雞爪定理

歐氏幾何中，雞爪定理（或內心/旁心引理，英語：incenter/excenter lemma）描述三角形的頂點、內心、旁心、外接圓的位置關係。其斷言，三角形某頂點 B {\displaystyle B} 所對的旁心 I B {\displaystyle I_{B}} 、另兩個頂點 A {\displaystyle A} 、 C {\displaystyle C} 、內心 I {\displaystyle I} 四點共圓，且其圓心（ I I B {\displaystyle II_{B}} 中點）位於三角形的外接圓 ⊙ A B C {\displaystyle \odot ABC} 上。此定理的構形常於奧數幾何題出現。 設 △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} 為任意三角形， I {\displaystyle I} 為其內心， ∠ A B C {\displaystyle \angle ABC} 的角平分線 B I {\displaystyle BI} 交外接圓 ⊙ A B C {\displaystyle \odot ABC} 於 D {\displaystyle D} 。定理斷言， D {\displaystyle D} 到 A , C , I {\displaystyle A,C,I} 三點等远，即 D A = D C = D I {\displaystyle DA=DC=DI} 。 等價的說法有： 過 A , C , I {\displaystyle A,C,I} 三點的圓，圓心位於 D {\displaystyle D} 。這尤其說明該圓的圓心在於原三角形的外接圓上。 諸三角形 A I D , C I D , A C D {\displaystyle AID,CID,ACD} 皆為等腰， D {\displaystyle D} 為其頂角。 還有第四點 I B {\displaystyle I_{B}} 也到 D {\displaystyle D} 等遠，就是 B {\displaystyle B} 所對的旁心。在以 D {\displaystyle D} 為圓心的圓上， I B {\displaystyle I_{B}} 與 I {\displaystyle I} 互為對徑點，即 D {\displaystyle D} 為 I I B {\displaystyle II_{B}} 的中點。 由於同弧所對的圆周角相等，有 ∠ I B A = ∠ D C A , ∠ I B C = ∠ D A C . {\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\quad \angle IBC=\angle DAC.} 又 B I {\displaystyle BI} 為角 B {\displaystyle B} 的平分線，有 ∠ D C A = ∠ D A C , {\displaystyle \angle DCA=\angle DAC,} 故 D A = D C {\displaystyle DA=DC} 得證（等圓周角對等弦）。 最後計角有： ∠ D I A = 180 ∘ − ∠ A I B = ∠ I A B + ∠ I B A = ∠ I A C + ∠ D A C = ∠ I A D . {\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA={}&180^{\circ }-\angle AIB\\={}&\angle IAB+\angle IBA\\={}&\angle IAC+\angle DAC\\={}&\angle IAD.\\\end{aligned}}} 所以三角形 D I A {\displaystyle DIA} 有兩底角相等，證畢 D A = D I {\displaystyle DA=DI} 。 定理適用於解決以下問題：已知某三角形的一個頂點 B {\displaystyle B} 、內心 I {\displaystyle I} 和外心 O {\displaystyle O} ，求作該三角形。作法如下： 以 O {\displaystyle O} 為圓心， O B {\displaystyle OB} 為半徑，作圓。此為三角形的外接圓。 作直線 B I {\displaystyle BI} ，與外接圓交於（ B {\displaystyle B} 以外的另一點） D {\displaystyle D} 。 以 D {\displaystyle D} 為圓心， D I {\displaystyle DI} 為半徑作圓，定理保證所得的圓過另兩個頂點 A , C {\displaystyle A,C} 。 所以，該圓與外接圓的交點 A , C {\displaystyle A,C} 即為所求。 然而，並非在平面上任意取三點作為 B , I , O {\displaystyle B,I,O} 皆有對應的三角形。若以上作法不能給出三角形，則問題可能出在 I B {\displaystyle IB} 與 ⊙ O {\displaystyle \odot O} 相切，也可能在於最後兩圓相切或外離。而且，若 B , I , O {\displaystyle B,I,O} 三點無任何限制，則即使作法確實給出三角形， I {\displaystyle I} 亦不必為其內心，可能是旁心。該些情況下，不存在三角形以 B {\displaystyle B} 為頂點， I {\displaystyle I} 為內心、 O {\displaystyle O} 為外心。（對於固定的 B , O {\displaystyle B,O} 兩點，若要存在此種三角形，則 I {\displaystyle I} 必須位於以 B {\displaystyle B} 為尖點關於 ⊙ O {\displaystyle \odot O} 作成的心臟線圍成的區域中。） 其他構作三角形的問題，如給定頂點、內心、九點圓心，求作三角形，有部分情況可化歸為前述問題解決，但一般而言無法尺規作出。 本定理有許多不同的名稱。「雞爪定理」得名自 D A , D I , D C {\displaystyle DA,DI,DC} 諸線段組成的幾何圖形。同樣，俄文稱為лемма о трезубце，謂三叉引理，或теорема трилистника，謂三葉草定理。英文又稱theorem of trillium「延齡草定理」，亦是以某種三葉植物命名。 定理亦有其他名稱並非來自該形狀，如「內心/旁心引理」（the incenter/excenter lemma）。 金磊. 鸡爪定理. 《數學中的小問題大定理》叢書（第六輯）. 哈尔滨工业大学出版社. 2020. ISBN 9787560384245.  Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads [奧數歐氏幾何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10 [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. （原始内容存档于2021-12-15） （英语）. This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears!  Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [過三角形特殊點的圓], The Mathematics Teacher（英语：The Mathematics Teacher）, 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 （英语） . 尤其見p. 65處關於諸圓 B I C , C I A , A I B {\displaystyle BIC,CIA,AIB} 及圓心的討論。 Bogomolny, Alexander（英语：Alexander Bogomolny）, A Property of Circle Through the Incenter [過內心的圓之某性質], Cut-the-Knot, [2016-01-26], （原始内容存档于2021-12-12） （英语） . 6. Лемма о трезубце [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29 [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12） （俄语）.  Bogomolny, Alexander, Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters [內心與諸旁心所連線段之中點], Cut-the-Knot, [2016-01-26], （原始内容存档于2021-12-12） （英语） . Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [歐氏幾何問題及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12], ISBN 9780486477206, （原始内容存档于2021-12-12） （英语） . Yiu, Paul, Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex [給定內心、九點圓心、一頂點，以圓錐曲線構作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, 16 (2): 171–183 [2021-12-12], MR 3088369, （原始内容存档 (PDF)于2020-11-28） （英语）  Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка [數學興趣小組題目] (PDF). Problem 1.2. : 4 [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12） （俄语）.  И. А. Кушнир. Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера [這個發現——萊昂哈德·歐拉的金鑰] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34；證明見p.36. [2021-12-12]. （原始内容存档 (PDF)于2021-12-12）.