埃倫費斯特定理

在量子力學裏，埃倫費斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程式表達為 d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A ,   H ] ⟩ + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } ； 其中， A {\displaystyle A} 是某個量子算符， ⟨ A ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle } 是它的期望值， H {\displaystyle H} 是哈密頓算符， t {\displaystyle t} 是時間， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數。 埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程式的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維定理密切相關；劉維定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 i ℏ {\displaystyle i\hbar } ，再取 i ℏ {\displaystyle i\hbar } 趨向於 0 的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。 假設，一個物理系統的量子態為 Φ ( x ,   t ) {\displaystyle \Phi (x,\ t)} ，則算符 A {\displaystyle A} 的期望值對於時間的導數為 d d t ⟨ A ⟩ = d d t ∫ Φ ∗ A Φ   d x = ∫ ( ∂ Φ ∗ ∂ t ) A Φ   d x + ∫ Φ ∗ ( ∂ A ∂ t ) Φ   d x + ∫ Φ ∗ A ( ∂ Φ ∂ t )   d x = ∫ ( ∂ Φ ∗ ∂ t ) A Φ   d x + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ + ∫ Φ ∗ A ( ∂ Φ ∂ t )   d x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}} 薛丁格方程表明哈密頓算符 H {\displaystyle H} 與時間 t {\displaystyle t} 的關係為 H Φ = i ℏ ∂ Φ ∂ t {\displaystyle H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}} 。 其共軛複數為 ( H Φ ) ∗ = − i ℏ ∂ Φ ∗ ∂ t {\displaystyle (H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}} 。 因為哈密頓算符是厄米算符， H ∗ = H {\displaystyle H^{*}=H} 。所以， ( H Φ ) ∗ = Φ ∗ H ∗ = Φ ∗ H {\displaystyle (H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H} 。 將這三個方程式代入 d d t ⟨ A ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle } 的方程式，則可得到 d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ∫ Φ ∗ ( A H − H A ) Φ   d x + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } 。 所以，埃倫費斯特定理成立： d d t ⟨ A ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ A ,   H ] ⟩ + ⟨ ∂ A ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle } 。 使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。 從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。 考慮哈密頓算符 H {\displaystyle H} ： d d t ⟨ H ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ H ,   H ] ⟩ + ⟨ ∂ H ∂ t ⟩ = ⟨ ∂ H ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle } 。 假若，哈密頓量顯性地不含時間， ∂ H ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}=0} ，則 ⟨ H ⟩ = H 0 {\displaystyle \langle H\rangle =H_{0}} ， 哈密頓量是個常數 H 0 {\displaystyle H_{0}} 。 試想一個質量為 m {\displaystyle m} 的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是 H ( x ,   p ,   t ) = p 2 2 m + V ( x ,   t ) {\displaystyle H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)}  ; 其中， x {\displaystyle x} 為位置， p {\displaystyle p} 是動量， V {\displaystyle V} 是位勢。 應用埃倫費斯特定理， d d t ⟨ x ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x ,   H ] ⟩ + ⟨ ∂ x ∂ t ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ x ,   H ] ⟩ = 1 i 2 m ℏ ⟨ [ x ,   p 2 ] ⟩ = 1 i 2 m ℏ ⟨ x p p − p p x ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle } 。 由於 x p p − p p x = i 2 ℏ p {\displaystyle xpp-ppx=i2\hbar p} ，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值： d d t ⟨ x ⟩ = 1 m ⟨ p ⟩ = ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle } 。 這樣，可以得到動量 p {\displaystyle p} 的期望值。 應用埃倫費斯特定理， d d t ⟨ p ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p ,   H ] ⟩ + ⟨ ∂ p ∂ t ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle } 。 由於 p {\displaystyle p} 與自己互相交換，所以， [ p ,   p 2 ] = 0 {\displaystyle [p,\ p^{2}]=0} 。又在坐標空間裏，動量算符 p = ℏ i ∂ ∂ x {\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}} 不含時間： ∂ p ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=0} 。所以， d d t ⟨ p ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ p ,   V ] ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle } 。 將泊松括號展開， d d t ⟨ p ⟩ = ∫ Φ ∗ V ∂ ∂ x Φ   d x − ∫ Φ ∗ ∂ ∂ x ( V Φ )   d x {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx} 。 使用乘法定則， d d t ⟨ p ⟩ = ⟨ −   ∂ ∂ x V ⟩ = ⟨ F ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle } 。 在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力 F {\displaystyle F} 的期望值。 取經典極限， ⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ ≈ ∂ V ( ⟨ x ⟩ ) ∂ ⟨ x ⟩ {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} ，則可得到一組完全的量子運動方程式： d d t ⟨ x ⟩ = ⟨ v ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle } ， d d t ⟨ p ⟩ = −   ∂ V ( ⟨ x ⟩ ) ∂ ⟨ x ⟩ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}} 。 這組量子運動方程式，精確地對應於經典力學的運動方程式： d x d t = v {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=v} ， d p d t = −   ∂ V ( x ) ∂ x {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。 取「經典極限」，量子力學的定律約化為經典力學的定律。這結果也時常被稱為埃倫費斯特定理。這經典極限是什麼呢？標記 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,'(x)} 為 ∂ V ( x ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}} 。設定 ⟨ x ⟩ = x 0 {\displaystyle \langle x\rangle =x_{0}} 。泰勒展開 V ′ ( x ) {\displaystyle V\,'(x)} 於 x 0 {\displaystyle x_{0}} ： V ′ ( x ) = V ′ ( x 0 ) + ( x − x 0 ) V ″ ( x 0 ) + 1 2 ( x − x 0 ) 2 V ‴ ( x 0 ) +   … {\displaystyle V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots } 。 由於 ⟨ x − x 0 ⟩ = 0 {\displaystyle \langle x-x_{0}\rangle =0} ， ⟨ ( x − x 0 ) 2 ⟩ = σ x 2 {\displaystyle \langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}} ， ⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ ≈ V ′ ( x 0 ) + 1 2   σ x 2   V ″ ( x 0 ) {\displaystyle \left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})} 。 這近似方程式右手邊的第二項目就是誤差項目。只要這誤差項目是可忽略的，就可以取經典極限。而這誤差項目的大小跟以下兩個因素有關： 一個是量子態對於位置的不可確定性。 另一個則是位勢隨著位置而變化的快緩。 維里定理 Smith, Henrik. Introduction to Quantum Mechanics. World Scientific Pub Co Inc. 1991: pp. 108–109. ISBN 978-9810204754.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Tannor, David J. Introduction to Quantum Mechanics: A Time-Dependent Perspective. University Science Books. 2006: pp. 35–38. ISBN 978-1891389238.  引文格式1维护：冗余文本 (link)