量子諧振子

在量子力學裏，量子諧振子（英語：quantum harmonic oscillator）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。 在一維諧振子問題中，一個質量為m的粒子，受到一位勢 V ( x ) = 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} 。此粒子的哈密頓算符為 H = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} 其中x為位置算符，而p為動量算符 ( p = − i ℏ d d x ) {\displaystyle \left(p=-i\hbar {d \over dx}\right)} 。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态薛丁格方程式」： H | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ {\displaystyle H\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle } . 在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解： ⟨ x | ψ n ⟩ = 1 2 n n ! ⋅ ( m ω π ℏ ) 1 / 4 ⋅ exp ⁡ ( − m ω x 2 2 ℏ ) ⋅ H n ( m ω ℏ x ) {\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)} n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } 前8个解（n = 0到7）如右圖。函數 H n {\displaystyle H_{n}} 為埃爾米特多項式： H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}} 注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作H。相應的能階為 E n = ℏ ω ( n + 1 2 ) {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)} 。 值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即 ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } 乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當n = 0）不為零，而是 ℏ ω / 2 {\displaystyle \hbar \omega /2} ，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。 注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。 前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符a與其伴隨算符（adjoint）a†： a = m ω 2 ℏ ( x + i m ω p ) a † = m ω 2 ℏ ( x − i m ω p ) {\displaystyle {\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}} 算符a並非厄米算符（Hermitian），因其與伴隨算符a†並不相同。 算符a與a†有如下性質： a | ϕ n ⟩ = n | ϕ n − 1 ⟩ a † | ϕ n ⟩ = n + 1 | ϕ n + 1 ⟩ {\displaystyle {\begin{matrix}a\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n}}\left|\phi _{n-1}\right\rangle \\a^{\dagger }\left|\phi _{n}\right\rangle &=&{\sqrt {n+1}}\left|\phi _{n+1}\right\rangle \end{matrix}}} 在推導a†形式的過程中，已用到算符x與p（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合： x = ℏ 2 m ω ( a † + a ) p = i ℏ m ω 2 ( a † − a ) {\displaystyle {\begin{matrix}x&=&{\sqrt {\hbar \over 2m\omega }}\left(a^{\dagger }+a\right)\\p&=&i{\sqrt {{\hbar }m\omega \over 2}}\left(a^{\dagger }-a\right)\end{matrix}}} x與p算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係： [ x , p ] = i ℏ {\displaystyle \left[x,p\right]=i\hbar } . 方程式中的方括號是常用的標記機器，稱為交換子、交換算符或對易算符，其定義為 [ A , B ]   = d e f   A B − B A {\displaystyle \left[A,B\right]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AB-BA} . 利用上面關係，可以證明如下等式： H = ℏ ω ( a † a + 1 / 2 ) {\displaystyle H=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+1/2\right)} [ a , a † ] = 1 {\displaystyle \left[a,a^{\dagger }\right]=1} . 現在，讓 | ψ E ⟩ {\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle } 代表帶有能量E的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此 ( a | ψ E ⟩ , a | ψ E ⟩ ) = ⟨ ψ E | a † a | ψ E ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \left(a\left|\psi _{E}\right\rangle ,a\left|\psi _{E}\right\rangle \right)=\left\langle \psi _{E}\right|a^{\dagger }a\left|\psi _{E}\right\rangle \geq 0} 。 將a†a以哈密頓算符表示： ⟨ ψ E | H ℏ ω − 1 2 | ψ E ⟩ = ( E ℏ ω − 1 2 ) ≥ 0 {\displaystyle \left\langle \psi _{E}\right|{H \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\left|\psi _{E}\right\rangle =\left({E \over \hbar \omega }-{1 \over 2}\right)\geq 0} ， 因此 E ≥ ℏ ω / 2 {\displaystyle E\geq \hbar \omega /2} 。