交叉數不等式

交叉數不等式是數學的圖論分支中的一条不等式，給出了一幅图画在平面上时交叉數的下界；这一结论又名交叉数引理。給定一幅圖，該下界可由其邊數和頂點數計算出。不等式斷言，若邊數 e {\displaystyle e} 与頂點數 n {\displaystyle n} 的比值大于某个常数，則交叉數不小于 e 3 / n 2 {\displaystyle e^{3}/n^{2}} 乘以另一个固定的常数。 交叉數不等式在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。其由奧伊陶伊·米克洛什（英语：Miklós Ajtai）、瓦茨拉夫·赫瓦塔爾（英语：Václav Chvátal）、蒙提·紐邦（英语：Monty Newborn）、塞邁雷迪·安德烈四人以及湯姆森·雷頓（英语：F. Thomson Leighton）分別獨立發現。 交叉數不等式說明，若無向簡單圖 G {\displaystyle G} 恰有 n {\displaystyle n} 個頂點和 e {\displaystyle e} 條邊，且 e > 7 n {\displaystyle e>7n} ，則交叉數 cr ( G ) {\displaystyle {\text{cr}}(G)} （即將 G {\displaystyle G} 畫在平面上時，邊的交點數的最小可能值）滿足不等式 cr ⁡ ( G ) ≥ e 3 29 n 2 . {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{29n^{2}}}.} 式中的常數 29 {\displaystyle 29} 為截至2019年所知最優。此為伊爾·艾克曼（Eyal Ackerman）的結果。 先前常數較弱的結果，可見Pach & Tóth (1997)和Pach et al. (2006)。 条件中的常數 7 {\displaystyle 7} 也可以縮少至更佳的 4 {\displaystyle 4} ，但代價是 29 {\displaystyle 29} 要換成較差的 64 {\displaystyle 64} 。此版本的證明見後文。 注意式中交叉數 cr ( G ) {\displaystyle {\text{cr}}(G)} 與兩兩交叉數 pair-cr ( G ) {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)} 不同。如Pach & Tóth (2000)指出，兩兩交叉數 pair-cr ( G ) {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)} 係指相交邊對的最小可能數，而交叉數 cr ( G ) {\displaystyle {\text{cr}}(G)} 係指由任意兩邊所成交叉點的最小可能數，從而 pair-cr ( G ) ≤ cr ( G ) {\displaystyle {\text{pair-cr}}(G)\leq {\text{cr}}(G)} 。（一些作者可能假定圖的畫法中不允許兩條邊交叉多於一次，因此需要作出區分。） 雷頓研究交叉數，是為了理論計算機科學中，超大型積體電路設計方面的應用。 此後，Székely (1997)發現此不等式在關聯幾何方面有應用，能夠簡短地證明一些重要定理，例如塞邁雷迪－特羅特定理，其在已知平面上的點數和直線數時，給出關聯數（即點線對 ( p , ℓ ) {\displaystyle (p,\ell )} 的數目，其中 p ∈ ℓ {\displaystyle p\in \ell } ）的上界。證明方法是，先構造一幅圖，其頂點即為平面上的點，而邊則為同一直線上相鄰兩個關聯點之間的線段。倘若關聯數大於塞邁雷迪－特羅特的上界，則利用交叉數不等式可證，該圖的交叉數必多於直線的二元組數，但此為不可能（因為兩條直線只能交於獨一點）。此不等式同樣適用於證明貝克定理（英语：Beck's theorem (geometry)），即若平面上 n {\displaystyle n} 個點中，不存在線性多（即 n / C {\displaystyle n/C} ）個點共線，則其兩兩連線產生平方多（即 n 2 / K {\displaystyle n^{2}/K} ）條不重合的直線，其中 C {\displaystyle C} 和 K {\displaystyle K} 為正常數。 塔馬爾·戴伊（英语：Tamal Dey）類似地證明了幾何k-集（英语：K-set (geometry)）數的上界。 先利用歐拉公式證明以下初步估計：若圖G恰有n個頂點和e條邊，則 cr ⁡ ( G ) ≥ e − 3 n . {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq e-3n.} 考慮 G {\displaystyle G} 的一個僅得 cr ( G ) {\displaystyle {\text{cr}}(G)} 個交叉的畫法。可以在每個交叉刪走其中一條邊，從而消除所有交叉。於是，剩下的邊組成一幅平面圖（因為不再有交叉），其邊數至少為 e − cr ( G ) {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)} ，頂點數則仍舊為 n {\displaystyle n} 。根據平面圖的歐拉公式， e − cr ( G ) ≤ 3 n {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n} ，所以上述估計成立。（更準確來說，對於 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ，有 e − cr ( G ) ≤ 3 n − 6 {\displaystyle e-{\text{cr}}(G)\leq 3n-6} 。） 有了上述引理，就可以利用概率方法（英语：probabilistic method）證明原來的交叉數不等式。設 p   ( 0 < p < 1 ) {\displaystyle p\ (0<p<1)} 為待定的概率參數，依如下步骤構造 G {\displaystyle G} 的隨機子图 H {\displaystyle H} ：1. 以概率 p {\displaystyle p} 独立随机选取 G {\displaystyle G} 的各个顶点；2. 若 G {\displaystyle G} 中一条边的两个顶点皆被选中，则在子图中构造连接这两个顶点的边。分別以 e H {\displaystyle e_{H}} 、 n H {\displaystyle n_{H}} 和 cr H {\displaystyle {\text{cr}}_{H}} 表示 H {\displaystyle H} 的邊數、頂點數和交叉數。由於 H {\displaystyle H} 是 G {\displaystyle G} 的子圖， G {\displaystyle G} 的畫法已含有 H {\displaystyle H} 的畫法。