線圖

在图论中，图 G {\displaystyle G} 所对应的线图是一张能够反映 G {\displaystyle G} 中各边邻接性的图，记作 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 。简单来说， L ( G ) {\displaystyle L(G)} 将 G {\displaystyle G} 中的每条边各自抽象成一个顶点；如若原图中两条边相邻，那么就给线图中对应顶点之间连接一条边。因为线图将原图的边化作了顶点，所以也可以将其视作原图的一种对偶。 哈斯勒·惠特尼证明了：假定图 G {\displaystyle G} 是连通的，那么除了一种特殊情况外，我们总能根据线图 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的结构还原出 G {\displaystyle G} 的结构。以该定理为中介，可以证明线图的许多其它性质。线图总是无爪图，即线图的所有导出子图均不是 K 1 , 3 {\displaystyle K_{1,3}} 。 圖 G {\displaystyle G} 的線圖 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 定義如下： L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的一個頂點對應 G {\displaystyle G} 的一邊 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的頂點相鄰若且唯若它們在 G {\displaystyle G} 對應的邊相鄰（有公共頂點）。 该定义也可以用图论的语言表述如下：设 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} ，那么 L ( G ) = ( E , E ~ ) {\displaystyle L(G)=(E,{\tilde {E}})} ，且 ( e 1 , e 2 ) ∈ E ~ ⟺ e 1 ∩ e 2 ≠ ∅ {\displaystyle (e_{1},e_{2})\in {\tilde {E}}\iff e_{1}\cap e_{2}\neq \emptyset } 。 下面的例子演示了由原图生成线图的流程。 原圖 製作線圖的過程 結果 根据线图的定义，若性质／概念P仅取决于原图 G {\displaystyle G} 中边的邻接性，那么P便可以转移（或者说对偶）到线图 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 上去变成性质／概念P'，刻画线图顶点的邻接属性。例如，图 G {\displaystyle G} 中的一个匹配指的是图中一组不相交的边，把这一概念平移到线图上去，就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集。 下面就列举了原图和线图之间的若干联系： 若原圖是連通的，線圖也是。 若两个图同构，那么它们的线图也同构。 若 G {\displaystyle G} 的顶点数和边数分别为 n {\displaystyle n} 和 m {\displaystyle m} ，那么 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的顶点数和边数分别是 m {\displaystyle m} 和 ∑ v ( deg ⁡ ( v ) 2 ) {\textstyle \sum _{v}{\binom {\deg(v)}{2}}} 。 χ E ( G ) = χ V ( L ( G ) ) {\displaystyle \chi _{E}(G)=\chi _{V}(L(G))} ，即原圖的邊色數等於線圖的點色數。 G {\displaystyle G} 中的一个匹配对应了 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 中的一个独立集，且其大小相等。于是， G {\displaystyle G} 中最大匹配的大小等于 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 最大独立集的大小。借助这一关系，可以通过求解后者来求解前者，但反之不总是可行，因为并非所有图都能表示为某个 G {\displaystyle G} 的线图。在计算机科学中，最大匹配问题和最大独立集问题是两个重要的问题。前者已经被高效解决（Edmonds' Blossom Algorithm）；而后者则是NP完全问题，被普遍认为无法高效求解。 若 G {\displaystyle G} 存在欧拉回路，则 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 存在哈密顿回路，但反之不然。 惠特尼同构定理阐述了以下事实：设有连通图 G 1 {\displaystyle G_{1}} 和 G 2 {\displaystyle G_{2}} 且它们均不是三角形 K 3 {\displaystyle K_{3}} 或爪形 K 1 , 3 {\displaystyle K_{1,3}} 。如果 L ( G 1 ) ≅ L ( G 2 ) {\displaystyle L(G_{1})\cong L(G_{2})} ，那么 G 1 ≅ G 2 {\displaystyle G_{1}\cong G_{2}} 。也就是说，除了极特殊的情形，图 G {\displaystyle G} 的结构可以由线图 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的结构中唯一地恢复出来。 任何的线图都是无爪的，亦即不包含 K 1 , 3 {\displaystyle K_{1,3}} 作为导出子图。因此，任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。 线图 L ( G ) {\displaystyle L(G)} 的邻接矩阵 A m × m {\displaystyle A_{m\times m}} 的全部特征值都不小于-2。这是因为 A = J T J − 2 I {\displaystyle A=J^{\operatorname {T} }J-2I} ，其中 J n × m {\displaystyle J_{n\times m}} 是原图 G {\displaystyle G} 的关联矩阵（incidence matrix）。又由于矩阵 J T J {\displaystyle J^{\operatorname {T} }J} 是半正定的，所以 A {\displaystyle A} 的任何特征值 λ {\displaystyle \lambda } 均满足 λ + 2 ≥ 0 {\displaystyle \lambda +2\geq 0} 。 Beineke给出了线图的一种等价刻画： H {\displaystyle H} 是某图的线图当且仅当 H {\displaystyle H} 不包含九种类型的导出子图（见右图）。 如果 H {\displaystyle H} 的最小度至少为5，那么只有左边一列和右边一列是必要的。换言之，此时， H {\displaystyle H} 是某图的线图当且仅当 H {\displaystyle H} 不包含六种类型的导出子图（见右图的左边一列和右边一列）。 Whitney, Hassler. Congruent Graphs and the Connectivity of Graphs. American Journal of Mathematics. 1932-01, 54 (1): 150 [2020-10-23]. doi:10.2307/2371086. （原始内容存档于2020-10-26）.  Beineke, Lowell W. Characterizations of derived graphs. Journal of Combinatorial Theory. 1970-09-01, 9 (2): 129–135 [2020-10-23]. ISSN 0021-9800. doi:10.1016/S0021-9800(70)80019-9. （原始内容存档于2020-10-30） （英语）.