欧拉函数

在數論中，對正整數n，歐拉函數 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目。此函數以其首名研究者歐拉命名，它又稱為φ函數（由高斯所命名）或是歐拉總計函數（totient function，由西爾維斯特所命名）。 例如 φ ( 8 ) = 4 {\displaystyle \varphi \left(8\right)=4} ，因為1、3、5和7均與8互質。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起構成了欧拉定理的證明。 1736年，欧拉證明了费马小定理： 假若 p {\displaystyle p} 為質數， a {\displaystyle a} 為任意正整數，那麼 a p − a {\displaystyle a^{p}-a} 可被 p {\displaystyle p} 整除。 然後欧拉予以一般化： 假若 a {\displaystyle a} 與 n {\displaystyle n} 互質，那麼 a φ ( n ) − 1 {\displaystyle a^{\varphi (n)}-1} 可被 n {\displaystyle n} 整除。亦即， a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} 。 其中 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 即為歐拉總計函數。如果 n {\displaystyle n} 為質數，那麼 φ ( n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} ，因此，有高斯的版本： 假若 p {\displaystyle p} 為質數， a {\displaystyle a} 與 p {\displaystyle p} 互質（ a {\displaystyle a} 不是 p {\displaystyle p} 的倍數），那麼 a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 。 以下為 n {\displaystyle n} 為 1 {\displaystyle 1} 至 100 {\displaystyle 100} 時，對應 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的值 若 n {\displaystyle n} 有標準分解 p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r {\displaystyle p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} （其中各 p i {\displaystyle p_{i}} 為互異的質因子，各 k i ≥ 1 {\displaystyle k_{i}\geq 1} 為質因子的次數），則歐拉函數在該處的值為 φ ( n ) = p 1 k 1 − 1 p 2 k 2 − 1 ⋯ p r k r − 1 ( p 1 − 1 ) ( p 2 − 1 ) ⋯ ( p r − 1 ) , {\displaystyle \varphi (n)=p_{1}^{k_{1}-1}p_{2}^{k_{2}-1}\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{1}-1)(p_{2}-1)\cdots (p_{r}-1),} 亦可等價地寫成 φ ( n ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) . {\displaystyle \varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).} 此結果可由 φ {\displaystyle \varphi } 在質數冪處的取值，以及其積性得到。 最簡單的情況有 φ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \varphi (1)=1} （小于等于1的正整数中唯一和1互質的數就是1本身）。 一般地，若n是質數p的k次冪，則 φ ( n ) = φ ( p k ) = p k − p k − 1 = ( p − 1 ) p k − 1 {\displaystyle \varphi (n)=\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}} ，因為除了p的倍數外，其他數都跟n互質。 歐拉函數是積性函數，即是说若m,n互質，則 φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)} 。使用中國剩餘定理有較簡略的證明：設A, B, C是跟m, n, mn互質的數的集，據中國剩餘定理， A × B {\displaystyle A\times B} 和 C {\displaystyle C} 可建立雙射（一一對應）關係，因此兩者元素個數相等。 較詳細的證明如下： 設 N < m n {\displaystyle N<mn} ，且 N = k 1 m + p = k 2 n + q {\displaystyle N=k_{1}m+p=k_{2}n+q} 。若 N {\displaystyle N} 與 m n {\displaystyle mn} 互質，則 N {\displaystyle N} 與 m {\displaystyle m} 、 n {\displaystyle n} 均互質。又因為 ( k 1 m + p , m ) = ( p , m ) , ( k 2 n + q , n ) = ( q , n ) {\displaystyle (k_{1}m+p,m)=(p,m),(k_{2}n+q,n)=(q,n)} ，若 p , q {\displaystyle p,q} 分別與 m , n {\displaystyle m,n} 互質，則 N {\displaystyle N} 一定和 m n {\displaystyle mn} 互質。反之亦然，即若 N {\displaystyle N} 與 m n {\displaystyle mn} 互質，則亦有 p , q {\displaystyle p,q} 分別與 m , n {\displaystyle m,n} 互質。 由中國剩餘定理，方程組 { N ≡ p ( mod m ) N ≡ q ( mod n ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}N\equiv p{\pmod {m}}\\N\equiv q{\pmod {n}}\\\end{matrix}}\right.