双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密鋪的模型，也称为骨牌密鋪（Domino tiling，多米诺密鋪）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。 若有 m × n {\displaystyle m\times n} 平方格子G、以及 m n / 2 {\displaystyle mn/2} 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是 Z = | det K | = ∏ j = 1 ⌈ m 2 ⌉ ∏ k = 1 ⌈ n 2 ⌉ ( 4 cos 2 ⁡ π j m + 1 + 4 cos 2 ⁡ π k n + 1 ) . {\displaystyle Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).} K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。 例如： 2 × n {\displaystyle 2\times n} 格子： Z n {\displaystyle Z_{n}} 是斐波那契数列 m = n = 2 k = 0 , 2 , 4 , … {\displaystyle m=n=2k=0,2,4,\ldots } ，可以使用普法夫值计算Z 若G是环面，则 lim m , n → ∞ Z ( m , n ) / ( m n ) = C / π {\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi } 。 其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。 Z也依赖格子的边界（参看阿兹特克钻石（英语：Aztec diamond））。 阿茲特克钻石（Aztec diamond（英语：Aztec diamond））密鋪，有1024个密鋪 一个可能的密鋪 阿兹特克钻石表示所谓的「北极圈的现象」（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。 这些文章有更多阿兹特克图： http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） 一个密铺定义一个0微分形式（函数）： s ( v ) = ± 1 {\displaystyle s(v)=\pm 1} s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式： d s ( e = u v ) = s ( u ) − s ( v ) = ± 2 {\displaystyle ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2} 这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数 δ ( e ) = 0 , 1 {\displaystyle \delta (e)=0,1} 若双体e存在， δ ( e ) = 1 {\displaystyle \delta (e)=1} ，不然等于0。高度差函数是 d h ( e ) = h ( u ) − h ( v ) = ( 1 + δ ( e ) ) d s ( e ) = ± 3 {\displaystyle dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3} 这个函数定义一个 Z 2 → Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} } 的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若 δ ( e ) {\displaystyle \delta (e)} 真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。 NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。的确，CKP定理说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）： F = log ⁡ Z {\displaystyle F=\log Z} 双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场），高斯自由场是一种二维布朗运动。所以 h ( x ) → ϕ ( x ) {\displaystyle h(x)\to \phi (x)} 成为二维纯量场。 若G是一定的加权图，K的缩放极限是反全纯导数 ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} 。 若 K f = f ( w + 1 ) − f ( w − 1 ) + i f ( w + i ) − i f ( w − i ) = 0 {\displaystyle Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0} f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为 K K ∗ = L {\displaystyle KK^{*}=L} 是调和矩阵（harmonic matrix）。 非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。 数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（ ϕ x − ϕ ϕ y = 0 {\displaystyle \phi _{x}-\phi \phi _{y}=0} ）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。 邻接矩阵的反函数 K − 1 ( x , y ) {\displaystyle K^{-1}(x,y)} 是一种格林函数。 D ( x , y ) = ⟨ h ( x ) h ( y ) ⟩ {\displaystyle D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle } 是传播子（量子场论）。 可以表示这等于狄利克雷问题的核子 D ( u , v ) = − 1 2 π log ⁡ ( v − u ) {\displaystyle D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)} d u D ( u , v ) = 1 2 π ( d u v − u − d u ¯ v − u ¯ ) {\displaystyle d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})} 由于维克定理， ⟨ h ( x 1 ) … h ( x 2 k ) ⟩ ∝ ∑ 对  D ( x i 1 x i 2 ) … D ( x i 2 k − 1 x i 2 k ) {\displaystyle \langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})} 其他骨牌模型 双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统 疊蓆，日本式的骨牌密铺 肢解國際象棋盤問題 王氏砖 量子双体模型（英语：Quantum_dimer_models） 平面图 量子场论 高斯自由场 玻茨模型 渗流理论 相变、临界现象 Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95） Richard Kenyon and Andrei Okounkov. What is a dimer? (PDF). （原始内容存档 (PDF)于2020-07-30）.  