锥台

棱台是几何学中研究的一类多面体，指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截後，截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面，原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同，棱台的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱台称为方棱台，底面为三角形的棱台称为三棱台，底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类，也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为圆台与棱台。 从棱台的定义可以推知，一个以n边形为底面的棱台，一共有2n个顶点，n+2个面以及3n条边。棱台的对偶多面体是双锥。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥，那么棱台和正多边形有相同的对称结构（同构的对称群）。 棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设 h {\displaystyle h} 為棱台的高， S u {\displaystyle S_{u}} 和 S d {\displaystyle S_{d}} 為棱台的上下底面積， V {\displaystyle V} 為棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是 H {\displaystyle H} ，那么小棱锥的高是 H − h {\displaystyle H-h} 。也就是说： H − h H = S u S d {\displaystyle {\frac {H-h}{H}}={\sqrt {\frac {S_{u}}{S_{d}}}}} 所以： H = h S d S d − S u {\displaystyle H={\frac {h{\sqrt {S_{d}}}}{{\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}}}}} 棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积： V = S d H 3 − S u ( H − h ) 3 = ( S d S d − S u S u ) h 3 ( S d − S u ) = h 3 ( S d + S u + S d S u ) {\displaystyle V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)} 对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长分别为a和b，高是h，那么底面积是： S u = n a 2 4 cot ⁡ π n , S u = n b 2 4 cot ⁡ π n . {\displaystyle S_{u}={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}},\quad S_{u}={\frac {nb^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.} 所以它的体积是： V = n ( a 2 + b 2 + a b ) h 12 cot ⁡ π n . {\displaystyle V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.} 棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积Sc S c = ∑ i = 1 n S i {\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}} ，其中 S i , i = 1 , 2 ⋯ , n {\displaystyle S_{i},i=1,2\cdots ,n} 是第 i 个侧面的面积。 棱台的表面积等于棱台的侧面积Sc加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是hi，底边的长度是ai和bi，那么棱锥的侧面积： S c = ∑ i = 1 n S i = 1 2 ∑ i = 1 n ( a i + b i ) h i . {\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.} 棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积： V = h 2 B 2 − h 1 B 1 3 {\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}} B1 指一个底面的面积，B2指另一个底面的面积, and h1， h2 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到 B 1 h 1 2 = B 2 h 2 2 {\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}} 这个体积也可用平截头体的高 h = h2−h1 与两底面面积的希罗平均数表达： V = h 3 ( B 1 + B 2 + B 1 B 2 ) {\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})} 亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。 特别地， 圆台的体积是 V = π h 3 ( R 1 2 + R 2 2 + R 1 R 2 ) {\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})} π 等于 3.14159265...，'R1, R2 是两底面的半径。 底面为n边形的棱台的体积是 V = n h 12 ( a 1 2 + a 2 2 + a 1 a 2 ) cot ⁡ 180 n {\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}} a1 与 a2 是底面的边长。 对于一个正圆台， Lateral Surface Area = π ( R 1 + R 2 ) s = π ( R 1 + R 2 ) ( R 1 − R 2 ) 2 + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}} Total Surface Area = π [ ( R 1 + R 2 ) s + R 1 2 + R 2 2 ] = π [ ( R 1 + R 2 ) ( R 1 − R 2 ) 2 + h 2 + R 1 2 + R 2 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}} Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R1 and R2 为底面半径，s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是 A = n 4 [ ( a 1 2 + a 2 2 ) cot ⁡ π n + ( a 1 2 − a 2 2 ) 2 sec 2 ⁡ π n + 4 h 2 ( a 1 + a 2 ) 2 ] {\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]} a1 与 a2是两底面的边长。 金字塔：某些金字塔是棱台状建筑，大部分是四棱台； 圓台：平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分； 棱锥：多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体。 雙錐台 錐體 Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998 Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. （原始内容存档于2021-01-26）.  查看维基词典中的词条「frustum」。 维基共享资源上的相关多媒体资源：锥台 Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com) 埃里克·韦斯坦因. Pyramidal frustum. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Conical frustum. MathWorld.  Paper models of frustums (truncated pyramids) （页面存档备份，存于互联网档案馆） Paper model of frustum (truncated cone) （页面存档备份，存于互联网档案馆） Design paper models of conical frustum (truncated cones) （页面存档备份，存于互联网档案馆）