拉東變換

數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數 f {\displaystyle f} 變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數 R f {\displaystyle {\cal {R}}f} ( R f {\displaystyle {\cal {R}}f} 的意思是對 f {\displaystyle f} 做拉東變換)，而 R f {\displaystyle {\cal {R}}f} 的值為函數 f {\displaystyle f} 對該條線 R f {\displaystyle {\cal {R}}f} 做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是 f {\displaystyle f} ， A {\displaystyle A} 線則是代表 R f {\displaystyle {\cal {R}}f} 。 拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。 三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是X射线变换（英语：X-ray_transform）)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要参见Integral geometry（英语：Integral_geometry）。 在複數上有和拉東變換相似的Penrose变换（英语：Penrose_transform），拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。 若函數 f {\displaystyle f} 表示一個未知的密度，對 f {\displaystyle f} 做拉東變換，相當於得到 f {\displaystyle f} 投影後的訊號，舉例來說： f {\displaystyle f} 相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的 f {\displaystyle f} 。 因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。 拉東變換後的訊號稱作正弦圖（sinogram），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。 拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、大分子装配（英语：Macromolecular_assembly）（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震学，而且也是雙曲線偏微分方程的解。 令密度函數 f ( x ) = f ( x , y ) {\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)} 是一個的定義域為 R 2 {\displaystyle {\bf {R}}^{2}} 的緊支撐。令 R {\displaystyle {\cal {R}}} 為拉東變換的運算子(operator)，則 R f ( x , y ) {\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)} 是一個定義在 R 2 {\displaystyle {\bf {R}}^{2}} 空間中的直線 L {\displaystyle L} ，它的定義如下 R f ( L ) = ∫ L f ( x ) | d x | {\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|} 可以把直線 L {\displaystyle L} 改寫成一個弧長 z {\displaystyle z} 的參數式 ( x ( z ) , y ( z ) ) = ( ( z sin ⁡ α + s cos ⁡ α ) , ( − z cos ⁡ α + s sin ⁡ α ) ) {\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,} s {\displaystyle s} 是直線 L {\displaystyle L} 和原點的距離，而 α {\displaystyle \alpha } 是垂直於 L {\displaystyle L} 的法線和 x {\displaystyle x} 軸的夾角， 接下來，我們可以令 ( α , s ) {\displaystyle (\alpha ,s)} 當作 R 2 {\displaystyle {\bf {R}}^{2}} 平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到 R f ( α , s ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ( z ) , y ( z ) ) d z = ∫ − ∞ ∞ f ( ( z sin ⁡ α + s cos ⁡ α ) , ( − z cos ⁡ α + s sin ⁡ α ) ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}} 更進一步，我們可以把 R 2 {\displaystyle {\bf {R}}^{2}} 推廣到 R n {\displaystyle {\bf {R}}^{n}} 的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數 f {\displaystyle f} 做拉東變換後的函數 R f {\displaystyle {\cal {R}}f} 是定義在 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 的超平面上， R f ( ξ ) = ∫ ξ f ( x ) d σ ( x ) , f o r ξ ∈ Σ n {\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}} 積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而 d Δ {\displaystyle d\Delta } 是原本的 | d x | {\displaystyle |d{\bf {x}}|} 的高維推廣。可以觀察到對 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 裡的任意元素， 都是某個軌跡方程式的解 x ⋅ α = s . {\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.} 而 α {\displaystyle \alpha } 是一個單位向量且屬於 S n − 1 {\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}} ， s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } ，n維的拉東變換可以改寫成定義在 S n − 1 × R {\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}} 上的函數 R f ( α , s ) = ∫ x ⋅ α = s f ( x ) d σ ( x ) {\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )} 也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對 R n {\displaystyle {\bf {R}}^{n}} 的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。 而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。 拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是 f ^ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ω d x {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx} 而雙變數 ( x ) = ( x , y ) {\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)} 的傅立葉變換是 f ^ ( w ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ⋅ w d x d y {\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy} 把拉東變換的運算子的表記從 R [ f ] ( s ) {\displaystyle {\cal {R}}[f](s)} 改成 R [ f ] ( α , s ) {\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)} 。