切比雪夫函數

本文使用了數學技術上的對數表記。在不另外說明的狀況下，本文中所有的 log ⁡ x {\displaystyle \log {x}} 都應視為自然對數，也就是一般常記為 ln ⁡ x {\displaystyle \ln {x}} 或 log e ⁡ x {\displaystyle \log _{e}{x}} 的對數。 在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。 切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 或 θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} ，其形式如下： ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log ⁡ p {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p} 其中 log {\displaystyle \log } 是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於x的質數p的自然對數的總和。 切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ，其定義類似，為所有小於等於x的質數p的冪的自然對數的總和，而其形式如下： ψ ( x ) = ∑ k ∈ N ∑ p k ≤ x log ⁡ p = ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∑ p ≤ x ⌊ log p ⁡ x ⌋ log ⁡ p , {\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,} 其中 Λ {\displaystyle \Lambda } 是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} ，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數 π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 還容易處理之故。可見下等式一節說明。 切比雪夫第一及第二函數都與x呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。 除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下： f T c h b ( x , w ) = max i w i f i ( x ) . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).} 藉由最小化這方程式不同 w {\displaystyle w} 的數值，可得到帕累托前沿（英语：Pareto front）的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是 f i {\displaystyle f_{i}} ，而是在給定標量 z i ∗ {\displaystyle z_{i}^{*}} 的狀況下 | f i − z i ∗ | {\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|} 的數值，而在這種狀況下有 f T c h b ( x , w ) = max i w i | f i ( x ) − z i ∗ | . {\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.} 。 這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。 切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式： ψ ( x ) = ∑ p ≤ x k log ⁡ p {\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p} 其中k是使得 p k ≤ x < p k + 1 {\displaystyle p^{k}\leq x<p^{k+1}} 的唯一整數，而k的值可參見A206722。一個更直接的關係如下： ψ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ϑ ( x 1 n ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.} 注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故： ϑ ( x 1 n ) = 0 for n > log 2 ⁡ x = log ⁡ x log ⁡ 2 . {\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.} 切比雪夫第二函數是從1到n所有數的最小公倍數的自然對數： lcm ⁡ ( 1 , 2 , … , n ) = e ψ ( n ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.} 對於n而言，lcm(1, 2, ..., n)的值可參見A003418。 以下定理將 ψ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}} 及 ϑ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}} 這兩個分數給聯繫起來。 定理：若 x > 0 {\displaystyle x>0} 則有 0 ≤ ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ≤ ( log ⁡ x ) 2 2 x log ⁡ 2 . {\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.} 注意：從此不等式可推出 lim x → ∞ ( ψ ( x ) x − ϑ ( x ) x ) = 0. {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.} 換句話說，若 ψ ( x ) / x {\displaystyle \psi (x)/x} 或 ϑ ( x ) / x {\displaystyle \vartheta (x)/x} 其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。 證明：由於 ψ ( x ) = ∑ n ≤ log 2 ⁡ x ϑ ( x 1 / n ) {\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})} ，因此有 0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) = ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 ⁡ x ϑ ( x 1 / n ) . {\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).} 而由 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 的定義，可得以下明顯的不等式： ϑ ( x ) ≤ ∑ p ≤ x log ⁡ x ≤ x log ⁡ x {\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x} 因此有 0 ≤ ψ ( x ) − ϑ ( x ) ≤ ∑ 2 ≤ n ≤ log 2 ⁡ x x 1 / n log ⁡ ( x 1 / n ) ≤ ( log 2 ⁡ x ) x log ⁡ x = log ⁡ x log ⁡ 2 x 2 log ⁡ x = x ( log ⁡ x ) 2 2 log ⁡ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}} 最後，將此不等式兩邊除以 x {\displaystyle x} ，即可得定理的不等式。 