超代数

数学和理论物理中，'超代数指的是Z2-分次代数。也就是说，它是交换环或域上的代数，可以分解为“奇偶”两部分，并有对次数进行运算的乘法算子。 “超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示（超模）为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用，它们进入了分次流形、超流形和超概形。 令K为交换环。在大多数应用中，K是特征为0的域，如R、C等。 K上的超代数是具有直和分解的K-模A： A = A 0 ⊕ A 1 {\displaystyle A=A_{0}\oplus A_{1}} 以及双射乘法 A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} ，使 A i A j ⊆ A i + j {\displaystyle A_{i}A_{j}\subseteq A_{i+j}} 其中下标读作模2，即将其看做 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 的元素。 超环或 Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 分次环是整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 上的超代数。 每个 A i {\displaystyle A_{i}} 中的元素称作齐次的。齐次元x的奇偶性记作|x|，根据是在 A 0 {\displaystyle A_{0}} 还是在 A 1 {\displaystyle A_{1}} 中取0或1的值。称奇偶性为0的元素是偶的，奇偶性为1的元素是奇的。若x、y都齐次，则积xy也齐次，且 | x y | = | x | + | y | {\displaystyle |xy|=|x|+|y|} 。 结合超代数指乘法符合结合律的超代数，含幺超代数是指有乘法单位元的超代数。含幺超代数中的单位元必须是偶的。除非另有说明，本文中所有超代数都假定是结合含幺的。 交换超代数（或超交换代数）是一种满足交换律的分次版本的超代数。具体来说，若对A中所有齐次元x、y y x = ( − 1 ) | x | | y | x y {\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy\,} 则称A交换。有些超代数在普通意义上是交换的，而在超代数意义上不是，因此为避免混淆，交换超代数常称作“宠爱交换”。 交换环K上任意代数都可视作K上的纯偶超代数，即将 A 1 {\displaystyle A_{1}} 视作平凡的。 任何Z-或N-分次代数都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括张量代数和K上的多项式环等例子。 特别地，K上任何外代数都是超代数，外代数是超交换代数的标准例子。 对称多项式与交替多项式分别构成同一超代数的偶部分和奇部分，注意这是与分次不同的分级。 克利福德代数是超代数，通常是非交换的。 超向量空间所有自同态的集合（记作 E n d ( V ) ≡ H o m ( V , V ) {\displaystyle \mathbf {End} (V)\equiv \mathbf {Hom} (V,V)} ，其中粗体的 H o m {\displaystyle \mathrm {Hom} } 被称作内部（interval） H o m {\displaystyle \mathrm {Hom} } ，由所有线性映射组成）形成了组合运算下的超代数。 元素属于K的所有超方阵的集合形成了超代数，记作 M p | q ( K ) {\displaystyle M_{p|q}(K)} 。此代数可以视作等同于秩为 p | q {\displaystyle p|q} 的K上自由超模的自同态代数，是这空间的内部Hom。 李超代数是李代数的分次类似物。李超代数是无幺、非结合的，但可以构造类似于李超代数的泛包络代数，它是含幺结合超代数。 令A为交换环K上的超代数。子模 A 0 {\displaystyle A_{0}} 包含所有偶元，对乘法封闭，包含A的单位元，因此形成了A的子代数，自然地称作偶子代数，构成了K上的普通代数。 所有奇元素 A 1 {\displaystyle A_{1}} 的集合是 A 0 {\displaystyle A_{0}} -双模，其标量乘法就是A中的乘法。A中的积使 A 1 {\displaystyle A_{1}} 具有双线性形式 μ : A 1 ⊗ A 0 A 1 → A 0 {\displaystyle \mu :A_{1}\otimes _{A_{0}}A_{1}\to A_{0}} 使得 ∀ x ,   y ,   z ∈ A 1 , {\displaystyle \forall x,\ y,\ z\in A_{1},} μ ( x ⊗ y ) ⋅ z = x ⋅ μ ( y ⊗ z ) {\displaystyle \mu (x\otimes y)\cdot z=x\cdot \mu (y\otimes z)} 这源于A中积的结合性。 任何超代数上都有规范的对合自同构，称作次对合（grade involution），在齐次元上表为 x ^ = ( − 1 ) | x | x {\displaystyle {\hat {x}}=(-1)^{|x|}x} 在任意元上表为 x ^ = x 0 − x 1 {\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}-x_{1}} 其中 x i {\displaystyle x_{i}} 是x的齐次部分。