中心流形

中心流形（center manifold）是動力系統數學理論的一部份，最早是用此概念來判斷退化平衡點的穩定性。之後這個概念成為数学模型的建構基礎。 若將球往上拋。可根據牛顿运动定律預測球的運動，方式是求解有其位置以及速度的微分方程，但在球反彈（英语：Bouncing ball）時的行為就無法用牛顿运动定律來描述。在球反彈時，球會有形變，就無法用剛體的牛顿运动定律來預測系統的演進，需要用连续介质力学來描述組成球的所有粒子在形變前後的行為。 在反彈後，球的形變會快速消失，球繼續依循牛顿运动定律。 若將球視為是由許多互相影響的成份所組成的系統，牛頓運動定律對球的描述，只以位置、速度及旋轉方式呈現，即為變形球的中心流形 。若有一系統是由許多互相影響成份所組成，而其影響效應會快速衰減，可以用中心流形，以較簡單的方式來描述系統。 中心流形在分岔理論中有重要的地位，因為系統在中心流形的位置會出現特殊的行為，在多尺度物理學（英语：multiscale mathematics）中也很重要，微尺度的長時間動態常常會受到相對簡單、變數尺度較大的中心流形吸引。 动力系统的中心流形是以系統的平衡點為基礎，以球為例，就是球靜止，沒有變形的狀態。 平衡點的中心流形包括了鄰近的軌跡（英语：Orbit (dynamics)）中，沒有快速指数衰减，也沒有快速指數增長的的軌跡。若以球來說，中心流形中包括了球的移動及自旋運動，但不包括球的形變（因為形變會由於阻尼力而快速衰減）。 在數學上，研究动力系统平衡點的第一步是線性化，之後計算其特征值和特征向量。 其對應特徵值有負實數的特徵向量（若有廣義特徵向量（英语：generalized eigenvectors）的話，也包括在內）可以組成基的特徵空間。 對應特徵值有正實數的（廣義）特徵向量可以組成不穩定的特徵空間。 若平衡點為雙曲平衡點（英语：hyperbolic equilibrium point）（所有線性化後的特徵值，實部都不為0）。Hartman-Grobman定理（英语：Hartman-Grobman theorem）可以保證在平衡點附近的動態可以完全用特徵值及特徵向量來描述。 若平衡點的特徵值中，有特徵值的實部是零，則是對應的（廣義）特徵向量會組成「中心特徵空間」，以球為例，就是球在不受力下刚体动力学的整個集合。 若不只考慮線性化後的系統，將動力系統加上非線性或是外力的微擾，中心特徵空間會變形到鄰近的中心流形 。 若特徵值不只是實部為零，而是特徵值的複數值為零（如球的例子），對應的特徵空間可以更準確的對應慢流形（英语：slow manifold）。 中心（慢）流形的行為無法由線性化來判定，因此不容易建構。 類似的道理，在穩定特徵空間或不穩定特徵空間加上非線性或是外力的微擾，會讓系統變形到鄰近的穩定流形或不穩定流形 。 這三種流形是不變流形中的三類例子。 令 d x d t = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}})} 是动力系统，其平衡点為 x ∗ {\displaystyle {\textbf {x}}^{*}} ，則系統在平衡點附近的線性化為 d x d t = A x , where  A = d f d x ( x ∗ ) . {\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}=A{\textbf {x}},\quad {\text{where }}A={\frac {d{\textbf {f}}}{d{\textbf {x}}}}({\textbf {x}}^{*}).} 雅可比矩阵 A {\displaystyle A} 可以定義以下的三種子空間： 穩定子空間，是由特徵值實部小於0的廣義特徵向量（英语：generalized eigenvectors）所生成。 不穩定子空間，是由特徵值實部大於0的廣義特徵向量所生成。 中心子空間，是由特徵值實部等於0的廣義特徵向量所生成。 依照應用的不同，也會分類以下的子空間，例如中心穩定、中心不穩定、次中心、或是快速子空間。 這些子空間都是線性化方程的不变子空间。 對應線性系統，非線性系統會有慢流形，每一種都會包括一種非線性系統的軌跡集合。 和穩定子空間相切，有相同維度的不變流形是穩定流形. 不穩定流形和不穩定子空間相切，也有相同維度。 中心流形和中心子空間相切，有相同維度。若中心子空間的特徵值都為0，此中心流形會稱為慢流形。 中心流形存在定理（center manifold existence theorem）內容是：若函數 f ( x ) {\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})} 是 C r {\displaystyle C^{r}} （ r {\displaystyle r} 次的連續可微），則針對每一個平衡點，都存在一個有限大小的鄰域，使得以下三項敘述，至少會有一項成立： 唯一的 C r {\displaystyle C^{r}} 穩定流形 唯一的 C r {\displaystyle C^{r}} 不穩定流形 （可能不唯一的） C r − 1 {\displaystyle C^{r-1}} 中心流形 像非線性的座標轉換為正則型式（英语：normal form (bifurcation theory)）就可以清楚的分出這三種流形。有網頁服務可以針對有限維的系統進行必要的電腦計算。 若在那些沒有不穩定流形的例子中，中心流形一般會和建模有關。 中心流形出現定理提到可以選擇鄰域，使系統的所有解維持在會以指數收斂到中心流形上某個解 y ( t ) {\displaystyle {\textbf {y}}(t)} 的範圍內。 也就是說 x ( t ) = y ( t ) + O ( e − β ′ t ) as  t → ∞ , {\displaystyle {\textbf {x}}(t)={\textbf {y}}(t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta 't})\quad {\text{as }}t\to \infty \,,} 會以某速率值 β ′ {\displaystyle \beta '} 進行 。 