初值問題

在數學裏，初值問題是一個涉及微分方程式與一些初始條件的問題；這初始條件是微分方程式的未知函數在某些點的設定值。 以下是一些初值問題的例子： y ′ = 0.85 y , y ( 0 ) = 19 {\displaystyle y'=0.85y,\qquad y(0)=19} y ˙ + 3 y = 6 t + 5 , y ( 0 ) = 3 {\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3} 一個初值問題涉及微分方程式 y ′ ( t ) = f ( t ,   y ( t ) ) with f : R × R → R {\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\quad {\text{with}}\quad f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!} ， 與在 f {\displaystyle f\,\!} 的定義域內的一點 ( t 0 ,   y 0 ) ∈ R × R {\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,\!} 。 這在 f {\displaystyle f\,\!} 的定義域內的點 ( t 0 ,   y 0 ) {\displaystyle (t_{0},\ y_{0})\,\!} 稱為初始條件。 假若初值問題的一個解是函數 y {\displaystyle y\,\!} ，則 y {\displaystyle y\,\!} 是微分方程式 y ′ ( t ) = f ( t ,   y ( t ) ) {\displaystyle y'(t)=f(t,\ y(t))\,\!} 的解，滿足 y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y(t_{0})=y_{0}\,\!} 。 對於更高階的問題，可視 y {\displaystyle \mathbf {y} \,\!} 為向量。每加高一個階，就増添一個分量給 y {\displaystyle \mathbf {y} \,\!} 。 對於許多的初值問題，解的存在性及唯一性可以用計算機來描述。 若ƒ在一個包括t0及y0的區間內連續，且對變數y滿足利普希茨連續的條件．則皮卡-林德勒夫定理可保證在一個包括t0的區間有唯一解。 此定理的證明需將問題變成等價的積分方程，積分可視為將一個函數映射為另一個函數的運算子，因此其解為運算子的不動點，再利用巴拿赫不动点定理證明有一個唯一的不動點．即為初值問題的解。 較早期證明皮卡-林德勒夫定理的方式是建構一個函數的數列，最終會收斂到積分方程的解，也就是初值問題的解。這種建構法稱為「皮卡法」或是「連續近似法」，是巴拿赫不动点定理的一個特例。 日本數學家岡村博（日语：岡村博）找到一個初值問題有唯一解的充分必要條件，其條件是要證實系統的李亞普諾夫函數存在。 有些情形，函數ƒ不是光滑函数，甚至不是利普希茨連續，因此一般可確認局部唯一解的方式無法適用。皮亚诺存在性定理可以在函數ƒ僅僅為連續函數的情形，證明存在局部解。不過此時無法證明解的唯一性。卡拉特歐多存在性定理（英语：Carathéodory existence theorem）可適用的範圍更廣，可以在ƒ是一些特定不連續函數的情形下證明局部解是否存在。 例一 一個簡單的範例是求解 y ′ = 0.85 y {\displaystyle y'=0.85y} 及 y ( 0 ) = 19 {\displaystyle y(0)=19} ，要求出一個 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 滿足上述二式。 由於 y ′ = d y d t {\displaystyle y'={\frac {dy}{dt}}} ，因此 d y d t = 0.85 y {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=0.85y} 接下來重新整理方程式，使 y {\displaystyle y} 在等式左邊， t {\displaystyle t} 在等式右邊 d y y = 0.85 d t {\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt} 再將等式二邊積分，會引入未知常數 B {\displaystyle B} ln ⁡ | y | = 0.85 t + B {\displaystyle \ln |y|=0.85t+B} 消去 ln {\displaystyle \ln } | y | = e B e 0.85 t {\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}} 令 C {\displaystyle C} 為一個新的未知常數， C = ± e B {\displaystyle C=\pm e^{B}} ，因此 y = C e 0.85 t {\displaystyle y=Ce^{0.85t}} 現在需要找出 C {\displaystyle C} 的數值。利用 y ( 0 ) = 19 {\displaystyle y(0)=19} 的啟始條件，將 t {\displaystyle t} 代入0， y {\displaystyle y} 代入19 19 = C e 0.85 ∗ 0 {\displaystyle 19=Ce^{0.85*0}} C = 19 {\displaystyle C=19} 因此可得其解為 y ( t ) = 19 e 0.85 t {\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}} . 例二 y ˙ + 3 y = 6 t + 5 , y ( 0 ) = 3 {\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3} 利用拉普拉斯变换 s Y ( s ) − y ( 0 ) + 3 Y ( s ) = 6 s 2 + 5 s {\displaystyle sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}} ∴ Y ( s ) = y ( 0 ) s 2 + 5 s + 6 s 2 ( s + 3 ) {\displaystyle \therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}} 利用部分分式分解 Y ( s ) = α s + β s 2 + γ s + 3 {\displaystyle Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}} α = 1 , β = 2 , γ = y ( 0 ) − 1 {\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1} Y ( s ) = 1 s + 2 s 2 + y ( 0 ) − 1 s + 3 {\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}} 拉普拉斯逆變換 y ( t ) = 2 e − 3 t + 2 t + 1 {\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,} 邊值問題 柯西问题 Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 （法语）.  Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955. Theorem 1.3 Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8. Theorem 2.6