外代数

外代数（英語：Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念数学家赫爾曼·格拉斯曼。 数学上，向量空间 V {\displaystyle V} 的外代數是一个特定有单位的结合代数，其包含了 V {\displaystyle V} 为其中一个子空间。它记为 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 或 ∧ ⋅ ( V ) {\displaystyle \land \cdot (V)} . 而它的乘法，称为楔积或外积，记为 ∧ {\displaystyle \land } . 楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在 V {\displaystyle V} 上是交錯的，也就是： v ∧ v = 0 {\displaystyle v\wedge v=0} ，對於所有向量 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 这表示 u ∧ v = − v ∧ u {\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u} ，對於所有向量 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} ，以及 v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = 0 {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0} ，當 v 1 , … , v k ∈ V {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V} 线性相关时。 值得注意的是，以上三性质只对 V {\displaystyle V} 中向量成立，不是对代数 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 中所有向量成立。 外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。 形式为 v 1 ∧ v 2 ∧ … ∧ v k {\displaystyle v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}} 的元素，其中 v 1 , … , v k {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}} 在 V {\displaystyle V} 中，称为 k {\displaystyle k} -向量。所有 k {\displaystyle k} -向量生成的 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 的子空间称为 V {\displaystyle V} 的 k {\displaystyle k} -阶外幂，记为 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 。外代数可以写作每个 k {\displaystyle k} 阶幂的直和： Λ ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ Λ k V {\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V} 该外积有一个重要性质，就是 k {\displaystyle k} -向量和 I {\displaystyle I} -向量的积是一个 k + I {\displaystyle k+I} -向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由 k {\displaystyle k} 给出。这些 k {\displaystyle k} -向量有几何上的解释：2-向量 u ∧ v {\displaystyle u\land v} 代表以 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 为边的带方向的平行四边形，而3-向量 u ∧ v ∧ w {\displaystyle u\land v\land w} 代表带方向的平行六面体，其边为 u {\displaystyle u} , v {\displaystyle v} , 和 w {\displaystyle w} 。 外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。 外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。 定义: 设 V {\displaystyle V} 是域 K {\displaystyle K} 上的一个向量空间，讓 T k ( V ) := V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ k {\displaystyle T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}} 則定義 T ( V ) = ⨁ k = 0 ∞ T k V = K ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ) ⊕ ( V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ … {\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots } 令 I {\displaystyle I} 为 V {\displaystyle V} 的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如 v ⊗ v {\displaystyle v\otimes v} 的张量生成的（其中 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 任意），则将 V {\displaystyle V} 上的外代数 Λ ( V ) {\displaystyle \Lambda (V)} 定义为商代数 T ( V ) / I {\displaystyle T(V)/I} ，即 Λ ( V ) := T ( V ) / I , {\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I,} 并且把 v 1 ⊗ … ⊗ v k ∈ T k V {\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V} 的等价类 [ v 1 ⊗ … ⊗ v k ] ∈ T ( V ) / I {\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I} 记为 v 1 ∧ … ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}} ，其中 v 1 , … , v k ∈ V {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V} 。