黃金菱形

在幾何學中，黃金菱形是指兩對角線長度的比值呈黃金比例的菱形： D d = φ = 1 + 5 2 ≈ 1.618   034 {\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034} 其中 D {\displaystyle D} 為長對角線的長度、 d {\displaystyle d} 為短對角線的長度。而由黃金矩形中取到的伐里農平行四邊形（英语：Varignon parallelogram）皆為黃金菱形。 有數種知名的多面體皆由黃金菱形組成，例如比林斯基十二面體（英语：Bilinski_dodecahedron）、菱形三十面體等。特別地，有另一種菱形也與黃金比例相關聯，即潘洛斯鑲嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形，但不同之處在於，潘洛斯鑲嵌（英语：Penrose_tiling）中的菱形是邊長與對角線的比為黃金比例，而黃金菱形則是指兩對角線比值為黃金比例的菱形。 黃金菱形是菱形中的一個特例，其基本性質與菱形相同。以下討論黃金菱形的特別性質。 黃金菱形的內角為： 銳角： α = 2 arctan ⁡ 1 φ {\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}  ; α = arctan ⁡ 2 φ 1 − ( 1 φ ) 2 = arctan ⁡ 2 φ 1 φ = arctan ⁡ 2 ≈ 63.43495 ∘ . {\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.} 鈍角： β = 2 arctan ⁡ φ = π − arctan ⁡ 2 ≈ 116.56505 ∘ , {\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },} 這個角度值與正十二面體相同 由於菱形也是一種平行四邊形，因此黃金菱形的邊長與對角線長可以用平行四邊形恆等式得出： 黃金菱形的邊長 a {\displaystyle a} 與對角線長 d {\displaystyle d} 具有以下關係： a = 1 2 d 2 + ( φ d ) 2 = 1 2 1 + φ 2   d = 2 + φ 2   d = 1 4 10 + 2 5   d ≈ 0.95106   d   .   {\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~} 因此，可以用 a {\displaystyle a} 來表示長對角線 D {\displaystyle D} 與短對角線 d {\displaystyle d} ： d = 2 a 2 + φ = 2 3 − φ 5   a = 2 − 2 5   a ≈ 1.05146   a   . {\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.} D = 2 φ a 2 + φ = 2 2 + φ 5   a = 2 + 2 5   a ≈ 1.70130   a   . {\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.} 已知短對角線長 d {\displaystyle d} 時，黃金菱形的的面積為： A = ( φ d ) ⋅ d 2 = φ 2   d 2 = 1 + 5 4   d 2 ≈ 0.80902   d 2   . {\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.} 已知邊長為 a {\displaystyle a} 時，黃金菱形的的面積為： A = ( sin ⁡ ( arctan ⁡ 2 ) )   a 2 = 2 5   a 2 ≈ 0.89443   a 2   . {\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.} 黃金菱形出現在許多高對稱性的多面體中，例如菱形三十面體（截半二十面体的對偶多面體）、菱形六十面體（菱形三十面體的星形化體）。黃金菱形也構成了許多知名的多面體，例如黃金菱形六面體（英语：Golden rhombohedra）、比林斯基十二面體（英语：Bilinski dodecahedron）和菱形二十面體等。由全部皆由黃金菱形組成的凸多面體僅有兩種黃金菱形六面體、比林斯基十二面體、菱形二十面體以及菱形三十面體五種。而不考慮凹凸性（即允許非凸多面體），則有無限多種多面體可以包含黃金菱形。 銳角黃金菱形六面體（英语：Golden rhombohedra） 鈍角黃金菱形六面體 比林斯基十二面體（英语：Bilinski dodecahedron） 菱形二十面體 菱形三十面體 菱形六十面體 黄金三角形 Senechal, Marjorie, Donald and the golden rhombohedra, Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (编), The Coxeter Legacy, American Mathematical Society, Providence, RI: 159–177, 2006, ISBN 0-8218-3722-2, MR 2209027  Branko Grünbaum. The Bilinski Dodecahedron and Assorted Parallelohedra, Zonohedra, Monohedra, Isozonohedra, and Otherhedra (PDF) 32 (4): 5–15. 2010 [2020-08-04]. （原始内容 (PDF)存档于2015-04-02）.  H.S.M Coxeter, "Regular polytopes", Dover publications, 1973. Weisstein, Eric W. (编). Rhombic Triacontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Livio, Mario, The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number, New York: Broadway Books: 206, 2002  Ogawa, Tohru, Symmetry of three-dimensional quasicrystals, Materials Science Forum, January 1987, 22–24: 187–200, doi:10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187 . See in particular table 1, p. 188. Gevay, G., Non-metallic quasicrystals: Hypothesis or reality?, Phase Transitions, June 1993, 44 (1-3): 47–50, doi:10.1080/01411599308210255  Zalman Usiskin and Jennifer Griffin. "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition". Information Age Publishing. 2008: pp. 55-56 [2020-08-15]. （原始内容存档于2020-02-26）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Golden Rhombus. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Weisstein, Eric W. (编). Rhombic hexecontahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Grünbaum, Branko, The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra (PDF), The Mathematical Intelligencer, 2010, 32 (4): 5–15 [2020-08-04], MR 2747698, doi:10.1007/s00283-010-9138-7, （原始内容存档 (PDF)于2015-04-02） . From a golden rectangle to a golden rhombus and other golden quadrilaterals （页面存档备份，存于互联网档案馆） Explores some aspects of possible golden rhombi (and golden parallelograms)