有理数根定理

在代数中，有理根定理（或有理根检验、有理零定理、有理零检验或p/q定理）陈述了对多项式方程的有理数解的约束。 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0} 具有整数系数 a i ∈ Z {\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} } 和 a 0 , a n ≠ 0 {\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0} .方程的解也称为左侧多项式的根或零点。 该定理指出每个有理根 x = p q {\displaystyle x={\frac {p}{q}}} ，写成最低项使 p {\displaystyle p} 和 q {\displaystyle q} 互质，满足： p {\displaystyle p} is an integer factor of the constant term a 0 {\displaystyle a_{0}} , and q {\displaystyle q} is an integer factor of the leading coefficient a n {\displaystyle a_{n}} . 有理根定理是高斯定理关于多项式分解的一个特例（对于单个线性因子）。当主系数为 a n = 1 {\displaystyle a_{n}=1} . 该定理用于查找多项式的所有有理根（如果有的话）。它给出了有限数量的可能分数，可以检查它们是否是根。如果找到有理根x = r ，则可以使用多项式长除法从多项式中分解出线性多项式(x – r) ，从而得到一个更低阶的多项式，其根也是原始多项式的根。 一般三次方程 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} 具有整数系数的问题在复平面上有三个解。如果有理根测试找不到有理解，那么用代数表示解的唯一方法是使用立方根。但是，如果测试找到有理解r ，则分解出(x – r)会留下一个二次多项式，其两个根是用二次公式找到的，是剩余的两个立方根，避免了立方根。 让 P ( x )   =   a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} 和 a 0 , … a n ∈ Z . {\displaystyle a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .} 假设P(p/q) = 0对于一些互质p, q ∈ ℤ ： P ( p q ) = a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0. {\displaystyle P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.} 要清除分母，将两边乘以qn ： a n p n + a n − 1 p n − 1 q + ⋯ + a 1 p q n − 1 + a 0 q n = 0. {\displaystyle a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.} 将a0项移到右侧并分解出左侧的p会得到： p ( a n p n − 1 + a n − 1 q p n − 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 ) = − a 0 q n . {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.} 因此， p整除a0qn 。但是p与q互质，因此与qn互质，因此根据欧几里德引理， p必须整除剩余的因子a0 。 另一方面，将an移到右侧并在左侧分解出q会产生： q ( a n − 1 p n − 1 + a n − 2 q p n − 2 + ⋯ + a 0 q n − 1 ) = − a n p n . {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.} 如前所述，可以得出q整除an 。 如果有一个非平凡的因子除以多项式的所有系数，则可以除以系数的最大公约数，从而获得高斯定理意义上的本原多项式；这不会改变有理根的集合，只会加强可分性条件。该引理表示，如果Q[X]中的多项式因子，那么它也会将Z[X]中的因子作为原始多项式的乘积。现在，任何有理根p/q都对应于多项式Q[X]中的 1 次因子，其原始表示则为qx − p ，假设p和q互质。但是qx − p的Z[X]中的任何倍数都有可被q整除的首项和可被p整除的常数项，这证明了命题。这个论点表明，更一般地， P的任何不可约因子都可以假设具有整数系数，并且前导系数和常数系数除以对应的系数 P 在多项式 2 x 3 + x − 1 , {\displaystyle 2x^{3}+x-1,} 中 任何完全约化的有理根都必须有一个能整除 1 的分子和一个能整除 2 的分母。因此，唯一可能的有理根是±1/2 和±1；由于这些都不等于多项式为零，因此它没有有理根。 在多项式 x 3 − 7 x + 6 {\displaystyle x^{3}-7x+6} 中 唯一可能的有理根将具有除以 6 的分子和除以 1 的分母，将可能性限制为 ±1、±2、±3 和 ±6。其中，1、2 和 –3 使多项式等于零，因此是它的有理根。 （实际上，这些是它唯一的根，因为三次方只有三个根；一般来说，多项式可能有一些有理根和一些无理根。 ) 多项式 3 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 2 {\displaystyle 3x^{3}-5x^{2}+5x-2} 的每个有理根 必须在以下符号表示的数字中： ± 1 , 2 1 , 3 = ± { 1 , 2 , 1 3 , 2 3 } . {\displaystyle \pm {\tfrac {1,2}{1,3}}=\pm \left\{1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}}\right\}.} 这 8 个候选根x = r可以通过评估P(r)来测试，例如使用Horner 的方法。结果恰好有一个P(r) = 0 。 这个过程可能会更有效率：如果P(r) ≠ 0 ，它可以用来缩短剩余候选者的列表。 例如， x = 1不起作用，因为P(1) = 1 。代入x = 1 + t产生一个多项式 t具有常数项P(1) = 1 ，而t3的系数与x3的系数保持相同。应用有理根定理从而产生可能的根 t = ± 1 1 , 3 {\displaystyle t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}} ， 以便 x = 1 + t = 2 , 0 , 4 3 , 2 3 . {\displaystyle x=1+t=2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}.} 实根必须出现在两个列表中，因此有理根候选列表已缩小到只有x = 2和x = 2/3 。 如果找到k ≥ 1有理根，Horner 方法也会产生一个n − k次多项式，其根与有理根一起恰好是原始多项式的根。如果没有一个候选者是解决方案，则不可能有合理的解决方案。 Arnold, D.; Arnold, G. Four unit mathematics. Edward Arnold. 1993: 120–121. ISBN 0-340-54335-3.  King, Jeremy D. Integer roots of polynomials. Mathematical Gazette. November 2006, 90: 455–456.  Charles D. Miller、Margaret L. Lial、David I. Schneider：大学代数基础。 Scott & Foresman/Little & Brown 高等教育，第 3 版 1990，ISBN 0-673-38638-4 ，页数 216–221 Phillip S. Jones, Jack D. Bedient：初等数学的历史根源。多佛信使出版社 1998 年，ISBN 0-486-25563-8 ，页数 116–117（online copy，第116頁，載於Google圖書） Ron Larson：微积分：一种应用方法。圣智学习 2007，ISBN 978-0-618-95825-2 ，第 23–24（online copy，第23頁，載於Google圖書） 埃里克·韦斯坦因. Rational Zero Theorem. MathWorld.  RationalRootTheorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） at PlanetMath Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Scott E. Brodie The Rational Roots Test （页面存档备份，存于互联网档案馆） at purplemath.com