平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一種平行多面體。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为： 六个面都是平行四边形的多面体； 有三对对面平行的六面体； 底面为平行四边形的棱柱。 长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。 平行六面体是拟柱体的一个子类。 平行六面体可由正方体经线性变换而成。 用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。 平行六面体的体积是底面 A {\displaystyle A} 与高 h {\displaystyle h} 的乘积，即 V = A h {\displaystyle V=Ah} 。 这里的高是底面与对面的垂直距离。 另外一个方法是用向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} ， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})} ，以及 c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) {\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})} 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V {\displaystyle V} 等于純量三重积： V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|} 。 證明： 以 b {\displaystyle \mathbf {b} } 和 c {\displaystyle \mathbf {c} } 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 A {\displaystyle A} 为： A = | b | | c | sin ⁡ θ = | b × c | {\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |} ， 其中 θ {\displaystyle \theta } 是 b {\displaystyle \mathbf {b} } 与 c {\displaystyle \mathbf {c} } 之间的角，而高为： h = | a | cos ⁡ α {\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha } ， 其中 α {\displaystyle \alpha } 是 a {\displaystyle \mathbf {a} } 与 h {\displaystyle h} 之间的角。 从图中我们可以看到， α {\displaystyle \alpha } 的大小限定为 0 ∘ ≤ α < 90 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }} 。而向量 b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 a {\displaystyle \mathbf {a} } 之间的角 β {\displaystyle \beta } 则有可能大于90°（ 0 ∘ ≤ β < 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }} ）。也就是说，由于 b × c {\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} } 与 h {\displaystyle h} 平行， β {\displaystyle \beta } 的值要么等于 α {\displaystyle \alpha } ，要么等于 180 ∘ − α {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha } 。因此： cos ⁡ α = ± cos ⁡ β = | cos ⁡ β | {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |} ， 且 h = | a | | cos ⁡ β | {\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |} 。 我们得出结论： V = A h = | a | | b × c | | cos ⁡ β | {\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |} ， 于是，根据純量积的定义，它等于 a ⋅ ( b × c ) {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )} 的绝对值，即： V = | a ⋅ ( b × c ) | {\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|} 。 证毕。 最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值： V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|} 。 若 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 及 c {\displaystyle c} 是三條兩兩相鄰的稜長，且 α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 及 γ {\displaystyle \gamma } 是三條稜邊的夾角，則平行六面体的体积為： V = a b c 1 + 2 cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) cos ⁡ ( γ ) − cos 2 ⁡ ( α ) − cos 2 ⁡ ( β ) − cos 2 ⁡ ( γ ) {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}} 。 證明 從上面可知，平行六面体的体积可表示為： V = | det D | {\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |} 其中： D = [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] {\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}} 。 因此 V 2 = det ( D D t ) = det [ a ⋅ a a ⋅ b a ⋅ c b ⋅ a b ⋅ b b ⋅ c c ⋅ a c ⋅ b c ⋅ c ] {\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}} 依行列式及純量積定義展開公式右手邊，即可得上述公式。 選取任意一頂點 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 以其相鄰三個頂點 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 、 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 及 ( x 4 , y 4 , z 4 ) {\displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})} ，則體積可表示為： V = | det [ x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 x 4 y 4 z 4 1 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.} 如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一： 四个面是长方形； 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。 长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。 菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。 完美平行六面體指棱長、面對角線和體對角線都是整數的平行六面體。在2009年，發現了數十個完美平行六面體的例子，包括棱長271、106及103，劣面對角線長101、 266及255，優面角線長183、 312及323,以及體對角線長374、 300、 278及272的平行六面體。 平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。 特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。 n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。 位于 R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} 空间中的n维超平行体的n维体积（ m ≥ n {\displaystyle m\geq n} ），可以用格拉姆行列式的方法来计算。 Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973. 埃里克·韦斯坦因. 平行六面体. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. 超平行体. MathWorld.  Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220 . doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7. .