哈代-李特爾伍德極大函數

數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德(Hardy–Littlewood)極大函數在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。 對一個在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf如下 M f ( x ) = sup r > 0 1 m ( B ( x , r ) ) ∫ B ( x , r ) | f ( y ) | d m ( y ) {\displaystyle Mf(x)=\sup _{r>0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)} （Mf(x)可能是 ∞ {\displaystyle \infty } 。） 其中m是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上的勒貝格測度。 Mf(x)是下半連續函數。 對任何 x ∈ R m {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}} ，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0） 任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得 c 1 := 1 m ( B ( x , r ) ) ∫ B ( x , r ) | f ( y ) | d m ( y ) > c {\displaystyle c_{1}:={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)>c} 存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 使得 ( r / ( r + δ ) ) n > c / c 1 {\displaystyle (r/(r+\delta ))^{n}>c/c_{1}} 。 對任何 x ′ ∈ B ( x , δ ) {\displaystyle x'\in B(x,\delta )} ，有 B ( x , r ) ⊂ B ( x ′ , r + δ ) {\displaystyle B(x,r)\subset B(x',r+\delta )} 所以 M f ( x ′ ) ≥ 1 m ( B ( x ′ , r + δ ) ) ∫ B ( x ′ , r + δ ) | f ( y ) | d m ( y ) ≥ 1 m ( B ( x ′ , r + δ ) ) ∫ B ( x , r ) | f ( y ) | d m ( y ) = 1 m ( B ( x ′ , r ) ) ( r r + δ ) n ∫ B ( x , r ) | f ( y ) | d m ( y ) = 1 m ( B ( x , r ) ) ( r r + δ ) n ∫ B ( x , r ) | f ( y ) | d m ( y ) > c 1 ⋅ c c 1 = c {\displaystyle {\begin{aligned}&Mf(x')\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x',r+\delta )}|f(y)|dm(y)\\&\geq {\frac {1}{m(B(x',r+\delta ))}}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x',r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&={\frac {1}{m(B(x,r))}}\left({\frac {r}{r+\delta }}\right)^{n}\int _{B(x,r)}|f(y)|dm(y)\\&>c_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}=c\end{aligned}}} 因此Mf是下半連續。 設 f ∈ L 1 ( R n ) {\displaystyle f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})} 為可積函數，對任何常數 c > 0 {\displaystyle c>0} ，有不等式 m ( { M f > c } ) ≤ 3 n ‖ f ‖ L 1 c {\displaystyle m(\{Mf>c\})\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}} 對每個在集合 { M f > c } {\displaystyle \{Mf>c\}} 內的點x，都有 r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} ，使得 1 m ( B ( x , r x ) ) ∫ B ( x , r x ) | f ( y ) | d m ( y ) > c {\displaystyle {\frac {1}{m(B(x,r_{x}))}}\int _{B(x,r_{x})}|f(y)|dm(y)>c} 設K為 { M f > c } {\displaystyle \{Mf>c\}} 內的緊集。開球 ( B ( x , r x ) ) x ∈ K {\displaystyle (B(x,r_{x}))_{x\in K}} 是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋 ( B ( x i , r i ) ) i = 1 N {\displaystyle (B(x_{i},r_{i}))_{i=1}^{N}} 。（ r i := r x i {\displaystyle r_{i}:=r_{x_{i}}} ） 用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集 ( B ( x i j , r i j ) ) i j {\displaystyle (B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))_{i_{j}}} ，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後 B ( x i j , 3 r i j ) {\displaystyle B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}})} 可以覆蓋K。於是 m ( K ) ≤ ∑ i j m ( B ( x i j , 3 r i j ) ) = ∑ i j 3 n m ( B ( x i j , r i j ) ) < ∑ i j 3 n c ∫ B ( x i j , r i j ) | f ( y ) | d m ( y ) ≤ 3 n c ∫ K | f ( y ) | d m ( y ) ≤ 3 n ‖ f ‖ L 1 c {\displaystyle {\begin{aligned}m(K)&\leq \sum _{i_{j}}m(B(x_{i_{j}},3r_{i_{j}}))\\&=\sum _{i_{j}}3^{n}m(B(x_{i_{j}},r_{i_{j}}))\\&<\sum _{i_{j}}{\frac {3^{n}}{c}}\int _{B(x_{i_{j}},r_{i_{j}})}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}}{c}}\int _{K}|f(y)|dm(y)\\&\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}\end{aligned}}} 上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合 { M f > c } {\displaystyle \{Mf>c\}} 的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有 m ( { M f > c } ) = sup K m ( K ) ≤ 3 n ‖ f ‖ L 1 c {\displaystyle m(\{Mf>c\})=\sup _{K}m(K)\leq {\frac {3^{n}\|f\|_{\mathrm {L} ^{1}}}{c}}} 哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。 Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.