大Q勒让德多项式

大q-勒让德多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式： P n ( x ; c ; q ) = 3 ϕ 2 ( q − n , q n + 1 , x ; q , c q ; q , q ) {\displaystyle \displaystyle P_{n}(x;c;q)={}_{3}\phi _{2}(q^{-n},q^{n+1},x;q,cq;q,q)} 大q-勒让德多项式满足下列正交关系 ∫ c q q P m ( x ; c ; q ) P n ( x ; c ; q ) d q x = q ( 1 − c ) 1 − q 1 − q 2 n + 1 ( c − 1 q ; q ) n ( c q ; q ) n ( − c q 2 ) n q ( n 2 ) δ m n {\displaystyle \int _{cq}^{q}P_{m}(x;c;q)P_{n}(x;c;q)d_{q}x=q(1-c){\frac {1-q}{1-q^{2n+1}}}{\frac {(c^{-1}q;q)_{n}}{(cq;q)_{n}}}(-cq^{2})^{n}q^{n \choose 2}\delta _{mn}} 大Q勒让德多项式→勒让德多项式 lim q → 1 P n ( x ; 0 ; q ) = P n ( 2 x − 1 ) {\displaystyle \displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x;0;q)=P_{n}(2x-1)} 令大q勒让德项式中的 c = 0 {\displaystyle c=0} ,并且q→1 即得勒让德多项式 验证 将c=0代人7阶(n=7)大q勒让德多项式得： q L = P n ( x ; 0 ; q ) = 1 + q ( 1 − q ) 2 − q x ( 1 − q ) 2 − q 9 ( 1 − q ) 2 + x q 9 ( 1 − q ) 2 − 1 q 6 ( 1 − q ) 2 + x q 6 ( 1 − q ) 2 + q 2 ( 1 − q ) 2 − x q 2 ( 1 − q ) 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) q 2 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) q 3 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) q 4 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) q 5 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − q 13 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) ( 1 − x q 5 ) q 6 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 ( 1 − q 6 ) − 2 + ( 1 − q − 7 ) ( 1 − q − 6 ) ( 1 − q − 5 ) ( 1 − q − 4 ) ( 1 − q − 3 ) ( 1 − q − 2 ) ( 1 − q − 1 ) ( 1 − q 8 ) ( 1 − q 9 ) ( 1 − q 10 ) ( 1 − q 11 ) ( 1 − q 12 ) ( 1 − q 13 ) ( 1 − q 14 ) ( 1 − x ) ( 1 − q x ) ( 1 − x q 2 ) ( 1 − x q 3 ) ( 1 − x q 4 ) ( 1 − x q 5 ) ( 1 − x q 6 ) q 7 ( 1 − q ) − 2 ( 1 − q 2 ) − 2 ( 1 − q 3 ) − 2 ( 1 − q 4 ) − 2 ( 1 − q 5 ) − 2 ( 1 − q 6 ) − 2 ( 1 − q 7 ) − 2 {\displaystyle qL=P_{n}(x;0;q)=1+{\frac {q}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {qx}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x{q}^{9}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {1}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {x}{{q}^{6}\left(1-q\right)^{2}}}+{\frac {{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}-{\frac {x{q}^{2}}{\left(1-q\right)^{2}}}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right){q}^{2}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right){q}^{3}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right){q}^{4}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right){q}^{5}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right){q}^{6}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}+\left(1-{q}^{-7}\right)\left(1-{q}^{-6}\right)\left(1-{q}^{-5}\right)\left(1-{q}^{-4}\right)\left(1-{q}^{-3}\right)\left(1-{q}^{-2}\right)\left(1-{q}^{-1}\right)\left(1-{q}^{8}\right)\left(1-{q}^{9}\right)\left(1-{q}^{10}\right)\left(1-{q}^{11}\right)\left(1-{q}^{12}\right)\left(1-{q}^{13}\right)\left(1-{q}^{14}\right)\left(1-x\right)\left(1-qx\right)\left(1-x{q}^{2}\right)\left(1-x{q}^{3}\right)\left(1-x{q}^{4}\right)\left(1-x{q}^{5}\right)\left(1-x{q}^{6}\right){q}^{7}\left(1-q\right)^{-2}\left(1-{q}^{2}\right)^{-2}\left(1-{q}^{3}\right)^{-2}\left(1-{q}^{4}\right)^{-2}\left(1-{q}^{5}\right)^{-2}\left(1-{q}^{6}\right)^{-2}\left(1-{q}^{7}\right)^{-2}} q L 2 = lim q → 1 q L = − 1 + 56 x + 3432 x 7 − 12012 x 6 + 16632 x 5 − 11550 x 4 + 4200 x 3 − 756 x 2 {\displaystyle qL2=\lim _{q\to 1}qL=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}} 另7阶勒让德多项式： P 7 ( 2 x − 1 ) = − 1 + 56 x + 3432 x 7 − 12012 x 6 + 16632 x 5 − 11550 x 4 + 4200 x 3 − 756 x 2 {\displaystyle P_{7}(2x-1)=-1+56\,x+3432\,{x}^{7}-12012\,{x}^{6}+16632\,{x}^{5}-11550\,{x}^{4}+4200\,{x}^{3}-756\,{x}^{2}} 显然qL2=P_7(2x-1) QED. 下列复数域三阶大q勒让德多项式: P n 3 ( x + i y ; − 1.5 ; q ) {\displaystyle \displaystyle P_{n}3(x+iy;-1.5;q)} 的 一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数三维动画图，以q为可变参数 一组三个虚数部、实数部与绝对值的复数密度动画图 Andrews, George E.; Askey, Richard, Classical orthogonal polynomials, Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (编), Polynômes orthogonaux et applications. Proceedings of the Laguerre symposium held at Bar-le-Duc, October 15–18, 1984., Lecture Notes in Math. 1171, Berlin, New York: Springer-Verlag: 36–62, 1985, ISBN 978-3-540-16059-5, MR 0838970, doi:10.1007/BFb0076530  Gasper, George; Rahman, Mizan, Basic hypergeometric series, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 96 2nd, Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-83357-8, MR 2128719, doi:10.2277/0521833574  Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F., Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096, doi:10.1007/978-3-642-05014-5  Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., http://dlmf.nist.gov/18 |contribution-url=缺少标题 (帮助), Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. 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