巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。 设 V {\displaystyle \;V\;} 是数域 k {\displaystyle \;k\;} 上的一个分次(graded)线性空间。 V {\displaystyle \;V\;} 上的一个BV代数结构是三元组 ( V , ∙ , Δ ) {\displaystyle \;(V,\bullet ,\Delta )\;} ，满足以下两个关系： ( V , ∙ ) {\displaystyle \;(V,\bullet )\;} 是 k {\displaystyle \;k\;} 上的分次、交换、结合的代数(algebra)； Δ {\displaystyle \;\Delta \;} 是关于 ∙ {\displaystyle \;\bullet \;} 的二阶微分算子，即 Δ {\displaystyle \;\Delta \;} 的度数为1， Δ 2 = 0 {\displaystyle \;\Delta ^{2}=0\;} ，并且对任给的 a , b , c ∈ V {\displaystyle \;a,b,c\in V\;} , Δ ( a ∙ b ∙ c ) = Δ ( a ∙ b ) ∙ c + ( − 1 ) | a | a ∙ Δ ( b ∙ c ) + ( − 1 ) ( | a | + 1 ) | b | b ∙ Δ ( a ∙ c ) − ( Δ a ) ∙ b ∙ c − ( − 1 ) | a | a ∙ ( Δ b ) ∙ c − ( − 1 ) | a | + | b | a ∙ b ∙ ( Δ c ) . {\displaystyle \;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}} 在上面的定义中，如果令 [ a , b ] = ( − 1 ) | a | Δ ( a ∙ b ) − ( − 1 ) | a | ( Δ a ) ∙ b − a ∙ ( Δ b ) , {\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;} 则可以验证， ( V , ∙ , [ , ] ) {\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;} 形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此， Δ {\displaystyle \;\Delta \;} 还是关于 [ , ] {\displaystyle \;[\;,\;]\;} 的导子(derivation)，即 Δ [ a , b ] = [ Δ a , b ] + ( − 1 ) | a | + 1 [ a , Δ b ] , {\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;} 使得 ( V , [ , ] , Δ ) {\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )} 形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。 迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。 设 M {\displaystyle \;M\;} 是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记 C ∞ ( M ) {\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;} 为 M {\displaystyle \;M\;} 上光滑函数组成的集合。我们有 C ∞ ( M ) {\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;} 形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为 ∙ {\displaystyle \;\bullet \;} 。设 ( x 1 , ⋯ , x n ; η 1 , ⋯ , η n ) {\displaystyle \;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;} 为 M {\displaystyle \;M\;} 上的一组Darboux坐标，令 Δ = ∑ i = 1 n ∂ ∂ x i ∂ ∂ η i , {\displaystyle \;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;} 则可以验证， ( C ∞ ( M ) , ∙ , Δ ) {\displaystyle \;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;} 形成一个BV代数，参见； 田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数； B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构； E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构； M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构。 正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素 S {\displaystyle \;S\;} ，该元素满足以下方程： Δ e S = 0 ( {\displaystyle \;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;} 等价于 Δ S + 1 2 [ S , S ] = 0 ) , {\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;} 称为Master方程，有时候 S {\displaystyle \;S\;} 必须满足所谓的量子Master方程，即 Δ e S ℏ = 0. {\displaystyle \;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;} 另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。 BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。 I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582. A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088 D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057 G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987. B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646. E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285. M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.