设 k = 0 , 1 , 2 , … , {\displaystyle k=0,1,2,\ldots \,,} 称 Λ k ( V ) := ( T k V ) / I {\displaystyle \Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I} 为 V {\displaystyle V} 的 k {\displaystyle k} -阶外幂（ k {\displaystyle k} th exterior power of V {\displaystyle V} ），称 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 中的元素为 k {\displaystyle k} -向量（ k {\displaystyle k} -multivector）。 注： ∀ λ ∈ K {\displaystyle \forall \lambda \in K} ，当且仅当 λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} 时才有 λ ∈ I {\displaystyle \lambda \in I} ，因此，可以把 Λ 0 ( V ) = K / I {\displaystyle \Lambda ^{0}(V)=K/I} 等同于 K {\displaystyle K} ，并且把 [ λ ] ∈ Λ 0 ( V ) {\displaystyle [\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)} 记为 λ {\displaystyle \lambda } ；基于类似的原因，可以把 Λ 1 ( V ) = V / I {\displaystyle \Lambda ^{1}(V)=V/I} 等同于 V {\displaystyle V} ，而且把 [ v ] ∈ Λ 0 ( V ) {\displaystyle [v]\in \Lambda ^{0}(V)} 记为 v {\displaystyle v} 。这一点是前面所讲的能够把 [ v 1 ⊗ … ⊗ v k ] ∈ Λ k ( V ) {\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)} 记为 v 1 ∧ … ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}} 的特例和前提。 当 k > 1 {\displaystyle k>1} 时， k {\displaystyle k} -向量并不仅限于形如 v 1 ∧ … ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}} 的元素，例如， v 1 ∧ v 2 + w 1 ∧ w 2 {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}} 也是2-向量，其中 v 1 , v 2 , w 1 , w 2 ∈ V {\displaystyle v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V} . 理想 I {\displaystyle I} 中的元素并不仅限于形如 v ⊗ v {\displaystyle v\otimes v} 的张量，例如， ∀ v ∈ V , ∀ t ∈ T ( V ) {\displaystyle \forall v\in V,\forall t\in T(V)} , 必定有 v ⊗ v ⊗ t ∈ I {\displaystyle v\otimes v\otimes t\in I} 和 t ⊗ v ⊗ v ∈ I {\displaystyle t\otimes v\otimes v\in I} . ∀ v , w ∈ V {\displaystyle \forall v,w\in V} , 由于 ( v + w ) ⊗ ( v + w ) ∈ I {\displaystyle (v+w)\otimes (v+w)\in I} 和 v ⊗ v ∈ I {\displaystyle v\otimes v\in I} 以及 w ⊗ w ∈ I {\displaystyle w\otimes w\in I} ，显然有 v ⊗ w + w ⊗ v = ( v + w ) ⊗ ( v + w ) − v ⊗ v − w ⊗ w ∈ I {\displaystyle v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I} ，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想 I {\displaystyle I} 中。 由于上面的两个结论， ∀ v , w ∈ V {\displaystyle \forall v,w\in V} ，我们有 v ⊗ w ⊗ v = v ⊗ ( w ⊗ v + v ⊗ w ) − v ⊗ v ⊗ w ∈ I {\displaystyle v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I} ，这是因为等式右边的每一项都在 I {\displaystyle I} 中。对张量 t ∈ T ( V ) {\displaystyle t\in T(V)} 的阶数作数学归纳法，则可以证明： ∀ v ∈ V {\displaystyle \forall v\in V} , ∀ t ∈ T ( V ) {\displaystyle \forall t\in T(V)} ，总有 v ⊗ t ⊗ v ∈ I {\displaystyle v\otimes t\otimes v\in I} 。 设 k = 2 , 3 , … {\displaystyle k=2,3,\ldots } ，则 ∀ α ∈ Λ k ( V ) {\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)} ， α {\displaystyle \alpha } 作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元 t ∈ T k ( V ) {\displaystyle t\in T^{k}(V)} ，可以把这个 k {\displaystyle k} -阶的完全反对称张量等同于 α {\displaystyle \alpha } , 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中， k {\displaystyle k} -向量就是以这种方式定义的。 运算律 将上面的注中的内容用 ∧ {\displaystyle \wedge } 写出，则分别给出 (1) ∀ λ ∈ K , α ∈ Λ ( V ) {\displaystyle \forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)} , λ ∧ α = α ∧ λ = λ α . {\displaystyle \lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .} 证明如下： 作为等价类，我们从 α ∈ Λ ( V ) = T ( V ) / I {\displaystyle \alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I} 中任意挑选一个代表元 t {\displaystyle t} ，则 t ∈ T ( V ) {\displaystyle t\in T(V)} 而且 α = [ t ] {\displaystyle \alpha =[t]} 。