扁球面坐標系

扁球面坐標系（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點 F 1 {\displaystyle F_{1}} 與 F 2 {\displaystyle F_{2}} 的直角坐標分別為 ( − a ,   0 ,   0 ) {\displaystyle (-a,\ 0,\ 0)} 與 ( a ,   0 ,   0 ) {\displaystyle (a,\ 0,\ 0)} 。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 a {\displaystyle a} 的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。 當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。 在三維空間裏，一個點P的扁球面坐標 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 常見的定義是 x = a   cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν   cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi } 、 y = a   cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν   sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi } 、 z = a   sinh ⁡ μ   sin ⁡ ν {\displaystyle z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu } 。 其中， μ ≥ 0 {\displaystyle \mu \geq 0} 是個實數，角度 − 90 ∘ ≤ ν ≤ 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }} ，角度 − 180 ∘ ≤ ϕ ≤ 180 ∘ {\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }} 。 學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。 μ {\displaystyle \mu } 坐標曲面是扁球面 ： x 2 + y 2 a 2 cosh 2 ⁡ μ + z 2 a 2 sinh 2 ⁡ μ = cos 2 ⁡ ν + sin 2 ⁡ ν = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1} 。 它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為 a cosh ⁡ μ {\displaystyle a\cosh \mu } ，沿著z-軸，短半軸長度為 a sinh ⁡ μ {\displaystyle a\sinh \mu } 。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為 ± a {\displaystyle \pm a} 。 ν {\displaystyle \nu } 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ： x 2 + y 2 a 2 cos 2 ⁡ ν − z 2 a 2 sin 2 ⁡ ν = cosh 2 ⁡ μ − sinh 2 ⁡ μ = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1} 。 假若 ν {\displaystyle \nu } 是正值， z {\displaystyle z} 也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。 ν {\displaystyle \nu } 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為 ± a {\displaystyle \pm a} 。 ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是個半平面 ： x sin ⁡ ϕ − y cos ⁡ ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。 用直角坐標 ( x ,   y ,   z ) {\displaystyle (x,\ y,\ z)} 來計算扁球面坐標 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} ，方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的公式為 tan ⁡ ϕ = y x {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}} 。 設定 d 1 {\displaystyle d_{1}} 與 d 2 {\displaystyle d_{2}} 分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為 d 1 2 = ( x 2 + y 2 + a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}} 、 d 2 2 = ( x 2 + y 2 − a ) 2 + z 2 {\displaystyle d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}} 。 坐標 μ {\displaystyle \mu } 和 ν {\displaystyle \nu } 的方程式分別為 cosh ⁡ μ = d 1 + d 2 2 a {\displaystyle \cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}} 、 cos ⁡ ν = d 1 − d 2 2 a {\displaystyle \cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}} 。 扁球面坐標 μ {\displaystyle \mu } 與 ν {\displaystyle \nu } 的標度因子相等： h μ = h ν = a sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν {\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}} 。 方位角 ϕ {\displaystyle \phi } 的標度因子為 h ϕ = a cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν {\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu } 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 cosh ⁡ μ   cos ⁡ ν   ( sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν ) d μ d ν d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 a 2 ( sinh 2 ⁡ μ + sin 2 ⁡ ν ) [ 1 cosh ⁡ μ ∂ ∂ μ ( cosh ⁡ μ ∂ Φ ∂ μ ) + 1 cos ⁡ ν ∂ ∂ ν ( cos ⁡ ν ∂ Φ ∂ ν ) ] + 1 a 2 ( cosh 2 ⁡ μ cos 2 ⁡ ν ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 另外有一組有時會用到的扁球面坐標 ( ζ ,   ξ ,   ϕ ) {\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )} ；其中， ζ = sinh ⁡ μ {\displaystyle \zeta =\sinh \mu } ， ξ = sin ⁡ ν {\displaystyle \xi =\sin \nu } 。 ζ {\displaystyle \zeta } 坐標曲面是個扁球面， ξ {\displaystyle \xi } 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標： x = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi } 、 y = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi } 、 z = a ζ ξ {\displaystyle z=a\zeta \xi } 。 其中，實數 0 ≤ ζ < ∞ {\displaystyle 0\leq \zeta <\infty } ，實數 − 1 ≤ ξ < 1 {\displaystyle -1\leq \xi <1} ，角度 − 180 ∘ ≤ ϕ ≤ 180 ∘ {\displaystyle -180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }} 。 