分体拓扑学

在形式本体论（英语：formal ontology）领域（形而上学的一个分支）以及在计算机与信息科学本体领域，分体拓扑学（英语：mereotopology）是一种关于整体、部分、部分之部分以及部分间边界之间关系的，用于具体表达分体论及拓扑学概念的一阶理论（英语：first-order theory）。 分體拓撲學開始於阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德的理論，在1916年至1929年間闡述於他出版的一些著作及文章。懷特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)與西門(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有討論到。懷特黑德的理論在1929年出版的書歷程與實在(Process and Reality)中擴大討論到整體與部分的關係，這是夾雜著以諸如切点及连通空间的拓撲觀念一起來討論。儘管懷特黑德有如數學家版的洞察力，他的理論仍是不夠充分且不是很正式的立論，甚至頗有瑕疵。經由證明懷特黑德理論能夠被充分地正式化、且作一些訂正，就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)確立了現代化的分體拓撲學。 克拉克與懷特黑德的理論在賽門(Simons)(1987年: 2.10.2)及盧卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的書上都有討論到。懷特黑德無點幾何學（英语：Whitehead's point-free geometry）入門觀點包含兩項現代懷特黑德理論的論述，因於基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的論說，理論上每項不同的論點將在下一章節中陳述說明。 雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於邏輯學家與理論計算機科學家。盧卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力(1999年: chpts. 4,5)論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過一阶逻辑的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯(Roeper)(1997年)的著作。關於懷特黑德無點幾何學的數學論述，參見葛拉(Gerla)(1995年)的著述。 巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安東尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再則瓦力(Varzi)單獨個人與其他人，他們所有人都證明分體拓撲學能夠用在形式本體論與本體論，藉此達到正式化關連的作用，諸如在切点、连通空间、邊界、内部、孔洞(hole)等等上的應用。 卡塞迪與瓦力(1999年: chpt.4)闡述種種的分體論理論於一致的標記法上。這一章節闡述了一些巢狀理論，而這些巢狀理論在GEMTC的較優理論裡也已發展到頂點了，接著咱們緊跟著他們的解說來走。在GEMTC的分體拓撲闡述中，有部分為GEM的傳統理論。卡塞迪與瓦力也沒有說到是否GEMTC的模型论包含到任何傳統的拓扑空间。 我們以一些论域觀點作為起始論述，它們的元素稱為个体(即一個分体论同义词表示"個體的計算")。卡塞迪與瓦力較偏好限制本體論至實體物件，不過其他人就任意地應用分體拓撲理論來合理化幾何圖形與事件，並藉由提出人工智能的研究工作來解決問題。 使用一個大寫的拉丁字母來定義一個二元关系及谓词变量(predicate)，而谓词变量的字母關係到一阶逻辑的關係。從拉丁字母群(A-Z)的後段取用小寫字母來定義變量範圍，且及於整個定義域；而從字母群的初始段取用的小寫字母就用來作為任意個體的名稱。假如以一公式以原子公式表示再接著邏輯雙如言（英语：logical biconditional），因此邏輯雙如言右邊的次公式表為原子公式的定義，他們的變量就為非約束形式。否則，變數不是外顯性的量化而是內隱性的全称量化。底下所提的公理Cn系列對應到卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理C.n系列。 咱們從拓撲的基本理論談起，如二元关系的連接特性；基本原子公式Cxy表示"x是連接到y"。連結是被控制著，至少，是經由這些公理來達成： C1.   C x x . {\displaystyle \ Cxx.} (自反关系) C2. C x y → C y x . {\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.} (對稱) 現在假定二元關係為E，定義為： E x y ↔ [ C z x → C z y ] . {\displaystyle Exy\leftrightarrow [Czx\rightarrow Czy].} Exy讀為"y包圍x"且也全然為拓撲關係。而C1-2的表達結果即E是自反关系及传递关系，因此亦是预序关系。假如E也假定為外延公理，以致於： ( E x a ↔ E x b ) ↔ ( a = b ) , {\displaystyle (Exa\leftrightarrow Exb)\leftrightarrow (a=b),} 接著E被證明為反对称关系且因此變成為一偏序关系。在區域內，標記為xKy，為懷特黑德理論(1919年,1925年)上的單一最初關係，且為分體拓撲學的起始點。 令子集(parthood)為主要分体论定義上最初的二元关系，且令原子公式Pxy定義作"x是y的一部分"。