隐函数

在數學中，隱式方程（英語：implicit equation）是形同 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 {\displaystyle f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=0} 的關係，其中 f {\displaystyle f} 是多元函數。比如單位圓的隱式方程是 x 2 + y 2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0} 。 隱函数（implicit function）是由隱式方程所隱含定義的函數，比如 y = 1 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} 是由 x 2 + y 2 − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0} 確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如 y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\cos(x)} 。 隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。 隐函数的一个常见类型是反函数。若 f {\displaystyle f} 是一个函数，那么 f {\displaystyle f} 的反函数记作 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , 是给出下面方程解的函数 x = f ( y ) {\displaystyle x=f(y)} 用x表示y。这个解是 y = f − 1 ( x ) . {\displaystyle y=f^{-1}(x).} 直观地，通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法，反函数给出该方程对于 y {\displaystyle y} 的解 R ( x , y ) = x − f ( y ) = 0. {\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,} 例子 对数函数 ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} 给出方程 x − e y = 0 {\displaystyle x-e^{y}=0} 或等价的 x = e y {\displaystyle x=e^{y}} 的解 y = ln ⁡ x {\displaystyle y=\ln x} 。 这里 f ( y ) = e y {\displaystyle f(y)=e^{y}} 并且 f − 1 ( x ) = ln ⁡ x {\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x} 。 朗伯W函數則可以解出 x − y e y = 0 {\displaystyle x-ye^{y}=0} 的 y {\displaystyle y} 值。 一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如，单变量 x {\displaystyle x} 的代数函数给出一个方程中 y {\displaystyle y} 的解。 a n ( x ) y n + a n − 1 ( x ) y n − 1 + ⋯ + a 0 ( x ) = 0 {\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,} 其中係數 a i ( x ) {\displaystyle a_{i}(x)} 為 x {\displaystyle x} 的多項式函數。 代數函數在數學分析和代数几何中扮演重要角色，我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例： x 2 + y 2 − 1 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,} 那麼 y {\displaystyle y} 的顯函數解顯然是： y = ± 1 − x 2 {\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,} 但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來，它也可以直接利用隱函數來表達。 對於y的二次、三次和四次方程，可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程（參見阿贝尔-鲁菲尼定理），例如： y 5 + 2 y 4 − 7 y 3 + 3 y 2 − 6 y − x = 0. {\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,} 但是，我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法： 把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。 把一元隐函数 y = g ( x ) {\displaystyle y=g(x)} 看作二元函数 f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0} ，若欲求 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} ，對 f {\displaystyle f} 取全微分，可得 d f ( x , y ) = f x d x + f y d y = 0 {\displaystyle df(x,y)=f_{x}dx+f_{y}dy=0} ，經過移項可得 d y d x = − f x f y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}} （式中 f x {\displaystyle f_{x}} 表示 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 關於 x {\displaystyle x} 的偏导数 ∂ f ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} ，以此類推）。 把2元隐函数 y = g ( x , z ) {\displaystyle y=g(x,z)} 看作3元函数 f ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle f(x,y,z)=0} ，若欲求 ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}} ，對 f {\displaystyle f} 取全微分，可得 d f ( x , y , z ) = f x d x + f y d y + f z d z = 0 {\displaystyle df(x,y,z)=f_{x}dx+f_{y}dy+f_{z}dz=0} 。 由於所求為 ∂ g ( x , z ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial g(x,z)}{\partial x}}} ，令z為常數，即 d z = 0 {\displaystyle dz=0} ，經過移項可得 ∂ y ∂ x = − f x f y {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}=-{\frac {f_{x}}{f_{y}}}} 針對1元隱函數，把 y {\displaystyle y} 看作 x {\displaystyle x} 的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对 x {\displaystyle x} 求导，再通过移项求得 d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} 的值。 針對2元隱函數，把 y , z {\displaystyle y,z} 看作 x {\displaystyle x} 的函数，利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对 x {\displaystyle x} 求导，令 d z = 0 {\displaystyle dz=0} ，再通过移项求得 ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x}}} 的值。 針對 y n {\displaystyle y^{n}} ： d d x y n = n ⋅ y n − 1 d y d x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}y^{n}=n\cdot y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}} 針對 x m y n {\displaystyle x^{m}y^{n}} ： d d x x m y n = n ⋅ x m y n − 1 d y d x + m ⋅ x m − 1 y n {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{m}y^{n}=n\cdot x^{m}y^{n-1}{\frac {dy}{dx}}+m\cdot x^{m-1}y^{n}} 求   12 x 7 − 7 x 4 y 3 + 6 x y 5 − 14 y 6 + 25 = 10 {\displaystyle \ 12x^{7}-7x^{4}y^{3}+6xy^{5}-14y^{6}+25=10} 中y對x的導數。 為了方便辨別相應的導數部分，各項都以不同顏色分開（常數則以黑色表示）。 12 x 7 − 7 x 4 y 3 + 6 x y 5 − 14 y 6 + 25 = 10 {\displaystyle {\color {Blue}12x^{7}}{\color {Red}-7x^{4}y^{3}}{\color {Green}+6xy^{5}}{\color {Brown}-14y^{6}}+25=10} 1.兩邊皆取其相應的導數，得出 12 ⋅ 7 x 6 − 7 ( 3 x 4 y 2 d y d x + 4 x 3 y 3 ) + 6 ( 5 x y 4 d y d x + y 5 ) − 14 ⋅ 6 y 5 d y d x + 0 = 0 {\displaystyle {\color {Blue}12\cdot 7x^{6}}{\color {Red}-7\left(3x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}+4x^{3}y^{3}\right)}{\color {Green}+6\left(5xy^{4}{\frac {dy}{dx}}+y^{5}\right)}{\color {Brown}-14\cdot 6y^{5}{\frac {dy}{dx}}}+0=0} 2.移項處理。 84 x 6 − 28 x 3 y 3 + 6 y 5 = 21 x 4 y 2 d y d x − 30 x y 4 d y d x + 84 y 5 d y d x {\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}={\color {Red}21x^{4}y^{2}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Green}-30xy^{4}{\frac {dy}{dx}}}{\color {Brown}+84y^{5}{\frac {dy}{dx}}}} 3.提出導數因子。 84 x 6 − 28 x 3 y 3 + 6 y 5 = ( 21 x 4 y 2 − 30 x y 4 + 84 y 5 ) ( d y d x ) {\displaystyle {\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}=\left({\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}\right)\left({\frac {dy}{dx}}\right)} 4.移項處理。 d y d x = 84 x 6 − 28 x 3 y 3 + 6 y 5 21 x 4 y 2 − 30 x y 4 + 84 y 5 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {{\color {Blue}84x^{6}}{\color {Red}-28x^{3}y^{3}}{\color {Green}+6y^{5}}}{{\color {Red}21x^{4}y^{2}}{\color {Green}-30xy^{4}}{\color {Brown}+84y^{5}}}}} 5.完成。得出其導數為 84 x 6 − 28 x 3 y 3 + 6 y 5 21 x 4 y 2 − 30 x y 4 + 84 y 5 {\displaystyle {\frac {84x^{6}-28x^{3}y^{3}+6y^{5}}{21x^{4}y^{2}-30xy^{4}+84y^{5}}}} 。 6.選擇性步驟：因式分解。 d y d x = 2 ( 42 x 6 − 14 x 3 y 3 + 3 y 5 ) 3 y 2 ( 7 x 4 − 10 x y 2 + 28 y 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {2\left(42x^{6}-14x^{3}y^{3}+3y^{5}\right)}{3y^{2}\left(7x^{4}-10xy^{2}+28y^{3}\right)}}} 反函數