带宽 (图论)

图论中，图带宽问题是用不同整数 f ( v i ) {\displaystyle f(v_{i})} 给图G的n个顶点 v i {\displaystyle v_{i}} 贴上标签，使得量 max { | f ( v i ) − f ( v j ) | : v i v j ∈ E } {\displaystyle \max\{\,|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}} 最小化的问题（其中E是G的边集）。 这问题可以形象理解为，将图的顶点置于沿x轴的不同整数点上，使最长边最短的问题。这种放置称作线性图排列（linear graph arrangement）、线性图布局（linear graph layout）或线性图放置（linear graph placement）。 加权图带宽问题是广义化，其中边被赋权 w i j {\displaystyle w_{ij}} ，需要最小化的损失函数为 max { w i j | f ( v i ) − f ( v j ) | : v i v j ∈ E } . {\displaystyle \max\{\,w_{ij}|f(v_{i})-f(v_{j})|:v_{i}v_{j}\in E\,\}.} 就矩阵而言，（无权）图带宽是对称矩阵（图的邻接矩阵）的最小带宽。带宽也可定义为比给定图的紧合区间超图的最大团大小小1，其中超图最小化了团大小。(Kaplan & Shamir 1996) 对部分图族，带宽 φ ( G ) {\displaystyle \varphi (G)} 有明确公式给出。 n顶点上的路径图 P n {\displaystyle P_{n}} 的带宽是1，对于完全图 K m {\displaystyle K_{m}} 我们有 φ ( K n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (K_{n})=n-1} 。对完全二分图 K m ,   n {\displaystyle K_{m,\ n}} ，有 φ ( K m , n ) = ⌊ ( m − 1 ) / 2 ⌋ + n {\displaystyle \varphi (K_{m,n})=\lfloor (m-1)/2\rfloor +n} ，其中 m ≥ n ≥ 1 , {\displaystyle m\geq n\geq 1,} 由Chvátal证明。星图 S k = K k , 1 {\displaystyle S_{k}=K_{k,1}} 是此公式的特例， k + 1 {\displaystyle k+1} 个顶点上的星图带宽为 φ ( S k ) = ⌊ ( k − 1 ) / 2 ⌋ + 1 {\displaystyle \varphi (S_{k})=\lfloor (k-1)/2\rfloor +1} 。 2 n {\displaystyle 2^{n}} 个顶点上的超立方图 Q n {\displaystyle Q_{n}} 的带宽，Harper (1966)确定为 φ ( Q n ) = ∑ m = 0 n − 1 ( m ⌊ m / 2 ⌋ ) . {\displaystyle \varphi (Q_{n})=\sum _{m=0}^{n-1}{\binom {m}{\lfloor m/2\rfloor }}.} Chvatálová证明， m × n {\displaystyle m\times n} 方格图 P m × P n {\displaystyle P_{m}\times P_{n}} （m、n个顶点上两个路径图之笛卡尔积）的带宽等于 m i n { m ,   n } {\displaystyle {\rm {min}}\{m,\ n\}} 。 图的带宽可用各种图参数约束。例如，令 χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 表示G的色数： φ ( G ) ≥ χ ( G ) − 1 ; {\displaystyle \varphi (G)\geq \chi (G)-1;} 令 d i a m ( G ) {\displaystyle {\rm {diam}}(G)} 表示G的直径，则有不等式： ⌈ ( n − 1 ) / diam ⁡ ( G ) ⌉ ≤ φ ( G ) ≤ n − diam ⁡ ( G ) , {\displaystyle \lceil (n-1)/\operatorname {diam} (G)\rceil \leq \varphi (G)\leq n-\operatorname {diam} (G),} 其中n是G中顶点数。 k带宽图G的径宽不大于k(Kaplan & Shamir 1996)，其树深不大于 k log ⁡ ( n / k ) {\displaystyle k\log(n/k)} (Gruber 2012)。如上节所述，星图 S k {\displaystyle S_{k}} 作为结构非常简单的树，带宽相对较大。注意 S k {\displaystyle S_{k}} 的径宽为1，树深为2。 一些度有界图族具有亚线性带宽：Chung (1988)证明，若T是最大度不大于∆的树，则 φ ( T ) ≤ 5 n log Δ ⁡ n . {\displaystyle \varphi (T)\leq {\frac {5n}{\log _{\Delta }n}}.} 更一般地说，对最大度不大于∆的平面图，类似约束也成立（参Böttcher et al. 2010）： φ ( G ) ≤ 20 n log Δ ⁡ n . {\displaystyle \varphi (G)\leq {\frac {20n}{\log _{\Delta }n}}.} 加与不加权的两类带宽计算问题都是二次瓶颈分配问题的特例。 带宽问题是NP困难的，即便对特例也如此。众所周知，带宽在任何常数范围内的近似都是NP难的，对最大毛长为2的毛虫树也如此(Dubey, Feige & Unger 2010)。 对稠密图，Karpinski, Wirtgen & Zelikovsky (1997)设计了一种3近似算法。 另一方面，我们也知道一些多项式可解的特例。Cuthill–McKee算法就是获得低带宽线图布局的启发式算法。图带宽计算的快速多层算法是在中提出的。 对带宽问题的兴趣来自一些应用领域。 例如稀疏矩阵/带状矩阵处理与此领域的一般算法，如Cuthill–McKee算法，可用于寻找图带宽问题的近似解。 还有电子设计自动化。标准单元设计方法中，标准单元一般具有相同的高度，布局为若干行。这时，图带宽问题建模了将一组标准单元放置在单行中的问题，其目标是使最大传播延迟（假定与导线长度成正比）最小化。 割宽与径宽 (Chinn et al. 1982) "Coping with the NP-Hardness of the Graph Bandwidth Problem", Uriel Feige, Lecture Notes in Computer Science, Volume 1851, 2000, pp. 129-145, doi:10.1007/3-540-44985-X_2 A remark on a problem of Harary. 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