斯托尔兹-切萨罗定理

斯托尔兹－切萨罗定理（英語：Stolz–Cesàro theorem）是数学分析学中的一個用于證明數列收歛的定理。该定理以奥地利人奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）和意大利人恩纳斯托·切萨罗命名。 令 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} 以及 ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} 為兩個實數數列。假設 ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} 是個嚴格單調且發散的數列(亦即嚴格遞增並接近無窮大，或者嚴格遞減並接近負無窮大)，以及下述極限存在: lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = l .   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ } 那麼，可以推得極限 lim n → ∞ a n b n = l .   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ } 令 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} 以及 ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} 為兩個實數數列。假設 ( a n ) → 0 {\displaystyle (a_{n})\to 0} 以及 ( b n ) → 0 {\displaystyle (b_{n})\to 0} ，並且 ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} 是嚴格單調。如果 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = l ,   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ } 則 lim n → ∞ a n b n = l .   {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ } 该定理虽然主要被用来处理数列不定型极限，但该定理在没有 lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } 这一限制条件时也是成立的。虽然该定理通常是以分母 b n {\displaystyle b_{n}} 為正數數列的情形加以叙述的，但注意到该定理对分子 a n {\displaystyle a_{n}} 的正负没有限制，所以原则上把对数列 b n {\displaystyle b_{n}} 的限制条件替换为“严格单调递减且趋于负无穷大”也是没有问题的。 与羅必达法则的迭代用法类似，在尝试应用斯托尔兹－切萨罗定理考察数列的极限时，如果发现两个数列差分的商仍然是不定型，可以尝试再使用1次该定理，考察其2阶差分之商的极限。 应当注意，当 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}} 不存在时，不能认定 lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 必定也不存在。换句话说，确实有“有穷极限 lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 存在，但有穷极限 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}} 不存在”的情况（详见下文针对此逆命题所举的反例）。 假設 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞增並發散至 ∞ {\displaystyle \infty } , 而且 − ∞ ≤ l < ∞ {\displaystyle -\infty \leq l<\infty } , 於是存在 p , q ∈ R {\displaystyle p,q\in \mathbb {R} } 使得 l < p < q {\displaystyle l<p<q} 。因此我們有 ∃ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 , b n > 0 {\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{0},b_{n}>0} 而且 a n + 1 − a n b n + 1 − b n < p {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<p} 。 那麼，給定 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} ，注意到 a n + 1 = ( a n + 1 − a n ) + ⋯ + ( a n 0 + 1 − a n 0 ) + a n 0 < p ( b n + 1 − b n 0 ) + a n 0 {\displaystyle a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots +(a_{n_{0}+1}-a_{n_{0}})+a_{n_{0}}<p(b_{n+1}-b_{n_{0}})+a_{n_{0}}} 。因為 b n + 1 > 0 {\displaystyle b_{n+1}>0} , 我們有 a n + 1 b n + 1 < p ( 1 − b n 0 b n + 1 ) + a n 0 b n + 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}<p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n+1}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n+1}}}} 。 令 c n = p ( 1 − b n 0 b n ) + a n 0 b n {\displaystyle c_{n}=p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n}}}} ，由於 lim n → ∞ b n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty } , 於是 lim n → ∞ c n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=p} 。因此我們有 ∃ n 1 ∈ N , ∀ n ≥ n 1 , c n < q {\displaystyle \exists n_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{1},c_{n}<q} 。那麼，對於 n ≥ n 4 := max { n 0 , n 1 } {\displaystyle n\geq n_{4}:=\max\{n_{0},n_{1}\}} ，我們有 a n + 1 b n + 1 < c n + 1 < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}<c_{n+1}<q} 。