Γ函数

在數學中， Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果 n {\displaystyle n} 為正整數，則： Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!} 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t,}}} ℜ ( z ) > 0. {\displaystyle \Re (z)>0.} 数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義： Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}{\rm {{d}t}}} 对复数 z {\displaystyle z\,} ，我们要求 R e ( z ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)>0} 。 Γ {\displaystyle \Gamma } 函數还可以通过对 e − t {\displaystyle \mathrm {e} ^{-t}\,} 做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! 1 n + z {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}{\rm {d}}t+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{n+z}}} 这样定义的 Γ {\displaystyle \Gamma } 函數在全平面除了 z = 0 , − 1 , − 2 , … {\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots } 以外的地方解析。 Γ {\displaystyle \Gamma } 函數也可以用无穷乘积的方式表示： Γ ( z ) = 1 z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 ( 1 + 1 n ) z {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}} 这说明 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 是亚纯函数，而 1 Γ ( z ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}} 是全纯函数。 Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解： 『找到一個光滑曲線連接那些由 y = ( x − 1 ) ! {\displaystyle y=(x-1)!} 所給定的點 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ，並要求 x {\displaystyle x} 要為正整數』 由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於 x {\displaystyle x} 值的大小。而最簡單的階乘公式 x ! = 1 × 2 × ⋯ × x {\displaystyle x!=1\times 2\times \cdots \times x} 不能直接應用在 x {\displaystyle x} 值為分数的時候，因為它被限定在 x {\displaystyle x} 值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 x ! {\displaystyle x!} ，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。 階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 k sin ⁡ ( m π x ) {\displaystyle k\sin(m\pi x)} ，會給出其他函數有著階乘性質。 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函數可以用無窮乘積表示： Γ ( z ) = lim n → ∞ n ! n z ∏ k = 0 n ( z + k ) − 1 {\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to {\infty }}n!\;n^{z}\prod _{k=0}^{n}(z+k)^{-1}} Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z n {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}\mathrm {e} ^{\frac {z}{n}}} 其中 γ {\displaystyle \gamma \,} 是欧拉-马歇罗尼常数。 1 = ∫ 0 ∞ x α − 1 λ α e − λ x Γ ( α ) d x {\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}\lambda ^{\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}{\rm {d}}x} ⟹ Γ ( α ) λ α = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x {\displaystyle \implies {\frac {\Gamma \left(\alpha \right)}{\lambda ^{\alpha }}}=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}\mathrm {e} ^{-\lambda x}{\rm {d}}x} Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数的递推公式为： Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)} ， 对于正整数 n {\displaystyle n\,} ，有 Γ ( n + 1 ) = n ! {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!} ， 可以说 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数是階乘的推廣。 Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x x n + 1 − 1 d x = ∫ 0 ∞ e − x x n d x {\displaystyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}{\rm {d}}x} 我们用分部积分法来计算这个积分： ∫ 0 ∞ e − x x n d x = [ − x n e x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n}\mathrm {d} x=\left[{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }+n\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{\rm {d}}x} 当 x = 0 {\displaystyle x=0\,} 时， − 0 n e 0 = 0 1 = 0 {\displaystyle {\tfrac {-0^{n}}{\mathrm {e} ^{0}}}={\tfrac {0}{1}}=0} 。