Σ-代数

在數學中，某個集合 X 上的 σ-代数（英語：σ-algebra）又叫 σ-域（英語：σ-field），是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性（因此对于可數個交集运算也是封闭的）。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。 σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。 σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。 测度是给 X {\displaystyle X} 的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。 定義 —  X {\displaystyle X} 為一集合，假設有子集族 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} （ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 代表 X {\displaystyle X} 的冪集）滿足下列條件 X ∈ F {\displaystyle X\in {\mathcal {F}}} ( ∀ A ∈ F ) { ( A ∈ F ) ⇒ [ ( X − A ) ∈ F ] } {\displaystyle (\forall A\in {\mathcal {F}})\left\{(A\in {\mathcal {F}})\Rightarrow [(X-A)\in {\mathcal {F}}]\right\}} ( ∀ A ) { [ ( A ≅ N ) ∧ ( A ⊆ F ) ] ⇒ ( ⋃ A ∈ F ) } {\displaystyle (\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}} 則稱 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是 X {\displaystyle X} 的一個 σ-代數。 注意到定義第3條的 A ≅ N {\displaystyle {\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} } ，意思是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 和自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 等势，直觀的意思就是 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 裡的元素跟自然數一樣多。 以上定義的直觀意義為：一群 X {\displaystyle X} 的子集合所組成的集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ，为 X {\displaystyle X} 上的一个 σ-代数意思是滿足： X {\displaystyle X} 本身就是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的元素； 如果集合 A {\displaystyle A} 在 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中，那么它的补集 X − A {\displaystyle X-A} 也在 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中； 如果有可數个集合 A 1 , A 2 , ⋯ {\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots } 都在 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中，那么它们的聯集也在 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中。 在測度論裡有序对 ( X , F ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)} 會被称为一个可测空间。而任何在 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中的子集 A {\displaystyle A} ，則称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 被稱為事件族（family of events）， F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中的子集 A {\displaystyle A} 則称为事件。 X {\displaystyle X} 上最小的σ-代数是 { ∅ , X } {\displaystyle \{\varnothing ,X\}} 。 X {\displaystyle X} 上最大的σ-代数是 X {\displaystyle X} 的冪集 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} （也就是所有 X {\displaystyle X} 的子集合所組成的集合） 定理 —  設 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個子集族，則： σ ( F ) := ⋂ { Σ | ( Σ  is a sigma algebra of  X ) ∧ ( F ⊆ Σ ) } {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}} 也是 X {\displaystyle X} 的σ代数。 根據以上的定理，可以做以下的定義： 定義 —  F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 是 X {\displaystyle X} 的一個子集族，則： σ ( F ) := ⋂ { Σ | ( Σ  is a sigma algebra of  X ) ∧ ( F ⊆ Σ ) } {\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}} 稱為包含 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的最小σ-代数。 设集合 X = { a , b , c , d } {\displaystyle X=\{a,b,c,d\}} ，那么 σ ( { { a } } ) = { ∅ , { a } , { b , c , d } , X } {\displaystyle \sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}} 是集合 X {\displaystyle X} 上含有 { a } {\displaystyle \{a\}} 的σ-代数中最「小」的一个。 σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、聯集、差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。 Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ，第28页 Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ，第45-46页