梅森素数与完全数集合

梅森素数与完全数是数论里关系密切的自然数。梅森素数以数学家、神学家、修士马兰·梅森命名，是能以2甲－1表示、且甲为正整数的质数，如梅森素数3就能写成22－1。梅森素数在上述表达式对应的数甲一定是质数，但甲是质数不代表得出的结果就是梅森素数，如211－1＝2047＝23×89。完全数是等于真因数之和的自然数，真因数即自然数除自身外的因数。如6就是完全数，因数分别是1、2、3、6且1＋2＋3＝6。 根据欧几里得部分证明、萊昂哈德·歐拉完全证明的歐幾里得－歐拉定理可知梅森素数与已知完全数一一对应：只有能换算成公式2甲－1×（2甲－1），且2甲 − 1是梅森素数的偶数是完全数。以甲＝2为例，22－1＝3为质数，22－1×（22－1）＝2×3＝6为完全数。 梅森素数与完全数是否无穷尽目前还是未解决的数学问题，伦斯特拉－波默朗斯－瓦格斯塔夫猜想的主题便是梅森素数频率，推断比x小的梅森素数期望个数為（eγ/log2）×log log x，其中e是欧拉数，γ是欧拉常数，log是自然對數。已经发现的完全数都是偶数，但尚未排除存在奇数完全数的可能。已證明奇完全数必滿足某些條件，如不小於101500。 下表列出所有已知梅森素数、完全数及对应指数甲。截至2021年10月共发现51个梅森素数（及對應完全数），最大17个均由互联网梅森素数大搜索分布式计算项目发现。新梅森素数是用卢卡斯－莱默检验法发现，这种梅森素数素性测试可用于二进制计算机。 数字按从小到大排列，如果新发现比现有结果小的梅森素数则插入中间。序号后面的问号说明尚待验证。截至2021年10月，互联网梅森素数大搜索已经计算至甲＝5820萬4879，即第48个梅森素数以前的所有自然数均已验证。发现时间和发现人均指梅森素数，完全数按歐幾里得－歐拉定理计算。发现人列为“互联网梅森素数大搜索：姓名”说明此人拥有的设备采用互联网梅森素数大搜索找到该数。除前八个不超过十位外，后面的结果都非常长，最长的已有数千万位；下表仅列出前后各六位，中间以省略号表示。   GIMPS發現的梅森素数   最小未驗證梅森素數   梅森猜測的梅森質數   古代知道的梅森素数   拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯發現的梅森素数   唐納德·吉利斯發現的梅森質數   大衛·斯洛文斯基發現的梅森素数 下表列出了所有已知的梅森素数： A000668 下表列出了所有已知的梅森素数指數： A000043 尼科马库斯100年左右记下前四个完全数，欧几里得的《几何原本》便有完全数、梅森素数的定义和实例，但具体发现年代已不可考。 伊斯兰数学家伊斯梅尔·伊本·易卜拉欣·伊本·费卢斯等人可能比欧洲人更早发现第五到第七个完全数。 手稿注明年份1456至1461但没有署名，现存巴伐利亞國立圖書館，编码“Clm 14908”。 截至2021年10月。 Stillwell, John. 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