角動量算符

在量子力學裏，角動量算符（英語：angular momentum operator）是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性（rotational symmetry）的理論裏，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。 角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裏，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裏，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函數，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的對象都是以波函數或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(deterministic)行為。 在經典力學裏，角動量 L = ( L x ,   L y ,   L z ) {\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},\ L_{y},\ L_{z})\,\!} 定義為位置 r = ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,\ y,\ z)\,\!} 與動量 p = ( p x ,   p y ,   p z ) {\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},\ p_{y},\ p_{z})\,\!} 的叉積： L   = d e f   r × p {\displaystyle \mathbf {L} \ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!} 。 在量子力學裏，對應的角動量算符 L ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}\,\!} 定義為位置算符 r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!} 與動量算符 p ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}\,\!} 的叉積： L ^   = d e f   r ^ × p ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,\!} 。 由於動量算符的形式為 p ^ = − i ℏ ∇ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla \,\!} 。 角動量算符的形式為 L ^ = − i ℏ ( r ^ × ∇ ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar ({\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla )\,\!} 。 其中， ∇ {\displaystyle \nabla \,\!} 是梯度算符。 在量子力學裏，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} ： L ^ x = y ^ p ^ z − z ^ p ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{x}={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}\,\!} 。 其伴隨算符 L x † {\displaystyle L_{x}^{\dagger }\,\!} 為 L ^ x † = ( y ^ p ^ z − z ^ p ^ y ) † = p ^ z † y ^ † − p ^ y + z ^ † {\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }=({\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y})^{\dagger }={\hat {p}}_{z}^{\dagger }{\hat {y}}^{\dagger }-{\hat {p}}_{y}^{+}{\hat {z}}^{\dagger }\,\!} 。 由於 y ^ {\displaystyle {\hat {y}}\,\!} 、 z ^ {\displaystyle {\hat {z}}\,\!} 、 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}\,\!} 、 p ^ z {\displaystyle {\hat {p}}_{z}\,\!} ，都是厄米算符， L ^ x † = p ^ z y ^ − p ^ y z ^ {\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {p}}_{z}{\hat {y}}-{\hat {p}}_{y}{\hat {z}}\,\!} 。 由於 p ^ z {\displaystyle {\hat {p}}_{z}\,\!} 與 y ^ {\displaystyle {\hat {y}}\,\!} 之間、 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}\,\!} 與 z ^ {\displaystyle {\hat {z}}\,\!} 之間分別相互對易，所以， L ^ x † = y ^ p ^ z − z ^ p ^ y = L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{\dagger }={\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y}={\hat {L}}_{x}\,\!} 。 因此， L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 是一個厄米算符。類似地， L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 與 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!} 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。 再思考 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 算符， L ^ 2 = L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!} 。 其伴隨算符 ( L ^ 2 ) † {\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }\,\!} 為 ( L ^ 2 ) † = ( L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 ) † = ( L ^ x 2 ) † + ( L ^ y 2 ) † + ( L ^ z 2 ) † {\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }=({\hat {L}}_{x}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{y}^{2})^{\dagger }+({\hat {L}}_{z}^{2})^{\dagger }\,\!} 。 由於 L ^ x 2 {\displaystyle {\hat {L}}_{x}^{2}\,\!} 算符、 L ^ y 2 {\displaystyle {\hat {L}}_{y}^{2}\,\!} 算符、 L ^ z 2 {\displaystyle {\hat {L}}_{z}^{2}\,\!} 算符，都是厄米算符， ( L ^ 2 ) † = L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 = L ^ 2 {\displaystyle ({\hat {L}}^{2})^{\dagger }={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}={\hat {L}}^{2}\,\!} 。 所以， L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 算符是厄米算符。 兩個算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}\,\!} 與 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}\,\!} 的交換算符 [ A ^ ,   B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},\ {\hat {B}}]\,\!} ，表示出它們之間的對易關係。 