幂级数

在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为： f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}} = a 0 + a 1 ( x − c ) 1 + a 2 ( x − c ) 2 + a 3 ( x − c ) 3 + ⋯ {\displaystyle =a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots } 其中的c和 a 0 , a 1 , a 2 ⋯ a n ⋯ {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots } 是常数。 a 0 , a 1 , a 2 ⋯ a n ⋯ {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots a_{n}\cdots } 称为幂级数的系数。幂级数中的每一项都是一个幂函数，幂次为非负整数。幂级数的形式很像多项式，在很多方面有类似的性质，可以被看成是“无穷次的多项式”。 如果把 ( x − c ) {\displaystyle (x-c)} 看成一项，那么幂级数可以化简为 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 的形式。后者被称为幂级数的标准形式。一个标准形式的幂级数完全由它的系数来决定。 将一个函数写成幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}} 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。不是每个函数都可以展开成幂级数。 幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电子工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种，只不过这里的x被固定为 1 10 {\displaystyle {\frac {1}{10}}} 。在p-进数中则可以见到x被固定为 10 {\displaystyle 10} 的幂级数。 多项式可以看做系数从某一项开始全是零的幂级数，例如多项式 f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3} 可以写成标准形式的幂级数： f ( x ) = 3 + 2 x + 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + ⋯ {\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots } 也可以写成（ c = 1 {\displaystyle c=1} ）： f ( x ) = 6 + 4 ( x − 1 ) + 1 ( x − 1 ) 2 + 0 ( x − 1 ) 3 + 0 ( x − 1 ) 4 + ⋯ {\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots } 实际上，多项式可以写成在任意c附近展开的幂级数。就这个意义上说，幂级数是多项式的推广。 等比级数的公式给出了对 | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} ，有 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots } ，是幂级数中基本而又重要的一类。同样重要的还有指数的幂级数展开： e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ , {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,} 以及正弦函数（对所有实数x成立）： sin ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ , {\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,} 这些幂级数都属于泰勒级数。 幂级数里不包括负的幂次。例如 1 + x − 1 + x − 2 + ⋯ {\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots } 就不是幂级数（它是一个洛朗级数）。同样的，幂次为分数的级数也不是幂级数。系数 a n {\displaystyle a_{n}} 必须是和x无关，比如 sin ⁡ ( x ) x + sin ⁡ ( 2 x ) x 2 + sin ⁡ ( 3 x ) x 3 + ⋯ {\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,} 就不是一个幂级数。 作为级数的一种，幂级数的敛散性也是研究幂级数的重点之一。对同一个幂级数，当变量x在复数中变化时，幂级数可能收敛，也可能发散。作为判断的依据，有： 阿贝尔引理：给定一个幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} ，如果对实数 r 0 > 0 {\displaystyle r_{0}>0} ，数列 ( | a n | r 0 n ) n ≥ 0 {\displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}} 有界，那么对任意复数 | x | < r 0 {\displaystyle |x|<r_{0}} ， ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 绝对收敛。 证明： 如果 | x | < r 0 {\displaystyle |x|<r_{0}} ，那么由于数列 ( | a n | r 0 n ) n ≥ 0 {\displaystyle (|a_{n}|r_{0}^{n})_{n\geq 0}} 有界，存在正实数M使得对任意的n，总有 0 ≤ | a n | r 0 n ≤ M {\displaystyle 0\leq |a_{n}|r_{0}^{n}\leq M} 。所以： ∑ n = 0 ∞ | a n x n | = ∑ n = 1 ∞ ( | a n | r 0 n ) ⋅ ( | x | r 0 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}\,x^{n}|=\sum _{n=1}^{\infty }\left(|a_{n}|\,r_{0}^{n}\right)\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}}     ≤ ∑ n = 0 ∞ M ⋅ ( | x | r 0 ) n {\displaystyle \ \ \leq \sum _{n=0}^{\infty }M\cdot \left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}}     = M ⋅ ∑ n = 0 ∞ ( | x | r 0 ) n {\displaystyle \ \ =M\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {|x|}{r_{0}}}\right)^{n}} 正数比值 | x | r 0 {\displaystyle {\frac {|x|}{r_{0}}}} 严格小于1，因此上面的等比级数收敛，于是 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 绝对收敛。 按照引理，使得幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 收敛的复数的集合总是某个以原点为中心的圆（不包括边界），称为收敛圆盘，其边界称为收敛圆。具体来说，就是： 要么对所有的非零复数， ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 都发散； 要么存在一个正常数（包括正无穷） R {\displaystyle R} ，使得当 | x | < R {\displaystyle |x|<R} 时， ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 绝对收敛，当 | x | > R {\displaystyle |x|>R} 时， ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 发散。 这个可以用来辨别幂级数是否收敛的常数 R {\displaystyle R} 被称为幂级数的收敛半径，当属于第一种情况时，规定收敛半径为零。 按照定义，对一个幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} ，当 | x | < R {\displaystyle |x|<R} （在收敛圆盘内）时（如果有的话），幂级数必然收敛；而当 | x | > R {\displaystyle |x|>R} 时（如果有的话），幂级数必然发散。但是如果 | x | = R {\displaystyle |x|=R} （在收敛圆上）的话，这时幂级数的敛散性是无从判断的，只能具体分析。 