梅森素数

梅森数是形如2n－1的数（n是正整數），记为 M n {\textstyle M_{n}} ；如果梅森数是素数就称梅森素数（英語：Mersenne prime）。 梅森数是根据17世纪法国数学家马兰·梅森的名字命名，他列出了n≤257的梅森素数，不过他错误包括了不是梅森素数的M67和M257，而遗漏了M61、M89和M107。 n为合数时， M n {\textstyle M_{n}} 一定为合数（當a整除b時， M a {\textstyle M_{a}} 一定整除 M b {\textstyle M_{b}} ，反之亦然）。但n为素数时， M n {\textstyle M_{n}} 不一定皆為素数，如 M 2 = 2 2 − 1 = 3 {\textstyle M_{2}=2^{2}-1=3} 和 M 3 = 2 3 − 1 = 7 {\textstyle M_{3}=2^{3}-1=7} 是素数，但 M 11 = 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 {\textstyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89} 不是素数。 截至2018年12月已知51个梅森素数，最大的是282589933－1。从1997年至今，所有新的梅森素数都由互联网梅森素数大搜索（GIMPS）分布式计算项目发现。 M n = ∑ i = 0 n ( n i ) − 1 = ∑ i = 0 n − 1 2 i {\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}} 。 q≡3mod4为素数。则2q＋1是素数的充分必要条件是2q＋1整除Mq ，因此對於這些素數q（除了3），Mq不可能會是質數，前幾個這樣的素數q為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… （OEIS數列A002515） 拉馬努金－南哥尔方程（Ramanujan–Nagell Equation）：Mq＝6＋x2。当q为3、5和7时，Mq为梅森素数，方程有整数解；q为合数4和15时，方程亦有整数解；q为其它自然数时，方程没有整数解。 如果p是奇素数，任何能整除2p − 1的素数q都一定是2p的倍数加1，如211 − 1＝23×89，而23＝1＋2×11，89＝1＋8×11。 如果p是奇素数，任何能整除2p − 1的素数q都一定与 ± 1 ( mod 8 ) {\textstyle \pm 1{\pmod {8}}} 同余。 下面的命题关注什么梅森数是梅森素数。 由 2 a b − 1 = ( 2 a − 1 ) × ∑ i = 0 b − 1 2 i a {\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}} 知：「q是素数」是「Mq是素数」的必要条件，但不是充分条件。M11＝211 − 1＝23×89是最小的反例。 对Mq（q是素数）有： 若a是Mq的因数，则a有如下性质： a ≡ 1 mod 2q a ≡ ±1 mod 8 形如6k＋1的数有欧拉理论表明：当且仅当有数对（x，y）使Mq＝（2x）2＋3（3y）2，Mq是素数，其中q≥5。 最近，Bas jansen研究了等式Mq＝x2＋dy2（0≤d≤48），得出了d＝3時的新证明方法。 Reix发现q＞3时，Mq可写成Mq＝（8x）2－（3qy）2＝（1＋Sq）2－（Dq）2；显然，若有数对（x，y），Mq就是素数。 卢卡斯－莱默检验法是现在已知的检测梅森数素数的最好的方法。 该方法由爱德华·卢卡斯于1878年发现，并由德里克·亨利·莱默于1930年代改进，因此得名。 该方法基于循环数列（英语：Derrick Henry Lehmer）的计算，其原理是： Mn为素数当且仅当Mn整除Sn-2（S0＝4，Sk＝S2k−1 − 2，k＞0），此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…（OEIS數列A003010） 梅森素数与偶完全数有一一对应的关系，稱為歐幾里得－歐拉定理。 前4世纪，欧几里得（Euclid）证明如果M是梅森素数，則 M ( M + 1 ) 2 {\textstyle {\frac {M(M+1)}{2}}} 是完全数。 18世纪，欧拉（Euler）证明所有偶完全数都有这种形式。 梅森素数是否有无限个 梅森素数如何分布 头四个梅森素数M2、M3、M5、M7在古代已知。 第五个梅森素数M13在1461年之前发现； M17和M19两數随后在1588年由Cataldi发现。 17世纪法国数学家马兰·梅森列出了他认为的幂小于等于257的梅森素数，其中错误包括了不是素数的M67和M257，遗漏了M61、M89和M107。这也是“梅森素数”一名的由来。 一个多世纪后的1750年，才由欧拉证实M31是第8个梅森素数。 下个发现的梅森素数是由卢卡斯在1876年证明的M127； 1883年，Pervushin证实M61。 M89和M107在20世纪早期由Powers分别在1911年和1914年发现。 发明电子计算机改革了梅森素数的寻找過程。