熱傳導方程式

热传导方程（或稱熱方程）是一個重要的偏微分方程，它描述一個區域內的溫度如何隨時間變化。 熱傳導在三維的各向同性介質裡的傳播可用以下方程式表達： ∂ u ∂ t = d i v ( U u ) = k ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = k ( u x x + u y y + u z z ) {\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\mathrm {div} (Uu)=k\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=k(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad } 其中： u =u(t, x, y, z)表溫度，它是時間變數t與空間變數(x,y,z)的函數。 ∂ u {\displaystyle {\partial u}} / ∂ t {\displaystyle {\partial t}} 是空間中一點的溫度對時間的變化率。 u x x {\displaystyle u_{xx}} , u y y {\displaystyle u_{yy}} 與 u z z {\displaystyle u_{zz}} 溫度對三個空間座標軸的二次導數。 k是熱擴散率，決定於材料的熱導率、密度與熱容。 熱方程是傅立葉冷卻律的一個推論（詳見條目熱傳導）。 如果考慮的介質不是整個空間，則為了得到方程的唯一解，必須指定u的邊界條件。如果介質是整個空間，為了得到唯一性，必須假定解的增長速度有個指數型的上界，此假定吻合實驗結果。 熱方程的解具有將初始溫度平滑化的特質，這代表熱從高溫處向低溫處傳播。一般而言，許多不同的初始狀態會趨向同一個穩態（熱平衡）。因此我們很難從現存的熱分佈反解初始狀態，即使對極短的時間間隔也一樣。 熱方程也是拋物線偏微分方程最簡單的例子。 利用拉普拉斯算子，熱方程可推廣為下述形式 u t = k Δ u , {\displaystyle u_{t}=k\Delta u,\quad } 其中的 Δ {\displaystyle \Delta } 是對空間變數的拉普拉斯算子。 熱方程支配熱傳導及其它擴散過程，諸如粒子擴散或神經細胞的動作電位。 就技術上來說，熱方程違背狹義相對論，因為它的解表達一個「擾動可以在瞬間傳播至空間各處」的情況。擾動在前方光錐外的影響通常可忽略不計，但是若要為熱傳導推出一個合理的速度，則須轉而考慮一個雙曲線型偏微分方程。 以下解法首先由約瑟夫·傅立葉在他於1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中譯：解析熱學）給出。先考慮只有一個空間變數的熱方程，這可以當作棍子的熱傳導之模型。方程式如下： ( 1 )   u t = k u x x {\displaystyle (1)\ u_{t}=ku_{xx}\quad } 其中u = u(t, x)是t和x的雙變數函數。 x是空間變數，所以x ∈ [0,L]，其中L表示棍子長度。 t是時間變數，所以t ≥ 0。 假設下述初始條件 ( 2 )   u ( 0 , x ) = f ( x ) ∀ x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle (2)\ u(0,x)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]\quad } 其中函數f是給定的。再配合下述邊界條件 ( 3 )   u ( t , 0 ) = 0 = u ( t , L ) ∀ t > 0 {\displaystyle (3)\ u(t,0)=0=u(t,L)\quad \forall t>0\quad } . 讓我們試著找一個非恆等於零的解，使之滿足邊界條件(3)並具備以下形式： ( 4 )   u ( t , x ) = X ( x ) T ( t ) . {\displaystyle (4)\ u(t,x)=X(x)T(t).\quad } 這套技術稱作分離變數法。現在將u代回方程式(1)， T ′ ( t ) k T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) . {\displaystyle {\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad } 由於等式右邊只依賴x，而左邊只依賴t，兩邊都等於某個常數− λ，於是： ( 5 )   T ′ ( t ) = − λ k T ( t ) {\displaystyle (5)\ T'(t)=-\lambda kT(t)\quad } ( 6 )   X ″ ( x ) = − λ X ( x ) . {\displaystyle (6)\ X''(x)=-\lambda X(x).\quad } 以下將證明(6)沒有λ ≤ 0的解： 假設λ < 0，則存在實數B、C使得 X ( x ) = B e − λ x + C e − − λ x {\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}} 。 從(3)得到 X ( 0 ) = 0 = X ( L ) . {\displaystyle X(0)=0=X(L).\quad } 於是有B = 0 = C，這蘊含u恆等於零。 假設λ = 0，則存在實數B、C使得 X ( x ) = B x + C . {\displaystyle X(x)=Bx+C.\quad } 仿上述辦法可從等式(3)推出u恆等於零。 因此必然有λ > 0，此時存在實數A、B、C使得 T ( t ) = A e − λ k t {\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda kt}\quad } X ( x ) = B sin ⁡ ( λ x ) + C cos ⁡ ( λ x ) {\displaystyle X(x)=B\sin({\sqrt {\lambda }}\,x)+C\cos({\sqrt {\lambda }}\,x)} 。 從等式(3)可知C = 0，因此存在正整數n使得 λ = n π L {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}} 。 由此得到熱方程形如(4)的解。 一般而言，滿足(1)與(3)的解相加後仍是滿足(1)與(3)的解。