帕斯卡矩阵

帕斯卡矩阵是以组合数为元素的矩阵。 其中 S n = L n U n {\displaystyle S_{n}=L_{n}U_{n}} 帕斯卡对称矩阵 S n {\displaystyle S_{n}} 的元素为： S i j = ( i + j − 2 i − 1 ) {\displaystyle S_{ij}={\binom {i+j-2}{i-1}}} S n {\displaystyle S_{n}} 的迹为： t r ( S n ) = ∑ i = 1 n [ 2 ( i − 1 ) ] ! [ ( i − 1 ) ! ] 2 = ∑ k = 0 n − 1 ( 2 k ) ! ( k ! ) 2 {\displaystyle tr(S_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\frac {[2(i-1)]!}{[(i-1)!]^{2}}}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(2k)!}{(k!)^{2}}}} （OEIS:A006134） 帕斯卡下三角矩阵 L 6 {\displaystyle L_{6}} 的逆为： ( 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 3 3 1 0 0 1 4 6 4 1 0 1 5 10 10 5 1 ) − 1 = ( 1 0 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 1 − 2 1 0 0 0 − 1 3 − 3 1 0 0 1 − 4 6 − 4 1 0 − 1 5 − 10 10 − 5 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&1&0&0&0\\1&3&3&1&0&0\\1&4&6&4&1&0\\1&5&10&10&5&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0\\1&-2&1&0&0&0\\-1&3&-3&1&0&0\\1&-4&6&-4&1&0\\-1&5&-10&10&-5&1\end{pmatrix}}} 帕斯卡矩阵可从超对角矩阵的指数构造出来： L 7 = exp ⁡ ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) = [ 1 . . . . . . 1 1 . . . . . 1 2 1 . . . . 1 3 3 1 . . . 1 4 6 4 1 . . 1 5 10 10 5 1 . 1 6 15 20 15 6 1 ] ; U 7 = exp ⁡ ( [ . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 4 5 6 . . 1 3 6 10 15 . . . 1 4 10 20 . . . . 1 5 15 . . . . . 1 6 . . . . . . 1 ] ; S 7 = exp ⁡ ( [ . . . . . . . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . ] ) exp ⁡ ( [ . 1 . . . . . . . 2 . . . . . . . 3 . . . . . . . 4 . . . . . . . 5 . . . . . . . 6 . . . . . . . ] ) = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 28 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 1 6 21 56 126 252 462 1 7 28 84 210 462 924 ] . {\displaystyle {\begin{array}{lll}&L_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&.&.&.&.&.&.\\1&1&.&.&.&.&.\\1&2&1&.&.&.&.\\1&3&3&1&.&.&.\\1&4&6&4&1&.&.\\1&5&10&10&5&1&.\\1&6&15&20&15&6&1\end{smallmatrix}}\right];\quad \\\\&U_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\.&1&2&3&4&5&6\\.&.&1&3&6&10&15\\.&.&.&1&4&10&20\\.&.&.&.&1&5&15\\.&.&.&.&.&1&6\\.&.&.&.&.&.&1\end{smallmatrix}}\right];\\\\&S_{7}=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&.&.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.&.&.\\.&2&.&.&.&.&.\\.&.&3&.&.&.&.\\.&.&.&4&.&.&.\\.&.&.&.&5&.&.\\.&.&.&.&.&6&.\end{smallmatrix}}\right]\right)\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}.&1&.&.&.&.&.\\.&.&2&.&.&.&.\\.&.&.&3&.&.&.\\.&.&.&.&4&.&.\\.&.&.&.&.&5&.\\.&.&.&.&.&.&6\\.&.&.&.&.&.&.\end{smallmatrix}}\right]\right)=\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1&1\\1&2&3&4&5&6&7\\1&3&6&10&15&21&28\\1&4&10&20&35&56&84\\1&5&15&35&70&126&210\\1&6&21&56&126&252&462\\1&7&28&84&210&462&924\end{smallmatrix}}\right].\end{array}}} 映射出正负相间的伯努利数： ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 3 3 1 ) ( 1 − 1 / 2 1 / 6 0 ) = ( 1 1 / 2 1 / 6 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&2&1&0\\1&3&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1/2\\1/6\\0\end{pmatrix}}} 利用帕斯卡矩阵的逆求解线性方程与等幂求和问题，例如： ∑ i = 1 n i 3 = ( C 1 n C 2 n C 3 n C 4 n ) ( 1 0 0 0 − 1 1 0 0 1 − 2 1 0 − 1 3 − 3 1 ) ( 1 3 2 3 3 3 4 3 ) = C 1 n + 7 C 2 n + 12 C 3 n + 6 C 4 n {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}={\begin{pmatrix}C_{1}^{n}&C_{2}^{n}&C_{3}^{n}&C_{4}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-1&1&0&0\\1&-2&1&0\\-1&3&-3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1^{3}\\2^{3}\\3^{3}\\4^{3}\end{pmatrix}}=C_{1}^{n}+7C_{2}^{n}+12C_{3}^{n}+6C_{4}^{n}} 杨辉三角形 LU分解 Binomial/Pascalmatrix P (PDF). [2014-06-15]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.  Accessing Bernouli-Numbers by Matrix-Operations (PDF). [2014-06-15]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.