古埃及分數

古埃及的分數是不同的單位分數的和，就是分子為1，分母為各不相同的正整數。任何正有理數都能表達成這一個形式。 古埃及分數的表達形式不是唯一的，還未找到一個算法總是給出最短的形式。 贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。 例如： 2 7 = 1 4 + 1 28 {\displaystyle {\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}} 。共2项，是第一种好算法，比 2 7 = 1 5 + 1 20 + 1 28 {\displaystyle {\frac {2}{7}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}} 的项数要少。 又例如， 5 121 = 1 33 + 1 121 + 1 363 {\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}} 比 5 121 = 1 25 + 1 759 + 1 208725 {\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{759}}+{\frac {1}{208725}}} 的最大分母要小，所以是第二种好算法。 找出僅小於 r = a b {\displaystyle r={\frac {a}{b}}} 的最大單位分數。這個分數的分母的計算方法是：即用 b {\displaystyle b} 除以 a {\displaystyle a} ，捨去餘數，再加1。（如果沒有餘數，則 r {\displaystyle r} 已是單位分數。） 把 r {\displaystyle r} 減去單位分數，以這個新的、更小的 r {\displaystyle r} 重複步驟1。 例子：把 19 20 {\displaystyle {\frac {19}{20}}} 轉成單位分數。 ⌊ 20 ÷ 19 ⌋ = 1 {\displaystyle \lfloor 20\div 19\rfloor =1} ，所以第1個單位分數是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ； 19 20 − 1 2 = 9 20 {\displaystyle {\frac {19}{20}}-{\frac {1}{2}}={\frac {9}{20}}} ； ⌊ 20 ÷ 9 ⌋ = 2 {\displaystyle \lfloor 20\div 9\rfloor =2} ，所以第2個單位分數是 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ； 9 20 − 1 3 = 7 60 {\displaystyle {\frac {9}{20}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{60}}} ； ⌊ 60 ÷ 7 ⌋ = 8 {\displaystyle \lfloor 60\div 7\rfloor =8} ，所以第3個單位分數是 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} ； 7 60 − 1 9 = 1 180 {\displaystyle {\frac {7}{60}}-{\frac {1}{9}}={\frac {1}{180}}} 已是單位分數。 所以結果是： 19 20 = 1 2 + 1 3 + 1 9 + 1 180 {\displaystyle {\frac {19}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{180}}} 。 詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特和斐波那契都提出過以上的方法。 這個算法是基於貝祖等式的：當 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} 互質， a x − b y = 1 {\displaystyle ax-by=1} 有無窮多對正整數解 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 。 選取最小的正整數解 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 。取單位分數分母為 b m {\displaystyle bm} ，重複步驟。 以 7 10 {\displaystyle {\frac {7}{10}}} 為例： 7 × 3 − 10 × 2 = 1 {\displaystyle 7\times 3-10\times 2=1} ，所以第1個單位分數是 1 30 {\displaystyle {\frac {1}{30}}} ； 2 × 2 − 3 × 1 = 1 {\displaystyle 2\times 2-3\times 1=1} ，所以第2個單位分數是 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} ； 第3個單位分數是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 。 最基本的方法就是將分數寫成二進制數，便能將該分數寫成分母為二的冪的單位分數之和。 換個說法就是重複求最小的正整數 n {\displaystyle n} 使得 x y > 1 2 n {\displaystyle {\frac {x}{y}}>{\frac {1}{2^{n}}}} 。 這個方法的效率很低。 一個改善之道是選取正整數 n {\displaystyle n} 使得 ( 2 n × x ) mod y < 2 n + 1 {\displaystyle (2^{n}\times x){\bmod {y}}<2^{n+1}} 。選取適當的正整數 r , s {\displaystyle r,s} （ r < y {\displaystyle r<y} ）使得 2 n × x = s y + r {\displaystyle 2^{n}\times x=sy+r} 。 x y = s 2 n + r 2 n × y {\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {s}{2^{n}}}+{\frac {r}{2^{n}\times y}}} 。將 s 2 n , r 2 n {\displaystyle {\frac {s}{2^{n}}},{\frac {r}{2^{n}}}} 寫成二進制數。 例如： 18 23 {\displaystyle {\frac {18}{23}}} ： ( 4 × 18 ) mod 2 3 < 8 {\displaystyle (4\times 18){\bmod {2}}3<8} ， 4 × 18 = 23 × 3 + 3 {\displaystyle 4\times 18=23\times 3+3} 18 23 = 3 4 + 3 4 × 23 {\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4\times 23}}} 3 4 = 0.15 = 1 2 + 1 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}=0.15={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}} 18 23 = 1 2 + 1 4 + 1 2 × 23 + 1 4 × 23 {\displaystyle {\frac {18}{23}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2\times 23}}+{\frac {1}{4\times 23}}} 將一個分數表示成未必相異的單位分數之和。若有兩個單位分數相同，可以用以下其中一種處理方式： 若它們的分母是雙數，便用它們的和取代；若它們的分母是單數，設它們的分母為 2 k − 1 {\displaystyle 2k-1} ，用 1 k + 1 ( 2 k − 1 ) k {\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{(2k-1)k}}} 取代。 設它們的分母為 p {\displaystyle p} ，用 1 p + 1 p + 1 + 1 ( p + 1 ) p {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+1}}+{\frac {1}{(p+1)p}}} 取代。 或是 1 n = 1 n + 1 + 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n(n+1)}}} ← n {\displaystyle n} 可等於任意正整數 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 表示成为一个级数形式： 1 n = 1 n + 1 + 1 ( n + 1 ) 2 + 1 ( n + 1 ) 3 + 1 ( n + 1 ) 4 + . . . + 1 ( n + 1 ) k + 1 n ( n + 1 ) k {\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{(n+1)^{4}}}+...+{\frac {1}{(n+1)^{k}}}+{\frac {1}{n(n+1)^{k}}}} 參看Engel展開式。方法類同於貪心法 數學史家有時論述代數的發展分為三個基本階段： 文字代數：其問題以古代數學家所用的文字表述； 省文代數：簡化問題中一些字詞，以幫助理解； 符號代數：以符號代表運算符和運算元，使更容易理解。 未知數以符號形式通常記為。我們從古埃及文稿得知，埃及祭司和書記採用文字代數的方式，以一個解為「堆」或「集」的字「阿哈」來表示未知數。 這是現存在倫敦的大英博物館的萊因德數學紙草書（第二中間期）所載，其中一個阿哈問題的翻譯： 「問題24： 一個數量和它的 1 7 {\displaystyle {\frac {1}{7}}} 加起來是19。這數量是什麼？」 「假設是7。7和7的 1 7 {\displaystyle {\frac {1}{7}}} 是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上這樣多倍以得到所要的數量。」 以現在的符號形式， x + x 7 = 8 x 7 = 19 {\displaystyle x+{\frac {x}{7}}={\frac {8x}{7}}=19} ，故此 x = 133 8 {\displaystyle {x}={\frac {133}{8}}} 。檢查： 133 8 + 133 7 × 8 = 133 8 + 19 8 = 152 8 = 19 {\displaystyle {\frac {133}{8}}+{\frac {133}{7\times 8}}={\frac {133}{8}}+{\frac {19}{8}}={\frac {152}{8}}=19} 。 注意問題中的分數。古埃及人以單位分數計算，如 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 10 {\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{10}}} 。 一個形狀如開口的象形文字是表記分數的符號，這「開口」下有象形文字的數字就是分數的分母。 丢番图方程 单位分数 歐德斯-史特勞斯猜想