馬克士威應力張量

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在電磁學裏，馬克士威應力張量(Maxwell stress tensor)是描述電磁場帶有之應力的二階張量。馬克士威應力張量可以表現出電場力、磁場力和機械動量之間的相互作用。對於簡單的狀況，例如一個點電荷自由地移動於均勻磁場，應用勞侖茲力定律，就可以很容易地計算出點電荷所感受的作用力。但是，當遇到稍微複雜一點的狀況時，這很普通的程序會變得非常困難，方程式洋洋灑灑地一行又一行的延續。因此，物理學家通常會聚集很多項目於馬克士威應力張量內，然後使用張量數學來解析問題。 為了方便參考，先列出馬克士威方程組： 其中， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電場， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場， ρ {\displaystyle \rho } 是電荷密度， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數。 從勞侖茲力定律開始，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 f {\displaystyle \mathbf {f} } 是 f = ρ E + J × B {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} } 。 應用高斯定律和馬克士威-安培定律，把電荷密度和電流密度替換掉，只讓電場和磁場出現於方程式： f = ϵ 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ϵ 0 ∂ E ∂ t × B {\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} } 。 應用乘積法則和法拉第感應定律： ∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ E ∂ t × B + E × ∂ B ∂ t = ∂ E ∂ t × B − E × ( ∇ × E ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )} ， 稍加編排，將 f {\displaystyle \mathbf {f} } 寫為 f = ϵ 0 ( ∇ ⋅ E ) E + 1 μ 0 ( ∇ × B ) × B − ϵ 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ϵ 0 E × ( ∇ × E ) = ϵ 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ϵ 0 ∂ ∂ t ( E × B ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\epsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\epsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\\&=\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)\\\end{aligned}}} 。 為了使 E {\displaystyle \mathbf {E} } 的項目 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的項目能夠相互對稱，加入一個 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} 項目： f = ϵ 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ϵ 0 ∂ ∂ t ( E × B ) {\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)} 。 應用向量恆等式，對於任意向量 A {\displaystyle \mathbf {A} } A × ( ∇ × A ) = 1 2 ∇ A 2 − ( A ⋅ ∇ ) A {\displaystyle \mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}A^{2}-(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} } ， 將 f {\displaystyle \mathbf {f} } 的方程式內的旋度項目除去： f = ϵ 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + 1 μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − 1 2 ∇ ( ϵ 0 E 2 + 1 μ 0 B 2 ) − ϵ 0 ∂ ∂ t ( E × B ) {\displaystyle \mathbf {f} =\epsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)} 。 這方程式最右邊項目涉及了坡印廷向量 S {\displaystyle \mathbf {S} } ： S = 1 μ 0 E × B {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} } 。 設定馬克士威應力張量 T ⟷ {\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}} （以英文字母上面加兩隻箭矢符號來標記二階張量）： T i j ≡ ϵ 0 ( E i E j − 1 2 δ i j E 2 ) + 1 μ 0 ( B i B j − 1 2 δ i j B 2 ) {\displaystyle T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)} ； 其中， δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克羅內克函數。 定義一個向量 A {\displaystyle \mathbf {A} } 與馬克士威應力張量 T ⟷ {\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}} 的內積為 ( A ⋅ T ⟷ ) j = ∑ i   A i T i j {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }})_{j}=\textstyle {\sum _{i}}\ A_{i}T_{ij}} 。 那麼，一個電荷分佈所感受到的單位體積的作用力 f {\displaystyle \mathbf {f} } 是 f = ∇ ⋅ T ⟷ − ϵ 0 μ 0 ∂ S ∂ t {\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}-\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}} 。 