完全数

完全数（perfect number），又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然数：它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等於它本身，完全数不可能是楔形數、平方數、佩爾數或費波那契數。 例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加， 1 + 2 + 3 = 6 {\displaystyle {{{1}+{2}}+{3}}=6} ，恰好等於本身。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加， 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 {\displaystyle {{{{{1}+{2}}+{4}}+{7}}+{14}}=28} ，也恰好等於本身。后面的数是496、8128。 十進位的5位數到7位數、9位數、11位數、13到18位數等位數都沒有完全數，它們不是虧數就是盈數。 古希腊数学家欧几里得是通过 2 n − 1 × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}\times (2^{n}-1)} 的表达式发现前四个完全数的。 当 n = 2 : {\displaystyle n=2:} 2 1 × ( 2 2 − 1 ) = 6 {\displaystyle {{{2}^{1}}\times {\left({{{2}^{2}}-{1}}\right)}}=6} 当 n = 3 : {\displaystyle n=3:} 2 2 × ( 2 3 − 1 ) = 28 {\displaystyle {{{2}^{2}}\times {\left({{{2}^{3}}-{1}}\right)}}=28} 当 n = 5 : {\displaystyle n=5:} 2 4 × ( 2 5 − 1 ) = 496 {\displaystyle {{{2}^{4}}\times {\left({{{2}^{5}}-{1}}\right)}}=496} 当 n = 7 : {\displaystyle n=7:} 2 6 × ( 2 7 − 1 ) = 8128 {\displaystyle {{{2}^{6}}\times {\left({{{2}^{7}}-{1}}\right)}}=8128} 一个偶数是完美数，当且仅当它具有如下形式： 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ，其中 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 是素数，此事實的充分性由欧几里得证明，而必要性則由歐拉所證明。 比如，上面的 6 {\displaystyle 6} 和 28 {\displaystyle 28} 对应着 n = 2 {\displaystyle n=2} 和 3 {\displaystyle 3} 的情况。我们只要找到了一个形如 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} 的素数（即梅森素数），也就知道了一个偶完美数。 尽管没有发现奇完全数，但是当代数学家奥斯丁·欧尔证明，若有奇完全数，则其形式必然是 12 p + 1 {\displaystyle 12p+1} 或 36 p + 9 {\displaystyle 36p+9} 的形式，其中 p {\displaystyle p} 是素数。 首十個完全數是（ A000396）： 6（1位） 28（2位） 496（3位） 8128（4位） 33550336（8位） 8589869056（10位） 137438691328（12位） 2305843008139952128（19位） 2658455991569831744654692615953842176（37位） 191561942608236107294793378084303638130997321548169216（54位） 古代数学家根据當時已知的四个完全数做了很多假设，大部分都是错误的。其中的一个假设是：因为 2、3、5、7 恰好是头 4 个素数，第 5 个完全数应该是第 5 个素数，即当 n = 11 {\displaystyle n=11} 的时候，可是 2 11 − 1 = 23 × 89 {\displaystyle 2^{11}-1=23\times 89} 并不是素数。因此 n = 11 {\displaystyle n=11} 不是完全数。另外两个错误假设是： 头四个完全数分别是 1、2、3、4 位数，第五个应该是 5 位数。 完全数应该是交替以 6 或 8 结尾。 事实上，第五个完全数 33550336 = 2 12 ( 2 13 − 1 ) {\displaystyle 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} 是 8 {\displaystyle 8} 位数。 对于第二个假设，第五个完全数确实是以 6 {\displaystyle 6} 结尾，但是1588年，意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪計出第六个完全数 8589869056 {\displaystyle 8589869056} ，仍是以 6 {\displaystyle 6} 结尾，只能說歐幾里得的公式給出的完全數以 6 {\displaystyle 6} 和 8 {\displaystyle 8} 结尾。卡塔爾迪證明了此結論。此外，還計出第七個完全數137,438,691,328。 对完全数的研究，至少已经有两千多年的历史。《几何原本》中就提出了寻求某种类型完全数的问题。 每一个梅森素数给出一个偶完全数；反之，每個偶完全數給出一個梅森素數，這結果稱為歐幾里得－歐拉定理。到 2018 年 12 月为止，共发现了 51 个完全数，且都是偶数。最大的已知完全數為 2 82589932 × ( 2 82589933 − 1 ) {\displaystyle 2^{82589932}\times (2^{82589933}-1)} 共有 49724095 {\displaystyle 49724095} 位數。 以下是目前已發現的完全數共有的性質。 偶完全数都是以6或28结尾。 在十二進制中，除了6跟28以外的偶完全數都以54結尾，甚至除了6, 28, 496以外的偶完全數都以054或854結尾。