龙格-库塔法

数值分析中，龙格-库塔法（英文：Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。 在各種龙格－库塔法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。 令初值问题表述如下。 y ′ = f ( t , y ) , y ( t 0 ) = y 0 {\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}} 则，对于该问题的RK4由如下方程给出： y n + 1 = y n + h 6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})} 其中 k 1 = f ( t n , y n ) {\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)} k 2 = f ( t n + h 2 , y n + h 2 k 1 ) {\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)} k 3 = f ( t n + h 2 , y n + h 2 k 2 ) {\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)} k 4 = f ( t n + h , y n + h k 3 ) {\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)} 这样，下一个值（yn+1）由现在的值（yn）加上时间间隔（h）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均： k1是时间段开始时的斜率； k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值； k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值； k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。 当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值： slope = k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 6 . {\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.} RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。 注意上述公式对于标量或者向量函数（y可以是向量）都适用。 显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出 y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i , {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},} 其中 k 1 = f ( t n , y n ) , {\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,} k 2 = f ( t n + c 2 h , y n + a 21 h k 1 ) , {\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,} k 3 = f ( t n + c 3 h , y n + a 31 h k 1 + a 32 h k 2 ) , {\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\,} ⋮ {\displaystyle \vdots } k s = f ( t n + c s h , y n + a s 1 h k 1 + a s 2 h k 2 + ⋯ + a s , s − 1 h k s − 1 ) . {\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).} （注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。 要给定一个特定的方法，必须提供整数s（级数），以及系数 aij（对于1 ≤ j < i ≤ s）, bi（对于i = 1, 2, ..., s）和ci（对于i = 2, 3, ..., s）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau（得名自約翰·C·布徹（英语：John C. Butcher））： 龙格－库塔法是自洽的，如果 ∑ j = 1 i − 1 a i j = c i   f o r   i = 2 , … , s . {\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.} 如果要求方法的精度為p階，即截斷誤差為O(hp+1)的，则还有相应的条件。这些可以从截斷誤差本身的定义中导出。例如，一个2级2阶方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。 RK4法处于这个框架之内。其表为： 然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法，其公式為 y n + 1 = y n + h f ( t n , y n ) {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})} 。这是唯一自洽的一级显式龙格－库塔法。相应的表为： 以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式： y n + 1 = y n + h ∑ i = 1 s b i k i , {\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},} 其中 k i = f ( t n + c i h , y n + h ∑ j = 1 s a i j k j ) , i = 1 , … , s . {\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.} 在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数 a i j {\displaystyle a_{ij}} 的矩阵是一个下三角矩阵，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别： c 1 a 11 a 12 … a 1 s c 2 a 21 a 22 … a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c s a s 1 a s 2 … a s s b 1 b 2 … b s = c A b T {\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}} 需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組，这相应的增加了计算的成本。 George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.) Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8. William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)