戴德金分割

戴德金分割（英語：Dedekind cut）是数学中对于全序集的操作。对于给定的全序集 A {\displaystyle A} 及其中某个元素 x {\displaystyle x} 而言，将 A {\displaystyle A} 分拆为两个非空集合，使得两者其一中所有元素（按照顺序）均在 x {\displaystyle x} 之前、另一真子集中所有元素均在 x {\displaystyle x} 之后。 常见的是对于全体有理数的操作，即 A = Q {\displaystyle A=\mathbb {Q} } 。对于有理数 x {\displaystyle x} ，将有理数集合分拆为两个非空集合 A {\displaystyle A} 和 A ′ {\displaystyle A'} ，若 A {\displaystyle A} 和 A ′ {\displaystyle A'} 满足条件： ∀ a ∈ Q {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} } ，关系式 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 和 a ∈ A ′ {\displaystyle a\in A'} 必有且只有一个成立。 ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} ， ∀ a ′ ∈ A ′ {\displaystyle \forall a'\in A'} ，必有 a < a ′ {\displaystyle a<a'} ，并且 a ≤ x {\displaystyle a\leq x} 和 x ≤ a ′ {\displaystyle x\leq a'} 两者在不同时取等号时均成立。 则称这样的分拆为有理数的一个戴德金分割，记为 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 。其中集合 A {\displaystyle A} 称为戴德金分割的下组，集合 A ′ {\displaystyle A'} 称为戴德金分割的上组。 根据戴德金分割中 A {\displaystyle A} 和 A ′ {\displaystyle A'} 是否有最大数、最小数，可以将戴德金分割分为三种类型： A {\displaystyle A} 中有最大数， A ′ {\displaystyle A'} 中无最小数 A {\displaystyle A} 中无最大数， A ′ {\displaystyle A'} 中有最小数 A {\displaystyle A} 中无最大数， A ′ {\displaystyle A'} 中无最小数 可以证明，“ A {\displaystyle A} 中有最大数， A ′ {\displaystyle A'} 中有最小数」的情况并不存在。证明如下： 如果 A {\displaystyle A} 有最大数 a {\displaystyle a} ， A ′ {\displaystyle A'} 有最小数 b {\displaystyle b} ，则根据分割的定义可知 a < b {\displaystyle a<b} 。但是 ( a + b ) / 2 {\displaystyle (a+b)/2} 显然也是有理数，并且 a < ( a + b ) / 2 < b {\displaystyle a<(a+b)/2<b} ，因此 ( a + b ) / 2 {\displaystyle (a+b)/2} 既不在 A {\displaystyle A} 中, 也不在 A ′ {\displaystyle A'} 中，这就与 A ∪ A ′ {\displaystyle A\cup A'} 是全体有理数矛盾。 第三种情况揭示了在有理数域中存在这样的一种「空隙」（ A {\displaystyle A} 和 A ′ {\displaystyle A'} 之间的界数），这个「空隙」所对应的数既不属于 A {\displaystyle A} ，也不属于 A ′ {\displaystyle A'} ，因此它不是有理数，它所对应的数就是无理数，因此说第3种情况的戴德金分割定义了一个无理数。 作为一个直观的理解，我们可以把上面三种分化分别看成 ( − ∞ , d ] ∪ ( d , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,d]\cup (d,+\infty )} 、 ( − ∞ , d ) ∪ [ d , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,d)\cup [d,+\infty )} 和 ( − ∞ , d ) ∪ ( d , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,d)\cup (d,+\infty )} ，而“ A {\displaystyle A} 中有最大数、 A ′ {\displaystyle A'} 中有最小数”的情况就是 ( − ∞ , d ] ∩ [ d , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,d]\cap [d,+\infty )} ，中间的分割点d同时（不合法地）属于两边集合。 将所有小于或等于0的有理数划分为集合 A {\displaystyle A} ，将所有余下的有理数（即大于0的有理数）划分为集合 A ′ {\displaystyle A'} ，则 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第1种情形。 将所有小于0的有理数划分为集合 A {\displaystyle A} ，将所有余下的有理数（即大于或等于0的有理数）划分为集合 A ′ {\displaystyle A'} ，则 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第2种情形。 将所有小于或等于0、其平方小于或等于3的正有理数（即满足 ∀ a ∈ Q , a ≤ 0 , a 2 ≤ 3 {\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,a\leq 0,a^{2}\leq 3} 的数）划分到集合 A {\displaystyle A} ，将余下的有理数（即其平方大于3的正有理数）划分到集合 A ′ {\displaystyle A'} ，则 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 是一个戴德金分割，并属于上述分类中的第3种情形，此时戴德金分割 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 定义了无理数 3 {\displaystyle {\sqrt[{}]{3}}} 。 假设无理数 α {\displaystyle \alpha } 由分划 A | A ′ {\displaystyle A|A'} 所确定，无理数 β {\displaystyle \beta } 由分划 B | B ′ {\displaystyle B|B'} 所确定，则 若集合 A = B {\displaystyle A=B} 或 A ′ = B ′ {\displaystyle A'=B'} ，则称无理数 α {\displaystyle \alpha } 与 β {\displaystyle \beta } 相等，记为 α = β {\displaystyle \alpha =\beta } 。 若集合 A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} （ A ≠ B {\displaystyle A\neq B} ），则称无理数 α {\displaystyle \alpha } 大于 β {\displaystyle \beta } ，记为 α > β {\displaystyle \alpha >\beta } 。 无理数小于（ < {\displaystyle <} ）的概念可由大于（ > {\displaystyle >} ）的概念定义，即 β < α {\displaystyle \beta <\alpha } 当且仅当 α > β {\displaystyle \alpha >\beta } 。如此得到實數系的大小關係，其性質有： 任意实数 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } ，必有且只有下列关系式之一成立： α = β , α > β , α < β {\displaystyle \alpha =\beta ,\alpha >\beta ,\alpha <\beta } 。 传递性：若实数 α > β , β > γ {\displaystyle \alpha >\beta ,\beta >\gamma } ，则 α > γ {\displaystyle \alpha >\gamma } 。对于小于（ < {\displaystyle <} ）的情形，传递性同样成立。 所以該大小關係是全序關係。 无理数 實數的構造 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 5–6. ISBN 5-9221-0436-5.