函數極限

在數學中，函數極限（英語：Limit of a function）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 的極限為 L {\displaystyle L} ，直觀上意為當 x {\displaystyle x} 無限接近 a {\displaystyle a} 時， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 便無限接近 L {\displaystyle L} 。 如果取 δ {\displaystyle \delta } 為＂ x {\displaystyle x} 與 a {\displaystyle a} 差距的上限＂；類似地，取 ϵ {\displaystyle \epsilon } 為＂ f ( x ) {\displaystyle f(x)} 與 L {\displaystyle L} 差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為： 若對所有的 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，存在 0 < ϵ ≤ δ {\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta } ，使得對所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} ，只要 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } 其中 ϵ ≤ δ {\displaystyle \epsilon \leq \delta } 是要確保 δ {\displaystyle \delta } 越來越小時， ϵ {\displaystyle \epsilon } 也會越來越小； 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 是為了凸顯 x {\displaystyle x} 是逼近而非等於 a {\displaystyle a} ，但對應的 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是可以等於 L {\displaystyle L} 的。 但對於实函数 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 逼近 a = 0 {\displaystyle a=0} 時，考慮到 δ ≥ 1 {\displaystyle \delta \geq 1} 的部分；在 | x − 0 | 2 < δ 2 {\displaystyle {\left|x-0\right|}^{2}<\delta ^{2}} 下是沒有這樣的 ϵ {\displaystyle \epsilon } 使得 0 < ϵ ≤ δ {\displaystyle 0<\epsilon \leq \delta } 且 | x 2 − 0 | < ϵ {\displaystyle \left|x^{2}-0\right|<\epsilon } 的，但數值上 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 的確在 a = 0 {\displaystyle a=0} 時很靠近 0 {\displaystyle 0} ，也就是 ϵ ≤ δ {\displaystyle \epsilon \leq \delta } 的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。 上面的例子表明以 x {\displaystyle x} 的變化去限制 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的變化通常是很困難的，但如果反過來從 ϵ {\displaystyle \epsilon } 出發，去找怎樣的 x {\displaystyle x} 會讓 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 與 L {\displaystyle L} 的差距小於 ϵ {\displaystyle \epsilon } ，也就是從＂若對所有的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} 存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ＂出發的話，顯然上面 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} 的例子只要取 δ = ϵ {\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }}} 即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取 ϵ {\displaystyle \epsilon } 和 δ {\displaystyle \delta } 的最小值為 x {\displaystyle x} 與 a {\displaystyle a} 差距的上限，還是會有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ，這樣就可以用 ϵ {\displaystyle \epsilon } 控制 x {\displaystyle x} 的變化，而滿足＂ x {\displaystyle x} 趨近於 a {\displaystyle a} 時 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 趨近於 L {\displaystyle L} ＂的直觀想法。 但實際上無法確保對所有 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，都有 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 使得 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } ，所以定義函數極限之前必須要求 a {\displaystyle a} 為 D f {\displaystyle D_{f}} 的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在 r > 0 {\displaystyle r>0} 使得 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 0 < | x − a | < r {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<r} 都有定義，也就是存在 a {\displaystyle a} 的去心鄰域使 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 都有定義，這樣的話 a {\displaystyle a} 會自動成為 D f {\displaystyle D_{f}} 的極限點。 f {\displaystyle f} 為实函数， a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } 為 D f {\displaystyle D_{f}} 的極限點且 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，若＂對所有的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得對所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<\left|x-a\right|<\delta } 就有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( 0 < | x − a | < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 則以 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 表示，稱 L {\displaystyle L} 為實函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 的極限。 由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域 D f {\displaystyle D_{f}} 的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 存在 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 使得 x > δ {\displaystyle x>\delta } ＂。也就是直觀上可以用定義域 D f {\displaystyle D_{f}} 裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下， L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，且若＂對所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} ，使得對所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 x > δ {\displaystyle x>\delta } 時，有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ > 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x > δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x>\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 則稱 L {\displaystyle L} 為實函數 f {\displaystyle f} 於正無窮大（ ∞ {\displaystyle \infty } ）的極限，記作 lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} 類似的，若假設＂對所有的 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 存在 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 使得 x < δ {\displaystyle x<\delta } ＂，那在這種條件下， L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } ，且若＂對所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} ，使得對所有的 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 只要 x < δ {\displaystyle x<\delta } 時，有 | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon } ＂，或以正式的邏輯符號表述為 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ < 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(\,x<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)\,]} 則稱 L {\displaystyle L} 為實函數 f {\displaystyle f} 於負無窮大（ − ∞ {\displaystyle -\infty } ）的極限，記作 lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} 直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）： 定理 若 A ∪ B = D f {\displaystyle A\cup B=D_{f}} 且 a {\displaystyle a} 同時為 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的极限点，則 lim x → a f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L} 等價於 lim x → a f | A ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L} 且 lim x → a f | B ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L} 上述定理的證明只須注意到 a {\displaystyle a} 也必為 D f {\displaystyle D_{f}} 的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到 A ∪ B = D f {\displaystyle A\cup B=D_{f}} ，還有對 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 取 δ A {\displaystyle \delta _{A}} 的和 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 取的 δ B {\displaystyle \delta _{B}} ，那只要取 δ {\displaystyle \delta } 為 δ A {\displaystyle \delta _{A}} 和 δ B {\displaystyle \delta _{B}} 的最小值，對所有 x ∈ D f {\displaystyle x\in D_{f}} 就有 ( 0 < | x − a | < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) {\displaystyle (\,0<\left|x-a\right|<\delta \,)\Rightarrow (\,\left|f(x)-L\right|<\epsilon \,)} ；反過來由原函數 f {\displaystyle f} 推出 f | A {\displaystyle f|_{A}} 和 f | B {\displaystyle f|_{B}} 的狀況是非常顯然的。 若取 A = { x ∈ D f | x ≥ a } {\displaystyle A={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\geq a{\big \}}} B = { x ∈ D f | x ≤ a } {\displaystyle B={\big \{}x\in D_{f}\,|\,x\leq a{\big \}}} 如果假設 a {\displaystyle a} 同時為 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的极限点，那 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 顯然符合上面定理的要求的，而這時 lim x → a f | A ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{A}(x)=L} 這個表達式會被別稱為＂ L {\displaystyle L} 是實函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 的右極限＂，也可以用 lim x → a + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L} 表示。 類似的 lim x → a f | B ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}f|_{B}(x)=L} 這個表達式會被別稱為＂ L {\displaystyle L} 是實函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 的左極限＂，也可以用 lim x → a − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L} 表示。 以下公式中， n > 0 , a > 1 {\displaystyle n>0,a>1} 。 lim x → ∞ 1 x n = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x^{n}}}=0} lim x → ∞ 1 a x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {1}{a^{x}}}=0} lim x → 0 + 1 x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{1 \over x}=+\infty } lim x → 0 − 1 x = − ∞ . {\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{1 \over x}=-\infty .} lim x → ∞ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=1} lim n → ∞ n n ! n = e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e} lim x → 0 sin ⁡ x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} lim x → ∞ sin ⁡ x x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sin x}{x}}=0} lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x = e {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=e} lim x → 0 e x − 1 x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1} lim x → 0 + x x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1} lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1} lim x → 0 + ln ⁡ x = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty } lim x → + ∞ ln ⁡ x = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\ln x=+\infty }