当 x {\displaystyle x\,} 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有： lim x → ∞ − x n e x = lim x → ∞ − n ! ⋅ 0 e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 0}{\mathrm {e} ^{x}}}=0} . 因此第一项 [ − x n e x ] 0 ∞ {\displaystyle \left[{\tfrac {-x^{n}}{\mathrm {e} ^{x}}}\right]_{0}^{\infty }} 变成了零，所以： Γ ( n + 1 ) = n ∫ 0 ∞ x n − 1 e x d x {\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{\mathrm {e} ^{x}}}{\rm {d}}x} 等式的右面正好是 n Γ ( n ) {\displaystyle n\Gamma (n)\,} , 因此，递推公式为： Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) {\displaystyle {\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}\,} . 當 z → 0 + {\displaystyle z\to 0^{+}} 時， Γ ( z ) → + ∞ {\displaystyle \Gamma (z)\to +\infty } 歐拉反射公式（余元公式）： Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ⁡ π z ( 0 < R e ( z ) < 1 ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)} . 由此可知当   z = 1 2 {\displaystyle \ z={\tfrac {1}{2}}} 时， Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} . 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换: Γ ( z ) = M { e − x } ( z ) . {\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z).} 乘法定理： Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z)} 。 Γ ( z ) Γ ( z + 1 m ) Γ ( z + 2 m ) ⋯ Γ ( z + m − 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\tfrac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\tfrac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz)} . 此外： Γ ( n + 1 2 ) = ( 2 n ) ! π n ! 4 n {\displaystyle \Gamma \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {(2n)!{\sqrt {\pi }}}{n!4^{n}}}} . 使用乘法定理推導的關係： Γ ( 1 / 6 ) = Γ ( 1 / 3 ) 2 / π ∗ 2 2 / 3 ∗ sin ⁡ ( π / 3 ) . {\displaystyle \Gamma (1/6)=\Gamma (1/3)^{2}/{\sqrt {\pi }}*2^{2/3}*\sin({\pi /3}).} Γ ( 5 / 6 ) = 1 / Γ ( 1 / 3 ) 2 ∗ π 3 ∗ 2 4 / 3 / 3 . {\displaystyle \Gamma (5/6)=1/\Gamma (1/3)^{2}*{\sqrt {\pi }}^{3}*2^{4/3}/{\sqrt {3}}.} Γ ( 1 / 10 ) = Γ ( 1 / 5 ) ∗ Γ ( 2 / 5 ) / π ∗ 2 4 / 5 ∗ sin ⁡ ( 2 ∗ π / 5 ) . {\displaystyle \Gamma (1/10)=\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5)/{\sqrt {\pi }}*2^{4/5}*\sin({2*\pi /5}).} Γ ( 3 / 10 ) = Γ ( 1 / 5 ) / Γ ( 2 / 5 ) ∗ π / 2 3 / 5 / sin ⁡ ( 3 ∗ π / 10 ) . {\displaystyle \Gamma (3/10)=\Gamma (1/5)/\Gamma (2/5)*{\sqrt {\pi }}/2^{3/5}/\sin({3*\pi /10}).} Γ ( 7 / 10 ) = Γ ( 2 / 5 ) / Γ ( 1 / 5 ) ∗ π ∗ 2 3 / 5 . {\displaystyle \Gamma (7/10)=\Gamma (2/5)/\Gamma (1/5)*{\sqrt {\pi }}*2^{3/5}.} Γ ( 9 / 10 ) = 1 / ( Γ ( 1 / 5 ) ∗ Γ ( 2 / 5 ) ) ∗ π 3 / 2 4 / 5 / ( sin ⁡ ( π / 10 ) ∗ sin ⁡ ( 2 ∗ π / 5 ) ) . {\displaystyle \Gamma (9/10)=1/(\Gamma (1/5)*\Gamma (2/5))*{\sqrt {\pi }}^{3}/2^{4/5}/(\sin(\pi /10)*\sin({2*\pi /5})).} 此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。 極限性質 對任何實數α lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ R {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbf {R} } Γ函數與斯特靈公式 斯特靈公式能用以估計 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} 函数的增長速度。公式為： Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},} 其中e約等於2.718281828459。 Γ ( − 3 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363 271 801 207 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.544 907 701 811 Γ ( 1 2 ) = π ≈ 1.772 453 850 906 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 2 ) = 1 2 π ≈ 0.886 226 925 453 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 2 ) = 3 4 π ≈ 1.329 340 388 179 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 2 ) = 15 8 π ≈ 3.323 350 970 448 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx &2.363\,271\,801\,207\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.544\,907\,701\,811\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &1.772\,453\,850\,906\\\Gamma (1)&=&0!