雙球坐標系

雙球坐標系（英語：Bispherical coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏，坐標 σ {\displaystyle \sigma } 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後，圓圈變成一個環面，而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈，稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。 在三維空間裏，一個點 P 的雙球坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 最常見的定義是 x = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi } 、 y = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi } 、 z = a   sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle z=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} ； 其中， ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 是直角坐標， σ {\displaystyle \sigma } 坐標是 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 的弧度， τ {\displaystyle \tau } 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數： τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 每一個紅色的 σ {\displaystyle \sigma } -坐標曲面都是包含了兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 環面。，每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為 z 2 + ( x 2 + y 2 − a cot ⁡ σ ) 2 = a 2 sin 2 ⁡ σ {\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\cot \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。 當絕對值 | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 增加時，環小半徑會減小，環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時， | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 達到最大值 π / 2 {\displaystyle \pi /2} 。 每一個藍色的 τ {\displaystyle \tau } -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點；圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為 x 2 + y 2 + ( z − a coth ⁡ τ ) 2 = a 2 sinh 2 ⁡ τ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\coth \tau )^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。 它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 τ {\displaystyle \tau } 的圓球面在 z > 0 {\displaystyle z>0} 半空間；而負值 τ {\displaystyle \tau } 的圓球面在 z < 0 {\displaystyle z<0} 半空間。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 曲線則與 xy-平面同平面。當 τ {\displaystyle \tau } 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。 雙球坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 可以用直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來表示。方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的公式為 tan ⁡ ϕ = y x {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}} 。 點 P 與兩個焦點之間的距離是 d 1 2 = x 2 + y 2 + ( z + a ) 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}} 、 d 2 2 = x 2 + y 2 + ( z − a ) 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}} 。 τ {\displaystyle \tau } 是 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數： τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 如圖 3 ， ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 σ {\displaystyle \sigma } 。用餘弦定理來計算： cos ⁡ σ = d 1 2 + d 2 2 − 4 a 2 2 d 1 d 2 {\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}} 。 雙球坐標 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 的標度因子相等： h σ = h τ = a cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 。 方位角的標度因子為 h ϕ = a sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 sin ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sin \sigma }{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{3}}}d\sigma d\tau d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 a 2 sin ⁡ σ [ ∂ ∂ σ ( sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ Φ ∂ σ ) + sin ⁡ σ ∂ ∂ τ ( 1 cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ Φ ∂ τ ) + 1 sin ⁡ σ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 ] {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sin \sigma }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+\sin \sigma {\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sin \sigma \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ， ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( σ ,   τ ,   z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 雙球坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個不同半徑的圓球導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用雙球坐標，我們可以精緻地分析這个问題。 Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)