分離變數法

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以藉代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。 假若，一個常微分方程可以寫為 d d x f ( x ) = g ( x ) [ h ( f ( x ) ) ] {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)[h(f(x))]} 。 設定變數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 。那麼， d y d x = g ( x ) h ( y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)} ．(1) 只要是 h ( y ) ≠ 0 {\displaystyle h(y)\neq 0} ，就可以將方程式兩邊都除以 h ( y ) {\displaystyle h(y)} ，再都乘以 d x {\displaystyle dx} ： d y h ( y ) = g ( x ) d x {\displaystyle {dy \over h(y)}={g(x)dx}} 。 這樣，可以將兩個變數 x {\displaystyle x} ， y {\displaystyle y} 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k {\displaystyle k} 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程； ∫ d y h ( y ) = ∫ g ( x ) d x = k {\displaystyle \int {dy \over h(y)}=\int {g(x)dx}=k} 。 有些不喜歡用萊布尼茨標記（英语：Leibniz's notation）的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為 1 h ( y ) d y d x = g ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)} 。 這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？ 隨著 x {\displaystyle x} 積分公式的兩邊，可以得到 ∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx} 。(2) 應用换元积分法， ∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx} 。 假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。這在實例 (II)的解析裏會有更詳細的解釋， 常微分方程式 d d x f ( x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f(x)(1-f(x))} 可以寫為 d y d x = y ( 1 − y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)} ；(3) 其中， y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 。 設定 g ( x ) = 1 {\displaystyle g(x)=1} ， h ( y ) = y ( 1 − y ) {\displaystyle h(y)=y(1-y)} 。套用公式 (1) ，這常微分方程式是可分的。 進一步編排，則 d y y ( 1 − y ) = d x {\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx} 。 變數 x {\displaystyle x} ， y {\displaystyle y} 分別在公式的兩邊。將兩邊積分， ∫ d y y ( 1 − y ) = ∫ d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx} 。 積分的結果是 ln ⁡ | y | − ln ⁡ | 1 − y | = x + C {\displaystyle \ln |y|-\ln |1-y|=x+C} ； 其中， C {\displaystyle C} 是個積分常數。稍加運算，則可得 y = 1 1 + B e − x {\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}} 。 在這裏，檢查此解答的正確與否。計算導數 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 。答案應該與原本的問題相同。（必須仔細地計算絕對值。絕對符號內不同的正負值，分別地造成了 B {\displaystyle B} 的正值與負值。而當 y = 1 {\displaystyle y=1} 時， B = 0 {\displaystyle B=0} ）。 特別注意，由於將公式 (3) 的兩邊除以 y {\displaystyle y} 跟 ( 1 − y ) {\displaystyle (1-y)} ，必須檢查兩個函數 y ( x ) = 0 {\displaystyle y(x)=0} 與 y ( x ) = 1 {\displaystyle y(x)=1} 是否也是常微分方程式的解答（在這個例子裏，它們都是解答）。參閱奇異解（英语：singular solution） 。 人口數值的成長時常能夠用常微分方程來表達 d P d t = k P ( 1 − P K ) {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} ； 其中， P {\displaystyle P} 是人口數值函數， t {\displaystyle t} 是時間參數， k {\displaystyle k} 是成長的速率， K {\displaystyle K} 環境的容納能力。 將方程式的兩邊都除以 P ( 1 − P K ) {\displaystyle P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} ．再隨著時間 t {\displaystyle t} 積分， ∫ 1 P ( 1 − P K ) d p d t d t = ∫ k d t {\displaystyle \int {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}{\frac {dp}{dt}}\,dt=\int k\,dt} 。 應用换元积分法， ∫ d P P ( 1 − P K ) = ∫ k d t {\displaystyle \int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt} 。 稍微運算，則可得 P ( t ) = K 1 + A e − k t {\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}} ； 其中， A {\displaystyle A} 是常數。 