同樣地，對於 − ∞ < l ≤ ∞ {\displaystyle -\infty <l\leq \infty } 與 q ′ < l {\displaystyle q'<l} , 存在 n 3 ∈ N {\displaystyle n_{3}\in \mathbb {N} } 使得對於所有 n ≥ n 3 {\displaystyle n\geq n_{3}} , 我們有 q ′ < a n + 1 b n + 1 {\displaystyle q'<{\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}} 。於是，如果 l = ∞ {\displaystyle l=\infty } , 那麼 ∀ q ′ ∈ R , ∃ n 3 ∈ N , ∀ n ≥ n 3 , q ′ < a n b n {\displaystyle \forall q'\in \mathbb {R} ,\exists n_{3}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{3},q'<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 。因此 lim n → ∞ a n b n = ∞ = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty =l} 。 l = − ∞ {\displaystyle l=-\infty } , 那麼 ∀ q ∈ R , ∃ n 4 ∈ N , ∀ n ≥ n 4 , a n b n < q {\displaystyle \forall q\in \mathbb {R} ,\exists n_{4}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{4},{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<q} 。因此 lim n → ∞ a n b n = − ∞ = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty =l} 。 l ∈ R {\displaystyle l\in \mathbb {R} } , 那麼對於所有 q , q ′ ∈ R {\displaystyle q,q'\in \mathbb {R} } 使得 q ′ < l < q {\displaystyle q'<l<q} ，存在一個 n 5 ∈ N {\displaystyle n_{5}\in \mathbb {N} } (上述 n 3 , n 4 {\displaystyle n_{3},n_{4}} 的最大值)，使得對於所有 n ≥ n 5 {\displaystyle n\geq n_{5}} ，我們有 q ′ < a n b n < q {\displaystyle q'<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<q} 。因此 lim n → ∞ a n b n = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l} 。 對於 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞減並發散至 − ∞ {\displaystyle -\infty } 的情況，注意到 a n + 1 − a n b n + 1 − b n = ( − a n + 1 ) − ( − a n ) ( − b n + 1 ) − ( − b n ) {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {(-a_{n+1})-(-a_{n})}{(-b_{n+1})-(-b_{n})}}} 且 ( − b n ) {\displaystyle (-b_{n})} 為一個嚴格遞增至 ∞ {\displaystyle \infty } 的數列即得證。 假設 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞減收斂至 0 {\displaystyle 0} , 而且 − ∞ ≤ l < ∞ {\displaystyle -\infty \leq l<\infty } , 於是存在 p , q ∈ R {\displaystyle p,q\in \mathbb {R} } 使得 l < p < q {\displaystyle l<p<q} 。因此我們有 ∃ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 , b n > 0 {\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{0},b_{n}>0} 而且 a n + 1 − a n b n + 1 − b n < p {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<p} 。 那麼，給定 m ≥ n ≥ n 0 {\displaystyle m\geq n\geq n_{0}} ，注意到 a n = ( a n − a n + 1 ) + ⋯ + ( a m − a m + 1 ) + a m + 1 < p ( b n − b m + 1 ) + a m + 1 {\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\cdots +(a_{m}-a_{m+1})+a_{m+1}<p(b_{n}-b_{m+1})+a_{m+1}} 。因為 b n > 0 {\displaystyle b_{n}>0} , 我們有 a n b n < p ( 1 − b m + 1 b n ) + a m + 1 b n {\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}<p\left(1-{\frac {b_{m+1}}{b_{n}}}\right)+{\frac {a_{m+1}}{b_{n}}}} 。 令 c m = p ( 1 − b m + 1 b n ) + a m + 1 b n {\displaystyle c_{m}=p\left(1-{\frac {b_{m+1}}{b_{n}}}\right)+{\frac {a_{m+1}}{b_{n}}}} ，由於 lim m → ∞ b m = 0 , lim m → ∞ a m = 0 {\displaystyle \lim _{m\to \infty }b_{m}=0,\lim _{m\to \infty }a_{m}=0} , 於是 lim m → ∞ c m = p {\displaystyle \lim _{m\to \infty }c_{m}=p} 。那麼，當 m → ∞ {\displaystyle m\to \infty } , 我們有 a n b n ≤ p < q {\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq p<q} 。同樣地，對於 − ∞ < l ≤ ∞ {\displaystyle -\infty <l\leq \infty } 和 q ′ < l {\displaystyle q'<l} 存在 n 1 ∈ N {\displaystyle n_{1}\in \mathbb {N} } 使得對於所有 n ≥ n 1 {\displaystyle n\geq n_{1}} , 我們有 q ′ < a n + 1 b n + 1 {\displaystyle q'<{\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}} 。