连续函数演算

在数学中，特别是在算子理论和C*-代数理论中，连续函数演算是一种允许将连续函数作用于C*-代数中的正规元的函数演算。 在进阶的理论中，这种函数演算的应用非常自然，以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说，连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数区分了开来，对于后者只能定义全纯函数演算。 对于巴拿赫代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的成员 a {\displaystyle a} ，若要将其谱 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上的多项式函数演算推广到谱上的连续函数，似乎有一个明显的思路：依照魏尔施特拉斯逼近定理用多项式来逼近连续函数，然后将多项式中的数换成 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中成员 a {\displaystyle a} ，再证明这些 a {\displaystyle a} 的多项式序列收敛为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中元素。 谱集 σ ( a ) ⊂ C {\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} } 上的连续函数由 z {\displaystyle z} 和 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 的形如 p ( z , z ¯ ) = ∑ k , l = 0 N c k , l z k z ¯ l ( c k , l ∈ C ) {\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)} 的多项式来逼近，其中 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 表示 z {\displaystyle z} 的复共轭，而复共轭是复数上的一个對合。在将 z {\displaystyle z} 替换为 a {\displaystyle a} 时，为使 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 也有对应，须考虑 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 为巴拿赫*-代数，即配备了一个对合运算 ∗ {\displaystyle *} 的巴拿赫代数，这时 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 就被替换为 a ∗ {\displaystyle a^{*}} 。由于多项式环 C [ z , z ¯ ] {\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]} 是交换环，为得到一个 C [ z , z ¯ ] → A {\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}} 的代數同態，须限制在 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的正规元（即满足 a ∗ a = a a ∗ {\displaystyle a^{*}a=aa^{*}} 的成员）上。 须保证：若多项式序列 ( p n ( z , z ¯ ) ) n {\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}} 在 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上一致收斂于一连续函数 f {\displaystyle f} ，则 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 上的序列 ( p n ( a , a ∗ ) ) n {\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}} 收敛于 f ( a ) ∈ A {\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}} 。对这个收敛性的问题进行细致分析之后，就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。 连续函数演算 — 设有单位元 e {\displaystyle e} 的C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中有一正规元 a {\displaystyle a} ，而 C ( σ ( a ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 是 a {\displaystyle a} 谱集 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上的连续函数所构成的交换C*-代数。于是存在唯一一个*-同态 Φ a : C ( σ ( a ) ) → A {\displaystyle \Phi _{a}\colon {\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}} 满足 Φ a ( 1 ) = e {\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e} 和 Φ a ( Id σ ( a ) ) = a {\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a} ，其中常值函数 1 {\displaystyle {\boldsymbol {1}}} 满足 1 ( z ) = 1 {\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1} ， Id {\displaystyle \operatorname {Id} } 是恒等映射。 该*-同态 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 称为正规元 a {\displaystyle a} 的连续函数演算，通常也记作 f ( a ) := Φ a ( f ) {\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)} 。 由于*-同态性质，有以下对任意函数 f , g ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 与标量 λ , μ ∈ C {\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} } 有效的计算规则： 因此，可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广，它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。 对于单位元的要求并不是一个强的限制。如果需要，可以添加一个单位元（英语：Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension)），得到一个扩大了的C*-代数 A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} 。对于 a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} 和满足 f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 的 f ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} ，有 0 ∈ σ ( a ) {\displaystyle 0\in \sigma (a)} 和 f ( a ) ∈ A ⊂ A 1 {\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}} 。 下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要： 连续函数演算的存在性的证明 设 C ∗ ( a , e ) {\displaystyle C^{*}(a,e)} 是 a {\displaystyle a} 和 e {\displaystyle e} 所生成的C*-子代数， a {\displaystyle a} 在 C ∗ ( a , e ) {\displaystyle C^{*}(a,e)} 中的谱和在 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中时是一样的，于是证明了 A = C ∗ ( a , e ) {\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)} 。 