快度

在相對論中，快度通常被用來衡量相對論效應下的速度。在數學上，快度可以被定義成一個雙曲角，這個角能夠反映兩個存在相對運動的參考座標系之间的差异——它们的时空坐標为洛仑兹变换所聯繫。 對於一維運動，快度可以簡單相加，而速度必須套用愛因斯坦的速度加成式。在低速的情況下，快度和速度是成比例的，但是對於更高速的狀況下，快度將增長得更快。特别地，光的速度為光速，而光的快度是無限大。 我們使用反雙曲函數artanh來定義快度，當速度為v時，其對應的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度較慢時，w約為v / c。由於在相對論中，速度v被局限於區間−c < v < c，因此比率v / c將滿足−1 < v / c < 1。反雙曲正切函數的定義域為(−1, 1)，而值域為整條實數線，所以可以將區間−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。 在1908年赫爾曼·閔考斯基指出勞倫茲轉換可以被簡單的轉換為座標時中的雙曲旋轉（英语：hyperbolic rotation），即為一個虛數角度的旋轉。 這個角度在一維空間中可以代表著座標系間速度的度量，且具有可加性。 1910年，弗拉基米爾·瓦里卡克（英语：Vladimir Varićak）和E. T. 惠特克提出用此參數來取代速度的觀念。而這個參數被阿爾弗雷德·羅伯（英语：Alfred Robb） (1911)命名為快度，並隨後被許多筆者所採用，如盧迪威格·席柏斯坦 (1914)，愛德華·莫立 (1936)和沃夫岡·潤德勒 (2001)。 雙曲函數xy=1的求積法（英语：quadrature (mathematics)），是由格雷瓜爾·德·聖-文森特（英语：Gregoire de Saint-Vincent）提出的，他指出雙曲扇形的面積、或是一塊沿著漸進線所定義出的等效面積，可以用自然對數描述。 在時空理論中，類光事件將宇宙分為相對於給定“位置”和“時刻”的“（絕對）過去”、“（絕對）未來”和其他時空點。在空間中的任何一條線上，一道光束的行進方向可以向左或是向右。將向右行進的光束事件定為x軸，向左行進的光束事件定為y軸。則靜止座標系的時間軸即為對角線x = y。而速度可以用第一象限中的直角雙曲線xy = 1來表示，其中速度為零的點對應到點 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 。任何一個雙曲線上的點都能以點 ( e w ,   e − w ) {\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})} 表示，其中的w即為快度，同時w也是從點 ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} 到點 ( e w ,   e − w ) {\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})} 與原點所構成的雙曲線扇形面積。 也有許多筆者在討論標準閔考斯基圖時，會使用單位雙曲線 x 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}-y^{2}} ，將快度作為參數曲線的參數。而此時的坐標可以用時鐘和米尺來測量，並選用更加常見的基準，這也是時空理論的基礎。所以快度作為光束空間的雙曲參數，這樣的描述是參考了十七世紀時超越函數理論的發展，以及閔考斯基圖。 快度w出現在勞倫茲變換的線性表示法中，此時勞倫茲變換被表示為向量－矩陣乘積 ( c t ′ x ′ ) = ( cosh ⁡ w − sinh ⁡ w − sinh ⁡ w cosh ⁡ w ) ( c t x ) = Λ ( w ) ( c t x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}} 矩陣Λ(w)為 ( p q q p ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}} 的形式，其中p和q滿足關係p2 - q2 = 1，因此(p, q)將會落在單位雙曲線（英语：unit hyperbola）上。這樣的矩陣形成了不定正交群 O(1,1)，伴隨著由單位反對角矩陣所張出的一維李代數，顯示出快度是這個李代數上的座標，這個作用可在閔考斯基圖上被描繪出來。 在矩陣指數表示法中，Λ(w)可以被表示為 Λ ( w ) = e Z w {\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}} ，其中Z是矩陣 Z = ( 0 − 1 − 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}} 不難證明 Λ ( w 1 + w 2 ) = Λ ( w 1 ) Λ ( w 2 ) {\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})} 這顯現出了快度實用的求和性質：若A，B和 C為參考座標系，則 w AC = w AB + w BC {\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}} 其中 wPQ 表示了參考座標系Q相對於參考座標系P的快度。與速度加成式相比，這個式子更為簡潔。 我們可以從上述的勞倫茲轉換看出，勞倫茲因子等同於cosh w γ = 1 1 − v 2 / c 2 ≡ cosh ⁡ w {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w} 因此快度w作為一個雙曲角，隱含在勞倫茲轉換中的γ和β中。我們將快度與速度加成式聯繫在一起 u = ( u 1 + u 2 ) / ( 1 + u 1 u 2 / c 2 ) {\displaystyle u=(u_{1}+u_{2})/(1+u_{1}u_{2}/c^{2})} 藉由 β i = u i c = tanh ⁡ w i {\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}} 從而得到 tanh ⁡ w = tanh ⁡ w 1 + tanh ⁡ w 2 1 + tanh ⁡ w 1 tanh ⁡ w 2 = tanh ⁡ ( w 1 + w 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}} β和γ的乘積時常出現，從先前的討論可知 β γ = sinh ⁡ w {\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,} 固有加速度（一個加速物體實質感受到的加速度）是快度對於固有時間（一個加速物體本身所量測到的時間）的變化率。假想在物體的運動過程中，與加速中的物體保持相對靜止的一系列“非物理的”參考系，若在這個非物理的慣性系中非相對論性地計算物體的速度，則計算結果將是這個物體的快度。 