拉比周期

在物理学中，拉比周期是在振荡外场中的二能级量子体系的周期性行为。一个二能级系统具有两个可能的状态，如果状态不是简并的，当吸收一份能量以后，体系可以被激发。 这种效应在量子光学、核磁共振和量子计算中非常重要，它是以伊西多·伊萨克·拉比（Isidor Isaac Rabi）的名字命名的。 当一个原子（或者其它二能级体系）被一束相干光照射的时候，它将周期性地吸收光子并透過受激发射重新将光子发射出来，这样一个周期称为拉比周期，它的倒数称为拉比频率（英语：Rabi frequency）。 这种机制是量子光学的基础，其模型的建立可以依据傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫矢量形式。 例如，对于频率受外部电磁场调制到激发态的二能级原子（该原子的电子可以处于激发态或者基态），利用布洛赫方程可以得到，原子处于激发态的机率为 | c b ( t ) | 2 = sin ⁡ ( ω t / 2 ) 2 {\displaystyle |c_{b}(t)|^{2}=\sin(\omega t/2)^{2}\,} ，其中 ω {\displaystyle \omega \,} 为拉比频率（英语：Rabi frequency）。 更一般地，可以考虑一个没有本征态的二能级体系，如果这个体系初态位于其中一个能级，时间演化将导致每个能级的态密度按照某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率（英语：Rabi frequency）。 拉比效應的數學細節請參見拉比問題（英语：Rabi_problem）。 例如，若將电磁场频率调至激发能，並於電磁場當中置入一個雙態原子（該原子之电子可以处于激发态或基态），那麼處於激發態原子之機率可以从Bloch方程得出： | c b ( t ) | 2 ∝ sin 2 ⁡ ( ω t / 2 ) {\displaystyle |c_{b}(t)|^{2}\propto \sin ^{2}(\omega t/2)} ω {\displaystyle \omega } 是拉比频率。 更一般而言，我們可以考虑一種，兩個能階都不是能量本征态的系统 。因此，如果在其中一個能階對系统初始化，则时间演化将使每个能階的總粒子數以某个特征频率振荡，其角频率也称为拉比频率。 該雙態量子系统的状态可以表示为二维希尔伯特空间複向量 ，这意味着每个状态向量 | ψ ⟩ {\displaystyle \vert \psi \rangle } 是以標准的复数坐标表示。 | ψ ⟩ = ( c 1 c 2 ) = c 1 ( 1 0 ) + c 2 ( 0 1 ) ; {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}};} c 1 {\displaystyle c_{1}} 和 c 2 {\displaystyle c_{2}} 是坐标。 如果向量归一化， c 1 {\displaystyle c_{1}} 和 c 2 {\displaystyle c_{2}} 的关联為 | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1} 。 基向量表示为 | 0 ⟩ = ( 1 0 ) {\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}} 和 | 1 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} 所有与该系统相关的可观测物理量均为2 × {\displaystyle \times } 2埃尔米特矩阵 ，这表示系统的哈密顿量也是相似矩阵。 可以透過以下步骤建構振荡实验： 准备系统，使之處於固定狀态；例如 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 在哈密顿量H下，讓态隨时间t自由演化 求出狀态为 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的機率 P(t) 如果 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 是H的本征态且P(t)=1 ，那麼就不会產生振荡。此外，如果两個態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 和 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 皆為簡併態，那麼包括 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 在內的所有态皆為H的本征态。因此也不会產生振荡。 另一方面，若H無简并本征态，且初态不是本征态，则振荡将會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下 H = ( a 0 + a 3 a 1 − i a 2 a 1 + i a 2 a 0 − a 3 ) {\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}a_{0}+a_{3}&a_{1}-ia_{2}\\a_{1}+ia_{2}&a_{0}-a_{3}\end{pmatrix}}} a 0 , a 1 , a 2 {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}} 和 a 3 {\displaystyle a_{3}} 是实数。 这个矩阵可以分解为 H = a 0 ⋅ σ 0 + a 1 ⋅ σ 1 + a 2 ⋅ σ 2 + a 3 ⋅ σ 3 ; {\displaystyle \mathbf {H} =a_{0}\cdot \sigma _{0}+a_{1}\cdot \sigma _{1}+a_{2}\cdot \sigma _{2}+a_{3}\cdot \sigma _{3};} σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} 是2 × {\displaystyle \times } 2單位矩陣， σ k ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \sigma _{k}\;(k=1,2,3)} 是泡利矩陣 。 尤其是在与时间无关的情况下，这种分解能夠简化系统分析，其中 a 0 , a 1 , a 2 {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}} 和 a 3 {\displaystyle a_{3}} 是常数。考虑置於磁场 B = B z ^ {\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {z}} } 之中的自旋1/2粒子。