双射

數學中，一個由集合 X {\displaystyle X} 映射至集合 Y {\displaystyle Y} 的函數，若對每一在 Y {\displaystyle Y} 內的 y {\displaystyle y} ，存在唯一一個在 X {\displaystyle X} 內的 x {\displaystyle x} 与其对应，且對每一在 X {\displaystyle X} 內的 x {\displaystyle x} ，存在唯一一個在 Y {\displaystyle Y} 內的 y {\displaystyle y} 与其对应，則此函數為對射函數。 換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，则 f {\displaystyle f} 是雙射的。即，同時為單射和滿射。 例如，由整數集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 至 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的函數 succ {\displaystyle \operatorname {succ} } ，其將每一個整數 x {\displaystyle x} 連結至整數 succ ⁡ ( x ) = x + 1 {\displaystyle \operatorname {succ} (x)=x+1} ，這是一個雙射函數；再看一個例子，函數 sumdif {\displaystyle \operatorname {sumdif} } ，其將每一對實數 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 連結至 sumdif ⁡ ( x , y ) = ( x + y , x − y ) {\displaystyle \operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)} ，這也是個雙射函數。 一雙射函數亦簡稱為雙射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在 X = Y {\displaystyle X=Y} 時。以由 X {\displaystyle X} 至 Y {\displaystyle Y} 的所有雙射組成的集合標記為 X ↔ Y {\displaystyle X\leftrightarrow Y} 。 雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。 一函數 f {\displaystyle f} 為雙射的若且唯若其逆關係 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 也是個函數。在這情況， f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 也會是雙射函數。 兩個雙射函數 f : X ↔ Y {\displaystyle f:X\leftrightarrow Y} 及 g : Y ↔ Z {\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z} 的複合函數 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 亦為雙射函數。其反函數為 ( g ∘ f ) − 1 = ( f − 1 ) ∘ ( g − 1 ) {\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})} 。 另一方面，若 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 為雙射的，可知 f {\displaystyle f} 是單射的且 g {\displaystyle g} 是滿射的，但也僅限於此。 一由 X {\displaystyle X} 至 Y {\displaystyle Y} 的關係 f {\displaystyle f} 為雙射函數若且唯若存在另一由 Y {\displaystyle Y} 至 X {\displaystyle X} 的關係 g {\displaystyle g} ，使得 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 為 X {\displaystyle X} 上的恆等函數，且 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 為 Y {\displaystyle Y} 上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。 若 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裡，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。 對任一集合 X {\displaystyle X} ，其恆等函數為雙射函數。 函數 f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } ，其形式為 f ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x+1} ，是雙射的，因為對任一 y {\displaystyle y} ，存在一唯一 x = ( y − 1 ) / 2 {\displaystyle x=(y-1)/2} 使得 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 。 指數函數 g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } ，其形式為 g ( x ) = e x {\displaystyle g(x)=e^{x}} ，不是雙射的：因為不存在一 R {\displaystyle \mathbb {R} } 內的 x {\displaystyle x} 使得 g ( x ) = − 1 {\displaystyle g(x)=-1} ，故 g {\displaystyle g} 非為雙射。但若其陪域改成正實數 R + = ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )} ，則 g {\displaystyle g} 便是雙射的了；其反函數為自然對數函數 ln {\displaystyle \ln } 。 函數 h {\displaystyle h}  : R → [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )} ，其形式為 h ( x ) = x 2 {\displaystyle h(x)=x^{2}} ，不是雙射的：因為 h ( − 1 ) = h ( 1 ) = 1 {\displaystyle h(-1)=h(1)=1} ，故 h {\displaystyle h} 非為雙射。但如果把定義域也改成 [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle [0,+\infty )} ，則 h {\displaystyle h} 便是雙射的了；其反函數為正平方根函數。 R → R : x ↦ ( x − 1 ) x ( x + 1 ) = x 3 − x {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x} 不是雙射函數，因為 − 1 , 0 {\displaystyle -1,0} 和 1 {\displaystyle 1} 都在其定義域裡且都映射至 0 {\displaystyle 0} 。 R → [ − 1 , 1 ] : x ↦ sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)} 不是雙射函數，因為 π / 3 {\displaystyle \pi /3} 和2 π / 3 {\displaystyle \pi /3} 都在其定義域裡且都映射至 3 / 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}/2} 。 一由實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 至 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的函數 f {\displaystyle f} 是雙射的，若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。 設 X {\displaystyle X} 為一集合，則由 X {\displaystyle X} 至其本身的雙射函數，加上其複合函數「 ∘ {\displaystyle \circ } 」的運算，會形成一個群，即為 X {\displaystyle X} 的對稱群，其標記為 S ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)} 、 S X {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}} 或 X ! {\displaystyle X!} 。 取一定義域的子集 A {\displaystyle A} 及一陪域的子集 B {\displaystyle B} ，則 | f ( A ) | = | A | {\displaystyle |f(A)|=|A|} 且 | f − 1 ( B ) | = | B | {\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|} 。 若 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 為具相同勢的有限集合，且 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} ，則下列三種說法是等價的： f {\displaystyle f} 為一雙射函數。 f {\displaystyle f} 為一滿射函數。 f {\displaystyle f} 為一單射函數。 一个严格的单调函数是双射函数，但双射函数不一定是单调函数（例如 y = x − 3 {\displaystyle y=x^{-3}} ）。 形式上，雙射函數恰好是集合範疇內的同構。 等势 單射 同構 置換 對稱群 满射 雙射計數法 水平线测试 Wolf. Proof, Logic and Conjecture: A Mathematician's Toolbox. Freeman. 1998.  Sundstrom. Mathematical Reasoning: Writing and Proof. Prentice-Hall. 2003.  Smith; Eggen; St.Andre. A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.). Thomson (Brooks/Cole). 2006.  Schumacher. Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics. Addison-Wesley. 1996.  O'Leary. The Structure of Proof: With Logic and Set Theory. Prentice-Hall. 2003.  Morash. Bridge to Abstract Mathematics. Random House.  Maddox. Mathematical Thinking and Writing. Harcourt/ Academic Press. 2002.  Lay. Analysis with an introduction to proof. Prentice Hall. 2001.  Gilbert; Vanstone. An Introduction to Mathematical Thinking. Pearson Prentice-Hall. 2005.  Fletcher; Patty. Foundations of Higher Mathematics. PWS-Kent. 1992.  Iglewicz; Stoyle. An Introduction to Mathematical Reasoning. MacMillan.  Devlin, Keith. Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics. Chapman & Hall/ CRC Press. 2004.  D'Angelo; West. Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs. Prentice Hall. 2000.  Cupillari. The Nuts and Bolts of Proofs. Wadsworth. 1989.  Bond. Introduction to Abstract Mathematics. Brooks/Cole.  Barnier; Feldman. Introduction to Advanced Mathematics. Prentice Hall. 2000.  Ash. A Primer of Abstract Mathematics. MAA. 1998.  维基共享资源中相关的多媒体资源：Bijectivity Hazewinkel, Michiel (编), Bijection, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  埃里克·韦斯坦因. Bijection. MathWorld.  Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（页面存档备份，存于互联网档案馆）