雙態系統

雙態系統（英語：Two-state system）在量子力學裏是一種擁有兩個互相獨立的量子態的量子系統。更正式地說，雙態系統的希爾伯特空間是二維的，自由度是2。注意，这并不是指该系统只有两个量子态，因为根据量子力学公设态叠加原理，系统可以处于这两个独立量子态的任意叠加态。 若雙態系統中的二個量子態有相同的能量，則雙態系統只存在尋常解，但若二個量子態之間有能量差，則會出現非尋常解。 設定量子系統的不含時間哈密頓算符 H {\displaystyle H\,\!} ，其兩個互相獨立的本徵態是 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle \,\!} 與 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle \,\!} ，滿足 H | a ⟩ = E a | a ⟩ {\displaystyle H|a\rangle =E_{a}|a\rangle \,\!} ， H | b ⟩ = E b | b ⟩ {\displaystyle H|b\rangle =E_{b}|b\rangle \,\!} ； 其中， E a {\displaystyle E_{a}\,\!} 與 E b {\displaystyle E_{b}\,\!} 分別為 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle \,\!} 與 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle \,\!} 的能量本徵值。 設定在某時間 t 0 {\displaystyle t_{0}\,\!} ，量子系統的量子態為 | ψ ( t 0 ) ⟩ = c a | a ⟩ + c b | b ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =c_{a}|a\rangle +c_{b}|b\rangle \,\!} ； 其中， c a {\displaystyle c_{a}\,\!} 與 c b {\displaystyle c_{b}\,\!} 是複值常數，分別是 | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle \,\!} 處於 | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle \,\!} 與 | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle \,\!} 的機率幅。 那麼，隨著時間的演化，在時間 t {\displaystyle t\,\!} ，量子系統的量子態為 | ψ ( t ) ⟩ = c a e − i E a ( t − t 0 ) / ℏ | a ⟩ + c b e − i E b ( t − t 0 ) / ℏ | b ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{a}e^{-iE_{a}(t-t_{0})/\hbar }|a\rangle +c_{b}e^{-iE_{b}(t-t_{0})/\hbar }|b\rangle \,\!} 。 假設，一個多態系統只能夠處於最低能量的兩個量子態。那麼，這多態系統有效地變成了一個雙態系統，可以應用雙態系統模型來解析這多態系統。 自旋1/2粒子是一個標準的雙態系統。自旋投影於z-軸的分量 S Z {\displaystyle S_{Z}\,\!} ，其 S Z {\displaystyle S_{Z}\,\!} 算符的兩個本徵態是「自旋向上」態與「自旋向下」態。電子是一種自旋1/2粒子。設定一個朝著z-軸方向的均勻磁場 B = B 0 z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 作用於電子。這作用會造成電子能級的分裂。因為這作用，必須添加 e B 0 S Z / m {\displaystyle eB_{0}S_{Z}/m\,\!} 這項目在哈密頓算符 H {\displaystyle H\,\!} 裏。假若原本的能級為 E 0 {\displaystyle E_{0}\,\!} ，自旋向上態的能級會增加為 E 0 + e B 0 / 2 m {\displaystyle E_{0}+eB_{0}/2m\,\!} ；而自旋向下態的能級會降低為 E 0 − e B 0 / 2 m {\displaystyle E_{0}-eB_{0}/2m\,\!} ；其中， e {\displaystyle e\,\!} 是單位電荷量， m {\displaystyle m\,\!} 是電子質量。 氨分子的位於頂點的氮原子可以處於兩種量子態，在由三個氫原子設定的平面的上面，稱為「上」量子態，或是這平面的下面，稱為「下」量子態。所以，氨分子是一個雙態系統。由於上量子態與下量子態的能級相等，這雙態系統簡併。在一個垂直於氫原子平面的電場 E = E z ^ {\displaystyle \mathbf {E} ={\mathcal {E}}{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} 裏，由於氨分子具有從氮原子指向氫原子的電偶極矩 p = p z ^ {\displaystyle \mathbf {p} =p{\hat {\mathbf {z} }}\,\!} ，造成了上量子態與下量子態的能級分裂。因為這作用，必須添加 − p E {\displaystyle -\mathbf {p} \mathbf {E} \,\!} 這項目在哈密頓算符 H {\displaystyle H\,\!} 裏。假若原本的能級為 E 0 {\displaystyle E_{0}\,\!} ，上量子態的能級會增加為 E 0 + | p | E {\displaystyle E_{0}+|p|{\mathcal {E}}\,\!} ；而下量子態的能級會降低為 E 0 − | p | E {\displaystyle E_{0}-|p|{\mathcal {E}}\,\!} 。所以，雙態系統變成不簡併系統。 在量子資訊科學裡，量子位元概念的基礎是雙態系統模型。任何量子計算操作是一個統一的操作在布洛赫球面旋轉狀態向量。 Feynman, Richard P.; Vernon Jr., Frank L.; Hellwarth, Robert W. Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems (PDF). Journal of Applied Physics (AIP). 1957, 28 (1): 49–52 [2021-11-17]. Bibcode:1957JAP....28...49F. ISSN 0021-8979. LCCN 33023425. OCLC 900973293. doi:10.1063/1.1722572. （原始内容 (PDF)存档于2017-08-11）.  Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1/2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin – New York, S. 649 ff. 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義III (2)量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: 39–156. ISBN 986-417-672-2.  北野, 正雄. 量子力学の基礎. 共立出版. 2010-01-23 [2021-11-17]. ISBN 978-4320034624. OCLC 502981559. NDL 21708221. （原始内容存档于2021-11-17）.  高林, 武彦. 量子力学とは何か. 臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ. サイエンス社. 1999-01-01. ASIN B01FZ4D4HQ. OCLC 939470321. NDL 20312053。ISSN 0386-8257.  Cohen-Tannoudj, Claude; Diu, Bernard. Quantum mechanics. Wiley. 1977. ISBN 978-0471164333. OCLC 908955541.  Feynmann, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew. The Feynman lectures on physics III. Addison-Wesley Pub. Co. 1963 [2021-11-17]. ASIN B0007GPYH6. ISBN 978-0201021189. OCLC 986948265. （原始内容存档于2021-03-06）.  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim J. Modern quantum mechanics 2nd. Addison-Wesley. July 14, 2010. ISBN 978-0805382914. LCCN 2010022349. OCLC 641998678.  拉比周期 自旋-軌道作用 核磁共振 量子光学 Jan Krieger: Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2007 (PDF-Datei; 4,26 MB) （德文）