拉姆齐定理

在組合數學上，拉姆齐定理（英語：Ramsey's theorem），又称拉姆齐二染色定理，斷言對任意正整數 k {\displaystyle k} 和 l {\displaystyle l} ，若一個聚會的人數 n {\displaystyle n} 足夠大，則無論相识關係如何，必定有 k {\displaystyle k} 个人相识或 l {\displaystyle l} 个人互不相识。給定 k , l {\displaystyle k,l} 時，保證前述結論的最小 n {\displaystyle n} 值稱為拉姆齊數 R ( k , l ) {\displaystyle R(k,l)} ，其值取決於 k , l {\displaystyle k,l} 。用圖論術語複述：若將足夠大的完全圖各邊染紅藍兩色，則不論如何染，必定有紅色的 k {\displaystyle k} 階完全圖或藍色的 l {\displaystyle l} 階完全圖。 拉姆齊定理是組合數學的重要結論，以弗兰克·普伦普顿·拉姆齐命名。他在1930年論文《論形式邏輯的一個問題》證明此定理最初的版本，開創現稱拉姆齊理論的組合理論分支。拉姆齊理論的主題是從「無序」尋找「規律」，希望找出某數學結構中，存在規律子結構的一般條件。在拉姆齊定理的圖論表述中，此「規律子結構」是同色集（monochromatic set），即頂點集的子集，其中各邊皆染成同一顏色。 拉姆齊定理不止一條，前述版本的若干引伸仍稱拉姆齊定理。例如，可以將二染色推廣至更多種色，此時定理斷言：對任意色數 c {\displaystyle c} ，和任意正整數 n 1 , n 2 , … , n c {\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{c}} ，必有某數 R ( n 1 , … , n c ) {\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c})} ，使 R ( n 1 , … , n c ) {\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c})} 階的完全圖各邊不論如何染 c {\displaystyle c} 色，仍必可找到某 i {\displaystyle i} （介於 1 {\displaystyle 1} 至 c {\displaystyle c} ）和某 n i {\displaystyle n_{i}} 階完全子圖，其各邊皆染第 i {\displaystyle i} 色。可見拉姆齐二染色定理是 c = 2 {\displaystyle c=2} 的特例（同時取 n 1 = k , n 2 = l {\displaystyle n_{1}=k,n_{2}=l} ）。 在6個頂點的完全圖 K 6 {\displaystyle K_{6}} 內，每邊塗上紅或藍色。欲證必然有一個紅色的三角形或藍色的三角形。 任意選取一個端點 P {\displaystyle P} ，它有5條邊和其他端點相連。 根據鴿巢原理，5條邊染兩種顏色，至少有3邊顏色相同，不失一般性設這種顏色是紅色，又設該三邊為 P A , P B , P C {\displaystyle PA,PB,PC} 。 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 三個頂點，互相連結的邊有 A B , B C , C A {\displaystyle AB,BC,CA} 三條。 若這3條邊中任何一條是紅色，這條邊的兩個端點和 P {\displaystyle P} 便組成一個紅色三角形。 若這3條邊中沒有紅邊，則都是藍色，因此， A B C {\displaystyle ABC} 是藍色三角形。 以上論證對一切染色法都適用，所以 K 6 {\displaystyle K_{6}} 的任何二染色皆有同色 K 3 {\displaystyle K_{3}} ，換言之 R ( 3 , 3 ) ≤ 6 {\displaystyle R(3,3)\leq 6} 。这个定理的通俗版本稱為朋友與陌路人定理。 另一種證法是算兩次：考慮「異色角」的數目，即滿足 x y {\displaystyle xy} 為紅而 y z {\displaystyle yz} 為藍的有序三頂點組 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} 的個數。若先固定中間的頂點 y {\displaystyle y} ，則對應三元組的數目可能是 0 × 5 = 0 {\displaystyle 0\times 5=0} （若其全部邊染同色）； 1 × 4 = 4 {\displaystyle 1\times 4=4} （若有四邊染某色，另一邊不同色）；或 2 × 3 = 6 {\displaystyle 2\times 3=6} （若有三邊染某色，另兩邊染另一色）。 