李超代数

李超代数是李代数的推广，包含了Z2‑分次代数。李超代数在理论物理中十分重要，用于描述超对称的数学理论。其中，超代数的偶元素大多对应玻色子，奇元素大多对应费米子（也有相反者，如BRST超对称）。 形式上看，李超代数是交换环（一般是R或C）上的非结合Z2-分次代数，或“超代数”，其积为[·, ·]，称作李超括号或超交换子，满足两个条件（与分次的通常李代数类似）： 超反对称性（skew-symmetry）： [ x , y ] = − ( − 1 ) | x | | y | [ y , x ] .   {\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ } 超雅可比恒等式： ( − 1 ) | x | | z | [ x , [ y , z ] ] + ( − 1 ) | y | | x | [ y , [ z , x ] ] + ( − 1 ) | z | | y | [ z , [ x , y ] ] = 0 , {\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,} 其中x、y、z在Z2分次中为纯。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。 有时，还会在 | x | = 0 {\displaystyle |x|=0} 时添加公理 [ x , x ] = 0 {\displaystyle [x,x]=0} （若2可逆，则公理自动成立）；对 | x | = 1 {\displaystyle |x|=1} 时，有 [ [ x , x ] , x ] = 0 {\displaystyle [[x,x],x]=0} （若3可逆，则公理自动成立）。当基环是整数或李超代数是自由模时，这些条件等同于庞加莱–伯克霍夫–威特定理成立的条件（一般而言是定理成立的必要条件）。 正如对李代数一样，李超代数的泛包络代数可被赋予霍普夫代数结构。 反交换、在分次意义上雅可比的分次李代数（按Z或N分次）也有 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} 分次（称作将代数“卷”为奇偶部分），但不称作“超”。 令 g = g 0 ⊕ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}} 为李超代数。通过观察雅可比恒等式，可发现有8种情况取决于参数的奇偶。以奇元素个数为索引，分成4类： 无奇元素。即 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 为平凡李代数。 1个奇元素。则 g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 是作用 a d a : b → [ a , b ] , a ∈ g 0 , b , [ a , b ] ∈ g 1 {\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}} 的 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 模。 2个奇元素。雅可比恒等式说明括号 g 1 ⊗ g 1 → g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}} 是对称 g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 映射。 3个奇元素。对所有 b ∈ g 1 {\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}} ，都有 [ b , [ b , b ] ] = 0 {\displaystyle [b,[b,b]]=0} 。 因此，李超代数的偶超代数 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 形成（正常）李代数，因为所有符号都消失了，超括号变为普通李括号；而 g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} 是 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 的线性表示，存在对称 g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} 等变线性映射 { ⋅ , ⋅ } : g 1 ⊗ g 1 → g 0 {\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}} 使得 [ { x , y } , z ] + [ { y , z } , x ] + [ { z , x } , y ] = 0 , x , y , z ∈ g 1 . {\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.} 条件(1)–(3)是现行的，都可以用普通李代数来理解。条件(4)是飞现行的，且是在从普通李代数（ g 0 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}} ）和表示（ g 1 {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}} ）开始构造李超代数时最难验证的条件。 ∗李超代数是配备自身到自身的对合反线性映射的复李超代数，映射反映Z2分次且对李超代数中所有x、y都有 [ x ,   y ] ∗ = [ y ∗ ,   x ∗ ] {\displaystyle [x,\ y]^{*}=[y^{*},\ x^{*}]} （有人更喜好约定 [ x ,   y ] ∗ = ( − 1 ) | x | | y | [ y ∗ ,   x ∗ ] {\displaystyle [x,\ y]^{*}=(-1)^{|x||y|}[y^{*},\ x^{*}]} ；将*改为−*可在两种约定之间切换）。其泛包络代数将是普通对合代数。 给定结合超代数 A {\displaystyle A} ，可通过以下方式定义齐次元素上的超交换子： [ x , y ] = x y − ( − 1 ) | x | | y | y x   {\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ } 然后线性延伸到所有元素。代数 A {\displaystyle A} 与超交换子共同构成李超代数。这个过程最简单的例子也许是当 A {\displaystyle A} 为超向量空间 V {\displaystyle V} 中所有线性函数 E n d ( V ) {\displaystyle \mathbf {End} (V)} 的空间。 V = K p | q {\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}} 时，该空间可表为 M p | q {\displaystyle M^{p|q}} 或 M ( p | q ) {\displaystyle M(p|q)} 。用上述李括号，空间可表为 g l ( p | q ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)} 。 同伦群上的怀特海德积给出了许多整数上的李超代数的例子。 超庞加莱代数生成了平面超空间的等距。 