魏尔施特拉斯分解定理

魏尔施特拉斯分解定理（英語：Weierstrass factorization theorem）是指任意整函数 f ( z ) {\displaystyle f(z)} 可以分解为如下无穷乘积的形式： f ( z ) = {\displaystyle f(z)=} z m e g ( z ) {\displaystyle z^{m}e^{g(z)}} ∏ n = 1 ∞ {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }} ( 1 − z a n ) {\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}})} e z a n + 1 2 ( z a n ) 2 + 1 3 ( z a n ) 3 + ⋯ + 1 h ( z a n ) h {\displaystyle e^{{\tfrac {z}{a_{n}}}+{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{2}+{\tfrac {1}{3}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{3}+\cdots +{\tfrac {1}{h}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{h}}} = z m e g ( z ) ∏ n = 1 ∞ E p n ( z a n ) {\displaystyle =z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)} 其中 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 是另一整函数， h {\displaystyle h} 是上述无穷乘积收敛的最小整数，称为亏格。 E p n {\displaystyle E_{p_{n}}} 是魏尔施特拉斯的基本因子。这种无穷乘积称为典范乘积。求解 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 的方法一般是两边同时取对数再求导数，这样右边就可以化为无穷级数形式，通过对比无穷级数理论中的相关结果得出 g ( z ) {\displaystyle g(z)} 的形式。 英文为primary factors或是elementary factors。也有译为“主要因子”的版本。 对于任意的 n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} ，基本因子 E n ( z ) {\displaystyle E_{n}(z)} 的定义如下： E n ( z ) = ( 1 − z ) exp ⁡ ( h n ( z ) ) h n ( z ) = { 0  if  n = 0 , z 1 1 + z 2 2 + ⋯ + z n n  otherwise.  {\displaystyle {\begin{aligned}&E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)\\&h_{n}(z)={\begin{cases}0&{\text{ if }}n=0,\\{\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}\end{aligned}}} 其中，级数 h n ( z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ + z n n {\displaystyle h_{n}(z)={\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}} 。 对于级数 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} ，有如下性质。以下性质在后续引理的证明中会用到（主要是3.、4.与5.）。 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} 的情况下， h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} 可被展开为 1 1 − z = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=1+z^{1}+z^{2}+z^{3}+\cdots } 。接着两边同时积分，可得 ∫ 1 1 − z d z = − log ⁡ ( 1 − z ) = z 1 1 + z 2 2 + z 3 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{1-z}}dz=-\log(1-z)={\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+\cdots \end{aligned}}} 。所以 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} 的极限可以表示为 h ∞ ( z ) = lim n → ∞ h n ( z ) = − log ⁡ ( 1 − z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)=\lim _{n\to \infty }h_{n}(z)=-\log(1-z)} 。 因为 ( 1 − z ) = exp ⁡ ( log ⁡ ( 1 − z ) ) = exp ⁡ ( − h ∞ ( z ) ) {\displaystyle (1-z)=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-h_{\infty }(z)\right)} ，所以 1 1 − z = exp ⁡ ( h ∞ ( z ) ) {\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\exp \left(h_{\infty }(z)\right)} 。 如果将 h ∞ ( z ) {\displaystyle h_{\infty }(z)} 与 h n ( z ) {\displaystyle h_{n}(z)} 之间的差额定义为新的级数 r n ( z ) = h ∞ ( z ) − h n ( z ) {\displaystyle r_{n}(z)=h_{\infty }(z)-h_{n}(z)} 。 