叶状结构

微分几何中，叶状结构（foliation）是n-流形上的等价关系，等价类是连通单射浸入子流形，都具有相同维度p，以实坐标空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 的分解为标准嵌入子空间 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 的陪集 x + R p {\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}} 为模型。等价类称作叶状结构的叶（leaf）。若要求流形和/或子流形具有（ C r {\displaystyle C^{r}} 类的）分段线性、微分或解析结构，就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的 C r {\displaystyle C^{r}} 类微分叶状结构中，通常r ≥ 1（否则 C 0 {\displaystyle C^{0}} 就是拓扑叶状结构）。p（叶的维度）称作叶状结构的维度， q = n − p {\displaystyle q=n-p} 称作其余维数。 在数学物理学家关于广义相对论的一些论文中，“叶状结构”用于描述：相关的洛伦兹流形（(p+1)维时空）分解为p维超平面，指定为梯度处处不为零的实值光滑函数（标量场）的水平集；这光滑函数通常被假定为时间函数，梯度处处类时间，因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致，这些超平面通常称作叶状结构的叶。注意，虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构，但这类例子是全局平凡的。虽然（数学）余维-1叶状结构的叶局部上总是函数的水平集，但一般不能在全局这样表达，因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图，叶周围的完整也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如，虽然3-球面有一个由里布发现的余维1-叶状结构，但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出，因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。 叶状结构好比是一种给流形穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个局部乘积结构，不需在局部区域之外一致（不用有良定义的整体结构）：沿着一个条纹走足够远，可能回到不同的邻近的条纹。 为给叶状结构下精确定义，需先定义一些辅助元素。 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 中的矩邻域是形式为 B = J 1 × ⋯ × J n {\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}} 的开子集，其中 J i {\displaystyle J_{i}} 是第i个坐标轴上（可能无界）的相对开区间。若 J 1 {\displaystyle J_{1}} 具有形式 ( a ,   0 ] {\displaystyle (a,\ 0]} ，则称B具有边界 ∂ B = { ( 0 , x 2 , … , x n ) ∈ B } . {\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.} 在下面的定义中，坐标图（coordinate chart）被认为是在 R p × R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}} ，允许流形具有边界和（凸）角的可能。 n-流形M上余维为q的叶状图（foliated chart）是 ( U ,   φ ) {\displaystyle (U,\ \varphi )} ，其中 U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} 是开集， φ : U → B τ × B ⋔ {\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }} 是微分同胚， B ⋔ {\displaystyle B_{\pitchfork }} 是 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 中的矩邻域， B τ {\displaystyle B_{\tau }} 是 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 中的矩邻域。集合 P y = φ − 1 ( B τ × { y } ) {\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})} ，其中 y ∈ B ⋔ {\displaystyle y\in B_{\pitchfork }} 称作这叶状图的斑（plaque）。 ∀ x ∈ B τ {\displaystyle \forall x\in B_{\tau }} ，集合 S x = φ x = φ − 1 ( { x } × B ⋔ ) {\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })} 称作叶状图的横截（transversal）。集合 ∂ τ U = φ − 1 ( B τ × ( ∂ B ⋔ ) ) {\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))} 称作U的切边界（tangential boundary）， ∂ ⋔ U = φ − 1 ( ( ∂ B τ ) × B ⋔ ) {\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })} 称作U的横截边界（transverse boundary）。 叶状图是所有叶状结构的基本模型，斑就是叶。 B τ {\displaystyle B_{\tau }} 表示“B-切”， B ⋔ {\displaystyle B_{\pitchfork }} 表示“B-截”。还有多种可能。若 B ⋔ ,   B τ {\displaystyle B_{\pitchfork },\ B_{\tau }} 都有空边界，则叶状图就建模了无界n-流形的余维-q叶状结构。若其中一个矩邻域有界，则叶状图建模了有界无角n-流形的叶状结构的各种可能性。具体来说，若 ∂ B ⋔ ≠ ∅ = ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }} ，则 ∂ U = ∂ τ U {\displaystyle \partial U=\partial _{\tau }U} 是斑之并，斑表示的叶状结构切于边界。若 ∂ B τ ≠ ∅ = ∂ B ⋔ {\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }} ，则 ∂ U = ∂ ⋔ U {\displaystyle \partial U=\partial _{\pitchfork }U} 是横截之并，叶状结构横截于边界。最后，若 ∂ B ⋔ ≠ ∅ ≠ ∂ B τ {\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }} ，则建模了叶状流形（foliated manifold），角分开了切边界与横截边界。 n-流形M上余维为q的 C r   ( 0 ≤ r ≤ ∞ ) {\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )} 类叶状图册（foliated atlas）是余维为q的叶状图的 C r {\displaystyle C^{r}} -图册 U = { ( U α , φ α ) ∣ α ∈ A } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}} ，只要P、Q在 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 的不同图中都是斑，P ∩ Q在P、Q中都是开的，它们就是相干叶状结构（coherently foliated）。 重新表述相干叶状图的有效方法是将 w ∈ U α ∩ U β {\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }} 写作： φ α ( w ) = ( x α ( w ) , y α ( w ) ) ∈ B τ α × B ⋔ α , {\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },} φ β ( w ) = ( x β ( w ) , y β ( w ) ) ∈ B τ β × B ⋔ β . {\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.} ( U α ,   φ α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })} 常写作 ( U α ,   x α ,   y α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })} ，其中 x α = ( x α 1 , … , x α p ) , {\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),} y α = ( y α 1 , … , y α q ) . {\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).} 在 φ β ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} 上，坐标公式可改写为 g α β ( x β , y β ) = φ α ∘ φ β − 1 ( x β , y β ) = ( x α ( x β , y β ) , y α ( x β , y β ) ) . {\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).} ( U α ,   x α ,   y α ) ,   ( U β ,   x β ,   y β ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })} 是相干叶状结构这一条件意味着，若 P ⊂ U α {\displaystyle P\subset U_{\alpha }} 是斑，则 P ∩ U β {\displaystyle P\cap U_{\beta }} 的连通分量位于 U β {\displaystyle U_{\beta }} 的（可能不同的）斑中。