根据商代数的定义， λ ∧ α = [ λ ] ∧ [ t ] = [ λ ⊗ t ] = [ λ t ] = λ [ t ] = λ α . {\displaystyle \lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .} 类似地，可以证明 α ∧ λ = λ α . {\displaystyle \alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.} (2) 根据注3.1中的内容，显然有 v ∧ v = 0 , ∀ v ∈ V {\displaystyle v\wedge v=0,\,\forall v\in V} . (3) 根据注3.2中的内容，对任意 v , w ∈ V {\displaystyle v,w\in V} 成立着 v ∧ w = − w ∧ v . {\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v.} 注：即使 K {\displaystyle K} 的特徵为2，这个公式也是对的，只不过此时有 − 1 = 1 {\displaystyle -1=1} 而已。 (4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算 ∧ : Λ ( V ) × Λ ( V ) → Λ ( V ) {\displaystyle \wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)} 满足结合律和分配律： ( α ∧ β ) ∧ θ = α ∧ ( β ∧ θ ) , {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),} ( α + β ) ∧ θ = α ∧ θ + β ∧ θ , {\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,} α ∧ ( β + θ ) = α ∧ β + α ∧ θ , {\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,} 其中 α , β , θ ∈ Λ ( V ) {\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)} 都是任意的。 以前两条性质为例，其证明如下：设张量 a , b , t ∈ T ( V ) {\displaystyle a,b,t\in T(V)} 分别是 α , β , θ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta } 中的代表元，即 α = [ a ] {\displaystyle \alpha =[a]} , β = [ b ] {\displaystyle \beta =[b]} , θ = [ t ] {\displaystyle \theta =[t]} , 则 ( α ∧ β ) ∧ θ = ( [ a ] ∧ [ b ] ) ∧ [ t ] = [ a ⊗ b ] ∧ [ t ] = [ ( a ⊗ b ) ⊗ t ] = [ a ⊗ ( b ⊗ t ) ] = [ a ] ∧ [ b ⊗ t ] = [ a ] ∧ ( [ b ] ∧ [ t ] ) = α ∧ ( β ∧ θ ) , {\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),} ( α + β ) ∧ θ = ( [ a ] + [ b ] ) ∧ [ t ] = [ a + b ] ∧ [ t ] = [ ( a + b ) ⊗ t ] = [ a ⊗ t + b ⊗ t ] = [ a ⊗ t ] + [ b ⊗ t ] = [ a ] ∧ [ t ] + [ b ] ∧ [ t ] = α ∧ θ + β ∧ θ . {\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .} (5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明： ∀ α ∈ Λ k ( V ) , β ∈ Λ l ( V ) , {\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,} β ∧ α = ( − 1 ) k l α ∧ β . {\displaystyle \beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .} 证明从略。 若 V {\displaystyle V} 的维数是 n {\displaystyle n} 而 { e 1 , … , e n } {\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}} 是 V {\displaystyle V} 的基，则集合 { e i 1 ∧ e i 2 ∧ ⋯ ∧ e i k ∣ 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}} 是 k {\displaystyle k} 阶外幂 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积 v 1 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}} 则每个向量 v j {\displaystyle v_{j}} 可以记为基向量 e i {\displaystyle e_{i}} 的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基 k {\displaystyle k} -向量前的系数可以用通过积 e i {\displaystyle e_{i}} 来描述 v j {\displaystyle v_{j}} 的矩阵的子式来计算。 数一下基元素，我们可以看到 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 的维数是n 取 k。特别的有， ∧ k ( V ) = { 0 } {\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\}} 对于 k > n {\displaystyle k>n} . 外代数是一个分级代数，是如下直和 Λ ( V ) = Λ 0 ( V ) ⊕ Λ 1 ( V ) ⊕ Λ 2 ( V ) ⊕ ⋯ ⊕ Λ n ( V ) {\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)} 其维数等于二项式系数之和，也就是 2 n {\displaystyle 2^{n}} . 考虑空间 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ，其基为 { i , j , k } {\displaystyle \left\{i,j,k\right\}} 。