伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。 对于布朗运动 W t {\displaystyle W_{t}} 和二次可导函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，以下等式成立： d f ( W t ) = f ′ ( W t ) d W t + 1 2 f ″ ( W t ) d t {\displaystyle df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt} 其中過程： d t d t = 0 , d t d W t = d W t d t = 0 , d W t d W t = d t {\displaystyle dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt} 其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如： d e W t 2 = 2 W t e W t 2 d W t + ( e W t 2 + 2 W t 2 e W t 2 ) d t {\displaystyle de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt} 对于伊藤过程 X t {\displaystyle X_{t}} 和二次可导函数 f ( t , x ) {\displaystyle f(t,x)} ，以下等式成立 d f ( t , X t ) = ( ∂ f ∂ t + 1 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ) d t + ∂ f ∂ x d X t {\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}} 定义伊藤过程 X t {\displaystyle X_{t}} 为满足下列随机微分方程的随机过程 d X t = μ t d t + σ t d W t {\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}} 对于伊藤过程 X t {\displaystyle X_{t}} 和二次可导函数 f ( t , x ) {\displaystyle f(t,x)} ，以下等式成立： d f ( t , X t ) = ( ∂ f ∂ t + μ t ∂ f ∂ x + 1 2 σ t 2 ∂ 2 f ∂ x 2 ) d t + σ t ∂ f ∂ x d W t . {\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.} 类似地，定义多维伊藤过程 X t = ( X t 1 , X t 2 , … , X t n ) T {\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}} 使得 d X t = μ t d t + G t d B t {\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}} 其中 μ t {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}} 为n维向量， G t {\displaystyle \mathbf {G} _{t}} 为n阶方块矩阵；有如下等式： d f ( t , X t ) = ∂ f ∂ t d t + ( ∇ X f ) T d X t + 1 2 ( d X t ) T ( H X f ) d X t , = { ∂ f ∂ t + ( ∇ X f ) T μ t + 1 2 Tr ⁡ [ G t T ( H X f ) G t ] } d t + ( ∇ X f ) T G t d B t {\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}} 其中， ∇ X f {\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f} 是f关于X的梯度，HX f 是f关于X的黑塞矩陣，Tr是跡的符号。 [需要定义] d f ( X t ) = ∑ i = 1 d f i ( X t ) d X t i + 1 2 ∑ i , j = 1 d f i , j ( X t ) d [ X i , X j ] t . {\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.} f ( X t ) = f ( X 0 ) + ∑ i = 1 d ∫ 0 t f i ( X s − ) d X s i + 1 2 ∑ i , j = 1 d ∫ 0 t f i , j ( X s − ) d [ X i , X j ] s + ∑ s ≤ t ( Δ f ( X s ) − ∑ i = 1 d f i ( X s − ) Δ X s i − 1 2 ∑ i , j = 1 d f i , j ( X s − ) Δ X s i Δ X s j ) . {\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}} 我们也可以定义非连续随机过程的函数。 定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间 [ t ,   t + Δ t ] {\displaystyle [t,\ t+\Delta t]} 上出现一次跳跃的概率是 h Δ t {\displaystyle h\Delta t} 加上 Δ t {\displaystyle \Delta t} 的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间 [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} 上没有跳跃的概率称为生存概率 p s ( t ) {\displaystyle p_{s}(t)} ，其变化是： d p s ( t ) = − p s ( t ) h ( t ) d t . {\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.} 因此生存概率为： p s ( t ) = exp ⁡ ( − ∫ 0 t h ( u ) d u ) . {\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).} 定义非连续随机过程 S ( t ) {\displaystyle S(t)} ，并把 S ( t − ) {\displaystyle S(t^{-})} 记为从左侧到达t时S的值，记 d j S ( t ) {\displaystyle d_{j}S(t)} 是一次跳跃导致 S ( t ) {\displaystyle S(t)} 的非无穷小变化。有： d j S ( t ) = lim Δ t → 0 ( S ( t + Δ t ) − S ( t − ) ) {\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))} η ( S ( t − ) , z ) {\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)} 是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望值是： E [ d j S ( t ) ] = h ( S ( t − ) ) d t ∫ z z η ( S ( t − ) , z ) d z . {\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.} 定义补偿过程和鞅 d J S ( t ) {\displaystyle dJ_{S}(t)} ： d J S ( t ) = d j S ( t ) − E [ d j S ( t ) ] = S ( t ) − S ( t − ) − ( h ( S ( t − ) ) ∫ z z η ( S ( t − ) , z ) d z ) d t . {\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.} 因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为： d j S ( t ) = E [ d j S ( t ) ] + d J S ( t ) = h ( S ( t − ) ) ( ∫ z z η ( S ( t − ) , z ) d z ) d t + d J S ( t ) . {\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).} 因此如果随机过程 S {\displaystyle S} 同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为： d S ( t ) = μ d t + σ d W ( t ) + d j S ( t ) . {\displaystyle dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).} 考虑其函数 g ( S ( t ) , t ) {\displaystyle g(S(t),t)} 。 S ( t ) {\displaystyle S(t)} 跳跃 Δ s {\displaystyle \Delta s} 的幅度，会导致 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 跳跃 Δ g {\displaystyle \Delta g} 幅度。 Δ g {\displaystyle \Delta g} 取决于g的跳跃分布 η g ( ) {\displaystyle \eta _{g}()} ，有可能依赖于跳跃前的函数值 g ( t − ) {\displaystyle g(t^{-})} ，函数微分dg以及跳跃前的自变量值 S ( t − ) {\displaystyle S(t^{-})} 。 g {\displaystyle g} 的跳跃部分是： g ( t ) − g ( t − ) = h ( t ) d t ∫ Δ g Δ g η g ( ⋅ ) d Δ g + d J g ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}} 函数 g ( S ( t ) , t ) {\displaystyle g(S(t),t)} 的伊藤引理是： d g ( t ) = ( ∂ g ∂ t + μ ∂ g ∂ S + 1 2 σ 2 ∂ 2 g ∂ S 2 + h ( t ) ∫ Δ g ( Δ g η g ( ⋅ ) d Δ g ) ) d t + ∂ g ∂ S σ d W ( t ) + d J g ( t ) . {\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}} 可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。 伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动 d S = μ S d t + σ S d W {\displaystyle dS=\mu Sdt+\sigma SdW} ，且其期权的价格是股票价格和时间的函数 V = f ( t , S ) {\displaystyle V=f(t,S)} 。根据伊藤引理，有 d f = ( ∂ f ∂ t + μ S ∂ f ∂ S + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 ) d t + σ S ∂ f ∂ S d W {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW} 整理可得 d f = ( ∂ f ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 ) d t + ∂ f ∂ S d S {\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS} 式中 ∂ f ∂ S d S {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS} 项表明期权价格的波动等于持有 ∂ f ∂ S {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}} 单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率 r {\displaystyle r} 增长，即 d f = r ( f − S ∂ f ∂ S ) d t + ∂ f ∂ S d S {\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS} 比较两式 d t {\displaystyle dt} 项的系数，可得 ∂ f ∂ t + 1 2 σ 2 S 2 ∂ 2 f ∂ S 2 + r S ∂ f ∂ S − r f = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0} 费曼－卡茨公式 Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524. PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin. Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy