極點分離

極點分離（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上电容器，希望將最低頻率的极点（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢。 這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器CC，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗Ri以及電容Ci，其時間常數是Ci ( RA || Ri )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻RL和電容CL，其時間常數是CL ( Ro || RL )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器CC影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。 第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效应條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓   v a {\displaystyle \ v_{a}} 的函數 v i v a = R i R i + R A 1 1 + j ω ( C M + C i ) ( R A ‖ R i )   , {\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,} 其滾降（英语：roll-off）從頻率f1開始 f 1 = 1 2 π ( C M + C i ) ( R A ‖ R i ) = 1 2 π τ 1   , {\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}} 其中的 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應CC = 0 F時，是 1 2 π C i ( R A ‖ R i ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}} 。 若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓   v o {\displaystyle \ v_{o}} 是由理想放大器的增益決定的   v o = A v v i   . {\displaystyle \ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .} 利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓 v ℓ {\displaystyle v_{\ell }} 相對於運算放大器輸入電壓   v i {\displaystyle \ v_{i}} 的函數： v ℓ v i = A v R L R L + R o {\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!} ⋅ 1 + j ω C C R o / A v 1 + j ω ( C L + C C ) ( R o ‖ R L )   . {\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .} 這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是 v ℓ v a = v ℓ v i v i v a {\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}} = A v R i R i + R A ⋅ R L R L + R o {\displaystyle =A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!} ⋅ 1 1 + j ω ( C M + C i ) ( R A ‖ R i ) {\displaystyle \cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!} ⋅ 1 + j ω C C R o / A v 1 + j ω ( C L + C C ) ( R o ‖ R L )   . {\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .} 增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益Av很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出R-C乘積CL ( Ro || RL )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為 C M = C C ( 1 − v ℓ v i ) = C C ( 1 − A v R L R L + R o 1 + j ω C C R o / A v 1 + j ω ( C L + C C ) ( R o ‖ R L ) )   . {\displaystyle {\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}} （針對一個正的密勒電容，Av為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下： v ℓ v a = A v R i R i + R A R L R L + R o 1 + j ω C C R o / A v D ω   , {\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,} 其中Dω是ω的二次式： D ω {\displaystyle D_{\omega }\,\!} = [ 1 + j ω ( C L + C C ) ( R o ‖ R L ) ] {\displaystyle =[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!} ⋅   [ 1 + j ω C i ( R A ‖ R i ) ] {\displaystyle \cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!}   + j ω C C ( R A ‖ R i ) {\displaystyle \ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!} ⋅ ( 1 − A v R L R L + R O ) {\displaystyle \cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!}   + ( j ω ) 2 C C C L ( R A ‖ R i ) ( R O ‖ R L )   . {\displaystyle \ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .} 上述的二次式可以改寫如下：   D ω = ( 1 + j ω τ 1 ) ( 1 + j ω τ 2 ) {\displaystyle \ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})} = 1 + j ω ( τ 1 + τ 2 ) ) + ( j ω ) 2 τ 1 τ 2   ,   {\displaystyle =1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\ } 其中 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} and τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} 是Dω公式中結合了電阻和電容的值。。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} >> τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} （若要有良好的階躍響應，會需要 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} >> τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} ，可以看以下的如何選擇CC章節） 在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此Dω的低頻特性為：   D ω = 1 + j ω [ ( C M + C i ) ( R A ‖ R i ) + ( C L + C C ) ( R o ‖ R L ) ] = 1 + j ω ( τ 1 + τ 2 ) ≈ 1 + j ω τ 1   ,   {\displaystyle {\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}} 其中的CM會用密勒效应重新定義為 C M = C C ( 1 − A v R L R L + R o )   , {\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,} 就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} >> τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} ，可以確定 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 。