反常積分

廣義積分，又称为反常积分、异常积分（英語：Improper integral ），是对普通定积分的推廣。 广义积分可以分成兩類，第一類又稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。第二類稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 第一類反常積分是無窮積分，指積分區間的上限或下限中含有無窮 ∞ 的积分。數學定義如下： 设函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )} 上連續且可積。定義無窮積分： ∫ a ∞ f ( x ) d x = lim u → + ∞ ∫ a u f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{a}^{u}f(x)\,dx} 。 类似的，设函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( − ∞ , a ] {\displaystyle (-\infty ,a]} 上連續且可積。定義無窮積分： ∫ − ∞ a f ( x ) d x = lim u → − ∞ ∫ u a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{a}f(x)\,dx} 。 当上述极限存在时，称該积分收敛。当上述极限不存在时，称该积分发散。 例子如下： ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u 1 x 2 d x = 1 {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=1} ； ∫ 1 ∞ 1 x d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u 1 x d x = + ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx=+\infty } ，即發散； ∫ 1 ∞ x sin ⁡ x d x = lim u → + ∞ ∫ 1 u x sin ⁡ x d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }x\sin x\,dx=\lim _{u\to +\infty }\int _{1}^{u}x\sin x\,dx} ，振動發散。 第一類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為無窮 ∞ 的積分。 设函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} 上連續且可積。定義無窮積分： ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim u → − ∞ lim v → + ∞ ∫ u v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\lim _{v\to +\infty }\int _{u}^{v}f(x)\,dx} 。 或者取區間上任意一點 c {\displaystyle c} ，分拆寫成： ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim u → − ∞ ∫ u c f ( x ) d x + lim v → + ∞ ∫ c v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx} 。 當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。 例子如下： ∫ − ∞ ∞ x e − x 2 d x = lim u → − ∞ ∫ u 0 x e − x 2 d x + lim v → + ∞ ∫ 0 v x e − x 2 d x = − 1 2 + 1 2 = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}xe^{-x^{2}}\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}xe^{-x^{2}}\,dx=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=0} ； ∫ − ∞ ∞ x d x = lim u → − ∞ ∫ u 0 x d x + lim v → + ∞ ∫ 0 v x d x = − ∞ + ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{0}x\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{0}^{v}x\,dx=-\infty +\infty } ，即發散。 在無窮積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。 设函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} 上連續且可積。定義無窮積分的柯西主值： P V ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim R → + ∞ ∫ − R R f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx} 。 若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說： P V ∫ − ∞ ∞ x d x = lim R → + ∞ ∫ − R R x d x = 0 {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx=0} 。 根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。 第二類反常積分是瑕積分，指積分區間的上限或下限是被積函數的不連續點。數學定義如下： 設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( a , b ] {\displaystyle (a,b]} 上連續且可積，但在點 a {\displaystyle a} 不連續。定義瑕積分： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → a + ∫ u b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{b}f(x)\,dx} 。 類似的，設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} 上連續且可積，但在點 b {\displaystyle b} 不連續。定義瑕積分： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → b − ∫ a u f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to b^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx} 。 當上述極限存在時，稱該積分收斂。當上述極限不存在時，稱該積分發散。 例子如下： ∫ 0 3 1 3 − x d x = lim u → 3 − ∫ 0 u 1 3 − x d x = 2 3 {\displaystyle \int _{0}^{3}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=\lim _{u\to 3^{-}}\int _{0}^{u}{\frac {1}{\sqrt {3-x}}}\,dx=2{\sqrt {3}}} ； ∫ 0 1 1 x 2 d x = lim u → 0 + ∫ u 1 1 x 2 d x = + ∞ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{+}}\int _{u}^{1}{\frac {1}{x^{2}}}\,dx=+\infty } ，即發散。 第二類反常積分的定義能進一步推廣至上限及下限皆為不連續點，或上限及下限之間含有不連續點的積分。 設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上連續且可積，但在點 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 不連續。定義瑕積分： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → a + lim v → b − ∫ u v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\lim _{v\to b^{-}}\int _{u}^{v}f(x)\,dx} 。 或者取區間上任意一點 c {\displaystyle c} ，分拆寫成： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → a + ∫ u c f ( x ) d x + lim v → b − ∫ c v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx} 。 設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , c ) {\displaystyle [a,c)} 及 ( c , b ] {\displaystyle (c,b]} 上連續且可積，但在點 c {\displaystyle c} 不連續。定義瑕積分： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → c − ∫ a u f ( x ) d x + lim v → c + ∫ v b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}f(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}f(x)\,dx} 。 當上述極限同時存在時，稱該積分收斂。當上述極限至少有一個不存在時，稱該積分發散。 例子如下： ∫ − 1 1 1 x 2 3 d x = lim u → 0 − ∫ − 1 u 1 x 2 3 d x + lim v → 0 + ∫ v 1 1 x 2 3 d x = 6 {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}\,dx=6} ； ∫ − 1 1 1 x d x = lim u → 0 − ∫ − 1 u 1 x d x + lim v → 0 + ∫ v 1 1 x d x = − ∞ + ∞ {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{u\to 0^{-}}\int _{-1}^{u}{\frac {1}{x}}\,dx+\lim _{v\to 0^{+}}\int _{v}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=-\infty +\infty } ，即發散。 在瑕積分的推廣定義中，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同。 設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 上連續且可積，但在點 a {\displaystyle a} 及 b {\displaystyle b} 不連續。定義瑕積分的柯西主值： P V ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a + ε b − ε f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx} ； 設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , c ) {\displaystyle [a,c)} 及 ( c , b ] {\displaystyle (c,b]} 上連續且可積，但在點 c {\displaystyle c} 不連續。定義瑕積分的柯西主值： P V ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + [ ∫ a c − ε f ( x ) d x + ∫ c + ε b f ( x ) d x ] {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f(x)\,dx\right]} 若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說： P V ∫ − 1 1 1 x d x = lim ε → 0 + ∫ − 1 + ε 1 − ε 1 x d x = 0 {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {1}{x}}\,dx=0} 。 根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。 Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） 积分 極限 柯西主值