所以，至多是 6 {\displaystyle 6} ，而 y {\displaystyle y} 本身有6種可能，異色角的總數至多是 6 × 6 = 36 {\displaystyle 6\times 6=36} 。但是，對於三邊不完全同色的三角形，恰好有兩隻異色角，所以，至多有 18 {\displaystyle 18} 個異色三角形。考慮到6個頂點組成 ( 6 3 ) = 20 {\displaystyle {\binom {6}{3}}=20} 個三角形，至少有兩個是同色三角形，再次得到 R ( 3 , 3 ) ≤ 6 {\displaystyle R(3,3)\leq 6} 的結論。 反之，將 K 5 {\displaystyle K_{5}} 二染色，不一定有同色的三角形。此構造在同構意義下唯一，如下圖所示：將五個頂點排成一圈，每個端點和毗鄰的兩個端點之間的連線染紅色，與其餘兩個端點的連線染藍色，則不產生同色三角形。所以， R ( 3 , 3 ) = 6 {\displaystyle R(3,3)=6} 。 1953年普特南數學競賽考過 R ( 3 , 3 ) ≤ 6 {\displaystyle R(3,3)\leq 6} 。1947年匈牙利屈爾沙克·約瑟夫數學比賽（匈牙利語：Kürschák József Matematikai Tanulóverseny）亦然。 僅有兩種方法將16個頂點之間的邊染三種顏色而無同色三角形 無扭的 有扭的 多色拉姆齊數就是用三種或更多顏色的拉姆齊數。若不考慮對稱的情況，僅有兩個非平凡的多色拉姆齊數為已知： R ( 3 , 3 , 3 ) = 17 {\displaystyle R(3,3,3)=17} 和 R ( 3 , 3 , 4 ) = 30 {\displaystyle R(3,3,4)=30} 。 設將某完全圖的邊染紅綠藍三色，而無同色三角形。選任一頂點 v {\displaystyle v} ，考慮以紅邊與 v {\displaystyle v} 相連的各點，組成 v {\displaystyle v} 的「紅鄰域」。紅鄰域之內不能再有任何紅邊，否則該紅邊與 v {\displaystyle v} 一同組成紅色三角形。所以紅鄰域內的邊衹用藍綠兩色。由上節 R ( 3 , 3 ) = 6 {\displaystyle R(3,3)=6} ， v {\displaystyle v} 的紅鄰域最多衹有5個頂點，否則有藍或綠的同色三角形。同理， v {\displaystyle v} 的綠鄰域和藍鄰域，各有至多5個頂點，但圖中每個頂點，或為 v {\displaystyle v} 本身，或屬 v {\displaystyle v} 的某色鄰域，所以全圖至多 1 + 5 + 5 + 5 = 16 {\displaystyle 1+5+5+5=16} 個頂點。故 R ( 3 , 3 , 3 ) ≤ 17 {\displaystyle R(3,3,3)\leq 17} 。 欲證 R ( 3 , 3 , 3 ) = 17 {\displaystyle R(3,3,3)=17} ，現需用三種顏色畫出16個頂點的完全圖，而不產生同色三角形。若不辨同構之異，則恰有兩種畫法，分別稱為「無扭」（untwisted）和「有扭」（twisted）染法，見上圖。 K 16 {\displaystyle K_{16}} 的有扭或無扭染色中，選任一顏色，該色邊組成的子圖都是克萊布殊圖（英语：Clebsch graph）。 對較少頂點的完全圖，已知 K 15 {\displaystyle K_{15}} 亦衹得兩種染三色的方法無同色三角形，分別來自 K 16 {\displaystyle K_{16}} 的兩種染法，刪去任意一個頂點。 K 14 {\displaystyle K_{14}} 則有115種方法染三色而無同色三角形，但此數不僅不辨圖同構（頂點的置換），還不辨顏色的置換。 拉姆齐数，用图论的语言有两种描述： 对于所有的N顶图，包含k个顶的团或l个顶的独立集。具有这样性质的最小自然数N就称为一个拉姆齐数，记作R(k,l)； 在着色理论中是这样描述的：对于完全圖 K n {\displaystyle K_{n}} 的任意一个2边着色 ( e 1 , e 2 ) {\displaystyle (e_{1},e_{2})} ，使得 K n [ e 1 ] {\displaystyle K_{n}[e_{1}]} 中含有一個k阶子完全图， K n [ e 2 ] {\displaystyle K_{n}[e_{2}]} 含有一個l阶子完全图，则称满足这个条件的最小的n为一个拉姆齐数。（注意： K i {\displaystyle K_{i}} 按照图论的记法表示i阶完全图） 拉姆齐证明，对与给定的正整數数k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。 