闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 α {\displaystyle \alpha } 是微分算子 d {\displaystyle d} 的核，即 d α = 0 {\displaystyle d\alpha =0} 的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) α {\displaystyle \alpha } 是微分算子 d {\displaystyle d} 的像，即存在某个微分形式 β {\displaystyle \beta } 使得 α = d β {\displaystyle \alpha =d\beta } ， β {\displaystyle \beta } 称为关于 α {\displaystyle \alpha } 的一个“本原”。 因为 d 2 = 0 {\displaystyle d^{2}=0} ，所以恰当形式一定是闭形式，但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息來得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 d {\displaystyle d} 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。 当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 ζ {\displaystyle \zeta } 与 η {\displaystyle \eta } 是闭形式，且存在某个 β {\displaystyle \beta } 使得 ζ − η = d β   , {\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,} 则我们说 ζ {\displaystyle \zeta } 与 η {\displaystyle \eta } 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 与 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 d x ∧ d y {\displaystyle dx\wedge dy} ，故只有 1-形式 α = f ( x , y ) d x + g ( x , y ) d y   , {\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,} 具有真正的意义，其外导数 d {\displaystyle d} 是 d α = ( g x − f y ) d x ∧ d y   , {\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,} 这里下标表示偏导数。从而 α {\displaystyle \alpha } “闭”的条件是 f y = g x   . {\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .} 当 h ( x , y ) {\displaystyle h(x,y)} 是一个函数时则 d h = h x d x + h y d y   . {\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .} “恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。 在 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。 庞加莱引理断言：如果 X {\displaystyle X} 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中可缩开子集，对任何整数 p > 0 {\displaystyle p>0} ，任何定义在 X {\displaystyle X} 上的光滑闭 p {\displaystyle p} -形式 α {\displaystyle \alpha } 是恰当的（这只在 p ≤ n {\displaystyle p\leq n} 有内容）。 可缩意味着存在同伦映射 F t : X × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X} 将 X {\displaystyle X} 形变为一点。从而任何 X {\displaystyle X} 中的闭链 c {\displaystyle c} 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 X {\displaystyle X} 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。 更确切地，我们将 X {\displaystyle X} 与柱 X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times [0,1]} 联系起来，分别通过映射 j 1 ( x ) = ( x , 1 ) {\displaystyle j_{1}(x)=(x,1)} 与 j 0 ( x ) = ( x , 0 ) {\displaystyle j_{0}(x)=(x,0)} 与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 j 1 ∗ {\displaystyle j_{1}^{*}} 与 j 0 ∗ {\displaystyle j_{0}^{*}} 由上链同伦联系： K d + d K = j 1 ∗ − j 0 ∗   . {\displaystyle Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .} 令 Ω p ( x ) {\displaystyle \Omega ^{p}(x)} 表示 X {\displaystyle X} 上的 p {\displaystyle p} -形式，映射 K : Ω p + 1 ( X × [ 0 , 1 ] ) → Ω p ( X ) {\displaystyle K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)} 是柱映射的对偶，定义为： a ( x , t ) d x p + 1 ↦ 0 , a ( x , t ) d t d x p ↦ ( ∫ 0 1 a ( x , t ) d t ) d x p , {\displaystyle a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},} 这里 d x p {\displaystyle dx^{p}} 是一个不含 d t {\displaystyle dt} 的单项 p {\displaystyle p} -形式。所以如果 F {\displaystyle F} 是 X {\displaystyle X} 到一点 Q {\displaystyle Q} 的同伦形变，那么 F ∘ j 1 = i d , F ∘ j 0 = Q   . {\displaystyle F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .} 在形式上： j 1 ∗ ∘ F ∗ = i d , j 0 ∗ ∘ F ∗ = 0   . {\displaystyle j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .} 将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。 这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。 不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在 t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} 参数化圆周 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上，闭 1-形式 d t {\displaystyle dt} 不是恰当的（注意： t {\displaystyle t} 不能定义为整个 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上的函数，但 d t {\displaystyle dt} 是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但 d t {\displaystyle dt} 在圆周上积分是 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7  陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7