柯西主值

在微積分中，柯西主值是為某類原來發散的反常積分指派特定數值的方式，為紀念數學家柯西而得此名。 第一類反常積分，稱為無窮積分，指積分區間的上限或下限為無窮的積分。 設函數 f (x) 在 (–∞,+∞) 上連續且可積。可定義以下第一類反常積分： ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim u → − ∞ ∫ u c f ( x ) d x + lim v → + ∞ ∫ c v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{u\to -\infty }\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to +\infty }\int _{c}^{v}f(x)\,dx} ， 其中 c 是區間上任意一點。 上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限須分別處理，即兩者的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即： P V ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim R → + ∞ ∫ − R R f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}f(x)\,dx} 。 若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。舉例來說： P V ∫ − ∞ ∞ x d x = lim R → + ∞ ∫ − R R x d x = lim R → + ∞ [ x 2 2 ] − R R = lim R → + ∞ ( R 2 2 − R 2 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }x\,dx&=\lim _{R\to +\infty }\int _{-R}^{R}x\,dx\\&=\lim _{R\to +\infty }\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{-R}^{R}\\&=\lim _{R\to +\infty }\left({\frac {R^{2}}{2}}-{\frac {R^{2}}{2}}\right)\\&=0\end{aligned}}} 根據定義，若無窮積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但無窮積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。 第二類反常積分，稱為瑕積分，指被積函數在積分區間中含有不連續點的積分。 設函數 f (x) 在 (a, b) 上連續且可積，但在點 a 及 b 不連續。可定義以下第二類反常積分： ∫ a b f ( x ) d x = lim u → a + ∫ u c f ( x ) d x + lim v → b − ∫ c v f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{u\to a^{+}}\int _{u}^{c}f(x)\,dx+\lim _{v\to b^{-}}\int _{c}^{v}f(x)\,dx} ， 其中 c 是區間上任意一點。 設函數 g (x) 在 [a, c) 及 (c, b]上連續且可積，但在點 c 不連續。可定義以下第二類反常積分： ∫ a b g ( x ) d x = lim u → c − ∫ a u g ( x ) d x + lim v → c + ∫ v b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\lim _{u\to c^{-}}\int _{a}^{u}g(x)\,dx+\lim _{v\to c^{+}}\int _{v}^{b}g(x)\,dx} 。 同樣地，上式中兩個極限皆收斂，這反常積分才定義為收斂。若任意其一發散，則此積分發散。在這裡，兩個極限的收斂速度可能不同。但在柯西主值的理解下，可假設兩個極限的收斂速度相同，即： P V ∫ a b f ( x ) d x = lim ε → 0 + ∫ a + ε b − ε f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{a+\varepsilon }^{b-\varepsilon }f(x)\,dx} ； P V ∫ a b g ( x ) d x = lim ε → 0 + [ ∫ a c − ε g ( x ) d x + ∫ c + ε b g ( x ) d x ] {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{a}^{b}g(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{a}^{c-\varepsilon }g(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}g(x)\,dx\right]} 。 若在相同收斂速度下，兩者可以互相抵消，則該積分的柯西主值存在。 根據定義，若瑕積分收斂，則其柯西主值收斂，且二者相等。但瑕積分的柯西主值收斂，該積分未必收斂。 對於區間上有多個不連續點的積分，可由類似方式定義廣義的柯西主值。 有些時候，無窮積分和瑕積分能同時出現。設函數 f (x) 在 (–∞, c) 及 (c, ∞)上連續且可積，但在點 c 不連續。我們能用以下方式計算其柯西主值： P V ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = lim ε → 0 + [ ∫ c − 1 ε c − ε f ( x ) d x + ∫ c + ε c + 1 ε f ( x ) d x ] {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left[\int _{c-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{c+{\frac {1}{\varepsilon }}}f(x)\,dx\right]} 。 在計算積分的柯西主值時，使用換元積分法可能會導致歧義。