数学形态学

数学形态学（Mathematical morphology） 是一门建立在格论和拓扑学基础之上的图像分析学科，是数学形态学图像处理的基本理论。其基本的运算包括：腐蚀和膨胀、开运算和闭运算、骨架抽取、极限腐蚀、击中击不中变换、形态学梯度、Top-hat变换、颗粒分析、流域变换等。 在二值形态学中，一个图案被看做是 n {\displaystyle n} 维欧几里得空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 或网格 Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} 的子集。 在二值结构学中，结构元素为一个二值影像，作为分析影像时使用的「探针」，代表当处理影像上的某点时、要取出周围的哪些点进行运算。 以下是几个常用的结构元素(将原图写作A、结构元素写作B)： 待处理影像为二维类比影像 A ∈ E = R 2 {\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}} ，使用的结构元素B为一以原点为圆心、半径为r的圆盘。 待处理影像为二维类比影像 A ∈ E = R 2 {\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}} ，使用的结构元素B为一以原点为中心的3x3方形。 待处理影像为二维类比影像 A ∈ E = R 2 {\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}} ，使用的结构元素B为一以原点为中心的十字形，或写作 B = { ( − 1 , 0 ) , ( 0 , − 1 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) } {\displaystyle B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}} 。 二值形态学的基础运算子为具平移对称性的、与闵可夫斯基和直接相关的运算子。基础运算子包含膨胀、腐蚀，以及由前两者组合而成的开运算、闭运算。 膨胀(Dilation)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B膨胀後的结果可写为： A ⊕ B = { x | B x ∩ A ≠ ∅ } {\displaystyle A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}} . 其中 B x = { x + b | b ∈ B } {\displaystyle B_{x}=\{x+b|b\in B\}} ，代表结构元素平移x後的点集合，b是图像B的元素的坐标。 另外也可写为： A ⊕ B = ⋃ b ∈ B A − b {\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}} . 同上，其中 A − b {\displaystyle A_{-b}} 是指二值影像A经过平移-b後新的点集合。 腐蚀(Erosion)的定义为「位於某个点的探针(结构元素)是否全都有探测到物件？」一个影像A经过结构元素B腐蚀後的结果可写为： A ⊖ B = { x | B x ⊆ A } = ⋂ b ∈ B A − b {\displaystyle A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}} . 开运算(Opening)与闭运算(Closing)是使用相同结构函数的腐蚀与膨胀的组合： 开运算为先腐蚀再膨胀， A ∘ B = ( A ⊖ B ) ⊕ B {\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B} . 闭运算为先膨胀再腐蚀 A ∙ B = ( A ⊕ B ) ⊖ B {\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B} . 所有的运算子具有平移对称性（英语：Translational_symmetry） 所有的运算子都是递增的，例：如果 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} ，则 A ⊕ B ⊆ C ⊕ B {\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B} 且 A ⊖ B ⊆ C ⊖ B {\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B} 膨胀具有交换律，例： A ⊕ B = B ⊕ A {\displaystyle A\oplus B=B\oplus A} 膨胀具有结合律，例： ( A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) {\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)} ；另外腐蚀则为 ( A ⊖ B ) ⊖ C = A ⊖ ( B ⊕ C ) {\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)} 如果B包含原点(0,0)，则有 A ⊖ B ⊆ A ∘ B ⊆ A ⊆ A ∙ B ⊆ A ⊕ B {\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B} 膨胀与腐蚀间的关系为： A ⊕ B = ( A c ⊖ B s ) c {\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}} ，上标 c {\displaystyle ^{c}} 代表补集，上标 s {\displaystyle ^{s}} 代表对原点的点对称集合。 开运算与闭运算间的关系为： A ∙ B = ( A c ∘ B s ) c {\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}} 膨胀对联集有分配律，例： A ⊕ ( B ∪ C ) = ( A ⊕ B ) ∪ ( A ⊕ C ) {\displaystyle A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)} ；腐蚀对交集有分配律，例： A ⊖ ( B ∩ C ) = ( A ⊖ B ) ∩ ( A ⊖ C ) {\displaystyle A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)} 膨胀与腐蚀为彼此的广义逆运算： A ⊆ ( C ⊖ B ) {\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)} 若且为若 ( A ⊕ B ) ⊆ C {\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C} 开运算与闭运算是冪等的： ( A ∙ B ) ∙ B = A ∙ B {\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B} 数学形态学诞生于1964年，由当时国立巴黎高等矿业学校的马瑟荣（G. Matheron）和赛拉（J. Serra）两人共同奠定了其理论基础。1968年4月法国枫丹白露数学形态学研究中心成立，巴黎矿业学院为中心提供了研究基地。 20世纪数学形态学的发展过程可大致分为： 60年代的孕育和形成期 70年代的充实和发展期 80年代的成熟和对外开放期 90年代至今的扩展期 Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003) 数学形态学的发展史（英文） 图像的膨胀与腐蚀、细化 （页面存档备份，存于互联网档案馆）