拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下： 給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積） 此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。 1672年，喬治·莫爾（英语：Georg Mohr）證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖，但此證明直到1928年才被發現。 在已知的圓 C {\displaystyle C} 上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 C 1 {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}} （必須和圓 C {\displaystyle C} 有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓 C {\displaystyle C} 於 B'、B 兩點。 分别以B'、B為圓心， B ′ A ¯ {\displaystyle {\overline {B'A}}} 、 B A ¯ {\displaystyle {\overline {BA}}} 為半徑，畫兩条弧 C 2 {\displaystyle {\color {Green}C_{2}}} ，兩弧线相交於 A 点和 C 點。 再以 C 点為圓心、 C A ¯ {\displaystyle {\overline {CA}}} 為半徑，畫弧 C 3 {\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}} ，交弧 C 1 {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}} 於 D'、D兩點。 以D'、D為圓心， D ′ A ¯ {\displaystyle {\overline {D'A}}} 、 D A ¯ {\displaystyle {\overline {DA}}} 為半徑，畫兩条弧 C 4 {\displaystyle {\color {blue}C_{4}}} ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓 C {\displaystyle C} 的圓心） 設圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的半徑為 a {\displaystyle a} ，圓 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的半徑為 b {\displaystyle b} ，我們知道： a = A B ¯ = B C ¯ = A D ¯ = O D ¯ {\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}} b = A C ¯ = D C ¯ {\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}} 因為 △ A D C ∼ △ A O D {\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD} ，所以 A O ¯ = a 2 b {\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}} 由於 A O ¯ : A B ¯ = a : b = A B ¯ : A C ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}} ，可以得出 △ A B C ∼ △ A O B {\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB} 根據對稱性， A O ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}} 通過圓心，又 A O ¯ = O B ¯ {\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}} ，所以 O {\displaystyle O} 是圓 C {\displaystyle C} 的圓心。 由前面我們已經知道圓心的位置 在已知的圓上找任意一點 X {\displaystyle X} ，以 X O ¯ {\displaystyle {\overline {XO}}} 為半徑畫弧 C 1 {\displaystyle {\color {Red}C_{1}}} ，交圓於 V {\displaystyle V} 、 Y {\displaystyle Y} 兩點。 以 Y {\displaystyle Y} 為圓心， Y O ¯ {\displaystyle {\overline {YO}}} 為半徑畫弧 C 2 {\displaystyle {\color {Red}C_{2}}} ，交圓於 Z {\displaystyle Z} 点（和 X {\displaystyle X} 點）。 （继续分别以 Z {\displaystyle Z} 、 V {\displaystyle V} 為圓心， Z O ¯ {\displaystyle {\overline {ZO}}} 、 V O ¯ {\displaystyle {\overline {VO}}} 為半徑畫弧，即可將圓六等分，） V {\displaystyle V} 、 X {\displaystyle X} 、 Y {\displaystyle Y} 、 Z {\displaystyle Z} 為四个六等分點（如圖）。 以 V {\displaystyle V} 為圓心， V Y ¯ {\displaystyle {\overline {VY}}} 為半徑畫弧 C 3 {\displaystyle {\color {blue}C_{3}}} ；以 Z {\displaystyle Z} 為圓心， Z X ¯ {\displaystyle {\overline {ZX}}} 為半徑畫弧 C 4 {\displaystyle {\color {blue}C_{4}}} ，兩弧交於 T {\displaystyle T} 點。 以 Z {\displaystyle Z} 為圓心，取 O T ¯ {\displaystyle {\overline {OT}}} 的长度 D {\displaystyle {\color {Green}D}} 為半徑畫弧 C 5 {\displaystyle {\color {Green}C_{5}}} ，交圓於 U {\displaystyle U} 、 W {\displaystyle W} 兩點。 V {\displaystyle V} 、 W {\displaystyle W} 、 Z {\displaystyle Z} 、 U {\displaystyle U} 四點將圓四等分。 設圓的半徑為 a {\displaystyle a} ，容易得出 O V ¯ {\displaystyle {\overline {OV}}} 、 O X ¯ {\displaystyle {\overline {OX}}} 、 O Y ¯ {\displaystyle {\overline {OY}}} 、 O Z ¯ {\displaystyle {\overline {OZ}}} 、 V X ¯ {\displaystyle {\overline {VX}}} 、 X Y ¯ {\displaystyle {\overline {XY}}} 、 Y Z ¯ {\displaystyle {\overline {YZ}}} 的長度都是 a {\displaystyle a} ，可以得出 V Y ¯ = V T ¯ = 3 a {\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a} ，根據畢氏定理可以得出 O T ¯ = V T ¯ 2 − V O ¯ 2 = 2 a {\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a} ，因此 V {\displaystyle V} 、 W {\displaystyle W} 、 Z {\displaystyle Z} 、 U {\displaystyle U} 四點將圓四等分。 拿破崙定理 尺規作圖 圓規作圖 Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672). Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36. Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld 拿破崙分圓