廣義多項式韋格納頻譜圖

廣義多項式韋格納頻譜圖（generalized polynomial Wigner spectrogram），是一種用於時頻分析的方法，屬於信號處理的範疇。一個好的時頻分析講求在頻譜圖上要有高的解析度，並且不能有相交項(cross term)，才能得到準確的瞬時頻率，但這兩點之間常須進行取捨。韋格納分佈雖然解析度較高，但在許多情況下會有相交項，例如瞬時頻率為高階指數函數時或多組件時；在瞬時頻率為高階指數函數時多項式韋格納分佈（英语：Polynomial_Wigner–Ville_distribution）除了能保有高解析度之外還能消除相交項，但在多組件情況下的相交項仍然存在；加伯轉換沒有相交項，但解析度較低，廣義頻譜圖雖然強化了加伯轉換的解析度，但仍比韋格納分佈來得模糊。 廣義多項式韋格納頻譜圖透過結合廣義頻譜圖與多項式韋格納分佈（英语：Polynomial_Wigner–Ville_distribution）的優點，來達到同時高解析度與沒有相交項的目標。 W x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t + τ / 2 ) x ∗ ( t − τ / 2 ) e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}d\tau } = ∫ − ∞ ∞ X ( f + η / 2 ) ⋅ X ∗ ( f − η / 2 ) e j 2 π t η ⋅ d η {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\eta /2)\cdot X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\cdot d\eta } 在 x ( t ) = exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n ) {\displaystyle x(t)=\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n})} 時， P W V D x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ )   e − j 2 π τ f d τ = ∫ − ∞ ∞ [ ∏ ℓ = 1 q / 2 x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) ] e − j 2 π τ f d τ {\displaystyle PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )\ e^{-j2\pi \tau f}d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }[\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )]e^{-j2\pi \tau f}d\tau } 透過設定 d ℓ {\displaystyle d_{\ell }} 使下式成立， exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) = ∏ ℓ = 1 q / 2 x ( t + d ℓ τ ) x ∗ ( t − d − ℓ τ ) {\displaystyle \exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )=\prod _{\ell =1}^{q/2}x(t+d_{\ell }\tau )x^{*}(t-d_{-\ell }\tau )} 即可得到， P W V D x ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ exp ⁡ ( j 2 π ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) d τ ≅ δ ( f − ∑ n = 1 q 2 + 1 n a n t n − 1 τ ) {\displaystyle PWVD_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp(j2\pi \sum _{n=1}^{{\frac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )d\tau \cong \delta (f-\sum _{n=1}^{{\tfrac {q}{2}}+1}na_{n}t^{n-1}\tau )} 亦即 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的瞬時頻率。 G x , w ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w ( t − τ ) x ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{w\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }} 亦即使用高斯函數做為短時距傅立葉轉換的窗函數。 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 ( t , f ) G x , w 2 ∗ ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)} 其中 w 1 ( t ) ,   w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t),\ w_{2}(t)} 為兩個不同的窗函數， G x , w 1 ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w 1 ( t − τ ) x ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }} G x , w 2 ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w 2 ( t − τ ) x ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }} 若 w 1 ( t ) = w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)} ，則為一般頻譜圖。 不過根據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。 因此若兩個窗函數一個較窄一個較寬，加伯轉換後會得到解析度分別在時域與頻域較好的兩個頻譜圖，再透過相乘即可得到解析度在時頻兩域均好的頻譜圖。 C x ( t , f ) = p ( S P x ( t , f ) ,   | P W V D x ( t , f ) | ) {\displaystyle C_{x}(t,f)=p\left(SP_{x}(t,f),\ |PWVD_{x}(t,f)|\right)} ，其中 p ( x , y ) {\displaystyle p(x,y)} 可以是任何輸入兩個變數的函數。 如果在 min ( x , y ) = 0 {\displaystyle \min(x,y)=0} 時 p ( x , y ) = 0 {\displaystyle p(x,y)=0} ，即可達到去除相交項的同時保有高解析度的特性。 例如： p ( x , y ) = x y {\displaystyle p(x,y)=xy} ， C x ( t , f ) = S P x ( t , f ) | P W V D x ( t , f ) | {\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}(t,f)|PWVD_{x}(t,f)|} 由於多項式韋格納分佈會有相交項，透過相乘，相交項 P W V D x ( t , f ) ≠ 0 {\displaystyle PWVD_{x}(t,f)\neq 0} 會因為 S P x ( t , f ) = 0 {\displaystyle SP_{x}(t,f)=0} 而消掉； 因為廣義頻譜圖解析度較低，在瞬時頻率附近的頻率 S P x ( t , f ) ≠ 0 {\displaystyle SP_{x}(t,f)\neq 0} ，但對於解析度較高的多項式韋格納分佈來說 P W V D x ( t , f ) ≃ 0 {\displaystyle PWVD_{x}(t,f)\simeq 0} ，因此相乘後 C x ( t , f ) ≃ 0 {\displaystyle C_{x}(t,f)\simeq 0} 提高解析度。 其他類似變型有： p ( x , y ) = x α y β {\displaystyle p(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }} ， C x ( t , f ) = S P x α ( t , f ) | P W V D x β ( t , f ) | {\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|} 也可以加個閾， C x ( t , f ) = t h r [ S P x α ( t , f ) ] | P W V D x β ( t , f ) | {\displaystyle C_{x}(t,f)=thr[SP_{x}^{\alpha }(t,f)]|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|} ， 其中 t h r ( x ) = { x − Δ , x > Δ 0 , x ≤ Δ {\displaystyle thr(x)={\begin{cases}x-\Delta &,x>\Delta \\0&,x\leq \Delta \end{cases}}} ，閾值 Δ {\displaystyle \Delta } 可自行設定任意值 C x ( t , f ) = min { A 1 S P x ( t , f ) ,   A 2 | P W V D x ( t , f ) | } {\displaystyle C_{x}(t,f)=\min\{A_{1}SP_{x}(t,f),\ A_{2}|PWVD_{x}(t,f)|\}} C x ( t , f ) = S P x α ( t , f ) | P W V D x β ( t , f ) | ⋅ { [ S P x ( t , f ) > Δ 1 ] & [ | P W V D x ( t , f ) | > Δ 2 ] } {\displaystyle C_{x}(t,f)=SP_{x}^{\alpha }(t,f)|PWVD_{x}^{\beta }(t,f)|\cdot \{[SP_{x}(t,f)>\Delta _{1}]\&[|PWVD_{x}(t,f)|>\Delta _{2}]\}} Ding, Jian-Jiun; Pei, Soo Chang; Chang, Yi-Fan. Generalized polynomial wigner spectrogram for high-resolution time-frequency analysis. 2013 Asia-Pacific Signal and Information Processing Association Annual Summit and Conference (IEEE). 2013-10. ISBN 9789869000604. doi:10.1109/apsipa.2013.6694292.  Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.