超現實數

在數學上，超現實數系統（英語：Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域（英语：Levi-Civita field）、上超實數域（英语：Superreal number）和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。 超現實數是由約翰·何頓·康威（John Horton Conway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納（Donald Knuth）在他的書《研究之美》中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。 康威使用递归构造了超现实数，其中每个数都是两个数集构成的序对，记为 { L | R } {\displaystyle \{L|R\}} 。这两个集合要求 L {\displaystyle L} 里的每个元素都严格小于每个 R {\displaystyle R} 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字： { 1 | 3 } = { 3 2 | 5 2 } = 2 {\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2} 。 让我们先来看几个简单的例子。 { | } = 0 {\displaystyle \{|\}=0} { 0 | } = 1 {\displaystyle \{0|\}=1} { 1 | } = 2 {\displaystyle \{1|\}=2} { | 0 } = − 1 {\displaystyle \{|0\}=-1} { | − 1 } = − 2 {\displaystyle \{|-1\}=-2} 因此整数都是超现实数。（以上几行是定义而非等式。） { 0 | 1 } = 1 2 {\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}} { 0 | 1 2 } = 1 4 {\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}} { 1 2 | 1 } = 3 4 {\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}} 至此我们可以通过超现实数定义二进分数（分母为2的幂次的分数）。 为了定义更多的实数，我们可以将使用无限的左右集合： 1 3 = { 0 , 1 4 , 5 16 , … | 1 2 , 3 8 , … } {\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}} ， π = { 3 , 25 8 , 201 64 , … | 4 , 7 2 , 13 4 , 51 16 , … } {\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}} ，事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。 根据归纳法，我们可以构造出 ω = { 0 , 1 , 2 , 3 … | } {\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}} ， ω − 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 … | ω } {\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}} 等无穷大的数， 1 ω = { 0 | 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 … } {\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}} 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。 我们定义 P 0 = 0 {\displaystyle P_{0}={0}} 。 若 x = { L | R } ,   L , R ⊂ P i {\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}} 且 x ∉ P i {\displaystyle x\not \in P_{i}} ，那么 x ∈ P i + 1 {\displaystyle x\in P_{i+1}} ，这在直观上等价于“ x {\displaystyle x} 是在第 i {\displaystyle i} 天中出生的”。 那么我们可以观察发现： 1 , − 1 ∈ P 1 {\displaystyle 1,-1\in P_{1}} 2 , − 2 , 1 2 , − 1 2 ∈ P 2 {\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}} π , ω , 1 3 ∈ P ω {\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }} ω − 1 , ω + 1 ∈ P ω + 1 {\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}} ω + π ∈ P 2 ω {\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }} ，其中 2 ω = { 0 , 1 , 2 , … , ω + 1 , ω + 2 , … | } {\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}} ∀ i ∈ O r d : i ∈ P i {\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}} 我们将超现实数集合称作 N o {\displaystyle \mathbb {No} } 。 给定 x = { X L | X R } ,   y = { Y L | Y R } {\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}} ，我们（递归地）定义 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 当且仅当以下两命题同时成立： 没有一个 x L ∈ X L {\displaystyle x_{L}\in X_{L}} 符合 y ≤ x L {\displaystyle y\leq x_{L}} ， 没有一个 y R ∈ Y R {\displaystyle y_{R}\in Y_{R}} 符合 y R ≤ x {\displaystyle y_{R}\leq x} 。 那么可以自然地定义 x < y , x > y , x = y , x ≥ y {\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y} 。可以证明，这样的二元关系是一个全序关系。 我们分别将 x < 0 , x > 0 , x ≤ 0 , x ≥ 0 {\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0} 称为 x {\displaystyle x} 负、 x {\displaystyle x} 正、 x {\displaystyle x} 非正、 x {\displaystyle x} 非负。 我们定义 x ‖ y {\displaystyle x\|y} 表示 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 与 y ≤ x {\displaystyle y\leq x} 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在，但是这个关系会在之后的博弈章节出现。 我们定义超现实数之间的加法为 x + y = { X L + y ∪ x + Y L | X R + y ∪ x + Y R } {\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}} ，其中 X + y = { x + y | x ∈ X } , x + Y = { x + y | y ∈ Y } {\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}} 。 我们定义负号（加法逆元）为 − x = { − X R | − X L } {\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}} ，其中 − X = { − x | x ∈ X } {\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}} 。 可以验证这两个运算构成了（真类上的）阿贝尔群。 我们定义乘法运算为 x y = { ( X L y + x Y L − X L Y L ) ∪ ( X R y + x Y R − X R Y R ) | ( X L y + x Y R − X L Y R ) ∪ ( X R y + x Y L − X R Y L ) } {\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}} ，其中 X Y = { x y | x ∈ X , y ∈ Y } ,   x Y = { x } Y ,   X y = X { y } {\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}} 。 