ER随机图

在图论中，ER随机图（Erdős–Rényi random graph）是一种网络，以概率p连接N个节点中的每一对节点。ER随机图以埃尔德什·帕尔和阿尔弗雷德·雷尼（英语：Alfréd Rényi）（Alfréd Rényi）的名字命名。他们在1959年发明了这种模型。同年，Edward Gilbert独立提出了另外一个模型。 在Erdős-Rényi模型中，在顶点集数目相同时，具有固定边数的所有图均具有同等的概率出现。在吉尔伯特（Gilbert）引入的模型中，每个边都有固定的出现概率，并且独立于其他边的概率。这些模型可用于概率方法中，以证明满足各种属性的图的存在，或者对几乎所有图具有属性的含义提供严格的定义。 ER随机图主要有两种高度相关的模型。 在G(n, M)模型中，确定的图从具有n个顶点和M条边的所有图集合中等概率随机选择。例如，在G(3, 2)模型中，具有三个顶点和两条边的图总共有3种，它们每一个都以1/3的概率出现在G(3, 2)中。当0 ≤ M ≤ N, G(n,M) 总共有 ( N M ) {\displaystyle {\tbinom {N}{M}}} 种可能的确定图，每种图出现的概率是 1 / ( N M ) {\displaystyle 1/{\tbinom {N}{M}}} 。 在G(n, p)模型中，通过随机连接n个独立节点构造一个图，每条边出现的概率是p，且不同边存在与否互相独立。对于具有n个顶点和M条边的图，其出现的概率是 p M ( 1 − p ) ( n 2 ) − M {\displaystyle p^{M}(1-p)^{{n \choose 2}-M}} 。由此，p越大，G中出现边较多的图的概率会上升。 通常在顶点数n趋向于无穷大时研究随机图的性质和变化行为。尽管p或M可以为固定值，但它们也可以依赖n的取值。例如，G(n, 2ln(n)/n)中的每个图几乎都是连通图；随着n趋于无穷大，G(n, 2ln(n)/n)中几乎每个图都被连接。 G(n, p)的边数期望值为 ( n 2 ) p {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}p} ，因此根据大数定理，几乎所有G(n, p)模型中的图的边数都会有 ( n 2 ) p {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}p} 个。因此，一个粗略的想法是，如果pn2 → ∞，并且 M = ( n 2 ) p {\displaystyle M={\tbinom {n}{2}}p} ，那么随着n的增大，G(n,p)的变化行为应该与G(n, M)类似。 在pn2 → ∞假设的基础上，我们考虑一个图的单调性质P（这意味着，若A是B的子图，并且A拥有性质P,那么B也将拥有性质P）；那么“P对于几乎所有G(n, p)成立”等价于“P对于几乎所有G(n, M)成立”。但对于非单调的性质P，表述的等价性不一定成立。 事实上，G(n, p)模型是当今最常用的模型，部分原因是边存在的独立性简化了许多分析。 使用上面的符号，G(n, p)中的图边数的平均值是 ( n 2 ) p {\displaystyle {\tbinom {n}{2}}p} 。任何特定顶点的度服从于二项分布： P ( deg ⁡ ( v ) = k ) = ( n − 1 k ) p k ( 1 − p ) n − 1 − k , {\displaystyle P(\deg(v)=k)={n-1 \choose k}p^{k}(1-p)^{n-1-k},} 其中n是图中顶点的数目。因为 P ( deg ⁡ ( v ) = k ) → ( n p ) k e − n p k !  as  n → ∞  and  n p = constant , {\displaystyle P(\deg(v)=k)\to {\frac {(np)^{k}\mathrm {e} ^{-np}}{k!}}\quad {\text{ as }}n\to \infty {\text{ and }}np={\text{constant}},} 此分布为泊松分布对于较大的n和常数np。 在1960年的论文中，Erdős和Rényi对于不同的p精准地描述了G(n, p)变化行为。这些结果包括： 若np < 1，那么G(n, p)中的图几乎一定没有大小大于O(log(n))的连通分支。 若np = 1，那么G(n, p)中的图几乎一定存在一个最大的连通分支，其大小约为n2/3。 若np → c > 1，c为常数，那么G(n, p)中的一个图几乎必有唯一的包含结点有限部分的巨型连通分支，其他连通分支不会包含超过O(log(n))个顶点。 若 p < ( 1 − ε ) ln ⁡ n n {\displaystyle p<{\tfrac {(1-\varepsilon )\ln n}{n}}} ，那么G(n, p)中的一个图几乎必有孤立点，因此这个图是不连通的。 若 p > ( 1 + ε ) ln ⁡ n n {\displaystyle p>{\tfrac {(1+\varepsilon )\ln n}{n}}} ，那么G(n, p)几乎一定连通。 因此 ln ⁡ n n {\displaystyle {\tfrac {\ln n}{n}}} 是一个锋利阈值。 随着n趋于无穷大，G(n,p)可以几乎精确地描述图的其他属性。 完全图上的渗流理论是ER随机图，这也是一种平均场论。 Erdős, P.; Rényi, A. On Random Graphs. I (PDF). Publicationes Mathematicae. 1959, 6: 290–297. （原始内容存档 (PDF)于2020-08-07）.  Bollobás, B. Random Graphs 2nd. Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-79722-5.  Gilbert, E. N. Random Graphs. The Annals of Mathematical Statistics. 1959-12, 30 (4): 1141–1144 [2020-02-10]. ISSN 0003-4851. doi:10.1214/aoms/1177706098. （原始内容存档于2020-05-09） （英语）.  Béla Bollobás, Random Graphs, 1985, Academic Press Inc., London Ltd. Newman, Mark. E. J.; Strogatz, S. H.; Watts, D. J. Random graphs with arbitrary degree distributions and their applications [任意度分佈的隨機圖及其應用]. Physical Review E. 2001, 64: 026118. Bibcode:2001PhRvE..64b6118N. PMID 11497662. arXiv:cond-mat/0007235 . doi:10.1103/PhysRevE.64.026118 （英语）. , Eq. (1) Erdős, P.; Rényi, A. On the evolution of random graphs [論隨機圖的演化] (PDF). Magyar Tudományos Akadémia Matematikai Kutató Intézetének Kőzleményei [Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences]. 1960, 5: 17–61 [2020-12-19]. （原始内容存档 (PDF)于2021-02-01） （英语）.  The probability p used here refers there to N ( n ) = ( n 2 ) p {\displaystyle N(n)={\tbinom {n}{2}}p} Bollobas, B.; Erdős, P. Cliques in random graphs. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1976-11, 80 (3): 419–427. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100053056 （英语）.