熱量子場論

在理論物理中，熱量子場論 (簡稱熱場論) 或有限溫度場論 (finite temperature field theory) 是計算在有限 (不為零的) 溫度下，量子場論中物理可觀察量之期望值的方法。 在松原方法（英语：Matsubara formalism） (Matsubara formalism) 中，一個運算子在熱系綜的期望值 ⟨ A ⟩ = Tr [ exp ⁡ ( − β H ) A ] Tr [ exp ⁡ ( − β H ) ] {\displaystyle \langle A\rangle ={\frac {{\mbox{Tr}}\,[\exp(-\beta H)A]}{{\mbox{Tr}}\,[\exp(-\beta H)]}}} 可以被量子場論中以虛數時間 τ = − i t ( 0 ≤ τ ≤ β ) {\displaystyle \tau =-it(0\leq \tau \leq \beta )} 所演化的期望值所表示。 由於使用虛數時間，計算上可以使用歐幾里得度量的時空。式中的跡 ( Tr {\displaystyle {\mbox{Tr}}} ) 要求所有的玻色場在歐幾里德時間方向 τ {\displaystyle \tau } 上皆有週期為 β = 1 / ( k T ) {\displaystyle \beta =1/(kT)} 的週期性，而費米場則有反週期性 (這裡使用自然單位 ℏ = 1 {\displaystyle \hbar =1} )。此方法讓我們能夠使用量子場論中已存在的技巧，如泛函積分（英语：Functional integration）和費曼圖等，並將其中的時間修改為緊緻的歐幾里德時間來做計算。同時，正規順序 (Normal Ordering) 的定義也必須被修改。 在動量空間下，這對應於將原本連續的頻率，以離散的虛數 (松原) 頻率 v n = n / β {\displaystyle v_{n}=n/\beta } 取代。透過德布羅意關係，這對應於離散的熱能量頻譜 E n = n K T {\displaystyle E_{n}=nKT} 。這樣的方法被證明對研究量子場論在有限溫度下的現象很有效 ，並且已經被推廣到規範場論，是研究楊-米爾斯理論中去禁閉 (deconfining) 相變猜想的重要工具。 在歐式空間場論中，實數時間下的可觀測量可以由解析延拓獲得。 有限溫度場論，除了使用非真實的虛數時間來計算，還有兩種使用實數時間 (real-time formalism) 的方法。 第一種是依路徑排序 (path-ordered) 的實數時間方法，其包含了 Schwinger-Keldysh formalism（英语：Schwinger-Keldysh formalism） 及其他更近代的版本。 後者將一條原本從負的(大的)初始時間 t i {\displaystyle t_{i}} 出發到 t i − i β {\displaystyle t_{i}-i\beta } 的直線路徑，取代為一條先經過正的(大的)實數時間 t f {\displaystyle t_{f}} 再適當的回到 t i − i β {\displaystyle t_{i}-i\beta } 的路徑。 事實上，真正需要的是一段經過實數軸的路段，而前往終點 t i − i β {\displaystyle t_{i}-i\beta } 所選的路線是較不重要的。 這樣以區段 (piecewise) 方式組成的複數時間路徑，造成場的數量增倍以及更複雜的費曼規則，不過卻避免了使用虛數時間方法所需的解析延拓。 另一種實數時間方法稱為熱場力學 (thermo field dynamics)，是一種以運算子為基礎，使用勃格留波夫變換 (Bogoliubov transformation) 的方法。 就如費曼圖和微擾論等方法一樣，其他技巧如色散關係 (dispersion relations) 和有限溫度的 Cutkosky rules 也都可以在實數時間方法中使用。 另一種在數學物理上感興趣的方法是使用 KMS 態（英语：KMS state） 來處理。 松原頻率（英语：Matsubara frequency） Jean Zinn-Justin. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. 2002. ISBN 978-0-19-850923-3.  T.S. Evans and D.A. Steer,. Wick's theorem at finite temperature. Nucl.Phys.B. 1996, 474 (2): 481–496. Bibcode:1996NuPhB.474..481E. arXiv:hep-ph/9601268 . doi:10.1016/0550-3213(96)00286-6.  D.A. Kirznits JETP Lett. 15 (1972) 529. D.A. Kirznits and A.D. Linde, Phys. Lett. B42 (1972) 471; it Ann. Phys. 101 (1976) 195. Weinberg, S. Gauge and Global Symmetries at High Temperature. Phys. Rev. D (American Physical Society). 1974, 9 (12): 3357–3378. Bibcode:1974PhRvD...9.3357W. doi:10.1103/PhysRevD.9.3357.  L. Dolan, and R. Jackiw. Symmetry behavior at finite temperature. Phys. Rev. D (American Physical Society). 1974, 9 (12): 3320–3341. Bibcode:1974PhRvD...9.3320D. doi:10.1103/PhysRevD.9.3320.  C. W. Bernard, Phys. Rev. D9 (1974) 3312. D.J. Gross, R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53 (1981) 43. T.S. Evans. N-Point Finite Temperature Expectation Values at Real Times. Nucl.Phys.B. 1992, 374 (2): 340–370. Bibcode:1992NuPhB.374..340E. arXiv:hep-ph/9601268 . doi:10.1016/0550-3213(92)90357-H.  N.P. Landsman and Ch.G. van Weert. Real- and imaginary-time field theory at finite temperature and density. Physics Reports. 1987, 145 (3-4): 141–249. Bibcode:1987PhR...145..141L. doi:10.1016/0370-1573(87)90121-9.  A.J. Niemi, G.W. Semenoff. Finite Temperature Quantum Field Theory in Minkowski Space. Annals Phys. 1984, 152: 105. Bibcode:1984AnPhy.152..105N. doi:10.1016/0003-4916(84)90082-4.  Zinn-Justin, Jean. Quantum field theory at finite temperature: An introduction. 2000. arXiv:hep-ph/0005272 .  T.S. Evans,. New Time Contour for Equilibrium Real-Time Thermal Field-Theories. Phys.Rev.D. 1993, 47 (10): R4196–R4198. Bibcode:1993PhRvD..47.4196E. arXiv:hep-ph/9310339 . doi:10.1103/PhysRevD.47.R4196.  H. Chiu; H. Umezawa. A unified formalism of thermal quantum field theory. International Journal of Modern Physics A. 1993, 9 (14): 2363 ff. Bibcode:1994IJMPA...9.2363C. doi:10.1142/S0217751X94000960.  R.L. Kobes, G.W. Semenoff. Discontinuities of Green Functions in Field Theory at Finite Temperature and Density. Nucl.Phys. 1985, B260 (3-4): 714–746. Bibcode:1985NuPhB.260..714K. doi:10.1016/0550-3213(85)90056-2.  R.L. Kobes, G.W. Semenoff. Discontinuities of Green Functions in Field Theory at Finite Temperature and Density. Nucl.Phys. 1986, B272 (2): 329–364. Bibcode:1986NuPhB.272..329K. doi:10.1016/0550-3213(86)90006-4.  Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. Quantum Theory of Many-Particle Systems. Dover Publications. 2003. ISBN 978-0-486-42827-7.