動量算符

在量子力學裏，動量算符（英語：momentum operator）是一種算符，可以用來計算一個或多個粒子的動量。對於一個不帶電荷、沒有自旋的粒子，作用於波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} 的動量算符可以寫為 p ^ = ℏ i ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!} ； 其中， p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 是動量算符， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， i {\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， x {\displaystyle x\,\!} 是位置。 給予一個粒子的波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} ，這粒子的動量期望值為 ⟨ p ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ ( x ) p ^ ψ ( x )   d x = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ ( x ) ℏ i ∂ ∂ x ψ ( x )   d x {\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\hat {p}}\psi (x)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}(x){\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi (x)\ dx\,\!} ； 其中， p {\displaystyle p\,\!} 是動量。 對於一個非相對論性的自由粒子，位勢 V ( x ) = 0 {\displaystyle V(x)=0\,\!} ，不含時薛丁格方程式表達為 − ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2   ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\ \psi (x)=E\psi (x)\,\!} 。 其中， ℏ {\displaystyle \hbar \,\!} 是約化普朗克常數， m {\displaystyle m\,\!} 是粒子的質量， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} 是粒子的波函數， x {\displaystyle x\,\!} 是粒子的位置， E {\displaystyle E\,\!} 是粒子的能量。 這薛丁格方程式的解答 ψ k ( x ) {\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!} 是一個平面波： ψ k ( x ) = e i k x {\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}\,\!} ； 其中， k {\displaystyle k\,\!} 是波數， k 2 = 2 m E / ℏ 2 {\displaystyle k^{2}=2mE/\hbar ^{2}\,\!} 。 根據德布羅意假說，自由粒子所表現的物質波，其波數與自由粒子動量的關係是 p = ℏ k {\displaystyle p=\hbar k\,\!} 。 自由粒子具有明確的動量 p {\displaystyle p\,\!} ，給予一個系綜許多相同的自由粒子系統。每一個自由粒子系統的量子態都一樣。標記粒子的動量算符為 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 。假若，對於這系綜內，每一個自由粒子系統的動量所作的測量，都得到同樣的測量值 p {\displaystyle p\,\!} ，那麼，不確定性 σ p = 0 {\displaystyle \sigma _{p}=0\,\!} ，這自由粒子的量子態是確定態，是 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 的本徵態，在位置空間(position space)裏，本徵函數為 ψ k {\displaystyle \psi _{k}\,\!} ，本徵值為 p {\displaystyle p\,\!} ： p ^ ψ k ( x ) = p ψ k ( x ) {\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)=p\psi _{k}(x)\,\!} 。 換句話說，在位置空間裏，動量算符的本徵函數必須是自由粒子的波函數 ψ k ( x ) {\displaystyle \psi _{k}(x)\,\!} 。 為了要達到此目標，勢必要令 p ^ ψ k ( x ) = ℏ i ∂ ∂ x ψ k ( x ) = ℏ i ∂ ∂ x e i k x = ℏ k e i k x = p ψ k ( x ) {\displaystyle {\hat {p}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi _{k}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}e^{ikx}=\hbar ke^{ikx}=p\psi _{k}(x)\,\!} 。 所以，可以認定動量算符的形式為 p ^ = ℏ i ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!} 。 在古典力學裏，動量是質量乘以速度： p = m v = m d x d t {\displaystyle p=mv=m{\frac {dx}{dt}}\,\!} 。 在量子力學裏，由於粒子的位置不是明確的，而是機率性的。所以，猜想這句話是以期望值的方式來實現： ⟨ p ⟩ = m d d t ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle \,\!} 。 那麼，用積分方程式來表達， ⟨ p ⟩ = m d d t ∫ − ∞ ∞   Ψ ∗ ( x , t ) x Ψ ( x , t )   d x {\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}(x,\,t)x\Psi (x,\,t)\ dx\,\!} ； 其中， Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)\,\!} 是波函數。 取微分於積分號下， ⟨ p ⟩ = m ∫ − ∞ ∞   ( ∂ Ψ ∗ ∂ t x Ψ + Ψ ∗ ∂ x ∂ t Ψ + Ψ ∗ x ∂ Ψ ∂ t ) d x {\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial x}{\partial t}}\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!} 。 由於 x {\displaystyle x\,\!} 只是一個位置的統計參數，不跟時間有關， ⟨ p ⟩ = m ∫ − ∞ ∞   ( ∂ Ψ ∗ ∂ t x Ψ + Ψ ∗ x ∂ Ψ ∂ t ) d x {\displaystyle \langle p\rangle =m\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}x\Psi +\Psi ^{*}x{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\right)dx\,\!} 。(1) 含時薛丁格方程式為 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + V Ψ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi \,\!} ； 其中， V {\displaystyle V\,\!} 是位勢。 其共軛複數為 i ℏ ∂ Ψ ∗ ∂ t = ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∗ ∂ x 2 − V Ψ ∗ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}-V\Psi ^{*}\,\!} 。 