拉梅函数

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解: 雅可比形式 d 2 w d z 2 + ( A + v ( v + 1 ) k 2 s n 2 ( z , k ) ) w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(A+v(v+1)k^{2}sn^{2}(z,k))w=0} + 此拉梅方程的正则奇点在复数平面的 2 p K + ( 2 q + 1 ) ∗ i K ′ {\displaystyle 2pK+(2q+1)*iK'} 其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为 k ′ = 1 − k 2 {\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}} 的完全椭圆积分。 其中 k,v 都是实数，并且 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} , 代数形式 作雅可比橢圓函數变数替换 s = s n 2 ( z , k ) {\displaystyle s=sn^{2}(z,k)} 得拉梅方程的代数形式： d 2 Λ d s 2 + 1 2 ∗ ( 1 2 + 1 s − 1 + 1 s − h ) ∗ d Λ d s − n ( n + 1 ) s + H 4 s ( s − 1 ) ( s − h ) ∗ Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{ds^{2}}}+{\frac {1}{2}}*({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{s-h}})*{\frac {d\Lambda }{ds}}-{\frac {n(n+1)s+H}{4s(s-1)(s-h)}}*\Lambda =0} h = k − 2 = a 2 − c 2 a 2 − b 2 {\displaystyle h=k^{-2}={\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}-b^{2}}}} , H = h A {\displaystyle H=hA} h > 1 {\displaystyle h>1} 此傅克型方程有四个正则奇点 0 , 1 , h , ∞ {\displaystyle 0,1,h,\infty } 魏尔斯特拉斯形式 d 2 Λ d z 2 + [ H − n ( n + 1 ) ℘ ( z ) ] Λ = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}\Lambda }{dz^{2}}}+[H-n(n+1)\wp (z)]\Lambda =0} 其中 ℘ {\displaystyle \wp } 是魏尔斯特拉斯函数 三角函数形式 在雅可比形式的拉梅方程中做代换 s n z = c o s ζ {\displaystyle snz=cos\zeta } ζ = 1 2 π − a m z {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2}}\pi -amz} 可得 [ 1 − ( k c o s ζ ) 2 ] d 2 Λ d Λ 2 {\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}} + k 2 c o s ζ sin ⁡ ζ d Λ d ζ + [ h − n ( n + 1 ) ( k c o s ζ ) 2 ] Λ = 0 {\displaystyle +k^{2}cos\zeta \sin \zeta {\frac {d\Lambda }{d\zeta }}+[h-n(n+1)(kcos\zeta )^{2}]\Lambda =0} 在上列方程组 h , k , n {\displaystyle h,k,n} 等是实数或复数常数，而各变量为复数。 对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期。 与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下： 其中 2 m , 2 m + 1 , 2 m + 2 {\displaystyle 2m,2m+1,2m+2} 代表在（0,2K)区间内的零点数。 Heun方程 g h := d 2 ( y ( z ) d z 2 + ( γ z + δ z − 1 + ϵ z − a ) ∗ d ( y ( z ) d z + ( α ∗ β ∗ z − q ) ∗ y ( z ) / ( z ∗ ( z − 1 ) ∗ ( z − a ) ) = 0 {\displaystyle gh:={\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+({\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}})*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(\alpha *\beta *z-q)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0} 令= γ = 1 / 2 , δ = 1 / 2 , ϵ = 1 / 2 , q = − ( 1 / 4 ) ∗ a ∗ h , α = 1 / 4 , β = − v ( v + 1 ) {\displaystyle \gamma =1/2,\delta =1/2,\epsilon =1/2,q=-(1/4)*a*h,\alpha =1/4,\beta =-v(v+1)} 则化为拉梅方程 d 2 ( y ( z ) d z 2 + ( 1 / 2 ∗ ( 1 / z + 1 / ( z − 1 ) + 1 / ( z − a ) ) ) ∗ d ( y ( z ) d z + ( 1 / 4 ) ∗ ( a ∗ h − ν ∗ ( ν + 1 ) ∗ z ) ∗ y ( z ) / ( z ∗ ( z − 1 ) ∗ ( z − a ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}(y(z)}{dz^{2}}}+(1/2*(1/z+1/(z-1)+1/(z-a)))*{\frac {d(y(z)}{dz}}+(1/4)*(a*h-\nu *(\nu +1)*z)*y(z)/(z*(z-1)*(z-a))=0} 由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示 y ( z ) = C 1 ∗ H e u n G ( a , − ( 1 / 4 ) ∗ a ∗ h , − ( 1 / 2 ) ∗ ν , ( 1 / 2 ) ∗ ν + 1 / 2 , 1 / 2 , 1 / 2 , z ) {\displaystyle y(z)=_{C}1*HeunG(a,-(1/4)*a*h,-(1/2)*\nu ,(1/2)*\nu +1/2,1/2,1/2,z)} + C 2 ∗ ( z ) ∗ H e u n G ( a , 1 / 4 + ( 1 / 4 ∗ ( − h + 1 ) ) ∗ a , 1 + ( 1 / 2 ) ∗ ν , 1 / 2 − ( 1 / 2 ) ∗ ν , 3 / 2 , 1 / 2 , z ) {\displaystyle +_{C}2*{\sqrt {(}}z)*HeunG(a,1/4+(1/4*(-h+1))*a,1+(1/2)*\nu ,1/2-(1/2)*\nu ,3/2,1/2,z)} 其中二个HeunG函数是线性无关的。 拉梅函数可以展开成幂级数形式 y ( z ) = ∑ v = 0 ∞ a v ∗ z ρ + v {\displaystyle y(z)=\sum _{v=0}^{\infty }a_{v}*z^{\rho +v}} 其中 ρ {\displaystyle \rho } 只能取 0 , 1 / 2 {\displaystyle 0,1/2} 例子 y ( z ) = 1.2 + 2.3 ∗ ( z ) − .600 ∗ h ∗ z − ( .383 ∗ ( a ∗ h − 1. ∗ a − 1. ) ) ∗ z ( 3 / 2 ) / a + ( 0.500 e − 1 ∗ ( − 4. ∗ a ∗ h − 4. ∗ h + a ∗ h 2 + 2. ∗ ν 2 + 2. ∗ ν ) ) ∗ z 2 / a + ( 0.192 e − 1 ∗ ( − 10. ∗ a 2 ∗ h + 9. ∗ a 2 + 6. ∗ a − 10. ∗ a ∗ h + 9. + a 2 ∗ h 2 + 6. ∗ ν ∗ a + 6. ∗ ν 2 ∗ a ) ) ∗ z ( 5 / 2 ) / a 2 + O ( z 3 ) {\displaystyle y(z)={1.2+2.3*{\sqrt {(}}z)-.600*h*z-(.383*(a*h-1.*a-1.))*z^{(}3/2)/a+(0.500e-1*(-4.*a*h-4.*h+a*h^{2}+2.*\nu ^{2}+2.*\nu ))*z^{2}/a+(0.192e-1*(-10.*a^{2}*h+9.*a^{2}+6.*a-10.*a*h+9.+a^{2}*h^{2}+6.*\nu *a+6.*\nu ^{2}*a))*z^{(}5/2)/a^{2}+O(z^{3})}} 王竹溪 第572页 Whittaker p554 Erdelyi p55 Erdelyi p 56 Frank Oliver p685 Frank, p684 Frank Oliver,p713 王竹溪 第573页 王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000 Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III