超复数

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下： 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數 8維度：八元數、複四元數 16維度：十六元數 19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。 分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數（英语：composition algebra）僅得實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、複數系 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、四元數系 H {\displaystyle \mathbb {H} } 、八元數系 O {\displaystyle \mathbb {O} } ，而弗羅貝尼烏斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）斷言，實結合除代數（英语：associative division algebra）僅得 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、 H {\displaystyle \mathbb {H} } 。1958年，弗蘭克·亞當斯（英语：Frank Adams）考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。 矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系（英语：Hyperbolic quaternion），也算是另一類的超複數。 湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，以賽亞·坎托爾（英语：Isaiah Kantor）和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。 凱倫·帕歇爾（英语：Karen Parshall）詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾·莫林（英语：Theodor Molien）和愛德華·斯圖迪（英语：Eduard Study）的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登（英语：Bartel van der Waerden）在《代數史》有三十頁專論超複數。 Kantor & Solodovnikov (1989) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFKantorSolodovnikov1989 (help)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基 { 1 , i 1 , … , i n } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}} 的線性組合，其中系數為實數 ( a 0 , … , a n ) {\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})} ，而基的大小 n + 1 {\displaystyle n+1} 稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取 i k {\displaystyle i_{k}} 使 i k 2 ∈ { − 1 , 0 , + 1 } {\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}} 。下節先考慮二維超複數（即 n = 1 {\displaystyle n=1} ）。 關於二維實代數有以下定理：在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。 下段簡述定理的證明。 因為給定的代數是二維，可選一組基 { 1 , u } {\displaystyle \{1,u\}} 。因為代數對乘法封閉， u {\displaystyle u} 的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合： u 2 = a 0 + a 1 u , {\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,} 其中 a 0 , a 1 {\displaystyle a_{0},a_{1}} 為實系數。 運用常見的配方法，兩邊減走 a 1 u {\displaystyle a_{1}u} 並加上 a 1 2 / 4 {\displaystyle a_{1}^{2}/4} ，得： u 2 − a 1 u + a 1 2 4 = a 0 + a 1 2 4 . {\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.} 所以 ( u − a 1 2 ) 2 = u ~ 2 {\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}} ，其中 u ~ 2 = a 0 + a 1 2 4 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}} 是實數。 取決於此實數值，分別有三種情況： 若 4 a 0 = − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}} ，則上式變成 u ~ 2 = 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0} 。於是， u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} 可視為二元數的基 { 1 , ε } {\displaystyle \{1,\varepsilon \}} 中的冪零元 ε {\displaystyle \varepsilon } 。 若 4 a 0 > − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}} ，則有 u ~ 2 > 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0} 。雙曲複數的標準基 { 1 , j } {\displaystyle \{1,j\}} 滿足 j 2 = + 1 {\displaystyle j^{2}=+1} ，故若除 u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} 以正實數 a := a 0 + a 1 2 4 {\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}} （其平方與 u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} 平方相等），得到的結果即可視為 j {\displaystyle j} 。 若 4 a 0 < − a 1 2 {\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}} ，則有 u ~ 2 < 0 {\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0} 。平常複數的標準基 { 1 , i } {\displaystyle \{1,i\}} 滿足 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ，故若除 u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} 以正實數 a := a 1 2 4 − a 0 {\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}} （其平方與 u ~ {\displaystyle {\tilde {u}}} 平方互為相反數），得到的結果即可視為 i {\displaystyle i} 。 從而定理成立。 複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根 j {\displaystyle j} （如雙曲複數），則也有冪等元 1 2 ( 1 ± j ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)} 和零因子（因為 ( 1 + j ) ( 1 − j ) = 0 {\displaystyle (1+j)(1-j)=0} ），故此種代數必不為除代數（粵语：除代數）。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。 《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。 克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積 u ⋅ v = 1 2 ( u v + v u ) {\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)} ，正交化該二次型，以得到基 { e 1 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}} ，滿足： 1 2 ( e i e j + e j e i ) = { − 1 , 0 , + 1 , i = j , 0 , i ≠ j . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.} 由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到 2 k {\displaystyle 2^{k}} 個克里福數（英语：Multivector），即 1 ,   e 1 ,   e 2 ,   e 3 ,   … ,   e 1 e 2 ,   … ,   e 1 e 2 e 3 ,   … ,   e 1 e 2 ⋯ e k {\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}} ，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基 { e 1 , … , e k } {\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}} 不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即 e i {\displaystyle e_{i}} ）有奇數對抑或偶數對。所以， e 1 e 2 = − e 2 e 1 {\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}} ，但 e 1 ( e 2 e 3 ) = + ( e 2 e 3 ) e 1 {\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}} 。 若不允許 e i 2 = 0 {\displaystyle e_{i}^{2}=0} （即二次型非退化（英语：Degenerate bilinear form）），則餘下的克里福代數可記為 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} ，表示其為 p {\displaystyle p} 個滿足 e i 2 = + 1 {\displaystyle e_{i}^{2}=+1} 的簡單基元和 q {\displaystyle q} 個滿足 e i 2 = − 1 {\displaystyle e_{i}^{2}=-1} 的簡單基元生成的代數，而括號內的 R {\displaystyle \mathbb {R} } 指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。 