尤拉臨界負載

尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下： P c r = π 2 E I ( K L ) 2 {\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}} 其中 P c r {\displaystyle P_{cr}} , 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载）， E {\displaystyle E} ，柱體材料的杨氏模數， I {\displaystyle I} ，柱體横截面的最小面积惯性矩， L {\displaystyle L} , 柱體的无支撑长度， K {\displaystyle K} ,柱體有效长度係數 这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。 大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。 在推导尤拉公式時所做的假设如下： 柱體材料均质且具等向性。 柱體受到的压缩負载仅有轴向。 柱子没有初始应力。 柱子的重量被忽略。 柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。 销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。 與弯曲應力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。 細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度 σ y {\displaystyle \sigma _{y}} （见图1）： σ = P c r A = π 2 E ( L e / r ) 2 < σ y {\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}} 其中： L e r {\textstyle {\frac {L_{e}}{r}}} , 细长比, L e = K L {\displaystyle L_{e}=KL} ，有效长度， r = I A {\textstyle r={\sqrt {\operatorname {I} \over \operatorname {A} }}} ,迴转半径, I {\displaystyle I} , 面积惯性矩, A {\displaystyle A} , 横截面面積。 对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。 以下模型适用于两端為简支承的柱子（ K = 1 {\displaystyle K=1} ）。 首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。 使用圖 3 右側的自由体图，并將点 x 的力矩加總： Σ M = 0 ⇒ M ( x ) + P w = 0 {\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0} 其中 w 是横向變形。 根据尤拉-伯努利樑理论，樑的挠度与其弯矩的關係式为： M = − E I d 2 w d x 2 {\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}} , 让 λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} ， 所以： E I d 2 w d x 2 + P w = 0 {\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0} d 2 w d x 2 + λ 2 w = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0} 我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。 该方程的通解为： w ( x ) = A cos ⁡ ( λ x ) + B sin ⁡ ( λ x ) {\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)} ， 這裡的 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 常数由边界条件所定義，它们是： 左端點固定 → w ( 0 ) = 0 → A = 0 {\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0} 右端點固定 → w ( l ) = 0 → B sin ⁡ ( λ l ) = 0 {\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0} 如果 B = 0 {\displaystyle B=0} ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解 w ( x ) = 0 {\displaystyle w(x)=0} 。 但是，从其他解 sin ⁡ ( λ l ) = 0 {\displaystyle \sin(\lambda l)=0} 我们得到 λ n l = n π {\displaystyle \lambda _{n}l=n\pi } ， 其中 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } 再加上前述的 λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} ，各种临界負载是： P n = n 2 π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}} ， 为了 n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } 并取决于 n {\displaystyle n} 的值 ，产生不同的挫曲模態 ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。 理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。 因此，銷端柱的尤拉临界負载為： P c r = π 2 E I l 2 {\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}} 得到柱的第一模态挫曲形状为： w ( x ) = B sin ⁡ ( π l x ) {\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)} . 樑軸向的微分方程： d 4 w d x 4 + P E I d 2 w d x 2 = q E I {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}} 对于仅具有轴向負载的柱，横向負载 q ( x ) {\displaystyle q(x)} 消失，再代入 λ 2 = P E I {\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}} 可得到： d 4 w d x 4 + λ 2 d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0} 这是一个齐次四阶微分方程，其通解为 w ( x ) = A sin ⁡ ( λ x ) + B cos ⁡ ( λ x ) + C x + D {\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D} 四个常数 A , B , C , D {\displaystyle A,B,C,D} 由兩端边界条件所决定的 w ( x ) {\displaystyle w(x)} 來得到。有以下三种情况： 銷接端 (Pinned end)： w = 0 {\displaystyle w=0} 和 M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0} 固定端 (Fixed end)： w = 0 {\displaystyle w=0} 和 d w d x = 0 {\displaystyle {dw \over dx}=0} 自由端 (Free end)： M = 0 → d 2 w d x 2 = 0 {\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0} 和 V = 0 → d 3 w d x 3 + λ 2 d w d x = 0 {\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0} 对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。 挫曲 弯矩 弯曲 (力學) 尤拉-伯努利樑理论 Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. （原始内容存档于2022-05-12）.  Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. （原始内容存档于2021-10-08） （英语）.  Buckling of Columns (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2015-05-28）.  Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.