雙極圓柱坐標系

雙極圓柱坐標系（英語：Bipolar cylindrical coordinates）是一種三維正交坐標系。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ，則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} ，其直角坐標 ( x ,   y ) {\displaystyle (x,\ y)} 分別設定為 ( − a ,   0 ) {\displaystyle (-a,\ 0)} 與 ( a ,   0 ) {\displaystyle (a,\ 0)} 。延伸至三維空間，這兩個焦點分別變成兩條直線， L 1 {\displaystyle L_{1}} 與 L 2 {\displaystyle L_{2}} ，稱為焦線。 雙極圓柱坐標 ( σ ,   τ ,   z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 通常定義為 x = a   sinh ⁡ τ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 y = a   sin ⁡ σ cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 z = z {\displaystyle z=z} ； 其中，點 P {\displaystyle P} 的 σ {\displaystyle \sigma } 坐標等於 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 的弧度， τ {\displaystyle \tau } 坐標等於 d 1 = F 1 P {\displaystyle d_{1}=F_{1}P} 與 d 2 = F 2 P {\displaystyle d_{2}=F_{2}P} 的比例的自然對數 τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 注意到焦線 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的坐標分別為 x = − a {\displaystyle x=-a} 與 x = a {\displaystyle x=a} 。 不同 σ {\displaystyle \sigma } 的坐標曲面是一組不同圓心線，而相交於兩個焦線 L 1 {\displaystyle L_{1}} 與 L 2 {\displaystyle L_{2}} 的圓柱面： x 2 + ( y − a cot ⁡ σ ) 2 = a 2 sin 2 ⁡ σ {\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}} 。 它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓柱面的圓心線都在 y > 0 {\displaystyle y>0} 半空間；而負值 σ {\displaystyle \sigma } 的圓柱面的圓心線則在 y < 0 {\displaystyle y<0} 半空間。當絕對值 | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 增加時，圓半徑會減小，圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時， | σ | {\displaystyle \left|\sigma \right|} 達到最大值 π / 2 {\displaystyle \pi /2} 。 不同 τ {\displaystyle \tau } 的坐標曲面是一組圍著焦線，互不相交，不同半徑的圓柱面。半徑為 y 2 + ( x − a coth ⁡ τ ) 2 = a 2 sinh 2 ⁡ τ {\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}} 。 它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值 τ {\displaystyle \tau } 的圓柱面在 x > 0 {\displaystyle x>0} 半空間；而負值 τ {\displaystyle \tau } 的圓柱面在 x < 0 {\displaystyle x<0} 半空間。 τ = 0 {\displaystyle \tau =0} 平面則與 yz-平面同平面。當 τ {\displaystyle \tau } 值增加時，圓柱面的半徑會減少，圓心線會靠近焦點。 雙極圓柱坐標 ( σ ,   τ ,   z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 可以用直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是 d 1 2 = ( x + a ) 2 + y 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}} 、 d 2 2 = ( x − a ) 2 + y 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}} 。 τ {\displaystyle \tau } 是 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 的比例的自然對數： τ = ln ⁡ d 1 d 2 {\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}} 。 ∠ F 1 P F 2 {\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}} 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 F 1 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}P}}} 與 F 2 P ¯ {\displaystyle {\overline {F_{2}P}}} 的夾角。這夾角的弧度是 σ {\displaystyle \sigma } 。用餘弦定理來計算： cos ⁡ σ = d 1 2 + d 2 2 − 4 a 2 2 d 1 d 2 {\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}} 。 z-坐標的公式不變： z = z {\displaystyle z=z} 。 雙極圓柱坐標 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 的標度因子相等；而 z {\displaystyle z} 的標度因子是 1 ： h σ = h τ = a cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ {\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}} 、 h z = 1 {\displaystyle h_{z}=1} 。 所以，無窮小體積元素等於 d V = a 2 ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 d σ d τ d z {\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz} 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 a 2 ( cosh ⁡ τ − cos ⁡ σ ) 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) + ∂ 2 Φ ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}} 。 其它微分算子，例如 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 與 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用雙極圓柱坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。 雙極圓柱坐標有一個經典的應用，這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏，雙極圓柱坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有兩個互相平行的圓柱導體，請問其周圍的電場為什麼？應用雙極圓柱坐標，我們可以精緻地分析這例題。 Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302.  引文格式1维护：冗余文本 (link)