实质条件

在命题演算，或在数学的逻辑演算中，实质条件、實質蘊涵或蕴涵算子是一种二元的真值泛函的逻辑运算符，它有着如下形式： 若A，則B。 这裡的A和B是陈述变量（可以被语言中任何有意义的可表示的句子所替代）。在这种形式的陈述中，第一项这裡的A，叫做前件；第二项这裡的B，叫做后件。 这个算子使用右箭头“→”（有时用符号“⇒”或“⊃”）来符号化，其語義僅爲“如果A為真，那么B亦為真”。它的常見寫法見下： A → B {\displaystyle A\to B} A ⊃ B {\displaystyle A\supset B} A ⇒ B {\displaystyle A\Rightarrow B} 須注意的是， ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 更常用於語意蘊含（等同符號 ⊨ {\displaystyle \vDash } ）。這也是大多數初學者易搞混的點。 涉及实质蕴涵的真值表定义如下： 由此可见， A → B {\displaystyle A\to B} 等价于 ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\lor B} 。 實質條件不要混淆於蘊涵關係 ⊨ {\displaystyle \models } 。但在多數邏輯包括經典邏輯中二者之間有密切關聯。例如下列原理成立： 如果 Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } 則 ∅ ⊨ ϕ 1 ∧ ⋯ ∧ ϕ n → ψ {\displaystyle \emptyset \models \phi _{1}\land \dots \land \phi _{n}\rightarrow \psi } 對于某些 ϕ 1 , … , ϕ n ∈ Γ {\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{n}\in \Gamma } 。（這是演繹定理的特定形式。） 上述的逆命題 → {\displaystyle \rightarrow } 和 ⊨ {\displaystyle \models } 而二者都是單調的；就是說如果 Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Gamma \models \psi } 則 Δ ∪ Γ ⊨ ψ {\displaystyle \Delta \cup \Gamma \models \psi } ，并且如果 ϕ → ψ {\displaystyle \phi \rightarrow \psi } 則 ( ϕ ∧ α ) → ψ {\displaystyle (\phi \land \alpha )\rightarrow \psi } 對於任何α, Δ。（用結構規則的術語說，這叫做弱化。） 但是這些原理不在所有邏輯中成立。它們顯著的不成立於非單調邏輯中，也不成立於相干邏輯中。 實質蘊涵的其他性質： 左分配律： A → ( B → C ) → ( ( A → B ) → ( A → C ) ) {\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))} 傳遞律：( A → B ) → ( ( B → C ) → ( A → C ) ) {\displaystyle A\rightarrow B)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow C))} 冪等律： A → A {\displaystyle A\rightarrow A} 真理保持:在其下所有變量被指派為真值‘真’的釋義生成真值‘真’作為實質蘊涵的結果。 前交換律：( A → ( B → C ) ) ≡ ( B → ( A → C ) ) {\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C))\equiv (B\rightarrow (A\rightarrow C))} 注意 A → ( B → C ) {\displaystyle A\rightarrow (B\rightarrow C)} 邏輯等價於 ( A ∧ B ) → C {\displaystyle (A\land B)\rightarrow C} ；這個性質有時叫做柯里化。由於這些性質，對→符號採用右結合約定是合適的。 在介绍逻辑的课本中经常包括的常见的练习是符号表示。这些练习给学生自然语言的一个句子或一段文本，学生必须把它们转换成符号语言。这是通过识别普通语言的等价的逻辑术语而完成的，这通常包括实质条件、析取、合取、否定和（经常的）双条件。更高级的逻辑书籍和介绍性读物的后续章节经常增加等号、存在量词和全称量词。 用来识别实质条件的、在普通语言中的一些短语包括，“如果/当”、“仅当”、“假定”、“假如”、“假设”、“蕴涵”、“即使”和“万一”。很多这些短语指示前件，另一些指示后件。正确识别“蕴涵方向”是重要的。比如，“A仅当B”被如下陈述捕获 A → B 而“A当B”被如下陈述正确捕获 B → A 蕴涵算符的中文意思包括“那么”“则”“是因为”“如果……就……”。 使用这个算子是逻辑学家规定的，作为结果，它产生了一些有爭議的真值推理陳述句。比如前件明顯为假設的，任何实质条件的整句陈述結果都是真值成立的。所以陈述句如“假設 2 {\displaystyle 2} 是奇数，則蕴涵了 2 {\displaystyle 2} 是偶数”這樣違反自然語言直覺的推理蕴涵是真的。类似的，后件为真的任何实质条件陳述都是真的。所以陈述“若天空的颜色是绿色，则巴黎是在法国”是真的。 这些有爭議的真值推理陳述句出现，是因为自然口语的人經常易受诱惑，而把实质条件和直陈条件或其他条件陈述如反事实条件，混淆在一起了。通过不把条件陈述读做“如果”和“则/那么”可以减轻这种诱惑。最常见的方式是把 A → B读做“要么不是情况 A {\displaystyle A} 要么是情况 B {\displaystyle B} （或二者）”，或更简单的“ A {\displaystyle A} 为假 或 B {\displaystyle B} 为真（或二者）”。（當 A {\displaystyle A} 为假，此式即已被淺薄的（trivial）滿足。这种陈述等价的自然口語方式，即是使用否定和析取(或)的逻辑符号 ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\vee B} 而获得的。） Brown, Frank Markham（2003）, Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003. Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell. Edgington, Dorothy (2006), "Conditionals", in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Eprint（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Quine, W.V.（1982）, Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA. Stalnaker, Robert. 'Indicative Conditionals'. Philosophia 5（1975）: 269–286. 陳力恒：〈如言、選言發微〉 陳力恒：〈關聯詞之邏輯關聯（页面存档备份，存于互联网档案馆）〉