包络

物理学和工程学中，震荡信号的包络是一条勾勒出极值的光滑曲线。因此，包络将恒定振幅的概念推广为瞬时振幅。下图展示了在上包络与下包络之间振荡的调制正弦曲线。包络函数可以是时间、空间、角度或任何变量的函数。 在空间x和时间t中产生包络函数的常见情况是波长和频率几乎相同的两个波的叠加： F ( x ,   t ) = sin ⁡ [ 2 π ( x λ − Δ λ − ( f + Δ f ) t ) ] + sin ⁡ [ 2 π ( x λ + Δ λ − ( f − Δ f ) t ) ] ≈ 2 cos ⁡ [ 2 π ( x λ m o d − Δ f   t ) ]   sin ⁡ [ 2 π ( x λ − f   t ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}} 其中使用了两个正弦波相加的三角函数，以及近似值Δλ ≪ λ： 1 λ ± Δ λ = 1 λ   1 1 ± Δ λ / λ ≈ 1 λ ∓ Δ λ λ 2 . {\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.} 此处调制波长λmod来自下式： λ m o d = λ 2 Δ λ   . {\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .} 调制波长是包络波长的两倍，因为余弦波的每半个波长都控制着正弦波的正负值。同样，拍频是包络波的频率，是调制波频率的两倍，即2Δf。 如果这种波是声波，耳朵听到的是与f有关的频率，振幅随拍频的变化而变化。 除2π之外，上述正弦波的参数是： ξ C = ( x λ − f   t )   , {\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,} ξ E = ( x λ m o d − Δ f   t )   , {\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,} 下标C、E分别指载波和包络。同样的振幅F来自相同的ξC、ξE值，在适当相关的x、t选择下，每个本身都可能返回到相同的值。这种不变性意味着可以在空间中追踪波形，并找到固定振幅的位置在时间中传播时的速度；要使载波参数保持不变，条件为： ( x λ − f   t ) = ( x + Δ x λ − f ( t + Δ t ) )   , {\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,} 这表明，要保持恒定振幅，距离Δx与时间间隔Δt的关系是相速度 vp v p = Δ x Δ t = λ f   . {\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .} 另一方面，同样的考虑表明包络线是群速度 vg: v g = Δ x Δ t = λ m o d Δ f = λ 2 Δ f Δ λ   . {\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .} 引入波向量k，可得更常见的群速度表达式： k = 2 π λ   . {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .} 注意到，对于微小变化Δλ而言，相应的波向量小变化Δk为： Δ k = | d k d λ | Δ λ = 2 π Δ λ λ 2   , {\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,} 于是群速度可重写为： v g = 2 π Δ f Δ k = Δ ω Δ k   , {\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,} 其中ω是以弧度/秒为单位的频率：ω = 2πf。在所有介质中，频率和波向量都与色散关系ω = ω(k)有关，群速度可以写成： v g = d ω ( k ) d k   . {\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .} 在经典真空等介质中，电磁波的色散关系为： ω = c 0 k {\displaystyle \omega =c_{0}k} 其中c0是经典真空中的光速。这种情况下，相速度和群速度都是c0。 在所谓色散介质中，色散关系可能是波向量的复杂函数，相速度和群速度也不尽相同。例如，对于GaAs中原子振动（声子）表现出的几种波，不同波向量k方向的色散关系如图所示。一般而言，相速度和群速度的方向可能不同。 凝聚态物理学中，晶体中移动电荷载流子的能量本征函数可表为布洛赫波： ψ n k ( r ) = e i k ⋅ r u n k ( r )   , {\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,} 其中n是带的编号（如导带或价带），r是空间位置，k是波矢。指数是正弦变化函数，对应一个缓慢变化的包络，调制波函数un, k的快速变化部分，描述波函数在晶格原子核心附近的行为。包络只限于晶体布里渊区限定范围内的k值，这就限制了它随位置r变化的速度。 用量子力学确定载流子行为时，通常使用包络近似法。其中薛定谔方程被简化到仅指包络的行为，边界条件直接应用于包络函数，而非完整的波函数。例如，被困在杂质附近的载流子波函数受包络函数F支配，函数是布洛赫函数的叠加： ψ ( r ) = ∑ k F ( k ) e i k ⋅ r u k ( r )   , {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,} 其中包括F(k)的傅立叶分量由近似薛定谔方程求得。在某些应用中，周期部分uk被带缘附近的值取代，如k=k0，接着： ψ ( r ) ≈ ( ∑ k F ( k ) e i k ⋅ r ) u k = k 0 ( r ) = F ( r ) u k = k 0 ( r )   . {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .} 多缝衍射图样的包络由单缝衍射图样决定，后者的包络线如下： I 1 = I 0 sin 2 ⁡ ( π d sin ⁡ α λ ) / ( π d sin ⁡ α λ ) 2   , {\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,} 其中α是衍射角，d是狭缝宽度，λ是波长。对多个狭缝，图样为 I q = I 1 sin 2 ⁡ ( q π g sin ⁡ α λ ) / sin 2 ⁡ ( π g sin ⁡ α λ )   , {\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,} 其中q为狭缝数量，g是光栅常数。第一个因子即单缝结果I1，调制着第二个变化更快的因子，取决于狭缝数量与间距。 包络检波器是从信号中提取包络的电子电路。 在数字信号处理中，可用希尔伯特变换或滑动平均RMS振幅估计包络。 解析信号#复包络/基带 包络线 包络追踪 瞬时频率 调变 振动 (数学) C. 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