测地曲率

测地曲率：设P是曲線（C）上一点， α {\displaystyle \alpha } 是（C）在P点的单位切向量， β {\displaystyle \beta } 是主法向量， γ {\displaystyle \gamma } 是副法向量。再设n是曲面S在P点的单位法向量。命 ε = n × α {\displaystyle \varepsilon =n\times \alpha } 。 曲线（C）在P点的曲率向量 r ¨ = k β {\displaystyle {\ddot {r}}=k\beta } 在 ε {\displaystyle \varepsilon } 上的投影（也就是在S上P点的切平面上的投影） k g = r ¨ ⋅ ε {\displaystyle k_{g}={\ddot {r}}\cdot \varepsilon } 称为曲线（C）在P点的测地曲率。 曲面S上的曲线（C），它在P点的测地曲率的绝对值等于（C）在P点的切平面上的正投影曲线（C'）的曲率。 k 2 = k g 2 + k n 2 {\displaystyle k^{2}=k_{g}^{2}+k_{n}^{2}} 式中，k为曲线在P点的曲率， k n {\displaystyle k_{n}} 为曲线在P点的法曲率。 今有一緊緻定向的二維曲面S，其線元素可用曲面的第一基本形式的係數表示為： d s 2 = E d u 2 + 2 F d u d v + G d v 2 {\displaystyle ds^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}\,} ，則其度量張量可表成下列關係式： ( g i j ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) = ( E F F G ) {\displaystyle (g_{ij})={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\\\end{pmatrix}}} 每當進行涉及到微分幾何的實用演算時，都會用到其分量形式以利細部計算，因此有必要將前述向量形式定義的測地曲率以其分量形式來表徵，以下將界定在二維曲面上局部範圍，有關公式及其推導過程，可於列出的相關參考文獻中找到。 令 C {\displaystyle C} 為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長 s {\displaystyle s} 為參數，則曲線 C {\displaystyle C} 的參數方程式為 C : r ( s ) = ( u ( s ) , v ( s ) ) {\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))} ，則它在P點的測地曲率 k g {\displaystyle k_{g}} 可表為下列克氏符號（全稱克里斯多福符號，Christoffel symbols）相關的表示式 ： k g = E G − F 2 [ Γ 11 2 ( d u d s ) 3 + ( 2 Γ 12 2 − Γ 11 1 ) ( d u d s ) 2 d v d s + ( Γ 22 2 − 2 Γ 12 1 ) d u d s ( d v d s ) 2 − Γ 22 1 ( d v d s ) 3 + d u d s d 2 v d s 2 − d 2 u d s 2 d v d s ] {\displaystyle k_{g}={\sqrt {EG-F^{2}}}\left[\Gamma _{11}^{2}\left({\frac {du}{ds}}\right)^{3}+\left(2\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\right)\left({\frac {du}{ds}}\right)^{2}{\frac {dv}{ds}}+\left(\Gamma _{22}^{2}-2\Gamma _{12}^{1}\right){\frac {du}{ds}}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{2}-\Gamma _{22}^{1}\left({\frac {dv}{ds}}\right)^{3}+{\frac {du}{ds}}{\frac {d^{2}v}{ds^{2}}}-{\frac {d^{2}u}{ds^{2}}}{\frac {dv}{ds}}\right]} 上述用克式符號表示測地曲率的一般公式即是所謂的Beltrami公式(Beltrami's formula for geodesic curvature.)。這裡所用的克氏符號 Γk ij 在有些書籍還會沿用舊式的 {k ij}符號注記。由於克式符號屬曲面的內蘊性質，而上述測地曲率一般公式只和克式符號與曲面第一基本形式有關，因此，測地曲率必然是屬曲面的內蘊幾何量。 今若曲線 C {\displaystyle C} 是沿著 u = ( s ) {\displaystyle u=(s)} 座標線的話，此時 v = {\displaystyle v=} 常數，使得 d v / d s = 0 {\displaystyle dv/ds=0} 以及 d u / d s = 1 / g 11 {\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {g_{11}}}} ，那麼其測地曲率可算得為： ( k g ) u − l i n e = Γ 11 2 E G − F 2 E E = Γ 11 2 ( g 1 / 2 g 11 3 / 2 ) {\displaystyle (k_{g})_{u-line}=\Gamma _{11}^{2}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{E{\sqrt {E}}}}=\Gamma _{11}^{2}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{11}^{3/2}}}\right)} 同理，假如曲線 C {\displaystyle C} 是沿著 v = ( s ) {\displaystyle v=(s)} 座標線的話，使得 u = {\displaystyle u=} 常數，因此 d u / d s = 0 {\displaystyle du/ds=0} 以及 d v / d s = 1 / g 22 {\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {g_{22}}}} ，那麼其測地曲率可化簡為： ( k g ) v − l i n e = − Γ 22 1 E G − F 2 G G = − Γ 22 1 ( g 1 / 2 g 22 3 / 2 ) {\displaystyle (k_{g})_{v-line}=-\Gamma _{22}^{1}{\dfrac {\sqrt {EG-F^{2}}}{G{\sqrt {G}}}}=-\Gamma _{22}^{1}\left({\dfrac {g^{1/2}}{g_{22}^{3/2}}}\right)} 令 C {\displaystyle C} 