粒子衰變

粒子衰變是一基本粒子變成其他基本粒子的自發過程。在這個過程中，一基本粒子變成質量更輕的另一種基本粒子，及一中間粒子，例如μ子衰變中的W玻色子。這中間粒子隨即變成其他粒子。如果生成的粒子不穩定，那麼衰變過程還會繼續。 粒子衰變這種過程，與放射性衰變不一樣，後者為一不穩定的原子核，變成一更小的原子核，當中還伴隨着粒子或輻射的發射。 注意本條目使用自然單位，即 c = ℏ = 1 {\displaystyle c=\hbar =1} 。 所有數值均來自粒子數據小組： 把一粒子的平均壽命標記為 τ {\displaystyle \tau } ，這樣粒子在時間t後仍生還（即未衰變）的概率為 P ( t ) = e − t / ( γ τ ) {\displaystyle P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}} 其中 γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} 為該粒子的勞侖茲因子。 設一粒子質量為M，則衰變率可用下面的通用公式表示 d Γ n = ( 2 π ) 4 2 M | M | 2 d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) {\displaystyle d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})} 其中 n為原衰變所生成的粒子數， M {\displaystyle {\mathcal {M}}\,} 為連接始態與終態的不變矩陣上的元， d Φ n {\displaystyle d\Phi _{n}\,} 為相空間的元，及 p i {\displaystyle p_{i}\,} 為粒子i 的四維動量。 相空間可由下式所得， d Φ n ( P ; p 1 , p 2 , … , p n ) = δ 4 ( P − ∑ i = 1 n p i ) ( ∏ i = 1 n d 3 p → i ( 2 π ) 3 2 E i ) {\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,} 其中 δ 4 {\displaystyle \delta ^{4}\,} 為四維的狄拉克δ函數。 作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下： d Φ 3 = 1 ( 2 π ) 9 δ 4 ( P − p 1 − p 2 − p 3 ) d 3 p → 1 2 E 1 d 3 p → 2 2 E 2 d 3 p → 3 2 E 3 {\displaystyle d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,} 一粒子的四維動量又叫其不變質量。 一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於1這項條件）： p 2 = E 2 − ( p → ) 2 = m 2 ( 1 ) {\displaystyle p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,} 兩粒子的四維動量平方為 p 2 = ( p 1 + p 2 ) 2 = p 1 2 + p 2 2 + 2 p 1 p 2 = m 1 2 + m 2 2 + 2 ( E 1 E 2 − p → 1 ⋅ p → 2 ) {\displaystyle p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,} 。 在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態pi 與終態pf 的關係為 p i = p f {\displaystyle p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }} 。 設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為 p M = p 1 + p 2 {\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}} 。 整理可得， p M − p 1 = p 2 {\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}} 然後取左右兩邊的平方 p M 2 + p 1 2 − 2 p M p 1 = p 2 2 {\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}} 。 現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p2 得 M 2 + m 1 2 − 2 ( E M E 1 − p → M ⋅ p → 1 ) = m 2 2 . ( 2 ) {\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,} 若進入母粒子的靜止系，則 p → M = 0 {\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\,} ，及 E M = M {\displaystyle E_{M}=M\,} 將上述兩式代入方程(2)得： M 2 + m 1 2 − 2 M E 1 = m 2 2 . {\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,} 整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式， E 1 = M 2 + m 1 2 − m 2 2 2 M . ( 3 ) {\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,} 同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為 E 2 = M 2 + m 2 2 − m 1 2 2 M {\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}} 。 可得 | p → 1 | = | p → 2 | = [ M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ] [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 2 M . {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,} 先把 E 1 2 = m 1 2 + p → 1 2 {\displaystyle E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,} 代入方程(3)： p 1 → 2 = ( M 2 + m 1 2 − m 2 2 ) 2 − 4 m 1 2 M 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,} p 1 → 2 = M 4 + m 1 4 + m 2 4 − 2 m 1 2 M 2 − 2 m 2 2 M 2 − 2 m 1 2 m 2 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,} p 1 → 2 = M 4 − M 2 ( m 1 + m 2 ) 2 − M 2 ( m 1 − m 2 ) 2 + ( m 1 2 − m 2 2 ) 2 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,} p 1 → 2 = M 2 [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] − ( m 1 + m 2 ) 2 [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 4 M 2 {\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,} | p → 1 | = [ M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ] [ M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ] 2 M . {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,} | p → 2 | {\displaystyle |{\vec {p}}_{2}|\,} 的推導也一樣。 在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示： tan ⁡ θ ′ = sin ⁡ θ γ ( β / β ′ + cos ⁡ θ ) {\displaystyle \tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}} 設一母粒子質量為M ，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中， | p → 1 | = | p 2 → | = [ ( M 2 − ( m 1 + m 2 ) 2 ) ( M 2 − ( m 1 − m 2 ) 2 ) ] 1 / 2 2 M {\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}} 。 另外，用球座標表示則為 d 3 p → = | p | 2 d p d Ω = p 2 d ϕ d ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right)} 。 已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為： d Γ = 1 32 π 2 | M | 2 | p → 1 | M 2 d ϕ 1 d ( cos ⁡ θ 1 ) {\displaystyle d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right)} 。 粒子物理學 粒子列表 弱相互作用 J.D. Jackson. Kinematics (PDF). Particle Data Group. 2010 [2011-08-24]. （原始内容 (PDF)存档于2021-03-28）.  －見第2頁。 粒子數據小組 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 粒子大冒險 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組