积分符号内取微分

积分符号内取微分（英語：Leibniz integral rule，莱布尼茨积分法则）是一个在数学的微积分领域中很有用的运算。它是说，给定如下积分 F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = ∫ a ( x ) b ( x ) f ( x , t ) d t {\displaystyle F(x,a(x),b(x))=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt} , 如果在 x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,} 时 f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)\,} 与 ∂ ∂ x f ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\,} 对 t {\displaystyle t\,} 和 x {\displaystyle x\,} 在 ( t , x ) {\displaystyle (t,x)\,} 平面连续, a ( x ) ≤ t ≤ b ( x ) {\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x)\,} , x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,} , 且若对于 x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}\,} , a ( x ) {\displaystyle a(x)\,} 与 b ( x ) {\displaystyle b(x)\,} 及其导数连续， 那么当 x 0 ≤ x ≤ x 1 {\displaystyle \,x_{0}\leq x\leq x_{1}\,\,} 时， 根据全微分公式和微积分基本定理， 该积分对 x {\displaystyle x} 的导数为 d d x F ( x , a ( x ) , b ( x ) ) = ( ∂ F ∂ b ) d b d x + ( ∂ F ∂ a ) d a d x + ∂ F ∂ x = f ( x , b ( x ) ) b ′ ( x ) − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) + ∫ a ( x ) b ( x ) ∂ ∂ x f ( x , t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\,F(x,a(x),b(x))&=\left({\frac {\partial F}{\partial b}}\right){\frac {db}{dx}}+\left({\frac {\partial F}{\partial a}}\right){\frac {da}{dx}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}\\&=f(x,b(x))\,b'(x)-f(x,a(x))\,a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}\,f(x,t)\;dt\,\end{aligned}}} 注意 − f ( x , a ( x ) ) a ′ ( x ) {\displaystyle -f(x,a(x))\,a'(x)} 项的负号来源于对积分下限求导。 如果 a ( x ) {\displaystyle a(x)} 和 b ( x ) {\displaystyle b(x)} 是常数而不是 x {\displaystyle x} 的 函数，那么此时的特殊情况可看做交换积分和求导的顺序： d d x ( ∫ a b f ( x , t ) d t ) = ∫ a b ∂ ∂ x f ( x , t ) d t . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.} d d t ∫ D ( t ) F ( x → , t ) d V = ∫ D ( t ) ∂ ∂ t F ( x → , t ) d V + ∫ ∂ D ( t ) F ( x → , t ) v → ⋅ n → d A , {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}\,F({\vec {\textbf {x}}},t)\,{\vec {\textbf {v}}}\cdot {\vec {\textbf {n}}}\,dA,\,} 引理1: ∂ ∂ b ( ∫ a b f ( x ) d x ) = f ( b ) , ∂ ∂ a ( ∫ a b f ( x ) d x ) = − f ( a ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)=-f(a).} 证明:由微积分基本定理的第一部分，加上實際的推導上，偏微分相當於將其他變數視為常數做微分，這樣就有 ∂ ∂ b ( ∫ a b f ( x ) d x ) = f ( b ) ∂ ∂ a ( ∫ a b f ( x ) d x ) = − ∂ ∂ a ( ∫ b a f ( x ) d x ) = − f ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=f(b)\\{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x\right)&=-{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{b}^{a}f(x)\;\mathrm {d} x\right)\\&=-f(a)\\\end{aligned}}} ◻ {\displaystyle \Box } 引理2: 假设 a 和 b 是常数, f(x) 涉及常參數 α 的积分，但会形成不同积分.假设函数 f(x, α) 在紧致集 {(x, α) : α0 ≤ α ≤ α1 and a ≤ x ≤ b} 上连续, f 对 α 的偏导 fα(x, α) 存在且连续, 定义函数 ψ ( α ) {\displaystyle \psi (\alpha )} (这里将a和b看做是与 α 无关的常数，即a和b不随 α 的增大而增大 ): ψ ( α ) = ∫ a b f ( x , α ) d x . {\displaystyle \psi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x.} ψ {\displaystyle \psi } 可以對 α {\displaystyle \alpha } 在积分符号内取微分,即 d ψ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,} 证明:由海涅－康托尔定理，函数 f ( x , α ) {\displaystyle f(x,\alpha )} 在集合中一致连续. 即对任意 ε > 0 ，存在 Δα 使得对任意 x ∈ [a, b]，均有: | f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) | < ε . {\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .} 另一方面: Δ ψ = ψ ( α + Δ α ) − ψ ( α ) = ∫ a b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a b ( f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ) d x ≤ ε ( b − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi &=\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )\\&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\;\mathrm {d} x\\&\leq \varepsilon (b-a)\end{aligned}}} 因此 ψ ( α ) {\displaystyle \psi (\alpha )} 是连续函数. 同理， 如果 ∂ ∂ α f ( x , α ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )} 存在且连续, 则对任意 ε > 0 存在 Δα ，使得: ∀ x ∈ [ a , b ] | f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) Δ α − ∂ f ∂ α | < ε . {\displaystyle \forall x\in [a,b]\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .