代数内部

作为数学的一个分支，在泛函分析中，向量空间子集的代数内部(英語：Algebraic interior)或径向核(英語：Radial kernel)是对内部概念的细化。 它是给定集合相对于该点是吸收的的点构成的子集，即集合的径向点构成的集合。代数内部的元素通常被称为内点(英語：Internal point)。  正式地，如果 X {\displaystyle X} 是线性空间，则 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 的代数内部是 core ⁡ ( A ) := { x 0 ∈ A : ∀ x ∈ X , ∃ t x > 0 , ∀ t ∈ [ 0 , t x ] , x 0 + t x ∈ A } {\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\exists t_{x}>0,\forall t\in [0,t_{x}],x_{0}+tx\in A\right\}} 。 一般来说， core ⁡ ( A ) ≠ core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} ，但如果 A {\displaystyle A} 是一个凸集，则有 core ⁡ ( A ) = core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} 。假设 A {\displaystyle A} 是凸集，则如果 x 0 ∈ core ⁡ ( A ) , y ∈ A , 0 < λ ≤ 1 {\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1} ，就有 λ x 0 + ( 1 − λ ) y ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)} 。 如果 A = { x ∈ R 2 : x 2 ≥ x 1 2  or  x 2 ≤ 0 } ⊆ R 2 {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}} ，则有 0 ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} ，但 0 ∉ int ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)} 且 0 ∉ core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} 。 令 A , B ⊂ X {\displaystyle A,B\subset X} 则： A {\displaystyle A} 是吸收的当且仅当 0 ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} A + core ⁡ B ⊂ core ⁡ ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)} A + core ⁡ B = core ⁡ ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)} 如果 B = core ⁡ B {\displaystyle B=\operatorname {core} B} 令 X {\displaystyle X} 是拓扑向量空间， int {\displaystyle \operatorname {int} } 表示内部算子，且 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} ，则有： int ⁡ A ⊆ core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A} 如果 A {\displaystyle A} 是非空凸集且 X {\displaystyle X} 有限维的，则有 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} 如果 A {\displaystyle A} 是有非空内部的凸集，则有 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} 如果 A {\displaystyle A} 是闭凸集且 X {\displaystyle X} 是完备度量空间，则有 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} 内部 相对内部（英语：Relative interior） 拟相对内部（英语：Quasi-relative interior） 有序单位（英语：Order unit） 边界点 Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe. Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )-Portfolio Optimization. 2000.  Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3rd. Springer. 2007: 199–200. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.  John Cook. Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces (pdf). May 21, 1988 [November 14, 2012]. （原始内容存档 (PDF)于2019-02-27）.  Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ. Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. 1992. ISBN 978-3-540-50584-6.  Zălinescu, C. Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. 2002: 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.  Shmuel Kantorovitz. Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. 2003: 134. ISBN 9780198526568.  Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander, Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, 2000 [2016-12-19], ISBN 9780387987057, （原始内容存档于2019-05-02） .