由上述的表達式可以得到 e w = γ ( 1 + β ) = γ ( 1 + v c ) = 1 + v c 1 − v c {\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}}} 因此 e − w = γ ( 1 − β ) = γ ( 1 − v c ) = 1 − v c 1 + v c {\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}} 或是更加清楚地表示為 w = ln ⁡ [ γ ( 1 + β ) ] = − ln ⁡ [ γ ( 1 − β ) ] {\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,} 相對論性都普勒效應因子與快度w的關係為 k = e w {\displaystyle k=e^{w}} 。 相對論性速度 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} 與快度 w {\displaystyle \mathbf {w} } 为下列關係所聯繫 s o ( 3 , 1 ) ⊃ s p a n { K 1 , K 2 , K 3 } ≈ R 3 ∋ w = β ^ tanh − 1 ⁡ β , β ∈ B 3 , {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},} 其中的向量 w {\displaystyle \mathbf {w} } 是勞侖茲群對應的李代數 o ( 3 , 1 ) ≈ s o ( 3 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)} 中，由三個推進生成元（英语：Representation theory of the Lorentz group#Conventions and Lie algebra bases） K 1 , K 2 , K 3 {\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}} 張成的三維線性子空間上的座標。而這可以完全類比至上述一維情況時的 o ( 1 , 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)} 。因為光速 c {\displaystyle c} 是速度量值的上限（選用單位使得 c = 1 {\displaystyle c=1} ），所以速度符合條件 | β | < 1 {\displaystyle |\beta |<1} ，因此速度空間可以用一個半徑為 1 {\displaystyle 1} 的開球 B 3 {\displaystyle \mathbb {B} ^{3}} 表示。 一般性的快度求和公式為 w = β ^ tanh − 1 ⁡ β , β = β 1 ⊕ β 2 , {\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},} 其中 β 1 ⊕ β 2 {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}} 對應到速度加成式， β ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}} 是 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}} 方向上的單位向量。這個運算不符合交換律與結合律。斜向角度為 θ {\displaystyle \theta } 的快度 w 1 , w 2 {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}} 之和的模 w ≡ | w | {\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |} （歐氏空間中的長度）由餘弦的雙曲關係（英语：hyperbolic law of cosines）給出 cosh ⁡ w = cosh ⁡ w 1 cosh ⁡ w 2 + sinh ⁡ w 1 sinh ⁡ w 2 cos ⁡ θ {\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta } 快度空間上的幾何結構，透過對應的映射繼承了速度空間上的雙曲幾何。相應地，這個幾何結構可以從相對論性速度的求和公式來推得。因此，二維空間中的快度空間可以有效地透過龐加萊圓盤模型來想像，其上的測地線會對應到勻加速運動。三維空間中的快度空間，可以透過同樣的方法，與雙曲面模型建立保距同構（英语：Isometry (Riemannian geometry)）。閔考斯基時空的幾何條目中有更多相關的細節。 兩個快度的相加變換並非只是獲得一個新的快度值，整體的變換是由上述求和式給出的快度、透過向量 θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} 來參數化的旋轉，兩者組合而成。 Λ = e − i θ ⋅ J e − i w ⋅ K {\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} }} 這裡使用到了物理學家慣用的指數映射。 這是交換法則所致的結果 [ K i , K j ] = − i ϵ i j k J k {\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}} 其中 J k {\displaystyle J_{k}} 是旋轉群的生成元， ( k = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle (k=1,2,3)} ，這與湯瑪斯進動現象有關。連結中的文章有關於參數 θ {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}} 的計算方法。 