瑞利問題

在流體力學中，瑞利問題（Rayleigh problem）或斯托克斯第一問題（Stokes first problem），得名於瑞利男爵與喬治·斯托克斯，是一個由無限長平板從靜止開始運動所產生的流體流動問題。這被認為是具有納維-斯托克斯方程式精確解的最簡單的非穩定問題之一。基思·斯图尔特森（英语：Keith Stewartson）研究了由半無限平板運動所產生的現象 。 考慮一個對初始靜止的無限大流域來說位於 y = 0 {\displaystyle y=0} 的無限長平板突然以定速度 U {\displaystyle U} 往 x {\displaystyle x} 方向移動，不可壓縮納維-斯托克斯方程式可簡化為 ∂ u ∂ t = ν ∂ 2 u ∂ y 2 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}} 其中 ν {\displaystyle \nu } 是黏度。板與流體接觸面的初始條件與不滑移條件（英语：No-slip condition）為 u ( y , 0 ) = 0 , u ( 0 , t > 0 ) = U , u ( ∞ , t > 0 ) = 0 , {\displaystyle u(y,0)=0,\quad u(0,t>0)=U,\quad u(\infty ,t>0)=0,} 最後一個條件是由於無限遠處的流體無法被 y = 0 {\displaystyle y=0} 的運動所影響。流體的流動只由平板移動所導致，此處並沒有外加的壓力梯度。 該問題類似於一維的熱傳導問題，因此這裡可以引入相似的變量 η = y ν t , f ( η ) = u U {\displaystyle \eta ={\frac {y}{\sqrt {\nu t}}},\quad f(\eta )={\frac {u}{U}}} 將它們代入上述的偏微分方程，可以簡化為常微分方程 f ″ + 1 2 η f ′ = 0 {\displaystyle f''+{\frac {1}{2}}\eta f'=0} 並具有邊界條件 f ( 0 ) = 1 , f ( ∞ ) = 0 {\displaystyle f(0)=1,\quad f(\infty )=0} 上述問題的解可被寫成含互補誤差函數的形式 u = U e r f c ( y 4 ν t ) {\displaystyle u=U\mathrm {erfc} \left({\frac {y}{\sqrt {4\nu t}}}\right)} 單位面積施加在平板上的力為 F = μ ( ∂ u ∂ y ) y = 0 = − ρ ν U 2 π t {\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}=-\rho {\sqrt {\frac {\nu U^{2}}{\pi t}}}} 除了用上述的階躍邊界條件，平板的速度也可以是時間的任意函數 U = f ( t ) {\displaystyle U=f(t)} 。方程式的解可以寫為 u ( y , t ) = ∫ 0 t f ( τ ) 2 π ν y ( t − τ ) 3 / 2 e − y 2 4 ν ( t − τ ) d τ . {\displaystyle u(y,t)=\int _{0}^{t}{\frac {f(\tau )}{2{\sqrt {\pi \nu }}}}{\frac {y}{(t-\tau )^{3/2}}}e^{-{\frac {y^{2}}{4\nu (t-\tau )}}}d\tau .} 考慮一個半徑為 a {\displaystyle a} 的無限長圓柱體於時間 t = 0 {\displaystyle t=0} 時開始以角速度 Ω {\displaystyle \Omega } 旋轉，則 θ {\displaystyle \theta } 方向的速度由下式給出 v θ = a Ω 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ K 1 ( r s / ν ) K 1 ( a s / ν ) e s t d s s {\displaystyle v_{\theta }={\frac {a\Omega }{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{1}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{1}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}} 其中 K 1 {\displaystyle K_{1}} 是第二類修正貝索函數。當 t → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty } ，方程式的解趨近於剛體渦旋。單位面積施加於圓柱體的力為 F = μ ( ∂ v θ ∂ r − v θ r ) r = a = ρ a 2 Ω t e − a 2 2 ν t I 0 ( a 2 2 ν t ) − 2 μ Ω {\displaystyle F=\mu \left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {v_{\theta }}{r}}\right)_{r=a}={\frac {\rho a^{2}\Omega }{t}}e^{-{\frac {a^{2}}{2\nu t}}}I_{0}\left({\frac {a^{2}}{2\nu t}}\right)-2\mu \Omega } 其中 I 0 {\displaystyle I_{0}} 第一類修正貝索函數。 精確解在圓柱體沿軸向以等速度 U {\displaystyle U} 運動也存在。設圓柱體的軸向指向 x {\displaystyle x} 方向，則方程式的解為 u = U 2 π i ∫ − i ∞ i ∞ K 0 ( r s / ν ) K 0 ( a s / ν ) e s t d s s . {\displaystyle u={\frac {U}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {K_{0}(r{\sqrt {s/\nu }})}{K_{0}(a{\sqrt {s/\nu }})}}e^{st}{\frac {ds}{s}}.} 物理学主题 斯托克斯問題（英语：Stokes problem） Stewartson, K. T. (1951). On the impulsive motion of a flat plate in a viscous fluid. The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 4(2), 182-198. Batchelor, George Keith. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000. Lagerstrom, Paco Axel. Laminar flow theory. Princeton University Press, 1996. Acheson, David J. Elementary fluid dynamics. Oxford University Press, 1990. Dryden, Hugh L., Francis D. Murnaghan, and Harry Bateman. Hydrodynamics. New York: Dover publications, 1956.