佩尔数

佩尔数是一个自古以来就知道的整数数列，由递推关系定义，与斐波那契数类似。佩尔数呈指数增长，增长速率与白银比的幂成正比。它出现在2的算術平方根的近似值以及三角平方数的定义中，也出现在一些组合数学的问题中。 佩尔数由以下的递推关系定义： P n = { 0 if  n = 0 ; 1 if  n = 1 ; 2 P n − 1 + P n − 2 otherwise. {\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 也就是说，佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数。最初几个佩尔数是： 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。 佩尔数也可以用通项公式来定义： P n = ( 1 + 2 ) n − ( 1 − 2 ) n 2 2 . {\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.} 对于较大的n， ( 1 + 2 ) n {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}} 的项起主要作用，而 ( 1 − 2 ) n {\displaystyle \scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}} 的项则变得微乎其微。因此佩尔数大约与白银比 ( 1 + 2 ) {\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})} 的幂成正比。 第三种定义是以下的矩阵公式： ( P n + 1 P n P n P n − 1 ) = ( 2 1 1 0 ) n . {\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.} 从这些定义中，可以推出或证明许多恒等式；例如以下的恒等式，与斐波那契数的卡西尼恒等式类似： P n + 1 P n − 1 − P n 2 = ( − 1 ) n , {\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},} 这个恒等式是以上矩阵公式的直接结果（考虑矩阵的行列式）。 佩尔数出现在2的算術平方根的有理数近似值中。如果两个大的整数x和y 是佩尔方程的解： x 2 − 2 y 2 = ± 1 , {\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,} 那么它们的比 x y {\displaystyle {\tfrac {x}{y}}} 就是 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} 的一个较精确的近似值。这种形式的近似值的数列是： 1 , 3 2 , 7 5 , 17 12 , 41 29 , 99 70 , … {\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots } 其中每一个分数的分母是佩尔数，分子则是这个数与前一个佩尔数的和。也就是说，佩尔方程的解具有 P n − 1 + P n P n {\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}} 的形式。 2 ≈ 577 408 {\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}} 是这些近似值中的第八个，在公元前3或4世纪就已经为印度数学家所知。公元前5世纪的古希腊数学家也知道这个近似值的数列；他们把这个数列的分母和分子称为“边长和直径数”，分子也称为“有理对角线”或“有理直径”。 这些近似值可以从 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} 的连分数展开式推出： 2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 ⋱ . {\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.} 取这个展开式的有限个项，便可以产生 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} 的一个近似值，例如： 577 408 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 . {\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.} 佩尔素数是既是佩尔数又是素数的数。最初几个佩尔素数是： 2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。 与斐波那契素数相似，仅当n本身是素数时 P n {\displaystyle P_{n}} 才有可能是素数。 唯一的既是佩尔数又是平方数、立方数或任意整数次方的数是0, 1, 以及169 = 132。 然而，佩尔数与三角平方数有密切的关系。它们出现在以下佩尔数的恒等式中： ( ( P k − 1 + P k ) ⋅ P k ) 2 = ( P k − 1 + P k ) 2 ⋅ ( ( P k − 1 + P k ) 2 − ( − 1 ) k ) 2 . {\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.} 等式的左面是平方数，等式的右面是三角形数，因此是三角平方数。 Santana和Diaz-Barrero在2006年证明了佩尔数与平方数之间的另外一个恒等式，并证明了从 P 1 {\displaystyle P_{1}} 到 P 4 n + 1 {\displaystyle P_{4n+1}} 的所有佩尔数的和总是平方数： ∑ i = 0 4 n + 1 P i = ( ∑ r = 0 n 2 r ( 2 n + 1 2 r ) ) 2 = ( P 2 n + P 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.} 例如，从 P 1 {\displaystyle P_{1}} 到 P 5 {\displaystyle P_{5}} 的和是 0 + 1 + 2 + 5 + 12 + 29 = 49 {\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49} ，是 P 2 + P 3 = 2 + 5 = 7 {\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7} 的平方。 P 2 n + P 2 n + 1 {\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}} 就是这个和的平方根： 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。 如果一个直角三角形的边长为a、b和c（必须满足勾股定理a2+b2=c2），那么(a,b,c)称为勾股数。Martin在1875年描述，佩尔数可以用来产生勾股数，其中a和b相差一个单位。这个勾股数具有以下形式： ( 2 P n P n + 1 , P n + 1 2 − P n 2 , P n + 1 2 + P n 2 = P 2 n + 1 ) . {\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).} 用这种方法产生的勾股数的序列是： (3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), …… 佩尔-卢卡斯数由以下的递推关系定义： Q n = { 2 if  n = 0 ; 2 if  n = 1 ; 2 Q n − 1 + Q n − 2 otherwise. {\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 也就是说，数列中的最初两个数都是2，后面每一个数都是前一个数的两倍加上再前面的一个数。这个数列的最初几个项是（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478…… 佩尔-卢卡斯数的通项公式为： Q n = ( 1 + 2 ) n + ( 1 − 2 ) n . {\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.} 这些数都是偶数，每一个数都是以上 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}} 的近似值中的分子的两倍。 Bicknell, Marjorie. 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