定理

定理（英語：Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些 a {\displaystyle a} 是 x {\displaystyle x} ，某些 a {\displaystyle a} 是 y {\displaystyle y} ，就不能算是定理）。 猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。 如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。 在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。 數學原理 公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。 定理 命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。 推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。 引理（也稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒尔引理。 假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。 定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。 若存在某敘述為 A → B {\displaystyle A\rightarrow B} ，其逆敘述就是 B → A {\displaystyle B\rightarrow A} 。逆敘述成立的情況是 A ↔ B {\displaystyle A\leftrightarrow B} ，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。 逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰ 一个定理是一个含有由建立于语言集合 L {\displaystyle L} 上的命题（ L {\displaystyle L} -命題）组成的非空集合。 这个定理（或这个命题集合）我们记作 T {\displaystyle T} ，这些建立于语言集合 L {\displaystyle L} 上的命题必须符合如下属性： 对所有在 T {\displaystyle T} 中的命题 φ {\displaystyle \varphi } ，如果 T ⊨ φ {\displaystyle T\vDash \varphi } ，那么 φ ∈ T {\displaystyle \varphi \in T} 。 比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合 L {\displaystyle L} 上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理 T {\displaystyle T} 的扩展（extension），前提是该定理包含定理 T {\displaystyle T} 。 有一个命题集合 A {\displaystyle A} ，我们將一个包含 A {\displaystyle A} 的集合记作 Th ( A ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)} ，那麽 Th ( A ) = {   φ     |     A ⊨ φ   } {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}} 。显而易见 A ⊨ Th ( A ) {\displaystyle A\vDash {\mbox{Th}}(A)} ，所以 Th ( A ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)} 是一个定理。比如我们有一个集合 G {\displaystyle G} ， G {\displaystyle G} 有三个基于语言 L {\displaystyle L} 上的命题，其中 L = { e , f } {\displaystyle L=\{e,f\}} ， e {\displaystyle e} 是常数符号， f {\displaystyle f} 是函数符号。三个命题如下： ∀ x ∀ y ∀ z f ( f ( x , y ) , z ) = f ( x , f ( y , z ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))} ， ∀ x f ( x , e ) = x ∧ f ( e , x ) = x {\displaystyle \forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x} ， ∀ x ∃ y f ( x , y ) = e ∧ f ( y , x ) = e {\displaystyle \forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e} 。 那么如果有 Th ( G ) = {   φ     |     G ⊨ φ   } {\displaystyle {\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}} ，則 Th ( G ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(G)} 是 G {\displaystyle G} 的定理。当然，如果 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 是两个命题集合且满足 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} ，那么 Th ( A ) ⊆ Th ( B ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)} 。 我们说一个定理 T {\displaystyle T} 是完整的（Complete），当且仅当对于和 T {\displaystyle T} 一样构建在同样语言集合上的所有命题 φ {\displaystyle \varphi } ，要么 φ ∈ T {\displaystyle \varphi \in T} ，要么 ¬ φ ∈ T {\displaystyle \lnot \varphi \in T} 。 注意：这个概念不能和定理 T {\displaystyle T} 的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理 T {\displaystyle T} 中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。 不是所有的定理是完整的。比如 Th ( Φ ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 一个空集合 { Φ } {\displaystyle \{\Phi \}} 的定理是所有真命题集合，但是 Th ( Φ ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 不是完整的。假如有命題 Ψ = ∃ x ∃ y ( x ≠ y ) {\displaystyle \Psi =\exists x\exists y(x\neq y)} ，对于 Ψ {\displaystyle \Psi } 来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说 Th ( Φ ) ⊭ Ψ {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi } 且 Th ( Φ ) ⊭ ¬ Ψ {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi } 。因此 Ψ ∉ Th ( Φ ) {\displaystyle \Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )} ，所以我们说 Th ( Φ ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )} 不是完整的。 一个定理 T {\displaystyle T} 称作是稳健的（Consistante），当且仅当 ∀ φ ∈ T ,   ¬ φ ∉ T {\displaystyle \forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T} 。我们说对所有的解释（Interpretation） I {\displaystyle I} ， Th ( I ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(I)} 是一个定理，并且 Th ( I ) {\displaystyle {\mbox{Th}}(I)} 既是稳健的又是完整的。 数学定理列表