微分

函数的微分（英語：Differential of a function）是指对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。 微分在数学中的定义：由 y {\displaystyle y} 是 x {\displaystyle x} 的函数( y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} )。从简单的平面直角坐标系来看，自变量 x {\displaystyle x} 的变化量趋近于0时( d d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} )，因变量 y {\displaystyle y} 的变化量也趋近于0，但 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的变化量都趋近于0。当 x {\displaystyle x} 有极小的变化量时，这称为 x {\displaystyle x} 的微分。 当某些函数 f {\displaystyle \textstyle f} 的自变量 x {\displaystyle \textstyle x} 有一个微小的改变 h {\displaystyle \textstyle h} 时，函数的变化可以分解为两个部分。 一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量 h {\displaystyle \textstyle h} ，可以表示成 h {\displaystyle \textstyle h} 和一个与 h {\displaystyle \textstyle h} 无关，只与函数 f {\displaystyle \textstyle f} 及 x {\displaystyle \textstyle x} 有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 h {\displaystyle \textstyle h} 上的值。 另一部分是比 h {\displaystyle \textstyle h} 更高阶的无穷小，也就是说除以 h {\displaystyle \textstyle h} 后仍然会趋于零。当改变量 h {\displaystyle \textstyle h} 很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在 x {\displaystyle \textstyle x} 处的微分，记作 f ′ ( x ) h {\displaystyle \displaystyle f'(x)h} 或 d f x ( h ) {\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)} 。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。 不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。 在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量 h {\displaystyle \textstyle h} 映射到变化量的线性部分的线性映射 d f x {\displaystyle \displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} 。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。 设函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 在某区间 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内有定义。对于 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 内一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，当 x 0 {\displaystyle x_{0}} 变动到附近的 x 0 + Δ x {\displaystyle x_{0}+\Delta x} （也在此区间内）时，如果函数的增量 Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})} 可表示为 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) {\displaystyle \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)} （其中 A {\displaystyle A} 是不依赖于 Δ x {\displaystyle \Delta x} 的常数），而 o ( Δ x ) {\displaystyle o(\Delta x)} 是比 Δ x {\displaystyle \Delta x} 高阶的无穷小，那么称函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 是可微的，且 A Δ x {\displaystyle A\Delta x} 称作函数在点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 相应于自变量增量 Δ x {\displaystyle \Delta x} 的微分，记作 d y {\displaystyle {\textrm {d}}y} ，即 d y = A Δ x {\displaystyle {\textrm {d}}y=A\Delta x} ， d y {\displaystyle {\textrm {d}}y} 是 Δ y {\displaystyle \Delta y} 的线性主部。:141 通常把自变量 x {\displaystyle x} 的增量 Δ x {\displaystyle \Delta x} 称为自变量的微分，记作 d x {\displaystyle {\textrm {d}}x} ，即 d x = Δ x {\displaystyle {\textrm {d}}x=\Delta x} 。 微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念:141。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分 d x {\displaystyle {\textrm {d}}x} ，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 的微分又可记作 d y = f ′ ( x ) d x {\displaystyle {\textrm {d}}y=f'(x){\textrm {d}}x} 。 设 Δ x {\displaystyle \Delta x} 是曲线 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 上的点 P {\displaystyle P} 在横坐标上的增量， Δ y {\displaystyle \Delta y} 是曲线在点 P {\displaystyle P} 对应 Δ x {\displaystyle \Delta x} 在纵坐标上的增量， d y {\displaystyle {\textrm {d}}y} 是曲线在点 P {\displaystyle P} 的切线对应 Δ x {\displaystyle \Delta x} 在纵坐标上的增量。当 | Δ x | {\displaystyle \left|\Delta x\right|} 很小时， | Δ y − d y | {\displaystyle \left|\Delta y-{\textrm {d}}y\right|} 比 | Δ x | {\displaystyle \left|\Delta x\right|} 要小得多(高阶无穷小)，因此在点 P {\displaystyle P} 附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 设有函数 f : x ↦ x 2 {\displaystyle f:x\mapsto x^{2}} ，考虑它从某一点 x {\displaystyle x} 变到 x + d x {\displaystyle x+{\textrm {d}}x} 。