費馬點

在几何学中，费马点是位于三角形内的一个点。给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和 P A + P B + P C {\displaystyle PA+PB+PC} 比从其它点算起的都要小。这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。 费马点问题最早是由法国数学家皮埃爾·德·費馬在一封写给意大利数学家埃萬傑利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。 1638年，勒内·笛卡儿邀请费马思考关于到四个顶点距离为定值的函数的问题。这大概也是1643年，费马写信向埃萬傑利斯塔·托里拆利询问关于费马点的问题的原因。费马的问题是这样的： 平面上有三个不在同一条直线上的点A, B, C，对平面上的另一个点P，考虑点P到原来的三个点的距离之和：PA + PB + PC。是否有这样一个点P0，使得它到点A, B, C的距离之和P0A + P0B + P0C比任何其它的PA + PB + PC都要小？ 这个问题首先被托里拆利解决，但他生前并没有发表。托里拆利的学生温琴佐·维维亚尼在1659年将他的遗作整理發表，其中包括了费马点问题的证明。他的解法中用到了椭圆的焦点的性质。 托里拆利的解法中对这个点的描述是：对于每一个角都小于120°的三角形ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。这个点和当时已知的三角形特殊点都不一样。这个点因此也叫做托里拆利点。 1647年，博納文圖拉·卡瓦列里在他的著作《几何学题集》（Exerciones Geometricae）中也探讨了这个问题。他发现，将作正三角形时作出的三个点与对面的顶点连接，可以得出三条线段。这三条线段交于托里拆利点，而且托里拆利点对每条边张的角都是120°。 下面是三角形的费马点的作法： 当有一个内角不小于120°时，费马点为此角对应顶点。 当三角形的内角都小于120°时 以三角形的每一边为底边，向外做三個正三角形△ABC'，△BCA'，△CAB'。 連接CC'、BB'、AA'，则三条线段的交点就是所求的点。 三角形的内角都小于120°的情况： 首先证明CC'、BB'、AA'三条线交于一点。 设P为线段CC'和BB'的交点。注意到三角形C'AC和三角形BAB'是全等的，三角形C'AC可以看做是三角形B'AB以A点为轴心顺时针旋转60度得到的，所以角 ∠ C ′ P B {\displaystyle \angle \mathrm {C'PB} } 等于60度，和 ∠ C ′ A B {\displaystyle \angle \mathrm {C'AB} } 相等。因此，A、B、C'、P四点共圆。同样地，可以证明A、B'、C、P四点共圆。于是： ∠ A P B = ∠ A P C = 120 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }} 从而 ∠ C P B = 120 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }} 。于是可以得出：A'、B、C、P四点共圆，即 ∠ A ′ P B = ∠ A ′ C B = 60 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }} ∠ A P A ′ = ∠ A P B + ∠ A ′ P B = 120 ∘ + 60 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }} A、A'、P三点共线。也就是说CC'、BB'、AA'三条线交于一点。 接下来证明交点P就是到三个顶点距离之和最小的点。 在线段AA'上选择一点Q，使得QP = PC。由于 ∠ Q P C = 60 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }} ，所以等腰三角形PQC是正三角形。于是 ∠ P C B = ∠ Q C A ′ {\displaystyle \angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} } 。同时QC = PC、BC = A'C，于是可以得出三角形BPC和三角形A'QC是全等三角形。所以QA' = PB。综上可得出： PA + PB + PC = AA' 对于平面上另外一个点P'，以P'C为底边，向下作正三角形P'Q'C。运用类似以上的推理可以证明三角形BP'C和三角形A'Q'C是全等三角形。因此也有： P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' 平面上两点之间以直线长度最短。因此 P'A + P'B + P'C = AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' = PA + PB + PC. 也就是说，点P是平面上到点A、B、C距离的和最短的一点。 