物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数 C l 3 ,   0 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )} 作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。 克利福德代数 C l 3 ,   0 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )} 在旋量表示 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外， C l 3 ,   0 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )} 同构于克利福德代数 C l 3 ,   1 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )} 的偶子代数 C l 3 ,   1 [ 0 ] ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )} 。 APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。 注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数 C l 1 ,   3 ( R ) {\displaystyle {\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )} 。 APS中，时空位置可表为副向量 x = x 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , {\displaystyle x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},} 其中时间由标绿部分 x 0 = t {\displaystyle x^{0}=t} 给出， e → 1 ,   e → 2 ,   e → 3 {\displaystyle {\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}} 是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是 c = 1 {\displaystyle c=1} ，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为 x → ( x 0 + x 3 x 1 − i x 2 x 1 + i x 2 x 0 − x 3 ) {\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}} 保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现： L = e 1 2 W . {\displaystyle L=e^{{\frac {1}{2}}W}.} 在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是 S L ( 2 ,   C ) {\displaystyle {\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )} 群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积： L L ¯ = L ¯ L = 1. {\displaystyle L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.} 此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的 B = B † {\displaystyle B=B^{\dagger }} 与幺正的 R † = R − 1 {\displaystyle R^{\dagger }=R^{-1}} ，使得 L = B R . {\displaystyle L=BR.} 酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。 四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数： u = d x d τ = d x 0 d τ + d d τ ( x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = d x 0 d τ [ 1 + d d x 0 ( x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) ] . {\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].} 定义普通速度为 v = d d x 0 ( x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) , {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),} 回想伽马因子的定义： γ ( v ) = 1 1 − | v | 2 c 2 , {\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},} 于是原速的更紧凑定义是： u = γ ( v ) ( 1 + v ) . {\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).} 原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件： u u ¯ = 1. {\displaystyle u{\bar {u}}=1.} 在洛伦兹转子L作用下，原速变换为 u → u ′ = L u L † . {\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.} APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到： p = m u , {\displaystyle p=mu,} 质壳条件转化为 p ¯ p = m 2 . {\displaystyle {\bar {p}}p=m^{2}.} 电磁场可表为双副向量F： F = E + i B , {\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,} 其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为 F → ( E 3 E 1 − i E 2 E 1 + i E 2 − E 3 ) + i ( B 3 B 1 − i B 2 B 1 + i B 2 − B 3 ) . {\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.} 场F的源是电磁四维电流 j = ρ + j , {\displaystyle j=\rho +\mathbf {j} \,,} 其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量： A = ϕ + A , {\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,} 当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为 F = ∂ A ¯ . {\displaystyle F=\partial {\bar {A}}.} 此场也可分为电部分 E = ⟨ ∂ A ¯ ⟩ V {\displaystyle E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}} 与磁部分 B = i ⟨ ∂ A ¯ ⟩ B V {\displaystyle B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}} 当中 ∂ = ∂ t + e 1 ∂ x + e 2 ∂ y + e 3 ∂ z {\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}} 且F在下列规范变换下不变： A → A + ∂ χ , {\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,} 其中 χ {\displaystyle \chi } 是标量场。 电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是 F → F ′ = L F L ¯ . {\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.} 麦克斯韦方程组可用单一方程表示： ∂ ¯ F = 1 ϵ j ¯ , {\displaystyle {\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,} 其中上横线表示克利福德共轭。 洛伦兹力方程形式为 d p d τ = e ⟨ F u ⟩ R . {\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.} 电磁拉格朗日量是 L = 1 2 ⟨ F F ⟩ S − ⟨ A j ¯ ⟩ S , {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,} 是实标量不变量。 对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为 i ∂ ¯ Ψ e 3 + e A ¯ Ψ = m Ψ ¯ † , {\displaystyle i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },} 其中 e → 3 ′ {\displaystyle {\vec {e}}_{3}'} 是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。 与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为 d Λ d τ = e 2 m c F Λ , {\displaystyle {\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,} 这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来： u = Λ Λ † , {\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },} 积分之，就可得到时空轨迹 x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} ，同时还能使用 d x d τ = u . {\displaystyle {\frac {dx}{d\tau }}=u.} 副向量 多重向量 wikibooks:Physics Using Geometric Algebra 相对论量子力学 代数 Baylis, William. 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