線性化

数学上的線性化（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。 函数的線性化為線性函數。針對函數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ，若要用在任意點 x = a {\displaystyle x=a} 下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} （或 [ b , a ] {\displaystyle [b,a]} ）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在 x = a {\displaystyle x=a} 點附近，以直線來近似函數的值。例如 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} ，那麼針對 4.001 = 4 + .001 {\displaystyle {\sqrt {4.001}}={\sqrt {4+.001}}} ，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。 針對任意函數 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是 L a ( a ) = f ( a ) {\displaystyle L_{a}(a)=f(a)} ，其中 L a ( x ) {\displaystyle L_{a}(x)} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x = a {\displaystyle x=a} 的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點 ( H , K ) {\displaystyle (H,K)} ，斜率為 M {\displaystyle M} 為直線。方程式的一般形為 y − K = M ( x − H ) {\displaystyle y-K=M(x-H)} 。 若是配合點 ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} ， L a ( x ) {\displaystyle L_{a}(x)} 即變成 y = f ( a ) + M ( x − a ) {\displaystyle y=f(a)+M(x-a)} 。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在點 x = a {\displaystyle x=a} 切線的斜率來代替。 函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點 x = a {\displaystyle x=a} ，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率 M {\displaystyle M} 最準確的值會是在 x = a {\displaystyle x=a} 點的切線斜率。 旁邊的圖可以說明 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在點 x {\displaystyle x} 的切線。在 f ( x + h ) {\displaystyle f(x+h)} 位置，其中 h {\displaystyle h} 是小的正值或是負值， f ( x + h ) {\displaystyle f(x+h)} 非常接近 ( x + h , L ( x + h ) ) {\displaystyle (x+h,L(x+h))} 點的切線。 函數在點 x = a {\displaystyle x=a} 線性化的最終方程為： y = ( f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) ) {\displaystyle y=(f(a)+f'(a)(x-a))} 針對 x = a {\displaystyle x=a} ， f ( a ) = f ( x ) {\displaystyle f(a)=f(x)} 。函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的導數為 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} ，而函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在點 a {\displaystyle a} 的斜率為 f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} 。 若要找 4.001 {\displaystyle {\sqrt {4.001}}} ，可以用 4 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=2} 的資訊。函數 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 在點 x = a {\displaystyle x=a} 的線性化為 y = a + 1 2 a ( x − a ) {\displaystyle y={\sqrt {a}}+{\frac {1}{2{\sqrt {a}}}}(x-a)} ，因為函數 f ′ ( x ) = 1 2 x {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} 定義了函數 f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} 在點 x {\displaystyle x} 的斜率。 代入 a = 4 {\displaystyle a=4} ，其線性化結果為 y = 2 + x − 4 4 {\displaystyle y=2+{\frac {x-4}{4}}} 。 針對 x = 4.001 {\displaystyle x=4.001} 的例子，可得 4.001 {\displaystyle {\sqrt {4.001}}} 近似 2 + 4.001 − 4 4 = 2.00025 {\displaystyle 2+{\frac {4.001-4}{4}}=2.00025} 。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。 函數 f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} 在點 p ( a , b ) {\displaystyle p(a,b)} 線性化的方程式為： f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ( x , y ) ∂ x | a , b ( x − a ) + ∂ f ( x , y ) ∂ y | a , b ( y − b ) {\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right|_{a,b}(x-a)+\left.{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right|_{a,b}(y-b)} 多變數函數 f ( x ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )} 在點 p {\displaystyle \mathbf {p} } 線性化的通式為 f ( x ) ≈ f ( p ) + ∇ f | p ⋅ ( x − p ) {\displaystyle f({\mathbf {x} })\approx f({\mathbf {p} })+\left.{\nabla f}\right|_{\mathbf {p} }\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {p} })} 其中 x {\displaystyle \mathbf {x} } 是變數向量，而 p {\displaystyle \mathbf {p} } 是要線性化的點。 配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統 d x d t = F ( x , t ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {F} (\mathbf {x} ,t)} , 其線性化系統為 d x d t ≈ F ( x 0 , t ) + D F ( x 0 , t ) ⋅ ( x − x 0 ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\approx \mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)+D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} ,t)\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )} 其中 x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } 是要觀測的特定點，而 D F ( x 0 ) {\displaystyle D\mathbf {F} (\mathbf {x_{0}} )} 是 F ( x ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )} 在點 x 0 {\displaystyle \mathbf {x_{0}} } 所計算的雅可比矩阵。 在自治系统的穩定性分析中，可以用在雙曲平衡點（英语：hyperbolic equilibrium point）計算雅可比矩阵的特征值來判斷平衡點的特徵。這就是線性化理論（英语：linearization theorem）的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。 在微观经济学中，決策規則（英语：decision rule）可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化。所得動態方程的系統的唯一解即為其解。 在最优化中，成本函數以及非線性成份都可以線性化，以使用一些線性的求解方式（例如单纯形法）。最佳化的結果可以更有效率的產生，而且是決定性的全域极值。 在多物理场系統（系統中有多個不同物理領域的模型，彼此互相影響）中，可以針對每一個物理領域進行線性化。針對每一個物理領域的線性化可以產生線性的monolithic方程系統，可以用monolithic的迭代來求解（例如牛顿法）。這類的例子包括MRI scanner（英语：MRI scanner）系統，包括了電磁系統、力學系統及聲學系統 線性穩定性（英语：Linear stability） 切線剛性矩陣（英语：Tangent stiffness matrix） 穩定性導數（英语：Stability derivatives） 泰勒公式 泛函方程 (L函數)（英语：Functional equation (L-function)） The linearization problem in complex dimension one dynamical systems at Scholarpedia. 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