巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（英語：Banach–Alaoglu theorem或Alaoglu's theorem）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在弱*拓撲中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。 定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。 納里奇（Narici）與貝肯斯坦（Beckenstein）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於弱*拓撲唯一（the）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年，赫利（Helly）證明，閉區間上連續函數的空間 C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} ，其連續對偶空間的單位球，為弱*可數緊（英语：countably compact）。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列紧）。 一般情況的證明，是由列奧尼達·阿勞格魯（英语：Leonidas Alaoglu）於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。 布爾巴基-阿勞格魯定理（英語：Bourbaki–Alaoglu theorem）是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣到局部凸空間（英语：locally convex space）的對偶拓撲（英语：dual topology）的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（英語：weak-* compactness theorem），也常簡稱為阿勞格魯定理（英語：Alaoglu theorem）。 對於域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的向量空間 X {\displaystyle X} ，以 X # {\displaystyle X^{\#}} 表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : X × X # → K {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X\times X^{\#}\to \mathbb {K} } 所聯繫，該映射由 ⟨ x , f ⟩ := f ( x ) {\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle :=f(x)} 定義。所以，三元組 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } （兩個空間及一個映射）組成對偶系（英语：dual system），稱為典範對偶系。 若 X {\displaystyle X} 進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為代數對偶 X # {\displaystyle X^{\#}} 中，連續泛函組成的子集。以 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 表示 X # {\displaystyle X^{\#}} 上的弱*拓撲。類似有 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 是 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上的弱*拓撲。 弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射 f {\displaystyle f} 和一網映射 f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} ，網 f ∙ {\displaystyle f_{\bullet }} 在弱*拓撲中收斂至 f {\displaystyle f} ，當且僅當對定義域中每點 x {\displaystyle x} ，函數值組成的網 ( f i ( x ) ) i ∈ I {\displaystyle \left(f_{i}(x)\right)_{i\in I}} 收斂到 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 。 阿勞格魯定理 設 X {\displaystyle X} 為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或局部凸（英语：locally convex））， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為其連續對偶，則對於 X {\displaystyle X} 中原點的任何鄰域 U {\displaystyle U} （ 0 ∈ U ⊆ X {\displaystyle 0\in U\subseteq X} ），其極集（英语：Polar set） U ∘ = { x ′ ∈ X ′   :   sup x ∈ U | x ′ ( x ) | ≤ 1 } ⊆ X ′ , {\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}\subseteq X',} 在 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上的弱*拓撲（英语：weak topology） σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 中，必為緊集。 此外， U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 亦是 U {\displaystyle U} 相對於典範對偶系 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集，在拓撲空間 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 同樣為緊。 若 X {\displaystyle X} 為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若 U {\displaystyle U} 為 X {\displaystyle X} 的開（或閉）單位球，則 U {\displaystyle U} 的極集為連續對偶空間 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例： 巴拿赫-阿勞格魯定理 若 X {\displaystyle X} 為賦範空間，則連續對偶空間 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中，算子範數的閉單位球，為弱*拓撲中的緊集。 當 X {\displaystyle X} 的連續對偶 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 是無窮維賦範空間時， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。 但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在強拓撲（英语：strong topology）中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。 記 X {\displaystyle X} 的基域為 K {\displaystyle \mathbb {K} } ，此處為實數域 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或複數域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。證明會用到極集（英语：polar set）、對偶系（英语：dual system）、连续线性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。 先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶 X # {\displaystyle X^{\#}} 配備弱*拓撲 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 時，為一個豪斯多夫局部凸（英语：Locally convex topological vector space）拓撲向量空間，記為 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 。