测圆海镜

《测圆海镜》是中国金代数学家李冶的代表作，于公元1248年写成。全书一共十二卷，由一百七十个问题组成。书中对勾股容圆的问题进行了探讨，系统地建立了“天元术”（列一元方程的方法）来解决几何问题。《测圆海镜》被认为是中国现存的第一部天元术著作。 天元术是对具体问题列出方程而后求解的方法。天元术于宋金时期开始发展，到元朝达到一个高峰。在《测圆海镜》问世之前，中国虽有以天人代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但早期著作已失，仅存被引用的一些片段。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，用“天元”代替未知数，列出方程，然后求解。 《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个 圆城图式（右图）是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾，天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点，过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。 全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是： 其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（ a 1 {\displaystyle a_{1}} 代表通勾， b 1 {\displaystyle b_{1}} 代表通股， c 1 {\displaystyle c_{1}} 代表通弦，余类推）。 今问正数一节给出了圆城图式中每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。 弦 勾 股 勾股和：a + b 勾股校：b - a 勾弦和：a + c 勾弦校：c - a 股弦和：b + c 股弦校：c - b 弦校和：c + (b - a) 弦校校：c - (b - a) 弦和和：(a + b) + c 弦和校：(a + b) - c 例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。」 15个勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。 《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。 ，列表如下。 识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。 识别杂记包含八项： 诸杂名目：是全书的总纲，列出各项定义，例如虚勾虚股相得名为虚率，高股平勾差名为角差，又名远差等等。诸杂名目中还列出三十余项定理，如凡大差小差相乘为半段径幂，大差勾小差股相乘同上、黄广股黄长勾相乘为经幂等等。 ( c 1 − a 1 ) ∗ ( c 1 ∗ b 1 ) {\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})} = 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} * ( d 1 ) 2 {\displaystyle (d_{1})^{2}} a 10 ∗ b 11 {\displaystyle a_{10}*b_{11}} = 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} ( d 1 ) 2 {\displaystyle (d_{1})^{2}} a 13 ∗ b 1 {\displaystyle a_{13}*b_{1}} = 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} ( d 1 ) 2 {\displaystyle (d_{1})^{2}} a 1 ∗ b 13 {\displaystyle a_{1}*b_{13}} = 1 2 {\displaystyle 1 \over 2} ( d 1 ) 2 {\displaystyle (d_{1})^{2}} b 2 ∗ b 15 {\displaystyle b_{2}*b_{15}} = {\displaystyle } ( r 1 ) 2 {\displaystyle (r_{1})^{2}} a 14 ∗ a 3 {\displaystyle a_{14}*a_{3}} = ( r 1 ) 2 {\displaystyle (r_{1})^{2}} a 5 ∗ b 4 {\displaystyle a_{5}*b_{4}} = ( d 1 ) 2 {\displaystyle (d_{1})^{2}} a 8 ∗ b 6 {\displaystyle a_{8}*b_{6}} = a 9 ∗ b 7 {\displaystyle a_{9}*b_{7}} = ( r 1 ) 2 {\displaystyle =(r_{1})^{2}} ( b 14 ∗ c 14 ) ∗ ( a 15 + c 15 ) {\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})} = ( r 1 ) 2 {\displaystyle (r_{1})^{2}} c 6 ∗ c 8 {\displaystyle c_{6}*c_{8}} = c 7 ∗ c 9 ) {\displaystyle c_{7}*c_{9})} = a 13 ∗ b 13 {\displaystyle a_{13}*b_{13}} {\displaystyle } a 2 + b 2 + c 2 = b 1 + c 1 {\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}} a 3 + b 3 + c 3 = a 1 + c 1 {\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}} a 4 + b 4 + c 4 = 2 b 1 {\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}} a 5 + b 5 + c 5 = 2 a 1 {\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}} a 6 + b 6 + c 6 = b 1 {\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}} a 7 + b 7 + c 7 = b 1 {\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}} a 8 + b 8 + c 8 = a 1 {\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}} a 9 + b 9 + c 9 = a 1 {\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}} a 10 + b 10 + c 10 = b 1 + c 1 − a 1 {\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}} a 11 + b 11 + c 11 = c 1 − b 1 + a 1 {\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}} a 12 + b 12 + c 12 = c 1 {\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}} a 13 + b 13 + c 13 = a 1 + b 1 − c 1 {\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}} a 14 + b 14 + c 14 = c 1 − a 1 {\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}} a 15 + b 15 + c 15 = c 1 − c 1 {\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}} 此外还有诸弦，大小差，诸差，诸率互见，四位拾遗，拾遗。 