混合图

混合图（mixed graph）G = (V, E, A)是由顶点 （节点）的集合V、无向边的集合E和有向边的集合A所组成的数学对象。 考虑一对相邻的顶点 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} 。有向边，是一个有方向的边，其可以表示为 u v → {\displaystyle {\overrightarrow {uv}}} 或 ( u , v ) {\displaystyle (u,v)} (即该有向边为由 u {\displaystyle u} 指向 v {\displaystyle v} )。 同样地，无向边，是一个没有方向的边，其可以表示为 u v {\displaystyle uv} 或 [ u , v ] {\displaystyle [u,v]} 。 在以下给出的应用实例中，我们不考虑混合图中包含自环或多重边的情况。 混合图或混合循环中的循环，是由有向边在混合图中构成的循环。如果不能从有向边形成循环，则认为混合图的方向是无环的。如果一个混合图的所有方向都是无环的，我们称它为有向无环图。 混合图着色可以看作是使用k种不同颜色(其中k是正整数)对混合图顶点进行标记或赋值。通过边连接的两端顶点必须颜色不同。颜色可以由1到k的数字表示，对于有向边，箭头后端的颜色对应数字必须小于箭头前端的颜色对应数字。 例如右图，我们可用于混合图的k着色方式为 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 。由于 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 之间有边连接，他们必须用不同颜色进行标记(如将 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 分别标记为1和2)。 v {\displaystyle v} 和 w {\displaystyle w} 之间为有向边连接，因此箭头后端 v {\displaystyle v} 的颜色标记必须小于箭头前段 w {\displaystyle w} 的颜色标记。 混合图的k着色方式是一个函数。 c : V → [ k ] {\displaystyle c:V\rightarrow [k]} 其中 [ k ] = 1 , 2 , … , k {\displaystyle [k]={1,2,\dots ,k}} ，当 u v ∈ E {\displaystyle uv\in E} （无向边）时 c ( u ) ≠ c ( v ) {\displaystyle c(u)\neq c(v)} ，当 u v → ∈ A {\displaystyle {\overrightarrow {uv}}\in A} （有向边）时 c ( u ) ≤ c ( v ) {\displaystyle c(u)\leq c(v)} 。再回到实例中，这意味着我们可以将有向边的前端和后端 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 均标记为正整数2。 假设混合图为G，能否做到将其完全着色是不确定的。为了使混合图有一个k着色方式，图中不能包含任何有向循环。 如果这样的k着色方式存在，那么我们为了给整个图着色的最小着色数（k值）可记为 χ ( G ) {\displaystyle \chi (G)} 。 我们可以通过构建k的多项式函数来计算合理的k着色方式的数量，其被称为图G的着色多项式（可用无向图的着色多项式来类比），其定义式为 χ G ( k ) {\displaystyle \chi _{G}(k)} 。 塔特多项式中的删除–收缩方法可用于计算弱色多项式的混合图。这个方法涉及删除(或移除)有向或无向边，合并（或关联）与该无向或有向边相连的其余顶点形成一个顶点。 在删除无向边 e {\displaystyle e} 之后，从之前的混合图 G = ( V , E , A ) {\displaystyle G=(V,E,A)} 可得到新的混合图 ( V , E − e , A ) {\displaystyle (V,E-e,A)} 。 可将删除无向边 e {\displaystyle e} 之后剩余的边表示为 G − e {\displaystyle G-e} 。类似地，在删除有向边 a {\displaystyle a} 之后，将剩余的边表示为 G − a {\displaystyle G-a} ，可获得新的混合图 ( V , E , A − a ) {\displaystyle (V,E,A-a)} 。 同样，我们可以将合并 e {\displaystyle e} 和 a {\displaystyle a} 分别表示为 G / e {\displaystyle G/e} 和 G / a {\displaystyle G/a} 。 根据以上给出的条件，我们得到以下方程来计算混合图的着色多项式： χ G ( k ) = χ G − e ( k ) − χ G / e ( k ) {\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-e}(k)-\chi _{G/e}(k)} , χ G ( k ) = χ G − a ( k ) + χ G / a ( k ) − χ G a ( k ) {\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-a}(k)+\chi _{G/a}(k)-\chi _{G_{a}}(k)} . 混合图可用于对车间调度问题进行建模，例如在一定的时间限制下执行一系列任务的问题。在这类问题中，无向边可用于设定两个任务不兼容(不能同时执行)的约束。有向边可用于优先级约束，即其中一个任务必须先于另一个任务执行。用这种方法从调度问题的角度定义的图称为析取图。混合图着色问题可用于规划执行所有任务的最小长度。 混合图也用作贝叶斯推理的概率图模型。下文中无环混合图(没有有向边循环的图)也称为链图。这些图的有向边用来表示两个事件之间的因果关系，其中第一个事件的结果影响第二个事件的概率。相反的是，无向边则表示两个事件之间的非因果关系。链图的无向子图的连通分量称为链。一个链图可以通过构造它的道德图从而转化为一个无向图，链图可以在其含有同一链的顶点对之间添加无向边，然后忽略有向边的方向从而形成无向图。 Beck et al. (2013，第1頁) Ries (2007，第1頁) Hansen, Kuplinsky & de Werra (1997，第1頁) Beck et al. (2013，第4頁) Beck et al. (2013，第5頁) Beck, M.; Blado, D.; Crawford, J.; Jean-Louis, T.; Young, M., On weak chromatic polynomials of mixed graphs, Graphs and Combinatorics, 2013, arXiv:1210.4634 , doi:10.1007/s00373-013-1381-1 . Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J., Probabilistic Networks and Expert Systems: Exact Computational Methods for Bayesian Networks, Springer-Verlag New York: 27, 1999 [2019-05-21], ISBN 0-387-98767-3, doi:10.1007/0-387-22630-3, （原始内容存档于2020-06-12）  Hansen, Pierre; Kuplinsky, Julio; de Werra, Dominique, Mixed graph colorings, Mathematical Methods of Operations Research, 1997, 45 (1): 145–160, MR 1435900, doi:10.1007/BF01194253 . Ries, B., Coloring some classes of mixed graphs, Discrete Applied Mathematics, 2007, 155 (1): 1–6, MR 2281351, doi:10.1016/j.dam.2006.05.004 . 埃里克·韦斯坦因. Mixed Graph. MathWorld.