咱們假設P為一偏序关系。稱其為結果的最簡化分體論M。 假如x為y的一部分，我們假定y包圍x： C3.   P x y → E x y . {\displaystyle \ Pxy\rightarrow Exy.} C3精巧的連接分体论這個部分到拓扑学的範圍內。 令O表示為這個分體論重覆的二元關係，定義為： O x y ↔ ∃ z [ P z x ∧   P z y ] . {\displaystyle Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land \ Pzy].} 令Oxy表示為"x與y重覆"，再著手進行O的處理，C3的結果為： O x y → C x y . {\displaystyle Oxy\rightarrow Cxy.} 要注意到逆命題(converse)是不需要一直堅持著。儘管情況顯示重覆是需要連結的，然而連結的情況是反而是不需要重覆的。假如不是這種情況，拓扑学不會僅是一個分体论模式(這兒"重覆"總是表示為原來的或是定義好的兩種情況之一)。 基礎分體拓撲學(MT)即表示這個理論含有最初的C與P，定義的E與O，及公理C1-3，而這些公理可以用來確定P即是偏序关系。在MT中以標準的外延公理分體論GEM來替代M產生GEMT理論. 令IPxy表示為"x是y內之一部分"，IP定義為： I P x y ↔ ( P x y ∧ ( C z x → O z y ) ) . {\displaystyle IPxy\leftrightarrow (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy)).} 令σx φ(x)定義為所有在定義域滿足φ(x)之分體邏輯和(合并)。σ為一约束变量前綴(prefix)算子。GEM的公理假設φ(x)是一個一阶逻辑則這個和就存在著。根據現成的σ及IP關係的條件，咱們能定義x内部結構， i x , {\displaystyle \mathbf {i} x,} 而這是x所有的內部部分z分體之和，或則： i x ↔ σ z [ I P z x ] . {\displaystyle \mathbf {i} x\leftrightarrow \sigma z[IPzx].} 這個定義出兩個簡單結果為： i W ↔ W , {\displaystyle \mathbf {i} W\leftrightarrow W,} 這兒W表全體的個體部分，且 C5.   P ( i x ) x . {\displaystyle \ P(\mathbf {i} x)x.} (子集) 算子 i 含有超過兩個公理屬性： C6. i ( i x ) ↔ i x . {\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} x)\leftrightarrow \mathbf {i} x.} (等冪) C7. i ( x × y ) ↔ i x × i y , {\displaystyle \mathbf {i} (x\times y)\leftrightarrow \mathbf {i} x\times \mathbf {i} y,} 而a×b為a與b的分體乘積，在Oab不成立時並不定義。i分散在乘積里。 現在看得出來，對於拓扑学的内部算子而言i為同构。也因此i的對偶性(duality)、拓撲闭包算子c，以i的觀點可以被定義出來，且卡齐米日·库拉托夫斯基公理對c而言是一些定理。同樣地，已知c的公理是類比於C5-7，i依c可以被定義，且C5-7可以成為定理。將C5-7加進GEMT而產生卡塞迪與瓦力較優分體拓撲理論，GEMTC。 x為自我連接，假如它滿足下列謂語變量邏輯： S C x ↔ ( ( O w x ↔ ( O w y ∨ O w z ) ) → C y z ) . {\displaystyle SCx\leftrightarrow ((Owx\leftrightarrow (Owy\lor Owz))\rightarrow Cyz).} 要注意到在定義上MT不但是單獨、且為充分之最原始的及有定義的謂語變數。謂語變數SC可以正式成立需要的條件、是基於所給予的懷特黑德'的歷程與實在書中所述：兩個個體之分體邏輯和是能夠存在：他們也必須是連結的。正式定義為： C8. C x y → ∃ z [ S C z ∧ O z x ∧ ( P w z → ( O w x ∨ O w y ) ) . {\displaystyle Cxy\rightarrow \exists z[SCz\land Ozx\land (Pwz\rightarrow (Owx\lor Owy)).} 給予一些分體拓撲X，加C8到X結果產生出卡塞迪與瓦力所稱的X的懷特黑德衍伸式，表記為WX。因此這個定理為WGEMTC，它的公理為C1-8。 C8的逆向為GEMTC定理。因此，已知一GEMTC的公理，假如O及SC視為起初的謂語變量，則C為一已定義的謂語變量。 假如主要的分體論是沒有原子公式且比GEM來的弱，這公理確定是缺少原子公式(P9出於"卡塞迪與瓦力1999"的論述)那就可以被C9替代，如此則可以設想沒有一個個體有拓撲邊界： C9. ∀ x ∃ y [ P y x ∧ ( C z y → O z x ) ∧ ¬ ( P x y ∧ ( C z x → O z y ) ) ] . {\displaystyle \forall x\exists y[Pyx\land (Czy\rightarrow Ozx)\land \lnot (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy))].} 當定義域包含有幾何圖形時，則邊界值可以是點、曲線，或面。