同构基本定理

同构基本定理，或称同态基本定理、同型定理（英語：Isomorphism theorems），包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。 同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。 群论中的同构基本定理形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。 給定一個群同態 f : G → G ′ {\displaystyle f:G\to G'} ，根據群同態第一基本定理，我們可以把 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的核，使 f {\displaystyle f} 變成單射。 直觀來講，把一個群 G {\displaystyle G} 除以 G {\displaystyle G} 的子群 H {\displaystyle H} 相當於把 H {\displaystyle H} 裡的元素看成0(一元素）。把 f {\displaystyle f} 的核除掉後，我們使得 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 只在 x = 0 {\displaystyle x=0} 時才會成立，這是 f {\displaystyle f} 的單射性的等價敘述。 我們必須先確定商群具有群的結構，才可以對 G / Ker ⁡ f → G ′ {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f\to G'} 進行討論。 定理： 給定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G'} 兩個群，和 f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} 群同態。則 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是一個 G {\displaystyle G} 的正規子群。 證明： 記 ⋅ {\displaystyle \cdot } 為 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G'} 的運算符號，記 e {\displaystyle e} 和 e ′ {\displaystyle e'} 他們的單位元，我們可以驗證 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 在共軛運算下封閉，即對於所有 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 、所有 h ∈ Ker ⁡ f {\displaystyle h\in \operatorname {Ker} f} ，有 x ⋅ h ⋅ x − 1 ∈ Ker ⁡ f {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}\in \operatorname {Ker} f} 。 我們有 f ( x ⋅ h ⋅ x − 1 ) = f ( x ) ⋅ f ( h ) ⋅ f ( x − 1 ) {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(h)\cdot f(x^{-1})} 。由於 h {\displaystyle h} 在 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 裡面，即 f ( h ) = e ′ {\displaystyle f(h)=e'} ，我們推論 f ( x ⋅ h ⋅ x − 1 ) = f ( x ) ⋅ f ( x − 1 ) = f ( x ⋅ x − 1 ) = f ( e ) = e ′ {\displaystyle f(x\cdot h\cdot x^{-1})=f(x)\cdot f(x^{-1})=f(x\cdot x^{-1})=f(e)=e'} 。因此， x ⋅ h ⋅ x − 1 {\displaystyle x\cdot h\cdot x^{-1}} 在 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 裡面，故 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正規子群。 Ker ⁡ f {\displaystyle \operatorname {Ker} f} 是 G {\displaystyle G} 的正規子群的這個性質讓我們可以在商群 G / Ker ⁡ f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 上定義一個與 G {\displaystyle G} 的運算規則相容的運算規則。因為相容性的緣故，群同態 f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} 誘導出群同構 f ^ : G / Ker ⁡ f → Im ⁡ f {\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f} 。 我們有以下的定理： 群同構第一定理 給定 G {\displaystyle G} 和 G ′ {\displaystyle G'} 兩個群， f : G → G ′ {\displaystyle f:G\rightarrow G'} 群同態，則 f {\displaystyle f} 誘導出一個從 G / Ker ⁡ f {\displaystyle G/\operatorname {Ker} f} 打到 f ( G ) {\displaystyle f(G)} 的群同構。 證明： 記 H {\displaystyle H} 為 f {\displaystyle f} 的核。我們定義 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} 為 f ^ ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)} . 函數 f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} 定義良好，即 f ^ ( x H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)} 只依賴於 x H {\displaystyle xH} 而與代表 x {\displaystyle x} 的選擇無關。理由是，若 y ∈ G {\displaystyle y\in G} 是 x H {\displaystyle xH} 的一個代表，即若 x H = y H {\displaystyle xH=yH} ，則 x y − 1 ∈ H = Ker ⁡ f {\displaystyle xy^{-1}\in H=\operatorname {Ker} f} ，所以 f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ，從而 f ^ ( x H ) = f ^ ( y H ) {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)={\widehat {f}}(yH)} 。 由商群運算的定義， f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} 是一個群同態。 群同態 f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} 滿射：對於所有 y ∈ f ( G ) {\displaystyle y\in f(G)} ，存在 x ∈ G {\displaystyle x\in G} 使得 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ，由此 f ^ ( x H ) = f ( x ) = y {\displaystyle {\widehat {f}}(xH)=f(x)=y} 。 群同態 f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} 單射。理由是：考慮 f ^ {\displaystyle {\widehat {f}}} 的核裡的任意元素 x H {\displaystyle xH} ，則 e ′ = f ^ ( x H ) = f ( x ) {\displaystyle e'={\widehat {f}}(xH)=f(x)} ，即 x {\displaystyle x} 在 f {\displaystyle f} 的核 H {\displaystyle H} 裡面。又 x H = H {\displaystyle xH=H} 是 G / H {\displaystyle G/H} 的單位元。 