简单函数

简单函数（英語：simple function）又稱單純函數，是实分析中只取有限個實值的可测函数。 集合 Ω {\displaystyle \Omega } 上有Σ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } ，若對函数 f : Ω → R {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } ，存在 A 1 , A 2 , ⋯ , A n ∈ Σ {\displaystyle A_{1},\,A_{2},\cdots ,A_{n}\in \Sigma } 和 a 1 , a 2 , ⋯ , a n ∈ R {\displaystyle a_{1},\,a_{2},\cdots ,a_{n}\in \mathbb {R} } ，使得： f ( x ) = ∑ k = 1 n a k 1 A k ( x ) . {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x).} 其中 1 A {\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}} 代表集合 A {\displaystyle A} 的指示函數，即： 1 A ( x ) = { 1 , if  x ∈ A 0 , if  x ∉ A {\displaystyle {\mathbf {1} }_{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\in A\\0,&{\mbox{if }}x\not \in A\end{matrix}}\right.} 則 f {\displaystyle f} 稱為簡單函數，也就是說，简单函数是可测集合（即 Σ {\displaystyle \Sigma } 的元素）的指示函数的有限线性组合。 半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是{1,2,3,4,5,6,7,8}。 实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。 根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。 定理 — 集合 Ω {\displaystyle \Omega } 上有Σ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } ，任何非负，在 Σ {\displaystyle \Sigma } 上可測的 f : Ω → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:\Omega \to [0,\,\infty )} 都會是某遞增且非負簡單函數序列的逐點極限。更進一步的，若 f {\displaystyle f} 是有界的，则此簡單函數序列是一致收敛至 f {\displaystyle f} 。 證明 对每个正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，把 [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\,\infty )} 分成 2 2 n + 1 {\displaystyle 2^{2n}+1} 個區間，也就是取 I n , k = [ k 2 − n , ( k + 1 ) 2 − n ) {\displaystyle I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)} ，对于 k = 0 , 1 , … , 2 2 n − 1 {\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1} 。 以及 I n , 2 2 n = [ 2 n , ∞ ) {\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )} 然後定义可测集合 A n , k = f − 1 ( I n , k ) {\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})} ，对于 k = 0 , 1 , … , 2 2 n {\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}} 。 則可對每個正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 定義非負简单函数 f n : Ω → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )} 如下 f n ( ω ) = ∑ k = 0 2 2 n k 2 n ⋅ 1 A n , k ( ω ) {\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )} 也就構成了一個非負遞增簡單函數序列 { f n } n ∈ N {\displaystyle {\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }} 。 這樣的話，取任意 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } ， 都存在正整數 n ω ∈ N {\displaystyle n_{\omega }\in \mathbb {N} } 使得 2 n ω > f ( ω ) {\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )} 這樣的話，只要 n > n ω {\displaystyle n>n_{\omega }} 的話，都會存在正整數 k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } 使得 k 2 − n ≤ f ( ω ) < ( k + 1 ) 2 − n {\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}} 所以有 | f ( ω ) − f n ( ω ) | < 2 − n {\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}} 再考慮到，對任意正實數 ϵ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )} ，都存在正整數 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 使得 2 m ϵ > 1 {\displaystyle 2^{m}\epsilon >1} 所以總結一下，對任意正實數 ϵ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )} ，取正整數 n > max ⁡ { m , n ω } {\displaystyle n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}} ，就會有 | f ( ω ) − f n ( ω ) | < 2 − n < ϵ {\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon } 所以簡單函數序列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} 的確會逐点收敛至 f {\displaystyle f} 。 注意到若 f {\displaystyle f} 是有界的，那存在一個跟點 ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } 選取無關的正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 使得 2 n > f ( ω ) {\displaystyle 2^{n}>f(\omega )} 那這樣的話，對任意正實數 ϵ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )} ，取正整數 n ′ > max ⁡ { m , n } {\displaystyle n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}} ，就會得到一致收斂。 ◻ {\displaystyle \Box } 测度 μ : Σ → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )} 定义在 Ω {\displaystyle \Omega } 的Σ-代数 Σ {\displaystyle \Sigma } 上，若簡單函數 f : Ω → R {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } 可表達為 f ( x ) = ∑ k = 1 n a k 1 A k ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x)} 則 f {\displaystyle f} 於某個 E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } 上，對測度 μ {\displaystyle \mu } 的勒贝格积分定義為： ∫ E f d μ := ∑ k = 1 n a k μ ( A k ∩ E ) {\displaystyle \int _{E}f\,d\mu :=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}\cap E)} J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge. S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag. W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill. H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.