空間 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 總是完備（英语：Complete topological vector space），但連續對偶 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 則不一定，此即證明需牽涉 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且完全有界（英语：Totally bounded space）。注意 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 從 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 。為驗證此事，只需檢查對每個 x ′ ∈ X ′ {\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }} ， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的網在其中一個拓撲中收斂到 x ′ {\displaystyle x^{\prime }} ，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。 三元組 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 也是對偶對（英语：dual system）（有雙線性映射 ( x , f ) ↦ f ( x ) {\displaystyle (x,f)\mapsto f(x)} ），但與 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。 設 U {\displaystyle U} 為 X {\displaystyle X} 原點的鄰域，又設： U ∘ = { f ∈ X ′   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }=\left\{f\in X^{\prime }~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 為 U {\displaystyle U} 相對 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的極集； U ∘ ∘ = { x ∈ X   :   sup f ∈ U ∘ | f ( x ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ \circ }=\left\{x\in X~:~\sup _{f\in U^{\circ }}|f(x)|\leq 1\right\}} 為 U {\displaystyle U} 相對 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的二重極集（英语：Polar set）； U # = { f ∈ X #   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\#}=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 為 U {\displaystyle U} 相對 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集。 極集的基本性質有 U ∘ ∘ ∘ ⊆ U ∘ {\displaystyle U^{\circ \circ \circ }\subseteq U^{\circ }} 。 下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步： 先證 U # {\displaystyle U^{\#}} 在拓撲 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 中為 X # {\displaystyle X^{\#}} 的閉子集：設 f ∈ X # {\displaystyle f\in X^{\#}} ，又假設 f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} 為 U # {\displaystyle U^{\#}} 中的網，在 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 中收斂到 f {\displaystyle f} 。欲證 f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} ，即 | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} 對任意 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 皆成立。因為在純量域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 中， f i ( u ) → f ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)\to f(u)} ，而每個值 f i ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)} 皆屬於（ K {\displaystyle \mathbb {K} } 的）閉子集 { s ∈ K : | s | ≤ 1 } {\displaystyle \left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}} ，故網的極限 f ( u ) {\displaystyle f(u)} 亦必在該子集中。於是 | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} 。 其次，欲證 U # = U ∘ {\displaystyle U^{\#}=U^{\circ }} ，以推出 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 既是 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 的閉子集，亦是 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 的閉子集：有包含關係 U ∘ ⊆ U # {\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}} ，因為連續線性泛函尤其是線性泛函。反之，欲證 U # ⊆ U ∘ {\displaystyle \,U^{\#}\subseteq U^{\circ }} ，設 f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} 滿足 sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ，換言之線性泛函 f {\displaystyle f} 在鄰域 U {\displaystyle U} 上有界，而泛函有界等價於連續，故 f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} ，從而 f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ，即所求證。用第1步，結合交集 U # ∩ X ′ = U ∘ ∩ X ′ = U ∘ {\displaystyle U^{\#}\cap X^{\prime }=U^{\circ }\cap X^{\prime }=U^{\circ }} 在 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的子空間拓撲中為閉，推得 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為閉。 欲證 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 對 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲而言是完全有界（英语：Totally bounded space）子集：由二重極集定理（英语：bipolar theorem）， U ⊆ U ∘ ∘ {\displaystyle U\subseteq U^{\circ \circ }} ，又因為鄰域 U {\displaystyle U} 為 X {\displaystyle X} 中的吸收集， U ∘ ∘ {\displaystyle U^{\circ \circ }} 亦同。