高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作 Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} ，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。 Z [ i ] = { a + b i ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}} 高斯整數的范数都是非負整數，定義為 N ( z w ) = N ( z ) N ( w ) {\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)} Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} 單位元 1 , − 1 , i , − i {\displaystyle 1,-1,i,-i} 的範數均為 1 {\displaystyle 1} 。 高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为 1 , − 1 , i , − i {\displaystyle 1,-1,i,-i} 。 Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} 的素元素又称为高斯質數。 高斯整数 a + b i {\displaystyle a+bi} 是素数当且仅当： a , b {\displaystyle a,b} 中有一个是零，另一个是形为 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} 或其相反数 − ( 4 n + 3 ) {\displaystyle -(4n+3)} 的素数 或 a , b {\displaystyle a,b} 均不为零，而 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 为素数。 以下给出这些条件的证明。 必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数 g {\displaystyle g} ， g ∣ g g ¯ = N ( g ) {\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)} 。现在， N ( g ) {\displaystyle N(g)} 是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数 p 1 p 2 ⋯ p n {\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}} 的乘积。根据素数的定义，如果 g {\displaystyle g} 是素数，则它可以整除 p i {\displaystyle p_{i}} ，对于某个 i {\displaystyle i} 。另外， g ¯ {\displaystyle {\overline {g}}} 可以整除 p i ¯ = p i {\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}} ，因此 N ( g ) = g g ¯ ∣ p i 2 {\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}} 。于是现在只有两种选择：要么 g {\displaystyle g} 的范数是素数，要么是素数的平方。 如果实际上对于某个素数 p {\displaystyle p} ，有 N ( g ) = p 2 {\displaystyle N(g)=p^{2}} ，那么 g {\displaystyle g} 和 g ¯ {\displaystyle {\overline {g}}} 都能整除 p 2 {\displaystyle p^{2}} 。它们都不能是可逆元，因此 g = p u {\displaystyle g=pu} ，以及 g ¯ = p u ¯ {\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}} ，其中 u {\displaystyle u} 是可逆元。这就是说，要么 a = 0 {\displaystyle a=0} ，要么 b = 0 {\displaystyle b=0} ，其中 g = a + b i {\displaystyle g=a+bi} 。 然而，不是每一个素数 p {\displaystyle p} 都是高斯素数。 2 {\displaystyle 2} 就不是高斯素数，因为 2 = ( 1 + i ) ( 1 − i ) {\displaystyle 2=(1+i)(1-i)} 。高斯素数不能是 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} 的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成 a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 的形式，其中 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 是整数，且 a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)} 。剩下的就只有形为 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} 的素数了。 形为 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} 的素数也是高斯素数。假设 g = p + 0 i {\displaystyle g=p+0i} ，其中 p = 4 n + 3 {\displaystyle p=4n+3} 是素数，且可以分解为 g = h k {\displaystyle g=hk} 。那么 p 2 = N ( g ) = N ( h ) N ( k ) {\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)} 。如果这个分解是非平凡的，那么 N ( h ) = N ( k ) = p {\displaystyle N(h)=N(k)=p} 。但是，任何两个平方数的和都不能写成 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} 的形式。因此分解一定是平凡的，所以 g {\displaystyle g} 是高斯素数。 类似地， i {\displaystyle i} 乘以一个形为 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} 的素数也是高斯素数，但 i {\displaystyle i} 乘以形为 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} 的素数则不是。 如果 g {\displaystyle g} 是范数为素数的高斯整数，那么 g {\displaystyle g} 是高斯素数。这是因为如果 g = h k {\displaystyle g=hk} ，那么 N ( g ) = N ( h ) N ( k ) {\displaystyle N(g)=N(h)N(k)} 。由于 N ( g ) {\displaystyle N(g)} 是素数，因此 N ( h ) {\displaystyle N(h)} 或 N ( k ) {\displaystyle N(k)} 一定是1，所以 h {\displaystyle h} 或 k {\displaystyle k} 一定是可逆元。 高斯整数环是 Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。 在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为 2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} 个单位。因此， Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} 是一个欧几里德环，其中 v ( z ) = N ( z ) {\displaystyle v(z)=N(z)} 。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如 ⟨ a + b i ⟩ {\displaystyle \langle a+bi\rangle } 。若 ( a , b ) = 1 {\displaystyle (a,b)=1} ，則對應的商是： Z [ i ] / ⟨ a + b i ⟩ ≅ Z a 2 + b 2   =   { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] ⋯ , [ a 2 + b 2 − 1 ] } . {\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.} 高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。 关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如： 实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数 3 , 7 , 11 , 19 , … {\displaystyle 3,7,11,19,\dots } 。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为 1 {\displaystyle 1} 的直线上存在无穷多个高斯素数吗？ 在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？ 艾森斯坦整數 费马平方和定理 二次互反律 存档副本. [2022-01-01]. （原始内容存档于2015-09-23）.  C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148. 从数到环：环论的早期历史，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35) Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5