法拉第电磁感应定律

法拉第電磁感應定律（英語：Faraday's law of electromagnetic induction）簡稱“法拉第定律”，是電磁學的一條基本定律，也是變壓器、電感元件及多種電動機、發電機、螺線管的根本運作原理。定律指出： 此定律预测磁场如何与电路相互作用以产生电动势，这种现象称为电磁感应。 虽然約瑟·亨利在1830年的獨立研究中比法拉第早發現這一定律，但其並未發表；迈克尔·法拉第则于1831年發現此定律，命名為法拉第定律。 本定律可用以下的公式表达： E = − d Φ B d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}} 其中： E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 是电动势，单位為伏特。 ΦB是通過電路的磁通量，单位為韋伯。 電動勢的方向（公式中的負號）由楞次定律提供。“通過電路的磁通量”的意義會由下面的例子闡述。 傳統上有兩種改變通過電路的磁通量的方式。至於感應電動勢時，改變的是自身的電場，例如改變生成場的電流（就像變壓器那樣）。而至於動生電動勢時，改變的是磁場中的整個或部份電路的運動，例如像在同極發電機中那樣。 電磁感應現象不應與靜電感應混淆。電磁感應將電動勢與通過電路的磁通量聯繫起來，而靜電感應則是使用另一帶電荷的物體使物體產生電荷的方法。 本節是一段題外話，作用是區分本條目中的“法拉第定律”及麥克斯韋方程組中用同一個名字的∇×E方程。於本條目中∇×E方程會被稱為馬克士威-法拉第方程。 馬克士威於1855年總結出法拉第定律的旋度版本，而黑維塞則於1884年將定律重寫成旋度方程： ∇ × E ( r ,   t ) = − ∂ B ( r ,   t ) ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)}{\partial t}}} 其中 ∇ × {\displaystyle \nabla \times } 代表 旋度 E {\displaystyle \mathbf {E} } 代表 電場強度（V/m） B {\displaystyle \mathbf {B} } 代表 磁通量密度（Wb/m2） ∂ ∂ t {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial }{\partial t}}\end{matrix}}}  代表 當方位向量 r 不變下的時間偏導數。 方程的意義是，如果電場的空間依賴在紙面上成逆時針方向（經右手定則，得旋度向量方向為出紙面），那麼磁場會因時間而更少指出紙面，更多地指入頁面（跟旋度向量異號）。方程跟磁場的變量有關係。故磁場不一定要指向紙面，只需向該方向轉動即可。 本方程（在本條目中被稱為馬克士威-法拉第方程）是馬克士威方程組的四條方程之一。 在麥克斯韋-法拉第方程中，黑維塞用的是時間偏導數。不使用馬克士威用過的時間全導數，而使用時間偏導數，這樣做使得馬克士威-法拉第方程不能說明動生電動勢。。然而，馬克士威-法拉第方程很多時候會被直接稱為“法拉第定律”。 在本條目中“法拉第定律”一詞指的是通量方程，而“馬克士威-法拉第方程”指的則是黑維塞的旋度方程，也就是現在的馬克士威方程組中的那一條。 法拉第電磁感應定律用到通過一表面Σ的磁通量ΦB，其積分形式定義如下： Φ B = ∬ Σ ( t ) B ( r ,   t ) ⋅ d A   {\displaystyle \Phi _{B}=\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\cdot d\mathbf {A} \ } 其中dA為移動面Σ(t)的面積元，B為磁場，B·dA為向量點積。見圖一。更多細節見面積分及磁通量條目。設該表面有一個開口，邊界為閉合曲線∂Σ(t)。見圖二。 當通量改變時，把一電荷在閉合曲線中∂Σ(t)移一圈（每單位電荷）所作的功 E {\displaystyle ^{\mathcal {E}}} ，也就是電動勢，可由法拉第電磁感應定律求得： E = − d Φ B d t   {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}\ } 其中： E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 為電動勢，單位為伏特； ΦB為磁通量，單位為韋伯。電動勢的方向（公式中的負號）由冷次定律提供。 