正割

正割（Secant， sec {\displaystyle \sec } ）是三角函数的一种。它的定义域是不含 k π + π 2 {\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}} （或180°k+90°，其中 k {\displaystyle k} 為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } （360°）。 正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在 2 k π {\displaystyle 2k\pi } （360°k）到 2 k π + π 2 {\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}} （360°k+90°）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。 在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。 和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。 正割的数学符号为 sec {\displaystyle \sec } ，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。 在直角三角形中，一个锐角 ∠ A {\displaystyle \angle A} 的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是： sec ⁡ θ = c b {\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!} 可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。 设 α {\displaystyle \alpha } 是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， P ( x , y ) {\displaystyle P\left({x,y}\right)} 是角的终边上一点， r = x 2 + y 2 > 0 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0} 是P到原点O的距离，则 α {\displaystyle \alpha } 的正割定义为： sec ⁡ α = r x {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!} 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角 θ {\displaystyle \theta } ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于 sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta } 。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了 sec ⁡ θ = 1 x {\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}} 。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。 对于大于 2 π {\displaystyle 2\pi } （360°）或小于 − 2 π {\displaystyle -2\pi } （-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } （360°）的周期函数： sec ⁡ θ = sec ⁡ ( θ + 2 π k ) = sec ⁡ ( θ + 360 ∘ k ) {\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)} 对于任何角度 θ {\displaystyle \theta } 和任何整数 k {\displaystyle k} 。 正割函數和餘弦函數互為倒數 即： sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x {\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}} 正割也能使用泰勒級數來定義： sec ⁡ x = 1 + x 2 2 + 5 x 4 24 + 61 x 6 720 + 277 x 8 8064 + 50521 x 10 3628800 + . . . = ∑ n = 1 ∞ E n ( 2 n ) ! x 2 n . {\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.} 其中 E n {\displaystyle E_{n}} 为欧拉数。 另外，我们也有 sec ⁡ x = 4 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 1 − 2 n ) ( 2 n π − π ) 2 − 4 x 2 = 4 π ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 1 + 2 n ) ( π + 2 n π ) 2 − 4 x 2 . {\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.} sec ′ ⁡ x   = sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x} sec ⁡ x = ( ln ⁡ | sec ⁡ x + tan ⁡ x | ) ′ {\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'} sec ⁡ θ = 2 e i θ + e − i θ {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,} sec ⁡ ( θ ± ψ ) = sec ⁡ θ sec ⁡ ψ 1 ∓ tan ⁡ θ tan ⁡ ψ {\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}} 艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分 ∫ 0 ϕ sec ⁡ t d t = ln ⁡ tan ⁡ ( π 4 + ϕ 2 ) {\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)} Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -2}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.  Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, -4}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.  Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 5}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.  Wolfram, Stephen. "FindRoot[Sec[x] == x, {x, 7}, WorkingPrecision -> 15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. [2022-05-19] （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Secant. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  维基共享资源上的相关多媒体资源：正割 数学主题 正弦 餘弦 正切 餘切 餘割 三角学 三角函数 函數 正弦波