艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。 令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群 π n ( X ) {\displaystyle \pi _{n}(X)} 若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在 n > 1 {\displaystyle n>1} 时是阿贝尔群，则 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} ”或“ K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。 艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。 因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。 广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间 ∏ m K ( G m , m ) {\displaystyle \prod _{m}K(G_{m},m)} 的拓扑积的同伦类的空间。 单位圆 S 1 {\displaystyle S^{1}} 是 K ( Z , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)} 。 无穷维复射影空间 C P ∞ {\displaystyle \mathbb {CP} ^{\infty }} 是 K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} 的模型。 无穷维实射影空间 R P ∞ {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }} 是 K ( Z / 2 , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)} 。 k个单位圆的楔和 ⋁ i = 1 k S 1 {\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}} 是 K ( F k , 1 ) {\displaystyle K(F_{k},1)} ，其中 F k {\displaystyle F_{k}} 是k个生成子上的自由群。 3维球 S 3 {\displaystyle S^{3}} 中任何连通结或图的补是 K ( G , 1 ) {\displaystyle K(G,1)} 型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。 紧连通曲率非正流形M是 K ( Γ , 1 ) {\displaystyle K(\Gamma ,1)} ，其中 Γ = π 1 ( M ) {\displaystyle \Gamma =\pi _{1}(M)} 是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。 无限透镜空间 L ( ∞ , q ) {\displaystyle L(\infty ,q)} 由 S ∞ {\displaystyle S^{\infty }} 对自由作用 ( z ↦ e 2 π i m / q z ) {\displaystyle (z\mapsto e^{2\pi im/q}z)} （ m ∈ Z / q {\displaystyle m\in \mathbb {Z} /q} ）的商给出，是 K ( Z / q , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /q,1)} 。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。注意这包括作为 K ( Z / 2 , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)} 的 R P ∞ {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }} 。 平面上n个点的构型空间是 K ( P n , 1 ) {\displaystyle K(P_{n},1)} ，其中 P n {\displaystyle P_{n}} 是n股上的纯辫群。 相应地， R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的第n无序构型空间是 K ( B n , 1 ) {\displaystyle K(B_{n},1)} ，其中 B n {\displaystyle B_{n}} 表示n股辫群。 n球的无穷对称积 S P ( S n ) {\displaystyle SP(S^{n})} 是 K ( Z , n ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)} 。更一般地， S P ( M ( G , n ) ) {\displaystyle SP(M(G,n))} 对所有摩尔空间 M ( G , n ) {\displaystyle M(G,n)} 是 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 。 利用积 K ( G , n ) × K ( H , n ) {\displaystyle K(G,n)\times K(H,n)} 是 K ( G × H , n ) {\displaystyle K(G\times H,n)} 的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面 T n {\displaystyle \mathbb {T} ^{n}} 是 K ( Z n , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ^{n},1)} 。 对 n = 1 {\displaystyle n=1} 、任意群G， K ( G , 1 ) {\displaystyle K(G,1)} 的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。 构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间 M ( A , n ) {\displaystyle M(A,n)} ：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的 π n ( ⋁ S n ) {\displaystyle \pi _{n}(\bigvee S^{n})} 中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群 π i < n ( M ( A , n ) ) {\displaystyle \pi _{i<n}(M(A,n))} 由构造是平凡的。现在通过附加大于 n + 1 {\displaystyle n+1} 维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群 π i > n ( M ( A , n ) ) {\displaystyle \pi _{i>n}(M(A,n))} ，并定义 K ( A , n ) {\displaystyle K(A,n)} 为包含此迭代的直极限。 另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。 乔·彼得·梅的书从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。 由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价 K ( G , n ) ≃ Ω K ( G , n + 1 ) {\displaystyle K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)} ，因此有纤维化序列 K ( G , n ) → ∗ → K ( G , n + 1 ) {\displaystyle K(G,n)\to *\to K(G,n+1)} . 注意这不是上纤维化序列：空间 K ( G , n + 1 ) {\displaystyle K(G,n+1)} 不是 K ( G , n ) → ∗ {\displaystyle K(G,n)\to *} 的同伦上纤维。 这个纤维化序列可用于从 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 用勒雷谱序列研究 K ( G , n + 1 ) {\displaystyle K(G,n+1)} 的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到 K ( G , n ) {\displaystyle K(G,n)} 的基映射的基同伦类集 [ X , K ( G , n ) ] {\displaystyle [X,K(G,n)]} ，同空间X的第n奇异上同调群 H n ( X , G ) {\displaystyle H^{n}(X,G)} 是自然双射。因此可以说 K ( G , n ) ′ s {\displaystyle K(G,n)'s} 是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于 H n ( K ( G , n ) , G ) = Hom ⁡ ( H n ( K ( G , n ) ; Z ) , G ) = Hom ⁡ ( π n ( K ( G , n ) ) , G ) = Hom ⁡ ( G , G ) , {\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}} 有一个区别元素 u ∈ H n ( K ( G , n ) , G ) {\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)} ，对应幺元。上述双射由元素的拉回 f ↦ f ∗ u {\displaystyle f\mapsto f^{*}u} 给出，这与范畴论中的米田引理很相似。 此定理的构造性证明可见参考文献，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献，主要思想也将在后面略述。 艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间： Ω K ( G , n ) ≅ K ( G , n − 1 ) {\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)} 。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系： [ Σ X , Y ] = [ X , Ω Y ] {\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]} ，使 [ X , K ( G , n ) ] ≅ [ X , Ω 2 K ( G , n + 2 ) ] {\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]} 有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射 [ X , K ( G , n ) ] → H n ( X , G ) {\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)} 是群同构。 这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过 X ↦ h n ( X ) := [ X , K ( G , n ) ] {\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]} 定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论 h ∗ {\displaystyle h^{*}} （ h n ( S 0 ) = 0 {\displaystyle h^{n}(S^{0})=0} ， n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} ），有自然同构 h n ( X ) ≅ H ~ n ( X , h 0 ( S 0 ) {\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})} ，其中 H ∗ ~ {\displaystyle {\tilde {H^{*}}}} 表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。 