极限 (范畴论)

在數學裡的範疇論中，極限（英語：Limit）的概念融貫了多種構造，包括和、積等等；範疇論中許多泛性質也可從極限來理解。 極限分為極限與餘極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表： 本條目用語取歸納極限與射影極限。 一範疇 C 中的極限及上極限可用 C 中的圖示來定義。形式上，C 中類型 J 的圖示是指一個由 J 映射至 C 的函子： F : J → C. 範疇 J 稱之為「索引範疇」，圖示 F 可想做是以 J 索引 C 內的物件及態射。J 實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。 通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為「小圖示」及「有限圖示」。 設 F : J → C 為一個在範疇 C 中類型 J 的圖示。一個對應於 F 的「錐體」是指 C 中的一物件 N ，具有可以 J 內之物件 X 索引的態射族 ψX : N → F(X)，使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 F(f) o ψX = ψY。 圖示 F : J → C 的極限是一個對應於 F 的錐體 (L, φ)，使得對所有其他對應於 F 之錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : N → L，使得對所有 J 中的 X，φX o u = ψX。 可以說，錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成錐體 (L, φ)。此一態射 u 有時稱為「中介態射」。 極限亦稱之為「泛錐體」，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件 L 夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，L 也必須夠特殊，每個錐體都只可能有「一個」因子。 極限也可視為是在對應於 F 的錐體範疇內的終對象。 圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。 極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之： 圖示 F : J → C 的「上錐體是指 C 中的一物件 N，具有可以每個 J 中的物件 X 索引的態射族 ψX : F(X) → N 使得對每個 J 內的態射 f : X → Y，均有 ψY o F(f)= ψX。 圖示 F : J → C 的上極限是 F 的上錐體 (L, ϕ {\displaystyle \phi } )，使得對所有其他對應於 F 的上錐體 (N, ψ)，總存在一個「唯一的」態射 u : L → N，使得對所有 J 中的 X，u o ϕ {\displaystyle \phi } X = ψX。 上極限也稱為「泛上錐體」，也可視為是在對應於 F 的上錐體範疇內的始對象。 如同極限一般，若圖示 F 存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。 以下固定一個範疇 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} ，並探討其中的極限。為避免集合的悖論，我們將固定一個宇宙 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ，並假定 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 是 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} -範疇，即：對任意兩個對象 X , Y {\displaystyle X,Y} ，態射集 H o m C ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)} 同構於 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 裡的某個集合。 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 表所有 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 裡的集合構成的範疇。 設 I {\displaystyle I} 為對 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的一個小範疇，所謂歸納系統（或稱I-圖）係指一個函子 α : I → C {\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}} ，射影系統則指一函子 β : I o p → C {\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}} 。 形象地說，歸納系統不外是給定 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中一族對象 { X i : i ∈ I } {\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}} ，對每個態射 i → j {\displaystyle i\rightarrow j} 都有 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 中對應的態射 X i → X j {\displaystyle X_{i}\rightarrow X_{j}} ，且此對應在態射的合成下不變。射影系統對應的態射則反向： X i ← X j {\displaystyle X_{i}\leftarrow X_{j}} 。 固定一對象 X ∈ C {\displaystyle X\in {\mathcal {C}}} ，對任意歸納系統α或射影系統β，可定義從 I o p {\displaystyle I^{\mathrm {op} }} 到 S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 的函子 H o m C ( α , X ) : i ↦ H o m ( α ( i ) , X ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(\alpha ,X):i\mapsto \mathrm {Hom} (\alpha (i),X)} H o m C ( X , β ) : i ↦ H o m ( X , β ( i ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,\beta ):i\mapsto \mathrm {Hom} (X,\beta (i))} 我們將遵循可表函子的哲學，從集合的射影極限出發。