} 的通解可以寫成 N = k m n + p t 1 n + q t 2 m   ( k ∈ Z ) , {\displaystyle N=kmn+pt_{1}n+qt_{2}m\ (k\in \mathbb {Z} ),} 其中 t 1 , t 2 {\displaystyle t_{1},t_{2}} 為固定的整數，故二元組 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} （要滿足 0 < p ≤ m ,   0 < q ≤ n ,   ( p , m ) = 1 ,   ( q , n ) = 1 {\displaystyle 0<p\leq m,\ 0<q\leq n,\ (p,m)=1,\ (q,n)=1} ）與小於 m n {\displaystyle mn} 且與 m n {\displaystyle mn} 互質的正整數 N {\displaystyle N} 一一對應。 由 φ {\displaystyle \varphi } 的定義（和乘法原理），前一種數對 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} 的個數為 φ ( m ) φ ( n ) {\displaystyle \varphi (m)\varphi (n)} 。而後一種數 N {\displaystyle N} 的個數為 φ ( m n ) {\displaystyle \varphi (mn)} 。 所以， φ ( m n ) = φ ( m ) φ ( n ) . {\displaystyle \varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n).} 結合以上兩小節的結果可得：若 n {\displaystyle n} 有質因數分解式 n = p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} ，則 φ ( n ) = φ ( ∏ i = 1 r p i k i ) = ∏ i = 1 r φ ( p i k i ) （ 积 性 ） = ∏ i = 1 r p i k i − 1 ( p i − 1 ) （ 质 数 幂 处 取 值 ） = n ∏ i = 1 r ( 1 − 1 p i ) . {\displaystyle \quad {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}}\right)\\&=\prod _{i=1}^{r}\varphi \left(p_{i}^{k_{i}}\right)&{\text{（ 积 性 ）}}\\&=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{k_{i}-1}(p_{i}-1)&{\text{（ 质 数 幂 处 取 值 ）}}\\&=n\prod _{i=1}^{r}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\end{aligned}}} 計算 72 = 2 3 × 3 2 {\displaystyle 72=2^{3}\times 3^{2}} 的歐拉函數值： φ ( 72 ) = φ ( 2 3 × 3 2 ) = 2 3 − 1 ( 2 − 1 ) × 3 2 − 1 ( 3 − 1 ) = 2 2 × 1 × 3 × 2 = 24. {\displaystyle \varphi (72)=\varphi (2^{3}\times 3^{2})=2^{3-1}(2-1)\times 3^{2-1}(3-1)=2^{2}\times 1\times 3\times 2=24.} n的欧拉函数 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 也是循环群 Cn 的生成元的个数（也是n阶分圆多项式的次数）。Cn 中每个元素都能生成 Cn 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， Cn 的所有子群都具有 Cd 的形式，其中d整除n（记作d | n）。因此只要考察n的所有因数d，将 Cd 的生成元个数相加，就将得到 Cn 的元素总个数：n。也就是说： ∑ d ∣ n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d\mid n}\varphi (d)=n} 其中的d为n的正约数。 运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的公式： φ ( n ) = ∑ d ∣ n d ⋅ μ ( n / d ) {\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)} 其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。 對任何兩個互質的正整數a, m（即 gcd(a,m) = 1）， m ≥ 2 {\displaystyle m\geq 2} ，有 a φ ( m ) ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}} 即欧拉定理。 这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与m互质的a都属于环 Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } 的单位元组成的乘法群 Z / n Z × {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ^{\times }} 當m是質數p時，此式則為： a p − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}} 即費馬小定理。 歐拉商數（totient number）指的是歐拉函數的值，也就是說，若m是一個歐拉商數，那至少存在一個n，使得φ(n) = m。而歐拉商數m的「重複度」（valency或multiplicity），指的是這等式的解數。相對地，一個非歐拉商數指的是不是歐拉商數的自然數。顯然所有大於1的奇數都是非歐拉商數，此外也存有無限多的偶數是非歐拉商數，且所有的正整數都有一個倍數是非歐拉商數。 不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出： x log ⁡ x e ( C + o ( 1 ) ) ( log ⁡ log ⁡ log ⁡ x ) 2 {\displaystyle {\frac {x}{\log x}}e^{{\big (}C+o(1){\big )}(\log \log \log x)^{2}}} 其中C = 0.8178146...。 考慮重複度，那麼不大於x的歐拉商數個數可由以下公式給出： | { n : φ ( n ) ≤ x } | = ζ ( 2 ) ζ ( 3 ) ζ ( 6 ) ⋅ x + R ( x ) {\displaystyle {\Big \vert }\{n:\varphi (n)\leq x\}{\Big \vert }={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}\cdot x+R(x)} 其中對任意正數k而言，誤差項R至多與x/(log x)k成比例。 目前已知對於任意的δ < 0.55655而言，有無限多個m，其重複度超過mδ。 