康托尔集

在数学中，康托尔集（Cantor set）由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯（英语：Henry John Stephen Smith）在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一的开集而得出。首先从区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} 中去掉中间的三分之一 ( 1 3 , 2 3 ) {\displaystyle \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)} ，留下两条线段： [ 0 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1 ] {\displaystyle \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},1\right]} 。然后，把这两条线段的中间三分之一都去掉，留下四条线段： [ 0 , 1 9 ] ∪ [ 2 9 , 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 7 9 ] ∪ [ 8 9 , 1 ] {\displaystyle \left[0,{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {2}{9}},{\frac {1}{3}}\right]\cup \left[{\frac {2}{3}},{\frac {7}{9}}\right]\cup \left[{\frac {8}{9}},1\right]} 。康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} 中的点组成。这个过程可以由递归的方法描述，首先令： C 0 := [ 0 , 1 ] {\displaystyle C_{0}:=[0,1]} 则第 n {\displaystyle n} 步递归得到的结果： C n := C n − 1 3 ∪ ( 2 3 + C n − 1 3 ) = 1 3 ( C n − 1 ∪ ( 2 + C n − 1 ) ) {\displaystyle C_{n}:={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right)={\frac {1}{3}}\left(C_{n-1}\cup (2+C_{n-1})\right)} , 对于 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 所以： C := {\displaystyle {\mathcal {C}}:=} lim n → ∞ C n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }C_{n}} = ⋂ n = 0 ∞ C n = ⋂ n = m ∞ C n {\displaystyle =\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}=\bigcap _{n=m}^{\infty }C_{n}} , 对于 m ≥ 0 {\displaystyle m\geq 0} . 下面的图显示了这个过程的最初六个步骤。 有些学术论文详细描述了康托尔集的明确公式。 康托尔函数 康托尔立方体（英语：Cantor cube） 谢尔宾斯基地毯 科赫雪花 门格海绵 分形列表（英语：List of fractals by Hausdorff dimension） Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)]，Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591. H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65. Henry J.S. Smith (1875) “On the integration of discontinuous functions.” Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153. “康托尔集”还由Paul du Bois-Reymond发现（1831–1889）。参见：Paul du Bois-Reymond (1880) “Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung，” Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128页的脚注。“康托尔集”还由Vito Volterra在1881年发现（1860–1940）。参见：Vito Volterra (1881) “Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue” [Some observations on point-wise discontinuous functions]，Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86. José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165. Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006. Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446  (See example 29). Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1). cut-the-knot上的康托尔集 （页面存档备份，存于互联网档案馆） cut-the-knot上的康托尔集与函数 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Cantor Sets （页面存档备份，存于互联网档案馆） and Cantor Set and Function （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot