根系 (数学)

在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。 設 V {\displaystyle V} 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 ( , ) {\displaystyle (,)} 。 V {\displaystyle V} 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 Φ {\displaystyle \Phi } ，滿足下述條件： Φ {\displaystyle \Phi } 的元素張出 V {\displaystyle V} 。 對任一 α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } ，其屬於 Φ {\displaystyle \Phi } 的純量倍數只有 ± α {\displaystyle \pm \alpha } 。 對任意 α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } ，集合 Φ {\displaystyle \Phi } 在對 α {\displaystyle \alpha } 的反射之下不變。在此的反射是指 σ α ( β ) = β − 2 ( α , β ) ( α , α ) α ∈ Φ . {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha \in \Phi .} （整性）若 α , β ∈ Φ {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi } ，則 β {\displaystyle \beta } 在 α {\displaystyle \alpha } 方向的投影乘以2是 α {\displaystyle \alpha } 的整數倍，即： ⟨ β , α ⟩ := 2 ( α , β ) ( α , α ) ∈ Z , {\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,} 根據性質三，整性等價於：對任意 α , β ∈ Φ {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi } ， σ α ( β ) {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )} 與 β {\displaystyle \beta } 僅差 α {\displaystyle \alpha } 的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Φ × Φ → Z {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} } 並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。 根系 Φ {\displaystyle \Phi } 的秩定義為 V {\displaystyle V} 的維度。 給定兩個根系 ( V , Φ ) , ( W , Ψ ) {\displaystyle (V,\Phi ),(W,\Psi )} ，可考慮其正交直和 V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} ，則 Φ ⊔ Ψ {\displaystyle \Phi \sqcup \Psi } 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 V , W ≠ { 0 } {\displaystyle V,W\neq \{0\}} ），則稱之為不可約的。 對兩個根系 ( E 1 , Φ 1 ) , ( E 2 , Φ 2 ) {\displaystyle (E_{1},\Phi _{1}),(E_{2},\Phi _{2})} ，若存在其間的線性同構，使得 Φ 1 {\displaystyle \Phi _{1}} 映至 Φ 2 {\displaystyle \Phi _{2}} ，則稱它們為同構的根系。 對於根系 ( V , Φ ) {\displaystyle (V,\Phi )} ，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 Φ {\displaystyle \Phi } 上忠實地作用，因此必為有限群。 在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 { α , − α } {\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}} 組成。此根系記作 A 1 {\displaystyle A_{1}} 。 秩二的根系有四種可能，对应于 σ α ( β ) = β + n α {\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha } ，其中 n = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle n=0,1,2,3} 的情况。注意根系并不由它生成的格所决定： A 1 × A 1 {\displaystyle A_{1}\times A_{1}} 和 B 2 {\displaystyle B_{2}} 均生成正方形格，而 A 2 {\displaystyle A_{2}} 和 G 2 {\displaystyle G_{2}} 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下： 當 Φ {\displaystyle \Phi } 是 V {\displaystyle V} 中的根系，而 W {\displaystyle W} 是 Ψ = Φ ∩ W {\displaystyle \Psi =\Phi \cap W} 在 W {\displaystyle W} 中生成的子空間，則 Ψ {\displaystyle \Psi } 是 W {\displaystyle W} 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 0 , 30 , 45 , 60 , 90 , 120 , 135 , 150 {\displaystyle 0,30,45,60,90,120,135,150} 或 180 {\displaystyle 180} 度。 對於根系 Φ {\displaystyle \Phi } ，可以取定滿足下述條件的正根子集 Φ + {\displaystyle \Phi ^{+}} ： 對每個根 α ∈ Φ {\displaystyle \alpha \in \Phi } ， α , − α {\displaystyle \alpha ,-\alpha } 中恰有一者屬於 Φ + {\displaystyle \Phi ^{+}} 。 對任意 α , β ∈ Φ + {\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}} ，若 α + β ∈ Φ {\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi } ，則 α + β ∈ Φ + {\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}} 。 正根的取法並不唯一。取定一組正根後， − Φ + {\displaystyle -\Phi ^{+}} 的元素被稱為負根。 正根的選取等價於單根的選取。單根集是 Φ {\displaystyle \Phi } 中滿足下述條件的子集 Δ {\displaystyle \Delta } ： 任意 Φ {\displaystyle \Phi } 中的元素皆可唯一地表成 Δ {\displaystyle \Delta } 中元素的整係數線性組合，而且其係數或者全大於等於零，或者全小於等於零。 選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。 