四次平面曲线

四次平面曲线（quartic plane curve）是四次（英语：degree of a polynomial）的平面代數曲線，可以表示為以下的多變數四次方程： A x 4 + B y 4 + C x 3 y + D x 2 y 2 + E x y 3 + F x 3 + G y 3 + H x 2 y + I x y 2 + J x 2 + K y 2 + L x y + M x + N y + P = 0 , {\displaystyle Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,} A, B, C, D, E中至少要有一個不為0。方程式有15個常數，不過方程式若乘以非零的任意數，不會改變曲線，因此可以將其中一個常數固定為1，留下14個可調整的常數。四次曲线的空間可以視為是 R P 14 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{14}} 的实射影空间。依照克萊姆定理（英语：Cramer's theorem (algebraic curves)），若考慮一般位置下14個不同的點，通過這十四個點的四次平面曲线唯一，因此四次平面曲线的自由度為14。 四次曲线最多可以有： 四個相連的部份 28個雙切線（英语：bitangent） 3個一般的二重點。 也可以考慮在其他數學域（甚至是环）中的四次曲线，例如在复数中的四次曲线。此時可以得到黎曼曲面，在C上是一維的物件，但在R上是二維的物件。例如Klein四次曲線（英语：Klein quartic），另外也可以探討射影平面下的曲線，由齐次多项式所定義。 上述曲線中，係數的不同組合產生了以下重要的曲線族。 &符號曲線（ampersand curve）是以下方程對應的四次曲線   ( y 2 − x 2 ) ( x − 1 ) ( 2 x − 3 ) = 4 ( x 2 + y 2 − 2 x ) 2 . {\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.} 其亏格為0，有三個一般的雙點，都在實數平面上。 Bean曲線（bean curve）是以下方程對應的四次曲線 x 4 + x 2 y 2 + y 4 = x ( x 2 + y 2 ) . {\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,} 其亏格為0，在原點有一個奇点，是一個一般的三次點 。 bicuspid是方程式如下的四次曲線： ( x 2 − a 2 ) ( x − a ) 2 + ( y 2 − a 2 ) 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,} 其中a決定了曲線的大小。 bicuspid只有二個node為奇異點，因此是虧格為1的曲線。 Bow曲線是方程式如下的四次曲線： x 4 = x 2 y − y 3 . {\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,} 在x=0, y=0處有單一的三重點，是有理曲線，虧格為0。 Cruciform曲線是以下方程的四次曲線 x 2 y 2 − b 2 x 2 − a 2 y 2 = 0 {\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,} 其中a和b為決定曲線形狀的参数。 Cruciform曲線可以透過一個標準的二次變換x ↦ 1/x, y ↦ 1/y轉變為橢圓a2x2 + b2y2 = 1，因此是虧格為0的有理平面代數曲線。Cruciform曲線在实射影平面中有三個雙重點，是（x=0、y=0），（x=0 、z=0） 以及（y=0、z=0）。 此曲線是有理曲線，參數化後的結果也是有理函數。例如，令a=1及b=2，可得以下的參數式 x = − t 2 − 2 t + 5 t 2 − 2 t − 3 , y = t 2 − 2 t + 5 2 t − 2 {\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}} 其中唯一一個無法參數化的點是會讓參數式分母為零的點。 Spiric截面（英语：Spiric section）可以定義成對x軸及y軸對稱的圓代數（英语：Circular algebraic curve）四次平面曲线。Spiric截面包括在環面曲線中，其中包括了hippopede（英语：hippopede）及卡西尼卵形线。其英文名稱Spiric源自古希臘文的環面σπειρα。 笛卡儿坐标系下的方程式為 ( x 2 + y 2 ) 2 = d x 2 + e y 2 + f , {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,} 極座標系的方程式為 r 4 = d r 2 cos 2 ⁡ θ + e r 2 sin 2 ⁡ θ + f . {\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,} 三葉線（three-leaved clover）是以下方程的四次平面曲線 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 − x 3 + 3 x y 2 = 0. {\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,} 在求解y後，曲線可以表示為以下的方程： y = ± − 2 x 2 − 3 x ± 16 x 3 + 9 x 2 2 , {\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},} 其中二個±是彼此獨立的，因此每一個x會對應四個y值。 三葉線的參數式為 x = cos ⁡ ( 3 t ) cos ⁡ t , y = cos ⁡ ( 3 t ) sin ⁡ t . {\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,} 在極坐標（x = r cos φ, y = r sin φ）下的方程如下 r = cos ⁡ ( 3 φ ) . {\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,} 這是玫瑰线中k = 3的特例。 三葉線在原點處為三重點，有三個二切線。 Weisstein, Eric W. (编). Ampersand Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P., Mathematical models 2nd, Clarendon Press, Oxford: 72, 1961 [1952], ISBN 978-0-906212-20-2, MR 0124167  埃里克·韦斯坦因. Bean Curve. MathWorld.  Weisstein, Eric W. (编). Bicuspid Curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Bow. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Cruciform curve. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Gibson, C. G., Elementary Geometry of Algebraic Curves, an Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, ISBN 978-0-521-64641-3. Pages 12 and 78.