态叠加原理

在量子力学裏，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種，則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交，則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。 從數學表述，态叠加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式，任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合（稱為「疊加態」）的解時常會被設定為相互正交（稱為「基底態」），例如氫原子的電子能級態；換句話說，這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣，對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值，是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值，乘以疊加態處於對應基底態的機率之後，所有乘積的總和。 更具體地說明，假設對於某量子系統測量可觀察量 A {\displaystyle A} ，而可觀察量 A {\displaystyle A} 的本徵態 | a 1 ⟩ {\displaystyle |a_{1}\rangle } 、 | a 2 ⟩ {\displaystyle |a_{2}\rangle } 分別擁有本徵值 a 1 {\displaystyle a_{1}} 、 a 2 {\displaystyle a_{2}} ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 | ψ ⟩ = c 1 | a 1 ⟩ + c 2 | a 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle } 也可以是這量子系統的量子態；其中， c 1 {\displaystyle c_{1}} 、 c 2 {\displaystyle c_{2}} 分別為疊加態處於本徵態 | a 1 ⟩ {\displaystyle |a_{1}\rangle } 、 | a 2 ⟩ {\displaystyle |a_{2}\rangle } 的機率幅。假設对這疊加態系統测量可观察量 A {\displaystyle A} ，則測量獲得數值是 a 1 {\displaystyle a_{1}} 或 a 2 {\displaystyle a_{2}} 的機率分別為 | c 1 | 2 {\displaystyle |c_{1}|^{2}} 、 | c 2 | 2 {\displaystyle |c_{2}|^{2}} ，期望值為 ⟨ ψ | A | ψ ⟩ = | c 1 | 2 a 1 + | c 2 | 2 a 2 {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}} 。 舉一個可直接觀察到量子疊加的實例，在雙縫實驗裏，可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉，造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋，這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。 再舉一個案例，在量子運算裏，量子位元是的兩個基底態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 與 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的線性疊加。這兩個基底態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 、 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的本徵值分別為 0 {\displaystyle 0} 、 1 {\displaystyle 1} 。 在數學裏，疊加原理表明，線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式，疊加原理也適用於量子力學，在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 | f 1 ⟩ {\displaystyle |f_{1}\rangle } 或 | f 2 ⟩ {\displaystyle |f_{2}\rangle } ，這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 | f ⟩ = c 1 | f 1 ⟩ + c 2 | f 2 ⟩ {\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle } ，也滿足同樣的薛丁格方程式；其中， c 1 {\displaystyle c_{1}} 、 c 2 {\displaystyle c_{2}} 是複值係數，為了歸一化 | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } ，必須讓 | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} 。 假設 θ {\displaystyle \theta } 為實數，則雖然 e i θ | f 2 ⟩ {\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle } 與 | f 2 ⟩ {\displaystyle |f_{2}\rangle } 標記同樣的量子態，他們並無法相互替換。例如， | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ {\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle } 、 | f 1 ⟩ + e i θ | f 2 ⟩ {\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle } 分別標記兩種不同的量子態。但是， | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ {\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle } 和 e i θ ( | f 1 ⟩ + | f 2 ⟩ ) {\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )} 都標記同一個量子態。因此可以這樣說，整體的相位因子並不具有物理意義，但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。 設想自旋為 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 的電子，它擁有兩種相互正交的自旋本徵態，上旋態 | ↑ ⟩ {\displaystyle |\uparrow \rangle } 與下旋態 | ↓ ⟩ {\displaystyle |\downarrow \rangle } ，它們的量子疊加可以用來表示量子位元： | ψ ⟩ = c ↑ | ↑ ⟩ + c ↓ | ↓ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle } ； 其中， c ↑ {\displaystyle c_{\uparrow }} 、 c ↓ {\displaystyle c_{\downarrow }} 分別是複值係數，為了歸一化 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，必須讓 | c ↑ | 2 + | c ↓ | 2 = 1 {\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1} 。 這是最一般的量子態。係數 c ↑ {\displaystyle c_{\uparrow }} 、 c ↓ {\displaystyle c_{\downarrow }} 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率： p ↑ = | c ↑ | 2 {\displaystyle p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}} 、 p ↓ = | c ↓ | 2 {\displaystyle p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}} 。 總機率應該等於1： p = p ↑ + p ↓ = | c ↑ | 2 + | c ↓ | 2 = 1 {\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1} 。 這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態： | ψ ⟩ = 3 i 5 | ↑ ⟩ + 4 5 | ↓ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle } 。 電子處於上旋態或下旋態的機率分別為 p ↑ = | 3 i 5 | 2 = 9 25 {\displaystyle p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}} 、 p ↓ = | 4 5 | 2 = 16 25 {\displaystyle p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}} 。 再次注意到總機率應該等於1： p = 9 25 + 16 25 = 1 {\displaystyle p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1} 。 描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為 − ℏ 2 2 m ∇ 2   Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是粒子的波函數， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是粒子的位置， t {\displaystyle t} 是時間。 這薛丁格方程式有一個平面波解： Ψ ( r , t ) = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}} ； 其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波向量， ω {\displaystyle \omega } 是角頻率。 代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式 ℏ 2 k 2 2 m = ℏ ω {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega } 。 由於粒子存在的機率等於1，波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 必須歸一化，才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加： Ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 3 / 2 ∫ K A ( k ) e i ( k ⋅ r − ω t ) d k {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} } ； 其中，積分區域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是 k {\displaystyle \mathbf {k} } -空間。 為了方便計算，只思考一維空間， Ψ ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ A ( k )   e i ( k x − ω ( k ) t )   d k {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k} ； 其中，振幅 A ( k ) {\displaystyle A(k)} 是量子疊加的係數函數。 逆反過來，係數函數表示為 A ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Ψ ( x , 0 )   e − i k x d x {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x} ； 其中， Ψ ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} 是在時間 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函數。 所以，知道在時間 t = 0 {\displaystyle t=0} 的波函數 Ψ ( x , 0 ) {\displaystyle \Psi (x,0)} ，通過傅立葉變換，可以推導出在任何時間的波函數 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 。 叠加原理 波函数 Delta 位勢阱 Delta 位勢壘 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. 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