拓扑空间

拓扑空间（英語：Topological space）是一种賦予「一點附近」這個概念的抽象数学结构；拓扑空间也是一个集合，其元素称为点，由此可以定義出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 拓扑結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函數極限。 對於度量空间 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 內的任一點 x {\displaystyle x} ，可定義中心為 x {\displaystyle x} ，半徑為 r > 0 {\displaystyle r>0} 的開球 B ( x ; r ) := { y ∈ M | d ( x , y ) < r } {\displaystyle B(x;r):=\left\{y\in M\,{\bigg |}\,d(x,\,y)<r\right\}} 然後把開球視為點 x {\displaystyle x} 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 x {\displaystyle x} ，都會有一個夠小的開球 B ( x ; r ) {\displaystyle B(x;r)} 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 的開子集 O ⊆ M {\displaystyle O\subseteq M} 為滿足如下條件的子集合 ( ∀ x ∈ O ) ( ∃ r > 0 ) [ B ( x ; r ) ⊆ O ] {\displaystyle (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]} 這樣定義的開集有一些有趣的性質： (1) 任二開集的交集也是開集 任取兩個 ( M , d ) {\displaystyle (M,\,d)} 的開子集 O 1 , O 2 ⊆ M {\displaystyle O_{1},\,O_{2}\subseteq M} ，若 x ∈ O 1 ∩ O 2 {\displaystyle x\in O_{1}\cap O_{2}} ，根據定義存在 r 1 , r 2 > 0 {\displaystyle r_{1},\,r_{2}>0} 使得 B ( x ; r 1 ) ⊆ O 1 {\displaystyle B(x;r_{1})\subseteq O_{1}} B ( x ; r 2 ) ⊆ O 2 {\displaystyle B(x;r_{2})\subseteq O_{2}} 這樣若取 r = min { r 1 , r 2 } {\displaystyle r=\min {\{r_{1},\,r_{2}\}}} ，則會有： B ( x ; r ) ⊆ O 1 ∩ O 2 {\displaystyle B(x;r)\subseteq O_{1}\cap O_{2}} 也就是說， O 1 ∩ O 2 {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}} 也是個開集。 (2) 任意個開集的并集也會是開集 若 A ⊆ P ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} 是一群開集所構成的集合，也就是說 ∀ O { ( O ∈ A ) ⇒ ( ∀ x ∈ O ) ( ∃ r > 0 ) [ B ( x ; r ) ⊆ O ] } {\displaystyle \forall O\{(O\in {\mathfrak {A}})\Rightarrow (\forall x\in O)(\exists r>0)[\,B(x;r)\subseteq O\,]\}} 如果取 a ∈ ⋃ A {\displaystyle a\in \bigcup {\mathfrak {A}}} 換句話說： ∃ O [ ( O ∈ A ) ∧ ( a ∈ O ) ] {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {A}})\wedge (a\in O)\,]} 這樣的話，顯然有 ( ∃ r > 0 ) [ B ( a ; r ) ⊆ ⋃ A ] {\displaystyle (\exists r>0)\left[\,B(a;r)\subseteq \bigcup {\mathfrak {A}}\,\right]} 所以 ⋃ A {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}} 也會是一個開集。 以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。 拓扑结构一词涵盖了开集系，闭集系，邻域系，开核，閉包，导集，滤子等若干概念。可以从这些概念出发，给出若干种等价結構，但大部分書籍都以開集系為準。 根據定义动机一節可以作如下的定義：   X {\displaystyle X}  的子集族 O ⊆ P ( M ) {\displaystyle {\mathfrak {O}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} 若滿足以下开集公理 則称 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} 为  X {\displaystyle X}  的开集系（其中的元素称为开集）或拓扑， ( X , O ) {\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})} 則被稱為一拓扑空間， X {\displaystyle X}  內的元素  x ∈ X {\displaystyle x\in X} 則称为拓扑空间  ( X , O ) {\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}})} 的点。 开集系的代號 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} 是字母「O」的德文尖角體，取名自德语形容词「offen」（開的）。 从开集系出发定义其它概念：（ A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 為 X {\displaystyle X} 的子集） 闭集：若 X − A {\displaystyle X-A} 是开集，則稱 A {\displaystyle A} 是闭集。 邻域：若存在开集 O {\displaystyle O} 使得 x ∈ O ⊆ A {\displaystyle x\in O\subseteq A} ，則稱 A {\displaystyle A} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域。 开核： A {\displaystyle A} 的開核（或內部） A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} 定義為 A {\displaystyle A} 內所有开集之并，也就是 A ∘ := ⋃ { O ∈ O | O ⊆ A } {\displaystyle A^{\circ }:=\bigcup \left\{O\in {\mathfrak {O}}\,{\big |}\,O\subseteq A\right\}} X {\displaystyle X} 的子集族 F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 若滿足如下闭集公理： 則称 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 为 X {\displaystyle X} 的闭集系（其中的元素称为闭集）。 开集系的代號 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法语动词「fermer」（關閉）的过去分词「fermé」（封閉的）。 根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族 O F = { O ∈ P ( X ) | X − O ∈ F } {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {F}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-O\in {\mathfrak {F}}\right\}} 為开集系，類似地，對於開集系 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} ，以下的子集族 F O = { F ∈ P ( X ) | X − F ∈ O } {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\mathfrak {O}}=\left\{F\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,X-F\in {\mathfrak {O}}\right\}} 為閉集系，所以閉集系跟拓扑是等價的結構。 