超積

數學上，超積（英語：ultraproduct）是常見於抽象代數和數理邏輯（尤其模型論和集合論）的構造。超積是一族無窮多個结构之直積的商結構，不過要求該族結構具有相同的表徵（英语：signature (logic)）。超冪（英語：ultrapower）則是超積中各因子為同一個結構的特殊情況。 舉例，給定一個域，可以用超冪構造出新的域。超實數域便是實數域的超冪之一。 超積有一些出奇的應用。用超積，可以寫出紧致性定理與完備性定理的優雅證明。開斯勒（英语：H. Jerome Keisler）的超冪定理，從代數角度刻劃了「初等等價」此種語義概念。亞伯拉罕·魯濱遜和埃利亞斯·扎孔（Elias Zakon）用超結構及其單同態的表示來構造分析的非標準模型，使非标准分析理論得以發展。魯濱遜正是用緊致性定理開拓此分支。 超積的一般定義中，先選定指標集 I {\displaystyle I} 、對應每個下標 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 的结构 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} （具相同的表徵（英语：Signature (logic)）），以及 I {\displaystyle I} 上的超濾子 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 。通常僅考慮 I {\displaystyle I} 為無窮集，且 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 不為主超濾子的情況，即 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的元素有齊 I {\displaystyle I} 的全部餘有限子集，但無任何有限子集。原因是，在主超濾子的情況下，所得的超積只會與其中一個因子同構，並無新的性質。 笛卡儿积 ∏ i ∈ I M i {\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}} 上的代數運算，是逐點計。例如，對於二元運算 + {\displaystyle +} ， ( a + b ) i = a i + b i {\displaystyle ({\boldsymbol {a}}+{\boldsymbol {b}})_{i}=a_{i}+b_{i}} 。然後，在笛氏積上，定義等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } ，使 a ∼ b {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\sim {\boldsymbol {b}}} 當且僅當 { i ∈ I : a i = b i } ∈ U {\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in {\mathcal {U}}} （應當理解為「 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 與 b {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} 在大多數位置相等」）。 最後，所得的超積，是模 ∼ {\displaystyle \sim } 的商集。所以，該超積有時記為 ∏ i ∈ I M i / U . {\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}.} 另一種看法是，在指標集 I {\displaystyle I} 上，定義一個有限可加的测度 m {\displaystyle m} （弱於一般可數可加的條件），僅取 0 , 1 {\displaystyle 0,1} 二值，若 A ∈ U {\displaystyle A\in {\mathcal {U}}} 則稱 m ( A ) = 1 {\displaystyle m(A)=1} ，否則稱 m ( A ) = 0 {\displaystyle m(A)=0} 。然後在笛氏積中，兩個元素若在幾乎每個下標處皆相等，則視為等同。超積是如此生成的等價類的集合。 其他關係（英语：relation (mathematics)）同理可作引申： R ( [ a 1 ] , … , [ a n ] ) ⟺ { i ∈ I : R M i ( a i 1 , … , a i n ) } ∈ U , {\displaystyle R([{\boldsymbol {a}}^{1}],\ldots ,[{\boldsymbol {a}}^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{{\mathcal {M}}_{i}}(a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}},} 其中 [ a ] {\displaystyle [{\boldsymbol {a}}]} 表示 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 模 ∼ {\displaystyle \sim } 所屬的等價類。 特別地，若每個 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 皆為有序域，則所得的超積亦然。 所謂超冪，意思是所有因子 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 皆相等的超積： M I / U = ∏ i ∈ I M / U . {\displaystyle {\mathcal {M}}^{I}/{\mathcal {U}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}/{\mathcal {U}}.\,} 也可以推廣到 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 不為超濾子，而僅為 I {\displaystyle I} 上普通一個滤子的情況。