升餘弦濾波器

升餘弦濾波器是一種經常用於數位調變的脈衝整形（英语：Pulse shaping）濾波器，它能夠最大限度地減少符碼間干擾（英语：Intersymbol interference）（ISI）。之所以會如此命名是因為，該濾波器的最簡形式頻譜（ β = 1 {\displaystyle \beta =1} ）的非零部分為餘弦函數，且被「抬升」至水平軸 f {\displaystyle f} 上方。 升餘弦濾波器是一種低通奈奎斯特濾波器（英语：Nyquist ISI criterion）的實作，即具有殘對稱性的濾波器，這表示它的頻譜呈現约 1 2 T {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} 的奇對稱， T {\displaystyle T} 是通訊系统的符元週期。 其頻域描述為分段定義传递函数，由下式給出： H ( f ) = { 1 , | f | ≤ 1 − β 2 T 1 2 [ 1 + cos ⁡ ( π T β [ | f | − 1 − β 2 T ] ) ] , 1 − β 2 T < | f | ≤ 1 + β 2 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 或以餘的半正矢表示： H ( f ) = { 1 , | f | ≤ 1 − β 2 T hvc ⁡ ( π T β [ | f | − 1 − β 2 T ] ) , 1 − β 2 T < | f | ≤ 1 + β 2 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 0 ≤ β ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \beta \leq 1} 以兩個值為特徵；滾降係數 β {\displaystyle \beta } 和符元率的倒數 T {\displaystyle T} 。 這種濾波器的脈衝響應由下式给出： h ( t ) = { π 4 T sinc ⁡ ( 1 2 β ) , t = ± T 2 β 1 T sinc ⁡ ( t T ) cos ⁡ ( π β t T ) 1 − ( 2 β t T ) 2 , otherwise {\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 以歸一化的sinc函數表示。這裡使用的是通訊領域的定義 sin ⁡ ( π x ) / ( π x ) {\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)} ，而非數學領域所用的定義。 滾降（英语：Roll-off）係數 β {\displaystyle \beta } 是對濾波器带宽過量（excess bandwidth）的度量，即所佔带宽超過奈奎斯特頻寬 1 2 T {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} 的部分，有些作者會使用 α {\displaystyle \alpha } 表示. 若我們將多餘的頻寬表示為 Δ f {\displaystyle \Delta f} ，則： β = Δ f ( 1 2 T ) = Δ f R S / 2 = 2 T Δ f {\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f} R S = 1 T {\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}} 是符元率。 該圖顯示為 β {\displaystyle \beta } 在0和1之間變化的振幅響應，以及對脈衝響應的相應作用。可以看出，時域的漣波準位會隨著 β {\displaystyle \beta } 減少而增加，這可以減少濾波器的頻寛過量，但只能以伸長脈衝響應為代價。 β = 0 {\displaystyle \beta =0} 當 β {\displaystyle \beta } 靠近0時，滾降區變得無限窄，因此： lim β → 0 H ( f ) = rect ⁡ ( f T ) {\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)} rect ⁡ ( ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )} 是矩形函數，所以脈衝響應會趨近 h ( t ) = 1 T sinc ⁡ ( t T ) {\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)} .因此，在這種情況下，它會收斂到理想或磚牆濾波器。 β = 1 {\displaystyle \beta =1} 當 β = 1 {\displaystyle \beta =1} ，頻譜的非零部分是純粹的升餘弦，可化簡為： H ( f ) | β = 1 = { 1 2 [ 1 + cos ⁡ ( π f T ) ] , | f | ≤ 1 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.} 或 H ( f ) | β = 1 = { hvc ⁡ ( π f T ) , | f | ≤ 1 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.} 升餘弦濾波器的頻寬通常定義為其頻譜的非零正頻率部分的寬度，即： B W = R S 2 ( β + 1 ) , ( 0 < β < 1 ) {\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)} 升餘弦函數的自相關函數如下： R ( τ ) = T [ sinc ⁡ ( τ T ) cos ⁡ ( β π τ T ) 1 − ( 2 β τ T ) 2 − β 4 sinc ⁡ ( β τ T ) cos ⁡ ( π τ T ) 1 − ( β τ T ) 2 ] {\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]} 自相關分析可用於分析各種取樣偏移量結果。 當用於過濾符元流時，奈奎斯特濾波器具有消除 ISI 的特性，因為除了 n = 0 {\displaystyle n=0} 的情形之外，所有 n T {\displaystyle nT} （ n {\displaystyle n} 是整數）的脈衝響應都是零。 因此，如果傳輸的波形在接收端被正確採樣，原本的符元值就可以完全恢復。 然而，在許多實際的通訊系統，由於受白雜訊之影響，會在接收器中使用匹配濾波器。對於零 ISI，發射和接收濾波器的淨響應必須等於 H ( f ) {\displaystyle H(f)} ： H R ( f ) ⋅ H T ( f ) = H ( f ) {\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)} 因此： | H R ( f ) | = | H T ( f ) | = | H ( f ) | {\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}} 這些濾波器稱為根升餘弦濾波器（英语：Root-raised-cosine filter）。 升餘弦是一種常用於布拉格光纖光柵（英语：Fiber Bragg grating）的變跡濾波器。 Michael Zoltowski - Equations for the Raised Cosine and Square-Root Raised Cosine Shapes (PDF). [2021-08-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-03-28）.  德語：Raised-Cosine-Filter German version of Raised-Cosine-Filter Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4. Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5ISBN 0-07-113814-5. Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9 Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" （页面存档备份，存于互联网档案馆） originally published in RF Design, written by Ken Gentile.