將上述兩個方程式代入方程式 (1)，可以得到 ⟨ p ⟩ = m i ℏ ∫ − ∞ ∞   ( ℏ 2 2 m ∂ 2 Ψ ∗ ∂ x 2 x Ψ − V Ψ ∗ x Ψ − ℏ 2 2 m Ψ ∗ x ∂ 2 Ψ ∂ x 2 + Ψ ∗ x V Ψ ) d x = ℏ i 2 ∫ − ∞ ∞   ( ∂ 2 Ψ ∗ ∂ x 2 x Ψ − Ψ ∗ x ∂ 2 Ψ ∂ x 2 ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}\langle p\rangle &={\frac {m}{i\hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -V\Psi ^{*}x\Psi -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+\Psi ^{*}xV\Psi \right)dx\\&={\frac {\hbar }{i2}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi -\Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\right)dx\\\end{aligned}}\,\!} 。 使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数 Ψ {\displaystyle \Psi \,\!} 趋于零的特性，有 ∫ − ∞ ∞   ∂ 2 Ψ ∗ ∂ x 2 x Ψ   d x = − ∫ − ∞ ∞   ∂ Ψ ∗ ∂ x Ψ   d x − ∫ − ∞ ∞   ∂ Ψ ∗ ∂ x x ∂ Ψ ∂ x   d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}x\Psi \ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi \ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!} ，(2) ∫ − ∞ ∞   Ψ ∗ x ∂ 2 Ψ ∂ x 2   d x = − ∫ − ∞ ∞   Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x   d x − ∫ − ∞ ∞   ∂ Ψ ∗ ∂ x x ∂ Ψ ∂ x   d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\ dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx-\int _{-\infty }^{\infty }\ {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}x{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!} 。(3) 方程式 (2) 與 (3) 的減差（使用分部積分法，并利用当x趋于无穷大时波函数 Ψ {\displaystyle \Psi \,\!} 趋于零的特性） ( 2 ) − ( 3 ) = ∫ − ∞ ∞   ( − ∂ Ψ ∗ ∂ x Ψ + Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x ) d x = 2 ∫ − ∞ ∞   Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x   d x {\displaystyle (2)-(3)=\int _{-\infty }^{\infty }\ \left(-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi +\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right)dx=2\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\ dx\,\!} 。 所以， ⟨ p ⟩ = ∫ − ∞ ∞   Ψ ∗ ℏ i ∂ ∂ x Ψ   d x {\displaystyle \langle p\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\ \Psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\Psi \ dx\,\!} 。 對於任意波函數 Ψ {\displaystyle \Psi \,\!} ，這方程式都成立。因此，可以認定動量算符 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 為 ℏ i ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\,\!} 。 由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O {\displaystyle O\,\!} 的期望值是實值的： ⟨ O ⟩ = ⟨ O ⟩ ∗ {\displaystyle \langle O\rangle =\langle O\rangle ^{*}\,\!} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ，這關係都成立： ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}\,\!} 。 根據伴隨算符的定義，假設 O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }\,\!} 是 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} 的伴隨算符，則 ⟨ ψ | O ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | O ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {O}}^{\dagger }|\psi \rangle \,\!} 。因此， O ^ = O ^ † {\displaystyle {\hat {O}}={\hat {O}}^{\dagger }\,\!} 。 這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 O ^ {\displaystyle {\hat {O}}\,\!} ，都是厄米算符。 動量是一個可觀察量，動量算符應該也是厄米算符：選擇位置空間，量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} 的波函數為 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} ， ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ = ∫ − ∞ ∞   ψ ∗ ℏ i ∂ ψ ∂ x   d x = ℏ i ψ ∗ ψ | − ∞ ∞ − ∫ − ∞ ∞   ( ℏ i ∂ ψ ∗ ∂ x ) ψ   d x = ∫ − ∞ ∞   ψ ( ℏ i ∂ ∂ x ψ ) ∗   d x = ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ ∗ = ⟨ ψ | p ^ † | ψ ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi ^{*}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\ dx=\left.{\frac {\hbar }{i}}\psi ^{*}\psi \right|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\ \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\right)\psi \ dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\ \psi \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\psi \right)^{*}\ dx=\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle ^{*}=\langle \psi |{\hat {p}}^{\dagger }|\psi \rangle \\\end{aligned}}} 。 對於任意量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,\!} ， p ^ = p ^ † {\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}^{\dagger }\,\!} 。所以，動量算符確實是一個厄米算符。 假設，動量算符 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 的本徵值為 p {\displaystyle p\,\!