麥卡托投影法

麥卡托投影法（英語：Mercator projection），又稱麦卡托投影法、正軸等角圓柱投影，是一種等角的圓柱形地圖投影法。 本投影法得名於法蘭德斯(佛蘭德)出身的地理學家傑拉杜斯·麥卡托，他於1569年發表長202公分、寬124公分以此方式繪製的世界地圖。在以此投影法繪製的地圖上，將地球在平面展開，經緯線於任何位置皆垂直相交，使世界地圖可以繪製在一個長方形，地圖的任一點在各種方向的長度均相等。由於可顯示任兩點間的正確方位，指出真實的經緯度，航海用途的海圖、航路圖大都以此方式繪製。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，從而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角）；但麥卡托投影会使面积产生变形，赤道地區變化最小，南北兩極的變形最大，但因為在南北迴歸線之間影響很少，而這是多數航線所在區域，所以被廣泛用來編製地圖。 下列公式在使用墨卡托投影的地图中，从纬度φ和经度λ（其中λ0是本初子午線）推导为坐标系中的坐标x和y。 这是古德曼函数的逆推导： x = λ − λ 0 y = ln ⁡ ( tan ⁡ ( π 4 + φ 2 ) ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + sin ⁡ ( φ ) 1 − sin ⁡ ( φ ) ) = tanh − 1 ⁡ ( sin ⁡ ( φ ) ) = sinh − 1 ⁡ ( tan ⁡ ( φ ) ) = ln ⁡ ( tan ⁡ ( φ ) + sec ⁡ ( φ ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda -\lambda _{0}\\y&=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right)\\&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin(\varphi )}{1-\sin(\varphi )}}\right)\\&=\tanh ^{-1}\left(\sin(\varphi )\right)\\&=\sinh ^{-1}\left(\tan(\varphi )\right)\\&=\ln \left(\tan(\varphi )+\sec(\varphi )\right).\end{aligned}}} 这是古德曼函数： φ = 2 tan − 1 ⁡ ( e y ) − π 2 = tan − 1 ⁡ ( sinh ⁡ ( y ) ) λ = x + λ 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=2\tan ^{-1}(e^{y})-{\frac {\pi }{2}}\\&=\tan ^{-1}(\sinh(y))\\\lambda &=x+\lambda _{0}.\end{aligned}}} 比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。 假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故： ∂ x ∂ λ = cos ⁡ ( φ ) ∂ y ∂ φ {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}} ∂ y ∂ λ = − cos ⁡ ( φ ) ∂ x ∂ φ {\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=-\cos(\varphi ){\frac {\partial x}{\partial \varphi }}} 从 x = λ 可知 ∂ x ∂ λ = 1 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=1} ∂ x ∂ φ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \varphi }}=0} 给出 1 = cos ⁡ ( φ ) ∂ y ∂ φ {\displaystyle 1=\cos(\varphi ){\frac {\partial y}{\partial \varphi }}} 0 = ∂ y ∂ λ {\displaystyle 0={\frac {\partial y}{\partial \lambda }}} 因此，y是φ的唯一函数，且可得到 y ′ = sec ⁡ φ {\displaystyle y'=\sec \varphi } ，由积分表 y = ln ⁡ ( | sec ⁡ ( φ ) + tan ⁡ ( φ ) | ) + C . {\displaystyle y=\ln(|\sec(\varphi )+\tan(\varphi )|)+C.\,} 在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0. 由於麥卡托投影在高緯度過分放大，低緯度又過分縮小，因此會產生有趣的錯覺。比如世界第一大島高緯度的格陵蘭比澳洲看起來還大好幾倍。世界第二大島低緯度的新幾內亞和日本差不多大小。然而新幾內亞島面積足足是日本的2倍。 以下是實際面積（單位：平方公里） 澳洲：7,692,024平方公里 格陵蘭：2,166,086平方公里 日本：378,000平方公里 新幾內亞島：786,000平方公里 地图学 地图投影 摩尔维特投影（英语：Mollweide projection） 海图 罗宾森投影 横轴墨卡托投影 通用横轴墨卡托投影（UTM） 高爾-彼得斯投影 南上北下地圖 斜轴墨卡托投影（英语：Space-oblique Mercator projection） Web墨卡托投影 查看维基词典中的词条「圆柱投影」。 Snyder, John P. Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987. 可至USGS pages下载。 Monmonier, Mark. Rhumb Lines and Map Wars. Chicago: The University of Chicago Press. 2004.  Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd. Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd. A Look at the Mercator Projection https://www.gislounge.com/look-mercator-projection/（页面存档备份，存于互联网档案馆）