克爾效应

克爾效應（Kerr effect），也稱「二次電光效應」，是物質因響應外電場的作用而改變其折射率的一種效應。克爾效應與泡克耳斯效應不同，前者感應出的折射率改變與外電場平方成正比，後者則與外電場成線性關係；前者可以在液體或非晶物質出現，後者只出現於沒有對稱中心的晶體物質。克爾效應或多或少會出現在每一種物質，但在某些液體會比較顯著。這效應最先由蘇格蘭科学家約翰·克爾（John Kerr）在1878年發現。 克爾效應又分為克爾電光效應與克爾光學效應。 克爾電光效應又稱為「直流克爾效應」。假設施加緩慢外電場於物質樣品，即在連結樣品兩端的電極之間施加電壓，在這影響下，樣品會變為具有雙折射性質，對於光波的偏振平面平行與垂直於外電場的兩種方向，會出現不同的折射率，其差值 Δ n {\displaystyle \Delta n} 為 Δ n = λ K E 2 {\displaystyle \Delta n=\lambda KE^{2}} ； 其中， λ {\displaystyle \lambda } 是光波的波長， K {\displaystyle K} 是「克爾常數」， E {\displaystyle E} 是電場。 假設光波入射於樣品的方向垂直於外電場，則折射率的不同會使得這樣品的物理性質類似波片（waveplate）。假若置放物質於兩塊正交偏振片之間（請參閱條目偏光儀（polariscope）），當設定外電場為零之時，不會有任何光波透射過這兩塊正交偏振片；但當設定外電場為某最佳值之時，幾乎全部光波會透射過這兩塊正交偏振片。 某些極性液體，例如一硝基甲苯（C7H7NO2）、硝基苯（C6H5NO2），會展示出很大的克爾常數。「克爾盒」指的是裝滿了這種液體的小盒。因為克爾效應對於電場變化的響應速度很快，克爾盒時常被用來調制光波，頻率可高達10 GHz，可以用來製作電控光開關，在高速攝影、激光通訊方面很有用處，是未來光聯網的重要技術。；由於克爾效應相當微弱，典型的克爾盒需要電壓高達30 kV才能達到完全透明。泡克耳斯效應的工作電壓比這低很多。克爾盒的另一大缺點是製作材料硝基苯具有毒性。克爾盒光調制器也可以採用某些透明晶體為克爾效應材料，雖然他們的克爾常數較小。 在有些缺乏反演對稱性的介質裏，克爾效應通常會被更強勁的泡克耳斯效應屏蔽；但是，克爾效應仍舊存在，時常可以獨立地被探測到，不論泡克耳斯效應的貢獻有多強勁。 克爾光學效應又稱為「交流克爾效應」。在克爾光學效應裏，光波本身的電場造成了折射率的改變，這改變與光波的局域輻照度有關。折射率的變化促成了自聚焦（self-focusing）、自調相（self-phase modulation）、調制不穩定性（modulational instability）的非線性光學效應，是克爾透鏡鎖模技術（Kerr-lens modelocking）的基礎機制。只有當光束非常強勁時，這效應才會變得很顯著，例如，激光所產生的激光束。 在磁光克爾效應裏，從磁性物質反射出來的光波，其偏振平面會稍微偏轉。這效應與法拉第效應類似，在法拉第效應裏，透射光的偏振平面會稍微偏轉。 在介質裏，電極化向量 P {\displaystyle \mathbf {P} } 與電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 的關係為 P = ε 0 χ ( 1 ) E + ε 0 χ ( 2 ) E E + ε 0 χ ( 3 ) E E E + ⋯ {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(1)}\mathbf {E} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(2)}\mathbf {EE} +\varepsilon _{0}{\boldsymbol {\chi }}^{(3)}\mathbf {EEE} +\cdots } ， 其中， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數， χ ( n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}^{(n)}} 是介質的第n階電極化率張量。 這是個張量公式。採用直角坐標系，x坐標、y坐標、z坐標分別以下標1、2、3代表，這公式表示為 P i = ε 0 ∑ j = 1 3 χ i j ( 1 ) E j + ε 0 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 χ i j k ( 2 ) E j E k + ε 0 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ∑ l = 1 3 χ i j k l ( 3 ) E j E k E l + ⋯ {\displaystyle P_{i}=\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\chi _{ijkl}^{(3)}E_{j}E_{k}E_{l}+\cdots } 。 在這公式的右手邊，第一項是介質的線式響應，所產生的電極化向量與電場成正比；第二項給出了泡克耳斯效應；第三項給出了直流克爾效應。