等价地，由于 U α ,   U β {\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }} 的斑分别是横坐标 y α ,   y β {\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }} 的水平集， ∀ z ∈ U α ∩ U β {\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }} 都有邻域，其中公式 y α = y α ( x β , y β ) = y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })} 与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 无关。 叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来，形成叶状结构；上述一般定义显得有点笨拙，一个问题是， ( U α ,   φ α ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })} 的斑可以与多个 ( U β ,   φ β ) {\displaystyle (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })} 的斑相遇。甚至可能出现，一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过，如下所示，假设情形更规则，也不失一般性。 若 U ∪ V {\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}} 是叶状 C r {\displaystyle C^{r}} 图册，则M上两具有相同余维和光滑度的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状图册 U ,   V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 是相干的： ( U ≈ V ) {\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)} 。叶状图册的相干是等价关系。 上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过，我们也可以谈论闭的斑与横截：若 ( U ,   φ ) ,   ( W ,   ψ ) {\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )} 都是叶状图，使得 U ¯ {\displaystyle {\overline {U}}} （U的闭包）是W的子集， φ = ψ | U {\displaystyle \varphi =\psi |U} ；则，若 φ ( U ) = B τ × B ⋔ , {\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },} 可知 ψ | U ¯ {\displaystyle \psi |{\overline {U}}} ，写作 φ ¯ {\displaystyle {\overline {\varphi }}} ，将 U ¯ {\displaystyle {\overline {U}}} 微分同胚地带到 B ¯ τ × B ¯ ⋔ . {\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.} 符合以下条件的叶状图册称作规则的（regular）： ∀ α ∈ A ,   U ¯ α {\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }} 是叶状图 ( W α ,   ψ α ) {\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })} 的紧子集，且 φ α = ψ α | U α {\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }} ； 覆盖 { U α | α ∈ A } {\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}} 是局部有限的； 若 ( U α ,   φ α ) ,   ( U β ,   φ β ) {\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })} 都是叶状图册的元素，则每个闭斑 P ⊂ U ¯ α {\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }} 的内部与最多与 U ¯ β {\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }} 中的1个斑相遇。 根据性质 (1)，坐标 x α ,   y α {\displaystyle x_{\alpha },\ y_{\alpha }} 延伸到 U ¯ α {\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }} 上的坐标 x ¯ α ,   y ¯ α {\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }} ，可以写成 φ ¯ α = ( x ¯ α , y ¯ α ) . {\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).} 性质 (3)等价于要求：若 U α ∩ U β ≠ ∅ {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing } ，横坐标变化 y ¯ α = y ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) {\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)} 独立于 x ¯ β . {\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.} 即 g ¯ α β = φ ¯ α ∘ φ ¯ β − 1 : φ ¯ β ( U ¯ α ∩ U ¯ β ) → φ ¯ α ( U ¯ α ∩ U ¯ β ) {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)} 有公式 g ¯ α β ( x ¯ β , y ¯ β ) = ( x ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) , y ¯ α ( y ¯ β ) ) . {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).} 类似论断也适于开图（无覆盖线）。横坐标映射 y α {\displaystyle y_{\alpha }} 可视作浸没 y α : U α → R q {\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}} 公式 y α = y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })} 可视作微分同胚 γ α β : y β ( U α ∩ U β ) → y α ( U α ∩ U β ) . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).} 它们满足上循环条件，即，在 y δ ( U α ∩ U β ∩ U δ ) {\displaystyle y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })} 上， γ α δ = γ α β ∘ γ β δ {\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }} 尤其是， γ α α ≡ y α ( U α ) , {\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),} γ α β = γ β α − 1 . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.} 用上述关于相干性和规则性的定义，可证明每个叶状图册都有规则的相干细化。 根据实现叶状结构的方式，有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解，得到 定义 n维流形M的p-维 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构是将M分解为不交连通子流形 { L α } α ∈ A {\displaystyle \{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} 的并，称作叶状结构的叶（leaf），具有如下性质：M的点都有邻域U和局部 C r {\displaystyle C^{r}} 类坐标系 x = ( x 1 ,   … ,   x n ) :   U → R n {\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}} ，使得对每片叶 L α {\displaystyle L_{\alpha }} ， U ∩ L α {\displaystyle U\cap L_{\alpha }} 的组分都由方程组 x p + 1 = 常数 ,   … ,   x n = 常数 {\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}} 描述。则，叶状结构记作 F = { L α } α ∈ A . {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} 叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义，n维流形M的p维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 也许可简单视作M的逐对不交、连通浸没的p维子流形（叶状结构的叶）的集合 { M a } {\displaystyle \{M_{a}\}} ，使得对点 ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M} ，都有图 ( U , φ ) {\displaystyle (U,\varphi )} ，其中U同胚于 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ，包含的x使得对每片叶 M a {\displaystyle M_{a}} ，与U相遇或为空集或为子空间的可数集，其在 φ ( M a ∩ U ) {\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)} 中 φ {\displaystyle \varphi } 的像下是前n-p个坐标为常数的p维仿射子空间。 