一对向量 u = u 1 i + u 2 j + u 3 k {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} } v = v 1 i + v 2 j + v 3 k {\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} } 的楔积为 u ∧ v = ( u 1 v 2 − u 2 v 1 ) ( i ∧ j ) + ( u 1 v 3 − u 3 v 1 ) ( i ∧ k ) + ( u 2 v 3 − u 3 v 2 ) ( j ∧ k ) {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )} 其中 { i ∧ j , i ∧ k , j ∧ k } {\displaystyle \left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}} 是三维空间 ∧ 2 ( R 3 ) {\displaystyle \land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)} 的基底。 再加一个向量 w = w 1 i + w 2 j + w 3 k {\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k} } , 这三个向量的楔积是 u ∧ v ∧ w = ( u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 − u 1 v 3 w 2 − u 2 v 1 w 3 − u 3 v 2 w 1 ) ( i ∧ j ∧ k ) {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )} 其中 i ∧ j ∧ k {\displaystyle i\land j\land k} 是一维空间 ∧ 3 ( R 3 ) {\displaystyle \land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)} 的基底。 空间 ∧ 1 ( R 3 ) {\displaystyle \land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)} 是 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , 而空间 ∧ 0 ( R 3 ) {\displaystyle \land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)} 是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间 ∧ ( R 3 ) {\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)} ，这是八维向量空间 a = ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 ) := ( a 1 , a 2 i + a 3 j + a 4 k , a 5 i ∧ j + a 6 i ∧ k + a 7 j ∧ k , a 8 i ∧ j ∧ k ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )} . 那么，给定一对8维向量 a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} , 其中 a {\displaystyle a} 如上给出，而 b = ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , b 7 , b 8 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})} , a {\displaystyle a} 和 b {\displaystyle b} 的楔积如下(用列向量表达), a ∧ b = ( a 1 b 1 a 1 b 2 + a 2 b 1 a 1 b 3 + a 3 b 1 a 1 b 4 + a 4 b 1 a 1 b 5 + a 5 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 a 1 b 6 + a 6 b 1 + a 2 b 4 − a 4 b 2 a 1 b 7 + a 7 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 a 1 b 8 + a 8 b 1 + a 2 b 7 + a 7 b 2 − a 3 b 6 − a 6 b 3 + a 4 b 5 + a 5 b 4 ) {\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}} . 容易验证8维楔积以向量 ( 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)} 为乘法幺元。也可以验证该 ∧ ( R 3 ) {\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)} 代数的楔积是结合的(也是双线性的): ( a ∧ b ) ∧ c = a ∧ ( b ∧ c ) ∀ a , b , c ∈ Λ ( R 3 ) , {\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),} 所以该代数是有单位且结合的。 对三维欧几里得空间 E 3 {\displaystyle E^{3}} 可以建立一个线性同构 ϕ : Λ 2 ( E 3 ) → E 3 {\displaystyle \phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}} 如下：任取 E 3 {\displaystyle E^{3}} 的右手的标准正交基 i {\displaystyle {\boldsymbol {i}}} ， j {\displaystyle {\boldsymbol {j}}} ， k {\displaystyle {\boldsymbol {k}}} ，规定 ϕ {\displaystyle \phi } 把 i ∧ j {\displaystyle {\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} } ， j ∧ k {\displaystyle {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}} ， k ∧ i {\displaystyle {\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}} 分别映射为 k {\displaystyle {\boldsymbol {k}}} ， i {\displaystyle {\boldsymbol {i}}} ， j {\displaystyle {\boldsymbol {j}}} ，则 ϕ {\displaystyle \phi } 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。 