浸没 (数学)

数学中，浸没（submersion）是微分流形之间的可微映射，其微分处处为满射。这是微分拓扑中的一个基本概念。浸没与浸入对偶。 令M、N是微分流形， f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} 是它们间的可微映射。映射f是点 p ∈ M {\displaystyle p\in M} 处的浸没，若其微分 D f p : T p M → T f ( p ) N {\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N} 是线性满射。这种情况下，p被称作映射f的正则点（regular point）；否则，p就是临界点。若原像 f − 1 ( q ) {\displaystyle f^{-1}(q)} 中所有的点p都是正则点，则点 q ∈ N {\displaystyle q\in N} 是f的正则值。在每点 p ∈ M {\displaystyle p\in M} 上都是浸没的可微映射f也称作浸没，等价地，若f的微分 D f p {\displaystyle Df_{p}} 的秩等于N的维度，则f是浸没。 需要注意：有人用“临界点”描述f的雅可比矩阵的秩不取最大值的点。这在奇异理论中是更有用的概念。若M的维度不小于N的维度，则这两个临界点的概念是重合的；但若M的维度小于N的维度，则据上述定义，所有点都是临界点（微分不可能是满射），而雅可比矩阵的秩仍可能是最大的（若等于M的维度）。上述定义更常用，如在萨德定理的表述中。 给定m维、n维光滑流形之间的浸没 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} ， ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M} ，有围绕x的M的满射图（chart） ϕ : U → R m {\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}} 、围绕 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的N的 ψ : V → R n {\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}} ，使得f限制到浸没 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} ，用坐标表示为 ψ ∘ f ∘ ϕ − 1 : R m → R n {\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} ，就变为普通的正交投影。应用中， ∀ p ∈ N {\displaystyle \forall p\in N} ，f对应的纤维表示为 M p = f − 1 ( { p } ) {\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})} ，可配备M的光滑子流形结构，其维度等于N与M维度之差。 该定理是反函数定理的结果（见反函数定理#流形）。 例如，考虑 f : R 3 → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } 由 f ( x , y , z ) = x 4 + y 4 + z 4 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}} 给出。雅各比矩阵是 [ ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ] = [ 4 x 3 4 y 3 4 z 3 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.} 除原点外，这在每一点都有最大秩。另外，纤维 f − 1 ( { t } ) = { ( a , b , c ) ∈ R 3 : a 4 + b 4 + c 4 = t } {\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}} 在 t < 0 {\displaystyle t<0} 时是空集， t = 0 {\displaystyle t=0} 时等于一个点。因此，我们只有一个光滑浸没 f : R 3 ∖ { ( 0 , 0 , 0 ) } → R > 0 , {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},} 与子集 M t = { ( a , b , c ) ∈ R 3 : a 4 + b 4 + c 4 = t } {\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}} 是 t > 0 {\displaystyle t>0} 时的2维光滑流形。 任何投影 π : R m + n → R n ⊂ R m + n {\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}} 局部微分同胚 黎曼浸没 光滑向量丛或更一般的光滑纤维化中的投影。微分的满射性是局部平凡化存在的必要条件。 浸没的一大类例子是高维球面之间的浸没，例如 f : S n + k → S k {\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}} 其纤维维度为n，这是因为纤维（元素 p ∈ S k {\displaystyle p\in S^{k}} 的反像）是n维光滑流形。那么，若取路径 γ : I → S k {\displaystyle \gamma :I\to S^{k}} 并取拉回 M I → S n + k ↓ ↓ f I → γ S k {\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}} 就得到了一种特殊的协边的例子，称作有框架协边。实际上，有框协边群 Ω n f r {\displaystyle \Omega _{n}^{fr}} 与稳定同伦群密切相关。 另一大类浸没由代数簇 π : X → S {\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S} 给出，其纤维是光滑代数簇。若考虑其底流形，则得到光滑流形。例如椭圆曲线的魏尔施特拉斯族 π : W → A 1 {\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}} 是被广泛研究的浸没，因为其包含了许多用于展示更复杂理论的技术，如交同调与错致层。这一族来自 W = { ( t , x , y ) ∈ A 1 × A 2 : y 2 = x ( x − 1 ) ( x − t ) } {\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}} 其中 A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} 是仿射线， A 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{2}} 是仿射平面。由于考虑的是复簇，它们等价于复线与复平面 C , C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}} 。注意我们实际上应该去掉 t = 0 , 1 {\displaystyle t=0,1} ，因为那里有奇点（有双根）。 若 f :   M → N {\displaystyle f:\ M\to N} 是p处的浸没， f ( p ) = q ∈ N {\displaystyle f(p)=q\in N} ，则在M中存在p的开邻域U、在N中存在q的开邻域V，在p处有局部坐标 ( x 1 ,   … ,   x m ) {\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{m})} ，在q处有局部坐标 ( x 1 ,   … ,   x n ) {\displaystyle (x_{1},\ \ldots ,\ x_{n})} ，使得 f ( U ) = V {\displaystyle f(U)=V} ，且在这些局部坐标中的映射f是标准投影 f ( x 1 , … , x n , x n + 1 , … , x m ) = ( x 1 , … , x n ) . {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).} 可知，在可微映射 f :   M → N {\displaystyle f:\ M\to N} 的作用下，N中的正则值q在M中的全原像 f − 1 ( q ) {\displaystyle f^{-1}(q)} 要么是空的，要么是 d i m M − d i m N {\displaystyle {\rm {dim}}M-{\rm {dim}}N} 维微分流形，但可能不连通。这是正则值定理的内容（也叫浸没定理）。尤其是，若f是浸没，则 ∀ q ∈ N {\displaystyle \forall q\in N} ，结论都成立。 一般拓扑流形的浸没也是良定义的。拓扑流形浸没是连续满射 f :   M → N {\displaystyle f:\ M\to N} ，使得 ∀ p ∈ M {\displaystyle \forall p\in M} ，对p上的某连续图ψ、f(p)处的φ，映射 ψ − 1 ∘ f ∘ φ {\displaystyle \psi ^{-1}\circ f\circ \varphi } 等于射影映射 R m → R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} （ m = d i m ( M ) ≥ n = d i m ( N ) {\displaystyle m={\rm {dim}}(M)\geq n={\rm {dim}}(N)} ）。 埃雷斯曼纤维化定理 Crampin & Pirani 1994，第243頁. do Carmo 1994，第185頁. Frankel 1997，第181頁. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004，第12頁. Kosinski 2007，第27頁. Lang 1999，第27頁. Sternberg 2012，第378頁. Arnold, Gusein-Zade & Varchenko 1985. Lang 1999，第27頁. Arnold, Vladimir I.; Gusein-Zade, Sabir M.; Varchenko, Alexander N. Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9.  Bruce, James W.; Giblin, Peter J. Curves and Singularities. Cambridge University Press. 1984. ISBN 0-521-42999-4. MR 0774048.  Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward. Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-23190-9.  含有內容需登入查看的頁面 (link) do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian Geometry. 1994. ISBN 978-0-8176-3490-2.  Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. MR 1481707.  Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques. Riemannian Geometry 3rd. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-20493-0.  Kosinski, Antoni Albert. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. 2007 [1993]. ISBN 978-0-486-46244-8.  Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.  Sternberg, Shlomo Zvi. Curvature in Mathematics and Physics. Mineola, New York: Dover Publications. 2012. ISBN 978-0-486-47855-5.  https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）