正规序

在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按正规序排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。 令 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}} 按照正规序重新排列之后得到的算符用 N ( O ^ ) {\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}  或 : O ^ : {\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}} 表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。 玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。 单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符： b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }} ：玻色子的产生算符 b ^ {\displaystyle {\hat {b}}} ：玻色子的湮灭算符 则有： [ b ^ † , b ^ † ] − = 0 {\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0} [ b ^ , b ^ ] − = 0 {\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0} [ b ^ , b ^ † ] − = 1 {\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1} 其中 [ A , B ] − ≡ A B − B A {\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA} 表示两个算符的对易子。 1. 最简单的例子是  b ^ † b ^ {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}  的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以 b ^ † b ^ {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}} 的正规序就是它自身： : b ^ † b ^ : = b ^ † b ^ . {\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.} 2. 第二个例子是  b ^ b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}  的正规序， : b ^ b ^ † : = b ^ † b ^ . {\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.} 这里，按照正规序的要求，产生算符  b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}  放到了湮灭算符  b ^ {\displaystyle {\hat {b}}} 的左边。由玻色子算符的对易关系有： b ^ b ^ † − : b ^ b ^ † : = 1. {\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.} 在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。 3. 一个多算符的例子： : b ^ † b ^ b ^ b ^ † b ^ b ^ † b ^ : = b ^ † b ^ † b ^ † b ^ b ^ b ^ b ^ = ( b ^ † ) 3 b ^ 4 . {\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.} 对于 N {\displaystyle N} 个不同的玻色子来说，有  2 N {\displaystyle 2N} 个算符： b ^ i † {\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }} ：第 i {\displaystyle i}  个玻色子的产生算符 b ^ i {\displaystyle {\hat {b}}_{i}} ：第 i {\displaystyle i} 个玻色子的湮灭算符 其中 i = 1 , … , N {\displaystyle i=1,\ldots ,N} . 它们满足下列对易关系： [ b ^ i † , b ^ j † ] − = 0 {\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0} [ b ^ i , b ^ j ] − = 0 {\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0} [ b ^ i , b ^ j † ] − = δ i j {\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}} 其中 i , j = 1 , … , N {\displaystyle i,j=1,\ldots ,N} ， δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克函数。 1.对于两个玻色子 ( N = 2 {\displaystyle N=2} ) ，有： : b ^ 1 † b ^ 2 : = b ^ 1 † b ^ 2 {\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}} : b ^ 2 b ^ 1 † : = b ^ 1 † b ^ 2 {\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}} 2. 对三个玻色子 ( N = 3 {\displaystyle N=3} ) ，有： : b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3 : = b ^ 1 † b ^ 2 b ^ 3 {\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}} 由于 b ^ 2 b ^ 3 = b ^ 3 b ^ 2 {\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}} （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。 费米子服从费米-狄拉克统计。 单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符： f ^ † {\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }} ：费米子的产生算符 f ^ {\displaystyle {\hat {f}}} ：费米子的湮灭算符 它们满足下面的反对易关系： [ f ^ † , f ^ † ] + = 0 {\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0} [ f ^ , f ^ ] + = 0 {\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0} [ f ^ , f ^ † ] + = 1 {\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1} 其中 [ A , B ] + ≡ A B + B A {\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}  是反对易子。 与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。 1. 最简单的例子是： : f ^ † f ^ : = f ^ † f ^ {\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}} 由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即： : f ^ f ^ † : = − f ^ † f ^ {\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}} 由费米子算符的反对易关系有： f ^ f ^ † − : f ^ f ^ † := 1. {\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.} 与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。 2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如： : f ^ f ^ † f ^ f ^ † : = f ^ † f ^ † f ^ f ^ = 0 {\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0} N {\displaystyle N} 个费米子有  2 N {\displaystyle 2N} 个产生湮灭算符，设： f ^ i † {\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }} 为第  i {\displaystyle i} 个费米子的产生算符 f ^ i {\displaystyle {\hat {f}}_{i}} 为第  i {\displaystyle i} 个费米子的湮灭算符 其中 i = 1 , … , N {\displaystyle i=1,\ldots ,N} . 它们满足下列反对易关系： [ f ^ i † , f ^ j † ] + = 0 {\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0} [ f ^ i , f ^ j ] + = 0 {\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0} [ f ^ i , f ^ j † ] + = δ i j {\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}} 其中 i , j = 1 , … , N {\displaystyle i,j=1,\ldots ,N} ， δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克函数。 1. 对两个费米子 ( N = 2 {\displaystyle N=2} ) ，有： : f ^ 1 † f ^ 2 : = f ^ 1 † f ^ 2 {\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}} 由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。 : f ^ 2 f ^ 1 † : = − f ^ 1 † f ^ 2 {\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}} 由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。 : f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 2 † : = f ^ 1 † f ^ 2 † f ^ 2 = − f ^ 2 † f ^ 1 † f ^ 2 {\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}} 与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。 2. 对三个费米子 ( N = 3 {\displaystyle N=3} ) ，有： : f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3 : = f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3 = − f ^ 1 † f ^ 3 f ^ 2 {\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}} 类似地有： : f ^ 2 f ^ 1 † f ^ 3 : = − f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3 = f ^ 1 † f ^ 3 f ^ 2 {\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}} : f ^ 3 f ^ 2 f ^ 1 † : = f ^ 1 † f ^ 3 f ^ 2 = − f ^ 1 † f ^ 2 f ^ 3 {\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}} 任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说， ⟨ 0 | a ^ † {\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }} 以及 a ^ | 0 ⟩ {\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle } 都是0。 这里 a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} 和 a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。 尹道乐，尹澜. 2. 凝聚态量子理论. ISBN 9787301161609.  F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995) T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268