單子 (範疇論)

數學的分支範疇論中，單子（英語：monad），又稱三元組（triple, triad）、標準構造（standard construction）、基本構造（fundamental construction），是一個內函子（英语：endofunctor）（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定連貫條件（英语：coherence condition）的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。 單子是一類內函子（英语：endofunctor）（連同其他資訊）。例如，若 F {\displaystyle F} 和 G {\displaystyle G} 為一對伴隨函子， F {\displaystyle F} 為 G {\displaystyle G} 的左伴隨，則複合 G ∘ F {\displaystyle G\circ F} 是單子。若 F {\displaystyle F} 與 G {\displaystyle G} 互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮 F ∘ G {\displaystyle F\circ G} ，以研究伴隨關係，是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子（英語：comonad）。 本條目中， C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 皆表示某範疇。 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子是函子 T : C → C {\displaystyle T:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}} ，連同兩個自然變換，分別是單位 η : 1 C → T {\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to T} （其中 1 C {\displaystyle 1_{\mathcal {C}}} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的恆等函子）與乘法 μ : T 2 → T {\displaystyle \mu :T^{2}\to T} （其中 T 2 {\displaystyle T^{2}} 是複合 T ∘ T {\displaystyle T\circ T} ，亦是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 到 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的函子），且要滿足下列連貫條件（英语：coherence condition）： μ ∘ T μ = μ ∘ μ T {\displaystyle \mu \circ T\mu =\mu \circ \mu T} （左右皆為 T 3 → T {\displaystyle T^{3}\to T} 的自然變換）。此處 T μ {\displaystyle T\mu } 與 μ T {\displaystyle \mu T} 經水平複合而得。 μ ∘ T η = μ ∘ η T = 1 T {\displaystyle \mu \circ T\eta =\mu \circ \eta T=1_{T}} （兩者皆為 T → T {\displaystyle T\to T} 的自然變換）。此處 1 T {\displaystyle 1_{T}} 表示由函子 T {\displaystyle T} 到自身的恆等自然變換。 以上兩式，亦可以下列交換圖複述： 記號 T μ {\displaystyle T\mu } 與 μ T {\displaystyle \mu T} 的含義，參見自然變換，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件 X {\displaystyle X} 上： 定義中，若將 μ {\displaystyle \mu } 當成幺半群的乘法，則第一條公理類似幺半群（英语：monoid (category theory)）的乘法結合律，而第二條公理類似單位元的存在性（由 η {\displaystyle \eta } 給出）。準確而言， C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子，可以等價地定義為 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的內函子範疇 E n d C {\displaystyle \mathbf {End} _{\mathcal {C}}} 中的幺半群（英语：monoid (category theory)）。（該範疇的物件是 C {\displaystyle C} 上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，幺半結構來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。 冪集單子 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 是集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 上的單子。其定義中，函子 T {\displaystyle T} 取為冪集運算，即 T ( A ) {\displaystyle T(A)} 為集合 A {\displaystyle A} 的冪集，而對於函數 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} ， T ( f ) {\displaystyle T(f)} 將 A {\displaystyle A} 的子集映至其像集，即 T ( f ) ( A ′ ) = f [ A ′ ] {\displaystyle T(f)(A')=f[A']} 。對每個集合 A {\displaystyle A} ，有函數 η A : A → T ( A ) {\displaystyle \eta _{A}:A\to T(A)} ，對每個元素 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 映至單元子集 { a } {\displaystyle \{a\}} ， 並有函數 μ A : T ( T ( A ) ) → T ( A ) , {\displaystyle \mu _{A}\colon T(T(A))\to T(A),} 將 A {\displaystyle A} 的若干個子集構成的族，映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。 兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 的二次疊代 P ∘ P {\displaystyle {\mathcal {P}}\circ {\mathcal {P}}} ，無法配備單子結構。 