超越數

在數論中，超越數（英語：transcendental number）是指任何一個不是代數數的无理数。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。 幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。 超越數是代數數的相反，也即是說若 x {\displaystyle x} 是一個超越數，那麼對於任何整數 a n , a n − 1 , … , a 0 {\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}} 都符合： a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ≠ 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0} （其中 a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} ） 超越數的例子包括： 錢珀瑙恩數 刘维尔数： ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0.110001000000000000000001000 … {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots } 它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。 自然對數底 e {\displaystyle {\boldsymbol {e}}} （参见：e）。 e a {\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}} ，其中 a {\displaystyle a} 是除0以外的代數數。 π {\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}} （参见：圓周率） 林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因 π {\displaystyle \pi \,} 是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。 e π {\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}} （参见：e的π次方） 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}} （参见：2的√2次方）。 更一般地，若 a {\displaystyle a\,} 為零和一以外的任何代數數及 b {\displaystyle b\,} 為無理代數數則 a b {\displaystyle a^{b}\,} 必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。 sin ⁡ 1 {\displaystyle \sin 1\,} （参见：正弦） ln ⁡ a {\displaystyle \ln a\,} （参见：自然对数），其中 a {\displaystyle a\,} 為一不等于1的正有理數。 W ( a ) {\displaystyle \mathbf {W} (a)\,} （参见：朗伯W函數），其中 a {\displaystyle a\,} 為一正有理數。 Γ ( 1 3 ) {\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,} ( ≈ 2.67894 ) {\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,} ， Γ ( 1 4 ) {\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,} ( ≈ 3.62561 ) {\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,} 及 Γ ( 1 6 ) {\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,} ( ≈ 5.56632 ) {\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,} （參見伽傌函數）。 所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连 π + e {\displaystyle \pi +e\,} 是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。 超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。 以下數仍待證明為超越數或代數數： 數 e 和 π {\displaystyle \pi } 的大多數和、積、冪等等，例如 π + e {\displaystyle \pi +e} , π − e {\displaystyle \pi -e} , π e {\displaystyle \pi e} , π e {\displaystyle {\frac {\pi }{e}}} , π π {\displaystyle \pi ^{\pi }} , e e {\displaystyle e^{e}} , π e {\displaystyle \pi ^{e}} , π 2 {\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}} , π π 2 {\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}} 尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是 π + e π {\displaystyle \pi +e^{\pi }} , π e π {\displaystyle \pi e^{\pi }} 和 e π n {\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}} （對於所有正整數 n {\displaystyle n} ）已被證明是超越數 欧拉-马歇罗尼常数 γ {\displaystyle \gamma } ，尚未被證明是無理數 卡塔兰常数，未被證明是無理數 阿培里常数 ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (3)} ，是无理数 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值， ζ ( 5 ) , ζ ( 7 ) , … {\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots } （尚未被證明是無理數） 費根鮑姆常數， δ {\displaystyle \delta } 與 α {\displaystyle \alpha } ，皆未证明是否为无理数 米尔斯常数，未证明是否为无理数 辛钦常数，未证明是否为无理数 科普兰-埃尔德什常数，是无理数 猜想： Schanuel猜想（英语：Schanuel's conjecture） 四指数猜想（英语：Four exponentials conjecture） 第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示： 為尋找矛盾，假設 e {\displaystyle e} 是代數數。那就存在一個有限的整係數集 c 0 , c 1 , … , c n {\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}} 滿足下列等式： c 0 + c 1 e + c 2 e 2 + ⋯ + c n e n = 0 , c 0 , c n ≠ 0. {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.} 現在對於一個正整數 k {\displaystyle k} ，我們定義如下的多項式： f k ( x ) = x k [ ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 , {\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},} 並在上述等式的兩端乘上 ∫ 0 ∞ f k e − x d x , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,} 於是我們得到等式： c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) = 0. {\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.