長球波函數

在數學中，長球波函數由一個限時、限頻、與第二個限時的函數相乘而成。假定 Q T {\displaystyle Q_{T}} 表示一個切截時間的運算器，且 x = Q T x {\displaystyle x=Q_{T}x} ，則x必為有限時間區間的函數，當x在 [ − T / 2 ; T / 2 ] {\displaystyle [-T/2;T/2]} 的區間內。同理，假定 P W {\displaystyle P_{W}} 表示一個理想的低頻濾波器，且 x = P W x {\displaystyle x=P_{W}x} ，則x必為有限頻寬區間的函數，當x在 [ − W ; W ] {\displaystyle [-W;W]} 的區間內。透過組合上述運算子，使得 Q T P W Q T {\displaystyle Q_{T}P_{W}Q_{T}} 轉變成線性、有界且自伴的運算式。對於 n = 1 , 2 , … {\displaystyle n=1,2,\ldots } ，我們假設 ψ n {\displaystyle \psi _{n}} 為第n項的本徵函數，定義下列函式   Q T P W Q T ψ n = λ n ψ n , {\displaystyle \ Q_{T}P_{W}Q_{T}\psi _{n}=\lambda _{n}\psi _{n},} 其中 { λ n } n {\displaystyle \{\lambda _{n}\}_{n}} 為對應的本徵值。此時限函數 { ψ n } n {\displaystyle \{\psi _{n}\}_{n}} 即為長球波函數(PSWFs).在此領域中，幾個非常重要的先驅文章由Slepian and Pollak, Landau and Pollak, and Slepian.所提出。 這些函數有些不同的意涵，當在解亥姆霍兹方程 Δ Φ + k 2 Φ = 0 {\displaystyle \Delta \Phi +k^{2}\Phi =0} ，透過在長球面坐標系做變數分離，使得 ( ξ , η , ϕ ) {\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )} 各代表：   x = ( d / 2 ) ξ η , {\displaystyle \ x=(d/2)\xi \eta ,}   y = ( d / 2 ) ( ξ 2 − 1 ) ( 1 − η 2 ) cos ⁡ ϕ , {\displaystyle \ y=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\cos \phi ,}   z = ( d / 2 ) ( ξ 2 − 1 ) ( 1 − η 2 ) sin ⁡ ϕ , {\displaystyle \ z=(d/2){\sqrt {(\xi ^{2}-1)(1-\eta ^{2})}}\sin \phi ,}   ξ >= 1 {\displaystyle \ \xi >=1} and | η | <= 1 {\displaystyle |\eta |<=1} . 得到解 Φ ( ξ , η , ϕ ) {\displaystyle \Phi (\xi ,\eta ,\phi )} 為長球波函數 R m n ( c , ξ ) {\displaystyle R_{mn}(c,\xi )} 與角球波函數 S m n ( c , η ) {\displaystyle S_{mn}(c,\eta )} 的成積乘上 e i m ϕ {\displaystyle e^{im\phi }} . 這裡的變數c可定義為 c = k d / 2 {\displaystyle c=kd/2} , with d {\displaystyle d} 為長球的橢圓截面的兩焦點的距離。 徑向波(The radial wave function) R m n ( c , ξ ) {\displaystyle R_{mn}(c,\xi )} 滿足線性常微分方程:   ( ξ 2 − 1 ) d 2 R m n ( c , ξ ) d ξ 2 + 2 ξ d R m n ( c , ξ ) d ξ − ( λ m n ( c ) − c 2 ξ 2 + m 2 ξ 2 − 1 ) R m n ( c , ξ ) = 0 {\displaystyle \ (\xi ^{2}-1){\frac {d^{2}R_{mn}(c,\xi )}{d\xi ^{2}}}+2\xi {\frac {dR_{mn}(c,\xi )}{d\xi }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\xi ^{2}+{\frac {m^{2}}{\xi ^{2}-1}}\right){R_{mn}(c,\xi )}=0} 此本徵值 λ m n ( c ) {\displaystyle \lambda _{mn}(c)} 在Sturm-Liouville 微分方程中已被固定，透過設定 R m n ( c , ξ ) {\displaystyle {R_{mn}(c,\xi )}} 為有限函數，當 | ξ | → 1 + {\displaystyle |\xi |\to 1_{+}} . 角波函數滿足下列微分方程：   ( η 2 − 1 ) d 2 S m n ( c , η ) d η 2 + 2 η d S m n ( c , η ) d η − ( λ m n ( c ) − c 2 η 2 + m 2 η 2 − 1 ) S m n ( c , η ) = 0 {\displaystyle \ (\eta ^{2}-1){\frac {d^{2}S_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}+2\eta {\frac {dS_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}-\left(\lambda _{mn}(c)-c^{2}\eta ^{2}+{\frac {m^{2}}{\eta ^{2}-1}}\right){S_{mn}(c,\eta )}=0} 這跟徑向波函數式為同樣的微分方程。然而，這兩式的變數的範圍是不同的(在徑向波函數中 ξ >= 1 {\displaystyle \xi >=1} )，在角波函數中 | η | <= 1 {\displaystyle |\eta |<=1} )。 