安培力定律

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在靜磁學裏，安培力定律專門描述兩條載流導線相互作用的吸引力或排斥力，又稱為安培力，是由載流導線的電流所產生的磁場（根據必歐-沙伐定律），與對方的移動電荷的速度耦合而形成的勞侖茲力。安培力定律是因安德烈-馬里·安培而命名。 設定兩條細直、無限長、固定的、相互平行的載流導線，則在自由空間內，任意一條導線施加於對方的每單位長度作用力 f m {\displaystyle f_{m}\,\!} 是 f m = μ 0 I 1 I 2 2 π r {\displaystyle f_{m}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi r}}\,\!} ； 其中， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 是真空磁導率， I 1 {\displaystyle I_{1}\,\!} 、 I 2 {\displaystyle I_{2}\,\!} 分別是流動於兩條導線的電流， r {\displaystyle r\,\!} 是兩條導線之間的垂直距離。 採用國際單位制， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,\!} 值定義為 μ 0   = d e f   4 π × 10 − 7   {\displaystyle \mu _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 4\pi \times 10^{-7}\ \,\!} 牛頓 / (安培)2。 假設每一條導線都載有 1 {\displaystyle 1\,\!} 安培，兩條導線相隔 1 {\displaystyle 1\,\!} 公尺，則作用於每一條導線的每單位長度的磁力為 2 × 10−7 牛頓／公尺。 更一般性的，能夠適用於更多案例的方程式，可以用二重線積分來表達 ： F 12 = μ 0 I 1 I 2 4 π ∫ C 1 ∫ C 2 d ℓ 2   ×   ( d ℓ 1   ×   r ^ 12 ) r 12 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!} ； 其中， F 12 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}\,\!} 是導線 1 施加於導線 2 的作用力， I 1 {\displaystyle I_{1}\,\!} 和 I 2 {\displaystyle I_{2}\,\!} 分別是流動於導線 1 和導線 2 的電流， C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!} 和 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!} 分別是導線 1 和導線 2 的線積分路徑， d ℓ 1 {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!} 和 d ℓ 2 {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!} 分別是 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\,\!} 和 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\,\!} 的微小線元素， r 12 {\displaystyle \mathbf {r} _{12}\,\!} 是從 ℓ 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{1}\,\!} 指向 ℓ 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!} 的向量， r 12 {\displaystyle r_{12}\,\!} 是其大小， r ^ 12 {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{12}\,\!} 是其單位向量。 根據必歐-沙伐定律，導線 1 的磁場在微小線元素 d ℓ 2 {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!} 位置是 B 1 = μ 0 I 1 4 π ∫ C 1   d ℓ 1   × r ^ 12 r 12 2 {\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\frac {\mu _{0}I_{1}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\ {\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times {\hat {\mathbf {r} }}_{12}}{r_{12}^{2}}}\,\!} 。 根據勞侖茲力定律，作用於微小線元素位置 d ℓ 2 {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\,\!} 的勞侖茲力遵守以下方程式 d F = d q ( E + v × B ) {\displaystyle d\mathbf {F} =dq(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\,\!}  ; 其中， d q {\displaystyle dq\,\!} 是微小電荷， E {\displaystyle \mathbf {E} \,\!} 是電場。 在這裡，電場等於零。所以， d F 12 = I 2 d ℓ 2 × B 1 {\displaystyle d\mathbf {F} _{12}=I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!} 。 表達為積分形式： F 12 = I 2 ∫ C 2   d ℓ 2 × B 1 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=I_{2}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}\ d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\times \mathbf {B} _{1}\,\!} 。 將磁場的公式帶入，可以得到 F 12 = μ 0 I 1 I 2 4 π ∫ C 1 ∫ C 2 d ℓ 2   ×   ( d ℓ 1   ×   r ^ 12 ) r 12 2 {\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{{\mathcal {C}}_{1}}\int _{{\mathcal {C}}_{2}}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \mathbf {\times } \ (d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{12})}{r_{12}^{2}}}\,\!} 。 赵凯华，陈熙谋. 新概念物理教程.电磁学 第二版. 高等教育出版社. 2006年12月: 134. ISBN 978-7-04-020202-1.  真空磁導率. 2006 CODATA recommended values. 美國國家標準與科技研究院. [2009-09-20]. （原始内容存档于2007-08-20）.  在設定標準單位的公文BIPM SI Units brochure, 8th Edition, p. 105 （页面存档备份，存于互联网档案馆）裏，採用這方程式內的被積分式來定義安培。 Tai L. Chow. Introduction to electromagnetic theory: a modern perspective. Boston: Jones and Bartlett. 2006: 153. ISBN 0763738271.  薩里大學的網頁：安培力定律 （页面存档备份，存于互联网档案馆），捲動至"Integral Equation"段落，那裏有關於方程式的解釋 薩里大學電機系網頁：安培力定律 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。網頁內有展示安培力動畫圖形