截角八面體

在幾何學中，截角八面體是一種具有十四個面的半正多面體，屬於阿基米德立體也是個平行多面體。由6個正方形和8個正六邊形組成，共有14個面、36個邊以及24個頂點。因為每個面皆具點對稱性質，因此截角八面體也是一種環帶多面體。同時，因為它具有正方形和六邊形面，因此也是一種戈德堡多面體，其戈德堡符號為GIV(1,1)。另外，由於截角八面體也是一種排列多面體（英语：permutohedron），因此可以獨立填滿整個三維空間，而由截角八面體堆成的圖形稱為截角八面體堆砌。 截角八面體的對偶多面體為四角化六面體。若截角八面體的邊長為單位長，則其對偶多面體四角化六面體的邊長會變成 9 8 2 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}\scriptstyle {\sqrt {2}}} 和 3 2 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\scriptstyle {\sqrt {2}}} 個單位長。 截角八面體僅具有點可遞性質，也就是截角八面體每一個頂點相鄰面的組成都是一樣的，都是一個四邊形和兩個六邊形的公共頂點。但截角八面體不具面可遞和邊可遞性質，因為截角八面體有兩種面，四邊形和六邊形，邊也不可遞，因為截角八面體並不是所有組成邊的相鄰面都只有一種，截角八面體共有兩種稜，一種為六邊形與六邊形的公共稜、另一種為六邊形與四邊形的公共稜。 由於截角八面體僅具有點可遞性質，因此只能算是均勻多面體中的半正多面體，不具擬正多面體性質。但這個多面體是阿幾米德研究的13種半正多面體之一，因此截角八面體也是一種阿基米德立體。 截角八面體可以從邊長3a的正八面體切去六個底邊長為a的四角錐構成。這些被切下來的棱錐體的底與側面邊長皆等長，因此其側面皆為正三角形，底邊長為a、底面積為a2，這些四角錐是正四角錐，是第一種詹森多面體，J1。 這些被截下來的正四角錐其高h與斜高s為： h = e 2 − 1 2 a 2 = 2 2 a {\displaystyle h={\sqrt {e^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}a} s = h 2 + 1 4 a 2 = 1 2 a 2 + 1 4 a 2 = 3 2 a {\displaystyle s={\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a} 這些數據則確定能從正八面體構成截角八面體的截角切割深度。若太深則會變成截半八面體。 邊長為2的平方根且幾何中心位於原點的截角八面體其頂點座標為(0, ±1, ±2)的所有排列。 截角立方體的體積 8 2 a 3 {\displaystyle 8{\sqrt {2}}a^{3}} ，表面積 6 + 12 3 a 2 {\displaystyle 6+12{\sqrt {3}}a^{2}} ，其中 a {\displaystyle a} 是該截半立方體的邊長。 表面積 = 6 + 12 3 a 2 {\displaystyle 6+12{\sqrt {3}}a^{2}} ≈ 26.785 a 2 {\displaystyle 26.785a^{2}} 體積 = 8 2 a 3 {\displaystyle 8{\sqrt {2}}a^{3}} ≈ 11.314 a 3 {\displaystyle 11.314a^{3}} 將正八面體進行截角操作，也就是將正八面體的六個頂點切去並在被切掉的地方建立六個正方形面即可得到一個截角八面體。 截角八面體可分割成正中央一個正八面體、其餘每個面切成8三角帳塔，剩餘的部分在分割成6個正四角錐。 截角八面體是一種排列多面體（英语：permutohedron），可以以更「對稱」的形式表示：四維空間中，(1,2,3,4)所有排列的坐標在三維子空間 x + y + z + w = 10 {\displaystyle x+y+z+w=10} 組成截角八面體。（對應的二維形狀是正六邊形：三維空間中，(1,2,3)所有排列的坐標在二維子空間 x + y + z = 6 {\displaystyle x+y+z=6} 組成正六邊形。） 截角八面體堆砌 截角八面體可以獨立填滿整個三維空間，而這種由截角八面體堆砌出來的幾何圖形稱為截角八面體堆砌。 截角八面體堆砌是三維空間內28個半正密鋪之一，由截角八面體獨立堆積而成，雖然他每個胞都全等、每邊皆等長，但其不能稱為正密鋪，因為雖然她只由一種胞，截角八面體組成，但是該胞不是正多面體，因此並非所有“面”皆全等，因此截角八面體堆砌只能稱為半正堆砌。 其他堆砌 维基共享资源上的相关多媒体资源：截角八面體 正八面體 立方體 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9) Weisstein, Eric W. (编), Truncated Octahedron, (Archimedean solid), at MathWorld--A Wolfram Web Resource,Wolfram Research, Inc. （英语）  莊宛臻. Type B 的排列多面體. 應用數學系. 高雄大學. 2010-07-03 [2016-01-30]. （原始内容存档于2016-01-30）.  Cayley graph of S4. This Cayley graph labeling is shown, e.g., by Ziegler (1995) harvtxt error: no target: CITEREFZiegler1995 (help). Freitas, Robert A., Jr. Uniform space-filling using only truncated octahedra. Figure 5.5 of Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities, Landes Bioscience, Georgetown, TX, 1999. [2006-09-08]. （原始内容存档于2006-01-14）.  外部链接存在于|publisher= (帮助) John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms) Mäder, Roman. The Uniform Polyhedra: Truncated Octahedron. [2006-09-08]. （原始内容存档于2006-09-11）.  Cromwell, P. Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids Hart, George W. VRML model of truncated octahedron. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. [2006-09-08]. （原始内容存档于2006-08-22）.  外部链接存在于|publisher= (帮助) Alex Doskey. Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1. Alexander's Polyhedra. doskey.com. 2006 [2016-01-30]. （原始内容存档于2016-02-04）.  Gaiha, P., and Guha, S.K. Adjacent vertices on a permutohedron. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1977, 32 (2): 323–327. doi:10.1137/0132025.  Alexandrov, A.D. Convex polyhedra. Berlin: Springer. 1958: 539. ISBN 3-540-23158-7.  Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2.  埃里克·韦斯坦因, 截角八面體 （參閱阿基米德立體） 於MathWorld（英文） 埃里克·韦斯坦因. Permutohedron. MathWorld.  Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x4o - toe. bendwavy.org.  Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view （页面存档备份，存于互联网档案馆） 截角八面體形狀的扭計骰：Fisher's Truncated Octahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）、Truncated Octaminx （页面存档备份，存于互联网档案馆）