二次函数

在数学中，二次函数（英語：quadratic function）表示形为 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} （ a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0\,\!} ，且 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 是常数）的多项式函数，其中， x {\displaystyle x} 为自变量， a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数的图像是一条主轴平行于 y {\displaystyle y} 轴的抛物线。 二次函数表达式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 的定义是一个二次多项式，因为 x {\displaystyle x} 的最高冪次是2。 如果令二次函数的值等于零，则可得一个一元二次方程式、二次方程式。该方程的解称为方程的根或函数的零点。 大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得用使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。 11世纪阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。 二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!} 的两个根为： x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 解方程后，我们会得到两个根： x 1 {\displaystyle x_{1}} 和 x 2 {\displaystyle x_{2}} 。则点 ( x 1 , 0 ) {\displaystyle (x_{1},0)} 和 ( x 2 , 0 ) {\displaystyle (x_{2},0)} 就是二次函数与 x {\displaystyle x} 轴的交点。根的类型如下： 设 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,} 為一元二次方程式的判別式，又記作D。 當 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0\,\!} ，则方程有两个不相等的根，也即与 x {\displaystyle x} 轴有两个不重疊的交点，因为 Δ {\displaystyle {\sqrt {\Delta }}} 是正数。 當 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0\,\!} ，则方程有两个相等的根，也即与 x {\displaystyle x} 轴有一个切点，因为 Δ {\displaystyle {\sqrt {\Delta }}} 是零。 當 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0\,\!} ，则方程没有實數根，也即与 x {\displaystyle x} 轴没有交点，因为 Δ {\displaystyle {\sqrt {\Delta }}} 是共軛複數。 设 r 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 和 r 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} ，我们可以把 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!} 因式分解为 a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystyle a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 。 二次函数可以表示成以下三种形式： f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} 称为一般形式或多项式形式。 f ( x ) = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} 称为因子形式或交点式，其中 r 1 {\displaystyle r_{1}} 和 r 2 {\displaystyle r_{2}} 是二次方程的两个根， ( r 1 , 0 ) {\displaystyle (r_{1},0)} , ( r 2 , 0 ) {\displaystyle (r_{2},0)} 是抛物线与 x {\displaystyle x} 轴的两个交点。 f ( x ) = a ( x − h ) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!} 称为标准形式或顶点形式， ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} 即為此二次函數的頂點。 把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根 r 1 {\displaystyle r_{1}} 和 r 2 {\displaystyle r_{2}} ，或是利用十字交乘法（適用於有理數）。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用配方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。 h {\displaystyle h} 代表了二次函數的對稱軸，因此兩根的平均數即為 h {\displaystyle h} k {\displaystyle k} 展開後比較後可得 k = − a ( | r 1 − r 2 | 2 ) 2 {\displaystyle k=-a\left({\frac {|r_{1}-r_{2}|}{2}}\right)^{2}} 不通過 r 1 {\displaystyle r_{1}} 和 r 2 {\displaystyle r_{2}} 求 k {\displaystyle k} 及 h {\displaystyle h} 公式： h = − b 2 a {\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}} k = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle k=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}} (也作 k = 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle k={\frac {4ac-b^{2}}{4a}}} ) 而在三種形式中皆出現的 a {\displaystyle a} 為此二次函數的領導係數，決定二次函數圖像開口的大小與方向。 系数 a {\displaystyle a} 控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，即二次函数开口方向和大小。 | a | {\displaystyle |a|} 越大，开口越小，函数就增长得越快。 系数 b {\displaystyle b} 和 a {\displaystyle a} 控制了抛物线的对称轴（以及顶点的 x {\displaystyle x} 坐标）。 系数 b {\displaystyle b} 控制了抛物线穿过 y {\displaystyle y} 轴时的倾斜度（导数）。 系数 c {\displaystyle c} 控制了抛物线最低点或最高点的高度，它是抛物线与 y {\displaystyle y} 轴的交点。 当函数与 x {\displaystyle x} 轴有两个交点时，设这两个交点分别为 A ( x 1 , 0 ) , B ( x 2 , 0 ) {\displaystyle A(x_{1},0),\,B(x_{2},0)} ，由根与系数的关系得出： x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} 和 x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} ∴ A B = | x 2 − x 1 | = | ( x 2 − x 1 ) 2 | = | ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 | = | ( − b a ) 2 − 4 c a | = | b 2 a 2 − 4 a c a 2 | = | b 2 − 4 a c a 2 | = b 2 − 4 a c | a |         或         Δ | a | {\displaystyle {\begin{aligned}\therefore AB&=|x_{2}-x_{1}|\\&=\left|{\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {4c}{a}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4ac}{a^{2}}}}}\right|\\&=\left|{\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}\right|\\&={\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{|a|}}\ \ \ \ {\text{或}}\ \ \ \ {\frac {\sqrt {\Delta }}{|a|}}\end{aligned}}} 抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为 ( h , k ) {\displaystyle (h,k)\,\!} 。