牛頓-寇次公式

在數值分析上，梯形法則和辛卜生法則均是數值積分的方法。它們都是計算定積分的。 這兩種方法都屬於牛頓-寇次公式。它們以函數於等距 n + 1 {\displaystyle n+1} 點的值，取得一個 n {\displaystyle n} 次的多項式來近似原來的函數，再行求積。 梯形法則是： ∫ a b f ( x ) d x ≈ ( b − a ) f ( a ) + f ( b ) 2 . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.} 這等同將被積函數近似為直線函數，被積的部分近似為梯形。 要求得較準確的數值，可以將要求積的區間分成多個小區間，再個別估計，即： ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a n ( f ( a ) + f ( b ) 2 + ∑ k = 1 n − 1 f ( a + k b − a n ) ) . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right).} 可改寫成 ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 2 n ( f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + ⋯ + 2 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{2n}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)} 其中 對 k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle k=0,1,\dots ,n} ， x k = a + k b − a n , {\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}},} 。 辛普森法则（Simpson's rule，又稱森遜法則）是： ∫ a b f ( x ) d x ≈ b − a 6 [ f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].} 同樣地，辛普森法则也有多重的版本： ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 ⋅ [ f ( x 0 ) + 2 ∑ k = 1 n − 1 f ( x k ) + 4 ∑ k = 1 n f ( x k − 1 + x k 2 ) + f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\cdot \left[f(x_{0})+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_{k})+4\sum _{k=1}^{n}f\left({\frac {x_{k-1}+x_{k}}{2}}\right)+f(x_{n})\right]} h = b − a n ,   x k = a + k ⋅ h . {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}},\ x_{k}=a+k\cdot h.} 或寫成 ∫ a b f ( x ) d x ≈ h 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + ⋯ + 4 f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}} 牛頓-寇次公式（Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula）以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是： ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n w i f ( x i ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})} 其中對 k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle k=0,1,\dots ,n} ， w i {\displaystyle w_{i}} 是常數（由 n {\displaystyle n} 的值決定）， x k = a + k b − a n {\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n}}} 。 梯形法則和辛卜生法則便是 n = 1 , 2 {\displaystyle n=1,2} 的情況。 亦有不採用在邊界點來估計的版本，即取 x k = a + k b − a n + 1 {\displaystyle x_{k}=a+k{\frac {b-a}{n+1}}} 。 假設已知 f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , … , f ( x n ) {\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})} 的值。 以 n + 1 {\displaystyle n+1} 點進行插值，求得對應 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的拉格朗日多項式。 對該 n {\displaystyle n} 次的多項式求積。 該積分便可以作為 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} 的近似，而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數（由 n {\displaystyle n} 決定其值），所以積函數的係數（即 w i {\displaystyle w_{i}} ）都是常數。 對於次數較高的多項式而有很大誤差（龍格現象），不如高斯積分法。 下表中 f i = f ( x i ) {\displaystyle f_{i}=f(x_{i})} ， ξ ∈ [ a , b ] {\displaystyle \xi \in [a,b]} ， h = b − a {\displaystyle h=b-a} M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Section 25.4.) George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Section 5.1.) William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 4.1.) Josef Stoer and Roland Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis. New York: Springer-Verlag, 1980. (See Section 3.1.) 黃 Sir 的計算機網頁: Numerical Integration : Trapezoidal Rule and Simpson's Rule （页面存档备份，存于互联网档案馆）