秦九韶

秦九韶（1208年—1261年），字道古，鲁郡人，南宋数学家。著作有《数书九章》，其中的大衍求一术（一次同余方程组问题的解法，也就是现在所称的中国剩余定理的历史解法）和秦九韶算法（高次方程正根的数值求法）是有世界意义的重要贡献。 秦九韶的籍贯是鲁郡（今山东省济宁市兖州区、曲阜一带），祖上世代为官。父亲秦季槱（yǒu／ㄧㄡˇ）字宏父，是四川普州（现安岳县）人，曾知潼州府、任职秘阁。嘉定二年（1208年)，秦九韶生于普州，（今四川安岳）是家里的第二个儿子。嘉定五年（1212年），秦季槱任巴州知州。嘉定十二年（1219年），兴元军士权兴等叛乱，秦季槱守巴州失陷，秦九韶随父亲回到临安（今杭州）。嘉定十五年后，秦季槱擢升工部郎中、秘书少监兼国史院编修官、实录检讨官。由于父亲是掌管各项工程、屯田、水利、交通的工部郎中，又任国史院官职，掌管各类经籍图书，少年的秦九韶得以接触学习各类知识。他生性聪颖，对当时的种种学问，如星象、音乐、算术以及建筑学等无一不学，并专研甚深。他还曾经向当时的隐士求教，学习数学。 十八岁时在乡里为义兵首领。绍定二年（1229年）十月，秦九韶擢某县县尉。端平三年（1236年）一月，秦九韶擢升湖北蕲州（今湖北蕲春县）通判。嘉熙元年（1237年）秋，秦九韶知和州（今安徽和县）。嘉熙二年（1238年），秦季槱逝世，秦九韶回临安吊丧。吊丧期间曾在杭州西溪上设计修建一座桥，后来被朱世杰命名为“道古桥”。 南宋理宗淳祐四年（1244年）八月，秦九劭在建康府（今江苏江宁县）任職通直郎，十一月因母去世离任，回浙江湖州吊丧。在此期间，他将自己潜心研究的各种实践中的数学成果集撰成书。淳祐七年（1247年）九月，在湖州完成了《数书九章》（当时称为《数学大略》）十八卷，自述“历岁遥塞，荏苒十禩”。宝祐二年（1254年）到建康出任沿江制置司参议。一說秦九韶为人阴险，为官贪暴，劣迹甚多。又由於卷入南宋统治集团激烈的内部斗争中，其宦途颇多跌宕。贾似道专权，排斥异己，吴潜失势。秦九韶作为吴潜党人受到株连。宝祐六年（1258年）出任琼州守，南宋理宗景定元年（1260年）出任梅州（今广东梅县）守，后卒于梅州。根據《宋史》無傳描述他在政治上被傳述為腐敗又殘暴的人，會對敵人仇家下毒以謀取自身利益，因此被調職多次，更因此富有。 秦九韶的数学成就基本表现在他写的《数书九章》之中。然而，这本书在当时并没有引起大的影响，稍后的杨辉、朱世杰都没有引征过秦九韶的成果。《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书八十一道题目都是结合当时的实际需要提出的问题。 大衍求一术是一次同余方程组问题的核心解法，现在叫做中國剩餘定理。一次同余方程组问题的求解始于《孙子算经》中的“今有物不知数”问题。例如《孙子算经》中的原题是： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 用现代的数学语言表述一般的“物不知数”问题，就是： 已知一些两两互素的正整数 m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}} ，以及一个正整数 x {\displaystyle x} 满足： { x ≡ a 1 ( mod m 1 ) x ≡ a 2 ( mod m 2 ) ⋮ x ≡ a n ( mod m n ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\vdots \qquad \qquad \qquad \\x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{matrix}}\right.} 求 x {\displaystyle x} 的值。 在《数书九章》第一卷的“大衍总术”中，秦九韶将 m 1 , m 2 , … , m n {\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}} 称为定数，将它们的总乘积 M = m 1 m 2 , … m n {\displaystyle M=m_{1}m_{2},\ldots m_{n}} 称为衍母，再将衍母除以各个定数所得到的商： M i = M m i {\displaystyle M_{i}={\frac {M}{m_{i}}}} 称为衍数。