於是，如果 l = ∞ {\displaystyle l=\infty } , 那麼 ∀ q ′ ∈ R , ∃ n 1 ∈ N , ∀ n ≥ n 1 , q ′ < a n b n {\displaystyle \forall q'\in \mathbb {R} ,\exists n_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{1},q'<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 。因此 lim n → ∞ a n b n = ∞ = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty =l} 。 l = − ∞ {\displaystyle l=-\infty } , 那麼 ∀ q ∈ R , ∃ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 , a n b n < q {\displaystyle \forall q\in \mathbb {R} ,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{0},{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<q} 。因此 lim n → ∞ a n b n = − ∞ = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=-\infty =l} 。 l ∈ R {\displaystyle l\in \mathbb {R} } , 那麼對於所有 q , q ′ ∈ R {\displaystyle q,q'\in \mathbb {R} } 使得 q ′ < l < q {\displaystyle q'<l<q} ，存在一個 n 2 ∈ N {\displaystyle n_{2}\in \mathbb {N} } (上述 n 0 , n 1 {\displaystyle n_{0},n_{1}} 的最大值)，使得對於所有 n ≥ n 2 {\displaystyle n\geq n_{2}} ，我們有 q ′ < a n b n < q {\displaystyle q'<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<q} 。因此 lim n → ∞ a n b n = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l} 。 對於 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞增並收斂到 0 {\displaystyle 0} 的情況，注意到 a n + 1 − a n b n + 1 − b n = ( − a n + 1 ) − ( − a n ) ( − b n + 1 ) − ( − b n ) {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {(-a_{n+1})-(-a_{n})}{(-b_{n+1})-(-b_{n})}}} 且 ( − b n ) {\displaystyle (-b_{n})} 為一個嚴格遞增至 0 {\displaystyle 0} 的數列即得證。 利用与折线斜率的类比，该定理具有直观的几何意义。 令 ( x n ) n ≥ 1 {\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}} 為一個收斂到 l {\displaystyle l} 的實數數列, 定義 a n := ∑ m = 1 n x m = x 1 + ⋯ + x n , b n := n {\displaystyle a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n} 那麼 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為一個遞增至 + ∞ {\displaystyle +\infty } 的數列. 計算 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = lim n → ∞ x n + 1 = lim n → ∞ x n = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l} 因此 lim n → ∞ x 1 + ⋯ + x n n = lim n → ∞ x n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.} 令 ( x n ) n ≥ 1 {\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}} 為一個收斂到 l {\displaystyle l} 的正數數列, 定義 a n := log ⁡ ( x 1 ⋯ x n ) , b n := n , {\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,} 計算 lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n = lim n → ∞ log ⁡ ( x 1 ⋯ x n + 1 x 1 ⋯ x n ) = lim n → ∞ log ⁡ ( x n + 1 ) = lim n → ∞ log ⁡ ( x n ) = log ⁡ ( l ) , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),} 這邊我們使用到對數函數是連續的。 因此 lim n → ∞ log ⁡ ( x 1 ⋯ x n ) n = lim n → ∞ log ⁡ ( ( x 1 ⋯ x n ) 1 n ) = log ⁡ ( l ) , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),} 再一次，因為對數函數是連續和單調的，我們有 lim n → ∞ x 1 ⋯ x n n = lim n → ∞ x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}} . 令 ( x n ) n ≥ 1 {\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}} 為一個收斂到 l {\displaystyle l} 的正數數列, 定義 y 0 = 1 , y n = x n y n − 1 , {\displaystyle y_{0}=1,y_{n}=x_{n}y_{n-1},} 其中 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 。那麼我們有 x 1 ⋯ x n n = y n n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}={\sqrt[{n}]{y_{n}}}} 。於是， 我們有 lim n → ∞ y n n = lim n → ∞ x 1 ⋯ x n n = lim n → ∞ x n = lim n → ∞ y n y n − 1 = l {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}=l} 。 这个用于解决数列不定型极限的定理与用于解决函数不定型极限的洛必达法则在形式上非常类似。