正二十面體

正二十面體是一種正多面體，由20個正三角形組成。同時，它也是柏拉圖立體、三角面多面體以及康威多面體。正二十面体是所有五种凸正多面體面數最多的。 正二十面體有20個面、30個邊和12個頂點，其對偶是正十二面體。它的頂點佈局（英语：Vertex_configuration）為3.3.3.3.3或35，在施萊夫利符號中可用{3,5}來表示。 在平面上，正多邊形內接到圓時，邊數越多，佔圓面積的百分比就越高；而在三維空間中，這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個球時，前者約佔66.4909%，後者僅佔60.5461%。 若有一個邊長為a的正二十面體，則它的外接球（同時過該正二十面體所有頂點的球）的半徑為： r u = a 2 φ 5 = a 4 10 + 2 5 = a sin ⁡ 2 π 5 ≈ 0.9510565163 ⋅ a {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}=a\sin {\frac {2\pi }{5}}\approx 0.9510565163\cdot a} A019881 則有內切球（同時和該正二十面體所有面相切的球）的半徑為： r i = φ 2 a 2 3 = 3 12 ( 3 + 5 ) a ≈ 0.7557613141 ⋅ a {\displaystyle r_{i}={\frac {\varphi ^{2}a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0.7557613141\cdot a} A179294 另外，若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點，那它的半徑為： r m = a φ 2 = 1 4 ( 1 + 5 ) a = a cos ⁡ π 5 ≈ 0.80901699 ⋅ a {\displaystyle r_{m}={\frac {a\varphi }{2}}={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=a\cos {\frac {\pi }{5}}\approx 0.80901699\cdot a} A019863 其中φ （也稱作τ）為黃金比例。 若用A表示表面積、V表示體積，而a是正二十面體的邊長，則有： A = 5 3 a 2 ≈ 8.66025404 a 2 , {\displaystyle A=5{\sqrt {3}}a^{2}\approx 8.66025404a^{2},} A010527 V = 5 12 ( 3 + 5 ) a 3 ≈ 2.18169499 a 3 . {\displaystyle V={\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}\approx 2.18169499a^{3}.} A102208 後者約為正四面體的F=20倍，因為20面體以外接球球心為中心可以切割出20個四面體，每個四面體的體積是底面積 √3a2/4乘上高ri再乘三分之一。 正二十面體佔其外接球體的體積填充率是： f = V / ( 4 π r u 3 / 3 ) = 20 ( 3 + √ 5 ) ( 2 √ 5 + 10 ) 3 / 2 π ≈ 0.6054613829. {\displaystyle f=V/(4\pi r_{u}^{3}/3)={\frac {20(3+\surd 5)}{(2\surd 5+10)^{3/2}\pi }}\approx 0.6054613829.} 在直角坐標系中，一個邊長為二、幾何中心在原點的正二十面體的坐標分別為： (0, ±1, ±φ) (±1, ±φ, 0) (±φ, 0, ±1) 其中φ = 1 + √5/2是黃金比例（或記為τ）。值得注意的是，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形，其邊形成博羅梅安環（英语：Borromean rings），其中，前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。 如果原始的二十面體的邊長為1，那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是√5 − 1/2，正好是一個黃金比例。 12條邊的一個正八面體可以被細分在黃金比例，使所得到的頂點可構成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環，再沿著向量的方向以黃金比例作分割。 正二十面體是一個D5d二面體對稱對稱的一個雙五角錐反角柱，且頂點可以定義在球面坐標系上，其中兩個頂點在球的兩極，其餘在緯度±arctan(1/2)的位置。可以發現剩餘的10頂點屬於反棱柱對稱，從一個定點，經度每36°做一次極軸與赤道鏡射，直到回到原始點。 若以正二十面體的中心為原點，各頂點的坐標分別為{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)}，在此Φ = √5 − 1/2，即黃金分割數。因此，這些頂點能共同形成五組，每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。 正二十面体有3种特殊的正交投影，分别正对着一个面、一条棱、一个顶点。 正二十面体有43,380种不同的展开图。 若要将正二十面体的表面涂色而相邻的面的颜色不同，则至少需要3种颜色。 内接与同一球的正二十面体和正十二面体，正二十面体所占球的体积（60.54%）要小于正十二面体所占的体积（66.49%）。 