互易定理

在电磁学中，互易定理是电磁场理论的重要定理。由洛伦兹首先发现了一个定义在闭合曲面上的电磁场公式。后来Rayleigh-Carson又进一步把定理发展称为我们今天看到的形式，定义在一个体积分上。 假定有电磁场 [ E 1 , H 1 ] {\displaystyle [\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]} 和电磁场 [ E 2 , H 2 ] {\displaystyle [\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]} 都是由曲面内的电流元产生的辐射场。这里假定计算是在频域或者傅里叶变换域。我们在电磁场公式中省写了 ω {\displaystyle \omega } 。 洛伦兹发现如下形式的互易定理 ∯ {\displaystyle \oiint } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) ⋅ d A = 0 {\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} =0} 注意：上面强调两个电磁场都是辐射场，其实是说这两个场都必须是滞后波。如果其中一个是超前波，一个是滞后波上述曲面积分不为零。 假设 [ E 1 , H 1 ] {\displaystyle [\mathbf {E} _{1},\mathbf {H} _{1}]} 的电流元为： J 1 {\displaystyle \mathbf {J} _{1}} 假设 [ E 2 , H 2 ] {\displaystyle [\mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}]} 的电流元为： J 2 {\displaystyle \mathbf {J} _{2}} Rayleigh-Carson的贡献为 ， ∫ V 1 ( E 2 ⋅ J 1 ) d V = ∫ V 2 ( E 1 ⋅ J 2 ) d V {\displaystyle \int _{V1}(\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dV=\int _{V2}(\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2})dV} 上面公式反映在电路理论中就为， V 2 ⋅ I 1 = V 1 ⋅ I 2 {\displaystyle \mathbf {V} _{2}\cdot \mathbf {I} _{1}=\mathbf {V} _{1}\cdot \mathbf {I} _{2}} 其中 V 2 {\displaystyle \mathbf {V} _{2}} 是电流 I 2 {\displaystyle \mathbf {I} _{2}} 在电流 I 1 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}} 处产生的电动势。 测量 V 2 {\displaystyle \mathbf {V} _{2}} 时可将电流元 I 1 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}} 处电路开路。 V 1 {\displaystyle \mathbf {V} _{1}} 是电流 I 1 {\displaystyle \mathbf {I} _{1}} 在电流 I 2 {\displaystyle \mathbf {I} _{2}} 处产生的电动势。 测量 V 1 {\displaystyle \mathbf {V} _{1}} 时可将电流元 I 2 {\displaystyle \mathbf {I} _{2}} 处电路开路。 今天我们把如下一般形式的互易定量称为洛伦兹互易定理， ∯ {\displaystyle \oiint } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} ( E 1 × H 2 − E 2 × H 1 ) ⋅ d A {\displaystyle (\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {H} _{2}-\mathbf {E} _{2}\times \mathbf {H} _{1})\cdot d\mathbf {A} } = ∫ V ( − E 1 ⋅ J 2 + E 2 ⋅ J 1 ) d V d t {\displaystyle =\int _{V}(-\mathbf {E} _{1}\cdot \mathbf {J} _{2}+\mathbf {E} _{2}\cdot \mathbf {J} _{1})dVdt} 在上述一般形式互易定理中考虑洛伦兹的贡献即可得到Rayleigh-Carson的贡献的贡献。互易定理的一般形式也常常被称为洛伦兹互易定理。 由麦克斯韦方程可直接推导互易定理。但是因为这样的推导比较繁琐，也不能体现电磁场定理之间的关系。此处用另一种思路来推导互易定理。 从麦克斯韦方程出发可以推导坡印廷定理,坡印廷定理可以推导互能定理。麦克斯韦方程可以推导共轭变化，互能定理同共轭变换可以推导洛伦兹互易定理。 电磁场共轭变换 R {\displaystyle \mathbf {R} } 在时域定义如下 （Jin Au Kong）： R [ E ( t ) , H ( t ) , J ( t ) , K ( t ) , ϵ ( t ) , μ ( t ) ] = [ E ( − t ) , − H ( − t ) , − J ( − t ) , K ( − t ) , ϵ ( − t ) , μ ( − t ) ] {\displaystyle \mathbf {R} [\mathbf {E} (t),\mathbf {H} (t),\mathbf {J} (t),\mathbf {K} (t),\epsilon (t),\mu (t)]=[\mathbf {E} (-t),-\mathbf {H} (-t),-\mathbf {J} (-t),\mathbf {K} (-t),\epsilon (-t),\mu (-t)]} 在频域定义如下， R [ E ( ω ) , H ( ω ) , J ( ω ) , K ( ω ) , ϵ ( ω ) , μ ( ω ) ] = [ E ∗ ( ω ) , − H ∗ ( ω ) , − J ∗ ( ω ) ( ω ) , K ∗ ( ω ) , ϵ ∗ ( ω ) , μ ∗ ( ω ) ] {\displaystyle \mathbf {R} [\mathbf {E} (\omega ),\mathbf {H} (\omega ),\mathbf {J} (\omega ),\mathbf {K} (\omega ),\epsilon (\omega ),\mu (\omega )]=[\mathbf {E} ^{*}(\omega ),-\mathbf {H} ^{*}(\omega ),-\mathbf {J} ^{*}(\omega )(\omega ),\mathbf {K} ^{*}(\omega ),\epsilon ^{*}(\omega ),\mu ^{*}(\omega )]} 其中 K {\displaystyle \mathbf {K} } 为磁流密度。 共轭变换不是像傅里叶变换那样的数学变换,一个公式经过数学变换它的物理性质没有变化。共轭变换是一个物理变换。一个电磁场在共轭变换前满足麦克斯韦方程，则变换后仍满足麦克斯韦方程。共轭变换把滞后波变成超前波，把超前波变成滞后波。一个电磁场的定理经过共轭变换以后仍然是一个电磁场的定理，但是其物理性质会发生变化，因此会成为一个新的物理定理。 对互能定理两个电磁场之一，比如 E 2 , H 2 {\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}} 作共轭变换可得洛伦兹互易定理。 反之， 对洛伦兹互易定理两个电磁场之一，比如 E 2 , H 2 {\displaystyle \mathbf {E} _{2},\mathbf {H} _{2}} 作共轭变换可得互能定理。尽管两个定理有上述紧密的联系，它们是两个完全独立的定理。洛伦兹互易定理用于处理两个电流源它们都产生滞后波的情况。互能定理用于一个源产生滞后波，另一个源产生超前波。 由此我们完成了麦克斯韦方程 到 坡印廷定理 到 互能定理 到 洛伦兹互易定理的证明。 经典电磁学 Rayleigh, Lord (1900). On the law of reciprocity in diffuse reflection, Phil. Mag. series 5, 49: 324-325. Kong, J.A. Theory of electromagnetic waves. AA(MIT, Cambridge, Mass): New York, Wiley-Interscience,. 1975.  H. A. Lorentz, "The theorem of Poynting concerning the energy in the electromagnetic field and two general propositions concerning the propagation of light,"[永久失效連結] Amsterdammer Akademie der Wetenschappen 4 p. 176 (1896). J. R. Carson, "A generalization of reciprocal theorem," Bell System Technical Journal 3 (3), 393-399 (1924). Also J. R. Carson, "The reciprocal energy theorem," ibid. 9 (4), 325-331 (1930).