实际的构造几乎直接可从盖尔范德表示（英语：Gelfand representation）中得出：只需设 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是某个紧空间 X {\displaystyle X} 上的连续函数所构成的C*-代数并定义 Φ a ( f ) = f ∘ x {\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x} 。 连续函数演算的唯一性的证明 考虑到 Φ a ( 1 ) {\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})} 和 Φ a ( Id σ ( a ) ) {\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})} 已被固定，由于要求 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 为*-同态，它对于所有的多项式 p ( z , z ¯ ) = ∑ k , l = 0 N c k , l z k z ¯ l ( c k , l ∈ C ) {\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)} 来说已经唯一定义。根据魏尔施特拉斯逼近定理，它们构成了 C ( σ ( a ) ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 的一个稠密子代数。因此 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 是唯一的。 在泛函分析中，常对正规算子 T {\displaystyle T} 的连续函数演算感兴趣，即 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的有界算子所构成的C*-代数 B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} 的情况。在文献中，通常仅对此情况的自伴算子的连续函数演算作了证明。在这种情况下，证明不需要用到盖尔范德表示。 连续函数演算 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 是到 a {\displaystyle a} 和 e {\displaystyle e} 所生成的C*-子代数 C ∗ ( a , e ) {\displaystyle C^{*}(a,e)} 的等距同构，即： ∀ f ∈ C ( σ ( a ) ) , ‖ Φ a ( f ) ‖ = ‖ f ‖ σ ( a ) . {\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.} 于是 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 显然是连续的。 Φ a ( C ( σ ( a ) ) ) = C ∗ ( a , e ) ⊆ A , {\displaystyle \Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},} 也就是说 C ∗ ( a , e ) {\displaystyle C^{*}(a,e)} 是连续函数演算的值域。 由于 a {\displaystyle a} 是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的正规元，由 a {\displaystyle a} 和 e {\displaystyle e} 生成的C*-子代数是一个交换代数。特别地， f ( a ) {\displaystyle f(a)} 也是一个正规元，且函数演算的所有成员间都对易。 全纯函数演算可无歧义地扩张为连续函数演算。因此，连续函数演算在多项式 p ( z , z ¯ ) {\displaystyle p(z,{\overline {z}})} 上重合于多项式函数演算： ∀ c k , l ∈ C , Φ a ( p ( z , z ¯ ) ) = p ( a , a ∗ ) = ∑ k , l = 0 N c k , l a k ( a ∗ ) l , {\displaystyle \forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},} 其中 p ( z , z ¯ ) = ∑ k , l = 0 N c k , l z k z ¯ l {\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}} 。 对于 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上一致收敛于函数 f ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 的函数序列 f n ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} ， f n ( a ) {\displaystyle f_{n}(a)} 收敛于 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 。对于 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上绝对且一致地收敛的幂级数 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n {\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}} ，就有 f ( a ) = ∑ n = 0 ∞ c n a n {\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}} 。 若有 f ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 和 g ∈ C ( σ ( f ( a ) ) ) {\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))} ，那么它们的函数演算的复合满足 ( g ∘ f ) ( a ) = g ( f ( a ) ) {\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))} 。 设有两个正规元 a , b ∈ A N {\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}} 满足 f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} ，且无论限制在 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 还是 σ ( b ) {\displaystyle \sigma (b)} 上时 g {\displaystyle g} 都是 f {\displaystyle f} 的反函数，那么必然有 a = b {\displaystyle a=b} ，因为 a = ( f ∘ g ) ( a ) = f ( g ( a ) ) = f ( g ( b ) ) = ( f ∘ g ) ( b ) = b {\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b} 。 谱映射定理 ∀ f ∈ C ( σ ( a ) ) , σ ( f ( a ) ) = f ( σ ( a ) ) {\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))} 也成立。 对于 b ∈ A {\displaystyle b\in {\mathcal {A}}} ，若有 a b = b a {\displaystyle ab=ba} ，那么也有 ∀ f ∈ C ( σ ( a ) ) , f ( a ) b = b f ( a ) . {\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).} 也就是说若 b {\displaystyle b} 与 a {\displaystyle a} 对易，则它也与 a {\displaystyle a} 的在连续函数下的像 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 对易。 设 Ψ : A → B {\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}} 是C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 和 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 间的保单位元的*-同态，那么 Ψ {\displaystyle \Psi } 与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说： ∀ f ∈ C ( σ ( a ) ) , Ψ ( f ( a ) ) = f ( Ψ ( a ) ) . {\displaystyle \forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).