子集

子集（英語：subset）亦稱部分集合，為某集合中部分元素的集合；關係相反時則稱作父集、母集、超集。子集與父集的关系被称为“包含”。 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A，则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 或 B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} ，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”。 即： ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} ，有 a ∈ B {\displaystyle a\in B} ，则 A ⊂ B {\displaystyle A\subset B} 。 若 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 为集合，且 A {\displaystyle A} 的所有元素都是 B {\displaystyle B} 的元素，则可表示為： A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的子集（或称 A {\displaystyle A} 包含于 B {\displaystyle B} ）； A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} B {\displaystyle B} 是 A {\displaystyle A} 的父集／超集（或称 B {\displaystyle B} 包含 A {\displaystyle A} ）； B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} 任何集合 B {\displaystyle B} 皆是本身的子集（ B ⊆ B {\displaystyle B\subseteq B} ）。而 B {\displaystyle B} 的子集中不等于 B {\displaystyle B} 的集合，称为真子集，若 A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的真子集，写作 A ⫋ B {\displaystyle A\subsetneqq B} 。 假设有 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 两个集合，如果 A {\displaystyle A} 中的每个元素都是 B {\displaystyle B} 的元素，则： A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的子集，记作 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 也可以说 B {\displaystyle B} 是 A {\displaystyle A} 的超集，记作 B ⊇ A {\displaystyle B\supseteq A} 如果 A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的子集，但 A {\displaystyle A} 不等于 B {\displaystyle B} （即 B {\displaystyle B} 中至少存在一个元素不在 A {\displaystyle A} 集合中），则： A {\displaystyle A} 是 B {\displaystyle B} 的真子集，记作 A ⫋ B {\displaystyle A\subsetneqq B} 也可以说 B {\displaystyle B} 是 A {\displaystyle A} 的真超集，记作 B ⫌ A {\displaystyle B\supsetneqq A} ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配： ⊆ {\displaystyle \subseteq } 表示子集关系， ⊂ {\displaystyle \subset } 表示真子集关系。使用的作品如 ⊂ {\displaystyle \subset } 表示子集关系， ⫋ {\displaystyle \subsetneqq } 表示真子集关系。使用的作品如 集合 { 1 , 2 } {\displaystyle \left\{1,2\right\}} 是集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \left\{1,2,3\right\}} 的真子集。 自然数集合是有理数集合的真子集。 集合 { x : x {\displaystyle \{x:x} 是大于2000的素数 } {\displaystyle \}} 是集合 { x : x {\displaystyle \{x:x} 是大于1000的奇数 } {\displaystyle \}} 的真子集。 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。 空集，写作 ∅ {\displaystyle \varnothing } ，是任意集合 X {\displaystyle X} 的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。 命题1：空集是任意集合的子集。 这个命题说明：包含是一种偏序关系。 命题2：若 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 是集合，则： 自反性： A ⊆ A {\displaystyle A\subseteq A} 反对称性： A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 且 B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} 当且仅当 A = B {\displaystyle A=B} 传递性： 若 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} 且 B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} 则 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} 这个命题说明：对任意集合 S {\displaystyle S} ， S {\displaystyle S} 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。 命题3：若 A , B , C {\displaystyle A,B,C} 是集合 S {\displaystyle S} 的子集，则： 存在一个最小元和一个最大元： ∅ ⊆ A ⊆ S {\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S} （ ∅ ⊆ A {\displaystyle \varnothing \subseteq A} 由命題1給出） 存在并运算： A ⊆ A ∪ B {\displaystyle A\subseteq A\cup B} 若 A ⊆ C {\displaystyle A\subseteq C} 且 B ⊆ C {\displaystyle B\subseteq C} 则 A ∪ B ⊆ C {\displaystyle A\cup B\subseteq C} 存在交运算： A ∩ B ⊆ A {\displaystyle A\cap B\subseteq A} 若 C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} 且 C ⊆ B {\displaystyle C\subseteq B} 则 C ⊆ A ∩ B {\displaystyle C\subseteq A\cap B} 命题4：对任意两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} ，下列表述等价： A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} A ∩ B = A {\displaystyle A\cap B=A} A ∪ B = B {\displaystyle A\cup B=B} A − B = ∅ {\displaystyle A-B=\varnothing } B ′ ⊆ A ′ {\displaystyle B'\subseteq A'} 这个命题说明：表述" A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。 ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics ISO 80000-2:2019 Quantities and units — Part 2: Mathematics. ISO. 2019-08 [2023-7-24]. （原始内容存档于2023-03-13） （英语）.  请检查|access-date=中的日期值 (帮助) 離散數學-第三章, [2012-09-07], （原始内容存档于2012-07-03）  剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14], （原始内容存档 (PDF)于2016-03-04）  Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], （原始内容 (PDF)存档于2013-01-23）  Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157  冪集：某集合的全部子集组成的集合。