卡迪森-辛格問題

数学上，卡迪森-辛格問題（英語：Kadison–Singer problem）於1959年提出，有關泛函分析，問某個特定C*-代数上的任意線性泛函，延拓到另一個較大的C*-代數時，是僅有唯一的可能，抑或可以有多個不同的延拓。2013年，問題得到解決，答案為肯定（即唯一）。 問題源出1940年代保罗·狄拉克對量子力学理論基礎的研究。1959年，理查德·卡迪森（英语：Richard Kadison）與艾沙道尔·辛格給出嚴格的問題敍述。此後，發現純數學、應用數學、工程學、電腦科學等學科的多個未解問題，皆與卡迪森-辛格問題等價。卡迪森、辛格，以及日後多個作者，都相信問題答案為否定（即不唯一），然而於2013年，亞當·馬庫斯（英语：Adam Marcus (mathematician)）、丹尼爾·斯皮爾曼（英语：Daniel Spielman）、尼基·斯里瓦斯塔瓦（英语：Nikhil Srivastava）合著論文給出肯定的答案。翌年，三人因此獲SIAM（英语：Society for Industrial and Applied Mathematics）頒發波利亞獎（英语：George Pólya Prize）。 馬-斯-斯三氏皆為電腦科學家，本來並非研究C*-代數。馬庫斯甚至稱自己在解決該問題後，「仍无法用C*-代数的语言来描述它」。解決問題的轉捩點，是喬爾·安德森（Joel Anderson）將其重寫成不牽涉C*-代數理論的等價形式。安德森於1979年證明，其「鋪砌猜想」（英語：paving conjecture）與卡迪森-辛格問題等價。該猜想僅牽涉有限維希爾伯特空間的算子，而相比之下，原問題的空間則是無窮維。此後，亦有其他學者，如尼克·威佛（Nik Weaver），在有限維空間中，給出其他等價問法。威佛的版本吸引了馬-斯-斯三氏研究。而此版本用交織多項式族（英語：interlacing family）獲解決。 先引入若干定義： ℓ 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}} 平方可和的複序列空間（英语：Sequence space），即 ℓ 2 = { ( x 1 , x 2 , … ) : x i ∈ C , ∑ i | x i | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ):x_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i}\left|x_{i}\right|^{2}<\infty \right\}} 。此空間為可分希爾伯特空間，內積定義由 ⟨ x , y ⟩ = ∑ i x i y i ¯ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i}x_{i}{\overline {y_{i}}}} 給出。 B ( ℓ 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})} 從 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 到 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 的連續線性算子組成的集合。此集合上，有加減法、乘法、伴隨等運算，構成一個C*-代数。 D ( ℓ 2 ) {\displaystyle {\boldsymbol {D}}({\boldsymbol {\ell }}^{2})} 從 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 到 ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} 的對角連續線性算子集合。換言之， D ( ℓ 2 ) = { f : ℓ 2 → ℓ 2 | f ( x ) = ( a 1 x 1 , a 2 x 2 , … ) ,  其 中  a i ∈ C ,  且  a i  有 界  } {\displaystyle D(\ell ^{2})=\left\{\left.f:\ell ^{2}\to \ell ^{2}\right|f(x)=(a_{1}x_{1},a_{2}x_{2},\ldots ),{\text{ 其 中 }}a_{i}\in \mathbb {C} ,{\text{ 且 }}a_{i}{\text{ 有 界 }}\right\}} 。 D ( ℓ 2 ) {\displaystyle D(\ell ^{2})} 包含於 B ( ℓ 2 ) {\displaystyle B(\ell ^{2})} ，故為其子C*-代数。 態 C*-代數 A {\displaystyle A} 上的態（英语：state (functional analysis)），是連續線性泛函 φ : A → C {\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} } ，將單位元 I {\displaystyle I} 映到 1 {\displaystyle 1} ，且對任意半正定的 T ≥ 0 {\displaystyle T\geq 0} ，有 φ ( T ) ≥ 0 {\displaystyle \varphi (T)\geq 0} （即此時 φ ( T ) {\displaystyle \varphi (T)} 要取實值，且該實值為非負）。 純態 接續上項， φ {\displaystyle \varphi } 稱為純態，意思是在 A {\displaystyle A} 上所有態組成的集合中， φ {\displaystyle \varphi } 是極端點（英语：Extreme point），即不能寫成其他態的凸組合。 由哈恩-巴拿赫定理， D ( ℓ 2 ) {\displaystyle D(\ell ^{2})} 上的任意泛函，必能延拓到 B ( ℓ 2 ) {\displaystyle B(\ell ^{2})} 上。卡迪森與辛格二人問，對於純態，此延拓是否唯一。所以，卡迪森-辛格問題是要證明或否證以下命題： 對 D ( ℓ 2 ) {\displaystyle D(\ell ^{2})} 上的任意純態 φ {\displaystyle \varphi } ， B ( ℓ 2 ) {\displaystyle B(\ell ^{2})} 上都存在唯一的態 ψ {\displaystyle \psi } ，使 ψ {\displaystyle \psi } 延拓 φ {\displaystyle \varphi } ，即兩者限制到 D {\displaystyle D} 時等同。 此命題已證為真。 卡迪森-辛格問題的答案為肯定，當且僅當以下鋪砌猜想為真： 對任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ，存在正整數 k {\displaystyle k} 使得：對每個 n {\displaystyle n} ，以及對 n {\displaystyle n} 維希爾伯特空間 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上的每個線性算子 T {\displaystyle T} （可視為 n × n {\displaystyle n\times n} 方陣），若其對角線全零，則存在某種方法將 { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} 分劃為 k {\displaystyle k} 份 A 1 , … , A k {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}} ，使得 ‖ P A j T P A j ‖ ≤ ε ‖ T ‖ {\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|} 對於每個 j = 1 , … , k {\displaystyle j=1,\ldots ,k} 都成立。 