环绕数

在数学中，环绕数（linking number）是描述三维空间中两条闭曲线环绕的一个数值不变量。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是整数，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的定向。 环绕数由高斯以环绕积分的形式引入。它在纽结理论、代数拓扑和微分几何的研究中是重要的对象，并在数学和科学中有许多应用，包括量子力学、电磁学以及 DNA超螺旋的研究。 空间中任何两条闭曲线都恰好可以移动成如下标准位置之一。这决定了环绕数： 每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。 存在一个算法计算出一个链环图表的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负” ： 正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即 环绕数 = n 1 + n 2 − n 3 − n 4 2 , {\displaystyle ={\frac {n_{1}+n_{2}-n_{3}-n_{4}}{2}},\,} 这里 n1, n2, n3, n4 分别表示四类交叉数的个数。两个和 n 1 + n 3 {\displaystyle n_{1}+n_{3}\,\!} 与 n 2 + n 4 {\displaystyle n_{2}+n_{4}\,\!} 总相等。这样得到了如下另外的公式 环绕数 = n 1 − n 4 = n 2 − n 3 . {\displaystyle =\,n_{1}-n_{4}\,=\,n_{2}-n_{3}.\,} 注意到 n 1 − n 4 {\displaystyle n_{1}-n_{4}} 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 n 2 − n 3 {\displaystyle n_{2}-n_{3}} 只涉及到上交叉。 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的怀特黑德链环（英语：Whitehead link））。 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。 环绕数具有手征性：取一个链环的镜像，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于右手法则。 x-y 平面上一条定向曲线的卷绕数等于它与 z-轴（将 z-轴想象为三维球面中一条闭曲线）的环绕数。 更一般地，如果其中一条曲线是简单的，则这个分支的第一同调群同构于整数 Z。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。 在物理学中，环绕数是拓扑量子数之一例，它与量子纠缠有关。 给定两条不交可微曲线 γ 1 , γ 2 : S 1 → R 3 {\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon S^{1}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} ，定义从环面到单位球面高斯映射 Γ {\displaystyle \Gamma } 为 Γ ( s , t ) = γ 1 ( s ) − γ 2 ( t ) | γ 1 ( s ) − γ 2 ( t ) | . {\displaystyle \Gamma (s,t)={\frac {\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)}{|\gamma _{1}(s)-\gamma _{2}(t)|}}.\,} 取单位球面上一点 v，从而链环的正交投影到垂直于 v 的平面给出一个链环图表。观察到点 (s, t) 在高斯映射下映为 v 对应于链环图表中一个交叉，这里 γ 1 {\displaystyle \gamma _{1}} 在 γ 2 {\displaystyle \gamma _{2}} 上。并且 (s, t) 的一个邻域在高斯映射下映为 v 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 v 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 v 的带符号次数。由于 v 是一个正则值，这恰是高斯映射的度数（即 Γ 的像盖住球面的带符号次数）。环绕数的同痕不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。 曲线 γ1 与 γ2 的环绕数的这种表述给出了用二重线积分表示的一个明确公式，即高斯环绕积分： 环绕数 = ϕ ( γ 1 , γ 2 ) = 1 4 π ∮ γ 1 ∮ γ 2 r 1 − r 2 | r 1 − r 2 | 3 ⋅ ( d r 1 × d r 2 ) . {\displaystyle {}\,=\,\phi (\gamma _{1},\gamma _{2})={\frac {1}{4\pi }}\oint _{\gamma _{1}}\oint _{\gamma _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\cdot (d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}).} 这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的雅可比矩阵），然后除以球面的面积（等于 4π）。 就像三维中环绕的闭曲线，任何两个维数为 m 与 n 的闭流形，可能在 m + n + 1 {\displaystyle m+n+1} 维欧几里得空间中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其度数是环绕数的推广。 任何标架纽结（英语：framed knot）有一个自环绕数，得自计算纽结 C 与将曲线 C 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为考夫曼自环绕数（Kauffman's self-linking number）。 U(1) 陳-西蒙斯理論是： C S = k 4 π ∫ M A d A {\displaystyle CS={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}AdA} 若 M = R 3 {\displaystyle M=R^{3}} ，路徑積分是 Z ( C 1 , C 2 ) = ∫ d A exp ⁡ ( i C S + i ∫ C 1 A + i ∫ C 2 A ) = ∫ d A exp ⁡ ( i C S + i ∫ J A ) {\displaystyle Z(C_{1},C_{2})=\int dA\exp {(iCS+i\int _{C_{1}}A+i\int _{C_{2}}A)}=\int dA\exp {(iCS+i\int JA)}} ， 包括C1和C2的威爾森迴圈。J=J1+J2，而且 J i a = ∫ C i d x a δ 3 ( x − x i ( t ) ) {\displaystyle J_{i}^{a}=\int _{C_{i}}dx^{a}\delta ^{3}(x-x_{i}(t))} 因為這是高斯的積分，所以我們不需要重整化或正規化。再說這個積分是拓撲不變。 若J是经典方程就是 d A = ( 2 π / k ) ∗ J {\displaystyle dA=(2\pi /k)*J} 或 ∇ × A = 2 π J / k {\displaystyle \nabla \times A=2\pi J/k} 若我们选洛伦茨规范 d ∗ A = 0 {\displaystyle d*A=0} ∇ 2 A = − 2 π ∇ × J / k {\displaystyle \nabla ^{2}A=-2\pi \nabla \times J/k} 从电磁学，解是 A ( x ) = 1 2 k ∫ d 3 y ∇ × J ( y ) | x − y | {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2k}}\int d^{3}y{\frac {\nabla \times J(y)}{|x-y|}}} 则 Z [ C 1 , C 2 ] = exp ⁡ ( 2 π i ϕ ( C 1 , C 2 ) / k ) {\displaystyle Z[C_{1},C_{2}]=\exp(2\pi i\phi (C_{1},C_{2})/k)} 这是最简单的一个拓撲量子場論。根据爱德华·威滕的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如琼斯多项式。 陳-西蒙斯理論 卷绕数 绞拧数 扭转数 曲线的微分几何 链环 (纽结理论)（英语：Link (knot theory)） 霍普夫不变量 吻接数（英语：kissing number） 这与计算一个纽结的绞拧数时使用的标记是一致的，不过此情形我们只需标记涉及两条曲线的交叉。 如果其中一条曲线是简单的，这由若尔当曲线定理得到。例如，如果蓝曲线是简单的，则 n1 + n3 与 n2 + n4 表示红曲线向内与向外穿过蓝曲线所围区域的次数。 A.V. Chernavskii, Linking coefficient, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  -, Writhing number, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4