Tor函子

在交換代數中，Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。 設 R {\displaystyle R} 為環。令 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } 為左 R {\displaystyle R} -模範疇、 M o d − R {\displaystyle \mathbf {Mod} -R} 為右 R {\displaystyle R} -模範疇（若 R {\displaystyle R} 為交換環，則兩者等價）。固定一對象 B ∈ R − M o d {\displaystyle B\in R-\mathbf {Mod} } ，考慮函子 T B ( − ) := − ⊗ R B {\displaystyle T_{B}(-):=-\otimes _{R}B} 這是從 M o d − R {\displaystyle \mathbf {Mod} -R} 至阿貝爾群範疇 A b {\displaystyle \mathbf {Ab} } 的右正合函子（若 R {\displaystyle R} 為交換環，則它是映至 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } 的右正合函子），因此能考慮其左導函子 L ∙ T B {\displaystyle L_{\bullet }T_{B}} ，記為 T o r ∙ R ( − , B ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)} 。 換言之，對任一左 R {\displaystyle R} -模 A {\displaystyle A} 取射影分解 ⋯ → P 3 → P 2 → P 1 → A → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow A\rightarrow 0} 去掉尾項 A {\displaystyle A} ，並對 B {\displaystyle B} 取張量積，得到鏈複形 ⋯ → P 3 ⊗ B → P 2 ⊗ B → P 1 ⊗ B → 0 {\displaystyle \cdots \rightarrow P_{3}\otimes B\rightarrow P_{2}\otimes B\rightarrow P_{1}\otimes B\rightarrow 0} 並取其同調群，則得到 T o r ∙ R ( − , B ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{\bullet }^{R}(-,B)} 此外，Tor 函子也能以 A ⊗ R − {\displaystyle A\otimes _{R}-} 的左導函子定義，兩種定義給出自然同構的函子。 Tor 函子與直和交換： T o r n R ( ⨁ i A i , ⨁ j B j ) ≃ ⨁ i ⨁ j T o r n R ( A i , B j ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}(\bigoplus _{i}A_{i},\bigoplus _{j}B_{j})\simeq \bigoplus _{i}\bigoplus _{j}\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A_{i},B_{j})} 對任何 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ， T o r n R {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{R}} 是從 ( M o d − R ) × ( R − M o d ) {\displaystyle (\mathbf {Mod} -R)\times (R-\mathbf {Mod} )} 到 A b {\displaystyle \mathbf {Ab} } 的加法函子。若 R {\displaystyle R} 是交換環，則它是從 ( R − M o d ) × ( R − M o d ) {\displaystyle (R-\mathbf {Mod} )\times (R-\mathbf {Mod} )} 到 R − M o d {\displaystyle R-\mathbf {Mod} } 的加法函子。 依據導函子性質，每個短正合序列 0 → K → L → M → 0 {\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow 0} 導出長正合序列： ⋯ → T o r n + 1 R ( M , B ) → T o r n R ( K , B ) → T o r n R ( L , B ) → T o r n R ( M , B ) → T o r n − 1 R ( K , B ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow \mathrm {Tor} _{n+1}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(K,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(L,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,B)\rightarrow \mathrm {Tor} _{n-1}^{R}(K,B)\rightarrow \cdots } 對第二個變數亦同。 若 R {\displaystyle R} 為交換環， r ∈ R {\displaystyle r\in R} 非零因子，則 T o r 1 R ( R / ( r ) , B ) = { b ∈ B : r b = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}} 這是 Tor 函子的詞源。 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解（因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的），此時對所有 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ，有 T o r n Z ( − , − ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} }(-,-)=0} 。 設 A , B {\displaystyle A,B} 為交換環， M {\displaystyle M} 為 B {\displaystyle B} -模，並固定一個環同態 A → B {\displaystyle A\to B} 。我們有雙函子的自然同構： ( − ⊗ A B ) ⊗ B M = − ⊗ A M {\displaystyle (-\otimes _{A}B)\otimes _{B}M=-\otimes _{A}M} 由此導出格羅滕迪克譜序列：對任何 A {\displaystyle A} -模 N {\displaystyle N} ，有譜序列 E p q 2 = T o r p B ( T o r q A ( N , B ) , M ) ⇒ T o r p + q A ( N , M ) {\displaystyle E_{pq}^{2}=\mathrm {Tor} _{p}^{B}(\mathrm {Tor} _{q}^{A}(N,B),M)\Rightarrow \mathrm {Tor} _{p+q}^{A}(N,M)} 一個右 R {\displaystyle R} -模是平坦模的充要條件是 T o r 1 R ( M , − ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,-)=0} 。此時可推出 ∀ n ≥ 1 , T o r n R ( M , − ) = 0 {\displaystyle \forall n\geq 1,\;\mathrm {Tor} _{n}^{R}(M,-)=0} 。左 R {\displaystyle R} -模的情況準此可知。事實上，計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解；凡射影分解必為平坦分解，反之則不然；平坦分解在技術上較富彈性。 Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1