代數幾何與解析幾何

在數學中，代數幾何與解析幾何是兩個關係密切的學科。代數幾何研究代數簇，在複數域上，同時也能以複分析及微分幾何的技術研究代數簇。讓-皮埃爾·塞爾在1956年的同名論文中比較了這兩種觀點。在 SGA 第一冊附錄中，則以概形論的語言重新表述。 給定一個 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的局部有限型概形 X {\displaystyle X} ，可以考慮相應的複解析空間 X a n {\displaystyle X^{\mathrm {an} }} 。此對應 X ↦ X a n {\displaystyle X\mapsto X^{\mathrm {an} }} 定義一個從局部有限型概形範疇到複解析空間範疇的函子。對任一 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -模 F {\displaystyle F} ，同樣可考慮相應的 O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}} -模 F a n {\displaystyle F^{\mathrm {an} }} ，這也給出相應的函子。可以證明 F ↦ F a n {\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }} 是一個正合、忠實且保守的函子。 論證中用到的關鍵性質是： O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} 是平坦的 O X a n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X^{\mathrm {an} }}} -模。 設 T ⊂ X {\displaystyle T\subset X} 為一局部可構子集（即：局部閉集的有限併集），以下 T {\displaystyle T} 的性質在 X {\displaystyle X} 中成立，若且唯若在 X a n {\displaystyle X^{\mathrm {an} }} 中成立： 開子集 閉子集 稠密子集 當 X {\displaystyle X} 為有限型態射時，對於 X {\displaystyle X} 及 X a n {\displaystyle X^{\mathrm {an} }} 本身，下述性質也是相通的： 連通 不可約 以下性質對 X {\displaystyle X} 成立，若且唯若對 X a n {\displaystyle X^{\mathrm {an} }} 成立： 非空 離散 科恩-麥考利概形 S n {\displaystyle S_{n}} R n {\displaystyle R_{n}} 正規 既約 維度等於 n {\displaystyle n} 設 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 為概形的態射， f a n : X a n → Y a n {\displaystyle f^{\mathrm {an} }:X^{\mathrm {an} }\to Y^{\mathrm {an} }} 為複解析空間的相應態射，則下述性質對 f {\displaystyle f} 成立若且唯若對 f a n {\displaystyle f^{\mathrm {an} }} 成立： 平坦 非分歧 平展 平滑 正規 既約 分離 單射（拓撲意義） 同構 單射（範疇論意義） 開浸入 若再要求 f {\displaystyle f} 是有限型態射，則可再加入下述性質： 滿射（拓撲意義） 優勢態射 閉浸入 浸入 真態射 有限態射 以下假設 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 是真態射，對任一個凝聚 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -模 F {\displaystyle F} ，有自然同構： ( R ∙ f ∗ F ) a n ⟶ ∼ R ∙ f ∗ a n ( F a n ) {\displaystyle (R^{\bullet }f_{*}F)^{\mathrm {an} }{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}R^{\bullet }f_{*}^{\mathrm {an} }(F^{\mathrm {an} })} 當 Y = S p e c C {\displaystyle Y=\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} } 時，遂有層上同調的比較定理： H ∙ ( X , F ) ⟶ ∼ H ∙ ( X a n , F a n ) {\displaystyle H^{\bullet }(X,F){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}H^{\bullet }(X^{\mathrm {an} },F^{\mathrm {an} })} 此時 F ↦ F a n {\displaystyle F\mapsto F^{\mathrm {an} }} 給出範疇的等價。 黎曼存在性定理則斷言：若 X {\displaystyle X} 是 C {\displaystyle \mathbb {C} } -上的局部有限型概形，且 X ′ → X a n {\displaystyle {\mathcal {X}}'\to X^{\mathrm {an} }} 是複解析空間的有限平展覆蓋，則存在 C {\displaystyle \mathbb {C} } -概形 X ′ {\displaystyle X'} 及平展態射 X ′ → X {\displaystyle X'\to X} ，使得 X ′ a n ∼ X ′ {\displaystyle X'^{\mathrm {an} }\sim {\mathcal {X}}'} 。此外，函子 X ′ ↦ X ′ a n {\displaystyle X'\mapsto X'^{\mathrm {an} }} 給出從【 X {\displaystyle X} 的有限平展覆蓋】到【 X a n {\displaystyle X^{\mathrm {an} }} 的有限平展覆蓋】的範疇等價。 當 X {\displaystyle X} 為連通時，此定理的一個直接推論是代數基本群與拓撲基本群的比較定理： π 1 ( X a n , x 0 ) ^ ∼ π 1 a l g ( X , x 0 ) {\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}\sim \pi _{1}^{\mathrm {alg} }(X,x_{0})} 其中 x 0 ∈ X ( C ) {\displaystyle x_{0}\in X(\mathbb {C} )} ，而 π 1 ( X a n , x 0 ) ^ {\displaystyle {\widehat {\pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})}}} 表示代數基本群 π 1 ( X a n , x 0 ) {\displaystyle \pi _{1}(X^{\mathrm {an} },x_{0})} 對有限指數子群的完備化。 J. P. Serre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique."（页面存档备份，存于互联网档案馆） Annales de l'Institut Fourier 6, 1-42. Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud [1971] (2003). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Société Mathématique de France, xviii+327. ISBN 2-85629-141-4.