施瓦茨-米爾諾引理

施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。 設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。 如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點 x ′ {\displaystyle x'} 量度距離的函數 d x ′ : X → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle d_{x'}:X\to [0,\infty )} d x ′ ( x ) := d X ( x , x ′ ) {\displaystyle d_{x'}(x):=d_{X}(x,x')} 那麼閉球 B ( x ′ , a ) ¯ {\displaystyle {\overline {B(x',a)}}} 是緊緻區間[0,a]在 d x ′ {\displaystyle d_{x'}} 下的原像。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如 d x ′ {\displaystyle d_{x'}} 的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。 一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，如果對每個緊緻集 K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} ，G中只有有限個元素g，使得 g ⋅ K ∩ K ≠ ∅ {\displaystyle g\cdot K\cap K\neq \varnothing } 。這個群作用稱為餘緊的，如果存在一個緊緻集 K ′ ⊂ X {\displaystyle K'\subset X} ，使得 G ⋅ K ′ = X {\displaystyle G\cdot K'=X} 。 設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上，那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，和X擬等距同構；對於X的任何一點 x 0 {\displaystyle x_{0}} ，映射 g ↦ g ⋅ x 0 {\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}} 都是從G到X的擬等距映射。 G中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S，證明在G上取對應S的字度量後，和X是擬等距同構即可。 選定 x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} 。因為群作用是餘緊的，存在 r > 0 {\displaystyle r>0} ，使得 B ( x 0 , r ) {\displaystyle B(x_{0},r)} 在G的作用下覆蓋X。 取G的一個子集 S = { g ∈ G ∖ { e } | d X ( x 0 , g ⋅ x 0 ) < 2 r + 1 } {\displaystyle S=\{g\in G\setminus \{e\}|d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<2r+1\}} G的元素g若在子集S內，則有 g ⋅ B ( x 0 , r + 1 / 2 ) ¯ ∩ B ( x 0 , r + 1 / 2 ) ¯ ≠ ∅ {\displaystyle g\cdot {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\cap {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}\neq \varnothing } X是常態度量空間，故 B ( x 0 , r + 1 / 2 ) ¯ {\displaystyle {\overline {B(x_{0},r+1/2)}}} 是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。 對G中任何非平凡元素g，有一條測地線段連接兩點 x 0 {\displaystyle x_{0}} 和 g ⋅ x 0 {\displaystyle g\cdot x_{0}} 。設k為整數，符合 k ≤ d X ( x 0 , g ⋅ x 0 ) < k + 1 {\displaystyle k\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})<k+1} 在這條測地線段上取點 x j {\displaystyle x_{j}} ，j=1,..., k+1，滿足 d X ( x j − 1 , x j ) ≤ 1 {\displaystyle d_{X}(x_{j-1},x_{j})\leq 1} 。 對每一點 x j {\displaystyle x_{j}} ，都存在G中的元素 g j {\displaystyle g_{j}} ，使得 x j ∈ g j ⋅ B ( x 0 , r ) {\displaystyle x_{j}\in g_{j}\cdot B(x_{0},r)} 。可指定 g 0 = e {\displaystyle g_{0}=e} , g k + 1 = g {\displaystyle g_{k+1}=g} 。如果 g j − 1 ≠ g j {\displaystyle g_{j-1}\neq g_{j}} ，則有 g j − 1 − 1 g j ∈ S {\displaystyle g_{j-1}^{-1}g_{j}\in S} ，因為 d X ( x 0 , g j − 1 − 1 g j ⋅ x 0 ) = d X ( g j − 1 ⋅ x 0 , g j ⋅ x 0 ) ≤ d X ( g j − 1 ⋅ x 0 , x j − 1 ) + d X ( x j − 1 , x j ) + d X ( x j , g j ⋅ x 0 ) < r + 1 + r = 2 r + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&d_{X}(x_{0},g_{j-1}^{-1}g_{j}\cdot x_{0})\\=&d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},g_{j}\cdot x_{0})\\\leq &d_{X}(g_{j-1}\cdot x_{0},x_{j-1})+d_{X}(x_{j-1},x_{j})+d_{X}(x_{j},g_{j}\cdot x_{0})\\<&r+1+r=2r+1\end{aligned}}} 由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此S是G的生成集合，而且對所有g都有 d S ( e , g ) ≤ d X ( x 0 , g ⋅ x 0 ) + 1 {\displaystyle d_{S}(e,g)\leq d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})+1} 取 c = max s ∈ S d X ( x 0 , s ⋅ x 0 ) {\displaystyle c=\max _{s\in S}d_{X}(x_{0},s\cdot x_{0})} ，用三角不等式得出 d X ( x 0 , g ⋅ x 0 ) ≤ c   d S ( e , g ) {\displaystyle d_{X}(x_{0},g\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(e,g)} 對任何 g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} ，有 d X ( g ⋅ x 0 , h ⋅ x 0 ) = d X ( x 0 , g − 1 h ⋅ x 0 ) {\displaystyle d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})=d_{X}(x_{0},g^{-1}h\cdot x_{0})} d S ( g , h ) = d S ( e , g − 1 h ) {\displaystyle d_{S}(g,h)=d_{S}(e,g^{-1}h)} 故此從以上兩條不等式可以得出 d S ( g , h ) − 1 ≤ d X ( g ⋅ x 0 , h ⋅ x 0 ) ≤ c   d S ( g , h ) {\displaystyle d_{S}(g,h)-1\leq d_{X}(g\cdot x_{0},h\cdot x_{0})\leq c\ d_{S}(g,h)} 而且X中每一點x都距離某個 g ⋅ x 0 {\displaystyle g\cdot x_{0}} 不超過r，所以 g ↦ g ⋅ x 0 {\displaystyle g\mapsto g\cdot x_{0}} 是擬等距映射，G和X是擬等距同構。 Švarc是阿爾伯特·施瓦茨的俄文姓氏Шварц的俄語拉丁轉寫。他移居美國後，使用他的姓氏的拉丁字母慣常寫法Schwarz。 Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups