有理数

数学上，可以表达为两个整数比的数（ a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} , b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} ）被定义为有理数，例如 3 8 {\displaystyle {\frac {3}{8}}} ，0.75(可被表达为 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} )；整数和整数分数统称为有理数。 与有理数相對的是无理数，如 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 无法用整数比表示。 有理数与分數形式的区别，分數形式是一种表示比值的记法，如 分數形式 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 是无理数。 所有有理数的集合表示为Q，Q+,或 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 。定义如下： Q = { m n : m ∈ Z , n ∈ Z , n ≠ 0 } {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}} 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理數的實數遂稱為無理數。 有理数在英文中称作rational number，来自拉丁语rationalis，意为理性的；词根ratio，拉丁语意为理性、计算。代表“比例”的英文ratio一词在历史上出现得要比有理数（rational number）一词更晚，前者最早有记录是1660，而后者是1570年。 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理數加、减、乘、除有理數的結果仍為有理數。有理数的加法和乘法如下： a b + c d = a d + b c b d             a b ⋅ c d = a c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}\,\ \ \ \ \ \ {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}} 两个有理数 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} 和 c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} 相等当且仅当 a d = b c {\displaystyle ad=bc} 有理数中存在加法和乘法的逆： − ( a b ) = − a b                 a ≠ 0 {\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}\,\ \ \ \ \ \ \ \ a\neq 0} 时， ( a b ) − 1 = b a {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}} 两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如： 5 7 = 1 2 + 1 6 + 1 21 {\displaystyle {\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}} 对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上 ( a , b ) {\displaystyle \left(a,b\right)} 的等价类，这里 b , d {\displaystyle b,d} 不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下： ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) {\displaystyle \left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)} ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c , b d ) {\displaystyle \left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)} 为了使 2 4 = 1 2 {\displaystyle {\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}} ，定义等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 如下： ( a , b ) ∼ ( c , d )  iff  a d = b c {\displaystyle \left(a,b\right)\sim \left(c,d\right){\mbox{ iff }}ad=bc} 这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将Q定义为整数有序对关于等价关系~的商集： Q = Z × ( Z − { 0 } ) / ∼ {\displaystyle \mathbb {Q} =\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} -\{0\})/\sim } 。例如：两个对 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 和 ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} 是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。） Q上的大小可以定义为： ( a , b ) ≤ ( c , d ) {\displaystyle \left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)} 当且仅当 b d > 0 {\displaystyle bd>0} 并且 a d ≤ b c {\displaystyle ad\leq bc} b d < 0 {\displaystyle bd<0} 并且 a d ≥ b c {\displaystyle ad\geq bc} 然後 x < y {\displaystyle x<y} 是指 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} 但 y ≰ x {\displaystyle y\nleq x} 。亦可在“小于”概念之上引入“大于”的概念，即： a < b {\displaystyle a<b} 当且仅当 b > a {\displaystyle b>a} 。此排序中，每一对有理数 a , b {\displaystyle a,b} 之间皆可比較，必有且仅有以下关系之一： a = b {\displaystyle a=b} ， a > b {\displaystyle a>b} ， a < b {\displaystyle a<b} 。 又滿足传递性：若 a < b {\displaystyle a<b} ，且 b < c {\displaystyle b<c} ，则 a < c {\displaystyle a<c} 。所以以上定義的大小關係是全序关系。 有理數集的序還滿足稠密性（英语：dense order）：若 a < b {\displaystyle a<b} ，则必存在有理数 c {\displaystyle c} ，满足 a < c {\displaystyle a<c} ，且 c < b {\displaystyle c<b} 。 集合 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 的商域。 有理数是特征为0的域最小的一个：所有其他特征为0的域都包含 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的一个拷贝（即存在一个从 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 到其中的同构映射）。 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的代数闭包，例如有理数多项式的根的域，是代数数域。 所有有理数的集合是可数的，亦即是說 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的基數（或勢）與自然數集合 N {\displaystyle \mathbb {N} } 相同，都是阿列夫數 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ，這是因為可以定義一個從有理數集 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 映至自然數集合的笛卡爾積 N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } 的單射函數，而 N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } 是可數集合之故。因为所有实数的集合是不可数的，所以从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。 有理数的序是个稠密序（英语：dense order）：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。此外，有理數集也沒有最大和最小元素，所以是無端點的可數稠密全序（dense linear order without endpoints）。康托爾同構定理（英语：Cantor's isomorphism theorem）說明，任何無端點的可數稠密全序必定序同構於有理數的序，換言之，若不辨同構之異，則有理數的大小序是唯一具此性質的序結構。 有理数是实数的稠密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，僅有理数可化為有限连分数。 依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量 d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d\left(x,y\right)=|x-y|} ，有理数构成一个度量空间，这是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间；实数是 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 的完备集。 除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 转化到拓扑域： 设 p {\displaystyle p} 是素数，对任何非零整数 a {\displaystyle a} 设 | a | p = p − n {\displaystyle |a|_{p}=p^{-n}} ，这里 p n {\displaystyle p^{n}} 是整除 a {\displaystyle a} 的 p {\displaystyle p} 的最高次幂； 另外 | 0 | p = 0 {\displaystyle |0|_{p}=0} 。对任何有理数 a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} ，设 | a b | p = | a | p | b | p {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}} 。 则 d p ( x , y ) = | x − y | p {\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}} 在 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 上定义了一个度量。 度量空间 ( Q , d p ) {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)} 不完备，它的完备集是p进数域 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 。 浮点数 尼云定理 三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史 - 何ゆえ有理数と呼ぶか ? - 名前の由来 -. asait.world.coocan.jp. [2020-10-09]. （原始内容存档于2016-01-12）.  Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry ratio, n., sense 2.a. Oxford English Dictionary 2nd. Oxford University Press. 1989.  Entry rational, a. (adv.) and n.1, sense 5.a. 菲赫金哥尔茨; 杨弢亮 译; 叶彦谦 译; 郭思旭 校. 微积分学教程（第一卷） 第8版. 高等教育出版社. : 2. ISBN 5-9221-0436-5.