杰克逊排队网络

在排队论中（运筹学的一支），杰克逊排队网络（英語：Jackson network，亦作Jacksonian network）是一类排队网络模型，其均衡分布计算形式简单且网络具有积形式解。该模型已被推广，其定理的思想也被运用于寻找其他网络中类似的积形式解。互联网发展中的一些思想亦源于该排队网络。这一网络模型首先由詹姆斯·R·杰克逊（英语：James R. Jackson）提出。2004年，杰克逊的文章重载于《管理科学（英语：Management Science (journal)）》，该刊将其誉为“管理科学头50年中最具影响力的十篇论文”之一。 杰克逊受到了柏克（英语：Burke's theorem）和赖克（Reich）工作的启发。但吉恩·华尔兰德（Jean Walrand）指出“积形式解的结果……从柏克定理推过去不是很直接，并没有杰克逊本人在他那篇奠基性文章中所认为的那么直接”。 在串联排队（有限数量的队列，顾客按先后顺序去每个队列等候）和环形排队网络（串联成环的若干队列，顾客按先后顺序去每个队列等候）中，R.R.P. Jackson更早就发现了一个积形式解。 杰克逊网络包括一定数量的节点，每个节点表示一个队列，队列的服务率既可以是状态无关的（不同的节点有不同的服务率），也可以是状态相关的（服务率的变化与队长相关）。任务（jobs）按照一个固定的路由矩阵（routing matrix）在节点间转移。每个节点处的任务都属于单一的“类”（class），任务都服从相同都服务时间分布和路由机制。因此，并没有引入任务服务的优先级：每个节点处的所有工作都以先到先得（FIFS, First In First Severed）方式进行。 有限任务、闭合网络的杰克逊网络也有积形式解，该结论由Gordon–Newell定理阐明。 m {\displaystyle m} 个相连队列组成的网络被称作杰克逊网络，若它满足下述条件： 若网络是开放的，任意往节点 i {\displaystyle i} 的外部到达都是一个泊松过程， 服务时间呈指数分布，排队规则为先到先得（First come first served）， 队列 i {\displaystyle i} 处的顾客服务结束后，以概率 P i j {\displaystyle P_{ij}} 转移到新的队列 j {\displaystyle j} 或以概率 1 − ∑ j = 1 m P i j {\displaystyle 1-\sum _{j=1}^{m}P_{ij}} 离开队列；对于开放网络来说，离开概率对所有队列的某个子集是非零的， 所有队列的利用率都小于1。 m {\displaystyle m} 为M/M/1模型的开放杰克逊网络，其中利用率（utilization） ρ i {\displaystyle \rho _{i}} 对每个队列都小于1，平衡状态概率分布存在，且对状态 ( k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle \scriptstyle {(k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})}} ，平衡状态（equilibrium state）概率分布由每个队列的平衡分布之积给出： π ( k 1 , k 2 , … , k m ) = ∏ i = 1 m π i ( k i ) = ∏ i = 1 m [ ρ i k i ( 1 − ρ i ) ] . {\displaystyle \pi (k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})=\prod _{i=1}^{m}\pi _{i}(k_{i})=\prod _{i=1}^{m}[\rho _{i}^{k_{i}}(1-\rho _{i})].} 结果 π ( k 1 , k 2 , … , k m ) = ∏ i = 1 m π i ( k i ) {\displaystyle \pi (k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})=\prod _{i=1}^{m}\pi _{i}(k_{i})} 对M/M/c服务站（stations）也成立，其中第 i {\displaystyle i} 个节点的服务台（servers）数为 c i {\displaystyle c_{i}} ，利用率满足 ρ i < c i {\displaystyle \rho _{i}<c_{i}} 。 在一个开放网络中，顾客自系统外部以泊松流方式到达，到达率为 α > 0 {\displaystyle \alpha >0} 。每个往节点j的到达是相互独立的，有概率 p 0 j ≥ 0 {\displaystyle p_{0j}\geq 0} 且满足 ∑ j = 1 J p 0 j = 1 {\displaystyle \sum _{j=1}^{J}p_{0j}=1} 。当节点 i {\displaystyle i} 处的服务完成时，顾客会以概率 p i j {\displaystyle p_{ij}} 进入另一节点或者以 p i 0 = 1 − ∑ j = 1 J p i j {\displaystyle p_{i0}=1-\sum _{j=1}^{J}p_{ij}} 的概率离开网络。 因此，节点 i {\displaystyle i} 的总到达率 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 是外部到达和内部转移的总和： {\displaystyle } {\displaystyle } λ i = α p 0 i + ∑ j = 1 J λ j p j i , i = 1 , … , J . ( 1 ) {\displaystyle \lambda _{i}=\alpha p_{0i}+\sum _{j=1}^{J}\lambda _{j}p_{ji},i=1,\ldots ,J.\qquad (1)} （因为每个节点的利用率均小于1，且我们观察的是均衡分布，即长时间运行的平均行为，任务从 j {\displaystyle j} 转移到 i {\displaystyle i} 速率的界不超过 j {\displaystyle j} 到达率的一部分，我们由此忽略上式中的服务率 μ j {\displaystyle \mu _{j}} 。） {\displaystyle } 定义 a = ( α p 0 i ) i = 1 J {\displaystyle a=(\alpha p_{0i})_{i=1}^{J}} ，我们就可以解出 λ = ( I − P T ) − 1 a {\displaystyle \lambda =(I-P^{T})^{-1}a} 。 所有任务在后续泊松过程中会离开其节点，节点 i {\displaystyle i} 处有 x i {\displaystyle x_{i}} 个任务，定义其服务率为 μ i ( x i ) {\displaystyle \mu _{i}(x_{i})} 。 令 X i ( t ) {\displaystyle X_{i}(t)} 表示节点 i {\displaystyle i} 在时间 t {\displaystyle t} 的任务数， X = ( X i ) i = 1 J {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{i})_{i=1}^{J}} 。 X {\displaystyle \mathbf {X} } 的均衡分布， π ( x ) = P ( X = x ) {\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=P(\mathbf {X} =\mathbf {x} )} 由如下系统平衡方程给出： π ( x ) ∑ i = 1 J [ α p 0 i + μ i ( x i ) ( 1 − p i i ) ] = ∑ i = 1 J [ π ( x − e i ) α p 0 i + π ( x + e i ) μ i ( x i + 1 ) p i 0 ] + ∑ i = 1 J ∑ j ≠ i π ( x + e i − e j ) μ i ( x i + 1 ) p i j . ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\pi (\mathbf {x} )\sum _{i=1}^{J}[\alpha p_{0i}+\mu _{i}(x_{i})(1-p_{ii})]\\={}&\sum _{i=1}^{J}[\pi (\mathbf {x} -\mathbf {e} _{i})\alpha p_{0i}+\pi (\mathbf {x} +\mathbf {e} _{i})\mu _{i}(x_{i}+1)p_{i0}]+\sum _{i=1}^{J}\sum _{j\neq i}\pi (\mathbf {x} +\mathbf {e} _{i}-\mathbf {e} _{j})\mu _{i}(x_{i}+1)p_{ij}.\qquad (2)\end{aligned}}} 其中 e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} 表示第 i {\displaystyle i} 个单位向量.。 设独立随机向量 ( Y 1 , … , Y J ) {\displaystyle (Y_{1},\ldots ,Y_{J})} ，每个 Y i {\displaystyle Y_{i}} 都有概率质量函数： P ( Y i = n ) = p ( Y i = 0 ) ⋅ λ i n M i ( n ) , ( 3 ) {\displaystyle P(Y_{i}=n)=p(Y_{i}=0)\cdot {\frac {\lambda _{i}^{n}}{M_{i}(n)}},\quad (3)} 其中 M i ( n ) = ∏ j = 1 n μ i ( j ) {\displaystyle M_{i}(n)=\prod _{j=1}^{n}\mu _{i}(j)} 。当 ∑ n = 1 ∞ λ i n M i ( n ) < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda _{i}^{n}}{M_{i}(n)}}<\infty } 即 P ( Y i = 0 ) = ( 1 + ∑ n = 1 ∞ λ i n M i ( n ) ) − 1 {\displaystyle P(Y_{i}=0)=\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda _{i}^{n}}{M_{i}(n)}}\right)^{-1}} 是良定义的，开放杰克逊网络的平衡分布有如下的积形式： π ( x ) = ∏ i = 1 J P ( Y i = x i ) . {\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{J}P(Y_{i}=x_{i}).} 对所有的 x ∈ Z + J {\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {Z}}_{+}^{J}} 。 设图中有一三节点的杰克逊网络，系数分别是： α = 5 , p 01 = p 02 = 0.5 , p 03 = 0 , {\displaystyle \alpha =5,\quad p_{01}=p_{02}=0.5,\quad p_{03}=0,\quad } P = [ 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 ] , μ = [ μ 1 ( x 1 ) μ 2 ( x 2 ) μ 3 ( x 3 ) ] = [ 15 12 10 ]  for all  x i > 0 {\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0.5&0.5\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\quad \mu ={\begin{bmatrix}\mu _{1}(x_{1})\\\mu _{2}(x_{2})\\\mu _{3}(x_{3})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}15\\12\\10\end{bmatrix}}{\text{ for all }}x_{i}>0} 通过定理，可以计算： λ = ( I − P T ) − 1 a = [ 1 0 0 − 0.5 1 0 − 0.5 0 1 ] − 1 [ 0.5 × 5 0.5 × 5 0 ] = [ 1 0 0 0.5 1 0 0.5 0 1 ] [ 2.5 2.5 0 ] = [ 2.5 3.75 1.25 ] {\displaystyle \lambda =(I-P^{T})^{-1}a={\begin{bmatrix}1&0&0\\-0.5&1&0\\-0.5&0&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0.5\times 5\\0.5\times 5\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0.5&1&0\\0.5&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2.5\\2.5\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2.5\\3.75\\1.25\end{bmatrix}}} 根据 Y {\displaystyle \mathbf {Y} } 的定义，有： P ( Y 1 = 0 ) = ( ∑ n = 0 ∞ ( 2.5 15 ) n ) − 1 = 5 6 {\displaystyle P(Y_{1}=0)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2.5}{15}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {5}{6}}} P ( Y 2 = 0 ) = ( ∑ n = 0 ∞ ( 3.75 12 ) n ) − 1 = 11 16 {\displaystyle P(Y_{2}=0)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {3.75}{12}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {11}{16}}} P ( Y 3 = 0 ) = ( ∑ n = 0 ∞ ( 1.25 10 ) n ) − 1 = 7 8 {\displaystyle P(Y_{3}=0)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1.25}{10}}\right)^{n}\right)^{-1}={\frac {7}{8}}} 因此，每个节点处有一个服务的概率是： π ( 1 , 1 , 1 ) = 5 6 ⋅ 2.5 15 ⋅ 11 16 ⋅ 3.75 12 ⋅ 7 8 ⋅ 1.25 10 ≈ 0.00326 {\displaystyle \pi (1,1,1)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {2.5}{15}}\cdot {\frac {11}{16}}\cdot {\frac {3.75}{12}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {1.25}{10}}\approx 0.00326} 由于这里的服务率是状态无关的， Y i {\displaystyle Y_{i}} 各项服从简单的几何分布。 推广的杰克逊网络允许更新到达过程（英语：Renewal theory）不一定是一个泊松过程，也允许服务时间是独立且同种的非指数分布。一般地，网络不一定要有积形式稳定解（英语：Product-form solution），因此需要找近似解 在一些平和的条件下，开放的推广杰克逊网络的队长过程 {\displaystyle } Q(t) {\displaystyle } 可以用反射布朗运动（英语：reflected Brownian motion）近似，定义为 R B M Q ( 0 ) ( θ , Γ ; R ) {\displaystyle RBM_{Q(0)}(\theta ,\Gamma ;R)} ，其中 θ {\displaystyle \theta } 是过程的漂移（drift）， Γ {\displaystyle \Gamma } 是协方差矩阵， R {\displaystyle R} 是反射矩阵。这一二阶近似是从均质流体（homogeneous fluid network）的推广杰克逊网络和反射布朗运动间的关系得到的。 反射布朗过程的参数如下所述： θ = α − ( I − P T ) μ {\displaystyle \theta =\alpha -(I-P^{T})\mu } Γ = ( Γ k l ) {\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{kl})} 有 Γ k l = ∑ j = 1 J ( λ j ∧ μ j ) [ p j k ( δ k l − p j l ) + c j 2 ( p j k − δ j k ) ( p j l − δ j l ) ] + α k c 0 , k 2 δ k l {\displaystyle \Gamma _{kl}=\sum _{j=1}^{J}(\lambda _{j}\wedge \mu _{j})[p_{jk}(\delta _{kl}-p_{jl})+c_{j}^{2}(p_{jk}-\delta _{jk})(p_{jl}-\delta _{jl})]+\alpha _{k}c_{0,k}^{2}\delta _{kl}} R = I − P T {\displaystyle R=I-P^{T}} 其中符号的定义： Gordon–Newell网络 BCMP网络 G-网络 Little法则 Walrand, J.; Varaiya, P. 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