留数

在复分析中，留数是一个正比于一个亚纯函数某一奇点周围的路径积分的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{ak}之外全纯的函数 f : C ∖ { a k } → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \setminus \{a_{k}\}\rightarrow \mathbb {C} } 都可以计算其留数，即便是离散点集中含有本质奇点）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过留数定理来计算更复杂的路径积分。 亚纯函数 f {\displaystyle f} 在孤立奇点 a {\displaystyle a} 的留数，通常记为 Res ⁡ ( f , a ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a)} 或 Res a ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {Res} _{a}(f)} ，是使 f ( z ) − R / ( z − a ) {\displaystyle f(z)-R/(z-a)} 在穿孔圆盘 0 < | z − a | < δ {\displaystyle 0<|z-a|<\delta } 内具有解析原函数的唯一值 R {\displaystyle R} 。 另外，留数也可以通过求出洛朗级数展开式来计算，并且可以将留数定义为洛朗级数的系数a-1。 留数的定义可以拓展到任意黎曼曲面上。 作为例子，考虑以下的路径积分： ∮ C e z z 5 d z {\displaystyle \oint _{C}{e^{z} \over z^{5}}\,dz} 其中C是围绕原点的任意(正向)简单闭曲线。 我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，ez的泰勒级数是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为： ∮ C 1 z 5 ( 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + z 4 4 ! + z 5 5 ! + z 6 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{5}}\left(1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+{z^{5} \over 5!}+{z^{6} \over 6!}+\cdots \right)\,dz.} 我们把1/z5的项代进级数中，便得到： ∮ C ( 1 z 5 + z z 5 + z 2 2 ! z 5 + z 3 3 ! z 5 + z 4 4 ! z 5 + z 5 5 ! z 5 + z 6 6 ! z 5 + ⋯ ) d z {\displaystyle \oint _{C}\left({1 \over z^{5}}+{z \over z^{5}}+{z^{2} \over 2!\;z^{5}}+{z^{3} \over 3!\;z^{5}}+{z^{4} \over 4!\;z^{5}}+{z^{5} \over 5!\;z^{5}}+{z^{6} \over 6!\;z^{5}}+\cdots \right)\,dz} = ∮ C ( 1 z 5 + 1 z 4 + 1 2 ! z 3 + 1 3 ! z 2 + 1 4 ! z + 1 5 ! + z 6 ! + ⋯ ) d z . {\displaystyle =\oint _{C}\left({1 \over \;z^{5}}+{1 \over \;z^{4}}+{1 \over 2!\;z^{3}}+{1 \over 3!\;z^{2}}+{1 \over 4!\;z}+{1 \over \;5!}+{z \over 6!}+\cdots \right)\,dz.} 现在，积分便化为更简单的形式。由于： ∮ C 1 z a d z = 0 , a ∈ Z , a ≠ 1. {\displaystyle \oint _{C}{1 \over z^{a}}\,dz=0,\quad a\in \mathbb {Z} ,\quad a\neq 1.} 因此任何不是cz−1形式的项都变成了零，那么积分变为： ∮ C 1 4 ! z d z = 1 4 ! ∮ C 1 z d z = 1 4 ! ( 2 π i ) = π i 12 . {\displaystyle \oint _{C}{1 \over 4!\;z}\,dz={1 \over 4!}\oint _{C}{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i)={\pi i \over 12}.} 1/4!就是ez/z5在z = 0的留数，记为： R e s 0 e z z 5 , {\displaystyle \mathrm {Res} _{0}{e^{z} \over z^{5}},} 或 R e s z = 0 e z z 5 , {\displaystyle \mathrm {Res} _{z=0}{e^{z} \over z^{5}},} 或 R e s ( f , 0 ) . {\displaystyle \mathrm {Res} (f,0).} 设复平面内有一穿孔圆盘D = {z : 0 < |z − c| < R}，f是定义在D内的一个全纯函数。f在c的留数Res(f, c)是罗朗级数展开式的(z − c)−1项的系数a−1。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。 根据柯西积分公式，我们有： Res ⁡ ( f , c ) = 1 2 π i ∮ γ f ( z ) d z {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz} 其中γ是逆时针绕着c的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着c的一个圆，它的半径可以任意地小。 如果函数f在整个圆盘{ |z − c| < R }内可以延拓为全纯函数，则Res(f, c) = 0。反过来不总成立。 在一阶极点，留数由以下公式给出： Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).