动能

动能 （英語：Kinetic energy）是物质运动时所得到的能量。它通常被定义成使某物体从静止状态至运动状态所做的功。由于运动是相对的，动能也是相对于某参照系而言。同一物体在不同的参照系会有不同的速率，也就是有不同的动能。动能的国际单位是焦耳（J），以基本单位表示是千克米平方每秒平方（kg·m2·s-2）。一个物体的动能只有在速率改变时才会改变。 在经典力学，一个质点（一个很小的物体，它的大小基本可以忽略）或者一个没有自转的刚体的动能、速率与质量的关系是： E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， m {\displaystyle m} 代表质量， v {\displaystyle v} 代表速率。 而当一个物体的质量不变，一个物体平移的动能、速率与质量的关系亦同上。 一个物体的动能与動量的关系为： E k = p 2 2 m {\displaystyle E_{k}={\frac {p^{2}}{2m}}} 其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， p {\displaystyle p} 代表动量的数值及 m {\displaystyle m} 代表质量。 我们可选择任意一个惯性参考系来考虑动能。一个物体原来静止，在受到作用力之后便加速。它所得到的动能是总共的作用力对它所做的功。 W = ∫ F → ⋅ d s → {\displaystyle W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}} 其中 W {\displaystyle W} 代表功， F → {\displaystyle {\vec {F}}} 代表物体所受到的总共的作用力， s → {\displaystyle {\vec {s}}} 代表物体的位移。 根据牛顿第二定律， F → = d p → d t {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}} 其中 F → {\displaystyle {\vec {F}}} 代表力， p → {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量， t {\displaystyle t} 代表时间。 动量、速度与质量的关系为： p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} 其中 p → {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量， m {\displaystyle m} 代表质量， v → {\displaystyle {\vec {v}}} 代表速率。 在牛顿力学中，一个物体的质量不随速率的改变而改变。 W = ∫ d p → d t ⋅ d s → = ∫ m d v → d t ⋅ d s → = ∫ m v → ⋅ d v → = 1 2 ∫ m d ( v → ⋅ v → ) = 1 2 m v 2 + C 0 {\displaystyle W=\int {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}\cdot d{\vec {s}}=\int m{\vec {v}}\cdot d{\vec {v}}={\frac {1}{2}}\int md({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})={\frac {1}{2}}mv^{2}+C_{0}} 其中 W {\displaystyle W} 代表功， p → {\displaystyle {\vec {p}}} 代表动量， t {\displaystyle t} 代表时间， v → {\displaystyle {\vec {v}}} 代表速度， v {\displaystyle v} 代表速率， m {\displaystyle m} 代表质量， C 0 {\displaystyle C_{0}} 代表不定常数。当物体的速率为零时，其动能亦为零。因此， E k = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}} 其中 E k {\displaystyle E_{k}} 代表动能， m {\displaystyle m} 代表质量及 v {\displaystyle v} 代表速率。 如果一个物体自转，它便有自转动能。自转动能是它的每一质点的平移动能的和。 E r = 1 2 ∫ v 2 d m = 1 2 ∫ r 2 ω 2 d m = 1 2 ω 2 ∫ r 2 d m = 1 2 I ω 2 {\displaystyle E_{r}={\frac {1}{2}}\int v^{2}dm={\frac {1}{2}}\int r^{2}\omega ^{2}dm={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int r^{2}dm={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}} 其中 E r {\displaystyle E_{r}} 代表自转动能， v {\displaystyle v} 代表速率， ω {\displaystyle \omega } 代表角速度， m {\displaystyle m} 代表质量及 r {\displaystyle r} 代表质点到旋转轴间的距离。 在狭义相对论中，我们必须改变线性动量的表达式。 使用 m {\displaystyle m} 表示静止质量， v {\displaystyle \mathbf {v} } 和 v {\displaystyle v} 分别表示物体的速度和速率， 而 c {\displaystyle c} 表示真空中的光速，我们假设线性动量 p = m γ v {\displaystyle \mathbf {p} =m\gamma \mathbf {v} } ， 其中 γ = 1 / 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 分部积分得到 E k = ∫ v ⋅ d p = ∫ v ⋅ d ( m γ v ) = m γ v ⋅ v − ∫ m γ v ⋅ d v = m γ v 2 − m 2 ∫ γ d ( v 2 ) {\displaystyle E_{\text{k}}=\int \mathbf {v} \cdot d\mathbf {p} =\int \mathbf {v} \cdot d(m\gamma \mathbf {v} )=m\gamma \mathbf {v} \cdot \mathbf {v} -\int m\gamma \mathbf {v} \cdot d\mathbf {v} =m\gamma v^{2}-{\frac {m}{2}}\int \gamma d(v^{2})} 回忆 γ = ( 1 − v 2 / c 2 ) − 1 / 2 {\displaystyle \gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\!} ，我们得到： E k = m γ v 2 − − m c 2 2 ∫ γ d ( 1 − v 2 / c 2 ) = m γ v 2 + m c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 / 2 − E 0 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma v^{2}-{\frac {-mc^{2}}{2}}\int \gamma d(1-v^{2}/c^{2})\\&=m\gamma v^{2}+mc^{2}(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}-E_{0}\end{aligned}}} 其中 E 0 {\displaystyle E_{0}} 作为积分常数。 于是: E k = m γ ( v 2 + c 2 ( 1 − v 2 / c 2 ) ) − E 0 = m γ ( v 2 + c 2 − v 2 ) − E 0 = m γ c 2 − E 0 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&=m\gamma (v^{2}+c^{2}(1-v^{2}/c^{2}))-E_{0}\\&=m\gamma (v^{2}+c^{2}-v^{2})-E_{0}\\&=m\gamma c^{2}-E_{0}\end{aligned}}} 通过观察 v = 0 ,   γ = 1 {\displaystyle \mathbf {v} =0,\ \gamma =1\!} 且 E k = 0 {\displaystyle E_{\text{k}}=0\!} ，得到积分常数 E 0 {\displaystyle E_{0}} 应为 E 0 = m c 2 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}\,} 并给出通常的公式 E k = m γ c 2 − m c 2 = m c 2 1 − v 2 / c 2 − m c 2 {\displaystyle E_{\text{k}}=m\gamma c^{2}-mc^{2}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}} lim v → c E k = ∞ {\displaystyle \lim _{v\rightarrow c}E_{\text{k}}=\infty } 當速度趋向光速，動能趋向無限，因此限制了速度的上限為光速，體現了相對論的自恰性。 利用泰勒公式： E k = m c 2 1 − ( v / c ) 2 − m c 2 = m c 2 ( 1 + 1 2 v 2 / c 2 + 3 8 v 4 / c 4 + ⋯ ) − m c 2 = m c 2 + m v 2 2 + 3 8 m v 4 / c 2 + ⋯ − m c 2 ≈ 1 2 m v 2 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{k}}&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}\\&=mc^{2}(1+{\frac {1}{2}}v^{2}/c^{2}+{\frac {3}{8}}v^{4}/c^{4}+\cdots )-mc^{2}\\&=mc^{2}+{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}{mv^{4}/c^{2}}+\cdots -mc^{2}\\&\approx {\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}} 低速情況下，相對論中的表達式趨向於經典力學中的表達式。 势能（又称“位能”） 机械能 能量 相对论 牛顿运动定律 赵志敏. 高中物理竞赛教程.基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月: P139. ISBN 978-7-309-08251-7.