洛必达法则

洛必達法則（又稱罗比塔法则）（法語：Règle de L'Hôpital，英語：L'Hôpital's rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。該法則以法國數學家纪尧姆·德·洛必达的名字命名，但實际上是由瑞士數學家約翰·伯努利所發現。 洛必達法則可以求出特定函數趨近於某數的極限值。令 c ∈ R ¯ {\displaystyle c\in {\bar {\mathbb {R} }}} （擴展實數），兩函數 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} 在以 x = c {\displaystyle x=c} 為端點的開區間可微， lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) ∈ R ¯ {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\in {\bar {\mathbb {R} }}} ，並且 g ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g'(x)\neq 0} 。 如果 lim x → c f ( x ) = lim x → c g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}{g(x)}=0} 或 lim x → c | f ( x ) | = lim x → c | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=\infty } 其中一者成立，則稱欲求的極限 lim x → c f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}} 為未定式。 此時洛必达法则表明： lim x → c f ( x ) g ( x ) = lim x → c f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} 。 對於不符合上述分數形式的未定式，可以通過運算轉為分數形式，再以本法則求其值。以下列出數例： 注意：不能在数列形式下直接用洛必達法則，因為對於離散變量是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz－Cesàro theorem）作为替代。 下面仅给出 lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 , g ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}{f(x)}=\lim _{x\to a}{g(x)}=0,\,g'(a)\neq 0} 的证明。 设两函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 及 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 在a 點附近连续可导，   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 及   g ( x ) {\displaystyle \ g(x)} 都在 a 點連續，且其值皆為 0 ， f ( a ) = 0 ; g ( a ) = 0 , lim x → a f ( x ) = 0 ; lim x → a g ( x ) = 0 {\displaystyle f(a)=0;\;g(a)=0,\qquad \lim _{x\to a}f(x)=0;\;\lim _{x\to a}g(x)=0} 为了叙述方便，假设两函数在 a 点附近都不为0。另一方面，两函数的导数比值在 a 点存在，记为 lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) = L . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.} 由極限的定义，对任何一个 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} （試想像y軸），都存在 η > 0 {\displaystyle \eta >0} （試想像x軸），使得对任意的 a − η ⩽ x ⩽ a + η , x ≠ a {\displaystyle a-\eta \leqslant x\leqslant a+\eta ,\,\,x\neq a} ，都有： L − ϵ ⩽ f ′ ( x ) g ′ ( x ) ⩽ L + ϵ {\displaystyle L-\epsilon \leqslant {\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leqslant L+\epsilon } 而根据柯西中值定理（逆定理），对任意的 a − η ⩽ x ⩽ a + η , x ≠ a {\displaystyle a-\eta \leqslant x\leqslant a+\eta ,\,\,x\neq a} ，都存在一个介于 a {\displaystyle a} 和 x {\displaystyle x} 之间的数 ξ {\displaystyle \xi } ，使得： 因此， 极限 lim x → a f ( x ) g ( x ) = L = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.} lim x → 0 e x − 1 − x x 2 = lim x → 0 e x − 1 2 x = lim x → 0 e x 2 = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}} lim x → ∞ x ln ⁡ ( x ) = lim x → ∞   1 2 x   1 x = lim x → ∞ x 2 = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\ }{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty } lim x → ∞ x n e − x = lim x → ∞ x n e x = lim x → ∞ n x n − 1 e x = n lim x → ∞ x n − 1 e x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}=0} lim x → 0 + ( x ln ⁡ x ) = lim x → 0 + ln ⁡ x 1 x = lim x → 0 + 1 x − 1 x 2 = lim x → 0 + − x = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0+}(x\ln x)=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over {\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0+}{{\frac {1}{x}} \over -{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 0+}-x=0} 极限 L'Hôpital's Rule. [2020-10-20]. （原始内容存档于2020-12-31）.  沈忠良, 黄葆华; 张伟明. 通信原理简明教程. 机械工业. 2012: 14. ISBN 978-7-111-37784-9.  Eli Maor. The Story of a Number. Princeton University Press. : 116. ISBN 0-691-05854-7.