形式幂级数

形式幂级数(formal power series)是一个数学中的抽象概念，是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似，不过允许（可数）无穷多项因子相加，但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。 形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者，也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说，以下的级数式子： A = 1 − 3 X + 5 X 2 − 7 X 3 + 9 X 4 − 11 X 5 + ⋯ . {\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .} 如果我们把它当成幂级数来研究的话，重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时，我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为： [ 1 , − 3 , 5 , − 7 , 9 , ⋯ ] {\displaystyle [1,-3,5,-7,9,\cdots ]} 这样，只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数： [ 1 , 1 , 2 , 6 , 24 , 120 , , ⋯ ] {\displaystyle [1,1,2,6,24,120,,\cdots ]} ，即使说它对应的幂级数： A = 1 + X + 2 X 2 + 6 X 3 + 24 X 4 + 120 X 5 + ⋯ . {\displaystyle A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .} 在 X {\displaystyle X} 取任何的非零实数值时都不收敛，我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。 和多项式环中的元素一样，形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算，具体的计算方式和多项式环一样。比如说设： B = 2 X + 4 X 3 + 6 X 5 + 8 X 7 + ⋯ . {\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .} 那么 A {\displaystyle A} 与 B {\displaystyle B} 的和就是： A + B = 1 + 3 X + 2 X 2 + 10 X 3 + 24 X 4 + 126 X 5 + ⋯ . {\displaystyle A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .} A B = 2 X − 6 X 2 + 14 X 3 − 26 X 4 + 44 X 5 + ⋯ . {\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .} 其中 A + B {\displaystyle A+B} 里面 X 3 {\displaystyle X^{3}} 的系数就是 A {\displaystyle A} 与 B {\displaystyle B} 中 X 3 {\displaystyle X^{3}} 的系数的和； A B {\displaystyle AB} 里面 X 5 {\displaystyle X^{5}} 的系数就是 A {\displaystyle A} 与 B {\displaystyle B} 中 X {\displaystyle X} 的阶数相加等于5的项的系数乘积的和： 44 X 5 = ( 1 × 6 X 5 ) + ( 5 X 2 × 4 X 3 ) + ( 9 X 4 × 2 X ) . {\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).} 对每个确定的阶数 n {\displaystyle n} ，这个计算是有限项（至多 n + 1 {\displaystyle n+1} 项）的相加，所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候，不需要像在对幂级数进行计算时一样，考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外，如多项式的形式运算一样，形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。 形式幂级数不仅能够定义乘法，也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数 A {\displaystyle A} 的逆是指另一个形式幂级数 C {\displaystyle C} ，使得 A C = 1 {\displaystyle AC=1} . 如果这样的形式幂级数 C {\displaystyle C} 存在，就是唯一的，将其记为 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} 。同时我们也可以定义形式幂级数的除法：当 A {\displaystyle A} 的逆存在时， B / A = B ⋅ A − 1 . {\displaystyle B/A=B\cdot A^{-1}.} 比如说，可以很容易验证： 1 1 + X = 1 − X + X 2 − X 3 + X 4 − X 5 + ⋯ . {\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .} 形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作：将一个形式幂级数映射到它的 X n {\displaystyle X^{n}} 的系数。这个操作常常记作 [ X n ] {\displaystyle [X^{n}]} ，比如说对形式幂级数 A = 1 − 3 X + 5 X 2 − 7 X 3 + 9 X 4 − 11 X 5 + ⋯ . {\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .} ，就有： [ X 5 ] A = − 11 {\displaystyle [X^{5}]A=-11} 对以上定义的形式幂级数 B {\displaystyle B} ，也有： [ X 3 ] B = 4 {\displaystyle [X^{3}]B=4} 。又比如： [ X 2 ] ( X + 3 X 2 Y 3 + 10 Y 6 ) = 3 Y 3 {\displaystyle [X^{2}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3Y^{3}} ， [ X 2 Y 3 ] ( X + 3 X 2 Y 3 + 10 Y 6 ) = 3 {\displaystyle [X^{2}Y^{3}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3} 。提取映射和多项式环中的对应映射一样，都可以看做是到一个子空间的投影映射。 所有的不定元为 X {\displaystyle X} ，系数为某一个交换环 R {\displaystyle R} 上元素的形式幂级数构成一个环，称为 R {\displaystyle R} 上变量为 X {\displaystyle X} 的形式幂级数环，记作 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 。 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 可以定义为 R {\displaystyle R} 上变量为 X {\displaystyle X} 的多项式环完备化（对于特定的度量）后得到的。这个定义自然就赋予了 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 以拓扑环的结构（同时也赋予了完备度量空间的结构）。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐，而建构 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 所需要的并没有那么多。以下将对 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 的环结构和拓扑结构分别定义，更为明晰，容易理解。 首先可以定义集合 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 的范围。作为一个集合， R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 可以用和 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 一样的方法构造。 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 是所有 R {\displaystyle R} 上元素构成的数列 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 的集合： R N = { ( a n ) n ∈ N , ∀ n ∈ N , a n ∈ R } . {\displaystyle R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.} R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 中的元素可以定义加法和乘法： ( a n ) n ∈ N + ( b n ) n ∈ N = ( a n + b n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} ( a n ) n ∈ N × ( b n ) n ∈ N = ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) n ∈ N . {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.