从闭集系出发定义其它概念：（ A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 為 X {\displaystyle X} 的子集） 开集： X − A {\displaystyle X-A} 是闭集，則稱 A {\displaystyle A} 是开集。 闭包： A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} 定義為包含A的所有闭集之交，也就是 A ¯ := ⋂ { F ∈ F | A ⊆ F } {\displaystyle {\overline {A}}:=\bigcap \left\{F\in {\mathfrak {F}}\,{\big |}\,A\subseteq F\right\}} 函数 U : X → P [ P ( X ) ] {\displaystyle {\mathfrak {U}}:X\to {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]} （ P [ P ( X ) ] {\displaystyle {\mathcal {P}}[{\mathcal {P}}(X)]} 指 X {\displaystyle X} 的幂集的幂集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 满足如下邻域公理： 这样任意 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 被称为 x {\displaystyle x} 的邻域系， U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 裡的元素 U ∈ U ( x ) {\displaystyle U\in {\mathfrak {U}}(x)} 則称为 x {\displaystyle x} 的邻域。 換句話說，函數 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} 将 X {\displaystyle X} 的每个点 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 映射至 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} ，而 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 則是所有 x {\displaystyle x} 的邻域所構成的集族。 邻域系的代號 U {\displaystyle {\mathfrak {U}}} 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德语动词「 umgeben」（環繞）的名詞化「Umgebung」（周圍、環境）。 若取以下的子集族 O U = { O ∈ P ( X ) | ( ∀ x ) { ( x ∈ O ) ⇒ [ O ∈ U ( x ) ] } } {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}=\left\{O\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\forall x)\{\,(x\in O)\Rightarrow [\,O\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\,\}\right\}} 因為 X {\displaystyle X} 包含任意邻域， X {\displaystyle X} 本身顯然為任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 的領域，故 X ∈ O U {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} ；另外空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義， ∅ ∈ O U {\displaystyle \varnothing \in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} 。 若取 O 1 , O 2 ∈ O U {\displaystyle O_{1},\,O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} ，根據邻域公理的第二項有 O 1 ∩ O 2 ∈ O U {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} ；若取 B ⊆ O U {\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} ，且 x ∈ ⋃ B {\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {B}}} ，那換句話說 ∃ O [ ( O ∈ B ) ∧ ( x ∈ O ) ] {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\,]} 這樣的話有 ∃ O [ ( O ∈ B ) ∧ ( x ∈ O ) ∧ ( O ∈ O U ) ] {\displaystyle \exists O[\,(O\in {\mathfrak {B}})\wedge (x\in O)\wedge (O\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}})\,]} 那這樣根據邻域公理第三項， ⋃ B ∈ O U {\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}\in {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} ，所以 O U {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{\mathfrak {U}}} 的確是個開集合系。 類似地對於開集系 O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} ，若對任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 取 U ( x ) = { U ∈ P ( X ) | ∃ O [ ( O ∈ O ) ∧ ( O ⊆ U ) ∧ ( x ∈ O ) ] } {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,\exists O[\,(O\in {\mathfrak {O}})\wedge (O\subseteq U)\wedge (x\in O)\,]\right\}} 那 U ( x ) {\displaystyle {\mathfrak {U}}(x)} 也會符合上面四款邻域系公理（注意到第四項取 V = U ∘ {\displaystyle V=U^{\circ }} ），所以對所有 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 定義了邻域系等同於定義了一個拓扑。 从邻域系出发定义其它概念：（ A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 為 X {\displaystyle X} 的子集） 开集：对任意 x ∈ A {\displaystyle x\in A} ，有 A ∈ U ( x ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {U}}(x)} ，則稱 A {\displaystyle A} 是开集。（開集本身是它所有点的邻域） 开核： A ∘ = { x ∈ X | ∃ U { [ U ∈ U ( x ) ] ∧ ( U ⊆ A ) } } {\displaystyle A^{\circ }=\left\{x\in X\,{\big |}\,\exists U\{\,[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\wedge (U\subseteq A)\,\}\right\}} （開核裡的每一點，都有一個包含於 A {\displaystyle A} 的領域。） 闭包： A ¯ = { x ∈ X | ∀ U { [ U ∈ U ( x ) ] ⇒ ( U ∩ A ≠ ∅ ) } } {\displaystyle {\overline {A}}=\left\{x\in X\,{\big |}\,\forall U\{[\,U\in {\mathfrak {U}}(x)\,]\Rightarrow (U\cap A\neq \varnothing )\}\right\}} 。