立方體

在幾何學中，立方體，是由6個正方形面組成的正多面體，故又稱正六面體、正方體或正立方體。它有12條稜（邊）和8個頂點，是五個柏拉圖立體之一。 立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體，就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性（英语：Octahedral symmetry），即考克斯特BC3對稱性，施萊夫利符號{4,3}，考克斯特-迪肯符號（英语：Coxeter-Dynkin digram），其對偶多面體為正八面體。 面的組成：正方形 面的數目：6 邊的數目：12 頂點數目：8 表面積： 6 a 2   {\displaystyle 6a^{2}\ } 體積： a 3   {\displaystyle a^{3}\ } 二面角角度： 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 外接球半徑： 3 4 a {\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{4}}}a} ≈ 0.866 a {\displaystyle \approx 0.866a} 內接球半徑： a 2 {\displaystyle {\frac {a}{2}}} 對偶多面體：正八面體 在所有表面积一定的长方体中，立方体的体积最大，同样，在所有线性大小（长宽高之和）一定的长方体中，立方体的体积也是最大的。反过来，体积相等的长方体中，立方体拥有最小表面积和线性大小。 在三维直角坐标系中，对于以原点为中心的、各棱平行于坐标轴的、棱长为2的立方体，其顶点坐标为 (±1, ±1, ±1) 的全排列。其包含了所有满足|x|≤1且|y|≤1且|z|≤1的点(x,y,z)。 在R3中，以点(x0,y0,z0)为中心的立方体表面是点(x,y,z)的运动轨迹，其中x,y,z满足： lim n → ∞ ( x − x 0 ) n + ( y − y 0 ) n + ( z − z 0 ) n − a n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x-x_{0})^{n}+(y-y_{0})^{n}+(z-z_{0})^{n}-a^{n}=0.} 立方体有11种不同的展开图，即是说，我们可以有11种不同的方法切开空心立方体的7条棱而将其展平为平面图形，见右图。 如果我们要将立方体涂色而使相邻的面不带有相同的颜色，则我们至少需要3种颜色（类似于四色问题）。 立方体是唯一能够独立密铺三维欧几里得空间的柏拉图正多面体，因此立方体堆砌也是四维唯一的正堆砌（三维空间中的堆砌拓扑上等价于四维多胞体）。它又是柏拉图立体中唯一一个有偶数边面——正方形面的，因此，它是柏拉图立体中独一无二的环带多面体（它所有相对的面关于立方体中心中心对称）。 将立方体沿对角线切开，能得到6个全等的正4棱柱（但它不是半正的，底面棱长与侧棱长之比为2:√3）将其正方形面贴到原来的立方体上，能得到菱形十二面体（两两共面三角形合成一个菱形）。 我们可以从不同角度将立方体投影到二维平面上，这些投影都各自携带有立方体原本BC3对称性的一部分。 作为正多面体之一，立方体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将立方体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使立方体拥有不同的对称性。在立方体完全的对称性，即正八面体对称性Oh中，立方体的所有面都是相同的。二面体对称性D4h则将立方体描述得像一个正四棱柱，有两个颜色相同的上下底面，其余4个侧面颜色相同。立方体最低的对称性D2h也将立方体描述的像一个棱柱，不过是长方形棱柱，即一个长方体，它的相对的面颜色相同，而相邻的面是不同的。每一种半正对称性都有自己的施莱夫利符号、考克斯特-迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）和Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）。此外，由于其对偶正八面体也可被看作是正三反棱柱，立方体也可被看作是正三反棱柱的对偶，即正三偏方面体。 將立方體的其中四個頂點相連，而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上，可得到一個正四面體，其邊長為立方體邊長的 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ，其體積為立方體體積的 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} 。 