抛物面

抛物面(英文：Paraboloid)是二次曲面的一种。抛物面有两种：椭圆抛物面和双曲抛物面。椭圆抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为： z = x 2 a 2 + y 2 b 2 . {\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.} 双曲抛物面在笛卡儿坐标系中的方程为： z = x 2 a 2 − y 2 b 2 . {\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.} 当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。 椭圆抛物面的参数方程为： σ → ( u , v ) = ( u , v , u 2 a 2 + v 2 b 2 ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}+{v^{2} \over b^{2}}\right)} 高斯曲率为： K ( u , v ) = 4 a 2 b 2 ( 1 + 4 u 2 a 4 + 4 v 2 b 4 ) 2 {\displaystyle K(u,v)={4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}} 平均曲率为： H ( u , v ) = a 2 + b 2 + 4 u 2 a 2 + 4 v 2 b 2 a 2 b 2 ( 1 + 4 u 2 a 4 + 4 v 2 b 4 ) 3 2 {\displaystyle H(u,v)={a^{2}+b^{2}+{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}} 它们都是正数，在顶点处最大，越远离顶点曲率越小，并趋近于零。 双曲抛物面的参数方程为： σ → ( u , v ) = ( u , v , u 2 a 2 − v 2 b 2 ) {\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}-{v^{2} \over b^{2}}\right)} 高斯曲率为： K ( u , v ) = − 4 a 2 b 2 ( 1 + 4 u 2 a 4 + 4 v 2 b 4 ) 2 {\displaystyle K(u,v)={-4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}} 平均曲率为： H ( u , v ) = − a 2 + b 2 − 4 u 2 a 2 + 4 v 2 b 2 a 2 b 2 ( 1 + 4 u 2 a 4 + 4 v 2 b 4 ) 3 2 . {\displaystyle H(u,v)={-a^{2}+b^{2}-{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}.} 如果把双曲抛物面 z = x 2 a 2 − y 2 b 2 {\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}} 顺着+z的方向旋转π/4的角度，则方程为： z = 1 2 ( x 2 + y 2 ) ( 1 a 2 − 1 b 2 ) + x y ( 1 a 2 + 1 b 2 ) {\displaystyle z={1 \over 2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left({1 \over a^{2}}-{1 \over b^{2}}\right)+xy\left({1 \over a^{2}}+{1 \over b^{2}}\right)} 如果   a = b {\displaystyle \ a=b} ，则简化为： z = 2 a 2 x y {\displaystyle z={2 \over a^{2}}xy} . 最后，设 a = 2 {\displaystyle a={\sqrt {2}}} ，我们可以看到双曲抛物面 z = x 2 − y 2 2 {\displaystyle z={x^{2}-y^{2} \over 2}} . 与以下的曲面是全等的：   z = x y {\displaystyle \ z=xy} 因此它可以视为乘法表的几何表示。 两个 R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } 函数 z 1 ( x , y ) = x 2 − y 2 2 {\displaystyle z_{1}(x,y)={x^{2}-y^{2} \over 2}} 和   z 2 ( x , y ) = x y {\displaystyle \ z_{2}(x,y)=xy} 是调和共轭，它们在一起形成解析函数 f ( z ) = 1 2 z 2 = f ( x + i y ) = z 1 ( x , y ) + i z 2 ( x , y ) {\displaystyle f(z)={1 \over 2}z^{2}=f(x+iy)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)} 它是 R → R {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 函数   f ( x ) = 1 2 x 2 {\displaystyle \ f(x)={1 \over 2}x^{2}} 的解析延拓。 椭球 双曲面 类球面 二次曲面 抛物面反射器 Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987. Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997. Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998. Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999. Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.