黎曼积分

在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英語：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。 讓函數 f {\displaystyle f} 為定義在區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的非負函數，我们想要計算 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 所代表的曲线与 x {\displaystyle x} 坐标轴跟兩條垂直線 x = a {\displaystyle x=a} 跟 x = b {\displaystyle x=b} 所夹图形的面积（既右圖區域 S {\displaystyle S} 的面積），可將區域 S {\displaystyle S} 的面積以下面符號表示： ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.} 黎曼積分的基本概念就是對 x-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 S {\displaystyle S} 的面積（參考右方第二張圖）。同时請注意，如函數為負函數， f : [ a , b ] ↦ R < 0 {\displaystyle f:[a,b]\mapsto \mathbb {R} _{<0}} ，则其面积亦為负值。 一个闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 。(由a至b內的所有x) 每个闭区间 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 叫做一个子区间。定义 λ {\displaystyle \lambda } 为这些子区间长度的最大值： λ = max ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})} ，其中 0 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle 0\leq i\leq n-1} 。 再定义取样分割。一个闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个取样分割是指在进行分割 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 后，于每一个子区间中 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 取出一点 x i ≤ t i ≤ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}} 。 λ {\displaystyle \lambda } 的定义同上。 精细化分割：设 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 以及 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 构成了闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个取样分割， y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 和 s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 是另一个分割。如果对于任意 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} ，都存在 r ( i ) {\displaystyle r(i)} 使得 x i = y r ( i ) {\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ，并存在 r ( i ) ≤ j < r ( i + 1 ) {\displaystyle r(i)\leq j<r(i+1)} 使得 t i = s j {\displaystyle t_{i}=s_{j}} ，那么就把分割： y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 称作分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。 对一个在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 有定义的实值函数 f {\displaystyle f} ， f {\displaystyle f} 关于取样分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 的黎曼和（积分和）定义为以下和式： ∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})} 和式中的每一项是子区间长度 x i + 1 − x i {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}} 与在 t i {\displaystyle t_{i}} 处的函数值 f ( t i ) {\displaystyle f(t_{i})} 的乘积。直观地说，就是以标记点 t i {\displaystyle t_{i}} 到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。 不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。 要使得“越来越‘精细’”有效，需要把 λ {\displaystyle \lambda } 趋于0。如此 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 中的函数值才会与 f ( t i ) {\displaystyle f(t_{i})} 接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。 严格定义如下： S {\displaystyle S} 是函数 f {\displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得对于任意的取样分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} ，只要它的子区间长度最大值 λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } ，就有： | ∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 也就是说，对于一个函数 f {\displaystyle f} ，如果在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数 f {\displaystyle f} 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么 f {\displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数 f {\displaystyle f} 为黎曼可积的。 这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有 λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。 另一个定义: S {\displaystyle S} 是函数 f {\displaystyle f} 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在一个取样分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} ，使得对于任何比其“精细”的分割 y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} and s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} ，都有： | ∑ i = 0 m − 1 f ( s i ) ( y i + 1 − y i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 这两个定义是等价的。如果有一个 S {\displaystyle S} 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个 S {\displaystyle S} 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值 λ ≤ δ {\displaystyle \lambda \leq \delta } 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于 δ {\displaystyle \delta } ，于是满足 | ∑ i = 0 m − 1 f ( s i ) ( y i + 1 − y i ) − S | < ϵ . {\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{m-1}f(s_{i})(y_{i+1}-y_{i})-S\right|<\epsilon .\,} 其次证明满足第二个定义的 S {\displaystyle S} 也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 使得它的上达布和与下达布和都与 S {\displaystyle S} 相差不超过 ϵ 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}} 。令 r {\displaystyle r} 等于 max 0 ≤ i ≤ n − 1 ( M i − m i ) {\displaystyle \max _{0\leq i\leq n-1}(M_{i}-m_{i})} ，其中 M i {\displaystyle M_{i}} 和 m i {\displaystyle m_{i}} 是 f {\displaystyle f} 在 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 上的上确界和下确界。