特殊酉群

在数学中， n {\displaystyle n} 阶特殊酉群（英語：special unitary group），记作 SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} ，是行列式为 1 的 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的群（一般酉矩阵的行列式是绝对值为1的复数）。群运算是矩阵乘法。特殊酉群是由 n × n {\displaystyle n\times n} 酉矩阵组成的酉群 U ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {U} (n)} 的一个子群，酉群又是一般线性群 GL ⁡ ( n , C {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} } ) 的一个子群。 群 SU ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SU} (n)} 在粒子物理中标准模型中有广泛的应用，特别是 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 在电弱相互作用与 SU ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (3)} 在量子色动力学中。 最简单的情形 SU ⁡ ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (1)} ，是平凡群，只有一个元素。群 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 同构于範數为 1 {\displaystyle 1} 的四元数，从而微分同胚于三维球面。因为单位四元数可表示三维空间中的旋转（差一个符号），我们有一个满同态从 SU ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \operatorname {SU} (2)} 到旋转群 SO ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \operatorname {SO} (3)} ，其核为 { + I , − I } {\displaystyle \{+I,-I\}} 。 特殊酉群 SU(n) 是一个 n2-1 维实矩阵李群。在拓扑上是紧及单连通的。在代数上，它是一个单李群（意为它的李代数是单的，见下）。SU(n) 的中心同构于循环群 Zn。当 n ≥ 3，它的外自同构群是 Z2，而 SU(2) 的外自同构群是平凡群。 SU(n) 代数由 n2 个算子生成，满足交换关系（对 i, j, k, l = 1, 2, ..., n）： [ O ^ i j , O ^ k l ] = δ j k O ^ i l − δ i l O ^ k j {\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}} 另外，算子 N ^ = ∑ i = 1 n O ^ i i {\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}} 满足 [ N ^ , O ^ i j ] = 0 {\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0} 这意味着 SU(n) 独立的生成元个数是 n2-1。 一般地，SU(n) 的无穷小生成元（infinitesimal generator） T，由一个无迹埃尔米特矩阵表示。即 tr ⁡ ( T a ) = 0 , {\displaystyle \operatorname {tr} (T_{a})=0,\,} 以及 T a = T a † . {\displaystyle T_{a}=T_{a}^{\dagger }.\,} 在定义或基本表示中，由 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵表示的生成元是： T a T b = 1 2 n δ a b I n + 1 2 ∑ c = 1 n 2 − 1 ( i f a b c + d a b c ) T c {\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,} 这里系数 f {\displaystyle f} 是结构常数，它对所有指标都是反对称的，而系数 d {\displaystyle d} 对所有指标都是对称的。 从而 [ T a , T b ] + = 1 n δ a b + ∑ c = 1 n 2 − 1 d a b c T c {\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,} [ T a , T b ] − = i ∑ c = 1 n 2 − 1 f a b c T c {\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,} 我们也有 ∑ c , e = 1 n 2 − 1 d a c e d b c e = n 2 − 4 n δ a b {\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,} 作为一个正规化约定。 在伴随表示中，生成元表示由 ( n 2 − 1 ) × ( n 2 − 1 ) {\displaystyle (n^{2}-1)\times (n^{2}-1)} 矩阵表示，其元素由结构常数定义： ( T a ) j k = − i f a j k {\displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk}\,} SU 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} 一个一般矩阵元素形如 U = ( α − β ¯ β α ¯ ) {\displaystyle U={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}} 这里 α , β ∈ C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } 使得 | α | 2 + | β | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1} 。我们考虑如下映射 φ : C 2 → M ⁡ ( 2 , C ) {\displaystyle \varphi :\mathbb {C} ^{2}\to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} ，（这里 M ⁡ ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 表示 2×2 复矩阵集合），定义为 φ ( α , β ) = ( α − β ¯ β α ¯ ) . {\displaystyle \varphi (\alpha ,\beta )={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}.} 考虑到 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 微分同胚于 R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} 和 M ⁡ ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 同胚于 R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} ，我们可看到 φ {\displaystyle \varphi } 是一个实线性单射，从而是一个嵌入。现在考虑 φ {\displaystyle \varphi } 限制在三维球面上，记作 S 3 {\displaystyle S^{3}} ，我们可发现这是三维球面到 M ⁡ ( 2 , C ) {\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} 的一个紧子流形的一个嵌入。