} 的本徵函數是 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} ： p ^ f p ( x ) = ℏ i ∂ f p ( x ) ∂ x = p f p ( x ) {\displaystyle {\hat {p}}f_{p}(x)={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial f_{p}(x)}{\partial x}}=pf_{p}(x)\,\!} 。 這方程式的一般解為， f p ( x ) = f 0 e i p x / ℏ {\displaystyle f_{p}(x)=f_{0}e^{ipx/\hbar }\,\!} ； 其中， f 0 {\displaystyle f_{0}\,\!} 是常數。 假設 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} 的定義域是一個有限空間，從 x = − L {\displaystyle x=-L\,\!} 到 x = L {\displaystyle x=L\,\!} ，那麼，可以將 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} 歸一化： ∫ − L L   f p ∗ ( x ) f p ( x )   d x = | f 0 | 2 ∫ − L L   d x = | f 0 | 2 2 L = 1 {\displaystyle \int _{-L}^{L}\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-L}^{L}\ dx=|f_{0}|^{2}2L=1\,\!} 。 f 0 {\displaystyle f_{0}\,\!} 的值是 1 / 2 L {\displaystyle 1/{\sqrt {2L}}\,\!} 。動量算符的本徵函數歸一化為 f p ( x ) = 1 2 L e i p x / ℏ {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{\sqrt {2L}}}e^{ipx/\hbar }\,\!} 。 假設 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} 的定義域是無窮大空間，則 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} 不是一個平方可積函數： ∫ − ∞ ∞   f p ∗ ( x ) f p ( x )   d x = | f 0 | 2 ∫ − ∞ ∞   d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p}^{*}(x)f_{p}(x)\ dx=|f_{0}|^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\ dx=\infty \,\!} 。 動量算符的本徵函數不存在於希爾伯特空間內，不能直接地積分 | f p ( x ) | 2 {\displaystyle |f_{p}(x)|^{2}\,\!} 於無窮大空間，來使 f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)\,\!} 歸一化。 換另一種方法，設定 f 0 = 1 / 2 π ℏ {\displaystyle f_{0}=1/{\sqrt {2\pi \hbar }}\,\!} 。那麼， ∫ − ∞ ∞   f p 1 ∗ ( x ) f p 2 ( x )   d x = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ e − i ( p 1 − p 2 ) x / ℏ   d x = δ ( p 1 − p 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\ f_{p1}^{*}(x)f_{p2}(x)\ dx={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i(p1-p2)x/\hbar }\ dx=\delta (p1-p2)\,\!} ； 其中， δ ( p 1 − p 2 ) {\displaystyle \delta (p1-p2)\,\!} 是狄拉克δ函數。 這性質不是普通的正交歸一性。稱這性質為狄拉克正交歸一性。因為這性質，動量算符的本徵函數是完備的。也就是說，任意波函數 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)\,\!} 都可以表達為本徵函數的線性組合： ψ ( x ) = ∫ − ∞ ∞ c ( p ) f p ( x )   d p = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ c ( p ) e i p x / ℏ   d p {\displaystyle \psi (x)=\int _{-\infty }^{\infty }c(p)f_{p}(x)\ dp={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }c(p)e^{ipx/\hbar }\ dp\,\!} ； 其中，係數 c ( p ) {\displaystyle c(p)\,\!} 是 c ( p ) = ∫ − ∞ ∞ f p ∗ ( x ) ψ ( x )   d x = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ ψ ( x ) e − i p x / ℏ   d x {\displaystyle c(p)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{p}^{*}(x)\psi (x)\ dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)e^{-ipx/\hbar }\ dx\,\!} 。 位置算符與動量算符的交換算符，當作用於一個波函數時，有一個簡單的結果： [ x ^ ,   p ^ ] ψ = ( x ^ p ^ − p ^ x ^ ) ψ = x ℏ i ∂ ψ ∂ x − ℏ i ∂ ( x ψ ) ∂ x = i ℏ ψ {\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\psi =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})\psi =x{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial (x\psi )}{\partial x}}=i\hbar \psi \,\!} 。 所以， [ x ^ ,   p ^ ] = i ℏ {\displaystyle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]=i\hbar \,\!} 。這關係稱為位置算符與動量算符的正則對易關係。由於兩者的正則對易關係不等於 0 ，位置與動量彼此是不相容可觀察量。 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}\,\!} 與 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言， x ^ {\displaystyle {\hat {x}}\,\!} 的本徵態與 p ^ {\displaystyle {\hat {p}}\,\!} 的本徵態不同。 根據不確定性原理， Δ A   Δ B ≥ | ⟨ [ A ,   B ] ⟩ 2 i | {\displaystyle \Delta A\ \Delta B\geq \left|{\frac {\langle [A,\ B]\rangle }{2i}}\right|\,\!} 。 由於 x {\displaystyle x\,\!} 與 p {\displaystyle p\,\!} 是兩個不相容可觀察量， | ⟨ [ x ^ ,   p ^ ] ⟩ 2 i | = ℏ / 2 {\displaystyle \left|{\frac {\langle [{\hat {x}},\ {\hat {p}}]\rangle }{2i}}\right|=\hbar /2\,\!} 。所以， x {\displaystyle x\,\!} 的不確定性與 p {\displaystyle p\,\!} 的不確定性的乘積 Δ x   Δ p {\displaystyle \Delta x\ \Delta p\,\!} ，必定大於或等於 ℏ / 2 {\displaystyle \hbar /2\,\!} 。 A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc.: pp. 443–444, 1978, ISBN 978-0393091069 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall: pp. 15–18, 97–116, 2004, ISBN 0-13-111892-7  引文格式1维护：冗余文本 (link)