刘维尔定理 (复分析)

刘维尔定理是数学中复分析的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫·刘维尔最先证明。刘维尔定理对整函数（即在整个复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上都是全纯函数）的值域进行了刻画。它表明，任何有界的整函数都一定是常数。 比刘维尔定理更进一步的是皮卡定理。後者说明，只要存在两个相异的复数，它们都不属于一个整函数的值域，则这个整函数是常数函数。 整函数是指从复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 射到复数域，并且在整个复数域上都是全纯函数的函数。全纯也称为复可微，是复函数的重要性质。某个函数] f : C → C {\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } 在某点 z 0 {\displaystyle z_{0}} 全纯，指在点 z 0 {\displaystyle z_{0}} 以及其邻域上有定义，并且以下极限： lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 {\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}} 存在。全纯函数是复分析中的中心概念。全纯不仅代表着复可微，而且可以证明，全纯函数必然无穷可微，是解析函数。 刘维尔定理说明，任何一个整函数 f : C → C {\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } ，如果存在一个正数 M {\displaystyle M} ，使得对于所有的复数 z {\displaystyle z} ， f ( z ) {\displaystyle f(z)} 的模长都小于等于 M {\displaystyle M} ： z ∈ C , | f ( z ) | ⩽ M , {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M,} 则该函数必定是常数函数。 证明用到了整函数和解析函数的关系。整函数必然是解析函数，设有整函数 f : C → C {\displaystyle f:\;\;\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } ，考虑它关于 z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} 的解析展开： f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} 其中的系数 a k {\displaystyle a_{k}} 可以根据柯西积分公式求得： a k = f ( k ) k ! = 1 2 π i ∮ C r f ( ζ ) ζ k + 1 d ζ {\displaystyle a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta } 其中 C r = { z : | z | = r } {\displaystyle C_{r}=\{z:\;|z|=r\}} 是以0为圆心，半径为 r > 0 {\displaystyle r>0} 的圆。依照函数 f {\displaystyle f} 有界的条件，可以估计系数 a k {\displaystyle a_{k}} 模长的上界： | a k | ≤ 1 2 π ∮ C r | f ( ζ ) | | ζ k + 1 | | d ζ | ≤ 1 2 π ∮ C r M r k + 1 | d ζ | ≤ M r k , {\displaystyle |a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}|\,d\zeta |\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}|\,d\zeta |\leq {\frac {M}{r^{k}}},} 在以上的估计中，曲线积分为 C r {\displaystyle C_{r}} ，其中半径 r {\displaystyle r} 的选择是任意的。当 r {\displaystyle r} 趋于无穷大时， M r k {\displaystyle {\frac {M}{r^{k}}}} 趋于0. 因此，让 r {\displaystyle r} 趋于无穷大，便可以推出：对所有的k ≥ 1，都有ak = 0。这说明， f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k z k = a 0 {\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}=a_{0}} 即是说 f {\displaystyle f} 是常数函数。定理得证。 应用刘维尔定理可以证明，如果一个整函数 f {\displaystyle f} 总比另一个整函数 g {\displaystyle g} 小： | f | ⩽ | g | {\displaystyle |f|\leqslant |g|} ，那么这两个整函数成比例关系： ∀ z ∈ C , f ( z ) = κ ⋅ g ( z ) {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;f(z)=\kappa \cdot g(z)} ，其中 κ {\displaystyle \kappa } 是比例常数。 考虑函数 h : z ↦ { f ( z ) g ( z ) g ( z ) ≠ 0 , 0 g ( z ) = 0. {\displaystyle h:\;\;z\;\mapsto {\begin{cases}{\frac {f(z)}{g(z)}}&g(z)\neq 0,\\0&g(z)=0.\end{cases}}} | f | ⩽ | g | {\displaystyle |f|\leqslant |g|} 说明，函数 h {\displaystyle h} 的模长总小于等于1。另一方面，由于 | f | ⩽ | g | {\displaystyle |f|\leqslant |g|} ，所以 f ( z ) g ( z ) {\displaystyle {\frac {f(z)}{g(z)}}} 的奇点都是可去奇点，可以依照上面的方式拓延为整函数 h {\displaystyle h} 。所以 h {\displaystyle h} 作为一个有界的整函数，根据刘维尔定理，必然是常数函数。这说明 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 成比例关系。 次线性函数，指函数值总小于等于定值乘以变量值的函数。设整函数 f {\displaystyle f} 满足： ∀ z ∈ C , | f ( z ) | ⩽ M | z | . {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,\;\;|f(z)|\leqslant M|z|.} 其中 M {\displaystyle M} 是一个常数系数。考虑 f {\displaystyle f} 的导函数。根据柯西积分公式， | f ′ ( z ) | = 1 2 π | ∮ C r f ( ζ ) ( ζ − z ) 2 d ζ | ≤ 1 2 π ∮ C r | f ( ζ ) | | ( ζ − z ) 2 | | d ζ | ≤ 1 2 π ∮ C r M | ζ | | ( ζ − z ) 2 | | d ζ | = M I r z 2 π {\displaystyle |f'(z)|={\frac {1}{2\pi }}\left|\oint _{C_{r}}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{2}}}\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {\left|f(\zeta )\right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|={\frac {MI_{r}^{z}}{2\pi }}} 其中 C r = { ζ ; | ζ − z | = r } = { z + r ⋅ e i t ; t ∈ [ 0 , 2 π ] } {\displaystyle C_{r}=\{\zeta ;\;|\zeta -z|=r\}=\{z+r\cdot e^{it};\;t\in [0,2\pi ]\}} 是以 z {\displaystyle z} 为圆心，半径为 r {\displaystyle r} 的圆； I r z = ∮ C r | ζ | | ( ζ − z ) 2 | | d ζ | = ∫ 0 2 π | z + r ⋅ e i t | r d t {\displaystyle I_{r}^{z}=\oint _{C_{r}}{\frac {\left|\zeta \right|}{\left|(\zeta -z)^{2}\right|}}\left|\mathrm {d} \zeta \right|=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|z+r\cdot e^{it}\right|}{r}}\mathrm {d} t} 取 r = | z | {\displaystyle r=|z|} ，则 | z + r ⋅ e i t | ⩽ | z | + r = 2 r . {\displaystyle \left|z+r\cdot e^{it}\right|\leqslant |z|+r=2r.} 所以 I r z ⩽ ∫ 0 2 π 2 d t = 4 π {\displaystyle I_{r}^{z}\leqslant \int _{0}^{2\pi }2\mathrm {d} t=4\pi } ，因此 | f ′ ( z ) | ⩽ 2 M . {\displaystyle |f'(z)|\leqslant 2M.} 因此依据刘维尔定理， f ′ {\displaystyle f'} 是常数函数。另一方面， | f ( 0 ) | ⩽ M | 0 | {\displaystyle |f(0)|\leqslant M|0|} ，所以 f ( 0 ) = 0. {\displaystyle f(0)=0.} 综上可知，次线性整函数 f {\displaystyle f} 是线性函数。 刘维尔定理可以被用于进一步证明推广了它的皮卡小定理。 Knopp, K. Theory of Functions Parts I and II, Two Volumes Bound as One, Part II. New York: Dover, p. 74, 1996. Krantz, S. G. "Entire Functions and Liouville's Theorem." §3.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 31-32, 1999. 埃里克·韦斯坦因. Liouville’s Boundedness Theorem. MathWorld.  刘维尔定理的教程