UPGMA

UPGMA （unweighted pair group method with arithmetic mean）是一種相對簡單的層次聚類方法。這個方法存在另一種變體 WPGMA。這個方法的創始人被認為是Sokal和Michener 。 UPGMA 演法構建出一棵有根樹（樹狀圖）表現相似矩陣或相異矩陣中的特徵與結構。在算法裡的每一步，距離最近的兩個集群（子樹）將被組合成一個更高級別的集群。任意兩個集群 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 和 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 之間的距離，是由所有 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 裡的 x {\displaystyle x} 元素和所有 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} 裡的 y {\displaystyle y} 元素的距離 d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)} 的平均值，即每個集群的元素之間的平均距離，其中 | A | {\displaystyle {|{\mathcal {A}}|}} 和 | B | {\displaystyle {|{\mathcal {B}}|}} 是該兩個集群的基數（集合大小）： d A , B = 1 | A | ⋅ | B | ∑ x ∈ A ∑ y ∈ B d ( x , y ) {\displaystyle d_{{\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}={1 \over {|{\mathcal {A}}|\cdot |{\mathcal {B}}|}}\sum _{x\in {\mathcal {A}}}\sum _{y\in {\mathcal {B}}}d(x,y)} 換句話說，在每一次組合成新集群的步驟中，可以由 d A , X {\displaystyle d_{{\mathcal {A}},X}} 和 d B , X {\displaystyle d_{{\mathcal {B}},X}} 的加權平均給出集群 A ∪ B {\displaystyle {\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}} 和一個新集群 X {\displaystyle X} 之間的距離： d ( A ∪ B ) , X = | A | ⋅ d A , X + | B | ⋅ d B , X | A | + | B | {\displaystyle d_{({\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}),X}={\frac {|{\mathcal {A}}|\cdot d_{{\mathcal {A}},X}+|{\mathcal {B}}|\cdot d_{{\mathcal {B}},X}}{|{\mathcal {A}}|+|{\mathcal {B}}|}}} UPGMA 演算法生成的有根樹狀圖是一個超度量樹，該樹需要套用等速率的假設，也就是說根到每個分支尖端的距離皆相等。當尖端是同時採樣的分子數據（即DNA 、 RNA和蛋白質）時，超度量假設就等同於分子鐘假設。 這個示例是基於JC69基因距離矩陣，該矩陣是根據五種細菌的5S 核糖體 RNA序列計算出來的，五種細菌如下所列 ： 枯草桿菌 Bacillus subtilis( a {\displaystyle a} ) 嗜热脂肪芽孢杆菌 <i>Bacillus stearothermophilus</i>( b {\displaystyle b} ) 魏斯氏菌 Lactobacillus viridescens( c {\displaystyle c} ) 無原枯草桿菌 Acholeplasma modicum( d {\displaystyle d} ) 藤黄微球菌 <i>Micrococcus luteus</i>( e {\displaystyle e} ) 首次集群 假設有五個物件 ( a , b , c , d , e ) {\displaystyle (a,b,c,d,e)} 和他們之間的相異矩陣 D 1 {\displaystyle D_{1}} ： 在這裡， D 1 ( a , b ) = 17 {\displaystyle D_{1}(a,b)=17} 是最小值，所以將 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 集群。 第一分支長度估計 令 u {\displaystyle u} 表示現在 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的祖先。為了讓 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 與 u {\displaystyle u} 等距，假設 δ ( a , u ) = δ ( b , u ) = D 1 ( a , b ) / 2 {\displaystyle \delta (a,u)=\delta (b,u)=D_{1}(a,b)/2} ，這對應到了超度量的假設。在這個範例中： δ ( a , u ) = δ ( b , u ) = 17 / 2 = 8.5 {\displaystyle \delta (a,u)=\delta (b,u)=17/2=8.5} 第一次相異矩陣更新 然後將 D 1 {\displaystyle D_{1}} 更新成一個新的距離矩陣 D 2 {\displaystyle D_{2}} （計算在下方），由於 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的集群，該矩陣的尺寸減少了一行一列。（ D 2 {\displaystyle D_{2}} 中粗體表示的值是由加權平均計算出的新距離） D 2 ( ( a , b ) , c ) = ( D 1 ( a , c ) × 1 + D 1 ( b , c ) × 1 ) / ( 1 + 1 ) = ( 21 + 30 ) / 2 = 25.5 {\displaystyle D_{2}((a,b),c)=(D_{1}(a,c)\times 1+D_{1}(b,c)\times 1)/(1+1)=(21+30)/2=25.5} D 2 ( ( a , b ) , d ) = ( D 1 ( a , d ) + D 1 ( b , d ) ) / 2 = ( 31 + 34 ) / 2 = 32.5 {\displaystyle D_{2}((a,b),d)=(D_{1}(a,d)+D_{1}(b,d))/2=(31+34)/2=32.5} D 2 ( ( a , b ) , e ) = ( D 1 ( a , e ) + D 1 ( b , e ) ) / 2 = ( 23 + 21 ) / 2 = 22 {\displaystyle D_{2}((a,b),e)=(D_{1}(a,e)+D_{1}(b,e))/2=(23+21)/2=22} D 2 {\displaystyle D_{2}} 中的斜體值不受矩陣更新影響，因為他們與第一個集群中的元素完全美有關連。 