欧拉方程 (流体动力学)

在流體動力學中，歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程，以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆，對應零黏性及無熱傳導項的纳维-斯托克斯方程。歷史上，只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而，流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”。 跟納維－斯托克斯方程一樣，歐拉方程一般有兩種寫法：“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋，即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律；而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。 歐拉方程可被用於可壓縮性流體，同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程，或假設流速的散度為零。 本條目假設經典力學適用；當可壓縮流的速度接近光速時，詳見相對論性歐拉方程。 第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》（Principes généraux du mouvement des fluides），發表於1757年，刊載於《柏林科學院論文集》（Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin）。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時，方程組只有動量方程及連續性方程，因此只能完整描述非壓縮性流體；在描述可壓縮性流體時，會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程，第三條方程後來被稱為絕熱條件。 在十九世紀的後半期，科學家們發現，與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守，而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守，因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後，能量密度、質量密度及應力這三個概念，被統一成應力-能量張量這一個概念；而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量。 以下是用微分形式寫成的歐拉方程： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 ∂ ρ u ∂ t + ∇ ⋅ ( u ⊗ ( ρ u ) ) + ∇ p = 0 ∂ E ∂ t + ∇ ⋅ ( u ( E + p ) ) = 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}} 其中 ρ為流體的質量密度； u 為流體速度向量，分量為u、v及w； E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )為每一單位容量所含的總能量，其中e為流體每一單位容量所含的內能； p為壓力； ⊗ {\displaystyle \otimes } 代表張量積。 第二條方程包含了一并矢積的散度，用下標標記（每一個j代表從1至3）表示會較易明白： ∂ ( ρ u j ) ∂ t + ∑ i = 1 3 ∂ ( ρ u i u j ) ∂ x i + ∂ p ∂ x j = 0 , {\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,} 其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量：( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。 注意以上方程是用守恆形式的，而守恆形式強調的是方程的物理起因（因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便）。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示： ρ ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) u + ∇ p = 0 {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0} 但是在這個形式上，會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。 以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程： ∂ m ∂ t + ∂ f x ∂ x + ∂ f y ∂ y + ∂ f z ∂ z = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,} 其中 m = ( ρ ρ u ρ v ρ w E ) ; {\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};} f x = ( ρ u p + ρ u 2 ρ u v ρ u w u ( E + p ) ) ; f y = ( ρ v ρ u v p + ρ v 2 ρ v w v ( E + p ) ) ; f z = ( ρ w ρ u w ρ v w p + ρ w 2 w ( E + p ) ) . {\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.} 在這個形式下，不難看出fx、fy及fz是通量。 以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程，六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程；最常用的是理想氣體定律（即p = ρ (γ−1) e，其中ρ為密度，γ為絕熱指數，e為內能）。 注意能量方程的奇特形式；見藍金-雨果尼厄方程。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中，這些附加項的總和為零。 取流線上歐拉方程的積分，假設密度不變，及狀態方程具有足夠的剛性，可得有名的伯努利定律。 在構建數值解，例如求雷曼問題的近似解的時候，展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程，展開其通量可得非守恆形式如下： ∂ m ∂ t + A x ∂ m ∂ x + A y ∂ m ∂ y + A z ∂ m ∂ z = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.} 其中Ax、Ay及Az為通量雅可比矩陣，各矩陣為： A x = ∂ f x ( s ) ∂ s , A y = ∂ f y ( s ) ∂ s , A z = ∂ f z ( s ) ∂ s . {\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.} 上式中這些通量雅可比矩陣Ax、Ay及Az，還是狀態向量m的函數，因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣，都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內，這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。 將理想氣體定律用作狀態方程，可推導出完整的雅可比矩陣形式，矩陣如下： 總焓H為： H = E ρ + p ρ , {\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},} 及聲速a為： a = γ p ρ = ( γ − 1 ) [ H − 1 2 ( u 2 + v 2 + w 2 ) ] . {\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.} 將含通量雅可比矩陣的非守恆形式，在狀態m = m0的周圍線性化後，可得線性化歐拉方程如下： ∂ m ∂ t + A x , 0 ∂ m ∂ x + A y , 0 ∂ m ∂ y + A z , 0 ∂ m ∂ z = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,} 其中Ax,0 、Ay,0及Az,0分別為Ax、Ay及Az於某參考狀態m = m0的值。 如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話，歐拉方程可被變換成非耦合波方程。舉例說，考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維（1-D）歐拉方程： ∂ m ∂ t + A x , 0 ∂ m ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.} 矩陣Ax,0可被對角化，即可將其分解成： A x , 0 = P Λ P − 1 , {\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},} P = [ r 1 , r 2 , r 3 ] = [ 1 1 1 u − a u u + a H − u a 1 2 u 2 H + u a ] , {\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],} Λ = [ λ 1 0 0 0 λ 2 0 0 0 λ 3 ] = [ u − a 0 0 0 u 0 0 0 u + a ] . {\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.} 上式中，r1、r2及r3為矩陣Ax,0的右特徵向量（若 A x R = λ R x R ,   {\displaystyle Ax_{R}=\lambda _{R}x_{R},\ } ，則x_R為右特徵向量），而λ1、λ2及λ3則為對應的特徵值。 設特徵變量為： w = P − 1 m , {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,} 由於Ax,0不變，原來的一維通量雅可比矩陣方程，乘上P−1後可得： ∂ w ∂ t + Λ ∂ w ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0} 經過這樣的處理後，方程實際上已經被非耦合化，而且可被視作三條波方程，其中特徵值為波速。變量wi為雷曼不變量，或在一般的雙曲系統中為特徵變量。 歐拉方程為非線性雙曲方程，而它們的通解為波。与海浪一樣，由歐拉方程所描述的波碎掉後，所謂的衝擊波就會形成；這是一種非線性效應，所以其解為多值函數（即函數內的某自變量會產生多個因變量）。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰，如果要從方程上取得更多資訊，就必須回到更基礎的積分形式。然後，在構建弱解時，需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件，在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”，上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性；在現實的流動中，黏性會把這些不連續點平滑化。 許多領域都有研究衝擊波的傳播，尤其是出現流動處於足夠高速的領域，例如空氣動力學及火箭推進。 在某些問題中，特別是分析導管中的可壓縮流，或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候，一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說，解歐拉方程會用到黎曼的特徵線法。首先需要找出特徵線，這條曲線位於兩個獨立變量（即x及t）所構成的平面上，在這條線上偏微分方程（PDE）會退化成常微分方程（ODE）。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。 Anderson, John David. Computational fluid dynamics: the basics with applications. New York, NY: McGraw-Hill. 2010 [2022-07-21]. ISBN 978-0-07-001685-9. OCLC 711810200. （原始内容存档于2022-07-21） （英语）.  Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-06-18, 44 (4). ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0 （英语）.  見Toro (1999) Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.  Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055.  Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.