瓦特曲線

瓦特曲線是指一個六次方程的平面代數曲線，也是圓代數曲線（英语：circular algebraic curve）。是由二個半徑為b ，圓心之間距離為2a（分別在(±a, 0)）的圓所產生，一個長為2c的線段，兩端點分別在二圓上，其線段中間的軌跡即為瓦特曲線，此曲線和詹姆斯·瓦特在蒸汽機上的貢獻有關。 瓦特曲線的方程式可以寫為以下的极坐标系方程 r 2 = b 2 − [ a sin ⁡ θ ± c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ] 2 . {\displaystyle r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.} 极坐标系方程可以用下式推導： 在複數平面上，令二圓的圓心為a和−a，二圓連線的端點為−a+bei λ和a+bei ρ。令線段相對水平線的斜角ψ，其中點為rei θ，則二端點也可表示為rei θ ± cei ψ。二端點的二種表示式可得： a + b e i ρ = r e i θ + c e i ψ . {\displaystyle a+be^{i\rho }=re^{i\theta }+ce^{i\psi }.\,} − a + b e i λ = r e i θ − c e i ψ {\displaystyle -a+be^{i\lambda }=re^{i\theta }-ce^{i\psi }\,} 二式相加再除二可得 r e i θ = b 2 ( e i ρ + e i λ ) = b cos ⁡ ( ρ − λ 2 ) e i ρ + λ 2 . {\displaystyle re^{i\theta }={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }+e^{i\lambda })=b\cos({\tfrac {\rho -\lambda }{2}})e^{i{\tfrac {\rho +\lambda }{2}}}.} 比較半徑及幅角可得 r = b cos ⁡ α ,   θ = ρ + λ 2   where   α = ρ − λ 2 . {\displaystyle r=b\cos \alpha ,\ \theta ={\tfrac {\rho +\lambda }{2}}\ {\mbox{where}}\ \alpha ={\tfrac {\rho -\lambda }{2}}.} 一開始的二式相減再除二可得 c e i ψ − a = b 2 ( e i ρ − e i λ ) = i b sin ⁡ α e i θ . {\displaystyle ce^{i\psi }-a={\tfrac {b}{2}}(e^{i\rho }-e^{i\lambda })=ib\sin \alpha e^{i\theta }.} 將a以下式表示 a = a cos ⁡ θ   e i θ − i a sin ⁡ θ   e i θ . {\displaystyle a=a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }.\,} 因此 c e i ψ = i b sin ⁡ α e i θ + a cos ⁡ θ   e i θ − i a sin ⁡ θ   e i θ = ( a cos ⁡ θ   + i ( b sin ⁡ α − a sin ⁡ θ ) ) e i θ , {\displaystyle ce^{i\psi }=ib\sin \alpha e^{i\theta }+a\cos \theta \ e^{i\theta }-ia\sin \theta \ e^{i\theta }=(a\cos \theta \ +i(b\sin \alpha -a\sin \theta ))e^{i\theta },} c 2 = a 2 cos 2 ⁡ θ + ( b sin ⁡ α − a sin ⁡ θ ) 2 , {\displaystyle c^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta +(b\sin \alpha -a\sin \theta )^{2},\,} b sin ⁡ α = a sin ⁡ θ ± c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ , {\displaystyle b\sin \alpha =a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }},\,} r 2 = b 2 cos 2 ⁡ α = b 2 − b 2 sin 2 ⁡ α = b 2 − [ a sin ⁡ θ ± c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ] 2 . , {\displaystyle r^{2}=b^{2}\cos ^{2}\alpha =b^{2}-b^{2}\sin ^{2}\alpha =b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.,\,} 將極座標方式展開可得 r 2 = b 2 − ( a 2 sin 2 ⁡ θ   + c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ± 2 a sin ⁡ θ c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ) , {\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a^{2}\sin ^{2}\theta \ +c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta \pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,} r 2 − a 2 − b 2 + c 2 + 2 a 2 sin 2 ⁡ θ = ± 2 a sin ⁡ θ c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ) , {\displaystyle r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2}+2a^{2}\sin ^{2}\theta =\pm 2a\sin \theta {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}),\,} ( r 2 − a 2 − b 2 + c 2 ) 2 + 4 a 2 ( r 2 − a 2 − b 2 + c 2 ) sin 2 ⁡ θ + 4 a 4 sin 4 ⁡ θ = 4 a 2 sin 2 ⁡ θ ( c 2 − a 2 cos 2 ⁡ θ ) , {\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})\sin ^{2}\theta +4a^{4}\sin ^{4}\theta =4a^{2}\sin ^{2}\theta (c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta ),\,} ( r 2 − a 2 − b 2 + c 2 ) 2 + 4 a 2 ( r 2 − b 2 ) sin 2 ⁡ θ = 0 , {\displaystyle (r^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}(r^{2}-b^{2})\sin ^{2}\theta =0,\,} ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − a 2 − b 2 + c 2 ) 2 + 4 a 2 y 2 ( x 2 + y 2 − b 2 ) = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-a^{2}-b^{2}+c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,} 令d 2=a2+b2–c2 因此可簡化上式為: ( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − d 2 ) 2 + 4 a 2 y 2 ( x 2 + y 2 − b 2 ) = 0. {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0.\,} 當曲線通過原點時，原點為拐點，因此有3階接觸切線。不過若a2=b2+<c2，則有5階接觸切線，換句話說此曲線相當接近直線，這就是瓦特連桿（英语：Watt's linkage）可以作為直線運動機構的原理。 平面四杆机构 瓦特連桿（英语：Watt's linkage） See Catalan and Rutter 埃里克·韦斯坦因. Watt's Curve. MathWorld.  約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Watt's Curve, MacTutor数学史档案 （英语）  "Courbe de Watt" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables （页面存档备份，存于互联网档案馆） (in French) Catalan, E. Sur la Courbe de Watt. Mathesis. 1885, V: 154.  Rutter, John W. Geometry of Curves. CRC Press. 2000: 73ff. ISBN 1-58488-166-6.