初等函数

初等函数（基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个方程式表示的函数。 一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。 初等函数的全体对算术运算、复合和微分（求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数以及积分不封闭。只有刘维尔函数（英语：Liouvillian function）（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。 此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。 之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语：fonction élémentaire），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的： 一个微分域 F {\displaystyle F} ，定义为某一个域 F 0 {\displaystyle F_{0}} 再加上一个函数对函数的映射 u → f ( u ) {\displaystyle u\rightarrow f(u)} 。其中， f ( u ) {\displaystyle f(u)} 满足以下条件： f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) {\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)} f ( u v ) = u f ( v ) + v f ( u ) {\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)} 且该域内的任意常数 C {\displaystyle C} 都满足 f ( C ) = 0 {\displaystyle f(C)=0} 。 在以上定义满足时，一个函数 u {\displaystyle u} 被称为 F {\displaystyle F} 上的初等函数，当且仅当该函数至少满足以下三者之一： 是 F {\displaystyle F} 上的代数函数； 是 F {\displaystyle F} 上的指数性函数，意即 f ( u ) = u f ( a ) , a ∈ F {\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F} ； 是 F {\displaystyle F} 上的对数性函数，意即 f ( u ) = f ( a ) a , a ∈ F {\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F} 。 称 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} 为常数函数，其中C为常数，它的定义域为 ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )} 。 称形如 f ( x ) = C x r {\displaystyle f(x)=Cx^{r}} 的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，但是不管r取何值，该函数在 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} 上总有意义。 称形如 f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} 的函数为指数函数，其中a是常数， a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} 。该函数的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ，值域为 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} 称形如 y = log a ⁡ x {\displaystyle y=\log _{a}x\!} 的函数为对数函数，其中 a > 0 {\displaystyle a>0} 且 a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ，是指数函数 y = a x {\displaystyle y=a^{x}} 的反函数。该函数定义域为 ( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} ，值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} 称形如 f ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle f(x)=\sin x} 的函数为正弦函数，它的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ，值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 称形如 f ( x ) = cos ⁡ x {\displaystyle f(x)=\cos x} 的函数为余弦函数，它的定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ，值域为 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 称形如 f ( x ) = tan ⁡ x {\displaystyle f(x)=\tan x} 的函数为正切函数，它的定义域为 { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ，值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ，最小正周期为 π {\displaystyle \pi } 。 称形如 f ( x ) = cot ⁡ x {\displaystyle f(x)=\cot x} 的函数为余切函数，它的定义域为 { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ，值域为 ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} ，最小正周期为 π {\displaystyle \pi } 。 称形如 f ( x ) = sec ⁡ x {\displaystyle f(x)=\sec x} 的函数为正割函数，它的定义域为 { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ，值域为 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} ，最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 称形如 f ( x ) = csc ⁡ x {\displaystyle f(x)=\csc x} 的函数为余割函数，它的定义域为 { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ，值域为 ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} ，最小正周期为 2 π {\displaystyle 2\pi } 。 双曲正弦函数： y = sinh ⁡ x = e x − e − x 2 {\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} 双曲余弦函数： y = cosh ⁡ x = e x + e − x 2 {\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} 双曲正切函数： y = tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}} 反双曲正弦函数： y = arsinh x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})} 反双曲余弦函数： y = arcosh x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})} Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆） Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics（页面存档备份，存于互联网档案馆） 埃里克·韦斯坦因. 初等函数. MathWorld.  伍胜健. 数学分析 第一册. 北京大学出版社. 2009: 24. ISBN 9787301156858.