三角形

三角形，又稱三邊形（英語： Triangle），是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。 一般用大写英语字母 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 和 C {\displaystyle C} 为三角形的顶点标号；用小写英语字母 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 和 c {\displaystyle c} 表示边；用 α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 和 γ {\displaystyle \gamma } 給角標號，又或者以 ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} 這樣的顶点标号来表示。 銳角三角形的所有內角均為銳角。 鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其余兩角均小於90°。 有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab） 直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。 三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。 等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 a {\displaystyle a} ，则其面積公式為 a 2 3 4 {\displaystyle {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}} 。 等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。 对边是指一个角对面的那条边。比如∠A的对边就是BC，∠B的对边就是AC，∠C的对边就是AB。 对边测量是全站仪的一种专项测量功能，它可以间接测量两个不可通视点之间的水平距离。该方法设站灵活，操作简单，但它的测量精度没有标注，需要通过计算求得。 等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。 等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。 令其底边是 b {\displaystyle b} ，腰是 a {\displaystyle a} ，则其面積公式為 1 4 b 4 a 2 − b 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}} 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。 退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。 勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗朗茨·勒洛（英语：Franz Reuleaux）命名。 三角边長不等式 三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果兩者相等，则是退化三角形。 三角內外角不等式 三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。 三角形外角 三角形兩內角之和，等於第三角的外角。 三角形內角和 在歐幾里德平面內，三角形的內角和等於180°。 勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 c {\displaystyle c} 為斜邊，即 c {\displaystyle c} 的對角 γ = 90 ∘ {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} ，則 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 。 勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ， 則 γ = 90 ∘ {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} 設 R {\displaystyle R} 为三角形外接圓半径，則 a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R} 對於任意三角形： a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α , {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,} b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ⁡ β , {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,} c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ γ . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .} 勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 α = 90 ∘ {\displaystyle \alpha =90^{\circ }\,} 时， cos ⁡ α = 0 {\displaystyle \cos \alpha =0} ，于是 a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha } 化简为 a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} 。 三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種： SSS（Side-Side-Side，邊、邊、邊）：各三角形的三條邊的長度都對應地相等。 SAS（Side-Angle-Side，邊、角、邊）：各三角形的其中兩條邊的長度都對應地相等，且兩條邊夾著的角都對應地相等。 ASA（Angle-Side-Angle，角、邊、角）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且兩個角夾著的邊都對應地相等。 RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜邊、邊）：在直角三角形中，斜邊及一條直角邊對應地相等。 AAS（Angle-Angle-Side，角、角、邊）：各三角形的其中兩個角都對應地相等，且其中一組對應角的對邊也對應地相等。 SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。 AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中兩個角的都對應地相等。（或稱AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角）） 三邊成比例（3 sides proportional）：各三角形的三條邊的長度都成同一比例。 兩邊成比例且夾角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的兩條邊之長度都成同一比例，且兩條邊之夾角都對應地相等。（或稱 2 sides proportional, inc. ∠ equal） 三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。 中線（median）：三角形一边中点与这边所对頂点的连线段。 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。 垂直平分線（perpendicular bisector）：通過三角形一边中点与該边所垂直的线段，又稱中垂线。 以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。 设在 Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC\,} 中，若三边 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c\,} 的中線分别为 m a {\displaystyle m_{a}} 、 m b {\displaystyle m_{b}} 、 m c {\displaystyle m_{c}} ，则： m a = 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 4 a 2 {\displaystyle m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}} m b = 1 2 a 2 + 1 2 c 2 − 1 4 b 2 {\displaystyle m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}} m c = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 − 1 4 c 2 {\displaystyle m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}} 设在 Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC\,} 中，連接三个顶点 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 、 C {\displaystyle C} 上的高分別记作 h a {\displaystyle h_{a}} 、 h b {\displaystyle h_{b}} 、 h c {\displaystyle h_{c}} ，則： h a = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) a {\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}} h b = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) b {\displaystyle h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}} h c = 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) c {\displaystyle h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}} 其中 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 。 