注意到當（ a | ψ E ⟩ {\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle } ）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而 E = ℏ ω / 2 {\displaystyle E=\hbar \omega /2} 。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（n = 0）。 利用上面等式，可以指出a及a†與H的對易關係： [ H , a ] = − ℏ ω a [ H , a † ] = ℏ ω a † {\displaystyle {\begin{matrix}\left[H,a\right]&=&-\hbar \omega a\\\left[H,a^{\dagger }\right]&=&\hbar \omega a^{\dagger }\end{matrix}}} . 因此要是（ a | ψ E ⟩ {\displaystyle a\left|\psi _{E}\right\rangle } ）並非零右括向量， H ( a | ψ E ⟩ ) = ( [ H , a ] + a H ) | ψ E ⟩ = ( − ℏ ω a + a E ) | ψ E ⟩ = ( E − ℏ ω ) ( a | ψ E ⟩ ) {\displaystyle {\begin{matrix}H(a\left|\psi _{E}\right\rangle )&=&(\left[H,a\right]+aH)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(-\hbar \omega a+aE)\left|\psi _{E}\right\rangle \\&=&(E-\hbar \omega )(a\left|\psi _{E}\right\rangle )\end{matrix}}} . 類似地，也可以指出 H ( a † | ψ E ⟩ ) = ( E + ℏ ω ) ( a † | ψ E ⟩ ) {\displaystyle H(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )=(E+\hbar \omega )(a^{\dagger }\left|\psi _{E}\right\rangle )} . 換句話說，a作用在能量為E的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為 E − ℏ ω {\displaystyle E-\hbar \omega } 的本徵態，而a†作用在能量為E的本徵態，產生出另一個能量為 E + ℏ ω {\displaystyle E+\hbar \omega } 的本徵態。因為這樣，a稱作降算符而a†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，a與a†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。 給定任何能量本徵態，可以拿降算符a作用在其上，產生了另一個能量少了 ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } 的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到E = −∞。不過這樣就就與早先的要求 E ≥ ℏ ω / 2 {\displaystyle E\geq \hbar \omega /2} 相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作 | 0 ⟩ {\displaystyle \left|0\right\rangle } （勿與零右括向量混淆），使得 a | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle a\left|0\right\rangle =0} （即a對 | 0 ⟩ {\displaystyle \left|0\right\rangle } 作用後產生零右括向量（zero ket））。 在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了 H | 0 ⟩ = ( ℏ ω / 2 ) | 0 ⟩ {\displaystyle H\left|0\right\rangle =(\hbar \omega /2)\left|0\right\rangle } 。 最後，透過將升算符作用在 | 0 ⟩ {\displaystyle \left|0\right\rangle } 上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合 { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | n ⟩ , . . . } {\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,...,\left|n\right\rangle ,...\right\}} 使得 H | n ⟩ = ℏ ω ( n + 1 / 2 ) | n ⟩ {\displaystyle H\left|n\right\rangle =\hbar \omega (n+1/2)\left|n\right\rangle } ，這與前段所給的能譜相符合。 這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態， a | 0 ⟩ = 0 {\displaystyle a\left|0\right\rangle =0} 變為 x ψ 0 ( x ) + ℏ m ω d ψ 0 ( x ) d x = 0 {\displaystyle x\psi _{0}(x)+{\frac {\hslash }{m\omega }}{\frac {d\psi _{0}(x)}{dx}}=0} 。 所以， d ln ⁡ ψ 0 ( x ) d x = − ℏ m ω x +  Constant {\displaystyle {\frac {d\ln \psi _{0}(x)}{dx}}=-{\frac {\hslash }{m\omega }}x+{\text{ Constant}}} 。 這個方程式的解為，經過歸一化， ψ 0 ( x ) = ( m ω π ℏ ) 1 4 e − m ω x 2 / 2 ℏ {\displaystyle \psi _{0}(x)=\left({m\omega \over \pi \hbar }\right)^{1 \over 4}e^{-m\omega x^{2}/2\hbar }} 。 量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以 ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } 為單位來測量能量，以及 ( ℏ / ( m ω ) ) 1 / 2 {\displaystyle \left(\hbar /\left(m\omega \right)\right)^{1/2}} 為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成： H = − 1 2 d 2 d u 2 + 1 2 u 2 {\displaystyle H=-{1 \over 2}{d^{2} \over du^{2}}+{1 \over 2}u^{2}} ， 且能量本徵態與本徵值變成 ⟨ x | ψ n ⟩ = 1 2 n n ! π − 1 / 4 exp ( − u 2 / 2 ) H n ( u ) {\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}\pi ^{-1/4}{\hbox{exp}}(-u^{2}/2)H_{n}(u)} E n = n + 1 2 {\displaystyle E_{n}=n+{1 \over 2}} . 