2i

2 i {\displaystyle 2i} 是在虛數軸正向距離原點兩個單位的純虛數，屬於高斯整數，為虛數單位的兩倍，同時也是負四的平方根，是方程式 x 2 + 4 = 0 {\displaystyle x^{2}+4=0} 的正虛根。日常生活中通常不會用 2 i {\displaystyle 2i} 來計量事物，例如無法具體地描述何謂 2 i {\displaystyle 2i} 個人，邏輯上 2 i {\displaystyle 2i} 個人並沒有意義。部分書籍或教科書偶爾會使用 2 i {\displaystyle 2i} 來做虛數的例子或題目。 在高斯平面上，與 2 i {\displaystyle 2i} 相鄰的高斯整數有 i {\displaystyle i} 和 3 i {\displaystyle 3i} （上下相鄰；純虛數）以及 2 i − 1 {\displaystyle 2i-1} 和 2 i + 1 {\displaystyle 2i+1} （左右相鄰），然而複數不具備有序性，即無法判斷 2 i {\displaystyle 2i} 與 3 i {\displaystyle 3i} 間的大小關係，因此無法定義 i {\displaystyle i} 與 3 i {\displaystyle 3i} 何者為 2 i {\displaystyle 2i} 的前一個虛數、何者為 2 i {\displaystyle 2i} 的下一個虛數。 2 i {\displaystyle 2i} 不屬於實數，是一個純虛數，同時也是複數位於複數平面，其實部為0、虛部為2，輻角為90度（ π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 弧度），其也能表達為 2 e i π / 2 {\displaystyle 2e^{i\pi /2}} 或 2 ( cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2 ) {\displaystyle 2\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)} 。 2 i {\displaystyle 2i} 是一個高斯整數，高斯整數分解為 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle (1+i)^{2}} ，或 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle (1+i)(1+i)} ，其中，1+i為2i的高斯質因數。 所有複數的可以表達為 2 i {\displaystyle 2i} 之冪的線性組合。換句話說若進位制以 2 i {\displaystyle 2i} 為底數，則可獨一無二地表示全體複數。該進制稱為2i進制，由高德納於1955年發現。 複數的虛數部可以定義為複數與其共軛複數之差除以 2 i {\displaystyle 2i} 的商，換言之，則 z − z ∗ = 2 i I m ( z ) {\displaystyle z-z^{*}=2i\,Im(z)} 。 I m ( z ) = z − z ∗ 2 i {\displaystyle Im(z)={\frac {z-z^{*}}{2i}}} 正弦函數可以定義為純虛指數函數與其倒數之差除以 2 i {\displaystyle 2i} 的商。 sin ⁡ ( z ) = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle \sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}} 2 i {\displaystyle 2i} 等於最小的質數和虛數單位的積，即 p 1 × i = 2 i {\displaystyle p_{_{1}}\times i=2i} ，其中 p n {\displaystyle p_{n}} 為第 n {\displaystyle n} 個質數。 虛數單位和虛數單位的倒數相差 2 i {\displaystyle 2i} 。 任意數與 2 i {\displaystyle 2i} 相乘的意義為模放大兩倍並在複平面上以原點為中心逆時針旋轉90度。 2 i {\displaystyle 2i} 的前幾次冪為1、 2i、 −4、 −8i、 16、 32i、 −64...，其會在實部和虛部交錯變換，其單位會在1、i、−1、−i中變化。其中，實數項為−4的冪 ，虛數的正值項為16的冪的2倍 、虛數的負值項為16的冪的−8倍，因此這種特性使得 2 i {\displaystyle 2i} 作為底數可以不將複數表達為實部與虛部就能表示全體複數，並且有研究以此特性設計複數運算電路。 2 i {\displaystyle 2i} 的平方根正好是實數單位與虛數單位的和，即 2 i = 1 + i {\displaystyle {\sqrt {2i}}=1+i} ，反過來說 2 i {\displaystyle 2i} 正好是實數單位與虛數單位相加的平方， ( 1 + i ) 2 = 2 i {\displaystyle (1+i)^{2}=2i} 。若考慮平方根的正負，則1+i和−1−i都是 2 i {\displaystyle 2i} 的平方根。 − 2 i {\displaystyle -2i} 是 2 i {\displaystyle 2i} 的相反數，其平方根曾提議作為複數進位制的底數。 1 + i {\displaystyle 1+i} 是 2 i {\displaystyle 2i} 的平方根，同時也是高斯質數。由於其冪次為1+i、 2i、 −2+2i、 −4、 −4−4i、 −8i...，在正負、虛實交替變化，因此若作為進位制底數可以表達全體複數。但其組合變化相較於 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 為底數的進位制， − 1 + i {\displaystyle -1+i} 做為底數更為適合。亦有另外一個數也為 2 i {\displaystyle 2i} 的平方根，即 − 1 − i {\displaystyle -1-i} ，但這個數較少出現於探討進位制底數的文章中，也沒有其他特殊的性質。此外， − 1 − i {\displaystyle -1-i} 也不是第一象限高斯質數，因此鮮少被拿出來討論。 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 是 − 2 i {\displaystyle -2i} 的平方根。距離原點 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 單位，輻角為135度（ 3 π 4 {\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}} 弧度），其實部為負一、虛部為1。 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 不是高斯質數，其可以分解為i和1+i的乘積。由於其冪次為−1+i、 −2i、 2+2i、 −4、 4−4i、 8i...，其在正負、虛實交替變化，因此其可以構建一個以 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 為底數並用1和0表達複數的進位制。