廣義頻譜圖

廣義頻譜圖（Generalized spectrogram），為頻譜圖的通用型。為了得知信號隨著時間的頻率分布狀態，以頻譜圖觀察時，其解析度受到測不準原理影響，頻率解析度與時間解析度相乘為定值。為解決此問題，於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。 一段隨時間變化的信號，同時具有時域和頻域的特徵，若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵，最好的方式就是使用時頻分析，觀察一段信號的時頻分布圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分布圖。 以高斯函數作為窗函數(window function)，使用時頻分析，求出兩組不同長度的窗函數的加伯轉換，即 G x , w 1 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)} 和 G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} ，再將 G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} 取共軛複數後相乘。公式如下： S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 ( t , f ) G x , w 2 ∗ ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)} 其中 w 1 ( t ) , w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t),w_{2}(t)} 為加伯轉換的窗函數， t {\displaystyle t} 為時間 f {\displaystyle f} 為頻率。 加伯轉換的公式如下： G x , w 1 ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w 1 ( t − τ ) x ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }} G x , w 2 ( t , f ) = ∫ − ∞ ∞ w 2 ( t − τ ) x ( τ ) e − j 2 π f τ d τ {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }} 若將 w 1 ( t ) = w 2 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)} ，則與原本頻譜圖無異。 長度不同的窗函數，其時頻域的解析度不同，依據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。 為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解析度，把在頻譜圖原定義中的 w ( t ) {\displaystyle w(t)} 分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓 w 1 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)} 長度較寬，在頻域上面有良好的解析度，而 w 2 ( t ) {\displaystyle w_{2}(t)} 則長度較窄，在時域上有良好的解析度。先分別運算 G x , w 1 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)} 和 G x , w 2 ( t , f ) {\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} ，再相乘，變為 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}\left({t,f}\right)} 。如此一來時域和頻域上的解析度都能兼顧到。 有優於測不準原理的時間解析度與空間解析度。 由於各自的加伯轉換並不會有cross term，故此方法也不會有cross term出現。 有省時方法：當一組加伯轉換中的數值為零時，我們將不用去計算另一組，因為相乘後還是零。 需要計算兩組加伯轉換，即與頻譜圖相比，最高會多花兩倍的時間 需要去最佳化 w 1 ( t ) {\displaystyle w_{1}(t)} 與 w 2 ( t ) {\displaystyle w_{2}(t)} 當我們的輸入信號為： x 1 ( t ) = { cos ⁡ ( 2 π t ) ; t < 10 cos ⁡ ( 3 π t ) ; 10 ≤ t < 20 cos ⁡ ( 6 π t ) ; t > 20 {\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t);&t<10\\\cos(3\pi t);&10\leq t<20\\\cos(6\pi t);&t>20\end{cases}}} 我們先分別求出 σ = 0.1 {\displaystyle \sigma =0.1} 與 σ = 1.6 {\displaystyle \sigma =1.6} 的 。經Matlab計算後，如下圖 將其中一個取共軛複數後，兩者相乘，得到廣義頻譜圖如下； 我們可以與 σ = 0.4 {\displaystyle \sigma =0.4} 的加伯轉換比較： 可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解析度下，或是頻率解析度下，都優於 σ = 0.4 {\displaystyle \sigma =0.4} 的加伯轉換。 原本的廣義頻譜圖公式為 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 ( t , f ) G x , w 2 ∗ ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{*}(t,f)} 我們可以對此再進行一般化，如下 S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = G x , w 1 α ( t , f ) G x , w 2 β ( t , f ) {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=G_{x,{w_{1}}}^{\alpha }(t,f)G_{x,{w_{2}}}^{\beta }(t,f)} 或者如下方形式： S P x , w 1 , w 2 ( t , f ) = | G x , w 1 ( t , f ) | α | G x , w 2 ( t , f ) | β {\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)=\left|G_{x,{w_{1}}}(t,f)\right|^{\alpha }\left|G_{x,{w_{2}}}(t,f)\right|^{\beta }} 兩種方法新增了 α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 兩變數，期望能找到更好的解析度。 時頻分析 頻譜圖 短時距傅立葉變換 加伯轉換 韋格納分布 丁建均上課講義。時頻分析與小波轉換 （页面存档备份，存于互联网档案馆），p189-p192。2016.1.19 P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。