拋物線座標系

拋物線坐標系（英語：Parabolic coordinates）是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。 實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應（Stark effect），物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。 直角坐標 ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} 可以用二維拋物線坐標 ( σ ,   τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 表示為 x = ± σ τ {\displaystyle x=\pm \,\sigma \tau } 、 y = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)} ； 其中， σ ≥ 0 {\displaystyle \sigma \geq 0} ， τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} 。 反算回來，二維拋物線坐標 ( σ ,   τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 可以用直角坐標 ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} 表示為 σ = − y + x 2 + y 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}} 、 τ = y + x 2 + y 2 {\displaystyle \tau ={\sqrt {y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}} 。 坐標 σ {\displaystyle \sigma } 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線： 2 y = x 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}} ， 而坐標 τ {\displaystyle \tau } 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線： 2 y = − x 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}} 。 這些拋物線的焦點的位置都在原點。 拋物線坐標 ( σ ,   τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 的標度因子相等： h σ = h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 。 因此，面積的無窮小元素是 d A = ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ {\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ， ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( σ ,   τ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau )} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。 將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 可以用三維拋物線坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 表示為 x = σ τ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=\sigma \tau \cos \phi } 、 y = σ τ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=\sigma \tau \sin \phi } 、 z = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)} ； 其中， σ ≥ 0 {\displaystyle \sigma \geq 0} ， τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} ，方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 定義為 tan ⁡ ϕ = y x , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}},\qquad 0\leq \phi \leq 2\pi } 。 反算回來，三維拋物線坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 可以用直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 表示為 σ = − z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \sigma ={\sqrt {-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}} 、 τ = z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \tau ={\sqrt {z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}} 、 ϕ = tan − 1 ⁡ y x {\displaystyle \phi =\tan ^{-1}{\frac {y}{x}}} 。 每一個 σ {\displaystyle \sigma } -坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面： 2 z = x 2 + y 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}} ， 而每一個 τ {\displaystyle \tau } >-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面： 2 z = − x 2 + y 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}} 。 這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。 三維標度因子為： h σ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 、 h τ = σ 2 + τ 2 {\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}} 、 h ϕ = σ τ {\displaystyle h_{\phi }=\sigma \tau \,} 。 我們可以觀察出，標度因子 h σ {\displaystyle h_{\sigma }} ， h τ {\displaystyle h_{\tau }} 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是 d V = h σ h τ h ϕ = σ τ ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\phi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 [ 1 σ ∂ ∂ σ ( σ ∂ Φ ∂ σ ) + 1 τ ∂ ∂ τ ( τ ∂ Φ ∂ τ ) ] + 1 σ 2 τ 2 ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } ， ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。 另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性． 採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式： η = − z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \eta ={-z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、 ξ = z + x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \xi ={z+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}} 、 ϕ = arctan ⁡ y x {\displaystyle \phi =\arctan {y \over x}} 。 假若 ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} 的 +xz-半平面： η = − z + x 2 + z 2 {\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}} 、 ξ = z + x 2 + z 2 {\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}} 。 假若包含於一條曲線的每一點的坐標 η {\displaystyle \eta } 是一個常數， η = c {\displaystyle \eta =c} ，則 z | η = c = x 2 2 c − c 2 {\displaystyle \left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}} 。 這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。 假若包含於一條曲線的每一點的坐標 ξ {\displaystyle \xi } 是一個常數， ξ = b {\displaystyle \xi =b} ，則 z | ξ = b = b 2 − x 2 2 b {\displaystyle \left.z\right|_{\xi =b}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}} 。 這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。 思考任何一條向上的拋物線 η = c {\displaystyle \eta =c} 與任何一條向下的拋物線 ξ = b {\displaystyle \xi =b} ，我們想要求得兩條曲線的相交點： x 2 2 c − c 2 = b 2 − x 2 2 b {\displaystyle {x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b}} 。 稍微計算，可得 x = b c {\displaystyle x={\sqrt {bc}}} 。 將相交點的横坐標 x {\displaystyle x} 代入向上的拋物線的公式， z c = b c 2 c − c 2 = b − c 2 {\displaystyle z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2}} 。 所以，相交點 P 坐標為 ( b c ,   b − c 2 ) {\displaystyle \left({\sqrt {bc}},\ {b-c \over 2}\right)} 。 思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為 d z c d x = x c = b c = s c {\displaystyle {\frac {dz_{c}}{dx}}={\frac {x}{c}}={\sqrt {\frac {b}{c}}}=s_{c}} 。 向下的拋物線的切線的斜率為 d z b d x = − x b = − c b = s b {\displaystyle {dz_{b} \over dx}=-{x \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}} 。 兩個斜率的乘積為 s c s b = − 1 {\displaystyle s_{c}s_{b}=-1} 。 所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。 假設 ϕ ≠ 0 {\displaystyle \phi \neq 0} 。讓 ϕ {\displaystyle \phi } 值從 0 {\displaystyle 0} 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 ϕ {\displaystyle \phi } 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是： x = η ξ   cos ⁡ ϕ {\displaystyle x={\sqrt {\eta \xi }}\ \cos \phi } 、 y = η ξ   sin ⁡ ϕ {\displaystyle y={\sqrt {\eta \xi }}\ \sin \phi } 、 z = 1 2 ( ξ − η ) {\displaystyle z={\frac {1}{2}}(\xi -\eta )} 。 Morse PM, Feshbach H. 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