思考 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 的交換算符， [ L ^ x ,   L ^ y ] = [ y ^ p ^ z − z ^ p ^ y ,   z ^ p ^ x − x ^ p ^ z ] = [ y ^ p ^ z ,   z ^ p ^ x ] − [ z ^ p ^ y ,   z ^ p ^ x ] − [ y ^ p ^ z ,   x ^ p ^ z ] + [ z ^ p ^ y ,   x ^ p ^ z ] = i ℏ ( x ^ p ^ y − y ^ p ^ x ) = i ℏ L ^ z {\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z}-{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {z}}{\hat {p}}_{x}]-[{\hat {y}}{\hat {p}}_{z},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]+[{\hat {z}}{\hat {p}}_{y},\ {\hat {x}}{\hat {p}}_{z}]\\&=i\hbar ({\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x})\\&=i\hbar {\hat {L}}_{z}\\\end{aligned}}\,\!} 。 由於兩者的對易關係不等於 0 ， L x {\displaystyle L_{x}\,\!} 與 L y {\displaystyle L_{y}\,\!} 彼此是不相容可觀察量。 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 的本徵態與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 的本徵態不同。 給予一個量子系統，量子態為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 。對於可觀察量算符 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} ，所有本徵值為 ℓ x i {\displaystyle \ell _{xi}\,\!} 的本徵態 | f i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {\displaystyle |f_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!} ，形成了一組基底量子態。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 可以表達為這基底量子態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   | f i ⟩ ⟨ f i | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |f_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle \,\!} 。對於可觀察量算符 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} ，所有本徵值為 ℓ y i {\displaystyle \ell _{yi}\,\!} 的本徵態 | g i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ {\displaystyle |g_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots \,\!} ，形成了另外一組基底量子態。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 可以表達為這基底量子態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   | g i ⟩ ⟨ g i | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ |g_{i}\rangle \langle g_{i}|\psi \rangle \,\!} 。 根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 L x {\displaystyle L_{x}\,\!} ，得到的測量值為其本徵值 ℓ x i {\displaystyle \ell _{xi}\,\!} ，則量子態機率地塌縮為本徵態 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!} 。假若，我們立刻再測量可觀察量 L x {\displaystyle L_{x}\,\!} ，得到的答案必定是 ℓ x i {\displaystyle \ell _{xi}\,\!} ，量子態仍舊處於 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!} 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 L y {\displaystyle L_{y}\,\!} ，則量子態不會停留於本徵態 | f i ⟩ {\displaystyle |f_{i}\rangle \,\!} ，而會塌縮為 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 ℓ y j {\displaystyle \ell _{yj}\,\!} ，則量子態機率地塌縮為本徵態 | g j ⟩ {\displaystyle |g_{j}\rangle \,\!} 。 根據不確定性原理， Δ L x   Δ L y ≥ | ⟨ [ L ^ x ,   L ^ y ] ⟩ 2 i | = ℏ | ⟨ L ^ z ⟩ | 2 {\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {L}}_{x},\ {\hat {L}}_{y}]\rangle }{2i}}\right|={\frac {\hbar |\langle {\hat {L}}_{z}\rangle |}{2}}\,\!} 。 L x {\displaystyle L_{x}\,\!} 的不確定性與 L y {\displaystyle L_{y}\,\!} 的不確定性的乘積 Δ L x   Δ L y {\displaystyle \Delta L_{x}\ \Delta L_{y}\,\!} ，必定大於或等於 ℏ | ⟨ L z ⟩ | 2 {\displaystyle {\frac {\hbar |\langle L_{z}\rangle |}{2}}\,\!} 。 L x {\displaystyle L_{x}\,\!} 與 L z {\displaystyle L_{z}\,\!} 之間， L y {\displaystyle L_{y}\,\!} 與 L z {\displaystyle L_{z}\,\!} 之間，也有類似的特性。 思考 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 與 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!} 的交換算符， [ L ^ 2 ,   L ^ z ] = [ L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 ,   L ^ z ] = L ^ x L ^ x L ^ z − L ^ z L ^ x L ^ x + L ^ y L ^ y L ^ z − L ^ z L ^ y L ^ y = L ^ x ( L ^ z L ^ x − i ℏ L ^ y ) − ( L ^ x L ^ z + i ℏ L ^ y ) L ^ x + L ^ y ( L ^ z L ^ y + i ℏ L ^ x ) − ( L ^ y L ^ z − i ℏ L ^ x ) L ^ y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left.\right.[{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]&=[{\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2},\ {\hat {L}}_{z}]\\&={\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-{\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{y}\\&={\hat {L}}_{x}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{x}-i\hbar {\hat {L}}_{y})-({\hat {L}}_{x}{\hat {L}}_{z}+i\hbar {\hat {L}}_{y}){\hat {L}}_{x}+{\hat {L}}_{y}({\hat {L}}_{z}{\hat {L}}_{y}+i\hbar {\hat {L}}_{x})-({\hat {L}}_{y}{\hat {L}}_{z}-i\hbar {\hat {L}}_{x}){\hat {L}}_{y}\\&=0\\\end{aligned}}\,\!