四次方程

四次方程，是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为： a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,} 其中 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0\,} 本篇只讨论一元四次方程，并简称为四次方程。 数学家们为了解开四次方程——确切地说，找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样，有时可以对四次方程进行因式分解；但高次幂下的因式分解往往非常困难，尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解（就像二次方程的求根公式那样， 能解所有的一元二次方程）意义重大。经过诸多研究后，数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明，求根公式止步于四次方程，更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程，需要一种更为有效的方式来求解。 由于四次方程的复杂性（参见下文），求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根，可以使用试错法，该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出，前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程，通过牛顿法等數值方法，可以轻易得到任意次方程的實數（數值）解。 如果 e = 0 {\displaystyle e=0\,} ，那么其中一个根为 x = 0 {\displaystyle x=0\,} ，其它根可以通过消去四次项，并解产生的三次方程, a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,} 四次方程式中若 b   {\displaystyle b\ } 和 d   {\displaystyle d\ } 均為 0   {\displaystyle 0\ } 者有下列形态： a x 4 + c x 2 + e = 0 {\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!} 因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 z = x 2 {\displaystyle z=x^{2}\,} ，我們的方程式便成為： a z 2 + c z + e = 0 {\displaystyle az^{2}+cz+e=0\,\!} 這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解： z = − c ± c 2 − 4 a e 2 a {\displaystyle z={{-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}} \over {2a}}\,\!} 當我們求得 z 的值以後，便可以從中得到 x {\displaystyle x\,} 的值： x 1 = + z 1 {\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}\,\!} x 2 = − z 1 {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}\,\!} x 3 = + z 2 {\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}\,\!} x 4 = − z 2 {\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}\,\!} 若任何一個 z {\displaystyle z\,} 的值為負數或複數，那麼一些 x {\displaystyle x\,} 的值便是複數。 开始时，四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。 要让以下四次方程式变成标准的四次方程式，先在等式两边分别除以 a {\displaystyle a\,} a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 ( 1 ′ ) {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad \qquad (1')} x 4 + b a x 3 + c a x 2 + d a x + e a = 0. {\displaystyle x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0.} 第一步：消除 x 3 {\displaystyle x^{3}\,} 列。为了做到这一步，先把变量 x {\displaystyle x\,} 变成 u {\displaystyle u\,} ，其中 x = u − b 4 a {\displaystyle x=u-{b \over 4a}} . 将变量替换： ( u − b 4 a ) 4 + b a ( u − b 4 a ) 3 + c a ( u − b 4 a ) 2 + d a ( u − b 4 a ) + e a = 0. {\displaystyle \left(u-{b \over 4a}\right)^{4}+{b \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{3}+{c \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)^{2}+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.} 展开后变成： ( u 4 − b a u 3 + 6 u 2 b 2 16 a 2 − 4 u b 3 64 a 3 + b 4 256 a 4 ) + b a ( u 3 − 3 u 2 b 4 a + 3 u b 2 16 a 2 − b 3 64 a 3 ) + c a ( u 2 − u b 2 a + b 2 16 a 2 ) + d a ( u − b 4 a ) + e a = 0. {\displaystyle \left(u^{4}-{b \over a}u^{3}+{6u^{2}b^{2} \over 16a^{2}}-{4ub^{3} \over 64a^{3}}+{b^{4} \over 256a^{4}}\right)+{b \over a}\left(u^{3}-{3u^{2}b \over 4a}+{3ub^{2} \over 16a^{2}}-{b^{3} \over 64a^{3}}\right)+{c \over a}\left(u^{2}-{ub \over 2a}+{b^{2} \over 16a^{2}}\right)+{d \over a}\left(u-{b \over 4a}\right)+{e \over a}=0.} 整理后变成以u为变量的表达式 u 4 + ( − 3 b 2 8 a 2 + c a ) u 2 + ( b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a ) u + ( − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a ) = 0. {\displaystyle u^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)u^{2}+\left({b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a}\right)u+\left({-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0.