朗道量子化

朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值，形成朗道能级。朗道能级是简并的，每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。 朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出。这里采用量子力学的方法进行推导： 考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用，所带电荷为q，自旋量子数为S，并被限制在x-y平面内一个面积A = LxLy的区域内。 对这一系统施加一个沿z轴的均匀磁场 B = ( 0 0 B ) {\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}} 。由于自旋对于这个二维系统没有影响，因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下，这个系统的哈密顿算符为： H ^ = 1 2 m ( p ^ − q A ^ / c ) 2 . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.} 式中 p {\displaystyle \mathbf {p} } 为正则动量算符， A ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}} 为磁场的磁矢势，与磁感应强度的关系为： B = ∇ × A ^ . {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,} 给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当 A ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}} 被添加一个标量场的梯度时，波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化，但由于哈密顿算符具有规范不变性，系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算，这里选择朗道规范（英语：Landau gauge）： A ^ = ( 0 B x 0 ) . {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.} 式中B=|B|，x为位置算符x方向上的分量。 在这一规范下，系统的哈密顿算符为： H ^ = p ^ x 2 2 m + 1 2 m ( p ^ y − q B x ^ c ) 2 . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.} 算符 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} 与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时，算符 y ^ {\displaystyle {\hat {y}}} 被忽略掉了，因而算符 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} 可被它的本征值ħky替代。 如果设定回旋频率ωc = qB/m，那么可以得出此时哈密顿算符为： H ^ = p ^ x 2 2 m + 1 2 m ω c 2 ( x ^ − ℏ k y m ω c ) 2 . {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.} 这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致，但势能的最小值需要在位置表象中移动x0 = ħky/mωc。 注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量，也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致： E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) , n ≥ 0   . {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.} 由于能量与量子数ky无关，因而会存在一定的简并态。 由于 p ^ y {\displaystyle {\hat {p}}_{y}} 与哈密顿算符是对易的，因而系统的波函数可以表示为y方向上动量的本征值与谐振子本征矢 | ϕ n ⟩ {\displaystyle |\phi _{n}\rangle } 的乘积，但 | ϕ n ⟩ {\displaystyle |\phi _{n}\rangle } 也需要在x方向上移动x0，即： Ψ ( x , y ) = e i k y y ϕ n ( x − x 0 )   . {\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.} 总之，电子的状态可以通过n与ky这两个量子数表征。 朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值，即kT ≪ ħωc时才能被观测到。简单来说就是温度较低，外磁场较强。 每个朗道能级都具有一定的简并度，因为量子数ky的取值情况为： k y = 2 π N L y {\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}} , 式中N为整数。N所允许的取值受到振子的运动中心坐标x0的影响。振子的运动必须在系统范围内，也就是说0 ≤ x0 < Lx。这给出了N的取值范围： 0 ≤ N < m ω c L x L y 2 π ℏ . {\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.} 对于带电量q = Ze的粒子来说，N的上限可以表记为磁通量的比值： Z B L x L y ( h c / e ) = Z Φ Φ 0 , {\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},} 式中 Φ0 = h/e为磁通量的基本量子，Φ = BA是系统的磁通量，面积A = LxLy。 因而对于自旋为S的粒子，每个朗道能级的简并度的最大值D为： D = Z ( 2 S + 1 ) Φ Φ 0   . {\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.} 上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果，严格来说，谐振子解只对在x方向上不受限的系统有效，如果系统尺度Lx是有限的，那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上，两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。 一般来说，朗道能级可以在电子系统中被观察到，其中Z=1，S=1/2。随着磁场增强，越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡，如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。 如果考虑到塞曼效应的话，那么每个朗道能级都会分裂为一对能级：一个为自旋向上的电子占据的能级，一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率：D = Φ/Φ0。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的： 2μBB = ħω 。然而在多个能级被占满时，系统的费米能与基态的能量却是大致相同的，因为塞曼效应造成的影响，在这些能级相加时会被抵消掉。 在上面的推导过程中，x与y似乎并不对称。然而，考虑到系统的对称性，并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对x与y进行适当的内部变换后，可以得到相同的结果。 此外，上述推导中电子在z方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在，如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在z方向上可以自由移动，那么波函数还需要乘以一个因子exp(ikzz)，能量对应地需要加上(ħ kz)2/(2m)。这一项会“填入”能级间隙，从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面x-y上的运动仍是量子化的。 选定对称规范： A ^ = 1 2 ( − B y B x 0 ) {\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}} 对于哈密顿算符进行去量纲化： H ^ = 1 2 [ ( − i ∂ ∂ x − y 2 ) 2 + ( − i ∂ ∂ y + x 2 ) 2 ] {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]} 实际值可以通过引入 q {\displaystyle q} 、 c {\displaystyle c} 、 ℏ {\displaystyle \hbar } 、 B {\displaystyle \mathbf {B} } 及 m {\displaystyle m} 等常数得出。 