謝爾賓斯基空間

在數學上，謝爾賓斯基空間（Sierpiński space，又稱兩點連通空間（connected two-point set））是一個包含兩個元素的有限拓樸空間，其中只有一個元素是閉合的。這個空間是所有非密着且非离散的拓樸空間中最小的，而這空間以波蘭數學家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏為名。 因為謝爾賓斯基空間在斯科特拓樸當中，是開集的分類空間（classifying space）之故，因此這集合在可计算性理论和語意處理上有重要的應用。 謝爾賓斯基空間 S {\displaystyle S} 是一個其點集合為 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的拓樸空間，其所有的開集如下： { ∅ , { 1 } , { 0 , 1 } } . {\displaystyle \{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.} 其所有的閉集如下： { ∅ , { 0 } , { 0 , 1 } } . {\displaystyle \{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.} 也就是說，其單點集 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 是閉集，而其單點集 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 是開集，另外此處的 ∅ {\displaystyle \varnothing } 代表空集合。 此空間的閉包如下： { 0 } ¯ = { 0 } , { 1 } ¯ = { 0 , 1 } . {\displaystyle {\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.} 一個有限的拓樸空間亦可由其特殊化预序唯一定義，當中，這预序是一個偏序，其形式如下： 0 ≤ 0 , 0 ≤ 1 , 1 ≤ 1. {\displaystyle 0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.} 謝爾賓斯基空間 S {\displaystyle S} 是特定點拓樸（particular point topology）（謝爾賓斯基空間的特定點為1）和排除點拓樸（excluded point topology）（謝爾賓斯基空間的排除點為0）的一個特殊例子，因此謝爾賓斯基空間和這兩類拓樸空間有許多共通之處。 在謝爾賓斯基空間中，0和1這兩點是拓撲可區分的，這是因為 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 是一個只包含這兩者其中一點的開集之故，因此謝爾賓斯基空間是一個柯爾莫果洛夫空間（ T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間）。 然而謝爾賓斯基空間不是一個 T 1 {\displaystyle T_{1}} 空間，這是因為 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 這個單點集不是閉集之故，也因此謝爾賓斯基空間不是豪斯多夫空間或 T n {\displaystyle T_{n}} 空間（其中 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ）。 然而謝爾賓斯基空間不是正則空間或完全正则空间，這是因為1這個點及其不相交集合 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 不能以鄰域分離之故（另外點能以鄰域分離的 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間是豪斯多夫空間）。 然而謝爾賓斯基空間可視為正规空间和完全正规空间，這是因為這空間中沒有非空的分离集合所致。 然而謝爾賓斯基空間不是完美正规空间，這是因為其彼此不相交的閉合 ∅ {\displaystyle \varnothing } 和 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 無法由函数完全分离所致。事實上，謝爾賓斯基空間的 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 不能是任何連續函數 S → R {\displaystyle S\to R} 的零集（zero set），而這是因為任何這樣的連續函數都是常函數所致。 謝爾賓斯基空間同時是個超連通空間（Hyperconnected space）（這是因為其所有的非空開集都包含1所致）和特連通空間（Ultraconnected space）（這是因為其所有的非空閉集都包含0所致）。 謝爾賓斯基空間是個連通空間和道路连通空间。 一條連通謝爾賓斯基空間當中的0和1的道路 f : I → S {\displaystyle f:I\to S} 可定義如次： f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} 且對於所有的 t > 0 {\displaystyle t>0} 而言 f ( t ) = 1 {\displaystyle f(t)=1} ，這個函數是連續的，因為 f − 1 ( 1 ) = ( 0 , 1 ] {\displaystyle f^{-1}(1)=(0,1]} 在 I {\displaystyle I} 是開集。 和所有的有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個局部道路連通空間。 謝爾賓斯基空間是個可壓縮空間（contractible space），因此其基本群是個當然群（這點對高階同倫群（higher homotopy groups）也成立）。 和所有有限拓樸空間一樣，謝爾賓斯基空間是個緊緻空間和第二可數空間。 謝爾賓斯基空間的緊子集 { 1 } {\displaystyle \{1\}} 不是閉集，而這顯示了 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間的緊集不必然是閉集。 