共變和反變

在數學裏，反變（contravariant，也稱逆變）和共變（covariant，也稱協變）描述一個向量（或更廣義來說，張量）的坐標，在向量空間的基底／坐標系轉換之下，會如何改變。 反變和共變在張量場的演算中不可或缺，是了解狹義相對論、廣義相對論必需的數學基礎。 標記法說明：向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是向量空間 V {\displaystyle V\,\!} 的元素。向量基底 e 1 , e 2 , . . . , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!} 構成了向量空間的一個基底，其座標系統為 x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!} 。對應這個基底，向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 的分量為 v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!} ，即 v = ∑ i v i e i {\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}} 。 （註： v 2 {\displaystyle v^{2}\,\!} 這符號中的上標 2 {\displaystyle 2} 不代表平方，而是代表第二個坐標，在較基礎的數學上，常寫作 v 2 {\displaystyle v_{2}\,\!} ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及愛因斯坦求和約定。） 向量空間 V {\displaystyle V} 有另一個基底 e ¯ 1 , . . . , e ¯ n {\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!} ，其座標系統為 x ¯ 1 , . . . , x ¯ n {\displaystyle {\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!} 。對應這個基底， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 有分量 v ¯ 1 , v ¯ 2 , . . . , v ¯ n {\displaystyle {\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!} ，即 v = ∑ i v ¯ i e ¯ i {\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}} 。 對於1...n之間任意整數 μ {\displaystyle \mu \,\!} ，我們知道 v ¯ μ {\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }\,\!} 和 v 1 , v 2 , . . . , v n {\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!} 的關係： v ¯ μ = ∂ x ¯ μ ∂ x 1 v 1 + ∂ x ¯ μ ∂ x 2 v 2 + . . . + ∂ x ¯ μ ∂ x n v n {\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!} 。 使用愛因斯坦求和約定可寫成： v ¯ μ = ∂ x ¯ μ ∂ x i v i {\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!} 。 假設對偶空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 有兩個基底 d x 1 , d x 2 , . . . , d x n {\displaystyle {\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!} 跟 d x ¯ 1 , d x ¯ 2 , . . . , d x ¯ n {\displaystyle \mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!} 。 假設 ω ∈ V ∗ , ω = ∑ i η i d x i = ∑ j η ¯ j d x ¯ j {\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}} 。 則對於 1 {\displaystyle 1} ... n {\displaystyle n} 之間其中一個特定的整數 μ {\displaystyle \mu \,\!} ，我們知道 η ¯ μ {\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!} 和 η 1 , η 2 , . . . , η n {\displaystyle \mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!} 的關係： η ¯ μ = ∂ x 1 ∂ x ¯ μ η 1 + ∂ x 2 ∂ x ¯ μ η 2 + . . . + ∂ x n ∂ x ¯ μ η n {\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!} 。 或使用愛因斯坦求和約定寫成： η ¯ μ = ∂ x i ∂ x ¯ μ η i {\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!} 。 在歐幾里得空間 V {\displaystyle V\,\!} 裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有餘向量 w {\displaystyle \mathbf {w} \,\!} ，通過下述方程式，向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 和線性泛函 α ( w ) {\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!} ，唯一地確定了餘向量 w {\displaystyle \mathbf {w} \,\!} ： α ( w ) = v ⋅ w {\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} \,\!} 。 逆過來，通過上述方程式，線性泛函 α ( w ) {\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!} 和每一個餘向量，唯一地確定了向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。 給予 V {\displaystyle V\,\!} 的一個基底 f = ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!} ，則必存在一個唯一的對偶基底 f ♯ = ( Y 1 , Y 2 , … , Y n ) {\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!} ，滿足 Y i ⋅ X j = δ j i {\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!} ； 其中， δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!} 是克羅內克函數。 以這兩種基底，任意向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 可以寫為兩種形式 v = ∑ i v i [ f ] X i = f v [ f ] = ∑ i v i [ f ] Y i = f ♯ v [ f ♯ ] {\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!} ； 其中， v i [ f ] {\displaystyle v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!} 是向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 對於基底 f {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!} 的反變分量， v i [ f ] {\displaystyle v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!} 是向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 對於基底 f {\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!} 的共變分量， 在歐幾里得空間Ｒ3裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底，其基底向量為 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!} ，就可以計算其對偶基底的基底向量： e 1 = e 2 × e 3 τ ; e 2 = e 3 × e 1 τ ; e 3 = e 1 × e 2 τ {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!} ； 其中， τ = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) {\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!} 是三個基底向量 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!} 所形成的平行六面體的體積。 反過來計算， e 1 = e 2 × e 3 τ ′ ; e 2 = e 3 × e 1 τ ′ ; e 3 = e 1 × e 2 τ ′ {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!} ； 其中， τ ′ = e 1 ⋅ ( e 2 × e 3 ) = 1 / τ {\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!} 是三個基底向量 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!} 、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!} 、 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!} 所形成的平行六面體的體積 。 雖然 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!} 與 e j {\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!} 並不相互標準正交，它們相互對偶： e i ⋅ e j = δ i j {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!} 。 這樣，任意向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的反變坐標為 a 1 = a ⋅ e 1 ; a 2 = a ⋅ e 2 ; a 3 = a ⋅ e 3 {\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!} 。 類似地，共變坐標為 a 1 = a ⋅ e 1 ; a 2 = a ⋅ e 2 ; a 3 = a ⋅ e 3 {\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!} 。 這樣， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 可以表達為 a = a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!} ， 或者， a = a i e i = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 {\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!} 。 綜合上述關係式， a = ( a ⋅ e i ) e i = ( a ⋅ e i ) e i {\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!} 。 向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的共變坐標為 a i = a ⋅ e i = ( a j e j ) ⋅ e i = ( e j ⋅ e i ) a j = g j i a j {\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!} ； 其中， g j i = e j ⋅ e i {\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!} 是度規張量。 向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 的反變坐標為 a i = a ⋅ e i = ( a j e j ) ⋅ e i = ( e j ⋅ e i ) a j = g j i a j {\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}  ; 其中， g j i = e j ⋅ e i {\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!} 是共軛度規張量。 共變坐標的標號是下標，反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標，所有的標號都可以用下標來標記。 根據相對性原理，一條物理定律在不同的系統，都應該有相同的「形式」。 狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間，它是一種平直空間。 Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）