乒乓引理

群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。 使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。 設G為群，作用在集合X上，H1和H2是G的非平凡子群，H是H1和H2生成的群。若X有兩個不交非空子集X1和X2，使得 對所有 1 ≠ a ∈ H 1 {\displaystyle 1\neq a\in H_{1}} ，都有 a ( X 2 ) ⊂ X 1 {\displaystyle a(X_{2})\subset X_{1}} 對所有 1 ≠ b ∈ H 2 {\displaystyle 1\neq b\in H_{2}} ，都有 b ( X 1 ) ⊂ X 2 {\displaystyle b(X_{1})\subset X_{2}} 則H是H1和H2的自由積，即 H = H 1 ∗ H 2 {\displaystyle H=H_{1}*H_{2}} ，或者 | H 1 | = | H 2 | = 2 {\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2} ，而H是二面體群。 設w是用H1和H2的元素寫出的非空簡約字。若 w = a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ a k {\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}} ，其中 a i ∈ H 1 ∖ { 1 } {\displaystyle a_{i}\in H_{1}\setminus \{1\}} ， b i ∈ H 2 ∖ { 1 } {\displaystyle b_{i}\in H_{2}\setminus \{1\}} ，則 w ( X 2 ) = a 1 b 1 ⋯ a k − 1 b k − 1 a k ( X 2 ) ⊂ a 1 b 1 ⋯ a k − 1 b k − 1 ( X 1 ) ⊂ a 1 b 1 ⋯ a k − 1 ( X 2 ) ⊂ ⋯ ⊂ X 1 {\displaystyle {\begin{aligned}w(X_{2})&=a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}a_{k}(X_{2})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}b_{k-1}(X_{1})\\&\subset a_{1}b_{1}\cdots a_{k-1}(X_{2})\\&\subset \cdots \subset X_{1}\end{aligned}}} 故 w ≠ 1 {\displaystyle w\neq 1} 。同上得 w = b 1 a 2 b 2 a 3 ⋯ b k ≠ 1 {\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}a_{3}\cdots b_{k}\neq 1} 。 若H1和H2的階不都等於2，不失一般性，假設 | H 1 | > 2 {\displaystyle \left|H_{1}\right|>2} 。若 w = a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ b k {\displaystyle w=a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}} ，取 a ∈ H 1 ∖ { 1 , a 1 − 1 } {\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{1}^{-1}\}} ，則 1 ≠ a a 1 ∈ H 1 {\displaystyle 1\neq aa_{1}\in H_{1}} ，故由上可知 a w a − 1 = a a 1 b 1 a 2 b 2 ⋯ b k a − 1 ≠ 1 {\displaystyle awa^{-1}=aa_{1}b_{1}a_{2}b_{2}\cdots b_{k}a^{-1}\neq 1} ， 得 w ≠ 1 {\displaystyle w\neq 1} 。若 w = b 1 a 2 b 2 ⋯ a k {\displaystyle w=b_{1}a_{2}b_{2}\cdots a_{k}} ，取 a ∈ H 1 ∖ { 1 , a k } {\displaystyle a\in H_{1}\setminus \{1,a_{k}\}} ，則 1 ≠ a k a − 1 ∈ H 1 {\displaystyle 1\neq a_{k}a^{-1}\in H_{1}} ，同上可得 a w a − 1 ≠ 1 {\displaystyle awa^{-1}\neq 1} ，故 w ≠ 1 {\displaystyle w\neq 1} 。因此得出 H = H 1 ∗ H 2 {\displaystyle H=H_{1}*H_{2}} 。 若 | H 1 | = | H 2 | = 2 {\displaystyle \left|H_{1}\right|=\left|H_{2}\right|=2} ，令 H 1 = { 1 , a } {\displaystyle H_{1}=\{1,a\}} ， H 2 = { 1 , b } {\displaystyle H_{2}=\{1,b\}} 。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是 a b ⋯ a b {\displaystyle ab\cdots ab} 或 b a ⋯ b a {\displaystyle ba\cdots ba} ，故對某些數n > 0有 ( a b ) n = 1 {\displaystyle (ab)^{n}=1} 。取其最小者的值為n，則H為二面體群 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 。若無如此簡約字w，則 H = H 1 ∗ H 2 {\displaystyle H=H_{1}*H_{2}} 。 乒乓引理可以推廣至數個子群的情形： 設G為群，作用在集合X上。又設H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X1, X2, ... , Xk，使得當 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 時，對所有 1 ≠ a ∈ H i {\displaystyle 1\neq a\in H_{i}} ，都有 a ( X j ) ⊂ X i {\displaystyle a(X_{j})\subset X_{i}} 。則H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由積，即 ⟨ H 1 , ⋯ , H k ⟩ = H 1 ∗ H 2 ∗ ⋯ ∗ H k {\displaystyle \langle H_{1},\cdots ,H_{k}\rangle =H_{1}*H_{2}*\cdots *H_{k}} 。 這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。 矩陣 ( 1 2 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}} 和 ( 1 0 2 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}} 在特殊線性群 S L ( 2 , Z ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )} 中生成的子群是秩2的自由群。 群 S L ( 2 , Z ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )} 以線性變換作用在平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 上。 設這兩個矩陣各自生成子群 H 1 = ⟨ ( 1 2 0 1 ) ⟩ = { ( 1 2 n 0 1 ) | n ∈ Z } {\displaystyle H_{1}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}} H 2 = ⟨ ( 1 0 2 1 ) ⟩ = { ( 1 0 2 n 1 ) | n ∈ Z } {\displaystyle H_{2}=\left\langle {\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}\right\rangle =\left\{\left.{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\right\vert n\in \mathbb {Z} \right\}} 又設平面的兩個不交子集為 X 1 = { ( x y ) ∈ R 2 : | x | > | y | } {\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}} X 2 = { ( x y ) ∈ R 2 : | x | < | y | } {\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}} H1, H2都同構於無限循環群。因為H1, H2, X1, X2適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H1, H2生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。 Lyndon, Roger; Schupp, Paul. Combinatorial Group Theory. Classics in Mathematics. Germany: Springer-Verlag. 2001: 167 [1977]. ISBN 3-540-41158-5.  引文使用过时参数coauthors (帮助) La Harpe, Pierre de. Topics in Geometric Group Theory. Chicago: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.  J. Tits. Free subgroups in linear groups.[永久失效連結] Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270