拉馬努金求和

拉馬努金求和（英語：Ramanujan summation）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統的和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。 拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得： 1 2 f ( 0 ) + f ( 1 ) + ⋯ + f ( n − 1 ) + 1 2 f ( n ) = 1 2 [ f ( 0 ) + f ( n ) ] + ∑ k = 1 n − 1 f ( k ) = ∫ 0 n f ( x ) d x + ∑ k = 1 p B k + 1 ( k + 1 ) ! [ f ( k ) ( n ) − f ( k ) ( 0 ) ] + R p {\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}} 拉馬努金寫道：當p趨近於無限大， ∑ k = 1 x f ( k ) = C + ∫ 0 x f ( t ) d t + 1 2 f ( x ) + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( x ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)} ， 其中C是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R趨近於0，而x趨近於無限大；當一函數 f(x) 在x = 0不發散： C ( a ) = ∫ 0 a f ( t ) d t − 1 2 f ( 0 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)} 其中拉馬努金假設 a = 0 {\displaystyle \scriptstyle a\,=\,0} 。若設 a = ∞ {\displaystyle \scriptstyle a\,=\,\infty } ，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散，可得： C ( a ) = ∫ 1 a f ( t ) d t + 1 2 f ( 1 ) − ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! f ( 2 k − 1 ) ( 1 ) {\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)} C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。 下文中， ( ℜ ) {\displaystyle \scriptstyle (\Re )} 表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。 舉例來說，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯的 ( ℜ ) {\displaystyle \scriptstyle (\Re )} 為: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ = 1 2   ( ℜ ) {\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )} 。 拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到 ( ℜ ) {\displaystyle \scriptstyle (\Re )} 這個值。 又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯的拉馬努金和 ( ℜ ) {\displaystyle \scriptstyle (\Re )} ： 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12   ( ℜ ) {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )} 延伸至正偶數冪，可得： 1 + 2 2 k + 3 2 k + ⋯ = 0   ( ℜ ) {\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )} 而奇數冪的結果則與伯努利數有關： 1 + 2 2 k − 1 + 3 2 k − 1 + ⋯ = − B 2 k 2 k   ( ℜ ) {\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )} 目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數 ∑ k = 1 ∞ f ( k ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)} 允許唯一的拉馬努金求和結果。 如此拉馬努金求和的定義（標作 ∑ n ≥ 1 ℜ f ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)} ）與早期拉馬努金求和C(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若R(x)趨近於一個有限值極限，當x → +1，則此級數 ∑ n ≥ 1 ℜ f ( n ) {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)} 是收斂的，而可得 ∑ n ≥ 1 ℜ f ( n ) = lim N → ∞ [ ∑ n = 1 N f ( n ) − ∫ 1 N f ( t ) d t ] {\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]} 。 特別是如下例子： ∑ n ≥ 1 ℜ 1 n = γ {\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma } 其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。 拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出 ∫ a ∞ x m − s d x = m − s 2 ∫ a ∞ x m − 1 − s d x + ζ ( s − m ) − ∑ i = 1 a i m − s + a m − s − ∑ r = 1 ∞ B 2 r Γ ( m − s + 1 ) ( 2 r ) ! Γ ( m − 2 r + 2 − s ) ( m − 2 r + 1 − s ) ∫ a ∞ x m − 2 r − s d x {\displaystyle {\begin{array}{l}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}} ， 此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。 迭代方程式為有限的，因為當 m − 2 r < − 1 {\displaystyle m-2r<-1} ， ∫ a ∞ d x x m − 2 r = − a m − 2 r + 1 m − 2 r + 1 {\displaystyle \qquad \int _{a}^{\infty }dxx^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}} ； 其中 I ( n , Λ ) = ∫ 0 Λ d x x n {\displaystyle I(n,\,\Lambda )\,=\,\int _{0}^{\Lambda }dxx^{n}} （參見：黎曼ζ函數正規化（英语：Zeta function regularization）。） 要是 Λ → ∞ {\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty } ，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。 發散級數 切薩羅求和 博雷爾求和 拉馬努金和 1 - 1 + 1 - ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + … Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互联网档案馆的存檔，存档日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149. The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation. [20 January 2014]. （原始内容存档于2017-06-06）.  Infinite series are weird. [20 January 2014]. （原始内容存档于2020-11-08）.  Éric Delabaere, Ramanujan's Summation （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.