刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。 定理的原始形式是刘维尔于1853年针对 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。 令 ( M 2 n , ω ) {\displaystyle (M^{2n},\omega )} 是 2 n {\displaystyle 2n} 维辛流形，具有辛结构 ω {\displaystyle \omega } 。 M 2 n {\displaystyle M^{2n}} 上的可积系统是 M 2 n {\displaystyle M^{2n}} 上的n个函数组成的集合，记作 F = ( F 1 , ⋯ , F n ) {\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})} ，满足 （一般）线性独立：稠密集上 d F 1 ∧ ⋯ ∧ d F n ≠ 0 {\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0} 相互泊松交换：泊松括号 ( F i , F j ) {\displaystyle (F_{i},F_{j})} 对任意一对 i , j {\displaystyle i,j} 都为0 泊松括号是每个 F i {\displaystyle F_{i}} 对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若 X H {\displaystyle X_{H}} 是对应于光滑函数 H : M 2 n → R {\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} } 的哈密顿向量场，则对两光滑函数 F , G {\displaystyle F,G} ，泊松括号是 ( F , G ) = [ X F , X G ] {\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]} 。 若 d f 1 ∧ ⋯ ∧ d f n ( p ) ≠ 0 {\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0} ，则称点p是正则点（regular point）。 可积系统定义了函数 F : M 2 n → R n {\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} 。 L c {\displaystyle L_{\mathbf {c} }} 表示函数 F i {\displaystyle F_{i}} 的水平集 L c = { x : F i ( x ) = c i } , {\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},} 或记作 L c = F − 1 ( c ) {\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )} 。 若给 M 2 n {\displaystyle M^{2n}} 附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统 F = ( F 1 = H , F 2 , ⋯ , F n ) {\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})} ），哈密顿系统 ( M 2 n , ω , H ) {\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)} 是可积的。 若 ( M 2 n , ω , F ) {\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)} 是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像 c = F ( p ) {\displaystyle c=F(p)} 的水平集 L c {\displaystyle L_{c}} ： L c {\displaystyle L_{c}} 是光滑流形，在由 H = F 1 {\displaystyle H=F_{1}} 引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。 若 L c {\displaystyle L_{c}} 更紧且连通，则就微分同胚于N-环面 T n {\displaystyle T^{n}} 。 L c {\displaystyle L_{c}} 上存在（局部）坐标 ( θ 1 , ⋯ , θ n , ω 1 , ⋯ , ω n ) {\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})} ，使得 ω i {\displaystyle \omega _{i}} 在水平集上为常，而 θ ˙ i := ( H , θ i ) = ω i {\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}} 。这些坐标称作作用量-角度坐标。 可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。 一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}} 时，其坐标通常写作 ( q 1 , ⋯ , q n , p 1 , ⋯ , p n ) {\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})} ，规范辛形式是 ω = ∑ i d q i ∧ d p i {\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}} 。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。 哈密顿谐振子： ( R 2 n , ω , H ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)} ，其中 H ( q , p ) = ∑ i ( p i 2 2 m + 1 2 m ω i 2 q i 2 ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)} 。定义 H i = p i 2 2 m + 1 2 m ω i 2 q i 2 {\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}} ，可积系统是 ( H , H 1 , ⋯ , H n − 1 ) {\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})} 。 连心力系统 ( R 6 , ω , H ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)} ，其中 H ( q , p ) = p 2 2 m − U ( q 2 ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})} ，U是某势函数。定义角动量 L = p × q {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} } ，可积系统是 ( H , L 2 , L 3 ) {\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})} 。 可积陀螺：拉格朗日、欧拉、柯瓦列夫斯卡娅陀螺（英语：Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops）是刘维尔可积的。 弗罗贝尼乌斯定理 可积系统 J. Liouville, « Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853 », JMPA, 1855, p. 137-138, pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） Fabio Benatti. Dynamics, Information and Complexity in Quantum Systems. Springer Science & Business Media. 2009: 16. ISBN 978-1-4020-9306-7.  P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodriguez (编). Superintegrability in Classical and Quantum Systems. American Mathematical Society. 2004: 48. ISBN 978-0-8218-7032-7.  Christopher K. R. T. Jones; Alexander I. Khibnik (编). Multiple-Time-Scale Dynamical Systems. Springer Science & Business Media. 2012: 1. ISBN 978-1-4613-0117-2.  Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer. 1989. ISBN 9780387968902.  含有內容需登入查看的頁面 (link)