二项式定理

二项式定理（英語：Binomial theorem）描述了二项式的幂的代数展开。根据该定理，可以将两个数之和的整数次幂诸如 ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 展开为类似 a x b y c {\displaystyle ax^{b}y^{c}} 项之和的恒等式，其中 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 均为非负整数且 b + c = n {\displaystyle b+c=n} 。系数 a {\displaystyle a} 是依赖于 n {\displaystyle n} 和 b {\displaystyle b} 的正整数。当某项的指数为0时，通常略去不写。例如： ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.} a x b y c {\displaystyle ax^{b}y^{c}} 中的系数 a {\displaystyle a} 被称为二项式系数，记作 ( n b ) {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} 或 ( n c ) {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} （二者值相等）。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。 二项式系数的三角形排列通常被认为是法国数学家布莱兹·帕斯卡的贡献，他在17世纪描述了这一现象。但早在他之前，就曾有数学家进行类似的研究。例如，古希腊数学家欧几里得于公元前4世纪提到了指数为2的情况。公元前三世纪，印度数学家青目探讨了更高阶的情况。帕斯卡三角形的雏形于10世纪由印度数学家大力羅摩发现。在同一时期，波斯数学家卡拉吉（英语：Al-Karaji）和数学家兼诗人歐瑪爾·海亞姆得到了更为普遍的二项式定理的形式。13世纪，中国数学家杨辉也得到了类似的结果。卡拉吉（英语：Al-Karaji）用数学归纳法的原始形式给出了二项式定理和帕斯卡三角形(巴斯卡三角形)的有关证明。艾萨克·牛顿勋爵将二项式定理的系数推广到有理数。 根据此定理，可以将 x + y {\displaystyle x+y} 的任意次幂展开成和的形式 ( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n , {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},} 其中每个 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等於 n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}} 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k . {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.} 后面的表达式只是将根据 x {\displaystyle x} 与 y {\displaystyle y} 的对称性得出的，通过比较发现公式中的二项式系数也是对称的。 二项式定理的一个变形是用 1 来代换 y {\displaystyle y} 得到的，所以它只涉及一个变量。在这种形式中，公式写作 ( 1 + x ) n = ( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n , {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},} 或者等价地 ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.} 对于正值 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} ，二项式定理，在 n = 2 {\displaystyle n=2} 时是在几何上的明显事实，边为 a + b {\displaystyle a+b} 的正方形，可以切割成1个边为 a {\displaystyle a} 的正方形，1个边为 b {\displaystyle b} 的正方形，和2个边为 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的长方形。对于 n = 3 {\displaystyle n=3} ，定理陈述了边为 a + b {\displaystyle a+b} 的立方体，可以切割成1个边为 a {\displaystyle a} 的立方体，1个边为 b {\displaystyle b} 的立方体，3个 a × a × b {\displaystyle a\times a\times b} 长方体，和3个 a × b × b {\displaystyle a\times b\times b} 长方体。 在微积分中，此图解也给出导数 ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}} 的几何证明。设 a = x {\displaystyle a=x} 且 b = Δ x {\displaystyle b=\Delta x} ，将 b {\displaystyle b} 解释为 a {\displaystyle a} 的无穷小量改变，则此图解将无穷小量改变，显示为 n {\displaystyle n} 维超立方体 ( x + Δ x ) n {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}} ： ( x + Δ x ) n = x n + n x n − 1 Δ x + ( n 2 ) x n − 2 ( Δ x ) 2 + ⋯ . {\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\tbinom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .} 其中（针对 Δ x {\displaystyle \Delta x} 的）线性项的系数是 n x n − 1 {\displaystyle nx^{n-1}} ，将公式代入采用差商的导数定义并取极限，意味着忽略高阶项 ( Δ x ) 2 {\displaystyle (\Delta x)^{2}} 和更高者，产生公式： ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}} 。若再进行积分，这对应于应用微积分基本定理，则得到卡瓦列里求积公式： ∫ x n − 1 d x = 1 n x n {\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}} 。 當 n = 1 {\displaystyle n=1} ， ( a + b ) 1 = ∑ k = 0 1 ( 1 k ) a 1 − k b k = ( 1 0 ) a 1 b 0 + ( 1 1 ) a 0 b 1 = a + b {\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{1-k}b^{k}={1 \choose 0}a^{1}b^{0}+{1 \choose 1}a^{0}b^{1}=a+b} 假設二项展开式在 n = m {\displaystyle n=m} 時成立。