此時所得的模型 ∏ i ∈ I M i / U {\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}} 稱為約化積（英語：reduced product）。 超實數系是可數無窮多個（以自然數集編號）實數系的超積，其中所選的超濾子含有全部餘有限集。超實數系的大小次序擴展了實數之間的大小次序。例如， ω n = n {\displaystyle \omega _{n}=n} 的序列 ( ω n ) {\displaystyle (\omega _{n})} 所在的等價類，記為超實數 ω {\displaystyle \omega } ，比任意實數都要大，因為對於任意實數 r {\displaystyle r} ， ( ω n ) {\displaystyle (\omega _{n})} 除有限項外皆比 r {\displaystyle r} 大。於是， ω {\displaystyle \omega } 可以理解成無窮大數。 類似地，可以定義非標準整數系（英语：nonstandard integer）、非標準複數系（英语：nonstandard complex numbers）等，為相應標準結構的超積。 又考慮以下例子，以便理解超積中關係的定義。設超實數 ψ {\displaystyle \psi } 為序列 ψ n = 2 n {\displaystyle \psi _{n}=2n} 所在的等價類。由於對每個 n {\displaystyle n} 都有 ψ n > n = ω n {\displaystyle \psi _{n}>n=\omega _{n}} ，在超積中，有 ψ > ω {\displaystyle \psi >\omega } ，所以 ψ {\displaystyle \psi } 是較原先構造出的 ω {\displaystyle \omega } 更大的無窮大數。又考慮與 ω n = n {\displaystyle \omega _{n}=n} 類似的序列 ( χ n ) {\displaystyle (\chi _{n})} ，令 n ≠ 7 {\displaystyle n\neq 7} 時， χ n = n {\displaystyle \chi _{n}=n} ，但 χ 7 = 8 {\displaystyle \chi _{7}=8} 。則雖然兩個序列 ( χ n ) ≠ ( ω n ) {\displaystyle (\chi _{n})\neq (\omega _{n})} ，但兩者僅在有限個下標處不相等，故兩者相等的下標集合是超濾子的元素（因為是餘有限集），從而作為等價類，有 ω = χ {\displaystyle \omega =\chi } 。 大基数論中，有個標準構造是小心選取超濾子 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ，然後取整個集合論全類關於 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的超積。此時， U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的性質，對於所得超積的（高階）性質影響很大。例如，若 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 可數完備，則相應的超積仍是良基的。該範例在可測基數 § 定義有提及。 沃希定理（英語：Łoś's theorem），又稱超積基本定理（英语：fundamental theorem），由耶日·沃希（英语：Jerzy Łoś）所證（波蘭語發音：[ˈjɛʐɨ ˈwɔɕ]）。定理斷言，任何一條一階邏輯式在超積 ∏ M i / U {\displaystyle \prod {\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}} 中為真，當且僅當使該公式在 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 中成立的指標 i {\displaystyle i} 的集合，是 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的元素。後一個條件，可以直觀理解為「大多數」 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 皆認為該公式為真。嚴謹敍述如下： 設有表徵 σ {\displaystyle \sigma } ，指標集 I {\displaystyle I} ，其上的超濾子 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ，且對每個 i ∈ I {\displaystyle i\in I} ，有 σ {\displaystyle \sigma } 結構 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 。又設 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 為 M i {\displaystyle {\mathcal {M}}_{i}} 關於 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 之超積，即 M = ∏ i ∈ I M i / U {\displaystyle {\mathcal {M}}=\prod _{i\in I}{\mathcal {M}}_{i}/{\mathcal {U}}} 。則對任意 n {\displaystyle n} 個多元組 a 1 , … , a n ∈ ∏ M i {\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod {\mathcal {M}}_{i}} ，其中 a k = ( a i k ) i ∈ I {\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}} ，以及對任意 σ {\displaystyle \sigma } 公式 φ {\displaystyle \varphi } ， M ⊨ φ ( a 1 , … , a n ) ⟺ { i ∈ I : M i ⊨ φ ( a i 1 , … , a i n ) } ∈ U . {\displaystyle {\mathcal {M}}\models \varphi (a^{1},\ldots ,a^{n})\iff \left\{i\in I:{\mathcal {M}}_{i}\models \varphi (a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n})\right\}\in {\mathcal {U}}.