任何謝爾賓斯基空間的開覆蓋都必然包含謝爾賓斯基空間本身，這是因為謝爾賓斯基空間為0的唯一的開鄰域之故，因此任何的謝爾賓斯基空間的開覆蓋都有包含一個集合的子覆蓋，就是 { S } {\displaystyle \{S\}} 。 而這表示說謝爾賓斯基空間是個滿正規空間（fully normal space，仿紧空间的一個子類）。 任何謝爾賓斯基空間當中的序列都收斂至0，這是因為在謝爾賓斯基空間當中，0唯一的鄰域是謝爾賓斯基空間本身。 在謝爾賓斯基空間當中一個序列收斂至1，當且僅當該序列僅有有限多項為0。 在謝爾賓斯基空間當中，1是某序列的一個聚集点，當且僅當該序列包含無限多項的1。 例子如下： 1不是 ( 0 , 0 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle (0,0,0,0,...)} 這序列的聚集点。 1是 ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , . . . ) {\displaystyle (0,1,0,1,0,1,...)} 這序列的聚集点1，但並非極限點。 ( 1 , 1 , 1 , 1 , . . . ) {\displaystyle (1,1,1,1,...)} 這序列同時收斂至0和1。 謝爾賓斯基空間不是可度量化的空間，甚至也不是可偽度量化的空間，這是因為任何偽度量化的空間都必須是完全正则空间，而謝爾賓斯基空間就連正则空间都不是之故。 謝爾賓斯基空間可由偽擬度量生成，其中 d ( 0 , 1 ) = 0 {\displaystyle d(0,1)=0} 且 d ( 1 , 0 ) = 1 {\displaystyle d(1,0)=1} 。 謝爾賓斯基空間只有三個映至自身的連續函數：恆等函數、兩個分別映至0和1的常函數。 而這表示說謝爾賓斯基空間的同胚群（英语：homeomorphism group）是當然群。 設 X {\displaystyle X} 是一個任意集合，那麼一般會將所有從 X {\displaystyle X} 映至 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的函數的集合給記做 2 X {\displaystyle 2^{X}} ，這些函數即是 X {\displaystyle X} 的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式： χ U ( x ) = { 1 x ∈ U 0 x ∉ U {\displaystyle \chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}} 在其中 U {\displaystyle U} 是 X {\displaystyle X} 的一個子集。換句話說 2 X {\displaystyle 2^{X}} 這個函數的集合和 X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 間，有著雙射的關係。每個 X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 都有自己的指示函数 χ U {\displaystyle \chi _{U}} ，而每個從 X {\displaystyle X} 映至 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 的函數都有如此的形式。 現在假定 X {\displaystyle X} 是個拓樸空間，而 { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} 有著謝爾賓斯基拓樸，那麼 χ U : X → S {\displaystyle \chi _{U}:X\to S} 是個連續函數，當且僅當 χ U − 1 ( U ) : X → S {\displaystyle \chi _{U}^{-1}(U):X\to S} 在 X {\displaystyle X} 中是個開集；然而根據定義，我們有 χ U − 1 ( 1 ) = U . {\displaystyle \chi _{U}^{-1}(1)=U.} 因此 χ U {\displaystyle \chi _{U}} 是個連續函數，當且僅當 U {\displaystyle U} 在 X {\displaystyle X} 中是個開集。 假定 C ( X , S ) {\displaystyle C(X,S)} 是所有從 X {\displaystyle X} 映至 S {\displaystyle S} 的連續函數的集合，並假定 T ( X ) {\displaystyle T(X)} 是 X {\displaystyle X} 的拓樸（也就是所有開集的集族），那麼就存在一個從 T ( X ) {\displaystyle T(X)} 映至 C ( X , S ) {\displaystyle C(X,S)} 的雙射，這映射會將 U {\displaystyle U} 映至 χ U {\displaystyle \chi _{U}} 之上。 C ( X , S ) ≅ T ( X ) {\displaystyle C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)} 也就是說，假若將 2 X {\displaystyle 2^{X}} 和 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 對等，那麼其連續映射的子集 C ( X , S ) ⊂ 2 X {\displaystyle C(X,S)\subset 2^{X}} 會是 T ( X ) ⊂ P ( X ) {\displaystyle T(X)\subset P(X)} 的拓樸。 一個特別值得注意的例子是在對偏序集合的斯科特拓樸中，謝爾賓斯基空間會在指示函数保持定向连接（directed join）的狀況下，成為其開集的分類空間。 上述的結構可以用范畴论的語言很好地表達。