循环小数

循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。 循環小數都為有理數的小數表示形式，例： 5 4 = 1.25 = 1.25000000 ⋯ = 1.25 0 ¯ = 1.24999999 ⋯ = 1.24 9 ¯ {\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}} 1 3 = 0.3333333 ⋯ = 0. 3 ¯ {\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}} 1 7 = 0. 142857 142857 ⋯ = 0. 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}} 一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设 n {\displaystyle n} 的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。 根據分數 b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} 的情況分開討論 1.除数a为 2 m × 5 n × K {\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K} 的倍數时， b ÷ a {\displaystyle b\div a} 有max(m,n)个不循环位数，其中 b {\displaystyle b} 為任意自然數， K {\displaystyle K} 為非 2 m , 5 n {\displaystyle 2^{m},5^{n}} 之其他數。 2.如果 1 ⩽ b < a {\displaystyle 1\leqslant b<a} ，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為 b ÷ a {\displaystyle b\div a} 的循環節位數，而e= min ⁡ { e ∈ N : 10 e ≡ 1 ( mod a ) } {\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}} 。 10 e ≡ 1 ( mod a ) {\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}} 表示 10 e − 1 {\displaystyle 10^{e}-1} 可以整除a，或稱 10 e {\displaystyle 10^{e}} 與1同餘） 事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子: 10 d × b a = q + b a {\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}} 來看， b > a {\displaystyle b>a} 也成立，例如 2 7 {\displaystyle {\frac {2}{7}}} 與 9 7 {\displaystyle {\frac {9}{7}}} ，兩者循環小數一致，因為 8 7 = 1 + 1 7 {\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}} ，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。 3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成 ( 2 m × 5 n ) × ( P 1 S 1 × P 2 S 2 × {\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times } ⋯ × P n S n ) {\displaystyle \times Pn^{Sn})} 時，會有max(m,n)個不循環位數，和 E {\displaystyle E} 個循環節位數。 其中， P 1 S 1 {\displaystyle P1^{S1}} , P 2 S 2 {\displaystyle P2^{S2}} ,⋯, P n S n {\displaystyle Pn^{Sn}} 分別各有e1,e2,...,en個循環節位數，存在一個最小公倍數 E = [ {\displaystyle E=[} e1,e2,...,en ] {\displaystyle ]} 。 例： 11 2 2 × 3 2 × 5 3 × 7 × 17 {\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}} 的循環節個數？ 答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為 3 2 {\displaystyle 3^{2}} 的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48） 0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡) (⬇另一方法) 先看有幾位「非循環節位數（ n {\displaystyle {\color {blue}n\,\!}} ）」和「循環節位數（ m {\displaystyle {\color {red}m\,\!}} ）」，算出後，將 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}} 擺於「分母」。 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即 a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} ，詳細公式如下。 公式： 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}} 原理： 令 x = 0. a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} 。 則 10 n x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──①式。 10 n + m x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m . b 1 b 2 b 3 ⋯ b m ¯ {\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}} ──②式。 ②－①⇒ ( 10 n + m − 10 n ) x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n {\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} 。 x = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n + m − 10 n = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 10 n ( 10 m − 1 ) = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 1000 ⋯ 0 ⏟ n × 999 ⋯ 9 ⏟ m = a 1 a 2 a 3 ⋯ a n b 1 b 2 b 3 ⋯ b m − a 1 a 2 a 3 ⋯ a n 999 ⋯ 9 ⏟ m 000 ⋯ 0 ⏟ n {\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}} 。 範例： 0.1 23 ¯ = 123 − 1 990 = 61 495 {\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}} 。 令 x = 0.1 23 ¯ {\displaystyle x=0.1{\overline {23}}} 則 10 x = 1. 23 ¯ {\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}} 、 1000 x = 123. 23 ¯ {\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}} 兩式相減得 ( 1000 − 10 ) x = 123 − 1 {\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1} ， 990 x = 122 {\displaystyle 990x=122\,\!} ∴ x = 61 495 {\displaystyle x={\frac {61}{495}}} 。 利用短除法可以将分数(有理数， Q {\displaystyle \mathbb {Q} } )转化为循环小数。 例如 3 7 {\displaystyle {\frac {3}{7}}} 可以用短除法计算如下： 7|3.00000000000000000 0.42857142857142857... 在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。 使用「上橫線」表示，如： 1 70 = 0.0 142857 ¯ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}} 使用「上点」表示，如： 1 70 = 0.0 1 ˙ 4285 7 ˙ {\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}} 使用「大括号」表示，如： 1 70 = 0.0 { 142857 } {\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}} 使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如 1.000000 ⋯ = 1. 0 ¯ = 0. 9 ¯ = 0.999999 ⋯ {\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots } 由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如： 1 17 = 0. 0588235294117647 0588235294117647 ⋯ = 0. 0588235294117647 ¯ {\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}} 但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如 1 17 = 1 11 ( 16 ) = 0. 0 F 0 F ⋯ ( 16 ) = 0. 0 F ¯ ( 16 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}} 又或 1 17 = 1 10 ( 17 ) = 0.1 ( 17 ) {\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}} 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. （原始内容 (PDF)存档于2021-11-04）.  質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. （原始内容 (PDF)存档于2017-01-12）.  0.999… Midy定理