分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。 分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 a {\displaystyle a} 次，其中 a {\displaystyle a} 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。 若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。 對信號 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 做一次傅立葉變換的結果為 F ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(x)} ，做兩次傅立葉變換的結果為 F ( F ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))} ，表示成 F 2 = F ( F ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))} ，而當做了 a {\displaystyle a} 次的傅立葉變換可以寫成一般式 F a ( x ) = F ( a − 1 ) ( F ( x ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{a}(x)={\mathcal {F}}^{(a-1)}({\mathcal {F}}(x))} 。至此，都以 a {\displaystyle a} 為整數做考量，當令 a = 2 ϕ π {\displaystyle a={\frac {2\phi }{\pi }}} 即 ϕ = 1 2 a π {\displaystyle \phi ={\frac {1}{2}}a\pi } 時，將 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的分數傅立葉變換定義為 F ϕ ( x ) = F 2 ϕ / π ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\phi }(x)={\mathcal {F}}^{2\phi /\pi }(x)} ，其中 ϕ {\displaystyle \phi } 可以不必為整數。 分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。 第一種定義: X ϕ ( u ) = 1 − j c o t ϕ ⋅ e j π ⋅ c o t ϕ ⋅ u 2 ∫ − ∞ ∞ e − j 2 π ⋅ c s c ϕ ⋅ u t e j π ⋅ c o t ϕ ⋅ t 2 x ( t ) d t {\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt} 第二種定義: X ϕ ( u ) = 1 − j c o t ϕ 2 π ⋅ e j c o t ϕ 2 ⋅ u 2 ∫ − ∞ ∞ e − j c s c ϕ ⋅ u t e j c o t ϕ 2 ⋅ t 2 x ( t ) d t {\displaystyle X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt} ϕ = 0.5 a π {\displaystyle \phi =0.5a\pi } , a {\displaystyle a} 為實數。 當 a = 1 {\displaystyle a=1} 時 (亦即 ϕ = 0.5 π {\displaystyle \phi =0.5\pi } )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。 F 2 ( f ) = F ( F ( f ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))} ，則可推廣為 F ( n + 1 ) ( f ) = F ( F n ( f ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))} ;依此類推， F − n ( F ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-n}(F)} 表示 F ( ω ) {\displaystyle F(\omega )} 的 n {\displaystyle n} 次逆變換 F − 1 ( F ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}(F)} 。 而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的 n = 2 α π {\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}} ，且 α {\displaystyle \alpha } 為實數，表示為 F α ( f ) = F 2 α / π ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)} ， 當 n = 2 α π {\displaystyle n={\frac {2\alpha }{\pi }}} 是一個整數時則代表傅立葉轉換做 n {\displaystyle n} 次。 例如: n = 1 {\displaystyle n=1} 時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度 n = 2 {\displaystyle n=2} 時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度, F 2 [ x ( t ) ] = x ( − t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)} n = 3 {\displaystyle n=3} 時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度 n = 4 {\displaystyle n=4} 時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度, F 4 [ x ( t ) ] = x ( t ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)} 對於任一實數 α {\displaystyle \alpha } ，一個對 f {\displaystyle f} 函數做 α {\displaystyle \alpha } 角度分數傅立葉變換定義為 F α ( f ) ( ω ) = 1 − i cot ⁡ ( α ) 2 π e i cot ⁡ ( α ) ω 2 / 2 ∫ − ∞ ∞ e − i csc ⁡ ( α ) ω t + i cot ⁡ ( α ) t 2 / 2 f ( t ) d t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)dt} 並且具備以下特性 加法性(Additivity) F α + β ( f ) = F α ( F β ( f ) ) = F β ( F α ( f ) ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }(f)={\mathcal {F}}_{\alpha }({\mathcal {F}}_{\beta }(f))={\mathcal {F}}_{\beta }({\mathcal {F}}_{\alpha }(f))} 。 線性(Linearity) F α [ ∑ k b k f k ( u ) ] = ∑ k b k F α [ f k ( u ) ] {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]} 整數傅立葉性質(Integer Orders) 若 α = k π 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {k\pi }{2}}} ,其中 k {\displaystyle k} 為一整數則相當於做 k {\displaystyle k} 次傅立葉轉換； 當 α = π 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}}} 時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ， 當 α = − π 2 {\displaystyle {\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}} 時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。 若 α {\displaystyle \alpha } 為 π {\displaystyle \pi } 的整數倍，則餘切函數和餘割函數不會收斂。 