對於展示出不可忽略的克爾效應的物質，第三項很重要。經過一番運算，第三項以方程式表示為 P i ( ω ) = 3 ε 0 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ∑ l = 1 3 χ i j k l ( 3 ) ( ω ; 0 , 0 , ω ) E j ( 0 ) E k ( 0 ) E l ( ω ) {\displaystyle P_{i}(\omega )=3\varepsilon _{0}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\chi _{ijkl}^{(3)}(\omega ;0,0,\omega )E_{j}(0)E_{k}(0)E_{l}(\omega )} 。 在這公式裏，物理量右邊圓括號內的角頻率表示這物理量必須具有的角頻率數值，否則，整個乘積為零。第3階電極化率張量 χ ( 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}^{(3)}} 有34=81個分量，假設介質為結構各向同性，則由於對稱性，只會有21 個非零分量，分為4種數值: χ 1 = χ i i i i {\displaystyle \chi _{1}=\chi _{iiii}} 、 χ 2 = χ j j k k {\displaystyle \chi _{2}=\chi _{jjkk}} 、 χ 3 = χ j k j k {\displaystyle \chi _{3}=\chi _{jkjk}} 、 χ 4 = χ j k k j {\displaystyle \chi _{4}=\chi _{jkkj}} 其中，下標 i {\displaystyle i} 、 j {\displaystyle j} 、 k {\displaystyle k} 的數值可以是1、2或3，但是 j ≠ k {\displaystyle j\neq k} 。 設想外電場 E 0 {\displaystyle \mathbf {E} _{0}} 的方向為 y ^ {\displaystyle {\hat {y}}} ： E 0 = E 0 y ^ {\displaystyle \mathbf {E} _{0}=E_{0}{\hat {y}}} 。 光波的的傳播方向為 z ^ {\displaystyle {\hat {z}}} ，光波的電場為 E L = ( E x x ^ + E y y ^ ) cos ⁡ ( k z − ω t ) {\displaystyle \mathbf {E} _{L}=(E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}})\cos(kz-\omega t)} 。 兩個電場合併為 E = E 0 + E L = E 0 y ^ + ( E x x ^ + E y y ^ ) cos ⁡ ( k z − ω t ) {\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}+\mathbf {E} _{L}=\mathbf {E} _{0}{\hat {y}}+(E_{x}{\hat {x}}+E_{y}{\hat {y}})\cos(kz-\omega t)} 。 則所有涉及到z-坐標的分量都可以被忽略， 將這電場代入第三項，可以得到電極化向量的第三項部分，其x-分量、y-分量分別為 P x = 3 ε 0 χ x y y x E 0 E 0 E x = 3 ε 0 χ 2 E 0 E 0 E L x {\displaystyle P_{x}=3\varepsilon _{0}\chi _{xyyx}E_{0}E_{0}E_{x}=3\varepsilon _{0}\chi _{2}E_{0}E_{0}E_{Lx}} 、 P y = 3 ε 0 χ y y y y E 0 E 0 E y = 3 ε 0 χ 1 E 0 E 0 E L y {\displaystyle P_{y}=3\varepsilon _{0}\chi _{yyyy}E_{0}E_{0}E_{y}=3\varepsilon _{0}\chi _{1}E_{0}E_{0}E_{Ly}} 。 由於直流電場的作用，朝著x、y兩個方向的電極化向量造成了折射率不同，因此產生雙折射現象： Δ n = n ∥ − n ⊥ ≈ 3 ε 0 ( χ 2 − χ 1 ) E 0 E 0 2 n {\displaystyle \Delta n=n_{\parallel }-n_{\perp }\approx {\frac {3\varepsilon _{0}(\chi _{2}-\chi _{1})E_{0}E_{0}}{2n}}} ； 其中， n ∥ {\displaystyle n_{\parallel }} 、 n ⊥ {\displaystyle n_{\perp }} 是偏振光的偏振平面與直流電場分別平行、垂直時傳播於介質的折射率， n {\displaystyle n} 是當沒有直流電場時傳播於介質的折射率。 