金兹堡-朗道方程

金兹堡-朗道方程，或金兹堡-朗道理论，是由维塔利·金兹堡和列夫·朗道在1950年提出的一个描述超导现象的理论。早期的金兹堡-朗道方程只是一个唯象的数学模型，从宏观的角度描述了第一类超导体。1957年，苏联物理学家阿列克谢·阿布里科索夫基于金兹堡-朗道理论提出了第二类超导体的概念。1959年，列夫·戈尔科夫（英语：Lev Gor'kov）结合BCS理论，从微观角度严格证明了金兹堡-朗道理论是BCS理论的一种极限情况。为了表彰金兹堡和阿布里科索夫对超导理论的贡献，他们与研究超流理论的安东尼·莱格特共同获得了2003年的诺贝尔物理学奖。 金兹堡－朗道方程是由金兹堡和朗道在朗道的二级相变理论的基础上提出的。他们断言超导态可以通过一个复序参量（complex order parameter）ψ(r) 来表征。这个形似波函数的序参量测量的是超导体在低于超导转变温度Tc时的超导有序度（"degree of superconducting order"），在BCS理论的框架中可以视为描述库柏对质量中心位置的单粒子波函数。在临界相变点附近，超导体的自由能密度 f {\displaystyle f} 可被展开为如下形式： f = f n 0 + α | ψ | 2 + β 2 | ψ | 4 + 1 2 m ∗ | ( ℏ i ∇ − e ∗ c A ) ψ | 2 + H 2 8 π {\displaystyle f=f_{n0}+\alpha |\psi |^{2}+{\frac {\beta }{2}}|\psi |^{4}+{\frac {1}{2m^{*}}}\left|\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+{\frac {H^{2}}{8\pi }}} 若 ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} ，则上式化为常态下的自由能 f n 0 + h 2 8 π {\displaystyle f_{n0}+{\frac {h^{2}}{8\pi }}} 。 m ∗ {\displaystyle m^{*}} 表示有效质量， e ∗ {\displaystyle e^{*}} 表示有效电荷，A 是磁矢势， H {\displaystyle H} 为磁场强度。在后续的实验中，人们发现 e ∗ ≈ 2 e {\displaystyle e^{*}\approx 2{\mathit {e}}} （ e {\displaystyle {\mathit {e}}} 为基本电荷）。 当自由能取极小值时可得金兹堡-朗道方程：   α ψ + β | ψ | 2 ψ + 1 2 m ∗ ( ℏ i ∇ − e ∗ c A ) 2 ψ = 0 {\displaystyle \alpha \psi +\beta |\psi |^{2}\psi +{\frac {1}{2m^{*}}}\left({\frac {\hbar }{i}}\nabla -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi =0} 由 J = c 4 π ∇ × H {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {c}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} } ，可推导出电流密度 J = e ∗ m ∗ | ψ | 2 ( ℏ ∇ φ − e ∗ c A ) {\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {e^{*}}{m^{*}}}\left|\psi \right|^{2}\left(\hbar \nabla \varphi -{\frac {e^{*}}{c}}\mathbf {A} \right)} 如果不考虑金兹堡－朗道方程中的磁场与梯度项，方程可化为： f s − f n = α | ψ | 2 + 1 2 β | ψ | 4 {\displaystyle f_{s}-f_{n}=\alpha |\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}\beta |\psi |^{4}} 由于 β > 0 {\displaystyle \beta >0} ，当 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 时，自由能的最小值出现在 | ψ | 2 = 0 {\displaystyle |\psi |^{2}=0} ，对应着非超导的普通状态。当 α < 0 {\displaystyle \alpha <0} 时，自由能的最小值出现在 | ψ | 2 = − α β = | ψ ∞ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}=-{\frac {\alpha }{\beta }}=|\psi _{\infty }|^{2}} ；之所以被记为 | ψ ∞ | 2 {\displaystyle |\psi _{\infty }|^{2}} ，是因为 ψ {\displaystyle \psi } 是在超导体内部“无穷深”处取得的这一函数值，“无穷深”意味着完全屏蔽了外表面的电磁场或电流。 若已知 e ∗ = 2 e {\displaystyle e^{*}=2{\mathit {e}}} ，且 m ∗ = 2 m {\displaystyle m^{*}=2m} ，则可以计算出金兹堡－朗道方程中各个系数的表达式。使用经验方程进行估计可知： | ψ | 2 ∝ 1 − t 4 ≈ 4 ( 1 − t ) {\displaystyle |\psi |^{2}\propto 1-t^{4}\approx 4(1-t)} α ∝ 1 − t 2 1 + t 2 ≈ ( 1 − t ) {\displaystyle \alpha \propto {\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\approx (1-t)} β ∝ 1 ( 1 + t 2 ) 2 ≈ c o n s t {\displaystyle \beta \propto {\frac {1}{(1+t^{2})^{2}}}\approx const} 其中 t = T / T c {\displaystyle t=T/T_{c}} 。 金兹堡-朗道方程预测了超导体中两个新的特征长度。 第一个叫做超导相干长度（英语：superconducting coherence length）ξ。对于T > Tc (一般相)，相干长度由以下方程给出： ξ = ℏ 2 2 m | α | . {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{2m|\alpha |}}}.} 对于 T < Tc (超导相)，相干长度由以下方程给出： ξ = ℏ 2 4 m | α | . {\displaystyle \xi ={\sqrt {\frac {\hbar ^{2}}{4m|\alpha |}}}.} 第二个叫做穿透深度λ。这个概念最初是由伦敦兄弟在他们的伦敦理论中提出的。如果使用金兹堡-朗道模型中的参数来表示，穿透深度可以写作： λ = m 4 μ 0 e 2 ψ 0 2 , {\displaystyle \lambda ={\sqrt {\frac {m}{4\mu _{0}e^{2}\psi _{0}^{2}}}},} 其中ψ0 表示在没有电磁场的条件下序参量的平衡值。外加磁场在超导体中的指数衰减可以通过穿透深度来定义。通过计算超导电子密度恢复到其平衡值ψ0 时产生的微小扰动，我们可以确定这个指数衰减。磁场的指数衰减与高能物理中的希格斯机制是等价的。 