魏爾斯特拉斯橢圓函數

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函數（Weierstrass's elliptic functions）又稱 p 函數並且以 ℘ {\displaystyle \wp } 符號表示，是格外簡單的一類橢圓函數，也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。 固定 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中的格 Λ = Z ω 1 ⊕ Z ω 2 {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}} （ ω 1 , ω 2 ∈ C {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} } 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是 ℘ ( z ; Λ ) = 1 z 2 + ∑ ( m , n ) ≠ ( 0 , 0 ) { 1 ( z − m ω 1 − n ω 2 ) 2 − 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 2 } {\displaystyle \wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}} 。 顯然右式只與格 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 相關，無關於基 ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\,} 之選取。 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 的元素也稱作週期。 另一方面，格 Λ {\displaystyle \Lambda \,} 在取適當的全純同態 C → C {\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 後可表成 Λ = Z ⊕ Z τ {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau } ，其中 τ {\displaystyle \tau \,} 屬於上半平面。對於這種形式的格， ℘ ( z ; Λ ) = ℘ ( z ; τ ) = 1 z 2 + ∑ n 2 + m 2 ≠ 0 1 ( z − n − m τ ) 2 − 1 ( n + m τ ) 2 {\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}} 。 反之，由此亦可導出對一般的格之公式 ℘ ( z ; Z ω 1 ⊕ Z ω 2 ) = ℘ ( z ω 1 ; ω 2 ω 1 ) ω 1 2 ( I m ( ω 1 ω 2 ) > 0 ) {\displaystyle \wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)} 在數值計算方面， ℘ {\displaystyle \wp } 可以由Θ函數快速地計算，方程是 ℘ ( z ; τ ) = π 2 ϑ 2 ( 0 ; τ ) ϑ 10 2 ( 0 ; τ ) ϑ 01 2 ( z ; τ ) ϑ 11 2 ( z ; τ ) − π 2 3 [ ϑ 4 ( 0 ; τ ) + ϑ 10 4 ( 0 ; τ ) ] {\displaystyle \wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]} 在週期格中的每個點， ℘ {\displaystyle \wp } 有二階极点。 ℘ {\displaystyle \wp } 是偶函數。 複導函數 ℘ ′ {\displaystyle \wp '} 是奇函數。 det ( ℘ ( z ) ℘ ′ ( z ) 1 ℘ ( y ) ℘ ′ ( y ) 1 ℘ ( z + y ) − ℘ ′ ( z + y ) 1 ) = 0 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0} 假設 u + v + w = 0 {\displaystyle u+v+w=0} ，上式有一個較對稱的版本 det ( ℘ ( u ) ℘ ′ ( u ) 1 ℘ ( v ) ℘ ′ ( v ) 1 ℘ ( w ) ℘ ′ ( w ) 1 ) = 0 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0} 此外 ℘ ( z + y ) = 1 4 { ℘ ′ ( z ) − ℘ ′ ( y ) ℘ ( z ) − ℘ ( y ) } 2 − ℘ ( z ) − ℘ ( y ) . {\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).} 魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式：若 2 z {\displaystyle 2z} 不是週期，則 ℘ ( 2 z ) = 1 4 { ℘ ″ ( z ) ℘ ′ ( z ) } 2 − 2 ℘ ( z ) , {\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),} 定義 g 2 , g 3 {\displaystyle g_{2},g_{3}} （依賴於 Λ {\displaystyle \Lambda } ）為 g 2 := 60 ∑ w ∈ Λ ′ w − 4 {\displaystyle g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}} g 3 := 120 ∑ w ∈ Λ ′ w − 6 {\displaystyle g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}} 求和符號 ∑ w ′ {\displaystyle \sum '_{w}} 意謂取遍所有非零的 w {\displaystyle w} 。當 Λ = Z ⊕ Z τ {\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau } 時，它們可由艾森斯坦級數 G 4 , G 6 {\displaystyle G_{4},G_{6}} 表示。 則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程 ℘ ′ ( z ) 2 = 4 ℘ ( z ) 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}} 。 故 z ↦ ( ℘ ( z ) , ℘ ′ ( z ) ) {\displaystyle z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))} 給出了從複環面 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 映至三次複射影曲線 y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} 的全純映射；可證明這是同構。 另一方面，將上式同除以 ℘ ′ {\displaystyle \wp '} ，積分後可得 z 1 − z 2 = ∫ ℘ ( z 1 ) ℘ ( z 2 ) d s 4 s 3 − g 2 s − g 3 {\displaystyle z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}} 。 右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 ℘ ( z 1 ) → ℘ ( z 2 ) {\displaystyle \wp (z_{1})\to \wp (z_{2})} ，其積分值僅差一個 Λ {\displaystyle \Lambda } 的元素；所以左式應在複環面 C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。 續用上節符號，模判別式 Δ {\displaystyle \Delta } 定義為下述函數 Δ = g 2 3 − 27 g 3 2 . {\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.} 視為週期格的函數，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。 Stein. Complex Analysis. Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2 Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.) K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4 Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6 E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21 Weierstrass's elliptic functions on Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Elliptic functions, Hans Lundmark's Complex analysis page.