再令 δ {\displaystyle \delta } 是 ϵ 2 r n {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2rn}}} 和 min 0 ≤ i ≤ n − 1 ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \min _{0\leq i\leq n-1}(x_{i+1}-x_{i})} 中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于 δ {\displaystyle \delta } 时， f {\displaystyle f} 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差 ϵ 2 {\displaystyle {\frac {\epsilon }{2}}} ，所以和 S {\displaystyle S} 至多相差 ϵ {\displaystyle \epsilon } 。 由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上黎曼可积， α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } 是常数，则： ∫ a b ( α f + β g ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.} 由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射 I : f ⟶ ∫ a b f d x {\displaystyle I:f\longrightarrow \int _{a}^{b}fdx} 是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。 正定性：如果函数 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的积分也大于等于零。如果 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上几乎处处大于等于0，并且它在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的积分等于0，那么 f {\displaystyle f} 几乎处处为0。 可加性：如果函数 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , c ] {\displaystyle [a,c]} 和 [ c , b ] {\displaystyle [c,b]} 上都可积，那么 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上也可积，并且有 ∫ a b f d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}fdx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx} 无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的实函数 f {\displaystyle f} 是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。 如果 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。 如果 f n {\displaystyle {f_{n}}} 是 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的一个一致收敛序列，其极限为 f {\displaystyle f} ，那么： ∫ a b f d x = ∫ a b lim n → ∞ f n d x = lim n → ∞ ∫ a b f n d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.} 如果一个实函数在区间 [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} 上是单调的，则它是黎曼可积的。 黎曼积分可推广到值属于 n {\displaystyle n} 维空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的函数。积分是线性定义的，即如果 f = ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle \mathbf {f} =(f_{1},\dots ,f_{n})} ，则 ∫ f = ( ∫ f 1 , … , ∫ f n ) {\displaystyle \int \mathbf {f} =(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n})} 。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。 黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令 ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim x → ∞ ∫ − x x f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{x\to \infty }\int _{-x}^{x}f(t)\,dt.} 不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令 f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} 若 x > 0 {\displaystyle x>0} ， f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} ， f ( x ) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1} 若 x < 0 {\displaystyle x<0} 。则对所有 x {\displaystyle x} ∫ − x x f ( t ) d t = ∫ − x 0 f ( t ) d t + ∫ 0 x f ( t ) d t = − x + x = 0 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t)\,dt=\int _{-x}^{0}f(t)\,dt+\int _{0}^{x}f(t)\,dt=-x+x=0} . 但如果我们将 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 向右平移一个单位得到 f ( x − 1 ) {\displaystyle f(x-1)} ，则对所有 x > 1 {\displaystyle x>1} ，我们得到 ∫ − x x f ( t − 1 ) d t = ∫ − x 1 f ( t − 1 ) d t + ∫ 1 x f ( t − 1 ) d t = − ( x + 1 ) + ( x − 1 ) = − 2 {\displaystyle \int _{-x}^{x}f(t-1)\,dt=\int _{-x}^{1}f(t-1)\,dt+\int _{1}^{x}f(t-1)\,dt=-(x+1)+(x-1)=-2} . 由于这是不可接受的，我们可以尝试定义： ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = lim a → − ∞ lim b → ∞ ∫ a b f ( t ) d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\lim _{a\to -\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t)\,dt.} 此时，如果尝试对上面的 f {\displaystyle f} 积分，我们得到 + ∞ {\displaystyle +\infty } ，因为我们先使用了极限 b → ∞ {\displaystyle b\to \infty } 。如果使用相反的极限顺序，我们得到 − ∞ {\displaystyle -\infty } 。 这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令 f n ( x ) = 1 / n {\displaystyle f_{n}(x)=1/n} 在 [ 0 , n ] {\displaystyle [0,n]} 上，其它域上等于0。对所有 n {\displaystyle n} ， ∫ f n d x = 1 {\displaystyle \int f_{n}\,dx=1} 。但 f n {\displaystyle f_{n}} 一致收敛于0，因此 lim f n {\displaystyle \lim f_{n}} 的积分是0。因此 ∫ f d x ≠ lim ∫ f n d x {\displaystyle \int f\,dx\not =\lim \int f_{n}\,dx} 。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。 一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。 事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。 扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子 x i − x i + 1 {\displaystyle x_{i}-x_{i+1}} ，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。 不定积分 积分 勒贝格积分 黎曼－斯蒂尔杰斯积分 數值積分 达布积分 梯形公式 中點法（英语：Midpoint method） Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.