该系统的交互作用能量算符为 H = − μ ⋅ B = − γ S ⋅ B = − γ   B   S z {\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} =-\gamma \ B\ S_{z}} ， S z = ℏ 2 σ 3 = ℏ 2 ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\,\sigma _{3}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}} μ {\displaystyle \mu } 是粒子磁矩的大小， γ {\displaystyle \gamma } 是旋磁比 ， σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} 是泡利矩陣之向量。此處哈密顿量之本征态是 σ 3 {\displaystyle \sigma _{3}} ，而 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 和 | 2 ⟩ {\displaystyle |2\rangle } 具有对应的本徵值 E + = ℏ 2 γ B   E − = − ℏ 2 γ B {\displaystyle E_{+}={\frac {\hbar }{2}}\gamma B\,\ E_{-}=-{\frac {\hbar }{2}}\gamma B} 。 我們可以在系统处于状态 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 下，給出找到任意状态 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 之機率 | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 {\displaystyle {|\langle \phi |\psi \rangle |}^{2}} 。在 t = 0 {\displaystyle t=0} 的時刻，让系统处于准备状态 | + X ⟩ {\displaystyle \left|+X\right\rangle } 。 注意到 | + X ⟩ {\displaystyle \left|+X\right\rangle } 是 σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} 的本征态 ： | ψ ( 0 ) ⟩ = 1 2 ( 1 1 ) = 1 2 ( 1 0 ) + 1 2 ( 0 1 ) {\displaystyle |\psi (0)\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} 此處的哈密顿量与时间无关。 因此，透過求解平稳的薛丁格方程，在經過时间t之后，狀態演變為 | ψ ( t ) ⟩ = exp ⁡ [ − i H t ℏ ] | ψ ( 0 ) ⟩ = ( exp ⁡ [ − i E + t ℏ ] 0 0 exp ⁡ [ − i E − t ℏ ] ) | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left[{\frac {-i\mathbf {H} t}{\hbar }}\right]\left|\psi (0)\right\rangle ={\begin{pmatrix}\exp \left[{\tfrac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]&0\\0&\exp \left[{\tfrac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\end{pmatrix}}|\psi (0)\rangle } ，帶有系统总能量 E {\displaystyle E} 。 因此經過时间t之后，状态成为： | ψ ( t ) ⟩ = e − i E + t ℏ 1 2 | 0 ⟩ + e − i E − t ℏ 1 2 | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle } 现在假设在t時刻，對x方向上的自旋進行测量。 下式给出測量到自旋向上的機率： | ⟨ + X | ψ ( t ) ⟩ | 2 = | ⟨ 0 | + ⟨ 1 | 2 ( 1 2 exp ⁡ [ − i E + t ℏ ] | 0 ⟩ + 1 2 exp ⁡ [ − i E − t ℏ ] | 1 ⟩ ) | 2 = cos 2 ⁡ ( ω t 2 ) , {\displaystyle {\left|\langle +X|\psi (t)\rangle \right|}^{2}={\left|{\frac {\left\langle 0\right|+\left\langle 1\right|}{\sqrt {2}}}\left({{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\right]\left|0\right\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\exp \left[{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\right]\left|1\right\rangle }\right)\right|}^{2}=\cos ^{2}\left({\frac {\omega t}{2}}\right),} ω {\displaystyle \omega } 是特徵角频率，假设 E − ≥ E + {\displaystyle E_{-}\geq E_{+}} 的情形，給定 ω = E − − E + ℏ = γ B {\displaystyle \omega ={\frac {E_{-}-E_{+}}{\hbar }}=\gamma B} 。 在这种情况下，当系统最初自旋是在 | + X ⟩ {\displaystyle \left|+X\right\rangle } 方向，那麼x方向发现自旋向上的機率會随著时间 t {\displaystyle t} 而振盪。 同样，如果我们测量 | + Z ⟩ {\displaystyle \left|+Z\right\rangle } 方向，那麼所测量到的系统自旋为 ℏ 2 {\displaystyle {\tfrac {\hbar }{2}}} 之機率為 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 。在 E + = E − {\displaystyle E_{+}=E_{-}} 簡併情形下 ，特征频率為0，無振盪發生。 留意到，如果系统处于给定哈密顿量的本征态，则系统将維持在该状态，保持不變。 這同樣也適用於时间相依的哈密顿函数。 