一個非零（靜止）質量m粒子的能量E以及動量的大小|p| 為： E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}} | p | = γ m v {\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv} 透過快度w的定義 w = artanh ⁡ v c {\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}} 並且 cosh ⁡ w = cosh ⁡ ( artanh ⁡ v c ) = 1 1 − v 2 c 2 = γ {\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma } sinh ⁡ w = sinh ⁡ ( artanh ⁡ v c ) = v c 1 − v 2 c 2 = β γ {\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma } 能量和動量大小可以被表示為 E = m c 2 cosh ⁡ w {\displaystyle E=mc^{2}\cosh w} | p | = m c sinh ⁡ w {\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w} 所以快度可以用測量到的能量與動量大小透過下式來計算得出： w = artanh ⁡ | p | c E = 1 2 ln ⁡ E + | p | c E − | p | c {\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}} 然而實驗粒子物理學家常使用修改過的、相對於粒子束的快度定義 y = 1 2 ln ⁡ E + p z c E − p z c {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}}} 其中pz是沿著粒子束方向的動量分量。這是從「實驗室參考系」到一個「粒子運動方向與粒子束方向垂直的參考系」的勞倫茲變換所對應的快度，相關的概念可以參考條目贗快度。 Bondi k-calculus（英语：Bondi k-calculus） 勞倫茲變換 贗快度 固有速度 相對論 這可以被理解成，欲求給定兩個速度所對應到的快度和，實際上就是在對原速度作相對論性的求和，再求出該速度對應的快度。此外，快度從 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上也繼承了三維向量加法的求和性質，這是與上述快度和不同的一種和。在下文提到「快度求和」時，請依照上下文判斷是哪一種求和。 赫爾曼·閔考斯基 (1908) Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies via Wikisource Sommerfeld, Phys. Z 1909 弗拉基米爾·瓦里卡克（英语：Vladimir Varicak） (1910)Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity Physikalische Zeitschrift 經由維基文庫 埃德蒙·泰勒·惠特克 (1910) A History of the Theories of the Aether and Electricity, 第441頁，經由互聯網檔案館. 阿爾弗雷德·羅伯（英语：Alfred Robb） (1911) Optical Geometry of Motion p.9 Jackson 1999，第547頁 Rhodes & Semon 2003 harvnb error: no target: CITEREFRhodesSemon2003 (help) Robb 1910, Varićak 1910，Borel 1913 Landau & Lifshitz 2002，Problem p. 38 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help) Amsler, C. et al., "The Review of Particle Physics" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Physics Letters B 667 (2008) 1, Section 38.5.2 Varićak V（英语：Vladimir Varićak） (1910), (1912), (1924) See Vladimir Varićak#Publications（英语：Vladimir Varićak#Publications） Whittaker, E. T. A history of the theories of aether and electricity: 441. 1910 [22 January 2016].  Robb, Alfred. Optical geometry of motion, a new view of the theory of relativity. Cambridge: Heffner & Sons. 1911.  埃米爾·博雷爾 (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705 Silberstein, Ludwik. The Theory of Relativity. London: Macmillan & Co. 1914.  Vladimir Karapetoff（英语：Vladimir Karapetoff） (1936)"Restricted relativity in terms of hyperbolic functions of rapidities", 赫爾曼·邦迪 43:70. 法蘭克·莫雷 (1936) "When and Where", The Criterion, edited by T.S. Eliot, 15:200-2009. 沃夫岡·潤德勒 (2001) Relativity: Special, General, and Cosmological, page 53, 牛津大學出版社. Shaw, Ronald (1982) Linear Algebra and Group Representations, v. 1, page 229, Academic Press（英语：Academic Press） ISBN 0-12-639201-3. Walter, Scott. The non-Euclidean style of Minkowskian relativity (PDF). J. Gray (编). The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford University Press. 1999: 91–127 [2018-12-16]. （原始内容存档 (PDF)于2013-10-16）. (see page 17 of e-link) Rhodes, J. A.; Semon, M. D. Relativistic velocity space, Wigner rotation, and Thomas precession. Am. J. Phys. 2004, 72: 93–90. Bibcode:2004AmJPh..72..943R. arXiv:gr-qc/0501070 . doi:10.1119/1.1652040.  Jackson, J. D. Chapter 11. Classical Electrodynamics 3d. John Wiley & Sons. 1999 [1962]. ISBN 0-471-30932-X.