梅尔刻度

梅尔刻度（又稱Mel尺度，英語：Mel scale）是一種基于頻率定义的非線性刻度单位，表示人耳对音高(pitch)等距變化的感官，由Stevens（英语：Stanley Smith Stevens）、Volkman（英语：John Volkman） 和Newman于1937年命名。 梅爾刻度與線性的頻率刻度赫茲(Hz)之間可以進行近似的數學換算。一个常用的将 f {\displaystyle f} 赫兹转换为 m {\displaystyle m} 梅尔的公式是： m = 2595 log 10 ⁡ ( 1 + f 700 ) {\displaystyle m=2595\log _{10}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)} 梅尔刻度將1000Hz，且高于人耳听阈值40分贝的聲音信號，定為1000mel的参考点。在頻率500Hz以上时，随着频率的增加，人耳每感覺到等量的音高變化，所需要的頻率變化愈來愈大。这导致在赫茲刻度500Hz往上的四个八度(一個八度即為兩倍的頻率)，只对应梅尔刻度上的两个八度。Mel的名字来源于单词melody，表示这个刻度是基於音高比较而被創造的。 历史上，存在过各种各样的转换公式。 在O'Shaugnessy的书中的常用公式选用不同的对数底可以有不同的表达式： m = 2595 log 10 ⁡ ( 1 + f 700 ) = 1127 log e ⁡ ( 1 + f 700 )   {\displaystyle m=2595\log _{10}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)=1127\log _{e}\left(1+{\frac {f}{700}}\right)\ } 对应的逆变换公式是： f = 700 ( 10 m / 2595 − 1 ) = 700 ( e m / 1127 − 1 )   {\displaystyle f=700(10^{m/2595}-1)=700(e^{m/1127}-1)\ } 自从Steinberg于1937年出版的基于最小可覺差音高的刻度曲线和表格 后，还有许多其他曲线通过不同的实验方法和分析途径被提出，如Fletcher和Munson在1937年 ，Fletcher在1938年 ，Steven于1937年 以及 Stevens 和 Volkmann于1940年 分别给出的曲线。 在1949年，Koenig发表了一个基于独立的线性部分和对数部分的近似值，取1000Hz作为两个部分的分界点。 Gunnar Fant于1949年发表了当前流行的线性\对数公式，但是有1000Hz的截止频率(corner frequency)。 Fant于1968年发表了该公式的另一种与对数的底数的选择无关的形式： m = 1000 log ⁡ ( 2 ) log ⁡ ( 1 + f 1000 )   {\displaystyle m={\frac {1000}{\log(2)}}\log \left(1+{\frac {f}{1000}}\right)\ } 1976年，Makhoul与Cosell发表了现在流行的版本，截止频率取为700Hz。 Ganchev等人指出："相比于Fant等人的1000Hz的公式，700Hz的公式能够在1000Hz以下更近似于Mel刻度，代价是超过1000Hz时误差更大。" 但是当频率超过7kHz时,700Hz的版本表现的更好。 这些公式的数据由Beranek于1949年基于Stevens 和 Volkman的曲线被制作成表格： 具有625Hz截断频率的公式由Lindsay和Norman于1977年在《Human information processing: An introduction to psychology》中提出， 但在该书1972年第一版中该公式没有出现： m = 2410 log 10 ⁡ ( 1.6 × 10 − 3 f + 1 ) {\displaystyle m=2410\log _{10}(1.6\times 10^{-3}f+1)} 大多数的公式能够保证1000 mel对应1000Hz。截断频率(break frequency)，如700Hz、1000Hz或625Hz，是这些公式中唯一的自由参数。一些非MEL听觉频率尺度(auditory-frequency-scale)公式使用了相同的形式，但截断频率低得多，不一定能保障1000mel对应1000Hz，例如1990年Glasberg与Moore提出的ERB-rate刻度使用的是228.8Hz ，1990年Greenwood的“cochlear frequency–place map”则使用165.3Hz作为截断频率。 Umesh等人对其他形式的梅尔刻度进行了研究。根据从这些曲线上计算的数据，他们指出，传统的含有对数区域和线性区域的公式，以及其他形式的公式，都不符合Stevens和Volkman的曲线： Stevens, Stanley Smith; Volkman; John; & Newman, Edwin B. 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Am. table of contents for Stevens et al. paper Handbook for Acoustic Ecology （页面存档备份，存于互联网档案馆） 巴克刻度 梅尔频率倒谱系数 Fletcher–Munson curves（英语：Fletcher–Munson curves）