以 H ^ = − γ   S z B sin ⁡ ( ω t ) {\textstyle {\hat {H}}=-\gamma \ S_{z}B\sin(\omega t)} 為例；如果系统的初始自旋状态为 | + Y ⟩ {\displaystyle \left|+Y\right\rangle } ，那麼在 t {\displaystyle t} 時刻，自旋在y方向测量结果為 + ℏ 2 {\displaystyle +{\tfrac {\hbar }{2}}} 之機率為 | ⟨ + Y | ψ ( t ) ⟩ | 2 = cos 2 ⁡ ( γ B 2 ω cos ⁡ ( ω t ) ) {\textstyle {\left|\left\langle \,+Y|\psi (t)\right\rangle \right|}^{2}\,=\cos ^{2}\left({\frac {\gamma B}{2\omega }}\cos \left({\omega t}\right)\right)} 。 考虑以下形式的哈密顿量 H ^ = E 0 ⋅ σ 0 + W 1 ⋅ σ 1 + W 2 ⋅ σ 2 + Δ ⋅ σ 3 = ( E 0 + Δ W 1 − i W 2 W 1 + i W 2 E 0 − Δ ) . {\displaystyle {\hat {H}}=E_{0}\cdot \sigma _{0}+W_{1}\cdot \sigma _{1}+W_{2}\cdot \sigma _{2}+\Delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}.} 該矩陣的特徵值為 λ + = E + = E 0 + Δ 2 + W 1 2 + W 2 2 = E 0 + Δ 2 + | W | 2 {\displaystyle \lambda _{+}=E_{+}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}+{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}} ， λ − = E − = E 0 − Δ 2 + W 1 2 + W 2 2 = E 0 − Δ 2 + | W | 2 {\displaystyle \lambda _{-}=E_{-}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}}}=E_{0}-{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}} 。 此處 W = W 1 + ı W 2 {\displaystyle \mathbf {W} =W_{1}+\imath W_{2}} ， | W | 2 = W 1 2 + W 2 2 = W W ∗ {\displaystyle {\left\vert W\right\vert }^{2}={W_{1}}^{2}+{W_{2}}^{2}=WW^{*}} 。因此我們可以取 W = | W | e ı ϕ {\displaystyle \mathbf {W} ={\left\vert W\right\vert }e^{\imath \phi }} 。 現在，由方程式 : ( E 0 + Δ W 1 − i W 2 W 1 + i W 2 E 0 − Δ ) ( a b ) = E + ( a b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0}+\Delta &W_{1}-iW_{2}\\W_{1}+iW_{2}&E_{0}-\Delta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}=E_{+}{\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}} ，我們可以得到 E + {\displaystyle E_{+}} 的特徵向量。 因此， b = − a ( E 0 + Δ − E + ) W 1 − i W 2 {\displaystyle b=-{\frac {a\left(E_{0}+\Delta -E_{+}\right)}{W_{1}-iW_{2}}}} 。 對特徵向量採用歸一化條件 | a | 2 + | b | 2 = 1 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert b\right\vert }^{2}=1} 。 因此 | a | 2 + | a | 2 ( Δ | W | − Δ 2 + | W | 2 | W | ) 2 = 1 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}\left({\frac {\Delta }{\left\vert W\right\vert }}-{\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\left\vert W\right\vert }}\right)^{2}=1} 。 令 sin ⁡ θ = | W | Δ 2 + | W | 2 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}} ， cos ⁡ θ = Δ Δ 2 + | W | 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\Delta }{\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}}} 。所以 tan ⁡ θ = | W | Δ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\left\vert W\right\vert }{\Delta }}} 。 我們得到 | a | 2 + | a | 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 sin 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}+{\left\vert a\right\vert }^{2}{\frac {({1-\cos \theta })^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=1} ，即 | a | 2 = cos 2 ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle {\left\vert a\right\vert }^{2}=\cos ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)} 。取任意相角 ϕ {\displaystyle \phi } ，我們可以寫下 a = exp ⁡ ( ı ϕ / 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle a=\exp(\imath \phi /2)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)} . 