群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。 若 G {\displaystyle \mathrm {G} } 为一个群而 X {\displaystyle \mathrm {X} } 为一个集合，则 G {\displaystyle \mathrm {G} } 在 X {\displaystyle \mathrm {X} } 上的一个(左) 群作用是一个二元函数 G × X → X {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} } (其中 g ∈ G {\displaystyle g\in \mathrm {G} } 和 x ∈ X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 的像写作 g ⋅ x {\displaystyle g\cdot x} )，满足如下两条公理： ( g h ) ⋅ x = g ⋅ ( h ⋅ x ) {\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)} 对于所有 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in \mathrm {G} } 和 x ∈ X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 成立 e ⋅ x = x {\displaystyle e\cdot x=x} 对于每个 x ∈ X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 成立 ( e {\displaystyle e} 代表 G {\displaystyle \mathrm {G} } 的么元) 从这两条公理，可以得出对于每个 g ∈ G {\displaystyle g\in \mathrm {G} } ，映射 x ∈ X {\displaystyle x\in \mathrm {X} } 到 g ⋅ x {\displaystyle g\cdot x} 的函数是一个双射(單射以 g − 1 {\displaystyle g^{-1}} 應付，滿射以 e {\displaystyle e} 應付），从 X {\displaystyle \mathrm {X} } 映射到 X {\displaystyle \mathrm {X} } 。因此，也可以将 G {\displaystyle \mathrm {G} } 在 X {\displaystyle \mathrm {X} } 上的群作用定义为从 G {\displaystyle \mathrm {G} } 到对称群 S X {\displaystyle S_{X}} 的群同态。 若群作用 G × X → X {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} } 给定，我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。 完全一样地，可以定义一个G在X上的右群作用为函数 X × G → X {\displaystyle \mathrm {X} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {X} } ，满足以下公理： x ⋅ ( g h ) = ( x ⋅ g ) ⋅ h {\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h} x ⋅ e = x {\displaystyle x\cdot e=x} 注意左和右作用的区别仅在于象gh这样的积在x上作用的次序。对于左作用h先作用然后是g，而对于右作用g先作用然后是h。从一个右作用可以构造一个左作用，只要和群上的逆操作复合就可以了。如果r为一右作用，则 l : G × M → M : ( g , m ) ↦ r ( m , g − 1 ) {\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})} 是一左作用，因为 l ( g h , m ) = r ( m , ( g h ) − 1 ) = r ( m , h − 1 g − 1 ) = r ( r ( m , h − 1 ) , g − 1 ) = r ( l ( h , m ) , g − 1 ) = l ( g , l ( h , m ) ) {\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,} 而 l ( e , m ) = r ( m , e − 1 ) = r ( m , e ) = m {\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,} 所以在这里，我们只考虑左群作用，因为右作用可以相应推理。 群G作用在集合X上的作用稱為: 遞移性(Transitive) 如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y ∈ {\displaystyle \in } X，則存在一個g ∈ {\displaystyle \in } G，使得 g ⋅ x = y {\displaystyle g\cdot x=y} ，我們就稱此作用為遞移性。 忠實性(Faithful) 如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。 自由性(Free) 如果給定 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} ，存在 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，則有著 g ⋅ x = h ⋅ x ⇒ g = h {\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h} ，則稱為此作用為自由性。 正則的(Regular) 同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。 n-遞移性(n-transitive) 如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x1, ..., xn 和所有不同的y1, ..., yn, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅xk = yk 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。 本原的(Primitive) 如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。 