電荷密度

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。 在電磁學裏，電荷密度是一種度量，用以描述空間中連續電荷的分布狀況。依据討論電磁模型的維度而定，電荷密度可以是線電荷密度、面電荷密度或體電荷密度。 假設電荷分佈於一條曲線或一根直棒子，則其線電荷密度是每單位長度的電荷密度，單位為庫侖／公尺 (coulomb/meter) 。假設電荷分佈於一個平面或一個物體的表面，則其面電荷密度是每單位面積的電荷密度，單位為庫侖／公尺2。假設電荷分佈於一個三維空間的某區域或物體內部，則其體電荷密度是每單位體積的電荷密度，單位為庫侖／公尺3。 由於在大自然裏，有兩種電荷，正電荷和負電荷，所以，電荷密度可能會是負值。電荷密度也可能會跟位置有關。特別注意，不要將電荷密度與電荷載子密度 (charge carrier density) 搞混了。 電荷密度與電荷載子的體積有關。例如，由於鋰陽離子的半徑比較小，它的體電荷密度大於鈉陽離子的體電荷密度。 假設，一個體積為 V {\displaystyle V} 的載電體，其電荷密度 ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} 是均勻的，跟位置無關，那麼，總電荷量 Q {\displaystyle Q} 為 Q = ρ 0 V {\displaystyle Q=\rho _{0}V} 。 假設，在某一區域內有 N {\displaystyle N} 個離散的點電荷，像電子。那麼，電荷密度可以用狄拉克δ函數來表達為 ρ ( r ) = ∑ i = 1 N   q i δ ( r − r i ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})} ； 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是檢驗位置， q i {\displaystyle q_{i}} 是位置為 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 的第 i {\displaystyle i} 個點電荷的電量。 在量子力學裏，類氫原子的中心有一個正電性的原子核，環繞著原子核四週的一個電子的軌域，其電荷密度可以用波函數 ψ ( r ) {\displaystyle \psi (\mathbf {r} )} 表達為 ρ ( r ) = q ⋅ | ψ ( r ) | 2 {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\cdot |\psi (\mathbf {r} )|^{2}} ； 其中， q {\displaystyle q} 是電子的電荷量。 注意到 | ψ ( r ) | 2 {\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}} 是找到電子的機率。經過歸一化，在全部空間找到電子的機率是 ∫ a l l   s p a c e | ψ ( r ) | 2 d 3 r = 1 {\displaystyle \int _{all\ space}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}=1} ； 例如，氫原子的波函數 ψ n l m ( r ) {\displaystyle \psi _{nlm}(\mathbf {r} )} 是 ψ n l m ( r ) = R n l ( r ) Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi _{nlm}(\mathbf {r} )=R_{nl}(r)Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )} ； 其中， R n l {\displaystyle R_{nl}} 是徑向函數， Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\,\phi )} 是球諧函數， n {\displaystyle n} 是主量子數， l {\displaystyle l} 是角量子數， m {\displaystyle m} 是磁量子數。 從相對論的角度來論述，導線的長度與觀察者的移動速度有關，所以電荷密度是一種相對論性觀念。安東尼·法蘭碁（Anthony French）在他的著作中表明，移動中的電荷密度會產生磁場力，會吸引或排斥其它載流導線。。使用閔可夫斯基圖，法蘭碁闡明，一條中性的載流導線，對於處於移動參考系的觀察者而言，為什麼會貌似載有淨電荷密度。通過時空坐標，研究電磁現象的領域稱為相對論性電磁學（relativistic electromagnetism）。 電荷密度與電流密度之間的關係式為： ∂ ρ ( r , t ) ∂ t + ∇ ⋅ J ( r , t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} (\mathbf {r} ,\,t)=0} ； 其中， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是位置， t {\displaystyle t} 是時間， J {\displaystyle \mathbf {J} } 是電流密度。 在電磁理論裏，從馬克士威方程組，可以推導出電荷守恆的連續方程式。根據加入位移電流項目後的安培定律， ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} ； 其中， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是磁場， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電場， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} 是電常數。 取散度於方程式的兩邊： ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = μ 0 ∇ ⋅ J + μ 0 ϵ 0 ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ E ) {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )} 。 由於旋度的散度等於零，再根據高斯定律，可以得到想要的關係式 0 = ∇ ⋅ J + ϵ 0 ∂ ∂ t ( ∇ ⋅ E ) = ∇ ⋅ J + ∂ ρ ∂ t {\displaystyle 0=\nabla \cdot \mathbf {J} +\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \cdot \mathbf {E} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}} 。 換另外一種比較直覺的推導方法。流入某體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的淨電流為 I = − ∮ S J ⋅ d 2 r {\displaystyle I=-\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} } ； 其中， I {\displaystyle I} 是電流， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是包圍體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的閉曲面， d r 2 {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} ^{2}} 是微小面向量元素，垂直於 S {\displaystyle \mathbb {S} } 從體積內朝外指出。 應用散度定理，將這方程式寫為 I = − ∫ V ∇ ⋅ J   d 3 r {\displaystyle I=-\int _{\mathbb {V} }\nabla \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r} 。 總電荷量 Q {\displaystyle Q} 與體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內的電荷密度 ρ {\displaystyle \rho } 的關係為 Q = ∫ V ρ   d 3 r {\displaystyle Q=\int _{\mathbb {V} }\rho \ \mathrm {d} ^{3}r} 。 電荷守恆要求，流入體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 的淨電流，等於體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } 內總電荷量 Q {\displaystyle Q} 的變率： d Q d t = I = ∫ V ∂ ρ ∂ t   d 3 r {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=I=\int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\ \mathrm {d} ^{3}r} 。 所以， ∫ V ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J   d 3 r = 0 {\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} \ \mathrm {d} ^{3}r=0} 。 對於任意體積 V {\displaystyle \mathbb {V} } ，上述方程式都成立。所以，可以將被積式提取出來： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0} 。 在一個體積區域 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 內，源位置 r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} 的電荷密度為 ρ ( r ′ ) {\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')} 的電荷分佈，所產生在場位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \!} 的電勢為 ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}{r}'} ； 其中， d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {d} ^{3}{r}'} 是微小體積元素。 電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電勢的負梯度： E ( r ) = − ∇ ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) r − r ′ | r − r ′ | 3 d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-{\boldsymbol {\nabla }}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} '){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}{r}'} 。 應用向量關係式 ∇ ⋅ r − r ′ | r − r ′ | 3 = 4 π δ ( r − r ′ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')} ， 取散度於電場， ∇ ⋅ E ( r ) = − ∇ 2 ϕ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ V ′ ρ ( r ′ ) 4 π δ ( r − r ′ ) d 3 r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} ^{3}{r}'} ， 可以得到高斯定律的微分形式 ∇ ⋅ E ( r ) = ρ ( r ) ϵ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}} ， 和帕松方程式 ∇ 2 ϕ ( r ) = − ρ ( r ) ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )=-{\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\epsilon _{0}}}} 。 拉普拉斯方程式 恩绍定理 格林互反定理 (Green's reciprocity theorem) Cao, Tian Yu, Conceptual developments of 20th century field theories reprint, illustrated, Cambridge University Press: pp. 146–147, 1998, ISBN 9780521634205  引文格式1维护：冗余文本 (link) A. French (1968) Special Relativity, chapter 8 Relativity and electricity, pp 229–65, W. W. Norton. Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 29–31, 237–239, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link) Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 213, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link)