該些代數稱為幾何代數（英语：Geometric algebra），組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。 此族代數包括：複數系 C l 0 , 1 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )} 、雙曲複數系 C l 1 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )} ，四元數系 C l 0 , 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )} 、分裂複四元數系（英语：split-biquaternion） C l 0 , 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )} 、分裂四元數系 C l 1 , 1 ( R ) ≅ C l 2 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )} （二維空間生成的自然代數）、 C l 3 , 0 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )} （三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數（英语：Spacetime algebra） C l 1 , 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )} 。 代數 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} 可以視為代數 C l q + 1 , p ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )} 的偶子代數 C l q + 1 , p [ 0 ] ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )} ，從而可用作描述 C l q + 1 , p ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )} 中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。 雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。 1995年，伊恩·波蒂厄斯（英语：Ian R. Porteous）有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況： 設 A {\displaystyle A} 為實結合代數，且具有單位元 1 {\displaystyle 1} 。則 1 {\displaystyle 1} 生成 R {\displaystyle \mathbb {R} } （實子代數）， 若 e 0 ∈ A {\displaystyle e_{0}\in A} 是任何滿足 e 0 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=-1} 的元素，則其生成的二維子代數與 C {\displaystyle \mathbb {C} } 同構（複子代數）， 若 e 0 ∈ A {\displaystyle e_{0}\in A} 是任何滿足 e 0 2 = + 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=+1} 的元素，則其生成的二維子代數與 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 同構（此處 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構）， 若 e 0 2 = e 1 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1} ，且 e 0 , e 1 {\displaystyle e_{0},e_{1}} 反交換，則 { e 0 , e 1 } {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}} 生成的四維子代數同構於 H {\displaystyle \mathbb {H} } （四元數代數）， 若 e 0 2 = e 1 2 = 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1} ，且 e 0 , e 1 {\displaystyle e_{0},e_{1}} 反交換，則 { e 0 , e 1 } {\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}} 生成的四維子代數同構於 M 2 ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )} （元素為 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 實矩陣，或分裂四元數）， 若 e 0 2 = e 1 2 = e 2 2 = − 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1} ，且 e 0 , e 1 , e 2 {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}} 兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於   2 H {\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} } （分裂複四元數代數（英语：split-biquaternion））， 若 e 0 2 = e 1 2 = e 2 2 = 1 {\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1} ，且 e 0 , e 1 , e 2 {\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}} 兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於 M 2 ( C ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )} （元素為 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。 超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類（英语：Classification of Clifford algebras）。 撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數 C l p , q ( R ) {\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )} 皆含有平方為 + 1 {\displaystyle +1} 的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為 2 n   ( n = 2 ,   3 ,   4 , … ) {\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )} 的數系，該些數系的基 { 1 , i 1 , … , i 2 n − 1 } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}} 滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且 i m 2 = − 1 {\displaystyle i_{m}^{2}=-1} 。在8維或以上時（即 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即 n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} ），該些代數有零因子。 此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。 凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數（英语：composition algebra）中的「分裂代數」，而非除代數： 分裂複數系：有基 { 1 , i 1 } {\displaystyle \{1,i_{1}\}} ，滿足   i 1 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1} ， 分裂四元數系：有基 { 1 , i 1 , i 2 , i 3 } {\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}} ，滿足   i 1 2 = − 1 , i 2 2 = i 3 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1} ， 分裂八元數系（英语：split-octonion）：有基 { 1 , i 1 , … , i 7 } {\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}} ，滿足   i 1 2 = i 2 2 = i 3 2 = − 1 {\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1} ，   i 4 2 = i 5 2 = i 6 2 = i 7 2 = + 1 {\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1} 。 與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。 兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。 作為例子，取2維實代數 C {\displaystyle \mathbb {C} } （複數系）、4維實代數 H {\displaystyle \mathbb {H} } （四元數系）、8維實代數 O {\displaystyle \mathbb {O} } （八元數系），分別與 C {\displaystyle \mathbb {C} } 作張量積，依次得4維的雙複數系 C ⊗ R C {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } 、8維的複四元數系 C ⊗ R H {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} } 、16維的複八元數系 C ⊗ R O {\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} } 。 多重複數：其組成複域上的 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} 維向量空間。 複合代數（英语：composition algebra）：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。 十六元數 托馬斯·柯克曼（英语：Thomas Kirkman） 格奧爾格·舍費爾（英语：Georg Scheffers） 理查德·布饒爾 超複分析（英语：Hypercomplex analysis） 埃米爾·阿廷其後推廣韋德伯恩的結果，定理因而得名阿廷-韋德伯恩定理。 Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 （英语）  Adams, J. 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