逆散射变换

逆散射变换是求解某些非线性偏微分方程的一种方法，在某种意义上是傅里叶变换的非线性推广。这种方法的核心思想是，从散射数据的演变中恢复势的演变：逆散射指的是从散射矩阵中恢复势的问题。 逆散射变换可用于许多所谓“完全可解模型”，即完全可积的无限维系统。 逆散射变换首先由Clifford S. Gardner, John M. Greene, and Martin D. Kruskal et al. （1967, 1974）提出，用于求解KdV方程，并很快扩展到非线性薛定谔方程、正弦-戈尔登方程及户田晶格方程。后来也用于求解KP方程、石森方程、迪姆方程等等。博格莫尼方程（对于给定的规范群与定向黎曼3流形）提供了一族例子，其 L 2 {\displaystyle L^{2}} 解是磁单极子。 用逆散射法得到的解有一个特点，就是存在孤波，是类似于粒子又类似于波的解，线性偏微分方程中没有这种解。“孤波”是非线性光学的概念。 逆散射问题可以写作黎曼–希尔伯特分解问题，至少在一个空间维度的方程中是这样。这种表述可以推广到多阶微分算子和周期势。 在更高的空间维度中，会遇到“非局部”黎曼–希尔伯特分解问题（用卷积代替乘法）或Dbar问题。 KdV方程是非线性分散演化偏微分方程，涉及有两个实变量（空间变量x与时间变量t）的函数u： u t − 6 u u x + u x x x = 0 {\displaystyle u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0} 其中 u t {\displaystyle u_{t}} 、 u x {\displaystyle u_{x}} 分别表示关于t和x的偏导数。 u ( x , 0 ) {\displaystyle u(x,0)} 是x的已知函数，要解初值问题，可将薛定谔特征方程 ψ x x − u ψ = λ ψ . {\displaystyle \psi _{xx}-u\psi =\lambda \psi .} 与这个方程联系起来，其中 ψ {\displaystyle \psi } 是t与x的未知函数，u是KdV方程的解，除了在 t = 0 {\displaystyle t=0} 时未知。常数 λ {\displaystyle \lambda } 是一个特征值。 根据薛定谔方程，可得 u = 1 ψ ψ x x − λ . {\displaystyle u={\frac {1}{\psi }}\psi _{xx}-\lambda .} 将其代入KdV方程并积分，得到 ψ t + ψ x x x − 3 ( u − λ ) ψ x = C ψ + D ψ ∫ 1 ψ 2 d x {\displaystyle \psi _{t}+\psi _{xxx}-3(u-\lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int {\frac {1}{\psi ^{2}}}dx} 其中C、D为常数。 Step 1. 确定非线性偏微分方程。这通常是通过分析所研究的物理实现的。 Step 2. 应用正向散射。关键是找到Lax 对，Lax 对由两个线性算子 L {\displaystyle L} 、 M {\displaystyle M} 组成，即 L v = λ v {\displaystyle Lv=\lambda v} 、 v t = M v {\displaystyle v_{t}=Mv} 。极为重要的是，特征值 λ {\displaystyle \lambda } 与时间无关，即 λ t = 0. {\displaystyle \lambda _{t}=0.} 实现这一点的必要条件与充分条件如下：取 L v = λ v {\displaystyle Lv=\lambda v} 的时间导数，得到 L t v + L v t = λ t v + λ v t . {\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.} 将 M v {\displaystyle Mv} 插入 v t {\displaystyle v_{t}} ，得到 L t v + L M v = λ t v + λ M v . {\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.} 重排最右侧的项，得到 L t v + L M v = λ t v + M L v . {\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.} 因此， L t v + L M v − M L v = λ t v . {\displaystyle L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.} 由于 v ≠ 0 {\displaystyle v\not =0} ，这意味着 λ t = 0 {\displaystyle \lambda _{t}=0} 当且仅当 L t + L M − M L = 0. {\displaystyle L_{t}+LM-ML=0.\,} 这是Lax方程，当中 L t {\displaystyle L_{t}} 是 L {\displaystyle L} 的时间导数，明确地依赖于 t {\displaystyle t} 。之所以这样定义微分，是因为 L {\displaystyle L} 的最简单实例，即薛定谔算子（参薛定谔方程）： L = ∂ x x + u , {\displaystyle L=\partial _{xx}+u,} 其中u是“势”。比较表达式 L t v + L v t {\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}} 与 ∂ t ( v x x + u v ) {\displaystyle \partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)} ，可以发现 L t = u t , {\displaystyle L_{t}=u_{t},} 因此可以忽略第一项。 拟合出适当的Lax对后，Lax方程应可恢复原来的非线性PDE。 Step 3. 确定与每个特征值 λ {\displaystyle \lambda } 相关的特征函数、规范常数与反射系数的时间演化，它们构成所谓散射数据。演化由线性常微分方程给出，可以求解。 Step 4. 通过求解马琴科方程这一线性积分方程，进行逆散射，从而获得原非线性PDE的最终解。为此，需要所有散射数据。若反射系数为零，过程会简单很多。若 L {\displaystyle L} 是一阶微分或二阶差分，这步就会起作用，但对高阶算子则不一定。不过，在所有情况下，逆散射问题都可以简化为黎曼–希尔伯特问分解问题。（两种方法见于Ablowitz-Clarkson (1991)。数学上的严格处理方法参Marchenko (1986)。） KdV方程 非线性薛定谔方程 卡马萨-霍尔姆方程 正弦-戈尔登方程 户田晶格 石森方程 迪姆方程 量子逆散射法 Gel’fand, I. M. & Levitan, B. M., "On the determination of a differential equation from its spectral function". American Mathematical Society Translations, (2)1:253–304, 1955. V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986. M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM, Philadelphia, 1981. N. Asano, Y. Kato, Algebraic and Spectral Methods for Nonlinear Wave Equations, Longman Scientific & Technical, Essex, England, 1990. M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Method for Solving the Korteweg-deVries Equation, Physical Review Letters, 1967, 19 (19): 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095  Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M., Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution., Comm. Pure Appl. Math., 1974, 27: 97–133, MR 0336122, doi:10.1002/cpa.3160270108  V. A. Marchenko, "Sturm-Liouville Operators and Applications", Birkhäuser, Basel, 1986. J. Shaw, Mathematical Principles of Optical Fiber Communications, SIAM, Philadelphia, 2004. Eds: R.K. Bullough, P.J. Caudrey. "Solitons" Topics in Current Physics 17. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1980. Introductory mathematical paper on IST (PDF). [2023-11-14]. （原始内容存档 (PDF)于2011-09-26）.  (300 KiB) Inverse Scattering Transform and the Theory of Solitons （页面存档备份，存于互联网档案馆）