对偶系统

数学中，域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的对偶系统或对偶对是指三元组 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} ，包含 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射 b : X × Y → K {\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} } 。 对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。 域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对（pairing或pair）是一个三元组 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} ，也可以用 b ( X , Y ) {\displaystyle b(X,Y)} 表示， 包含 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的两个向量空间X、Y及双线性映射 b : X × Y → K {\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} } ，称作与配对关联的双线性映射，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及 K {\displaystyle \mathbb {K} } 是实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } 或复数 C {\displaystyle \mathbb {C} } 的例子。 ∀ x ⊆ X {\displaystyle \forall x\subseteq X} ，定义 b ( x , ⋅ ) : Y → K y ↦ b ( x , y ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}} ∀ y ⊆ Y {\displaystyle \forall y\subseteq Y} ，定义 b ( ⋅ , y ) : X → K x ↦ b ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}} ∀ b ( x , ⋅ ) {\displaystyle \forall b(x,\,\cdot \,)} 是Y上的线性泛函， ∀ b ( ⋅ , y ) {\displaystyle \forall b(\,\cdot \,,y)} 是X上的线性泛函。令 b ( X , ⋅ ) := { b ( x , ⋅ ) : x ∈ X }  and  b ( ⋅ , Y ) := { b ( ⋅ , y ) : y ∈ Y } {\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}} 其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。 通常记 ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle } 而非 b ( x , y ) {\displaystyle b(x,y)} ，这样配对不必写成 ( X , Y , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} ，而可以写成 ⟨ X , Y ⟩ {\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle } 。不过，本文将用 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 表示求值映射（定义见下），以避免混淆。 若双线性形式b是非退化的，则称配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的对偶系统或对偶对 ，满足下面两条分离公理： Y分离（区分）X的点：若 x ∈ X {\displaystyle x\in X} 使得 b ( x , ⋅ ) = 0 {\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0} ，则 x = 0 {\displaystyle x=0} ；等价地，对所有非零的 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，映射 b ( x , ⋅ ) : Y → K {\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} } 不等同于 0 {\displaystyle 0} （即 ∃ y ∈ Y {\displaystyle \exists y\in Y} 使得 ∀ x ∈ X ,   b ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \forall x\in X,\ b(x,y)\neq 0} ）； X分离（区分）Y的点：若 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 使得 b ( ⋅ , y ) = 0 {\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0} ，则 y = 0 {\displaystyle y=0} ；等价地，对所有非零的 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ，映射 b ( ⋅ , y ) : X → K {\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} } 不等同于 0 {\displaystyle 0} （即 ∃ x ∈ X {\displaystyle \exists x\in X} 使得 ∀ y ∈ Y ,   b ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \forall y\in Y,\ b(x,y)\neq 0} ）。 这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 的对偶配对（duality pairing）。 若 ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} , b ( x , s ) = 0 ∀ s ∈ S {\displaystyle b(x,s)=0\quad \forall s\in S} 能推出 x = 0 {\displaystyle x=0} ，则称 S ∈ Y {\displaystyle S\in Y} 为全集。 X的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。 若 b ( x , y ) = 0 {\displaystyle b(x,y)=0} ，称向量x、y正交，记作 x ⊥ y {\displaystyle x\perp y} 。若 b ( R , S ) = { 0 } {\displaystyle b(R,S)=\{0\}} ，称两子集 R ⊆ X {\displaystyle R\subseteq X} 、 S ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq Y} 正交，记作 R ⊥ S {\displaystyle R\perp S} ；即 ∀ r ∈ R {\displaystyle \forall r\in R} 、 s ∈ S {\displaystyle s\in S} ， b ( r , s ) = 0 {\displaystyle b(r,s)=0} 。子集正交于向量的定义与之类似。 子集 R ⊆ X {\displaystyle R\subseteq X} 的正交补或零化子是 R ⊥ := { y ∈ Y : R ⊥ y } := { y ∈ Y : b ( R , y ) = { 0 } } {\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}} . 于是，当且仅当 R ⊥ = { 0 } {\displaystyle R^{\perp }=\{0\}} ，R是X的全子集。 给定在 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上定义了对偶对的三元组 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} ，子集 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} 的绝对极集或极集是集合 A ∘ := { y ∈ Y : sup x ∈ A | b ( x , y ) | ≤ 1 } . {\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.} 对称地，子集 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} 的绝对极集或极集记作 B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} ，定义为 B ∘ := { x ∈ X : sup y ∈ B | b ( x , y ) | ≤ 1 } . {\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.} 为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集 B ⊆ B {\displaystyle B\subseteq B} 的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为 ∘ B {\displaystyle {}^{\circ }B} 。 极 B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} 必然是凸集，包含 0 ∈ Y {\displaystyle 0\in Y} ，若B平衡，则 B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} 也平衡；若B是X的向量子空间，则 B ∘ {\displaystyle B^{\circ }} 是Y的向量子空间。 若A是X的向量子空间，则 A ∘ = A ⊥ {\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }} ，还等于A的实极。若 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} ，则A的双极（bipolar，记作 A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} ）是A正交补的极，即集 ∘ ( A ⊥ ) {\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)} 。相似地，若 B ⊆ Y {\displaystyle B\subseteq Y} ，则B的双极是 B ∘ ∘ := ( ∘ B ) ∘ {\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }} 。 给定对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} ，定义新对 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} ，其中 ∀ x ∈ X ,   ∀ y ∈ Y ,   d ( y , x ) := b ( x , y ) {\displaystyle \forall x\in X,\ \forall y\in Y,\ d(y,x):=b(x,y)} 。 对偶理论有个一贯的主题：任何对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 都有相应的对偶对 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} 。 约定与定义：给定配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 的任何定义，将其应用于配对 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} ，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。 