[原創研究？][查证请求][來源請求]而如果存在奇完全數，它在十二進制中必定以1, 09, 39, 69或99結尾。 在六進制中，除了6以外的偶完全數都以44結尾，甚至除了6, 28以外的偶完全數都以144或344結尾。[原創研究？][查证请求][來源請求]而如果存在奇完全數，它在六進制中必定以01, 13, 21或41結尾。 除了6以外的偶完全数，把它的各位数字相加，直到变成個位数，那么这个個位数一定是1： 28 {\displaystyle 28} → 2 + 8 = 10 {\displaystyle 2+8=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 496 {\displaystyle 496} → 4 + 9 + 6 = 19 {\displaystyle 4+9+6=19} → 1 + 9 = 10 {\displaystyle 1+9=10} → 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+0=1} 所有的偶完全数都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和，从 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p-1}} 到 2 2 p − 2 {\displaystyle 2^{2p-2}} ： 6 = 2 1 + 2 2 {\displaystyle 6=2^{1}+2^{2}} 28 = 2 2 + 2 3 + 2 4 {\displaystyle 28=2^{2}+2^{3}+2^{4}} 496 = 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 {\displaystyle 496=2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}+2^{8}} 8128 = 2 6 + 2 7 + . . . + 2 12 {\displaystyle 8128=2^{6}+2^{7}+...+2^{12}} 每个偶完全数都可以写成连续自然数之和： 6 = 1 + 2 + 3 {\displaystyle 6=1+2+3} 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 {\displaystyle 28=1+2+3+4+5+6+7} 496 = 1 + 2 + 3 + . . . + 30 + 31 {\displaystyle 496=1+2+3+...+30+31} 8128 = 1 + 2 + 3 + . . . + 126 + 127 {\displaystyle 8128=1+2+3+...+126+127} 除6以外的偶完全数，还可以表示成连续奇立方数之和（被加的项共有 2 p − 1 {\displaystyle {\sqrt {2^{p-1}}}} )： 28 = 1 3 + 3 3 {\displaystyle 28=1^{3}+3^{3}} 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 {\displaystyle 496=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}} 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 15 3 {\displaystyle 8128=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+15^{3}} 33550336 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + . . . + 127 3 {\displaystyle 33550336=1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+127^{3}} 每个完全数的所有约数（包括本身）的倒数之和，都等于2：（這可以用通分證得。因此每個完全數都是歐爾調和數。） 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 6 + 3 + 2 + 1 6 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6+3+2+1}{6}}=2} 1 1 + 1 2 + 1 4 + 1 7 + 1 14 + 1 28 = 28 + 14 + 7 + 4 + 2 + 1 28 = 2 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {28+14+7+4+2+1}{28}}=2} 它们的二进制表达式也很有趣：（因為偶完全數形式均如 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-1)} ） ( 6 ) 10 = ( 110 ) 2 {\displaystyle (6)_{10}=(110)_{2}} ( 28 ) 10 = ( 11100 ) 2 {\displaystyle (28)_{10}=(11100)_{2}} ( 496 ) 10 = ( 111110000 ) 2 {\displaystyle (496)_{10}=(111110000)_{2}} ( 8128 ) 10 = ( 1111111000000 ) 2 {\displaystyle (8128)_{10}=(1111111000000)_{2}} ( 33550336 ) 10 = ( 1111111111111000000000000 ) 2 {\displaystyle (33550336)_{10}=(1111111111111000000000000)_{2}} ( 8589869056 ) 10 = ( 111111111111111110000000000000000 ) 2 {\displaystyle (8589869056)_{10}=(111111111111111110000000000000000)_{2}} ( 137438691328 ) 10 = ( 1111111111111111111000000000000000000 ) 2 {\displaystyle (137438691328)_{10}=(1111111111111111111000000000000000000)_{2}} 未解決的數學問題：奇完全數存在嗎？ 