不难看出，对任意向量 u {\displaystyle {\boldsymbol {u}}} 和 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} ，这个线性同构把 u ∧ v {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}} 映射为 u × v {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}} 。这就是叉乘（向量积）的实质。例如， E 3 {\displaystyle E^{3}} 中平行四边形 A B C D {\displaystyle ABCD} 的面积向量可以表示为 A B → × A D → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}} . 经过推广之后，高维黎曼流形 ( M , g ) {\displaystyle (M,\mathbf {g} )} 中的紧的二维曲面 Σ {\displaystyle \Sigma } 的面积则可以用 ∫ Σ h d u 1 ∧ d u 2 , h = | h 11 h 12 h 21 h 22 | , {\displaystyle \int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,} 来计算（其中 h a b {\displaystyle h_{ab}} 是度规张量场 g {\displaystyle \mathbf {g} } 在 Σ {\displaystyle \Sigma } 上的诱导度规 h = h a b d u a ⊗ d u b {\displaystyle \mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}} 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。 在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是 E 3 {\displaystyle E^{3}} 中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是 Λ 2 ( E 3 ) {\displaystyle \Lambda ^{2}(E^{3})} 中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。 类似地，借助于右手的标准正交基，可以把 Λ 3 ( E 3 ) {\displaystyle \Lambda ^{3}(E^{3})} 中的元素 a i ∧ j ∧ k {\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}} 映射为“标量" a ∈ R = Λ 0 ( E 3 ) {\displaystyle a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})} 。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。 把 2-向量 u ∧ v {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}} 映射为向量 u × v {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}} 以及把 3-向量 a i ∧ j ∧ k {\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}} 映射为一个实数 a {\displaystyle a} 的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。 令 V {\displaystyle V} 为一个域 K {\displaystyle K} （在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 是“最一般”的包含 V {\displaystyle V} 的并有一个交替乘法在 V {\displaystyle V} 上由单位的结合 K {\displaystyle K} -代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达： 任给一个有单位的结合 K {\displaystyle K} -代数 A {\displaystyle A} 和一个 K {\displaystyle K} -线性映射 j : V → A {\displaystyle j:V\rightarrow A} 使得 j ( v ) j ( v ) = 0 {\displaystyle j(v)j(v)=0} 对于每个 v {\displaystyle v} 属于 V {\displaystyle V} 成立，则存在恰好一个由单位的代数同态 f : ∧ ( V ) → A {\displaystyle f:\land (V)\rightarrow A} 使得 f ( v ) = j ( v ) {\displaystyle f(v)=j(v)} 所有 v {\displaystyle v} 属于 V {\displaystyle V} 成立。 要构造最一般的包含 V {\displaystyle V} 的代数，而且其乘法是在 V {\displaystyle V} 上交替的，很自然可以从包含 V {\displaystyle V} 的最一般的代数开始，也就是张量代数 T ( V ) {\displaystyle T(V)} ，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取 T ( V ) {\displaystyle T(V)} 中由所有形为 v ⊗ v {\displaystyle v\otimes v} 的元素生成的双边理想 I {\displaystyle I} ，其中 v {\displaystyle v} 属于 V {\displaystyle V} ，并定义 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 为商 ∧ ( V ) = T ( V ) / I {\displaystyle \land (V)=T(V)/I} （并且使用 ∧ {\displaystyle \land } 为 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 中的乘法的代号）。然后可以直接证明 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 包含 V {\displaystyle V} 并且满足上述泛性质。 如果不是先定义 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 然后把外幂 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 然后把它们合并成为一个代数 ∧ ( V ) {\displaystyle \land (V)} 。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。 