冪

在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为 幂（英語：mathematical power，power）；由此，若 n {\displaystyle n} 為正整數， n {\displaystyle n} 个相同的数 b {\displaystyle b} 连续相乘（即 b {\displaystyle b} 自乘 n {\displaystyle n} 次），就可将 b n {\displaystyle b^{n}} 看作乘方的结果 ——“幂”。 b n = b × ⋯ × b ⏟ n {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}} 幂運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪，是數學運算，表達式為 b n {\displaystyle b^{n}} ，讀作「 b {\displaystyle b} 的 n {\displaystyle n} 次方」或「 b {\displaystyle b} 的 n {\displaystyle n} 次幂」。其中， b {\displaystyle b} 稱為底數，而 n {\displaystyle n} 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。在純文字格式等不能用上標的情況，例如在編程語言或電子郵件中， b n {\displaystyle b^{n}} 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。 當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“ b {\displaystyle b} 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“ b {\displaystyle b} 的立方”。 由於在十进制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂則在計算機科學中相當重要。 起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（ b {\displaystyle b} ）自乘指數（ n {\displaystyle n} ）這麼多次[需要解释]。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即： b 0 = 1 ( b ≠ 0 ) {\displaystyle b^{0}=1\qquad (b\neq 0)} b − n = 1 b × ⋯ × b ⏟ n = 1 b n = ( 1 b ) n ( b ≠ 0 ) {\displaystyle b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)} 。 若以分數為指數的冪，則定義： b n m = b n m {\displaystyle b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}} ， 即 b {\displaystyle b} 的 n {\displaystyle n} 次方再开 m {\displaystyle m} 次方根。 0的0次方（ 0 0 {\displaystyle 0^{0}} ）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 。 此外，當 n {\displaystyle n} 是複數，且 b {\displaystyle b} 是正實數時， b n = exp ⁡ ( n ln ⁡ ( b ) ) {\displaystyle b^{n}=\exp(n\ln(b))} exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。 同底数幂相乘，底数不变，指数相加： a m × a n = a m + n {\displaystyle a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}} 同底数幂相除，底数不变，指数相减： a m ÷ a n = a m − n {\displaystyle a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}} 同指数幂相除，指数不变，底数相除( b {\displaystyle b} 不為0)： a n b n = ( a b ) n {\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}} x m n = x m n {\displaystyle x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}} x − m = 1 x m ( x ≠ 0 ) {\displaystyle x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)} x 0 = 1 ( x ≠ 0 ) {\displaystyle x^{0}=1\qquad (x\neq 0)} x 1 = x {\displaystyle x^{1}=x\,\!} x − 1 = 1 x ( x ≠ 0 ) {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)} 加法和乘法存在交换律，比如： 2 + 3 = 5 = 3 + 2 {\displaystyle 2+3=5=3+2} ， 2 × 3 = 6 = 3 × 2 {\displaystyle 2\times 3=6=3\times 2} ，但是幂的运算不存在交换律， 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} ，但是 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} 。 同样，加法和乘法存在结合律，比如： ( 2 + 3 ) + 4 = 9 = 2 + ( 3 + 4 ) {\displaystyle (2+3)+4=9=2+(3+4)} ， ( 2 × 3 ) × 4 = 24 = 2 × ( 3 × 4 ) {\displaystyle (2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)} 。不過，冪運算沒有結合律： ( 2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 {\displaystyle (2^{3})^{4}=8^{4}=4096} ，而 2 ( 3 4 ) = 2 81 = 2 , 417 , 851 , 639 , 229 , 258 , 349 , 412 , 352 {\displaystyle 2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352} ，所以 ( 2 3 ) 4 ≠ 2 ( 3 4 ) {\displaystyle (2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}} 。 