這個定理也可以想成是一個單射與一個滿射的複合，以下為示意圖 群同構第二定理： 給定群 G {\displaystyle G} 、其正規子群 N {\displaystyle N} 、其子群 H {\displaystyle H} ，則 N ∩ H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正規子群，且我們有群同構如下： H / ( H ∩ N ) ≃ H N / N {\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N} 證明： 必須先證明 H N {\displaystyle HN} 确实是一个群，以及 N {\displaystyle N} 限定在 H N {\displaystyle HN} 中亦是一個正規子群，才能討論商群 H N / N {\displaystyle HN/N} 。 設 h n {\displaystyle hn} 和 h ′ n ′ {\displaystyle h'n'} 為 H N {\displaystyle HN} 中的兩個元素。我們有 h n h ′ n ′ = h h ′ ( h ′ − 1 n h ′ ) n ′ {\displaystyle hnh'n'=hh'(h'^{-1}nh')n'} ，其中 h h ′ ∈ H {\displaystyle hh'\in H} , h ′ − 1 n h ′ ∈ N {\displaystyle h'^{-1}nh'\in N} (因為 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規) 且 n ′ ∈ N {\displaystyle n'\in N} ，故 h n h ′ n ′ {\displaystyle hnh'n'} 在 H N {\displaystyle HN} 中，其證明了 H N {\displaystyle HN} 在乘法下封閉。不難證明他不是空集合、以及反元素的封閉性。 此外，我們有 N ⊂ H N ⊂ G {\displaystyle N\subset HN\subset G} 的包含關係，並且 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規，所以也在 H N {\displaystyle HN} 中正規。 為了建構群同構，我們將使用群同構第一定理。 取 j : H ↪ H N {\displaystyle j:H\hookrightarrow HN} 單射群同態，定義為 j ( h ) = h {\displaystyle j(h)=h} ， 取標準滿射 σ : H N ↠ H N / N {\displaystyle \sigma :HN\twoheadrightarrow HN/N} (值域是個群，因為 N {\displaystyle N} 在 G {\displaystyle G} 中正規)。藉由複合兩個群同態，我們建構出一個新的群同態 f = σ ∘ j : H → H N / N {\displaystyle f=\sigma \circ j:H\to HN/N} 定義為 f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 。 群同態 f {\displaystyle f} 是滿射。 理由是，設 ( h n ) N ∈ H N / N {\displaystyle (hn)N\in HN/N} ，其中 h ∈ H {\displaystyle h\in H} 且 n ∈ N {\displaystyle n\in N} 。由於 n {\displaystyle n} 在 N {\displaystyle N} 裡面， h n N = h N {\displaystyle hnN=hN} ，故 h n N = f ( h ) {\displaystyle hnN=f(h)} 。 f {\displaystyle f} 的核是 H ∩ N {\displaystyle H\cap N} 。 理由是， f ( h ) = h N {\displaystyle f(h)=hN} 是 H N / N {\displaystyle HN/N} 的單位元，即 N {\displaystyle N} 若且唯若， h {\displaystyle h} 在 N {\displaystyle N} 裡面。由於 h {\displaystyle h} 已經在 H {\displaystyle H} 裡面，所以證明這個相當於證明 h {\displaystyle h} 在 N ∩ H {\displaystyle N\cap H} 裡面。 由群同構第一定理知 N ∩ H {\displaystyle N\cap H} 是 H {\displaystyle H} 的正規子群，且其誘導出的映射 f ^ : H / ( N ∩ H ) → H N / N {\displaystyle {\widehat {f}}:H/(N\cap H)\to HN/N} 是群同構。 如果我們弱化前提，假設 N {\displaystyle N} 的正規化子包含 H {\displaystyle H} (把相等改成包含)這個定理依然正確。 群同構第三定理： 給定群 G {\displaystyle G} ， N {\displaystyle N} 和 M {\displaystyle M} 為 G {\displaystyle G} 的正規子群，滿足 M {\displaystyle M} 包含於 N {\displaystyle N} ，則 N / M {\displaystyle N/M} 是 G / M {\displaystyle G/M} 的正規子群，且有如下的群同構： ( G / M ) / ( N / M ) ≃ G / N . {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.} 證明： G / M → G / N ,   g M ↦ ( g M ) N = g ( M N ) = g N {\displaystyle G/M\to G/N,~gM\mapsto (gM)N=g(MN)=gN} 為滿射，其核為 N / M {\displaystyle N/M} 所以可由群同構第一定理得到 ( G / M ) / ( N / M ) ≃ G / N . {\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.} 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是： H + K = { a + b | a ∈ H , b ∈ K } {\displaystyle H+K=\left\{a+b|a\in H,b\in K\right\}} 在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。 设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系 Φ {\displaystyle \Phi } ，可看作是A × A上的子代数。等价类A/ Φ {\displaystyle \Phi } 的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。 设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系 Φ {\displaystyle \Phi } ：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/ Φ {\displaystyle \Phi } 同构于f的像（B的子代数）。 设B是A的子代数， Φ {\displaystyle \Phi } 是A上的同余类。令[B] Φ {\displaystyle \Phi } 是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/ Φ {\displaystyle \Phi } 的一个子集； Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 是 Φ {\displaystyle \Phi } 限制在 B × B上的部分。那么[B] Φ {\displaystyle \Phi } 是A/ Φ {\displaystyle \Phi } 的子代数结构， Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 是B上的同余类，并且[B] Φ {\displaystyle \Phi } 同构于B/ Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 。 设A是一个代数结构， Φ {\displaystyle \Phi } 和 Ψ {\displaystyle \Psi } 是A上的两个同余关系， Ψ {\displaystyle \Psi } 包含于 Φ {\displaystyle \Phi } 。则 Φ {\displaystyle \Phi } 定义了A/ Ψ {\displaystyle \Psi } 上的一个同余类 Θ {\displaystyle \Theta } ：[a]~[b]当且仅当a与b关于 Φ {\displaystyle \Phi } 同余（[a]表示a所在的 Ψ {\displaystyle \Psi } -等价类），并且A/ Φ {\displaystyle \Phi } 同构于(A/ Ψ {\displaystyle \Psi } )/ Θ {\displaystyle \Theta } 。