二次方程

二次方程是一种整式方程，主要特点是未知项的最高次数是2，其中最常见的是一元二次方程。 一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，它的一般形式为： a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} ，其中 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 。 a x 2 {\displaystyle ax^{2}\,} 为方程的二次项， a {\displaystyle a\,} 为方程的二次项系数； b x {\displaystyle bx\,} 为一次项， b {\displaystyle b\,} 为一次项系数； c {\displaystyle c\,} 为常数项。若 a = 0 {\displaystyle a=0\,} ，则该方程没有二次项，即退变为一元一次方程。 一元二次方程根的判别式為 Δ = b 2 − 4 a c {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,} 。 若 Δ > 0 {\displaystyle \Delta >0\,} ，則該方程有两個不相等的實数根： x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,} ； 若 Δ = 0 {\displaystyle \Delta =0\,} ，則該方程有两個相等的實数根： x 1 , 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}\,} ； 若 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0\,} ，則該方程有一對共軛複數根： x 1 , 2 = − b ± i 4 a c − b 2 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {4ac-b^{2}}}}{2a}}\,} 。 由上可知，在實數範圍內求解一元二次方程，當 Δ ≥ 0 {\displaystyle \Delta \geq 0\,} 時，方程纔有根（有兩個不等實數根或兩個相等實數根）；當 Δ < 0 {\displaystyle \Delta <0\,} 時，方程有两个复数根，但是在实数范围无解。 设 x 1 {\displaystyle x_{1}\,} ， x 2 {\displaystyle x_{2}\,} 是一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} （ a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0\,} ）的两根，则 两根之和： x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} 两根之积： x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} 中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做「根」，其后译成拉丁文radix。 我们通常把 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 称之为 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 的求根公式： a x 2 + b x + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 − ( b 2 a ) 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 − b 2 4 a 2 + c a = 0 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 4 a 2 − c a ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}&=0\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}} 或不將 x 2 {\displaystyle x^{2}} 係數化為1： a x 2 + b x + c = 0 a x 2 + b x + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c ( x a + b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c x a + b 2 a = ± ( b 2 a ) 2 − c x a + b 2 a = ± b 2 4 a − c x + b 2 a = ± b 2 4 a 2 − c a x + b 2 a = ± b 2 4 a 2 − 4 a c 4 a 2 x = − b 2 a ± b 2 − 4 a c 4 a 2 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\ax^{2}+bx+\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}&=\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-c}}\\x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a}}-c}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}\\x&=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\x&={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{aligned}}} 设 y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,} （ a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0\,} ）， 对 x {\displaystyle x\,} 求导，得 d ⁡ y d ⁡ x = 2 a x + b {\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=2ax+b} 令 d ⁡ y d ⁡ x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0} ，得 x = − b 2 a {\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {b}{2a}}\end{aligned}}} 即为 y {\displaystyle y\,} 的极值点，该式亦为函数图形（即抛物线）的对称轴方程。 将 x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 代入 y {\displaystyle y\,} ，可得 y = − b 2 − 4 a c 4 a {\displaystyle {\begin{aligned}y&=-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}} 即为 y {\displaystyle y\,} 的极值。 根据函数取极值的充分条件，即： f ″ ( x ) < 0 {\displaystyle f''(x)<0\,} ， x {\displaystyle x\,} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 的极大值点， f ″ ( x ) > 0 {\displaystyle f''(x)>0\,} ， x {\displaystyle x\,} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 的极小值点； 由 d 2 ⁡ y d ⁡ x 2 = 2 a {\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a} ，可知： 当 a < 0 {\displaystyle a<0\,} 时（抛物线开口向下）， x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 为 y {\displaystyle y\,} 的极大值点； 当 a > 0 {\displaystyle a>0\,} 时（抛物线开口向上）， x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 为 y {\displaystyle y\,} 的极小值点。 一次方程 抛物綫 配方法 圆锥曲线 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. （原始内容存档于2019-07-24）.  （页面存档备份，存于互联网档案馆）