这时，函数的改变量 f ( x + d x ) − f ( x ) {\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)} 等于： f ( x + d x ) − f ( x ) = ( x + d x ) 2 − x 2 {\displaystyle f(x+{\textrm {d}}x)-f(x)=(x+{\textrm {d}}x)^{2}-x^{2}} = 2 x ⋅ d x + ( d x ) 2 = A d x + o ( d x ) {\displaystyle =2x\cdot {\textrm {d}}x+({\textrm {d}}x)^{2}=A{\textrm {d}}x+o({\textrm {d}}x)} 其中的线性主部： A d x = 2 x d x {\displaystyle Adx=2xdx} ，高阶无穷小是 o ( d x ) = ( d x ) 2 {\displaystyle o({\textrm {d}}x)=({\textrm {d}}x)^{2}} 。 因此函数 f {\displaystyle \textstyle f} 在点 x {\displaystyle \textstyle x} 处的微分是 d y = 2 x d x {\displaystyle {\textrm {d}}y=2x{\textrm {d}}x} 。函数的微分与自变量的微分之商 d y d x = 2 x = f ′ ( x ) {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}=2x=f^{\prime }(x)} ，等于函数的导数。 d y d x = d ( a x n ) d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} (ax^{n})}{\mathrm {d} x}}} ，尤其 y = a x n {\displaystyle y=ax^{n}} = n a x ( n − 1 ) {\displaystyle =nax^{(n-1)}} 以下有一例子： 當方程式為 y = 2 x 2 {\displaystyle y=2x^{2}} 時，就會有以下的微分過程。 d y d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} = d 2 x 2 d x {\displaystyle ={\frac {\mathrm {d} 2x^{2}}{\mathrm {d} x}}} = 2 ⋅ 2 x ( 2 − 1 ) {\displaystyle =2\cdot 2x^{(2-1)}} = 4 x {\displaystyle =4x} 和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数 u {\displaystyle u} 、 v {\displaystyle v} 可微，那么： d ( a u + b v ) = d a u + d b v = a d u + b d v {\displaystyle \mathrm {d} (au+bv)=\mathrm {d} au+\mathrm {d} bv=a\mathrm {d} u+b\mathrm {d} v} d ( u v ) = u d v + v d u {\displaystyle d(uv)=udv+vdu} d ( u v ) = v d u − u d v v 2 {\displaystyle d\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {vdu-udv}{v^{2}}}} 若函数 y ( u ) {\displaystyle y(u)} 可导，那么 d [ y ( u ) ] = y ′ ( u ) d u {\displaystyle d[y(u)]=y'(u)du} :139 当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数，但偏导数只對單一自變量微分），但仍然有微分的概念。 设 f {\displaystyle f} 是从欧几里得空间Rn（或者任意一个内积空间）中的一个开集 Ω {\displaystyle \Omega } 射到Rm的一个函数。对于 Ω {\displaystyle \Omega } 中的一点 x {\displaystyle x} 及其在 Ω {\displaystyle \Omega } 中的邻域 Λ {\displaystyle \Lambda } 中的点 x + h {\displaystyle x+h} 。如果存在线性映射 A {\displaystyle A} 使得对任意这样的 x + h {\displaystyle x+h} , lim h → 0 ( | f ( x + h ) − f ( x ) − A ( h ) | | h | ) = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|}{|h|}}\right)=0} 那么称函数 f {\displaystyle f} 在点 x {\displaystyle x} 处可微。线性映射 A {\displaystyle A} 叫做 f {\displaystyle f} 在点 x {\displaystyle x} 处的微分，记作 d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} 。 如果 f {\displaystyle f} 在点 x {\displaystyle x} 处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。 当函数在某个区域的每一点 x {\displaystyle x} 都有微分 d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} 时，可以考虑将 x {\displaystyle x} 映射到 d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} 的函数： d f : x ↦ d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f:x\mapsto {\textrm {d}}f_{x}} 这个函数一般称为微分函数。 如果 f {\displaystyle f} 是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。 在Rn（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画： 设 f {\displaystyle f} 是从Rn射到Rm的函数， f = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f m ) {\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m})} ，那么： d f x = J f ( x ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=J_{f}(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}} 。 