凱萊–哈密頓定理

在線性代數中，凱萊–哈密頓定理（英語：Cayley–Hamilton theorem）（以數學家阿瑟·凱萊與威廉·卢云·哈密顿命名）表明每個佈於任何交換環上的實或複方陣都滿足其特徵方程式。 明確地說：設 A {\displaystyle A} 為給定的 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣，並設 I n {\displaystyle I_{n}} 為 n × n {\displaystyle n\times n} 單位矩陣，則 A {\displaystyle A} 的特徵多項式定義為： p ( λ ) = det ( λ I n − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)} 其中 det {\displaystyle \det } 表行列式函數。凱萊–哈密頓定理斷言： p ( A ) = O {\displaystyle p(A)=O} 凱萊–哈密頓定理等價於方陣的特徵多項式會被其極小多項式整除，這在尋找若尔当标准形時特別有用。 舉例明之，考慮下述方陣： A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 其特徵多項式為 p ( λ ) = | λ − 1 − 2 − 3 λ − 4 | = ( λ − 1 ) ( λ − 4 ) − 2 ⋅ 3 = λ 2 − 5 λ − 2 {\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{vmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-2\cdot 3=\lambda ^{2}-5\lambda -2} 此時可以直接驗證凱萊–哈密頓定理： A 2 − 5 A − 2 I 2 = O {\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O} 此式可以簡化高次冪的運算，關鍵在於下述關係： A 2 − 5 A − 2 I 2 = O {\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}=O} A 2 = 5 A + 2 I 2 {\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}} 例如，為了計算 A 4 {\displaystyle A^{4}} ，可以反覆利用上述關係式： A 3 = ( 5 A + 2 I 2 ) A = 5 A 2 + 2 A = 5 ( 5 A + 2 I 2 ) + 2 A = 27 A + 10 I 2 {\displaystyle A^{3}=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2}} A 4 = A 3 A = ( 27 A + 10 I 2 ) A = 27 A 2 + 10 A = 27 ( 5 A + 2 I 2 ) + 10 A {\displaystyle A^{4}=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A} A 4 = 145 A + 54 I 2 {\displaystyle A^{4}=145A+54I_{2}} 或是，如果要計算 A n {\displaystyle A^{n}} ，也可以假設： A n = a A + b I {\displaystyle A^{n}=aA+bI} 然後，依照前面的特徵多項式 λ 2 − 5 λ − 2 {\displaystyle \lambda ^{2}-5\lambda -2} 之兩解 λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} ，代入後可以得到 λ 1 n = a λ 1 + b {\displaystyle \lambda _{1}^{n}=a\lambda _{1}+b} λ 2 n = a λ 2 + b {\displaystyle \lambda _{2}^{n}=a\lambda _{2}+b} 然後解方程後求出 a , b {\displaystyle a,b} ，便可得 A n {\displaystyle A^{n}} 。 此外，凱萊–哈密頓定理也是計算特徵向量的重要工具。 註：一般而言，若 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle A} 可逆（即： det ( A ) ≠ 0 {\displaystyle \det(A)\neq 0} ），則 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} 可以寫成 A {\displaystyle A} 的冪次和：特徵多項式有如下形式 p ( λ ) = λ n − tr ⁡ ( A ) λ n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n det ( A ) {\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} (A)\lambda ^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}\det(A)} 將方程式 p ( A ) = 0 {\displaystyle p(A)=0} 同乘以 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} ，便得到 A − 1 = ( − 1 ) n − 1 det ( A ) ( A n − 1 − tr ⁡ ( A ) A n − 2 + ⋯ ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det(A)}}(A^{n-1}-\operatorname {tr} (A)A^{n-2}+\cdots )} 以下考慮佈於域 k = R , C {\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } 上的矩陣。 