拉姆齐數亦可推廣到多於兩個數： 对于完全圖 K n {\displaystyle K_{n}} 的每條邊都任意塗上r種顏色之一，分別記為 e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e r {\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3},...,e_{r}} ，在 K n {\displaystyle K_{n}} 中，必定有個顏色為 e 1 {\displaystyle e_{1}} 的 l 1 {\displaystyle l_{1}} 阶子完全图，或有個顏色為 e 2 {\displaystyle e_{2}} 的 l 2 {\displaystyle l_{2}} 阶子完全图……或有個顏色為 e r {\displaystyle e_{r}} 的 l r {\displaystyle l_{r}} 阶子完全图。符合條件又最少的數n則記為 R ( l 1 , l 2 , l 3 , . . . , l r ) {\displaystyle R(l_{1},l_{2},l_{3},...,l_{r})} 。 已知的拉姆齐數非常少，保羅·艾狄胥曾以一個譬喻來描述尋找拉姆齐數的難度：「想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若他們要求的是R(6,6)的值，我們要嘗試毀滅這班外星人了。」[來源請求] 顯然易見的公式： R(0,s)=0， R(1,s)=1， R(2,s)=s， R ( l 1 , l 2 , l 3 , . . . , l r ) = R ( l 2 , l 1 , l 3 , . . . , l r ) = R ( l 3 , l 1 , l 2 , . . . , l r ) {\displaystyle \mathrm {R} (l_{1},l_{2},l_{3},...,l_{r})=R(l_{2},l_{1},l_{3},...,l_{r})=R(l_{3},l_{1},l_{2},...,l_{r})} （將 l i {\displaystyle l_{i}} 的順序改變並不改變拉姆齐的數值）。 組合電子期刊（英语：Electronic Journal of Combinatorics）有不定期更新的動態綜述，介紹拉姆齊數的研究成果。 拉姆齊數滿足不等式 R ( r , s ) ≤ R ( r − 1 , s ) + R ( r , s − 1 ) {\displaystyle R(r,s)\leq R(r-1,s)+R(r,s-1)} 。由此，利用數學歸納法，可以證明 R ( r , s ) ≤ ( r + s − 2 r − 1 ) . {\displaystyle R(r,s)\leq {\binom {r+s-2}{r-1}}.} 上述結果歸功於艾狄胥和塞凱賴什。當 r = s {\displaystyle r=s} 時，用史特靈公式化成： R ( s , s ) ≤ [ 1 + o ( 1 ) ] 4 s − 1 π s , {\displaystyle R(s,s)\leq [1+o(1)]{\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}},} 其中誤差項o (1)，當 s {\displaystyle s} 趨向於無窮時，趨向 0 {\displaystyle 0} 。 下界方面，1947年艾狄胥首創概率法（英语：Probabilistic method），證明 R ( s , s ) ≥ [ 1 + o ( 1 ) ] s 2 e 2 s / 2 . {\displaystyle R(s,s)\geq [1+o(1)]{\frac {s}{{\sqrt {2}}e}}2^{s/2}.} 雖然上下界皆是指數形式，但兩者底數不同，實際大小相差甚遠，如 s = 10 {\displaystyle s=10} 時，給出的界是 101 ≤ R ( 10 , 10 ) ≤ 48620 {\displaystyle 101\leq R(10,10)\leq 48620} 。不過，截至2021年，上下界的底數仍毫無改進，依舊是 4 {\displaystyle 4} 和 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，僅有較低階項的改進。而且，下界依賴非構造性的概率方法，未有任何確切構造能給出指數下界。暫時所知最佳結果為： [ 1 + o ( 1 ) ] 2 s e 2 s 2 ≤ R ( s , s ) ≤ s − ( c log ⁡ s ) / ( log ⁡ log ⁡ s ) 4 s , {\displaystyle [1+o(1)]{\frac {{\sqrt {2}}s}{e}}2^{\frac {s}{2}}\leq R(s,s)\leq s^{-(c\log s)/(\log \log s)}4^{s},} 分別為斯賓塞（英语：Joel Spencer）和康倫（英语：David Conlon）所證。 