开集

在數學上，特別是拓樸學中，開集是對實數開區間進行推廣之後得到的抽象集合。 通常微積分的課程中，會借助歐式空間的距離去描述數列極限；直觀上，當 n {\displaystyle n} 越來越大時數列 x n {\displaystyle x_{n}} 跟 a {\displaystyle a} 要多靠近有多靠近的時候，就說 a {\displaystyle a} 是數列 x n {\displaystyle x_{n}} 的極限，但這需要距離去嚴謹的描述「靠近程度」，開集就是來自於＂ a {\displaystyle a} 點附近＂這樣的直觀概念。類似的，函數極限也需要距離的概念去嚴謹定義。 直觀上，於「開集」或說「不含邊界的集合」中任取一點，都可以找到一個以此點為圓心，且半徑足夠小到落在「開集」裡的圓盤（但圓盤的邊界可能不在開集內）。開集的嚴謹定義由此而來。 所謂的 n {\displaystyle n} 維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組 ( r 1 , … , r n ) {\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})} 的集合（記為 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ）。 為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中任兩點 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})} 與 y = ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})} 的歐式距離定義為： d n ( x , y ) = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 {\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}} 然後定義所謂的（ n {\displaystyle n} 維）開球（open ball）： B ( a , r ) := { p ∈ R n | d n ( a , p ) < r } {\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}} 也就是直觀上，一個以 a {\displaystyle a} 為球心， r {\displaystyle r} 為半徑但不包含表面的球體。 這樣就可以作如下的定義： 定義 —  若 O ⊆ R n {\displaystyle O\subseteq \mathbb {R} ^{n}} ，且對所有 p ∈ O {\displaystyle p\in O} ，存在一个 r > 0 {\displaystyle r>0} ，使 B ( p , r ) ⊆ O {\displaystyle B(p,\,r)\subseteq O} ，那麼就說子集 O {\displaystyle O} 是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的一個開集。 也就是直觀上，取開集 O {\displaystyle O} 的任意點 x {\displaystyle x} 都有一個以 x {\displaystyle x} 為球心的開球完全包含於 O {\displaystyle O} 。 只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 中。 以下把 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 中的開球（open ball）定義成： B ( a , δ ) := { p ∈ M | d ( a , p ) < δ } {\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}} 這樣就可以作如下的定義： 定義 —  U {\displaystyle U} 是 M {\displaystyle M} 的子集，且對所有 p ∈ U {\displaystyle p\in U} ，存在 δ > 0 {\displaystyle \delta >0} 使 B ( a , δ ) ⊆ U {\displaystyle B(a,\,\delta )\subseteq U} ，則稱 U {\displaystyle U} 是 M {\displaystyle M} 的一個開集。 這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 d n {\displaystyle d_{n}} 和 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 本身就組成了一個賦距空間 ( R n , d n ) {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})} 。 賦距空間的開集還會有以下的性質： 定理 —  若 ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} 為賦距空間，則 (1) ∅ {\displaystyle \varnothing } 和 M {\displaystyle M} 也是 M {\displaystyle M} 的開集。 (2) 若 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 都是 M {\displaystyle M} 的開集，則 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} 也是 M {\displaystyle M} 的開集。 (3) F ⊆ P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} （ F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是 M {\displaystyle M} 的一個子集族），若所有 O ∈ F {\displaystyle O\in {\mathcal {F}}} 都是 M {\displaystyle M} 的開集，則 ⋃ F {\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}} 也是 M {\displaystyle M} 的開集。（也就是直觀上，任意數量開集的聯集也是開集） 事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。 開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 X {\displaystyle X} 出發，再選取 X {\displaystyle X} 的特定的子集族 τ {\displaystyle \tau } ，規定 τ {\displaystyle \tau } 中的集合就是開集，这樣的子集族 τ {\displaystyle \tau } 被叫做 X {\displaystyle X} 上的拓扑： 定義 —  X {\displaystyle X} 為集合，若 τ ⊆ P ( X ) {\displaystyle \tau \subseteq {\mathcal {P}}(X)} 滿足 (1) ∅ , X ∈ τ {\displaystyle \varnothing ,\,X\in \tau } (2) 若 A , B ∈ τ {\displaystyle A,B\in \tau } 則 A ∩ B ∈ τ {\displaystyle A\cap B\in \tau } 。 (3) F ⊆ τ {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \tau } ，則 ⋃ F ∈ F F ∈ τ {\displaystyle \bigcup _{F\in {\mathcal {F}}}F\in \tau } 。（也就是說，任意數量開集的聯集也是開集） 則稱 τ {\displaystyle \tau } 為 X {\displaystyle X} 上的拓撲，並稱 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\,\tau )} 為一拓撲空間。任何 O ∈ τ {\displaystyle O\in \tau } 被稱為開集。 根據上一節賦距空間的性質，取 τ d {\displaystyle \tau _{d}} 為所有 M {\displaystyle M} 的開集所構成的子集族，則 ( M , τ d ) {\displaystyle (M,\,\tau _{d})} 也是一拓撲空間。 度量空间 ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} 中，以点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 为中心， ε {\displaystyle \varepsilon } 为半径的球体 B ( x , ε ) {\displaystyle B(x,\varepsilon )} 为开集，任意的开集 A {\displaystyle A} 包含以 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 为中心，充分小的 ε {\displaystyle \varepsilon } 为半径的球体 B ( x , ε ) {\displaystyle B(x,\varepsilon )} 。 流形中的开集为子流形。 开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。 拓扑空间 X {\displaystyle X} 的每個子集 A {\displaystyle A} 都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做 A {\displaystyle A} 的内部。它可以通过取包含在 A {\displaystyle A} 中的所有开集的并集来构造。 给定拓扑空间 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 以及函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} ，如果在 Y {\displaystyle Y} 中的所有开集的前像是在 X {\displaystyle X} 中的开集，則 f {\displaystyle f} 是连续的，這是實函數上的連續定義的推廣， X = Y = R {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} } 時這與實函數的連續定義等價。如果在 X {\displaystyle X} 中的所有开集的像是 Y {\displaystyle Y} 中的开集，映射 f {\displaystyle f} 被叫做开映射。 实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。 拓扑空间 度量空间 闭集 闭开集