十七边形

十七边形是指幾何學中有17條邊及17隻角的多邊形。其內角和為2700°，有119條對角線。 正十七邊形是有17邊的正多邊形。正十七邊形的每个內角為158.8235294117647058度。 1796年高斯证明了可以用尺規作圖作出正十七邊形，同時發現了可作圖多邊形的條件。正十七邊形其中一个作圖方法如下： 英文裏，詹·何頓·康威認為heptadecagon是錯誤的拼法，應為heptakaidecagon。 可作圖性亦同時顯示2π/17的三角函數可以只用基本算術和平方根來表示。高斯的書Disquisitiones包含了這條等式： cos ⁡ 2 π 17 = − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 16 . {\displaystyle \operatorname {cos} {2\pi \over 17}={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}.} 設正十七邊形中心角為 α {\displaystyle \alpha } ,则 17 α = 360 ∘ {\displaystyle 17\alpha =360^{\circ }} 度, 即 16 α = 360 ∘ − α {\displaystyle 16\alpha =360^{\circ }-\alpha } 故 sin ⁡ 16 α = − sin ⁡ α {\displaystyle \sin 16\alpha =-\sin \alpha } ，而 sin ⁡ 16 α = 2 sin ⁡ 8 α cos ⁡ 8 α = 2 2 sin ⁡ 4 α cos ⁡ 4 α cos ⁡ 8 α = 2 4 sin ⁡ α cos ⁡ α cos ⁡ 2 α cos ⁡ 4 α cos ⁡ 8 α {\displaystyle {\begin{aligned}\sin 16\alpha &=2\sin 8\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{2}\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\&=2^{4}\sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \\\end{aligned}}} 因為 sin ⁡ α ≠ 0 {\displaystyle \sin \alpha \neq 0} ，则 16 cos ⁡ α cos ⁡ 2 α cos ⁡ 4 α cos ⁡ 8 α = − 1 {\displaystyle 16\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha =-1} 又由 2 cos ⁡ α cos ⁡ β = cos ⁡ ( α + β ) + cos ⁡ ( α − β ) {\displaystyle 2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )} 等，有 2 ( cos ⁡ α + cos ⁡ 2 α + ⋯ + cos ⁡ 8 α ) = − 1 {\displaystyle 2(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cdots +\cos 8\alpha )=-1} 而 cos ⁡ 15 α = cos ⁡ 2 α {\displaystyle \cos 15\alpha =\cos 2\alpha } ， cos ⁡ 12 α = cos ⁡ 5 α {\displaystyle \cos 12\alpha =\cos 5\alpha } ，令 x = cos ⁡ α + cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 4 α + cos ⁡ 8 α {\displaystyle x=\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha } y = cos ⁡ 3 α + cos ⁡ 5 α + cos ⁡ 6 α + cos ⁡ 7 α {\displaystyle y=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha } 有： x + y = − 1 2 {\displaystyle x+y=-{\frac {1}{2}}} 又 x y = ( cos ⁡ α + cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 4 α + cos ⁡ 8 α ) ( cos ⁡ 3 α + cos ⁡ 5 α + cos ⁡ 6 α + cos ⁡ 7 α ) = 1 2 ( cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 4 α + cos ⁡ 4 α + cos ⁡ 6 α + ⋯ + cos ⁡ α + cos ⁡ 15 α ) = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}xy&=(\cos \alpha +\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 8\alpha )(\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\cos 6\alpha +\cos 7\alpha )\\&={\frac {1}{2}}(\cos 2\alpha +\cos 4\alpha +\cos 4\alpha +\cos 6\alpha +\cdots +\cos \alpha +\cos 15\alpha )\\&=-1\\\end{aligned}}} 所以，得 x = − 1 + 17 4 {\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}} y = − 1 − 17 4 {\displaystyle y={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}} 另设: x 1 = cos ⁡ α + cos ⁡ 4 α {\displaystyle x_{1}=\cos \alpha +\cos 4\alpha } ， x 2 = cos ⁡ 2 α + cos ⁡ 8 α {\displaystyle x_{2}=\cos 2\alpha +\cos 8\alpha } ， y 1 = cos ⁡ 3 α + cos ⁡ 5 α {\displaystyle y_{1}=\cos 3\alpha +\cos 5\alpha } ， y 2 = cos ⁡ 6 α + cos ⁡ 7 α {\displaystyle y_{2}=\cos 6\alpha +\cos 7\alpha } 故有 x 1 + x 2 = − 1 + 17 4 {\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-1+{\sqrt {17}}}{4}}} y 1 + y 2 = − 1 − 17 4 {\displaystyle y_{1}+y_{2}={\frac {-1-{\sqrt {17}}}{4}}} 最後，由 cos ⁡ α + cos ⁡ 4 α = x 1 {\displaystyle \cos \alpha +\cos 4\alpha =x_{1}} cos ⁡ α cos ⁡ 4 α = y 1 2 {\displaystyle \cos \alpha \cos 4\alpha ={\frac {y_{1}}{2}}} 可得 cos ⁡ α = − 1 + 17 + 34 − 2 17 + 2 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 16 {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}}{16}}} 其为整数加減乘除平方根的組合，故正十七邊形可用尺規作出。 以下的幾個網頁均有介紹如何正十七邊形的尺規作圖： http://www.mathland.idv.tw/cai/r17.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） https://web.archive.org/web/20050204005828/http://www.showmath.co.kr/const/polygon/rpoly17.html （韓文） https://web.archive.org/web/19991111063410/http://www.geocities.com/RainForest/Vines/2977/gauss/formulae/heptadecagon.html （英文） http://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html（页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）