求和符号

求和符号（英語：summation；符號： ∑ {\textstyle \sum } ，讀作：sigma），是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文σογμαρω（增加）的字头，Σ正是σ的大写。 求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。 假設有 n {\displaystyle n} 個數值 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} ，則這 n {\displaystyle n} 個數值的總和 x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}} 可表示為 ∑ k = 1 n x k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}} 。 用等式來呈現的話就是 ∑ k = 1 n x k = x 1 + x 2 + ⋯ + x n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}} 。 舉例來說，若有4個數值： x 1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 5 , x 4 = 7 {\displaystyle x_{1}=1,x_{2}=3,x_{3}=5,x_{4}=7} ，則這4個數值的總和為： ∑ k = 1 4 x k = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 {\displaystyle \sum _{k=1}^{4}x_{k}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1+3+5+7=16} 在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為“+”的運算的任何類型的數學物件的元素。 無窮序列的總和稱為級數，它們涉及極限的概念，本條目不予考慮。 顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。 裂項法：利用 a k = b k + 1 − b k {\displaystyle a_{k}=b_{k+1}-b_{k}} 求出 ∑ k = m n a k {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}} 。 錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。 倒序求和：對於有對稱中心的函數 f ( x ) + f ( 2 a − x ) = 2 b {\displaystyle f(x)+f(2a-x)=2b} 首尾求和 逐項求導：可從 ∑ k = 0 n x k = x n + 1 − 1 x − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}} 推導出 ∑ k = 0 n k m x k {\displaystyle \displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{m}x^{k}} 阿貝爾變換： ∑ i = 1 n a i b i = a 1 ( b 1 − b 2 ) + ( a 1 + a 2 ) ( b 2 − b 3 ) + ⋯ + ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 ) ( b n − 1 − b n ) + ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) b n {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}(b_{1}-b_{2})+(a_{1}+a_{2})(b_{2}-b_{3})+\dots +(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1})(b_{n-1}-b_{n})+(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})b_{n}} 以下設p為多項式， deg ⁡ p ( k ) = m , Δ p ( k ) = p ( k + 1 ) − p ( k ) {\displaystyle \deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)} ∑ p ( k ) {\displaystyle \sum p(k)} 是對一個多項式求和，自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。 帕斯卡矩陣形式 ∑ k = 1 n p ( k ) = ( C n 1 C n 2 ⋯ C n m + 1 ) ( C 0 0 0 ⋯ 0 − C 1 0 C 1 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( − 1 ) m C m 0 ( − 1 ) m − 1 C m 1 ⋯ C m m ) ( p ( 1 ) p ( 2 ) ⋮ p ( m + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)={\begin{pmatrix}C_{n}^{1}&C_{n}^{2}&\cdots &C_{n}^{m+1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}C_{0}^{0}&0&\cdots &0\\-C_{1}^{0}&C_{1}^{1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(-1)^{m}C_{m}^{0}&(-1)^{m-1}C_{m}^{1}&\cdots &C_{m}^{m}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots \\p(m+1)\end{pmatrix}}} 差分變換形式 p ( k ) = ∑ j = 1 m + 1 C k − 1 j − 1 Δ j − 1 p ( 1 ) {\displaystyle p(k)=\sum _{j=1}^{m+1}C_{k-1}^{j-1}\Delta ^{j-1}p(1)} ∑ k = 1 n p ( k ) = ∑ j = 1 m + 1 C n j Δ j − 1 p ( 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)=\sum _{j=1}^{m+1}C_{n}^{j}\Delta ^{j-1}p(1)} ∑ p ( k ) {\displaystyle \sum p(k)} 的例子 ∑ k = 1 n k 0 = ∑ k = 1 n 1 = n {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{0}=\sum _{k=1}^{n}1=n} 三角形數： ∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}} 等差級數： ∑ i = 0 n − 1 ( a 1 + i d ) = n ( a 1 + a n ) 2 = n [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] 2 = a 1 C n 1 + d C n 2 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}(a_{1}+id)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}=a_{1}C_{n}^{1}+dC_{n}^{2}} 連續正整數平方和： ∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} 連續正整數立方和： ∑ k = 1 n k 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}} 正方形數： ∑ k = 1 n ( 2 k − 1 ) = n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}} 當 u k = p ( k ) {\displaystyle u_{k}=p(k)} 為多項式， ∑ l = 0 ∞ v l x l {\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }v_{l}x^{l}} 易求高階導數時， ∑ k = 0 ∞ u k v k x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}v_{k}x^{k}} 有封閉型和式 ∑ k = 0 ∞ u k v k x k = ∑ k = 0 ∞ Δ k u 0 x k k ! d k d x k ( ∑ l = 0 ∞ v l x l ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}v_{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}u_{0}x^{k}}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(\sum _{l=0}^{\infty }v_{l}x^{l})} u k = p ( k ) , v k = 1 , x = q , ∑ u k v k x k = ∑ p ( k ) q k {\displaystyle u_{k}=p(k),v_{k}=1,x=q,\sum u_{k}v_{k}x^{k}=\sum p(k)q^{k}} 有限和 ∑ k = 1 n p ( k ) q k − 1 {\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}} 有封閉型和式 當p為常數時，是對等比數列求和，當p為一次多項式時，是對差比數列求和。 ∑ k = 1 n p ( k ) q k − 1 = f ( n ) q n − f ( 0 ) {\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0)} f ( n ) = p ( n ) q − 1 + 1 ( q − 1 ) 2 ∑ k = 1 m ( − 1 ) k q k − 1 ( q − 1 ) k − 1 Δ k ( p ( n ) ) = 1 q − 1 ∑ k = 0 m ( − q q − 1 ) k Δ k p ( n + 1 ) {\displaystyle f(n)={\frac {p(n)}{q-1}}+{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{k}q^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}}\Delta ^{k}(p(n))={\frac {1}{q-1}}\sum _{k=0}^{m}({\frac {-q}{q-1}})^{k}\Delta ^{k}p(n+1)} ∑ p ( k ) q k {\displaystyle \sum p(k)q^{k}} 的例子 等比級數： ∑ i = 0 n − 1 a 1 x i = a 1 ( x n − 1 ) x − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{1}x^{i}={\frac {a_{1}(x^{n}-1)}{x-1}}} ，若 0 < | x | < 1 {\displaystyle 0<|x|<1} ，則 ∑ i = 0 ∞ a 1 x i = a 1 1 − x {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{1}x^{i}={\frac {a_{1}}{1-x}}} 差比級數： ∑ k = 1 n [ a + ( k − 1 ) d ] r k − 1 = [ a + ( n − 1 ) d r − 1 − d ( r − 1 ) 2 ] r n − [ a − d r − 1 − d ( r − 1 ) 2 ] {\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}[a+(k-1)d]r^{k-1}=\left[{\frac {a+(n-1)d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}\right]r^{n}-\left[{\frac {a-d}{r-1}}-{\frac {d}{(r-1)^{2}}}\right]} u k = p ( k ) , v k = 1 k ! , ∑ u k v k x k = ∑ p ( k ) k ! x k {\displaystyle u_{k}=p(k),v_{k}={\frac {1}{k!}},\sum u_{k}v_{k}x^{k}=\sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}} ∑ n = 0 ∞ p ( n ) n ! x n = e x ∑ k = 0 m Δ k p ( 0 ) k ! x k {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{n!}}x^{n}=e^{x}\sum _{k=0}^{m}{\frac {\Delta ^{k}p(0)}{k!}}x^{k}} ∑ k = 1 n H k p ( k ) = ( ∑ j = 0 m C n + 1 j + 1 Δ j p ( 0 ) ) H n − ∑ j = 0 m C n j + 1 j + 1 Δ j p ( 0 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}p(k)=(\sum _{j=0}^{m}C_{n+1}^{j+1}\Delta ^{j}p(0))H_{n}-\sum _{j=0}^{m}{\frac {C_{n}^{j+1}}{j+1}}\Delta ^{j}p(0)} ，其中 H n {\displaystyle H_{n}} 為調和數或調和級數 ∑ r = 0 n ( n r ) = 2 n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}} ∑ r = 0 n − k ( − 1 ) r ( n + 1 ) k + r + 1 ( n − k r ) = ( n k ) − 1 {\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}} ∑ r = 0 n ( d n d r ) = 1 d ∑ r = 1 d ( 1 + e 2 π r i d ) d n {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {dn}{dr}}={\frac {1}{d}}\sum _{r=1}^{d}(1+e^{\frac {2\pi ri}{d}})^{dn}} F n = ∑ i = 0 ∞ ( n − i i ) {\displaystyle F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}} F n − 1 + F n = ∑ i = 0 ∞ ( n − 1 − i i ) + ∑ i = 0 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i − 1 ) + ∑ i = 1 ∞ ( n − i i ) = 1 + ∑ i = 1 ∞ ( n + 1 − i i ) = ∑ i = 0 ∞ ( n + 1 − i i ) = F n + 1 {\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}} ∑ i = m n ( i a ) = ( n + 1 a + 1 ) − ( m a + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}} ( m a + 1 ) + ( m a ) + ( m + 1 a ) . . . + ( n a ) = ( n + 1 a + 1 ) {\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}} ∑ i = m n ( k 1 + i k 2 ) = ( k 1 + n + 1 k 2 + 1 ) − ( k 1 + m k 2 + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+1}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+1}}} ∑ i = m n ( k 1 + i k 2 + i ) = ( k 1 + n + 1 k 2 + n ) − ( k 1 + m k 2 + m − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}+i}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+n}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+m-1}}} ∑ r = 0 n ( n r ) 2 = ( 2 n n ) {\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}} ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) = ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}}={\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}} ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( 1 − x ) − r 1 − r 2 {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}} ( 1 − x ) − r 1 ( 1 − x ) − r 2 = ( ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + n − 1 r 1 − 1 ) x n ) ( ∑ n = 0 ∞ ( r 2 + n − 1 r 2 − 1 ) x n ) = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n ( r 1 + n − 1 − i r 1 − 1 ) ( r 2 + i − 1 r 2 − 1 ) ) x n {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}} ( 1 − x ) − r 1 − r 2 = ∑ n = 0 ∞ ( r 1 + r 2 + n − 1 r 1 + r 2 − 1 ) x n {\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}} ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = ( n + m k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}} 范德蒙恒等式與超幾何函數有關係： ∑ i = 0 k ( n i ) ( m k − i ) = m ! k ! ( m − k ) ! 2 F 1 ( − n , − k ; m − k + 1 ; 1 ) = ( n + m k ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)={\binom {n+m}{k}}} ( n + k k ) 2 = ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) {\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}} 范德蒙恒等式與廣義超幾何函數有關係： ∑ j = 0 k ( k j ) 2 ( n + 2 k − j 2 k ) = ( n + 2 k ) ! ( 2 k ) ! n ! 3 F 2 ( − k , − k , − n ; 1 , − n − 2 k ; 1 ) = ( n + k k ) 2 {\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}{k}}^{2}} 當 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在[a,b]單調遞增時： f ( a ) + ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∑ x = a b f ( x ) ≤ f ( b ) + ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(a)+\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \sum _{x=a}^{b}f(x)\leq f(b)+\int _{a}^{b}f(x)dx} 當 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在[a,b]單調遞減時： f ( b ) + ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∑ x = a b f ( x ) ≤ f ( a ) + ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle f(b)+\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \sum _{x=a}^{b}f(x)\leq f(a)+\int _{a}^{b}f(x)dx} 以 ∑ i = 1 n i 9 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{9}} 为例： Matlab syms k n;symsum(k^9,k,1,n) Mathematica In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}] Out[1]:= 1 20 n 2 ( n + 1 ) 2 ( n 2 + n − 1 ) ( 2 n 4 + 4 n 3 − n 2 − 3 n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{20}}n^{2}(n+1)^{2}\left(n^{2}+n-1\right)\left(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+1\right)} 赵丽棉 黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4) [2018-06-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.  徐更生 何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10) [2018-06-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.  伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4) [2018-06-24]. （原始内容存档于2019-05-02）.  马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5) [2014-07-16]. （原始内容存档于2019-05-09）.  郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页 [2014-07-16]. （原始内容存档于2016-03-04）.  吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页.  黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7) [2016-05-18]. （原始内容存档于2020-01-15）.  Károly Jordán. Calculus of Finite Differences.  Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations.  刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页 [2017-07-23]. （原始内容存档于2019-05-08）.  吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页 [2014-04-10]. （原始内容存档于2015-09-24）.  維基教科書中的相關電子教程：求和