雙四角錐柱

雙四角錐柱是指以四邊形為基底的雙角錐柱，其可以由四角柱在兩端各連接一個底面大小相同的四角錐來構成。若雙四角錐柱的基底為正方形，且側面都是正多邊形的話，則這個立體是一種全部由正多邊形組成的立體，為92種詹森多面體中的其中一個，其索引為J15。詹森多面體是凸多面體，面皆由正多邊形組成但不屬於均勻多面體，共有92種。這些立體最早在1966年由諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）（Norman Johnson）命名並給予描述。 雙四角錐柱因其形似鉛筆又稱為鉛筆立方體（pencil cube）或12面鉛筆立方體（12-faced pencil cube） 雙四角錐柱共由12個面、20條邊和10個頂點組成，在其12個面中，有8個三角形面和4個正方形面。在其10個頂點中，有兩種頂點，一種頂點為4個三角形的公共頂點，在頂點圖中可以用[34]來表示，這種頂點有2個、另外一種頂點為2個三角形和2個正方形的公共頂點，在頂點圖中可以用[32,42]來表示，這種頂點有8個。 若一個雙四角錐柱邊長為 L {\displaystyle L} ，則其體積 V {\displaystyle V} 與表面積 A {\displaystyle A} 為： V = L 3 ⋅ ( 1 + 2 3 ) ≈ L 3 ⋅ 1.471404521 {\displaystyle V=L^{3}\cdot \left(1+{\frac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx L^{3}\cdot 1.471404521} A = L 2 ⋅ ( 4 + 2 3 ) ≈ L 2 ⋅ 7.464101615 {\displaystyle A=L^{2}\cdot \left(4+2{\sqrt {3}}\right)\approx L^{2}\cdot 7.464101615} 這樣的雙四角錐柱整體的高 H {\displaystyle H} 為： H = L ⋅ ( 1 + 2 ) ≈ L ⋅ 2.414213562 {\displaystyle H=L\cdot \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx L\cdot 2.414213562} 雙四角錐柱共有3種二面角，分別為三角形和正方形的二面角、三角形和三方形的二面角以及正方形和正方形的二面角。其中正方形和正方形的二面角為直角，即90度角。 ∠ {\displaystyle \angle } 正方形 , {\displaystyle ,} 正方形 = 90 ∘ {\displaystyle \,=90^{\circ }} 而三角形和正方形的二面角為負根號三分之二的反餘弦值，約為144.7356度： ∠ {\displaystyle \angle } 三角形 , {\displaystyle ,} 正方形 = arccos ⁡ ( − 2 3 ) ≈ 2.52611294 ≈ 144.735610 ∘ {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\approx 2.52611294\approx 144.735610^{\circ }} 三角形和三方形的二面角為負三分之一的反餘弦值，約為109.471度： ∠ {\displaystyle \angle } 三角形 , {\displaystyle ,} 三方形 = arccos ⁡ ( − 1 3 ) ≈ 1.9106332 ≈ 109.471221 ∘ {\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 1.9106332\approx 109.471221^{\circ }} 若一個雙四角錐柱邊長為單位長，且幾何中心位於原點，則其頂點座標為： ( ± 1 2 , ± 1 2 , ± 1 2 ) {\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)} ( 0 , 0 , ± 1 + 2 2 ) {\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)} 一種非正多邊形面的雙四角錐柱的特例是空間填充多面體。這種雙四角錐柱的三角形面不是正三角形，三角形的邊長比為 2 : 3 : 3 {\displaystyle 2:{\sqrt {3}}:{\sqrt {3}}} 。 其可以被認為是立方體堆砌和菱形十二面體堆砌之間的過渡立體。其胞在下圖中根據它們在空間中的方向被著色為白色、紅色和藍色。其四角錐帽具有的面是較短的等腰三角形面，其中6個四角錐帽會聚在一起形成一個立方體。這種堆砌體的對偶是由兩種八面體（正八面體和三角反棱柱）組成的，由八面體疊加到截半的立方體堆砌的中的截半立方體中形成。兩種堆砌體都具有 [ [ 4 , 3 , 4 ] ] {\displaystyle \left[\left[4,3,4\right]\right]} 對稱性。 雙四角錐柱可以視為二側錐的四角柱，也就是底面為四邊形之柱體對應的二側錐柱體，其他的二側錐柱體有： 詹森多面體 正多面體 正四角錐 正六面體 Weisstein, Eric W. (编). Elongated Square Dipyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics（英语：Canadian Journal of Mathematics）, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8  Keith Critchlow. Order in Space: A design source book. Thames & Hudson. ISBN 978-0500340332.  Goldberg, Michael. On the space-filling octahedra. Geometriae Dedicata. 1981-01, 10 (1): 323–335 [2022-09-07]. doi:10.1007/BF01447431. （原始内容存档于2017-12-22）.  David I. McCooey. Johnson Solids: Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-07）.  The Elongated Square Bipyramid. qfbox.info. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-07）.  Elongated square bipyramid. polyhedra.tessera.li. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-07）.  Richard Klitzing. elongated square dipyramid, esquidpy. bendwavy.org. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-11-14）.  Sapiña, R. Area and volume of the Johnson solid J15. Problemas y ecuaciones. [2020-09-09]. ISSN 2659-9899. （原始内容存档于2022-08-22） （西班牙语）.  David I. McCooey. Data of Elongated Square Dipyramid. [2022-09-07]. （原始内容存档于2022-09-07）.