德鲁德模型

电传导的德鲁德模型在1900年 由保罗·德鲁德提出，以解释电子在物质（特别是金属）中的输运性质。这个模型是分子运动论的一个应用，假设了电子在固体中的微观表现可以用经典的方法处理，很像一个彈珠台，其中电子不断在较重的、相对固定的正离子之间来回反弹。 德鲁德模型的两个最重要的结果是电子的运动方程： d d t p ( t ) = q E − p ( t ) τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} (t)=q\mathbf {E} -{\frac {\mathbf {p} (t)}{\tau }},} 以及电流密度 J {\displaystyle J} 与电场 E {\displaystyle E} 之间的线性关系： J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .} 在这里， t {\displaystyle t} 代表时间， p {\displaystyle p} 、 q {\displaystyle q} 、 n {\displaystyle n} 、 m {\displaystyle m} 和 τ {\displaystyle \tau } 分别代表电子的动量、电荷、数密度、质量、以及与离子碰撞之间的平均自由时间。后一个表达式尤其重要，因为它用半定量的术语解释了为什么欧姆定律（电磁学中最普遍存在的一个关系）应该是正确的。 德鲁德模型最简单的分析，假设了电场 E {\displaystyle \mathbf {E} } 既是均匀的又是恒定的，且电子的热速度足够大，使得它们在碰撞之间仅仅积累了无穷小的动量 d p {\displaystyle d\mathbf {p} } ，这平均每隔 τ {\displaystyle \tau } 秒发生一次。 于是，在时间 t {\displaystyle t} 分离的电子自从它上一次碰撞将平均运动了 τ {\displaystyle \tau } 秒，因此将积累了动量： d ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle d\langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .} 在它上一次碰撞期间，这个电子向前面反弹的机会将刚刚与向后面反弹的机会相等，因此所有对电子动量的之前的贡献都可以忽略，便得到表达式： ⟨ p ⟩ = q E τ . {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\mathbf {E} \tau .} 代入以下关系： ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,} J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,} 便得出上面提到的欧姆定律的表述： J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .} 电子的运动也可以通过引入一个有效的阻力来描述。在时间 t = t 0 + d t {\displaystyle t=t_{0}+dt} ，电子的平均动量将为： ⟨ p ( t 0 + d t ) ⟩ = ( 1 − d t τ ) ( ⟨ p ( t 0 ) ⟩ + q E d t + . . . ) , {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t_{0}+dt)\rangle =\left(1-{\frac {dt}{\tau }}\right)\left(\langle \mathbf {p} (t_{0})\rangle +q\mathbf {E} dt+...\right),} 由于平均来说， ( 1 − d t / τ ) {\displaystyle (1-dt/\tau )} 个电子将不经历另外一次碰撞，而那些经历另外一次碰撞的电子将对总的动量仅有可忽略的贡献。 经过一番计算，便得出以下的微分方程： d d t ⟨ p ( t ) ⟩ = q E − ⟨ p ( t ) ⟩ τ , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\mathbf {E} -{\frac {\langle \mathbf {p} (t)\rangle }{\tau }},} 其中 ⟨ p ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle } 表示平均动量，m表示有效质量，q表示电子的电荷。这是一个非齐次微分方程，它的通解为： ⟨ p ( t ) ⟩ = q τ E + C e − t / τ {\displaystyle \langle \mathbf {p} (t)\rangle =q\tau \mathbf {E} +\mathbf {C} e^{-t/\tau }} 于是，稳态解（ d d t ⟨ p ⟩ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \mathbf {p} \rangle =0} ）为： ⟨ p ⟩ = q τ E , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =q\tau \mathbf {E} ,} 像上面一样，平均动量可以与平均速度有关，而这又可以与电流密度有关： ⟨ p ⟩ = m ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =m\langle \mathbf {v} \rangle ,} J = n q ⟨ v ⟩ , {\displaystyle \mathbf {J} =nq\langle \mathbf {v} \rangle ,} 于是可以证明，物质满足欧姆定律，其直流电电导率为 σ 0 {\displaystyle \,\sigma _{0}} ： J = ( n q 2 τ m ) E . {\displaystyle \mathbf {J} =\left({\frac {nq^{2}\tau }{m}}\right)\mathbf {E} .} 德鲁德模型还可以预言在角频率为 ω {\displaystyle \,\omega } 的时变电场的响应下的电流，在这种情况下： σ ( ω ) = σ 0 1 + i ω τ . {\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {\sigma _{0}}{1+i\omega \tau }}.} 这里假设了 E ( t ) = ℜ ( E 0 e i ω t ) ; {\displaystyle E(t)=\Re (E_{0}e^{i\omega t});} J ( t ) = ℜ ( σ ( ω ) E 0 e i ω t ) . {\displaystyle J(t)=\Re (\sigma (\omega )E_{0}e^{i\omega t}).} 还存在另一种惯例，所有方程中的 i {\displaystyle \,i} 都用 − i {\displaystyle \,-i} 来代替。虚数部分表示电流落后于电场，这是由于电子大约需要时间 τ {\displaystyle \,\tau } 来对电场的变化作出响应。这里德鲁德模型是应用于电子的；它既可以应用于电子，又可以应用于空穴，也就是说，半导体中的正电荷载流子。 这个简单、经典的德鲁德模型提供了金属中的直流电和交流电传导、霍尔效应，以及热传导的非常好的解释。这个模型也解释了1853年发现的魏德曼-弗朗茨定律。然而，它大大高估了金属的电子热容。实际上，金属和绝缘体在常温下的热容大致上相等。虽然模型可以应用于正电荷（空穴）载流子，像霍尔效应所验证的那样，它并不预言它们的存在。 德鲁德在最初的论文中犯了一个概念性的错误，他估计电导率仅有实际值的一半。 自由电子模型 阿诺·索末菲 经典和量子传导 电导率 Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik. 1900, 306 (3): 566. [永久失效連結] Drude, Paul. Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte. Annalen der Physik. 1900, 308 (11): 369. [永久失效連結] Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 6–7. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. 1965: 117–122. ISBN 978-0070049086.  David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall. 1999: 289. ISBN 978-81-203-161-0 请检查|isbn=值 (帮助).  Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 11. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 23. ISBN 0-03-083993-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助)