有理函數

有理函數（英語：Rational function）是可以表示為以下形式的函數： f ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 b n x n + b n − 1 x n − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 = P m ( x ) Q n ( x ) ; m , n ∈ N 0 {\displaystyle f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}} ， b i {\displaystyle b_{i}} 不全為0。 有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在 r > 0 {\displaystyle r>0} ，使得 ( p x + q ) r {\displaystyle (px+q)^{r}} 是分母 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 的因子，則有理函數存在垂直漸近線 x = − q / p {\displaystyle x=-q/p} 。 若 m < n {\displaystyle m<n} ，有水平漸近線 y = 0 {\displaystyle y=0} 。 若 m = n {\displaystyle m=n} ，有水平漸近線 y = a m b m {\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}} 。 若 m = n + 1 {\displaystyle m=n+1} ，有斜漸近線 y = a m b n x + b n ∗ a m − 1 − b n − 1 ∗ a m b n 2 {\displaystyle y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}} 。 只有一条水平渐近线 有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。 部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。 有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。 若有理數式 P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}} 的分母 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 可分解為數個多項式的積，其部分分數便是 ∑ A n Q ( x ) / h n ( x ) {\displaystyle \sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}} ，其中 h n ( x ) {\displaystyle h_{n}(x)} 是 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 的因子， A n {\displaystyle A_{n}} 是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。 分拆 x 3 − 5 x + 88 x 2 + 3 x − 28 {\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}} 分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）： x − 3 + 32 x + 4 x 2 + 3 x − 28 {\displaystyle x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}} 因為 x 2 + 3 x − 28 = ( x + 7 ) ( x − 4 ) {\displaystyle x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)} ，所以 32 x + 4 x 2 + 3 x − 28 = A x + 7 + B x − 4 {\displaystyle {\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}} 其中A和B是常数。两边乘以 x 2 + 3 x − 28 {\displaystyle x^{2}+3x-28} ，得   32 x + 4 = A ( x − 4 ) + B ( x + 7 ) {\displaystyle \ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)} 即   32 x + 4 = ( A + B ) x + ( 7 B − 4 A ) {\displaystyle \ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)} 比較係數，得   A + B = 32 {\displaystyle \ A+B=32}   7 B − 4 A = 4 {\displaystyle \ 7B-4A=4} 解得 A = 20 , B = 12 {\displaystyle A=20,B=12} 。 故： x 3 − 5 x + 88 x 2 + 3 x − 28 = x + 20 x + 7 + 12 x − 4 − 3 {\displaystyle {\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3} 也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有   128 + 4 = 11 B {\displaystyle \ 128+4=11B}   B = 12 {\displaystyle \ B=12} 当x=-7时，我们有   − 224 + 4 = − 11 A {\displaystyle \ -224+4=-11A}   A = 20 {\displaystyle \ A=20} 伸縮和 複分析 拉普拉斯變換 在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。 分母為1次多項式：求 ∫ 1 a x + b d x {\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx} 。 設 u = a x + b {\displaystyle u=ax+b} ： d u d x = a {\displaystyle {\frac {du}{dx}}=a} d u a = d x {\displaystyle {\frac {du}{a}}=dx} 原式變為 ∫ 1 u d u a = 1 a ∫ 1 u d u = ln ⁡ | u | a + C = ln ⁡ | a x + b | a + C {\displaystyle \int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C} 分母次數為2：求 ∫ d x + e a x 2 + b x + c d x {\displaystyle \int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx} 。 若多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 可分解為兩個一次多項式的積（即 b 2 − 4 a c ≥ 0 {\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0} ），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。 例如： ∫ x + 6 x 2 − 8 x + 25 d x . {\displaystyle \int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.} 因為 x 2 − 8 x + 25 = ( x 2 − 8 x + 16 ) + 9 = ( x − 4 ) 2 + 9 {\displaystyle x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,} 考慮 u = x 2 − 8 x + 25 {\displaystyle u=x^{2}-8x+25\,} d u = ( 2 x − 8 ) d x {\displaystyle du=(2x-8)\,dx} d u / 2 = ( x − 4 ) d x {\displaystyle du/2=(x-4)\,dx} 將分子分解，以便應用上面的替換： ∫ x − 4 x 2 − 8 x + 25 d x + ∫ 10 x 2 − 8 x + 25 d x {\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx} 左邊： ∫ x − 4 x 2 − 8 x + 25 d x = ∫ d u / 2 u = 1 2 ln ⁡ | u | + C = 1 2 ln ⁡ ( x 2 − 8 x + 25 ) + C {\displaystyle \int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C} 另一邊： ∫ 10 x 2 − 8 x + 25 d x = ∫ 10 ( x − 4 ) 2 + 9 d x = ∫ 10 / 9 ( x − 4 3 ) 2 + 1 d x {\displaystyle \int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx} 代入 w = ( x − 4 ) / 3 {\displaystyle w=(x-4)/3\,} d w = d x / 3 {\displaystyle dw=dx/3\,} 10 3 ∫ d w w 2 + 1 = 10 3 arctan ⁡ ( w ) + C = 10 3 arctan ⁡ ( x − 4 3 ) + C . {\displaystyle {10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.