概形論術語

這是概形論術語。欲知代數幾何中概形的簡介，請見條目仿射概形、射影空間、層及概形。本條目旨在列出概形論中的基本技術定義與性質。 一個概形 S {\displaystyle S} 是一個局部賦環空間，故也是拓撲空間，但「 S {\displaystyle S} 的點」具有三重涵義： 拓撲空間意義下的點。 T {\displaystyle T} -值點：對任一概形 T {\displaystyle T} ，一個 T {\displaystyle T} -值點是指一個態射 T → S {\displaystyle T\to S} 。 幾何點：當 S {\displaystyle S} 定義在一個域 K {\displaystyle K} 上時（換言之 S {\displaystyle S} 是 S p e c ( K ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (K)} -概形），一個幾何點乃是一個 S p e c ( K ¯ ) {\displaystyle \mathrm {Spec} ({\overline {K}})} -值點，其中 K ¯ {\displaystyle {\overline {K}}} 表 K {\displaystyle K} 的代數閉包。 幾何點是古典問題的主角，例如對複代數簇而言，通常說「點」即指幾何點。拓撲空間的點包括一般點的類比（相對於扎里斯基而非韋伊的理論）。藉由米田引理，考慮所有的概形 T {\displaystyle T} 與所有 T {\displaystyle T} -值點，可以將概形 S {\displaystyle S} 理解為相應的可表函子 h S {\displaystyle h_{S}} ，此觀念是代數幾何發展史上的一大步。 在格羅滕迪克的相對幾何框架下，一態射的纖維有三重涵義： 一個點（拓撲意義下）的逆像。 兩個態射的纖維積：對於仿射概形，纖維積對應到環的張量積。 幾何纖維：設 S , S ′ {\displaystyle S,S'} 為 S p e c ( K ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (K)} -概形（ K {\displaystyle K} 為域）， f : S → S ′ {\displaystyle f:S\to S'} 為一 S p e c ( K ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (K)} -態射， P : S p e c ( K ¯ ) → S ′ {\displaystyle P:\mathrm {Spec} ({\overline {K}})\to S'} 為一幾何點，則 P {\displaystyle P} 點的幾何纖維定義為相應的纖維積 S × S S p e c ( K ¯ ) {\displaystyle S\times _{S}\mathrm {Spec} ({\overline {K}})} 。 概形的大部分性質都是「局部的」，換言之： X {\displaystyle X} 具有性質甲，若且唯若對其任一開覆蓋 X = ⋃ i X i {\displaystyle X=\bigcup _{i}X_{i}} ，每個 X i {\displaystyle X_{i}} 皆具性質甲；而通常只要對一組開覆蓋驗證即可。這類性質有時也被稱為「扎里斯基局部」的，藉以區別對於其他格羅滕迪克拓撲的情形（如平展拓撲）。 考慮一概形 X {\displaystyle X} 及一組仿射開子概形 S p e c A i {\displaystyle \mathrm {Spec} A_{i}} 組成的開覆蓋。藉此可將概形的局部性質翻譯為交換環的性質。一個性質甲在上述意義下是局部的，若且唯若相應的環性質在局部化之下不變。 舉例明之，局部諾特概形是能由諾特環的交換環譜覆蓋的概形。由於諾特環的局部化仍為諾特環，局部諾特性確實是上述意義下的局部性質。另一個例子是既約概形，這也是局部性質，因為若一個交換環無冪零元，則其局部化亦然。 分離概形並非局部性質：任何仿射概形都是分離概形，因此任何概形都是「局部分離」的，然而存在非分離的概形。 以下是環的局部性質列表（不全），由此可定義概形的相應性質。以下令 X := ⋃ i S p e c A i {\displaystyle X:=\bigcup _{i}\mathrm {Spec} A_{i}} 為一概形之開覆蓋。 格羅滕迪克的基本理念之一是強調「相對」性，亦即置重點於態射的性質。概形範疇有一終對象 S p e c Z {\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} } ，所以任何概形可以唯一地理解為 S p e c Z {\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} } -概形，藉此可以從態射性質定義概形本身的性質。 以下令 f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} 為概形間的態射。一如既往，以下的性質也是局部的，即：若存在開覆蓋 X = ⋃ U i {\displaystyle X=\bigcup U_{i}} 使得 f {\displaystyle f} 在 f − 1 ( U i ) {\displaystyle f^{-1}(U_{i})} 上的限制帶有該性質，則 f {\displaystyle f} 本身也帶該性質。 若一個態射在拓撲空間上是開映射，則稱此態射為開態射；閉態射的定義類似。平坦態射皆為開態射。 若 f ( Y ) {\displaystyle f(Y)} 在 X {\displaystyle X} 中稠密，則稱此態射為優勢態射（英文：dominant morphism，法文：morphisme dominant）。對於仿射概形，優勢態射對應到環的單射同態。 開浸入：若 f {\displaystyle f} 同構於一個開子概形的包含映射，則稱之為開浸入。 閉浸入：若 f {\displaystyle f} 同構於一個閉子概形的包含映射，則稱之為閉浸入。閉浸入在局部上對應到環的商同態。閉浸入可以如下刻劃： f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} 是閉浸入，若且唯若 f {\displaystyle f} 在拓撲空間的意義下是個閉浸入（ f : Y → f ( Y ) {\displaystyle f:Y\to f(Y)} 是同胚，且 f ( Y ) {\displaystyle f(Y)} 是 X {\displaystyle X} 中的閉集），而且 f # : O X → f ∗ O Y {\displaystyle f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}} 是滿射。 浸入：閉浸入與開浸入的合成。 開浸入僅關乎拓撲，而閉浸入則與結構層有關。概形的閉子集可以帶有多種閉子概形結構，其中存在一個始對象，使得其結構層不含冪零元，稱為該閉子集對應的既約子概形。 若 X {\displaystyle X} 的仿射開子概形對 f {\displaystyle f} 的逆像仍為仿射概形，則稱 f {\displaystyle f} 為仿射態射。用較炫的說法：仿射態射係來自 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -代數的整體 S p e c {\displaystyle \mathbf {Spec} } 構造，這是整體版本的交換環譜。例子包括向量叢。 射影態射的定義類似，此時對應到分次 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} -代數的整體 P r o j {\displaystyle \mathbf {Proj} } 構造，另一種等價的刻劃是： f {\displaystyle f} 是射影態射，若且唯若它可分解為閉浸入 Y → P X n := P n × X {\displaystyle Y\to \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times X} 及自然投影 P X n → X {\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}\to X} 。 