最大與最小元

数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之對偶（英语：duality (order theory)），小於等於該集合的任何元素。例如，實數集 { − 3 , 1 , 2.5 , π } {\displaystyle \{-3,1,2.5,\pi \}} 中，最大元是 π {\displaystyle \pi } ，而最小元是 − 3 {\displaystyle -3} ，但是區間 ( 0 , 1 ) = { x : 0 < x < 1 } {\displaystyle (0,1)=\{x:0<x<1\}} 並無最大元或最小元。 此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。 設 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 為偏序集（或預序集亦可）， S {\displaystyle S} 為其子集。若 S {\displaystyle S} 的元素 g {\displaystyle g} 滿足： 對 S {\displaystyle S} 的任意元素 s {\displaystyle s} ，皆有 s ≤ g {\displaystyle s\leq g} ， 則 g {\displaystyle g} 稱為 S {\displaystyle S} 的最大元（英語：greatest element）。對偶地，若 S {\displaystyle S} 的元素 l {\displaystyle l} 滿足： 對 S {\displaystyle S} 的任意元素 s {\displaystyle s} ，皆有 l ≤ s {\displaystyle l\leq s} ， 則 l {\displaystyle l} 稱為 S {\displaystyle S} 的最小元（least element）。 由定義， S {\displaystyle S} 的最大（小）元必定是 S {\displaystyle S} 的上（下）界。且若 P {\displaystyle P} 為偏序集，則集合 S {\displaystyle S} 至多得一個最大元：若 g 1 {\displaystyle g_{1}} 和 g 2 {\displaystyle g_{2}} 皆為最大，則由定義有 g 1 ≤ g 2 {\displaystyle g_{1}\leq g_{2}} ，又有 g 2 ≤ g 1 {\displaystyle g_{2}\leq g_{1}} ，由反對稱性得 g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}} 。所以若有最大元，則必定唯一。若改為預序集則不一定。 整個偏序集 P {\displaystyle P} 的最大最小元又稱為頂（top）和底（bottom）。頂常以符號記作 1 {\displaystyle 1} 或 ⊤ {\displaystyle \top } ，底則是 0 {\displaystyle 0} 或 ⊥ {\displaystyle \bot } ，在有补格和布爾代數等結構中尤為常見。有頂和底的偏序集稱為有界偏序集合。 集合不一定有最大元，也不一定有上界。即使集合有上界和上確界，也不一定有最大元。舉例，實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中，任何正數皆是負數子集 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 的上界，且 0 {\displaystyle 0} 為其上確界，但是沒有最大元：不存在「最大的負數」。最小元與下界、下確界的關係也類似。最大元又與極大元（maximal element）不同：有極大元的集合不一定有最大元，但偏序集若有最大元，則同時亦是唯一的極大元。最小元與極小元（minimal element）亦不同。 設 ( P , ≤ ) {\displaystyle (P,\leq )} 為偏序集， S {\displaystyle S} 為其子集。 有限全序集的非空子集必有最大最小元。 S {\displaystyle S} 若有最大元 g {\displaystyle g} ，則 g {\displaystyle g} 必定是極大元。此時， S {\displaystyle S} 衹有這一個極大元：對任意極大元 M {\displaystyle M} ，由於 g {\displaystyle g} 是最大元，必有 M ≤ g {\displaystyle M\leq g} ，從而由 M {\displaystyle M} 極大知 M = g {\displaystyle M=g} 。所以若 S {\displaystyle S} 有多於一個極大元，則不能有最大元。 若 P {\displaystyle P} 滿足升链条件，則其子集 S {\displaystyle S} 有最大元当且仅当其恰有一個極大元。 「僅當」：最大元必然是極大元。 「當」：假設 S {\displaystyle S} 有唯一極大元 m {\displaystyle m} 但沒有最大元。因為 m {\displaystyle m} 不是最大，有 s 1 ∈ S {\displaystyle s_{1}\in S} 與 m {\displaystyle m} 不可比，又 s 1 {\displaystyle s_{1}} 不是極大，所以有某個 s 2 ∈ S {\displaystyle s_{2}\in S} 滿足 s 1 < s 2 {\displaystyle s_{1}<s_{2}} 。 s 2 {\displaystyle s_{2}} 與 m {\displaystyle m} 也不可比：若 m < s 2 {\displaystyle m<s_{2}} ，則與 m {\displaystyle m} 極大矛盾；反之 s 2 ≤ m {\displaystyle s_{2}\leq m} 又推出 s 1 < m {\displaystyle s_{1}<m} ，與 s 1 {\displaystyle s_{1}} 、 m {\displaystyle m} 不可比又矛盾。重複以上步驟，可得無窮遞升鏈 s 1 < s 2 < ⋯ < s n < ⋯ {\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots } （其中每個 s i {\displaystyle s_{i}} 皆與 m {\displaystyle m} 不可比，又非極大），與升鏈條件矛盾。 