克莱因-戈尔登方程

克莱因-戈尔登方程式（Klein-Gordon equation）是相对论量子力学和量子场论中的最基本方程式，它是薛定谔方程式的狭义相对论形式，用于描述自旋为零的粒子。克莱因-戈尔登方程式是由瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈尔登于二十世纪二三十年代分别独立推导得出的。 克莱因-戈尔登方程為 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ − ∇ 2 ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0} 。 很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成 − ∂ t 2 ψ + ∇ 2 ψ = m 2 ψ {\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi } 由於平面波為此方程已知的一組解，所以方程形式由它決定： ψ = e − i ω t + i k ⋅ x = e i k μ x μ {\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}} 遵從狹義相對論的能量動量關係式 − p μ p μ = E 2 − P 2 = ω 2 − k 2 = − k μ k μ = m 2 {\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,} 跟薛定諤方式不同，每一個k在此都對應着兩個 ω {\displaystyle \omega } ，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程描述到整個相對論形式的波函數。若方程在時間流逝下不變，則其形式為 [ ∇ 2 − m 2 c 2 ℏ 2 ] ψ ( r ) = 0 {\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0} 。 自由粒子的薛定谔方程式是非相对论量子力学的最基本方程式： p 2 2 m ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi } 其中 p = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } } 是动量算符。 薛定谔方程式并非相对论协变的，意味着它不满足爱因斯坦的狭义相对论。 利用狭义相对论中的相对论能量公式 E = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}} 替换薛定谔方程左边的动能 p 2 2 m {\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}} 项，最终可得它的协变形式： ( ◻ 2 + μ 2 ) ψ = 0. {\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.} 其中 μ = m c ℏ {\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,} ，达朗贝尔算符 ◻ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,} . 从相对论量子力学的观点来看，达朗贝尔算符的出现意味着克莱因-戈尔登方程式是一个量子力学的波方程。 场论中，对于自旋为零的场（标量场），拉格朗日量被写成 L = 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − 1 2 m 2 ϕ 2 {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}} 这里依照量子场论的习惯选取了自然单位，将光速 c {\displaystyle c} 和普朗克常数 ℏ {\displaystyle \hbar } 都取作1。 代入欧拉-拉格朗日方程 ∂ L ∂ ϕ − ∂ ∂ x μ ∂ L ∂ ( ∂ μ ϕ ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,} 可直接得到克莱因-戈尔登方程。 从量子场论的观点来看，以上推导过程都在经典场论的范围之内，因此克莱因-戈尔登方程式只是一个经典场的场方程式。 相对论量子力学中自由粒子只是一个理想化的概念，但形如克莱因-戈尔登方程式这样的波方程仍然具有形式上的平面波解： ψ ( r , t ) = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}} 其中 − k 2 + ω 2 c 2 = m 2 c 2 ℏ 2 . {\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.} 从克莱因-戈尔登方程式得出的能量本征值为 E = ± p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}} 因而克莱因-戈尔登方程式的解包含了负能量。同时，由这个解导出相应的概率密度也不能保证是正值。这两个问题使得克莱因-戈尔登方程在很长一段时间里被认为是缺乏物理意义的。英国物理学家保罗·狄拉克为了确保概率密度具有物理意义建立了狄拉克方程，但这个方程仍然没有避免出现负能量。 克莱因-戈尔登方程有行波解 Klein Gordon equation traveling wave plot4 Klein Gordon equation traveling wave plot5 Klein Gordon equation traveling wave plot6 狄拉克方程式 量子场论 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2. Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.