我们定义（正数的）乘法逆元为 1 y = { 0 , 1 + ( y R − y ) ( 1 y ) L y R , 1 + ( y L − y ) ( 1 y ) R y L | 1 + ( y L − y ) ( 1 y ) L y L , 1 + ( y R − y ) ( 1 y ) R y R } {\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}} ，这样除法就是 x y = x ( 1 y ) {\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)} 。我们可以发现这个定义是递归的，但是实际上这个数字是良定义的：我们取 y = 3 = { 2 | } {\textstyle y=3=\{2|\}} 那么 1 3 {\textstyle {\frac {1}{3}}} 会有一个 0 {\textstyle 0} 作为左项，导致了 1 + ( 2 − 3 ) 0 2 = 1 / 2 {\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2} 会是一个右项。这又意味着 1 + ( 2 − 3 ) ( 1 2 ) 2 = 1 4 {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}} 作为左项、 1 + ( 2 − 3 ) ( 1 4 ) 2 = 3 8 {\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}} 作为右项，以此类推，所以我们有 1 3 = { 0 , 1 4 , 5 16 , … | 1 2 , 3 8 , … } {\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}} （考虑两边的序列在实数中分别收敛到 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ，因此是相容的）。 对于负数，我们定义 1 x = − 1 − x ( x < 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)} 。 有理数、实数、序数分别是超现实数的子集。 所有二进分数都可以定义为超现实数，而所有分数都可以表示为两个整数之比，因此所有有理数都可以表示为超现实数。 在定义出了有理数之后，使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。 假设 x ∈ R , x = A | A ′ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'} ，其中 A , A ′ ⊂ Q {\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} } ，那么立刻可知存在 X ∈ N o , X = { f ( A ) | f ( B ) } {\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}} 是 x {\displaystyle x} 的一个超现实数表示，其中 f : Q → N o {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} } 是有理数到超现实数的域同態。 我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为 O r d {\displaystyle \mathbb {Ord} } ，那么我们有： f : O r d → N o ,   f ( X ) = { f ( x ) , x ∈ X | } {\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}} 这样的同态可以保持序关系的结构，但是并不能保证算术的一一对应，比如 ω − 1 {\displaystyle \omega -1} 这一式子的值在序数中的结果是 ω {\displaystyle \omega } ，而在超现实数中则是 { 0 , 1 , 2 , … | ω } {\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}} . 如果去除超现实数定义中对所有 L < R {\displaystyle L<R} 的约定，那么这样（递归）定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以（一模一样的）定义加法、加法逆元以及比较。 显然，所有的超现实数都是游戏，但并非所有游戏都是超现实数，例如 ⋆ = { 0 | 0 } {\displaystyle \star =\{0|0\}} 就不是，其满足 ⋆ ‖ 0 {\displaystyle \star \|0} 。 可以发现，所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏，其中左集合表示第一位玩家（下称左玩家）可以走到的局面，右集合则表示第二位玩家（下称右玩家）的选择，不能操作者负。 两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏，而每个玩家选择其中一个进行操作，不能操作者负。 我们可以发现，这个游戏的胜负取决于 G {\displaystyle G} 和 0 {\displaystyle 0} 的相对关系。 若 G = 0 {\displaystyle G=0} ，则后手必胜。 若 G > 0 {\displaystyle G>0} ，则左玩家必胜。 若 G < 0 {\displaystyle G<0} ，则右玩家必胜。 若 G ‖ 0 {\displaystyle G\|0} ，则先手必胜（英語：fuzzy game）。 有以下这些特殊的游戏： ⋆ = { 0 | 0 } {\displaystyle \star =\{0|0\}} ↑= { 0 | ⋆ } ,   ↓= { ⋆ | 0 } {\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}} ± 1 = { 1 | − 1 } {\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}} 可以发现，关于他们有这么几个性质： ⋆ ‖ 0 {\displaystyle \star \|0} ∀ i : − 1 ≤ i ≤ 1 ⟹ ± 1 ‖ i {\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i} ∀ x ∈ N o , x > 0 : − x <↓< 0 <↑< x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x} （比所有超现实数更接近0） ⋆ + ⋆ =↑ + ↓= 0 {\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0} ( ↑ + ⋆ ) ‖ 0 ,   ↑ + ↑ + ⋆ > 0 {\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0} 可以用于分析复杂的游戏。 超現實數（Surreal） 無窮量（Infinitesimal） 格羅滕迪克宇集 但當初在使用馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論來建立超現實數理論時，全體超現實數並不構成集合，而只構成真類，因此使用「域」（field）此一術語看來不甚精確；在嚴格區分集合和真類顯然重要時，有些作者會使用首字母大寫的「Field」或全大寫的「FIELD」來指稱那些其實是真類，但又具有域的算術性質的對象。暫時可稱作「琙」（音同域）或「真類域」。如想得到一個真正的、作為集合的域，可以把構造限制在格羅滕迪克宇集中，這樣的話就得到一個集合，其基數為一種強不可達基數；又或者使用另一種形式的集合論，在其中，任何超限遞歸構造總要在可數序數（比如 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} ,即艾普塞朗數）處停下。 Surreal number正式中文譯名尚未出現，但英語Surreal（英语：Surreal）一詞與Surrealism聯繫起來的話，在中文裡後者譯為「超現實主義」，因此「超現實數」便作為surreal number的可能譯名。 《研究之美》（Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness） 現在本書的中文譯文已經在大陸出版，見存档副本. [2012-05-10]. （原始内容存档于2012-03-16）.  Conway, John H. On Numbers and Games 2. CRC Press. 2000-12-11 [1976]. ISBN 9781568811277. （原始内容存档于2018-03-27） （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Ordinal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] （英语）.  E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9.  E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7.  Weisstein, Eric W. (编). Surreal Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-03-27] （英语）.