（閉包裡每一點的領域，都跟 A {\displaystyle A} 有交集。） X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一元运算 c : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle c:P(X)\to P(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集A映射为 X {\displaystyle X} 的子集 c ( A ) {\displaystyle c(A)} ）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算 c {\displaystyle c} 满足下述的闭包公理： A1： A ⊆ c ( A ) {\displaystyle A\subseteq c(A)} ； A2： c ( c ( A ) ) = c ( A ) {\displaystyle c(c(A))=c(A)} ； A3： c ( A ∪ B ) = c ( A ) ∪ c ( B ) {\displaystyle c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)} ； A4： c ( ∅ ) = ∅ {\displaystyle c(\varnothing )=\varnothing } 。 集合 A {\displaystyle A} 的闭包通常记为 A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} 。 从闭包出发定义其它概念： 从闭包定义闭集： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是闭集，当且仅当 A = A ¯ {\displaystyle A={\overline {A}}} 。 从闭包定义开核： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的开核 A ∘ = X − X − A ¯ {\displaystyle A^{\circ }=X-{\overline {X-A}}} 。 从闭包定义邻域： X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域，当且仅当 x ∉ X − U ¯ {\displaystyle x\notin {\overline {X-U}}} 。 X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle P(X)} 上的一元运算 o : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle o:P(X)\to P(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集A映射为 X {\displaystyle X} 的子集 o ( A ) {\displaystyle o(A)} ）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算 o {\displaystyle o} 满足如下开核公理： I1： o ( A ) ⊆ A {\displaystyle o(A)\subseteq A} ； I2： o ( o ( A ) ) = o ( A ) {\displaystyle o(o(A))=o(A)} ； I3： o ( A ∩ B ) = o ( A ) ∩ o ( B ) {\displaystyle o(A\cap B)=o(A)\cap o(B)} ； I4： o ( X ) = X {\displaystyle o(X)=X} 。 集合 A {\displaystyle A} 的开核通常记为 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} 。 （显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。 从开核出发定义其它概念： 从开核定义开集： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是开集，当且仅当 A = A ∘ {\displaystyle A=A^{\circ }} 。 从开核定义邻域： X {\displaystyle X} 的子集 U {\displaystyle U} 是点 x {\displaystyle x} 的邻域，当且仅当 x ∈ U ∘ {\displaystyle x\in U^{\circ }} 。 从开核定义闭包： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 的闭包 A ¯ = X − ( X − A ) ∘ {\displaystyle {\overline {A}}=X-(X-A)^{\circ }} 。 X {\displaystyle X} 的幂集 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 上的一元运算 d : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle d:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)} （即将 X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 映射为 X {\displaystyle X} 的子集 d ( A ) {\displaystyle d(A)} ）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当 d {\displaystyle d} 满足以下导集公理： D1： d ( ∅ ) = ∅ {\displaystyle d(\varnothing )=\varnothing } ； D2： d ( d ( A ) ) ⊆ d ( A ) ∪ A {\displaystyle d(d(A))\subseteq d(A)\cup A} ； D3： ∀ x ∈ X ,   d ( A ) = d ( A − { x } ) {\displaystyle \forall x\in X,\ d(A)=d(A-\{x\})} ； D4： d ( A ∪ B ) = d ( A ) ∪ d ( B ) {\displaystyle d(A\cup B)=d(A)\cup d(B)} 从导集出发定义其它概念： 从导集定义闭集： X {\displaystyle X} 的子集 A {\displaystyle A} 是闭集，当且仅当 d ( A ) ⊆ A {\displaystyle d(A)\subseteq A} 。 同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 的每一个开集都是拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 的开集时，称拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 比拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 更细，或称拓扑 T 1 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}} 比拓扑 T 2 {\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}} 更粗。 仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。 最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。 在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。 类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。 定義 —  ( X , O X ) {\displaystyle (X,\,{\mathfrak {O}}_{X})} 與 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,\,{\mathfrak {O}}_{Y})} 都是拓扑空间，如果函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 滿足： ( ∀ B ∈ O Y ) [ f − 1 ( B ) ∈ O X ] {\displaystyle (\forall B\in {\mathfrak {O}}_{Y})[f^{-1}(B)\in {\mathfrak {O}}_{X}]} 称 f {\displaystyle f} 为 O X {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}} - O Y {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}} 连续。 