海涅-康托尔定理

海涅-康托尔定理，以愛德華·海涅和乔治·康托尔命名，说明如果M是一个紧度量空间，N是一个度量空间，则每一个连续函数 f : M → N, 都是一致连续的。 特别地，如果f : [a,b] → R是一个连续函数，则它是一致连续的。 假设f在紧度量空间M上连续，但不一致连续，则以下命题 ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0} ，使得对于所有M内的x和y，都有 d ( x , y ) < δ ⇒ ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε {\displaystyle d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon } 的否定是： ∃ ε 0 > 0 {\displaystyle \exists \varepsilon _{0}>0} ，使得 ∀ δ > 0 ,   ∃ x , y ∈ M {\displaystyle \forall \delta >0,\ \exists x,y\in M} ，使得   d ( x , y ) < δ {\displaystyle \ d(x,y)<\delta } ，且 ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) ≥ ε 0 {\displaystyle \rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}} 。 其中d和 ρ {\displaystyle \rho } 分别是度量空间M和N上的距离函数。 选择两个序列xn和yn，使得： d ( x n , y n ) < 1 n {\displaystyle d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}} ，且 ρ ( f ( x n ) , f ( y n ) ) ≥ ε 0 {\displaystyle \rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}} (*) 由于度量空间是紧致的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，序列xn存在一个收敛的子序列 x n k {\displaystyle x_{n_{k}}} ，而 d ( x n k , y n k ) < 1 n k → 0 {\displaystyle d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\to 0} ，故 x n k {\displaystyle x_{n_{k}}} 和 y n k {\displaystyle y_{n_{k}}} 收敛于相同的点。又因为f是连续的，所以 f ( x n k ) {\displaystyle f(x_{n_{k}})} 和 f ( y n k ) {\displaystyle f(y_{n_{k}})} 收敛于相同的点，与(*)式矛盾。 设 f 是从一个紧度量空间 (M,dM) 到一个度量空间 (N,dN) 的连续函数，欲证明 f 是一致连续的。 设给定了 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , 于是对 M {\displaystyle M} 中的每一个点 a {\displaystyle a} 都存在一个与 a {\displaystyle a} 有关的 δ {\displaystyle \delta } , 使得 d N ( f ( x ) , f ( a ) ) < ε 2 , ∀ x ∈ B M ( a ; δ ) .  {\displaystyle d_{N}(f(x),f(a))<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}(a;\delta ){\text{. }}} 考虑由半径为 δ / 2 {\displaystyle \delta /2} 的球 B M ( a ; δ / 2 ) {\displaystyle B_{M}(a;\delta /2)} 构成的集族, 这族球覆盖 M {\displaystyle M} , 而且因为 M {\displaystyle M} 是紧的, 所以这些球中有有限个也覆盖 M {\displaystyle M} , 比方说 M = ⋃ k = 1 m B M ( a k ; r k 2 ) (*) {\displaystyle M=\bigcup _{k=1}^{m}B_{M}\left(a_{k};{\frac {r_{k}}{2}}\right)\qquad {\text{(*)}}} 在任何一个两倍半径的球 B M ( a k ; r k ) {\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)} 中, 我们有 d N ( f ( x ) , f ( a k ) ) < ε 2 , ∀ x ∈ B M ( a k ; r k ) .  {\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}},\forall x\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right){\text{. }}} 设 δ = min ( r 1 / 2 , ⋯ , r m / 2 ) {\displaystyle \delta =\min(r_{1}/2,\cdots ,r_{m}/2)} , 欲证明这个 δ {\displaystyle \delta } 满足一致连续性定义中的要求. 对 M {\displaystyle M} 中的两个点 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 满足条件 d M ( x , y ) < δ {\displaystyle d_{M}(x,y)<\delta } , 由 (*) {\displaystyle {\text{(*)}}} , 有某个球 B M ( a k ; r k / 2 ) {\displaystyle B_{M}\left(a_{k};r_{k}/2\right)} 包含 x {\displaystyle x} , 所以 d N ( f ( x ) , f ( a k ) ) < ε 2 . {\displaystyle d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}.} 由三角不等式可得 d M ( y , a k ) ⩽ d M ( y , x ) + d M ( x , a k ) < δ + r k 2 ⩽ r k 2 + r k 2 = r k . {\displaystyle d_{M}\left(y,a_{k}\right)\leqslant d_{M}(y,x)+d_{M}\left(x,a_{k}\right)<\delta +{\frac {r_{k}}{2}}\leqslant {\frac {r_{k}}{2}}+{\frac {r_{k}}{2}}=r_{k}.} 因而, y ∈ B M ( a k ; r k ) {\displaystyle y\in B_{M}\left(a_{k};r_{k}\right)} , 所以也有 d N ( f ( y ) , f ( a k ) ) < ε / 2 {\displaystyle d_{N}\left(f(y),f\left(a_{k}\right)\right)<\varepsilon /2} . 再次使用三角不等式就可以发现 d N ( f ( x ) , f ( y ) ) ⩽ d N ( f ( x ) , f ( a k ) ) + d N ( f ( a k ) , f ( y ) ) < ε 2 + ε 2 = ε . {\displaystyle d_{N}(f(x),f(y))\leqslant d_{N}\left(f(x),f\left(a_{k}\right)\right)+d_{N}\left(f\left(a_{k}\right),f(y)\right)<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon {\text{.}}} 存档副本. [2022-10-16]. （原始内容存档于2022-10-15）.  Heine–Cantor theorem. PlanetMath.  Proof of Heine–Cantor theorem. PlanetMath.