极值点

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。 给定任意集合X、全序集Y与函数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} ，则某子集 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 上的 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 定义为 argmax S ⁡ f := a r g m a x x ∈ S f ( x ) := { x ∈ S   :   f ( s ) ≤ f ( x ) ,   ∀ s ∈ S } . {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.} 若 S = X {\displaystyle S=X} 或S在语境中明确，则通常省略S，如 a r g m a x x f ( x ) := { x   :   f ( s ) ≤ f ( x ) ,   ∀ s ∈ X } . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.} 也就是说， argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 是点x的集合，使 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 到达函数最大值（若存在）。 Argmax {\displaystyle \operatorname {Argmax} } 可以是空集、单元集，或包含多个元素。 在凸分析与变分分析中， Y = [ − ∞ , ∞ ] = R ∪ { ± ∞ } {\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} （是广义实数）的情形时的定义略有不同。这时，若f等同于S上的 ∞ {\displaystyle \infty } ，则 argmax S ⁡ f := ∅ {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing } （即 argmax S ⁡ ∞ := ∅ {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing } ），否则 argmax S ⁡ f {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f} 定义如上，这时 argmax S ⁡ f {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f} 也可以写成 argmax S ⁡ f := { x ∈ S   :   f ( x ) = sup S f } {\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}} 这里要强调的是，这个涉及 sup S f {\displaystyle \sup {}_{S}f} 的等式只有当f在S上不等同于 ∞ {\displaystyle \infty } 时才成立。 argmin {\displaystyle \operatorname {argmin} } （或 a r g m i n {\displaystyle \operatorname {arg\,min} } ）表示极小值点，定义与之类似。例如 a r g m i n x ∈ S f ( x ) := { x ∈ S   :   f ( s ) ≥ f ( x )  for all  s ∈ S } {\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}} 是使函数值 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 取得极小值的点x。它是 a r g m a x {\displaystyle \operatorname {arg\,max} } 的补算子。 在 Y = [ − ∞ , ∞ ] = R ∪ { ± ∞ } {\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} （是广义实数）的情形时，若f在S上等同于 − ∞ {\displaystyle -\infty } ，则 argmin S ⁡ f := ∅ {\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing } （即 argmin S − ∞ := ∅ {\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing } ），否则 argmin S ⁡ f {\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f} 定义如上，这时它也满足 argmin S ⁡ f := { x ∈ S   :   f ( x ) = inf S f } . {\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.} 例如，若 f ( x ) = 1 − | x | {\displaystyle f(x)=1-|x|} ，则f只有在 x = 0 {\displaystyle x=0} 这一点上取最大值1。因此 a r g m a x x ( 1 − | x | ) = { 0 } . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.} argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 算子与 max {\displaystyle \max } 不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说 max x f ( x ) {\displaystyle \max _{x}f(x)} is the element in { f ( x )   :   f ( s ) ≤ f ( x )  for all  s ∈ S } . {\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.} max可以是空集（这时极大值未定义），这与 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 相同；不同的是 max {\displaystyle \operatorname {max} } 可能不含多个元素。例如，取 f ( x ) = 4 x 2 − x 4 , {\displaystyle f(x)=4x^{2}-x^{4},} 则 a r g m a x x ( 4 x 2 − x 4 ) = { − 2 , 2 } , {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},} 但 max x ( 4 x 2 − x 4 ) = { 4 } {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}} 因为函数在 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 的每个元素上都取相同的值。 等价地，若M是f的极大值，则 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 是极大值的水平集： a r g m a x x f ( x ) = { x   :   f ( x ) = M } =: f − 1 ( M ) . {\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).} 可以将其重排，得到简单的等式 f ( a r g m a x x f ( x ) ) = max x f ( x ) . {\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).} 若极大值点只有一个，那么 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 应被视为一个点，而非点集。例如 a r g m a x x ∈ R ( x ( 10 − x ) ) = 5 {\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5} （而非单元集 { 5 } {\displaystyle \{5\}} ），因为 x ( 10 − x ) {\displaystyle x(10-x)} 的极大值25仅在 x = 5 {\displaystyle x=5} 时取到。而若在多个点上都取得极大值， argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 就应被视为点集。例如 a r g m a x x ∈ [ 0 , 4 π ] cos ⁡ ( x ) = { 0 , 2 π , 4 π } {\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}} 因为maximum value of cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} 的极大值1在 x = 0 , 2 π ,   4 π {\displaystyle x=0,2\pi ,\ 4\pi } 时取到。在整条实数线上 a r g m a x x ∈ R cos ⁡ ( x ) = { 2 k π   :   k ∈ Z } , {\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},} 因此是无限集。 函数不必达到极大值，因此 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 有时是空集。例如 a r g m a x x ∈ R x 3 = ∅ {\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing } ，因为 x 3 {\displaystyle x^{3}} 在实数线上无界。再举个例子， a r g m a x x ∈ R arctan ⁡ ( x ) = ∅ {\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing } ，虽然 arctan {\displaystyle \arctan } 有界（ ± π / 2 {\displaystyle \pm \pi /2} ），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的 argmax {\displaystyle \operatorname {argmax} } 。 函数的自变量 极值 众数 (数学) 最优化 核 (线性算子) 我们将输入（x）称作点（point），将输出（y）称作值（value），如临界点与临界值。 由于 ≤ {\displaystyle \leq } 的反对称性，函数至多有一个极大值。 这是集合间的等式，更确切地说是Y的子集间的等式。 注意 x ( 10 − x ) = 25 − ( x − 5 ) 2 ≤ 25 {\displaystyle x(10-x)=25-(x-5)^{2}\leq 25} ，当且仅当 x − 5 = 0 {\displaystyle x-5=0} 时取等。 "The Unnormalized Sinc Function 互联网档案馆的存檔，存档日期2017-02-15.", University of Sydney Rockafellar & Wets 2009，第1-37頁. Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. 26 June 2009. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.  arg min and arg max at PlanetMath.