例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。 下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。 约定与记号：若配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑 τ ( X , Y , b ) {\displaystyle \tau (X,Y,b)} ），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} （接上例，拓扑 τ ( Y , X , b ) {\displaystyle \tau (Y,X,b)} 实际上是拓扑 τ ( Y , X , d ) {\displaystyle \tau (Y,X,d)} ）。 再比如，一旦定义了X上的弱拓扑 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} ，则此对偶定义就会自动应用到配对 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} ，从而得到Y上弱拓扑的定义—— σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} 而非 σ ( Y , X , d ) {\displaystyle \sigma (Y,X,d)} 。 虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 与 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} 互换处理，并用 ( Y , X , b ) {\displaystyle (Y,X,b)} 表示 ( Y , X , d ) {\displaystyle (Y,X,d)} 。 设 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则， ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 对 M × N {\displaystyle M\times N} 的限制就是配对 ( M , N , b | M × N ) {\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)} 。若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若 Y ≠ { 0 } {\displaystyle Y\neq \{0\}} 、 N = { 0 } {\displaystyle N=\{0\}} ）。 本文将使用通常做法，用 ( M , N , b ) {\displaystyle (M,N,b)} 表示限制 ( M , N , b | M × N ) {\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)} 。 设X是向量空间，令 X # {\displaystyle X^{\#}} 表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶 ( X , X # , c ) {\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)} ，其中 c ( x , x ′ ) = ⟨ x , x ′ ⟩ = x ′ ( x ) {\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)} ，称之为 X × X # {\displaystyle X\times X^{\#}} 上的求值映射或自然/规范双线性泛函。 注意 ∀ x ′ ∈ X # {\displaystyle \forall x^{\prime }\in X^{\#}} ， c ( ⋅ , x ′ ) {\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)} 只是表示 x ′ {\displaystyle x^{\prime }} 的另一种方式，即 c ( ⋅ , x ′ ) = x ′ ( ⋅ ) = x ′ . {\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.} 若N是 X # {\displaystyle X^{\#}} 的一个向量子空间，则 ( X , X # , c ) {\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)} 对 X × N {\displaystyle X\times N} 的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。 下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。 求值映射记作 ⟨ x , x ′ ⟩ = x ′ ( x ) {\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)} （而非c），将 ( X , N , c ) {\displaystyle (X,N,c)} 改为 ⟨ X , N ⟩ {\displaystyle \langle X,N\rangle } 。 假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对 ⟨ X , N ⟩ {\displaystyle \langle X,N\rangle } 相关联。 若N是 X # {\displaystyle X^{\#}} 的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的， ∀ n ∈ N ,   n ( x ) = 0 {\displaystyle \forall n\in N,\ n(x)=0} 能推出 x = 0 {\displaystyle x=0} ），X分离N的点（或等价地， ( X , N , c ) {\displaystyle (X,N,c)} 是对偶）， 设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 。 则，规范对偶 ( X , X # , c ) {\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)} 对 X × X ′ {\displaystyle X\times X^{\prime }} 的限制确定了配对 ( X , X ′ , c | X × X ′ ) {\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)} ，其中X分离 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的点。 若 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。 假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 相关联，无需注释。 下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。 定理 — 令X是拓扑向量空间，有代数对偶 X # {\displaystyle X^{\#}} ，并令 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} 为X在原点邻域的基。 在规范对偶 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 下，X是连续对偶空间是所有 N ∘ {\displaystyle N^{\circ }} 的并，因为N的范围是 N {\displaystyle {\mathcal {N}}} （其中极位于 X # {\displaystyle X^{\#}} ）。 预希尔伯特空间 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} ，当且仅当H是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的向量空间，或H是0维， ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 是对偶对。这里假定半双线性形式 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } 在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。 若 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 是实希尔伯特空间，则 ( H , H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 形成对偶系统。 若 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 是复希尔伯特空间，则当且仅当 dim ⁡ H = 0 {\displaystyle \operatorname {dim} H=0} ， ( H , H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 形成对偶系统。若H非平凡，则 ( H , H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。 设 ( H , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )} 是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或 ⋅ {\displaystyle \cdot } 表示。 定义映射 ⋅ ⊥ ⋅ : C × H → H  by  c ⊥ x := c ¯ x , {\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,} 其中右式使用了H的标量乘法。令 H ¯ {\displaystyle {\overline {H}}} 表示H的复共轭向量空间，其中 H ¯ {\displaystyle {\overline {H}}} 表示加群 ( H , + ) {\displaystyle (H,+)} （所以 H ¯ {\displaystyle {\overline {H}}} 中的向量加法与H中的相同），但 H ¯ {\displaystyle {\overline {H}}} 中的标量乘法是映射 ⋅ ⊥ ⋅ {\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,} （而非H被赋予的标量乘法）。 映射 b : H × H ¯ → C {\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} } 定义为 b ( x , y ) := ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle } ，在两个坐标中都是线性的，因此 ( H , H ¯ , ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ ) {\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)} 形成对偶对。 设 X = R 2 ,   Y = R 3 ,   ∀ ( x 1 , y 1 ) ∈ X  and  ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∈ Y , {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},\ Y=\mathbb {R} ^{3},\ \forall \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,} 令 b ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) ) := x 1 x 2 + y 1 y 2 . {\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.} 则 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外， X ⊥ := { y ∈ Y : X ⊥ y } = { ( 0 , 0 , z ) : z ∈ R } . {\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.