} 特别地，连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。 利用谱映射定理，具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质： f ( a ) {\displaystyle f(a)} 是可逆元当且仅当 f {\displaystyle f} 在 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上没有零点。于是有 f ( a ) − 1 = 1 f ( a ) {\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)} 。 f ( a ) {\displaystyle f(a)} 是自伴元当且仅当 f {\displaystyle f} 是实值函数，也就是 σ ( a ) ⊆ { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}} 说 f ( σ ( a ) ) ⊆ R {\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} } . f ( a ) {\displaystyle f(a)} 是正元（ f ( a ) ≥ 0 {\displaystyle f(a)\geq 0} ）当且仅当 f ≥ 0 {\displaystyle f\geq 0} ，也就是说 f ( σ ( a ) ) ⊆ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )} . f ( a ) {\displaystyle f(a)} 是幺正元，若 f {\displaystyle f} 的值落在复单位圆中。也就是说， f ( σ ( a ) ) ⊆ T = { λ ∈ C ∣ ‖ λ ‖ = 1 } . {\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.} f ( a ) {\displaystyle f(a)} 是一个投影，若 f {\displaystyle f} 仅取值 0 {\displaystyle 0} 或 1 {\displaystyle 1} ，也就是说 f ( σ ( a ) ) ⊆ { 0 , 1 } {\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}} . 这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论，这些结论会在§ 应用一节中展示。 在 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 上的有界算子所构C*-代数 B ( H ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(H)} 的特殊情况下，正规算子 T ∈ B ( H ) {\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)} 的对应特征值 λ ∈ σ ( T ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)} 的特征向量 v ∈ H {\displaystyle v\in H} 也将是算子 f ( T ) {\displaystyle f(T)} 关于特征值 f ( λ ) ∈ σ ( f ( T ) ) {\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))} 的特征向量。设 T v = λ v {\displaystyle Tv=\lambda v} ， 则 ∀ f ∈ σ ( T ) , f ( T ) v = f ( λ ) v {\displaystyle \forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v} 。 下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。 设 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个C*-代数而 a ∈ A N {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}} 为其中一个正规元，则对于谱 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 有以下结论： a {\displaystyle a} 是自伴元当且仅当 σ ( a ) ⊆ R . {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .} a {\displaystyle a} 是幺正元当且仅当 σ ( a ) ⊆ T = { λ ∈ C ∣ ‖ λ ‖ = 1 } . {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.} a {\displaystyle a} 是一个投影当且仅当 σ ( a ) ⊆ { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}} . 证明 正规元 a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} 的连续函数演算 Φ a {\displaystyle \Phi _{a}} 是一个保单位元的*-同态，因此若 Id ∈ C ( σ ( a ) ) {\displaystyle \operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))} 是自伴的/幺正的/投影，则 a {\displaystyle a} 也相应地成为自伴元/幺正元/投影。 Id {\displaystyle \operatorname {Id} } 自伴的充要条件是 ∀ z ∈ σ ( a ) , z = Id ( z ) = Id ¯ ( z ) = z ¯ , {\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},} 即 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 是实的。 Id {\displaystyle {\text{Id}}} 幺正的充要条件是 ∀ z ∈ σ ( a ) , 1 = Id ( z ) Id ¯ ( z ) = z z ¯ = | z | 2 , {\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},} 即 σ ( a ) ⊆ { λ ∈ C   |   ‖ λ ‖ = 1 } {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}} 。 Id {\displaystyle {\text{Id}}} 成为投影的充要条件是 ( Id ⁡ ( z ) ) 2 = Id ( z ) = Id ⁡ ( z ) , ¯ {\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}} 即 ∀ z ∈ σ ( a ) , z 2 = z = z ¯ , {\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},} 或者说 σ ( a ) ⊆ { 0 , 1 } {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}} 。 设 a {\displaystyle a} 是 C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的正元，那么对于每一个 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 存在一个唯一确定的正元 b ∈ A + {\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}} 满足 b n = a {\displaystyle b^{n}=a} ，即唯一的 n {\displaystyle n} 次方根。 证明 对于每个 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，开方函数 f n : R 0 + → R 0 + : x ↦ x n {\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}} 是 σ ( a ) ⊆ R 0 + {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}} 上的连续函数。