规范丛

数学中，域上n维非奇异代数簇V的规范丛是线丛 Ω n = ω {\displaystyle \,\!\Omega ^{n}=\omega } ，是V上余切丛 Ω {\displaystyle \Omega } 的n次外幂。 复数上，它是全纯余切丛 T ∗ V {\displaystyle T^{*}V} 的行列式丛；等价地，它是V上全纯n形式的线丛。这是V上塞雷对偶性的对偶化对象，同样可视作可逆层。 规范类是V上卡蒂埃除子K的除子类，产生了规范丛。规范类是V上线性等价的等价类，其中任何除子都可称作规范除子。 反规范丛是相应的逆丛 ω − 1 {\displaystyle \omega ^{-1}} 。V的反规范丛是丰沛的，则称V是法诺簇。 设X是光滑簇，D是X上的光滑除子。伴随公式将X与D的规范丛关联起来。这是个自然同构 ω D = i ∗ ( ω X ⊗ O ( D ) ) . {\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).} 用规范类表示就是 K D = ( K X + D ) | D . {\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.} 此式是代数几何中最强大的公式之一。现代双有理几何的一个重要工具是逆伴随，可以从D的奇点推导出X的奇点的结果。 令X是正交面（normal surface）。X的g亏格纤维化 f : X → B {\displaystyle f:X\to B} 是到光滑曲线的紧合平坦态射f，使 f ∗ O X ≅ O B {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\cong {\mathcal {O}}_{B}} ，并且f的所有纤维f都有算术亏格g。若X是光滑射影面、f的纤维不含自交 − 1 {\displaystyle -1} 的有理曲线，就称纤维化是最小的（minimal）。例如，若X允许（最小）0亏格纤维化，则X就是双有理规则的，即双有理于 P 1 × B {\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times B} 。 对最小1亏格纤维化（也称作椭圆纤维化） f : X → B {\displaystyle f:X\to B} ，除有限多个纤维外，f的所有纤维都是几何积分，且所有纤维都几何连通（由扎里斯基连通性定理）。特别地，对f的纤维 F = ∑ i = 1 n a i E i {\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}a_{i}E_{i}} ，有 F . E i = K X . E i = 0 {\displaystyle F.E_{i}=K_{X}.E_{i}=0} ，其中 K X {\displaystyle K_{X}} 是X的规范除子，因此对 m = gcd ⁡ ( a i ) {\displaystyle m=\operatorname {gcd} (a_{i})} ，若 m = 1 {\displaystyle m=1} ，则F是几何积分，否则 m > 1 {\displaystyle m>1} 。 考虑最小1亏格纤维化 f : X → B {\displaystyle f:X\to B} 。令 F 1 , … , F r {\displaystyle F_{1},\dots ,F_{r}} 是有限多纤维，且不是几何积分，并记 F i = m i F i ′ {\displaystyle F_{i}=m_{i}F_{i}^{'}} ，其中 m i > 1 {\displaystyle m_{i}>1} 是 F i {\displaystyle F_{i}} 展开为积分组分的系数的最大公除子。这些纤维称作多重纤维（multiple fiber）。通过上同调与基变换可得 R 1 f ∗ O X = L ⊕ T {\displaystyle R^{1}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {T}}} ，其中 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是可逆层， T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是扭层（ T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 受 b ∈ B {\displaystyle b\in B} 支持，使得 h 0 ( X b , O X b ) > 1 {\displaystyle h^{0}(X_{b},{\mathcal {O}}_{X_{b}})>1} ）。那么 ω X ≅ f ∗ ( L − 1 ⊗ ω B ) ⊗ O X ( ∑ i = 1 r a i F i ′ ) {\displaystyle \omega _{X}\cong f^{*}({\mathcal {L}}^{-1}\otimes \omega _{B})\otimes {\mathcal {O}}_{X}\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}F_{i}'\right)} 其中 ∀ i ,   0 ≤ a i < m i {\displaystyle \forall i,\ 0\leq a_{i}<m_{i}} ，且 deg ⁡ ( L − 1 ) = χ ( O X ) + length ⁡ ( T ) {\displaystyle \operatorname {deg} \left({\mathcal {L}}^{-1}\right)=\chi ({\mathcal {O}}_{X})+\operatorname {length} ({\mathcal {T}})} 。 