求数列的差分对应于求函数的导函数，斯托尔兹－切萨罗定理就相当于是洛必达法则的离散化版本。但在类比记忆时应当注意，斯托尔兹－切萨罗定理要求数列要具有严格的单调性（或者至少当项数足够大时，要具有严格单调性），而洛必达法则没有对函数的单调性作出要求；洛必达法则要求函数在所考察点的邻域上具有可求导性，但斯托尔兹－切萨罗定理对数列不存在类似限制（数列没有“可差分性”一说）。并非所有的函数都可以进行求导运算，但任何数列都是可以进行差分运算的。 此定理的逆命题不成立。也即当满足条件的 lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 存在时， lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}} 未必存在。如设 a n = 7 n − ( − 1 ) n {\displaystyle a_{n}=7n-(-1)^{n}} ， b n = 7 n − 2 × ( − 1 ) n {\displaystyle b_{n}=7n-2\times (-1)^{n}} ，这2个正实数数列都是严格单调递增的且发散至无穷大。易知 lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 存在，且数值为1。但是 a n + 1 − a n b n + 1 − b n = 7 ( n + 1 ) − ( − 1 ) n + 1 − ( 7 n − ( − 1 ) n ) 7 ( n + 1 ) − 2 × ( − 1 ) n + 1 − ( 7 n − 2 × ( − 1 ) n ) = 7 − ( − 1 ) n + 1 + ( − 1 ) n 7 − 2 × ( − 1 ) n + 1 + 2 × ( − 1 ) n {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {7(n+1)-(-1)^{n+1}-(7n-(-1)^{n})}{7(n+1)-2\times (-1)^{n+1}-(7n-2\times (-1)^{n})}}={\frac {7-(-1)^{n+1}+(-1)^{n}}{7-2\times (-1)^{n+1}+2\times (-1)^{n}}}} 当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 时是震荡的，即此差分之商的极限值不存在。目前可找出的例子都是借助震荡型数列构造的，而用于说明洛必达法则的逆命题不成立的例子也用到了震荡型的函数。 该定理的一个推广形式如下： 如果 ( a n ) n ≥ 1 {\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}} 和 ( b n ) n ≥ 1 {\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}} 是两个数列，而 b n {\displaystyle b_{n}} 是单调无界的，那么 lim inf n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n ≤ lim inf n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n b n ≤ lim sup n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n . {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.} 假設 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞增並發散至 ∞ {\displaystyle \infty } , 而且 − ∞ ≤ l := lim sup n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n < ∞ {\displaystyle -\infty \leq l:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<\infty } , 於是存在 p , q ∈ R {\displaystyle p,q\in \mathbb {R} } 使得 l < p < q {\displaystyle l<p<q} 。因此我們有 ∃ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 , b n > 0 {\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{0},b_{n}>0} 而且 a n + 1 − a n b n + 1 − b n < p {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<p} 。 那麼，給定 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} ，注意到 a n + 1 = ( a n + 1 − a n ) + ⋯ + ( a n 0 + 1 − a n 0 ) + a n 0 < p ( b n + 1 − b n 0 ) + a n 0 {\displaystyle a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots +(a_{n_{0}+1}-a_{n_{0}})+a_{n_{0}}<p(b_{n+1}-b_{n_{0}})+a_{n_{0}}} 。因為 b n + 1 > 0 {\displaystyle b_{n+1}>0} , 我們有 a n + 1 b n + 1 < p ( 1 − b n 0 b n + 1 ) + a n 0 b n + 1 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}<p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n+1}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n+1}}}} 。 令 c n = p ( 1 − b n 0 b n ) + a n 0 b n {\displaystyle c_{n}=p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n}}}} ，由於 lim n → ∞ b n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty } , 於是 lim n → ∞ c n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=p} 。因此我們有 ∃ n 1 ∈ N , ∀ n ≥ n 1 , c n < q {\displaystyle \exists n_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{1},c_{n}<q} 。那麼，對於 n ≥ n 2 := max { n 0 , n 1 } {\displaystyle n\geq n_{2}:=\max\{n_{0},n_{1}\}} ，我們有 a n + 1 b n + 1 < c n + 1 < q {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}<c_{n+1}<q} 。 