設有一緊纏線圈，法拉第電磁感應定律指出： E = − N d Φ B d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-N{{d\Phi _{B}} \over dt}} 其中N為線圈圈數； ΦB為通過一圈的磁通量，單位為韋伯。 在選擇路徑∂Σ(t)求電動勢時，路徑須滿足兩個基本條件：（一）路徑閉合；（二）路徑必需能描述到電路各部分的相對運動（這就是∂Σ(t)中變量為時間的原因）。路徑並不一定要跟隨電流的流動路線，但用通量定律求出的電動勢，理所當然地會是通過所選路徑的電動勢。假若路徑並不跟隨電流的話，那麼那電動勢可能不是驅動着電流的那一電動勢。 考慮圖三的長方形線圈，它在xy平面上向x方向以速率v移動。因此，線圈中心xC滿足v = dxC/dt。線圈在y方向的長度為ℓ，x方向的寬度為w。一不隨時間改變，而隨x方向改變的磁場B(x)指向z方向。左邊的磁場為B(xC − w/2)，右邊的磁場為B(xC + w/2)。電動勢可直接求得，或由上述的法拉第電磁感應定律求得。 在線圈左邊的一電荷q，所受的洛倫茲力為qv×Bk = −qvB(xC − w/2)j（j、k分別為y方向及z方向的單位向量，見向量積），因此左邊整段電線的電動勢（單位電荷所作的功）為vℓB(xC − w/2)。可用相同的論述，求出右邊電線的電動勢為vℓB(xC + w/2)。兩股電動勢互相抵抗，將正電荷推向線圈底部。由於這時磁場的強度會向x方向增強，所以右邊的力最強，電流會順時針流動：使用右手定則，電流所產生的磁場會抵抗外加的磁場。驅動電流的電動勢必須向逆時針方向增加（抵抗電流）。把電動勢向逆時針方向加起來得： E = v ℓ [ B ( x C + w / 2 ) − B ( x C − w / 2 ) ]   {\displaystyle {\mathcal {E}}=v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)]\ } 線圈上任何位置通過線圈的磁通量為 Φ B = ± ∫ 0 ℓ d y ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 B ( x ) d x {\displaystyle \Phi _{B}=\pm \int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x)dx} = ± ℓ ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 B ( x ) d x   {\displaystyle =\pm \ell \int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x)dx\ } 其正負取決於表面的垂直線與B的方向之異同。如果表面垂直線跟感應電流的B同一方向，式子為負。此時通量的時間導數（使用微分的鏈式法則或萊布尼茨定則的通用形式求出）為： d Φ B d t = ( − ) d d x C [ ∫ 0 ℓ d y   ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 d x B ( x ) ] d x C d t   {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=(-){\frac {d}{dx_{C}}}\left[\int _{0}^{\ell }dy\ \int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}dxB(x)\right]{\frac {dx_{C}}{dt}}\ } = ( − ) v ℓ [ B ( x C + w / 2 ) − B ( x C − w / 2 ) ]   , {\displaystyle =(-)v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)]\ ,} （其中v = dxC/dt為線圈於x方向的運動速率），所以 E = − d Φ B d t = v ℓ [ B ( x C + w / 2 ) − B ( x C − w / 2 ) ]   {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=v\ell [B(x_{C}+w/2)-B(x_{C}-w/2)]\ } 跟之前一樣。 