} 。 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 與 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!} 是對易的， L 2 {\displaystyle L^{2}\,\!} 與 L z {\displaystyle L_{z}\,\!} 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 L 2 {\displaystyle L^{2}\,\!} 與 L z {\displaystyle L_{z}\,\!} 的本徵值。 類似地， [ L ^ 2 ,   L ^ x ] = 0 {\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{x}]=0\,\!} 、 [ L ^ 2 ,   L ^ y ] = 0 {\displaystyle [{\hat {L}}^{2},\ {\hat {L}}_{y}]=0\,\!} 。 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 與 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 之間、 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 與 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 之間，都分別擁有類似的物理特性。 在經典力學裏，角動量算符也遵守類似的對易關係： { L i ,   L j } = ϵ i j k L k {\displaystyle \{L_{i},\ L_{j}\}=\epsilon _{ijk}L_{k}\,\!} ； 其中， {   ,   } {\displaystyle \{\ ,\ \}\,\!} 是帕松括號， ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}\,\!} 是列維-奇維塔符號， i {\displaystyle i\,\!} 、 j {\displaystyle j\,\!} 、 k {\displaystyle k\,\!} ，代表直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!} 。 採用球坐標。展開角動量算符的方程式： L ^ = ℏ i r ^ × ∇ = ℏ i r e r × ( e r ∂ ∂ r + e θ 1 r ∂ ∂ θ + e ϕ 1 r sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ ) = ℏ i ( − e θ 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ ϕ + e ϕ ∂ ∂ θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}&={\frac {\hbar }{i}}{\hat {\mathbf {r} }}\times \nabla \\&={\frac {\hbar }{i}}r\mathbf {e} _{r}\times \left(\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&={\frac {\hbar }{i}}\left(-\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}+\mathbf {e} _{\phi }{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\\end{aligned}}\,\!} ； 其中， e r {\displaystyle \mathbf {e} _{r}\,\!} 、 e θ {\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }\,\!} 、 e ϕ {\displaystyle \mathbf {e} _{\phi }\,\!} ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。 轉換回直角坐標， L ^ = ℏ i [ e x ( − sin ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) + e y ( cos ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) + e z ∂ ∂ ϕ ] {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\frac {\hbar }{i}}\left[\mathbf {e} _{x}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{y}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right]\,\!} 。 其中， e x {\displaystyle \mathbf {e} _{x}\,\!} 、 e y {\displaystyle \mathbf {e} _{y}\,\!} 、 e z {\displaystyle \mathbf {e} _{z}\,\!} ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。 所以， L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}\,\!} 、 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}\,\!} 、 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!} 分別是 L ^ x = ℏ i ( − sin ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{x}={\frac {\hbar }{i}}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!} 、 L ^ y = ℏ i ( cos ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{y}={\frac {\hbar }{i}}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\,\!} 、 L ^ z = ℏ i ∂ ∂ ϕ {\displaystyle {\hat {L}}_{z}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\,\!} 。 角動量平方算符是 L ^ 2 = L ^ x 2 + L ^ y 2 + L ^ z 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}={\hat {L}}_{x}^{2}+{\hat {L}}_{y}^{2}+{\hat {L}}_{z}^{2}\,\!} ； 其中， L ^ x 2 = − ℏ 2 ( − sin ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) ( − sin ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) = − ℏ 2 ( sin 2 ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ 2 + cot ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ ∂ ∂ θ + cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ ∂ ϕ − csc 2 ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{x}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(-\sin \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!} + cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ ∂ ϕ − cot 2 ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ + cot 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ ϕ 2 ) {\displaystyle \left.+\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}-\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!