Ford (1999) harvtxt error: no target: CITEREFFord1999 (help)證明說對於任意整數k ≥ 2而言，總存在一個歐拉商數m，其重複度為k，也就是說總有數字使得這等式φ(n) = m有剛好k個解。這結果由瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基所猜測，且是Schinzel猜想H（英语：Schinzel's hypothesis H）的一個結果。事實上，對於任何出現的重複度而言，該重複度會出現無限多次。 然而，沒有任何數字m的重複度為k = 1。卡邁克爾猜想的歐拉函數猜想（英语：Carmichael's totient function conjecture）講的是沒有m的重複度為k = 1。 完全歐拉商數（perfect totient number）是一個等同於其歐拉函數迭代總和的整數，也就是說，如果將歐拉函數套用在一個正整數 n {\displaystyle n} 之後，並將歐拉函數套用在如此所得的結果上，如此下去，直到最後得到1為止，並將這一系列的數給加總起來。若這總和為 n {\displaystyle n} ，那麼 n {\displaystyle n} 就是一個完全歐拉商數。 以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质： ∑ d | n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n} 。 由 φ {\displaystyle \varphi } (n)生成的狄利克雷级数是： ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}.} 其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下： ζ ( s ) ∑ f = 1 ∞ φ ( f ) f s = ( ∑ g = 1 ∞ 1 g s ) ( ∑ f = 1 ∞ φ ( f ) f s ) {\displaystyle \zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)} .                               = ∑ h = 1 ∞ ( ∑ f g = h 1 ⋅ φ ( g ) ) 1 h s {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}} .                               = ∑ h = 1 ∞ ( ∑ f g = h φ ( g ) ) 1 h s = ∑ h = 1 ∞ ( ∑ d | h φ ( d ) ) 1 h s {\displaystyle .\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}} 使用开始时的等式，就得到： ∑ h = 1 ∞ ( ∑ d | h φ ( d ) ) 1 h s = ∑ h = 1 ∞ h h s {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}} 于是 ∑ h = 1 ∞ h h s = ζ ( s − 1 ) {\displaystyle \sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1)} 欧拉函数生成的朗贝级数如下： ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = q ( 1 − q ) 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}} 其对于满足 |q|<1 的q收敛。 推导如下： ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) ∑ r ≥ 1 q r n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r\geq 1}q^{rn}} 后者等价于： ∑ k ≥ 1 q k ∑ n | k φ ( n ) = ∑ k ≥ 1 k q k = q ( 1 − q ) 2 . {\displaystyle \sum _{k\geq 1}q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k\geq 1}kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.} 随着n变大，估计 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 的值是一件很难的事。当n为质数时， φ ( n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} ，但有时 φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} 又与n差得很远。 在n足够大时，有估计： 对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 n 1 − ε < φ ( n ) < n {\displaystyle \,n^{1-\varepsilon }<\varphi (n)<n} 如果考虑比值： φ ( n ) / n , {\displaystyle \,\varphi (n)/n,} 由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似 1 − p − 1 {\displaystyle 1-p^{-1}} 的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为： C log ⁡ log ⁡ n / log ⁡ n . {\displaystyle C\,\log \log n/\log n.} φ {\displaystyle \varphi } 就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为： 1 n 2 ∑ k = 1 n φ ( k ) = 3 π 2 + O ( log ⁡ n n ) {\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {3}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right)} 其中的O表示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选取两个数，则当n趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 6 / π 2 {\displaystyle 6/\pi ^{2}} 。一个相关的结果是比值 φ ( n ) / n {\displaystyle \varphi (n)/n} 的平均值： 1 n ∑ k = 1 n φ ( k ) k = 6 π 2 + O ( log ⁡ n n ) . {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {\log n}{n}}\right).