扁球面坐標 ( ζ ,   ξ ,   ϕ ) {\displaystyle (\zeta ,\ \xi ,\ \phi )} 的標度因子分別為： h ζ = a ζ 2 + ξ 2 1 + ζ 2 {\displaystyle h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}} 、 h ξ = a ζ 2 + ξ 2 1 − ξ 2 {\displaystyle h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}} 、 h ϕ = a ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) {\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}} 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 ( ζ 2 + ξ 2 ) d ζ d ξ d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 V = 1 a 2 ( ζ 2 + ξ 2 ) { ∂ ∂ ζ [ ( 1 + ζ 2 ) ∂ V ∂ ζ ] + ∂ ∂ ξ [ ( 1 − ξ 2 ) ∂ V ∂ ξ ] } + 1 a 2 ( 1 + ζ 2 ) ( 1 − ξ 2 ) ∂ 2 V ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}} 。 另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} ： σ = cosh ⁡ μ {\displaystyle \sigma =\cosh \mu } 、 τ = cos ⁡ ν {\displaystyle \tau =\cos \nu } 、 ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。 坐標 σ {\displaystyle \sigma } 必須大於或等於1。坐標 τ {\displaystyle \tau } 必須在正負1之間。 σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面是扁球面。 τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 ν {\displaystyle \nu } 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 ( x ,   y ,   ± z ) {\displaystyle (x,\ y,\ \pm z)} 映射至一組扁球面坐標系 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} ）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到： x = a σ τ cos ⁡ ϕ {\displaystyle x=a\sigma \tau \cos \phi } 、 y = a σ τ sin ⁡ ϕ {\displaystyle y=a\sigma \tau \sin \phi } 、 z 2 = a 2 ( σ 2 − 1 ) ( 1 − τ 2 ) {\displaystyle z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)} 。 坐標 σ {\displaystyle \sigma } 與 τ {\displaystyle \tau } 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} ，最近距離 d 2 {\displaystyle d_{2}} ： d 1 + d 2 = 2 a σ {\displaystyle d_{1}+d_{2}=2a\sigma } 、 d 1 − d 2 = 2 a τ {\displaystyle d_{1}-d_{2}=2a\tau } 。 所以，點P與焦圓的最遠距離是 a ( σ + τ ) {\displaystyle a(\sigma +\tau )} ，點P與焦圓的最近距離是 a ( σ − τ ) {\displaystyle a(\sigma -\tau )} 。 σ {\displaystyle \sigma } 坐標曲面是扁球面 ： x 2 + y 2 a 2 σ 2 + z 2 a 2 ( σ 2 − 1 ) = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1} 。 τ {\displaystyle \tau } 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ： x 2 + y 2 a 2 τ 2 − z 2 a 2 ( 1 − τ 2 ) = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1} 。 ϕ {\displaystyle \phi } 坐標曲面是半個平面 ： x sin ⁡ ϕ − y cos ⁡ ϕ = 0 {\displaystyle x\sin \phi -y\cos \phi =0} 。 扁球面坐標 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 的標度因子分別為： h σ = a σ 2 + τ 2 σ 2 + 1 {\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}} 、 h τ = a σ 2 + τ 2 1 − τ 2 {\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}} 、 h ϕ = a σ τ {\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau } 。 無窮小體積元素是 d V = a 3 σ τ σ 2 + τ 2 ( σ 2 + 1 ) ( 1 − τ 2 ) d σ d τ d ϕ {\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi } 。 拉普拉斯算子是 ∇ 2 Φ = 1 a 2 ( σ 2 + τ 2 ) { ∂ ∂ σ [ ( σ 2 + 1 ) ∂ Φ ∂ σ ] + ∂ ∂ τ [ ( 1 − τ 2 ) ∂ Φ ∂ τ ] } + 1 a 2 ( σ 2 + 1 ) ( 1 − τ 2 ) ∂ 2 Φ ∂ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}} 。 其它微分算子，像 ∇ ⋅ F {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } 、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } ，都可以用 ( σ ,   τ ,   z ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)} 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。 如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。 Smythe, 1968。 Abramowitz and Stegun, p. 752。 Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用 ξ 1 = a sinh ⁡ μ {\displaystyle \xi _{1}=a\sinh \mu } 、 ξ 2 = sin ⁡ ν {\displaystyle \xi _{2}=\sin \nu } 、 ξ 3 = cos ⁡ ϕ {\displaystyle \xi _{3}=\cos \phi } 。 Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，採用 u k {\displaystyle u_{k}} 來替代 ξ k {\displaystyle \xi _{k}} 。 Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 採用混合坐標 ξ = a sinh ⁡ μ {\displaystyle \xi =a\sinh \mu } 、 η = sin ⁡ ν {\displaystyle \eta =\sin \nu } 、 ϕ = ϕ {\displaystyle \phi =\phi } 。 Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)採用第一種表述 ( μ ,   ν ,   ϕ ) {\displaystyle (\mu ,\ \nu ,\ \phi )} ，又加介紹了簡併的第三種表述 ( σ ,   τ ,   ϕ ) {\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ \phi )} 。 Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但採用餘緯度 θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } 來替代緯度 ν {\displaystyle \nu } 。 Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer採用餘緯度常規 θ = 90 ∘ − ν {\displaystyle \theta =90^{\circ }-\nu } ，又改名 ϕ {\displaystyle \phi } 為 ψ {\displaystyle \psi } 。 Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。