级数

级数（英語：Series）代表某序列之和，例如序列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … {\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,\ldots } 的級數 S n {\displaystyle S_{n}} 可以表示成 S n = a 1 + … + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}} ，如果被取和的序列是有穷序列，相對應的級數被称为有穷级数；反之，称为无穷级数。常见的级数包括等差数列和等比数列的级数。 級數本身也是一種序列（代表加到第 n {\displaystyle n} 項）。就跟普通序列一樣，级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数，但某序列要能定義相應級數，前提是必須要有加法（如實數加法、向量加法與矩陣加法等等）。 如果某级数來自於對常數序列取和，则称之为常数（项）级数，如果來自於函数序列，则称之为函数（项）级数。 无穷级数不像有穷级数可以加到最後一項，所以作為替代，通常會嘗試將項數趨近於无穷大來取「最終的和」，具體來說，也就是對級數 S n {\displaystyle S_{n}} 取极限 lim n → ∞ S n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}} 。如果這個極限存在，會仿造数列极限，將這個无穷级数稱為收斂的（convergent）；反之稱為發散的（divergent）。（而且要能定義極限還需要距離來比較遠近） 定義 —  ( A , ∘ ) {\displaystyle (A,\,\circ )} 是個交換群，對於定義在 A {\displaystyle A} 上的序列 { a i ∈ A } i ∈ N {\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }} ，存在唯一的序列 { s n ∈ A } n ∈ N {\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }} 滿足： (1) s 1 = a 1 {\displaystyle s_{1}=a_{1}} (2) 對所有正整數 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ， s n + 1 = s n ∘ a n + 1 {\displaystyle s_{n+1}=s_{n}\circ a_{n+1}} 這個唯一存在的序列被稱為 { a i ∈ A } i ∈ N {\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }} 的級數（series）。 也就是說，只要 A {\displaystyle A} 上有定義一種有交換律的「運算」，那定義在 A {\displaystyle A} 的序列 { a i ∈ A } i ∈ N {\displaystyle {\{a_{i}\in A\}}_{i\in \mathbb {N} }} 都可以「取和」，而它的「部分和」可以構成某個唯一的序列 { s n ∈ A } n ∈ N {\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }} 。也就是說，一般會將 ∘ {\displaystyle \circ } 視為加法「 + {\displaystyle +} 」 ，而將 s n {\displaystyle s_{n}} 更加直觀的記為： s n = a 1 + … + a n {\displaystyle s_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}} 然後把 s n {\displaystyle s_{n}} 直觀地稱為部分和。 通常會做以下的符號定義： ∑ j = 1 n a j := s n {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}:=s_{n}} 而將　 { s n ∈ A } n ∈ N {\displaystyle {\{s_{n}\in A\}}_{n\in \mathbb {N} }} 　記為　 { ∑ j = 1 n a j } n ∈ N {\displaystyle {\left\{\sum _{j=1}^{n}a_{j}\right\}}_{n\in \mathbb {N} }} 甚至是更直觀的 ∑ j = 1 n a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{j}} 以上定義的級數，在直觀上被理解成「無窮級數」（infinite series）；但所謂的「有窮序列」，也只是從某個正整數 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 開始，只要正整數 i ≥ m {\displaystyle i\geq m} 就有 a i = 0 A {\displaystyle a_{i}=0_{A}} （ ( A , ∘ ) {\displaystyle (A,\,\circ )} 的單位元，可直觀理解成一般加法的「零」）。所以「有窮序列」取部分和而得到的「有窮級數」（finite series），事實上包含在上述定義中；換句話說，有窮級數是對從某項 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 開始為零的特殊序列取部分和得到的，所以不管怎麼加，部分和最大都只能到 ∑ j = 1 m a j {\displaystyle \sum _{j=1}^{m}a_{j}} 。 对于级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} ，如果当 n {\displaystyle n} 趋于正无穷大时， s n {\displaystyle s_{n}} 趋向一个有限的极限： s = lim n → ∞ s n {\displaystyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}} ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的， s {\displaystyle s} 叫做级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和 s {\displaystyle s} 。这时可以定义级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 的余项和： R n = S − S n {\displaystyle R_{n}=S-S_{n}} 。 如果级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 中的各项可以是正数，负数或零，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 称为任意项级数。 将任意项级数各项 u n {\displaystyle u_{n}} 取绝对值，得到正项级数。 ∑ n = 1 ∞ | u n | = | u 1 | + | u 2 | + | u 3 | + ⋯ + | u n | + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|=|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|+\cdots } 如果任意项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 收敛，而级数 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|} 发散，则称级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 条件收敛。 