利用2.与3.改写 E n ( z ) {\displaystyle E_{n}(z)} 的定义式： E n ( z ) = ( 1 − z ) exp ⁡ ( h n ( z ) ) = ( 1 − z ) exp ⁡ ( h ∞ ( z ) − r n ( z ) ) = ( 1 − z ) 1 1 − z exp ⁡ ( − r n ( z ) ) = exp ⁡ ( − r n ( z ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&E_{n}(z)=(1-z)\exp \left(h_{n}(z)\right)=(1-z)\exp \left(h_{\infty }(z)-r_{n}(z)\right)\\&\quad =(1-z){\frac {1}{1-z}}\exp \left(-r_{n}(z)\right)=\exp \left(-r_{n}(z)\right)\end{aligned}}} 。改写后的基本因子定义式 E n ( z ) = exp ⁡ ( − r n ( z ) ) {\displaystyle E_{n}(z)=\exp \left(-r_{n}(z)\right)} 将会在后续引理的证明中用到。 将3.的关系写成级数形式： r n ( z ) = z n + 1 n + 1 + z n + 2 n + 2 + z n + 3 n + 3 + ⋯ = ∑ k = n + 1 ∞ z n + 1 n + 1 = z n + 1 n + 1 ∑ k = 0 ∞ n + 1 n + 1 + k z k {\displaystyle r_{n}(z)={\frac {z^{n+1}}{n+1}}+{\frac {z^{n+2}}{n+2}}+{\frac {z^{n+3}}{n+3}}+\cdots =\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {z^{n+1}}{n+1}}={\frac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n+1+k}}z^{k}} 。 利用以上性质，可以证明下面的重要引理。该引理在后续证明魏尔施特拉斯分解定理时有关键性作用。 引理 (15.8, Rudin): 对于 | z | ≤ 1 , n ∈ N 0 {\displaystyle |z|\leq 1,n\in \mathbb {N} _{0}} ， | 1 − E n ( z ) | ≤ | z | n + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|1-E_{n}(z)\right|\leq |z|^{n+1}\end{aligned}}} 成立。 证明： n = 0 {\displaystyle n=0} 时， | 1 − z | ≤ | z | {\displaystyle |1-z|\leq |z|} 显而易见。所以只讨论 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 的情况。 i) 将引理左边的部分（不带绝对值）定义为一个新函数 u n ( z ) = 1 − E n ( z ) = 1 − ( 1 − z ) exp ⁡ h n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)=1-E_{n}(z)=1-(1-z)\exp h_{n}(z)} 。后续称此式为式 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 。 运用性质4.与5.改写式 ( 1 ) {\displaystyle (1)} ： u n ( z ) = 1 − E n ( z ) = 1 − exp ⁡ ( − r n ( z ) ) = 1 − exp ⁡ ( − z n + 1 n + 1 ∑ k = 0 ∞ n + 1 n + 1 + k z k ) = 1 − exp ⁡ ( − z n + 1 n + 1 ) exp ⁡ ( − z n + 2 n + 1 n + 1 n + 2 ) exp ⁡ ( − z n + 3 n + 1 n + 1 n + 3 ) . . . {\displaystyle {\begin{aligned}u_{n}(z)=1-E_{n}(z)=1-\exp \left(-r_{n}(z)\right)=1-\exp \left(-{\frac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n+1+k}}z^{k}\right)=1-\exp(-{\frac {z^{n+1}}{n+1}})\exp {(-{\frac {z^{n+2}}{n+1}}{\frac {n+1}{n+2}})}\exp {(-{\frac {z^{n+3}}{n+1}}{\frac {n+1}{n+3}})}...\end{aligned}}} 将指数部分展开后可得（为了简洁，系数用字母 b , c , d {\displaystyle b,c,d} 表示）： u n ( z ) = 1 − ( 1 − b n + 1 z n + 1 + b 2 n + 2 z 2 n + 2 + . . . ) ( 1 − c n + 2 z n + 2 + c 2 n + 4 z 2 n + 4 + . . . ) ( 1 − d n + 3 z n + 3 + d 2 n + 4 z 2 n + 4 + . . . ) . . . {\displaystyle u_{n}(z)=1-(1-b_{n+1}z^{n+1}+b_{2n+2}z^{2n+2}+...)(1-c_{n+2}z^{n+2}+c_{2n+4}z^{2n+4}+...)(1-d_{n+3}z^{n+3}+d_{2n+4}z^{2n+4}+...)...} 整理后可得， u n ( z ) {\displaystyle u_{n}(z)} 可以用一个新的级数来表示： u n ( z ) = 1 − ( 1 − b n + 1 z n + 1 − c n + 2 z n + 2 − d n + 3 z n + 3 + . . . ) {\displaystyle u_{n}(z)=1-(1-b_{n+1}z^{n+1}-c_{n+2}z^{n+2}-d_{n+3}z^{n+3}+...)} 。