等諧數列

等諧数列，又名調和数列（英文：harmonic sequence 或 harmonic progression），是数列的一种。在等諧数列中，任何相邻两项倒數的差相等，该差值的倒數称为公諧差（common harmonic difference）。 例如数列： 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ... 就是一个等諧数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公諧差都等于 1/2。 如果一个等諧数列的首项記作 a，公諧差記作 h，那么该等諧数列第 n 项 an 的一般項为： a n = 1 1 a + n − 1 h {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}} 換句話說，任意一個等諧数列 {an} 都可以寫成 { a , 1 1 a + 1 h , 1 1 a + 2 h , ⋯ , 1 1 a + n − 1 h } {\displaystyle \{a\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\,,\,\cdots \,,\,\,{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\}} 在一個等諧數列中，給定任意兩相連項 an+1 和 an ，可知公諧差 h = 1 1 a n + 1 − 1 a n {\displaystyle h={\frac {1}{{\frac {1}{a_{n+1}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}} 給定任意兩項 am 和 an ，則有公諧差 h = m − n 1 a m − 1 a n {\displaystyle h={\frac {m-n}{{\frac {1}{a_{m}}}-{\frac {1}{a_{n}}}}}} 此外，在一個等諧数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之倒數和，為原來該項倒數的兩倍。舉例來說， 1 a 1 + 1 a 3 = 2 a 2 {\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{3}}}={\frac {2}{a_{2}}}} 。 更一般地說，有： 1 a n − 1 + 1 a n + 1 = 2 a n {\displaystyle {\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {2}{a_{n}}}} 證明如下： 1 a n − 1 + 1 a n + 1 = ( 1 a + n − 2 h ) + ( 1 a + n h ) = 2 a + 2 n − 2 h = 2 ( 1 a + n − 1 h ) = 2 a n {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-2}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {2n-2}{h}}\\&=2\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a_{n}}}\\\end{aligned}}} 證畢。 從另一個角度看，等諧數列中的任意一項，是其前一項和後一項的調和平均： a n = 2 1 a n − 1 + 1 a n + 1 {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-1}}}+{\frac {1}{a_{n+1}}}}}} 此結果從上面直接可得。 如果有正整數 m, n, p, q，使得 m + n = p + q {\displaystyle m+n=p+q} ，那么则有： 1 a m + 1 a n = 1 a p + 1 a q {\displaystyle {\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}} 證明如下： 1 a m + 1 a n = ( 1 a + m − 1 h ) + ( 1 a + n − 1 h ) = 2 a + m + n − 2 h = 2 a + p + q − 2 h = ( 1 a + p − 1 h ) + ( 1 a + q − 1 h ) = 1 a p + 1 a q {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{a_{m}}}+{\frac {1}{a_{n}}}&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {m-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}\right)\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {m+n-2}{h}}\\&={\frac {2}{a}}+{\frac {p+q-2}{h}}\\&=\left({\frac {1}{a}}+{\frac {p-1}{h}}\right)+\left({\frac {1}{a}}+{\frac {q-1}{h}}\right)\\&={\frac {1}{a_{p}}}+{\frac {1}{a_{q}}}\\\end{aligned}}} 由此可將上面的性質一般化成： 1 a n − k + 1 a n + k = 2 a n {\displaystyle {\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}={\frac {2}{a_{n}}}} a n = 2 1 a n − k + 1 a n + k {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n-k}}}+{\frac {1}{a_{n+k}}}}}} 其中 k 是一個小於 n 的正整數。 給定一個等諧數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} ，則有： { b ⋅ a n } {\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}} 是一個等諧數列。 { b a n } {\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}} 是一個等差數列。 一個等諧數列的首 n 項之和，稱為等諧数列和（sum of harmonic sequence）或調和級數（harmonic series），記作 Sn。 舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315。 等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分，可對數列和以數值積分作估算： S n = a ∫ 0 1 ( 1 − x a h ⋅ n 1 − x a h ) d x {\displaystyle S_{n}=a\int _{0}^{1}{\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)}\mathrm {d} x} 公式證明如下： S n = a + 1 1 a + 1 h + 1 1 a + 2 h + ⋯ + 1 1 a + n − 1 h = a + a 1 + a h + a 1 + 2 a h + ⋯ + a 1 + ( n − 1 ) a h = a ( 1 + 1 a h + 1 + 1 2 a h + 1 + ⋯ + 1 ( n − 1 ) a h + 1 ) = a [ x + x a h + 1 a h + 1 + x 2 a h + 1 2 a h + 1 + ⋯ + x ( n − 1 ) a h + 1 ( n − 1 ) a h + 1 ] x = 0 x = 1 = a ∫ 0 1 ( 1 + x a h + x 2 a h + ⋯ + x ( n − 1 ) a h ) d x = a ∫ 0 1 ( 1 − x a h ⋅ n 1 − x a h ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}+{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&=a+{\frac {a}{1+{\frac {a}{h}}}}+{\frac {a}{1+{\frac {2a}{h}}}}+\cdots +{\frac {a}{1+{\frac {(n-1)a}{h}}}}\\&=a\left(1+{\frac {1}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {1}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {1}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right)\\&=a\left[x+{\frac {x^{{\frac {a}{h}}+1}}{{\frac {a}{h}}+1}}+{\frac {x^{{\frac {2a}{h}}+1}}{{\frac {2a}{h}}+1}}+\cdots +{\frac {x^{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}{{\frac {(n-1)a}{h}}+1}}\right]_{x=0}^{x=1}\\&=a\int _{0}^{1}\left(1+x^{\frac {a}{h}}+x^{\frac {2a}{h}}+\cdots +x^{\frac {(n-1)a}{h}}\right)\mathrm {d} x\\&=a\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {a}{h}}\cdot n}}{1-x^{\frac {a}{h}}}}\right)\mathrm {d} x\\\end{aligned}}} 最後一步，使用了等比數列的求和公式。 使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ： S 4 = 1 3 ∫ 0 1 ( 1 − x 2 3 ⋅ 4 1 − x 2 3 ) d x = 1 3 ∫ 0 1 ( 1 − x 8 3 1 − x 2 3 ) d x ≈ 0.7873 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{4}&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{{\frac {2}{3}}\cdot 4}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{3}}\int _{0}^{1}\left({\frac {1-x^{\frac {8}{3}}}{1-x^{\frac {2}{3}}}}\right)\mathrm {d} x\\&\approx 0.7873\end{aligned}}} 結果相等。 從這公式中容易看出，等諧級數是發散的。 一個等諧數列的首 n 項之積，稱為等諧数列積（product of harmonic sequence），記作 Pn。 舉例來說，等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945。 等諧数列積的公式可以Γ函數表示： P n = h n ⋅ Γ ( h a ) Γ ( h a + n ) {\displaystyle P_{n}=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}} 證明如下： P n = a ⋅ 1 1 a + 1 h ⋅ 1 1 a + 2 h ⋅ ⋯ ⋅ 1 1 a + n − 1 h = 1 1 h n ⋅ Γ ( h a + n ) Γ ( h a ) = h n ⋅ Γ ( h a ) Γ ( h a + n ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{h}}}}\cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {2}{h}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{{\frac {1}{a}}+{\frac {n-1}{h}}}}\\&={\frac {1}{{\frac {1}{h^{n}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}{\Gamma ({\frac {h}{a}})}}}}\\&=h^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {h}{a}})}{\Gamma ({\frac {h}{a}}+n)}}\\\end{aligned}}} 這裡使用了等差數列的求積公式。 使用上面的例子，對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} ： P 4 = 1 2 4 ⋅ Γ ( 3 2 ) Γ ( 3 2 + 4 ) = 1 16 ⋅ 0.88622 … 52.342 … = 1 945 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {3}{2}})}{\Gamma ({\frac {3}{2}}+4)}}\\&={\frac {1}{16}}\cdot {\frac {0.88622\dots }{52.342\dots }}\\&={\frac {1}{945}}\\\end{aligned}}} 結果相等。 序列 數列 級數 調和級數 調和平均 等差數列 等比數列 Weisstein, Eric W. "Harmonic Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Yadav, A., Pi, H, G., Mukhopadhyay, S., et al. "Harmonic Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/harmonic-progression/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.