向量自回归模型

向量自我迴歸模型（英語：Vector Autoregression model，简称VAR模型）是一种常用的计量经济模型，由计量经济学家和宏观经济学家克里斯托弗·西姆斯（英語：Christopher Sims）提出。它擴充了只能使用一個變量的自我迴歸模型（簡稱：AR模型），使容納大於1個變量，因此經常用在多變量時間序列模型的分析上。 VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。 一个VAR(p)模型可以写成为： y t = c + A 1 y t − 1 + A 2 y t − 2 + ⋯ + A p y t − p + e t , {\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},} 其中：c是n × 1常数向量，Ai是n × n矩阵。et是n × 1误差向量，满足： E ( e t ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,} —误差项的均值为0 E ( e t e t ′ ) = Ω {\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,} —误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n半正定矩阵） E ( e t e t − k ′ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,} （对于所有不为0的k都满足）—误差项不存在自我相关 一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为： [ y 1 , t y 2 , t ] = [ c 1 c 2 ] + [ A 1 , 1 A 1 , 2 A 2 , 1 A 2 , 2 ] [ y 1 , t − 1 y 2 , t − 1 ] + [ e 1 , t e 2 , t ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2}\\A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},} 或者也可以写为以下的方程组： y 1 , t = c 1 + A 1 , 1 y 1 , t − 1 + A 1 , 2 y 2 , t − 1 + e 1 , t {\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+A_{1,1}y_{1,t-1}+A_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,} y 2 , t = c 2 + A 2 , 1 y 1 , t − 1 + A 2 , 2 y 2 , t − 1 + e 2 , t . {\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+A_{2,1}y_{1,t-1}+A_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,} AR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。 比如AR(2)模型： y t = c + A 1 y t − 1 + A 2 y t − 2 + e t {\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}} 可以转换成一个VAR(1)模型： [ y t y t − 1 ] = [ c 0 ] + [ A 1 A 2 I 0 ] [ y t − 1 y t − 2 ] + [ e t 0 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},} 其中I是单位矩阵。 一个结构向量自我迴歸（Structural VAR）模型可以写成为： B 0 y t = c 0 + B 1 y t − 1 + B 2 y t − 2 + ⋯ + B p y t − p + ϵ t , {\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},} 其中：c0是n × 1常数向量，Bi是n × n矩阵，εt是n × 1误差向量。 一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为： [ 1 B 0 ; 1 , 2 B 0 ; 2 , 1 1 ] [ y 1 , t y 2 , t ] = [ c 0 ; 1 c 0 ; 2 ] + [ B 1 ; 1 , 1 B 1 ; 1 , 2 B 1 ; 2 , 1 B 1 ; 2 , 2 ] [ y 1 , t − 1 y 2 , t − 1 ] + [ ϵ 1 , t ϵ 2 , t ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},} 其中： Σ = E ( ϵ t ϵ t ′ ) = [ σ 1 0 0 σ 2 ] ; {\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\end{bmatrix}};} 把结构向量自我迴歸与B0的逆矩阵相乘： y t = B 0 − 1 c 0 + B 0 − 1 B 1 y t − 1 + B 0 − 1 B 2 y t − 2 + ⋯ + B 0 − 1 B p y t − p + B 0 − 1 ϵ t , {\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},} 让： B 0 − 1 c 0 = c , {\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,} B 0 − 1 B i = A i {\displaystyle B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}} 对于 i = 1 , ⋯ , p {\displaystyle i=1,\cdots ,p\,} 和 B 0 − 1 ϵ t = e t {\displaystyle B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}} 我们得到p-阶简化向量自我迴歸（Reduced VAR）： y t = c + A 1 y t − 1 + A 2 y t − 2 + ⋯ + A p y t − p + e t {\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}} 自我迴歸模型（AR模型） 自我迴歸滑動平均模型（ARMA模型） 差分自我迴歸滑動平均模型（ARIMA模型） 格蘭傑因果關係（Granger Causality）