子群

假設 ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} 是一個 群（group），若 H {\displaystyle H} 是 G {\displaystyle G} 的一個非空子集（subset）且同時 H {\displaystyle H} 與相同的二元運算 ∗ {\displaystyle *} 亦構成一個群，則 ( H , ∗ ) {\displaystyle (H,*)} 稱為 ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} 的一個 子群（subgroup）。參閱群論。 更精確地來說，若運算 ∗ {\displaystyle *} 在 H {\displaystyle H} 的限制也是個在 H {\displaystyle H} 上的群運算，则称 H {\displaystyle H} 為 G {\displaystyle G} 的子群。 一個群 G {\displaystyle G} 的 純子群 是指一個子群 H {\displaystyle H} ，其為 G {\displaystyle G} 的純子集（即 H {\displaystyle H} ≠ G {\displaystyle G} ）。任一個群總會有兩個子群 當然群（為只包含單位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 H {\displaystyle H} 為 G {\displaystyle G} 的子群，則 G {\displaystyle G} 有時會被稱為 H {\displaystyle H} 的「母群」。 相同的定義可以應用在更廣義的範圍內，當 G 為一任意的半群，但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*)，通常用以強調其運算 ∗ {\displaystyle *} 當 G 帶有多重的代數或其他結構。 在下面的文章中，會使用省略掉 ∗ {\displaystyle *} 的約定，並將乘積a*b寫成 ab。 給定一個群 ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} ， H {\displaystyle H} 為 G {\displaystyle G} 的子集，則有 H {\displaystyle H} 為 G {\displaystyle G} 的子群若且唯若 ∀ h , h ′ ∈ H , h ∗ ( h ′ ) − 1 ∈ H {\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H} 。 若 H {\displaystyle H} 為 G {\displaystyle G} 的子群可表示為 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ，則以上表述可表示為: H ≤ G ⟺ ∀ h , h ′ ∈ H , h ∗ ( h ′ ) − 1 ∈ H {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H} 證明： ( ⟹ ) {\displaystyle (\Longrightarrow )} ： 因為 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ，對於任意 h ′ ∈ H {\displaystyle h'\in H} ， ∃ h ′ − 1 ∈ H {\displaystyle \exists h'^{-1}\in H} ，另有 h ∈ H {\displaystyle h\in H} ，由於 H {\displaystyle H} 為一個群，所以 h ∗ h ′ − 1 ∈ H {\displaystyle h*h'^{-1}\in H} 。 ( ⟸ ) {\displaystyle (\Longleftarrow )} ： 假設 ∃ x ∈ H {\displaystyle \exists x\in H} ，令 h = h ′ = x {\displaystyle h=h'=x} ，可得 h ∗ h − 1 = x ∗ x − 1 = e G ∈ H {\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H} ，即 H {\displaystyle H} 存在單位元。 對於 x ∈ H {\displaystyle x\in H} ，令 h = e G {\displaystyle h=e_{G}} ， h ′ = x {\displaystyle h'=x} ，可得 h ∗ h − 1 = e G ∗ x − 1 = x − 1 ∈ H {\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H} ，即對於任意 x ∈ H {\displaystyle x\in H} ，存在 x − 1 ∈ H {\displaystyle x^{-1}\in H} 。 對於 x , y ∈ H {\displaystyle x,y\in H} ，令 h = x {\displaystyle h=x} ， h ′ = y − 1 {\displaystyle h'=y^{-1}} ，可得 h ∗ h − 1 = x ∗ ( y − 1 ) − 1 = x ∗ y ∈ H {\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H} ，即對於任意 x , y ∈ H {\displaystyle x,y\in H} ， x ∗ y ∈ H {\displaystyle x*y\in H} 。 因此 H ≤ G ⟺ ∀ h , h ′ ∈ H , h ∗ ( h ′ ) − 1 ∈ H {\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H} 成立。 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} 且存在一個映射 ϕ : H → G {\displaystyle \phi :H\to G} ,且對每個 a ∈ H {\displaystyle a\in H} 有 ϕ ( a ) = a {\displaystyle \phi (a)=a} 。 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } e H = e G {\displaystyle e_{H}=e_{G}} ,其中 e H , e G {\displaystyle e_{H},e_{G}} 為 H , G {\displaystyle H,G} 的單位元素。 若 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} ，則 a , b {\displaystyle a,b} 為會使得 a b = b a = e H {\displaystyle ab=ba=e_{H}} 之 H {\displaystyle H} 中的元素，有 a b = b a = e G {\displaystyle ab=ba=e_{G}} 。 若 H 1 ≤ G , H 2 ≤ G ⇒ H 1 ∩ H 2 ≤ G {\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G} .但 H 1 ∪ H 2 {\displaystyle H_{1}\cup H_{2}} 則不一定，例如2和3是在 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } 與 3 Z {\displaystyle 3\mathbb {Z} } 的聯集中，但其總和5則不是。 若S是G的子集，則存在一個包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出；此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內若且唯若其為S內之元素的有限乘積且其逆元。 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ，則n會是最小個會使得an = e的正整數，且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z，則a會被稱有「無限階」。 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格，稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論聯集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素，則其當然群{e}會是群G的最小子群，而其最大子群則會是群G本身。 G = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } {\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}} 和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。 其凱萊表為 此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有著一對非當然子群： J = { 0 , 4 } {\displaystyle J=\{0,4\}} 和 H = { 0 , 2 , 4 , 6 } {\displaystyle H=\{0,2,4,6\}} ，其中 J {\displaystyle J} 亦是 H {\displaystyle H} 的子群。 H {\displaystyle H} 的凱萊表是 G {\displaystyle G} 的凱萊表之左上半部。 G {\displaystyle G} 群是循環的，而其子群亦為。一般而言，循環群的子群亦為循環的。 如果 G = D n {\displaystyle G=D_{n}} ，則 R = { e , r , r 2 , . . . , r n − 1 } {\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}} 是一個子群 我們設 Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} 一個群G的子集，包含了所有與群G中其他元素可交換的元素，也就是說 Z ( G ) = { x ∈ G | x g = g x ∀ g ∈ G } {\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}} ，此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心，記作 Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} 。 設A為G的任意子集，則A在G中的中心化子為集合 C G ( A ) {\displaystyle C_{G}(A)} ，此集合的定義為: C G ( A ) = { g ∈ G | g a g − 1 = a ∀ a ∈ A } {\displaystyle C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}} ，此集合也是群G的子群。 至於A在G中的正規化子則為集合 N G ( A ) {\displaystyle N_{G}(A)} ，此集合定義為: N G ( A ) = { g ∈ G | g A g − 1 ⊆ A } {\displaystyle N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}} ，此集合也是群G的子群。 給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的，由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個雙射。更甚地，每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中；其左陪集為對應於一等價關係的等價類，其等價關係a1 ~ a2若且唯若a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」，並標記為[G:H]。 拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言， [ G : H ] = o ( G ) o ( H ) {\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}} 其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是，每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。 右陪集為相類比之定義：Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類，且其個數亦會相等於[G:H]。 若對於每個在G內的a，aH=Ha，則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的：左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。 嘉當子群 費汀子群 穩定子群