勒贝格测度

在测度论中，勒贝格测度（Lebesgue measure）是欧几里得空间上的标准测度。对维数为1，2，3的情况，勒贝格测度就是通常的长度、面积、体积。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予勒贝格测度的集合称为勒贝格可测集；勒贝格可测集 A 的测度记作 λ (A) 。一般來說，我們允許一个集合的勒贝格测度为 ∞ ，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn 仍有勒贝格不可测的子集。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。 勒贝格测度以法国数学家昂利·勒贝格命名。勒贝格于1901年首次提出这一测度，次年又给出勒贝格积分的定义，并收录进他的学位论文中。 人们知道，区间的长度可以定义为端点值之差。若干个不交区间的并的长度应当是它们的长度之和。于是人们希望将长度的概念推广到比区间更复杂的集合。 我们想构造一个映射 m ，它能将实数集的子集 E 映射到非负实数 m(E) ，並称这個数为集合 E 的测度。最理想的情况下，m 应该具有以下性质： m 对于实数集的所有子集 E 都有定义。 对于一个区间 [a, b]，m([a, b]) 应当等于其长度 b − a。 m 具有可数可加性。如果 (En) 是一列不相交的集合，并且 m 在其上有定义，那么 m ( ⋃ n E n ) = ∑ n m ( E n ) {\displaystyle m\left(\bigcup _{n}E_{n}\right)=\sum _{n}m(E_{n})} ，其中 ⋃ 表示聯集。 m 具有平移不变性。設集合 E 及 E+k = {x+k : x ∈ E} （即將 E 的每個元素各加上同一個實數 k 所得到的集合），則 m(E+k) = m(E) 。 遗憾的是，这样的映射是不存在的。人们只能退而求其次，寻找满足其中部分条件的映射。勒贝格测度是满足后三条性质的例子。另一个例子是若尔当测度，它只满足有限可加性。 区间 I = [ a , b ] {\displaystyle I=[a,b]} 的长度定义为 | I | = b − a {\displaystyle |I|=b-a} 。对 E ⊆ R {\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} } ，勒贝格外测度定义为 对每一列能覆盖 E {\displaystyle E} 的开区间 { I k } k ∈ N {\displaystyle \{I_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} ，作长度和 μ = ∑ k = 0 ∞ | I k | {\displaystyle \mu =\sum _{k=0}^{\infty }{|I_{k}|}} 。所有这些 μ {\displaystyle \mu } 组成一个有下界的数集，下确界称为勒贝格外测度，记做 λ ∗ ( E ) {\displaystyle \lambda ^{*}(E)} 。 勒贝格测度定义在勒贝格σ代数上。若集合 E {\displaystyle E} 滿足： 對所有 A ⊆ R {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} } ，皆有 λ ∗ ( A ) = λ ∗ ( A ∩ E ) + λ ∗ ( A ∩ E c ) , {\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\lambda ^{*}(A\cap E)+\lambda ^{*}(A\cap E^{c}),} 則 E {\displaystyle E} 為勒贝格σ代数的元素，稱為勒貝格可測集。对勒贝格可测集，其勒贝格测度 λ ( E ) {\displaystyle \lambda (E)} 就定義為勒贝格外测度 λ ∗ ( E ) {\displaystyle \lambda ^{*}(E)} 。 不在勒贝格σ代数中的集合不是勒贝格可测的，这样的集合确实存在，故勒贝格σ代数严格包含于 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的幂集。 任何区间都是勒贝格可测的。闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 、开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 的勒贝格测度都等于区间长度 b − a {\displaystyle b-a} 。 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。 博雷尔集都是勒贝格可测的。反之不然，存在不是博雷尔集的勒贝格可测集。 可数集的勒贝格测度为0。特别是，有理数集的勒贝格测度为0，尽管有理数集是稠密的。 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。 假设决定性公理成立，则实数集的所有子集都是勒贝格可测的。假设选择公理成立，则可以构造出勒贝格不可测的集合，例如维塔利集。决定性公理与选择公理是不相容的。 奥斯古德曲线（Osgood curve）是平面简单曲线，但具有大于0的勒贝格测度。龙形曲线是另一个例子。 設集合 A 与 B 是在 Rn 上的集合。勒贝格测度有如下的性质： 如果 A 是一列区间 (In) 的笛卡爾積 ∏ n I n {\displaystyle \prod _{n}I_{n}} ，則 A 是勒贝格可测的，并且 λ ( A ) = ∏ n | I n | {\displaystyle \lambda (A)=\prod _{n}\left|I_{n}\right|} ，其中 | I | 表示区间 I 的长度。 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集 (En) 的并集，则 A 也是勒贝格可测的，并且 λ ( A ) = ∑ n λ ( E n ) {\displaystyle \lambda \left(A\right)=\sum _{n}\lambda (E_{n})} 。 如果 A 是勒贝格可测的，那么它相对于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的补集也是可测的。 对于每个勒贝格可测集 A ， λ ( A ) ≥ 0 {\displaystyle \lambda (A)\geq 0} 。 如果 A 與 B 是勒贝格可测的，且 A ⊆ B ，則 λ ( A ) ≤ λ ( B ) {\displaystyle \lambda (A)\leq \lambda (B)} 。 可数多个勒贝格可测集的交集或者并集，仍然是勒贝格可测的。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的博雷爾集（即由開集經可數多次交、並、差運算得到的集合）都是勒贝格可测的。 勒贝格可测集“几乎”是开集，也“几乎”是闭集。具体来说， E {\displaystyle E} 是勒贝格可测集当且仅当对任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 存在开集 G {\displaystyle G} 与闭集 F {\displaystyle F} 使得 F ⊂ E ⊂ G {\displaystyle F\subset E\subset G} 且 λ ( G ∖ F ) < ε {\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon } 。此性质曾用来定义勒贝格可测性。（见勒贝格测度的正则性定理） 勒贝格测度既是局部有限的，又是内正则的，所以是拉东测度。 