有理映射

在代數幾何中，有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。 固定概形 V , W {\displaystyle V,W} 。考慮所有的資料 ( U , f ) {\displaystyle (U,f)} ，其中 U ⊂ V {\displaystyle U\subset V} 是稠密開集，而 f : U → W {\displaystyle f:U\to W} 是態射；這些資料代表了 U {\displaystyle U} 上「部份定義」的態射， U {\displaystyle U} 代表 f {\displaystyle f} 的定義域。定義下述等價關係： ( U , f ) ∼ ( U ′ , g ) ⟺ f | U ∩ U ′ = g | U ∩ U ′ {\displaystyle (U,f)\sim (U',g)\iff f|_{U\cap U'}=g|_{U\cap U'}} 此外，注意到稠密性保證 U ∩ U ′ {\displaystyle U\cap U'} 也是 V {\displaystyle V} 中的稠密開集。當 V {\displaystyle V} 不可約，則所有非空開集都是稠密的。若再假設 V {\displaystyle V} 既約而 W {\displaystyle W} 是分離概形，則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。 從概形 V {\displaystyle V} 到 W {\displaystyle W} 的有理映射 f {\displaystyle f} 是其中的一個等價類 [ U , f ] {\displaystyle [U,f]} 。 若 f {\displaystyle f} 是從 U {\displaystyle U} 到 V {\displaystyle V} ， g {\displaystyle g} 是從 V {\displaystyle V} 到 W {\displaystyle W} 的有理映射，則一般並不能定義其合成 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} 。但是當 f {\displaystyle f} 的像（對某個，因而對每個代表元 ( U 0 , f U 0 ) {\displaystyle (U_{0},f_{U_{0}})} ）在 V {\displaystyle V} 中稠密時，對每個 g {\displaystyle g} 的代表元 ( V 0 , g V 0 ) {\displaystyle (V_{0},g_{V_{0}})} ， f U 0 ( U 0 ) ∩ V 0 {\displaystyle f_{U_{0}}(U_{0})\cap V_{0}} 皆非空，此時可以定義 g ∘ f := [ f U 0 − 1 ( V 0 ) , g V 0 ∘ f U 0 ] {\displaystyle g\circ f:=[f_{U_{0}}^{-1}(V_{0}),g_{V_{0}}\circ f_{U_{0}}]} 。 同理，若 V {\displaystyle V} 與 W {\displaystyle W} 都是 S {\displaystyle S} 上的概形，也可以類似地定義 S {\displaystyle S} -有理映射。 設 k {\displaystyle k} 為整環，設 V := A k n {\displaystyle V:=\mathbb {A} _{k}^{n}} 、 W := A k m {\displaystyle W:=\mathbb {A} _{k}^{m}} ，則從 V {\displaystyle V} 到 W {\displaystyle W} 的任何有理映射 f {\displaystyle f} 有唯一的表法： f = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) g 1 ( x 1 , … , x n ) , … , f m ( x 1 , … , x n ) g m ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle f=\left({\dfrac {f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})}},\ldots ,{\dfrac {f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\right)} 其中 f i , g i {\displaystyle f_{i},g_{i}} 是多項式。該有理映射可以在 A k n ∖ ⋃ i { g i = 0 } {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}\setminus \bigcup _{i}\{g_{i}=0\}} 上定義。 此外，對於不可約 k {\displaystyle k} -概形 X {\displaystyle X} ，其上的有理函數一一對應到從 X {\displaystyle X} 到 P k 1 {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{1}} 的有理映射。 之前考慮合成問題時，曾利用像的稠密性條件；滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成，定義從概形 V {\displaystyle V} 到 W {\displaystyle W} 的雙有理等價為一個優勢映射 f {\displaystyle f} ，使得存在另一個從 W {\displaystyle W} 到 V {\displaystyle V} 的優勢映射 g {\displaystyle g} ，使 f ∘ g = i d W {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{W}} 、 g ∘ f = i d V {\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{V}} 。 以下考慮域 k {\displaystyle k} 上的不可約代數簇及其間的 k {\displaystyle k} -有理映射。有理映射的地位在於：透過有理函數的「拉回」運算，代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射，而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。 雙有理等價的定義較同構寬，因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是 P k 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 與 X : x y − w z = 0 ⊂ P k 3 {\displaystyle X:xy-wz=0\subset \mathbb {P} _{k}^{3}} ，兩者雙有理等價，而並不同構。原因如下： P k 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 中的任兩條閉曲線都有交點，而在 X {\displaystyle X} 中， w = x = 0 {\displaystyle w=x=0} 與 y = z = 0 {\displaystyle y=z=0} 不相交，因而 X {\displaystyle X} 與 P k 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 並不同構。 另一方面， X {\displaystyle X} 的函數域可以在仿射開集 w ≠ 0 {\displaystyle w\neq 0} 上計算，此開集的座標環是 k [ x , y , z ] / ( x y − z ) ≃ k [ x , y ] {\displaystyle k[x,y,z]/(xy-z)\simeq k[x,y]} ，其函數域是 k ( x , y ) {\displaystyle k(x,y)} ；這也是 P k 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}} 的函數域，於是二者雙有理等價。若細審上述論證，事實上能寫出所求雙有理等價的式子。 雙有理幾何 Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 （法语）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 （英语）.