张量 (内蕴定义)

在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free（英语：component-free））方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。 在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。 给定域 F {\displaystyle F} 上一个有限向量空间集合 { V 1 , . . . , V n } {\displaystyle \left\{V_{1},...,V_{n}\right\}} ，我们可以考虑他们的张量积 V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}} 。这个张量积中的一个元素称为一个张量（但这不是本文讨论的张量概念）。 向量空间 V {\displaystyle V} 上的张量定义成具有形式 V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} 的向量空间中的一个元素（即向量），这里 V* 是 V 的对偶空间。 如果在我们的积中有 m {\displaystyle m} 个 V {\displaystyle V} 与 n {\displaystyle n} 个 V ∗ {\displaystyle V^{*}} ，张量称为 ( m , n ) {\displaystyle \left(m,n\right)} 型，具有反变（contravariant）阶数 m {\displaystyle m} 与共变（covariant，也稱協變）阶数 n {\displaystyle n} ，总阶数为 m + n {\displaystyle m+n} 。零阶张量就是数量（域 F {\displaystyle F} 中的元素），1 阶反边张量是 V {\displaystyle V} 中的向量，1 阶共变张量是 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 中的1-形式（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。 ( 1 , 1 ) {\displaystyle \left(1,1\right)} 型张量 V ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes V^{*}} 自然同构于从 V {\displaystyle V} 到 V {\displaystyle V} 的线性变换空间。一个实向量空间 V {\displaystyle V} 的内积自然对应于 ( 0 , 2 ) {\displaystyle \left(0,2\right)} 张量 V ∗ ⊗ V ∗ {\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}} 称为相应的度量，一般记作 g {\displaystyle g} 。 文献中通常不写出完整的张量积以表示 ( m , n ) {\displaystyle \left(m,n\right)} 型张量的空间，而使用缩写： T n m ( V ) = V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ m n . {\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.} 这个空间的另外一种记法是用从向量空间 V {\displaystyle V} 到向量空间 W {\displaystyle W} 的线性映射来表示。讓 L ( V , W )   {\displaystyle L(V,W)\ } 表示所有从 V {\displaystyle V} 到 W {\displaystyle W} 的线性映射的集合，這會形成一個向量空間。因此，例如对偶空间（线性泛函的空间）可以写成 V ∗ ≅ L ( V , R ) ; {\displaystyle V^{*}\cong L(V,\mathbb {R} );} 由 universal property 可知，(m,n)-张量有如下自然的同構(isomorphism)關係 T n m ( V ) ≅ L ( V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ m ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ n , R ) ≅ L m + n ( V ∗ , … , V ∗ , V , … , V , R ) . {\displaystyle T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{n},\mathbb {R} )\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V,\mathbb {R} ).} 在上面的公式中， V {\displaystyle V} 和 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 的角色互换了。特别地，我们有 T 0 1 ( V ) ≅ L ( V ∗ , R ) ≅ V , {\displaystyle T_{0}^{1}(V)\cong L(V^{*},\mathbb {R} )\cong V,} 与 T 1 0 ( V ) ≅ L ( V , R ) ≅ V ∗ , {\displaystyle T_{1}^{0}(V)\cong L(V,\mathbb {R} )\cong V^{*},} 以及 T 1 1 ( V ) ≅ L ( V , V ) . {\displaystyle T_{1}^{1}(V)\cong L(V,V).} 以下记法 G L ( V , W )   {\displaystyle GL(V,W)\ } 通常用来表示从 V 到 W 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。 微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。 对任何给定向量空間 V {\displaystyle V} 我們有 V {\displaystyle V} 的一组基底 { e i } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}} ，以及對應的對偶空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 以及和向量基底 { e i } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\}} 對應的对偶基底 { ω j } {\displaystyle \{\omega ^{j}\}} （也可用 { e ∗ j } {\displaystyle \{\mathbf {e} ^{*j}\}} 來表示）。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式以及向量跟餘向量(covector)或是向量跟餘向量的係數的分別。 例如，取空间 V ⊗ V ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes V\otimes V^{*}} 中的张量 T {\displaystyle \mathbf {T} } ，在我们的坐标系下分量可写成 T = T i j k e i ⊗ e j ⊗ ω k , {\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k},} 这里我们使用愛因斯坦求和約定，这是处理張量份量的一种常見約定：即当張量分量同時出現了一組上指标与下指标时，我们对這上下指標所有可能值求和，比如說： a i d x i {\displaystyle a_{i}dx^{i}} 這符號，在這約定下即代表 ∑ i a i d x i {\displaystyle \textstyle \sum _{i}a_{i}dx^{i}} 。也就是說在在愛因斯坦求和約定下我們有 T i j k e i ⊗ e j ⊗ ω k = ∑ i j k T i j k e i ⊗ e j ⊗ ω k {\displaystyle \textstyle T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}=\sum _{ijk}T^{ij}{}_{k}\,\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \omega ^{k}} 。在物理中我们经常使用表达式 T i j k   {\displaystyle T^{ij}{}_{k}\ } 來表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个 n × n × n {\displaystyle n\times n\times n} 数组。假設在另一坐标系中，有另一组基底 { e ^ i } {\displaystyle \{\mathbf {\hat {e}} _{i}\}} ，則對同一向量來說兩組基底對應的分量將會不同。如果 ( R i j ) {\displaystyle (R_{i}^{j})} 是兩基底間的变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），也就是 e ^ i = ∑ j R i j e j {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j}R_{i}^{j}\mathbf {e} _{j}} ，设 ( R − 1 ) k l {\displaystyle (R^{-1})_{k}^{l}} 是 ( R i j ) {\displaystyle (R_{i}^{j})} 的逆矩陣，對同一張量在新基底的張量分量設為 T ^ i ′ j ′ k ′ {\displaystyle \textstyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}} ，則兩者之間的變換公式為： T ^ i ′ j ′ k ′ = ∑ p , q , r ( R − 1 ) p i ′ ( R − 1 ) q j ′ R k ′ r T p q r = ( R − 1 ) p i ′ ( R − 1 ) q j ′ R k ′ r T p q r , {\displaystyle {\hat {T}}^{i'j'}\!{}_{k'}=\sum _{p,q,r}(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r}=(R^{-1})_{p}^{i'}\,(R^{-1})_{q}^{j'}\,R_{k'}^{r}\,T^{pq}{}_{r},} 注意上面的第二個等式使用了愛因斯坦求和約定。 在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。 Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics 2, Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1985, ISBN 0-201-40840-6