擺

擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。 若最高處（ v = 0 {\displaystyle v=0} ）的繩子和最低處（速度最大值）的繩子的角度為 θ {\displaystyle \theta } ，符合： θ ≤ 5 ∘ {\displaystyle \theta \leq 5^{\circ }} 則可使用下列公式算出它的振動週期。 T = 2 π L g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}} （ L {\displaystyle L} 為擺長； g {\displaystyle g} 為當地重力加速度） 一擺長為 1 {\displaystyle 1} 公尺的單擺，於地表處作小角度擺動可近似為簡諧運動，週期 T ≈ 2.0 s {\displaystyle T\approx 2.0s} ，這種單擺稱之為秒擺。 一單擺擺錘正在擺盪最高處(此時 v = 0 {\displaystyle v=0} )，繩和鉛直線有夾角 θ {\displaystyle \theta } ，繩長為 L {\displaystyle L} ，相對於平衡點的位移為 x {\displaystyle x} 此物體受下列力的影響（下列說明錯誤，繩子的張力是因為擺錘重力引起，任何一瞬間擺錘法向（徑向）合力為零，但切線加速度為 − g sin ⁡ θ {\displaystyle -g\sin \theta } ） 繩子之拉力大小 F {\displaystyle F} 重力大小 F g = m g {\displaystyle F_{g}=mg} 繩子的拉力 F {\displaystyle F} 有分力 F cos ⁡ θ = m g {\displaystyle F\cos \theta =mg} F sin ⁡ θ = k x {\displaystyle F\sin \theta =kx} ∵ lim θ → 0 cos ⁡ θ = 1 {\displaystyle \because {\underset {\theta \to 0}{\mathop {\lim } }}\,\cos \theta =1} ∴ F ≈ m G g {\displaystyle \therefore F\approx m_{G}g} F sin ⁡ θ = m G g ( x L ) = k x {\displaystyle F\sin {\theta }=m_{G}g\left({\frac {x}{L}}\right)=kx} 解得 k = m G g L {\displaystyle k={\frac {m_{G}g}{L}}} 代入 T = 2 π m I k {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}}{k}}}} 得到 T = 2 π m I L m G g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m_{I}L}{m_{G}g}}}} 根據廣義相對論可知， m I = m G {\displaystyle m_{I}=m_{G}\,} 故 T = 2 π L g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}} 取 L {\displaystyle L} 為繩的長度， θ {\displaystyle \theta } 為繩和垂直平面的線的交角， θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 為 θ {\displaystyle \theta } 的最大值， m {\displaystyle m} 為錘的質量， θ ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta }}} 表示角度加速度 α = d 2 θ d t 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}} 。 忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響： 錘速率最高是在 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 時。當錘升到最高點，其速率為 0。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變，機械能守恆。 運動方程為： m L θ ¨ = − m g sin ⁡ θ {\displaystyle mL{\ddot {\theta }}=-m{\rm {g}}\sin \theta } 注意到不論θ的值為何，運動週期和錘的質量無關。 當 θ {\displaystyle \theta } 相當小的時候， sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } ，因此可得到一條二階齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 T = 2 π L g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}} 。 準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程： d t d θ = 1 2 L g 1 cos ⁡ θ − cos ⁡ θ 0 {\displaystyle {{\rm {d}}t \over {\rm {d}}\theta }={1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}} T = θ 0 → 0 → − θ 0 → 0 → θ 0 = 4 ( θ 0 → 0 ) {\displaystyle T=\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}=4\left(\theta _{0}\rightarrow 0\right)} T = 4 1 2 L g ∫ 0 θ 0 1 cos ⁡ θ − cos ⁡ θ 0 d θ {\displaystyle T=4{1 \over {\sqrt {2}}}{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{1 \over {\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}\,{\rm {d}}\theta } 將上式重寫成第一類橢圓函數的形式： T = 4 L g F ( sin ⁡ θ 0 2 , π 2 ) {\displaystyle T=4{\sqrt {L \over {\rm {g}}}}F\left({\sin {\theta _{0} \over 2}},{\pi \over 2}\right)} 其中 F ( k , ϕ ) = ∫ 0 ϕ 1 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ d θ . {\displaystyle F(k,\phi )=\int _{0}^{\phi }{1 \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}{\theta }}}}\,{\rm {d}}\theta .} 週期可以用級數表示成： T = 2 π L g [ 1 + ( 1 2 ) 2 sin 2 ⁡ θ 0 2 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) 2 sin 4 ⁡ θ 0 2 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) 2 sin 6 ⁡ θ 0 2 + ⋯ ] {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over {\mathrm {g} }}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right]} = 2 π L g ( 1 + 1 16 θ 0 2 + 11 3072 θ 0 4 + ⋯ ) = 2 π L g [ ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) 2 sin 2 n ⁡ ( θ 0 2 ) ] {\displaystyle =2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]} 衝擊擺是來用計算子弹速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恒，擺運動時能量守恒。 衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和射入子弹產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。 將子弹射向停止的錘，使錘和子弹合在一起擺動。設錘質量為 m p {\displaystyle m_{p}\,} ，子弹質量和初速度分別為 m b {\displaystyle m_{b}\,} 和v，錘和子弹碰撞後的速度為u。 以下是子弹速度的計算方法： 由動量守恒定律， m b × v + m p × 0 = ( m b + m p ) × u {\displaystyle m_{b}\times v+m_{p}\times 0=(m_{b}+m_{p})\times u} 由能量守恒定律， 1 2 ( m b + m p ) u 2 = ( m b + m p ) g h {\displaystyle {\frac {1}{2}}(m_{b}+m_{p})u^{2}=(m_{b}+m_{p})gh} 解得 v = ( m b + m p ) 2 g h m b {\displaystyle v={\frac {(m_{b}+m_{p}){\sqrt {2gh}}}{m_{b}}}} 。 倒單擺有許多不同的架構，常見的有二種。 最簡單的是無質量的直桿一端接在固定的樞紐上，另一端連結重量，此架構類似一般單擺，但因為重量在樞紐點上方，直桿在重量下方，需支持重物不落下，因此會將單擺的線改為有剛性的直桿。 另外一種是將倒單擺放在可以一維水平運動的台車上，透過台車的水平運動來控制擺的位置。 倒單擺在擺直立朝上時可以平衡，不過是不穩定平衡，需要透過控制系統才能維持平衡。 錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。 當質量不集中或不規則的物體以轉軸吊起擺動時，此擺稱作複擺（物理擺）。由於有質量分佈的緣故，週期跟剛性物體重心對轉軸的轉動慣量（I）有關。根據平行軸定理及可以求出小角度複擺週期為 T = 2 π I m g d {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}} 雙擺系統是混沌的。 和雙擺一樣，磁性擺系統是混沌的。 傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。 擺鐘。 為了減少溫度變化的影響，有不同的設計： 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變 以木製擺[2] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合 维基共享资源上的相关多媒体资源：擺 Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878. The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005