區間

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某个范围的预序集元素的集合，一般以集合形式表示。 在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變數在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間 ( 10 , 20 ) {\displaystyle (10,20)} 表示所有在 10 {\displaystyle 10} 和 20 {\displaystyle 20} 之間的實數，但不包括 10 {\displaystyle 10} 或 20 {\displaystyle 20} 。另一方面，閉區間 [ 10 , 20 ] {\displaystyle [10,20]} 表示所有在 10 {\displaystyle 10} 和 20 {\displaystyle 20} 之間的實數，以及 10 {\displaystyle 10} 和 20 {\displaystyle 20} 。 在赋予通常序的实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 里，以 a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } 为端点的开区间和闭区间分别是： ( a , b ) = { x ∈ R : a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}} [ a , b ] = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}} 类似地，以 a , b {\displaystyle a,b} 为端点的两个半开区间定义为： ( a , b ] = { x ∈ R : a < x ≤ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}} [ a , b ) = { x ∈ R : a ≤ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}} 在一些上下文中，两个端点要求满足 a < b {\displaystyle a<b} 。这排除了 a = b {\displaystyle a=b} 从而区间或是单元素集合或是空集的情形，也排除了 a > b {\displaystyle a>b} 从而区间为空集的情形。 只有左端点 a {\displaystyle a} 的开区间和半开区间分别如下。 ( a , ∞ ) = { x ∈ R : x > a } , {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},} [ a , ∞ ) = { x ∈ R : x ≥ a } , {\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},} 只有右端点 b {\displaystyle b} 的开区间和半开区间分别如下。 ( − ∞ , b ) = { x ∈ R : x < b } , {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},} ( − ∞ , b ] = { x ∈ R : x ≤ b } , {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},} 整个实数线等于没有端点的区间： ( − ∞ , ∞ ) = R {\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} } 区间的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何预序集中有定义。对于预序集 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 和两个元素 a , b ∈ X , {\displaystyle a,b\in X,} ，我们可以类似定义 ( a , b ) = { x ∈ X : a < x < b } {\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}} [ a , b ] = { x ∈ X : a ≲ x ≲ b } {\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}} ( a , b ] = { x ∈ X : a < x ≲ b } {\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}} [ a , b ) = { x ∈ X : a ≲ x < b } {\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}} ( a , ∞ ) = { x ∈ X : a < x } {\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}} [ a , ∞ ) = { x ∈ X : a ≲ x } {\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}} ( − ∞ , b ) = { x ∈ X : x < b } {\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}} ( − ∞ , b ] = { x ∈ X : x ≲ b } {\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}} ( − ∞ , ∞ ) = X {\displaystyle (-\infty ,\infty )=X} 其中 x < y {\displaystyle x<y} 意思是 x ≲ y ≴ x {\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x} 。其实，只有一个端点或者没有端点的区间等同于更大的预序集 X ¯ = X ⊔ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}} − ∞ < x < ∞ ( ∀ x ∈ X ) {\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)} 上具有两个端点的区间，使得它是 X {\displaystyle X} 的子集。当 X = R {\displaystyle X=\mathbb {R} } 时，可以取 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 为扩展实数线。 预序集 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 的子集 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 是序凸集，如果对于任意 x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} 以及任意 x ≲ z ≲ y {\displaystyle x\lesssim z\lesssim y} 有 z ∈ A {\displaystyle z\in A} 。与实区间的情形不同，预序集的序凸集不一定是区间。例如，在有理数的全序集 ( Q , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )} 中， Q = { x ∈ Q : x 2 < 2 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}} 是序凸集，但它不是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的区间，这是因为2的平方根在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中是不存在的。 设 ( X , ≲ ) {\displaystyle (X,\lesssim )} 是一个预序集，且 Y ⊆ X {\displaystyle Y\subseteq X} 。包含在 Y {\displaystyle Y} 中的 X {\displaystyle X} 的序凸集关于包含关系构成偏序集。这个偏序集的极大元叫做 Y {\displaystyle Y} 的序凸分支。由佐恩引理，包含在 Y {\displaystyle Y} 中的 X {\displaystyle X} 的任意序凸集包含于 Y {\displaystyle Y} 的一个序凸分支，然而这种序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，这样的序凸分支确实唯一。也就是说，全序集的子集的序凸分支构成分划。 區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。 T × S = { x ∣ {\displaystyle T\times S=\{x\mid {}} 屬於 T {\displaystyle T} 的某些 y {\displaystyle y} ，及屬於 S {\displaystyle S} 的某些 z {\displaystyle z} ，使得 x = y × z } {\displaystyle x=y\times z\}} 區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 及 [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} ： [ a , b ] + [ c , d ] = [ a + c , b + d ] {\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]} [ a , b ] − [ c , d ] = [ a − d , b − c ] {\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]} [ a , b ] × [ c , d ] = [ min { a c , a d , b c , b d } , max { a c , a d , b c , b d } ] {\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]} [ a , b ] [ c , d ] = [ min { a c , a d , b c , b d } , max { a c , a d , b c , b d } ] {\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]} 被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。 加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集 X ( Y + Z ) {\displaystyle X(Y+Z)} 是 X Y + X Z {\displaystyle XY+XZ} 的子集。 在法国及其他一些欧洲国家，用 ] [ {\displaystyle ][} 代替 ( ) {\displaystyle ()} 來表示开区间，例如： ] a , b [ = { x ∣ a < x < b } {\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}} [ a , b ] = { x ∣ a ≤ x ≤ b } {\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}} [ a , b [ = { x ∣ a ≤ x < b } {\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}} ] a , b ] = { x ∣ a < x ≤ b } {\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}} 國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法。 另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將 [ 1 , 2.3 ] {\displaystyle [1,2.3]} 寫成 [ 1 ; 2 , 3 ] {\displaystyle [1;2,\!3]} 。若只把小數點寫成逗號，就會變成 [ 1 , 2 , 3 ] {\displaystyle [1,2,\!3]} ，此時不易判斷究竟是 1.2 {\displaystyle 1.2} 與 3 {\displaystyle 3} 之間，還是 1 {\displaystyle 1} 與 2.3 {\displaystyle 2.3} 之間的閉區間。 Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始内容存档于2014-12-26）.  Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 （英语）.  Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 （英语）.  ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始内容存档于2021-05-18） （英语）.