圆锥曲线

圆锥曲线（英語：conic section），又稱圓錐截痕、圓錐截面、二次平面曲线，是数学、幾何學中透过平切圆锥（嚴格為一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。 圆锥曲线在約西元前200年時就已被命名與研究，其發現者為古希臘的數學家阿波羅尼奥斯，當时阿波羅尼阿斯已对它们的性质做過系统性的研究。 圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（離心率 e {\displaystyle e} ）的点的集合是圆锥曲线。对于 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} 得到椭圆，对于 e = 1 {\displaystyle e=1} 得到抛物线，对于 e > 1 {\displaystyle e>1} 得到双曲线。 设 F {\displaystyle F} 为定点， l {\displaystyle l} 为定直线， e {\displaystyle e} 为正常数，称满足 | P F | | P l | = e {\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e} 的动点 P {\displaystyle P} 的轨迹为圆锥曲线。 其中 F {\displaystyle F} 为其焦点， l {\displaystyle l} 为准线， e {\displaystyle e} 为离心率。 由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为 ρ = e ( d − ρ cos ⁡ θ ) {\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )} 或 ρ = e d 1 ± e cos ⁡ θ {\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}} （正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中 θ {\displaystyle \theta } 为 P F {\displaystyle PF} 与极轴的夹角， d {\displaystyle d} 为定直线 x = d {\displaystyle x=d} ，即准线到焦点的距离。 将参数方程转换成直角坐标方程易得， 当 e = 1 {\displaystyle e=1} 时，曲线为抛物线。 当 e ≠ 1 {\displaystyle e\neq 1} 时， 当 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} 时，曲线为椭圆。 当 e > 1 {\displaystyle e>1} 时，曲线为双曲线。 椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。 抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。 双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。 在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。 椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。 双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于貫轴长（2a）。 对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是 a / e   {\displaystyle a/e\ } ，这里的 a   {\displaystyle a\ } 是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是 a e   {\displaystyle ae\ } 。 在圆的情况下， e = 0 {\displaystyle e=0} 且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。 圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。 对于一个给定的 a   {\displaystyle a\ } ， e   {\displaystyle e\ } 越接近于1，半短轴就越小。 在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的圖像可以表示圓錐曲線，并且所有圓錐曲線都以這種方式引出。方程有如下形式 Q ( x , y ) = A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} 此處參數 A {\displaystyle A\,} ， B {\displaystyle B\,} 和 C {\displaystyle C\,} 不得皆等於 0   {\displaystyle 0\ } 。 上述方程可以使用矩陣表示爲 [ x y ] [ A B / 2 B / 2 C ] [ x y ] + [ D E ] [ x y ] + F = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0} 亦可以寫作 [ x y 1 ] [ A B / 2 D / 2 B / 2 C E / 2 D / 2 E / 2 F ] [ x y 1 ] = 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0} 這是在射影幾何中使用的齊次形式的一個特例。 (参见齐次坐标) 下文中記 A 33 = [ A B / 2 B / 2 C ] {\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]} ，記 A Q = [ A B / 2 D / 2 B / 2 C E / 2 D / 2 E / 2 F ] {\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}} 。 藉由 A Q {\displaystyle A_{Q}} ，我們可以判定圓錐曲線是否退化。 若 det ( A Q ) = 0 {\displaystyle \det(A_{Q})=0} ，則圓錐曲線 Q {\displaystyle Q} 退化。 若 det ( A Q ) ≠ 0 {\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0} ，則圓錐曲線 Q {\displaystyle Q} 未退化。 若圓錐曲線未發生退化，則 若 det ( A 33 ) > 0 {\displaystyle \det(A_{33})>0} , 方程表示一個橢圓； 對於橢圓，當 ( A + C ) det ( A Q ) < 0 {\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0} 時， Q {\displaystyle Q} 爲一個實橢圓；當 ( A + C ) det ( A Q ) > 0 {\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0} 時 Q {\displaystyle Q} 爲一個虛橢圓。（例如， 2 x 2 + y 2 + 10 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0} 沒有任何實值解，是一個虛橢圓） 特別的，若 A = C {\displaystyle A=C} ， B = 0 {\displaystyle B=0} 且 D 2 + E 2 − 4 A F > 0 {\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,} ，作爲橢圓的特殊情況， Q {\displaystyle Q} 表示一個圓。 若 det ( A 33 ) = 0 {\displaystyle \det(A_{33})=0} ， Q {\displaystyle Q} 表示一條拋物線； 若 det ( A 33 ) < 0 {\displaystyle \det(A_{33})<0} ， Q {\displaystyle Q} 表示一條雙曲線； 若 A + C = 0 {\displaystyle A+C=0} ， Q {\displaystyle Q} 表示一條直角雙曲線。 若圓錐曲線發生退化，則 若 det ( A 33 ) > 0 {\displaystyle \det(A_{33})>0} ，作爲橢圓的退化， Q {\displaystyle Q} 爲一個點。 若 det ( A 33 ) = 0 {\displaystyle \det(A_{33})=0} ，作爲拋物線的退化， Q {\displaystyle Q} 爲兩條平行直線。 若 D 2 + E 2 > 4 ( A + C ) F {\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F} ， Q {\displaystyle Q} 爲兩條不重合的平行直線。 若 D 2 + E 2 = 4 ( A + C ) F {\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F} ， Q {\displaystyle Q} 爲兩條重合的平行直線。（特別的，此時 A Q {\displaystyle A_{Q}} 的秩爲1） 若 D 2 + E 2 < 4 ( A + C ) F {\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F} ， Q {\displaystyle Q} 直線不存在與實平面中。 若 det ( A 33 ) < 0 {\displaystyle \det(A_{33})<0} ，作爲雙曲線的退化， Q {\displaystyle Q} 爲兩條相交直線。（同時，也是雙曲線的漸近線） 在此處的表達中， A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 爲多項式係數，而非半長軸 A {\displaystyle A} 和半短軸 B {\displaystyle B} 。 