叶状结构局部上都是浸没，允许下列定义 定义 令M、Q是n维流形，q≤n，并令 f :   M → Q {\displaystyle f:\ M\to Q} 是浸没，即假设函数微分矩阵（雅可比矩阵）的秩为q，则据隐函数定理，ƒ在M上诱导了余维为q的叶状结构，其中的叶定义为 x ∈ Q ,   f − 1 ( x ) . {\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).} 这定义描述了n维流形M的p维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ，是由图（chart） U i {\displaystyle U_{i}} 与下列映射覆盖的： φ i : U i → R n {\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}} 这样，对重叠对 U i ,   U j {\displaystyle U_{i},\ U_{j}} ，转移函数 φ i j :   R n → R n {\displaystyle \varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} 定义为 φ i j = φ j φ i − 1 {\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}} 形式为 φ i j ( x , y ) = ( φ i j 1 ( x ) , φ i j 2 ( x , y ) ) {\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))} 其中x表示前 q = n − p {\displaystyle q=n-p} 个坐标，y表示后p个坐标（co-ordinates），即 φ i j 1 : R q → R q φ i j 2 : R n → R p {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}} 将转移函数 φ i j {\displaystyle \varphi _{ij}} 拆分为 φ i j 1 ( x ) ,   φ i j 2 ( x , y ) {\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)} ，作为浸没的一部分完全类似于将 g ¯ α β {\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }} 拆分为 y ¯ α ( y ¯ β ) ,   x ¯ α ( x ¯ β , y ¯ β ) {\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)} ，作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此，必须首先证明，余维度为q的规则叶状图册都与唯一的余维度为q的叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联。 正如证明所示，叶状结构的叶是长度 ≤ p的斑链的等价类，也是拓扑浸入豪斯多夫p维子流形。接着，我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示，即它们与叶状结构的联系。更具体地说，若 U ,   V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 是M上的叶状图册、且若 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 与叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联，则当且仅当 V {\displaystyle {\mathcal {V}}} 也与 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 相关联时， U ,   V {\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}} 相干。 现在很明显，M上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应，换句话说，M上余维为q的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是余维为q的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状图册的相干类。据佐恩引理，叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是， 定义 M上余维为q的 C r {\displaystyle C^{r}} 类叶状结构是M上余维为q的最大叶状 C r {\displaystyle C^{r}} -图册。 实践中，通常用较小的叶状图册表示叶状结构，通常还要求是规则的。 在图 U i {\displaystyle U_{i}} 中，条纹 x = 常数 {\displaystyle x={\text{常数}}} 与别的图 U j {\displaystyle U_{j}} 上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通单射浸入子流形，就是叶状结构的叶（leaf）。 若缩小图 U i {\displaystyle U_{i}} ，可以写成 U i x × U i y {\displaystyle U_{ix}\times U_{iy}} ，其中 U i x ⊂ R n − p ,   U i y ⊂ R p .     U i y {\displaystyle U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy} 与斑同构， U i x {\displaystyle U_{ix}} 的点参数化了 U i {\displaystyle U_{i}} 中的斑。若择 y 0 ∈ U i y {\displaystyle y_{0}\in U_{iy}} ，则 U i x × { y 0 } {\displaystyle U_{ix}\times \{y_{0}\}} 是 U i {\displaystyle U_{i}} 的子流形，与每个斑恰交一次，这叫做叶状结构的局部横截面。注意，由于单值性的原因，全局横截面可能不存在。 r = 0的情形比较特殊。实践中出现的 C 0 {\displaystyle C^{0}} 叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说，是以下意义的 C r ,   0 {\displaystyle C^{r,\ 0}} 类： 定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册 { U α ,   x α ,   y α } α ∈ A {\displaystyle \{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} ，使得坐标变换式 g α β ( x β , y β ) = ( x α ( x β , y β ) , y α ( y β ) ) . {\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).} 属于 C k {\displaystyle C^{k}} 类，但 x α {\displaystyle x_{\alpha }} 在坐标 x β {\displaystyle x_{\beta }} 中是 C r {\displaystyle C^{r}} 类，其阶数≤ r、与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 的混合偏导数在坐标 ( x β ,   y β {\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta }} 中是 C k {\displaystyle C^{k}} 类，则称叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 属于 C r ,   k   ( r > k ≥ 0 ) {\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)} 类。 上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 的相对紧开子集，允许横坐标 y α {\displaystyle y_{\alpha }} 在更一般的拓扑空间Z中取值。斑仍是 R q {\displaystyle \mathbb {R} ^{q}} 的相对紧开子集，横坐标公式 y α ( y β ) {\displaystyle y_{\alpha }(y_{\beta })} 的变化是连续的， x α ( x β ,   y β ) {\displaystyle x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })} 在坐标 x β {\displaystyle x_{\beta }} 中属于 C r {\displaystyle C^{r}} 类，其阶数 ≤ r 、与 x β {\displaystyle x_{\beta }} 的混合偏导数在坐标 ( x β ,   y β ) {\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta })} 中连续。一般要求M、Z为局部紧可测第二可数空间。这似乎是很狂野的推广，但在一些情形下很有用。 令 ( M ,   F ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})} 是叶状流形（foliated manifold）。设L是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的叶，s是L中的路径，我们感兴趣的是M中s的邻域中叶状结构的行为。直观地说，在叶上可以沿路径s行走，同时关注附近所有叶。在他（以下写作s(t)）行走时，一些叶可能会“掉落”、变得不可见；另一些可能会突然进入可视范围，渐渐接近L；还有些可能会以接近平行的方式跟随L，或垂直地打转之类。若s是环路，则随着t增大，s(t)会反复回到同一个点s(t0)，每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化，叫做叶状结构的完整性（holonomy）。 