一元二次方程

一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。 例如， x 2 − 3 x + 2 = 2 {\displaystyle x^{2}-3x+2=2} ， ( 3 − 2 i ) x 2 + 23 − 6 i π x − sin ⁡ 2 = 0 {\displaystyle \left(3-2i\right)x^{2}+{\sqrt[{\pi }]{23-6i}}x-\sin 2=0} ， t 2 − 3 = 0 {\displaystyle t^{2}-3=0} 等都是一元二次方程。 一元二次方程式的一般形式是 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)} 其中， a x 2 {\displaystyle ax^{2}} 是二次项， b x {\displaystyle bx} 是一次项， c {\displaystyle c} 是常数项。 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后， a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 也可以省略不写。另外，一元二次方程式有時會出現複數根。 古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大約公元前480年，中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世紀印度的婆羅摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代數方程式且容許同時有正負根的數學家。 11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。 据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）： 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方根。 将其转化为数学语言：解关于 x {\displaystyle x} 的方程 a x 2 + b x = − c {\displaystyle ax^{2}+bx=-c} 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即 4 a {\displaystyle 4a} ，得　 4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac} 在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即 b 2 {\displaystyle b^{2}} ，得　 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = − 4 a c + b 2 {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}} 然后在方程的两边同时开二次方根，得　 2 a x + b = ± − 4 a c + b 2 2 {\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt[{2}]{-4ac+b^{2}}}} 阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 c {\displaystyle c} 三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。 一般来说，一元二次方程有两个根。 把一个关于 x {\displaystyle x} 一元二次方程变形成一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 后，如果 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。 将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。 如果一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 存在两个实根 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} ，那么它可以因式分解为 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 {\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0} 。 例如，解一元二次方程 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x+2=0} 时，可将原方程左边分解成 ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 {\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-2\right)=0} ，所以 x − 1 = 0 x − 2 = 0 {\displaystyle x-1=0\quad x-2=0} ，可解得 x 1 = 1 x 2 = 2 {\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=2} 对于 a x 2 + b x + c = 0   ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\ (a\neq 0)} ，若 Δ = b 2 − 4 a c   > 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0} ，则它的两个不等实数根可以表示为 x 1 = − b + b 2 − 4 a c   2 a , x 2 = − b − b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} ； 若 Δ = b 2 − 4 a c   = 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0} ，则它的两个相等实数根可以表示为 x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}} ； 若 Δ = b 2 − 4 a c   < 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0} ，则它的两个共轭复数根可以表示为 x 1 = − b 2 a + − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i , x 2 = − b 2 a − − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}} 。 公式解可以由配方法得出。 已知关于 x {\displaystyle x} 的一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 , a ≠ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\,\,a\neq 0} ①移项，得： a x 2 + b x = − c {\displaystyle ax^{2}+bx=-c} ； ②二次项系数化为 1 {\displaystyle 1} ，得： x 2 + b a x = − c a {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}} ； ③配方，得： x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = − c a + ( b 2 a ) 2 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\biggl (}{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}} ， ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {\displaystyle {\biggl (}x+{\frac {b}{2a}}{\biggl )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}} ； 因为 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ，所以 若 Δ = b 2 − 4 a c   > 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}>0} ，则它的两个不等实数根可以表示为 x 1 = − b + b 2 − 4 a c   2 a , x 2 = − b − b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}},\,x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} ； 若 Δ = b 2 − 4 a c   = 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}=0} ，则它的两个相等实数根可以表示为 x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}={\frac {-b}{2a}}} ； 若 Δ = b 2 − 4 a c   < 0 {\displaystyle \Delta ={\sqrt {b^{2}-4ac\ }}<0} ，则它的两个共轭复数根可以表示为 x 1 = − b 2 a + − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i , x 2 = − b 2 a − − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}} 。 一元二次方程的求根公式在方程的係數为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。 公式中的根式 b 2 − 4 a c {\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}} 應該理解為「如果存在的話，兩個自乘後為 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} 的數當中任何一個」。在某些数域中，有些数值没有平方根。 对于实系数一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\left(a\neq 0\right)} ， Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac} 称作一元二次方程根的判別式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况： 如果 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0} ，则这个一元二次方程有两个不等的实数根。如果系数都为有理数，且 Δ {\displaystyle \Delta } 是一个完全平方数，则这两个根都是有理数，否则这两个根至少有一个是无理数。 如果 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0} ，则這个一元二次方程有两个相等的实数根。这两个等根 x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}} 如果 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0} ，则这个一元二次方程有两个不等的复数根，两根互为共轭复数。这时两根分别为 x 1 = − b 2 a + − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i , x 2 = − b 2 a − − ( b 2 − 4 a c ) 2 a i {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}},\,\,x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {-(b^{2}-4ac)}}{2a}}{\text{i}}} ，其中 i = − 1 {\displaystyle {\text{i}}={\sqrt {-1}}} 。 即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。 根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与系数的关系。 x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a + − b − b 2 − 4 a c   2 a = − 2 b 2 a = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}} x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c   2 a ⋅ − b − b 2 − 4 a c   2 a = b 2 − b 2 + 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a {\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}} 一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 的根的几何意义是二次函数 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} 的图像（为一条抛物线）与 x {\displaystyle x} 轴交点的坐标，即二次函数的零点。 另外一种解法是把一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 化为 x 2 = − b a x − c a {\displaystyle x^{2}=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}} 的形式。 则方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 的根，就是函数 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x-{\frac {c}{a}}} 交点的横坐标。 通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。 在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据以下公式去解 x = − b ± b 2 − 4 a c   2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}} 可以进行符号运算的程序，比如Mathematica，可以给出准确的解析表达式。而大部分程序则只会给出数值解。(但亦有部分显示平方根及虚数) 方程 三次方程 和平方 差平方 平方差 配方法 Sridhara. www-gap.dcs.st-and.ac.uk. 2006-02-08 [2024-07-02]. （原始内容存档于2006-02-08） （英语）.  101 uses of a quadratic equation: Part I （页面存档备份，存于互联网档案馆），Part II （页面存档备份，存于互联网档案馆）