暫設 C = S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Set} } ， S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 上的歸納系統不外是 I {\displaystyle I} 上的預層。給定一個歸納系統β，定義： lim ← ⁡ β := { ( x i ) ∈ ∏ i ∈ I β ( i ) : ∀ i , j ∈ I , s ∈ H o m ( i , j ) β ( s ) ( x j ) = x i } {\displaystyle \varprojlim \beta :=\{(x_{i})\in \prod _{i\in I}\beta (i):\forall i,j\in I,s\in \mathrm {Hom} (i,j)\;\beta (s)(x_{j})=x_{i}\}} （注意：若 I {\displaystyle I} 是空範疇，對應的射影極限是單元素集合。） 可手工驗證下述自然同構： H o m S e t ( X , lim ← ⁡ β ) → ∼ lim ← ⁡ H o m S e t ( X , β ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\varprojlim \beta ){\stackrel {\sim }{\rightarrow }}\varprojlim \mathrm {Hom} _{\mathbf {Set} }(X,\beta )} 令 I {\displaystyle I} 為空範疇，此時的歸納極限與射影極限（若存在）便分別滿足泛性質 ∀ X ∈ C , | H o m ( X , lim ← ⁡ ∅ ) | = | H o m ( lim → ⁡ ∅ , X ) | = 1 {\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},|\mathrm {Hom} (X,\varprojlim \emptyset )|=|\mathrm {Hom} (\varinjlim \emptyset ,X)|=1} 這不外就是 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 裡的始對象與終對象。 令 I {\displaystyle I} 為離散範疇（即：其間只有恆等態射），此時歸納及射影系統不外只是一族 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 的對象 { X i : i ∈ I } {\displaystyle \{X_{i}:i\in I\}} ，對應的歸納極限及射影極限稱作餘積（又稱上積）與積。 令 I {\displaystyle I} 為範疇 ∙ ⟵ ∙ ⟶ ∙ {\displaystyle \bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow \bullet } ；設 α : I → C {\displaystyle \alpha :I\rightarrow {\mathcal {C}}} 對應於 Y 1 ⟵ f 1 X ⟶ f 2 Y 2 {\displaystyle Y_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longleftarrow }}X{\stackrel {f_{2}}{\longrightarrow }}Y_{2}} 。若其歸納極限存在，稱之 Y 1 , Y 2 {\displaystyle Y_{1},Y_{2}} 對 X {\displaystyle X} 的纖維餘積，寫作 Y 1 ⊔ X Y 2 {\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}} 。 對偶地看，對於 β : I o p → C {\displaystyle \beta :I^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}} ，對應於 X 1 ⟶ f 1 Y ⟵ f 2 X 2 {\displaystyle X_{1}{\stackrel {f_{1}}{\longrightarrow }}Y{\stackrel {f_{2}}{\longleftarrow }}X_{2}} ，若其射影極限存在，稱之 X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} 對 Y {\displaystyle Y} 的纖維積，寫作 X 1 × Y X 2 {\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}} 。 纖維積與纖維餘積可視為「相對」版本的積與餘積。若存在終對象（或始對象），則積（或餘積）可視為對該對象的纖維積（或纖維餘積）。 核（kernel）與餘核（cokernel，又譯上核），有時也稱等化子（equalizer）與餘等化子（coequalizer）。考慮對應到 X 0 ⇉ g f X 1 {\displaystyle X_{0}{\overset {f}{\underset {g}{\rightrightarrows }}}X_{1}} 的歸納或射影系統，此時的歸納極限 C o k e r ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)} 稱作上核，射影極限 K e r ( f , g ) {\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)} 稱作核。它們的泛性質圖解如下： 在加法範疇中僅須考慮 g = 0 {\displaystyle g=0} 的狀況，上述概念遂歸結為同調代數所探討的核與餘核。 設 I , J {\displaystyle I,J} 為小範疇， α : I × J → C {\displaystyle \alpha :I\times J\rightarrow {\mathcal {C}}} 為歸納系統，則有自然同構 lim → i , j ⁡ α ( i , j ) = lim → i ⁡ lim → j ⁡ α ( i , j ) = lim → j ⁡ lim → i ⁡ α ( i , j ) {\displaystyle \varinjlim _{i,j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{i}\varinjlim _{j}\alpha (i,j)=\varinjlim _{j}\varinjlim _{i}\alpha (i,j)} 將箭頭反向，對射影系統 β : ( I × J ) o p = I o p × J o p → C {\displaystyle \beta :(I\times J)^{\mathrm {op} }=I^{\mathrm {op} }\times J^{\mathrm {op} }\rightarrow {\mathcal {C}}} 亦有自然同構 lim ← i , j ⁡ β ( i , j ) = lim ← i ⁡ lim ← j ⁡ β ( i , j ) = lim ← j ⁡ lim ← i ⁡ β ( i , j ) {\displaystyle \varprojlim _{i,j}\beta (i,j)=\varprojlim _{i}\varprojlim _{j}\beta (i,j)=\varprojlim _{j}\varprojlim _{i}\beta (i,j)} 歸納極限與射影極限通常不交換，一個格外有用的結果是：若 I {\displaystyle I} 是濾通範疇，則 lim → I {\displaystyle \varinjlim _{I}} 與任意 lim ← J {\displaystyle \varprojlim _{J}} 交換。 