多格骨牌

多格骨牌（Polyomino），又稱多連塊、多連方、多方塊或多連方塊，是由全等正方形連成的圖形，包括四格骨牌、五格骨牌、六格骨牌等，n格骨牌的個數為（鏡射或旋轉視作同一種）： 1, 1, 1, 2, 5, 12, 35, 108, 369, 1285, 4655, 17073, 63600, 238591, 901971, 3426576, 13079255, 50107909, 192622052, 742624232, 2870671950, ... （OEIS數列A000105） 除了n=0, 1, 2的顯然易見的條件以外，只有n=5的時候才能用所有的n格骨牌填滿一個長方形（見五格骨牌#長方形填充），n=3的情形顯然無解，對n=4和n=6無解的證明需要使用肢解西洋棋盤問題的概念，而 n ≥ 7 {\displaystyle n\geq 7} 時，n格骨牌中有些骨牌的中間有空洞，因此也無解。 多格骨牌有三种，以对称分类： 自由（两面）骨牌（刚体）：平移、转动、反射、Glide reflection（英语：Glide reflection）；可以包括洞以及單連通（无洞）的骨牌 一片面：平移、转动（不可反射） 固定（有向）：平移（不可转动、不可反射） 母函数 传递矩阵法，这使用统计力学的渗流理论（阅读文章，扩充内容） 若A(n)是自由n格骨牌的总数，則有猜想說明 A n ∼ c λ n / n {\displaystyle A_{n}\sim c\lambda ^{n}/n} 其中 c ≈ 0.3169 ,   λ ≈ 4.0626 {\displaystyle c\approx 0.3169,\ \lambda \approx 4.0626} 。但是这个是未解决的问题，缺乏证明。 但是有证明表示A為指數增長（ 4.00253 < λ < 4.65 {\displaystyle 4.00253<\lambda <4.65} ） lim n → ∞ ( A n ) 1 / n = λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(A_{n})^{1/n}=\lambda } 双体模型，使用二格骨牌密铺格子 康威準則 娛樂數學 王氏砖 這些問題有些是NP完全的，或與递归集合有關。 任何少於或等於六格的骨牌都可以鋪滿整個平面，因為它們都滿足康威準則，而在全部108種七格骨牌中，有101種滿足康威準則，有104種可以鋪滿整個平面，另外4種（包括唯一一個中間有洞的那種）無法鋪滿整個平面，至於369種八格骨牌則有320種滿足康威準則，有343種可以鋪滿整個平面；1285種九格骨牌中則有960種滿足康威準則，有1050種可以鋪滿整個平面。 若需要至少n個多格骨牌P覆盖任何长方形（或矩形的格子），则n是P的次数（order）。若一個多格骨牌不可以覆盖（如Z形的四格骨牌），則其次数是未定义的。 L形骨牌有次数2。 次数 4 n {\displaystyle 4n} 的骨牌存在（n是整数）。 次数3的骨牌不存在。 未解決的数学問題：奇数次数的多格骨牌存在嗎？ 可不可以使用5、7或9個骨牌密铺一个长方形這個問題仍未解答。有次数2的骨牌P，可以使用11個P覆盖一个更大的长方形。 更大奇数次数的骨牌存在。 截至2020年，有两个未解决的问题： 奇数次数的多格骨牌存在嗎？ 若可以用n個骨牌密铺一个长方形，且n是奇数，最小的n為何？现在已知n最多為11。 未解決的数学問題：若可以用n個骨牌密铺一个长方形，且n是奇数，最小的n為何？现在已知n最多為11。 有些數獨#變體用多格骨牌 角鬥士棋 俄羅斯方塊 若可以用骨牌A覆盖每個n格骨牌，则A是共同超形式（common superform、CS）。若A是共同超形式中面积最小的那個，则A是最小共同超形式（minimal common superform、MCS）。比如，五格骨牌的MCS是下面两個九格骨牌。无论P是哪一個五格骨牌，P都可以放在这两個骨牌裡。 ### ### ##### ##### # # 多連立方體 渗流理论 杨表 角鬥士棋 多格形 Golomb, Golomb. Polyominoes. 1975.  （OEIS數列A000105） （OEIS數列A000988） （OEIS數列A001168） Jensen, Iwan. Enumerations of Lattice Animals and Trees. Journal of Statistical Physics. 2001, 102 (3/4): 865–881. doi:10.1023/A:1004855020556.  Conway, A. Enumerating 2D percolation series by the finite-lattice method: theory. Journal of Physics A: Mathematical and General. 1995-01-21, 28 (2): 335–349. ISSN 0305-4470. doi:10.1088/0305-4470/28/2/011.  Jensen, Iwan; Guttmann, Anthony J. Statistics of lattice animals (polyominoes) and polygons. Journal of Physics A: Mathematical and General. 2000-07-28, 33 (29): L257–L263. ISSN 0305-4470. doi:10.1088/0305-4470/33/29/102.  Barequet Gill, Rote Günter; ShalahMira. λ > 4: an improved lower bound on the growth constant of polyominoes. Communications of the ACM. 2016-06-24 [2020-02-15]. doi:10.1145/2851485. （原始内容存档于2020-06-30） （英语）.  Authors list列表缺少|last2= (帮助) Klarner, D. A.; Rivest, R. L. A Procedure for Improving the Upper Bound for the Number of n -Ominoes. Canadian Journal of Mathematics. 1973-06, 25 (3): 585–602. ISSN 0008-414X. doi:10.4153/CJM-1973-060-4 （英语）.  Golomb, Solomon W. Tiling with sets of polyominoes. Journal of Combinatorial Theory. 1970-07, 9 (1): 60–71 [2020-02-15]. doi:10.1016/S0021-9800(70)80055-2. （原始内容存档于2021-02-26） （英语）.  Tiling Rectangles With Polyominoes. www.eklhad.net. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-15）.  Golomb, Solomon W. (Solomon Wolf). Polyominoes : puzzles, patterns, problems, and packings. 2nd ed. Princeton, N.J.: Princeton University Press https://www.worldcat.org/oclc/29358809. 1994. ISBN 0-691-08573-0. OCLC 29358809.  缺少或|title=为空 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Weisstein, Eric W. (编). L-Polyomino. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-02-15]. （原始内容存档于2015-07-26） （英语）.  Stewart, I. N; Wormstein, A. Polyominoes of order 3 do not exist. Journal of Combinatorial Theory, Series A. 1992-09-01, 61 (1): 130–136 [2020-02-15]. ISSN 0097-3165. doi:10.1016/0097-3165(92)90058-3. （原始内容存档于2020-01-12） （英语）.  Primes of the P hexomino. www.cflmath.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2016-03-22）.  Tiling Rectangles and Half Strips with Congruent Polyominoes. www.cflmath.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-01-15）.  co.combinatorics - Cutting a rectangle into an odd number of congruent pieces. MathOverflow. [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-15）.  Polyomino Common Superforms. puzzlezapper.com. [2020-02-15]. （原始内容存档于2017-05-21）.  Whittington, S. G.; Soteros, C. E. (1990)., Whittington, S. G.; Soteros, C. E. (1990). "Lattice Animals: Rigorous Results and Wild Guesses"..  In Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.)., In Grimmett, G.; Welsh, D. (eds.). Disorder in Physical Systems. Oxford University Press..