韦达定理

在數學上，韦达定理（英語：Vieta's formulas），又称根與係數的关系，給出了多項式方程的根與係數的关系。該定理由法國數學家弗朗索瓦·韋達發現，並因此得名。 韋達定理常用於代數領域。它的實用之處在於，能够不用把根直接解出來就能计算根之間的關係。 设 P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} 是一个一元 n 次實（或複）係數多項式，首項系數 a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} ，令 P 的 n 個根為 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} ，则根 { x i } {\displaystyle \{x_{i}\}} 和係數 { a j } {\displaystyle \{a_{j}\}} 之間滿足關係式 { x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n = − a n − 1 a n ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n = a n − 2 a n ⋮ x 1 x 2 … x n = ( − 1 ) n a 0 a n {\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}} 等價的說，對任何 k = 1, 2, ..., n，係數比 a n − k a n {\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} 是所有任取 k 個根的乘積的和的 ( − 1 ) k {\displaystyle (-1)^{k}} 倍，即 ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 x i 2 ⋯ x i k = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} 或： ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n ( ∏ j = 1 k x i j ) = ( − 1 ) k a n − k a n {\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}x_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}} 其中 i 1 < i 2 < ⋯ < i k {\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}} 是要讓所有的根的組合都恰好出現一次。 事實上，等號的左邊被稱作是初等對稱多項式。 因為 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} 是一元 n 次多項式 M ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} 的 n 个根。於是有 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})} 根據乘法原理展開右式，比較等號兩邊的各項係數可得 { a n − 1 = − a n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n ) a n − 2 = a n ( ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n ) ⋮ a 0 = ( − 1 ) n a n x 1 x 2 … x n {\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}} 上式等同於韋達定理的敘述。 设 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 是一元二次多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 的两根，則由 a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = a x 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + a x 1 x 2 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}} 有 x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} 這個特殊情況除之前提到的证明方法，也可以直接用求根公式即 x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} ， x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,} 證明： x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c + ( − b ) − b 2 − 4 a c 2 a = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}} x 1 x 2 = ( − b + b 2 − 4 a c ) ( − b − b 2 − 4 a c ) ( 2 a ) 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}} 在這個情況下，韦达定理的逆定理同样成立：給定一個一元二次多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ，如果有两个数 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} ，滿足 x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} 和 x 1 x 2 = c a {\displaystyle \,x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} ，則 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 就是多項式 a x 2 + b x + c {\displaystyle \,ax^{2}+bx+c\,} 的兩根。 设 x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} 是一元三次多項式 a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} 的三根，則 x 1 + x 2 + x 3 = − b a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a , x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}} 韋達定理經常使用在討論整環 R 上多項式，換言之多項式係數都落在 R 上。此時，分數 a i a n {\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}} 在 R 中不見得有定義，除非 a n {\displaystyle a_{n}} 本身是可逆元。但 a i a n {\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}} 在 R 的分式環 K 中有定義，而根 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} 則在 K 的代數閉包 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 中有定義。特別的，如果 R 是整數環 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，則 K 是有理數體 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ， K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 是複數體 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。 如果多項式 P(x) 定義在一般非整環的交換環上，則韋達定理可能在兩個地方出錯。第一， a n {\displaystyle a_{n}} 可能不是零因子，因此不能出現在分母。第二 P(x) 可能不等於 a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})} 。第一點算是顯而易見，以下給出一個第二點的例子。在環 Z / 8 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } 中，多項式 P ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle P(x)=x^{2}-1} 有四個根 1、3、5、7，根數比多項式的次數還多。此外，如果隨便取兩根出來，例如 x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} ， x 2 = 3 {\displaystyle x_{2}=3} ，會發現 P ( x ) ≠ ( x − 1 ) ( x − 3 ) {\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)} ，但是有時候如果根取的剛好，卻又可能會有 P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 7 ) {\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)} 和 P ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 5 ) {\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)} 。 在 16 世紀，韋達發現了所有根都是正整數的版本，至於一般的版本 (根是實數)，可能首次由法國數學家 Albert Girard（英语：Albert Girard） 提出。Funkhouser 引用了18 世紀英國數學家查爾斯·赫頓（英语：Charles Hutton）的話寫道 ...[Girard 是] 理解關於各次方項係數的和與積公式的一般性學說的第一人。他是找到關於將任意方程式的根的次方加總的規則的第一人。 (Funkhouser 1930) Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273  Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4  Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6  数学主题 法兰西斯·韦达 对称多项式 韋達跳躍 天元术