階冪

在數學中，正整数的階冪（英語：expofactorial 或 exponential factorial）是所有小於及等於該數的正整數的冪，記作 n$ ，例如： 4 $ = 4 3 2 1 = 262144 {\displaystyle 4\$=4^{3^{2^{1}}}=262144} 。 階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。 前几项的階冪数为 1 , 2 , 9 , 262144 , ... （OEIS數列A049384） 階冪的增長率比階乘，甚至過級階乘還要快。到了5的階冪，已經是 5 $ = 5 262144 ≈ 6.206069878660874 × 10 183230 {\displaystyle 5\$=5^{262144}\approx 6.206069878660874\times 10^{183230}} 。 一般地說，對於正整數 n， n $ = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 3 2 1 {\displaystyle n\$=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}} 從上述公式中，可以推導出遞歸關係： { 1 $ = 1 n $ = n ( n − 1 ) $ {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}1\$&=1\\n\$&=n^{(n-1)\$}\end{aligned}}\right.} 。 遞迴關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立，例如： 5 $ = 5 4 $ 6 $ = 6 5 $ 50 $ = 50 49 $ {\displaystyle {\begin{aligned}5\$&=5^{4\$}\\6\$&=6^{5\$}\\50\$&=50^{49\$}\end{aligned}}} 階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘，階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中，遇到了困難。 與疊代冪次相似，由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義， 0 $ {\displaystyle 0\$} 並未定義。階冪亦不像階乘般，存在如伽瑪函數一樣的函數，作為其對實數以至複數的擴展。 類比於雙階乘，能夠為正整數 n 定義雙階冪（double expofactorial）。 當 n {\displaystyle n} 是單數， n $ $ = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) . . . 5 3 1 {\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{5}^{{3}^{1}}}}}}}}} 。 當 n {\displaystyle n} 是雙數， n $ $ = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) . . . 6 4 2 {\displaystyle n\$\$=n_{}^{(n-2)^{{(n-4)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{6}^{{4}^{2}}}}}}}}} 。 雙階冪能進一步推廣為多重階冪（multiple expofactorial）。 n $ ( m ) {\displaystyle n\$_{(m)}} 被称为 n 的 m 重階冪，定义为 n $ ( m ) = { 1   if  0 ≤ n < m n ( n − m ) $ ( m ) if  n ≥ m     {\displaystyle n\$_{(m)}=\left\{{\begin{aligned}&1\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<m\\&n^{(n-m)\$_{(m)}}&&{\mbox{if }}n\geq m\quad \ \ \,\end{aligned}}\right.} 。 例如， 7 $ ( 3 ) = 7 4 1 = 2401 {\displaystyle 7\$_{(3)}=7^{4^{1}}=2401} 。 類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘，我們能定義超級階冪（superexpofactorial）為首 n 個階冪的疊冪，記作 se ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {se} (n)} 。 se ⁡ ( n ) = n $ ( n − 1 ) $ ( n − 2 ) $ . . . 3 $ 2 $ 1 $ {\displaystyle \operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}} 例如， se ⁡ ( 3 ) = ( 3 2 1 ) ( 2 1 ) 1 = 81 {\displaystyle \operatorname {se} (3)={(3^{2^{1}})}^{({2^{1}})^{1}}=81} 前幾個超級階冪為 1 , 2 , 81, ... 第四个超級階冪值約為 7.975 × 10 438 {\displaystyle 7.975\times 10^{438}} 。 過級階冪（hyperexpofactorial）寫作 he ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {he} (n)} ，其定義為 he ⁡ ( n ) = n n n − 1 ( n − 1 ) n − 2 ( n − 2 ) . . . 3 3 2 2 1 1 {\displaystyle \operatorname {he} (n)={^{n}n}_{}^{{^{n-1}(n-1)}^{{^{n-2}(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{^{3}3}^{{^{2}2}^{^{1}1}}}}}}}}} ， 其中 b a {\displaystyle {^{b}a}} 表示疊代冪次。 例如， he ⁡ ( 3 ) = ( 3 3 3 ) ( 2 2 ) 1 {\displaystyle \operatorname {he} (3)={(3^{3^{3}})}^{({2^{2}})^{1}}} 前幾項的過級階冪為 1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ... 第四个過級階冪值約為 10 10 205.43 {\displaystyle 10^{10^{205.43}}} 。 倒數階冪（reciprocal expofactorial）是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪： 1 n ( 1 n − 1 ) ( 1 n − 2 ) . . . ( 1 3 ) ( 1 2 ) 1 {\displaystyle {\frac {1}{n}}_{}^{({\frac {1}{n-1}})^{({{\frac {1}{n-2}})}^{.\,^{.\,^{.\,^{{({\frac {1}{3}})}^{{({\frac {1}{2}})}^{1}}}}}}}}} 。 首 n 個階冪的和為 ∑ k = 1 n k $ = 1 $ + 2 $ + 3 $ + ⋯ + n $ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\$=1\$+2\$+3\$+\cdots +n\$} 。 首 n 個階冪的積為 ∏ k = 1 n k $ = 1 $ × 2 $ × 3 $ × ⋯ × n $ {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k\$=1\$\times 2\$\times 3\$\times \cdots \times n\$} 。 以上兩個數值的增長率，要比階冪本身還要快。 首 n 個階冪倒數的和為 ∑ k = 1 n 1 k $ = 1 + 1 2 $ + 1 3 $ + ⋯ + 1 n $ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\$}}=1+{\frac {1}{2\$}}+{\frac {1}{3\$}}+\cdots +{\frac {1}{n\$}}} 。 當 n 趨向無窮大，其值收斂於 1.6111149258083767361111... {\displaystyle 1.6111149258083767361111...} 。（OEIS數列A080219） 階加 階乘 Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley. Jonathan Sondow, "Exponential Factorial （页面存档备份，存于互联网档案馆）" From Mathworld, a Wolfram Web resource Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.