但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律： a m ⋅ a n = a m + n {\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}} a m a n = a m − n {\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}} ( a m ) n = a m n {\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}} a m n = a m n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}} a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) n {\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}} a n b n = ( a b ) n {\displaystyle {\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}} 整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。 表达式 a 2 = a ⋅ a {\displaystyle a^{2}=a\cdot a} 被称作 a {\displaystyle a} 的平方，因为边长为 a {\displaystyle a} 的正方形面积是 a 2 {\displaystyle a^{2}} 。 表达式 a 3 = a ⋅ a ⋅ a {\displaystyle a^{3}=a\cdot a\cdot a} 被称作 a {\displaystyle a} 的立方，因为邊长为 a {\displaystyle a} 的正方体体积是 a 3 {\displaystyle a^{3}} 。 所以 3 2 {\displaystyle 3^{2}} 读作「3的平方」， 2 3 {\displaystyle 2^{3}} 读作「2的立方」。 指数表示的是底数反复相乘多少次。比如 3 5 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243 {\displaystyle 3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243} ，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。 或者，整数指数幂可以递归地定义成： a n = { 1 ( n = 0 ) a ⋅ a n − 1 ( n > 0 ) ( 1 a ) − n ( n < 0 ) {\displaystyle a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}} 注意 3 1 {\displaystyle 3^{1}} 表示仅仅1个3的乘积，就等于3。 注意 3 5 = 3 × 3 4 {\displaystyle 3^{5}=3\times 3^{4}} ， 3 4 = 3 × 3 3 {\displaystyle 3^{4}=3\times 3^{3}} ， 3 3 = 3 × 3 2 {\displaystyle 3^{3}=3\times 3^{2}} ， 3 2 = 3 × 3 1 {\displaystyle 3^{2}=3\times 3^{1}} ， 继续，得到 3 1 = 3 × 3 0 = 3 {\displaystyle 3^{1}=3\times 3^{0}=3} ，所以 3 0 = 1 {\displaystyle 3^{0}=1} 另一个得到此结论的方法是：通过运算法则 x n x m = x n − m {\displaystyle {\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}} 当 m = n {\displaystyle m=n} 时， 1 = x n x n = x n − n = x 0 {\displaystyle 1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}} 任何数的1次方是它本身。 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} ，在程式语言中（python） 0 ∗ ∗ 0 = 1 {\displaystyle 0**0=1} 在这里给出这一种极限的看法 lim x → 0 + x x = 0 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}} 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图 我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。 a − 1 = 1 a {\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}} 对于非零 a {\displaystyle a} 定义 a − n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}} , 而 a = 0 {\displaystyle a=0} 时分母為 0 没有意义。 证法一： 根据定义 a m ⋅ a n = a m + n {\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}} ，当 m = − n {\displaystyle m=-n} 时 a − n a n = a − n + n = a 0 = 1 , {\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,} 得 a − n a n = 1 {\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=1} , 所以 a − n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}} 。 证法二： 通过运算法则 a m a n = a m − n {\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}} 当 m = 0 {\displaystyle m=0} 时，可得 a − n = a 0 − n = a 0 a n = 1 a n {\displaystyle a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}} 负数指数 a − n {\displaystyle a^{-n}} 还可以表示成1连续除以 n {\displaystyle n} 个 a {\displaystyle a} 。比如： 3 − 4 = 1 3 3 3 3 = 1 81 = 1 3 4 {\displaystyle 3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}} . 在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如： 10 3 = 1000 ,   10 − 3 = 0.001 {\displaystyle 10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001} 因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 2.99792458 × 10 8 {\displaystyle 2.99792458\times 10^{8}} ，近似值 2.998 × 10 8 {\displaystyle 2.998\times 10^{8}} 或 3 × 10 8 {\displaystyle 3\times 10^{8}} 国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 10 3 {\displaystyle 10^{3}} ，词头“毫”就是 10 − 3 {\displaystyle 10^{-3}} 1的任何次幂都为1。 0的正数幂都等于0。 0的负数幂没有定义。 任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。 -1的奇数幂等于-1 -1的偶数幂等于1 一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大 当 a > 1 {\displaystyle a>1} ， n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ， a n → ∞ {\displaystyle a^{n}\to \infty } 当 a < − 1 {\displaystyle a<-1} ， n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ， a n → − ∞ {\displaystyle a^{n}\to -\infty } 或 ∞ {\displaystyle \infty } , (視乎n 是奇數或偶數) 一个绝对值小于1的数的幂趋于0 当 | a | < 1 {\displaystyle |a|<1} ， n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ， a n → 0 {\displaystyle a^{n}\to 0} 1的幂永远都是1 当 a = 1 {\displaystyle a=1} ， n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } ， a n → 1 {\displaystyle a^{n}\to 1} 如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是： 当 n → ∞ , ( 1 + 1 n ) n → e {\displaystyle n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e} 参见e的幂 其他指数的极限参见幂的极限 一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。 有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义 自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂 一个数 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根是 x {\displaystyle x} ， x {\displaystyle x} 使 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 。 如果 a {\displaystyle a} 是一个正实数， n {\displaystyle n} 是正整数，那么方程 x n = a {\displaystyle x^{n}=a} 只有一个正实数根。 这个根被称为 a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根，记作： a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} ，其中   {\displaystyle {\sqrt {\ }}} 叫做根号。或者， a {\displaystyle a} 的 n {\displaystyle n} 次方根也可以写成 a 1 n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}} . 例如 4 1 2 = 2 ,   8 1 3 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2} 当指数是 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 时根号上的2可以省略，如： 4 = 4 1 2 = 4 2 = 2 {\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2} 有理数指数幂定义为 a m n = ( a m ) 1 n = a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}} 这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的： e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} 指数函数的定义是： e x = lim n → ∞ ( 1 + x n ) n {\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}} 可以很简单地证明e的正整数k次方 e k {\displaystyle e^{k}} 是： e k = [ lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n ] k {\displaystyle e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}} = lim n → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}} = lim n ⋅ k → ∞ ( 1 + k n ⋅ k ) n ⋅ k {\displaystyle =\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}} = lim m → ∞ ( 1 + k m ) m {\displaystyle =\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}} 因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成： b x = lim r → x b r , {\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},} 例如： x ≈ 1.732 {\displaystyle x\approx 1.732} 于是 5 x ≈ 5 1.732 = 5 433 250 = 5 433 250 ≈ 16.241 {\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241} 实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。 自然对数 ln ⁡ x {\displaystyle \ln {x}} 是指数函数 e x {\displaystyle e^{x}} 的反函数。 它的定义是：对于任意 b > 0 {\displaystyle b>0} ，满足 b = e ln ⁡ b {\displaystyle b=e^{\ln b}} 根据对数和指数运算的规则： b x = ( e ln ⁡ b ) x = e x ⋅ ln ⁡ b {\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}} 这就是实数指数幂的定义： b x = e x ⋅ ln ⁡ b {\displaystyle b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,} 实数指数幂 b x {\displaystyle b^{x}} 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。 如果 a {\displaystyle a} 是负数且 n {\displaystyle n} 是偶数，那么 x = a n {\displaystyle x=a^{n}} 是正數。如果 a {\displaystyle a} 是负数且 n {\displaystyle n} 是奇数，那么 x = a n {\displaystyle x=a^{n}} 是负数。 