张量代数

在数学中，一个向量空间 V {\displaystyle V} 的张量代数（tensor algebra），记作 T ( V ) {\displaystyle T(V)} ，是 V {\displaystyle V} 上的（任意阶）张量的代数，其乘法为张量积。张量代数左伴随于从代数到向量空间的遗忘函子，在这种意义下它是 V {\displaystyle V} 上的自由代数；在相应的泛性质的意义下，它是包含 V {\displaystyle V} 的“最一般的代数”（见下）。 张量代数也具有余代数结构。 注：本文中所有代数都假设是有单位的且结合。 设 V {\displaystyle V} 是域 K {\displaystyle K} 上一个向量空间。对任何非负整数 k {\displaystyle k} ，我们定以 V {\displaystyle V} 的 k {\displaystyle k} 次张量积为 V {\displaystyle V} 与自己的 k {\displaystyle k} 次张量积： T k V = V ⊗ k = V ⊗ V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ k {\displaystyle T^{k}V=V^{\otimes k}={\underset {k}{\underbrace {V\otimes V\otimes \cdots \otimes V} }}} 。 这便是讲， T k V {\displaystyle T^{k}V} 由 V {\displaystyle V} 上所有秩 k {\displaystyle k} 张量组成。习惯上 T 0 V {\displaystyle T^{0}V} 是基域 K {\displaystyle K} （作为自己的一维向量空间）。 令 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 为所有 T k V {\displaystyle T^{k}V} （ k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots } ）的直和： T ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ T k V = K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ ⋯ {\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots } 。 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 中的乘法由典范同构确定： T k V ⊗ T ℓ V → T k + ℓ V {\displaystyle T^{k}V\otimes T^{\ell }V\to T^{k+\ell }V} 由张量积给出，然后线性扩张到所有 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 。此乘法表明张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 自然是一个分次代数， T k V {\displaystyle T^{k}V} 作为 k {\displaystyle k} 次子空间。 此构造可径直推广到任意交换环上的模 M {\displaystyle M} 上。如果 R {\displaystyle R} 是一个非交换环，我们仍然可以对任意 R {\displaystyle R} - R {\displaystyle R} 双模执行这样的构造。（对通常的 R {\displaystyle R} -模不行，因为没有迭代张量积。） 张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 也成为向量空间 V {\displaystyle V} 上的自由代数，并具有函子性。像其它自由构造一样，函子 T {\displaystyle T} 左伴随于某个遗忘函子，该函子将每个 K {\displaystyle K} -代数送到它的底向量空间。 准确地说，张量代数满足如下的泛性质，正式地表明它是包含 V {\displaystyle V} 的最一般的代数： 任何从 V {\displaystyle V} 到 K {\displaystyle K} 上的一个代数 A {\displaystyle A} 的线性变换 f : V → A {\displaystyle f:V\rightarrow A} 可以惟一地扩张为从 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 到 A {\displaystyle A} 的一个代数同态，如下交换图表所示： 这里 i {\displaystyle i} 是 V {\displaystyle V} 到 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 的典范包含（伴随的单位）。事实上可以定义张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 为满足这个性质惟一的代数（确切地说，在惟一的一个同构意义下），但仍然要证明满足这个性质的对象存在。 如上泛性质说明张量代数的构造有自然的函子性。就是讲， T {\displaystyle T} 是从 K {\displaystyle K} -Vect， K {\displaystyle K} 上向量空间范畴，到 K {\displaystyle K} -Alg， K {\displaystyle K} -代数范畴，的一个函子。 T {\displaystyle T} 的函子性意味着任何从V到W的线性映射惟一地扩张为从 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 到 T ( W ) {\displaystyle T(W)} 的代数同态。 如果 V {\displaystyle V} 为有限维 n {\displaystyle n} ，张量代数的另一个看法是“ K {\displaystyle K} 上 n {\displaystyle n} 个非交换变量的多项式代数”。如果我们取 V {\displaystyle V} 的基向量，它们成为 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 中的非交换变量（或不定元），彼此间没有任何约束（除了结合律，分配律以及K-线性）。 注意 V {\displaystyle V} 上的多项式代数不是 T ( V ) {\displaystyle T(V)} ，而是 T ( V ∗ ) {\displaystyle T(V^{*})} ： V {\displaystyle V} 上一个（齐次）线性函数是 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 中的一个元素。 因为张量代数的一般性，许多其它有趣的代数可以由张量代数开始构造，然后在生成元上施以一定的关系，即构造 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 一定的商代数。这样的例子譬如外代数、对称代数、克利福德代数以及泛包络代数。 张量代数上的余代数结构如下。余积 Δ {\displaystyle \Delta } 定义为 Δ ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) := ∑ i = 0 m ( v 1 ⊗ ⋯ ⊗ v i ) ⊗ ( v i + 1 ⊗ ⋯ ⊗ v m ) {\displaystyle \Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{m}):=\sum _{i=0}^{m}(v_{1}\otimes \dots \otimes v_{i})\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_{m})} 线性扩张到整个 T V {\displaystyle TV} 。余单位由 ε ( v ) = v {\displaystyle \varepsilon (v)=v} 的0-次分量。注意到 Δ : T V → T V ⊗ T V {\displaystyle \Delta :TV\rightarrow TV\otimes TV} 保持分次： T m V → ⨁ i + j = m T i V ⊗ T j V {\displaystyle T^{m}V\to \bigoplus _{i+j=m}T^{i}V\otimes T^{j}V} 而 ε {\displaystyle \varepsilon } 也与分次相容。 张量代数在这个余积下不是双代数。但下述更复杂的余积确实得到一个余代数： Δ ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ∑ p = 0 m ∑ σ ∈ S h p , m − p ( v σ ( 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( p ) ) ⊗ ( v σ ( p + 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ v σ ( m ) ) {\displaystyle \Delta (x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=\sum _{p=0}^{m}\sum _{\sigma \in \mathrm {Sh} _{p,m-p}}\left(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)}\right)\otimes \left(v_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (m)}\right)} 这里求和取遍所有(p,m-p)-牌序。最后，对极映射为： S ( x 1 ⊗ ⋯ ⊗ x m ) = ( − 1 ) m x m ⊗ ⋯ ⊗ x 1 {\displaystyle S(x_{1}\otimes \dots \otimes x_{m})=(-1)^{m}x_{m}\otimes \dots \otimes x_{1}} 线性扩张到整个 T V {\displaystyle TV} ，这样张量代数成为一个霍普夫代数。 对称代数（英语：Symmetric algebra） 幺半范畴 Stanisław Lem's Love and Tensor Algebra 陈维桓. 微分流形初步 第二版. 北京: 高等教育出版社. 2001年8月.  Mac Lane, Saunders. Categories for the Working Mathematician(2nd ed.). GTM5. Spinger, 1998