赫尔德不等式

赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式： 設 S {\displaystyle S} 為測度空間， 1 ≤ p , q ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty } ，及 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {1 \over p}+{1 \over q}=1} ，設 f {\displaystyle f} 在 L p ( S ) {\displaystyle L^{p}(S)} 內， g {\displaystyle g} 在 L q ( S ) {\displaystyle L^{q}(S)} 內。則 f   g {\displaystyle f{\mbox{ }}g} 在 L 1 ( S ) {\displaystyle L^{1}(S)} 內，且有 ‖ f g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q , {\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q},} 等号当且仅当 | f | p {\displaystyle |f|^{p}} 与 | g | q {\displaystyle |g|^{q}} （幾乎處處）线性相关时取得，即有常數 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 使得 α | f ( x ) | p = β | g ( x ) | q {\displaystyle \alpha |f(x)|^{p}=\beta |g(x)|^{q}} 對幾乎所有 x ∈ S {\displaystyle x\in S} 成立。 若 S {\displaystyle S} 取作 { 1 , . . . , n } {\displaystyle \{1,...,n\}} 附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數） x 1 ,   . . . ,   x n ;   y 1 ,   . . . ,   y n {\displaystyle x_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}x_{n};{\mbox{ }}y_{1},{\mbox{ }}...,{\mbox{ }}y_{n}} ，有 ∑ k = 1 n | x k y k | ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 / p ( ∑ k = 1 n | y k | q ) 1 / q {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}} 。 我们称p和q互为赫尔德共轭。 若取 S {\displaystyle S} 為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。 當 p = q = 2 {\displaystyle p=q=2} ，便得到柯西-施瓦茨不等式。 赫爾德不等式可以證明 L p {\displaystyle L^{p}} 空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明 L p {\displaystyle L^{p}} 空間是 L q {\displaystyle L^{q}} 空間的對偶。 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式： ( ∫ S | f | p d μ ) 1 / p {\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/p}}    以及    ( ∫ S | g | q d μ ) 1 / q . {\displaystyle {\biggl (}\int _{S}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu {\biggr )}^{1/q}.} 如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。 赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。 如果||f ||p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。 如果||f ||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。 如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。 分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设： ‖ f ‖ p = ‖ g ‖ q = 1. {\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.} 我们现在使用杨氏不等式： a b ≤ a p p + b q q , {\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}},} 对于所有非负的a和b，当且仅当ap = bq时等式成立。因此： | f ( s ) g ( s ) | ≤ | f ( s ) | p p + | g ( s ) | q q , s ∈ S . {\displaystyle |f(s)g(s)|\leq {\frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{\frac {|g(s)|^{q}}{q}},\qquad s\in S.} 两边积分，得： ‖ f g ‖ 1 ≤ 1 , {\displaystyle \|fg\|_{1}\leq 1,} 这便证明了赫尔德不等式。 在p ∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q且β = ||f ||p），使得： α | f | p = β | g | q {\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}\,}    μ-几乎处处   (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。 当 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 时， ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} 不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality): ‖ f g ‖ 1 ≥ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|fg\|_{1}\geq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809  Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47  Kuptsov, L.P., Hölder inequality, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150  Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], （原始内容存档 (PDF)于2008-08-07）  邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634.  请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助) 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.  请检查|date=中的日期值 (帮助); 使用|accessdate=需要含有|url= (帮助)