度分布

度分布是图论和网络理论中的概念。一个图（或网络）由一些顶点（节点）和连接它们的边（连结）构成。每个顶点（节点）连出的所有边（连结）的数量就是这个顶点（节点）的度。度分布指的是对一个图（网络）中顶点（节点）度数的总体描述。对于随机图，度分布指的是图中顶点度数的概率分布。 度分布是图论和（复杂）网络理论中都存在的概念。首先介绍图的概念。一个图 G = G ( V , E ) {\displaystyle G=G(V,E)} 是一个由两个集合 V {\displaystyle V} 和 E {\displaystyle E} 构成的二元组。集合 V {\displaystyle V} 一般由有限个元素构成： V = { v 1 , v 2 , ⋯ , v n } {\displaystyle V=\{v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\}} ，其中的元素 v i , i = 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle v_{i},\,i=1,2,\cdots ,n} 被称为图的顶点。集合 E {\displaystyle E} 是由 n 2 {\displaystyle n^{2}} 个元素构成的集合： E = { e i , j | i = 1 , 2 , ⋯ , n , j = 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle E=\{e_{i,j}\,\,|\,\,i=1,2,\cdots ,n,\,j=1,2,\cdots ,n\}} 。 E {\displaystyle E} 中的每个元素都是一个非负整数。无向图中， E {\displaystyle E} 的一个元素 e i , j = k {\displaystyle e_{i,j}=k} ，表示 V {\displaystyle V} 中的两个顶点 i {\displaystyle i} 和 j {\displaystyle j} 连有 k {\displaystyle k} 条边，并且规定 e i , j = e j , i {\displaystyle e_{i,j}=e_{j,i}} 。有向图中， E {\displaystyle E} 的一个元素 e i , j = k {\displaystyle e_{i,j}=k} ，表示 V {\displaystyle V} 中的顶点 i {\displaystyle i} 有 k {\displaystyle k} 条连向顶点 j {\displaystyle j} 的边。如果一个图 G {\displaystyle G} 中所有的 e i , j {\displaystyle e_{i,j}} 都不超过1，并且 ∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n , e i , i = 0 {\displaystyle \forall i=1,2,\cdots ,n,\,\,e_{i,i}=0} ，那么称图 G {\displaystyle G} 是简单图。 网络理论的数学框架建立在图论上。网络理论中的网络其实就是图论中的图，但在网络理论中称之为网络，图的顶点在网络理论中称为节点，边被称为连结。以下仍旧以图论中的术语定义度分布。 一个无向图 G = G ( V , E ) {\displaystyle G=G(V,E)} 中某个顶点 v i 0 {\displaystyle v_{i_{0}}} 的度，是指所有与它相连的边的数目。 d ( v i 0 ) = ∑ i = i 0 e i , j {\displaystyle d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}} 有向图中，根据连出边的数目和连入边的数目，分为出度 d o u t {\displaystyle d_{out}} 和入度 d i n {\displaystyle d_{in}} 。 d o u t ( v i 0 ) = ∑ i = i 0 e i , j {\displaystyle d_{out}(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}} d i n ( v i 0 ) = ∑ j = i 0 e i , j {\displaystyle d_{in}(v_{i_{0}})=\sum _{j=i_{0}}e_{i,j}} 因此，一个无向图 G = G ( V , E ) {\displaystyle G=G(V,E)} 中， d {\displaystyle d} 可以看成将每个顶点映射到一个非负整数的函数： d : v i ↦ d ( v i ) i = 1 , 2 , ⋯ , n . {\displaystyle d:\,v_{i}\mapsto d(v_{i})\quad i=1,2,\cdots ,n.} 而度分布则是对每个非负整数 m {\displaystyle m} ，考察度数是 m {\displaystyle m} 的顶点在所有顶点中占的比例： ∀ m ∈ N , P : m ↦ P ( m ) = Card ⁡ { v i | d ( v i ) = m } n , {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\,\,P:m\mapsto P(m)={\frac {\operatorname {Card} \{v_{i}\,|\,d(v_{i})=m\}}{n}},} 因此满足： ∑ m ∈ N P ( m ) = 1. {\displaystyle \sum _{m\in \mathbb {N} }P(m)=1.} 从顶点中等概率地随机抽取一个顶点，那么这个顶点度数为 k {\displaystyle k} 的概率就是 P ( k ) {\displaystyle P(k)} 。 随机图是指由随机过程产生的图，即是将给定的顶点之间随机地连上边。一个随机图 G = G ( V , E ) {\displaystyle G=G(V,E)} 中，每两个顶点之间的边的数量 e i , j {\displaystyle e_{i,j}} 是随机变量。因此任一顶点 v i 0 {\displaystyle v_{i_{0}}} 的度 d ( v i 0 ) = ∑ i = i 0 e i , j {\displaystyle d(v_{i_{0}})=\sum _{i=i_{0}}e_{i,j}} 也是随机变量。