三角恒等式

三角函數示意圖 在数学中，三角恒等式是对出现的所有值都为實变量，涉及到三角函数的等式。这些恒等式在表达式中有些三角函数需要简化的时候是很有用的。一个重要应用是非三角函数的积分：一个常用技巧是首先使用使用三角函数的代换规则，则通过三角恒等式可简化结果的积分。 为了避免由于 sin − 1 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{-1}x} 的不同意思所带来的混淆，我們經常用下列兩個表格來表示三角函数的倒数和反函数。另外在表示余割函数時，' csc {\displaystyle \csc } '有时會寫成比較长的' c o s e c {\displaystyle \mathrm {cosec} } '。 不同的角度度量适合于不同的情况。本表展示最常用的系统。弧度是缺省的角度量并用在指数函数中。所有角度度量都是无单位的。另外在計算機中角度的符號為D，弧度的符號為R，梯度的符號為G。 畢達哥拉斯三角恒等式如下： 由上面的平方關係加上三角函數的基本定義，可以導出下面的表格，即每個三角函數都可以用其他五個表達。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号） 正矢、餘矢、半正矢、半餘矢、外正割用於航行。例如半正矢可以計算球體上的兩個點之間的距離，但它們不常用。 通過檢視單位圓，可確立三角函數的下列性質，這些性質也被稱為誘導公式： 维基教科书有诱导公式相关的教科书和手册 當三角函数反射自某个特定的 θ {\displaystyle \theta } 值，結果經常是另一个其他三角函數。這導致了下列恆等式： 通過旋轉特定角度移位三角函數，經常可以找到更簡單的表達结果的不同的三角函數。例如通過旋轉 π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} 、 π {\displaystyle \pi } 和 2 π {\displaystyle 2\pi } 弧度移位函數。因爲這些函數的周期要麼是 π {\displaystyle \pi } 要麼是 2 π {\displaystyle 2\pi } ，所以新函數和沒有移位的舊函數完全一樣。 又稱做“和差定理”、“和差公式”或“和角公式”。最簡要的檢定方式是使用歐拉公式。 sin ⁡ ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ o d d   k ≥ 1 ( − 1 ) k − 1 2 ∑ | A | = k ( ∏ i ∈ A sin ⁡ θ i ∏ i ∉ A cos ⁡ θ i ) {\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)} cos ⁡ ( ∑ i = 1 ∞ θ i ) = ∑ e v e n   k ≥ 0   ( − 1 ) k 2     ∑ | A | = k ( ∏ i ∈ A sin ⁡ θ i ∏ i ∉ A cos ⁡ θ i ) {\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{|A|=k}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)} 這里的" | A | = k {\displaystyle |A|=k} "意味著索引 A {\displaystyle A} 遍歷集合 { 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \left\{1,2,3,\ldots \right\}} 的大小為 k {\displaystyle k} 的所有子集的集合。 在这两个恒等式中出现了在有限多项中不出现的不对称：在每个乘积中，只有有限多个正弦因子和餘有限多个余弦因子。 如果只有有限多项 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 是非零，则在右边只有有限多项是非零，因为正弦因子将变为零，而在每个项中，所有却有限多的余弦因子将是单位一。 设 x i = tan ⁡ θ i {\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}} ，对于 i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} 。设 e k {\displaystyle e_{k}} 是变量 x i {\displaystyle x_{i}} ， i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,n} ， k = 0 , … , n {\displaystyle k=0,\ldots ,n} 的 k {\displaystyle k} 次基本对称多项式。则 tan ⁡ ( θ 1 + ⋯ + θ n ) = e 1 − e 3 + e 5 − ⋯ e 0 − e 2 + e 4 − ⋯ , {\displaystyle \tan(\theta _{1}+\cdots +\theta _{n})={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }},} 项的数目依赖于 n {\displaystyle n} 。例如， tan ⁡ ( θ 1 + θ 2 + θ 3 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 )   −   ( x 1 x 2 x 3 ) 1   −   ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) , tan ⁡ ( θ 1 + θ 2 + θ 3 + θ 4 ) = e 1 − e 3 e 0 − e 2 + e 4 = ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )   −   ( x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ) 1   −   ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 )   +   ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\\\\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&{}={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}} 并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。 