緝古算經

《缉古算经》，原名《缉古算术》，初唐数学家王孝通著于武德九年〔626年〕前所著。后被列入算经十书，改名为《缉古算经》。 《缉古算经》一书在中国数学史上有重要影响，王孝通在书中将几何问题代数化，在世界上首次系统地创立三次多项式方程，对代数学的发展，有重要意义。王孝通在此书中建立 25个三次方程，其中自第二问至第十八问中的23个三次方程有如下形式： x 3 + p x 2 + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px^{2}+q=0} 剩下第十九问、二十问各有一个双二次方程： x 4 + p x 2 + q = 0 {\displaystyle x^{4}+px^{2}+q=0} 。 《缉古算经》全书共二十问，书首为《上緝古算术表》。各问题的形式大致相同，每问以“假令”开头，以“问：……各几何？”或“问：……个多少？”结尾；随后是答案：“答曰……”；最后一段是“术曰”，详细叙述建立方程的理论依据和具体程序。每题都有答案，但关于解题方法，王孝通则言简意骇。 “假令天正十一月朔夜半，日在鬥十度七百分度之四百八十。以章歲為母，朔月行定分九千，朔日定小余一萬，日法二萬，章歲七百，亦名行分法。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處？”。这是一道天文题，求半夜时月亮的赤道经度，王孝通用算术解题。 假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多。上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢。羨道從臺南面起，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲縣一十三鄉，乙縣四十三鄉，每鄉別均賦常積六千三百尺，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺，二縣鄉人共造羨道，皆從先給甲縣，以次與乙縣。臺自下基給高，道自初登給袤。問：臺道廣、高、袤及縣別給高、廣、袤各幾何？”。 对于这个建造观象台和台道的廣度、高度、深度的计算，王孝通列出三个 x 3 + p x 2 + q x = n {\displaystyle x^{3}+px^{2}+qx=n} 形式的三次方程式，和一个 x 3 + p x 2 = n {\displaystyle x^{3}+px^{2}=n} 形式的三次方程式 。 “假令築堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人，丙縣一萬九千四百四十八人，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九鬥二升。每人一日築常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八鬥。古人負土二鬥四升八合，平道行一百九十二步，一日六十二到。今隔山渡水取土，其平道只有一十一步，山斜高三十步，水寬一十二步，上山三當四，下山六當五，水行一當二，平道踟躕十加一，載輸一十四步。減計一人作功為均積。四縣共造，一日役華。今從東頭與甲，其次與乙、丙、丁。問：給斜、正袤與高，及下廣，並每人一日自穿、運、築程功，及堤上、下高、廣各幾何？ 王孝通解此题，建立了一个二次方程，两个三次方程： 第一个三次方程： x 3 + 3 c d b − c x 2 + 3 ( a + c ) h d 2 ( H − h ) ( b − c ) x = 6 V d 2 ( H − h ) ( b − c ) {\displaystyle x^{3}+{\frac {3cd}{b-c}}x^{2}+{\frac {3(a+c)hd^{2}}{(H-h)(b-c)}}x={\frac {6Vd^{2}}{(H-h)(b-c)}}} 第二个三次方程： x 3 + 5004 x 2 + 1169953 1 3 x = 41107188 1 3 {\displaystyle x^{3}+5004x^{2}+1169953{\frac {1}{3}}x=41107188{\frac {1}{3}}} ； 王孝通求得其解：31 “假令築龍尾堤，其堤從頭高、上闊以次低狹至尾。上廣多，下廣少，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺，少袤四丈八尺。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人，丙縣五千二百四十七人。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢，三縣共築。今從堤尾與甲縣，以次與乙、丙。問：龍尾堤從頭至尾高、袤、廣及各縣別給高、袤、廣各多少。” 王孝通 两个三次方程。 