簡諧運動

简谐运动，或稱简谐振动、谐振、SHM（Simple Harmonic Motion），即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力（或物体的加速度）的大小与位移的大小成正比，并且力（或物体的加速度）总是指向平衡位置。 如果用 F {\displaystyle F} 表示物体受到的回復力，用 x {\displaystyle x} 表示物体对于平衡位置的位移，根据胡克定律， F {\displaystyle F} 和 x {\displaystyle x} 成正比，它们之间的关系可用下式来表示： F = − k x {\displaystyle F=-kx} 式中的 k {\displaystyle k} 是回复力与位移成正比的比例系数；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。 根据牛顿第二定律「 F = m a {\displaystyle F=ma} 」当物体质量一定时，运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比，跟合力的方向相同，且系統的機械能守恆。 对于一维的简谐振动，其动力学方程是二阶微分方程，可由牛顿第二运动定律得到 F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ {\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}} 回复力又可表示为 F = − k x {\displaystyle F=-kx} 所以有 x ¨ + k m x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {k}{m}}x=0} 求解上述方程，得到的解含有正弦函数 x ( t ) = c 1 cos ⁡ ( ω t ) + c 2 sin ⁡ ( ω t ) = A cos ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos \left(\omega t\right)+c_{2}\sin \left(\omega t\right)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right)} ，其中 ω = k m , {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}},} A = c 1 2 + c 2 2 , {\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},} tan ⁡ φ = ( c 2 c 1 ) , {\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right),} c 1 {\displaystyle c_{1}} ， c 2 {\displaystyle c_{2}} 是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点，每项都有物理意义： A {\displaystyle A} 是振幅， ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} 是角频率， 加速度可以作为时间的函数得到 v ( t ) = d x d t = − A ω sin ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )} v m a x = ω A {\displaystyle v_{max}=\omega A} （在平衡位置） a ( t ) = d 2 x d t 2 = − A ω 2 cos ⁡ ( ω t − φ ) {\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t-\varphi )} a m a x = ω 2 A {\displaystyle a_{max}=\omega ^{2}A} （在最大位移处） 加速度也可以通过位移的函数得到 a ( x ) = − ω 2 x {\displaystyle a(x)=-\omega ^{2}x\!} 。 因为 ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} ， f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}} ， 又因为周期 T = 1 f {\displaystyle T={\frac {1}{f}}} ，所以： T = 2 π m k {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}} 。 以上方程说明了简谐振动具有等时性，即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。 在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。 将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中，物体所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体，使球体可以在水平杆上左右滑动，而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住，弹簧的整体质量要比球体质量小得多，这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。 弹簧振子系统在平衡状态下，弹簧没有形变，振子（小球体）在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置，到达最大幅度，再松开，弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中，弹簧的势能转换为振子的动能，势能在降低的同时，动能在增加。当振子到达平衡位置时，振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置，继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置，所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能，动能降低，势能上升，直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能，振子速度为零，停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置，在移动过程中，势能转为动能，因而再次越过平衡位置，重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下，这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的固有週期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。 1.振幅 振幅 A {\displaystyle A} 代表质点偏离中心（平衡位置）的最大距离，它正比于 E {\displaystyle {\sqrt {E}}} ，即它的平方正比于系统的机械能E。 2.角频率 角频率： ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f} , 频率f为周期T的倒数。 其中 ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}} 。推导过程： x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=A\cos({\omega t+\phi })} 对于时间t求导， v = − A ω sin ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle v=-A\omega \sin({\omega t+\phi })} 再关于时间t求导， a = − A ω 2 cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle a=-A\omega ^{2}\cos({\omega t+\phi })} 由牛顿第二定律得 a = F m = − k x m = − A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) k m {\displaystyle a={\frac {F}{m}}={\frac {-kx}{m}}={\frac {-A\cos({\omega t+\phi })k}{m}}} 两式联立得 ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}} 。 下图為簡諧運動的圖像，表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦或餘弦曲綫。 這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱，是標量，大小為最大位移的大小，質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期，單位時間內完成全振動的次数叫頻率，週期和頻率描繪了振動的快慢。 如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力 F = − k x {\displaystyle F=-kx} 即合外力的大小与位移成正比且方向相反，那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中，比例系数 k {\displaystyle k} 即为弹簧系数，或称倔强系数（劲度系数）。 如果一个质点的运动方程有如下形式 x = A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x=A\cos {(\omega t+\phi )}} 即，质点的位移随时间的变化是一个简谐函数，显然此质点的运动为简谐振动。 如果一个质点的动力学方程可以写成 d 2 x d t 2 + ω 2 x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}x=0} 其中 ω 2 {\displaystyle \omega ^{2}} 为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动 如果质点在运动过程中具有形式为 ( 1 2 k x 2 ) {\displaystyle ({\frac {1}{2}}kx^{2})} 的彈力势能，且 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2 = E {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E} 则质点的运动为简谐振动 应该说明： 以上各判定方法是完全等价的； 以上各表达式中的 x {\displaystyle x} 既可以是线量（线位移），又可以是角量（角位移），相应的，速度可以为线速度和角速度，对应的加速度是线加速度和角加速度。 把质量为 M {\displaystyle M} 的物体悬挂在彈力常數为k的弹簧的底端，则物体将进行简谐运动，其方程为： ω = 2 π f = k M . {\displaystyle \omega =2\pi f={\sqrt {\frac {k}{M}}}.\,} 如果要计算它的周期，可以用以下的公式： T = 1 f = 2 π M k {\displaystyle T={\frac {1}{f}}=2\pi {\sqrt {\frac {M}{k}}}} 。 总能量是常数，由方程 E = k A 2 2 {\displaystyle E={\frac {kA^{2}}{2}}} 给出。 等速率圆周運動的一维投影是簡諧運動。如果物體以 ω {\displaystyle \omega } 的角速率沿着半徑为 R {\displaystyle R} 的圆移動，则它在x軸、y軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動，其振幅为 R {\displaystyle R} ，角速率为 ω {\displaystyle \omega } 。 在偏角不太大的情况（一般認為小於5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为 ℓ {\displaystyle \ell } ，重力加速度为 g {\displaystyle g} ，则周期为： T = 2 π ℓ g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}} 这个公式仅当偏角很小时才成立，因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的： ℓ m g sin ⁡ ( θ ) = I α {\displaystyle \ell mg\sin(\theta )=I\alpha } 其中I是转动惯量，在这种情况下 I = m ℓ 2 {\displaystyle I=m\ell ^{2}} 。当 θ {\displaystyle \theta } 很小时， sin ⁡ ( θ ) ≈ θ {\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta } ，因此上式变为： ℓ m g θ = I α {\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha } 这使得角加速度与 θ {\displaystyle \theta } 成正比，满足了简谐运动的定义。單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。 物理主题 平移运动 匀速运动 平抛运动 曲线运动 赵志敏. 高中教程。基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月. ISBN 978-7-309-08251-7 （中文（中国大陆））.  弹簧震动Java模拟 （页面存档备份，存于互联网档案馆）