广义逆阵

广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣 A ∈ R n × m {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}} 及另一矩陣 A g ∈ R m × n {\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n}} ，若 A g {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 滿足 A A g A = A {\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A} ，則 A g {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 即為 A {\displaystyle A} 的广义逆阵。 广义逆也稱為偽逆（pseudoinverse），有些时候，偽逆特指摩尔－彭若斯广义逆。 建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵，若一矩陣存在逆矩阵，逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。 考慮以下的線性方程 A x = y {\displaystyle Ax=y} 其中 A {\displaystyle A} 為 n × m {\displaystyle n\times m} 的矩陣，而 y ∈ R ( A ) {\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A)} ， A {\displaystyle A} 的列空間。 若矩陣 A {\displaystyle A} 為可逆矩陣，則 x = A − 1 y {\displaystyle x=A^{-1}y} 即為方程式的解。而若矩陣 A {\displaystyle A} 為可逆矩陣 A A − 1 A = A {\displaystyle AA^{-1}A=A} 假設矩陣 A {\displaystyle A} 不可逆或是 n ≠ m {\displaystyle n\neq m} ，需要一個適合的 m × n {\displaystyle m\times n} 矩陣 G {\displaystyle G} 使得下式成立 A G y = y {\displaystyle AGy=y} 因此 G y {\displaystyle Gy} 為線性系統 A x = y {\displaystyle Ax=y} 的解。 而同樣的， m × n {\displaystyle m\times n} 階的矩陣 G {\displaystyle G} 也會使下式成立 A G A = A {\displaystyle AGA=A} 因此可以用以下的方式定義广义逆阵：假設一個 n × m {\displaystyle n\times m} 的矩陣 A {\displaystyle A} ， m × n {\displaystyle m\times n} 的矩陣 G {\displaystyle G} 若可以使下式成立，矩陣 G {\displaystyle G} 即為 A {\displaystyle A} 的广义逆阵 A G A = A {\displaystyle AGA=A} 以下是一種產生廣義逆陣的方式： 若 A = B C {\displaystyle A=BC} 為其秩分解（英语：rank factorization），則 G = C r − B l − {\displaystyle G=C_{r}^{-}B_{l}^{-}} 為 A {\displaystyle A} 的廣義逆陣，其中 C r − {\displaystyle C_{r}^{-}} 為 C {\displaystyle C} 的右逆矩陣，而 B l − {\displaystyle B_{l}^{-}} 為 B {\displaystyle B} 的左逆矩陣。 若 A = P [ I r 0 0 0 ] Q {\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q} ，其中 P {\displaystyle P} 及 Q {\displaystyle Q} 為可逆矩陣，則 G = Q − 1 [ I r U W V ] P − 1 {\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}} 是 A {\displaystyle A} 的廣義逆陣，其中 U , V {\displaystyle U,V} 及 W {\displaystyle W} 均為任意矩陣。 令 A {\displaystyle A} 為秩為 r {\displaystyle r} 的矩陣，在不失一般性的情形下，令 A = [ B C D E ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}}} ，其中 B r × r {\displaystyle B_{r\times r}} 為 A {\displaystyle A} 的可逆子矩陣，則 G = [ B − 1 0 0 0 ] {\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}} 為 A {\displaystyle A} 的廣義逆陣。 彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵：針對 A ∈ R n × m {\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times m}} 及 A g ∈ R m × n , {\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{m\times n},} 若 A g {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 滿足條件(1.)，即為 A {\displaystyle A} 的广义逆阵，若滿足條件(1.)和(2.)，則為 A {\displaystyle A} 的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為 A {\displaystyle A} 的摩尔－彭若斯广义逆。 以下是一些其他種類的广义逆阵 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是 n × m {\displaystyle n\times m} 且為 满秩，若 n > m {\displaystyle n>m} 則用左逆矩陣，若 n < m {\displaystyle n<m} 則用右逆矩陣。 左逆矩陣為 A l e f t − 1 = ( A T A ) − 1 A T {\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}=\left(A^{\mathrm {T} }A\right)^{-1}A^{\mathrm {T} }} ，也就是 A l e f t − 1 A = I m {\displaystyle A_{\mathrm {left} }^{-1}A=I_{m}} ，其中 I m {\displaystyle I_{m}} 為 m × m {\displaystyle m\times m} 單位矩陣。 右逆矩陣為 A r i g h t − 1 = A T ( A A T ) − 1 {\displaystyle A_{\mathrm {right} }^{-1}=A^{\mathrm {T} }\left(AA^{\mathrm {T} }\right)^{-1}} ，也就是 A A r i g h t − 1 = I n {\displaystyle AA_{\mathrm {right} }^{-1}=I_{n}} ，其中 I n {\displaystyle I_{n}} 為 n × n {\displaystyle n\times n} 單位矩陣。 德拉任逆矩陣（英语：Drazin inverse） 博特-達芬逆矩陣（英语：Bott–Duffin inverse） 摩尔－彭若斯广义逆 任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下n × m的線性系統有解存在 A x = b {\displaystyle Ax=b} 其中向量 x {\displaystyle x} 為未知數，向量b為常數，以下是所有的解 x = A g b + [ I − A g A ] w {\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+[I-A^{\mathrm {g} }A]w} 其中參數w為任意矩陣，而 A g {\displaystyle A^{\mathrm {g} }} 為 A {\displaystyle A} 的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若 A g b {\displaystyle A^{\mathrm {g} }b} 為其中一個解，也就是若且唯若 A A g b = b {\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b} 。 Generalized Inverses: How to Invert a Non-Invertible Matrix (PDF). 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