并集

在集合论和数学的其他分支中，一群集合的并集，是以这群集合的所有元素來构成的集合。 聯集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 A ∪ B {\displaystyle A\cup B} ： ( ∀ A ) ( ∀ B ) ( ∀ x ) { ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ [ ( x ∈ A ) ∨ ( x ∈ B ) ] } {\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cup B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\vee (x\in B)\right]\right\}} 也就是直觀上： 「對所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ A ∪ B {\displaystyle x\in A\cup B} 等價於 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 或 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 」 举例： 集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 和 { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} 的并集是 { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{1,2,3,4\}} 。数 9 {\displaystyle 9} 不属于素数集合 { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … } {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和偶数集合 { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , … } {\displaystyle \{2,4,6,8,10,\ldots \}} 的并集，因为 9 {\displaystyle 9} 既不是素数，也不是偶数。 更通常的，多个集合的并集可以这样定义： 例如， A , B {\displaystyle A,B} 和 C {\displaystyle C} 的并集含有所有 A {\displaystyle A} 的元素，所有 B {\displaystyle B} 的元素和所有 C {\displaystyle C} 的元素，而没有其他元素。形式上： x {\displaystyle x} 是 A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C} 的元素，当且仅当 x {\displaystyle x} 属于 A {\displaystyle A} 或 x {\displaystyle x} 属于 B {\displaystyle B} 或 x {\displaystyle x} 属于 C {\displaystyle C} 。 二元并集（两个集合的并集）是一种结合运算，即 A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C} 。事实上， A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C} 也等于这两个集合，因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。 相似的，并集运算满足交换律，即集合的顺序任意。 空集是并集运算的单位元。即 ∅ ∪ A = A {\displaystyle \varnothing \cup A=A} ，对任意集合 A {\displaystyle A} 。可以将空集当作零个集合的并集。 结合交集和补集运算，并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如，并集和交集相互满足分配律，而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算，可以获得相应的布尔环。 由公理化集合论的并集公理，有唯一的集合 ⋃ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}} 滿足： ( ∀ M ) ( ∀ x ) { ( x ∈ ⋃ M ) ⇔ ( ∃ A ) [ ( A ∈ M ) ∧ ( x ∈ A ) ] } {\displaystyle (\forall {\mathcal {M}})(\forall x)\left\{\left(x\in \bigcup {\mathcal {M}}\right)\Leftrightarrow (\exists A)\left[\left(A\in {\mathcal {M}}\right)\wedge (x\in A)\right]\right\}} 也就是直觀上「對所有 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 和所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ ⋃ M {\displaystyle x\in \bigcup {\mathcal {M}}} 等價於有某個 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下屬集合 A {\displaystyle A} ，使得 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 」。以上的 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 可以直觀的視為一個集合族，而把 ⋃ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}} 看成對 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 內的集合取并集，但這個公理並沒有對 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 下屬集合的數量做出任何限制，所以這個 ⋃ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}} 被俗稱為任意并集或无限并集。 若 X ⊆ ⋃ M {\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {M}}} ，會稱 X {\displaystyle X} 被 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 覆蓋（cover），也就是直觀上可以用 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 裡的所有集合疊起來蓋住 X {\displaystyle X} 。 例如： 對 M = { A , B , C } {\displaystyle {\mathcal {M}}=\{A,B,C\}} ， ⋃ M = A ∪ B ∪ C {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}=A\cup B\cup C} ，若 M {\displaystyle M} 是空集， ⋃ M {\displaystyle \bigcup {\mathcal {M}}} 也是空集。 无限并集有多种表示方法： 可模仿求和符号記為 ⋃ A ∈ M A {\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {M}}}A} 。 