介值定理

在数学分析中，介值定理（英語：intermediate value theorem，又稱中間值定理）描述了連續函數在兩點之間的連續性： 假設 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } 為一連續函數。若一實數 u {\displaystyle u} 滿足 ( f ( a ) − u ) ( f ( b ) − u ) < 0 {\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)<0} ，則存在一實數 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 介值定理首先由伯纳德·波尔查诺在1817年提出和证明，在這個證明中，他附帶證明了波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理。 中間值定理 —  設 a < b {\displaystyle a<b} ，且 f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } 為一連續函數。則下列敘述成立： 對任意滿足 ( f ( a ) − u ) ( f ( b ) − u ) < 0 {\displaystyle (f(a)-u)(f(b)-u)<0} 的實數 u {\displaystyle u} ，皆存在一實數 c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} 使得 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 f {\displaystyle f} 的值域為一閉區間。 先证明第一种情况 f ( a ) < u < f ( b ) {\displaystyle f(a)<u<f(b)} ；第二种情况也类似。 {\displaystyle } 设 S {\displaystyle S} 为所有滿足 f ( x ) ≤ u {\displaystyle f(x)\leq u} 的 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} 所構成的集合。由 a ∈ S {\displaystyle a\in S} 可知 S {\displaystyle S} 非空。由於 S {\displaystyle S} 具有上界 b {\displaystyle b} ，故由实数的完备性知 S {\displaystyle S} 有最小上界 c = sup S {\displaystyle c=\sup S} 。我们以反证法证明 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 首先假设 f ( c ) > u {\displaystyle f(c)>u} 。由於 f {\displaystyle f} 连续，我們能找到正实数 δ {\displaystyle \delta } 使得 | f ( x ) − f ( c ) | < f ( c ) − u {\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<f(c)-u} 對所有 x ∈ ( c − δ , c + δ ) {\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )} 均成立。由於 c = sup S {\displaystyle c=\sup S} ，故存在滿足 c − δ < y ≤ c {\displaystyle c-\delta <y\leq c} 的 y ∈ S {\displaystyle y\in S} ；此時 | y − c | < δ {\displaystyle {\mathopen {|}}y-c{\mathclose {|}}<\delta } ，故 f ( y ) − f ( c ) > − ( f ( c ) − u ) {\displaystyle f(y)-f(c)>-(f(c)-u)} ，即 f ( y ) > u {\displaystyle f(y)>u} ，與 y ∈ S {\displaystyle y\in S} 矛盾。故原假設 f ( c ) > u {\displaystyle f(c)>u} 不成立。 接著假设 f ( c ) < u {\displaystyle f(c)<u} 。由於 f {\displaystyle f} 连续，我們能找到正实数 δ {\displaystyle \delta } 使得 | f ( x ) − f ( c ) | < u − f ( c ) {\displaystyle \left|f(x)-f(c)\right|<u-f(c)} 對所有 x ∈ ( c − δ , c + δ ) {\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )} 均成立。設 y = c + δ / 2 {\displaystyle y=c+\delta /2} ；此時 f ( y ) − f ( c ) < u − f ( c ) {\displaystyle f(y)-f(c)<u-f(c)} ，即 f ( y ) < u {\displaystyle f(y)<u} ，故 y ∈ S {\displaystyle y\in S} 。這會導致 c {\displaystyle c} 不是 S {\displaystyle S} 的上界，矛盾。故原假設 f ( c ) < u {\displaystyle f(c)<u} 不成立。 因此 f ( c ) = u {\displaystyle f(c)=u} 。 此定理仰賴於實數完備性，它對有理數不成立。例如函數 f ( x ) = x 2 − 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}-2} 滿足 f ( 0 ) = − 2 , f ( 2 ) = 2 {\displaystyle f(0)=-2,f(2)=2} ，但不存在滿足 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} 的有理數 x {\displaystyle x} 。 零点定理是介值定理的一种特殊情况－如果曲線上兩點的值正負號相反，其間必定存在一個根： 设函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上连续，且 f ( a ) ⋅ f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0} ，则必存在 ξ ∈ ( a , b ) {\displaystyle \xi \in (a,b)} 使 f ( ξ ) = 0 {\displaystyle f(\xi )=0} 成立。由於零点定理可用來找一方程式的根，也稱為勘根定理。伯纳德·波尔查诺於1817年證明了這個定理，同時證明了這個定理的一般情況（即介值定理）。以現代的標準來說，他的證明並不算是非常嚴格。 介值定理意味着在地球的任何大圆上，温度、压强、海拔、二氧化碳的浓度（或其他任何连续变化的变量），总存在两个对蹠点，在这两个点上该变量的值是相同的。 证明：取f为圆上的任何连续函数。通过圆的中心作一条直线，与圆相交于点A和点B。设d为f(A) − f(B)的差。如果把这条直线旋转180度，将得到值−d。根据介值定理，一定存在某个旋转角，使得d = 0，在这个角度上便有f(A) = f(B)。 这是一个更加一般的结果——博苏克-乌拉姆定理的特殊情况。 中值定理 极值定理 達布定理 Weisstein, Eric W. (编). Bolzano's Theorem. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  cut-the-knot上的介值定理-波尔查诺定理（页面存档备份，存于互联网档案馆） 埃里克·韦斯坦因. Intermediate Value Theorem. MathWorld.