作用量-角度坐标

在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。 在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。 在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。 作用量-角度坐標，對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析，對於 Lax pairs 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想，都佔有關鍵地位。 主條目：哈密頓特徵函數 假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 不顯含時間； H ( q ;   p ) = a H {\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} ； 其中， a H {\displaystyle a_{\mathcal {H}}} 是運動常數， q {\displaystyle \mathbf {q} } 是廣義坐標， p {\displaystyle \mathbf {p} } 是廣義動量。 採用哈密頓特徵函數 W ( q ;   P ) {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )} 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為 p = ∂ W ∂ q {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}} ， Q = ∂ W ∂ P {\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}} ； 其中， Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 是新廣義坐標， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是新廣義動量。 新哈密頓量 K {\displaystyle {\mathcal {K}}} 與舊哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 相等： K ( Q ;   P ) = H ( q ;   p ) = a H {\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} 。 新廣義動量的哈密頓方程式為 P ˙ = − ∂ K ∂ Q = 0 , {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!} 。 所以，新廣義動量是常數 a {\displaystyle \mathbf {a} } ： P = a {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} } ， 假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 H ( q ,   ∂ W ∂ q ) = a H {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}} 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 W ( q ;   P ) {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )} 可以分離為 n {\displaystyle n} 個函數 W i {\displaystyle W_{i}} ： W ( q ;   a ) = ∑ i = 1 n   W i ( q i ;   a ) {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )} 。 哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是 p i = ∂ W i ( q i ;   a ) ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}} ， Q i = ∑ j = 1 n   ∂ W j ( q j ;   a ) ∂ a i {\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}} 。 假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 ( w ,   J ) {\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )} 。定義作用量為 J i ≡ ∮ p i d q i {\displaystyle J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}} ； 這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。 由於廣義動量 p i {\displaystyle p_{i}} 只跟 q i {\displaystyle q_{i}} 、 a {\displaystyle \mathbf {a} } 有關，經過積分，作用量 J i {\displaystyle J_{i}} 只跟 a {\displaystyle \mathbf {a} } 有關。所以，作用量向量 J {\displaystyle \mathbf {J} } 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為 W ( q ;   J ) = ∑ i = 1 n   W i ( q i ;   J ) {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )} 。 雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。 定義角度 w {\displaystyle \mathbf {w} } 為 w i ≡ ∂ W ∂ J i = ∑ j = 1 n   ∂ W j ( q j ;   J ) ∂ J i {\displaystyle w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}} 。 由於所有的廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 都相互獨立，所有的廣義動量 p i {\displaystyle p_{i}} 也都相互獨立，所以，所有的作用量 J i {\displaystyle J_{i}} 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為 W ( w ;   J ) = ∑ i = 1 n   W i ( w i ;   J ) {\displaystyle W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )} 。 新哈密頓量 K ′ {\displaystyle {\mathcal {K}}'} 與舊哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 相等： K ′ ( w ;   J ) = H ( q ;   p ) = a H {\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}} 。 因為作用量 J i = J i ( a ) {\displaystyle J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )} 只是常數向量，所以， − J ˙ i = ∂ K ′ ∂ w i = 0 {\displaystyle -{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0} 。 新哈密頓量 K ′ = K ′ ( J ) {\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )} ，只跟作用量 J {\displaystyle \mathbf {J} } 有關，跟角度 w {\displaystyle \mathbf {w} } 無關。 角度 w i {\displaystyle w_{i}} 隨時間的導數 ν i {\displaystyle \nu _{i}} ，可以用哈密頓方程式決定： ν i ( J ) = w ˙ i = ∂ K ′ ∂ J i {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}} 。 每一個 J i {\displaystyle J_{i}} 都是常數，所以， ν i ( J ) {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )} 也是常數： w i = ν i t + β i {\displaystyle w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}} ； 其中， β i {\displaystyle \beta _{i}} 是積分常數。 假設原本廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的振蕩或旋轉的運動週期為 T i {\displaystyle T_{i}} ，則其對應的角度變數 w i {\displaystyle w_{i}} 的改變是 Δ w i = ν i T i {\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}} 。進一步了解物理量 ν i {\displaystyle \nu _{i}} 的性質，猜想 ν i {\displaystyle \nu _{i}} 與廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 w i {\displaystyle w_{i}} 是廣義座標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 與作用量 J {\displaystyle \mathbf {J} } 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 T i {\displaystyle T_{i}} ： T i = ∮ d t = ∮ d q i q i ˙ = ∮ d q i     ∂ H ∂ p i     {\displaystyle T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}} 。 