正规扩张

正规扩张是抽象代数中的概念，属于域扩张中的一类。一个有限扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环K[X]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。 正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个： L是多项式环K[X]中的某一族多项式的分裂域。 设Kalg是一个包含了L的K的代数闭包。对于L在Kalg上的每一个嵌入σ，只要它限制在K上的部分是平凡的（即为恒等映射：σ(x) = x），那么就有σ(L) = L。换句话说，L在Kalg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构。 任意一个K[X]上的不可约多项式，只要它在L中有一个根，那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在L中）。 Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个正规扩张，因为它是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的多项式 x 2 − 2 {\displaystyle x^{2}-2} 的分裂域。然而， Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 并不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个正规扩张，因为 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的不可约多项式 x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} 有一个根： 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 在 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 里面，但它的另外两个根： 2 3 ( − 1 − 3 i 2 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)} 和 2 3 ( − 1 + 3 i 2 ) {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)} 都是複數，不在 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 里面。只有在加入了三次单位根： ω = − 1 + 3 i 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} 后的扩域 Q ( 2 3 , ω ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )} 才是一个正规扩张。 也可以用正规扩张的第二个定义来证明 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的正规扩张。设域 A {\displaystyle \mathbb {A} } 是由所有复代数数生成的扩域，则 A {\displaystyle \mathbb {A} } 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个代数闭包，并且 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 在 A {\displaystyle \mathbb {A} } 里面。另一方面， Q ( 2 3 ) = { a + b 2 3 + c 4 3 ∈ A | a , b , c ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}} 并且，如果记 ζ = 2 3 ( − 1 + 3 i 2 ) {\displaystyle \zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)} 是 x 3 − 2 {\displaystyle x^{3}-2} 的复根之一，那么映射： σ : Q ( 2 3 ) ⟶ A a + b 2 3 + c 4 3 ↦ a + b ζ + c ζ 2 {\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}} 是 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 在 A {\displaystyle \mathbb {A} } 上的一个嵌入，并且它限制在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的部分是平凡的（将 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中元素映射到自己）。但是σ并不是 Q ( 2 3 ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})} 上的自同构。 更一般地，对每一个素数p，域扩张 Q ( 2 p , ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})} 都是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个正规扩张，扩张的次数是p(p - 1)。 Q ( 2 p , ζ p ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})} 是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的多项式 x p − 2 {\displaystyle x^{p}-2} 的分裂域。其中的 ζ p {\displaystyle \zeta _{p}} 是任意一个复数p次单位根。 设有域扩张L/K，那么： 如果L是K的正规扩张，并且F是一个子扩张（也就是说有扩张K⊂F⊂L）那么L也是F的正规扩张。 如果L的子域E和F都是K的正规扩张，那么两者的复合扩张EF（指L的子域中同时包含E和F的最小者）以及两者的交E∩F也都是K的正规扩张。 设有域扩张L/K，那么总存在域扩张M/L，使得M/K是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张，那么总存在N/L的子扩张M'/L，使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。 如果L/K是有限扩张，那么它的正规闭包M/L也是有限扩张（因此M/K也是有限扩张）。 伽罗瓦扩张 Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.  Jacobson, Nathan, Basic Algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9