若通过连续函数演算来定义 b : = f n ( a ) {\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)} ，那么根据连续函数演算的性质有 b n = ( f n ( a ) ) n = ( f n n ) ( a ) = Id σ ( a ) ⁡ ( a ) = a . {\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a.} 根据谱映射定理可知 σ ( b ) = σ ( f n ( a ) ) = f n ( σ ( a ) ) ⊆ [ 0 , ∞ ) , {\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty ),} 也就是说 b {\displaystyle b} 是正元。 设有另一正元 c ∈ A + {\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}} 满足 c n = a = b n {\displaystyle c^{n}=a=b^{n}} ，则有 c = f n ( c n ) = f n ( b n ) = b {\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b} ，因为正实数上的开方函数是函数 z ↦ z n {\displaystyle z\mapsto z^{n}} 的反函数。 若 a ∈ A s a {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}} 是自伴元，则至少有：对于每个奇数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，存在唯一确定的自伴元 b ∈ A s a {\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}} 满足 b n = a {\displaystyle b^{n}=a} 。 类似地，对于C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中正元 a {\displaystyle a} 和任意 α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} ， a α {\displaystyle a^{\alpha }} 唯一定义了一个 C ∗ ( a ) {\displaystyle C^{*}(a)} 中的正元，并满足 ∀ α , β ≥ 0 , a α a β = a α + β . {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.} 若 a {\displaystyle a} 是可逆元，则还可以推广到取负值的 α {\displaystyle \alpha } 。 若 a ∈ A {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}} 且 a ∗ a {\displaystyle a^{*}a} 是正元，那么绝对值可由连续函数演算定义为 | a | = a ∗ a {\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}} ，因为它在正实数上连续。 设 a {\displaystyle a} 是C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的自伴元，则存在正元 a + , a − ∈ A + {\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}} ，使得 a = a + − a − {\displaystyle a=a_{+}-a_{-}} 和 a + a − = a − a + = 0 {\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0} 成立。 a + {\displaystyle a_{+}} 和 a − {\displaystyle a_{-}} 也被称为正部和负部。此外还有 | a | = a + + a − {\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}} 。 证明 函数 f + ( z ) = max ( z , 0 ) {\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)} 和 f − ( z ) = − min ( z , 0 ) {\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)} 是 σ ( a ) ⊆ R {\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} } 上的连续函数且满足 Id ⁡ ( z ) = z = f + ( z ) − f − ( z ) , {\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),} f + ( z ) f − ( z ) = f − ( z ) f + ( z ) = 0. {\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.} 设 a + = f + ( a ) , a − = f − ( a ) {\displaystyle a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)} ，由谱映射定理可知 a + {\displaystyle a_{+}} 和 a − {\displaystyle a_{-}} 是正元，且有： a = Id ⁡ ( a ) = ( f + − f − ) ( a ) = f + ( a ) − f − ( a ) = a + − a − , {\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},} a + a − = f + ( a ) f − ( a ) = ( f + f − ) ( a ) = 0 = ( f − f + ) ( a ) = f − ( a ) f + ( a ) = a − a + . {\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.} 此外， f + ( z ) + f − ( z ) = | z | = z ∗ z = z 2 , {\displaystyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},} 故 a + + a − = f + ( a ) + f − ( a ) = | a | = a ∗ a = a 2 . {\displaystyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.} 若 a {\displaystyle a} 是有单位元 e {\displaystyle e} 的C*-代数 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的自伴元，那么 u = e i a {\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}} 是幺正元，其中 i {\displaystyle \mathrm {i} } 表示虚数单位。反过来，若 u ∈ A U {\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}} 是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集（即 σ ( u ) ⊊ T {\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} } ），那么存在一个自伴元 a ∈ A s a {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}} 满足 u = e i a {\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}} 。 证明 定义函数 f : R → C ,   x ↦ e i x {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}} ，由于 a {\displaystyle a} 的自伴性使得 σ ( a ) ⊂ R {\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} } ，那么 f {\displaystyle f} 在 a {\displaystyle a} 的谱上有定义。取 u = f ( a ) {\displaystyle u=f(a)} ，由于 f ⋅ f ¯ = f ¯ ⋅ f = 1 {\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1} ，根据函数演算性质可知 u u ∗ = u ∗ u = e {\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e} ，也就是说 u {\displaystyle u} 是幺正元。 