三立方数和

未解決的数学問題：模9不同余4或5的整数是否都可以写成三整数立方之和？ 三立方数和问题（英語：sums of three cubes）是指丢番图方程 x 3 + y 3 + z 3 = n {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n} 是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1，三立方数和模9不可能同余4或5，因而这是整数解存在的一个必要条件。然而，对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。 n = 0 {\displaystyle n=0} 时，若存在非平凡的三立方解，则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号，经移项，就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理，在 n = 0 {\displaystyle n=0} 时的三立方和只有如下平凡解： a 3 + ( − a ) 3 + 0 3 = 0. {\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.} n = 1 , 2 {\displaystyle n=1,2} 时，存在如下解系，有无数解： ( 9 b 4 ) 3 + ( 3 b − 9 b 4 ) 3 + ( 1 − 9 b 3 ) 3 = 1 {\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1} 以及， ( 1 + 6 c 3 ) 3 + ( 1 − 6 c 3 ) 3 + ( − 6 c 2 ) 3 = 2. {\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.} 上述表示经缩放可得，任意立方数或立方数的二倍都有三立方和。除上述表示外， n = 1 {\displaystyle n=1} 也有其他三立方和解系， n = 2 {\displaystyle n=2} 有如下著名解： 1214928 3 + 3480205 3 + ( − 3528875 ) 3 = 2 , {\displaystyle 1214928^{3}+3480205^{3}+(-3528875)^{3}=2,} 37404275617 3 + ( − 25282289375 ) 3 + ( − 33071554596 ) 3 = 2 , {\displaystyle 37404275617^{3}+(-25282289375)^{3}+(-33071554596)^{3}=2,} 3737830626090 3 + 1490220318001 3 + ( − 3815176160999 ) 3 = 2. {\displaystyle 3737830626090^{3}+1490220318001^{3}+(-3815176160999)^{3}=2.} 然而，已经证明只在1和2处存在能被四次多项式参数化的解析表示。即便在 n = 3 {\displaystyle n=3} 处，也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔（英语：Louis J. Mordell）在1953年写道，除了其小整数解，“我对其一无所知”，即： 1 3 + 1 3 + 1 3 = 4 3 + 4 3 + ( − 5 ) 3 = 3 {\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3} “我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余。2019年9月前，上述两式曾經是 n = 3 {\displaystyle n=3} 長期以來仅有的2組已知解，但就在同一月，發現了第3組解： 569936821221962380720 3 + ( − 569936821113563493509 ) 3 + ( − 472715493453327032 ) 3 = 3 {\displaystyle 569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}=3} 1955年起，莫德尔（Mordell）等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。对于1000以内的正整数 n {\displaystyle n} ，埃尔森汉斯（Elsenhans）与雅内尔（Jahnel）于2009年使用诺姆·埃尔奇斯提出的基于格规约的方法找到了 max ( | x | , | y | , | z | ) < 10 14 {\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}} 范围内的所有解。2016年，于斯曼（Huisman）使用同样的方法将搜索上界提升至 max ( | x | , | y | , | z | ) < 10 15 {\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}} 。到此时为止， n < 100 {\displaystyle n<100} 的正整数中，33与42以外所有模9不同余4或5的 n {\displaystyle n} 都找到了至少一组整数解。 2019年，安德鲁·布克（英语：Andrew Booker (mathematician)）采用一种新方法发现了 n = 33 {\displaystyle n=33} 的一组解： 33 = 8866128975287528 3 + ( − 8778405442862239 ) 3 + ( − 2736111468807040 ) 3 {\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}} 此时，他在 min ( | x | , | y | , | z | ) < 10 16 {\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)<10^{16}} 的范围里尚没有找到 n = 42 {\displaystyle n=42} 的解。 随后在2019年9月，布克和安德鲁·萨瑟兰（英语：Andrew Sutherland (mathematician)）最终敲定了42的一个解，并在MIT数学系的网站上贴了出来： 42 = ( − 80538738812075974 ) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 {\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}} 这个解的获得在Charity Engine全球网络（Charity Engine's global grid）上耗费了130万机时。 至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解。截至2019年9月 (2019-09)[update]，未能求解最小整数是 n = 114 {\displaystyle n=114} ，如果有解的話， ( | x | , | y | , | z | ) {\displaystyle (|x|,|y|,|z|)} 至少有一數大於100000000000。 在2021年1月初，又解決了579： 579 = 143075750505019222645 3 + ( − 143070303858622169975 ) 3 + ( − 6941531883806363291 ) 3 {\displaystyle 579=143075750505019222645^{3}+(-143070303858622169975)^{3}+(-6941531883806363291)^{3}} 至此，仅剩的未解決的在1000以內的整数是114、390、627、633、732、921和975，一共有7個。 流行文化中，42被称生命、宇宙以及任何事情的终极答案，萨瑟兰在页面的标题提到了这个典故：Life, The Universe, and Everything Machis, Yu. 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