邦泽不等式

本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的 log ⁡ x {\displaystyle \log {x}} 都應視為自然對數，也就是一般常記為 ln ⁡ x {\displaystyle \ln {x}} 或 log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}{x}} 的對數。 邦泽不等式（英語：Bonse's inequality）為數論中的不等式，得名自H·邦泽，有關質數階乘和未在其質因數分解中出現的最小質數之間的大小關係。 若 p 1 , p 2 , ⋯ , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n}} 及 p n + 1 {\displaystyle p_{n+1}} 為最小的 n + 1 {\displaystyle n+1} 個質數，且 n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} ，則有以下關係： p n + 1 2 < p 1 ⋯ p n {\displaystyle p_{n+1}^{2}<p_{1}\cdots p_{n}\,} 這不等式是伯特蘭-切比雪夫定理的一個結果：伯特蘭-切比雪夫定理指出， p n + 1 < 2 p n {\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}} ，因此有 p n + 1 2 < 4 p n 2 < 8 p n − 1 p n < 2 × 3 × 5 × p n − 1 p n ⩽ p 1 p 2 . . . p n {\displaystyle p_{n+1}^{2}<4p_{n}^{2}<8p_{n-1}p_{n}<2\times 3\times 5\times p_{n-1}p_{n}\leqslant p_{1}p_{2}...p_{n}} 以下列出一些質數之間的關係，前四行不在邦泽不等式的範圍內 4 = 2 2 > 0 {\displaystyle {4=2^{2}>0}} 9 = 3 2 > 2 = 2 {\displaystyle {9=3^{2}>2=2}} 25 = 5 2 > 2 ⋅ 3 = 6 {\displaystyle {25=5^{2}>2\cdot 3=6}} 49 = 7 2 > 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 {\displaystyle {49=7^{2}>2\cdot 3\cdot 5=30}} 121 = 11 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210 {\displaystyle {121=11^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=210}} 169 = 13 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 2310 {\displaystyle {169=13^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}} 289 = 17 2 < 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 30030 {\displaystyle {289=17^{2}<2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13=30030}} …… 邦澤不等式已為多名數學家推廣，以下是部分數學家對邦澤不等式的推廣。 Pósa在1960年證明了以下的陳述： 對於任意的 k > 1 {\displaystyle k>1} 而言，有一個取決於 k {\displaystyle k} 的正整數 n k {\displaystyle n_{k}} ，使得下列關係對所有的 n ≥ n k {\displaystyle n\geq n_{k}} 都成立： p n + 1 k < p 1 ⋯ p n {\displaystyle p_{n+1}^{k}<p_{1}\cdots p_{n}\,} Sándor在1988年證明了以下的陳述： 對於任意的 n ≥ 24 {\displaystyle n\geq 24} ，有以下關係： p n + 5 2 + p [ n / 2 ] 2 < p 1 ⋯ p n {\displaystyle p_{n+5}^{2}+p_{[n/2]}^{2}<p_{1}\cdots p_{n}\,} 其中 [ x ] {\displaystyle [x]} 是下取整函數。 Panaitopol在2000年證明了以下的陳述： 對於任意的 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ，有以下關係： p n + 1 n − π ( n ) < p 1 ⋯ p n {\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)}<p_{1}\cdots p_{n}\,} 其中 π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} 是質數計數函數。 Hassani在2005年證明了以下的陳述： 對於任意的 n ≥ 101 {\displaystyle n\geq 101} ，有以下關係： p n + 1 n − π ( n ) ( 1 − 1 log ⁡ n ) < p 1 ⋯ p n {\displaystyle p_{n+1}^{n-\pi (n)(1-{\frac {1}{\log {n}}})}<p_{1}\cdots p_{n}\,} 其中 π ( n ) {\displaystyle \pi (n)} 是質數計數函數。 Ghosh在2019年證明了以下的陳述： 對於任意的 n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} ，有以下關係： n ( 1 − 1 log ⁡ n + log ⁡ log ⁡ n 4 log 2 ⁡ n ) < ϑ ( p n ) log ⁡ p n + 1 < n ( 1 − 1 log ⁡ n + log ⁡ log ⁡ n log 2 ⁡ n ) {\displaystyle n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{4\log ^{2}{n}}})<{\frac {\vartheta (p_{n})}{\log {p_{n+1}}}}<n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{\log ^{2}{n}}})} 使用小o符號，則可表如下式： ϑ ( p n ) log ⁡ p n + 1 = n ( 1 − 1 log ⁡ n + log ⁡ log ⁡ n log 2 ⁡ n ( 1 + o ( 1 ) ) ) {\displaystyle {\frac {\vartheta (p_{n})}{\log {p_{n+1}}}}=n(1-{\frac {1}{\log {n}}}+{\frac {\log {\log {n}}}{\log ^{2}{n}}}(1+o(1)))} 其中 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 是第一切比雪夫函數， log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} 是自然對數。 質數階乘 Bonse, H. Über eine bekannte Eigenschaft der Zahl 30 und ihre Verallgemeinerung. Archiv der Mathematik und Physik. 1907, 3 (12): 292–295.  Pósa, L. Über eine Eigenschaft der Primzahlen. Mat. Lapok 11. 1960.  Sándor, J. Über die Folge der Primzahlen. Mathematica (Cluj). 1988, 30 (53): 67–74.  Panaitopol, L. An inequality involving prime numbers. Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 2000, (11): 33–35.  Hassani, M. Approximation of the product p_1p_2...p_n. RGMIA Research Report Collection 2. 2005.  Ghosh, A. An asymptotic formula for the Chebyshev theta function. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics. 2019, 25 (4): 1–7. doi:10.7546/nntdm.2019.25.4.1-7.  Uspensky, J. V.; Heaslet, M. A. Elementary Number Theory. New York: McGraw Hill. 1939: 87.  Zhang, Shaohua. A new inequality involving primes. 2009. arXiv:0908.2943v1 .  引文使用过时参数version (帮助); cite arXiv模板填写了不支持的参数 (帮助)