婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。 婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為： ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} 其中s為半周長： s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} 圆内接四边形的面积 = △ A D B {\displaystyle \triangle ADB} 的面积 + △ B D C {\displaystyle \triangle BDC} 的面积 = 1 2 p q sin ⁡ A + 1 2 r s sin ⁡ C . {\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.} 但由于 A B C D {\displaystyle ABCD} 是圆内接四边形，因此 ∠ D A B = 180 ∘ − ∠ D C B {\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB} 。故 sin ⁡ A = sin ⁡ C {\displaystyle \sin A=\sin C} 。所以： Area = 1 2 p q sin ⁡ A + 1 2 r s sin ⁡ A {\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A} ( Area ) 2 = 1 4 sin 2 ⁡ A ( p q + r s ) 2 {\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}} 4 ( Area ) 2 = ( 1 − cos 2 ⁡ A ) ( p q + r s ) 2 {\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,} 4 ( Area ) 2 = ( p q + r s ) 2 − c o s 2 A ( p q + r s ) 2 . {\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,} 对 △ A D B {\displaystyle \triangle ADB} 和 △ B D C {\displaystyle \triangle BDC} 利用余弦定理，我们有： D B 2 = p 2 + q 2 − 2 p q cos ⁡ A = r 2 + s 2 − 2 r s cos ⁡ C . {\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,} 代入 cos ⁡ C = − cos ⁡ A {\displaystyle \cos C=-\cos A} （这是由于 A {\displaystyle A} 和 C {\displaystyle C} 是互补角），并整理，得： 2 cos ⁡ A ( p q + r s ) = p 2 + q 2 − r 2 − s 2 . {\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,} 把这个等式代入面积的公式中，得： 4 ( Area ) 2 = ( p q + r s ) 2 − 1 4 ( p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ) 2 {\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}} 16 ( Area ) 2 = 4 ( p q + r s ) 2 − ( p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ) 2 , {\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,} 它是 a 2 − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}} 的形式，因此可以写成 ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle (a+b)(a-b)} 的形式： ( 2 ( p q + r s ) + p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ) ( 2 ( p q + r s ) − p 2 − q 2 + r 2 + s 2 ) {\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,} = [ ( p + q ) 2 − ( r − s ) 2 ] [ ( r + s ) 2 − ( p − q ) 2 ] {\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,} = ( p + q + r − s ) ( p + q + s − r ) ( p + r + s − q ) ( q + r + s − p ) . {\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,} 引入 T = p + q + r + s 2 {\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}} ， 16 ( Area ) 2 = 16 ( T − p ) ( T − q ) ( T − r ) ( T − s ) . {\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,} 两边开平方，得： Area = ( T − p ) ( T − q ) ( T − r ) ( T − s ) . {\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.} 证毕。 若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圆C，則其面積為： a b c d {\displaystyle {\sqrt {abcd}}} 由于四边形内接于圆O，所以： S = ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}} 其中p為半周長： p = a + b + c + d 2 {\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}} 又因为四边形外切圆C，所以： a + c = b + d {\displaystyle a+c=b+d} 则： p − a = b + c + d − a 2 = a + c + c − a 2 = c {\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c} 同理: p − b = d {\displaystyle p-b=d} ， p − c = a {\displaystyle p-c=a} ， p − d = b {\displaystyle p-d=b} 综上： S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} 证毕。 對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下： ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d cos 2 ⁡ θ {\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}} 其中 θ {\displaystyle \theta } 是四邊形一對對角和的一半。 注意到不論取到哪一對對角 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}\theta } 的值都一樣，因為四邊形的內角和是 2 π {\displaystyle 2\pi } ，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 π − θ {\displaystyle \pi -\theta } 。而 cos ⁡ ( π − θ ) = − cos θ {\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \,\theta } ，所以有 cos 2 ⁡ ( π − θ ) = cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}\theta } 。 假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 π {\displaystyle \pi } ，因此 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\pi \over 2}} ，而且由 cos π 2 = 0 {\displaystyle \cos \,{\pi \over 2}=0} ，可推得此時 a b c d cos 2 ⁡ θ = 0 {\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =0} ，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。 另一個由柯立芝所證明的公式如下： K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − 1 4 ( a c + b d + p q ) ( a c + b d − p q ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,} 其中 p 及 q 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有 p q = a c + b d {\displaystyle pq=ac+bd} ，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。 海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取 d = 0 {\displaystyle d=0} 的特殊情形。 婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。 J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.