除法

数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为 1 {\displaystyle 1} ，得出同比的被除数的值」。 例如： 6 ÷ 3 = 2 {\displaystyle {{6}\div {3}}=2} ，就好像 6 − 3 − 3 = 0 {\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0} ， { 6 − 3 = 3 3 − 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}} ， 6 {\displaystyle 6} 被 3 {\displaystyle 3} 減了兩次後，就變成了 0 {\displaystyle 0} 。 如果 a × b = c {\displaystyle a\times b=c} 而且 b {\displaystyle b} 不等于零，那么 a = c ÷ b {\displaystyle a=c\div b} 其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。 如果除式的商數（ a {\displaystyle a} ）必須是整數，则称为带餘除法， a × b {\displaystyle a\times b} 与 c {\displaystyle c} 相差的数值，称为餘數（ d {\displaystyle d} ）。 c ÷ b = a … d {\displaystyle c\div b=a\dots d} 這也意味著 c = a × b + d {\displaystyle c=a\times b+d} 在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中， c ÷ b {\displaystyle c\div b} 写成 c / b {\displaystyle c/b} 。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為 div {\displaystyle \operatorname {div} } ，尋找餘數的函數則為 mod {\displaystyle \operatorname {mod} } 。 在大部分的非英语语言中， c : b {\displaystyle c:b} 代表 c ÷ b {\displaystyle c\div b} 的比，讀做c比b； c / b {\displaystyle c/b} 則代表 c ÷ b {\displaystyle c\div b} 的比值。用法请参照比例。 整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数 a {\displaystyle a} 可以被自然数 b {\displaystyle b} 整除，是指 b {\displaystyle b} 是 a {\displaystyle a} 的因數，且a是b的整数倍数，也就是 a {\displaystyle a} 除以 b {\displaystyle b} 没有餘数。 a ÷ b = q … 0 {\displaystyle a\div b=q\dots 0} 因數判別法可參照整除規則。 b ∣ a {\displaystyle b\mid a} 表示 b {\displaystyle b} 整除 a {\displaystyle a} ，即 a {\displaystyle a} 是 b {\displaystyle b} 的倍数， b {\displaystyle b} 是 a {\displaystyle a} 的因数。 15 {\displaystyle 15} 可以被 5 {\displaystyle 5} 整除，记作 5 ∣ 15 {\displaystyle 5\mid 15} 。 20 {\displaystyle 20} 不能被 6 {\displaystyle 6} 整除（因为餘数为 2 {\displaystyle 2} ），记作 6 ∤ 20 {\displaystyle 6\nmid 20} 。在 ∣ {\displaystyle \mid } 上加一条斜线即表示不整除。 根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。 算盘也可以做除法运算。 長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。 使用長除法計算 1260257 ÷ 37 = 34061 {\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061} 的過程可以表示為： 37   ) 34061   1260257 111 150     148     225     222     37 37 0 {\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}} 短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。 使用短除法計算 3 ÷ 7 {\displaystyle 3\div 7} 的近似值： 7   |   3.00000000000000000 …   _ 0.42857142857142857 …   {\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}} 使用短除法計算 420 {\displaystyle 420} 的質因數分解： 2   |       420   _ 2   |     210   _ 3   |   105   _ 5   |   35   _ 7   {\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}} 420 = 2 2 × 3 × 5 × 7 {\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7} 使用短除法計算 420 , 270 {\displaystyle 420,270} 的最大公因數及最小公倍數： 2   |       420 270   _ 3   |     210 135   _ 5   |   70     45   _ 14         9   {\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}} { gcd ( 420 , 270 ) = 2 × 3 × 5 = 30 lcm ⁡ ( 420 , 270 ) = 2 × 3 × 5 × 14 × 9 = 3780 {\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}} 和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式 A {\displaystyle A} 和非零多项式 B {\displaystyle B} ，则存在唯一的多项式 Q {\displaystyle Q} 和 R {\displaystyle R} ，满足： A = B Q + R {\displaystyle A=BQ+R} 而多项式 R {\displaystyle R} 若非零多项式，則其冪次严格小于 B {\displaystyle B} 的冪次。 作为特例，如果要计算某个多项式 P {\displaystyle P} 除以一次多项式 X − a {\displaystyle X-a} 得到的餘多项式，可以直接将 a {\displaystyle a} 代入到多项式 P {\displaystyle P} 中。 P {\displaystyle P} 除以 X − a {\displaystyle X-a} 的餘多项式是 P ( a ) {\displaystyle P(a)} 。 具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算 X 3 − 12 X 2 − 42 {\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42} 除以 X − 3 {\displaystyle X-3} ，列式如下： X 2 − 9 X − 27 X − 3 | X 3 − 12 X 2 + 0 X − 42 ¯ X 3 − 3 X 2 _ − 9 X 2 + 0 X − 9 X 2 + 27 X _ − 27 X − 42 − 27 X + 81 _ − 123 {\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}} 因此，商式是   X 2 − 9 X − 27 {\displaystyle \ X^{2}-9X-27} ，餘式是   − 123 {\displaystyle \ -123} 。 通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。 筹算除法 同餘 余数 带餘除法