局部緊

拓撲學及數學的相近分支中，局部緊拓撲空間的每小塊，單獨看來，都很類似緊空間的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個緊鄰域。 數學分析尤其關注豪斯多夫的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（英語：Locally Compact Hausdorff）的首字母簡稱為LCH空間。 設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間。通常稱 X {\displaystyle X} 局部緊的意思是， X {\displaystyle X} 的每點 x {\displaystyle x} ，都有緊鄰域，即開集 U {\displaystyle U} 和緊集 K {\displaystyle K} ，令 x ∈ U ⊆ K {\displaystyle x\in U\subseteq K} 。 也有其他常見定義。下列定義在 X {\displaystyle X} 豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定： 1. X {\displaystyle X} 的每點皆有緊鄰域； 2. X {\displaystyle X} 的每點皆有閉的緊鄰域； 2′. X {\displaystyle X} 的每點皆有相對緊（英语：relatively compact）鄰域； 2″. X {\displaystyle X} 的每點皆有相對緊（英语：relatively compact）鄰域組成的局部基； 3. X {\displaystyle X} 的每點皆有緊鄰域組成的局部基； 3′. 對 X {\displaystyle X} 的每點 x {\displaystyle x} ， x {\displaystyle x} 的每個鄰域都包含其一個緊鄰域； 4. X {\displaystyle X} 為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。 上述條件中的邏輯關係有： 條件2、2′、2″等價； 條件3、3′等價； 條件2、3互不推出對方； 全部皆推出條件1； 緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。 條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當 X {\displaystyle X} 豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。 由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊，而與局部緊空間區分。斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）稱條件2、2′、2″為強局部緊，而稱條件1為局部緊。 採用條件4的例子有布爾巴基。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。 緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下： 單位區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 、 康托爾集、 希爾伯特立方（英语：Hilbert cube）。 歐氏空間 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} （特例有數軸 R {\displaystyle \mathbb {R} } ）為局部緊（海涅-博雷尔定理的推論）。 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。 p進數空間 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。 若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。 此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如： 有理數空間 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } （配備 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 中，從而不是緊鄰域。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的子空間 { ( 0 , 0 ) } ∪ ( ( 0 , ∞ ) × R ) {\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )} ，因為原點並無緊鄰域。 實數集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限（英语：one-sided limit）。 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T0，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。 首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方（英语：Hilbert cube）作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。 有理數空間 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的單點緊化（英语：one-point compactification）是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。 任何無窮集上的特定點拓撲（英语：particular point topology）在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲（英语：upper topology）也同樣。 所以，若取前兩項例子的不交並（英语：disjoint union (topology)），則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology））非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。 局部緊的預正則空間（英语：preregular space）必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間。 局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間（英语：Baire space）。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。 局部緊豪斯多夫空間 Y {\displaystyle Y} 的拓撲子空間 X {\displaystyle X} 也是局部緊，當且僅當 X {\displaystyle X} 是 Y {\displaystyle Y} 某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間 Y {\displaystyle Y} 的子空間 X {\displaystyle X} 為局部緊當且僅當 X {\displaystyle X} 是開子集。若將 Y {\displaystyle Y} 放寬成任意豪斯多夫空間，則由子空間 X {\displaystyle X} 局部緊，仍能推出 X {\displaystyle X} 為 Y {\displaystyle Y} 某兩個閉子集之差，反之則不然。 局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。 對局部緊空間而言，局部均勻收斂（英语：local uniform convergence）與緊收斂等價。 設 X {\displaystyle X} 為局部緊豪斯多夫空間，則 X {\displaystyle X} 作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間 b ( X ) {\displaystyle b(X)} ，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為單點緊化（英语：one-point compactification）。新空間 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 僅比 X {\displaystyle X} 多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 為豪斯多夫，當且僅當 X {\displaystyle X} 本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 多出的一點可直觀視為無窮遠點，此點不在 X {\displaystyle X} 的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。 舉例，定義在 X {\displaystyle X} 上的連續實值（英语：real-valued function）或複值函數（英语：complex-valued function） f {\displaystyle f} 稱為消失於無窮遠，是指給定任意正實數 ε {\displaystyle \varepsilon } ， X {\displaystyle X} 皆有緊子集 K {\displaystyle K} ，使 | f ( x ) | < ε {\displaystyle |f(x)|<\varepsilon } 對 K {\displaystyle K} 外的一切點 x {\displaystyle x} 成立。前述定義適用於任意拓撲空間 X {\displaystyle X} ，而在 X {\displaystyle X} 為局部緊豪斯多夫的特例，等價於 f {\displaystyle f} 能延拓成單點緊化 a ( X ) = X ∪ { ∞ } {\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}} 上的連續函數 g {\displaystyle g} ，使 g ( ∞ ) = 0 {\displaystyle g(\infty )=0} 。 消失於無窮遠的連續複值函數之集合 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 是C*代數。反之，可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間 X {\displaystyle X} 的 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} ，其中 X {\displaystyle X} 在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶（英语：Duality (category theory)），其證法用到蓋爾范德表示（英语：Gelfand representation）。前一範疇中， X {\displaystyle X} 加入無窮遠點，變成 a ( X ) {\displaystyle a(X)} 之事，在後一範疇對應向 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 添加單位元。 拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群（英语：locally compact group） G {\displaystyle G} 都自然配備哈爾測度，因而在 G {\displaystyle G} 上定義可測函數的積分。實數軸 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的勒貝格測度為其特例。 拓撲交換群（英语：Topological abelian group） A {\displaystyle A} 的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當 A {\displaystyle A} 是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶（英语：Duality (category theory)）。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。 F. 里斯定理（英语：F. Riesz's theorem） Folland, Gerald B. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications [實分析：現代技巧及應用] 2nd. John Wiley & Sons. 1999 [2021-08-21]. ISBN 978-0-471-31716-6. （原始内容存档于2021-05-07） （英语）.  Lowen-Colebunders, Eva. On the convergence of closed and compact sets [論閉集及緊集的收斂] （英语）.  Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław. Wallman Duality for Semilattice Subbases [半格準基的沃爾曼對偶]. 2020. arXiv:2002.05943  [math.GN].  Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. Counterexamples in Topology [拓撲學的反例] Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1995 [1978]. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.  Bourbaki, Nicolas. General Topology, Part I [一般拓撲學，第一部] reprint of the 1966. Berlin: Springer-Verlag. 1989. ISBN 3-540-19374-X.  Hjalmar Ekdal Topology [亞爾馬·埃克達爾拓撲]. π-base. [2021-08-21]. （原始内容存档于2021-08-21） （英语）.  nLab的蓋爾范德表示條目