馬克士威應力張量是一個對稱張量，表達為 T i j = ( ϵ 0 ( E x 2 − E 2 / 2 ) + 1 μ 0 ( B x 2 − B 2 / 2 ) ϵ 0 E x E y + 1 μ 0 ( B x B y ) ϵ 0 E x E z + 1 μ 0 ( B x B z ) ϵ 0 E x E y + 1 μ 0 ( B x B y ) ϵ 0 ( E y 2 − E 2 / 2 ) + 1 μ 0 ( B y 2 − B 2 / 2 ) ϵ 0 E y E z + 1 μ 0 ( B y B z ) ϵ 0 E x E z + 1 μ 0 ( B x B z ) ϵ 0 E y E z + 1 μ 0 ( B y B z ) ϵ 0 ( E z 2 − E 2 / 2 ) + 1 μ 0 ( B z 2 − B 2 / 2 ) ) {\displaystyle T_{ij}=\left({\begin{matrix}\epsilon _{0}(E_{x}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{y}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{y})&\epsilon _{0}(E_{y}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}^{2}-B^{2}/2)&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})\\\epsilon _{0}E_{x}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{x}B_{z})&\epsilon _{0}E_{y}E_{z}+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{y}B_{z})&\epsilon _{0}(E_{z}^{2}-E^{2}/2)+{\cfrac {1}{\mu _{0}}}(B_{z}^{2}-B^{2}/2)\end{matrix}}\right)} 。 馬克士威應力張量的單位是牛頓／公尺2。馬克士威應力張量的 ij 元素詮釋為，朝著 i-軸方向，施加於 j-軸的垂直平面，單位面積的作用力；對角元素代表負壓力，非對角元素代表剪應力。對角元素給出張力（拖拉力）作用於其對應軸的垂直面微分元素。不同於理想氣體因為壓力而施加的作用力，在電磁場內的一個面元素也會感受到方向不垂直於其面的剪應力。這是由非對角元素給出的。 在一個體積 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 內的電荷，所感受到的總作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} } 是 F = ∫ V   f d τ = ∫ V   ∇ ⋅ T ⟷ d τ − ϵ 0 μ 0 d d t ∫ V   S d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {f} \mathrm {d} \tau =\int _{\mathcal {V}}\ \nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\mathrm {d} \tau -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau } 。 應用散度定理，可以得到 F = ∮ S   T ⟷ ⋅ d a − ϵ 0 μ 0 d d t ∫ V   S d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau } ； 其中， S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 是體積 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 的閉合表面。 根據牛頓第二定律， F = d p d t {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} ； 其中， p {\displaystyle \mathbf {p} } 是動量。 所以，電荷的動量 p c h a r g e {\displaystyle \mathbf {p} _{charge}} 可以表達為 d p c h a r g e d t = ∮ S   T ⟷ ⋅ d a − d p e m d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{charge}}{\mathrm {d} t}}=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{em}}{\mathrm {d} t}}} ； 其中， p e m = ϵ 0 μ 0 ∮ V   S d τ {\displaystyle \mathbf {p} _{em}=\epsilon _{0}\mu _{0}\oint _{\mathcal {V}}\ \mathbf {S} \mathrm {d} \tau } 是儲存於電磁場的動量（坡印廷向量 S {\displaystyle \mathbf {S} } 是由電場和磁場組成的一個複合向量）。 稍加編排，可以得到動量守恆定律的積分方程式： d d t ( p c h a r g e + p e m ) = ∮ S   T ⟷ ⋅ d a {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} _{charge}+\mathbf {p} _{em})=\oint _{\mathcal {S}}\ {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} } 。 動量守恆定律闡明，一個體積的總動量（電荷的動量加上電磁場的動量）的增加速率等於每秒鐘流入閉合表面的動量。負的馬克士威應力張量 − {\displaystyle -} T ⟷ {\displaystyle {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}} 是一個動量通量密度。 動量守恆定律也能以微分形式表達為 ∂ ∂ t ( p c h a r g e + p e m ) = ∇ ⋅ T ⟷ {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}({\mathfrak {p}}_{charge}+{\mathfrak {p}}_{em})=\nabla \cdot {\stackrel {\longleftrightarrow }{\mathbf {T} }}} ； 其中， p c h a r g e {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{charge}} 是電荷的動量密度， p e m {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{em}} 是電磁場的動量密度。 電磁能量密度 坡印廷向量 電磁應力-能量張量 電磁場的數學表述 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 351–356. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Jefimenko, Oleg. Correct Use of Maxwell Stress Equations for Electric and magnetic Fields. American Journal of Physics. Nov 1983, 51 (11): pp. 988–996.  引文格式1维护：冗余文本 (link)[永久失效連結]