} 因此, Δ ψ Δ α = ∫ a b f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) Δ α d x = ∫ a b ∂ f ( x , α ) ∂ α d x + R {\displaystyle {\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\;\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \,f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,\mathrm {d} x+R} 这里 | R | < ∫ a b ε d x = ε ( b − a ) . {\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \;\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a).} 令 ε → 0 且 Δα → 0, 从而有, lim Δ α → 0 Δ ψ Δ α = d ψ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x . {\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\rightarrow 0}{\frac {\Delta \psi }{\Delta \alpha }}={\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x.\,} 证毕. 现在给出定理的证明. 证明: 定义函数 φ ( α ) {\displaystyle \varphi (\alpha )} ，有 ∫ a b f ( x , α ) d x = φ ( α ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x=\varphi (\alpha ),} 这里a 与 b 是关于 α 的函数，随α的增加分别增加 Δa 和 Δb,即当 α 增加 Δα时,有 Δ φ = φ ( α + Δ α ) − φ ( α ) = ∫ a + Δ a b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = ∫ a + Δ a a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x − ∫ a b f ( x , α ) d x = − ∫ a a + Δ a f ( x , α + Δ α ) d x + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + ∫ b b + Δ b f ( x , α + Δ α ) d x . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x\,-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\,\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\;\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}\,f(x,\alpha +\Delta \alpha )\;\mathrm {d} x.\end{aligned}}} 由积分中值定理得 ∫ a b f ( x ) d x = ( b − a ) f ( ξ ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi ),} 这里 a < ξ < b, 从而上式变为 Δ φ = − Δ a f ( ξ 1 , α + Δ α ) + ∫ a b [ f ( x , α + Δ α ) − f ( x , α ) ] d x + Δ b f ( ξ 2 , α + Δ α ) {\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\;\mathrm {d} x+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )} = − Δ a f ( ξ 1 , α + Δ α ) + ψ ( α + Δ α ) − ψ ( α ) + Δ b f ( ξ 2 , α + Δ α ) {\displaystyle =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\psi (\alpha +\Delta \alpha )-\psi (\alpha )+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )} . 上式除以 Δα, 令 Δα → 0, 此时 ξ1 → a 且 ξ2 → b,由引理2： d ψ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \psi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x} 和引理1，得 d φ d α = ∫ a b ∂ ∂ α f ( x , α ) d x + f ( b , α ) ∂ b ∂ α − f ( a , α ) ∂ a ∂ α . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.} 定理得证. 由富比尼定理, d d y ( ∫ c y ∫ a b ∂ f ∂ z ( x , z ) d x d z ) = d d y ( ∫ a b ∫ c y ∂ f ∂ z ( x , z ) d z d x ) {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{c}^{y}\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dxdz\right)={\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}\int _{c}^{y}{\frac {\partial f}{\partial z}}(x,z)dzdx\right)} 由微积分基本定理的第一形式, 左边等于 ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx.} 由微积分基本定理的第二形式, 右边等于 d d y ( ∫ a b ( f ( x , y ) − f ( x , c ) ) d x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}(f(x,y)-f(x,c))dx\right).} 被积函数的第二部分 f ( x , c ) {\displaystyle f(x,c)} 不含 y，所以它对 y 的导数是0，所以右边等于 d d y ( ∫ a b f ( x , y ) d x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\left(\int _{a}^{b}f(x,y)dx\right).} 证毕 积分符号内取微分曾在已故的物理学家理查德·费曼的最畅销的回忆录《别闹了，费曼先生！》（在“一个不同的工具箱”一章中）中提到过，他提到他是高中时从一本旧书《高等微积分》（1926年）中学到的，书的作者是弗雷德里克·S·伍兹（美国麻省理工学院数学系教授）。这种方法在费恩曼以后接受正规教育时很少被教授。而因为知道这种方法，使得费恩曼在普林斯顿大学读研究生时能够用其解一些困难的积分问题。《别闹了，费曼先生！》中关于在积分符号内取微分方法的原文如下： 费曼积分法——积分符号内取微分：http://spaces.ac.cn/index.php/archives/1615/ （页面存档备份，存于互联网档案馆） 存档副本 (PDF). [2022-10-20]. （原始内容存档 (PDF)于2017-10-31）.  d d t ( ∫ a t f ( x ) d x ) = f ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{a}^{t}f(x)dx\right)=f(t)} ∫ a b F ′ ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}F^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)}