圖同態

数学分支圖論中，圖同態（英語：graph homomorphism）是兩幅图之間保結構的映射。具體而言，該映射將某圖的各顶点映至另一圖的頂點，且若兩頂點相鄰，則其像仍然相鄰。 同態是若干種圖着色概念的推廣，適用於表達一類重要的約束滿足問題，如排程、頻段分配（英语：frequency assignment）問題。同態可以複合，為全體圖組成的類賦予豐富的代數結構：其上的预序关系、分配格結構、範疇結構（分為無向圖範疇與有向圖範疇兩種）。欲尋找任意兩圖間的同態，而無額外條件，則現時所知的計算複雜度（英语：computational complexity）高得不切實際，但對於某些特定類別的圖，已知有多項式時間算法。此類問題易解與否，兩者的分野，是活躍的研究方向。 本條目中，除非另有聲明，否則「圖」皆為有限無向圖，允許自环，但無重边（兩點間連多於一條邊）。自 G = ( V ( G ) , E ( G ) ) {\displaystyle G=(V(G),E(G))} 至另一圖 H = ( V ( H ) , E ( H ) ) {\displaystyle H=(V(H),E(H))} 的圖同態 f {\displaystyle f} ，記作 f : G → H , {\displaystyle f:G\to H,} 是頂點集 V ( G ) {\displaystyle V(G)} 至 V ( H ) {\displaystyle V(H)} 的函數，其將 G {\displaystyle G} 每條邊的兩端分別映至 H {\displaystyle H} 某邊的兩端。以符號表示：對 V ( G ) {\displaystyle V(G)} 中每對頂點 u , v {\displaystyle u,v} ，若 { u , v } ∈ E ( G ) {\displaystyle \{u,v\}\in E(G)} ，則 { f ( u ) , f ( v ) } ∈ E ( H ) {\displaystyle \{f(u),f(v)\}\in E(H)} 。若存在 G {\displaystyle G} 至 H {\displaystyle H} 的同態，則稱 G {\displaystyle G} 同態於（homomorphic to） H {\displaystyle H} ，或可染 H {\displaystyle H} 色（ H {\displaystyle H} -colourable），常簡記為： G → H . {\displaystyle G\to H.} 上述定義可引伸至有向圖，此時， f : G → H {\displaystyle f:G\to H} 為同態的條件是， G {\displaystyle G} 中每條有向邊 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 的像 ( f ( u ) , f ( v ) ) {\displaystyle (f(u),f(v))} ，仍是 H {\displaystyle H} 的有向邊。 自 G {\displaystyle G} 至 H {\displaystyle H} 有單同態（將不同頂點映至不同頂點），當且僅當 G {\displaystyle G} 為 H {\displaystyle H} 的子圖。若同態 f : G → H {\displaystyle f:G\to H} 為双射（兩圖頂點集的一一對應），且其逆 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 亦是圖同態，則 f {\displaystyle f} 為图同构。 圖的覆疊映射（英语：Covering graph）是一類特殊的圖同態，相當於將圖視為拓撲空間（英语：Graph (topology)）時，拓撲學上的覆疊映射，其定義及性質亦是類似：圖覆疊是滿同態（即作為陪域的圖，其每個頂點皆為定義域某頂點的像），且局部為雙射，即若限制到每個頂點的鄰域（英语：neighbourhood (graph theory)），則為雙射。舉例，圖的典範雙重覆疊（英语：bipartite double cover），是將每點 v {\displaystyle v} 分裂為 v 0 , v 1 {\displaystyle v_{0},v_{1}} 兩點，並將原圖每條邊 u v {\displaystyle uv} 換成交叉的兩條邊 u 0 v 1 {\displaystyle u_{0}v_{1}} 、 u 1 v 0 {\displaystyle u_{1}v_{0}} 。如此，可以定義函數將 v 0 {\displaystyle v_{0}} 和 v 1 {\displaystyle v_{1}} 皆映至 v {\displaystyle v} ，既是圖同態，也是覆疊映射。 圖同胚是另一個概念，不一定是同態。粗略而言，同胚要求是單射，但不必將邊映至邊，允許映至路徑。图子式的要求更鬆。 若兩幅圖 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} 有同態 G → H {\displaystyle G\to H} 及 H → G {\displaystyle H\to G} ，則稱兩者同態等價（homomorphically equivalent）。該些映射不必單，也不必滿。