但大多數人會假設指标集 I {\displaystyle I} 的存在，換句話說 若 I ≅ A M {\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則 ⋃ i ∈ I A ( i ) := ⋃ M {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A(i):=\bigcup {\mathcal {M}}} 在指标集 I {\displaystyle I} 是自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說： 若 N ≅ A M {\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}} 則 ⋃ i = 0 ∞ A ( i ) := ⋃ M {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A(i):=\bigcup {\mathcal {M}}} 也可以更粗略直觀的將 ⋃ i = 0 ∞ A ( i ) {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }A(i)} 写作 A 0 ∪ A 1 ∪ A 2 ∪ … {\displaystyle A_{0}\cup A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots } 。 定理(0) —  ⊢ ⋃ ∅ = ∅ {\displaystyle \vdash \bigcup \varnothing =\varnothing } 定理(1) —  ( M ⊆ N ) ⊢ ( ⋃ M ⊆ ⋃ N ) {\displaystyle ({\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {N}})\vdash \left(\bigcup {\mathcal {M}}\subseteq \bigcup {\mathcal {N}}\right)} 定理(2) —  ⊢ A = ⋃ P ( A ) {\displaystyle \vdash A=\bigcup {\mathcal {P}}(A)} 「 A {\displaystyle A} 正好就是其冪集的聯集」，這個定理直觀上可理解成，因為冪集 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 是以 A {\displaystyle A} 和 A {\displaystyle A} 的子集為元素，所以 P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} 的聯集理當是 A {\displaystyle A} 。 定理(3) —  ( ⋃ M ⊆ A ) ⊢ ( ∀ M ∈ M ) ( M ⊆ A ) {\displaystyle \left(\bigcup {\mathcal {M}}\subseteq A\right)\vdash (\forall M\in {\mathcal {M}})(M\subseteq A)} 直觀上，這個定理說「一群集合的聯集包含於 A {\displaystyle A} ，則它們個個都包含於 A {\displaystyle A} 」 定理(4) —  ⊢ ( A = ⋃ M ) ⇒ { A ⊆ ⋃ [ M ∪ P ( A ) ] } {\displaystyle \vdash \left(A=\bigcup {\mathcal {M}}\right)\Rightarrow \left\{A\subseteq \bigcup {\mathcal {[}}{\mathcal {M}}\cup {\mathcal {P}}(A)]\right\}} 直觀上，這個定理說「集族 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的聯集為 A {\displaystyle A} ，則對 A {\displaystyle A} 的每點 a {\displaystyle a} ，都可從 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 裡找到一個 a {\displaystyle a} 的鄰域 M {\displaystyle M} ，且這個鄰域不會比 A {\displaystyle A} 大 」 定理(5) —  若 M A := { B | ( ∃ M ∈ M ) ( B = M ∩ A ) } {\displaystyle {\mathcal {M}}_{A}:=\left\{B\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(B=M\cap A)\right\}} 則 ⊢ ⋃ M A = A ∩ ( ⋃ M ) {\displaystyle \vdash \bigcup {\mathcal {M}}_{A}=A\cap \left(\bigcup {\mathcal {M}}\right)} 直觀上這個定理說，交集在「无限并集满足分配律」，一般會不正式的寫為 ⋃ i ∈ I ( A ∩ B i ) = A ∩ ⋃ i ∈ I B i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\left(A\cap B_{i}\right)=A\cap \bigcup _{i\in I}B_{i}} 定理(6) —  N ≅ A A {\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {A}}} ，若對自然数 m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } 做以下的符號定義： A m := { S ∈ A | A − 1 ( S ) ≥ m } {\displaystyle {\mathcal {A}}_{m}:=\left\{S\in {\mathcal {A}}\,|\,A^{-1}(S)\geq m\right\}} I := { S | ( ∃ m ∈ N ) ( S = ⋂ A m ) } {\displaystyle {\mathcal {I}}:=\left\{S\,{\bigg |}\,(\exists m\in \mathbb {N} )\left(S=\bigcap {\mathcal {A}}_{m}\right)\right\}} S := { S | ( ∃ m ∈ N ) ( S = ⋃ A m ) } {\displaystyle {\mathcal {S}}:=\left\{S\,{\bigg |}\,(\exists m\in \mathbb {N} )\left(S=\bigcup {\mathcal {A}}_{m}\right)\right\}} 那有 ⊢ ⋃ I ⊆ ⋂ S {\displaystyle \vdash \bigcup {\mathcal {I}}\subseteq \bigcap {\mathcal {S}}} 。 這個定理一般會被不正式的寫為 ⋃ i = 0 ∞ ( ⋂ j = i ∞ A j ) ⊆ ⋂ i = 0 ∞ ( ⋃ j = i ∞ A j ) {\displaystyle \bigcup _{i=0}^{\infty }\left(\bigcap _{j=i}^{\infty }A_{j}\right)\subseteq \bigcap _{i=0}^{\infty }\left(\bigcup _{j=i}^{\infty }A_{j}\right)} 。 朴素集合论 交集 补集 对称差 不交并 布尔逻辑 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766.