穆尔-彭罗斯广义逆

穆尔-彭罗斯广义逆（英語：Moore–Penrose pseudoinverse），通常標記為 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 或 A + {\displaystyle A^{+}} ，是著名的广义逆矩阵之一。 1903年，埃里克·伊瓦爾·弗雷德霍姆提出积分算子的伪逆的概念。穆尔-彭罗斯广义逆先后被E·H·穆爾（1920年）、阿尔内·比耶哈马尔（英语：Arne Bjerhammar）（1951年） 、羅傑·潘洛斯（1955年）发现或描述。 它常被用于求得或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法）。 矩阵的穆尔-彭罗斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。 令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。穆尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件： A G = P R ( A ) , G A = P R ( A H ) {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A}})},{\boldsymbol {GA}}={\boldsymbol {P}}_{R({\boldsymbol {A_{H}}})}} 以上两个条件称为穆尔条件。满足穆尔条件的矩阵G称为矩阵A的穆尔逆矩阵。 彭罗斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件： A G A = A {\displaystyle {\boldsymbol {AGA}}={\boldsymbol {A}}} ， A G {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}} 不一定是单位矩阵，但却不会改变 A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} 的列向量。 G A G = G {\displaystyle {\boldsymbol {GAG}}={\boldsymbol {G}}} ， G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} 是乘法半群的弱逆 ( A G ) H = A G {\displaystyle ({\boldsymbol {AG}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {AG}}} ， A G {\displaystyle {\boldsymbol {AG}}} 是埃尔米特矩阵 ( G A ) H = G A {\displaystyle ({\boldsymbol {GA}})^{\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {GA}}} ， G A {\displaystyle {\boldsymbol {GA}}} 也是埃尔米特矩阵 以上四个条件常称穆尔-彭罗斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。 从穆尔-彭罗斯条件出发，彭罗斯推导出了穆尔-彭罗斯广义逆的一些性质： ( A H ) † = ( A † ) H {\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{\dagger })^{H}} A † A A H = A H A A † = A H {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}={\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }={\boldsymbol {A}}^{H}} A A H ( A H ) † = ( A H ) † A H A = A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{H}({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }=({\boldsymbol {A}}^{H})^{\dagger }{\boldsymbol {A}}^{H}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}} A † A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}}} ， A A † {\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\dagger }} ， ( I − A † A ) {\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})} 和 ( I − A † A ) {\displaystyle ({\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {A}}^{\dagger }{\boldsymbol {A}})} 都是幂等矩阵。 伪逆存在且唯一：对于任何矩阵 A {\displaystyle A} ，恰好有一个矩阵 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 满足定义的四个性质。 满足该定义的第一个条件的矩阵被称为广义逆。如果该矩阵也满足第二个定义，它就被称为广义反身逆阵（generalized reflexive inverse）。广义逆矩阵总存在，但一般不唯一。唯一性是最后两个条件的结果。 維基教科書中的相關電子教程：Topics in Abstract Algebra/Linear algebra 这些性质的证明可以在維基教科書中找到。 如果 A {\displaystyle A} 有实数项，那么 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 也有。 如果 A {\displaystyle A} 是可逆的，它的伪逆就是它的逆矩阵，即： A † = A − 1 {\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1}} . 零矩阵的伪逆是它的转置。 矩阵伪逆的伪逆是原矩阵，即： ( A † ) † = A {\displaystyle \left(A^{\dagger }\right)^{\dagger }=A} . 伪转置与转置、复共轭和共轭转置可以交换： ( A T ) † = ( A † ) T {\displaystyle \left(A^{\textsf {T}}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{\textsf {T}}} , ( A ¯ ) † = A † ¯ {\displaystyle \left({\overline {A}}\right)^{\dagger }={\overline {A^{\dagger }}}} , ( A ∗ ) † = ( A † ) ∗ {\displaystyle \left(A^{*}\right)^{\dagger }=\left(A^{\dagger }\right)^{*}} . 