LOCC

LOCC 是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（經典通訊）的縮寫，它是一種用在量子信息上、對量子態進行操作的方法。簡單的說，當一個量子系統被分成許多部份，每個部份的測量和操作只限制在該部分上，各個部分之間允許經典通訊，例如：打電話。許多量子信息的工作必須藉由 LOCC 來完成，例如：假設某次實驗室製備了一個貝爾態，但是卻不能確定這個貝爾態是 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 還是 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } ，其中 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 和 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 是 | ψ 1 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B + | 1 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ) {\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)} | ψ 2 ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B + | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) {\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)} A和B兩個量子位元是分隔兩地的，並且由愛麗絲對量子位元A進行操作，由鲍勃對量子位元B進行操作。首先愛麗絲測量量子位元A並得到結果0，此時我們仍不知道當初實驗室製備的貝爾態是 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 還是 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 。這時候愛麗絲藉由打電話把結果告訴鲍勃，接著鲍勃對量子位元B進行測量並得到結果0，現在鲍勃得知波函數塌縮成 | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B {\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}} ，所以推得實驗室製備的貝爾態是 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 。 將一個量子系統分成兩部分，利用 LOCC 操作，把一個糾纏態轉換成另一個糾纏態。 舉例說明：愛麗絲和鲍勃分別擁有一個糾纏態(純態)的一部分，例如 1 2 ( ∣↑↓ ⟩ − ∣↓↑ ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mid \uparrow \downarrow \rangle -\mid \downarrow \uparrow \rangle )} 。愛麗絲和鲍勃都只能對各自的自旋進行操作，也就是Local Operation的意思。當然這個操作也包含測量，當愛麗絲進行Sz的測量後，得到本征值+ħ/2，波函數塌縮成 ∣ ↑↓ ⟩ {\displaystyle \mid \uparrow \downarrow \rangle } ，然後愛麗絲透過電話告訴鲍勃結果，這就是Classical Communications，鲍勃知道結果後也相應做了一個Local Operation，現在鲍勃做σx操作，於是波函數變為 ∣ ↑↑ ⟩ {\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle } 。如果剛才愛麗絲測得本征值-ħ/2，波函數塌縮成 ∣ ↓↑ ⟩ {\displaystyle \mid \downarrow \uparrow \rangle } ，則愛麗絲立即進行σx操作，然後經由電話告訴鲍勃，要求鲍勃不做任何操作，結果仍然可將波函數透過利用LOCC轉換成 ∣ ↑↑ ⟩ {\displaystyle \mid \uparrow \uparrow \rangle } 。 顯然利用 LOCC 把某個態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 轉換成 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ，A與B之間的糾纏只能變小或維持不變。但是並不是只要 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 的糾纏熵比 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的糾纏熵還小就必定能透過 LOCC 作轉換。要判斷可不可轉，首先，可以把 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 和 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 分別做施密特分解（英语：Schmidt decomposition）： | ψ ⟩ = ∑ i = 1 D ω i | a i ⟩ | b i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}}}|a_{i}\rangle |b_{i}\rangle } | ϕ ⟩ = ∑ i = 1 D ω i ′ | a i ′ ⟩ | b i ′ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i=1}^{D}{\sqrt {\omega _{i}'}}|a_{i}'\rangle |b_{i}'\rangle } 將Schmidt值由大至小排列然後進行比較。尼爾森(Nielsen)在1999年提出定理: 若Majorization ∑ i = 1 k ω i ≤ ∑ i = 1 k ω i ′ {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'} , 對於所有 k {\displaystyle k} 都成立，則 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可利用LOCC轉換成 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 。 然而若上述條件不成立，並不表示 LOCC 轉換必定不成立。如果允許引入催化態，LOCC 轉換仍有可能的。 Jonathan 和 Plenio 在尼爾森定理發表不久即給出一個催化轉換的例子：考慮 | ψ ⟩ = 0.4 | 00 ⟩ + 0.4 | 11 ⟩ + 0.1 | 22 ⟩ + 0.1 | 33 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle } | ϕ ⟩ = 0.5 | 00 ⟩ + 0.25 | 11 ⟩ + 0.25 | 22 ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle } | c ⟩ = 0.6 ∣↑↑ ⟩ + 0.4 ∣↓↓ ⟩ {\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle } 以上三個態已經過施密特分解（英语：Schmidt decomposition）且係數皆由大至小排列，以下進行 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 和 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 驗算係數的前 k {\displaystyle k} 項之和： 以上表格中，若「 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的前 k {\displaystyle k} 項之和」比「 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 的前 k {\displaystyle k} 項之和」小的話，填入綠色；大的話，填入紅色；相等則是留下白色。如此一來，觀察 k {\displaystyle k} 方向的顏色便一目了然。如果所有顏色皆為綠色，則表示 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可經由LOCC轉換成 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ；如果所有顏色皆為紅色，則表示 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 可經由LOCC轉換成 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ；如果顏色既有紅色又有綠色，則說明若無催化態便不可轉換。 那麼什麼是「催化轉換」和「催化態」呢？我們考慮直積態 | ψ ⟩ | c ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle } 和 | ϕ ⟩ | c ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle } ： | ψ ⟩ | c ⟩ = 0.24 | 00 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.24 | 11 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.16 | 00 ⟩ ∣↓↓ ⟩ + 0.16 | 11 ⟩ ∣↓↓ ⟩ + 0.06 | 22 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.06 | 33 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.04 | 22 ⟩ ∣↓↓ ⟩ + 0.04 | 33 ⟩ ∣↓↓ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}} | ϕ ⟩ | c ⟩ = 0.30 | 00 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.20 | 00 ⟩ ∣↓↓ ⟩ + 0.15 | 11 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.15 | 22 ⟩ ∣↑↑ ⟩ + 0.10 | 11 ⟩ ∣↓↓ ⟩ + 0.10 | 22 ⟩ ∣↓↓ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}} 以上各項已按照由大至小排列，接著同樣進行製作表格計算前 k {\displaystyle k} 項之和： 表格做完馬上看出所有顏色皆為綠色，因此根據尼爾森定理， | ψ ⟩ | c ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle } 透過LOCC轉換成 | ϕ ⟩ | c ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle } 是可以的。由於 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 只是從直積態中直接加入然後轉換完畢便可取走，很像化學反應中的催化劑，因此可稱 | c ⟩ {\displaystyle |c\rangle } 是催化態。 2007年塔庫（Turgut）證明了定理 M. A. Nielsen, Phys. Rev. Lett. 83, 436 - 439 (1999) D. Jonathan and M. B. Plenio, Phys. Rev. Lett. 83, 3566 (1999) S. Turgut, J. Phys. A: Math. Theor. 40, 12185 (2007) J. Cui, M. Gu, et al. Quantum phases with differing computational power. Nat. Commun. 3, 812 (2012) （页面存档备份，存于互联网档案馆）. F. Franchini, J. Cui, . Amico, H. Fan, M. Gu, V. Korepin, L. C. Kwek, and V. Vedral, Local Convertibility and the Quantum Simulation of Edge States in Many-Body Systems, Phys. Rev. X 4, 041028 (2014) Y.-C. Tzeng, L. Dai, et al. Entanglement convertibility by sweeping through the quantum phases of the alternating bonds XXZ chain. Sci. Rep. 6, 26453 (2016) （页面存档备份，存于互联网档案馆）.