在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。 对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群 π q + n s ( X ∧ K ( G , n ) ) ≅ π q + n + 1 s ( X ∧ Σ K ( G , n ) ) → π q + n + 1 s ( X ∧ K ( G , n + 1 ) ) {\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))} 上由映射 Σ K ( G , n ) → K ( G , n + 1 ) {\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)} 导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论 h q ( X ) = lim → n ⁡ π q + n s ( X ∧ K ( G , n ) ) {\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))} 由于 h q ( S 0 ) = lim → ⁡ π q + n s ( K ( G , n ) ) {\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))} （ q ≠ 0 {\displaystyle q\neq 0} ）为零， h ∗ {\displaystyle h_{*}} 与CW复形上系数在G中的既约奇异同调 H ~ ∗ ( ⋅ , G ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)} 一致。 从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若 a : G → G ′ {\displaystyle a\colon G\to G'} 是阿贝尔群的任何同态，则有非空集 K ( a , n ) = { [ f ] : f : K ( G , n ) → K ( G ′ , n ) , H n ( f ) = a } , {\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},} 满足 K ( a ∘ b , n ) ⊃ K ( a , n ) ∘ K ( b , n )  and  1 ∈ K ( 1 , n ) , {\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),} 其中 [ f ] {\displaystyle [f]} 表示连续映射f、 S ∘ T := { s ∘ t : s ∈ S , t ∈ T } {\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}} 的同伦类。 连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系： ⋯ → X 3 → p 3 X 2 → p 2 X 1 ≃ K ( π 1 ( X ) , 1 ) {\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)} 使对每个n都有： 有交换映射 X → X n {\displaystyle X\to X_{n}} ，导出 π i {\displaystyle \pi _{i}} （ i ≤ n {\displaystyle i\leq n} ）上的同态； π i ( X n ) = 0 {\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0} （ i > n {\displaystyle i>n} ）； 映射 X n → p n X n − 1 {\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}} 是具有纤维 K ( π n ( X ) , n ) {\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)} 的纤维化。 对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列： ⋯ → X 3 → X 2 → X 1 → X {\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X} 使对每个n都有： 映射 X n → X {\displaystyle X_{n}\to X} 导出 π i {\displaystyle \pi _{i}} （ i > n {\displaystyle i>n} ）上的同态； X n {\displaystyle X_{n}} 是n连通的； 映射 X n → X n − 1 {\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}} 是具有纤维 K ( π n ( X ) , n − 1 ) {\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)} 的纤维化。 在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如， π 4 ( S 3 ) {\displaystyle \pi _{4}(S^{3})} 、 π 5 ( S 3 ) {\displaystyle \pi _{5}(S^{3})} 用 S 3 {\displaystyle S^{3}} 的怀特海塔，可见参考文献；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的 π n + i ( S n )   i ≤ 3 {\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3} 可见参考文献。 对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集 Θ : H m ( ⋅ , G ) → H n ( ⋅ , H ) {\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)} 与 H n ( K ( G , m ) , H ) {\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)} 之间的双射，定义为 Θ ↦ Θ ( α ) {\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (\alpha )} （ α ∈ H m ( K ( G , m ) , G ) {\displaystyle \alpha \in H^{m}(K(G,m),G)} 是基本类）。 因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态 Hom ⁡ ( G , H ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)} 。这源于上同调的万有系数定理与 K ( G , m ) {\displaystyle K(G,m)} 的(n-1)连通性。 G = H {\displaystyle G=H} 是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在 Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} 中的 K ( Z / p , n ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)} 的上同调变得非常重要，有关这些组别的详细列表，请参此处。 可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间 K ( G , 1 ) {\displaystyle K(G,1)} 的奇异（上）同调，系数在A中。 上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列 0 → K ( Z , 2 ) → String ⁡ ( n ) → Spin ⁡ ( n ) → 0 {\displaystyle 0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0} 产生的怀特海塔，其中 String ( n ) {\displaystyle {\text{String}}(n)} 是弦群， Spin ( n ) {\displaystyle {\text{Spin}}(n)} 是旋量群。 K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} 的相关性在于存在分类空间 B Z {\displaystyle B\mathbb {Z} } （且 K ( Z , 2 ) ≃ B U ( 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)} ）的同伦等价关系 K ( Z , 1 ) ≃ U ( 1 ) ≃ B Z {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} } 注意，由于复旋量群是群扩张 0 → K ( Z , 1 ) → Spin C ( n ) → Spin ( n ) → 0 {\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0} , 弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间 K ( Z , 2 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)} 就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群 U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} 的广群 B U ( 1 ) {\displaystyle \mathbf {B} U(1)} 的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间 K ( Z , n ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)} 都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群 π n + 1 {\displaystyle \pi _{n+1}} 。 分类空间， n = 1 {\displaystyle n=1} 情形 布朗可表性定理，关于表示空间 摩尔空间，同调中的类似物 Papakyriakopoulos, C. 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MR 0065163. doi:10.2307/1969849.  嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的应用等。 http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ （页面存档备份，存于互联网档案馆） Derived functors of the divided power functors Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n) （页面存档备份，存于互联网档案馆） Encyclopedia of Mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆） nLab的Eilenberg-Mac Lane space條目