其他複數雖然也可以，如 1 − i {\displaystyle 1-i} ，但對高斯整數而言，以 1 − i {\displaystyle 1-i} 為底並不是一個優良的選擇。雖然 1 − i {\displaystyle 1-i} 也是 − 2 i {\displaystyle -2i} 的平方根，但因為上述原因，所以 1 − i {\displaystyle 1-i} 這個數字通不會用來作為進制的底數來使用。 除了 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 外，其他 − n + i {\displaystyle -n+i} 形式的複數也能作為進位制底數，但其在表達數的範圍不同，以 − 1 + i {\displaystyle -1+i} 為例，其表達的範圍較為均勻，而 − 2 + i {\displaystyle -2+i} 、 − 3 + i {\displaystyle -3+i} 等則會越來越狹長。 3 i {\displaystyle 3i} 是在虛數軸正向距離原點3個單位的純虛數，是虛數單位的三倍，同時也是負九（−9）的平方根，與純虛數2i和4i相鄰、並與高斯整數−1+3i和1+3i相鄰。 3 i {\displaystyle 3i} 的為虛數單位與質數3的乘積，其中，3也是高斯質數，因此 3 i {\displaystyle 3i} 的高斯整數分解為 {\displaystyle } i × 3 {\displaystyle i\times 3} 。 − 1 + 2 i {\displaystyle -1+2i} 是在虛數軸正向距離原點 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 個單位的高斯整數，其實部為負一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數−1+3i、−1+i和−2+2i相鄰。 − 1 + 2 i {\displaystyle -1+2i} 不是高斯質數，其具有高斯質因數 2 + i {\displaystyle 2+i} 。 − 1 + 2 i {\displaystyle -1+2i} 的高斯整數分解為 {\displaystyle } i × ( 2 + i ) {\displaystyle i\times \left(2+i\right)} 。 1 + 2 i {\displaystyle 1+2i} 是一個高斯質數 ，在虛數軸正向距離原點 5 {\displaystyle {\sqrt {5}}} 個單位，其實部為一、虛部為2i，與純虛數2i相鄰、並與高斯整數1+3i、1+i和3+2i相鄰。 虛數單位 -2 What is 2i equal to?. geeksforgeeks.org. [2022-09-15]. （原始内容存档于2022-09-15）.  Mokhithi, Mashudu and Shock, Jonathan, Introduction to Complex Numbers (PDF), Jonathan Shock, 2020 [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-07-04）  Complex or Imaginary Numbers. themathpage.com. [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-07-13）.  Hart, P. The Book of Imaginary Indians: Ancient Traditions and Modern Caricatures in the White Man's Quest for Meaning. iUniverse. 2008 [2022-06-23]. ISBN 9780595435036. （原始内容存档于2022-08-20）.  A brief history to imaginary numbers. sciencefocus.com. 2019-06-21 [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-07-12）.  Williams, Travis D. King Lear, Without the Mathematics: From Reading Mathematics to Reading Mathematically. The Palgrave Handbook of Literature and Mathematics (Springer). 2021: 399–418.  Neuman, Yrsa. Moore’s Paradox and Limits in Language Use. Wittgenstein and the Limits of Language (Routledge). 2019: 159–171.  Parker, Barry. Fractals. Chaos in the Cosmos (Springer). 1996: 129–154.  Complex Numbers and the Complex Exponential (PDF). people.math.wisc.edu. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21）.  Abubakr, Mohammed. On logical extension of algebraic division. arXiv preprint arXiv:1101.2798. 2011 [2022-06-23]. doi:10.48550/ARXIV.1101.2798. （原始内容存档于2022-07-04）.  中學數學實用詞典, 九章出版社, 孫文先, P.22 中的示範其解為2i, ISBN 957-603-093-5 Complex Numbers 2i (PDF). ichthyosapiens.com. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-29）.  All Complex Number Solutions z=2i. mathway.com. [2022-06-23]. （原始内容存档于2022-06-25）.  Jeremy Orloff. Complex algebra and the complex plane (PDF). math.mit.edu. [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2021-11-03）.  Wolfram, Stephen. "(smallest prime number) * (imaginary unit)". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.  C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148. 从数到环：环论的早期历史 （页面存档备份，存于互联网档案馆），由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35) Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5  Banerjee, Ashmi and Mukherjee, Shaunak and Datta, Somjit and Majumder, Subhashis. Computational search for Gaussian perfect integers. 