舒尔正交关系

舒尔正交关系（英語：Schur orthogonality relations）描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群，特别是紧李群，比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。 令 Γ ( λ ) ( R ) m n {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}} 是一个 |G| 阶（即 G 有 |G| 个元素）有限群 G = { R } {\displaystyle G=\{R\}} 的一个不可约矩阵表示 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示，我们假设 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 是酉的： ∑ n = 1 l λ Γ ( λ ) ( R ) n m ∗ Γ ( λ ) ( R ) n k = δ m k for all R ∈ G , {\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,} 这里 l λ {\displaystyle l_{\lambda }} 是表示 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 的（有限）维数。 正交关系，只对不可约表示的矩阵元素成立，是 ∑ R ∈ G | G | Γ ( λ ) ( R ) n m ∗ Γ ( μ ) ( R ) n ′ m ′ = δ λ μ δ n n ′ δ m m ′ | G | l λ . {\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.} 这里 Γ ( λ ) ( R ) n m ∗ {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}} 是 Γ ( λ ) ( R ) n m {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}\,} 的複共轭，求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示 Γ ( λ ) = Γ ( μ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}=\Gamma ^{(\mu )}} ，则克罗内克函数 δ λ μ {\displaystyle \delta _{\lambda \mu }} 是单位；如果 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 与 Γ ( μ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}} 不等价则 δ λ μ {\displaystyle \delta _{\lambda \mu }} 为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等（ n = n ′ {\displaystyle n=n'} 和 m = m ′ {\displaystyle m=m'} ）才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。 每个群有一个单位表示（所有群元素映为实数 1），这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出 ∑ R ∈ G | G | Γ ( μ ) ( R ) n m = 0 {\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0} 对 n , m = 1 , … , l μ {\displaystyle n,m=1,\ldots ,l_{\mu }} ，此式對任何不等于单位表示的不可约表示 Γ ( μ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\mu )}\,} 成立。 三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群，通常记作 S 3 {\displaystyle S_{3}} （对称群）。这个群同构于点群 C 3 v {\displaystyle C_{3v}} ，由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示（l = 2）。在 S 3 {\displaystyle S_{3}} 情形，通常将这个不可约表示利用杨氏表（杨氏矩阵）记作 λ = [ 2 , 1 ] {\displaystyle \lambda =[2,1]} 而在 C 3 v {\displaystyle C_{3v}} 情形通常写成 λ = E {\displaystyle \lambda =E} 。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成，每个代表一个群元素 ( 1 0 0 1 ) ( 1 0 0 − 1 ) ( − 1 2 3 2 3 2 1 2 ) ( − 1 2 − 3 2 − 3 2 1 2 ) ( − 1 2 3 2 − 3 2 − 1 2 ) ( − 1 2 − 3 2 3 2 − 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}} 元素 (1,1) 的正规化为： ∑ R ∈ G 6 Γ ( R ) 11 ∗ Γ ( R ) 11 = 1 2 + 1 2 + ( − 1 2 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 = 3. {\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.} 同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性： ∑ R ∈ G 6 Γ ( R ) 11 ∗ Γ ( R ) 22 = 1 2 + ( 1 ) ( − 1 ) + ( − 1 2 ) ( 1 2 ) + ( − 1 2 ) ( 1 2 ) + ( − 1 2 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 = 0. {\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.} 类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立，如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零，因为给定表示与恒等表示的正交性。 矩阵的迹是对角矩阵元素之和， Tr ⁡ ( Γ ( R ) ) = ∑ m = 1 l Γ ( R ) m m {\displaystyle \operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}=\sum _{m=1}^{l}\Gamma (R)_{mm}} . 所有迹的集合 χ ≡ { Tr ⁡ ( Γ ( R ) ) | R ∈ G } {\displaystyle \chi \equiv \{\operatorname {Tr} {\big (}\Gamma (R){\big )}\;|\;R\in G\}} 是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成 χ ( λ ) {\displaystyle \chi ^{(\lambda )}} χ ( λ ) ( R ) ≡ Tr ⁡ ( Γ ( λ ) ( R ) ) {\displaystyle \chi ^{(\lambda )}(R)\equiv \operatorname {Tr} \left(\Gamma ^{(\lambda )}(R)\right)} . 利用这种记号我们可写出多个特征标公式： ∑ R ∈ G | G | χ ( λ ) ( R ) ∗ χ ( μ ) ( R ) = δ λ μ | G | , {\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,} 这可以用来检验一个表示是否是可约的（这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量）。以及 ∑ R ∈ G | G | χ ( λ ) ( R ) ∗ χ ( R ) = n ( λ ) | G | , {\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,} 这帮助我们确认不可约表示 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}} 在具有特征标 χ ( R ) {\displaystyle \chi (R)} 的可约表示 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 中包含的次数。 