八元数

八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或 O {\displaystyle \mathbb {O} } 。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。 也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑（英语：Quantum logic）中也有应用。 八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯（英语：John T. Graves）給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。 八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數P與Q的組合，即 P+Q l 或 p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k + ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) l {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,} ，其中，量l為其中一個八元数單位並滿足： i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,} 在這種定義下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成 x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k + x 4 l + x 5 i l + x 6 j l + x 7 k l {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl} 其中系数xa是实数。 這些八元数單位亦滿足： i 2 = j 2 = k 2 = l 2 = ( i l ) 2 = ( j l ) 2 = ( k l ) 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,} 八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。 一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為ea的線性組合，其中 a=0, 1,..., 7 ： { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } , {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},} 當中的 e 0 {\displaystyle e_{0}} 為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 x 都可以寫成以下形式： x = x 0 e 0 + x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 + x 5 e 5 + x 6 e 6 + x 7 e 7 , {\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,} 其中xi為單位元素ei的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（ p 0 + p 1 i + p 2 j + p 3 k + ( q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k ) l {\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,} ）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述： 除了主對角線上以及 e 0 {\displaystyle e_{0}} 作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。 該表可總結如下： e i e j = { e j , if  i = 0 e i , if  j = 0 − δ i j e 0 + ε i j k e k , otherwise {\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}} 其中δij為克罗内克δ函数（當且僅當i = j時為1）、 εijk為完全反對稱張量（英语：completely antisymmetric tensor），且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。 然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是 e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}=1} 八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素 { e 0 , e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 , e 7 } , {\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},} 的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。 這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e1e2 = e4的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表en和 i j k l {\displaystyle ijkl} 格式的矩陣。 此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為 1 , i , j , k , L , m , n , o {\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o} 。 一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 和 ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} 的乘积定义为： ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d ∗ b , d a + b c ∗ ) {\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})} 其中 z ∗ {\displaystyle z^{*}} 表示四元数 z {\displaystyle z} 的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。 一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。这些直线是有向的。七个点对应于Im( O {\displaystyle \mathbb {O} } )的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。 设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出： ab = c，ba = −c 以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则 1是乘法单位元， 对于图中的每一个点，都有 e 2 = − 1 {\displaystyle e^{2}=-1} 完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个子代数，与四元数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 同构。 八元数 x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k + x 4 l + x 5 i l + x 6 j l + x 7 k l {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl} 的共轭为： x ∗ = x 0 − x 1 i − x 2 j − x 3 k − x 4 l − x 5 i l − x 6 j l − x 7 k l . {\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.} 當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e1, e2 ... e7}，則八元数的共轭可以簡化表示為： x ∗ = x ¯ = x 0 e 0 − x i e i ,   i = 1 , 2 ⋯ 7 {\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7} 共轭是 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个对合，满足 ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}} （注意次序的变化）。 x的实数部分定义为 R e ( x ) = x + x ∗ 2 = x 0 {\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}} ，虚数部分定义为 I m ( x ) = x − x ∗ 2 {\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}} 。所有纯虚的八元数生成了 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的一个七维子空间，记为Im( O {\displaystyle \mathbb {O} } )。 八元数x的範数可用與自身共軛的積 ‖ x ‖ 2 = x ∗ x {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x} 來定義： ‖ x ‖ = x ∗ x {\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}} 在这里，平方根是定义良好的，因为 x ∗ x = x x ∗ {\displaystyle x^{*}x=xx^{*}} 总是非负实数： ‖ x ‖ 2 = x ∗ x = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 + x 5 2 + x 6 2 + x 7 2 {\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}} 这个範数与 R 8 {\displaystyle \mathbb {R} ^{8}} 上的标准欧几里得範数是一致的。 O {\displaystyle \mathbb {O} } 上範数的存在，意味着 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为： x − 1 = x ∗ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}} 它满足 x x − 1 = x − 1 x = 1 {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1} 。 八元数的乘法既不是交换的： i j = − j i ≠ j i {\displaystyle ij=-ji\neq ji\,} 也不是结合的： ( i j ) l = − i ( j l ) ≠ i ( j l ) {\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,} 然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数（英语：Subalgebra）是结合的。实际上，我们可以证明，由 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的任何两个元素所生成的子代数都与 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 或 H {\displaystyle \mathbb {H} } 同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。 八元数确实保留了 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 和 H {\displaystyle \mathbb {H} } 共同拥有的一个重要的性质： O {\displaystyle \mathbb {O} } 上的範数满足 ‖ x y ‖ = ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|} 这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。 这样，实数域上唯一的赋範可除代数是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 、 C {\displaystyle \mathbb {C} } 、 H {\displaystyle \mathbb {H} } 和 O {\displaystyle \mathbb {O} } 。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数（英语：Division algebra）。 由于八元数不是结合的，因此 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。 八元数的自同构A，是 O {\displaystyle \mathbb {O} } 的可逆线性变换，满足： A ( x y ) = A ( x ) A ( y ) . {\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,} O {\displaystyle \mathbb {O} } 的所有自同构的集合组成了一个群，称为G2（英语：G2 (mathematics)）。群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。 双曲复数 四元数 十六元数 Spin(8)（英语：Spin(8)） PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。 在範数可良好定義的前提下， x + x ∗ 2 ∈ R {\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} } ，且 x ∗ x > 0 {\displaystyle x^{*}x>0} ，因此可以得到 x ∗ x = x x ∗ {\displaystyle x^{*}x=xx^{*}} 总是非负实数的結論。 Sabadini, I. and Shapiro, M. and Sommen, F. 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