李代数胚

在数学中，李代数胚（Lie Algebroid）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。 确切地说，一个李代数胚是三元组 ( E , [ ⋅ , ⋅ ] , ρ ) {\displaystyle (E,[\cdot ,\cdot ],\rho )} ，其中 E {\displaystyle E} 为流形 M {\displaystyle M} 上一个向量丛， [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} 是截面 Γ ( E ) {\displaystyle \Gamma (E)} 组成的模上的一个李括号，向量丛同态 ρ : E → T M {\displaystyle \rho :E\rightarrow TM} 称为锚。这里 T M {\displaystyle TM} 是 M {\displaystyle M} 的切丛。锚与李括号满足莱布尼兹法则： [ X , f Y ] = ρ ( X ) f ⋅ Y + f [ X , Y ]   , {\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]\ ,} 这里 X , Y ∈ Γ ( E ) , f ∈ C ∞ ( M ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (E),f\in C^{\infty }(M)} 和 ρ ( X ) f {\displaystyle \rho (X)f} 是 f {\displaystyle f} 沿着向量场 ρ ( X ) {\displaystyle \rho (X)} 的导数。从而 ρ ( [ X , Y ] ) = [ ρ ( X ) , ρ ( Y ) ]   , {\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]\ ,} 对任何 X , Y ∈ Γ ( E ) {\displaystyle X,Y\in \Gamma (E)} 。 任何李代数是单点流形上的李代数胚。 流形 M {\displaystyle M} 的切丛 T M {\displaystyle TM} 是一个关于向量场的李括号的李代数胚，锚是 T M {\displaystyle TM} 的恒同。 切丛的任何可积子丛（即其截面在李括号下闭）也定义了一个李代数胚。 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚，这里李括号逐点定义而锚映射等于零。 对任何李群胚相伴一个李代数胚，推广了一个李代数怎样相伴到李群（见下）。例如，李代数胚 T M {\displaystyle TM} 来自配对群胚，其对象为 M {\displaystyle M} ，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 ，不过任何李代数胚给出一个栈李群胚 。 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。 阿蒂亚代数胚：给定流形 M 上的向量丛 V，考虑其导数，即光滑 R {\displaystyle \mathbb {R} } -线性映射 ψ : Γ ( V ) → Γ ( V ) {\displaystyle \psi :\Gamma (V)\to \Gamma (V)} ，且存在一个向量场 X 使得它们满足莱布尼兹法则 ψ ( f v ) = X [ f ] v + f ψ ( v ) {\displaystyle \psi (fv)=X[f]v+f\psi (v)} 对所有光滑函数 f 与向量丛的所有截面 v 。联系 ψ → X {\displaystyle \psi \to X} 显然是线性的，从而有向量丛之间的一个映射 ρ : A ( V ) → T M {\displaystyle \rho :A(V)\to TM} （如果你找出丛使得其截面给出导数）。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 0 → E n d M ( V ) → A ( V ) → T M → 0 {\displaystyle 0\to \mathrm {End} _{M}(V)\to A(V)\to TM\to 0} 。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚，只需注意到它是相伴于向量丛 V 的标架丛李群胚的李代数胚。 为了叙述这个构造我们先确定一些记号。G 是李群胚的态射空间，M 是对象空间， e : M → G {\displaystyle e:M\to G} 是单位映射， t : G → M {\displaystyle t:G\to M} 为靶映射。 T t G = ⋃ p ∈ M T ( t − 1 ( p ) ) ⊂ T G {\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG} 为 t-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 A := e ∗ T t G {\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G} ，从 G 中继承一个括号，因为我们可以将 M-截面通过 G 上的左不变向量丛等价到 A 中。而且通过将 M 上的光滑函数等价于 G 上的左不变函数，这些截面作用在 M 上的光滑函数上。 作为一个更清晰的例子，考虑配对李群胚 G := M × M {\displaystyle G:=M\times M} 相伴的李代数胚。靶映射为 t : G → M : ( p , q ) ↦ p {\displaystyle t:G\to M:(p,q)\mapsto p} ，单位映射 e : M → G : p ↦ ( p , p ) {\displaystyle e:M\to G:p\mapsto (p,p)} 。t-纤维是 p × M {\displaystyle p\times M} 从而 T t G = ⋃ p ∈ M p × T M ⊂ T M × T M {\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}p\times TM\subset TM\times TM} 。所以李代数胚是切丛 A := e ∗ T t G = ⋃ p ∈ M T p M = T M {\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T_{p}M=TM} 。截面 X 扩张到 A 中 G 上一个左不变向量场不过是 X ~ ( p , q ) = 0 ⊕ X ( q ) {\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=0\oplus X(q)} ，而 M 上一个光滑函数 f 扩张 M 上一个左不变函数是 f ~ ( p , q ) = f ( q ) {\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)} 。从而 A 上的李括号恰好是切向量场上的李括号，锚映射是恒同。 当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚，同构映射是 i ∗ {\displaystyle i_{*}} ，这里 i : G → G {\displaystyle i:G\to G} 是逆映射。 埃雷斯曼联络 仿射联络 曲率形式 Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987. Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005 Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451