施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程： 其中给定系数函数p(x), q(x), 和w(x)均为已知函数，和y是以x为自由变量的未知的待求解函数，称为解； λ {\displaystyle \lambda } 是一个未定常数。w(x)又记为r(x)，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。 在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数 p ( x ) , w ( x ) , q ( x ) {\displaystyle p(x),w(x),q(x)} 应满足以下性质： p ( x ) > 0 , w ( x ) > 0 {\displaystyle p(x)>0,w(x)>0} ； p ( x ) , p ′ ( x ) , w ( x ) , q ( x ) {\displaystyle p(x),p'(x),w(x),q(x)} 均连续； y ( x ) {\displaystyle y(x)} 满足边界条件 α 1 y ( a ) + α 2 y ′ ( a ) = 0 {\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0} 及 β 1 y ( b ) + β 2 y ′ ( b ) = 0 {\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0} （ α 1 2 + α 2 2 > 0 , β 1 2 + β 2 2 > 0 {\displaystyle \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0,\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0} ）。 只有一些恰当的 λ {\displaystyle \lambda } 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些 λ {\displaystyle \lambda } 称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。 施图姆-刘维尔理论提出： 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为： λ 1 < λ 2 < λ 3 < ⋯ < λ n < ⋯ , lim n → ∞ λ n = ∞ {\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots ,\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=\infty } ； 对于每一个特徵值 λ n {\displaystyle \lambda _{n}} 都有唯一的（已被归一化的）特徵函数 y n ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)} ，且 y n ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)} 在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中 y n ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)} 称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解； 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间 L 2 ( [ a , b ] , w ( x ) d x ) {\displaystyle L^{2}([a,b],w(x)\mathrm {d} x)} 上有正交性和完备性，形成一组正交基： ∫ a b y n ( x ) y m ( x ) w ( x ) d x = δ m n {\displaystyle \int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,\mathrm {d} x=\delta _{mn}} 其中 δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 是克罗内克函数。 只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。 x 2 y ″ + x y ′ + ( x 2 − ν 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0\,} 等价于： ( x y ′ ) ′ + ( x − ν 2 / x ) y = 0. {\displaystyle (xy')'+(x-\nu ^{2}/x)y=0.\,} ( 1 − x 2 ) y ″ − 2 x y ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0\;\!} 注意到 D(1 − x2) = −2x，因此等价于： [ ( 1 − x 2 ) y ′ ] ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle [(1-x^{2})y']'+\nu (\nu +1)y=0\;\!} 二体问题常用的换元的技巧是通过 u = 1 / r {\displaystyle u=1/r\!} 和 θ ˙ = L u 2 / m {\displaystyle {\dot {\theta }}=Lu^{2}/m\!} 将原方程中对时间的求导转化为对角度 θ {\displaystyle \theta \!} 的求导，并得到Sturm-Liouville型方程 ( L u ′ ) ′ + L u = 1 / L {\displaystyle (Lu')'+Lu=1/L\!} x 3 y ″ − x y ′ + 2 y = 0. {\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0.\,} 两边同时除以x3: y ″ − x x 3 y ′ + 2 x 3 y = 0 {\displaystyle y''-{x \over x^{3}}y'+{2 \over x^{3}}y=0} 再乘以积分因子： μ ( x ) = e ∫ − x / x 3 d x = e ∫ − 1 / x 2 d x = e 1 / x , {\displaystyle \mu (x)=e^{\int -{x/x^{3}}\,\mathrm {d} x}=e^{\int -{1/x^{2}}\,\mathrm {d} x}=e^{1/x},} 得到： e 1 / x y ″ − e 1 / x x 2 y ′ + 2 e 1 / x x 3 y = 0 {\displaystyle e^{1/x}y''-{e^{1/x} \over x^{2}}y'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0} 又注意到： D e 1 / x = − e 1 / x x 2 {\displaystyle De^{1/x}=-{e^{1/x} \over x^{2}}} 因此原方程等价于： ( e 1 / x y ′ ) ′ + 2 e 1 / x x 3 y = 0. {\displaystyle (e^{1/x}y')'+{2e^{1/x} \over x^{3}}y=0.} P ( x ) y ″ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 {\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,} 两边同时乘以积分因子： μ ( x ) = 1 P ( x ) e ∫ Q ( x ) / P ( x ) d x , {\displaystyle \mu (x)={1 \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x},} 整理后得到： d d x ( μ ( x ) P ( x ) y ′ ) + μ ( x ) R ( x ) y = 0 {\displaystyle {d \over dx}(\mu (x)P(x)y')+\mu (x)R(x)y=0} 或者把积分因子写出来： d d x ( e ∫ Q ( x ) / P ( x ) d x y ′ ) + R ( x ) P ( x ) e ∫ Q ( x ) / P ( x ) d x y = 0 {\displaystyle {d \over dx}(e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y')+{R(x) \over P(x)}e^{\int {Q(x)/P(x)}\,\mathrm {d} x}y=0} 简正模 Luo, Siwei. The Sturm-Liouville problem of two-body system. Journal of Physics Communications. 22 June 2020, 4 (6): 061001. Bibcode:2020JPhCo...4f1001L. doi:10.1088/2399-6528/ab9c30 .