圓內接四邊形的日本定理

在几何学中，圓內接四邊形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。 任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。 具体而言，设□ABCD为任意圆内接四边形， M1, M2, M3, M4分别为三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD内心，则M1, M2, M3, M4所构成的四边形为矩形。 | ∢ A B D | = | ∢ A C D | {\displaystyle \left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|} （以下称为 α {\displaystyle \alpha } 角），因为这两个角都是弦 A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} 的周角。 因为 | ∢ A M 1 D | = 180 ∘ − | ∢ B A D | + | ∢ B D A | 2 = 180 ∘ − 180 ∘ − | ∢ A B D | 2 = 90 ∘ + | α | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}} 由此可得， | ∢ A M 1 D | = | ∢ A M 4 D | = 90 ∘ + | α | 2 {\displaystyle \left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}} 由于这些角相等， ◻ A M 1 M 4 D {\displaystyle \square AM_{1}M_{4}D} 是一个圆内接四边形。 根据圆内接四边形的性质，现在有 | ∢ M 1 M 4 D | = 180 ∘ − | ∢ D A M 1 | {\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|} 同样地，对于 ◻ D C M 4 M 3 {\displaystyle \square DCM_{4}M_{3}} 也成立： | ∢ D M 4 M 3 | = 180 ∘ − | ∢ M 3 C D | {\displaystyle \left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|} 角度相加，得到以下结果 | ∢ M 1 M 4 D | + | ∢ D M 4 M 3 | = 360 ∘ − | ∢ D A M 1 | − | ∢ M 3 C D | = 360 ∘ − | ∢ D A B | + | ∢ B C D | 2 = 360 ∘ − 180 ∘ 2 = 270 ∘ _ _ {\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}} 由于 ∢ M 1 M 4 M 3 = 270 ∘ {\displaystyle \sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }} 所以 ∢ M 3 M 4 M 1 = 90 ∘ {\displaystyle \sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }} 以上对于点 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 {\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}} 之间的其他角度也同样成立，它们都是 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 。 因此， ◻ M 1 M 2 M 3 M 4 {\displaystyle \square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}} 是一个矩形。证毕。 根据Thébault定理(3)有如下结论： 定理 —  給定任意三角形 A B C {\displaystyle ABC} ， B C {\displaystyle BC} 上任意一點 M {\displaystyle M} 。作兩個圓，均與 A M {\displaystyle AM} 、 B C {\displaystyle BC} 、外接圓相切。該兩圓的圓心 P {\displaystyle P} 、 Q {\displaystyle Q} 和三角形內心 I {\displaystyle I} 三点共线共線，且 P I I Q = tan 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}} 其中 θ = ∠ A M B {\displaystyle \theta =\angle AMB} . 下面开始处理原题。 先标记题目中四个三角形的内心是 I a {\displaystyle I_{a}} 、 I b {\displaystyle I_{b}} 、 I c {\displaystyle I_{c}} 、 I d {\displaystyle I_{d}} . 假设对角线 AC 和 BD 交于 E. 与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为 O c d {\displaystyle O_{cd}} ， 类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为 O d a {\displaystyle O_{da}} 、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为 O a b {\displaystyle O_{ab}} 、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为 O b c {\displaystyle O_{bc}} . 设 AE、BE 的夹角是 θ {\displaystyle \theta } ，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论： O d a {\displaystyle O_{da}} 、 I d {\displaystyle I_{d}} 、 O c d {\displaystyle O_{cd}} 三点共线，且 O c d I d I d O d a = tan 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}} 同理， O a b {\displaystyle O_{ab}} 、 I a {\displaystyle I_{a}} 、 O d a {\displaystyle O_{da}} 三点共线，且 O a b I a I a O d a = tan 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}} 所以， I a I d / / O a b O c d {\displaystyle I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}} 由于 O c d O a b ⊥ O d a O b c {\displaystyle O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}} (因为它们沿着角 E {\displaystyle E} 的角平分线)，所以 I a I d ⊥ I d I c {\displaystyle I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}} ，所以 I a I b I c I d {\displaystyle I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}} 是矩形。证毕。 过 M 1 , M 2 , M 3 , M 4 {\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}} 作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是「与各对角线相切的内切圆半径之和相等」。 该定理可推广到圓內接多邊形的日本定理。 证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。 卡诺定理 算額 日本数学 证明 – 圆内接四边形的日本定理 Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke. Wikibooks. [2024-06-18]. （原始内容存档于2024-06-18） （德语）.  Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185 Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem (postscript file) Incenters in Cyclic Quadrilateral （页面存档备份，存于互联网档案馆） at Cut-the-Knot Wataru Uegaki: "Japanese Theoremの起源と歴史" （页面存档备份，存于互联网档案馆） (On the Origin and History of the Japanese Theorem). Departmental Bulletin Paper, Mie University Scholarly E-Collections, 2001-03-01 笹部貞市郎. 几何学辞典: 问题解法. Archive.org. 第587题.  沈文选. 第 14 章 1992~1993 年度试题的诠释, 第 1 节 圆内接四边形四顶点组成的四个三角形问题, 命题 6(3). 走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上) (PDF). : 405 [2024-06-19]. ISBN 9787560324418.  gogeometry.com （页面存档备份，存于互联网档案馆）