欧拉准则

在数论中，二次剩余的歐拉判別法（又稱歐拉準則）是用来判定给定的整数是否是一个质数的二次剩余。 若 p {\displaystyle p} 是奇質數且 p {\displaystyle p} 不能整除 d {\displaystyle d} ，則： d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余当且仅当： d p − 1 2 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}} d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的非二次剩余当且仅当： d p − 1 2 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}} 以勒让德符号表示，即為： d p − 1 2 ≡ ( d p ) ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv \left({\frac {d}{p}}\right){\pmod {p}}} 令 a = 17 {\displaystyle a=17} 。对于怎样的质数 p {\displaystyle p} ，17是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余呢？ 根据判别法里给出的准则，我们可以从小的质数开始检验。 首先测试 p = 3 {\displaystyle p=3} 。我们有： 17 3 − 1 2 = 17 1 ≡ 2 ( mod 3 ) ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 17^{\frac {3-1}{2}}=17^{1}\equiv 2{\pmod {3}}\equiv -1{\pmod {3}}} ，因此17不是模3的二次剩余。 再来测试 p = 13 {\displaystyle p=13} 。我们有： 17 13 − 1 2 = 17 6 ≡ 1 ( mod 13 ) {\displaystyle 17^{\frac {13-1}{2}}=17^{6}\equiv 1{\pmod {13}}} ，因此17是模13的二次剩余。实际上我们有： 17 ≡ 4 ( mod 13 ) {\displaystyle 17\equiv 4{\pmod {13}}} ，而 2 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=4} . 运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去，可以得到： 对于质数 p = 13 , 19 , ⋯ , 17 p = + 1 {\displaystyle p=13,19,\cdots ,{\frac {17}{p}}=+1} （也就是说17是模这些质数的二次剩余）。 对于质数 p = 3 , 5 , 7 , 11 , 23 , ⋯ , 17 p = − 1 {\displaystyle p=3,5,7,11,23,\cdots ,{\frac {17}{p}}=-1} （也就是说17是模这些质数的二次非剩余）。 哪些数是模17的二次剩余？ 我们可以手工计算： 1 2 = 1 {\displaystyle 1^{2}=1} 2 2 = 4 {\displaystyle 2^{2}=4} 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} 4 2 = 16 {\displaystyle 4^{2}=16} 5 2 = 25 ≡ 8 ( mod 17 ) {\displaystyle 5^{2}=25\equiv 8{\pmod {17}}} 6 2 = 36 ≡ 2 ( mod 17 ) {\displaystyle 6^{2}=36\equiv 2{\pmod {17}}} 7 2 = 49 ≡ 15 ( mod 17 ) {\displaystyle 7^{2}=49\equiv 15{\pmod {17}}} 8 2 = 64 ≡ 13 ( mod 17 ) {\displaystyle 8^{2}=64\equiv 13{\pmod {17}}} 于是得到：所有模17的二次剩余的集合是 { 1 , 2 , 4 , 8 , 9 , 13 , 15 , 16 } {\displaystyle \{1,2,4,8,9,13,15,16\}} 。要注意的是我们只需要算到8，因为 9 = 17 − 8 {\displaystyle 9=17-8} ，9的平方与8的平方模17是同余的： 9 2 = ( − 8 ) 2 = 8 2 ≡ 13 ( mod 17 ) {\displaystyle 9^{2}=(-8)^{2}=8^{2}\equiv 13{\pmod {17}}} .（同理不需计算比9大的数）。 但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余，就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余，只需要计算 3 17 − 1 2 = 3 8 ≡ 81 2 ≡ ( − 4 ) 2 ≡ − 1 ( mod 17 ) {\displaystyle 3^{\frac {17-1}{2}}=3^{8}\equiv 81^{2}\equiv (-4)^{2}\equiv -1{\pmod {17}}} ，然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。 欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关，并且在定义欧拉-雅可比伪素数（见伪素数）时会用到。 首先，由于 p {\displaystyle p} 是一个奇素数，由费马小定理， d p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 。但是 p − 1 {\displaystyle p-1} 是一个偶数，所以有 ( d p − 1 2 − 1 ) ⋅ ( d p − 1 2 + 1 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle (d^{\frac {p-1}{2}}-1)\cdot (d^{\frac {p-1}{2}}+1)\equiv 0{\pmod {p}}} p {\displaystyle p} 是一个素数，所以 d p − 1 2 − 1 {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}-1} 和 d p − 1 2 + 1 {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}+1} 中必有一个是 p {\displaystyle p} 的倍数。因此 d p − 1 2 {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}} 模 p {\displaystyle p} 的余数必然是1或-1。 證明若 d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩餘，則 d p − 1 2 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}} 若 d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩餘，則存在 x 2 ≡ d ( mod p ) {\displaystyle x^{2}\equiv d{\pmod {p}}} ， p {\displaystyle p} 跟 d , x {\displaystyle d,x} 互質。根據費馬小定理得： d p − 1 2 ≡ x p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 證明若 d p − 1 2 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle d^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}}} ，則 d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩餘 p {\displaystyle p} 是一个奇素数，所以关于 p {\displaystyle p} 的原根存在。设 a {\displaystyle a} 是 p {\displaystyle p} 的一个原根，则存在 1 ≤ j ≤ p − 1 {\displaystyle 1\leq j\leq p-1} 使得 d = a j {\displaystyle d=a^{j}} 。于是 a j p − 1 2 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{j{\frac {p-1}{2}}}\equiv 1{\pmod {p}}} a {\displaystyle a} 是 p {\displaystyle p} 的一个原根，因此 a {\displaystyle a} 模 p {\displaystyle p} 的指数是 p − 1 {\displaystyle p-1} ，于是 p − 1 {\displaystyle p-1} 整除 j ( p − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {j(p-1)}{2}}} 。这说明 j {\displaystyle j} 是一个偶数。令 i = j 2 {\displaystyle i={\frac {j}{2}}} ，就有 ( a i ) 2 = a 2 i = d {\displaystyle (a^{i})^{2}=a^{2i}=d} 。 d {\displaystyle d} 是模 p {\displaystyle p} 的二次剩余。 Legendre Symbol[永久失效連結] 二次互反律[永久失效連結] 潘承洞、潘承彪，《初等数论》，北京大学出版社。 参考证明(中文)[永久失效連結]