用配方法，可以把一般形式 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} 化为： f ( x ) = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}} 因此在一般形式中，抛物线的顶点是： ( − b 2 a , − Δ 4 a ) {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)} 如果二次函数是因子形式 f ( x ) = a ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) {\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!} ，则两个根的平均数 r 1 + r 2 2 {\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!} 就是顶点的 x {\displaystyle x} 坐标，因此顶点位于 ( r 1 + r 2 2 , f ( r 1 + r 2 2 ) ) {\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right)\!} a < 0 {\displaystyle a<0\,\!} 时，顶点也是最大值； a > 0 {\displaystyle a>0\,\!} 时，则是最小值。 经过顶点的竖直线 x = h = − b 2 a {\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}} 又称为抛物线的对称轴。 函数的最大值和最小值总是在驻点（又称临界点，稳定点）取得。以下的方法是用导数法来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。 设有函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!} ，寻找它的極值时，我们必须先求出它的导数： f ( x ) = a x 2 + b x + c ⇔ f ′ ( x ) = 2 a x + b {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b\,\!} 然后，求出 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,\!} 的根： 2 a x + b = 0 ⇒ 2 a x = − b ⇒ x = − b 2 a {\displaystyle 2ax+b=0\Rightarrow \,\!2ax=-b\Rightarrow \,\!x=-{\frac {b}{2a}}} 因此， − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} 的 x {\displaystyle x\,\!} 值。现在，为了求出 y {\displaystyle y\,\!} ，我们把 x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 代入 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,\!} ： y = a ( − b 2 a ) 2 + b ( − b 2 a ) + c ⇒ y = a b 2 4 a 2 − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 4 a − b 2 2 a + c ⇒ y = b 2 − 2 b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − b 2 + 4 a c 4 a ⇒ y = − ( b 2 − 4 a c ) 4 a ⇒ y = − Δ 4 a {\displaystyle y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}} 所以，最大值或最小值的坐标为： ( − b 2 a , − Δ 4 a ) {\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right)} f ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x ) + c = a [ x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 ] + c − a ( b 2 a ) 2 = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c 4 a − b 2 4 a = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x)+c\\&=a\left[x^{2}+{\frac {b}{a}}x+({\frac {b}{2a}})^{2}\right]+c-a({\frac {b}{2a}})^{2}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}\\&=a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\\\end{aligned}}} 由於實數的二次方皆大於等於0，因此當 x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 時， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 有最大或最小值 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle {\frac {4ac-b^{2}}{4a}}} 。 二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果 a > 0 {\displaystyle a>0\,\!} ，则方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果 a < 0 {\displaystyle a<0\,\!} ，则方程 y = ± a x 2 + b x + c {\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线 y p = a x 2 + b x + c {\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!} 的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。 二元二次函数是以下形式的二次多项式： f ( x , y ) = A x 2 + B y 2 + C x + D y + E x y + F {\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!} 这个函数描述了一个二次曲面。把 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)\,\!} 设为零，则描述了曲面与平面 z = 0 {\displaystyle z=0\,\!} 的交线，它是一条圆锥曲线。 如果 4 A B − E 2 < 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}<0\,} ，则函数没有最大值或最小值，其图像是双曲抛物面。 如果 4 A B − E 2 > 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}>0\,} ，则当 A > 0 {\displaystyle A>0} 时函数具有最小值，当 A < 0 {\displaystyle A<0} 具有最大值。其图像是椭圆抛物面。 二元二次函数的最大值或最小值在点 ( x m , y m ) {\displaystyle (x_{m},y_{m})\,} 取得，其中： x m = − 2 B C − D E 4 A B − E 2 {\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}}} y m = − 2 A D − C E 4 A B − E 2 {\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}} 如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E ≠ 0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,} ，则函数没有最大值或最小值，其图像是抛物柱面。 如果 4 A B − E 2 = 0 {\displaystyle 4AB-E^{2}=0\,} 且 D E − 2 C B = 2 A D − C E = 0 {\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0\,} ，则函数在一条直线上取得最大值/最小值。当 A > 0 {\displaystyle A>0} 时取得最大值， A < 0 {\displaystyle A<0} 时取得最小值。其图像也是抛物柱面。 注：自变量 x {\displaystyle x} 的取值范围为任何实数 参见婆羅摩笈多#代數 参见花拉子米#代數 参见韦达定理 数学. 北京: 北京师范大学出版社. 2014. ISBN 9787303136933.  使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 贾士代. 初中代数41讲. 北京: 首都师范大学出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7.  WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. （原始内容存档于2015-07-29）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆） 《代数1》， Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 《代数2》，Saxon, ISBN 0-939798-62-X 抛物线 埃里克·韦斯坦因. Quadratic. MathWorld.