P進賦值

在數論上，一個整數n的p進賦值指的是能除盡n的質數p的最高次方，一般記做 ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(n)} 。一個等價的定義是， ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(n)} 是n的質因數分解中p的次方數。 p進賦值是一個賦值，且其賦值可作為常規絕對值的類比。就如常規絕對值是有理數在實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的完備化一般，p進絕對值是有理數在P進數 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} . 以下假定p為質數。 整數n的p進賦值定義如下： ν p ( n ) = { m a x { k ∈ N : p k ∣ n } if  n ≠ 0 ∞ if  n = 0 , {\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}} 其中 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是自然數的集合，而 m ∣ n {\displaystyle m\mid n} 代表 n {\displaystyle n} 可被 m {\displaystyle m} 整除。特別地， ν p {\displaystyle \nu _{p}} 的定義域及值域如次： ν p : Z → N ∪ { ∞ } {\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}} . 像例如說， ν 2 ( − 12 ) = 2 {\displaystyle \nu _{2}(-12)=2} , ν 3 ( − 12 ) = 1 {\displaystyle \nu _{3}(-12)=1} ，而 ν 5 ( − 12 ) = 0 {\displaystyle \nu _{5}(-12)=0} since | − 12 | = 12 = 2 2 ⋅ 3 1 ⋅ 5 0 {\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}} 。 p k ∥ n {\displaystyle p^{k}\parallel n} 這符號有時用以表示 k = ν p ( n ) {\displaystyle k=\nu _{p}(n)} 。 若 n {\displaystyle n} 是一個正整數，那麼有 ν p ( n ) ≤ log p ⁡ n {\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n} 而這可由 n ≥ p ν p ( n ) {\displaystyle n\geq p^{\nu _{p}(n)}} 直接推得。 p進賦值可以下述函數的形式延伸到有理數上： ν p : Q → Z ∪ { ∞ } {\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}} 其定義如下： ν p ( r s ) = ν p ( r ) − ν p ( s ) {\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)} 像例如說， ν 2 ( 9 8 ) = − 3 {\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3} 且 ν 3 ( 9 8 ) = 2 {\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2} ，而這是因為 9 8 = 2 − 3 ⋅ 3 2 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}} 之故。 有理數上的賦值其中一些性質如下： ν p ( r ⋅ s ) = ν p ( r ) + ν p ( s ) {\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)} ν p ( r + s ) ≥ min { ν p ( r ) , ν p ( s ) } {\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}} 此外，若 ν p ( r ) ≠ ν p ( s ) {\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)} ，那麼 ν p ( r + s ) = min { ν p ( r ) , ν p ( s ) } {\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}} 其中 min {\displaystyle \min } 是最小值（也就是兩者中較小者）。 有理數集 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的p進絕對值定義如下： | ⋅ | p : Q → R ≥ 0 {\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}} 而其定義為 | r | p = p − ν p ( r ) . {\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.} 因此對所有的 p {\displaystyle p} 而言， | 0 | p = p − ∞ = 0 {\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0} ；而一個p進絕對值的例子如次： | − 12 | 2 = 2 − 2 = 1 4 {\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}} and | 9 8 | 2 = 2 − ( − 3 ) = 8 {\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8} p進絕對值滿足下列性質： 由積性 | r s | p = | r | p | s | p {\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}} 可知，對於單位根 1 {\displaystyle 1} 和 − 1 {\displaystyle -1} 而言， | 1 | p = 1 = | − 1 | p {\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}} ，因此這表示說 | − r | p = | r | p {\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}} ；而次可加性 | r + s | p ≤ | r | p + | s | p {\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}} 可由非阿基米德三角不等式 | r + s | p ≤ max ( | r | p , | s | p ) {\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)} 得出。 對 p − ν p ( r ) {\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}} 這個冪的基底p的選取不會影響其性質；然而有以下的性質： ∏ 0 , p | r | p = 1 {\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1} 其中此乘積遍歷所有的質數p及常規絕對值，而此處常規絕對值記做 | r | 0 {\displaystyle |r|_{0}} 。 這項可由質因數分解得出：質因數的冪 p k {\displaystyle p^{k}} 會成為相對應的p進絕對值的倒數；而將之乘以常規絕對值後，這些倒數項會被消去。 一些人可能會將p進絕對值給稱為「p進範數」；[來源請求]然而因其不滿足齊次性之故，因此並非真正的範數。 一個度量空間可用如下（非阿基米德且平移對稱（英语：Translational symmetry）的）度量由 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 生成： d : Q × Q → R ≥ 0 {\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}} 其定義為 d ( r , s ) = | r − s | p . {\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.} 以此度量對有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 所做的完備化即p進數的集合 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 。 p進數 阿基米德公理 重複度 奥斯特洛夫斯基定理 勒讓德定理 中的完備化。Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. Wiley. 2003: 758–759. ISBN 0-471-43334-9.  Ireland, K.; Rosen, M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York: Springer-Verlag. 2000: 3.  Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. An Introduction to the Theory of Numbers 5th. John Wiley & Sons. 1991: 4. ISBN 0-471-62546-9.  再延伸的數線上，這帶有一般的序關係，也就是說 ∞ > n {\displaystyle \infty >n} , 及算術關係 ∞ + n = n + ∞ = ∞ {\displaystyle \infty +n=n+\infty =\infty } Khrennikov, A.; Nilsson, M. p-adic Deterministic and Random Dynamics. Kluwer Academic Publishers. 2004: 9.