電位移

在電磁學裏，電位移是出現於馬克士威方程組的一種向量場，可以用來解釋介電質內自由電荷所產生的效應。電位移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 以方程式定義為 D   = d e f   ε 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } ； 其中， ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是電場， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是電極化強度。 高斯定律表明，電場的散度等於總電荷密度 ρ t o t a l {\displaystyle \rho _{total}} 除以電常數： ∇ ⋅ E = ρ t o t a l / ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{total}/\varepsilon _{0}} 。 電極化強度的散度等於負束縛電荷密度 − ρ b o u n d {\displaystyle -\rho _{bound}} ： ∇ ⋅ P = − ρ b o u n d {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} =-\rho _{bound}} 。 而總電荷密度等於束縛電荷密度加上自由電荷密度 ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ： ρ t o t a l = ρ f r e e + ρ b o u n d {\displaystyle \rho _{total}=\rho _{free}+\rho _{bound}} 。 所以，電位移的散度等於自由電荷密度 ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ： ∇ ⋅ D = ρ f r e e {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{free}} 。 這與高斯定律的方程式類似。假設，只給定自由電荷密度 ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ，或許可以用高斯方法來計算電位移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 。但是，在這裏，不能使用這方法。只知道自由電荷密度 ρ f r e e {\displaystyle \rho _{free}} ，有時候仍舊無法計算出電位移。思考以下關係式： ∇ × D = ε 0 ( ∇ × E ) + ( ∇ × P ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(\nabla \times \mathbf {E} )+(\nabla \times \mathbf {P} )} 。 假設電場為不含時電場（即與時間無關的电场）， ∇ × E = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0} ，則 ∇ × D = ∇ × P {\displaystyle \nabla \times \mathbf {D} =\nabla \times \mathbf {P} } 。 假若 ∇ × P ≠ 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {P} \neq 0} ，則雖然設定 ρ f r e e = 0 {\displaystyle \rho _{free}=0} ，電位移仍舊不等於零： D ≠ 0 {\displaystyle \mathbf {D} \neq 0} ！ 舉例而言，擁有固定電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 的永電體，其內部不含有任何自由電荷，但是內在的電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 會產生電場。 只有當問題本身具有某種對稱性，像球對稱性或圓柱對稱性等等，才能夠直接使用高斯方法，從自由電荷密度計算出電位移與電場。否則，必需將電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 和邊界條件納入考量。 「線性電介質」，對於外電場的施加，會產生線性響應。例如，鐵電材料是非線性電介質。假設線性電介質具有各向同性，則其電場與電極化強度的關係式為 P = χ e ε 0 E {\displaystyle \mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} } ； 其中， χ e {\displaystyle \chi _{e}} 是電極化率。 將這關係式代入電位移的定義式，可以得到 D = ( 1 + χ e ) ε 0 E = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =(1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} } ； 其中， ε {\displaystyle \varepsilon } 是電容率。 所以，電位移與電場成正比；其比率是電容率。另外， ∇ ⋅ ( ε E ) = ρ f r e e {\displaystyle \nabla \cdot (\varepsilon \mathbf {E} )=\rho _{free}} 。 假設這電介質具有均勻性，則電容率 ε {\displaystyle \varepsilon } 是常數： ∇ ⋅ E = ρ f r e e / ε {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho _{free}/\varepsilon } 。 定義相對電容率 ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} 為 ε r   = d e f   ε / ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon /\varepsilon _{0}} 。 相對電容率與電極化率有以下的關係： ε r = 1 + χ e {\displaystyle \varepsilon _{r}=1+\chi _{e}} 。 要注意的一点是，上式 D = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} } 的描述只是一种近似关系，当 E {\displaystyle \mathbf {E} } 变得很大时， D {\displaystyle \mathbf {D} } 与 E {\displaystyle \mathbf {E} } 就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。 各向異性線性電介質的電容率是個張量。例如，晶體的電容率通常必需用張量來表示。 如右圖所示，平行板電容器是由互相平行、以空間或電介質相隔的兩片平板導體構成的電容器。假設上下兩片平板導體分別含有負電荷與正電荷，含有的電荷量分別為 − Q {\displaystyle -Q} 、 + Q {\displaystyle +Q} 。又假設兩片平板導體之間的間隔距離超小於平板的長度與寬度，則可以視這兩片平板導體為無限平面；做簡單計算時，不必顧慮邊緣效應。由於系統的對稱性，可以應用高斯定律來計算電位移，其方向必定是從帶正電平板導體指向帶負電平板導體，而且垂直於平板導體；又由於平板導體含有的電荷是自由電荷，不需要知道電介質的性質，就可以應用關於自由電荷的高斯定律來計算電位移。 先計算帶正電平板導體所產生的電位移。試想一個扁長方形盒子，其頂面和底面分別在這平板導體的兩邊，平行於平板導體；而盒子的其它四個側面都垂直於平板導體。根據關於自由電荷的高斯定律， ∮ S D + ⋅ d a = Q {\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\mathbf {D} _{+}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =Q} ； 其中， S {\displaystyle \mathbb {S} } 是扁長方形盒子的閉合表面， D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 是帶正電平板導體所產生的電位移， d a {\displaystyle d\mathbf {a} } 是微小面元素。 由於扁長方形盒子的四個側面的面向量都與 D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 向量相垂直，它們對於積分的貢獻是零；只有盒子的頂面和底面對於積分有貢獻： 2 D + A = Q {\displaystyle 2D_{+}A=Q}  ; 其中， A {\displaystyle A} 是盒子頂面、底面的面積。 所以， D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 向量的方向是從帶正電平板導體垂直地向外指出，大小為 D + = Q / 2 A {\displaystyle D_{+}=Q/2A} 。 類似地，可以計算出帶負電平板導體所產生的電位移； D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 向量的方向是垂直地指向帶負電平板導體，大小為 D − = Q / 2 A {\displaystyle D_{-}=Q/2A} 。 應用疊加原理，可以計算這兩片帶電平板導體一起產生的電位移。在這兩片平板導體之間， D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 和 D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 的方向相同；應用疊加原理，電位移的大小等於平板導體的表面電荷密度： D = Q / A {\displaystyle D=Q/A} 。在兩片平板導體的共同上方或共同下方， D + {\displaystyle \mathbf {D} _{+}} 和 D − {\displaystyle \mathbf {D} _{-}} 的方向相反；應用疊加原理，電位移的大小等於零。 假設電介質的電容率為 ε {\displaystyle \varepsilon } ，則在兩片平板導體之間，電場的大小為 E = D / ε = Q / ε A {\displaystyle E=D/\varepsilon =Q/\varepsilon A} 。 假設兩片平板導體的間隔距離為 d {\displaystyle d} ，則電壓 V {\displaystyle V} 為 V = E d = Q d / ε A {\displaystyle V=Ed=Qd/\varepsilon A} 。 這平行板電容器的電容 C {\displaystyle C} 為 C = Q / V = ε A / d {\displaystyle C=Q/V=\varepsilon A/d} 。 《論法拉第力線》 《論物理力線》 位移電流 電磁波方程式 Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 175, 179–184, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link) Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 151–154, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)