雅可比多项式

在数学中，雅可比多项式 （英語：Jacobi polynomials，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。 雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的： P n ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) n n ! 2 F 1 ( − n , 1 + α + β + n ; α + 1 ; 1 − z 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),} 其中的 ( α + 1 ) n {\displaystyle (\alpha +1)_{n}} 是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun p561 （页面存档备份，存于互联网档案馆））因此实际上的表达式是： P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + n + 1 ) n ! Γ ( α + β + n + 1 ) ∑ m = 0 n ( n m ) Γ ( α + β + n + m + 1 ) Γ ( α + m + 1 ) ( z − 1 2 ) m , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},} 当z等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到： P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.} 这里对于每一个整数 n {\displaystyle n\,} ( z n ) = Γ ( z + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( z − n + 1 ) , {\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},} 而 Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)\,} 是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数n为小于零的时候： ( z n ) = 0 {\displaystyle {z \choose n}=0} 这个多项式列满足正交性条件： ∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}} 其中 α > − 1 {\displaystyle \alpha >-1} 而且 β > − 1 {\displaystyle \beta >-1} 。 这个多项式列还满足对称性的关系： P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} 因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值： P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.} 对于实数 x {\displaystyle x} ，雅可比多项式也可以写成另一种形式： P n ( α , β ) ( x ) = ∑ s ( n + α s ) ( n + β n − s ) ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}} 其中 s ≥ 0 {\displaystyle s\geq 0\,} 并且 n − s ≥ 0 {\displaystyle n-s\geq 0\,} 。 有一个特殊的情形，是当以下四个量： n {\displaystyle n} 、 n + α {\displaystyle n+\alpha } 、 n + β {\displaystyle n+\beta } 以及 n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta } 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式： P n ( α , β ) ( x ) = ( n + α ) ! ( n + β ) ! ∑ s [ s ! ( n + α − s ) ! ( β + s ) ! ( n − s ) ! ] − 1 ( x − 1 2 ) n − s ( x + 1 2 ) s . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.} 其中 s {\displaystyle s\,} 的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数 s {\displaystyle s\,} 求和。 在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵 d m ′ m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )\;} （ 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi } ）可以写成用雅可比多项式表达的形式： d m ′ m j ( ϕ ) = [ ( j + m ) ! ( j − m ) ! ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ] 1 / 2 ( sin ⁡ ϕ 2 ) m − m ′ ( cos ⁡ ϕ 2 ) m + m ′ P j − m ( m − m ′ , m + m ′ ) ( cos ⁡ ϕ ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).} 身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第k次导函数为： d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).} 雅可比多项式 P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} 是以下的二阶齐次线性常微分方程的解： ( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. {\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,} 比贝尔巴赫猜想 勒让德多项式 切比雪夫多项式 盖根鲍尔多项式 雅可比过程 L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981) Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆） . Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 71, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-62321-6, ISBN 978-0-521-78988-2, MR1688958  Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Orthogonal Polynomials （页面存档备份，存于互联网档案馆）", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255