若 n = m + 1 {\displaystyle n=m+1} ， ( a + b ) m + 1 = a ( a + b ) m + b ( a + b ) m = a ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k b k + b ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j = ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1           ( 將  a ,  b )  = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1            取 出  k = 0  的 項  = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m + 1 ( m k − 1 ) a m − k + 1 b k           設  j = k − 1 = a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m ( m k − 1 ) a m + 1 − k b k + b m + 1           取 出  k = m + 1 項  = a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m [ ( m k ) + ( m k − 1 ) ] a m + 1 − k b k           兩 者 加 起  = a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m ( m + 1 k ) a m + 1 − k b k           套 用 帕 斯 卡 法 則  = ∑ k = 0 m + 1 ( m + 1 k ) a m + 1 − k b k {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)^{m+1}&=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\\&=a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}\\&=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{( 將 }}a{\text{, }}b{\text{) }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}\ \ \ \ \ {\text{ 取 出 }}k=0{\text{ 的 項 }}\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{設 }}j=k-1\\&=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}\ \ \ \ \ {\text{取 出 }}k=m+1{\text{項 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{兩 者 加 起 }}\\&=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\ \ \ \ \ {\text{套 用 帕 斯 卡 法 則 }}\\&=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}\end{aligned}}} 考慮 ( a + b ) 7 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} ，共7個括號相乘，從7個括號選出其中的4個括號中的 a {\displaystyle a} ，再從剩餘的3個括號中選出3個 b {\displaystyle b} 相乘，便得一組 a 4 b 3 {\displaystyle a^{4}b^{3}} ，而這樣的選法共有 ( 7 4 ) {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}} 種，故總共有 ( 7 4 ) {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}} 個 a 4 b 3 {\displaystyle a^{4}b^{3}} ；其他各項同理。 同理， ( a + b ) n = ( a + b ) ( a + b ) . . . . ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)} ，共 n {\displaystyle n} 個括號相乘，從 n {\displaystyle n} 個括號選出其中的 k {\displaystyle k} 個括號中的 a {\displaystyle a} ，再從剩餘的 ( n − k ) {\displaystyle (n-k)} 個括號中選出 ( n − k ) {\displaystyle (n-k)} 個 b {\displaystyle b} 相乘，便得一組 a k b n − k {\displaystyle a^{k}b^{n-k}} ，而這樣的選法共有 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 種，故總共有 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} 個 a k b n − k {\displaystyle a^{k}b^{n-k}} ；其他各項同理。 考慮 ( a + b ) 7 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{7}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} ，每一個括號可以出 a {\displaystyle a} 或出 b {\displaystyle b} ，而最後要有4個 a {\displaystyle a} 、3個 b {\displaystyle b} 相乘，這形同 a a a a b b b {\displaystyle aaaabbb} 的「不盡相異物排列」，其方法數為 7 ! 4 ! × 3 ! {\displaystyle {\frac {7!}{4!\times 3!}}} ，恰好等於 ( 7 4 ) {\displaystyle {\tbinom {7}{4}}} ；其他各項同理。 同理， ( a + b ) n = ( a + b ) ( a + b ) . . . . ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{n}=(a+b)(a+b)....(a+b)(a+b)} ，每一個括號可以出 a {\displaystyle a} 或出 b {\displaystyle b} ，而最後要有 k {\displaystyle k} 個 a {\displaystyle a} 、 ( n − k ) {\displaystyle (n-k)} 個 b {\displaystyle b} 相乘，這形同 a a … a a ⏟ k b b … b b ⏟ n − k {\displaystyle \underbrace {aa\ldots aa} _{k}\underbrace {bb\ldots bb} _{n-k}} 的「不盡相異物排列」，其方法數為 n ! k ! × ( n − k ) ! {\displaystyle {\frac {n!}{k!\times (n-k)!}}} ，恰好等於 ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} ；其他各項同理。 通常二项式定理可以直接使用泰勒公式进行证明. 下面的方法不使用泰勒公式 设 f ( x ) = ( 1 + x ) a {\displaystyle f(x)=(1+x)^{a}} , g ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( a k ) x k {\displaystyle g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}} 。注意只有当 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 时上述两个函数才收敛 首先证明 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 收敛于 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} 。