平方差

平方差公式是數學公式的一種，屬於乘法公式、因式分解及恆等式，被普遍使用。平方差指一個平方數減去另一個平方數得來的乘法公式： a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)} ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} 及 ( a − b ) {\displaystyle (a-b)} 的排列不是非常的重要，可隨意排放。 平方差可利用因式分解及分配律來驗證： a 2 − b 2 = a 2 − 0 − b 2 = a 2 − ( a b − b a ) − b 2 = a 2 − a b + b a − b 2 = ( a 2 − a b ) + ( b a − b 2 ) = a ( a − b ) + b ( a − b ) = ( a − b ) ( a + b ) {\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}} 平方差能使用表格方式來驗證。 這樣可驗證出 ( a − b ) ( a + b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}} 平方差可利用一個普通的平面圖表驗證出來。右圖中，是正方形 a 2 {\displaystyle a^{2}} 減去正方形 b 2 {\displaystyle b^{2}} ，那即是 a 2 − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}} 。利用平方差，計算出陰影部分的面積就是 ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle (a+b)(a-b)} 。 根据右图，可先將阴影部分分割成三部分，分別为： b ( a − b ) {\displaystyle b(a-b)\,\!} ( a − b ) 2 {\displaystyle (a-b)^{2}\,\!} 是灰正方 b ( a − b ) {\displaystyle b(a-b)\,\!} 然后，將三部分加起： b ( a − b ) + ( a − b ) 2 + b ( a − b ) {\displaystyle b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!} = a b − b 2 + a 2 − 2 a b + b 2 + a b − b 2 {\displaystyle =ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!} = a b + a b − 2 a b − b 2 + b 2 + a 2 − b 2 {\displaystyle =ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!} = a 2 − b 2 {\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!} 註： ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} 运用了差平方。 與方法一差不多，先將陰影部分分割為兩部分，分別為： a ( a − b ) {\displaystyle a(a-b)\,\!} 大長方 b ( a − b ) {\displaystyle b(a-b)\,\!} 小長方 然後，將兩部分加起： a ( a − b ) + b ( a − b ) {\displaystyle a(a-b)+b(a-b)\,\!} = a 2 − a b + a b − b 2 {\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!} = a 2 − b 2 {\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!} x 2 − 16 {\displaystyle x^{2}-16\,\!} 計算此公式，必須把兩個數項都轉為平方。並得： = x 2 − 4 2 {\displaystyle =x^{2}-4^{2}\,\!} = ( x − 4 ) ( x + 4 ) {\displaystyle =(x-4)(x+4)\,\!} 16 m 2 − 81 n 2 {\displaystyle 16m^{2}-81n^{2}\,\!} 計算此公式，同樣地把兩個數項轉為平方。並得： = ( 4 m ) 2 − ( 9 n ) 2 {\displaystyle =(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!} = ( 4 m − 9 n ) ( 4 m + 9 n ) {\displaystyle =(4m-9n)(4m+9n)\,\!} 4 y 2 − 36 z 2 {\displaystyle 4y^{2}-36z^{2}\,\!} 計算此公式，雖 4 y 2 {\displaystyle 4y^{2}} 及 36 z 2 {\displaystyle 36z^{2}} 的開方分別是 2 y {\displaystyle 2y} 及 6 z {\displaystyle 6z} ，但最好的方法是先抽出公因子，並得： = 4 ( y 2 − 9 z 2 ) {\displaystyle =4(y^{2}-9z^{2})\,\!} 同樣地把兩個數項轉為平方，並得： = 4 [ y 2 − ( 3 z ) 2 ] {\displaystyle =4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!} = 4 ( y − 3 z ) ( y + 3 z ) {\displaystyle =4(y-3z)(y+3z)\,\!} 1 x 4 − 13 x 2 + 36 {\displaystyle {\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36} 首先，可將該兩個分數轉成正數，並得： = x − 4 − 13 x − 2 + 36 {\displaystyle =x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!} = ( x − 2 ) 2 − 13 ( x − 2 ) + 36 {\displaystyle =(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!} 運用因式分解的方法得出： = x − 2 × x − 2 − 9 ( x − 2 ) − 4 ( x − 2 ) + 9 × 4 {\displaystyle =x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4} = ( x − 2 − 4 ) ( x − 2 − 9 ) {\displaystyle =(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!