格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。 黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。 格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。 令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群 K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} 规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换： c h : K 0 ( X ) → A ( X , Q ) , {\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),} 其中 A d ( X , Q ) {\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )} 是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群： H 2 dim ⁡ ( X ) − 2 d ( X , Q ) . {\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).} 现在考虑光滑拟射影概形与 X {\displaystyle X} 上的层 F ∙ {\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}} 的有界复形之间的真射 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 。 格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射 f ! = ∑ ( − 1 ) i R i f ∗ : K 0 ( X ) → K 0 ( Y ) {\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)} （高阶直像的交替和）与前推 f ∗ : A ( X ) → A ( Y ) , {\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),} 由公式 c h ( f ! F ∙ ) t d ( Y ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( X ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).} 其中 t d ( X ) {\displaystyle \mathrm {td} (X)} 是X（的切丛）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为 c h ( f ! F ∙ ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( T f ) ) , {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),} 其中 T f {\displaystyle T_{f}} 是f的相对切层，定义为元素 T X − f ∗ ( T Y ) ∈ K 0 ( X ) {\displaystyle TX-f^{*}(TY)\in K_{0}(X)} 。例如，当f是光滑态射时， T f {\displaystyle T_{f}} 就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。 Navarro & Navarro (2017)运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。 考虑组合 c h ( − ) t d ( X ) {\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)} 的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。 算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。 希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。 有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。 域 k {\displaystyle k} 的光滑射影曲线上秩为 n {\displaystyle n} 、度为 d {\displaystyle d} （定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛 E → C {\displaystyle E\to C} 有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点 X = C {\displaystyle X=C} 、 Y = { ∗ } {\displaystyle Y=\{*\}} ，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为 c h ( f ! F ∙ ) = h 0 ( C , E ) − h 1 ( C , E ) f ∗ ( c h ( E ) t d ( X ) ) = f ∗ ( ( n + c 1 ( E ) ) ( 1 + ( 1 / 2 ) c 1 ( T C ) ) ) = f ∗ ( n + c 1 ( E ) + ( n / 2 ) c 1 ( T C ) ) = f ∗ ( c 1 ( E ) + ( n / 2 ) c 1 ( T C ) ) = d + n ( 1 − g ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}} 于是 χ ( C , E ) = d + n ( 1 − g ) . {\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).} 此式也适于秩为 n {\displaystyle n} 、度为 d {\displaystyle d} 的相干层。 格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} 的纤维都是等维的（在基变为 C {\displaystyle \mathbb {C} } 时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。 对 g {\displaystyle g} 属曲线（且无标记点）的模叠 M ¯ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} ，有通用曲线 π : C ¯ g → M ¯ g {\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} ，其中 C ¯ g = M ¯ g , 1 {\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}} 是属 g {\displaystyle g} 曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类 K C ¯ g / M ¯ g = c 1 ( ω C ¯ g / M ¯ g ) κ l = π ∗ ( K C ¯ g / M ¯ g l + 1 ) E = π ∗ ( ω C ¯ g / M ¯ g ) λ l = c l ( E ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}} 其中 1 ≤ l ≤ g {\displaystyle 1\leq l\leq g} 与 ω C ¯ g / M ¯ g {\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}} 是相关的对偶化层。注意 ω C ¯ g / M ¯ g {\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}} 在点 [ C ] ∈ M ¯ g {\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} 上的纤维，这就是对偶化层 ω C {\displaystyle \omega _{C}} 。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环 A ∗ ( M g ) {\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})} 上的 κ i {\displaystyle \kappa _{i}} 之和 (corollary 6.2)，从而找到描述 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 的 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} 、 κ i {\displaystyle \kappa _{i}} 间的关系。由于 M ¯ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} 是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形 M ~ g → M ¯ g {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} 的覆盖，对某个有限群 G {\displaystyle G} 可给出 M ¯ g = [ M ~ g / G ] {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]} 。对 ω C ~ g / M ~ g {\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}} 应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得 c h ( π ! ( ω C ~ / M ~ ) ) = π ∗ ( c h ( ω C ~ / M ~ ) T d ∨ ( Ω C ~ / M ~ 1 ) ) {\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))} 因为 R 1 π ! ( ω C ~ g / M ~ g ) ≅ O M ~ , {\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},} 由上式可知 c h ( E ) = 1 + π ∗ ( ch ( ω C ~ / M ~ ) Td ∨ ( Ω C ~ / M ~ 1 ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).