这里省略 之后，易得 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 满足微分方程︰ ( 1 + x ) f ′ ( x ) = a f ( x ) {\displaystyle (1+x)f'(x)=af(x)} 。用求导的一般方法就能得到这个结论，这里省略 再证明 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 亦满足上述微分方程︰ g ( x ) = 1 + ∑ k = 1 ∞ ( a k ) x k {\displaystyle g(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}x^{k}} g ′ ( x ) = ∑ k = 1 ∞ ( a k ) k x k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( a k + 1 ) ( k + 1 ) x k = ∑ k = 0 ∞ ( a k ) ( a − k ) x k {\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose {k+1}}(k+1)x^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}\\\end{aligned}}} 因为 ( a k + 1 ) ( k + 1 ) = ( a ) ( a − 1 ) ⋯ ( a − k + 1 ) ( a − k ) ( k + 1 ) ! ( k + 1 ) = ( a ) ( a − 1 ) ⋯ ( a − k + 1 ) ( a − k ) k ! = ( a k ) ( a − k ) {\displaystyle {\begin{aligned}{a \choose {k+1}}(k+1)&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{(k+1)!}}(k+1)\\&={\frac {(a)(a-1)\cdots (a-k+1)(a-k)}{k!}}\\&={a \choose k}(a-k)\end{aligned}}} 于是 ( 1 + x ) g ′ ( x ) = g ′ ( x ) + x ∑ k = 1 ∞ ( a k ) k x k − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( a k ) ( a − k ) x k + ∑ k = 1 ∞ ( a k ) k x k = ∑ k = 0 ∞ ( a k ) ( a − k ) x k + ∑ k = 0 ∞ ( a k ) k x k = ∑ k = 0 ∞ ( a k ) x k ( a − k + k ) = a ∑ k = 0 ∞ ( a k ) x k = a ⋅ g ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)g'(x)&=g'(x)+x\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}(a-k)x^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}(a-k+k)\\&=a\sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}x^{k}\\&=a\cdot g(x)\\\end{aligned}}} 因为 ∑ k = 0 ∞ ( a k ) k x k = ( a 0 ) ⋅ 0 x 0 + ∑ k = 1 ∞ ( a k ) k x k = ∑ k = 1 ∞ ( a k ) k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}={a \choose 0}\cdot 0x^{0}+\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{a \choose k}kx^{k}} g ′ ( x ) g ( x ) = a 1 + x {\displaystyle {\frac {g'(x)}{g(x)}}={\frac {a}{1+x}}} ∵ f ′ ( x ) f ( x ) = a 1 + x {\displaystyle \because {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {a}{1+x}}} ∴ f ′ ( x ) f ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle \therefore {\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {g'(x)}{g(x)}}} g ′ ( x ) f ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) {\displaystyle g'(x)f(x)=f'(x)g(x)} 根据除法定则， d d x ( g ( x ) f ( x ) ) = g ′ ( x ) f ( x ) − f ′ ( x ) g ( x ) ( f ( x ) ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {g(x)}{f(x)}}\right)={\frac {g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{(f(x))^{2}}}=0} 根据拉格朗日中值定理， g ( x ) f ( x ) {\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}} 是常数函數. g ( x ) f ( x ) = g ( 0 ) f ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\frac {g(x)}{f(x)}}={\frac {g(0)}{f(0)}}=1} f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)} 牛顿以二项式定理作为基礎发明出了微积分 。其在初等数学中应用主要在于近似、估计以及证明恒等式等。 二项式定理给出的系数可以视为组合数 ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} 的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。 (1)证明 ∑ k = 0 n ( n k ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}} 可以考虑恒等式 ( 1 + x ) n ( 1 + x ) n = ( 1 + x ) 2 n {\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{n}=(1+x)^{2n}} 。 展开等式左边得到： ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n ( n i ) ( n j ) x i x j {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}{n \choose i}{n \choose j}x^{i}x^{j}} 。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到 ∑ k = 0 2 n ( 2 n k ) x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}x^{k}} 。 比较两边幂次为 k {\displaystyle k} 的项的系数可以得到: ∑ i = 0 k ( n i ) ( n k − i ) = ( 2 n k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}{n \choose k-i}={2n \choose k}} 。 