有序对

在数学中，有序对是两个对象的搜集，使得可以区分出其中一个是“第一个元素”而另一个是“第二个元素”（第一个元素和第二个元素也叫做左投影和右投影）。带有第一个元素a和第二个元素b的有序对通常写为(a, b)。 符号(a, b)也表示在实数轴上的开区间；在有歧义的场合可使用符号 ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle } 。 设(a1, b1)和(a2, b2)是两个有序对。则有序对的特征或定义性质为： ( a 1 , b 1 ) = ( a 2 , b 2 ) ↔ ( a 1 = a 2 ∧ b 1 = b 2 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2})\leftrightarrow (a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2})} 有序对可以有其他有序对作为投影。所以有序对使得能够递归定义有序n-元组（n项的列表）。例如，有序三元组 (a,b,c)可以定义为(a, (b,c))，一个对嵌入了另一个对。这种方法也反映在计算机编程语言中，就是从嵌套的有序对构造元素的列表。例如，列表 (1 2 3 4 5)变成了(1, (2, (3, (4, (5, {} )))))。Lisp编程语言使用这种列表作为基本数据结构。 有序对的概念对于定义笛卡尔积和关系是至关重要的。 诺伯特·维纳在1914年提议了有序对的第一个集合论定义： ( x , y ) ≡ d e f { { { x } , ∅ } , { { y } } } {\displaystyle (x,y)\equiv _{def}\{\{\{x\},\emptyset \},\{\{y\}\}\}} 他注意到这个定义将允许《数学原理》中所有类型只透過集合便能表达。（在《数学原理》中，所有元数的关系都是原始概念。） 在公理化集合论中，有序对(a,b)通常定义为库拉托夫斯基对： ( a , b ) K ≡ d e f { { a } , { a , b } } {\displaystyle (a,b)_{K}\equiv _{def}\{\{a\},\{a,b\}\}} 陈述“x是有序对p的第一个元素”可以公式化为 ∀   Y ∈ p : x ∈ Y {\displaystyle \forall \ Y\in p:x\in Y} 而陳述“x是p的第二个元素”为 ( ∃   Y ∈ p : x ∈ Y ) ∧ ( ∀   Y 1 ∈ p , ∀   Y 2 ∈ p : Y 1 ≠ Y 2 → ( x ∉ Y 1 ∨ x ∉ Y 2 ) ) {\displaystyle (\exists \ Y\in p:x\in Y)\land (\forall \ Y_{1}\in p,\forall \ Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2}))} 注意这个定义对于有序对p = (x,x) = { {x}, {x,x} } = { {x}, {x} } = { {x} }仍是有效的；在这种情况下陈述(∀ Y1 ∈ p, ∀ Y2 ∈ p : Y1 ≠ Y2 → (x ∉ Y1 ∨ x ∉ Y2))顯然是真的，因为不会有Y1 ≠ Y2的情况。 上述有序对的定义是“充足”的，在它满足有序对必须有的特征性质（也就是：如果(a,b)=(x,y)则a=x且b=y）的意义上，但也是任意性的，因为有很多其他定义也是不更加复杂并且也是充足的。例如下列可能的定义 (a,b)reverse:= { {b}, {a,b} } (a,b)short:= { a, {a,b} } (a, b)01:= { {0,a}, {1,b} } “逆”（reverse）对基本不使用，因为它比通用的Kuratowski对没有明显的优点（或缺点）。“短”（short）对有一個缺點，它的特征性质的证明會比Kuratowski对的证明更加复杂（要使用正规公理）；此外，因为在集合论中数2有时定义为集合{ 0, 1 } = { {}, {0} }，这将意味着2是对 (0,0)short。 Kuratowski对： 证明：(a,b)K = (c,d)K当且仅当a=c且b=d。 僅當： 如果a=b，则 (a,b)K = {{a}, {a,a}} = { {a} }，且 (c,d)K = {{c},{c,d}} = { {a} }。所以{c} = {a} = {c,d}，或c=d=a=b。 如果a≠b，则{{a}, {a,b}} = {{c},{c,d}}。 如果{c,d} = {a}，则c=d=a或{{c},{c,d}} = {{a}, {a,a}} = {{a}, {a}} = { {a} }。