射影定理

射影定理（台灣稱「母子相似定理」)（英語：Geometric Mean Theorem），又稱歐幾里得定理（英語：Euclid's theorem），是平面幾何中的一個定理。這個定理指出，在一個直角三角形中，一條直角邊的平方，相等於三角形的斜邊乘以該直角邊在斜邊上的正投影。這個定理出現在歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中，是第 47 個命題畢氏定理證明過程的一部分。 在 ΔABC 中，∠C = 90°。設 CD 在 AB 的上的高，則有： A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB} B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB} C D 2 = A D ⋅ B D {\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD} 在這裡，AD 及 BD 分別是 AC 及 BC 在底邊 AB 的正投影，故定理以此為名。 注意到 ΔABC 與 ΔACD 是相似三角形。因此可得 A B A C = A C A D {\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {AC}{AD}}} 整理可得 A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB} 同理，考慮相似三角形 ΔABC 與 ΔCBD，可得 A B B C = B C B D {\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BC}{BD}}} 整理可得 B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB} 證明完畢。 在上面的 ΔABC 中，我們有： A B ⋅ C D = A C ⋅ B C {\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC} 考慮三角形的面積，即可容易地證明。 勾股定理，是歐幾里得所著《幾何原本》第一卷當中的第 47 個命題。這個定理指出： A B 2 = A C 2 + B C 2 {\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}} 勾股定理與射影定理有密切關係。事實上，在《幾何原本》中，射影定理正是該證明過程的一部分。從射影定理可知： A C 2 = A D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB} B C 2 = B D ⋅ A B {\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB} 將兩條等式相加，則可得： A C 2 + B C 2 = A D ⋅ A B + B D ⋅ A B {\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB} 由於 AD + BD = AB，因此可得： A B 2 = A C 2 + B C 2 {\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}} 證明完畢。 幾何平均定理（英语：Geometric mean theorem），是在《幾何原本》第六卷中的第 8 個命題。這個定理指出： C D 2 = A D ⋅ B D {\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD} 也就是說，CD 是 AD 和 BD 的幾何平均。 與射影定理一樣，幾何平均定理可從相似三角形得證。 對於 ∠C ≠ 90° 的情況，三角形邊長的正投影可用餘弦求得： A D = A C cos ⁡ ∠ A {\displaystyle AD=AC\cos \angle A} B D = B C cos ⁡ ∠ B {\displaystyle BD=BC\cos \angle B} 以上結果從餘弦的定義直接可得。 把上面兩式相加，即可得： A B = A C cos ⁡ ∠ A + B C cos ⁡ ∠ B {\displaystyle AB=AC\cos \angle A+BC\cos \angle B} 以上公式，又被稱為「第一餘弦定理」。然而，一般「餘弦定理」所指的，是另一條定理（「第二餘弦定理」），詳見餘弦定理。 射影定理在三維空間上，也有相應的推廣。設三直角四面體（英语：Trirectangular tetrahedron） ABCD 中，∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又設 D 在斜面 ΔABC 的正投影為 E。我們則有： [ △ A D B ] 2 = [ △ A E B ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]} [ △ A D C ] 2 = [ △ A E C ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]} [ △ B D C ] 2 = [ △ B E C ] ⋅ [ △ A B C ] {\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]} 其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面積。 把以上三條等式相加，則可得德古阿定理： [ △ A B C ] 2 = [ △ A D B ] 2 + [ △ A D C ] 2 + [ △ B D C ] 2 {\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}} 德古阿定理可以視為畢氏定理在三維空間上的其中一種推廣。 在四面體 ABCD 中，設 ΔABC 為底面。又設 D 在 ΔABC 的正投影為 E。我們則有： A E = A D cos ⁡ α {\displaystyle AE=AD\cos \alpha } B E = B D cos ⁡ β {\displaystyle BE=BD\cos \beta } C E = C D cos ⁡ γ {\displaystyle CE=CD\cos \gamma } 其中 α 、β 及 γ 分別是 AD 、BD 及 CD 與底面 ΔABC 的夾角。 另外亦有： [ △ A B E ] = [ △ A B D ] cos ⁡ θ {\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta } [ △ A C E ] = [ △ A C D ] cos ⁡ ϕ {\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi } [ △ B C E ] = [ △ B C D ] cos ⁡ ψ {\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi } 其中 θ 、ϕ 及 ψ 分別是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 與底面 ΔABC 的夾角。 將上面三條等式相加，可得： [ △ A B C ] = [ △ A B D ] cos ⁡ θ + [ △ A C D ] cos ⁡ ϕ + [ △ B C D ] cos ⁡ ψ {\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi } 是上面提到「第一餘弦定理」的三維推廣。 更進一步地說，面積為 S 的任意平面圖形，在底面的正投影的面積 Sproj，都可用餘弦求得： S p r o j = S cos ⁡ θ {\displaystyle S_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta } 其中 θ 是該平面圖形與底面的夾角。 曹才翰 主編; 沈復興, 孫瑞清, 餘炯沛等 副編. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 瀋陽出版社. 1991. ISBN 9787805564241.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2021-02-24）.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引用错误：带有name属性“Euclid_I47”的<ref>标签用不同内容定义了多次 Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-03）.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 順天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-15）.  Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2012-10-02）.  正投影 直角三角形 三直角四面體（英语：Trirectangular tetrahedron） 畢氏定理 幾何平均定理（英语：Geometric mean theorem） 德古阿定理