} 令 0 < p < ∞ ,   X := L p ( μ ) ,   Y := L q ( μ ) {\displaystyle 0<p<\infty ,\ X:=L^{p}(\mu ),\ Y:=L^{q}(\mu )} （其中q满足 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1} ）， b ( f , g ) := ∫ f g d μ . {\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .} 则 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是对偶系统。 令X、Y是同一域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的向量空间，则双线性形式 b ( x ⊗ y , x ∗ ⊗ y ∗ ) = ⟨ x ′ , x ⟩ ⟨ y ′ , y ⟩ {\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle } 使 X × Y {\displaystyle X\times Y} 与 X # × Y # {\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}} 对偶。 序列空间X及其Beta-对偶空间 Y := X β {\displaystyle Y:=X^{\beta }} ，双线性映射定义为 ∀ x ∈ X ,   y ∈ X β ,   ⟨ x , y ⟩ := ∑ i = 1 ∞ x i y i {\displaystyle \forall x\in X,\ y\in X^{\beta },\ \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}} 形成对偶系统。 设 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上一对向量空间。若 S ⊆ Y {\displaystyle S\subseteq Y} ，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作 σ ( X , S , b ) {\displaystyle \sigma (X,S,b)} 或 σ ( X , S ) {\displaystyle \sigma (X,S)} ，使y在S上取值时所有映射 b ( ⋅ , y ) : X → K {\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} } 连续。若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。 X σ ( X , S , b ) ,   X σ ( X , S ) , {\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},\ X_{\sigma (X,S)},} 或（若无混淆） X σ {\displaystyle X_{\sigma }} 用于表示赋有弱拓扑 σ ( X , S , b ) {\displaystyle \sigma (X,S,b)} 的X。 重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。 同样，若 R ⊆ X {\displaystyle R\subseteq X} ，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作 σ ( Y , R , b ) {\displaystyle \sigma (Y,R,b)} 或 σ ( Y , R ) {\displaystyle \sigma (Y,R)} （细节见脚注）。 定义与符号：若 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 附在一个拓扑定义上（如 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -收敛、 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -有界、 cl σ ( X , Y , b ) ⁡ ( S ) {\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S)} 等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列 ( a i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} “ σ {\displaystyle \sigma } -收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于 ( Y , σ ( Y , X , b ) ) {\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))} ，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} ）。 拓扑 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 是局部凸的，因为它由 p y ( x ) := | b ( x , y ) | {\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|} 定义的半范数族 p y : X → R {\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} } 确定，其中y在Y上取值。 若 x ∈ X ,   ( x i ) i ∈ I {\displaystyle x\in X,\ \left(x_{i}\right)_{i\in I}} 是X中的网，则若 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}} 在 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 中收敛到x， ( x i ) i ∈ I {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}} σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -收敛于x。网 ( x i ) i ∈ I {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}} ，当且仅当 ∀ y ∈ Y ,   b ( x i , y ) {\displaystyle \forall y\in Y,\ b\left(x_{i},y\right)} 收敛到 b ( x , y ) {\displaystyle b(x,y)} ， σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -收敛到x。 若 ( x i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则 ( x i ) i = 1 ∞ {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。 若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得 ( X , N , b ) {\displaystyle (X,N,b)} 是对偶对，则 σ ( X , N , b ) {\displaystyle \sigma (X,N,b)} 比 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 严格粗。 子集 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} ，当且仅当 sup | b ( S , y ) | < ∞  for all  y ∈ Y , {\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,} ，其中 | b ( S , y ) | := { b ( s , y ) : s ∈ S } {\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}} ，称S σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -有界。 若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，则下列条件等价： X分离Y的点； 映射 y ↦ b ( ⋅ , y ) {\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)} 定义了Y到X的代数对偶空间的单射； σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} 是豪斯多夫空间。 下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 的连续对偶空间。 弱表示定理 — 令 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是域 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对，则 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 的连续对偶空间是 b ( ⋅ , Y ) := { b ( ⋅ , y ) : y ∈ Y } . {\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.} 另外， 若f是 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 上的连续线性泛函，则 ∃ y ∈ Y {\displaystyle \exists y\in Y} 使 f = b ( ⋅ , y ) {\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)} ；若这样的y存在，则当且仅当X分离Y的点时，这样的y是唯一的。 注意，X是否分离Y中的点并不取决于y的特定选择。 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 的连续对偶空间可以视作商空间 Y / X ⊥ {\displaystyle Y/X^{\perp }} ，其中 X ⊥ := { y ∈ Y : b ( x , y ) = 0     ∀ x ∈ X } {\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0\ \ \forall x\in X\}} 。 无论X是否分离Y的点，或Y是否分离X中的点，这都是正确的。 因此， ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 的连续对偶空间是 ( X , σ ( X , Y , b ) ) ′ = b ( ⋅ , Y ) := { b ( ⋅ , y ) : y ∈ Y } . {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.} 关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 分离X的点（即使 ( X , σ ( X , X ′ ) ) {\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)} 豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将 x ′ ∈ X ′ {\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }} 送到 x ′ ( x ) {\displaystyle x^{\prime }(x)} 的映射）。 通常写成 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) ′ = X  or  ( X σ ′ ) ′ = X . {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.