這兩種方法一般來說都一樣，但視乎例子而定，其中一種有時可能會比較實用。 圖四為由上下兩塊帶導電邊沿的碟片所組成的轉軸，上面的電線環路垂直地連接着兩塊碟片。整組裝置在磁場中旋轉，該磁場向外呈放射狀指出，但其大小不隨方向變化。一向外的回路從邊沿上把電流收集起來。在收集迴路的位置上，向外的磁場與回路位於同一個平面上，因此收電回路並不對電路的磁通量造成影響。電動勢可直接求出，或使用上文的法拉第定律求出。 這個案中，在移動環路中那兩根垂直的電線裏，洛倫茲力向下驅動着電流，因此電流從上碟片流向下碟片。在碟片的導電邊沿內，洛倫茲力與邊沿垂直，所以邊沿上並沒有電動勢，環路中的水平部分也沒有。電流通過外加的回路從下邊沿傳到上邊沿，而該回路位於磁場的平面上。因此，回路中的洛倫茲力與回路平行，在這回路中並沒有生成電動勢。穿過電流通道，到達電流反方向流動的地方，功只在移動環路垂直電線中抵抗洛倫茲力，其中 F = q   B   v   {\displaystyle F=q\ B\ v\ } 因此電動勢為 E = B v ℓ   = B r ℓ ω   {\displaystyle {\mathcal {E}}=Bv\ell \ =Br\ell \omega \ } 其中ℓ為環路中的垂直長度，與角轉動率相關的速度可由v = r ω求出，而r = 碟片半徑。注意，在任何跟環路轉動並連接上下邊沿的路徑中，所作的功都一樣。 一個直覺上很吸引但錯誤的通量定則使用法是，將通過電流的通量當成只是ΦB = Bwℓ，其中w為移動環路的寬度。這數目與時間沒有關係，所以這方法會不正確地預測出無生成電動勢。這套論述的缺陷在於它並沒有考慮到整個電路，而整個電路是閉合的環路。 使用通量定則時，我們必須顧及整個電路，其中包括通過上下碟片邊沿的路徑。我們可以選擇一通過兩道邊沿及移動環路的任意閉合路徑，而通量定則會找出該路徑的電動勢。任何有一部分連接移動環路的路徑，都會表達到電路移動部分的相對運動。 作為一個路徑例子，選擇在上碟片按照轉動方向，並下碟片按照轉動反方向穿過電路（由圖四的箭號表示）。在這情況下，對與回路成角θ的移動環路而言，圓柱體的一部分面積A = rℓθ為電路的一部分。這面積與磁場垂直，所以造成了這個大小的通量： Φ B = − B r θ ℓ   {\displaystyle \Phi _{B}=-Br\theta \ell \ } 其中式子為負，這是因為右手定則指出，電流環路所產生的磁場，與外加的磁場方向相反的緣故。由於這是通量中唯一一個跟隨時間轉變的部分，所以通量定則預測的電動勢為 E = − d Φ B d t = B r ℓ d θ d t {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=Br\ell {\frac {d\theta }{dt}}} = B r ℓ ω   {\displaystyle =Br\ell \omega \ } 與使用洛倫茲力法的計算答案一致。 現在嘗試不同的路徑。跟隨一條選擇餘下部分通過邊沿的路徑。那麼耦合磁通量會隨θ增加而減少，但右手定則會指出把電流環路加到外加磁場上去，因此這條路徑跟第一條路徑的電動勢相同。任何回路的組合都會對電動勢產生相同的結果，因此跟隨哪一條路徑實際上並不重要。 以上使用閉合路徑求電動勢的方法，看起來是取決於路徑幾何的細節。相反地，使用勞侖茲力則沒有這樣的限制。所以有需要加深對通量定則的理解，有關路徑等同及路徑選取時的會漏掉的細節。 圖五是圖四的理想化版本，當中圓柱體被展開成了平面。同樣的路徑分析依然有效，但是還有一個可以簡化的地方。電路中與時間無關的方面，並不能夠影響通量隨時間的變化率。例如，環路以均速滑動時，電流通過環路流動的細節，並不取決於時間。與其考慮求電動勢時環路選取的細節，不如考慮環路移動時所掃過的磁場面積。這相當於找出電路通量的切斷率。這個說法提供了一個方法，可直接求出通量變化率，而不需要考慮電路上各種路徑選取，隨時間而變化的細節。跟使用洛倫茲力一樣，很明顯地，任何兩條連接移動環路的路徑，都會產生相同的通量變化率，不同之處只在於它們如何與環路相交。 圖五中，單位時間內掃過的面積為dA/dt = vℓ，跟選取的環路細節無關，所以可經法拉第電磁感應定律求出電動勢： E = − d Φ B d t = B v ℓ   {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{{d\Phi _{B}} \over dt}=Bv\ell \ } 電路勢的路徑的不依賴性表明，如果滑動環路被實心導電板所取代，又或是更複雜的某種變形表面，分析都是一樣的：找出電路移動部分掃過面積的通量。