例如，完全二部圖 K 2 , 2 {\displaystyle K_{2,2}} 與 K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} 同態等價，因為可將 K 2 , 2 {\displaystyle K_{2,2}} 左部兩個頂點映到 K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} 左部同一個頂點，其右部的兩個頂點映到 K 3 , 3 {\displaystyle K_{3,3}} 右部一個頂點，同樣有 K 3 , 3 → K 2 , 2 {\displaystyle K_{3,3}\to K_{2,2}} 的同態。 收縮映射（retraction）是自圖 G {\displaystyle G} 至其子圖 H {\displaystyle H} 的同態 r {\displaystyle r} ，且對 H {\displaystyle H} 中每個頂點 v {\displaystyle v} 有 r ( v ) = v {\displaystyle r(v)=v} 。若有此種映射，則 H {\displaystyle H} 稱為 G {\displaystyle G} 的收縮核（retract）。 核圖（core）沒有到任何真子圖的同態。亦可等價定義成無法收縮到任何真子圖的圖。每幅圖 G {\displaystyle G} 皆同態等價於唯一的核圖（不辨同構之別），稱為 G {\displaystyle G} 的核（the core of G {\displaystyle G} ）。此結論對無窮圖不一定成立，但對（有限的）有向圖可以照套用同樣的定義，每幅有向圖同態等價於唯一的核圖。圖（或有向圖）的核，必為原圖某個收縮核，以及某個导出子图。 舉例，完全圖 K n {\displaystyle K_{n}} 及奇環（奇數條邊的循环图）皆屬核圖。若 G {\displaystyle G} 可染三色，且有三角形（即子圖 K 3 {\displaystyle K_{3}} ），則 G {\displaystyle G} 同態等價於 K 3 {\displaystyle K_{3}} ，原因是 G {\displaystyle G} 的三染色，下節將說明相當於同態 G → K 3 {\displaystyle G\to K_{3}} ，且另一方面，任意子圖皆有同態嵌入到 G {\displaystyle G} ，故有 K 3 → G {\displaystyle K_{3}\to G} 。如此，證畢 K 3 {\displaystyle K_{3}} 為所有此種 G {\displaystyle G} 的核。與之相似，每幅非空二部圖（有至少一條邊）皆等價於 K 2 {\displaystyle K_{2}} 。 對正整數 k {\displaystyle k} ，圖 G {\displaystyle G} 的 k {\displaystyle k} 染色是將每個頂點塗 k {\displaystyle k} 色之一，使每條邊的兩端都不同色。此種染色，與自 G {\displaystyle G} 至完全圖 K k {\displaystyle K_{k}} 的同態，兩類物件一一對應，因為 K k {\displaystyle K_{k}} 的各頂點對應 k {\displaystyle k} 種色，且若 c 1 , c 2 {\displaystyle c_{1},c_{2}} 為顏色，則其於圖 K k {\displaystyle K_{k}} 相鄰當且僅當 c 1 ≠ c 2 {\displaystyle c_{1}\neq c_{2}} 。於是，某函數是 G {\displaystyle G} 至 K k {\displaystyle K_{k}} 的同態，當且僅當該函數將 G {\displaystyle G} 中相鄰的頂點映至不同顏色（即 k {\displaystyle k} 染色的定義）。換言之， G {\displaystyle G} 可染 k {\displaystyle k} 色等價於可染 K k {\displaystyle K_{k}} 色。 若有同態 G → H {\displaystyle G\to H} 及 H → K k {\displaystyle H\to K_{k}} ，則兩者複合可得同態 G → K k {\displaystyle G\to K_{k}} 。所以，若 H {\displaystyle H} 可染 k {\displaystyle k} 色，且有同態 G → H {\displaystyle G\to H} ，則 G {\displaystyle G} 同樣可染 k {\displaystyle k} 色。因此， G → H {\displaystyle G\to H} 推出 χ ( G ) ≤ χ ( H ) {\displaystyle \chi (G)\leq \chi (H)} ，其中 χ {\displaystyle \chi } 表示圖的色數。 其他同態亦可視作特殊的染色。給定圖 H {\displaystyle H} ，其頂點視為可用的顏色，每條邊表示某兩色「可兼容」，則 G {\displaystyle G} 的 H {\displaystyle H} 染色就是將相鄰頂點染成相容顏色的方案。此框架可容納許多圖染色的概念，將其表述為射向各類圖的同態。舉例如下： 循環染色（英语：Circular coloring）可定義為至循環完全圖（英语：circular clique）的同態，從而推廣一般的染色，定義「分數」色數。 分數染色（英语：Fractional coloring）與b重染色（英语：Fractional coloring）可定義成射向克內澤爾圖（英语：Kneser graph）的同態。 