} 现在改变表达式的系数，为 α = − 3 b 2 8 a 2 + c a , {\displaystyle \alpha ={-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},} β = b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a , {\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},} γ = − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a . {\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}.} 结果就是我们期望的低级四次方程式，为 u 4 + α u 2 + β u + γ = 0 ( 1 ) {\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\qquad \qquad (1)} 如果 β = 0 {\displaystyle \beta =0\,} 那么等式就变成了雙二次方程式，更加容易解决（解释上面）；利用反向替代，我们可以获得我们要解决的变量 x {\displaystyle x\,} 的值. 这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的，然而，这种方式曾经被发现过。接下来，利用一个恆等式 ( u 2 + α ) 2 − u 4 − 2 α u 2 = α 2 {\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}-u^{4}-2\alpha u^{2}=\alpha ^{2}\,} 从方程 (1)和上式，得出： ( u 2 + α ) 2 + β u + γ = α u 2 + α 2 . ( 2 ) {\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}+\beta u+\gamma =\alpha u^{2}+\alpha ^{2}.\qquad \qquad (2)} 结果把 u 4 {\displaystyle u^{4}\,} 配成了完全平方式： ( u 2 + α ) 2 {\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}\,} 。左式中， α u 2 {\displaystyle \alpha u^{2}\,} 并不出现，但其符号已改变并被移到右边。 下一步是在方程 ( 2 ) {\displaystyle \left(2\right)\,} 左边的完全平方中插入变量 y {\displaystyle y\,} ，相应地在右边插入一项 2 y {\displaystyle 2y\,} 。根据恒等式 ( u 2 + α + y ) 2 − ( u 2 + α ) 2 = 2 y ( u 2 + α ) + y 2     = 2 y u 2 + 2 y α + y 2 , {\displaystyle {\begin{matrix}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha )+y^{2}\ \ \\&=&2yu^{2}+2y\alpha +y^{2},\end{matrix}}} 及 0 = ( α + 2 y ) u 2 − 2 y u 2 − α u 2 {\displaystyle 0=(\alpha +2y)u^{2}-2yu^{2}-\alpha u^{2}\,} 两式相加，可得 ( u 2 + α + y ) 2 − ( u 2 + α ) 2 = ( α + 2 y ) u 2 − α u 2 + 2 y α + y 2 {\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\alpha u^{2}+2y\alpha +y^{2}\qquad \qquad } （ y {\displaystyle y\,} 的插入） 与等式(2)相加，得 ( u 2 + α + y ) 2 + β u + γ = ( α + 2 y ) u 2 + ( 2 y α + y 2 + α 2 ) {\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}+\beta u+\gamma =(\alpha +2y)u^{2}+(2y\alpha +y^{2}+\alpha ^{2})\,} 也就是 ( u 2 + α + y ) 2 = ( α + 2 y ) u 2 − β u + ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) . ( 3 ) {\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ).\qquad \qquad (3)} 现在我们需要寻找一个 y {\displaystyle y\,} 值，使得方程 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此，首先展开完全平方式为二次式： ( s u + t ) 2 = ( s 2 ) u 2 + ( 2 s t ) u + ( t 2 ) {\displaystyle (su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,} 右边的二次式有三个系数。可以验证，把第二项系数平方，再减去第一与第三项系数之积的四倍，可得到零： ( 2 s t ) 2 − 4 ( s 2 ) ( t 2 ) = 0 {\displaystyle (2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,} 因此，为了使方程(3)的右边为完全平方，我们必须解出下列方程： ( − β ) 2 − 4 ( 2 y + α ) ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) = 0 {\displaystyle (-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0\,} 把二项式与多项式相乘， β 2 − 4 [ 2 y 3 + 5 α y 2 + ( 4 α 2 − 2 γ ) y + ( α 3 − α γ ) ] = 0 {\displaystyle \beta ^{2}-4[2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+(\alpha ^{3}-\alpha \gamma )]=0\,} 两边除以 4 {\displaystyle 4\,} ，再把 − β 2 4 {\displaystyle -{\frac {\beta ^{2}}{4}}\,} 移动到右边， 2 y 3 + 5 α y 2 + ( 4 α 2 − 2 γ ) y + ( α 3 − α γ − β 2 4 ) = 0 {\displaystyle 2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+\left(\alpha ^{3}-\alpha \gamma -{\beta ^{2} \over 4}\right)=0\qquad \qquad } 这是关于 y {\displaystyle y\,} 的三次方程。