根據投影切片定理學說， R α [ f ] ^ ( σ ) = f ^ ( σ n ( α ) ) , n ( α ) = ( cos ⁡ α , sin ⁡ α ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )} 因此一個初始函數沿著一條線傾角 α {\displaystyle \alpha } 的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維 f ^ ( r α ) = ∫ − ∞ ∞ R f ( α , s ) e − 2 π i s r d s {\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds} 對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} 上的函數 g {\displaystyle g} ，而對偶拉東變換的運算子定義為 R ∗ {\displaystyle {\cal {R}}^{*}} 。作用在 g {\displaystyle g} 上 R ∗ g ( x ) = ∫ x ∈ ξ g ( ξ ) d μ ( ξ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )} 積分的範圍是所有和 x ∈ R 2 {\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}} 相交的超平面集合，而測度(measure) d μ {\displaystyle d\mu } 是集合 ξ | x ∈ ξ {\displaystyle \xi |x\in \xi } 特殊的機率測度(Probability measure)， 當對著 x {\displaystyle x} 旋轉時， d μ {\displaystyle d\mu } 的值不會改變 對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是 R ∗ g ( x ) = 1 2 π ∫ α = 0 2 π g ( α , n ( α ) ⋅ x ) d α {\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha } 在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。 交結性質 根據拉普拉斯算子 Δ {\displaystyle \Delta } 在 R n {\displaystyle {\bf {R}}^{n}} 的定義是 Δ = ∂ 2 ∂ x 1 2 + ⋯ + ∂ 2 ∂ x n 2 {\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}} 這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間 Σ n {\displaystyle \Sigma _{n}} ，半徑的二階導數 L f ( α , s ) ≡ ∂ 2 ∂ s 2 f ( α , s ) {\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)} 也是旋轉不變性。 而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為 R ( Δ f ) = L ( R f ) , R ∗ ( L g ) = Δ ( R ∗ g ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)} 重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數 f {\displaystyle f} 。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。 拉東反變換公式 對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula) f {\displaystyle f} ，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為 f ( x ) = ∫ 0 π ( R f ( ⋅ , θ ) ∗ h ) ( ⟨ x , n θ ⟩ ) d θ {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta } 函數 h {\displaystyle h} 滿足 h ^ ( k ) = | k | {\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|} ，卷積核 (convolution kernel) h {\displaystyle h} 在一些文章中稱作Ramp filter。 不適定問題 (ill-posedness) 直覺上，反變換公式應該和微分類似， d d x ^ f ( x ) = i k f ^ ( k ) {\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)} 。我們可以看的出來反變換公式 的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出 R ∗ R g ^ ( k ) = 1 | | k | | g ^ ( k ) {\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )} R ∗ {\displaystyle {\cal {R}}^{*}} 即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此 g ( x ) = e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }} ，上式變成 R ∗ R g = 1 | | k | | e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }} 複數指數函數 e i ⟨ k 0 , x ⟩ {\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }} ，是 R ∗ R {\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}} 的固有函數 (eigenfunction) ， 而特徵值 (eigenvalue)為 1 | | k | | {\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}} 。 R {\displaystyle {\cal {R}}} 的奇異值 (singular values) 是 1 | | k | | {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}} ， 因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以 R − 1 {\displaystyle {\cal {R}}^{-1}} 是無界的(unbounded) 。 外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由 c n f = ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 R ∗ { R f } {\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}} 其中 c n = ( 4 π ) ( n − 1 ) / 2 Γ ( n / 2 ) Γ ( 1 / 2 ) {\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}} 而 Δ {\displaystyle \Delta } 是拉普拉斯算子(Laplacian)， ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}} 是偽微分算子(pseudodifferential operator) F [ ( − Δ ) ( n − 1 ) / 2 ϕ ] ( ξ ) = | 2 π ξ | n − 1 F ϕ ( ξ ) . {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).} F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 是傅立葉變換的運算子(operator)。 反摺積 X-ray變換（英语：X-ray transform） Funk變換（英语：Funk transform） 霍夫變換 疊代稀疏漸近最小方差算法 存档副本. 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