偏度

偏度（英語：skewness），亦稱歪度，在機率論和統計學中衡量實數隨機變數概率分布的不對稱性。偏度的值可以為正，可以為負或者甚至是無法定義。在數量上，偏度為負（負偏態；左偏）就意味着在概率密度函數左側的尾部比右側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數在內）位於平均值的右側。偏度為正（正偏態；右偏）就意味着在概率密度函數右側的尾部比左側的長，絕大多數的值（不一定包括中位數）位於平均值的左側。偏度為零就表示數值相對均勻地分布在平均值的兩側，但不一定意味着其為對稱分布。 偏度分為兩種： 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。。 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。。 如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。 隨機變量 X {\displaystyle X} 的偏度 γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} 為三階標準矩，可被定義為： γ 1 = E ⁡ [ ( X − μ σ ) 3 ] = μ 3 σ 3 = E ⁡ [ ( X − μ ) 3 ]       ( E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] ) 3 / 2 = κ 3 κ 2 3 / 2   , {\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,} 其中 μ 3 {\displaystyle \mu _{3}} 是三階主動差， σ {\displaystyle \sigma } 是標準差。 E {\displaystyle E} 是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。 偏度有時用 S k e w [ X ] {\displaystyle \mathrm {Skew} [X]} 來表示。老教科書過去常常用 β 1 {\displaystyle {\sqrt {\beta _{1}}}} 來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。 對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X3]來表示偏度的公式： γ 1 = E ⁡ [ ( X − μ σ ) 3 ] = E ⁡ [ X 3 ] − 3 μ E ⁡ [ X 2 ] + 2 μ 3 σ 3 = E ⁡ [ X 3 ] − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3   . {\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .} 具有 n {\displaystyle n} 個值的樣本的樣本偏度為： g 1 = m 3 m 2 3 / 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 3 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ) 3 / 2   , {\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,} 其中 x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} 是樣本平均值， m 3 {\displaystyle m_{3}} 是三階樣本中心矩， m 2 {\displaystyle m_{2}} 是二階樣本中心距，即樣本方差。 當： Pr [ X > x ] = x − 3  for  x > 1 ,   Pr [ X < 1 ] = 0 {\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-3}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0} 時，偏度可以是無窮大的。 或者當： Pr [ X < x ] = ( 1 − x ) − 3 2 {\displaystyle \Pr[X<x]={\frac {(1-x)^{-3}}{2}}} （ x {\displaystyle x} 為負）及 Pr [ X > x ] = ( 1 + x ) − 3 2 {\displaystyle \Pr[X>x]={\frac {(1+x)^{-3}}{2}}} （ x {\displaystyle x} 為正）時，偏度無法定義。 在後面的這個例子中，三階累積量是無法定義的。 其他分布形式比如： Pr [ X > x ] = x − 2  for  x > 1 ,   Pr [ X < 1 ] = 0 {\displaystyle \Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ for }}x>1,\ \Pr[X<1]=0} 二階和三階累積量是無窮大的，所以偏度也是無法定義的。 如果假定 Y {\displaystyle Y} 為 n {\displaystyle n} 個獨立變量之和並且這些變量和 X {\displaystyle X} 具有相同的分布，那麽 Y {\displaystyle Y} 的三階累積量是 X {\displaystyle X} 的 n {\displaystyle n} 倍， Y {\displaystyle Y} 的二階累積量也是 X {\displaystyle X} 的 n {\displaystyle n} 倍，所以： Skew [ Y ] = Skew [ X ] n {\displaystyle {\mbox{Skew}}[Y]={\frac {{\mbox{Skew}}[X]}{\sqrt {n}}}} 。根據中心极限定理，當其接近高斯分布時變量之和的偏度減小。 峰度 主動差 存档副本. [2018-12-14]. （原始内容存档于2020-11-12）.  存档副本. [2010-10-30]. （原始内容存档于2011-08-11）.  Groeneveld, RA; Meeden, G. Measuring Skewness and Kurtosis. The Statistician. 1984, 33 (4): 391–399 [2010-10-30]. doi:10.2307/2987742. （原始内容存档于2020-08-20）.  Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9 MacGillivray, HL. Shape properties of the g- and h- and Johnson families. Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.