快樂數

快樂數有以下的特性：在給定的進位制下，該數字所有數字平方和（數位的平方和），得到的新數再次求所有數位的平方和，如此重複進行，最終結果必為1。 以十進位為例： 2 8 → 2 2 + 8 2 = 68 {\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68} → 6 2 + 8 2 = 100 {\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100} → 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1 {\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1} 3 2 → 3 2 + 2 2 = 13 {\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13} → 1 2 + 3 2 = 10 {\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10} → 1 2 + 0 2 = 1 {\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1} 3 7 → 3 2 + 7 2 = 58 {\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58} → 5 2 + 8 2 = 89 {\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89} → 8 2 + 9 2 = 145 {\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145} → 1 2 + 4 2 + 5 2 = 42 {\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42} → 4 2 + 2 2 = 20 {\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20} → 2 2 + 0 2 = 4 {\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4} → 4 2 = 16 {\displaystyle {{4}^{2}}=16} → 1 2 + 6 2 = 37 {\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37} . . . . . . {\displaystyle ......} 5 6 → 5 2 + 6 2 = 61 {\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61} → 6 2 + 1 2 = 37 {\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37} → 3 2 + 7 2 = 58 {\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58} → 5 2 + 8 2 = 89 {\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89} → 8 2 + 9 2 = 145 {\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145} → 1 2 + 4 2 + 5 2 = 42 {\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42} → 4 2 + 2 2 = 20 {\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20} → 2 2 + 0 2 = 4 {\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4} → 4 2 = 16 {\displaystyle {{4}^{2}}=16} → 1 2 + 6 2 = 37 {\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37} . . . . . . {\displaystyle ......} 因此28和32是快樂數，而在37和56的計算過程中，數字會重複出現，繼續計算的結果只會是上述數字的循環（不快樂數循環），不會出現1，因此37和56不是快樂數。 不是快樂數的數稱為不快樂數（英語：unhappy number），所有不快樂數的數位平方和計算，最後都會進入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循環中。 在十進位下，100以內的快樂數有（OEIS數列A007770）：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20個。 以下是小於100的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。 以下是100到小於200的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數，紅色數字表示它是不快樂數循環。 以下是200到小於300的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。 300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。 以下是300到小於400的快樂數表格，綠色數字表示它是快樂數。 發現10*10、100*100等表格的快樂數表格有線對稱。 以下是300以內的快樂數因數。 由表格可知： 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129、192、219、291、888、912、921，機率:5%。 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，100、700、1000，機率:2%。 在十進位下，300以內的快樂質數有（OEIS數列A035497）：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15個。 已知的51個完全數，只有3個是快樂數：28、496、8128。 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS數列A239320） 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS數列A240849） 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72 （OEIS數列A161871） 2进制 每個數都是快樂數 3进制 2 → 11 → 2 在十进制中為2 → 4 → 2 4进制 每個數都是快樂數 5进制 4 → 31 →20 → 4 在十进制中為4 → 16 → 10 → 4 23 → 23 在十进制中為13 → 13 6进制 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 在十进制中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5 7进制 2 → 4 → 22 → 11 → 2 在十进制中為2 → 4 → 16 → 8 → 2 34 → 34 在十进制中為25 → 25 8进制 4 → 20 → 4 在十进制中為4 → 16 → 4 5 → 31 → 12 → 5 在十进制中為5 → 25 → 10 → 5 32 → 15 → 32 在十进制中為26 → 13 → 26 9进制 58 → 108 → 72 → 58 在十进制中為53 → 89 → 65 → 53 55 → 55 在十进制中為50 → 50 10进制 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 11进制 75 → 68 → 91 → 75 在十进制中為82 → 74 → 100 → 82 23 → 12 → 5 → 23 在十进制中為25 → 13 → 5 → 25 12进制 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 在十进制中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26 21 → 5 → 21 在十进制中為25 → 5 → 25 13进制 79 → A0 → 79 在十进制中為100 → 130 → 100 36 → 36 在十进制中為45 → 45 B2 → 98 → B2 在十进制中為145 → 125 → 145 67 → 67 在十进制中為85 → 85 14 → 14 在十进制中為17 → 17 16进制 D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D 在十进制中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數 通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。 十進位不快樂數的循環只有一個，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。 #ishappy number def ishappy(n): a = [] while n not in a: a.append(n) n = sum([int(x) **2 for x in str(n)]) return 'happy' if n == 1 else 'unhappy' 幸福數（英语：Fortunate number） 哈沙德數 幸運數 Happy number calculator - 可以線上判斷數字是否為快樂數〔英文〕 Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. arXiv:1110.3836 .