对偶范数

对偶范数是数学中泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间的对偶空间时，常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。 给定一个系数域为 F {\displaystyle \mathbb {F} } 赋范向量空间（比如说一个巴拿赫空间）E（其中 F {\displaystyle \mathbb {F} } 通常是实数域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } ），所有从E到 F {\displaystyle \mathbb {F} } 上的连续线性映射（也称为连续线性泛函）的集合称为E的（连续）对偶空间，记作：E' . 可以证明，E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数（ ‖ ⋅ ‖ ′ {\displaystyle \|\cdot \|'} ）是一种自然的范数定义方式，定义为： ∀ f ∈ E ′ , ‖ f ‖ ′ = sup { | f ( x ) | ; ‖ x ‖ ⩽ 1 } = sup { | f ( x ) | ‖ x ‖ ; x ≠ 0 } {\displaystyle \forall f\in E',\;\;\|f\|'=\sup \left\{|f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\right\}=\sup \left\{{\frac {|f(x)|}{\|x\|}};x\neq 0\right\}} 由于E′中的元素的是连续线性泛函，所以按照以上定义的范数必然存在，是一个有限正实数。引进了对偶范数後，E′成为一个赋范线性空间。可以证明，E′在对偶范数下必然是完备的，所以E′是巴拿赫空间。 证明： 给定一个由E′中元素构成的柯西序列： ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，其中每一个 f n {\displaystyle f_{n}} 都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知， ∀ ϵ > 0 , ∃ N ∈ N , {\displaystyle \forall \epsilon >0,\;\;\exists N\in \mathbb {N} ,} 使得 ∀ n , m > N , ‖ f n − f m ‖ ′ < ϵ . {\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .} 所以对E中任何元素x，都有： ∀ n , m > N , | f n ( x ) − f m ( x ) | = | ( f n − f m ) ( x ) | ⩽ ‖ f n − f m ‖ ′ ‖ x ‖ < ϵ ‖ x ‖ . {\displaystyle \forall n,m>N,\;\;|f_{n}(x)-f_{m}(x)|=|(f_{n}-f_{m})(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|<\epsilon \|x\|.} 这说明 ( f n ( x ) ) n ∈ N {\displaystyle \left(f_{n}(x)\right)_{n\in \mathbb {N} }} 是柯西数列，因而收敛：数列的极限存在。定义函数 f : E → F {\displaystyle f:\;\;E\rightarrow \mathbb {F} } 如下： f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) . {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x).} 这样定义的函数f 是连续线性泛函，属于E′。事实上： f 是线性映射： ∀ α , β ∈ F , x , y ∈ E , {\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {F} ,\;\;x,y\in E,} f ( α x + β y ) = lim n → ∞ f n ( α x + β y ) = lim n → ∞ [ α f n ( x ) + β f n ( y ) ] = α lim n → ∞ f n ( x ) + β lim n → ∞ f n ( y ) = α f ( x ) + β f ( y ) . {\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(\alpha x+\beta y)=\lim _{n\to \infty }\left[\alpha f_{n}(x)+\beta f_{n}(y)\right]=\alpha \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)+\beta \lim _{n\to \infty }f_{n}(y)=\alpha f(x)+\beta f(y).} f 是连续映射： 将 ϵ {\displaystyle \epsilon } 定为1，则存在 N 1 ∈ N {\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} } ，使得 ∀ n > N 1 {\displaystyle \forall n>N_{1}} ，都有 ‖ f n − f N 1 ‖ ′ < 1 {\displaystyle \|f_{n}-f_{N_{1}}\|'<1} ，这说明： ∀ n > N 1 , ‖ f n ‖ ′ ⩽ ‖ f N 1 ‖ ′ + 1. {\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;\|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.} 因此， ∀ n > N 1 , x ∈ E , ‖ x ‖ < 1 , {\displaystyle \forall n>N_{1},\;\;x\in E,\;\;\|x\|<1,} 都有 | f n ( x ) | ⩽ ‖ f n ‖ ′ ‖ x ‖ ⩽ ‖ f n ‖ ′ ⩽ ‖ f N 1 ‖ ′ + 1. {\displaystyle |f_{n}(x)|\leqslant \|f_{n}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}\|'\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1.} 当 n {\displaystyle n} 趋向无穷大时，就有： | f ( x ) | ⩽ ‖ f N 1 ‖ ′ + 1 {\displaystyle |f(x)|\leqslant \|f_{N_{1}}\|'+1} 。这说明f 是连续映射。 最后证明f 是序列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 在对偶范数下的极限： 给定 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，总能找到 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ，使得： ∀ n , m > N , ‖ f n − f m ‖ ′ < ϵ , {\displaystyle \forall n,m>N,\;\;\|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon ,} 所以， ∀ x ∈ E , ‖ x ‖ ⩽ 1 , {\displaystyle \forall x\in E,\;\;\|x\|\leqslant 1,} | f n ( x ) − f m ( x ) | ⩽ ‖ f n − f m ‖ ′ ‖ x ‖ ⩽ ‖ f n − f m ‖ ′ < ϵ . {\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'\|x\|\leqslant \|f_{n}-f_{m}\|'<\epsilon .} 当 m {\displaystyle m} 趋向无穷大时，就有： | f n ( x ) − f ( x ) | ⩽ ϵ . {\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leqslant \epsilon .} 因此， ∀ n > N , ‖ f n − f ‖ ′ = sup { | f n ( x ) − f ( x ) | ; ‖ x ‖ ⩽ 1 } ⩽ ϵ . {\displaystyle \forall n>N,\;\;\|f_{n}-f\|'=\sup\{|f_{n}(x)-f(x)|;\;\|x\|\leqslant 1\}\leqslant \epsilon .} 这说明序列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。 给定两个大于1的实数p和q。如果两者满足： 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} ，那么序列空间 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 和 ℓ q {\displaystyle \ell ^{q}} 互相是对偶空间（在同构的意义上）。 ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} 装备的是序列p-范数之时，它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的 ℓ q {\displaystyle \ell ^{q}} 建立等距同构。当 p = q = 2 {\displaystyle p=q=2} 时，以上性质说明， ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 和自身对偶。