笛卡儿积

在数学中，两个集合 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 的笛卡儿积（英語：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为 X × Y {\displaystyle \,X\times Y} ，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是 X {\displaystyle \,X\,} 的成员，第二个对象是 Y {\displaystyle \,Y\,} 的成员。 X × Y = { ( x , y ) ∣ x ∈ X ∧ y ∈ Y } {\displaystyle X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}} 。 舉個實例，如果集合 X {\displaystyle \,X\,} 是13个元素的点数集合 { A , K , Q , J , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 } {\displaystyle \left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}} ，而集合 Y {\displaystyle \,Y\,} 是4个元素的花色集合 { {\displaystyle \{} ♠, ♥, ♦, ♣ } {\displaystyle \}} ，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合 { ( A , {\displaystyle \{(A,} ♠ ) , ( K , {\displaystyle ),(K,} ♠ ) , . . . , ( 2 , {\displaystyle ),...,(2,} ♠ ) , . . . , ( A , {\displaystyle ),...,(A,} ♣ ) , . . . , ( 3 , {\displaystyle ),...,(3,} ♣ ) , ( 2 , {\displaystyle ),(2,} ♣ ) } {\displaystyle )\}} 。 笛卡儿积得名于笛卡儿，因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。 易见笛卡儿积满足下列性质： 对于任意集合 A {\displaystyle A} ，根据定义有 A × ∅ = ∅ × A = ∅ {\displaystyle A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing } 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即 A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)} ( B ∪ C ) × A = ( B × A ) ∪ ( C × A ) {\displaystyle (B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)} A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) {\displaystyle A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)} ( B ∩ C ) × A = ( B × A ) ∩ ( C × A ) {\displaystyle (B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)} ( A × B ) ∩ ( C × D ) = ( A ∩ C ) × ( B ∩ D ) {\displaystyle (A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)} 若一個集合 A {\displaystyle A} 包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積 A × A {\displaystyle A\times A} 有和 A {\displaystyle A} 一樣多的元素。 集合 X {\displaystyle X} 的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积 X × X {\displaystyle X\times X} 。一个例子是二维平面 R × R {\displaystyle R\times R} ，（这里 R {\displaystyle R} 是实数集） - 它包含所有的点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ，这里的 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 是实数（参见笛卡儿坐标系）。 为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。 可以推广到在 n {\displaystyle n} 个集合 X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} 上的n-元笛卡儿积: ∏ i = 1 n X i := X 1 × … × X n := { ( x 1 , … , x n )   |   x 1 ∈ X 1 ∧ … ∧ x n ∈ X n } {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}:=X_{1}\times \ldots \times X_{n}:=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}} 。 实际上，它可以被等同为 ( X 1 × . . . × X n − 1 ) × X n {\displaystyle \left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}} 。它是n-元组的集合。 一个例子是欧几里得三维空间 R × R × R {\displaystyle R\times R\times R} ，这里的 R {\displaystyle R} 同樣是指实数集。 有限個集合可以看成某個一對一的有限集合序列 x = { x ( i ) } i = 1 n {\displaystyle x={\{x(i)\}}_{i=1}^{n}} （因為序列是種以自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 為定義域的函數），而 x {\displaystyle x} 的值域恰好是預備要依序進行笛卡儿积的所有集合，換句話說： I x = { x ( 1 ) , x ( 2 ) , … , x ( n ) } {\displaystyle I_{x}=\{x(1),\,x(2),\,\dots ,\,x(n)\}} { 1 , 2 , … , n } ≅ x I x {\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}\,{\overset {x}{\cong }}\,I_{x}} 這樣的話，若有函数 f : I → ⋃ I g {\displaystyle f:I\to \bigcup I_{g}} 滿足： ( ∀ i ∈ I ) [ f ( i ) ∈ x ( i ) ] {\displaystyle (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]} 那就等價於 ( f ( 1 ) , f ( 2 ) , … , f ( n ) ) ∈ ∏ i = 1 n x ( i ) {\displaystyle (f(1),\,f(2),\,\dots ,\,f(n))\in \prod _{i=1}^{n}x(i)} 換句話說，函数 f {\displaystyle f} 可以看做 ∏ i = 1 n x ( i ) {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x(i)} 裡的一個n-元组，而這就是以下無窮乘積定義的直觀動機： 定義 — 若 I {\displaystyle I} 是集合族 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 的指标集，換句話說有指標函数 x {\displaystyle x} 讓二者等势： I ≅ x X {\displaystyle I\,{\overset {x}{\cong }}\,{\mathcal {X}}} 那以下的函数族 ∏ x X := { f | ( f : I → ⋃ X ) ∧ ( ∀ i ∈ I ) [ f ( i ) ∈ x ( i ) ] } {\displaystyle \prod _{x}{\mathcal {X}}:=\left\{f\,{\bigg |}\,\left(f:I\to \bigcup {\mathcal {X}}\right)\wedge (\forall i\in I)[f(i)\in x(i)]\right\}} 被稱為集合族 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 關於指标函數 x {\displaystyle x} 的无穷乘积。 更進一步的，若此時取一 j ∈ I {\displaystyle j\in I} ，則以下定義的函數 π j {\displaystyle \pi _{j}} π j : ∏ x X → x ( j ) {\displaystyle \pi _{j}:\prod _{x}{\mathcal {X}}\to x(j)} ， ( ∀ f ∈ ∏ x X ) [ π j ( f ) = f ( j ) ] {\displaystyle \left(\forall f\in \prod _{x}{\mathcal {X}}\right)[\pi _{j}(f)=f(j)]} 被稱為第 j {\displaystyle j} 投影映射。 在无限情况，一個令人熟悉的特例是，當索引集合是自然数集 N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} 的时候：这正是其中第i项对应于集合 X i {\displaystyle X_{i}} 的所有无限序列的集合。再次， R {\displaystyle \mathbb {R} } 提供了这样的一个例子： ∏ n = 1 ∞ R = R ω = R × R × … {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\omega }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots } 是实数的无限序列的搜集，可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况（上述例子也满足它）是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候，类似于“笛卡儿指数”。這樣，在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身，而其他条件被平凡的满足了，所以这正是从I到X的所有函数的集合。 在別的情況，无限笛卡儿积就不那麼直觀了；尽管在高等数学中的應用有其价值。 “非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。 如果 f {\displaystyle f} 是从 A {\displaystyle A} 到 B {\displaystyle B} 的函数，而 g {\displaystyle g} 是从 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 的函数，则它们的笛卡儿积 f × g {\displaystyle f\times g} 是从 A × X {\displaystyle A\times X} 到 B × Y {\displaystyle B\times Y} 的函数，带有 ( f × g ) ( a , x ) = ( f ( a ) , g ( x ) ) {\displaystyle (f\times g)(a,x)=(f(a),g(x))} 跟之前類似，函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。 有序对 幂集公理 二元关系 笛卡儿 乘积拓扑 乘积 (范畴论) 拉回 (范畴论) Cartesian Product at ProvenMath （页面存档备份，存于互联网档案馆） Hazewinkel, Michiel (编), Direct product, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4