扭稜四角反角柱

扭稜四角反角柱（英文：Snub square antiprism）是詹森多面體的其中一個，其所引為J85。它無法由柏拉圖立體（正多面體）和阿基米得立體（半正多面體）經過切割、增補而得來。扭稜四角反角柱是詹森多面體中的基本立體之一。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述。 扭稜四角反角柱共由26個面、40條邊和16頂點所組成。在其26個面中，有24個三角形和2個正方形。在其16個頂點中，有8個頂點是5個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[35]來表示、另外8個頂點是4個三角形和1個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34,4]來表示。 形如其名地，扭稜四角反角柱可以透過將四角反角柱套用扭稜變換來構造。在施萊夫利符號中可以表示為ss{2,8}，其中s{2,8}是四角反角柱，其中的扭稜是考克斯特扭稜；而在康威扭稜中，扭稜四角反角柱可以透過將四角錐套用康威扭稜來構造，在康威多面體表示法中可以表示為sY4。 若一個扭稜四角反角柱邊長為 a {\displaystyle a} ，則其表面積 A {\displaystyle A} 為： A = ( 2 + 6 3 ) a 2 ≈ 12.39230 a 2 , {\displaystyle A=\left(2+6{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 12.39230a^{2},} 而其體積 V {\displaystyle V} 為： V = ξ a 3 , {\displaystyle V=\xi a^{3},} 其中 ξ ≈ 3.60122 {\displaystyle \xi \approx 3.60122} 是下列多項式的最大實根： 531441 x 12 − 85726026 x 8 − 48347280 x 6 + 11588832 x 4 + 4759488 x 2 − 892448. {\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.} 令 k {\displaystyle k} 為下列三次式的正實根，約為 k ≈ 0.82354 {\displaystyle k\approx 0.82354} ： 9 x 3 + 3 3 ( 5 − 2 ) x 2 − 3 ( 5 − 2 2 ) x − 17 3 + 7 6 . {\displaystyle 9x^{3}+3{\sqrt {3}}\left(5-{\sqrt {2}}\right)x^{2}-3\left(5-2{\sqrt {2}}\right)x-17{\sqrt {3}}+7{\sqrt {6}}.} 和h約為 h ≈ 1.35374 {\displaystyle h\approx 1.35374} ： h = 2 + 8 + 2 3 k − 3 ( 2 + 2 ) k 2 4 3 − 3 k 2 . {\displaystyle h={\frac {{\sqrt {2}}+8+2{\sqrt {3}}k-3\left(2+{\sqrt {2}}\right)k^{2}}{4{\sqrt {3-3k^{2}}}}}.} 則邊長為2的扭稜四角反角柱的頂點座標由下列頂點的軌道的並集在繞z軸旋轉90°和繞垂直於z軸並與x軸夾角22.5°的直線旋轉180°所產生的空間對稱群之群作用下給出： ( 1 , 1 , h ) , ( 1 + 3 k , 0 , h − 3 − 3 k 2 ) {\displaystyle (1,1,h),\,\left(1+{\sqrt {3}}k,0,h-{\sqrt {3-3k^{2}}}\right)} 類似的造方式之多面體還有扭稜三角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,6}）為經過扭稜變換的三角反角柱（可以視為一個對稱性較低的正八面體），其結果為偽二十面體（可以視為一個對稱性較低的正二十面體）。另一個為扭稜五角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,10}）甚至是更高邊數的扭稜反角柱，但其結果不會是由正三角形構成的凸多面體。邊數更少的扭稜二角反角柱（施萊夫利符號：ss{2,4}）對應另一個詹森多面體——扭稜鍥形體，但必須在二角反角柱中保留兩個退化的對角面（以紅色繪製）。這些都可以視為一系列扭稜反角柱無窮序列的一項。 詹森多面體 多面體 柏拉圖立體 半正多面體 Weisstein, Eric W. (编). Snub Square Antiprism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8  David I. McCooey. Johnson Solids: Snub square antiprism. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-09）.  The snub square antiprism. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.  Snub square antiprism. polyhedra.tessera.li. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.  Richard Klitzing. snub square antiprism, snisquap. bendwavy.org. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-01-25）.  Jim McNeill. Snub Anti-Prisms. orchidpalms.com. [2019-09-28]. （原始内容存档于2019-03-27）.  PolyHédronisme. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-03-10）.  Wolfram, Stephen. "Snub square antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.  Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]  Wolfram Research, Inc., Wolfram|Alpha Knowledgebase, Champaign, IL, 2020, MinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]  Timofeenko, A. V. The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra. Journal of Mathematical Science. 2009, 162 (5): 725. S2CID 120114341. doi:10.1007/s10958-009-9655-0.  埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Snub square antiprism. MathWorld.