凱萊圖

凱萊圖（英語：Cayley graph），也叫做凱萊著色圖，是將離散群的抽象結構畫出的一種圖。它的定義是凱萊定理（以阿瑟·凱萊命名）所暗含的。畫凱萊圖時，要選定群的一個生成元集合（通常有限），不同選法可能得到不同的凱萊圖。凱萊圖是組合群論（英语：Combinatorial group theory）與幾何群論（英语：Geometric group theory）的中心工具。 假設 G {\displaystyle G} 是群，而 S {\displaystyle S} 是G的生成集。凱萊圖 Γ = Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)} ，是如下構造的著色的有向圖： G {\displaystyle G} 的每個元素 g {\displaystyle g} 對應一個頂點。換言之，圖 Γ {\displaystyle \Gamma } 的頂點集合 V ( Γ ) {\displaystyle V(\Gamma )} 視為與 G {\displaystyle G} 等同； S {\displaystyle S} 中每個生成元 s {\displaystyle s} ，對應一種顏色 c s {\displaystyle c_{s}} ； 對於任何 g ∈ G , s ∈ S {\displaystyle g\in G,s\in S} ，畫一條由元素 g {\displaystyle g} 至 g s {\displaystyle gs} 的有向邊，染成 c s {\displaystyle c_{s}} 色。換言之，邊集合 E ( Γ ) {\displaystyle E(\Gamma )} 由形如 ( g , g s ) {\displaystyle (g,gs)} 的有序對構成，邊的顏色由 s ∈ S {\displaystyle s\in S} 確定。 在幾何群論中，集合 S {\displaystyle S} 通常取為有限、對稱（即滿足 S = S − 1 {\displaystyle S=S^{-1}} ），并且不包含這個群的單位元 e {\displaystyle e} 。在這種情況下，凱萊圖是简单無向圖：它的邊沒有方向（由對稱性），并且不包含自環（因為 e ∉ S {\displaystyle e\notin S} ）。 假設 G = Z {\displaystyle G=\mathbb {Z} } 是無限循環群（即整數的加法群），而集合 S {\displaystyle S} 由標準生成元 1 {\displaystyle 1} 和它的逆元（用加法符號為 − 1 {\displaystyle -1} ）構成，則它的凱萊圖是無窮鏈（英语：Path graph）。 類似地，如果 G = Z n {\displaystyle G=\mathbb {Z} _{n}} 是 n {\displaystyle n} 階循環群（模 n {\displaystyle n} 的加法群），而 S {\displaystyle S} 仍由 G {\displaystyle G} 的標準生成元 1 {\displaystyle 1} 與逆元 − 1 {\displaystyle -1} 構成，則凱萊圖是環圖 C n {\displaystyle C_{n}} 。 群的直積的凱萊圖（新生成集取為原生成集之笛卡爾積），是對應的凱萊圖的笛卡爾積（英语：Cartesian product of graphs）。因此阿貝爾群 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} ，關於四個元素 ( ± 1 , ± 1 ) {\displaystyle (\pm 1,\pm 1)} 組成的生成集的凱萊圖，是平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上的無窮網格，而帶有類似的生成集的直積 Z n × Z m {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}\times \mathbb {Z} _{m}} 的凱萊圖，是環面上的 n {\displaystyle n} 乘 m {\displaystyle m} 有限網格。 二面體群 D 4 {\displaystyle D_{4}} 有群展示： ⟨ a , b | a 4 = b 2 = e , a b = b a 3 ⟩ . {\displaystyle \langle a,b|a^{4}=b^{2}=e,ab=ba^{3}\rangle .} 左圖是關於兩個生成元 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的凱萊圖，其中紅色箭頭表示左乘元素 a {\displaystyle a} （順時針旋轉 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ）。而因為元素 b {\displaystyle b} （左右反射）自反，所以表示左乘元素 b {\displaystyle b} 的藍色線是無方向的，故左圖混合了有向邊與無向邊：它有 8 {\displaystyle 8} 個頂點、 8 {\displaystyle 8} 條有向邊、 4 {\displaystyle 4} 條無向邊。 同一個群 D 4 {\displaystyle D_{4}} ，亦可畫出不同的凱萊圖，如右圖。 b {\displaystyle b} 仍表示左右反射，而 c {\displaystyle c} 則是關於主對角線的反射，以粉紅色線表示。