格蘭迪級數

格蘭迪級數（英語：Grandi's series），即 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle 1-1+1-1+\cdots } ，是由意大利數學家格蘭迪（英语：Luigi Guido Grandi）在1703年發表的。後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。格蘭迪級數寫作： ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}} 它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的和出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為 1 2 {\displaystyle \,{\frac {1}{2}}} 。 格蘭迪級數與級數1 − 2 + 3 − 4 + …有緊密的聯繫。歐拉將這兩個級數當作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例（其中 n {\displaystyle n} 為任意自然數），這個級數既直接擴展了他在巴塞爾問題上所做的工作，同時也引出了現在所知的狄利克雷η函數和黎曼ζ函數。 針對以下的格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … 一種求和方式是求它的裂項和： (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0. 但若調整括弧的位置，會得到不同的結果： 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. 用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。 格蘭迪級數為发散几何级数，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值： S {\displaystyle S} = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此 1 − S {\displaystyle S} = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S {\displaystyle S} ，即 2 S {\displaystyle S} = 1， 可得到 S {\displaystyle S} = 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 。 依照上述的計算，可以得到以下的二種結論： 格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。 格蘭迪級數的和為 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 。 上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。 對於格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle \,1-1+1-1+\cdots } ，看似可以用以下的方式處理，得到數值 1 2 {\displaystyle \;{\tfrac {1}{2}}} ： 級數內的數兩兩相加或相減。 每一項乘以一個係數。 調整括弧順序。 在級數前面增加新的項。 不過因為上述的處理方式只能適用在收斂的級數，而 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,} 不是收斂級數，因此上述處理都不適用。 由於各項 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一種簡單模式排列，格蘭迪級數可以透過移項以及逐項求和，再透過解方程得出一數值。暫時假設 s = 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle \,s=1-1+1-1+\cdots \,} 這樣的寫法有意義——其中的 s {\displaystyle \;s\;} 為常數，那麼以下的計算將說明 s = 1 2 {\textstyle \;s={\frac {1}{2}}} ： 2 s   = ( 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ ) +     ( 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ )   = ( 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ ) + 1 + ( − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ )   = 1   + [ ( 1 − 1 − 1 + 1 ⏟ 0 ) +     ( − 1 + 1 + 1 − 1 ⏟ 0 ) + ⋯ ] {\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&(\,1\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,\cdots )&+\,1\,+&(\,-\,1\,+\,1\,-\,1\,+\,1\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&1\,\ +&[\,(\,\underbrace {1\,-\,1\,-\,1\,+\,1} _{0}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,\underbrace {-\,1\,+\,1\,+\,1\,-\,1} _{0}\,)\,+\,\cdots ]\end{smallmatrix}}} 因此， s = 1 2 {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}} 。 再者，有許多的求和方式可以處理發散級數，並且可以對一些發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。 恩納斯托‧切薩羅在1890年第一個出版有關對發散級數求和的嚴謹方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一個級數的切薩羅和是其所有分項和的平均。也就是針對每個 n {\displaystyle \;n\;} ，計算前 n {\displaystyle \;n\;} 項的和 σ n {\textstyle \;\sigma _{n}\;} 的平均，當 n {\displaystyle \;n\;} 趨近無限大時的極限值即為切薩羅和。 以格蘭迪級數而言，而數列 s 1 + ⋯ + s n n {\textstyle {\tfrac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}} 的各項分別為 1 1 , 1 2 , 2 3 , 2 4 , 3 5 , 3 6 , 4 7 , 4 8 , … {\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots } , 而 lim n → ∞ s 1 + ⋯ + s n n = 1 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}={\frac {1}{2}}} 因此，格蘭迪級數的切薩羅和為 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} 。 