随机测度

在概率论中，随机测度是测度值的随机元素。 随机测度可应用于随机过程理论中，随机测度形成了许多重要的点过程，例如泊松点过程和考克斯过程（英语：Cox process）。 随机测度可以定义为转移核或随机元素。对于一些标准情况（其中的具体要求如可测空间是博雷尔空间），这两种定义是等价的。 对于可测空间 ( S , S ) , ( T , T ) {\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})} ，称 ζ {\displaystyle \zeta } 是一个 ( S , S ) {\displaystyle (S,{\mathcal {S}})} 到 ( T , T ) {\displaystyle (T,{\mathcal {T}})} 的转移核，是指它是一个二元函数 ζ : S × T → R + {\displaystyle \zeta :S\times {\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}} （值域可能根据考虑的测度的类型而改变，如有符号测度），且满足以下性质： 若在第二变元处填充任一固定的可测集 B ∈ S {\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {S}}}} ，所得到的映射 s ↦ ζ ( s , B ) {\displaystyle s\mapsto \zeta (s,B)} 是 ( S , S ) {\displaystyle (S,{\mathcal {S}})} 上的可测函数。 若在第一变元处填充任一固定的元素 s ∈ S {\displaystyle s\in S} ，所得到的映射 B ↦ ζ ( s , B ) {\displaystyle B\mapsto \zeta (s,B)} 是 ( T , T ) {\displaystyle (T,{\mathcal {T}})} 上的一个测度。 对于 ( S , S ) , ( T , T ) {\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})} 为博雷尔空间的情况，局部有限转移核可视作随机元素。 随机测度则定义为一个概率空间 ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} 到一个可测空间 ( E , E ) {\displaystyle (E,{\mathcal {E}})} 的（几乎必然）局部有限转移核。 在随机过程的背景下，马尔可夫核（也称随机核、概率核）的概念与此相关。 在前文中，「在第一变元处填充一固定的元素」的结果是得到了一个测度。实际上填充这个变元过程本身所给出的映射也是一个 ( S , S ) {\displaystyle (S,{\mathcal {S}})} 到 M T {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}} 的可测函数，其中 M T {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}} 是 ( T , T ) {\displaystyle (T,{\mathcal {T}})} 上的局部有限测度所构成的空间。 全体局部有限测度构成的集合 M T {\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}} 若要构成可测空间，须配备一个σ-代数。 对于任一有界可测集合 B ~ {\displaystyle {\tilde {B}}} ，可定义求值映射（也称投影映射） π B ~ : M T → R : μ ↦ μ ( B ~ ) . {\displaystyle \pi _{\tilde {B}}:{\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} :\mu \mapsto \mu ({\tilde {B}}).} 可构造出令全体投影映射成为可测函数的最小σ-代数，称为 { π B ~ } {\displaystyle \{\pi _{\tilde {B}}\}} 生成的（或诱导的）σ-代数。 随机测度即是一个概率空间 ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} 到测度所构成的上述可测空间的随机元素。 对于给定随机测度 ζ {\displaystyle \zeta } 和任一正可测函数 f {\displaystyle f} ，满足 E ⁡ [ ∫ f ( x ) ζ ( d x ) ] = ∫ f ( x ) E ⁡ ζ ( d x ) {\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)} 的测度 E ⁡ ζ {\displaystyle \operatorname {E} \zeta } 被称为 ζ {\displaystyle \zeta } 的强度测度。强度测度对于每个随机测度都存在，并且是s-有限测度。 对于给定的随机测度 ζ {\displaystyle \zeta } 和任一正可测函数 f {\displaystyle f} ，满足 ∫ f ( x ) ζ ( d x ) = 0  a.s.   iff  ∫ f ( x ) ν ( d x ) = 0 {\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0} 的测度 ν {\displaystyle \nu } 被称为 ζ {\displaystyle \zeta } 的支撑测度。所有随机测度都有支撑测度，并且可以选择为有限的。 给定随机测度 ζ {\displaystyle \zeta } ，可定义任一正可测函数 f {\displaystyle f} 的拉普拉斯变换如下 L ζ ( f ) = E ⁡ [ exp ⁡ ( − ∫ f ( x ) ζ ( d x ) ) ] . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right].} 给定随机测度 ζ {\displaystyle \zeta } ，正的 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} -可测函数 f {\displaystyle f} 的积分 ∫ f ( x ) ζ ( d x ) {\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)} 和 ζ ( A ) := ∫ 1 A ( x ) ζ ( d x ) {\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)} 是可测的，所以它们是随机变量。 随机测度的分布由以下一族积分的分布唯一确定 ∫ f ( x ) ζ ( d x ) , {\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x),} 其中 f {\displaystyle f} 是 E {\displaystyle E} 上的紧支撑连续函数。对于给定的一个生成 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} （即 σ ( I ) = E {\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}} ）的半环 I ⊂ E {\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}} ，随机测度的分布也由所有正简单 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} -可测函数 f {\displaystyle f} 唯一确定。 一个测度通常可以分解为： μ = μ d + μ a = μ d + ∑ n = 1 N κ n δ X n , {\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},} 这里 μ d {\displaystyle \mu _{d}} 是弥散测度，而 μ a {\displaystyle \mu _{a}} 是一种纯原子测度。 具有下列形式的随机测度称为点过程或随机计数测度： μ = ∑ n = 1 N δ X n , {\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},} 其中 δ {\displaystyle \delta } 是狄拉克测度、 X n {\displaystyle X_{n}} 是随机变量。该随机测度描述了 N {\displaystyle N} 个粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）随机变量 X n {\displaystyle X_{n}} 给出。计数测度没有弥散分量 μ d {\displaystyle \mu _{d}} 。 在上述的形式记号中，随机计数测度是从概率空间到可测空间 ( N X , B ( N X ) ) {\displaystyle (N_{X},{\mathfrak {B}}(N_{X}))} 的映射。这里 N X {\displaystyle N_{X}} 是全体有界有限整数值测度（称为计数测度） N ∈ M X {\displaystyle N\in M_{X}} 所构成的空间。 期望测度、拉普拉斯泛函、矩测度和随机测度的平稳性的定义是基于点过程的定义。随机测度在蒙特卡罗方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡罗数值求积法和粒子滤波器。 泊松过程 向量测度 Grandell, Jan. Point processes and random measures. Advances in Applied Probability. 1977-09, 9 (3): 502–526. doi:10.2307/1426111.  Kallenberg, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. 2017: 1. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. Vol. 77. Switzerland: Springer. p. 1. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3. Klenke, Achim. Probability Theory. Berlin: Springer. 2008: 526. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.  Daley, D. J.; Vere-Jones, D. An Introduction to the Theory of Point Processes. Probability and its Applications. 2003. ISBN 0-387-95541-0. doi:10.1007/b97277.  Kallenberg, Olav. Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. 2017: 52. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.  "Crisan, D., Particle Filters: A Theoretical Perspective, in Sequential Monte Carlo in Practice, Doucet, A., de Freitas, N. and Gordon, N. (Eds), Springer, 2001, ISBN 0-387-95146-6 技术上来说，可能默认提及的博雷尔空间带有局部化结构。