满射

满射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱满射函数或映成函數，一个函数 f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} 为满射，則对于任意的陪域 Y {\displaystyle Y} 中的元素 y {\displaystyle y} ，在函数的定义域 X {\displaystyle X} 中存在一點 x {\displaystyle x} 使得 f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} 。换句话说， f {\displaystyle f} 是满射時，它的值域 f ( X ) {\displaystyle f(X)} 与陪域 Y {\displaystyle Y} 相等，或者，等价地，如果每一个陪域中的元素 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} 其原像 f − 1 ( y ) ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq X} 不等於空集合。 函数 g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } ，定义为 g ( x ) = x 2 {\displaystyle g(x)=x^{2}} ，不是一个满射，因为，（舉例）不存在一个实数满足 x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} 。 但是，如果把 g {\displaystyle g} 的陪域限制到只有非负实数，则函数 g {\displaystyle g} 为满射。这是因为，给定一个任意的非负实数 y {\displaystyle y} ，我们能对 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} 求解，得到 x = ± y {\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}} 。 根据定义，函数为双射当且仅当它既是满射也是单射。 若將定義在 X {\displaystyle X} 上的函數 f {\displaystyle f} ，視為其圖像，即 { ( x , f ( x ) ) : x ∈ X } {\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}} （集合論經常如此行），則滿射與否，不僅是 f {\displaystyle f} 的性質，而是映射（需要聲明陪域）的性質。單射與否可以單憑圖像判斷，但滿射則不同，不能單憑圖像判斷，因為要知道陪域。 函數 g : Y → X {\displaystyle g:Y\to X} 稱為函數 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 的右逆，意思是 f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} 對 Y {\displaystyle Y} 的所有元素 y {\displaystyle y} 成立。簡而言之， g {\displaystyle g} 的效果，可以 f {\displaystyle f} 復原。用文字表示， g {\displaystyle g} 是 f {\displaystyle f} 的右逆，意思是先做 g {\displaystyle g} 後做 f {\displaystyle f} 的複合 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} ，等於 Y {\displaystyle Y} 上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求 g {\displaystyle g} 是 f {\displaystyle f} 的真正反函數，因為另一次序的複合 g ∘ f {\displaystyle g\circ f} ，不必是 X {\displaystyle X} 的恆等函數。換言之， f {\displaystyle f} 可以「復原」或「抵消」 g {\displaystyle g} ，但不必被 g {\displaystyle g} 復原或抵消。 若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。 若 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 為滿射， B {\displaystyle B} 為 Y {\displaystyle Y} 的子集，則 f ( f p r e ( B ) ) = B {\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B} ，即從預象 f p r e ( B ) {\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)} ，可以找回 B {\displaystyle B} 。 函數 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 是滿射，當且僅當其為右可消去（英语：right-cancellative）：給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數 g , h : Y → Z {\displaystyle g,h:Y\to Z} ，若 g ∘ f = h ∘ f {\displaystyle g\circ f=h\circ f} ，則有 g = h {\displaystyle g=h} 。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射（英语：epimorphism）或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。 範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射 f {\displaystyle f} 的右逆 g {\displaystyle g} 也稱為 f {\displaystyle f} 的截面（英语：section (category theory)）。而有右逆的態射稱為分裂滿態射（英语：split epimorphism），是一類特殊的滿態射。 以 X {\displaystyle X} 為定義域， Y {\displaystyle Y} 為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全（英语：left-total relation）右唯一（英语：right-unique relation）的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由 X {\displaystyle X} 到 Y {\displaystyle Y} 的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。 滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 為滿射，則 X {\displaystyle X} 的元素個數必定至少等於 Y {\displaystyle Y} 的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明 f {\displaystyle f} 有右逆，即存在函數 g : Y → X {\displaystyle g:Y\to X} 使得 f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} 對 Y {\displaystyle Y} 的任意元素 y {\displaystyle y} 成立。滿足此性質的 g {\displaystyle g} 必為單射，故由基數大小比較的定義，有 | Y | ≤ | X | {\displaystyle |Y|\leq |X|} 。 特別地，若 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 皆是有限，且兩者的元素個數相同，則 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 是滿射當且僅當 f {\displaystyle f} 為單射。 給定兩個集合 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ，以 X ≤ ∗ Y {\displaystyle X\leq ^{*}Y} 表示「或者 X {\displaystyle X} 為空，或者存在由 Y {\displaystyle Y} 至 X {\displaystyle X} 的滿射」。利用選擇公理，可以證明， X ≤ ∗ Y {\displaystyle X\leq ^{*}Y} 和 Y ≤ ∗ X {\displaystyle Y\leq ^{*}X} 兩者一起，足以推出 | Y | = | X | {\displaystyle |Y|=|X|} 。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。 兩個滿射的複合仍是滿射：若 f {\displaystyle f} 和 g {\displaystyle g} 皆為滿射，且 g {\displaystyle g} 的陪域是 f {\displaystyle f} 的定義域，則 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 也是滿射。反之，若 f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 為滿，則 f {\displaystyle f} 是滿射，但 g {\displaystyle g} 不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。 任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意 h : X → Z {\displaystyle h:X\to Z} ，都存在滿射 f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} 和單射 g : Y → Z {\displaystyle g:Y\to Z} 使得 h = g ∘ f {\displaystyle h=g\circ f} ，取法如下：定義 Y {\displaystyle Y} 為所有原像 h p r e ( z ) {\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)} 的集合，其中 z {\displaystyle z} 歷遍 h {\displaystyle h} 的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分 X {\displaystyle X} 。於是， f {\displaystyle f} 將每個 x {\displaystyle x} 映到包含 x {\displaystyle x} 的原像（此為 Y {\displaystyle Y} 的元素），然後 g {\displaystyle g} 再將 Y {\displaystyle Y} 的每個元素（形如 h p r e ( z ) {\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)} ）映到相應的 z {\displaystyle z} 。則 f {\displaystyle f} 為滿射（因為 Y {\displaystyle Y} 中的元素，是原像 h p r e ( z ) {\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)} ，且非空，故有某個 x ∈ h p r e ( z ) {\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)} ，所以由 f {\displaystyle f} 的定義有 f ( x ) = h p r e ( z ) {\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)} ），而根據 g {\displaystyle g} 的定義，其為單射。 任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} 可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係： x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 當且僅當 f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} 。以 A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 表示此等價關係下， A {\displaystyle A} 的等價類的集合。換言之， A / ∼ {\displaystyle A/{\sim }} 是 f {\displaystyle f} 所有原像的集合。以 P : A → A / ∼ {\displaystyle P:A\to A/{\sim }} 表示將 x {\displaystyle x} 映到等價類 [ x ] ∼ {\displaystyle [x]_{\sim }} 的商映射，又設 f P : A / ∼ → B {\displaystyle f_{P}:A/{\sim }\to B} ，定義為 f P ( [ x ] ∼ ) = f ( x ) {\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x)} ，則 f = f P ∘ P {\displaystyle f=f_{P}\circ P} 。由定義知， P {\displaystyle P} 是滿射，而 f P {\displaystyle f_{P}} 是雙射。 单射 双射 Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Springer. 2004 [1968]. ISBN 978-3-540-22525-6.  T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.  Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓撲斯，邏輯的範疇論分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1. （原始内容存档于2020-03-21） （英语）.