T染色（英语：T-coloring）的可用色集為自然數集 N {\displaystyle \mathbb {N} } ，但另有給定某子集 T ⊆ N {\displaystyle T\subseteq \mathbb {N} } ，禁止相鄰頂點所染顏色之差屬於 T {\displaystyle T} 。此種染色對應往某幅無窮圖的同態。 有向染色（英语：oriented coloring）除禁止相鄰頂點同色外，還限制不同顏色之間的所有邊皆同向（例如由藍至紅）。此為映向有向圖（英语：oriented graph）的同態。 L(2,1)染色（英语：L(2,1)-coloring）以數表示顏色，要求距離為1（相鄰）的頂點所染顏色之差至少為2，而距離為2的頂點染色之差至少為1。換言之，此為射向路圖 P n {\displaystyle P_{n}} 之補的同態，且要求局部為單射，即在每個頂點的鄰域上為單射。 圖同態與圖定向（英语：Orientation (graph theory)）也有關。無向圖 G {\displaystyle G} 的定向是賦予每邊一個方向（二選一），所得的有向圖。同一幅無向圖可以有多種不同的定向。舉例，完全圖 K k {\displaystyle K_{k}} 可定向成「遞移循環賽圖（英语：Tournament (graph theory)）」 T k → {\displaystyle {\overrightarrow {T_{k}}}} ，其頂點為 1 , 2 , … , k {\displaystyle 1,2,\ldots ,k} ，對所有 i < j {\displaystyle i<j} 有（有向）邊自 i {\displaystyle i} 指向 j {\displaystyle j} 。給定 G {\displaystyle G} 的定向與 H {\displaystyle H} 的定向之間的同態，忘掉定向即得本來無向圖之間的同態。另一方面，給定無向圖同態 G → H {\displaystyle G\to H} ， H {\displaystyle H} 任何定向 H → {\displaystyle {\overrightarrow {H}}} 可以拉回到 G {\displaystyle G} 的定向 G → {\displaystyle {\overrightarrow {G}}} ，使原同態亦是 G → → H → {\displaystyle {\overrightarrow {G}}\to {\overrightarrow {H}}} 的有向圖同態。綜上，無向圖 G {\displaystyle G} 可染 k {\displaystyle k} 色（即有同態至 K k {\displaystyle K_{k}} ），當且僅當 G {\displaystyle G} 有某定向，具有至 T k → {\displaystyle {\overrightarrow {T_{k}}}} 的同態。 有定理流傳，對每個 k {\displaystyle k} ，有向圖 G {\displaystyle G} 有同態至 T k → {\displaystyle {\overrightarrow {T_{k}}}} ，當且僅當 k + 1 {\displaystyle k+1} 個頂點的有向路徑圖（英语：path graph） P k + 1 → {\displaystyle {\overrightarrow {P_{k+1}}}} 無同態至 G {\displaystyle G} 。 因此，某圖可 k {\displaystyle k} 染色，當且僅當其有某定向，不容任何自 P k + 1 → {\displaystyle {\overrightarrow {P_{k+1}}}} 至該定向的同態。此命題可加強成 高洛伊-哈塞-羅伊-維塔韋爾定理（英语：Gallai–Hasse–Roy–Vitaver theorem）：某圖可 k {\displaystyle k} 染色，當且僅當該圖有某定向，其中無長為 k {\displaystyle k} 的有向路徑（即 P k + 1 → {\displaystyle {\overrightarrow {P_{k+1}}}} 作為子圖）。 與前一命題的分別在於，自 P k + 1 → {\displaystyle {\overrightarrow {P_{k+1}}}} 至某圖的同態允許將兩頂點映至同處，但「長為 k {\displaystyle k} 的有向路徑」不允許重複頂點。 某些排程問題可用圖同態建模。設學校已知各學生所選科目，要編排今學期各專題討論班的時間，使同一學生所選的討論班時間不致太近。考慮圖 G {\displaystyle G} 以各科為頂點，若兩科有共同學生則連邊，而圖 H {\displaystyle H} 以各課節為頂點，若兩個時段隔足夠遠則連邊。舉例若限制時間表須每週循環，且每個學生所選的討論班須相隔一日，則對應的 H {\displaystyle H} 是環 C 7 {\displaystyle C_{7}} 的補圖。如此， G → H {\displaystyle G\to H} 的圖同態，就是討論班對應到課節的合適方案。欲添加額外條件，如禁止學生同時於週五與週一有討論班，衹需從 H {\displaystyle H} 刪掉相應的邊。 無線電的頻段分配（英语：frequency allocation）問題簡述如下：无线网络中，有若干發訊機，要為每部機配置一個頻率，供其發訊。