線段樹 (儲存區間)

線段樹（英語：Segment tree）是一種二元樹形資料結構，1977年由喬恩·本特利發明，用以儲存區間或線段，並且允許快速查詢結構內包含某一點的所有區間。 一個包含 n {\displaystyle n} 個區間的線段樹，空間複雜度為 O ( n ) {\displaystyle O(n)} ，查詢的時間複雜度則為 O ( log ⁡ n + k ) {\displaystyle O(\log n+k)} ，其中 k {\displaystyle k} 是符合條件的區間數量。 此資料結構亦可推廣到高維度。 線段樹是一個平衡的二叉树，它将每个长度不为1的区间划分成左右两个区间递归求解。令整個區間的長度為N，則其有N個葉節點，每個葉節點代表一個單位區間，每個內部結點代表的區間為其兩個兒子代表區間的聯集。这种数据结构可以方便的进行大部分的区间操作。 本處以一維的線段樹為例。 令S是一維線段的集合。將這些線段的端點坐標由小到大排序，令其為 x 1 , x 2 , ⋯ , x m {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}} 。我們將被這些端點切分的每一個區間稱為「單位區間」（每個端點所在的位置會單獨成為一個單位區間），從左到右包含： ( − ∞ , x 1 ) , [ x 1 , x 1 ] , ( x 1 , x 2 ) , [ x 2 , x 2 ] , . . . , ( x m − 1 , x m ) , [ x m , x m ] , ( x m , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,x_{1}),[x_{1},x_{1}],(x_{1},x_{2}),[x_{2},x_{2}],...,(x_{m-1},x_{m}),[x_{m},x_{m}],(x_{m},+\infty )} 線段樹的結構為一個二元樹，每個節點都代表一個坐標區間，節點N所代表的區間記為Int(N)，則其需符合以下條件： 其每一個葉節點，從左到右代表每個單位區間。 其內部節點代表的區間是其兩個兒子代表的區間之聯集。 每個節點（包含葉子）中有一個儲存線段的資料結構。若一個線段S的坐標區間包含Int(N)但不包含Int(parent(N))，則節點N中會儲存線段S。 在此以求出範圍最小值作為範例 template <typename T> class SegMinTree { public: // 新建一个最小值线段树用于处理[0, n)的数据 SegMinTree(int n) : N(n), values_(4 * n), deltas_(4 * n) {} // 返回指定位置的数据 T Get(int index) const { return GetRangeMin(index, index + 1); } // 将数据写入指定位置 void Set(int index, T value) { IncrementRange(index, index + 1, value - Get(index)); } // 返回区间上的最小值 T GetRangeMin(int start, int end) const { return Query(FullSegment(), start, end); } // 对一段区间上的所有值加上同一个增量 void IncrementRange(int start, int end, T delta) { Increment(FullSegment(), start, end, delta); } private: struct Segment { int id; int start; int end; bool Overlaps(int start, int end) const { return this->start < end && this->end > start; } bool IsIn(int start, int end) const { return start <= this->start && this->end <= end; } Segment Left() const { return {.id = id * 2, .start = start, .end = (start + end + 1) / 2}; } Segment Right() const { return {.id = id * 2 + 1, .start = (start + end + 1) / 2, .end = end}; } }; Segment FullSegment() const { return {.id = 1, .start = 0, .end = N}; } T Query(const Segment& segment, int start, int end) const { if (!segment.Overlaps(start, end)) { return std::numeric_limits<T>::max(); } if (segment.IsIn(start, end)) { return values_[segment.id]; } // 处理部分重合的情况 T children_value = std::min(Query(segment.Left(), start, end), Query(segment.Right(), start, end)); return deltas_[segment.id] + children_value; } // 返回segment里面新的最小值(跟[start, end)无关). T Increment(const Segment& segment, int start, int end, T delta) { if (!segment.Overlaps(start, end)) { return values_[segment.id]; // 没有改变 } if (segment.IsIn(start, end)) { values_[segment.id] += delta; deltas_[segment.id] += delta; return values_[segment.id]; } // 处理部分重合的情况 T value = std::min(Increment(segment.Left(), start, end, delta), Increment(segment.Right(), start, end, delta)); value += deltas_[segment.id]; values_[segment.id] = value; return value; } const int N; std::vector<T> values_; std::vector<T> deltas_; // deltas_[id] 里的值只用于子结点。 }; 在此以求出範圍最小值作為範例 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int n , q , seg[800005] = {0} , x , a , b , arr[200005]; //初始化線段樹 void build(int id , int l , int r) { if(l == r){ seg[id] = arr[l]; return; } int mid = (l+r)>>1; build(2*id,l,mid); build(2*id+1,mid+1,r); seg[id] = min(seg[2*id],seg[2*id+1]); return; } //從線段樹中提取資訊 int query(int id , int l , int r , int ql , int qr) { if(qr < l || ql > r)return 1e9; if(ql <= l && r <= qr)return seg[id]; int mid = (l+r)>>1; return min(query(2*id,l,mid,ql,qr), query(2*id+1,mid+1,r,ql,qr)); } //更新線段樹 void update(int id , int l , int r , int k , int u) { if(l==r){ seg[id] = u; return; } int mid = (l+r)>>1; if(k <= mid)update(2*id,l,mid,k,u); else update(2*id+1,mid+1,r,k,u); seg[id] = min(seg[2*id] , seg[2*id+1]); return; } signed main() { //輸入陣列大小 提問數量 cin >> n >> q; for(int i = 1 ; i <= n ; i++)cin >> arr[i]; build(1,1,n); for(int i = 0 ; i < q ; i++) { //輸入 1 a b 代表將第a個數改為b //輸入 2 a b 代表求[a,b]中的最小值 cin >> x >> a >> b; if(x == 1)update(1,1,n,a,b); else if(x == 2)cout << query(1,1,n,a,b) << "\n"; } return 0; } (de Berg et al. 2000，第229頁) de Berg, Mark; van Kreveld, Marc; Overmars, Mark; Schwarzkopf, Otfried. More Geometric Data Structures. Computational Geometry: algorithms and applications 2nd. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York. 20002000. ISBN 3-540-65620-0. doi:10.1007/978-3-540-77974-2.  含有內容需登入查看的頁面 (link) http://www.cs.nthu.edu.tw/~wkhon/ds/ds10/tutorial/tutorial6.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）