总变差

在数学中，总变差（英語：Total variation）就是一函数其数值变化的差的总和。 实值函数 f {\displaystyle f} 定义在区间 [ a , b ] ⊂ R {\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} } 的总变差是一维参数曲线 x ↦ f ( x ) , x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\mapsto f(x),x\in [a,b]} 的弧长。 连续可微函数的总变差，可由如下的积分给出 V b a ( f ) = ∫ a b | f ′ ( x ) | d x . {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\,\mathrm {d} x.} 任意实值或虚值函数 f {\displaystyle f} 定义在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的总变差，由 V b a ( f ) = sup P ∑ i = 0 n P − 1 | f ( x i + 1 ) − f ( x i ) | , {\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\sup _{P}\sum _{i=0}^{n_{P}-1}|f(x_{i+1})-f(x_{i})|,\,} 定义。其中 P {\displaystyle P} 为区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 中的所有分划. 定义在有界区域 Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 上的实值可积函数 f {\displaystyle f} 的总变差,定义为 V ( f , Ω ) := sup { ∫ Ω f d i v φ : φ ∈ C c 1 ( Ω , R n ) ,   ‖ φ ‖ L ∞ ( Ω ) ≤ 1 } , {\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f\mathrm {div} \varphi \colon \varphi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \varphi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},} 其中 C c 1 ( Ω , R n ) {\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})} 是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, ‖ ‖ L ∞ ( Ω ) {\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}} 是本质上确界范数。 若 f {\displaystyle f} 可微，上式可简化为 V ( f , Ω ) = ∫ Ω | ∇ f | . {\displaystyle V(f,\Omega )=\int \limits _{\Omega }\left|\nabla f\right|.} 在一个度量空间 ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} 上，集函数 μ : Σ → R {\displaystyle \mu :\Sigma \rightarrow \mathbb {R} } ，其总变差为： | μ | ( E ) = sup π ∑ A ∈ π | μ ( A ) | ∀ E ∈ Σ {\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma } 其中 π {\displaystyle \pi } 为 E {\displaystyle E} 的划分。 如果 μ {\displaystyle \mu } 是符号测度，通过汉分解定理可知： | μ | = μ + + μ − {\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}\,} 首先需要利用高斯散度定理证明一个等式. 在假设条件下，下面的等式成立： ∫ Ω f d i v φ = − ∫ Ω ∇ f ⋅ φ {\displaystyle \int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi } 由高斯散度定理 ∫ Ω div R = ∫ ∂ Ω R ⋅ n {\displaystyle \int \limits _{\Omega }{\text{div}}\mathbf {R} =\int \limits _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} } . 将 R := f φ {\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } } 代入，可得 ∫ Ω div ( f φ ) = ∫ ∂ Ω ( f φ ) ⋅ n {\displaystyle \int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} } 由于在 Ω {\displaystyle \Omega } 的边界上 φ = 0 {\displaystyle \mathbf {\varphi } =0} ,从而 ∫ Ω div ( f φ ) = ∫ ∂ Ω ( f φ ) ⋅ n = 0 {\displaystyle \int \limits _{\Omega }{\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int \limits _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} =0} 注意到 div ( f φ ) = f div φ + ∇ f ⋅ φ {\displaystyle {\text{div}}\left(f\mathbf {\varphi } \right)=f{\text{div}}\mathbf {\varphi } +\nabla f\cdot \varphi } 代入上式，移项即得 ∫ Ω f d i v φ = − ∫ Ω ∇ f ⋅ φ {\displaystyle \int \limits _{\Omega }f\,\mathrm {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi } . 如果函数 f {\displaystyle f} 的总变差有限，则称函数 f {\displaystyle f} 为有界变差函数. 有界变差 总变差递减（英语：Total variation diminishing） 总变差规则化 二次变差 单变量 Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics. "Total variation" on Planetmath. 多变量 Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics. Boris I. Golubov "Arzelà variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", "Fréchet variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", "Hardy variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", "Pierpont variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", "Tonelli plane variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", "Vitali variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics. 测度论 Rowland, Todd. "Total Variation （页面存档备份，存于互联网档案馆）". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. "Jordan decomposition （页面存档备份，存于互联网档案馆）" on Planetmath. 概率论 M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain". Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3, 2007  外部链接存在于|title= (帮助) (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing). Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).