双伽玛函数

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。 ψ ( x ) = d d x ln ⁡ Γ ( x ) = Γ ′ ( x ) Γ ( x ) . {\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.} 它是第一个多伽玛函数。 双伽玛函数，通常用ψ0(x)、ψ0(x)或 Ϝ {\displaystyle \mathrm {\Digamma} } 来表示，与调和数有以下的关系： ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!} 其中Hn是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为： ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 {\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}} 它有以下的积分表示法： ψ ( x ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − x t 1 − e − t ) d t {\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt} 也可以写为 ψ ( s + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 1 − x s 1 − x d x {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx} 这可以从调和数的欧拉积分公式得出。 双伽玛函数有一个有理ζ级数，由z=1的泰勒级数给出。这是 ψ ( z + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ζ ( k + 1 ) ( − z ) k {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)\;(-z)^{k}} , 当|z|<1时收敛。在这里， ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} 是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。 双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出： ψ ( s + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) {\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}} 其中 ( s k ) {\displaystyle \textstyle {s \choose k}} 是二项式系数。 双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式： ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot ⁡ ( π x ) {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}} 双伽玛函数满足以下的递推关系： ψ ( x + 1 ) = ψ ( x ) + 1 x {\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}} 双伽玛函数具有以下形式的高斯和： − 1 π k ∑ n = 1 k sin ⁡ ( 2 π n m k ) ψ ( n k ) = ζ ( 0 , m k ) = − B 1 ( m k ) = 1 2 − m k {\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}} 其中m是整数，且 0 < m < k {\displaystyle 0<m<k} 。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数， B n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)} 是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是： ∑ n = 1 k ψ ( n k ) = − k ( γ + log ⁡ k ) , {\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),} 一个推广为： ∑ p = 0 q − 1 ψ ( a + p q ) = q [ ψ ( q a ) − ln ⁡ ( q ) ] , {\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi \left(a+{\frac {p}{q}}\right)=q[\psi (qa)-\ln(q)],} 其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。 对于正整数 m {\displaystyle m\,} 和 k {\displaystyle k\,} ( m < k ) {\displaystyle \left(m<k\right)\,} ，双伽玛函数可以用初等函数来表示： ψ ( m k ) = − γ − ln ⁡ ( 2 k ) − π 2 cot ⁡ ( m π k ) + 2 ∑ n = 1 ⌊ k − 1 2 ⌋ cos ⁡ ( 2 π n m k ) ln ⁡ sin ⁡ ( n π k ) {\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {k-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)} 双伽玛函数有以下的特殊值： ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!} ψ ( 1 2 ) = − 2 ln ⁡ 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma } ψ ( 1 3 ) = − π 2 3 − 3 2 ln ⁡ 3 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma } ψ ( 1 4 ) = − π 2 − 3 ln ⁡ 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma } ψ ( 1 6 ) = − π 2 3 − 2 ln ⁡ 2 − 3 2 ln ⁡ 3 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma } ψ ( 1 8 ) = − π 2 − 4 ln ⁡ 2 − 2 2 [ π + ln ⁡ ( 3 + 2 2 ) ] − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left[\pi +\ln(3+2{\sqrt {2}})\right]-\gamma } ψ ( 3 4 ) = π 2 − 3 ln ⁡ 2 − γ {\displaystyle \psi \left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma } 伽玛函数 三伽玛函数 多伽玛函数 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3（页面存档备份，存于互联网档案馆）节。 埃里克·韦斯坦因. Digamma function. MathWorld.