交換子

在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g −1 h −1 gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。 一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。 群G中两个元素g和h的交换子为元素 [g, h] = g−1h−1gh 它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即gh = hg）。 环或结合代数上两个元素a和b的交换子定义为： [ a , b ] = a b − b a . {\displaystyle [a,b]=ab-ba.} 量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即 [ A ^ , B ^ ] = A ^ B ^ − B ^ A ^ {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}} ； 其中； A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 均为量子力学的算符， [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]} 是其对易算符，也称交换子。 如果上式等于零，则称 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 是对易的，即意味着 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 和 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。 量子力學中，交換子有以下特性: [ A ^ , B ^ ] = − [ B ^ , A ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=-[{\hat {B}},{\hat {A}}]} [ A ^ , B ^ + C ^ ] = [ A ^ , B ^ ] + [ A ^ , C ^ ] , [ A ^ + B ^ , C ^ ] = [ A ^ , C ^ ] + [ B ^ , C ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}+{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}+{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]+[{\hat {B}},{\hat {C}}]} [ A ^ , B ^ C ^ ] = [ A ^ , B ^ ] C ^ + B ^ [ A ^ , C ^ ] , [ A ^ B ^ , C ^ ] = [ A ^ , C ^ ] B ^ + A ^ [ B ^ , C ^ ] {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {B}}]{\hat {C}}+{\hat {B}}[{\hat {A}},{\hat {C}}],\quad [{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]=[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}+{\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]} [ A ^ , A ^ n ] = 0 , n = 1 , 2 , 3... {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {A}}^{n}]=0,\quad n=1,2,3...} [ k A ^ , B ^ ] = [ A ^ , k B ^ ] = k [ A ^ , B ^ ] {\displaystyle [k{\hat {A}},{\hat {B}}]=[{\hat {A}},k{\hat {B}}]=k[{\hat {A}},{\hat {B}}]} [ A ^ , [ B ^ , C ^ ] ] + [ C ^ , [ A ^ , B ^ ] ] + [ B ^ , [ C ^ , A ^ ] ] = 0 {\displaystyle [{\hat {A}},[{\hat {B}},{\hat {C}}]]+[{\hat {C}},[{\hat {A}},{\hat {B}}]]+[{\hat {B}},[{\hat {C}},{\hat {A}}]]=0} 量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有： 以下， x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 是位置算符、 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} 是动量算符、 L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} 是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克δ、 ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} 是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。 物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說： [ x , p ] = i ℏ {\displaystyle [x,p]=i\hbar } 上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而 [ x , p ] = x p − p x {\displaystyle [x,p]=xp-px} 為所謂 x {\displaystyle x} 與 p {\displaystyle p} 的交換算符， i {\displaystyle i} 是虛數單位， ℏ {\displaystyle \hbar } 為約化普朗克常數，等於 h / 2 π {\displaystyle h/2\pi } 。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。 相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數 i ℏ {\displaystyle i\hbar } 換成 1 {\displaystyle 1} ： { x , p } = 1 {\displaystyle \{x,p\}=1\,\!} 這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量 f , g {\displaystyle f,g} 其量子對應項 f ^ , g ^ {\displaystyle {\hat {f}},{\hat {g}}} 應滿足 [ f ^ , g ^ ] = i ℏ { f , g } ^ {\displaystyle [{\hat {f}},{\hat {g}}]=i\hbar {\widehat {\{f,g\}}}\,} 。 於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。 Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976 [2020-04-07], ISBN 0-201-01984-1, （原始内容存档于2021-07-09）  Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics 2nd, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X  含有內容需登入查看的頁面 (link) Herstein, I. N., Topics In Algebra 2nd, John Wiley & Sons, 1975  Liboff, Richard L., Introductory Quantum Mechanics 4th, Addison-Wesley, 2003, ISBN 0-8053-8714-5  McKay, Susan, Finite p-groups, Queen Mary Maths Notes 18, University of London, 2000, ISBN 978-0-902480-17-9, MR 1802994  McMahon, D., Quantum Field Theory, USA: McGraw Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8  正則量子化 正則變換 李導數 群 李代數 泊松括號 雅可比恆等式