卡西米爾不變量

在數學裏，卡西米爾不變量（又稱卡西米爾元或卡希米爾算子）是李代數的泛包絡代數中心的一個特別的元素。典型的例子是角動量算符的平方 J 2, 一個三維旋轉群的卡西米爾不變量。 卡西米爾元以亨德里克·卡西米爾命名。1931年，他確立了這個概念，以用在他對刚体动力学的描述當中。 最常用的卡西米爾元是二次的。其最易定義，因此先在下文給出。然而，也有更高次的卡西米爾不變量，其對應高次的對稱齊次多項式，這些不變量在最後定義。 設 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 為一個 n {\displaystyle n} 維半單李代數。設 B 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上非奇異的二次型，並要求 B 在 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的伴隨作用下不變，即對 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 中的任意 X,Y,Z, 都有 B ( a d X Y , Z ) + B ( Y , a d X Z ) = 0. {\displaystyle B(ad_{X}Y,Z)+B(Y,ad_{X}Z)=0.} （例如，可取 B 為基灵型。） 設 { X i } i = 1 n {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}} 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的基，以及 { X i } i = 1 n {\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}} 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 關於 B 的對偶基，則 B 的卡西米爾不變量 Ω {\displaystyle \Omega } 是泛包絡代數 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 的元素 Ω = ∑ i = 1 n X i X i . {\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.} 儘管上述定義取決於選取的基，可以證明所得的 Ω 與所選的基無關。另一方面，不同的二次型 B 可以給出不同的 Ω. B 的不變性，說明卡西米爾元與李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的任何元素都可交換，因此是泛包絡代數 U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} 的中心的元素。 給定 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 在向量空間 V 上的李代數表示（英语：Lie algebra representation） ρ （允許無窮維），將 ρ(Ω) 稱為 ρ 的卡西米爾不變量，其為 V 上的線性算子，且由下式給出： ρ ( Ω ) = ∑ i = 1 n ρ ( X i ) ρ ( X i ) . {\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).} 此處假定了 B 為基靈型，否則必須指明 B. 該構造的特定形式，在微分幾何和大域分析（英语：Global Analysis）中有重要作用。假設連通李群 G 的李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 作用在微分流形 M 上，則在 M 的連續函數空間上，有 G 相應的表示 ρ. g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的元素均由 M 上的一階微分算子表示，於是，上式給出 ρ 的卡西米爾元，其為 M 上的二階微分算子，且在 G 的作用下不變。 更進一步，若 M 有度量张量，使得 G 的元素作為 M 的保距變換，可遞地作用在 M 上，且一點的穩定子 Gx 不可約地作用在切空間 TxM 上，則 ρ 的卡西米爾元是該度量的拉普拉斯算子的倍數。 也可定義更一般的卡西米爾不變量，其於弗雷德霍姆理論（英语：Fredholm theory）研究伪微分算子時用到。 每個卡西米爾算子，都對應伴隨表示的對稱代數（英语：Symmetric algebra） ad g . {\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.} 的對稱齊次多項式。換言之，任何一個卡西米爾算子都具有下列形式： C ( m ) = κ i j ⋯ k X i ⊗ X j ⊗ ⋯ ⊗ X k , {\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k},} 其中 m 是對稱張量 κ i j ⋯ k {\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}} 的階，且 X i {\displaystyle X_{i}} 組成 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的基。域 K上的多项式环 K [ t i , t j , ⋯ , t k ] {\displaystyle K[t_{i},t_{j},\cdots ,t_{k}]} 內，有 m 元對稱齊次多項式 c ( m ) = κ i j ⋯ k t i t j ⋯ t k {\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}} 與該卡西米爾算子對應。龐卡萊–伯克霍夫–維特定理（英语：Poincaré–Birkhoff–Witt theorem）給出了泛包絡代數的顯式構造，由此可以證明上述的對應關係。 然而，並非每個對應張量（或對稱齊次多項式）都與一個卡西米爾算子對應。其必須與李括號顯見地可交換，即對每個基向量 X i {\displaystyle X_{i}} , 都滿足 [ C ( m ) , X i ] = 0 {\displaystyle [C_{(m)},X_{i}]=0} . 考慮结构常数 fijk，其滿足 [ X i , X j ] = f i j k X k . {\displaystyle [X_{i},X_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}X_{k}.} 於是對於滿足上述條件的對稱多項式，可得 f i j k κ j l ⋯ m + f i j l κ k j ⋯ m + ⋯ + f i j m κ k l ⋯ j = 0. {\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0.} 此為伊斯拉埃爾·蓋爾范德所得的結果。 由該交換關係，可知卡西米爾元與李代數中的任意元素都可交換，從而卡西米爾元是在泛包絡代數的中心裏內。得益於此，李代數表示（英语：Lie algebra representation）能以其卡西米爾元的特徵值來分類。 注意上述對稱多項式的線性和仍然是在中心裏。更甚者，諸卡西米爾元組成中心的一組基。若一個半單李代數的秩為 r, 即其嘉当子代数的維數為 r, 則其恰有 r 個卡西米爾元。 一個單李代數中，每個不變二次型皆為基灵型的倍數，所以對應的卡西米爾元唯一（允許相差一個常數的意義下）。對於一般的半單李代數，考慮其不變二次型組成的空間。半單李代數是若干單李代數的直和，因此該二次型空間中，對應每個單分量，恰有一個基向量。故卡西米爾元組成的空間中，也對應每個單分量，恰有一個基向量。 若 G {\displaystyle G} 為李群，且其李代數為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , 則 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上的不變二次型對應 G {\displaystyle G} 上的雙不變黎曼度量。