解析信号

在数学和信号处理中，解析信号（英語：analytic signal）是没有负频率（英语：negative frequency）分量的复值函数。 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。 实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广： 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。 若 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 是一个实值函数，其傅里叶变换为 S ( f ) {\displaystyle S(f)} ， S ( f ) {\displaystyle S(f)} 為一於 f = 0 {\displaystyle f=0} 埃尔米特对称之函數： S ( − f ) = S ( f ) ∗ , {\displaystyle S(-f)=S(f)^{*},}   其中， S ( f ) ∗ {\displaystyle S(f)^{*}} 为 S ( f ) {\displaystyle S(f)} 的复共轭。 函数： S a ( f ) = d e f { 2 S ( f ) , for   f > 0 , S ( f ) , for   f = 0 , 0 , for   f < 0 = 2 u ⁡ ( f ) ⏟ 1 + sgn ⁡ ( f ) S ( f ) = S ( f ) + sgn ⁡ ( f ) S ( f ) , {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\mathrm {a} }(f)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\begin{cases}2S(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S(f),&{\text{for}}\ f=0,\\0,&{\text{for}}\ f<0\end{cases}}\\&=\underbrace {2\operatorname {u} (f)} _{1+\operatorname {sgn}(f)}S(f)=S(f)+\operatorname {sgn}(f)S(f),\end{aligned}}} 其中： u ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {u} (f)} 是单位阶跃函数， sgn ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(f)} 是符号函数， 仅包含 S ( f ) {\displaystyle S(f)} 的非负频率分量。而且由于 S ( f ) {\displaystyle S(f)} 的埃尔米特对称性，该运算是可逆的： S ( f ) = { 1 2 S a ( f ) , for   f > 0 , S a ( f ) , for   f = 0 , 1 2 S a ( − f ) ∗ , for   f < 0   (Hermitian symmetry) = 1 2 [ S a ( f ) + S a ( − f ) ∗ ] . {\displaystyle {\begin{aligned}S(f)&={\begin{cases}{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f>0,\\S_{\mathrm {a} }(f),&{\text{for}}\ f=0,\\{\frac {1}{2}}S_{\mathrm {a} }(-f)^{*},&{\text{for}}\ f<0\ {\text{(Hermitian symmetry)}}\end{cases}}\\&={\frac {1}{2}}[S_{\mathrm {a} }(f)+S_{\mathrm {a} }(-f)^{*}].\end{aligned}}} s ( t ) {\displaystyle s(t)} 的解析信号是 S a ( f ) {\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)} 的傅里叶逆变换： s a ( t ) = d e f F − 1 [ S a ( f ) ] = F − 1 [ S ( f ) + sgn ⁡ ( f ) ⋅ S ( f ) ] = F − 1 { S ( f ) } ⏟ s ( t ) + F − 1 { sgn ⁡ ( f ) } ⏟ j 1 π t ∗ F − 1 { S ( f ) } ⏟ s ( t ) ⏞ c o n v o l u t i o n = s ( t ) + j [ 1 π t ∗ s ( t ) ] ⏟ H ⁡ [ s ( t ) ] = s ( t ) + j s ^ ( t ) , {\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}^{-1}[S_{\mathrm {a} }(f)]\\&={\mathcal {F}}^{-1}[S(f)+\operatorname {sgn}(f)\cdot S(f)]\\&=\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}+\overbrace {\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{\operatorname {sgn}(f)\}} _{j{\frac {1}{\pi t}}}*\underbrace {{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}} _{s(t)}} ^{convolution}\\&=s(t)+j\underbrace {\left[{1 \over \pi t}*s(t)\right]} _{\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]}\\&=s(t)+j{\hat {s}}(t),\end{aligned}}} 其中 s ^ ( t ) = d e f H ⁡ [ s ( t ) ] {\displaystyle {\hat {s}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\operatorname {\mathcal {H}} [s(t)]} 是 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 的希爾伯特轉換； ∗ {\displaystyle *} 是卷积符号； j {\displaystyle j} 是虛數單位。 s ( t ) = cos ⁡ ( ω t ) , {\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}   其中   ω > 0. {\displaystyle \omega >0.} 于是： s ^ ( t ) = cos ⁡ ( ω t − π / 2 ) = sin ⁡ ( ω t ) , {\displaystyle {\hat {s}}(t)=\cos(\omega t-\pi /2)=\sin(\omega t),} s a ( t ) = s ( t ) + j s ^ ( t ) = cos ⁡ ( ω t ) + j sin ⁡ ( ω t ) = e j ω t . {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.}   第三个等式为欧拉公式。 欧拉公式的一个推论是 cos ⁡ ( ω t ) = 1 2 ( e j ω t + e j ( − ω ) t ) . {\displaystyle \cos(\omega t)={\tfrac {1}{2}}(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}).} 一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率（英语：negative frequency）分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。 这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。 s ( t ) = cos ⁡ ( ω t + θ ) = 1 2 ( e j ( ω t + θ ) + e − j ( ω t + θ ) ) {\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\tfrac {1}{2}}(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )})} 于是： s a ( t ) = { e j ( ω t + θ )     =   e j | ω | t ⋅ e j θ , if   ω > 0 , e − j ( ω t + θ ) =   e j | ω | t ⋅ e − j θ , if   ω < 0. {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}} 这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 s ( t ) {\displaystyle s(t)} ，没有什么能阻止我们计算 s a ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)} 。