*-代数

抽象代数中，*-代数（或对合代数）是由两个对合环R、A组成的数学结构，其中R是交换的，A具有R上结合代数的结构。对合代数推广了带共轭的数系的概念，如复数和共轭复数、复数上的矩阵和共轭转置、希尔伯特空间上的线性算子与埃尔米特伴随。 不过，代数也可能不允许任何对合。 数学中，*-环是具有映射 ∗ :   A → A {\displaystyle {}^{*}:\ A\to A} 的环，这映射既是反自同构也是对合。 更确切地说，*要满足以下公理： ∀ x ,   y ∈ A , {\displaystyle \forall x,\ y\in A,} ( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ {\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}} ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}} 1 ∗ = 1 {\displaystyle 1^{*}=1} ( x ∗ ) ∗ = x {\displaystyle (x^{*})^{*}=x} 这也称作对合环。第三条公理可从第二与第四条推出。 使 x ∗ = x {\displaystyle x^{*}=x} 的元素是自伴的。 -环的典型例子是复数域和以共轭复数为对合的代数数域。可在任意*-环上定义半双线性形式。 此外，还可定义代数对象的*-版本，如理想和子环，要求是*-不变的： x ∈ I ⇒ x ∗ ∈ I {\displaystyle x\in I\Rightarrow x^{*}\in I} 等等。 在计算理论中，*-环与星半环无关。 *-代数A是*-环，其对合*是交换*-环R上的结合代数，带有对合'，使 ∀ r ∈ R ,   x ∈ A ,   ( r x ) ∗ = r ′ x ∗ {\displaystyle \forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^{*}=r'x^{*}} 。 基*-环R通常是复数（其中'为共轭复数）。 据公理可知，A上的*在R中是共轭线性的，即 ∀ λ ,   μ ∈ R ,   x ,   y ∈ A , {\displaystyle \forall \lambda ,\ \mu \in R,\ x,\ y\in A,} ( λ x + μ y ) ∗ = λ ′ x ∗ + μ ′ y ∗ {\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x^{*}+\mu 'y^{*}} *-同态 f :   A → B {\displaystyle f:\ A\to B} 是与A、B的对合相容的代数同态，即 ∀ a ∈ A ,   f ( a ∗ ) = f ( a ) ∗ . {\displaystyle \forall a\in A,\ f(a^{*})=f(a)^{*}.} -环上的*-运算类似于复数上的共轭复数。*-代数上的*-运算类似于在复矩阵代数中取伴随。 对合是一元运算，记作后置的星号，位于主线上方或附近： x ↦ x*，或 x ↦ x∗ 但不能是 x ∗ {\displaystyle x*} 。 交换环配备平凡（恒等）对合成为*-环。 人们最熟悉的实数上的*-环和*-代数是复数域，共轭复数发挥对合*的作用。 更一般地，通过平方根（如虚数单位 − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} ）的伴随得到的域扩张是原域上的*-代数，视作平凡*-环。*可翻转平方根的符号。 二次整数环（对某些D）是交换*-环，*的定义与此类似；二次域是适当二次整数环上的*-代数。 四元数、双曲复数、二元数，可能还有其他超复数系构成*-环（带有内置的共轭运算）及实数上的*-代数（*是平凡的）。三者都不是复代数。 赫维兹四元数形成非交换*-环，带有四元共轭。 实数上n阶方阵的矩阵代数，*是转置。 复数上n阶方阵的矩阵代数，*是共轭转置。 其推广，即希尔伯特空间上有界线性算子代数及其埃尔米特伴随也定义了*-代数。 交换平凡*-环R上的多项式环 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是R上的*-代数， P ∗ ( x ) = P ( − x ) . {\displaystyle P^{*}(x)=P(-x).} 若 ( A ,   + ,   × ,   ∗ ) {\displaystyle (A,\ +,\ \times ,\ {}^{*})} 是*-环、（交换）R环上的代数、 ∀ r ∈ R ,   x ∈ A ,   ( r x ) ∗ = r ( X ∗ ) {\displaystyle \forall r\in R,\ x\in A,\ (rx)^{*}=r(X^{*})} ，则A是R上的*-代数（其中*平凡）。 *-环都是整数上的*-代数。 交换*-环是自身的*-代数，更一般地，也是其任意*-子环的*-代数。 交换*-环R对自身*-理想的商是R上的*-代数。 