反距离加权

反距离加权（英語：inverse distance weighting，IDW）是一种在有已知的离散数据点的情形下进行多元插值（英语：Multivariate interpolation）的确定性算法。赋给未知点的值是用已知点的值的加權平均數计算得出的。该算法也可在空间自相关分析（例如莫兰指数）中用于构建空间权重矩阵。 该方法的名称来自其加权的方式：未知点到每个已知点的距离的倒数。 对于给定的离散数据点，我们希望以一个函数 u {\displaystyle u} 对研究区域进行插值： u ( x ) : x → R , x ∈ D ⊂ R n , {\displaystyle u(x):x\to \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbf {D} \subset \mathbb {R} ^{n},} 其中 D {\displaystyle \mathbf {D} } 是研究区域。 N {\displaystyle N} 个已知数据点可以视为元组列表： [ ( x 1 , u 1 ) , ( x 2 , u 2 ) , . . . , ( x N , u N ) ] . {\displaystyle [(x_{1},u_{1}),(x_{2},u_{2}),...,(x_{N},u_{N})].} 该函数应当是“平滑的”（连续且一次可微），确定的（ u ( x i ) = u i {\displaystyle u(x_{i})=u_{i}} ），并满足用户对研究的现象的直观预期。此外，该功能应能够以合理成本在电脑应用上实现（如今，基本实现方法中可能会用到并行计算）。 自1965年起，在哈佛计算机图形和空间分析实验室，各专业的科学家汇聚一堂，重新思考现在称作“地理信息系统”的各种问题。 实验室工作的推动者霍华德·费舍尔（Howard Fisher）构思了一种改良的计算机绘图程序：SYMAP，其设计伊始，费舍尔就希望对插值进行改进。他向哈佛大学新生展示了SYMAP的进展，而后许多新生参与了实验室活动。一位大一新生唐纳德·谢泼德（Donald Shepard）决定对SYMAP中的插值法进行大改，随后发表了他1968年的著名论文。 谢泼德的算法也受到William Warntz和实验室其他从事空间分析工作的人的理论方法的影响。他用距离的指数进行了许多实验，决定更接近重力模型（-2的指数）。谢泼德不仅实现了基本的反距离加权，还允许障碍（包括可渗透的和绝对的）插值。 其他研究机构此时也在研究插值，特别是堪萨斯大学及其SURFACE II计划。但SYMAP的功能仍是最先进的，尽管是由本科生编写的。 给定一组样本点 { x i , u i | for  x i ∈ R n , u i ∈ R } i = 1 N {\displaystyle \{\mathbf {x} _{i},u_{i}|{\text{for }}\mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n},u_{i}\in \mathbb {R} \}_{i=1}^{N}} ，反距离加权插值函数 u ( x ) : R n → R {\displaystyle u(\mathbf {x} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } 定义为： u ( x ) = { ∑ i = 1 N w i ( x ) u i ∑ i = 1 N w i ( x ) , if  d ( x , x i ) ≠ 0  for all  i , u i , if  d ( x , x i ) = 0  for some  i , {\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\dfrac {\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )u_{i}}}{\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )}}},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})\neq 0{\text{ for all }}i,\\u_{i},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})=0{\text{ for some }}i,\end{cases}}} 其中 w i ( x ) = 1 d ( x , x i ) p {\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}} 这是一个简单的反距离加权函数，其定义由谢泼德提出，x表示一个被插值点（未知点），xi表示一个节点（已知点）， d {\displaystyle d} 是从已知点xi到未知点x的给定距离（度规算符），N是插值中使用的已知点的总数，并且 p {\displaystyle p} 是一个正实数，称为幂参数。 其中，权重随着与已知点的距离的增加而减小。 p {\displaystyle p} 值越大，则最邻近已知点的对插值的影响越大，当 p {\displaystyle p} 足够大时，插值结果形似马赛克多边形（沃罗诺伊图），每一个多边形内的数值几乎为恒定值。对于二维面，幂参数 p ≤ 2 {\displaystyle p\leq 2} 时，插值由距离较远的点主导，因为密度为 ρ {\displaystyle \rho } 、邻近节点距离为 r 0 {\displaystyle r_{0}} 至 R {\displaystyle R} 之间的数据点集，权重的加和约为 ∑ j w j ≈ ∫ r 0 R 2 π r ρ d r r p = 2 π ρ ∫ r 0 R r 1 − p d r , {\displaystyle \sum _{j}w_{j}\approx \int _{r_{0}}^{R}{\frac {2\pi r\rho \,dr}{r^{p}}}=2\pi \rho \int _{r_{0}}^{R}r^{1-p}\,dr,} 其在 R → ∞ {\displaystyle R\rightarrow \infty } 且 p ≤ 2 {\displaystyle p\leq 2} 时发散。对于M维，同样的结论适用于 p ≤ M {\displaystyle p\leq M} 。对于 p {\displaystyle p} 值的选择，可以考虑插值中所需的平滑程度、被插值的样本密度和分布，以及允许单个样本影响周围样本的最大距离。 谢泼德法是最小化与插值点{x, u}的元组和插值点{xi, ui}的i元组之间的偏差度量相关的函数的结果，定义为： ϕ ( x , u ) = ( ∑ i = 0 N ( u − u i ) 2 d ( x , x i ) p ) 1 p , {\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{i=0}^{N}{\frac {(u-u_{i})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},} 从最小化条件导出： ∂ ϕ ( x , u ) ∂ u = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.} 该方法容易扩展到其他维数的空间，它实际上是将拉格朗日插值法推广到多维空间。为三元插值设计的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms库中的算法661提供该算法。 谢泼德法的另一个修改版是仅使用半径R范围内的最近邻（而不是完整样本）来计算插值。在这种情况下，权重略有修改： w k ( x ) = ( max ( 0 , R − d ( x , x k ) ) R d ( x , x k ) ) 2 . {\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\max(0,R-d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))}{Rd(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}}\right)^{2}.} 当与快速空间搜索结构（如k-d树）结合使用时，它即为适用于大尺度问题的高效N log N插值方法。 距离衰减 核密度估计 Spatial Autocorrelation (Global Moran's I) (Spatial Statistics). ArcGIS Pro Documentation. ESRI. [13 September 2022]. （原始内容存档于2022-10-31）.  Chrisman, Nicholas. History of the Harvard Laboratory for Computer Graphics: a Poster Exhibit (PDF).  Shepard, Donald. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data. Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524. 1968. doi:10.1145/800186.810616.