一共692关系式，这些关系式完全是几何定理，与具体数值无关。 举例：第三条中“勾股和即弦黄和”一句就是：三角形两直角边之和等于斜边加上内切圆直径（“黄”指内切圆直径）。这个命题可以由直角三角形的勾股定理推出： 设直角三角形三边分别为 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} ，其中 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} 内接圆直径 d = 2 a b a + b + c {\displaystyle d={\frac {2ab}{a+b+c}}} ，因此 内接圆直径 + 斜边 = d + c = 2 a b a + b + c + c = 2 a b + c 2 + a c + b c a + b + c {\displaystyle d+c={\frac {2ab}{a+b+c}}+c={\frac {2ab+c^{2}+ac+bc}{a+b+c}}} = 2 a b + a 2 + b 2 + a c + b c a + b + c = ( a + b ) ( a + b + c ) a + b + c {\displaystyle ={\frac {2ab+a^{2}+b^{2}+ac+bc}{a+b+c}}={\frac {(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}}} = a + b {\displaystyle =a+b} = 两直角边之和 后面出现的各问题，都根据这些公式中的相等关系而列出方程，然后求解。 李冶的692个公式中，有8个是错误的，只是因为数值吻合而被误认为成立。 正率14问 从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。 在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设： 这里的圆城就是指天地乾三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面东南西北四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的乾点、坤点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。 接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。 洞渊九容 开头十个问题，不需要天元方程。清代数学李善兰认为，第一个问题和《九章算术》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下： a 1 a 1 + b 1 + c 1 = a 2 a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle {a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}} b 1 b 1 + c 1 = a 2 b 2 + c 2 {\displaystyle {b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}} 又因： b 1 + c 1 = a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}} 所以 2 b 1 c 1 a 1 + b 1 + c 1 = 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 {\displaystyle {2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}} 得 2 a 2 × b 2 a 2 + b 2 + c 2 = d {\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d} 其余类推。 。 第一问：或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？ 答曰：城径二百四十步。 勾股容圆 d = 2 a 1 × b 1 a 1 + b 1 + c 1 {\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}} = 2 ∗ 320 ∗ 600 320 + 600 + ( 320 2 + 600 2 ) = 240 {\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240} 第二问：勾上容圆 2 a 2 × b 2 a 2 + b 2 + c 2 = d {\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d} 第三问：股上容圆 2 a 3 × b 3 a 3 + b 3 + c 3 = d {\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d} 第四问：勾股上容圆 2 a 12 × b 12 c 12 = d {\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d} 第五问：弦上容圆 2 a × b a + b = d {\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d} 第六问：勾外容圆 2 a 10 × b 10 b 10 − a 10 + c 10 = d {\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d} 第七问：股外容圆 2 a 11 × b 11 b 11 − a 11 + c 11 = d {\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d} 第八问：弦外容圆 2 a 13 × b 13 b 13 + a 13 − c 13 = d {\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d} 第九问：勾外容圆半 2 a 14 × b 14 c 14 − a 14 = d {\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d} 第十问：股外容圆半 2 a 15 × b 15 c 15 − b 15 = d {\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d} 天元术 从第十四题开始，引入天元术，将所求的未知量设为“天元”，然后根据识别杂记中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。 第十四问 “或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。 法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。 草曰：立天元一为半径，置南行步在地， 内减天元半径得股圆差： 480 − x {\displaystyle 480-x} 元 。 