札克变换

在数学中，札克变换 （英文：Zak Transform，也称盖尔范德映射）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。 札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。 在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 为实变量t的函数, f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是t ，另一个变量用w表示，可由如下多种方式定义： 设a为大于0的常数， f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的连续时间札克变换可定义如下： Z a [ f ] ( t , w ) = a ∑ k = − ∞ ∞ f ( a t + a k ) e − 2 π k w i {\displaystyle Z_{a}[f](t,w)={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}} 在定义1中，有时取a = 1。 在这种情况下， f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的连续时间札克变换可以简化为： Z [ f ] ( t , w ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k ) e − 2 π k w i {\displaystyle Z[f](t,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}} 有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的连续时间札克变换为： Z [ f ] ( t , ν ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k ) e − k ν i {\displaystyle Z[f](t,\nu )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}} 设T为为大于0的常数。 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的连续时间札克变换也可由下式定义： Z T [ f ] ( t , w ) = T ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k T ) e − 2 π k w T i {\displaystyle Z_{T}[f](t,w)={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}} 此时，t与w满足： 0 ⩽ t ⩽ T {\displaystyle 0\leqslant t\leqslant T} , 0 ⩽ w ⩽ 1 T {\displaystyle 0\leqslant w\leqslant {\frac {1}{T}}} 试求如下函数的札克变换： ϕ ( t ) = { 1 , 0 ≤ t < 1 0 , otherwise {\displaystyle \phi (t)={\begin{cases}1,&0\leq t<1\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 解： Z [ ϕ ] ( t , w ) = e − 2 π ⌈ − t ⌉ w i {\displaystyle Z[\phi ](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}} 其中 ⌈ − t ⌉ {\displaystyle \lceil -t\rceil } 表示不小于 − t {\displaystyle -t} 的最小整数（ceil函数）。 以下讨论中的札克变换均采用定义二： 1.线性 设a和b为任意复数，则： Z [ a f + b g ] ( t , w ) = a Z [ f ] ( t , w ) + b Z [ g ] ( t , w ) {\displaystyle Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)} 2.周期性 Z [ f ] ( t , w + 1 ) = Z [ f ] ( t , w ) {\displaystyle Z[f](t,w+1)=Z[f](t,w)} 3.准周期性 Z [ f ] ( t + 1 , w ) = e 2 π w i Z [ f ] ( t , w ) {\displaystyle Z[f](t+1,w)=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)} 4.共轭性 Z [ f ¯ ] ( t , w ) = Z [ f ] ¯ ( t , − w ) {\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,w)={\overline {Z[f]}}(t,-w)} 5.对偶性 若 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 是偶函数，则： Z [ f ] ( t , w ) = Z [ f ] ( − t , − w ) {\displaystyle Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)} 若 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 是奇函数，则： Z [ f ] ( t , w ) = − Z [ f ] ( − t , − w ) {\displaystyle Z[f](t,w)=-Z[f](-t,-w)} 6.卷积性 令 ⋆ {\displaystyle \star } 表示对变量t的卷积： Z [ f ⋆ g ] ( t , w ) = Z [ f ] ( t , w ) ⋆ Z [ g ] ( t , w ) {\displaystyle Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)} 给定函数的札克变换，原函数可用下式计算： f ( t ) = ∫ 0 1 Z [ f ] ( t , w ) d w . {\displaystyle f(t)=\int _{0}^{1}Z[f](t,w)\,dw.} 设 f ( n ) {\displaystyle f(n)} 是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足 n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } 。与连续时间札克变换相同， f ( n ) {\displaystyle f(n)} 的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是 n {\displaystyle n} ，另一个变量是一个实数，表示为 w {\displaystyle w} ；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式： 函数的离散札克变换 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ，记为 Z [ f ] {\displaystyle Z[f]} ，由下式定义，其中 n {\displaystyle n} 是一个整数： Z [ f ] ( n , w ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( n + k ) e − 2 π k w i . {\displaystyle Z[f](n,w)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.} 给定函数的离散札克变换 f ( n ) {\displaystyle f(n)} ，原函数可用下式计算： f ( n ) = ∫ 0 1 Z [ f ] ( n , w ) d w . {\displaystyle f(n)=\int _{0}^{1}Z[f](n,w)\,dw.} 札克变换在物理学中的量子场论、 电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。 Zak transform. Encyclopedia of Mathematics. [15 December 2014]. （原始内容存档于2014-12-19）.  Alexander D. Poularikas (编). Transforms and Applications Handbook 3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4.  J. Klauder, B.S. Skagerstam. Coherent States. World Scientific. 1985.