限制 (數學)

在数学中，映射的限制 f {\displaystyle f} 是一个新的映射，记作 f | A {\displaystyle f\vert _{A}} 或者 f ↾ A {\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}} ，它是通过为原来的映射 f {\displaystyle f} 选择一个更小的定义域 A {\displaystyle A} 来得到的。反过来，也称映射 f {\displaystyle f} 是映射 f | A {\displaystyle f\vert _{A}} 的扩张。 设 f : E → F {\displaystyle f:E\to F} 是一个集合 E {\displaystyle E} 到集合 F {\displaystyle F} 的映射。如果 A {\displaystyle A} 是 E {\displaystyle E} 的子集，那么称满足 ∀ x ∈ A , f | A ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)} 的映射 f | A : A → F {\displaystyle {f|}_{A}:A\to F} 是映射 f {\displaystyle f} 在 A {\displaystyle A} 上的限制。不正式地说， f | A {\displaystyle {f|}_{A}} 是和 f {\displaystyle f} 相同的映射，但只定义在 A {\displaystyle A} 上。 如果将映射 f {\displaystyle f} 看作一种在笛卡尔积 E × F {\displaystyle E\times F} 上的关系 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} ，然后 f {\displaystyle f} 在 A {\displaystyle A} 上的限制可以用它的图像来表示： G ( f | A ) = { ( x , f ( x ) ) ∈ G ( f ) : x ∈ A } = G ( f ) ∩ ( A × F ) , {\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),} 其中 ( x , f ( x ) ) {\displaystyle (x,f(x))} 表示图像 G {\displaystyle G} 中的有序对。 映射 F {\displaystyle F} 称为另一映射的 f {\displaystyle f} 的扩张，当且仅当 F | Dom ⁡ ( f ) = f {\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f} 。也就是说同时满足下面两个条件： 属于 f {\displaystyle f} 之定义域的 x {\displaystyle x} 必然也在 F {\displaystyle F} 的定义域中，即 Dom ⁡ ( f ) ⊆ Dom ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)} ； f {\displaystyle f} 和 F {\displaystyle F} 在它们共同的定义域上的行为相同，即 ∀ x ∈ Dom ⁡ ( f ) , f ( x ) = F ( x ) {\displaystyle \forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)} 。 数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质，但扩张后。如寻找一个线性映射 f {\displaystyle f} 的扩张映射 F {\displaystyle F} ，且 F {\displaystyle F} 仍是线性的，这时说 F {\displaystyle F} 是 f {\displaystyle f} 的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射 f {\displaystyle f} 的扩张映射 F {\displaystyle F} ，且 F {\displaystyle F} 仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。 具有特定性质的扩张可能是唯一的，这时则不必给出扩张映射 F {\displaystyle F} 的详细定义，如稠密子集到豪斯多夫空间的映射的连续扩张。 非单射函数 f : R → R :   x ↦ x 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}} 在域 R + = [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )} 上的限制是 f : R + → R ,   x ↦ x 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}} ，而这是一个单射。 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 1 {\displaystyle 1} ，就得到阶乘函数： Γ | Z + ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!} 。 映射 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 在其整个定义域 X {\displaystyle X} 上的限制即是原函数，即 f | X = f {\displaystyle f|_{X}=f} 。 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 A ⊆ B ⊆ Dom ⁡ ( f ) {\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)} ，则 ( f | B ) | A = f | A {\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}} 。 集合 X {\displaystyle X} 上的恒等映射在集合 A {\displaystyle A} 上的限制即是 A {\displaystyle A} 到 X {\displaystyle X} 的包含映射。 连续函数的限制是连续的。 若某函數存在反函數，其映射必為單射。若映射 f {\displaystyle f} 非單射，可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如： 　　 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 因為 x 2 = ( − x ) 2 {\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}} ，故非單射。但若將定義域限制到 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq {0}} 時該映射為單射，此時有反函數 　　 f − 1 ( y ) = y {\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}} （若限制定義域至 x ≤ 0 {\displaystyle x\leq {0}} ，輸出 y {\displaystyle y} 的負平方根的函數為反函數。）另外，若允許反函數為多值函数，則無需限制原函數的定義域。 點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。 設拓撲空間 A {\displaystyle A} 的子集 X ,   Y {\displaystyle X,\ Y} 同時為開或閉，且滿足 A = X ∪ Y {\displaystyle A=X\cup {Y}} ，設 B {\displaystyle B} 為拓撲空間。若映射 f : A → B {\displaystyle f:A\to {B}} 到 X {\displaystyle X} 及 Y {\displaystyle Y} 的限制都連續，則 f {\displaystyle f} 也是連續的。 基於此結論，粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數，可以得到一個新的連續函數。 層將函數的限制推廣到其他物件的限制。 層論中，拓撲空間 X {\displaystyle X} 的每個開集 U {\displaystyle U} ，有另一個範疇中的物件 F ( U ) {\displaystyle F(U)} 與之對應，其中要求 F {\displaystyle F} 滿足某些性質。最重要的性質是，若一個開集包含另一個開集，則對應的兩個物件之間有限制態射，即若 V ⊆ U {\displaystyle V\subseteq U} ，則有態射 r e s V , U : F ( U ) → F ( V ) {\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)} ，且該些態射應仿照函數的限制，滿足下列條件： 對 X {\displaystyle X} 的每個開集 U {\displaystyle U} ，限制態射 r e s U , U : F ( U ) → F ( U ) {\displaystyle \mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)} 為 F ( U ) {\displaystyle F(U)} 上的恆等態射。 若有三個開集 W ⊆ V ⊆ U {\displaystyle W\subseteq V\subseteq U} ，則複合 r e s W , V ∘ r e s V , U = r e s W , U {\displaystyle \mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}} 。 （局部性）若 ( U i ) {\displaystyle (U_{i})} 為某個開集 U {\displaystyle U} 的開覆蓋，且 s , t ∈ F ( U ) {\displaystyle s,t\in F(U)} 滿足：對所有 i {\displaystyle i} ， s ↾ U i = t ↾ U i {\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}} ，則 s = t {\displaystyle s=t} 。 （黏合) 若 ( U i ) {\displaystyle (U_{i})} 為某個開集 U {\displaystyle U} 的開覆蓋，且對每個 i {\displaystyle i} ，給定截面 s i ∈ F ( U i ) {\displaystyle s_{i}\in F(U_{i})} ，使得對任意兩個 i , j {\displaystyle i,j} ，都有 s i , s j {\displaystyle s_{i},s_{j}} 在定義域重疊部分重合（即 s i ↾ U i ∩ U j = s j ↾ U i ∩ U j {\displaystyle s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}} ），則存在截面 s ∈ F ( U ) {\displaystyle s\in F(U)} 使得對所有 i {\displaystyle i} ， s ↾ U i = s i {\displaystyle s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}} 。 所謂拓撲空間 X {\displaystyle X} 上的層，就是該些物件 F ( U ) {\displaystyle F(U)} 和態射 r e s V , U {\displaystyle \mathrm {res} _{V,U}} 組成的整體 ( F , r e s ) {\displaystyle (F,\mathrm {res} )} 。若僅滿足前兩項條件，則稱為預層。 Stoll, Robert. 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