逻辑与

在逻辑和数学中，逻辑合取或逻辑与或且是一个二元逻辑運算符。如果其两个变量的真值都为“真”，其结果为“真”，否则其结果为“假”。 基本符号： ∧ {\displaystyle \land } 英文名：logical conjunction 中文名：逻辑与，合取，交集，按位与，逻辑乘，与门，... 命题逻辑中的二元连接词合取，是一个两元算子，集合论中的交集算子，二进制中的逻辑乘算子，按位与（Bitwise AND），逻辑门中的“与”门（AND gate），编程语言中的&或and运算符等等。 逻辑与（logical conjunction）是两个逻辑变量的一种运算，经常是两个命题的运算。它满足：当且仅当其两个变量的真值都为真时，其结果为真。 逻辑与 ∧ {\displaystyle \land } 是个二元算子，运算结果取值为真的条件是，当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句，没有第三种取值，或说值域为{真，假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想；既真又假，既不真又不假的语句是悖论。 复合命题   A ∧ B {\displaystyle ~A\land B} ，读作A合取B，在GCT逻辑中，也叫联言命题。也有称为合取命题的。 A与B的真值表（也写作A ∧ {\displaystyle \land } B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A ⋅ {\displaystyle \cdot } B（电子学））。   A ∧ B {\displaystyle ~A\land B} 的真值表: 合取引入规则（∧+）（conjunction introduction rule）或联言推理的合成式，是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提，A和B，可以直观地推出他们的合取。 其形式如下： A, B. 因此A且B. 形式化为： A , {\displaystyle \mathbf {A} ,} B {\displaystyle \mathbf {B} } ⊢ A ∧ B {\displaystyle \vdash A\land B} 下面的例子是满足联言推理的合成式的论证： 小橘子是正妹。 小橘子是車神。 因此小橘子是正妹也是車神。 另一個例子如下： 1小于2 6大于5 因此，1小于2，而且6大于5。 還有一個例子如下： 有一些PSPACE問題不是NL問題 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 合取消去规则（∧-）（Conjunction elimination rule）或联言推理的分解式，是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。 其形式如下： A且B。 因此A。 ...或者， A且B. 因此B. 用逻辑运算符描述为， 形式化为: A ∧ B {\displaystyle A\land B} ⊢ A {\displaystyle \vdash A} 或者, A ∧ B {\displaystyle A\land B} ⊢ B {\displaystyle \vdash B} 例如: 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 因此有一些PSPACE問題不是NL問題 或者 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題，而且有一些PSPACE問題不是NL問題 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題 另一個例子如下： 1小于2，而且6大于5。 因此1小于2。 或者 1小于2，而且6大于5。 因此6大于5。 還有一個例子如下： 小橘子是正妹也是車神。 因此小橘子是正妹。 或者 小橘子是正妹也是車神。 因此小橘子是車神。 逻辑与满足以下性质： 结合律: A ∧ ( B ∧ C ) ≡ ( A ∧ B ) ∧ C {\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C} 交换律: A ∧ B ≡ B ∧ A {\displaystyle A\land B\equiv B\land A} 分配律: ( A ∧ ( B ∨ C ) ) ≡ ( ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) ) {\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))} ( A ∨ ( B ∧ C ) ) ≡ ( ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ) {\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))} 幂等律: A ∧ A ≡ A {\displaystyle A\land A\equiv A} 单调性: ( A → B ) → ( ( C ∧ A ) → ( C ∧ B ) ) {\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))} ( A → B ) → ( ( A ∧ C ) → ( B ∧ C ) ) {\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))} 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。 如果用二进制来表达真（1）和假（0），逻辑与运算与算术乘法运算一致。 逻辑与常在位运算中使用，比如： 0 and 0 = 0 0 and 1 = 0 1 and 0 = 0 1 and 1 = 1 1100 and 1010 = 1000 在高等计算机编程中，逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。 布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写，需要"AND"符号。 在计算机科学中，AND运算符可以用来构造位屏蔽，以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。 集合论中的交运算是用逻辑与来定义的：x ∈ A ∩ B当且仅当(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质，诸如结合律，交换律，分配律，及德·摩根定律。 Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-05-13） （美国英语）.  Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. （原始内容存档于2021-04-21）.  2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. （原始内容存档于2020-11-05） （英语）.  与门 维基共享资源上的相关多媒体资源：逻辑与 Wolfram Mathematics Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆） All Math Words Encyclopedia Conjunction （页面存档备份，存于互联网档案馆） Hazewinkel, Michiel (编), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Property and truth table of AND propositions. （原始内容存档于May 6, 2017）.  template:Common logical symbols（英语：template:Common logical symbols）