改進型韋格納分佈

改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function)，用於時頻分析的一種方法，屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。 韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學，但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析，雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性，但當有兩個以上的信號成分時，韋格納分佈就會出現相交項問題，這在應用上造成很大的困擾。 因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈，以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau } = ∫ − ∞ ∞ X ( f + η / 2 ) ⋅ X ∗ ( f − η / 2 ) e j 2 π t η ⋅ d η {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta } 為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題，改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數，將相交項過濾掉。 定義一：: W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( τ / 2 ) w ∗ ( − τ / 2 ) x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau } ，其中w(t)為遮罩函數. 常為方波，其方波寬度為參數B。可寫成 w ( t ) = { 1       i f   | t | < B 0       o t h e r w i s e {\displaystyle w(t)={\begin{cases}1\ \ \ if\ |t|<B\\0\ \ \ otherwise\end{cases}}} 定義二：: W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ P ( θ ) Y ( t , f + θ / 2 ) Y ∗ ( t , f − θ / 2 ) d θ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }P(\theta )Y(t,f+\theta /2)Y^{*}(t,f-\theta /2)d\theta } ， 其中 Y ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( τ ) x ( t + τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle Y(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x(t+\tau )e^{-j2\pi f\tau }d\tau } ；  P ( θ ) {\displaystyle P(\theta )\,}  類似遮罩函數， P ( θ ) ≈ 1   {\displaystyle P(\theta )\approx 1\ } ， 當θ很小 P ( θ ) ≈ 0   {\displaystyle P(\theta )\approx 0\ } ， 當θ很大 適當地選擇 P ( θ ) ≈ 1   {\displaystyle P(\theta )\approx 1\ } 的範圍。若選的範圍太小，將會破壞原本的項(auto term)。 定義三： W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( τ ) x L ( t + τ 2 L ) ⋅ x L ( t − τ 2 L ) ¯ e − j 2 π τ f ⋅ d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+{\tfrac {\tau }{2L}})\cdot {\overline {x^{L}(t-{\tfrac {\tau }{2L}})}}e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau } 增加 L 可以減少相交項(cross-term)的影響(但是不會完全消除) 定義四： W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ [ ∏ l = 1 q / 2 x ( t + d l τ ) x ∗ ( t − d − l τ ) ] e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau } 當 q = 2 和 d l = d − l = 0.5 {\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5} ，就是原本的韋格納分佈。 當指數函數的次項不超過 q/2 +1時，就可以避免相交項(cross-term) 然而，相交項(cross-term)會介於兩個訊號之間，無法完全被移除。 <說明> 定義四的維格納分布又稱為多項型維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ e j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ   e − j 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ [ ∏ ℓ = 1 q / 2 x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) ] e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau } If x ( t ) = e j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n}}} 所以 d ℓ {\displaystyle d_{\ell }} 必須要能滿足下面的式子： e j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ = ∏ ℓ = 1 q / 2 x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) {\displaystyle e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau }=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )} W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π ( f − ∑ n = 1 q 2 + 1 ) n a n t n − 1 τ d τ ≅ δ ( f − ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1})na_{n}t^{n-1}\tau }d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )} 其中 ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}} 為 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的瞬時頻率 接下來，我們來看 d ℓ {\displaystyle d_{\ell }} 要怎麼設定： (1) 當 q = 2 {\displaystyle q=2} 的時候： x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) = e j 2 π ∑ n = 1 2 n a n t n − 1 τ {\displaystyle x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{2}na_{n}t^{n-1}\tau }} 如果我們把 x ( t ) = e j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 a n t n {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}} 代入，可以得到下列式子： a 2 ( t + d 1 τ ) 2 + a 1 ( t + d 1 τ ) − a 2 ( t − d − 1 τ ) − a 1 ( t − d − 1 τ ) = 2 a 2 t τ + a 1 τ {\displaystyle a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )-a_{2}(t-d_{-1}\tau )-a_{1}(t-d_{-1}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau } { d 1 + d − 1 = 1 d 1 − d − 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}d_{1}+d_{-1}=1\\d_{1}-d_{-1}=0\end{cases}}} ⟹ { d 1 = 1 2 d − 1 = 1 2 {\displaystyle \Longrightarrow {\begin{cases}d_{1}={\tfrac {1}{2}}\\d_{-1}={\tfrac {1}{2}}\end{cases}}} 由此可以知道，當 q = 2 {\displaystyle q=2} 並且 d − 1 = d 1 = 1 2 {\displaystyle d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}} 時，多項型的維格納分布 (Polynomial Wigner Distribution Function) 就會與原始的維格納分布相同 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ [ ∏ l = 1 q / 2 x ( t + d l τ ) x ∗ ( t − d − l τ ) ] e − j 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ , i f q = 2 ,   d − 1 = d 1 = 1 2 {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{l=1}^{q/2}x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau ,\quad if\quad q=2,\ d_{-1}=d_{1}={\tfrac {1}{2}}} (2) 當 q = 4 {\displaystyle q=4} 的時候： x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) = e j 2 π ∑ n = 1 3 n a n t n − 1 τ {\displaystyle x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{3}na_{n}t^{n-1}\tau }} 如果我們把 x ( t ) = e j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 a n t n {\displaystyle x(t)=e^{j2\pi \sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}a_{n}t^{n}}} 代入，可以得到下列式子： a 3 ( t + d 1 τ ) 3 + a 2 ( t + d 1 τ ) 2 + a 1 ( t + d 1 τ ) a 3 ( t + d 2 τ ) 3 + a 2 ( t + d 2 τ ) 2 + a 1 ( t + d 2 τ ) − a 3 ( t + d − 1 τ ) 3 − a 2 ( t + d − 1 τ ) 2 − a 1 ( t + d − 1 τ ) − a 3 ( t + d − 2 τ ) 3 − a 2 ( t + d − 2 τ ) 2 − a 1 ( t + d − 2 τ ) {\displaystyle a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{1}\tau )a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}-a_{1}(t+d_{-2}\tau )} = 3 a 3 t 2 τ + 2 a 2 t τ + a 1 τ {\displaystyle =3a_{3}t^{2}\tau +2a_{2}t\tau +a_{1}\tau } { a 3 ( t + d 1 τ ) 3 + a 3 ( t + d 2 τ ) 3 − a 3 ( t + d − 1 τ ) 3 − a 3 ( t + d − 2 τ ) 3 a 2 ( t + d 1 τ ) 2 + a 2 ( t + d 2 τ ) 2 − a 2 ( t + d − 1 τ ) 2 − a 2 ( t + d − 2 τ ) 2 a 1 ( t + d 1 τ ) + a 1 ( t + d 2 τ ) − a 1 ( t + d − 1 τ ) − a 1 ( t + d − 2 τ ) {\displaystyle {\begin{cases}a_{3}(t+d_{1}\tau )^{3}+a_{3}(t+d_{2}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-1}\tau )^{3}-a_{3}(t+d_{-2}\tau )^{3}\\a_{2}(t+d_{1}\tau )^{2}+a_{2}(t+d_{2}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-1}\tau )^{2}-a_{2}(t+d_{-2}\tau )^{2}\\a_{1}(t+d_{1}\tau )+a_{1}(t+d_{2}\tau )-a_{1}(t+d_{-1}\tau )-a_{1}(t+d_{-2}\tau )\end{cases}}} = { 3 a 3 t 2 τ 2 a 2 t τ a 1 τ {\displaystyle ={\begin{cases}3a_{3}t^{2}\tau \\2a_{2}t\tau \\a_{1}\tau \end{cases}}} 所以我們可以得到 { d 1 + d 2 + d − 1 + d − 2 = 1 d 1 2 + d 2 2 − d − 1 2 − d − 2 2 = 0 d 1 3 + d 2 3 + d − 1 3 + d − 2 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}d_{1}+d_{2}+d_{-1}+d_{-2}=1\\{d_{1}}^{2}+{d_{2}}^{2}-{d_{-1}}^{2}-{d_{-2}}^{2}=0\\{d_{1}}^{3}+{d_{2}}^{3}+{d_{-1}}^{3}+{d_{-2}}^{3}=0\end{cases}}} 可以看到如果 q {\displaystyle q} 太大， d ℓ {\displaystyle d_{\ell }} 會不好設計。 在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。 x ( t ) = { cos ⁡ ( 3 π t )       t ≤ − 4 cos ⁡ ( 6 π t )       − 4 < t ≤ 4       cos ⁡ ( 4 π t )       t > 4 {\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(3\pi t)\ \ \ t\leq -4\\\cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\leq 4\ \ \ \\\cos(4\pi t)\ \ \ t>4\end{cases}}} 左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出，改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題，相對地增加清晰度。 x ( t ) = exp ⁡ ( j ⋅ ( t − 5 ) 3 − j ⋅ 6 π ⋅ t ) {\displaystyle x(t)=\exp(j\cdot (t-5)^{3}-j\cdot 6\pi \cdot t)} 左圖是韋格納分佈；右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出，改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題，同時增加清晰度。 信號處理 時頻分析 短時距傅立葉變換 Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007. L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995 Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2017. Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.