幺半群

在抽象代數中，幺半群，又稱為單群、亞群、独异点、具幺半群或四分之三群（英語：Monoid）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。 么半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，幺半群捉取了函數複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的幺半群是個帶有一個物件的範疇。幺半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換幺半群和語法幺半群被用來描述有限狀態自動機，而跡幺半群（英语：Trace monoid）和歷史幺半群（英语：History monoid）則是做為進程演算和並行計算的基礎。幺半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩-羅德斯定理和星高問題（英语：Star height problem）。 幺半群是一個帶有二元運算 *: M × M → M 的集合 M ，其符合下列公理： 結合律：對任何在 M 內的a、b、c ， (a*b)*c = a*(b*c) 。 單位元：存在一在 M 內的元素e，使得任一於 M 內的 a 都會符合 a*e = e*a = a 。 通常也會多加上另一個公理： 封閉性：對任何在 M 內的 a 、 b ， a*b 也會在 M 內。 但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。 另外，幺半群也可以說是帶有單位元的半群。 幺半群除了沒有逆元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有逆元素的幺半群和群是一樣的。 幺半群 M 的 子幺半群是指一個在 M 內包含著單位元且具封閉性（即若x,y∈N ，則 x*y∈N ）的子集 N。很明顯地， N 自身會是個幺半群，在導自 M 的二元運算之下。等價地說，子幺半群是一個子集 N ，其中 N=N* ，且上標 * 為克萊尼星號。對任一於 M 內的子集 N 而言，子幺半群 N* 會是包含著 N 的最小幺半群。 子集 N 被稱之為 M 的生成元，若且唯若 M=N*。若 N 是有限的， M 即被稱為是有限生成的。 運算為可交換的幺半群稱之為可交換幺半群（或稱為阿貝爾幺半群）。可交換幺半群經常會將運算寫成加號。每個可交換幺半群都自然會有一個它自身的代數預序 ≤ ，定義為下： x ≤ y 若且唯若存在 z 使得 x+z=y 。可交換幺半群 M 的序單位是一個在 M 內的元素 u ，其中對任一在 M 內的元素 x 而言，總會存在一個正整數 n 使得 x ≤ nu。这经常用在 M 是偏序阿贝尔群 G 的正锥体的情况，在这种情况下我们称 u 是 G 的序-单位。有接受任何交换幺半群，并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造；这个构造叫做格羅滕迪克群。 运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是跡幺半群；跡幺半群通常出现在并发计算理论中。 每一個單元素集合 {x}都可給出一個單元素(當然)幺半群。對定固的x，其幺半群是唯一的，當其幺半群公理在此例子必須滿足x*x=x時。 每一個群都是幺半群，且每一個阿貝爾群都是可交換幺半群。 每一半格都是等冪可交換幺半群。 任一個半群S都可以變成幺半群，簡單地加上一不在S內的元素e，並定義ee=e和對任一在S內的s，es=s=se。 自然數N是加法及乘法上的可交換幺半群。 以加法或乘法為運算，任何單作環的元素 以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數 以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內n×n矩陣所組成的集合 某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的幺半群。空字元串當成單位元。這個幺半群標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由幺半群。 給定一幺半群M，並考慮包含其所有子集的冪集P(M)。這些子集的二元運算可以定義成S * T = {s * t : s在S內且 t在T內}。這使得P(M)變成了具有單位元{e}的幺半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在群子集的乘積下的幺半群。 設S為一集合。由所有函數S → S所組成的集合會是在複合函數下的幺半群。其單位元為恆等函數。若S為有限的且有n個元素，其幺半群也會是有限的，且有nn個元素。 廣義化上述的例子，設C為一範疇且X為C內的一對象。由X所有自同態組成的集合，標記為EndC(X)，是一在態射複合下的幺半群。更多有關範疇論和幺半群的關係請見下述。 在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當a標記為環面類且b標記為射影平面類，此一幺半群的每一個元素c都會有一唯一的表示式c=na+mb，其中n是大於等於零的整數，m為0、1或2，且會有3b=a+b。 設<f>是一個數為n的循環幺半群，亦即 < f >= { f 0 , f 1 , . . , f n − 1 } {\displaystyle <f>=\{f^{0},f^{1},..,f^{n-1}\}} 。然後， f n = f k {\displaystyle f^{n}=f^{k}} ，其中 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} 。事實上，不同的k會給出不同的幺半群，且每個幺半群都會和另一個同構。 此外，f也可以想成在點 0 , 1 , 2 , . . , n − 1 {\displaystyle {0,1,2,..,n-1}} 上的函數，給定如下 [ 0 1 2 . . . n − 2 n − 1 1 2 3 . . . n − 1 k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2&...&n-2&n-1\\1&2&3&...&n-1&k\end{bmatrix}}} 或等價地表示成 f ( i ) := { i + 1 , if  0 ≤ i < n − 1 k , if  i = n − 1. {\displaystyle f(i):={\begin{cases}i+1,&{\mbox{if }}0\leq i<n-1\\k,&{\mbox{if }}i=n-1.\end{cases}}} < f > {\displaystyle <f>} 元素間的乘法即由複合函數給定。 注意當 k = 0 {\displaystyle k=0} 時，函數f是 { 0 , 1 , 2 , . . , n − 1 } {\displaystyle \{0,1,2,..,n-1\}} 的置換，並給出個數為n的唯一循環群。 在一幺半群內，可以定義一元素x的正整數冪：x1=x 及 xn=x*...*x (乘上n次)，其中n>1。冪的規則xn+p=xn*xp則是很明顯的。 由定義可以證明其單位元e是唯一的。