} φ ( n m ) = n m − 1 φ ( n ) {\displaystyle \;\varphi \left(n^{m}\right)=n^{m-1}\varphi (n)} ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N ,   ∃ l ∈ N {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N} 使得 [ ( a > 1 ∧ n > 1 ) → ( l | φ ( a n − 1 ) ∧ l ≥ n ) ] {\displaystyle [(a>1\land n>1)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq n)]} ∀ a ∈ N , ∀ n ∈ N ,   ∃ l ∈ N {\displaystyle \forall a\in N,\forall n\in N,\ \exists l\in N} 使得 [ ( a > 1 ∧ n > 6 ∧ 4 ∤ n ) → ( l | φ ( a n − 1 ) ∧ l ≥ 2 n ) ] {\displaystyle [(a>1\land n>6\land 4\nmid n)\rightarrow (l|\varphi (a^{n}-1)\land l\geq 2n)]} ∑ d ∣ n μ 2 ( d ) φ ( d ) = n φ ( n ) {\displaystyle \sum _{d\mid n}{\frac {\mu ^{2}(d)}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\varphi (n)}}} ∑ 1 ≤ k ≤ n ( k , n ) = 1 k = 1 2 n φ ( n )  for  n > 1 {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n \atop (k,n)=1}\!\!k={\frac {1}{2}}n\varphi (n){\text{ for }}n>1} ∑ k = 1 n φ ( k ) = 1 2 ( 1 + ∑ k = 1 n μ ( k ) ⌊ n k ⌋ 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\varphi (k)={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)} ∑ k = 1 n φ ( k ) k = ∑ k = 1 n μ ( k ) k ⌊ n k ⌋ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\mu (k)}{k}}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor } ∑ k = 1 n k φ ( k ) = O ( n ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(n)} ∑ k = 1 n 1 φ ( k ) = O ( log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}={\mathcal {O}}(\log(n))} φ ( n ) > n e γ log ⁡ log ⁡ n + 3 log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}} ，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常数。 φ ( n ) ≥ n 2 {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}} ，其中n > 0。 对整数n > 6， φ ( n ) ≥ n {\displaystyle \varphi (n)\geq {\sqrt {n}}} 。 当n为质数时，显然有 φ ( n ) = n − 1 {\displaystyle \varphi (n)=n-1} 。对于合数的n，则有： φ ( n ) ≤ n − n {\displaystyle \varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}} 若p是質數，則有φ(p) = p − 1。1932年，德里克·亨利·萊默問說是否有合成數n使得φ(n) 整除n − 1。目前未知是否有這樣的數存在。 1933年萊默證明說若有這樣的 n {\displaystyle n} ，那麼 n {\displaystyle n} 必然是奇數、必然是無平方因子數，且必然有至少七個不同的質因數（ ω ( n ) ≥ 7 {\displaystyle \omega (n)\geq 7} ）。1980年，Cohen和Hagis證明了說，若這樣的 n {\displaystyle n} 存在，則 n > 10 20 {\displaystyle n>10^{20}} 且 n {\displaystyle n} 有至少14個不同的質因數（ ω ( n ) ≥ 14 {\displaystyle \omega (n)\geq 14} ）；此外，Hagis證明了說若這樣的 n {\displaystyle n} 存在且可被3除盡，那麼 n > 10 1937042 {\displaystyle n>10^{1937042}} 且 n {\displaystyle n} 有至少298848個不同的質因數（ ω ( n ) ≥ 298848 {\displaystyle \omega (n)\geq 298848} ）。 此猜想認為說不存在正整數n，使得對於所有其他的m而言，在m ≠ n的狀況下必有φ(m) ≠ φ(n)。可見上述Ford定理一節的說明。 若有一個如此的反例存在，就必有無限多的反例存在，而最小的可能反例，在十進位下，其位數超過一百億。 黎曼猜想成立，當且僅當以下不等式對所有的n ≥ p120569#成立。此處的p120569#是最初的120569個質數的乘積： n φ ( n ) < e γ log ⁡ log ⁡ n + e γ ( 4 + γ − log ⁡ 4 π ) log ⁡ n {\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}} 此處的γ是歐拉常數。 template <typename T> inline T phi(T n) { T ans = n; for (T i = 2; i * i <= n; ++i) if (n % i == 0) { ans = ans / i * (i - 1); while (n % i == 0) n /= i; } if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1); return ans; } Milton Abramowitz、Irene A. 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