算数阶层

算术阶层是递归论或可计算性理论中的概念，将自然数的子集按照定义它们的公式的复杂度分类。 设 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 为自然数的语言中的公式，定义 ϕ {\displaystyle \phi } 为 Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} 公式当且仅当 ϕ {\displaystyle \phi } 中的所有量词都是有界量词（即形如 ∃ n < t {\displaystyle \exists n<t} 或 ∀ n < t {\displaystyle \forall n<t} 的量词，其中 t {\displaystyle t} 为该语言中的项）。 定义 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 为 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 公式当且仅当 ϕ ( x ) := ∃ n θ ( n , x ) {\displaystyle \phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)} ，其中 θ {\displaystyle \theta } 为 Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} ；定义 ϕ {\displaystyle \phi } 为 Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} 公式当且仅当 ϕ ( x ) := ∀ n θ ( n , x ) {\displaystyle \phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)} ，其中 θ {\displaystyle \theta } 为 Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} 。 更进一步定义 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 为 Σ n + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}} 公式当且仅当 ϕ ( x ) := ∃ n θ ( n , x ) {\displaystyle \phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)} ，其中 θ {\displaystyle \theta } 为 Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} 公式；定义 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} 为 Π n + 1 0 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{0}} 公式当且仅当 ϕ ( x ) := ∀ n θ ( n , x ) {\displaystyle \phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)} ，其中 θ {\displaystyle \theta } 为 Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 公式。 设 A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } ；若存在 Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 公式定义 A {\displaystyle A} 则称 A {\displaystyle A} 为 Σ n 0 {\displaystyle \Sigma _{n}^{0}} 集合，若存在 Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} 公式定义 A {\displaystyle A} 则称 A {\displaystyle A} 为 Π n 0 {\displaystyle \Pi _{n}^{0}} 公式。（若有公式 ϕ {\displaystyle \phi } 与集合 A {\displaystyle A} ，使 A = { x | N ⊨ ϕ ( x ) } {\displaystyle A=\{x\;\vert \;\mathbb {N} \vDash \phi (x)\}} ，则称 ϕ {\displaystyle \phi } 定义 A {\displaystyle A} 。） 若集合 A {\displaystyle A} 可以用图灵机（或任何等价的计算模型）计算得出，则称 A {\displaystyle A} 为 Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} 集合。若 A {\displaystyle A} 为递归可枚举集合则称 A {\displaystyle A} 为 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 集合，若 A {\displaystyle A} 的补集 N ∖ A {\displaystyle \mathbb {N} \backslash A} 递归可枚举则称 A {\displaystyle A} 为 Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} 集合。这一定义实际上与上面给出的定义是等价的。 更高阶层的算术类可以通过波斯特定理与可计算性联系起来：设 0 ( n ) {\displaystyle \mathbb {0} ^{(n)}} 为零不可解度的第 n {\displaystyle n} 次图灵跳跃，则任何集合 A {\displaystyle A} 是 Σ n + 1 0 {\displaystyle \Sigma _{n+1}^{0}} 集合当且仅当 A {\displaystyle A} 可以用具备 0 ( n ) {\displaystyle \mathbb {0} ^{(n)}} 的预言机递归枚举；任何集合是 Π n + 1 0 {\displaystyle \Pi _{n+1}^{0}} 集合当且仅当其补集满足以上条件。 所有递归集合都是 Δ 0 {\displaystyle \Delta _{0}} 集合、所有递归可枚举集合都是 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 集合（逆命题亦成立）。 停机集合（即所有停机的图灵机）是 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 集合，它在 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} 类中是完全的。 所有有限递归可枚举集合的编号（记作 F i n {\displaystyle \mathrm {Fin} } ）是 Σ 2 0 {\displaystyle \Sigma _{2}^{0}} -完全集合（因此所有无限递归可枚举集合的编号是 Π 2 0 {\displaystyle \Pi _{2}^{0}} -完全集合）。 所有 Σ 1 0 {\displaystyle \Sigma _{1}^{0}} -完全集合作为递归可枚举集合的编号是 Σ 3 0 {\displaystyle \Sigma _{3}^{0}} -完全集合。 H. D. Ebbinghaus, J. Flum, Wolfgang Thomas. Mathematical Logic (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. Springer. 1996. ISBN 9780387942582 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer. 2004. ISBN 9780387152998 （英语）.