但這樣{{a}, {a, b}}就會等於{{a}}，繼而b = a，跟先前的假設矛盾。 如果{c} = {a,b}，则a=b=c，这矛盾于a≠b。所以{c} = {a}，即c=a，且{c,d} = {a,b}。 并且如果d=a，则{c,d} = {a,a} = {a}≠{a,b}。所以d=b。 所以同樣有a=c且b=d。 當： 反过来，如果a=c并且b=d，则顯然{{a},{a,b}} = {{c},{c,d}}。所以 (a,b)K = (c,d)K。 逆对： (a,b)reverse = {{b},{a,b}} = {{b},{b,a}} = (b,a)K。 如果 (a,b)reverse = (c,d)reverse，则 (b,a)K = (d,c)K。所以b=d且a=c。 反过来，如果a=c和b=d，则顯然{{b},{a,b}} = {{d},{c,d}}。所以 (a,b)reverse = (c,d)reverse。 Rosser（1953年）扩展了蒯因的有序对定义。Quine-Rosser的定义要求自然数的先决定义。设 N {\displaystyle \mathbb {N} } 是自然数的集合， x ∖ N {\displaystyle x\setminus \mathbb {N} } 是 N {\displaystyle \mathbb {N} } 在 x {\displaystyle x} 內的相對差集，並定義： φ ( x ) = ( x ∖ N ) ∪ { n + 1 : n ∈ ( x ∩ N ) } {\displaystyle \varphi (x)=(x\setminus \mathbb {N} )\cup \{n+1:n\in (x\cap \mathbb {N} )\}} φ(x)包含在x中所有自然数的后继，和x中的所有非数成员。特别是，φ(x)不包含数0，所以对于任何集合A和B， ϕ ( A ) ≠ { 0 } ∪ ϕ ( B ) {\displaystyle \phi (A)\not =\{0\}\cup \phi (B)} 。 以下是有序对 (A,B)的定义： ( A , B ) = { φ ( a ) : a ∈ A } ∪ { φ ( b ) ∪ { 0 } : b ∈ B } . {\displaystyle (A,B)=\{\varphi (a):a\in A\}\cup \{\varphi (b)\cup \{0\}:b\in B\}.} 提取这个对中那些不包含0的所有元素，然後再還原 φ {\displaystyle \varphi } 的作用，就得出了A。类似的，B可以通过提取这个对的包含0的所有元素来復原。 有序对的这个定义有个显著的优点。在类型论和从类型论派生出的集合论如新基础中，这个对与它的投影有相同的类型（所以术语叫做“类型齐平”有序对）。因此一個函数（定义为有序对的集合），有只比序對的投影的类型高1的类型。对蒯因集合论中有序对的广泛的讨论请参见Holmes (1998)。 Morse（1965年）提出的Morse-Kelley集合论可以自由的使用真类。Morse定义有序对的方法，使得它的投影可以是真类或者集合。（Kuratowski定义不允许这样）。它首先像Kuratowski的方式那樣，定义投影为集合的有序对。接着，他重定义对 (x,y)为 ( x , y ) = ( { 0 } × s ( x ) ) ∪ ( { 1 } × s ( y ) ) {\displaystyle (x,y)=(\{0\}\times s(x))\cup (\{1\}\times s(y))} 这里的笛卡尔积是指由Kuratowski对組成的集合並且 s ( x ) = { ∅ } ∪ { { t } | t ∈ x } {\displaystyle s(x)=\{\emptyset \}\cup \{\{t\}|t\in x\}} 這便允許了定義以真類為投影的有序對。 J. Barkley Rosser, 1953. Logic for Mathematicians. McGraw-Hill. Holmes, Randall (1998) Elementary Set Theory with a Universal Set （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Academia-Bruylant. The publisher has graciously consented to permit diffusion of this monograph via the web. Copyright is reserved. Morse, Anthony P., 1965. A Theory of Sets. Academic Press 笛卡儿积 二元关系