二次变差

在数学中，二次变差（英語：Quadratic variation）用于分析随机过程，例如布朗运动和鞅。二次变差是变差的一种。 设 X t {\displaystyle X_{t}} 是定义在概率空间 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} 上的实值随机过程，时间t取非负实数。其二次变差也是一个随机过程，记做 [ X ] t {\displaystyle [X]_{t}} ，定义为 [ X ] t = lim ‖ P ‖ → 0 ∑ k = 1 n ( X t k − X t k − 1 ) 2 {\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}}} 其中P取遍区间[0,t]所有的划分，范数 ‖ P ‖ {\displaystyle \|P\|} 等于P中最长的子区间的长度，极限使用依概率收敛来定义。 更一般地，两个过程X和Y的协变差（或称互变差）为 [ X , Y ] t = lim ‖ P ‖ → 0 ∑ k = 1 n ( X t k − X t k − 1 ) ( Y t k − Y t k − 1 ) {\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\|P\|\to 0}{\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}})}}} 用极化恒等式可以把协变差用二次变差表示出来 [ X , Y ] t = 1 2 ( [ X + Y ] t − [ X ] t − [ Y ] t ) {\displaystyle [X,Y]_{t}={\frac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t})} 随机过程X如果在任意有限区间上都是有界变差的（以概率1成立），则称X是有限变差的。这样的过程非常常见，尤其是包括所有的连续可微函数。对所有的连续有限变差过程，二次变差都存在且等于0。 这个结论可以推广到不连续的情况。对右连左极的有限变差过程，其二次变差等于间断点处跳跃值的平方和。具体来说，记X在t处的左极限为 X t − {\displaystyle X_{t^{-}}} ，X在t处的跳跃记为 Δ X t = X t − X t − {\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t^{-}}} 。则二次变差为 [ X ] t = ∑ 0 < s ≤ t ( Δ X s ) 2 {\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}{(\Delta X_{s})^{2}}} 要证明连续的有限变差过程的二次变差为0，需使用以下不等式，其中P是区间[0,t]的划分， V t ( X ) {\displaystyle V_{t}(X)} 是X在[0,t]上的变差。 ∑ k = 1 n ( X t k − X t k − 1 ) 2 ≤ max k ≤ n | X t k − X t k − 1 | ∑ k = 1 n | X t k − X t k − 1 | ≤ max | u − v | ≤ ‖ P ‖ | X u − X v | V t ( X ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}&\leq \max _{k\leq n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\sum _{k=1}^{n}{|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|}\\&\leq \max _{|u-v|\leq \|P\|}{|X_{u}-X_{v}|}V_{t}(X)\\\end{aligned}}} 由X的连续性，这在 ‖ P ‖ {\displaystyle \|P\|} 趋于0时的极限也趋于0。 标准布朗运动的二次变差存在，为 [ B ] t = t {\displaystyle [B]_{t}=t} 。这可以推广到伊藤过程。根据定义，伊藤过程可以用伊藤积分表示为 X t = X 0 + ∫ 0 t σ s d B s + ∫ 0 t μ s d [ B ] s = X 0 + ∫ 0 t σ s d B s + ∫ 0 t μ s d s {\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}d[B]_{s}}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}{\sigma _{s}dB_{s}}+\int _{0}^{t}{\mu _{s}ds}\\\end{aligned}}} 其中B是标准布朗运动。这样的过程，二次变差为 [ X ] t = ∫ 0 t σ s 2 d s {\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}{\sigma _{s}^{2}ds}} 可以证明所有的半鞅都有二次变差和协变差。这是随机微积分理论的重要部分，出现在伊藤引理中。二次协变差也出现在分部积分公式中 X t Y t = X 0 Y 0 + ∫ 0 t X s − d Y s + ∫ 0 t Y s − d X s + [ X , Y ] t {\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}{X_{s^{-}}dY_{s}}+\int _{0}^{t}{Y_{s^{-}}dX_{s}}+[X,Y]_{t}} 这可用来计算[X,Y]。 上式也可写成随机微分方程的形式： d X t Y t = X t − d Y t + Y t − d X t + d X t d Y t {\displaystyle dX_{t}Y_{t}=X_{t^{-}}dY_{t}+Y_{t^{-}}dX_{t}+dX_{t}dY_{t}} 其中 d X t d Y t = d [ X , Y ] t {\displaystyle dX_{t}dY_{t}=d[X,Y]_{t}} 右连左极鞅和局部鞅的二次变差都有定义，因为它们都是半鞅。局部平方可积鞅M的二次变差[M]是从0开始的右连续的增过程，跳跃值 Δ [ M ] = Δ M 2 {\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}} ，使得 M 2 − [ M ] {\displaystyle M^{2}-[M]} 是局部鞅。Karandikar-Rao(2014)给出了[M]存在的一个证明（不使用随机微积分）。 平方可积鞅有一个有用的结论，可用来计算伊藤积分的变差 E ( ∫ 0 t H d M ) 2 = E ∫ 0 t H 2 d [ M ] {\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}{HdM}\right)^{2}=\mathbb {E} \int _{0}^{t}{H^{2}d[M]}} 只要M是右连左极平方可积鞅且H是有界可预测过程，这个结论总是成立的，常用于构造伊藤积分。 还有一个重要结论是Burkholder-Davis-Gundy不等式，用二次变差给出了鞅的最大值的上下界。对从0开始的局部鞅，最大值记为 M t ∗ ≡ sup s ≤ t | M s | {\displaystyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}{|M_{s}|}} ，对任意实数 p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} c p E [ M ] t p / 2 ≤ E ( M t ∗ ) p ≤ C p E [ M ] t p / 2 {\displaystyle c_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}\leq \mathbb {E} (M_{t}^{*})^{p}\leq C_{p}\mathbb {E} [M]_{t}^{p/2}} 式中 c p ≤ C p {\displaystyle c_{p}\leq C_{p}} 是依赖于p的常数，但不依赖于选取的鞅M和时间t。若M是连续局部鞅，则不等式对任何p>0都成立。 另一种变差，可预测二次变差有时用于局部平方可积鞅，记做 ⟨ M ⟩ t {\displaystyle \langle M\rangle _{t}} ，定义为从0开始的右连续且递增的可预测过程，使得 M 2 − ⟨ M ⟩ {\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle } 是局部鞅。其存在性可由Doob-Meyer分解定理得到。对连续局部鞅，可预测二次变差就等于二次变差。 总变差 有界变差 Protter, Philip E. (2004), Stochastic Integration and Differential Equations (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-00313-7 Karandikar, Rajeeva L.; Rao, B. V. (2014). "On quadratic variation of martingales". Proceedings - Mathematical Sciences. 124 (3): 457–469.