因此，可以將介質的克爾常數定義為 K   = d e f   n ∥ − n ⊥ λ 0 E 0 2 {\displaystyle K\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {n_{\parallel }-n_{\perp }}{\lambda _{0}E_{0}^{2}}}} ； 其中， λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} 是光波傳播於自由空間的波長。 在交流克爾效應裏，傳播於介質的光波，假若輻照度夠強勁，就可以自己提供調製電場，不需要施加外電場。對於這案例，假設偏振光的電場為 E = E y cos ⁡ ( ω t ) y ^ {\displaystyle \mathbf {E} =E_{y}\cos(\omega t){\hat {y}}} ； 其中， E y {\displaystyle \mathbf {E} _{y}} 是光波的波幅。 將這公式代入偏振方程式，只取線性項與第三項，可以得到 P y ≃ ε 0 ( χ ( 1 ) + 3 4 χ ( 3 ) | E y | 2 ) E y cos ⁡ ( ω t ) {\displaystyle P_{y}\simeq \varepsilon _{0}\left(\chi ^{(1)}+{\frac {3}{4}}\chi ^{(3)}|E_{y}|^{2}\right)E_{y}\cos(\omega t)} 。 這像是個線性項和額外的非線性項總和在一起的電極化率： χ = χ L I N + χ N L = χ ( 1 ) + 3 χ ( 3 ) 4 | E y | 2 {\displaystyle \chi =\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }=\chi ^{(1)}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{4}}|E_{y}|^{2}} 。 由於折射率為 n = ( 1 + χ ) 1 / 2 = ( 1 + χ L I N + χ N L ) 1 / 2 ≃ n 0 ( 1 + 1 2 n 0 2 χ N L ) {\displaystyle n=(1+\chi )^{1/2}=\left(1+\chi _{\mathrm {LIN} }+\chi _{\mathrm {NL} }\right)^{1/2}\simeq n_{0}\left(1+{\frac {1}{2{n_{0}}^{2}}}\chi _{\mathrm {NL} }\right)} ； 其中， n 0 = ( 1 + χ L I N ) 1 / 2 {\displaystyle n_{0}=(1+\chi _{\mathrm {LIN} })^{1/2}} 是線性折射率。 由於 χ N L ≪ n 0 2 {\displaystyle \chi _{\mathrm {NL} }\ll n_{0}\,^{2}} ，應用泰勒展開，可以得到與輻射度有關的折射率： n = n 0 + 3 χ ( 3 ) 8 n 0 | E y | 2 = n 0 + n 2 I {\displaystyle n=n_{0}+{\frac {3\chi ^{(3)}}{8n_{0}}}|E_{y}|^{2}=n_{0}+n_{2}I} ； 其中， n 2 {\displaystyle n_{2}} 是二次非線性折射率， I {\displaystyle I} 是光波的輻照度。 對於這光波傳播於介質的案例，折射率的變化與光波的輻照度成正比。 大多數介質的 n 2 {\displaystyle n_{2}} 相當微小，一般玻璃的 n 2 {\displaystyle n_{2}} 大約為10-20 m2 W-1。因此，光波的輻射度至少必須為1 GW cm-2才能使得折射率通過交流克爾效應產生顯著變化。 與輻射度有關的折射率是一種非常重要的三次過程，又分為空間調製與時間調製兩種過程。空間調製過程可以改變光束的傳播。時間調製可以改變光波的波幅與相位結構。 藉著空間調製折射率，傳播於介質的強勁光束會改變這介質的折射率，這改變的圖樣模仿光束的橫向輻照度圖樣。例如，高斯光束會造成高斯折射率剖面，類似漸變折射率透鏡（gradient-index lens）所產生的效應；越接近光束的中間區域，折射率越高；越接近邊緣區域，折射率越低。由於介質折射率被改變，使得光束在介質內自動聚焦，這現象稱為自聚焦（self-focus）。 由於光束的自聚焦，峰值輻照度會增加，因此又更加自聚焦。假若這效應贏過了對抗的衍射，則自聚焦會成為主導物理機制，光束會變得越來越狹窄，這時，假若操作不當，則會造成光束塌縮災難，從而損毀介質。 自聚焦與衍射彼此對抗抵銷，這意味著，對於每一種介質，存在一個閾值，只要輻照度不超過這閾值，就不會發生損毀。但是，另一種稱為「小尺寸自聚焦」的現象，會造成局域熱點與光束絲狀形成。為了避免這類問題出現於激光系統，通常，會先使用空間過濾器將光束波前的粗燥部分加以平滑。 B積分 注意到兩種不同的各向同性，一種是晶體的光學各向同性，另一種是氣體、液體、非晶體固體的結構各向同性 Weinberger, P. 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