齐次函数

在數學中，齐次函数（英語：Homogenous）是一個有倍數性質的函數：如果变數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。 假设 f : V → W {\displaystyle f:V\rightarrow W} 是域 F {\displaystyle F} 内的两个向量空间之间的函数。 我们说 f {\displaystyle f} 是“ k {\displaystyle k} 次齐次函数”，如果对于所有非零的 α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} 和 v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} ，都有： f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )} 即是，在歐幾里得空間， f ( α v ) = f ( k )   f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )} ， 其中 f ( k ) {\displaystyle f(k)} 為指數函數。 线性函数 f : V → W {\displaystyle f:V\rightarrow W} 是一次齐次函数，因为根据线性的定义，对于所有的 α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} 和 v ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} \in V} ，都有： f ( α v ) = α f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )} 多线性函数 f : V 1 × … × V n → W {\displaystyle f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W} 是n次齐次函数，因为根据多线性的定义，对于所有的 α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} 和 v 1 ∈ V 1 , … , v n ∈ V n {\displaystyle \mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}} 都有： f ( α v 1 , … , α v n ) = α n f ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})} 从上一个例子中可以看出，两个巴拿赫空间 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 之间的函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 的 n {\displaystyle n} 阶弗雷歇导数是 n {\displaystyle n} 次齐次函数。 n {\displaystyle n} 元单项式定义了齐次函数 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } 。 例如： f ( x , y , z ) = x 5 y 2 z 3 {\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}} 是10次齐次函数，因为： ( α x ) 5 ( α y ) 2 ( α z ) 3 = α 10 x 5 y 2 z 3 {\displaystyle (\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}} 。 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如： x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}} 是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。 欧拉定理：假设函数 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } 是可导的，且是 k {\displaystyle k} 次齐次函数。那么： x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad } 。 这个结果证明如下。记 f = f ( x 1 , … , x n ) = f ( x ) {\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )} ，并把以下等式两端对 α {\displaystyle \alpha } 求导： f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )} 利用复合函数求导法则，可得： ∂ ∂ α x 1 f ( α x ) d d α ( α x 1 ) + ⋯ + ∂ ∂ α x n f ( α x ) d d α ( α x n ) = k α k − 1 f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )} ， 因此： x 1 ∂ ∂ α x 1 f ( α x ) + ⋯ + x n ∂ ∂ α x n f ( α x ) = k α k − 1 f ( x ) {\displaystyle x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )} 。 以上的方程可以用劈形算符写为： x ⋅ ∇ f ( α x ) = k α k f ( x ) , ∇ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})} ， 当 α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ，定理即得证。 假设 f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } 是可导的，且是 k {\displaystyle k} 阶齐次函数。则它的一阶偏导数 ∂ f / ∂ x i {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}} 是 k − 1 {\displaystyle k-1} 阶齐次函数。 这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记 f = f ( x 1 , … , x n ) = f ( x ) {\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )} ，并把以下等式两端对 x i {\displaystyle x_{i}} 求导： f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )} 利用复合函数求导法则，可得： ∂ ∂ α x i f ( α x ) d d x i ( α x i ) = α k ∂ ∂ x i f ( x ) d d x i ( x i ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})} ， 因此： α ∂ ∂ α x i f ( α x ) = α k ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle \alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )} 所以 ∂ ∂ α x i f ( α x ) = α k − 1 ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )} . 对于以下的微分方程 I ( x , y ) d y d x + J ( x , y ) = 0 , {\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,} 其中 I {\displaystyle I} 和 J {\displaystyle J} 是同次数的齐次函数，利用变量代换 v = y / x {\displaystyle v=y/x} ，可以把它化为可分离变量的微分方程： x d v d x = − J ( 1 , v ) I ( 1 , v ) − v {\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v} 。 Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Hazewinkel, Michiel (编), Homogeneous function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Homogeneous function. PlanetMath.