WKB近似

在量子力學裏，WKB近似是一種半經典計算方法，可以用來解析薛丁格方程式。喬治·伽莫夫使用這方法，首先正確地解釋了阿爾法衰變。WKB近似先將量子系統的波函數，重新打造為一個指數函數。然後，半經典展開。再假設波幅或相位的變化很慢。通過一番運算，就會得到波函數的近似解。 WKB近似以三位物理學家格雷戈尔·文策尔、汉斯·克喇末和萊昂·布里淵姓氏字首命名。於1926年，他們成功地將這方法發展和應用於量子力學。不過早在1923年，數學家哈罗德·杰弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般的近似法。薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現稍微晚了兩年。三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎並不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了杰弗里斯所做的貢獻。這方法在荷蘭稱為KWB近似，在法國稱為BWK近似，只有在英國稱為JWKB近似。 一般而言，WKB近似專門計算一種特殊微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的最高階導數項目的係數是一個微小參數 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 。給予一個微分方程式，形式為 ϵ d n y d x n + a ( x ) d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + k ( x ) d y d x + m ( x ) y = 0 {\displaystyle \epsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0\,\!} 。 假設解答的形式可以展開為一個漸近級數： y ( x ) ∼ exp ⁡ [ 1 δ ∑ n = 0 ∞ δ n S n ( x ) ] {\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!} 。 將這擬設代入微分方程式。然後约去相同指數函數因子。又取 δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0\,\!} 的極限。這樣，就可以從 S 0 ( x ) {\displaystyle S_{0}(x)\,\!} 開始，一個一個的解析這漸近級數的每一個項目 S n ( x ) {\displaystyle S_{n}(x)\,\!} 。 通常 y ( x ) {\displaystyle y(x)\,\!} 的漸近級數會發散。當 n {\displaystyle n\,\!} 大於某值後，一般項目 δ n S n ( x ) {\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)\,\!} 會開始增加。因此WKB近似法造成的最小誤差，約是最後包括項目的數量級。 設想一個二階齊次線性微分方程式 ϵ 2 d 2 y d x 2 = Q ( x ) y {\displaystyle \epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y\,\!} ； 其中， Q ( x ) ≠ 0 {\displaystyle Q(x)\neq 0\,\!} 。 猜想解答的形式為 y ( x ) = exp ⁡ [ 1 δ ∑ n = 0 ∞ δ n S n ( x ) ] {\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]\,\!} 。 將猜想代入微分方程式，可以得到 ϵ 2 [ 1 δ 2 ( ∑ n = 0 ∞ δ n S n ′ ) 2 + 1 δ ∑ n = 0 ∞ δ n S n ″ ] = Q ( x ) {\displaystyle \epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)\,\!} 。 取 δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0\,\!} 的極限，最重要的項目是 ϵ 2 δ 2 S 0 ′ 2 ∼ Q ( x ) {\displaystyle {\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)\,\!} 。 我們可以察覺， δ {\displaystyle \delta \,\!} 必須與 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 成比例。設定 δ = ϵ {\displaystyle \delta =\epsilon \,\!} ，則 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的零次冪項目給出 ϵ 0 : S 0 ′ 2 = Q ( x ) {\displaystyle \epsilon ^{0}:\qquad S_{0}'^{2}=Q(x)\,\!} 。 我們立刻認出這是程函方程。解答為 S 0 ( x ) = ± ∫ x 0 x Q ( t ) d t {\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\,\!} 。 檢查 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的一次冪項目給出 ϵ 1 : 2 S 0 ′ S 1 ′ + S 0 ″ = 0 {\displaystyle \epsilon ^{1}:\qquad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0\,\!} 。 這是一個一維傳輸方程式。解答為 S 1 ( x ) = − 1 4 ln ⁡ ( Q ( x ) ) + k 1 {\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln \left(Q(x)\right)+k_{1}\,\!} ； 其中， k 1 {\displaystyle k_{1}\,\!} 是任意常數。 我們現在有一對近似解（因為 S 0 {\displaystyle S_{0}\,\!} 可以是正值或負值）。一般的一階WKB近似解是這一對近似解的線性組合： y ( x ) ≈ c 1 Q − 1 4 ( x ) exp ⁡ [ 1 ϵ ∫ x 0 x Q ( t ) d t ] + c 2 Q − 1 4 ( x ) exp ⁡ [ − 1 ϵ ∫ x 0 x Q ( t ) d t ] {\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]\,\!} 。 檢查 ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} 的更高冪項目（ n > 2 {\displaystyle n>2\,\!