居里定律

居里定律是指在顺磁性材料中，材料的磁化强度大致与施加的磁场强度成正比。然而，若加热材料，则比值减小。对于固定场强的磁场，磁化率大致与温度成反比。 M = C ⋅ B T , {\displaystyle \mathbf {M} =C\cdot {\frac {\mathbf {B} }{T}},} 其中 M {\displaystyle \mathbf {M} } 是磁化强度 B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁感应强度 T {\displaystyle T} 是温度，以开尔文为单位 C {\displaystyle C} 是材料的居里常数 居里定律是在实验中由皮埃尔·居里得到的，它适用于相对高温及弱磁场的条件下。而从其物理本源上推导，则能得到在低温和强磁场条件下，磁化强度趋于饱和的结果，而非由定律预言的持续增加。 顺磁体简单的数学模型可以看作由没有相互作用的粒子组成。每一个粒子都有磁矩 μ → {\displaystyle {\vec {\mu }}} 。磁场中磁矩的能量由下式给出： E = − μ ⋅ B . {\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} .} 为简化计算，我们将顺磁体内的粒子看作是双态粒子：其磁矩与磁场的方向要么平行要么相反。因此，磁矩的可能值只能是 μ {\displaystyle \mu } 或者 − μ {\displaystyle -\mu } 。如果是这样，那么这样的粒子只有两种可能的能量 E 0 = − μ B {\displaystyle E_{0}=-\mu B} 以及 E 1 = μ B . {\displaystyle E_{1}=\mu B.} 顺磁体的磁化强度一般意味着粒子磁矩与磁场同向的可能性。换句话说，就是磁化强度 μ {\displaystyle \mu } 的期望值： ⟨ μ ⟩ = μ P ( μ ) + ( − μ ) P ( − μ ) = 1 Z ( μ e μ B β − μ e − μ B β ) = 2 μ Z sinh ⁡ ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),} 其中，每一种情况的概率由其玻尔兹曼因子给出，配分函数 Z {\displaystyle Z} 为概率提供必要的归一化（即所有这些概率的总和是归一的）。 一个粒子的配分函数是 Z = ∑ n = 0 , 1 e − E n β = e μ B β + e − μ B β = 2 cosh ⁡ ( μ B β ) . {\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).} 因此，在双态粒子简单的情形中，我们有 ⟨ μ ⟩ = μ tanh ⁡ ( μ B β ) . {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).} 这是单个粒子的磁化强度，固体的总磁化强度由下式给出 M = n ⟨ μ ⟩ = n μ tanh ⁡ ( μ B k T ) {\displaystyle M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)} 其中n是磁矩的数密度。上式被称为朗之万顺磁方程。 皮埃尔·居里（Pierre Curie）在实验中发现：当顺磁体处于相对较高的温度和较低的磁场中，这个定律的近似成立。在 T {\displaystyle T} 值较大且 B {\displaystyle B} 值较小时，上式中双曲正切的自变量减少，即： ( μ B k T ) ≪ 1 {\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1} 上式有时被称为 居里区间. 同时，我们知道如果 | x | ≪ 1 {\displaystyle |x|\ll 1} ，那么 tanh ⁡ x ≈ x {\displaystyle \tanh x\approx x} ，因此 M ( T → ∞ ) = n μ 2 k B T , {\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={n\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},} 因此磁化强度也很小，有 B ≈ μ 0 H {\displaystyle B\approx \mu _{0}H} ，可以得到 M ≈ μ 0 μ 2 n k H T , {\displaystyle M\approx {\frac {\mu _{0}\mu ^{2}n}{k}}{\frac {H}{T}},} 更重要的一点是，磁化率由下式给出 χ = ∂ M ∂ H ≈ M H {\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}} 即 χ ( T → ∞ ) = C T , {\displaystyle \chi (T\to \infty )={\frac {C}{T}},} 其中 居里常数 C = μ 0 n μ 2 / k {\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k} ，其单位是开尔文 (K)。 在低温或高场的情况下， M {\displaystyle M} 趋向于 n μ {\displaystyle n\mu } 的最大值，对应于所有粒子与场完全对齐。由于这个计算没有描述嵌入费米表面深处的电子，泡利不相容原理禁止其自旋翻转，所以它没有举例说明这个问题在低温下的量子统计。根据费米-狄拉克分布，在低温下 M {\displaystyle M} 线性依赖于磁场，因此磁化率饱和到一个常数。 当粒子具有任意自旋（任意数量的自旋状态）时，公式有点复杂。 在低磁场或高温下，自旋遵循居里定律，居里常数 C = μ B 2 3 k B n g 2 J ( J + 1 ) {\displaystyle C={\frac {\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}ng^{2}J(J+1)} 其中 J {\displaystyle J} 是总角动量量子数， g {\displaystyle g} 是 自旋的 g {\displaystyle g} 因子 (例如 μ = g J μ B {\displaystyle \mu =gJ\mu _{B}} 是磁量子数)。 对于更一般的公式及其推导（包括高场强，低温），请参阅文章：布里渊函数。 当自旋接近无穷大时，磁化公式接近下一节中推导的经典值。 当顺磁子被想象为经典的、自由旋转的磁矩时，适用另一种处理方法。在这种情况下，它们的位置将由它们在球坐标中的角度确定，其中一个粒子的能量是 E = − μ B cos ⁡ θ , {\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,} 其中 θ {\displaystyle \theta } 是磁矩和磁场之间的角度（假设磁场指向 z {\displaystyle z} 轴）。对应的配分函数为 Z = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ ) . {\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).} 可以看出上式中被积函数对 ϕ {\displaystyle \phi } 角没有依赖性，令 y = cos ⁡ θ {\displaystyle y=\cos \theta } 以获得 Z = 2 π ∫ − 1 1 d y exp ⁡ ( μ B β y ) = 2 π exp ⁡ ( μ B β ) − exp ⁡ ( − μ B β ) μ B β = 4 π sinh ⁡ ( μ B β ) μ B β . {\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}} 现在，磁化强度的 z {\displaystyle z} 分量的预期值（另外两个被视为零，由于在 ϕ {\displaystyle \phi } 上的积分），由下式给出 ⟨ μ z ⟩ = 1 Z ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ ) [ μ cos ⁡ θ ] . {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].} 为简化计算, 可以将其写作 Z {\displaystyle Z} 微分： ⟨ μ z ⟩ = 1 Z β ∂ Z ∂ B = 1 β ∂ ln ⁡ Z ∂ B {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}} （这种方法也可以用于上面的模型，但计算非常简单，所以没有那么有用。） 继续推导发现 ⟨ μ z ⟩ = μ L ( μ B β ) , {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),} 其中 L {\displaystyle L} 是郎之万函数: L ( x ) = coth ⁡ x − 1 x . {\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.} 对于小 x {\displaystyle x} ，此函数似乎是奇异的，但事实并非如此，因为两个奇异项相互抵消。事实上，它对小参数的极限是 L ( x ) ≈ x / 3 {\displaystyle L(x)\approx x/3} ，因此居里极限也适用，但在这种情况下，居里常数要小三倍。同样，对于其参数的较大值，函数在 1 {\displaystyle 1} 处饱和，并且同样会恢复相反的极限。 居里-韦斯定律 Coey, J. M. D.; Coey, J. M. D. Magnetism and Magnetic Materials. Cambridge University Press. 2010-03-25 [2022-02-23]. ISBN 978-0-521-81614-4. （原始内容存档于2022-02-23） （英语）.  Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics, 8th Edition. Wiley. 2005: 304. ISBN 0-471-41526-X.