鑒相器特性函數

鑒相器特性函數（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述鉴相器的輸出。 在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性。 若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。 鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。 鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真。 考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。 此處 f 1 ( θ 1 ( t ) ) {\displaystyle f^{1}(\theta ^{1}(t))} and f 2 ( θ 2 ( t ) ) {\displaystyle f^{2}(\theta ^{2}(t))} 是高頻信號，分段可微函數 f 1 ( θ ) {\displaystyle f^{1}(\theta )} , f 2 ( θ ) {\displaystyle f^{2}(\theta )} 是輸入信號的波形， θ 1 , 2 ( t ) {\displaystyle \theta ^{1,2}(t)} 是相位，而 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 是濾波器的輸出。 若 f 1 , 2 ( θ ) {\displaystyle f^{1,2}(\theta )} 和 θ 1 , 2 ( t ) {\displaystyle \theta ^{1,2}(t)} 滿足高頻條件（高頻條件在），則 鑒相器特性函數 ϕ ( θ ) {\displaystyle \phi (\theta )} 會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出 g ( t ) = ∫ 0 t f 1 ( θ 1 ( t ) ) f 2 ( θ 2 ( t ) ) d t {\displaystyle g(t)=\int \limits _{0}^{t}f^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t))dt} 和相域—頻域模型的濾波輸出 G ( t ) = ∫ 0 t φ ( θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) ) d t {\displaystyle G(t)=\int \limits _{0}^{t}\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))dt} 幾乎相等 g ( t ) − G ( t ) ≈ 0 {\displaystyle g(t)-G(t)\approx 0} 考慮簡單的弦波輸入 f 1 ( θ ) = sin ⁡ ( θ ) , {\displaystyle f^{1}(\theta )=\sin(\theta ),} f 2 ( θ ) = cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle f^{2}(\theta )=\cos(\theta )} 以及積分器濾波器。 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) ) cos ⁡ ( θ 2 ( t ) ) = 1 2 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) + θ 2 ( t ) ) + 1 2 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) ) {\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t))\cos(\theta ^{2}(t))={\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))+{\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))} 標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) + θ 2 ( t ) ) {\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))} ，不改變其低頻訊號 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) ) {\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))} 。 因此，其弦波訊號的鑒相器特性為 φ ( θ ) = 1 2 sin ⁡ ( θ ) . {\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2}}\sin(\theta ).} 考慮高頻方波信號 f 1 ( t ) = sgn ⁡ ( sin ⁡ ( θ 1 ( t ) ) ) {\displaystyle f^{1}(t)=\operatorname {sgn}(\sin(\theta ^{1}(t)))} and f 2 ( t ) = sgn ⁡ ( cos ⁡ ( θ 2 ( t ) ) ) {\displaystyle f^{2}(t)=\operatorname {sgn}(\cos(\theta ^{2}(t)))} 。 針對此訊號，已有論文研究出類似的結果 。 方波訊號的鑒相器特性為 φ ( θ ) = { 1 + 2 θ π , if  θ ∈ [ − π , 0 ] , 1 − 2 θ π , if  θ ∈ [ 0 , π ] . {\displaystyle \varphi (\theta )={\begin{cases}1+{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [-\pi ,0],\\1-{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [0,\pi ].\\\end{cases}}} 考慮一般情形的片段連續輸入信號 f 1 ( θ ) {\displaystyle f^{1}(\theta )} , f 2 ( θ ) {\displaystyle f^{2}(\theta )} 。 輸入信號可以展開為傅立葉級數， f 1 ( θ ) {\displaystyle f^{1}(\theta )} 和 f 2 ( θ ) {\displaystyle f^{2}(\theta )} 傅立葉級數的係數如下： a i p = 1 π ∫ − π π f p ( x ) sin ⁡ ( i x ) d x , {\displaystyle a_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\sin(ix)dx,} b i p = 1 π ∫ − π π f p ( x ) cos ⁡ ( i x ) d x , {\displaystyle b_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\cos(ix)dx,} c i p = 1 π ∫ − π π f p ( x ) d x , p = 1 , 2 {\displaystyle c_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)dx,p=1,2} 鑒相器特性為 φ ( θ ) = c 1 c 2 + 1 2 ∑ l = 1 ∞ ( ( a l 1 a l 2 + b l 1 b l 2 ) cos ⁡ ( l θ ) + ( a l 1 b l 2 − b l 1 a l 2 ) sin ⁡ ( l θ ) ) . {\displaystyle \varphi (\theta )=c^{1}c^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\bigg (}(a_{l}^{1}a_{l}^{2}+b_{l}^{1}b_{l}^{2})\cos(l\theta )+(a_{l}^{1}b_{l}^{2}-b_{l}^{1}a_{l}^{2})\sin(l\theta ){\bigg )}.} 顯然，鑒相器特性 φ ( θ ) {\displaystyle \varphi (\theta )} 是在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 內的週期性、連續有界函數。 有些專利是有關此分析方式的結果。 A. J. Viterbi, Principles of Coherent Communication, McGraw-Hill, New York, 1966 Leonov G.A.; Kuznetsov N.V.; Yuldashev M.V.; Yuldashev R.V. Analytical method for computation of phase-detector characteristic (PDF). IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II. 2012, 59 (10): 633–637 [2021-05-21]. doi:10.1109/TCSII.2012.2213362. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-20）.  G. A. Leonov; N. V. Kuznetsov; M. V. Yuldashev; R. V. Yuldashev. Computation of Phase Detector Characteristics in Synchronization Systems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 586–590 [2021-05-21]. doi:10.1134/S1064562411040223. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-20）.  N.V. Kuznetsov; G.A. Leonov; M.V. Yuldashev; R.V. Yuldashev. Analytical methods for computation of phase-detector characteristics and PLL design. ISSCS 2011 - International Symposium on Signals, Circuits and Systems, Proceedings. 2011: 7–10. doi:10.1109/ISSCS.2011.5978639.  G. A. Leonov. Computation of phase detector characteristics in phase locked loops for clock synchronization. Doklady Mathematics. 2008, 78 (1): 643–645. doi:10.1134/S1064562408040443.  Patent RU 2011113212/08(019571)