设在 Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC\,} 中，若三个角 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 、 C {\displaystyle C} 的角平分线分别为 t a {\displaystyle t_{a}} 、 t b {\displaystyle t_{b}} 、 t c {\displaystyle t_{c}} ，则： t a = 1 b + c ( b + c + a ) ( b + c − a ) b c {\displaystyle t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}} t b = 1 a + c ( a + c + b ) ( a + c − b ) a c {\displaystyle t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}} t c = 1 a + b ( a + b + c ) ( a + b − c ) a b {\displaystyle t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}} 三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下： 关于三角形的四心，有这样的一首诗： 垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。 連同以下的旁心，合稱為三角形的五心： 設外接圆半径為 R {\displaystyle R} ， 内切圆半径為 r {\displaystyle r} ，則： R = a b c ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) = a b c 4 △ {\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}} r = ( a + b + c ) ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b − c ) 2 ( a + b + c ) = △ s {\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}} 其中 △ {\displaystyle \triangle } 為三角形面積； s {\displaystyle s} 為三角形半周長， s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 三角形的面積 A {\displaystyle A} 是底邊 b {\displaystyle b} 與高 h {\displaystyle h} 乘積的一半，即： A = 1 2 b h {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} ， 其中的高是指底邊與對角的垂直距離。 證明 從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 b h {\displaystyle bh} 的長方形。因此原來的三角形面積為 A = 1 2 b h {\displaystyle A={\frac {1}{2}}bh} 。 證畢。 設 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 為已知的兩邊， γ {\displaystyle \gamma } 為該兩邊的夾角，則三角形面積是： A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }} 。 證明 觀察右圖，根據正弦的定義： sin ⁡ γ = h a {\displaystyle \sin \gamma ={\frac {h}{a}}} 。 因此： h = a sin ⁡ γ {\displaystyle h=a\sin \gamma } 。 將此式代入基本公式，可得： A = 1 2 b ( a sin ⁡ γ ) = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }} 。 證畢。 β {\displaystyle \beta } 、 γ {\displaystyle \gamma } 為已知的兩角， a {\displaystyle a} 為該兩角的夾邊，則三角形面積是： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ ( β + γ ) {\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}} 。 證明 從正弦定理可知： b sin ⁡ β = a sin ⁡ α b = a sin ⁡ β sin ⁡ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}} 代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma } ，得： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ α {\displaystyle A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}} 。 注意到 α + β + γ = 180 ∘ {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }} ，因此： A = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ [ 180 ∘ − ( β + γ ) ] = a 2 sin ⁡ β sin ⁡ γ 2 sin ⁡ ( β + γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}} 證畢。 海倫公式，其表示形式為： A = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}} ， 其中 s {\displaystyle s} 等於三角形的半周長，即： s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} 秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法： A = 1 4 [ c 2 a 2 − ( c 2 + a 2 − b 2 2 ) 2 ] {\displaystyle A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}} 也有用幂和来表示的公式： A = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 1 4 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}} 證明 將海倫公式略為變形，知 16 A 2 = [ ( a + b ) + c ] [ ( a + b ) − c ] × [ c + ( a − b ) ] [ c − ( a − b ) ] {\displaystyle 16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]} 多次使用平方差公式，得 16 A 2 = [ ( a + b ) 2 − c 2 ] × [ c 2 − ( a − b ) 2 ] = [ 2 a b + ( a 2 + b 2 − c 2 ) ] × [ 2 a b − ( a 2 + b 2 − c 2 ) ] = ( 2 a b ) 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 = 4 a 2 b 2 − ( a 4 + b 4 + c 4 + 2 a 2 b 2 − 2 b 2 c 2 − 2 a 2 c 2 ) = ( 2 a 2 b 2 + 2 b 2 c 2 + 2 a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}} 等號兩邊開根號，再同除以4，得 A = 1 4 2 ( a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}} 亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式： 16 ⋅ A 2 = − | 0 a 2 b 2 1 a 2 0 c 2 1 b 2 c 2 0 1 1 1 1 0 | {\displaystyle 16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}} 基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 a ≥ b ≥ c {\displaystyle a\geq b\geq c} ，三角形面積為： A = 1 4 [ a + ( b + c ) ] [ c − ( a − b ) ] [ c + ( a − b ) ] [ a + ( b − c ) ] {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}} 。 證明 設 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 為三角形三條邊， α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 、 γ {\displaystyle \gamma } 為相應邊的對角。從餘弦定理可知： cos ⁡ γ = a 2 + b 2 − c 2 2 a b {\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}} 以畢氏三角恆等式可得： sin ⁡ γ = 1 − cos 2 ⁡ γ = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 2 a b {\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}} 。 