列維-奇維塔符號

列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol），又稱列維-奇維塔ε，為一在線性代數，張量分析和微分幾何等數學範疇中常見到的符號。對於正整數 n ，它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號、反對稱符號與交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。 列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 或 ϵ ，較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列： ε a 1 a 2 ⋯ a n {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}} 其中每個下標指標 a1, a2, ..., an 取值介乎 1 到 n 。在 εa1a2...an 中，共有 nn 個指標排列，可以排成為一個 n 維陣列。 當任何兩個指標相等，則定義符號值等於 0 ： ε ⋯ a p ⋯ a p ⋯ = 0 {\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{p}\cdots }=0} ； 當全部指標都不相等時，我們定義： ε a 1 a 2 ⋯ a n = ( − 1 ) p ε 12 ⋯ n {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{12\cdots n}} ， 其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation)，是要將 a1, a2, ..., an 變換成自然次序 1, 2, ..., n ，所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡， ε12...n 的值必須有定義，否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值： ε 12 ⋯ n = + 1 {\displaystyle \varepsilon _{12\cdots n}=+1} 。 在本文中，也將使用這個定義。 從定義可知，當任何兩個指標互換，則須加上負號： ε ⋯ a p ⋯ a q ⋯ = − ε ⋯ a q ⋯ a p ⋯ {\displaystyle \varepsilon _{\cdots a_{p}\cdots a_{q}\cdots }=-\varepsilon _{\cdots a_{q}\cdots a_{p}\cdots }} 。 這稱為「完全反對稱性」。 “n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ，和所討論的向量空間維度相符，其中可指歐幾里得空間或非歐幾里得空間，例如 R3 的 n = 3 或閔可夫斯基空間的 n = 4 。 列維-奇維塔符號的值，與參考座標系無關。此外，這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量；然而，它可以被理解為張量的密度。 列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣的行列式，及三維歐幾里德空間中的兩個向量的叉積。 列維-奇維塔符號最常用於三維和四維，並在一定程度上用於二維，因此在定義一般情況之前，先給出這些符號值。 在二維中，列維-奇維塔符號定義如下： 這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣： ( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} 相對於其他維度，二維的列維-奇維塔符號並不常見，雖然在某些專門的主題，如超對稱和扭量理論中，談及2-旋量時會用到。 三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中，列維-奇維塔符號定義如下： 也就是說，如果 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的偶排列，則符號值為 +1 。如果是奇排列，則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複，則符號值為 0 。 僅在三維中， (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列，反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中，僅觀察 (i, j, k) 是 (1, 2, 3) 的循環排列，還是反循環排列，就足以分辨其奇偶性。 類似於二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列： 其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) ， j 是橫行，k 是直列。 以下是一些例子： ε 1 3 2 = − ε 1 2 3 = − 1 ε 3 1 2 = − ε 2 1 3 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 1 = − ε 1 3 2 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 ε 2 3 2 = − ε 2 3 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}} 在四維中，列維-奇維塔符號定義如下： 這些值可以排成 4×4×4×4 陣列，然而四維以上較難描繪出示意圖。 以下是一些例子： ε 1 4 3 2 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 2 1 3 4 = − ε 1 2 3 4 = − 1 ε 4 3 2 1 = − ε 1 3 2 4 = − ( − ε 1 2 3 4 ) = 1 ε 3 2 4 3 = − ε 3 2 4 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon _{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}} 更一般地推廣到 n 維中，則列維-奇維塔符號的定義為： 又可使用求積符號 ∏ 表達為： ε a 1 a 2 a 3 … a n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n sgn ⁡ ( a j − a i ) = sgn ⁡ ( a 2 − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 1 ) … sgn ⁡ ( a n − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 2 ) sgn ⁡ ( a 4 − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\dots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1})\end{aligned}}} 其中的 sgn(x) 是符號函數，根據 x 的正負給出 +1 、 0 或 −1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效（當 n = 0 或 1 時，定義為空積 1）。 然而，計算以上公式的時間複雜度為 O(n2) ，而以不交循環排列的性質計算，則只需 O(n log(n)) 。 