取上節定義的範疇論對偶（英语：Dual (category theory)），便是餘單子（或餘三元組）的定義。簡單複述，範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的餘單子，是對偶範疇（英语：opposite category） C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op} }} 上的單子。所以，餘單子是由 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 到 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的某個函子 U {\displaystyle U} ，連同餘單位與餘乘法（英語：counit and comultiplication）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。 單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數中，向量空間範疇（配備張量積）的餘幺半群較為重要，以餘代數之名為人所知。 單子的概念最早由羅傑·戈德芒（英语：Roger Godement）於1958年提出，當時稱為「標準構造」（英語：standard construction）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個層餘調（英语：Sheaf cohomology）問題。 其後，單子又出現於彼得·胡伯（Peter Huber）對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。 1965年，海因里希·克萊斯利（英语：Heinrich Kleisli），及塞缪尔·艾伦伯格、約翰·柯曼·摩爾（英语：John Coleman Moore）二人分別獨立證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。 1963年，威廉·洛維爾（英语：William Lawvere）提出泛代數的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（Fred Linton）將該理論用單子的語言表達。單子本身來自拓撲方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱monad是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《現職數學家用的範疇（英语：Categories for the Working Mathematician）》引入，以其類似單子論中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。 1980年代，歐金尼奧·莫吉（英语：Eugenio Moggi）在理論計算機科學中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。此後，有多種函數式編程語言仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。 若有伴隨關係 F : C ⇄ D : G {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {D}}:G} （即 F {\displaystyle F} 為 G {\displaystyle G} 的左伴隨，下同），則由此有 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合 T = G ∘ F , {\displaystyle T=G\circ F,} 而單位自然變換來自伴隨的單位 η : id C → G ∘ F {\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathcal {C}}\to G\circ F} ，乘法自然變換源自伴隨的餘單位 ε {\displaystyle \varepsilon } ： T 2 = G ∘ F ∘ G ∘ F → G ∘ ε ∘ F G ∘ F = T . {\displaystyle T^{2}=G\circ F\circ G\circ F\xrightarrow {G\circ \varepsilon \circ F} G\circ F=T.} 反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的 T {\displaystyle T} 代數的艾倫伯格－摩爾範疇 C T {\displaystyle C^{T}} 。 給定域 k {\displaystyle k} ，雙重對偶單子（英語：double dualisation monad）源自伴隨關係 ( − ) ∗ : V e c t k ⇄ V e c t k o p : ( − ) ∗ , {\displaystyle (-)^{*}:\mathbf {Vect} _{k}\rightleftarrows \mathbf {Vect} _{k}^{\mathrm {op} }:(-)^{*},} 其中兩個函子 ( − ) ∗ {\displaystyle (-)^{*}} 皆將 k {\displaystyle k} 向量空间 V {\displaystyle V} 映至對偶空間 V ∗ := Hom ⁡ ( V , k ) {\displaystyle V^{*}:=\operatorname {Hom} (V,k)} ，所以對應的單子將向量空間 V {\displaystyle V} 映至雙對偶 V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} 。Kock (1970)對此有更廣泛的討論。 偏序集 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且 x {\displaystyle x} 到 y {\displaystyle y} 有態射当且仅当偏序中 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接，相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。 又舉例，設 G {\displaystyle G} 為群範疇 G r p {\displaystyle \mathbf {Grp} } 至集合范畴 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子，將群映至其基集，又設 F {\displaystyle F} 為自由函子，由 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 到 G r p {\displaystyle \mathbf {Grp} } ，則 F {\displaystyle F} 是 G {\displaystyle G} 的左伴隨。