考慮到其它的本體論時、邊界值能夠代表什么意思，討論起來不是一件簡單的事情，在卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 5)的著作裡有討論到這些問題。 分体论 无点拓扑学（英语：Pointless topology） 点集拓扑学 拓扑学 拓扑空间 Casati & Varzi (1999年: chpt. 4) and Biacino & Gerla (1991年) have reservations about some aspects of Clarke's formulation. The axiom C4 of Casati and Varzi (1999) is irrelevant to this entry. （英文）Biacino L., and Gerla G., 1991, "Connection Structures, （页面存档备份，存于互联网档案馆）" Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242-47. （英文）Casati, R., and Varzi, A. C., 1999. Parts and places: the structures of spatial representation. MIT Press. （英文）Clarke, Bowman, 1981, "A calculus of individuals based on 'connection', （页面存档备份，存于互联网档案馆）" Notre Dame Journal of Formal Logic 22: 204-18. （英文）------, 1985, "Individuals and Points, （页面存档备份，存于互联网档案馆）" Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61-75. （英文）Cohn, A. G., and Varzi, A. C., 2003, "Mereotopological Connection, （页面存档备份，存于互联网档案馆）" Journal of Philosophical Logic 32: 357-90. （英文）Forrest, Peter, 1996, "From Ontology to Topology in the Theory of Regions," The Monist 79: 34-50. （英文）Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries," in Buekenhout, F., Kantor, W. (eds), Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015-31. （英文）Kneebone, Geoffrey, 1963. Mathematical Logic and the Foundation of Mathematics. Dover reprint, 2001. （英文）Lucas, J. R., 2000. Conceptual Roots of Mathematics. Routledge. The "prototopology" of chpt. 10 is mereotopology. Strongly informed by the unpublished writings of David Bostock. （英文）Roeper, Peter, 1997, "Region-Based Topology," Journal of Philosophical Logic 26: 251-309. （英文）Smith, Barry, 1996, "Mereotopology: A Theory of Parts and Boundaries （页面存档备份，存于互联网档案馆）," Data and Knowledge Engineering 20 : 287-303. （英文）------, 1997, "Boundaries: An Essay in Mereotopology （页面存档备份，存于互联网档案馆）" in Hahn, L., ed., The Philosophy of Roderick Chisholm. Open Court: 534-61. （英文）Varzi, A. C., 1996, "Parts, wholes, and part-whole relations: the prospects of mereotopology, （页面存档备份，存于互联网档案馆）" Data and Knowledge Engineering, 20: 259-286. （英文）------, 1998, "Basic Problems of Mereotopology, （页面存档备份，存于互联网档案馆）" in Guarino, N., ed., Formal Ontology in Information Systems. Amsterdam: IOS Press, 29-38. （英文）------, 2007, "Spatial Reasoning and Ontology: Parts, Wholes, and Locations （页面存档备份，存于互联网档案馆）" in Aiello, M. et al, eds., Handbook of Spatial Logics. Springer-Verlag: 945-1038. （英文）史丹佛哲學百科全書(Stanford Encyclopedia of Philosophy): Boundary （页面存档备份，存于互联网档案馆） -- by Achille Varzi. With many references.