第一項成功例子是证明M521，它由莱默指导，用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授编写的软件，利用坐落在洛杉矶加利福尼亚大学的数据分析协会的，属于美国国家标准局的西部自动计算机（SWAC）于1952年1月30日晚上10:00获得，并且在随后不到两小时发现下个梅森素数M607。在随后的几个月裡，使用同样的程序发现了另外三个梅森素数M1279、M2203和M2281。 素數P值增大，搜尋梅森素數MP的過程都艱辛無比，但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲，激烈競爭；1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布找到第26個梅森素數M23209時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。 為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月用CRAY－1型計算機找到新梅森素數M44497，這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。 他之後乘勝前進，使用改進了的CRAY－XMP型計算機在1983年至1985年間找到3個梅森素數M86243、M132049和M216091，但未能確定M86243和M216091之間是否有異於M132049的梅森素數。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC－FX2型超高速并行計算機果然捉到「漏網之魚」M110503。 沉寂4年後，1992年3月25日，英國原子能技術權威機構哈威爾實驗室有研究小組宣布找到梅森素數M756839。 1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大質數」的桂冠——M859433；而下個梅森素數M1257787仍是他們的成果，用CRAY－794超級計算機在1996年找到。 史洛溫斯基發現7個梅森素數，獲美譽「素數大王」。 到2018年12月已知51个梅森素数；现在已知最大的素数是梅森素数M82589933，像前几个一样都是由因特网梅森素数大搜索（GIMPS）分布式计算项目发现。 2010年7月11日GIMPS確認M2099萬6011是第40個梅森素数。 2011年12月1日GIMPS确认M2403萬6583是第41个梅森素数。 2012年12月20日GIMPS确认M2596萬4951是第42个梅森素数。 2013年1月25日GIMPS发现M5788萬5161 2014年2月23日GIMPS确认M3040萬2457是第43个梅森素数。 2014年11月8日GIMPS确认M3258萬2657是第44个梅森素数。 2016年1月7日GIMPS發現M7420萬7281 2018年1月3日GIMPS发现的M7723萬2917有23249425位数。 2018年12月7日GIMPS的M8258萬9933有24862048位数。   古代知道的梅森素数   以試除法發現的梅森素数   梅森遺漏的梅森素数   GIMPS發現的梅森素数   拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數   亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數   Donald B. Gillies發現的梅森質數   Walt Colquitt和Luke Welsh發現的梅森質數 下表列出所有已知的梅森素数： A000668 注：现在还不知道第48个梅森素数（M57885161）和第51个（M82589933）间是否还有未知梅森素数，其序号用*标出，如有會通知遞補。 2009年4月12日首次有機器發現M4264萬3801，但直到6月4日才有人注意到，兩者皆可視為發現日期。 2015年9月17日首次有機器發現M7420萬7281，但直到2016年1月7日才有人注意到，兩者皆可視為發現日期；GIMPS以後者為正式日期。 （英文）Great Internet Mersenne Prime Search （页面存档备份，存于互联网档案馆） GIMPS計劃 （英文）Mersenne Primes: History, Theorems and Lists （页面存档备份，存于互联网档案馆） 梅森素数：历史，定理，以及梅森素数列表 Mersenne Prime Discovery - 2^82589933-1 is Prime!. www.mersenne.org. [2018-12-24]. （原始内容存档于2018-12-22）.  GIMPS Milestones. [2012-03-03]. （原始内容存档于2016-09-03）.  GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. Mersenne Research, Inc. 2018年1月3日 [2018年1月14日]. （原始内容存档于2018年1月3日）.