上极限和下极限

在微积分学中，上極限和下極限（英語：Limit superior and limit inferior）是指數列極限的上极限和下极限，可以大致想像為數列极限的上下界。舉例來說，數列 { ( − 1 ) n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{(-1)^{n}\}_{n=1}^{\infty }} 的上極限為 1，下極限為 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点的上确界和下确界。 序列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的上极限定义是 lim sup n → ∞ x n = inf n ≥ 0 sup k ≥ n x k = inf { sup { x k : k ≥ n } : n ≥ 0 } {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\,\sup\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}} ； 或者 lim sup n → ∞ x n = lim n → ∞ ( sup m ≥ n x m ) {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)} 。 同样的，序列 x n {\displaystyle x_{n}} 的下极限定义是 lim inf n → ∞ x n = sup n ≥ 0 inf k ≥ n x k = sup { inf { x k : k ≥ n } : n ≥ 0 } {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\,\inf\{\,x_{k}:k\geq n\,\}:n\geq 0\,\}} ； 或者 lim inf n → ∞ x n = lim n → ∞ ( inf m ≥ n x m ) {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)} 。 这些定义在任意的偏序集都适用，只需要上确界和下确界存在。 在完全格裡，上确界和下确界总是存在，所以其中的序列一定有上极限和下极限。 每当 lim inf x n {\displaystyle \liminf x_{n}} 和 lim sup x n {\displaystyle \limsup x_{n}} 都存在，那么 lim inf n → ∞ x n ≤ lim sup n → ∞ x n {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 。 上极限和下极限也记为 lim ¯ n → ∞ ⁡ x n {\displaystyle \varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 和 lim _ n → ∞ ⁡ x n {\displaystyle \varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}} 。 实数集 R 的数列对微积分很重要。R 不是完備格，但可以加入正负无穷以得到完備全序集 [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} ，形成完備格。那么在 [ − ∞ , + ∞ ] {\displaystyle [-\infty ,+\infty ]} 中数列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 收敛当且仅当 lim inf x n = lim sup x n {\displaystyle \liminf x_{n}=\limsup x_{n}} ，而这时 lim x n {\displaystyle \lim x_{n}} 等于上面的共同值。 若實數數列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的上極限為實數，那麼上極限是最小的實數 a，使得對任意小的正實數 ϵ {\displaystyle \epsilon } ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ，都有 x n < a + ϵ {\displaystyle x_{n}<a+\epsilon } 。換言之，對任何大於上極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ( x n ) n ≥ N {\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}} 的上界。 若實數數列 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 的下極限為實數，那麼下極限是最大的實數 b，使得對任意小的正實數 ϵ {\displaystyle \epsilon } ，都存在足夠大的正整數 N，使得對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ，都有 x n > b − ϵ {\displaystyle x_{n}>b-\epsilon } 。換言之，對任何小於下極限的實數，都存在 N 使得這實數是數列 ( x n ) n ≥ N {\displaystyle (x_{n})_{n\geq N}} 的下界。 設 ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} 是整數數列。若其上極限為實數 a，由於 ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } 也符合上述條件，故此 a 必是整數。在條件中取 ϵ < 1 {\displaystyle \epsilon <1} ，得出 a 是最小的實數，使得存在正整數 N，對所有 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ，都有 x n ≤ a {\displaystyle x_{n}\leq a} 。因此 a 是最大的整數，使得有無限個 x n = a {\displaystyle x_{n}=a} 。同樣地，若其下極限為實數 b，則 b 是最小的整數，使得有無限個 x n = b {\displaystyle x_{n}=b} 。 若 I = lim inf x n {\displaystyle I=\liminf x_{n}} 和 S = lim sup x n {\displaystyle S=\limsup x_{n}} ，那么区间 [ I , S ] {\displaystyle [I,S]} 不一定包含任何的 x n {\displaystyle x_{n}} ，但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。 