组合数学

广义的组合数学（英語：Combinatorics）相当于离散数学，狭义的组合数学是组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究可數或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计(Combinatorial design（英语：Combinatorial design）)、组合矩阵(Combinatorial matrix theory（英语：Combinatorial matrix theory）)、组合最佳化（最佳組合）等。 最基本的組合數學的思想和枚舉的方法在古老時代就已經出現。西元前6世紀的古印度外科醫生妙聞指出可以由6種相異味道組合出63種相異結果（每種味道都可以選擇或不選擇，但不能都不選擇，因此有26−1=63種組合）；羅馬時代的希臘史家普魯塔克與克律西波斯、喜帕恰斯討論了後來顯示與Schröder–Hipparchus數（英语：Schröder–Hipparchus number）有關的枚舉問題；西元前3世紀的阿基米德在其數學文章Ostomachion（英语：Ostomachion）中講述拼接拼圖的智力遊戲（tiling puzzle）。 中世紀時，組合數學持續發展（主要是歐洲外的文明）。西元850年的印度數學家Mahāvīra（英语：Mahāvīra (mathematician)）提供了關於排列數與組合的公式，甚至可能早在6世紀的印度數學家就對這些公式熟悉 。西元1140年哲學家與天文學家阿伯拉罕·伊本·埃茲拉確認了二項式係數的對稱性，而二項式係數公式則是由猶太人數學家吉尔松尼德在西元1321年得到。楊輝三角形最早可追溯至10世紀的數學論文，在中國則首現於13世紀南宋楊輝《詳解九章算法》。在英格蘭則出現與哈密頓迴路相關的例子。 文藝復興時期，與其他數學或科學領域一樣，組合數學再現生機。帕斯卡、牛頓、雅各布·白努利、歐拉等人的研究為此新興領域打下基礎。在更近代，西爾維斯特和MacMahon（英语：Percy Alexander MacMahon）也在組合計數和代數組合學有貢獻。人們此時也對圖論有極大興趣，例如關於四色問題的領域。 在20世紀下半葉，組合數學成長相當快速，甚至出現數十種新的期刊和會議，這樣的成長某程度上是由對其他領域的連結與應用所帶動，如代數、機率論、泛函分析和數論。 計算一些物品在特定條件下分組的方法數目。這些是關於排列、組合和整數分拆。 地图着色问题：為地图填色，每區用一色。如果要邻區颜色相异，是否只需四色？這是圖論題。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊，但船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西运过河？這是線性規劃題。 中国邮差问题：由中华民国组合数学家管梅谷教授提出。邮差要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。也是圖論題。 任务分配问题（也称分配问题）：有一些员工要完成一些任务。各员工完成不同任务用的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只分给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？也是線性規劃題。 如何構造幻方： 幻方為一方陣，填入不重複之自然數，並使其中每一縱列、橫列、對角線內數字之和皆相同。 數獨：遊戲一般由9個3×3個的九宫格組成。每一列的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。每一宮(粗黑線圍起來的區域，通常是 3x3 的九宮格)的數字均須包含 1～9，不能缺少，也不能重複。參見Mathematics_of_Sudoku（英语：Mathematics_of_Sudoku） 从 n {\displaystyle n} 个元素取出 k {\displaystyle k} 个元素， k {\displaystyle k} 个元素的排列數量為： P k n = n ! ( n − k ) ! {\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}} 以賽馬為例，有8匹马参赛，玩家需在彩票上填入前三匹胜出的马匹号码，從8匹馬取出3匹來排前3名，排列數量為： P 3 8 = 8 ! ( 8 − 3 ) ! = 8 × 7 × 6 = 336 {\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=8\times 7\times 6=336} 因为有336种排列，因此玩家在一次填入中中奖的概率是： P = 1 336 = 0.00298 {\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298} (假設每匹馬贏的機會相等) 不過，中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作 P n k {\displaystyle P_{n}^{k}} 或 A n k {\displaystyle A_{n}^{k}} （A代表Arrangement，即排列）。 上例是在取出元素不重複出現的狀況建立。 從 n {\displaystyle n} 个元素取出 k {\displaystyle k} 个元素， k {\displaystyle k} 个元素可以重复出现，這排列數量為： U k n = n k {\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}} 以四星彩為例，10個數取4個，因可能重複所以排列數量為： U 4 10 = 10 4 = 10000 {\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000} 这时的一次性添入中奖的概率就是： P = 1 10000 = 0.0001 {\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001} 和排列不同的是，组合不考虑取出元素的顺序。 从 n {\displaystyle n} 个元素取出 k {\displaystyle k} 个， k {\displaystyle k} 个元素的组合數量为： C k n = ( n k ) = P k n k ! = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} 中國大陸的教科書則是把從 n {\displaystyle n} 取 k {\displaystyle k} 的情況記作 C n k {\displaystyle C_{n}^{k}} 。 以香港六合彩為例，六合彩49顆球選6顆的组合數量为： C 6 49 = ( 49 6 ) = 49 ! 6 ! 43 ! = 13983816 {\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816} 如同排列，上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。 从 n {\displaystyle n} 个元素取出 k {\displaystyle k} 个元素， k {\displaystyle k} 個元素可以重複出現，组合數量为： H k n = C k n + k − 1 {\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}} 以取色球為例，每種顏色的球有無限多顆，從8種色球取出5顆球，這組合數量為： H 5 8 = C 5 8 + 5 − 1 = C 5 12 = 12 ! 5 ! 7 ! = 792 {\displaystyle H_{5}^{8}=C_{5}^{8+5-1}=C_{5}^{12}={\frac {12!}{5!7!}}=792} 因為組合數量公式特性，重複組合轉換成組合有另一種公式為： H k n = C k n + k − 1 = ( n + k − 1 ) ! k ! ( n − 1 ) ! = C n − 1 n + k − 1 {\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{n-1}^{n+k-1}} 另外 H k n {\displaystyle H_{k}^{n}} 也可以記為 F k n {\displaystyle F_{k}^{n}} F k n = H k n {\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}} 阶乘 阶乘符号 排列 组合 组合优化 Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350. Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446. 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Mahavira, MacTutor数学史档案 （英语）  Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, Selin, Helaine (编), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000 [2019-07-21], ISBN 978-1-4020-0260-1, （原始内容存档于2016-11-27）  Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. 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