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 为实值函数。 s ( t ) = e − j ω t {\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}} , 其中 ω > 0 {\displaystyle \omega >0} . 于是： s ^ ( t ) = j e − j ω t , {\displaystyle {\hat {s}}(t)=je^{-j\omega t},} s a ( t ) = e − j ω t + j 2 e − j ω t = e − j ω t − e − j ω t = 0. {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.} 由于 s ( t ) = Re ⁡ [ s a ( t ) ] {\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]} ，恢复负频率分量就是简简单单丢弃 Im ⁡ [ s a ( t ) ] {\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]} 这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭 s a ∗ ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)} 仅由负频率分量构成。因此 Re ⁡ [ s a ∗ ( t ) ] {\displaystyle \operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]} 恢复了被减弱的正频率分量。 解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）： s a ( t ) = s m ( t ) e j ϕ ( t ) , {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},} 其中： s m ( t ) = d e f | s a ( t ) | {\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}|s_{\mathrm {a} }(t)|} 称作瞬时振幅或包络（英语：envelope (waves)）； ϕ ( t ) = d e f arg [ s a ( t ) ] {\displaystyle \phi (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}\arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]} 称作瞬时相位。 在附图中，蓝色曲线描绘 s ( t ) {\displaystyle s(t)} ，红色曲线描绘对应的 s m ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)} 。 解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作瞬时角频率： ω ( t ) = d e f d ϕ d t ( t ) . {\displaystyle \omega (t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {d\phi }{dt}}(t).} 因此，瞬時頻率（单位赫兹）为： f ( t ) = d e f 1 2 π ω ( t ) . {\displaystyle f(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}   瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。 解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生[非对称]负频率分量： s a _ ( t ) = d e f s a ( t ) e − j ω 0 t = s m ( t ) e j ( ϕ ( t ) − ω 0 t ) , {\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},} 其中 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 是任意参考角频率。 这个函数有不同的名称，如复包络和复基带。复包络不是唯一的；它是由 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 的选取决定的。这个概念通常用于处理带通信号（英语：passband）。如果 s ( t ) {\displaystyle s(t)} 是调制信号， ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 可能会等于它的载波频率（英语：carrier frequency）。 在其他情况下， ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升採樣）。 若选取的 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 大于 s a ( t ) {\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)} 的最高频率，则 s a _ ( t ) {\displaystyle {\underline {s_{\mathrm {a} }}}(t)} 没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带的单边带信号。 参考频率的其他选择： 有时 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 的选取是要最小化 ∫ 0 + ∞ ( ω − ω 0 ) 2 | S a ( ω ) | 2 d ω . {\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .} 另外， ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} 的均方误差： ∫ − ∞ + ∞ [ ω ( t ) − ω 0 ] 2 | s a ( t ) | 2 d t {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt} 再或者（对最佳 θ {\displaystyle \theta } ）： ∫ − ∞ + ∞ [ ϕ ( t ) − ( ω 0 t + θ ) ] 2 d t . {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.} 在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。 有时复包络与复振幅同义； 其他时候它作为一种时间无关的推广形式。 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的包络（英语：Envelope (waves)）产生恒定的振幅。 希爾伯特轉換 负频率（英语：Negative frequency） 单边带调制 正交滤波器（英语：Quadrature filter） 因果滤波器（英语：Causal filter） "the complex envelope (or complex amplitude)" "the complex envelope (or complex amplitude)", p.586 "Complex envelope is an extended interpretation of complex amplitude as a function of time." p.85 ``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）[7/16/2014 1:07:57 PM] Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269 B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992 Justice, J. Analytic signal processing in music computation. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 1979-12-01, 27 (6): 670–684 [2016-08-05]. ISSN 0096-3518. doi:10.1109/TASSP.1979.1163321. （原始内容存档于2014-10-20）.  B. 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