新哈密頓量 K ′ ( J ) {\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )} 與舊哈密頓量 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 相等。所以， ∂ H ∂ p i = ∑ j = 1 n ∂ K ′ ∂ J j ∂ J j ∂ p i = ∑ j = 1 n ν j ∂ J j ∂ p i {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}} 。 假若 q j {\displaystyle q_{j}} 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 p j {\displaystyle p_{j}} 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來： J j ≡ ∮ p j d q j = p j ∮ d q j = p j ℓ {\displaystyle J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell } ； 其中， ℓ {\displaystyle \ell } 是 q j {\displaystyle q_{j}} 運動一週期的值。 這樣， ∂ H ∂ p i = ∑ j = 1 n ν j δ i j ℓ = ν i ℓ {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell } 。 代入週期 T i {\displaystyle T_{i}} 的公式， T i = ∮ d q i ν i ( J ) ℓ = 1 ν i {\displaystyle T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}} 。 肯定地， ν i {\displaystyle \nu _{i}} 是廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 的頻率。 假若 q j {\displaystyle q_{j}} 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 p j {\displaystyle p_{j}} 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 w i {\displaystyle w_{i}} 跟廣義坐標 q {\displaystyle \mathbf {q} } 、作用量 J {\displaystyle \mathbf {J} } 有關： w i = w i ( q ;   J ) {\displaystyle w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )} 。 保持作用量不變，角度的虛位移 δ w i {\displaystyle \delta w_{i}} 是： δ w i = ∑ j = 1 n ∂ w i ∂ q j d q j {\displaystyle \delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}} 。 在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 都有它運動的週期 T i {\displaystyle T_{i}} 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 T 1 {\displaystyle T_{1}} 、 T 2 {\displaystyle T_{2}} 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 T {\displaystyle T} ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為 T = m 1 T 1 + m 2 T 2 {\displaystyle T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}} ； 其中， T T 1 {\displaystyle {\frac {T}{T_{1}}}} 、 T T 2 {\displaystyle {\frac {T}{T_{2}}}} 、 m 1 {\displaystyle m_{1}} 、 m 2 {\displaystyle m_{2}} ，都是正值的整數。 同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 T {\displaystyle T} 為 T = ∑ i = 1 n m i T i {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}} ； 其中， T T i {\displaystyle {\frac {T}{T_{i}}}} 、 m i {\displaystyle m_{i}} ，都是正值的整數。 經過一個週期 T {\displaystyle T} ，角度 w i {\displaystyle w_{i}} 的變化是： Δ w i = ν i m i T i = ∮ ∑ j = 1 n ∂ w i ∂ q j d q j = ∮ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∂ 2 W k ( q k ;   J ) ∂ q j   ∂ J i d q j {\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}} 。 由於作用量 J i {\displaystyle J_{i}} 是個常數，可以將它從積分內提出： Δ w i = d d J i ∮ ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n ∂ W k ( q k ;   J ) ∂ q j d q j = d d J i ∮ ∑ j = 1 n p j d q j = d d J i ∑ j = 1 n m j J j = m i {\displaystyle \Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}} 。 所以，頻率是 ν i ( J ) = 1 T {\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}} 。 假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 、 q j {\displaystyle q_{j}} ，其週期 T i {\displaystyle T_{i}} 、 T j {\displaystyle T_{j}} 的比例是無理數。那麼， q i {\displaystyle q_{i}} 不可能與 q j {\displaystyle q_{j}} 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明， ν i {\displaystyle \nu _{i}} 、 ν i {\displaystyle \nu _{i}} 仍舊分別是 q i {\displaystyle q_{i}} 、 q j {\displaystyle q_{j}} 的頻率。 角度 w {\displaystyle \mathbf {w} } 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 q k {\displaystyle q_{k}} 可以用角度的傅立葉級數表示： q k = ∑ s 1 = − ∞ ∞ ∑ s 2 = − ∞ ∞ … ∑ s N = − ∞ ∞ A s 1 , s 2 , … , s N k e i 2 π s 1 w 1 e i 2 π s 2 w 2 … e i 2 π s N w N {\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}} ； 其中， A s 1 , s 2 , … , s N k {\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}} 是傅立葉級數係數。 在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 H ( q ,   ∂ W ∂ q ) = a H {\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}} 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 q k {\displaystyle q_{k}} 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示： q k = ∑ s k = − ∞ ∞ e i 2 π s i w i {\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}} 。 一般程序有三個步驟： 計算作用量變數 J i {\displaystyle J_{i}} 。 用作用量變數表示原本哈密頓量。 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣，可以求得頻率 ν i {\displaystyle \nu _{i}} 。 在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說， ν i = ν j {\displaystyle \nu _{i}=\nu _{j}} for i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 。稱這些案例的運動狀態為簡併。 簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。 簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。 Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover). H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.