两边除以 2 {\displaystyle 2\,} ， y 3 + 5 2 α y 2 + ( 2 α 2 − γ ) y + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. ( 4 ) {\displaystyle y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)} 方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} 是嵌套的三次方程。为了解方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} ，我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程： y = v − 5 6 α . {\displaystyle y=v-{5 \over 6}\alpha .} 方程 ( 4 ) {\displaystyle \left(4\right)\,} 变为 ( v − 5 6 α ) 3 + 5 2 α ( v − 5 6 α ) 2 + ( 2 α 2 − γ ) ( v − 5 6 α ) + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. {\displaystyle \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{3}+{5 \over 2}\alpha \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.} 展开，得 ( v 3 − 5 2 α v 2 + 25 12 α 2 v − 125 216 α 3 ) + 5 2 α ( v 2 − 5 3 α v + 25 36 α 2 ) + ( 2 α 2 − γ ) v − 5 6 α ( 2 α 2 − γ ) + ( α 3 2 − α γ 2 − β 2 8 ) = 0. {\displaystyle \left(v^{3}-{5 \over 2}\alpha v^{2}+{25 \over 12}\alpha ^{2}v-{125 \over 216}\alpha ^{3}\right)+{5 \over 2}\alpha \left(v^{2}-{5 \over 3}\alpha v+{25 \over 36}\alpha ^{2}\right)+(2\alpha ^{2}-\gamma )v-{5 \over 6}\alpha (2\alpha ^{2}-\gamma )+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.} 合并同类项，得 v 3 + ( − α 2 12 − γ ) v + ( − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 ) = 0. {\displaystyle v^{3}+\left(-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma \right)v+\left(-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.} 这是嵌套的三次方程。 记 P = − α 2 12 − γ , {\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,} Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 . {\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}.} 则此三次方程变为 v 3 + P v + Q = 0. ( 5 ) {\displaystyle v^{3}+Pv+Q=0.\qquad \qquad (5)} 方程 ( 5 ) {\displaystyle \left(5\right)\,} 的解(三个解中任何一个都可以)为 令 U = − Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 3 {\displaystyle U={\sqrt[{3}]{{-Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}} （由三次方程） v = U − P 3 U {\displaystyle v=U-{P \over 3U}} 则原来的嵌套三次方程的解为 y = − 5 6 α − P 3 U + U ( 6 ) {\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha -{P \over 3U}+U\qquad \qquad (6)} 注意 ( 1 ) {\displaystyle \left(1\right)\,} ： P = 0 ⟹ Q 2 + Q 2 4 + P 3 27 = 0 {\displaystyle P=0\Longrightarrow {Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}=0} 注意 ( 2 ) {\displaystyle \left(2\right)\,} ： lim P → 0 P Q 2 + Q 2 4 + P 3 27 3 = 0 {\displaystyle \lim _{P\to 0}{P \over {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}=0} y {\displaystyle y\,} 的值已由 ( 6 ) {\displaystyle \left(6\right)\,} 式给定，现在知道等式 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 的右边是完全平方的形式 s 2 u 2 + 2 s t u + t 2 = ( s 2 u + 2 s t 2 s 2 ) 2 {\displaystyle s^{2}u^{2}+2stu+t^{2}=\left({\sqrt {s^{2}}}u+{2st \over 2{\sqrt {s^{2}}}}\right)^{2}} 这对于平方根的正负号均成立，只要等式两边取相同的符号。 A {\displaystyle A\,} 的正负是多余的，因为它将被本页后面马上将提到的另一个 ± a {\displaystyle \pm a\,} 消去。 从而它可分解因式为： ( α + 2 y ) u 2 + ( − β ) u + ( y 2 + 2 y α + α 2 − γ ) = [ α + 2 y u + ( − β ) 2 α + 2 y ] 2 {\displaystyle (\alpha +2y)u^{2}+(-\beta )u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=\left[{\sqrt {\alpha +2y}}u+{(-\beta ) \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right]^{2}} . 注：若 β ≠ 0 {\displaystyle \beta \neq 0\,} 则 α + 2 y ≠ 0 {\displaystyle \alpha +2y\neq 0\,} 。如果 β = 0 {\displaystyle \beta =0\,} 则方程为双二次方程，前面已讨论过。 因此方程 ( 3 ) {\displaystyle \left(3\right)\,} 化为 ( u 2 + α + y ) 2 = ( α + 2 y u − β 2 α + 2 y ) 2 ( 7 ) {\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=\left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)^{2}\qquad \qquad (7)} . 