因為CM很大，時間常數 τ 1 {\displaystyle {\tau }_{1}} 遠大於其原始值Ci ( RA || Ri ). 在高頻時平方項影響較小，假設上述有關 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由Dω的二次項求得，為 τ 2 = τ 1 τ 2 τ 1 ≈ τ 1 τ 2 τ 1 + τ 2   . {\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .} 將平方項係數的公式代到 τ 1 τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\tau _{2}} ，再加上 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 的估計值，可以得到第二個極點的估計位置： τ 2 = ( C C C L + C L C i + C i C C ) ( R A ‖ R i ) ( R O ‖ R L ) ( C M + C i ) ( R A ‖ R i ) + ( C L + C C ) ( R o ‖ R L ) ≈ C C C L + C L C i + C i C C C M ( R O ‖ R L )   , {\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}} 因為CM很大， τ 2 {\displaystyle \tau _{2}} 會比原來的值CL ( Ro || RL )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為CC而提高.。 簡單來說，導入CC降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。 在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低 。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法。 在設計中選擇f2的方式如圖3所示。在最低極點f1處，波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log10 Av增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上），( log10 f2  − log10 f1 ) = log10 ( f2 / f1 ），就是這段的斜率 斜率 = 20 l o g 10 ( A v ) l o g 10 ( f 2 / f 1 )   , {\displaystyle =20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,} 若f2 = Av f1，上述的值會是是20 dB/decade。若f2沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。 圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的Av倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的Av，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得： τ 1 τ 2 ≈ A v R i R i + R A ⋅ R L R L + R o   , {\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,} 利用上述時間常數的近似，可以得到 τ 1 τ 2 ≈ ( τ 1 + τ 2 ) 2 τ 1 τ 2 ≈ A v R i R i + R A ⋅ R L R L + R o   , {\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,} 或 [ ( C M + C i ) ( R A ‖ R i ) + ( C L + C C ) ( R o ‖ R L ) ] 2 ( C C C L + C L C i + C i C C ) ( R A ‖ R i ) ( R O ‖ R L ) {\displaystyle {\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!} ⋅ = A v R i R i + R A ⋅ R L R L + R o   , {\displaystyle {\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,} 這是一個可以求得CC近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器CC很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為CC的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的CC會隨著增益增加而減少。 若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，Av會設計成等式右邊Av值的兩倍或三倍。可以參考Sansen或Huijsing的參考資料 上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率（英语：slew rate）有不良的影響。而且因為需要為CC充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。 頻率補償 密勒效应 共源极 波德圖 步階響應 CMOS放大器（英语：CMOS Amplifiers） 其上昇時間會在低过冲以及低振鈴的條件下，儘可能的調快 C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors). Trade-offs in analog circuit design: the designer's companion. New York/Berlin/Dordrecht: Springer. 2007: 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2.  Marc T. Thompson. Intuitive analog circuit design: a problem-solving approach using design case studies. Amsterdam: Elsevier Newnes. 2006: 200. ISBN 0-7506-7786-4.  Willy M. C. Sansen. Analog design essentials. New York; Berlin: Springer. 2006: §097, p. 266 et seq [2021-07-08]. ISBN 0-387-25746-2. （原始内容存档于2009-05-30）.  雖然這個例子看起來很特別，相關的數學分析常用在電路設計中 時間常數的和是jω線性項的係數，時間常數的積是(jω)2平方項的係數 τ 1 {\displaystyle \tau _{1}} 的公式和一開始f1所得的( CM+Ci ) ( RA || Ri有些不同，但假設負載電容沒有大到會控制低頻響應，其差異不大 順帶提一下，高頻極點的頻率越高，在實際放大器中其他極點影響的可能性就越大 A.S. Sedra and K.C. Smith. Microelectronic circuits Fifth. New York: Oxford University Press. 2004: 849 and Example 8.6, p. 853 [2021-08-20]. ISBN 0-19-514251-9. （原始内容存档于2009-02-04）.  Huijsing, Johan H. Operational amplifiers: theory and design. Boston, MA: Kluwer Academic. 2001: §6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0.  Feucht, Dennis: Two-pole compensation （页面存档备份，存于互联网档案馆） Self, Douglas. Audio power amplifier design handbook. Oxford: Newnes. 2006: 191–193. ISBN 0-7506-8072-5.  也就是說，frequency以是十的幂次為單位繪圖，例如1, 10, 102等etc 二極點放大器設計中，係數2會得到最大平坦（maximally flat）或是巴特沃斯滤波器設計。不過實際的放大器不止二個極點，有必要讓係數大於2