切比雪夫滤波器

切比雪夫滤波器（又译柴比雪夫滤波器，英語：chebyshev filter），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。 这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。 I型切比雪夫滤波器最为常见。 n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示： G n ( ω ) = | H n ( j ω ) | = 1 1 + ϵ 2 T n 2 ( ω ω 0 ) {\displaystyle G_{n}(\omega )=\left|H_{n}(j\omega )\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)}}}} 其中： | ϵ | < 1 {\displaystyle |\epsilon |<1} 而 | H ( ω 0 ) | = 1 1 + ϵ 2 {\displaystyle |H(\omega _{0})|={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}} 是滤波器在截止频率 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 的放大率 (注意: 常用的以幅度下降3分贝的频率点作为截止频率的定义不适用于切比雪夫滤波器!)[來源請求] T n ( ω ω 0 ) {\displaystyle T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)} 是 n {\displaystyle n} 阶切比雪夫多项式： T n ( Ω ) = cos ⁡ ( n ⋅ arccos ⁡   Ω ) ; 0 ≤ Ω ≤ 1 {\displaystyle T_{n}(\Omega )=\cos(n\cdot \arccos \ \Omega );0\leq \Omega \leq 1} T n ( Ω ) = cosh ⁡ ( n ⋅ ( ⁡ a r c c o s h Ω ) ; Ω > 1 {\displaystyle T_{n}(\Omega )=\cosh(n\cdot \operatorname {(} arccosh\Omega );\Omega >1} 其中 Ω = ω ω 0 {\displaystyle \Omega ={\frac {\omega }{\omega _{0}}}} 或: T n ( ω ω 0 ) = a 0 + a 1 ω ω 0 + a 2 ( ω ω 0 ) 2 + ⋯ + a n ( ω ω 0 ) n ; 0 ≤ ω ≤ ω 0 {\displaystyle T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}{\frac {\omega }{\omega _{0}}}+a_{2}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}+\,\cdots \,+a_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{n};0\leq \omega \leq \omega _{0}} T n ( ω ω 0 ) = ( ω ω 0 ( ω ω 0 ) 2 − 1 ) n + ( ω ω 0 ( ω ω 0 ) 2 − 1 ) − n 2 ; ω > ω 0 {\displaystyle T_{n}\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)={\frac {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{n}+\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}{\sqrt {\left({\frac {\omega }{\omega _{0}}}\right)^{2}-1}}\right)^{-n}}{2}};\omega >\omega _{0}} 切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。 切比雪夫滤波器的幅度波动 = 20 log 10 ⁡ 1 + ϵ 2 {\displaystyle 20\log _{10}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}} 分贝 当 ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} ,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。 如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 j ω {\displaystyle j\omega } 轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。 也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。 II型切比雪夫滤波器的转移函数为： | H ( ω ) | 2 = 1 1 + 1 ϵ 2 T n 2 ( ω 0 / ω ) {\displaystyle \left|H(\omega )\right|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{\epsilon ^{2}T_{n}^{2}\left(\omega _{0}/\omega \right)}}}}} 参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系： ϵ = 1 10 0.1 γ − 1 {\displaystyle \epsilon ={\frac {1}{\sqrt {10^{0.1\gamma }-1}}}} 分贝。 5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。 截止频率 fC = ωC/2 π。 -3分贝频率fH 和截止频率 fC 有如下关系： f H = f C cosh ⁡ ( 1 n cosh − 1 ⁡ 1 ϵ ) {\displaystyle f_{H}=f_{C}\cosh \left({\frac {1}{n}}\cosh ^{-1}{\frac {1}{\epsilon }}\right)} 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。 下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。 两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。 贝塞耳滤波器 巴特沃斯滤波器 梳状滤波器 椭圆函数滤波器 Rolf Schaumann et al, p295 Rolf Schaumann p295-298 Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013 Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978