立方體的對偶多面體是正八面體。 當正八面體在立方體之內： 正八面體體積 : 立方體體積 =[(1/3)×高×底面積]×2 : 邊3 =(1/3)(n/2)[(n2)/2]2 : n3 =1 : 6 星形八面體的對角線可組成一個立方體。 截半立方體：從一條棱斬去另一條棱的中點得出 截角立方體 超正方體：立方體在高維度的推廣。更加一般的，立方体是一个大家族，即立方形家族（又称超方形、正测形）的3维成员，它们都具有相似的性质（如二面角都是90°、有类似的超体积公式，即Vn-cube=an等）。 長方體、偏方面體的特例。 将立方体对映映射（英语：Antipodal point）后的到的商形成的一个实射影多面体，即立方體半形（hemicube）（不应叫其“半立方体”，因为其易与‘demicube’混淆）。 正方体的对偶多面体是正八面体，如果原正方体棱长为1，则对偶正八面体棱长为√2。 正方体是一种最特殊的四边形正六面体： 立方体的8个顶点可以被交错地分为两组，每一组都构成一个完整的正四面体，更严格地说，这是作为半(Demi-)立方体的正四面体。这两个正四面体组合到一起，就构成了一个正的复合多面体——星形正八面体（Stella Octagula）。两个正四面体重合的地方构成凸的正八面体。这意味着，正四面体的对称群A3是正方体对称群的子群，对应着能将半立方体变换到自身的对称变换，立方体其余的对称变换能将两个半立方体变换到对方。一个这样的正四面体占据了立方体体积的1/3,立方体剩余的部分是4个全等的、顶角是立方体立体角的正三棱锥，各占立方体体积的1/6。 从立方体各棱中点处切掉立方体的角，我们会发现原先立方体的正方形面变成了其对偶的正方形面，而切掉的顶点处出现了新的正三角形面，这样的操作叫“截半”（rectification），得到的半正多面体叫截半立方体（rectified cube），又叫立方八面体（cuboctahedron）。如果我们不在棱中点处截它，则这种操作叫“截角”（truncation），正方形面变成了八边形。如果截的合适，则我们可将正方形截成正八边形，得到的半正多面体叫截顶立方体（truncated cube）。如果我们同时截掉立方体的棱和顶，则这种操作叫“截棱”（centellation），如果截的恰当，得到的半正多面体是小斜方截半立方体（rhombicuboctahedron）。 正十二面体有20个顶点，它们可以以不同组合分成由8个顶点组成的5组，这8个顶点两两相连，构成内接在正十二面体内部的立方体，它的棱都是正十二面体的各面的对角线。这五个立方体组合在一起，构成复合多面体——五复合立方体。 如果我们完全切掉立方体相对的两个顶点，我们会得到一个非正的八面体，将8个这样的八面体正三角形面对正三角形面贴到正八面体上，则我们得到截半立方体。 立方体与所有其它拥有BC3对称性的多面体（如正八面体和立方八面体）构成正八面体家族： 此外，立方体在拓扑上与其它3阶正镶嵌{n,3}相关： 立方体在拓扑上还和其它阶的正方形正镶嵌{4,n}(n≥3)有关： 立方体是正四棱柱： 日常生活 食盐和糖的結晶體都是立方狀。 骰子最常見的形狀就是立方體。 1967年世界博覽會的「立方體房間」 中国国家游泳中心俗称“水立方” 遊戲 索馬立方 魔方 扭扭骰 斯洛陶伯－赫拉茨馬立方：以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方（僅有一個解法）[1] 康威立方：以3個1×1×3，13個1×2×4，及1×2×2和2×2×2的長方體各一個，組成一個5×5×5的立方（572個解）[2] 視錯覺 奈克方塊 不可能方塊（下圖） 數論 立方數 參見尺規作圖，已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} 的位置 立方體的橫切面只有四種： 三角形 矩形 五邊形 六邊形 其中以正六邊形的面積最大,若立方体的棱长为a,则正六边形的面积为 3 3 a 2 4 {\displaystyle {\frac {3{\sqrt {3}}a^{2}}{4}}} 。 四角柱 超方形 正八面体 埃里克·韦斯坦因, 立方體 （參閱柏拉圖立體） 於MathWorld（英文） 摺紙立方體 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 埃里克·韦斯坦因. 立方體. MathWorld.  （页面存档备份，存于互联网档案馆） Mathematische Basteleien （页面存档备份，存于互联网档案馆）