至於非對角拉姆齊數 R ( 3 , t ) {\displaystyle R(3,t)} ，已知其增長級別為 t 2 log ⁡ t {\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{\log t}}} ；等價說法是， n {\displaystyle n} 個頂點且無三角形（英语：triangle-free graph）的圖 G {\displaystyle G} ，獨立數 α ( G ) {\displaystyle \alpha (G)} 的最小值用大Θ符號表示成 Θ ( n log ⁡ n ) . {\displaystyle \Theta \left({\sqrt {n\log n}}\right).} R ( 3 , t ) {\displaystyle R(3,t)} 的上界由奧伊陶伊（英语：Miklós Ajtai）、科姆洛什（英语：János Komlós (mathematician)）、塞迈雷迪證出，而 t 2 log ⁡ t {\displaystyle {\tfrac {t^{2}}{\log t}}} 級的下界原先由金正翰（英语：Jeong Han Kim）（音譯）證明，其後格里菲斯、莫里斯（英语：Robert Morris (mathematician)）、菲斯·庞蒂韦罗斯三人和波曼（英语：Tom Bohman）、基瓦什（英语：Peter Keevash）兩人藉分析「無三角形過程」，分別將下界獨立改進至 ( 1 4 − o ( 1 ) ) k 2 log ⁡ k . {\displaystyle \left({\frac {1}{4}}-o(1)\right){\frac {k^{2}}{\log k}}.} 一般的非對角拉姆齊數 R ( s , t ) {\displaystyle R(s,t)} ，當 s {\displaystyle s} 固定而 t {\displaystyle t} 增大時，已知最優的上下界為 c s ′ t s + 1 2 ( log ⁡ t ) s + 1 2 − 1 s − 2 ≤ R ( s , t ) ≤ c s t s − 1 ( log ⁡ t ) s − 2 , {\displaystyle c'_{s}{\frac {t^{\frac {s+1}{2}}}{(\log t)^{{\frac {s+1}{2}}-{\frac {1}{s-2}}}}}\leq R(s,t)\leq c_{s}{\frac {t^{s-1}}{(\log t)^{s-2}}},} 分別歸功於波曼、基瓦什兩人和奧伊陶伊、科姆洛什、塞迈雷迪三人。 本定理可引伸適用於無窮圖，同樣稱為拉姆齊定理。與有限圖的拉姆齊定理相提並論時，或稱無窮拉姆齊定理（Infinite Ramsey theorem）以作區分。 設 X {\displaystyle X} 為無窮集，以 X ( 2 ) {\displaystyle X^{(2)}} 表示其兩兩所連邊的集合（即 X {\displaystyle X} 全體二元子集組成的族），每邊染成 c {\displaystyle c} 色之一。則存在同色無窮階完全圖，即有無窮子集 M ⊆ X {\displaystyle M\subseteq X} ，其邊集 M ( 2 ) {\displaystyle M^{(2)}} 同色。 證明：取任一 x 1 ∈ X {\displaystyle x_{1}\in X} 。自 x 1 {\displaystyle x_{1}} 引出無窮多條邊，必有某色 c 1 {\displaystyle c_{1}} 出現無窮多次。記 X 1 ⊆ X ∖ { x 1 } {\displaystyle X_{1}\subseteq X\setminus \{x_{1}\}} 為該些邊另一端點的集合。又取任一 x 2 ∈ X 1 {\displaystyle x_{2}\in X_{1}} ，同樣自 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有無窮多條邊引至 X 1 ∖ { x 2 } {\displaystyle X_{1}\setminus \{x_{2}\}} ，故必有某色 c 2 {\displaystyle c_{2}} 及無窮子集 X 2 ⊆ X 1 ∖ { x 2 } {\displaystyle X_{2}\subseteq X_{1}\setminus \{x_{2}\}} ，使 x 2 {\displaystyle x_{2}} 引至 X 2 {\displaystyle X_{2}} 的各邊皆染 c 2 {\displaystyle c_{2}} 色。 餘可類推，得到一列互異的元素 x 1 , x 2 , … ∈ X {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X} 及一列顏色 c 1 , c 2 , … {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots } 。由於僅得有限多種色，必有顏色出現無窮多次，即有 c i 1 = c i 2 = ⋯ {\displaystyle c_{i_{1}}=c_{i_{2}}=\cdots } 對於無窮序列 i 1 < i 2 < ⋯ {\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots } 成立。