完整性在叶状流形上有多种具体实现方式：叶状丛（foliated bundle）的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。 最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性，这是庞加莱映射概念的推广。 “第一回归映射”来自动力系统理论。令 Φ t {\displaystyle \Phi _{t}} 是紧n-流形上的非奇异 C r   ( r ≥ 1 ) {\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)} 流。应用中，可以想象M是个回旋加速器或流体的闭合回路。若M有界，则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。若知道流的正方向，但不知道其他参数（轨迹形状、速度等），则称底叶状结构（underlying foliation） F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 有向。假设流有全局横截面N，即N是M的n-1维紧正合嵌入的 C r {\displaystyle C^{r}} 子流形，叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 垂直于N，每条流线都与N相遇。由于N的维度与叶的维度是互补的，横截性条件是 T y ( M ) = T y ( F ) ⊕ T y ( N )  for each  y ∈ N . {\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.} 令 y ∈ N {\displaystyle y\in N} ，考虑M中所有序列 { Φ t k ( y ) } k = 1 ∞ {\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }} 的所有堆积点的ω-极限集合ω(y)，其中 t k {\displaystyle t_{k}} 为无穷大。可以证明，ω(y)是紧非空的，是流线的并。若 z = lim k → ∞ Φ t k ∈ ω ( y ) , {\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),} 则有值 t ∗ ∈ R {\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} } 使得 Φ t ∗ ( z ) ∈ N {\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N} ，由此可得 lim k → ∞ Φ t k + t ∗ ( y ) = Φ t ∗ ( z ) ∈ N . {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.} 由于N是紧的， F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于N，因此集合 { t > 0 | Φ t ( y ) ∈ N } {\displaystyle \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}} 是单调递增序列 { τ k ( y ) } k = 1 ∞ {\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }} ，并发散。 当 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 变化，令 τ ( y ) = τ 1 ( y ) {\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)} ，这样定义一个正函数 τ ∈ C r ( N ) {\displaystyle \tau \in C^{r}(N)} （第一回归时间），使得 ∀ y ∈ N ,   Φ t ( y ) ∉ N ,   0 < t < τ ( y ) ,   Φ τ ( y ) ( y ) ∈ N . {\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.} 定义 f :   N → N ,   f ( y ) = Φ τ ( y ) ( y ) . {\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).} 这是 C r {\displaystyle C^{r}} 映射。若流反向，则完全相同的构造会得到逆的 f − 1 {\displaystyle f^{-1}} ；所以 f ∈ D i f f r ( N ) {\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)} 。这个微分同胚是第一回归映射，τ称作第一回归时间。虽然第一回归时间取决于流的参数化，但f显然只取决于有向叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。可以将流 Φ t {\displaystyle \Phi _{t}} 重参数化，使其保持非奇异、是 C r {\displaystyle C^{r}} 类，且方向不翻转，从而使 τ ≡ 1. {\displaystyle \tau \equiv 1.} 流有横截面N的假设是很受限的，意味着M是 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上纤维丛的总空间。事实上在 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 上，可将 ∼ f {\displaystyle \sim _{f}} 定义为以下条件生成的等价关系： ( t , y ) ∼ f ( t − 1 , f ( y ) ) . {\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).} 等价地，这是加法群Z在 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 上的作用的轨等价，定义如下 ∀ k ∈ Z ,   ∀ ( t ,   y ) ∈ R × N ,   k ⋅ ( t , y ) = ( t − k , f k ( y ) ) . {\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).} f的映射圆柱定义为 C r {\displaystyle C^{r}} 流形 M f = ( R × N ) / ∼ f . {\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.} 由第一回归映射f的定义与第一回归时间 τ ≡ 1 {\displaystyle \tau \equiv 1} 的假设，可立即得出映射 Φ : R × N → M . {\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.} 流的定义可诱导一个规范 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚 φ : M f → M . {\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.} 若记 M f = M {\displaystyle M_{f}=M} ，则 R × N {\displaystyle \mathbb {R} \times N} 到R的投影诱导了 C r {\displaystyle C^{r}} 映射 π : M → R / Z = S 1 {\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}} 使M变为圆上纤维丛的总空间。这只是 S 1 × D 2 {\displaystyle S^{1}\times D^{2}} 到 S 1 {\displaystyle S^{1}} 的投影。叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于这丛的纤维，限制到每片叶L的丛投影π是覆盖映射 π :   L → S 1 {\displaystyle \pi :\ L\to S^{1}} ，这就是叶状丛（foliated bundle）。 以 x 0 ∈ S 1 {\displaystyle x_{0}\in S^{1}} 的等价类 0 + Z {\displaystyle 0+\mathbb {Z} } 为基点， π − 1 ( x 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})} 就是原横截面N。对 S 1 {\displaystyle S^{1}} 上以 x 0 {\displaystyle x_{0}} 为基点的每个环路s，同伦类 [ s ] ∈ π 1 ( S 1 ,   x 0 ) {\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})} 的唯一特征是 d e g s ∈ Z {\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} } 。环路s提升到每条流线中的一条路径，很明显提升 s y {\displaystyle s_{y}} 始于 y ∈ N {\displaystyle y\in N} 、终于 f k ( y ) ∈ N   ( k = d e g s ) {\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)} 。微分同胚 f k ∈ D i f f r ( N ) {\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)} 也用 h s {\displaystyle h_{s}} 表示，称作环路s的总整体性。由于只取决于[s]，因此定义了同胚 h : π 1 ( S 1 , x 0 ) → Diff r ⁡ ( N ) , {\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),} 称作叶状丛的总整体同胚。 更直观地运用纤维丛，令 ( M ,   F ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})} 是余维为q的叶状n-流形，令 π :   M → B {\displaystyle \pi :\ M\to B} 是纤维丛，具有q维纤维F与连通基空间B。假设所有这些结构都属于 C r   ( 0 ≤ r ≤ ∞ ) {\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )} 类，若r = 0，B支持一个 C 1 {\displaystyle C^{1}} 结构。