坡印亭定理

在电磁学中，坡印亭定理（或称坡印廷定理）是用偏微分方程陈述的关于电磁场的能量守恒的定理，由英国物理学家约翰·亨利·坡印廷发现。坡印亭定理类似于经典力学中的动能定理，在数学形式上与连续性方程相似。它把能量密度u的时间导数，与能量的流动，以及与电磁场做功的速率联系起来。 用语言描述，此定理是说能量守衡： 此定理还有一种陈述： 数学上，用微分形式概括为： − ∂ u ∂ t = ∇ ⋅ S + J f ⋅ E {\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} _{f}\cdot \mathbf {E} } 其中 ∇•S 是坡印亭矢量（能量流）的散度，而 J•E 是场中带电物体做功的功率（J 为对应于电荷运动的自由电流密度，E 为电场强度，• 为点积）。能量密度 u 为： u = 1 2 ( E ⋅ D + B ⋅ H ) {\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)} 其中 D 是电位移矢量，B 是磁感应强度而 H 是磁场强度，ε0 是真空電容率，μ0 是真空磁导率。 由于电荷可以自由移动，D 与 H 场忽略任何束缚电荷和电流的电荷分布（由定义），J 是自由电流密度，不是全电流的电流密度。 利用散度定理，坡印亭定理可以改写为积分形式： − ∂ ∂ t ∫ V u d V = {\displaystyle -{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}udV=} ∯ {\displaystyle \oiint } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} S ⋅ d A + ∫ V J ⋅ E d V {\displaystyle \mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV} 其中 ∂ V {\displaystyle \partial V\!} 为 V 的边界。该体积的形状似任意的但对于计算是固定的。 在電機工程中，该定理通常写成以下把能量密度 u 展开的形式，這與流體力學之连续性方程相似： ∇ ⋅ S + ϵ 0 E ⋅ ∂ E ∂ t + B μ 0 ⋅ ∂ B ∂ t + J ⋅ E = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,} 其中 ϵ 0 E ⋅ ∂ E ∂ t {\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} 是驱动电场建立的无功功率的密度， B μ 0 ⋅ ∂ B ∂ t {\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} 是驱动磁场建立的无功功率的密度， J ⋅ E {\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} } 由洛仑兹力作用在载流子上损耗的电功率的密度。 虽然能量守恒定律和洛伦兹力定律可以导出该定理的一般形式，要推导坡印亭矢量的表达式并由此完整叙述，还需要用到馬克士威方程組。 考虑到以上叙述 - 这个定理有三个元素，涉及将（单位时间）能量转移写成体积分（英语：Volume integral）： 因为 u 是能量密度，对整个体积区域积分得到区域内储存的总能量 U，再对时间求（偏）导数得到能量变化率： U = ∫ V u d V   →   ∂ U ∂ t = ∂ ∂ t ∫ V u d V = ∫ V ∂ u ∂ t d V . {\displaystyle U=\int _{V}udV\ \rightarrow \ {\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}udV=\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}dV.} 离开区域的能流为坡印亭矢量的曲面积分，使用散度定理可以将其写作： ∯ {\displaystyle \oiint } ∂ V {\displaystyle \scriptstyle \partial V} S ⋅ d A = ∫ V ∇ ⋅ S d V . {\displaystyle \mathbf {S} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV.} 把某一电荷分布上的洛伦兹力密度 f 在整个体积上积分得到总受力 F 为 f = ρ E + J × B   →   ∫ V f d V = F = ∫ V ( ρ E + J × B ) d V , {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \ \rightarrow \ \int _{V}\mathbf {f} dV=\mathbf {F} =\int _{V}(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} )dV,} 其中 ρ 为该分布的電荷密度而 v 为其速度。因为 J = ρ v {\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} } ，该力做功的速率为 F ⋅ d r d t = F ⋅ v = ∫ V ( ρ E ⋅ v + ρ v × B ⋅ v ) d V   →   F ⋅ v = ∫ V E ⋅ J d V . {\displaystyle \mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =\int _{V}(\rho \mathbf {E} \cdot \mathbf {v} +\rho \mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathbf {v} )dV\ \rightarrow \ \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =\int _{V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} dV.} 所以，根据能量守恒定律，单位时间内的能流平衡方程是该定理的积分形式： − ∫ V ∂ u ∂ t d V = ∫ V ∇ ⋅ S d V + ∫ V J ⋅ E d V , {\displaystyle -\int _{V}{\frac {\partial u}{\partial t}}dV=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {S} dV+\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} dV,} 由于体积 V 是任意的，对所有体积来说都是成立的，这意味着 − ∂ u ∂ t = ∇ ⋅ S + J ⋅ E , {\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,} 这是坡印廷定理的微分形式。 从定理可以得到坡印亭矢量 S 的实际形式。能量密度的时间导数（运用向量点乘的乘积法则）为 ∂ u ∂ t = 1 2 ( E ⋅ ∂ D ∂ t + D ⋅ ∂ E ∂ t + H ⋅ ∂ B ∂ t + B ⋅ ∂ H ∂ t ) = E ⋅ ∂ D ∂ t + H ⋅ ∂ B ∂ t , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {D} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}}\right)=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},} 使用本构关系[需要解释] D = ϵ 0 E , B = μ 0 H . {\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} .} 时间偏导意味着要用到馬克士威方程組的两个方程。求麦克斯韦–法拉第方程与 H 的点积： ∂ B ∂ t = − ∇ × E   →   H ⋅ ∂ B ∂ t = − H ⋅ ∇ × E , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\nabla \times \mathbf {E} \ \rightarrow \ \mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=-\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,} 再求麦克斯韦–安培方程与 E 的点积： ∂ D ∂ t + J = ∇ × H   →   E ⋅ ∂ D ∂ t + E ⋅ J = E ⋅ ∇ × H . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} \ \rightarrow \ \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} =\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} .} 总和目前的结果得到： − ∇ ⋅ S = ∂ u ∂ t + J ⋅ E = ( H ⋅ ∂ B ∂ t + E ⋅ ∂ D ∂ t ) + J ⋅ E = E ⋅ ∇ × H − H ⋅ ∇ × E , {\displaystyle {\begin{aligned}-\nabla \cdot \mathbf {S} &={\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\left(\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \\&=\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} -\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} ,\\\end{aligned}}} 然后，利用向量微积分恒等式： ∇ ⋅ E × H = H ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ × H , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} =\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} ,} 给出了坡印廷矢量的表达式： S = E × H , {\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,} 物理上意味着由于时变电场和磁场的能量传递与这两种场垂直。 坡印亭矢量 Poynting, J. H. On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1884, 175: 343–361. doi:10.1098/rstl.1884.0016.  Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, p.364, ISBN 81-7758-293-3 Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, chapters 2 and 6, ISBN 9-780471-927129 ScienceWorld上的“坡印亭定理” （页面存档备份，存于互联网档案馆）