導出函子

在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。 考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 A , B {\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}} ，及其間的加法函子 F : A → B {\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 。假設 F {\displaystyle F} 為左正合函子，換言之，對 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的任一短正合序列 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 下列序列是正合的： 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)} 由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？ F {\displaystyle F} 的（右）導出函子是一族函子 R i F : A → B {\displaystyle R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} ，滿足 R 0 F = F {\displaystyle R^{0}F=F} ，且有相應的長正合序列： 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( A ) → ⋯ {\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots } 導出函子可以視為 F {\displaystyle F} 的右正合性的尺度。 今假設 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中有充足的內射元。設 X ∈ A {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}} ，根據假設，存在內射分解： 0 → X → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ {\displaystyle 0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots } 取函子 F {\displaystyle F} ，得到上鏈複形： 0 → F ( X ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) → F ( I 2 ) → ⋯ {\displaystyle 0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots } 定義 R i F ( X ) {\displaystyle R^{i}F(X)} 為其第 i {\displaystyle i} 個上同調群，特別是有 R 0 F ( X ) = F ( X ) {\displaystyle R^{0}F(X)=F(X)} 。注意到兩點： 由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 R i F {\displaystyle R^{i}F} 在同構的意義下是明確定義的。 若 X {\displaystyle X} 是內射對象，取平凡分解 0 → X → X → 0 {\displaystyle 0\to X\to X\to 0} ，可知當 i > 0 {\displaystyle i>0} 時有 R i F ( X ) = 0 {\displaystyle R^{i}F(X)=0} 。 左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 G : A → B {\displaystyle G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}} 為右正合加法函子，並假設 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 有充足的射影元。對任一對象 X ∈ A {\displaystyle X\in {\mathcal {A}}} ，取一射影分解： ⋯ → P 2 → P 1 → P 0 → X → 0 {\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0} 取函子 G {\displaystyle G} ，得到鏈複形： ⋯ → G ( P 2 ) → G ( P 1 ) → G ( P 0 ) → 0 {\displaystyle \cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0} 定義 L i G ( X ) {\displaystyle L^{i}G(X)} 為其第 i {\displaystyle i} 個同調群，其性質類似右導出函子。 對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。 對於右導出函子的情形，任一短正合序列 0 → A → B → C → 0 {\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0} 給出長正合序列 ⋯ → R i − 1 F ( C ) → R i F ( A ) → R i F ( B ) → R i F ( C ) → R i + 1 F ( A ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots } 對於左導出函子，相應的長正合序列形如 ⋯ → L i + 1 G ( C ) → L i G ( A ) → L i G ( B ) → L i G ( C ) → L i − 1 G ( C ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots } 此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的： 短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。 函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。 這些性質是蛇引理的推論。 層上同調：對拓撲空間 X {\displaystyle X} ，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 F ↦ Γ ( X , F ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})} 是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 F ↦ H i ( X , F ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto H^{i}(X,{\mathcal {F}})} 。 平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。 Ext函子：設 R {\displaystyle R} 為環，考慮 R {\displaystyle R} -模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 R {\displaystyle R} -模 A {\displaystyle A} ，函子 H o m R ( A , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(A,-)} 為左正合的，其右導出函子記為 B ↦ E x t R i ( A , B ) {\displaystyle B\mapsto \mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)} 。 Tor函子：同樣考慮 R {\displaystyle R} -模範疇，對任一 R {\displaystyle R} -模 B {\displaystyle B} ，函子 − ⊗ R B {\displaystyle -\otimes _{R}B} 為右正合的，其左導出函子記為 A ↦ T o r i R ( A , B ) {\displaystyle A\mapsto \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)} 。 群上同調：設 G {\displaystyle G} 為群。所謂 G {\displaystyle G} -模是指被 G {\displaystyle G} 作用的阿貝爾群， G {\displaystyle G} -模範疇可以理解為 Z G {\displaystyle \mathbb {Z} G} -模範疇。對任一 G {\displaystyle G} -模 M {\displaystyle M} ，定義 M G := { m ∈ M : ∀ g ∈ G , g ⋅ m = m } {\displaystyle M^{G}:=\{m\in M:\forall g\in G,\;g\cdot m=m\}} ，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 M ↦ H i ( G , M ) {\displaystyle M\mapsto H^{i}(G,M)} 。 現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。 Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1