这个变量的概率分布也称为随机图中的顶点的度分布： P i ( k ) = P ( d ( v i ) = k ) . {\displaystyle P_{i}(k)=\mathbb {P} (d(v_{i})=k).} 这个定义与一般的图的度分布是不一样的。 在经典的随机图模型中，所有顶点的位置都是一致的，没有特殊的顶点。因此每个顶点的度分布 P i ( k ) {\displaystyle P_{i}(k)} 都是相同的： ∀ i , P i ( k ) = P ( k ) {\displaystyle \forall i,\,P_{i}(k)=P(k)} 。所以，随机抽取一个顶点，它的度数是 k {\displaystyle k} 的概率就是 P ( k ) {\displaystyle P(k)} ； P ( k ) {\displaystyle P(k)} 越高，表示可能有更多的顶点度数是 k {\displaystyle k} 。当顶点数目很大每个顶点的度分布都是相对独立的时候，顶点的度分布 P i ( k ) {\displaystyle P_{i}(k)} 近似等于图中度数是 k {\displaystyle k} 的顶点的比例。 以下给出一些度分布的例子。右图是由十个顶点构成的无向图。其中度数是4的顶点有3个，度数是3的顶点有6个，度数是6的顶点有1个，所以度分布是： P ( m ) = { 0.3 , m = 4 0.6 , m = 3 0.1 , m = 6 0 , m ≠ 3 , 4 , 6 {\displaystyle P(m)={\begin{cases}0.3,&m=4\\0.6,&m=3\\0.1,&m=6\\0,&m\neq 3,4,6\end{cases}}} 对于 n {\displaystyle n} 阶完全图，所有的顶点的度数都是 n − 1 {\displaystyle n-1} ，所以度分布是： P ( m ) = { 1 , m = n − 1 0 , m ≠ n − 1 {\displaystyle P(m)={\begin{cases}1,&m=n-1\\0,&m\neq n-1\end{cases}}} 如果图 G {\displaystyle G} 是任意两顶点之间以概率 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} 连边的随机图，那么每个顶点都有相同的度分布。 P ( m ) = ( n − 1 m ) p m ( 1 − p ) n − 1 − m . {\displaystyle P(m)={\binom {n-1}{m}}p^{m}(1-p)^{n-1-m}.} 这个分布是泊松分布。我们可以构造每个顶点的度数都是这样的概率分布的随机图模型。这样当顶点数很大的时候，度数是 k {\displaystyle k} 的顶点的个数占的比例大致是 P ( k ) {\displaystyle P(k)} 。这个分布的特点是当k很小或很大的时候， P ( k ) {\displaystyle P(k)} 都近似于0， P ( k ) {\displaystyle P(k)} 的值在一个特定的值处达到高峰，然后回落。也就是说，大多数的顶点的度数在这个特定值左右。然而在真实的复杂网络中，人们观察到，度分布并不像这种随机图模型显示的，聚集在某个特定值周围，而是随着k增大而以多项式速度递减，也就是遵从所谓的幂律分布： P ( k ) ∝ 1 k γ {\displaystyle P(k)\propto {\frac {1}{k^{\gamma }}}} 也就是说 P ( k ) {\displaystyle P(k)} 的概率反比于 k {\displaystyle k} 的某个幂次，其中 γ {\displaystyle \gamma } 是某个正实数。这种网络特性被称为无尺度特性。 引用 Newman, M. E. J. The structure and function of complex networks. SIAM Review. 2003, 45 (2): 167–256. Bibcode:2003SIAMR..45..167N. arXiv:cond-mat/0303516 . doi:10.1137/S003614450342480. [永久失效連結] M. E. J. Newman, S. H. Strogatz, D. J. Watts. Random Graphs with Arbitrary Degree Distribution and Their Applications. Phys. Rev. E. 2001, 64. doi:10.1103/PhysRevE.64.026118.  《科学美国人》中文版2003年7月. 无尺度网络. 集智集团. [2011-07-04]. （原始内容存档于2012-01-11）.  Albert-László Barabási, Réka Albert. Emergence of Scaling in Random Networks (PDF). Science: 509–512. [2013-04-19]. doi:10.1126/science.286.5439.509. （原始内容 (PDF)存档于2021-09-23）.  期刊文章 Albert, R.; Barabasi, A.-L. Statistical mechanics of complex networks. Reviews of Modern Physics. 2002, 74: 47–97. Bibcode:2002RvMP...74...47A. arXiv:cond-mat/0106096 . doi:10.1103/RevModPhys.74.47.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Dorogovtsev, S.; Mendes, J. F. F. Evolution of networks. Advances in Physics. 2002, 51 (4): 1079–1187. Bibcode:2002AdPhy..51.1079D. arXiv:cond-mat/0106144 . doi:10.1080/00018730110112519.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 书籍 Shlomo Havlin, Reuven Cohen. Complex Networks: Structure, Robustness and Function. Cambridge University Press. 2010 [2013-04-20]. （原始内容存档于2011-10-04）.  图的连通性 集聚系数 複雜網路 無尺度網路 隨機圖 圖論