面积

面積（英語：Area）是用作表示一個曲面或平面圖形所佔範圍的量，可看成是長度（一維度量）及體積（三維度量）的二維類比。對三維立體圖形而言，圖形的邊界的面積稱為表面積。 計算各基本平面圖形面積及基本立體圖形的表面積公式早已為古希臘及古中國人所熟知。 面積在近代數學中佔相當重要的角色。面積除與幾何學及微積分有關外，亦與線性代數中的行列式有關。在分析學中，平面的面積通常以勒貝格測度（英語：Lebesgue measure）定義。 最基本的面積公式是長方形的公式。當l是長，w是寬時，其公式為： A = l w {\displaystyle A=lw} 當其圖形是一個正方形時， l = w {\displaystyle l=w} ，因此正方形的公式為： A = s 2 {\displaystyle A=s^{2}} 長方形的面積計算方法需要證明。 引理：兩個長方形面積之比等於其長寬之積之比 如圖，根據《幾何原本》第六卷命題一 ——等高之平行四邊形的面積比與其底之比等同，我們得到 B : Y = a : c = a d : c d （ 第 五 卷 命 題 十 五 ） , {\displaystyle {\begin{aligned}B:Y&=a:c\\&=ad:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}} 又 Y : G = b : d = a b : a d （ 第 五 卷 命 題 十 五 ） , {\displaystyle {\begin{aligned}Y:G&=b:d\\&=ab:ad{\text{（ 第 五 卷 命 題 十 五 ）}},\end{aligned}}} 所以 B : G = a b : c d （ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ） , {\displaystyle B:G=ab:cd{\text{（ 第 五 卷 命 題 二 十 三 ）}},} 引理證畢。 定理：長方形的面積等於其長寬之積 根據引理， A:R=lw:(1x1) 定義單位正方形的面積為一平方單位。由於R是單位正方形，因此面積是一平方單位。將一平方單位代入R，得到：A:1=lw:1 A = l w {\displaystyle A=lw} （第五卷命題九） （定理證畢） 有些簡單的公式可以切割的方式得出。 例如平行四邊形，可以切割成一個梯形和一個直角三角形，如同右圖。如果三角形移到平行四邊形的另一邊，就可以變成一個長方形。因此，平行四邊形的面積公式有點像長方形的： A = b h {\displaystyle A=bh} 至於同樣的平行四邊形可以分割為兩個全等三角形。因此三角形的公式為： A = 1 2 b h {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} 圓形面積公式是基於基本的面積公式，假設有一個半徑為r的圓形，分成很多扇形，那一個扇形的面積就會很接近三角形，就像上圖一樣。如果分得夠細小，就可以看到半徑為r的圓形面積相等於一個高為r，底為πr的平行四邊形。 我們也可以用積分得到更肯定的答案。 A = 2 ∫ − r r r 2 − x 2 d x = π r 2 . {\displaystyle A=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx=\pi r^{2}.} 計算不規則之圖形面積，可用填補法或切割法來計算之。 一些基本的立體表面積公式： 立方體： 6 x 2 {\displaystyle 6x^{2}} （x是立方體的邊長） 長方體： 2 ( l w + w h + h l ) {\displaystyle 2(lw+wh+hl)} （l、w、h分別是長方體的長、寬和高） 球體： 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} （r是球體的半徑） 球冠： 2 π r h {\displaystyle 2\pi rh} （球冠是指被平面截下的部分球面；r是球體的半徑；h是球冠高） 直立圓錐體： π r ( r + r 2 + h 2 ) {\displaystyle \pi r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})} （r是圓錐體底部的半徑，h是它的高） 直立圓柱體： 2 π r ( h + r ) {\displaystyle 2\pi r(h+r)} （r是圓柱體圓形底部的半徑，h是它的高） 面積的測量單位主要包括： 平方公里——1,000,000平方米 平方公引（ha）——10,000平方米 平方公丈（a）——100平方米 平方公尺——1平方米，國際標準單位 平方公寸——0.01平方米 平方公分——0.0001平方分米 平方公釐——0.000001平方厘米 市制： 畝——10丈 × 6丈 ——33.33米 × 20米 ——666.67平方米 平方市里——0.25平方公里 平方市尺——1/9平方米 臺制： 甲——9,699.173平方公尺（平方米） 坪——3.3058平方公尺（平方米） 香港： 平方呎（平方英尺）——929平方厘米 其中一個定義面積的方法是利用公理定義。面積可以定義為一個由所有（可測）平面圖形組成的集合M映射至實數的函數a，並滿足以下條件： 對於所有 S ∈ M {\displaystyle S\in M} ，有 a ( S ) ≥ 0 {\displaystyle a(S)\geq 0} 。 若 S , T ∈ M {\displaystyle S,T\in M} ，則 S ∪ T ∈ M {\displaystyle S\cup T\in M} 及 S ∩ T ∈ M {\displaystyle S\cap T\in M} ，且 a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) − a ( S ∩ T ) {\displaystyle a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)} 。 若 S , T ∈ M {\displaystyle S,T\in M} 且 S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} ，則 T − S ∈ M {\displaystyle T-S\in M} ，且 a ( T − S ) = a ( T ) − a ( S ) {\displaystyle a(T-S)=a(T)-a(S)} 。 若 S ∈ M {\displaystyle S\in M} 且 S {\displaystyle S} 全等於 T {\displaystyle T} ，則 T ∈ M {\displaystyle T\in M} ，且 a ( S ) = a ( I ) {\displaystyle a(S)=a(I)} 。 任一矩形 R {\displaystyle R} 均屬於 M {\displaystyle M} 。若矩形的長為 ℓ {\displaystyle \ell } 而寬為 w {\displaystyle w} ，則 a ( R ) = ℓ w {\displaystyle a(R)=\ell w} 。 設 Q {\displaystyle Q} 為一平面圖形。若存在唯一的實數 c {\displaystyle c} ，使得所有滿足 S ⊆ Q ⊆ T {\displaystyle S\subseteq Q\subseteq T} 的有限個矩形的聯集（finite union of rectangles） S {\displaystyle S} 及 T {\displaystyle T} 均有 a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) {\displaystyle a(S)\leq c\leq a(T)} ，則 Q ∈ M {\displaystyle Q\in M} ，且 a ( Q ) = c {\displaystyle a(Q)=c} 。 可以證明，滿足上述條件的函數存在。 Weisstein, Eric W. (编). Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [3 July 2012]. （原始内容存档于2012-05-05） （英语）.  Area Formulas. Math.com. [2 July 2012]. （原始内容存档于2012-07-02）.  Area of a Regular Polygon [正多邊形的面積]. mathwords.com. [2021-09-23]. （原始内容存档于2022-01-04） （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Surface Area. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [3 July 2012]. （原始内容存档于2012-06-23） （英语）.  mathdb.org - 存档副本 (PDF). [2016-06-12]. （原始内容 (PDF)存档于2014-07-25）.  Euclid's Elements Book VI Proposition 1. [2014-12-30]. （原始内容存档于2017-06-30）.  Braden, Bart. The Surveyor's Area Formula (PDF). The College Mathematics Journal. September 1986, 17 (4): 326–337 [15 July 2012]. doi:10.2307/2686282. （原始内容存档 (PDF)于2012-06-27）.  Moise, Edwin. Elementary Geometry from an Advanced Standpoint. Addison-Wesley Pub. Co. 1963 [15 July 2012].  面積單位換算 （页面存档备份，存于互联网档案馆）