2015 International Conference on Control Communication & Computing India (ICCC) (IEEE). 2015: 710–715 [2022-08-15]. （原始内容存档于2022-08-15）.  Briggs, WE. Factorization in Integral Domains. The Mathematics Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1966, 59 (5): 432–436.  Kerins, Bowen. Delving Deeper: Gauss, Pythagoras, and Heron. The Mathematics Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 2003, 96 (5): 350–357.  Gallian, Joseph A and Jungreis, Douglas S. Homomorphisms from Zm[i] into Zn[i] and Zm[ρ] into Zn[ρ], Where i2 + 1 = 0 and ρ2 + ρ + 1 = 0. The American Mathematical Monthly (Taylor & Francis). 1988, 95 (3): 247–249.  Blest, David C and Jamil, Tariq. Division in a binary representation for complex numbers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology (Taylor & Francis). 2003, 34 (4): 561–574.  Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, 3 (4).  D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems" Complex Numbers (PDF), hawaii.edu, [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-06-26）  Weisstein, Eric W. (编). Sine. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Bak, Joseph and Newman, Donald J and Newman, Donald J, Complex analysis (PDF) 8, Springer, 2010 [2022-06-23], （原始内容存档 (PDF)于2022-06-25）  Robert Braunwart. Negative and Imaginary Radices. School Science and Mathematics. 1965-04, 65 (4): 292–295 [2022-06-23]. doi:10.1111/j.1949-8594.1965.tb13422.x. （原始内容存档于2022-06-27） （英语）.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A262710 (Powers of -4). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A013776 (a(n) = a(n) = 2^(4*n+1)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A013777 (a(n) = 2^(4*n + 3)). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  Sarkar, Souradip and Gomony, Manil Dev. Quater-imaginary base for complex number arithmetic circuits. 2018 Design, Automation & Test in Europe Conference & Exhibition (DATE) (IEEE). 2018: 1481–1483 [2022-08-15]. （原始内容存档于2022-08-20）.  Dujella, Andrej. The problem of Diophantus and Davenport for Gaussian integer. Glasnik Matematicki (HRVATSKO MATEMATICKO DRUSTVO). 1997, 32: 1–10.  Collins, George E. A fast Euclidean algorithm for Gaussian integers. Journal of Symbolic Computation (Elsevier). 2002, 33 (4): 385–392.  Penney, Walter. A``Binary System for Complex Numbers (PDF). J. ACM. 1965, 12 (2): 247–248 [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-04）.  Sven Simon. List with Gaussian primes (extended) of A103431/A103432. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. [2023-12-29]. （原始内容存档于2023-12-29）.  Gilbert, William J. Fractal geometry derived from complex bases (PDF). The Mathematical Intelligencer (Springer). 1982, 4 (2): 78–86 [2022-06-23]. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-02）.  arg(-1+i). from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2023-12-29]. （原始内容存档于2023-12-29）.  Gilbert, William J. Arithmetic in complex bases. Mathematics Magazine (Taylor & Francis). 1984, 57 (2): 77–81.  Gilbert, William J. The fractal dimension of sets derived from complex bases (PDF). Canadian mathematical bulletin (Cambridge University Press). 1986, 29 (4): 495–500 [2022-08-20]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-20）.