相近地，如果圖四的移動環路被一360°的實心導電圓柱體所取代，掃過面積的計算就跟只有一個環路時是完全一樣的。故此，對圓柱體及實心導電板的個案而言，法拉第定律所預測的電動勢完全一樣，更甚者，以有孔板為壁的圓柱體的個案也一樣。但是注意，這個電動勢所導致的流動電流是不一樣的，因為電阻決定電流。 變化中的磁場會生成電場；這個現象由麥克斯韋-法拉第方程描述： ∇ × E ( r ,   t ) = − ∂ B ( r ,   t ) ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)}{\partial t}}} 其中： ∇ × {\displaystyle \nabla \times } 代表旋度； E為電場強度； B為磁通量密度。 這條方程是現代麥克斯韋方程組內的其中一條，很多時候被稱為法拉第定律。然而，由於它只含有一個時間偏導數，它的應用只限於在隨時間變化的磁場中靜止電荷的情況。它並不能說明帶電粒子在磁場中移動的電磁感應狀況。 它可以用開爾文-斯托克斯定理寫成積分形式： ∮ ∂ Σ E ⋅ d ℓ = −   ∬ Σ ∂ ∂ t B ⋅ d A {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-\ \iint _{\Sigma }{\partial \over {\partial t}}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} } = −   ∂ ∂ t ∬ Σ B ⋅ d A {\displaystyle =-\ {\partial \over {\partial t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} } 其中把導數移至積分前這個動作，需要一與時無關的曲面Σ（在這裏被視為偏導數解釋的一部分），見圖六： Σ為一被閉合圍道∂Σ包圍的曲面；Σ與∂Σ皆為固定的，不隨時間變動； E為電場強度； dℓ為圍道∂Σ的一無限小向量元； B為磁通量密度； dA為曲面Σ的一無限小向量元，其大小相等於一塊無限小曲面，而其方向與該塊曲面成正交。 dℓ和dA都具有正負模糊性；要得到正確的正負號，需要使用右手定則，解釋詳見開爾文-斯托克斯定理條目。對一平面Σ而言，曲線∂Σ的正路徑元dℓ，其定義由右手定則所規定，就是當右手姆指跟表面Σ的垂直線n同一方向時，其他手指所指的那一個方向。 圍繞着∂Σ的積分叫曲線積分或路徑積分。麥克斯韋-法拉第方程右邊的曲面積分，是通過Σ的磁通量ΦB的明確表達式。注意E的非零路徑積分，跟電荷產生電場的表現不一樣。由電荷生成的電場能以標量場的梯度表達，為泊松方程的解，並且路徑積分為零。見梯度定理。 積分方程對通過空間的任何路徑∂Σ成立，也對任何以該路徑為邊界的的表面Σ成立。注意，但是已知在這方程裏，∂Σ及Σ都不隨時間而改變。這個積分形式不能用於運動電動勢，因為Σ跟時間無關。注意這方程內並沒有電動勢 E {\displaystyle ^{\mathcal {E}}} ，所以確實不能夠在不引入洛倫茲力的情況下計算出功。 使用完整的洛倫茲力計算電動勢： E = ∮ ∂ Σ ( t ) ( E ( r ,   t ) + v × B ( r ,   t ) ) ⋅ d ℓ   {\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ } 法拉第電磁感應定律的一個描述，比麥克斯韋-法拉第方程的積分形式更通用（見洛倫茲力），如下： ∮ ∂ Σ ( t ) ( E ( r ,   t ) + v × B ( r ,   t ) ) ⋅ d ℓ   {\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\mathbf {v\times B} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ }   = − d d t ∬ Σ ( t ) d A ⋅ B ( r ,   t )   {\displaystyle \ =-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}d{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\ } 其中∂Σ(t)為圍着運動表面Σ(t)的閉合路徑，而v為運動速率。見圖二。注意上面用的是時間常導數，而不是時間偏導數，意指Σ(t)的時間差異必須被微分所包括。