於是，當 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ，我們有 lim sup n → ∞ a n b n ≤ q {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq q} 。因為 q {\displaystyle q} 是任意大於 l {\displaystyle l} 的數， lim sup n → ∞ a n b n ≤ l {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq l} 。當 l = ∞ {\displaystyle l=\infty } ，不等式顯然成立。 假設 − ∞ < m := lim inf n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n ≤ ∞ {\displaystyle -\infty <m:=\liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \infty } , 於是存在 p , q ∈ R {\displaystyle p,q\in \mathbb {R} } 使得 q ′ < p ′ < m {\displaystyle q'<p'<m} 。因此我們有 ∃ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 3 , b n > 0 {\displaystyle \exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{3},b_{n}>0} 而且 p ′ < a n + 1 − a n b n + 1 − b n {\displaystyle p'<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}} 。 那麼，給定 n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} ，注意到 a n + 1 = ( a n + 1 − a n ) + ⋯ + ( a n 0 + 1 − a n 0 ) + a n 0 < p ( b n + 1 − b n 0 ) + a n 0 {\displaystyle a_{n+1}=(a_{n+1}-a_{n})+\cdots +(a_{n_{0}+1}-a_{n_{0}})+a_{n_{0}}<p(b_{n+1}-b_{n_{0}})+a_{n_{0}}} 。因為 b n + 1 > 0 {\displaystyle b_{n+1}>0} , 我們有 p ( 1 − b n 0 b n + 1 ) + a n 0 b n + 1 < a n + 1 b n + 1 {\displaystyle p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n+1}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n+1}}}<{\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}} 。 令 c n = p ( 1 − b n 0 b n ) + a n 0 b n {\displaystyle c_{n}=p\left(1-{\frac {b_{n_{0}}}{b_{n}}}\right)+{\frac {a_{n_{0}}}{b_{n}}}} ，由於 lim n → ∞ b n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty } , 於是 lim n → ∞ c n = p ′ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=p'} 。因此我們有 ∃ n 1 ∈ N , ∀ n ≥ n 4 , q ′ < c n {\displaystyle \exists n_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n\geq n_{4},q'<c_{n}} 。那麼，對於 n ≥ n 5 := max { n 3 , n 4 } {\displaystyle n\geq n_{5}:=\max\{n_{3},n_{4}\}} ，我們有 q ′ < a n + 1 b n + 1 {\displaystyle q'<{\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}} 。 於是，當 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ，我們有 q ′ ≤ lim inf n → ∞ a n b n {\displaystyle q'\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 。因為 q ′ {\displaystyle q'} 是任意小於 m {\displaystyle m} 的數， m ≤ lim sup n → ∞ a n b n {\displaystyle m\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} 。當 l = − ∞ {\displaystyle l=-\infty } ，不等式顯然成立。 對於 ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 為嚴格遞減並發散至 − ∞ {\displaystyle -\infty } 的情況，注意到 a n + 1 − a n b n + 1 − b n = ( − a n + 1 ) − ( − a n ) ( − b n + 1 ) − ( − b n ) {\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}={\frac {(-a_{n+1})-(-a_{n})}{(-b_{n+1})-(-b_{n})}}} 且 ( − b n ) {\displaystyle (-b_{n})} 為一個嚴格遞增至 ∞ {\displaystyle \infty } 的數列即得證。 Choudary, A. D. R.; Niculescu, Constantin. Real Analysis on Intervals. Springer India. 2014: 59–60 [2022-01-26]. ISBN 978-81-322-2147-0. （原始内容存档于2021-05-06） （英语）.  张筑生. 数学分析新讲 第1册. 北京大学出版社. 1990: 88. ISBN 9787301008461.  刘利刚. 从Stolz定理到L' Hospital法则 (PDF). 浙江大学数学系. [2015-01-11]. （原始内容 (pdf)存档于2016-03-08） （中文（中国大陆））.  Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 (restricted online copy，第85頁，載於Google圖書) 奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）. Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten [一般算数讲义：新视角]. 莱比锡: B.G.托伊布内出版社（德语：B. G. Teubner Verlag） (原出版商)，互联网档案馆 (存档网站). 1885: 173–175 （德语）.