為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。 在雙原子分子中，自然頻率可以發現為[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）： ω = k m r {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m_{r}}}}} 其中 ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} 為角頻率， k是共價鍵勁度係數 m r {\displaystyle m_{r}} 是約化質量。 一維諧振子很容易地推廣到 N {\displaystyle N} 維。在一維中，粒子的位置是由單一座標x來指定的。在 N {\displaystyle N} 維中，這由 N {\displaystyle N} 個位置座標所取代，以 x 1 , x 2 , … , x N {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}} 標示。對應每個位置座標有個動量，標示為p1, ..., pN。這些算符之間的正則對易關係為 [ x i , p j ] = i ℏ δ i , j [ x i , x j ] = 0 [ p i , p j ] = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}\left[x_{i},p_{j}\right]&=&i\hbar \delta _{i,j}\\\left[x_{i},x_{j}\right]&=&0\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=&0\end{matrix}}} . 系統的哈密頓算符為 H = ∑ i = 1 N ( p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 x i 2 ) {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right)} 。 從這個哈密頓量的形式，可以發覺， N {\displaystyle N} 維諧振子明確地可比擬為 N {\displaystyle N} 個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數 x 1 , x 2 , … , x N {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}} 是 N {\displaystyle N} 個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為 N {\displaystyle N} 個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。 這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數 { n } {\displaystyle \{n\}} ，一個 N {\displaystyle N} 維諧振子的能量本徵函數 ⟨ x | ψ { n } ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle } 等於 N {\displaystyle N} 個一維本徵函數 ⟨ x i | ψ n i ⟩ {\displaystyle \langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle } 的乘積： ⟨ x | ψ { n } ⟩ = ∏ i = 1 N ⟨ x i | ψ n i ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}|\psi _{n_{i}}\rangle } 。 採用階梯算符方法，定義 N {\displaystyle N} 組階梯算符， a i = m ω 2 ℏ ( x i + i m ω p i ) {\displaystyle a_{i}={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right)} ， a i † = m ω 2 ℏ ( x i − i m ω p i ) {\displaystyle a_{i}^{\dagger }={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right)} 。 類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個 a i {\displaystyle a_{i}} 與 a i † {\displaystyle a_{i}^{\dagger }} 算符將能量分別降低或升高 ℏ ω {\displaystyle \hbar \omega } 。哈密頓量是 H = ℏ ω ∑ i = 1 N ( a i † a i + 1 2 ) {\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right)} 。 這量子系統的能階 E {\displaystyle E} 是 E = ℏ ω [ ( n 1 + ⋯ + n N ) + N 2 ] {\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]} ； 其中，正整數 n i {\displaystyle n_{i}} 是 | ψ n i ⟩ {\displaystyle |\psi _{n_{i}}\rangle } 的量子數。 如同一維案例，能量是量子化的。 N {\displaystyle N} 維基態能階是一維基態能階的 N {\displaystyle N} 倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在 N {\displaystyle N} 維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。 簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定 n = n 1 + n 2 + n 3 {\displaystyle n=n_{1}+n_{2}+n_{3}} 。每一個 n {\displaystyle n} 相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予 n {\displaystyle n} ，首先選擇一個 n 1 {\displaystyle n_{1}} 。那麼， n 2 + n 3 = n − n 1 {\displaystyle n_{2}+n_{3}=n-n_{1}} ，有 n − n 1 + 1 {\displaystyle n-n_{1}+1} 個值，從 0 {\displaystyle 0} 到 n − n 1 {\displaystyle n-n_{1}} ，可以選擇為 n 2 {\displaystyle n_{2}} 的值。 