若 x {\displaystyle x} 是 X {\displaystyle \mathrm {X} } 的一個元素，且群 G {\displaystyle \mathrm {G} } 在 X {\displaystyle \mathrm {X} } 上有著一個作用，那麼 x {\displaystyle x} 的軌道 G x {\displaystyle \mathrm {G} _{x}} 就是指以下列方式定義的 X {\displaystyle \mathrm {X} } 的子集： G x = { g ⋅ x | g ∈ G } {\displaystyle \mathrm {G} _{x}=\{g\cdot x|g\in \mathrm {G} \}} X {\displaystyle \mathrm {X} } 的兩個軌道，要不彼此相等，要不然其交集就是空集合。這是因為假如兩個軌道 G x {\displaystyle \mathrm {G} _{x}} 和 G y {\displaystyle \mathrm {G} _{y}} 有一個共通元素 a {\displaystyle a} ，那麼就可以找到兩個 G {\displaystyle \mathrm {G} } 中的元素 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} ，使得 a = m ⋅ x ∈ G x {\displaystyle a=m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}} 、 a = n ⋅ y ∈ G y {\displaystyle a=n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}} ，同時有 x = m − 1 ⋅ a = m − 1 n ⋅ y ∈ G y {\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in \mathrm {G} _{y}} ，反之亦可推出 y = n − 1 ⋅ a = n − 1 m ⋅ x ∈ G x {\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in \mathrm {G} _{x}} ，而這使得這兩個集合所有的元素都相等。 一個軌道的例子是陪集，假若 H {\displaystyle \mathrm {H} } 是 G {\displaystyle \mathrm {G} } 的一個子集，且定義 G {\displaystyle \mathrm {G} } 中元素的慣常運算規則為 H {\displaystyle \mathrm {H} } 在 G {\displaystyle \mathrm {G} } 上的一個作用，那麼 H {\displaystyle \mathrm {H} } 的陪集 a H {\displaystyle \mathrm {aH} } ( a ∈ G {\displaystyle a\in \mathrm {G} } )就是 a {\displaystyle a} 的軌道。 若S是X的一個子集，群G作用在X上( X 被稱作G-set)，對於群G中的所有元素 g，以及所有S中的元素 x，有著 g ⋅ x ∈ S {\displaystyle g\cdot x\in S} ， 則我們會說 S在G的作用下是封閉的，或是說，S在G作用下是不變的 若 x {\displaystyle x} 是 X {\displaystyle \mathrm {X} } 的一個元素，對於群 G {\displaystyle \mathrm {G} } 中的所有元素 g {\displaystyle g} 而言，都有 g ⋅ x = x {\displaystyle g\cdot x=x} ，那麼就稱 x {\displaystyle x} 是 G {\displaystyle \mathrm {G} } -不變的（ G {\displaystyle \mathrm {G} } -invariant）。 另外若 x {\displaystyle x} 是 X {\displaystyle \mathrm {X} } 的一個元素，則所有使得 g ⋅ x = x {\displaystyle g\cdot x=x} 的 G {\displaystyle \mathrm {G} } 中的元素 g {\displaystyle g} 構成的集合又稱 G {\displaystyle \mathrm {G} } 對於 x {\displaystyle x} 的穩定子群（stabilizer subgroup of G {\displaystyle \mathrm {G} } with respect to x {\displaystyle x} ），一般常常將之記作 G x {\displaystyle \mathrm {Gx} } (注意：不要將之與上面軌道的符號混淆)。 G x {\displaystyle \mathrm {Gx} } 是 G {\displaystyle \mathrm {G} } 的一個子群，因為根據定義 e ⋅ x = x ∈ G x {\displaystyle e\cdot x=x\in \mathrm {Gx} } ，因此 G {\displaystyle \mathrm {G} } 的單位元 e {\displaystyle e} 屬於 G x {\displaystyle \mathrm {Gx} } ，且假若 m ∈ G x {\displaystyle m\in \mathrm {Gx} } ，那麼 m {\displaystyle m} 的逆元 m − 1 {\displaystyle m^{-1}} 也是 G x {\displaystyle \mathrm {Gx} } 的元素，因為 x = e ⋅ x = m − 1 m ⋅ x = m − 1 ⋅ x {\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x} 。 考慮一個映射 f : G ⋅ x ⟶ G / G x {\displaystyle f:G\cdot x\longrightarrow G/G_{x}} 可以證明此映射是一個雙射的函數，而這個映射的結論就是所謂的 軌道-穩定點定理 | G ⋅ x | = [ G : G x ] {\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]} 而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理， | X / G | = 1 | G | ∑ g ∈ G | X g | {\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|} 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。 Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.  Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.