為免干擾，地理位置較近的發訊機應選用相差較遠的頻率。若將條件中「地理較近」與「頻率較遠」簡化至非黑即白，則合適的分配方案又可視為圖同態 G → H {\displaystyle G\to H} 。圖 G {\displaystyle G} 的頂點為各發訊機，邊表示兩機地理上接近；圖 H {\displaystyle H} 以各頻段為頂點，邊則表示兩頻段相隔夠遠。雖然此模型甚為簡化，但是尚有保留一點彈性：若有兩機相隔較遠，但仍因地形導致可能干擾，則在 G {\displaystyle G} 中加邊即可。反之，若有兩機永不在同一時段發訊，則不論其地理位置是否靠近，皆可從 G {\displaystyle G} 中刪去該邊。同樣，或許有某些頻率相差頗遠，但是互為谐波，導致干擾，則將該邊自 H {\displaystyle H} 移除即可 前述模型經簡化，若要實際應用，許多問題仍待解決。約束滿足問題是圖同態問題的推廣，能表達更多種條件（例如個體偏好，或重複分配次數有上限），從而建立更實際的數學模型。 數理邏輯或泛代數中，圖與有向圖屬關係結構的特例，即集合配備若干關係。有向圖就是基集（頂點集）之上有獨一個二元關係（鄰接關係）。如是觀之，圖作為關係結構的同態，按抽象代數的同態定義，等同於本文的圖同態。一般而言，欲尋找自某關係結構至另一關係結構的同態，屬於約束滿足問題（constraint satisfaction problem, CSP）。圖的特例可作為第一步，幫助理解更複雜的CSP。許多尋找圖同構的算法，包括回溯、約束傳播（英语：constraint propagation）、局部搜索（英语：Local search (constraint satisfaction)），通用於各種CSP。 給定圖 G {\displaystyle G} 、 H {\displaystyle H} ，問是否有同態 G → H {\displaystyle G\to H} ，相當於僅得一類約束的CSP實例：CSP的「變量」是 G {\displaystyle G} 的頂點，每個變量的「域」（可取值的範圍）是 H {\displaystyle H} 的頂點集。「賦值」是一個函數，將逐個變量映至域的元素，即函數 f : V ( G ) → V ( H ) {\displaystyle f:V(G)\to V(H)} 。 G {\displaystyle G} 的每條邊（或有向邊） ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 對應一個「約束」 ( ( u , v ) , E ( H ) ) {\displaystyle ((u,v),E(H))} ，限制賦值函數將邊 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 映至關係 E ( H ) {\displaystyle E(H)} 中，即映至 H {\displaystyle H} 的某邊。CSP的「解」是滿足全體約束的賦值，故前述CSP的解正是自 G {\displaystyle G} 至 H {\displaystyle H} 的同態。 同態的複合仍是同態，故可知圖的 → {\displaystyle \to } 關係具遞移性，又顯然自反，所以其為圖之間的預序。同態等價意義下，記 G {\displaystyle G} 所屬等价类為 [ G ] {\displaystyle [G]} ，每個等價類有唯一的核圖為其代表。關係 → {\displaystyle \to } 定義該些等價類之間的偏序，即同態等價類構成一個偏序集。 以 G < H {\displaystyle G<H} 表示 G {\displaystyle G} 有同態至 H {\displaystyle H} ，但反之則不然。如此定義的序 < {\displaystyle <} 稠密（英语：dense order），即對任意（無向）圖 G , H {\displaystyle G,H} ，若 G < H {\displaystyle G<H} ，則存在第三幅圖 K {\displaystyle K} 使 G < K < H {\displaystyle G<K<H} ，除非是平凡反例 G = K 0 {\displaystyle G=K_{0}} 或 G = K 1 {\displaystyle G=K_{1}} 。例如，任意兩幅整數階完全圖（除 K 0 , K 1 , K 2 {\displaystyle K_{0},K_{1},K_{2}} 外）之間，必有無窮多幅環狀完全圖（英语：circular clique），相當於整階數之間的有理數階數。 同態等價類的偏序集是分配格，併 [ G ] ∨ [ H ] {\displaystyle [G]\lor [H]} 是互斥併 [ G ⊔ H ] {\displaystyle [G\sqcup H]} ，而交 [ G ] ∧ [ H ] {\displaystyle [G]\land [H]} 是圖張量積（英语：tensor product of graphs） [ G × H ] {\displaystyle [G\times H]} ，其定義不取決於等價類中所選的代表 G , H {\displaystyle G,H} 。此格中，併不可約元（英语：join-irreducible）正好是連通圖，證明方式是留意同態衹會將連通圖映到目標的一個連通分支中。