基 (拓撲學)

在拓扑学的相关领域中，拓撲基(英語：base 或 basis) 是某種特殊集合族，它們的任意并集構成了一個拓扑結構。基在拓扑学的作用是簡化證明，許多拓撲的性質可轉換成基的性質，像是拓撲意義下的连续就可以直接對基來做定義。 拓撲基的動機是想定義一群特殊的子集，它們的任意并集都是「开」的；嚴謹來說，令 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 為集合 X {\displaystyle X} 的一個子集族，希望 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 內任意一群子集之并集所組成的 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ： U := { U ∈ P ( X ) | ( ∃ A ) [ ( A ⊆ F ) ∧ ( ⋃ A = U ) ] } {\displaystyle {\mathcal {U}}:=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}} 為 X {\displaystyle X} 上的拓扑。 定理 —  集合 X {\displaystyle X} 有子集族 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} ， 設 ： τ := { U ∈ P ( X ) | ( ∃ A ) [ ( A ⊆ F ) ∧ ( ⋃ A = U ) ] } {\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}} 則「 τ {\displaystyle \tau } 為 X {\displaystyle X} 上的拓扑 」，等價於以下兩條件： ⋃ F = X {\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X} 對所有 B 1 , B 2 ∈ F {\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}} ， B 1 ∩ B 2 ∈ U {\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}} 一般會根據无限并集性質的定理(4)，將第二個條件等價的寫為： 「對所有 B 1 , B 2 ∈ F {\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}} ， B 1 ∩ B 2 = ⋃ [ F ∩ P ( B 1 ∩ B 2 ) ] {\displaystyle B_{1}\cap B_{2}=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]} 」 也就等價於： 「所有的 B 1 , B 2 ∈ F {\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}} ，對任意 x ∈ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}} 都存在 C ∈ [ F ∩ P ( B 1 ∩ B 2 ) ] {\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]} 使得 x ∈ C {\displaystyle x\in C} 」 由上面動機一節的定理，可以作如下的定義： 定義 —  B ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 為集合 X {\displaystyle X} 的一個子集族，若滿足： ⋃ B = X {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}=X} 　（基的元素覆蓋 X {\displaystyle X} ） 所有的 B 1 , B 2 ∈ F {\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}} ，對任意 x ∈ B 1 ∩ B 2 {\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}} 都存在 C ∈ [ F ∩ P ( B 1 ∩ B 2 ) ] {\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]} 使得 x ∈ C {\displaystyle x\in C} 則稱 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 為 X {\displaystyle X} 的一個拓撲基（Topological Basis）。而： τ := { U ∈ P ( X ) | ( ∃ A ) [ ( A ⊆ F ) ∧ ( ⋃ A = U ) ] } {\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}} 則稱為由基 B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 所生成的拓撲。 以所有實數線中的開區間為元素所構成的集合是拓撲基，因為： 任意實數 r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } 都包含在某個開區間裡，如 ( r − 1 , r + 1 ) {\displaystyle (r-1,\,r+1)} 。故開區間全體「覆蓋」了整條實數線。 任何兩個開區間的交集要么也是開區間要么為空。 對任意開區間 ( a , b ) {\displaystyle (a,\,b)} 內的實數 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,\,b)} ，都有一個比 ( a , b ) {\displaystyle (a,\,b)} 更小的開區間也包含 c {\displaystyle c} ，如 ( a + c 2 , b + c 2 ) {\displaystyle \left({\frac {a+c}{2}},\,{\frac {b+c}{2}}\right)} 。 這些性質正好滿足拓撲基的定義。 更一般的來說，以度量空间的開球為元素所構成的集合是拓撲基，因為： 度量空間的任意點都可作為開球的球心，故開球全體「覆蓋」了整個度量空間。 