利普希茨連續

在數學中，特別是實分析，利普希茨連續（Lipschitz continuity）以德國數學家魯道夫·利普希茨命名，是一個比一致連續更強的光滑性條件。直覺上，利普希茨連續函數限制了函數改變的速度，符合利普希茨條件的函數的斜率的绝对值，必小於一個稱為利普希茨常數的實數（該常數依函數而定）。 在微分方程，利普希茨連續是皮卡-林德洛夫定理中確保了初值問題存在唯一解的核心條件。一種特殊的利普希茨連續，稱為壓縮應用於巴拿赫不動點定理。 利普希茨連續可以定義在度量空間上以及賦范向量空間上；利普希茨連續的一種推廣稱為赫爾德連續。 對於在實數集的子集的函數 f : D ⊆ R → R {\displaystyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ，若存在常數 K {\displaystyle K} ，使得 | f ( a ) − f ( b ) | ≤ K | a − b | ∀ a , b ∈ D {\displaystyle |f(a)-f(b)|\leq K|a-b|\quad \forall a,b\in D} ，則稱 f {\displaystyle f} 符合利普希茨條件，對於 f {\displaystyle f} 最小的常數 K {\displaystyle K} 稱為 f {\displaystyle f} 的利普希茨常數。 若 K < 1 {\displaystyle K<1} ， f {\displaystyle f} 稱為收縮映射。 利普希茨條件也可對任意度量空間的函數定義： 給定兩個度量空間 ( M , d M ) , ( N , d N ) {\displaystyle (M,d_{M}),(N,d_{N})} ， U ⊆ M {\displaystyle U\subseteq M} 。若對於函數 f : U → N {\displaystyle f:U\to N} ，存在常數 K {\displaystyle K} 使得 d N ( f ( a ) , f ( b ) ) ≤ K d M ( a , b ) ∀ a , b ∈ U {\displaystyle d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U} 則說它符合利普希茨條件。 若存在 K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} 使得 1 K d M ( a , b ) ≤ d N ( f ( a ) , f ( b ) ) ≤ K d M ( a , b ) ∀ a , b ∈ U {\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{M}(a,b)\leq d_{N}(f(a),f(b))\leq Kd_{M}(a,b)\quad \forall a,b\in U} 則稱 f {\displaystyle f} 為双李普希茨(bi-Lipschitz)的。 若已知 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 有界， f {\displaystyle f} 符合利普希茨條件，則微分方程初值問題 y ′ ( t ) = f ( t , y ( t ) ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}} 剛好有一個解。 在應用上， t {\displaystyle t} 通常屬於一有界閉區間（如 [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} ）。於是 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 必有界，故 y {\displaystyle y} 有唯一解。 f : [ − 3 , 7 ] → R , f ( x ) = x 2 {\displaystyle f:[-3,7]\to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}} 符合利普希茨條件， K = 4 {\displaystyle K=4} 。 f : R → R , f ( x ) = x 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=x^{2}} 不符合利普希茨條件，當 x → ∞ , f ′ ( x ) → ∞ {\displaystyle x\to \infty ,\quad f'(x)\to \infty } 。 定義在所有實數值的 f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}} 符合利普希茨條件， K = 1 {\displaystyle K=1} 。 f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} 符合利普希茨條件， K = 1 {\displaystyle K=1} 。由此可見符合利普希茨條件的函數未必可微。 f : [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] , f ( x ) = x {\displaystyle f:[0,1]\to [0,1],\quad f(x)={\sqrt {x}}} 不符合利普希茨條件， x → 0 , f ′ ( x ) → ∞ {\displaystyle x\to 0,\quad f'(x)\to \infty } 。不過，它符合赫爾德條件。 若且唯若處處可微函數f的一次導函數有界， f {\displaystyle f} 符合利普希茨條件。這是中值定理的結果。所有 C 1 {\displaystyle C^{1}} 函數都是局部利普希茨的，因為局部緊緻空間的連續函數必定有界。 符合利普希茨條件的函數連續，实际上一致連續。 双李普希茨(bi-Lipschitz)函數是單射。 Rademacher定理：若 A ⊆ R n {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}} 且 A {\displaystyle A} 為開集， f : A ″ → R n {\displaystyle f:A''\to \mathbb {R} ^{n}} 符利普希茨條件，則 f {\displaystyle f} 幾乎處處可微。 Kirszbraun定理：給定兩個希爾伯特空間 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} ， U ∈ H 1 {\displaystyle U\in H_{1}} ， f : U → H 1 {\displaystyle f:U\to H_{1}} 符合利普希茨條件，則存在符合利普希茨條件的 F : H 1 → H 2 {\displaystyle F:H_{1}\to H_{2}} ，使得 F {\displaystyle F} 的利普希茨常數和 f {\displaystyle f} 的相同，且 F ( x ) = f ( x ) ∀ x ∈ U {\displaystyle F(x)=f(x)\quad \forall x\in U} 。 Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. （第18頁以後） M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934. J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.