自由粒子

在物理學裏，自由粒子是不被位勢束縛的粒子。在經典力學裏，一個自由粒子所感受到外來的淨力是0。 假若，一個粒子的能量大於在任何地點 x {\displaystyle x\,\!} 的位勢， E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ，不會被位勢束縛，則稱此粒子為自由粒子。更強版的定義，還要求位勢為常數 V ( x ) = V 0 {\displaystyle V(x)=V_{0}\,\!} 。假若，一維空間分為幾個區域，只有在每個區域內，位勢為常數；在區域與區域之間，位勢不相等，則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大於位勢， E > V ( x ) {\displaystyle E>V(x)\,\!} ，不會被位勢束縛，能量不是離散能量譜的特殊值，而是大於或等於 V 0 {\displaystyle V_{0}\,\!} 的任意值。 本條目只論述強版定義的自由粒子。由於能量與位勢都不是絕對值，可以設定位勢為0，再根據新舊位勢的差額，調整能量。 古典自由粒子的特點是它移動的速度 v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是不變的。它的動量 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 是 p = m v {\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!} 。 其中， m {\displaystyle m\,\!} 是粒子的質量。 能量 E {\displaystyle E\,\!} 是 E = 1 2 m v 2 {\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!} 。 描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為 − ℏ 2 2 m ∇ 2   Ψ ( r , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)} 是粒子的波函數， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是粒子的位置， t {\displaystyle t} 是時間。 這薛丁格方程式有一個平面波解： Ψ ( r , t ) = e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}} ； 其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是波向量， ω {\displaystyle \omega } 是角頻率。 將這公式代入薛丁格方程，這兩個變數必須遵守關係式 ℏ 2 k 2 2 m = ℏ ω {\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega \,\!} 。 由於粒子存在的機率等於1，波函數 Ψ ( r , t ) {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!} 必須歸一化，才能夠表達出正確物理意義。對於一般的自由粒子而言，這不是問題。因為，自由粒子的波函數，在位置或動量方面，都是局部性的。 動量的期望值是 ⟨ p ⟩ = ⟨ Ψ | − i ℏ ∇ | Ψ ⟩ = ℏ k {\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} \,\!} 。 能量的期望值是 ⟨ E ⟩ = ⟨ Ψ | i ℏ ∂ ∂ t | Ψ ⟩ = ℏ ω {\displaystyle \langle E\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega \,\!} 。 代入波向量 k {\displaystyle \mathbf {k} \,\!} 與角頻率 ω {\displaystyle \omega \,\!} 的關係方程，可以得到熟悉的能量與動量的關係方程： ⟨ E ⟩ = ⟨ p ⟩ 2 2 m {\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}\,\!} 。 波的群速度 v g {\displaystyle v_{g}\,\!} 定義為 v g = d ω d k = d E d p = v {\displaystyle v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} p}}=v\,\!} ； 其中， v {\displaystyle v\,\!} 是粒子的經典速度。 波的相速度 v p {\displaystyle v_{p}\,\!} 定義為 v p = ω k = E p = p 2 m = v 2 {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}\,\!} 。 在量子力學裏，一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數以波包函數表示為 Ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ) 3 / 2 ∫ K A ( k ) e i ( k ⋅ r − ω t ) d k {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} \,\!} ； 其中，積分區域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是 k {\displaystyle \mathbf {k} } -空間。 為了方便計算，只考虑一維空間， Ψ ( x , t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ A ( k )   e i ( k x − ω ( k ) t )   d k {\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k\,\!} ； 其中，振幅 A ( k ) {\displaystyle A(k)\,\!} 是量子疊加的係數函數。 逆反過來，係數函數表示為 A ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ Ψ ( x ,   0 )   e − i k x d x {\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,\ 0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x\,\!} ； 其中， Ψ ( x ,   0 ) {\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!} 是在時間 t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 的波函數。 所以，知道在時間 t = 0 {\displaystyle t=0\,\!} 的波函數 Ψ ( x ,   0 ) {\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!} ，通過傅立葉轉換，可以推導出在任何時間的波函數 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)\,\!} 。 相對論性的自由粒子的量子行為，需要用特別的方程專門描述： 克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋為零的，相對論性的自由粒子的量子行為。 狄拉克方程描述相對論性的電子（自旋為 1 / 2 {\displaystyle 1/2\,\!} ）的量子行為。 態疊加原理 無限深方形阱 有限深方形阱 有限位勢壘 球對稱位勢 Delta位勢阱 Delta位勢壘 波包