由于B上的最大 C 1 {\displaystyle C^{1}} 图册都包含 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 子图册，因此假设B如所期望那般光滑并不失一般性。最后， ∀ x ∈ B {\displaystyle \forall x\in B} ，假设x有连通开邻域 U ⊆ B {\displaystyle U\subseteq B} ，和局部平凡化 π − 1 ( U ) → φ U × F π ↓ ↓ p U → id U {\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}} 其中φ是 C r {\displaystyle C^{r}} 微分同胚（若r = 0则是同胚），将 F ∣ π − 1 ( U ) {\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)} 带到积叶状结构 { U × { y } } y ∈ F {\displaystyle \{U\times \{y\}\}_{y\in F}} 。其中， F ∣ π − 1 ( U ) {\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)} 是叶为 L ∩ π − 1 ( U ) {\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)} 的连通组分的叶状结构，L是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的叶。这是 C r {\displaystyle C^{r}} 类“叶状丛”（foliated bundle） ( M ,   F ,   π ) {\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )} 的一般定义。 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 垂直于π的纤维（可以说 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是垂直于纤维的），π到 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的每片叶L的限制是覆盖映射 π :   L → B {\displaystyle \pi :\ L\to B} 。特别是，每条纤维 F x = π − 1 ( x ) {\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)} 都与 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的每片叶相遇。纤维是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 的横截，与流的横截完全类似。 叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于纤维不能保证叶是B的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的一个叶状结构横截于纤维 π : R 2 → R , {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,} π ( x , y ) = x , {\displaystyle \pi (x,y)=x,} 但有无限多叶缺失了y轴。在相应的图像中，“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的，即当参数 x ∈ B {\displaystyle x\in B} 接近某个 x 0 ∈ B {\displaystyle x_{0}\in B} ，一些叶“奔向无穷大”。更确切地说，可能有叶L，和一条连续路径 s :   [ 0 ,   a ) → L {\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L} 使得 lim t → a − π ( s ( t ) ) = x 0 ∈ B {\displaystyle \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B} ，但 lim t → a − s ( t ) {\displaystyle \lim _{t\to a-}s(t)} 在L的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流，某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L可能在别处与 π − 1 ( x 0 ) {\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})} 相遇，但不能均匀覆盖 x 0 {\displaystyle x_{0}} 的邻域，因此不可能是B在π下的的覆盖空间。F是紧的时， F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 对纤维的横截性确实保证了完备性，于是 ( M , F , π ) {\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )} 是叶状丛。 B上有图册 U = { U α ,   x α } α ∈ A {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} ，包含开连通坐标图，以及平凡化 φ α :   π − 1 ( U α ) → U α × F {\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F} ，将 F | π − 1 ( U α ) {\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })} 带到积叶状结构。置 W α = π − 1 ( U α ) {\displaystyle W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })} ，并记 φ α = ( x α ,   y α ) {\displaystyle \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })} ，其中（滥用符号） x α {\displaystyle x_{\alpha }} 表示 x α ∘ π ,   y α :   π − 1 ( U α ) → F {\displaystyle x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F} 是将 φ α {\displaystyle \varphi _{\alpha }} 与规范投影 U α × F → F {\displaystyle U_{\alpha }\times F\to F} 组合而得的浸没。 图册 W = { W α ,   x α ,   y α } α ∈ A {\displaystyle {\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} 的作用类似叶状图册。 W α {\displaystyle W_{\alpha }} 的斑是 y α {\displaystyle y_{\alpha }} 的水平集，这一族斑通过 y α {\displaystyle y_{\alpha }} ，与F相同。由于预设了B支持某个 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 结构，据怀特黑德定理，可在B上固定一个黎曼度量，择图册 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} 为测地凸的。于是， U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }} 总是连通的。若这个交非空，则 W α {\displaystyle W_{\alpha }} 的每个斑都正好与 W β {\displaystyle W_{\beta }} 的一个斑相遇。然后，通过设下式，可定义一个完整上循环（holonomy cocycle） γ = { γ α β } α , β ∈ A {\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}} by setting γ α β = y α ∘ y β − 1 : F → F . {\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.} 考虑n维空间，是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图（chart）表示，其基本原理是 R n = R n − p × R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}} ，叶或斑 R p {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} 由 R n − p {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-p}} 枚举。置n = 3、p = 2，可以类比三维空间：书的2维叶由（1维）页码枚举。 较平凡的叶状结构例子是积 M = B × F {\displaystyle M=B\times F} ，叶 F b = { b } × F ,   b ∈ B {\displaystyle F_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B} （M的另一个叶状结构由 B f = B × { f } ,   f ∈ F {\displaystyle B_{f}=B\times \{f\},\ f\in F} 给出）。 对流形F而言， G = H o m e o ( F ) {\displaystyle G={\rm {Homeo}}(F)} 的平坦G-丛是更一般的一类。给定表示 ρ :   π 1 ( B ) → H o m e o ( F ) {\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)} ，具有单值ρ的平坦 H o m e o ( F ) {\displaystyle {\rm {Homeo}}(F)} -丛由 M = ( B ~ × F ) / π 1 B {\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B} 给出，其中 π 1 ( B ) {\displaystyle \pi _{1}(B)} 通过甲板变换作用于万有覆盖 B ~ {\displaystyle {\widetilde {B}}} ，通过表示ρ作用于F。 