同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 S n {\displaystyle S^{n}} 的情形，至今也沒有完整結果。 設 X {\displaystyle X} 為拓撲空間而 S n {\displaystyle S^{n}} 為 n {\displaystyle n} 維球面。選定基點 a ∈ S n , x ∈ X {\displaystyle a\in S^{n},x\in X} 。定義 π n ( X , x ) {\displaystyle \pi _{n}(X,x)} 為 [ S n , X ] {\displaystyle [S^{n},X]} ，也就是由保持基點的連續映射 f : S n → X {\displaystyle f:S^{n}\to X} 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即： s 1 ∧ ⋯ ∧ s n {\displaystyle s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}} 表示 ( s 1 , … , s n ) ∈ [ 0 , 1 ] n {\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}} 在商映射 [ 0 , 1 ] n → [ 0 , 1 ] n / ∂ ( [ 0 , 1 ] n ) ≃ S n {\displaystyle [0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}} 下的像。取 S n {\displaystyle S^{n}} 的基點為 a = 0 ∧ ⋯ ∧ 0 {\displaystyle a=0\wedge \cdots \wedge 0} 。 注意到當 n = 0 {\displaystyle n=0} 時， S 0 = { − 1 , 1 } {\displaystyle S^{0}=\{-1,1\}} 而 π 0 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{0}(X,x)} 的元素一一對應到 X {\displaystyle X} 的連通分支。 對於 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ， π n ( X , x ) {\displaystyle \pi _{n}(X,x)} 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射： s : S n → S n ∨ S n {\displaystyle s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}} 在此 S n ∨ S n {\displaystyle S^{n}\vee S^{n}} 定義為將兩份 S n {\displaystyle S^{n}} 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 s {\displaystyle s} 定義為 s ( x 1 ∧ ⋯ ∧ x n ) = { x 1 ∧ ⋯ ∧ x n − 1 ∧ ( 1 − 2 x n ) , x n ≤ 1 2 x 1 ∧ ⋯ ∧ x n − 1 ∧ ( 2 x n − 1 ) , x n ≥ 1 2 {\displaystyle s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}} 直觀來看， s {\displaystyle s} 的效應相當於將球面 S n {\displaystyle S^{n}} 沿赤道掐扁。 給定 f , g : I n → X {\displaystyle f,g:I^{n}\to X} ，我們定義 f ∗ g := ( f ⊔ g ) ∘ s {\displaystyle f*g:=(f\sqcup g)\circ s} ，由於 f ( a ) = g ( a ) = x {\displaystyle f(a)=g(a)=x} ，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 f ∗ g {\displaystyle f*g} 僅依賴於 f , g {\displaystyle f,g} 的同倫類。 可以證明運算 f , g ↦ f ∗ g {\displaystyle f,g\mapsto f*g} 滿足群公理，其單位元素為常值映射 ∀ s ∈ S n , e ( s ) = x {\displaystyle \forall s\in S^{n},\;e(s)=x} 。 π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} 不外就是基本群；而當 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 時， π n ( X , x ) {\displaystyle \pi _{n}(X,x)} 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。 若在定義中省掉基點，則得到的集合 [ S n , X ] {\displaystyle [S^{n},X]} 等同於 π n ( X , x ) {\displaystyle \pi _{n}(X,x)} 在 π 1 ( X , x ) {\displaystyle \pi _{1}(X,x)} 作用下的軌道集。可見若 π 1 ( X , x ) ≠ 0 {\displaystyle \pi _{1}(X,x)\neq 0} ， [ S n , X ] {\displaystyle [S^{n},X]} 未必有自然的群結構。 設 p : E → B {\displaystyle p:E\to B} 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 F {\displaystyle F} 。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）： ⋯ → π n ( F ) → π n ( E ) → π n ( B ) → π n − 1 ( F ) → ⋯ → π 0 ( E ) → π ( B ) → 1 {\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1} 儘管這裡的 π 0 {\displaystyle \pi _{0}} 只是個集合，而 π 1 {\displaystyle \pi _{1}} 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（ π n ≥ 1 {\displaystyle \pi _{n\geq 1}} 的單位元、 π 0 {\displaystyle \pi _{0}} 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。 纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。 給定 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} ，可以定義相對同倫群 π n ( X , A ) {\displaystyle \pi _{n}(X,A)} 為映射 f : ( D n , S n − 1 ) → ( X , x ) {\displaystyle f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)} 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 f ( S n − 1 ) = x {\displaystyle f(S^{n-1})=x} 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 A {\displaystyle A} 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。 Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始内容存档于2012-02-20）