Baake, Michael.; Moody, R. V., 1941-. Directions in mathematical quasicrystals. Providence, R.I.: American Mathematical Society https://www.worldcat.org/oclc/45248226. 2000. ISBN 0-8218-2629-8. OCLC 45248226.  缺少或|title=为空 (帮助) Richard Kenyon. The planar dimer model with boundary: a survey (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2013-01-27） （英语）.  Introduction to Random Tilings. faculty.uml.edu. [2020-02-14]. （原始内容存档于2015-07-06）.  Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result. Philosophical Magazine. 1961-08, 6 (68): 1061–1063 [2020-02-13]. ISSN 0031-8086. doi:10.1080/14786436108243366. （原始内容存档于2022-01-21） （英语）.  Kasteleyn, P.W. The statistics of dimers on a lattice. Physica. 1961-12, 27 (12): 1209–1225 [2020-02-13]. doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5. （原始内容存档于2020-02-13） （英语）.  Kenyon, Richard. An introduction to the dimer model. 2003-10-20 [2020-02-14]. （原始内容存档于2020-02-14） （英语）.  A000045 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. （原始内容存档于2016-06-16）.  A004003 - OEIS. oeis.org. [2020-02-13]. （原始内容存档于2019-12-31）.  R. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics. Academic Press. Olivier Bodini, Matthieu Latapy. Generalized Tilings with Height Functions // Morfismos. — 2003. — Т. 7, вып. 1. — С. 47–68. — ISSN 1870-6525. F. Faase. On the number of specific spanning subgraphs of the graphs G X P_n // Ars Combin.. — 1998. — Т. 49. — С. 129–154. J. L. Hock, R. B. McQuistan. A note on the occupational degeneracy for dimers on a saturated two-dimenisonal lattice space // Discrete Appl. Math.. — 1984. — Т. 8. — С. 101–104. — DOI:10.1016/0166-218X(84)90083-0. P. W. Kasteleyn. The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice // Physica. — 1961. — Т. 27, вып. 12. — С. 1209–1225. — DOI:10.1016/0031-8914(61)90063-5. —Bibcode: 1961Phy....27.1209K.. Richard Kenyon. Directions in mathematical quasicrystals / Michael Baake, Robert V. Moody. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2000. — Т. 13. — С. 307–328. — ISBN 0-8218-2629-8. Richard Kenyon, Andrei Okounkov. What is … a dimer? // Notices of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 52, вып. 3. — P. 342–343. — ISSN 0002-9920.. David Klarner, Jordan Pollack. Domino tilings of rectangles with fixed width // Discrete Mathematics. — 1980. — Т. 32, вып. 1. — DOI:10.1016/0012-365X(80)90098-9.. Richard J. Paving rectangular regions with rectangular tiles: tatami and non-tatami tilings. — 2013. Lambda-determinants and domino-tilings // Advances in Applied Mathematics. — 2005. — Т. 34, вып. 4. — С. 871–879. — DOI:10.1016/j.aam.2004.06.005. — arXiv:math.CO/0406301.. Frank Ruskey, Jennifer Woodcock. Counting fixed-height Tatami tilings. — 2009. — Т. 16, вып. 1. — С. R126. James A. Sellers. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5, вып. Article 02.1.2.. Richard P. Stanley. On dimer coverings of rectangles of fixed width // Discrete Appl. Math. — 1985. — Т. 12. — С. 81–87. — DOI:10.1016/0166-218x(85)90042-3. W. P. Thurston.（威廉·瑟斯顿）Conway's tiling groups. — American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1990. — Т. 97. — С. 757–773. — DOI:10.2307/2324578.. David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — London: Penguin, 1997. — С. 182. — ISBN 0-14-026149-4.. H. N. V. Temperley, Michael E. Fisher. Dimer problem in statistical mechanics-an exact result // Philosophical Magazine. — 1961. — Т. 6, вып. 68. — С. 1061–1063. — DOI:10.1080/14786436108243366. Erickson, Alejandro; Ruskey, Frank (2013), "Domino tatami covering is NP-complete", Combinatorial algorithms, Lecture Notes in Comput. Sci., 8288, Springer, Heidelberg, pp. 140–149, arXiv:1305.6669, doi:10.1007/978-3-642-45278-9_13, MR 3162068