凱萊–哈密頓定理可以視為線性代數中拉普拉斯展開的推論。拉普拉斯展開可推出若 S {\displaystyle S} 是 n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣，而 adj ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {adj} (S)} 表其伴隨矩陣，則 S adj ⁡ ( S ) = det ( S ) I n {\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}} 取 S = t I n − A {\displaystyle S=tI_{n}-A} ，便得到 ( t I n − A ) adj ⁡ ( t I n − A ) = p A ( t ) I n {\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)=p_{A}(t)I_{n}} 。此式對所有 t {\displaystyle t} 皆成立，由於實數或複數域有無窮多元素，上式等式在多項式環 k [ t ] {\displaystyle k[t]} 內成立。 設 M := k n {\displaystyle M:=k^{n}} ，矩陣 A {\displaystyle A} 賦予 M {\displaystyle M} 一個 k [ t ] {\displaystyle k[t]} -模結構： f ( t ) ⋅ m = f ( A ) m {\displaystyle f(t)\cdot m=f(A)m} 。考慮 k [ t ] {\displaystyle k[t]} -模 M [ t ] := M ⊗ k k [ t ] {\displaystyle M[t]:=M\otimes _{k}k[t]} ，我們有 k [ t ] {\displaystyle k[t]} -模之間的「求值態射」： e A : M [ t ] → M , M ⊗ t i ↦ A i m {\displaystyle e_{A}:M[t]\to M,\qquad M\otimes t^{i}\mapsto A^{i}m} 固定 m ∈ M {\displaystyle m\in M} ，對 M [ t ] {\displaystyle M[t]} 中的等式 ( t I n − A ) adj ⁡ ( t I n − A ) m = p A ( t ) m {\displaystyle (tI_{n}-A)\operatorname {adj} (tI_{n}-A)\,m=p_{A}(t)m} 右側取 e A {\displaystyle e_{A}} 後得到 p A ( A ) m {\displaystyle p_{A}(A)m} ，左側取 e A {\displaystyle e_{A}} 後得到 ( A − A ) ⋅ ( ⋯ ) = 0 {\displaystyle (A-A)\cdot (\cdots )=0} 。明所欲證。 另外一个简单的证明： 令： B = adj ( t I n − A ) {\displaystyle B={\mbox{adj}}(tI_{n}-A)} 由: S adj ⁡ ( S ) = det ( S ) I n {\displaystyle S\operatorname {adj} (S)=\det(S)I_{n}} 得： ( t I n − A ) B = det ( t I n − A ) I n = p ( t ) I n {\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}} p ( t ) I n = ( t I n − A ) B = ( t I n − A ) ∑ i = 0 n − 1 t i B i = ∑ i = 0 n − 1 t I n ⋅ t i B i − ∑ i = 0 n − 1 A ⋅ t i B i = ∑ i = 0 n − 1 t i + 1 B i − ∑ i = 0 n − 1 t i A B i = t n B n − 1 + ∑ i = 1 n − 1 t i ( B i − 1 − A B i ) − A B 0 {\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}\end{aligned}}} p ( t ) I n = det ( t I n − A ) I n = t n I n + t n − 1 c n − 1 I n + ⋯ + t c 1 I n + c 0 I n {\displaystyle p(t)I_{n}=\det(tI_{n}-A)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n}} 因两多项式，他们的对应项系数相等得： B n − 1 = I n , B i − 1 − A B i = c i I n for  1 ≤ i ≤ n − 1 , − A B 0 = c 0 I n   {\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{for }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}~} 在等式两边t的i次项系数分别乘以Ai, 并将等式左右两边分别相加并合项得： O = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + c 0 I n = p ( A ) {\displaystyle O=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}=p(A)} 得证。 前述證明用到係數在 k [ t ] {\displaystyle k[t]} 的矩陣的克萊姆法則，事實上該法則可施於任何係數在交換環上的矩陣。藉此，凱萊–哈密頓定理可以推廣到一個交換環 R {\displaystyle R} 上的任何有限生成自由模 M {\displaystyle M} （向量空間是特例）。中山正引理的一種證明就用到這個技巧。 PlanetMath 上的證明（页面存档备份，存于互联网档案馆）