除子

除子是代数几何中的一个重要概念。在黎曼曲面 X {\displaystyle X} 上，它可以简单的定义为 X {\displaystyle X} 上的点的（整係數）形式線性組合， D = ∑ n p p {\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p} 。更一般地說，对于代数閉體上的非奇异代数簇，它可以定义为餘维度为一的子簇的（整係數）形式線性組合，也可以定义为层 K X ∗ / O X ∗ {\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}} 的一个整体截面。在满足一定条件的（可以是奇异的）代数簇上，这两种定义分别推广成Weil除子和Cartier除子。 在黎曼曲面 X {\displaystyle X} 上，它可以简单的定义为 X {\displaystyle X} 上的点的（整係數）形式線性組合， D = ∑ n p p {\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p} ，其中 p {\displaystyle p} 是 X {\displaystyle X} 上的点。型如 p {\displaystyle p} 的除子被称为素除子。一般的除子都是素除子的线性组合。 X {\displaystyle X} 上的全部除子构成一个交换群，记作 Div ( X ) {\displaystyle {\text{Div}}(X)} 。 对于 X {\displaystyle X} 上的非零亚纯函数 f {\displaystyle f} ，我们可以定义 f {\displaystyle f} 的除子 div ( f ) = ∑ p v p ( f ) p {\displaystyle {\text{div}}(f)=\sum _{p}^{}v_{p}(f)p} ， 其中 v p ( f ) {\displaystyle v_{p}(f)} 是 f {\displaystyle f} 在 p {\displaystyle p} 点零点的阶（非零点的阶为零，极点的阶按负值计）。型如 div f {\displaystyle {\text{div}}f} 的除子叫做主除子。主除子构成的子群记作 Prin(X) {\displaystyle {\text{Prin(X)}}} 。除子类群定义作 Cl ( X ) = Div ( X ) / Prin(X) {\displaystyle {\text{Cl}}(X)={\text{Div}}(X)/{\text{Prin(X)}}} 。对于紧黎曼面，这是一个有限生成的交换群，它是紧黎曼面 X {\displaystyle X} 的一个重要不变量。 从层论的观点看，除子是一个局部的概念，对于 X {\displaystyle X} 上任意的除子 D = ∑ n p p {\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p} ，和 X {\displaystyle X} 的开集 U {\displaystyle U} ，可以定义 D {\displaystyle D} 在 U {\displaystyle U} 上的限制 D | U = ∑ p ∈ U n p p {\displaystyle D|_{U}=\sum _{p\in U}^{}n_{p}p} 。函子 U ↦ Div ( U ) {\displaystyle U\mapsto {\text{Div}}(U)} 是 X {\displaystyle X} 上的层。 给定 X {\displaystyle X} 上任何一个除子 D {\displaystyle D} ，局部上 D {\displaystyle D} 都可以被写作一个函数对应的主除子。精确地说，一定存在 X {\displaystyle X} 的一组开覆盖{ U i {\displaystyle U_{i}} }以及每个 U i {\displaystyle U_{i}} 上的函数 f i {\displaystyle f_{i}} ，使得 D | U i = div ( f i ) {\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})} 。一般说来，在 U i {\displaystyle U_{i}} 和 U j {\displaystyle U_{j}} 的交集上， f i {\displaystyle f_{i}} 和 f j {\displaystyle f_{j}} 的限制未必相等，但易见在 U i j {\displaystyle U_{ij}} 上，存在一个处处非零的全纯函数 h {\displaystyle h} ，使得 f i h = f j {\displaystyle f_{i}h=f_{j}} 。另外， f i {\displaystyle f_{i}} 的选取不是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全纯函数 h {\displaystyle h} 来修正它。反过来，任意一组这样的数据 { ( U i , f i ) } {\displaystyle \{(U_{i},f_{i})\}} ，都给出了 X {\displaystyle X} 上的一个除子。 以上论证表明，黎曼曲面上的任意一个除子 D {\displaystyle D} ，都唯一地对应于层 K X ∗ / O X ∗ {\displaystyle K_{X}^{*}/O_{X}^{*}} 的一个整体截面。这是Cartier对于除子的观点。 从Cartier的观点出发，不难构造除子 D {\displaystyle D} 所对应的可逆层 O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)} ：取 X {\displaystyle X} 的一组开覆盖{ U i {\displaystyle U_{i}} }，以及每个 U i {\displaystyle U_{i}} 上的函数 f i {\displaystyle f_{i}} ，使得 D | U i = div ( f i ) {\displaystyle D|_{U_{i}}={\text{div}}(f_{i})} 。取 U i {\displaystyle U_{i}} 上的平凡层 O U i {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}} ，在交集 U i j = U i ∩ U j {\displaystyle U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}} 上，如前所述 f j f i {\displaystyle {\dfrac {f_{j}}{f_{i}}}} 是 U i j {\displaystyle U_{ij}} 上的一个可逆函数，从而它定义了 U i j {\displaystyle U_{ij}} 上平凡层的一个自同构。把这一同构视作粘合映射 O U i | U i j ≅ O U j | U i j {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}|_{U_{ij}}\cong {\mathcal {O}}_{U_{j}}|_{U_{ij}}} ，不难验证这一族粘合映射满足cocycle条件，从而他们给出了 X {\displaystyle X} 上的一个可逆层。 反过来，对于黎曼曲面，每个可逆层都来自于一个除子。事实上，若 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是可逆层，令 D {\displaystyle D} 为任意一个亚纯截面的除子，则 L ≅ O X ( D ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)} 。 易见主除子对应的可逆层同构于平凡层。两个除子之和对应的可逆层是原来两个除子对应之可逆层的张量积。若两个除子之差为一主除子，则他们定义的线丛是同构的。 从线丛的观点看，若两个除子之差为一主除子，我们可以把它们视作等价。上面定义的映射 [ D ] ↦ O X ( D ) {\displaystyle [D]\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(D)} 给出了它与 Pic ( X ) {\displaystyle {\text{Pic}}(X)} 的一个同构。这里 Pic ( X ) {\displaystyle {\text{Pic}}(X)} 是可逆层的同构类在张量积下构成的交换群。 任意一个除子 D = ∑ n p p {\displaystyle D=\sum _{}^{}n_{p}p} ，我们可以定义 D {\displaystyle D} 的次数 deg D = ∑ n p {\displaystyle {\text{deg}}D=\sum _{}^{}n_{p}} 。根据定义，这一定是一个有限和。对于紧黎曼面，主除子的次数总为零。由此可见，除子的次数只依赖于它在Picard群中的像。 若 X 是一不可约（irreducible），既约（reduced）的局部诺特概形（locally noetherian scheme）。其上一素韦伊除子（prime Weil divisor）是指一个余维数为一的不可约且既约的子概形。X 上的一个韦伊除子是素韦伊除子的有限形式和。 假设 X 为一不可约且既约的诺特概形。则 X 上的非零有理函数的芽关于乘法构成了一个阿贝尔群层，记为 M X ∗ {\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }} 。 它是一个常数层，且包含所有非零正则函数的芽层 O X ∗ {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\ast }} 为子层。按定义，X 上的一个卡蒂亚除子（Cartier divisor）为商层 M X ∗ / O X ∗ {\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}^{\ast }/{\mathcal {O}}_{X}^{\ast }} 的一个整体截面。