環索線

环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P1和P2是直線L上的兩點，這兩點和K的距離和A到K的距離相同（因此A、P1、P2在圓心為O為圓上）。P1、P2的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。 其中AP1和AP2會呈直角。 若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。 令曲線C的極坐標方程為 r = f ( θ ) {\displaystyle r=f(\theta )} ，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若 K = ( r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ) {\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )} 是曲線上的一點，K到A的距離為 d = ( r cos ⁡ θ − a ) 2 + ( r sin ⁡ θ − b ) 2 = ( f ( θ ) cos ⁡ θ − a ) 2 + ( f ( θ ) sin ⁡ θ − b ) 2 {\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}} . 在OK線上的點，其極座標角度為 θ {\displaystyle \theta } ，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為 f ( θ ) ± d {\displaystyle f(\theta )\pm d} 。因此，環索線的方程如下 r = f ( θ ) ± ( f ( θ ) cos ⁡ θ − a ) 2 + ( f ( θ ) sin ⁡ θ − b ) 2 {\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}} 若C是極點為O和A的麥克勞林分角線（英语：sectrix of Maclaurin）時，可以用以下的極座標公式。 令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為 θ {\displaystyle \theta } ，而 ϑ {\displaystyle \vartheta } 是線AK和和X軸的夾角。假設 ϑ {\displaystyle \vartheta } 可以表示為 θ {\displaystyle \theta } 的函數，假設 ϑ = l ( θ ) {\displaystyle \vartheta =l(\theta )} 。令 ψ {\displaystyle \psi } 是K的角度，則 ψ = ϑ − θ {\displaystyle \psi =\vartheta -\theta } 。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為 r sin ⁡ ϑ = a sin ⁡ ψ ,   r = a sin ⁡ ϑ sin ⁡ ψ = a sin ⁡ l ( θ ) sin ⁡ ( l ( θ ) − θ ) {\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}} 。 令P1和P2是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使 ψ = ∠ P 1 K A {\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA} ，且 π − ψ = ∠ A K P 2 {\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}} 。 △ P 1 K A {\displaystyle \triangle P_{1}KA} 是頂角為 ψ {\displaystyle \psi } 的等腰三角形，剩下的兩角 ∠ A P 1 K {\displaystyle \angle AP_{1}K} 和 ∠ K A P 1 {\displaystyle \angle KAP_{1}} 角度為 ( π − ψ ) / 2 {\displaystyle (\pi -\psi )/2} 。AP1線和x軸角度為 l 1 ( θ ) = ϑ + ∠ K A P 1 = ϑ + ( π − ψ ) / 2 = ϑ + ( π − ϑ + θ ) / 2 = ( ϑ + θ + π ) / 2 {\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2} 。 同理可得AP2和x軸的角度為 l 2 ( θ ) = ( ϑ + θ ) / 2 {\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2} . 環索線的極座標式可以表示以下有l1及l2的式子： r 1 = a sin ⁡ l 1 ( θ ) sin ⁡ ( l 1 ( θ ) − θ ) = a sin ⁡ ( ( l ( θ ) + θ + π ) / 2 ) sin ⁡ ( ( l ( θ ) + θ + π ) / 2 − θ ) = a cos ⁡ ( ( l ( θ ) + θ ) / 2 ) cos ⁡ ( ( l ( θ ) − θ ) / 2 ) {\displaystyle r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}} r 2 = a sin ⁡ l 2 ( θ ) sin ⁡ ( l 2 ( θ ) − θ ) = a sin ⁡ ( ( l ( θ ) + θ ) / 2 ) sin ⁡ ( ( l ( θ ) + θ ) / 2 − θ ) = a sin ⁡ ( ( l ( θ ) + θ ) / 2 ) sin ⁡ ( ( l ( θ ) − θ ) / 2 ) {\displaystyle r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}} 若l是 q θ + θ 0 {\displaystyle q\theta +\theta _{0}} ，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l1和l2會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。 令C是通過A點的直線。依照上式的表示法， l ( θ ) = α {\displaystyle l(\theta )=\alpha } ，其中 α {\displaystyle \alpha } 為常數，則 l 1 ( θ ) = ( θ + α + π ) / 2 {\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2} 且 l 2 ( θ ) = ( θ + α ) / 2 {\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2} 。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為 r = a cos ⁡ ( ( α + θ ) / 2 ) cos ⁡ ( ( α − θ ) / 2 ) {\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}} 以及 r = a sin ⁡ ( ( α + θ ) / 2 ) sin ⁡ ( ( α − θ ) / 2 ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}} . 可以確定上式二式描述的是同一條直線。 將原點移到A點，用−a代替a，可得 r = a sin ⁡ ( 2 θ − α ) sin ⁡ ( θ − α ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}} , 旋轉角度 α {\displaystyle \alpha } 後可得 r = a sin ⁡ ( 2 θ + α ) sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}} . 在直角坐標系，調整常數的參數，可得 y ( x 2 + y 2 ) = b ( x 2 − y 2 ) + 2 c x y {\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy} . 是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。 將 α = π / 2 {\displaystyle \alpha =\pi /2} 代入下式 r = a sin ⁡ ( 2 θ − α ) sin ⁡ ( θ − α ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}} 可得 r = a cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ = a ( 2 cos ⁡ θ − sec ⁡ θ ) {\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )} . 此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。 笛卡尔坐标系方程為 y 2 = x 2 ( a − x ) / ( a + x ) {\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)} . 此曲線為笛卡儿叶形线，直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的 x ± i y = − a {\displaystyle x\pm iy=-a} 。 令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法， l ( θ ) = α + θ {\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta } ，其中 α {\displaystyle \alpha } 是常數。則 l 1 ( θ ) = θ + ( α + π ) / 2 {\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2} 以及 l 2 ( θ ) = θ + α / 2 {\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2} ，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為 r = a cos ⁡ ( θ + α / 2 ) cos ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}} 及 r = a sin ⁡ ( θ + α / 2 ) sin ⁡ ( α / 2 ) {\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}} . 這是二個通過O和A，在C點形成角度 π / 4 {\displaystyle \pi /4} 的圓。 蚌线 蔓叶线  Chisholm, Hugh (编). Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate. Encyclopædia Britannica 16 (第11版). London: Cambridge University Press: 919. 1911.  J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 51–53,95,100–104,175. ISBN 0-486-60288-5.  含有內容需登入查看的頁面 (link) E. H. Lockwood. Strophoids. A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1961: 134–137. ISBN 0-521-05585-7.  R. C. Yates. Strophoids. A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. 1952: 217–220.  埃里克·韦斯坦因. Strophoid. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Right Strophoid. MathWorld.  Sokolov, D.D., Strophoid, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜, Right Strophoid, MacTutor数学史档案 （英语）  维基共享资源上的相關多媒體資源：環索線