平行軸定理

平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支通過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。 讓 I C {\displaystyle I_{C}\,\!} 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、 M {\displaystyle M\,\!} 代表剛體的質量、 d {\displaystyle d\,\!} 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z'-軸的轉動慣量是 I z ′ = I C + M d 2 {\displaystyle I_{z'}=I_{C}+Md^{2}\,\!} 。 平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則，這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。 平行軸定理也可以應用於截面二次軸矩（面積慣性矩）： I z = I x + A d 2 {\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ad^{2}\,\!} ； 這裏， I z {\displaystyle I_{z}\,\!} 是對於 z-軸的面積慣性矩、 I x {\displaystyle I_{x}\,\!} 是對於平面質心軸的面積慣性矩、 A {\displaystyle A\,\!} 是面積、 d {\displaystyle d\,\!} 是 z-軸與質心軸的垂直距離。 因雅各·史丹納 (Jakob Steiner) 而命名，史丹納定理所指的幾個理論，其中一個理論就是平行軸定理。 平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。 對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ，一個剛體的慣性張量 I {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} 是 I = [ I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z ] {\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}\,\!} 。 這裏，對角元素 I x x {\displaystyle I_{xx}\,\!} 、 I y y {\displaystyle I_{yy}\,\!} 、 I z z {\displaystyle I_{zz}\,\!} 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!} 為微小質量 d m {\displaystyle dm\,\!} 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩，可以精簡地用方程式定義為 I x x   = d e f   ∫   y 2 + z 2   d m {\displaystyle I_{xx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!} ， I y y   = d e f   ∫   x 2 + z 2   d m {\displaystyle I_{yy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+z^{2}\ dm\,\!} ， I z z   = d e f   ∫   x 2 + y 2   d m {\displaystyle I_{zz}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \ x^{2}+y^{2}\ dm\,\!} 。 而非對角元素，稱為慣性積, 可以定義為 I x y = I y x   = d e f   − ∫   x y   d m {\displaystyle I_{xy}=I_{yx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xy\ dm\,\!} ， I x z = I z x   = d e f   − ∫   x z   d m {\displaystyle I_{xz}=I_{zx}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ xz\ dm\,\!} ， I y z = I z y   = d e f   − ∫   y z   d m {\displaystyle I_{yz}=I_{zy}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\int \ yz\ dm\,\!} 。 假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 I G {\displaystyle \mathbf {I} _{G}\,\!} ，質心 G 的位置是 ( x ¯ ,   y ¯ ,   z ¯ ) {\displaystyle ({\bar {x}},\ {\bar {y}},\ {\bar {z}})\,\!} ，則剛體對於原點 O 的慣性張量 I {\displaystyle \mathbf {I} \,\!} ，依照平行軸定理，可以表述為 I x x = I G , x x + m ( y ¯ 2 + z ¯ 2 ) {\displaystyle I_{xx}=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!} ， I y y = I G , y y + m ( x ¯ 2 + z ¯ 2 ) {\displaystyle I_{yy}=I_{G,yy}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\,\!} ， I z z = I G , z z + m ( x ¯ 2 + y ¯ 2 ) {\displaystyle I_{zz}=I_{G,zz}+m({\bar {x}}^{2}+{\bar {y}}^{2})\,\!} ， I x y = I y x = I G , x y − m x ¯ y ¯ {\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\,\!} ， I x z = I z x = I G , x z − m x ¯ z ¯ {\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz}-m{\bar {x}}{\bar {z}}\,\!} ， I y z = I z y = I G , y z − m y ¯ z ¯ {\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz}-m{\bar {y}}{\bar {z}}\,\!} 。 證明： a) 參考右圖 ，讓 ( x ′ ,   y ′ ,   z ′ ) {\displaystyle (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!} 、 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)\,\!} 分別為微小質量 d m {\displaystyle dm\,\!