GPY篩法

GPY篩法（Goldston-Pintz-Yıldırım sieve）是一種篩法，這種篩法是塞爾伯格篩法的一種帶有一般、多維篩選權重的變體。這種篩法已為解析數論的研究帶來多項突破。 這種篩法以Goldston（英语：Daniel Goldston）、Pintz（英语：János_Pintz）和Yildirim（英语：Cem Yıldırım）這三位數學家為名。他們在2005年時以此篩法證明說根據質數定理，可推出存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔。 張益唐後來修改此篩法，以證明說兩個相隔質數間出現無限多次的最小間隔的有限界限為何。之後詹姆斯·梅纳德（他把上述的界限降到 600 {\displaystyle 600} ）及陶哲軒都曾修改此篩法。 首先固定 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } ，之後定義以下表記： P {\displaystyle \mathbb {P} } 是質數集合，且 1 P ( n ) {\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)} 是這集合的特徵方程。 Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} 是馮·曼戈爾特函數。 ω ( n ) {\displaystyle \omega (n)} 是用以計算 n {\displaystyle n} 的不同質因數個數的小寫俄梅戛函數（英语：prime omega function）。 H = { h 1 , … , h k } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}} 是一組相異的非負整數 h i ∈ Z + ∪ { 0 } {\displaystyle h_{i}\in \mathbb {Z} _{+}\cup \{0\}} 的集合。 θ ( n ) {\displaystyle \theta (n)} 是另一個關於質數的特徵函數，其定義如下： θ ( n ) = { log ⁡ ( n ) if  n ∈ P 0 else. {\displaystyle \theta (n)={\begin{cases}\log(n)&{\text{if }}n\in \mathbb {P} \\0&{\text{else.}}\end{cases}}} 其中 θ ( n ) = log ⁡ ( ( n − 1 ) 1 P ( n ) + 1 ) {\displaystyle \theta (n)=\log((n-1)1_{\mathbb {P} }(n)+1)} 。 對於 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 有以下定義： H ( n ) := ( n + h 1 , … , n + h k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1},\dots ,n+h_{k})} ， P H ( n ) := ( n + h 1 ) ( n + h 2 ) ⋯ ( n + h k ) {\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n):=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})} ν p ( H ) {\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})} 是 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 模 p {\displaystyle p} 的相異同餘類個數。像例如因為 { 0 , 2 , 4 } = ( mod 3 ) { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}} 且 { 0 , 2 } = ( mod 3 ) { 0 , 2 } {\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}} 之故，因此有 ν 3 ( { 0 , 2 , 4 } ) = 3 {\displaystyle \nu _{3}(\{0,2,4\})=3} 以及 ν 3 ( { 0 , 2 } ) = 2 {\displaystyle \nu _{3}(\{0,2\})=2} 。 假若對所有的 p ∈ P {\displaystyle p\in \mathbb {P} } 而言，都有 ν p ( H ) < k {\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<k} 的話，則稱 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 為「可及的」（admissible）。 設 H = { h 1 , … , h k } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}} 為「可及的」，並考慮以下篩函數（sifting function）： S ( N , c ; H ) := ∑ n = N + 1 2 N ( ∑ h i ∈ H 1 P ( n + h i ) − c ) w ( n ) 2 , w ( n ) ∈ R , c > 0. {\displaystyle {\mathcal {S}}(N,c;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}1_{\mathbb {P} }(n+h_{i})-c\right)w(n)^{2},\quad w(n)\in \mathbb {R} ,\quad c>0.} 那麼對任意的 n ∈ [ N + 1 , 2 N ] {\displaystyle n\in [N+1,2N]} 而言，這函數即是計算扣掉某個門檻 c {\displaystyle c} 之後，形如 n + h i {\displaystyle n+h_{i}} 的質數的個數的函數，故在 S > 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}>0} 的情況下，有某數 n {\displaystyle n} 使得至少 ⌊ c ⌋ + 1 {\displaystyle \lfloor c\rfloor +1} 是 H ( n ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(n)} 中的質數。 由於 1 P ( n ) {\displaystyle 1_{\mathbb {P} }(n)} 的解析性質沒那麼好之故，因此可改用下列的篩函數： S ( N ; H ) := ∑ n = N + 1 2 N ( ∑ h i ∈ H θ ( n + h i ) − log ⁡ ( 3 N ) ) w ( n ) 2 . {\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}}):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)w(n)^{2}.} 由於 log ⁡ ( N ) < θ ( n + h i ) < log ⁡ ( 2 N ) {\displaystyle \log(N)<\theta (n+h_{i})<\log(2N)} 且 c = log ⁡ ( 3 n ) {\displaystyle c=\log(3n)} 之故，我們僅在存在 n + h i {\displaystyle n+h_{i}} 及 n + h j {\displaystyle n+h_{j}} 這兩個質數的狀況下，有 S > 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}>0} 。我們接下來要做的，就是尋找權重函數 w ( n ) {\displaystyle w(n)} 以便能測得質數k元組（英语：prime k-tuple）。 一個權重函數的可能候選，是一般化的馮·曼戈爾特函數： Λ k ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) ( log ⁡ ( n d ) ) k , {\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},} 這函數有如次的性質：若 ω ( n ) > k {\displaystyle \omega (n)>k} ，則 Λ k ( n ) = 0 {\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0} 。