單連通

單連通是拓撲學中拓撲空間的一種性質。直觀地說，單連通空間中所有閉曲線都能連續地收縮至一點。此性質可以由空間的基本群刻劃。拓扑空间的基本群是一个空间是否为单连通的标志：当且仅当空间的基本群是當然群时，道路连通的拓扑空间是单连通的。 考慮道路連通的拓撲空間X。若拓撲空間X 中的任意閉曲線皆同倫等價於一個點，則稱該空間為單連通的。 換言之， 拓撲空間X 是单连通的充要条件为：對任意連續映射 γ : S 1 → X {\displaystyle \gamma :\mathrm {S} ^{1}\to X} 在拓撲空間X 中，存在一點x 及同倫等價 h : [ 0 , 1 ] × S 1 → X {\displaystyle h:[0,1]\times \mathrm {S} ^{1}\to X} 使得 ∀ t ∈ S 1 , h ( 0 , t ) = γ ( t ) {\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(0,t)=\gamma (t)} ∀ t ∈ S 1 , h ( 1 , t ) = x {\displaystyle \forall t\in S^{1},\;h(1,t)=x} 另一种等价的定义是：当且仅当拓撲空間X 道路连通，并对任意的、同起点的（即 p(0) = q(0) 且 p(1) = q(1)）两条路径 p : [0,1] → X 和 q : [0,1] → X， 存在一个同伦 F : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X} ， 使得 F ( x , 0 ) = p ( x ) {\displaystyle F(x,0)=p(x)} F ( x , 1 ) = q ( x ) {\displaystyle F(x,1)=q(x)} 此时拓撲空間X 是单连通的。 一个拓扑空间X ，当且仅当拓扑空间X 道路连通，且其基本群仅由单位元素构成时，它是单连通的。 类似的，当且仅当对拓扑空间X 中的任意点 (x,y),在X 的基本群中，态射 Hom Π ( X ) ⁡ ( x , y ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)} 的集合只有一个元素时，拓扑空间X 是单连通的。 若拓撲空間X 可寫成單連通開子集之并，則稱之為局部單連通。微分拓撲學所論的空間（例如流形）通常不在此類。 在複分析中，当且仅当复数域 C 中的开集X 和它的补集在黎曼球面上连通时，X 才是单连通的。 虚部严格大于 0 小于 1 的复数集合，提供了一个有趣的例子：一个无界的、连通的、补集不连通平面的开子集。然而这个集合是单连通的。 粗略的说，如果空间中的某个物体仅由一小块构成，并且没有任何的“洞”穿过它，则这个物体是单连通的。举个例子：甜甜圈和（带手柄的）咖啡杯均不是单连通的；而一个空心橡胶球是单连通的。 在二维的情况下，圆不是单连通的；而（实心）碟片和直线是单连通的。 连通但不是单连通的空间称为非单连通或多重连通的。 这样的定义只排除了类手柄形状的洞。一个球体或空心的球体是单连通的，因为其表面上的任何闭曲线都能连续地收缩到一点，即使球的中心有一个“孔”。 在更强一些的条件下，如果一个物体在任何维度上都没有洞，则称其为可缩空间。 單位圓盤 D n := { x → ∈ R n : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle D^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\}} 均為單連通 虽然实数集 R 自身是单连通的，但实数集 R 的单点紧化不是单连通的。 二维欧氏空间 R2 是单连通的，但 R2 除去原点 (0,0) 之后得到的 R2\{0} 非單連通。事實上，它同倫等價於 S 1 {\displaystyle S^{1}} 。 当 n > 2时，Rn 和 Rn\{0} 均是单连通的。 n 维欧氏空间 Rn 的每个凸子集都是单连通的。 二維以上球面 S n := { x → ∈ R n + 1 : ‖ x ‖ = 1 } , n ≥ 2 {\displaystyle S^{n}:=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=1\},n\geq 2} 均為單連通。 然而 S 1 {\displaystyle S^{1}} 並非單連通： π 1 ( S 1 , ∗ ) = Z {\displaystyle \pi _{1}(S^{1},*)=\mathbb {Z} } 。 每个拓撲向量空間均是单连通的。包括：巴拿赫空间和希尔伯特空间。 环面、圆柱体、莫比乌斯带、射影平面和克莱因瓶均不是单连通的。 当n 大于 2 时，特殊正交群 SO(n ,R) 都不是單連通的，而特殊么正群 SU(n ) 都是單連通的。 長直線L 是单连通的。它的紧化扩展L* 虽然是道路连通的，但不是单连通的。 当且仅当一个表面（二维拓扑流形）是连通的，且它的亏格为 0 时，它才是单连通的。 任何（适宜）空间X 的通用覆盖都是单连通空间，它通过覆叠映射映射到X。 若X 和Y 是同伦等价的，且X 是单连通的，那么Y 也是单连通的。 单连通集合的图像经连续函数变换后不一定是单连通的。举个例子：复数平面经指数映射后得到 C\{0}，它不是单连通的。 在單連通流形上，一次微分形式 ω 正合的充要條件是 dω=0 。 单连通性的概念在复分析中十分重要： 柯西积分定理保证：对一个复平面 C 的单连通开集U，若有全纯函数 f : U → C，全纯函数f 在集合U 上有不定积分F。则在集合U 上，被积函数f 的每一个线积分的值，只取决于积分路径的两个端点u 和v，积分值能表示为 F (v) - F (u)。因此，积分值不依赖于连接 u 和 v 的特定路径。 黎曼映射定理保证：除复数域 C 自身外，任何非空的、单连通的复数域 C 的开子集共形等价于单位圆盘。 单连通性的概念也是庞加莱猜想的一个重要条件。 单位连通空间（英语：Unicoherent space） 基本群 道路连通 n-连通 同倫 形变收缩 James, R. Munkres. Ch. 9. Topology (2nd Edition) 2nd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. January 7. ISBN 0131816292. OCLC 42683260 （英语）.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link) Hazewinkel, Michiel (编), Simply-connected domain, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Ronald,, Brown,. Topology and Groupoids.. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. June 2006. ISBN 1419627228. OCLC 712629429 （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2018-07-09] （英语）.  Colin, Adams; Robert, Franzosa; 沈以淡. 第9章 同伦与度理论. 拓扑学基础及应用. 北京: 机械工业出版社. 2010年4月1日. ISBN 9787111288091. OCLC 644064114 （中文）.  引文格式1维护：日期与年 (link) 谢桦. 单连通空间的一些性质. 龙岩学院学报. 1993, 11 (3): 57-59 （中文）.  Spanier, Edwin. Algebraic Topology. Springer. December 1994. ISBN 0-387-94426-5 （英语）.  Conway, John. Functions of One Complex Variable I. Springer. 1986. ISBN 0-387-90328-3 （英语）.  Bourbaki, Nicolas. Lie Groups and Lie Algebras. Springer. 2005. ISBN 3-540-43405-4 （英语）.  Gamelin, Theodore. Complex Analysis. Springer. January 2001. ISBN 0-387-95069-9 （英语）.  Joshi, Kapli. Introduction to General Topology. New Age Publishers. August 1983. ISBN 0-85226-444-5 （英语）.