达布积分

在实分析或数学分析中，达布积分（英語：Darboux integral）是一种定义一个函数的积分的方法，它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的，也就是说，一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的，并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单，并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布。 一个闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 。每个闭区间 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 叫做一个子区间。定义 λ {\displaystyle \lambda } 为这些子区间长度的最大值： λ = max ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \lambda =\max(x_{i+1}-x_{i})} ，其中 0 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle 0\leq i\leq n-1} 。 再定义取样分割。一个闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个取样分割是指在进行分割 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}=b} 后，于每一个子区间中 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} 取出一点 x i ≤ t i ≤ x i + 1 {\displaystyle x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}} 。 λ {\displaystyle \lambda } 的定义同上。 精细化分割：设 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 以及 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 构成了闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个取样分割， y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 和 s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 是另一个分割。如果对于任意 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} ，都存在 r ( i ) {\displaystyle r(i)} 使得 x i = y r ( i ) {\displaystyle x_{i}=y_{r(i)}} ，并存在 r ( i ) ≤ j ≤ r ( i + 1 ) {\displaystyle r(i)\leq j\leq r(i+1)} 使得 t i = s j {\displaystyle t_{i}=s_{j}} ，那么就把分割： y 0 , … , y m {\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}} 、 s 0 , … , s m − 1 {\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{m-1}} 称作分割 x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}} 、 t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}} 的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。 于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。 设 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } 为一个有界函数，又设 P : x 0 , … , x n {\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}} 是闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个分割。令: M i = sup x ∈ [ x i − 1 , x i ] f ( x ) {\displaystyle M_{i}=\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)} m i = inf x ∈ [ x i − 1 , x i ] f ( x ) {\displaystyle m_{i}=\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)} f {\displaystyle f} 在分割 P {\displaystyle P} 下的上达布和定义为： U f , P = ∑ i = 1 n M i ( x i − x i − 1 ) {\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})} 同样的有下达布和的定义： L f , P = ∑ i = 1 n m i ( x i − x i − 1 ) {\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})} f {\displaystyle f} 的上达布积分指的是所有上达布和的下确界： U f = inf { U f , P : P {\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}:P} 是闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个分割 } {\displaystyle \;\}} 同样的 f {\displaystyle f} 的下达布积分指的是所有下达布和的上确界： L f = sup { L f , P : P {\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}:P} 是闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的一个分割 } {\displaystyle \;\}} 如果 U f = L f {\displaystyle U_{f}=L_{f}} 那么 f {\displaystyle f} 就称作达布可积的，并用 ∫ a b f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}} 表示，记作 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的达布积分。 对于任何给定的分割，上达布和永远大于等于下达布和。此外，下达布和被限制在以 b − a {\displaystyle b-a} 为宽，以 i n f ( f ) {\displaystyle \mathrm {inf} (f)} 为高的矩形下，占据 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 。同样，上达布和被限制在以 b − a {\displaystyle b-a} 为宽，以 s u p ( f ) {\displaystyle \mathrm {sup} (f)} 为高的矩形上。 ( b − a ) inf x ∈ [ a , b ] f ( x ) ≤ L f , P ≤ U f , P ≤ ( b − a ) sup x ∈ [ a , b ] f ( x ) {\displaystyle (b-a)\inf _{x\in [a,b]}f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in [a,b]}f(x)} 下达布和和上达布和满足 ∫ a b _ f ( x ) d x ≤ ∫ a b ¯ f ( x ) d x {\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx} 对处于 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 的任意 c {\displaystyle c} ∫ a b _ f ( x ) d x = ∫ a c _ f ( x ) d x + ∫ c b _ f ( x ) d x ∫ a b ¯ f ( x ) d x = ∫ a c ¯ f ( x ) d x + ∫ c b ¯ f ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}} 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令 g : [ a , b ] → R {\displaystyle g:[a,b]\rightarrow R} 是一个有界函数，则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。 ∫ a b _ f ( x ) d x + ∫ a b _ g ( x ) d x ≤ ∫ a b _ f ( x ) + g ( x ) d x ∫ a b ¯ f ( x ) d x + ∫ a b ¯ g ( x ) d x ≥ ∫ a b ¯ f ( x ) + g ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)+g(x)\,dx\end{aligned}}} 对于一个常数 c ≥ 0 {\displaystyle c\geq 0} 我们有 ∫ a b _ c f ( x ) = c ∫ a b _ f ( x ) ∫ a b ¯ c f ( x ) = c ∫ a b ¯ f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}} 对于一个常数 c ≤ 0 {\displaystyle c\leq 0} 我们有 ∫ a b _ c f ( x ) = c ∫ a b ¯ f ( x ) ∫ a b ¯ c f ( x ) = c ∫ a b _ f ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\end{aligned}}} 考虑函数 F : [ a , b ] → R {\displaystyle F:[a,b]\rightarrow R} 定义为 F ( x ) = ∫ a x _ f ( x ) d x {\displaystyle F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(x)\,dx} 那么 F {\displaystyle F} 是利普希茨连续的。当 F {\displaystyle F} 是用达布积分定义的，一个相似的结论也成立。 假设我们想证明函数 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上是达布可积的，并且确定它的值。我们需要把区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 分割为 n {\displaystyle n} 个等大的子区间，每个区间长度为 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} 。我们取 n {\displaystyle n} 个等大的子区间中一个作为 P n {\displaystyle P_{n}} 。 现在因为 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} 在 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上严格单增，在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样，在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在 P n {\displaystyle P_{n}} 中第 k {\displaystyle k} 个子区间的起点是 k − 1 n {\displaystyle {\frac {k-1}{n}}} ，终点是 k n {\displaystyle {\frac {k}{n}}} 。那么在一个分割 P n {\displaystyle P_{n}} 上的下达布和就是 L f , P n = ∑ k = 1 n f ( x k − 1 ) ( x k − x k − 1 ) = ∑ k = 1 n k − 1 n ⋅ 1 n = 1 n 2 ∑ k = 1 n [ k − 1 ] = 1 n 2 [ ( n − 1 ) n 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}[k-1]\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n-1)n}{2}}\right]\end{aligned}}} 类似地，上达布和为 U f , P n = ∑ k = 1 n f ( x k ) ( x k − x k − 1 ) = ∑ k = 1 n k n ⋅ 1 n = 1 n 2 ∑ k = 1 n k = 1 n 2 [ ( n + 1 ) n 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left[{\frac {(n+1)n}{2}}\right]\end{aligned}}} 由于 U f , P n − L f , P n = 1 n {\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&={\frac {1}{n}}\end{aligned}}} 则对于任意 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，我们得到对于 n > 1 ε {\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}} 的任何分割 P n {\displaystyle P_{n}} 都满足 U f , P n − L f , P n < ϵ {\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}&<\epsilon \end{aligned}}} 得证 f {\displaystyle f} 是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到 ∫ 0 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ U f , P n = lim n → ∞ L f , P n = 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}} 如果我们有函数 f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R} 定义为 f ( x ) = { 0 , x ∈ Q 1 , x ∈ R − Q {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0,x\in \mathbb {Q} \\1,x\in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \end{cases}}\end{aligned}}} 由于有理数和无理数都是R的稠密子集，因而断定 f {\displaystyle f} 在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割 P {\displaystyle P} 我们有 L f , P = ∑ k = 1 n ( x k − x k − 1 ) inf x ∈ [ x k − 1 , x k ] f = 0 U f , P = ∑ k = 1 n ( x k − x k − 1 ) sup x ∈ [ x k − 1 , x k ] f = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in [x_{k-1},x_{k}]}f=1\end{aligned}}} 从中我们可以看出上下达布和不等。 如果分割 P ′ : y 0 , … , y m {\displaystyle P':y_{0},\ldots ,y_{m}} 比分割 P : x 0 , … , x n {\displaystyle P:x_{0},\ldots ,x_{n}} “精细”，那么有 U f , P ≥ U f , P ′ {\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}} 以及 L f , P ≤ L f , P ′ {\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}} 。这是因为 P ′ {\displaystyle P'} 实际上是将 P {\displaystyle P} 中的若干个子区间再做分割，而分割后的子区间上 f {\displaystyle f} 的上（下）确界必然比原来区间的上（下）确界小（大）。（见图） 如果 P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} 是同一个区间的两个分割（不一定要一个比另一个“精细”），那么 L f , P 1 ≤ U f , P 2 {\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}}} . 所以， L f ≤ U f {\displaystyle L_{f}\leq U_{f}} 显然，一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说，如果 P = ( x 0 , … , x n ) {\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\,\!} 并且 T = ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})\,\!} 共同构成区间上的一个取样分割 x 0 ≤ t 1 ≤ x 1 ≤ ⋯ ≤ x n − 1 ≤ t n ≤ x n {\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}\,\!} (正如黎曼积分的定义中那样)，对应 P {\displaystyle P} 和 T {\displaystyle T} 的黎曼和为 R {\displaystyle R} ，就有 L f , P ≤ R ≤ U f , P . {\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.\,\!} 由上可以看出，黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价（见黎曼积分）。如果一个函数 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 的达布积分存在，那么一个对于足够精细的分割，上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0（都趋近于共同的极限），因此比其更为精细的分割，黎曼和将介于上达布和与下达布和之间，于是趋于一个极限。同时，注意到对于一个分割，我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上（下）确界（由确界的定义）。这表明如果黎曼和趋于一个定值，则上下达布和之间的差将趋于0，也就是说达布积分存在。 积分 黎曼积分 勒贝格积分 黎曼－斯蒂尔杰斯积分