西羅定理

在數學中，特別是代數學中的群論，西羅定理（英語：Sylow Theorems）是一系列關於有限群的定理，由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅在1872年證明。這些定理使得代數學家對有限群的結構有了更深入的瞭解，並對有限群的研究以及百年後的有限單群分類作出了重要貢獻。 西羅定理處理了拉格朗日定理的部份反例。拉格朗日定理表明如果 H {\displaystyle H} 是 G {\displaystyle G} 的子群，那麼子群 H {\displaystyle H} 的階 | H | {\displaystyle |H|} 是 | G | {\displaystyle |G|} 的因數；但是 | G | {\displaystyle |G|} 的因數未必等於某個子群的階。西羅定理表明， | G | {\displaystyle |G|} 形如 p r {\displaystyle p^{r}} 的因數確實是一些子群的階，定理亦給出這種類型子群數目的相關訊息。 給定一個有限群 G {\displaystyle G} ，通過質因數分解，可以把 | G | {\displaystyle |G|} 表示成 p n × m {\displaystyle p^{n}\times m} 的形式（並且 m {\displaystyle m} 不被 p {\displaystyle p} 整除）。西羅定理描述了以下三件事： 對於所有介於 1 {\displaystyle 1} 到 n {\displaystyle n} 之間的正整數 r {\displaystyle r} ， G {\displaystyle G} 存在階為 p r {\displaystyle p^{r}} 的子群。階為 p r {\displaystyle p^{r}} 的子群稱為 G {\displaystyle G} 的西羅 p {\displaystyle p} -子群。 G {\displaystyle G} 中的所有西羅 p {\displaystyle p} -子群互相共軛。 G {\displaystyle G} 中西羅 p {\displaystyle p} -子群的個數是 m {\displaystyle m} 的因數、並且具有 k p + 1 {\displaystyle kp+1} 的形式（模 p {\displaystyle p} 餘 1 {\displaystyle 1} ）。 西羅定理有個對無限群的類比。可定義一個於無限群中的西羅 p {\displaystyle p} -子群為一個在所有群內之 p {\displaystyle p} -子群的內含關係內為極大的 p {\displaystyle p} -子群。可用佐恩引理證明這類子群存在。 定理：若K為一個G的西羅p-子群，且np = |Cl(K)|為有限的，則每一個西羅p-子群都會共軛於K，且np = 1 mod p，其中Cl(K)表示為K的共軛類。 設 G {\displaystyle G} 為一個階為 15 = 3 ⋅ 5 {\displaystyle 15=3\cdot 5} 的群。令 n 3 {\displaystyle n_{3}} 為西羅 3 {\displaystyle 3} 子群的數量，則 n 3 {\displaystyle n_{3}} 整 5 {\displaystyle 5} ，且模 3 {\displaystyle 3} 餘 1 {\displaystyle 1} 。滿足上述條件的值只有1；因此， G {\displaystyle G} 只有一個階為 3 {\displaystyle 3} 的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。類似地， n 5 {\displaystyle n_{5}} 整除 3 {\displaystyle 3} ，且 n 5 ≡ 1 mod 5 {\displaystyle n_{5}\equiv 1\mod 5} ；所以 G {\displaystyle G} 僅有一個階為 5 {\displaystyle 5} 的正規子群。由於3和5互質，此兩個子群的交集為平凡群{e}，所以 G {\displaystyle G} 必須為循環群。因此，只存在一個階為15的群（以群同構來區分），記為 Z / 15 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /15\mathbb {Z} } 。 舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個階為 350 {\displaystyle 350} 的簡單群。若 | G | = 350 = 2 ⋅ 5 2 ⋅ 7 {\displaystyle |G|=350=2\cdot 5^{2}\cdot 7} ，則 n 5 {\displaystyle n_{5}} 必須整除 14 = 2 ⋅ 7 {\displaystyle 14=2\cdot 7} ，且 n 5 ≡ 1 mod 5 {\displaystyle n_{5}\equiv 1\mod 5} 。