} 其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积，也是一种卷积。可以证明，在以上的定义下， R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 是一个交换环。环的加法零元是 ( 0 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle (0,0,0,...)} ，乘法幺元是 ( 1 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle (1,0,0,...)} 。于是我们可以将 R {\displaystyle R} 中的元素嵌入到 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 之中， x ∈ R ↦ ( x , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)} 并将 ( 0 , 1 , 0 , 0 , . . . ) {\displaystyle (0,1,0,0,...)} 映射到不定元 X {\displaystyle X} ，这样通过以上定义的加法和乘法就可以将 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 中的有限非零元元素同构为： ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a n , 0 , 0 , … ) ↦ a 0 + a 1 X + ⋯ + a n X n = ∑ i = 0 n a i X i {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}} 这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 中元素 ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，就可以自然地希望将其对应到 ∑ i ∈ N a i X i {\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}} ： 但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到，所以需要用一个约定上的映射 φ : R N → R [ [ X ] ] {\displaystyle \varphi :\,R^{\mathbb {N} }\rightarrow R[[X]]} 来做到： ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a n , … ) ↦ φ ( a 0 , a 1 , a 2 , … , a n , … ) = a 0 + a 1 X + ⋯ + a n X n + ⋯ = ∑ i ∈ N a i X i {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}} 这个映射涵盖了之前的多项式的定义，并且可以定义 ( ∑ i ∈ N a i X i ) + ( ∑ i ∈ N b i X i ) = ∑ n ∈ N ( a n + b n ) X n . {\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.} 以及 ( ∑ i ∈ N a i X i ) × ( ∑ i ∈ N b i X i ) = ∑ n ∈ N ( ∑ k = 0 n a k b n − k ) X n . {\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.} 这个定义使得 φ {\displaystyle \varphi } 是一个同态，所以 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 也是一个交换环。 以上的定义中建立了映射 φ ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … ) = ∑ i = 0 ∞ a i X i , ( 1 ) {\displaystyle \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)} 但需要注意的是这里的定义中 ∑ i = 0 ∞ a i X i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}} 还是一个符号性的对象，因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义 ∑ i = 0 ∞ a i X i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}} 本身，我们需要引入拓扑的结构，将其作为极限来严格地说明。需要注意的是，适合的拓扑结构不止一个。 我们可以在 R {\displaystyle R} 上定义离散拓扑的结构，然后将 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 作为可数个 R {\displaystyle R} 的积空间，将其上的拓扑定义为积拓扑。 我们也可以直接在 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 上定义类似于p进数拓扑的 I {\displaystyle I} 进拓扑，其中的 I = ( X ) {\displaystyle I=(X)} 是环结构中由 X {\displaystyle X} 生成的理想，也就是由所有 ∑ i = 1 ∞ a i X i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}X^{i}} 形式的形式幂级数构成的集合。 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者，也可以建立一个具体的度量（也就是定义“距离”）来定义拓扑。比如定义两个数列 a = ( a n ) n ∈ N {\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 和 b = ( b n ) n ∈ N {\displaystyle b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 的距离： d ( a , b ) = { 2 − ω ( a − b ) a − b ≠ 0 0 a − b = 0 {\displaystyle d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}} 其中 ω ( s ) {\displaystyle \omega (s)} 表示数列 s = ( s n ) n ∈ N {\displaystyle s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }} 中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下，我们说两个数列如果越来越“接近”，那么第一个系数不同的地方会出现的越晚，也就是说它们的距离也越小。对一个数列 a = ( a n ) n ∈ N {\displaystyle a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} ，定义部分和数列为： s k = ( a 0 , a 1 , … , a k , 0 , 0 , … ) {\displaystyle s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )} 那么部分和 s k {\displaystyle s_{k}} 和 a {\displaystyle a} 的距离就会是 2 − ( k + 1 ) {\displaystyle 2^{-(k+1)}} ，所以 k {\displaystyle k} 趋于无穷大的时候，部分和数列和 a {\displaystyle a} 的距离趋于0. 这样，在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后，就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。 ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … ) = lim k → ∞ s k {\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}} 然后对形式幂级数也定义类似的距离： d ′ ( ∑ i = 0 ∞ a i X i , ∑ i = 0 ∞ b i X i ) = { 2 − ω ′ , ω ′ = min n { a n ≠ b n } ∃ a n ≠ b n 0 ∀ n , a n = b n {\displaystyle d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}} 然后形式幂级数也就满足： ∑ i = 0 ∞ a i X i =: φ ( a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , … ) = lim k → ∞ φ ( s k ) = lim k → ∞ ∑ i = 0 k a i X i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}} 并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律。于是我们定义出了一个同构于 R N {\displaystyle R^{\mathbb {N} }} 的拓扑环，将其称为 R {\displaystyle R} 上的形式幂级数环 R [ [ X ] ] {\displaystyle R[[X]]} 。 Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.