密克定理

密克定理（英語：Miquel's theorem）是几何学中關於相交圆的定理。1838年，密克敘述並證明了數條相關定理。许多有用的定理可由其推出。 三圓定理：設三個圓 C 1 {\displaystyle C_{1}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} , C 3 {\displaystyle C_{3}} 交於一點 O {\displaystyle O} ，而 M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} , P {\displaystyle P} 分別是 C 1 {\displaystyle C_{1}} 和 C 2 {\displaystyle C_{2}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} 和 C 3 {\displaystyle C_{3}} , C 3 {\displaystyle C_{3}} 和 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的另一交點。設 A {\displaystyle A} 為 C 1 {\displaystyle C_{1}} 的點，直線 M A {\displaystyle MA} 交 C 2 {\displaystyle C_{2}} 於 B {\displaystyle B} ，直線 P A {\displaystyle PA} 交 C 3 {\displaystyle C_{3}} 於 C {\displaystyle C} 。那麼 B {\displaystyle B} , N {\displaystyle N} , C {\displaystyle C} 這三點共線。 逆定理：如果 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 是三角形， M {\displaystyle M} , N {\displaystyle N} , P {\displaystyle P} 三點分別在邊 A B {\displaystyle AB} , B C {\displaystyle BC} , C A {\displaystyle CA} 上，那麼三角形 △ A M P {\displaystyle \triangle AMP} , △ B M N {\displaystyle \triangle BMN} , △ C N P {\displaystyle \triangle CNP} 的外接圓交於一點 O {\displaystyle O} 。 完全四線形定理：如果 A B C D E F {\displaystyle ABCDEF} 是完全四線形，那麼三角形 △ E A D {\displaystyle \triangle EAD} , △ E B C {\displaystyle \triangle EBC} , △ F A B {\displaystyle \triangle FAB} , △ F D C {\displaystyle \triangle FDC} 的外接圓交於一點 O {\displaystyle O} ，稱為密克點。 四圓定理：設 C 1 {\displaystyle C_{1}} , C 2 {\displaystyle C_{2}} , C 3 {\displaystyle C_{3}} , C 4 {\displaystyle C_{4}} 為四個圓， A 1 {\displaystyle A_{1}} 和 B 1 {\displaystyle B_{1}} 是 C 1 {\displaystyle C_{1}} 和 C 2 {\displaystyle C_{2}} 的交點， A 2 {\displaystyle A_{2}} 和 B 2 {\displaystyle B_{2}} 是 C 2 {\displaystyle C_{2}} 和 C 3 {\displaystyle C_{3}} 的交點， A 3 {\displaystyle A_{3}} 和 B 3 {\displaystyle B_{3}} 是 C 3 {\displaystyle C_{3}} 和 C 4 {\displaystyle C_{4}} 的交點， A 4 {\displaystyle A_{4}} 和 B 4 {\displaystyle B_{4}} 是 C 1 {\displaystyle C_{1}} 和 C 4 {\displaystyle C_{4}} 的交點。那麼 A 1 {\displaystyle A_{1}} , A 2 {\displaystyle A_{2}} , A 3 {\displaystyle A_{3}} , A 4 {\displaystyle A_{4}} 四點共圓當且僅當 B 1 {\displaystyle B_{1}} , B 2 {\displaystyle B_{2}} , B 3 {\displaystyle B_{3}} , B 4 {\displaystyle B_{4}} 四點共圓。 五圓定理：設 A B C D E {\displaystyle ABCDE} 為任意五邊形，五點 F {\displaystyle F} , G {\displaystyle G} , H {\displaystyle H} , I {\displaystyle I} , J {\displaystyle J} 分別是 E A {\displaystyle EA} 和 B C {\displaystyle BC} , A B {\displaystyle AB} 和 C D {\displaystyle CD} , B C {\displaystyle BC} 和 D E {\displaystyle DE} , C D {\displaystyle CD} 和 E A {\displaystyle EA} , D E {\displaystyle DE} 和 A B {\displaystyle AB} 的交點，那麼三角形 △ A B F {\displaystyle \triangle ABF} , △ B C G {\displaystyle \triangle BCG} , △ C D H {\displaystyle \triangle CDH} , △ D E I {\displaystyle \triangle DEI} , △ E A J {\displaystyle \triangle EAJ} 的外接圓的五個不在五邊形上的交點共圓。需要注意这样构造出的圆並不穿過五個外接圓的圓心。 几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。 逆定理：設 C 1 , {\displaystyle C_{1},} , C 2 {\displaystyle C_{2}} , C 3 {\displaystyle C_{3}} , C 4 {\displaystyle C_{4}} , C 5 {\displaystyle C_{5}} 五個圓的圓心都在圓 C {\displaystyle C} 上，相鄰的圓交於 C {\displaystyle C} 上，那麼把它們不在 C {\displaystyle C} 上的交點與比鄰同樣的點連起來，所成的五條直線相交於這五個圓上。 1838年密克在劉維爾的期刊《纯粹与应用数学杂志》發表了該定理的一部份。 密克的第一條定理，是很久前已有的著名經典結果，以圓周角定理證明。 完全四線形四圓的交點現在稱為密克點，但這性質施泰納在1828年已經知道，華萊士也很可能已經知道。 五圓定理是一條更一般的定理的特殊情形。這條定理由克利福德提出及證明。 2000年12月20日，中国国家主席江澤民出席澳門回歸祖國一周年慶典活動期間，在參觀濠江中學時向該校師生出了一道求証“五點共圓”的問題，令問題重新引起廣泛興趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。 孔涅在2002年10月的一個研討會也重提這問題。 Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 79. ISBN 0-14-011813-6.  江主席出題　濠江教師破解 （页面存档备份，存于互联网档案馆） - 濠江中學截取自澳門日報的新聞資料 埃里克·韦斯坦因. Miquel's theorem. MathWorld.  Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches