自伴算子

在数学、尤其是泛函分析中，向量空间 V {\displaystyle V} 上的自伴算子是一类特殊的线性算子（自同态），其伴随算子是其自身。根据不同的需要，可以讨论 V {\displaystyle V} 为拓扑向量空间、赋范向量空间、巴拿赫空间乃至希尔伯特空间的情况，使得伴随算子、自伴算子可以具有更丰富的性质，一个重要的例子是希尔伯特空间上自伴算子的谱定理。 若 V {\displaystyle V} 是具有规范正交基的有限维复向量空间，其上自伴算子在该基下的矩阵是埃尔米特矩阵——该矩阵等于自身的共轭转置。有限维的谱定理表明，对于一个算子 A {\displaystyle A} ，总能找到 V {\displaystyle V} 上的规范正交基使得 A {\displaystyle A} 在该基下的矩阵是一个对角矩阵，且这些对角元都是实数。 无穷维希尔伯特空间上的自伴算子的谱定理与此类似：一个算子是自伴的，当且仅当其酉等价于一个实值乘法算子。不过，黑林格-特普利茨定理表明了定义于全空间的自伴算子必然是有界的，从而无界算子至多只能定义在全空间的一个稠密子空间上，故对于无界算子须对定义域的问题多加注意。定义域的问题造成了对称算子和自伴算子的区分，而这区分对于谱定理等结论而言是至关重要的。 自伴算子在量子力学中也有重要地位。在量子力学公理的狄拉克-冯诺伊曼表述（英语：Dirac–von Neumann axioms）中，位置、动量、角动量和自旋等物理可观测量是由希尔伯特空间上的自伴算子表示。在哈密顿算子的谱（能级）具有重要的物理意义的同时，哈密顿算子中的动能项通常由导数算子构成，而无穷维空间中的导数算子是典型的无界算子。 在量子力學裏，自伴算子，又稱為自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一種等於自己的厄米共軛的算符。給予算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 和其伴隨算符 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!} ，假設 O ^ = O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!} ，則稱 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 為厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。 由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O {\displaystyle O\,\!} 的期望值是實值的： ⟨ O ⟩ = ⟨ O ⟩ ∗ {\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ，這關係都成立； ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!} 。 根據伴隨算符的定義，假設 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!} 是 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 的伴隨算符，則 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!} 。因此， O ^ = O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!} 。 這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} ，都是厄米算符。 可觀察量，像位置，動量，角動量，和自旋，都是用作用於希爾伯特空間的自伴算符來代表。哈密頓算符 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}\,\!} 是一個很重要的自伴算符，表達為 H ^ ψ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + V ψ {\displaystyle {\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \,\!} ； 其中， ψ {\displaystyle \psi \,\!} 是粒子的波函數， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m\,\!} 是質量， V {\displaystyle V\,\!} 是位勢。 哈密頓算符所代表的哈密頓量是粒子的總能量，一個可觀察量。 動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 的波函數為 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} ， ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ ℏ i ∂ ψ ∂ x   d x = ℏ i ψ ∗ ψ | − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞   ℏ i ∂ ψ ∗ ∂ x ψ   d x = ∫ − ∞ ∞   ( ℏ i ∂ ψ ∂ x ) ∗ ψ   d x = ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | p ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right)^{*}\psi \ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ， p ^ = p ^ † {\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!} 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。 Rudin, Walter. Functional Analysis. Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. 1991. ISBN 978-0-07-054236-5.  Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological vector spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics 2. ed. Boca Raton: CRC Press. 2011. ISBN 978-1-58488-866-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)