珠算

珠算，指的是用算盘進行計算，一般特指用中式算盤进行計算。珠算领域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠算法則。其源於中國籌算，在東漢徐岳所著《數術記遺》記載上古十四種算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。 2013年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。 珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之： 算盤術語 框 樑 上珠 下珠 運珠相關 算術術語 加算：即加法計算。 被加數： a 加數： b 和： a + b = c {\displaystyle a+b=c} 的 c 減算：即減法計算 被減數： a 減數： b 差： a − b = c {\displaystyle a-b=c} 的 c 乘算：即乘法計算 實、被乘數： a 法、乘數： b 積： a × b = c {\displaystyle a\times b=c} 的 c 除算：即除法計算 實、被除數： a 法、除數： b 商： a ÷ b = c {\displaystyle a\div b=c} 的 c 餘： a ÷ b = c . . d {\displaystyle a\div b=c..d} 的 d 有兩種方式： 雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。 單手運珠，以台灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。 二五珠算盤 一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是： 拇指拨下珠向上靠梁。 食指拨下珠向下离梁。 中指拨上珠靠梁和离梁。 一四珠算盤 （或一五珠算盤）：兩个手指的基本分工是： 食指拨上珠向下靠梁。 食指拨上珠向上离梁。 拇指拨下珠向上靠梁。 食指拨下珠向下离梁。 一五珠算盤 兩个手指的基本分工是： 食指拨上珠向下靠梁。 食指拨上珠向上离梁。應該是拇指 拇指拨下珠向上靠梁。 食指拨下珠向下离梁。 布数是指表現數字的算珠擺放方式。 方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。 （例）1937+284 口訣 可輔助學習，熟練後亦可不用。 以 +3 為例: 「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。 「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。 「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。 其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。 方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。 （例）2756-957 口诀 可輔助學習，熟練後亦可不用。 以 -3 為例: 「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。 「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。 「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。 負數 遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。 基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97 32 ∗ 97 {\displaystyle 32*97} = 32 ∗ ( 90 + 7 ) {\displaystyle =32*(90+7)} = 32 ∗ 90 + 32 ∗ 7 {\displaystyle =32*90+32*7} 更進一步分解， = ( 30 + 2 ) ∗ 90 + ( 30 + 2 ) ∗ 7 {\displaystyle =(30+2)*90+(30+2)*7} = 30 ∗ 90 + 2 ∗ 90 + 30 ∗ 7 + 2 ∗ 7 {\displaystyle =30*90+2*90+30*7+2*7} 計算時，不用考慮位值，則只需計算一位×一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位×一位的結果先計算出來，此即為乘法口诀——九九歌。 而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類： 看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。 看頭乘法，又稱見乘法，乘法速算法。 破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。 破頭乘法，又稱頭乘法 破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。 此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。 其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多只有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5的某種組合」如：被乘數×8 相當於 被乘數x(10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。 看頭乘法 破頭乘法 新頭乘法 （例）32×97 湊倍乘法 方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。 計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。 以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。 （例） 22 ÷ 7 {\displaystyle 22\div 7} 第一位 第二位 第三位 得到 22 ÷ 7 = 3.14..0.02 {\displaystyle 22\div 7=3.14..0.02} 。 而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分區放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。 以密率為例，說明完整的商除法。 以 355 ÷ 113 {\displaystyle 355\div 113} 為例 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。 第七位。 得 355 ÷ 113 = 3.141592..0.000104 {\displaystyle 355\div 113=3.141592..0.000104} 修正商 計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。 其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。 除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。 目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》卷上《歸除歌訣》：「 一歸如一進、見一進成十； 二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十； 三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十； 四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十； 五歸添一倍、逢五進成十； 六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十； 七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十； 八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十； 九歸隨身下、逢九進成十 」 整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。 以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 1 × 10 {\displaystyle 1\times 10} 。 而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指 20 ÷ 3 = 6..2 {\displaystyle 20\div 3=6..2} 。