菲涅耳積分

菲涅耳積分，常被寫作 S(x)和C(x)。以奧古斯丁·菲涅耳為名。 菲涅耳積分可由下面兩個級數求得，對所有x均收斂。 S ( x ) = ∫ 0 x sin ⁡ ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 3 ( 2 n + 1 ) ! ( 4 n + 3 ) , {\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},} C ( x ) = ∫ 0 x cos ⁡ ( t 2 ) d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 4 n + 1 ( 2 n ) ! ( 4 n + 1 ) . {\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.} C和S的值當變數趨近於無窮大時，可用複變分析的方法求得。用以下這個函數的路徑積分： e − z 2 {\displaystyle e^{-z^{2}}} 在複數平面上的一個扇型的邊界，其中下邊繞著正x軸，上半邊是沿著y = x, x ≥ 0的路徑，外圈則是一個半徑為R，中心在原點的弧形。 當R趨近於無窮大時，路徑積分沿弧形的部分將趨近於零，而實數軸部分的積分將可由高斯積分 ∫ y − a x i s e − z 2 d z = ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = π 2 , {\displaystyle \int _{y-axis}^{}e^{-z^{2}}dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}},} 並且經過簡單的計算後，第一象限平分線的那條積分便可以變成菲涅耳積分。 ∫ s l o p e exp ⁡ ( − z 2 ) d z = ∫ 0 ∞ exp ⁡ ( − t 2 e i π / 2 ) e i π / 4 d t = e i π / 4 ( ∫ 0 ∞ cos ⁡ ( − z 2 ) d z + i ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( − z 2 ) d z ) {\displaystyle \int _{slope}^{}\exp(-z^{2})dz=\int _{0}^{\infty }\exp(-t^{2}e^{i\pi /2})e^{i\pi /4}dt=e^{i\pi /4}(\int _{0}^{\infty }\cos(-z^{2})dz+i\int _{0}^{\infty }\sin(-z^{2})dz)} ∫ 0 ∞ cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 ∞ sin ⁡ t 2 d t = 2 π 4 = π 8 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.} 下列一些包含菲涅耳積分的关系式 ∫ 0 ∞ e − a t sin ⁡ ( t 2 ) d t = 1 4 ∗ 2 π ∗ ( cos ⁡ a 2 4 ∗ ( 1 − 2 ∗ F r e s n e l C ( ( 1 / 2 ) ∗ a ∗ 2 / π ) ) + sin ⁡ a 2 4 ∗ ( 1 − 2 ∗ F r e s n e l S ( ( 1 / 2 ) ∗ a ∗ 2 / π ) ) ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}\sin(t^{2})\mathrm {d} t={\frac {1}{4}}*{\sqrt {2\pi }}*(\cos {\frac {a^{2}}{4}}*(1-2*{\rm {FresnelC}}((1/2)*a*{\sqrt {2}}/{\sqrt {\pi }}))+\sin {\frac {a^{2}}{4}}*(1-2*\mathrm {FresnelS} ((1/2)*a*{\sqrt {2}}/{\sqrt {\pi }})))} ∫ sin ⁡ ( a x 2 + 2 b x + c ) d x = 2 π ∗ ( cos ⁡ ( ( b 2 − a ∗ c ) / a ) ∗ F r e s n e l S ( 2 ( a x + b ) / ( π a ) ) − sin ⁡ ( ( b 2 − a ∗ c ) / a ) ∗ F r e s n e l C ( 2 ( a x + b ) / ( π a ) ) ) 2 a {\displaystyle \int \sin(ax^{2}+2bx+c)\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt {2\pi }}*(\cos((b^{2}-a*c)/a)*{\rm {FresnelS}}({\sqrt {2}}(ax+b)/({\sqrt {\pi a}}))-\sin((b^{2}-a*c)/a)*{\rm {FresnelC}}({\sqrt {2}}(ax+b)/({\sqrt {\pi a}})))}{2{\sqrt {a}}}}} ∫ F r e s n e l C ( t ) d t = F r e s n e l C ( t ) ∗ t − sin ⁡ π t 2 2 π {\displaystyle \int \mathrm {FresnelC} (t)\mathrm {d} t=\mathrm {FresnelC} (t)*t-{\frac {\sin {\frac {\pi t^{2}}{2}}}{\pi }}} ∫ F r e s n e l S ( t ) d t = F r e s n e l S ( t ) ∗ t + cos ⁡ π t 2 2 π {\displaystyle \int \mathrm {FresnelS} (t)\mathrm {d} t=\mathrm {FresnelS} (t)*t+{\frac {\cos {\frac {\pi t^{2}}{2}}}{\pi }}} d   F r e s n e l C ( t ) d t = cos ⁡ π t 2 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ~\mathrm {FresnelC} (t)}{\mathrm {d} t}}=\cos {\frac {\pi t^{2}}{2}}} d   F r e s n e l S ( t ) d t = sin ⁡ π t 2 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ~\mathrm {FresnelS} (t)}{\mathrm {d} t}}=\sin {\frac {\pi t^{2}}{2}}} 奥古斯丁·菲涅耳 羊角螺线 Beatty, Thomas. How to evaluate Fresnel Integrals (PDF). FGCU MATH - SUMMER 2013. [27 July 2013]. （原始内容存档 (PDF)于2015-02-07）.  Abromowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions,p303-305, 1972 Natinal Bureau of Standards