} 對質心 G 與原點 O 的相對位置： y = y ′ + y ¯ {\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!} ， z = z ′ + z ¯ {\displaystyle z=z\,'+{\bar {z}}\,\!} 。 依照慣性張量的慣性矩定義方程式， I G , x x = ∫   y ′ 2 + z ′ 2   d m {\displaystyle I_{G,xx}=\int \ y\,'\,^{2}+z\,'\,^{2}\ dm\,\!} ， I x x = ∫   y 2 + z 2   d m {\displaystyle I_{xx}=\int \ y^{2}+z^{2}\ dm\,\!} 。 所以， I x x = ∫   ( y ′ + y ¯ ) 2 + ( z ′ + z ¯ ) 2   d m = I G , x x + m ( y ¯ 2 + z ¯ 2 )   . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xx}&=\int \ (y\,'+{\bar {y}})^{2}+(z\,'+{\bar {z}})^{2}\ dm\\&=I_{G,xx}+m({\bar {y}}^{2}+{\bar {z}}^{2})\ .\\\end{aligned}}\,\!} 相似地，可以求得 I y y {\displaystyle I_{yy}\,\!} 、 I z z {\displaystyle I_{zz}\,\!} 的方程式。 b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ， I G , x y = − ∫   x ′ y ′   d m {\displaystyle I_{G,xy}=-\int \ x\,'y\,'\ dm\,\!} ， I x y = − ∫   x y   d m {\displaystyle I_{xy}=-\int \ xy\ dm\,\!} 。 因為 x = x ′ + x ¯ {\displaystyle x=x\,'+{\bar {x}}\,\!} ， y = y ′ + y ¯ {\displaystyle y=y\,'+{\bar {y}}\,\!} ，所以 I x y = − ∫   ( x ′ + x ¯ ) ( y ′ + y ¯ )   d m = I G , x y − m x ¯ y ¯   . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=-\int \ (x\,'+{\bar {x}})(y\,'+{\bar {y}})\ dm\\&=I_{G,xy}-m{\bar {x}}{\bar {y}}\ .\\\end{aligned}}\,\!} 相似地，可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。 思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量， I G = [ 1 12 m ( w 2 + h 2 ) 0 0 0 1 12 m ( h 2 + d 2 ) 0 0 0 1 12 m ( w 2 + d 2 ) ] {\displaystyle I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})&0&0\\0&{\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})&0\\0&0&{\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!} 如圖右，質心 G 的位置是 ( d 2 ,   w 2 ,   h 2 ) {\displaystyle \left({\frac {d}{2}},\ {\frac {w}{2}},\ {\frac {h}{2}}\right)\,\!} 。依照平行軸定理，實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為 I x x = 1 12 m ( w 2 + h 2 ) + m ( ( w 2 ) 2 + ( h 2 ) 2 ) {\displaystyle I_{xx}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+h^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、 I y y = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) + m ( ( h 2 ) 2 + ( d 2 ) 2 ) {\displaystyle I_{yy}={\frac {1}{12}}m(h^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、 I z z = 1 12 m ( w 2 + d 2 ) + m ( ( w 2 ) 2 + ( d 2 ) 2 ) {\displaystyle I_{zz}={\frac {1}{12}}m(w^{2}+d^{2})+m\left(\left({\frac {w}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {d}{2}}\right)^{2}\right)\,\!} 、 I x y = − m ( w 2 ) ( d 2 ) = − m w d 4 {\displaystyle I_{xy}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mwd}{4}}\,\!} 、 I x z = − m ( h 2 ) ( d 2 ) = − m h d 4 {\displaystyle I_{xz}=-m\left({\frac {h}{2}}\right)\left({\frac {d}{2}}\right)=-{\frac {mhd}{4}}\,\!} 、 I y z = − m ( w 2 ) ( h 2 ) = − m w h 4 {\displaystyle I_{yz}=-m\left({\frac {w}{2}}\right)\left({\frac {h}{2}}\right)=-{\frac {mwh}{4}}\,\!} 。 因此，實心長方體對於點 O 的慣性張量是 I G = [ 1 3 m ( w 2 + h 2 ) − 1 4 m w d − 1 4 m h d − 1 4 m w d 1 3 m ( h 2 + d 2 ) − 1 4 m w h − 1 4 m h d − 1 4 m w h 1 3 m ( w 2 + d 2 ) ] {\displaystyle I_{G}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}m(w^{2}+h^{2})&-{\frac {1}{4}}mwd&-{\frac {1}{4}}mhd\\-{\frac {1}{4}}mwd&{\frac {1}{3}}m(h^{2}+d^{2})&-{\frac {1}{4}}mwh\\-{\frac {1}{4}}mhd&-{\frac {1}{4}}mwh&{\frac {1}{3}}m(w^{2}+d^{2})\end{bmatrix}}\,\!} 轉動慣量列表 垂直轴定理 Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8 南台科技大學高職教師進修網站