由於兩個反射皆自反，右邊的凱萊圖完全無向。對應的群展示是 ⟨ b , c ∣ b 2 = c 2 = e , b c b c = c b c b ⟩ . {\displaystyle \langle b,c\mid b^{2}=c^{2}=e,bcbc=cbcb\rangle .} 條目開頭的圖，是兩個生成元 a , b {\displaystyle a,b} 上的自由群，關於生成集合 S = { a , b , a − 1 , b − 1 } {\displaystyle S=\{a,b,a^{-1},b^{-1}\}} 的凱萊圖，而正中央的黑點，是單位元 e {\displaystyle e} 。沿著邊向右走表示右乘 a {\displaystyle a} ，而沿著邊向上走表示乘以 b {\displaystyle b} 。因為自由群沒有關係，它的凱萊圖中沒有環。這個凱萊圖是證明巴拿赫-塔斯基悖论的關鍵。 右邊有離散海森堡群 { ( 1 x z 0 1 y 0 0 1 ) ,   x , y , z ∈ Z } {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&x&z\\0&1&y\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ x,y,z\in \mathbb {Z} \right\}} 的凱萊圖。所用的三個生成元 X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} ，分別對應 ( x , y , z ) = ( 1 , 0 , 0 ) ,   ( 0 , 1 , 0 ) ,   ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (x,y,z)=(1,0,0),\ (0,1,0),\ (0,0,1)} 。其關係為 Z = X Y X − 1 Y − 1 ,   X Z = Z X ,   Y Z = Z Y {\displaystyle Z=XYX^{-1}Y^{-1},\ XZ=ZX,\ YZ=ZY} ，亦可從圖中看出。本群為非交換無窮群。雖然是三維空間，其凱萊圖的增長（英语：Growth rate (group theory)）卻是 4 {\displaystyle 4} 階的。[來源請求] 群 G {\displaystyle G} 通過左乘作用在自身上（參見凱萊定理）。這個作用可以看作 G {\displaystyle G} 作用在它的凱萊圖上。明確而言，一個元素 h ∈ G {\displaystyle h\in G} 映射一個頂點 g ∈ V ( Γ ) {\displaystyle g\in V(\Gamma )} 到另一個頂點 h g ∈ V ( Γ ) {\displaystyle hg\in V(\Gamma )} 。凱萊圖的邊集合被這個作用所保存：邊 ( g , g s ) {\displaystyle (g,gs)} 變換成邊 ( h g , h g s ) {\displaystyle (hg,hgs)} 。任何群在自身上的左乘作用是簡單傳遞的，特別是凱萊圖是頂點傳遞（英语：Vertex-transitive graph）的。事實上，反向的結論也成立，即有下列等價刻劃，稱為扎比杜西定理（英語：Sabidussi's Theorem）： （無標記又無着色）有向圖 Γ {\displaystyle \Gamma } 是群 G {\displaystyle G} 的某個凱萊圖，當且僅當 G {\displaystyle G} 可作為圖自同構（就是要保存邊的集合）作用在 Γ {\displaystyle \Gamma } 上，且該作用簡單傳遞。 要從一個凱萊圖 Γ = Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma =\Gamma (G,S)} 找回群 G {\displaystyle G} 和生成集 S {\displaystyle S} ，先選擇一個頂點 v 1 ∈ V ( Γ ) {\displaystyle v_{1}\in V(\Gamma )} ，標上群的單位元 e {\displaystyle e} 。接著，對 Γ {\displaystyle \Gamma } 的每個頂點 v {\displaystyle v} ， G {\displaystyle G} 中有唯一元素將 v 1 {\displaystyle v_{1}} 變換到 v {\displaystyle v} ，於是可以在 v {\displaystyle v} 處標記該唯一元素。最後要確定 G {\displaystyle G} 的哪個生成集 S {\displaystyle S} ，產生凱萊圖 Γ {\displaystyle \Gamma } ，而所求的 S {\displaystyle S} 就是毗連 v 1 {\displaystyle v_{1}} 的頂點標記的集合。生成集合是有限（這是凱萊圖的共同假定）當且僅當這個圖是局部有限的（就是說每個頂點僅毗連於有限多條邊）。 如果生成集合的成員 s {\displaystyle s} 是自身的逆元，即 s = s − 1 {\displaystyle s=s^{-1}} ，則它一般被表示為無向邊。 凱萊圖 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 本質上依賴於如何選擇生成集 S {\displaystyle S} 。