有序向量空间

在数学中，有序向量空间（ordered vector space）是带有偏序的向量空间，并且偏序与向量空间的运算是相容的。又称偏序向量空间（partially ordered vector space）。 给定实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的向量空间 V {\displaystyle V} 以及集合 V {\displaystyle V} 上的预序 ≤ {\displaystyle \leq } ，如果对 V {\displaystyle V} 中任意的 x , y , z {\displaystyle x,y,z} 以及非负实数 λ {\displaystyle \lambda } ，以下公理成立 x ≤ y ⟹ x + z ≤ y + z {\displaystyle x\leq y\implies x+z\leq y+z} x ≤ y ⟹ λ x ≤ λ y {\displaystyle x\leq y\implies \lambda x\leq \lambda y} 则有序对 ( V , ≤ ) {\displaystyle (V,\leq )} 称为预序向量空间（preordered vector space）。若 ≤ {\displaystyle \leq } 还是偏序，则 ( V , ≤ ) {\displaystyle (V,\leq )} 称为有序向量空间。这两条公理说明，平移与正的位似变换是序结构的自同构，并且映射 x ↦ − x {\displaystyle x\mapsto -x} 是到对偶序结构的同构。有序向量空间关于其加法运算构成有序群。 给定预序向量空间 V {\displaystyle V} ，子集 V + = { x ∈ V | x ≥ 0 } {\displaystyle V^{+}=\{x\in V|x\geq 0\}} 是一个凸锥，称为 V {\displaystyle V} 的正锥（positive cone）。若 V {\displaystyle V} 是有序向量空间，则 V + ∩ ( − V + ) = { 0 } {\displaystyle V^{+}\cap (-V^{+})=\{0\}} ，因此 V + {\displaystyle V^{+}} 还是真锥。 若 V {\displaystyle V} 是实向量空间， C {\displaystyle C} 是 V {\displaystyle V} 的真凸锥，则存在唯一的偏序使得 V {\displaystyle V} 成为有序向量空间并且 V + = C {\displaystyle V^{+}=C} 。这个偏序由以下方式给出 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 当且仅当 y − x ∈ C {\displaystyle y-x\in C} 因此，向量空间 V {\displaystyle V} 上（与向量空间结构相容）的偏序与 V {\displaystyle V} 的真凸锥之间存在一一对应。 实数关于通常的顺序构成有序向量空间。 以下关系都是 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上的偏序，且按照从弱到强的顺序排列。 字典序： ( a , b ) ≤ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)} 当且仅当 a < c {\displaystyle a<c} 或 ( a = c , b ≤ d ) {\displaystyle (a=c,b\leq d)} 。这是一个全序。正锥由条件 x > 0 {\displaystyle x>0} 或 ( x = 0 , y ≥ 0 ) {\displaystyle (x=0,y\geq 0)} 给出。用极坐标表示，正锥就是由角度满足 − π 2 < θ ≤ π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}}} 的点再加上原点组成。 ( a , b ) ≤ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)} 当且仅当 a ≤ c {\displaystyle a\leq c} 且 b ≤ d {\displaystyle b\leq d} （这实际上就是两个偏序集 ( R , ≤ ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )} 的乘积序）。这是一个偏序。正锥由 x ≥ 0 , y ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0,y\geq 0} 给出。在极坐标中就是 0 ≤ θ ≤ π 2 {\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}} ，再加上原点。 ( a , b ) ≤ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\leq (c,d)} 当且仅当 ( a < c , b < d ) {\displaystyle (a<c,b<d)} 或 ( a = c , b = d ) {\displaystyle (a=c,b=d)} ，也就是两个 ( R , < ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,<)} 的直积的反射闭包。正锥由 ( x > 0 , y > 0 ) {\displaystyle (x>0,y>0)} 或 x = y = 0 {\displaystyle x=y=0} 给出。在极坐标系中，就是 0 < θ < π 2 {\displaystyle 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}} ，再加上原点。 只有第二个序是闭集（作为 R 2 × R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}} 的子集）。 仿照 n = 2 {\displaystyle n=2} 的情况，可以在 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上定义类似的偏序。例如，仿照上面提到的第二个序，可以定义： x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 当且仅当 x i ≤ y i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}\,(i=1,\cdots ,n)} 里斯空间是有序向量空间，并且还是格。 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 上的连续函数组成的空间， f ≤ g {\displaystyle f\leq g} 当且仅当对任意 x ∈ [ 0 , 1 ] , f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle x\in [0,1],\,f(x)\leq g(x)} 。 偏序向量空间中的区间是凸集。设 [ a , b ] = { x | a ≤ x ≤ b } {\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}} ，由上面的两个公理可以得出：如果 x , y ∈ [ a , b ] , λ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle x,y\in [a,b],\lambda \in (0,1)} ，则 λ x + ( 1 − λ ) y ∈ [ a , b ] {\displaystyle \lambda x+(1-\lambda )y\in [a,b]} 。 偏序空间 里斯空间 尼古拉·布尔巴基; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces; ISBN 0-387-13627-4. Schaefer, Helmut H; Wolff, M.P. Topological vector spaces, 2nd ed. New York: Springer. 1999: 204–205. ISBN 0-387-98726-6.  Aliprantis, Charalambos D; Burkinshaw, Owen. Locally solid Riesz spaces with applications to economics Second. Providence, R. I.: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3408-8.