如果级数 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|} 收敛，则称级数绝对收敛 定理：如果任意项级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 的各项的绝对值所组成的正项级数 ∑ n = 1 ∞ | u n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|u_{n}|} 收敛，则级数 ∑ n = 1 ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}} 收敛。 若一个无穷级数 ∑ u n   :   u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyle \sum u_{n}\ :\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots } 收敛，其和为 s {\displaystyle s} ，则如果每一项乘以一个常数 a {\displaystyle a} ，得到的级数 ∑ a u n :   a u 1 + a u 2 + a u 3 + ⋯ + a u n + ⋯ {\displaystyle \sum au_{n}:\ au_{1}+au_{2}+au_{3}+\cdots +au_{n}+\cdots } 也收敛，且和等于as。 收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数： ∑ n = 1 ∞ u n = s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}=s} 和 ∑ n = 1 ∞ v n = t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}=t} ，则 ∑ n = 1 ∞ ( u n ± v n ) = s ± t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(u_{n}\pm v_{n})=s\pm t} . 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如： s = u 1 + u 2 + u 3 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots +u_{n}+\cdots } 和 s = u 12 + u 15 + u 16 + u 17 + ⋯ + u n + ⋯ {\displaystyle s=u_{12}+u_{15}+u_{16}+u_{17}+\cdots +u_{n}+\cdots } 这两个级数的敛散性是一样的。 当 n {\displaystyle n} 趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0： lim n → ∞ u n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}=0} 在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数 ∑ n = 1 + ∞ u n {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }u_{n}} 收敛的充要条件是，对任意 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，总存在 N 0 > 0 {\displaystyle N_{0}>0} ，使得任意的 n > m > N 0 {\displaystyle n>m>N_{0}} ， | s n − s m | = | ∑ k = m + 1 n u k | = | u m + 1 + u m + 2 + ⋯ + u n | < ϵ {\displaystyle |s_{n}-s_{m}|=|\sum _{k=m+1}^{n}u_{k}|=|u_{m+1}+u_{m+2}+\cdots +u_{n}|<\epsilon } 。 将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。 17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。 14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。 然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数 1 + α β 1 ⋅ γ x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}x+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+\cdots } 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。 柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。 1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数 1 + m 1 x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+\cdots } 的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。 柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。 对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。 1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。 更多級數請參見級數列表。 几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如： 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 2 {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2} 一般来说，几何级数 ∑ n = 0 ∞ z n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}} 收敛当且仅当 | z | < 1 {\displaystyle \left\vert z\right\vert <1} 。 调和级数是指通项为 1 n {\displaystyle {1 \over n}} 的级数： 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}} 它是发散的。 p {\displaystyle p} -级数是指通项为 1 n p {\displaystyle {\frac {1}{n^{p}}}} 的级数： U p = ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle U_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} 对于实数值的 p {\displaystyle p} ，当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时收敛，当 p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} 时发散。这可以由积分比较审敛法得出。 函数 ζ : p ↦ U p {\displaystyle \zeta :p\mapsto U_{p}} 是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼 ζ {\displaystyle \zeta } 函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當 p = 1 {\displaystyle p=1} 時， p {\displaystyle p} -級數即為調和級數。 ∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})} 收敛当且仅当数列 b n {\displaystyle b_{n}} 收敛到某个极限 L {\displaystyle L} ，并且这时级数的和是 b 1 − L {\displaystyle b_{1}-L} 。 