然後，對任一x，可以設x0為e，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。 逆元素：一元素x稱為可逆，若存在一元素y，使得x*y = e且y*x = e。此一元素y便稱做x的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。 若 y是x的逆元素，則可以定義x的負冪，以x−1=y及 x−n=y*...*y (乘上n次)，其中n>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼x的逆元素通常會寫做x−1。所有在幺半群M內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個幺半群都含有一個群。 但並不是每個幺半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個幺半群，其兩個元素a和b會有a*b=a的關係，即使b不是單位元。如此的幺半群是不可能包含於一個群內的， 因為在群裡，兩邊一同乘a的逆元素，就會得到b = e的結果，但這不是真的。一個幺半群(M,*)若具有消去性，即表示對任何在M內的a、b、c，a*b = a*c永遠意指b = c且b*a = c*a也永遠意指b = c。一具有消去性的可交換幺半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換幺半群)建立。但一具有消去性的不可交換幺半群則一定不可能包含於一個群之中。 若一幺半群有消去性且是有限的，它會是一個群。 一可逆幺半群為一幺半群，其任一在M內的a，總存在一唯一在M內的a-1，使得a=aa-1a且a-1=a-1aa-1。 一幺半群G的子幺半群是G的子集H，其包含有單位元，且若x、y屬於H，則xy屬於H。很清楚地，H本身也是個幺半群，在G的二元運算之下。 算子幺半群是一作用在集合X上的幺半群M。亦即，存在一運算$ : M × X → X符合幺半群的運算。 對任一在X內的x：e$x=x。 對任何在M內的a、b及在X內的x：a $ (b $ x) = (a * b) $ x。) = (a * b) • x. 運算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。 兩個幺半群(M, *)和(M′, @)之間的同態是一個函數f : M → M′，會有如下兩個性質： f(x*y) = f(x)@f(y) 對所有在M內的x和y f(e) = e′ 其中e和e′分別是M和M′的單位元。 不是每一個群胚同態都會是個幺半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於幺半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。 雙射幺半群同態稱做幺半群同構。 幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集 ∼ ⊆ M × M {\displaystyle \sim \;\subseteq M\times M} 使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样)，还要有如果 x ∼ y {\displaystyle x\sim y\,} 且 u ∼ v {\displaystyle u\sim v\,} 对于所有 M 中的 x , y , u {\displaystyle x,y,u} 和 v {\displaystyle v} ，则有 x ∗ u ∼ y ∗ v {\displaystyle x*u\sim y*v\,} 的性质。 幺半群同余引发同余类 [ m ] = { x ∈ M | x ∼ m } {\displaystyle [m]=\{x\in M\vert \;x\sim m\}} 而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 ∘ {\displaystyle \circ } : [ u ] ∘ [ v ] = [ u ∗ v ] {\displaystyle [u]\circ [v]=[u*v]} 它是幺半群同态。它明显的也是结合的，所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群，可以写为 M / ∼ = { [ m ] | m ∈ M } {\displaystyle M/\sim \;=\{[m]\,\vert \;m\in M\}} 一些额外的符号是公用的。给定子集 L ⊆ M {\displaystyle L\subseteq M} ，写 [ L ] = { [ m ] | m ∈ L } {\displaystyle [L]=\{[m]\,\vert \;m\in L\}} 对于引发自 L 的同余类的集合。在这个表示法中，明显的 [ M ] = M / ∼ {\displaystyle [M]=M/\sim \,} 。但是一般的说， [ L ] {\displaystyle [L]\,} 不是幺半群。走相反的方向，如果 X ⊆ [ M ] {\displaystyle X\subseteq [M]} 是商幺半群的子集，写 ⋃ X = { m | [ m ] ∈ X } {\displaystyle \bigcup X=\{m\,\vert \;[m]\in X\}} 当然这只是 X 的成员的并集。一般的说， ⋃ X {\displaystyle \bigcup X} 不是幺半群。 明显的有 L ⊆ ⋃ [ L ] {\displaystyle L\subseteq \bigcup [L]} 且 [ ⋃ X ] = X {\displaystyle \left[\bigcup X\right]=X} 。 幺半群可視之為一類特殊的範疇。幺半群運算滿足的公理同於範疇中從一個對象到自身的態射。換言之： 幺半群實質上是只有單個對象的範疇。 精確地說，給定一個幺半群 (M,*)，可構造一個只有單個對象的小範疇，使得其態射由 M 的元素給出，而其合成則由 幺半群的運算 * 給出。 同理，幺半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是幺半群概念的延伸。許多關於幺半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。 幺半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 Mon，其對象是幺半群而態射是幺半群的同態。 範疇論中也有么半對象的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的幺半群。 John M. Howie, Fundamentals of Semigroup Theory (1995), Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-851194-9 Hazewinkel, Michiel (编), Monoid, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  埃里克·韦斯坦因. Monoid. MathWorld.  Monoid at PlanetMath.