交集

数学上，两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集是含有所有既属于 A {\displaystyle A} 又属于 B {\displaystyle B} 的元素，而没有其他元素的集合。 交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ： ( ∀ A ) ( ∀ B ) ( ∀ x ) { ( x ∈ A ∩ B ) ⇔ [ ( x ∈ A ) ∧ ( x ∈ B ) ] } {\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}} 也就是直觀上： A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集写作「 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 」，「對所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B} 等價於 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 且 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 」 例如：集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 和 { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} 的交集为 { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} 。数字 9 {\displaystyle 9} 不属于素数集合 { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … } {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和奇数集合 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , … } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}} 的交集。 若两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作： A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。例如集合 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} 和 { 3 , 4 } {\displaystyle \{3,4\}} 不相交，写作 { 1 , 2 } ∩ { 3 , 4 } = ∅ {\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing } 。 更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A , B {\displaystyle A,B} ， C {\displaystyle C} 和 D {\displaystyle D} 的交集为 A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ ( B ∩ ( C ∩ D ) ) {\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))} 。交集运算满足结合律。即： A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C {\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C} 以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。 取一个集合 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合： M ¯ := { A | ( ∃ M ∈ M ) ( A = M c ) } {\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}} 。 也就是直觀上蒐集所有 M c {\displaystyle M^{c}} 的集合， 這樣的話有： x ∈ ⋃ M ¯ ⇔ ( ∃ A ) [ ( x ∈ A ) ∧ ( ∃ M ∈ M ) ( A = M c ) ] {\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]} 根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是： x ∈ ⋃ M ¯ ⇔ ( ∃ M ) [ ( M ∈ M ) ∧ ( x ∉ M ) ∧ ( ∃ A ) ( A = M c ) ] {\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]} 但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式： ( ∃ A ) ( A = M c ) {\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})} 顯然是個定理（也就是直觀上為真），故： x ∈ ⋃ M ¯ ⇔ ( ∃ M ∈ M ) ( x ∉ M ) {\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)} 換句話說： x ∈ ( ⋃ M ¯ ) c ⇔ ( ∀ M ∈ M ) ( x ∈ M ) {\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)} 那可以做如下的符號定義： ⋂ M := ( ⋃ M ¯ ) c {\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}} 稱為 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ ⋂ M {\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}} 等價於對任何 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下屬集合 M {\displaystyle M} ，都有 x ∈ M {\displaystyle x\in M} 」 例如： A ∩ B = ⋂ { A , B } {\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}} 類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種 可模仿求和符号記為 ⋂ A ∈ M A {\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A} 。 但大多數人會假設指标集 I {\displaystyle I} 的存在，換句話說 若 I ≅ A M {\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則 ⋂ i ∈ I A ( i ) := ⋂ M {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}} 在指标集 I {\displaystyle I} 是自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說： 若 N ≅ A M {\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則 ⋂ i = 1 ∞ A ( i ) := ⋂ M {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}} 也可以更粗略直觀的將 ⋂ i = 1 ∞ A ( i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)} 写作 A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ … {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots } 。 朴素集合论 并集 补集 对称差