此時，有 M = { x i 1 , x i 2 , x i 3 , … } {\displaystyle M=\{x_{i_{1}},x_{i_{2}},x_{i_{3}},\ldots \}} 為無窮子集，且其元素兩兩連邊同色（因為邊 x i a x i b {\displaystyle x_{i_{a}}x_{i_{b}}} 所染為 c i a {\displaystyle c_{i_{a}}} 色），證畢。 本定理對於超圖（即 X ( 2 ) {\displaystyle X^{(2)}} 換成 X ( r ) {\displaystyle X^{(r)}} ）亦成立。 關於無窮圖的二染色，艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem）是較強的結果，但其中兩種顏色不對等。定理斷言，任意無窮圖（頂點數不必可數）的邊若染紅藍兩色，則或有可數無窮大的紅色完全子圖，或有與原圖同樣大的藍色完全子圖。 運用反證法，可以證明無窮拉姆齊定理推出有限拉姆齊定理。 反設有限拉姆齊定理不成立，即某個拉姆齊數不存在，則有整數 c {\displaystyle c} 和 T {\displaystyle T} 滿足：對任意正整數 k {\displaystyle k} ，完全圖 [ k ] ( 2 ) {\displaystyle [k]^{(2)}} 皆有某種染 c {\displaystyle c} 色的方案，而不產生同色的 T {\displaystyle T} 元子集。以 C k {\displaystyle C_{k}} 表示此種方案的集合。 對任意 k {\displaystyle k} ，可將 C k + 1 {\displaystyle C_{k+1}} 中任意一種染色限制到子圖 [ k ] ( 2 ) {\displaystyle [k]^{(2)}} （即刪去頂點 k + 1 {\displaystyle k+1} ），不會額外產生同色的 T {\displaystyle T} 元子集，所以所得的染色仍在 C k {\displaystyle C_{k}} 中。 C k {\displaystyle C_{k}} 中，某些染色是以上述方式，由 C k + 1 {\displaystyle C_{k+1}} 的染色限制而成，此種染色構成 C k {\displaystyle C_{k}} 的子集，記為 C k 1 {\displaystyle C_{k}^{1}} 。由假設， C k + 1 {\displaystyle C_{k+1}} 非空，所以 C k 1 {\displaystyle C_{k}^{1}} 亦非空。 同樣， C k + 1 1 {\displaystyle C_{k+1}^{1}} 元素的限制必屬 C k 1 {\displaystyle C_{k}^{1}} ，故可定義 C k 2 {\displaystyle C_{k}^{2}} 為此種限制所得染色法的集合，其不為空。類推對所有正整數 m , k {\displaystyle m,k} 定義 C k m {\displaystyle C_{k}^{m}} 。 現對每個正整數 k {\displaystyle k} ，有 C k ⊇ C k 1 ⊇ C k 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle C_{k}\supseteq C_{k}^{1}\supseteq C_{k}^{2}\supseteq \cdots } ，且逐個集合非空。又 C k {\displaystyle C_{k}} 為有限集，因為由乘法原理，全體染色方案，不論是否有同色 T {\displaystyle T} 元集，總數是 c ( k 2 ) {\displaystyle c^{\binom {k}{2}}} 。由此，整個序列的交集 D k = C k ∩ C k 1 ∩ C k 2 ∩ ⋯ {\displaystyle D_{k}=C_{k}\cap C_{k}^{1}\cap C_{k}^{2}\cap \cdots } 非空。又每個 C k i {\displaystyle C_{k}^{i}} 的元素來自 C k + 1 i − 1 {\displaystyle C_{k+1}^{i-1}} 某元素的限制，可知 D k {\displaystyle D_{k}} 每個元素都來自 D k + 1 {\displaystyle D_{k+1}} 元素的限制，從而由 D k {\displaystyle D_{k}} 的染色出發，可以延拓成 D k + 1 {\displaystyle D_{k+1}} 的染色，並可重複，直至得到無窮圖 N ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {N} ^{(2)}} 的染色，而無同色 T {\displaystyle T} 元集，與無窮拉姆齊定理矛盾。 