由此可知 n 5 = 1 {\displaystyle n_{5}=1} （因為6和11都不整除14），所以 G {\displaystyle G} 必然會有一個階為 5 2 {\displaystyle 5^{2}} 的正規子群，故不可能為簡單群。 西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群G會以許多種方式作用在其自身或其p-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。在下面的論述中，用a|b來表示「a會整除b」，而a ∤ {\displaystyle \nmid } b則用來表示「a不可整除b」。 定理1：一個其目|G|可以被一質數次方pk整除的有限群G會有一個其目為pk的子群。 證明：設|G|=pkm，pr ∣ {\displaystyle \mid } m且 pr+1 ∤ {\displaystyle \nmid } m 。记Ω為G的元素个数為pk之子集所組成的集合，可知|Ω| = ( p k m p k ) {\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}} 及pr+1 ∤ {\displaystyle \nmid } ( p k m p k ) {\displaystyle {p^{k}m \choose p^{k}}} ，基於之前r的選定。令G以左乘積作用於Ω上，則基於r之選定，會存在一個於Ω內的A，其具有一個會使pr+1 ∤ {\displaystyle \nmid } |θ|之軌道θ=AG。這裡會有|θ| = |AG| = [G : GA]的關係，其中GA標示為集合A的穩定子子群，因此pk | |GA|，故pk ≤ |GA|。注意在GA的作用下之於A內的兩個元素a和ga可能為不同個的，所以|A| ≥ |GA|。由上述pk ≤ |GA|和|A| ≥ |GA|兩個結果，故知|GA| = pk。然後，GA即為此一想要的群。 引論: 設G為一個有限p-群，將G作用於一個有限集合Ω上，及令Ω0為在G的作用下為固定之Ω內的點所組成之集合。然後可知|Ω| ≡ |Ω0| mod p。 證明：將Ω寫成在G下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在Ω內的元素x若在G的作用下不固定的話，其將會在其目為|G|/|Gx|之軌道上（其中Gx為穩定子），此目依題目的假設會是p的倍數（不可能為1，因為其目為1的軌道即為在G的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。 定理2：若H是G的子群且|H|=ps，以及P為G的p-西羅子群，則存在一個在G內的元素a會使得aHa-1為P的子群。特別地是，所有G的西羅p-子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若H和K為G的西羅p-子群，則存在一個G內的元素g會使得g−1Hg = K。 證明：設Ω為G內P的左陪集所組成的集合，及H以左乘積作用在Ω上。應用H於Ω上的引理，可知|Ω0| ≡ |Ω| = [G : P] mod p。由定義可知p ∤ {\displaystyle \nmid } [G : P]，所以p ∤ {\displaystyle \nmid } |Ω0|，且因為|Ω0| ≠ 0，故會存在一些gP ∈ Ω0。因此對每個於H內的元素h，hgP = gP，故g−1hgP = P且g−1hg ∈ P，且因此h ∈ gPg−1，故H會包含於某些G內元素g之gPg−1內。若H為一個西羅p-子群，則|H| = |P| = |gPg−1|，因此對某些在G內的g，H = gPg−1。 定理3：設q為一有限群G的任一西羅p-子群的目，則np | |G|/q且np ≡ 1 mod p。 證明：依定理2，np = [G : NG(P)]，其中P為任一個子群且NG(P)為於G內P的正規化子，可知此數為|G|/q的因數。令Ω為所有G的西羅p-子群所組成的集合，且P以共軛作用於Ω上。設Q ∈ Ω0並可知對所有x ∈ P，Q = xQx−1，因此P ⊆ NG(Q)。依定理2，P和Q會於NG(Q)內共軛，尤其是Q會在NG(Q)為正規，故可知P = Q。由上可知Ω0 = {P}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω0| = 1 mod p。 由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅p-子群可以在多項式時間內被找到。 Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. link H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". Archiv der Mathematik, 10:401-402, 1959. M. L. Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. Math. Ann. 1872. doi:10.1007/BF01442913.