卡方分佈

卡方分布（英語：chi-square distribution, χ²-distribution，或寫作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是統計推論中应用最为广泛的概率分布之一，例如假說檢定和置信区间的计算。 由卡方分布延伸出來皮爾森卡方檢定常用于： 樣本某性質的比例分布與母體理論分布的拟合优度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）； 同一母體的兩個随机变量是否独立（例如人的身高與交通違規的關聯性）； 二或多個母體同一屬性的同質性檢定（義大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定） 若k个随机变量 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、……、 Z k {\displaystyle Z_{k}} 是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和 X = ∑ i = 1 k Z i 2 {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}} 被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作 X   ∼   χ 2 ( k ) {\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}   X   ∼   χ k 2 {\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}} 可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。 卡方分布的概率密度函数为： f k ( x ) = 1 2 k 2 Γ ( k 2 ) x k 2 − 1 e − x 2 {\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}} 其中 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} ，当 x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} 时 f k ( x ) = 0 {\displaystyle f_{k}(x)=0} 。这里Γ代表Gamma函数。 卡方分布的累积分布函数为： F k ( x ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) {\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}} ， 其中γ(k,z)为不完全Γ函数 在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。 自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为： H = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ln ⁡ ( f ( x ) ) d x = k 2 + ln ⁡ ( 2 Γ ( k 2 ) ) + ( 1 − k 2 ) ψ ( k / 2 ) {\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)} 其中 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是雙伽瑪函數。 當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即： r . v . Y = χ 2 ( U ) = Γ ( α = U 2 , λ = 1 2 ) {\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)} E ⁡ ( χ 2 ( U ) ) = E ⁡ ( Y ) = α λ = U 2 1 2 = U {\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U} Var ⁡ ( χ 2 ( U ) ) = Var ⁡ ( Y ) = α λ 2 = U 2 ( 1 2 ) 2 = 2 U {\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U} 卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之方差＝两倍自由度 由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若 X 1 , X 2 , … X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}} 分别独立服从自由度为 k 1 , k 2 , … k n {\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}} 的卡方分布，那么它们的和 ∑ i = 1 n X i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}} 服从自由度为 ∑ i = 1 n k i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}} 的卡方分布。 若k个随机变量 Z 1 {\displaystyle Z_{1}} 、……、 Z k {\displaystyle Z_{k}} 是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和 X = ∑ i = 1 k ( Z i − Z ¯ ) 2 ∼ χ k − 1 2 {\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}} 其中均值 Z ¯ = 1 k ∑ i = 1 k Z i {\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}} 它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即 n Z ¯ 2 ∼ χ 1 2 {\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}} p-value = 1- p_CDF. χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作为閾值，即95%的可信度。 常用的χ2与p-value表如下: M.A. Sanders. Characteristic function of the central chi-squared distribution (PDF). [2009-03-06]. （原始内容 (PDF)存档于2011-07-15）.  chi 的读音是 /kaɪ/ ，与「開」字的普通话发音相同。 卡方分配與卡方檢定 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 分布计算器（页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）