泰勒级数是关于一个光滑函数 f {\displaystyle f} 在一点 a {\displaystyle a} 附近取值的级数。泰勒函数由函数在点 a {\displaystyle a} 的各阶导数值构成，具体形式为： ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}} 这是一个幂级数。如果它在 a {\displaystyle a} 附近收敛，那么就称函数 f {\displaystyle f} 在点 a {\displaystyle a} 上是解析的。 具有以下形式的级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 其中所有的 a n {\displaystyle a_{n}} 非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。 形同 ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}} 的函数项无穷级数称为 x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} 的幂级数。它的收敛与否和系数 a n {\displaystyle a_{n}} 有关。 任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 例如，周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 的周期函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可以表示为： f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x ) , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),n=1,2,3,\ldots } 其中， a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx} ， b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x {\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx} ，特别的， a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)dx} 若通项为实数的无穷级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 每一项 u n {\displaystyle u_{n}} 都大于等于零，则称 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 是一正项级数。 如果无穷级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 是正项级数，则部分和 S n {\displaystyle S_{n}} 是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列Sn有界， ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛，且 lim n → ∞ S n = s {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=s} ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。 设 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 和 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 是正项级数。 如果存在正实数 M {\displaystyle M} ，使得从若干项开始， u n ≤ M v n {\displaystyle u_{n}\leq Mv_{n}} （也就是说 u n = O ∞ ( v n ) {\displaystyle u_{n}=O_{\infty }(v_{n})} ），则 当 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 收敛时，可推出 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 也收敛。 当 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 发散时，可推出 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 也发散。 如果 lim n → ∞ u n v n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=0} ，则 当 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 收敛时，可推出 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 也收敛。 当 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 发散时，可推出 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 也发散。 如果 lim n → ∞ u n v n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n} \over v_{n}}=1} 或其它有限数，则 ∑ v n {\displaystyle \sum v_{n}} 和 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 同时收敛或发散。 比如，我们已知级数： ∑ 1 n 2 {\displaystyle \sum {1 \over n^{2}}} 收敛，则级数： ∑ | sin ⁡ n | n 2 {\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}} 也收敛，因为对任意的 n {\displaystyle n} ， sin ⁡ n ≤ 1 {\displaystyle \sin n\leq 1} 。 比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数： U p = ∑ 1 n p {\displaystyle U_{p}=\sum {1 \over n^{p}}} 作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当 p ≤ 1 {\displaystyle p\leq 1} 时， U p {\displaystyle U_{p}} 发散，当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时， U p {\displaystyle U_{p}} 收敛。 在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得： 设 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 是通项大于零的正项级数。并且 lim n → ∞ u n + 1 u n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{u_{n+1} \over u_{n}}=p} ，则 当 p < 1 {\displaystyle p<1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛。 当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 发散。 当 p = 1 {\displaystyle p=1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 可能收敛也可能发散。 这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。 