我们注意到 length ⁡ ( T ) = 0 ⟺ a i = m i − 1 {\displaystyle \operatorname {length} ({\mathcal {T}})=0\iff a_{i}=m_{i}-1} . 例如，对阿尔巴尼态射诱导的（准）双椭圆曲面的最小1亏格纤维化，规范丛公式给出该纤维无多重纤维。对K3曲面的最小1亏格纤维，也可以做出类似的推论。另一方面，恩里克斯曲面的最小1亏格纤维总包含多重纤维，因此这样的曲面不含截面。 奇异簇X上有几种方法可定义规范除子。若簇是正规的，则在余维度1上一定是光滑的。特别地，可在光滑轨迹（locus）上定义规范除子，这样就可在X上得到唯一的韦伊除子，这个除子类记作 K X {\displaystyle K_{X}} ，称作X上的规范除子。 另外，同样是在正规簇X上，可以考虑X的正规化对偶化复形的第d上同调 h − d ( ω X . ) {\displaystyle h^{-d}(\omega _{X}^{.})} 。这个层对应于一个韦伊除子类，等于上面定义的除子类 K X {\displaystyle K_{X}} 。在无正规性假设的情形下，若X是S2或1维葛仑斯坦环，结果也成立。 若规范类是有效的，则就确定了V到射影空间的有理映射，称作规范映射（canonical map），由规范类的n倍确定的就称作n-规范映射。n-规范映射将V送到比n倍规范类的全局截面低1维的射影空间。n-规范映射可能有基点，就是说它们不是处处有定义的（即可能不是簇的态射）。它们可能有正维纤维，即使有0维纤维，也不一定是局部解析同构。 研究得最好的是曲线。其中，规范丛与（全纯）余切丛相同。因此，规范丛的全局截面与处处规则（everywhere-regular）微分形式相同，经典上这些微分被称作第一类微分。对亏格为g的曲线，规范类的度数为 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2} 。 设C是亏格为g的光滑代数曲线。若 g = 0 {\displaystyle g=0} ，则C是P1，规范类是 2 P {\displaystyle 2P} 的类，其中P是C的任一点。这源于微积分公式 d ( 1 t ) = − d t t 2 {\displaystyle {\rm {d}}\left({\frac {1}{t}}\right)=-{\frac {{\rm {d}}t}{t^{2}}}} ，例如黎曼球面上原点处有双极点的亚纯微分。特别地， K C {\displaystyle K_{C}} 及其倍数不是有效的。若 g = 1 {\displaystyle g=1} ，则C是椭圆曲线， K C {\displaystyle K_{C}} 是平凡丛。平凡丛的全局截面构成饿了1维向量空间，因此对任意n，n规范映射就是到一点的映射。 若C的亏格大于等于2，则规范类一般很大，因此任意n-规范映射的像都是曲线。1-规范映射的像称作规范曲线。亏格为g的规范曲线总位于维数为 g − 1 {\displaystyle g-1} 的射影空间中。C是超椭圆曲线时，规范曲线是有理正规曲线，而C是其规范曲线的双覆盖。例如，若P是度数为6的多项式（无重根），则 y 2 = P ( x ) {\displaystyle y^{2}=P(x)} 是亏格2曲线的仿射曲线表示，必然是超椭圆曲线，第一类微分的基用同样的符号可表为 d x P ( x ) ,   x d x P ( x ) {\displaystyle {\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {P(x)}}},\ x{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {P(x)}}}} . 这意味着，齐次坐标 [ 1 :   x ] {\displaystyle [1:\ x]} 作为到射影线的态射，给出了规范映射。亏格更高的超椭圆曲线的有理正规曲线也以同样方式产生，x的幂次为高次单项式。 否则，对非超椭圆的C（即g大于3），态射是C与其像之间的同构，后者的次数为 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2} 。因此对 g = 3 {\displaystyle g=3} ，规范曲线（非超椭圆情形）是四次平面曲线。所有非奇异四次平面曲线都这样产生。 g = 4 {\displaystyle g=4} 时，规范曲线是二次曲面与三次曲面的交； g = 5 {\displaystyle g=5} 时，规范曲线是3个二次曲面的交。黎曼-罗赫定理有个反向推论：亏格为g的非奇异曲线C嵌入维度为 g − 1 {\displaystyle g-1} 的射影空间，只要其线性张成了整个空间，就可成为度数为 2 g − 2 {\displaystyle 2g-2} 的线性正规曲线。