但显然有 φ ( S 3 ) = SU 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \varphi (S^{3})=\operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} ，作为一个流形微分同胚于 SU 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} ，使 SU 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \operatorname {SU} _{2}(\mathbb {C} )} 成为一个紧连通李群。 现在考虑李代数 s u 2 ( C ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}(\mathbb {C} )} ，一个一般元素形如 U ′ = ( i x − β ¯ β − i x ) {\displaystyle U'={\begin{pmatrix}ix&-{\overline {\beta }}\\\beta &-ix\end{pmatrix}}} 这里 x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } 以及 β ∈ C {\displaystyle \beta \in \mathbb {C} } 。易验证这样形式的矩阵的迹是零并为反埃尔米特的。从而李代数由如下矩阵生成 u 1 = ( 0 i i 0 ) u 2 = ( 0 − 1 1 0 ) u 3 = ( i 0 0 − i ) {\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}} 易见它具有上面提到的一般元素的形式。它们满足关系 u 3 u 2 = − u 2 u 3 = u 1 {\displaystyle u_{3}u_{2}=-u_{2}u_{3}=u_{1}} 和 u 2 u 1 = − u 1 u 2 = u 3 {\displaystyle u_{2}u_{1}=-u_{1}u_{2}=u_{3}} 。从而交换子括号由 [ u 1 , u 3 ] = 2 u 2 , [ u 2 , u 1 ] = 2 u 3 , [ u 3 , u 2 ] = 2 u 1 . {\displaystyle [u_{1},u_{3}]=2u_{2},\qquad [u_{2},u_{1}]=2u_{3},\qquad [u_{3},u_{2}]=2u_{1}.} 确定。上述生成元与泡利矩阵有关， u 1 = i σ 1 {\displaystyle u_{1}=i\sigma _{1}} , u 2 = − i σ 2 {\displaystyle u_{2}=-i\sigma _{2}} 及 u 3 = i σ 3 {\displaystyle u_{3}=i\sigma _{3}} 。 SU(3) 的生成元 T，在定义表示中为 T a = λ a 2 . {\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{\sqrt {2}}}.\,} 这里 λ {\displaystyle \lambda \,} 为盖尔曼矩阵，是 SU(2) 泡利矩阵在 SU(3) 之类比： 注意它们都是无迹埃尔米特矩阵。 它们服从关系 [ T a , T b ] = i ∑ c = 1 8 f a b c T c {\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,} 这里 f 是结构常数，如上所定义，它们的值为 f 123 = 1 {\displaystyle f^{123}=1\,} f 147 = − f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = − f 367 = 1 2 {\displaystyle f^{147}=-f^{156}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=-f^{367}={\frac {1}{2}}\,} f 458 = f 678 = 3 2 {\displaystyle f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,} d 的取值： d 118 = d 228 = d 338 = − d 888 = 1 3 {\displaystyle d^{118}=d^{228}=d^{338}=-d^{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,} d 448 = d 558 = d 668 = d 778 = − 1 2 3 {\displaystyle d^{448}=d^{558}=d^{668}=d^{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,} d 146 = d 157 = − d 247 = d 256 = d 344 = d 355 = − d 366 = − d 377 = 1 2 {\displaystyle d^{146}=d^{157}=-d^{247}=d^{256}=d^{344}=d^{355}=-d^{366}=-d^{377}={\frac {1}{2}}\,} S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 对应的李代数记作 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} 。它的标准数学表示由无迹反埃尔米特 n × n {\displaystyle n\times n} 复矩阵组成，以通常交换子为李括号。粒子物理学家通常增加一个因子 i {\displaystyle i} ，从而所有矩阵成为埃尔米特的。这只不过是同一个实李代数一个不同的更方便的表示。注意 s u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)} 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上一个李代数。 例如，下列量子力学中使用的矩阵组成 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的一组基： i σ x = [ 0 i i 0 ] {\displaystyle i\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}} i σ y = [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle i\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}} i σ z = [ i 0 0 − i ] {\displaystyle i\sigma _{z}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}} （这里 i {\displaystyle i} 是虚数单位。） 这个表示经常用于量子力学（参见泡利矩阵以及盖尔曼矩阵）表示基本粒子比如电子的自旋。它们也作为我们三维空间量子相对论描述中的单位向量。 注意任意两个不同生成元的乘积是另一个生成元，以及生成元反交换。与单位矩阵（乘以 i {\displaystyle i} ）一起 i I 2 = [ i 0 0 i ] {\displaystyle iI_{2}={\begin{bmatrix}i&0\\0&i\end{bmatrix}}} 它们也是 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 的生成元。 当然这里它取决于我们最终处理的问题，比如在非相对论量子力学中为 2-旋量；或在相对论狄拉克理论中，我们需要到 4-旋量的一个扩张；或在数学中甚至是克利福德代数。 注：在矩阵乘法下（在此情形是反交换的），生成克利福德代数 C l 3 {\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}} ，而在交换子括号下生成李代数 s u ( 2 ) {\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)} 。 