K·p微扰论

K·p微扰论又名K·p微扰法，是固体物理中用来计算固体能带结构和光学性质的一种微扰方法，因微扰哈密顿算符中出现了正比于简约波矢（k）与动量算符（p）内积的项而得名。该方法可以近似估计半导体中的电子在导带底的有效质量。 在晶体中，势场具有周期性，如果给其中电子的波函数加以周期性边界条件，则波函数将具有布洛赫波的形式： ψ n , k = e i k r u n , k {\displaystyle \psi _{n,\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} }} 其中 k {\displaystyle \mathbf {k} } 是简约波矢， u n , k {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }} 是周期函数，且周期与晶格的周期完全相同。 将该表达式代入定态薛定谔方程，可得 u n , k {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }} 满足的方程。该方程在形式上类似于定态薛定谔方程： H k u n , k = E n , k u n , k {\displaystyle H_{\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }=E_{n,\mathbf {k} }u_{n,\mathbf {k} }} 其“哈密顿算符”为： H k = p 2 2 m + ℏ k ⋅ p m + ℏ 2 k 2 2 m + V {\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V} K·p微扰论适用于简约波矢 k {\displaystyle \mathbf {k} } 较小的情形下。此时可将“哈密顿算符”中不含有简约波矢 k {\displaystyle \mathbf {k} } 的项视为无微扰的“哈密顿算符”，把含有简约波矢 k {\displaystyle \mathbf {k} } 的项视为“微扰哈密顿算符”，即： H k = H 0 + H k ′ , H 0 = p 2 2 m + V , H k ′ = ℏ 2 k 2 2 m + ℏ k ⋅ p m {\displaystyle H_{\mathbf {k} }=H_{0}+H_{\mathbf {k} }',\;\;H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}+V,\;\;H_{\mathbf {k} }'={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}} 利用微扰方法可以用所有 u n , 0 {\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }} 的线性组合表达某个能带的 u n , k {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }} ，进而给出能量 E n , k {\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }} 与简约波矢 k {\displaystyle \mathbf {k} } 的近似关系。如果 u n , 0 {\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }} 是不简并的，考虑到一级修正后 u n , k {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }} 的表达式为： u n , k = u n , 0 + ℏ m ∑ n ′ ≠ n ⟨ u n , 0 | k ⋅ p | u n ′ , 0 ⟩ E n , 0 − E n ′ , 0 u n ′ , 0 {\displaystyle u_{n,\mathbf {k} }=u_{n,0}+{\frac {\hbar }{m}}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle }{E_{n,0}-E_{n',0}}}u_{n',0}} 考虑二级修正以后能量的表达式为： E n , k = E n , 0 + ℏ 2 k 2 2 m + ℏ 2 m 2 ∑ n ′ ≠ n | ⟨ u n , 0 | k ⋅ p | u n ′ , 0 ⟩ | 2 E n , 0 − E n ′ , 0 = E n , 0 + ℏ 2 k 2 2 m + ℏ 2 m 2 ∑ n ′ ≠ n ∑ i , j | ⟨ u n , 0 | p i | u n ′ , 0 ⟩ | | ⟨ u n , 0 | p j | u n ′ , 0 ⟩ | E n , 0 − E n ′ , 0 k i k j {\displaystyle E_{n,\mathbf {k} }=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} |u_{n',0}\rangle |^{2}}{E_{n,0}-E_{n',0}}}=E_{n,0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}\sum _{i,j}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}k_{i}k_{j}} 电子的倒有效质量张量近似为： ( 1 m ⋆ ) i j = 1 m δ i j + 2 m 2 ∑ n ′ ≠ n | ⟨ u n , 0 | p i | u n ′ , 0 ⟩ | | ⟨ u n , 0 | p j | u n ′ , 0 ⟩ | E n , 0 − E n ′ , 0 {\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle u_{n,0}|p_{i}|u_{n',0}\rangle ||\langle u_{n,0}|p_{j}|u_{n',0}\rangle |}{E_{n,0}-E_{n',0}}}} 在直接带隙半导体中，导带底部的电子对应的简约波矢为零，它的有效质量可运用K·p微扰论近似计算。微扰论中最近邻态的微扰贡献最大。导带底和价带顶的态互为最近邻态，仅考虑彼此的微扰贡献，K·p微扰论的结果可进一步简化为： ( 1 m ⋆ ) i j = 1 m δ i j + 2 m 2 | ⟨ u v , 0 | p i | u c , 0 ⟩ | | ⟨ u c , 0 | p j | u v , 0 ⟩ | E g {\displaystyle ({\frac {1}{m^{\star }}})_{ij}={\frac {1}{m}}\delta _{ij}+{\frac {2}{m^{2}}}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle ||\langle u_{c,0}|p_{j}|u_{v,0}\rangle |}{E_{g}}}} 式中 E g {\displaystyle E_{g}} 为导带底与价带顶的能量差，即带隙；脚标v和c分别指代价带顶与导带底的态。如果所考虑的导带底是旋转对称的，倒有效质量张量可以用一个标量代替： 1 m ⋆ = 1 m + 2 m 2 ∑ i | ⟨ u v , 0 | p i | u c , 0 ⟩ | 2 E g {\displaystyle {\frac {1}{m^{\star }}}={\frac {1}{m}}+{\frac {2}{m^{2}}}\sum _{i}{\frac {|\langle u_{v,0}|p_{i}|u_{c,0}\rangle |^{2}}{E_{g}}}} 表明半导体的带隙越小，导带底电子有效质量也越小。对通常的半导体来说，导带底电子的有效质量远小于电子的真实质量，且矩阵元与电子真实质量的比值近似为一个常量10eV。故： m ⋆ / m = E g / 20 e v {\displaystyle {m^{\star }}/m=E_{g}/20ev} 该公式给出的导带底电子有效质量近似值与绝大多数IV族、III-V族、II-VI族直接带隙半导体实测值的误差在15%以内。 如果考虑自旋-轨道作用，仍然可以用类似方法处理。此时“哈密顿算符”应写为： H k = p 2 2 m + ℏ m k ⋅ p + ℏ 2 k 2 2 m + V + ℏ 4 m 2 c 2 ( ∇ V × ( p + ℏ k ) ) ⋅ σ → {\displaystyle H_{\mathbf {k} }={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar }{m}}\mathbf {k} \cdot \mathbf {p} +{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V+{\frac {\hbar }{4m^{2}c^{2}}}(\nabla V\times (\mathbf {p} +\hbar \mathbf {k} ))\cdot {\vec {\sigma }}} 如果 u n , 0 {\displaystyle u_{n,\mathbf {0} }} 有简并，需要使用简并微扰理论。Luttinger–Kohn模型（英语：Luttinger–Kohn model）可以处理这类问题。 布洛赫定理 黄昆、韩汝琦. 固体物理学. 高等教育出版社. 1988: p328.  引文格式1维护：冗余文本 (link) C. Kittel. Quantum Theory of Solids Second Revised Printing. New York: Wiley. 1987: 186–190. ISBN 0-471-62412-8.  参见Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties （页面存档备份，存于互联网档案馆）一书中表2.22 P. Yu, M. Cardona. Fundamentals of Semiconductors: Physics and Materials Properties 3rd. Springer. 2005. Section 2.6, pp. 68 ff' [2016-06-19]. ISBN 3-540-25470-6. （原始内容存档于2017-04-21）.  J. M. Luttinger, W. Kohn. Motion of Electrons and Holes in Perturbed Periodic Fields. Physical Review. 1955, 97: 869. Bibcode:1955PhRv...97..869L. doi:10.1103/PhysRev.97.869.