弱测量

在量子力学（以及量子计算、量子信息）中，弱测量是一种量子测量，其观察者平均来说只获得很少的有关系统的信息，但对状态的干扰也很小。根据Paul Busch（英语：Paul_Busch_(physicist)）的定理可知，系统必然会受到测量的干扰。在文献中，弱测量也被称为不清晰（unsharp）、模糊（fuzzy） 、迟钝（dull） 、噪声式（noisy） 、渐进（approximate）或平和（gentle）的测量。此外，弱测量常常与一个不同但相关的概念「弱值」相混淆。 弱测量最初是在量子系统的弱连续测量（即量子滤波和量子轨迹）的背景下考虑的。连续量子测量的物理学如下。考虑使用一个辅助系统（例如场或电流）来探测量子系统，系统和探测器之间的相互作用使两者相互关联。通常，相互作用仅使系统与辅助系统具有弱关联（具体而言，相互作用幺正算子仅需微扰展开到一阶或二阶）。通过测量辅助系统并利用量子测量理论，可以确定基于测量结果的系统状态。为了实现有效的测量，必须耦合进多个辅助系统并测量。在极限情况下，存在一系列辅助系统，使得测量过程可以在时间上是连续的。这一过程首先由以下学者表述：Michael B. Mensky; Viacheslav Belavkin; Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; Barchielli; Carlton Caves; Caves, Gerald J. Milburn. 后来 Howard Carmichael 和 Howard M.Wiseman 也为该领域做出了重要贡献。 弱测量的概念经常被错误地归于 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。在他们的文章中，他们考虑了一个弱的测量的例子（也许也撞上了“弱测量”这个短语），并以此作为动机来定义弱值（他们在此首次定义了弱值）。 对于弱测量，尚无普遍接受的定义。一种方法是将弱测量声明为这样一种广义测量，其克劳斯算子中的一些或全部接近于恒等算子。下面采用的方法是使两个系统发生弱相互作用，然后测量其中一个系统。详细介绍这种方法之后，我们将通过示例进行说明。 考虑一个系统，其初始的量子态为 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，同时辅助系统处于 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ，联合的初始状态则为 | Ψ ⟩ = | ψ ⟩ ⊗ | ϕ ⟩ {\displaystyle |\Psi \rangle =|\psi \rangle \otimes |\phi \rangle } 。这两个系统依照哈密顿算子 H = A ⊗ B {\displaystyle H=A\otimes B} 相互作用，其生成的时间演化算子 U ( t ) = exp ⁡ [ − i x t H ] {\displaystyle U(t)=\exp[-ixtH]} （取 ℏ = 1 {\displaystyle \hbar =1} 的单位制）， 其中 x {\displaystyle x} 是“相互作用强度”且具有时间倒数的量纲。假设相互作用时间固定为 t = Δ t {\displaystyle t=\Delta t} 且 λ = x Δ t {\displaystyle \lambda =x\Delta t} 很小以至于 λ 3 ≈ 0 {\displaystyle \lambda ^{3}\approx 0} 。 U {\displaystyle U} 关于 λ {\displaystyle \lambda } 的级数展开给出 U = I ⊗ I − i λ H − 1 2 λ 2 H 2 + O ( λ 3 ) ≈ I ⊗ I − i λ A ⊗ B − 1 2 λ 2 A 2 ⊗ B 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}U&=I\otimes I-i\lambda H-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}H^{2}+O(\lambda ^{3})\\&\approx I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}.\end{aligned}}} 由于在微扰论中只需要将幺正算子展开到低阶，所以称其为一个弱的相互作用。此外，幺正算子的主要部分是恒等算子，因为 λ {\displaystyle \lambda } 和 λ 2 {\displaystyle \lambda ^{2}} 很小，这意味着相互作用后的状态与初始状态并没有太多区别。相互作用后系统的联合状态为 | Ψ ′ ⟩ = ( I ⊗ I − i λ A ⊗ B − 1 2 λ 2 A 2 ⊗ B 2 ) | Ψ ⟩ . {\displaystyle |\Psi '\rangle =\left(I\otimes I-i\lambda A\otimes B-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\otimes B^{2}\right)|\Psi \rangle .} 现在我们对辅助系统进行测量来了解系统，这称为辅助系统耦合测量。我们将考虑（辅助系统上的）在基 | q ⟩ {\displaystyle |q\rangle } 下的测量，其中 | q ⟩ {\displaystyle |q\rangle } 满足 ∑ q | q ⟩ ⟨ q | = I {\textstyle \sum _{q}|q\rangle \langle q|=I} 。两个系统上的测量都由到联合状态 | Ψ ′ ⟩ {\displaystyle |\Psi '\rangle } 的投影算子 Π q = I ⊗ | q ⟩ ⟨ q | {\displaystyle \Pi _{q}=I\otimes |q\rangle \langle q|} 来描述。