渗流理论

渗流理论（英語：Percolation theory）是数学和统计物理领域中研究随机图上簇的性质的一套理论。举例来说，假设有一多孔材料，求问液体能否从顶端贯穿该材料直至到达底部。渗流理论将此抽象成以下数学问题：建立一有n × n × n个顶点的三维网格模型，相邻顶点的边有p的概率是连接的，或者说有(1-p)的概率是不连接的，每条边连接与否相互独立。渗流理论的基本问题是，当n很大以至于体系可以近似为无限网格时，求问至少存在一条贯穿整个网格的路径（称为渗流）对应的p的范围。这一p的下界，pc，称为渗流阈值（英语：Percolation_threshold）。该问题由布罗德本特和汉默斯利于1957年提出，其后相关问题被广泛研究。 上述问题称为边渗流或键渗流（英語：Bond percolation），是渗流理论两种主要的渗流形式之一。另外一种是点渗流（英語：Site percolation），与边渗流不同的是，每个顶点有p的概率是“占有”的；相应有(1-p)的概率是“空缺”的，如果相邻两个顶点皆属于占有则它们之间是连接的。而问题相同：求给定p值时，整个图是否渗流。 根据零一律，一个无限的随机图是否渗流的概率要么为0，要么为1，处于这一转折的临界概率称为渗流阈值，记作pc。少数简单模型的渗流阈值有精确的解析解。例如，一维点阵的边渗流和点渗流阈值均为pc=1，这个解是平凡的；二维方格的渗流阈值曾困扰物理学界20年，直到1980年代由哈里·凯斯滕（英语：Harry_Kesten）给出完整证明，其边渗流阈值是1/2（参见Kesten (1982) harvtxt error: no target: CITEREFKesten1982 (help)）。另一种已知精确解的特殊情况是贝特晶格（英语：Bethe_lattice）（该模型的每一个顶点有z个近邻顶点，如此延伸，没有回路）， p c = 1 z − 1 {\displaystyle p_{c}={\frac {1}{z-1}}} 。 以下给出d维简单立方模型的渗流阈值数据： 实际计算中，当网格边长n较大时，比如n=100，一个体系是否渗流的概率在pc附近的变化已经非常尖锐。 模型在渗流阈值附近的行为可视作一种相变，因为有些表征性质的物理量是发散的，比如簇的期望大小。标度理论认为模型在渗流阈值的性质可以用一系列临界指数描述。例如，相互连接的点（点渗流）或边（边渗流）构成一个簇。当 p = p c {\displaystyle p=p_{c}} 时，簇大小的分布趋于 n s ∼ s − τ , ( s → ∞ ) {\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )} ，其中 s {\displaystyle s} 为簇的大小， n s {\displaystyle n_{s}} 为该大小的簇出现的概率， τ {\displaystyle \tau } 为费舍尔指数（Fischer exponent）。 又如，两个距离为 r → {\displaystyle {\vec {r}}\,\!} 的点属于同一个簇的概率呈 g ( r → ) ∼ | r → | − d + ( 2 + η ) {\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!} 指数衰减，其中 η {\displaystyle \eta } 为反常维度（Anomalous dimension）。 在渗流阈值时，无限的簇可视作一分形。以该无限的簇上的一点为中心，长度为 L {\displaystyle L} 半径范围内属于该簇点的个数（簇的质量）满足 M ( L ) = L d f {\displaystyle M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}} ， d f {\displaystyle d_{\mathrm {f} }} 称为分形维度（Fractal dimension）。以上三个指数满足 τ = d d f + 1 {\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!} η = 2 + d − 2 d f {\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!} 渗流临界指数及关系也是渗流理论研究的重要内容。 普遍性 (物理学) ER随机图 Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100032680.  Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. ISBN 0748400273.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832. arXiv:math/0412510 . doi:10.1002/rsa.20134.  Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47 (13): 135001. Bibcode:2014JPhA...47m5001G. arXiv:1401.7847 . doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001.  Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126.  Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044 . doi:10.1103/PhysRevE.57.230.  Grassberger, Peter. Critical percolation in high dimensions. Physical Review E. 2003, 67 (3): 4. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. arXiv:cond-mat/0202144 . doi:10.1103/PhysRevE.67.036101.  Mertens, Stephan; Christopher Moore. Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices. 2018. arXiv:1806.08067  [cond-mat.stat-mech].