等式 ( 7 ) {\displaystyle \left(7\right)\,} 两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。 如果两平方式相等，则两平方式的因子也相等，即有下式： ( u 2 + α + y ) = ± ( α + 2 y u − β 2 α + 2 y ) ( 7 ′ ) {\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)=\pm \left({\sqrt {\alpha +2y}}u-{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)\qquad \qquad (7')} . 对 u {\displaystyle u\,} 合并同类项，得 u 2 + ( ∓ s α + 2 y ) u + ( α + y ± s β 2 α + 2 y ) = 0 ( 8 ) {\displaystyle u^{2}+\left(\mp _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\right)u+\left(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}}\right)=0\qquad \qquad (8)} . 注： ± s {\displaystyle \pm _{s}} 及 ∓ s {\displaystyle \mp _{s}} 中的下标 s {\displaystyle s\,} 用来标记它们是相关的。 方程 ( 8 ) {\displaystyle \left(8\right)\,} 是关于 u {\displaystyle u\,} 的二次方程。其解为 u = ± s α + 2 y ± t ( α + 2 y ) − 4 ( α + y ± s β 2 α + 2 y ) 2 . {\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {(\alpha +2y)-4(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}})}} \over 2}.} 化简，得 u = ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . {\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.} 这就是降低次数的四次方程的解，因此原来的四次方程的解为 x = − b 4 a + ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . ( 8 ′ ) {\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.\qquad \qquad (8')} 注意：两个 ± s {\displaystyle \pm _{s}} 来自等式 ( 7 ′ ) {\displaystyle \left(7^{'}\right)\,} 的同一处，并且它们应有相同的符号，而 ± t {\displaystyle \pm _{t}} 的符号是无关的。 给定一个四次方程 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,} 其解可用如下方法求出： α = − 3 b 2 8 a 2 + c a , {\displaystyle \alpha =-{3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},} β = b 3 8 a 3 − b c 2 a 2 + d a , {\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},} γ = − 3 b 4 256 a 4 + b 2 c 16 a 3 − b d 4 a 2 + e a , {\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a},} 若 β = 0 {\displaystyle \beta =0\,} ，求解 u 4 + α u 2 + γ = 0 {\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\gamma =0\,} 并代入 x = u − b 4 a {\displaystyle x=u-{b \over 4a}} ，求得根 x = − b 4 a ± s − α ± t α 2 − 4 γ 2 , β = 0 {\displaystyle x=-{b \over 4a}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2}},\qquad \beta =0} . P = − α 2 12 − γ , {\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,} Q = − α 3 108 + α γ 3 − β 2 8 , {\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},} R = − Q 2 ± Q 2 4 + P 3 27 , {\displaystyle R=-{Q \over 2}\pm {\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}},} （平方根任一正负号均可） U = R 3 , {\displaystyle U={\sqrt[{3}]{R}},} （有三个复根，任一个均可） y = − 5 6 α + { U = 0 → − Q 3 U ≠ 0 , → U − P 3 U , , {\displaystyle y={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },} x = − b 4 a + ± s α + 2 y ± t − ( 3 α + 2 y ± s 2 β α + 2 y ) 2 . {\displaystyle x=-{b \over 4a}+{\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.} 两个 ± s {\displaystyle \pm _{s}\,} 必须有相同的符号, ± t {\displaystyle \pm _{t}\,} 的符号无关。为得到全部的根，对 ± s {\displaystyle \pm _{s}\,} ， ± t {\displaystyle \pm _{t}\,} , = {\displaystyle =} , + {\displaystyle +\,} , + {\displaystyle +\,} 及 + − {\displaystyle +-\,} 及 − + {\displaystyle -+\,} 及 − − {\displaystyle --\,} 来求 x {\displaystyle x\,} 。二重根将得出两次，三重根及四重根将得出四次（尽管有 β = 0 {\displaystyle \beta =0\,} ，是一种特殊的情况）。方程根的次序取决于立方根 U {\displaystyle U\,} 的选取。（见对 ( 8 ) {\displaystyle \left(8\right)\,} 相对 ( 8 ′ ) {\displaystyle \left(8^{'}\right)\,} 的注） 此即所求。 