万有系数定理

代数拓扑中，万有系数定理建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间X，其整同调群是： H i ( X ;   Z ) {\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )} 对任何阿贝尔群A，都能完全确定其系数在A中的同调群： H i ( X ;   A ) {\displaystyle H_{i}(X;\ A)} 其中 H i {\displaystyle H_{i}} 可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数，结果的形式是，可以使用其他系数A，代价是使用Tor函子。 例如，通常取A为 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } ，于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X的贝蒂数 b i {\displaystyle b_{i}} 与F域中的系数的贝蒂数 b i ,   F {\displaystyle b_{i,\ F}} 之间的关系。但只有当F的特征是素数p、且同调中存在某种p-扭化时，才会有所不同。 考虑模的张量积 H i ( X ;   Z ) ⊗ A {\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A} 。该定理指出，有一个涉及Tor函子的短正合列 0 → H i ( X ; Z ) ⊗ A → μ H i ( X ; A ) → Tor 1 ⁡ ( H i − 1 ( X ; Z ) , A ) → 0. {\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.} 其中μ是双射 H i ( X ;   Z ) × A → H i ( X ;   A ) {\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)} 诱导的映射。即，张量积的同态由直积的双射诱导。此外，这序列会分裂，虽然不是自然分裂。 若系数环A是 Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } ，这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。 令G为主理想域R（如 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 或某个域）上的模。 还有一个涉及Ext函子的上同调的万有系数定理，断言有自然的短正合列 0 → Ext R 1 ⁡ ( H i − 1 ( X ; R ) , G ) → H i ( X ; G ) → h Hom R ⁡ ( H i ( X ; R ) , G ) → 0. {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.} 与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。 事实上，假设 H i ( X ; G ) = ker ⁡ ∂ i ⊗ G / im ⁡ ∂ i + 1 ⊗ G {\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G} 并定义： H ∗ ( X ; G ) = ker ⁡ ( Hom ⁡ ( ∂ , G ) ) / im ⁡ ( Hom ⁡ ( ∂ , G ) ) . {\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).} 则上面的h就是规范映射： h ( [ f ] ) ( [ x ] ) = f ( x ) . {\displaystyle h([f])([x])=f(x).} 另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调，当中h将X到 K ( G ,   i ) {\displaystyle K(G,\ i)} 的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是，艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子。 令 X = P n ( R ) {\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )} ，即实射影空间。计算X的系数在 R = Z / 2 Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 中的奇异上同调。 已知，整数同调由下式给出： H i ( X ; Z ) = { Z i = 0  or  i = n  odd, Z / 2 Z 0 < i < n ,   i   odd, 0 otherwise. {\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} 有 E x t ( R ,   R ) = R ,   E x t ( Z ,   R ) = 0 {\displaystyle {\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0} ，于是上述正合列给出 ∀ i = 0 , … , n :   H i ( X ; R ) = R . {\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.} 事实上，总上同调环结构是 H ∗ ( X ; R ) = R [ w ] / ⟨ w n + 1 ⟩ . {\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .} 定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X， H i ( X ;   Z ) {\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )} 是有限生成的，因此有如下分解： H i ( X ; Z ) ≅ Z β i ( X ) ⊕ T i , {\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},} 其中 β i ( X ) {\displaystyle \beta _{i}(X)} 是X的贝蒂数， T i {\displaystyle T_{i}} 是 H i {\displaystyle H_{i}} 的扭部分。可以检验 Hom ⁡ ( H i ( X ) , Z ) ≅ Hom ⁡ ( Z β i ( X ) , Z ) ⊕ Hom ⁡ ( T i , Z ) ≅ Z β i ( X ) , {\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},} 且 Ext ⁡ ( H i ( X ) , Z ) ≅ Ext ⁡ ( Z β i ( X ) , Z ) ⊕ Ext ⁡ ( T i , Z ) ≅ T i . {\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.} 这给出了整上同调的如下声明： H i ( X ; Z ) ≅ Z β i ( X ) ⊕ T i − 1 . {\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.} 对于有向闭连通n维流形X，这一推论与庞加莱对偶性相结合，得出 β i ( X ) = β n − i ( X ) {\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)} 。 对具有扭系数的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有 E 2 p , q = E x t R q ( H p ( C ∗ ) , G ) ⇒ H p + q ( C ∗ ; G ) {\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)} 其中R是单位环， C ∗ {\displaystyle C_{*}} 是R上自由模的链复形，G是某单位环S的任意 ( R , S ) {\displaystyle (R,S)} -双模， E x t {\displaystyle {\rm {Ext}}} 是Ext群。微分 d r {\displaystyle {\rm {d}}^{r}} 的度为 ( 1 − r ,   r ) {\displaystyle (1-r,\ r)} 。 同调也类似 E p , q 2 = T o r q R ( H p ( C ∗ ) , G ) ⇒ H ∗ ( C ∗ ; G ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)} 其中 T o r {\displaystyle {\rm {Tor}}} 是Tor群，微分 d r {\displaystyle {\rm {d}}_{r}} 的度为 ( r − 1 ,   − r ) {\displaystyle (r-1,\ -r)} 。 (Kainen 1971) Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Kainen, P. C. Weak Adjoint Functors. Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560.  Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498 Universal coefficient theorem with ring coefficients