若A无2-扭子（特别是若2可逆），则次对合可区分A的奇偶部分： A i = { x ∈ A : x ^ = ( − 1 ) i x } . {\displaystyle A_{i}=\{x\in A:{\hat {x}}=(-1)^{i}x\}.} A上的超交换子（supercommutator）是齐次元的二元运算 [ x , y ] = x y − ( − 1 ) | x | | y | y x {\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx} 并可以线性推广到A的所有元素。若 ∃ x ,   y ∈ A ,   [ x ,   y ] = 0 {\displaystyle \exists x,\ y\in A,\ [x,\ y]=0} ，称x、y超交换。 A的超中心（supercenter）是A中与所有元素超交换的元素集合： Z ( A ) = { a ∈ A : [ a , x ] = 0  for all  x ∈ A } . {\displaystyle \mathrm {Z} (A)=\{a\in A:[a,x]=0{\text{ for all }}x\in A\}.} 一般来说A的超中心与作为未分次代数的特征的中心不同。交换超代数的超中心是A的全部元素。 两超代数A、B的分次张量积可视作超代数 A ⊗ B {\displaystyle A\otimes B} ，乘法规则为 ( a 1 ⊗ b 1 ) ( a 2 ⊗ b 2 ) = ( − 1 ) | b 1 | | a 2 | ( a 1 a 2 ⊗ b 1 b 2 ) . {\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1})(a_{2}\otimes b_{2})=(-1)^{|b_{1}||a_{2}|}(a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}).} 若A或B是纯偶的，则这等同于普通的未分次张量积（不过结果是分次的）。但总之，超张量积一般不同于将A、B视作普通未分次代数的张量积。 可以很容易地将超代数的定义推广到包括交换超环上的超代数。上述定义是基环为纯偶的特例。 令R为交换超环。R上的超代数（superalgebra）是R-超模A，具有遵从分次的R-双线性乘法 A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 。此处双线性意味着对所有齐次元 r ∈ R ,   x ,   y ∈ A , {\displaystyle r\in R,\ x,\ y\in A,} r ⋅ ( x y ) = ( r ⋅ x ) y = ( − 1 ) | r | | x | x ( r ⋅ y ) {\displaystyle r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=(-1)^{|r||x|}x(r\cdot y)} 等价地，可以把R上的超代数定义为超环A与超环同态 R → A {\displaystyle R\to A} ，其像位于A的超中心。 超代数还有范畴论定义。所有R-超模组成的范畴在超张量积下形成幺半范畴（monoidal category）（R为单位对象）。接着，R上的结合含幺超代数可定义为R-超模范畴中的幺半对象（monoid）；即，超代数是具有两个（偶）态射 μ : A ⊗ A → A η : R → A {\displaystyle {\begin{aligned}\mu &:A\otimes A\to A\\\eta &:R\to A\end{aligned}}} 的R-超模A，其通常图是交换的。 Kac, Martinez & Zelmanov 2001，第3頁 Varadarajan 2004，第87頁 Deligne, P.; Morgan, J. W. Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein). Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians 1. American Mathematical Society: 41–97. 1999. ISBN 0-8218-2012-5.  Kac, V. G.; Martinez, C.; Zelmanov, E. Graded simple Jordan superalgebras of growth one. Memoirs of the AMS Series 711. AMS Bookstore. 2001 [2024-03-21]. ISBN 978-0-8218-2645-4. （原始内容存档于2024-03-27）.  Manin, Y. I. Gauge Field Theory and Complex Geometry (2nd ed.). Berlin: Springer. 1997. ISBN 3-540-61378-1.  Varadarajan, V. S. Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. 2004 [2024-03-21]. ISBN 978-0-8218-3574-6. （原始内容存档于2023-11-19）.