施泰纳-莱穆斯定理

施泰纳-莱穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面几何的一个定理：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。该命题看似显而易见，但直到19世纪上半叶才得到明确的几何证明，随后成为平面几何领域最受欢迎的证明题之一。该定理以德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）和瑞士数学家雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner）命名，两人在通信中最早提出和解决了该问题。 施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。 在平面几何中，“等腰三角形的两条内角平分线相等”，是一个非常容易得到的结论。该命题的逆命题，“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”，则没有看上去那么容易证明。1840年，德国数学家C·L·莱穆斯（英语：C. L. Lehmus）写信给瑞士数学家、几何学权威雅各布·施泰纳（英语：Jakob Steiner），询问是否能给出一个纯几何的证明。施泰纳解决了问题，不过直到1844年才公开发表。第一个公开证明来自法国路易大帝中学的学生鲁热万（Rougevin），发表在1842年的《新数学年鉴（法语：Nouvelles annales de mathématiques）》上。1850年，莱穆斯也给出了自己的证明。 19世纪40年代起的一百多年里，关于施泰纳-莱穆斯定理的几何证明大量涌现，有上百个之多。绝大多数证明都依赖于反证法，即先假定两内角平分线相等的三角形不等腰，其中一个内角大于另一个，然后推出矛盾的结论。于是，关注点变成了，施泰纳-莱穆斯定理是否有“直接”的几何证明法，以及怎样的证明才算得上是“直接”。不过也有人认为，拒绝反证法的“纯粹主义”并没有什么意义。 在 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 中，两条内角平分线 C E = B D {\displaystyle CE=BD} 。 假设 ∠ A B C ≠ ∠ A C B {\displaystyle \angle ABC\neq \angle ACB} ，令 ∠ A B C = 2 α < ∠ A C B = 2 β {\displaystyle \angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta } 。 在线段 A B {\displaystyle AB} 上取点 G {\displaystyle G} ，使 ∠ E C G = α {\displaystyle \angle ECG=\alpha } ， C G {\displaystyle CG} 交 B D {\displaystyle BD} 于点 F {\displaystyle F} 。 △ C E G ∼ △ B F G {\displaystyle \triangle CEG\sim \triangle BFG} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} C G B G = C E B F = B D B F > 1 {\displaystyle {CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} C G > B G {\displaystyle CG>BG} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} ∠ C B G > ∠ B C G {\displaystyle \angle CBG>\angle BCG} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} α > β {\displaystyle \alpha >\beta } 结论与假设矛盾，故假设不成立。故 ∠ A B C = ∠ A C B {\displaystyle \angle ABC=\angle ACB} 。 在 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 中，两条内角平分线 B E = C D {\displaystyle BE=CD} 。记 ∠ C B E = ∠ A B E = α {\displaystyle \angle CBE=\angle ABE=\alpha } ， ∠ B C D = ∠ A C D = β {\displaystyle \angle BCD=\angle ACD=\beta } 。 做直线 E F {\displaystyle EF} ，使 ∠ B E F = β {\displaystyle \angle BEF=\beta } 。做直线 B F {\displaystyle BF} ，使 ∠ E B F = ∠ C D B = 180 ∘ − 2 α − β {\displaystyle \angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta } 。 △ B E F ≅ △ D C B {\displaystyle \triangle BEF\cong \triangle DCB} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} { B F = D B E F = C B {\displaystyle {\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}} { E F = C B C F = C F ∠ C B F = ∠ F E C = 180 ∘ − α − β > 90 ∘ {\displaystyle {\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} △ C B F ≅ △ F E C {\displaystyle \triangle CBF\cong \triangle FEC} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} B F = E C {\displaystyle BF=EC} E C = B F = D B {\displaystyle EC=BF=DB} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} △ D B C ≅ △ E C B {\displaystyle \triangle DBC\cong \triangle ECB} ⇒ {\displaystyle \;\Rightarrow \;} ∠ A B C = ∠ A C B {\displaystyle \angle ABC=\angle ACB} 该证明方法由F. G. Hesse于1874年发表。不过，该证明方法所用到的一些构造和定理，如“三角形内角和为180度”，本身需要用反证法去证明，因此一些纯粹主义者认为这一证明还是不够直接。 利用角平分線長公式，可以简洁地证明施泰纳-莱穆斯定理。 t a = t b   ⇒   b c ( 1 − a 2 ( b + c ) 2 ) = a c ( 1 − b 2 ( a + c ) 2 ) {\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}} 化简后得到： c ( a + b + c ) ( a − b ) [ ( a + b ) ( c 2 + a b ) + 3 a b c + c 3 ] = 0 {\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0} 连乘的其他各项都为正数，从而推出： a − b = 0 {\displaystyle a-b=0} 施泰纳-莱穆斯定理的结论并不能推广到外角平分线上。也就是说，两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三角形。一个常举的反例是三个内角分别为132度、36度和12度的三角形，因为这个三角形的两条外角平分线恰等于一条边，易于证明。 进一步地，数学家们尝试证明，所有两条外角平分线相等的不等腰三角形的共性。中国数学家蒋声指出，满足下列条件的三角形都是有两条外角平分线相等的不等腰三角形： { A = θ − arccos ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ ) B = θ + arccos ⁡ ( 1 + cos ⁡ θ + cos ⁡ 2 θ ) C = 180 ∘ − 2 θ 60 ∘ < θ < 90 ∘ {\displaystyle {\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}} “两条外角平分线相等的三角形是等腰三角形”是假命题，不过较弱的命题是成立的：三角形的两个角的外角平分线相等，若第三个角是最大或最小的角，则该三角形是等腰三角形；不然，则不是等腰三角形。 Rougevin. Démonstration du théorème 1 (page 57) (PDF). Nouvelles annales de mathématiques: journal des candidats aux écoles polytechnique et normale. 1842, 1: 138-139 [2023-06-11]. （原始内容存档 (PDF)于2023-06-11） （法语）.  Steiner, J. Elementare Lösung einer Aufgabe über das ebene und sphärische Dreieck. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1844, 28: 375-379 [2023-06-11]. （原始内容存档于2023-06-11） （德语）.  M'Bride, J. “The equal internal bisectors theorem, 1840-1940. … Many solutions or none?”: A centenary account (PDF). Edinburgh Mathematical Notes. 1943, 33: 1-13 [2023-06-11]. doi:10.1017/S0950184300000021. 原始内容存档于2019-05-02 （英语）.  Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. Geometry Revisited (PDF). Washington, D.C.: The Mathematical Association of America. 1967: 14-16 [2023-06-11]. ISBN 0-88385-619-0. （原始内容存档 (PDF)于2023-01-28） （英语）.  Sauvé, Léo. The Steiner-Lehmus theorem (PDF). Eureka. 1976, 2: 19-24 [2023-06-17]. （原始内容存档 (PDF)于2022-04-19） （英语）.  Gardner, Sherri R. 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