有個從拓撲空間範疇到集合范畴的反變函子 T : T o p → S e t {\displaystyle T:Top\to Set} 將每個拓樸空間 X {\displaystyle X} 給指派給其開集的集合 T ( X ) {\displaystyle T(X)} ，並將每個連續函數 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 給指派給其原像： f − 1 : T ( Y ) → T ( X ) . {\displaystyle f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).} 而相關敘述如下： T {\displaystyle T} 這個函子由 ( S , { 1 } ) {\displaystyle (S,\{1\})} 表示，其中 S {\displaystyle S} 為謝爾賓斯基空間，也就是說， T {\displaystyle T} 和同態函子（Hom functor） H o m ( − , S ) {\displaystyle Hom(-,S)} 間有著自然同構，而這自然同構由泛元素 { 1 } ∈ T ( S ) {\displaystyle \{1\}\in T(S)} 決定，而這可由预层的概念一般化。 任何的拓樸空間 X {\displaystyle X} 都有由映至謝爾賓斯基空間的連續函數的集族 C ( X , S ) {\displaystyle C(X,S)} 所引致的初拓扑。事實上，若要將 X {\displaystyle X} 的拓樸變得更加粗糙，那就必須將一些開集給移除；然而若將開集 U {\displaystyle U} 給移除，那麼 χ U {\displaystyle \chi _{U}} 這個函數就會變得不連續，因此在 C ( X , S ) {\displaystyle C(X,S)} 當中的每個函數都連續的情況下， X {\displaystyle X} 有著最粗糙的拓樸。 函數的集族 C ( X , S ) {\displaystyle C(X,S)} 區分 X {\displaystyle X} 上的點，當且僅當 X {\displaystyle X} 是個 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間。 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 這兩點可由指示函数 χ U {\displaystyle \chi _{U}} 區分，當且僅當開集 U {\displaystyle U} 包含其中一點但不同時包含兩者。這也就是 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 拓樸可區分的確實含意。 也就是說，若 X {\displaystyle X} 是個 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間，那就可以將 X {\displaystyle X} 給嵌入謝爾賓斯基空間的积空间中，在其中對於每個 X {\displaystyle X} 的開集 U {\displaystyle U} 而言，都有一個 S {\displaystyle S} 的複本與之對應。其嵌入函數 e : X → ∏ U ∈ T ( X ) S = S T ( X ) {\displaystyle e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}} 可由下列函數得出： e ( x ) U = χ U ( x ) . {\displaystyle e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,} 由於 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間的子空間和积空间還是 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間之故，因此一個拓樸空間是 T 0 {\displaystyle T_{0}} 空間，當且僅當其與謝爾賓斯基空間的积空间的某個子空間同胚。 在代數幾何中，謝爾賓斯基空間會作為 Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} （整數在質數 p {\displaystyle p} 生成的素理想上的局部化）之類的離散賦值環（Discrete valuation ring） R {\displaystyle R} 的譜 S p e c ( R ) {\displaystyle Spec(R)} 出現。其中 S p e c ( R ) {\displaystyle Spec(R)} 起自零理想的一般點（generic point）會對應至開集點1；而 S p e c ( R ) {\displaystyle Spec(R)} 起自極大理想的特殊點（special point）會對應至閉集點0。 有限拓樸空間（Finite topological space） 拓樸列表（List of topologies） 偽圓（Pseudocircle） nLab的Sierpinski space條目 一篇網路文章解釋了為何拓樸學可用在電腦科學中對「概念」的研究之上，詳情可見Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics （页面存档备份，存于互联网档案馆）》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective （页面存档备份，存于互联网档案馆）》，其中的「參照」一節提供了許多網路上關於域理论的文章。 Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.  Steen和Seebach二氏錯誤地認為謝爾賓斯基空間不是滿正規空間（或以其術語來說，不是滿 T 4 {\displaystyle T_{4}} 空間）。 nLab的Scott topology條目 Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446  Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505