同配性

同配性（Assortativity）, 用作考察度值相近的顶点是否倾向于互相连接。 如果总体上度大的顶点倾向于连接度大的顶点，那么就称网络的度正相关的，或者成网络是同配的；如果总体上度大的顶点倾向于连接度小的顶点，那么就称网络的度负相关的，或者成网络是异配的。 网络的度分布 P ( k ) = n ( k ) N {\displaystyle P(k)={\frac {n(k)}{N}}} 为一阶度分布，联合度分布可理解为二阶度分布，或网络度的联合概率分布。 联合度分布 e j k = P ( j , k ) = m ( j , k ) μ ( j , k ) 2 M {\displaystyle e_{jk}=P(j,k)={\frac {m(j,k)\mu (j,k)}{2M}}} 为两个端点的度分别为j和k的概率， m ( j , k ) {\displaystyle m(j,k)} 为对应连边数，如果j=k， μ ( j , k ) = 2 {\displaystyle \mu (j,k)=2} ，否则 μ ( j , k ) = 1 {\displaystyle \mu (j,k)=1} 余度分布 q k = P n ( k ) = ∑ j = k m i n k m a x P ( j , k ) {\displaystyle q_{k}=P_{n}(k)=\sum _{j=k_{min}}^{k_{max}}P(j,k)} ，即网络度的边缘分布，表示随机顶点的邻居顶点为k的概率。 如果二阶度分布是完全随机的，即恒有 e j k = q j q k {\displaystyle e_{jk}=q_{j}q_{k}} ，则网络不具有度相关性。 余平均度是顶点i的邻居顶点的平均度，记为 < k n n > i = 1 k i ∑ j = 1 k i k i j {\displaystyle <k_{nn}>_{i}={\frac {1}{k_{i}}}\sum _{j=1}^{k_{i}}k_{i_{j}}} ，度为k的顶点的余平均度记为 < k n n > ( k ) = 1 i k ∑ v i = 1 i k < k n n > v i {\displaystyle <k_{nn}>(k)={\frac {1}{i_{k}}}\sum _{v_{i}=1}^{i_{k}}<k_{nn}>_{v_{i}}} 。 < k n n > ( k ) = ∑ k ′ = k m i n k m a x k ′ P c ( k ′ | k ) = 1 q k ∑ k ′ = k m i n k m a x k ′ e k k ′ {\displaystyle <k_{nn}>(k)=\sum _{k'=k_{min}}^{k_{max}}k'P_{c}(k'|k)={\frac {1}{q_{k}}}\sum _{k'=k_{min}}^{k_{max}}k'e_{kk'}} 如果 < k n n > ( k ) {\displaystyle <k_{nn}>(k)} 是k的增函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度大的顶点连接，从而表明网络是同配的；反之，如果 < k n n > ( k ) {\displaystyle <k_{nn}>(k)} 是k的减函数，那么就意味着平均而言，度大的顶点倾向于与度小的顶点连接，从而表明网络是异配的；如果网络不具有度相关性，那么 < k n n > ( k ) {\displaystyle <k_{nn}>(k)} 是一个与k无关的常数： < k n n > ( k ) = ∑ j j e j k ∑ j e j k = ∑ j j q j q k q k = ∑ j j q j = ∑ j j j p j < k > = < k 2 > < k > {\displaystyle <k_{nn}>(k)={\frac {\sum _{j}je_{jk}}{\sum _{j}e_{jk}}}={\frac {\sum _{j}jq_{j}q_{k}}{q_{k}}}=\sum _{j}jq_{j}=\sum _{j}j{\frac {jp_{j}}{<k>}}={\frac {<k^{2}>}{<k>}}} 网络是度相关的就意味着 e j k {\displaystyle e_{jk}} 与 q j q k {\displaystyle q_{j}q_{k}} 之间不恒等。可以考虑用两者之间的差的大小刻画网络的同配或者异配程度，即如下定义的度相关函数： < j k > − < j >< k >= ∑ j , k j k ( e j k − q j q k ) {\displaystyle <jk>-<j><k>=\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})} 当网络为完全同配时， e j k = q k δ j k {\displaystyle e_{jk}=q_{k}\delta _{jk}} ， < j k > − < j >< k > {\displaystyle <jk>-<j><k>} 达到最大值，即为余度分布 q k {\displaystyle q_{k}} 的方差： σ q 2 = ∑ k k 2 q k − ( ∑ k k q k ) 2 {\displaystyle \sigma _{q}^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-(\sum _{k}kq_{k})^{2}} 于是得到归一化的相关系数，即同配系数，记为r： r = ∑ j , k j k ( e j k − q j q k ) σ q 2 {\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma _{q}^{2}}}} 其中r>0代表网络同配，r<0代表网络异配，|r|的大小反映了网络同配或异配的强弱程度。 