取任二開球 B r a ( a ) {\displaystyle B_{r_{a}}(a)} 和 B r b ( b ) {\displaystyle B_{r_{b}}(b)} ，若 x ∈ B r a ( a ) ∩ B r b ( b ) {\displaystyle x\in B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)} ，且 r = min { r a − d ( x , a ) , r b − d ( x , b ) } {\displaystyle r=\min\{r_{a}-d(x,\,a),\,r_{b}-d(x,\,b)\}} ，則 B r ( x ) ⊆ B r a ( a ) ∩ B r b ( b ) {\displaystyle B_{r}(x)\subseteq B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)} 。 定理 —  B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 是集合 X {\displaystyle X} 的拓撲基，則 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 生成的拓撲是包含 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 的最粗拓撲 定理 —  B 1 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}} 和 B 2 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}} 都是集合 X {\displaystyle X} 的拓撲基，而 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 為 B 1 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}} 生成的拓撲； τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} 為 B 2 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}} 生成的拓撲，則以下兩敘述價 τ 1 ⊆ τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}} ( ∀ B 1 ∈ B 1 ) ( ∃ B 2 ∈ B 2 ) ( B 2 ⊆ B 1 ) {\displaystyle (\forall B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1})(\exists B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2})(B_{2}\subseteq B_{1})} 如果 B1,B2,...,Bn 是拓撲 T1,T2,...,Tn 的基，則集合積 B1 × B2 × ... × Bn 是乘積拓撲 T1 × T2 × ... × Tn 的基。在無限乘積的情況下這仍適用，除了出現有限多個基元素之外全部都必須是整個空間之外。 設 B 是 X 的基并設 Y 是 X 的子空間。那么如果我們交 B 的每個元素於 Y，結果的集合的搜集是子空間 Y 的基。 定理 —  B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} 是集合 Y {\displaystyle Y} 的拓撲基（其生成的拓撲為 τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} ）； ( X , τ X ) {\displaystyle (X,\,\tau _{X})} 為一拓扑空间； f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 為一函数。若對任意 B ∈ B Y {\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}_{Y}} 有 f − 1 ( B ) ∈ τ X {\displaystyle f^{-1}(B)\in \tau _{X}} ，則 f {\displaystyle f} 是 τ X {\displaystyle \tau _{X}} - τ Y {\displaystyle \tau _{Y}} 连续。 X 的子集的搜集是 X 上的拓撲當且僅當它生成自身。 B 是拓撲空間 X 的基，當且僅當 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，對于 X 的任何點 x。 給定拓撲的一個基，要證明網或序列的收斂，在包含假定極限的所有基中的集合中最終證明它就是充分的。 序拓撲通常定義為類似開區間的集合的搜集所生成的拓撲。 度量拓撲通常定義為開球的搜集生成的拓撲。 第二可數空間是有可數基的拓撲。 離散拓撲有由所有單元素集合組成的基。 閉集同樣擅長描述空間的拓撲。因為有對於拓撲空間的閉集的對偶的基的概念。給定一個拓撲空間 X， X 的閉集基是閉集的集合族 F 使得任何閉集 A 是 F 的元素的交集。 等價的說，閉集族形成了閉集基，如果對於每個閉集 A 和每個不在 A 中的點 x，存在一個 F 的元素包含 A 但不包含 x。 容易檢查 F 是 X 的閉集基，當且僅當 F 的成員的補集的集合族是 X 的開集基。 設 F 是 X 的閉集基。則 ∩F = ∅ 對於每個 F1 和 F2 在 F 中，并集 F1 ∪ F2 是 F 的某個子族的交集(就是說，對于任何不在 F1 或 F2 的 x，存在一個 F3 在 F 包含 F1 ∪ F2 并不包含 x)。 滿足這些條件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓撲的閉集基。這個拓撲的閉集完全就是 F 的成員的交集。 在某些情況下，更習慣使用閉集基而非開集基。例如，一個空間是完全正規空間，當且僅當它的零集形成了閉集基。給定任何拓撲空間 X，零集形成在 X 上某個拓撲的閉集基。這個拓撲將是 X上比最初的要粗的最細的完全正規拓撲。在類似的脈絡下，在 An 上的 Zariski拓撲被定義為選取多項式函數的零集作為閉集基。 若拓扑空間 X {\displaystyle X} 是最小的拓扑使得 X {\displaystyle X} 的子集的集 B {\displaystyle B} 都是 X {\displaystyle X} 的開集，則稱 B {\displaystyle B} 為 X {\displaystyle X} 的一個準基（subbasis/subbase）。另一等價的定義為，若 B {\displaystyle B} 及其所有有限交集構成了拓扑空間 X {\displaystyle X} 之基，則 B {\displaystyle B} 為準基。 例子： 在實數線上，所有長度為1的開區間便是一個準基。 J.W. 亞歷山大證明了：若每個準基覆盖都有一個有限個元素的子覆蓋，則此空間是緊緻的。 James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall. Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.