维拉宿代数

维拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的中心拓展（英语：central extension），在複數域上的無限維李代數。這與仿射Kac-Moody代數（英语：Affine Lie algebra）關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。 维拉宿代數是一李代數，生成元是 L n : n ∈ Z {\displaystyle {L_{n}:n\in \mathbb {Z} }} , c ， 符合： [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + δ m + n ( m 3 − m ) 12 c {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m+n}{\frac {(m^{3}-m)}{12}}c} 维拉宿代數可以被认为是以下Witt 代数（英语：Witt algebra） 的 中心拓展（英语：central extension）: [ l m , l n ] = ( m − n ) l m + n {\displaystyle [l_{m},l_{n}]=(m-n)l_{m+n}} , [ l ¯ m , l ¯ n ] = ( m − n ) l ¯ m + n {\displaystyle [{\bar {l}}_{m},{\bar {l}}_{n}]=(m-n){\bar {l}}_{m+n}} , [ l m , l ¯ n ] = 0 {\displaystyle [l_{m},{\bar {l}}_{n}]=0} . 对于一李代数   g {\displaystyle \ {\bf {g}}} , 其在复数域   C {\displaystyle \ {\bf {C}}} 的 central extension   g ~ {\displaystyle \ {\tilde {g}}} 满足下列交换子: [ x ~ , y ~ ] g ~ = [ x , y ] g + c p ( x , y ) , {\displaystyle [{\tilde {x}},{\tilde {y}}]_{\tilde {g}}=[x,y]_{g}+cp(x,y),} [ x ~ , c ] g ~ = 0 , {\displaystyle [{\tilde {x}},c]_{\tilde {g}}=0,} [ c , c ] g ~ = 0 , {\displaystyle [c,c]_{\tilde {g}}=0,} 其中   x ~ , y ~ ∈ g ~ , x , y ∈ g , c ∈ C , p : g ~ × g ~ → C {\displaystyle \ {\tilde {x}},{\tilde {y}}\in {\tilde {g}},x,y\in g,c\in {\bf {C}},p:{\tilde {g}}\times {\tilde {g}}\rightarrow {\bf {C}}} . 由此定义, 维拉宿代數的生成元满足以下交换子 [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c p ( m , n ) {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+cp(m,n)} . p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)} 可以由以下条件决定: 交换子必须是反对易的, 所以 p ( m , n ) = − p ( n , m ) {\displaystyle p(m,n)=-p(n,m)} 可以观察到, 如果定义以下生成元 L ^ n = L n + c p ( n , 0 ) n , n ≠ 0 {\displaystyle {\hat {L}}_{n}=L_{n}+{\frac {cp(n,0)}{n}},n\neq 0} L ^ 0 = L 0 + c p ( 1 , − 1 ) 2 , {\displaystyle {\hat {L}}_{0}=L_{0}+{\frac {cp(1,-1)}{2}},} 它们满足 [ L ^ n , L ^ 0 ] = n L n + c p ( n , 0 ) = n L ^ n , {\displaystyle [{\hat {L}}_{n},{\hat {L}}_{0}]=nL_{n}+cp(n,0)=n{\hat {L}}_{n},} [ L ^ 1 , L ^ − 1 ] = 2 L 0 + c p ( 1 , − 1 ) = 2 L ^ 0 . {\displaystyle [{\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{-1}]=2L_{0}+cp(1,-1)=2{\hat {L}}_{0}.} 比较函数 p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)} 的定义可以得知, p ( 1 , − 1 ) {\displaystyle p(1,-1)} 与 p ( n , 0 ) {\displaystyle p(n,0)} 总是可以被设为0. 交换子满足雅可比恒等式,即   0 = [ [ L m , L n ] , L 0 ] + [ [ L n , L 0 ] , L m ] + [ [ L 0 , L m ] , L n ] {\displaystyle \ 0=[[L_{m},L_{n}],L_{0}]+[[L_{n},L_{0}],L_{m}]+[[L_{0},L_{m}],L_{n}]} 所以 p ( n , m ) = 0 {\displaystyle p(n,m)=0} 如果 n ≠ − m {\displaystyle n\neq -m} , 即唯一的非零 central extension为 p ( n , − n ) {\displaystyle p(n,-n)} 且 | n | >= 2 {\displaystyle |n|>=2} . 最后计算以下雅克比恒等式   0 = [ [ L − n + 1 , L n ] , L − 1 ] + [ [ L n , L − 1 ] , L − n + 1 ] + [ [ L − 1 , L − n + 1 ] , L n ] {\displaystyle \ 0=[[L_{-n+1},L_{n}],L_{-1}]+[[L_{n},L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_{n}]} 可知 p ( m , n ) {\displaystyle p(m,n)} 满足以下递推公式 其中归一化条件为 p ( 2 , − 2 ) = 1 2 {\displaystyle p(2,-2)={\frac {1}{2}}} .综上所述, Witt algebra在复数域唯一非零的central extension, 即维拉宿代数的生成元满足以下交换子 [ L m , L n ] = ( m − n ) L m + n + c 1 12 ( n + 1 ) n ( n − 1 ) δ m + n , 0 {\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+c{\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1)\delta _{m+n,0}} . V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15