x 3 + 62 x 2 + 696 x = 38448 {\displaystyle x^{3}+62x^{2}+696x=38448} ；解之得 x=18尺； x 3 + 594 x 2 = 682803 {\displaystyle x^{3}+594x^{2}=682803} 解之得 x=33尺； “假令穿河，袤一裏二百七十六步，下廣六步一尺二寸；北頭深一丈八尺六寸，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸；上廣八十六步四尺八寸。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸，南頭無高，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同。甲郡二萬二千三百二十人，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人，丁郡三萬七千九百四十四人。自穿、負、築，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役，河漘俱了。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡，以次與乙，合均賦積尺。問：逐郡各給斜、正袤，上廣及深，並漘上廣各多少？” 解二次方程，三次方程个一。 三次方程： x 3 + 15 x 2 + 66 x − 360 {\displaystyle x^{3}+15x^{2}+66x-360} 得 方仓上底边 x=3尺，下底边=9尺，高=12尺。 “假令四郡輸粟，斛法二尺五寸，一人作功為均。自上給甲，以次與乙。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六鬥，乙郡輸粟三萬四千九百五石六鬥，丙郡輸粟，二萬六千二百七十石四鬥，丁郡輸粟一萬四千七十八石四鬥。四郡共穿窖，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈，多於深六丈，少於下廣一丈。各計粟多少，均出丁夫。自穿、負、築，冬程人功常積一十二尺，一日役。問：窖上下廣、袤、深，郡別出人及窖深、廣各多少？” 解两个三次方程。 “假令亭倉上小下大，上下方差六尺，高多上方九尺，容粟一百八十七石二鬥。今已運出五十石四斗。問：倉上下方、高及余粟深、上方各多少？” 求谷仓上边长，王孝通所述方法，相当于解一个三次方程： x 3 + ( D + G ) x 2 + ( D G + D 2 3 ) x = P − D 2 G 3 {\displaystyle x^{3}+(D+G)x^{2}+(DG+{\frac {D^{2}}{3}})x=P-{\frac {D^{2}G}{3}}} 为求余粟深度，王孝通的办法是建立又一个三次方程： X + 3 h s D x 2 + 3 ( h s D ) 2 x = P ′ 3 h 2 D 2 {\displaystyle X^{+}3{\frac {hs}{D}}x^{2}+3({\frac {hs}{D}})^{2}x={\frac {P'}{3}}{\frac {h^{2}}{D^{2}}}} “假令芻甍上袤三丈，下袤九丈，廣六丈，高一十二丈。有甲縣六百三十二人，乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺，限八日役。自穿築，二縣共造。今甲縣先到。問：自下給高、廣、袤、各多少？”是关于建筑观象台、河堤、粮窖等工程中的土方问题。 解一个三次方程： x 3 + 90 ∗ x 2 − 839808 {\displaystyle x^{3}+90*x^{2}-839808} 得 乙县工程 高 x=72尺; 甲县工程高=120-72=48尺、上广=36尺 、袤=66尺。 “假令圓囤上小下大，斛法二尺五寸，以率徑一周三。上下周差一丈二尺，高多上周一丈八尺，容粟七百五斛六鬥。今已運出二百六十六石四鬥。問：殘粟去口、上下周、高各多少？” 解两个三次方程。 “假令有粟二萬三千一百二十斛七鬥三升，欲作方倉一，圓窖一，盛各滿中而粟適盡。令高、深等，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸，率徑七，周二十二。問：方、徑、深多少？” 解一个三次方程。 “假令有粟一萬六千三百四十八石八鬥，欲作方倉四、圓窖三，令高、深等，方面少於圓徑一丈，多於高五尺，斛法二尺五寸，率徑七，周二十二。問：方、高、徑多少？” 解一个三次方程。 “假令有粟三千七十二石，欲作方倉一、圓窖一，令徑與方等，方於窖深二尺，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、高、深各多少？” 解一个三次方程。 “假令有粟五千一百四十石，欲作方窖、圓窖各一，令口小底大，方面於圓徑等，兩深亦同，其深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問：方、徑、深各多少？” 