里斯表示定理

在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理（英語：Riesz representation theorem），它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。 此定理說明希尔伯特空间的連續線性泛函都可以表示成內積。 定理： H {\displaystyle H} 是個複希尔伯特空间（也就是标量是複數），那對於任意連續線性泛函 f : H → C {\displaystyle f:H\to \mathbb {C} } ，存在唯一的 v f ∈ H {\displaystyle v_{f}\in H} 使得 f ( h ) = ⟨ v f , h ⟩ {\displaystyle f(h)=\langle v_{f},\,h\rangle } 證明的重點在於先證明 f {\displaystyle f} 的核的正交补是 H {\displaystyle H} 的一维子空间，然後取那个子空间中一个非零元素 z {\displaystyle z} ，設 v f = f ( z ) ⋅ z ‖ z ‖ 2 {\displaystyle v_{f}={\frac {f(z)\cdot z}{{\|z\|}^{2}}}} 。 这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 ⟨ ψ | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } 對每個任意態向量 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 都是連續的時候，可以視為每个左向量 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} （也就是表示躍遷到 ψ {\displaystyle \psi } 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 來同時代表同一個純態 ψ {\displaystyle \psi } ，因為根據以上的表現定理， ⟨ ψ | ϕ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle } 就是 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 和 | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } 的內積。 历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现 给定算子 A [ f ] {\displaystyle A[f]} ，（任何人）可以構造一個有界变差函数 α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} ，使得，對任何连续函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，（任何人）有 A [ f ] = ∫ 0 1 f ( x ) d α ( x ) {\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)} 。 Étant donnée l'opération A [ f ] {\displaystyle A[f]} , on peut déterminer la fonction à variation bornée α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} , telle que, quelle que soit la fonction continue f ( x ) {\displaystyle f(x)} , on ait A [ f ] = ∫ 0 1 f ( x ) d α ( x ) {\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)} . — Riesz, 1909 C c ( X ) {\displaystyle C_{c}(X)} 意為由所有支集為紧的连续函数 f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } 所構成的函数空间。 定理： X {\displaystyle X} 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 Λ : C c ( X ) → R + {\displaystyle \Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}} ，存在一個含有所有 X {\displaystyle X} 的博雷爾集的Σ-代数 M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} ，且存在唯一的测度 μ : M → R + ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}} 使得 Λ ( f ) = ∫ X f d μ {\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu } 且（以下的條件稱為正則的） 对所有 X {\displaystyle X} 的紧子集 K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} ， μ ( K ) ∈ R {\displaystyle \mu (K)\in \mathbb {R} } 。 若 E ∈ M {\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}} ，則 μ ( E ) = inf { μ ( U ) : E ⊆ U , U  is open } {\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}} 若 E ∈ M {\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}} 且 μ ( E ) ∈ R {\displaystyle \mu (E)\in \mathbb {R} } ，則 μ ( E ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ E , K  is compact } {\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}} 若 O {\displaystyle O} 為 X {\displaystyle X} 的開集，則 μ ( O ) = sup { μ ( K ) : K ⊆ O , K  is compact } {\displaystyle \mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}} 里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本： 設 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 為 X {\displaystyle X} 上所有在無窮遠處消失的连续函数 f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } 所構成的函数空间。 定理： X {\displaystyle X} 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 Λ : C 0 ( X ) → R {\displaystyle \Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R} } ，存在一個含有所有 X {\displaystyle X} 的博雷爾集的Σ-代数 M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} ，且存在唯一的正則测度 μ : M → R ∪ { − ∞ , ∞ } {\displaystyle \mu :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}} 使得 Λ ( f ) = ∫ X f d μ {\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu } 且 Λ {\displaystyle \Lambda } 的范数是 μ {\displaystyle \mu } 的全变差（英語：total variation），即 ‖ Λ ‖ = | μ | ( X ) . {\displaystyle \|\Lambda \|=|\mu |(X).} 最后， Λ {\displaystyle \Lambda } 是正的当且仅当测度 μ {\displaystyle \mu } 是非负的。 注： C c ( X ) {\displaystyle C_{c}(X)} 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 C c ( X ) {\displaystyle C_{c}(X)} 上一个无界正线性泛函不能延拓为 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。 M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416. F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411. F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977. J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187. P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950. P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems). D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation). Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6. 埃里克·韦斯坦因. Riesz Representation Theorem. 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