量子位元

在量子資訊科學中，量子位元（英語：quantum bit），又稱Q位元（qubit）是量子信息的計量單位。傳統電腦使用的是0和1，量子電腦雖然也是使用0跟1，但不同的是，量子電腦的0與1可以同時計算。在古典系统中，一个位元在同一时间，只有0或1，只存在一種狀態，但量子位元可以同時是1和0，兩種狀態同時存在，這種效果叫量子疊加。這是量子電腦計算目前獨有的特性。 具有量子特性的系統（通常為雙態系統，如自旋1/2粒子），選定兩個相互正交的本徵態，分別以 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } （採狄拉克標記右括向量表示）和 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 代表。當對此系統做投影式量子測量時，會得到的結果必為這兩個本徵態之一，以特定機率比例出現。此外，這兩個本徵態可以複數係數做線性疊加得到諸多新的量子態 | ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ; α , β ∈ C {\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ;\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } ， 而從量子力學得知，這些線性疊加態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \,} 的兩個複數係數，必須要求各自絕對值平方相加之和為1，也就是： | α | 2 + | β | 2 = 1 {\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,} 因為 1 = ⟨ ψ | ψ ⟩ = ( α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ) † ( α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ) = ( α ∗ ⟨ 0 | + β ∗ ⟨ 1 | ) ( α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ ) {\displaystyle 1=\langle \psi |\psi \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )^{\dagger }(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=(\alpha ^{*}\langle 0|+\beta ^{*}\langle 1|)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )} = α ∗ α ⟨ 0 | 0 ⟩ + β ∗ β ⟨ 1 | 1 ⟩ {\displaystyle =\alpha ^{*}\alpha \langle 0|0\rangle +\beta ^{*}\beta \langle 1|1\rangle } = | α | 2 + | β | 2 {\displaystyle =|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}\,} ，即要求總機率要是1。 兩個本徵態 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 、 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 及無限多種線性疊加態 | ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle } ，集合起來就代表了一個量子位元；各態皆屬純態。 和（古典）位元「非0即1」有所不同，量子位元可以「又0又1」的狀態存在，所謂「又0又1」即上述無限多種 ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )\,} 組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理等現象，並使量子計算應用在某些課題上顯著地優於古典計算，甚至可進行古典計算無法做到的工作。 量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化，此表示法稱之為布洛赫球面。 若設定 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 、 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 順沿直角坐標系的z方向，則有諸多表示法。可採上述向量形式如狄拉克標記的右括向量，亦可將之表為行矩陣；另外有密度矩陣形式，可表為右括向量乘以左括向量，或表為方块矩阵，可見如下： 向量： z + = | 0 ⟩ = ( 1 0 ) , z − = | 1 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle z_{+}=|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad z_{-}=|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} 密度矩陣： z + = | 0 ⟩ ⟨ 0 | = ( 1 0 ) ∗ ( 1 0 ) = ( 1 0 0 0 ) , {\displaystyle z_{+}=|0\rangle \langle 0|={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},} z − = | 1 ⟩ ⟨ 1 | = ( 0 1 ) ∗ ( 0 1 ) = ( 0 0 0 1 ) {\displaystyle z_{-}=|1\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}} 向量： x + = | x + ⟩ = ( 1 2 1 2 ) , x − = | x − ⟩ = ( 1 2 − 1 2 ) {\displaystyle x_{+}=|x_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad x_{-}=|x_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}} 密度矩陣： x + = | x + ⟩ ⟨ x + | = ( 1 2 1 2 ) ∗ ( 1 2 1 2 ) = ( 1 2 1 2 1 2 1 2 ) , {\displaystyle x_{+}=|x_{+}\rangle \langle x_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},} x − = | x − ⟩ ⟨ x − | = ( 1 2 − 1 2 ) ∗ ( 1 2 − 1 2 ) = ( 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 ) {\displaystyle x_{-}=|x_{-}\rangle \langle x_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 向量： y + = | y + ⟩ = ( 1 2 i 2 ) , y − = | y − ⟩ = ( 1 2 − i 2 ) {\displaystyle y_{+}=|y_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad y_{-}=|y_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}} 密度矩陣： y + = | y + ⟩ ⟨ y + | = ( 1 2 i 2 ) ∗ ( 1 2 − i 2 ) = ( 1 2 − i 2 i 2 1 2 ) , {\displaystyle y_{+}=|y_{+}\rangle \langle y_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},} y − = | y − ⟩ ⟨ y − | = ( 1 2 − i 2 ) ∗ ( 1 2 i 2 ) = ( 1 2 i 2 − i 2 1 2 ) {\displaystyle y_{-}=|y_{-}\rangle \langle y_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}} 量子三位元（qutrit）是量子位元的推廣，有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記右括向量表示可寫為 | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } 、 | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } 、 | 2 ⟩ {\displaystyle |2\rangle } 。一個自旋為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值為+1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。 量子資訊科學 貝爾態 布洛赫球面 雙態系統 MA Nielsen, IL Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (2000). Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9. Oliver Morsch: Quantum bits and quantum secrets - how quantum physics is revolutionizing codes and computers. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40710-1. Anthony J. Leggett: Quantum computing and quantum bits in mesoscopic systems. Kluwer Academic, New York 2004, ISBN 0-306-47904-4. Qubit.org （页面存档备份，存于互联网档案馆）—cofounded by one of the pioneers in quantum computation, David Deutsch