极限点

极限点（英語：Limit point）在数学中是指可以被集合S中的点随意逼近的點。 这个概念有益的推广了极限的概念，并且是諸如闭集和拓扑閉包等概念的基础。实际上，一个集合是闭合的当且仅当他包含所有它的极限点，而拓扑闭包运算可以被认为是通过增加它的极限点来扩充一个集合。 定義 —  ( X , τ ) {\displaystyle (X,\,\tau )} 为拓扑空间 ， A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 為 X {\displaystyle X} 的子集；若對 X {\displaystyle X} 的某點 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，所有包含 x {\displaystyle x} 的开集也有 A {\displaystyle A} 內的非 x {\displaystyle x} 点，即： ( x ∈ X ) ∧ ( ∀ O ∈ τ ) { ( x ∈ O ) ⇒ ( ∃ a ∈ O ) [ ( a ∈ A ) ∧ ( a ≠ x ) ] } {\displaystyle (x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}} 則稱 x {\displaystyle x} 為 A {\displaystyle A} 的极限点（limit point）。由 A {\displaystyle A} 的所有極限點所組成的集合稱為 A {\displaystyle A} 的導集（derived set），通常記為 A ′ {\displaystyle A^{\prime }} ，換句話說： A ′ := { x | ( x ∈ X ) ∧ ( ∀ O ∈ τ ) { ( x ∈ O ) ⇒ ( ∃ a ∈ O ) [ ( a ∈ A ) ∧ ( a ≠ x ) ] } } {\displaystyle A^{\prime }:={\bigg \{}x\,{\bigg |}\,(x\in X)\wedge (\forall O\in \tau )\{(x\in O)\Rightarrow (\exists a\in O)[\,(a\in A)\wedge (a\neq x)\,]\}{\bigg \}}} 以上的定義來自於「總是可以找到一組 A {\displaystyle A} 內的點去逼近 x {\displaystyle x} 」的粗略想法，但一般的拓撲空間的不一定有像距離這樣的工具來比較「開集的大小」，若想以極限點嚴謹地描述「可沿著 A {\displaystyle A} 去逼近點 x {\displaystyle x} 」的話，還需要對 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\,\tau )} 做額外的假設。 定義 —  ( X , τ ) {\displaystyle (X,\,\tau )} 为拓扑空间 ， A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 為 X {\displaystyle X} 的子集： 若包含 x {\displaystyle x} 的所有开集都包含可數个 A {\displaystyle A} 的点，则稱 x {\displaystyle x} 是 A {\displaystyle A} 的ω‐会聚点（ω‐accumulation point）。 若包含 x {\displaystyle x} 的所有开集都包含不可數个 A {\displaystyle A} 的点，则稱 x {\displaystyle x} 是 A {\displaystyle A} 的缩合点（condensation point）。 度量空间 M {\displaystyle M} 自然的帶有由度量 d : M × M → R + {\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} ^{+}} 生成的拓撲 τ d {\displaystyle \tau _{d}} ；更仔細地說，是由以開球為元素的拓撲基所生成的拓撲，也就是 τ d {\displaystyle \tau _{d}} 裡的開集都是某群開球的聯集。這樣對開球定義極限點的話，就會等價於對 τ d {\displaystyle \tau _{d}} 定義（因為屬於某個開球等價於屬於某開集），換句話說，對度量空間可以作如下定義： 定義 —  ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 是度量空间 ，且 A ⊆ M {\displaystyle A\subseteq M} ；若 x ∈ M {\displaystyle x\in M} ，且對所有 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 a ∈ A {\displaystyle a\in A} 使得  0 < d ( x , a ) < ϵ {\displaystyle 0<d(x,\,a)<\epsilon } ，也就是 ( x ∈ M ) ∧ ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ a ∈ A ) [ 0 < d ( x , a ) < ϵ ] {\displaystyle (x\in M)\wedge (\forall \epsilon >0)(\exists a\in A)[\,0<d(x,\,a)<\epsilon \,]} 這樣稱 x {\displaystyle x}  是 A {\displaystyle A}   的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point） 直觀上可理解為「可以用 A {\displaystyle A} 裡的點（以度量 d {\displaystyle d}  ）無限制地逼近 x {\displaystyle x} 」。應用上， x {\displaystyle x} 為定義域的聚集點也是函數極限能在 x {\displaystyle x} 上有定義的前提條件。 