恆等式列表

數學恆等式列表： 恒等式（英語：Identity Equation）是指等式等号两边永远相等的表达式。恒等式的等号可用恒等号（≡）表示。 以下是常見的乘法公式： 分配律： ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d {\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!} 和平方： ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!} 三項和平方： ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 b c + 2 c a {\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!} 差平方： ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!} 三數差平方： ( a − b − c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 − 2 a b + 2 b c − 2 c a {\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!} 平方和： a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,\!} 平方差： a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!} 和立方： ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!} 差立方： ( a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3 {\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!} 立方和： a 3 + b 3 = ( a + b ) 3 − 3 a b ( a + b ) = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} 立方差： a 3 − b 3 = ( a − b ) 3 + 3 a b ( a − b ) = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!} 等冪求和： a 3 + b 3 + c 3 − 3 a b c = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − a b − b c − c a ) {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!} 等冪和差： a 4 + a 2 b 2 + b 4 = ( a 2 + a b + b 2 ) ( a 2 − a b + b 2 ) {\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!} 平方和、平方差延伸： a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 − 2 a b = ( a − b ) 2 + 2 a b {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!} 多项式平方： ( a + b + c + d ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 2 a b + 2 a c + 2 a d + 2 b c + 2 b d + 2 c d {\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!} 三數和立方： ( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) {\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!} 貝祖等式：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。 二项式逆定理（英语：Binomial inverse theorem）：由伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。 二项式定理：說明了二項式的冪的代數展開的定理。 婆罗摩笈多-斐波那契恒等式： ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c − b d ) 2 + ( a d + b c ) 2 {\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,\!} 坎迪多等式（英语：Candido's identity）： [ x 2 + y 2 + ( x + y ) 2 ] 2 = 2 [ x 4 + y 4 + ( x + y ) 4 ] {\displaystyle \left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]\,\!} 欧拉四平方和恒等式：如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。 Degen八平方和恆等式（英语：Degen's eight-square identity）：如果两个数都能表示为八个平方数的和，则这两个数的积也能表示为八个平方数的和。 歐拉恆等式： e i π + 1 = 0 {\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0} ，包括虛數單位以及二個超越數的等式。 卡西尼及卡塔蘭恆等式（英语：Cassini and Catalan identities）：有關斐波那契数列的等式， F n − 1 F n + 1 − F n 2 = ( − 1 ) n . {\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.} 。 海涅恆等式（英语：Heine's identity）：有關平方根倒數函數的傅里叶展開的恆等式。 海曼恆等式（英语：Hermite's identity）：有關下取整函数（floor）求和的恆等式。 拉格朗日恒等式： ‖ a ‖ 2   ‖ b ‖ 2 − ( a ⋅ b ) 2 = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n ( a i b j − a j b i ) 2   , {\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,} 三角恒等式：許多有關三角函數的恒等式。 Enumerator polynomial（英语：Enumerator polynomial） Matrix determinant lemma（英语：Matrix determinant lemma） 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係 帕塞瓦尔恒等式： ∑ n = − ∞ ∞ | c n | 2 = 1 2 π ∫ − π π | f ( x ) | 2 d x , {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,} ，“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算。 Pfister's sixteen-square identity（英语：Pfister's sixteen-square identity） Sherman–Morrison formula（英语：Sherman–Morrison formula） Sophie Germain identity（英语：Sophie Germain identity） Sun's curious identity（英语：Sun's curious identity） Sylvester's determinant identity（英语：Sylvester's determinant identity） 范德蒙恒等式： ( n + m k ) = ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) {\displaystyle {\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}} ，是有关组合数的求和公式。 伍德伯里矩阵恒等式（英语：Woodbury matrix identity）： ( A + U C V ) − 1 = A − 1 − A − 1 U ( C − 1 + V A − 1 U ) − 1 V A − 1 , {\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},} Exterior calculus identities（英语：Exterior calculus identities） 斐波那契数列和斐波那契数列 Hypergeometric function identities（英语：Hypergeometric function identities） 对数函数积分表 List of topics related to π（英语：List of topics related to π） List of trigonometric identities 反三角函数 对数恒等式 求和符号 向量恆等式列表 數學主題列表（英语：Lists of mathematics topics） 不等式列表 集合和關係列表（英语：List of set identities and relations） Definition of IDENTICAL EQUATION. www.merriam-webster.com. [2022-05-17]. （原始内容存档于2017-08-19） （英语）.  代數恆等式集 A Collection of Algebraic Identities （页面存档备份，存于互联网档案馆） 矩陣恆等式 Matrix Identities （页面存档备份，存于互联网档案馆） Encyclopedia of Equation:等式的百科词典