双曲线

在数学中，双曲线（英語：hyperbola；希臘語：ὑπερβολή，意思是超过、超出）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。 它还可以定义为与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是 a {\displaystyle a} 的两倍，这里的 a {\displaystyle a} 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。 a {\displaystyle a} 还称为双曲线的半实轴。焦点位于贯轴上，它们的中间点称为中心。 从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线 A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} 使得 B 2 > 4 A C {\displaystyle B^{2}>4AC} ，这裡的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的多于一个的解。 在笛卡尔坐标平面上，两个互为倒数的变量的图像是双曲线。 上面已经列出： 平面切直角圆锥面的两半的交截线。 与两个固定点（称为焦点）距离差为常数的点的轨迹。 到一个焦点的距离和到一条直线（称为准线）的距离的比例是大于 1 {\displaystyle 1} 的常数的点的轨迹。这个常数称为双曲线的离心率。 双曲线由分开两个焦点的两个分离的称为臂或分支的曲线构成。随着到焦点的距离的变大，双曲线就越逼近称为渐近线的两条线。渐近线交叉于双曲线的中点，并对于东西开口的双曲线有斜率 ± b a {\displaystyle \pm {\frac {b}{a}}} ，对于北南开口的双曲线有斜率 ± a b {\displaystyle \pm {\frac {a}{b}}} 。 双曲线有个性質，出自一个焦点的射线反射于双曲线后看起来像是出自另一个焦点。 双曲线的一个特殊情况是“等轴”或“直角”双曲线，它的渐近线交于直角。以坐标轴作为渐近线的直角双曲线由方程 x y = c {\displaystyle xy=c} 给出，这裡的 c {\displaystyle c} 是常数。 如果对双曲线方程交换 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} ，得到它的共轭双曲线。共轭双曲线有同样的渐近线。 中心位于 ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} 的左右开口的双曲线： ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1} 中心位于 ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} 的上下开口的双曲线： ( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {\left(y-k\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(x-h\right)^{2}}{b^{2}}}=1} 实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点。焦点位于双曲线实轴的延长线上。虚轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴。 在两个公式中， a {\displaystyle a} 是半实轴（在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离），而 b {\displaystyle b} 是半虚轴。 如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形，在切线上的两边的长度是 2 b {\displaystyle 2b} ，平行于实轴的两边的长度是 2 a {\displaystyle 2a} ，注意 b {\displaystyle b} 可以大于 a {\displaystyle a} 。 如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离，这两个距离的差的绝对值总是 2 a {\displaystyle 2a} 。 离心率给出自： e = 1 + b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} 左右开口的双曲线的焦点是： ( h ± c , k ) {\displaystyle \left(h\pm c,k\right)} ，其中c给出自 c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} 。 上下开口的双曲线的焦点是： ( h , k ± c ) {\displaystyle \left(h,k\pm c\right)} ，其中c给出自 c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} 。 等轴双曲线的实轴与虚轴长相等，即 2 a = 2 b {\displaystyle 2a=2b} 且 e = 2 {\displaystyle e={\sqrt {2}}} ，此时渐近线方程为 y = ± x {\displaystyle y=\pm x} （无论焦点在 x {\displaystyle x} 轴还是 y {\displaystyle y} 轴）。 单位双曲线属于等轴双曲线，且半实轴和半虚轴的长均为 1 {\displaystyle 1} ，即 a = b = 1 {\displaystyle a=b=1} ，满足方程： x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 或 y 2 − x 2 = 1 {\displaystyle y^{2}-x^{2}=1} 。 对于以直线 x = h {\displaystyle x=h} 和直线 y = k {\displaystyle y=k} 为渐近线的直角双曲线： ( x − h ) ( y − k ) = c {\displaystyle (x-h)(y-k)=c} 这种双曲线最简单的例子是： y = m x {\displaystyle y={\frac {m}{x}}} 當双曲线 S ′ {\displaystyle S'} 的实轴是双曲线 S {\displaystyle S} 的虚轴，且双曲线 S ′ {\displaystyle S'} 的虚轴是双曲线 S {\displaystyle S} 的实轴时，称双曲线 S ′ {\displaystyle S'} 与双曲线 S {\displaystyle S} 为共轭双曲线。若 S {\displaystyle S} 的方程為 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,} 則 S ′ {\displaystyle S'} 的方程為 y 2 b 2 − x 2 a 2 = 1. {\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1.} 其特点為： 共渐近线，与渐近线平行的直线和双曲线有且只有一个交点。 焦距相等。 两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1 {\displaystyle 1} 。 左右开口的双曲线： r 2 = a 2 sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a^{2}\sec {2}\theta } 上下开口的双曲线： r 2 = − a 2 sec ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a^{2}\sec {2}\theta } 上右下左开口的双曲线： r 2 = a 2 csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a^{2}\csc {2}\theta } 上左下右开口的双曲线： r 2 = − a 2 csc ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=-a^{2}\csc {2}\theta } 在所有公式中，中心在极点，而 a {\displaystyle a} 是半实轴和半虚轴。 如同正弦和余弦函数给出椭圆的参数方程，双曲函数给出双曲线的参数方程。 左右开口的双曲线： { x = a sec ⁡ t + h y = b tan ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{cases}x=a\sec {t}+h\\y=b\tan {t}+k\\\end{cases}}} 或 { x = a cosh ⁡ t + h y = b sinh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cosh {t}+h\\y=b\sinh {t}+k\\\end{cases}}} 上下开口的双曲线： { x = b tan ⁡ t + h y = a sec ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{cases}x=b\tan {t}+h\\y=a\sec {t}+k\\\end{cases}}} 或 { x = b sinh ⁡ t + h y = a cosh ⁡ t + k {\displaystyle {\begin{cases}x=b\sinh {t}+h\\y=a\cosh {t}+k\\\end{cases}}} 在所有公式中， ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} 是双曲线的中点， a {\displaystyle a} 是半实轴而 b {\displaystyle b} 是半虚轴。 焦点在 x {\displaystyle x} 轴： x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} 焦点在 y {\displaystyle y} 轴： y 2 a 2 − x 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1} 焦線平行於 x {\displaystyle x} 轴： y = ± b a x {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x} 焦線平行於 y {\displaystyle y} 轴： y = ± a b x {\displaystyle y=\pm {\frac {a}{b}}x} ρ = e p 1 + e cos ⁡ θ {\displaystyle \rho ={\frac {ep}{1+e\cos \theta }}} 当 e > 1 {\displaystyle e>1} 时，表示双曲线。其中 p {\displaystyle p} 为焦点到准线距离， θ {\displaystyle \theta } 为弦与 x {\displaystyle x} 轴夹角。 Unit hyperbola. PlanetMath.  Conic section. PlanetMath.  Conjugate hyperbola. PlanetMath. [失效連結] Mathworld - Hyperbola（页面存档备份，存于互联网档案馆） 圆锥曲线 双曲函数