同倫

同伦（英語：Homotopic）在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同倫群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。 事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。 給定兩個拓撲空間 X {\displaystyle X\,\!} 和 Y {\displaystyle Y\,\!} 。考慮兩個連續函數 f , g : X → Y {\displaystyle f,\,g\,:\,X\rightarrow Y\,\!} ，若存在一個定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的連續映射 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!} 使得： ∀ x ∈ X , H ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!} ∀ x ∈ X , H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!} 則稱 H {\displaystyle H} 是 f , g {\displaystyle f,\,g} 之间的一个同倫。 如果我们将 H 的第二个参数当作时间，这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变：0 时刻我们得到函数f，1 时刻我们得到函数 g。 我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 f 平滑地转变为函数 g，反之亦然。 另一種觀點是：對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X\,\!} ，函數 H {\displaystyle H\,\!} 定義一條連接 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 與 g ( x ) {\displaystyle g(x)\,\!} 的路徑： γ x : [ 0 , 1 ] → Y , t ↦ H ( x , t ) {\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!} 右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面，Y 是 R3。f，g 是从环面到 R3的连续函数，当动画开始时，f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。 当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时，称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系。以下情形中，同伦关系满足函数的复合： 如果 f1, g1 : X → Y 是同伦的，并且 f2, g2 : Y → Z 是同伦的，则他们的复合 f2 ∘ f1 与 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同伦的。 例一：取 X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} \,\!} , Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!} , f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1\,\!} 及 g ( x ) = − 1 {\displaystyle g(x)=-1\,\!} 。則 f {\displaystyle f\,\!} 與 g {\displaystyle g\,\!} 透過下述函數在 Y {\displaystyle Y\,\!} 中同倫。 H ( x , t ) = 1 − 2 t {\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!} （注意到此例子不依賴於變數 x {\displaystyle x} ，通常並非如此。） 註：「在 Y {\displaystyle Y} 中同倫」的說法提示一個重點：在例一中若將 Y = R {\displaystyle Y=\mathbb {R} \,\!} 代為子空間 Y ′ = R ∗ {\displaystyle Y'=\mathbb {R} ^{*}\,\!} ，則雖然 f {\displaystyle f\,\!} 與 g {\displaystyle g\,\!} 仍取值在 Y ′ {\displaystyle Y'\,\!} ，但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。 例二：取 X = [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=[0,1]\,\!} , Y = C {\displaystyle Y=\mathbb {C} \,\!} , f ( x ) = e 2 i π x {\displaystyle f(x)=e^{2i\pi x}\,\!} 及 g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0\,\!} 。则 f {\displaystyle f\,\!} 描繪一個以原點為圓心的單位圓； g {\displaystyle g\,\!} 停在原點。 f {\displaystyle f\,\!} 與 g {\displaystyle g\,\!} 透過下述連續函數同倫： H ( x , t ) = ( 1 − t ) e 2 i π x {\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!} 幾何上來看，對每個值 t {\displaystyle t\,\!} ，函數 h t ( x ) = H ( x , t ) {\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!} 描繪一個以原點為圓心，半徑 1 − t {\displaystyle 1-t} 的圓。 為定義高階基本群，必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化，正式定義是：設 f , g : X → Y {\displaystyle f,g:X\rightarrow Y} 是連續函數，固定子空間 K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} ；若存在前述同倫映射 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H:X\times [0,1]\rightarrow Y} ，滿足： H ( x , 0 ) = f ( x ) , H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)} ∀ k ∈ K H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) {\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)} 則稱 f , g {\displaystyle f,g} 相對於 K {\displaystyle K} 同倫。若取 K = ∅ {\displaystyle K=\emptyset } ，則回到原先的同倫定義。 給定兩個拓撲空間 E {\displaystyle E\,\!} 與 F {\displaystyle F\,\!} ，我們稱之同倫等價（或稱具相同倫型），当且仅当存在兩個連續映射 f : E → F {\displaystyle f\,:\,E\rightarrow F\,\!} 與 g : F → E {\displaystyle g\,:\,F\rightarrow E\,\!} ，使得： g ∘ f {\displaystyle g\circ f\,\!} 同倫到 E {\displaystyle E\,\!} 的恆等映射 i d E {\displaystyle \mathrm {id} _{E}} 。 f ∘ g {\displaystyle f\circ g\,\!} 同倫到 F {\displaystyle F\,\!} 的恆等映射 i d F {\displaystyle \mathrm {id} _{F}} 。 同胚蘊含同倫，反之則不然，詳見以下例子： 例三： 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到 C ∗ {\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\,\!} ，即去掉一點的平面。 線段 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\,\!} 、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價，它們皆同倫等價於一個點。 同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變，包括有：單連通、同調群及上同調群等等。 同痕（Isotopy）是同倫的加細版；我們進一步要求所論的函數 f : X → Y {\displaystyle f\,:\,X\rightarrow Y\,\!} 和 g : X → Y {\displaystyle g\,:\,X\rightarrow Y\,\!} 是嵌入，並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。 定義如此： f {\displaystyle f\,\!} 與 g {\displaystyle g\,\!} 被稱為同痕的，若且唯若存在連續映射 H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H\,:\,X\times [0,1]\rightarrow Y\,\!} 使之滿足： ∀ x ∈ X , H ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!} ∀ x ∈ X , H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!} 對所有 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]\,\!} ，映射 h t ( x ) = H ( x , t ) {\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)\,\!} 是個嵌入映射。 同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則我們視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。 源自希臘語：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希臘語：τόπος tópos，意为“方位” Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114.  引文格式1维护：日期与年 (link) Homeotopy（英语：Homeotopy） 庞加莱猜想 同倫範疇 同伦类型论 纤维-同伦等价（英语：Fiber-homotopy equivalence） 映射类群（英语：Mapping class group） 正则同伦（英语：Regular homotopy）