对于第二个命题，现在将 f : R → C ,   x ↦ e i x {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}} 限制到区间 [ z 0 , z 0 + 2 π ) {\displaystyle [z_{0},z_{0}+2\pi )} 上（其中 z 0 ∈ R {\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} } ），从而可以定义其反函数 g : T → [ z 0 , z 0 + 2 π ) :   g ( e i x ) = x {\displaystyle g:\mathbb {T} \to [z_{0},z_{0}+2\pi ):\ g(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})=x} ，且 g {\displaystyle g} 在谱集 σ ( u ) {\displaystyle \sigma (u)} 上有定义，且是其上的实值连续函数。那么它的连续函数函数演算就会将 u {\displaystyle u} 映为自伴元 a = g ( u ) {\displaystyle a=g(u)} 。 设 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 是一个有单位元的C*-代数，其中有一个正规元 a ∈ A N {\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}} 。假设谱由 n {\displaystyle n} 个两两不相交的闭子集 σ k ⊂ C ,   ( 1 ≤ k ≤ n ) {\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)} 构成，也就是说 σ ( a ) = σ 1 ⊔ ⋯ ⊔ σ n {\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}} 。那么就存在投影 p 1 , … , p n ∈ A {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}} ，使得下面的命题对任意 j ≥ 1 , k ≤ n {\displaystyle j\geq 1,k\leq n} 都成立： 投影的谱满足 σ ( p k ) = σ k . {\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}.} 投影与 a {\displaystyle a} 对易，即 p k a = a p k . {\displaystyle p_{k}a=ap_{k}.} 投影是正交的，即 p j p k = δ j k p k . {\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.} 投影之和为单位元，即 ∑ k = 1 n p k = e . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.} 特别是，有分解 a = ∑ k = 1 n a k {\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} ，其中 ∀ 1 ≤ k ≤ n , σ ( a k ) = σ k . {\displaystyle \forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.} 证明 由于 σ k {\displaystyle \sigma _{k}} 是闭的，故其指示函数 χ σ k {\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}} 在 σ ( a ) {\displaystyle \sigma (a)} 上连续，可以定义其连续函数演算。 令 p k := χ σ k ( a ) {\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)} 。 由于 σ k {\displaystyle \sigma _{k}} 两两不交，有 χ σ j χ σ k = δ j k χ σ k , {\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}},} ∑ k = 1 n χ σ k = χ ∪ k = 1 n σ k = χ σ ( a ) = 1 , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}},} 从而由指示函数的连续函数演算所得的 p k {\displaystyle p_{k}} 满足性质3、4。 性质2则可由 a k = a p k = Id ⁡ ( a ) ⋅ χ σ k ( a ) = ( Id ⋅ χ σ k ) ( a ) {\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)} 证明。 Dixmier 1977，第12-13頁. Kadison & Ringrose 1983，第272頁. Dixmier 1977，第5,13頁. Dixmier 1977，第14頁. Dixmier 1977，第11頁. Dixmier 1977，第13頁. Reed & Simon 1980，第222-223頁. Kaniuth 2009，第147頁. Blackadar 2006，第62頁. Deitmar & Echterhoff 2014，第55頁. Kadison & Ringrose 1983，第275頁. Kadison & Ringrose 1983，第239頁. Kadison & Ringrose 1983，第271頁. Kaballo 2014，第332頁. Schmüdgen 2012，第93頁. Reed & Simon 1980，第222頁. Kadison & Ringrose 1983，第248-249頁. Blackadar 2006，第63頁. Blackadar 2006，第64-65頁. Kadison & Ringrose 1983，第246頁. Dixmier 1977，第15頁. Kadison & Ringrose 1983，第274-275頁. Kaballo 2014，第375頁. Blackadar, Bruce. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2006. ISBN 3-540-28486-9.  Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried. Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.. Springer. 2014. ISBN 978-3-319-05791-0.  Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 （法语）.  Dixmier, Jacques. C*-algebras. 由Jellett, Francis翻译. Amsterdam/New York/Oxford: North-Holland. 1977. ISBN 0-7204-0762-1.  English translation of Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 （法语）.  Kaballo, Winfried. Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2014. ISBN 978-3-642-37794-5 （德语）.  Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.. New York/London: Academic Press. 1983. ISBN 0-12-393301-3.  Kaniuth, Eberhard. A Course in Commutative Banach Algebras.. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-72475-1.  Schmüdgen, Konrad. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.. Springer. 2012. ISBN 978-94-007-4752-4.  Reed, Michael; Simon, Barry. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. San Diego, CA: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-585050-6.  Takesaki, Masamichi. Theory of Operator Algebras I.. Heidelberg/Berlin: Springer. 1979. ISBN 3-540-90391-7.  Continuous functional calculus - PlanetMath