} 这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 上的强对偶拓扑 β ( X ′ , X ) {\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)} ）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作 ( X σ ′ ) ′ {\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }} 意味着 ( X σ ′ ) ′ {\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }} 上的拓扑 β ( ( X σ ′ ) ′ , X σ ′ ) {\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)} 可被视作X上的拓扑。 此外，若 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 被赋予比 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} 更细的拓扑，那么 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的连续对偶空间必然包含 ( X σ ′ ) ′ {\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }} （作为子集）。 例如， X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 被赋予强对偶拓扑（于是记作 X β ′ {\displaystyle X_{\beta }^{\prime }} ），则 ( X β ′ ) ′   ⊇   ( X σ ′ ) ′   =   X {\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X} 这允许X被赋予由强对偶拓扑 β ( ( X β ′ ) ′ , X β ′ ) {\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)} 在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若 ( X β ′ ) ′ = X {\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X} 则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑 β ( ( X β ′ ) ′ , X β ′ ) {\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)} 还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。 若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，则对X的任意子集S： S ⊥ = ( span ⁡ S ) ⊥ = ( cl σ ( Y , X , b ) ⁡ span ⁡ S ) ⊥ = S ⊥⊥⊥ {\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }} ，且此集合是 σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} -闭的； S ⊆ S ⊥⊥ = ( cl σ ( X , Y , b ) ⁡ span ⁡ S ) {\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)} ； 因此，若S是X的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -闭向量子空间，则 S ⊆ S ⊥⊥ . {\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.} 若 ( S i ) i ∈ I {\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}} 是X的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -闭向量子空间族，则 ( ⋂ i ∈ I S i ) ⊥ = cl σ ( Y , X , b ) ⁡ ( span ⁡ ( ⋃ i ∈ I S i ⊥ ) ) . {\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).} 若 ( S i ) i ∈ I {\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}} 是X的子集族，则 ( ⋃ i ∈ I S i ) ⊥ = ⋂ i ∈ I S i ⊥ . {\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.} 若X是赋范空间，则根据规范对偶性， S ⊥ {\displaystyle S^{\perp }} 在 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 中对范是封闭的， S ⊥⊥ {\displaystyle S^{\perp \perp }} 在X中对范是封闭的。 设M是X的向量子空间，并令 ( M , Y , b ) {\displaystyle (M,Y,b)} 表示 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 对 M × Y {\displaystyle M\times Y} 的限制。 M上的弱拓扑 σ ( M , Y , b ) {\displaystyle \sigma (M,Y,b)} 与M从 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 继承的子空间拓扑相同。 另外， ( M , Y / M ⊥ , b | M ) {\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)} 是配对空间（paired space）（其中 Y / M ⊥ {\displaystyle Y/M^{\perp }} 是 Y / ( M ⊥ ) {\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)} ），其中 b | M : M × Y / M ⊥ → K {\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} } 定义为 ( m , y + M ⊥ ) ↦ b ( m , y ) . {\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).} 拓扑 σ ( M , Y / M ⊥ , b | M ) {\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)} 等于M继承自 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 的子空间拓扑。 此外，若 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 是对偶系统，则 ( M , Y / M ⊥ , b | M ) {\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)} 也是。 设M是X的向量子空间，则 ( X / M , M ⊥ , b / M ) {\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)} 是配对空间，其中 b / M : X / M × M ⊥ → K {\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} } 定义为 ( x + M , y ) ↦ b ( x , y ) . {\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).} 拓扑 σ ( X / M , M ⊥ ) {\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)} 等同于 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 在 X / M {\displaystyle X/M} 上诱导的一般的商拓扑。 弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的子集，则当且仅当对X中某桶B，有 H ⊆ B ∘ {\displaystyle H\subseteq B^{\circ }} 时，H是 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} -有界的。 下列结果对定义极拓扑非常重要。 若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对， A ⊆ X , {\displaystyle A\subseteq X,} 则 A的极 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} 是 ( Y , σ ( Y , X , b ) ) {\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))} 的闭子集。 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -闭合；(e) A的凸平衡壳的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -闭合。 双极定理：A的双极 A ∘ ∘ {\displaystyle A^{\circ \circ }} 等于A的凸平衡壳的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -闭合。 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。 当且仅当 A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} 吸收于Y时，A是 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -有界的。 若Y还分离X的点，则当且仅当A是 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -全有界时，A是 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -有界的。 若 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对， τ {\displaystyle \tau } 是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某 σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} -有界子集的极时， B ⊆ X {\displaystyle B\subseteq X} 是 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} 中的桶。 令 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对，并令 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是线性映射。 ∀ z ∈ Z , {\displaystyle \forall z\in Z,} 令 c ( F ( ⋅ ) , z ) : X → K {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} } 是由 x ↦ c ( F ( x ) , z ) {\displaystyle x\mapsto c(F(x),z)} 定义的映射。 若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）： X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶 X # {\displaystyle X^{\#}} 的映射 y ↦ b ( ⋅ , y ) {\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)} 是单射），且 c ( F ( ⋅ ) , Z ) ⊆ b ( ⋅ , Y ) , {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),} 其中 c ( F ( ⋅ ) , Z ) := { c ( F ( ⋅ ) , z ) : z ∈ Z } ,   b ( ⋅ , Y ) := { b ( ⋅ , y ) : y ∈ Y } . {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\},\ b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.