根据达朗贝尔审敛法，收敛半径 R {\displaystyle R} 满足：如果幂级数 ∑ a n x n {\displaystyle \sum a_{n}x^{n}} 满足 lim n → ∞ | a n + 1 a n | = ρ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|{a_{n+1} \over a_{n}}|=\rho } ，则： 根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式： R = lim inf n → ∞ | a n | − 1 n {\displaystyle R=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}} 或者 1 R = lim sup n → ∞ | a n | 1 n {\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}} 。 形式上，幂级数的加减法运算是将相应系数进行加减。 ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n + ⋯ ) ± ( b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + ⋯ + b n x n + ⋯ ) = ( a 0 + b 0 ) + ( a 1 + b 1 ) x + ( a 2 + b 2 ) x 2 + ⋯ + ( a n + b n ) x n + ⋯ {\displaystyle (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}+\cdots )\pm (b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}+\cdots )=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+\cdots } 两个幂级数的乘积基于所谓的柯西乘积： ( ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n ) {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)} = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ a i b j ( x − c ) i + j {\displaystyle =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}} = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) ( x − c ) n {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}} 。 各种运算后，得到的幂级数的收敛半径是两个幂级数中的较小者。 对一个收敛半径为R的幂级数 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} ，可以证明，幂级数在收敛圆盘上一致收敛。这个性质称为内闭一致收敛。因此，考虑幂级数函数 f : ( − R , R ) ⟶ R {\displaystyle f:(-R,R)\longrightarrow \mathbb {R} } .             x ⟼ ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ x\longmapsto \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 它在收敛区间(-R,R)上是连续函数。 可以证明，幂级数函数f在收敛区间上无穷次可导，并且可积。此外，由于幂级数函数f在收敛圆盘内一致收敛，可以进行逐项求导和积分，而且其导函数和积分函数都是在收敛区间上连续的幂级数函数。它们的收敛半径等于 ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} 的收敛半径R。具体形式为： f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n x n − 1 = ∑ n = 0 ∞ a n + 1 ( n + 1 ) x n {\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}nx^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)x^{n}} ∫ f ( x ) d x = ∑ n = 0 ∞ a n x n + 1 n + 1 + k = ∑ n = 1 ∞ a n − 1 x n n + k {\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+k} 鉴于幂级数函数的良好分析性质以及对之深入的研究，如能将要研究的函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。然而，不是所有的函数都能展开为幂级数。一个函数在一点c附近可展（可以展开为幂级数），当且仅当存在正实数R>0，使得在复平面中以c为圆心以R为半径的圆D(c,R)内（不包括边界）有： ∀ z ∈ D ( c , R ) , f ( z ) = ∑ n = 0 + ∞ a n ( z − c ) n {\displaystyle \forall z\in D(c,R),\qquad f(z)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}a_{n}(z-c)^{n}} 其中 a n {\displaystyle a_{n}} 为确定的常数。 如果一个函数在某处可展，那么它在这点无穷可导（ C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} ），并且在这点附近的展开式是唯一的。 ∀ n ∈ N , a n = f ( n ) ( c ) n ! {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}={f^{(n)}(c) \over {n!}}} 即是在这点的泰勒展开的第n项的值。这时展开得到的幂级数称为函数f在c点的泰勒级数。 对于一般的无穷可导函数 f {\displaystyle f} ，也可以写出幂级数 ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( c ) n ! ( x − c ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}} ，但即使这个幂级数收敛，其值也不一定等于 f {\displaystyle f} 。例如函数 f {\displaystyle f} ： 当x>0时， f ( x ) = e − 1 / x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-1/x^{2}}} 当 x ≤ 0 {\displaystyle x\leq 0} 时， f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 可以证明 f {\displaystyle f} 无穷可导，并且在0处的每阶导数都是零，因此相应的幂级数 ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! ( x ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(0) \over {n!}}(x)^{n}} 恒等于0，不等于 f {\displaystyle f} 。 函数可以展开成幂级数的充要条件是其泰勒展开的余项趋于零： R n ( x ) = f ( x ) − ∑ n = 0 n f ( n ) ( c ) n ! ( x − c ) n → 0 {\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{n=0}^{n}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}\rightarrow 0} ， 一个更常用到的充分条件是： 如果存在正实数r，使得 f {\displaystyle f} 在区间 ( c − r , c + r ) {\displaystyle (c-r,c+r)} 上无穷可导，并且存在正数M使得对任意的n，任意的 x ∈ ( c − r , c + r ) {\displaystyle x\in (c-r,c+r)} 都有 | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f^{n}(x)|\leq M^{n}} ，那么 f {\displaystyle f} 可以在c附近展开成幂级数： ∀ x ∈ ( c − r , c + r ) ,     f ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( c ) n ! ( x − c ) n {\displaystyle \forall x\in (c-r,c+r),\ \ f(x)=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{f^{(n)}(c) \over {n!}}(x-c)^{n}} 。 以下是一些常见函数的幂级数展开。运用这些展开可以得到一些重要的恒等式。 ∀ x ∈ C , e x = ∑ n = 0 + ∞ x n n ! . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} ,\,e^{x}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{n}}{n!}}.} ∀ x ∈ R , cos ⁡ x = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\cos x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.