截至2024年6月30日，用计算机已经证实：在102200以下，没有奇完全数；至今还证明了，如果奇完全数存在，则它至少包含11个不同素数（包含一個不少於7位數的質因子）但不包含3，亦不會是立方數。一般猜测：奇完全数是不存在的。完全数的个数是否为无限？至今都不能回答。 美國數學家卡爾·帕梅朗斯提出了一個想法說明奇完全數不太可能存在。 N > 102200 N是以下形式： N = q α p 1 2 e 1 … p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},} 其中： q，p1，…，pk是不同的素数（Euler）。 q ≡ α ≡ 1 (mod 4)（Euler）。 N的最小素因子必须小于 k − 1 2 . {\displaystyle {\frac {k-1}{2}}.} 。 e 1 {\displaystyle e_{1}} ≡ e 2 {\displaystyle e_{2}} ...≡ e k {\displaystyle e_{k}} ≡ 1（mod 3）的关系不能满足（McDaniel 1970）。 要么qα > 1062，要么对于某个j有 p j 2 e j {\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}} > 1062。 N < 2 ( 4 k + 1 − 2 k + 1 ) {\displaystyle N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}} N必须可以写成12n+1，468n+117或324n+81（n为整数）的形式。 N不能被105整除。 N的最大素因子必须大于108，并低于 ( 3 N ) 1 / 3 {\displaystyle (3N)^{1/3}} 。。 N的第二大素因子必须大于104，并低于 ( 2 N ) 1 / 5 {\displaystyle (2N)^{1/5}} 。 。 N的第三大素因子必须大于100。 N至少要有101个素因子，其中至少10个是不同的。 如果3不是素因子之一，则至少要有12个不同的素因子。 如果对于所有的i，都有 e i {\displaystyle e_{i}} ≤ 2，那么： N的最小素因子必须大于739（Cohen 1987）。 α ≡ 1（mod 12）或α ≡ 9 (mod 12)（McDaniel 1970）。 這個定理說明若存在奇完全數，其形式必如 12 m + 1 {\displaystyle 12m+1} 或 36 q + 9 {\displaystyle 36q+9} 。最初的證明在1953年由雅克·圖查德（英语：Jacques Touchard）首先證明，1951年巴爾塔薩·范德波爾用非線性偏微分方程得出證明。茱蒂·霍爾德納在《美國數學月刊》第109卷第7期刊證了一個初等的證明。 證明會使用這四個結果：（下面的n,k,j,m,q均為正整數） 歐拉證明了奇完全數的形式必如 4 j + 1 {\displaystyle 4j+1} 。 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 表示 n {\displaystyle n} 的正因數之和。完全數的定義即為 2 n = σ ( n ) {\displaystyle 2n=\sigma (n)} 。 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 為積性函數 引理（甲）：若 n = 6 k − 1 {\displaystyle n=6k-1} （ k {\displaystyle k} 是正整數），則 n {\displaystyle n} 非完全數。 引理（乙）：若 n = 4 k − 1 {\displaystyle n=4k-1} （ k {\displaystyle k} 是正整數），則 n {\displaystyle n} 非完全數。 引理的證明（甲）： 使用反證法，設 n {\displaystyle n} 為完全數，且 n ≡ − 1 ( mod 6 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {6}}} 。 n ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {3}}} 。因為3的二次剩餘只有0,1，故 n {\displaystyle n} 非平方數，因此其正因數個數為偶數。 n {\displaystyle n} 有正因數 d {\displaystyle d} ，則可得： d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {3}}} 且 n / d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {3}}} ；或 d ≡ − 1 ( mod 3 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {3}}} 且 n / d ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {3}}} 。 因此， ( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {3}}} 。故 σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 3 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {3}}} 。 但 2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 1 ( mod 3 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 1{\pmod {3}}} ，矛盾。 故 n {\displaystyle n} 的形式只可能為 6 k + 1 {\displaystyle 6k+1} 或 6 k + 3 {\displaystyle 6k+3} 。 引理的證明（乙）： 使用反證法，設 n {\displaystyle n} 為完全數，且 n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}} 。 n ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv -1{\pmod {4}}} 。因為4的二次剩餘只有0,1，故 n {\displaystyle n} 非平方數，因此其正因數個數為偶數。 