巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，是度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡·巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。 设(X, d)为非空的完备度量空间。设T : X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q < 1，使得对于所有X内的x和y，都有： d ( T ( x ) , T ( y ) ) ≤ q ⋅ d ( x , y ) {\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\cdot d(x,y)} 那么映射T在X内有且只有一个不动点x*（这就是说，Tx* = x*）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x0开始，定义一个迭代序列xn = Txn-1，其中n = 1，2，3，……。那么，这个序列收敛，极限为x*。以下的不等式描述了收敛的速率： d ( x ∗ , x n ) ≤ q n 1 − q d ( x 1 , x 0 ) . {\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}).} 等价地： d ( x ∗ , x n + 1 ) ≤ q 1 − q d ( x n + 1 , x n ) {\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})} 且 d ( x ∗ , x n + 1 ) ≤ q d ( x n , x ∗ ) . {\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*}).} 满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。 注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映射T : [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧的，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。 当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是如何恰当地定义X，使T把元素从X映射到X，即Tx总是X的一个元素。 选择任何 x 0 ∈ ( X , d ) {\displaystyle x_{0}\in (X,d)} 。如果 T x 0 = x 0 {\displaystyle Tx_{0}=x_{0}} ，则不必证明；以下设 x 1 = T x 0 ≠ x 0 {\displaystyle x_{1}=Tx_{0}\neq x_{0}} 。对于每一个 n ∈ { 2 , … } {\displaystyle n\in \{2,\ldots \}} ，定义 x n = T x n − 1 {\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!} 。我们声称对于所有的 n ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}} ，以下等式都成立： d ( x n + 1 , x n ) ≤ q n d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})} 。 我们用数学归纳法来证明。对于 n = 1 {\displaystyle n=1\,\!} 的情况，命题是成立的，这是因为： d ( x 1 + 1 , x 1 ) = d ( x 2 , x 1 ) = d ( T x 1 , T x 0 ) ≤ q d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(Tx_{1},Tx_{0})\leq qd(x_{1},x_{0})} 。 假设命题对于某个 k ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}} 是成立的。那么，我们有： 从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的 n ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}} ，以上的命题都成立。 设 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0\,\!} 。由于 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} ，我们便可以找出一个较大的 N ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}} ，使得： q N < ϵ ( 1 − q ) d ( x 1 , x 0 ) {\displaystyle q^{N}<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}} 。 利用以上的命题，我们便有对于任何 m {\displaystyle m\,\!} ， n ∈ { 0 , 1 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}} 以及 m > n ≥ N {\displaystyle m>n\geq N} ，都有： 第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} ，因此它收敛。以上表明 { x n } n ≥ 0 {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}} 是 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)\,\!} 内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设 x ∗ = lim n → ∞ x n {\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}} 。我们作出两个声明：第一， x ∗ {\displaystyle x^{*}\,\!} 是 T {\displaystyle T\,\!} 的一个不动点，也就是说， T x ∗ = x ∗ {\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!} ；第二， x ∗ {\displaystyle x^{*}\,\!} 是 T {\displaystyle T\,\!} 在 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)\,\!} 中的唯一的不动点。 为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的 n ∈ { 0 , 1 , … } {\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}} ，都有： 0 ≤ d ( x n + 1 , T x ∗ ) = d ( T x n , T x ∗ ) ≤ q d ( x n , x ∗ ) {\displaystyle 0\leq d(x_{n+1},Tx^{*})=d(Tx_{n},Tx^{*})\leq qd(x_{n},x^{*})} 。 由于当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时， q d ( x n , x ∗ ) → 0 {\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0} ，因此根据夹挤定理，可知 lim n → ∞ d ( x n + 1 , T x ∗ ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0} 。这表明当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时， x n → T x ∗ {\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}} 。但当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时， x n → x ∗ {\displaystyle x_{n}\to x^{*}} ，且极限是唯一的；因此，一定是 x ∗ = T x ∗ {\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!} 的情况。 为了证明第二个命题，我们假设 y {\displaystyle y\,\!} 也满足 T y = y {\displaystyle Ty=y\,\!} 。那么： 0 ≤ d ( x ∗ , y ) = d ( T x ∗ , T y ) ≤ q d ( x ∗ , y ) {\displaystyle 0\leq d(x^{*},y)=d(Tx^{*},Ty)\leq qd(x^{*},y)} 。 由于 0 ≤ q < 1 {\displaystyle 0\leq q<1} ，因此上式意味着 0 ≤ ( 1 − q ) d ( x ∗ , y ) ≤ 0 {\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0} ，这表明 d ( x ∗ , y ) = 0 {\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!} ，于是根据正定性， x ∗ = y {\displaystyle x^{*}=y\,\!} ，定理得证。 巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的： 设 f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} 为一个抽象集合的映射，使得每一个迭代f n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。 一个有趣的事实是，若把某国的地图缩小后印在该国领土内部，那么在地图上有且仅有这样一个点，它在地图中的位置也恰巧表示它所落在的土地位置。证明如下： 为了方便起见，这里把地球近似看作是正球体。 首先，按照经纬度可以给地球表面上每一个点标出坐标 (x, y)，其中前元是经度、后元是纬度。又定义地面上任意两点间的距离 d(A, B) 是 A 到 B 间大圆弧的弧长。 其次，把这国家的地图上的点按照其所代表点的实际经纬度标出坐标 (u, v)。 那么对于地图上任意一点 P 而言，它既在地图上表示地点 (up, vp)，又实际在地面上占有点 (xp, yp)。显然，这构成了从集合 S={P|P 是地面上的点且 P 属于该国领土} 到其本身的映射，现记作 M(P)=M((xp, yp))=(up, vp)。 又因为地图是缩小的，即对于任意两个地点 A∈S、B∈S 而言，d(A, B)>d(M(A), M(B))，也即 M(P) 是一个压缩映射。 事实上，取实数 k>1 作为地图比例尺的分母、即 1:k，那么由比例尺的定义知 d(A, B)=kd(M(A), M(B))，两边同除以 k 得 d(A, B)*(1/k)=d(M(A), M(B))。换言之，存在实数 q=1/k<1 满足对于 S 内所有的 A 和 B，d(M(A), M(B))≤qd(A, B)，这里等号总是成立。 现在将 S 视为以 d 为度量的空间，那么它显然是一个完备度量空间。 根据巴拿赫不动点定理，M 在 S 内有且仅有一个不动点，即该点恰好被印在它所表示的土地位置上。Q.E.D. 关于巴拿赫不动点定理的推广，请参见无穷维空间中的不动点定理。 Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7. Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5. Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. 2001. ISBN 978-0-471-41825-2.  William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2. Bourbawiki[永久失效連結]上巴拿赫不动点定理的证明