對數平均

對數平均是一個二個非負數字的數學函數，等於兩者的差除以其對數的差。其符號為： M lm ( x , y ) = lim ( ξ , η ) → ( x , y ) η − ξ ln ⁡ η − ln ⁡ ξ , = { 0 if  x = 0  or  y = 0 , x if  x = y , y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x otherwise, {\displaystyle {\begin{array}{ll}M_{\text{lm}}(x,y)&=\lim _{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\frac {\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi }},\\&={\begin{cases}0&{\text{if }}x=0{\text{ or }}y=0,\\x&{\text{if }}x=y,\\{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\end{array}}} 其中 x , y {\displaystyle x,y} 都是正整數。 對數平均的計算適用在有關熱傳及質傳的工程問題上。 二個數字的對數平均小於其算術平均，大於幾何平均，若二個數字相等，對數平均會等於算數平均及幾何平均。 x ⋅ y ≤ M lm ( x , y ) ≤ x + y 2  for all  x ≥ 0  and  y ≥ 0. {\displaystyle {\sqrt {x\cdot y}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.} 根據均值定理 ∃ ξ ∈ [ x , y ] :   f ′ ( ξ ) = f ( x ) − f ( y ) x − y {\displaystyle \exists \xi \in [x,y]:\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}} 若將 f {\displaystyle f} 改為 ln {\displaystyle \ln } ，對數平均可以由 ξ {\displaystyle \xi } 來求得 1 ξ = ln ⁡ x − ln ⁡ y x − y {\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}} 求解 ξ {\displaystyle \xi } 。 ξ = x − y ln ⁡ x − ln ⁡ y {\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}} 對數平均也可以表示為指數函數以下的面積。 L ( x , y ) = ∫ 0 1 x 1 − t y t   d t {\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t} ∫ 0 1 x 1 − t y t   d t = ∫ 0 1 ( y x ) t x   d t = x ∫ 0 1 ( y x ) t d t = x ln ⁡ y x ( y x ) t | t = 0 1 = x ln ⁡ y x ( y x − 1 ) = y − x ln ⁡ y − ln ⁡ x {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\ \mathrm {d} t&=&\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}x\ \mathrm {d} t\\&=&x\int _{0}^{1}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}\mathrm {d} t\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{t}|_{t=0}^{1}\\&=&{\frac {x}{\ln {\frac {y}{x}}}}\left({\frac {y}{x}}-1\right)\\&=&{\frac {y-x}{\ln y-\ln x}}\end{array}}} 面積的表示法可以推導一個有關對數平均的基本性質。 因為指數函數為單調函數，長度為1區間的的積分會在 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 之間。積分算子的齐次性轉移到平均算子，因此 L ( c ⋅ x , c ⋅ y ) = c ⋅ L ( x , y ) {\displaystyle L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)} . 對數平均可推廣到 n + 1 {\displaystyle n+1} 變數，考慮對數n階導數的均差中值定理（英语：mean value theorem (divided differences)）。 可以得到: L M V ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ln ⁡ [ x 0 , … , x n ] − n {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x_{0},\dots ,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]}}} 其中 ln ⁡ [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle \ln[x_{0},\dots ,x_{n}]} 為對數的均差。 若 n = 2 {\displaystyle n=2} ，會變成 L M V ( x , y , z ) = ( x − y ) ⋅ ( y − z ) ⋅ ( z − x ) 2 ⋅ ( ( y − z ) ⋅ ln ⁡ x + ( z − x ) ⋅ ln ⁡ y + ( x − y ) ⋅ ln ⁡ z ) {\displaystyle L_{\mathrm {MV} }(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}}} . 積分的表示法也可以推廣到多變數，但結果不同。 假設单纯形 S {\displaystyle S} 其中 S = { ( α 0 , … , α n ) : α 0 + ⋯ + α n = 1   ∧   α 0 ≥ 0   ∧   …   ∧   α n ≥ 0 } {\displaystyle S=\{(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}):\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\ \land \ \alpha _{0}\geq 0\ \land \ \dots \ \land \ \alpha _{n}\geq 0\}} 及適當的量度 d α {\displaystyle \mathrm {d} \alpha } 可以使单纯形得到1的體積，可得 L I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n   d α {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \dots \cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha } 利用指數函數的均差可以簡化如下 L I ( x 0 , … , x n ) = n ! ⋅ exp ⁡ [ ln ⁡ x 0 , … , ln ⁡ x n ] {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x_{0},\dots ,x_{n})=n!\cdot \exp[\ln x_{0},\dots ,\ln x_{n}]} . 例如 n = 2 {\displaystyle n=2} L I ( x , y , z ) = − 2 ⋅ x ⋅ ( ln ⁡ y − ln ⁡ z ) + y ⋅ ( ln ⁡ z − ln ⁡ x ) + z ⋅ ( ln ⁡ x − ln ⁡ y ) ( ln ⁡ x − ln ⁡ y ) ⋅ ( ln ⁡ y − ln ⁡ z ) ⋅ ( ln ⁡ z − ln ⁡ x ) {\displaystyle L_{\mathrm {I} }(x,y,z)=-2\cdot {\frac {x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}}} . L ( x 2 , y 2 ) L ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {L(x^{2},y^{2})}{L(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}} （算術平均） 幾何平均也和對數有關 對數平均是一種特別的Stolarsky平均（英语：Stolarsky mean）。 對數平均溫差 Eric W. Weisstein: Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean-Inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） und Napier's Inequality （页面存档备份，存于互联网档案馆） in MathWorld Logarithmic mean @ Everything2.com （页面存档备份，存于互联网档案馆） Oilfield Glossary: Term 'logarithmic mean' 埃里克·韦斯坦因. Arithmetic-Logarithmic-Geometric-Mean Inequality. MathWorld.  Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92