可以證明，此結論推出 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 是 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 對 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 而言的有界子集（英语：Bounded set (topological vector space)）。由於 X {\displaystyle X} 分辨（英语：dual system） X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 各點， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的子集在 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 意義下有界，當且僅當在同樣意義下完全有界（英语：Totally bounded space）。所以，尤其有 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 在 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 意義下完全有界。 欲證 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 亦為 X # {\displaystyle X^{\#}} 在 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 拓撲下的完全有界子集：已知 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上， σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲等於 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 從 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 繼承的子空間拓撲，結合第3步與「完全有界」的定義，即推出 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為 X # {\displaystyle X^{\#}} 在 σ ( X # , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\#},X\right)} 拓撲下的完全有界子集。 最後，欲證 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 在 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 拓撲下的緊子集：因為 ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 為完備拓撲向量空間（英语：Complete topological vector space），又 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為其閉（第2步）而完全有界（第4步）的子集，所以 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為緊。定理證畢。 以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓扑空间中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見次線性泛函（英语：sublinear functional））。 設向量空間 X {\displaystyle X} 的基域為 K {\displaystyle \mathbb {K} } ，為實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或複數系 C {\displaystyle \mathbb {C} } 兩者之一。對任意實數 r {\displaystyle r} ，以 B r := { s ∈ K : | s | ≤ r } {\displaystyle B_{r}:=\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq r\}} 表示以原點為球心，半徑為 r {\displaystyle r} 的閉球。在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 中，此為緊的闭集。 由於 U {\displaystyle U} 是 X {\displaystyle X} 中原點的鄰域，可知 U {\displaystyle U} 亦是 X {\displaystyle X} 的吸收集，即對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，皆有正實數 r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 使 x ∈ r x U := { r x u : u ∈ U } {\displaystyle x\in r_{x}U:=\left\{r_{x}u:u\in U\right\}} 。以 U # := { f ∈ X #   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 }   =   { f ∈ X #   :   f ( U ) ⊆ B 1 } {\displaystyle U^{\#}:=\left\{f\in X^{\#}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}~=~\left\{f\in X^{\#}~:~f(U)\subseteq B_{1}\right\}} 表示 U {\displaystyle U} 相對典範對偶系 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 的極集。將證明，此極集 U # {\displaystyle U^{\#}} ，與定理提到， U {\displaystyle U} 相對 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 的極集 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} ，兩者相等。 U ∘ ⊆ U # {\displaystyle U^{\circ }\subseteq U^{\#}} 成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證 U # ⊆ U ∘ {\displaystyle U^{\#}\subseteq U^{\circ }} ，設 f ∈ U # {\displaystyle f\in U^{\#}} 滿足 sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ，即線性泛函 f {\displaystyle f} 在鄰域 U {\displaystyle U} 上有界。所以 f {\displaystyle f} 是连续线性算子（換言之 f ∈ X ′ {\displaystyle f\in X^{\prime }} ），從而有 f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ，即所求證。 至此，已證明 U ∘ = U # {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}} ，餘下的證明中，需理解笛卡儿积 ∏ x ∈ X K {\textstyle \prod _{x\in X}\mathbb {K} } 與所有 X → K {\displaystyle X\to \mathbb {K} } 的映射構成的空間 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 等同。仍需證明以下兩個命題： U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 的閉子集。 此處 K X = ∏ x ∈ X K {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } 配備的是逐點收斂拓撲，等同於積拓撲。 U ∘ ⊆ ∏ x ∈ X B r x . {\displaystyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}.