局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。 局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。 設 R {\displaystyle R} 為交換含幺環。若 R {\displaystyle R} 僅有一個極大理想 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} ，則稱 R {\displaystyle R} （或 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} ）為局部環。域 R / m {\displaystyle R/{\mathfrak {m}}} 稱為 R {\displaystyle R} 的剩餘域。 若 R {\displaystyle R} 中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。 一個局部環 ( R , m ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})} 上帶有一個自然的 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} -進拓撲，使得 R {\displaystyle R} 成為拓撲環；其開集由 { m i : i ≥ 0 } {\displaystyle \{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}} 生成。當 R {\displaystyle R} 為諾特環時，可證明 R {\displaystyle R} 為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。 設 ( R , m ) , ( S , n ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})} 為局部環，環同態 ϕ : R → S {\displaystyle \phi :R\rightarrow S} 被稱為局部同態，若且唯若 m = ϕ − 1 ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})} 。 域是局部環。 形式冪級數環 k [ [ X 1 , … , X n ] ] {\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]} 是局部環，其中 k {\displaystyle k} 是個域。極大理想是 ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})} 。 取係數在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。 凡賦值環皆為局部環。 設 R {\displaystyle R} 為任意交換環， p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} 為素理想，則相應的局部化 ( R p , p R p ) {\displaystyle (R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})} 是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若 ( R , p ) {\displaystyle (R,{\mathfrak {p}})} 已是局部環，則 R → ∼ R p {\displaystyle R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}} 。 局部環的商環仍是局部環。 局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間， F := R {\displaystyle F:=\mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } ，且 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 。考慮所有資料 ( f , U ) {\displaystyle (f,U)} ，其中 U {\displaystyle U} 是 x {\displaystyle x} 的一個開鄰域，而 f : U → F {\displaystyle f:U\rightarrow F} 是連續函數。引入等價關係： ( f , U ) ∼ ( g , V ) ⟺ ∃ W ⊂ U ∩ V , f | W = g | W {\displaystyle (f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}} 且 W {\displaystyle W} 是 x {\displaystyle x} 的開鄰域。 換言之，若兩個函數在 x {\displaystyle x} 附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 Γ x {\displaystyle \Gamma _{x}} ，其元素稱作在 x {\displaystyle x} 的連續函數芽，它體現了連續函數在 x {\displaystyle x} 附近的行為。若 s ∈ Γ x {\displaystyle s\in \Gamma _{x}} 滿足 s ( x ) ≠ 0 {\displaystyle s(x)\neq 0} ，則存在一個 x {\displaystyle x} 的開鄰域 U {\displaystyle U} 及連續函數 f : U → F {\displaystyle f:U\rightarrow F} ，使得 [ f , U ] = s {\displaystyle [f,U]=s} 且 f {\displaystyle f} 恆非零，因此可定義乘法逆元 1 / s := [ 1 / f , U ] {\displaystyle 1/s:=[1/f,U]} 。於是 Γ x {\displaystyle \Gamma _{x}} 是局部環，其唯一的極大理想是所有在 x {\displaystyle x} 點取零的函數，剩餘域則是 F {\displaystyle F} 。 類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。 在代數幾何與複幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。 在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。 一個含么環 R {\displaystyle R} 被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件： R 僅有一個極大左理想。 R 僅有一個極大右理想。 1 ≠ 0 ∈ R {\displaystyle 1\neq 0\in R} ，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。 1 ≠ 0 ∈ R {\displaystyle 1\neq 0\in R} ，且對任何元素 x {\displaystyle x} ， x {\displaystyle x} 或 1 − x {\displaystyle 1-x} 必有一者可逆。 1 ≠ 0 ∈ R {\displaystyle 1\neq 0\in R} ，若 R {\displaystyle R} 中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。 當上述任一性質成立，則下述三者等同： R 的唯一極大左理想 R 的唯一極大右理想 R 的 Jacobson根 對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。 V.I. Danilov, Local ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9