条件收敛

条件收敛是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。 给定一个实数项无穷级数 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} ，如果它自身收敛于一个定值 C ∈ R {\displaystyle C\in \mathbb {R} } ： ∑ n = 1 ∞ a n = C , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,} 但由每一项的绝对值构成的正项级数： A s = ∑ n | a n | {\displaystyle A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|} 不收敛： ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∞ , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,} 那么就称这个无穷级数 A = ∑ n a n {\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}} 是一个条件收敛的无穷级数。:149 给定一个在区间 [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} 上有定义的函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在任意的闭区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上都可积，并且广义积分： ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lim b → + ∞ ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x} 收敛，而函数绝对值的广义积分： ∫ a + ∞ | f ( x ) | d x = lim b → + ∞ ∫ a b | f ( x ) | d x {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x} 发散，那么就称广义积分 ∫ a + ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x} 条件收敛。:104 常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数： A h = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = ∑ n ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}} 它收敛到定值： ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} ，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数： H = ∑ n | ( − 1 ) n + 1 n | = ∑ n 1 n {\displaystyle H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}} 叫做调和级数，是发散的。 ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .} 条件收敛的广义积分的一个例子是函数： sin ⁡ x x {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} 在正实数轴上的积分： I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x} 任取实数 a > 1 {\displaystyle a>1} ，运用分部积分法可以得到： ∫ 1 a sin ⁡ x x d x = cos ⁡ 1 − cos ⁡ a a − ∫ 1 a cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x} 而对任意的正实数 A , B > 1 {\displaystyle A,B>1} ： | ∫ A B cos ⁡ x x 2 d x | ⩽ ∫ A B | cos ⁡ x | x 2 d x ⩽ ∫ A B 1 x 2 d x ⩽ 1 A {\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}} 由柯西收敛原理可知广义积分 ∫ 1 + ∞ cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x} 收敛，所以 ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x = lim a → + ∞ ∫ 1 a sin ⁡ x x d x = cos ⁡ 1 − lim a → + ∞ cos ⁡ a a − lim a → + ∞ ∫ 1 a cos ⁡ x x 2 d x = cos ⁡ 1 − ∫ 1 + ∞ cos ⁡ x x 2 d x {\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x} 即积分： I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x} 收敛。但是，绝对值函数的积分： I s = ∫ 1 + ∞ | sin ⁡ x x | d x {\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x} 不收敛。这是因为对任意自然数 k {\displaystyle k} ，积分： I k = ∫ k π ( k + 1 ) π | sin ⁡ x x | d x ⩾ ∫ k π ( k + 1 ) π | sin ⁡ x | ( k + 1 ) π d x = 2 ( k + 1 ) π = 2 π ⋅ 1 k + 1 {\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}} 所以 I s = ∫ 1 + ∞ | sin ⁡ x x | d x ⩾ ∑ k = 1 + ∞ I k ⩾ 2 π ⋅ ∑ k = 1 + ∞ 1 k + 1 = + ∞ {\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty } 因此，积分 I = ∫ 1 + ∞ sin ⁡ x x d x {\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x} 是条件收敛的。:104-106 黎曼级数定理：假设 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数 C {\displaystyle C} ，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列 σ : n ↦ σ ( n ) {\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) = C . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.} 此外，也存在另一种排列 σ ′ : n ↦ σ ′ ( n ) {\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)} ，使得 ∑ n = 1 ∞ a σ ′ ( n ) = ∞ . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .} 类似地，也可以有办法使它的部分和趋于 − ∞ {\displaystyle -\infty } ，或没有任何极限。:192 反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。:193 无条件收敛 绝对收敛 J. A. Fridy. Introductory analysis: the theory of calculus. Gulf Professional Publishing. 2000. ISBN 9780122676550.  清华大学数学科学系. 《微积分》. 北京: 清华大学出版社有限公司. 2003. ISBN 9787302069171.  S. Ponnusamy. Foundations of mathematical analysis. Springer. 2012. ISBN 9780817682927.