协变经典场论

近年来，协变经典场论又引起了研究者的兴趣。动力学在这里用有限维空间的在时空中的给定时间点上的场来表述。射流丛现在被认为是这种表述的正确定义域。 本文给出一阶经典场论的协变表述的一些几何结构。 本条目记法和射流丛条目所引入的一致。并令 Γ ¯ ( π ) {\displaystyle {\bar {\Gamma }}(\pi )} 表示有紧支撑的 π {\displaystyle \pi \,} 的截面。 一个经典场论数学上可以如下表述 一个纤维丛 ( E , π , M ) {\displaystyle ({\mathcal {E}},\pi ,{\mathcal {M}})} ，其中 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 表示一个 n {\displaystyle n\,} 维时空。 一个拉格朗日量形式 Λ : J 1 π → Λ n M {\displaystyle \Lambda :J^{1}\pi \rightarrow \Lambda ^{n}M} 令 ⋆ 1 {\displaystyle \star 1\,} 代表 M {\displaystyle M\,} 上的体积形式，则 Λ = L ⋆ 1 {\displaystyle \Lambda =L\star 1\,} ，其中 L : J 1 π → R {\displaystyle L:J^{1}\pi \rightarrow \mathbb {R} } 是拉格朗日量函数。 我们在 J 1 π {\displaystyle J^{1}\pi \,} 上选择纤维化坐标 { x i , u α , u i α } {\displaystyle \{x^{i},u^{\alpha },u_{i}^{\alpha }\}\,} ，使得 ⋆ 1 = d x 1 ∧ … ∧ d x n {\displaystyle \star 1=dx^{1}\wedge \ldots \wedge dx^{n}} 作用量积分定义为 S ( σ ) = ∫ σ ( M ) ( j 1 σ ) ∗ Λ {\displaystyle S(\sigma )=\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma )^{*}\Lambda \,} 其中 σ ∈ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )} ，并定义于开集 σ ( M ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {M}})\,} ，而 j 1 σ {\displaystyle j^{1}\sigma \,} 代表其第一射流延长(jet prolongation)。 截面 σ ∈ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,} 的变分由曲线 σ t = η t ∘ σ {\displaystyle \sigma _{t}=\eta _{t}\circ \sigma \,} 给出，其中 η t {\displaystyle \eta _{t}\,} 是一个 E {\displaystyle {\mathcal {E}}\,} 上的 π {\displaystyle \pi \,} -竖直向量场 V {\displaystyle V\,} 的流，它在 M {\displaystyle {\mathcal {M}}\,} 上有紧支撑。 截面 σ ∈ Γ ¯ ( π ) {\displaystyle \sigma \in {\bar {\Gamma }}(\pi )\,} 称为变分的驻点，如果 d d t | t = 0 ∫ σ ( M ) ( j 1 σ t ) ∗ Λ = 0 {\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\int _{\sigma ({\mathcal {M}})}(j^{1}\sigma _{t})^{*}\Lambda =0\,} 这等价于 ∫ M ( j 1 σ ) ∗ L V 1 Λ = 0 {\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\Lambda =0\,} 其中 V 1 {\displaystyle V^{1}\,} 代表 V {\displaystyle V\,} 的第一延长，按李导数的定义。 使用嘉当公式， L X = i X d + d i X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=i_{X}d+di_{X}\,} ， 斯托克斯定理以及 σ {\displaystyle \sigma \,} 的紧支撑，可以证明这等价于 ∫ M ( j 1 σ ) ∗ i V 1 d Λ = 0 {\displaystyle \int _{\mathcal {M}}(j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =0\,} 考虑一个 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 的 π {\displaystyle \pi \,} -竖直向量场 V = β α ∂ ∂ u α {\displaystyle V=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,} 其中 β α = β α ( x , u ) {\displaystyle \beta ^{\alpha }=\beta ^{\alpha }(x,u)\,} 。采用切触形式 θ j = d u j − u i j d x i {\displaystyle \theta ^{j}=du^{j}-u_{i}^{j}dx^{i}\,} on J 1 π {\displaystyle J^{1}\pi \,} ，我们可以计算 V {\displaystyle V\,} 的第一延长。然后得到 V 1 = β α ∂ ∂ u α + ( ∂ β α ∂ x i + ∂ β α ∂ u j u i j ) ∂ ∂ u i α {\displaystyle V^{1}=\beta ^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}\,} 其中 γ i α = γ i α ( x , u α , u i α ) {\displaystyle \gamma _{i}^{\alpha }=\gamma _{i}^{\alpha }(x,u^{\alpha },u_{i}^{\alpha })\,} 。 据此，可以证明 i V 1 d Λ = [ β α ∂ L ∂ u α + ( ∂ β α ∂ x i + ∂ β α ∂ u j u i j ) ∂ L ∂ u i α ] ⋆ 1 {\displaystyle i_{V^{1}}d\Lambda =\left[\beta ^{\alpha }{\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}+\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}u_{i}^{j}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\right]\star 1\,} 因而 ( j 1 σ ) ∗ i V 1 d Λ = [ ( β α ∘ σ ) ∂ L ∂ u α ∘ j 1 σ + ( ∂ β α ∂ x i ∘ σ + ( ∂ β α ∂ u j ∘ σ ) ∂ σ j ∂ x i ) ∂ L ∂ u i α ∘ j 1 σ ] ⋆ 1 {\displaystyle (j^{1}\sigma )^{*}i_{V^{1}}d\Lambda =\left[(\beta ^{\alpha }\circ \sigma ){\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}\circ \sigma +\left({\frac {\partial \beta ^{\alpha }}{\partial u^{j}}}\circ \sigma \right){\frac {\partial \sigma ^{j}}{\partial x^{i}}}\right){\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right]\star 1\,} 分部积分并考虑 σ {\displaystyle \sigma \,} 的紧支撑，临界条件变为 因为 β α {\displaystyle \beta ^{\alpha }\,} 为任意函数，我们得到 ∂ L ∂ u α ∘ j 1 σ − ∂ ∂ x i ( ∂ L ∂ u i α ∘ j 1 σ ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial u^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma -{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\alpha }}}\circ j^{1}\sigma \right)=0\,} 这些就是欧拉－拉格朗日方程组。 经典场论 外代数 纤维丛 射流 量子场论 Saunders, D.J., "The Geometry of Jet Bundles", Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7 Bocharov, A.V. [et al.] "Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics", Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958 De Leon, M., Rodrigues, P.R., "Generalized Classical Mechanics and Field Theory", Elsevier Science Publishing, 1985, ISBN 0-444-87753-3 Griffiths, P.A., "Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations", Boston: Birkhauser, 1983, ISBN 3-764-33103-8 Gotay, M.J., Isenberg, J., Marsden, J.E., Montgomery R., Momentum Maps and Classical Fields Part I: Covariant Field Theory, November 2003 Echeverria-Enriquez, A., Munoz-Lecanda, M.C., Roman-Roy,M., Geometry of Lagrangian First-order Classical Field Theories[永久失效連結], May 1995