將此式代入 A = 1 2 a b sin ⁡ γ {\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }} ，得： A = 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}} 。 因式分解及簡化後可得： A = 1 4 ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( a + c − b ) ( b + c − a ) {\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}} 代入 s = a + b + c 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}} ，即可證畢。 由 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} 、 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} 及 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3})} 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示： A = | 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | | {\displaystyle A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|} 證明 无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。 若三個頂點設在三維坐標系上，即由 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 、 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 及 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即： A = 1 2 | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | 2 + | y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 1 | 2 + | z 1 x 1 1 z 2 x 2 1 z 3 x 3 1 | 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}} 設三角形三邊邊長分別為 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 及 c {\displaystyle c} ，三角形半周長（ a + b + c 2 {\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}} ）為 s {\displaystyle s} ，內切圓半徑為 r {\displaystyle r} ，則： A = s r {\displaystyle A=sr} 若設外接圓半徑為 R {\displaystyle R} ，則： A = a b c 4 R {\displaystyle A={\frac {abc}{4R}}} 證明 內切圓半徑公式 根據右圖，設 A B ¯ = c {\displaystyle {\overline {AB}}=c} ， A C ¯ = b {\displaystyle {\overline {AC}}=b} ， B C ¯ = a {\displaystyle {\overline {BC}}=a} ，則三角形面積可表示為： A = 1 2 a r + 1 2 b r + 1 2 c r = r ( a + b + c ) 2 = r s {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}} 外接圓半徑公式 根據正弦定理： c sin ⁡ γ = 2 R sin ⁡ γ = c 2 R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}} 因此： A = 1 2 a b sin ⁡ γ = 1 2 a b ( c 2 R ) = a b c 4 R {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}} 設從一角出發，引出兩邊的向量為 a {\displaystyle \mathbf {a} } 及 b {\displaystyle \mathbf {b} } ，三角形的面積為： A = 1 2 | a × b | {\displaystyle A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |} 證明 根據向量積定義， | a × b | = | a | | b | sin ⁡ γ {\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma } ， 其中 γ {\displaystyle \gamma } 是兩支向量的夾角。 因此： 1 2 | a × b | = 1 2 | a | | b | sin ⁡ γ = A {\displaystyle {\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A} 證畢。 在三角形 A B C {\displaystyle ABC\,} 中，三个角的半角的正切和三边有如下关系： tan ⁡ A 2 = ( a + c − b ) ( a + b − c ) ( a + b + c ) ( b + c − a ) tan ⁡ B 2 = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c ) ( a + c − b ) tan ⁡ C 2 = ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}} 證明 以正弦及餘弦之比表示正切： tan ⁡ A 2 = sin ⁡ A 2 cos ⁡ A 2 {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}} 因为 sin ⁡ A 2 > 0 {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}>0} tan ⁡ A 2 > 0 {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}>0} 所以 sin ⁡ A 2 = 1 − cos ⁡ A 2 = 1 2 ( 1 − b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}} = a 2 − ( b − c ) 2 4 b c {\displaystyle ={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}} = ( a + b − c ) ( a + c − b ) 4 b c {\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}} 而 cos ⁡ A 2 = 1 + cos ⁡ A 2 = 1 2 ( 1 + b 2 + c 2 − a 2 2 b c ) {\displaystyle \cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}} = ( b + c ) 2 − a 2 4 b c {\displaystyle ={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}} = ( b + c + a ) ( b + c − a ) 4 b c {\displaystyle ={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}} 所以 tan ⁡ A 2 = sin ⁡ A 2 cos ⁡ A 2 = ( a + b − c ) ( a + c − b ) 4 b c ( b + c + a ) ( b + c − a ) 4 b c = ( a + b − c ) ( a + c − b ) ( b + c + a ) ( b + c − a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}} 同理可得 tan ⁡ B 2 = ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c ) ( a + c − b ) {\displaystyle \tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}} tan ⁡ C 2 = ( b + c − a ) ( a + c − b ) ( a + b + c ) ( a + b − c ) {\displaystyle \tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}} 外角定理 拿破仑三角形 费马点 欧拉线 梅涅劳斯定理 樞紐定理 維維亞尼定理 莫雷角三分線定理 聯合SAS性質，可得「兩個直角三角形只要任兩邊（兩股，或一股一斜邊）對應地相等，即全等」。 應用實例，如外森比克不等式的證明 P.F.Man,C.M.Yeung,K.H.Yeung,Y.F.Kwok,H.Y.Cheung,MATHEMATICS in Action SECOND EDITION 1B (Published by Longman Hong Kong Education): pp:9.25 黃德華. 「課堂學習研究」提升「本科知識」和「教學內容知識」之探究：判定「全等三角形」新發現. 臺灣數學教師. 2016, 37 (2): 17–49 [2022-01-26]. doi:10.6610/TJMT.20160629.01. （原始内容存档于2022-01-26）. ⋯⋯SSO（O 是一鈍角）也是判断全等三角形的正確條件  Mironychev, Alexander F. SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles. Journal of Mathematics and System Science. 2018, 8 (2): 59–66 [2022-01-26]. doi:10.17265/2159-5291/2018.02.003. （原始内容存档于2022-01-26）.  维基共享资源上的相关多媒体资源：三角形 三角學 三-椭圆形