朗德g因子

在物理学和化学中，朗德 g {\displaystyle g} 因子是阿尔弗雷德·朗德试图解释反常塞曼效应时，于1921年提出的一个无量纲物理量，反映了塞曼效应中磁矩与角动量之间的联系。其定义后来被推广到其它领域，在粒子物理学中常常被简称为 g {\displaystyle g} 因子。 塞曼效应中的朗德 g {\displaystyle g} 因子由下式给出 g J = 1 + J ( J + 1 ) − L ( L + 1 ) + S ( S + 1 ) 2 J ( J + 1 ) {\displaystyle g_{J}=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}} 式中 L , S , J {\displaystyle L,S,J} 分别是原子能态（光谱支项）的角量子数、自旋量子数和内量子数。 朗德假定，当两个角动量 L ℏ {\displaystyle \mathbf {L} \hbar } 与 S ℏ {\displaystyle \mathbf {S} \hbar } 耦合时，它们的相互作用能由下式给出： E interaction = Γ ( L ⋅ S ) , Γ  constant {\displaystyle E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}} 令 J ℏ = L ℏ + S ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar } 为耦合后的总角动量，则可以证明，在上述形式的相互作用能下， L ℏ {\displaystyle \mathbf {L} \hbar } 与 S ℏ {\displaystyle \mathbf {S} \hbar } 将绕向量 J ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar } 进动。 在外加磁场的作用下，带电粒子的角动量会绕外加磁场的方向进动。在这种情况下，是 J ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar } 进行进动。朗德采用了一种简化处理的方法，即认为外磁场中的原子的能量仅仅与向量 L ℏ {\displaystyle \mathbf {L} \hbar } 与 S ℏ {\displaystyle \mathbf {S} \hbar } 的长时间平均值有关，而后者恰好就是它们在 J ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar } 方向上的投影，即 ( L ) av = J ( L ⋅ J ) J 2 , ( S ) av = J ( S ⋅ J ) J 2 {\displaystyle (\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}} 随后，朗德进一步假定，角动量 L ℏ {\displaystyle \mathbf {L} \hbar } 贡献的磁能（英语：magnetic energy）由经典的公式给出，并假定 J ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar } 是量子化的，其沿着磁场方向的分量由磁量子数 M {\displaystyle M} 确定，即 E magnetic , L = − μ ⋅ B = ( e 2 m ( L ) av ℏ ) ⋅ B = ( L ) av ⋅ B μ B = M ( L ⋅ J ) J 2 μ B B {\displaystyle E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B} 式中 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}} 是磁矩，而 μ B {\displaystyle \mu _{B}} 為波耳磁子。类似地，朗德写出了角动量 S ℏ {\displaystyle \mathbf {S} \hbar } 带来的能量贡献，但他发现为了与实验结果相一致，需要加上额外的因子2。当时朗德并不清楚为什么，现在我们知道这就是电子的自旋 g {\displaystyle g} 因子。即： E magnetic , S = M ( S ⋅ J ) J 2 2 μ B B {\displaystyle E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B} 将上面结果加起来，朗德得到下列的表达式，并引入符号 g {\displaystyle g} ，这就是朗德 g {\displaystyle g} 因子的最早来源： E magnetic = M [ ( L + 2 S ) ⋅ J ] J 2 μ B B = g M μ B B {\displaystyle E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B} 利用关系式 L {\displaystyle \mathbf {L} } + 2 S {\displaystyle 2\mathbf {S} } = J {\displaystyle \mathbf {J} } + S {\displaystyle \mathbf {S} } ，朗德得到： g = ( L + 2 S ) ⋅ J J 2 = 1 + S ⋅ J J 2 = 1 + J 2 − L 2 + S 2 2 J 2 {\displaystyle g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}} 但是，朗德发现，为了与实验结果相符，这一表达式需要修改为下式，当时朗德并不清楚原因。现在来看，只要将上面的角动量矢量都作为算符来处理，然后将对应的角动量平方算符用其本征值取代，得出这个结果是很自然的。 g = 1 + J ( J + 1 ) − L ( L + 1 ) + S ( S + 1 ) 2 J ( J + 1 ) {\displaystyle g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}} 从上面的导引可见，定义朗德 g {\displaystyle g} 因子的式子是 E magnetic = g M μ B B {\displaystyle E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B} 上式可以等价地表述为： μ J = g e 2 m J {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J} } 很自然的推广是将两边的 J {\displaystyle J} 同时换成 L , S {\displaystyle L,S} 等，并对不同的粒子将 m {\displaystyle m} 换成对应粒子的质量。这就是现在广泛使用的朗德 g {\displaystyle g} 因子。 粒子物理学中的 g {\displaystyle g} 因子是自旋 g {\displaystyle g} 因子，根据自旋角动量和自旋磁矩按照上面的形式定义。 上面的导引已经给出了电子自旋 g {\displaystyle g} 因子的定义。在实际使用中，它的符号有两种取法，用不同的符号表记： g e ≈ − 2.002319 , g S = | g e | = − g e {\displaystyle g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}} 歷史上，它的理論值有過變動： 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說， g s {\displaystyle g_{s}} 為1。 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年）， g s {\displaystyle g_{s}} 變為2，方合乎當代實驗觀測值。 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年）， g s {\displaystyle g_{s}} 恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費因曼圖，提出QED的朱利安·施温格等人（1947年）所得的 g s {\displaystyle g_{s}} 理論值为 ( 2 + α 2 π + O ( α 2 ) ) ≈ 2.002   319   304   402 {\displaystyle \left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402} ；α目前被視為是自然常數之一，其值約為 1 137.035   999   11 ( 46 ) {\displaystyle {\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}} 。 威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得 g s {\displaystyle g_{s}} 觀測值为 2.002   319   304   376   8 ( 86 ) {\displaystyle 2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)} ，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。 一些粒子的朗德 g {\displaystyle g} 因子列表如下： 这里的 J {\displaystyle \mathbf {J} } 相当于导引里的 J ℏ {\displaystyle \mathbf {J} \hbar } A. Landé. Über den anomalen Zeemaneffekt (Teil I). Zeitschrift für Physik. 1921-07-01, 5 (4): 231–241 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01335014. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.  A. Landé. Über den anomalen Zeemaneflekt (II. Teil). Zeitschrift für Physik. 1921-12-01, 7 (1): 398–405 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01332807. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.  A. Landé. Zur Theorie der anomalen Zeeman- und magneto-mechanischen Effekte. Zeitschrift für Physik. 1922-12-01, 11 (1): 353–363 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01328427. （原始内容存档于2020-06-24） （德语）.  A. Landé. Termstruktur und Zeemaneffekt der Multipletts. Zeitschrift für Physik. 1923-12-01, 15 (1-2): 189–205 [2018-04-02]. ISSN 0044-3328. doi:10.1007/bf01330473. （原始内容存档于2019-05-02） （德语）.  Quantum Chemistry: Fifth Edition, Ira N. Levine, 2000 John C. Slater（英语：John C. Slater）. 10. Quantum Theory of Atomic Structure. 1960. ISBN 9780070580404.  V. W. Hughes and T. 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