令属性值 x i {\displaystyle x_{i}} 为度值 k i {\displaystyle k_{i}} ，可从皮尔逊积矩相关系数计算同配系数： r = c o v ( x i , x j ) σ x 2 = ∑ i , j ( a i j − k i k j 2 M ) x i x j ∑ i , j ( k i δ i j − k i k j 2 M ) x i x j = ∑ i , j ( a i j − k i k j 2 M ) k i k j ∑ i , j ( k i δ i j − k i k j 2 M ) k i k j {\displaystyle \displaystyle r={\frac {cov(x_{i},x_{j})}{\sigma _{x}^{2}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i,j}(a_{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})x_{i}x_{j}}{\displaystyle \sum _{i,j}(k_{i}\delta _{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})x_{i}x_{j}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i,j}(a_{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})k_{i}k_{j}}{\displaystyle \sum _{i,j}(k_{i}\delta _{ij}-{\frac {k_{i}k_{j}}{2M}})k_{i}k_{j}}}} = S 1 S e − S 2 2 S 1 S 3 − S 2 2 = ( ∑ i k i ) ( 2 ∑ ( i , j ) ∈ E k i k j ) − ( ∑ i k i 2 ) 2 ( ∑ i k i ) ( ∑ i k i 3 ) − ( ∑ i k i 2 ) 2 {\displaystyle \displaystyle ={\frac {S_{1}S_{e}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}}={\frac {\displaystyle (\sum _{i}k_{i})(2\sum _{(i,j)\in E}k_{i}k_{j})-(\sum _{i}k_{i}^{2})^{2}}{\displaystyle (\sum _{i}k_{i})(\sum _{i}k_{i}^{3})-(\sum _{i}k_{i}^{2})^{2}}}} 对于有向图，也可以利用皮尔逊积矩相关系数 r = ∑ x y x y ( e x y − a x b y ) σ a σ b {\displaystyle r={\frac {\sum _{xy}xy(e_{xy}-a_{x}b_{y})}{\sigma _{a}\sigma _{b}}}} 计算，即 r = ∑ j , k j k ( e j k − q j i n q k o u t ) σ i n σ o u t {\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}^{in}q_{k}^{out})}{\sigma _{in}\sigma _{out}}}} N点星型网络，其中包括度为N-1的1个点，度为1的N-1个点 P ( N − 1 , 1 ) = P ( 1 , N − 1 ) = 1 2 {\displaystyle P(N-1,1)=P(1,N-1)={\dfrac {1}{2}}} q 1 = 1 2 , q N − 1 = 1 2 {\displaystyle q_{1}={\dfrac {1}{2}},q_{N-1}={\dfrac {1}{2}}} ∑ j , k j k ( e j k − q j q k ) = ( 1 ) 2 ( − 1 4 ) + 2 ( 1 ) ( N − 1 ) ( 1 4 ) + ( N − 1 ) 2 ( − 1 4 ) = − ( N − 2 ) 2 4 {\displaystyle \displaystyle \sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})=(1)^{2}(-{\frac {1}{4}})+2(1)(N-1)({\frac {1}{4}})+(N-1)^{2}(-{\frac {1}{4}})={\frac {-(N-2)^{2}}{4}}} σ q 2 = ∑ k k 2 q k − ( ∑ k k q k ) 2 = ( 1 ) 2 ( 1 2 ) + ( N − 1 ) 2 ( 1 2 ) − ( N 2 ) 2 = ( N − 2 ) 2 4 {\displaystyle \displaystyle \sigma _{q}^{2}=\sum _{k}k^{2}q_{k}-(\sum _{k}kq_{k})^{2}=(1)^{2}({\frac {1}{2}})+(N-1)^{2}({\frac {1}{2}})-({\frac {N}{2}})^{2}={\frac {(N-2)^{2}}{4}}} r = ∑ j , k j k ( e j k − q j q k ) σ q 2 = − 1 {\displaystyle r={\frac {\sum _{j,k}jk(e_{jk}-q_{j}q_{k})}{\sigma _{q}^{2}}}=-1} 所以星型网络是异配的。 用另外一个公式会得到一样的值。 S 1 = 2 ( N − 1 ) , S 2 = N ( N − 1 ) , S 3 = ( N − 1 ) [ ( N − 1 ) 2 + 1 ] , S e = 2 ( N − 1 ) 2 {\displaystyle S_{1}=2(N-1),S_{2}=N(N-1),S_{3}=(N-1)[(N-1)^{2}+1],S_{e}=2(N-1)^{2}} r = S 1 S e − S 2 2 S 1 S 3 − S 2 2 = 4 ( N − 1 ) 3 − N 2 ( N − 1 ) 2 2 ( N − 1 ) 2 [ ( N − 1 ) 2 + 1 ] − N 2 ( N − 1 ) 2 {\displaystyle r={\dfrac {S_{1}S_{e}-S_{2}^{2}}{S_{1}S_{3}-S_{2}^{2}}}={\dfrac {4(N-1)^{3}-N^{2}(N-1)^{2}}{2(N-1)^{2}[(N-1)^{2}+1]-N^{2}(N-1)^{2}}}} = 4 ( N − 1 ) − N 2 2 [ ( N − 1 ) 2 + 1 ] − N 2 = − ( N − 2 ) 2 ( N − 2 ) 2 = − 1 {\displaystyle ={\dfrac {4(N-1)-N^{2}}{2[(N-1)^{2}+1]-N^{2}}}={\dfrac {-(N-2)^{2}}{(N-2)^{2}}}=-1} 同配系数的算法：get_assortative_coefficient （页面存档备份，存于互联网档案馆） 汪小帆 陈关荣. 网络科学导论.  M. E. J. Newman. Assortative mixing in networks (PDF). [2014-05-02]. （原始内容 (PDF)存档于2019-12-07）.  M. E. J. Newman. Mixing patterns in networks.