集膚效應

集膚效應（又称趋肤效应或直譯作表皮效應，英语：Skin effect）是指导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度呈指數衰減，即导体内的电流会集中在导体的表面。从与电流方向垂直的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。简单而言就是电流集中在导体的“皮肤”部分，所以称为集膚效應。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场，与原来的电流相抵消。 集肤效应最早在英國應用數學家贺拉斯·兰姆（Horace Lamb）1883年發表的一份论文中提及，只限于球壳状的导体。1885年，英國物理學家奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）将其推广到任何形状的导体。集肤效应使得导体的电阻随着交流电的频率增加而增加，并导致导线传输电流时效率减低，耗费金属资源。在无线电频率的设计、微波线路和电力传输系统方面都要考虑到集肤效应的影响。 当单色平面电磁波从真空垂直射入表面为平面的无限大导体中时，随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度J呈指數衰減 J = J 0 exp ⁡ ( − x δ ) {\displaystyle J=J_{0}\exp(-{x \over \delta })} 其中， J 0 {\displaystyle J_{0}} 是导体表面的电流密度， x {\displaystyle x} 表示电流与导体表面的距离， δ {\displaystyle \delta } 是一个和导体的电阻率以及交流电的频率有关的系数，称为集肤深度（skin depth）。 δ = 2 ρ ω μ {\displaystyle \delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}} 其中： ρ =导体的电阻率 ω = 交流电的角频率 = 2π ×频率 μ = 导体的磁导率 = μ 0 ⋅ μ r {\displaystyle \mu _{0}\cdot \mu _{r}} ，其中 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是真空磁导率， μ r {\displaystyle \mu _{r}} 是导体的相对磁导率 对于很长的圆柱形导体，比如导线来说，如果它的直径 D {\displaystyle D} 比 δ {\displaystyle \delta } 大很多的话，它对于交流电的电阻将会相当于一个中空的厚度为 δ {\displaystyle \delta } 的圆柱导体对直流电的电阻。 R = ρ δ ( L π ( D − δ ) ) ≈ ρ ( L π D δ ) {\displaystyle R={{\rho \over \delta }\left({L \over {\pi (D-\delta )}}\right)}\approx {{\rho }\left({L \over {\pi D\delta }}\right)}} 其中： L=导线的长度 D=导线直径 具体来说，假设 I ( r ) {\displaystyle I(r)} 是从离导线中心r处到导线表面的截面上通过的电流， I {\displaystyle I} 为截面上的总电流，那么有： I ( r ) I = B e r ( 2 a δ ) − B e r ( 2 r δ ) + i [ B e i ( 2 a δ ) − B e i ( 2 r δ ) ] B e r ( 2 a δ ) + i B e i ( 2 a δ ) {\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}} 其中Ber和Bei为0阶的开尔文-贝塞尔函数的相应原函数（具体见下）。 考虑一个半径为a，长度无限大的圆柱形导体。假设电磁场是時變場，則在圆柱中有频率为ω的正弦交流电流。由麦克斯韦方程组， 麦克斯韦-法拉第方程： ∇ × E = − i ω B {\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {E} =-i\,\omega \,\mathbf {B} } 麦克斯韦-安培方程： ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} } 其中： E是电场强度 B是磁感应强度 J是电流密度 μ是导体的磁导率 在导体中，欧姆定律的微分形式为： J = σ E {\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \,\mathbf {E} } σ是导体的电导率。 我们假设导体是均匀的，于是导体各处的μ和σ都相同。于是有： ∇ × J = − i ω σ B {\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mathbf {B} } ∇ × B = μ J {\displaystyle \nabla \times \,\mathbf {B} =\mu \,\mathbf {J} } 在圆柱坐标系(r, θ, z)（z为圆柱导体的轴心）中，设电磁波随z轴前进，由对称性，电流密度是一个只和r有关的函数： J = ( 0 0 j ( r ) ) {\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\j(r)\end{pmatrix}}} 取麦克斯韦-法拉第方程两边的旋度，就有： ∇ × ( ∇ × J ) = − i ω σ ( ∇ × B ) {\displaystyle \nabla \times \,(\nabla \times \,\mathbf {J} )=-i\,\omega \,\sigma \,(\nabla \times \,\mathbf {B} )} 也就是： ∇ d i v J − Δ J = − i ω σ μ J {\displaystyle \nabla \,\mathrm {div} \,\mathbf {J} -\Delta \mathbf {J} =-i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} } 由之前对电流密度的假设， d i v J = 0 {\displaystyle \mathrm {div} \,\mathbf {J} =0} ，因此有： Δ J = i ω σ μ J {\displaystyle \Delta \mathbf {J} =i\,\omega \,\sigma \,\mu \,\mathbf {J} } 在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子 Δ {\displaystyle \Delta } 写作： d 2 j d r 2 ( r ) + 1 r d j d r ( r ) = i ω σ μ j ( r ) {\displaystyle {\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+{\frac {1}{r}}\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)=i\,\omega \,\sigma \,\mu \,j(r)} 令 k 2 = i ω σ μ {\displaystyle k^{2}=i\,\omega \,\sigma \,\mu } ，再将方程两边乘上r2就得到电流密度应该满足的方程： r 2 d 2 j d r 2 ( r ) + r d j d r ( r ) − r 2 k 2 j ( r ) = 0 {\displaystyle r^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{dr^{2}}}(r)+r\,{\frac {d\,j}{dr}}(r)-r^{2}\,k^{2}\,j(r)=0} 在进行代换 ξ = i k r {\displaystyle \xi =i\,k\,r} 后，方程变为一个齐次的贝塞尔方程： ξ 2 d 2 j d ξ 2 ( ξ ) + ξ d j d ξ ( ξ ) + ξ 2 j ( ξ ) = 0 {\displaystyle \xi ^{2}\,{\frac {d^{2}\,j}{d\xi ^{2}}}(\xi )+\xi \,{\frac {d\,j}{d\xi }}(\xi )+\xi ^{2}\,j(\xi )=0} 由电流密度在r = 0的连续性，方程的解具有 J 0 ( ξ ) {\displaystyle J_{0}(\xi )} 的形式，其中J0是零阶的第一类贝塞尔函数。于是： j ( r ) = j 0 J 0 ( i k r ) {\displaystyle j(r)=j_{0}\,J_{0}(i\,k\,r)} 其中j0是一个常数，k为： k = i ω σ μ = 1 + i 2 ω σ μ = 1 + i δ {\displaystyle k={\sqrt {i}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\,{\sqrt {\omega \,\sigma \,\mu }}={\frac {1+i}{\delta }}} 其中δ是集肤深度， δ = 2 ω σ μ {\displaystyle \delta ={\sqrt {\frac {2}{\omega \,\sigma \,\mu }}}} ， i k = − 1 + i δ = e i 3 π / 4 2 δ {\displaystyle i\,k={\frac {-1+i}{\delta }}=e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {\sqrt {2}}{\delta }}} 最后，电流密度为： j ( r ) = j 0 J 0 ( e i 3 π / 4 2 r δ ) = j 0 ( b e r ( 2 r δ ) + i b e i ( 2 r δ ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}j(r)&=&j_{0}\,J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\\&=&j_{0}\,(ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }}))\end{matrix}}} 其中ber和bei是0阶的开尔文-贝塞尔函数。 于是通过整个截面的电流总和就是： I = ∫ 0 a j ( r ) 2 π r d r = 2 π j 0 ∫ 0 a J 0 ( e i 3 π / 4 2 r δ ) r d r = π δ 2 j 0 ∫ 0 2 a / δ ( b e r ( x ) + i b e i ( x ) ) x d x {\displaystyle {\begin{matrix}I&=&\int _{0}^{a}j(r)\,2\,\pi \,r\,dr\\&=&2\,\pi \,j_{0}\int _{0}^{a}J_{0}(e^{i\,3\,\pi /4}\,{\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})\,r\,dr\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\int _{0}^{{\sqrt {2}}\,a/\delta }(ber(x)+i\,bei(x))\,x\,dx\end{matrix}}} 记Ber和Bei为相应的原函数： B e r ( x ) = ∫ 0 x b e r ( x ′ ) x ′ d x ′  et  B e i ( x ) = ∫ 0 x b e i ( x ′ ) x ′ d x ′ {\displaystyle Ber(x)=\int _{0}^{x}ber(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }\qquad {\mbox{ et }}\qquad Bei(x)=\int _{0}^{x}bei(x^{\prime })\,x^{\prime }\,dx^{\prime }} 便有如下更简洁的形式： I = π δ 2 j 0 ( B e r ( 2 a δ ) + i B e i ( 2 a δ ) ) {\displaystyle I=\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})\right)} 我们还可以计算从圆柱表面到离轴心距离r处的电流总和： I ( r ) = ∫ a − r a j ( r ′ ) 2 π r ′ d r ′ = π δ 2 j 0 ( B e r ( 2 a δ ) − B e r ( 2 r δ ) + i [ B e i ( 2 a δ ) − B e i ( 2 r δ ) ] ) {\displaystyle {\begin{matrix}I(r)&=&\int _{a-r}^{a}j(r^{\prime })\,2\,\pi \,r^{\prime }\,dr^{\prime }\\&=&\pi \,\delta ^{2}\,j_{0}\,\left(Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]\right)\end{matrix}}} 于是有电流的分布函数： I ( r ) I = B e r ( 2 a δ ) − B e r ( 2 r δ ) + i [ B e i ( 2 a δ ) − B e i ( 2 r δ ) ] B e r ( 2 a δ ) + i B e i ( 2 a δ ) {\displaystyle {\frac {I(r)}{I}}={\frac {Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})+i\,[Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})-Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,r}{\delta }})]}{Ber({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})+i\,Bei({\frac {{\sqrt {2}}\,a}{\delta }})}}} 一般来说，在给定的频率下，使得导线对交流电的电阻增加百分之十的直径大约是： D W = 200   m m f / H z {\displaystyle D_{\mathrm {W} }={\frac {200~\mathrm {mm} }{\sqrt {f/\mathrm {Hz} }}}} 以上的导线对交流电的电阻只对于孤立的导线成立。对于两根邻近的导线，交流电阻会受到邻近效应的影响而显著增大。 一种减缓集肤效应的方法是采用所谓的利兹线（英语：Litz wire）（源自德语：Litzendraht，意为“编织起来的线”）。利兹线采用将多条金属导线相互缠绕的方法，使得电磁场能够比较均匀地分布，这样各导线上的电流分布就会较为平均。使用利兹线后，产生显著集肤效应的频率可以从数千赫兹提高到数兆赫兹。利兹线一般应用在高频交流电的传输中，可以同时减缓集肤效应和邻近效应。 高电压大电流的架空电力线路通常使用钢芯铝绞线，这样能使铝质部分的工作部分温度降低，减低电阻率，并且由于集肤效应，电阻率较大的钢芯上承载极少的电流，因而无关紧要。 还有将实心导线换成空心导线管，中间补上绝缘材料的方法，这样可以减轻导线的重量。 在传输的频率在甚高频或微波级别时，一般会使用镀银（已知的除超导体外最好的导体）的导线，因为这时集肤深度非常的浅，使用更厚的银层已是浪费。 集肤效应使交流電只通过导体的表面，因此电流只在其表面产生热效应。钢铁工业中利用集肤效应来为钢进行表面淬火，使钢材表面的硬度增大。 集肤效应也可以描述为：导体中变电磁场的强度随着进入导体的深度而呈指数递减，因此在防晒霜中混入导体微粒（一般是氧化锌和氧化钛），就能使阳光中的紫外线（高频电磁波）的强度减低。这便是物理防晒的原理之一。此外，集肤效应也是电磁屏蔽的方法之一，利用集肤效应可以阻止高频电磁波透入良导体而作成电磁屏蔽装置，这也是电梯里手机信号不好的原因。 頻率為10 GHz（微波）時各種材料的集膚深度： 在铜质导线中，集肤深度和频率的关系大致如下： 邻近效应 麦克斯韦方程组 涡旋电场 漸逝波 Skin Effect and HiFi Cables （页面存档备份，存于互联网档案馆） More on the "skin effect" （页面存档备份，存于互联网档案馆） http://group.ednchina.com/250/4713.aspx （页面存档备份，存于互联网档案馆） William Hart Hayt, Engineering Electromagnetics Seventh Edition, (2006), McGraw Hill, New York ISBN 0073104639 Paul J. Nahin, Oliver Heaviside: Sage in Solitude, (1988), IEEE Press, New York, ISBN 0879422386 Terman, F.E. Radio Engineers' Handbook, McGraw-Hill 1943 -- for the Terman formula mentioned above 林漢年. 《電磁相容分析與設計 : 從PI與SI根因探討》. 滄海圖書. 2021: 第B–3頁. ISBN 9789865647735.