1 + 2 cos ⁡ x + 2 cos ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 3 x + ⋯ + 2 cos ⁡ ( n x ) = sin ⁡ [ ( n + 1 2 ) x ] sin ⁡ x 2 {\displaystyle 1+2\cos x+2\cos 2x+2\cos 3x+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right]}{\sin {\frac {x}{2}}}}} 。 （這個 x {\displaystyle x} 的函數是狄利克雷核。） 這些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。 参见正切半角公式，它也叫做“万能公式”。 正矢 versin ⁡ 2 θ = 2 sin 2 ⁡ θ = ( sin ⁡ 2 θ ) ( sin ⁡ θ ) cos ⁡ θ = 1 − cos ⁡ 2 θ {\displaystyle \operatorname {versin} 2\theta =2\sin ^{2}\theta ={\frac {(\sin 2\theta )(\sin \theta )}{\cos \theta }}=1-\cos 2\theta } 餘矢 cvs ⁡ 2 θ = ( sin ⁡ θ − cos ⁡ θ ) 2 = 1 − sin ⁡ 2 θ {\displaystyle \operatorname {cvs} 2\theta =(\sin \theta -\cos \theta )^{2}=1-\sin 2\theta } 从解余弦二倍角公式的第二和第三版本得到。 ∏ k = 0 n − 1 cos ⁡ 2 k θ = sin ⁡ 2 n θ 2 n sin ⁡ θ {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos 2^{k}\theta ={\frac {\sin 2^{n}\theta }{2^{n}\sin \theta }}} ∏ k = 0 n − 1 sin ⁡ ( x + k π n ) = sin ⁡ n x 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin nx}{2^{n-1}}}} ∏ k = 1 n − 1 sin ⁡ ( k π n ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}} , ∏ k = 1 n − 1 sin ⁡ ( k π 2 n ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}} , ∏ k = 1 n sin ⁡ ( k π 2 n + 1 ) = 2 n + 1 2 n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {\sqrt {2n+1}}{2^{n}}}} ∏ k = 1 n − 1 cos ⁡ ( k π n ) = sin ⁡ n π 2 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin {\frac {n\pi }{2}}}{2^{n-1}}}} , ∏ k = 1 n − 1 cos ⁡ ( k π 2 n ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{2^{n-1}}}} , ∏ k = 1 n cos ⁡ ( k π 2 n + 1 ) = 1 2 n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {k\pi }{2n+1}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}} ∏ k = 1 n − 1 tan ⁡ ( k π n ) = n sin ⁡ n π 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin {\frac {n\pi }{2}}}}} , ∏ k = 1 n − 1 tan ⁡ ( k π 2 n ) = 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\tan \left({\frac {k\pi }{2n}}\right)=1} , ∏ k = 1 n tan ⁡ k π 2 n + 1 = 2 n + 1 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\tan {\frac {k\pi }{2n+1}}={\sqrt {2n+1}}} 數學家韋達在其三角學著作《應用於三角形的數學定律》給出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 sin ⁡ ( x + y ) sin ⁡ ( x − y ) = sin 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ y = cos 2 ⁡ y − cos 2 ⁡ x {\displaystyle \sin(x+y)\sin(x-y)=\sin ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\cos ^{2}{x}\,} cos ⁡ ( x + y ) cos ⁡ ( x − y ) = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ y = cos 2 ⁡ y − sin 2 ⁡ x {\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{y}=\cos ^{2}{y}-\sin ^{2}{x}\,} (可藉由積化和差公式+2倍角公式推導而來) 如果 x + y + z = n π {\displaystyle x+y+z=n\pi } ， 那么 tan ⁡ x + tan ⁡ y + tan ⁡ z = tan ⁡ x tan ⁡ y tan ⁡ z {\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z} cot ⁡ x cot ⁡ y + cot ⁡ y cot ⁡ z + cot ⁡ z cot ⁡ x = 1 {\displaystyle \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1} 如果 x + y + z = n π + π 2 {\displaystyle x+y+z=n\pi +{\frac {\pi }{2}}} ， 那么 tan ⁡ x tan ⁡ y + tan ⁡ y tan ⁡ z + tan ⁡ z tan ⁡ x = 1 {\displaystyle \tan x\tan y+\tan y\tan z+\tan z\tan x=1} cot ⁡ x + cot ⁡ y + cot ⁡ z = cot ⁡ x cot ⁡ y cot ⁡ z {\displaystyle \cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z} 如果 x + y + z = π {\displaystyle x+y+z=\pi } ， 那么 sin ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 y + sin ⁡ 2 z = 4 sin ⁡ x sin ⁡ y sin ⁡ z {\displaystyle \sin 2x+\sin 2y+\sin 2z=4\sin x\sin y\sin z} sin ⁡ x + sin ⁡ y + sin ⁡ z = 4 cos ⁡ x 2 cos ⁡ y 2 cos ⁡ z 2 {\displaystyle \sin x+\sin y+\sin z=4\cos {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}\cos {\frac {z}{2}}} cos ⁡ x + cos ⁡ y + cos ⁡ z = 1 + 4 sin ⁡ x 2 sin ⁡ y 2 sin ⁡ z 2 {\displaystyle \cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\sin {\frac {z}{2}}} 如果 w + x + y + z = π {\displaystyle w+x+y+z=\pi } （半圆） 那么: sin ⁡ ( w + x ) sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ ( x + y ) sin ⁡ ( y + z ) = sin ⁡ ( y + z ) sin ⁡ ( z + w ) = sin ⁡ ( z + w ) sin ⁡ ( w + x ) = sin ⁡ w sin ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ z {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)\\&{}=\sin w\sin y+\sin x\sin z\end{aligned}}} （前三个等式是一般情况；第四个是本质。） 利用三角恒等式的指數定義和雙曲函數的指數定義即可求出下列恆等式： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , e − i x = cos ⁡ x − i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\;\sin x,\;e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x} e x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x , e − x = cosh ⁡ x − sinh ⁡ x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!,\;e^{-x}=\cosh x-\sinh x\!} 所以 cosh ⁡ i x = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cos ⁡ x {\displaystyle \cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x} sinh ⁡ i x = 1 2 ( e i x − e − i x ) = i sin ⁡ x {\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x} 下表列出部分的三角函數與雙曲函數的恆等式： 其他恆等式： cosh ⁡ i x = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cos ⁡ x {\displaystyle \cosh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}+e^{-ix})=\cos x} sinh ⁡ i x = 1 2 ( e i x − e − i x ) = i sin ⁡ x {\displaystyle \sinh ix={\tfrac {1}{2}}(e^{ix}-e^{-ix})=i\sin x} cosh ⁡ ( x + i y ) = cosh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i sinh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) {\displaystyle \cosh(x+iy)=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\,} sinh ⁡ ( x + i y ) = sinh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i cosh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) {\displaystyle \sinh(x+iy)=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\,} tanh ⁡ i x = i tan ⁡ x {\displaystyle \tanh ix=i\tan x\,} cosh ⁡ x = cos ⁡ i x {\displaystyle \cosh x=\cos ix\,} sinh ⁡ x = − i sin ⁡ i x {\displaystyle \sinh x=-i\sin ix\,} tanh ⁡ x = − i tan ⁡ i x {\displaystyle \tanh x=-i\tan ix\,} 对于某些用途，知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有 a sin ⁡ x + b cos ⁡ x = a 2 + b 2 ⋅ sin ⁡ ( x + φ ) ( a > 0 ) {\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\;(a>0)} 这里的 φ = arctan ⁡ ( b a ) {\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)} 这个公式也叫辅助角公式或李善兰公式。更一般的说，对于任何相位移动，我们有 a sin ⁡ x + b sin ⁡ ( x + α ) = c sin ⁡ ( x + β ) ( a + b cos ⁡ x > 0 ) {\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\;(a+b\cos x>0)} 这里 c = a 2 + b 2 + 2 a b cos ⁡ α , {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},} 而 β = arctan ⁡ ( b sin ⁡ α a + b cos ⁡ α ) {\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)} arcsin ⁡ x + arccos ⁡ x = π 2 {\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}\;} arctan ⁡ x + arccot ⁡ x = π 2 . {\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}.\;} arctan ⁡ x + arctan ⁡ 1 x = { π 2 , if  x > 0 − π 2 , if  x < 0 {\displaystyle \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x>0\\-{\frac {\pi }{2}},&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.} arctan ⁡ x + arctan ⁡ y = arctan ⁡ x + y 1 − x y + { π , if  x , y > 0 − π , if  x , y < 0 0 , otherwise  {\displaystyle \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+\left\{{\begin{matrix}\pi ,&{\mbox{if }}x,y>0\\-\pi ,&{\mbox{if }}x,y<0\\0,&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}\right.} 为了用于特殊函数，有下列三角函数無窮乘積公式： 正弦的微分 餘弦的微分 在微積分中，下面陳述的關係要求角用弧度來度量；如果用其他方式比如角度來這些關係會變得更加複雜。如果三角函數以幾何的方式來定義，它們的導數可以通過驗證兩個極限而找到。第一個是： lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} 可以使用單位圓和夾擠定理來驗證。如果用洛必達法則來证明這個極限，那也就用這個極限證明了正弦的导数是餘弦，並因此在應用洛必達法則中使用正弦的導數是餘弦的事實，就是邏輯謬論中的循環論證了。第二個極限是： lim x → 0 cos ⁡ x − 1 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0} 使用恆等式 tan ⁡ x 2 = 1 − cos ⁡ x sin ⁡ x {\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}=1-{\frac {\cos x}{\sin x}}} 驗證。已經確立了這兩個極限，你可以使用導數的極限定義和加法定理來證明 sin ′ ⁡ x = cos ⁡ x {\displaystyle \sin 'x=\cos x} 和 cos ′ ⁡ x = − sin ⁡ x {\displaystyle \cos 'x=-\sin x} 。如果正弦和餘弦函數用它們的泰勒級數來定義，則導數可以通過冪級數逐項微分得到。 d d x sin ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {d \over dx}\sin(x)=\cos(x)} 結果的三角函數可以使用上述恆等式和微分規則來做微分。 d d x sin ⁡ x = cos ⁡ x , d d x arcsin ⁡ x = 1 1 − x 2 d d x cos ⁡ x = − sin ⁡ x , d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ x , d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2 d d x cot ⁡ x = − csc 2 ⁡ x , d d x arccot ⁡ x = − 1 1 + x 2 d d x sec ⁡ x = tan ⁡ x sec ⁡ x , d d x arcsec ⁡ x = 1 | x | x 2 − 1 d d x csc ⁡ x = − csc ⁡ x cot ⁡ x , d d x arccsc ⁡ x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&=-{1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}} 在三角函數積分表中可以找到積分恆等式。 三角函數（正弦和餘弦）的微分是同樣兩個函數線性組合的事實在很多數學領域包括微分方程和傅立葉變換中是重要的基本原理。 余弦定理 三角函数 正弦定理 正切定理 中线长公式 角平分线长公式 雙曲函數恆等式 三分之一角公式 由于欧拉公式的证明过程中使用了棣莫弗公式，而棣莫弗公式的证明过程中使用了和角公式，故使用欧拉公式证明和角公式会造成循环论证，故而此方法僅为檢定方法，而非严谨的证明方法。对于类似方法也应注意甄别。 Abramowitz and Stegun, p. 78, 4.3.147 苏学孟. 求三角函数乘积的常用方法. 中学数学教学. 1995, (6) [2014-12-27]. （原始内容存档于2014-12-27）.  Abramowitz and Stegun, p. 75, 4.3.89–90 Abramowitz and Stegun, p. 85, 4.5.68–69 A one-page proof of many trigonometric identities using Euler's formula，by Connelly Barnes. Useful Formulae for Hong Kong Advanced Level Examination Pure Mathematics.