內射模

內射模（英語：injective module），在模論中，是具有與有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } （視為 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模）相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念，由Reinhold Baer於1940年引進。 一個環 R {\displaystyle R} 上的左模 Q {\displaystyle Q} 若滿足以下等價條件，則稱之為內射模： 若 Q {\displaystyle Q} 是另一個左 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 的子模，則存在另一個子模 R ⊂ M {\displaystyle R\subset M} 使得 M = R ⊕ Q {\displaystyle M=R\oplus Q} 。 若 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 是左 R {\displaystyle R} -模的單射， g : X → Q {\displaystyle g:X\to Q} 為同態，則存在同態 h : Y → Q {\displaystyle h:Y\to Q} 使得 h ∘ f = g {\displaystyle h\circ f=g} 。圖示如下： 任何短正合序列 0 → Q → M → K → 0 {\displaystyle 0\to Q\to M\to K\to 0} 都分裂。 函子 H o m R ( − , Q ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,Q)} 為正合函子。 右模的定義類此。抽象地說，內射模乃是模範疇中的內射對象。 零模是內射模的平凡例子。 設 R {\displaystyle R} 為域，則任何 R {\displaystyle R} -模（即 R {\displaystyle R} -向量空間）都是內射模，此點可由基的性質證明。 設 G {\displaystyle G} 為緊群（例如有限群）， k {\displaystyle k} 為特徵為零的域。根據緊群的表示理論，可知任何表示的子表示都是其直和項；若翻譯為模的語言，即是：群代數 k G {\displaystyle kG} 上的所有模都是內射模。 設 A {\displaystyle A} 為域 k {\displaystyle k} 上含單位元的有限維結合代數。則逆變函子 H o m k ( − , k ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(-,k)} 給出有限生成左 A {\displaystyle A} -模與有限生成右 k {\displaystyle k} -模的對偶性。因此，有限生成的左 A {\displaystyle A} -模在同構的意義下皆可寫作 H o m k ( P , k ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(P,k)} ，其中 P {\displaystyle P} 是某個有限生成的投射右 A {\displaystyle A} -模。 在一般的環上也存在充足的（在內射分解的意義下）投射模，以下將述及相關理論。初步的例子包括： Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 對加法形成內射 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模。群 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } （ n > 1 {\displaystyle n>1} ）是內射 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } -模，而非內射 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模。 若一个环作为它自身的左模是内射的，就称为一个左自内射环（英語：left self-injective ring）。右自内射环可对称的定义。半单环，整数的剩余类环是自内射环。一个左自内射环不一定是右自内射的。 內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。 Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 R {\displaystyle R} -模 Q {\displaystyle Q} 是內射模若且唯若定義在任一理想 I {\displaystyle I} 上的態射 I → Q {\displaystyle I\to Q} 都能延拓到整個 R {\displaystyle R} 上。 利用此判準，可證明主理想域 R {\displaystyle R} 上的模 Q {\displaystyle Q} 是內射模若且唯若 Q {\displaystyle Q} 可除，即：對任何 r ≠ 0 ∈ R . q ∈ Q {\displaystyle r\neq 0\in R.\;q\in Q} ，存在 q ′ ∈ Q {\displaystyle q'\in Q} 使得 r q ′ = q {\displaystyle rq'=q} ，由此可證 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 是內射 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模，向量空間都是內射模。 最重要的內射模當屬 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } ：它是 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模皆可嵌入某個 ( Q / Z ) a {\displaystyle (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )^{a}} 中，其中 a {\displaystyle a} 是夠大的基數。由此可知任何 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模皆可嵌入某個內射 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -模。此性質對任意環 R {\displaystyle R} 上的左模都成立，要點在於利用 Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } 的特性構造左 R {\displaystyle R} -模範疇中的內射上生成元。 我們也可以定義模的內射包（基本上是包含一個模的最小內射模）。任意模 M {\displaystyle M} 都有內射分解，這是形式如下的正合序列： 0 → M → I 0 → I 1 → I 2 → ⋯ I n → ⋯ {\displaystyle 0\to M\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots I^{n}\to \cdots } 其中每個 I j {\displaystyle I^{j}} 都是內射的。內射分解可以用以定義模的內射維度（基本上是內射分解的最短長度，可能是無限的）及導函子。 不可分解內射模的自同態環是局部環。 F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992. 模论 投射模