} 其中 B r x ⊆ K {\displaystyle B_{r_{x}}\subseteq \mathbb {K} } 表示以原點 0 {\displaystyle 0} 為球心， r x {\displaystyle r_{x}} 為半徑的閉球。本證明開始時，對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ， 已定義 r x {\displaystyle r_{x}} 為使 x ∈ r x U {\displaystyle x\in r_{x}U} 的任意一個實數 r x > 0 {\displaystyle r_{x}>0} 。特別地，對於 u ∈ U {\displaystyle u\in U} ，可以選 r u := 1 {\displaystyle r_{u}:=1} 。 以上命題推出， U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為 ∏ x ∈ X B r x {\textstyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} 的閉子集，而由吉洪诺夫定理，該积空间為緊（因為每個閉球 B r x {\displaystyle B_{r_{x}}} 皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。 以下證明前述命題1。代數對偶 X # {\displaystyle X^{\#}} 總是積空間 K X = ∏ x ∈ X K {\textstyle \mathbb {K} ^{X}=\prod _{x\in X}\mathbb {K} } 的閉子集。要證明 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 在 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中為閉，祇需證明集合 U ~ ∘   :=   { f ∈ K X   :   sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 } {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }~:=~\left\{f\in \mathbb {K} ^{X}~:~\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1\right\}} 是 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 的閉子集，因為若有此結論，則 U ~ ∘ ∩ X # = U # = U ∘ {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }\cap X^{\#}=U^{\#}=U^{\circ }} 是 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中兩閉集之交，故亦為閉集。 設 f ∈ K X {\displaystyle f\in \mathbb {K} ^{X}} ，又設 f ∙ = ( f i ) i ∈ I {\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i\in I}} 為 U ~ ∘ {\displaystyle {\widetilde {U}}^{\circ }} 中的網，在 K X {\displaystyle \mathbb {K} ^{X}} 中收斂到 f {\displaystyle f} 。需要證明 f ∈ U ~ ∘ {\displaystyle f\in {\widetilde {U}}^{\circ }} 。換言之，要證對每個 u ∈ U {\displaystyle u\in U} ， | f ( u ) | ≤ 1 {\displaystyle |f(u)|\leq 1} （或等價寫成 f ( u ) ∈ B 1 {\displaystyle f(u)\in B_{1}} ）。由於在純量域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 中， ( f i ( u ) ) i ∈ I → f ( u ) {\displaystyle \left(f_{i}(u)\right)_{i\in I}\to f(u)} ，且每項 f i ( u ) {\displaystyle f_{i}(u)} 皆屬於 K {\displaystyle \mathbb {K} } 中的閉子集 B 1 = { s ∈ K : | s | ≤ 1 } {\displaystyle B_{1}=\left\{s\in \mathbb {K} :|s|\leq 1\right\}} ，此網的極限 f ( u ) {\displaystyle f(u)} 亦必屬於該閉集，即 f ( u ) ∈ B 1 {\displaystyle f(u)\in B_{1}} 。證畢命題1。 上述證明可以推廣，以論證以下命題： 設 U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} 為任意集合， B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 為拓撲空間 Y {\displaystyle Y} 的閉子集，則在 Y X {\displaystyle Y^{X}} 的逐點收斂拓撲中， P U := { f ∈ Y X   :   f ( U ) ⊆ B } {\displaystyle P_{U}:=\left\{f\in Y^{X}~:~f(U)\subseteq B\right\}} 為閉子集。 命題1為其特殊情況，取 Y := K {\displaystyle Y:=\mathbb {K} } 和 B := B 1 {\displaystyle B:=B_{1}} 便得。 以下證明前述命題2。對任意 z ∈ X {\displaystyle z\in X} ，以 Pr z : ∏ x ∈ X K → K {\textstyle \Pr {}_{z}:\prod _{x\in X}\mathbb {K} \to \mathbb {K} } 表示到第 z {\displaystyle z} 個坐標的投影（英语：Projection (set theory)）。欲證 U ∘ ⊆ ∏ x ∈ X B r x {\textstyle U^{\circ }\subseteq \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} 。換言之，欲對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，證明 Pr x ( U ∘ ) ⊆ B r x {\displaystyle \Pr {}_{x}(U^{\circ })\subseteq B_{r_{x}}} 。 於是選定 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，設 f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} ；要證 Pr x ( f ) := f ( x ) ∈ B r x {\displaystyle \Pr {}_{x}(f):=f(x)\in B_{r_{x}}} 。由 r x {\displaystyle r_{x}} 的定義， x ∈ r x U {\displaystyle x\in r_{x}U} ，故 u x := ( 1 r x ) x ∈ U {\textstyle \,u_{x}:=\left({\frac {1}{r_{x}}}\right)x\in U} 。因為 f ∈ U ∘ = U # {\displaystyle f\in U^{\circ }=U^{\#}} ，線性泛函 f {\displaystyle f} 滿足 sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1 {\textstyle \;\sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1} ，所以由 u x ∈ U {\displaystyle u_{x}\in U} ，可知 1 r x | f ( x ) | = | 1 r x f ( x ) | = | f ( 1 r x x ) | = | f ( u x ) | ≤ sup u ∈ U | f ( u ) | ≤ 1. {\displaystyle {\frac {1}{r_{x}}}|f(x)|=\left|{\frac {1}{r_{x}}}f(x)\right|=\left|f\left({\frac {1}{r_{x}}}x\right)\right|=\left|f\left(u_{x}\right)\right|\leq \sup _{u\in U}|f(u)|\leq 1.