應力-能量張量

應力-能量張量，也稱應力-能量-動量張量、能量-應力張量、能量-動量張量、簡稱能動張量，在物理學中是一個張量，描述能量與動量在時空中的密度與通量(flux)，其為牛頓物理中應力張量的推廣。在廣義相對論中，應力-能量張量為重力場的源，一如牛頓重力理論中質量是重力場源一般。應力-能量張量具有重要的應用，尤其是在愛因斯坦場方程式。 請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示，x0代表時間，其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。 應力-能量張量為一個二階張量 T a b {\displaystyle T^{ab}} ，給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。 另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時)，亦即 T a b = T b a {\displaystyle T^{ab}=T^{ba}\,} 若自旋張量S非零，則 ∂ α S μ ν α = T μ ν − T ν μ {\displaystyle \partial _{\alpha }S^{\mu \nu \alpha }=T^{\mu \nu }-T^{\nu \mu }} 此處舉出一些特例： T 00 {\displaystyle T^{00}} 代表能量密度。 T 0 i {\displaystyle T^{0i}} 代表能量通過xi表面之通量，等同於 T i 0 , {\displaystyle T^{i0},} 第i 動量之密度。 分量 T i j {\displaystyle T^{ij}} 代表i 動量通過xj表面之通量。其中較特別的是： T i i {\displaystyle T^{ii}} 代表一個類似壓力與張應力的物理量——正向應力(normal stress)，而 T i j , i ≠ j {\displaystyle T^{ij},\quad i\neq j} 代表剪應力(shear stress)。 提醒：在固態物理與流體力學中，應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說，工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。 應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation) ∇ b T a b = T a b ; b = 0 {\displaystyle \nabla _{b}T^{ab}=T^{ab}{}_{;b}=0} . 此一物理量 ∫ d 3 x T a 0 {\displaystyle \int d^{3}xT^{a0}} 是對一類空切面積分，得出能量-動量向量。分量 T a 0 {\displaystyle T^{a0}} 因此可以詮釋為（非重力的）能量與動量之局域密度，而連續性方程式的第一分量 ∇ b T 0 b = ∇ ⋅ p − ∂ E ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla _{b}T^{0b}=\nabla \cdot \mathbf {p} -{\frac {\partial E}{\partial t}}=0} 則單純是能量守恆的表述。空間分量 T i j {\displaystyle T^{ij}} (i, j = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量，其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)。 上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中，對稱形式的張量，也就是額外滿足 T a b = T b a {\displaystyle T^{ab}=T^{ba}} 的關係的張量成為時空曲率的源，並且是與規範变換(gauge transformation)相應的流密度(current density)，在此是以座標变換為例。若有扭率(torsion)，則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力。 在廣義相對論中，平直時空所用的偏導數(偏微分，partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限，這一點有一個簡單的解釋：與引力位能互相交換的能量，它沒有包含在能動張量中，而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中，無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量；任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下，對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆"，我們必須感到心滿意足。 在彎曲時空中，一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量（原文誤為'vector'）。 在廣義相對論中，應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中，方程式常寫為： R α β − 1 2 R g α β = 8 π G c 4 T α β , {\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}R\,g_{\alpha \beta }={8\pi G \over c^{4}}T_{\alpha \beta },} 其中 R α β {\displaystyle R_{\alpha \beta }} 為里奇張量, R {\displaystyle R} 為里奇純量（對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得），以及 G {\displaystyle G} 為宇宙重力常數(universal gravitational constant). 在狭义相对论中，质量为m的无相互作用粒子的应力-能量张量为： T α β [ t , x , y , z ] = m v α [ t ] v β [ t ] 1 − ( v / c ) 2 δ ( x − x [ t ] ) δ ( y − y [ t ] ) δ ( z − z [ t ] ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }[t,x,y,z]={\frac {m\,v^{\alpha }[t]v^{\beta }[t]}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\delta (x-x[t])\delta (y-y[t])\delta (z-z[t])} 其中δ是狄拉克δ函数， v α {\displaystyle v^{\alpha }\!} 是速度矢量： ( v 0 [ t ] v 1 [ t ] v 2 [ t ] v 3 [ t ] ) = ( 1 d x [ t ] d t d y [ t ] d t d z [ t ] d t ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}v^{0}[t]\\v^{1}[t]\\v^{2}[t]\\v^{3}[t]\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\{dx[t] \over dt}\\{dy[t] \over dt}\\{dz[t] \over dt}\end{pmatrix}}.} 对于处于热平衡状态下的流体，应力-能量张量具有一个特别简单的形式： T α β = ( ρ + p c 2 ) u α u β + p g α β {\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{p \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }} 其中 ρ {\displaystyle \rho } 是质量-能量密度（牛顿每立方米）， p {\displaystyle p} 是流体静压力（牛顿每平方米）， u α {\displaystyle u^{\alpha }} 是流体的四维速度， g α β {\displaystyle g^{\alpha \beta }} 是度量张量的逆。 四维速度满足： u α u β g α β = − c 2 . {\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.} 在随流体一起移动的惯性参考系中，四维速度为： u α = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) , {\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,} 度量张量的倒数为： g α β = ( − c − 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , {\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,,} 应力-能量张量是一个对角矩阵： T α β = ( ρ 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p 0 0 0 0 p ) . {\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).} 一个无源电磁场的应力-能量张量为： T μ ν ( x ) = 1 μ 0 ( F μ α g α β F ν β − 1 4 g μ ν F δ γ F δ γ ) {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)} 其中 F μ ν {\displaystyle F_{\mu \nu }} 是电磁张量。 满足克莱因-戈尔登方程的标量场 ϕ {\displaystyle \phi } 的应力-能量张量为： T μ ν = ℏ 2 m ( g μ α g ν β + g μ β g ν α − g μ ν g α β ) ∂ α ϕ ¯ ∂ β ϕ − g μ ν m c 2 ϕ ¯ ϕ . {\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .} 存在有一些互不相等的應力-能量張量。 其為與時空平移相關的諾特流。 應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative) T μ ν ( x ) = 2 − g δ S m a t t e r δ g μ ν ( x ) {\displaystyle T^{\mu \nu }(x)={\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\mathcal {S}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g_{\mu \nu }(x)}}} 其中Smatter是作用量的非重力部份，為對稱的且有規範不變性。 赝張量的例子有愛因斯坦赝張量與藍道-里夫須茲赝張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。 能量條件 坡印廷向量Poynting vector 電磁場能量密度 電磁應力-能量張量 Segre classification（英语：Segre classification） Lecture, Stephan Waner Caltech Tutorial on Relativity — A simple discussion of the relation between the Stress-Energy tensor of General Relativity and the metric