維面

在幾何學中，維面（Facet）又稱為超面（hyperface）是指幾何形狀的組成元素中，比該幾何形狀所在維度少一個維度的元素。也是任何多胞形的邊界。而若在維面前加一個整數則代表幾何形狀的組成元素中，維度為該數的元素，例如在立方體中2維面（2-Face）是指立方體的正方形面。一般來說，維面（Facet）不應與面（Face）混淆。一般的多胞形皆是以維面的數量命名，例如六邊形的維面是邊，其共有六條邊因此稱六邊形、八面體的維面是面，其共有八個面因此稱八面體。 在幾何學中，維面是多面體、多胞形或相關幾何結構的特徵之一，其通常可以用來描述該幾何結構的主要屬性。 在三維幾何中，多面體的維面是指所有頂點都是多面體頂點的多邊形面。在部分幾何結構中有可能存在不是維面的面。而維面重組，或稱刻面是指找到新的維面形成新的多面體的過程，這個過程有時可以稱作星形化，並可以套用到更高維度的幾何結構。 在多面體組合學（英语：polyhedral combinatorics）和一般的多胞形理論中，n維多胞形中的n − 1維元素稱為維面。維面也稱為(n − 1)維面、(n − 1)面或(n − 1)-面。而在在三維幾何學通常稱為面而不是維面。 在单纯复形中，单纯复形的維面是一個单纯复形中最大的单纯形，且這個单纯形不是面也不是其他单纯复形的单纯形。對於单纯多胞形的邊界複合體，此定義與多面體組合學一致。 在幾何學中，維面一詞前面若加一個整數，則代表一幾何結構中維度為該整數的元素，此概念不應與維面混淆。例如k維面代表幾何結構中維度為k的元素，又稱k面、k-面或k維元素而在更高維度中，有時會稱為k維胞，這一用法並未限定元素的所屬維度。例如立方體的多維面包括了空多胞形（負一維面）、頂點（零維面）、邊（一維面）、正方形（二維面，一般稱面）和其本身（三維面，一般稱體）。正式地，對於一個多胞形P，多維面的定義是與一個「不與P內部相交的封閉半空間」的相交幾何結構（如交點、交線或交面等）。多胞形中的多維面集合中同時也包含了多胞形本身和空多胞形。 在抽象幾何學中，負一維面是多胞形中的元素集合中，不存在任何元素的子集，對應到集合論中即為空集且所有多胞形都含有空多胞形。這種面通常稱為多胞形的極小面（least face）、核維面或零化度（nullity）。 零維面為幾何結構中的零維元素，即頂點，通常由幾何結構的元素相交於點上形成。 一維面為幾何結構中的一維元素，即邊或稜，通常由二個或多個幾何結構的元素交於一線而形成。 二維面為幾何結構中的二維元素，通常會省略前面的維度直接稱面。 三維或更高維度的面通常稱為胞，更高維度的胞通常會以其維度稱呼，例如四維胞、五維胞等。 若一個多胞形其維度就是n維，則n維面為該多胞形本身，通常稱為體，而在抽象幾何學中，也稱為極大面（Greatest Face），並且與極小面合稱非法面（Improper Face）。 若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-1)維的元素稱為維面（Facet）。 若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-2)維的元素稱為維脊（Ridge）。 若一個多胞形其維度就是n維，則其(n-3)維的元素稱為維峰（Peak）。 面 (幾何) N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225 Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-10） . Grünbaum, Branko, Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 221 2nd, Springer: 17, 2003 [2019-09-16], （原始内容存档于2013-10-31） . Ziegler, Günter M., Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics 152, Springer, Definition 2.1, p. 51, 1995 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-12） . Matoušek (2002) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFMatoušek2002 (help), p. 87; Grünbaum (2003), p. 27; Ziegler (1995), p. 17. Bridge, N.J. Facetting the dodecahedron, Acta crystallographica A30 (1974), pp. 548–552. Inchbald, G. Facetting diagrams, The mathematical gazette, 90 (2006), pp. 253–261. Matoušek, Jiří, Lectures in Discrete Geometry, Graduate Texts in Mathematics 212, Springer, 5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86, 2002 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-10） . De Loera, Jesús A.; Rambau, Jörg; Santos, Francisco, Triangulations: Structures for Algorithms and Applications, Algorithms and Computation in Mathematics 25, Springer: 493, 2010, ISBN 9783642129711 . H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589.  Johnson, Norman（英语：Norman Johnson (mathematician)）. Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003 [2019-09-16]. （原始内容存档于2017-03-05）.  Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）.  McMullen, P. and Schulte, E. Abstract Regular Polytopes. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. 2002. ISBN 9780521814966. LCCN 02017391.  |number=被忽略 (帮助) N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226 Heath, Thomas L. The Thirteen Books of Euclid's Elements 2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925]. New York: Dover Publications. 1956.  (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3). Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 1, 1974 [2019-09-16], ISBN 9780521098595, （原始内容存档于2015-03-21） . Cromwell, Peter R., Polyhedra, Cambridge University Press: 13, 1999 [2019-09-16], （原始内容存档于2019-06-13）  Weisstein, Eric W. (编). Cell. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Ditela, polytopes and dyads. [2019-09-16]. （原始内容存档于2018-10-18）.  施开达, 马利庄. 正则多胞形和 N 维空间有限旋转群理论的一些新结果. 自然科学进展: 国家重点实验室通讯. 1999, 9 (A12): 1336––1341.  Araujo-Pardo, Gabriela and Hubard, Isabel and Oliveros, Deborah and Schulte, Egon. Colorful polytopes and graphs. Israel Journal of Mathematics (Springer). 2013, 195 (2): 647––675.  Matoušek (2002) harvtxt error: multiple targets (2×): CITEREFMatoušek2002 (help), p. 87; Ziegler (1995), p. 71. Nishio, Kengo and Miyazaki, Takehide. Describing polyhedral tilings and higher dimensional polytopes by sequence of their two-dimensional components. Scientific reports (Nature Publishing Group). 2017, 7: 40269.  埃里克·韦斯坦因. 多維面. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. 維面. MathWorld.