貝西科維奇覆蓋定理

數學上，貝西科維奇(Besicovitch)覆蓋定理是實分析的一條覆蓋定理。歐氏空間的任何一個有半徑上限的閉球族中，可以取出幾個子集，子集的球互不相交，且覆蓋原來閉球族中所有球的中心，而子集的數目上限只取決於空間的維數。 若 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的非退化（半徑為正數）閉球族，當中的球的半徑有有限上界，即 sup { r a d ( B ) : B ∈ F } < ∞ {\displaystyle \sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty } 而A為當中的球的中心組成的集合。那麼 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中存在子集 G 1 , ⋯ , G N n {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}} ，每個 G i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}} 是可數多個互不相交的球的集合，而且 A = ⋃ i = 1 N n ⋃ B ∈ G i B {\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B} 其中 N n {\displaystyle N_{n}} 是一個僅依賴於n的常數。 先假設A是有界集合。依次選取球 B i {\displaystyle B_{i}} 選擇 B ( a 1 , r 1 ) ∈ F {\displaystyle B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}} 為 B 1 {\displaystyle B_{1}} ，適合條件 r 1 ≥ 3 4 sup { B ( a , r ) ∈ F } {\displaystyle r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}} 若已選取 B 1 , ⋯ , B j − 1 {\displaystyle B_{1},\cdots ,B_{j-1}} ， j ≥ 2 {\displaystyle j\geq 2} 。令 A j := A ∖ ∪ i = 1 j − 1 B i {\displaystyle A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}} 。若 A j = ∅ {\displaystyle A_{j}=\varnothing } ，就停止；若否，選擇 B ( a j , r j ) {\displaystyle B(a_{j},r_{j})} 為 B j {\displaystyle B_{j}} ，適合條件 r j ≥ 3 4 sup { B ( a , r ) ∈ F , a ∈ A j } {\displaystyle r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}} 球 B i {\displaystyle B_{i}} 有以下性質 以 B i {\displaystyle B_{i}} 的選取方法可知，若j > i，則 r j ≤ 4 3 r i {\displaystyle r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}} ， | a i − a j | > r i {\displaystyle \left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}} 。 將全部球 B i {\displaystyle B_{i}} 的半徑縮至三分之一，從以上不等式，可證這些縮小的球 B ( a i , r i / 3 ) {\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)} 互不相交。 若有可數無限多球 B i {\displaystyle B_{i}} ，因A有界，及縮小的球不交的性質，所以球 B i {\displaystyle B_{i}} 的半徑趨向0。 A ⊂ ∪ i B i {\displaystyle A\subset \cup _{i}B_{i}} 。若 B i {\displaystyle B_{i}} 數目有限，則結果明顯；若數目是無限多，假如有 a ∈ A ∖ ∪ i B i {\displaystyle a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}} ，那麼 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 中有球 B ( a , r ) {\displaystyle B(a,r)} ，而從上一性質知，對足夠大的j，有 r j < ( 3 / 4 ) r {\displaystyle r_{j}<(3/4)r} ，與 B j {\displaystyle B_{j}} 的選取條件矛盾。 對k > 1，估算 B k {\displaystyle B_{k}} 和多少個之前選擇的球 B i {\displaystyle B_{i}} 相交。先將這樣的 B i {\displaystyle B_{i}} 按半徑 r i {\displaystyle r_{i}} 分成兩組： r i ≤ 3 r k {\displaystyle r_{i}\leq 3r_{k}} 為第一組， r i > 3 r k {\displaystyle r_{i}>3r_{k}} 為第二組。 對第一組的球 B i = B ( a i , r i ) {\displaystyle B_{i}=B(a_{i},r_{i})} ，將其縮小成 B ( a i , r i / 3 ) {\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)} 後包含在 B ( a k , 5 r k ) {\displaystyle B(a_{k},5r_{k})} 中。 B ( a i , r i / 3 ) {\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)} 之間互不相交，故總體積不超過 B ( a k , 5 r k ) {\displaystyle B(a_{k},5r_{k})} 的體積。又因 r i ≥ ( 3 / 4 ) r k {\displaystyle r_{i}\geq (3/4)r_{k}} ，因此 B ( a i , r i / 3 ) {\displaystyle B(a_{i},r_{i}/3)} 相對 B ( a k , 5 r k ) {\displaystyle B(a_{k},5r_{k})} 的比例有一個下限，而這下限僅由維數n決定。所以第一組的球的數目有一個僅依賴於n的上限。 對第二組的球，任取其中兩個球 B i {\displaystyle B_{i}} , B j {\displaystyle B_{j}} 。考慮以 a i {\displaystyle a_{i}} , a j {\displaystyle a_{j}} , a k {\displaystyle a_{k}} 作頂點的三角形。