} 这样， ∀ z ∈ Z {\displaystyle \forall z\in Z} 存在（由条件2）唯一的（由条件1） y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} ，使 c ( F ( ⋅ ) , z ) = b ( ⋅ , y ) {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)} ，其中Y的这个元素将表为 t F ( z ) {\displaystyle {}^{t}F(z)} 。这定义了线性映射 t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 称作F的转置或关于 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} 的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是 t F {\displaystyle {}^{t}F} 良定的必要条件。 ∀ z ∈ Z {\displaystyle \forall z\in Z} ， t F ( z ) {\displaystyle {}^{t}F(z)} 的定义条件是 c ( F ( ⋅ ) , z ) = b ( ⋅ , t F ( z ) ) , {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),} 即， ∀ x ∈ X ,   c ( F ( x ) , z ) = b ( x , t F ( z ) ) . {\displaystyle \forall x\in X,\ c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right).} 根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为 Z → Y , {\displaystyle Z\to Y,} X → Z , {\displaystyle X\to Z,} W → Y , {\displaystyle W\to Y,} Y → W , {\displaystyle Y\to W,} 等的线性映射的转置（见脚注）。 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对， F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是线性映射，其转置 t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 是良定义的。 当且仅当F的范围在 ( W , σ ( W , Z , c ) ) {\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right)} 中稠密时， t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 是单射（即 ker ⁡ t F = { 0 } {\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}} ）。 若除了 t F {\displaystyle {}^{t}F} 良定义外， t F {\displaystyle {}^{t}F} 的转置也良定义，则 t t F = F {\displaystyle {}^{tt}F=F} 。 设 ( U , V , a ) {\displaystyle (U,V,a)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对， E : U → X {\displaystyle E:U\to X} 是线性映射，其转置 t E : Y → V {\displaystyle {}^{t}E:Y\to V} 是良定义的，则 F ∘ E : U → W {\displaystyle F\circ E:U\to W} 的转置 t ( F ∘ E ) : Z → V {\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V} 也是良定义的，且 t ( F ∘ E ) = t E ∘ t F . {\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.} 若 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是向量空间同构，则 t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 是双射， F − 1 : W → X {\displaystyle F^{-1}:W\to X} 的转置 t ( F − 1 ) : Y → Z {\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z} 是良定义的，且 t ( F − 1 ) = ( t F ) − 1 {\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}} 令 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} ， S ∘ {\displaystyle S^{\circ }} 表示A的绝对极，则 [ F ( S ) ] ∘ = ( t F ) − 1 ( S ∘ ) {\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)} ； 若 ∀ T ⊆ W ,   F ( S ) ⊆ T {\displaystyle \forall T\subseteq W,\ F(S)\subseteq T} ，则 t F ( T ∘ ) ⊆ S ∘ {\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }} ； 若 T ⊆ W {\displaystyle T\subseteq W} 使得 t F ( T ∘ ) ⊆ S ∘ {\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }} ，则 F ( S ) ⊆ T ∘ ∘ {\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }} ； 若 T ⊆ W {\displaystyle T\subseteq W} ， S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} 是弱闭圆盘，则当且仅当 F ( S ) ⊆ T {\displaystyle F(S)\subseteq T} 时， t F ( T ∘ ) ⊆ S ∘ {\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }} ； ker ⁡ t F = [ F ( X ) ] ⊥ . {\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.} 将绝对极换成实极，这些结果不变。 若X、Y是规范对偶下的赋范空间、 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} 是连续线性映射，则 ‖ F ‖ = ‖ t F ‖ {\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|} 。 线性映射 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} ，若 F : ( X , σ ( X , Y , b ) ) → ( W , ( W , Z , c ) ) {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))} 连续，则称其（关于 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} ）弱连续。 下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。 命题 — 设X分离Y的点， F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是线性映射。 则下列条件等价： F是弱连续的（即 F : ( X , σ ( X , Y , b ) ) → ( W , ( W , Z , c ) ) {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))} 连续）； c ( F ( ⋅ ) , Z ) ⊆ b ( ⋅ , Y ) {\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)} ； F的转置是良定义的。 若F是弱连续的，则 t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 是弱连续的，即 t F : ( Z , σ ( Z , W , c ) ) → ( Y , ( Y , X , b ) ) {\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))} 连续； 当且仅当Z分离W的点，转置 t F {\displaystyle {}^{t}F} 良定义，这时 t t F = F {\displaystyle {}^{tt}F=F} 。 设X是向量空间， X # {\displaystyle X^{\#}} 是其代数对偶。则X的所有 σ ( X , X # ) {\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)} -有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是 σ ( X , X # ) {\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)} -闭的。 若 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} 是完备拓扑向量空间，例如X是 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -完备或（若无歧义）弱完备的情形。 存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。 若X是向量空间，则在规范对偶下， ( X # , σ ( X # , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)} 是完备的。 相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间 Z ′ {\displaystyle Z^{\prime }} ，则当且仅当 Z = ( Z ′ ) # {\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}} 时， ( Z , σ ( Z , Z ′ ) ) {\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)} 是完备的；即，当且仅当将 z ∈ Z {\displaystyle z\in Z} 发送到z处求值映射（即 z ′ ↦ z ′ ( z ) {\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)} ）的映射 Z → ( Z ′ ) # {\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}} 是双射。 特别地，就规范对偶而言，若Y是 X # {\displaystyle X^{\#}} 的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当 Y = X # {\displaystyle Y=X^{\#}} ， ( Y , σ ( Y , X ) ) {\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))} 是完备的。 换句话说， X # {\displaystyle X^{\#}} 不存在紧合向量子空间 Y ≠ X # {\displaystyle Y\neq X^{\#}} 使得 ( X , σ ( X , Y ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y))} 是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。 