為曲面S上的一正則曲線，在此曲線上以其弧長 s {\displaystyle s} 為參數，則曲線 C {\displaystyle C} 的參數方程式為 C : r ( s ) = ( u ( s ) , v ( s ) ) {\displaystyle C:r(s)=(u(s),v(s))} ，今其參數化是採正交座標系，換言之，第一基本形式的係數 F = 0 {\displaystyle F=0} ，又令曲線 C {\displaystyle C} 在P點與 u {\displaystyle u} 座標線的夾角為 θ {\displaystyle \theta } ，則它在P點的測地曲率 k g {\displaystyle k_{g}} 可表為下列與 θ ( s ) {\displaystyle \theta (s)} 夾角相關的Liouville公式 ： k g = d θ ( s ) d s − 1 2 G ∂ ln ⁡ E ∂ v cos ⁡ θ + 1 2 E ∂ ln ⁡ G ∂ u sin ⁡ θ = d θ ( s ) d s + ( k g ) u − l i n e cos ⁡ θ + ( k g ) v − l i n e sin ⁡ θ = d θ ( s ) d s + ( k g ) u − l i n e E d u d s + ( k g ) v − l i n e G d v d s {\displaystyle {\begin{aligned}k_{g}&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}-{\dfrac {1}{2{\sqrt {G}}}}{\dfrac {\partial \ln E}{\partial v}}\cos \theta +{\dfrac {1}{2{\sqrt {E}}}}{\dfrac {\partial \ln G}{\partial u}}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}\cos \theta +(k_{g})_{v-line}\sin \theta \\&={\dfrac {d\theta (s)}{ds}}+(k_{g})_{u-line}{\sqrt {E}}{\dfrac {du}{ds}}+(k_{g})_{v-line}{\sqrt {G}}{\dfrac {dv}{ds}}\end{aligned}}} 上述公式中的 ( k g ) u − l i n e {\displaystyle (k_{g})_{u-line}} 與 ( k g ) v − l i n e {\displaystyle (k_{g})_{v-line}} 乃分屬於兩個座標線對應的測地曲率，至於它們的具體表徵是什麼，接下來將分別推導出其詳細內容。首先，考量如若曲線 C {\displaystyle C} 是沿著 u = ( s ) {\displaystyle u=(s)} 座標線的話，此時 v = {\displaystyle v=} 常數，則有 d v / d s = 0 {\displaystyle dv/ds=0} 以及 d u / d s = 1 / E {\displaystyle du/ds=1/{\sqrt {E}}} ，那麼該測地曲率可算得為： ( k g ) u − l i n e = − E v 2 E G {\displaystyle (k_{g})_{u-line}=-{\dfrac {E_{v}}{2E{\sqrt {G}}}}} 同理，假如曲線 C {\displaystyle C} 是沿著 v = ( s ) {\displaystyle v=(s)} 座標線的話，此時 u = {\displaystyle u=} 常數，導致 d u / d s = 0 {\displaystyle du/ds=0} 以及 d v / d s = 1 / G {\displaystyle dv/ds=1/{\sqrt {G}}} ，那麼此測地曲率可算得為： ( k g ) v − l i n e = G u 2 G E {\displaystyle (k_{g})_{v-line}={\dfrac {G_{u}}{2G{\sqrt {E}}}}} 以上測地曲率之Liouville公式就已列出有三種，若覺得怎麼會有這麼多樣形式，其實還有其他變形，例如可參考網路上更加精簡且優美的形式，這端賴解析問題時，需要配套什麼形式的公式而定。 Kreyszig, Erwin. Differential Geometry. Dover Publications, New York. 1991: 154-156. ISBN 978-0-486-66721-8.  Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi. Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing. Springer, New York. 2002: 266-268. ISBN 978-3-642-04073-3. 【推導過程見MIT線上開放課程 §10.2.1. Parametric surfaces】 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Blaga, Paul A. Lectures on the Differential Geometry of Curves and Surfaces. Napoca Press, Cluj-Napoca, Romania. 2005: 177-179. ISBN 9736568962.  Nayak, Prasun Kumar. Textbook of Tensor Calculus and Differential Geometry. PHI Learning Pvt. Ltd., New Delhi. 2011: 364,369.  Slobodyan, Yu.S., Geodesic curvature, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 1989, ISBN 978-1-55608-010-4  do Carmo, Manfredo P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall. 1976: 253-254. ISBN 0-13-212589-7.  Gray, Alfred; Abbena, Elsa; Salamon, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Chapman & Hall/CRC. 2006: 904-905. ISBN 978-1584884484.  Dube, K.K. Differential Geometry and Tensors. I. K. International Pvt Ltd. 2009: 200-201. ISBN 978-9380026589.  Sigurd Angenent. A note and two problems on Liouville's formula. （页面存档备份，存于互联网档案馆） 這是介紹測地曲率之Liouville公式更加精簡形式的文件。