八面半八面體

在幾何學中，八面半八面體是一種非凸多面體，屬於星形多面體及均勻多面體，也可以歸類在非凸均勻多面體，其索引為U3。八面半八面體由8個正三角形和4個正六邊形組成，且每個頂點對應的角皆相等，因此也可以被歸類為擬正多面體，然而由於這個立體同時具備半多面體的特性，因此被部分學者分成一類新的立體，即擬正半多面體（Versi-Regular Polyhedra），這類立體共有九個，最早在1881年由亞伯特·巴杜羅（Albert Badoureau）發現並描述。特別地，這個立體的邊長與外接球半徑相等。八面半八面體可以與星形八面體共同堆砌填滿空間，因此曾應用於建築結構中。 八面半八面體共有12個面、24條邊和12個頂點，是一種十二面體，每個頂點都是2個正三角形和2個六邊形的公共頂點。 八面半八面體是唯一可定向且歐拉示性數為零的半多面體，這意味著其具有拓撲環面的性質。 八面半八面體僅有一種二面角，為三角形和六邊形的棱之交角，其值為三分之一的反餘弦值： cos − 1 ⁡ ( 1 3 ) ≈ 1.230959417 ≈ 70.5287 ∘ {\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {1}{3}})\approx 1.230959417\approx 70.5287^{\circ }} 其值約為70度31分43.6秒 由於其凸包為截半立方體，因此其12頂點會與截半立方體相同，為(0, ±1, ±1),(±1, 0, ±1),(±1, ±1, 0)，若邊長為a，則座標要縮放 2 2 a {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}a} 倍。 八面半八面體具有抽象多胞形半三角形面和互相相交的六邊形面，但若去除相交的面作為一個簡單多面體，則其可以視為由32個正三角形組成的凹多面體。這種多面體共有32個面、48條邊和13個頂點，其結構與四角化截半立方體拓樸同構，不過四角化截半立方體有18個頂點而這種多面體僅有13個頂點是因為有6個頂點在中心共用。另一方面，這個立體也可以視為由8個正四面體組合而成。 四角化截半立方體 截半立方體 倒四角化截半立方體 八面半八面體 八面半八面體的對偶多面體是八面半無窮星形八面體。其外觀與立方半無窮星形八面體相同。 從定義上來看，對偶多面體的面會與原始立體的頂點圖相同，同時頂點周圍之面的排列方式會和原始立體的面之邊相同，也就是說對偶多面體的頂點圖為原始立體的面。由於八面半無窮星形八面體是八面半八面體的對偶多面體，而八面半八面體的12個頂點皆為4個面的公共頂點，因此八面半無窮星形八面體的面理應具有12個面，每個面由4個邊組成。然而八面半八面體有部分面幾何中心落在整個立體的幾何中心上，因此其對偶多面體的頂點會落在無窮遠處，即無窮实射影平面上的點。一般來說，這樣的立體無法被具象化。為了具像化這種立體，溫尼爾在著作《對偶模型》中將其描述為由無限高的柱體組合構成的立體，在這樣的視覺化方式下，八面半八面體外觀為由4個無限高的六角柱構成的立體。 八面半八面體可以被切割重新拼湊成星形八面體。 八面半八面體 星形八面體 八面半八面體可透過截去皮特里立方體的所有頂點來構造，也就是說，八面半八面體可以視為截半的皮特里立方體。 八面半八面體 皮特里立方體 八面半八面體可以視為是截半立方體經過刻面後的結果，而立方半八面體也可以視為是刻面的截半立方體。 中心八面半八面體數是一種排列成八面半八面體的有形數。第n個中心八面半八面體數可以表示為 4 n 3 + 24 n 2 + 8 n + 3 3 {\displaystyle {\tfrac {4n^{3}+24n^{2}+8n+3}{3}}} 。由於八面半八面體數與截半立方體共用相同的頂點排列方式，因此數列前兩項與中心截半立方體數（OEIS數列A005902）相同，第三項開始少去了八面半八面體數相對於截半立方體缺少的6個四角錐 前幾個中心八面半八面體數為： 1, 13, 49, 117, 225, 381, 593, 869, 1217, 1645, 2161, 2773, 3489, 4317, 5265, 6341....（OEIS數列A274974） 五複合八面半八面體（英语：Compound of five octahemioctahedra） Wolfram, Stephen. "Octahemioctahedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.  George W. Hart. Quasi-Regular Polyhedra. 1996 [2021-09-05]. （原始内容存档于2021-08-30）.  Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.  Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Hisarligil, Hakan and Hisarligil, Beyhan Bolak. The Geometry of Cuboctahedra in Medieval Art in Anatolia. Nexus Network Journal (Springer). 2018, 20 (1): 125–152.  Uniform Polyhedra 03: Octahemioctahedron. mathconsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.  Vladimir Bulatov. octahemioctacron. Polyhedra Collection, bulatov.org. [2021-07-30]. （原始内容存档于2020-02-23）.  The Octahemioctahedron. 西密西根大學. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.  David A. Richter. The Octahemioctahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-14）.  Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172. Versi-Regular Polyhedra: Octahemioctahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2019-10-03）.  Klitzing, Richard. octahemioctahedron, oho. bendwavy.org. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-01-23）.  Gijs Korthals Altes. 作為簡單多面體的八面半八面體展開圖 (PDF). korthalsaltes.com. [2016-08-31]. （原始内容 (PDF)存档于2016-06-15）.  Robert Webb. Octahemioctahedron. software3d.com. [2021-09-07]. （原始内容存档于2021-07-29）.  Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-06]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.  Weisstein, Eric W. (编). Octahemioctacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Dual Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (Page 101, Duals of the (nine) hemipolyhedra) HİSARLIGİL, Hakan and HİSARLIGİL, Beyhan BOLAK. The third dimension of the Magdouh Mosaic in Antioch. Journal of Mosaic Research. 2019, (12): 107-118},.  {6,3}(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].  octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-07-25）.  Weisstein, Eric W. (编). Cubohemioctahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A274974 (Centered octahemioctahedral numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  埃里克·韦斯坦因. 八面半八面體. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. 八面半無窮星形八面體. MathWorld.