双曲函数

雙曲函數示意圖 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是雙曲正弦函数 sinh {\displaystyle \sinh } 和雙曲餘弦函数 cosh {\displaystyle \cosh } ，从它们可以导出双曲正切函数 tanh {\displaystyle \tanh } 等，其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数。 双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。 最簡單的幾種雙曲函數為： 雙曲正弦： sinh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} 雙曲餘弦： cosh ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} 雙曲正切： tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x = e 2 x − 1 e 2 x + 1 . {\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.} 雙曲餘切：當 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} coth ⁡ x = cosh ⁡ x sinh ⁡ x = e x + e − x e x − e − x = e 2 x + 1 e 2 x − 1 . {\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.} 雙曲正割： sech ⁡ x = 1 cosh ⁡ x = 2 e x + e − x = 2 e x e 2 x + 1 . {\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.} 雙曲餘割：當 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} csch ⁡ x = 1 sinh ⁡ x = 2 e x − e − x = 2 e x e 2 x − 1 . {\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.} 函数 cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x} 是关于y轴对称的偶函数。函数 sinh ⁡ x {\displaystyle \sinh x} 是奇函数。 如同当 t {\displaystyle t} 遍历实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 时，点（ cos ⁡ t {\displaystyle \cos t} , sin ⁡ t {\displaystyle \sin t} ）的轨迹是一个圆 x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 一样，当 t {\displaystyle t} 遍历实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 时，点（ cosh ⁡ t {\displaystyle \cosh t} , sinh ⁡ t {\displaystyle \sinh t} ）的轨迹是單位雙曲線（英语：Unit hyperbola） x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} 的右半边。这是因为有以下的恒等式： cosh 2 ⁡ t − sinh 2 ⁡ t = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1} 参数t不是圆角而是双曲角，它表示在x轴和连接原点和双曲线上的点（ cosh ⁡ t {\displaystyle \cosh t} , sinh ⁡ t {\displaystyle \sinh t} ）的直线之间的面积的两倍。 在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特引入雙曲函數，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函數是在直角雙曲線 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線 y = x {\displaystyle y=x} 上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角 u {\displaystyle u} ，在漸近線即x或y軸上需要有的 x {\displaystyle x} 或 y {\displaystyle y} 的值。顯見這裡的底邊是 ( e u + e − u ) 2 2 {\displaystyle \left(e^{u}+e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}} ，垂線是 ( e u − e − u ) 2 2 {\displaystyle \left(e^{u}-e^{-u}\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}} 。 通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有： cosh ⁡ u = e u + e − u 2 {\displaystyle \cosh u={\frac {e^{u}+e^{-u}}{2}}} sinh ⁡ u = e u − e − u 2 {\displaystyle \sinh u={\frac {e^{u}-e^{-u}}{2}}} 單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 x y = 1 {\displaystyle xy=1} 下雙曲角的 1 2 {\displaystyle {1 \over 2}} 。 雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果 x {\displaystyle x} 是實數而 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ，則 cos ⁡ ( i x ) = cosh ⁡ ( x ) , {\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x),\quad } − i sin ⁡ ( i x ) = sinh ⁡ ( x ) . {\displaystyle -i\sin(ix)=\sinh(x).} 所以雙曲函數 cosh {\displaystyle \cosh } 和 sinh {\displaystyle \sinh } 可以通過圓函數來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函數表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成 cosh {\displaystyle \cosh } 函數，後者形成了 sinh {\displaystyle \sinh } 函數。 cos {\displaystyle \cos } 函數的無窮級數可從 cosh {\displaystyle \cosh } 得出，通過把它變為交錯級數，而 sin {\displaystyle \sin } 函數可來自將 sinh {\displaystyle \sinh } 變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數 i {\displaystyle i} ，從三角函數的級數的項中去掉交錯因子 ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} ，來恢復為指數函數的那兩部份級數。 e x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!} cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&\sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}&\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{array}}} 雙曲函數可以通過虛數圓角定義為： 雙曲正弦： sinh ⁡ x = − i sin ⁡ ( i x ) {\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix)\!} 雙曲餘弦： cosh ⁡ x = cos ⁡ ( i x ) {\displaystyle \cosh x=\cos(ix)\!} 雙曲正切： tanh ⁡ x = − i tan ⁡ ( i x ) {\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix)\!} 雙曲餘切： coth ⁡ x = i cot ⁡ ( i x ) {\displaystyle \coth x=i\cot(ix)\!} 雙曲正割： sech ⁡ x = sec ⁡ ( i x ) {\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix)\!