平均曲率

在微分几何中，一个曲面 S {\displaystyle S} 的平均曲率（mean curvature） H {\displaystyle H} ，是一个“外在的”弯曲测量标准，局部地描述了一个曲面嵌入周围空间（比如二维曲面嵌入三维欧几里得空间）的曲率。 这个概念由索菲·热尔曼在她的著作《弹性理论》中最先引入。 令 p {\displaystyle p} 是曲面 S {\displaystyle S} 上一点，考虑 S {\displaystyle S} 上过 p {\displaystyle p} 的所有曲线 C i {\displaystyle C_{i}} 。每条这样的 C i {\displaystyle C_{i}} 在 p {\displaystyle p} 点有一个伴随的曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 。在这些曲率 K i {\displaystyle K_{i}} 中，至少有一个极大值 κ 1 {\displaystyle \kappa _{1}} 与极小值 κ 2 {\displaystyle \kappa _{2}} ，这两个曲率 κ 1 , κ 2 {\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}} 称为 S {\displaystyle S} 的主曲率。 p ∈ S {\displaystyle p\in S} 的平均曲率是两个主曲率的平均值(斯皮瓦克 1999，第3卷，第2章)，由欧拉公式其实也是所有曲率的平均值，故有此名。 H = 1 2 ( κ 1 + κ 2 )   . {\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .} 利用第一基本形式与第二基本形式的系数，平均曲率表示为： H = L G − 2 M F + N E 2 ( E G − F 2 )   , {\displaystyle H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}\ ,} 这里 E , F , G {\displaystyle E,F,G} 是第一基本形式的系数， L , M , N {\displaystyle L,M,N} 为第二基本形式的系数。 平均曲率可推广为更一般情形 (斯皮瓦克 1999，第4卷，第7章)，一个超曲面 T {\displaystyle T} 的平均曲率为： H = 1 n ∑ i = 1 n κ i   . {\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}\ .} 更抽象地说，平均曲率是第二基本形式（或等价地，形算子）的迹 × 1 n {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}} 。 另外，平均曲率 H {\displaystyle H} 可以用共变导数 ∇ {\displaystyle \nabla } 写成 H n → = g i j ∇ i ∇ j X   , {\displaystyle H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X\ ,} 这里利用了高斯-Weingarten 关系， X ( x , t ) {\displaystyle X(x,t)} 是一族光滑嵌入超曲面， n → {\displaystyle {\vec {n}}} 为单位法向量，而 g i j {\displaystyle g_{ij}} 是度量张量。 一个曲面是极小曲面当且仅当平均曲率为零。此外，平面 S {\displaystyle S} 平均曲率满足一个热型方程称为平均曲率流方程。 有些作者會將平均曲率直接定為第二基本形式的迹（而並未 × 1 n {\displaystyle \times {\frac {1}{n}}} ）。然而，這並不影響一個曲面是否成為一個極小曲面的條件。 对 3 维空间中的曲面，平均曲率与曲面的单位法向量相关： 2 H = ∇ ⋅ n ^   , {\displaystyle 2H=\nabla \cdot {\hat {n}}\ ,} 这里法向量的选取影响曲率的正负号。曲率的符号取决于法向量的方向：如果曲面“远离”法向量则曲率是正的。上面的公式对 3 维空间中任何方式定义的曲面都成立，只要能够计算单位法向量的散度。 对曲面是两个坐标的函数定义的曲面，比如 z = S ( x , y ) {\displaystyle z=S(x,y)} ，使用向下的法向量平均曲率（的两倍）表示为 2 H = ∇ ⋅ [ ∇ ( S − z ) | ∇ ( S − z ) | ] = ∇ ⋅ [ ∇ S 1 + ( ∇ S ) 2 ] = [ 1 + ( ∂ S ∂ x ) 2 ] ∂ 2 S ∂ y 2 − 2 ∂ S ∂ x ∂ S ∂ y ∂ 2 S ∂ x ∂ y + [ 1 + ( ∂ S ∂ y ) 2 ] ∂ 2 S ∂ x 2 [ 1 + ( ∂ S ∂ x ) 2 + ( ∂ S ∂ y ) 2 ] 3 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}2H&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla (S-z)}{|\nabla (S-z)|}}\right]\\&=\nabla \cdot \left[{\frac {\nabla S}{\sqrt {1+(\nabla S)^{2}}}}\right]\\&={\frac {\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}} 如果曲面还是轴对称的，满足 z = S ( r ) {\displaystyle z=S(r)} ，则 2 H = ∂ 2 S ∂ r 2 [ 1 + ( ∂ S ∂ r ) 2 ] 3 2 + ∂ S ∂ r r [ 1 + ( ∂ S ∂ r ) 2 ] 1 2   {\displaystyle 2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}+{\frac {\frac {\partial S}{\partial r}}{r\left[1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}\ } 在流体力学中使用的另外一种定义是不要因子 2： H f = ( κ 1 + κ 2 )   . {\displaystyle H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\ .} 这出现于楊-拉普拉斯公式中，平衡球状小滴内部的压力等于表面张力乘以 H f {\displaystyle H_{f}} ；两个曲率等于小滴半径的倒数 κ 1 = κ 2 = r − 1 {\displaystyle \kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}} 。 一个极小曲面是所有点的平均曲率为零的曲面。经典例子有悬链曲面、螺旋面、Scherk 曲面与Enneper 曲面。新近发现的包括Costa极小曲面（英语：Costa's minimal surface）（1982年）与Gyroid（英语：Gyroid）（1970年）。 极小曲面的一个推广是考虑平均曲率为非零常数的曲面，球面和圆柱面就是这样的例子。Heinz Hopf的一个问题为是否存在曲率为非零常数的非球面闭曲面。球面是惟一具有常平均曲率且没有边界或奇点的曲面；如果允许自交，则存在平均曲率为非零常数的闭曲面，Wente在1986年曾构造出这样的自交环面(陈维桓 2006，4.6节)。 高斯曲率 平均曲率流 逆平均曲率流 面积公式第一变分 Dubreil-Jacotin on Sophie Germain. [2008-11-16]. （原始内容存档于2008-02-23）.  Curvature in the Calculus Curriculum 关于角度的平均值。 斯皮瓦克, 迈克尔, A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) 3rd, Publish or Perish Press, 1999, ISBN 0-914098-72-1 (Volume 3), ISBN 0-914098-73-X (Volume 4) . 陈维桓, 微分几何, 北京大学出版社, 2006, ISBN 7-307-10709-9 请检查|isbn=值 (帮助)