糾纏譜

糾纏譜 (entanglement spectrum) 是一个由 Li 和 Haldane 在2008年提出的量子力学概念，可作為糾纏熵的推廣，用來分析量子多體系統的波函數。糾纏譜的數學定義是 ξ i = − ln ⁡ ω i {\displaystyle \xi _{i}=-\ln \omega _{i}} 其中 ω i {\displaystyle \omega _{i}} 是約化密度矩陣的第 i {\displaystyle i} 個本徵值。 討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成 | ψ ⟩ = ∑ i ∈ A ∑ k ∈ B ϕ i k | i ⟩ | k ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i\in A}\sum _{k\in B}\phi _{ik}|i\rangle |k\rangle } 雖然總系統的密度矩陣 ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |} 是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣 ρ A = t r B ρ {\displaystyle \rho _{A}=\mathrm {tr} _{B}\rho } 可能是一個混合態，即 ρ A 2 ≠ ρ A {\displaystyle \rho _{A}^{2}\neq \rho _{A}} 。 這個部分跡「 t r B {\displaystyle \mathrm {tr} _{B}} 」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是 [ ρ A ] i j = ∑ k ϕ i k ∗ ϕ j k {\displaystyle [\rho _{A}]_{ij}=\sum _{k}\phi _{ik}^{*}\phi _{jk}} 可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣， [ ρ A ] j i ∗ = [ ρ A ] i j {\displaystyle [\rho _{A}]_{ji}^{*}=[\rho _{A}]_{ij}} ，所以 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 的本徵值必為實數。由於 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 可能是一個混合態，這表示當總系統是 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 的本徵值 ω i {\displaystyle \omega _{i}} ，滿足本徵值方程式 ρ A | ω i ⟩ = ω i | ω i ⟩ {\displaystyle \rho _{A}|\omega _{i}\rangle =\omega _{i}|\omega _{i}\rangle } 。由於總系統波函數是歸一化的， ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1} ，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。 ∑ i ω i = 1 {\displaystyle \sum _{i}\omega _{i}=1} ω i {\displaystyle \omega _{i}} 也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量 O A {\displaystyle O_{A}} 的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 ⟨ ω i | O A | ω i ⟩ {\displaystyle \langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle } ，和子系統對應在那個本徵態的機率 ω i {\displaystyle \omega _{i}} ，相乘之後的總和， ⟨ O A ⟩ = t r ( ρ A O A ) = ∑ i ω i ⟨ ω i | O A | ω i ⟩ {\displaystyle \langle O_{A}\rangle =\mathrm {tr} (\rho _{A}O_{A})=\sum _{i}\omega _{i}\langle \omega _{i}|O_{A}|\omega _{i}\rangle } A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從 ω i {\displaystyle \omega _{i}} 的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等， ω 1 = ω 2 = ⋯ {\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\cdots } ，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1， ω 1 = 1 {\displaystyle \omega _{1}=1} ，其餘本徵值皆為 0， ω 2 = ω 3 = ⋯ = 0 {\displaystyle \omega _{2}=\omega _{3}=\cdots =0} ，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。 在量子統計力學（英语：Quantum statistical mechanics）中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 ρ = e − β H / Z {\displaystyle \rho =e^{-\beta H}/Z} ，其中 β = 1 / k B T {\displaystyle \beta =1/k_{B}T} 是溫度的倒數， k B {\displaystyle k_{B}} 是波茲曼常數， Z = t r ( e − β H ) {\displaystyle Z=\mathrm {tr} (e^{-\beta H})} 是配分函數， H {\displaystyle H} 是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為 β = 1 {\displaystyle \beta =1} 的熱態 ρ A = e − H E {\displaystyle \rho _{A}=e^{-H_{E}}} ，可以定義出一個假想的哈密顿算符 H E {\displaystyle H_{E}} ，這個 H E {\displaystyle H_{E}} 是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而 H E {\displaystyle H_{E}} 的本徵值 ξ i {\displaystyle \xi _{i}} 就稱為糾纏譜，滿足 H E | ω i ⟩ = ξ i | ω i ⟩ {\displaystyle H_{E}|\omega _{i}\rangle =\xi _{i}|\omega _{i}\rangle } ，所以糾纏譜和 ω i {\displaystyle \omega _{i}} 的關係是 ω i = e − ξ i {\displaystyle \omega _{i}=e^{-\xi _{i}}} 或 ξ i = − ln ⁡ ω i {\displaystyle \xi _{i}=-\ln \omega _{i}} 須注意糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符，而且即使系統的哈密顿算符 H {\displaystyle H} 可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用， H = H A + H B + H A B {\displaystyle H=H_{A}+H_{B}+H_{AB}} ，一般來說糾纏哈密顿算符 H E {\displaystyle H_{E}} 也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符 H A {\displaystyle H_{A}} ， H E ≠ β H A {\displaystyle H_{E}\neq \beta H_{A}} 。 Hui Li and F. D. M. Haldane, Entanglement Spectrum as a Generalization of Entanglement Entropy: Identification of Topological Order in Non-Abelian Fractional Quantum Hall Effect States, Phys. Rev. Lett. 101, 010504 (2008)