阿诺索夫微分同胚

在数学中，尤其是动力系统与几何拓扑中，流形M上的阿诺索夫映射（Anosov map）是M到自身的一种映射。阿诺索夫系统是A公理系统的特例。 阿诺索夫微分同胚（Anosov diffeomorphism）由德米特里·维克托罗维奇·阿诺索夫引入，他证明了这种微分同胚的行为在某种意义上是普遍的。 有三个相互联系但又有区别的定义： 若M上的可微映射f在切丛上有双曲结构，则称f是一个阿诺索夫映射。例子有伯努利映射，以及阿诺尔德猫映射。 若这个映射还是一个微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。 若流形上的一个流把切丛分成三个不变子丛，其中一个子丛呈指数衰减，一个指数增大，第三个不增大也不减小，则这个流称为阿诺索夫流。 阿诺索夫证明了阿诺索夫微分同胚是结构稳定的，并且组成了全体映射（流）的开子集（ C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 拓扑）。 并非每个流形上都可以有阿诺索夫微分同胚；例如，球面上就没有这样的微分同胚。容许有阿诺索夫微分同胚的最简单的紧流形是环面：上面有所谓的线性阿诺索夫微分同胚，这是没有模1特征值的同构。可以证明环面上其他的阿诺索夫微分同胚都与这种同胚拓扑共轭。 对容许有阿诺索夫微分同胚的流形进行分类是非常困难的问题，截至2012年仍然没有解决。 另外，也不清楚是否每个 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 且保持体积的阿诺索夫微分同胚都是遍历的。阿诺索夫证明了把 C 1 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}} 换成 C 2 {\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}} 的条件下是成立的。 负曲率黎曼曲面的切丛上的阿诺索夫流。这个流可以理解为双曲几何的庞加莱半平面模型的切丛上的流。负曲率黎曼曲面可以用福克斯模型来定义，即上半平面与福克斯群的商。设 H {\displaystyle \mathbb {H} } 为上半平面， Γ {\displaystyle \Gamma } 为福克斯群， M = H / Γ {\displaystyle M=\mathbb {H} /\Gamma } 为负曲率黎曼曲面， T 1 M {\displaystyle T^{1}M} 为流形M上的单位向量的切丛， T 1 H {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} } 是 H {\displaystyle \mathbb {H} } 的单位向量的切丛。注意曲面上单位向量的丛是复直线丛的主丛。 注意 T 1 H {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} } 同构于李群 PSL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 。这个群是上半平面的保向等距同构组成的群。 PSL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 的李代数是 s l ( 2 , R ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} ，由以下矩阵表示 J = ( 1 / 2 0 0 − 1 / 2 ) X = ( 0 1 0 0 ) Y = ( 0 0 1 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\end{pmatrix}}\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}} [ J , X ] = X , [ J , Y ] = − Y , [ X , Y ] = 2 J {\displaystyle [J,X]=X,\quad [J,Y]=-Y,\quad [X,Y]=2J} 指数映射 g t = exp ⁡ t J = ( e t / 2 0 0 e − t / 2 ) h t ∗ = exp ⁡ t X = ( 1 t 0 1 ) h t = exp ⁡ t Y = ( 1 0 t 1 ) {\displaystyle g_{t}=\exp {tJ}={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\end{pmatrix}}\quad h_{t}^{*}=\exp {tX}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}\quad h_{t}=\exp {tY}={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}}} 定义了流形 T 1 H = PSL ( 2 , R ) {\displaystyle T^{1}\mathbb {H} ={\text{PSL}}(2,\mathbb {R} )} 上的右不变流，而 T 1 M {\displaystyle T^{1}M} 与此类似。定义 P = T 1 H , Q = T 1 M {\displaystyle P=T^{1}\mathbb {H} ,Q=T^{1}M} ，这些流定义了P和Q上的向量场。 g t {\displaystyle g_{t}} 是P和Q上的测地流。根据定义李向量场在群元素的作用下是左不变的，可以得到这些场在 g t {\displaystyle g_{t}} 下是左不变的。换句话说，空间 T P {\displaystyle TP} 和 T Q {\displaystyle TQ} 分成了三个一维空间，或子丛，每一个都在测地流作用下不变。最后注意到其中一个子丛的向量场呈指数扩大，另一个不变，第三个呈指数缩小。 精确地说，切丛 T Q {\displaystyle TQ} 可以写成直和 T Q = E + ⊕ E 0 ⊕ E − {\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}} 这些空间在测地流的作用下不变；即，在群元素 g = g t {\displaystyle g=g_{t}} 的作用下不变。 要比较不同点q处 T q Q {\displaystyle T_{q}Q} 的向量的长度，需要有度量。 T e P = s l ( 2 , R ) {\displaystyle T_{e}P={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )} 上的任何内积都可扩张成P上的左不变黎曼度量，进而得到Q上的黎曼度量。向量 v ∈ E q + {\displaystyle v\in E_{q}^{+}} 的长度在 g t {\displaystyle g_{t}} 的作用下指数增大。向量 v ∈ E q − {\displaystyle v\in E_{q}^{-}} 的长度在 g t {\displaystyle g_{t}} 的作用下指数衰减。 E q 0 {\displaystyle E_{q}^{0}} 中的向量不变。测地流是不变的 g s g t = g t g s = g s + t {\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}} 但另外两个分别是衰减和增大的： g s h t ∗ = h t exp ⁡ ( − s ) ∗ g s {\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp {(-s)}}^{*}g_{s}} g t h t = h t exp ⁡ s g s {\displaystyle g_{t}h_{t}=h_{t\exp {s}}g_{s}} 其中 E q + {\displaystyle E_{q}^{+}} 中的切向量由曲线 h t {\displaystyle h_{t}} 在 t = 0 {\displaystyle t=0} 处的导数给出。 当作用在上半平面的点 z = i {\displaystyle z=i} 时， g t {\displaystyle g_{t}} 对应了上半平面的一条过点 z = i {\displaystyle z=i} 的测地线。这个作用就是 SL ( 2 , R ) {\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )} 在上半平面的标准莫比乌斯变换，所以 g t ⋅ i = ( exp ⁡ ( t / 2 ) 0 0 exp ⁡ ( − t / 2 ) ) ⋅ i = i exp ⁡ t {\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp {(t/2)}&0\\0&\exp {(-t/2)}\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp {t}} 一般的测地线 ( a b c d ) ⋅ i exp ⁡ t = a i exp ⁡ t + b c i exp ⁡ t + d {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp {t}={\frac {ai\exp {t}+b}{ci\exp {t}+d}}} 式中 a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} 是实数，且 a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} 。曲线 h t ∗ {\displaystyle h_{t}^{*}} 与 h t {\displaystyle h_{t}} 称为极限圆。极限圆对应于极限球面的法向量在上半平面的运动。 莫尔斯-斯梅尔系统 伪阿诺索夫映射 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Y-system,U-system, C-system （页面存档备份，存于互联网档案馆）", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).) This article incorporates material from Anosov diffeomorphism on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License. Toshikazu Sunada(砂田 利一), Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.