实射影空间

数学中，实射影空间（real projective space），记作 RPn，是 Rn+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 n 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。 与所有射影空间一样，RPn 是通过取 Rn+1 − {0} 在等价关系 x ∼ λx 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 x 属于 Rn+1 − {0}，总可找到一个 λ 使得t λx 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。 故 RPn 也可通过将 Rn+1 中单位 n-维球面 Sn 的对径点等同起来得到。 进一步我们限制在 Sn 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 RPn 闭 n-维圆盘 Dn 将边界 ∂Dn = Sn−1 上的对径点等同。 R P 1 {\displaystyle \mathbf {RP} ^{1}} 也成为实射影直线，拓扑等价于圆周。 R P 2 {\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}} 称为实射影平面。 R P 3 {\displaystyle \mathbf {RP} ^{3}} （微分同胚）是 SO(3)，从而有一个群结构；覆叠映射 S 3 → R P 3 {\displaystyle S^{3}\to \mathbf {RP} ^{3}} 是一个群映射 Spin ⁡ ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\to SO(3)} ，这里 Spin(3)是 SO(3) 的万有覆叠李群。 n-维球面的对径映射（将 x 送到 -x）生成 Sn 上一个 Z2 群作用。上已提到，这个作用的轨道空间是 RPn。这个作用恰是一个覆叠空间作用，使 Sn 成为 RPn 的二重覆叠。因为对 n ≥ 2，Sn 是单连通的，它们在此情形也是万有覆叠。从而当 n > 1 时，RPn 的基本群是 Z2（当 n=1 基本群是 Z 因为同胚于 S1）。基本的一个生成元是连接 Sn 中一组对径点的曲线投影到 RPn 上的闭曲线。 n-维射影空间的一些性质： 1-维射影空间同胚与圆周。 2-维射影空间不能嵌入 R3。但可以嵌入 R4 以及浸入 R3。 n-维射影空间事实上同胚于 R(n+1)2 中所有迹为 1 的对称 (n+1)×(n+1) 幂等线性变换组成的子流形。 n-维射影空间是紧连通空间，基本群同构于 2 阶循环群（从 n-维球面到 n-维射影空间的商映射是 n-维射影射影空间被一个道路连通空间的二重覆叠）。 R P n {\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}} 的高次同伦群恰好是 S n {\displaystyle S^{n}} 的高阶同伦群，有纤维化的同伦长正合序列得出。 确切地，这个纤维丛是 Z / 2 → S n → R P n . {\displaystyle \mathbf {Z} /2\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.} 你也可以类似于复射影空间将其写成 S 0 → S n → R P n {\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}} 或 O ( 1 ) → S n → R P n . {\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.} 低次同调群是 π i R P n = { 0 i = 0 Z / 2 i = 1 0 1 < i < n Z i = n . {\displaystyle \pi _{i}\mathbf {RP} ^{n}={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} /2&i=1\\0&1<i<n\\\mathbf {Z} &i=n.\end{cases}}} 实射影空间是光滑流形。在 Sn 的齐次坐标 (x1...xn+1) 中，考虑子集 Ui 使得 xi ≠ 0。每个 Ui 同胚于 Rn 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 RPn 一个光滑结构。 实射影空间 RPn 有一个 CW结构，在每一维有 1 个胞腔。 在 Sn 上的齐次坐标 (x1 ... xn+1) 中，坐标邻域 U1 = {(x1 ... xn+1)|x1 ≠ 0} 可与 n-维圆盘 Dn 的内部等价。当 xi = 0，我们有 RPn - 1。从而 RPn 的 n - 1 骨架是 RPn - 1，而且黏贴映射 f: Sn-1 → RPn - 1 是一个二对一映射。我们可令 R P n = R P n − 1 ∪ f D n . {\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.} 归纳证明 RPn 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。 这些胞腔与旗流形（英语：Generalized flag variety）上一样是舒伯特胞腔（英语：Schubert variety）。这便是，取一个完全旗（称为标准旗）0 = V0 < V1 <...< Vn；则闭 k-胞腔是属于 Vk 中的直线。而开 k-胞腔（k-胞腔的内部）是 Vk\Vk-1 中的直线（属于 Vk 但不属于 Vk - 1 的直线）。 在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是 [ ∗ : 0 : 0 : ⋯ : 0 ] {\displaystyle [*:0:0:\dots :0]} [ ∗ : ∗ : 0 : ⋯ : 0 ] {\displaystyle [*:*:0:\dots :0]} ⋮ {\displaystyle \vdots } [ ∗ : ∗ : ∗ : ⋯ : ∗ ] . {\displaystyle [*:*:*:\dots :*].} 这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。 在光滑结构的帮助下，莫尔斯函数的存在性可证明 RPn 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为： g ( x 1 , ⋯ , x n + 1 ) = ∑ 1 n + 1 i ⋅ | x i | 2 . {\displaystyle g(x_{1},\cdots ,x_{n+1})=\sum _{1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.} 在每个邻域 Ui，g 有非退化奇点 (0...,1,...0)，这里 1 出现于第 i 个位置，具有莫尔斯指标 i。这说明了 RPn 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。 与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,...,n 恰有一个胞腔。对每个维数 k，边界映射 dk : δDk → RPk-1/RPk-2，坍塌到 Sk - 1 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，度数为 0（2）： d e g ( d k ) = 1 + ( − 1 ) k . {\displaystyle \mathrm {deg} (d_{k})=1+(-1)^{k}.\,} 从而整同调是 H i ( R P n ) = { Z i = 0  or  i = n  odd, Z / 2 Z 0 < i < n ,   i   odd, 0 else. {\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\mbox{ or }}i=n{\mbox{ odd,}}\\\mathbf {Z/2Z} &0<i<n,\ i\ {\mbox{odd,}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}} R P n {\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}} 可定向当且仅当 n 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地， R p {\displaystyle \mathbf {R} ^{p}} 上的对径映射有符号 ( − 1 ) p {\displaystyle (-1)^{p}} ，所以它是保定向的当且仅当 p 是偶数。从而定向特征标（英语：Orientation character）是： π 1 ( R P n ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {RP} ^{n})} 中的非平凡回路作为 ( − 1 ) n + 1 {\displaystyle (-1)^{n+1}} 作用在定向上，所以 R P n {\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}} 可定向当且仅当 n+1 为偶数，即 n 为奇数。 在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 n-维丛称为重言商丛。 实射影空间有一个常正数量曲率度量，由二重覆叠的标准圆球面（对极映射是一个等距）得来。 对标准圆度量，其截面曲率恒等于 1。 在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。 无穷实射影空间构造为有限射影空间的正向极限或并集： R P ∞ := lim n R P n . {\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbb {RP} ^{n}.} 拓扑上说，这是艾伦伯格-麦克兰恩空间（英语：Eilenberg–MacLane space） K ( Z / 2 , 1 ) {\displaystyle K(\mathbb {Z} /2,1)} （它被可缩的无穷球面 S ∞ {\displaystyle S^{\infty }} 二重覆叠）并且是 BO(1)，线丛的分类空间（更一般地，无穷格拉斯曼流形是向量丛的分类空间）。 系数取 Z/2 的上同调环是 H ∗ ( R P ∞ ; Z / 2 ) = Z / 2 [ w 1 ] , {\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)=\mathbb {Z} /2[w_{1}],} 这里 w 1 {\displaystyle w_{1}} 是第一斯蒂弗尔-惠特尼类： 它是 w 1 {\displaystyle w_{1}} （其度数为 1）上的自由 Z / 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2} -代数。 复射影空间 四元数射影空间 透镜空间（英语：Lens space）