传播子

在量子力學以及量子场论中的传播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定時間由一處移動到另一處的機率幅，或是粒子以特定能量及動量移動的機率幅。传播子也是场的运动方程的格林函数。物理学家使用核子计算费曼图以及散射过程的概率。 自由粒子（波包）的核子是 K ( x , x ′ ; t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ d k e i k ( x − x ′ ) e − i ℏ k 2 t / ( 2 m ) = ( m 2 π i ℏ t ) 1 / 2 e − m ( x − x ′ ) 2 / ( 2 i ℏ t )   . {\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}~.} 量子諧振子的Mehler核子（英语：Mehler kernel） K ( x , x ′ ; t ) = ( m ω 2 π i ℏ sin ⁡ ω t ) 1 / 2 exp ⁡ ( − m ω ( ( x 2 + x ′ 2 ) cos ⁡ ω t − 2 x x ′ ) 2 i ℏ sin ⁡ ω t )   . {\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)~.} 通过泛函积分，核子等于 K ( x , x ′ ; t , t ′ ) = ∫ D x ( t )   exp ⁡ ( i ∫ t t ′ L ( x , x ˙ ; t )   d t ) {\displaystyle K(x,x';t,t')=\int Dx(t)\ \exp(i\int _{t}^{t'}L(x,{\dot {x}};t)\ dt)} x ( t ) = x ,   x ( t ′ ) = x ′ {\displaystyle x(t)=x,\ x(t')=x'} L是拉氏量。 克戈场论（Klein-Gordon）的Feynman传播子 G ~ F ( p ) = 1 p 2 − m 2 + i ϵ . {\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.} 据黄教授说，这是 G F ( x , y ) = lim ϵ → 0 1 ( 2 π ) 4 ∫ d 4 p e − i p ( x − y ) p 2 − m 2 + i ϵ = { − 1 4 π δ ( s ) + m 8 π s H 1 ( 1 ) ( m s )  if  s ≥ 0 − i m 4 π 2 − s K 1 ( m − s ) if s < 0. {\displaystyle G_{\mathrm {F} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}={\begin{cases}-{\dfrac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\dfrac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\text{ if }}s\geq 0\\-{\dfrac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\text{if}}s<0.\end{cases}}} H是汉克尔函数，K是贝塞尔函数，δ是狄拉克δ函数， s 2 = x μ x μ {\displaystyle s^{2}=x^{\mu }x_{\mu }} 。 Feynman传播子使用下面的曲线积分（contour integral，留数定理） Feynman传播子也等于下面的真空期望值： G F ( x − y ) = − i ⟨ 0 | T ϕ ( x ) ϕ ( y ) | 0 ⟩ {\displaystyle G_{F}(x-y)=-i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle } = − i ⟨ 0 | θ ( x 0 − y 0 ) ϕ ( x ) ϕ ( y ) + θ ( y 0 − x 0 ) ϕ ( y ) ϕ ( x ) | 0 ⟩ {\displaystyle =-i\langle 0|\theta (x^{0}-y^{0})\phi (x)\phi (y)+\theta (y^{0}-x^{0})\phi (y)\phi (x)|0\rangle } 上面T是路径排序算子， θ {\displaystyle \theta } 是单位阶跃函数。 S ~ F ( p ) = 1 γ μ p μ − m + i ϵ = 1 p / − m + i ϵ . {\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }.} S F ( x − y ) = ∫ d 4 p ( 2 π ) 4 e − i p ⋅ ( x − y ) ( γ μ p μ + m ) p 2 − m 2 + i ϵ = ( γ μ ( x − y ) μ | x − y | 5 + m | x − y | 3 ) J 1 ( m | x − y | ) . {\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).} 传播子也是格林函数 S F ( x − y ) = ( i ∂ / + m ) G F ( x − y ) {\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)} 这描述费米子、电子。 光子传播子是 − i g μ ν p 2 + i ϵ . {\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.} g μ ν − k μ k ν / m 2 k 2 − m 2 + i ϵ + k μ k ν / m 2 k 2 − m 2 / λ + i ϵ . {\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}+{\frac {k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}/\lambda +i\epsilon }}.} D μ ν ( k ) = − i k 2 + i ϵ ( g μ ν − ( 1 − ξ ) k μ k ν k 2 ) {\displaystyle D_{\mu \nu }(k)={\frac {-i}{k^{2}+i\epsilon }}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})} 也阅读FP鬼子，给予膠子传播子或杨米尔斯传播子： ⟨ A μ a ( x ) A ν b ( y ) ⟩ = D μ ν ( x − y ) a b = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 − i e − i k ( x − y ) k 2 + i ϵ δ a b ( g μ ν − ( 1 − ξ ) k μ k ν k 2 ) {\displaystyle \langle A_{\mu }^{a}(x)A_{\nu }^{b}(y)\rangle =D_{\mu \nu }(x-y)^{ab}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}+i\epsilon }}\delta ^{ab}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})} 选择 ξ {\displaystyle \xi } 需要规范固定。 重力子的传播子是 G a b c d ( k ) = g a c g b d + g b c g a d − g a b g c d k 2 {\displaystyle G_{abcd}(k)={\frac {g_{ac}g_{bd}+g_{bc}g_{ad}-g_{ab}g_{cd}}{k^{2}}}} 量子场论 格林函数 路径积分表述 费恩曼图 Saddle point approximation （页面存档备份，存于互联网档案馆）, planetmath.org IMMERSION OF THE FOURIER TRANSFORM IN A CONTINUOUS GROUP OF FUNCTIONAL TRANSFORMATIONS (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2020-05-10）.  E. U. Condon, "Immersion of the Fourier transform in a continuous group of functional transformations", Proc. Natl. Acad. Sci. USA 23, (1937) 158–164..  Authors list列表中的|first1=缺少|last1= (帮助) Pauli, Wolfgang, 1900-1958. Pauli lectures on physics. Dover edition. Mineola, New York https://www.worldcat.org/oclc/44493172. ISBN 0-486-41457-4. OCLC 44493172.  缺少或|title=为空 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Huang, Kerson, 1928-. Quantum field theory : from operators to path integrals. New York: Wiley https://www.worldcat.org/oclc/38495059. 1998. ISBN 0-471-14120-8. OCLC 38495059.  缺少或|title=为空 (帮助) Quantum theory of gravitation (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2020-07-02）.  Graviton and gauge boson propagators in AdSd+1 (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2018-07-25）.  Zee, Anthony. Quantum Field Theory in Nutshell. Princeton University Press.  Feynman Hibbs. Path integrals. Peskin Schroeder. Intro QFT. Huang. 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