等比数列

等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（英語：Geometric progression）。 例如数列： 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , 96 , . . . {\displaystyle 3,6,12,24,48,96,...} 就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于 2 {\displaystyle 2} 。 如果一个等比数列的首项記作 a {\displaystyle a} ，公比記作 r {\displaystyle r} ，那么该等比数列第 n {\displaystyle n} 项 a n {\displaystyle a_{n}} 的一般項为： a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} 換句話說，任意一個等比数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 都可以寫成 { a , a r , a r 2 , ⋯ , a r n − 1 } {\displaystyle \{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}} 在一個等比數列中，給定任意兩相連項 a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}} 和 a n {\displaystyle a_{n}} （其中 a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} ），可知公比 r = a n + 1 a n {\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}} 給定任意兩項 a m {\displaystyle a_{m}} 和 a n {\displaystyle a_{n}} ，則有公比 r = a m a n m − n {\displaystyle r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}} 這裡注意，若 m − n {\displaystyle m-n} 是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。 此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說， a 1 × a 3 = a 2 2 {\displaystyle a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}} 。 更一般地說，有： a n − 1 × a n + 1 = a n 2 {\displaystyle a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}} 證明如下： a n − 1 × a n + 1 = a r n − 2 × a r n = a 2 × r 2 n − 2 = ( a r n − 1 ) 2 = a n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}} 證畢。 從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均： a n = ± a n − 1 ⋅ a n + 1 {\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}} 此結果從上面直接可得。 如果有整數 m , n , p , q {\displaystyle m,n,p,q} ，使得 m + n = p + q {\displaystyle m+n=p+q} ，那么则有： a m ⋅ a n = a p ⋅ a q {\displaystyle a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}} 證明如下： a m ⋅ a n = a r m − 1 ⋅ a r n − 1 = a 2 r m + n − 2 = a 2 r p + q − 2 = a r p − 1 ⋅ a r q − 1 = a p ⋅ a q {\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}} 由此可將上面的性質一般化成： a n − k ⋅ a n + k = a n 2 {\displaystyle a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}} a n = ± a n − k ⋅ a n + k {\displaystyle a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}} 其中 k {\displaystyle k} 是一個小於 n {\displaystyle n} 的正整數。 給定一個等比數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} ，則有： { b ⋅ a n } {\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}} 是一個等比數列。 { b a n } {\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}} 是一個等比數列。 { log b ⁡ ( a n ) } {\displaystyle \{\log _{b}(a_{n})\}} 是一個等差數列。 從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成 a n = p q n {\displaystyle a_{n}=pq^{n}} 形式的數列，都是一個等比數列，其中公比 r = q {\displaystyle r=q} ，首項 a = p q {\displaystyle a=pq} 。 公比（英語：Common ratio）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。 等比数列都满足： a n a n − 1 = q {\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=q} 。例如，数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0（因為N÷0），否则為未定义。 一個等比數列的首 n {\displaystyle n} 項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作 S n {\displaystyle S_{n}} 。 舉例來說，等比數列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {\displaystyle \{1,2,4,8\}} 的和是 1 + 2 + 4 + 8 = 15 {\displaystyle 1+2+4+8=15} 。 等比數列求和的公式如下： S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} 其中 a {\displaystyle a} 為首項， n {\displaystyle n} 為項數， r {\displaystyle r} 為公比，且 r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} 。 公式證明如下： 将等比數列和写作以下形式： S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 {\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}} ……(1) 将两边同乘以公比 r，有： r S n = a r + a r 2 + ⋯ + a r n {\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}} ……(2) (1)式减去(2)式，有： ( 1 − r ) S n = a − a r n {\displaystyle (1-r)S_{n}=a-ar^{n}} 当 r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} 时，整理後得證。 當 r = 1 {\displaystyle r=1} 時，可以发现： S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 1 = a + a + a + ⋯ + a ⏟ n = n × a = a n {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}} 综上所述，等比数列的求和公式为： S n = { a ( 1 − r n ) 1 − r r ≠ 1 a n r = 1 {\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}} 當 − 1 < r < 1 {\displaystyle -1<r<1} 時，注意到 lim n → ∞ r n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0} 因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為 S ∞ = a 1 − r {\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} 由此可見，當 − 1 < r < 1 {\displaystyle -1<r<1} 時，幾何級數會收斂到一個固定值。 一個等比數列的首 n 項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作 Pn。 舉例來說，等比數列 { 1 , 2 , 4 , 8 } {\displaystyle \{1,2,4,8\}} 的積是 1 × 2 × 4 × 8 = 64 {\displaystyle 1\times 2\times 4\times 8=64} 。 等比數列求積的公式如下： P n = a n ⋅ r n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}} 證明如下： P n = a ⋅ a r ⋅ a r 2 ⋅ ⋯ ⋅ a r n − 1 = a n ⋅ r 0 + 1 + 2 + ⋯ + ( n − 1 ) = a n ⋅ r n ( n − 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}} 第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為 n − 1 {\displaystyle n-1} 。 序列 數列 級數 幾何級數 幾何平均 等差數列 等諧數列 国际象棋盘与麦粒问题 Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.