多项式环

在抽象代數中，多項式環推廣了初等數學中的多項式。一個環 R {\displaystyle R} 上的多項式環是由係數在 R {\displaystyle R} 中的多項式構成的環，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在範疇論的語言中，當 R {\displaystyle R} 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 R {\displaystyle R} -代數範疇中的自由對象。 在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 F 2 := Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {F} _{2}:=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 上的多項式 P ( X ) = X 2 + X {\displaystyle P(X)=X^{2}+X} 此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。 我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 給出 F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} 上的零函數，但視為 F 4 {\displaystyle \mathbb {F} _{4}} 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。 於是我們採取下述定義：令 R {\displaystyle R} 為環。一個單變元 X {\displaystyle X} 的多項式 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 定義為下述形式化的表法： P ( X ) = a m X m + a m − 1 X m − 1 + ⋯ + a 1 X + a 0 {\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}} 其中 a i {\displaystyle a_{i}} 屬於 R {\displaystyle R} ，稱作 X i {\displaystyle X^{i}} 的係數，而 X {\displaystyle X} 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 X i {\displaystyle X^{i}} 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數，或者首項係數。 更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 a = ( a n ) n ≥ 0 {\displaystyle a=(a_{n})_{n\geq 0}} ，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X {\displaystyle X} 及其冪次表達。 以下固定環 R {\displaystyle R} ，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。 多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定： 分配律：對所有 R {\displaystyle R} 上的多項式 P ( X ) , Q ( X ) , R ( X ) {\displaystyle P(X),Q(X),R(X)} ，恆有 ( P ( X ) + Q ( X ) ) ⋅ R ( X ) = P ( X ) R ( X ) + Q ( X ) R ( X ) {\displaystyle (P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)} R ( X ) ⋅ ( P ( X ) + Q ( X ) ) = R ( X ) P ( X ) + R ( X ) Q ( X ) {\displaystyle R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)} 對所有 a ∈ R {\displaystyle a\in R} ，有 X a = a X {\displaystyle X\,a=a\,X} 對所有非負整數 k , l {\displaystyle k,l} ，有 X k ⋅ X l = X k + l {\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}} 運算的具體表法如下： ∑ i = 0 n a i X i + ∑ i = 0 n b i X i = ∑ i = 0 n ( a i + b i ) X i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}} ( ∑ i = 0 n a i X i ) ( ∑ j = 0 m b j X j ) = ∑ k = 0 m + n ( ∑ μ + ν = k a μ b ν ) X k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}} 當 R {\displaystyle R} 是交換環時， R [ X ] {\displaystyle R[X]} 是個 R {\displaystyle R} 上的代數。 設 P ( X ) = ∑ a i X i {\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}} 而 Q ( X ) {\displaystyle Q(X)} 為另一多項式，則可定義兩者的合成為 ( P ∘ Q ) ( X ) := ∑ i a i Q ( X ) i {\displaystyle (P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}} 對於任一多項式 P ( X ) = ∑ a i X i {\displaystyle P(X)=\sum a_{i}X^{i}} 及 r ∈ R {\displaystyle r\in R} ，我們可考慮 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 對 r {\displaystyle r} 的求值： s r ( P ) := ∑ i a i r i {\displaystyle s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}} 固定 r ∈ R {\displaystyle r\in R} ，則得到一個環同態 s r : R [ X ] → R {\displaystyle s_{r}:R[X]\rightarrow R} ，稱作求值同態；此外它還滿足 s r ( P ∘ Q ) = s s r ( Q ) ( P ) {\displaystyle s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)} 在微積分中，多項式的微分由微分法則 ( x k ) ′ = k x k − 1 {\displaystyle (x^{k})'=kx^{k-1}} 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為： P ( X ) = ∑ i = 0 n a i X i {\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}} ⇒ P ( X ) ′ := ∑ i = 0 n i a i X i − 1 {\displaystyle \Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}} 這種導數依然滿足 ( P Q ) ′ = P ′ Q + P Q ′ {\displaystyle (PQ)'=P'Q+PQ'} 與 ( P + Q ) ′ = P ′ + Q ′ {\displaystyle (P+Q)'=P'+Q'} 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。 上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 R [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]} ，也可以採下述構造： 先考慮兩個變元 X , Y {\displaystyle X,Y} 的例子，我們可以先構造多項式環 R [ X ] {\displaystyle R[X]} ，其次構造 ( R [ X ] ) [ Y ] {\displaystyle (R[X])[Y]} 。可以證明有自然同構 ( R [ X ] ) [ Y ] ≅ R [ X , Y ] {\displaystyle (R[X])[Y]\cong R[X,Y]} ，例如多項式 P ( X , Y ) = X 2 Y 2 + 4 X Y 2 + 5 X 3 − 8 Y 2 + 6 X Y − 2 Y + 7 ∈ R [ X , Y ] {\displaystyle P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]} 也可以視作 ( X 2 + 4 X − 8 ) Y 2 + ( 6 X − 2 ) Y + ( 5 X 3 + 7 ) ∈ ( R [ X ] ) [ Y ] {\displaystyle (X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]} 對 ( R [ Y ] ) [ X ] {\displaystyle (R[Y])[X]} 亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。 若 R 是域，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 是主理想環（事實上還是個欧几里得整环）。 若 R 是唯一分解環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是整環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然。 若 R 是諾特環，則 R [ X ] {\displaystyle R[X]} 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。 任一個交換環 R {\displaystyle R} 上的有限生成代數皆可表成某個 R [ X 1 , … , X n ] {\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]} 的商環。 多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } 構造有限域，或從實數構造複數等等。 弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。