雖說這函數也會測得形式為質數冪的因子，但在應用中，這些因子可在僅造成可忽略誤差的狀況下移除。 因此在 H ( n ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(n)} 是質數k元組的狀況下，以下方程不會消失： Λ k ( n ; H ) = 1 k ! Λ k ( P H ( n ) ) {\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))} 其中 1 / k ! {\displaystyle 1/k!} 這因子僅僅是因方便計算而選取。 （古典）馮·曼戈爾特函數可以截形馮·曼戈爾特函數來估計： Λ ( n ) ≈ Λ R ( n ) := ∑ d ∣ n d ≤ R μ ( d ) log ⁡ ( R d ) , {\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),} 其中 R {\displaystyle R} 不再表示 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 的長度，但用以決定截取點。類似地我們可以下式估計 Λ k ( n ; H ) {\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})} ： Λ R ( n ; H ) = 1 k ! ∑ d ∣ P H ( n ) d ≤ R μ ( d ) ( log ⁡ ( R d ) ) k {\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}} 因為技術理由，我們會希望估計在多個部分中帶有質數的數組，而非再引入另一個參數 0 ≤ ℓ ≤ k {\displaystyle 0\leq \ell \leq k} 的狀況下僅僅估計質數組，因此我們可選取 k + ℓ {\displaystyle k+\ell } 或較不相異的質因數。而這引出了下列的最終形式： Λ R ( n ; H , ℓ ) = 1 ( k + ℓ ) ! ∑ d ∣ P H ( n ) d ≤ R μ ( d ) ( log ⁡ ( R d ) ) k + ℓ {\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }} 在不引入 ℓ {\displaystyle \ell } 這額外參數的狀況下，對不同的 d = d 1 d 2 ⋯ d k {\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}} 有 d 1 ≤ R , d 2 ≤ R , … , d k ≤ R {\displaystyle d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R} 這樣的限制；但藉由引入此參數，我們可得到更寬鬆的限制 d 1 d 2 … d k ≤ R {\displaystyle d_{1}d_{2}\dots d_{k}\leq R} 。 故對於 k {\displaystyle k} 維的篩法問題，我們有 k + ℓ {\displaystyle k+\ell } 維的篩法。 GPY篩法有下列形式： S ( N ; H , ℓ ) := ∑ n = N + 1 2 N ( ∑ h i ∈ H θ ( n + h i ) − log ⁡ ( 3 N ) ) Λ R ( n ; H , ℓ ) 2 , | H | = k {\displaystyle {\mathcal {S}}(N;{\mathcal {H}},\ell ):=\sum \limits _{n=N+1}^{2N}\left(\sum \limits _{h_{i}\in {\mathcal {H}}}\theta (n+h_{i})-\log(3N)\right)\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )^{2},\qquad |{\mathcal {H}}|=k} 其中 Λ R ( n ; H , ℓ ) = 1 ( k + ℓ ) ! ∑ d ∣ P H ( n ) d ≤ R μ ( d ) ( log ⁡ ( R d ) ) k + ℓ , 0 ≤ ℓ ≤ k {\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell },\quad 0\leq \ell \leq k} . 在考慮 ( H 1 , ℓ 1 , k 1 ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})} 、 ( H 2 , ℓ 2 , k 2 ) {\displaystyle ({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})} 以及 1 ≤ h 0 ≤ R {\displaystyle 1\leq h_{0}\leq R} 並定義 M := k 1 + k 2 + ℓ 1 + ℓ 2 {\displaystyle M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}} 的情況下，Goldston、Pintz及Yıldırım三氏在他們的論文中，以兩個定理證明了在合適的條件下，以下兩個非病態的形式成立。這兩個形式分別為 ∑ n ≤ N Λ R ( n ; H 1 , ℓ 1 ) Λ R ( n ; H 2 , ℓ 2 ) = C 1 ( S ( H i ) + o M ( 1 ) ) N {\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)N} 以及 ∑ n ≤ N Λ R ( n ; H 1 , ℓ 1 ) Λ R ( n ; H 2 , ℓ 2 ) θ ( n + h 0 ) = C 2 ( S ( H j ) + o M ( 1 ) ) N {\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right)N} 其中 C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} 是兩個常數， S ( H i ) {\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})} 及 S ( H j ) {\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})} 是兩個奇異級數（singular series），其描述在此省略。 最後我們可將此結果套用在 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 之上，以得到Goldston、Pintz及Yıldırım三氏「存在有無限多的質數組，其間隔任意地小於質數的平均間隔」的結果。 Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y. Primes in Tuples I. Annals of Mathematics. 2009, 170 (2): 819–862. doi:10.4007/annals.2009.170.819 .  Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2014, 179: 1121–1174. doi:10.4007/annals.2014.179.3.7 .  Maynard, James. Small gaps between primes. Annals of Mathematics. 2015, 181 (1): 383–413. arXiv:1311.4600 . doi:10.4007/annals.2015.181.1.7.  Goldston, Daniel A.; Pintz, János; Yıldırım, Cem Y.; Graham, Sidney W. Small gaps between primes or almost primes. Transactions of the American Mathematical Society. 2009, 361 (10): 7. arXiv:math/0506067 .