设 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 是正项级数。并且 lim n → ∞ u n n = p {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{u_{n}}}=p} ，则 当 p < 1 {\displaystyle p<1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛。 当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 发散。 当 p = 1 {\displaystyle p=1} 时，级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 可能收敛也可能发散。 这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。 具有以下形式的级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 其中所有的 a n {\displaystyle a_{n}} 非负，被称作交错级数。 在上述的级数 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\!} 中，如果当 n {\displaystyle n} 趋于无穷时, 数列 a n {\displaystyle a_{n}} 的极限存在且等于 0，并且每个 a n {\displaystyle a_{n}} 小于 a n − 1 {\displaystyle a_{n-1}} （即, 数列 a n {\displaystyle a_{n}} 是单调递减的），那么级数收敛。 对于通项为任意实数的无穷级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} ，将级数 ∑ | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 称为它的绝对值级数。可以证明，如果 ∑ | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 收敛，那么 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 也收敛，这时称 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 绝对收敛。如果 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 收敛，但是 ∑ | u n | {\displaystyle \sum |u_{n}|} 发散，则称 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 条件收敛。比如说，级数 ∑ sin ⁡ n n 2 {\displaystyle \sum {\sin n \over n^{2}}} 绝对收敛，因为前面已经证明 ∑ | sin ⁡ n | n 2 {\displaystyle \sum {|\sin n| \over n^{2}}} 收敛。而级数 ∑ ( − 1 ) n n {\displaystyle \sum {(-1)^{n} \over n}} 是条件收敛的。它自身收敛到 ln ⁡ 1 2 {\displaystyle \ln {1 \over 2}} ，但是它的绝对值级数 ∑ 1 n {\displaystyle \sum {1 \over n}} 是发散的。 黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 ∑ u n {\displaystyle \sum u_{n}} 条件收敛，那么对于任意的实数 x {\displaystyle x} ，存在一个正整数到正整数的双射 σ {\displaystyle \sigma } ，使得级数 ∑ u σ ( n ) {\displaystyle \sum u_{\sigma (n)}} 收敛到 x {\displaystyle x} 。对于正负无穷大，上述双射也存在。 设 ( u n ( x ) ) n ≥ 0 {\displaystyle (u_{n}(x))_{n\geq 0}} 为定义在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上的函数列，则表达式： u 1 ( x ) + u 2 ( x ) + ⋯ + u n ( x ) + ⋯ {\displaystyle u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots +u_{n}(x)+\cdots } 称为函数项级数，简记为 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 。对函数项级数的主要研究是： 确定对哪些 x {\displaystyle x} ， ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 收敛。 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 收敛的话，其和是什么，有什么性质？ 对区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上的每个 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，级数 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 是常数项级数。若 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 收敛，则称 x 0 {\displaystyle x_{0}} 是 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的一个收敛点， ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 ∑ u n ( x 0 ) {\displaystyle \sum u_{n}(x_{0})} 发散，则称 x 0 {\displaystyle x_{0}} 是 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的一个发散点， ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 全体发散点的集合称为它的发散域。 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 的和函数，记为 S ( x ) {\displaystyle S(x)} 。按照定义， S ( x 0 ) = lim n → ∞ S n ( x 0 ) {\displaystyle S(x_{0})=\lim _{n\to \infty }S_{n}(x_{0})} ，其中 S n ( x 0 ) = u 1 ( x 0 ) + u 2 ( x 0 ) + ⋯ + u n ( x 0 ) {\displaystyle S_{n}(x_{0})=u_{1}(x_{0})+u_{2}(x_{0})+\cdots +u_{n}(x_{0})} 为函数项级数在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 点上的部分和。 函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 中的每一项 u n ( x ) {\displaystyle u_{n}(x)} 在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子： 设 u n ( x ) = x n − x n + 1 {\displaystyle \displaystyle u_{n}(x)=x^{n}-x^{n+1}} ，也就是说 u 0 ( x ) = 1 − x {\displaystyle \displaystyle u_{0}(x)=1-x} ， u 1 ( x ) = x − x 2 {\displaystyle \displaystyle u_{1}(x)=x-x^{2}} 等等，它们显然都是连续函数（甚至是光滑函数）。