戴尔指数

戴尔指数（英語：Theil Index）又稱為泰爾指數，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。 戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是广义熵指数（英语：generalized entropy index）的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。 戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大學的计量经济学家亨利·戴尔（英语：Henri Theil）（Henri Theil）所提出。 假設一個人口為N的群體，其收入分別為xi (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為： T T = T α = 1 = 1 N ∑ i = 1 N x i μ ln ⁡ ( x i μ ) {\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}}{\mu }}\ln \left({\frac {x_{i}}{\mu }}\right)} 而戴爾指數L則定義為 T L = T α = 0 = 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ ( μ x i ) {\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln \left({\frac {\mu }{x_{i}}}\right)} 其中 x i {\displaystyle x_{i}} 为第 i {\displaystyle i} 个人的收入， μ {\displaystyle {\mu }} 为平均收入， N {\displaystyle N} 为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。 如果收入分布是個離散分布函數 fk (k = 0,...,W)，其中fk是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 ∑ k = 0 W f k = 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{W}f_{k}=1} 。 它的戴爾指數T定義為： T T = ∑ k = 0 W f k k μ ln ⁡ ( k μ ) {\displaystyle T_{T}=\sum _{k=0}^{W}\,f_{k}\,{\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)} 這裡的 μ {\displaystyle \mu } 一樣是收入平均 μ = ∑ k = 0 W k f k {\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{W}kf_{k}} 其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。 如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為： T T = ∫ 0 ∞ f ( k ) k μ ln ⁡ ( k μ ) d k {\displaystyle T_{T}=\int _{0}^{\infty }f(k){\frac {k}{\mu }}\ln \left({\frac {k}{\mu }}\right)dk} 其中平均 μ {\displaystyle \mu } 為： μ = ∫ 0 ∞ k f ( k ) d k {\displaystyle \mu =\int _{0}^{\infty }kf(k)\,dk} 一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示： 如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为 ln ⁡ N {\displaystyle \ln {N}} 。TT 除以 ln ⁡ N {\displaystyle \ln N} 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反獨立公理（英语：Economic inequality metrics）: T [ x ∪ x ] ≠ T [ x ] {\displaystyle T[x\cup x]\neq T[x]} 並不符合衡量不平等的標準。 戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為： S = k ∑ i = 1 N ( p i log ⁡ 1 p i ) = − k ∑ i = 1 N ( p i log ⁡ p i ) {\displaystyle S=k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {\frac {1}{p_{i}}}\right)=-k\sum _{i=1}^{N}\left(p_{i}\log {p_{i}}\right)} 其中 p i {\displaystyle p_{i}} 是從人群裡找到 i {\displaystyle i} 的機率。 k {\displaystyle k} 是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時， k = 1 {\displaystyle k=1} 並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當 p i {\displaystyle p_{i}} 替換成人均收入 x i {\displaystyle x_{i}} 時，需要除以總收入達到歸一化 N x ¯ {\displaystyle N{\overline {x}}} 。那可以導出，觀察到的信息熵為： S Theil = ∑ i = 1 N ( x i N x ¯ ln ⁡ N x ¯ x i ) {\displaystyle S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {x_{i}}{N{\overline {x}}}}\ln {\frac {N{\overline {x}}}{x_{i}}}\right)} 设 T {\displaystyle T} 为戴尔指数， S {\displaystyle S} 为夏農熵，则有 T = ln ⁡ ( N ) − S {\displaystyle T=\ln(N)-S} 其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。 戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。 如果人口被划分为 m {\displaystyle m} 个子群体， s k {\displaystyle s_{k}} 为群体 k {\displaystyle k} 的收入比例， T k {\displaystyle T_{k}} 为该子群体的戴尔指数，而 x ¯ k {\displaystyle {\overline {x}}_{k}} 为子群体 k {\displaystyle k} 的平均收入，则戴尔指数为 T = ∑ k = 1 m s k T T k + ∑ k = 1 m s k ln ⁡ x ¯ k x ¯ {\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{T_{k}}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}} 因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。 另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。 徐淑娟. 中国经济发展中的行业收入差距问题研究. 西南財經大學出版社. 2018-02-01: 33–34 [2019-01-14]. ISBN 7550428530. （原始内容存档于2019-06-05） （中文（中国大陆））.  Introduction to the Theil index from the University of Texas (PDF). [2006-01-15]. （原始内容存档 (PDF)于2005-11-18）.  Diversity and Social Segregation. geodacenter.asu.edu. [2016-03-18]. （原始内容存档于2012-07-10）.  Segregation Measures. www.urban.org. Urban Institute. [5 February 2018]. （原始内容存档于2021-01-19） （英语）.  Parker, Lauren. Racial and Ethnic Segregation: In the News and On PolicyMap. PolicyMap. 20 July 2015 [5 February 2018]. （原始内容存档于2019-06-08）.  Redundancy, Entropy and Inequality Measures. [2019-01-11]. （原始内容存档于2020-10-23） （英语）.  德克萨斯大学戴尔指数简介 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文） 試算表: 收入不平等指标#电子表格计算 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值 Free Calculator: Online （页面存档备份，存于互联网档案馆） and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities Users of the R （页面存档备份，存于互联网档案馆） data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil. MATLAB 不平等包 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