不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下： 給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 若不垂直，則有 ⟨ α , β ⟩ ⋅ ⟨ β , α ⟩ {\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle \cdot \langle \beta ,\alpha \rangle } 個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 ( α , α ) {\displaystyle (\alpha ,\alpha )} 長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。 一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。 藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。 鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。 不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系： A n , B n , C n , D n {\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}} ，其下標分別取遍 n ≥ 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle n\geq 1,2,3,4} 的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中， | Φ < | {\displaystyle |\Phi ^{<}|} 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根）， I {\displaystyle I} 表示其嘉當矩陣的行列式，而 | W | {\displaystyle |W|} 表示外爾群之階。 取 V {\displaystyle V} 為 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} 中滿足 ∑ i = 1 n + 1 x i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=0} 的點 ( x 1 , … , x n + 1 ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n+1})} 所成之子空間。令 Φ {\displaystyle \Phi } 為 V {\displaystyle V} 中長度為 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的格子點。取 R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} 的標準基 e 1 , … , e n + 1 {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n+1}} ，則根具有 e i − e j ( i ≠ j ) {\displaystyle e_{i}-e_{j}\;(i\neq j)} 的形式，共有 n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)} 個根。通常取單根為 α i := e i − e i + 1 {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}} 。 對垂直於 α i {\displaystyle \alpha _{i}} 的超平面的鏡射在 Φ {\displaystyle \Phi } 上的作用是交換第 i , i + 1 {\displaystyle i,i+1} 個座標。因此 A n {\displaystyle A_{n}} 的外爾群不外就是對稱群 S n + 1 {\displaystyle S_{n+1}} 。 A n {\displaystyle A_{n}} 是李代數 s l ( n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,\mathbb {C} )} 的根系。 取 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} ，並令 Φ {\displaystyle \Phi } 為 V {\displaystyle V} 中長度為 1 , 2 {\displaystyle 1,{\sqrt {2}}} 的格子點。共有 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}} 個根。通常取單根為 α i = e i − e i + 1 ( 1 ≤ i < n ) {\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)} 及 α n := e n {\displaystyle \alpha _{n}:=e_{n}} （短根）。 對短根 α n {\displaystyle \alpha _{n}} 的反射即 ( x 1 , … , x n ) ↦ ( x 1 , … , − x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto (x_{1},\ldots ,-x_{n})} 。 B 1 {\displaystyle B_{1}} 跟 A 1 {\displaystyle A_{1}} 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 的情形。 B n {\displaystyle B_{n}} 是李代數 s o ( 2 n + 1 , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,\mathbb {C} )} 的根系。 取 V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} ， Φ {\displaystyle \Phi } 為 V {\displaystyle V} 中所有長度 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的格子點與形如 2 λ {\displaystyle 2\lambda } 的點，其中 λ {\displaystyle \lambda } 是長度為一的格子點。共有 2 n 2 {\displaystyle 2n^{2}} 個根。通常取單根為 α i := e i − e i + 1 ( 1 ≤ i < n ) {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\;(1\leq i<n)} 及 α n := 2 e n {\displaystyle \alpha _{n}:=2e_{n}} （長根）。 C 2 {\displaystyle C_{2}} 與 B 2 {\displaystyle B_{2}} 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 的情形。 C n {\displaystyle C_{n}} 是李代數 s p ( 2 n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {C} )} 的根系。 取 V := R n {\displaystyle V:=\mathbb {R} ^{n}} ， Φ {\displaystyle \Phi } 為 V {\displaystyle V} 中長度 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的格子點。共有 2 n ( n − 1 ) {\displaystyle 2n(n-1)} 個根。通常取單根為 α i = e i − e i + 1 , ( 1 ≤ i < n ) {\displaystyle \alpha _{i}=e_{i}-e_{i+1},\;(1\leq i<n)} 及 α n = e n + e n − 1 {\displaystyle \alpha _{n}=e_{n}+e_{n-1}} 。 D 3 {\displaystyle D_{3}} 同構於 A 3 {\displaystyle A_{3}} ，故通常僅考慮 n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} 的情形。 D n {\displaystyle D_{n}} 是李代數 s o ( 2 n , C ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,\mathbb {C} )} 的根系。 