若更進一步， f {\displaystyle f} 為双射而有反函數 f − 1 : Y → X {\displaystyle f^{-1}:Y\to X} 且 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} 為 O Y {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}} - O X {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}} 连续，則稱 f {\displaystyle f} 為 O X {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{X}} - O Y {\displaystyle {\mathfrak {O}}_{Y}} 同胚映射，且稱 X {\displaystyle X} 與 Y {\displaystyle Y} 是同胚的。 f {\displaystyle f} 对任何闭集的原像是闭集。 对点 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的任一邻域 V {\displaystyle V} ，都存在点 x {\displaystyle x} 的一个邻域 U {\displaystyle U} ，使得 f ( U ) ⊂ V {\displaystyle f(U)\subset V} ，则称 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在点 x {\displaystyle x} 连续，而连续映射即点点连续的映射。 对任一集合 A {\displaystyle A} ， f ( A ¯ ) ⊆ f ( A ) ¯ {\displaystyle f({\overline {A}})\subseteq {\overline {f(A)}}} 成立。 对任一集合 A {\displaystyle A} ， f − 1 ( A ∘ ) ⊆ ( f − 1 ( A ) ) ∘ {\displaystyle f^{-1}(A^{\circ })\subseteq (f^{-1}(A))^{\circ }} 成立。 拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的範疇。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。 给定拓扑空间 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} ，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）： 内部，内点 A的开核o(A)又称为A的内部，其元素称为A的内点。 外部，外点 X - c(A)称为A的外部，其元素称为A的外点。 边界，边界点 c(A)∩c(X-A)称为A的边界，其元素称为A的边界点。 触点 A的闭包c(A)中的点称为A的触点。 稠密性，稠密集 称A在X中是稠密的（或称稠密集），当且仅当c(A) = X。 边缘集 称A是X的边缘集，当且仅当X-A在X中是稠密的。 疏性，疏集 称A在X中是疏的（或称疏集），当且仅当c(A)是X中的边缘集。 第一范畴集，第二范畴集 称A是X中的第一范畴集，当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集，当且仅当A不是X中的第一范畴集。 聚点，导集 X中的点x称为A的聚点，当且仅当x ∈ c(A - {x})（或者等价地，x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点）。A的所有聚点组成的集合称为A的导集。 孤立点 A中的点x称为A的孤立点，当且仅当它不是A的聚点。 孤点集，离散集 称A为孤点集或离散集，当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。 自密集 称A为自密集，当且仅当A中的点都是A的聚点（等价地，A中没有A的孤立点）。 完备集 称A为完备集，当且仅当A等于其导集。 自密核 A的最大自密子集称为A的自密核。 无核集 称A是无核集，当且仅当A的自密核是∅（或等价地，A的任意非空子集都含有孤立点）。 网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 。 空间 X {\displaystyle X} 上的一个网 ( x α ) α ∈ A {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}} 是从有向集合 A {\displaystyle A} 映至 X {\displaystyle X} 的映射。 若存在 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，使得对每个 x {\displaystyle x} 的邻域 U {\displaystyle U} 都存在 β ∈ A {\displaystyle \beta \in A} ，使得 α ≥ β ⇒ x α ∈ U {\displaystyle \alpha \geq \beta \Rightarrow x_{\alpha }\in U} ，则称网 ( x α ) α ∈ A {\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}} 收敛至 x {\displaystyle x} 。 几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网 实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是无穷多个，但进一步可以证明，所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并）。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。 更一般的，n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。 任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。 任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。 除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。 流形都是一个拓扑空间。 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。 线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，在某些極端情況下，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间。 如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。 X = {1,2,3,4} 和 X 內兩個子集組成的集族 τ = {∅, X} 會形成一個平庸拓扑。 X = {1,2,3,4} 和 X 內六個子集組成的集族 τ = {∅,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。 X = ℤ（整數集合）及集族 τ 等於所有的有限整數子集加上 ℤ 自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是 ℤ 的全部，因此不在 τ 內。 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。 3个元素的集上总拓扑数只有29个。 4个元素的集上总拓扑数只有355个。 n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中，不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明 3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下： {∅, X} {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X} {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X} {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X} {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X} {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X} {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X} {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X} {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X} 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。 