布朗桥

标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0. 注意不要和布朗运动混淆。 布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。 非标准的 布朗桥 只是在条件 [ B t 1 = a , B t 2 = b ] {\displaystyle \scriptstyle [B_{t_{1}}=a,B_{t_{2}}=b]} 下一般化的布朗桥。 标准的布朗桥 ( B t , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},t\geq 0)} 为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件 B 0 = B 1 = 0 {\displaystyle \scriptstyle B_{0}=B_{1}=0} 下的维纳过程 （Wiener Process）。 它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 ( B t 1 , . . . , B t n ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},...,B_{t_{n}})} 在条件 B 1 = 0 {\displaystyle \scriptstyle B_{1}=0} 下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画： ∀ 0 ≤ t ≤ 1 , E [ B t | B 1 = 0 ] = 0 , {\displaystyle \forall 0\leq t\leq 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathbb {E} [B_{t}|B_{1}=0]=0,} ∀ 0 ≤ s < t ≤ 1 , c o v ( B s , B t | B 1 = 0 ) = s ( 1 − t ) . {\displaystyle \forall 0\leq s<t\leq 1,\,\,cov(B_{s},B_{t}|B_{1}=0)=s(1-t).} 定义的备注 事件 [ B 1 = 0 ] {\displaystyle \scriptstyle [B_{1}=0]} 的概率为0。 考虑满足 ∀ ε > 0 , P [ | B 1 | < ε ] > 0. {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\mathbb {P} [|B_{1}|<\varepsilon ]>0.} 的事件 [ | B 1 | < ε ] {\displaystyle \scriptstyle [|B_{1}|<\varepsilon ]} ， 我们可以考察条件分布 P [ ⋅ | | B 1 | < ε ] {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]} 。 由依分布收敛 可得： P [ ⋅ | | B 1 | < ε ] ⟶ ε → 0 P [ ⋅ | | B 1 | = 0 ] {\displaystyle \mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|<\varepsilon ]{\underset {\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow }}\mathbb {P} [\cdot ||B_{1}|=0]} 这给出了布朗桥的一个严格定义。 性质1 设 ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)} 为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程 ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)}  : B t = W t − t W 1 {\displaystyle \displaystyle B_{t}=W_{t}-tW_{1}} 为一个标准的布朗桥。 相互定义 设 ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} 为一个标准的布朗桥， Z 是一个正态随机变量，则过程 ( W t 1 , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (W_{t}^{1},t\geq 0)} et ( W t 2 , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (W_{t}^{2},t\geq 0)}  : W t 1 = B t + t Z {\displaystyle W_{t}^{1}=B_{t}+tZ}     et     W t 2 = B t T + t T Z {\displaystyle W_{t}^{2}=B_{\frac {t}{T}}+{\frac {t}{T}}Z} 为 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \scriptstyle t\in [0,1]} 和 t ∈ [ 0 , T ] {\displaystyle \scriptstyle t\in [0,T]} 上的维纳过程。 性质 2 设 ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)} 为一个 维纳过程, 则过程 ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} ： B t = ( 1 − t ) W t 1 − t {\displaystyle B_{t}=(1-t)W_{\frac {t}{1-t}}} 为一个标准布朗桥。 相互定义 设 ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} 为一个标准的布朗桥, 那么过程 ( W t , t ≥ 0 ) {\displaystyle \scriptstyle (W_{t},t\geq 0)} ： W t = ( 1 + t ) B t 1 + t {\displaystyle W_{t}=(1+t)B_{\frac {t}{1+t}}} 为一个维纳过程。 也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 W {\displaystyle W} 是一种标准的布朗桥，随机方程 d X t = d W t − X t 1 − t d t {\displaystyle dX_{t}=dW_{t}-{\frac {X_{t}}{1-t}}dt} 初始条件 X 0 = 0 {\displaystyle X_{0}=0} 的解和布朗桥同分布。 事实上, X {\displaystyle X} 是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。 设 ( B t , 0 ≤ t ≤ 1 ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t},0\leq t\leq 1)} 为标准的布朗桥。 性质3 设 b 为一个实数， P [  there is a  t ∈ [ 0 , 1 ]  s.t.  B t = b ] = e − 2 b 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[{\hbox{ there is a }}t\in [0,1]{\hbox{ s.t. }}B_{t}=b\right]=e^{-2b^{2}}.} 性质4 设 b 为一个正实数 P [ sup t ∈ [ 0 , 1 ] | B t | ≥ b ] = 2 ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n − 1 e − 2 n 2 b 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}|B_{t}|\geq b\right]=2\sum _{n\geq 1}(-1)^{n-1}e^{-2n^{2}b^{2}}.} 性质 5 设a et b 为2个正实数. P [ − a < B t < b , ∀ 0 ≤ t ≤ 1 ] = ∑ m = − ∞ + ∞ [ e − 2 m 2 ( a + b ) 2 − e − 2 ( ( m + 1 ) a + m b ) 2 ] . {\displaystyle \mathbb {P} \left[-a<B_{t}<b\,,\forall 0\leq t\leq 1\right]=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\left[e^{-2m^{2}(a+b)^{2}}-e^{-2((m+1)a+mb)^{2}}\right].} 性质6 设 x 为一个正实数 P [ sup t ∈ [ 0 , 1 ] B t − inf t ∈ [ 0 , 1 ] B t ≥ x ] = 2 ∑ m ≥ 1 ( 4 m 2 x 2 − 1 ) e − 2 m 2 x 2 . {\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{t\in [0,1]}B_{t}-\inf _{t\in [0,1]}B_{t}\geq x\right]=2\sum _{m\geq 1}(4m^{2}x^{2}-1)e^{-2m^{2}x^{2}}.} 布朗运动 维纳过程 Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3.  Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3.