柯尼希-费舍尔展开

柯尼希-费舍尔展开(Cornish-Fisher expansion)是一种渐近展开式，用于逼近一个概率分布的分位数 。这个展开成立时，它可以比中心极限定理提供更精确的分位数逼近。 每一个Cornish-Fisher展开的成立与否，依赖于其相应的Edgeworth展开的正确性。Cornish-Fisher展开是其对应的Edgeworth展开的逆。 这个展开以E. A. Cornish和著名统计学家R. A. 费舍尔命名，他们于1937年发明该方法。 最简单的定义Cornish-Fisher展开表达式的方式是待定系数法。假设我们有来自某分布 F {\displaystyle {\cal {F}}} 的独立同分布随机变量 X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} ，现在要估计总体的某个泛函 θ = θ ( F ) {\displaystyle \theta =\theta ({\cal {F}})} ，假设 θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} 是基于样本的一个估计，并且对该估计，成立以下的 K {\displaystyle K} 阶Edgeworth展开 P ( n 1 / 2 ( θ ^ − θ ) ≤ x ) = Φ ( x ) + { ∑ k = 1 K n − k / 2 ⋅ Γ k ( x ) } ⋅ φ ( x ) + O ( n − ( K + 1 ) / 2 ) {\displaystyle \mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )\leq x)=\Phi (x)+\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot \Gamma _{k}(x)\right\}\cdot \varphi (x)+O(n^{-(K+1)/2})} 其中 Φ ( ⋅ ) {\displaystyle \Phi (\cdot )} 和 φ ( ⋅ ) {\displaystyle \varphi (\cdot )} 分别是标准正态分布的CDF和PDF， Γ k ( ⋅ ) {\displaystyle \Gamma _{k}(\cdot )} 是 x {\displaystyle x} 的多项式，余项表示的是一致误差界，即它是精确分布和逼近分布的 ‖ ⋅ ‖ ∞ {\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }} 距离。 那么对任何给定的 α ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha \in (0,1)} ，枢轴变量 n 1 / 2 ( θ ^ − θ ) {\displaystyle n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )} 的下 α {\displaystyle \alpha } 分位数 θ α {\displaystyle \theta _{\alpha }} 可以由下列Cornish-Fisher展开逼近： θ ^ α := z α − { ∑ k = 1 K n − k / 2 ⋅ Γ ~ k ( z α ) } ⋅ φ ( z α ) {\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }:=z_{\alpha }-\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(z_{\alpha })\right\}\cdot \varphi (z_{\alpha })} 其中 z α {\displaystyle z_{\alpha }} 是标准正态分布的下 α {\displaystyle \alpha } 分位数，系数 Γ ~ k ( y ) {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{k}(y)} 从以下的式子以待定系数法逐个解出 P ( n 1 / 2 ( θ ^ − θ ) ≤ y − n − 1 / 2 ⋅ Γ ~ 1 ( y ) ) = Φ ( y ) + O ( n − 1 ) P ( n 1 / 2 ( θ ^ − θ ) ≤ y − n − 1 / 2 ⋅ Γ ~ 1 ( y ) − n − 1 ⋅ Γ ~ 2 ( y ) ) = Φ ( y ) + O ( n − 3 / 2 ) ⋯ ⋯ P ( n 1 / 2 ( θ ^ − θ ) ≤ y − ∑ k = 1 K n − k / 2 ⋅ Γ ~ k ( y ) ) = Φ ( y ) + O ( n − ( K + 1 ) / 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y))=\Phi (y)+O(n^{-1})\\\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)-n^{-1}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{2}(y))=\Phi (y)+O(n^{-3/2})\\\cdots &\cdots \\\mathbb {P} {\Bigg (}n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(y){\Bigg )}=\Phi (y)+O(n^{-(K+1)/2})\end{aligned}}} 例如，解第一个方程时，将 x = y − n − 1 / 2 ⋅ Γ ~ 1 ( y ) {\displaystyle x=y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)} 代回到Edgeworth展开里， Γ ~ 1 ( y ) {\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)} 的解是（唯一的）能消去 n − 1 / 2 {\displaystyle n^{-1/2}} 阶项的表达式。 一般来说，Cornish-Fisher展开与它所来自的Edgeworth展开拥有相同的逼近阶数和一致误差项，除非该Edgeworth展开带有跳跃点。 Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. （原始内容存档 (PDF)于2017-09-21）.  Hall, Peter. Inverting an Edgeworth Expansion. The Annals of Statistics. 1983-06, 11 (2): 569–576 [2020-12-04]. ISSN 0090-5364. doi:10.1214/aos/1176346162. （原始内容存档于2018-06-01） （英语）.  Cornish, E. A.; Fisher, Ronald A. Moments and Cumulants in the Specification of Distributions (PDF). Revue de l'Institut International de Statistique / Review of the International Statistical Institute. 1938, 5 (4): 307–320 [2020-12-04]. JSTOR 1400905. doi:10.2307/1400905. （原始内容存档 (PDF)于2017-09-21）.  Fisher, Sir Ronald A.; Cornish, E. A. The Percentile Points of Distributions Having Known Cumulants. Technometrics. 1960-05-01, 2 (2): 209–225 [2020-12-04]. ISSN 0040-1706. doi:10.1080/00401706.1960.10489895. （原始内容存档于2021-10-17）.