奇點解消

在代數幾何學中，奇點解消問題探討代數簇是否有非奇異的模型（即：與之雙有理等價的非奇異代數簇）。在特徵為零的域上，廣中平祐已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。 對於一個域 k {\displaystyle k} 上的代數簇 X {\displaystyle X} ，若能找到一個完備非奇異代數簇與之雙有理等價（換言之：有相同的函數域），則稱 X {\displaystyle X} 有弱奇點解消。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 X ′ {\displaystyle X'} 及真雙有理態射 X ′ → X {\displaystyle X'\to X} ，使之在 X {\displaystyle X} 的奇點集 S i n g ( X ) {\displaystyle \mathrm {Sing} (X)} 之外為同構，則稱 X {\displaystyle X} 有奇點解消。真態射的條件意在排除平凡解，例如 X ′ = X ∖ S i n g ( X ) ↪ X {\displaystyle X'=X\setminus \mathrm {Sing} (X)\hookrightarrow X} 。 一般而言，設 X ↪ W {\displaystyle X\hookrightarrow W} ，其中 W {\displaystyle W} 是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是 X {\displaystyle X} 在 W {\displaystyle W} 中的強奇點解消：這是一個真雙有理態射 f : W ′ → W {\displaystyle f:W'\to W} ，滿足下述條件： W ′ → W {\displaystyle W'\to W} 由一系列對非奇異閉子簇的拉開合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。 X {\displaystyle X} 的嚴格變換 X ′ {\displaystyle X'} 是非奇異的，並與橫截拉開的例外除數；於是限制態射 X ′ → X {\displaystyle X'\to X} 是 X {\displaystyle X} 的奇點解消。 W ′ {\displaystyle W'} 的構造對平滑態射具函子性。 態射 X ′ → X {\displaystyle X'\to X} 與 X {\displaystyle X} 在 W {\displaystyle W} 中的嵌入方式無關。 廣中平祐證明了：當域 k {\displaystyle k} 的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。 代數曲線的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼拉開奇點，或取曲線的正規化。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。 複代數曲面的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵域均成立的代數證明由扎裡斯基於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維優概形（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。 消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並拉開奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。 對於三維情形，零特徵域上首先由扎裡斯基證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。 零特徵域上任意維度的奇點消解首先由廣中平祐於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的數學歸納法。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。 A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。 De Jong 證明對任意域上的代數簇 X {\displaystyle X} ，存在滿的真態射 X ′ → X {\displaystyle X'\to X} ，使得 dim ⁡ X ′ = dim ⁡ X {\displaystyle \dim X'=\dim X} 且 X ′ {\displaystyle X'} 非奇異。這不一定是雙有理等價， X ′ {\displaystyle X'} 的函數域可能是有限擴張，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將 X {\displaystyle X} 表為一個較小空間 Y {\displaystyle Y} 上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 X {\displaystyle X} ），然後藉著對維度作數學歸納法消去 Y {\displaystyle Y} 的奇點，最後消去纖維上的奇點。 奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：格羅滕迪克（1965, EGA IV 7.9）證明了如果在一個局部諾特概形 X {\displaystyle X} 上有限的所有整概形都有奇點解消，則 X {\displaystyle X} 必然是擬優概形。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形 X {\displaystyle X} 是擬優且既約的，則可以消解奇點。當 X {\displaystyle X} 定義於一個零特徵的域上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備局部環的奇點解消問題。 一些奇點及其解消之圖片（页面存档备份，存于互联网档案馆） SINGULAR（页面存档备份，存于互联网档案馆）: 一套能處理奇點解消的軟件 2006年6月的暑期學校 Resolution of Singularities (Trieste, Italy) 的講義 desing（页面存档备份，存于互联网档案馆） 另一套處理奇點解消的軟件 Abhyankar, Shreeram Local uniformization on algebraic surfaces over ground fields of characteristic p≠0 Ann. of Math. 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