交错多项式

代数中，交错多项式（alternating polynomial）是多项式 f ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})} ，使得交换任意两个变量，多项式的符号发生变化： f ( x 1 , … , x j , … , x i , … , x n ) = − f ( x 1 , … , x i , … , x j , … , x n ) . {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).} 等价地，排列变量时，多项式的值会因排列的符号而改变： f ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) = s g n ( σ ) f ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).} 更一般地说，若交换 x i {\displaystyle x_{i}} 中任意两个变量会改变符号、而交换 y j {\displaystyle y_{j}} 则保持不变，就称多项式 f ( x 1 , … , x n , y 1 , … , y t ) {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})} 在 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} 中交错。 对称多项式与交错多项式（具有相同的变量 x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} ）之积有如下表现： 两对称多项式之积仍是对称的； 对称多项式与交错多项式之积是交错的； 两交错多项式之积是对称的。 这正是奇偶性的加法表，“对称”对应“偶”，“交错”对应“奇”。于是，对称多项式与交错多项式的直和构成了超代数（ Z 2 {\displaystyle \mathbf {Z} _{2}} -分次代数），其中对称多项式是偶部，交错多项式是奇部。分次与多项式的次数无关。 交错多项式在对称多项式代数上形成了模（超代数的奇部是偶部上的模）；事实上，它是秩为1的自由模，以n元范德蒙多项式为生成子。 若系数环的特征为2，则这两个概念没有区别，即交错多项式就是对称多项式。 基本交错多项式是范德蒙多项式： v n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) . {\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).} 这显然是交错的，交换两变量会改变其中一项的符号，而不改变其他项的符号。 交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式： a = v n ⋅ s {\displaystyle a=v_{n}\cdot s} ，其中s是对称多项式。这是因为： v n {\displaystyle v_{n}} 是每个交错多项式的因式： ( x j − x i ) {\displaystyle (x_{j}-x_{i})} 是每个交错多项式的因式，因为如果 x i = x j {\displaystyle x_{i}=x_{j}} ，则多项式为零（交换它们不会改变多项式，所以得到 f ( x 1 , … , x i , … , x j , … , x n ) = f ( x 1 , … , x j , … , x i , … , x n ) = − f ( x 1 , … , x i , … , x j , … , x n ) , {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),} 于是 ( x j − x i ) {\displaystyle (x_{j}-x_{i})} 是因式），于是 v n {\displaystyle v_{n}} 是因式。 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是 v n {\displaystyle v_{n}} 的所有倍数都是交错多项式。 相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。 因此，用 Λ n {\displaystyle \Lambda _{n}} 表示对称多项式环，则对称与交错多项式环是 Λ n [ v n ] {\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]} ，更精确地说是 Λ n [ v n ] / ⟨ v n 2 − Δ ⟩ {\displaystyle \Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle } ，其中 Δ = v n 2 {\displaystyle \Delta =v_{n}^{2}} 是对称多项式，即判别式。 也就是说，对称与交错多项式环是对称多项式环的2次扩张，其中伴随了一个判别式的平方根。 或者说，是 R [ e 1 , … , e n , v n ] / ⟨ v n 2 − Δ ⟩ . {\displaystyle R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .} 若2不可逆，情况就有些不同，必须使用不同的多项式 W n {\displaystyle W_{n}} ，得到不同的关系。见Romagny。 从表示论视角来看，对称与交错多项式是对称群在n元多项式环的n个字母上的作用的子表示。（形式上，对称群作用于n个字母，因此也作用于导出对象，如n个字母上的自由对象——多项式环之类。） 对称群有2个1维表示：平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示，交错多项式是符号表示。形式上，任何对称（或交错）多项式的标量跨度（scalar span）是对称群的平凡（或符号）表示，多项式的乘法张量就是表示。 特征为2时，这些并不是不同的表示，分析就复杂了。 若 n > 2 {\displaystyle n>2} ，对称群对多项式环的作用还有其他子表示，这在对称群表示定理中有讨论。 交错多项式是不稳定的现象：n元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到，方法是计算 x n {\displaystyle x_{n}} 以上的变量对应的值设为0，因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而，交错多项式，尤其范德蒙多项式却并非如此。 对称多项式 欧拉类 Giambruno & Zaicev (2005)，第12頁. 对其他项，只是重排了： n = 3 {\displaystyle n=3} 情形，交换 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 会将 ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle (x_{2}-x_{1})} 变为 ( x 1 − x 2 ) = − ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})} ，并将 ( x 3 − x 1 ) {\displaystyle (x_{3}-x_{1})} 与 ( x 3 − x 2 ) {\displaystyle (x_{3}-x_{2})} 互换，但不改变其符号。 Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail. Polynomial Identities and Asymptotic Methods 122. American Mathematical Society. 2005 [2024-02-17]. （原始内容存档于2023-08-24）.  The fundamental theorem of alternating functions （页面存档备份，存于互联网档案馆）, by Matthieu Romagny, September 15, 2005