自然密度

自然密度（英語：natural density），又称渐进密度（英語：asymptotic density），是数论中度量自然数子集大小的工具之一。 以平方数集和自然数集的大小关系为例： 平方数集与自然数集都是可数无穷集，我们能够在两个集合间建立一一映射（对于任意的自然数 n {\displaystyle n} 都可以找到对应的平方数 n 2 {\displaystyle n^{2}} 与之对应，反之亦然），即两个集合是等势的。 然而，这种基于基数的大小比较违反了自然数多于平方数的直观认识，因为所有平方数都是自然数，而却有许多自然数不是平方数，且随着自然数的增大平方数会变得越来越稀少。通过将这种度量集合大小的直觉严格化，可以得到自然密度这一概念。 考虑自然数的一个子集 A {\displaystyle A} 和整数区间 [ 1 , n ] {\displaystyle [1,n]} ： 如果从整数区间 [ 1 , n ] {\displaystyle [1,n]} 中随机选取一个整数，那么这个整数属于 A {\displaystyle A} 的概率应该等于 A {\displaystyle A} 与整数区间 [ 1 , n ] {\displaystyle [1,n]} 的交集中的所有元素在整数区间 [ 1 , n ] {\displaystyle [1,n]} 中的占比。当 n {\displaystyle n} 趋近于无穷时，若上述概率也趋近于某个极限，则将该极限定义为 A {\displaystyle A} 的自然密度。 A {\displaystyle A} 的自然密度也可以被理解为：任取一个自然数，该自然数属于 A {\displaystyle A} 的概率。 自然密度（以及一些其他类型的密度）也是概率数论（英语：Probabilistic number theory）的研究对象。 与施尼勒尔曼密度不同，并不是任何自然数的子集都有自然密度。这是自然密度的一个不足之处。 对于一个自然数集的子集 A {\displaystyle A} ，当 n {\displaystyle n} 趋向于无穷时，若 A {\displaystyle A} 中不大于 n {\displaystyle n} 的元素个数与 n {\displaystyle n} 的比值收敛到 α {\displaystyle \alpha } ，则称 A {\displaystyle A} 的自然密度为 α {\displaystyle \alpha } 。 更进一步，若定义 a ( n ) {\displaystyle a(n)} 为 A {\displaystyle A} 里不大于 n {\displaystyle n} 的元素个数，那么命题“ A {\displaystyle A} 的自然密度为 α {\displaystyle \alpha } ”等效于： a ( n ) n → α {\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha } ，当 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 从定义中可以看出，若 α {\displaystyle \alpha } 是某个集合 A {\displaystyle A} 的自然密度，则一定有 0 ≤ α ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1} 。 设 A {\displaystyle A} 是自然数集 N = { 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}} 的一个子集。对任何 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，定义 A ( n ) = { 1 , 2 , … , n } ∩ A {\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A} ， a ( n ) = | A ( n ) | {\displaystyle a(n)=|A(n)|} 。 则 A {\displaystyle A} 的上自然密度（英語：upper asymptotic density）为： d ¯ ( A ) = lim sup n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} 其中 lim sup {\displaystyle \limsup } 是上极限。 d ¯ ( A ) {\displaystyle {\overline {d}}(A)} 也可简称为 A {\displaystyle A} 的上密度。  同样地，定义A的下自然密度（英語：lower asymptotic density）为： d _ ( A ) = lim inf n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} 1. 由上自然密度和下自然密度的定义，我们也可以说 A {\displaystyle A} 的自然密度 d ( A ) {\displaystyle d(A)} 是： 若 d ¯ ( A ) = d _ ( A ) {\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)} ，则 d ( A ) {\displaystyle d(A)} 等于 d ¯ ( A ) {\displaystyle {\overline {d}}(A)} （或 d _ ( A ) {\displaystyle {\underline {d}}(A)} ） 。 2. 自然密度的定义还可以表示为： d ( A ) = lim n → ∞ a ( n ) n {\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}} （若极限存在） 3. 可以证明，下述命题也是自然密度的定义： 若将自然数集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的子集 A {\displaystyle A} 写作一个递增数列： A = { a 1 < a 2 < … < a n < … ; n ∈ N } {\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}} 那么 d _ ( A ) = lim inf n → ∞ n a n , {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},} d ¯ ( A ) = lim sup n → ∞ n a n {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}} d ( A ) = lim n → ∞ n a n {\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}} （若极限存在） 一个稍弱的密度定义是 上Banach密度（英語：upper Banach density）。