最后证明唯一性。 如果有另外一点P'使得P'A + P'B + P'C = PA + PB + PC，那么 AA' = AP' + P'Q' + Q'A' 因此点P'和Q'也在线段AA'之上。依照P'和Q'的定义，可以推出 ∠ A P ′ B = ∠ A P ′ C = 120 ∘ {\displaystyle \angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }} 因此P'也是CC'、BB'、AA'三条线的交点。因此P'点也就是P点。因此点P是唯一的。 有一内角大于120°的情况。 如右图， ∠ B A C {\displaystyle \angle \mathrm {BAC} } 大于120°，P为三角形内一点。以BA为底边，向上作正三角形BAF；以PA为底边，向上作正三角形PAQ。于是三角形AQF和三角形APB是全等三角形。FQ = PB。所以 PA + PB + PC = FQ + QP + PC. 延长FA交QC于D点，则 FQ + QP + PC > FQ + QC = FQ + QD + DC > FD + DC = FA + AD + DC > FA + AC = AB + AC. 即PA + PB + PC > AB + AC. 所以A点到三顶点的距离比三角形内任意一点到三顶点的距离都小，即A点为费马点。 费马的问题也可以用物理的方法来解决。将平面上所给的三个给定点钻出洞来，再设有三条绳子系在一起，每条绳子各穿过一个洞口，而绳子的末端都绑有一个固定重量m的重物。假设摩擦力可以忽略，那么绳子会被拉紧，而绳结最后会停在平面一点的上方。可以证明，这个点就是三个给定点所对应的费马点。首先，由于绳长是固定的，而绳子竖直下垂的部分越长，重物的位置也就越低，势能越低。在平衡态的时候，系统的势能达到最小值，也就是绳子竖直下垂的部分的长度达到最大值，因此水平的部分的长度达到最小值。而绳子的水平部分的长度就是PA + PB + PC，因此这时PA + PB + PC最小，也就是达到费马点。 在系统处于平衡态时，由力学原理可知绳子两两之间张成的角度 ∠ A P B {\displaystyle \angle \mathrm {APB} } 、 ∠ B P C {\displaystyle \angle \mathrm {BPC} } 和 ∠ A P C {\displaystyle \angle \mathrm {APC} } 之间满足合力公式： sin ⁡ ( ∠ A P B ) m g = sin ⁡ ( ∠ B P C ) m g = sin ⁡ ( ∠ A P C ) m g {\displaystyle {\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}} 也就是说这三个角相等，即都是120°。 费马点的定义可以推广到更多点的情况。设平面上有m个点：P1 , P2 , ... , Pm，又有正实数：λ1 , λ2 , ... , λm。费马问题可以推广为：寻找一个点X，使得它到这m个点的距离在加权后之和: λ 1 ⋅ X P 1 + λ 2 ⋅ X P 2 + ⋯ + λ m ⋅ X P m {\displaystyle \lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}} 是最小的。 费马点问题还可以推广到高维空间中。比如说在n维实向量空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中，给定m个点：p1 , p2 , ... , pm，对空间中另一点x，设它到前述m个点的欧几里德距离之和为函数Dist(x)： Dist ⁡ ( x ) = ∑ i = 1 m ‖ x − p i ‖ {\displaystyle \operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|} 则费马点问题就变成寻找使得Dist(x)最小的一点pmin ∈ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 。与平面费马点问题相似，高维情况下的费马点问题也有由林德罗夫和斯图姆证明的类似结论： 使得Dist(x)最小点pmin并且是唯一的。 如果从任何一点pi到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度都大于1，那么： pmin不是p1 , p2 , ... , pm中任何一点， 从pmin到p1 , p2 , ... , pm方向上的m个单位向量的向量和是0。 如果从某一点pi到剩下的m-1点方向上的m-1个单位向量的向量和长度小于等于1，那么pmin就是这个点。 对于加权的费马点问题，也有类似的结论，只需将上述结论中的向量和替换为加权向量和，条件中的1也要替换为对应点的权重。 西姆松定理 九点圆 斯坦纳树 P. de Fermat, "Œvres" , I , H. 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