交不可約元（英语：meet-irreducible）正好是積性圖（英语：Hedetniemi's conjecture）（multiplicative graphs），此種圖 K {\displaystyle K} 的特性是，若乘積 G × H {\displaystyle G\times H} 有同態至 H {\displaystyle H} ，則 G {\displaystyle G} 或 H {\displaystyle H} 兩者之一有同態至 H {\displaystyle H} 。如何識別積性圖是赫德米猜想（英语：Hedetniemi's conjecture）的關鍵。 圖與同態還組成範疇：圖是物件，而同態是態射。範疇的始物件是空圖 K 0 {\displaystyle K_{0}} ，終物件有一個頂點和一個自环。圖張量積（英语：tensor product of graphs）是範疇論積，指數圖（英语：Hedetniemi's conjecture）是該範疇的指數物件（英语：exponential object）。換言之，自 G × H → K {\displaystyle G\times H\to K} 的同態與 H → K G {\displaystyle H\to K^{G}} 的同態自然地一一對應。由於對任意圖 G , H {\displaystyle G,H} ，張量積 G × H {\displaystyle G\times H} 與冪 H G {\displaystyle H^{G}} 總有定義，圖範疇是笛卡儿闭范畴。同理，同態等價類組成的格實際上是海廷代数：按海廷代數的語言，前述的積稱為交運算 ∧ {\displaystyle \land } ，而前述的指數運算稱為蘊涵 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 。 對於有向圖，適用同樣的定義。同樣有 → {\displaystyle \to } 是有向圖同態等價類之間的偏序，其與無向圖等價類的偏序 → {\displaystyle \to } 有別，但後者是前者的子序，因為無向圖亦可視為有向圖，衹是其中每條有向邊 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} 皆與其反向 ( v , u ) {\displaystyle (v,u)} 成對出現。換言之，無向圖同態的定義，與雙向有向圖的同態並無區別。有向圖的 → {\displaystyle \to } 序仍是分配格和海延代數，交與併的定義亦同上，但分別在於，該序並不稠密。亦有以有向圖為物件、同態為態射的範疇，照樣笛卡儿闭。 同態預序下，許多圖不可比較。兩幅不可比圖（incomparable graphs）之間，並無自任意一幅至另一幅的同態。欲構造此種圖，可考慮圖的奇圍長，即最短的奇環長度。奇圍長可等價地說成最小的奇數 g {\displaystyle g} ，使 g {\displaystyle g} 個頂點的循环图 C g {\displaystyle C_{g}} 有同態至 G {\displaystyle G} 。由此定義，若 G → H {\displaystyle G\to H} ，則 G {\displaystyle G} 的奇圍長大於或等於 H {\displaystyle H} 的奇圍長。 另一方面，前節已證若 G → H {\displaystyle G\to H} ，則 G {\displaystyle G} 的色數小於或等於 H {\displaystyle H} 的色數。所以，若 G {\displaystyle G} 的奇圍長及色數皆嚴格大於 H {\displaystyle H} ，則 G {\displaystyle G} 和 H {\displaystyle H} 不可比較。 舉例，格勒奇圖（英语：Grötzsch graph）色數為 4 {\displaystyle 4} ，且無三角形（圍長 4 {\displaystyle 4} ，奇圍長 5 {\displaystyle 5} ），所以與三角形 K 3 {\displaystyle K_{3}} 不可比。 有幾類圖的奇圍長和色數可取任意大，如克內澤爾圖（英语：Kneser graph）與廣義梅切爾斯基圖（英语：Mycielskian）。如此一類圖，若使其兩參數同時遞增，排成一列，則有無窮多幅不可比圖（同態預序下的反鏈）。 同態預序稠密（英语：dense order）等其他性質，亦可利用此類圖證明。此外，可構造同時具大色數和大圍長（不僅是奇圍長）的圖，但較複雜，見圍長 (圖論) § 圍長與圖染色。 有向圖之中，更易找到不可比圖。例如，考慮有向環 C n → {\displaystyle {\overrightarrow {C_{n}}}} ，頂點為 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} ，有向邊自 i {\displaystyle i} 至 i + 1 {\displaystyle i+1} （對 i = 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n-1} 各一），及自 n {\displaystyle n} 至 1 {\displaystyle 1} 。對於 n , k ≥ 3 {\displaystyle n,k\geq 3} ， C n → {\displaystyle {\overrightarrow {C_{n}}}} 至 C k → {\displaystyle {\overrightarrow {C_{k}}}} 有同態當且僅當 n {\displaystyle n} 為 k {\displaystyle k} 的倍數。