} 所以 | f ( x ) | ≤ r x {\displaystyle |f(x)|\leq r_{x}} ，即 f ( x ) ∈ B r x {\displaystyle f(x)\in B_{r_{x}}} ，證畢命題2。 巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空间使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言： 可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列紧。 實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。 明確而言，設 X {\displaystyle X} 為可分賦範向量空間，而 B {\displaystyle B} 為連續對偶 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球。根據 X {\displaystyle X} 可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為 x ∙ = ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} 。則下式定義一個度量：對於 x , y ∈ B {\displaystyle x,y\in B} ， ρ ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ 2 − n | ⟨ x − y , x n ⟩ | 1 + | ⟨ x − y , x n ⟩ | , {\displaystyle \rho (x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }\,2^{-n}\,{\frac {\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|}{1+\left|\langle x-y,x_{n}\rangle \right|,}}} 其中 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 與 X {\displaystyle X} 的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下， B {\displaystyle B} 為序列緊之事，用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。 由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間 X {\displaystyle X} ，其對偶上有泛函 F : X ′ → R {\displaystyle F:X^{\prime }\to \mathbb {R} } ，欲求最小值，則常見策略是先構造序列 x 1 , x 2 , … ∈ X ′ {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots \in X^{\prime }} ，使 F {\displaystyle F} 的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列 ( x n k ) k {\displaystyle (x_{n_{k}})_{k}} ，在弱*拓撲下收斂到極限 x {\displaystyle x} ，並確定 x {\displaystyle x} 使 F {\displaystyle F} 取最小值。最後一步通常要求 F {\displaystyle F} 在弱*拓撲下為（序列）下半連續。 考慮另一個例子，設 X = C 0 ( R ) {\displaystyle X=C_{0}(\mathbb {R} )} 為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於赫利選擇定理（英语：Helly selection theorem）。 下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。 對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，設 D x = { z ∈ C : | z | ≤ ‖ x ‖ } , {\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq \|x\|\},} 以及 D = ∏ x ∈ X D x . {\displaystyle D=\prod _{x\in X}D_{x}.} 因為 D x {\displaystyle D_{x}} 是複平面的緊子集， D {\displaystyle D} 在積拓撲中亦為緊（根據吉洪诺夫定理）。 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球 B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)} ，可以自然地看成 D {\displaystyle D} 的子空間：考慮映射 f ∈ B 1 ( X ′ ) ↦ ( f ( x ) ) x ∈ X ∈ D , {\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{\prime }\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D,} 其為單射，且對於 B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}\left(X^{\prime }\right)} 的弱*拓撲和 D {\displaystyle D} 的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。 欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網 D {\displaystyle D} 中的網 ( f α ( x ) ) x ∈ X → ( λ x ) x ∈ X , {\displaystyle \left(f_{\alpha }(x)\right)_{x\in X}\to \left(\lambda _{x}\right)_{x\in X},} 等式 g ( x ) = λ x {\displaystyle g(x)=\lambda _{x}} 定義的泛函 g {\displaystyle g} ，也在 B 1 ( X ′ ) {\displaystyle B_{1}(X^{\prime })} 中。定理證畢。 假設 X {\displaystyle X} 為賦範空間，則其連續對偶空間 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 具有对偶范数。 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中的閉單位球為弱*緊。相比之下，若 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 為無窮維，則其閉單位球在範數拓撲中必不為緊（F·里斯定理（英语：F. Riesz theorem））。 某巴拿赫空间自反，當且僅當其閉單位球在弱拓撲 σ ( X , X ′ ) {\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)} 下為緊。 若 X {\displaystyle X} 為自反巴拿赫空間，則 X {\displaystyle X} 中每個有界序列，都有弱收斂子列。（此為對 X {\displaystyle X} 某個弱可度量子空間應用巴拿赫-阿勞格魯定理的結果。更簡潔而言，是應用埃伯萊恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem）。）舉例，設 X {\displaystyle X} 為Lp空間 L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}(\mu )} ，其中 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } 。設 ( f n ) n {\displaystyle (f_{n})_{n}} 為 X {\displaystyle X} 中函數組成的有界序列。則存在子列 ( f n k ) k {\displaystyle (f_{n_{k}})_{k}} ，且有 f ∈ X {\displaystyle f\in X} 使得 ∫ f n k g d μ → ∫ f g d μ {\displaystyle \int f_{n_{k}}g\,\mathrm {d} \mu \to \int fg\,\mathrm {d} \mu } 對於 X ′ = L q ( μ ) {\displaystyle X^{\prime }=L^{q}(\mu )} 中的任意函數 g {\displaystyle g} 成立，其中 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} 。