} 然後，把所有可被開方的數目轉為平方數，並得到： = [ ( x − 1 ) 2 − 2 2 ] [ ( x − 1 ) 2 − 3 2 ] {\displaystyle =\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]} 運用平方差並得出： = ( x − 1 − 2 ) ( x − 1 + 2 ) ( x − 1 − 3 ) ( x − 1 + 3 ) {\displaystyle =(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!} 或 = ( 1 x − 2 ) ( 1 x + 2 ) ( 1 x − 3 ) ( 1 x + 3 ) {\displaystyle =\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!} 某些特別的整數相乘，能巧妙地使用平方差來計算，並可減省复雜的計算步驟。 例子一，兩個數項都分別是 10 n {\displaystyle 10^{n}} 的 + x {\displaystyle +x} 及 − x {\displaystyle -x} ： 10 × 10 = ( 10 − 0 ) ( 10 + 0 ) = 10 2 − 0 2 = 100 − 0 = 100 {\displaystyle 10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100} 7 × 13 = ( 10 − 3 ) ( 10 + 3 ) = 10 2 − 3 2 = 100 − 9 = 91 {\displaystyle 7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91} 95 × 105 = ( 100 − 5 ) ( 100 + 5 ) = 100 2 − 5 2 = 10 , 000 − 25 = 9 , 975 {\displaystyle 95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975} 99 , 994 × 100 , 006 = ( 100 , 000 − 6 ) ( 100 , 000 + 6 ) = 100 , 000 2 − 6 2 = 10 , 000 , 000 , 000 − 36 = 9 , 999 , 999 , 964 {\displaystyle 99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964} 例子二：第一個數項減去第2個數項，都是 10 n {\displaystyle 10^{n}} ： 14 2 − 4 2 = ( 14 + 4 ) ( 14 − 4 ) = 18 × 10 = 180 {\displaystyle 14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!} 125 2 − 25 2 = ( 125 + 25 ) ( 125 − 25 ) = 150 × 100 = 15 , 000 {\displaystyle 125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!} 1 , 750 2 − 750 2 = ( 1 , 750 + 750 ) ( 1 , 750 − 750 ) = 2 , 500 × 1 , 000 = 25 , 000 , 000 {\displaystyle 1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!} 14 , 205 2 − 4 , 205 2 = ( 14 , 205 + 4 , 205 ) ( 14 , 205 − 4 , 205 ) = 18 , 410 × 10 , 000 = 184 , 100 , 000 {\displaystyle 14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!} 例子三：運用分配律、平方差來計出以下很大而覆雜的數項： 3263 × 3264 × ( 3264 3263 − 3265 3264 ) {\displaystyle 3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)} 下一步先運用分配律： = 3263 × 3264 × 3264 3263 − 3263 × 3264 × 3265 3264 {\displaystyle =3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}} 並把所有相同數項約簡，並得： = 3264 2 − 3263 × 3265 {\displaystyle =3264^{2}-3263\times 3265} 運用平方差，並得： = 3264 2 − ( 3264 − 1 ) ( 3264 + 1 ) {\displaystyle =3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!} = 3264 2 − ( 3264 2 − 1 2 ) {\displaystyle =3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!} = 3264 2 − 3264 2 + 1 {\displaystyle =3264^{2}-3264^{2}+1\,\!} = 1 {\displaystyle =1\,\!} 很多人混淆了平方差、差平方，除了文字上外，不少人都錯誤計算。 註： ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} ，詳見差平方 因為平方數除以4的餘數衹能是0或1，所以兩個整數的平方差模4餘0、1或3。另一方面， ( k + 1 ) 2 − ( k − 1 ) 2 = 4 k {\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=4k} 說明模4餘0的數皆可寫成平方差，而 ( k + 1 ) 2 − k 2 = 2 k + 1 {\displaystyle (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1} 說明模4餘1或3的數（奇數）可以寫成平方差。 乘法公式 因式分解 恆等式 乘法 平方 平方數 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A042965. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A139544. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Factoring the Difference of Two Squares Difference between 2 squares