德林費爾德模

在數學領域，德林費爾德模或橢圓模是一種特別的模，佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說，德林費爾德模是複橢圓曲線的複乘法理論之函數域版本。 俄文單詞 штука（英語拼音：shtuka 或 chtouca，源於德文的 Stück，意指物件或東西），又稱F-層，是德林費爾德模的一種延伸，由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。 弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模，隨後推廣到 штука，以證明函數域上的 G L ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {GL} (2)} 郎蘭茲猜想。洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊與跡公式，在2002年證出 G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 的情形。 設 L {\displaystyle L} 為特徵 p > 0 {\displaystyle p>0} 的域。定義其上的非交換多項式環 L { τ } {\displaystyle L\{\tau \}} a0 + a1τ + a2τ2 + ... 乘法由下述條件確定 τ a = a p τ {\displaystyle \tau a=a^{p}\tau } 元素 τ {\displaystyle \tau } 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上， L {\displaystyle L} 是左 L { τ } {\displaystyle L\{\tau \}} -模，其中 L {\displaystyle L} 以乘法作用而 τ {\displaystyle \tau } 以 a ↦ a p {\displaystyle a\mapsto a^{p}} 映射。環 L { τ } {\displaystyle L\{\tau \}} 也可以看作是如下多項式的集合 a 0 X 1 + a 1 X p + a 2 X p 2 + ⋯ = a 0 τ 0 + a 1 τ + a 2 τ 2 + ⋯ ∈ L [ X ] {\displaystyle a_{0}X^{1}+a_{1}X^{p}+a_{2}X^{p^{2}}+\cdots =a_{0}\tau ^{0}+a_{1}\tau +a_{2}\tau ^{2}+\cdots \in L[X]} 這類多項式滿足 f ( X + Y ) = f ( X ) + f ( Y ) ∈ L [ X , Y ] {\displaystyle f(X+Y)=f(X)+f(Y)\in L[X,Y]} ，故稱加性多項式；此環的乘法由多項式的合成給出，而非乘法，故非交換。 今設 A {\displaystyle A} 為交換環，L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 ψ : A → L { τ } {\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}} ，使得 ψ ( A ) {\displaystyle \psi (A)} 不包含於 L {\displaystyle L} ；此條件意在排除一些平凡例子。環 A {\displaystyle A} 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。 L { τ } {\displaystyle L\{\tau \}} 可視為加法群 ( L , + ) {\displaystyle (L,+)} 的自同態，而德林費爾德 A-模可視為 A {\displaystyle A} 在 ( L , + ) {\displaystyle (L,+)} 上的作用。 置 A := F p [ T ] {\displaystyle A:=\mathbb {F} _{p}[T]} ，對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 ψ : A → L { τ } {\displaystyle \psi :A\to L\{\tau \}} 僅依賴於像 ψ ( T ) ∈ L { τ } ∖ L {\displaystyle \psi (T)\in L\{\tau \}\setminus L} 。此時德林費爾德模可等同於 L { τ } ∖ L {\displaystyle L\{\tau \}\setminus L} 。對於虧格更高的曲線，德林費爾德模會更複雜。 承上，Carlitz 模是由 ψ ( T ) = T + τ {\displaystyle \psi (T)=T+\tau } ， L {\displaystyle L} 為含 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究，詳見Goss 的著作第三章 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 。 設 X {\displaystyle X} 是有限域 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 上的代數曲線。對概形或疊 U {\displaystyle U} ，其上的秩 r （右）штука 由下列資料定義： U × X {\displaystyle U\times X} 上的秩 r 局部自由層 E , E ′ {\displaystyle E,E'} 及單射 E → E ′ ← ( F r ∗ × 1 ) ∗ E {\displaystyle E\rightarrow E'\leftarrow (\mathrm {Fr} ^{*}\times 1)^{*}E} 其餘核的支撐集包括於某態射 U → X {\displaystyle U\to X} 的圖（稱為該 штука 的零點與極點，記為 0 {\displaystyle 0} 與 ∞ {\displaystyle \infty } ），且在支撐集上是秩 1 {\displaystyle 1} 局部自由層。在此 F r {\displaystyle \mathrm {Fr} } 表 U {\displaystyle U} 上的弗羅貝尼烏斯態射。 左 штука 的定義類似，但態射的方向反轉；若極點與零點集互斥，則實際上無分左右。 粗略而言，考慮不同的 U {\displaystyle U} ，可得代數疊 S h t r {\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 及 S h t r × X {\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}\times X} 上的「萬有 штука」，並有相對維度 $2$ 的平滑態射 ( ∞ , 0 ) : S h t r → X × X {\displaystyle (\infty ,0):\mathrm {Sht} ^{r}\to X\times X} 。注意到當 r > 1 {\displaystyle r>1} 時，疊 S h t r {\displaystyle \mathrm {Sht} ^{r}} 並非有限型的。 德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука（自定義觀之，這絕非明顯），詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。 簡言之，函數域上的郎蘭茲猜想是關於 G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示，德林費爾德的高處在於從某個秩 2 {\displaystyle 2} штука 的模空間的 ℓ {\displaystyle \ell } -進上同調入手，找出相應的伽羅瓦表示。 德林費爾德認為此法可延伸至 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難，完成證明。 V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592. D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6 Drinfel'd module （页面存档备份，存于互联网档案馆） in the Springer encyclopaedia of mathematics G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996 Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. 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Gérard Laumon, The work of Laurent Lafforgue Archive.is的存檔，存档日期2012-12-05 Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 1, 91--97 G. Laumon La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions (d'apres Laurent Lafforgue) (The Langlands correspondence over function fields (according to Laurent Lafforgue)) Seminaire Bourbaki, 52eme annee, 1999-2000, no. 873