純態

純態（pure state）這個名詞出現在幾個領域，包括物理方面的量子力學以及數學方面的泛函分析理論。 在量子力學當中，純態由一個相同統計系綜(ensemble)所構成，而相對於純態的混態(mixed state)則可以分解兩個以上的系綜。在量子力學中有諸多表示型(formalism)，一個量子態可由密度矩陣或稱密度算符表示，區分純態和混態的方法即可由此得之。純態S可用狄拉克符号的右括向量表示： S = | Ψ ⟩ {\displaystyle S=|\Psi \rangle } 或寫成密度矩陣表示型則為： S = ρ = | Ψ ⟩ ⟨ Ψ | {\displaystyle S=\rho =|\Psi \rangle \langle \Psi |} 给定的量子态对应不同的右矢（相差一个相位）， | Ψ ′ ⟩ = e i ϕ | Ψ ⟩ {\displaystyle |\Psi '\rangle =e^{i\phi }|\Psi \rangle } ，但对应唯一的密度矩阵 ρ {\displaystyle \rho } ，从这个角度说，密度矩阵表示更为经济。由此推广，可以用密度矩阵表示定义更一般的态， S = ρ = ∑ i = 1 N c i | Ψ i ⟩ ⟨ Ψ i | {\displaystyle S=\rho =\sum _{i=1}^{N}c_{i}|\Psi _{i}\rangle \langle \Psi _{i}|} 其中， { | Ψ i ⟩ } {\displaystyle \{|\Psi _{i}\rangle \}} 是一组（不一定互相正交的）纯态，且 0 < c i ≤ 1 {\displaystyle 0<c_{i}\leq 1} 并满足 ∑ i c i = 1 {\displaystyle \displaystyle {\textstyle \sum _{i}}c_{i}=1} 。注意数 N {\displaystyle N} 并不受希尔伯特空间维数的限制。 对于密度矩阵 ρ {\displaystyle \rho } 表述的量子态，若其不能写作纯态的密度矩阵（其中 N = 1 {\displaystyle N=1} 且 c 1 = 1 {\displaystyle c_{1}=1} ），则称作混态。 區分純態與混態的方法要利用到 t r ( ρ ) {\displaystyle tr(\rho )\,} 。 t r ( ρ ) {\displaystyle tr(\rho )\,} 表示對矩陣 ρ {\displaystyle \rho \,} 取對角線元素和(trace)，將純態和混態做歸一化動作，使得 t r ( ρ ) {\displaystyle tr(\rho )\,} 之值皆會是1。 而兩者不同處在於 t r ( ρ 2 ) {\displaystyle tr(\rho ^{2})\,} ：歸一化過的純態 t r ( ρ 2 ) = t r ( ρ ) = 1 {\displaystyle tr(\rho ^{2})=tr(\rho )=1\,} ，而歸一化過的混態則 t r ( ρ 2 ) < 1 {\displaystyle tr(\rho ^{2})<1\,} ，和 t r ( ρ ) = 1 {\displaystyle tr(\rho )=1\,} 不同，由此得以辨別出純態與混態。 ρ 1 = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 為純態， ρ 2 = ( 1 2 0 0 1 2 ) {\displaystyle \rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 為混態 ⇒ t r ( ρ 1 ) = t r ( ρ 2 ) = 1 2 + 1 2 = 1 {\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1})=tr(\rho _{2})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1} ρ 1 2 = ρ 1 ∗ ρ 1 = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {\displaystyle \rho _{1}^{2}=\rho _{1}*\rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} ； ρ 2 2 = ρ 2 ∗ ρ 2 = ( 1 4 0 0 1 4 ) {\displaystyle \rho _{2}^{2}=\rho _{2}*\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}} 。 ⇒ t r ( ρ 1 2 ) = t r ( ρ 1 ) = 1 2 + 1 2 = 1 {\displaystyle \Rightarrow tr(\rho _{1}^{2})=tr(\rho _{1})={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1} ； t r ( ρ 2 2 ) = 1 4 + 1 4 = 1 2 ≠ t r ( ρ 2 ) = 1 {\displaystyle tr(\rho _{2}^{2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\neq tr(\rho _{2})=1} 量子退相干現象的過程中，與環境的相互作用會讓密度矩陣的非對角線元素(off-diagonal elements)隨時間衰減到0。也就是說在這個例子，隨著時間 t {\displaystyle t\,} 逐漸增加，原本純態， ρ 1 = ( 1 2 1 2 e − t T 2 1 2 e − t T 2 1 2 ) ⇒ ρ 1 ( t = 0 ) = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {\displaystyle \rho _{1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}\\{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {t}{T_{2}}}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\Rightarrow \rho _{1}(t=0)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 演化为混态， → t → ∞ ρ 2 = ( 1 2 0 0 1 2 ) {\displaystyle {\overset {t\rightarrow \infty }{\to }}\rho _{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 密度矩阵 {S. VanEnk, "Mixed states and pure states," [Online Note]. University of Oregon. Available: https://pages.uoregon.edu/svanenk/solutions/Mixed_states.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） [Accessed: September 25, 2023]}