维克托·卡茨对简单复有限维李超代数进行了分类：（不包括李代数） 特殊线性李超代数 s l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)} . 李超代数 s l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)} 是 g l ( m | n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)} 的超代数，包含超迹为0的矩阵。 m ≠ n {\displaystyle m\not =n} 时是简单的； m = n {\displaystyle m=n} 时，单位矩阵 I 2 m {\displaystyle I_{2m}} 产生一个理想。对理想取商，可得 s l ( m | m ) / ⟨ I 2 m ⟩ {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle } ，对 m ≥ 2 {\displaystyle m\geq 2} 是简单的。 正交辛李超代数 o s p ( m | 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)} . 考虑 C m | 2 n {\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}} 上的偶、非退化、超对称双射形式 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } ，则正交辛李超代数是 g l ( m | 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)} 的超代数，包含的矩阵满足下式不变： o s p ( m | 2 n ) = { X ∈ g l ( m | 2 n ) ∣ ⟨ X u , v ⟩ + ( − 1 ) | X | | u | ⟨ u , X v ⟩ = 0  for all  u , v ∈ C m | 2 n } . {\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.} 其偶部由 s o ( m ) ⊕ s p ( 2 n ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)} 给出。 例外李超代数 D ( 2 , 1 ; α ) {\displaystyle D(2,1;\alpha )} . 有一族取决于参数 α {\displaystyle \alpha } 的(9∣8)维李超代数，它们是 D ( 2 , 1 ) = o s p ( 4 | 2 ) {\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)} 的变形。若 α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \not =0} 、 α ≠ − 1 {\displaystyle \alpha \not =-1} ，则D(2,1,α)是简单的；若 α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 在映射 α ↦ α − 1 {\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}} 、 α ↦ − 1 − α {\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha } 的作用下处于同一轨道，则 D ( 2 , 1 ; α ) ≅ D ( 2 , 1 ; β ) {\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )} 。 例外李超代数 F ( 4 ) {\displaystyle F(4)} . 具有维度(24|16)。偶部由 s l ( 2 ) ⊕ s o ( 7 ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)} 给出。 例外李超代数 G ( 3 ) {\displaystyle G(3)} . 具有维度(17|14)。偶部由 s l ( 2 ) ⊕ G 2 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}} 给出。 还有2个所谓“奇异”序列，分别叫做 p e ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)} 、 q ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)} . Cartan类型。可分为4族： W ( n ) {\displaystyle W(n)} 、 S ( n ) {\displaystyle S(n)} 、 S ~ ( 2 n ) {\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)} 、 H ( n ) {\displaystyle H(n)} 。对于简单李超代数的Cartan类型，奇部在偶部的作用下不再完全可还原。 分类包含10个系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5个例外代数： E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8) 最后两个特别有趣（据Kac所说），因为它们的零级代数是标准模型规范群SU(3)×SU(2)×U(1)。无穷维（仿射）李超代数是超弦理论中重要的对称，具体来说，具有 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 超对称的Virasoro代数是 K ( 1 , N ) {\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})} ，其只有中心扩展到 N = 4 {\displaystyle {\mathcal {N}}=4} 。 范畴论中，李超代数可定义为非结合超代数，其积满足 [ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( id + τ A , A ) = 0 {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0} [ ⋅ , ⋅ ] ∘ ( [ ⋅ , ⋅ ] ⊗ id ∘ ( id + σ + σ 2 ) = 0 {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0} 其中σ是循环包络辫 ( id ⊗ τ A , A ) ∘ ( τ A , A ⊗ id ) {\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })} 。以图表示： 格尔斯滕哈伯代数 任意子李代数 外代数 李超代数的表示 超空间 超群 泛包络代数 Freund 1983，第8頁 Varadarajan 2004，第89頁 Varadarajan 2004，第87頁 Varadarajan 2004，第90頁 Cheng S.-J. ;Wang W. 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