阿特伍德機

阿特伍德機（Atwood machine，又譯作阿特午德機或阿特午機），是由英國牧師、數學家兼物理學家的乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的，用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中，用來解釋经典物理學的原理，验证力學中做恒定加速度运动的运动规律。 一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m1和m2，及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪。 當 m 1 = m 2 {\displaystyle m_{1}=m_{2}} ，无论兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當 m 2 > m 1 {\displaystyle m_{2}>m_{1}} 时，兩物體皆以大小相等的加速度做运动。 我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當 m 2 > m 1 {\displaystyle m_{2}>m_{1}} 时, m1的力: T − m 1 g {\displaystyle \;T-m_{1}g} m2的力: m 2 g − T {\displaystyle \;m_{2}g-T} 利用牛頓第二運動定律, T − m 1 g = m 1 a {\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a} , m 2 g − T = m 2 a {\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a} 。 将这两个方程式相加, 我們可以得到整個系統的恒定的加速度的方程式。定义合力 ∑ F {\displaystyle \sum F} , 我们有 ∑ F = ( m 2 g − T ) + ( T − m 1 g ) = g ( m 2 − m 1 ) {\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})} 。 ∑ F = m a {\displaystyle \sum F=ma} a = ∑ F m {\displaystyle a={\sum F \over m}} ∑ F = g ( m 2 − m 1 ) {\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})} m = ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})} a = g m 2 − m 1 m 1 + m 2 {\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}} 阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。 a = g m 2 − m 1 m 1 + m 2 {\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}} 例如代入 m 1 a = T − m 1 g {\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g} ，我們得到 T = g 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}} 藉由同樣的方法，張力也可以從 m 2 a = m 2 g − T {\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T} 中求得。 若m1與m2之間的重量差别很小時，半徑为（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑輪的角加速度可以從以下算式求得： α = a r {\displaystyle \alpha ={a \over r}} 在此情況下，作用于滑輪上的總力矩為： τ T o t a l = ( T 2 − T 1 ) r − τ f r i c t i o n = I α {\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha } 把该方程式与两个垂吊物体的方程式 T 1 − m 1 g = m 1 a {\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a} , m 2 g − T 2 = m 2 a {\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a} 联合求解 T 1 {\displaystyle \;T_{1}} , T 2 {\displaystyle \;T_{2}} 和 a {\displaystyle \;a} ，我们得到： a = g ( m 2 − m 1 ) − τ f r i c t i o n r m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 1 = m 1 g ( 2 m 2 + I r 2 + τ f r i c t i o n r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 2 = m 2 g ( 2 m 1 + I r 2 + τ f r i c t i o n r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 维基共享资源上的相关多媒体资源：阿特伍德機 漆安慎、杜婵英. 《力学》（第二版）. 高等教育出版社. 2005: 76页. ISBN 978-7-04-016624-8.  Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27. "Atwood's Machine （页面存档备份，存于互联网档案馆）" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project. "Spreading Newtonian Philosophy with Instruments: The Case of Atwood's Machine". Http://dx.doi.org/10.4236/ahs.2014.31007