接下来他将满足 k i M i ≡ 1 ( mod m i ) {\displaystyle k_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}}} 的正整数 k i {\displaystyle k_{i}} 称为乘率，只要知道了各个乘率 k i {\displaystyle k_{i}} ，就可以得到方程组的解： x = ∑ i = 1 n a i k i M i {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}k_{i}M_{i}} 而计算乘率的方法就是大衍求一术。秦九韶完整地叙述了“大衍求一术”，其实质是辗转相除法的应用。于是，针对同余模数两两互素的情况，秦九韶得到了系统的解法，在模数不是两两同余时，需要将定数修正（剔除公因数）以应用大衍求一术。由于没有素因数分解的概念，秦九韶用了一些技巧来修正定数以使用大衍求一术。 1801年，高斯系统地解决了一元不定方程组的问题，其方法和秦九韶是一样的。 秦九韶算法是一个求一元高次方程的数值解的通用算法，是对贾宪的增乘开方术的改进。13世纪，中国数学家关于开方术的著作很多，但大多散佚，而现传于世的李冶和朱世杰的著作中并没有开方的详细演算步骤。因此，《数书九章》中的“正负开方术”是了解当时解高次方程方法的重要依据。在《数书九章》中，开方法得到极大完善，利用随乘随加的方法得到方程的根。秦九韶的算法中规定“实常为负”。这里的“实”指的是方程中常数项的系数。实际上，秦九韶将方程写作 f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} ，以便统一解决，这是以往的开方术中没有的。所求的方根是无理数时，刘徽曾经首创继续开方，用十进小数来近似表示方程的根的方法。然而这种方法并没有得到后人的重视，直到秦九韶重新采取这种方法。 这个公式和海倫公式是等价的。A>C>B 李俨、钱宝琮认为秦九韶生于1202年，但现今数学史界普遍认为是1208年。 钱宝琮. 《秦九韶数书九章研究》. 李俨钱宝琮科学史全集·第九卷. ISBN 978-7-538-24807-4.  周密，《癸辛杂识·秦九韶》：“不闲於艺，因得访于太史，又尝从隐君子受数学”、“性极机巧，星象、音律、算术以至营造等事，无不精究” 秦九韶，《数书九章》自序：“早岁侍亲中都，因得访习于太史，又尝从隐君子受数学。” 周密《癸辛杂识》：“秦九韶……年十八，在乡里为义兵首，尝随其父守郡。” 刘克庄，《后村先生大全集》卷八十一《缴秦九韶知临江军状》 《杭州市市志》：“道古桥，杭大路西侧之西溪路上，长8.4米，宽6.5米，石拱桥，宋代嘉熙年间（1237～1240）道古建造。元人朱世杰为纪念建桥人道古，书镌‘道古桥’。” 《景定建康志》卷二十四《官守志一》 《景定建康志》卷二十五《官守志二》 有關秦九韶为人的评价，历来聚讼不一。刘克庄《缴秦九韶知临江军奏状》说他“暴如虎狼，毒如蛇蝎”。周密《癸辛杂识》称：“秦九韶与吴履斋交尤稔。”近人徐品方、孔国平所著的《中世纪数学泰斗秦九韶》里所说“周密等人记载的失实，严重歪曲了秦九韶的形象”。钱宝琮在《秦九韶<数书九章>研究》一文同意秦九韶“性喜奢好大”的说法，並指责秦九韶“在著作中也有好高骛远，哗众取宠的作风”。 周密《癸辛杂识》：“秦復追隨之。吴旋得謫，賈當國，徐摭秦事，竄之梅州。在梅治政不輟，竟殂於梅。” Victor J. Katz "A history of mathematics: an introduction." New York (1993). 钱宝琮. 《增乘开方术的历史发展》. 李俨钱宝琮科学史全集·第九卷. ISBN 978-7-538-24807-4.  "Qin Jiushao" at www-gap.dcs.st-and.ac.uk （页面存档备份，存于互联网档案馆） 中国数学史主题 人物主题 《数书九章》 中国剩余定理 大衍求一术 增乘开方术 秦九韶算法