假如 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 限制到子集 S {\displaystyle S} 上為全序（如首段附圖的 S = { 1 , 2 , 4 } {\displaystyle S=\{1,2,4\}} ），則在 S {\displaystyle S} 中，最大元與極大元等價：若 m ∈ S {\displaystyle m\in S} 為極大，則對任意其他 s ∈ S {\displaystyle s\in S} ，必有 s ≤ m {\displaystyle s\leq m} （ m < s {\displaystyle m<s} 將與 m {\displaystyle m} 極大矛盾），故 m {\displaystyle m} 是最大元。 所以，全序集中，最大元與極大元兩個概念重合，有時也稱為最大值（maximum），同理最小元與極小元也稱為最小值（minimum）。但上述用法與實值函數（日语：実数値関数）論的用法略有出入。研究實值函數時，所謂最大值是函數的值域的最大元，又稱全域最大值、絕對最大值、最大值。而限制到某點鄰域時，對應值域的最大元（等同於極大元）則稱為局域最大值、相對最大值、極大值。最大最小值又合稱最值，極值亦同。 集合 S {\displaystyle S} 的最大最小值分別記作 max S , min S {\displaystyle \max S,\min S} 。在格理論或概率论中，為方便運算，會將兩數 a , b {\displaystyle a,b} 之最大最小值（即其組成二元集的最大最小元）簡記作併 a ∨ b {\displaystyle a\vee b} 和交 a ∧ b {\displaystyle a\wedge b} 。換言之： a ∨ b = max { a , b } , a ∧ b = min { a , b } . {\displaystyle a\vee b=\max\{a,b\},\quad a\wedge b=\min\{a,b\}.} 實數集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中，全體整數組成的子集 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 沒有上界，從而沒有最大元。 如圖所示，在集合 { a , b , c , d } {\displaystyle \{a,b,c,d\}} 上，定義自反關係 ≤ {\displaystyle \,\leq \,} 使 a ≤ c , {\displaystyle a\leq c,} a ≤ d , {\displaystyle a\leq d,} b ≤ c , {\displaystyle b\leq c,} b ≤ d . {\displaystyle b\leq d.} 。則 c , d {\displaystyle c,d} 皆是集合 { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 的上界，但因為不可比較，沒有最小上界。又 a , b {\displaystyle a,b} 不可比， { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} 沒有最大元。 有理數集 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中，平方小於2的數所組成的子集 { q ∈ Q : q 2 < 2 } {\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\}} 有上界（如 100 {\displaystyle 100} ），但沒有最大元，也沒有上確界。 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中，區間 [ 0 , 1 ) {\displaystyle [0,1)} 有上確界 1 {\displaystyle 1} 而沒有最大元。但區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 有最大元 1 {\displaystyle 1} ，同時也是上確界。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 配備積偏序（英语：product order）時，滿足 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} （而 y {\displaystyle y} 任意）的二元組 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 的集合 A {\displaystyle A} 沒有上界，也沒有最大元。 但當 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 配備字典序時， A {\displaystyle A} 有上界 ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} ，但仍沒有上確界和最大元。 本质上确界和本质下确界 始对象和终对象 極大與極小元 上极限和下极限 上界和下界 上確界和下確界（英语：Infimum and supremum） ( a , b ) ≤ ( x , y ) {\displaystyle (a,b)\leq (x,y)} 定義成 a ≤ x {\displaystyle a\leq x} 且 b ≤ y {\displaystyle b\leq y} 。 ( a , b ) ≤ ( x , y ) {\displaystyle (a,b)\leq (x,y)} 定義成 a < b {\displaystyle a<b} 或（ a = b {\displaystyle a=b} 且 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ）。 松坂 1968，第90-97頁. nLab的extremum: 1. Idea.條目 Weisstein, Eric W. (编). Global Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Local Maximum. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Billingsley, P. Probability and Measure [概率與測度] Anniversary. Wiley. 2012: 572. ISBN 978-1-118-12237-2 （英语）.  西岡, 康夫. 数学チュートリアル やさしく語る 確率統計. オーム社. 2013. ISBN 9784274214073 （日语）.  松坂, 和夫. 集合・位相入門. 岩波書店. 1968. ISBN 4-00-005424-4 （日语）.  Davey, B. A.; Priestley, H. A. Introduction to Lattices and Order 2nd. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-78451-1 （英语）.