给定两个向量空间 V {\displaystyle V} 和 X {\displaystyle X} ，一个从 V k {\displaystyle V^{k}} 到 X {\displaystyle X} 的反对称算子是一个多线性映射 f : V k → X {\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X} 使得只要 v 1 , … , v k {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}} 是 V {\displaystyle V} 中线性相关的向量，则 f ( v 1 , … , v k ) = 0 {\displaystyle f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0} . 最著名的例子是行列式值，从 ( K n ) n {\displaystyle (K^{n})^{n}} 到 K {\displaystyle K} 的反对称线形算子。 映射 w : V k → ∧ k ( V ) {\displaystyle w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)} 它关联 V {\displaystyle V} 中的 k {\displaystyle k} 个向量到他们的楔积，也就是它们相应的 k {\displaystyle k} -向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在 V k {\displaystyle V^{k}} 上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子 f : V k → X {\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X} ，存在一个唯一的线性映射 φ : ∧ k ( V ) → X w i t h f = φ ∘ w {\displaystyle \varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w} 。这个泛性质表述了空间 ∧ k ( V ) {\displaystyle \land ^{k}(V)} 并且可以作为它的定义。 所有从 V k {\displaystyle V^{k}} 到基域 K {\displaystyle K} 的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若 V {\displaystyle V} 是有限维的，维数 n {\displaystyle n} ，则该空间可以认同为 ∧ k ( V ∗ ) {\displaystyle \land ^{k}(V^{*})} ，其中 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 表示 V {\displaystyle V} 的对偶空间。特别的有，从 V k {\displaystyle V^{k}} 到 K {\displaystyle K} 的反对称映射的空间是 n {\displaystyle n} 取 k {\displaystyle k} 维的。 在这个等同关系下，若基域是 R {\displaystyle R} 或者 C {\displaystyle C} ，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设 ω : V k → K {\displaystyle \omega :V^{k}\rightarrow K} 和 η : V m → K {\displaystyle \eta :V^{m}\rightarrow K} 为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下： ω ∧ η = ( k + m ) ! k ! m ! A l t ( ω ⊗ η ) {\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )} 其中多线性映射的交替 A l t {\displaystyle \mathrm {Alt} } 定义为其变量的所有排列的带符号平均： A l t ( ω ) ( x 1 , … , x k ) = 1 k ! ∑ σ ∈ S k s g n ( σ ) ω ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( k ) ) {\displaystyle {\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})} 注意： 有一些书中楔积定义为 ω ∧ η = A l t ( ω ⊗ η ) {\displaystyle \omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )} 在主要由物理学家使用的指标记法中有： ( ω ∧ η ) a 1 ⋯ a k + m = 1 k ! m ! ϵ a 1 ⋯ a k + m b 1 ⋯ b k c 1 ⋯ c m ω b 1 ⋯ b k η c 1 ⋯ c m {\displaystyle (\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}} 令 M {\displaystyle M} 为一个微分流形。一个微分k-形式 ω {\displaystyle \omega } 是 ∧ k T ∗ M {\displaystyle \land ^{k}T^{*}M} （ M {\displaystyle M} 的余切丛的 k {\displaystyle k} 阶外幂）的一个截面。等价的有： ω {\displaystyle \omega } 是 M {\displaystyle M} 的光滑函数，对于 M {\displaystyle M} 的每个点 x {\displaystyle x} 给定一个 ∧ k ( T x M ) ∗ {\displaystyle \land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}} 的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。 给定一个交换环 R {\displaystyle R} 和一个 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} ，我们可以定义和上文一样的外代数 ∧ ( M ) {\displaystyle \land (M)} ，它是张量代数 T ( M ) {\displaystyle T(M)} 适当的商。它会满足类似的泛性质。 格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。 参看：超空间，超代数，超群 R. Penrose. The Road to Reality. Vintage books. 2007. ISBN 0-679-77631-1.  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 83. ISBN 0-7167-0344-0.  由下述等价关系 ∼ {\displaystyle \sim } 所形成的等价类： ∀ u , v ∈ T ( V ) , u ∼ v ⇔ u − v ∈ I . {\displaystyle \forall u,v\in T(V)\,,u\sim v\Leftrightarrow u-v\in I\,.} 多线性代数 张量代数 对称代数 克利福德代数