長球面坐標系

長球面坐標系（英語：Prolate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的直角坐標分別為 ( 0 ,   0 ,   − a ) {\displaystyle (0,\ 0,\ -a)} 與 ( 0 ,   0 ,   a ) {\displaystyle (0,\ 0,\ a)} 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，包含於 z-軸。長球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最短的半軸的長度相同。 在三維空間裏，一個點 P 的長球面坐標 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 常見的定義是 x = a   sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν   cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi } 、 y = a   sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν   sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi } 、 z = a   cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν {\displaystyle z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu } ； 其中， μ ≥ 0 {\displaystyle \mu \geq 0} 是個實數，弧度 0 ≤ ν ≤ π {\displaystyle 0\leq \nu \leq \pi } ，弧度 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi } 。 μ {\displaystyle \mu } 坐標曲面是長球面： z 2 a 2 cosh 2 ⁡ μ + x 2 + y 2 a 2 sinh 2 ⁡ μ = cos 2 ⁡ ν + sin 2 ⁡ ν = 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1} 。 每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a sinh ⁡ μ {\displaystyle a\sinh \mu } ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a cosh ⁡ μ {\displaystyle a\cosh \mu } 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ± a {\displaystyle \pm a} 。 ν {\displaystyle \nu } 坐標曲面是半個旋轉雙葉雙曲面： z 2 a 2 cos 2 ⁡ ν − x 2 + y 2 a 2 sin 2 ⁡ ν = cosh 2 ⁡ μ − sinh 2 ⁡ μ = 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1} 。 當 ν < π / 2 {\displaystyle \nu <\pi /2} 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 ν > π / 2 {\displaystyle \nu >\pi /2} 時，坐標曲面在 xy-平面以下。 ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是個半平面 ： x sin ⁡ ϕ − y cos ⁡ ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。 長球面坐標 μ {\displaystyle \mu } 與 ν {\displaystyle \nu } 的標度因子相等： h μ = h ν = a sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}} 。 方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的標度因子為 h ϕ = a sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν {\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu } 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν   ( sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν ) d μ d ν d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 a 2 ( sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν ) [ ∂ 2 Φ ∂ μ 2 + ∂ 2 Φ ∂ ν 2 + coth ⁡ μ ∂ Φ ∂ μ + cot ⁡ ν ∂ Φ ∂ ν ] + 1 a 2 sinh 2 ⁡ μ sin 2 ⁡ ν ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ， ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 當邊界條件涉及長球面時，長球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，位置分別在 z-軸兩個焦點的電子，會產生怎樣的靜電場？一個關於氫離子 H 2 + {\displaystyle H_{2}^{+}} 的問題是，當移動於兩個正價的原子核中間時，一個電子的波函數是什麼？另外一個很實際的問題是，兩個小電極尖端之間的電場是什麼？極限案例包括一根電線段 ( μ = 0 {\displaystyle \mu =0} ) 產生的電場，缺了一線段的一根電線 ( ν = 0 {\displaystyle \nu =0} ) 產生的電場。 另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} ： σ = cosh ⁡ μ {\displaystyle \sigma =\cosh \mu } 、 τ = cos ⁡ ν {\displaystyle \tau =\cos \nu } 、 ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。 其中， σ ≥ 1 {\displaystyle \sigma \geq 1} 是個實數， 1 ≥ τ ≥ − 1 {\displaystyle 1\geq \tau \geq -1} 是個實數，弧度 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi } 。 與扁球面坐標系不同，長球面坐標系並沒有簡併。在三維空間裏，長球面坐標系與直角坐標有一一對應關係: x = a ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi } 、 y = a ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi } 、 z = a   σ   τ {\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau } 。 σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面是長球面： z 2 a 2 σ 2 + x 2 + y 2 a 2 ( σ 2 − 1 ) = 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)}}=1} 。 每一個長球面都是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個橢圓。沿著 x-軸，橢圓的短半軸長度為 a σ 2 − 1 {\displaystyle a{\sqrt {\sigma ^{2}-1}}} ，沿著 z-軸，橢圓的長半軸長度為 a σ {\displaystyle a\sigma } 。橢圓的焦點都包含於 z-軸，z-坐標分別為 ± a {\displaystyle \pm a} 。 τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面是半個旋轉雙曲面： z 2 a 2 τ 2 − x 2 + y 2 a 2 ( 1 − τ 2 ) = 1 {\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}(1-\tau ^{2})}}=1} 。 當 τ > 0 {\displaystyle \tau >0} 時，坐標曲面在 xy-平面以上；當 τ < 0 {\displaystyle \tau <0} 時，坐標曲面在 xy-平面以下。 ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是個半平面 ： x sin ⁡ ϕ − y cos ⁡ ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。 任何一點 P 與焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} ， F 2 {\displaystyle F_{2}} 的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} ， d 2 {\displaystyle d_{2}} ，可以一個很簡單的公式表示： d 1 + d 2 = 2 a σ {\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma } 、 d 1 − d 2 = 2 a τ {\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau } 。 所以，點 P 與焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} 是 a ( σ + τ ) {\displaystyle a(\sigma +\tau )} ，點 P 與焦點 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的距離 d 2 {\displaystyle d_{2}} 是 a ( σ − τ ) {\displaystyle a(\sigma -\tau )} 。（回想 F 1 {\displaystyle F_{1}} ， F 2 {\displaystyle F_{2}} 都是在 z-軸，分別位於 z = − a {\displaystyle z=-a} ， z = + a {\displaystyle z=+a} 。） 第二種長球面坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 的標度因子分別為: h σ = a σ 2 − τ 2 σ 2 − 1 {\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}} 、 h τ = a σ 2 − τ 2 1 − τ 2 {\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}} 、 h ϕ = a ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) {\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}} 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 ( σ 2 − τ 2 ) d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 a 2 ( σ 2 − τ 2 ) { ∂ ∂ σ [ ( σ 2 − 1 ) ∂ Φ ∂ σ ] + ∂ ∂ τ [ ( 1 − τ 2 ) ∂ Φ ∂ τ ] } + 1 a 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ， ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為長扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及長球面，我們可以優先選擇這方法來解析。 Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 661.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 ξ 1 = a cosh ⁡ μ {\displaystyle \xi _{1}=a\cosh \mu } 、 ξ 2 = sin ⁡ ν {\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu } 、 ξ 3 = cos ⁡ ϕ {\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi } 。 Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 u k {\displaystyle u_{k}} 來替代 ξ k {\displaystyle \xi _{k}} 。 Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 97.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 ξ = cosh ⁡ μ {\displaystyle \xi =\cosh \mu } 、 η = sin ⁡ ν {\displaystyle \eta =\sin \nu } 、 ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。 Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用第一種表述 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} ，又加介紹了簡併的第三種表述 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 。 Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 180–182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } 來替代緯度 ν {\displaystyle \nu } 。 Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 28–30 (Table 1.06). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer 採用餘緯度常規 θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } ，又改名 ϕ {\displaystyle \phi } 為 ψ {\displaystyle \psi } 。 Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 視長球面坐標系為橢球坐標系的極限。