部分等距映射

在数学的分支泛函分析中，部分等距映射是希尔伯特空间之间的一种线性映射，它在核的正交补上的限制是一个等距映射。 其核的正交补称为始子空间，其值域称为终子空间。本文中，算子 W {\displaystyle W} 的始、终子空间分别记作 I W , F W {\displaystyle {\mathcal {I}}W,{\mathcal {F}}W} 。 部分等距的概念可以用其他等价的方式定义。设 H 1 {\displaystyle H_{1}} 是希尔伯特空间 H {\displaystyle H} 的一个闭子集 ，而 U {\displaystyle U} 是 H 1 {\displaystyle H_{1}} 上的等距映射，则我们可以定义 U {\displaystyle U} 到 H {\displaystyle H} 的一个扩张 W {\displaystyle W} ， W {\displaystyle W} 在 H 1 {\displaystyle H_{1}} 的正交补上的值为零。因此，部分等距有时也被定义在闭集上局部定义了的等距映射。 基于*-半群（英语：Semigroup with involution），可以用更为抽象的方式来定义部分等距（以及投影），该定义与上文的定义是重合的。 在有限维向量空间中，矩阵 A {\displaystyle A} 是一个部分等距当且仅当 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 是到其支撑集的投影。相比之下，等距映射的定义是更强的：矩阵 V {\displaystyle V} 是一个等距映射当且仅当 V ∗ V = I {\displaystyle V^{*}V=I} 。换句话说，等距对称是一种单射的部分等距映射。 通过选择适当的基，任何有限维的部分等距映射都可以表示为形如 A = ( V 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}} 的矩阵，也就是说，其前 rank ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A)} 列表示了一个等距映射，而所有其他列则都为零。 注意对于任何等距映射 V {\displaystyle V} ，其埃尔米特共轭 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 都是一个部分等距映射，尽管并非每个部分等距映射都具有这种形式。 在算子代数中，可用下面的方式[需要更深入解释]引入始子空间和终子空间： I W := R W ∗ W , F W := R W W ∗ . {\displaystyle {\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}.} 对于C*-代数，由于C*-性质，存在等价链： ( W ∗ W ) 2 = W ∗ W ⟺ W W ∗ W = W ⟺ W ∗ W W ∗ = W ∗ ⟺ ( W W ∗ ) 2 = W W ∗ {\displaystyle (W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}} 因此可由上式中的任意一条来定义部分等距，而到始、终子空间的投影分别为 W ∗ W , W W ∗ {\displaystyle W^{*}W,WW^{*}} 。 一对按等价关系划分[需要更深入解释]的投影： P = W ∗ W , Q = W W ∗ {\displaystyle P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}} 它在C*-代数的K-理论和冯诺依曼代数中的Murray-冯诺依曼投影理论中发挥着重要作用。 任何正交投影算子都是始、终子空间为同一子空间的部分等距： P : H → H : I P = F P {\displaystyle P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P} 任何等距嵌入映射都是始子空间为全空间的部分等距： J : H ↪ K : I J = H {\displaystyle J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}} 任何幺正算子都是始、终子空间为全空间的部分等距： U : H ↔ K : I U = H , F U = K {\displaystyle U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}} 在二维复希尔伯特空间上的矩阵 ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} 是一个部分等距，其始子空间为 { 0 } ⊕ C {\displaystyle \{0\}\oplus \mathbb {C} } 而终子空间为 C ⊕ { 0 } . {\displaystyle \mathbb {C} \oplus \{0\}.} 有限维中的其他可能例子有 A ≡ ( 1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ) . {\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.} 这显然不是等距映射，因为列之间不正交。然而，它的支撑集是 e 1 ≡ ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)} 和 1 2 ( e 2 + e 3 ) ≡ ( 0 , 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\equiv (0,1/{\sqrt {2}},1/{\sqrt {2}})} 的线性生成空间，若将 A {\displaystyle A} 限制在这个空间上，就得到一个等距映射（特别地，也是一个幺正算子）。类似地，可以验证 A ∗ A = Π supp ⁡ ( A ) {\displaystyle A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}} ，也就是说 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 是到其支撑集上的投影。部分等距不一定对应于方阵。例如， A ≡ ( 1 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 ) . {\displaystyle A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.} 该矩阵的支撑集由 e 1 ≡ ( 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)} 和 e 2 + e 3 ≡ ( 0 , 1 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)} 张成，并在该子空间上成为一等距映射（特别地，是其上的恒等映射）。 还有一个例子 A = ( 0 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 ) , {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},} 这次 A {\displaystyle A} 在其支撑集上表现为一个非平凡的等距映射。 容易验证 A e 1 = e 2 {\displaystyle A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}} 以及 A ( e 2 + e 3 2 ) = e 1 {\displaystyle A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}} ，这表明了 A {\displaystyle A} 在其支撑集 span ⁡ ( { e 1 , e 2 + e 3 } ) {\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})} 与其值域 span ⁡ ( { e 1 , e 2 } ) {\displaystyle \operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})} 间的等距性质。 平方可和序列空间上的左平移和右平移算子 R : ℓ 2 ( N ) → ℓ 2 ( N ) : ( x 1 , x 2 , … ) ↦ ( 0 , x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )} L : ℓ 2 ( N ) → ℓ 2 ( N ) : ( x 1 , x 2 , … ) ↦ ( x 2 , x 3 , … ) {\displaystyle L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )} 有下列关系 R ∗ = L . {\displaystyle R^{*}=L.} 而左平移和右平移算子是部分等距映射，其始子空间由以下向量构成 L R ( x 1 , x 2 , … ) = ( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )} 其终子空间则是： R L ( x 1 , x 2 , … ) = ( 0 , x 2 , … ) . {\displaystyle RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots ).} Conway, John Bligh. A course in operator theory. Providence, R.I: American Mathematical Society. 1999. ISBN 0-8218-2065-6.  Carey, R. W.; Pincus, J. D. An Invariant for Certain Operator Algebras. Proceedings of the National Academy of Sciences. May 1974, 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. PMC 388361 . PMID 16592156. doi:10.1073/pnas.71.5.1952 .  Paterson, Alan L. T. Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras. Boston: Birkhäuser. 1999. ISBN 0-8176-4051-7.  Lawson, Mark V. Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. Singapore New Jersey London: World Scientific. 1998. ISBN 981-02-3316-7.  Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. Partially isometric matrices: A brief and selective survey. 2019. arXiv:1903.11648  [math.FA].  重要性质及证明 替代证明