由引理，得 cr H ≥ e H − 3 n H . {\displaystyle \operatorname {cr} _{H}\geq e_{H}-3n_{H}.} 取期望值，可知 E [ cr H ] ≥ E [ e H ] − 3 E [ n H ] . {\displaystyle \mathbb {E} [\operatorname {cr} _{H}]\geq \mathbb {E} [e_{H}]-3\mathbb {E} [n_{H}].} 由於 G {\displaystyle G} 中每個頂點选入 H {\displaystyle H} 中的概率為 p {\displaystyle p} ，有 E [ n H ] = p n {\displaystyle \mathbb {E} [n_{H}]=pn} 。類似知 G {\displaystyle G} 中每條邊入选 H {\displaystyle H} 的概率為 p 2 {\displaystyle p^{2}} （因為其兩端皆要入选 H {\displaystyle H} ），所以 E [ e H ] = p 2 e {\displaystyle \mathbb {E} [e_{H}]=p^{2}e} 。最後，在 G {\displaystyle G} 的畫法中，每個交叉有 p 4 {\displaystyle p^{4}} 的概率落入 H {\displaystyle H} ，因為每個交叉牽涉四個頂點。（若從同一個頂點出發畫出兩條邊有交叉，則不妨將兩條邊第一次相交以後的部分對調，從而令交叉的數目變少。由於所考慮的畫法僅得 cr ( G ) {\displaystyle {\text{cr}}(G)} 個交叉，無法再減少交叉，所以每個交叉必由兩條無公共端點的邊組成。）因此， E [ c r H ] = p 4 cr ( G ) {\displaystyle \mathbb {E} [cr_{H}]=p^{4}{\text{cr}}(G)} ，於是上式可寫成 p 4 cr ⁡ ( G ) ≥ p 2 e − 3 p n . {\displaystyle p^{4}\operatorname {cr} (G)\geq p^{2}e-3pn.} 現在取 p = 4 n / e < 1 {\displaystyle p=4n/e<1} （已設 e > 4 n {\displaystyle e>4n} ），移項化簡得不等式 cr ⁡ ( G ) ≥ e 3 64 n 2 . {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq {\frac {e^{3}}{64n^{2}}}.} 以上論證對於 e > 7.5 n {\displaystyle e>7.5n} 的情況可以將常數由 64 {\displaystyle 64} 改進到 33.75 {\displaystyle 33.75} 。 若圖的圍長大於 2 r {\displaystyle 2r} 且 e ≥ 4 n {\displaystyle e\geq 4n} ，Pach, Spencer & Tóth (2000)將不等式改進成 cr ⁡ ( G ) ≥ c r e r + 2 n r + 1 . {\displaystyle \operatorname {cr} (G)\geq c_{r}{\frac {e^{r+2}}{n^{r+1}}}.} 卡里姆·阿迪普拉西托將不等式推廣到高維情況： 若 Δ {\displaystyle \Delta } 為單體複形，且其 d {\displaystyle d} 維面數為 f d ( Δ ) {\displaystyle f_{d}(\Delta )} ， ( d − 1 ) {\displaystyle (d-1)} 維面數為 f d − 1 ( Δ ) {\displaystyle f_{d-1}(\Delta )} ，滿足 f d ( Δ ) > ( d + 3 ) f d − 1 ( Δ ) {\displaystyle f_{d}(\Delta )>(d+3)f_{d-1}(\Delta )} ，則當 Δ {\displaystyle \Delta } 映射到 R 2 d {\displaystyle \mathbf {R} ^{2d}} （將圖畫在平面上的高維類比）時，相交的 d {\displaystyle d} 維面對的數目至少為 f d d + 2 ( Δ ) ( d + 3 ) d + 2 f d − 1 d + 1 ( Δ ) . {\displaystyle {\frac {f_{d}^{d+2}(\Delta )}{(d+3)^{d+2}f_{d-1}^{d+1}(\Delta )}}.} Ajtai, M.; Chvátal, V.; Newborn, M. M.; Szemerédi, E., Crossing-free subgraphs, Theory and practice of combinatorics, North-Holland Mathematics Studies 60, North-Holland, Amsterdam: 9–12, 1982, MR 0806962 （英语） . Leighton, T., Complexity Issues in VLSI, Foundations of Computing Series, Cambridge, MA: MIT Press, 1983 （英语） . Ackerman, Eyal, On topological graphs with at most four crossings per edge, Computational Geometry, 2019, 85: 101574, 31, MR 4010251, arXiv:1509.01932 , doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574 （英语） . Pach, János; Tóth, Géza, Graphs drawn with few crossings per edge, Combinatorica, 1997, 17 (3): 427–439, MR 1606052, doi:10.1007/BF01215922 （英语） . Pach, János; Radoičić, Radoš; Tardos, Gábor; Tóth, Géza, Improving the crossing lemma by finding more crossings in sparse graphs, Discrete and Computational Geometry, 2006, 36 (4): 527–552, MR 2267545, doi:10.1007/s00454-006-1264-9  （英语） . 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