扩展图

在组合数学中，扩展图（英語：Expander graph）是一种具有强连通性质的稀疏图，可用边扩展性、顶点扩展性或图谱扩展性三种方式来量化。扩展图的构造问题引导了多个数学分支上的研究，并且在计算复杂性理论、计算机网络设计和编码理论上有诸多应用。 对于有限、无向、连通的多重图，扩展性是一种能够衡量其连通强弱的指标。直观而言，扩展性较强意味着图中任何「不太大」的顶点集均有较大的边界，也就是说集合内外的交互很强。 连通图的扩展性有的弱，有的强。例如道路的扩展性很弱，而完全图的扩展性最强。可以看出，稠密图比稀疏图更“容易”具备强扩展性。但人们希望构造一类鱼与熊掌兼得的图：既能保持稀疏性，又具备很强的扩展性。具备这样“矛盾”属性的图就是一张扩展图；矛盾对立越深，扩展图越优良。 用数学语言表达如下：若一张图图有 n {\displaystyle n} 个顶点、最大度为 d {\displaystyle d} 、扩展性为 h {\displaystyle h} ，那么就称它为 ( n , d , h ) {\displaystyle (n,d,h)} -扩展图。 d {\displaystyle d} 越小（即图越稀疏）且 h {\displaystyle h} 越大（即扩展性越强），则扩展图的性质越优异。 作为扩展图定义中的关键参数之一，“扩展性”的精确概念可用不同方式来量化。下文将讨论边扩展性、顶点扩展性和谱扩展性三种量化方式。 包含 n {\displaystyle n} 个顶点的图 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} 的边扩展性 h ( G ) {\displaystyle h(G)} 定义为 h ( G ) = min 0 < | S | ≤ n 2 | ∂ S | | S | {\displaystyle h(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial S|}{|S|}}} 其中 ∂ S := { { u , v } ∈ E ∣ u ∈ S , v ∈ V ∖ S } {\displaystyle \partial S:=\{\{u,v\}\in E\mid u\in S,v\in V\setminus S\}} 为子集 S {\displaystyle S} 的边界。注意在此定义中，最小值取于所有非空且大小不超过 n / 2 {\displaystyle n/2} 的顶点集。 图 G {\displaystyle G} 的顶点扩展性 h out ( G ) {\displaystyle h_{\text{out}}(G)} 定义为 h out ( G ) = min 0 < | S | ≤ n 2 | ∂ out ( S ) | | S | {\displaystyle h_{\text{out}}(G)=\min _{0<|S|\leq {\frac {n}{2}}}{\frac {|\partial _{\text{out}}(S)|}{|S|}}} 此处 ∂ out ( S ) := { v ∉ S ∣ ∃ u ∈ S : { u , v } ∈ E } {\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists u\in S:\{u,v\}\in E\}} 是集合 S {\displaystyle S} 的外边缘。顶点扩展性有一种变体，称作「唯一邻点扩展性」（unique neighbor expansion），在这里 ∂ out ( S ) := { v ∉ S ∣ ∃ ! u ∈ S : { u , v } ∈ E } {\displaystyle \partial _{\text{out}}(S):=\{v\not \in S\mid \exists !u\in S:\{u,v\}\in E\}} 。 当 G {\displaystyle G} 是d-正则图时，可以借助线性代数中的特征值理论来定义扩展性，称作谱扩展性。具体而言，设 A {\displaystyle A} 是图 G {\displaystyle G} 的邻接矩阵，其中 A ( i , j ) {\displaystyle A(i,j)} 记录了顶点 i , j {\displaystyle i,j} 之间的边数。因为 A {\displaystyle A} 是实对称矩阵，根据谱定理知道它有 n {\displaystyle n} 个实特征值 λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ n {\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}} 。可以证明它们都落在区间 [ − d , d ] {\displaystyle [-d,d]} 内。 由于 G {\displaystyle G} 是正则图，所以 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的均匀分布 u := ( 1 / n , 1 / n , … , 1 / n ) {\displaystyle \mathbf {u} :=(1/n,1/n,\dots ,1/n)} 是矩阵 A {\displaystyle A} 的特征向量，对应特征值 d = λ 1 {\displaystyle d=\lambda _{1}} ，即 A u = d u {\displaystyle A\mathbf {u} =d\mathbf {u} } 。图 G {\displaystyle G} 的谱间距（spectral gap）定义为 d − λ 2 {\displaystyle d-\lambda _{2}} ，它可以用作扩展性的量度。 上面定义的三种量化方式虽然形式上有差别，但在本质上相互联系。对于d-正则图，我们有 h out ( G ) ≤ h ( G ) ≤ d ⋅ h out ( G ) . {\displaystyle h_{\text{out}}(G)\leq h(G)\leq d\cdot h_{\text{out}}(G).} 因此，当度是常数时，前两种量化方式并无实质区别。 对于d-正则图，Dodziuk和Alon、Milman 证明了 1 2 ( d − λ 2 ) ≤ h ( G ) ≤ 2 d ( d − λ 2 ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(d-\lambda _{2})\leq h(G)\leq {\sqrt {2d(d-\lambda _{2})}}} 这一不等式与马尔可夫链的Cheeger不等式有本质联系。 Hoory, Linial & Widgerson (2006) Definition 2.1 in Hoory, Linial & Widgerson (2006) Bobkov, Houdré & Tetali (2000) Alon & Capalbo (2002) cf. Section 2.3 in Hoory, Linial & Wigderson (2006) harvtxt error: no target: CITEREFHooryLinialWigderson2006 (help) Dodziuk 1984. sfn error: no target: CITEREFDodziuk1984 (help) Alon & Spencer 2011. 教科书和文献综述 Alon, N.; Spencer, Joel H. 9.2. Eigenvalues and Expanders. The Probabilistic Method 3rd. John Wiley & Sons. 2011.  Chung, Fan R. 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