缓成长阶层

在可计算性理论、计算复杂性理论和证明理论中，缓成长阶层是缓成长函数gα: N → N的序数索引族（其中N是自然数集合, {0, 1, ... }）。缓成长阶层的增长率与急成长阶层形成鲜明对比。 令 μ 为一个大的可数序数，以便将基本序列分配给每个小于 μ 的极限序数。函数gα: N → N的缓成长阶层（对于α<μ）定义如下： g 0 ( n ) = 0 {\displaystyle g_{0}(n)=0} g α + 1 ( n ) = g α ( n ) + 1 {\displaystyle g_{\alpha +1}(n)=g_{\alpha }(n)+1} 对于极限序数α， g α ( n ) = g α [ n ] ( n ) {\displaystyle g_{\alpha }(n)=g_{\alpha [n]}(n)} 。 这里， α[n] 表示分配给极限序数 α 的基本序列的第n个元素。 关于急成长阶层的文章描述了所有 α<ε0 的基本序列的标准化选择。 g 1 ( n ) = 1 {\displaystyle g_{1}(n)=1} g m ( n ) = m {\displaystyle g_{m}(n)=m} g ω ( n ) = n {\displaystyle g_{\omega }(n)=n} g ω + m ( n ) = n + m {\displaystyle g_{\omega +m}(n)=n+m} g ω m ( n ) = m n {\displaystyle g_{\omega m}(n)=mn} g ω m ( n ) = n m {\displaystyle g_{\omega ^{m}}(n)=n^{m}} g ω ω ( n ) = n n {\displaystyle g_{\omega ^{\omega }}(n)=n^{n}} g ε 0 ( n ) = n ↑↑ n {\displaystyle g_{\varepsilon _{0}}(n)=n\uparrow \uparrow n} 对于较小的索引，缓成长阶层比急成长阶层增长得慢得多。即使gε0也只相当于f3，并且当α达到巴赫曼-霍华德序数时，gα也只能达到fε0的增长率。皮亚诺算术无法证明偏函数结构中的第一个函数。 然而与之形成鲜明对比的是，吉拉德证明，缓成长阶层最终会赶上急成长阶层。具体来说，存在一个序数α使得对于所有整数n gα(n)<fα(n)<gα(n+1) 其中fα是急成长阶层中的函数。他进一步表明，第一个使之成立的α，是归纳定义的任意有限迭代的理论ID<ω的序数。然而，对于中发现的基本序列的分配，第一次匹配发生在ε0级别。对于Buchholz风格的树序数，可以证明第一次匹配甚至发生在 ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} 。 将证明的结果扩展到相当大的序数表明，低于超限迭代序数的序数非常少 Π 1 1 {\displaystyle \Pi _{1}^{1}} -理解缓成长阶层和急成长阶层相匹配的情况。 缓成长阶层极其敏感地依赖于底层基本序列的选择。 Gallier, Jean H. What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γ0? A survey of some results in proof theory. Ann. Pure Appl. Logic. 1991, 53 (3): 199–260. MR 1129778. doi:10.1016/0168-0072(91)90022-E. [失效連結] PDF's: part 1 2 3. (In particular part 3, Section 12, pp. 59–64, "A Glimpse at Hierarchies of Fast and Slow Growing Functions".) J. Gallier, What's so special about Kruskal's theorem and the ordinal Γ0? A survey of some results in proof theory (2012, p.63). Accessed 8 May 2023. Girard, Jean-Yves. Π12-logic. I. Dilators. Annals of Mathematical Logic. 1981, 21 (2): 75–219. ISSN 0003-4843. MR 0656793. doi:10.1016/0003-4843(81)90016-4 .  Cichon. P. Aczel , 编. Termination Proofs and Complexity Characterisations. Cambridge University Press. 1992: 173–193.  Cichon, E. A.; Wainer, S. S. The slow-growing and the Grzegorczyk hierarchies. The Journal of Symbolic Logic. 1983, 48 (2): 399–408. ISSN 0022-4812. JSTOR 2273557. MR 0704094. S2CID 1390729. doi:10.2307/2273557.  Wainer, S. S. Slow Growing Versus Fast Growing. The Journal of Symbolic Logic. 1989, 54 (2): 608–614. JSTOR 2274873. S2CID 19848720. doi:10.2307/2274873.  Weiermann, A. Sometimes slow growing is fast growing. Annals of Pure and Applied Logic. 1997, 90 (1–3): 91–99. doi:10.1016/S0168-0072(97)00033-X .  Weiermann, A. Investigations on slow versus fast growing: How to majorize slow growing functions nontrivially by fast growing ones. Archive for Mathematical Logic. 1995, 34 (5): 313–330. S2CID 34180265. doi:10.1007/BF01387511.  Cooper, S. Barry; Truss, John K. Sets and Proofs. Cambridge University Press https://books.google.com/books?id=2IHm3RT2bBoC&pg=PA403. 1999-06-17. ISBN 978-0-521-63549-3 （英语）.  缺少或|title=为空 (帮助) Weiermann, Andreas. Γ0 May be Minimal Subrecursively Inaccessible. Mathematical Logic Quarterly. 2001, 47 (3): 397–408. doi:10.1002/1521-3870(200108)47:3<397::AID-MALQ397>3.0.CO;2-Y.