这时函数项级数在 x {\displaystyle x} 点上的部分和 S n ( x ) = ∑ k = 0 n ( x k − x k + 1 ) = 1 − x n + 1 {\displaystyle S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(x^{k}-x^{k+1})=1-x^{n+1}} 。在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 的每一点上，部分和都有极限： 当 x ≠ 1 {\displaystyle x\neq 1} 时， S n ( x ) → 1 {\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 1} 当 x = 1 {\displaystyle \displaystyle x=1} 时， S n ( x ) → 0 {\displaystyle S_{n}(x)\rightarrow 0} 于是在区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上，级数 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 收敛，其和函数 S ( x ) {\displaystyle S(x)} 为： 当 0 ≤ x < 1 {\displaystyle 0\leq x<1} 时， S ( x ) = 1 {\displaystyle S(x)=1} ； S ( 1 ) = 0 {\displaystyle S(1)=0} 。 这不是一个连续函数。 然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在某个区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内（关于某个范数 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \left\|\cdot \right\|} ）一致收敛的定义是它的部分和函数 S n {\displaystyle S_{n}} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上一致收敛到和函数 S {\displaystyle S} ， lim n → ∞ ‖ S − S n ‖ I = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|S-S_{n}\right\|_{\mathcal {I}}=0} 或者写成 lim n → ∞ ‖ ∑ k = n ∞ u k ‖ I = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\|\sum _{k=n}^{\infty }u_{k}\right\|_{\mathcal {I}}=0} 可以证明： 如果级数 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内一致收敛，并且每个 u n ( x ) {\displaystyle u_{n}(x)} 都是连续函数，那么和函数 S {\displaystyle S} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 上也是连续函数。 进一步的，如果导函数级数的每一项都是 C p {\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}} 函数（ p {\displaystyle p} 阶连续可微函数），并且各阶导函数级数 ∑ u n ( x ) , ∑ u n ( 1 ) ( x ) , ∑ u n ( 2 ) ( x ) , … , ∑ u n ( p ) ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x),\sum u_{n}^{(1)}(x),\sum u_{n}^{(2)}(x),\ldots ,\sum u_{n}^{(p)}(x)} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内都一致收敛，那么级数和函数 S ( x ) = ∑ u n ( x ) {\displaystyle S(x)=\sum u_{n}(x)} 也是 C p {\displaystyle {\mathcal {C}}^{p}} 函数，并且： ∀ 0 ≤ i ≤ p {\displaystyle \forall 0\leq i\leq p} ， S ( i ) ( x ) = ∑ u n ( i ) ( x ) {\displaystyle S^{(i)}(x)=\sum u_{n}^{(i)}(x)} 。 函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 和范数 ‖ ⋅ ‖ I {\displaystyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {I}}} ，函数项级数 ∑ u n ( x ) {\displaystyle \sum u_{n}(x)} 在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内绝对收敛，当且仅当常数级数 ∑ ‖ u n ‖ I {\displaystyle \sum \left\|u_{n}\right\|_{\mathcal {I}}} 收敛。 绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内一致收敛。[來源請求] 形同 ∑ a n ( x − x 0 ) n {\displaystyle \sum a_{n}(x-x_{0})^{n}} 的函数项无穷级数称为 x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} 的幂级数。一般只需讨论形同 ∑ a n x n {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} 的幂级数。 根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为 ( − R , R ) {\displaystyle (-R,R)} （可开可闭）的形式。这个正数 R {\displaystyle R} （可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理： 设幂级数 ∑ a n x n {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} 满足 lim n → ∞ a n + 1 a n = ρ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{a_{n+1} \over a_{n}}=\rho } ，则： ρ {\displaystyle \rho } 是正实数时， R = 1 ρ {\displaystyle R={1 \over \rho }} 。 ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} 时， R = ∞ {\displaystyle R=\infty } 。 ρ = ∞ {\displaystyle \rho =\infty } 时， R = 0 {\displaystyle R=0} 。 求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。 渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。 发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。 级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。 收敛 发散级数 函数级数（英语：function series） 级数展开 求和变换 阿贝尔定理 黎曼级数定理 柯西-阿达马公式 同济大学数学系. 高等数学 6. 高等教育出版社. 2007. ISBN 978-7-04-021277-8 （中文（中国大陆））.  北京大学数学科学学院. 数学分析 2. 北京大学出版社 （中文（中国大陆））.