混合規則

在材料科學中，混合規則是用來預測複合材料的各種性能的平均值。 它提供了彈性模數、極限拉伸強度、熱導率和導電度等特性的理論上下限。 通常會使用兩種模型，一種用於軸向負載（Voigt 模型） ，一種用於横向負載（Reuss 模型）。 一般來說，對於某些物理性質，如彈性模數 E {\displaystyle E} ，混合規則指出，平行於纖維方向上的整體性能可達： E c = f E f + ( 1 − f ) E m {\displaystyle E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}} 其中 f = V f V f + V m {\displaystyle f={\frac {V_{f}}{V_{f}+V_{m}}}} 是纖維占整體的體積比例 E f {\displaystyle E_{f}} 是纖維的材料性質 E m {\displaystyle E_{m}} 是基材的材料性質 常犯的錯誤是以為這是楊氏模數的上限。實際上這個公式给出楊氏模數上限大於 E c {\displaystyle E_{c}} 。即使兩個都是等向性(Isotropic)材料，真正的上限是 E c {\displaystyle E_{c}} 加上兩個成分泊松比之差的平方。 混合逆規則表明，在垂直於纖維的方向上，複合材料的彈性模數可以低至 E c = ( f E f + 1 − f E m ) − 1 . {\displaystyle E_{c}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}.} 如果所要研究的是彈性模數，則這就稱為下限模數，對應横向負載。 考慮單軸拉伸下的複合材料 σ ∞ {\displaystyle \sigma _{\infty }} 。如果材料要保持完整， ϵ f {\displaystyle \epsilon _{f}} (纖維的應變) 必須等於 ϵ m {\displaystyle \epsilon _{m}} (基材的應變) 。單軸張力的虎克定律给出 在這裡 σ f {\displaystyle \sigma _{f}} , E f {\displaystyle E_{f}} , σ m {\displaystyle \sigma _{m}} , E m {\displaystyle E_{m}} 分别是纖維和基材的應力和彈性模數。注意到應力的定義是每單位面積的力[N/m^2]，力平衡给出： 這裡 f {\displaystyle f} 是複合材料中纖維的體積比例（並且 1 − f {\displaystyle 1-f} 是基材的體積比例）。 如果假設複合材料表現為線彈性材料，即遵守虎克定律 σ ∞ = E c ϵ c {\displaystyle \sigma _{\infty }=E_{c}\epsilon _{c}} 對於複合材料的某些彈性模數 E c {\displaystyle E_{c}} 以及複合材料的一些應變 ϵ c {\displaystyle \epsilon _{c}} ，那麼等式 (1) 和 (2) 可以結合起来给出 E c ϵ c = f E f ϵ f + ( 1 − f ) E m ϵ m . {\displaystyle E_{c}\epsilon _{c}=fE_{f}\epsilon _{f}+\left(1-f\right)E_{m}\epsilon _{m}.} 最後，自从 ϵ c = ϵ f = ϵ m {\displaystyle \epsilon _{c}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}} ，複合材料的整體彈性模數可表示為 E c = f E f + ( 1 − f ) E m . {\displaystyle E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}.} 現在在複合材料垂直於纖維方向施加負載，假設 σ ∞ = σ f = σ m {\displaystyle \sigma _{\infty }=\sigma _{f}=\sigma _{m}} 。複合材料中的總應變分布在材料之間，使得： ϵ c = f ϵ f + ( 1 − f ) ϵ m . {\displaystyle \epsilon _{c}=f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}.} 材料的總模數如下式所示： E c = σ ∞ ϵ c = σ f f ϵ f + ( 1 − f ) ϵ m = ( f E f + 1 − f E m ) − 1 {\displaystyle E_{c}={\frac {\sigma _{\infty }}{\epsilon _{c}}}={\frac {\sigma _{f}}{f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}}}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}} 因為 σ f = E ϵ f {\displaystyle \sigma _{f}=E\epsilon _{f}} , σ m = E ϵ m {\displaystyle \sigma _{m}=E\epsilon _{m}} 。 類似的推導给出了混合規則 質量密度： \rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f) ρ c = ρ f ⋅ f + ρ M ⋅ ( 1 − f ) {\displaystyle \rho _{c}=\rho _{f}\centerdot f+\rho _{M}\centerdot (1-f)} 極限拉伸強度： ( f σ U T S , f + 1 − f σ U T S , m ) − 1 ≤ σ U T S , c ≤ f σ U T S , f + ( 1 − f ) σ U T S , m {\displaystyle \left({\frac {f}{\sigma _{UTS,f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{UTS,m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{UTS,c}\leq f\sigma _{UTS,f}+\left(1-f\right)\sigma _{UTS,m}} 熱導率： ( f k f + 1 − f k m ) − 1 ≤ k c ≤ f k f + ( 1 − f ) k m {\displaystyle \left({\frac {f}{k_{f}}}+{\frac {1-f}{k_{m}}}\right)^{-1}\leq k_{c}\leq fk_{f}+\left(1-f\right)k_{m}} 導電度： ( f σ f + 1 − f σ m ) − 1 ≤ σ c ≤ f σ f + ( 1 − f ) σ m {\displaystyle \left({\frac {f}{\sigma _{f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{c}\leq f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}} 當考慮化合物的某些物理性質和化學成分的經驗相關性時，其他關係、規則或定律也非常類似於混合規則： 阿马加特定律– 氣體部分體積定律 Gladstone–Dale 方程– 液體、玻璃和晶體的光學分析 柯普定律– 使用質量百分比 柯普-诺依曼定律– 合金的比熱容 維加德定律– 晶格參數 Yu, Wenbin. An Introduction to Micromechanics. Switzerland: Trans Tech Publications. 2016: 3–24. ISBN 9783038357469.  引用错误：带有name属性“Micromechanics”的<ref>标签用不同内容定义了多次 Alger, Mark. S. M. Polymer Science Dictionary 2nd. Springer Publishing. 1997. ISBN 0412608707.  Stiffness of long fibre composites. University of Cambridge. [1 January 2013]. （原始内容存档于2024-03-05）.  Askeland, Donald R.; Fulay, Pradeep P.; Wright, Wendelin J. The Science and Engineering of Materials 6th. Cengage Learning. 2010-06-21. ISBN 9780495296027.  Voigt, W. Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticitätsconstanten isotroper Körper. Annalen der Physik. 1889, 274 (12): 573–587. Bibcode:1889AnP...274..573V. doi:10.1002/andp.18892741206.  Reuss, A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1929, 9 (1): 49–58. Bibcode:1929ZaMM....9...49R. doi:10.1002/zamm.19290090104.  Derivation of the rule of mixtures and inverse rule of mixtures. University of Cambridge. [1 January 2013]. （原始内容存档于2023-10-18）.  混合規則計算機