回到一般的 S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} ： 如果我们选择（任意）一个特定的基，则纯虚数无迹对角 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵子空间组成一个 n − 1 {\displaystyle n-1} 维嘉当子代数。 将这个李代数复化，从而现在允许任何无迹 n × n {\displaystyle n\times n} 矩阵。权本征向量是嘉当子代数自己，只有一个非零元素的矩阵不是对角的。尽管嘉当子代数 h {\displaystyle \mathrm {h} } 只是 n − 1 {\displaystyle n-1} 维，但为了化简计算，经常引入一个辅助元素，与所有元素交换的单位矩阵（它不能视为这个李代数的一个元素）。故我们有一个基，其中第 i {\displaystyle i} 个基向量是在第 i {\displaystyle i} 个对角元素为 1 {\displaystyle 1} 而在其它处为零的矩阵。则权由 n {\displaystyle n} 个坐标给出，而且在所有 n {\displaystyle n} 个坐标求和为零（因为单位矩阵只是辅助的）。 故 S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} 的秩是 n − 1 {\displaystyle n-1} ，它的邓肯图由 A n − 1 {\displaystyle A_{n-1}} 给出，有 n − 1 {\displaystyle n-1} 个顶点的链。 它的根系由 n ( n − 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 个根组成，生成一个 n − 1 {\displaystyle n-1} 欧几里得空间。这里，我们使用 n {\displaystyle n} 冗余坐标而不是 n − 1 {\displaystyle n-1} 坐标来强调根系的对称（ n {\displaystyle n} 坐标之和为零）。换句话说，我们是将这个 n − 1 {\displaystyle n-1} 维向量空间嵌入 n {\displaystyle n} -维中。则根由所有 n ( n − 1 ) {\displaystyle n(n-1)} 置换 ( 1 , − 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)} 。两段以前的构造解释了为什么。单根的一个选取为 ( 1 , − 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle (1,-1,0,\dots ,0)} , ( 0 , 1 , − 1 , … , 0 ) {\displaystyle (0,1,-1,\dots ,0)} , …, ( 0 , 0 , 0 , … , 1 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,0,\dots ,1,-1)} . 它的嘉当矩阵是 ( 2 − 1 0 … 0 − 1 2 − 1 … 0 0 − 1 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}} . 它的外尔群或考克斯特群是对称群 S n {\displaystyle S_{n}} ， ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -单形的对称群。 对一个域 F，F 上广义特殊酉群 SU(p,q;F)，F 上一个秩为 n=p+q 的向量空间上使得一个符号为 (p,q) 的非退化埃尔米特形式不变的所有行列式为 1 线性变换组成的群。这个么正群经常称为 F 上符号为 (p,q) 的特殊酉群。域 F 可以换为一个交换环，在这种情形向量空间换为自由模。 特别地，固定 GL(n,R) 中一个符号为 (p,q) 的埃尔米特矩阵，则所有 M ∈ S U ( p , q , R ) {\displaystyle M\in SU(p,q,R)} 满足 M ∗ A M = A {\displaystyle M^{*}AM=A\,} det M = 1. {\displaystyle \det M=1.\,} 经常可以见到记号 S U p , q {\displaystyle SU_{p,q}} 略去环或域，在这种形式环或域是指 C，这给出一个典型李群。当 F=C 时，A 的标准选取是 A = [ 0 0 i 0 I n − 2 0 − i 0 0 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.} 对某些维数 A 可能有更好的选择，当限制为 C 的一个子环时有更好表现。 这类群的一个重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z[i])，（射影地）作用在二度复双曲空间上，同样地 SL(2,Z) （射影地）作用在二维实双曲空间上。2003年，Gábor Francsics 与彼得·拉克斯算出了这个群在 H C 2 {\displaystyle HC^{2}} 上作用的基本域，参见 [1]。 另一个例子是 SU(1,1;C)，同构于 SL(2,R)。 在物理学中，特殊酉群用于表示波色对称。在对称性破缺理论中寻找特殊酉群的子群很重要。在大一统理论中 SU(n) 重要的子群是，对 p>1，n-p>1： S U ( n ) ⊃ S U ( p ) × S U ( n − p ) × U ( 1 ) . {\displaystyle SU(n)\supset SU(p)\times SU(n-p)\times U(1).} 为了完整性，还有正交与辛子群： S U ( n ) ⊃ O ( n ) {\displaystyle SU(n)\supset O(n)} S U ( 2 n ) ⊃ U S p ( 2 n ) . {\displaystyle SU(2n)\supset USp(2n).} 因为 SU(n) 的秩是 n-1，U(1) 是 1，一个有用的检验是看子群的秩是小于还是等于原来群的秩。SU(n) 是多个其它李群的子群： S O ( 2 n ) ⊃ S U ( n ) {\displaystyle SO(2n)\supset SU(n)} U S p ( 2 n ) ⊃ S U ( n ) {\displaystyle USp(2n)\supset SU(n)} S p i n ( 4 ) = S U ( 2 ) × S U ( 2 ) {\displaystyle Spin(4)=SU(2)\times SU(2)} （参见自旋群） E 6 ⊃ S U ( 6 ) {\displaystyle E_{6}\supset SU(6)} E 7 ⊃ S U ( 8 ) {\displaystyle E_{7}\supset SU(8)} G 2 ⊃ S U ( 3 ) {\displaystyle G_{2}\supset SU(3)} （关于 E6, E7 与 G2 参见单李群）。 有同构 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。 最后值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆叠群，这个关系在非相对论量子力学 2-旋量的旋转中起着重要的作用。 数学主题 SU(2)的表示论 射影特殊酉群 PSU(n) 埃尔米特矩阵 辛矩阵 酉群 酉算子 矩阵分解 R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001. Halzen, Francis; Martin, Alan. Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. John Wiley & Sons. 1984. ISBN 0-471-88741-2.  Maximal Subgroups of Compact Lie Groups （页面存档备份，存于互联网档案馆） Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003 （页面存档备份，存于互联网档案馆）