對於 p = 1 {\displaystyle p=1} ，沒有相應的結論，因為 L 1 ( μ ) {\displaystyle L^{1}(\mu )} 不自反。 任意希爾伯特空間中，閉有界集必然弱相對緊（英语：Relatively compact subspace），即其在弱拓撲的閉包為弱緊，故每個有界網必有弱收斂子網（希爾伯特空間皆自反）。 由哈恩－巴拿赫定理，範數拓撲中的閉凸集，在弱拓撲中也是閉集，故希爾伯特空間或自反巴拿赫空間中，凸有界集的範數閉包必為弱緊。 設 H {\displaystyle H} 為希爾伯特空間， B ( H ) {\displaystyle B(H)} 為其上有界算子的空間，則 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 可以配備以下兩種不同的拓撲：一則超弱拓撲（英语：ultraweak topology），即 B ( H ) {\displaystyle B(H)} 作為跡類算子空間 B 1 ( H ) {\displaystyle B_{1}(H)} 的對偶所具備的弱*拓撲；二則弱算子拓撲（英语：weak operator topology），是使形如 T ↦ ⟨ T x , y ⟩ {\displaystyle T\mapsto \langle Tx,y\rangle } 的映射皆連續的最弱的拓撲，此拓撲比超弱拓撲更弱。此定義下， B ( H ) {\displaystyle B(H)} 中的閉有界子集，關於弱算子拓撲為相對緊。所以，算子的有界序列必有某個弱極限點。其推論是， B ( H ) {\displaystyle B(H)} 配備弱算子拓撲或超弱拓撲時，滿足海涅-博雷尔性質。 通常，會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是选择公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見§ 序列版本）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，超濾子引理（英语：ultrafilter Lemma）比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。 畢曉普-菲爾普斯定理（英语：Bishop–Phelps theorem） 巴拿赫-馬祖爾定理（英语：Banach–Mazur theorem） Δ收斂（英语：Delta-convergence） 埃伯萊恩-什穆良定理（英语：Eberlein–Šmulian theorem） 古德斯汀定理（英语：Goldstine theorem） 詹姆斯定理（英语：James' theorem） 克列因-米爾曼定理（英语：Krein-Milman theorem） 馬祖爾引理（英语：Mazur's lemma） 拓撲向量空間——有「連續」概念的向量空間 更明確地說，子集 B ′ ⊆ X ′ {\displaystyle B^{\prime }\subseteq X^{\prime }} 稱為「弱*拓撲中的緊集」，意思是若 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 配備弱*拓撲，而子集 B ′ {\displaystyle B^{\prime }} 從空間 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 繼承子空間拓撲，則 B ′ {\displaystyle B^{\prime }} 為紧空间。將「緊集」換成其他性質（如「完全有界（英语：totally bounded）」）亦同。 若 τ {\displaystyle \tau } 表示 X {\displaystyle X} 原有的拓撲，則等式 U ∘ = U # {\displaystyle U^{\circ }=U^{\#}} 說明， U {\displaystyle U} 的極集 U ∘ = { x ′ ∈ X ′   :   sup x ∈ U | x ′ ( x ) | ≤ 1 } {\displaystyle U^{\circ }=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}} ，僅取決於 U {\displaystyle U} 和 X # {\displaystyle X^{\#}} ，其餘拓撲結構 τ {\displaystyle \tau } 可忽略不理。更明確說，假設 σ {\displaystyle \sigma } 是 X {\displaystyle X} 上另一個向量空間拓撲，使得 ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} 為拓撲向量空間，且集合 U {\displaystyle U} 在 ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} 仍為原點的鄰域。記 ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} 的連續對偶為 ( X , σ ) ′ {\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }} ，並記 U {\displaystyle U} 相對 ( X , σ ) {\displaystyle (X,\sigma )} 的極集為 U ∘ , σ := { x ′ ∈ ( X , σ ) ′   :   sup x ∈ U | x ′ ( x ) | ≤ 1 } . {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }:=\left\{x^{\prime }\in (X,\sigma )^{\prime }~:~\sup _{x\in U}\left|x^{\prime }(x)\right|\leq 1\right\}.} （此定義下， U ∘ , τ {\displaystyle U^{\circ ,\tau }} 祇是舊的 U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} 。）則 U ∘ , τ = U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\tau }=U^{\circ ,\sigma }} ，因為兩者分別等於 U # {\displaystyle U^{\#}} 。換言之，極集 U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }} 的定義條件中，「 U ∘ , σ {\displaystyle U^{\circ ,\sigma }} 是連續對偶空間 ( X , σ ) ′ {\displaystyle (X,\sigma )^{\prime }} 子集」一項可以無視，因為對所得的線性泛函集合毫無影響。然而，若 ν {\displaystyle \nu } 是 X {\displaystyle X} 上另一個向量空間拓撲 is a TVS topology on X {\displaystyle X} ，令 U {\displaystyle U} 不是 ( X , ν ) {\displaystyle (X,\nu )} 原點的鄰域，則 U {\displaystyle U} 相對 ( X , ν ) {\displaystyle (X,\nu )} 的極集 U ∘ , ν {\displaystyle U^{\circ ,\nu }} ，不保證等於 U # {\displaystyle U^{\#}} ，所以不能如此無視拓撲 ν {\displaystyle \nu } 。 由於每個 B r x {\displaystyle B_{r_{x}}} 也是豪斯多夫空间，只用到吉洪諾夫定理的緊豪斯多夫情況，便足以說明 ∏ x ∈ X B r x {\displaystyle \prod _{x\in X}B_{r_{x}}} 為緊。該特殊情況等價於超濾子引理（英语：ultrafilter lemma），而比选择公理嚴格弱。 「線性泛函」的要求，可以寫成許多條等式如 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)} 之合取。每個要求皆是閉條件，即其對應的子集為閉集。而閉集的任意交仍為閉，所以線性泛函組成的集合為閉集。 Rudin 1991 harvnb error: no target: CITEREFRudin1991 (help), Theorem 3.15. 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