概周期函数

在数学中，概周期函数（或殆周期函数）是一类有近似于周期性质的函数，是连续週期函數的推廣。不同的周期函数由于周期不尽相同，其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性，但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引進，后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广。贝西科维奇（英语：Abram Samoilovitch Besicovitch）因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖（英语：Adams Prize）。 概週期函數有若干個等價定義。根据哈那德·玻尔引进的分析學上的定义，一个定义域在实数域上的连续函数 f {\displaystyle f} 如果满足：对任意正实数 ϵ {\displaystyle \epsilon } ，都存在实数 l ( ϵ ) > 0 {\displaystyle l(\epsilon )>0} ，使得任意长度为 l ( ϵ ) {\displaystyle l(\epsilon )} 的区间里至少存在一个数 t {\displaystyle t} ，使得对于任意的 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ，都有： | f ( x + t ) − f ( x ) | < ϵ {\displaystyle \left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon } 在高维欧几里得空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中，也可以定义类似的概周期向量函数。 按照定义，所有周期函数都是概周期函数。 值域在復平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函数：ζ(s) 截出有限項后，得到的是一些形如 e ( σ + i t ) log ⁡ n {\displaystyle e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,} 的項。其中的 σ + i t = s {\displaystyle \sigma +{\rm {{i}t=s}}} 。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份 σ {\displaystyle \sigma } ，而實數 t {\displaystyle t} 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成： t ↦ n σ e ( log ⁡ n ) i t {\displaystyle t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,} 如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免 σ < 1 {\displaystyle \sigma <1} 時的解析开拓的問題），那麼由於對不同的n， e ( log ⁡ n ) i t {\displaystyle e^{(\log n)it}} 是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。 在相關研究中，哈那德·玻尔開始注意形如： t ↦ ∑ k = 1 m e i λ k t {\displaystyle t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,} 的三角多项式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數 e i λ k t {\displaystyle e^{i\lambda _{k}t}\,} 的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果对每个 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，都存在三角多项式函数： T ϵ ( x ) {\displaystyle T_{\epsilon }(x)} ，使得对于任意的 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ，都有： | f ( x ) − T ϵ ( x ) | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon } 可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。 考虑若干三角多项式函数： f n : x ⟼ ∑ k = 1 n exp ⁡ ( i λ k x ) {\displaystyle f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)} 其中 λ k {\displaystyle \lambda _{k}} 是复数。每一个 f n {\displaystyle f_{n}} 都是周期函数，因此有限个 f n {\displaystyle f_{n}} 的和仍然是概周期函数。然而，对于某些和函数，比如说： f : x ⟼ exp ⁡ ( i x ) + exp ⁡ ( i π x ) {\displaystyle f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)} f {\displaystyle f} 不是周期函数，但仍然是概周期函数。 如同周期函数一样，任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。 如果 f {\displaystyle f} 是概周期函数，那么对于任意实数 a {\displaystyle a} ， f ( x + a ) {\displaystyle f(x+a)} 、 f ( a x ) {\displaystyle f(ax)} 、 a f ( x ) {\displaystyle af(x)} 、 | f ( x ) | {\displaystyle |f(x)|} 也是概周期函数。 如果 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 都是概周期函数，那么 f + g {\displaystyle f+g} 、 f − g {\displaystyle f-g} 和 f ⋅ g {\displaystyle f\cdot g} 都是概周期函数。 如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是概周期函数， H {\displaystyle H} 是 f {\displaystyle f} 的值域到 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的一致连续函数, 则 H ( f ( x ) ) {\displaystyle H(f(x))} 也是概周期函数。 如果概周期函数的序列 ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 在实轴上一致收敛于函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，则 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 也是概周期函数。 如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是概周期函数, 则 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 为概周期函数的充分必要条件是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的导函数 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 一致连续。 如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是概周期函数， F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt} ，则 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 为概周期函数的充要条件为 F ( x ) {\displaystyle F(x)} 有界。 伪概周期函数 准周期函数 非周期函数 傅里叶级数 计算机音乐 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3.  A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质 (PDF). 《工科数学》. 1997,. 第13卷第2期 [2010-03-18]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）.  A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512 Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156  H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127 H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947) Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4