雙線性形式

在域 F 中,向量空間 V 的雙線性形式指的是一个V × V → F 上的线性函数 B, 满足： ∀ v ∈ V {\displaystyle \forall v\in V} ，映射： w ↦ B ( v , w ) {\displaystyle w\mapsto B(v,w)} w ↦ B ( w , v ) {\displaystyle w\mapsto B(w,v)} 都是线性的。這個定義也適用於交換環的模，这时线性函数要改为模同态。 注意一個雙線性形式是特別的双线性映射。 如果V是n維向量空間，设 C = { e 1 , … , e n } {\displaystyle C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}} 是V的一组基。定义 n × n {\displaystyle n\times n} 阶的矩阵A使得 ( A i j ) = B ( e i , e j ) {\displaystyle (A_{ij})=B(e_{i},e_{j})} 。当 n × 1 {\displaystyle n\times 1} 的矩阵x和y表示向量u及v时，双线性形式B可表示为: B ( u , v ) = u T B v {\displaystyle B(u,v)=\mathbf {u} ^{T}\mathbf {Bv} } 考虑另一组基 C ′ = [ e 1 ′ ⋯ e n ′ ] = [ e 1 ⋯ e n ] S {\displaystyle C'={\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S} ，其中S是一个可逆的 n × n {\displaystyle n\times n} 阶矩阵（基底转换矩阵），则双线性形式在 C ′ {\displaystyle C'} 下的矩阵 A ′ {\displaystyle A'} 的形式为： A ′ = S T ⋅ A ⋅ S {\displaystyle A'=S^{T}\cdot A\cdot S} V的每一個雙線性形式B都定義了一對由V射到它的对偶空间V*的線性函数。 定义 B 1 , B 2 : V → V ∗ {\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} ： B 1 ( v ) ( w ) = B ( v , w ) {\displaystyle B_{1}(v)(w)=B(v,w)\,} B 2 ( v ) ( w ) = B ( w , v ) {\displaystyle B_{2}(v)(w)=B(w,v)\,} 常常記作： B 1 ( v ) = B ( v , − ) {\displaystyle B_{1}(v)=B(v,{-})\,} B 2 ( v ) = B ( − , v ) {\displaystyle B_{2}(v)=B({-},v)\,} 這裡的(–)是放变量的位置。 如果 V是有限维空间的话，V和它的雙对偶空間V**是同构的，这时B2是B1 的轉置映射（如果V是无限维空间，B2限制在V在V**的像下的部分是B1 的轉置映射）。 定義B的轉置映射為雙線性形式： B ∗ ( v , w ) = B ( w , v ) . {\displaystyle B^{*}(v,w)=B(w,v).\,} 如果 V是有限维空间，B1 及B2 的秩相等。如果他们的秩等于V的維数的话，B1 和 B2 就是由V到V*的同构映射（显然B1是同构当且仅当B2 是同构），此时，B是非退化的。实际上在有限维空间里，这常常作为非退化的定义：B是非退化的当且仅当 ( ∀ w , B ( v , w ) = 0 ) ⇒ v = 0. {\displaystyle (\forall w,B(v,w)=0)\Rightarrow v=0.} 雙線性形式 B : V × V → F 是镜像對稱的当且仅当: B ( v , w ) = 0 ⟺ B ( w , v ) = 0 {\displaystyle B(v,w)=0\Longleftrightarrow B(w,v)=0} 有了镜像對稱性，就可以定义正交：两个向量v和w关于一个镜像對稱的双线性形式正交当且仅当： B ( v , w ) = 0 {\displaystyle B(v,w)=0\,} 。 一个双线性形式的根是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的根当且仅当 A x = 0 {\displaystyle Ax=0\,} （等价于 x T A = 0 {\displaystyle x^{T}A=0\,} ），根一般是V的子空间， 当A是非奇异矩阵，即当B是非退化时，根都是零子空间{0}。 设W是一个子空间，定义 W ⊥ = { v | B ( v , w ) = 0   ∀ w ∈ W } {\displaystyle W^{\perp }=\{v|B(v,w)=0\ \forall w\in W\}} 。 当B是非退化时，映射 W → W ⊥ {\displaystyle W\rightarrow W^{\perp }} 是双射，所以 W ⊥ {\displaystyle W^{\perp }} 的维数等于dim(V)-dim(W)。 可以证明，雙線性形式B是镜像對稱的当且仅当它是以下两者之一： 對稱的: B ( v , w ) = B ( w , v ) {\displaystyle B(v,w)=B(w,v)\,} ∀ v , w ∈ V {\displaystyle \forall v,w\in V\,} 交替(alternating)的: B ( v , v ) = 0 {\displaystyle B(v,v)=0\,} ∀ v ∈ V {\displaystyle \forall v\in V\,} 每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)（或称反对称(antisymmetric)）的，只要展开 B(v+w,v+w)就可看出。 当F的特征不为2时，逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而，当char(F)=2时，斜对称就是对称，因此不全是交替的。 一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的，且主对角线上都是零。（在F的特征不为2时的情况下） 一个双线性形式是对称的当且仅当 B 1 , B 2 : V → V ∗ {\displaystyle B_{1},B_{2}\colon V\to V^{*}} 相等，是旋钮对称的当且仅当 B 1 = − B 2 {\displaystyle B_{1}=-B_{2}} 。char(F) ≠ 2 时，一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解： B ± = 1 2 ( B ± B ∗ ) {\displaystyle B^{\pm }={1 \over 2}(B\pm B^{*})} 其中B* 是B 的转置映射。 這套理論有很大一部份可推廣到雙線性映射的情形： B: V × W → F. 此時仍有從 V 到 W 的對偶、及從 W 到 V 的對偶的映射。當 V, W 皆有限維，則只要其中之一是同構，另一個映射也是同構。在此情況下 B 稱作完美配對。 由張量積的泛性質， V {\displaystyle V} 上的雙線性形式一一對映至線性映射 V ⊗ V → F {\displaystyle V\otimes V\rightarrow F} ：若 B {\displaystyle B} 是 V {\displaystyle V} 上的雙線性形，則相應的映射由下式給出 v ⊗ w ↦ B ( v , w ) . {\displaystyle v\otimes w\mapsto B(v,w).} 所有從 V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V} 到 F {\displaystyle F} 的線性映射構成 V ⊗ V {\displaystyle V\otimes V} 的對偶空間，此時雙線性形式遂可視為下述空間的元素： ( V ⊗ V ) ∗ ≅ V ∗ ⊗ V ∗ . {\displaystyle (V\otimes V)^{*}\cong V^{*}\otimes V^{*}.} 同理，對稱雙線性形式可想成二次對稱冪 S2V* 的元素，而交代雙線性形式則可想成二次外冪 Λ2V* 的元素。 双线性映射 多线性映射 二次方程式 半双线性形式 Bilinear form. PlanetMath.