} 这样， c h ( E ) {\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )} 的计算可以进一步减少。在偶数维 2 k {\displaystyle 2k} ， ch ( E ) 2 k = 0. {\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.} 另外在1维， λ 1 = c 1 ( E ) = 1 12 ( κ 1 + δ ) , {\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),} 其中 δ {\displaystyle \delta } 是边界上的一个类。 g = 2 {\displaystyle g=2} 时，在光滑轨迹 M g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} 上有如下关系 λ 1 = 1 12 κ 1 λ 2 = λ 1 2 2 = κ 1 2 288 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}} 可通过分析 E {\displaystyle \mathbb {E} } 的陈示性推得。 闭嵌入 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} 也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对 n {\displaystyle n} 维光滑簇 X {\displaystyle X} 及余维为 k {\displaystyle k} 的子簇 Y {\displaystyle Y} ，有 c k ( O Y ) = ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! [ Y ] {\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]} 由短正合序列 0 → I Y → O X → O Y → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0} , 有下式 c k ( I Y ) = ( − 1 ) k ( k − 1 ) ! [ Y ] {\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]} for the ideal sheaf since 1 = c ( O X ) = c ( O Y ) c ( I Y ) {\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})} . 过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间 M {\displaystyle M} （如有尖代数曲线的模空间 M g , n {\displaystyle M_{g,n}} ）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察 M {\displaystyle M} 上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如， M g , n {\displaystyle M_{g,n}} 有曲线族 π : C g , n → M g , n {\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}} 有截面 s i : M g , n → C g , n {\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}} 对应标记点。由于每根纤维都有规范丛 ω C {\displaystyle \omega _{C}} ，有相伴线丛 Λ g , n ( π ) = det ( R π ∗ ( ω C g , n / M g , n ) ) {\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))} 及 χ g , n ( i ) = s i ∗ ( ω C g , n / M g , n ) . {\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).} 于是 Λ g , n ( π ) ⊗ ( ⨂ i = 1 n χ g , n ( i ) ) {\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)} 是丰沛线丛，因此粗糙模空间 M g , n {\displaystyle M_{g,n}} 是准射影的。 亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。 格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于代数簇的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。 川崎黎曼–罗赫公式 A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71. Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre. Le théorème de Riemann-Roch. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1958, 86: 97–136 [2023-11-21]. MR 0116022. doi:10.24033/bsmf.1500 . （原始内容存档于2023-11-29）.  SGA 6, Springer-Verlag (1971). Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2002 [2023-11-21]. （原始内容存档于2016-12-07）.  Morel, Fabien; Levine, Marc, Algebraic cobordism (PDF), Springer, [2023-11-21], （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21） , see 4.2.10 and 4.2.11 Morrison; Harris. Moduli of curves. : 154.  Mumford, David. Towards an Enumerative Geometry of the Moduli Space of Curves. Arithmetic and Geometry. 1983: 271–328 [2023-11-21]. ISBN 978-0-8176-3133-8. doi:10.1007/978-1-4757-9286-7_12. （原始内容存档于2023-11-21）.  Fulton. Intersection Theory. : 297.  Knudsen, Finn F. The projectivity of the moduli space of stable curves, III: The line bundles on M g , n {\displaystyle M_{g,n}} , and a proof of the projectivity of M ¯ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} in characteristic 0.. Mathematica Scandinavica. 1983-12-01, 52: 200–212. ISSN 1903-1807. doi:10.7146/math.scand.a-12002  （英语）.  Berthelot, Pierre. Alexandre Grothendieck; Luc Illusie , 编. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des intersections et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Lecture notes in mathematics 225). Lecture Notes in Mathematics 225. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. xii+700. ISBN 978-3-540-05647-8. doi:10.1007/BFb0066283 （法语）.  Borel, Armand; Serre, Jean-Pierre, Le théorème de Riemann–Roch, Bulletin de la Société Mathématique de France, 1958, 86: 97–136, ISSN 0037-9484, MR 0116022, doi:10.24033/bsmf.1500  （法语）  Fulton, William, Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 2 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 3-540-62046-X, MR 1644323, Zbl 0885.14002  Navarro, Alberto; Navarro, José, On the Riemann-Roch formula without projective hypothesis, 2017, Bibcode:2017arXiv170510769N, arXiv:1705.10769   Panin, Ivan; Smirnov, Alexander. Push-forwards in oriented cohomology theories of algebraic varieties. 2000.  The Grothendieck Riemann–Roch theorem. 3264 and All That. 2016: 481–510. ISBN 9781107017085. doi:10.1017/CBO9781139062046.016.  The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） The thread （页面存档备份，存于互联网档案馆） "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow. The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow. The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.