} ）可以給出： 2 S 0 ′ S n ′ + S n − 1 ″ + ∑ j = 1 n − 1 S j ′ S n − j ′ = 0 {\displaystyle 2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0\,\!} 。 解析一個量子系統的薛丁格方程式，WKB近似涉及以下步驟： 將波函數重寫為一個指數函數， 將這指數函數代入薛丁格方程式， 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數， 匹配約化普朗克常數同次冪的項目，會得到一組方程式， 解析這些方程式，就會得到波函數的近似。 一維不含時薛丁格方程式為 − ℏ 2 2 m d 2 d x 2 ψ ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m\,\!} 是質量， x {\displaystyle x\,\!} 是坐標， V ( x ) {\displaystyle V(x)\,\!} 是位勢， E {\displaystyle E\,\!} 是能量， ψ {\displaystyle \psi \,\!} 是波函數。 稍加編排，重寫為 ℏ 2 d 2 d x 2 ψ ( x ) = 2 m ( V ( x ) − E ) ψ ( x ) {\displaystyle \hbar ^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=2m\left(V(x)-E\right)\psi (x)\,\!} 。(1) 假設波函數的形式為另外一個函數 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 的指數（函數 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 與作用量有很密切的關係）： ψ ( x ) = e ϕ ( x ) / ℏ {\displaystyle \psi (x)=e^{\phi (x)/\hbar }\,\!} 。 代入方程式(1)， ℏ ϕ ″ ( x ) + [ ϕ ′ ( x ) ] 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle \hbar \phi ''(x)+\left[\phi '(x)\right]^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} ；(2) 其中， ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 表示 ϕ {\displaystyle \phi \,\!} 隨著 x {\displaystyle x\,\!} 的導數。 ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 可以分為實值部分與虛值部分。設定兩個函數 A ( x ) {\displaystyle A(x)\,\!} 與 B ( x ) {\displaystyle B(x)\,\!} ： ϕ ′ ( x ) = A ( x ) + i B ( x ) {\displaystyle \phi '(x)=A(x)+iB(x)\,\!} 。 注意到波函數的波幅是 exp ⁡ [ ∫ x A ( x ′ ) d x ′ / ℏ ] {\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]\,\!} ，相位是 ∫ x B ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \int ^{x}B(x')dx'/\hbar \,\!} 。將 ϕ ′ {\displaystyle \phi '\,\!} 的代表式代入方程式(2)，分別匹配實值部分、虛值部分，可以得到兩個方程式： ℏ A ′ ( x ) + A ( x ) 2 − B ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle \hbar A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} ，(3) ℏ B ′ ( x ) + 2 A ( x ) B ( x ) = 0 {\displaystyle \hbar B'(x)+2A(x)B(x)=0\,\!} 。(4) 將 A ( x ) {\displaystyle A(x)\,\!} 與 B ( x ) {\displaystyle B(x)\,\!} 展開為 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的冪級數： A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n A n ( x ) {\displaystyle A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)\,\!} ， B ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ℏ n B n ( x ) {\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)\,\!} 。 將兩個冪級數代入方程式(3)與(4)。 ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的零次冪項目給出： A 0 ( x ) 2 − B 0 ( x ) 2 = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)\,\!} ， A 0 ( x ) B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)B_{0}(x)=0\,\!} 。 假若波幅變化地足夠慢於相位（ A 0 ( x ) ≪ B 0 ( x ) {\displaystyle A_{0}(x)\ll B_{0}(x)\,\!} ），那麼，我們可以設定 A 0 ( x ) = 0 {\displaystyle A_{0}(x)=0\,\!} ， B 0 ( x ) = ± 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!} 。 只有當 E ≥ V ( x ) {\displaystyle E\geq V(x)\,\!} 的時候，這方程式才成立。經典運動只會允許這種狀況發生。 更精確一點， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 的一次冪項目給出： A 0 ′ + 2 A 0 A 1 − 2 B 0 B 1 = − 2 B 0 B 1 = 0 {\displaystyle A_{0}'+2A_{0}A_{1}-2B_{0}B_{1}=-2B_{0}B_{1}=0\,\!} ， B 0 ′ + 2 A 0 B 1 + 2 B 0 A 1 = B 0 ′ + 2 B 0 A 1 = 0 {\displaystyle B_{0}'+2A_{0}B_{1}+2B_{0}A_{1}=B_{0}'+2B_{0}A_{1}=0\,\!} 。 所以， B 1 = 0 {\displaystyle B_{1}=0\,\!