因 B i {\displaystyle B_{i}} , B j {\displaystyle B_{j}} 都和 B k {\displaystyle B_{k}} 相交，又 a k {\displaystyle a_{k}} 不在 B i {\displaystyle B_{i}} , B j {\displaystyle B_{j}} 之內，故有不等式 r i < | a i − a k | < r i + r k {\displaystyle r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}} r j < | a j − a k | < r j + r k {\displaystyle r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}} 欲證出此三角形以 a k {\displaystyle a_{k}} 為頂點的角 θ {\displaystyle \theta } ，不小於一常數。可以假設 a i a k {\displaystyle a_{i}a_{k}} 邊長不大於 a j a k {\displaystyle a_{j}a_{k}} 邊長。如果 a i {\displaystyle a_{i}} 不在 B j {\displaystyle B_{j}} 內，則 a i a j {\displaystyle a_{i}a_{j}} 邊長大於 r j {\displaystyle r_{j}} 。若 a i a j {\displaystyle a_{i}a_{j}} 邊長不小於 a j a k {\displaystyle a_{j}a_{k}} 邊長，則 a i a j {\displaystyle a_{i}a_{j}} 為三角形中最長的邊，所以 θ {\displaystyle \theta } 不小於 π / 3 {\displaystyle \pi /3} 。若 a i a j {\displaystyle a_{i}a_{j}} 邊長小於 a j a k {\displaystyle a_{j}a_{k}} 邊長，以平面幾何可證得這情形時 θ {\displaystyle \theta } 不小於arccos(5/6)。如果 a i {\displaystyle a_{i}} 在 B j {\displaystyle B_{j}} 內，必有i < j，故 r j ≤ ( 4 / 3 ) r i {\displaystyle r_{j}\leq (4/3)r_{i}} ，且 a j {\displaystyle a_{j}} 不在 B i {\displaystyle B_{i}} 內，因此 a i a j {\displaystyle a_{i}a_{j}} 邊長大於 r i {\displaystyle r_{i}} 。可證得這情形時 θ {\displaystyle \theta } 不小於arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出 θ {\displaystyle \theta } 的下限為arccos(61/64)。 因此將第二組各個的球的中心和 a k {\displaystyle a_{k}} 之間連成直線，則任意兩條直線之間在 a k {\displaystyle a_{k}} 的夾角不小於arccos(61/64)。 a k {\displaystyle a_{k}} 為中心的單位球面上，這些直線中任何兩條和球面的交點，其間的球面距離，等於直線間的夾角。直線間的夾角下限，就是交點間的球面距離下限。在單位球面上所能容納的這樣的點的數目，有一個只依賴維數n的上限，這也就是第二組球的數目上限。 B k {\displaystyle B_{k}} 和之前的球相交的數目上限，是以上兩組的上限的和，於是這個上限只依賴於維數n。這個上限加1設為 M n {\displaystyle M_{n}} 。現在從 B 1 {\displaystyle B_{1}} 開始依次把球放到子集 G i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}} 內。輪到 B k {\displaystyle B_{k}} 時，因為之前的球中最多有 M n − 1 {\displaystyle M_{n}-1} 個和 B k {\displaystyle B_{k}} 相交，因此在 M n {\displaystyle M_{n}} 個子集 G i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}} 中，必定有至少一個所包含的球都不和 B k {\displaystyle B_{k}} 相交，於是可以把 B k {\displaystyle B_{k}} 加進這個子集。這樣就得出了子集 G i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}} ，滿足條件 A ⊂ ⋃ i B i = ⋃ i = 1 M n ⋃ B ∈ G i B {\displaystyle A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B} 對一般的A，設 R := sup { r a d ( B ) , B ∈ F } {\displaystyle R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}} 對每個正整數l，設 A l := { x ∈ A : 3 R ( l − 1 ) ≤ | x | < 3 R l } {\displaystyle A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}} F l := { B ( a , r ) ∈ F : a ∈ A l } {\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}} 將以上結果用到 A l {\displaystyle A_{l}} 和 F l {\displaystyle {\mathcal {F}}^{l}} 上，得到子集 G 1 l , ⋯ , G M n l {\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}} ，滿足條件 A l ⊂ ⋃ i = 1 M n ⋃ B ∈ G i l B {\displaystyle A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B} 對 1 ≤ j ≤ M n {\displaystyle 1\leq j\leq M_{n}} ，設 G i := ∪ l = 1 ∞ G i 2 l − 1 {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}} ， G i + M n := ∪ l = 1 ∞ G i 2 l {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}} ，並設 N n = 2 M n {\displaystyle N_{n}=2M_{n}} 。那麼 G i {\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}} 的球互不相交，且有 A = ⋃ l = 1 ∞ A l ⊂ ⋃ i = 1 N n ⋃ B ∈ G i B {\displaystyle A=\bigcup _{l=1}^{\infty }A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B} 因此定理得證。 維塔利覆蓋引理 Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure Theory and Fine Properties of Functions. CRC Press.