所以，當 p {\displaystyle p} 取質數值時， C p → {\displaystyle {\overrightarrow {C_{p}}}} 兩兩不可比。 圖同態問題是給定一對圖 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} ，求自 G {\displaystyle G} 至 H {\displaystyle H} 的圖同態。對應的決定性問題問是否存在此種解。一般情況下，即詢問的實例 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} 不受額外限制的情況下，此決定性問題為NP完全。若限制詢問的範圍，衹限從某類圖中選出 G {\displaystyle G} 或 H {\displaystyle H} ，則可得多種不同的問題，其中有些較易求解。限制左邊 G {\displaystyle G} 和限制右邊 H {\displaystyle H} 相比，適用的方法相去甚遠，但兩者似乎有一共同特點：難易情況之間似乎有明確的分界，此分界或者已獲證，或有論文猜想如此。 圖同態問題若固定右邊的圖 H {\displaystyle H} 不變，則稱為染 H {\displaystyle H} 色問題。 H {\displaystyle H} 為完全圖 K k {\displaystyle K_{k}} 時，化成染k色問題，在 k = 0 , 1 , 2 {\displaystyle k=0,1,2} 時，可於多項式時間內求解，但其餘情況則是NP完全。 k = 2 {\displaystyle k=2} 的情況相當於問圖 G {\displaystyle G} 可否染 K 2 {\displaystyle K_{2}} 色，即是否二部圖，此問題可在線性時間內求解。更一般地，衹要 H {\displaystyle H} 是二部圖就有同一結論：可染 H {\displaystyle H} 色等價於可染 K 2 {\displaystyle K_{2}} 色，即可染二色，故此種情況同樣易判斷。可染 K 0 {\displaystyle K_{0}} 色和可染 K 1 {\displaystyle K_{1}} 色分別等價於無頂點和無邊，亦易判斷。帕沃爾·黑爾（英语：Pavol Hell）和雅羅斯拉夫·內舍特日爾（英语：Jaroslav Nešetřil）證明，對無向圖而言，無其他情況可馴順： （黑爾-內舍特日爾定理，1990年）若 H {\displaystyle H} 為二部圖，則染 H {\displaystyle H} 色問題屬於P，但其餘情況則為NP完全。 上述定理又稱為無向圖同態的「對分定理」（dichotomy theorem），因為將染 H {\displaystyle H} 色問題分成NP完全與P兩類，而無居中（英语：NP-intermediate）情況。有向圖情況較複雜，此時問題等價於刻畫看似更一般的約束滿足問題的複雜度（英语：Complexity of constraint satisfaction）：有向圖的染 H {\displaystyle H} 色問題，與允許各種約束條件的CSP相比，同樣多姿多彩，而不失一般性。嚴格而言，定義（有限）約束語言（constraint language，或稱模板template） Γ {\displaystyle \Gamma } 為一個有限的取值域，其上配備有限多種關係，然後以 C S P ( Γ ) {\displaystyle {\mathsf {CSP}}(\Gamma )} 表示約束衹能選自 Γ {\displaystyle \Gamma } 的一類約束滿足問題，則有以下定理： （费德、瓦迪（英语：Moshe Y. Vardi），1998年）對任意約束語言 Γ {\displaystyle \Gamma } ，必有某幅有向圖 H {\displaystyle H} ，使 C S P ( Γ ) {\displaystyle {\mathsf {CSP}}(\Gamma )} 在多项式时间归约意義下等價於染 H {\displaystyle H} 色問題。 直觀理解，定理意味着任何算法技巧或複雜度結論，若適用於一般有向圖 H {\displaystyle H} 的染 H {\displaystyle H} 色問題，則可套用至一般CSP。考慮將黑爾-內舍特日爾定理擴展至有向圖。由上述定理，該推廣等價於有關CSP對分的费德-瓦迪猜想（又稱CSP猜想、對分猜想），即斷言對任意約束語言 Γ {\displaystyle \Gamma } ， C S P ( Γ ) {\displaystyle {\mathsf {CSP}}(\Gamma )} 或屬NP完全，或屬P。此猜想於2017年由德米特里·祖克（Dmitry Zhuk）與安德烈·布拉托夫（Andrei Bulatov）分別獨立證出，故有以下推論： （布拉托夫2017年；祖克2017年）給定 H {\displaystyle H} 時，有向圖的染 H {\displaystyle H} 色問題或屬P，或屬NP完全。 若左輸入 G {\displaystyle G} 為給定，則圖同態問題有暴力解法，即窮舉 G {\displaystyle G} 的各個頂點在 H {\displaystyle H} 中的像，複雜度僅為 O ( | V ( H ) | | V ( G ) | ) {\displaystyle {\mathcal {O}}\left(|V(H)|^{|V(G)|}\right)} ，已是輸入 H {\displaystyle H} 的多項式函數。