} 該等式可以寫成這種形式 P + Q = 0 {\displaystyle P+Q=0} 其中 P = c 0 ( ∫ 0 ∞ f k e − x d x ) + c 1 e ( ∫ 1 ∞ f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 2 ∞ f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ n ∞ f k e − x d x ) {\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)} Q = c 1 e ( ∫ 0 1 f k e − x d x ) + c 2 e 2 ( ∫ 0 2 f k e − x d x ) + ⋯ + c n e n ( ∫ 0 n f k e − x d x ) {\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)} 引理 1. 對於恰當選擇的 k {\displaystyle k} ， P k ! {\displaystyle {\frac {P}{k!}}} 是非零整數。 證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出 ∫ 0 ∞ x j e − x d x = j ! {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!} 對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函数）。 它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ， c a e a ∫ a ∞ f k e − x d x {\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx} 中的被積函數均為 e−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 后， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和 ∫ 0 ∞ x j e − x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx} 其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。 現在我們只須考慮a=0的項。我們有： ∫ 0 ∞ f k e − x d x = ∫ 0 ∞ ( [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 e − x x k + ⋯ ) d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx} 於是 1 k ! c 0 ∫ 0 ∞ f k e − x d x = c 0 [ ( − 1 ) n ( n ! ) ] k + 1 mod ( k + 1 ) . {\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).} 通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c0| 的質數，我們可以得出 P k ! {\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}} 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。 引理 2. 對於充分大的 k ， | Q k ! | < 1 {\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1} 。 證明： 注意到 f k e − x = x k [ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x = ( [ x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) ] k ) ( ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) e − x ) {\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)} 使用 | x ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) | {\displaystyle |x(x-1)\cdots (x-n)|} 和 | ( x − 1 ) ⋯ ( x − n ) e − x | {\displaystyle |(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|} 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出 | Q | < G k H ( | c 1 | e + 2 | c 2 | e 2 + ⋯ + n | c n | e n ) {\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})} 由於 lim k → ∞ G k k ! = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0} 我們有 lim k → ∞ Q k ! = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0} 這點足以完成對引理的證明。 注意可以選擇滿足兩個引理的 k {\displaystyle k} ，從而我們能得出矛盾。進而得以證明 e {\displaystyle e} 的超越性。 库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。 一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數 x {\displaystyle x} ，可以使得一次多項式 | q x − p | {\displaystyle \vert qx-p\vert } 盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的 p {\displaystyle p} , q {\displaystyle q} 是滿足 | p | {\displaystyle \vert p\vert } , | q | {\displaystyle \vert q\vert } 以正整數 H {\displaystyle H} 為界的整數。 令 m ( x , 1 , H ) {\displaystyle m(x,1,H)} 為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令： ω ( x , 1 , H ) = − log ⁡ m ( x , 1 , H ) log ⁡ H {\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}} ω ( x , 1 ) = lim sup H → ∞ ω ( x , 1 , H ) . {\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).} ω ( x , 1 ) {\displaystyle \omega (x,1)} 常稱為實數 x {\displaystyle x} 的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數 ω ( x , 1 ) = 0 {\displaystyle \omega (x,1)=0} ，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。 接下來考慮多項式對於複數 x {\displaystyle x} 的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為 n {\displaystyle n} ，而且高（英语：Height of a polynomial）至多為 H {\displaystyle H} ，此處的 n {\displaystyle n} , H {\displaystyle H} 是正整數。 