法里數列

數學上，n階的法里數列是0和1之間最簡分數的數列，由小至大排列，每個分數的分母不大於n。每個法里數列從0開始，至1結束，寫作0⁄1和1⁄1，但有些人不把這兩項包括進去。有時法里數列也稱為法里級數，嚴格來說這名字不正確，因為法里數列的項不會加起來。 1至8階的法里數列如下： F1 = {0⁄1, 1⁄1} F2 = {0⁄1, 1⁄2, 1⁄1} F3 = {0⁄1, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 1⁄1} F4 = {0⁄1, 1⁄4, 1⁄3, 1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1⁄1} F5 = {0⁄1, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 1⁄1} F6 = {0⁄1, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 1⁄3, 2⁄5, 1⁄2, 3⁄5, 2⁄3, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 1⁄1} F7 = {0⁄1, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 1⁄1} F8 = {0⁄1, 1⁄8, 1⁄7, 1⁄6, 1⁄5, 1⁄4, 2⁄7, 1⁄3, 3⁄8, 2⁄5, 3⁄7, 1⁄2, 4⁄7, 3⁄5, 5⁄8, 2⁄3, 5⁄7, 3⁄4, 4⁄5, 5⁄6, 6⁄7, 7⁄8, 1⁄1} 「法里數列」歷史頗為稀奇。 — Hardy & Wright (1979) 第三章 ……又一次，數學關係的名字取自一個人，但記錄所載這人不是其發現者。 — Beiler (1964) 第十六章 法里數列是以英國地質學家老約翰·法里得名，他關於這數列的信刊登在1816年的《哲學雜誌》。法里猜測這數列的每一項都是相鄰兩項的中間分數；不過，以所知道的資料，他沒有證明這個性質。法里的信給柯西讀了，就給了一個證明在他的《數學習題》，把這結果歸到法里上。其實，另一位數學家 C. Haros 曾在1802年發表了相類似的結果，幾乎可以肯定法里和柯西都沒看過。所以，法里的名字給了這個數列，是歷史的一次意外。 n階的法里數列 F n {\displaystyle F_{n}} 包含了較低階的法里數列的全部項，特別是它包含 F n − 1 {\displaystyle F_{n-1}} 的全部項，和與n互質的每個數的相應分數。所以 F 6 {\displaystyle F_{6}} 包含了 F 5 {\displaystyle F_{5}} 和分數1⁄6及5⁄6。對大於1的n，其法里數列的中間項必定是1⁄2。 從上， F n {\displaystyle F_{n}} 和 F n − 1 {\displaystyle F_{n-1}} 的長度的關係，可以用歐拉函數 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 描述： | F n | = | F n − 1 | + φ ( n ) {\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n)} 。 從 | F 1 | = 2 {\displaystyle |F_{1}|=2} 這項資料，可以推導出 F n {\displaystyle F_{n}} 的長度公式： | F n | = 1 + ∑ m = 1 n φ ( m ) {\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)} 。 | F n | {\displaystyle |F_{n}|} 的漸近行為是： | F n | ∼ 3 n 2 π 2 {\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}} 。 法里數列的相鄰分數項有下述性質： 若a⁄b和c⁄d是法里數列的鄰項，而有a⁄b < c⁄d，則它們之差c⁄d − a⁄b是1⁄bd。由於 c d − a b = b c − a d b d {\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}}} ， 上文就等於是說 bc − ad = 1。 例如1⁄3和2⁄5在 F 5 {\displaystyle F_{5}} 中是鄰項，它們之差為1⁄15。 這結果的逆命題也成立。若 bc − ad = 1， 其中a,b,c和d為正整數，及有a < b和c < d，則a⁄b和c⁄d在階為 max ( b , d ) {\displaystyle \max(b,d)} 的法里數列中是鄰項。 若p⁄q在某法里數列的鄰項是a⁄b和c⁄d，及 a⁄b < p⁄q < c⁄d， 則p⁄q是a⁄b和c⁄d的中間分數。換句話說， p q = a + c b + d {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}} 。 又若a⁄b和c⁄d在某法里數列是鄰項，則當法里數列的階增加，它們間出現的第一項是 a + c b + d {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}} ， 而這項第一次出現在b+d階的法里數列中。 例如在1⁄3和2⁄5間出現的第一項是3⁄8，在 F 8 {\displaystyle F_{8}} 出現。 Stern-Brocot樹是一個資料結構，顯出如何從0 (= 0⁄1)和1 (= 1⁄1)開始，以取中間分數來構成法里數列。 法里數列中的鄰項分數，它們的連分數表示形式也密切相關。每個分數都有兩個連分數表示，一個的尾項為1，另一個則大於1。考慮p⁄q，它第一次於 F q {\displaystyle F_{q}} 出現。以連分數表示為 [ 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n − 1 , a n , 1 ] {\displaystyle [0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n},1]} ，或 [ 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n − 1 , a n + 1 ] {\displaystyle [0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1},a_{n}+1]} ， 則p⁄q在 F q {\displaystyle F_{q}} 中最接近的鄰項（這是兩鄰項中分母較大的）表示為連分數是 [ 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] {\displaystyle [0;a_{1},a_{2},...,a_{n}]} ， 而另一鄰項則會表示為 [ 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n − 1 ] {\displaystyle [0;a_{1},a_{2},...,a_{n-1}]} 。 例如3⁄8有兩個連分數表示：[0;2,1,1,1]和[0;2,1,2]，而它在 F 8 {\displaystyle F_{8}} 中的鄰項為2⁄5，可寫成[0;2,1,1]；和1⁄3，可寫成[0;2,1]。 法里數列和福特圓（英语：Ford circle）之間有個有趣關連。 對每個最簡分數p⁄q，有福特圓C[p⁄q]，以 1 2 q 2 {\displaystyle {\frac {1}{2q^{2}}}} 為半徑，以 ( p q , 1 2 q 2 ) {\displaystyle \left({\frac {p}{q}},{\frac {1}{2q^{2}}}\right)} 為圓心。兩個不同分數的福特圓一是分開，一是相切，但不會相交。若0 < p⁄q < 1，則與相切的福特圓正好是在某一法里數列中與p⁄q為鄰項的分數。 例如C[2⁄5]與C[1⁄2]，C[1⁄3]，C[3⁄7]，C[3⁄8]等相切。 F1--F8的福特圓圖像如下： Farey Sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）