对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。 商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y是一个集合，如果f : X  →  Y是一个满射，那么Y获得一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关系。 Vietoris拓扑 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。 以下假设X为一个拓扑空间。 详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。 拓扑不可区分性 X中两个点x，y称为拓扑不可区分的，当且仅当如下结论之一成立： 对X中每个开集U，或者U同时包含x，y两者，或者同时不包含它们。 x的邻域系和y的邻域系相同。 x ∈ { y } ¯ {\displaystyle x\in {\overline {\{y\}}}} ，且 y ∈ { x } ¯ {\displaystyle y\in {\overline {\{x\}}}} 。 可分的 X称为可分的，当且仅当它拥有一个可数的稠密子集。 第一可数 X称为第一可数的，当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。 第二可数 X称为第二可数的，当且仅当其拥有一个可数的基。 连通 X称为连通的，当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。（或等价地，该空间的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者）。 局部连通 X称为局部连通的，当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。 完全不连通 X称为完全不连通的，当且仅当不存在多于一个点的连通子集。 道路连通 X称为道路连通的，当且仅当其任意两点x和y，存在从x到y的道路p，也即，存在一个连续映射p: [0,1] → X，满足p（0）= x 且p（1）= y。道路连通的空间总是连通的。 局部道路连通 X称为局部道路连通的，当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且仅当它是道路连通的。 单连通 X称为单连通的，当且仅当它是道路连通且每个连续映射 f : S 1 → X {\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X} 都与常数映射同伦。 可缩 X称为可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。 超连通 X称为超连通的，当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。 极连通 X称为极连通的，当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。 平庸的 X称为平庸的，当且仅当其开集只有本身与空集。 （详细资料请参照紧集） 紧性 X称为紧的，当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。 林德洛夫性质 X称为拥有林德洛夫性质，当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。 仿紧 X称为仿紧的，当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。 可数紧 X称为可数紧的，当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。 列紧 X称为可数紧的，当且仅当其任意点列都包含收敛子列。 伪紧 X称为伪紧的，当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。 可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。 对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群 G {\displaystyle G} 乃是一个拓扑空间配上连续映射 m : G × G → G {\displaystyle m:G\times G\rightarrow G} （群乘法）及 i : G → G {\displaystyle i:G\rightarrow G} （反元素），使之具备群结构。 同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。 结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。 拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括： 谱空间（spectral space）上的序结构。 特殊化预序：定义 x ≤ y ⇔ c l ( x ) ⊂ c l ( y ) {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow \mathrm {cl} (x)\subset \mathrm {cl} (y)} 。常见於计算机科学。 n个元素的集上总拓扑数规律 整數數列線上大全:OEIS-A000798. John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256. James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292. 点集拓扑学初步 / 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社, 1979年1月。 点集拓扑学基础 / 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年3月。 点集拓扑学原理 / 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出版社, 1981年6月。 一般拓扑学 / 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大出版社, 1982年1月。 一般拓扑学 / 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社, 1982年5月。 拓扑学引论 / 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人民出版社, 1983年1月。 基础拓扑学 / 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学出版社, 1983年1月。 点集拓扑学 / 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983年4月。 拓扑学的基础和方法 / 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北京: 科学出版社, 1986年3月。 拓扑学初步 / 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年4月。 拓扑学基础教程 / 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学出版社, 1987年8月。 基础拓扑学 / 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社, 1991年1月。 一般拓扑学专题选讲 / 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社, 1991年3月。 拓扑学导论 / 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等教育出版社, 1992年9月。 基础拓扑学讲义 / 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社, 1997年. ISBN 7-301-03103-3.