Z轉換

在數學和信号处理中，Z轉換（英語：Z-transform）把離散的實數或複數时间訊號從時域轉為复頻域（z域或z平面）表示。 可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。 现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz（英语：Witold Hurewicz）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的約翰·拉加齊尼（英语：John R. Ragazzini）和查德称其为“Z变换”。 約翰·拉加齊尼（英语：John R. Ragazzini）后来发展并推广了改进或高级Z变换。 Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。 从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。 像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。 双边Z轉換把离散時域信号 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 轉為形式幂级数 X ( z ) {\displaystyle X(z)} 。 X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}} 當中 n {\displaystyle n} 是整數， z {\displaystyle z} 是複數变量，其表示方式為 z = A e j ϕ = A ( cos ⁡ ϕ + j sin ⁡ ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A(\cos {\phi }+j\sin {\phi })\,} 其中 A 为 z 的模，j 为虚数单位，而 ɸ 为辐角（也叫相位角），用弧度表示。 另外，只对 n ≥ 0 定义的 x[n]，单边Z变换定义为 X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.} 在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。 单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 x[n] 部分是离散随机变量取 n 值时的概率，而函数 X(z) 通常写作 X(s)，用 s = z−1 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。 地球物理中的Z变换，通常的定义是 z 的幂级数而非 z−1 的。例如，Enders Anthony Robinson（維基數據所列：Q102443451）和Ernest R. Kanasewich（維基數據所列：Q112388807）都使用这个惯例。地球物理定义为： X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n x [ n ] z n . {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n}x[n]z^{n}.} 这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。 因此，需要注意特定作者使用的定义。 逆Z变换为 x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz} 其中 C 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 C 必须包围 X(z) 的所有极点。 这个曲线积分的一个特殊情形出现在 C 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 X(z) 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换： x [ n ] = 1 2 π ∫ − π + π X ( e j ω ) e j ω n d ω . {\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .} 有限范围 n 和有限数量的均匀间隔的 z 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 z 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。 收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。 R O C = { z : | ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n | < ∞ } {\displaystyle ROC=\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}} 令 x [ n ] = ( 0.5 ) n {\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}} 。在区间 ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} 上展开 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 成为 x [ n ] = { ⋯ , 0.5 − 3 , 0.5 − 2 , 0.5 − 1 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } = { ⋯ , 2 3 , 2 2 , 2 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} 观察上面的和 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n → ∞ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .} 因此，没有一个 z {\displaystyle z} 值可以满足这个条件。 令 x [ n ] = 0.5 n u [ n ]   {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ } （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到 x [ n ] = { ⋯ , 0 , 0 , 0 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} 观察这个和 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = 0 ∞ 0.5 n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 z ) n = 1 1 − 0.5 z − 1 . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.} 最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5z−1| < 1 时成立，可以以 z 为变量写成 |z| > 0.5。因此，收敛域为 |z| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。 令 x [ n ] = − ( 0.5 ) n u [ − n − 1 ]   {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ } （其中 u 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 x[n] 得到 x [ n ] = { ⋯ , − ( 0.5 ) − 3 , − ( 0.5 ) − 2 , − ( 0.5 ) − 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.} 观察这个和 ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 0.5 n z − n = − ∑ m = 1 ∞ ( z 0.5 ) m = 1 − 1 1 − 0.5 − 1 z = 1 1 − 0.5 z − 1 {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=1-{\frac {1}{1-0.5^{-1}z}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}} 再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5−1z| < 1 时成立，可以用 z 为变量写成 |z| < 0.5。因此，收敛域为 |z| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。 本例与上例的不同之处仅在收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。 实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时， x [ n ] {\displaystyle x[n]} 的Z变换 X(z) 才是唯一的。画因果和非因果情形的零极点图（英语：pole–zero plot）表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域永远不会包含极点。 在例2中，因果系统产生一个包含 |z| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 | z | = 0 {\displaystyle |z|=0} 的收敛域。 在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |z| = ∞ 也不包含 |z| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如， x [ n ] = 0.5 n u [ n ] − 0.75 n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]} 的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |z| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)nu[n] 和一个非因果项 −(0.75)nu[−n−1]。 一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |z| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |z| > 0.5 包含单位圆。 如果我们有一个没有给定收敛域Z变换（即模糊的 x [ n ] {\displaystyle x[n]} ），则可以确定一个唯一的 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 满足下列： 稳定性 因果性 如果要求满足稳定性，则收敛域必须包含单位圆；如果要求为一个因果系统，则收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果要求为一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果既要满足稳定性，也要满足因果性，则系统函数的所有极点都必须在单位圆内。 通过这种方法可以找到唯一的 x [ n ] {\displaystyle x[n]} 。 帕塞瓦尔定理 ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] x 2 ∗ [ n ] = 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ∗ ( 1 v ∗ ) v − 1 d v {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v} 初值定理：如果 x[n] 为因果的，那么 x [ 0 ] = lim z → ∞ X ( z ) . {\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).} 终值定理：如果 (z−1)X(z) 的极点在单位圆内，则 x [ ∞ ] = lim z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) . {\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).} 这里： u : n ↦ u [ n ] = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 {\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}} 是单位阶跃函数而 δ : n ↦ δ [ n ] = { 1 , n = 0 0 , n ≠ 0 {\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}} 是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 n = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 n = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 n = 0 处为 1。 对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=ejω 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数： 也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的周期性求和（英语：periodic summation），这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作： ∑ n = − ∞ ∞ x ( n T ) ⏞ x [ n ]   e − j 2 π f n T ⏟ DTFT = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( f − k / T ) . {\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ e^{-j2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(f-k/T).} 若T的單位是秒， f {\displaystyle \textstyle f} 的單位即為赫兹。比較兩個數列可得  ω = 2 π f T {\displaystyle \textstyle \omega =2\pi fT}  為标准化频率（英语：Normalized frequency (digital signal processing)#Alternative normalizations），單位是radians per sample。數值ω=2π對應 f = 1 T {\displaystyle \textstyle f={\frac {1}{T}}} Hz. ，而且在替換  f = ω 2 π T , {\displaystyle \textstyle f={\frac {\omega }{2\pi T}},} 後，  Eq.1可以表示為傅里叶变换X(•): ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ]   e − j ω n = 1 T ∑ k = − ∞ ∞ X ( ω 2 π T − k T ) ⏟ X ( ω − 2 π k 2 π T ) . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\ e^{-j\omega n}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {X\left({\tfrac {\omega }{2\pi T}}-{\tfrac {k}{T}}\right)} _{X\left({\frac {\omega -2\pi k}{2\pi T}}\right)}.} 若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性） 双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下： s = 2 T ( z − 1 ) ( z + 1 ) {\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}} 將一個拉氏域的函數 H ( s ) {\displaystyle H(s)} 轉換為Z域下的 H ( z ) {\displaystyle H(z)} ，或是 z = 2 + s T 2 − s T {\displaystyle z={\frac {2+sT}{2-sT}}} 從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個jΩ軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在jΩ axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括jΩ軸。 线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。 ∑ p = 0 N y [ n − p ] α p = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q {\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}} 上面等式两边可以同时除以 α0，如果非零，正规化 α0 = 1，LCCD方程可以写成 y [ n ] = ∑ q = 0 M x [ n − q ] β q − ∑ p = 1 N y [ n − p ] α p . {\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.} LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 y[n] 是过去输出 y[n−p]、当前输入 x[n] 与之前输入 x[n−q] 的一个函数。 对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到 Y ( z ) ∑ p = 0 N z − p α p = X ( z ) ∑ q = 0 M z − q β q {\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}} 整理结果 H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ q = 0 M z − q β q ∑ p = 0 N z − p α p = β 0 + z − 1 β 1 + z − 2 β 2 + ⋯ + z − M β M α 0 + z − 1 α 1 + z − 2 α 2 + ⋯ + z − N α N . {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.} 由代数基本定理得知分子有 M 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为 H ( z ) = ( 1 − q 1 z − 1 ) ( 1 − q 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − q M z − 1 ) ( 1 − p 1 z − 1 ) ( 1 − p 2 z − 1 ) ⋯ ( 1 − p N z − 1 ) {\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}}} 其中 qk 为 k 阶零点，pk 为 k 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为零极点图（英语：pole–zero plot）。 此外，在 z = 0 和 z = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。 通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。 如果一个系统 H(z) 由信号 X(z) 驱动，那么输出为 Y(z) = H(z)X(z)。通过对 Y(z) 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 y[n]。在实际运用中，在分式分解 Y ( z ) z {\displaystyle {\frac {Y(z)}{z}}} 之后再乘 z 产生 Y(z) 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。 高级Z变换 双线性变换 差分方程（遞迴關係式） 离散卷积 离散时间傅里叶变换 有限脉冲响应 形式幂级数 拉普拉斯变换 洛朗级数 概率母函数 星标变换 Zak变换（英语：Zak transform） ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization） E. 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