算术基本定理

算术基本定理，又称为正整數的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2個或以上的質數的积，而且这些質因子按大小排列之后，写法僅有一種方式。 例如： 6936 = 2 3 × 3 × 17 2 {\displaystyle 6936=2^{3}\times 3\times 17^{2}} ， 1200 = 2 4 × 3 × 5 2 {\displaystyle 1200=2^{4}\times 3\times 5^{2}} ， 5207 = 41 × 127 {\displaystyle 5207=41\times 127} 。 算术基本定理的内容由两部分构成： 分解的存在性： 分解的唯一性，即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素數乘积的方式是唯一的。 算术基本定理是初等數論中一个基本的定理，也是许多其他定理的逻辑支撑点和出发点。 ∀ A ∈ N , A > 1 ∃ ∏ i = 1 n p i a i = A {\displaystyle \forall A\in \mathbb {N} ,\,A>1\quad \exists \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}=A} . 其中 p 1 < p 2 < p 3 < ⋯ < p n {\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\cdots <p_{n}} 而且 p i {\displaystyle p_{i}} 是一个質数， a i ∈ Z + {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} ^{+}} . 這種表示的方法存在，而且是唯一的。 算术基本定理的最早证明是由欧几里得给出的。准确的说，欧几里得证明了在一般整环上看与算术基本定理等价的命题：若質數 p | a b {\displaystyle p|ab} ，则不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。然而，在欧几里得的时代，并没有发展出幂运算和指数的写法，甚至连四个整数的乘积这种算式都被认为是没有意义的，所以欧几里得并没有给出算术基本定理的现代陈述。 用反證法：假設存在大於 1 {\displaystyle 1} 的自然數不能寫成質數的乘積，把最小的那個稱為 n {\displaystyle n} 。 n {\displaystyle n} 不可爲質數，因爲 n = n {\displaystyle n=n} 可被寫成質數的乘積。因此 n {\displaystyle n} 一定是合數，但每個合數都可以分解成兩個嚴格小於自身而大於 1 {\displaystyle 1} 的自然數的積。設 n = a × b {\displaystyle n=a\times b} ，則根據假設，由於 n {\displaystyle n} 是最小的不能被寫成質數乘積的自然數，所以 a = p 1 p 2 . . . p j {\displaystyle a=p_{1}p_{2}...p_{j}} 和 b = q 1 q 2 . . . q j {\displaystyle b=q_{1}q_{2}...q_{j}} 都能被寫成質數的乘積。然而 n = a b = p 1 p 2 . . . p j q 1 q 2 . . . q j {\displaystyle n=ab=p_{1}p_{2}...p_{j}q_{1}q_{2}...q_{j}} 也可以寫成質數的乘積，由此產生矛盾，故大於 1 {\displaystyle 1} 的自然數必可寫成質數的乘積。 歐幾里得引理：若質數 p | a b {\displaystyle p|ab} ，则不是 p | a {\displaystyle p|a} ，就是 p | b {\displaystyle p|b} 。 引理的证明：若 p | a {\displaystyle p|a} 则证明完毕。若 p ∤ a {\displaystyle p\nmid a} ，那么两者的最大公约数为1。根据貝祖等式，存在 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 使得 m a + n p = 1 {\displaystyle ma+np=1} 。于是 b = b ( m a + n p ) = a b m + b n p {\displaystyle b=b(ma+np)=abm+bnp} 。 由于 p | a b {\displaystyle p|ab} ，上式右边两项都可以被p整除。所以 p | b {\displaystyle p|b} 。 再用反證法：假設有些大于1的自然數可以以多于一种的方式寫成多个質數的乘積，那么假设 n {\displaystyle n} 是其中最小的一個。 首先 n {\displaystyle n} 不是質数。將 n {\displaystyle n} 用兩種方法寫出： n = p 1 p 2 p 3 ⋯ p r = q 1 q 2 q 3 ⋯ q s {\displaystyle n=p_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{r}=q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。根據引理，質数 p 1 | q 1 q 2 q 3 ⋯ q s {\displaystyle p_{1}|q_{1}q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} ，所以 q 1 , q 2 , q 3 ⋯ q s {\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}\cdots q_{s}} 中有一個能被 p 1 {\displaystyle p_{1}} 整除，不妨设为 q 1 {\displaystyle q_{1}} 。但 q 1 {\displaystyle q_{1}} 也是質数，因此 q 1 = p 1 {\displaystyle q_{1}=p_{1}} 。所以，比 n {\displaystyle n} 小的正整数 n ′ = p 2 p 3 ⋯ p r {\displaystyle n'=p_{2}p_{3}\cdots p_{r}} 也可以写成 q 2 q 3 ⋯ q s {\displaystyle q_{2}q_{3}\cdots q_{s}} 。这与 n {\displaystyle n} 的最小性矛盾！ 因此唯一性得证。 在一般的數域中，並不存在相應的定理；事實上，在虛二次域 Q ( − D ) ( D ∈ N ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-D}})\quad (D\in \mathbb {N} )} 之中，只有少數幾個能滿足，最大的一個 D {\displaystyle D} 是 D = 163 {\displaystyle D=163} 。例如， 6 {\displaystyle 6} 可以以兩種方式在 Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} 中表成整數乘積： 2 × 3 {\displaystyle 2\times 3} 和 ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。同樣的，在分圓整數中一般也不存在唯一分解性，而這恰恰是人們在証明費馬大定理時所遇到的陷阱之一。 歐幾里得在普通整數 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 中証明了算術基本定理──每個整數可唯一地分解為素數的乘積，高斯則在複整數 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 中得出並証明，只要不計四個可逆元素 ( ± 1 , ± i ) {\displaystyle (\pm 1,\pm i)} 之作用，那麼這個唯一分解定理在 Z [ − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} 也成立。高斯還指出，包括費馬大定理在內的普通素數的許多定理都可能擴大到複數域。 对于二次方程： a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\qquad \left(a\neq 0\right)} ，它的根可以表示为： x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} 因为负数不能开平方， b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式： f ( x ) = x 2 + x + 41 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle f(x)=x^{2}+x+41\qquad \left(a\neq 0\right)} b 2 − 4 a c = 1 − 164 = − 163 {\displaystyle b^{2}-4ac=1-164=-163} 两个复数解為: x 1 , 2 = − 1 ± 163 i 2 {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {163}}i}{2}}} a + b − d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} 哪个 d {\displaystyle d} 值可以得到唯一分解定理？ d = 1 , 2 , 3 {\displaystyle d=1,2,3} 皆可得到定理，但當 d = 5 {\displaystyle d=5} 时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。 6 = 2 × 3 {\displaystyle 6=2\times 3} ； 6 = ( 1 + − 5 ) ( 1 − − 5 ) {\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})} 。在高斯时代，已知有9个 d {\displaystyle d} 使得 a + b − d {\displaystyle a+b{\sqrt[{}]{-d}}} 所产生的数有唯一因子分解（ a {\displaystyle a} ， b {\displaystyle b} 如上面指出那样取值）。 d = 1 , 2 , 3 , 7 , 11 , 19 , 43 , 67 , 163 {\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163} 高斯认为 d {\displaystyle d} 的數量不會超過10個，但是没有人能够证明。 1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师庫爾特·黑格納（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个 d {\displaystyle d} 值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。 为了紀念长期被忽视的希格内尔，上述的9個數被稱為黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。 参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。 （英文） Fundamental Theorem of Arithmetic - Wolfram Demonstrations Project （页面存档备份，存于互联网档案馆）