中心化矩阵

数学和多元变量统计中，中心化矩阵指对称幂等矩阵，且当其与向量相乘时，效果等用于从向量的每个分量中减去分量的平均值。 大小为n的中心化矩阵是n×n的 C n = I n − 1 n J n {\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}} 其中 I n {\displaystyle I_{n}\,} 是单位矩阵， J n {\displaystyle J_{n}} 是n×n一矩阵。例如 C 1 = [ 0 ] {\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}} , C 2 = [ 1 0 0 1 ] − 1 2 [ 1 1 1 1 ] = [ 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 ] {\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]} , C 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] − 1 3 [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ] = [ 2 3 − 1 3 − 1 3 − 1 3 2 3 − 1 3 − 1 3 − 1 3 2 3 ] {\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]} 给定长为n的列向量 v {\displaystyle \mathbf {v} \,} ， C n {\displaystyle C_{n}\,} 的中心性可表为 C n v = v − ( 1 n J n , 1 T v ) J n , 1 {\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}} 其中 J n , 1 {\displaystyle J_{n,1}} 是值全为1的列向量， 1 n J n , 1 T v {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} } 是 v {\displaystyle \mathbf {v} \,} 的分量的平均值。 C n {\displaystyle C_{n}\,} 是正半定对称阵。 C n {\displaystyle C_{n}\,} 是幂等矩阵，所以 C n k = C n   ( k = 1 , 2 , … ) {\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}\ (k=1,2,\ldots )} 。均值被移除的话它就是零，再次移除也没有任何影响。 C n {\displaystyle C_{n}\,} 是奇异矩阵/不可逆矩阵。应用 C n v {\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} } 变换的效果无法逆转。 C n {\displaystyle C_{n}\,} 具有重数为n-1的特征值1与重数为1的特征值0 C n {\displaystyle C_{n}\,} 沿向量 J n , 1 {\displaystyle J_{n,1}} 有维度为1的零空间。 C n {\displaystyle C_{n}\,} 是正交投影矩阵。也就是说 C n v {\displaystyle C_{n}\mathbf {v} } 是 v {\displaystyle \mathbf {v} \,} 在n-1维线性子空间上的投影，其与零空间 J n , 1 {\displaystyle J_{n,1}} 正交（这是所有分量和为0的n向量构成的子空间）。 C n {\displaystyle C_{n}} 的迹是 n ( n − 1 ) / n = n − 1 {\displaystyle n(n-1)/n=n-1} 。 虽然与中心化矩阵相乘并不是去除向量均值的有效计算方法，但却是一种方便的分析工具。它不仅可用来去除单个向量的均值，还可去除存储在m×n矩阵 X {\displaystyle X} 的行或列中多个向量的均值。 左乘 C m {\displaystyle C_{m}} 将从n列的每一列减去相应的均值，这样积 C m X {\displaystyle C_{m}\,X} 的每列的均值都是0。相似地，右乘 C n {\displaystyle C_{n}} 会从每行减去相应的均值，这样积 X C n {\displaystyle X\,C_{n}} 的每行均值都为0。两侧均乘： C m X C n {\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}} 将产生行列均值均为0的矩阵。 中心化矩阵提供了一种表示散布矩阵的方法：对数据样本 X {\displaystyle X\,} ，有 S = ( X − μ J n , 1 T ) ( X − μ J n , 1 T ) T {\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }} ，其中 μ = 1 n X J n , 1 {\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}} 是样本均值。有了中心化矩阵，可以将散布矩阵更简洁地表示为 S = X C n ( X C n ) T = X C n C n X T = X C n X T . {\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.} C n {\displaystyle C_{n}} 是多项分布的协方差矩阵，在特殊情况下分布参数为 k = n {\displaystyle k=n} ， p 1 = p 2 = ⋯ = p n = 1 n {\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}} 。 John I. Marden, Analyzing and Modeling Rank Data, Chapman & Hall, 1995, ISBN 0-412-99521-2, page 59.