事实上，规范曲线C（g不小于3的非超椭圆情形）、黎曼-罗赫定理和特殊除子理论的关系相当近。C上不同点组成的有效除子D在规范嵌入中具有维数与所属线性系统的维数直接相关的线性跨度（span），经过更多讨论，这也适用于具有重点的情形。 对更大的g，可以获得更精细的信息，但这时规范曲线一般不是完全交，描述时需要更多考虑交换代数。这领域始于马克斯·诺特定理：经过C的二次曲面嵌入为规范曲线的维数为 1 2 ( g − 2 ) ( g − 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(g-2)(g-3)} 。佩特里定理是卡尔·佩特里（1881–1955）于1923年发表的，指出g不小于4时定义规范曲线的齐次理想由其2阶元素生成，例外是(a) 三角曲线；(b) g = 6 {\displaystyle g=6} 时的非奇异四次平面曲线。例外中，理想由2阶和3阶元素生成。历史上看，这一结果在佩特里之前就已广为人知，称作巴贝奇-Chisini-Enriques定理。这结果也称作诺特–Enriques定理，因此术语上比较混乱。诺特证明超椭圆情形之外（用现代语言来说）规范丛是正规生成（normally generated）的：规范丛的截面空间的对称幂映射到其张量幂的截面上。比如，这说明由第一类微分生成这类曲线上的二次微分，这对局部Torelli定理有影响。佩特里的研究实际上提供了理想（ideal）的二次、三次生成器，表明除了特殊情形外，三次可用二次表示。特殊情形下，通过规范曲线的二次交分别是直纹曲面和维罗纳曲面。 这些经典结果是在复数上证明的，但现代讨论表明，这些技术适用于任何示性的域。 V的规范环是分次环 R = ⨁ d = 0 ∞ H 0 ( V , K V d ) . {\displaystyle R=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,K_{V}^{d}).} 若V的规范类是丰沛线丛，则规范环是规范映射的像的齐次坐标环，V的规范类不丰沛也成立。例如，若C是超椭圆曲线，则规范环还是规范映射的像的齐次坐标环。总之，若上面的环是有限生成的，则很容易看出它是k-规范映射（k是任意充分可分的正整数）的像的齐次坐标环。 最小模型纲领（minimal model program）提出，每个光滑或轻度其一射影簇的规范环都是有限生成的。特别地，众所周知，这意味着存在规范模型（即V的一个具有轻度奇点的特殊双有理模型）。若规范环是有限生成的，则规范模型是规范环的Proj。若规范环不是有限生成的，则 P r o j R {\displaystyle {\rm {Proj}}R} 就不是簇，因此对V不是双有理的；特别地，V不允许规范模型。可以证明，若V的规范除子K是nef除子、K的自交数为正，则V将接纳一个规范模型（更一般地说，这对正规完全戈伦斯坦代数空间是正确的）。 Birkar–Cascini–Hacon–McKernan (2006)的一个基本定理是：光滑或轻度奇异的射影代数簇的规范环是有限生成的。 V的小平维度是规范环的维度减一。这里的规范环维度是克鲁尔维数或超越度。 双有理几何 微分形式 Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 111. ISBN 9780387986685.  Hazewinkel, Michiel (编), canonical class, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Parshin, A. N., Canonical curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Geometric Form of Riemann-Roch | Rigorous Trivialities. 2008-08-07.  Rick Miranda, Algebraic Curves and Riemann Surfaces (1995), Ch. VII. David Eisenbud, The Geometry of Syzygies (2005), p. 181-2. Iskovskih, V. A., Noether–Enriques theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Igor Rostislavovich Shafarevich, Algebraic geometry I (1994), p. 192. Hazewinkel, Michiel (编), Torelli theorems, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf, pp. 11-13. Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 242. ISBN 9780387986685.  Badescu, Lucian. Algebraic Surfaces. Springer Science & Business Media. 2001: 123. ISBN 9780387986685.  09w5033: Complex Analysis and Complex Geometry | Banff International Research Station.