費馬原理

費馬原理（英語：Fermat's principle）最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出：光传播的路径是光程取极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数的拐点。 最初提出时，又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。 費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」：光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念，可以理解为一阶导数为零，它可以是极大值、极小值甚至是拐点。 費馬原理是几何光学的基本定理。用微分或变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律： 光线在真空中的直线传播。 光的反射定律 - 光线在界面上的反射， 入射角必须等于出射角。 光的折射定律（斯涅尔定律）。 最短光时线可以有多条，例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B，可以有无数条路径，所有这些路径的光線傳播时間都相等。 費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。 平面鏡：任意兩點的反射路徑光程是最小值。 半橢圓形鏡子：其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值。 半圓形鏡子：其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。 如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。 光从P点出发射向x点，反射到Q点。 P 点到 x点的距离 d 1 = x 2 + a 2 {\displaystyle d1={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}} Q 点 到 x 点的距离 d 2 = b 2 + ( l − x ) 2 {\displaystyle d2={\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}} 從點P到點Q的光程 D 為 D = x 2 + a 2 + b 2 + ( l − x ) 2 {\displaystyle D={\sqrt {x^{2}+a^{2}}}+{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}} 。 根據費馬原理，光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。 取光程 D {\displaystyle D} 對 x {\displaystyle x} 的導數，令其為零： D ′ = x x 2 + a 2 {\displaystyle D'={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}} + − l + x b 2 + ( l − x ) 2 = 0 {\displaystyle +{\frac {-l+x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=0} 。 但其中 x x 2 + a 2 = sin ⁡ θ 1 {\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}} − l − x b 2 + ( l − x ) 2 = − sin ⁡ θ 2 {\displaystyle -{\frac {l-x}{\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}}=-\sin \theta _{2}} 。 即 sin ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 2 = 0 {\displaystyle \sin \theta _{1}-\sin \theta _{2}=0} θ 1 = θ 2 {\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}} 这就是反射定律 球面的半径=R 光线从直径一端Q射向球面，反射到直径另一端P 光程 D = y 2 + ( R + x ) 2 + y 2 + ( − x + R ) 2 {\displaystyle D={\sqrt {y^{2}+(R+x)^{2}}}+{\sqrt {y^{2}+(-x+R)^{2}}}} 因 y 2 = R 2 − x 2 {\displaystyle y^{2}=R^{2}-x^{2}} ; 所以 D = 2 R 2 + 2 x R + − 2 x R + 2 R 2 {\displaystyle D={\sqrt {2R^{2}+2xR}}+{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}} 根据费马原理， D'=0 D ′ = R 2 R 2 + 2 x R − R − 2 x R + 2 R 2 = 0 {\displaystyle D'={\frac {R}{\sqrt {2R^{2}+2xR}}}-{\frac {R}{\sqrt {-2xR+2R^{2}}}}=0} 解之， 得 x = 0 {\displaystyle x=0} ，代入D得到： 光程 D = 2 2 R {\displaystyle D=2{\sqrt {2}}R} ，乃是一个最大值=2.8R；（最小值光程是从直径一端到Q另一端P，光程=2R） 如右圖所示，設定介質１、介質２的折射率分別為 n 1 {\displaystyle n_{1}} 、 n 2 {\displaystyle n_{2}} ，光線從介質１在點Ｏ傳播進入介質２，則司乃耳定律以方程式表達為 n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}} ； 其中， θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 為入射角， θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} 為折射角。 從費馬原理，可以推導出司乃耳定律。光線在介質１與介質２的速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} 和 v 2 {\displaystyle v_{2}} 分別為 v 1 = c / n 1 {\displaystyle v_{1}=c/n_{1}} 、 v 2 = c / n 2 {\displaystyle v_{2}=c/n_{2}} ； 其中， c {\displaystyle c} 是真空光速。 由於介質會減緩光線的速度，折射率 n 1 {\displaystyle n_{1}} 和 n 2 {\displaystyle n_{2}} 都大於 1 {\displaystyle 1} 。 從點Q到點P的傳播時間 T {\displaystyle T} 為 T = x 2 + a 2 v 1 + b 2 + ( l − x ) 2 v 2 {\displaystyle T={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(l-x)^{2}}}{v_{2}}}} 。 根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間 T {\displaystyle T} 對 x {\displaystyle x} 的導數，設定其為零： d T d x = x v 1 x 2 + a 2 + − ( l − x ) v 2 ( l − x ) 2 + b 2 = 0 {\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(l-x)}{v_{2}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}}=0} 。 其中 x x 2 + a 2 = sin ⁡ θ 1 {\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}} ( l − x ) ( l − x ) 2 + b 2 = sin ⁡ θ 2 {\displaystyle {\frac {(l-x)}{\sqrt {(l-x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}} 因此得到傳播速度與折射角的關係式： d T d x = sin ⁡ θ 1 v 1 − sin ⁡ θ 2 v 2 = 0 {\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0} 。 將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到司乃耳定律： n 1 sin ⁡ θ 1 = n 2 sin ⁡ θ 2 {\displaystyle n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}} 。 伯努利家族的约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。他将小球运动类比作光线的运动，从而得出最速降线为摆线。 费马 哈密顿原理 最小作用量原理 路径积分表述 惠更斯－菲涅耳原理 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link) Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2  引文格式1维护：冗余文本 (link) http://www.guokr.com/article/22018/ （页面存档备份，存于互联网档案馆） 复活节闲扯：一场激动人心的数学公开挑战赛，果壳网。