卢卡斯定理

在数论中，盧卡斯定理（英語：Lucas's theorem）用于计算二项式系数 ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} 被质数 p {\displaystyle p} 除的所得的余数。 卢卡斯定理首次出现在1878年法國數學家爱德华·卢卡斯的论文中。 对于非负整数 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 和素数 p {\displaystyle p} ， 同余式: ( m n ) ≡ ∏ i = 0 k ( m i n i ) ( mod p ) , {\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},} 成立。其中： m = m k p k + m k − 1 p k − 1 + ⋯ + m 1 p + m 0 , {\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},} 并且 n = n k p k + n k − 1 p k − 1 + ⋯ + n 1 p + n 0 {\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}} 是 m {\displaystyle m} 和 n {\displaystyle n} 的 p {\displaystyle p} 进制展开。当 m < n {\displaystyle m<n} 时，二项式系数  ( m n ) = 0 {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}=0} 。 二项式系数 ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}}  可被素数 p {\displaystyle p} 整除当且仅当在 p {\displaystyle p} 进制表达下 n {\displaystyle n} 的某一位的数值大于 m {\displaystyle m} 对应位的数值。 这是 庫默爾定理 的一个特殊情况。 卢卡斯定理有多种证明方法。 下面首先给出一种组合方法的证明，然后给出了一种基于母函数方法的证明。 设 M {\displaystyle M} 为 m {\displaystyle m} 元集，将其划分为 m i {\displaystyle m_{i}} 个长度为 p i {\displaystyle p^{i}} 的循环。然后这些循环中的每一个都可以单独轮换，因此作为循环群 C p i {\displaystyle {C_{p}}^{i}} 的笛卡尔积的群 G {\displaystyle G} 作用于 M {\displaystyle M} 。因此，它也作用于大小为 n {\displaystyle n} 的子集 N {\displaystyle N} 。由于 G {\displaystyle G} 中的元素数量是 p {\displaystyle p} 的幂，因此它的任何轨道都是如此。因此，为了计算 ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} 模 p {\displaystyle p} ，我们只需要考虑这个群作用的不动点。不动点是一些循环的并集。准确地说，可以通过对 k − i {\displaystyle k-i} 的归纳来证明， N {\displaystyle N} 必须恰好有 n i {\displaystyle n_{i}} 个长度为 p i {\displaystyle p^{i}} 的循环。因此， N {\displaystyle N} 的个数正好是 ∏ i = 0 k ( m i n i ) ( mod p ) {\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}}} 。 本证明由Nathan Fine给出。 对于素数 p {\displaystyle p} 和 n {\displaystyle n} ，满足 1 ≤ n ≤ p − 1 {\displaystyle 1\leq n\leq p-1} , 二项式系数 ( p n ) = p ⋅ ( p − 1 ) ⋯ ( p − n + 1 ) n ⋅ ( n − 1 ) ⋯ 1 {\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p\cdot (p-1)\cdots (p-n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 1}}} 可被 p {\displaystyle p} 整除。由此可得，在母函数中 ( 1 + X ) p ≡ 1 + X p ( mod p ) . {\displaystyle (1+X)^{p}\equiv 1+X^{p}{\pmod {p}}.} 应用数学归纳法可证，对于任意非负整数 i {\displaystyle i} ，有 ( 1 + X ) p i ≡ 1 + X p i ( mod p ) . {\displaystyle (1+X)^{p^{i}}\equiv 1+X^{p^{i}}{\pmod {p}}.} 对于任意非负整数 m {\displaystyle m} 和素数 p {\displaystyle p} ，将 m {\displaystyle m} 用 p {\displaystyle p} 进制表示，即 m = ∑ i = 0 k m i p i {\displaystyle m=\sum _{i=0}^{k}m_{i}p^{i}}  ，其中 k {\displaystyle k} 为非负整数、 m i {\displaystyle m_{i}} 为整数且 0 ≤ m i ≤ p − 1 {\displaystyle 0\leq m_{i}\leq p-1} 。注意到 ∑ n = 0 m ( m n ) X n = ( 1 + X ) m = ∏ i = 0 k ( ( 1 + X ) p i ) m i ≡ ∏ i = 0 k ( 1 + X p i ) m i = ∏ i = 0 k ( ∑ n i = 0 m i ( m i n i ) X n i p i ) = ∏ i = 0 k ( ∑ n i = 0 p − 1 ( m i n i ) X n i p i ) = ∑ n = 0 m ( ∏ i = 0 k ( m i n i ) ) X n ( mod p ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{m}{\binom {m}{n}}X^{n}&=(1+X)^{m}=\prod _{i=0}^{k}\left((1+X)^{p^{i}}\right)^{m_{i}}\\&\equiv \prod _{i=0}^{k}\left(1+X^{p^{i}}\right)^{m_{i}}=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{m_{i}}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)\\&=\prod _{i=0}^{k}\left(\sum _{n_{i}=0}^{p-1}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}X^{n_{i}p^{i}}\right)=\sum _{n=0}^{m}\left(\prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}\right)X^{n}{\pmod {p}},\end{aligned}}} 其中 n i {\displaystyle n_{i}} 是 n {\displaystyle n} 的 p {\displaystyle p} 进制表达的第 i {\displaystyle i} 位。此即证明了本定理。 二项式系数 ( m n ) {\displaystyle {\tbinom {m}{n}}} 中含有质数 p {\displaystyle p} 的幂次为算式 n {\displaystyle n} 和 m − n {\displaystyle m-n} 在 p {\displaystyle p} 进制下进行相加计算的进位次数。(被称为庫默爾定理.) Andrew Granville将卢卡斯定理由素数推广到了到素数的幂次。 Edouard Lucas. Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques. American Journal of Mathematics. 1878, 1 (2): 184–196. JSTOR 2369308. MR 1505161. doi:10.2307/2369308.  (part 1); Fine, Nathan. Binomial coefficients modulo a prime. American Mathematical Monthly. 1947, 54: 589–592. doi:10.2307/2304500.  Andrew Granville. Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers (PDF). Canadian Mathematical Society Conference Proceedings. 1997, 20: 253–275 [2016-09-30]. MR 1483922. （原始内容 (PDF)存档于2017-02-02）.  Lucas's Theorem at PlanetMath. Alternate Proof of Lucas'Theorem