龐加萊復現定理

物理學上，龐加萊復現定理（英語：Poincaré recurrence theorem，又译为庞加莱回复定理或庞加莱回归定理）斷言，對於某類系統而言，只要經過充分長但有限的時間，一定会到达某個與初始態任意接近的狀態（若該系統具連續的狀態），或者一定返回初始態本身（若該系統離散）。 龐加萊復現時間是復現前經過的時長。对于不同的初始態和不同的要求接近的程度，此時間亦不同。定理僅適用於滿足某些條件的孤立力學系統，例如该系统所有粒子都必須約束在某個有限體積的範圍內。定理可以放在遍歷理論、動態系統，或者統計力學的背景中討論。適用此定理的系統稱為守恆系統（英语：conservative system）（與耗散系統相對）。 定理得名自亨利·龐加萊，其於1890年討論過此定理。1919年，康斯坦丁·卡拉西奧多里利用測度論證明了此定理。 對於任何一個由常微分方程式定義的動態系統，都有相應的流映射 f t，而對每個固定的 t（可當成時間）, f t 皆是由該系統的相空間射去相空間本身的映射。若相空間中，每個可以計算體積（稱為相體積）的子集，都在流中保持體積，則稱該系統保體積。例如，根據劉維爾定理，所有哈密頓系統皆保體積。 有了上述的背景之後，可以將定理敍述如下：若流保體積，且其所有轨道（英语：Orbit (dynamics)）皆有界，則對於相空間中每個開集，都有軌道與之相交無窮多次。 定性理解，證明的關鍵在於兩個前提： 可達（accessible）的相空間總體積具有有限的上界。對於力學系統，可要求其受限於某個有界的「實際」空間（於是，該系統不得將粒子射出至極遠處而從不返回）。如此，再加上能量守恆，就足以證明系統受限於相空間的某個有限區域。 動態變化當中，有限元的相體積守恆。（對於力學系統，此條件由劉維爾定理保證。） 取相空間中任意一塊體積有限的起始區域，其按照系統的動態而移動，「掃過」相空間的一部分點。由於該區域的體積在過程中保持不變，其掃過的總體積（稱為相管，phase tube）理應隨時間線性增加（至少在起始不久後如此）。然而，由於可達的相空間總體積有限，相管的體積會達到某個飽和值，而不能一直增加，否則終會大於可達的總相體積。這正說明，相管必與自身相交。倘若要與自身相交，則必須先經過起始的區域。所以，起始體積中至少有體積非零的一部分復現（recur）。 此時，考慮起始區域中永不返回的部分。按上段的論證，若該部分的體積非零，則其必有體積非零的部分復現，但若永不返回的部分中，有一部分復現，則後者亦必返回到原始區域內，造成矛盾。所以，起始區域中永不返回的部分體積只能為零，即與起始區域相比是極小。 注意定理（並其證明）並不保證復現的若干性質： 仍然可能有若干個特別的始態永不返回起始區域，或是僅返回有限多次後便不再返回。然而，此種情況極為罕見，與起始區域相比僅是無窮小的部分。 起始區域的各部分不必同一時間復現。相管首次通過自身時，可能有一部分體積會錯過起始區域，從而該部分會較遲復現。 相管確實可能先窮竭可達相空間的全部體積，然後才返回到起始區域。一個簡單例子是諧振子。能夠歷遍整個可達相空間的體積的系統稱為滿足遍歷假設（英语：Ergodic hypothesis）（但此取決於「可達體積」的定義）。 可保證的是，從幾乎所有始態出發，系統都終將返回到某個與始態任意接近的態。復現時間取決於所要求的「近」的程度，即初始區域的相體積。若要得出更精確的復現，則須取較小的初始區域，所以所需的復現時間更長。 給定某個區域和其中某個相，其復現的時刻不必具周期性。第二次復現的時間不必是首次復現時間的兩倍。 設 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} 為總測度有限的測度空間，並設 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} 為保測函數，即其可測，且對任意的可測子集 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 有 μ ( T − 1 A ) = μ ( A ) . {\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A).} 以下為定理的兩種敍述： 對任意可測子集 E ∈ Σ , {\displaystyle E\in \Sigma ,} E {\displaystyle E} 中滿足：存在正整數 N {\displaystyle N} ，使得對任意 n > N {\displaystyle n>N} 都有 f n ( x ) ∉ E {\displaystyle f^{n}(x)\notin E} 的點 x {\displaystyle x} 的集合的測度為零。 換言之， E {\displaystyle E} 中幾乎所有點皆會返回到 E , {\displaystyle E,} 且會返回無窮多次，即 μ ( { x ∈ E : ∃ N  s.t.  f n ( x ) ∉ E   ∀ n > N } ) = 0. {\displaystyle \mu \left(\{x\in E:\exists N{\text{ s.t. }}f^{n}(x)\notin E\ \forall n>N\}\right)=0.} 證明見於所引參考資料。 