此時，對應的單子 T = G ∘ F {\displaystyle T=G\circ F} 的作用是，輸入一個集合 X {\displaystyle X} ，輸出自由群 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 的基集，即字母取自 { x , x − 1 : x ∈ X } {\displaystyle \{x,x^{-1}:x\in X\}} ，且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。 該單子的單位變換，由包含映射 η X : X → T ( X ) {\displaystyle \eta _{X}:X\rightarrow T(X)} 給出，該包含映射將 X {\displaystyle X} 的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是 T ( X ) {\displaystyle T(X)} 的元素。最後，單子的乘法 μ X : T ( T ( X ) ) → T ( X ) {\displaystyle \mu _{X}:T(T(X))\rightarrow T(X)} 是串接或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。 前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代数意義下的任意一簇（英语：Variety (universal algebra)）代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。 另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇 V e c t {\displaystyle \mathbf {Vect} } 上，若 T {\displaystyle T} 表示將向量空間 V {\displaystyle V} 映至其张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 的內函子，則相應有單位自然變換將 V {\displaystyle V} 嵌入到其张量代数，並有乘法自然變換，在 V {\displaystyle V} 處的分量是態射 T ( T ( V ) ) → T ( V ) {\displaystyle T(T(V))\to T(V)} ，將張量積之張量積展開化簡。 只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為餘密度單子（英语：codensity monad）。例如，從有限集合範疇 F i n S e t {\displaystyle \mathbf {FinSet} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 上，將任意集合 X {\displaystyle X} 映至其上所有超滤子的集合 β X {\displaystyle \beta X} 。 類似例子見於Leinster (2013)。 給定範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 上的單子 ( T , η , μ ) {\displaystyle (T,\eta ,\mu )} ，可以考慮 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的 T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} 代數物件。 T {\displaystyle T} 在該些物件上的作用，與單子的單位與乘法相容。具體而言， T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} 代數 ( x , h ) {\displaystyle (x,h)} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的物件 x {\displaystyle x} ，連同態射 h : T x → x {\displaystyle h:Tx\to x} （稱為該代數的結構映射），使得圖 皆可交換。 T {\displaystyle T} 代數間的態射 f : ( x , h ) → ( x ′ , h ′ ) {\displaystyle f:(x,h)\to (x',h')} 是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的態射 f : x → x ′ {\displaystyle f:x\to x'} ，且要使 可交換。於是， T {\displaystyle T} 代數及之間的態射組成範疇，稱為艾倫伯格－摩爾範疇（英語：Eilenberg–Moore category），記為 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} . 若 T {\displaystyle T} 為前述自由群單子，則 T {\displaystyle T} 代數是集合 X {\displaystyle X} ，連同由 X {\displaystyle X} 生成的自由群 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 到 X {\displaystyle X} 的映射（求值，evaluation），且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之， X {\displaystyle X} 本身就具有群結構，而 F ( X ) {\displaystyle F(X)} 至 X {\displaystyle X} 的映射，是將字串按 X {\displaystyle X} 的群乘法，計算所得的結果 另一個例子是集合範疇上的分佈單子（英語：distribution monad） D {\displaystyle {\mathcal {D}}} ，其將集合 X {\displaystyle X} 映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈，是函數 f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:X\to [0,1]} ，僅於有限多個元素 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 處取值非零，而各元素處取值之和為 1 {\displaystyle 1} 。以符號表示， D ( X ) = { f : X → [ 0 , 1 ] : # supp ( f ) < + ∞ , ∑ x ∈ X f ( x ) = 1 } . {\displaystyle {\mathcal {D}}(X)=\left\{f:X\to [0,1]:{\begin{matrix}\#{\text{supp}}(f)<+\infty ,\\\sum _{x\in X}f(x)=1\end{matrix}}\right\}.} 可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集，即集合要配備二元運算 + r {\displaystyle +_{r}} （對每個 r ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle r\in [0,1]} ），滿足的公理比照歐氏空間中，凸組合 ( x , y ) ↦ r x + ( 1 − r ) y {\displaystyle (x,y)\mapsto rx+(1-r)y} 具備的性質。 