因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 被赋以弱*-拓扑，当且仅当 X ′ = X # {\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}} （即X上所有线性泛函都连续）时， X σ ′ {\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }} 是完备的。 若X分离Y的点、Z表示单射 y ↦ b ( ⋅ , y ) {\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)} 的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 与规范配对 ⟨ X , Z ⟩ {\displaystyle \langle X,Z\rangle } （其中 ⟨ x , x ′ ⟩ := x ′ ( x ) {\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)} 是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。 特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。 约定：通常，只要 y ↦ b ( ⋅ , y ) {\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)} 是单射（尤其当 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 。 完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。 在对偶是规范对偶 ⟨ X , X # ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle } 和 ⟨ W , W # ⟩ {\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle } 的特例下，线性映射 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 的转置总是良定义的。 此转置称作F的代数伴随，记作 F # {\displaystyle F^{\#}} ； 即 F # = t F : W # → X # . {\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.} 这样， ∀ w ′ ∈ W # ,   F # ( w ′ ) = w ′ ∘ F {\displaystyle \forall w^{\prime }\in W^{\#},\ F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F} 其中 F # ( w ′ ) {\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)} 的定义条件是 ⟨ x , F # ( w ′ ) ⟩ = ⟨ F ( x ) , w ′ ⟩ ∀ > x ∈ X , {\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad \forall >x\in X,} 或等价地 F # ( w ′ ) ( x ) = w ′ ( F ( x ) ) ∀ x ∈ X . {\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad \forall x\in X.} 若对整数n， X = Y = K n {\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}} ， E = { e 1 , … , e n } {\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}} 是X的基，其对偶基 E ′ = { e 1 ′ , … , e n ′ } ,   F : K n → K n {\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},\ F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}} 是线性算子，F关于 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 的矩阵表示是 M := ( f i , j ) {\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right)} ，则M的转置是 F # {\displaystyle F^{\#}} 关于 E ′ {\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }} 的矩阵表示。 设 ⟨ X , Y ⟩ {\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle } ， ⟨ W , Z ⟩ {\displaystyle \langle W,Z\rangle } 是对偶系统的规范配对（所以 Y ⊆ X # ,   Z ⊆ W # {\displaystyle Y\subseteq X^{\#},\ Z\subseteq W^{\#}} ），并令 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是线性映射。则当且仅当 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 满足下列等价条件之一，F是弱连续的： F : ( X , σ ( X , Y ) ) → ( W , σ ( W , Z ) ) {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))} 连续； F # ( Z ) ⊆ Y {\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y} F的转置 t F : Z → Y {\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y} 相对于 ⟨ X , Y ⟩ {\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle } 和 ⟨ W , Z ⟩ {\displaystyle \langle W,Z\rangle } 是良定义的。 若F是弱连续的，则 t F :: ( Z , σ ( Z , W ) ) → ( Y , σ ( Y , X ) ) {\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))} 是连续的，于是 t t F = F {\displaystyle {}^{tt}F=F} 拓扑空间之间的映射 g : A → B {\displaystyle g:A\to B} ，若 g : A → Im ⁡ g {\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g} 是开映射（ Im ⁡ g {\displaystyle \operatorname {Im} g} 是g的范围），则称之是相对开的。 设 ⟨ X , Y ⟩ ,   ⟨ W , Z ⟩ {\displaystyle \langle X,Y\rangle ,\ \langle W,Z\rangle } 是对偶系统， F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是弱连续线性映射。则下列条件等价： F : ( X , σ ( X , Y ) ) → ( W , σ ( W , Z ) ) {\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))} 是相对开的； t F {\displaystyle {}^{t}F} 的范围在Y中 σ ( Y , X ) {\displaystyle \sigma (Y,X)} -闭； Im ⁡ t F = ( ker ⁡ F ) ⊥ {\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }} 此外 当且仅当 t F {\displaystyle {}^{t}F} 是满射（或双射）， F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是单射（或双射）； 当且仅当 t F :: ( Z , σ ( Z , W ) ) → ( Y , σ ( Y , X ) ) {\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))} 是相对开单射， F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是满射。 当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。 设 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} 是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则 若F连续，则其是弱连续的，且 t F {\displaystyle {}^{t}F} 是麦基连续的，也是强连续的； 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。 若F是弱连续的，则当且仅当 t F : ′ → X ′ {\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }} 将 Y ′ {\displaystyle Y^{\prime }} 的等度连续子集映射到 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的等度连续子集时，F才是连续的。 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时 ‖ F ‖ = ‖ t F ‖ {\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|} ），F连续。 若F连续，则当且仅当 F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} 是弱相对开的（即 F : ( X , σ ( X , X ′ ) ) → ( Y , σ ( Y , Y ′ ) ) {\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)} 是相对开的）、且 Im ⁡ t F = t F ( Y ′ ) {\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)} 的等度连续子集都是 Y ′ {\displaystyle Y^{\prime }} 的某等度连续子集的像时，F是相对开的。 若F是连续单射，则当且仅当 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} 的等度连续子集都是 Y ′ {\displaystyle Y^{\prime }} 的某等度连续子集的像， F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} 是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。 令X是局部凸空间，有连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} ，并令 K ⊆ X ′ {\displaystyle K\subseteq X^{\prime }} 。 若K是等度连续或 σ ( X ′ , X ) {\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)} -紧的，且 D ⊆ X ′ {\displaystyle D\subseteq X^{\prime }} 使得 span ⁡ D {\displaystyle \operatorname {span} D} 在X中稠密，则K从 ( X ′ , σ ( X ′ , D ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)} 继承的子空间拓扑等同于K从 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 继承的子空间拓扑。 