也可以用廣義的切薩羅和 ( C , a ) {\displaystyle \;\left(C,a\right)\;} 來計算。 這個級數的部分和如下： { S 1 = 1 S 2 = 1 − 1 = 0 S 3 = 1 − 1 + 1 = 1 S 4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0 ⋮ {\displaystyle {\begin{cases}S_{1}=1\\S_{2}=1-1=0\\S_{3}=1-1+1=1\\S_{4}=1-1+1-1=0\\\quad \;\,\vdots \end{cases}}} 由此得出另一個無窮序列： S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , ⋯ = 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ {\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},\cdots =1,0,1,0,\cdots } ， 根據無窮級數的定義， ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n = lim n → ∞ S n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}=\lim _{n\to \infty }S_{n}} 但是 S n {\displaystyle \;S_{n}\;} 的無窮序列無法收斂到某個固定值（不斷在0和1之間來回變動），所以 lim n → ∞ S n {\displaystyle \;\lim _{n\to \infty }S_{n}\;} 發散。 因此 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n {\displaystyle \;\sum _{n=0}^{\infty }\,(-1)^{n}\;} 這個級數也發散。 以下的幂級數和格蘭迪級數有關，也是其母函数： f ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ = 1 1 + x {\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}} 格蘭迪級數在另一個重要的級數中出現： cos ⁡ x + cos ⁡ 2 x + cos ⁡ 3 x + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ cos ⁡ ( k x ) . {\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx).} 若x = π，其上述級數化簡為−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，歐拉認為其值符合以下的關係式Σ cos kx = −1⁄2，不過達朗貝爾不同意此關係式，而拉格朗日認為這可以用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。 歐拉的聲明推測 1 + 2 ∑ k = 1 ∞ cos ⁡ ( k x ) = 0 ? {\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\infty }\cos(kx)=0?} 針對所有的x，此級數都發散，不過對於幾乎所有的x，切萨罗和均為0。不過在x = 2πn時，其級數發散，而且是狄拉克梳（英语：Dirac comb）的傅立葉級數。其一般和、切萨罗和及阿貝爾和分別和狄利克雷核、费耶核及泊松核（英语：Poisson kernel）的極限有關。 將格蘭迪級數各項乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数 η ( z ) = 1 − 1 2 z + 1 3 z − 1 4 z + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n z , {\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},} 上述級數只有在實部大於0的複數z才會收斂，若令z = 0，即為格蘭迪級數。 不同於幾何級數，狄利克雷级数對於1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和沒有什麽幫助。即使在右半平面上，上述的 η ( z ) {\displaystyle \eta (z)} 也無法用初等函數來表示，也沒有直接證據可以證明當z趨近0時， η ( z ) {\displaystyle \eta (z)} 的極值。 另一方面，若使用其他較強的求和法，則上述的 η ( z ) {\displaystyle \eta (z)} 可定義一個在整個複數平面的函數－狄利克雷η函数，而且此函數為解析函数。若z的實部> −1，就可以用切薩羅和進行求和，因此η(0) = 1⁄2。 狄利克雷η函数和另一個著名的狄利克雷级数及函數有關： η ( z ) = 1 + 1 2 z + 1 3 z + 1 4 z + ⋯ − 2 2 z ( 1 + 1 2 z + ⋯ ) = ( 1 − 2 2 z ) ζ ( z ) , {\displaystyle {\begin{array}{rcl}\eta (z)&=&\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[1em]&=&\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{array}}} 其中ζ為黎曼ζ函數。若將格蘭迪級數的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。參照1 + 1 + 1 + 1 + …。 上述的關係式也可以推得一些更重要的性質。由於黎曼ζ函數可表示為η(z)和(1 − 21−z)相除的結果，二個函數在整個複數平面均為解析函数，而後者的零点是在z = 1的簡單零點，因此可得ζ(z)為亚纯函数，只在z = 1有一個極點。 格蘭迪級數及其衍生的級數常在物理學的各領域中出現，最典型的是量子化的费米子場，其中同時有正的及負的特徵值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不過這些級數也出現在玻色子的相關研究中，例如卡西米爾效應。 在光谱非对称性（英语：spectral asymmetry）領域也會用到由格蘭迪級數衍生的級數，而其求和方式是正規化的一部份，例如ζ函數正規化（英语：zeta function regulator）就是其中的一種。 数学主题 交錯級數 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3.  Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371.  Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Hardy (p.6) 結合格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ {\textstyle \,1-1+1-1+\cdots \,} 的計算提出了此推導過程。 Davis pp.152, 153, 157 Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004.  Davis pp. 153–159 Knopp pp. 491–492