兩個列維-奇維塔符號的積，可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得： ε i j k … ε m n l … = | δ i m δ i n δ i l … δ j m δ j n δ j l … δ k m δ k n δ k l … ⋮ ⋮ ⋮ | {\displaystyle \varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{mnl\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{im}&\delta _{in}&\delta _{il}&\dots \\\delta _{jm}&\delta _{jn}&\delta _{jl}&\dots \\\delta _{km}&\delta _{kn}&\delta _{kl}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{vmatrix}}} 在线性代数中， 3×3 的方陣 A = (aij) ： A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}} ， 其行列式可以寫為： det ( A ) = ∑ i , j , k = 1 3 ε i j k a 1 i a 2 j a 3 k {\displaystyle \det(A)=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\,a_{1i}\,a_{2j}\,a_{3k}} ， 類似地， n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為： det ( A ) = ∑ a 1 , a 2 , ⋯ , a n = 1 n ε a 1 a 2 ⋯ a n a 1 a 1 a 2 a 2 ⋯ a n a n , {\displaystyle \det(A)=\sum _{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}=1}^{n}\varepsilon _{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,a_{1a_{1}}\,a_{2a_{2}}\,\cdots \,a_{na_{n}},} 對於向量 a 與 b ，它們的叉積： a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ 1 ≤ i , j , k ≤ 3 ε i j k a i b j e k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {e}}_{1}&{\boldsymbol {e}}_{2}&{\boldsymbol {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}\,{\boldsymbol {e}}_{k}} 對於向量 a 、 b 與 c ，它們的三重積： a ⋅ ( b × c ) = | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 | = ∑ 1 ≤ i , j , k ≤ 3 ε i j k a i b j c k {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{1\leq i,j,k\leq 3}\varepsilon _{ijk}\,a_{i}b_{j}c_{k}} 由列維-奇維塔符號給出（共變等級為n）張量在正交基礎中的組成部份，有時稱為“置換張量”。 根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號在純旋轉下不變，與正交變換相關的所有座標系統（在定義上）相同。然而，列維-奇維塔符號是一種贗張量，因為在雅可比行列式−1的正交變換之下，例如，一個奇數維度的鏡射，如果它是一個張量，它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一個贗張量。 由於列維-奇維塔符號是贗張量，因此取叉積的結果是贗張量，而不是向量。 在一般座標變換下，置換張量的分量乘以变换矩阵的雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中，其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些，不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的，則根據座標的方向是否相同，因子將為±1。 在無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。 在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中，列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標，而不改變意義，這也許是方便的如下寫成： ε i j … k = ε i j … k . {\displaystyle \varepsilon ^{ij\dots k}=\varepsilon _{ij\dots k}.} 在這些例子中，上標應該被視為與下標相同。 使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如， ε i j k ε i m n ≡ ∑ i = 1 , 2 , 3 ε i j k ε i m n {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}\equiv \sum _{i=1,2,3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}} . 以下的例子使用愛因斯坦標記法。 在二維上，當所有 i {\displaystyle i} ， j {\displaystyle j} ， m {\displaystyle m} ， n {\displaystyle n} 各取值1和2時， 在三維中，當所有 i {\displaystyle i} ， j {\displaystyle j} ， k {\displaystyle k} ， m {\displaystyle m} ， n {\displaystyle n} 各取值1,2和3時： 列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中，關係由以下等式給出（垂直線表示行列式）： ε i j k ε l m n = | δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n | = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) − δ i m ( δ j l δ k n − δ j n δ k l ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\[6pt]&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}} 這個結果的一個特例是(4): ∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} 有時候其被稱為“contracted epsilon identity”。 在愛因斯坦標記法中， i {\displaystyle i} 指標的重複表示對於 i {\displaystyle i} 的求和。由此，上述結論可表記為： ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} 進一步可以知道： ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε i j k ε i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}} 在n維中，當所有 i 1 , … , i n , j 1 , … , j n {\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n},j_{1},\ldots ,j_{n}} take values 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} ： 驚嘆號( ! {\displaystyle !} )代表階乘，而 δ β … α … {\displaystyle \delta _{\beta \ldots }^{\alpha \ldots }} 是廣義克罗内克函数，對於任意n有屬性： ∑ i , j , k , ⋯ = 1 n ε i j k … ε i j k … = n ! {\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!} 從以下事實可得出： 每個排列是偶排列或奇排列， ( + 1 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 {\displaystyle (+1)^{2}=(-1)^{2}=1} ，與 任何n-元素集合的排列數正好是 n ! {\displaystyle n!} 。 一般來說，對於n維，兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成： ε i 1 i 2 … i n ε j 1 j 2 … j n = | δ i 1 j 1 δ i 1 j 2 … δ i 1 j n δ i 2 j 1 δ i 2 j 2 … δ i 2 j n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ δ i n j 1 δ i n j 2 … δ i n j n | {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}}