正合序列

在數學裡，尤其是在群論、環與模理論、同調代數及微分幾何等數學領域中，正合序列（或釋作正合列或恰當序列）是指一個由對象及其間的態射所組成的序列，該序列中的每一個態射的像都恰好是其下一個態射的核。正合序列可以為有限序列或無限序列。 正合序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。 在群論裡，一個由群及群同態所組成的序列 G 0 → f 1 G 1 → f 2 G 2 → f 3 ⋯ → f n G n {\displaystyle G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}} 稱之為正合序列，若且唯若該序列中的每一個同態的像均等於其下一個同態的核： im ⁡ ( f k ) = ker ⁡ ( f k + 1 ) {\displaystyle \operatorname {im} (f_{k})=\ker(f_{k+1})} 上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。 在其他的代數結構裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成向量空間與線性映射，或是模與模同態，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有核與上核的範疇裡都能形成正合序列的概念。 下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以平凡群作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。 序列0 → A → B 為正合序列，若且唯若從A 至B 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為單射。 在對偶時，序列B → C → 0 為正合序列，若且唯若從B 至C 的映射，其像為整個C，亦即若且唯若該映射為滿射。 因此，序列0 → X → Y → 0 為正合序列，若且唯若從X 至Y 的映射同時為單射及滿射（即為雙射），並因此在大多數狀況下，該映射為從X 至Y 的同構。 短正合序列為具有下列形式的正合序列 0 → A → f B → g C → 0 {\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\to 0} 如上所述，對任何一個短正合序列，f 一定為單射，且g 一定為滿射，且f 的像會等於g 的核。因此，可導出一同構 C ≅ B / im ⁡ ( f ) {\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)} 若以下任一等價（依據分裂引理）條件成立，則稱短正合序列 0 ⟶ A ′ ⟶ f A ⟶ g A ″ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A'{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A{\stackrel {g}{\longrightarrow }}A''\longrightarrow 0} 分裂： g {\displaystyle g} 有截面（即存在 s : A ″ → A {\displaystyle s:A''\rightarrow A} 使得 g ∘ s = i d A ″ {\displaystyle g\circ s=\mathrm {id} _{A''}} ） f {\displaystyle f} 有縮回（即存在 r : A → A ′ {\displaystyle r:A\rightarrow A'} 使得 r ∘ f = i d A ′ {\displaystyle r\circ f=\mathrm {id} _{A'}} ） 該短正合序列同構（在鏈複形的意義下）於 0 ⟶ A ′ ⟶ A ′ ⊕ A ″ ⟶ A ″ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow 0} 其中的箭頭是直和的典範映射。 對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證 A {\displaystyle A} 可以表為 A ′ {\displaystyle A'} 與 A ″ {\displaystyle A''} 的半直積；例如我們可考慮群同態 1 ⟶ Z / 3 Z ⟶ S 3 ⟶ Z / 2 Z ⟶ 0 {\displaystyle 1\longrightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \longrightarrow S_{3}\longrightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \longrightarrow 0} 其中 S 3 {\displaystyle S_{3}} 是3次對稱群。 Z / 3 Z → S 3 {\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \rightarrow S_{3}} 由 n m o d 3 ⟼ ( 123 ) n {\displaystyle n\;\mathrm {mod} \;3\longmapsto (123)^{n}} 給出，它的像是交代群 A 3 {\displaystyle A_{3}} ，商為 Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } ；但 S 3 {\displaystyle S_{3}} 無法分解成 Z / 3 Z × Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } 。 正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列 ⋯ ⟶ A n − 1 ⟶ A n ⟶ A n + 1 ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow A_{n-1}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow A_{n+1}\longrightarrow \cdots } 設 Z n := K e r ( A n → A n + 1 ) = I m ( A n − 1 → A n ) = C o k e r ( A n − 2 → A n − 1 ) {\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})=\mathrm {Im} (A_{n-1}\to A_{n})=\mathrm {Coker} (A_{n-2}\to A_{n-1})} 其中 2 ≤ n ≤ 4 {\displaystyle 2\leq n\leq 4} ，這就給出了一個短正合序列 0 ⟶ Z n ⟶ A n ⟶ Z n + 1 ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow Z_{n}\longrightarrow A_{n}\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0} 一般而言，設 A ∙ {\displaystyle A_{\bullet }} 為鏈複形，我們同樣定義 Z n := K e r ( A n → A n + 1 ) {\displaystyle Z_{n}:=\mathrm {Ker} (A_{n}\to A_{n+1})} ；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈 0 → Z n → A n → Z n + 1 → 0 {\displaystyle 0\rightarrow Z_{n}\rightarrow A_{n}\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0} 的正合性。 給定一個短正合序列 0 ⟶ A ′ ⟶ A ⟶ A ″ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow 0} 有時也稱 A {\displaystyle A} 為 A ″ {\displaystyle A''} 經由 A ′ {\displaystyle A'} 的擴張。 詳閱條目Ext函子與群上同調。 若有鏈複形的短正合序列： 0 ⟶ C ∙ ′ ⟶ C ∙ ⟶ C ∙ ″ ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow C'_{\bullet }\longrightarrow C_{\bullet }\longrightarrow C''_{\bullet }\longrightarrow 0} 反覆運用蛇引理，可以導出正合序列 ⋯ ⟶ H n + 1 ( C ∙ ″ ) ⟶ H n ( C ∙ ′ ) ⟶ H n ( C ∙ ) ⟶ H n ( C ∙ ″ ) ⟶ H n − 1 ( C ∙ ′ ) ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C'_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C_{\bullet })\longrightarrow H_{n}(C''_{\bullet })\longrightarrow H_{n-1}(C'_{\bullet })\longrightarrow \cdots } 對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是 H n ( C ″ ∙ ) → H n + 1 ( C ′ ∙ ) {\displaystyle H^{n}(C''^{\bullet })\to H^{n+1}(C'^{\bullet })} 。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。 正合函子 鏈複形