可觀察量

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量（observable）。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。 假設，物理量 O {\displaystyle O} 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} ，可能有很多不同的本徵值 O i {\displaystyle O_{i}} 與對應的本徵態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } ，這些本徵態 | e i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ , n {\displaystyle |e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n} ，形成了具有正交歸一性的基底： ⟨ e i | e j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle e_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}} ； 其中， δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克羅內克函數。 任何描述這量子系統的量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，都可以用這基底的本徵態表示為 | ψ ⟩ = ∑ i   c i | e i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle } ； 其中， c i = ⟨ e i | ψ ⟩ {\displaystyle c_{i}=\langle e_{i}|\psi \rangle } 是複係數，是在量子態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } 裏找到量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅。 假設，量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 等於這些本徵態之中的一個本徵態 | e k ⟩ {\displaystyle |e_{k}\rangle } ，則對於這量子系統，測量可觀察量 O {\displaystyle O} ，得到的結果必定等與本徵值 O k {\displaystyle O_{k}} ，機率為1，量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 是「確定態」。 根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。 假設，某量子系統的量子態為 | ψ ⟩ = ∑ i   c i | e i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|e_{i}\rangle } 。 測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } ，則改變為這本徵態的機率為 p i = | c i | 2 {\displaystyle p_{i}=|c_{i}|^{2}} ，測量結果是本徵值 O i {\displaystyle O_{i}} ，得到這本徵值的機率也為 p i {\displaystyle p_{i}} 。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態 | e i ⟩ {\displaystyle |e_{i}\rangle } 。 將算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，會形成新量子態 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } ： | ϕ ⟩ = O ^ | ψ ⟩ = ∑ i   c i O ^ | e i ⟩ = ∑ i   c i O i | e i ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle ={\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}{\hat {O}}|e_{i}\rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}|e_{i}\rangle } 。 從左邊乘以量子態 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} ，經過一番運算，可以得到 ⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ∑ i   c i O i ⟨ ψ | e i ⟩ = ∑ i   | c i | 2 O i = ∑ i   p i O i {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}O_{i}\langle \psi |e_{i}\rangle =\sum _{i}\ |c_{i}|^{2}O_{i}=\sum _{i}\ p_{i}O_{i}} 。 所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值： ⟨ O ⟩   = d e f   ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ∑ i   p i O i {\displaystyle \langle O\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\sum _{i}\ p_{i}O_{i}} 。 每一種經過測量而得到的物理量都是實數，因此，可觀察量 O {\displaystyle O} 的期望值是實數： ⟨ O ⟩ = ⟨ O ⟩ ∗ {\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，這關係都成立： ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}} 。 根據伴隨算符的定義，假設 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }} 是 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 的伴隨算符，則 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle } 。因此， O ^ = O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }} 。 這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。 假若兩種可觀察量的對易算符不等於0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」： [ A ^ , B ^ ] ≠ 0 {\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\neq 0} ； 其中， A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 、 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 分別是可觀察量 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 的算符。 這兩種算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 與 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 絕對不會有共同的基底。一般而言， A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 的本徵態與 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} 的本徵態不同假設量子系統的量子態為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 。對於算符 A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} ，所有本徵值為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態 | α i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ , n {\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n} ，形成一個基底。