反正割

反正割（英語：arcsecant、記為： arcsec {\displaystyle \operatorname {arcsec} } 或 sec − 1 {\displaystyle \sec ^{-1}} ）是一種反三角函數，對應的三角函數為正割函數，用來計算已知斜邊與鄰邊的比值求出其夾角大小的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數，其輸入值與反餘弦互為倒數。 由於正割函數在實數上不具有一一對應的關係，所以不存在反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反正割是單射也是可逆的，由於限制正割函數的定義域在 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} （[0, 180°]）时，其值域是全體實數，但在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 不存在。 反正割一般記為 sec − 1 ⁡ z {\displaystyle \sec ^{-1}z} 或 arcsec ⁡ z {\displaystyle \operatorname {arcsec} z} ，以表示正割的反函數。也有以大寫書寫的版本Arcsec z和Sec-1 z一般用於表示多值函數。在符號 sec − 1 ⁡ z {\displaystyle \sec ^{-1}z} 上的上標-1是表示反函數，而不是乘法逆元素。但根據ISO 31-11應將反正切函數記為 arcsec ⁡ z {\displaystyle \operatorname {arcsec} z} ，因為 sec − 1 {\displaystyle \sec ^{-1}} 可能會與 1 sec {\displaystyle {\frac {1}{\sec }}} 混淆， 1 sec {\displaystyle {\frac {1}{\sec }}} 是餘弦函數。 原始的定義是將正割函數限制在 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} （[0, 180°]）的反函數 在複變分析中，反正割是這樣定義的： arcsec ⁡ x = − i ln ⁡ ( 1 x + 1 − i x 2 ) {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-{\mathrm {i} }\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {\mathrm {i} }{x^{2}}}}}\right)\,} 這個動作使反正割被推廣到複數。 下圖表示推廣到複數的反正割複數平面函數圖形，可以見到圖中央有一條明顯的橫線正好是實數中未被定義的區間[-1,1]。 在直角三角形中，反正割定義為已知斜邊c與鄰邊b比值對應的 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的大小，也就是： sec − 1 ⁡ H y p o t e n u s e A d j a c e n t = θ {\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {\mathrm {Hypotenuse} }{\mathrm {Adjacent} }}=\theta \,\!} 直角三角形，C為直角，對於角A而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊 直角三角形，已知斜邊斜邊為x且鄰邊為單位長 此外在直角三角形中，若已知斜邊為 x {\displaystyle x} 且鄰邊為單位長， x {\displaystyle x} 代入反正割可求得對應的角的大小： sec − 1 ⁡ x = arcsec ⁡ x = θ {\displaystyle \sec ^{-1}x=\operatorname {arcsec} x=\theta \,\!} 因此，根據畢氏定理可以使反正割利用其他反三角函數表示： sin ⁡ ( arcsec ⁡ x ) = x 2 − 1 x {\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}} cos ⁡ ( arcsec ⁡ x ) = 1 x {\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec} x)={\frac {1}{x}}} tan ⁡ ( arcsec ⁡ x ) = x 2 − 1 {\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec} x)={\sqrt {x^{2}-1}}} 若 α {\displaystyle \alpha } 是平面直角坐标系xOy中的一個未知的象限角， P ( x , y ) {\displaystyle P\left({x,y}\right)} 是角的终边上一点， r = x 2 + y 2 > 0 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0} 是P到原点O的距离，若已知 r x {\displaystyle {\frac {r}{x}}\,\!} ，則可利用反正割求得未知的象限角 α {\displaystyle \alpha } ： sec − 1 ⁡ r x = arcsec ⁡ r x = α {\displaystyle \sec ^{-1}{\frac {r}{x}}=\operatorname {arcsec} {\frac {r}{x}}=\alpha \,\!} 反正割函數可以使用無窮級數定義： arcsec ⁡ z = arccos ⁡ ( 1 z ) = π 2 − [ z − 1 + ( 1 2 ) z − 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) z − 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) z − 7 7 + ⋯ ] = π 2 − ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ] z − ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ; | z | ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-[z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots ]\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]{\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}} 反正割函數的泰勒展開式為： arcsec ⁡ x = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) ! ! x − 2 n − 1 = π 2 − 1 x − 1 6 x 3 − 3 40 x 5 − 5 112 x 7 − ⋯ {\displaystyle \operatorname {arcsec} x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!}}x^{-2n-1}={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {3}{40x^{5}}}-{\frac {5}{112x^{7}}}-\cdots } 查看维基词典中的词条「反正割」。 维基共享资源上的相关多媒体资源：反正割 反餘弦 正割 餘弦 由於反正割在x=0未定義，因此考慮複變反正割函數，但由在x=0時於左極限不等於右極限，因此也不存在極限因此Arcsec 0不存在。 Weisstein, Eric W. "Inverse Secant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. 反正割在x=0的極限 wolframalpha.com [2014-08-08] 反正割arcsecant-學術名詞資訊 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 國家教育研究院 terms.naer.edu.tw [2014-08-07] Gradshtein, I. S., I. M. Ryzhik, et al. (2000). Table of integrals, series, and products, Academic Pr. Zwillinger, D.(Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995. Abramowitz, M. and Stegun, I. A.(Eds.). "Inverse Circular Functions." §4.4 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Dover, pp. 79-83, 1972. Harris, J. W. and Stocker, H. Handbook of Mathematics and Computational Science （页面存档备份，存于互联网档案馆）. New York: Springer-Verlag, p. 315, 1998. Jeffrey, A. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press, 2000. 《 Exponentielle & logarithme 》, § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis. Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 141-143, 1987. 数学主题 埃里克·韦斯坦因. Inverse Secant. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Arcsecant. MathWorld.