同理可證， b = exp ⁡ ( − ı ϕ / 2 ) sin ⁡ ( θ 2 ) {\displaystyle b=\exp(-\imath \phi /2)\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)} 。 所以特徵值 E + {\displaystyle E_{+}} 之特徵向量為 | E + ⟩ = ( cos ⁡ ( θ / 2 ) e ı ϕ sin ⁡ ( θ / 2 ) ) {\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left(\theta /2\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left(\theta /2\right)\end{pmatrix}}} 。 由於總相角較無關緊要，我們可以寫下 | E + ⟩ = ( cos ⁡ ( θ 2 ) e ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) ) = cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ + e ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ {\displaystyle \left|E_{+}\right\rangle ={\begin{pmatrix}\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\\e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{pmatrix}}=\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle +e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle } 。 類似地, 特徵能量 E − {\displaystyle E_{-}} 之特徵向量為 | E − ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ − e ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ {\displaystyle \left|E_{-}\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|0\right\rangle -e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|1\right\rangle } 。 從這兩個方程，我們可以寫出 | 0 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | E + ⟩ + sin ⁡ ( θ 2 ) | E − ⟩ {\displaystyle \left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle } | 1 ⟩ = e − ı ϕ cos ⁡ ( θ 2 ) | E + ⟩ − e − ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) | E − ⟩ {\displaystyle \left|1\right\rangle =e^{-\imath \phi }\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle -e^{-\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle } 。 假設系統開始時在時刻 t = 0 {\textstyle t=0} 的狀態是 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ，也就是說， | ψ ( 0 ) ⟩ = | 0 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | E + ⟩ + sin ⁡ ( θ 2 ) | E − ⟩ {\displaystyle \left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\left|0\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left|E_{-}\right\rangle } 。經過時間t之後，狀態演變為 | ψ ( t ) ⟩ = e − i H ^ t ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) e − i E + t ℏ | E + ⟩ + sin ⁡ ( θ 2 ) e − i E − t ℏ | E − ⟩ {\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle =e^{\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\left|\psi \left(0\right)\right\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{+}t}{\hbar }}\left|E_{+}\right\rangle +\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)e^{\frac {-iE_{-}t}{\hbar }}\left|E_{-}\right\rangle } 。 如果系統處於 | E + ⟩ {\displaystyle |E_{+}\rangle } 或 | E − ⟩ {\displaystyle |E_{-}\rangle } 之中的某一個本徵態，那麼它將會維持在同一個本徵態。然而，對於如上所示的一般初始狀態而言，時間演化並不顯然。 系統在時刻t處於狀態 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的機率幅為 ⟨   1 | ψ ( t ) ⟩ = e ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) ( e − ı E + t ℏ − e − ı E − t ℏ ) {\textstyle \left\langle \ 1|\psi (t)\right\rangle =e^{\imath \phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)} 。 