微分代数

微分代数（英語：Differential algebra）是代数学的一个分支，在代数中装备一个导子就可以得到微分代数。此外，在数学中，微分环、微分域和微分代数是环、域、代数装备一个导子，一个满足莱布尼兹乘积法则的一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t)，其导子是关于 t 的微分。 一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环 ∂ : R → R {\displaystyle \partial :R\to R} 使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则： ∂ ( r 1 r 2 ) = ( ∂ r 1 ) r 2 + r 1 ( ∂ r 2 ) , {\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2}),} 对任何 r 1 , r 2 ∈ R {\displaystyle r_{1},r_{2}\in R} 。注意环可能不交换，从而稍微标准的交换环情形的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 M : R × R → R {\displaystyle M:R\times R\to R} 是环上的乘法，乘积法则是恒等式 ∂ ∘ M = M ∘ ( ∂ ⊗ id ) + M ∘ ( id ⊗ ∂ ) . {\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id} )+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial ).\,} 这里 f ⊗ g {\displaystyle f\otimes g} 表示函数将二元组 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 映到二元组 ( f ( x ) , g ( y ) ) {\displaystyle (f(x),g(y))} 。 一个微分域是带有一个导子的域 K。微分域 DF 的理论，由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样，导子在域的元素上必须服从乘积法则，或莱布尼兹法则，这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 u 与 v 有 ∂ ( u v ) = u ∂ v + v ∂ u , {\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u,\,} 由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有分配律 ∂ ( u + v ) = ∂ u + ∂ v   . {\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v\ .\,} 如果 K 是一个微分域则常数域 k = { u ∈ K : ∂ ( u ) = 0 } {\displaystyle k=\{u\in K:\partial (u)=0\}} 。 域 K 上一个微分代数是一个 K-代数 A，其中的导子与域可交换。即对所有 k ∈ K {\displaystyle k\in K} 与 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 有 ∂ ( k x ) = k ∂ x . {\displaystyle \partial (kx)=k\partial x.\,} 在不用指标记法中，如果 η : K → A {\displaystyle \eta \colon K\to A} 是定义了环上数量乘法的环同态，则有 ∂ ∘ M ∘ ( η × Id ) = M ∘ ( η × ∂ ) . {\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id} )=M\circ (\eta \times \partial ).\,} 同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则，以及对加法线性。从而，对所有 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} 与 x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} 有 ∂ ( x y ) = ( ∂ x ) y + x ( ∂ y ) , {\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y),\,} 以及 ∂ ( a x + b y ) = a ∂ x + b ∂ y . {\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y.\,} 李代数 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上一个导子是一个线性 D : g → g {\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} 满足莱布尼兹法则： D ( [ a , b ] ) = [ a , D ( b ) ] + [ D ( a ) , b ] {\displaystyle D([a,b])=[a,D(b)]+[D(a),b]\,} 对任何 a ∈ g , ad ⁡ ( a ) {\displaystyle a\in {\mathfrak {g}},\operatorname {ad} (a)} 是 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上一个导子，这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为内导子。 如果 A {\displaystyle A} 有单位，则 ∂(1) = 0 这是因为 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如，在特征零的微分域中，有理数总是常数域的子域。 任何域可以简单地理解为一个常数微分域。 域 Q(t) 具有惟一的结构成为一个微分域，由令 ∂(t) = 1 确定：域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 t 的导数。例如，由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。 微分域 Q(t) 对微分方程 ∂ ( u ) = u {\displaystyle \partial (u)=u} 没有解。但扩充成包括函数 et 的更大的微分域，则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为微分闭域。这样的域存在，尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域（有界基數）嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。 自然出现的导子例子是偏导数、李导数、Pincherle导数（英语：Pincherle derivative）与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的，导子的概念将它们统一起来。 微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子来研究。 这是环 R ( ( ξ − 1 ) ) = { ∑ n < ∞ r n ξ n | r n ∈ R } . {\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.} 这个环上的乘法定义为 ( r ξ m ) ( s ξ n ) = ∑ k = 0 m r ( ∂ k s ) ( m k ) ξ m + n − k . {\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.} 这里 ( m k ) {\displaystyle {m \choose k}} 是二项式系数。注意到恒等式 ξ − 1 r = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( ∂ n r ) ξ − 1 − n {\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}} 这里利用了恒等式 ( − 1 n ) = ( − 1 ) n {\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}} 与 r ξ − 1 = ∑ n = 0 ∞ ξ − 1 − n ( ∂ n r ) . {\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).} 微分伽罗瓦定理（英语：Differential Galois theory） 凯勒微分（英语：Kähler differential） 微分闭域（英语：Differentially closed field） D-模是有多个微分算子作用在它上面的代数结构。 微分分次代数是附加分次的一个微分代数。 算术导数 Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994). I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957). E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973 D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996). A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994 David Marker's home page （页面存档备份，存于互联网档案馆） has several online surveys discussing differential fields.