克拉梅爾猜想

本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的 log ⁡ x {\displaystyle \log {x}} 都應視為自然對數，也就是一般常記為 ln ⁡ x {\displaystyle \ln {x}} 或 log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}{x}} 的對數。 數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉尔德·克拉梅尔在1937年提出的關於質數間隙的猜想。該猜想是說： lim sup n → ∞ p n + 1 − p n ( ln ⁡ p n ) 2 = 1 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1} ， 這裡 p n {\displaystyle p_{n}} 代表第 n {\displaystyle n} 個素数。該猜想到現在仍未證出或被否證。 克拉梅爾也提出另一個較弱的關於素数間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有 p n + 1 − p n = O ( p n ln ⁡ p n ) {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})} 。 目前這方面最好的無條件結果是 p n + 1 − p n = O ( p n 0.525 ) {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})} 而這點由R·C·贝克（R. C. Baker）、格林·哈曼（英语：Glyn Harman）和平茨·亚诺什（匈牙利语：Pintz János）三人證出。 另一方面，E·韦斯钦蒂乌斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說， lim sup n → ∞ p n + 1 − p n log ⁡ p n = ∞ . {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .} 罗伯特·亚历山大·兰金（英语：Robert Alexander Rankin）改進了他的結果，並證明道 lim sup n → ∞ p n + 1 − p n log ⁡ p n ⋅ ( log ⁡ log ⁡ log ⁡ p n ) 2 log ⁡ log ⁡ p n log ⁡ log ⁡ log ⁡ log ⁡ p n > 0 {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0} 艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由凯文·福特（英语：Kevin Ford (mathematician)）、本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）、谢尔盖·科尼亚金（英语：Sergei Konyagin）和陶哲軒四人組。以及詹姆斯·梅納德分別證出。這兩組人馬在該年稍晚將該結果以 log ⁡ log ⁡ log ⁡ p n {\displaystyle \log \log \log p_{n}} 因子進行改進。 克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的機率模型（英语：Probabilistic number theory）之上的，在其中一個大小為x的數是質數的機率是 1 / log ⁡ x {\displaystyle 1/\log {x}} 。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。 根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的機率為一： lim sup n → ∞ p n + 1 − p n log 2 ⁡ p n = 1 {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1} 然而，安德鲁·格兰维尔（英语：Andrew Granville）指出，根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分布，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向 c ≥ 2 e − γ ≈ 1.1229 … {\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots } （A125313），其中 γ {\displaystyle \gamma } 是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亚诺什則認為該比值的上極限可能發散至無限； 類似地，伦纳德·阿德曼和凯文·麦柯利（Kevin McCurley）寫道： 「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數 c > 2 {\displaystyle c>2} 而言，總存在一個常數，使得 x {\displaystyle x} 和 x + d ( log ⁡ x ) c {\displaystyle x+d(\log x)^{c}} 有一個質數。」 類似地，罗宾·维瑟（Robin Visser）寫道： 「事實上，由於格兰维尔的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」 丹尼尔·尚克斯（英语：Daniel Shanks）猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立： G ( x ) ∼ log 2 ⁡ x {\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x} J·H·卡德韦尔（J.H. Cadwell）則提出下列何質數間隙有關的公式： G ( x ) ∼ log 2 ⁡ x − log ⁡ x log ⁡ log ⁡ x {\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x} 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。 马雷克·沃尔夫（Marek Wolf）則猜想在以素數計數函數 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 表示的狀況下，最大質數間隙 G ( x ) {\displaystyle G(x)} 如下： G ( x ) ∼ x π ( x ) ( 2 log ⁡ π ( x ) − log ⁡ x + c ) , {\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),} 其中 c = log ⁡ ( C 2 ) = 0.2778769... {\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...} 和 C 2 = 1.3203236... {\displaystyle C_{2}=1.3203236...} 是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項： G ( x ) ∼ log 2 ⁡ x − 2 log ⁡ x log ⁡ log ⁡ x − ( 1 − c ) log ⁡ x . {\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.} 托马斯·雷·奈斯利（德语：Thomas Ray Nicely）（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度： R = log ⁡ p n p n + 1 − p n {\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}} 他寫道「即使對於已知最大的質數間隙， R {\displaystyle R} 的值都維持在1.13左右」。 質數定理 勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。 菲鲁兹巴赫特猜想 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。 Cramér, Harald, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 1936, 2: 23–46 [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, （原始内容 (PDF)存档于2018-07-23）  R. 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