} ， A 1 = − B 0 ′ 2 B 0 = d d x l n B 0 − 1 / 2 {\displaystyle A_{1}=-{\frac {B_{0}'}{2B_{0}}}={\frac {d}{dx}}lnB_{0}^{-1/2}\,\!} 。 波函數的波幅是 exp ⁡ [ ∫ x A ( x ′ ) d x ′ / ℏ ] = 1 B 0 {\displaystyle \exp \left[\int ^{x}A(x')dx'/\hbar \right]={\frac {1}{\sqrt {B_{0}}}}\,\!} 。 定義動量 p ( x ) = 2 m ( E − V ( x ) ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,\!} ，則波函數的近似為 ψ ( x ) ≈ C ± p ( x ) e ± i ∫ x 0 x p ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \psi (x)\approx {\cfrac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm i\int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!} ；(5) 其中， C + {\displaystyle C_{+}\,\!} 和 C − {\displaystyle C_{-}\,\!} 是常數， x 0 {\displaystyle x_{0}\,\!} 是一個任意參考點的坐標。 換到另一方面，假若相位變化地足夠慢於波幅（ B 0 ( x ) ≪ A 0 ( x ) {\displaystyle B_{0}(x)\ll A_{0}(x)\,\!} ），那麼，我們可以設定 A 0 ( x ) = ± 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!} ， B 0 ( x ) = 0 {\displaystyle B_{0}(x)=0\,\!} 。 只有當 V ( x ) ≥ E {\displaystyle V(x)\geq E\,\!} 的時候，這方程式才成立。經典運動不會允許這種狀況發生。只有在量子系統裏，才會發生這種狀況，稱為量子穿隧效應。類似地計算，可以求得波函數的近似為 ψ ( x ) ≈ C ± p ( x ) e ± ∫ x 0 x p ( x ′ ) d x ′ / ℏ {\displaystyle \psi (x)\approx {\frac {C_{\pm }}{\sqrt {p(x)}}}e^{\pm \int _{x_{0}}^{x}p(x')\mathrm {d} x'/\hbar }\,\!} ；(6) 其中， p ( x ) = 2 m ( V ( x ) − E ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,\!} 。 顯而易見地，我們可以從分母觀察出來，在經典轉向點 E = V ( x ) {\displaystyle E=V(x)\,\!} ，這兩個近似方程式(5)和(6)會發散，無法表示出物理事實。我們必須正確地找到波函數在經典轉向點的近似解答。設定 x 1 < x < x 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2}\,\!} 是經典運動允許區域。在這區域內， E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ，波函數呈振動形式。其它區域 x < x 1 {\displaystyle x<x_{1}\,\!} 和 x 2 < x {\displaystyle x_{2}<x\,\!} 是經典運動不允許區域，波函數呈指數遞減形式。假設在經典轉向點附近，位勢足夠的光滑，可以近似為線性函數。更詳細地說，在點 x 2 {\displaystyle x_{2}\,\!} 附近，將 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\,\!} 展開為一個冪級數： 2 m ℏ 2 ( V ( x ) − E ) = U 1 ( x − x 2 ) + U 2 ( x − x 2 ) 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{2})+U_{2}(x-x_{2})^{2}+\cdots \,\!} ； 其中， U 1 , U 2 , ⋯ {\displaystyle U_{1},\,U_{2},\,\cdots \,\!} 是常數值係數。 取至一階，方程式(1)變為 d 2 d x 2 ψ ( x ) = U 1 ( x − x 2 ) ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\psi (x)=U_{1}(x-x_{2})\psi (x)\,\!} 。 這微分方程式稱為艾里方程式，其解為著名的艾里函數： ψ ( x ) = C 2 A Ai ( U 1 3 ( x − x 2 ) ) + C 2 B Bi ( U 1 3 ( x − x 2 ) ) {\displaystyle \psi (x)=C_{2A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)+C_{2B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{2})\right)\,\!} 。 匹配艾里函數和在 x < x 2 {\displaystyle x<x_{2}\,\!} 的波函數，在 x 2 < x {\displaystyle x_{2}<x\,\!} 的波函數，經過一番繁雜的計算，可以得到在 x 2 {\displaystyle x_{2}\,\!} 附近的連接公式（connection formula）： ψ ( x ) = { 2 C 2 p ( x ) sin ⁡ ( 1 ℏ ∫ x x 2 p ( x ′ ) d x ′ + π 4 ) if  x < x 2 C 2 | p ( x ) | exp ⁡ ( − ∫ x 2 x | p ( x ′ ) | d x ′ / ℏ ) if  x 2 < x {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {2C_{2}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x<x_{2}\\{\cfrac {C_{2}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x_{2}}^{x}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x_{2}<x\end{cases}}\,\!} 。 類似地，也可以得到在 x 1 {\displaystyle x_{1}\,\!