逢三進成十是指 30 ÷ 3 = 10..0 {\displaystyle 30\div 3=10..0} 。 有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例， 20 ÷ 7 = 2..6 {\displaystyle 20\div 7=2..6} 。 五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如： 30 ÷ 5 = 6 {\displaystyle 30\div 5=6} ） 其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。 其他版本 也有幾種不同的版本，如簡化版：「 一歸如一進，見一進成十； 二一添作五，逢二進成十； 三一三十一，三二六十二，逢三進成十； 四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十； 五歸添一倍，逢五進成十； 六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十； 七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十； 八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十； 九歸隨身下，逢九進成十。 」 或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「 一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。 二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。 三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。 四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。 五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。 六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。 七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。 八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。 九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。 」 以約率為例。 （例） 22 ÷ 7 {\displaystyle 22\div 7} 得 22 ÷ 7 = 3.14..0.02 {\displaystyle 22\div 7=3.14..0.02} 跟單歸法類似，也是借助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。 以 12345 ÷ 321 {\displaystyle 12345\div 321} 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作3歸21除，意味著用 3歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。 減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣： 一歸：無除起一下還一 二歸：無除起一下還二 三歸：無除起一下還三 四歸：無除起一下還四 五歸：無除起一下還五 六歸：無除起一下還六 七歸：無除起一下還七 八歸：無除起一下還八 九歸：無除起一下還九 這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。 另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣： 一歸：見一無除撞九一 二歸：見二無除撞九二 三歸：見三無除撞九三 四歸：見四無除撞九四 五歸：見五無除撞九五 六歸：見六無除撞九六 七歸：見七無除撞九七 八歸：見八無除撞九八 九歸：見九無除撞九九 這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。 以密率為例，因為除數為 113 {\displaystyle 113} ，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下： 九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。 退商口訣：無除起一下還一。 撞歸口訣：見一無除撞九一。 （例） 355 ÷ 113 {\displaystyle 355\div 113} 第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位 得 355 ÷ 113 = 3.141592..0.000104 {\displaystyle 355\div 113=3.141592..0.000104} 。 或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。 開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅 還原驗算法 一、交換律 加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:加數+被加數=和數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:被減數-差數=減數 乘法算式：被乘數*乘數=積 驗算公式：乘數*被乘數=積 二、逆運算 加法算式:被加數+加數=和數 驗算公式:和數-加數=被加數 或 和數-被加數=加數 減法算式:被減數-減數=差數 驗算公式:差數+減數=被減數 乘法算式：被乘數*乘數=積 驗算公式：積/被乘數=乘數 除法算式：被除數/除數=商(及餘數) 驗算公式：(除數*商)+餘數=被除數 三、尾錯復尾 只再計算最後幾位數一次 九餘數法 只能驗加法,減法,乘法和乘冪 範例一、 123+456=599 123=1+2+3=6(mod 9) 456=4+5+6=6(mod 9) 599=5+9+9=5(mod 9) 因6+6=3(mod 9)不等於5(mod 9), 所以計算錯誤,正確答案是579 範例二、 123*456=68934 123=1+2+3=6(mod 9) 456=4+5+6=6(mod 9) 68934=6+8+9+3+4=3(mod 9) 因6*6=0(mod 9)不等於3(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是56088 範例三、 22*68*53=369780 22=4(mod 9) 68=5(mod 9) 53=8(mod 9) 369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9) 因4*5*8=7(mod 9)不等於6(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是79288 範例四、 23^4=367981 23^4=(-4)^4=4(mod 9) 367981=34=7(mod 9) 因4(mod 9)不等於7(mod 9), 所以計算錯誤, 正確答案是279841 九餘數法不能查到答案是換位錯誤(error of transposition)的問題, 例如計算岀567, 但正確答案是576便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。 九除法 十一除法 二除法 珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。 中国珠算入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”座谈会在京举办. [2020-03-24]. （原始内容存档于2020-12-22）.  廖正輝. 單手運珠與雙手撥珠的差異. 珠算全球資訊網. [2021-10-21]. （原始内容存档于2021-10-21）.  （算盘）珠算10：乘法2——凑倍乘法. 哗哩哗哩. [2021-10-21]. （原始内容存档于2021-10-21）.  维基共享资源上的相关多媒体资源：珠算 珠算全球資訊網 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 中華民國兒童珠算協會／中華珠算心算教育協會 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 世界珠心算网 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 中国主题 数学主题 算盘 籌算 心算 《算法統宗》