还有解四次方程的其他方法，或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是 x 4 + 6 x 2 − 60 x + 36 = 0 {\displaystyle x^{4}+6x^{2}-60x+36=0\,} ， 它已经化为简约的形式。它有一对解，可由上面给出的公式得到。 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) = 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,} 此四次方程是下列两个二次方程之积： ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 ( 9 ) {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0\qquad \qquad (9)} 以及 ( x − x 3 ) ( x − x 4 ) = 0. ( 10 ) {\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.\qquad \qquad (10)} 由于 x 2 = x 1 ⋆ {\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }} 因此 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = x 2 − ( x 1 + x 1 ⋆ ) x + x 1 x 1 ⋆ = x 2 − 2 R e ( x 1 ) x + [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 . {\displaystyle {\begin{matrix}(x-x_{1})(x-x_{2})&=&x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\qquad \qquad \qquad \quad \\&=&x^{2}-2\,\mathrm {Re} (x_{1})x+[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}.\end{matrix}}} 设 a = − 2 R e ( x 1 ) , {\displaystyle a=-2\,\mathrm {Re} (x_{1}),} b = [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 {\displaystyle b=[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\,} 则方程 ( 9 ) {\displaystyle \left(9\right)\,} 变为 x 2 + a x + b = 0. ( 11 ) {\displaystyle x^{2}+ax+b=0.\qquad \qquad (11)} 同时有(未知的)变量 w {\displaystyle w\,} 和 v {\displaystyle v\,} 使方程 ( 10 ) {\displaystyle \left(10\right)\,} 变为 x 2 + w x + v = 0. ( 12 ) {\displaystyle x^{2}+wx+v=0.\qquad \qquad (12)} 方程 ( 11 ) {\displaystyle \left(11\right)\,} 与 ( 12 ) {\displaystyle \left(12\right)\,} 相乘，得 x 4 + ( a + w ) x 3 + ( b + w a + v ) x 2 + ( w b + v a ) x + v b = 0. ( 13 ) {\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad \qquad (13)} 把方程 ( 13 ) {\displaystyle \left(13\right)\,} 与原来的二次方程比较，可知 a + w = B A , {\displaystyle a+w={B \over A},} b + w a + v = C A , {\displaystyle b+wa+v={C \over A},} w b + v a = D A , {\displaystyle wb+va={D \over A},} 及 v b = E A . {\displaystyle vb={E \over A}.} 因此 w = B A − a = B A + 2 R e ( x 1 ) , {\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\mathrm {Re} (x_{1}),} v = E A b = E A ( [ R e ( x 1 ) ] 2 + [ I m ( x 1 ) ] 2 ) . {\displaystyle v={E \over Ab}={E \over A\left([\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\right)}.} 方程 ( 12 ) {\displaystyle \left(12\right)\,} 的解为 x 3 = − w + w 2 − 4 v 2 , {\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},} x 4 = − w − w 2 − 4 v 2 . {\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.} 这两个解中的一个应是所求的实解。 寫出式子 x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} ，令 y = x + a / 4 {\displaystyle y=x+a/4} , 把上式改寫為 y 4 + e y 2 + f y + g = 0 {\displaystyle y^{4}+ey^{2}+fy+g=0} , 再利用係數 e , f , g {\displaystyle e,f,g} 造出另一式子: z 3 + ( e / 2 ) z 2 + ( ( e 2 − 4 g ) / 16 ) z − f 2 / 64 = 0 {\displaystyle z^{3}+(e/2)z^{2}+((e^{2}-4g)/16)z-f^{2}/64=0} , 求出 z {\displaystyle z} 的三根，並用 p , q , r {\displaystyle p,q,r} 代表它們。 那麼 y {\displaystyle y} 的四個根就是 + p + q + r {\displaystyle +{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}} + p − q − r {\displaystyle +{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}} − p + q − r {\displaystyle -{\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}-{\sqrt {r}}} − p − q + r {\displaystyle -{\sqrt {p}}-{\sqrt {q}}+{\sqrt {r}}} 合併來看 二次方程根的樣式為 j A {\displaystyle j{\sqrt {A}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 } ,                     h 2 = 1 