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx &0.886\,226\,925\,453\\\Gamma (2)&=&1!&=&1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx &1.329\,340\,388\,179\\\Gamma (3)&=&2!&=&2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx &3.323\,350\,970\,448\\\Gamma (4)&=&3!&=&6\end{array}}} 连分数表示 伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和： Γ ( z ) = e − 1 2 + 0 − z + 1 z − 1 2 + 2 − z + 2 z − 2 2 + 4 − z + 3 z − 3 2 + 6 − z + 4 z − 4 2 + 8 − z + 5 z − 5 2 + 10 − z + ⋱ + e − 1 z + 0 − z + 0 z + 1 + 1 z + 2 − z + 1 z + 3 + 2 z + 4 − z + 2 z + 5 + 3 z + 6 − ⋱ {\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}} Γ函數的微分 對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有 d n d z n Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\,\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}dt} 於是，對任何正整數 m Γ ′ ( m + 1 ) = m ! ( − γ + ∑ k = 1 m 1 k ) {\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,} 其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。 Γ ( x + i y ) = { ∫ 1 ∞ t x − 1 e t cos ⁡ ( y ln ⁡ t ) d t + ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! [ k + x ( k + x ) 2 + y 2 ] } + i { ∫ 1 ∞ t x − 1 e t sin ⁡ ( y ln ⁡ t ) d t − ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! [ y ( k + x ) 2 + y 2 ] } {\displaystyle \Gamma (x+{\rm {i}}y)=\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\cos(y\ln t){\rm {d}}t+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left[{\frac {k+x}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]\right\}+{\rm {i}}\left\{\int _{1}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\sin(y\ln t){\rm {d}}t-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\left[{\frac {y}{(k+x)^{2}+y^{2}}}\right]}\right\}\,} 注意到在 Γ {\displaystyle \Gamma } 函數的積分定義中若取 z {\displaystyle z\,} 為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程 Γ ( z ) Γ ( 1 − z ) = π sin ⁡ π z ( 0 < R e ( z ) < 1 ) {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin {\pi z}}}\quad (0<\mathrm {Re} (z)<1)} 並注意到函數 sin ⁡ ( π z ) {\displaystyle \sin(\pi z)\,} 在整個複平面上有解析延拓，我們可以在 R e ( z ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1} 時設 Γ ( z ) = π Γ ( 1 − z ) sin ⁡ π z {\displaystyle \Gamma (z)={\dfrac {\pi }{\Gamma (1-z)\sin {\pi z}}}} 從而將 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在 z = 0 , − 1 , − 2 , − 3 ⋯ {\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots } 有單極點，留數為 R e s ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \mathrm {Res} (\Gamma ,-n)={\dfrac {(-1)^{n}}{n!}}.} 許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實数的伽玛函数的值。 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925 而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位： Γ ( z ) ≈ 2 π z ( z e z sinh ⁡ 1 z + 1 810 z 6 ) z {\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {z}{e}}{\sqrt {z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}}}\right)^{z}} 双伽玛函数 多伽玛函数 倒數伽瑪函數 反伽瑪函數 伽玛分布 P. J., Davis. Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function. American Mathematical Monthly. 1959 [2023-01-01]. doi:10.2307/2309786. （原始内容存档于2023-01-01）.  Mada, L. Relations of the Gamma function. R code on Github. Code publicly available on Github [Personal Research]. 2020-04-24 [2020-04-24]. （原始内容存档于2021-04-02）. Relations of the Gamma function  Exponential integral E: Continued fraction representations. [2023-01-01]. （原始内容存档于2022-11-09）.  Viktor T. Toth. "Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function". 2006 [2018-11-18]. （原始内容存档于2007-02-23）.  神奇的Gamma函数(上) 神奇的Gamma函数(下)