以拓撲學觀之，此為標準的緊論證（compactness argument），相當於考慮全體染色的拓撲空間 [ c ] ( N 2 ) {\displaystyle [c]^{\binom {\mathbb {N} }{2}}} ，而由吉洪諾夫定理，其為若干個有限（從而緊）空間 [ c ] {\displaystyle [c]} 之積，所以仍為緊。而條件「在子圖 [ k ] ( 2 ) {\displaystyle [k]^{(2)}} 上不產生同色 T {\displaystyle T} 元集」，描述該空間的一個閉開集，所以有限交非空推出全體交非空。 定理亦可推廣至超图。一個 m {\displaystyle m} 均勻超圖（或 m {\displaystyle m} 超圖）就是將圖的邊由二元子集換成 m {\displaystyle m} 元子集。超圖拉姆齊定理敍述如下： 對任意正整數 m {\displaystyle m} 和 c {\displaystyle c} ，以及任意正整數 n 1 , n 2 , … , n c {\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{c}} ，存在拉姆齊數 R ( n 1 , … , n c ; c , m ) {\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c};c,m)} ，使得 R ( n 1 , … , n c ; c , m ) {\displaystyle R(n_{1},\ldots ,n_{c};c,m)} 階完全 m {\displaystyle m} 超圖的各邊，不論如何染 c {\displaystyle c} 種色，必存在 i {\displaystyle i} 令圖中可找出某個衹染 i {\displaystyle i} 色的 n i {\displaystyle n_{i}} 階完全 m {\displaystyle m} 超圖。 此定理一般對 m {\displaystyle m} 歸納證出， m = 2 {\displaystyle m=2} 的初始情況正如前文。 亦可定義有向圖的拉姆齊數，最早由P. Erdős and L. Moser （1964）提出。設 R ( n ) {\displaystyle R(n)} 為最小的正整數 Q {\displaystyle Q} ，使得 Q {\displaystyle Q} 階完全圖中，若為每邊賦兩種定向之一（所得有向圖稱為循環賽圖（英语：tournament (graph theory)）），則必有無圈的 n {\displaystyle n} 階循環賽圖 。 此前 R ( n , n ; 2 ) {\displaystyle R(n,n;2)} 定義為保證 Z {\displaystyle Z} 階完全無向圖染兩色會有同色完全 n {\displaystyle n} 階子圖的最小 Z {\displaystyle Z} 值，可見 R ( n ) {\displaystyle R(n)} 是 R ( n , n ; 2 ) {\displaystyle R(n,n;2)} 的有向類比：兩種顏色現換成邊的兩種方向，而「同色」換成「全部邊方向統一」（所以無圈）。 已知 R ( 0 ) = 0 {\displaystyle R(0)=0} ， R ( 1 ) = 1 {\displaystyle R(1)=1} ， R ( 2 ) = 2 {\displaystyle R(2)=2} ， R ( 3 ) = 4 {\displaystyle R(3)=4} ， R ( 4 ) = 8 {\displaystyle R(4)=8} ， R ( 5 ) = 14 {\displaystyle R(5)=14} ， R ( 6 ) = 28 {\displaystyle R(6)=28} ， 34 ≤ R ( 7 ) ≤ 47 {\displaystyle 34\leq R(7)\leq 47} 。 有些作者如(Brualdi 2010)及(Harary 1972)要求 k , l > 1 {\displaystyle k,l>1} ，以免對單一頂點（從而無邊）的圖的邊染色。亦有(Gross 2008)和(Erdős & Szekeres 1935)等作者將兩種色換成有邊與否，從而定理敍述變成：在足夠大的簡單圖中，必有 r {\displaystyle r} 團或 s {\displaystyle s} 獨立集。此形式下或可更自然地考慮單頂點的圖。 意即多項式時間算法的輸出結果。 為方便起見，頂點集設為 [ k ] = { 1 , 2 , 3 , … , k } {\displaystyle [k]=\{1,2,3,\ldots ,k\}} 。 考慮元素個數的最小值為何。 又稱遞移（transitive）循環賽圖。 Ramsey, F. 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