二階導數

微积分中，函數 f {\displaystyle f} 的二階導數（英語：second derivative或second order derivative）是其导数的導數。粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。用萊布尼茲記法（英语：Leibniz notation）： a = d v d t = d 2 x d t 2 , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}},} 其中 a {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} 為加速度， v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} 為速度， t {\displaystyle t} 為時間， x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 為位置，而 d {\displaystyle \mathrm {d} } 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。最後一式 d 2 x d t 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {x}}}{\mathrm {d} t^{2}}}} 是位置 x {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} 對時間的二階導數。 繪製函数图形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（ ∪ {\displaystyle \cup } ）。反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（ ∩ {\displaystyle \cap } ）。 連續兩次用一階導數的冪法則（英语：power rule），則會推導出二階導數的冪法則，如下所示： d 2 d x 2 [ x n ] = d d x d d x [ x n ] = d d x [ n x n − 1 ] = n d d x [ x n − 1 ] = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n}\right]={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.} 公式對任意實數 n {\displaystyle n} 成立。 函數 f {\displaystyle f} 的二階導函數常記為 f ″ {\displaystyle f''} ，其於 x {\displaystyle x} 處取值為 f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)} 。換言之， f ″ = ( f ′ ) ′ , {\displaystyle f''=\left(f'\right)',} 其中 ′ {\displaystyle '} 表示一階求導。若用萊布尼茲記法（英语：Leibniz's notation）表示導數，則因變數 y {\displaystyle y} 關於自變數 x {\displaystyle x} 的二階導數記為 d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 此種寫法的理由是， d d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}} 表示對 x {\displaystyle x} 求導，從而求導兩次應寫成： d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)\,=\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}.} 如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 d 2 y d x 2 {\textstyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} 。然而，無法視之為純代數符號作運算。意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。不過，可藉另一種記法補救前述問題。此記法是基於一階導數的商法則。倘若視 d y d x {\textstyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} 為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有： y ″ ( x ) = ( d y d x ) ′ = ( d y ) ′ ⋅ d x − d y ⋅ ( d x ) ′ ( d x ) 2 = d d x ( d y ) ⋅ d x − d y ⋅ d d x d x ( d x ) 2 = d 2 y d x 2 − d y d x d 2 x d x 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)'\\&={\frac {(\mathrm {d} y)'\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot (\mathrm {d} x)'}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {d} y)\cdot \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}{(\mathrm {d} x)^{2}}}\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} x^{2}}}.\end{aligned}}} 上式中， y ″ ( x ) {\displaystyle y''(x)} 為二階導數，但 d 2 y d x 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}} 則不然。 d u {\displaystyle \mathrm {d} u} 表示微分算子施用於 u {\displaystyle u} 的結果，即 d ( u ) {\displaystyle \mathrm {d} (u)} ，而 d 2 u {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}u} 表示微分算子疊代兩次的結果，即 d ( d ( u ) ) {\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} (u))} 。最後 d u 2 {\displaystyle \mathrm {d} u^{2}} 是先微分再平方，即 ( d ( u ) ) 2 {\displaystyle (\mathrm {d} (u))^{2}} 。 若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。二階導數的链式法则亦然。不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。 考慮 f ( x ) = x 3 , {\displaystyle f(x)=x^{3},} 運用冪法則， f {\displaystyle f} 的導數 f ′ {\displaystyle f'} 由下式給出： f ′ ( x ) = 3 x 2 . {\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}.} f {\displaystyle f} 的二階導數即是對導數 f ′ {\displaystyle f'} 再次求導的結果，由下式給出： f ′ ′ ( x ) = 6 x . {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=6x.} 另一個例子，考慮正弦函數 sin {\displaystyle \sin } 。有 sin ′ ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) , {\displaystyle \sin '(x)=\cos(x),} 而再次求導後，得到 sin ″ ⁡ ( x ) = cos ′ ⁡ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) . {\displaystyle \sin ''(x)=\cos '(x)=-\sin(x).} 換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。 函數 f {\displaystyle f} 的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切线總位於圖像下方「承托」。反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」着。 若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。此種點稱為拐點（inflection point）。假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 f ( x ) = x 4 {\displaystyle f(x)=x^{4}} 有 f ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle f''(0)=0} ，但 f {\displaystyle f} 在實數系上為凸，無拐點。 二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 f {\displaystyle f} 的驻点（即滿足 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 的點 x {\displaystyle x} ）是否為局部極大點或極小點。具體言之： 若 f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)<0} ，則 f {\displaystyle f} 於 x {\displaystyle x} 點取得局部極大值。 若 f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)>0} ，則 f {\displaystyle f} 於 x {\displaystyle x} 點取得局部極小值。 若 f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)=0} ，則二階導數檢驗無定論。該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。 直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。 二階導數若存在，則可以衹用一個极限寫出： f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 . {\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.} 以上極限稱為二階對稱導數（英语：second symmetric derivative）。但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。 右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商： f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h . {\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.} 故其極限可視作序列二階差分的連續版本。 然而，上述極限存在並不推出函數 f {\displaystyle f} 二階可導。該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。反例有符号函数 sgn {\displaystyle \operatorname {sgn} } ，其定義為： sgn ⁡ ( x ) = { − 1 , 若    x < 0 , 0 , 若    x = 0 , 1 , 若    x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若 }}\ x<0,\\0,&{\text{若 }}\ x=0,\\1,&{\text{若 }}\ x>0.\end{cases}}} 符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。但是，在 x = 0 {\displaystyle x=0} 處，二階對稱導數存在： lim h → 0 sgn ⁡ ( 0 + h ) − 2 sgn ⁡ ( 0 ) + sgn ⁡ ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ⁡ ( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ⁡ ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ⁡ ( h ) + ( − sgn ⁡ ( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}} 正如導數與线性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影随形。某函數 f {\displaystyle f} 於某點的二次近似，是一個二次函数，與 f {\displaystyle f} 在該點處具有一樣的一、二階導數。函數 f {\displaystyle f} 於 a {\displaystyle a} 附近的二次近似可寫成： f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 1 2 f ″ ( a ) ( x − a ) 2 . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.} 函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。 因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。換言之，可求微分方程 v ″ = λ v {\displaystyle v''=\lambda v} 的函數解 v {\displaystyle v} （本徵向量）與常數 λ {\displaystyle \lambda } （本徵值）。對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。 舉例，以閉區間 [ 0 , L ] {\displaystyle [0,L]} 為定義域，邊界採用齊次狄利克雷条件（即 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(L)=0} ），則諸本徵值為 λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}} ，對應本徵向量（亦稱本徵函數） v j {\displaystyle v_{j}} 由 v j ( x ) = 2 L sin ⁡ ( j π x L ) {\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)} 給出。此處 v j ″ ( x ) = λ j v j ( x ) {\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)} ， j {\displaystyle j} 為任意正整數。 其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量（英语：eigenvalues and eigenvectors of the second derivative）。 二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏导数 ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}} 。對於三元函數 f : R 3 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } ，二階偏導數包括 ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},} 以及混合偏導數 ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ y ∂ z . {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.} 還有其他次序的混合偏導數，如 ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}} ，但由二階導數的對稱性，衹要 f {\displaystyle f} 滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（英語：Hessian或Hessian matrix）。該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗（英语：second partial derivative test））。 另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplace operator或Laplacian）。拉氏微分算子記作 ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} 或 Δ {\displaystyle \Delta } 。以三維情形為例，定義為 ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} 函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。 相對之下，一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算，如鏈式法則中的抵銷。 Content - The second derivative [目錄：二階導數]. amsi.org.au. 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