过剩数

在數論中，過剩數又称作丰数或盈数，一般指的是真因數之和大於自身的一类正整数，严格意义上指的是因数和函数大於两倍自身的一类正整数。 一般而言，過剩數是指使得函数 s ( n ) > n {\displaystyle s(n)>n} 的正整数 n {\displaystyle n} ，其中 s ( n ) {\displaystyle s(n)} 指的是 n {\displaystyle n} 的真因數之和； s ( n ) − n {\displaystyle s(n)-n} 称作 n {\displaystyle n} 的盈度或豐度。 例如，12除本身外的所有正因數为1、 2、 3、 4和6，由于 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}=16} ，且 16 > 12 {\displaystyle 16>12} ，因此12為過剩數，且12的豐度為 16 − 12 = 4 {\displaystyle {{16}-{12}}=4} 。 更为严格地说，過剩數是指使得函数 σ 1 ( n ) > 2 n {\displaystyle \sigma _{1}(n)>2n} 的正整数 n {\displaystyle n} ，其中 σ 1 ( n ) {\displaystyle \sigma _{1}(n)} 指的是 n {\displaystyle n} 的所有正因数（包括 n {\displaystyle n} ）之和； σ 1 ( n ) − 2 n {\displaystyle \sigma _{1}(n)-2n} 称作 n {\displaystyle n} 的盈度或豐度。 在这种定义下，12的正因數有1、 2、 3、 4、 6和12，由于 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 {\displaystyle {{{{{{1}+{2}}+{3}}+{4}}+{6}}+{12}}=28} ，且 28 > 12 × 2 {\displaystyle 28>12\times 2} ，因此12為過剩數，且12的豐度為 28 − 12 × 2 = 4 {\displaystyle {{28}-{{12}\times {2}}}=4} 。 最小的偶過剩數构成数列（OEIS數列A005101）： 12、 18、 20、 24、 30、 36、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 72、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 100、 102 …… 最小的奇過剩數构成数列（OEIS數列A005231）： 945、 1575、 2205、 2835、 3465、 4095、 4725、 5355、 5775、 5985、 6435、 6615、 6825、 7245、 7425、 7875 …… 不能被2和3整除的最小過剩數是 5391411025，其質因數有 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23 和 29（OEIS數列A047802）。 亞努奇（Iannucci）在2005年給出了一個尋找不能被前 k {\displaystyle k} 個質數整除的最小過剩數的演算法：若 A ( k ) {\displaystyle A(k)} 表示不能被前 k {\displaystyle k} 個質數整除的最小過剩數，則當 k {\displaystyle k} 足夠大時，對所有的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，有 ( 1 − ϵ ) ( k ln ⁡ k ) 2 − ϵ < ln ⁡ A ( k ) < ( 1 + ϵ ) ( k ln ⁡ k ) 2 + ϵ {\displaystyle (1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }} 除了完全數本身，完全數的倍數都是過剩數。例如，每個大於6之6的倍數都是過剩數，因為 1 + n 2 + n 3 + n 6 = n + 1 {\displaystyle 1+{\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{3}}+{\tfrac {n}{6}}=n+1} 。 過剩數的倍數都是過剩數。例如，20是過剩數，20及其倍數也都是過剩數，因為 n 2 + n 4 + n 5 + n 10 + n 20 = n + n 10 {\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+{\tfrac {n}{4}}+{\tfrac {n}{5}}+{\tfrac {n}{10}}+{\tfrac {n}{20}}=n+{\tfrac {n}{10}}} 。 由於完全數的倍數都是過剩數，過剩數的倍數也都是過剩數，因此奇數和偶數的過剩數都有無限多個。 過剩數的集合具有非零的自然密度，1998年 Marc Deléglise 证明了過剩數在自然数中的自然密度介于 0.2474 与 0.2480 之间。 若一個過剩數不是完全數或其他過剩數的倍數，則這個數稱為本原過剩數。 若一個過剩數的豐度超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為高過剩數。 若一個過剩數的相對豐度 s ( n ) n {\displaystyle {\frac {s\left(n\right)}{n}}} 超過所有小於該數的過剩數的豐度，則這個過剩數稱為超過剩數。 每個大於 20161 的整數都可以寫成兩個過剩數之和。 不是半完全數的過剩數稱為奇異數。 豐度為1的過剩數稱為准完全数，然而目前尚未找到准完全数。 与過剩數相关的概念是完全数（真因數和等於本身，即 s ( n ) = n {\displaystyle s(n)=n} 或 σ 1 ( n ) = 2 n {\displaystyle \sigma _{1}(n)=2n} ）和亏数（真因數和小於本身，即 s ( n ) < n {\displaystyle s(n)<n} 或 σ 1 ( n ) < 2 n {\displaystyle \sigma _{1}(n)<2n} ）。最早将自然数分为过剩数、完美数和亏数的是 Nicomachus 于公元前100年所著的 Introductio Arithmetica。 n {\displaystyle n} 的豐度指數（過過剩指數）是指因數和與自身的比，即 σ 1 ( n ) n {\displaystyle {\frac {\sigma _{1}\left(n\right)}{n}}} ；若一组相異的數 n 1 , n 2 , . . . {\displaystyle n_{1},n_{2},...} （無論是否為過剩數）擁有相同的豐度指數，則這些數互為友誼數。 记 k {\displaystyle k} 变化时，滿足 σ 1 ( n ) > k n {\displaystyle \sigma _{1}\left(n\right)>kn} 的最小自然数 n {\displaystyle n} 构成数列 a k {\displaystyle a_{k}} （OEIS數列A134716），则 a 2 = 12 {\displaystyle a_{2}=12} ，为第一個過剩數。 a k {\displaystyle a_{k}} 是一个增長速度很快的数列。 豐度指數超過3的最小奇數為 1018976683725 = {\displaystyle 1018976683725=} {\displaystyle } 3 3 × 5 2 × 7 2 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 {\displaystyle 3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2}\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29} 。 高合成數 完全數 婚約數 親和數 亏数 梅森素数 半完全數 佩服數 D. Iannucci, On the smallest abundant number not divisible by the first k primes, Bulletin of the Belgian Mathematical Society（英语：Bulletin of the Belgian Mathematical Society）, 2005, 12 (1): 39–44 [2022-09-21], （原始内容存档于2019-04-07）  Tattersall, James J. Elementary Number Theory in Nine Chapters 2nd. Cambridge University Press. 2005. ISBN 978-0-521-85014-8. Zbl 1071.11002.  Tattersall (2005), p.134 Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.  Deléglise, Marc. Bounds for the density of abundant integers. Experimental Mathematics. 1998, 7 (2): 137–143 [2022-09-21]. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. （原始内容存档于2020-10-13）.  Weisstein, Eric W. (编). Primitive Abundant Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. 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