被積函數中，曲線dℓ的元以速率v移動。 圖七為磁力是如何促成電動勢作出了詮釋，而電動勢就在上面方程的左邊。曲線∂Σ部分dℓ，在時間dt以速率v移動時掃過的面積為（見向量積的幾何意義）： d A = d ℓ × v d t   {\displaystyle d\mathbf {A} =d{\boldsymbol {\ell \times v}}dt\ } 所以在時間dt間通過∂Σ為邊的表面中這一部分的磁通量變量ΔΦB為： d Δ Φ B d t = B ⋅   d ℓ × v   = v × B ⋅   d ℓ   {\displaystyle {\frac {d\Delta \Phi _{B}}{dt}}=\mathbf {B} \cdot \ d{\boldsymbol {\ell \times v}}\ =\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \ d{\boldsymbol {\ell }}\ } 如果我們把這些通過所有部分dℓ的ΔΦB的作用加在一起，就可以得到法拉第定律對磁力的促成作用。也就是，這個項跟運動電動勢有關係。 再次討論圖三的例子，但這次以移動觀測者的參考系，帶出電場與磁場間以及運動與感應電動勢的密切關係。假設一環路觀測者與環路一起移動。觀測者以洛倫茲力及法拉第電磁感應定律計算環路的電動勢。由於這觀測者與環路一起移動，觀測者看不到環路的運動，以及零v×B。然而，由於磁場隨x位置變化，所以觀測者看到時間變強的磁場，也就是： B = k B ( x + v t )   {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {k} {B}(x+vt)\ } 其中k為指向z方向的單位向量。 麥克斯韋-法拉第方程指出移動觀測者在y方向所見的電場Ey可由下式表示（見旋度）： ∇ × E = k   d E y d x {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {k} \ {\frac {dE_{y}}{dx}}} = − ∂ B ∂ t = − k d B ( x + v t ) d t = − k d B d x v     {\displaystyle =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {k} {\frac {dB(x+vt)}{dt}}=-\mathbf {k} {\frac {dB}{dx}}v\ \ } 下式使用了鏈鎖律： d B d t = d B d ( x + v t ) d ( x + v t ) d t = d B d x v   {\displaystyle {\frac {dB}{dt}}={\frac {dB}{d(x+vt)}}{\frac {d(x+vt)}{dt}}={\frac {dB}{dx}}v\ } 求解Ey，準確到一個對環路積分沒有作用的常數，得： E y ( x ,   t ) = − B ( x + v t )   v   {\displaystyle E_{y}(x,\ t)=-B(x+vt)\ v\ } 使用洛倫茲力定律，得一個電場分量，觀測者於時間t得環路的電動勢為： E = − ℓ [ E y ( x C + w / 2 ,   t ) − E y ( x C − w / 2 ,   t ) ] {\displaystyle {\mathcal {E}}=-\ell [E_{y}(x_{C}+w/2,\ t)-E_{y}(x_{C}-w/2,\ t)]} = v ℓ [ B ( x C + w / 2 + v t ) − B ( x C − w / 2 + v t ) ]   {\displaystyle =v\ell [B(x_{C}+w/2+vt)-B(x_{C}-w/2+vt)]\ } 這個結果跟靜止觀測者的個案一致，他看到的是中點xC移到xC + vt。然而，移動觀測者的結果中，洛倫茲力看起來只有電分量，而靜止觀測者的則只有磁分量。 使用法拉第電磁感應定律，與xC一起移動的觀測者看到磁通量的變化，但環路看起來並沒有移動：環路的中心xC被固定了，這是因為觀測者與環路一起移動着。通量則是： Φ B = − ∫ 0 ℓ d y ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 B ( x + v t ) d x   {\displaystyle \Phi _{B}=-\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}B(x+vt)dx\ } 其中右式為負，這是因為表面的垂直線與外加磁場各自指向相反的方向。