} 定理對公式 φ {\displaystyle \varphi } 的複雜度歸納得證。 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 為超濾子（而不僅是濾子）的性質，在加入否定的一步用到。而在加存在量詞的一步，要用到选择公理。應用定理可得超實域的轉移原理（英语：transfer principle）。 設 R {\displaystyle R} 為結構 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 上的一元關係，並構造 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的超冪。則集合 S = { x ∈ M : M ⊨ R x } {\displaystyle S=\{x\in {\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\models Rx\}} 在超冪中有對應的子集 ∗ S {\displaystyle {}^{*}S} ，而在 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 中，對 S {\displaystyle S} 量化且為真的一階公式，將 S {\displaystyle S} 換成 ∗ S {\displaystyle {}^{*}S} 後，仍在超冪中成立。例如，設 M = R {\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbb {R} } 為實數集。設 R x {\displaystyle Rx} 表示「 x {\displaystyle x} 為有理數」。則在 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 中，對每對有理數 x < y {\displaystyle x<y} ，總有無理數 z {\displaystyle z} 介於兩者之間。即： M ⊨ ( ∀ x ) ( ∀ y ) ( R x ∧ R y ∧ ( x < y ) ⟹ ( ∃ z ) ( ¬ R z ∧ x < z < y ) ) . {\displaystyle {\mathcal {M}}\models (\forall x)(\forall y)(Rx\wedge Ry\wedge (x<y)\implies (\exists z)(\neg Rz\wedge x<z<y)).} 既然有理數集 S {\displaystyle S} 此一性質可以寫成一階命題，沃希定理推出，超有理數集 ∗ S {\displaystyle {}^{*}S} 仍有同一性質，即任意兩個超有理數之間，有一個不為超有理數的超實數（「超無理數」）。更一般地，超有理數集與有理數集具有完全一樣的一階性質。 然而，考慮實數的阿基米德性質，即不存在實數 x {\displaystyle x} 同時滿足 x > 1 ,   x > 1 + 1 ,   x > 1 + 1 + 1 ,   … {\displaystyle x>1,\ x>1+1,\ x>1+1+1,\ \ldots } 此列無窮多條不等式。阿基米德性質無法用一階邏輯表示，所以，沃希定理不適用於此性質，不能推導出超實數滿足阿基米德性質。正好相反，超實數不滿足阿基米德性質，例如前一節構造的超實數 ω {\displaystyle \omega } ，就比 1 ,   1 + 1 ,   1 + 1 + 1 ,   … {\displaystyle 1,\ 1+1,\ 1+1+1,\ \ldots } 都要大。 模型論和集合論中，常考慮一列超冪的正極限（英语：direct limit）（範疇論的餘極限）。模型论中，此構造稱為超極限（英語：ultralimit）或極限超冪（英語：limiting ultrapower）。 從某結構 A 0 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{0}} 和超濾子 U 0 {\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}} 開始，構造出超冪 A 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}} ，並重複，得到 A 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}} 等。對每個 n {\displaystyle n} ，有典範對角嵌入 A n ↪ A n + 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\hookrightarrow {\mathcal {A}}_{n+1}} 。在極限階段，如 A ω {\displaystyle {\mathcal {A}}_{\omega }} ，取此前所有結構的正極限，如此便可取超限多次超冪。 紧致性定理——若可滿足一族一階句子的任意有限條，則可全部滿足 勒文海姆–斯科伦定理——一階理論無法控制無窮模型的大小 轉移原理（英语：Transfer principle） Bell, John Lane; Slomson, Alan B. Models and Ultraproducts: An Introduction [模型與超積：導論] reprint of 1974. Dover Publications. 2006 [1969]. ISBN 0-486-44979-3 （英语）.  Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra [泛代數教程] Millennium. 2000 [1981] [2021-10-23]. （原始内容存档于2005-01-23） （英语）.