} ∀ x ∈ R , sin ⁡ x = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\sin x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.} ∀ x ∈ R , ch x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n ( 2 n ) ! . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {ch} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.} ∀ x ∈ R , sh x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\operatorname {sh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.} ∀ x ∈ D ( 0 , 1 ) , 1 1 − x = ∑ n = 0 + ∞ x n . {\displaystyle \forall x\in D(0,1),\,{1 \over {1-x}}=\sum _{n=0}^{+{\infty }}{x^{n}}.} ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ] , ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n . {\displaystyle \forall x\in (-1,1],\,\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}(-1)^{n+1}{x^{n} \over {n}}.} ∀ x ∈ [ − 1 , 1 ] , arctan x = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \forall x\in [-1,1],\,\arctan \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}(-1)^{n}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;} ，特别地， π = 4 ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \pi =4\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}{\frac {(-1)^{n}}{2\,n+1}}} 。 ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) ,   ∀ α ∉ N , ( 1 + x ) α = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n . {\displaystyle \forall x\in \,(-1,1),\ \forall \alpha \,\not \in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}.} ∀ x ∈ R , ∀ α ∈ N , ( 1 + x ) α = 1 + ∑ n = 1 + ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! x n = ∑ n = 0 α ( α n ) x n . {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\,\forall \alpha \,\in \,\mathbb {N} ,\,(1+x)^{\alpha }\,=1\;+\;\sum _{n=1}^{+{\infty }}{{\frac {\alpha \,(\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\,x^{n}}=\sum _{n=0}^{\alpha }{{\alpha \choose n}\,x^{n}}.} ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) , artanh x = ∑ n = 0 + ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 . {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {artanh} \,x=\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.} ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) , arcsin x = x + ∑ n = 1 + ∞ ( ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 ) ∏ k = 1 n 2 k ) x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\arcsin \,x=x+\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}} ∀ x ∈ ( − 1 , 1 ) , arsinh x = x + ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n ( ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 ) ∏ k = 1 n 2 k ) x 2 n + 1 2 n + 1 {\displaystyle \forall x\in (-1,1),\,\operatorname {arsinh} \,x=x+\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,(-1)^{n}\,\left({\frac {\prod _{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod _{k=1}^{n}\,2\,k}}\right){\frac {x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}} ∀ x ∈ ( − π 2 , π 2 ) ,   tan ⁡ x = 2 π ∑ n = 0 + ∞ ( x π ) 2 n + 1 ( 2 2 n + 2 − 1 ) ζ ( 2 n + 2 ) {\displaystyle \forall x\in \,\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right),\ \tan x={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{n=0}^{+{\infty }}\,{\left({\frac {x}{\pi }}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)} ，其中 ∀ p > 1 , ζ ( p ) = ∑ n = 1 + ∞ 1 n p {\displaystyle \forall p>1,\,\zeta (p)=\sum _{n=1}^{+{\infty }}\,{\frac {1}{n^{p}}}} 局部上由收敛幂级数给出的函数叫做解析函数。解析函数可分成实解析函数与複解析函数。所有的幂级数函数在其收敛圆盘内都是解析函数，并且在所有点上都可展。根据零点孤立原理，解析函数的零点必然是孤立点。在复分析中，所有的全纯函数（即複可微函数）都是无穷可微函数，并是复解析函数，这在实分析中则不然。 在抽象代数中，幂级数研究的重点是其作为一个半环的代数性质。幂级数的系数域是实数或复数或其它的域不再重要，敛散性也不再讨论。这样抽离出的代数概念被称为形式幂级数。形式幂级数在组合代数有重要用处，例如作为母函数而运用在许多组合恒等式的推导中。 幂级数概念在多元微积分学中的一个推广是多元幂级数： f ( x 1 , … , x n ) = ∑ j 1 , … , j n = 0 ∞ a j 1 , … , j n ∏ k = 1 n ( x k − c k ) j k , {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left(x_{k}-c_{k}\right)^{j_{k}},} 其中j = (j1, ..., jn)是一个系数为非负整数的向量。系数a(j1,...,jn)通常是实数或复数。c = (c1, ..., cn)和变量x = (x1, ..., xn)是实数或复数系数的向量。在多重下标的表示法中，则有 f ( x ) = ∑ α ∈ N n a α ( x − c ) α . {\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.} 泰勒级数 解析函数 阿贝尔定理 零点孤立原理 史济怀，组合恒等式，中国科学技术大学出版社，2001 幂级数介绍 幂级数展开 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 幂级数与泰勒展开[永久失效連結] Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal John H. Mathews、Russell W. Howell, COMPLEX ANALYSIS: for Mathematics and Engineering，第5版, 2006