球谐函数

球谐函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分。在古典場論、量子力学等领域广泛应用。 球坐标下的拉普拉斯方程式: ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0\,\!} 。 利用分离变量法，设定 f ( r ,   θ ,   φ ) = R ( r ) Y ( θ ,   φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle f(r,\ \theta ,\ \varphi )=R(r)Y(\theta ,\ \varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )} 。其中 Y ( θ ,   φ ) {\displaystyle Y(\theta ,\ \varphi )} 代表角度部分的解，也就是球谐函数。 代入拉普拉斯方程，得到： Θ Φ r 2 d d r ( r 2 d R d r ) + R Φ r 2 sin ⁡ θ d d θ ( sin ⁡ θ d Θ d θ ) + R Θ r 2 sin 2 ⁡ θ d 2 Φ d φ 2 = 0 {\displaystyle {\Theta \Phi \over r^{2}}{d \over dr}\left(r^{2}{dR \over dr}\right)+{R\Phi \over r^{2}\sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{R\Theta \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\varphi ^{2}}=0\,\!} 分离变量后得： { 1 R d d r ( r 2 d R d r ) = λ 1 Φ d 2 Φ d φ 2 = − m 2 λ + 1 Θ sin ⁡ θ d d θ ( sin ⁡ θ d Θ d θ ) − m 2 sin 2 ⁡ θ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {1}{R}}{\dfrac {d}{dr}}\left(r^{2}{\dfrac {dR}{dr}}\right)=\lambda \\{\dfrac {1}{\Phi }}{\dfrac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}\\\lambda +{\dfrac {1}{\Theta \sin \theta }}{\dfrac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\dfrac {d\Theta }{d\theta }}\right)-{\dfrac {m^{2}}{\sin ^{2}\theta }}=0\end{cases}}} ，整理得 { r 2 R ″ + 2 r R ′ − λ R = 0 Φ ″ + m 2 Φ = 0 sin ⁡ θ d d θ ( sin ⁡ θ Θ ′ ) + ( λ sin 2 ⁡ θ − m 2 ) Θ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}r^{2}R''+2rR'-\lambda R=0\\\Phi ''+m^{2}\Phi =0\\\sin \theta {\dfrac {d}{d\theta }}(\sin \theta \Theta ')+(\lambda \sin ^{2}\theta -m^{2})\Theta =0\end{cases}}} 这里， Φ {\displaystyle \Phi } 是一个以 2 π {\displaystyle 2\pi } 为周期的函数，即满足周期性边界条件 Φ ( φ ) = Φ ( φ + 2 π ) {\displaystyle \Phi (\varphi )=\Phi (\varphi +2\pi )} ，因此 m {\displaystyle m} 必须为整数。而且可以解出： Φ = e i m ϕ {\displaystyle \Phi =e^{im\phi }} ， m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } 而对于 Θ {\displaystyle \Theta } 的方程，进行变量替换 t = cos ⁡ θ {\displaystyle t=\cos \theta } ， d t = − sin ⁡ θ d θ {\displaystyle dt=-\sin \theta d\theta } ， | t | ⩽ 1 {\displaystyle |t|\leqslant 1} ，得到关于 t {\displaystyle t} 的伴随勒让德方程。方程的解应满足在 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 区间上取有限值，此时必须有 λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} ，其中 l {\displaystyle l} 为自然数，且 l ⩾ | m | {\displaystyle l\geqslant |m|} 。对应方程的解为 P ℓ m ( t ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(t)} 。即可以解出： Θ = P ℓ m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle \Theta =P_{\ell }^{m}(\cos \theta )} ， l ∈ N , l ⩾ | m | {\displaystyle l\in \mathbb {N} ,l\geqslant |m|} 故球谐函数可以表达为： Y ℓ m ( θ , φ ) = N Φ ( φ ) Θ ( θ ) = N e i m φ P ℓ m ( cos ⁡ θ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\Phi (\varphi )\Theta (\theta )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,\!} ， l ∈ N , m = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± l {\displaystyle l\in \mathbb {N} ,m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm l} ； 其中N 是归一化因子。 經過歸一化後，球谐函数表達為： Y ℓ m ( θ ,   φ ) = ( − 1 ) m ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − | m | ) ! ( ℓ + | m | ) ! P ℓ m ( cos ⁡ θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\ \varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -|m|)! \over (\ell +|m|)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }\,\!} ； 这里的 Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}\,\!} 称为 ℓ {\displaystyle \ell \,\!} 和 m {\displaystyle m\,\!} 的球谐函数。以上推导过程中， i {\displaystyle i\,\!} 是虛數單位， P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}\,\!} 是伴随勒让德多项式 。 其中 P ℓ m ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)\,\!} 用方程式定義為： P ℓ m ( x ) = ( 1 − x 2 ) | m | / 2   d | m | d x | m | P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }^{m}(x)=(1-x^{2})^{|m|/2}\ {\frac {d^{|m|}}{dx^{|m|}}}P_{\ell }(x)\,} ； 而 P ℓ ( x ) {\displaystyle P_{\ell }(x)\,\!} 是 l {\displaystyle l} 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為： P ℓ ( x ) = 1 2 ℓ ℓ ! d ℓ d x ℓ ( x 2 − 1 ) l {\displaystyle P_{\ell }(x)={1 \over 2^{\ell }\ell !}{d^{\ell } \over dx^{\ell }}(x^{2}-1)^{l}} 。 l = 0 {\displaystyle l=0} Y 0 0 ( θ , φ ) = 1 2 1 π {\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}} l = 1 {\displaystyle l=1} Y 1 − 1 ( θ , φ ) = 1 2 3 2 π sin ⁡ θ e − i φ {\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }} Y 1 0 ( θ , φ ) = 1 2 3 π cos ⁡ θ {\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta } Y 1 1 ( θ , φ ) = − 1 2 3 2 π sin ⁡ θ e i φ {\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }} l = 2 {\displaystyle l=2} Y 2 − 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π sin 2 ⁡ θ e − 2 i φ {\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }} Y 2 − 1 ( θ , φ ) = 1 2 15 2 π sin ⁡ θ cos ⁡ θ e − i φ {\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }} Y 2 0 ( θ , φ ) = 1 4 5 π ( 3 cos 2 ⁡ θ − 1 ) {\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)} Y 2 1 ( θ , φ ) = − 1 2 15 2 π sin ⁡ θ cos ⁡ θ e i φ {\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }} Y 2 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π sin 2 ⁡ θ e 2 i φ {\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }} 勒让德多项式 伴随勒让德多项式 施图姆-刘维尔理论 柱谐函数 向量球諧函數