从量子测量理论可知测量后的条件状态是 | Ψ q ⟩ = Π q | Ψ ′ ⟩ ⟨ Ψ ′ | Π q | Ψ ′ ⟩ = I ⟨ q | ϕ ⟩ − i λ A ⟨ q | B | ϕ ⟩ − 1 2 λ 2 A 2 ⟨ q | B 2 | ϕ ⟩ N | ψ ⟩ ⊗ | q ⟩ , {\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi _{q}\rangle &={\frac {\Pi _{q}|\Psi '\rangle }{\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}}\\&={\frac {I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle }{\mathcal {N}}}|\psi \rangle \otimes |q\rangle ,\end{aligned}}} 其中 N = ⟨ Ψ ′ | Π q | Ψ ′ ⟩ {\textstyle {\mathcal {N}}={\sqrt {\langle \Psi '|\Pi _{q}|\Psi '\rangle }}} 是归一化因子。注意辅助系统状态记录了测量的结果。 M q := I ⟨ q | ϕ ⟩ − i λ A ⟨ q | B | ϕ ⟩ − 1 2 λ 2 A 2 ⟨ q | B 2 | ϕ ⟩ {\textstyle M_{q}:=I\langle q|\phi \rangle -i\lambda A\langle q|B|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}A^{2}\langle q|B^{2}|\phi \rangle } 是系统的希尔伯特空间上的算子，称为克劳斯算子。 在这些克劳斯算子对应的测量后，联合系统的状态为 | Ψ q ⟩ = M q | ψ ⟩ ⟨ ψ | M q † M q | ψ ⟩ ⊗ | q ⟩ . {\displaystyle |\Psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}}\otimes |q\rangle .} 算子 E q = M q † M q {\displaystyle E_{q}=M_{q}^{\dagger }M_{q}} 是所谓的正算子测量的元素，其须满足 ∑ q E q = I {\textstyle \sum _{q}E_{q}=I} 从而使得相应的概率之和为一： ∑ q Pr ( q | ψ ) = ∑ q ⟨ ψ | E q | ψ ⟩ = 1 {\textstyle \sum _{q}\Pr(q|\psi )=\sum _{q}\langle \psi |E_{q}|\psi \rangle =1} 。由于辅助系统不再关联于主系统，它只是记录测量的结果，我们可以迹掉它。这做法将给出主系统本身的条件状态： | ψ q ⟩ = M q | ψ ⟩ ⟨ ψ | M q † M q | ψ ⟩ , {\displaystyle |\psi _{q}\rangle ={\frac {M_{q}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{q}^{\dagger }M_{q}|\psi \rangle }}},} 这里仍用 q {\displaystyle q} 标记测量结果。事实上，这些考虑使得人们得以导出量子轨迹。 我们将使用 Barchielli, Lanz, Prosperi以及 Caves, Milburn给出的高斯型克劳斯算子的典型例子。取 H = x ⊗ p {\displaystyle H=x\otimes p} ，其中两个系统的位置和动量算子满足通常的正则对易关系 [ x , p ] = i {\displaystyle [x,p]=i} 。取辅助系统的初态为一高斯分布 | Φ ⟩ = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 ∫ d q ′ exp ⁡ [ − q ′ 2 / ( 4 σ 2 ) ] | q ′ ⟩ . {\displaystyle |\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dq'\exp[-q'^{2}/(4\sigma ^{2})]|q'\rangle .} 辅助系统的位置波函数为 Φ ( q ) = ⟨ q | Φ ⟩ = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 exp ⁡ [ − q 2 / ( 4 σ 2 ) ] . {\displaystyle \Phi (q)=\langle q|\Phi \rangle ={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-q^{2}/(4\sigma ^{2})].