現在從法拉第電磁感應定律得出的電動勢是： E = − d Φ B d t = ∫ 0 ℓ d y ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 d d t B ( x + v t ) d x {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}{\frac {d}{dt}}B(x+vt)dx} = ∫ 0 ℓ d y ∫ x C − w / 2 x C + w / 2 d d x B ( x + v t )   v   d x {\displaystyle =\int _{0}^{\ell }dy\int _{x_{C}-w/2}^{x_{C}+w/2}{\frac {d}{dx}}B(x+vt)\ v\ dx} = v ℓ   [ B ( x C + w / 2 + v t ) − B ( x C − w / 2 + v t ) ]   {\displaystyle =v\ell \ [B(x_{C}+w/2+vt)-B(x_{C}-w/2+vt)]\ } 答案是一樣的。時間導數走進了積分裏面，這是因為積分的上下限並不取決於時間。又一次，鏈式定律被用於把時間導數轉化成x導數。 靜止觀測者認為該電動勢是運動電動勢，而移動觀測者則認為是感應電動勢。 有些物理學家注意到法拉第定律是一條描述兩種現象的方程式：由磁力在移動中的電線中產生的動生電動勢，及由磁場轉變而成的電力所產生的感應電動勢。就像理查德·費曼指出的那樣： 所以“通量定則”，指出電路中電動勢等於通過電路的磁通量變化率的，同樣適用於通量不變化的時候，這是因為場有變化，或是因為電路移動（或兩者皆是）……但是在我們對定則的解釋裏，我們用了兩個屬於完全不同個案的定律：“電路運動”的 − v × B {\displaystyle ^{\mathbf {-v\times B} }} 和“場變化”的 ∇   x   E   =   − ∂   t B {\displaystyle ^{\mathbf {\nabla \ x\ E\ =\ -\partial _{\ t}B} }} 。 我們不知道在物理學上還有其他地方，可以用到一條如此簡單且準確的通用原理，來明白及分析兩個不同的現象。 — 理查德·P·費曼 《費曼物理學講義》 格里夫斯的書中也有類似陳述。 法拉第定律最初是一條基於觀察的實驗定律。後來被正式化，其偏導數的限制版本，跟其他的電磁學定律一塊被列麥克斯韋方程組的現代黑維塞版本。 法拉第電磁感應定律是基於法拉第於1831年所作的實驗。這個效應被約瑟·亨利於大約同時發現，但法拉第的發表時間較早。 見麥克斯韋討論電動勢的原著。 於1834年由波羅的海德國科學家海因里希·楞次發現的楞次定律，提供了感應電動勢的方向，及生成感應電動勢的電流方向。 由法拉第電磁感應定律因電路及磁場的相對運動所造成的電動勢，是發電機背後的根本現象。當永久性磁鐵相對於一導電體運動時（反之亦然），就會產生電動勢。如果電線這時連着電負載的話，電流就會流動，並因此產生電能，把機械運動的能量轉變成電能。例如，基於圖四的鼓輪發電機。另一種實現這種構想的發電機就是法拉第碟片，簡化版本見圖八。注意使用圖五的分析，或直接用洛倫茲力定律，都能得出使用實心導電碟片運作不變的這一結果。 在法拉第碟片這一例子中，碟片在與碟片垂直的均勻磁場中運動，導致一電流因洛倫兹力流到向外的軸臂裏。明白機械運動是如何成為驅動電流的必需品，是很有趣的一件事。當生成的電流通過導電的邊沿時，這電流會經由安培環路定理生成出一磁場（圖八中標示為“Induced B”）。因此邊沿成了抵抗轉動的電磁鐵（楞次定律一例）。在圖的右邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過右邊沿到達底部的電刷。此一返回電流所感應的磁場會抵抗外加的磁場，它有減少通過電路那邊通量的傾向，以此增加旋轉帶來的通量。因此在圖的左邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過左邊沿到達底部的電刷。感應磁場會增加電路這邊的通量，減少旋轉帶來的通量。所以，電路兩邊都生成出抵抗轉動的電動勢。儘管有反作用力，需要保持碟片轉動的能量，正等於所產生的電能（加上由於摩擦、焦耳熱及其他消耗所浪費的能量）。