亥姆霍茲線圈

亥姆霍茲線圈（Helmholtz coil）是一種製造小範圍區域均勻磁場的器件。由於亥姆霍茲線圈具有開敞性質，很容易地可以將其它儀器置入或移出，也可以直接做視覺觀察，所以，是物理實驗常使用的器件。因德國物理學者赫爾曼·馮·亥姆霍茲而命名。 亥姆霍茲線圈是由一對完全相同的圓形導體線圈組成。採用直角坐標系，這兩個半徑為 R {\displaystyle R} 的圓形線圈的中心軸都與z-軸同軸。兩個圓形線圈的z-坐標分別為 h / 2 {\displaystyle h/2} 與 − h / 2 {\displaystyle -h/2} 。每一個導體線圈載有同向電流 I {\displaystyle I} 。 設定 h = R {\displaystyle h=R} 可以使得在兩個線圈中心位置O（即原點）的磁場，其不均勻程度極小化。這動作促使 ∂ 2 B / ∂ z 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}B/\partial z^{2}=0} ，也意味著領先的非零微分項目是 ∂ 4 B / ∂ z 4 {\displaystyle \partial ^{4}B/\partial z^{4}} ，稍後會對這論點做更詳細解釋。但是，這樣做仍舊會在線圈平面跟z-軸相交處與O點之間遺留大約7%磁場數值的差別。 在某些应用中，亥姆霍茲線圈可以用來抵消地磁場，製造出接近零磁場的區域。 關於在空間任意位置的精確磁場計算，需要應用到貝索函數或橢圓函數與其相關技巧。沿著線圈的中心軸（z-軸），涉及到的計算比較簡單，可以應用泰勒展開，將磁場展開為 z {\displaystyle z} 的冪級數。採用直角坐標系，以亥姆霍茲線圈的中心位置為z-軸的原點O。由於對於xy-平面的對稱性，奇數冪項目必等於零。經過調整兩個線圈之間的距離 h {\displaystyle h} ，可以使得O點成為拐點，則可以保證 z 2 {\displaystyle z^{2}} 級項目為零，因此領先不均勻項目是 z 4 {\displaystyle z^{4}} 級項目。 在中心位置O點，磁場為 B = ( 4 5 ) 3 / 2 μ 0 n I R {\displaystyle B={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}} ； 其中， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數。 採用直角坐標系，設定單匝線圈的中心軸為z-軸，線圈平面與z-軸相交處為原點，則在z-軸的磁場以方程式表示為（這方程式可以從必歐-沙伐定律推導出來） B = μ 0 I R 2 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}} ； 其中， B {\displaystyle B} 是磁場數值大小， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， I {\displaystyle I} 是電流， R {\displaystyle R} 是線圈半徑， z {\displaystyle z} 是檢驗位置的z-坐標。 對於 n {\displaystyle n} 匝線圈，磁場為 B = μ 0 n I R 2 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}}} 。 現在改變系統為亥姆霍茲線圈，其中心位置為原點。原點與線圈平面之間的垂直距離為 R / 2 {\displaystyle R/2} ，注意到每一個亥姆霍茲線圈有一對線圈，所以，總磁場為 B = 2 μ 0 n I R 2 2 ( R 2 + ( R / 2 ) 2 ) 3 / 2 = ( 4 5 ) 3 / 2 μ 0 n I R {\displaystyle B={\frac {2\mu _{0}nIR^{2}}{2(R^{2}+(R/2)^{2})^{3/2}}}={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}nI}{R}}} 。 更詳細地計算，沿著z-軸的磁場為兩個線圈的貢獻的疊加： B = μ 0 I R 2 2 { [ R 2 + ( z − h / 2 ) 2 ] − 3 / 2 + [ R 2 + ( z + h / 2 ) 2 ] − 3 / 2 } z ^ {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{2}}\left\{\left[R^{2}+(z-h/2)^{2}\right]^{-3/2}+\left[R^{2}+(z+h/2)^{2}\right]^{-3/2}\right\}{\hat {\mathbf {z} }}} 。 在原點附近的磁場，經過一番運算，可以泰勒展開成 z {\displaystyle z} 的冪級數： B = μ 0 I R 2 d 3 [ 1 + 3 ( h 2 − R 2 ) z 2 2 d 4 + 15 ( h 4 − 6 h 2 R 2 + 2 R 4 ) z 4 16 d 8 + … ] z ^ {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}IR^{2}}{d^{3}}}\left[1+{\frac {3(h^{2}-R^{2})z^{2}}{2d^{4}}}+{\frac {15(h^{4}-6h^{2}R^{2}+2R^{4})z^{4}}{16d^{8}}}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}} ； 其中， d = R 2 + h 2 / 4 {\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+h^{2}/4}}} 。 現在設定 h = R {\displaystyle h=R} ，則 z 2 {\displaystyle z^{2}} 項目為零，在原點附近的磁場更加均勻： B = ( 4 5 ) 3 / 2 μ 0 I R [ 1 − 144 125   ( z R ) 4 + … ] z ^ {\displaystyle \mathbf {B} ={\left({\frac {4}{5}}\right)}^{3/2}{\frac {\mu _{0}I}{R}}\left[1-{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}+\dots \right]{\hat {\mathbf {z} }}} 。 磁場不均勻率與 z {\displaystyle z} 的關係式為 Δ B z B z ≈ − 144 125   ( z R ) 4 {\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {z}{R}}\right)^{4}} 。 在 z = ± R / 2 {\displaystyle z=\pm R/2} ，線圈平面與z-軸相交處，磁場數值的差別為 Δ B z B z ≈ − 144 125   ( 1 2 ) 4 ≈ − 7 % {\displaystyle {\frac {\Delta B_{z}}{B_{z}}}\approx -{\frac {144}{125}}\ \left({\frac {1}{2}}\right)^{4}\approx -7\%} 。 麦克斯韦线圈（Maxwell coils） 亥姆霍茲共鳴（英语：Helmholtz resonance） 螺線管 磁振造影 亥姆霍茲線圈內部磁場分析. [2011-07-25]. （原始内容存档于2012-03-24）.  地磁場磁力儀：亥姆霍茲線圈" Archive.is的存檔，存档日期2007-06-28 by Richard Wotiz 2004 喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：Field on Axis of Current Loop. [2011-07-25]. （原始内容存档于2018-10-17）.  Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 226–227, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link) 维基共享资源上的相关多媒体资源：亥姆霍茲線圈 Helmholtz-Coil Fields （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franz Kraft, The Wolfram Demonstrations Project. 加州大學洛杉磯分校的高中電漿實驗室網頁：單獨載流迴圈的磁場精確解 （页面存档备份，存于互联网档案馆）。