旋轉不變性

在數學裏，給予一個定義於內積空間的函數，假若對於任意旋轉，函數的參數值可能會改變，但是函數的數值仍舊保持不變，則稱此性質為旋轉不變性（rotational invariance），或旋轉對稱性（rotational symmetry），因為函數對於旋轉具有對稱性。例如，假設以xyz-參考系的原點為固定點，任意旋轉xyz-參考系，而函數 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle f(x,\,y,\,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}} 的數值保持不變，因此，函數 f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,\,y,\,z)} 對於任意旋轉具有不變性，或對於任意旋轉具有對稱性。 在物理學裏，假若物理系統的性質跟它在空間的取向無關，則這系統具有旋轉不變性。根據諾特定理，假若物理系統的作用量具有旋轉不變性，則角動量守恆。 根據物理學家多年來仔細研究的結果，到目前為止，所有的物理基礎定律都具有旋轉不變性。 假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V ( r ) {\displaystyle V(r)} ，其哈密頓算符 H {\displaystyle H} 可以表示為 H = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) {\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m} 是質量， r {\displaystyle r} 是徑向距離。 現在，以 z-軸為旋轉軸，旋轉此系統的 x-軸與 y-軸 θ {\displaystyle \theta } 角弧，則新直角坐標 r ′ = ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle \mathbf {r} '=(x',\,y',\,z')} 與舊直角坐標的關係式為 x ′ = x cos ⁡ θ − y sin ⁡ θ {\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta } 、 y ′ = x sin ⁡ θ + y cos ⁡ θ {\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta } 、 z ′ = z {\displaystyle z'=z} 。 偏導數為 ∂ ∂ x ′ = cos ⁡ θ ∂ ∂ x − sin ⁡ θ ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x'}}=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial x}}-\sin \theta {\frac {\partial }{\partial y}}} 、 ∂ ∂ y ′ = sin ⁡ θ ∂ ∂ x + cos ⁡ θ ∂ ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y'}}=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial x}}+\cos \theta {\frac {\partial }{\partial y}}} 、 ∂ ∂ z ′ = ∂ ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z'}}={\frac {\partial }{\partial z}}} 。 那麼，導數項目具有旋轉不變性： ∇ ′ 2 = ( ∂ ∂ x ′ ) 2 + ( ∂ ∂ y ′ ) 2 + ( ∂ ∂ z ′ ) 2 = ( ∂ ∂ x ) 2 + ( ∂ ∂ y ) 2 + ( ∂ ∂ z ) 2 = ∇ 2 {\displaystyle \nabla '^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z'}}\right)^{2}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial }{\partial z}}\right)^{2}=\nabla ^{2}} 。 由於徑向距離具有旋轉不變性： r ′ = x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 = x 2 + y 2 + z 2 = r {\displaystyle r'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=r} ， 旋轉之後，新的哈密頓算符 H ′ {\displaystyle H'} 是 H ′ = − ℏ 2 2 m ∇ ′ 2 + V ( r ′ ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r ) = H {\displaystyle H'=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla '^{2}+V(r')=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)=H} 。 所以，球對稱位勢量子系統的哈密頓算符具有旋轉不變性。 假設一個量子系統的位勢為球對稱位勢 V ( r ) {\displaystyle V(r)} ，則哈密頓算符具有旋轉不變性。定義旋轉算符 R {\displaystyle R} 為一個對於 z-軸的無窮小旋轉 δ θ {\displaystyle \delta \theta } 。則正弦函數與餘弦函數可以分別近似為 sin ⁡ δ θ ≈ δ θ {\displaystyle \sin \delta \theta \approx \delta \theta } 、 cos ⁡ δ θ ≈ 1 {\displaystyle \cos \delta \theta \approx 1} 。 