波函数

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。 波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是一種複值函數，表示粒子在位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 、時間 t {\displaystyle t} 的機率幅，它的絕對值平方 | Ψ ( r , t ) | 2 {\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}} 是在位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 、時間 t {\displaystyle t} 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。 在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。 德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。 薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。 1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。 薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。 1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。 1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。 假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} ；其中， x {\displaystyle x} 是位置， t {\displaystyle t} 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 x {\displaystyle x} 在區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} （即 a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b} ）的機率 P a ≤ x ≤ b {\displaystyle P_{a\leq x\leq b}} 為 P a ≤ x ≤ b = ∫ a b | Ψ ( x , t ) | 2 d x {\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x} ； 其中， t {\displaystyle t} 是對於粒子位置做測量的時間。 換句話說， | Ψ ( x , t ) | 2 {\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}} 是粒子在位置 x {\displaystyle x} 、時間 t {\displaystyle t} 的機率密度。 這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%： ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1} 。 在動量空間，粒子的波函數表示為 Φ ( p , t ) {\displaystyle \Phi (p,t)} ；其中， p {\displaystyle p} 是一維動量，值域從 − ∞ {\displaystyle -\infty } 至 + ∞ {\displaystyle +\infty } 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 p {\displaystyle p} 在區間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} （即 a ≤ p ≤ b {\displaystyle a\leq p\leq b} ）的機率為 P a ≤ p ≤ b = ∫ a b | Φ ( p , t ) | 2 d p {\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p} 。 動量空間波函數的歸一化條件也類似： ∫ − ∞ ∞ | Φ ( p , t ) | 2 d p = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1} 。 位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為 Φ ( p , t ) = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ e − i p x / ℏ Ψ ( x , t ) d x {\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x} 、 Ψ ( x , t ) = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ e i p x / ℏ Φ ( p , t ) d p {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p} 。 在一維空間裏，運動於位勢 V ( x ) {\displaystyle V(x)} 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式 − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)} ； 其中， m {\displaystyle m} 是質量， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數。 不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} 的函數形式為 Ψ ( x , t ) = ψ E ( x ) e − i E t / ℏ {\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }} ； 其中， E {\displaystyle E} 是分離常數，稍加推導可以論定 E {\displaystyle E} 就是能量， ψ E ( x ) {\displaystyle \psi _{E}(x)} 是對應於 E {\displaystyle E} 的本徵函數。 代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式： − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 ψ E ( x ) + V ( x ) ψ E ( x ) = E ψ E ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)} 。 波函数 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是概率波。其模的平方 | Ψ ( r , t ) | 2 {\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,} 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分 ∫ | Ψ ( r , t ) | 2 d 3 x = 1 {\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1} 。 波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。 在量子力学中，可观察量 A {\displaystyle A} 以算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 的形式出现。 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 p ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}} 的形式為 p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla } 。 可观察量 A {\displaystyle A} 的本徵方程式為 A ^ ψ = a ψ {\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi } 。 对应的 a {\displaystyle a} 称为算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 的本徵值， ψ {\displaystyle \psi } 称为算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 的本徵態。假設對於 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 的本徵態 ψ {\displaystyle \psi } 再測量可观察量 A {\displaystyle A} ，則得到的結果是本徵值 a {\displaystyle a} 。 假設對於某量子系統測量可觀察量 A {\displaystyle A} ，而可觀察量 A {\displaystyle A} 的本徵態 | a 1 ⟩ {\displaystyle |a_{1}\rangle } 、 | a 2 ⟩ {\displaystyle |a_{2}\rangle } 分別擁有本徵值 a 1 {\displaystyle a_{1}} 、 a 2 {\displaystyle a_{2}} ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 也可以是這量子系統的量子態： | ψ ⟩ = c 1 | a 1 ⟩ + c 2 | a 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle } ； 其中， c 1 {\displaystyle c_{1}} 、 c 2 {\displaystyle c_{2}} 分別為疊加態處於本徵態 | a 1 ⟩ {\displaystyle |a_{1}\rangle } 、 | a 2 ⟩ {\displaystyle |a_{2}\rangle } 的機率幅。 假設对這疊加態系統测量可观察量 A {\displaystyle A} ，則測量獲得數值是 a 1 {\displaystyle a_{1}} 或 a 2 {\displaystyle a_{2}} 的機率分別為 | c 1 | 2 {\displaystyle |c_{1}|^{2}} 、 | c 2 | 2 {\displaystyle |c_{2}|^{2}} ，期望值為 ⟨ ψ | A | ψ ⟩ = | c 1 | 2 a 1 + | c 2 | 2 a 2 {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}} 。 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 分離成一个只与位置有关的函数 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 和一个只与时间有关的函数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} ： Ψ ( r , t ) = ψ ( r ) f ( t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)} 。 將這公式代入薛定谔方程，就会得到 f ( t ) = exp ⁡ ( − i E t / ℏ ) {\displaystyle f(t)=\exp {(-iEt/\hbar )}} 。 而 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 则满足本徵能量薛丁格方程式： H ^ ψ ( r ) = E ψ ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )} 。 3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为： Ψ ( r , t ) = A e i ( k ⋅ r − ω t ) . {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.} 粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为: Ψ ( x , t ) = 2 L sin ⁡ ( n π x L ) e − i ω n t , 0 ≤ x ≤ L Ψ ( x , t ) = 0 , x < 0 , x > L {\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}} 其中， ℏ ω n = n 2 h 2 8 m L 2 {\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}} 是能量本徵值， n {\displaystyle n} 是正整數， m {\displaystyle m} 是質量。 在1D情况下，粒子处于如下势垒中： V ( x ) = { V 0 | x | < a 0 otherwise, {\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}} 其波函数的定态解为( k , κ {\displaystyle k,\kappa } 为常数) ψ ( x ) = { A r exp ⁡ ( i k x ) + A l exp ⁡ ( − i k x ) x < − a , B r exp ⁡ ( κ x ) + B l exp ⁡ ( − κ x ) | x | ≤ a , C r exp ⁡ ( i k x ) + C l exp ⁡ ( − i k x ) x > a . {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}} 量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。 波包 Hobson, Art. There are no particles, there are only fields. American Journal of Physics. 2013, 81 (211) [2014-09-25]. doi:10.1119/1.4789885. （原始内容存档于2015-02-10）.  Hanle, P.A., Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory., Isis, December 1977, 68 (4), doi:10.1086/351880  Moore, Walter John, Schrödinger: Life and Thought, England: Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43767-9 （英语）  薛定諤, 埃尔温, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen (PDF) 79, Annalen der Physik, (Leipzig), 1926 [2013-06-10], （原始内容 (PDF)存档于2008-12-17）  [德文原稿] Kragh, Helge. Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century illustrated, reprint. Princeton University Press. 2002. ISBN 9780691095523.  Atkins, Peter; de Paula, Julio. Physical Chemistry 8th. W. H. Freeman. 2006. ISBN 978-0716787594.  McMahon, David. Quantum Field Theory Demystified. McGraw Hill Professional. 2008. ISBN 9780071643528.  Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7  從數學角度來看，薛丁格方程式乃是一種波動方程式，因此，波函數具有類似波的性質。這說明了波函數這術語的命名原因。 波函數的概念在量子力學裏非常基礎與重要，諸多關於量子力學詮釋像謎一樣之結果與困惑，都源自於波函數，甚至今天，這些論題仍舊尚未獲得滿意解答。