判别式

判別式是代数学中的概念，它可以推斷出一个实系数或复系数多项式的根的屬性。 当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为： a n 2 n − 2 ∏ i < j ( r i − r j ) 2 {\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}} 其中的 a n {\displaystyle a_{n}} 是多项式的最高次项系数， r 1 , . . . , r n {\displaystyle r_{1},...,r_{n}} 是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。 判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。 最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,} ，其中系数 a , b , c {\displaystyle a,b,c} 为实数，则它的判别式定义为： Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,} 判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为 r 1 {\displaystyle r_{1}} 和 r 2 {\displaystyle r_{2}} ，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为： r 1 = − b + Δ 2 a , r 2 = − b − Δ 2 a . {\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.} 方程的根与判别式的关系为： Δ = a 2 ( r 1 − r 2 ) 2 . {\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.} 两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。 三次多项式 a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,} 的判别式是 Δ = b 2 c 2 − 4 a c 3 − 4 b 3 d − 27 a 2 d 2 + 18 a b c d {\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,} 二次項系數為零的首一三次多項式 x 3 + p x + q {\displaystyle x^{3}+px+q\,} 的判别式是： Δ = − 4 p 3 − 27 q 2 {\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,} 四次多項式 a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,} 的判别式是： Δ = b 2 c 2 d 2 − 4 b 3 d 3 − 4 a c 3 d 2 + 18 a b c d 3 − 27 a 2 d 4 + 256 a 3 e 3 − 4 b 2 c 3 e + 18 b 3 c d e + 16 a c 4 e − 80 a b c 2 d e − 6 a b 2 d 2 e + 144 a 2 c d 2 e − 27 b 4 e 2 + 144 a b 2 c e 2 − 128 a 2 c 2 e 2 − 192 a 2 b d e 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}} 二次多项式 P ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c\,} 的判别式是 D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac\,} 。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。 如果 D > 0 {\displaystyle D>0\,} ，那么 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 有两个相异实根 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} ，即 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 的图像穿过 x {\displaystyle x\,} 轴两次。 如果 D = 0 {\displaystyle D=0\,} ，那么 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 有两个相等实根 x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,} ， P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 的图像与 x {\displaystyle x\,} 轴相切。 如果 D < 0 {\displaystyle D<0\,} ，那么 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 没有实根，即 P ( x ) {\displaystyle P(x)\,} 的图像与 x {\displaystyle x\,} 轴没有交点。 对于一般的一个多项式 p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} ， 其判别式等于（差一个系数）以下的 ( 2 n − 1 ) × ( 2 n − 1 ) {\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)\,} 的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）： [ a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 0 … … 0 0 a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 0 … 0 ⋮   ⋮ 0 …   0 a n a n − 1 a n − 2 … a 1 a 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 0 … … 0 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 0 … 0 ⋮   ⋮ 0 0 … 0 n a n ( n − 1 ) a n − 1 ( n − 2 ) a n − 2 …   a 1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].} 这个矩阵的行列式称为 p ( x ) {\displaystyle p(x)\,} 和 p ′ ( x ) {\displaystyle p'(x)\,} 的结式，记为 R ( p , p ′ ) {\displaystyle R(p,p')\,} 。 p ( x ) {\displaystyle p(x)\,} 的判别式 D ( p ) {\displaystyle D(p)\,} 由以下公式给出： D ( p ) = ( − 1 ) 1 2 n ( n − 1 ) 1 a n R ( p , p ′ ) {\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,} . 例如，在 n = 4 {\displaystyle n=4\,} 的情况下，以上的行列式是： | a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 0 0 0 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 0 0 0 0 4 a 4 3 a 3 2 a 2 1 a 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}} 这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以 a 4 {\displaystyle a_{4}\,} 。 作为等价条件，多项式的判别式等于： a n 2 n − 2 ∏ i < j ( r i − r j ) 2 {\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}} 其中 r 1 , ⋯ , r n {\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}\,} 是多项式 p ( x ) {\displaystyle p(x)\,} 的複根（重根按重数计算）： p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 = a n ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) … ( x − r n ) {\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}} 在这个表达式中可以清楚地看到 p {\displaystyle p\,} 有重根当且仅当判别式为零。 多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根 r i {\displaystyle r_{i}\,} 的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。 对于以下多项式所定义的圆锥曲线： a x 2 + b x y + c y 2 + d x + e y + f = 0 {\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0} 它的判别式为： b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。 判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域K上的二次型Q上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和： Q = ∑ i = 1 k a i L i 2 {\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}} 其中Li是n个变量的线性组合。这时可以定义Q的判别式为所有ai的乘积。另外一个定义是Q所对应的矩阵的行列式。 二次函数 一元二次方程 多项式 圆锥曲线 二次型 结式与判别式的关系[永久失效連結] Mathworld中的文献（页面存档备份，存于互联网档案馆） Planetmath中的文献