克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。 給定一複數變數 ω {\displaystyle \omega } 的複值函數 χ ( ω ) = χ 1 ( ω ) + i χ 2 ( ω ) {\displaystyle {\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )} ，其中 χ 1 {\displaystyle \chi _{1}} 和 χ 2 {\displaystyle \chi _{2}} 是實值函數。假設此函數 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 在複數平面上半部可析，且當 | ω | {\displaystyle |\omega |} 趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比 1 / | ω | {\displaystyle 1/|\omega |} 快或與之相等，那么 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 满足以下關係： χ 1 ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '} 和 χ 2 ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 1 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ , {\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',} 其中 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} 表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。 推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數 χ ( ω ′ ) {\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })} 和實數 ω {\displaystyle \omega } 函數 χ ( ω ′ ) ω ′ − ω {\displaystyle {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}} 在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑： ∮ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ = 0 {\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0} 選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和 | ω | {\displaystyle |\omega |} 成正比，因此只要 χ ( ω ′ ) {\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })} 消失比 1 / ω ′ {\displaystyle {1}/{\omega ^{\prime }}} 快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓： ∮ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ = P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ − i π χ ( ω ) = 0. {\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.} 以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式： χ ( ω ) = 1 i π P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ . {\displaystyle \chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.} 分母裡的虚數 i {\displaystyle i} 意味者這是連系實部和虚部的公式。把 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。 可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数 χ ( t − t ′ ) {\displaystyle \chi (t-t^{\prime })} 概括系統對在時間 t ′ {\displaystyle t^{\prime }} 的作用力 F ( t ′ ) {\displaystyle F(t^{\prime })} 在另一時間 t {\displaystyle t} 的反應 P ( t ) {\displaystyle P(t)} ： P ( t ) = ∫ − ∞ ∞ χ ( t − t ′ ) F ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }} 因為系統不能在施力前有任何反應因此當 t ′ > t {\displaystyle t^{\prime }>t} ， χ ( t − t ′ ) = 0 {\displaystyle \chi (t-t^{\prime })=0} 。 可以證明這因果關係意味着 χ ( τ ) {\displaystyle \chi (\tau )} 的傅立葉變換 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 在 ω {\displaystyle \omega } 複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此 ω {\displaystyle \omega } 很大時， χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。 反應函數 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。 上述函数的积分路径是从 − ∞ {\displaystyle -\infty } 到 ∞ {\displaystyle \infty } ，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为 χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} 是实数变量 χ ( t − t ′ ) {\displaystyle \chi (t-t')} 的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质， χ ( − ω ) = χ ∗ ( ω ) {\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )} ， χ 1 ( ω ) {\displaystyle \chi _{1}(\omega )} 是频率 ω {\displaystyle \omega } 的偶函数，而 χ 2 ( ω ) {\displaystyle \chi _{2}(\omega )} 是 ω {\displaystyle \omega } 的奇函数。 根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} 的区间上。考虑实部 χ 1 ( ω ) {\displaystyle \chi _{1}(\omega )} 的第一个关系，积分函数上下同乘 ω ′ + ω {\displaystyle \omega '+\omega } 可得： χ 1 ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ ω ′ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ + ω π P ∫ − ∞ ∞ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.} 由于 χ 2 ( ω ) {\displaystyle \chi _{2}(\omega )} 为奇函数，第二项为零，剩下的部分为 χ 1 ( ω ) = 2 π P ∫ 0 ∞ ω ′ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.} 类似的推导亦可用于虚部： χ 2 ( ω ) = − 2 π P ∫ 0 ∞ ω χ 1 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ = − 2 ω π P ∫ 0 ∞ χ 1 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.} 该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。 G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.