磁标势

磁标势（英語：Magnetic scalar potential）是描述磁场性质的一个有用的辅助量，尤其是在永磁体中。 在一个单连通、没有自由电流的区域，有 ∇ × H = 0 , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0,} 这样，我们可以定义磁标势 ψ {\displaystyle \psi } 为 H = − ∇ ψ . {\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi .} 又因为 ∇ ⋅ B = μ 0 ∇ ⋅ ( H + M ) = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot (\mathbf {H+M} )=0,} 并且 ∇ 2 ψ = − ∇ ⋅ H = ∇ ⋅ M . {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .} 这里， ∇ ⋅ M {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} } 充当了磁场的“源”，看起来就像是 ∇ ⋅ P {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} } 在电场中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将 ρ m = − ∇ ⋅ M {\displaystyle \rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M} } 称为“束缚磁荷”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。 如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。 在靜磁學裏，描述在源電流四周的另外一個很有用的工具是磁标势。由於磁标势是一個純量，不是向量，大多數時候，使用磁标势可以使得運算更加簡便。但是，它只能使用在沒有源電流的空間。注意到靜磁學的兩個基本方程式為 ∇ × H = J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} } 、 ∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} ； 其中， H {\displaystyle \mathbf {H} } 是磁場強度（H場）。 假設電流密度 J {\displaystyle \mathbf {J} } 等於零，則 ∇ × H = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0} ，H場是個保守場，必定存在一個函數 ψ m {\displaystyle \psi _{m}} 滿足 H = − ∇ ψ m {\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi _{m}} 。 稱這函數為磁标势。在真空裏或各向同性、線性、均勻的介電質裏，則可將上述定義式代入高斯磁定律，稍加編排，表示為拉普拉斯方程式的形式： ∇ 2 ψ m = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=0} 。 對於任意連續場 ψ m {\displaystyle \psi _{m}} ，其梯度的旋度為零。這意味著磁标势場不能存在有任何源電流。但是，實際而言，假若容許不連續線的存在於磁标势場（不連續點可以擁有兩種不同的數值），應用複分析，就可以計算源電流產生的磁場。這不連續線稱為割線（line of cut）。當用磁标势來解析靜磁學問題時，源電流必須置放於割線。 在鐵磁性物質或永久磁鐵裏，B場 B {\displaystyle \mathbf {B} } 、磁化強度 M {\displaystyle \mathbf {M} } 與H場 H {\displaystyle \mathbf {H} } 之間的關係比較複雜： H   = d e f   1 μ 0 B − M {\displaystyle \mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} } 。 應用高斯磁定律， ∇ ⋅ B = μ 0 ∇ ⋅ ( H + M ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot ({\mathbf {H} +\mathbf {M} })=0} 。 立可得到 ∇ 2 ψ m = − ∇ ⋅ H = ∇ ⋅ M {\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} } 。 ∇ ⋅ M {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} } 可以視為磁場的源電流，就好似 ρ b o u n d = − ∇ ⋅ P {\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P} } 是靜電學的束縛電荷一樣。這樣，類比束縛電荷，可以稱呼 ρ m = − ∇ ⋅ M {\displaystyle \rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M} } 為「束縛磁荷」。這樣，束縛磁荷的帕松方程式為 ∇ 2 ψ m = − ρ m {\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=-\rho _{m}} 。 這帕松方程式的解答為 ψ m ( r ) =   1 4 π ∫ V ′ ρ m ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )=\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{m}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '} 。 Vanderlinde, Jack. Classical Electromagnetic Theory. 2005. ISBN 1-4020-2699-4. [永久失效連結] Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990.  Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew. The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. 1964. ISBN 020102117XP 请检查|isbn=值 (帮助).  Jackson, John David. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons. 1998.  Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X  Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235  Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4.  标量势 磁矢势