n 3 {\displaystyle n_{3}} 的值自動的設定為 n − n 1 − n 2 {\displaystyle n-n_{1}-n_{2}} 。因此，簡併度是 d n = ∑ n 1 = 0 n n − n 1 + 1 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle d_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}} 。 對於 N {\displaystyle N} 維案例， d n = ( N + n − 1 n ) {\displaystyle d_{n}={\binom {N+n-1}{n}}} 。 參閱三維均向諧振子 球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣： V ( r ) = 1 2 μ ω 2 r 2 {\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}} ； 其中， μ {\displaystyle \mu } 是這問題的質量。由於 m {\displaystyle m} 會被用來標記磁量子數，所以，用 μ {\displaystyle \mu } 來標記質量。 這問題的薛丁格方程式為 − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ + 1 2 μ ω 2 r 2 ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi +{1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2}\psi =E\psi } 。 薛丁格方程式的全部解答寫為 ψ k l m ( r , θ , ϕ ) = N k l r l e − ν r 2 L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν r 2 ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}{L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )} ； 其中， N k l = 2 ν 3 π 2 k + 2 l + 3 k ! ν l ( 2 k + 2 l + 1 ) ! ! {\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}} 是歸一常數， ν ≡ μ ω 2 ℏ {\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }} L k ( l + 1 2 ) ( 2 ν r 2 ) {\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})} 是 k {\displaystyle k} 階广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials)， k {\displaystyle k} 是個正整數， Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,} 是球諧函數， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數。 能量本徵值是 E = ℏ ω ( 2 k + l + 3 2 ) {\displaystyle E=\hbar \omega (2k+l+{3 \over 2})} 。 能量通常可以用一個量子數 n {\displaystyle n} 來描述： n ≡ 2 k + l {\displaystyle n\equiv 2k+l} 。 由於 k {\displaystyle k} 是個正整數，假若 n {\displaystyle n} 是偶數，那麼，角量子數也是偶數： l = 0 , 2 , … , n − 2 , n {\displaystyle l=0,\,2,\,\dots ,\,n-2,\,n} ； 假若 n {\displaystyle n} 是奇數，那麼，角量子數也是奇數： l = 1 , 3 , … , n − 2 , n {\displaystyle l=1,\,3,\,\dots ,\,n-2,\,n} 。 磁量子數 m {\displaystyle m} 滿足不等式 − l ≤ m ≤ l {\displaystyle -l\leq m\leq l} 。 對於每一個 n {\displaystyle n} 與 l {\displaystyle l} ，存在 2 l + 1 {\displaystyle 2l+1} 個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數 m {\displaystyle m} 。因此， n {\displaystyle n} 的兼併度是 ∑ l = i , i + 2 , … , n − 2 , n ( 2 l + 1 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle \sum _{l=i,\,i+2,\,\ldots ,\,n-2,\,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}} ； 其中，總和的指數 l {\displaystyle l} 的初始值是 i = n   m o d   2 {\displaystyle i=n\ mod\ 2} 。 這結果與先前的方程式相同。 設想 N {\displaystyle N} 個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為 x 1 , x 2 , … , x N {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\dots ,\,x_{N}} （也就是說，假若一個質點 k {\displaystyle k} 位於其平衡點，則 x k = 0 {\displaystyle x_{k}=0} ）。整個系統的哈密頓量是 H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ 1 ≤ i ≤ N ( x i − x i − 1 ) 2 {\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{1\leq i\leq N}(x_{i}-x_{i-1})^{2}} ； 其中， x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} 。 這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。 自由粒子 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 球對稱位勢 Delta位勢壘 真空災變 盎魯效應 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.  Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.  國立交通大學物理系視聽教學：量子諧振子[永久失效連結] 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：量子諧振子 （页面存档备份，存于互联网档案馆）