解一个三次方程。 “假令有粟二萬六千三百四十二石四鬥，欲作方窖六、圓窖四，令口小底大，方面與圓徑等，其深亦同，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法並與前同）。問上下方、深數各多少？” 解一个三次方程。 “假令有句股相乘冪七百六十五分之一，弦多於句三十六十分之九。問：三事各多少？” 解一个三次方程： x 3 + S 2 x 2 − P 2 2 S = 0 {\displaystyle x^{3}+{\frac {S}{2}}x^{2}-{\frac {P^{2}}{2S}}=0} 。 “假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？” 解一个三次方程。 “假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。問：股多少？” 解一个三次方程。“答曰：九十二五分之二。” “術曰：冪自乘，倍多而一，為立冪。又多再自乘，半之，減立冪，余為實。又多數自乘，倍之，為方法。又置多數，五之，二而一，為廉法，從。開立方除之，即股（句弦相乘冪自乘，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一，得一股與半差為方，令多再自乘半之為隅，橫虛二立廉……倍之為從隅……多為上廣即二多……法故五之二而一）。” 王孝通所述，相当于建立一个三次方程： x 3 {\displaystyle x^{3}} + 5 2 D x 2 + 2 D 2 x {\displaystyle {\frac {5}{2}}Dx^{2}+2D^{2}x} = P 2 2 D {\displaystyle {\frac {P^{2}}{2D}}} - D 2 2 {\displaystyle {\frac {D^{2}}{2}}} “假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二。問：股多少？” 解一个三次方程。 “假令有股弦相乘冪七百二十六，句七、十分之七。問：股多少？” 解一个双二次方程。 “假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四。問：句多少？” 解一个双二次方程： x 4 + ( 16 1 2 ) 2 x 2 = ( 164 14 15 ) 2 {\displaystyle x^{4}+(16{\frac {1}{2}})^{2}x^{2}=(164{\frac {14}{15}})^{2}} 。 《緝古算經》在唐代就有抄本，宋元丰七年（1084年）有秘书监趙彥若等校定刊本，但到明代，刊本几乎遗失，仅存章丘李开先所藏一部南宋刊本。清代毛晋获得《緝古算經》，影抄传世。《緝古算經》影抄本后归常熟毛扆汲古阁收藏；清乾隆年间孔继涵得毛扆汲古阁所藏宋元丰七年《緝古算經》影抄本和其他算书六种，连同戴东原从永乐大典中编辑出的《海岛算经》等书合为十部，一同刻印刊行；孔继涵所刻《緝古算經》，世称为微波谢本。同时《四库全书》又收入吏部侍郎王杰所藏《緝古算經》的毛晋影抄本。微波谢本后佚，影抄本现存北京故宫博物院。 清代中期，研究《緝古算經》之风盛行，先后有李潢《缉古算经考注》二卷，张敦仁《缉古算经细草》一卷，陈杰《缉古算经细草》一卷，《缉古算经注》二卷，《缉古算经音义》一卷，及按微波谢本抄录的《缉古算经经文》一卷；揭廷锵《缉古算经考注图草》一卷。 1963年中华书局出版钱宝琮校点多《算经十书》，其中包括《缉古算经》 1998你 郭书春 校点 《缉古算经》 《算经十书》 卷2 辽宁教育出版社。 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第四卷 第二章 王孝通 《缉古算经》 199页 Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan, p55 1912 Yoshio Mikami, The Development of Mathematics in China and Japan p54, 1913. Chelsea Publishing Company, New York Yoshio Mikami The Development of Mathematics in China and Japan, p55, 1912 钱宝琮校点 《缉古算经》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷 4 371-400 白尚恕 《中国数学史研究》 83-105页 《王孝通缉古算经校证》 ISBN 978-7-703-09242-0 Jean Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics,p140-141 Springer ISBN 3-540-33782-2 维基文库中的相关原始文献：緝古算經