有一方法可解決此問題，就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況，使得 F α = F k π 2 = F k = ( F ) k {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}} 反轉性質(Inverse) ( F α ) − 1 = F − α {\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }} 交換性(Commutativity) F α 1 F α 2 = F α 2 F α 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}} 結合律(Associativity) ( F α 1 F α 2 ) F α 3 = F α 1 ( F α 2 F α 3 ) {\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)} 帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem) 若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆 ∫ f ∗ ( u ) g ( u ) d u = ∫ f α ∗ ( u ) g α ( u ) d u {\displaystyle \int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du} x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的分數傅立葉轉換 ( ϕ {\displaystyle \phi } )的時頻分布，等同於 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 ϕ {\displaystyle \phi } ，用數學式子表示如下: 假設 (a) W x ( t , f ) {\displaystyle W_{x}(t,f)} 是 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的維格納分布 (b) W X ϕ ( u , v ) {\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)} 是 X ϕ ( u ) {\displaystyle X_{\phi }(u)} 的維格納分布 (c) X ϕ ( u ) {\displaystyle X_{\phi }(u)} 是 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的分數傅立葉轉換 ，則 W X ϕ ( u , v ) = W x ( u c o s ( ϕ ) − v s i n ( ϕ ) , u s i n ( ϕ ) + v c o s ( ϕ ) ) {\displaystyle W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))} 假設 (a) G x ( t , f ) {\displaystyle G_{x}(t,f)} 是 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的加伯轉換 (b) G X ϕ ( u , v ) {\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)} 是 X ϕ ( u ) {\displaystyle X_{\phi }(u)} 的加伯轉換 (c) X ϕ ( u ) {\displaystyle X_{\phi }(u)} 是 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 的分數傅立葉轉換 ，則 G X ϕ ( u , v ) = G x ( u c o s ( ϕ ) − v s i n ( ϕ ) , u s i n ( ϕ ) + v c o s ( ϕ ) ) {\displaystyle G_{X_{\phi }}(u,v)=G_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))} 例子一: 對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖 例子二: 對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖 可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上， 這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。 假設現在 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 是由兩個信號組成: x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) {\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)} ， x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} 和 x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 用數學表示分別如下: x 1 ( t ) = { 1 , if  0 < t < 1   0 , otherwise    {\displaystyle x_{1}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0<t<1{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}} x 2 ( t ) = { 1 , if  8 < t < 10   0 , otherwise    {\displaystyle x_{2}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}8<t<10{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}} h ( t ) = { 1 , if  − 2 < t < 2   0 , otherwise    {\displaystyle h(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-2<t<2{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}} 由式子可以很明顯地看出， x 1 ( t ) , x 2 ( t ) {\displaystyle x1(t),x2(t)} 兩信號是方波。 若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。 則 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 乘上 h ( t ) {\displaystyle h(t)} 時， x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} 這個信號會被保留， x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 這個信號就被濾掉了。 此作法可成功將這兩個信號分開。 此種方法的限制為欲分解的信號必須在时域不能重疊，否則無法成功分解。 x ( t ) = x 1 ( t ) + x 2 ( t ) {\displaystyle x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)} ， x 1 ( t ) = s i n ( 4 π t ) {\displaystyle x_{1}(t)=sin(4\pi t)} ， x 2 ( t ) = c o s ( 10 π t ) {\displaystyle x_{2}(t)=cos(10\pi t)} 。 可以很明顯地看出 x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)} 和 x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。 此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示: X ( f ) = X 1 ( f ) + X 2 ( f ) {\displaystyle X(f)=X_{1}(f)+X_{2}(f)} X 1 ( f ) = δ ( f − 2 ) − δ ( f + 2 ) 2 {\displaystyle X_{1}(f)={\frac {\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}} X 2 ( f ) = δ ( f − 5 ) + δ ( f + 5 ) 2 {\displaystyle X_{2}(f)={\frac {\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}} 由 X ( f ) {\displaystyle X(f)} 可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。 假設 H ( f ) {\displaystyle H(f)} 為一個低通濾波器(Low-pass Filter) H ( f ) = { 1 , if  − 3 < t < 3   0 , otherwise    {\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-3<t<3{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}} 則 X ( f ) {\displaystyle X(f)} 乘上 H ( f ) {\displaystyle H(f)} 時， X 1 ( f ) {\displaystyle X_{1}(f)} 會被保留， X 2 ( f ) {\displaystyle X_{2}(f)} 就被濾掉了。 