圓環坐標系

圓環坐標系（英語：Toroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的直角坐標分別為 ( − a ,   0 ,   0 ) {\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)} 與 ( a ,   0 ,   0 ) {\displaystyle (a,\ 0,\ 0)} 。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 a {\displaystyle a} 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。 在三維空間裏，一個點 P 的圓環坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 最常見的定義是 x = a   sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi } 、 y = a   sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi } 、 z = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} ； 其中， ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 是直角坐標， σ {\displaystyle \sigma } 坐標是 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 的弧度， τ {\displaystyle \tau } 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數： τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 圓環坐標的值域為 − π < σ ≤ π {\displaystyle -\pi <\sigma \leq \pi } ， τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} ， 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } 。 每一個 σ {\displaystyle \sigma } -坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為 x 2 + y 2 + ( z − a cot ⁡ σ ) 2 = a 2 sin 2 ⁡ σ {\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。 正值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值 | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時， | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 達到最大值 π / 2 {\displaystyle \pi /2} 。 每一個 τ {\displaystyle \tau } -坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為 z 2 + ( x 2 + y 2 − a coth ⁡ τ ) 2 = a 2 sinh 2 ⁡ τ {\displaystyle z^{2}+\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 曲線與 z-軸同軸。當 τ {\displaystyle \tau } 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。 τ {\displaystyle \tau } 是 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數： τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 圓環坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 可以用直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來表達。方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的公式為 tan ⁡ ϕ = y x {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}} 。 點 P 與兩個焦點之間的距離是 d 1 2 = ( x 2 + y 2 + a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}} 、 d 2 2 = ( x 2 + y 2 − a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}} 。 如圖 3 ， ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 F 1 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}} 與 F 2 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{2}P}}} 的夾角。這夾角的弧度是 σ {\displaystyle \sigma } 。用餘弦定理來計算： cos ⁡ σ = d 1 2 + d 2 2 − 4 a 2 2 d 1 d 2 {\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}} 。 圓環坐標 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 的標度因子相等： h σ = h τ = a cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 。 方位角的標度因子為 h ϕ = a sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 sinh ⁡ τ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 3 a 2 sinh ⁡ τ [ ∂ ∂ σ ( sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ Φ ∂ σ ) + ∂ ∂ τ ( sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ∂ Φ ∂ τ ) + 1 sinh ⁡ τ ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 ] {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( σ ,   τ ,   z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 圓環坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，圓環坐標允許分離變數法的使用。個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？應用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。 由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核融合理論研究。 國際熱核聚變實驗反應堆 Arfken G. Mathematical Methods for Physicists 2nd ed. Orlando, FL: Academic Press. 1970: pp. 112–115.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Andrews, Mark. Alternative separation of Laplace’s equation in toroidal coordinates and its application to electrostatics. Journal of Electrostatics. 2006, 64: 664–672.  Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 666.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 190–192.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)