平坦丛符合纤维丛的框架。若有流形F使得 ∀ b ∈ B {\displaystyle \forall b\in B} ，都有开邻域U使得有同胚 φ : π − 1 ( U ) → U × F   ( π = p 1 φ ,   p 1 :   U × F → U ) {\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p_{1}\varphi ,\ p_{1}:\ U\times F\to U)} （其中p1是到第一个因子的投影），则流形之间的映射 π :   M → B {\displaystyle \pi :\ M\to B} 是纤维丛。纤维丛产生了由纤维 F b := π − 1 ( { b } ) , b ∈ B {\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B} 组成的叶状结构，其叶空间L与B同构，前者是豪斯多夫流形。 若 M → N {\displaystyle M\to N} 是流形间的覆盖映射，F是N上的叶状结构，则其拉回到M上的叶状结构。更一般地，若映射只是分歧覆盖（分歧轨迹横截于叶状结构），则叶状结构就可以被拉回。 若 M n → N q ,   ( q ≤ n ) {\displaystyle M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)} 是流形的浸没，则据反函数定理，浸没的纤维的连通组分定义了M的余维为q的叶状结构。纤维丛是这种类型的一个例子。 不是纤维丛的浸没的一个例子是 { f : [ − 1 , 1 ] × R → R f ( x , y ) = ( x 2 − 1 ) e y {\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}} 这种浸没产生了 [ − 1 ,   1 ] × R {\displaystyle [-1,\ 1]\times \mathbb {R} } 的叶状结构，在下列 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 作用下是不变的： z ( x , y ) = ( x , y + n ) , or z ( x , y ) = ( ( − 1 ) n x , y ) {\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)} 其中 ( x ,   y ) ∈ [ − 1 ,   1 ] × R ,   n ∈ Z {\displaystyle (x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z} } 。 Z ∖ ( [ − 1 ,   1 ] × R ) {\displaystyle \mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )} 的诱导叶状结构称作（环空的）2维里布叶状结构，或（莫比乌斯带的）2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。 定义一个潜没 { f : D n × R → R f ( r , θ , t ) := ( r 2 − 1 ) e t {\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}} 其中 ( r ,   θ ) ∈ [ 0 ,   1 ] × S n − 1 {\displaystyle (r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}} 是n维圆盘 D n {\displaystyle D^{n}} 上的圆柱坐标。这浸没产生了 D n × R {\displaystyle D^{n}\times \mathbb {R} } 的叶状结构，在如下Z作用下是不变的： z ( x , y ) = ( x , y + z )   ( ( x ,   y ) ∈ D n × R ,   z ∈ Z ) {\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )} Z ∖ ( D n × R ) {\displaystyle \mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )} 的诱导叶状结构被称作n维里布叶状结构，其叶空间不是豪斯多夫的。 对于n = 2，这给出了实心环面的叶状结构，可由沿边界粘合两个实心环面，来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球 S 2 n + 1 {\displaystyle S^{2n+1}} 的叶状结构也是明确已知的。 若G是李群、H是李子群，则G就会被H的陪集叶化。若H在G中闭合，则商空间 G / H {\displaystyle G/H} 是光滑（豪斯多夫）流形，将G转化为纤维丛，纤维H、基为 G / H {\displaystyle G/H} 。这个纤维丛实际上是主的，具有结构群H。 令G是光滑作用于流形M的李群。若作用是局部自由作用或自由作用，则G的轨道定义了M的一个叶状结构。 若 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 是非奇异（即无处为零）的向量场，则 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 定义的局部流拼凑在一起，就定义了维度为1的叶状结构。事实上，给定任一点 x ∈ M {\displaystyle x\in M} ，由于 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 是非奇异的，所以可找到一个关于x的坐标邻域 ( U ,   x 1 ,   , … ,   x n ) {\displaystyle (U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})} ，使得 − ε < x i < ε , 1 ≤ i ≤ n , {\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,} ∂ ∂ x 1 = X ~ ∣ U . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.} 从几何角度来看， X ~ ∣ U {\displaystyle {\tilde {X}}\mid U} 的流线就是水平集 x i = c i , 2 ≤ i ≤ n , {\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,} 其中所有的 | c i | < ε . {\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .} 由惯例，流形是第二可数的，因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M本身的第二可数性排除。要求 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 是完全域（例如M是紧的），从而要求每片叶都是流线，就可以避开这个难题。 环面 T 2 {\displaystyle T^{2}} 上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上的恒向量场 X ~ ≡ [ a b ] {\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}} 对 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中所有平移都不变，因此当投影到环面 T 2 = R 2 / Z 2 {\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}} 时传递到良定义向量场X。假定a ≠ 0。 X ~ {\displaystyle {\tilde {X}}} 产生的 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上的叶状结构 F ~ {\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}} 的叶具有斜率为 θ = b / a {\displaystyle \theta =b/a} 的平行线，这叶状结构在平移下也是不变的，并传递到X产生的 T 2 {\displaystyle T^{2}} 上的叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 。 F ~ {\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}} 每片叶的形式是 L ~ = { ( x 0 + t a , y 0 + t b ) } t ∈ R . {\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.} 若斜率是有理的，则所有叶都是与圆同胚的闭合曲线。这时，可取 a ,   b ∈ Z {\displaystyle a,\ b\in \mathbb {Z} } 。对固定的 t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ， L ~ {\displaystyle {\tilde {L}}} 中与 t ∈ t 0 + Z {\displaystyle t\in t_{0}+\mathbb {Z} } 的值对应的点都投影到 T 2 {\displaystyle T^{2}} 的同一点，于是 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 对应的叶L是 T 2 {\displaystyle T^{2}} 中的嵌入圆。由于L是任意的，所以 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是 T 2 {\displaystyle T^{2}} 对圆的叶状结构。由此很容易得出，这个叶状结构实际上就是纤维丛 π :   T 2 → S 1 {\displaystyle \pi :\ T^{2}\to S^{1}} ，这就是所谓线性叶状结构。 若斜率是无理的，则叶是非紧的，同胚于非紧实线，在环面中稠密（参无理旋转）。每个点 ( x 0 ,   y 0 ) {\displaystyle (x_{0},\ y_{0})} 的轨迹永远不会回到同一点，而是在环面上产生“处处稠密”的环绕，会任意接近任何给定的点。