反之，若要保留 X 2 ( f ) {\displaystyle X_{2}(f)} 而濾掉 X 1 ( f ) {\displaystyle X_{1}(f)} ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。 這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。 欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。 x ( t ) = e j 0.5 ( t − 4 ) 2 {\displaystyle x(t)=e^{j0.5(t-4)^{2}}} (啁啾雜訊) + 三角波信號。 三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到， 不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項 e j 0.5 ( t − 4 ) 2 {\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}} 去除，這是因為 e j 0.5 ( t − 4 ) 2 {\displaystyle e^{j0.5(t-4)^{2}}} 和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。 因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。 但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。 這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。 假設有噪音干擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。 用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。 現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。 方法1 : 使用垂直的 Cutoff line 若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。 但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。 因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。 方法2 : 使用水平的 Cutoff line 若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。 但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。 因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。 方法3 : 使用斜的 Cutoff line 若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。 Cutoff line 的參數包含了 ϕ {\displaystyle \phi } 和 u 0 {\displaystyle u_{0}} ， ϕ {\displaystyle \phi } 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 u 0 {\displaystyle u_{0}} 則是cutoff line 距離原點的距離。 以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除: 步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 ϕ {\displaystyle \phi } 步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 ϕ {\displaystyle \phi } ，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。 步驟(3) 算出 u 0 {\displaystyle u_{0}} 後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。 步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 − ϕ {\displaystyle -\phi } ，將時頻分布旋轉回原來的位置。 令接收到的信號為 x i ( t ) {\displaystyle x_{i}(t)} ，最後得到的信號為 x o ( t ) {\displaystyle x_{o}(t)} ，可將以上步驟用數學式子表示如下: x o ( t ) = X − ϕ [ X ϕ ( x i ( t ) ) H ( u ) ] {\displaystyle x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]} H ( u ) = { 1 , if u < u 0   0 , if u > u 0   {\displaystyle H(u)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}u<u_{0}{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{if}}u>u_{0}{\mbox{ }}\end{cases}}} 例子二: 假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise (a) 發射訊號的時域圖 (b) 接收訊號的時域圖 (c) 發射訊號的韋格納分布 (d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來 (e) 發射訊號的加伯轉換 (f) 接收訊號的加伯轉換 (g) 接收訊號的加伯-維格納轉換 (h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊 (i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊 (j) 對(i)做分數傅立葉轉換 (k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻 (l) 經過(k)濾波器以後 (m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號 (n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128% 由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號 例子三: 一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾 (a) 發射訊號 (b) 接收訊號 (c) 接收訊號的韋格納分 (d) 接收訊號的加伯轉換 (e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。 (f) 還原訊號，MSE僅0.3013% 傅立葉轉換 優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。 缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。 分數傅立葉轉換 優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。 缺點: 運算複雜度較高。 其他的時間-頻率變換： 短時傅立葉變換 小波變換 chirplet變換 DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time-frequency distributions （页面存档备份，存于互联网档案馆） Class notes of Time frequency analysis and wavelet transform -- from Prof. Jian-Jiun Ding's course website （页面存档备份，存于互联网档案馆） N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929). V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980). Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994). Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001). D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.) Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics. Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013