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1}\},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ h^{2}=1} 三次方程根的樣式為 j 1 A 3 + j 2 B 3 {\displaystyle j_{1}{\sqrt[{3}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{3}]{B}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 , h 2 } ,           h 3 = 1 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2}\},\ \ \ \ \ h^{3}=1} 四次方程根的樣式為 j 1 A 4 + j 2 B 4 + j 3 C 4 {\displaystyle j_{1}{\sqrt[{4}]{A}}+j_{2}{\sqrt[{4}]{B}}+j_{3}{\sqrt[{4}]{C}}} ,其中 j ∈ { h 0 , h 1 , h 2 , h 3 } , h 4 = 1 {\displaystyle j\in \{h^{0},h^{1},h^{2},h^{3}\},h^{4}=1} 延伸這樣式，暗示了五次方程尋根的方向。 一个例子可见双二次方程。 四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。对于 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,a\neq 0}} ，有： x 1 = − b 4 a + 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + − b 3 + 4 a b c − 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{1}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {-b^{3}+4abc-8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 2 = − b 4 a + 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{2}=-{\frac {b}{4a}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}-{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 3 = − b 4 a − 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a − 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{3}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} x 4 = − b 4 a − 1 2 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + 1 2 b 2 2 a 2 − 4 c 3 a − 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 − 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a + b 3 − 4 a b c + 8 a 2 d 4 a 3 ( b 2 a ) 2 − 2 c 3 a + 2 3 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 a 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 + 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e + ( 2 c 3 − 9 b c d + 27 a d 2 + 27 b 2 e − 72 a c e ) 2 − 4 ( c 2 − 3 b d + 12 a e ) 3 3 3 2 3 a {\displaystyle {x_{4}=-{\frac {b}{4a}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {2c}{3a}}+{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {b^{2}}{2a^{2}}}-{\frac {4c}{3a}}-{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}-{\frac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}+{\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{4a^{3}{\sqrt {\left({\dfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\dfrac {2c}{3a}}+{\dfrac {{\sqrt[{3}]{2}}(c^{2}-3bd+12ae)}{3a{\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}}}+{\dfrac {\sqrt[{3}]{2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace+{\sqrt {(2c^{3}-9bcd+27ad^{2}+27b^{2}e-72ace)^{2}-4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}}}}}{3{\sqrt[{3}]{2}}a}}}}}}}}}} Δ = 256 a 3 e 3 − 192 a 2 b d e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 + 144 a 2 c d 2 e − 27 a 2 d 4 + 144 a b 2 c e 2 − 6 a b 2 d 2 e − 80 a b c 2 d e + 18 a b c d 3 + 16 a c 4 e − 4 a c 3 d 2 − 27 b 4 e 2 + 18 b 3 c d e − 4 b 3 d 3 − 4 b 2 c 3 e + b 2 c 2 d 2 {\displaystyle {\Delta =256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}}} [來源請求] PlanetMath指出，这四个形式直接使用，即使是在计算机上也过于复杂。这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。 费拉里 卡尔达诺 The Quartic Formula Derivation. [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-07-14）.  Galois-theoretic derivation of the quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-01-18）.  quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. （原始内容存档于2021-04-11）.  Ferrari's achievement（页面存档备份，存于互联网档案馆） 四次方程的求根公式（页面存档备份，存于互联网档案馆）