Cis函數

cis函數示意圖 在微积分学中，cis函數又稱純虛數指數函數，是複變函數的一种，和三角函數類似，其可以使用正弦函數和餘弦函數 cis ⁡ x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x} 來定義，是一種實變數複數值函數（英语：Complex-valued function），其中 i {\displaystyle i} 為虛數單位，而cis則為cos + i sin的縮寫。 cis函數是歐拉公式等號右側的所形的組合函數簡寫： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,} 其中i表示虛數單位 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 。因此 cis ⁡ x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x , {\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,} cis符號最早由威廉·哈密頓在他於1866出版的《Elements of Quaternions》中使用，而Irving Stringham在1893出版的《Uniplanar Algebra》 以及James Harkness和Frank Morley在1898出版的《Theory of Analytic Functions》中皆沿用了此一符號 ，其利用歐拉公式將三角函數與複平面的指數函數連結起來。 cis函數主要的功能為簡化某些數學表達式，透過cis函數可以使部分數學式能更簡便地表達，例如傅里葉變換和哈特利變換的結合，以及應用在教學上時，因某些因素（如課程安排或課綱需求）因故不能使用指數來表達數學式時，cis函數就能派上用場。 cis函數的定义域是整个实数集，值域是單位複數，絕對值為1的複數。它是周期函数，其最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。其图像关于原点对称。 上述文字稱它以類似三角函數的形式來定義函數的原因是，就如同三角函數，他也算是一種比值，複數和其模的比值: cis ⁡ θ = z | z | {\displaystyle \operatorname {cis} \theta ={\frac {z}{\left|z\right|}}} ，其中 z {\displaystyle z} 是辐角為 θ {\displaystyle \theta } 的複數 因此，當一複數的模為1，其反函數就是辐角（arg函數）。 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數可視為求單位複數的函數。 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數的實數部分和餘弦函數相同。 d d z cis ⁡ z = i cis ⁡ z = i e i z {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cis} z=i\operatorname {cis} z=ie^{iz}} ∫ cis ⁡ z d z = − i cis ⁡ z = − i e i z {\displaystyle \int \operatorname {cis} z\,\mathrm {d} z=-i\operatorname {cis} z=-ie^{iz}} 根據歐拉公式，cis函數有以下性質： cis ⁡ ( x + y ) = cis ⁡ x cis ⁡ y {\displaystyle \operatorname {cis} (x+y)=\operatorname {cis} x\,\operatorname {cis} y} cis ⁡ ( x − y ) = cis ⁡ x cis ⁡ y {\displaystyle \operatorname {cis} (x-y)={\operatorname {cis} x \over \operatorname {cis} y}} 上述性質是當 x {\displaystyle x} 與 y {\displaystyle y} 都是複數時成立。在 x {\displaystyle x} 與 y {\displaystyle y} 都是實數時，有以下不等式： | cis ⁡ x − cis ⁡ y | ≤ | x − y | . {\displaystyle |\operatorname {cis} x-\operatorname {cis} y|\leq |x-y|.} 由於 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數的值為「餘弦加上虛數單位倍的正弦」，取其英文縮寫cosine and imaginary unit sine，故以 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 來表示該函數。 在數學上，為了簡化歐拉公式 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x   {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\ } ，因此將歐拉公式以類似三角函數的形式來定義函數，給出了cis函數的定義： cis ⁡ θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\;\sin \theta } 並且一般定義域為 θ ∈ R {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,} ，值域為 θ ∈ C {\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,} 。 當 θ {\displaystyle \theta } 值為複數時， cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數仍然是有效的，因此可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。 在數學上，為了方便起見，可以將棣莫弗公式寫成以下形式： cis n ⁡ ( x ) = cis ⁡ ( n x ) {\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)} 跟其他三角函數類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出: cis ⁡ θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }} cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 的反函數： arccis ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arccis} x} ，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角 類似其他三角函數， cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 的反函數也可以用自然對數來表示 arccis x = − i ln ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arccis} \,x=-{\mathrm {i} }\ln x\,} 當一複數經過符號函數後代入 arccis ⁡ x {\displaystyle \operatorname {arccis} x} 可得輻角。 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數的倍角公式似乎比三角函數簡單許多 cis ⁡ θ 2 = ( 1 + i ) + ( 1 − i ) cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\frac {(1+i)+(1-i)\cos \theta }{\sin \theta }}} cis ⁡ θ 2 = cis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\operatorname {cis} \theta }}} cis ⁡ 2 θ = cis 2 ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} 2\theta =\operatorname {cis} ^{2}\theta } cis ⁡ n θ = cis n ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} n\theta =\operatorname {cis} ^{n}\theta } cis n ⁡ θ = cis ⁡ n θ {\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}\theta =\operatorname {cis} n\theta } 就如同三角函數，我們可以令： cocis ⁡ θ = cos ⁡ ( π 2 − θ ) + i sin ⁡ ( π 2 − θ ) = sin ⁡ θ + i cos ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cocis} \theta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)+i\;\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta +i\;\cos \theta } ，其可用於誘導公式來化簡某些特定的 cis {\displaystyle \operatorname {cis} } 函數的式子。 