有限深方形阱

在量子力學裏，有限深方形阱，又稱為有限深位勢阱，是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0，阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子，在這種位勢作用中的量子行為的問題，稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是，在阱外找到粒子的機率大於0。 在經典力學裏，假若，粒子的能量小於阱壁的位勢，則粒子只能移動於阱內，無法存在於阱外。截然不同地，在量子力學裏，雖然粒子的能量小於阱壁的位勢，在阱外找到粒子的機率大於0。 一維有限深方形阱的阱寬為 L {\displaystyle L\,\!} ，左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為 x = − L / 2 {\displaystyle x=-L/2\,\!} 與 x = L / 2 {\displaystyle x=L/2\,\!} 。阱內位勢為0。在阱壁，位勢突然升高為 V 0 {\displaystyle V_{0}\,\!} 。阱外位勢保持為 V 0 {\displaystyle V_{0}\,\!} 。這一維阱將整個一維空間分為三個區域：阱左邊，阱內，與阱右邊。在每一個區域內，對應著不同的位勢，描述粒子的量子行為的波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 也不同，標記為： ψ = ψ 1 {\displaystyle \psi =\psi _{1}\,\!} ：阱左邊， x < − L / 2 {\displaystyle x<-L/2\,\!} （阱外區域）， ψ = ψ 2 {\displaystyle \psi =\psi _{2}\,\!} ：阱內， − L / 2 < x < L / 2 {\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!} （阱內區域）， ψ = ψ 3 {\displaystyle \psi =\psi _{3}\,\!} ：阱右邊， x > L / 2 {\displaystyle x>L/2\,\!} （阱外區域）。 這些波函數，都必須滿足，一維不含時間的薛丁格方程式： − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ( x ) ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!} ；(1) 其中， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m\,\!} 是粒子質量， x {\displaystyle x\,\!} 是粒子位置， V ( x ) {\displaystyle V(x)\,\!} 是位勢， E {\displaystyle E\,\!} 是能量。 在阱內，位勢 V ( x ) = 0 {\displaystyle V(x)=0\,\!} ，方程簡化為： − ℏ 2 2 m d 2 ψ 2 d x 2 = E ψ 2 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!} 。(2) 設定波數 k {\displaystyle k\,\!} 為 k = 2 m E ℏ {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!} 。(3) 代入方程(2)： d 2 ψ 2 d x 2 = − k 2 ψ 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!} 。 這是一個經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 ψ 2 ( x ) {\displaystyle \psi _{2}(x)\,\!} 是正弦函數與餘弦函數的線性組合： ψ 2 = A sin ⁡ ( k x ) + B cos ⁡ ( k x ) {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!} ； 其中， A {\displaystyle A\,\!} 與 B {\displaystyle B\,\!} 都是複值常數，由邊界條件而決定。 在阱外，位勢 V ( x ) = V 0 > 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}>0\,\!} ，薛丁格方程為： − ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 d x 2 = ( E − V 0 ) ψ 1 {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!} 。 視能量是否大於位勢而定，有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答，另一種是束縛粒子解答。 假若，粒子的能量小於位勢： E < V 0 {\displaystyle E<V_{0}\,\!} ，則這粒子束縛於位勢阱內．稱這粒子的量子態為束縛態（bound state）。設定 α = 2 m ( V 0 − E ) ℏ {\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!} 。(4) 代入方程(1)： d 2 ψ 1 d x 2 = α 2 ψ 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!} 。 一般解是指數函數。所以，阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是 ψ 1 = F e − α x + G e α x {\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!} ， ψ 3 = H e − α x + I e α x {\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!} ； 其中， F {\displaystyle F\,\!} ， G {\displaystyle G\,\!} ， H {\displaystyle H\,\!} ， I {\displaystyle I\,\!} 都是常數。 從正確的邊界條件，可以找到常數 A {\displaystyle A\,\!} ， B {\displaystyle B\,\!} ， F {\displaystyle F\,\!} ， G {\displaystyle G\,\!} ， H {\displaystyle H\,\!} ， I {\displaystyle I\,\!} 的值。 薛丁格方程的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程的邊界條件。 總結前面導引出的結果，波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 的形式為： ψ 1 = F e − α x + G e α x {\displaystyle \psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!} ：阱左邊， x < − L / 2 {\displaystyle x<-L/2\,\!} （阱外區域）， ψ 2 = A sin ⁡ ( k x ) + B cos ⁡ ( k x ) {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!} ：阱內， − L / 2 < x < L / 2 {\displaystyle -L/2<x<L/2\,\!} （阱內區域）， ψ 3 = H e − α x + I e α x {\displaystyle \psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!} ：阱右邊， x > L / 2 {\displaystyle x>L/2\,\!} （阱外區域）。 當 x {\displaystyle x\,\!} 趨向負無窮，包含 F {\displaystyle F\,\!} 的項目趨向無窮。類似地，當 x {\displaystyle x\,\!} 趨向無窮，包含 I {\displaystyle I\,\!} 的項目趨向無窮。可是，波函數在任何 x {\displaystyle x\,\!} 都必須是有限值。因此，必須設定 F = I = 0 {\displaystyle F=I=0\,\!} 。阱外區域的波函數變為 ψ 1 ( x ) = G e α x {\displaystyle \psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!