內生性

内生性（英語：Endogeneity）在计量经济学中广泛指代解释变量与扰动项相关的现象。忽略内生性问题会违背高斯-马尔可夫定理，导致产生有偏的估计量，以及无效的政策建议。工具变量法是一种缓解内生性问题的常用方法。 如果回归模型中的解释变量与扰动项相关，那么最小二乘法的回归系数的估计量将会是有偏的。但是，如果其中的相关性不是同期的，那么得出的系数仍然可能是一致的。有许多方法可以帮助纠正上述的偏误，例如工具变量法和赫克曼矫正法（英语：Heckman correction）。 以下是内生性问题的常见原因。 这种情况下，内生性来源于未受到控制的干扰变量，这一变量既和模型中的解释变量相关，又存在于扰动项中。换言之，这一遗漏变量不仅影响解释变量，同时还单独地作用于被解释变量。 假设需要估计的“真实”模型为： y i = α + β x i + γ z i + u i {\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}} 但是 z i {\displaystyle z_{i}} 在回归模型中被遗漏了（例如缺乏统计这一变量的手段）。因此，实际估计的模型为： y i = α + β x i + ε i {\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}} 其中， ε i = γ z i + u i {\displaystyle \varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}} ，也就是说，变量 z i {\displaystyle z_{i}} 被包含在了扰动项当中。 如果 x {\displaystyle x} 和 z {\displaystyle z} 的相关系数不等于0，而且 z {\displaystyle z} 还独立作用与 y {\displaystyle y} （意味着 γ ≠ 0 {\displaystyle \gamma \neq 0} ），那么 x {\displaystyle x} 就会与 ε {\displaystyle \varepsilon } 相关。 这一例子中， x {\displaystyle x} 对于 α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } 不是外生的，这是由于：对于给定的解释变量 x {\displaystyle x} ， y {\displaystyle y} 的分布不仅取决于 α {\displaystyle \alpha } 和 β {\displaystyle \beta } ，还受到 z {\displaystyle z} 以及 γ {\displaystyle \gamma } 的影响。 假设某个解释变量无法得到精准的测量。即，真实的变量 x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} 无法观察到，实际观测到的是 x i = x i ∗ + ν i {\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}} ，其中， ν i {\displaystyle \nu _{i}} 是测量误差（“噪音”）。模型： y i = α + β x i ∗ + ε i {\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}} 需要改写为实际观测到的形式： y i = α + β ( x i − ν i ) + ε i y i = α + β x i + ( ε i − β ν i ) y i = α + β x i + u i ( u i = ε i − β ν i ) {\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad (u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}} 由于 x i {\displaystyle x_{i}} 和 u i {\displaystyle u_{i}} 都受到 ν i {\displaystyle \nu _{i}} 影响，这两个变量是相关的。结果来看， β {\displaystyle \beta } 最小二乘法估计量会被低估。 被解释变量 y i {\displaystyle y_{i}} 的测量误差不会导致内生性，但是会引起扰动项的方差增大。 假设两个变量互相决定（存在“同时性”），两者的结构方程模型（英语：Structural equation modeling）如下： y i = β 1 x i + γ 1 z i + u i {\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}} z i = β 2 x i + γ 2 y i + v i {\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}} 对两个等式的任意一个进行估计都会导致内生性。以前一个等式为例， E ( z i u i ) ≠ 0 {\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0} 。在 1 − γ 1 γ 2 ≠ 0 {\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0} 的假设下求解 z i {\displaystyle z_{i}} 得到： z i = β 2 + γ 2 β 1 1 − γ 1 γ 2 x i + 1 1 − γ 1 γ 2 v i + γ 2 1 − γ 1 γ 2 u i {\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}} 又假设 x i {\displaystyle x_{i}} 和 γ i {\displaystyle \gamma _{i}} 都与 u i {\displaystyle u_{i}} 无关， E ⁡ ( z i u i ) = γ 2 1 − γ 1 γ 2 E ⁡ ( u i u i ) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0} 因此，对两个等式的估计都会受到内生性影响。 内生性问题在時間序列因果分析中影响尤为广泛。在因果关系中，时期 t {\displaystyle t} 的变量很可能与 t − 1 {\displaystyle t-1} 的其他变量存在跨期关联。假设解释变量“虫害程度”在本期与其他变量都无关，但是与上一期的降雨量和肥料施用量有关。这种情况下，虫害程度在同期是外生的，但是在时间序列当中却存在内生性。 异方差 Kmenta, Jan. Elements of Econometrics Second. New York: MacMillan. 1986: 652–53. ISBN 0-02-365070-2.  Antonakis, John; Bendahan, Samuel; Jacquart, Philippe; Lalive, Rafael. On making causal claims: A review and recommendations (PDF). The Leadership Quarterly. December 2010, 21 (6): 1086–1120 [2023-04-01]. ISSN 1048-9843. doi:10.1016/j.leaqua.2010.10.010. （原始内容存档 (PDF)于2023-04-01）.  Greene, William H. Econometric Analysis Sixth. Upper Saddle River: Pearson. 2012. ISBN 978-0-13-513740-6.  Kennedy, Peter. A Guide to Econometrics Sixth. Malden: Blackwell. 2008: 139. ISBN 978-1-4051-8257-7.  Kmenta, Jan. Elements of Econometrics Second. New York: MacMillan. 1986: 651–733. ISBN 0-02-365070-2.