音乐同构

在数学中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論裡，音乐同构（Musical isomorphism 或典范同构 canonical isomorphism）是指（伪）黎曼流形 M 的切丛 TM 与余切丛 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 之间的同构，这个同构由黎曼度量给出。不過一般地，只要流形的切丛上有一个处处非退化的双线性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定义这样的同构。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 V {\textstyle V} ，這些同構自然給出了 V {\displaystyle V} 和其對偶空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。 這些運算在流形上的張量場理論裡也称为指标的上升和下降。 黎曼流形 M 的黎曼度量 g = ∑ i j g i j d x i ⊗ d x j {\displaystyle g=\sum _{ij}g_{ij}dx^{i}\otimes dx^{j}} 是一个二階的对称、正定张量场 g ∈ T 2 0 ( M ) {\displaystyle g\in {\mathcal {T}}_{2}^{0}(M)} 。在任意一点 x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射 g ^ x {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}} g ^ x : T x M ⟶ T x ∗ M {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}:T_{x}M\longrightarrow T_{x}^{*}M} 這映射給了點 x {\displaystyle x} 的切空間跟餘切空间之间的一个线性同构，对任何切向量 Xx 属于 TxM，定義 g ^ x ( X x ) = ⟨ X x , ⋅ ⟩ ∈ T x ∗ M   , {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})=\langle X_{x},\cdot \rangle \in T_{x}^{*}M\ ,} 其中符號 ⟨ , ⟩ {\displaystyle \langle \,,\rangle } 代表 流形上的黎曼度量。这意味着， g ^ x ( X x ) ( Y x ) = ⟨ X x , Y x ⟩   . {\displaystyle {\widehat {g}}_{x}(X_{x})(Y_{x})=\langle X_{x},Y_{x}\rangle \ .} 这些线性映射的集合定义了一个丛同构 g ^ : T M ⟶ T ∗ M   , {\displaystyle {\widehat {g}}:TM\longrightarrow T^{*}M\ ,} 这是一个特别的微分同胚，在每个切空间上為線性映射。在截面的层次上即是切向量场到余切向量场的同构。在一个局部坐标 ( U , x ) {\displaystyle (U,x)} 下，设度量矩阵为 ( g i j ) {\displaystyle (g_{ij})} ，逆矩阵为 ( g i j ) {\displaystyle (g^{ij})} ，向量場 X = α i ∂ ∂ x i {\displaystyle X=\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} 　。则这个同构會將 X {\displaystyle X} 映射到 g ^ : α i ∂ ∂ x i ↦ α i g i j d x j   . {\displaystyle {\widehat {g}}:\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto \alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}\ .} 这里使用了爱因斯坦求和约定。 以上同构称为降号音乐同构（flat）用符號 ♭ {\displaystyle ^{\flat }} 表示，例如以上的函數 g ^ {\displaystyle {\widehat {g}}} 可表示成： ( ∑ i α i ∂ ∂ x i ) ♭ = ∑ i j α i g i j d x j {\displaystyle (\sum _{i}\alpha ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}\alpha ^{i}g_{ij}d\,x^{j}} ；而其逆運算称为升号（sharp）用符號 ♯ {\displaystyle ^{\sharp }} 表示：降号下降指标，升号上升指标，(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。升号用局部坐标表示为： g ^ − 1 : ξ = α i d x i ↦ α i g i j ∂ ∂ x j   . {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}:\xi =\alpha _{i}d\,x^{i}\mapsto \alpha _{i}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ .} 这两个同构的核心是 g 为处处非退化的双线性形式，任何一个非退化的双线性形式都可给出类似的同构，对伪黎曼流形、辛流形也有类似的同构。在辛几何中，这个同构非常重要，哈密顿向量场便是由这个同构导出的。 同构 g ^ {\displaystyle {\widehat {g}}} 与其逆 g ^ − 1 {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}} 称为“音乐同构”是因为是因为常常用兩種音樂符號 ♭ , ♯ {\displaystyle \flat ,\sharp } 來代替這些同構，比如 g ^ ( X ) {\displaystyle {\widehat {g}}(X)} 會寫成 X ♭ {\displaystyle X^{\flat }} ， g ^ − 1 ( ω ) {\displaystyle {\widehat {g}}^{-1}(\omega )} 會寫成 ω ♯ {\displaystyle \omega ^{\sharp }} ，它们將指标向下、向上移动。例如，流形上的向量場 X = ∑ i X i ∂ ∂ x i {\displaystyle \textstyle X=\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} 經過 ♭ {\displaystyle \flat } 映射會變成餘向量場： ( ∑ i X i ∂ ∂ x i ) ♭ = ∑ i j g i j X i d x j := ∑ j X j d x j   , {\displaystyle (\sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})^{\flat }=\sum _{ij}g_{ij}X^{i}dx^{j}:=\sum _{j}X_{j}dx^{j}\ ,} 這裡 ♭ {\displaystyle \flat } 將 ∑ i X i ∂ ∂ x i {\displaystyle \sum _{i}X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}} 映射到 ∑ j X j d x j {\displaystyle \sum _{j}X_{j}dx^{j}} ，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號 ♭ {\displaystyle \flat } 表示。 而餘向量 ω = ∑ i ω i d x i {\displaystyle \omega =\sum _{i}\omega _{i}dx^{i}} ，經過 ♯ {\displaystyle \sharp } 運算會變成向量 ( ∑ i ω i d x i ) ♯ = ∑ i j g i j ω i ∂ ∂ x j   , {\displaystyle (\sum _{i}\omega _{i}dx^{i})^{\sharp }=\sum _{ij}g^{ij}\omega _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\ ,} 所以指标向下、向上移动好似符号降号（ ♭ {\displaystyle \flat } ）与升号（ ♯ {\displaystyle \sharp } ）下降与上升一个半音的音高(Gallot, Hullin & Lafontaine 2004，第75頁)。 音乐同构可以用来定义 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上无坐标形式的梯度、散度与旋度： ∇ f = ( d f ) ♯ ∇ ⋅ F = ⋆ d ⋆ ( F ♭ ) ∇ × F = [ ⋆ d ( F ♭ ) ] ♯ {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&=\left({\mathbf {d} }f\right)^{\sharp }\\\nabla \cdot F&=\star {\mathbf {d} }\star (F^{\flat })\\\nabla \times F&=\left[\star {\mathbf {d} }(F^{\flat })\right]^{\sharp }\end{aligned}}} 这里 f , F {\displaystyle f,F} 分別是 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 裡的函數跟向量場， ⋆ {\displaystyle \star } 是霍奇星号算子(Marsden & Raţiu 1999，第135頁)。不难验证这与通常坐标形式的定义是一致的。第一个等式对更一般的黎曼流形上的光滑函数也成立。而在辛流形上，第一个等式便定义了以 f 为哈密顿量的哈密顿向量场。 此外，值得指出的是可用音乐同构和霍奇星号算子把叉积与外积联系起来，设 v 与 w 是 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 中向量场，容易证明 v × w = [ ⋆ ( v ♭ ∧ w ♭ ) ] ♯ . {\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {w} =\left[\star \left(\mathbf {v} ^{\flat }\wedge \mathbf {w} ^{\flat }\right)\right]^{\sharp }.} Gallot, Sylvestre; Hullin, Dominique; Lafontaine, Jacques, Riemannian Geometry 3rd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2004, ISBN 978-3-540-20493-0 . Marsden, Jerrold E.; Raţiu, Tudor S., Introduction to Mechanics and Symmetry 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-0-387-98643-2 .