链复形

数学上，同调代数领域中的一个链复形 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })} 是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2... 通过一系列同态dn : An→An-1相连，使得每两个连接的映射的复合为零：dn o dn+1 = 0对于所有n。它们常常写作如下形式： … ⟶ A n + 1 d n + 1 ⟶ A n d n ⟶ A n − 1 d n − 1 ⟶ A n − 2 ⟶ … ⟶ A 2 d 2 ⟶ A 1 d 1 ⟶ A 0 d 0 ⟶ 0. {\displaystyle \ldots \longrightarrow A_{n+1}{\begin{matrix}d_{n+1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{2}{\begin{matrix}d_{2}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}0.} 定義鏈複形的同調群為 H n ( A ∙ ) := K e r ( d n ) / I m ( d n + 1 ) {\displaystyle H_{n}(A_{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d_{n})/\mathrm {Im} (d_{n+1})} 。當所有同調群為零時，此鏈複形為正合的。 链复形概念的一个变种是上链复形。一个上链复形 ( A ∙ , d ∙ ) {\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })} 是一个交换群或者模的序列A0, A1, A2...由一系列同态dn : An→An+1相连，使得任何两个接连的映射的复合为零：dn+1 o dn = 0 对于所有的n: 0 ⟶ A 0 d 0 ⟶ A 1 d 1 ⟶ A 2 ⟶ … ⟶ A n − 1 d n − 1 ⟶ A n d n ⟶ A n + 1 ⟶ … . {\displaystyle 0\longrightarrow A_{0}{\begin{matrix}d_{0}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}d_{1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{2}\longrightarrow \ldots \longrightarrow A_{n-1}{\begin{matrix}d_{n-1}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}d_{n}\\\longrightarrow \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\longrightarrow \ldots .} 定義上鏈複形的上同調群為 H n ( A ∙ ) := K e r ( d n ) / I m ( d n − 1 ) {\displaystyle H^{n}(A^{\bullet }):=\mathrm {Ker} (d^{n})/\mathrm {Im} (d^{n-1})} 。當所有上同調群為零時，此上鏈複形正合。想法基本上是一样的。 链复形的应用通常定义并应用它们的同调群（对于上链复形是上同调群）；在更抽象的范围里，很多等价关系被应用到复形上（例如从链同伦的思想开始，以下将解说）。链复形很容易在交换范畴中定义。 一个有界复形是其中，几乎所有的Ai为零—这样一个有限的复形，用0来伸展到左边和右边。一个例子是定义一个（有限）单纯复形的同调理论的复形。 假定我们给定一个拓扑空间X。 定义Cn(X)（对于自然数n）为自由交换群由X中的奇异单纯形形式化的生成，并定义边界映射 ∂ n : C n ( X ) → C n − 1 ( X ) : ( σ : [ v 0 , … , v n ] → X ) ↦ ( ∂ n σ = ∑ i = 0 n ( − 1 ) i σ | [ v 0 , … , v ^ i , … , v n ] ) , {\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X):\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\partial _{n}\sigma =\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]),} 其中帽子表示省略一个顶点。也就是说，一个奇异单纯形的边界是限制到其面的交替和。可以证明∂² = 0，所以 ( C ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })} 是一个链复形；奇异同调 H ∙ ( X ) {\displaystyle H_{\bullet }(X)} 是该复形的同调类；也就是说， H n ( X ) = ker ⁡ ∂ n / im  ∂ n + 1 {\displaystyle H_{n}(X)=\ker \partial _{n}/{\mbox{im }}\partial _{n+1}} . 任何光滑流形上的微分k-形式在加法下组成一个交换群（事实上一个R-向量空间）称为Ωk(M)。 外导数 d = d k 映射 Ωk(M) → Ωk+1(M)，而且d 2 = 0可以直接从二阶导数的对称性导出，所以k-形式的向量空间和外导数一起成为一个上链复形： Ω 0 ( M ) → Ω 1 ( M ) → Ω 2 ( M ) → Ω 3 ( M ) → … . {\displaystyle \Omega ^{0}(M)\to \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \ldots .} 该复形的上同调是德拉姆上同调 H D R k ( M ) = ker ⁡ d k + 1 / im  d k {\displaystyle H_{\mathrm {DR} }^{k}(M)=\ker d_{k+1}/{\mbox{im }}d_{k}} . 兩個鏈複形 ( A ∙ , d A , ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })} 、 ( B ∙ , d B , ∙ ) {\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })} 之間的鏈映射是一族同態 f n : A n → B n {\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}} ，使之滿足： f n ∘ d A , n = d B , n ∘ f n + 1 {\displaystyle f_{n}\circ d_{A,n}=d_{B,n}\circ f_{n+1}} ；全體鏈複形依此構成一範疇。鏈映射誘導出同調群間的映射。 上鏈複形的情形類似：兩個上鏈複形 ( X ∙ , d X ∙ ) {\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })} 、 ( Y ∙ , d Y ∙ ) {\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })} 之間的上鏈映射是一族同態 f n : X n → Y n {\displaystyle f^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n}} ，使之滿足： f n + 1 ∘ d X n = d Y n ∘ f n {\displaystyle f^{n+1}\circ d_{X}^{n}=d_{Y}^{n}\circ f^{n}} 。上鏈映射也誘導出上同調群間的映射。 舉例來說，拓撲空間之間的連續映射誘導出奇異上同調的鏈映射；而光滑流形間的光滑映射則誘導出德拉姆上同調的上鏈映射。這是函子性或稱自然性的一個例子：空間與映射的拓撲/幾何性質藉此反映在代數結構上，因而變得容易操作與計算。 兩個鏈映射 f n , g n : A ∙ → B ∙ {\displaystyle f_{n},g_{n}:A_{\bullet }\rightarrow B_{\bullet }} 稱作是同倫的，若且唯若存在一族同態 D n : A n → B n + 1 {\displaystyle D_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n+1}} 使得 f n − g n = d n + 1 ∘ D n + D n − 1 ∘ d n {\displaystyle f_{n}-g_{n}=d_{n+1}\circ D_{n}+D_{n-1}\circ d_{n}} 。 上鏈映射的同倫定義也類似，惟此時考慮的是一族同態 D n : X n → Y n + 1 {\displaystyle D^{n}:X^{n}\rightarrow Y^{n+1}} 。以下給出上鏈同倫的圖解： （上）鏈同倫的鏈映射在（上）同調群上誘導出相同的映射。特別是：同倫於恆等映射 id. 的（上）鏈映射是擬同構。 鏈映射的同倫可理解作單純形同倫的代數翻譯。 同调 微分分级代数