n {\displaystyle n} 有正因數 d {\displaystyle d} ，則可得： d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}} 且 n / d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv -1{\pmod {4}}} ；或 d ≡ − 1 ( mod 4 ) {\displaystyle d\equiv -1{\pmod {4}}} 且 n / d ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n/d\equiv 1{\pmod {4}}} 。 因此， ( n / d + d ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle (n/d+d)\equiv 0{\pmod {4}}} 。故 σ ( n ) = ∑ d < n d + n / d ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d<{\sqrt {n}}}d+n/d\equiv 0{\pmod {4}}} 。 但 2 n ≡ 2 ( − 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n\equiv 2(-1)\equiv 2{\pmod {4}}} ，矛盾。 故 n {\displaystyle n} 的形式只可能為 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} 。 若 n = 6 k + 1 {\displaystyle n=6k+1} ，根據歐拉的結果， n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ，綜合兩者，得 n = 12 m + 1 {\displaystyle n=12m+1} 。 若 n = 6 k + 3 {\displaystyle n=6k+3} ， n = 4 j + 1 {\displaystyle n=4j+1} ，得 n = 12 m + 9 = 3 ( 4 m + 3 ) {\displaystyle n=12m+9=3(4m+3)} 。若 m {\displaystyle m} 非3的倍數，3和 4 m + 3 {\displaystyle 4m+3} 互質。 因為 σ ( n ) {\displaystyle \sigma (n)} 為積性函數，可得 σ ( n ) = σ ( 3 ) σ ( 4 m + 3 ) = 4 σ ( 4 m + 3 ) ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (n)=\sigma (3)\sigma (4m+3)=4\sigma (4m+3)\equiv 0{\pmod {4}}} 。 但 2 n = 2 ( 4 j + 1 ) ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle 2n=2(4j+1)\equiv 2{\pmod {4}}} ，出現了矛盾。故知 m {\displaystyle m} 是3的倍數。代入 m = 3 q {\displaystyle m=3q} ，可得 n = 36 q + 9 {\displaystyle n=36q+9} 。 Odd Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, Gagan Tara Nanda 亦即，除了6以外的偶完全数，被9除都餘1。 亦即，每個偶完全數都是三角形數。 這是因為 1 3 + 3 3 + 5 3 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) 3 = n 2 ( 2 n 2 − 1 ) {\displaystyle 1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)} 。 Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 10.  Pickover, C. Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning. Oxford: Oxford University Press. 2001: 360 [2021-11-08]. ISBN 0-19-515799-0. （原始内容存档于2022-03-22）.  Peterson, I. Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. Washington: Mathematical Association of America. 2002: 132 [2021-11-08]. ISBN 88-8358-537-2. （原始内容存档于2021-11-08）.  H. Novarese. Note sur les nombres parfaits Texeira J. VIII (1886), 11–16. Dickson, L. E. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Washington: Carnegie Institution of Washington. 1919: 25.  Roberts, T. On the Form of an Odd Perfect Number (PDF). Australian Mathematical Gazette. 2008, 35 (4): 244 [2021-03-15]. （原始内容存档 (PDF)于2013-05-14）.  存档副本. [2006-07-26]. （原始内容存档于2006-12-29）.  Ochem, Pascal; Rao, Michaël. Odd perfect numbers are greater than 101500 (PDF). Mathematics of Computation. 2012, 81 (279): 1869–1877 [2021-11-03]. ISSN 0025-5718. Zbl 1263.11005. doi:10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . （原始内容 (PDF)存档于2016-01-15）.  