以下构建正二十面体的方法避免了使用更基础的方法时必要的在数域 Q [ 5 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]} 中的复杂计算。 正二十面体的存在性依赖于 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中6条等夹角线的存在性。事实上，我们很容易便可以发现，这样一组等夹角线与欧几里得空间中的球心在等夹角线所共的交点的球相交，得出的交点即是一个正二十面体的12个顶点。从相反方向考虑，假设这里存在一个正二十面体，它的6对相对顶点的连线（对角线）就形成了那样一个等夹角线系统。 为了构建这样一个等夹角线系统，我们开始于一个6×6方形矩阵。 A = ( 0 1 1 1 1 1 1 0 1 − 1 − 1 1 1 1 0 1 − 1 − 1 1 − 1 1 0 1 − 1 1 − 1 − 1 1 0 1 1 1 − 1 − 1 1 0 ) . {\displaystyle A=\left({\begin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&1\\1&0&1&-1&-1&1\\1&1&0&1&-1&-1\\1&-1&1&0&1&-1\\1&-1&-1&1&0&1\\1&1&-1&-1&1&0\end{array}}\right).} 通过直接的计算，我们可以得出A2=5I（在这里I是6×6单位矩阵）。这表明矩阵I的特征值是√5和-√5，并且它们的复杂性都是3，因为A是对称的，并且它的迹是0。 矩阵 A + 5 I {\displaystyle \scriptstyle A+{\sqrt {5}}I} 在商空间 R 6 / ker ⁡ ( A + 5 I ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)} 中引出了一个同构于 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 的欧几里得结构因为它的核 ker ⁡ ( A + 5 I ) {\displaystyle \ker(A+{\sqrt {5}}I)} 是三维的。在 R 6 {\displaystyle \mathbb {R} ^{6}} 中，它的六条坐标轴线 R v 1 , … , R v 6 {\displaystyle \mathbb {R} v_{1},\dots ,\mathbb {R} v_{6}} 在投影 π : R 6 ⟶ R 6 / ker ⁡ ( A + 5 I ) {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{6}/\ker(A+{\sqrt {5}}I)} 下的图像形成了这样一个在 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中由六条等夹角线组成的系统，它们都相交于一点，两两之间都夹着锐角 arccos 1 5 {\displaystyle \scriptstyle {\arccos }{\tfrac {1}{\sqrt {5}}}} 。±v1，...，±v6向A的√5-特征空间的正交投影形成了正二十面体的12个顶点。 正二十面体另一个直接的构造用到了交错群A5的群表示论方法，它直接利用了正二十面体的等距同构。 作为正多面体之一，正二十面体拥有较高的对称性，它的所有面在几何上都是相同的，不可区分的。可是我们也可以想象将正二十面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使其拥有不同的次级对称性。正二十面体有三种不同的半正涂色方法，可以按照一个顶点引出的5个面的涂色来标记为11213、11212、11111。正二十面体可以被描述为扭棱正四面体，具有手征性正四面体对称性（英语：tetrahedral symmetry）；它亦可以被描述成交错截顶正八面体，有五角十二面体对称性（英语：pyritohedral symmetry）。这个具有五角十二面体对称的正二十面体也被叫做伪二十面体是五角十二面体的对偶。 正二十面体是正二十面体家族的一员： 作为扭棱正四面体和交错截顶正八面体，正二十面体也是正四面体家族和正八面体家族的一员： 正二十面体在拓扑上与其它一系列的正三角形镶嵌{3,n}和一系列的五阶正镶嵌{n,5}相关联： 正二十面体和三个星形正多面体有着相同的顶点排布。其中与大十二面体还有相同的棱排布： 虽然由于正二十面体的二面角太大（约138.189685°>120°），因此正二十面体不可能密铺三维欧几里得空间，但它可以密铺适当的双曲空间，称为三阶正二十面体堆砌（英语：Icosahedral honeycomb），每条棱处有三个正二十面体相交，每个顶点处有12个正二十面体相交，因此顶点图是正十二面体，施莱夫利符号{3,5,3}，是四个三维双曲空间中的正堆砌之一。 由於正二十面體非常均勻，且有20個面，因此適合作成骰子。 某些病毒，如疱疹病毒科、諾羅病毒、腺病毒和噬菌体等，擁有正二十面體的衣殼。在有些細菌中還發現具有二十面體形狀的各種細菌的胞器，二十面體的殼包住酶和不穩定的中間產物，該殼由具BMC結構域（英语：BMC domain）的不同蛋白質構成。 1904年，恩斯特·海克尔發表了一些放射蟲的種類，包括Circogonia二十面體（Circogonia icosahedra），其骨架的形狀像一個正二十面體。 Weisstein, Eric W. 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