系統當前處於 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } ，而之後處於任意態 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的機率為 P 0 → 1 ( t ) = | ⟨   1 | ψ ( t ) ⟩ | 2 = e − ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) ( e + ı E + t ℏ − e + ı E − t ℏ ) e + ı ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) cos ⁡ ( θ 2 ) ( e − ı E + t ℏ − e − ı E − t ℏ ) = sin 2 ⁡ θ 4 ( 2 − 2 cos ⁡ ( ( E + − E − ) t ℏ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0\to 1}(t)&={|\langle \ 1|\psi (t)\rangle |}^{2}\\&=e^{-\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {+\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {+\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)e^{+\imath \phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\left(e^{\frac {-\imath E_{+}t}{\hbar }}-e^{\frac {-\imath E_{-}t}{\hbar }}\right)\\&={\frac {\sin ^{2}{\theta }}{4}}\left(2-2\cos \left({\frac {\left(E_{+}-E_{-}\right)t}{\hbar }}\right)\right)\end{aligned}}} 這可以簡化為 P 0 → 1 ( t ) = sin 2 ⁡ ( θ ) sin 2 ⁡ ( ( E + − E − ) t 2 ℏ ) = | W | 2 Δ 2 + | W | 2 sin 2 ⁡ ( ( E + − E − ) t 2 ℏ ) {\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)={\frac {{\left\vert W\right\vert }^{2}}{{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)} .........(1) 這表明， 當系統最初處於狀態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 時，該系統最終處於狀態 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的機率是有限的。機率是以角頻率 ω = E + − E − 2 ℏ = Δ 2 + | W | 2 ℏ {\displaystyle \omega ={\frac {E_{+}-E_{-}}{2\hbar }}={\frac {\sqrt {{\Delta }^{2}+{\left\vert W\right\vert }^{2}}}{\hbar }}} 振盪，而 ω {\displaystyle \omega } 是系統唯一的玻爾頻率，又稱為拉比频率（英语：Rabi frequency）。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 的機率為 | ⟨   0 | ψ ( t ) ⟩ | 2 = 1 − sin 2 ⁡ ( θ ) sin 2 ⁡ ( ( E + − E − ) t 2 ℏ ) {\displaystyle {|\langle \ 0|\psi (t)\rangle |}^{2}=1-\sin ^{2}(\theta )\sin ^{2}\left({\frac {(E_{+}-E_{-})t}{2\hbar }}\right)} ，同樣也是振盪形式。 這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振荡、電離氫分子（英语：Hydrogen_ion）、量子计算、氨邁射等等。 任何双态量子系统都可以用来模拟量子位元。現在考虑一个自旋 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 系统，將磁矩 μ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}} 置于经典磁场 B = B 0   z ^ + B 1 ( cos ⁡ ( ω t )   x ^ − sin ⁡ ( ω t )   y ^ ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=B_{0}\ {\hat {z}}+B_{1}\left(\cos {(\omega t)}\ {\hat {x}}-\sin {(\omega t)}\ {\hat {y}}\right)} 之中。令系统旋磁比 γ {\displaystyle \gamma } ，因此磁矩 μ = ℏ 2 γ σ {\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {\hbar }{2}}\gamma {\boldsymbol {\sigma }}} ，可以給出该系统的哈密顿量 H = − μ ⋅ B = − ℏ 2 ω 0 σ z − ℏ 2 ω 1 ( σ x cos ⁡ ω t − σ y sin ⁡ ω t ) {\displaystyle \mathbf {H} =-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{0}\sigma _{z}-{\frac {\hbar }{2}}\omega _{1}(\sigma _{x}\cos \omega t-\sigma _{y}\sin \omega t)} ，此處 ω 0 = γ B 0 {\displaystyle \omega _{0}=\gamma B_{0}} ， ω 1 = γ B 1 {\displaystyle \omega _{1}=\gamma B_{1}} 。 透過上述步骤，我們可以求得哈密顿量的特征值和特征向量。