當給定 c = 0 {\displaystyle c=0} ，這兩個微分方程可以簡化成滿足伴隨勒讓德多項式的式子。當給定 c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ，角波函數可被展開成勒讓德級數。 注意，如果我們將角波函數寫成 S m n ( c , η ) = ( 1 − η 2 ) m / 2 Y m n ( c , η ) {\displaystyle S_{mn}(c,\eta )=(1-\eta ^{2})^{m/2}Y_{mn}(c,\eta )} ，函數 Y m n ( c , η ) {\displaystyle Y_{mn}(c,\eta )} 將滿足以下線性微分方程：   ( 1 − η 2 ) d 2 Y m n ( c , η ) d η 2 − 2 ( m + 1 ) η d Y m n ( c , η ) d η + ( c 2 η 2 + m ( m + 1 ) − λ m n ( c ) ) Y m n ( c , η ) = 0 , {\displaystyle \ (1-\eta ^{2}){\frac {d^{2}Y_{mn}(c,\eta )}{d\eta ^{2}}}-2(m+1)\eta {\frac {dY_{mn}(c,\eta )}{d\eta }}+\left(c^{2}\eta ^{2}+m(m+1)-\lambda _{mn}(c)\right){Y_{mn}(c,\eta )}=0,} 此函數為球波函數。這個輔助方程式在Stratton 1935年的文章被當作例子。 現存不少不同的球函數標準化的方法，在Abramowitz and Stegun.的文章中有整理的表格。Abramowitz跟Stegun(以及現在的相關文章)都沿用Flammer當初提出來的符號。 一開始，球波函數是由C. Niven,提出，他在球座標上引入Helmholtz方程式。許多專題論文已經探討出球波函數的很多面向，例如Strutt, Stratton et al., Meixner and Schafke, and Flammer.等人的作品。 Flammer提供了一個完整的討論，計算出長球與扁球的本徵值、角波函數與徑函數。許多電腦程式已經因應發展出來，其中包含King與其團隊, Patz和Van Buren, Baier與其團隊, Zhang和Jin, Thompson,、Falloon. Van Buren和Boisvert最近發展出新的方法去計算出長球波函數，延伸了數值解的能力，能運算極廣的變數範圍。Fortran原始碼結合了新的結果與傳統的方法，可見於http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com.。 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Flammer, Hunter, Hanish et al., and Van Buren et al.等人也提出了數值解的整理表格。 NIST提供的DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)(http://dlmf.nist.gov)是個了解球波函數的良好資源。[永久失效連結] 關於值域落在單位球的表面的長球波函數，我們通稱為"Slepian functions" (另見「頻譜集中問題」)。這函數存在非常多的應用，像是大地測量以及宇宙學. D. Slepian and H. O. Pollak. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty - I[永久失效連結] Bell System Technical Journal 40 (1961) H. J. Landau and H. O. Pollak. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty - II[永久失效連結] Bell System Technical Journal 40 (1961) H. J. Landau and H. O. Pollak. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty -- III: The Dimension of the Space of Essentially Time- and Band-Limited Signals[永久失效連結] Bell System Technical Journal 41 (1962) D. Slepian Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty - IV: Extensions to Many Dimensions; Generalized Prolate Spheroidal Functions[永久失效連結] Bell System Technical Journal 43 (1964) D. Slepian. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis, and Uncertainty - V: The Discrete Case[永久失效連結] Bell System Technical Journal 57 (1978) J. A. Stratton Spheroidal functions （页面存档备份，存于互联网档案馆） Proceedings of the National Academy of Sciences (USA) 21, 51 (1935) . M. Abramowitz and I. Stegun. Handbook of Mathematical Functions pp. 751-759 （页面存档备份，存于互联网档案馆） (Dover, New York, 1972) C. Flammer. Spheroidal Wave Functions Stanford University Press, Stanford, CA, 1957 C. 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