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可以表示為這組基底本徵態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   c i | α i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ c_{i}|\alpha _{i}\rangle } ； 其中， c i = ⟨ α i | ψ ⟩ {\displaystyle c_{i}=\langle \alpha _{i}|\psi \rangle } 是複係數，是在量子態 | α i ⟩ {\displaystyle |\alpha _{i}\rangle } 裏找到量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅。 對於算符 B ^ {\displaystyle {\hat {B}}} ，所有本徵值為 b i {\displaystyle b_{i}} 的本徵態 | β i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ , n {\displaystyle |\beta _{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n} ，形成了另外一個基底。量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 可以表示為這組基底本徵態的線性組合： | ψ ⟩ = ∑ i   d i | β i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\ d_{i}|\beta _{i}\rangle } ； 其中， d i = ⟨ β i | ψ ⟩ {\displaystyle d_{i}=\langle \beta _{i}|\psi \rangle } 是複係數，是在量子態 | β i ⟩ {\displaystyle |\beta _{i}\rangle } 裏找到量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅。 對於量子系統的可觀察量 A {\displaystyle A} 做測量，可能得到的結果是各種本徵態 | α i ⟩ {\displaystyle |\alpha _{i}\rangle } 的本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} ，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為 a i {\displaystyle a_{i}} 的機率是 | c i | 2 {\displaystyle |c_{i}|^{2}} 。 假設測量的結果是本徵值 a j {\displaystyle a_{j}} ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 | α j ⟩ {\displaystyle |\alpha _{j}\rangle } 。假若立刻再測量可觀察量 A {\displaystyle A} ，由於量子態仍舊是本徵態 | α j ⟩ {\displaystyle |\alpha _{j}\rangle } ，所得到的測量值是本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 機率為1。假若立刻再對本徵態 | α j ⟩ {\displaystyle |\alpha _{j}\rangle } 測量可觀察量 B {\displaystyle B} ，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值 b k {\displaystyle b_{k}} ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 | β k ⟩ {\displaystyle |\beta _{k}\rangle } 。 根據不確定性原理， Δ A   Δ B ≥ | ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ 2 i | {\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|} 。 設定 χ = | ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ 2 i | {\displaystyle \chi =\left|{\frac {\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }{2i}}\right|} 。假設， A {\displaystyle A} 與 B {\displaystyle B} 是兩個不相容可觀察量，則 χ > 0 {\displaystyle \chi >0} 。而 A {\displaystyle A} 的不確定性與 B {\displaystyle B} 的不確定性的乘積 Δ A   Δ B {\displaystyle \Delta A\ \Delta B} ，必定大於或等於 χ {\displaystyle \chi } 。 為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。 位置 x {\displaystyle x} ，動量 p {\displaystyle p} 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符： ⟨ x ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ x ψ   d x = ∫ − ∞ ∞   ( x ψ ) ∗ ψ   d x = ⟨ x ⟩ ∗ {\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}x\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ (x\psi )^{*}\psi \ dx=\langle x\rangle ^{*}} ， ⟨ p ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ ( ℏ i ∂ ∂ x ψ )   d x = ∫ − ∞ ∞   ( ℏ i ∂ ∂ x ψ ) ∗ ψ   d x = ⟨ p ⟩ ∗ {\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\psi \ dx=\langle p\rangle ^{*}} 。 在三維空間裏，角動量算符的x-分量 L ^ x {\displaystyle {\hat {L}}_{x}} 是厄米算符。因為 ⟨ L x ⟩ ∗ = ⟨ y p z − z p y ⟩ ∗ = ⟨ y p z − z p y ⟩ = ⟨ L x ⟩ {\displaystyle \langle L_{x}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle ^{*}=\langle yp_{z}-zp_{y}\rangle =\langle L_{x}\rangle } ； 其中， y {\displaystyle y} 與 z {\displaystyle z} 分別是位置的y-分量與z-分量， p y {\displaystyle p_{y}} 與 p z {\displaystyle p_{z}} 分別是動量的y-分量與z-分量。 類似地，角動量算符的y-分量 L ^ y {\displaystyle {\hat {L}}_{y}} 也是厄米算符。 位置算符 動量算符 角動量算符 哈密頓算符 通常這句話成立，但也存在有例外。思考氫原子的角量子數為零（ ℓ = 0   {\displaystyle \ell =0\ } ）的量子態，它是 L x {\displaystyle L_{x}} 、 L y {\displaystyle L_{y}} 、 L z {\displaystyle L_{z}} 的本徵態，本徵值都為零，而這三個自伴算符都互不對易，它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7  Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914  A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 452–453, 1978, ISBN 9780748740789 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link)