康托尔分布

康托尔分布是一种累积分布函数是康托尔函数的概率分布。 该分布即没有概率密度函数，也没有概率质量函数，因为虽然其累积分布函数是一个连续函数，但其分布在勒贝格测度意义下既不是绝对连续的，也没有任何点质量。 因此它既不离散的概率分布，也不是一个绝对连续的概率分布，同时不是这两个混合的概率分布。相反，它是一个奇异分布的例子。 其累积分布函数是处处连续的，但也几乎处处水平，所以有时被称为魔鬼的楼梯，虽然这个用语有更广泛的意义。 康托尔分布的基础是康托集，本身是多个可数无限集的交: C 0 = [ 0 , 1 ] C 1 = [ 0 , 1 / 3 ] ∪ [ 2 / 3 , 1 ] C 2 = [ 0 , 1 / 9 ] ∪ [ 2 / 9 , 1 / 3 ] ∪ [ 2 / 3 , 7 / 9 ] ∪ [ 8 / 9 , 1 ] C 3 = [ 0 , 1 / 27 ] ∪ [ 2 / 27 , 1 / 9 ] ∪ [ 2 / 9 , 7 / 27 ] ∪ [ 8 / 27 , 1 / 3 ] ∪ [ 2 / 3 , 19 / 27 ] ∪ [ 20 / 27 , 7 / 9 ] ∪ [ 8 / 9 , 25 / 27 ] ∪ [ 26 / 27 , 1 ] C 4 = [ 0 , 1 / 81 ] ∪ [ 2 / 81 , 1 / 27 ] ∪ [ 2 / 27 , 7 / 81 ] ∪ [ 8 / 81 , 1 / 9 ] ∪ [ 2 / 9 , 19 / 81 ] ∪ [ 20 / 81 , 7 / 27 ] ∪ [ 8 / 27 , 25 / 81 ] ∪ [ 26 / 81 , 1 / 3 ] ∪ [ 2 / 3 , 55 / 81 ] ∪ [ 56 / 81 , 19 / 27 ] ∪ [ 20 / 27 , 61 / 81 ] ∪ [ 62 / 81 , 21 / 27 ] ∪ [ 8 / 9 , 73 / 81 ] ∪ [ 74 / 81 , 25 / 27 ] ∪ [ 26 / 27 , 79 / 81 ] ∪ [ 80 / 81 , 1 ] C 5 = ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}={}&[0,1]\\[8pt]C_{1}={}&[0,1/3]\cup [2/3,1]\\[8pt]C_{2}={}&[0,1/9]\cup [2/9,1/3]\cup [2/3,7/9]\cup [8/9,1]\\[8pt]C_{3}={}&[0,1/27]\cup [2/27,1/9]\cup [2/9,7/27]\cup [8/27,1/3]\cup \\[4pt]{}&[2/3,19/27]\cup [20/27,7/9]\cup [8/9,25/27]\cup [26/27,1]\\[8pt]C_{4}={}&[0,1/81]\cup [2/81,1/27]\cup [2/27,7/81]\cup [8/81,1/9]\cup [2/9,19/81]\cup [20/81,7/27]\cup \\[4pt]&[8/27,25/81]\cup [26/81,1/3]\cup [2/3,55/81]\cup [56/81,19/27]\cup [20/27,61/81]\cup \\[4pt]&[62/81,21/27]\cup [8/9,73/81]\cup [74/81,25/27]\cup [26/27,79/81]\cup [80/81,1]\\[8pt]C_{5}={}&\cdots \end{aligned}}} 康托尔分布对任何 Ct (t ∈ { 0, 1, 2, 3, ... }) 中 2t 个包含康托尔分布随机变量的特定区间，都有独特的概率 2-t. 通过对称性很容易看出，具有这样分布的一个随机变量 X，其期望值 E(X) = 1/2，且所有 X 的奇数阶中心矩都是 0。 方差 var(X) 可由总方差定律（英语：Law of total variance）求得。具体操作如下：对上述集合 C1，如果 X ∈ [0,1/3] 则令 Y = 0，如果 X ∈ [的2/3，1]，令 Y = 1。然后有 var ⁡ ( X ) = E ⁡ ( var ⁡ ( X ∣ Y ) ) + var ⁡ ( E ⁡ ( X ∣ Y ) ) = 1 9 var ⁡ ( X ) + var ⁡ { 1 / 6 with probability   1 / 2 5 / 6 with probability   1 / 2 } = 1 9 var ⁡ ( X ) + 1 9 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (X)&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (X\mid Y))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (X\mid Y))\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+\operatorname {var} \left\{{\begin{matrix}1/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\\5/6&{\mbox{with probability}}\ 1/2\end{matrix}}\right\}\\&={\frac {1}{9}}\operatorname {var} (X)+{\frac {1}{9}}\end{aligned}}} 从而我们得到： var ⁡ ( X ) = 1 8 . {\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{8}}.} 任意偶数阶中心矩的封闭表达式可由：先获得偶数项累积量[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） κ 2 n = 2 2 n − 1 ( 2 2 n − 1 ) B 2 n n ( 3 2 n − 1 ) , {\displaystyle \kappa _{2n}={\frac {2^{2n-1}(2^{2n}-1)B_{2n}}{n\,(3^{2n}-1)}},\,\!} 其中 B2n 是 第2n 个 伯努利数，然后用该累积量的方程作为矩的表达。 Falconer, K. J. Geometry of Fractal Sets. Cambridge & New York: Cambridge Univ Press. 1985.  Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and Abstract Analysis. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. 1965.  Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing. Fourier Asymptotics of Cantor Type Measures at Infinity. Proc. A.M.S. 130 (9). 2002: 2711–2717.  Knill, O. Probability Theory & Stochastic Processes. India: Overseas Press. 2006.  Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, CA: WH Freeman & Co. 1982.  Mattilla, P. Geometry of Sets in Euclidean Spaces. San Francisco: Cambridge University Press. 1995.  Saks, Stanislaw. Theory of the Integral. Warsaw: PAN. 1933.  (Reprinted by Dover Publications, Mineola, NY. Morrison, Kent. Random Walks with Decreasing Steps (PDF). Department of Mathematics, California Polytechnic State University. 1998-07-23 [2007-02-16]. （原始内容 (PDF)存档于2015-12-02）.