令 k = n {\displaystyle k=n} ，并注意到 ( n i ) = ( n n − i ) {\displaystyle {n \choose i}={n \choose n-i}} 即可得到所要证明的结论。 (2)證明 ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} 因為 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}} 令 x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} ，代入上式，得 ( 1 + 1 ) n = 2 n = ∑ k = 0 n ( n k ) ⋅ 1 n − k ⋅ 1 k = ( n 0 ) + ( n 1 ) + ( n 2 ) + ⋯ + ( n n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}(1+1)^{n}&=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot 1^{n-k}\cdot 1^{k}\\&={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}\\&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\end{aligned}}} 在复数中，二项式定理可以與棣莫弗公式結合，成為多倍角公式。根據棣莫弗公式： cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n . {\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.\,} 通過使用二项式定理，右邊的表達式可以擴展為 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 2 = cos 2 ⁡ x + 2 i cos ⁡ x sin ⁡ x − sin 2 ⁡ x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x,} 由棣莫弗公式，实部与虚部对应，能夠得出 cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 2 x ) = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x , {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,} 即二倍角公式。同樣，因為 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 3 = cos 3 ⁡ x + 3 i cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x − i sin 3 ⁡ x , {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,} 所以藉棣莫弗公式，能夠得出 cos ⁡ ( 3 x ) = cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x and sin ⁡ ( 3 x ) = 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − sin 3 ⁡ x . {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.} 整體而言，多倍角恒等式可以寫作 cos ⁡ ( n x ) = ∑ k  even ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x {\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x} 和 sin ⁡ ( n x ) = ∑ k  odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x . {\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.} 數學常數e的定義爲下列極限值： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} 使用二项式定理能得出 ( 1 + 1 n ) n = 1 + ( n 1 ) 1 n + ( n 2 ) 1 n 2 + ( n 3 ) 1 n 3 + ⋯ + ( n n ) 1 n n . {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.} 第 k {\displaystyle k} 项之總和為 ( n k ) 1 n k = 1 k ! ⋅ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) n k {\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}\;=\;{\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}} 因為 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时，右邊的表达式趋近1。因此 lim n → ∞ ( n k ) 1 n k = 1 k ! . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.} 這表明 e {\displaystyle e} 可以表示为 e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + ⋯ . {\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .} 该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即所谓的牛顿广义二项式定理： ( x + y ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) x α − k y k {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}x^{\alpha -k}y^{k}} 。其中 ( α k ) = α ( α − 1 ) . . . ( α − k + 1 ) k ! = ( α ) k k ! {\displaystyle {\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)...(\alpha -k+1)}{k!}}={\frac {(\alpha )_{k}}{k!}}} 。 对于多元形式的多项式展开，可以看做二项式定理的推广： ( x 1 + x 2 + . . . + x n ) k = ∑ α 1 + α 2 + . . . + α n = k k ! α 1 ! . . . α n ! x 1 α 1 . . . x n α n {\displaystyle \left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}} . 证明： 数学归纳法。对元数 n {\displaystyle n} 做归纳： 当 n = 2 {\displaystyle n=2} 时，原式为二项式定理，成立。 