E 8 {\displaystyle E_{8}} 是較為特殊的根系。首先定義 R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} 中滿足下述條件的點集 Γ 8 {\displaystyle \Gamma _{8}} ： 各座標均為整數，或均為半整數（不容相混）。 八個座標的和為偶數。 定義 E 8 {\displaystyle E_{8}} 為 Γ 8 {\displaystyle \Gamma _{8}} 中長度為 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的向量，即： { α ∈ Z 8 ⊔ ( Z + 1 2 ) 8 : | α | 2 = 2 , ∑ α i ∈ 2 Z } {\displaystyle \left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\sqcup \left(\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=2,\;\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} \right\}} 定義 E 7 {\displaystyle E_{7}} 為 E 8 {\displaystyle E_{8}} 與超平面 { x : ( x , α ) = 0 } {\displaystyle \{x:(x,\alpha )=0\}} 之交， 其中 α ∈ E 8 {\displaystyle \alpha \in E_{8}} 是任取的根。同樣步驟施於 E 7 {\displaystyle E_{7}} ，得到更小的根系 E 6 {\displaystyle E_{6}} 。根系 E 6 , E 7 , E 8 {\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8}} 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 D 5 , A 4 {\displaystyle D_{5},A_{4}} 。 另一種等價的描述是取 Γ 8 ′ {\displaystyle \Gamma '_{8}} 為： 各坐標均為整數，而且其和為偶數；或 各坐標均為半整數，而且其和為奇數。 Γ 8 {\displaystyle \Gamma _{8}} 與 Γ 8 ′ {\displaystyle \Gamma '_{8}} 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。 Γ 8 {\displaystyle \Gamma _{8}} 稱為 E 8 {\displaystyle E_{8}} 的偶坐標系， Γ 8 ′ {\displaystyle \Gamma '_{8}} 稱為奇坐標系。 在偶坐標下，通常取單根為 α i := e i − e i + 1 ( 1 ≤ i ≤ 6 ) {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 6)} α 7 := e 7 + e 6 {\displaystyle \alpha _{7}:=e_{7}+e_{6}} α 8 = β 0 = ∑ i = 1 8 e i 2 {\displaystyle \alpha _{8}=\beta _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{8}e_{i}}{2}}} 在奇坐標下，通常取單根為 α i := e i − e i + 1 ( 1 ≤ i ≤ 7 ) {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1}\quad (1\leq i\leq 7)} α 8 := β 5 {\displaystyle \alpha _{8}:=\beta _{5}} ，其中 β j := − ∑ i = 1 j e i + ∑ i = j + 1 8 e i 2 {\displaystyle \beta _{j}:={\frac {-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}}{2}}} （在上述定義中，若改取 β 3 {\displaystyle \beta _{3}} ，將得到同構的結果。若改取 β 1 , β 7 , β 2 , β 6 {\displaystyle \beta _{1},\beta _{7},\beta _{2},\beta _{6}} ，將得到 A 8 {\displaystyle A_{8}} 或 D 8 {\displaystyle D_{8}} 。至於 β 4 {\displaystyle \beta _{4}} ，其坐標和為零，而 α 1 , … , α 7 {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{7}} 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。 刪去 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} 可得到 E 7 {\displaystyle E_{7}} 的一組單根；再刪去 α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} ，可得 E 6 {\displaystyle E_{6}} 的單根。 由於對 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 E 7 , E 6 {\displaystyle E_{7},E_{6}} 的明確定義： E7 = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2，∑αi + α1 ∈ 2Z), E6 = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2，∑αi + 2α1 ∈ 2Z) 對於 F 4 {\displaystyle F_{4}} ，取 V = R 4 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{4}} ，並令 Φ {\displaystyle \Phi } 為滿足下述條件的向量： | α | = 1 , 2 {\displaystyle |\alpha |=1,{\sqrt {2}}} 2 α {\displaystyle 2\alpha } 各坐標皆為奇數或皆為偶數。 此根系有 48 {\displaystyle 48} 個根。通常取單根為 B 3 {\displaystyle B_{3}} 的單根再加上 α 4 = − ( ∑ i = 1 4 e i ) / 2 {\displaystyle \alpha _{4}=-\left(\sum _{i=1}^{4}e_{i}\right)/2} 。 G 2 {\displaystyle G_{2}} 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為 α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} β := α 2 − α 1 {\displaystyle \beta :=\alpha _{2}-\alpha _{1}} 在此沿用了之前的符號： α i := e i − e i + 1 , ( i = 1 , 2 ) {\displaystyle \alpha _{i}:=e_{i}-e_{i+1},\;(i=1,2)} 。 不可約根系的分類可用於研究下述對象： 單複李代數 單複李群 模掉中心後為單李群的單連通複李群 緊單李群 Hall 2015 Proposition 8.8 Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271 Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 . Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127. Hall, Brian C., Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics 222 2nd, Springer, 2015, ISBN 978-3319134666  ADE分類 外爾群 考克斯特群 考克斯特矩陣 根資料 考克斯特-鄧肯圖