邻域系

X {\displaystyle X} 的映射 U : X → P ( P ( X ) ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))} （ P ( P ( X ) ) {\displaystyle P(P(X))} 指 X {\displaystyle X} 的幂集的幂集）。这样 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} 将 X {\displaystyle X} 的每个点 x {\displaystyle x} 映射至 X {\displaystyle X} 的子集族 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 。 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 称为 x {\displaystyle x} 的邻域系（或称邻域系统， U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 的元素称为 x {\displaystyle x} 的邻域），当且仅当对任意的 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ， U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 满足如下邻域公理： U1：若 U ∈ U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则 x ∈ U {\displaystyle x\in U} 。 U2：若 U , V ∈ U ( x ) {\displaystyle U,V\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则 U ∩ V ∈ U ( x ) {\displaystyle U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)} 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。 U3：若 U ∈ U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ， U ⊆ V ⊆ X {\displaystyle U\subseteq V\subseteq X} ，则 V ∈ U ( x ) {\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)} 。 U4：若 U ∈ U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} ，则存在 V ∈ U ( x ) {\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(x)} ，使 V ⊆ U {\displaystyle V\subseteq U} 且对所有 y ∈ V {\displaystyle y\in V} ，有 V ∈ U ( y ) {\displaystyle V\in {\mathfrak {U}}(y)} 。 从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念： 从邻域定义开集： X {\displaystyle X} 的子集 O {\displaystyle O} 是开集，当且仅当对任意 x ∈ O {\displaystyle x\in O} ，有 O ∈ U ( x ) {\displaystyle O\in {\mathfrak {U}}(x)} 。（ O {\displaystyle O} 是其中每个点的邻域）。 从邻域定义开核： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的开核 A ∘ = { x | ∃ U ∈ U ( x ) , U ⊆ A } {\displaystyle A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}} 。 从邻域定义闭包： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ = { x | ∀ U ∈ U ( x ) , U ∩ A ≠ ∅ } {\displaystyle {\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}} 。 参照滤子的定义。给定点x，其邻域系 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。 点 x {\displaystyle x} 的邻域基或局部基 B ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)} ，就是邻域滤子 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 的滤子基。它是 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 的子集，满足：每个x的邻域 U {\displaystyle U} 都存在 B ∈ B ( x ) {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(x)} ，使 B ⊆ U {\displaystyle B\subseteq U} 。 （ B ( x ) ⊆ U ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)\subseteq {\mathfrak {U}}(x)} ，使 ∀ U ∈ U ( x ) {\displaystyle \forall U\in {\mathfrak {U}}(x)} ， ∃ B ∈ B ( x ) : B ⊆ U {\displaystyle \exists B\in {\mathcal {B}}(x):B\subseteq U} ） 反之，给出邻域基 B ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)} ，可以反推出相应的邻域滤子： U ( x ) = { U | ∃ B ∈ B ( x ) , B ⊆ U ⊆ X } {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\{U|\exists B\in {\mathcal {B}}(x),B\subseteq U\subseteq X\}} 。 一个点的邻域系也平凡的是这个点的邻域基。 若拓扑空间X是不可分拓扑，则任何点 x 的邻域系是整个空间 V ( x ) = { X } {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)=\{X\}} 在度量空间中，对于任何点 x，围绕 x 有半径 1/n 的开球序列形成可数邻域基 B ( x ) = { B 1 / n ( x ) ; n ∈ N ∗ } {\displaystyle {\mathcal {B}}(x)=\{B_{1/n}(x);n\in \mathbb {N} ^{*}\}} 。这意味着所有度量空间都是第一可数的。 在半赋范空间中，就是带有由半范数引发的拓扑的向量空间，所有邻域系统可以通过点 0 的邻域系统的平移来构造， V ( x ) = V ( 0 ) + x {\displaystyle {\mathcal {V}}(x)={\mathcal {V}}(0)+x} 。 这是因为向量加法在引发的拓扑中是分离连续的。所以这个拓扑确定自它的在原点的邻域系。更一般的说，只要拓扑是通过平移不变度量或伪度量定义的以上结论就是真的。 非空集合 A 的所有邻域系是叫做 A 的邻域滤子的滤子。 拓扑空间 X 中所有点 x 的局部基的并集是 X 的基。 邻域 基 (拓扑学) 局部凸拓扑向量空间 滤子 (数学) Stephen Willard, General Topology (1970) Addison-Wesley Publishing (See Chapter 2, Section 4)