若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 诱导的子空间拓扑后是可度量化的。 若X是可分、可度量化的，则 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 是可分的。 若X是赋范空间，则当且仅当给定由 ( X ′ , σ ( X ′ , X ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)} 诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。 若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。 从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 将是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对， G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 将是X的 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -有界子集的非空集合。 给定X子集的集合 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} ，Y上由 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} （与b）定义的极拓扑（或Y上的 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中 { r G ∘ : G ∈ G , r > 0 } {\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}} 形成了原点邻域的子基。 Y被赋予这 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} -拓扑时，就表示为 Y G {\displaystyle Y_{\mathcal {G}}} 。极拓扑都需要是局部凸的。 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 是关于子集包含的有向集合时（即若 ∀ G , K ∈ G {\displaystyle \forall G,K\in {\mathcal {G}}} ， ∃ K ∈ G {\displaystyle \exists K\in {\mathcal {G}}} 使得 G ∪ H ⊆ K {\displaystyle G\cup H\subseteq K} ），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。 下面列出了一些较重要的极拓扑。 符号：若 Δ ( X , Y , b ) {\displaystyle \Delta (X,Y,b)} 表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作 Y Δ ( Y , X , b ) ,   Y Δ ( Y , X ) {\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},\ Y_{\Delta (Y,X)}} 或 Y Δ {\displaystyle Y_{\Delta }} （如对 σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} 我们有 Δ = σ {\displaystyle \Delta =\sigma } ，这样 Y σ ( Y , X , b ) ,   Y σ ( Y , X ) {\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},\ Y_{\sigma (Y,X)}} 和 Y σ {\displaystyle Y_{\sigma }} 都表示赋予了 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 的Y）。 连续性 若 F : ( X , τ ( X , Y , b ) ) → ( W , τ ( W , Z , c ) ) {\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))} 连续，则线性映射 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是（关于 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} ）麦基连续的。 若 F : ( X , β ( X , Y , b ) ) → ( W , β ( W , Z , c ) ) {\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))} 是连续的，则线性映射 F : X → W {\displaystyle F:X\to W} 是（关于 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 和 ( W , Z , c ) {\displaystyle (W,Z,c)} ）强连续的。 X的子集，若在 ( X , σ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))} （或 ( X , τ ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\tau (X,Y,b))} 、 ( X , β ( X , Y , b ) ) {\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))} ）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。 弱 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是 K {\displaystyle \mathbb {K} } 上的配对， T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是X上的向量拓扑，则 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是配对的拓扑，且若其局部凸、 ( X , T ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)} 的连续对偶空间 = b ( ⋅ , Y ) {\displaystyle =b(\,\cdot \,,Y)} ，则称之与配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 相容或一致。 若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为 ( X , T ) ′ = Y . {\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.} 有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。 弱拓扑 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} 同配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。 若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶 ( N ′ , N ) {\displaystyle \left(N^{\prime },N\right)} 不相容。 下面是对偶理论中最重要的定理之一。 麦基–阿伦定理 I — 令 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，使X分离Y的点，并令 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是X上的局部凸拓扑（不必豪斯多夫）。 则，当且仅当 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是由某覆盖了Y的 σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} -紧圆盘集合 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 确定的极拓扑时，称 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 与配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 相容。 由此可见，麦基拓扑 τ ( X , Y , b ) {\displaystyle \tau (X,Y,b)} 是由Y中所有 σ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)} -紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 相容的最强局部凸拓扑。 给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。 上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。 麦基–阿伦定理 II — 令 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，使得X分离Y的点，并且 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 是X上的局部凸拓扑。则，当且仅当 σ ( X , Y , b ) ⊆ T ⊆ τ ( X , Y , b ) {\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b)} ， T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 与配对相容。 若X是（ R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为 { x ∈ X : f ( x ) ≤ r } {\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}} 的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函） 定理 — 若X是（ R {\displaystyle \mathbb {R} } 或 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的）局部凸空间、C是X的非空闭凸子集，则 C {\displaystyle C} 等于包含它的所有闭半空间的交。 上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 拓扑中封闭，，此子集也在 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 拓扑中封闭。 这说明，X任意凸子集的 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} -闭等同于其 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} -闭，对X中任意 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} -闭圆盘A， A = A ∘ ∘ {\displaystyle A=A^{\circ \circ }} 。 特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是 ( X , L ) {\displaystyle (X,{\mathcal {L}})} 中的桶时，B也是 ( X , L ) {\displaystyle (X,{\mathcal {L}})} 中的桶。 下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。 定理 — 令 ( X , Y , b ) {\displaystyle (X,Y,b)} 是配对，使得X分离Y的点，并令 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 为配对的某拓扑。 则当且仅当X的子集等于Y的某 σ ( Y , X , b ) {\displaystyle \sigma (Y,X,b)} -有界子集的极时，此子集是X中的桶。 