曲波变换

曲波变换（英語：Curvelet Transform）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。 小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。 曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。 当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 n {\displaystyle n} 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 n {\displaystyle n} 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 O ( 1 / n ) {\displaystyle O(1/{\sqrt {n}})} 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 O ( 1 / n ) {\displaystyle O(1/n)} 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 O ( ( log ⁡ n ) 3 / n 2 ) {\displaystyle O({(\log n)}^{3}/{n^{2}})} 。 Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为 n × n {\displaystyle n\times n} 的图片，二者的计算复杂度均为 O ( n 2 log ⁡ n ) {\displaystyle O(n^{2}\log n)} ，约是快速傅里叶变换的6-10倍。 为了构建曲波的基函数 ϕ {\displaystyle \phi } ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑： 考虑频域的极坐标 构建的曲波基应以近似楔形的方式局部支撑 在尺度 2 − j {\displaystyle 2^{-j}} 下，楔形元素的数量为 N j = 4 ⋅ 2 ⌈ j 2 ⌉ {\displaystyle N_{j}=4\cdot 2^{\lceil {\frac {j}{2}}\rceil }} ，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。 令频域的坐标 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 ) T {\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}=(\xi _{1},\xi _{2})^{T}} ，所以频域的极坐标为 r = ξ 1 2 + ξ 2 2 {\displaystyle r={\sqrt {\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}}}} ， ω = arctan ⁡ ξ 1 ξ 2 {\displaystyle \omega =\arctan {\frac {\xi _{1}}{\xi _{2}}}} 。 在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为： ϕ ^ j , 0 , 0 := 2 − 3 j 4 W ( 2 − j r ) V ~ N j ( ω ) , r ≥ 0 , ω ∈ [ 0 , 2 π ) , j ∈ N 0 {\displaystyle {\hat {\phi }}_{j,0,0}:=2^{\frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){\tilde {V}}_{N_{j}}(\omega ),r\geq 0,\omega \in [0,2\pi ),j\in N_{0}} 为了使构建的曲波基在一个近似楔形区域上支撑，两个窗函数 W {\displaystyle W} 和 V ~ N j {\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}} 需要是紧支撑的。我们可以简单的使 W ( r ) {\displaystyle W(r)} 覆盖 ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} ，膨胀的曲波和 V ~ N j {\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}} 使得每一个圆环被 V ~ N j {\displaystyle {\tilde {V}}_{N_{j}}} 的平移覆盖。 由容许性条件可以得出： ∑ j = − ∞ ∞ | W ( 2 − j r ) | 2 = 1 , r ∈ ( 0 , ∞ ) . {\displaystyle \sum _{j=-\infty }^{\infty }\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}=1,r\in (0,\infty ).} 为了利用 N {\displaystyle N} 个楔形平铺一个圆环（ N {\displaystyle N} 为正整数）我们需要以 2 π {\displaystyle 2\pi } 为周期的非负窗 V ~ N {\displaystyle {\tilde {V}}_{N}} 在区间 [ − 2 π N , 2 π N ] {\displaystyle \left[{\frac {-2\pi }{N}},{\frac {2\pi }{N}}\right]} 内支撑，使得： ∑ l = 0 N − 1 V ~ N 2 ( ω − 2 π l N ) = 1 , ω ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{\tilde {V}}_{N}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=1,\omega \in \left[0,2\pi \right)} V ~ N {\displaystyle {\tilde {V}}_{N}} 可以简单的由一个标量窗通过 2 π {\displaystyle 2\pi } 周期化构建为 V ( N ω 2 π ) {\displaystyle V({\frac {N\omega }{2\pi }})} 。 所以： ∑ l = 0 N j − 1 | 2 3 j 4 ϕ ^ j , 0 , 0 ( r , ω − 2 π l N j ) | 2 = | W ( 2 − j r ) | 2 ∑ l = 0 N j − 1 V ~ N j 2 ( ω − 2 π l N ) = | W ( 2 − j r ) | 2 {\displaystyle \sum _{l=0}^{N_{j}-1}\left|2^{\frac {3j}{4}}{\hat {\phi }}_{j,0,0}(r,\omega -{\frac {2\pi l}{N_{j}}})\right|^{2}=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}\sum _{l=0}^{N_{j}-1}{\tilde {V}}_{N_{j}}^{2}(\omega -{\frac {2\pi l}{N}})=\left|W(2^{-j}r)\right|^{2}} 为了完全覆盖包括零点附近区域的频率平面，我们需要定义一个低通成分 ϕ ^ − 1 := W 0 ( | ξ | ) {\displaystyle {\hat {\phi }}_{-1}:=W_{0}(|\xi |)} 满足： W 0 2 ( r ) 2 := 1 − ∑ j = 0 ∞ W ( 2 − j r ) 2 {\displaystyle W_{0}^{2}(r)^{2}:=1-\sum _{j=0}^{\infty }W(2^{-j}r)^{2}} 该部分在单位圆上支撑，此时不考虑旋转。 关于Curvelet性质、构建及其离散化的详细信息，参见。 图像处理 地震勘探 流体力学 求解偏微分方程 压缩感知 Curvelet.org 主页 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: I. Resolution of the wavefront set. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2) [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.003. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.  Candès, Emmanuel; Demanet, Laurent; Donoho, David; Ying, Lexing. Fast Discrete Curvelet Transforms. Multiscale Modeling & Simulation. 2006-01, 5 (3) [2023-02-23]. ISSN 1540-3459. doi:10.1137/05064182X. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.  Candès, Emmanuel J.; Donoho, David L. Continuous curvelet transform: II. Discretization and frames. Applied and Computational Harmonic Analysis. 2005-09-01, 19 (2) [2023-02-23]. ISSN 1063-5203. doi:10.1016/j.acha.2005.02.004. （原始内容存档于2023-02-23） （英语）.  Ma, Jianwei; Plonka, Gerlind. The Curvelet Transform. IEEE Signal Processing Magazine. 2010-03, 27 (2) [2023-02-23]. ISSN 1558-0792. doi:10.1109/MSP.2009.935453. （原始内容存档于2022-12-21）.