例如，如果 n ( λ ) | G | = 96 {\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96} 这个群的阶是 | G | = 24 {\displaystyle |G|=24\,} 则 Γ ( λ ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}\,} 在给定“可约”表示 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 中包含的次数是 n ( λ ) = 4 . {\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.} 关于群特征表参见特征标理论。 有限群的正交关系推广为紧群（包含紧李群，比如 SO(3)）本质上是简单的：只要将在群上的求和换成在群上的积分。 每个紧群 G {\displaystyle G} 有惟一一个双不变哈尔测度，使得群的体积是 1。将这个测度记成 d g {\displaystyle dg} 。设 ( π α ) {\displaystyle (\pi ^{\alpha })} 是 G {\displaystyle G} 的不可约表示的一个完备集合，设 ϕ v , w α ( g ) =< v , π α ( g ) w > {\displaystyle \phi _{v,w}^{\alpha }(g)=<v,\pi ^{\alpha }(g)w>} 是表示 π α {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分 1) 如果 π α ≆ π β {\displaystyle \pi ^{\alpha }\ncong \pi ^{\beta }} 则： ∫ G ϕ v , w α ( g ) ϕ v ′ , w ′ β ( g ) d g = 0 {\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0} 2)如果 { e i } {\displaystyle \{e_{i}\}} 是表示空间 π α {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的一个正交规范基，则： d α ∫ G ϕ e i , e j α ( g ) ϕ e m , e n α ( g ) d g = δ i , m δ j , n {\displaystyle d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}} 这里 d α {\displaystyle d^{\alpha }} 是 π α {\displaystyle \pi ^{\alpha }} 的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。 一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3)，有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角： x = ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {x} =(\alpha ,\beta ,\gamma )} 。界限是 0 ≤ α , γ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \alpha ,\gamma \leq 2\pi } 以及 0 ≤ β ≤ π {\displaystyle 0\leq \beta \leq \pi } 。 体积元素 ω ( x ) d x 1 d x 2 ⋯ d x r {\displaystyle \omega (\mathbf {x} )\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{r}} 的计算不仅取决于参数的选取，也取决于最终结果，即加权函数（测度） ω ( x ) {\displaystyle \omega (\mathbf {x} )} 的解析形式。 例如，SO(3) 的欧拉角参数化给出权重 ω ( α , β , γ ) = sin β , {\displaystyle \omega (\alpha ,\beta ,\gamma )=\sin \!\beta \,,} ，而 n, ψ 参数化给出权重t ω ( ψ , θ , ϕ ) = 2 ( 1 − cos ⁡ ψ ) sin θ {\displaystyle \omega (\psi ,\theta ,\phi )=2(1-\cos \psi )\sin \!\theta \,} ，其中 0 ≤ ψ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π , 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \psi \leq \pi ,\;\;0\leq \phi \leq 2\pi ,\;\;0\leq \theta \leq \pi } 。 可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的： Γ ( λ ) ( R − 1 ) = Γ ( λ ) ( R ) − 1 = Γ ( λ ) ( R ) † with Γ ( λ ) ( R ) m n † ≡ Γ ( λ ) ( R ) n m ∗ . {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.} 简记成 Γ ( λ ) ( x ) = Γ ( λ ) ( R ( x ) ) {\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}} 正交关系具有形式 ∫ x 1 0 x 1 1 ⋯ ∫ x r 0 x r 1 Γ ( λ ) ( x ) n m ∗ Γ ( μ ) ( x ) n ′ m ′ ω ( x ) d x 1 ⋯ d x r = δ λ μ δ n n ′ δ m m ′ | G | l λ , {\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},} 群的体积是 | G | = ∫ x 1 0 x 1 1 ⋯ ∫ x r 0 x r 1 ω ( x ) d x 1 ⋯ d x r . {\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.} 我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵（Wigner D-matrix） D ℓ ( α β γ ) {\displaystyle D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )} ，它们的维数是 2 ℓ + 1 {\displaystyle 2\ell +1} 。故 | S O ( 3 ) | = ∫ 0 2 π d α ∫ 0 π sin β d β ∫ 0 2 π d γ = 8 π 2 , {\displaystyle |SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},} 它们满足 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 2 π D ℓ ( α β γ ) n m ∗ D ℓ ′ ( α β γ ) n ′ m ′ sin β d α d β d γ = δ ℓ ℓ ′ δ n n ′ δ m m ′ 8 π 2 2 ℓ + 1 . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.} l λ {\displaystyle l_{\lambda }} 的有限性是由于一个有限群 G 的不可约表示包含于正则表示。 这种选择不是惟一的，这个矩阵的任意正交相似变换给出一个等价的不可约表示。 任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明： M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover). W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972). J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).