多项式矩阵

多项式矩阵，也称为λ－矩阵、矩阵系数多项式（不是矩阵多项式），是数学中矩阵论里的概念，指系数是多项式的方块矩阵。使用“λ－矩阵”的名称时，说明系数多项式以λ为不定元。 给定自然数n和系数环 R {\displaystyle \mathbf {R} } ，一个n阶多项式矩阵A为如下形式:120： A ( λ ) = [ a i , j ( λ ) ] 1 ⩽ i , j ⩽ n , ∀ 1 ⩽ i , j ⩽ n , a i , j ( λ ) = ∑ k = 0 d i , j a i , j , k λ k ∈ R [ λ ] {\displaystyle A(\lambda )=\left[a_{i,j}(\lambda )\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n},\quad \forall 1\leqslant i,j\leqslant n,\;\;a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda ^{k}\in \mathbf {R} \left[\lambda \right]} ， 其中 d i , j {\displaystyle d_{i,j}} 是每个多项式 a i , j ( λ ) {\displaystyle a_{i,j}(\lambda )} 的次数。如果设其中最大的为 d {\displaystyle d} ： d = max 1 ⩽ i , j ⩽ n { d i , j } {\displaystyle d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}} 那么多项式矩阵A也可以表达为:232： A = ∑ k = 0 d λ k [ a i , j , k ] 1 ⩽ i , j ⩽ n = ∑ k = 0 d A ( k ) λ k . {\displaystyle A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.} 其中约定当 k > d i , j {\displaystyle k>d_{i,j}} 时， a i , j , k = 0 {\displaystyle a_{i,j,k}=0} . 由于多项式矩阵也能被表达为以（数值）矩阵为系数的多项式，所以也被称为矩阵系数多项式。如果最高次系数矩阵 A ( d ) {\displaystyle A(d)} 的行列式不为零，则称多项式矩阵A为为正则多项式矩阵（regular polynomial matrix）:232。所有n阶多项式矩阵的集合记为 M n ( R [ λ ] ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} \left[\lambda \right])} 或 M n ( R ) [ λ ] {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} )\left[\lambda \right]} 。:232前者表示所有以多项式为系数的n阶方块矩阵的集合，后者表示所有n阶方块矩阵为系数的多项式的集合。可以验证两者是同构的。 所有的数值矩阵都是多项式矩阵，因为可以将每个元素看成一个零多项式。设系数环为实数域，以下是一个3阶多项式矩阵： P = ( 1 x 2 x 0 2 x 2 3 x + 2 x 2 − 1 0 ) = ( 1 0 0 0 0 2 2 − 1 0 ) + ( 0 0 1 0 2 0 3 0 0 ) x + ( 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ) x 2 . {\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.} 特征矩阵是多项式矩阵的一个例子。设有n阶数值矩阵A，则特征矩阵实际上是一次多项式矩阵： P A ( λ ) = λ I n − A {\displaystyle P_{A}(\lambda )=\lambda \mathbf {I} _{n}-A} 。而特征矩阵的行列式 det ( λ I n − A ) {\displaystyle \det \left(\lambda \mathbf {I} _{n}-A\right)} 就是数值矩阵A的特征多项式。 由于多项式代数和矩阵代数的结构特性，环 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上的所有n阶多项式矩阵也构成一个代数。两个n阶多项式矩阵可以互相加减、相乘，并且满足加法交换律和乘法分配律（不满足乘法交换律）。用与数值矩阵相同的方式可以定义多项式矩阵的初等变换、相似关系、等价关系（也称为相抵）、秩以及行列式:121。 如果系数环是域，那么可以证明，所有的多项式矩阵都可以对角化。任何一个秩为r ≤ n的多项式矩阵，都可以相抵于一个对角多项式矩阵： a diag ⁡ ( d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯ , d r ( λ ) , 0 , ⋯ , 0 ) {\displaystyle a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)} 其中的每个非零的对角元素 d i ( λ ) {\displaystyle d_{i}(\lambda )} 都是首一多项式，并且整除下一个对角元素 d i + 1 ( λ ) {\displaystyle d_{i+1}(\lambda )} 。这种形式称为多项式矩阵的史密斯标准型（Smith normal form），所有的 d i ( λ ) {\displaystyle d_{i}(\lambda )} 被称为原多项式矩阵的不变因子:122。 如果将n阶多项式矩阵看成以n阶方块矩阵为系数的多项式，可以通过将其中的不定元λ替换为一个n阶方块数值矩阵B，而得到一个n阶数值矩阵。这种操作称为多项式矩阵的矩阵替换。由于矩阵乘法不满足交换律，所以替换分为左替换和右替换:233： 左替换：将 ∑ k = 0 d A ( k ) λ k {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}} 替换为 ∑ k = 0 d B k ⋅ A ( k ) , {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}B^{k}\cdot A(k),} 也记作 P l A ( B ) , {\displaystyle P_{l}^{A}(B),} 右替换：将 ∑ k = 0 d A ( k ) λ k {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}} 替换为 ∑ k = 0 d A ( k ) ⋅ B k , {\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^{k},} 也记作 P r A ( B ) . {\displaystyle P_{r}^{A}(B).} 如果系数环是域，那么多项式矩阵之间可以做带余除法：如果 A ( λ ) {\displaystyle A(\lambda )} 和 B ( λ ) {\displaystyle B(\lambda )} 都是多项式矩阵，其中 B ( λ ) ≠ 0 {\displaystyle B(\lambda )\neq 0} ，那么唯一存在多项式矩阵 Q ( λ ) {\displaystyle Q(\lambda )} 和 R ( λ ) {\displaystyle R(\lambda )} ，满足 A ( λ ) = B ( λ ) Q ( λ ) + R ( λ ) , {\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),} R ( λ ) {\displaystyle R(\lambda )} 作为多项式的次数严格小于 B ( λ ) {\displaystyle B(\lambda )} ，或者为零。 特征多项式 不变因子 初等因子 方保鎔, 周继东, 李医民. 矩阵论. 北京: 清华大学出版社. 2004. ISBN 9787302092087.  K. B. Datta. Matrix and Linear Algebra. PHI Learning Pvt. Ltd. 2004. ISBN 9788120306363 （英语）.