整数模n乘法群

在同余理论中，模 n 的互质同余类组成一个乘法群，称为整数模 n 乘法群，也称为模 n 既约剩余类。在环理论中，一个抽象代数的分支，也称这个群为整数模 n 的环的单位群（单位是指乘法可逆元）。 这个群是数论的基石，在密码学、整数分解和素性测试均有运用。例如，关于这个群的阶（即群的“大小”），我们可以确定如果 n 是质数当且仅当阶数为 n-1。 容易验证模 n 互质同余类在乘法运算下满足阿贝尔群的公理。 互质同余类的乘法是良好定义：a 与 n 互质，当且仅当 gcd(a, n) = 1. 同余类中的整数a ≡ b (mod n) 满足gcd(a, n) = gcd(b, n), 因此一个整数与 n 互质当且仅当另一个整数也与 n 互质. 恒同: 1 是恒同； 1所在的同余类是唯一的乘法恒同类 闭：如果 a 和 b 都与 n 互质，那么 ab 也是；因为gcd(a, n) = 1 与 gcd(b, n) = 1 意味着 gcd(ab, n) = 1, 与 n 互质的同余类在乘法下是封闭的。 逆：找 x 满足 ax ≡ 1 (mod n) 等价于解 ax + ny = 1，可用欧几里得算法求出x，并且x在模n的同余类里。当 a 与 n 互质, 由于 gcd(a, n) = 1 ,根据 裴蜀定理 存在整数 x 与 y 满足 ax + ny = 1. 注意到由等式 ax + ny = 1 可推出 x 与 n 互质, 所以乘法逆元属于群. 结合性和交换性：由整数的相应事实以及模 n 运算是一个环同态推出。由于同余类a ≡ a' 与 b ≡ b' (mod n) 的整数乘法意味着 ab ≡ a'b' (mod n). 这可推出乘法满足结合律、交换律。 整数模 n 环记作 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 或 Z / ( n ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} （即整数环模去理想 nZ = (n) ，由 n 的倍数组成）或 Z n . {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.} 因作者所喜，它的单位群可能记为 ( Z / n Z ) ∗ , {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*},} ( Z / n Z ) × , {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },} U ( Z / n Z ) , {\displaystyle U(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ),} 或类似的记号，本文采用 ( Z / n Z ) × . {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }.} 模 2 只有一个互质同余类 1，所以 ( Z / 2 Z ) × ≅ { 1 } {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }\cong \{1\}} 平凡。 模 4 有两个互质同余类，1 和 3，所以 ( Z / 4 Z ) × ≅ C 2 , {\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2},} 两元循环群。 模 8 有四个互质同余类，1, 3, 5 和 7，每个平方都是 1，所以 ( Z / 8 Z ) × ≅ C 2 × C 2 , {\displaystyle (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2},} Klein 四元群。 模 16 有八个互质同余类，1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 和 15。 { ± 1 , ± 7 } ≅ C 2 × C 2 , {\displaystyle \{\pm 1,\pm 7\}\cong C_{2}\times C_{2},} 为 2-扭子群（即每个元素的平方为 1），所以 ( Z / 16 Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }} 不是循环群。3的幂次： { 1 , 3 , 9 , 11 } {\displaystyle \{1,3,9,11\}} 是一个 4 阶子群，5 的幂次也是， { 1 , 5 , 9 , 13 } {\displaystyle \{1,5,9,13\}} 。所以 ( Z / 16 Z ) × ≅ C 2 × C 4 {\displaystyle (\mathbb {Z} /16\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{4}} 。 以上 8 和 16 的讨论对高阶幂次 2k, k > 2 也成立： { ± 1 , 2 k − 1 ± 1 } ≅ C 2 × C 2 , {\displaystyle \{\pm 1,2^{k-1}\pm 1\}\cong C_{2}\times C_{2},} 是 2-扭子群（所以 ( Z / 2 k Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }} 不是循环）而 3 的幂次是一个2k- 2 子群，所以 ( Z / 2 k Z ) × ≅ C 2 × C 2 k − 2 {\displaystyle (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{2}\times C_{2^{k-2}}} 。 对奇质数的幂 pk，此群是循环群： ( Z / p k Z ) × ≅ C p k − 1 ( p − 1 ) ≅ C φ ( p k ) . {\displaystyle \;\;(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }\cong C_{p^{k-1}(p-1)}\cong C_{\varphi (p^{k})}.