柯西-利普希茨定理

在数学中，柯西-利普希茨定理（Cauchy-Lipschitz Theorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-Lindelöf Theorem），保证了一階常微分方程的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西于1820年发表，但直到1868年，才由鲁道夫·利普希茨给出确定的形式。另一个很常见的叫法是皮卡-林德勒夫定理，得名于数学家埃米尔·皮卡和恩斯特·林德勒夫。 设E为一个完备的有限维賦範向量空間（即一个巴拿赫空间），f为一个取值在E上的函数： 其中U为E中的一个开集，I是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的一个区间。考虑以下的一阶非线性微分方程： 如果f关于t连续，并在U中满足利普希茨条件，也就是说， 那么对于任一给定的初始条件： x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} ，其中 t 0 ∈ I {\displaystyle t_{0}\in I} 、 x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} ，微分方程（1）存在一个解 ( J , x ( t ) ) {\displaystyle (J,x(t))} ，其中 J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} 是一个包含 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的区间， x ( t ) {\displaystyle x(t)} 是一个从 J {\displaystyle J} 射到 U {\displaystyle U} 的函数，满足初始条件和微分方程（1）。 局部唯一性：在包含点 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的足够小的 J {\displaystyle J} 区间上，微分方程（1）的解是唯一的（或者说，方程所有的解在足够小的区间上都是重叠的）。 这个定理有点像物理学中的决定论思想：当我们知道了一个系统的特性（微分方程）和在某一时刻系统的情况（ x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} ）时，下一刻的情况是唯一确定的。 一个简洁的证明思路为构造一个总是满足初始条件的函数递归序列 y n + 1 = Φ ( y n ) {\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})} ，使得 Φ ′ ( y n ) = f ( y n , t ) {\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)} ，这样，如果这个序列有一个收敛点 y {\displaystyle y} ，那么 y {\displaystyle y} 为函数 Φ {\displaystyle \Phi } 的不动点，这时就有 y ′ = Φ ′ ( y ) = f ( y , t ) {\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)} ，于是我们构造出了一个解 y {\displaystyle y} 。为此，我们从常数函数 y 0 ( t ) = x 0   {\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ } 开始。令 Φ ( y i ) ( t ) = x 0 + ∫ t 0 t f ( y i ( s ) , s ) d s . {\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.} 这样构造出来的函数列 ( y i ) i ≥ 0 {\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}} 中的每个函数都满足初始条件。并且由于 f {\displaystyle f} 在 U {\displaystyle U} 中满足利普希茨条件，当区间足够小的时候， Φ {\displaystyle \Phi } 成为一个收缩映射。根据完备空间的不动点存在定理，存在关于 Φ {\displaystyle \Phi } 的稳定不动点，于是可知微分方程（1）的解存在。 由于收缩映射的局部稳定不动点只有一个，因此在足够小的区间内解是唯一的。 局部的柯西-利普希茨定理并没有说明在较大区域上解的情况。事实上，对于微分方程（1）的任意解   ( J , x ( t ) ) {\displaystyle \ (J,x(t))} 、 ( J ′ , x ′ ( t ) ) {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))} ，定义一个序关系：   ( J , x ( t ) ) {\displaystyle \ (J,x(t))} 小于 ( J ′ , x ′ ( t ) ) {\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))} 当且仅当 J ⊂ J ′ {\displaystyle J\subset J^{\prime }} ，并且 x ′ ( t ) {\displaystyle x^{\prime }(t)} 在   J {\displaystyle \ J} 上的值与   x ( t ) {\displaystyle \ x(t)} 一样。在这个定义之下，柯西-利普希茨定理断言，微分方程的最大解是唯一存在的。 解的唯一性：假设有两个不同的最大解，那么由局部柯西-利普希茨定理可以证明其重叠部分的值相同，将两者不同的部分分别延伸在重叠部分上，则会得到一个更“大”的解（只需验证它满足微分方程），矛盾。因此解唯一。 解的存在性：证明需要用到佐恩引理，构造所有解的并集。 对于一元的高阶常微分方程 F ( t , y ( t ) , y ′ ( t ) ⋯ y ( n − 1 ) ( t ) ) = y ( n ) ( t ) ( 2 ) {\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)} ， 只需构造向量 Y ( t ) = ( y ( t ) , y ′ ( t ) ,   … ,   y ( n − 1 ) ( t ) ) {\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))} 和相应的映射   Φ {\displaystyle \ \Phi } ，就可以使得（2）变为 Y ′ ( t ) = Φ ( Y ( t ) , t ) {\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)} 。这时的初始条件为 Y ( t 0 ) = Y 0 {\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}} ，即 y ( t 0 ) = y 0 y ′ ( t 0 ) = y 1 ⋮ y ( n − 1 ) ( t 0 ) = y n − 1 {\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}} 对于偏微分方程，有柯西-利普希茨定理的扩展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理，保证了偏微分方程的解的存在性和唯一性。 常微分方程 柯西-克瓦列夫斯基定理 动力系统 初值問題 利普希茨条件 弗罗贝尼乌斯定理 皮亚诺存在性定理 常微分方程（组）基本理论[永久失效連結] M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. 网上版本可在 http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table （页面存档备份，存于互联网档案馆） 找到（文中林德勒夫讨论扩展了皮卡的一个早期证明） 局部柯西-利普希茨定理的另一个证明，英文 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 湖北师范学院数学与统计学院，比较严格的讨论，中文[永久失效連結]