所有把機械能轉化成電能的發電機都會有這種特性。 雖然法拉第定律經常描述發電機的運作原理，但是運作的機理可以隨個案而變。當磁鐵繞着靜止的導電體旋轉時，變化中的磁場生成電場，就像麥克斯韋-法拉第方程描述的那樣，而電場就會通過電線推着電荷行進。這個案叫感應電動勢。另一方面，當磁鐵靜止，而導電體運動時，運動中的電荷的受到一股磁力（像洛倫茲力定律所描述的那樣），而這磁力會通過電線推着電荷行進。這個案叫動生電動勢。（更多有關感應電動勢、動生電動勢、法拉第定律及洛倫茲力的細節，可見上例或格里夫斯一書。） 發電機可以“反過來”運作，成為電動機。例如，用法拉第碟片這例子，設一直流電流由電壓驅動，通過導電軸臂。然後由洛倫茲力定律可知，行進中的電荷受到磁場B的力，而這股力會按佛來明左手定則訂下的方向來轉動碟片。在沒有不可逆效應（如摩擦或焦耳熱）的情況下，碟片的轉動速率必需使得dΦB/dt等於驅動電流的電壓。 法拉第定律所預測的電動勢，同時也是變壓器的運作原理。當線圈中的電流轉變時，轉變中的電流生成一轉變中的磁場。在磁場作用範圍中的第二條電線，會感受到磁場的轉變，於是自身的耦合磁通量也會轉變（dΦB/dt）。因此，第二個線圈內會有電動勢，這電動勢被稱為感應電動勢或變壓器電動勢。如果線圈的兩端是連接着一個電負載的話，電流就會流動。 法拉第定律可被用於量度導電液體或漿狀物的流動。這樣一個儀器被稱為電磁流量計。在磁場B中因導電液以速率為v的速度移動，所生成的感應電壓ε可由以下公式求出： E = B ℓ v {\displaystyle {\mathcal {E}}=B\ell v} 其中ℓ為電磁流量計中電極間的距離。 法拉第弔詭 向量分析 斯托克斯定理 串擾（由電感產生的電子干擾） 為何這條方式不能解釋動生電動勢的解釋可見於Griffiths Introduction to Electrodynamics, pp.301-3, or Feynman Lectures on Physics, Ch. II-17 感應電流產生的磁場有減低磁通量的傾向，而線圈的運動則有增加它的傾向（因為B(x)會隨線圈移動而增加）。抵抗運動是勒沙特列原理一個例子，以楞次定律這個形式進行的。 這個說法指的是法拉第力的線。 當移動環路通過收集環路時，掃出的通量由減少變成增加。同一時間，電流的轉向由逆時針變成順時針，因此磁場生成的電流會抵抗通量的變化。相應地，法拉第定律dΦB/dt的正負也會由原本的負，轉成了正，跟通量轉變的正負剛好相反，所以不論收集點在移動環路的哪一邊，電動勢都是正的。 “麥克斯韋-法拉第方程”一詞很多時候會由“法拉第電磁感應定律”或甚至“法拉第定律”所取代。後面兩個詞有多重意思，所以這裏用“麥克斯韋-法拉第方程”來防止混淆。 在這一例子中，假定速率遠低於光速，因此場變換時由洛倫茲變換所造成的修正值可以被忽略。 其中一個可得到這結果的方法是，在移動參考系中從xC量度x，假設ξ = x - xC ( t )。然後於時間t，移動觀測者看到場B( ξ, t )，而靜止觀測者在同一個地方看到場，B [ ξ + xC ( t ) ] = B ( ξ + xC0 + v t )，其中xC0 = xC ( t = 0 )。 M N O Sadiku. Elements of Electromagnetics Fourth Edition. NY/Oxford UK: Oxford University Press. 2007: §9.2 pp. 386 ff. ISBN 0-19-530048-3.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Tai L. Chow. Electromagnetic theory. Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006. Chapter 5; p. 171 ff [2008-12-25]. ISBN 0-7637-3827-1. （原始内容存档于2011-07-22）.  見Griffiths Introduction to Electrodynamics pp. 301-3 或 Feynman Lectures on Physics Ch. II-17。 這兩位作者都用“通量定則”這個詞來聯繫通量及電動勢，而把旋量版本叫做“法拉第定律”。還有其他叫法，在Jackson的Classical Electrodynamics中，兩條定律分別被稱為“法拉第定律的積分形式”及“法拉第定律的微分形式”。 