事實上可以證明滿足(1)、(2)、(3)的解由下述公式給出： u ( t , x ) = ∑ n = 1 + ∞ D n ( sin ⁡ n π x L ) e − n 2 π 2 k t L 2 {\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=1}^{+\infty }D_{n}\left(\sin {\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}kt}{L^{2}}}}} 其中 D n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) sin ⁡ n π x L d x {\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin {\frac {n\pi x}{L}}\,dx} 。 上面採用的方法可以推廣到許多不同方程。想法是：在適當的函數空間上，算子 u ↦ u x x {\displaystyle u\mapsto u_{xx}} 可以用它的特徵向量表示。這就自然地導向線性自伴算子的譜理論。 考慮線性算子Δ u = ux x，以下函數序列 e n ( x ) = 2 L sin ⁡ n π x L {\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin {\frac {n\pi x}{L}}} （n ≥ 1） 是Δ的特徵向量。誠然： Δ e n = − n 2 π 2 L 2 e n {\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}} 。 此外，任何滿足邊界條件f(0)=f(L)=0的Δ的特徵向量都是某個en。令L2(0, L)表 [0, L]上全體平方可積函數的向量空間。這些函數en構成L2(0, L)的一組正交歸一基。更明白地說： ⟨ e n , e m ⟩ = ∫ 0 L e n ( x ) e m ( x ) d x = { 0 n ≠ m 1 m = n {\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}(x)dx=\left\{{\begin{matrix}0&n\neq m\\1&m=n\end{matrix}}\right.} 最後，序列{en}n ∈ N張出L2(0, L)的一個稠密的線性子空間。這就表明我們實際上已將算子Δ 對角化。 一般而言，熱傳導的研究奠基於以下幾個原理。首先注意到熱流是能量流的一種形式，因此可以談論單位時間內流進空間中一塊區域的熱量。 單位時間內流入區域 V的熱量由一個依賴於時間的量qt(V)給出。假設q有個密度Q(t,x)，於是 q t ( V ) = ∫ V Q ( t , x ) d x {\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(t,x)\,dx\quad } 熱流是個依賴於時間的向量函數H(x)，其刻劃如下：單位時間內流經一個面積為dS而單位法向量為n的無窮小曲面元素的熱量是 H ( x ) ⋅ n ( x ) d S {\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS} 因此單位時間內進入V的熱流量也由以下的面積分給出 q t ( V ) = − ∫ ∂ V H ( x ) ⋅ n ( x ) d S {\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS} 其中n(x)是在x點的向外單位法向量。 熱傳導定律說明溫度對時間的梯度滿足以下線性關係 H ( x ) = − A ( x ) ⋅ ∇ u ( x ) {\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)} 其中A(x)是個3×3實對稱正定矩陣。 利用格林定理可將之前的面積分轉成一個體積分 q t ( V ) = − ∫ ∂ V H ( x ) ⋅ n ( x ) d S {\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS} = ∫ ∂ V A ( x ) ⋅ ∇ u ( x ) ⋅ n ( x ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS} = ∫ V ∑ i , j ∂ x i a i j ( x ) ∂ x j u ( t , x ) d x {\displaystyle =\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)\,dx} 溫度在x點對時間的改變率與流進x点所在的無窮小区域的熱量成正比，此比例常數與時間無關，而可能與空間有關，寫作κ(x)。 ∂ t u ( t , x ) = κ ( x ) Q ( t , x ) {\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)Q(t,x)\,} 將以上所有等式合併，便獲得支配熱流的一般公式。 ∂ t u ( t , x ) = κ ( x ) ∑ i , j ∂ x i a i j ( x ) ∂ x j u ( t , x ) {\displaystyle \partial _{t}u(t,x)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(t,x)} 註記： 係數κ(x)是該材料在x點的密度和比熱的积的倒数。 在等方向性介質的情況，矩陣A只是個純量，等於材料的導熱率。 在非等向的情況，A不一定是純量，我們鮮少能明確寫出熱方程的解。然而通常可考慮相應的抽象柯西問題，證明它是適定的，並（或）導出若干定性結果（諸如初始值保持正性、無窮傳播速度、收斂至平衡態或一些平滑化性質）。這些論證通常有賴於單參數半群理論：舉例來說，如果A是個對稱矩陣，那麼由 A u ( x ) := ∑ i , j ∂ x i a i j ( x ) ∂ x j u ( x ) {\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)} 定義的橢圓算子是自伴而且耗散的，因此由譜定理導出它生成一個單參數半群。 在粒子擴散的模型中，我們考慮的方程涉及 在大量粒子集體擴散的情況：粒子的體積濃度，記作c。或者 在單一粒子的情況：單一粒子對位置的機率密度函數，記作P。 不同情況下的方程式： c t = D Δ c , {\displaystyle c_{t}=D\Delta c,\quad } 或者 P t = D Δ P . {\displaystyle P_{t}=D\Delta P.