布朗篩法

在數論中，布朗篩法（Brun sieve；或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve)）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘表示。該篩法由维戈·布朗於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理。 在篩法的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記： 設 A {\displaystyle A} 為正整數的有限集，而 P {\displaystyle P} 則為質數的集合，然後設 A p {\displaystyle A_{p}} 是 A {\displaystyle A} 中可為 P {\displaystyle P} 中的質數 p {\displaystyle p} 整除的數組成的集合；此外，可設 d {\displaystyle d} 為 P {\displaystyle P} 中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義 A d {\displaystyle A_{d}} 為 A {\displaystyle A} 中可被 d {\displaystyle d} 整除的數的集合，也就是與 d {\displaystyle d} 的質因數 p {\displaystyle p} 相應的集合 A p {\displaystyle A_{p}} 的交集；而 A 1 {\displaystyle A_{1}} 也可相應地定義成 A {\displaystyle A} 本身。 設 z {\displaystyle z} 為任意實數，那麼該篩法的目標就是估計下式： S ( A , P , z ) = | A ∖ ⋃ p ∈ P p ≤ z A p | , {\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },} 在上式中， | X | {\displaystyle |X|} 是集合 X {\displaystyle X} 的元素個數。 此外，假若 | A d | {\displaystyle |A_{d}|} 的元素個數可由下式估計的話（下式中， w {\displaystyle w} 是一個積性函數，而 R d {\displaystyle R_{d}} 是與之相應的誤差項）： | A d | = w ( d ) d | A | + R d , {\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},} 那就可定義下式： W ( z ) = ∏ p ∈ P p ≤ z ( 1 − w ( p ) p ) . {\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).} 以下內容取自Cojocaru & Murty （页面存档备份，存于互联网档案馆）的定理6.1.2.，並使用上述的表記。 若以下條件成立： 對於任意由 P {\displaystyle P} 中的質數構成的無平方因子數 d {\displaystyle d} 而言，有 | R d | ≤ w ( d ) {\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)} 存在常數 C , D , E {\displaystyle C,D,E} 使得對於任意實數 z {\displaystyle z} 而言，有 ∑ p ∈ P p ≤ z w ( p ) p < D log ⁡ log ⁡ z + E . {\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.} 對於任意 P {\displaystyle P} 中的質數 p {\displaystyle p} ，有 w ( p ) < C {\displaystyle w(p)<C} 則有以下的關係式： S ( A , P , z ) = X ⋅ W ( z ) ⋅ ( 1 + O ( ( log ⁡ z ) − b log ⁡ b ) ) + O ( z b log ⁡ log ⁡ z ) {\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)} 其中 X {\displaystyle X} 是 A {\displaystyle A} 的元素個數、 b {\displaystyle b} 是任意正整數，而 O {\displaystyle O} 則是大O符號。 此外，設 x {\displaystyle x} 為 A {\displaystyle A} 的最大元，那在存在足夠小的 c {\displaystyle c} 使得 log ⁡ z < c log ⁡ x / log ⁡ log ⁡ x {\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x} 的狀況下，有下列關係式： S ( A , P , z ) = X ⋅ W ( z ) ( 1 + o ( 1 ) ) . {\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).} 布朗定理：所有孿生質數的倒數和收斂。 施尼勒爾曼密度：所有的偶數至多 C {\displaystyle C} 個質數之和。 C {\displaystyle C} 的大小可小至6。 存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。 所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。 最後兩個定理弱於陳氏定理及弱哥德巴赫猜想。 Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8).  Viggo Brun. La série 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + 1 19 + 1 29 + 1 31 + 1 41 + 1 43 + 1 59 + 1 61 + ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots } où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01.  Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6.  George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1.  Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6.  Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3. .