矩阵 A {\displaystyle A} 的标量乘法的伪逆是 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 的标量的倒数的乘法： ( α A ) † = α − 1 A † {\displaystyle \left(\alpha A\right)^{\dagger }=\alpha ^{-1}A^{\dagger }} 对于 α ≠ 0 {\displaystyle \alpha \neq 0} . 下面的恒等式可以用来判定部分涉及伪逆的子表达式的正确性： A = A A ∗ A † ∗ = A † ∗ A ∗ A {\displaystyle A={}A{}A^{*}{}A^{\dagger *}{}={}A^{\dagger *}{}A^{*}{}A} 同样的，将 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 替换为 A {\displaystyle A} 会得到： A † = A † A † ∗ A ∗ = A ∗ A † ∗ A † {\displaystyle A^{\dagger }={}A^{\dagger }{}A^{\dagger *}{}A^{*}{}={}A^{*}{}A^{\dagger *}{}A^{\dagger }} 当用 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 替代 A {\displaystyle A} 时，会得到： A ∗ = A ∗ A A + = A + A A ∗ . {\displaystyle A^{*}={}A^{*}{}A{}A^{+}{}={}A^{+}{}A{}A^{*}.} 伪逆的计算可以简化为其在埃尔米特情况下的构造，这可以通过等价关系实现： A + = ( A ∗ A ) + A ∗ , {\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{+}A^{*},} A + = A ∗ ( A A ∗ ) + , {\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+},} 其中 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} 和 A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} 是埃尔米特矩阵。 令 A ∈ k m × n ,   B ∈ k n × p {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n},\ B\in \mathbb {k} ^{n\times p}} ，下列等式等价： ( A B ) † = B † A † {\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }} A † A B B ∗ A ∗ = B B ∗ A ∗ , B B † A ∗ A B = A ∗ A B . {\textstyle {\begin{aligned}A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{\dagger }A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}} ( A † A B B ∗ ) ∗ = A † A B B ∗ , ( A ∗ A B B † ) ∗ = A ∗ A B B † . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{\dagger }ABB^{*}\right)^{*}&=A^{\dagger }ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{\dagger }\right)^{*}&=A^{*}ABB^{\dagger }.\end{aligned}}} A † A B B ∗ A ∗ A B B † = B B ∗ A ∗ A {\displaystyle A^{\dagger }ABB^{*}A^{*}ABB^{\dagger }=BB^{*}A^{*}A} A † A B = B ( A B ) † A B , B B † A ∗ = A ∗ A B ( A B ) † . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{\dagger }AB&=B(AB)^{\dagger }AB,\\BB^{\dagger }A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{\dagger }.\end{aligned}}} 下方列出了 ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} 的充分条件： A {\displaystyle A} 的列单位正交（此时 A ∗ A = A † A = I n {\displaystyle A^{*}A=A^{\dagger }A=I_{n}} ），或 B {\displaystyle B} 的行单位正交 （此时 B B ∗ = B B † = I n {\displaystyle BB^{*}=BB^{\dagger }=I_{n}} ） ，或 A {\displaystyle A} 的列线性无关（此时 A † A = I {\displaystyle A^{\dagger }A=I} ） 同时 B {\displaystyle B} 的行线性无关（此时 B B † = I {\displaystyle BB^{\dagger }=I} ），或 B = A ∗ {\displaystyle B=A^{*}} ，或 B = A † {\displaystyle B=A^{\dagger }} 。 下方列出了 ( A B ) † = B † A † {\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }} 的必要条件： ( A † A ) ( B B † ) = ( B B † ) ( A † A ) {\displaystyle (A^{\dagger }A)(BB^{\dagger })=(BB^{\dagger })(A^{\dagger }A)} 由最后一个充分条件得出等式： ( A A ∗ ) + = A + ∗ A + , ( A ∗ A ) + = A + A + ∗ . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}} 注意: 等式 ( A B ) † = B † A † {\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }} 一般不成立，例如： ( ( 1 1 0 0 ) ( 0 0 1 1 ) ) + = ( 1 1 0 0 ) + = ( 1 2 0 1 2 0 ) ≠ ( 1 4 0 1 4 0 ) = ( 0 1 2 0 1 2 ) ( 1 2 0 1 2 0 ) = ( 0 0 1 1 ) + ( 1 1 0 0 ) + {\displaystyle {\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}} P = A A † {\displaystyle P=AA^{\dagger }} 和 Q = A † A {\displaystyle Q=A^{\dagger }A} 是正交投影算子，即它们是埃尔米特矩阵（ P = P ∗ {\displaystyle P=P^{*}} ， Q = Q ∗ {\displaystyle Q=Q^{*}} ）和幂等矩阵（ P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} ， Q 2 = Q {\displaystyle Q^{2}=Q} ）。