給予一個 n {\displaystyle n} 元函數 F ( x 1 ,   x 2 ,   … ,   x n ) {\displaystyle F(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n})} 的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為 F = F 1 ( x 1 ) F 2 ( x 2 ) ⋯ F n ( x n ) {\displaystyle F=F_{1}(x_{1})F_{2}(x_{2})\cdots F_{n}(x_{n})} ， 或者 F = f 1 ( x 1 ) + f 2 ( x 2 ) + ⋯ + f n ( x n ) {\displaystyle F=f_{1}(x_{1})+f_{2}(x_{2})+\cdots +f_{n}(x_{n})} 。 時常，對於每一個自變量 x i {\displaystyle x_{i}} ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程 (separable partial differential equation)。 假若，函數 F ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle F(x,\ y,\ z)} 的偏微分方程為 ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y + ∂ F ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}+{\frac {\partial F}{\partial z}}=0} 。 猜想解答為 F ( x , y , z ) = X ( x ) + Y ( y ) + Z ( z ) {\displaystyle F(x,y,z)=X(x)+Y(y)+Z(z)} 。 那麼， d X d x + d Y d y + d Z d z = 0 {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}+{\frac {dY}{dy}}+{\frac {dZ}{dz}}=0} 。 因為 X ( x ) {\displaystyle X(x)} 只含有 x {\displaystyle x} 、 Y ( y ) {\displaystyle Y(y)} 只含有 y {\displaystyle y} 、 Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} 只含有 z {\displaystyle z} ，這三個函數的導數都分別必須等於常數。更明確地說，將一個偏微分方程改變為三個很簡單的常微分方程： d X d x = c 1 {\displaystyle {\frac {dX}{dx}}=c_{1}} 、 d Y d y = c 2 {\displaystyle {\frac {dY}{dy}}=c_{2}} 、 d Z d z = c 3 {\displaystyle {\frac {dZ}{dz}}=c_{3}} ； 其中， c 1 ,   c 2 ,   c 3 {\displaystyle c_{1},\ c_{2},\ c_{3}} 都是常數， c 1 + c 2 + c 3 = 0 {\displaystyle c_{1}+c_{2}+c_{3}=0} 。 偏微分方程的答案為 F ( x , y , z ) = c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 4 {\displaystyle F(x,y,z)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}} ； 其中， c 4 {\displaystyle c_{4}} 是常數。 思考一個典型的偏微分方程， ∇ 2 v + λ v = ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + λ v = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}v+\lambda v={\partial ^{2}v \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}v \over \partial y^{2}}+\lambda v=0} 。 首先，猜想答案的形式為 v = X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle v=X(x)Y(y)} 。 代入偏微分方程， ∂ 2 ∂ x 2 [ X ( x ) Y ( y ) ] + ∂ 2 ∂ y 2 [ X ( x ) Y ( y ) ] + λ X ( x ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial x^{2}}[X(x)Y(y)]+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}[X(x)Y(y)]+\lambda X(x)Y(y)=0} 。 或者，用單撇號標記， X ″ ( x ) Y ( y ) + X ( x ) Y ″ ( y ) + λ X ( x ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle X''(x)Y(y)+X(x)Y''(y)+\lambda X(x)Y(y)=0} 。 將方程式的兩邊除以 X ( x ) Y ( y ) {\displaystyle X(x)Y(y)} ，則可得 X ″ ( x ) X ( x ) = − Y ″ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}} 。 由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數 k {\displaystyle k} ： X ″ ( x ) X ( x ) = k = − Y ″ ( y ) + λ Y ( y ) Y ( y ) {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=k=-{Y''(y)+\lambda Y(y) \over Y(y)}} 。 因此，可以得到兩個新的常微分方程式： X ″ ( x ) − k X ( x ) = 0 {\displaystyle X''(x)-kX(x)=0} 、 Y ″ ( y ) + ( λ + k ) Y ( y ) = 0 {\displaystyle Y''(y)+(\lambda +k)Y(y)=0} 。 這兩個常微分方程式都是齊次的二階線性微分方程。假若， k < 0 < λ + k {\displaystyle k<0<\lambda +k} ，則這兩個常微分方程都是用來表達諧振問題的方程式。解答為 X ( x ) = A x cos ⁡ ( − k   x + B x ) {\displaystyle X(x)=A_{x}\cos({\sqrt {-k}}\ x+B_{x})} ， Y ( y ) = A y cos ⁡ ( λ + k   y + B y ) {\displaystyle Y(y)=A_{y}\cos({\sqrt {\lambda +k}}\ y+B_{y})} ； 其中， A x ,   A y {\displaystyle A_{x},\ A_{y}} 是振幅常數， B x ,   B y {\displaystyle B_{x},\ B_{y}} 是相位常數。這些常數可以由邊界條件求得。 拉普拉斯-龍格-冷次向量 哈密頓-雅可比方程 亥姆霍茲方程 A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9。