} 前文的克劳斯算子（在前文的表达式中取 λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} ）为 M ( q ) = ⟨ q | exp ⁡ [ − i x ⊗ p ] | Φ ⟩ = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 exp ⁡ [ − ( q − x ) 2 / ( 4 σ 2 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&=\langle q|\exp[-ix\otimes p]|\Phi \rangle \\&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\exp[-(q-x)^{2}/(4\sigma ^{2})],\end{aligned}}} 而相应的正算子测量的元素是 E ( q ) = M q † M q = 1 2 π σ 2 exp ⁡ [ − ( q − x ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] , {\displaystyle {\begin{aligned}E(q)&=M_{q}^{\dagger }M_{q}\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\exp[-(q-x)^{2}/(2\sigma ^{2})],\end{aligned}}} 且服从 ∫ d q E ( q ) = I {\textstyle \int dq\,E(q)=I} 。在文献中经常能看到另一种表现形式。使用位置算子的谱表示 x = ∫ x ′ d x ′ | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | {\textstyle x=\int x'dx'|x'\rangle \langle x'|} ，有 M ( q ) = 1 ( 2 π σ 2 ) 1 / 4 ∫ d x ′ exp ⁡ [ − ( q − x ′ ) 2 / ( 4 σ 2 ) ] | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | , E ( q ) = 1 2 π σ 2 ∫ d x ′ exp ⁡ [ − ( q − x ′ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ] | x ′ ⟩ ⟨ x ′ | . {\displaystyle {\begin{aligned}M(q)&={\frac {1}{(2\pi \sigma ^{2})^{1/4}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(4\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|,\\E(q)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int dx'\exp[-(q-x')^{2}/(2\sigma ^{2})]|x'\rangle \langle x'|.\end{aligned}}} 注意 lim σ → 0 E ( q ) = | x = q ⟩ ⟨ x = q | {\textstyle \lim _{\sigma \to 0}E(q)=|x=q\rangle \langle x=q|} 。也就是说，在特定的极限下，这些算子趋于对位置的强测量；对于 σ {\displaystyle \sigma } 的其他值，这种测量则称为是有限强度的；对于 σ → ∞ {\displaystyle \sigma \to \infty } 的极限情况，则说测量是弱的。 如前所述，Busch的定理阻止了免费午餐的出现：没有对态的扰动就无法取得信息。然而，信息获取和态的扰动间的得失交换已被许多作者刻画，其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres; Fuchs; Fuchs, KA. Jacobs; K. Banaszek. 最近，人们在所谓的“温和测量引理”的语境下检验了信息获取与态的扰动间的交换关系。 从很早以前就已经很清楚，弱测量的主要用途是用于量子系统的反馈控制或自适应测量。事实上，这是 Belavkin 大部分工作的动机，而 Caves 和 Milburn 也给出了一个明确的例子。自适应弱测量的一个早期应用是Dolinar接收器（英语：Dolinar receiver），该接收器已在实验上实现。弱测量的另一个有趣的应用是使用弱测量，然后跟一个幺正算子（可能依赖于弱测量的结果）来合成其他广义测量。 Wiseman 和 Milburn 的书是关于许多现代发展的良好参考资料。 Brun 的文章 Jacobs 和 Steck的文章 Jacobs, Kurt. Quantum measurement theory and its applications. Cambridge ; New York: Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-02548-6.  ]Wiseman, Howard M.; Milburn, Gerard J. Quantum Measurement and Control. Cambridge; New York: Cambridge University Press. 2009: 460. ISBN 978-0-521-80442-4.  Tamir 和 Cohen 的文章 Todd A Brun. A simple model of quantum trajectories. Am. J. Phys. 2002, 70 (7): 719–737. Bibcode:2002AmJPh..70..719B. S2CID 40746086. arXiv:quant-ph/0108132 . doi:10.1119/1.1475328.  Paul Busch. J. Christian; W.Myrvold , 编. "No Information Without Disturbance": Quantum Limitations of Measurement. 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