} 、 L ^ y 2 = − ℏ 2 ( cos ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) ( cos ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ ) = − ℏ 2 ( cos 2 ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ 2 + cot ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ∂ ∂ θ − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ ∂ ϕ + csc 2 ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {L}}_{y}^{2}&=-\hbar ^{2}\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\left(\cos \phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\&=-\hbar ^{2}\left(\cos ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial }{\partial \theta }}-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\csc ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}\right.\\\end{aligned}}\,\!} − cot ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ θ ∂ ϕ + cot 2 ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ∂ ∂ ϕ + cot 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ∂ 2 ∂ ϕ 2 ) {\displaystyle \left.-\cot \theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta \partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin \phi \cos \phi {\frac {\partial }{\partial \phi }}+\cot ^{2}\theta \sin ^{2}\phi {\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!} 、 L ^ z 2 = − ℏ 2 ∂ 2 ∂ ϕ 2 {\displaystyle {\hat {L}}_{z}^{2}=-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\,\!} 。 經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式 L ^ 2 = − ℏ 2 ( ∂ 2 ∂ θ 2 + cot ⁡ θ ∂ ∂ θ + ( 1 + cot 2 ⁡ θ ) ∂ 2 ∂ ϕ 2 ) = − ℏ 2 ( 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 ) {\displaystyle {\hat {L}}^{2}=-\hbar ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+\cot \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+(1+\cot ^{2}\theta ){\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)\,\!} 。 滿足算符 L ^ 2 {\displaystyle {\hat {L}}^{2}\,\!} 的本徵函數是球諧函數 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}\,\!} ： L ^ 2 Y ℓ m = ℓ ( ℓ + 1 ) ℏ 2 Y ℓ m {\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)\hbar ^{2}Y_{\ell m}\,\!} ； 其中，本徵值 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 是正整數。 球諧函數也是滿足算符 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}\,\!} 微分方程式的本徵函數： L ^ z Y ℓ m = m ℏ Y ℓ m {\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}=m\hbar Y_{\ell m}\,\!} ； 其中，本徵值 m {\displaystyle m\,\!} 是整數， − ℓ ≤ m ≤ 0 {\displaystyle -\ell \leq m\leq 0\,\!} 。 因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函數。 球諧函數 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell m}\,\!} 表達為 Y ℓ m ( θ ,   ϕ ) = ( i ) m + | m | ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos ⁡ θ ) e i m ϕ {\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\ \phi )=(i)^{m+|m|}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }\,\!} ； 其中， i {\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， P ℓ m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle P_{\ell m}(\cos {\theta })\,\!} 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為 P ℓ m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,} ； 而 P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!} 是 ℓ {\displaystyle \ell } 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為： P ℓ ( x ) = 1 2 ℓ ℓ ! d ℓ d x ℓ ( x 2 − 1 ) ℓ {\displaystyle P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{\ell }} 。 球諧函數滿足正交歸一性： ∫ 0 2 π ∫ 0 π   Y ℓ 1 m 1 Y ℓ 2 m 2 sin ⁡ ( θ ) d θ d ϕ = δ ℓ 1 ℓ 2 δ m 1 m 2 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell _{1}m_{1}}Y_{\ell _{2}m_{2}}\sin(\theta )d\theta d\phi =\delta _{\ell _{1}\ell _{2}}\delta _{m_{1}m_{2}}\,\!} 。 這樣，角動量算符的本徵函數，形成一組單範正交基。任意波函數 ψ ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (\theta ,\,\phi )\,\!} 都可以表達為這單範正交基的線性組合： ψ ( θ , ϕ ) = ∑ ℓ , m   A ℓ m Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi (\theta ,\,\phi )=\sum _{\ell ,m}\ A_{\ell m}Y_{\ell m}(\theta ,\,\phi )\,\!} ； 其中， A ℓ m = ∫ 0 2 π ∫ 0 π   Y ℓ m ∗ ( θ , ϕ ) ψ ( θ , ϕ ) sin ⁡ ( θ ) d θ d ϕ {\displaystyle A_{\ell m}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\ Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\,\phi )\psi (\theta ,\,\phi )\sin(\theta )d\theta d\phi \,\!} 。 氫原子 球對稱位勢 拉普拉斯-龍格-冷次向量 Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7  圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：角動量加法