霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（英語：Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。 1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel（英语：Clifford parallel））构造了霍普夫映射 η : S 3 → S 2 {\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}} ，并通过利用圆周 η − 1 ( x ) , η − 1 ( y ) ⊂ S 3 {\displaystyle \eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}} 对任意 x ≠ y ∈ S 2 {\displaystyle x\neq y\in S^{2}} 的环绕数（=1），证明了 η {\displaystyle \eta } 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 π 3 ( S 2 ) {\displaystyle \pi _{3}(S^{2})} 是由 η {\displaystyle \eta } 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（ n {\displaystyle n} 奇）有理同伦群 π i ( S n ) ⊗ Q {\displaystyle \pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q} } 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（ n {\displaystyle n} 偶），在 2 n − 1 {\displaystyle 2n-1} 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法： 设 ϕ : S 2 n − 1 → S n {\displaystyle \phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}} 是一个连续映射（假设 n > 1 {\displaystyle n>1} ）。则我们可以构造胞腔复形 C ϕ = S n ∪ ϕ D 2 n , {\displaystyle C_{\phi }=S^{n}\cup _{\phi }D^{2n},} 这里 D 2 n {\displaystyle D^{2n}} 是 2 n {\displaystyle 2n} -维圆盘通过 ϕ {\displaystyle \phi } 贴上一个 S n {\displaystyle S^{n}} 。 胞腔链群 C c e l l ∗ ( C ϕ ) {\displaystyle C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })} 在度数 n {\displaystyle n} 只是由 n {\displaystyle n} -胞腔自由生成，故它们在度数 0、 n {\displaystyle n} 与 2 n {\displaystyle 2n} 是 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 n > 1 {\displaystyle n>1} ），上同调是 H c e l l i ( C ϕ ) = { Z i = 0 , n , 2 n , 0 otherwise . {\displaystyle H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\phi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}} 记这些上同调群的生成元为 H n ( C ϕ ) = ⟨ α ⟩ {\displaystyle H^{n}(C_{\phi })=\langle \alpha \rangle } 与 H 2 n ( C ϕ ) = ⟨ β ⟩ . {\displaystyle H^{2n}(C_{\phi })=\langle \beta \rangle .} 因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 α ⌣ α {\displaystyle \alpha \smile \alpha } 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是 H ∗ ( C ϕ ) = Z [ α , β ] / ⟨ β ⌣ β = α ⌣ β = 0 , α ⌣ α = h ( ϕ ) β ⟩ . {\displaystyle H^{*}(C_{\phi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\phi )\beta \rangle .} 整数 h ( ϕ ) {\displaystyle h(\phi )} 是映射 ϕ {\displaystyle \phi } 的霍普夫不变量。 定理： h : π 2 n − 1 ( S n ) → Z {\displaystyle h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z} } 是一个同态。进一步，如果 n {\displaystyle n} 是偶数，则 h {\displaystyle h} 映到 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } 。 对霍普夫映射霍普夫不变量是 1 {\displaystyle 1} （这里 n = 1 , 2 , 4 , 8 {\displaystyle n=1,2,4,8} ，分别对应于实可除代数 A = R , C , H , O {\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O} } ，而二重覆叠 S ( A 2 ) → P A 1 {\displaystyle S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}} 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Frank Adams（英语：Frank Adams））证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。 可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备： 设 V {\displaystyle V} 表示一个向量空间而 V ∞ {\displaystyle V^{\infty }} 是其单点紧化，即对某个 k {\displaystyle k} 有 V ≅ R k {\displaystyle V\cong \mathbb {R} ^{k}} 而 V ∞ ≅ S k {\displaystyle V^{\infty }\cong S^{k}} 。如果 ( X , x 0 ) {\displaystyle (X,x_{0})} 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 V ∞ {\displaystyle V^{\infty }} 的基点，则我们可以构造楔积 V ∞ ∧ X {\displaystyle V^{\infty }\wedge X} 。 现在令 F : V ∞ ∧ X → V ∞ ∧ Y {\displaystyle F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y} 是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。 F {\displaystyle F} 的（稳定）几何霍普夫不变量是 h ( F ) ∈ { X , Y ∧ Y } Z 2 {\displaystyle h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}}} ， 是从 X {\displaystyle X} 到 Y ∧ Y {\displaystyle Y\wedge Y} 映射的稳定 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 V {\displaystyle V} 上（或 k {\displaystyle k} ，如果你愿意）的正向极限；而 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -作用是 X {\displaystyle X} 的平凡作用与交换 Y ∧ Y {\displaystyle Y\wedge Y} 中两个因子。如果我们令 Δ X : X → X ∧ X {\displaystyle \Delta _{X}\colon X\to X\wedge X} 表示典范对焦映射而 I {\displaystyle I} 是恒等，则霍普夫不变量由下式定义： h ( F ) := ( F ∧ F ) ( I ∧ Δ X ) − ( I ∧ Δ Y ) ( I ∧ F ) . {\displaystyle h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).} 这个映射原本是从 V ∞ ∧ V ∞ ∧ X {\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X} 到 V ∞ ∧ V ∞ ∧ Y ∧ Y {\displaystyle V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y} 的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} -等变群的典型元素。 也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 h V ( F ) {\displaystyle h_{V}(F)} ，为此我们必须考虑向量空间 V {\displaystyle V} 。 Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104  Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38  Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant (PDF), 2006 [2009-06-22], （原始内容 (PDF)存档于2016-03-03）  Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831  Shokurov, A.V., Hopf invariant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4