于是，轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构，得名于利奥波德·克罗内克与 克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数，则集合 { e i n θ | n ∈ Z } {\displaystyle \{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}} 在单位圆内稠密。 用平行线对 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 进行叶状结构的类似构造，可得与环面上的线性流相关的n-环面 R n / Z n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}} 的1维叶状结构。 平坦丛不仅有对纤维的线性结构，还有横截于纤维的叶状结构，其叶为 L f := { p ( b ~ , f ) : b ~ ∈ B ~ } ,  for  f ∈ F , {\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,} 其中 p :   B ~ × F → M {\displaystyle p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M} 是规范投影。这个叶状结构称作表示 ρ :   π 1 ( B ) → H o m e o ( F ) {\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)} 的纬悬。 具体地说，若 B = S 1 {\displaystyle B=S^{1}} ， φ : F → F {\displaystyle \varphi :F\to F} 是F的同胚，则 φ {\displaystyle \varphi } 的纬悬叶状结构定义为表示 ρ :   Z → H o m e o ( F ) {\displaystyle \rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)} 的纬悬叶状结构，由 ρ ( z ) = Φ z {\displaystyle \rho (z)=\Phi ^{z}} 给出。其叶空间是 L = F / ∼ {\displaystyle L={\mathcal {F}}/\sim } ，其中只要对某个 n ∈ Z ,   y = Φ n ( x ) ,   x ∼ y {\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y} 。 纬悬叶状结构最简单的例子是q维流形X。令 f :   X → X {\displaystyle f:\ X\to X} 是双射。将纬悬 M = S 1 × f X {\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X} 定义为 [ 0 ,   1 ] × X {\displaystyle [0,\ 1]\times X} 对等价关系 ( 1 ,   x ) ∼ ( 0 ,   f ( x ) ) {\displaystyle (1,\ x)\sim (0,\ f(x))} 的商。 M = S 1 × f X = [ 0 ,   1 ] × X {\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X} 则，M自动携带两个叶状结构： F 2 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}} 包含 F 2 ,   t = { ( t ,   x ) ∼ :   x ∈ X } {\displaystyle F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim }:\ x\in X\}} 形式的集合； F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} 包含 F 2 ,   x 0 = { ( t ,   x ) :   t ∈ [ 0 ,   1 ] ,   x ∈ O x 0 } {\displaystyle F_{2,\ x_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O_{x_{0}}\}} 形式的集合，其中轨道 O x 0 {\displaystyle O_{x_{0}}} 定义为 O x 0 = { … ,   f − 2 ( x 0 ) ,   f − 1 ( x 0 ) ,   x 0 ,   f ( x 0 ) ,   f 2 ( x 0 ) ,   … } {\displaystyle O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}} 其中指数指的是函数f与自身复合的次数。注意 O x 0 = O f ( x 0 ) = O f − 2 ( x 0 ) ,   e t c . {\displaystyle O_{x_{0}}=O_{f(x_{0})}=O_{f^{-2}(x_{0})},\ {\rm {etc.}}} ，对 F 1 ,   x 0 {\displaystyle F_{1,\ x_{0}}} 也同样。理解叶状结构 F 1 {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}} 等效于理解映射f的动力学。若流形X已经叶化，则只要f是叶间映射，就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。 2-环面的克罗内克叶状结构是旋转 R α :   S 1 → S 1 {\displaystyle R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}} （角度为 α ∈ [ 0 ,   2 π ) {\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi )} ）的纬悬叶状结构。 更具体地说，若 Σ = Σ 2 {\displaystyle \Sigma =\Sigma _{2}} 是2洞环面， C 1 ,   C 2 ∈ Σ {\displaystyle C^{1},\ C^{2}\in \Sigma } 是两个嵌入圆，则 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是叶 Σ × { y } ,   y ∈ S 1 {\displaystyle \Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}} 的3-流形的积叶状结构 M = Σ × S 1 {\displaystyle M=\Sigma \times S^{1}} 。注意 N i = C i × S 1 {\displaystyle N_{i}=C_{i}\times S^{1}} 是嵌入环， F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截于 N i ,   i = 1 ,   2 {\displaystyle N_{i},\ i=1,\ 2} 。令 D i f f + ( S 1 ) {\displaystyle {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})} 表示 S 1 {\displaystyle S^{1}} 的保向微分同胚群，并择 f 1 ,   f 2 ∈ D i f f + ( S 1 ) {\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})} 。将M沿 N 1 ,   N 2 {\displaystyle N_{1},\ N_{2}} 切开， N i + ,   N i − {\displaystyle N_{i}^{+},\ N_{i}^{-}} 表示它们的副本。这时，流形 M ′ = Σ ′ × S 1 {\displaystyle M'=\Sigma '\times S_{1}} 有4个边界分量 { N i ± } i = 1 , 2 . {\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.} 叶状结构 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 横截边界 ∂ M ′ {\displaystyle \partial M'} 的叶状结构 F ′ {\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}} ，叶的形式为 Σ ′ × { y } ,   y ∈ S 1 {\displaystyle \Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}} 。 这片叶在4个圆 C i ± × { y } ⊂ N i ± {\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }} 中与 ∂ M ′ {\displaystyle \partial M'} 相遇。若 z ∈ C i {\displaystyle z\in C_{i}} ，则 C i ± {\displaystyle C_{i}^{\pm }} 中的对应点记作 z ± {\displaystyle z^{\pm }} ， N i − {\displaystyle N_{i}^{-}} 通过下列标识，“回到” N i + {\displaystyle N_{i}^{+}} ： ( z − , y ) ≡ ( z + , f i ( y ) ) , i = 1 , 2. {\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.} 由于 f 1 ,   f 2 {\displaystyle f_{1},\ f_{2}} 是 S 1 {\displaystyle S^{1}} 的保向微分同胚，因此与恒同（identity）同痕，由这操作得到的流形同胚于M。 F ′ {\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}} 的叶则重新组合，产生M新的叶状结构 F ( f 1 ,   f 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})} 。