另一個有用的單子，是交換環 R {\displaystyle R} 的模範疇 M o d R {\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}} 上的對稱代數單子 Sym ∙ ( − ) : M o d R → M o d R {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(-):\mathbf {Mod} _{R}\to \mathbf {Mod} _{R}} 將 R {\displaystyle R} 模 M {\displaystyle M} 映到各階對稱張量（英语：symmetric tensor）冪的直和 Sym ∙ ( M ) = ⨁ k = 0 ∞ Sym k ( M ) {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\text{Sym}}^{k}(M)} 其中 Sym 0 ( M ) = R {\displaystyle {\text{Sym}}^{0}(M)=R} 。例如， Sym ∙ ( R ⊕ n ) ≅ R [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\text{Sym}}^{\bullet }(R^{\oplus n})\cong R[x_{1},\ldots ,x_{n}]} ，左右兩邊作為 R {\displaystyle R} 模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是交換 R {\displaystyle R} 代數。類似地，也有反對稱張量（英语：Antisymmetric tensor）單子 Alt ∙ ( − ) {\displaystyle {\text{Alt}}^{\bullet }(-)} 與全張量單子 T ∙ ( − ) {\displaystyle T^{\bullet }(-)} ，相應的代數分別是反對稱 R {\displaystyle R} 代數與自由 R {\displaystyle R} 代數，故 Alt ∙ ( R ⊕ n ) = R ( x 1 , … , x n ) , T ∙ ( R ⊕ n ) = R ⟨ x 1 , … , x n ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Alt}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\{\text{T}}^{\bullet }(R^{\oplus n})&=R\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,\end{aligned}}} 前者是 R {\displaystyle R} 上添加 n {\displaystyle n} 個生成元的自由反對稱代數，而後者則是 n {\displaystyle n} 個生成元的自由代數。 對於可交換 S {\displaystyle \mathbb {S} } 代數（英语：Highly structured ring spectrum），亦有類似的構造，對於可交換 S {\displaystyle \mathbb {S} } 代數 A {\displaystyle A} ，對應單子上的代數是可交換的 A {\displaystyle A} 代數。若 M o d A {\displaystyle \mathbf {Mod} _{A}} 表示 A {\displaystyle A} 模的範疇，則可以考慮函子 P : M o d A → M o d A {\displaystyle \mathbb {P} :\mathbf {Mod} _{A}\to \mathbf {Mod} _{A}} ，定義為 P ( M ) = ⋁ j ≥ 0 M j / Σ j , {\displaystyle \mathbb {P} (M)=\bigvee _{j\geq 0}M^{j}/\Sigma _{j},} 其中 M j = M ∧ A ⋯ ∧ A M ⏟ j . {\displaystyle M^{j}=\underbrace {M\wedge _{A}\cdots \wedge _{A}M} _{j}.} 此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換 A {\displaystyle A} 代數的範疇 C A {\displaystyle {\mathcal {C}}_{A}} 。 如前文所述，任何伴隨關係皆產生單子。反之，每個單子 T {\displaystyle T} 皆可由某個伴隨關係產生，即原範疇與 T {\displaystyle T} 代數的艾倫伯格－摩爾範疇之間的自由－遺忘伴隨 T ( − ) : C ⇄ C T : F . {\displaystyle T(-):{\mathcal {C}}\rightleftarrows {\mathcal {C}}^{T}:F.} 其中，左伴隨 T ( − ) {\displaystyle T(-)} 將 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的物件 x {\displaystyle x} 映到自由 T {\displaystyle T} 代數 T ( x ) {\displaystyle T(x)} ，右伴隨 F {\displaystyle F} 則將 T {\displaystyle T} 代數 ( x , h ) {\displaystyle (x,h)} 遺忘掉 h {\displaystyle h} ，變回 x {\displaystyle x} 。然而，通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子，該些伴隨關係組成範疇 A d j ( C , T ) {\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)} ：物件是伴隨關係 ( F , G , η , ε ) {\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )} 使得 ( G F , η , G ε F ) = ( T , η , μ ) {\displaystyle (GF,\eta ,G\varepsilon F)=(T,\eta ,\mu )} ，而態射是在 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此，艾倫伯格－摩爾範疇的自由－遺忘伴隨 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} 是 A d j ( C , T ) {\displaystyle \mathbf {Adj} ({\mathcal {C}},T)} 的終物件，而始物件是克萊斯利範疇（英语：Kleisli category） C T {\displaystyle {\mathcal {C}}_{T}} ，定義為 C T {\displaystyle {\mathcal {C}}^{T}} 中的自由 T {\displaystyle T} 代數組成的完全子範疇，即僅包含形如 T ( x ) {\displaystyle T(x)} 的 T {\displaystyle T} 代數，其中 x {\displaystyle x} 歷遍 C {\displaystyle {\mathcal {\mathcal {C}}}} 的物件。 