仿射空间

仿射空间 （英文: Affine space)，又称线性流形，是数学中的几何结构，这种结构是欧式空间的仿射特性的推广。在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点，但是点与点之间不可以做加法。 仿射空间中没有特定的原点，因此不能将空间中的每一点和特定的向量对应起来。仿射空间中只有从一个点到另一个点的位移向量，或称平移向量。如果 X {\displaystyle X} 是仿射空间， a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} ，那么从 a {\displaystyle a} 到 b {\displaystyle b} 的位移向量为 b − a {\displaystyle b-a} 。虽然无法做点与点之间的加法， 但是可以通过仿射组合(系数和为1的线性组合)的方式进行点的变化，仿射组合的系数构成了一个重心坐标 。 所有向量空间都可看作仿射空间。若 X {\displaystyle X} 是向量空间， L ⊆ X {\displaystyle L\subseteq X} 是向量子空间， a ∈ X {\displaystyle a\in X} , 则 a + L = { a + l : l ∈ L } {\displaystyle a+L=\{a+l:l\in L\}} 是仿射空间。这里的 a {\displaystyle a} 也称为平移向量。若向量空间 X {\displaystyle X} 的维度是 n < ∞ {\displaystyle n<\infty } ，那么 X {\displaystyle X} 的仿射子空间也可看作一组非齐次线性方程的解；对应的(去掉平移向量的)齐次方程的解是线性子空间，因为齐次方程的解永远包含零解。维度为 n − 1 {\displaystyle n-1} 的仿射空间也叫做仿射超平面。 下面的非正式描述可能比正式的定义更容易理解。仿射空间像是没有原点的向量空间，其中向量只有方向和大小。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点 p {\displaystyle p} 才是原点。现在求两个向量 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的和。乙画出 p {\displaystyle p} 到 a {\displaystyle a} 和 p {\displaystyle p} 到 b {\displaystyle b} 的箭头，然后用平行四边形找到他认为的向量 a + b {\displaystyle a+b} 。但是甲认为乙画出的是向量 p + ( a − p ) + ( b − p ) {\displaystyle p+(a-p)+(b-p)} 。同样的，甲和乙可以计算向量 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。然而，请注意：如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！ 如果乙从他的原点 p {\displaystyle p} 向 λ a + ( 1 − λ ) b {\displaystyle \lambda a+(1-\lambda )b} 方向行走， 则从甲的角度来看，乙的行程为 p + λ ( a − p ) + ( 1 − λ ) ( b − p ) = λ a + ( 1 − λ ) b {\displaystyle p+\lambda (a-p)+(1-\lambda )(b-p)=\lambda a+(1-\lambda )b} . 仿射空间就是这样产生的：定义仿射组合为系数和为1的线性组合；甲知道空间的「线性结构」，但是甲和乙都知道空间的「仿射结构」，也就是空间中所有仿射组合的值。 那么对于所有满足 λ + ( 1 − λ ) = 1 {\displaystyle \lambda +(1-\lambda )=1} 的系数，即使甲乙从不同的原点开始，他们将以同样的线性组合描述同样的点。 称集合 A {\displaystyle A} 是仿射空间，是指其满足如下性质： 存在一个与之相伴的向量空间 B {\displaystyle B} 存在一个映射 f : A × B → A ( a , v )   ↦ a + v {\displaystyle f:{\begin{aligned}A\times B&\to A\\(a,v)\ &\mapsto a+v\end{aligned}}} ，且这个映射有如下性质： 右幺性： ∀ a ∈ A , a + 0 B = a {\displaystyle \forall a\in A,a+0_{B}=a} ; 结合律： ∀ α , β ∈ B , a ∈ A {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in B,a\in A} 成立 ( a + α ) + β = a + ( α + β ) {\displaystyle (a+\alpha )+\beta =a+(\alpha +\beta )} ; 正则性：给定 A {\displaystyle A} 中的元素 a {\displaystyle a} , ∃ f a : B → A {\displaystyle \exists f_{a}:B\rightarrow A} 是双射. 从定义中不难得出集合 A {\displaystyle A} 还具有如下性质: ∀ α ∈ B , f β : a ↦ a + α {\displaystyle \forall \alpha \in B,f_{\beta }:a\mapsto a+\alpha } 是一个双射; 减法： ∀ a , b ∈ A , ∃ α ∈ B {\displaystyle \forall a,b\in A,\exists \alpha \in B} 使得 b = a + α {\displaystyle b=a+\alpha } , 记这个 α {\displaystyle \alpha } 为 b − a {\displaystyle b-a} . 另一种等价的定义可以表述为：集合 A {\displaystyle A} 是仿射空间, 是指存在某个向量空间 V {\displaystyle V} , V {\displaystyle V} 在 A {\displaystyle A} 上的作为加法群的群作用是自由且可迁的. 仿射几何 仿射变换 仿射群 区间测度 heap (数学) 空间 (数学) Cameron, Peter J., Projective and polar spaces, QMW Maths Notes 13, London: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991 [2010-03-09], MR1153019, （原始内容存档于2020-07-06）  Coxeter, Harold Scott MacDonald, Introduction to Geometry 2nd, New York: John Wiley & Sons, 1969, ISBN 978-0-471-50458-0, MR123930  Dolgachev, I.V.; Shirokov, A.P., A/a011100, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Ernst Snapper and Robert J. Troyer, Metric Affine Geometry, Dover Publications; Reprint edition (October 1989)