詹森多面體列表

詹森多面體是指的所有面都是正多邊形但頂點並非均勻的嚴格凸多面體。 即不是柏拉图立体、不是阿基米德立體、不是半正多面體、不是棱柱也不是反棱柱的嚴格凸正多邊形多面體。 1966年，諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）發表了一份包含92種有以上性質的多面體列表，並給出了名稱和編號，但他並未證明這種立體僅有92個，但猜想沒有其他的這種立體。 1969年，維克多·扎加勒（Victor Zalgaller）證明了詹森多面體僅有92個，也就是諾曼·詹森給出的多面體列表是完整的。 另外，也可能構造出具有近似於正多邊形面的凸多面體；或可以構造所有面都是正多邊形但不要求嚴格凸的凸多面體。這些多面體被非正式地稱為擬詹森多面體；它們的數量無法被確定，後者則有無窮多種。但後者如果加上一個「條件邊」的條件，則可以確定其數量為78個，稱為條件邊正多邊形凸多面體。詳細的這些立體可以參見條件邊正多邊形凸多面體列表。 下表列出了92種詹森多面體的各項重要性質與數值。每個表都允許按特定欄位的內容來做排序，以便依據特定屬性或性質或詹森多面體的名稱來進行排序。 下表列出詹森多面體的名稱與展開圖： 返回頂部、表格頂部 說明： Jn – 詹森多面體編號 展開圖 – 立體展開成平面的結果 下表列出詹森多面體的頂點數、邊數和面數，以及特定形狀的面數。同時也列出了其對稱性： 返回頂部、表格頂部 說明： Jn – 詹森多面體編號 V – 頂點的數量 E – 邊的數量 F – 面（所有的面）的數量 Fn – 僅n邊形面的數量 F3～F10 – F3：面為三角形的面的數量、F4：面為正方形的面的數量……以此類推 其中，正四角錐（J1）有最少的頂點（5個）、最少的邊（8條）和最少的面（5個）。 三側台塔截角十二面體（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）J71具有最多的頂點（75個）和最多的邊（135條）。 它的面數也是最多的（62個），其他還有單旋側帳塔小斜方截半二十面體（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）J72、對二旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）J73、鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）J74和三旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）J75。 由於詹森多面體的所有面都是由正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形或正十邊形所組成，代表著其面的邊數僅會有3、4、5、6、8或10條，且為正多邊形，因此這些正多邊形面都會具有相同的邊長a，因此詹森多面體的表面積A可由下式計算得到： A = ∑ n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 F n A n {\displaystyle A=\sum _{n=3,4,5,6,8,10}F_{n}A_{n}} 其中 Fn是上表中的多邊形面數，且正n邊形的面積An也可由下式計算得到： A n = ( n 4 cot ⁡ π n ) a 2 {\displaystyle A_{n}=\left({\frac {n}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}} 在詹森多面體的例子中，組成其的正多邊形僅有正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形或正十邊形，而我們有正三角形的面積A3、正方形的面積A4、正五邊形的面積A5、正六邊形的面積A6、正八邊形A8的面積和正十邊形A10的面積公式： A 3 = 1 4 3 a 2 {\displaystyle A_{3}={\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}\,a^{2}} A 4 = a 2 {\displaystyle A_{4}=a^{2}} A 5 = 1 4 5 ( 5 + 2 5 ) a 2 {\displaystyle A_{5}={\frac {1}{4}}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\,a^{2}} A 6 = 3 2 3 a 2 {\displaystyle A_{6}={\frac {3}{2}}{\sqrt {3}}\,a^{2}} A 8 = 2 ( 1 + 2 ) a 2 {\displaystyle A_{8}=2(1+{\sqrt {2}})\,a^{2}} A 10 = 5 2 5 + 2 5 a 2 , {\displaystyle A_{10}={\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{2},} 因此可以得出下表的詹森多面體表面積。 在固定邊長的條件下，雙三角錐J12的表面積最小，而三側台塔截角十二面體（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）J71的表面積最大，兩者相差40倍以上。 下表列出了詹森多面體的體積。在這個表格中，V代表體積（不是第一個表中的頂點數），而a代表邊長。 表格的資料來源是沃尔夫勒姆研究公司的Mathematica軟體中提供的PolyhedronData[..., "Volume"]計算多面體體積的指令。 詹森多面體的體積也可以根據其頂點座標來計算出來。如果邊長是固定的，那麼所有92個詹森多面體的頂點座標就都是已知的。如此一來，就可以用此資訊來計算體積。概念上最簡單的作法是：對要算體積的詹森多面體之表面做三角化，例如在每個非三角形面的中心添加一個額外的點，然後將之與該面的其他頂點連接構成多個三角形（並不是所有凸多面體都可以不添加額外頂點就完成三角剖分（英语：Triangulation (geometry)））。完成表面的三角化後選擇一些內部點作為“原點”，這樣就可以把表面的三角形與內部所選的點構造成不規則四面體。這些不規則四面體在多面體內部有一個頂點、在多面體表面有3個頂點，而詹森多面體的體積就是這些不規則四面體的體積總和。不規則四面體的體積可以透過公式計算。 在固定邊長的條件下，正四角錐J1和雙三角錐J12的體積最小；而三側台塔截角十二面體（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）J71的體積最大，比前者大超過390倍。 在92種詹森多面體中，有13種詹森多面體的體積V/a3無法表達為解析數。這些數值是以下多項式的最大實根。 下表列出了存在內切球、中分球和外接球之詹森多面體的各種球半徑（內切球半徑Ri、中分球半徑Rm或外接球半徑Rc，不存在則不列出）與邊長之比。 詹森多面體不一定有內切球、中分球和外接球。比方說，除非該詹森多面體的所有頂點都位於某個球面上，否則這個詹森多面體不會存在外接球。詹森多面體的對稱性比正多面體低，因此很多詹森多面體不存在這些球體。只有正四角錐J1和正五角錐J2這兩個立體三種球都存在。 表格內容的資料來源是來自沃尔夫勒姆研究公司的Mathematica軟體提供的PolyhedronData[..., "Inradius"]、 PolyhedronData[..., "Midradius"]和 PolyhedronData[..., "Circumradius"]指令。 輸出的數值已被化簡過了。 詹森多面體 Johnson, Norman W. Convex Solids with Regular Faces. Canadian Journal of Mathematics. 1966, 18: 169–200. ISSN 0008-414X. Zbl 0132.14603. doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .  Zalgaller, Victor A. Convex Polyhedra with Regular Faces. Zap. Nauchn. Semin. Leningr. Otd. Mat. Inst. Steklova. 1967, 2: 1–221. ISSN 0373-2703. Zbl 0165.56302 （俄语）.  Robert R Tupelo-Schneck. Convex regular-faced polyhedra with conditional edges. [2023-01-31]. （原始内容存档于2021-08-18）.  Timofeenko, Aleksei Victorovich. Junction of noncomposite polygons. Algebra i Analiz (St. Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics, Russian~…). 2009, 21 (3): 165–209.  D. Eppstein（英语：David Eppstein）. Three Untetrahedralizable Objects. www.ics.uci.edu. [2022-05-25]. （原始内容存档于2021-01-26）.  Sylvain Gagnon, "Convex polyhedra with regular faces[永久失效連結]", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95. Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by George W. Hart. Images of all 92 solids, categorized, on one page 埃里克·韦斯坦因. Johnson Solid. MathWorld.  VRML models of Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Jim McNeill VRML models of Johnson Solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Vladimir Bulatov