五角六十面體

在幾何學中，五角六十面體是一種卡塔蘭立體，為由60個不等邊五邊形組成的六十面體，並且是阿基米德立體扭棱十二面體的對偶多面體。這種立體是一個等面圖形，也就是說它每個面都全等，但組成面不是正多邊形。五角六十面體有兩種不同的形式，它們互為鏡像（或“對映體”），是為手性鏡像，兩種手性鏡像的面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。五角六十面體是頂點數最多的卡塔蘭立體。在卡塔蘭立體和阿基米德立體中，五角六十面體的頂點數為第二多，僅次於具有120個頂點的大斜方截半二十面体。 五角六十面體是一個手性多面體（英语：Chirality (mathematics)），也就是說，該多面體鏡射之後會跟原本的形狀不同，無法藉由旋轉半周再回到原本的形狀。這兩種形式互為鏡像（或“對映體”），又稱為手性鏡像，且其面、頂點、邊數皆相同，共有60個面、150個邊、92個頂點。在其92個頂點中，有80個頂點是三階頂點，即3個五邊形的公共頂點和12個頂點是五階頂點，即5個五邊形的公共頂點。 五角六十面體是扭棱十二面体的對偶多面體。事實上，五角六十面體可以不經由對偶變換而從扭棱十二面体構造。首先在扭棱十二面体的所有12個五邊形面上加入五角錐，再將扭棱十二面体的所有不與五邊形面相鄰的20個三角形面上加入三角錐，並調整加入之錐體的錐高，使加入的錐體之側面與其餘60個三角形面共面則形成五角六十面體，然而這種方式構造的五角六十面體會稍微有點形變。 五角六十面體只有一種二面角，約為153.18度： arccos ⁡ ( − 2 ( x + 2 x ) ( 1 + 15 φ ) + ( 15 + 16 φ ) 209 ) ≈ {\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {2\left(x+{\frac {2}{x}}\right)\left(1+15\varphi \right)+\left(15+16\varphi \right)}{209}}\right)}\approx } 2.67347322717678 ≈ {\displaystyle \approx } 153.178732558° 其中 φ {\displaystyle \varphi } 為黃金比例、 x {\displaystyle x} 為 φ + φ − 5 27 2 3 + φ − φ − 5 27 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}} 五角六十面體60個全等的五邊形面組成，每個五邊形都具有3條短邊和2條長邊，若令 x {\displaystyle x} 為 φ + φ − 5 27 2 3 + φ − φ − 5 27 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\tfrac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\tfrac {5}{27}}}}}{2}}}} ，則短邊與長邊的比為： 1 x : x ( 2 + 7 φ ) + ( 5 φ − 3 ) + 2 ( 8 − 3 φ ) x 31 ≈ {\displaystyle {\frac {1}{x}}:{\frac {x\left(2+7\varphi \right)+\left(5\varphi -3\right)+{\frac {2\left(8-3\varphi \right)}{x}}}{31}}\approx } 0.582899534744982414 : 1.019988247022845898 其中 φ = 1 + 5 2 {\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} 為黃金比例。 若令 ξ ≈ 0.943 151 259 24 {\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24} 為多項式 x 3 + 2 x 2 − φ 2 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}} 的根，則長邊與短邊的比值 l {\displaystyle l} 為： l = 1 + ξ 2 − ξ 2 ≈ 1.749 852 566 74 {\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\approx 1.749\,852\,566\,74} . 也就是說，若短邊為單位長，則長邊的長度約為1.74985單位長。 組成五角六十面體的五邊形有4個相等的鈍角和一個銳角（兩個長邊的夾角）。其中鈍角的角度為 arccos ⁡ ( − ξ / 2 ) ≈ 118.136 622 758 62 ∘ {\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }} ，約118度8分，而反餘弦內的值是多項式 64 x 6 − 128 x 5 + 64 x 4 + 24 x 3 − 24 x 2 + 1 {\displaystyle 64x^{6}-128x^{5}+64x^{4}+24x^{3}-24x^{2}+1} 的第一個實根；銳角的角度為 arccos ⁡ ( − φ 2 ξ / 2 + φ ) ≈ 67.453 508 965 51 ∘ {\displaystyle \arccos(-\varphi ^{2}\xi /2+\varphi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }} ，約67度28分，而反餘弦內的值是多項式 64 x 6 − 384 x 5 + 384 x 4 + 888 x 3 + 168 x 2 − 128 x − 31 {\displaystyle 64x^{6}-384x^{5}+384x^{4}+888x^{3}+168x^{2}-128x-31} 的第4個根。 扭棱十二面體的面心不能直接作為五角六十面體的頂點，因為4個三角形的面心位於同一個平面上，但五邊形的面心則否，它需要被徑向推出以使其與三角形中心共面。因此，五角六十面體的頂點並不都位於同一個球面上，因此根據定義，五角六十面體不是一個環帶多面體。 若其對偶多面體的邊長為單位長，則對應的五角六十面體八十個三階頂點所在的球面之半徑為： 3 ( x φ + 1 + φ + 1 x ) 2 ≈ {\displaystyle {\frac {\sqrt {3\left(x\varphi +1+\varphi +{\frac {1}{x}}\right)}}{2}}\approx } 2.1172098986 十二個五階頂點所在的球面之半徑為： x 2 ( 1009 + 1067 φ ) + x ( 1168 + 2259 φ ) + ( 1097 + 941 φ ) 62 ≈ {\displaystyle {\frac {\sqrt {x^{2}\left(1009+1067\varphi \right)+x\left(1168+2259\varphi \right)+\left(1097+941\varphi \right)}}{62}}\approx } 2.220000699 若要計算五角六十面體的體積和表面積，則需要將其中一個五邊形面的短邊表示為 b {\displaystyle b} ，並令常數 t {\displaystyle t} 為： t = 44 + 12 φ ( 9 + 81 φ − 15 ) 3 + 44 + 12 φ ( 9 − 81 φ − 15 ) 3 − 4 12 ≈ 0.471 575 629 622 {\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi (9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.471\,575\,629\,622} . 則短邊長為 b {\displaystyle b} 的五角六十面體表面積（A）為： A = 30 b 2 ⋅ ( 2 + 3 t ) ⋅ 1 − t 2 1 − 2 t 2 ≈ 162.698 964 198 b 2 {\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698\,964\,198b^{2}} . 體積（V）為： V = 5 b 3 ( 1 + t ) ( 2 + 3 t ) ( 1 − 2 t 2 ) ⋅ 1 − 2 t ≈ 189.789 852 067 b 3 {\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789\,852\,067b^{3}} . 使用以上這些數值，可以計算此形狀的球形度（英语：sphericity）量值： Ψ = π 1 3 ( 6 V ) 2 3 A ≈ 0.98163 {\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.98163} 由於五角六十面體是一個等面多面體，因此可以製成骰子。 卡塔蘭立體 對偶多面體 Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Alan Holden. Shapes, Space, and Symmetry. New York: Columbia University Press. 1971.  Conway, J.H. and Burgiel, H. and Goodman-Strauss, C. The Symmetries of Things. AK Peters/CRC Recreational Mathematics Series. CRC Press. 2016 [2022-07-25]. ISBN 9781439864890. LCCN 2007046446. （原始内容存档于2022-07-26）.  (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 287, pentagonal icosikaitetrahedron) Coxeter, H. S. M., Kaleidoscopes: Selected Writings, John Wiley and Sons: 282, 1995, ISBN 9780471010036 . David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (dextro). [2022-07-24]. （原始内容存档于2022-07-27）.  David I. McCooey. Catalan Solids: Pentagonal Hexecontahedron (laevo). 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