割

图论中，割（cut）是将图的顶点分为两不交子集的划分。割确定了割集，是两端分别在两子集中的边集，称这些边跨过（cross）了割。连通图中，割集唯一确定一个割，识别割有时是通过割集，而非顶点划分。 网络流中，s–t割指使得源与汇不在同一子集的割，其割集只含源一侧到汇一侧的边。s-t割的容量（capacity）定义为割集中所有边的容量和。 割 C = ( S ,   T ) {\displaystyle C=(S,\ T)} 是将图 G = ( V ,   E ) {\displaystyle G=(V,\ E)} 的顶点V分为两子集S、T的划分。 割 C = ( S ,   T ) {\displaystyle C=(S,\ T)} 的割集是一端点位于S、另一端点位于T的边的集合 { ( u ,   v ) ∈ E | u ∈ S ,   v ∈ T } {\displaystyle \{(u,\ v)\in E|u\in S,\ v\in T\}} 。 令s、t是图G的两顶点，则s–t割是使得s属于S、t属于T的割。 在无权无向图中，割的大小（size）或权（weight）是跨过割的边数。加权图中，割的值（value）或权（weight）是跨过割的边的权重之和。 键（bond）是真子集中没有其他割集的割集。 最小割的大小或权不大于其他割。右图展示了最小割，其大小为2，且没有大小为1的割，因为这张图没有桥。 最大流最小割定理指出，最大网络流等于分割了源汇的最小割的割边权重之和。有一些多项式时间方法可以解决最小割问题，最知名的是埃德蒙兹-卡普算法。 最大割的大小或权不小于其他割。右图展示了最大割，其大小为5，且没有大小为6的割（即边的总数，写作 | E | {\displaystyle |E|} ），因为这张图不是二分图（有奇环）。 一般来说，找最大割是很难计算的。 最大割问题是卡普的二十一个NP-完全问题之一， 也是APX问题之一，这是说除非P = NP，否则不会存在多项式时间复杂度的近似方法。 不过，可以用半正定规划，将其逼近到恒定的近似比。 注意从线性规划的意义上讲，最小割与最大割问题虽然可以通过改换目标函数的min、max使其变为另一个问题，但不是对偶的：最小割问题的对偶实际上是最大流问题。 最疏割（sparsest cut）使跨过割的边数对割的较小一侧的顶点数之比最小，目标函数偏向稀疏（跨过割的边更少）与平衡（接近二分）。这是NP问题，已知的最佳近似算法是 O ( log ⁡ n ) {\displaystyle O({\sqrt {\log n}})} 近似，见Arora, Rao & Vazirani (2009)。 无向图的所有割的族（family）称作图的割空间（cut space），在算术模2的二元有限域上形成向量空间，以两割集的对称差为向量加法，是环空间的正交补。若给边赋予正权重，割空间的最小权基可由与图同顶点集的树描述，称作最小割树。树的边都关联于原图的键，两节点s、t之间的最小割也就是与树中s到t的路径相关联的键中权最小的键。 连通性 (图论) 裂 (图论) 顶点割 桥 (图论) 割宽 NetworkX 2.6.2 documentation. networkx.algorithms.cuts.cut_size. [2021-12-10]. （原始内容存档于2021-11-18）. A cut is a partition of the nodes of a graph into two sets. The cut size is the sum of the weights of the edges “between” the two sets of nodes.  Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford, Introduction to Algorithms 2nd, MIT Press and McGraw-Hill: 563,655,1043, 2001, ISBN 0-262-03293-7 . Garey, Michael R.; Johnson, David S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, A2.2: ND16, p. 210, 1979, ISBN 0-7167-1045-5 . Karp, R. M., Reducibility among combinatorial problems, Miller, R. E.; Thacher, J. W. (编), Complexity of Computer Computation, New York: Plenum Press: 85–103, 1972 . Khot, S.; Kindler, G.; Mossel, E.; O’Donnell, R., Optimal inapproximability results for MAX-CUT and other two-variable CSPs? (PDF), Proceedings of the 45th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science: 146–154, 2004 [2019-08-29], （原始内容存档 (PDF)于2019-07-15） . Goemans, M. X.; Williamson, D. P., Improved approximation algorithms for maximum cut and satisfiability problems using semidefinite programming, Journal of the ACM, 1995, 42 (6): 1115–1145, doi:10.1145/227683.227684  . Vazirani, Vijay V., Approximation Algorithms, Springer: 97–98, 2004, ISBN 3-540-65367-8 . Arora, Sanjeev; Rao, Satish; Vazirani, Umesh, Expander flows, geometric embeddings and graph partitioning, J. ACM (ACM), 2009, 56 (2): 1–37, S2CID 263871111, doi:10.1145/1502793.1502794 . Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay, 4.6 Graphs and Vector Spaces, Graph Theory and Its Applications 2nd, CRC Press: 197–207, 2005, ISBN 9781584885054 . Diestel, Reinhard, 1.9 Some linear algebra, Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics 173, Springer: 23–28, 2012 . Korte, B. H.; Vygen, Jens, 8.6 Gomory–Hu Trees, Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms, Algorithms and Combinatorics 21, Springer: 180–186, 2008, ISBN 978-3-540-71844-4 .