第二次集群 現在重複前面的三個步驟，並從新的相異矩陣 D 2 {\displaystyle D_{2}} 開始 在這個矩陣中， D 2 ( ( a , b ) , e ) = 22 {\displaystyle D_{2}((a,b),e)=22} 是 D 2 {\displaystyle D_{2}} 中的最小值，所以將 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 和元素 e {\displaystyle e} 集成新群。 第二次分支長度估計 令 v {\displaystyle v} 表示節點 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 和 e {\displaystyle e} 的祖先。由超度量假設可以得到 a , b , e {\displaystyle a,b,e} 三頂點到 v {\displaystyle v} 的距離相等，即： δ ( a , v ) = δ ( b , v ) = δ ( e , v ) = 22 / 2 = 11 {\displaystyle \delta (a,v)=\delta (b,v)=\delta (e,v)=22/2=11} ，從而可以計算出 u {\displaystyle u} 到 v {\displaystyle v} 的距離 δ ( u , v ) = δ ( e , v ) − δ ( a , u ) = δ ( e , v ) − δ ( b , u ) = 11 − 8.5 = 2.5 {\displaystyle \delta (u,v)=\delta (e,v)-\delta (a,u)=\delta (e,v)-\delta (b,u)=11-8.5=2.5} 第二次距離矩陣更新 然後將 D 2 {\displaystyle D_{2}} 更新成新的距離矩陣 D 3 {\displaystyle D_{3}} ，數值計算如下： D 3 ( ( ( a , b ) , e ) , c ) = ( D 2 ( ( a , b ) , c ) × 2 + D 2 ( e , c ) × 1 ) / ( 2 + 1 ) = ( 25.5 × 2 + 39 × 1 ) / 3 = 30 {\displaystyle D_{3}(((a,b),e),c)=(D_{2}((a,b),c)\times 2+D_{2}(e,c)\times 1)/(2+1)=(25.5\times 2+39\times 1)/3=30} D 3 ( ( ( a , b ) , e ) , d ) = ( D 2 ( ( a , b ) , d ) × 2 + D 2 ( e , d ) × 1 ) / ( 2 + 1 ) = ( 32.5 × 2 + 43 × 1 ) / 3 = 36 {\displaystyle D_{3}(((a,b),e),d)=(D_{2}((a,b),d)\times 2+D_{2}(e,d)\times 1)/(2+1)=(32.5\times 2+43\times 1)/3=36} 重複上述動作可以得到 D 3 {\displaystyle D_{3}} 是 D 4 {\displaystyle D_{4}} 是： 這裡顯示了完成的樹狀圖。它是超度量的，所有尖端（ a {\displaystyle a} 到 e {\displaystyle e} ) 與 r {\displaystyle r} 等距離 : δ ( a , r ) = δ ( b , r ) = δ ( e , r ) = δ ( c , r ) = δ ( d , r ) = 16.5 {\displaystyle \delta (a,r)=\delta (b,r)=\delta (e,r)=\delta (c,r)=\delta (d,r)=16.5} 這個樹狀圖的根是它最深的節點 r {\displaystyle r} 。 構建 UPGMA 樹的算法有 O ( n 3 ) {\displaystyle O(n^{3})} 時間複雜度。使用一個堆維護兩個即群之間的距離可以使時間達到 O ( n 2 log ⁡ n ) {\displaystyle O(n^{2}\log n)} . 另外Fionn Murtagh 提出了一個 O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} 時空複雜度的算法。 鄰接法 集群分析 单链接聚类 完全连锁聚类 層次即群 DNA进化模型 分子鐘 Sokal, Michener. A statistical method for evaluating systematic relationships. University of Kansas Science Bulletin. 1958, 38: 1409–1438.  温哥华格式错误 (帮助) Erdmann VA, Wolters J. Collection of published 5S, 5.8S and 4.5S ribosomal RNA sequences. Nucleic Acids Research. 1986,. 14 Suppl (Suppl): r1–59. PMC 341310 . PMID 2422630. doi:10.1093/nar/14.suppl.r1.  Olsen GJ. Phylogenetic analysis using ribosomal RNA. Methods in Enzymology. 1988, 164: 793–812. PMID 3241556. doi:10.1016/s0076-6879(88)64084-5.  Swofford DL, Olsen GJ, Waddell PJ, Hillis DM. Hillis , 编. Phylogenetic inference. Sunderland, MA: Sinauer. 1996: 407–514. ISBN 9780878932825.  Murtagh F. Complexities of Hierarchic Clustering Algorithms: the state of the art. Computational Statistics Quarterly. 1984, 1: 101–113.  UPGMA聚类算法在Ruby中的实现（AI4R） （页面存档备份，存于互联网档案馆） 使用相似矩阵计算 UPGMA 的示例 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 使用距离矩阵计算 UPGMA 的示例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）