朗道还定义了一个参数κ。κ = λ {\displaystyle \lambda } / ξ {\displaystyle \xi } 现今被称为金兹堡-朗道参数。朗道提出，第一类超导体应满足 0<κ<1/ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，而第二类超导体应满足κ>1/ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 。如此一来，金兹堡-朗道理论通过定义这两个长度，就表征了所有的超导体。 金兹堡-朗道方程可化为以下形式的非线性偏微分方程： ∂ u ∂ t − a ∂ 2 u ∂ x 2 − b u + c | u | 2 u = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-a{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-bu+c|u|^{2}u=0} 其中 u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} 是一个复值函数，且有{x∈ℝ, t≥0}；a和c为复常数，b∈ℝ。若假设a、b、c都是正实数，则金兹堡-朗道方程有下列行波解： s o l [ 1 ] := u = − ( 1 / 2 ) ∗ b / ( c ∗ b ) + ( 1 / 2 ) ∗ ( c ∗ b ) ∗ t a n h ( C 1 + ( 1 / 4 ) ∗ ( 2 ) ∗ ( a ∗ b ) ∗ x / a − ( 3 / 4 ) ∗ b ∗ t ) / c {\displaystyle sol[1]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c} s o l [ 2 ] := u = − ( 1 / 2 ) ∗ b / ( c ∗ b ) + ( 1 / 2 ) ∗ ( c ∗ b ) ∗ c o t h ( C 1 + ( 1 / 4 ) ∗ ( 2 ) ∗ ( a ∗ b ) ∗ x / a − ( 3 / 4 ) ∗ b ∗ t ) / c {\displaystyle sol[2]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*coth(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c} s o l [ 3 ] := u = − ( 1 / 2 ∗ I ) ∗ b / ( − c ∗ b ) − ( 1 / 2 ) ∗ ( − c ∗ b ) ∗ t a n ( C 1 + ( 1 / 4 ) ∗ ( − 2 ∗ a ∗ b ) ∗ x / a − ( 3 / 4 ∗ I ) ∗ b ∗ t ) / c {\displaystyle sol[3]:=u=-(1/2*I)*b/{\sqrt {(}}-c*b)-(1/2)*{\sqrt {(}}-c*b)*tan(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}-2*a*b)*x/a-(3/4*I)*b*t)/c} s o l [ 4 ] := u = − ( 1 / 2 ) ∗ b / ( c ∗ b ) + ( 1 / 2 ) ∗ ( c ∗ b ) ∗ t a n h ( C 1 + ( 1 / 4 ) ∗ ( 2 ) ∗ ( a ∗ b ) ∗ x / a − ( 3 / 4 ) ∗ b ∗ t ) / c {\displaystyle sol[4]:=u=-(1/2)*b/{\sqrt {(}}c*b)+(1/2)*{\sqrt {(}}c*b)*tanh(_{C}1+(1/4)*{\sqrt {(}}2)*{\sqrt {(}}a*b)*x/a-(3/4)*b*t)/c} s o l [ 5 ] := − ( 3 ) ∗ e x p ( − 1 − ( 1 / 4 ) ∗ ( 3 ) ∗ x + ( 9 / 4 ) ∗ t ) ( e x p ( 1 + ( 1 / 4 ) ∗ ( 3 ) ∗ x − ( 9 / 4 ) ∗ t ) + e x p ( − 1 − ( 1 / 4 ) ∗ ( 3 ) ∗ x + ( 9 / 4 ) ∗ t ) ) {\displaystyle sol[5]:={\frac {-{\sqrt {(}}3)*exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t)}{(exp(1+(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x-(9/4)*t)+exp(-1-(1/4)*{\sqrt {(}}3)*x+(9/4)*t))}}} 部分解析解的行为如下所示： 朗道理论（英语：Landau theory） 磁畴 畴壁（英语：Domain wall (magnetism)） 磁通钉扎（英语：Flux pinning） 磁通量量子 量子涡旋（英语：Quantum vortex） 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程 反应-扩散系统 塞伯格-维腾理论 拓扑缺陷 V. L. Ginzburg; L. D. Landau. On the Theory of Superconductivity. Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1950, 20: 1064. doi:10.1016/B978-0-08-010586-4.50078-X.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) A.A. Abrikosov. On the Magnetic Properties of Superconductors of the Second Group. Zh.Eksp.Teor.Fiz. 1956-11, 32: 1442–1452.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) L.P. Gor'kov. Microscopic derivation of the Ginzburg-Landau equations in the theory of superconductivity (PDF). Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1959, 36: 1918–1923 [2018-01-18]. （原始内容存档 (PDF)于2018-11-23）.  A.A. Abrikosov; Beknazarov. Fundamentals of the theory of metals. Amsterdam: North-Holland. 1988: 589 [2018-01-19]. ISBN 0444870946.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid state physics 27. repr. New York: Holt, Rinehart and Winston. 1977: 747. ISBN 0030839939.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) Tinkham, Michael. Introduction to superconductivity 2nd ed. Mineola, NY: Dover Publications. 2004: 111. 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