並且， g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 的泛包絡代數等同於 G {\displaystyle G} 上的左不變微分算子空間。在此等同關係下， g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上雙線性型的卡西米爾元，對應 G {\displaystyle G} 關於雙不變度量的拉普拉斯－贝尔特拉米算子。 卡西米爾算子是李代數的泛包絡代數的中心的特殊二次元素。換言之，卡西米爾算子是一個微分算子，其與李代數的生成元皆可交換。泛包絡代數中心裏，每個二次元素均是某個二次型的卡西米爾元。然而，中心內可以有其他（非二次）的元素。 由拉卡定理，半單李代數的泛包絡代數中心的維數，等於該李代數的秩。在任意的半單李群（即其李代數為半單李代數）上，可以利用卡西米爾元，定義群上的拉普拉斯算子。然而，按照上述關於秩的結論，當秩大於 1 時，無法類比地定義唯一的拉普拉斯算子。 根據定義，泛包絡代數的中心內，任何元素都與整個代數的元素可交換。由舒尔引理，任何既約表示（英语：Irreducible representation）中，卡西米爾算子必為恆等映射的倍數。該比例常數適用於李代數表示的分類（也就適用於李群表示的分類）。物理上，質量和自旋均屬該種常數，並且量子力学中許多量子数亦然。 考慮三維欧几里得空间的旋轉群 SO(3). 其李代數 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的秩為 1, 因此僅得一個獨立的卡西米爾元。旋轉群的基靈型為克羅內克δ, 故相應的卡西米爾不變量正是李代數的生成元 L x , L y , L z {\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}} 的平方和。換言之，卡西米爾元由等式 L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}} 給出。 考慮 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的一個不可約表示。記其中 L z {\displaystyle L_{z}} 的最大特徵值為 ℓ {\displaystyle \ell } , 則 ℓ {\displaystyle \ell } 的可能取值為 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , … . {\displaystyle 0,1/2,1,3/2,\ldots .} 卡西米爾元的不變性可推出其為恆等算子 I 的倍數。該常數可以具體計算出，即： L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 = ℓ ( ℓ + 1 ) I . {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.} 在量子力学中，常數 ℓ {\displaystyle \ell } 稱為總角動量量子數。對於旋轉群的有限維矩陣取值表示， ℓ {\displaystyle \ell } 總為整數或半整數（奇數的一半）。倘為整數，則該表示稱為玻色子表示（英語：bosonic representation)，否則稱為费米子表示（英語：fermionic representation)。 給定 ℓ {\displaystyle \ell } , 得到的矩陣表示是 ( 2 ℓ + 1 ) {\displaystyle (2\ell +1)} 維的。例如 s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} 的三維表示對應於 ℓ = 1 {\displaystyle \ell \,=\,1} , 由下列的生成元給出： L x = i ( 0 0 0 0 0 − 1 0 1 0 ) ; L y = i ( 0 0 1 0 0 0 − 1 0 0 ) ; L z = i ( 0 − 1 0 1 0 0 0 0 0 ) , {\displaystyle L_{x}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};\quad L_{y}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};\quad L_{z}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},} 其中照物理學常用的約定加入了 i {\displaystyle i} 因子，使得諸生成元皆為自伴算子。 由此，可以手算二次卡西米爾元，結果為 L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 = 2 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) . {\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.} 當 ℓ = 1 {\displaystyle \ell \,=\,1} 時， ℓ ( ℓ + 1 ) = 2 {\displaystyle \ell (\ell +1)\,=\,2} , 故此例子與前段的一般結果一致。類似地，二維的表示以泡利矩陣作基，對應物理上自旋為 1/2 的粒子。 由於卡西米爾元 Ω {\displaystyle \Omega } 在泛包絡代數的中心內，其在一個單模（該代數的直和分解的一個分量）上的作用是乘上一個常數。設 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle ,\rangle } 為 Ω {\displaystyle \Omega } 定義採用的對稱非退化二次型。記 L ( λ ) {\displaystyle L(\lambda )} 為具有最高權 λ {\displaystyle \lambda } 的元素組成的有限維模（稱為該表示的最高權模）。則卡西米爾元 Ω {\displaystyle \Omega } 在 L ( λ ) {\displaystyle L(\lambda )} 的作用為乘常數 ⟨ λ , λ + 2 ρ ⟩ = ⟨ λ + ρ , λ + ρ ⟩ − ⟨ ρ , ρ ⟩ , {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,} 其中 ρ {\displaystyle \rho } 為所有正根之和之半。 若 L ( λ ) {\displaystyle L(\lambda )} 非平凡（即 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} ), 則上述常數非零。原因是，由於 λ {\displaystyle \lambda } 是優控的（英語：dominant, 即與任意正根的內積皆非負），若 λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} ，則 ⟨ λ , λ ⟩ > 0 {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0} , 且 ⟨ λ , ρ ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0} , 故 ⟨ λ , λ + 2 ρ ⟩ > 0 {\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0} . 此結果適用於魏爾完全可約性定理（英语：Weyl's theorem on complete reducibility）的證明。亦可不使用上述公式，而採用更抽象的嘉當判別法（英语：Cartan's criterion）證明該常數非零。 哈里希·錢德拉同構（英语：Harish-Chandra isomorphism） 包立－魯班斯基偽向量（英语：Pauli–Lubanski pseudovector） Oliver, David. 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