多重指标

多重指標是數學中一種方便的表示法，它將指標中的單個整數推廣為多個整數，它可以簡化多元微積分、偏微分方程與分佈理論中的計算，也便於操作冪級數。 一個 n {\displaystyle n} -維多重指標是一個由整數構成的向量 α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})} 設 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } 為多重指標，定義： α ± β := ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta :=(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i} | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} 應用最廣的是非負的多重指標，此時可以定義： α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} ( α β ) = α ! ( α − β ) ! β ! = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) {\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}} （假設 α ≥ β {\displaystyle \alpha \geq \beta } ） 設 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} ，定義 x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} D α := D 1 α 1 D 2 α 2 … D n α n {\displaystyle D^{\alpha }:=D_{1}^{\alpha _{1}}D_{2}^{\alpha _{2}}\ldots D_{n}^{\alpha _{n}}} 其中 D i j := ∂ j / ∂ x i j {\displaystyle D_{i}^{j}:=\partial ^{j}/\partial x_{i}^{j}} 命題。若 i , k {\displaystyle i,k} 是非負的 n {\displaystyle n} 維多重指標，且 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} ，則 D i x k = { k ! ( k − i ) ! x k − i i ≤ k 0 i ≰ k {\displaystyle D^{i}x^{k}={\begin{cases}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&i\leq k\\0&i\nleq k\end{cases}}} 按定義直接操作即可證明。 多重指標可以將單變元微積分的許多結果直接推廣到多變元。以下是幾個例子： 多元冪級數：有兩個以上變元的冪級數通常寫成 s ( x ) = ∑ I a I x I {\displaystyle s(\mathbf {x} )=\sum _{I}a_{I}\mathbf {x} ^{I}} 其中 I {\displaystyle I} 是 n {\displaystyle n} -維多元指標而 x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})} ，以簡化冗長的表法 s ( x 1 , … , x n ) = ∑ i 1 , … , i n a i 1 … i n x 1 i 1 ⋯ x n i n {\displaystyle s(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{n}}a_{i_{1}\ldots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}} 多項展開 ( ∑ i = 1 n x i ) k = ∑ | α | = k k ! α ! x α {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}} 萊布尼茨公式：設 u , v {\displaystyle u,v} 存在夠高階的導數，則 D α ( u v ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) D ν u D α − ν v {\displaystyle D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }D^{\nu }u\,D^{\alpha -\nu }v}} 泰勒展開式：對一多元解析函數f，當 | h | {\displaystyle |\mathbf {h} |} 充分小時有下述展開 f ( x + h ) = ∑ | α | ≥ 0 D α f ( x ) α ! h α {\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }} 其實這不外是定義，多元指標在此提供了簡練的表示法。 對於存在夠高階導數的函數，我們也有帶餘項的泰勒展開式： f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ n D α f ( x ) α ! h α + R n ( x , h ) {\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {D^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{\alpha !}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )} 其中的最後一項（餘項）有多種表法，例如柯西的積分表法： R n ( x , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n D α f ( x + t h ) d t {\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}D^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt} 一個形式上的 n {\displaystyle n} 變元 N {\displaystyle N} -階偏微分算子能以多重指標寫成 P ( D ) = ∑ | α | ≤ N a α ( x ) D α {\displaystyle P(D)=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)D^{\alpha }}} 分部積分：對有界定義域 Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} 上的緊支集光滑函數，我們有 ∫ Ω u ( D α v ) d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( D α u ) v d x {\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(D^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(D^{\alpha }u)v\,dx}} 此公式用以定義分佈與弱導數。 Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 本條目含有来自PlanetMath《multi-index derivative of a power》的內容，版权遵守知识共享协议：署名-相同方式共享协议。