数列极限

数列極限（英語：limit of a sequence）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。 極限的定義 — 取一复数數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} ，若有一複數 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，使得 「对于任意的正实数 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在自然数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} ，則 | z i − z | < ϵ {\displaystyle |z_{i}-z|<\epsilon } 」 用正式的邏輯語言来表示即 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ n ∈ N ) ( ∀ i ∈ N ) [ ( i > n ) ⇒ ( | z i − z | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists n\in \mathbb {N} )(\forall i\in \mathbb {N} )[\,(i>n)\Rightarrow (|z_{i}-z|<\epsilon )\,]} 则称数列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 收敛于 z {\displaystyle z} （convergent to z {\displaystyle z} ），並记作 lim i → ∞ z i = z {\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z} 如果不存在這樣的複數 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，則稱 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 是發散的（divergent）。 從上面的定義可以證明，對實數數列 { z i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 來說，若 lim i → ∞ z i = z {\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z} 則其極限 z {\displaystyle z} 一定為实数 ，因為假設 z {\displaystyle z} 的虛部 Im ⁡ ( z ) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0} 的話，則對極限定義取 ϵ = | Im ⁡ ( z ) | > 0 {\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0} 的話，會存在 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} 有 | z − z i | = [ Re ⁡ ( z ) − z i ] 2 + | Im ⁡ ( z ) | 2 < | Im ⁡ ( z ) | {\displaystyle |z-z_{i}|={\sqrt {{[\operatorname {Re} (z)-z_{i}]}^{2}+{|\operatorname {Im} (z)|}^{2}}}<|\operatorname {Im} (z)|} 這是矛盾的，所以根據反證法， Im ⁡ ( z ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0} ，即 z ∈ R {\displaystyle z\in \mathbb {R} } 。 定理 — 若數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 的極限存在，則極限是唯一的。 證明 設數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 有兩個不相等的極限值 z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} } ，則根據假設，對任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } ，使任意 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > max { n 1 , n 2 } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}} 就有 | z i − z 1 | < ϵ 2 {\displaystyle |z_{i}-z_{1}|<{\frac {\epsilon }{2}}} | z i − z 2 | < ϵ 2 {\displaystyle |z_{i}-z_{2}|<{\frac {\epsilon }{2}}} 這樣根據三角不等式，對任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ， 只要自然數 i > n {\displaystyle i>n} 就有則 | z 1 − z 2 | = | ( z 1 − z i ) − ( z 2 − z i ) | ≤ | z 1 − z i | + | z 2 − z i | < ϵ {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=|(z_{1}-z_{i})-(z_{2}-z_{i})|\leq |z_{1}-z_{i}|+|z_{2}-z_{i}|<\epsilon } 這樣的話，假設 | z 1 − z 2 | > 0 {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|>0} 會得到 | z 1 − z 2 | < | z 1 − z 2 | {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|<|z_{1}-z_{2}|} 這樣是矛盾的，故根據反證法， | z 1 − z 2 | = 0 {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=0} ，也就是 z 1 = z 2 {\displaystyle z_{1}=z_{2}} ，故極限唯一。 ◻ {\displaystyle \Box } 定理 — 若數列 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限，則存在正实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ，使得對所有的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 都有 | x i | ≤ M {\displaystyle |x_{i}|\leq M} 。 （即 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限則必為有界數列） 證明 因為 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限，假設有实数 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 滿足 lim n → ∞ x n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L} 這樣的話，對於 ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} ，存在自然数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} ，則 | x i − L | < ϵ = 1 {\displaystyle |x_{i}-L|<\epsilon =1} 從而 | x n | = | ( x n − L ) + L | ≤ | x n − L | + | L | < 1 + | L | {\displaystyle |x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|} 這樣的話，令 M = max ( | x 1 | ,   | x 2 | , ⋯ ,   | x n | ,   1 + | L | ) {\displaystyle M=\max \left(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{n}|,\ 1+|L|\right)} 就會有 | x i | ≤ M {\displaystyle |x_{i}|\leq M} 故得証。 ◻ {\displaystyle \Box } 根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」 注意有界數列不一定有極限，如數列 1 ,   0 ,   1 ,   0 , ⋯ ,   1 − ( − 1 ) n 2 , ⋯ {\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots } 是一個有界數列，但沒有極限。 但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。 定理 — 有實數數列 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 和 { y i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} ，若 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ y n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b} 則「 a > b {\displaystyle a>b} 」等價於「存在 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > n {\displaystyle i>n} 就有 x i > y i {\displaystyle x_{i}>y_{i}} 」。 證明 左至右： 取 ϵ = a − b 2 > 0 {\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0} ，則由前提假設，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > max { n 1 , n 2 } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}} 就有 | x i − a | < a − b 2 {\displaystyle |x_{i}-a|<{\frac {a-b}{2}}} | y i − b | < a − b 2 {\displaystyle |y_{i}-b|<{\frac {a-b}{2}}} 从而 y n < b + a − b 2 = a + b 2 {\displaystyle y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}} 故 y n < a + b 2 < x n {\displaystyle y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}} 這樣取 n = max { n 1 , n 2 } {\displaystyle n=\max\{n_{1},\,n_{2}\}} ，左至右就得證。 ◻ {\displaystyle \Box } 右至左： 由前提假設，對任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > max { n 1 , n 2 , n } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}} 就有 ϵ − a < x i < ϵ + a {\displaystyle \epsilon -a<x_{i}<\epsilon +a} ϵ − b < y i < ϵ + b {\displaystyle \epsilon -b<y_{i}<\epsilon +b} x i > y i {\displaystyle x_{i}>y_{i}} 从而 0 < x i − y i < a − b {\displaystyle 0<x_{i}-y_{i}<a-b} 故得證。 ◻ {\displaystyle \Box } 設 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} ， lim n → ∞ y n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b} ，則 lim n → ∞ ( x n ± y n ) = a ± b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b} ； lim n → ∞ x n ⋅ y n = a ⋅ b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b} ； 若 b ≠ 0 , y n ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0} ,則 lim n → ∞ x n y n = a b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}} . 其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 级数 函数极限