作用量

在物理學裏，作用量（英语：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。 皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。 戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。 1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。 萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是 ∫ p a t h   v 2   d t {\displaystyle \int _{path}\ v^{2}\ dt\,\!} 。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。 在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。 微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。 作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。 哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。 用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。 在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。 最常見的作用量是一個泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} ，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} ， t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 之間廣義座標 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 的演變。 作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} 對於時間的積分： S [ q ( t ) ] = ∫ t 1 t 2 L [ q ,   q ˙ ,   t ] d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!} 。 根據哈密頓原理，正確的演化 q t r u e ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} _{\mathrm {true} }(t)\,\!} 要求平穩的作用量 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} （最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。 簡略作用量也是一個泛函，通常標記為 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 定義為廣義動量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 沿著路徑的積分： S 0 = ∫ p d q {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}=\int \mathbf {p} \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\!} ； 其中， q {\displaystyle \mathbf {q} \,\!} 是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量 S 0 {\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\,\!} 是平穩的。 主條目：哈密頓主函數。 哈密頓主函數是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數 S {\displaystyle S\,\!} 與泛涵 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 有密切的關係。固定住初始時間 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} 和其對應的座標點 q 1 {\displaystyle \mathbf {q} _{1}\,\!} ；而准許時間上限 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 和其對應的座標點 q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} 的改變。取 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 和 q 2 {\displaystyle \mathbf {q} _{2}\,\!} 為函數 S {\displaystyle S\,\!} 的參數。換句話說，作用量函數 S {\displaystyle S\,\!} 是拉格朗日量對於時間的不定積分： S ( q ,   P ,   t ) = ∫ L [ q ,   q ˙ ,   t ] d t {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=\int L[\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t]\,\mathrm {d} t\,\!} 。 更加地，可以證明 P {\displaystyle \mathbf {P} \,\!} 是某常數向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 。所以， S ( q ,   P ,   t ) = S ( q ,   a ,   t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)\,\!} 。 主條目：哈密頓特徵函數。 假若，哈密頓量 H {\displaystyle H\,\!} 是守恆的； H = α {\displaystyle H=\alpha \,\!} ； 其中， α {\displaystyle \alpha \,\!} 是常數。 設定哈密頓特徵函數 W {\displaystyle W\,\!} 為 W ( q ,   a ) = S ( q ,   a ,   t ) − α t {\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} ,\ t)-\alpha t\,\!} 。 則哈密頓特徵函數 W {\displaystyle W\,\!} 是一個作用量。 更加地， d W d t = ∂ W ∂ q q ˙ = p q ˙ {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}=\mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}\,\!} 。 對於時間積分： W ( q ,   a ) = ∫ p q ˙ d t = ∫ p d q {\displaystyle W(\mathbf {q} ,\ \mathbf {a} )=\int \mathbf {p} {\dot {\mathbf {q} }}dt=\int \mathbf {p} \,d\mathbf {q} \,\!} 。 這正是簡略作用量的方程式。 主條目：哈密頓-雅可比方程式。 哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數 S ( q ,   P ,   t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ,\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!} 分出的每一個項目 S k ( q k ,   P ,   t ) {\displaystyle S_{k}(q_{k},\ \mathbf {P} ,\ t)\,\!} 也稱為"作用量"。 主條目：作用量-角度座標。思考一個作用量-角度座標的廣義動量變數 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} ，定義為在相空間內，關於轉動運動或振蕩運動，廣義動量的閉路徑積分： J k = ∮ p k d q k {\displaystyle J_{k}=\oint p_{k}\mathrm {d} q_{k}\,\!} 。 這變數 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 稱為廣義座標 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 的作用量；相應的正則座標是角度 w k {\displaystyle w_{k}\,\!} 。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 被用來積分。作用量 J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 等於，隨著 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 沿著閉路徑， S k ( q k ) {\displaystyle S_{k}(q_{k})\,\!