塞邁雷迪定理

在算術組合學（英语：arithmetic combinatorics）中，塞邁雷迪定理（英語：Szemerédi's theorem）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。 若自然数集的子集 A 滿足 lim sup n → ∞ | A ∩ { 1 , 2 , 3 , … , n } | n > 0 , {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0,} 則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。 定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數 δ ∈ ( 0 , 1 ] , {\displaystyle \delta \in (0,1],} 都存在正整數 N = N ( k , δ ) {\displaystyle N=N(k,\delta )} 使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。 定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界 r k ( N ) = o ( N ) . {\displaystyle r_{k}(N)=o(N).} 換言之，rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。 范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。 塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集（英语：Salem-Spencer set）（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞迈雷迪·安德烈利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。 塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning"). 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论給出的證明，以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析和组合数学給出的證明。陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。 rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為 C N exp ⁡ ( − n 2 ( n − 1 ) / 2 log ⁡ N n + 1 2 n log ⁡ log ⁡ N ) ≤ r k ( N ) ≤ N ( log ⁡ log ⁡ N ) 2 − 2 k + 9 , {\displaystyle CN\exp \left(-n2^{(n-1)/2}{\sqrt[{n}]{\log N}}+{\frac {1}{2n}}\log \log N\right)\leq r_{k}(N)\leq {\frac {N}{(\log \log N)^{2^{-2^{k+9}}}}},} 其中 n = ⌈ log ⁡ k ⌉ . {\displaystyle n=\lceil \log k\rceil .} 歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界 ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)、羅伯特·藍欽（英语：Robert Alexander Rankin），以及埃爾金（Michael Elkin) 先前的成果。上界由高爾斯證出。 對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘、希斯-布朗、塞邁雷迪，以及湯姆·桑德斯依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為 N 2 − 8 log ⁡ N ≤ r 3 ( N ) ≤ C ( log ⁡ log ⁡ N ) 4 log ⁡ N N . {\displaystyle N2^{-{\sqrt {8\log N}}}\leq r_{3}(N)\leq C{\frac {(\log \log N)^{4}}{\log N}}N.} 兩邊的界限分別由歐布萊恩 和布魯姆（Thomas Bloom) 給出。 當 k = 4 時，本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒 證明了存在 c > 0 使得 r 4 ( N ) ≤ C N ( log ⁡ N ) c . {\displaystyle r_{4}(N)\leq C{\frac {N}{(\log N)^{c}}}.} 希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨內勒松（英语：Yitzhak Katznelson）利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。 高爾斯、沃伊傑赫·勒德爾（英语：Vojtěch Rödl）和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特（英语：Mathias Schacht） ，和陶哲軒給出了各自的組合學證明。 亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和維塔利·別爾格爾松（英语：Vitaly Bergelson） 給出定理對多項式列的推廣：若 A ⊂ N {\displaystyle A\subset \mathbb {N} } 的上密度為正，且 p 1 ( n ) , p 2 ( n ) , … , p k ( n ) {\displaystyle p_{1}(n),p_{2}(n),\dotsc ,p_{k}(n)} 為滿足 p i ( 0 ) = 0 {\displaystyle p_{i}(0)=0} 的整值多項式（英语：Integer-valued polynomial），則存在無窮多組 u , n ∈ Z {\displaystyle u,n\in \mathbb {Z} } 使得對 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} 都有 u + p i ( n ) ∈ A . {\displaystyle u+p_{i}(n)\in A.} 萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。 塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。 所謂封頂集（英语：Cap set）問題，就是要找出向量空間 F 3 n {\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}} 所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。 格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（英語：relative) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。大衛·康倫（英语：David Conlon），雅各布·福克斯（英语：Jacob Fox）和趙宇飛 (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。 埃尔德什等差数列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。 與等差數列有關的問題（英语：Problems involving arithmetic progressions） 遍歷拉姆齊理論（英语：Ergodic Ramsey theory） 算術組合學（英语：arithmetic combinatorics） 塞邁雷迪正則性引理 Erdős, Paul; Turán, Paul. 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