外测度

在数学中，特别是测度论中，外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值的函数，并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进，目的是给可测集和可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上（例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理）。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量，现在称为豪斯多夫维数。 从长度，面积及体积归纳出來的测度概念，对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数 φ {\displaystyle \varphi } ,使其滿足以下4个条件： 任意实数区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 有测度 b − a {\displaystyle b-a} ； 測度函數 φ {\displaystyle \varphi } 是非負扩展实数值函數，定义在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的所有子集合上； 平移不变性：任给集合 A {\displaystyle A} 和实数 x {\displaystyle x} ， A {\displaystyle A} 与 A + x {\displaystyle A+x} 有相同的测度(这里， A + x = { a + x : a ∈ A } {\displaystyle A+x=\{a+x:a\in A\}} ）； 可数可加律：对 X {\displaystyle X} 的任意的两两无交的子集序列 { A j } {\displaystyle \{A_{j}\}} ，有： φ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ φ ( A i ) {\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\varphi (A_{i})} 。 事实上，这几条要求是不相容的。这样的測度函數 φ {\displaystyle \varphi } 不能定义在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的所有子集上，也就是说，不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合，使得可数可加性得到满足。 外測度是从 X {\displaystyle X} 的冪集合映到 [ 0 , ∞ ] {\displaystyle [0,\infty ]} 的函數 φ : 2 X → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ]} 且滿足以下條件： 空集合的外測度為零： φ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \varphi (\varnothing )=0} 单调性： A ⊆ B ⇒ φ ( A ) ≤ φ ( B ) {\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \varphi (A)\leq \varphi (B)} 次可加性: 对 X 的任意子集序列 { A j } {\displaystyle \{A_{j}\}} （不管兩兩交集是否空集合） φ ( ⋃ j = 1 ∞ A j ) ≤ ∑ j = 1 ∞ φ ( A j ) {\displaystyle \varphi \left(\bigcup _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\varphi (A_{j})} 接著可以借由外測度來定义 X 中的可測集合：子集合 E ⊆ X {\displaystyle E\subseteq X} 是 φ {\displaystyle \varphi } -可测的，当且仅当对 X {\displaystyle X} 的任意子集合 A {\displaystyle A} 有： φ ( A ) = φ ( A ∩ E ) + φ ( A ∩ E c ) . {\displaystyle \varphi (A)=\varphi (A\cap E)+\varphi (A\cap E^{c}).} 所有的 φ {\displaystyle \varphi } -可测集合构成了一个 σ {\displaystyle \sigma } -代数 ，且如果 φ {\displaystyle \varphi } 限制在我們剛定義的可测集合上時， φ {\displaystyle \varphi } 會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的，是构造勒贝格测度和积分理论的重要方法。 假設 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 是一個度量空間且 φ {\displaystyle \varphi } 是一個在 X {\displaystyle X} 之上的外測度。若 φ {\displaystyle \varphi } 有以下性質 ： 只要 d ( E , F ) = inf { d ( x , y ) : x ∈ E , y ∈ F } > 0 , {\displaystyle d(E,F)=\inf\{d(x,y):x\in E,y\in F\}>0,} 就有 φ ( E ∪ F ) = φ ( E ) + φ ( F ) {\displaystyle \varphi (E\cup F)=\varphi (E)+\varphi (F)} 那么称 φ {\displaystyle \varphi } 是一个度量外测度。 如果 φ {\displaystyle \varphi } 是 X {\displaystyle X} 上的度量外测度，那么 X {\displaystyle X} 的每个Borel子集都是 φ {\displaystyle \varphi } -可测的。 有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。 令 X {\displaystyle X} 为一集合， C {\displaystyle C} 是 X {\displaystyle X} 的包含空集的子集族， p {\displaystyle p} 是 C {\displaystyle C} 上的非负扩展实数值函数，且 p {\displaystyle p} 在空集处取零。 那么定义 φ ( E ) = inf { ∑ i = 0 ∞ p ( A i ) | E ⊆ ⋃ i = 0 ∞ A i , ∀ i ∈ N , A i ∈ C } {\displaystyle \varphi (E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C{\biggr \}}} 则 φ {\displaystyle \varphi } 是一个外测度。 另一种方法在度量空间上更有效，因为它直接得到了度量外测度。设 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 是一个度量空间， C {\displaystyle C} 是 X {\displaystyle X} 的包含空集的子集族， p {\displaystyle p} 是 C {\displaystyle C} 上的非负扩展实数值函数，且 p {\displaystyle p} 在空集处取零。那么，对任意 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，令 C δ = { A ∈ C : diam ⁡ ( A ) ≤ δ } {\displaystyle C_{\delta }=\{A\in C:\operatorname {diam} (A)\leq \delta \}} 及 φ δ ( E ) = inf { ∑ i = 0 ∞ p ( A i ) | E ⊆ ⋃ i = 0 ∞ A i , ∀ i ∈ N , A i ∈ C δ } . {\displaystyle \varphi _{\delta }(E)=\inf {\biggl \{}\sum _{i=0}^{\infty }p(A_{i})\,{\bigg |}\,E\subseteq \bigcup _{i=0}^{\infty }A_{i},\forall i\in \mathbb {N} ,A_{i}\in C_{\delta }{\biggr \}}.} 对 δ ≤ δ ′ {\displaystyle \delta \leq \delta '} 有 φ δ ≥ φ δ ′ {\displaystyle \varphi _{\delta }\geq \varphi _{\delta '}} 成立，因为 δ {\displaystyle \delta } 减小时，下确界是在更小的集合上取得的。所以 lim δ → 0 φ δ ( E ) = φ 0 ( E ) ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\varphi _{\delta }(E)=\varphi _{0}(E)\in [0,\infty ]} 存在（可能是无穷大）。 这样构造的 φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} 是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。 P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950 M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953