塞尔伯格筛法

在數論中，塞爾伯格篩法（Selberg sieve）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。這篩法由阿特勒·塞爾伯格於1940年代發展。 在篩法的術語中，塞爾伯格篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在此篩法中，塞爾伯格以一組針對問題最佳化的權重取代默比烏斯函數，而這可給出「篩選過的」的集合大小的上界。 設 A {\displaystyle A} 為不大於 x {\displaystyle x} 的正整數的集合，並假定 P {\displaystyle P} 為質數的集合，然後設 A p {\displaystyle A_{p}} 是 A {\displaystyle A} 中可為 P {\displaystyle P} 中的質數 p {\displaystyle p} 整除的數組成的集合；此外，可設 d {\displaystyle d} 為 P {\displaystyle P} 中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義 A d {\displaystyle A_{d}} 為 A {\displaystyle A} 中可被 d {\displaystyle d} 整除的數的集合，並定義 A 1 {\displaystyle A_{1}} 為 A {\displaystyle A} 本身。 設 z {\displaystyle z} 為任意實數，而 P ( z ) {\displaystyle P(z)} 為 P {\displaystyle P} 中不大於 z {\displaystyle z} 的質數的乘積，那這篩法的目標就是估計下式： S ( A , P , z ) = | A ∖ ⋃ p ∣ P ( z ) A p | . {\displaystyle S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .} 我們可以假定說 | A d | {\displaystyle \left|A_{d}\right|} 可由下式估計： | A d | = 1 f ( d ) X + R d . {\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.} 其中 f {\displaystyle f} 是一個積性函數、 X {\displaystyle X} 是 A {\displaystyle A} 的元素個數。 另外，設 g {\displaystyle g} 是個由對 f {\displaystyle f} 進行默比烏斯反演所得到的函數，也就是說， g ( n ) = ∑ d ∣ n μ ( d ) f ( n / d ) {\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)} 且 f ( n ) = ∑ d ∣ n g ( d ) {\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)} ，其中 μ {\displaystyle \mu } 是默比烏斯函數。 在這種狀況下，設 V ( z ) = ∑ d < z d ∣ P ( z ) 1 g ( d ) . {\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.} ，就可得下列關係式： S ( A , P , z ) ≤ X V ( z ) + O ( ∑ d 1 , d 2 < z d 1 , d 2 ∣ P ( z ) | R [ d 1 , d 2 ] | ) {\displaystyle S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)} 其中 [ d 1 , d 2 ] {\displaystyle [d_{1},d_{2}]} 是 d 1 {\displaystyle d_{1}} 及 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的最小公倍數。 此外， V ( z ) {\displaystyle V(z)} 的數值可由下式估計： V ( z ) ≥ ∑ d ≤ z 1 f ( d ) . {\displaystyle V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,} 算數數列中的質數（英语：primes in arithmetic progression）相關問題上的布朗-第區馬許定理。 不大於 x {\displaystyle x} 且與歐拉函數 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 互質的 n {\displaystyle n} 的數量，與 e − γ log ⁡ log ⁡ log ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {e^{-\gamma }}{\log {\log {\log {(x)}}}}}} 呈現非病態的（asymptotic）關係。 Cojocaru, Alina Carmen; Murty, M. Ram. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 113–134. ISBN 0-521-61275-6. Zbl 1121.11063.  Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099.  Greaves, George. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge 43. Berlin: Springer-Verlag. 2001. ISBN 3-540-41647-1. Zbl 1003.11044.  Halberstam, Heini; Richert, H.E. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. Zbl 0298.10026.  Hooley, Christopher. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge Tracts in Mathematics 70. Cambridge University Press. 1976: 7–12. ISBN 0-521-20915-3. Zbl 0327.10044.  Selberg, Atle. On an elementary method in the theory of primes. Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim. 1947, 19: 64–67. ISSN 0368-6302. Zbl 0041.01903.