微元法

微元法（英語：Differential element method），也叫元素法、微元素法、无穷小元素的求和法，是数学和物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。 在求解力学量和物理量的实际应用中，很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程，为了使这一过程简化，微元法也就应运而生，微元法本身就是定积分的原始思想，它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程，所以微元法也是一种思想方法。 历史上，在微积分的理论基础还不清楚，微分还没有严格定义时，微分被理解为一个比零大，但又比任何正数小的神秘的“数”，是无法理解的，这与现代明确的微分定义是不同的，它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量，把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”，这个“过程”可以是角度、线段、面、体，还可以是时间、位移、功等等，积分便是这些“无限小过程”之和，在求解力学量和物理量时，用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式，因为这种想法方便实用，简便快捷，所以应用相当广泛。 当微积分的理论基础严格建立起来之后，旧的微分概念被抛弃了，取而代之的是现在的微分概念，微元法也有了严格的叙述方式，但在实际应用中，严格叙述较为繁琐，所以往往还是采用过去的理解，把微元看做“无限小的过程”。 假设在某一实际问题中，对于给定的连续函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ，量 Q {\displaystyle Q} 有以下三个特点： 1.一方面， Q {\displaystyle Q} 是由区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 所决定的常量，不妨记之为 Q ( [ a , b ] ) {\displaystyle Q([a,b])} 。另一方面，当考虑右端点变动的区间 [ a , x ] ( a < x ≤ b ) {\displaystyle [a,x](a<x\leq b)} 时， Q ( [ a , x ] ) {\displaystyle Q([a,x])} 又依赖于 x {\displaystyle x} 而成为变量，也就是说，它又是 x {\displaystyle x} 的函数而简记为 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 。 2.对于 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的每个子区间， Q {\displaystyle Q} 都有确定的值，并且关于区间有可加性，即若 [ α , β ] ⊂ [ a , b ] , [ β , γ ] ⊂ [ a , b ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]\subset [a,b],[\beta ,\gamma ]\subset [a,b]} ，则 Q ( [ α , γ ] ) = Q ( [ α , β ] ) + Q ( [ β , γ ] ) . {\displaystyle Q([\alpha ,\gamma ])=Q([\alpha ,\beta ])+Q([\beta ,\gamma ]).} 3.部分量 Δ Q i {\displaystyle \Delta Q_{i}} 的近似值可表示为 f ( ξ i ) Δ x i {\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}} 。 为了计算出量 Q {\displaystyle Q} 并把它表达为积分的形式，我们采取两个步骤： 第一步（分割、近似），将区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 进行分割，而得到 a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n − 1 < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b} , 并求出 Q ( [ x i , x i + 1 ] ) {\displaystyle Q([x_{i},x_{i+1}])} (即 Δ Q i {\displaystyle \Delta Q_{i}} )的近似值 f ( ξ i ) Δ x i {\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}} 。 第二步（求和、取极限），将 f ( ξ i ) Δ x i {\displaystyle f(\xi _{i})\Delta x_{i}} 关于 i {\displaystyle i} 从 0 {\displaystyle 0} 到 n − 1 {\displaystyle n-1} 求和得到 Q ( [ a , b ] ) = ∑ i = 0 n − 1 Q ( [ x i , x i + 1 ] ) ≈ ∑ i = 0 n − 1 f ( ξ i ) Δ x i {\displaystyle Q([a,b])=\sum _{i=0}^{n-1}Q([x_{i},x_{i+1}])\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\Delta x_{i}} 令 m a x { Δ x i } → 0 {\displaystyle max\left\{\Delta x_{i}\right\}\rightarrow 0} 取极限，由于连续函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的可积性，最后得 Q ( [ a , b ] ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle Q([a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,dx} 接下来我们把这个过程进行简化。 由上式可以知道 Q ( x ) = Q ( [ a , x ] ) = ∫ a x f ( x ) d x ( a < x ≤ b ) {\displaystyle Q(x)=Q([a,x])=\int _{a}^{x}f(x)\,dx(a<x\leq b)} 如果略去足码 i {\displaystyle i} ，而将任意的小区间记为 [ x , x + d x ] {\displaystyle [x,x+dx]} ，并取 Q ( [ x , x + d x ] ) {\displaystyle Q([x,x+dx])} 的近似值为 f ( x ) d x {\displaystyle f(x)dx} ，由微分形式的微积分基本定理可知，它恰恰是 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 的微分，即 d Q = d Q ( x ) = f ( x ) d x {\displaystyle dQ=dQ(x)=f(x)dx} 于是在实际应用上，上述两个步骤可以简述为 第一步，在区间 [ x , x + d x ] {\displaystyle [x,x+dx]} 上计算 Q {\displaystyle Q} 的微分 d Q = f ( x ) d x {\displaystyle dQ=f(x)dx} 第二步，在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上求和（求积）得 Q = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle Q=\int _{a}^{b}f(x)\,dx} 不论是几何的物理的还是其他科学技术的量，只要它具有上述的三个特点，我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法或微元法。而 d x {\displaystyle dx} 及 d Q {\displaystyle dQ} 则称为无穷小元素或微元。由于在力学和物理学的大部分问题中，通过问题的实际意义可以知道，所求量的函数是连续函数，因此微元法总是可以应用的。 微分形式的微积分基本定理: 若函数 f ( x ) ∈ C [ a , b ] {\displaystyle f(x)\in C[a,b]} ，则 F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t ∈ D [ a , b ] {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\in D[a,b]} ，且有 d d x ∫ a x f ( t ) d t = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x),x\in [a,b]} . 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编 《数学分析》宋国柱等编 《数学分析（第三版）》华东师范大学数学系编 《高等数学（第六版）》同济大学数学系编