使用对数和有理数指数都不能将 a k {\displaystyle a^{k}} （其中 a {\displaystyle a} 是负实数， k {\displaystyle k} 实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于 a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}} （ n {\displaystyle n} 是奇数）可以使用 n {\displaystyle n} 次方根来计算，但是因为没有实数 x {\displaystyle x} 使 x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} ，对于 a m n {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}} （ n {\displaystyle n} 是偶数）时必须使用虚数单位 i {\displaystyle i} 。 使用对数的方法不能定义 a ≤ 0 {\displaystyle a\leq 0} 时的 a k {\displaystyle a^{k}} 为实数。实际上， e x {\displaystyle e^{x}} 对于任何实数 x {\displaystyle x} 都是正的，所以 ln ⁡ ( a ) {\displaystyle \ln(a)} 对于负数没有意义。 使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数 a {\displaystyle a} 因为它依赖于连续性。函数 f ( r ) = a r {\displaystyle f(r)=a^{r}} 对于任何正的有理数 a {\displaystyle a} 是连续的，但是对于负数 a {\displaystyle a} ，函数 f {\displaystyle f} 在有些有理数 r {\displaystyle r} 上甚至不是连续的。 例如：当 a = − 1 {\displaystyle a=-1} ，它的奇数次根等于-1。所以如果 n {\displaystyle n} 是正奇数整数， − 1 m n = − 1 {\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=-1} 当 m {\displaystyle m} 是奇数， − 1 m n = 1 {\displaystyle -1^{\frac {m}{n}}=1} 当 m {\displaystyle m} 是偶数。虽然有理数 q {\displaystyle q} 使 − 1 q = 1 {\displaystyle -1^{q}=1} 的集合是稠密集，但是有理数 q {\displaystyle q} 使 − 1 q = − 1 {\displaystyle -1^{q}=-1} 的集合也是。所以函数 − 1 q {\displaystyle -1^{q}} 在有理数域不是连续的。 因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。 複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解 e i x {\displaystyle e^{ix}} （ x {\displaystyle x} 是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形 ( 0 , 1 , 1 + i x n ) {\displaystyle (0,1,1+{\frac {ix}{n}})} （括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的 n {\displaystyle n} ，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于 x n {\displaystyle {\frac {x}{n}}} 弧度。对于所有 k {\displaystyle k} ，三角形 ( 0 , ( 1 + i x n ) k , ( 1 + i x n ) k + 1 ) {\displaystyle (0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})} 互为相似三角形。所以当 n {\displaystyle n} 足够大时 ( 1 + i x n ) n {\displaystyle (1+{\frac {ix}{n}})^{n}} 的极限是复数平面上的单位圆上 x {\displaystyle x} 弧度的点。这个点的极坐标是 ( r , θ ) = ( 1 , x ) {\displaystyle (r,\theta )=(1,x)} ，直角坐标是 ( cos ⁡ x , sin ⁡ x ) {\displaystyle (\cos x,\sin x)} 。所以 e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} ，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。 等式 e z = 1 {\displaystyle e^{z}=1} 的解是一个整数乘以 2 i π {\displaystyle 2i\pi } ： { z : e z = 1 } = { 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.} 更一般地，如果 e b = a {\displaystyle e^{b}=a} ，那么 e z = a {\displaystyle e^{z}=a} 的每一个解都可以通过将 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 的整数倍加上 b {\displaystyle b} 得到： { z : e z = a } = { b + 2 k π i : k ∈ Z } . {\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.} 这个复指数函数是一个有周期 2 i π {\displaystyle 2i\pi } 的周期函数。 更简单的： e i π = − 1 ;   e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)} 。 根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是： cos ⁡ z = e i ⋅ z + e − i ⋅ z 2 sin ⁡ z = e i ⋅ z − e − i ⋅ z 2 ⋅ i {\displaystyle \cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}} 历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程 e i ⋅ ( x + y ) = e i ⋅ x ⋅ e i ⋅ y . {\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,} 使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 可以分解成 e x ⋅ e i y {\displaystyle e^{x}\cdot e^{iy}} 。