引入算符 a ^ = 1 2 [ ( x 2 + ∂ ∂ x ) − i ( y 2 + ∂ ∂ y ) ] {\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]} a ^ † = 1 2 [ ( x 2 − ∂ ∂ x ) + i ( y 2 − ∂ ∂ y ) ] {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]} b ^ = 1 2 [ ( x 2 + ∂ ∂ x ) + i ( y 2 + ∂ ∂ y ) ] {\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]} b ^ † = 1 2 [ ( x 2 − ∂ ∂ x ) − i ( y 2 − ∂ ∂ y ) ] {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]} 这些算符的对易关系为： [ a ^ , a ^ † ] = [ b ^ , b ^ † ] = 1 {\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1} . 哈密顿算符可记为： H ^ = a ^ † a ^ + 1 2 {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}} 朗道能级序数 n {\displaystyle n} 是 a ^ † a ^ {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}} 的本征值。 角动量z方向上的分量为： L ^ z = − i ℏ ∂ ∂ θ = − ℏ ( b ^ † b ^ − a ^ † a ^ ) {\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})} 利用其与哈密顿算符可对易，即 [ H ^ , L ^ z ] = 0 {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0} ，我们选定 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} 的本征值 − m ℏ {\displaystyle -m\hbar } 为使 H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} 与 L ^ z {\displaystyle {\hat {L}}_{z}} 对角化的本征函数。易见，在第 n {\displaystyle n} 个朗道能级上存在 m ≥ − n {\displaystyle m\geq -n} 。然而 m {\displaystyle m} 的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。 使用 b ^ † {\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }} 可以使 m {\displaystyle m} 减小一个单位同时使 n {\displaystyle n} 保持不变，而 a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} 则可以使 n {\displaystyle n} 增大一个单位，同时令 m {\displaystyle m} 减小一个单位。类比量子谐振子，可以得到： H ^ | n , m ⟩ = E n | n , m ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle } E n = ( n + 1 2 ) {\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)} | n , m ⟩ = ( b ^ † ) m + n ( m + n ) ! ( a ^ † ) n n ! | 0 , 0 ⟩ {\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle } 在朗道规范与对称规范下，每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数ky及 m {\displaystyle m} 表征，每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。 可以证明选定下面这个波函数时，也可以得到上面得到的结果： ψ n , m ( x , y ) = ( ∂ ∂ w − w ¯ 4 ) n w n + m e − | w | 2 / 4 {\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}} 式中 w = x + i y {\displaystyle w=x+iy} 。 特别地，对于最低的朗道能级，即 n = 0 {\displaystyle n=0} 时，波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积： ψ ( x , y ) = f ( w ) e − | w | 2 / 4 {\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}} 。 进行这样的规范变换： A → → A → ′ = A → + ∇ → λ ( x → ) {\displaystyle {\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})} 运动学动量的定义为： π ^ = p ^ − q A ^ / c {\displaystyle {\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c} 式中 p ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}} 为正则动量。哈密顿算符是规范不变的，因而 ⟨ π ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle } 与 ⟨ x ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle } 也会在规范变换后保持不变，但 ⟨ p ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle } 会受到规范变换的影响。 为了考察规范变换带来的影响，设磁矢势为 A {\displaystyle A} 与 A ′ {\displaystyle A'} 时的量子态为 | α ⟩ {\displaystyle |\alpha \rangle } 与 | α ′ ⟩ {\displaystyle |\alpha '\rangle } 。 由于 ⟨ x ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle } 和 ⟨ π ^ ⟩ {\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle } 是规范不变的，可以得到： ⟨ α | x ^ | α ⟩ = ⟨ α ′ | x ^ | α ′ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle } ⟨ α | π ^ | α ⟩ = ⟨ α ′ | π ′ ^ | α ′ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle } ⟨ α | α ⟩ = ⟨ α ′ | α ′ ⟩ {\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle } 设算符 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 会使 | α ′ ⟩ = G | α ⟩ {\displaystyle |\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle } ，则： G † x ^ G = x ^ {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}} G † ( p ^ − e A ^ c − e ∇ → λ ( x ) c ) G = p ^ − e A ^ c {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}} G † G = 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1} 综上所述： G = exp ⁡ ( i e λ ( x → ) ℏ c ) {\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)} 黄昆; 韩汝琦. 《固体物理学》. 北京: 高等教育出版社. : 255–274. ISBN 978-7-04-001025-1 （中文（中国大陆））.  Landau, L. D. Diamagnetismus der metalle. Zeitschrift für Physik. 1930, 64 (9-10): 629–637 [2016-01-15]. doi:10.1007/BF01397213. （原始内容存档于2019-05-02） （德语）.  Л·Д·朗道; Е·М·栗弗席兹; 严肃（译）; 喀兴林（校）. 《理论物理学教程第三卷·量子力学（非相对论理论）》. 北京: 高等教育出版社. : 416–420. ISBN 978-7-04-024306-2 （中文（中国大陆））.  Mikhailov, S. A. A new approach to the ground state of quantum Hall systems. Basic principles. Physica B: Condensed Matter. 2001, 299: 6. doi:10.1016/S0921-4526(00)00769-9 （英语）.  物理学主题 巴克豪森效应 量子霍尔效应 劳夫林波函数（英语：Laughlin wavefunction）