依賴選擇公理

在數學上，依賴選擇公理（ D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} ，英語：Axiom of dependent choice）是選擇公理（ A C {\displaystyle {\mathsf {AC}}} ）較弱的版本，但依賴選擇公理依舊足以發展實分析絕大多數的內容。依賴選擇公理最早由保羅·伯奈斯（英语：Paul Bernays）於1942年一篇討論哪些集合論公理對發展數學分析是必要的文章中引入。 若一個 X {\displaystyle X} 上的齊次關係（英语：homogeneous relation） R {\displaystyle R} 被稱作全關係，則對於所有的 a ∈ X , {\displaystyle a\in X,} 而言，皆存在有一個 b ∈ X {\displaystyle b\in X} ，使得 a R   b {\displaystyle a\,R~b} 成立。 依賴選擇公理的表述如下： 對於任意非空集合 X {\displaystyle X} 及任意 X {\displaystyle X} 上的全關係 R {\displaystyle R} 而言，皆存在有一個 X {\displaystyle X} 上的序列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，使得以下陳述成立： 對於任意的 n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} 而言， x n R   x n + 1 {\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}} 若限制上述的 X {\displaystyle X} 為所有實數的集合，那相關公理可表記為 D C R . {\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.} 即使在沒有這條公理的狀況下，對於任意的 n {\displaystyle n} ，依舊可用一般的數學歸納法造出如此序列的最前面 n {\displaystyle n} 項；而依賴選擇公理說的是我們可用此種方式造出整個（可數無限的）序列。 D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 這條公理是 A C {\displaystyle {\mathsf {AC}}} 的片斷，而在「必須於每一步都做出選擇」且「一些選擇無法在不仰賴先前選擇的情形下獨立做出」的狀況下證明「存在有可以可數長度的超限遞歸建構的序」列時，這條公理是必須的。 在策梅洛-弗蘭克爾集合論 Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} 的框架下， D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 等同於完備度量空間上的貝爾綱定理。 在 Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} 的框架下，這公理也等價於勒文海姆–斯科倫定理。 D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 在 Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} 的框架下也與「所有有 ω {\displaystyle \omega } 層且剪枝過的樹（英语：pruned tree）都有分支（英语：Branch (descriptive set theory)）」這陳述等價。 不僅如此， D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 也與弱化版的佐恩引裡等價；特別地， D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 與「任何使得所有良序鏈都有限且有界的偏序，都必然有極大元素」這敘述等價。 和完整版的 A C {\displaystyle {\mathsf {AC}}} 不同的是， D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} 在 Z F {\displaystyle {\mathsf {ZF}}} 的框架下，不足以證明說有些實數集是不可測集，也不足以證明有些實數集合不具有貝爾性質或完美集性質（英语：perfect set property）；而由於梭羅維模型滿足 Z F + D C {\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}} ，且在此模型中所有的實數集合都是勒貝格可測集、都具有貝爾性質和完美集性質之故，因此這說法成立。 依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，且嚴格強於可數選擇公理。 "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-23）.  The axiom of dependent choice is stated on p. 86. Moore states that "Principle of Dependent Choices ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } Löwenheim–Skolem theorem" — that is, D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. 1982: 325. ISBN 0-387-90670-3.  「貝爾綱定理蘊含依賴選擇公理」─Blair, Charles E. The Baire category theorem implies the principle of dependent choices. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 1977, 25 (10): 933–934.  The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. Computability and Logic 3rd. Cambridge University Press. 1989: 155–156. ISBN 0-521-38026-X.  含有內容需登入查看的頁面 (link) Wolk, Elliot S., On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma 26 (3), Canadian Mathematical Bulletin: 365–367, 1983 [2022-07-23], doi:10.4153/CMB-1983-062-5 , （原始内容存档于2022-07-23）  伯奈斯證明說依賴選擇公理蘊含可數選擇公理，相關資料可見於Bernays, Paul. Part III. Infinity and enumerability. Analysis. (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 1942, 7 (2): 65–89 [2022-07-23]. JSTOR 2266303. MR 0006333. doi:10.2307/2266303. （原始内容存档 (PDF)于2022-07-23）. 的第86頁 對於可數選擇公理不蘊含依賴選擇公理這點，可見Jech, Thomas, The Axiom of Choice, North Holland: 130–131, 1973, ISBN 978-0-486-46624-8  Jech, Thomas. Set Theory Third Millennium. Springer-Verlag. 2003. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.