分數

分數（英語：Fraction）是用分式（分數式）表達成 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} 的数（ a , b ∈ Z , b ≠ 0 {\displaystyle a,b\in Z,b\neq 0} ）。在上式之中， b {\displaystyle b} 稱為分母（Denominator）而 a {\displaystyle a} 稱為分子（Numerator），可視為某件事物平均分成 b {\displaystyle b} 份中佔 a {\displaystyle a} 份，讀作「 b {\displaystyle b} 分之 a {\displaystyle a} 」。中間的線稱為分線或分数线。有時人們會用 a / b {\displaystyle a/b} 來表示分數。 分數有各種不同的用法與意義： 兩個整數的比例： a b ≡ a : b   ( a , b ∈ Z , a , b ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)} ，這是兩個數量的比較關係。 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。 整數除法： a b ≡ a ÷ b   ( a , b ∈ Z , b ≠ 0 ) {\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)} ，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。 等分： 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction)，參見古埃及分數。 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 也就是 3 {\displaystyle 3} 這個整數的倒數。 這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。 最簡分數（既约分数）（Irreducible Fraction） 分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如： 4   15   {\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}} 真分數（Proper Fraction） 除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分数。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如： 3   7   {\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}} 假分數（Top-heavy/Improper Fraction） 假分数是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分数，可寫成帶分數。例如： 5   3   {\displaystyle {\frac {5}{~{}3~{}}}} 和 8   8   {\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}} 帶分數（mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers） 一個整數（whole number）加一個真分數，例如 a b c {\displaystyle a{\frac {b}{c}}} ，讀作「a又c分之b」；又例如 1 1   2   {\displaystyle 1{\frac {1}{~{}2~{}}}} ，就是一又二分之一。可寫成假分數，與   ( a × c ) + b   c {\displaystyle {\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}} 等價。 十進位分數（decimal fraction） 分母為 10 {\displaystyle 10} 的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如， 1 100 {\displaystyle {\frac {1}{100}}} 一般记为 0.01 {\displaystyle 0.01} ，也可以百分率簡記為 1 % {\displaystyle 1\%} ，或是以 10 {\displaystyle 10} 的冪記為 10 − 2 {\displaystyle 10^{-2}} 。 單位分數 分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如： 1   99   {\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}} 古埃及分數（Egyptian fraction） 將分數表達成單位分數之和。例如： 19   20   = 1   2   + 1   3   + 1   9   + 1   180   {\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}} 繁分數 分子和/或分母包含了分數的分數，例如   a   b     c   d   {\displaystyle {\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}} 。可以用“外乘外、內乘內”的方法簡化，即前面的式子等于 a d   b c   {\displaystyle {\frac {ad}{~{}bc~{}}}} 。 連分數 外觀如 x = a 0 + 1   a 1 + 1   a 2 + 1   a 3 + … {\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}} 的分數，其中 a i {\displaystyle a_{i}} 是整數。若只有有限個 a i {\displaystyle a_{i}} 非零，則連分數是一個分數。 分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。 一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。 「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。 約分後的分數和原來分數的值相等。 3 6 = 1 2 {\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}} 前面的數字的分子和分母皆除以三 擴分 「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。 1 2 = 2 4 {\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}} 前面的數字的分子和分母皆乘以二 通分 「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分别化為同分母的分數。 筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如： 1 4 + 1 4 = 1 + 1 4 = 2 4 = 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}} 1 5 + 1 3 = 3 15 + 5 15 = 3 + 5 15 = 8 15 {\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}} 分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如： 1 5 ÷ 7 11 = ( 1 5 × 11 ) ÷ ( 7 11 × 11 ) = ( 1 5 × 11 ) ÷ 7 = ( 1 5 × 11 × 1 7 ) ÷ ( 7 × 1 7 ) {\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})} = 1 5 × 11 7 = 1 × 11 5 × 7 = 11 35 {\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}} 有理數 倒數 除以零 法里數列 連分數 分母有理化 偶然對消 Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始内容存档于2020-11-27）.  维基共享资源上的相关多媒体资源：分數 查看维基词典中的词条「denominator」。 查看维基词典中的词条「numerator」。 Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始内容存档于2014-10-21）.  埃里克·韦斯坦因. Fraction. MathWorld.  Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始内容存档于2015-04-26）.  Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始内容存档于2020-11-07）.  Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始内容存档于2011-10-11）.  Online program for exact conversion between fractions and decimals Online Fractions Calculator with detailed solution Fraction Practice （页面存档备份，存于互联网档案馆） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.