設 x n = ( − 1 ) n ( 1 + 1 n ) {\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)} ，則 lim inf x n = − 1 {\displaystyle \liminf x_{n}=-1} ， lim sup x n = 1 {\displaystyle \limsup x_{n}=1} 。閉區間[-1, 1]中不包含任何 x n {\displaystyle x_{n}} 。 考虑数列 x n = sin n {\displaystyle x_{n}=\sin \!n} 。应用π的无理数性质，可以证明 lim inf x n = − 1 {\displaystyle \liminf x_{n}=-1} 和 lim sup x n = + 1 {\displaystyle \limsup x_{n}=+1} 。 一个数论例子是 lim inf n → ∞ ( p n + 1 − p n ) {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})} 其中 p n {\displaystyle {p_{n}}} 是第 n {\displaystyle n} 个素数。 集合X的冪集P(X)是完備格。对于P(X)中的序列，也就是X的子集的序列，其上下极限也有用处。 若 X n {\displaystyle X_{n}} 是这样的序列，那么X的元素a属于 lim inf X n {\displaystyle \liminf X_{n}} ，当且仅当存在自然数 n 0 {\displaystyle n_{0}} 使得对于所有 n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} ，a在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。元素a属于 lim sup X n {\displaystyle \limsup X_{n}} ，当且仅当对所有自然数 n 0 {\displaystyle n_{0}} ，都存在一个指数 n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} 使得a在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。换句话说， lim sup X n {\displaystyle \limsup X_{n}} 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有无限多个n，使得它在集合 X n {\displaystyle X_{n}} 裡；而 lim inf X n {\displaystyle \liminf X_{n}} 包含了所有这样的元素，其中的每一个，都有除了有限多个外的所有n，使得它在 X n {\displaystyle X_{n}} 裡。 以集合论的标准语言来说，一个集合序列的下确界是这些集合的可数交，也就是包含在所有集合裡的最大集合： inf { X m : m = 1 , 2 , 3 , … } = ⋂ m = 1 ∞ X m {\displaystyle \inf \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcap _{m=1}^{\infty }}X_{m}} 。 令 I n {\displaystyle I_{n}} 为自 X n {\displaystyle X_{n}} 起的集合的下确界。那么序列 I n {\displaystyle I_{n}} 非递减，因为 I n ⊂ I n + 1 {\displaystyle I_{n}\subset I_{n+1}} 。所以，第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限： lim inf n → ∞ X n = ⋃ n = 1 ∞ ( ⋂ m = n ∞ X m ) {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)} 。 上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合，也就是它们的可数并： sup { X m : m = 1 , 2 , 3 , … } = ⋃ m = 1 ∞ X m {\displaystyle \sup \left\{\,X_{m}:m=1,2,3,\dots \,\right\}={\bigcup _{m=1}^{\infty }}X_{m}} 。 上极限是这个非递增的上确界序列的可数交（其中每个上确界都包含在前一个裡面）。 lim sup n → ∞ X n = ⋂ n = 1 ∞ ( ⋃ m = n ∞ X m ) {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }X_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)} 。 例子或应用可见波莱尔－坎泰利引理，柯西-阿达马公式（Cauchy-Hadamard Formula）。 参见函数的极限 注意当只是考虑 R 时，收敛至 − ∞ {\displaystyle -\infty } 或 + ∞ {\displaystyle +\infty } 并不当作收敛，而是視作極限不存在。 即為有限，不是 ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } 是不大於 a 的最大整數。 數列 { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \{1,2,3,...\}} 取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的，故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。 下极限的值的猜测为2——这是孪生素数猜想。然而這個下極限是否為有限，是數論中長久以來的未解問題。直到2013年，張益唐首次證明下極限的值有限，並且小於7千萬。截至2014年9月，下極限的值的上界已降至246。由整數數列的下極限性質可知，有無限多的正整數n，使得 p n + 1 − p n {\displaystyle p_{n+1}-p_{n}} 不大於246。 Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536.  引文使用过时参数coauthors (帮助) González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154.  Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. （原始内容存档于2014-03-11） （英语）.  Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24]. （原始内容存档于2013-06-20）.