对于 A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } ，定义 d ∗ ( A ) {\displaystyle d^{*}(A)} 为： d ∗ ( A ) = lim sup N − M → ∞ | A ∩ { M , M + 1 , … , N } | N − M + 1 {\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}} 若对于集合 A {\displaystyle A} 存在 d ( A ) {\displaystyle d(A)} ，则对于其补集 A ∁ {\displaystyle A^{\complement }} ， d ( A ∁ ) = 1 − d ( A ) {\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)} 成立。 若 d ( A ) {\displaystyle d(A)} ， d ( B ) {\displaystyle d(B)} 及 d ( A ∪ B ) {\displaystyle d(A\cup B)} 均存在，则 max { d ( A ) , d ( B ) } ≤ d ( A ∪ B ) ≤ min { d ( A ) + d ( B ) , 1 } {\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}} 成立。 自然数集的自然密度为 1 {\displaystyle 1} ，即 d ( N ) = 1 {\displaystyle d(\mathbb {N} )=1} 成立。 对于自然数集的任意有限子集 F {\displaystyle F} , 有 d ( F ) = 0 {\displaystyle d(F)=0} 成立。 对于平方数集 A = { n 2 ; n ∈ N } {\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}} ，有 d ( A ) = 0 {\displaystyle d(A)=0} 成立。 对于偶数集 A = { 2 n ; n ∈ N } {\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}} ，有 d ( A ) = 0.5 {\displaystyle d(A)=0.5} 成立。更一般地，对于等差级数组成的集合 A = { a n + b ; n ∈ N } {\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}} ，有 d ( A ) = 1 a {\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}} 成立。 对于质数集合 P {\displaystyle P} ，由质数定理知： d ( P ) = 0 {\displaystyle d(P)=0} 成立。 无平方数因数的数的集合的自然密度为 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} 。更一般地，无 n {\displaystyle n} 次方因数的数的集合的自然密度为 1 ζ ( n ) {\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}} ，其中 ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} 是黎曼ζ函數。 过剩数集合具有非零的自然密度。Marc Deléglise在1998年证明了过剩数和完全数的集合的自然密度在0.2474与0.2480之间。 所有在二进制表示法中位数为奇数的自然数的集合，即 A = ⋃ n = 0 ∞ { 2 2 n , … , 2 2 n + 1 − 1 } {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}} ，不存在自然密度。这是因为该集合的上自然密度不等于下自然密度。 其上自然密度为： d ¯ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 1 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 1 − 1 ) = 2 3 {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}} 而其下自然密度为： d _ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 2 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 2 − 1 ) = 1 3 {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}} 同样，所有十进制表示法中以 1 {\displaystyle 1} 开头的自然数的集合也不具有自然密度。其上自然密度为 5 9 {\displaystyle {\frac {5}{9}}} 而其下自然密度为 1 9 {\displaystyle {\frac {1}{9}}} 。 对区间[0,1]上的任意Equidistributed序列（英语：equidistributed sequence） { α n } n ∈ N {\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} ，定义单调集族 { A x } x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}} : A x := { n ∈ N : α n < x } {\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}} 则依定义有： 对于任意的 x {\displaystyle x} ， d ( A x ) = x {\displaystyle d(A_{x})=x} 。 若 S {\displaystyle S} 有正的上自然密度，则塞迈雷迪定理（英语：Szemerédi's theorem）表明 S {\displaystyle S} 包含了任意长度的等差数列。Furstenberg–Sárközy定理（英语：Furstenberg–Sárközy theorem）表明， S {\displaystyle S} 内一定存在差为平方数的两个元素。 用类似的方法可以定义出自然数集上的其他密度函数。 例如，集合 A {\displaystyle A} 的对数密度（英語：logarithmic density）可以定义为： δ ( A ) = lim x → ∞ 1 log ⁡ x ∑ n ∈ A , n ≤ x 1 n {\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}} （若极限存在） 同样也可以定义对应的上对数密度和下对数密度。 狄利克雷密度（英语：Dirichlet density） 施尼勒尔曼密度 Nathanson, Melvyn B. 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