例如，如果生成集合 S {\displaystyle S} 有 k {\displaystyle k} 個元素，則凱萊圖的每個頂點都有 k {\displaystyle k} 條有向邊進入， k {\displaystyle k} 條有向邊外出。當生成集合 S {\displaystyle S} 為對稱集，且有 r {\displaystyle r} 個元素時，凱萊圖是 r {\displaystyle r} 度的正則圖。 在凱萊圖中的環（“閉合路徑”）指示 S {\displaystyle S} 的元素之間的關係。在群的凱萊複形此一更複雜的構造中，對應於關係的閉合路徑被用多邊形“填充”。 如果 f : G ′ → G {\displaystyle f:G'\to G} 是滿射群同態并且 G ′ {\displaystyle G'} 的生成集合 S ′ {\displaystyle S'} 的元素的像是不同的，則導出圖覆疊（英语：Covering graph）映射 f ¯ : Γ ( G ′ , S ′ ) → Γ ( G , S ) , {\displaystyle {\bar {f}}:\Gamma (G',S')\to \Gamma (G,S),\quad } 這里的 S = f ( S ′ ) {\displaystyle S=f(S')} ，特別是，如果群 G {\displaystyle G} 有 k {\displaystyle k} 個生成元，階均不為 2 {\displaystyle 2} ，并且這些生成元和它們的逆元構成集合 S {\displaystyle S} ，則該集合生成的自由群 F ( S ) {\displaystyle F(S)} 有到 G {\displaystyle G} 的滿同態（商映射），故 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 被自由群的凱萊圖覆蓋，即 2 k {\displaystyle 2k} 度的無限正則樹。 即使集合 S {\displaystyle S} 不生成群 G {\displaystyle G} ，仍可以構造圖 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 。但是，此情況下，所得的圖並不連通。在這種情況下，這個圖的每個連通分支對應 S {\displaystyle S} 所生成子群的一個陪集。 對于有限凱萊圖（視為無向），其頂點連通性等于這個圖的度的 2 / 3 {\displaystyle 2/3} 。若生成集極小（即移除任一元素及其逆元，就不再生成整個群），則其頂點連通性等於度數。至於邊連通性，則在任何情況下皆等於度數。 群 G {\displaystyle G} 的每個乘性特徵標（英语：Multiplicative character） χ {\displaystyle \chi } 都給出 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 鄰接矩陣的特徵向量。若 G {\displaystyle G} 為交換群，則對應的特徵值為 λ χ = ∑ s ∈ S χ ( s ) . {\displaystyle \lambda _{\chi }=\sum _{s\in S}\chi (s).} 特別地，平凡特徵標（將所有元素映至常數 1 {\displaystyle 1} ）對應的特徵值，等於 Γ ( G , S ) {\displaystyle \Gamma (G,S)} 的度數，即 S {\displaystyle S} 的元素個數。若 G {\displaystyle G} 為交換群，則恰有 | G | {\displaystyle |G|} 個特徵標，故已足以確定全部特徵值。 如果轉而把頂點作為固定子群 H {\displaystyle H} 的右陪集，就得到了一個有關的構造Schreier陪集圖，它是陪集枚舉或Todd-Coxeter算法的基礎。 研究圖的鄰接矩陣特別是應用譜圖理論的定理能洞察群的結構。 群的生成集合 群的展示 Sabidussi, Gert. On a class of fixed-point-free graphs [論一類無不動點的圖]. Proceedings of the American Mathematical Society. October 1958, 9 (5): 800–4. JSTOR 2033090. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0097068-7  （英语）.  Babai, L. Technical Report TR-94-10. University of Chicago. 1996. 存档副本. [2010-08-29]. （原始内容存档于2010-06-11）.  見定理3.7，Babai, László. 27. Automorphism groups, isomorphism, reconstruction [第27章：自同構群、同構、重構] (PDF). Graham, Ronald L.; Grötschel, Martin; Lovász, László (编). Handbook of Combinatorics [組合手冊] 1. Elsevier. 1995: 1447–1540 [2021-09-29]. ISBN 9780444823465. （原始内容存档于2021-04-22）.