卢津定理

卢津（Лузин）定理是实分析的定理。約略來說，這定理指可測函數差不多是連續函數。 設 f : [ a , b ] → C {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} } 是可測函數，對任何 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在緊緻集 E ⊂ [ a , b ] {\displaystyle E\subset [a,b]} ，使得 λ ( [ a , b ] ∖ E ) < ϵ {\displaystyle \lambda ([a,b]\setminus E)<\epsilon } ，而且f限制到E上是連續函數。此處 λ {\displaystyle \lambda } 是勒貝格測度。 因為f可測，所以在一個測度任意小的開集以外，f是有界函數。在開集上重定義f為0，那麼f在[a,b]上有界，因而是可積函數。因為連續函數在可積函數的空間 L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{1}([a,b])} 中稠密，存在連續函數序列 g i {\displaystyle g_{i}} 依L1範數收斂至f，即 ∫ a b | g i − f | → 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}\left|g_{i}-f\right|\to 0} 。故此有子序列 g i k {\displaystyle g_{i_{k}}} 幾乎處處收斂至f。從葉戈羅夫定理可知，除了一個測度任意小的開集外， g i k {\displaystyle g_{i_{k}}} 一致收斂至f。因為連續函數的一致收斂極限仍是連續的，故此f在此開集外連續。取E為以上兩個開集的並集在[a,b]中的補集，那麼原本的f在E上連續。 設 μ {\displaystyle \mu } 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的正則博雷爾測度， f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} 是 μ {\displaystyle \mu } 可測函數。X是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的 μ {\displaystyle \mu } 可測集，而且 μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } ，那麼對任意 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，X中存在緊緻集K，使得 μ ( X ∖ K ) < ϵ {\displaystyle \mu (X\backslash K)<\epsilon } ，而且f限制到K上是連續函數。 證明 首先，對每個正整數i，構造緊緻集 K i {\displaystyle K_{i}} 和在其上的連續函數 g i {\displaystyle g_{i}} ，使得 μ ( X ∖ K i ) < ϵ / 2 i {\displaystyle \mu (X\setminus K_{i})<\epsilon /2^{i}} 且在 K i {\displaystyle K_{i}} 上有 | f ( x ) − g i ( x ) | < 1 / i {\displaystyle \left|f(x)-g_{i}(x)\right|<1/i} 構造方法如下： 將 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 分成兩兩不交的博雷爾集 ( Y i j ) j = 1 ∞ {\displaystyle (Y_{ij})_{j=1}^{\infty }} ，使得每個集的直徑都小於1/i。函數f可測，所以每個集的原像 f − 1 ( Y i j ) {\displaystyle f^{-1}(Y_{ij})} 是可測集。令 X i j = X ∩ f − 1 ( Y i j ) {\displaystyle X_{ij}=X\cap f^{-1}(Y_{ij})} ，則 X i j {\displaystyle X_{ij}} 將X分成兩兩不交的可測集。 由於 μ {\displaystyle \mu } 是博雷爾正則測度，且 μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } ，於是 μ {\displaystyle \mu } 限制到X上是拉東測度。由拉東測度的內正則性，在 X i j {\displaystyle X_{ij}} 中存在緊緻子集 K i j {\displaystyle K_{ij}} ，使得 μ ( X i j ∖ K i j ) < ϵ / 2 i + j {\displaystyle \mu (X_{ij}\setminus K_{ij})<\epsilon /2^{i+j}} 所以全部子集 X i j ∖ K i j {\displaystyle X_{ij}\setminus K_{ij}} 的不交並集的測度 μ ( X ∖ ⋂ j = 1 ∞ K i j ) < ϵ / 2 i {\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})<\epsilon /2^{i}} 因為 μ ( X ∖ ⋂ j = 1 ∞ K i j ) = lim n → ∞ μ ( X ∖ ⋂ j = 1 n K i j ) {\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{\infty }K_{ij})=\lim _{n\to \infty }\mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{n}K_{ij})} ，可以取足夠大的N使得 μ ( X ∖ ⋂ j = 1 N K i j ) < ϵ / 2 i {\displaystyle \mu (X\setminus \bigcap _{j=1}^{N}K_{ij})<\epsilon /2^{i}} 令 K i = ⋂ j = 1 N K i j {\displaystyle K_{i}=\bigcap _{j=1}^{N}K_{ij}} 。有限個緊緻集的並集是緊緻集，所以 K i {\displaystyle K_{i}} 緊緻。因此 K i {\displaystyle K_{i}} 滿足要求。 對j=1,..., N，在 Y i j {\displaystyle Y_{ij}} 中任取一點 y i j {\displaystyle y_{ij}} ，並在 K i j {\displaystyle K_{ij}} 上定義 g i ( x ) = y i j {\displaystyle g_{i}(x)=y_{ij}} 。 因為在 K i j {\displaystyle K_{ij}} 上，f的值包含在 Y i j {\displaystyle Y_{ij}} 中，故此f和 g i {\displaystyle g_{i}} 相差小於1/i。而 K i j {\displaystyle K_{ij}} 是兩兩不交的緊緻集，故兩兩間的距離都是正數，所以 g i {\displaystyle g_{i}} 在 K i {\displaystyle K_{i}} 上是連續函數。因此 g i {\displaystyle g_{i}} 滿足要求。 取 K = ⋂ i = 1 ∞ K i {\displaystyle K=\bigcap _{i=1}^{\infty }K_{i}} ，K是緊緻集，並有 μ ( X ∖ K ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ( X ∖ K i ) < ϵ {\displaystyle \mu (X\setminus K)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (X\setminus K_{i})<\epsilon } 函數列 g i {\displaystyle g_{i}} 在K上一致收斂到f。一致收斂保持函數的連續性，所以f在K上連續。 Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.