最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統，對於线性时不变系统，若本身為因果系统且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統。 相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接全通濾波器，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。 例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。 一系統 H {\displaystyle \mathbb {H} } 可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} 使得若將 H {\displaystyle \mathbb {H} } 及 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} 二個系統連接，可以得到單位系統 I {\displaystyle \mathbb {I} } （可以參反矩陣）。 H i n v H = I {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} =\mathbb {I} } 假設 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} 為系統 H {\displaystyle \mathbb {H} } 的輸入，其輸出為 y ~ {\displaystyle {\tilde {y}}} H x ~ = y ~ {\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}={\tilde {y}}} 將 y ~ {\displaystyle {\tilde {y}}} 作為逆系統的輸入，可得： H i n v y ~ = H i n v H x ~ = I x ~ = x ~ {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}\,{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{inv}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {I} \,{\tilde {x}}={\tilde {x}}} 因此可以用逆系統 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} ，找到輸出 y ~ {\displaystyle {\tilde {y}}} 對應的唯一輸入 x ~ {\displaystyle {\tilde {x}}} 。 假設系統 H {\displaystyle \mathbb {H} } 是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用冲激响应 h ( n ) {\displaystyle h(n)} （n為整數）表示。而且，假設系統 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} 的 冲激响应為 h i n v ( n ) {\displaystyle h_{inv}(n)} 。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示： ( h ∗ h i n v ) ( n ) = ∑ k = − ∞ ∞ h ( k ) h i n v ( n − k ) = δ ( n ) {\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)\,h_{inv}(n-k)=\delta (n)} 其中 δ ( n ) {\displaystyle \delta (n)} 為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} 不一定要是唯一的。 若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統 H {\displaystyle \mathbb {H} } 和逆系統 H i n v {\displaystyle \mathbb {H} _{inv}} 都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）： h ( n ) = 0 ∀ n < 0 {\displaystyle h(n)=0\,\,\forall \,n<0} 及 h i n v ( n ) = 0 ∀ n < 0 {\displaystyle h_{inv}(n)=0\,\,\forall \,n<0} ∑ n = − ∞ ∞ | h ( n ) | = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h(n)\right|}=\|h\|_{1}<\infty } 及 ∑ n = − ∞ ∞ | h i n v ( n ) | = ‖ h i n v ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h_{inv}(n)\right|}=\|h_{inv}\|_{1}<\infty } 在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。 將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。 ( h ∗ h i n v ) ( n ) = δ ( n ) {\displaystyle (h*h_{inv})(n)=\,\!\delta (n)} 進行Z轉換後可以得到以下的關係。 H ( z ) H i n v ( z ) = 1 {\displaystyle H(z)\,H_{inv}(z)=1} 由於上述關係，可得 H i n v ( z ) = 1 H ( z ) {\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {1}{H(z)}}} 為了簡單起見，只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設 H ( z ) = A ( z ) D ( z ) {\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}}} 其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点（根）需要嚴格的在单位圆內（不能在邊界上）。而 H i n v ( z ) = D ( z ) A ( z ) {\displaystyle H_{inv}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}}} 因此 H i n v ( z ) {\displaystyle H_{inv}(z)} 的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。 連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯变换，其時域的方程式如下。 ( h ∗ h i n v ) ( t ) = δ ( t ) {\displaystyle (h*h_{inv})(t)=\,\!\delta (t)} 其中 δ ( t ) {\displaystyle \delta (t)} 為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。 δ ( t ) ∗ x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t − τ ) x ( τ ) d τ = x ( t ) {\displaystyle \delta (t)*x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )d\tau =x(t)} 進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。 H ( s ) H i n v ( s ) = 1 {\displaystyle H(s)\,H_{inv}(s)=1} 也可以得到下式 H i n v ( s ) = 1 H ( s ) {\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {1}{H(s)}}} 為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設 H ( s ) = A ( s ) D ( s ) {\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}}} 其中A (s)及D (s)是s的多項式。 H ( s ) {\displaystyle H(s)} 的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內，而 H i n v ( s ) = D ( s ) A ( s ) {\displaystyle H_{inv}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}}} H ( s ) {\displaystyle H(s)} 的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。 不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令 H ( j ω )   = d e f   H ( s ) | s = j ω   {\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }\ } 是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為 arg ⁡ [ H ( j ω ) ] = − H { log ⁡ ( | H ( j ω ) | ) }   {\displaystyle \arg \left[H(j\omega )\right]=-{\mathcal {H}}\lbrace \log \left(|H(j\omega )|\right)\rbrace \ } 以及 log ⁡ ( | H ( j ω ) | ) = log ⁡ ( | H ( j ∞ ) | ) + H { arg ⁡ [ H ( j ω ) ] }   {\displaystyle \log \left(|H(j\omega )|\right)=\log \left(|H(j\infty )|\right)+{\mathcal {H}}\lbrace \arg \left[H(j\omega )\right]\rbrace \ } . 