狀態轉移矩陣

狀態轉移矩陣（state-transition matrix）是控制理論中的矩陣，是時間 t {\displaystyle t} 和初始時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的函數，可以將時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的狀態向量 x {\displaystyle x} 和此矩陣相乘，得到時間 t {\displaystyle t} 時的狀態向量 x {\displaystyle x} 。狀態轉移矩陣可以用來找線性動態系統的通解。 狀態轉移矩陣用來找以下形式線性系統在状态空间下的解： x ˙ ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ( t ) , x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {B} (t)\mathbf {u} (t),\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}} , 其中 x ( t ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)} 為系統狀態， u ( t ) {\displaystyle \mathbf {u} (t)} 為輸入信號，而 x 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{0}} 為時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 時的初始條件。利用狀態轉移矩陣 Φ ( t , τ ) {\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )} ，其解如下： x ( t ) = Φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ t 0 t Φ ( t , τ ) B ( τ ) u ( τ ) d τ {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,t_{0})\mathbf {x} (t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {B} (\tau )\mathbf {u} (\tau )d\tau } 第一項為零輸入響應（zero-input response），第二項為零狀態響應（zero-state response）。 更廣義的狀態轉移矩陣可以用Peano-Baker級數解求得 Φ ( t , τ ) = I + ∫ τ t A ( σ 1 ) d σ 1 + ∫ τ t A ( σ 1 ) ∫ τ σ 1 A ( σ 2 ) d σ 2 d σ 1 + ∫ τ t A ( σ 1 ) ∫ τ σ 1 A ( σ 2 ) ∫ τ σ 2 A ( σ 3 ) d σ 3 d σ 2 d σ 1 + . . . {\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )=\mathbf {I} +\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+\int _{\tau }^{t}\mathbf {A} (\sigma _{1})\int _{\tau }^{\sigma _{1}}\mathbf {A} (\sigma _{2})\int _{\tau }^{\sigma _{2}}\mathbf {A} (\sigma _{3})\,d\sigma _{3}\,d\sigma _{2}\,d\sigma _{1}+...} 其中 I {\displaystyle \mathbf {I} } 為單位矩陣。此矩陣均勻收斂到一個存在而且唯一的解，而且是絕對收斂。 狀態轉移矩陣 Φ ( t , τ ) {\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )} 可以表示為下式 Φ ( t , τ ) ≡ U ( t ) U − 1 ( τ ) {\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,\tau )\equiv \mathbf {U} (t)\mathbf {U} ^{-1}(\tau )} 其中 U ( t ) {\displaystyle \mathbf {U} (t)} 為基礎矩陣（英语：Fundamental matrix (linear differential equation)），滿足下式 U ˙ ( t ) = A ( t ) U ( t ) {\displaystyle {\dot {\mathbf {U} }}(t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {U} (t)} 狀態轉移矩陣是 n × n {\displaystyle n\times n} 的矩陣，是會映射到本身的线性映射。若 u ( t ) = 0 {\displaystyle \mathbf {u} (t)=0} ，再給定任意時間 τ {\displaystyle \tau } 下的狀態 x ( τ ) {\displaystyle \mathbf {x} (\tau )} ，另一個時間 t {\displaystyle t} 的狀態可由以下映射求得 x ( t ) = Φ ( t , τ ) x ( τ ) {\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {\Phi } (t,\tau )\mathbf {x} (\tau )} 狀態轉移矩陣恆滿足以下的關係： ∂ Φ ( t , t 0 ) ∂ t = A ( t ) Φ ( t , t 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\Phi } (t,t_{0})}{\partial t}}=\mathbf {A} (t)\mathbf {\Phi } (t,t_{0})} and Φ ( τ , τ ) = I {\displaystyle \mathbf {\Phi } (\tau ,\tau )=I} 對於所有的 τ {\displaystyle \tau } ，其中 I {\displaystyle I} 為單位矩陣。 Φ {\displaystyle \mathbf {\Phi } } 也有以下的性質： 若系統是时不变系统，可以將 Φ {\displaystyle \mathbf {\Phi } } 定義為 Φ ( t , t 0 ) = e A ( t − t 0 ) {\displaystyle \mathbf {\Phi } (t,t_{0})=e^{\mathbf {A} (t-t_{0})}} 在時變系統的例子中，可能有許多不同的函數滿足上述條件，而解和系統的結構有關。在分析時變系統的解之前，需要先確定其狀態轉移矩陣。 Baake, M.; Schlaegel, U. The Peano Baker Series 275. 2011: 155–159.  |journal=被忽略 (帮助) Brogan, W.L. Modern Control Theory. Prentice Hall. 1991. ISBN 0-13-589763-7.  Baake, Michael; Schlaegel, Ulrike. The Peano Baker Series. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011, 275: 155–159.  Rugh, Wilson. Linear System Theory. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 1996. ISBN 0-13-441205-2.  Brockett, Roger W. Finite Dimensional Linear Systems. John Wiley & Sons. 1970. ISBN 978-0-471-10585-5.  Magnus展開（英语：Magnus expansion）