令 m ( x , n , H ) {\displaystyle m(x,n,H)} 為以 x {\displaystyle x} 為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令： ω ( x , n , H ) = − log ⁡ m ( x , n , H ) n log ⁡ H {\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}} ω ( x , n ) = lim sup H → ∞ ω ( x , n , H ) . {\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).} 假如對於盡可能小的正整數 n {\displaystyle n} ， ω ( x , n ) {\displaystyle \omega (x,n)} 為無窮大，則這種情況下複數 x {\displaystyle x} 稱為 n {\displaystyle n} 次的U數。 現在我們可以定義 ω ( x ) = lim sup n → ∞ ω ( x , n ) . {\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).} ω ( x ) {\displaystyle \omega (x)} 常稱為 x {\displaystyle x} 的超越性度量（measure of transcendence）。假如 ω ( x , n ) {\displaystyle \omega (x,n)} 有界，則 ω ( x ) {\displaystyle \omega (x)} 有限， x {\displaystyle x} 稱為S數。如果 ω ( x , n ) {\displaystyle \omega (x,n)} 有限而無界，則 x {\displaystyle x} 稱為T數。 x {\displaystyle x} 為代數數當且僅當 ω ( x ) = 0 {\displaystyle \omega (x)=0} 。 顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克（英语：William J. LeVeque）在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。 T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：Wolfgang M. Schmidt）在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當 x {\displaystyle x} 為任意非零代數數時 e x {\displaystyle e^{x}} 均為S數：這點揭示了 e {\displaystyle e} 是S數且給出了 π {\displaystyle \pi } 的超越性證明。對於 π {\displaystyle \pi } 我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。 兩個數 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 稱為代數相關，當存在 2 個變量的整係數非零多項式 P {\displaystyle P} 滿足 P ( x , y ) = 0 {\displaystyle P(x,y)=0} 。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與 e {\displaystyle e} 或 π {\displaystyle \pi } 的和。 通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。 Jurjen Koksma（英语：Jurjen Koksma） 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。 考慮用次數 ≤ n {\displaystyle \leq n} 且高 ≤ H {\displaystyle \leq H} 的代數數逼近複數 x {\displaystyle x} 。令 α {\displaystyle \alpha } 為該有限集中滿足 | x − α | {\displaystyle \vert x-\alpha \vert } 取最小正值得代數數。定義 ω ∗ ( x , H , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,H,n)} 和 ω ∗ ( x , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)} 如下： | x − α | = H − n ω ∗ ( x , H , n ) − 1 . {\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.} ω ∗ ( x , n ) = lim sup H → ∞ ω ∗ ( x , n , H ) . {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).} 若對於最小的正整數 n {\displaystyle n} ， ω ∗ ( x , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)} 為無窮大，則稱 x {\displaystyle x} 為 n {\displaystyle n} 次的U*數。 若 ω ∗ ( x , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)} 有界且不收斂到 0 ，則則稱 x {\displaystyle x} 為S*數， 一個數 x {\displaystyle x} 被稱為 A*數 ，當 ω ∗ ( x , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)} 收斂到 0 。 若所有的 ω ∗ ( x , n ) {\displaystyle \omega ^{*}(x,n)} 均為有限但無界，則稱 x 為T*數， Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A*數就是代數數。 令 λ = 1 3 + ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! {\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}} 可以證明 λ {\displaystyle \lambda } （劉維爾數）的 n {\displaystyle n} 次方根是 n {\displaystyle n} 次的U數。 此構造可以改進以建立 n {\displaystyle n} 次U數的不可數個系列。令 Z {\displaystyle Z} 為上述 λ {\displaystyle \lambda } 的級數中 10 的冪次的集合。 Z {\displaystyle Z} 所有子集的集合是不可數的。在表示 λ {\displaystyle \lambda } 的級數中刪去任意一個 Z {\displaystyle Z} 的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的 n {\displaystyle n} 次方根都是次數為 n {\displaystyle n} 的U數。 數列 { ω ( x , n ) } {\displaystyle \{\omega (x,n)\}} 的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。 Weisstein, Eric W. (编). Irrational Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319. [2015-03-08]. （原始内容存档于2015-04-02）.  Bugeaud (2012) p.250 Baker (1975) p. 86. LeVeque (2002) p.II:172 Burger and Tubbs, p. 170. Burger and Tubbs, p. 172. Bugeaud (2012) p.251 LeVeque (2002) pp.II:174–186 Burger and Tubbs, p. 182. Burger and Tubbs, p. 163. Baker (1975) p.87 Baker(1979), p. 90. 维基文库中的相关原始文献：Über die Transzendenz der Zahlen e und π. 多項式 無理數 代數數 林德曼-魏尔斯特拉斯定理