} 另一種可行的代入方法是： tan ⁡ θ = x − 4 3 , {\displaystyle \tan \theta ={x-4 \over 3},\,} ( x − 4 3 ) 2 + 1 = tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , {\displaystyle \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,} d tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ d θ = d x 3 . {\displaystyle d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,} ∫ 10 / 9 ( x − 4 3 ) 2 + 1 d x = 10 / 9 ∫ 1 sec 2 ⁡ θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ = 10 3 arctan ⁡ ( x − 4 3 ) + C {\displaystyle \int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C} 奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的： 設求積的有理函數為 P Q {\displaystyle {\frac {P}{Q}}} ，其中 P , Q {\displaystyle P,Q} 是多項式， deg ⁡ ( P ) < deg ⁡ ( Q ) {\displaystyle \deg(P)<\deg(Q)} （ P {\displaystyle P} 的次數少於 Q {\displaystyle Q} ）。設 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 為Q的導數Q'和Q的最大公因數， Q 2 = Q Q 1 {\displaystyle Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}} 。則有： ∫ P Q d x = P 1 Q 1 + ∫ P 2 Q 2 d x {\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx} 其中 P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} 為多項式， deg ⁡ ( P i ) < deg ⁡ ( Q i ) {\displaystyle \deg(P_{i})<\deg(Q_{i})} 。 求 ∫ x d x ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}} 。 Q = ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 {\displaystyle Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}} Q ′ = 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 3 + 3 ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 ( 5 x − 1 ) {\displaystyle Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)} Q 1 = g c d ( Q , Q ′ ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 {\displaystyle Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}} Q 2 = Q / Q 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) {\displaystyle Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)} 設 P 1 = A x 2 + B x + C , P 2 = D x + E {\displaystyle P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E} ∫ x d x ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 = A x 2 + B x + C ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2 + ∫ D x + E ( x − 1 ) ( x + 1 ) d x {\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx} 兩邊取導數： x ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 = A x 3 + ( 2 B − A ) x 2 + ( 3 C − B + 2 A ) x − C + B ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 + D x + E ( x − 1 ) ( x + 1 ) {\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}} 通分母，右邊的分子為： D x 4 + ( E + D − A ) x 3 + ( E − D − 2 B + A ) x 2 + ( − E − D − 3 C + B − 2 A ) x − E + C − B {\displaystyle Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B} 比較分子的多項式的係數，得 A = B = E = − 0.125 , C = − 0.25 , D = 0 {\displaystyle A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0} 。於是有 ∫ x d x ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) 3 = x 2 + x + 2 8 ( 1 − x ) ( x + 1 ) 2 + ∫ d x 8 ( x − 1 ) ( x + 1 ) {\displaystyle \int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}} 後者可用部分分數的方法求得。 ∫ P Q d x = P 1 Q 1 + ∫ P 2 Q 2 d x {\displaystyle \int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx} P Q = P 1 ′ − Q 1 ′ P 1 Q 1 Q 1 + P 2 Q 2 {\displaystyle {\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}} 兩邊乘以 Q {\displaystyle Q} P = P 1 ′ Q 2 − Q 1 ′ Q 2 P 1 Q 1 + P 2 Q 1 {\displaystyle P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}} 由於 Q 1 ′ Q 2 = Q ′ − Q 1 Q 2 ′ {\displaystyle Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2}} ，而 Q ′ {\displaystyle Q'} 和 Q 1 Q 2 ′ {\displaystyle Q_{1}Q'_{2}} 都是 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 的倍數，所以 Q 1 ′ Q 2 P 1 Q 1 {\displaystyle {\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}} 是多項式。 比較兩邊多項式的次數： deg ⁡ ( P ) ≤ deg ⁡ ( Q ) − 1 {\displaystyle \deg(P)\leq \deg(Q)-1} deg ⁡ ( P 1 ′ Q 2 ≤ ( deg ⁡ ( Q 1 ) − 1 ) + ( deg ⁡ ( Q ) − deg ⁡ ( Q 1 ) ) = deg ⁡ ( Q ) − 1 {\displaystyle \deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1} deg ⁡ ( Q 1 ′ Q 2 P 1 Q 1 ) ≤ ( deg ⁡ ( Q 1 ) − 1 ) + ( deg ⁡ ( Q ) − deg ⁡ ( Q 1 ) ) + ( deg ⁡ ( Q 1 ) − 1 ) − deg ⁡ ( Q 1 ) = deg ⁡ ( Q ) − 2 {\displaystyle \deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2} deg ⁡ ( P 2 Q 1 ) ≤ ( deg ⁡ ( Q ) − deg ⁡ ( Q 1 ) − 1 ) + deg ⁡ ( Q 1 ) = deg ⁡ ( Q ) − 1 {\displaystyle \deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1} 因此 P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} 有解。 帕德近似 插值 Ostrogradsky's method （页面存档备份，存于互联网档案馆） http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）