埃尔米特多项式

在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。 埃尔米特多项式有两种常见定义。 第一种是概率论中较为常用的形式（记作： H n p r o b ( x ) {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)} ）： H n p r o b ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 / 2 d n d x n e − x 2 / 2 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!} 另一种是物理学中较为常用的形式（记作： H n p h y s ( x ) {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)} ）： H n p h y s ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!} 物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是： H n p h y s ( x ) = 2 n / 2 H n p r o b ( 2 x ) . {\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!} 概率论中常用第一种定义，因为 e − x 2 / 2 2 π {\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}} 是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。 多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。 多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。 w ( x ) = e − x 2 / 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}    （概率论） w ( x ) = e − x 2 {\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}    （物理学） 也就是说，当m ≠ n 时： ∫ − ∞ ∞ H m ( x ) H n ( x ) w ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0} 除此之外，还有： ∫ − ∞ ∞ H m p r o b ( x ) H n p r o b ( x ) e − x 2 / 2 d x = n ! 2 π δ m n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}    （概率论） ∫ − ∞ ∞ H m p h y s ( x ) H n p h y s ( x ) e − x 2 d x = n ! 2 n π δ m n {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}    （物理学） 其中 δ m n {\displaystyle \delta _{mn}} 是克罗内克函数。 从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。 在所有满足 ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 w ( x ) d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty } 的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下： ⟨ f , g ⟩ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) g ( x ) ¯ w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x} 概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解: ( e − x 2 / 2 u ′ ) ′ + λ e − x 2 / 2 u = 0 {\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0} 方程的边界条件为： u {\displaystyle u} 应在无穷远处有界。 其中 λ {\displaystyle \lambda } 是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取 λ {\displaystyle \lambda } ∈ N {\displaystyle \mathbb {N} } 。对于一个特定的本征值 λ {\displaystyle \lambda } ，对应着一个特定的本征函数解，即 H λ p r o b ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)} 。 而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解: u ″ − 2 x u ′ + 2 λ u = 0 {\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0} 其本征值同样为 λ {\displaystyle \lambda } ∈ N {\displaystyle \mathbb {N} } ，对应的本征函数解为 H λ p h y s ( x ) {\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)} 。 以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。 Arfken, Mathematical Methods for Physicists B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials. Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4. Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 . Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955  Fedoryuk, M.V., H/h046980, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 . Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955  请检查|date=中的日期值 (帮助) Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9  Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962.  引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics, Wiley, New York, 1996 埃里克·韦斯坦因. 埃尔米特多项式. MathWorld.