以下為定理的拓撲版本： 若 X {\displaystyle X} 為第二可數的豪斯多夫空間，而 Σ {\displaystyle \Sigma } 包含其博雷爾σ-代數，則 f {\displaystyle f} 的復現點集的測度等於 X {\displaystyle X} 的全測度，即幾乎所有點皆復現。 證明同樣見於所引參考資料。 更一般地，定理適用於守恆系統（英语：conservative system），而不僅是保測動態系統。 對於非時變的量子力學系統，若其能量特徵態離散，則有類似的定理成立。對於任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 和 T 0 > 0 , {\displaystyle T_{0}>0,} 皆存在時間 T 大於 T 0 , {\displaystyle T_{0},} 使得 | | ψ ( T ) ⟩ − | ψ ( 0 ) ⟩ | < ε , {\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon ,} 其中 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 表示系統於時間 t 的態向量。 證明的關鍵如下。系統的狀態按下式隨時間變化： | ψ ( t ) ⟩ = ∑ n = 0 ∞ c n exp ⁡ ( − i E n t ) | ϕ n ⟩ , {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle ,} 其中 E n {\displaystyle E_{n}} 為能量特徵值（此處使用自然單位，故約化普朗克常數 ℏ = 1 {\displaystyle \hbar =1} ），而 | ϕ n ⟩ {\displaystyle |\phi _{n}\rangle } 為相應的能量特徵態。時間 T {\displaystyle T} 和時間 0 {\displaystyle 0} 的態向量的距離平方為 | | ψ ( T ) ⟩ − | ψ ( 0 ) ⟩ | 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ | c n | 2 [ 1 − cos ⁡ ( E n T ) ] . {\displaystyle \left||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle \right|^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)].} 可於某項 n = N 截尾，而 N 不取決於 T, 因為 ∑ n = N + 1 ∞ | c n | 2 [ 1 − cos ⁡ ( E n T ) ] ≤ 2 ∑ n = N + 1 ∞ | c n | 2 , {\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2},} 而又有 ∑ n = 0 ∞ | c n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=1} 收斂（此為始態的範數平方），故上式中 N {\displaystyle N} 取很大時，能使上式的值任意小。 而有限和 ∑ n = 0 N | c n | 2 [ 1 − cos ⁡ ( E n T ) ] {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]} 按以下的構造，也能藉着揀選特定的時刻 T, 而使之任意小。取任意的 δ > 0 , {\displaystyle \delta >0,} 然後取 T, 使得對於 0 ≤ n ≤ N , {\displaystyle 0\leq n\leq N,} 都總存在整數 k n {\displaystyle k_{n}} 滿足 | E n T − 2 π k n | < δ . {\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta .} 對此 T, 有 1 − cos ⁡ ( E n T ) < δ 2 2 . {\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.} 於是， 2 ∑ n = 0 N | c n | 2 [ 1 − cos ⁡ ( E n T ) ] < δ 2 ∑ n = 0 N | c n | 2 < δ 2 , {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2},} 亦即態向量 | ψ ( T ) ⟩ {\displaystyle |\psi (T)\rangle } 會回到與始態 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 任意接近之處。 遍歷假設（英语：Ergodic hypothesis） 復現圖（英语：Recurrence plot） 復現周期密度熵（英语：Recurrence period density entropy） 遊蕩集 波茲曼大腦 庞加莱复现. 术语在线. 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