将系数统一用 a {\displaystyle a} （如 a 0 = b n + 1 , a 1 = c n + 2 {\displaystyle a_{0}=b_{n+1},a_{1}=c_{n+2}} ）来标注的话， u n ( z ) = z n + 1 ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle u_{n}(z)=z^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} 。 将该结果微分，可得： u n ′ ( z ) = a 0 ( n + 1 ) z n + a 1 ( n + 2 ) z n + 1 + a 2 ( n + 3 ) z n + 2 + . . . {\displaystyle u'_{n}(z)=a_{0}(n+1)z^{n}+a_{1}(n+2)z^{n+1}+a_{2}(n+3)z^{n+2}+...} ii) 将式 ( 1 ) {\displaystyle (1)} 直接微分，可得 u n ′ ( z ) = − E n ′ ( z ) = exp ⁡ h n ( z ) − ( 1 − z ) h n ′ ( z ) exp ⁡ h n ( z ) = exp ⁡ h n ( z ) − ( 1 − z ) 1 − z n 1 − z exp ⁡ h n ( z ) = z n exp ⁡ h n ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&u_{n}^{\prime }(z)=-E_{n}^{\prime }(z)=\exp h_{n}(z)-(1-z)h_{n}^{\prime }(z)\exp h_{n}(z)\\&\quad =\exp h_{n}(z)-(1-z){\frac {1-zn}{1-z}}\exp h_{n}(z)=z^{n}\exp h_{n}(z)\end{aligned}}} 将指数部分展开可得。 u n ′ ( z ) = z n exp ⁡ h n ( z ) = z n exp ⁡ ( z 1 1 + z 2 2 + ⋯ + z n n ) = z n exp ⁡ ( z ) exp ⁡ ( z 2 2 ) exp ⁡ ( z 3 3 ) . . . exp ⁡ ( z n n ) = z n ( ∑ k = 0 ∞ x k k ! ) ( ∑ l = 0 ∞ x 2 l 2 l l ! ) . . . ( ∑ j = 0 ∞ x n j n j j ! ) {\displaystyle u_{n}^{\prime }(z)=z^{n}\exp h_{n}(z)=z^{n}\exp({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}})=z^{n}\exp(z)\exp({\frac {z^{2}}{2}})\exp({\frac {z^{3}}{3}})...\exp({\frac {z^{n}}{n}})=z^{n}(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}})(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {x^{2l}}{2^{l}l!}})...(\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {x^{nj}}{n^{j}j!}})} 结论1：比较i)与ii)的结果。比较 z n {\displaystyle z^{n}} 项可知， a 0 ( n + 1 ) = 1 → a 0 = 1 n + 1 {\displaystyle a_{0}(n+1)=1\to a_{0}={\frac {1}{n+1}}} 。同样的方法比较后续项可知， a k {\displaystyle a_{k}} 皆为正的实数。 iii) 基于 u n {\displaystyle u_{n}} 新设一个级数 v n ( z ) = u n ( z ) z n + 1 = ∑ k = 0 ∞ a k z k {\displaystyle v_{n}(z)={\frac {u_{n}(z)}{z^{n+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}} 。因为极点是一个可消极点，所以这也是一个整函数。计算 v n ( 1 ) = u n ( 1 ) 1 n + 1 = 1 − E n ( 1 ) = 1 − [ ( 1 − 1 ) exp ⁡ ( h n ( 1 ) ) ] = 1 {\displaystyle v_{n}(1)={\frac {u_{n}(1)}{1^{n+1}}}=1-E_{n}(1)=1-[(1-1)\exp \left(h_{n}(1)\right)]=1} 所以在给定的条件 | z | ≤ 1 {\displaystyle |z|\leq 1} 下，运用绝对值不等式的基本性质和结论1： | v n ( z ) | ≤ ∑ k = 0 ∞ | a k ‖ z | k ≤ ∑ k = 0 ∞ a k = v n ( 1 ) = 1  if  | z | ≤ 1 {\displaystyle \left|v_{n}(z)\right|\leq \sum _{k=0}^{\infty }\left|a_{k}\|z\right|^{k}\leq \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=v_{n}(1)=1{\text{ if }}|z|\leq 1} 即， | v n ( z ) | = | u n ( z ) z n + 1 | ≤ 1 → | 1 − E n ( z ) | ≤ | z | n + 1 {\displaystyle \left|v_{n}(z)\right|=\left|{\frac {u_{n}(z)}{z^{n+1}}}\right|\leq 1\to \left|1-E_{n}(z)\right|\leq |z|^{n+1}} 成立。引理(15.8)证明完毕。 复分析 卡尔·魏尔施特拉斯 Alford的《复分析》 Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2. Rudin, W., Real and Complex Analysis 3rd, Boston: McGraw Hill: 301–304, 1987, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .