分布 (数学分析)

数学分析中，分布（distribution）是广义函数的一种，由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入，因此又称施瓦兹分布（Schwartz distribution）、施瓦兹广义函数（Schwartz generalized function）。分布推广了普通意义上的函数概念：对于普通意义上不可导甚至不连续的函数，可以具备分布意义上的导数。事实上，任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中，常常使用分布来表示方程的广义解函数，因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用，因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程，例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。 广义函数的概念最早由谢尔盖·索伯列夫在1935年提出。1940年代末，施瓦茨等人开始建立分布理论，首次提出了一个系统清晰的广义函数理论。 很多时候，函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射，是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论，特别是不确定性原理的发现，使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法，而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息，是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念，通过观察某个函数 f {\displaystyle f} 与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说，我们观察 f {\displaystyle f} 和一群“测量函数” φ {\displaystyle \varphi } 之乘积的积分： ∫ f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x} 。之所以使用积分作为“观察”的方式，一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间，（局部）可积分的函数比（局部）可导的函数要“多得多”；另一方面，则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候，我们往往不要求（也无法做到）知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值，而只能通过多次测量，知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度，这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。 分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”，称为分布，并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说，分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求： 连续的函数属于分布； 可微、可积的函数对应的分布应该也能进行微分/求原函数操作，而且结果应该也是分布，并且应该对应于原函数的微分/原函数； 基本的微积分法则适用于分布； 存在适当的收敛定理，可以对分布进行极限操作。 对每一个实数值的“测试函数” φ {\displaystyle \varphi } ，将它映射到积分 ∫ f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x} ，就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为 f {\displaystyle f} 对应的分布。积分 ∫ f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x} 的存在性取决于函数 f {\displaystyle f} 与 φ {\displaystyle \varphi } 的乘积，所以对 φ {\displaystyle \varphi } 要求越高，就能对越多的 f {\displaystyle f} 定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是紧支撑的函数空间D(R)，也就是满足以下两个条件的R射到R函数的集合： 拥有任意阶的导函数，并且导函数连续， 除了在某一个紧致集合（一般可以简化为一个有限区间）以外，函数的取值都是0. 一般来说，一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布 T {\displaystyle T} （作用在“测试函数” φ {\displaystyle \varphi } 上）的值一般使用类似内积的符号记为 ⟨ T , φ ⟩ {\displaystyle \langle T,\varphi \rangle } 。当“测试函数”空间选为D(R)的时候，只要 f {\displaystyle f} 局部可积，就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为 T f {\displaystyle T_{f}} ，以和 f {\displaystyle f} 区分，而它的值就是： ⟨ T f , φ ⟩ = ∫ f ( x ) φ ( x ) d x {\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int f(x)\varphi (x)\mathrm {d} x} 对于概率分布函数 P {\displaystyle \mathbb {P} } ，也可以将它定义为分布 T P {\displaystyle T_{\mathbb {P} }} 。对给定的一个测试函数 φ {\displaystyle \varphi } ，可以定义分布 T P {\displaystyle T_{\mathbb {P} }} 作用在 φ {\displaystyle \varphi } 上的值是： ⟨ T P , φ ⟩ = ∫ φ ( x ) P ( d x ) . {\displaystyle \langle T_{\mathbb {P} },\varphi \rangle =\int \varphi (x)\mathbb {P} (\mathrm {d} x).} 这样定义下的 T P {\displaystyle T_{\mathbb {P} }} 是线性的泛函，所以满足分布的定义。 除了对普通的函数可以定义分布，对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为： δ 0 ( φ ) = φ ( 0 ) . {\displaystyle \delta _{0}(\varphi )=\varphi (0).} 也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。 接下来，我们定义Rn中开集U上的实值分布。在细微的调整之后，我们可以定义相应的复值分布，也可以将 Rn 替换为任何（仿紧）光滑流形。 首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) （即所谓的“测试函数”），定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。 函数 φ {\displaystyle \varphi } : U → R具有紧支撑集，当且仅当存在U的紧子集K，使得对任意 U\K 中的元素 x {\displaystyle x} ，都有 φ ( x ) = 0 {\displaystyle \varphi (x)=0} 。 定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数（也就是所谓的隆起函数）的集合，则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下： 一列函数 ( φ k ) k ∈ N {\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} 收敛到某个 φ ∞ ∈ D ( U ) {\displaystyle \varphi _{\infty }\in D(\mathbf {U} )} ，当且仅当其满足以下两条性质： 存在紧集 K ⊂ U {\displaystyle \mathbf {K} \subset \mathbf {U} } 包含所有 φ k {\displaystyle \varphi _{k}} 的支撑集： ⋃ k supp ⁡ ( φ k ) ⊂ K ⊂ U . {\displaystyle \bigcup _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset \mathbf {K} \subset \mathbf {U} .} 对任意多重指标 α {\displaystyle \alpha } , 偏微分序列 ( ∂ α φ k ) k ∈ N {\displaystyle \left(\partial ^{\alpha }\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} 都一致收敛到 ∂ α φ ∞ . {\displaystyle \partial ^{\alpha }\varphi _{\infty }.} 在如此定义下的拓扑中，D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间，且满足海涅－博雷尔定理，但不是可度量的空间（不同胚于任何的度量空间）。而D(U)上的泛函 u {\displaystyle u} 连续，当且仅当对任意收敛到零的 ( φ k ) k ∈ N {\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} ，都有 lim k → ∞ u ( φ k ) = 0. {\displaystyle \lim _{k\to \infty }u(\varphi _{k})=0.} U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说，如果一个实线性泛函 S : D ( U ) → R {\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} } （或复线性泛函 S : D ( U ) → C {\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} } ）满足连续性，即对D(U)中任意的收敛函数列 ( φ k ) k ∈ N {\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} ，都有 lim n → ∞ S ( φ n ) = S ( lim n → ∞ φ n ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }S(\varphi _{n})=S\left(\lim _{n\to \infty }\varphi _{n}\right)} 那么就称此泛函为U上的一个分布。 另一个更具可操作性的定义是，如果D(U)上的一个实线性泛函 S : D ( U ) → R {\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {R} } （或复线性泛函 S : D ( U ) → C {\displaystyle S:\quad D(\mathbf {U} )\rightarrow \mathbf {C} } ）满足以下的条件： 对任意的紧子集 K ∈ U {\displaystyle K\in \mathbf {U} } ，都存在 C K > 0 {\displaystyle C_{K}>0} 和 p K ∈ N {\displaystyle p_{K}\in \mathbb {N} } ，使得对任意支撑集在 supp ⁡ ( φ ) ⊂ K {\displaystyle \operatorname {supp} (\varphi )\subset K} 的检验函数 φ {\displaystyle \varphi } ，都有 ⟨ S , φ ⟩ ⩽ C K max | α | ⩽ p K sup x ∈ K | ∂ α φ ( x ) | . {\displaystyle \langle S,\varphi \rangle \leqslant C_{K}\max _{|\alpha |\leqslant p_{K}}\sup _{x\in K}\vert \partial ^{\alpha }\varphi (x)\vert .} 就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数 p {\displaystyle p} 使得对任意的 K ∈ U {\displaystyle K\in \mathbf {U} } ，都有 p K ⩽ p {\displaystyle p_{K}\leqslant p} ，那么最小的这样的 p {\displaystyle p} 称为这个分布的阶数（order），称 S {\displaystyle S} 为一个 p {\displaystyle p} 阶分布。 U上的分布集合记为D'(U)，是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素 S {\displaystyle S} 和D(U)中的元素 φ {\displaystyle \varphi } 之间的对偶关系可以用尖括号表示： D ′ ( U ) × D ( U ) ∋ ( S , φ ) ↦ ⟨ S , φ ⟩ ∈ R . {\displaystyle \mathrm {D} '(\mathbf {U} )\times \mathrm {D} (\mathbf {U} )\ni (S,\varphi )\mapsto \langle S,\varphi \rangle \in \mathbf {R} .} 在弱＊拓扑下，D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中，弱＊收敛的定义为：D'(U)中序列 ( S k ) k ∈ N {\displaystyle \left(S_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} 弱＊收敛到 S {\displaystyle S} 当且仅当对于任意的检验函数 φ {\displaystyle \varphi } ，有 ⟨ S k , φ ⟩ → k → ∞ ⟨ S , φ ⟩ {\displaystyle \langle S_{k},\varphi \rangle {\xrightarrow[{}]{k\to \infty }}\langle S,\varphi \rangle } 一个局部可积函数 f : U → R {\displaystyle f:\quad \mathbf {U} \rightarrow \mathbf {R} } 是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的Lp可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中，每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函，也就是D'(U)中的一个元素，记作 T f {\displaystyle T_{f}} 。线性泛函 T f {\displaystyle T_{f}} 作用在D(U)中任一个检验函数 φ {\displaystyle \varphi } 上的取值是： ⟨ T f , φ ⟩ = ∫ U f φ d x . {\displaystyle \langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.} 一般约定，在不至于引起混淆的时候，可以将 T f {\displaystyle T_{f}} 和 f {\displaystyle f} 等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作： ⟨ f , φ ⟩ = ⟨ T f , φ ⟩ = ∫ U f φ d x . {\displaystyle \langle f,\varphi \rangle =\langle T_{f},\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }f\varphi \,\mathrm {d} x.} 可以证明，两个局部可积函数 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 对应的分布相同，当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似，U上的每个Radon测度 μ {\displaystyle \mu } 都有一个对应的分布 T μ {\displaystyle T_{\mu }} ，定义为： ⟨ T μ , φ ⟩ = ∫ U φ d μ . {\displaystyle \langle T_{\mu },\varphi \rangle =\int _{\mathbf {U} }\varphi \,\mathrm {d} \mu .} 与函数的对应分布一样，测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来，比如将上式写成 ⟨ μ , φ ⟩ {\displaystyle \scriptstyle {\langle \mu ,\varphi \rangle }} 。 可以注意到，检验函数也是局部可积的，所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的（对于以上定义的拓扑来说）。也就是说，任意一个分布 S ∈ D ′ ( U ) {\displaystyle S\in D\prime (\mathbf {U} )} 都是某个检验函数（分布）序列 ( φ k ) k ∈ N {\displaystyle \left(\varphi _{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }} 收敛的极限。对任意的检验函数 ϕ ∈ D ( U ) {\displaystyle \phi \in D(\mathbf {U} )} ，都有： ⟨ φ n , ϕ ⟩ → ⟨ S , ϕ ⟩ . {\displaystyle \langle \varphi _{n},\phi \rangle \to \langle S,\phi \rangle .\;} 伪微分算子 里斯表示定理 模糊拓扑 弱解 Benedetto, J.J., Harmonic Analysis and Applications, CRC Press, 1997 . 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