特徵方程式

特徵方程式（characteristic equation）或輔助方程式（auxiliary equation）為数学名詞，是對應n階微分方程或差分方程（英语：linear difference equation）的n次（英语：Degree of a polynomial）代數方程式。只有線性齊次常系數的微分方程或差分方程才有特徵方程式。考慮一微分方程，其因变量為y，an, an − 1, ..., a1, a0為常数 a n y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = 0 , {\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,} 其特徵方程式如下 a n r n + a n − 1 r n − 1 + ⋯ + a 1 r + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0} 根據其解r1, r2, ..., rn可以產生微分方程的通解。而一個線性差分方程 y t + n = b 1 y t + n − 1 + ⋯ + b n y t {\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}} 也有其特徵方程式 r n − b 1 r n − 1 − ⋯ − b n = 0 , {\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,} 特徵方程式的根也可以提供動態方程的特性資訊。若是一個自變數為時間的微分方程，其應變數稳定的充份必要條件是每一個根的實部都是負值。若是差分方程，穩定的充份必要條件是每一個根的绝对值都小於1。針對這兩種系統，若是有复数根，表示其解會振盪。 線性常係數常微分方程的积分求解法是由萊昂哈德·歐拉發現，他也發現了其解的特性和代數的「特徵方程」有關。後來法國科學家奧古斯丁·路易·柯西及加斯帕尔·蒙日也提及歐拉的特徵方程，而且提到不少細節。 考慮常係數的線性齊次微分方程 an, an − 1, ..., a1, a0, a n y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = 0 {\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0} 假設y(x) = erx，而指數函數erx的導數是本身的倍數，y′ = rerx, y″ = r2erx，y(n) = rnerx。因此上式中的每一項都會是erx的倍數。若r為特定值，可以讓erx的倍數變為0，這樣即可求解齊次微分方程。為了求解r，可以將y = erx及其導數替換到微分方程中，可以得到 a n r n e r x + a n − 1 r n − 1 e r x + ⋯ + a 1 r e r x + a 0 e r x = 0 {\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0} 。 因為erx不會為零，因此其係數必須為零，可以得到以下的特徵方程式 a n r n + a n − 1 r n − 1 + ⋯ + a 1 r + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0} 求解特徵方程式中的r，可以求得微分方程的通解。例如，若r為3，其通解為y(x) = ce3x，其中c為積分常數。 找到特徵方程式的根r1, ..., rn，就可以找到微分方程的通解。特徵方程式的根可能是实数或複數，可能都是不同的值，也可能會有相同的值（重根）。若特徵方程式的根有相異的實根，另外有h個重根，或是k個複數的根，其解分別為yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)及yC1(x), ..., yCk(x)，因此通解為 y ( x ) = y D ( x ) + y R 1 ( x ) + ⋯ + y R h ( x ) + y C 1 ( x ) + ⋯ + y C k ( x ) {\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)} 以下是常係數的線性齊次微分方程 y ( 5 ) + y ( 4 ) − 4 y ( 3 ) − 16 y ″ − 20 y ′ − 12 y = 0 {\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0} 其特徵方程為 r 5 + r 4 − 4 r 3 − 16 r 2 − 20 r − 12 = 0 {\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0} 將特徵方程因式分解，可得到 ( r − 3 ) ( r 2 + 2 r + 2 ) 2 = 0 {\displaystyle (r-3)\left(r^{2}+2r+2\right)^{2}=0} 可以看到r的解有一個單根，r1 = 3以及重根的複數根r2,3,4,5 = −1 ± i，因此其通解為 y ( x ) = c 1 e 3 x + e − x ( c 2 cos ⁡ x + c 3 sin ⁡ x ) + x e − x ( c 4 cos ⁡ x + c 5 sin ⁡ x ) {\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{-x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{-x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)} 其中有常數c1, ..., c5。 根據應用在常係數線性齊次微分方程的叠加原理，若u1, ..., un是特定微分方程的n個線性無關的解，則c1u1 + ... + cnun也是其解，其中c1, ..., cn為任意常數。因此，若特徵方程有相異實根r1, ..., rn，則通解為 y D ( x ) = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + ⋯ + c n e r n x {\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}} 。 若特徵方程式中有重複k次的根r1，可以確定yp(x) = c1er1x會是微分方程的解，不過這個解沒有針對其他k − 1的根提供線性獨立的解。因為r1為k次重根，可以將微分方程改寫為 ( d d x − r 1 ) k y = 0 {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0} . 因為yp(x) = c1er1x為其中的一個解，因此可以令通解為以下的形式y(x) = u(x)er1x，其中 u(x)是待確認的函數。將uer1x代入後可得 ( d d x − r 1 ) u e r 1 x = d d x ( u e r 1 x ) − r 1 u e r 1 x = d d x ( u ) e r 1 x + r 1 u e r 1 x − r 1 u e r 1 x = d d x ( u ) e r 1 x {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}} 其中k = 1。上述的式子應用k次，可以得到 ( d d x − r 1 ) k u e r 1 x = d k d x k ( u ) e r 1 x = 0 {\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0} 除以er1x後可得 d k d x k ( u ) = u ( k ) = 0 {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0} 上述式子若且唯若u(x)是k − 1次的多項式，因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.。因為y(x) = uer1x，因此通解中對應r1的解會是 y R ( x ) = e r 1 x ( c 1 + c 2 x + ⋯ + c k x k − 1 ) {\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right)} 若二階微分方程有共轭复数根r1 = a + bi及r2 = a − bi，其對應的通解為y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(a − bi)x。利用欧拉公式（eiθ = cos θ + i sin θ），可以將通解改寫如下： y ( x ) = c 1 e ( a + b i ) x + c 2 e ( a − b i ) x = c 1 e a x ( cos ⁡ b x + i sin ⁡ b x ) + c 2 e a x ( cos ⁡ b x − i sin ⁡ b x ) = ( c 1 + c 2 ) e a x cos ⁡ b x + i ( c 1 − c 2 ) e a x sin ⁡ b x {\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}} 其中c1和c2是係數，不過可能不是實數，而且隨初始條件而不同（因為y(x)是實數，c1 − c2需要是虛數或是零，c1 + c2為實數，為了要讓等號右邊為實數） 例如，若c1 = c2 = 1/2，可以得到特解y1(x) = eax cos bx，另外，若c1 = 1/2i及c2 = −1/2i，可以得到另一個獨立的解y2(x) = eax sin bx。利用重疊原則，有r = a ± bi複根的常係數線性齊次微分方程，其通解如下： y C ( x ) = e a x ( c 1 cos ⁡ b x + c 2 sin ⁡ b x ) {\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}\left(c_{1}\cos bx+c_{2}\sin bx\right)} 上述的分析也可以應用在高階微分方程，其特徵方程式中也可能有非實數的共軛根。 Edwards, C. Henry; Penney, David E. Chapter 3. Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. 2008: 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.  Smith, David Eugene. History of Modern Mathematics: Differential Equations. University of South Florida. [2019-05-05]. （原始内容存档于2011-07-20）.  Baumol, William J. Economic Dynamics 3rd. 1970: 172.  Chiang, Alpha. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. 1984: 578, 600.  Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients. eFunda. [1 March 2011]. （原始内容存档于2019-10-24）.  Cohen, Abraham. An Elementary Treatise on Differential Equations. D. C. Heath and Company. 1906.  Dawkins, Paul. Differential Equation Terminology. Paul's Online Math Notes. [2 March 2011]. （原始内容存档于2021-04-14）.