Roger F Harrington. Introduction to electromagnetic engineering. Mineola, NY: Dover Publications. 2003: 56. ISBN 0486432416.  Peter Alan Davidson. An Introduction to Magnetohydrodynamics. Cambridge UK: Cambridge University Press. 2001: 44. ISBN 0521794870.  費曼把聯繫磁通量及電動勢的定律叫“通量定則”。Richard Phillips Feynman, Leighton R B & Sands M L. The Feynman Lectures on Physics. San Francisco: Pearson/Addison-Wesley. 2006. Vol. II, pp. 17-2. ISBN 0805390499. [失效連結] Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics Third Edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 1999: 301-3 [2009-01-10]. ISBN 0-13-805326-X. （原始内容存档于2019-10-29）.  引文格式1维护：冗余文本 (link). 注意把通量及電動勢聯繫起來的定律，在本條目中被稱為“法拉第定律”，而格里夫斯則用上“通用通量定則”一詞。而格里夫斯則把本條目中的“麥克斯韋-法拉第定律”，叫做“法拉第定律”。所以實際上，在教科書中，格里夫斯的陳述是有關“通用通量定則”的。 BB Laud. Electromagnetics. New Delhi: New Age International. 1987: 151. ISBN 0852264992.  L. Pearce Williams. The Origins of Field Theory. Random House. 1966: 77-78, 133 (for electromagnetic induction) ; p. 85-89, 133 (for electrostatic induction).  Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of applied electromagnetics 5th Edition. Pearson:Prentice Hall. 2007: 255 [2008-12-26]. ISBN 0-13-241326-4. （原始内容存档于2020-10-30）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Joseph Henry. Distinguished Members Gallery, National Academy of Sciences. [2006-11-30]. （原始内容存档于2006-12-09）.  James Clerk Maxwell. A treatise on electricity and magnetism v. 2. Oxford UK: Clarendon Press. 1881. Chapter III, §530, p. 178. ISBN 0486606376.  Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics Third Edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. 1999: 301-303 [2009-01-10]. ISBN 0-13-805326-X. （原始内容存档于2019-10-29）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 有關法拉第定律一詞各種用法的討論： Tankersley and Mosca: Introducing Faraday's law （英文） 電磁感应的簡易互動Java教學 美國國家高能磁場實驗室 （英文） R. Vega 《電磁感應：法拉第定律與楞次定律》——高度動畫化課堂 （英文） 喬治亞州州立大學超物理筆記 （页面存档备份，存于互联网档案馆）; 另見 主頁 （页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）