现在，让量子位元在 t = 0 {\displaystyle t=0} 時刻處於量子態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ，那么，在 t {\displaystyle t} 时刻，量子位元处于量子態 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的機率為 P 0 → 1 ( t ) = ( ω 1 Ω ) 2 sin 2 ⁡ ( Ω t 2 ) {\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\left({\frac {\omega _{1}}{\Omega }}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\Omega t}{2}}\right)} Ω = ( ω − ω 0 ) 2 + ω 1 2 {\displaystyle \Omega ={\sqrt {(\omega -\omega _{0})^{2}+\omega _{1}^{2}}}} ，这种现象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 和 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 之间振荡。振盪的振幅會在 ω = ω 0 {\displaystyle \omega =\omega _{0}} 達到最大，而这即為共振条件。共振时的跃迁機率為 P 0 → 1 ( t ) = sin 2 ⁡ ( ω 1 t 2 ) {\displaystyle P_{0\to 1}(t)=\sin ^{2}\left({\frac {\omega _{1}t}{2}}\right)} ，要从一個量子態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 跃迁到另一個量子態 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } ，只需调整旋转场作用的时间 t {\displaystyle t} 滿足 ω 1 t 2 = π 2 {\displaystyle {\frac {\omega _{1}t}{2}}={\frac {\pi }{2}}} 或是 t = π ω 1 {\displaystyle t={\frac {\pi }{\omega _{1}}}} 就充分了，这叫做「 π {\displaystyle \pi } 脈衝」。如果选择的时间介于0和 π ω 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{\omega _{1}}}} 之间，我们會得到 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 和 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 的疊加態。尤其是當 t = π 2 ω 1 {\displaystyle t={\frac {\pi }{2\omega _{1}}}} 的時候，我们會得到一個「 π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 脈衝」，它的作用是造成 | 0 ⟩ → | 0 ⟩ + i | 1 ⟩ 2 {\displaystyle |0\rangle \to {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}} 量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。当对激光场中的二能階原子进行大致满意的旋转波近似时，方程基本上是相同的。然后两个原子能階之间的能量差 ℏ ω 0 {\displaystyle \hbar \omega _{0}} ( ω {\displaystyle \omega } 是激光波的频率)及拉比频率 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ，与原子的跃迁电偶极矩 d → {\displaystyle {\vec {d}}} 与激光波电场 E → {\displaystyle {\vec {E}}} 的乘积成正比，也就是 ω 1 ∝ ℏ   d → ⋅ E → {\displaystyle \omega _{1}\propto \hbar \ {\vec {d}}\cdot {\vec {E}}} 。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在周期性的電場或磁場中來獲得。 原子相干性（英语：Atomic coherence） 布洛赫球面 雷射激升（英语：Laser pumping） 光激升 拉比頻率（英语：Rabi frequency） 拉比問題（英语：Rabi problem） 真空拉比振盪（英语：Vacuum Rabi oscillation） https://web.archive.org/web/20110719095612/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/zweiniveau/parameter/en/ A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven). https://web.archive.org/web/20110719095819/http://www.itp.tu-berlin.de/menue/lehre/owl/quantenmechanik/elektron-phonon-wechselwirkung/parameter/en/ extended version of the applet. Includes electron phonon interaction. Encyclopedia of Laser Physics and Technology - Rabi oscillations, Rabi frequency, stimulated emission. [2020-04-28]. （原始内容存档于2020-05-08）.  Griffiths, David. Introduction to Quantum Mechanics 2nd. 2005: 341.  Sourendu Gupta. The physics of 2-state systems (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. 27 August 2013 [2020-04-28]. （原始内容存档 (PDF)于2019-07-16）.  Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 191. Griffiths, David (2012). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) p. 196 ISBN 978-8177582307 A Short Introduction to Quantum Information and Quantum Computation by Michel Le Bellac, ISBN 978-0521860567