波塞利耶-利普金机械

波塞利耶-利普金机械，发明于1864年，屬於平面连杆机构，是第一個真正可以將轉動運動轉換為直線運動的平面直線運動機構，它以法国陆军军官Charles-Nicolas Peaucellier（1832-1913）和立陶宛犹太人Yom Tov Lipman Lipkin（1846-1876，著名拉比Israel Salanter的兒子）的名字命名。 在此機構發明之前，在沒有參考導軌的情形下，沒有平面機構可以將直線運動完美的轉換為轉動運動。1864年時，所有的動力來源是來自蒸汽机，其中有活塞，由汽缸施力，往上或往下運動。活塞和汽缸需要有良好的密封特性，讓蒸汽机中的蒸汽可以維持在汽缸內，不會因為漏氣而降低能量輸出的效率。活塞和汽缸維持密封的作法是讓活塞維持和汽缸壁平行的直線運動。因此如何讓活塞的直線運動轉換為旋轉運動就變的非常重要，大部份的蒸氣機應用都是旋轉運動。 波塞利耶-利普金机械的數學和圓的反演幾何（英语：inversive geometry）有關。 在波塞利耶-利普金机械之前，有另外一個立體的直線運動機構，稱為薩魯斯連桿機構（英语：Sarrus linkage），比波塞利耶-利普金机械早11年發明，是由一組以樞紐相連的長方形組成。長方形之間可以以樞紐為軸旋轉，而長方形上的頂點會直線運動。薩魯斯連桿機構屬於立體的空間機構。 在波塞利耶-利普金机械的幾何圖中，有六個固定長度的桿：OA, OC, AB, BC, CD, DA。OA和OC長度相同，而AB、BC、CD和DA的長度也都相同，形成菱形。O點是固定點。若B點限制在一個圓的圓周上運動（例如以OB為直徑，通過O和B二點的圓，圖中紅色的圖）。D點會延著直線運動（圖中的藍線）。若點B限制在一直線上運動（不通過O點的直線），則D點會在圓周上運動（通過O點的圓周）。 首先，需要證明O點、B點和D點共線。這可以用觀察的方式得知，連桿是兩側對稱的，以直線OD為對稱軸，因此B一定在此線上。 若要用正式的方式證明。因為邊BD和自身相等，邊BA和邊BC相等，邊AD和邊CD相等，因此三角形BAD和三角形BCD全等，角BAD和角BCD相等。 接下來要證明三角形OBA和三角形OBC全等。因為線OA和線OC相等，邊OB和自身相等，邊BA和邊BC相等，因此二三角形全等。角OBA和角OBC相等。 以下四個角的和是一個圓角，因此 ∠OBA + ∠ABD + ∠DBC + ∠CBO = 360° 但因為三角形的全等，角OBA = 角OBC，角DBA = 角DBC，因此 2 × ∠OBA + 2 × ∠DBA = 360° ∠OBA + ∠DBA = 180° 因此，點O、B、D共線。 令點P為線段AC和線段BD的交點。因為ABCD是菱形，P會是線段AC和線段BD的中點，因此，線段BP和線段PD等長。 因為邊BP和邊DP相等，邊AP和自身相等，邊AB和邊AD相同，因此三角形BPA和三角形DPA全等。因此角BPA等於角DPA。但因為角BPA + 角DPA = 180°，因此角BPA和角DPA都是90°。 令： x = ℓ B P = ℓ P D {\displaystyle x=\ell _{BP}=\ell _{PD}} y = ℓ O B {\displaystyle y=\ell _{OB}} h = ℓ A P {\displaystyle h=\ell _{AP}} 則： ℓ O B ⋅ ℓ O D = y ( y + 2 x ) = y 2 + 2 x y {\displaystyle \ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy} ℓ O A 2 = ( y + x ) 2 + h 2 {\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}} （因為畢氏定理） ℓ O A 2 = y 2 + 2 x y + x 2 + h 2 {\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}} ℓ A D 2 = x 2 + h 2 {\displaystyle {\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}} （因為畢氏定理） ℓ O A 2 − ℓ A D 2 = y 2 + 2 x y = ℓ O B ⋅ ℓ O D {\displaystyle {\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}} 因為OA和AD的長度固定,，因此OB和OD的乘積為定值： ℓ O B ⋅ ℓ O D = k 2 {\displaystyle \ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}} 又因為O點、B點和D點共線，因此D點是B點相對圓(O,k)（圓心在O點，半徑為k）的反演點。 透過反演幾何（英语：inversive geometry）的特性，因為點D的軌跡是點B軌跡的反演。若B的軌跡是通過反演中心O的圓，則點D的軌跡會是一直線。若點B的軌跡是不通過點O的直線，則點D的軌跡是通過點O的圓。Q.E.D. 波塞利耶-利普金机械有許多的反演機構。其中一個如圖所示，以滑塊搖桿四連桿（ rocker-slider four-bar）為輸入，若要再細分，滑塊為輸入，使得搖桿以及波塞利耶-利普金机械轉動。 在荷蘭埃因霍溫的永久展覽品中，有展覽物就是以此機構為主題。此展覽物大小為22乘15乘16米（72乘49乘52英尺），重6,600公斤（14,600英磅），遊客可以透過控制盤操作。 哈特倒置器 连杆机构 Mathematical tutorial of the Peaucellier–Lipkin linkage. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. （原始内容存档于2014-09-06）.  Taimina, Daina. How to draw a straight line by Daina Taimina. Kmoddl.library.cornell.edu. [2011-12-06]. （原始内容存档于2011-12-01）.  Just because you are a character, doesn't mean you have character. Ivo Schoofs. [2017-08-14]. （原始内容存档于2020-12-02）.  Ogilvy, C. S., Excursions in Geometry, Dover: 46–48, 1990, ISBN 0-486-26530-7  Bryant, John; Sangwin, Chris. How round is your circle? : where engineering and mathematics meet. Princeton: Princeton University Press. 2008: 33–38; 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4.  — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models Coxeter HSM, Greitzer SL. Geometry Revisited. Washington: Mathematical Association of America. 1967: 108–111. ISBN 978-0-88385-619-2.  (and references cited therein) Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages （页面存档备份，存于互联网档案馆）, pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University. Johnson RA. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. New York: Dover Publications. 1960: 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0.  Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 120. ISBN 0-14-011813-6.  维基共享资源上的相关多媒体资源：波塞利耶-利普金机械 How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets. How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design （页面存档备份，存于互联网档案馆） Interactive Java Applet with proof. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Java animated Peaucellier–Lipkin linkage （页面存档备份，存于互联网档案馆） Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin （页面存档备份，存于互联网档案馆） and his father Israel Salanter Peaucellier Apparatus features an interactive applet A simulation （页面存档备份，存于互联网档案馆） using the Molecular Workbench software A related linkage （页面存档备份，存于互联网档案馆） called Hart's Inversor. Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video) （页面存档备份，存于互联网档案馆）