一阶常微分方程

一阶常微分方程是数学中常见而基础的一类微分方程，通常写成如下的形式： d x d t = f ( x ( t ) , t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)} 其中的x是要解的未知函数，t是函数的自变量，f是一个已知的连续函数。 一阶常微分方程在物理学、生物学、化学以及各种自然与社会科学都能见到，是常见的数学模型的重要构成部分。 一阶线性微分方程是一阶常微分方程中基础的一类。通常写成如下形式： ∀ t ∈ I , d x d t = a ( t ) x ( t ) + b ( t ) {\displaystyle \forall t\in I,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)} 其中I是方程的求解范围，一般是实数集的子集。a和b是已知的连续函数。如果b是零函数，则称此方程为齐次的，否则称其为非齐次的。 一阶齐次线性微分方程： d x d t = a ( t ) x ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)} 的解函数构成一个一维实线性空间： S = { x : t ↦ c e ∫ t a ( u ) d u ; c ∈ R } . {\displaystyle S=\left\{x:\;t\mapsto ce^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}.} 一阶非齐次线性微分方程 d x d t = a ( t ) x ( t ) + b ( t ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)x(t)+b(t)} 的解函数构成一个一维实仿射空间： S ′ = { x : t ↦ ( c + ∫ t b ( u ) e − ∫ u a ( v ) d v d u ) e ∫ t a ( u ) d u ; c ∈ R } = S + x ∗ , {\displaystyle {\begin{aligned}S'&=\left\{x:\;t\mapsto \left(c+\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u\right)e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u};\;\;c\in \mathbb {R} \right\}\\&=S+x^{*},\end{aligned}}} 其中 x ∗ : t ↦ e ∫ t a ( u ) d u ∫ t b ( u ) e − ∫ u a ( v ) d v d u = ∫ t b ( u ) e ∫ u t a ( v ) d v d u {\displaystyle x^{*}:\;t\mapsto e^{\int ^{t}a(u)\mathrm {d} u}\int ^{t}b(u)e^{-\int ^{u}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u=\int ^{t}b(u)e^{\int _{u}^{t}a(v)\mathrm {d} v}\mathrm {d} u} 是原微分方程的一个特解。 如果一个一阶常微分方程能写成如下形式： d x d t = a ( t ) b ( x ) , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=a(t)b(x),} 则称其为变量分离方程。“变量分离”意为方程右端的部分可以分离成两个不同部分的乘积，其中一个只与自变量t相关，另一个则只与未知函数x相关。 变量分离函数可以变形为： d x b ( x ) = a ( t ) d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{b(x)}}=a(t)\mathrm {d} t} 的微分形式。将两端同时积分，可以得到： ∫ x 1 b ( u ) d u = ∫ t a ( s ) d s + c {\displaystyle \int ^{x}{\frac {1}{b(u)}}\mathrm {d} u=\int ^{t}a(s)\mathrm {d} s+c} 这便是方程的通解。由于上述关系为隐函数关系，而不是 x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} 的形式，称为隐式解。 不少一阶常微分方程可以通过变量变换转化为变量分离方程，从而求解。 将一个普通的一阶常微分方程转写为微分的形式： d x = f ( x , t ) d t {\displaystyle \mathrm {d} x=f(x,t)\mathrm {d} t} 将t和x视为变量平等看待，可以将其看作是对称的一阶微分方程： P ( x , t ) d x + Q ( x , t ) d t = 0 {\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0} 如果上述方程中的左侧恰好是某个二元函数的全微分： P ( x , t ) d x + Q ( x , t ) d t = d U ( x , t ) = ∂ U ∂ x ( x , t ) d x + ∂ U ∂ t ( x , t ) d t , {\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)={\frac {\partial U}{\partial x}}(x,t)\mathrm {d} x+{\frac {\partial U}{\partial t}}(x,t)\mathrm {d} t,} 那么隐函数： U ( x , t ) = c {\displaystyle U(x,t)=c} 就是原微分方程的解函数，其中的c可以是任意常数。具有这样性质的微分方程被称作恰当微分方程。要使得一个一阶常微分方程是恰当微分方程，其中的函数P和Q必须一阶连续可微，并且满足以下的条件： ∂ ∂ t P ( x , t ) = ∂ ∂ x Q ( x , t ) . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)={\frac {\partial }{\partial x}}Q(x,t).} 而当以上条件满足时，也可以具体求出解函数的形式： U ( x , t ) = ∫ x P ( u , t ) d u + ∫ [ Q ( x , s ) − ∂ ∂ t ∫ x P ( u , t ) d u | t = s ] d s {\displaystyle U(x,t)=\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u+\int \left[Q(x,s)-\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\int ^{x}P(u,t)\mathrm {d} u\right|_{t=s}\right]\mathrm {d} s} 如果方程 P ( x , t ) d x + Q ( x , t ) d t = 0 {\displaystyle P(x,t)\mathrm {d} x+Q(x,t)\mathrm {d} t=0} 中的函数P和Q不满足上述的关系式，则为了将其转化为恰当微分方程，会探讨能否通过添加适当的函数μ，使得： μ ( x , t ) P ( x , t ) d x + μ ( x , t ) Q ( x , t ) d t = d U ( x , t ) {\displaystyle \mu (x,t)P(x,t)\mathrm {d} x+\mu (x,t)Q(x,t)\mathrm {d} t=\mathrm {d} U(x,t)} 这样的函数μ称为方程的积分因子。可以证明，只要原方程有解函数存在，则积分因子也必然存在，而且不一定是唯一的。 很多情况下，需要讨论带有初值问题的一阶常微分方程，即： d x ( t ) d t = f ( x ( t ) , t ) , x ( t 0 ) = x 0 . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t),\;\;x(t_{0})=x_{0}.} 是否有解。 设E为一个完备的有限维赋范向量空间，U为E中的一个开集，I是 R {\displaystyle \mathbb {R} } 中的一个区间。函数f是从U×I映射到E中的连续函数。柯西-利普希茨定理说明了，若函数f在U中满足利普希茨条件，也就是说， ∃ κ > 0 ,   ∀ t ∈ I ,   ∀ x , y ∈ U ,   | f ( x , t ) − f ( y , t ) | ≤ κ | x − y | {\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|} 那么对于给定的初始条件： x ( t 0 ) = x 0 {\displaystyle x(t_{0})=x_{0}} ， t 0 ∈ I {\displaystyle t_{0}\in I} 、 x 0 ∈ U {\displaystyle x_{0}\in U} ，微分方程存在一个解 ( J , x ( t ) ) {\displaystyle (J,x(t))} ，其中 J ⊂ I {\displaystyle J\subset I} 是一个包含 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的区间， x ( t ) {\displaystyle x(t)} 是一个从 J {\displaystyle J} 映射到 U {\displaystyle U} 的连续函数，满足初始条件和原微分方程。同时，满足初值条件的最大解唯一存在。 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松. 常微分方程. 高等教育出版社，第三版. 2006. ISBN 9787040193664.