其中 e x {\displaystyle e^{x}} 是 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 的模， e i y {\displaystyle e^{iy}} 决定了 e x + i y {\displaystyle e^{x+iy}} 的方向 如果 a {\displaystyle a} 是一个正实数， z {\displaystyle z} 是任何复数， a z {\displaystyle a^{z}} 定义成 e z ⋅ ln ⁡ ( a ) {\displaystyle e^{z\cdot \ln(a)}} ，其中 x = ln ⁡ ( a ) {\displaystyle x=\ln(a)} 是方程 e x = a {\displaystyle e^{x}=a} 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。 例如： 2 i = e i ⋅ ln ⁡ ( 2 ) = cos ⁡ ln ⁡ 2 + i ⋅ sin ⁡ ln ⁡ 2 = 0.7692 + 0.63896 i {\displaystyle 2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i} e i = 0.5403023 + 0.841471 i {\displaystyle {{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i} 10 i = − 0.6682015 + 0.7439803 i {\displaystyle {{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i} ( e 2 π ) i = 535.49 i = 1 {\displaystyle (e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1} 让我们从一个简单的例子开始：计算 ( 1 + i ) i {\displaystyle \left(1+i\right)^{i}} 。 ( 1 + i ) i = [ 2 ( 2 2 + 2 2 i ) ] i = ( 2 e π 4 i ) i = e − π 4 2 i = e − π 4 cos ⁡ ln ⁡ 2 2 + i e − π 4 sin ⁡ ln ⁡ 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}} 其中 2 i {\displaystyle {\sqrt {2}}^{i}} 的得法参见上文正实数的复数幂 类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算 ( 1 + i ) 2 + i {\displaystyle \left(1+i\right)^{2+i}} ： ( 1 + i ) 2 + i = ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) i = 2 i e − π 4 ( cos ⁡ ln ⁡ 2 2 + i sin ⁡ ln ⁡ 2 2 ) = − 2 e − π 4 sin ⁡ ln ⁡ 2 2 + 2 i e − π 4 cos ⁡ ln ⁡ 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}} 复数的复数幂必须首先化为底数为 e {\displaystyle e} 的形式： w z = e z ln ⁡ w {\displaystyle w^{z}=e^{z\ln w}} 又，由复数的极坐标表示法： w = r e i θ {\displaystyle w=re^{i\theta }} 故 w z = e z ln ⁡ ( w ) = e z ( ln ⁡ ( r ) + i θ ) {\displaystyle w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}} 。 然后，使用欧拉公式处理即可。 由于复数的极坐标表示法中，辐角 θ {\displaystyle \theta } 的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。 當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如 f 3 ( x ) {\displaystyle f^{3}(x)} 即 f ( f ( f ( x ) ) ) {\displaystyle f(f(f(x)))} 。特別地， f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 指 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的反函數。 但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如： ( sin ⁡ x ) − 1 {\displaystyle (\sin x)^{-1}} 表示 csc ⁡ x {\displaystyle \csc x} 。因此在三角函數時，使用 sin − 1 ⁡ x {\displaystyle \sin ^{-1}x} 來表示 sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} 的反函數 arcsin ⁡ x {\displaystyle \arcsin x} 。 最快的方式计算 a n {\displaystyle a^{n}} ，当 n {\displaystyle n} 是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。 在C/C++语言中，你可以写如下算法： double power(double a, unsigned int n) { double y = 1; double f = a; while (n > 0) { if (n % 2 == 1) y *= f; n >>= 1; f *= f; } return y; } 此算法的時間複雜度為 O ( log ⁡ n ) {\displaystyle \mathrm {O} (\log n)\!} ，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為 O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)\!} ），在 n {\displaystyle n} 較大的時候更為顯著。 例如計算 a 100 {\displaystyle a^{100}} ，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算 a n ( n < 0 ) {\displaystyle a^{n}(n<0)} 可先以上述算法計算 a | n | {\displaystyle a^{|n|}} ，再作倒數。 迭代冪次 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘为幂  存档副本. [2022-10-21]. （原始内容存档于2022-10-22）.  Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3. 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義) Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.  This definition of a principal root of unity can be found in: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7.  Online resource （页面存档备份，存于互联网档案馆） Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6.  Defined on page 351, available on Google books. "Principal root of unity （页面存档备份，存于互联网档案馆）", MathWorld. 指數的歷史