以下性质成立： P A = A Q = A {\displaystyle PA=AQ=A} ， A † P = Q A † = A † {\displaystyle A^{\dagger }P=QA^{\dagger }=A^{\dagger }} P {\displaystyle P} 是正交投影算子，投影到 A {\displaystyle A} 的值域（也就是 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的核的正交补空间）。 Q {\displaystyle Q} 是正交投影算子，投影到 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的值域（也就是 A {\displaystyle A} 的核的正交补空间）。 ( I − Q ) = ( I − A † A ) {\displaystyle (I-Q)=\left(I-A^{\dagger }A\right)} 是正交投影算子，投影到 A {\displaystyle A} 的核。 ( I − P ) = ( I − A A † ) {\displaystyle (I-P)=\left(I-AA^{\dagger }\right)} 是正交投影算子，投影到 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的核。 最后两条性质隐含了下列等式： A   ( I − A † A ) = ( I − A A † ) A     = 0 {\displaystyle A\,\ \left(I-A^{\dagger }A\right)=\left(I-AA^{\dagger }\right)A\ \ =0} A ∗ ( I − A A † ) = ( I − A † A ) A ∗ = 0 {\displaystyle A^{*}\left(I-AA^{\dagger }\right)=\left(I-A^{\dagger }A\right)A^{*}=0} 如果 A ∈ k n × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{n\times n}} 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵（当且仅当它为正交投影矩阵），则对于任意矩阵 B ∈ k m × n {\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{m\times n}} ，下式成立： A ( B A ) † = ( B A ) † {\displaystyle A(BA)^{\dagger }=(BA)^{\dagger }} 这一条性质可以如此证明：定义矩阵 C = B A {\displaystyle C=BA} , D = A ( B A ) † {\displaystyle D=A(BA)^{\dagger }} ，当 A {\displaystyle A} 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，通过验证伪逆的性质可以检查 D {\displaystyle D} 确实是 C {\displaystyle C} 的一个伪逆。从上一条性质可以看出，当 A ∈ k n × n {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{n\times n}} 是埃尔米特矩阵和幂等矩阵时，对于任意矩阵 B ∈ k n × m {\displaystyle B\in \mathbb {k} ^{n\times m}} ( A B ) † A = ( A B ) † {\displaystyle (AB)^{\dagger }A=(AB)^{\dagger }} 当 A {\displaystyle A} 是一个正交投影矩阵，则它的伪逆就是它自身，即 A † = A {\displaystyle A^{\dagger }=A} 。 如果我们把矩阵看作是一个在数域 k {\displaystyle \mathbb {k} } 上的线性映射 A : k n → k m {\displaystyle A:\mathbb {k} ^{n}\to \mathbb {k} ^{m}} ， 那么 A † : k m → k n {\displaystyle A^{\dagger }:\mathbb {k} ^{m}\to \mathbb {k} ^{n}} 可以被分解如下。首先定义符号： ⊕ {\displaystyle \oplus } 表示直和， ⊥ {\displaystyle \perp } 表示正交补， ker {\displaystyle \ker } 表示映射的核， ran {\displaystyle \operatorname {ran} } 表示映射的像。注意 k n = ( ker ⁡ A ) ⊥ ⊕ ker ⁡ A {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}=\left(\ker A\right)^{\perp }\oplus \ker A} 和 k m = ran ⁡ A ⊕ ( ran ⁡ A ) ⊥ {\displaystyle \mathbb {k} ^{m}=\operatorname {ran} A\oplus \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }} 。 限制条件 A : ( ker ⁡ A ) ⊥ → ran ⁡ A {\displaystyle A:\left(\ker A\right)^{\perp }\to \operatorname {ran} A} 则是一个同构。这意味着 A † {\displaystyle A^{\dagger }} 在 ran ⁡ A {\displaystyle \operatorname {ran} A} 上时这个同构的逆，在 ( ran ⁡ A ) ⊥ {\displaystyle \left(\operatorname {ran} A\right)^{\perp }} 上则是零。 换而言之，对于给定的 b ∈ k m {\displaystyle b\in \mathbb {k} ^{m}} 要找到 A † b {\displaystyle A^{\dagger }b} ，首先将 b {\displaystyle b} 正交投影在 A {\displaystyle A} 的值域中，找到点 p ( b ) {\displaystyle p(b)} ，然后构建 A − 1 ( { p ( b ) } ) {\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})} ，即就是在 k n {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}} 中，会被 A {\displaystyle A} 投影到 p ( b ) {\displaystyle p(b)} 的点。这是 k n {\displaystyle \mathbb {k} ^{n}} 的一个平行于 A {\displaystyle A} 的核的仿射子空间。这个子空间中长度最小的元素（也就是最靠近原点的元素），就是我们寻找的 A + b {\displaystyle A^{+}b} 的解。它可以通过从 A − 1 ( { p ( b ) } ) {\displaystyle A^{-1}(\{p(b)\})} 中选择任意元素，并将其投影在 A {\displaystyle A} 的核的正交补空间而得到。 