拉普拉斯逆变换

在数学中，函数 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} ，满足如下性质： L { f } ( s ) = L { f ( t ) } ( s ) = F ( s ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),} 其中， L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 表示拉普拉斯变换。 可以证明：如果函数 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 具有拉普拉斯逆变换 f ( t ) {\displaystyle f(t)} ，则 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。 因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。 拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（英語：Mellin's inverse formula）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义： f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } ( t ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ γ − i T γ + i T e s t F ( s ) d s {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds} 积分路径是复平面中的垂线 R e ( s ) = γ {\displaystyle Re(s)=\gamma } ，其中 γ {\displaystyle \gamma } 大于 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 所有奇点的实部，且 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 在积分路径上有界（例如积分路径位于 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 是整函数时，可以将 γ {\displaystyle \gamma } 置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。 在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。 拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（英語：Post's inversion formula），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名， 是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。 公式表述如下：设 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数b ，使 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 满足： sup t > 0 f ( t ) e b t < ∞ {\displaystyle \sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty } 则对于任意 s > b {\displaystyle s>b} ， f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 是 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 的拉普拉斯变换，则 f ( t ) {\displaystyle f(t)} 可由下式定义： f ( t ) = L − 1 { F } ( t ) = lim k → ∞ ( − 1 ) k k ! ( k t ) k + 1 F ( k ) ( k t ) {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)} 其中 t > 0 {\displaystyle t>0} ， F ( x ) {\displaystyle F^{(x)}} 是 F {\displaystyle F} 对 s {\displaystyle s} 的k阶导数。 分析公式可以看出，该方法需要计算函数 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。 随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。 随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要 F ( s ) {\displaystyle F(s)} 的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。 InverseLaplaceTransform （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在Mathematica中求拉普拉斯逆变换的解析解 使用 Mathematica 中的复数域对拉普拉斯变换进行多精度数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ilaplace （页面存档备份，存于互联网档案馆）：在MATLAB中求拉普拉斯逆变换的解析解 Matlab 中拉普拉斯变换的数值反演 Matlab中基于集中矩阵指数函数的拉普拉斯变换数值反演 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 傅里叶变换 泊松求和公式 Cohen, A. M. Numerical Methods for Laplace Transform Inversion. Numerical Methods and Algorithms 5. 2007: 23–44. ISBN 978-0-387-28261-9. doi:10.1007/978-0-387-68855-8_2.  Lerch, M. Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel. Acta Mathematica. 1903, 27: 339–351. doi:10.1007/BF02421315 .  Post, Emil L. Generalized differentiation. Transactions of the American Mathematical Society. 1930, 32 (4): 723–781. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X .  Abate, J.; Valkó, P. P. Multi-precision Laplace transform inversion. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004, 60 (5): 979. Bibcode:2004IJNME..60..979A. S2CID 119889438. doi:10.1002/nme.995.  Davies, B. J., Integral transforms and their applications 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4  Manzhirov, A. V.; Polyanin, Andrei D., Handbook of integral equations, London: CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3  Boas, Mary, Mathematical Methods in the physical sciences, John Wiley & Sons: 662, 1983, ISBN 0-471-04409-1  含有內容需登入查看的頁面 (link) (p. 662 or search Index for "Bromwich Integral", a nice explanation showing the connection to the Fourier transform) Widder, D. V., The Laplace Transform, Princeton University Press, 1946  Elementary inversion of the Laplace transform （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Bryan, Kurt. Accessed June 14, 2006. EqWorld 的积分变换表 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 本條目含有来自PlanetMath《Mellin's inverse formula》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。