此定理也確保針對多許多的初始條件，整個系統的解會快速指數收斂到比較低維度的中心流形上。 第三個定理是近似定理，若針對某不變流形（例如 x = X ( s ) {\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})} ），有近似表示式滿足系統的微分方程，當 s → 0 {\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}} 時，其residuals為 O ( | s | p ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})} ，則不變流形可以用 x = X ( s ) {\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})} 來近似，其誤差也是同一量級的，例如是 O ( | s | p ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})} 。 上述的理論都是針對特定問題，想找到不變流形的性質。特別是建構一個流形來近似系統的不變流形。 另一種方式是針對給定系統，找到一個近似的系統，建構此系統的不變流形，這稱為反向分析。 目的是將理論應用到範圍更廣的系統中，並估計誤差以及有效域的大小 。 此方法和數值建模中公認的反向誤差分析（英语：backward error analysis）完全相同。 平衡點的穩定性和其流形的「穩定性」有關，中心流形是否存在的問題也帶來了有關中心流形的系統動力學問題，這可以由中心流形約化（center manifold reduction）來分析，再配合系統參數μ，可以引到分岔理論的概念。也有些網站可以進行相關計算。 考慮以下系統 x ˙ = x 2 , y ˙ = y . {\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.} 在原點的不穩定流形為y軸，穩定流形為平凡集{(0, 0)}。不在穩定流形上的任何軌跡都滿足以下形式的方程式 y = A e − 1 / x {\displaystyle y=Ae^{-1/x}} ，其中A為實數的常。可以推得針對任意的A，可以創建中心流形，方式是將 y = A e − 1 / x {\displaystyle y=Ae^{-1/x}} ，x > 0的部份，和x為非正值的X軸連接。而且，所有的中心流形都有潛在的非唯一性，不過非唯一性只會發生在變數為複數的情形下。 另一個例子可以用中心流形來為霍普夫分岔建模，霍普夫分岔是發生在以下的时滞微分方程 d x / d t = − a x ( t − 1 ) − 2 x 2 − x 3 {\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}} 參數 a ≈ 4 {\displaystyle a\approx 4} 的情形。嚴格來說，因為有时滞，微分方程會變成無限維。 不過可以用以下的方式來近似时滞，讓系統仍為有限維度。 定義 u 1 ( t ) = x ( t ) {\displaystyle u_{1}(t)=x(t)} 以及適當的时滞變數 x ( t − 1 ) ≈ u 3 ( t ) {\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)} ，利用其中間值 d u 2 / d t = 2 ( u 1 − u 2 ) {\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})} 及 d u 3 / d t = 2 ( u 2 − u 3 ) {\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})} . 在接近臨界值的參數 a = 4 + α {\displaystyle a=4+\alpha } ，时滞微分方程可以用以下系統來近似 d u d t = [ 0 0 − 4 2 − 2 0 0 2 − 2 ] u + [ − α u 3 − 2 u 1 2 − u 1 3 0 0 ] . {\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].} 透過網頁服務，可以找到相量 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 以及其共軛 s ¯ ( t ) {\displaystyle {\bar {s}}(t)} ，中心流形為 u = [ e i 2 t s + e − i 2 t s ¯ 1 − i 2 e i 2 t s + 1 + i 2 e − i 2 t s ¯ − i 2 e i 2 t s + i 2 e − i 2 t s ¯ ] + O ( α + | s | 2 ) {\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})} 中心流形的演進為 d s d t = [ 1 + 2 i 10 α s − 3 + 16 i 15 | s | 2 s ] + O ( α 2 + | s | 4 ) {\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})} 從此演進可以看出，系統在 α > 0   ( a > 4 ) {\displaystyle \alpha >0\ (a>4)} 時，在原點是線性的不穩定，但三次非線性使其有穩定的極限環，就像經典霍普夫分岔的結果一樣。 Muncaster, R.G. 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