} ， ψ 3 ( x ) = H e − α x {\displaystyle \psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!} 。 在阱左邊，隨著 x {\displaystyle x\,\!} 越小，波函數 ψ 1 ( x ) {\displaystyle \psi _{1}(x)\,\!} 呈指數遞減。而在阱右邊，隨著 x {\displaystyle x\,\!} 越大，波函數 ψ 3 ( x ) {\displaystyle \psi _{3}(x)\,\!} 呈指數遞減。這是合理的。這樣，波函數才能夠歸一化。 由於有限深方形阱對稱於 x = 0 {\displaystyle x=0\,\!} ，可以利用這對稱性來省略計算步驟。波函數不是奇函數就是偶函數。 假若，波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 是奇函數，則 ψ 2 = A sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle \psi _{2}=A\sin(kx)\,\!} ， G = − H {\displaystyle G=-H\,\!} ， ψ 1 ( − x ) = − ψ 3 ( x ) , x ≥ 0 {\displaystyle \psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!} ， 由於整個波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配： ψ 1 ( − L / 2 ) = ψ 2 ( − L / 2 ) {\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!} d ψ 1 d x | x = − L / 2 = d ψ 2 d x | x = − L / 2 {\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!} 將波函數的公式代入： G e − α L / 2 = − A sin ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!} ，(5) α G e − α L / 2 = k A cos ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!} 。(6) 方程(6)除以方程(5)，可以得到： α = − k cot ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle \alpha =-k\cot(kL/2)\,\!} 。 從方程(3)與(4)，可以求得常數 α {\displaystyle \alpha \,\!} 與波數 k {\displaystyle k\,\!} 的關係： α 2 = 2 m V 0 ℏ 2 − k 2 {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!} 。 所以，波數是離散的，必須遵守以下方程： k 2 = 2 m V 0 ℏ 2 sin 2 ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!} 。 這也造成了離散的能量。 假若，波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 是偶函數，則 ψ 2 = A cos ⁡ ( k x ) {\displaystyle \psi _{2}=A\cos(kx)\,\!} ， G = H {\displaystyle G=H\,\!} ， ψ 1 ( − x ) = ψ 3 ( x ) , x ≥ 0 {\displaystyle \psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!} ， 由於整個波函數 ψ {\displaystyle \psi \,\!} 必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁，兩個波函數的函數值與導數值都必須相配： ψ 1 ( − L / 2 ) = ψ 2 ( − L / 2 ) {\displaystyle \psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!} d ψ 1 d x | x = − L / 2 = d ψ 2 d x | x = − L / 2 {\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!} 將波函數的公式代入： G e − α L / 2 = A cos ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!} ，(7) α G e − α L / 2 = k A sin ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle \alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!} 。(8) 方程(8)除以方程(7)，可以得到： α = k tan ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle \alpha =k\tan(kL/2)\,\!} 。 從方程(3)與(4)，可以求得常數 α {\displaystyle \alpha \,\!} 與波數 k {\displaystyle k\,\!} 的關係： α 2 = 2 m V 0 ℏ 2 − k 2 {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!} 。 所以，波數是離散的，必須遵守以下方程： k 2 = 2 m V 0 ℏ 2 cos 2 ⁡ ( k L / 2 ) {\displaystyle k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!} 。 這也造成了離散的能量。 假若，一個粒子的能量大於位勢， E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}\,\!} ，則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此，在這裏，粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射（scattering）行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；而在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢， E > V 0 {\displaystyle E>V_{0}\,\!} ，不會被束縛於位勢阱內，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於 V 0 {\displaystyle V_{0}\,\!} 的任意值。波數 κ {\displaystyle \kappa \,\!} ，用方程式表達為 κ = 2 m ( E − V 0 ) ℏ {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!} ，也不是離散量。代入方程(1)： d 2 ψ 1 d x 2 = − κ 2 ψ 1 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!} ， d 2 ψ 3 d x 2 = − κ 2 ψ 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!} 。 解答形式與阱內區域的解答形式相同： ψ 1 = C 1 sin ⁡ ( κ x ) + D 1 cos ⁡ ( κ x ) {\displaystyle \psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!} ， ψ 3 = C 3 sin ⁡ ( κ x ) + D 3 cos ⁡ ( κ x ) {\displaystyle \psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!} 。 其中， C 1 {\displaystyle C_{1}\,\!} 、 D 1 {\displaystyle D_{1}\,\!} 、 C 3 {\displaystyle C_{3}\,\!} 、 D 3 {\displaystyle D_{3}\,\!} ，都是常數。 自由粒子 無限深方形阱 有限位勢壘 球對稱位勢 Delta位勢阱 Delta位勢壘 量子穿隧效應 盒中氣體 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)