伯努利数

數學上，白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為： B0 = 1, B± 1 = ± 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30. 上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同： B− n 表示第一白努利數 (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 B− 1 = − 1/2. B+ n 表示第二白努利數 (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」 ，在這標準下 B+ 1 = + 1/2. 由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 Bn = 0 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"Bn"來代表 B2n，不過在本文中不會使用如此的簡寫。 伯努利數Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵，定義等冪和如下，其中m, n ≥ 0： S m ( n ) = ∑ k = 1 n k m = 1 m + 2 m + ⋯ + n m {\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +{n}^{m}} 這數列和的公式必定是變數為n，次數為m +1次的多項式，稱為伯努利多項式。伯努利多項式的係數與伯努利數有密切關係如下： S m ( n ) = 1 m + 1 ∑ k = 0 m ( m + 1 k ) B k + n m + 1 − k , {\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k},} 其中(m + 1 k) 為二項式係數。 舉例說，把m取為1，我們有 1 + 2 + . . . + n = 1 2 ( B 0 n 2 + 2 B 1 + n 1 ) = 1 2 ( n 2 + n ) . {\displaystyle 1+2+...+n={\frac {1}{2}}\left(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1}\right)={\frac {1}{2}}\left(n^{2}+n\right).} 伯努利數最先由雅各布·伯努利研究，棣莫弗以他來命名。 伯努利數可以由下列遞歸公式計算： ∑ j = 0 m ( m + 1 j ) B j = m + 1 {\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=m+1} ， 初值條件為B0 = 1，B1 = 1/2。 或者： ∑ j = 0 m ( m + 1 j ) B j = 0 {\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose {j}}B_{j}=0} ， 初值條件為B0 = 1，B1 = -1/2。 伯努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/（ex − 1），使得對所有絕對值小於2π的x（冪級數的收斂半徑），有 x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n x n n ! {\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}} 。 有時會寫成小寫bn，以便與貝爾數分別開。 最初21項伯努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。 可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。 數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730，喻示伯努利數不能以初等方式描述；其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值，有深邃的數論性質聯繫，所以不能預期有簡單的計算公式。 伯努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，及黎曼ζ函數的一些值的表達式。 在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G，第一次記述了一個讓電腦產生伯努利數的算法。 歐拉以黎曼ζ函數表達伯努利數為： B 2 k = 2 ( − 1 ) k + 1 ζ ( 2 k ) ( 2 k ) ! ( 2 π ) 2 k {\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}} 。 在[−1, 0]區間上的連續均勻概率分佈的n階累積量是Bn/n。 伯努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ（1 − n），也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此，可推測它們有深刻的算術性質，事實也的確如此，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理時發現的。 伯努利數的可整除性是與分圓域的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）描述。而這性質與實二次域的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。伯努利數還和代數K理論有關：若cn是Bn/2n的分子，那樣 K 4 n − 2 ( Z ) {\displaystyle K_{4n-2}(\mathbb {Z} )} 的階是−c2n若n為偶數；2c2n若n為奇數。 與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是說，凡是適合p − 1整除n的質數p，把1/p加到Bn上，我們會得到一個整數。這個事實給出了非零伯努利數Bn的分母的特徵：這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積；故此它們都無平方因子，也都可以被6整除。 吾鄉-朱加猜想猜測p是質數當且僅當pBp−1模p同餘於−1。 伯努利數的一個特別重要的同餘性質，可以表述為p進連續性。若b，m和n是正整數，使得m和n不能被p − 1整除，及 m ≡ n mod p b − 1 ( p − 1 ) {\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1)} ，那麼 ( 1 − p m − 1 ) B m m ≡ ( 1 − p n − 1 ) B n n mod p b {\displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}} 。 因為 B n = − n ζ ( 1 − n ) {\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)} ，這也可以寫成 ( 1 − p − u ) ζ ( u ) ≡ ( 1 − p − v ) ζ ( v ) mod p b {\displaystyle (1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}\,} ， 其中u = 1 − m和v = 1 − n，使得u和v非正，及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們，黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉 1 − p z {\displaystyle 1-p^{z}} 後，對適合模p − 1同餘於某個 a ≢ 1 mod p − 1 {\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1} 的負奇數上的p進數連續，因此可以延伸到所有p進整數 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\,} ，得出p進ζ函數。 在 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 時給出可平行流形邊界的怪（4n−1）球，對於它們的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米爾諾公式（Kervaire-Milnor），用到了伯努利數。若B是B4n/n的分子，那麼這種怪球的數目是 2 2 n − 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B {\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})B} 。（拓撲學文章中的公式與這裡不同，因為拓撲學家為伯努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。） 等幂求和 黎曼ζ函數 伯努利數網頁 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 整數數列線上大全——與伯努利數有關的數列的記錄 首498個伯努利數 （页面存档备份，存于互联网档案馆）取自古登堡計劃 A164555.