具体来说，对于一个改变量： h = ( h 1 , h 2 , … , h n ) = ∑ i = 1 n h i e i {\displaystyle h=(h_{1},h_{2},\ldots ,h_{n})=\sum _{i=1}^{n}h_{i}e_{i}} ，微分值： d f x ( h ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] ( h 1 ⋮ h n ) = ∑ i = 1 m ( ∑ j = 1 n ∂ f i ∂ x j h j ) e i {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}(h)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}h_{j}\right)e_{i}} 可微的必要条件：如果函数 f {\displaystyle f} 在一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})} 都存在，但反之不真:76。 可微的充分条件：如果函数 f {\displaystyle f} 在一点 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的雅克比矩阵的每一个元素 ∂ f i ∂ x j ( x 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})} 都在 x 0 {\displaystyle x_{0}} 连续，那么函数在这点处可微，但反之不真:77。 函数 f : ( x , y ) ↦ ( x 2 + y 2 , ( 1 − x 2 − y 2 ) x − y , x − ( 1 − x 2 − y 2 ) y ) {\displaystyle f:(x,y)\mapsto \left(x^{2}+y^{2},(1-x^{2}-y^{2})x-y,x-(1-x^{2}-y^{2})y\right)} 是一个从 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 射到 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 的函数。它在某一点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的雅可比矩阵为： J f ( x , y ) = [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] {\displaystyle J_{f}(x,y)={\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}} 微分为： d f ( x , y ) : h ↦ J f ( x , y ) ( h ) {\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h\mapsto J_{f}(x,y)(h)} ，也就是： d f ( x , y ) : h = ( h 1 h 2 ) ↦ [ 2 x 2 y 1 − 3 x 2 − y 2 − 2 x y − 1 1 + 2 x y − 1 + x 2 + 3 y 2 ] ( h 1 h 2 ) = ( 2 x h 1 + 2 y h 2 ( 1 − 3 x 2 − y 2 ) h 1 − ( 2 x y + 1 ) h 2 ( 1 + 2 x y ) h 1 − ( 1 − x 2 − 3 y 2 ) h 2 ) {\displaystyle {\textrm {d}}f_{(x,y)}:h={\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}2x&2y\\1-3x^{2}-y^{2}&-2xy-1\\1+2xy&-1+x^{2}+3y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{1}\\h_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2xh_{1}+2yh_{2}\\(1-3x^{2}-y^{2})h_{1}-(2xy+1)h_{2}\\(1+2xy)h_{1}-(1-x^{2}-3y^{2})h_{2}\end{pmatrix}}} 如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点 x {\displaystyle x} 给出一个近似描述函数性质的线性映射 d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} ，而微分形式对区域 D {\displaystyle \mathbf {D} } 内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式： ω ( x ) : T D x ⟶ R {\displaystyle \omega (x):\mathbf {TD} _{x}\longrightarrow \mathbb {R} } 。在坐标记法下，可以写成： ω ( x ) = ∑ 1 ≤ i 1 ≤ ⋯ ≤ i k ≤ n a i 1 ⋯ i k ( x ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega (x)=\sum _{1\leq i_{1}\leq \cdots \leq i_{k}\leq n}a_{i_{1}\cdots i_{k}}(x){\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}} 其中的 d x i {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i}} 是 i {\displaystyle i} -射影算子，也就是说将一个向量 v {\displaystyle v} 射到它的第 i {\displaystyle i} 个分量 v i {\displaystyle v^{i}} 的映射。而 d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}} 是满足： d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ( v 1 , ⋯ v k ) = | v 1 i 1 ⋯ v 1 i k ⋮ ⋱ ⋮ v k i 1 ⋯ v k i k | {\displaystyle {\textrm {d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\textrm {d}}x^{i_{k}}(v_{1},\cdots v_{k})={\begin{vmatrix}v_{1}^{i_{1}}&\cdots &v_{1}^{i_{k}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{k}^{i_{1}}&\cdots &v_{k}^{i_{k}}\end{vmatrix}}} 的k-形式。 特别地，当 f {\displaystyle f} 是一个从Rn射到R 的函数时，可以将 d f x {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}} 写作： d f x = ∑ i = 1 n ∂ f ∂ x i ( x ) d x i {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x){\textrm {d}}x^{i}} 正是上面公式的一个特例。 微分学 微积分 导数 积分 偏导数 外微分 泰勒公式 欧阳光中 姚允龙 周渊 编. 《数学分析（上册）》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7309035704.  梁子杰. 「可微」還是「可導」？ (PDF). 數學教育. [永久失效連結] 微分函数. 逢甲大学网路教学实验室. [2009-12-24]. （原始内容存档于2010-05-07）.  徐森林,薛春华. 《数学分析(第二册)》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0.  B.A.卓里奇 著，蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页. 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0.  Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.