例如，任意交换平凡*-环都是其对偶数环上的*-代数，即具有非平凡*的*-环，因为对 ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} 的商使原环复原。 交换环K及其多项式环 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 也如此：对 x = 0 {\displaystyle x=0} 的商使K复原。 黑克代数中，对合对卡日丹-卢斯蒂格所行驶非常重要。 椭圆曲线的自同态环成为整数上的*-代数，其中对合是取对偶同源。类似的构造也适于有极化的阿贝尔簇，当中称作洛萨提对合（见Milne的阿贝尔簇讲义）。 对合霍普夫代数是*-代数的重要例子（具有相容余乘法的附加结构）；最常见的例子是： 群霍普夫代数：群环，对合是 g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}} 。 不是所有代数都允许对合： 考虑复数上的2阶方阵的子代数： A := { ( a b 0 0 ) : a , b ∈ C } {\displaystyle {\mathcal {A}}:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}:a,b\in \mathbb {C} \right\}} 任何非平凡反自同构必为如下形式： φ z [ ( 1 0 0 0 ) ] = ( 1 z 0 0 ) φ z [ ( 0 1 0 0 ) ] = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}1&z\\0&0\end{pmatrix}}\quad \varphi _{z}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}} 对任意复数 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 。 由此可见，任何非平凡反自同构都不是幂等的： φ z 2 [ ( 0 1 0 0 ) ] = ( 0 0 0 0 ) ≠ ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle \varphi _{z}^{2}\left[{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} 结论是，子代数不允许任何对合。 转置的很多性质在一般*-代数中成立： 埃尔米特元素形成若尔当代数； 斜埃尔米特元素形成李代数; 若2在*-环中可逆，则算子 1 2 ( 1 + ∗ ) ,   1 2 ( 1 − ∗ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+{}^{*}),\ {\frac {1}{2}}(1-{}^{*})} 是正交幂等，称为对称与反对称，因此代数分解为对称与反对称（埃尔米特、斜埃尔米特）元素模的直和（若*-环是域则为向量空间）。这些空间一般不构成结合代数，因为幂等是算子，而不是代数中的元素。 给定*-环，有映射 − ∗ :   x ↦ − x ∗ {\displaystyle -^{*}:\ x\mapsto -x^{*}} 。由于 1 ↦ − 1 {\displaystyle 1\mapsto -1} ，它并不定义*-环结构（除非特征标为2，这时−*与原*相同），也没有反乘法性，但满足其他公理（线性、对合），因此与 x ↦ x ∗ {\displaystyle x\mapsto x^{*}} 的*-代数非常相似。 由这映射固定的元素（即满足 a = − a ∗ {\displaystyle a=-a^{*}} 者）称作斜埃尔米特的。 对带复共轭的复数，实数是埃尔米特元素，虚数是斜埃尔米特元素。 C*-代数 剑标范畴 冯诺依曼代数 贝尔环 算子代数 共轭元素 凯莱-迪克森结构 合成代数 这时，“对合”指对合反自同构，也称作反对合。 大多数定义不要求*-代数有乘法单位元，即*-代数可以只是*-伪环。 Weisstein, Eric W. C-Star Algebra. Wolfram MathWorld. 2015 [2023-12-27]. （原始内容存档于2023-05-31）.  Baez, John. Octonions. Department of Mathematics. University of California, Riverside. 2015 [2015-01-27]. （原始内容存档于2015-03-26）.  nLab的star-algebra條目 Winker, S. K.; Wos, L.; Lusk, E. L. Semigroups, Antiautomorphisms, and Involutions: A Computer Solution to an Open Problem, I. Mathematics of Computation. 1981, 37 (156): 533–545 [2023-12-27]. ISSN 0025-5718. doi:10.2307/2007445. （原始内容存档于2023-06-13）.