若用較精簡的方式表示，令 H ( j ω ) = | H ( j ω ) | e j arg ⁡ [ H ( j ω ) ]   = d e f   e α ( ω ) e j ϕ ( ω ) = e α ( ω ) + j ϕ ( ω )   {\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg \left[H(j\omega )\right]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )}\ } 其中 α ( ω ) {\displaystyle \alpha (\omega )} 和 ϕ ( ω ) {\displaystyle \phi (\omega )} 都是實數下的實函數，則 ϕ ( ω ) = − H { α ( ω ) }   {\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\lbrace \alpha (\omega )\rbrace \ } 及 α ( ω ) = α ( ∞ ) + H { ϕ ( ω ) }   {\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\lbrace \phi (\omega )\rbrace \ } . 希爾伯特轉換算子定義為 H { x ( t ) }   = d e f   x ^ ( t ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) t − τ d τ   {\displaystyle {\mathcal {H}}\lbrace x(t)\rbrace \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\widehat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau \ } . 在離散時間系統中也有等效的對應關係。 針對所有有相同增益响应的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是冲激响应能量的延遲）。 ∑ n = m ∞ | h ( n ) | 2 ∀ m ∈ Z + {\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }\left|h(n)\right|^{2}\,\,\,\,\,\,\,\forall \,m\in \mathbb {Z} ^{+}} 在所有增益响应相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。 假設考慮传递函数 H ( z ) {\displaystyle H(z)} 中的一個零点 a {\displaystyle a} ，先讓零点 a {\displaystyle a} 在单位圆內（ | a | < 1 {\displaystyle \left|a\right|<1} ），看對群延遲的影響。 a = | a | e i θ a  where  θ a = Arg ( a ) {\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\mbox{ where }}\,\theta _{a}={\mbox{Arg}}(a)} 因為零点 a {\displaystyle a} 在传递函数中貢獻了 1 − a z − 1 {\displaystyle 1-az^{-1}} 的因子，因此其對相位的貢獻如下： ϕ a ( ω ) = Arg ( 1 − a e − i ω ) {\displaystyle \phi _{a}\left(\omega \right)={\mbox{Arg}}\left(1-ae^{-i\omega }\right)} = Arg ( 1 − | a | e i θ a e − i ω ) {\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)} = Arg ( 1 − | a | e − i ( ω − θ a ) ) {\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)} = Arg ( { 1 − | a | c o s ( ω − θ a ) } + i { | a | s i n ( ω − θ a ) } ) {\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{1-\left|a\right|cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)} = Arg ( { | a | − 1 − cos ⁡ ( ω − θ a ) } + i { sin ⁡ ( ω − θ a ) } ) {\displaystyle ={\mbox{Arg}}\left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)} ϕ a ( ω ) {\displaystyle \phi _{a}(\omega )} 所貢獻的相延遲如下。 − d ϕ a ( ω ) d ω = sin 2 ⁡ ( ω − θ a ) + cos 2 ⁡ ( ω − θ a ) − | a | − 1 cos ⁡ ( ω − θ a ) sin 2 ⁡ ( ω − θ a ) + cos 2 ⁡ ( ω − θ a ) + | a | − 2 − 2 | a | − 1 cos ⁡ ( ω − θ a ) {\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}} − d ϕ a ( ω ) d ω = | a | − cos ⁡ ( ω − θ a ) | a | + | a | − 1 − 2 cos ⁡ ( ω − θ a ) {\displaystyle -{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}} 若將零点 a {\displaystyle a} 移到单位圆外的對應點，也就是 ( a − 1 ) ∗ {\displaystyle (a^{-1})^{*}} ，上式的分母和 θ a {\displaystyle \theta _{a}} 都不會變化，而分子的 | a | {\displaystyle \left|a\right|} 大小增加，因此讓 a {\displaystyle a} 在单位圆內可以讓群延遲中 1 − a z − 1 {\displaystyle 1-az^{-1}} 的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形，因為 1 − a i z − 1 {\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}} 的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有 N {\displaystyle N} 個零點的传递函数， Arg ( ∏ i = 1 N ( 1 − a i z − 1 ) ) = ∑ i = 1 N Arg ( 1 − a i z − 1 ) {\displaystyle {\mbox{Arg}}\left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}{\mbox{Arg}}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)} 一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。 若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為非最小相位系統（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。 最大相位系統（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且 離散時間系統下的零點都在單位圓外。 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。 也就是其逆系統所有的極點都不穩定。 此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。 例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數 s + 10 s + 5 and s − 10 s + 5 {\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}} 這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。 離散時間下的混合相位系統（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。 例如連續時間系統 ( s + 1 ) ( s − 5 ) ( s + 10 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) ( s + 6 ) {\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}} 是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。 線性相位（英语：linear phase）（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。 全通濾波器：一種特殊的非最小相位系統 克拉莫-克若尼關係式：物理上的最小相位系統 Hassibi, Babak; Kailath, Thomas; Sayed, Ali H. Linear estimation. Englewood Cliffs, N.J: Prentice Hall. 2000: 193. ISBN 0-13-022464-2.  J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications （页面存档备份，存于互联网档案馆） (September 2007 Edition). Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2 Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6