矩陣 A Q {\displaystyle A_{Q}} 、 A 33 {\displaystyle A_{33}} 的行列式，以及 A + C {\displaystyle A+C} （ A 33 {\displaystyle A_{33}} 的跡）在任意的旋轉和座標軸的交換中保持不變。 常數項 F {\displaystyle F} 以及 D 2 + E 2 {\displaystyle D^{2}+E^{2}} 僅在旋轉中保持不變。 Q {\displaystyle Q} 的離心率可被寫作關於 Q {\displaystyle Q} 係數的函數。 若 det ( A 33 ) = 0 {\displaystyle \det(A_{33})=0} ， Q {\displaystyle Q} 爲 拋物線，其離心率爲1。其它情況下，假設 Q {\displaystyle Q} 表達一個未退化的橢圓或雙曲線，那麼 e = 2 ( A − C ) 2 + B 2 η ( A + C ) + ( A − C ) 2 + B 2 , {\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},} 此處若 det ( A Q ) {\displaystyle \det(A_{Q})} 爲負則 η = 1 {\displaystyle \eta =1} ；若 det ( A Q ) {\displaystyle \det(A_{Q})} 爲正則 η = − 1 {\displaystyle \eta =-1} 。 此外，離心率 e {\displaystyle e} 也是下述方程的一個正根 Δ e 4 + [ ( A + C ) 2 − 4 Δ ] e 2 − [ ( A + C ) 2 − 4 Δ ] = 0 , {\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,} 此處 Δ = det ( A 33 ) {\displaystyle \Delta =\det(A_{33})} 。對於橢圓或拋物線，該方程只有一個正根，即其離心率；對於雙曲線，其有兩個正根，其中的一個爲其離心率。 對於橢圓或雙曲線， Q {\displaystyle Q} 可用變換後的變量 x ′ , y ′ {\displaystyle x',y'} 表示爲如下所示的標準形式 x ′ 2 − S / λ 1 2 λ 2 + y ′ 2 − S / λ 1 λ 2 2 = 1 , {\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,} 或等價的 x ′ 2 − S / λ 1 Δ + y ′ 2 − S / λ 2 Δ = 1 , {\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,} 此處， λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 和 λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} 爲 A 33 {\displaystyle A_{33}} 的特徵值，也即下述方程的兩根： λ 2 − ( A + C ) λ + ( A C − ( B / 2 ) 2 ) = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0} 同時， S = det ( A Q ) {\displaystyle S=\det(A_{Q})} ， Δ = λ 1 λ 2 = det ( A 33 ) {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})} 。 透過座標變換，各種類型的圓錐曲線都可以表示爲其標準形式： 圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为 ℓ {\displaystyle \ell } ，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴 a {\displaystyle a} ，和半短轴 b {\displaystyle b} ，通过公式 a ℓ = b 2   {\displaystyle a\ell =b^{2}\ } 或 ℓ = a ( 1 − e 2 )   {\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ } 。 在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程 r = ℓ ( 1 − e cos ⁡ θ ) {\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}} ， 或者， 1 r = 1 ℓ ( 1 − e cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )} ， 如上，对于 e = 0 {\displaystyle e=0} 得到一个圆，对于 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} 得到椭圆，对于 e = 1 {\displaystyle e=1} 得到抛物线，对于 e > 1 {\displaystyle e>1} 得到双曲线。 在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为： A 1 x 2 + A 2 y 2 + A 3 z 2 + 2 B 1 x y + 2 B 2 x z + 2 B 3 y z = 0 {\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;} 或表示为矩阵： [ x y z ] . [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] . [ x y z ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0} 矩阵 M = [ A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}} 叫做“圆锥曲线矩阵”。 Δ = d e t ( M ) = | A 1 B 1 B 2 B 1 A 2 B 3 B 2 B 3 A 3 | {\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}} 叫做圆锥曲线的行列式。如果 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} 则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。 例如，圆锥曲线 [ x y z ] . [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 0 ] . [ x y z ] = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0} 退化为两相交直线： { x 2 − y 2 = 0 } = { ( x + y ) ( x − y ) = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x − y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}} 。 类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: { x 2 + 2 x y + y 2 = 0 } = { ( x + y ) 2 = 0 } = { x + y = 0 } ∪ { x + y = 0 } = { x + y = 0 } {\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}} 。 δ = | A 1 B 1 B 1 A 2 | {\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}} 被称为圆锥曲线的判别式。如果 δ = 0 {\displaystyle \delta =0} 则圆锥曲线是抛物线，如果 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 则是双曲线，如果 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 则是椭圆。如果 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 且 A 1 = A 2 {\displaystyle A_{1}=A_{2}} ，圆锥曲线是圆；如果 δ < 0 {\displaystyle \delta <0} 且 A 1 = − A 2 {\displaystyle A_{1}=-A_{2}} ，它是直角双曲线。可以证明在複射影平面 C P 2 {\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}} 中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根 > 1 {\displaystyle >1} 的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。 进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是 ( 1 , i , 0 ) {\displaystyle (1,i,0)} 和 ( 1 , − i , 0 ) {\displaystyle (1,-i,0)} ，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。 Brannan, Esplen & Gray 1999，第30頁 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help) Protter & Morrey 1970，第326頁 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help) Wilson & Tracey 1925，第153頁 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help) Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110. 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