若一個範疇內存在任意的（小）射影極限，則稱之完備範疇；完備的充要條件是存在任意的積與核。 將箭頭反向，遂得到上完備範疇的定義及其充要條件。 考慮一個函子 F : C → C ′ {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C'}}} 。 若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 裡存在任意的有限射影極限，且 F {\displaystyle F} 與有限射影極限交換，則稱 F {\displaystyle F} 為左正合。 若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 裡存在任意的有限歸納極限，且 F {\displaystyle F} 與有限歸納極限交換，則稱 F {\displaystyle F} 為右正合。 若上述條件同時被滿足，則稱 F {\displaystyle F} 為正合。 在阿貝爾範疇中，上述定義回歸到同調代數中的定義。 根據極限的泛性質， H o m ( − , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,-)} 函子無論對哪個變數都是左正合的。 設 ( F , G ) {\displaystyle (F,G)} 是一對伴隨函子。若 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 存在任意有限歸納極限，則 F {\displaystyle F} 右正合；若存在任意有限射影極限， G {\displaystyle G} 左正合。此法可建立許多函子的正合性。 定義中已構造集合的（小）射影極限。對於任意一個小範疇 I {\displaystyle I} 及歸納系統 α : I → S e t {\displaystyle \alpha :I\rightarrow \mathbf {Set} } ，其歸納極限亦存在，定義為下述商集： lim → ⁡ α := ∐ i ∈ I α ( i ) ( ∃ i 1 → ⋯ → i n , x ∈ α ( i 1 ) ↦ ⋯ ↦ y ∈ α ( i n ) ) ⇒ ( x ∼ y ) {\displaystyle \varinjlim \alpha :={\dfrac {\coprod _{i\in I}\alpha (i)}{(\exists i_{1}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{n},x\in \alpha (i_{1})\mapsto \cdots \mapsto y\in \alpha (i_{n}))\Rightarrow (x\sim y)}}} 兩個集合的纖維積與上積為 Y 1 ⊔ X Y 2 = Y 1 ⊔ Y 2 / { f 1 ( y 1 ) = f 2 ( y 2 ) ⇒ x 1 ∼ x 2   } {\displaystyle Y_{1}\sqcup _{X}Y_{2}=Y_{1}\sqcup Y_{2}/\{f_{1}(y_{1})=f_{2}(y_{2})\Rightarrow x_{1}\sim x_{2}~\}} X 1 × Y X 2 = { ( x 1 , x 2 ) ∈ X 1 × X 2 : f ( x 1 ) = f ( x 2 ) } {\displaystyle X_{1}\times _{Y}X_{2}=\{(x_{1},x_{2})\in X_{1}\times X_{2}:f(x_{1})=f(x_{2})\}} 設 f , g : X 0 → X 1 {\displaystyle f,g:X_{0}\rightarrow X_{1}} ，則 K e r ( f , g ) = { x 0 ∈ X 0 : f ( x 0 ) = g ( x 0 ) } {\displaystyle \mathrm {Ker} (f,g)=\{x_{0}\in X_{0}:f(x_{0})=g(x_{0})\}} ，這是「等化」一詞的來由。 C o k e r ( f , g ) = X 1 / { ∀ x 0 ∈ X 0 , f ( x 0 ) ∼ g ( x 0 ) } {\displaystyle \mathrm {Coker} (f,g)=X_{1}/\{\forall x_{0}\in X_{0},f(x_{0})\sim g(x_{0})\}} S e t {\displaystyle \mathbf {Set} } 是完備且上完備的。 拓撲空間範疇 T o p {\displaystyle \mathbf {Top} } 也是完備且上完備的。各種極限構造與集合相同，惟須安上適合的商拓撲或子空間的誘導拓撲。 特別是可以構造一族無窮多個拓撲空間的極限及逆極限，此時相應的拓撲稱作始拓撲或終拓撲。此類構造在泛函分析及同倫理論中特別有用。 一個拓撲空間 X {\displaystyle X} 滿足豪斯多夫性質的充要條件是 p 1 , p 2 : X × X → X {\displaystyle p_{1},p_{2}:X\times X\rightarrow X} 的核 Δ : X → X × X {\displaystyle \Delta :X\rightarrow X\times X} 是閉浸入，將此性質推廣到概形上，則得到分離概形。 概形範疇 S c h {\displaystyle \mathbf {Sch} } （或相對版本 S c h / S {\displaystyle \mathbf {Sch} _{/S}} ）有終對象 S p e c Z {\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} } （或 S {\displaystyle S} ），並存在有限的纖維積。 阿貝爾群範疇 A b {\displaystyle \mathbf {Ab} } 或一個環 R {\displaystyle R} 上的模範疇 M o d R {\displaystyle \mathbf {Mod} _{R}} 都是完備且上完備的。函子的正合性對應到交換代數裡的正合性概念。 射影極限的一個典型例子是p進整數： Z p := lim ← n ⁡ Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } 。 Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490 Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira