大O符号

大O符号（英語：Big O notation），又稱為漸進符號，是用于描述函数渐近行为的数学符号。更确切地说，它是用另一个（通常更简单的）函数来描述一个函数数量级的渐近上界。在数学中，它一般用来刻画被截断的无穷级数尤其是渐近级数的剩余项；在计算机科学中，它在分析算法复杂性的方面非常有用。 大O符号是由德国数论学家保罗·巴赫曼在其1892年的著作《解析数论》（Analytische Zahlentheorie）首先引入的。而这个记号则是在另一位德国数论学家愛德蒙·蘭道的著作中才推广的，因此它有时又称为蘭道符号（Landau symbols）。代表“order of ...”（……阶）的大O，最初是一个大写希腊字母“Ο”（omicron），现今用的是大写拉丁字母“O”。 大O符号在分析算法效率的时候非常有用。举个例子，解决一个规模为 n {\displaystyle n} 的问题所花费的时间（或者所需步骤的数目）可以表示為： T ( n ) = 4 n 2 − 2 n + 2 {\displaystyle T(n)=4n^{2}-2n+2} 。当 n {\displaystyle n} 增大时， n 2 {\displaystyle n^{2}} 项将开始占主导地位，而其他各项可以被忽略。举例说明：当 n = 500 {\displaystyle n=500} ， 4 n 2 {\displaystyle 4n^{2}} 项是 2 n {\displaystyle 2n} 项的1000倍大，因此在大多数场合下，省略后者对表达式的值的影响将是可以忽略不计的。 进一步看，如果我们与任一其他级的表达式比较， n 2 {\displaystyle n^{2}} 项的系数也是无关紧要的。例如：一个包含 n 3 {\displaystyle n^{3}} 或 n 2 {\displaystyle n^{2}} 项的表达式，即使 T ( n ) = 1 , 000 , 000 ⋅ n 2 {\displaystyle T(n)=1,000,000\cdot n^{2}} ，假定 U ( n ) = n 3 {\displaystyle U(n)=n^{3}} ，一旦 n {\displaystyle n} 增长到大于1,000,000，后者就会一直超越前者（ T ( 1 , 000 , 000 ) = 1 , 000 , 000 3 = U ( 1 , 000 , 000 ) {\displaystyle T(1,000,000)=1,000,000^{3}=U(1,000,000)} ）。 这样，針對第一個例子 T ( n ) = 4 n 2 − 2 n + 2 {\displaystyle T(n)=4n^{2}-2n+2} ，大O符号就记下剩余的部分，写作： T ( n ) ∈ O ( n 2 ) {\displaystyle T(n)\in \mathrm {O} (n^{2})} 或 T ( n ) = O ( n 2 ) {\displaystyle T(n)=\mathrm {O} (n^{2})} 并且我们就说该算法具有 n 2 {\displaystyle n^{2}} 阶（平方阶）的时间复杂度。 大O也可以用来描述数学函数估计中的误差项。例如 e x {\displaystyle e^{x}} 的泰勒展开： e x = 1 + x + x 2 2 + O ( x 3 ) {\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\hbox{O}}(x^{3})\qquad } 当 x → 0 {\displaystyle x\to 0} 时 这表示，如果 x {\displaystyle x} 足够接近于0，那么误差 e x − ( 1 + x + x 2 2 ) {\displaystyle e^{x}-\left(1+x+{\frac {x^{2}}{2}}\right)} 的绝对值小于 x 3 {\displaystyle x^{3}} 的某一常数倍。 注：泰勒展开的误差余项 r 3 ( x ) {\displaystyle r_{3}(x)} 是关于 x 3 {\displaystyle x^{3}} 一个高阶无穷小量，用小o来表示，即： r 3 ( x ) {\displaystyle r_{3}(x)} = o ( x 3 ) {\displaystyle o(x^{3})} ，也就是 lim x → 0 r 3 ( x ) x 3 = 0. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {r_{3}(x)}{x^{3}}}=0.} 給定兩個定義在實數某子集上的關於 x {\displaystyle x} 的函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 和 g ( x ) {\displaystyle g(x)} ，當 x {\displaystyle x} 趨近於無窮大時，存在正实數 M {\displaystyle M} ，使得對於所有充分大（英语：sufficiently large）的 x {\displaystyle x} ，都有 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的絕對值小於等於 M {\displaystyle M} 乘以 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 的絕對值，那麼我們就可以說，當 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } 時， f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} 也就是說，假如存在正實數 M {\displaystyle M} 和實數 x {\displaystyle x} 0，使得對於所有的 x ≥ x 0 {\displaystyle x\geq x_{0}} ，均有： | f ( x ) | ≤   M | g ( x ) | {\displaystyle |f(x)|\leq \ M|g(x)|} 成立，我們就可以認爲， f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} 。 在很多情況下，我們會省略“當 x {\displaystyle x} 趨近於無限大時”這個前提，而簡寫爲： f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} 此概念也可以用於描述函數 f {\displaystyle f} 在接近實數 a {\displaystyle a} 時的行爲，通常 a = 0 {\displaystyle a=0} 。當我們說，當 x → a {\displaystyle x\to a} 時，有 f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} ，也就相當於稱，當且僅當存在正實數 M {\displaystyle M} 和實數 δ {\displaystyle \delta } ，使得對於所有的 0 ≤ | x − a | ≤ δ {\displaystyle 0\leq |x-a|\leq \delta } ，均有 | f ( x ) | ≤   M | g ( x ) | {\displaystyle |f(x)|\leq \ M|g(x)|} 成立。 