啁啾質量

在天文物理學裡，一個緻密雙星系統的啁啾質量（chirp mass）定義為 M = ( m 1 m 2 ) 3 / 5 ( m 1 + m 2 ) 1 / 5 {\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}} ； 其中， M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 是啁啾質量， m 1 {\displaystyle m_{1}} 與 m 2 {\displaystyle m_{2}} 是兩個星體的質量。 啁啾質量決定了雙星系統因發射引力波失去能量而形成的前階（英语：leading order）軌道演化現象。由於引力波的頻率與軌道頻率有關，啁啾質量決定了雙星系統在旋近階段所發射出的引力波的頻率演化。在引力波數據分析裡，計算啁啾質量比計算兩個星體的個別質量簡單很多。 給定雙星系統的質量分別為 m 1 {\displaystyle m_{1}} 與 m 2 {\displaystyle m_{2}} ，此系統的啁啾質量為 M = ( m 1 m 2 ) 3 / 5 ( m 1 + m 2 ) 1 / 5 {\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {(m_{1}m_{2})^{3/5}}{(m_{1}+m_{2})^{1/5}}}} 。 啁啾質量也可以用其它常見質量參數來表示： M = μ 3 / 5 M 2 / 5 {\displaystyle {\mathcal {M}}=\mu ^{3/5}M^{2/5}} 、 M = [ q ( 1 + q ) 2 ] 3 / 5 M {\displaystyle {\mathcal {M}}=\left[{\frac {q}{(1+q)^{2}}}\right]^{3/5}M} 、 M = η 3 / 5 M {\displaystyle {\mathcal {M}}=\eta ^{3/5}M} ； 其中， M = m 1 + m 2 {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}} 是總質量， μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} 是約化質量， q = m 1 / m 2 {\displaystyle q=m_{1}/m_{2}} 是質量比， η = m 1 m 2 ( m 1 + m 2 ) 2 {\displaystyle \eta ={\frac {m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}} 是對稱質量比。 在廣義相對論裡，雙星系統的軌道相位演化可以用後牛頓力學近似方法來計算。該方法使用軌道速度 v / c {\displaystyle v/c} 為微擾項來進行展開。一階引力波頻率演化為 d f d t = 96 5 π 8 / 3 ( G M c 3 ) 5 / 3 f 11 / 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}={\frac {96}{5}}\pi ^{8/3}\left({\frac {G{\mathcal {M}}}{c^{3}}}\right)^{5/3}f^{11/3}} ； 其中， f {\displaystyle f} 是頻率， c {\displaystyle c} 是光速， G {\displaystyle G} 是萬有引力常數。 假設能夠測量到引力波信號的頻率與頻率的一階導數，則可估算出啁啾質量： 若要明確知道每個涉及星體的獨自質量，則必須找出後牛頓展開的更高階項。 廣義相對論中的克卜勒問題 重寫方程式（1）為 將方程式（2）對於時間做積分，則可得到 其中， C {\displaystyle C} 是積分常數。 然後，設定 x ≡ t {\displaystyle x\equiv t} 、 y ≡ 3 8 f − 8 / 3 {\displaystyle y\equiv {\frac {3}{8}}f^{-8/3}} ，則可對多個數據點(x, y)做直線擬和，從直線的斜率計算出啁啾質量, Cutler, Curt; Flanagan, Éanna E. Gravitational waves from merging compact binaries: How accurately can one extract the binary's parameters from the inspiral waveform?. Physical Review D. 1994, 49 (6): 2658–2697. Bibcode:1994PhRvD..49.2658C. arXiv:gr-qc/9402014 . doi:10.1103/PhysRevD.49.2658.  L. Blanchet; T. Damour; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational-Radiation Damping of Compact Binary Systems to Second Post-Newtonian order. Phys. Rev. Lett. (Submitted manuscript). 1995, 74 (3515): 3515–3518 [2018-12-20]. Bibcode:1995PhRvL..74.3515B. PMID 10058225. arXiv:gr-qc/9501027 . doi:10.1103/PhysRevLett.74.3515. （原始内容存档于2021-04-27）.  L. Blanchet; B. R. Iyer; C. M. Will; A. G. Wiseman. Gravitational waveforms from inspiralling compact binaries to second-post-Newtonian order. Classical and Quantum Gravity. 1996, 13 (575): 575–584. Bibcode:1996CQGra..13..575B. arXiv:gr-qc/9602024 . doi:10.1088/0264-9381/13/4/002.  Abbott, B. P. Properties of the Binary Black Hole Merger GW150914. Physical Review Letters. 2016, 116 (24): 241102. Bibcode:2016PhRvL.116x1102A. PMID 27367378. arXiv:1602.03840 . doi:10.1103/PhysRevLett.116.241102.  Abbott, B. P. Properties of the binary neutron star merger GW170817. 2018. Bibcode:2018arXiv180511579T. arXiv:1805.11579 .  Tiwari, Vaibhav; Klimenko, Sergei; Necula, Valentin; Mitselmakher, Guenakh. Reconstruction of chirp mass in searches for gravitational wave transients. Classical and Quantum Gravity. January 2016, 33 (1): 01LT01. Bibcode:2016CQGra..33aLT01T. arXiv:1510.02426 . doi:10.1088/0264-9381/33/1/01LT01.