例如在計算 P V ∫ − 2 1 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx} 時， P V ∫ − 2 1 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x = P V ∫ − 2 0 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x + P V ∫ 0 1 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x = lim ε → 0 + ( ∫ − 2 − ε 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x + ∫ ε 1 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x ) = lim ε → 0 + ( [ − 1 x 2 ( 5 + x ) 2 ] − 2 − ε + [ − 1 x 2 ( 5 + x ) 2 ] ε 1 ) = lim ε → 0 + ( − 1 ε 2 ( 5 − ε ) 2 + 1 4 ( 5 − 2 ) 2 − 1 ( 5 + 1 ) 2 + 1 ε 2 ( 5 + ε ) 2 ) = lim ε → 0 + − 20 ε ε 2 ( 5 − ε ) 2 ( 5 + ε ) 2 = − ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-2}^{0}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\mathrm {PV} \int _{0}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx+\int _{\varepsilon }^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{-2}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{x^{2}(5+x)^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{1}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}}}+{\frac {1}{4(5-2)^{2}}}-{\frac {1}{(5+1)^{2}}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {-20\varepsilon }{\varepsilon ^{2}(5-\varepsilon )^{2}(5+\varepsilon )^{2}}}\\&=-\infty \end{aligned}}} 但若使用換元 u = 5 x + x 2 {\displaystyle u=5x+x^{2}} ， d u = ( 5 + 2 x ) d x {\displaystyle du=(5+2x)dx} ， P V ∫ − 2 1 10 + 4 x x 3 ( 5 + x ) 3 d x = P V ∫ − 6 6 2 u 3 d u = P V ∫ − 6 0 2 u 3 d u + P V ∫ 0 6 2 u 3 d u = lim ε → 0 + ( ∫ − 6 − ε 2 u 3 d u + ∫ ε 6 2 u 3 d u ) = lim ε → 0 + ( [ − 1 u 2 ] − 6 − ε + [ − 1 u 2 ] ε 6 ) = lim ε → 0 + ( − 1 ε 2 + 1 36 − 1 36 + 1 ε 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PV} \int _{-2}^{1}{\frac {10+4x}{x^{3}(5+x)^{3}}}\,dx&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\mathrm {PV} \int _{-6}^{0}{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\mathrm {PV} \int _{0}^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\int _{-6}^{-\varepsilon }{\frac {2}{u^{3}}}\,du+\int _{\varepsilon }^{6}{\frac {2}{u^{3}}}\,du\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{-6}^{-\varepsilon }+\left[-{\frac {1}{u^{2}}}\right]_{\varepsilon }^{6}\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\left(-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}+{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{36}}+{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}\right)\\&=0\end{aligned}}} 在上面的兩個結果中，第一個才是正確的。第二個計算方式中，由於使用換元取代時，兩個極限的收斂速度改變了。當兩者的改變不對稱時，就會得到不一樣的結果。要避免這樣的情形，我們應避免使用換元取代的方法求柯西主值。 有些作者會把柯西主值直接叫作「主值」(principal value)。但這和多值函數的主值是沒有關係的。 不同作者會使用不同的記號表示積分的柯西主值。以下是常見的記號： P V ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {PV} \int f(x)\,dx} 、 p . v . ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \mathrm {p.v.} \int f(x)\,dx} 、 − ∫ f ( x ) d x {\displaystyle -\!\!\!\!\!\!\int f(x)\,dx} 。 歐陽光中、朱學炎、陳傳璋 (2007)。《數學分析（下冊）》。第三版。高等教育出版社。ISBN 978-7-04-020743-9。 Weisstein, Eric W. Improper Integral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） Weisstein, Eric W. Cauchy Principal Value. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/CauchyPrincipalValue.html （页面存档备份，存于互联网档案馆） Dave Rusin's webpage. Cauchy Principal Value. The Department of Mathematics, the University of Texas. http://www.math.utexas.edu/users/rusin/408D-12b/CPV.pdf. 積分 極限 反常積分