Zelinsky, Joshua. On the Total Number of Prime Factors of an Odd Perfect Number (PDF). Integers. 3 August 2021, 21 [7 August 2021]. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）.  Chen, Yong-Gao; Tang, Cui-E. Improved upper bounds for odd multiperfect numbers.. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2014, 89 (3): 353–359.  Nielsen, Pace P. An upper bound for odd perfect numbers. Integers. 2003, 3: A14–A22 [23 March 2021]. （原始内容存档于2003-02-21）.  Kühnel, Ullrich. Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen. Mathematische Zeitschrift. 1950, 52: 202–211. doi:10.1007/BF02230691 （德语）.  Goto, T; Ohno, Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 (PDF). Mathematics of Computation. 2008, 77 (263): 1859–1868 [30 March 2011]. Bibcode:2008MaCom..77.1859G. doi:10.1090/S0025-5718-08-02050-9 . （原始内容 (PDF)存档于2011-08-07）.  Konyagin, Sergei; Acquaah, Peter. On Prime Factors of Odd Perfect Numbers. International Journal of Number Theory. 2012, 8 (6): 1537–1540. doi:10.1142/S1793042112500935.  Zelinsky, Joshua. Upper bounds on the second largest prime factor of an odd perfect number. International Journal of Number Theory. July 2019, 15 (6): 1183–1189. arXiv:1810.11734 . doi:10.1142/S1793042119500659. . Iannucci, DE. The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand (PDF). Mathematics of Computation. 1999, 68 (228): 1749–1760 [30 March 2011]. Bibcode:1999MaCom..68.1749I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01126-6 . （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）.  Iannucci, DE. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred (PDF). Mathematics of Computation. 2000, 69 (230): 867–879 [30 March 2011]. Bibcode:2000MaCom..69..867I. doi:10.1090/S0025-5718-99-01127-8. （原始内容存档 (PDF)于2013-05-17）.  Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers, Diophantine equations, and upper bounds (PDF). Mathematics of Computation. 2015, 84 (295): 2549–2567 [13 August 2015]. doi:10.1090/S0025-5718-2015-02941-X . （原始内容 (PDF)存档于2015-07-08）.  Nielsen, Pace P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors (PDF). Mathematics of Computation. 2007, 76 (260): 2109–2126 [30 March 2011]. Bibcode:2007MaCom..76.2109N. arXiv:math/0602485 . doi:10.1090/S0025-5718-07-01990-4. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-03）.  [1][永久失效連結] 高合成數 婚約數 親和數 盈數 虧數 梅森素数 半完全數 佩服數 超完全數 梅森素数与完全数集合 笛卡爾數 Hazewinkel, Michiel (编), Perfect number, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆） Perfect numbers – History and Theory（页面存档备份，存于互联网档案馆） 埃里克·韦斯坦因. Perfect Number. MathWorld.  Sloane, N.J.A. (编). Sequence A000396 (Perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.  OddPerfect.org A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers. Great Internet Mersenne Prime Search[永久失效連結] Perfect Numbers（页面存档备份，存于互联网档案馆）, math forum at Drexel. Grimes, James. 8128: Perfect Numbers. Numberphile. Brady Haran. [2015-01-10]. （原始内容存档于2013-05-31）.