} 的改變。應用於幾個有趣的物理系統， J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 或者是常數，或者改變非常地慢。因此， J k {\displaystyle J_{k}\,\!} 時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。 參閱重言1形式。 哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點 t 1 {\displaystyle t_{1}\,\!} 、 t 2 {\displaystyle t_{2}\,\!} 的運動是正確運動，則作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 的一次變分 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!} 為零。用數學方程式表示，定義作用量為 S   = d e f   ∫ t 1 t 2 L ( q ,   q ˙ ,   t ) d t {\displaystyle {\mathcal {S}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,dt\,\!} 。 其中， L ( q ,   q ˙ ,   t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }},\ t)\,\!} 是系統的拉格朗日函數，廣義座標 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ) {\displaystyle \mathbf {q} =\left(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{N}\right)\,\!} 是時間的函數。 假若， q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 是系統的正確運動，則 δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0\,\!} 。 從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 是系統的正確運動，讓 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 成為一個微擾 δ q {\displaystyle \delta \mathbf {q} \,\!} ；微擾在軌道兩個端點的值是零： ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!} 。 取至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 的一階微擾，作用量泛函的一次變分為 δ S = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + ε ,   q ˙ + ε ˙ ) − L ( q ,   q ˙ ) ] d t = ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q + ε ˙ ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},\ {\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 。 這裏，將拉格朗日量 L {\displaystyle L\,\!} 展開至 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} 的一階微擾。 應用分部積分法於最右邊項目， δ S = [ ε ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ] t 1 t 2 + ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q − ε ⋅ d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 。 邊界條件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0\,\!} 使第一個項目歸零。所以， δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt\,\!} 。 要求作用量泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}\,\!} 平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾 ε ( t ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t)\,\!} ，一次變分 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}\,\!} 必須等於零： δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt=0\,\!} 。 請注意，還沒有對廣義座標 q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)\,\!} 做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式： ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=\mathbf {0} \,\!} 。 在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。 對應於廣義座標 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 的廣義動量 p k {\displaystyle p_{k}\,\!} ，又稱為共軛動量，定義為 p k   = d e f   ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!} 。 假設 L {\displaystyle L\,\!} 不顯性地跟廣義座標 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 有關， ∂ L ∂ q k = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\,\!} ， 則廣義動量 p k   = d e f   ∂ L ∂ q ˙ k {\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!} 是常數。在此種狀況，座標 q k {\displaystyle q_{k}\,\!} 稱為循環座標。舉例而言，如果用極座標系 ( r ,   θ ,   h ) {\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!} 來描述一個粒子的平面運動，而 L {\displaystyle L\,\!} 與 θ {\displaystyle \theta \,\!} 無關，則廣義動量是守恆的角動量。 拉格朗日力學 哈密頓力學 諾特定理 愛因斯坦-希爾伯特作用量 最小作用量原理 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆），Edwin F. Taylor加了註釋的參考書目。 最小作用量原理 （页面存档备份，存于互联网档案馆）非常好地互動解釋。 Cornelius Lanczos, "The Variational Principles of Mechanics",（Dover Publications, New York, 1986）, ISBN 0-486-65067-7.這領域最常引用的參考書。 列夫·朗道and E. M. Lifshitz, "Mechanics, Course of Theoretical Physics", 3rd ed., Vol. 1,（Butterworth-Heinenann, 1976）, ISBN 0-7506-2896-0.這本書一開始就講解最小作用量原理。 Herbert Goldstein "Classical Mechanics", 2nd ed.,（Addison Wesley, 1980）, pp. 35-69。 Thomas A. Moore "Least-Action Principle" in Macmillan Encyclopedia of Physics, Volume 2,（Simon & Schuster Macmillan, 1996）, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, pages 840–842。 Robert Weinstock, "Calculus of Variations, with Applications to Physics and Engineering",（Dover Publications, 1974）, ISBN 0-486-63069-2。非常好的古早書。 Dugas, René, "A History of Mechanics",（Dover, 1988）, ISBN 0-486-65632-2, pp. 254-275。