陳-韋伊同態

數學上，陳－韋伊同態（英語：Chern–Weil homomorphism）是陳－韋伊理論的基本構造，將一個光滑流形M的曲率聯繫到M的德拉姆上同調群，也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身和安德烈·韋伊於1940年代建立，是發展示性類理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理。 記 K {\displaystyle \mathbb {K} } 為實數域或複數域。設G為實或複李群，有李代數 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ，又記 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} 為 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上的 K {\displaystyle \mathbb {K} } -值多項式的代數。設 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 為在 K ( g ∗ ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})} 中G的伴隨作用的不動點的子代數，故對所有 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 有 f ( t 1 , … , t k ) = f ( A d g t 1 , … , A d g t k ) {\displaystyle f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,} 。 陳－韋伊同態是從 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 到上同調代數 H ∗ ( M , K ) {\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {K} )} 的一個 K {\displaystyle \mathbb {K} } -代數同態。這個同態存在，且對M上任何主G-叢P有唯一定義。若G緊緻，則於此同態下，G-叢BG的分類空間的上同調環同構於不變多項式的代數 K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} ： H ∗ ( B G , K ) ≅ K ( g ∗ ) A d ( G ) . {\displaystyle H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.} 對於如SL(n,R)的非緊緻群，可能有上同調類無不變多項式的表示。 取P 中任何聯絡形式w，設 Ω {\displaystyle \Omega } 為相伴的曲率2-形式。若 f ∈ K ( g ∗ ) A d ( G ) {\displaystyle f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}} 是k次齊次多項式，設 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} 是P上的2k-形式，以下式給出 f ( Ω ) ( X 1 , … , X 2 k ) = 1 ( 2 k ) ! ∑ σ ∈ S 2 k ϵ σ f ( Ω ( X σ ( 1 ) , X σ ( 2 ) ) , … , Ω ( X σ ( 2 k − 1 ) , X σ ( 2 k ) ) ) {\displaystyle f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))} 其中 ϵ σ {\displaystyle \epsilon _{\sigma }} 是2k個數的對稱群 S 2 k {\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}} 中置換 σ {\displaystyle \sigma } 的符號。（見普法夫值。） 可證 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} 是閉形式，故 d f ( Ω ) = 0 , {\displaystyle df(\Omega )=0,\,} 且 f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )\,} 的德拉姆上同調類獨立於在P上的聯絡的選取，故只依賴於主叢。 因此設 ϕ ( f ) {\displaystyle \phi (f)\,} 是由上從f得出的上同調類，故有代數同態 ϕ : K ( g ∗ ) A d ( G ) → H ∗ ( M , K ) . {\displaystyle \phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,} Bott, R., On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups, Advances in Math, 1973, 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 . Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 . Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0. The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes. Chern, S.-S.; Simons, J, Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics. Second Series, 1974, 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 . Kobayashi, S.; Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley-Interscience, 1963new ed. 2004  请检查|publication-date=中的日期值 (帮助). Narasimhan, M.; Ramanan, S., Existence of universal connections, Amer. J. Math., 1961, 83: 563–572, JSTOR 2372896, doi:10.2307/2372896 . Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, A.M.S monograph, 2000, 201 .