新直角坐標與舊直角坐標之間的關係式為 x ′ ≈ x − y δ θ {\displaystyle x'\approx x-y\delta \theta } 、 y ′ ≈ x δ θ + y {\displaystyle y'\approx x\delta \theta +y} 、 z ′ = z {\displaystyle z'=z} 。 將 R {\displaystyle R} 作用於波函數 ψ ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,\,y,\,z)} ， R ψ ( x , y , z ) = ψ ( x ′ , y ′ , z ′ ) ≈ ψ ( x , y , z ) + i ℏ δ θ L z ψ ( x , y , z ) {\displaystyle R\psi (x,\,y,\,z)=\psi (x',\,y',\,z')\approx \psi (x,\,y,\,z)+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}\psi (x,\,y,\,z)} ； 其中， L z {\displaystyle L_{z}} 是角動量的 z-分量， L z = x p y − y p x = − i ℏ ( x ∂ ∂ y − y ∂ ∂ x ) {\displaystyle L_{z}=xp_{y}-yp_{x}=-i\hbar \left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)} 。 所以，旋轉算符 R {\displaystyle R} 可以表達為 R = 1 + i ℏ δ θ L z {\displaystyle R=1+{\frac {i}{\hbar }}\delta \theta L_{z}} 。 假設 ψ E ( r ) {\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 是哈密頓算符的能級本徵態，則 H ψ E ( r ) = E ψ E ( r ) {\displaystyle H\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} )} 。 由於 r {\displaystyle \mathbf {r} } 只是一個虛設變數， H ′ ψ E ( r ′ ) = E ψ E ( r ′ ) {\displaystyle H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')} 。 在做一個微小旋轉之後， R H ψ E ( r ) = R E ψ E ( r ) = E R ψ E ( r ) = E ψ E ( r ′ ) {\displaystyle RH\psi _{E}(\mathbf {r} )=RE\psi _{E}(\mathbf {r} )=ER\psi _{E}(\mathbf {r} )=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')} 、 H R ψ E ( r ) = H ψ E ( r ′ ) = H ′ ψ E ( r ′ ) = E ψ E ( r ′ ) {\displaystyle HR\psi _{E}(\mathbf {r} )=H\psi _{E}(\mathbf {r} ')=H'\psi _{E}(\mathbf {r} ')=E\psi _{E}(\mathbf {r} ')} 。 所以， ( R H − H R ) ψ E ( r ) = 0 {\displaystyle (RH-HR)\psi _{E}(\mathbf {r} )=0} 。哈密頓算符的能級本徵態 ψ E ( r ) {\displaystyle \psi _{E}(\mathbf {r} )} 形成一組完備集 (complete set)，旋轉算符和哈密頓算符的對易關係是 [ R , H ] = 0 {\displaystyle [R,\,H]=0} 。 因此， [ L z , H ] = 0 {\displaystyle [L_{z},\,H]=0} 。 根據埃倫費斯特定理， L z {\displaystyle L_{z}} 的期望值對於時間的導數是 d d t ⟨ L z ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ L z , H ] ⟩ + ⟨ ∂ L z ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [L_{z},\,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle } 。 所以， d d t ⟨ L z ⟩ = ⟨ ∂ L z ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =\left\langle {\frac {\partial L_{z}}{\partial t}}\right\rangle } 。 由於 L z {\displaystyle L_{z}} 顯性地不含時間， d d t ⟨ L z ⟩ = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle L_{z}\rangle =0} 。 總結， ⟨ L z ⟩ {\displaystyle \langle L_{z}\rangle } 不含時間， L z {\displaystyle L_{z}} 是個運動常數。角動量的 z-分量守恆。類似地，可以導出其它分量也擁有同樣的性質。所以，整個角動量守恆。 各向同性 軸對稱 明顯對稱性破缺 馬克士威定理 (Maxwell's theorem) 古斯, 阿蘭, The Inflationary Universe, Basic Books: pp.340, 1998, ISBN 978-0201328400  引文格式1维护：冗余文本 (link) Gasiorowics, Stephen. Quantum Physics (3rd ed.). Wiley. 2003. ISBN 978-0471057000.  Stenger, Victor J. (2000). Timeless Reality Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Prometheus Books. 特別參考第十二章。非專科性書籍。