在度量空间中，ω‐会聚点与普通的极限点定义等价 关于极限点的性质： x {\displaystyle x} 是 S {\displaystyle S} 的极限点，当且仅当它属于 S {\displaystyle S} \ { x {\displaystyle x} }的闭包。 证明：根据闭包定义，某点属于某集合的闭包，当且仅当该点的所有邻域都和该集合相交。则有：x是 S {\displaystyle S} 的极限点，当且仅当所有 x {\displaystyle x} 的邻域都包含一个非 x {\displaystyle x} 的点属于S，当且仅当所有 x {\displaystyle x} 的邻域含有一个点属于 S {\displaystyle S} \ {x}，当且仅当 x {\displaystyle x} 属于 S   ″ x ″ {\displaystyle S\ {''x''}} 的闭包。 S {\displaystyle S} 的闭包具有下列性质： S {\displaystyle S} 的闭包等于 S {\displaystyle S} 和其導集的并集。 证明：（从左到右）设 x {\displaystyle x} 属于 S {\displaystyle S} 的闭包。若 x {\displaystyle x} 属于S，命题成立。若 x ∉ S {\displaystyle x\notin S} ，则所有 x {\displaystyle x} 的邻域都含有一个非 x {\displaystyle x} 的点属于 S {\displaystyle S} ；也就是说，x是 S {\displaystyle S} 的极限点， x ∈ S ′ {\displaystyle x\in S'} 。（从右到左）设 x {\displaystyle x} 属于S，则明显地所有 x {\displaystyle x} 的邻域和 S {\displaystyle S} 相交，所以 x {\displaystyle x} 属于 S {\displaystyle S} 的闭包。若 x {\displaystyle x} 属于L(S)，则所有 x {\displaystyle x} 的邻域都含有一个非 x {\displaystyle x} 的点属于S，所以 x {\displaystyle x} 也属于 S {\displaystyle S} 的闭包。得证。 上述结论的推论给出了闭集的性质：集合 S {\displaystyle S} 是闭集，当且仅当它含有所有它的极限点。 证明1：S是闭集，当且仅当 S {\displaystyle S} 等于其闭包，当且仅当 S {\displaystyle S} = S {\displaystyle S} ∪ L(S)，当且仅当L(S)包含于S。 证明2：设 S {\displaystyle S} 是闭集， x {\displaystyle x} 是 S {\displaystyle S} 的极限点。则 x {\displaystyle x} 必须属于S，否则 S {\displaystyle S} 的补集为 x {\displaystyle x} 的开邻域，和 S {\displaystyle S} 不相交。相反，设 S {\displaystyle S} 包含所有它的极限点，需要证明 S {\displaystyle S} 的补集是开集。设 x {\displaystyle x} 属于 S {\displaystyle S} 的补集。根据假设，x不是极限点，则存在 x {\displaystyle x} 的开邻域U和 S {\displaystyle S} 不相交，则U在 S {\displaystyle S} 的补集中，则 S {\displaystyle S} 的补集是开集。 孤点不是任何集合的极限点。 证明：若 x {\displaystyle x} 是孤点，则{x}是只含有 x {\displaystyle x} 的 x {\displaystyle x} 的邻域。 空间 x {\displaystyle x} 是离散空间，当且仅当 x {\displaystyle x} 的子集都没有极限点。 证明：若 x {\displaystyle x} 是离散空间，则所有点都是孤点，不能是任何集合的极限点。相反，若 x {\displaystyle x} 不是离散空间，则单元素集合{x}不是开集。那么，所有{x}的邻域都含有点y ≠ x，则 x {\displaystyle x} 是 x {\displaystyle x} 的极限点。 若空间 x {\displaystyle x} 有密着拓扑，且 S {\displaystyle S} 是 x {\displaystyle x} 的多于一个元素的子集，则 x {\displaystyle x} 的所有元素都是 S {\displaystyle S} 的极限点。若 S {\displaystyle S} 是单元素集合，则所有 x {\displaystyle x} \ S {\displaystyle S} 的点仍然是 S {\displaystyle S} 的极限点。 说明：只要 S {\displaystyle S} \ {x}非空，它的闭包就是X；只有当 S {\displaystyle S} 是空集或 x {\displaystyle x} 是 S {\displaystyle S} 的唯一元素时，它的闭包才是空集。 X {\displaystyle X} 為T1空間，則 x {\displaystyle x} 為 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 的極限點等價於 x {\displaystyle x} 的每個鄰域皆包含無限多個 A {\displaystyle A} 的點。 不包含极限点本身 非正式的说法是在拓扑空间 X 中的一个集合 S 的极限点x可以被除x以外的集合内任意点逼近 一个有关的概念是序列的聚集点（cluster point）或会聚点（accumulation point）。 在定义中使用“开邻域”的形式来证明一个点是极限点，使用“一般邻域”的形式来得到一个已知极限点的性质，這樣通常會比較輕鬆。 limit point. PlanetMath.