} 中国剩余定理 说明如果 n = p 1 k 1 p 2 k 2 p 3 k 3 … , {\displaystyle \;\;n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}p_{3}^{k_{3}}\dots ,\;} 那么环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 每个质数幂因子相应的环的直积： Z / n Z ≅ Z / p 1 k 1 Z × Z / p 2 k 2 Z × Z / p 3 k 3 Z … {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} \;\times \;\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} \dots \;\;} 类似地， ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 的单位群是每个质数幂因子相应群的直积： ( Z / n Z ) × ≅ ( Z / p 1 k 1 Z ) × × ( Z / p 2 k 2 Z ) × × ( Z / p 3 k 3 Z ) × … . {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /{p_{1}^{k_{1}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{2}^{k_{2}}}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /{p_{3}^{k_{3}}}\mathbb {Z} )^{\times }\dots \;.} 群的阶数由欧拉函数给出： | ( Z / n Z ) × | = φ ( n ) . {\displaystyle |(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }|=\varphi (n).} （OEIS數列A000010） 这是直积中各循环阶数的乘积。 指数为卡邁克爾函數 λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} ，（OEIS數列A002322），即这些循环群的阶数的最小公倍数。这意味着如果 a 和 n 互质， a λ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) . {\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}.} ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 是循环群当且仅当 φ ( n ) = λ ( n ) . {\displaystyle \varphi (n)=\lambda (n).} 这在 n 为奇质数的幂次、奇质数幂次 2 倍、2 和 4 成立，此时也称一个生成元为模 n 的原根。 因为所有 ( Z / n Z ) × , {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times },} n = 1, 2, ..., 7 是循环群，上述结论的另一种说法是：如果 n < 8 那么 ( Z / n Z ) × {\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 有原根；如果 n ≥ 8，且不能被 4 或者两个不同的奇质数整除， ( Z / n Z ) × {\displaystyle \;(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 有原根。( A033948 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 17, 18, 19, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 49, 50, ... ) 一般情形每个直积因子循环有一个生成元。 这个表列出了较小 n ( Z / n Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }} 的结构和生成元。生成元不是惟一（mod n）的，比如 (mod 16) 时 {–1, 3} 和{–1, 5} 都可以。生成元以和直积因子相同的顺序列出。 以 n=20 为例。 φ ( 20 ) = 8 {\displaystyle \varphi (20)=8} 意味着 ( Z / 20 Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }} 的阶数是 8（即有 8 个小于 20 的正整数与其互质）； λ ( 20 ) = 4 {\displaystyle \lambda (20)=4} 说明任何和20互质的数的 4 次幂≡ 1(mod 20)；至于生成元，19 的指数为2，3 的指数为 4，而任何 ( Z / 20 Z ) × {\displaystyle (\mathbb {Z} /20\mathbb {Z} )^{\times }} 中元素都是 19a × 3b 的形式，这里 a 为 0 或 1，b 为 0, 1, 2, 或 3。 19 的幂是 {±1}，3 的幂为 {3, 9, 7, 1}。后者和他们的负数 (mod 20)，{17, 11, 13, 19} 是所有小于 20 且与其互质的数。19 的指数为 2 而 3 的指数为 4 意味着任何 Z 20 × {\displaystyle \mathbb {Z} _{20}^{\times }} 中数的 4 次幂 ≡ 1 (mod 20)。 Lenstra 椭圆曲线分解（英语：Lenstra elliptic curve factorization），Lenstra（英语：Arjen Lenstra）给出的基于椭圆曲线的整数因子分解算法。 高斯, DA, arts. 90-91 高斯, DA, arts.52-56, 82-89 Riesel 包含所有情形。 pp. 267-275 高斯的算术研究（Disquisitiones Arithemeticae）由西塞罗拉丁语翻译成英语和德语。德语版包含他所有数论的论文：所有关于二次互反律的证明，高斯和符号的确定，双二次互反律的研究以及未发表的笔记。 Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549  Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8  Riesel, Hans, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, 1994, ISBN 0-8176-3743-5  埃里克·韦斯坦因. Modulo Multiplication Group. MathWorld.