分離態射：使得對角態射 Δ Y / X : Y → Y × X Y {\displaystyle \Delta _{Y/X}:Y\to Y\times _{X}Y} 為閉浸入的態射，此概念對應到拓撲學中的豪斯多夫空間。 真態射：即滿足下列性質的態射 分離態射 泛閉（即：任一閉浸入 s : Z → X {\displaystyle s:Z\to X} 在對 f {\displaystyle f} 取纖維積後仍為閉浸入） 有限型 若 X {\displaystyle X} 有一組仿射開覆蓋 S p e c A i {\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}} ，使得態射 f − 1 ( S p e c A i ) → S p e c A i {\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})\to \mathrm {Spec} \,A_{i}} 對應到 S p e c B i → S p e c A i {\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{i}\to \mathrm {Spec} \,A_{i}} ，使得 B i {\displaystyle B_{i}} 是有限 A i {\displaystyle A_{i}} -模，則稱此態射為有限態射。 若將上述條件改為： f − 1 ( S p e c A i ) {\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})} 有一組仿射開覆蓋 S p e c B i j {\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}} ，使得 S p e c B i j {\displaystyle \mathrm {Spec} \,B_{ij}} 是有限生成的 S p e c A i {\displaystyle \mathrm {Spec} \,A_{i}} -代數，則稱此態射為局部有限型態射；若上述開覆蓋 f − 1 ( S p e c A i ) = ⋃ j S p e c B i j {\displaystyle f^{-1}(\mathrm {Spec} \,A_{i})=\bigcup _{j}\mathrm {Spec} \,B_{ij}} 可取為有限的，則稱之有限型態射。代數幾何中探討的多數態射都是有限型態射。 若 f {\displaystyle f} 的纖維都是有限的，且是有限型態射，則稱之為擬有限態射。有限態射皆為擬有限態射。 若 f {\displaystyle f} 在結構層的莖上給出平坦同態，則稱之為平坦態射。視此態射為一族以 X {\displaystyle X} 的點為參數的概形，則平坦性可詮釋為纖維在變形下的某些良好性質，例如希爾伯特多項式的不變性。 對一點 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ，考慮相應的環同態： f # : O X , f ( y ) → O Y , y . {\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}.} 令 m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} 為 O X , f ( y ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}} 的極大理想，並設 n := f # ( m ) O Y , y {\displaystyle {\mathfrak {n}}:=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}} 若對所有 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ， n {\displaystyle {\mathfrak {n}}} 是 O Y , y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}} 的極大理想，且導出的映射 O X , f ( y ) / m → O Y , y / n {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}} 是有限、可分的代數擴張，則稱此態射為非分歧態射。 平坦的非分歧態射稱為平展態射，此外尚有多種等價定義。在代數簇的情形，平展態射恰好是在切空間上導出同構的態射，這正好是微分幾何中平展態射的定義。 平滑態射對應到拓撲學中的塞爾纖維化映射，在代數幾何中有多種定義： f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} 是有限型平坦態射，且 Ω Y / X 1 {\displaystyle \Omega _{Y/X}^{1}} 是局部自由 O Y {\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}} -模，其秩為 dim ⁡ Y − dim ⁡ X {\displaystyle \dim Y-\dim X} 。 f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} 可分解為某個平展態射 g : Y → A X n {\displaystyle g:Y\to \mathbb {A} _{X}^{n}} 及自然投影 p : A X n → X {\displaystyle p:\mathbb {A} _{X}^{n}\to X} 之合成。 形式判準：對任何交換環 A {\displaystyle A} 及其理想 I {\displaystyle I} ，並滿足 I 2 = ( 0 ) {\displaystyle I^{2}=(0)} ，則 H o m X ( S p e c ( A ) , Y ) → H o m X ( S p e c ( A / I ) , Y ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A),Y)\to \mathrm {Hom} _{X}(\mathrm {Spec} (A/I),Y)} 是滿射。 Crib Sheet: Properties of Morphisms of Schemes, Johan de Jong Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : I. Le langage des schémas. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1960, 4: 5–228 [2022-01-03]. （原始内容存档于2016-03-06）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1961, 8: 5–222 [2022-01-03]. （原始内容存档于2017-01-12）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Eléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné) : III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie. 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