反餘弦

反餘弦（arccosine, arccos {\displaystyle \arccos } , cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} ）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反餘弦被定義為一個角度，也就是餘弦值的反函數，然而餘弦函數是雙射且不可逆的而不是一個對射函數（即多個值可能只得到一個值，例如1和所有同界角），故無法有反函數，但我們可以限制其定義域，因此，反餘弦是單射和滿射也是可逆的，另外，我們也需要限制值域，且限制值域時，不能和反正弦定義相同的區間，因為這樣會變成一對多，而不構成函數，所以我們將反餘弦函數的值域定義在 [ 0 , π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} （[0,180°]）。另外，在原始的定義中，若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，是沒有意義的，但是三角函數擴充到複數之後，若輸入值不在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ，將傳回複數。 反餘弦的數學符號是 arccos {\displaystyle \arccos } ，最常被記為 cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} 。在不同的編程語言和有些計算器則使用acos或acs。 原始的定義是將餘弦函數限制在 [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} （[0,180°]）的反函數 在複變分析中，反餘弦是這樣定義的: arccos ⁡ x = − i ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle \arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,} 這個動作使反餘弦被推廣到複數。 反餘弦函數是一個定義在區間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} 的嚴格遞減連續函數。 arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]} （ arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , 180 ∘ ] {\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]} ） 其圖形是對稱的，即對稱於點 ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)} ，或表示為 ( 0 , 90 ∘ ) {\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)} ，所以滿足 arccos ⁡ x = π − arccos ⁡ ( − x ) = 180 ∘ − arccos ⁡ ( − x ) {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)} 反餘弦函數的導數是： d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} . 反餘弦函數的泰勒級數是： arccos ⁡ x = π 2 − arcsin ⁡ x = π 2 − ( x + ( 1 2 ) x 3 3 + ( 1 ⋅ 3 2 ⋅ 4 ) x 5 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ) x 7 7 + ⋯ ) = π 2 − ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 2 n ( n ! ) 2 ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ; | x | ≤ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}} 基於上述級數在 | x | {\displaystyle |x|} 接近1時收斂速度十分緩慢，在 x = − 1 {\displaystyle x=-1} 求得的泰勒級數是： arccos ⁡ x = π − 2 ( x + 1 ) ( 1 + ( 1 4 ) x + 1 3 + ( 1 ⋅ 3 4 ⋅ 8 ) ( x + 1 ) 2 5 + ( 1 ⋅ 3 ⋅ 5 4 ⋅ 8 ⋅ 12 ) ( x + 1 ) 3 7 + ⋯ ) = π − 2 ( x + 1 ) ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n ) ! 2 3 n ( n ! ) 2 ) ( x + 1 ) n ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}} 由於先前描述的對稱關係 arccos ⁡ x = π − arccos ⁡ ( − x ) {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)} ，可由上式計算 | x | {\displaystyle |x|} 接近1時的反餘弦值。 也可以用反餘弦和差公式將兩個餘弦值合併成一個餘弦值: arccos ⁡ x 1 + arccos ⁡ x 2 = { arccos ⁡ ( x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 + x 2 ≥ 0 2 π − arccos ⁡ ( x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 + x 2 < 0 {\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}} arccos ⁡ x 1 − arccos ⁡ x 2 = { − arccos ⁡ ( x 1 x 2 + 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 ≥ x 2 arccos ⁡ ( x 1 x 2 + 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 < x 2 {\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}} . 直角三角形的輻角為其鄰邊和斜邊之間的比率的反餘弦值。 餘弦 反正弦