換言之，限制 G {\displaystyle G} 的大小時，問題顯然屬P，但仍可改為研究另一課題：除大小之外，是否其他限制可施加於 G {\displaystyle G} ，使圖同態問題可於多項式時間內求解？ 研究表明，關鍵性質是樹闊（英语：treewidth），此參數衡量一幅圖有多似一棵樹。若 G {\displaystyle G} 的樹闊至多為 k {\displaystyle k} ，而 H {\displaystyle H} 為任意圖，則利用標準的动态规划方法，可於 | V ( H ) | O ( k ) {\displaystyle |V(H)|^{{\mathcal {O}}(k)}} 時間內求解圖同態問題。實際甚至衹需假設 G {\displaystyle G} 的核的樹闊不逾 k {\displaystyle k} ，而無需知道其核為何。 該 | V ( H ) | O ( k ) {\displaystyle |V(H)|^{{\mathcal {O}}(k)}} 算法中，複雜度的指數可能無法再壓低太多：若指數時間假設（英语：exponential time hypothesis）（ETH）為真，則不存在時間複雜度為 | V ( H ) | o ( t w ( G ) / log ⁡ t w ( G ) ) {\displaystyle |V(H)|^{o(\mathrm {tw} (G)/\log \mathrm {tw} (G))}} 的算法。即使限制 G {\displaystyle G} 衹能取值為某一族圖，衹要該族圖的樹闊無上界，則仍有同樣結論。同樣假設下，幾乎沒有其他性質使問題可於多項式時間內求解，具體含義如下： （格罗厄（英语：Martin Grohe））假定ETH，並給定由圖組成的可計算族 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 。考慮輸入為 ( G , H ) {\displaystyle (G,H)} ，且 G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} 的圖同態問題。此問題屬P當且僅當 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 中各圖之核的樹闊有界。 或考慮有所取捨，允許複雜度高度依賴 G {\displaystyle G} ，換取複雜度與 H {\displaystyle H} 的關係僅為固定的多項式。與前段類似，若 G {\displaystyle G} 的取值範圍中，核的樹闊有界，則此目標可以實現，但若 G {\displaystyle G} 的取值範圍不滿足該條件，則無法達成。利用帶參數複雜度（英语：parameterized complexity）術語，上述成果可覆述為： G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 中的同態問題，以 G {\displaystyle G} 的邊數為參數，呈現對分現象。若 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 中各圖之核的樹闊有上界，則該問題為固定參數可馴順（英语：fixed-parameter tractable），否則為W[1]（英语：Parameterized complexity）完全。 同一命題對其他關係結構亦成立。換言之，其適用於一般的約束滿足問題，不過需要限制各項約束涉及的變量數有上界，即關係的元數有上界（以圖為例，僅得元數為2的關係）。此時，關鍵參數為原始約束圖（英语：primal constraint graph）的樹闊。 图论术语 同态，其他代數結構的同一概念 圖重寫（英语：Graph rewriting） 中位圖（英语：Median graph），可定義成超立方圖（英语：hypercube graph）的收縮核 西多连科猜想（英语：Sidorenko's conjecture） 使該圖可染 k {\displaystyle k} 色的最小 k {\displaystyle k} 值。 取 0 {\displaystyle 0} 至 n − 1 {\displaystyle n-1} 為 n {\displaystyle n} 個頂點，相異兩點 u , v {\displaystyle u,v} 間有連邊當且僅當模 n {\displaystyle n} 運算時， | u − v | {\displaystyle |u-v|} 大於某定值。 數學流傳（英语：Mathematical folklore），謂難以溯源或原創者並無正式投稿出版，但廣為研究者熟知的定理。 P n → {\displaystyle {\overrightarrow {P_{n}}}} 的頂點為 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} ，且對每個 i = 1 , 2 , … , n − 1 {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n-1} 有一條邊自 i {\displaystyle i} 至 i + 1 {\displaystyle i+1} 。 x {\displaystyle x} 為併不可約，意即 x = a ∨ b {\displaystyle x=a\lor b} 推出 x = a {\displaystyle x=a} 或 x = b {\displaystyle x=b} 。