波矢

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如， x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 或 x μ {\displaystyle {x}_{\mu }\,\!} 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， ( x ) 2 {\displaystyle (x)^{2}\,\!} 表示 x {\displaystyle x\,\!} 平方；而 x 2 {\displaystyle {x}^{2}\,\!} 是 x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 的第二個分量。 波向量是波的向量表示方法。波向量是一个向量，其大小表示波数（ k = | k | = 2 π / λ {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda } ），其方向表示波传播的方向。 波向量在狭义相对论背景下可定义为四维矢量。 波矢有两种常见的定义，区别在於振幅因子是否乘以 2 π {\displaystyle 2\pi } ，两种定义分别用於物理学和晶体学以及它们的相关领域。 理想的一维行波遵循如下方程： ψ ( x , t ) = A cos ⁡ ( k x − ω t + φ ) {\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )} 其中： x为位置； t为时间； ψ {\displaystyle \psi } （x和t的函数）是对波进行描述的扰动（例如对於海浪， ψ {\displaystyle \psi } 是超出水面的高度；对於声波， ψ {\displaystyle \psi } 是超气压）； A是波的振幅（振动的峰值）； φ {\displaystyle \varphi } 是相位偏移，描述了两个波互相之间不同步的程度； ω {\displaystyle \omega } 是波的角频率，描述了在一个给定点波振动的快慢程度； k {\displaystyle k} 是波数，与波长成反比，由 k = 2 π / λ {\displaystyle k=2\pi /\lambda } 求出。 此波在+x方向上行进，相速度为 ω / k {\displaystyle \omega /k} 。 推广到三维情况下，方程为： ψ ( r , t ) = A cos ⁡ ( k ⋅ r − ω t + φ ) {\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)} 其中： r是三维空间中的位置矢量； ⋅ {\displaystyle \cdot } 是矢量点积； k是波矢。 这一方程描述了平面波。一维情况下，波矢的大小是角波数 | k | = 2 π / λ {\displaystyle |{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda } 。波矢的方向是平面波行进的方向。 在晶体学中，描述相同的波的方程略有不同。在一维和三维情况下的方程分别为： ψ ( x , t ) = A cos ⁡ ( 2 π ( k x − ν t ) + φ ) {\displaystyle \psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )} ψ ( r , t ) = A cos ⁡ ( 2 π ( k ⋅ r − ν t ) + φ ) {\displaystyle \psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)} 。 不同点在於： 晶体学定义使用了频率 ν {\displaystyle \nu } ，而不是角频率 ω {\displaystyle \omega } ，由公式 2 π ν = ω {\displaystyle 2\pi \nu =\omega } ，二者可以相互转换。这种置换主要反映了在晶体学中的常见应用。 波数k以及波矢k的定义方式不同。此处的 k = | k | = 1 / λ {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda } ，而在物理学定义中， k = | k | = 2 π / λ {\displaystyle k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda } 。 接近单色光的波包可以由波矢 k μ = ( ω c , k → ) {\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,} 准确描述，若明确的改写成共變和反變形式，则 k μ = ( ω c , k 1 , k 2 , k 3 ) {\displaystyle k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,} 且 k μ = ( ω c , − k 1 , − k 2 , − k 3 ) {\displaystyle k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,} 。 於是波矢的大小为 k 2 = k μ k μ = k 0 k 0 − k 1 k 1 − k 2 k 2 − k 3 k 3 {\displaystyle k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,} = ω 2 c 2 − k → 2 = 0 {\displaystyle ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,} 最後一步等於零是因为对於真空中的光满足 k = ω c {\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}\,} 对波矢作洛伦兹变换可导出相對論性多普勒效應。洛伦兹矩阵定义为 Λ = [ γ − β γ 0 0 − β γ γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}} 。 在光被快速移动的波源激发的情况下，若要在地球坐标系（实验室坐标系）中检定光的频率，就要使用洛伦兹变换，如下所示。注意波源位於坐标系S s，地球位於观测系S obs。 对波矢进行洛伦兹变换得到 k s μ = Λ ν μ k o b s ν {\displaystyle k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,} 。 只考虑 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} 分量的情况，得到 k s 0 = Λ 0 0 k o b s 0 + Λ 1 0 k o b s 1 + Λ 2 0 k o b s 2 + Λ 3 0 k o b s 3 {\displaystyle k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,} 。 因此 当波源径直地远离观测者时， θ = π {\displaystyle \theta =\pi } ，方程变为： ω o b s ω s = 1 γ ( 1 + β ) = 1 − β 2 1 + β = ( 1 + β ) ( 1 − β ) 1 + β = 1 − β 1 + β {\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,} 。 当波源径直地接近观测者时， θ = 0 {\displaystyle \theta =0} ，方程变为： ω o b s ω s = 1 + β 1 − β {\displaystyle {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,} 。 Brau, Charles A. Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-514665-4.  物理学定义：Handbook of Physics, by Harris, Benenson, Stöcker, 第288页. 晶体学定义：Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页. Modern Crystallography by Vaĭnshteĭn, 第259页