数论

數論（英語：Number theory）是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性質，被稱為「最純」的數學領域。 數學是科學的皇后，數論是數學的皇后。 ——卡尔·弗里德里希·高斯 正整数按乘法性质划分，可以分成質数，合数，1，質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題，如哥德巴赫猜想，孿生質數猜想等。即，很多問題虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外，也研究一些由整數衍生的數（如有理數）或是一些廣義的整數（如代數整數）。 整数可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 數論早期也稱為算術，而算術一詞則表示「基本運算」，在现代数论诞生前，早期铺垫有三大内容： 欧几里得证明质数无穷多。 寻找质数的埃拉托斯特尼筛法；欧几里得求最大公约数的辗转相除法。 公元420至589年（中国南北朝时期）的孙子定理。 在中世紀早期，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的数学家斐波那契有關等差数列的研究外，西欧在數論上沒有什麼進展。 中世纪数论主要是指15-16世纪由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的数论。最早是在文藝復興的末期，對於古希臘著作的重新研究。主要的成因是因為丟番圖的《算術》（Arithmetica）一書的校正及翻譯為拉丁文，早在1575年Xylander曾試圖翻譯，但不成功，後來才由Bachet在1621年翻譯完成。 皮埃爾·德·費馬（1601–1665）沒有著作出版，他在數論上的貢獻幾乎都在他寫給其他數學家的信上，以及書旁的空白處。費馬的貢獻幾乎沒有數論上的證明，不過費馬重覆的使用數學歸納法，並引入无穷递降法。 費馬最早的興趣是在完全數及相亲数，因此開始研究整數因數，這也開始1636年之後的數學研究，也接觸到當時的數學社群。他已在1643年研讀過巴歇（英语：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）版本的丟番圖著作，他的興趣開始轉向丟番圖方程和平方數的和。 費馬在數論上的貢獻有： 費馬小定理 (1640)，若 a {\displaystyle a} 不是質數 p {\displaystyle p} 的倍數，則 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) . {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}.} 若 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 互質，則 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 無法被任何除4後同餘-1的質數整除，而且每個除4後同餘1的質數都可以表示為 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} .，這二個是在1640年證明的，在1649年他在寫給惠更斯的信上提到他用无穷递降法證明的第二個問題，費馬和福蘭尼可（英语：Frenicle）在其他平方形式上也有一些貢獻，不過其中有些錯誤及不嚴謹之處。 向英國的數學家提出了求解 x 2 − N y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1} 的挑戰（1657年），但在幾個月後就由Wallis及Brouncker證明。費馬認為他們的證明有效，但用了一個在其中未經證明的演算法，費馬自己是由无穷递降法找到證明。 發展許多找亏格0或1曲線上點的方法，作法類似丟番圖，有許多特殊的步驟，使用了切線法構建曲線，而不是用割線法。 證明 x 4 + y 4 = z 4 {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}} 不存在非尋常的正整數解。 費馬在1637年聲稱（費馬最後定理）證明了對於大於2的任意整數 n {\displaystyle n} ，不存在 x n + y n = z n {\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}} 的非尋常的正整數解（目前已知唯一的证明是由數學家安德魯·懷爾斯及其學生理查·泰勒于1994年完成的證明），但只在一本丟番圖著作的旁邊寫到，而且他沒有向別人宣稱他已有了證明。 歐拉(1707–1783)對數論的興趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引發，讓他開始專注在費馬的一些研究上，在費馬沒有使當代的數學家注意此一主題後，歐拉的出現稱為「現代數論的重生」。歐拉數論的貢獻包括以下幾項： 費馬研究的證明，包括費馬小定理（歐拉延伸到非質數的模數），以及 p = x 2 + y 2 {\displaystyle p=x^{2}+y^{2}} 若且唯若 p ≡ 1 m o d 4 {\displaystyle p\equiv 1\;mod\;4} ，這項研究可推導到所有整數都可以表示為四個平方數的證明（第一個完整證明是由約瑟夫·拉格朗日提出，費馬很快的也提出證明），和 x 4 + y 4 = z 2 {\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}} 沒有非零整數解的證明，表示為費馬最後定理 n = 4 {\displaystyle n=4} 時成立，歐拉用類似方式證明了 n = 3 {\displaystyle n=3} 的情形。 佩爾方程，最早誤以為是歐拉證明，歐拉也寫了連分數和佩爾方程的關係。 二次式，繼費馬之後，歐拉繼續研究哪些質數可以表示為 x 2 + N y 2 {\displaystyle x^{2}+Ny^{2}} ，其中有些顯示二次互反律的性質 。 丟番圖方程：歐拉研究一些虧格為0或1的丟番圖方程，特別的是他研讀丟番圖的著作，試圖要找到系統化的方法，但時機尚不成熟，幾何數論才剛形成而已。歐拉有注意到丟番圖方程和椭圆积分之間的關係。 初等數論 意指使用不超過高中程度的初等代數處理的數論問題，最主要的工具包括整數的整除性與同餘。重要的結論包括中國餘數定理、費馬小定理、二次互反律等等。 解析數論 借助微積分及複分析的技術來研究關於整數的問題，主要又可以分為積性數論（英语：Multiplicative number theory）與加性數論兩類。積性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討質數分佈的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。此外例如篩法、圓法等等都是屬於這個範疇的重要議題。 代數數論 引申代數數的話題，關於代數整數的研究，主要的研究目標是為了更一般地解決不定方程的問題，而為了達到此目的，這個領域與代數幾何之間有相當關聯，比如類域論（class field theory）就是此間的顛峰之作。 算術代数幾何 研究有理係數多變數方程組的有理點，其結構（主要是個數）和該方程組對應的代數簇的幾何性質之間的關係，有名的費馬最後定理、莫德爾猜想（法爾廷斯定理）、Weil猜想（英语：Weil conjectures），和千禧年大獎難題中的貝赫和斯維訥通-戴爾猜想都屬此類。 幾何数论 主要在於透過幾何觀點研究整數（在此即格子點）的分佈情形。最著名的定理為闵可夫斯基定理。 計算数论 借助電腦的算法幫助數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的話題。 超越数论 研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的黎曼ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。 組合数论 利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保罗·埃尔德什開創的思路。 模形式 數學上一個滿足一些泛函方程與增長條件、在上半平面上的（複）解析函數。 密碼學 孙子定理 素数 哥德巴赫猜想 素数公式 埃拉托斯特尼筛法 双生质数 有限域 p進數 德语原文“Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik.” 1952年時數學家哈罗德·达文波特（英语：Harold Davenport）仍用「高等算術」一詞來表示數論，戈弗雷·哈羅德·哈代和愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》，某方面而言是更合適的書名，但也容易讓讀者誤會其中的內容」 不過在20世紀的後半，有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。到20世紀初，才開始使用數論的名稱 The Queen of Mathematics. 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