反正弦

反正弦（arcsine， arcsin {\displaystyle \arcsin } ， sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} ）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 内，正弦函數的值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} ，不是一個双射函數，故在整个定义域上無法有单值的反函數；但若限定正弦函數的定義域在 [ − π 2 + k π , π 2 + k π ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}}+k\pi ,{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right]} （[180°k-90°,180°k+90°]）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定義域限制在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} ，值域限制在區間 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} （[-90°,90°]）中；若利用自然对数，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集，但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。 反正弦的符號是arcsin，也常常写作 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 。如此写法可以被接受的理由是，正弦函數的倒數是余割，有單獨的寫法，因此不易和 sin − 1 {\displaystyle \sin ^{-1}} 混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。 原始的定義是將正弦函數限制在 [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} （[-90°,90°]）的反函數，得到如下定義域和值域： arcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} （ arcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − 90 ∘ , 90 ∘ ] {\displaystyle \arcsin :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[-90^{\circ },90^{\circ }\right]} ） 利用自然對數可將定義推廣到整個複數集： arcsin ⁡ x = − i ln ⁡ ( i x + 1 − x 2 ) {\displaystyle \arcsin x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\mathrm {i} }x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} 反正弦函数的导数是： d d x arcsin ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} 故实数域内，它在整个定义域上单调递增。 反正弦函数的泰勒级数是： arcsin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 2 k ) ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = x + 1 6 x 3 + 3 40 x 5 + 5 112 x 7 + ⋯ {\displaystyle \arcsin x=\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x+{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {3}{40}}x^{5}+{\frac {5}{112}}x^{7}+\cdots } . 反正弦函数是奇函数，故： arcsin ⁡ ( − x ) = − arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin \left(-x\right)=-\arcsin x} 另外，反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達： arcsin ⁡ x 1 ± arcsin ⁡ x 2 = { X ± x 1 x 2 ≤ 0 ∨ x 1 2 + x 2 2 ≤ 1 π − X x 1 > 0 ∧ ± x 2 > 0 ∧ x 1 2 + x 2 2 > 1 − π − X x 1 < 0 ∧ ± x 2 < 0 ∧ x 1 2 + x 2 2 > 1 {\displaystyle \arcsin x_{1}\pm \arcsin x_{2}={\begin{cases}X&\pm x_{1}x_{2}\leq 0\lor x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1\\\pi -X&x_{1}>0\land \pm x_{2}>0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\\-\pi -X&x_{1}<0\land \pm x_{2}<0\land x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\end{cases}}} 其中 X = arcsin ⁡ ( x 1 1 − x 2 2 ± x 2 1 − x 1 2 ) {\displaystyle X=\arcsin \left(x_{1}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\pm x_{2}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}\right)} 。 和差公式： arcsin ⁡ ( x ± y ) = arcsin ⁡ ( 1 + x 2 − y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) ± arcsin ⁡ ( 1 − x 2 + y 2 − 1 + x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 − 2 x 2 − 2 y 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(x\pm y)=\arcsin \left({\sqrt {\frac {1+x^{2}-y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)\pm \arcsin \left({\sqrt {\frac {1-x^{2}+y^{2}-{\sqrt {1+x^{4}+y^{4}-2x^{2}y^{2}-2x^{2}-2y^{2}}}}{2}}}\right)} 倍變數公式： arcsin ⁡ ( 2 x ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − 4 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(2x)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-4x^{2}}}}{2}}}\right)} arcsin ⁡ ( x 2 ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − x 2 4 2 ) {\displaystyle \arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{4}}}}}{2}}}\right)} arcsin ⁡ ( k x ) = 2 arcsin ⁡ ( 1 − 1 − k 2 x 2 2 ) {\displaystyle \arcsin(kx)=2\arcsin \left({\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}{2}}}\right)} （对0 ≤ kx ≤ 1） arcsin ⁡ ( s i n x ) = { − ( X + π ) x ∈ [ − π , − π 2 ] X x ∈ ( − π 2 , π 2 ) π − X x ∈ [ π 2 , π ] {\displaystyle \arcsin(sinx)={\begin{cases}-(X+\pi )&x\in [-\pi ,-{\frac {\pi }{2}}]\\X&x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})\\\pi -X&x\in [{\frac {\pi }{2}},\pi ]\end{cases}}} 正弦 反餘弦