一致有界性原理

數學上，一致有界性原理，又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理、共鸣定理，是泛函分析的重要結果。定理斷言，對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子，該族算子逐點有界，當且僅當其在算子范数意義下一致有界。 定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯（英语：Hugo Steinhaus）於1927年發表，亦由漢斯·哈恩獨立證出。 設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ，都有 sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,} 則 sup T ∈ F , ‖ x ‖ = 1 ‖ T ( x ) ‖ Y = sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .} 由於 X 完備，利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。 假定對於 X 中的任意一個 x, 都有 sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .} 對任意整數 n ∈ N , {\displaystyle n\in \mathbb {N} ,} 記 X n = { x ∈ X   :   sup T ∈ F ‖ T ( x ) ‖ Y ≤ n } . {\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.} 則 X n {\displaystyle X_{n}} 為閉集，且由假設有 ⋃ n ∈ N X n = X ≠ ∅ . {\displaystyle \bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .} 貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得 X m {\displaystyle X_{m}} 的內部非空，即存在 x 0 ∈ X m {\displaystyle x_{0}\in X_{m}} 和 ε > 0 使得 B ε ( x 0 ) ¯ := { x ∈ X : ‖ x − x 0 ‖ ≤ ε } ⊆ X m . {\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.} 設 u ∈ X 滿足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 則有： ‖ T ( u ) ‖ Y = ε − 1 ‖ T ( x 0 + ε u ) − T ( x 0 ) ‖ Y [ T  為 線 性  ] ≤ ε − 1 ( ‖ T ( x 0 + ε u ) ‖ Y + ‖ T ( x 0 ) ‖ Y ) ≤ ε − 1 ( m + m ) . [  因 為    x 0 + ε u ,   x 0 ∈ X m ] {\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}} 使 u 歷遍 X 的單位球，並取遍 T ∈ F , {\displaystyle T\in F,} 得到 sup T ∈ F ‖ T ‖ B ( X , Y ) ≤ 2 ε − 1 m < ∞ . {\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .} 因此定理成立。 也有無需貝爾綱定理的簡單證明，例如 (Sokal 2011). 該定理可以推出：若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂，即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂，則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T. 注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即：在有界集上一致收斂。然而，由於 (Tn) 在算子範數意義下有界，且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明，在任意緊集上，均有 Tn 一致收斂到 T. 另一推論為：賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。 理由是，可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶）上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理，S 的元素（視為 X 的線性泛函）的算子範數（即雙對偶 Y** 上的範數）有界，但由哈恩－巴拿赫定理可知，S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數，等於其於原空間 Y 的範數。 記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間（賦以算子範數）。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集，則由一致有界性原理，有： R = { x ∈ X   :   sup T ∈ F ‖ T x ‖ Y = ∞ } ≠ ∅ {\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing } 更甚者，R 在 X 中稠密。原因是，R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程，每個 Xn 都无处稠密，故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義，這樣的集（稱為剩餘集）是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理，即： 若 X 為巴拿赫空間，{Yn} 為一系列賦範空間，Fn 為 L(X, Yn) 的無界子集，則集合 R = { x ∈ X   :   ∀ n ∈ N , sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n = ∞ } {\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \forall n\in \mathbf {N} ,\;\sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}=\infty \right\}} 為第二綱集，因此在 X 中稠密。 原因是，R 的補集可以寫成第一綱集的可數並 ⋃ n , m { x ∈ X   :   sup T ∈ F n ‖ T x ‖ Y n ≤ m } . {\displaystyle \bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.} 因此其剩餘集 R 稠密。 設 T {\displaystyle \mathbb {T} } 為單位圓， C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 為 T {\displaystyle \mathbb {T} } 上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理，可以證明 C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中有一個元素，其傅立葉級數不逐點收斂。 對 f ∈ C ( T ) , {\displaystyle f\in C(\mathbb {T} ),} 其傅立葉級數定義為 ∑ k ∈ Z f ^ ( k ) e i k x = ∑ k ∈ Z 1 2 π ( ∫ 0 2 π f ( t ) e − i k t d t ) e i k x , {\displaystyle \sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},} 而級數的第 N 階對稱部分和為 S N ( f ) ( x ) = ∑ k = − N N f ^ ( k ) e i k x = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( t ) D N ( x − t ) d t , {\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,} 其中 DN 為第 N 階狄利克雷核。選定 x ∈ T , {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,} 然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函 φ N , x : C ( T ) → C {\displaystyle \varphi _{N,x}:C(\mathbb {T} )\rightarrow \mathbb {C} } ： φ N , x ( f ) = S N ( f ) ( x ) , f ∈ C ( T ) , {\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),} 則 φN,x 有界。而 φN,x 於 C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 的對偶空間的範數，是帶號測度（英语：Signed measure） (2π)−1DN(x−t) dt 的範數，故 ‖ φ N , x ‖ = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( x − t ) | d t = 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( s ) | d s = ‖ D N ‖ L 1 ( T ) . {\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.} 可以驗證 1 2 π ∫ 0 2 π | D N ( t ) | d t ≥ 1 2 π ∫ 0 2 π | sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) | t / 2 d t → ∞ . {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .} 故族 {φN,x} 是 C ( T ) ∗ {\displaystyle C(\mathbb {T} )^{\ast }} ( C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 的對偶）的無界子集。因此，由一致有界性原理可知，對任意 x ∈ T , {\displaystyle x\in \mathbb {T} ,} 傅立葉級數於 x 發散的連續函數在 C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中稠密。 也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為 T {\displaystyle \mathbb {T} } 中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理，傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在 C ( T ) {\displaystyle C(\mathbb {T} )} 中稠密。（然而要注意，根據卡爾松定理（英语：Carleson's theorem），一個連續函數 f 的傅立葉級數，幾乎於每一點 x ∈ T {\displaystyle x\in \mathbb {T} } 都收斂到 f(x). 受最少限制，而類似結論仍然適用的空間，是桶型空間（英语：Barrelled space）。其上的一致有界性原理為(Bourbaki 1987，Theorem III.2.1): 給定桶型空間 X 和局部凸空間（英语：locally convex space）Y, 則任意一族由 X 映向 Y 的逐點有界的连续线性算子都等度连续。 若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的，則結論同樣成立。(Shtern 2001) harv error: no target: CITEREFShtern2001 (help) Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間（英语：Fréchet space）上一個較弱的結論： 若 X 為 Fréchet 空間， Y 為賦範空間，H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合，其滿足對 X 中的任意元素 x， sup u ∈ H ‖ u ( x ) ‖ < ∞ , {\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,} 則族 H 等度連續。 桶型空間（英语：Barrelled space）是具有最少條件，而使巴拿赫–斯坦豪斯定理成立的拓撲向量空間。 张鸿林; 葛显良. 英汉数学词汇. 清华大学出版社. 2005: 53 [2022-07-23]. ISBN 9787302098935. （原始内容存档于2022-07-23）. Banach–Steinhaus theorem 巴拿赫-斯坦豪斯定理  Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae（英语：Fundamenta Mathematicae）, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], （原始内容存档 (PDF)于2019-05-01） . （法文） Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6  Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 . Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 . Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 . Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585 , doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 . 泛函分析中的定理 阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 閉圖像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理