如果當 x {\displaystyle x} 和 a {\displaystyle a} 足夠接近時， g ( x ) {\displaystyle g(x)} 的值仍不爲0，這兩種定義就可以統一用上極限來表示： 當且僅當 lim sup x → a | f ( x ) g ( x ) | < ∞ {\displaystyle \limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty } 時，有 f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} 。 在具体的运用中，我们不一定使用大O符号的标准定义，而是使用几条简化规则来求出关于函数 f {\displaystyle f} 的大O表示： 假如 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是几项之和，那么只保留增长最快（通常是阶最高）的项，其他项省略。 假如 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是几项之积，那么常数（不取决于x的乘数）省略。 比如，使 f ( x ) = 6 x 4 − 2 x 3 + 5 {\displaystyle f(x)=6x^{4}-2x^{3}+5} ，我们想要用大O符号来简化这个函数，来描述 x {\displaystyle x} 接近无穷大时函数的增长情况。此函数由三项相加而成， 6 x 4 {\displaystyle 6x^{4}} ， − 2 x 3 {\displaystyle -2x^{3}} 和 5 {\displaystyle 5} 。由于增长最快的是 6 x 4 {\displaystyle 6x^{4}} 这一项（因为阶最高，在x接近无穷大时，其对和的影响会大大超过其余两项），应用第一条规则，保留它而省略其他两项。对于 6 x 4 {\displaystyle 6x^{4}} ，由两项相乘而得， 6 {\displaystyle 6} 和 x 4 {\displaystyle x^{4}} ；应用第二条规则， 6 {\displaystyle 6} 是无关x的常数，所以省略。最后结果为 x 4 {\displaystyle x^{4}} ，也即 g ( x ) = x 4 {\displaystyle g(x)=x^{4}} 。故有： 由 f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=\mathrm {O} (g(x))} ，可得： 6 x 4 − 2 x 3 + 5 = O ( x 4 ) {\displaystyle 6x^{4}-2x^{3}+5=O(x^{4})} 我们可以将上式扩展为标准定义形式： 对任意 x ≥ x 0 {\displaystyle x\geq x_{0}} ，均有 | f ( x ) | ≤ M | g ( x ) | {\displaystyle |f(x)|\leq M|g(x)|} ，也就是 6 x 4 − 2 x 3 + 5 ≤ M | x 4 | {\displaystyle 6x^{4}-2x^{3}+5\leq M|x^{4}|} 可以（粗略）求出 M {\displaystyle M} 和 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的值来验证。使 x 0 = 1 {\displaystyle x_{0}=1} ： | 6 x 4 − 2 x 3 + 5 | ≤ 6 x 4 + | 2 x 3 | + 5 ≤ 6 x 4 + 2 x 4 + 5 x 4 ≤ 13 x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}|6x^{4}-2x^{3}+5|&\leq 6x^{4}+|2x^{3}|+5\\&\leq 6x^{4}+2x^{4}+5x^{4}\\&\leq 13x^{4}\end{aligned}}} 故 M {\displaystyle M} 可以为13。故两者都存在。 下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于 n {\displaystyle n} 趋近于无穷大的情况下，增长得慢的函数列在上面。 c {\displaystyle c} 是一个任意常数。 大O是最经常使用的比较函数的渐近符号。 大O符号经常被误用：有的作者可能会使用大O符号表达大Θ符号的含义。因此在看到大O符号时应首先确定其是否为误用。 O（拉丁字母） 小o符號 大Ω符号 大Θ符号 书籍 严蔚敏、吴伟民：《数据结构：C语言版》. 清华大学出版社，1996. ISBN 7-302-02368-9. 1.4节 算法和算法分析，pp. 14-17. 朱青：《計算機算法與程序設計》. 清华大学出版社，2009.10。ISBN 978-7-302-20267-7. 1.4节 算法的複雜性分析，pp. 16-17. Hardy, G. H. Orders of Infinity: The 'Infinitärcalcül' of Paul du Bois-Reymond. Cambridge University Press. 1910.  Knuth, Donald. 1.2.11: Asymptotic Representations. Fundamental Algorithms. The Art of Computer Programming 1 3rd. Addison–Wesley. 1997. ISBN 0-201-89683-4.  Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford. 3.1: Asymptotic notation. Introduction to Algorithms 2nd. MIT Press and McGraw–Hill. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. 1997: 226–228. ISBN 0-534-94728-X.  Avigad, Jeremy; Donnelly, Kevin. Formalizing O notation in Isabelle/HOL (PDF). International Joint Conference on Automated Reasoning. 2004. doi:10.1007/978-3-540-25984-8_27.  Black, Paul E. Black, Paul E. , 编. big-O notation. Dictionary of Algorithms and Data Structures. 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