此處 P A j {\displaystyle P_{A_{j}}} 是正交投影，將 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} （坐標以 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} 為下標）映到坐標僅以 A j {\displaystyle A_{j}} 元素為下標的子空間。換言之， P A j T P A j {\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}} 是下標為 A j {\displaystyle A_{j}} 元素的各行列，相交而得的子方陣。而矩陣範數 ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} 取為譜範數，即來自 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 上歐氏範數的算子范数。 注意命題中， k {\displaystyle k} 只能與 ε {\displaystyle \varepsilon } 有關，但不取決於 n {\displaystyle n} 。 尼克·威佛（Nik Weaver）證明，以下「偏差理論（英语：discrepancy theory）」命題，同樣與卡迪森-辛格問題（的肯定答案）等價： 設有向量 u 1 , … , u m ∈ C d {\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}} ，滿足 ∑ i = 1 m u i u i ∗ = I {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I} （ d × d {\displaystyle d\times d} 單位方陣），且對每個 i {\displaystyle i} ， ‖ u i ‖ 2 2 ≤ δ {\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta } 。則存在一種方法將 { 1 , … , m } {\displaystyle \{1,\ldots ,m\}} 分劃成兩個子集 S 1 {\displaystyle S_{1}} 和 S 2 {\displaystyle S_{2}} ，使得對於 j = 1 , 2 {\displaystyle j=1,2} 都有 ‖ ∑ i ∈ S j u i u i ∗ ‖ ≤ ( 1 + 2 δ ) 2 2 . {\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}.} 馬庫斯、斯皮爾曼、斯里瓦斯塔瓦三人用交織多項式族（英語：interlacing families）的技巧，證明上述命題為真。該命題又有以下推論： 設向量 v 1 , … , v m ∈ R d {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}} 滿足 ‖ v i ‖ 2 2 ≤ α {\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha } （對所有 i {\displaystyle i} ），還有 ∑ i = 1 m ⟨ v i , x ⟩ 2 = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1} 對滿足 ‖ x ‖ = 1 {\displaystyle \|x\|=1} 的所有向量 x ∈ R d {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}} 成立。 則可以將 { 1 , … , m } {\displaystyle \{1,\ldots ,m\}} 分劃成兩個子集 S 1 {\displaystyle S_{1}} 、 S 2 {\displaystyle S_{2}} ，使得對 j = 1 , 2 {\displaystyle j=1,2} ，以及滿足 ‖ x ‖ = 1 {\displaystyle \|x\|=1} 的任意向量 x ∈ R d {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}} ，皆有： | ∑ i ∈ S j ⟨ v i , x ⟩ 2 − 1 2 | ≤ 5 α . {\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}.} 「偏差」一詞的含義，在 α {\displaystyle \alpha } 較小時顯明：在單位球面上取值恆為 1 {\displaystyle 1} 的二次型，可以分拆成兩個大致相等的二次型，而分拆出來的二次型在單位球面上各處的取值，離 1 / 2 {\displaystyle 1/2} 的偏差很小。利用命題此種形式，可以推導出關於圖分劃的若干結果。 Erica Klarreich（英语：Erica Klarreich）; 赵京（译）. 外行人破解困扰数学界50年的难题. 数学文化 (香港: 全球科学出版社). 2017, 8 (3): 82–86 [2021-10-16]. ISSN 2070-545X. （原始内容存档于2021-10-19）.  Kadison, R.; Singer, I. Extensions of pure states [純態的延拓]. American Journal of Mathematics（英语：American Journal of Mathematics）. 1959, 81 (2): 383–400. JSTOR 2372748. MR 0123922. doi:10.2307/2372748 （英语）.  Casazza, P. G.; Fickus, M.; Tremain, J. C.; Weber, E. The Kadison–Singer problem in mathematics and engineering: a detailed account [數學與工程學的卡迪森-辛格問題：詳解]. Han, Deguang; Jorgensen, Palle E. T.; Larson, David Royal (编). Operator theory, operator algebras, and applications [算子理論、算子代數、應用]. Contemporary Mathematics 414. Providence, RI: American Mathematical Society. 2006: 299–355. ISBN 9780821839232. MR 2277219. arXiv:math/0510024 . doi:10.1090/conm/414/07820 （英语）.  Casazza, Peter G. Consequences of the Marcus/Spielman/Srivastava solution to the Kadison–Singer Problem [卡迪森-辛格問題的馬庫斯/斯皮爾曼/斯里瓦斯塔瓦解答的推論]. 2015. arXiv:1407.4768  [math.FA] （英语）.  Marcus, Adam; Spielman, Daniel A.; Srivastava, Nikhil. 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