以上描述与线性系统的最小范数解密切相关。 ker ⁡ ( A + ) = ker ⁡ ( A ∗ ) ran ⁡ ( A + ) = ran ⁡ ( A ∗ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ker \left(A^{+}\right)&=\ker \left(A^{*}\right)\\\operatorname {ran} \left(A^{+}\right)&=\operatorname {ran} \left(A^{*}\right)\end{aligned}}} 伪逆可以由极限定义： A † = lim δ ↘ 0 ( A ∗ A + δ I ) − 1 A ∗ = lim δ ↘ 0 A ∗ ( A A ∗ + δ I ) − 1 {\displaystyle A^{\dagger }=\lim _{\delta \searrow 0}\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}=\lim _{\delta \searrow 0}A^{*}\left(AA^{*}+\delta I\right)^{-1}} （参见吉洪诺夫正则化）。当 ( A A ∗ ) − 1 {\displaystyle \left(AA^{*}\right)^{-1}} 或 ( A ∗ A ) − 1 {\displaystyle \left(A^{*}A\right)^{-1}} 不存在时，这些极限仍然存在。 与一般的矩阵求逆不同，求伪逆的过程并不连续：如果序列 ( A n ) {\displaystyle \left(A_{n}\right)} 收敛到矩阵 A {\displaystyle A} （在最大范数或弗罗贝尼乌斯范数意义下），则 ( A n ) † {\displaystyle (A_{n})^{\dagger }} 不一定收敛于 A † {\displaystyle A^{\dagger }} . 然而，如果所有的矩阵 A n {\displaystyle A_{n}} 与 A {\displaystyle A} 有相同的秩，则 ( A n ) † {\displaystyle (A_{n})^{\dagger }} 将收敛于 A † {\displaystyle A^{\dagger }} . 实值伪逆矩阵的导数，该矩阵在某点 x {\displaystyle x} 处具有恒定的秩 可以用原矩阵的导数来计算： d d x A † ( x ) = − A † ( d d x A ) A †   +   A † A † T ( d d x A T ) ( I − A A † )   +   ( I − A † A ) ( d d x A T ) A † T A † {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\dagger }(x)=-A^{\dagger }\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A\right)A^{\dagger }~+~A^{\dagger }A^{\dagger {\textsf {T}}}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}A^{\textsf {T}}\right)\left(I-AA^{\dagger }\right)~+~\left(I-A^{\dagger }A\right)\left({\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}A^{\textsf {T}}\right)A^{\dagger {\textsf {T}}}A^{\dagger }} 对于可逆矩阵，其广义逆为其一般的逆矩阵，所以以下仅举一些不可逆矩阵的例子。 对于 A = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}} （通常零矩阵的广义逆矩阵为其转置）。该广义逆矩阵的唯一性可以认为时由性质 A † = A † A A † {\displaystyle A^{\dagger }=A^{\dagger }AA^{\dagger }} 得出的，因为与零矩阵相乘总会得到零矩阵。 对于 A = ( 1 0 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 1 2 1 2 0 0 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}} 。 事实上， A A † = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) {\displaystyle A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} ，所以 A A † A = ( 1 0 1 0 ) = A {\displaystyle A\,A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}=A} 。 类似的， A † A = ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}} ，由此 A † A A † = ( 1 2 1 2 0 0 ) = A † {\displaystyle A^{\dagger }A\,A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}=A^{\dagger }} 。 对于 A = ( 1 0 − 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 1 2 − 1 2 0 0 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}} 。 对于 A = ( 1 0 − 1 0 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 1 2 − 1 2 0 0 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0\end{pmatrix}}} 。 对于 A = ( 1 1 1 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 1 4 1 4 1 4 1 4 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}} 。 对于 A = ( 1 0 0 1 0 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&1\end{pmatrix}}} ，其广义逆矩阵为 A † = ( 1 0 0 0 1 2 1 2 ) {\displaystyle A^{\dagger }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 。对于该矩阵，其左逆存在且等于 A † {\displaystyle A^{\dagger }} ，事实上， A † A = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle A^{\dagger }A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} 。 张贤达. 矩阵分析与应用. 北京: 清华大学出版社. 2004年9月: 85–99. 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