a m p = N b k − 1 {\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}} 是整数。也就是说： N ≡ 0 ( mod b k − 1 ) . {\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.} 现在，把a1a2...al分成h个长度为k的部分，并设它们在b进制中表示N0...Nh − 1，所以： N h − 1 = [ a 1 … a k ] b {\displaystyle N_{h-1}=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}} N h − 2 = [ a k + 1 … a 2 k ] b {\displaystyle N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}} . {\displaystyle .} . {\displaystyle .} N 0 = [ a l − k + 1 … a l ] b {\displaystyle N_{0}=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}} 为了证明b进制中广义的米迪定理，我们必须证明h个整数Ni的和是bk − 1的倍数。 由于bk被bk−1除余1，任何bk的幂被bk − 1除也余1。因此： N = ∑ i = 0 h − 1 N i b i k = ∑ i = 0 h − 1 N i ( b k ) i {\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}} ⇒ N ≡ ∑ i = 0 h − 1 N i ( mod b k − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}} ⇒ ∑ i = 0 h − 1 N i ≡ 0 ( mod b k − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}} 这就证明了b进制中广义的米迪定理。 为了证明原先的米迪定理，取h = 2的特殊情况。注意N0和N1在b进制中都由k个数字表示，所以都满足 0 ≤ N i ≤ b k − 1. {\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.} N0和N1不能都等于0（否则a/p = 0），也不能都等于bk − 1（否则a/p = 1），因此： 0 < N 0 + N 1 < 2 ( b k − 1 ) {\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)} 由于N0 + N1是bk − 1的倍数，所以有： N 0 + N 1 = b k − 1. {\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.} 有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。 William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. （原始内容存档于2018-07-23）.  埃里克·韦斯坦因. Midy's Theorem. MathWorld.