\quad } c與P都是位置與時間的函數。D是擴散係數，它控制擴散速度，通常以公尺/秒為單位。 如果擴散係數D依賴於濃度c（或第二種情況下的機率密度P），則我們得到非線性擴散方程。 單一粒子在粒子擴散方程下的隨機軌跡是個布朗運動。 如果一個粒子在時間 t = 0 {\displaystyle t=0} 時置於 R → = 0 → {\displaystyle {\vec {R}}={\vec {0}}} ，則相應的機率密度函數具有以下形式： P ( R → , t ) = G ( R → , t ) = 1 ( 4 π D t ) 3 / 2 e − R → 2 4 D t {\displaystyle P({\vec {R}},t)=G({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {{\vec {R}}^{2}}{4Dt}}}} 它與機率密度函數的各分量 R x {\displaystyle R_{x}} 、 R y {\displaystyle R_{y}} 和 R z {\displaystyle R_{z}} 的關係是： P ( R → , t ) = 1 ( 4 π D t ) 3 / 2 e − R x 2 + R y 2 + R z 2 4 D t = P ( R x , t ) P ( R y , t ) P ( R z , t ) {\displaystyle P({\vec {R}},t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{3/2}}}e^{-{\frac {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}{4Dt}}}=P(R_{x},t)P(R_{y},t)P(R_{z},t)} 隨機變數 R x , R y , R z {\displaystyle R_{x},R_{y},R_{z}} 服從平均數為0、變異數為 2 D t {\displaystyle 2\,D\,t} 的正態分佈。在三維的情形，隨機向量 R → {\displaystyle {\vec {R}}} 服從平均數為 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} 、變異數為 6 D t {\displaystyle 6\,D\,t} 的正態分佈。 在t=0時，上述 P ( R → , t ) {\displaystyle P({\vec {R}},t)} 的表示式帶有奇點。對應於粒子處在原點之初始條件，其機率密度函數是在原點的狄拉克δ函數，記為 δ ( R → ) {\displaystyle \delta ({\vec {R}})} （三維的推廣是 δ ( R → ) = δ ( R x ) δ ( R y ) δ ( R z ) {\displaystyle \delta ({\vec {R}})=\delta (R_{x})\delta (R_{y})\delta (R_{z})} ）；擴散方程對此初始值的解也稱作格林函數。 粒子擴散方程首先由Adolf Fick於1855年導得。 格林函數是擴散方程在粒子位置已知時的解（數學家稱之為擴散方程的基本解）。當粒子初始位置在原點 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} 時，相應的格林函數記作 G ( R → , t ) {\displaystyle G({\vec {R}},t)} （t>0）；根據擴散方程對平移的對稱性，對一般的已知初始位置 R → 0 {\displaystyle {\vec {R}}^{0}} ，相應的格林函數是 G ( R → − R → 0 , t ) {\displaystyle G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)} 。 對於一般的初始條件，擴散方程的解可以透過積分分解為一族格林函數的疊加。 舉例來說，設t=0時有一大群粒子，根據濃度分佈的初始值 c ( R → , 0 ) {\displaystyle c({\vec {R}},0)} 分佈於空間中。擴散方程的解將告訴我們濃度分佈如何隨時間演化。 跟任何（廣義）函數一樣，濃度分佈的初始值可以透過積分表為狄拉克δ函數的疊加： c ( R → , t = 0 ) = ∫ c ( R → 0 , t = 0 ) δ ( R → − R → 0 ) d R x 0 d R y 0 d R z 0 {\displaystyle c({\vec {R}},t=0)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)\delta ({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0})dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}} 擴散方程是線性的，因此在之後的任一時刻t，濃度分佈變為： c ( R → , t ) = ∫ c ( R → 0 , t = 0 ) G ( R → − R → 0 , t ) d R x 0 d R y 0 d R z 0 {\displaystyle c({\vec {R}},t)=\int c({\vec {R}}^{0},t=0)G({\vec {R}}-{\vec {R}}^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0}} 在粒子擴散的情形，我們可以將狄拉克δ函數對應的初始條件理解為粒子落在一個已知位置。一般而言，任何擴散過程的解都有這種表法，包括熱傳導或動量的擴散；後者關係到流體的黏性現象。 以下以簡寫BC代表邊界條件，IC代表初始條件。 { u t = k u x x − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ − ∞ ∞ exp ⁡ ( − ( x − y ) 2 4 k t ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ ( exp ⁡ ( − ( x − y ) 2 4 k t ) − exp ⁡ ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u x ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&\,0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}} u ( x , t ) = 1 4 π k t ∫ 0 ∞ ( exp ⁡ ( − ( x − y ) 2 4 k t ) + exp ⁡ ( − ( x + y ) 2 4 k t ) ) g ( y ) d y {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right)g(y)\,dy} { u t = k u x x + f − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ − ∞ ∞ 1 4 π k ( t − s ) exp ⁡ ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) f ( s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)f(s)\,dyds} { u t = k u x x + f ( x , t ) 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C u ( 0 , t ) = 0 B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t ∫ 0 ∞ 1 4 π k ( t − s ) ( exp ⁡ ( − ( x − y ) 2 4 k ( t − s ) ) − exp ⁡ ( − ( x + y ) 2 4 k ( t − s ) ) ) f ( y , s ) d y d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dyds} { u t = k u x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = 0 I C u ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}} u ( x , t ) = ∫ 0 t x 4 π k ( t − s ) 3 exp ⁡ ( − x 2 4 k ( t − s ) ) h ( s ) d s {\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds} （可能的問題：根據上解，u(0)=0） { u t = k u x x + f − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}} u = w + v {\displaystyle \quad {u=w+v}} { v t = k v x x + f , w t = k w x x − ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) I C {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&-\infty <x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}} { u t = k u x x + f 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ u ( x , 0 ) = g ( x ) I C u ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}} u = w + v + r {\displaystyle \quad {u=w+v+r}} { v t = k v x x + f , w t = k w x x , r t = k r x x 0 ≤ x < ∞ , 0 < t < ∞ v ( x , 0 ) = 0 , w ( x , 0 ) = g ( x ) , r ( x , 0 ) = 0 I C v ( 0 , t ) = 0 , w ( 0 , t ) = 0 , r ( 0 , t ) = h ( t ) B C {\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}\,&0\leq x<\infty ,\,0<t<\infty \\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}} 熱傳導方程式在許多隨機過程的數學模型中出現，諸如布莱克-斯科尔斯模型與奥恩斯坦-乌伦贝克过程。在金融數學，1973年發表的布莱克-斯科尔斯模型作為期權定價模型，當中的差分方程可以轉成熱傳導方程式，並從此導出較簡單的解。許多簡單期權的延伸模型沒有解析解，因此必須以數值方法計算模型給出的定價。熱傳導方程式可以用克兰克-尼科尔森方法有效地求數值解，此方法也可用於許多無解析解的模型（詳見文獻Wilmott，1995）。 熱傳導方程式及其非線性的推廣型式也被應用於圖像分析。 量子力學中的薛丁格方程雖然有類似熱傳導方程式的數學公式（但時間參數為 i {\displaystyle i} 是虛數單位），本質卻不是擴散問題，解的定性行為也完全不同。 熱傳導方程式在流形上的推廣是處理阿蒂亞-辛格指標定理的主要工具之一，由此也導向熱傳導方程式在黎曼幾何中有许多應用。 熱 偏微分方程 数学模型 发展方程 Einstein, A. "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen." Ann. Phys. 17, 549, 1905. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Wilmott P., Howison S., Dewynne J. (1995)The Mathematics of Financial Derivatives:A Student Introduction. Cambridge University Press. L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2. 维基共享资源上的相关多媒体资源：熱傳導方程式 熱方程的推導 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Linear heat equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）:邊界值問題的特解 - 來自EqWorld