} 雙曲餘割： csch ⁡ x = i csc ⁡ ( i x ) {\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix)\!} 這些複數形式的定義得出自歐拉公式。 奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。 給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角 α {\displaystyle \alpha } 得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係: 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。 角的量值可以從0到無限大，但 α {\displaystyle \alpha } 實際上只會介於 0 {\displaystyle 0} 到 2 π {\displaystyle 2\pi } （360度）之間，其餘是 α {\displaystyle \alpha } 的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。雙曲角的量值可以從 0 {\displaystyle 0} 到無限大，但 α {\displaystyle \alpha } 實際上不會超過 π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} （45度），故無法如三角函數一樣有周期性。 与双曲函数有关的恆等式如下: cosh 2 ⁡ x − sinh 2 ⁡ x = 1 1 − tanh 2 ⁡ x = sech 2 ⁡ x coth 2 ⁡ x − 1 = csch 2 ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x\\\operatorname {coth} ^{2}x-1=\operatorname {csch} ^{2}x\\\end{aligned}}} 加法公式： sinh ⁡ ( x + y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y + cosh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y} cosh ⁡ ( x + y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y + sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y} tanh ⁡ ( x + y ) = tanh ⁡ x + tanh ⁡ y 1 + tanh ⁡ x tanh ⁡ y {\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}} 二倍角公式： sinh ⁡ 2 x   = 2 sinh ⁡ x cosh ⁡ x {\displaystyle \sinh 2x\ =2\sinh x\cosh x} cosh ⁡ 2 x   = cosh 2 ⁡ x + sinh 2 ⁡ x = 2 cosh 2 ⁡ x − 1 = 2 sinh 2 ⁡ x + 1 {\displaystyle \cosh 2x\ =\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=2\cosh ^{2}x-1=2\sinh ^{2}x+1} tanh ⁡ 2 x = 2 tanh ⁡ x 1 + tanh 2 ⁡ x {\displaystyle \tanh 2x={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}} 和差化積： sinh ⁡ x + sinh ⁡ y = 2 sinh ⁡ ( x + y 2 ) cosh ⁡ ( x − y 2 ) cosh ⁡ x + cosh ⁡ y = 2 cosh ⁡ ( x + y 2 ) cosh ⁡ ( x − y 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}} 半角公式： sinh ⁡ x 2 = sinh ⁡ x 2 ( cosh ⁡ x + 1 ) = sgn ⁡ x cosh ⁡ x − 1 2 {\displaystyle \sinh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}} cosh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x + 1 2 {\displaystyle \cosh {\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}} tanh ⁡ x 2 = sinh ⁡ x cosh ⁡ x + 1 = sgn ⁡ x cosh ⁡ x − 1 cosh ⁡ x + 1 = e x − 1 e x + 1 {\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}} 其中 sgn 為符號函數。 若 x ≠ 0，則： tanh ⁡ x 2 = cosh ⁡ x − 1 sinh ⁡ x = coth ⁡ x − csch ⁡ x {\displaystyle \tanh {\frac {x}{2}}={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x} 由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個 sinh {\displaystyle \sinh } 的積的项（包括 coth 2 ⁡ x , tanh 2 ⁡ x , csch 2 ⁡ x , sinh ⁡ x sinh ⁡ y {\displaystyle \coth ^{2}x,\tanh ^{2}x,\operatorname {csch} ^{2}x,\sinh x\sinh y} ）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如 三倍角公式： 三角函数的三倍角公式为： sin ⁡ 3 x   = 3 sin ⁡ x − 4 sin 3 ⁡ x {\displaystyle \sin 3x\ =3\sin x-4\sin ^{3}x} cos ⁡ 3 x   = − 3 cos ⁡ x + 4 cos 3 ⁡ x {\displaystyle \cos 3x\ =-3\cos x+4\cos ^{3}x} 而对应的双曲函数三倍角公式则是： sinh ⁡ 3 x   = 3 sinh ⁡ x + 4 sinh 3 ⁡ x {\displaystyle \sinh 3x\ =3\sinh x+4\sinh ^{3}x} cosh ⁡ 3 x   = − 3 cosh ⁡ x + 4 cosh 3 ⁡ x {\displaystyle \cosh 3x\ =-3\cosh x+4\cosh ^{3}x} 差角公式： sinh ⁡ ( x − y ) = sinh ⁡ x cosh ⁡ y − cosh ⁡ x sinh ⁡ y cosh ⁡ ( x − y ) = cosh ⁡ x cosh ⁡ y − sinh ⁡ x sinh ⁡ y tanh ⁡ ( x − y ) = tanh ⁡ x − tanh ⁡ y 1 − tanh ⁡ x tanh ⁡ y {\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}} d d x sinh ⁡ x = cosh ⁡ x d d x cosh ⁡ x = sinh ⁡ x d d x tanh ⁡ x = 1 − tanh 2 ⁡ x = sech 2 ⁡ x = 1 cosh 2 ⁡ x d d x coth ⁡ x = 1 − coth 2 ⁡ x = − csch 2 ⁡ x = − 1 sinh 2 ⁡ x x ≠ 0 d d x sech ⁡ x = − tanh ⁡ x sech ⁡ x d d x csch ⁡ x = − coth ⁡ x csch ⁡ x x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}} 雙曲函數也可以以泰勒級數展開: sinh ⁡ x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} cosh ⁡ x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + x 6 6 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} tanh ⁡ x = x − x 3 3 + 2 x 5 15 − 17 x 7 315 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 2 2 n ( 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} coth ⁡ x = 1 x + x 3 − x 3 45 + 2 x 5 945 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 2 n B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } （罗朗级数） sech x = 1 − x 2 2 + 5 x 4 24 − 61 x 6 720 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ E 2 n x 2 n ( 2 n ) ! , | x | < π 2 {\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} csch x = 1 x − x 6 + 7 x 3 360 − 31 x 5 15120 + ⋯ = 1 x + ∑ n = 1 ∞ 2 ( 1 − 2 2 n − 1 ) B 2 n x 2 n − 1 ( 2 n ) ! , 0 < | x | < π {\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } （罗朗级数） 其中 B n {\displaystyle B_{n}} 是第 n {\displaystyle n} 項伯努利數 E n {\displaystyle E_{n}} 是第 n {\displaystyle n} 項欧拉數 下列的擴展在整個複數平面上成立： sinh ⁡ x = x ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 n 2 π 2 ) = x 1 − x 2 2 ⋅ 3 + x 2 − 2 ⋅ 3 x 2 4 ⋅ 5 + x 2 − 4 ⋅ 5 x 2 6 ⋅ 7 + x 2 − ⋱ {\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}} cosh ⁡ x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x 2 ( n − 1 / 2 ) 2 π 2 ) = 1 1 − x 2 1 ⋅ 2 + x 2 − 1 ⋅ 2 x 2 3 ⋅ 4 + x 2 − 3 ⋅ 4 x 2 5 ⋅ 6 + x 2 − ⋱ {\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}} tanh ⁡ x = 1 1 x + 1 3 x + 1 5 x + 1 7 x + ⋱ {\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}} ∫ sinh ⁡ c x d x = 1 c cosh ⁡ c x + C {\displaystyle \int \sinh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\cosh cx+C} ∫ cosh ⁡ c x d x = 1 c sinh ⁡ c x + C {\displaystyle \int \cosh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\sinh cx+C} ∫ tanh ⁡ c x d x = 1 c ln ⁡ ( cosh ⁡ c x ) + C {\displaystyle \int \tanh cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln(\cosh cx)+C} ∫ coth ⁡ c x d x = 1 c ln ⁡ | sinh ⁡ c x | + C {\displaystyle \int \coth cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\sinh cx\right|+C} ∫ sech ⁡ c x d x = 1 c arctan ⁡ ( sinh ⁡ c x ) + C {\displaystyle \int \operatorname {sech} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\arctan(\sinh cx)+C} ∫ csch ⁡ c x d x = 1 c ln ⁡ | tanh ⁡ c x 2 | + C {\displaystyle \int \operatorname {csch} cx\,\mathrm {d} x={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|+C} 從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式: e x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x} 和 e − x = cosh ⁡ x − sinh ⁡ x {\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x} 因為指數函數可以定義為任何複數參數，也可以擴展雙曲函數的定義為複數參數。函數 sinh ⁡ z {\displaystyle \sinh z} 和 cosh ⁡ z {\displaystyle \cosh z} 是全純函數。 指數函數與三角函數的關係由歐拉公式給出： e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x e − i x = cos ⁡ x − i sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\;\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\;\sin x\end{aligned}}} 所以: cosh ⁡ i x = 1 2 ( e i x + e − i x ) = cos ⁡ x sinh ⁡ i x = 1 2 ( e i x − e − i x ) = i sin ⁡ x tanh ⁡ i x = i tan ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh ix&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh ix&=i\tan x\\\end{aligned}}} cosh ⁡ ( x + i y ) = cosh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i sinh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) sinh ⁡ ( x + i y ) = sinh ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) + i cosh ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\end{aligned}}} cosh ⁡ x = cos ⁡ i x sinh ⁡ x = − i sin ⁡ i x tanh ⁡ x = − i tan ⁡ i x {\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x&=\cos ix\\\sinh x&=-i\sin ix\\\tanh x&=-i\tan ix\end{aligned}}} 因此，雙曲函數是關於虛部有週期的，週期為 2 π i {\displaystyle 2\pi i} （對雙曲正切和餘切是 π i {\displaystyle \pi i} ）。 反双曲函数是双曲函数的反函数。它们的定义为： arsinh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) arcosh ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) ; x ≥ 1 artanh ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) ; | x | < 1 arcoth ⁡ ( x ) = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 x − 1 ) ; | x | > 1 arsech ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 − x 2 x ) ; 0 < x ≤ 1 arcsch ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) ; x ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0\end{aligned}}} Weisstein, Eric W. (编). Hyperbolic Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-08-29]. （原始内容存档于2022-05-21） （英语）.  Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.  Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 [2014-03-27], ISBN 9780387331973, （原始内容存档于2014-01-12）, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.  Augustus De Morgan (1849) Trigonometry and Double Algebra （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry" G. Osborn, Mnemonic for hyperbolic formulae[失效連結], The Mathematical Gazette, p. 189, volume 2, issue 34, July 1902 反双曲函数 双曲函数符号 三角函数 古德曼函数