非空开集的勒贝格测度严格大于0，所以勒贝格测度的支集是全空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 。 如果 A 是勒贝格零测集，即 λ ( A ) = 0 {\displaystyle \lambda (A)=0} ，则 A 的任何一个子集也是勒贝格零测集。 如果 A 是勒贝格可测的，且 B = {x+k : x ∈ A} （即將 A 平移 k 個單位），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ ( B ) = λ ( A ) {\displaystyle \lambda (B)=\lambda (A)} 。 如果 A 是勒贝格可测的，且 B = {kx : x ∈ A} （即將 A 縮放 k 倍， k > 0 {\displaystyle k>0} ），則 B 也是勒贝格可测的，并且 λ ( B ) = k n ⋅ λ ( A ) {\displaystyle \lambda (B)=k^{n}\cdot \lambda (A)} 。 更一般地，设 T 是一个线性变换，det(T) 為其行列式。如果 A 是勒贝格可测的，则 T(A) 也是勒贝格可测的，并且 λ ( T ( A ) ) = | det ( T ) | λ ( A ) {\displaystyle \lambda (T(A))=|\det(T)|\lambda (A)} 。 設 f 是一个從 A 到 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的连续单射函数。如果 A 是勒贝格可测的，则 f(A) 也是勒贝格可测的。 简要地说， R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的勒贝格可测子集组成一个包含所有区间的笛卡尔积的σ-代数，且 λ 是其上唯一的完备的、平移不变的、满足 λ ( [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] × ⋯ × [ 0 , 1 ] ) = 1 {\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1} 的测度。 勒贝格测度是σ-有限测度。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集 A 是零测集，如果对于任意 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，A 都可以用可数多个盒（即 n 個区间的乘积）来覆盖，且其总体积最多为 ε {\displaystyle \varepsilon } 。所有可数集都是零测集。 如果 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集的豪斯多夫维数小于 n {\displaystyle n} ，那么它是关于 n {\displaystyle n} 维勒贝格测度的零测集。在这里，豪斯多夫维数是相对于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的欧几里得度量（或任何与其利普希茨等价的度量）而言。另一方面，一个集合可能拓扑维数小于 n {\displaystyle n} ，但具有正的 n {\displaystyle n} 维勒贝格测度。一个这样的例子是史密斯-沃尔泰拉-康托尔集，它的拓扑维数为0，但1维勒贝格测度为正数。 为了证明某个集合A是勒贝格可测的，我们通常尝试寻找一个“较好”的集合B，与A 的对称差是零测集，然后证明B可以用开集或闭集的可数交集和并集生成。 勒贝格测度的现代構造基于外测度，并应用卡拉西奥多里扩张定理。 固定 n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的盒子是形如 B = ∏ i = 1 n [ a i , b i ] {\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]} 的集合，其中 b i ≥ a i {\displaystyle b_{i}\geq a_{i}} ，连乘号代表笛卡尔积。盒子的体积定义为 vol ⁡ ( B ) = ∏ i = 1 n ( b i − a i ) {\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})} 对于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的任何子集A，可以定义它的外测度 λ ∗ ( A ) : {\displaystyle \lambda ^{*}(A):} λ ∗ ( A ) = inf { ∑ B ∈ C vol ⁡ ( B ) : C {\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}} 是可数个盒子的集合，它们的并集覆盖了 A } . {\displaystyle A{\Bigr \}}.} 然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合 S ⊂ R n {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}} ，都有： λ ∗ ( S ) = λ ∗ ( A ∩ S ) + λ ∗ ( S ∖ A ) . {\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(A\cap S)+\lambda ^{*}(S\setminus A).} 这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。对于任何勒贝格可测的集合A, 其勒贝格测度定义为 λ ( A ) = λ ∗ ( A ) {\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{*}(A)} 勒贝格不可测集合的存在性是选择公理的结果。根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的子集，且其测度为正，那么A便有勒贝格不可测的子集。 1970年，Robert M. Solovay证明了，在不带选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论中，勒贝格不可测集的存在性是不可证的（见Solovay模型）。 若 A 博雷尔可測，則其博雷爾測度与勒贝格测度一致；然而，更多的勒贝格可测集是博雷尔不可测的。博雷尔测度是平移不变的，但不是完备的。 哈尔测度可以定义在任何局部紧群上，是勒贝格测度的一个推广（带有加法的 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 是一个局部紧群）。 豪斯多夫测度（参见豪斯多夫维数）是勒贝格测度的一个推广，对于测量 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的维数比n低的子集是很有用的，例如R³上的曲线、曲面，以及分形集合。注意不能把豪斯多夫测度与豪斯多夫维数混淆。 可以证明，無法在无穷维空间上定義类似的勒贝格测度。 勒贝格密度定理 刘维尔数集的勒贝格测度 Asaf Karagila. What sets are Lebesgue-measurable?. math stack exchange. [26 September 2015].  Asaf Karagila. Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?. math stack exchange. [26 September 2015].  Royden, H.L. Real analysis 3rd. New York: Macmillan. 1988: 56. ISBN 978-0024041517.