輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。 輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag（英语：Eduardo Sontag）在1989年開始使用。 考慮非時變常微分方程，其形式如下 其中 u : R + → R m {\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}} 是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 f {\displaystyle f} 是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一绝对连续的解。 若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數（英语：comparison function）分類。令 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} （K類函數）為連續遞增函數 γ : R + → R + {\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}} ，且 γ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \gamma (0)=0} 形成的集合，令 K ∞ {\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }} 為無界函數 γ ∈ K {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}} ，再令 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}} （KL類函數）為若 β ( ⋅ , t ) ∈ K {\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}} 在所有的 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} 都成立，而且針對所有的 r > 0 {\displaystyle r>0} ， β ( r , ⋅ ) {\displaystyle \beta (r,\cdot )} 連續，且嚴格遞減至0。 系統(1)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統 是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}} 使得針對所有的初值 x 0 {\displaystyle x_{0}} 以及任意時間 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} ，以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效＞： 系統(1)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 γ ∈ K {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}} 且 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}} 使得針對所有初值 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，所有可行的輸入 u {\displaystyle u} 以及任意時間 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} ，以下的不等式都成立 上述不等式中的函數 γ {\displaystyle \gamma } 稱為增益（gain）。 很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。 也可以證明若在 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } 時， | u ( t ) | → 0 {\displaystyle |u(t)|\to 0} ，則在 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } 時， | x ( t ) | → 0 {\displaystyle |x(t)|\to 0} 。 為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。 系統(1)為全域穩定（GS），若存在 γ , σ ∈ K {\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}} ，使得對於 ∀ u {\displaystyle \forall u} 、 ∀ t ≥ 0 {\displaystyle \forall t\geq 0} 及 ∀ x 0 {\displaystyle \forall x_{0}} ，下式都成立 系統(1)滿足漸近增益（AG）特性，若存在 γ ∈ K {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}} ，使得對於 ∀ x 0 {\displaystyle \forall x_{0}} , ∀ u {\displaystyle \forall u} ，下式都成立 以下的描述都是等效的 ： (1)有ISS（輸入-狀態穩定性） (1)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性 (1)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性 在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性。 ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。 光滑函數 V : R n → R + {\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}} 是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若 ∃ ψ 1 , ψ 2 ∈ K ∞ {\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }} , χ ∈ K {\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}} ，以及正定函數 α {\displaystyle \alpha } ，使得下式成立： ψ 1 ( | x | ) ≤ V ( x ) ≤ ψ 2 ( | x | ) , ∀ x ∈ R n {\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}} 以及 ∀ x ∈ R n , ∀ u ∈ R m {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}} ，下式成立： | x | ≥ χ ( | u | )   ⇒   ∇ V ⋅ f ( x , u ) ≤ − α ( | x | ) , {\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),} 函數 χ {\displaystyle \chi } 稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。 若系統(1)沒有輸入（也就是 u ≡ 0 {\displaystyle u\equiv 0} ），則最後一式可以簡化如下 ∇ V ⋅ f ( x , u ) ≤ − α ( | x | ) ,   ∀ x ≠ 0 , {\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,} 因此 V {\displaystyle V} 也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。 E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數。 考慮一系統 x ˙ = − x 3 + u x 2 . {\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.} 定義候選的ISS-李亞普諾夫函數 V : R → R + {\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}} 如下 V ( x ) = 1 2 x 2 , ∀ x ∈ R . {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .} V ˙ ( x ) = ∇ V ⋅ ( − x 3 + u x 2 ) = − x 4 + u x 3 . {\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.} 選擇李亞普諾夫增益 χ {\displaystyle \chi } 為 χ ( r ) := 1 1 − ϵ r {\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r} . 可以得到在 x , u :   | x | ≥ χ ( | u | ) {\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)} 的條件下，下式成立 V ˙ ( x ) ≤ − | x | 4 + ( 1 − ϵ ) | x | 4 = − ϵ | x | 4 . {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.} 可得 V {\displaystyle V} 是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為 χ {\displaystyle \chi } 。 系統(1)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數 α , γ ∈ K {\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}} 及 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}} ，使得針對所有初值 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，所有可行的輸入 u {\displaystyle u} 及任意時間 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} 下，以下不等式都會成立： 積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有 r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} ，令 α ( r ) = γ ( r ) = r {\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r} ，且令 u ≡ c = c o n s t {\displaystyle u\equiv c=const} ，則估計(3)會變成以下的形式 | x ( t ) | ≤ β ( | x 0 | , t ) + ∫ 0 t c d s = β ( | x 0 | , t ) + c t , {\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,} 隨著 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } ，等號右側會趨近無限大 t → ∞ {\displaystyle t\to \infty } 。 局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1)為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數 ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} 、函數 γ ∈ K {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}} 及 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}} 使得：針對所有 x 0 ∈ R n : | x 0 | ≤ ρ {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho } ，所有可行的輸入 u : ‖ u ‖ ∞ ≤ ρ {\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho } 及任意時間 t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} ，下式都成立 可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性。 也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）等。 考慮非時變的时滞微分方程 其中 x t ∈ C ( [ − θ , 0 ] ; R N ) {\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})} 是系統(TDS)在時間 t {\displaystyle t} 的狀態， x t ( τ ) = x ( t + τ ) ,   τ ∈ [ − θ , 0 ] {\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]} 及 f : C ( [ − θ , 0 ] ; R N ) × R m {\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}} 需滿足特定假設，以確保系統(TDS)的解存在且唯一。 系統(TDS)為ISS，若且唯若存在函數 β ∈ K L {\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}} 及 γ ∈ K {\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}} ，使得針對所有 ξ ∈ C ( [ − θ , 0 ] , R N ) {\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})} ，所有可行的輸入，在任意時間 t ∈ R + {\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}} 下，下式都成立 在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理。 以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統、混合系統。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法。 Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. 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