設有伴隨關係 ( F : C → D , G : D → C , η , ε ) {\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )} ，對應單子為 T {\displaystyle T} ，則函子 G {\displaystyle G} 可分解為 D → G ~ C T → F C , {\displaystyle {\mathcal {D}}\xrightarrow {\tilde {G}} {\mathcal {C}}^{T}\xrightarrow {F} {\mathcal {C}},} 其中 F {\displaystyle F} 是遺忘函子。換言之，對 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 中任意物件 Y {\displaystyle Y} ，都能賦予 G ( Y ) {\displaystyle G(Y)} 自然的 T {\displaystyle T} 代數結構。若分解式中，首個函子 G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} 給出 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 與 C T {\displaystyle C^{T}} 兩範疇間的等價，則形容該伴隨關係為單子的（英語：monadic）。後亦引申用作形容函子，若函子 G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} 有左伴隨 F {\displaystyle F} ，且該伴隨關係為單子的，則 G {\displaystyle G} 亦稱為單子的。例如，群範疇與集合範疇間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子 T {\displaystyle T} 上的 T {\displaystyle T} 代數是群（見前文）。一般而言，若有伴隨關係 ( F : C → D , G : D → C , η , ε ) {\displaystyle (F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}},G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\eta ,\varepsilon )} 為單子的，則單從 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的物件及其上的 T {\displaystyle T} 作用，已足以重組出 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 的物件。 貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版： 若滿足以下三項條件： G {\displaystyle G} 為保守函子（英语：conservative functor），換言之， G {\displaystyle G} 反映同構（英語：reflects isomorphisms），即對 D {\displaystyle {\mathcal {D}}} 中每一支態射，其為同構當且僅當在 G {\displaystyle G} 作用下的像為 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的同構； C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 有餘等化子（英语：coequalizer）； G {\displaystyle G} 保餘等化子（英语：coequalizer）； 則 G {\displaystyle G} 為單子的。 例如，由緊豪斯多夫空间範疇 C H a u s {\displaystyle \mathbf {CHaus} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子是單子的。然而，由任意拓撲空間範疇 T o p {\displaystyle \mathbf {Top} } 到集合範疇 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為同胚。 貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對拓撲斯論及有關下降（英语：descent (category theory)）的代数几何課題有用。 餘單子的伴隨關係，首先有下列例子： − ⊗ A B : M o d A ⇄ M o d B : F , {\displaystyle -\otimes _{A}B:\mathbf {Mod} _{A}\rightleftarrows \mathbf {Mod} _{B}:F,} 其中 A , B {\displaystyle A,B} 皆為交換環，左伴隨用到的張量積 ⊗ A {\displaystyle \otimes _{A}} 的定義中，選定了環同態 A → B {\displaystyle A\to B} ，而右伴隨 F {\displaystyle F} 是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當 B {\displaystyle B} 為忠實平坦 A {\displaystyle A} 模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據（英語：descent datum，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的 B {\displaystyle B} 模，降成 A {\displaystyle A} 模。所得的忠實平坦下降（英语：faithfully flat descent）理論，廣泛應用於代數幾何。 函数式编程中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見单子 (函数式编程)。 範疇論邏輯中，藉闭包算子、內代數，以及兩者與S4模態邏輯、直觉主义逻辑的關係，能以單子餘單子理論類比模态逻辑。 亦可定義2-範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中的單子。 單子間的分配律（英语：Distributive law between monads） 洛維爾理論（英语：Lawvere theory） 单子 (函数式编程)——函數式編程中，用作構造通用類型的設計模式 多子 (範疇論)（英语：Polyad） 強單子（英语：Strong monad） Barr, Michael; Wells, Charles. 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