双线性映射

在数学中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。例如矩阵乘法就是一个例子。 设 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} 和 X {\displaystyle X} 是在同一个基础域 F {\displaystyle F} 上的三个向量空间。双线性映射是函数 B : V × W → X {\displaystyle B:V\times W\rightarrow X} 使得对于任何 W {\displaystyle W} 中 w {\displaystyle w} ，映射 v ↦ B ( v , w ) {\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)} 是从 V {\displaystyle V} 到 X {\displaystyle X} 的线性映射，并且对于任何 V {\displaystyle V} 中的 v {\displaystyle v} ，映射 w ↦ B ( v , w ) {\displaystyle w\mapsto B(v,w)} 是从 W {\displaystyle W} 到 X {\displaystyle X} 的线性映射。 换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果就是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。 如果 V = W {\displaystyle V=W} 并且有 B ( v , w ) = B ( w , v ) {\displaystyle B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)} 对于所有 V {\displaystyle V} 中的 v , w {\displaystyle v,w} ，则我们称 B {\displaystyle B} 是对称的。 当这里的 X {\displaystyle X} 是 F {\displaystyle F} 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。 如果使用在交换环 R {\displaystyle R} 上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n {\displaystyle n} 元函数，这里正确的术语是“多线性”。 对非交换基础环 R {\displaystyle R} 和右模 M R {\displaystyle M_{R}} 与左模 R N {\displaystyle _{R}N} 的情况，我们可以定义双线性映射 B : M × N → T {\displaystyle B:M\times N\rightarrow T} ，这里的 T {\displaystyle T} 是阿贝尔环，使得对于任何 N {\displaystyle N} 中的 n , m ↦ B ( m , n ) {\displaystyle n,m\mapsto B\left(m,n\right)} 是群同态，而对于任何 M {\displaystyle M} 中的 m , n ↦ B ( m , n ) {\displaystyle m,n\mapsto B\left(m,n\right)} 是群同态，并还满足 B ( m t , n ) = B ( m , t n ) {\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)} 对于所有的 M {\displaystyle M} 中的 m {\displaystyle m} ， N {\displaystyle N} 中 n {\displaystyle n} 和 R {\displaystyle R} 中的 t {\displaystyle t} 。 定义 V {\displaystyle V} , W {\displaystyle W} , X {\displaystyle X} 是有限维的，则 L ( V , W ; X ) {\displaystyle L\left(V,W;X\right)} 也是有限维的。对于 X = F {\displaystyle X=F} 就是双线性形式，这个空间的维度是 dim ⁡ V × dim ⁡ W {\displaystyle \dim V\times \dim W} （尽管线性形式的空间 L ( V × W ; K ) {\displaystyle L\left(V\times W;K\right)} 的维度是 dim ⁡ V + dim ⁡ W {\displaystyle \dim V+\dim W} ）。看得出来，选择 V {\displaystyle V} 和 W {\displaystyle W} 的基；接着每个线性映射可以唯一的表示为矩阵 B ( e i , f j ) {\displaystyle B(e_{i},f_{j})} ，反之亦然。现在，如果 X {\displaystyle X} 是更高维的空间，我们明显的有 dim ⁡ L ( V , W ; X ) = dim ⁡ V × dim ⁡ W × dim ⁡ X {\displaystyle \dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X} 。 矩阵乘法是双线性映射 M ( m , n ) × M ( n , p ) → M ( m , p ) {\displaystyle M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)} 。 如果在实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的向量空间 V {\displaystyle V} 承载了内积，则内积是双线性映射 V × V → R {\displaystyle V\times V\rightarrow \mathbb {R} } 。 一般的说，对于在域 F {\displaystyle F} 上的向量空间 V {\displaystyle V} ，在 V {\displaystyle V} 上的双线性形式同于双线性映射 V × V → F {\displaystyle V\times V\rightarrow F} 。 如果 V {\displaystyle V} 是有对偶空间 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 的向量空间，则应用算子 b ( f , v ) = f ( v ) {\displaystyle b(f,v)=f(v)} 是从 V ∗ × V {\displaystyle V^{*}\times V} 到基础域的双线性映射。 设 V {\displaystyle V} 和 W {\displaystyle W} 是在同一个基础域 F {\displaystyle F} 上的向量空间。如果 f {\displaystyle f} 是 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 的成员而 g {\displaystyle g} 是 W ∗ {\displaystyle W^{*}} 的成员，则 b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) {\displaystyle b(v,w)=f(v)g(w)} 定义双线性映射 V × W → F {\displaystyle V\times W\rightarrow F} 。 在 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中叉积是双线性映射 R 3 × R 3 → R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} 。 设 B : V × W → X {\displaystyle B:V\times W\rightarrow X} 是双线性映射，而 L : U → W {\displaystyle L:U\rightarrow W} 是线性算子，则 ( v , u ) → B ( v , L u ) {\displaystyle (v,u)\rightarrow B(v,Lu)} 是在 V × U {\displaystyle V\times U} 上的双线性映射。 零映射，定义于 B ( v , w ) = o {\displaystyle B(v,w)=o} 对于所有 V × W {\displaystyle V\times W} 中的 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} ，是从 V × W {\displaystyle V\times W} 到 X {\displaystyle X} 的同时为双线性映射和线性映射的唯一映射。实际上，如果 ( v , w ) ∈ V × W {\displaystyle (v,w)\in V\times W} ，则 B ( v , w ) = B ( v , o ) + B ( o , w ) = o + o {\displaystyle B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o} 。 张量积 多线性映射 半双线性形式 双线性滤波