若 F ( f 1 ,   f 2 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})} 的叶L 包含一片 Σ ′ × { y 0 } {\displaystyle \Sigma '\times \{y_{0}\}} ，则 L = ⋃ g ∈ G Σ ′ × { g ( y 0 ) } , {\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},} 其中 G ⊂ D i f f + ( S 1 ) {\displaystyle G\subset {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})} 是由 { f 1 ,   f 2 } {\displaystyle \{f_{1},\ f_{2}\}} 生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连： ∀ z ∈ C 1 ,   ( z − ,   g ( y 0 ) ) ≡ ( z + ,   f 1 ( g ( y 0 ) ) ) {\displaystyle \forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))} ∀ z ∈ C 2 ,   ( z − ,   g ( y 0 ) ) ≡ ( z + ,   f 2 ( g ( y 0 ) ) ) {\displaystyle \forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))} 其中g在G上取值。叶完全由 y 0 ∈ S 1 {\displaystyle y_{0}\in S^{1}} 的G-轨道决定，可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G-轨道有限，则叶就是紧的。举个极端的例子，若G是平凡的 ( f 1 = f 2 = i d S 1 ) {\displaystyle (f_{1}=f_{2}={\rm {id}}_{S^{1}})} ，则 F ( f 1 ,   f 2 ) = F {\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})={\mathcal {F}}} 。若轨道在 S 1 {\displaystyle S^{1}} 中是稠密的，则对应的叶在M中也稠密。例如，若 f 1 ,   f 2 {\displaystyle f_{1},\ f_{2}} 是2π的有理独立倍的旋转，则每片叶都是稠密的。其他例子中，某些叶L的闭包 L ¯ {\displaystyle {\bar {L}}} 与每个因子 { w } × S 1 {\displaystyle \{w\}\times S^{1}} 在康托尔集中相遇。在 Σ × I {\displaystyle \Sigma \times I} 上也可做类似构造，其中I是紧非退化区间。这里，取 f 1 ,   f 2 ∈ D i f f + ( I ) {\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(I)} ，由于 ∂ I {\displaystyle \partial I} 通过所有保向微分同胚逐点固定了，所以可得一个以 ∂ M {\displaystyle \partial M} 的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ，就会得到有角叶状流形。无论哪种情形，这种构造都被称作微分同胚对的纬悬，提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。 假设一切都光滑，那么向量场之间有一种密切关系：给定M上不为零的向量场X，其积分曲线将给出1维叶状结构（即余维为n-1的叶状结构）。 这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理，即分布（流形切丛的n − p维子丛）与叶状结构的叶相切的充分必要条件是，与分布相切的向量场集对李括号闭合。这也可以解释为，将切丛的结构群从 G L ( n ) {\displaystyle {\rm {GL}}(n)} 约化为可约群。 弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件出现，并断言若满足条件，就能约化，因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如，对某（非规范） α ∈ Ω 1 {\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}} （即非零余向量场），余维为1时可定义叶状结构的切丛为 k e r ( α ) {\displaystyle {\rm {ker}}(\alpha )} 。若处处都有 α ∧ d α = 0 {\displaystyle \alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0} ，则给定的α可积。 由于存在拓扑约束，因此存在全局叶状结构理论。例如，曲面情形中，处处非零向量场只能存在于环面的有向紧曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理的结果，指出欧拉示性数需为0。其与切触几何有很多深层联系，专门研究不可积情形。 Haefliger (1970)给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston （1974, 1976）证明，任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。 弗罗贝尼乌斯定理 G结构 用叶状结构分类空间 里布叶状结构 紧叶状结构(Taut foliation) Candel & Conlon 2000，第5頁 Anosov 2001 harvnb error: no target: CITEREFAnosov2001 (help) Gourgoulhon 2012，第56頁 Reeb, G. Remarques sur les structures feuilletées (PDF). Bull. Soc. Math. France. 1959, 87: 445–450 [2024-01-05]. Zbl 0122.41603. doi:10.24033/bsmf.1539 . （原始内容存档 (PDF)于2024-01-05）.  Lawson 1974 Candel & Conlon 2000，第19頁 Candel & Conlon 2000，第20頁 Candel & Conlon 2000，第23頁 Candel & Conlon 2000，第25頁 Candel & Conlon 2000，第26頁 Candel & Conlon 2000，第27頁 Candel & Conlon 2000，第28頁 Candel & Conlon 2000，第29頁 Candel & Conlon 2000，第31頁 Candel & Conlon 2000，第32頁 Durfee, A.H. Foliations of Odd-Dimensional Spheres. Annals of Mathematics. Second Series. 1972, 96 (2): 407–411. JSTOR 1970795. doi:10.2307/1970795.  Anosov, D.V., Foliation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Candel, Alberto; Conlon, Lawrence. Foliations I. Graduate Studies in Mathematics 23. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2000. ISBN 0-8218-0809-5.  Candel, Alberto; Conlon, Lawrence. Foliations II. Graduate Studies in Mathematics 60. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-0809-5.  Gourgoulhon, Éric. 3+1 Formalism in General Relativity. Lecture Notes in Physics 846. Heidelberg, New York, Dordrecht, London: Springer. 2012 [2024-01-05]. ISBN 978-3-642-24524-4. doi:10.1007/978-3-642-24525-1. （原始内容存档于2023-09-22）.  Haefliger, André, Feuilletages sur les variétés ouvertes, Topology, 1970, 9 (2): 183–194, ISSN 0040-9383, MR 0263104, doi:10.1016/0040-9383(70)90040-6  Lawson, H. Blaine, Foliations, Bulletin of the American Mathematical Society, 1974, 80 (3): 369–418, ISSN 0002-9904, MR 0343289, doi:10.1090/S0002-9904-1974-13432-4   Moerdijk, Ieke; Mrčun, J., Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 91, Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-83197-0, MR 2012261  Reeb, Georges, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Sci. Ind., no. 1183, Hermann & Cie., Paris, 1952, MR 0055692  Thurston, William, The theory of foliations of codimension greater than one, Commentarii Mathematici Helvetici, 1974, 49: 214–231, ISSN 0010-2571, MR 0370619, S2CID 120603728, doi:10.1007/BF02566730 [失效連結] Thurston, William P., Existence of codimension-one foliations, Annals of Mathematics, Second Series, 1976, 104 (2): 249–268, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971047, MR 0425985, doi:10.2307/1971047  Foliations （页面存档备份，存于互联网档案馆） at the Manifold Atlas