中一新生之夢

Freshman's dream（中文可譯「新手之夢」）指的是錯誤方程式「 ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} = x n + y n {\displaystyle x^{n}+y^{n}} 」，當中 n {\displaystyle n} 是一個實數（通常是大於1的正整數）。初階學生經常誤以為括號外的次方可以直接分配給括號內的項。其實只要假設 n = 2 {\displaystyle n=2} 就可以簡單發現方程式並不成立：透過乘法分配律， ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}} 。至於 n {\displaystyle n} 值更大的方程式，則可以使用二项式定理計算正確答案。 在熱帶幾何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情況下，「Freshman's dream」便是正確。 「Freshman's dream」也可代指另一項定理， ( x + y ) p = x p + y p {\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} ，當中 p {\displaystyle p} 是質數，而 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是在具有 p {\displaystyle p} 特徵的交換環上的代數。由於 p {\displaystyle p} 能夠整除首項和末項以外的二項式係數，使中間的所有項都等於零，所以這個「錯誤」實際上可以做到正確答案。 1940年一篇有關模曲線的文章中，桑德斯·麥克蘭恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特徵為2的體中的公式「 ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}} 」，有可能破壞中一新生的代數觀念。此為可追溯的最早將「中一新生之夢」與正特徵體的二項式展開公式連繫起來的言論，自此大部分代數課本都提及這個慣常誤解，其中1974年湯馬士·亨嘉福（英语：Thomas W. Hungerford）的代數課本似乎是首次使用「Freshman's dream」一詞。別名包括1998年莊·法黎課本中的「Freshman exponentiation」（中文可譯「中一新生之冪」）；又鑑於 ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} 可透過二项式定理計算，因而又被稱爲「小孩的二項式定理」（Child's binomial theorem）或「中學生的二項式定理」（Schoolboy binomial theorem）。 至於「Freshman's dream」一詞則自19世紀起已在非數學範疇使用。 ( 1 + 4 ) 2 = 5 2 = 25 {\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25} ，但 1 2 + 4 2 = 17 {\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17} . ( x 2 + y 2 ) 1 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}} （即 x 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} ）在大多數情況下都不等於 x 2 + y 2 = | x | + | y | {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|} 。例如： 3 2 + 4 2 = 25 = 5 {\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5} ，而 3 + 4 = 7 {\displaystyle 3+4=7} 。 當 p {\displaystyle p} 是質數，而 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是在具有 p {\displaystyle p} 特徵的交換環上的代數，那麼 ( x + y ) p = x p + y p {\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} 。此理論可透過研究二項式係數的質數因數而論證： 第 n 個二項式係數為 ( p n ) = p ! n ! ( p − n ) ! {\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}} 。 由於分子是 p {\displaystyle p} 的階乘，所以可以被 p {\displaystyle p} 整除。不過當 0 < n < p {\displaystyle 0<n<p} 之時， n ! {\displaystyle n!} 和 ( p − n ) ! {\displaystyle (p-n)!} 都少於 p {\displaystyle p} ，因而兩者都不能被整除。但二項式係數必然是整數，因此第 n 個二項式係數可被 p {\displaystyle p} 整除，交換環繼而等於零。自此整條方程式只剩下第0個和第 p 個二項式係數，因此可證 ( x + y ) p = x p + y p {\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}} 。結果也證明 p 次方製造了自同态，又稱交換環的弗罗贝尼乌斯自同态。 在此方程中， p {\displaystyle p} 必須是質數才可成立。有一相類近的定理指出，當 p {\displaystyle p} 是質數的話，在 Z p [ x ] {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]} 多项式环中， ( x + 1 ) p ≡ x p + 1 {\displaystyle (x+1)^{p}\equiv x^{p}+1} 。此定理成為現代質數測試中的關鍵。 一年級生 素性测试 弗罗贝尼乌斯自同态 二年級之夢 Julio R. Bastida, Field Extensions and Galois Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8. Fraleigh, John B., A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN 0-201-53467-3. Difusión DM, Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 of 5), 2018-02-23 [2019-06-11], （原始内容存档于2020-06-17）  How is (x+y)p≡xp+yp mod p for any prime number p. Mathematics Stack Exchange. [2020-08-12]. （原始内容存档于2022-03-25）.  Colin R. Fletcher, Review of Selected papers on algebra, edited by Susan Montgomery（英语：Susan Montgomery）, Elizabeth W. Ralston and others. Pp xv, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Mathematical Association of America), The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 421 (Oct., 1978), The Mathematical Association. p. 221. Thomas W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974, p. 121; also in Abstract Algebra: An Introduction, 2nd edition. Brooks Cole, July 12, 1996, p. 366. John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 6th edition, Addison-Wesley, 1998. pp. 262 and 438. Granville, Andrew. It Is Easy To Determine Whether A Given Integer Is Prime (PDF). BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY: 3–38. 2004-09-30 [2020-08-12]. （原始内容存档 (PDF)于2008-05-14）.  |volume=被忽略 (帮助) EGMO Training 2017 - Exponents (mod p) (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2017-11-19）.  1800–1900 Search for "freshman's dream". Google books. [2020-08-12]. （原始内容存档于2022-02-08）.  Bentley's miscellany 26. 1849: 176.