又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差： 200 − x {\displaystyle 200-x} 元 以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂： x 2 − 680 x + 96000 {\displaystyle x^{2}-680x+96000} 元 又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂； 元 因此，得 x 2 − 680 x + 96000 = 2 x 2 {\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}} 相消得： − x 2 − 680 x + 96000 = 0 {\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0} 元 解方程，得半径 r = 120 {\displaystyle r=120} 。 边股17问 底勾17问：已知 a 3 {\displaystyle a_{3}} 及另一边求直径d. 。 第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。 大股18问：已知 b 1 {\displaystyle b_{1}} 。 大勾18问： 1-11，13-19已知a_{1}，及另一边求直径d. 12问：已知 a 1 + c 3 {\displaystyle a_{1}+c_{3}} 及另边，求直径。 明叀前18问；求直径d。 边股17问：已知 三至八边，或其差，和，求直径d. 或问：高差，平差并一百六十一步，明差叀差并七十七步，问答同前。 即： 草曰： 已知 ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) = 161 {\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161} ( b 14 − a 14 ) + ( b 15 − a 15 ) = 77 {\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77} 相加除2 ; 根据#杂用公式，等于皇极差： ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) + ( b 14 − a 14 ) + ( b 15 − a 15 ) 2 {\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2} = ( b 12 − a 12 ) {\displaystyle =(b_{12}-a_{12})} b 12 − a 12 = {\displaystyle b_{12}-a_{12}=} 161 + 77 2 {\displaystyle 161+77 \over 2} = 119 {\displaystyle =119} 设天元一为上平勾： x = a 8 {\displaystyle x=a_{8}} x + 161 {\displaystyle x+161} = x + ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) = a 8 + ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) {\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})} = b 7 {\displaystyle =b_{7}} (杂用公式) 因为 a 8 + b 7 = c 12 {\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}} (杂用公式) c 12 = x + b 7 = 2 ∗ x + ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) = 2 ∗ x + 161 {\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161} c 12 2 = ( x + b 7 ) 2 = ( 2 ∗ x + 161 ) 2 = 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x + 25921 {\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921} c 12 2 − ( b 12 − a 12 ) 2 {\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}} = 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x + 25921 − {\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-} ( ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) + ( b 14 − a 14 ) + ( b 15 − a 15 ) ) 2 4 {\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4} = 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x + 11760 = d {\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d} (圆城直径), d 2 = ( 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x + 11760 ) 2 = 16 ∗ x 4 + 5152 ∗ x 3 + 508816 ∗ x 2 + 15146880 ∗ x + 138297600 {\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600} 将 4 ∗ x {\displaystyle 4*x} 乘下高股 4 ∗ x ∗ b 7 = 4 ∗ x ∗ ( x + ( b 7 − a 7 ) + ( b 8 − a 8 ) ) = 4 ∗ x ∗ ( x + 161 ) = 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x {\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x} 乘之以皇极弦幂: d 2 = 4 ∗ x ∗ b 7 ∗ c 12 2 = {\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=} ( 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x ) ∗ ( 4 ∗ x 2 + 644 ∗ x + 25921 ) = {\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=} 16 ∗ x 4 + 5152 ∗ x 3 + 518420 ∗ x 2 + 16693124 {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124} 因此 16 ∗ x 4 + 5152 ∗ x 3 + 518420 ∗ x 2 + 16693124 = {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}+16693124=} 16 ∗ x 4 + 5152 ∗ x 3 + 508816 ∗ x 2 + 15146880 ∗ x + 138297600 {\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}+15146880*x+138297600} 左右相消得： 9604 ∗ x 2 + 1546244 ∗ x − 138297600 = 0 {\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0} 解之得 x = a 8 = 64 {\displaystyle x=a_{8}=64} ; 正合#今问正数中的下平勾。 ：大斜四问 ：大和8问 边股17问：已知三边，求直径d。 ：三事和8问 杂糅18问： 第十七问，十八问取自《洞淵算书》。 之分14问 天元术并非李冶的独创，而是从金代起便在中国北方开始萌芽。据祖颐在《四元玉鉴后序》中的记载，李冶以前研究天元术的学者有北宋蒋周撰《益古集》、李文一撰《照胆》，石信道撰《钤经》、刘汝谐撰《如积释锁》等书，世人才知道有天元。此外朱世杰《四元玉鉴》引用北宋《洞渊九容细草》两道题，其中有“立天元一”。后来李德载撰《两仪群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《阴阳备用三元节要》三卷下有天元，地元。但是这些早期天元术的著作已经失传。宋代《杨辉算法》保留蒋周《益古集》的一些条段法的题目，没保留天元术的内容。现存元刻本《阴阳备用三元节要》只有一条二元术题，《测圆海镜》是现存最早的系统地讲述天元术的著作。 到了明代，天元术因为艰深难懂而少人研究，几近失传。明代唐顺抄录过《测圆海镜》，但不懂天元术；顾应祥曾经撰写《测圆海镜分类释术》，但完全没有明白天元术中天元为未知数的含义，因而将《测圆海镜》中关于立天元列方程的演算全部删去，只留下用开方术解方程的过程，以便后人学习。李俨认为宋金元发展起来的天元术至此已被遗忘。《测圆海镜分类释术》一书，虽然删除了天元术内容，但保存了全部算题，也补入正确的几何学解法，使得几近失传的《测圆海镜》，得以从新流传。 十八世纪时，随着西洋算学传入中国，李冶等人的天元术著作才被后来的数学家重新发现。戴东原从《永乐大典》中辑录出李冶《测圆海镜》；清朝梅瑴成（梅文鼎之孙）曾经研读元学士李冶的《测圆海镜》，对其中的天元之术感到不解，后来在研习西方的“借根方”法时发现所谓的“借根”就是“立天元”（都是设未知数），方才重新开始认识天元术。之后，《四元玉鉴》等其它天元术著作也被重新认识。孔广森曾校对《测圆海镜》中的四章。乾隆三十八年（1773年），《四库全书》收录了李潢家藏本的《测圆海镜》。1798年，清代大藏书家鲍廷博刊印的《知不足斋丛书》中收录了李锐校勘的《测圆海镜细草》十二卷。之后又有焦循和李锐在研究了《测圆海镜》、《益古演段》和《数书九章》后写的《天元一释》和《开方通释》两书，用较为明白的语言详细解释了李冶的天元术和秦九韶的正负开方术。1873年，张楚钟发表《测圆海镜通释》对《识别杂记》中的几百条定理，用几何方法逐条证明。 1896年刘岳云出版《测圆海镜解》，发现《圆城图式》中各线段的简单加减关系，发表《诸率加减表》，此后李善兰出版《测圆海镜解》等。他在另一篇著作《天算或问》中给出勾股容圆各公式的统一公式。其后陈维祺发表《各率及较泛积表》将《识别杂记》用“泛积”概念统一表示。王季同在《九容公式》中进一步发展了陈维祺的成果，发现 极勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2) 极股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2) 半径=(高股 * 平勾 )^(1/2) 19世纪初，朝鲜数学家南秉哲著《海镜细草解》。 1913年，法国学者L.van Hoe 介绍《测圆海镜》。1982年，法国林力娜（K. Chemla)作论文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，获得博士学位。1983年，新加坡大学教授蓝丽蓉发表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,论述《测圆海镜》。 清代数学家对《测圆海镜》给予很高评价。阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书，无有胜于此者”。白尚恕说，《测圆海镜》的成就，超过同时期的印度，阿拉伯和欧洲，“处于世界数学里遥遥领先的地位” 中国古代数学，《测海圆镜》. [2009-10-31]. （原始内容存档于2020-10-23）.  孔国平著. 《测圆海镜今导读》 《今问正数》 62-66 页 湖北教育出版社. 1995 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 24-25页 山东教育出版社. 1985. 吴文俊主编 《中国数学史料大系》 第六卷 第二章 80页 李冶《自序》“老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，而向之病我者，使爆然落去而無遺餘” 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》 45-48 页辽宁教育出版社. 1998 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》75-88页 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》88-101页 孔国平著. 《测圆海镜今导读》169-184 湖北教育出版社. 1995 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 192-208 湖北教育出版社. 1995 白尚恕, 562-566页 孔国平著. 《测圆海镜今导读》. 205-208页 湖北教育出版社. 1995 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》181-195页 孔国平著. 《测圆海镜今导读》220-224页 湖北教育出版社. 1995 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》234-248页 湖北教育出版社. 1995 孔国平 著. 《测圆海镜今导读》255-263 湖北教育出版社. 1995 孔国平著 《测圆海镜导读·引论》 6页 ISBN 7-5351-1972-7 《李俨.钱宝琮科学史全集》卷10，李俨《中国数学的历史发展》 474页 辽宁教育出版社. 1998 顾应祥，《测圆海镜分类释术》序：“每章去其細草，立一算術，……各以類分之，語義稍繁者，略加芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述，惟以便下學云爾” 李俨，《中国算学史》，第七章第四 近世期（四）顾应祥 孔国平，《测圆海镜导读序》 梁启超《饮冰室合集》 第十卷 343页 《中国近三百年学术史》 中华书局 柯劭忞等，《清史稿·列传二百九十三》畴人一：“明代算家，不解立天元术，瑴成谓立天元一即西法之借根方，其说曰；“尝读授时历草求弦矢之法，先立天元一为矢，而元学士李冶所著测圜海镜，亦用天元一立算。传写鲁鱼，算式讹舛，殊不易读。明唐荆川、顾箬溪两公互相推重，自谓得此中三昧。荆川之说曰：‘艺士著书，往往以秘其机为奇，所谓天元一云尔，如积求之云尔，漫不省其为何语。’而箬溪则言：‘细考测圜海镜，如求城径，即以二百四十为天元，半径即以一百二十为天元，即知其数，何用算为？似不必立可也。’二公之言如此，余于顾说颇不谓然，而无以解也。后供奉内廷，蒙圣祖仁皇帝授以借根之法，且谕曰：‘西人名此书为阿尔热八达，译言东来法也。’敬受而读之，其法神妙，诚算法之指南，而窃疑天元一之术颇与相似。复取授时历草观之，乃焕然冰释，殆名异而实同，非徒似之而已。” 阮元，《畴人传》卷二十四，李冶传 李冶，《测圆海镜细草》，知不足斋刻本 李善蘭，《測圓海鏡解》，抄本，存中國科學院自然科學史研究所 孔国平著. 《测圆海镜今导读》24-30 湖北教育出版社. 1995 孔国平著. 《测圆海镜今导读》 30页 湖北教育出版社. 1995 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 1页 山东教育出版社. 1985 维基文库中的相关原始文献：测圆海镜 书籍 李人言. 《中國算學史》. 台灣商務印書館. 1965年.  孔国平. 《李冶朱世杰与金元数学》. 河北科学技术出版社. 2000年. ISBN 978-7-537-51884-0.  中国数学史主题 书籍主题 李冶《益古演段》 朱世杰《四元玉鉴》 李善兰 秦九韶算法