纤维丛

纖維束（fiber bundle 或 fibre bundle）又稱纖維叢，在数学上，特别是在拓扑学中，是一个局部看来像直积空间，但是整体可能有不同的结构。每个纤维丛對應一个连续满射 π : E → B {\displaystyle \pi :E\rightarrow B} E 和乘積空間 B × F　的局部類似性可以用映射 π {\displaystyle \pi } 來說明。也就是說：在每個　E　的局部空間 U {\displaystyle U} ，都存在一個相同的F（F　稱作纖維空間），使得 π {\displaystyle \pi } 限制在 U {\displaystyle U} 上時　與直积空间　B × F　的投影　 P : B × F ↦ B , P ( b , f ) = b {\displaystyle P:B\times F\mapsto B,\quad P(b,f)=b} 　相似。（通常會用此滿射：π : E → B　來表示一個纖維叢，而忽略F ） 如果　 E = B × F {\displaystyle E=B\times F} ，也就是一个可以整体上等於乘積空間的丛叫做平凡丛（trivial bundle）。 纤维丛扩展了向量丛(vector bundle)，向量丛的主要实例就是流形的切丛（tangent bundle）。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。 一个纤维丛由四元组（E, B, π, F）组成，其中E, B, F　是拓扑空间而π : E → B　是一个连续满射，满足下面给出的局部平凡（local triviality）条件。B 称为丛的基空间（base space），E 称为总空间（total space）,而F 称为纤维（fiber）。映射π 称为投影映射.下面我们假定基空间B 是连通的。 我们要求对于B 中的每个點 x,存在一个在 B 中 包含 x 的开邻域U，並有一個同胚映射 φ:π−1（U）→ U × F (顯然　U × F　是一個乘積空間) ，φ 並且要滿足 π ( y ) = proj 1 ∘ ϕ ( y ) , ∀ y ∈ π − 1 ( U ) {\displaystyle \textstyle \pi (y)=\operatorname {proj} _{1}\circ \phi (y),\,\forall y\in \pi ^{-1}(U)} ，也就是下圖是可交换的： 其中 proj1 : U × F → U 是自然投影而 φ : π−1(U) → U × F 是一个同胚（這裡的局部平凡條件有些書會定義為 x = π ∘ φ − 1 ( x , f ) , ∀ x ∈ U , f ∈ F {\displaystyle \textstyle x=\pi \circ \varphi ^{-1}(x,f),\,\forall x\in U,f\in F} ）。所有{(Ui, φi)} 的集合称为丛的局部平凡化。 对于 B 中每點 p，原象（preimage）π−1(p) 和 F 同胚并称为點 p 上的纤维.一个纤维丛（E, B, π, F）经常记为 F ⟶ E   →   π     B {\displaystyle F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B} 以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纖維叢 π : E → B 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以 B 有由映射π决定的商拓扑(quotient topology). 一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，E, B, F都必须是光滑流形且所有上面用到的函数都必须是光滑映射。 令E = B × F并令π : E → B为对第一个因子的投影，则E是B上的丛.这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛. 最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip）.莫比乌斯带是一个以圆为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象 π − 1 ( U ) {\displaystyle \pi ^{-1}(U)} 在图中是个（有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块：弯曲但不扭转. 相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。 一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环，S1 × S1。 一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。 纤维丛的一个特例，叫做向量丛,是那些纤维为向量空间的丛（要成为一个向量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。向量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。 另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。 一个球丛是一个纤维为n維球面的纤维丛。给定一个有度量的向量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛,其在一点x的纤维是所有Ex的单位向量的集合. 纤维丛的截面（section或者cross section）是一个连续映射f : B → E使得π(f(x))=x对于所有B中的x成立。因为丛通常没有全局有定义的截面，理论的一个重要作用就是检验和证明他们的存在性。这导致了代数拓扑的示性类理论。 截面经常只被局部的定义（特别是当全局截面不存在时）。纤维丛的局部截面是一个连续映射f : U → E其中U是一个B中的开集而π(f(x))=x对所有U中的x成立。若（U, φ）是一个局部平凡化图，则局部截面在 U上总是存在的。这种截面和连续映射U → F有1-1对应。截面的集合组成一个层（sheaf）。 纤维丛经常有一个对称群描述重叠的图之间的相容条件。特别的，令G为一个拓扑群，它连续的从左边作用在纤维空间F上。不失一般性的，我们可以要求G有效的作用在F上，以便把它看成是F的同胚群。纖維叢的一个G-图册（E, B, π, F）是之前定義過的局部平凡化並且滿足：对任何两个重叠的局部平凡化中的元素也就是图（Ui, φi）和（Uj, φj）且 U i ∩ U j ≠ ∅ {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset } ，則函数 φ i φ j − 1 : ( U i ∩ U j ) × F → ( U i ∩ U j ) × F {\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F} 是由以下方式给出： φ i φ j − 1 ( x , ξ ) = ( x , t i j ( x ) ξ ) , ∀ x ∈ U i ∩ U j , ξ ∈ F {\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F} 其中 t i j : U i ∩ U j → G {\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G} 是一个称为转移函数（transition function）的连续映射。两个G-圖冊是等價的如果他们的聯集也是G-圖冊。一个G-丛是有G-圖冊等价类的纤维丛。群G稱为该丛的结构群（structure group）。 在光滑范畴中，一个G-丛是一个光滑纤维丛，其中G是一个李群而相应的在F上的作用是光滑的并且变换函数都是光滑映射。 转移函数tij满足以下条件 t i i ( x ) = 1 {\displaystyle t_{ii}(x)=1} t i j ( x ) = t j i ( x ) − 1 {\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}} t i k ( x ) = t i j ( x ) t j k ( x ) {\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)} 第三个条件用到三個相交的 U i ∩ U j ∩ U k {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}} 上叫做上链条件（cocycle condition，见Čech上同调）。 一个主丛是一个G-丛，其纤维可以认为是G本身，并且有一个在全空间上的G的右作用保持纤维不变。 向量丛 主丛 拉回丛（pullback bundle） 纤维化 覆盖映射 规范场论 PlanetMath: Fiber Bundle MathWorld: Fiber Bundle （页面存档备份，存于互联网档案馆） Norman Steenrod, The Topology of Fiber Bundles, Princeton University Press (1951). ISBN 0-691-00548-6. David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison-Wesley publishing, Reading, Mass (1981). ISBN 0-201-10096-7. See chapter one.