分布滯後

分布滯後（英語：distributed lag，又稱落差分配）的模型在統計學與計量經濟學裡是一種時間序列模型，模型的迴歸式依據當期與前期解釋變數的值預估因變數的值。 分布滯後模型源自於下列形式的假設結構 y t = a + w 0 x t + w 1 x t − 1 + w 2 x t − 2 + . . . + error term {\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+{\text{error term}}} 或 y t = a + w 0 x t + w 1 x t − 1 + w 2 x t − 2 + . . . + w n x t − n + error term , {\displaystyle y_{t}=a+w_{0}x_{t}+w_{1}x_{t-1}+w_{2}x_{t-2}+...+w_{n}x_{t-n}+{\text{error term}},} 其中 yt 是因變數 y 在第 t 期的值，a 是需估計的截距項，而 wi 稱為落差權重（亦需估計），置於前 i 期解釋變數 x 的前面。第一條方程式假設因變數的值會受到過去無數期自變數的值所影響，因此有無數個落差權重（lag weights），故稱為無窮落差分配模型（infinite distributed lag model）。相對的，第二條方程式的落差權重個數有限，假設一定期數前的自變數就不會影響因變數的值；基於這種假設的模型就稱為有限落差分配模型（finite distributed lag model）。 無窮落差分配模型需要估計無數個落差項的權重；顯然只有假設各落差權重之間的關係存在某種結構，才能以有限的假設參數表達無數個落差權重。有限落差分配模型的參數可以直接使用一般最小平方法（ordinary least squares）估計（假設有足夠的資料）；然而估計結果可能會因為各期自變數間的多重共線性而失真，或許還是一樣需要假設各落差權重之間的關係存在某種結構。 落差分配模型的右手側很容易擴充為一個以上的解釋變數。 一般最小平方法（英语：Ordinary least squares）是估計落差分配之參數最簡單的方法，假設最多回顧 P {\displaystyle P} 期落差項，假設誤差項為獨立同分配（英语：Independent and identically distributed random variables），且各期落差項的係數之間沒有結構關係。然而各期落差項間經常出現多重共線性，導致估計出來的係數失真。 落差項的係數之間有結構關係的落差分配模型分為兩類：無窮跟有限。無窮落差分配之自變數的值會永無止境地影響未來所有的因變數，換句話說，因變數的值會受到之前所有自變數的值無遠弗屆的影響；但時間（落差）超過一定長度後影響逐漸趨近於零。有限時間落差分配之自變數的值只會影響未來幾期的因變數。 最重要的有限落差分配模型是 Almon（英语：Shirley Montag Almon）落差模型。這個模型由資料本身決定落差結構的型態，但研究人員必須指定最長的時間（落差）；長度不正確會扭曲落差結構的型態與自變數的累積效應。Almon 假設第 k+1 個落差權重與下列式子當中 n+1 個線性的可估計參數(n<k) aj 有關 w i = ∑ j = 0 n a j i j {\displaystyle w_{i}=\sum _{j=0}^{n}a_{j}i^{j}} 其中 i = 0 , … , k . {\displaystyle i=0,\dots ,k.} 最常見的無窮落差模型結構為幾何落差（geometric lag），也稱為 Koyck lag。這種落差結構之自變數的權重(影響程度)隨著時間(落差)長度增加呈指數下降；雖然這種落差結構的型態固定，但下降率與整體影響程度都由資料本身決定。其迴歸式非常直覺：以前期的因變數與當期的自變數作為解釋變數（迴歸式的右手側） y t = a + λ y t − 1 + b x t + error term . {\displaystyle y_{t}=a+\lambda y_{t-1}+bx_{t}+{\text{error term}}.} 如果模型設定正確，係數 λ {\displaystyle \lambda } 的值會介於 0 與 1 之間或等於 0。此模型自變數的短期(當期)影響為 b，長期(累積)影響可以寫成 b + λ b + λ 2 b + . . . = b / ( 1 − λ ) . {\displaystyle b+\lambda b+\lambda ^{2}b+...=b/(1-\lambda ).} 為了能夠由資料本身決定落差結構的型態，因而提出其它無窮落差分配模型。Polynomial inverse lag 假設落差權重與下列式子當中線性的可估計參數 aj 有關 w i = ∑ j = 2 n a j ( i + 1 ) j , {\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}{\frac {a_{j}}{(i+1)^{j}}},} 其中 i = 0 , … , ∞ . {\displaystyle i=0,\dots ,\infty .} Geometric combination lag假設落差項的權重與下列式子當中線性的可估計參數 aj 有關 w i = ∑ j = 2 n a j ( 1 / j ) i , {\displaystyle w_{i}=\sum _{j=2}^{n}a_{j}(1/j)^{i},} 其中 i = 0 , … , ∞ {\displaystyle i=0,\dots ,\infty } 或 w i = ∑ j = 1 n a j [ j / ( n + 1 ) ] i , {\displaystyle w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}[j/(n+1)]^{i},} 其中 i = 0 , … , ∞ . {\displaystyle i=0,\dots ,\infty .} 其它無窮落差分配結構還有 gamma lag 與 rational lag。 ARMA模型 Mixed-data sampling Jeff B. Cromwell, et al., 1994. Multivariate Tests For Time Series Models. SAGE Publications, Inc. ISBN 0-8039-5440-9 Judge, George, et al., 1980. The Theory and Practice of Econometrics. Wiley Publ. Almon, Shirley, "The distributed lag between capital appropriations and net expenditures," Econometrica 33, 1965, 178-196. Mitchell, Douglas W., and Speaker, Paul J., "A simple, flexible distributed lag technique: the polynomial inverse lag," Journal of Econometrics 31, 1986, 329-340. Gelles, Gregory M., and Mitchell, Douglas W., "An approximation theorem for the polynomial inverse lag," Economics Letters 30, 1989, 129-132. Speaker, Paul J., Mitchell, Douglas W., and Gelles, Gregory M., "Geometric combination lags as flexible infinite distributed lag estimators," Journal of Economic Dynamics and Control 13, 1989, 171-185. Schmidt, Peter, "A modification of the Almon distributed lag," Journal of the American Statistical Association 69, 1974, 679-681. Jorgenson, Dale W., "Rational distributed lag functions," Econometrica 34, 1966, 135-149.