假设对 n − 1 {\displaystyle n-1} 元成立，则： ( x 1 + x 2 + . . . + x n ) k = ( ( x 1 + x 2 + . . . + x n − 1 ) + x n ) k = ∑ α n = 0 k k ! α n ! ( k − α n ) ! ( x 1 + x 2 + . . . + x n − 1 ) k − α n x n α n = ∑ α n = 0 k k ! α n ! ( k − α n ) ! ∑ α 1 + α 2 + . . . + α n − 1 = k − α n ( k − α n ) ! α 1 ! . . . α n − 1 ! x 1 α 1 . . . x n − 1 α n − 1 x n α n = ∑ α 1 + α 2 + . . . + α n = k k ! α 1 ! . . . α n ! x 1 α 1 . . . x n α n 證 畢  {\displaystyle {\begin{aligned}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}\right)^{k}&=((x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1})+x_{n})^{k}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\left(x_{1}+x_{2}+...+x_{n-1}\right)^{k-\alpha _{n}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{n}=0}^{k}{\frac {k!}{\alpha _{n}!\left(k-\alpha _{n}\right)!}}\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n-1}=k-\alpha _{n}}{\frac {\left(k-\alpha _{n}\right)!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n-1}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n-1}^{\alpha _{n-1}}x_{n}^{\alpha _{n}}\\&=\sum _{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}=k}{\frac {k!}{\alpha _{1}!...\alpha _{n}!}}x_{1}^{\alpha _{1}}...x_{n}^{\alpha _{n}}{\text{證 畢 }}\\\end{aligned}}} 数学主题 二項分佈 組合 立方根 平方根 牛顿法 多项式定理 负二项分布 杨辉三角形 斯特靈公式 中一新生之夢 Binomial Expansions - leeds uk (PDF). [2015-04-12]. （原始内容存档 (PDF)于2020-09-19）.  Roman, Steven "The Umbral Calculus", Dover Publications, 2005, ISBN 0-486-44129-3 Devlin, Keith, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books; 1 edition (2008), ISBN 978-0-465-00910-7, p. 24. Weisstein, Eric W. (编). Binomial Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-04-11]. （原始内容存档于2020-11-14） （英语）.  The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji, MacTutor数学史档案 （英语）  Landau, James A. Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle. Archives of Historia Matematica. 1999-05-08 [2007-04-13]. （原始内容 (mailing list email)存档于2021-02-24）.  Bourbaki: History of mathematics Barth, Nils R. Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube. The American Mathematical Monthly. 2004, 111 (9): 811–813. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193. doi:10.2307/4145193, author's copy, further remarks and resources  Błaszczyk, Piotr; Katz, Mikhail; Sherry, David, Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking, Foundations of Science, 2012, arXiv:1202.4153 , doi:10.1007/s10699-012-9285-8  Weisstein, Eric W. (编). Multiple-Angle Formulas. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-04-12]. （原始内容存档于2020-11-11） （英语）.  The Constant e - NDE/NDT Resource Center. [2015-04-12]. （原始内容存档于2020-11-11）.  Series - NTEC (PDF). [2015-04-12]. （原始内容存档 (PDF)于2020-09-23）.  Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D 多項式定理的新證明及其展開 - 佛山科学技术学院信息科学与数学系. [2015-04-11]. （原始内容存档于2017-04-13）.  Hazewinkel, Michiel (编), Multinomial coefficient, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Bag, Amulya Kumar. Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci. 1966, 1 (1): 68–74.  Barth, Nils R. (November 2004). "Computing Cavalieri's Quadrature Formula by a Symmetry of the n-Cube". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 111 (9): 811–813. doi:10.2307/4145193. ISSN 0002-9890. JSTOR 4145193, author's copy, Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren. (5) Binomial Coefficients. Concrete Mathematics 2nd. Addison Wesley. 1994: 153–256. ISBN 0-201-55802-5. OCLC 17649857.  維基教科書中的相關電子教程：Binomial Theorem Binomial Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 史蒂芬·沃尔夫勒姆 "Binomial Theorem (Step-by-Step)"（页面存档备份，存于互联网档案馆） by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram 演示项目, 2007. The Binomial Theorem - Interactive Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆） Binomial Expansion - HyperPhysics