指数分布

在機率論和統計學中，指數分布（英語：Exponential distribution）是一種連續機率分佈。指數分布可以用来建模平均发生率恒定、连续、独立的事件發生的間隔，比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。 指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布。 若隨機變數 X {\displaystyle X} 服从母數為 λ {\displaystyle \lambda } 或 β {\displaystyle \beta } 的指数分布，則記作 X ∼ Exp ( λ ) {\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\lambda )} 或 X ∼ Exp ( β ) {\displaystyle X\sim {\text{Exp}}(\beta )} 兩者意義相同，只是 λ {\displaystyle \lambda } 與 β {\displaystyle \beta } 互為倒數關係。只要將以下式子做 λ = 1 β {\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}} 的替換即可，即，指數分布之機率密度函數為： f ( x ; λ ) = { λ e − λ x x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 或 f ( x ; β ) = { 1 β e − 1 β x x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 累积分布函数為： F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 或 F ( x ; β ) = { 1 − e − 1 β x , x ≥ 0 , 0 , x < 0. {\displaystyle F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.} 其中 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} 是分布的母數，即每单位时间发生该事件的次数； β {\displaystyle \beta } 為比例母數，即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被称为率参数（rate parameter）。指数分布的区间是[0,∞)。 随机变量X (X 的母數為λ或β) 的期望值是： E ( X ) = 1 λ = β {\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }} 例如：如果你平均每个小时接到2次电话，那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。 X 的方差是： V a r ( X ) = 1 λ 2 = β 2 {\displaystyle \mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}} X 的偏態系数是： V[X] = 1 指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又稱遺失記憶性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，它的条件概率遵循： P ( T > s + t | T > t ) = P ( T > s ) for all   s , t ≥ 0. {\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.} 泊松過程是一种重要的随机过程。泊松過程中，第k次随机事件与第k+1次随机事件出现的时间间隔服从指数分布。而根据泊松過程的定义，长度为t的时间段内没有随机事件出现的概率等于 e − λ t ( λ t ) 0 0 ! = e − λ t {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{0}}{0!}}=e^{-\lambda t}} , 长度为t的时间段内随机事件发生一次的概率等于 e − λ t ( λ t ) 1 1 ! = e − λ t λ t {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{1}}{1!}}=e^{-\lambda t}\lambda t} , 所以第k次随机事件之后长度为t的时间段内，第k+n次 (n=1, 2, 3,...)随机事件出现的概率等于 1 − e − λ t {\displaystyle 1-e^{-\lambda t}} 。这是指数分布。这还表明了泊松过程的无记忆性。 率参数λ的四分位数函数（Quartile function）是： F − 1 ( p ; λ ) = − ln ⁡ ( 1 − p ) λ , 0 ≤ p < 1 {\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1} 第一四分位数： ln ⁡ ( 4 / 3 ) / λ {\displaystyle \ln(4/3)/\lambda \,} 中位数： ln ⁡ ( 2 ) / λ {\displaystyle \ln(2)/\lambda \,} 第三四分位数： ln ⁡ ( 4 ) / λ {\displaystyle \ln(4)/\lambda \,} 因此，四分位距為ln(3)/λ。 给定独立同分布样本x = (x1, ..., xn)，λ的似然函数（Likelihood function）是： L ( λ ) = ∏ i = 1 n λ exp ⁡ ( − λ x i ) = λ n exp ( − λ ∑ i = 1 n x i ) = λ n exp ⁡ ( − λ n x ¯ ) {\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)} 其中： x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle {\overline {x}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}} 是样本期望値。 似然函数对数的导数是： d d λ ln ⁡ L ( λ ) = d d λ ( n ln ⁡ ( λ ) − λ n x ¯ ) = n λ − n x ¯   { > 0 if   0 < λ < 1 / x ¯ , = 0 if   λ = 1 / x ¯ , < 0 if   λ > 1 / x ¯ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.} 参数λ的最大概似估計（Maximum likelihood）值是： λ ^ = 1 x ¯ {\displaystyle {\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}} 拉普拉斯分布（又稱：雙指數分布） 幾何分布 Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133 Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401 指数分布 （页面存档备份，存于互联网档案馆）