} 设g和h在c的一个邻域内是全纯函数，h(c) = 0而g(c) ≠ 0，那么函数f(z)=g(z)/h(z)在极点c的留数为： Res ⁡ ( f , c ) = g ( c ) h ′ ( c ) . {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {g(c)}{h'(c)}}.} 更一般地，f在z = c的留数，其中c是n阶极点，由以下公式给出： R e s ( f , c ) = 1 ( n − 1 ) ! lim z → c d n − 1 d z n − 1 ( ( z − c ) n f ( z ) ) . {\displaystyle \mathrm {Res} (f,c)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-c)^{n}f(z)\right).} 以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则级数展开式更加容易一些。 一般地，无穷远点的留数是指： R e s ( f ( z ) , ∞ ) = − R e s ( 1 z 2 f ( 1 z ) , 0 ) {\displaystyle \mathrm {Res} (f(z),\infty )=-\mathrm {Res} \left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right)} . 如果满足下面的条件： lim | z | → ∞ f ( z ) = 0 {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0} , 则可以用下面的公式计算无穷远点的留数： R e s ( f , ∞ ) = − lim | z | → ∞ z ⋅ f ( z ) {\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z\cdot f(z)} . 如果不满足，即 lim | z | → ∞ f ( z ) = c ≠ 0 {\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0} , 则无穷远点的留数为： R e s ( f , ∞ ) = − lim | z | → ∞ z 2 ⋅ f ′ ( z ) {\displaystyle \mathrm {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }z^{2}\cdot f'(z)} . 如果函数的一部分或全部可以展开为泰勒级数或洛朗级数，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。 1. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数： f ( z ) = sin ⁡ z z 2 − z {\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z^{2}-z}} 它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在z = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成： f ( z ) = sin ⁡ z z ( z − 1 ) {\displaystyle f(z)={\sin {z} \over z(z-1)}} 则显然z = 0是可去奇点，因此z = 0处的留数为零。 唯一一个另外的奇点是z = 1。函数g(z)在z = a的泰勒级数为： g ( z ) = g ( a ) + g ′ ( a ) ( z − a ) + g ″ ( a ) ( z − a ) 2 2 ! + g ‴ ( a ) ( z − a ) 3 3 ! + ⋯ {\displaystyle g(z)=g(a)+g'(a)(z-a)+{g''(a)(z-a)^{2} \over 2!}+{g'''(a)(z-a)^{3} \over 3!}+\cdots } 因此，对于g(z) = sin z和a = 1，我们有： sin ⁡ z = sin ⁡ 1 + cos ⁡ 1 ( z − 1 ) + − sin ⁡ 1 ( z − 1 ) 2 2 ! + − cos ⁡ 1 ( z − 1 ) 3 3 ! + ⋯ . {\displaystyle \sin {z}=\sin {1}+\cos {1}(z-1)+{-\sin {1}(z-1)^{2} \over 2!}+{-\cos {1}(z-1)^{3} \over 3!}+\cdots .} 对于g(z) = 1/z和a = 1，我们有： 1 z = 1 ( z − 1 ) + 1 = 1 − ( z − 1 ) + ( z − 1 ) 2 − ( z − 1 ) 3 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{(z-1)+1}}=1-(z-1)+(z-1)^{2}-(z-1)^{3}+\cdots .} 把两个级数相乘，并除以(z − 1)，便得： sin ⁡ z z ( z − 1 ) = sin ⁡ 1 z − 1 + ( cos ⁡ 1 − sin ⁡ 1 ) + ( z − 1 ) ( − sin ⁡ 1 2 ! − cos ⁡ 1 + sin ⁡ 1 ) + ⋯ . {\displaystyle {\frac {\sin {z}}{z(z-1)}}={\sin {1} \over z-1}+(\cos {1}-\sin 1)+(z-1)\left(-{\frac {\sin {1}}{2!}}-\cos 1+\sin 1\right)+\cdots .} 因此f(z)在z = 1的留数为sin 1。 2. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令 u ( z ) := ∑ k ≥ 1 u k z k {\displaystyle u(z):=\sum _{k\geq 1}u_{k}z^{k}} 为一个整函数，并令 v ( z ) := ∑ k ≥ 1 v k z k {\displaystyle v(z):=\sum _{k\geq 1}v_{k}z^{k}} 柯西积分公式 柯西积分定理 莫雷拉定理 Ahlfors, Lars. Complex Analysis. McGraw Hill. 1979.  Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999). 埃里克·韦斯坦因. Complex Residue. MathWorld.  留数的教程