} 附近的連接公式： ψ ( x ) = { C 1 | p ( x ) | exp ⁡ ( − ∫ x x 1 | p ( x ′ ) | d x ′ / ℏ ) if  x < x 1 2 C 1 p ( x ) sin ⁡ ( 1 ℏ ∫ x 1 x p ( x ′ ) d x ′ + π 4 ) if  x 1 < x {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}{\cfrac {C_{1}}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|dx'/{\hbar }\right)&{\mbox{if }}x<x_{1}\\{\cfrac {2C_{1}}{\sqrt {p(x)}}}\sin \left({\cfrac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'+{\cfrac {\pi }{4}}\right)&{\mbox{if }}x_{1}<x\end{cases}}\,\!} 。 在經典運動允許區域 x 1 < x < x 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2}\,\!} 內的兩個連接公式也必須匹配。設定角變量 θ 1 = − 1 ℏ ∫ x 1 x p ( x ′ ) d x ′ − π 4 {\displaystyle \theta _{1}=-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}p(x')dx'-{\frac {\pi }{4}}\,\!} ， θ 2 =   1 ℏ ∫ x x 2 p ( x ′ ) d x ′ + π 4 {\displaystyle \theta _{2}=~{\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}p(x')dx'+{\frac {\pi }{4}}\,\!} ， α = ∫ x 1 x 2 p ( x ) d x / ℏ {\displaystyle \alpha =\int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx/\hbar \,\!} 。 那麼， α = θ 2 − θ 1 − π / 2 {\displaystyle \alpha =\theta _{2}-\theta _{1}-\pi /2\,\!} ， − C 1 sin ⁡ θ 1 = C 2 sin ⁡ θ 2 = C 2 sin ⁡ ( θ 1 + α + π / 2 ) {\displaystyle -C_{1}\sin \theta _{1}=C_{2}\sin \theta _{2}=C_{2}\sin(\theta _{1}+\alpha +\pi /2)\,\!} 。 立刻，我們可以認定 | C 1 | = | C 2 | {\displaystyle |C_{1}|=|C_{2}|\,\!} 。匹配相位，假若 C 1 = C 2 {\displaystyle C_{1}=C_{2}\,\!} ，那麼， α + π / 2 = ( 2 m − 1 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha +\pi /2=(2m-1)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 所以， α = ( 2 m − 3 / 2 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha =(2m-3/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 假若 C 1 = − C 2 {\displaystyle C_{1}=-C_{2}\,\!} ，那麼， α + π / 2 = 2 m π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha +\pi /2=2m\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 所以， α = ( 2 m − 1 / 2 ) π , m = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \alpha =(2m-1/2)\pi ,\qquad m=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 總結，量子系統必須滿足量子化守則： ∫ x 1 x 2 p ( x ) d x = ( n − 1 / 2 ) π ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}p(x)dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 考慮一個量子諧振子系統，一個質量為 m {\displaystyle m\,\!} 的粒子，運動於諧振位勢 V ( x ) = 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\,\!} ；其中， ω {\displaystyle \omega \,\!} 是角頻率。求算其本徵能級 E n {\displaystyle E_{n}\,\!} ？ 能量為 E {\displaystyle E\,\!} 的粒子，其運動的古典轉向點 x t {\displaystyle x_{t}\,\!} 為 E = 1 2 m ω 2 x t 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{t}^{2}\,\!} 。 所以， x t = ± 2 E m ω 2 {\displaystyle x_{t}=\pm {\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\,\!} 。 粒子的動量為 p ( x ) = 2 m ( E − 1 2 m ω 2 x 2 ) {\displaystyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,\!} 。 將這些變量代入量子化守則： ∫ − 2 E / m ω 2 2 E / m ω 2 2 m ( E − 1 2 m ω 2 x 2 ) d x = ( n − 1 / 2 ) π ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle \int _{-2E/m\omega ^{2}}^{2E/m\omega ^{2}}\,{\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)}}\,dx=(n-1/2)\pi \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 經過一番運算，可以得到本徵能量 E n = ( n − 1 / 2 ) ω ℏ , n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle E_{n}=(n-1/2)\omega \hbar ,\qquad n=1,\,2,\,3,\,\dots \,\!} 。 藉由以上之計算，發現近似解與精確解完全一樣。 微擾理論 (量子力學) 量子穿隧效應 舊量子論 Griffiths, David J. 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