對偶概念為交不可約。 指數圖（exponential graph） H G {\displaystyle H^{G}} 的頂點是函數 f : V ( G ) → V ( H ) {\displaystyle f:V(G)\to V(H)} ，兩頂點 f , g : V ( G ) → V ( H ) {\displaystyle f,g:V(G)\to V(H)} 連邊當且僅當對 G {\displaystyle G} 中任意兩個相鄰頂點 v , v ′ {\displaystyle v,v'} ，有 f ( v ) {\displaystyle f(v)} 與 g ( v ′ ) {\displaystyle g(v')} 在 H {\displaystyle H} 中相鄰。 指數時間假設與P ≠ NP類似，皆是未獲證的複雜度假設，但前者更強。 約束滿足問題中，以變數為頂點，兩變數有出現在同一個約束中則連邊，可得「原始約束圖」。此即以各約束為邊的超圖的原始圖（英语：primal graph）。 Hell & Nešetřil 2004，第27頁. Hell & Nešetřil 2004，第109頁. Hell & Nešetřil 2008. 引論見諸：Cameron (2006); Hahn & Tardif (1997); Hell & Nešetřil (2004). 由短至長排。 Hahn & Tardif 1997，Observation 2.3. Godsil & Royle 2001，第115頁. Hell & Nešetřil 2004，第19頁. Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.31. Cameron 2006，Proposition 2.3; Hell & Nešetřil 2004，Corollary 1.32. Hell & Nešetřil 2004，第34頁. Cameron 2006，第4頁，Proposition 2.5. Cameron 2006，第1頁; Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.7. Hell & Nešetřil 2004，§1.7. Hell & Nešetřil 2004，Corollary 1.8. Hell & Nešetřil 2004，§6.1; Hahn & Tardif 1997，§4.4. Hell & Nešetřil 2004，§6.2; Hahn & Tardif 1997，§4.5. Hell & Nešetřil 2004，§6.3. Hell & Nešetřil 2004，§6.4. Fiala, J.; Kratochvíl, J., Partial covers of graphs [圖之部分覆蓋], Discussiones Mathematicae Graph Theory, 2002, 22 (1): 89–99, S2CID 17507393, doi:10.7151/dmgt.1159 （英语）  Hell & Nešetřil 2004，第13–14頁. Hell & Nešetřil 2004，Proposition 1.20. Cameron 2006，第1頁. Hell & Nešetřil 2004，§1.8. Hell & Nešetřil 2004，第30–31頁. Hell & Nešetřil 2004，第31–32頁. Hell & Nešetřil 2004，第28頁，該書稱關係結構（relational structures）為「關係系統」（relational systems）。 Hell & Nešetřil 2004，§3.1. Hell & Nešetřil 2004，Theorem 3.1. Hell & Nešetřil 2004，Theorem 3.30; Hahn & Tardif 1997，Theorem 2.33. Welzl, E., Color-families are dense [染色族稠密], Theoretical Computer Science（英语：Theoretical Computer Science (journal)）, 1982, 17: 29–41, doi:10.1016/0304-3975(82)90129-3  （英语）  Hell & Nešetřil 2004，第192頁; Hahn & Tardif 1997，第127頁. Hell & Nešetřil 2004，Proposition 3.2，分配律載於Proposition 2.4；又見Hahn & Tardif 1997，Theorem 2.37. Kwuida, Léonard; Lehtonen, Erkko, On the Homomorphism Order of Labeled Posets [論標號偏序集之同態序], Order（英语：Order (journal)）, 2011, 28 (2): 251–265, S2CID 14920600, arXiv:0911.0200 , doi:10.1007/s11083-010-9169-x （英语）  Gray 2014，Lemma 3.7. 譯名見 陳宏賓. 捉住黑暗中的微光，年輕數學家希多夫擊破［赫德米猜想］. 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