對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中pk是第k個質數，也就是p1 = 2、p2 = 3等等：[1][2] ϑ ( p k ) ≥ k ( log ⁡ k + log ⁡ log ⁡ k − 1 + log ⁡ log ⁡ k − 2.050735 log ⁡ k ) for  k ≥ 10 11 , ϑ ( p k ) ≤ k ( log ⁡ k + log ⁡ log ⁡ k − 1 + log ⁡ log ⁡ k − 2 log ⁡ k ) for  k ≥ 198 , | ϑ ( x ) − x | ≤ 0.006788 x log ⁡ x for  x ≥ 10 544 111 , | ψ ( x ) − x | ≤ 0.006409 x log ⁡ x for  x ≥ e 22 , 0.9999 x < ψ ( x ) − ϑ ( x ) < 1.00007 x + 1.78 x 3 for  x ≥ 121. {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\[8px]\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\[8px]|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\[8px]|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\[8px]0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt[{3}]{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}} 此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} 而言，有以下關係式： | ϑ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) | ψ ( x ) − x | = O ( x 1 2 + ε ) {\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}} 對任意的 x > 0 {\displaystyle x>0} 而言，切比雪夫第一函數 ϑ ( x ) {\displaystyle \vartheta (x)} 及第二函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 有以下的上界： [3] ϑ ( x ) < 1.000028 x ψ ( x ) < 1.03883 x {\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}} 對於1.03883這常數的解釋，可見A206431的說明。 1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了[4] ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的解析解（英语：Explicit_formulae_(L-function)）： ψ 0 ( x ) = x − ∑ ρ x ρ ρ − ζ ′ ( 0 ) ζ ( 0 ) − 1 2 log ⁡ ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).} 其中ζ′ (0)/ζ (0)的數值為log(2π)、ρ遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而ψ0是一個與ψ類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間： ψ 0 ( x ) = 1 2 ( ∑ n ≤ x Λ ( n ) + ∑ n < x Λ ( n ) ) = { ψ ( x ) − 1 2 Λ ( x ) x = 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 11 , 13 , 16 , … ψ ( x ) otherwise. {\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\[5px]\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}} 就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為xω/ω對黎曼ζ函數平凡零點ω = −2, −4, −6, ...的求和。也就是說， ∑ k = 1 ∞ x − 2 k − 2 k = 1 2 log ⁡ ( 1 − x − 2 ) . {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).} 類似地，此公式第一項x = x1/1對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。 一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數K，存在有無限多個正整數x使得 ψ ( x ) − x < − K x {\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}} 同時有無限多個正整數x使得 ψ ( x ) − x > K x . {\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.} [5][6] 使用小o符號，可將上式重述為 ψ ( x ) − x ≠ o ( x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).} 哈代與李特爾伍德[7]證明了一個更強的結果，表述如下： ψ ( x ) − x ≠ o ( x log ⁡ log ⁡ log ⁡ x ) . {\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).} 也就是說有無限多的正整數x，使得 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 與x之間的差的絕對值超過 x log ⁡ log ⁡ log ⁡ x {\displaystyle {\sqrt {x}}\,\log \log \log x} 。 切比雪夫第一函數也是x的質數階乘x #的對數： ϑ ( x ) = ∑ p ≤ x log ⁡ p = log ⁡ ∏ p ≤ x p = log ⁡ ( x # ) . {\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).} 這說明了質數階乘x #非病態地等於e(1  + o(1))x，其中o是小o符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了pn #的非病態行為。 切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義 Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) log ⁡ n . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.} 那麼有 Π ( x ) = ∑ n ≤ x Λ ( n ) ∫ n x d t t log 2 ⁡ t + 1 log ⁡ x ∑ n ≤ x Λ ( n ) = ∫ 2 x ψ ( t ) d t t log 2 ⁡ t + ψ ( x ) log ⁡ x . {\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.} 從Π到質數計數函數π間的轉換可由下式表示： Π ( x ) = π ( x ) + 1 2 π ( x ) + 1 3 π ( x 3 ) + ⋯ {\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt[{3}]{x}}\,\right)+\cdots } 由於很明顯地，有π (x) ≤ x之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下： π ( x ) = Π ( x ) + O ( x ) . {\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).} 黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為1/2。在這種狀況下，有|x ρ| = √x，且可證明說 ∑ ρ x ρ ρ = O ( x log 2 ⁡ x ) . {\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).} 由上式可推得 π ( x ) = li ⁡ ( x ) + O ( x log ⁡ x ) . {\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).} 平滑化切比雪夫函數定義如下： ψ 1 ( x ) = ∫ 0 x ψ ( t ) d t . {\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.} 顯然有 ψ 1 ( x ) ∼ x 2 2 . {\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.} Joshua Knowles. 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