若X是拓扑向量空间，则 X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得 r B {\displaystyle rB} 包含此集）。 若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。 所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。 麦基定理 — 设 ( X , L ) {\displaystyle (X,{\mathcal {L}})} 是豪斯多夫局部凸空间，有连续对偶空间 X ′ {\displaystyle X^{\prime }} ，并考虑规范对偶 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 。 若 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是X上任意与对偶 ⟨ X , X ′ ⟩ {\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle } 相容的拓扑，则 ( X , L ) {\displaystyle (X,{\mathcal {L}})} 的有界子集与 ( X , L ) {\displaystyle (X,{\mathcal {L}})} 的有界子集相同。 令X表示标量 r ∙ = ( r i ) i = 1 ∞ {\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} 的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有 r i = 0 {\displaystyle r_{i}=0} 。 令 Y = X {\displaystyle Y=X} ，定义双线性映射 b : X × X → K {\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} } 为 b ( r ∙ , s ∙ ) := ∑ i = 1 ∞ r i s i . {\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.} 则 σ ( X , X , b ) = τ ( X , X , b ) {\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)} 。 此外，当且仅当存在正实数序列 m ∙ = ( m i ) i = 1 ∞ {\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }} ，使得 | t i | ≤ m i ,   ∀ t ∙ = ( t i ) i = 1 ∞ ∈ T {\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i},\ \forall t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T} 、及所有指标i（或还有 m ∙ ∈ X {\displaystyle m_{\bullet }\in X} ）时，子集 T ⊆ X {\displaystyle T\subseteq X} 是 σ ( X , X , b ) {\displaystyle \sigma (X,X,b)} -有界（或 β ( X , X , b ) {\displaystyle \beta (X,X,b)} -有界）的。 由此可见，X的子集中有弱有界（即 σ ( X , X , b ) {\displaystyle \sigma (X,X,b)} -有界）的，但没有强有界（即无 β ( X , X , b ) {\displaystyle \beta (X,X,b)} -有界）的。 Beta对偶空间 双正交系统 对偶空间 对偶拓扑 对偶 (数学) 内积 L半内积 配对 (数学) 极集 极拓扑 约化对偶对 强对偶空间 线性映射空间泛函 弱拓扑 子集 S ∈ X {\displaystyle S\in X} ，若 ∀ y ∈ Y {\displaystyle \forall y\in Y} ， b ( s , y ) = 0 ∀ s ∈ S {\displaystyle b(s,y)=0\quad \forall s\in S} 推出 y = 0 {\displaystyle y=0} ，则称S为全子集。 b在第一坐标中线性显然。设c是标量，则 b ( x , c ⊥ y ) = b ( x , c ¯ y ) = ⟨ x , c ¯ y ⟩ = c ⟨ x , y ⟩ = c b ( x , y ) {\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y)} ，说明b在第二坐标中也线性。 Y上的弱拓扑是Y上使所有映射 b ( x , ⋅ ) : Y → K {\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} } 连续的最弱的拓扑向量空间拓扑（x在R上取值）。 ( Y , σ ( Y , R , b ) ) ,   ( Y , σ ( Y , R ) ) , {\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),\ (Y,\sigma (Y,R)),} 或 ( Y , σ ) {\displaystyle (Y,\sigma )} 的对偶定义也可用来表示赋有弱拓扑 σ ( Y , R , b ) {\displaystyle \sigma (Y,R,b)} 的Y。若R在语境中不明确，则应假定是X的全部，这时称之为Y上（由X诱导）的弱拓扑。 若 G : Z → Y {\displaystyle G:Z\to Y} 是线性映射，则当且仅当Z分离W的点、 b ( X , G ( ⋅ ) ) ⊆ c ( W , ⋅ ) {\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,)} 时，G的转置 t G : X → W {\displaystyle {}^{t}G:X\to W} 是良定的。这时， ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} ， t G ( x ) {\displaystyle {}^{t}G(x)} 的定义条件是： c ( x , G ( ⋅ ) ) = c ( t G ( x ) , ⋅ ) . {\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).} 若 H : X → Z {\displaystyle H:X\to Z} 是线性映射，则当且仅当X分离Y的点、 c ( W , H ( ⋅ ) ) ⊆ b ( ⋅ , Y ) {\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y)} 时，H的转置 t H : W → Y , {\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,} 是良定的。这时， ∀ w ∈ W {\displaystyle \forall w\in W} ， t H ( w ) {\displaystyle {}^{t}H(w)} 的定义条件是： c ( w , H ( ⋅ ) ) = b ( ⋅ , t H ( w ) ) . {\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).} 若 H : W → Y {\displaystyle H:W\to Y} 是线性映射，则当且仅当W分离Z的点、 b ( X , H ( ⋅ ) ) ⊆ c ( ⋅ , Z ) {\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z)} 时，H的转置 t H : X → Q , {\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,} 是良定的。这时 ∀ x ∈ X {\displaystyle \forall x\in X} ， t H ( x ) {\displaystyle {}^{t}H(x)} 的定义条件是： c ( x , H ( ⋅ ) ) = b ( ⋅ , t H ( x ) ) . {\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).} 若 H : Y → W {\displaystyle H:Y\to W} 是线性映射，则当且仅当Y分离X的点、 c ( H ( ⋅ ) , Z ) ⊆ b ( X , ⋅ ) {\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,)} 时，H的转置 t H : Z → X , {\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,} 是良定的。这时， ∀ z ∈ Z {\displaystyle \forall z\in Z} ， t H ( z ) {\displaystyle {}^{t}H(z)} 的定义条件是： c ( H ( ⋅ ) , z ) = b ( t H ( z ) , ⋅ ) {\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)} 当然，Y上拓扑也有“与配对相容”的类似定义，但本文只讨论X上的拓扑。 集合S与其子集的集合 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ，若S的点都包含于 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 中的某集合，称 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 覆盖了S。 Narici & Beckenstein 2011，第225-273頁. Schaefer & Wolff 1999，第122–128頁. Trèves 2006，第195頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help) Schaefer & Wolff 1999，第123–128頁. Narici & Beckenstein 2011，第260-264頁. Narici & Beckenstein 2011，第251-253頁. Schaefer & Wolff 1999，第128–130頁. Trèves 2006，第368–377頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help) Narici & Beckenstein 2011，第200頁. Trèves 2006，第371–372頁. sfn error: no target: CITEREFTrèves2006 (help) Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics Second. Boca Raton, FL: CRC Press. 2011. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.  Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6. Rudin, Walter. Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics Second. New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.  Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. Topological Vector Spaces. GTM Second. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. 1999. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.  Schmitt, Lothar M. An Equivariant Version of the Hahn–Banach Theorem. Houston J. Of Math. 1992, 18: 429–447 [2024-04-03]. （原始内容存档于2022-01-24）.  Trèves, François. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. [1967]. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.  Duality Theory