至於指數定義，經過正弦和餘弦的指數定義得: cocis ⁡ θ = ( 1 − i ) e i θ + ( 1 + i ) e − i θ 2 {\displaystyle \operatorname {cocis} \theta ={\frac {(1-i)e^{i\theta }+(1+i)e^{-i\theta }}{2}}} 有恆等式: cis ⁡ ( − θ ) = − i cocis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} (-\theta )=-i\operatorname {cocis} \theta } cis ⁡ ( π 2 − θ ) = cocis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cocis} \theta } cis ⁡ ( π 2 + θ ) = i cis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=i\operatorname {cis} \theta } cis ⁡ ( π + θ ) = − cis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cis} \theta } cocis ⁡ ( − θ ) = i cis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cocis} (-\theta )=i\operatorname {cis} \theta } cocis ⁡ ( π 2 − θ ) = cis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\operatorname {cis} \theta } cocis ⁡ ( π 2 + θ ) = − i cocis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cocis} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-i\operatorname {cocis} \theta } cocis ⁡ ( π + θ ) = − cocis ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {cocis} (\pi +\theta )=-\operatorname {cocis} \theta } cish函數（ cosh + i sinh {\displaystyle \cosh +i\sinh } ）在幾何意義上與cis函數對應的雙曲函數不同。在雙曲幾何中，與歐幾里得幾何對應cis函數應為： e θ = cosh ⁡ ( θ ) + sinh ⁡ ( θ ) {\displaystyle e^{\theta }=\cosh(\theta )+\sinh(\theta )} 然而當中的 i {\displaystyle i} 若定義為負一的平方根，則其會變為： cish ⁡ θ = cosh ⁡ ( θ ) + i sinh ⁡ ( θ ) {\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+i\sinh(\theta )} 雙曲複數 在一般的情況下，cis函數對應的雙曲函數定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，考慮數 z = x + j y {\displaystyle z=x+jy} ，其中 x , y {\displaystyle x,y} 是實數，而量 j {\displaystyle j} 不是實數，但 j 2 {\displaystyle j^{2}} 是實數。選取 j 2 = − 1 {\displaystyle j^{2}=-1} ，得到一般複數。取 + 1 {\displaystyle +1} 的話，便得到雙曲複數。 而雙曲複數有對應的歐拉公式: e j θ = cosh ⁡ ( θ ) + j sinh ⁡ ( θ ) {\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )} cish ⁡ θ = cosh ⁡ ( θ ) + j sinh ⁡ ( θ ) {\displaystyle \operatorname {cish} \theta =\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )} 其中j為雙曲複數。 因此雙曲cis函數得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函數帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。 如此一來，值域將會變成分裂四元数。 cas函數是一個以類似cis函數的概念定義的一個函數，為雷夫·赫特利（英语：Ralph Hartley）於1942提出，其定義為 c a s ( x ) := cos ⁡ x + sin ⁡ x {\displaystyle \mathrm {cas} (x):=\cos x+\sin x} ，是一種實變數實值函數，而cas為「cosine-and-sine」的縮寫，其表示了實數值的赫特利變換（英语：Hartley transform）： c a s ( x ) = cos ⁡ x + sin ⁡ x {\displaystyle \mathrm {cas} (x)=\cos x+\sin x} cas函數存在一些恆等式： 2 cas ⁡ ( a + b ) = cas ⁡ ( a ) cas ⁡ ( b ) + cas ⁡ ( − a ) cas ⁡ ( b ) + cas ⁡ ( a ) cas ⁡ ( − b ) − cas ⁡ ( − a ) cas ⁡ ( − b ) . {\displaystyle 2\operatorname {cas} (a+b)=\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (b)+\operatorname {cas} (a)\operatorname {cas} (-b)-\operatorname {cas} (-a)\operatorname {cas} (-b).\,} 角和公式： cas ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ ( a ) cas ⁡ ( b ) + sin ⁡ ( a ) cas ⁡ ( − b ) = cos ⁡ ( b ) cas ⁡ ( a ) + sin ⁡ ( b ) cas ⁡ ( − a ) {\displaystyle \operatorname {cas} (a+b)={\cos(a)\operatorname {cas} (b)}+{\sin(a)\operatorname {cas} (-b)}=\cos(b)\operatorname {cas} (a)+\sin(b)\operatorname {cas} (-a)\,} 微分： cas ′ ⁡ ( a ) = d d a cas ⁡ ( a ) = cos ⁡ ( a ) − sin ⁡ ( a ) = cas ⁡ ( − a ) . {\displaystyle \operatorname {cas} '(a)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} a}}\operatorname {cas} (a)=\cos(a)-\sin(a)=\operatorname {cas} (-a).} 正弦 餘弦 複數 (數學) 三角函数 三角函数恆等式 歐拉公式 Weisstein, Eric W. 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As to the marks […], they are to be considered as chiefly available for the present exposition of the system, and as not often wanted, nor employed, in the subsequent practise thereof; and the same remark applies to the recent abrigdement cis, for cos + i sin […]  ([1], [2]) Stringham, Irving. Uniplanar Algebra, being part 1 of a propædeutic to the higher mathematical analysis 1. C. A. Mordock & Co. (printer) 1. San Francisco, US: The Berkeley Press. 1893-07-01: 71–75, 77, 79–80, 82, 84–86, 89, 91–92, 94–95, 100–102, 116, 123, 128–129, 134–135 [1891] [2016-01-18]. As an abbreviation for cos θ + i sin θ it is convenient to use cis θ, which may be read: sector of θ.  Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations 2 2 (3rd corrected printing of 1929 issue). Chicago, US: Open court publishing company. 1952: 133 [March 1929] [2016-01-18]. ISBN 978-1-60206-714-1. ISBN 1-60206-714-7. Stringham denoted cos β + i sin β by "cis β", a notation also used by Harkness and Morley.  (NB. 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