数列

数列（英語：Number sequence）是由数字組成的序列。另一種略為抽象的說法是——以正整數為定義域、值域是一個數系的函数。级数也是一種数列，不過它的每一項是另外一個數列的部份和。在微積分的教材中經常討論的数列是實數序列和實數級數。一般的「序列」则范围更广，可以由有序的一系列数字、一系列函数、一系列向量、一系列矩阵或一系列张量等等所组成。而在計算理論中，数列以及相关术语常用于有关递推规律的研究。 由於最一般的數為複數，可以作如下的定義： 數列的定義 — 一個 a : N → C {\displaystyle a:\mathbb {N} \to \mathbb {C} } 的函數被稱為無窮數列，可記為 { a i } i ∈ N {\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }} 、 ⟨ a i ⟩ i ∈ N {\displaystyle {\left\langle a_{i}\right\rangle }_{i\in \mathbb {N} }} 或 ( a i ) i ∈ N {\displaystyle {\left(a_{i}\right)}_{i\in \mathbb {N} }} ，而 a ( i ) {\displaystyle a(i)} 會被簡記為 a i {\displaystyle a_{i}} 。 若 I n = { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle I_{n}=\left\{1,\,2,\,\cdots ,\,n\right\}} ，則一個 a : I n → C {\displaystyle a:I_{n}\to \mathbb {C} } 的函數被稱為有限數列，可記為 { a k } k = 1 n {\displaystyle {\left\{a_{k}\right\}}_{k=1}^{n}} 、 ⟨ a k ⟩ k = 1 n {\displaystyle {\left\langle a_{k}\right\rangle }_{k=1}^{n}} 或 ( a k ) k = 1 n {\displaystyle {\left(a_{k}\right)}_{k=1}^{n}} 。 在教學上常會如下標示有限數列，來增進對定義的直觀理解： ⟨ a k ⟩ k = 1 n = ⟨ a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n ⟩ {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}=\left\langle a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,\cdots ,\,a_{n}\right\rangle } 以上表達式中的每一个数被称为这个数列的「项」。 a 1 {\displaystyle a_{1}} 为数列的「第一项」、 a 2 {\displaystyle a_{2}} 为「第二项」，以此類推。 n {\displaystyle n} 被稱為有限數列的項數。數列中的第一项常稱為「首項」，最后一项則称为「末项」。注意有限數列也可以設為 ⟨ a k ⟩ k = 0 n {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=0}^{n}} ，換句話說，把 0 {\displaystyle 0} 加入數列的定義域，並以第零項 a 0 {\displaystyle a_{0}} 作為首項。無窮數列只有首項，沒有末項，但類似的，也有人把 0 {\displaystyle 0} 踢出無窮數列的定義域，讓無窮數列的首項為 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。 由數列中各個項的和組成的數列稱為「級數」，換句話說 級數的定義 — 一個數列 { a i } i ∈ N {\displaystyle {\left\{a_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }} 的級數是另外一個數列 { s i } i ∈ N {\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }} ，具有以下特性： s 0 = a 0 {\displaystyle s_{0}=a_{0}} 對所有的 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 有 s n + 1 = s n + a n {\displaystyle s_{n+1}=s_{n}+a_{n}} 一般會將 { s i } i ∈ N {\displaystyle {\left\{s_{i}\right\}}_{i\in \mathbb {N} }} 寫為 ∑ i = 0 n a i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}} ，甚至更直觀的 a 0 + a 1 + ⋯ + a n {\displaystyle a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}} 來凸顯級數源於求和」的直觀概念。 級數的概念可以推廣至數列以外的序列，比如說函數序列的函数級數（英语：function series）。 若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 ≥ an ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「递增数列」。把 ≥ 換成 > ，則稱為「嚴格遞增數列」。 若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 ≤ an ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「递减数列」。把 ≤ 換成 < ，則稱為「嚴格遞减數列」。 若對所有 n ∈ Z+ ，an+1 = an ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「常数数列」。 若數列 ⟨ a k ⟩ k = 1 n {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{n}} 的项数有限，則 ⟨ak⟩ 为「有限数列」。 若數列 ⟨ a k ⟩ k = 1 ∞ {\displaystyle \left\langle a_{k}\right\rangle _{k=1}^{\infty }} 的项数无限，則 ⟨ak⟩ 为「无穷数列」。 若對所有 n ∈ Z+ ，M ≤ an ≤ N ，则称数列 ⟨ak⟩ 为「有界数列」。 M 稱為「下界」， N 稱為「上界」。 若對數列 ⟨ak⟩ ，上述的 M 、 N 不存在，则称数列 ⟨ak⟩ 为「無界数列」。 收斂性是數列的一個重要性質。如果一個數列逐漸趨近於某一個值，就稱該數列為收斂數列，否則稱為發散數列。 簡單的說，一個數列 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 有極限，便是它的數列中的元素逐漸地越來越靠近 L {\displaystyle L} （稱為極限值），但是它們仍然任意得很靠近極限值 L {\displaystyle L} ，而不一定恰好相等。 舉例來說：當 a n = 1 n {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}} 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於0。當 a n = 5 − 3 n 2 − 9 n 2 + 1 {\displaystyle a_{n}=5-{\frac {3n^{2}-9}{n^{2}+1}}} 時，隨著n的數字增加，可以看到它逐漸趨向於2。 此外，值得注意的是，當一個數列有極限值時，它的極限值一定是唯一的。一般來說，當數列收斂，我們會記 lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} 。 我們說一個實數數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 收斂於實數 L {\displaystyle L} ；如果對任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在一個正整數 N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ，使得對所有的 n ≥ N {\displaystyle n\geq N} ，有 | a n − L | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-L|<\epsilon } 。 等差数列：是一种特殊数列。数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。 例如数列 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ⋯ , 9995 , 9997 , 9999 , ⋯ {\displaystyle 1,3,5,7,9,\cdots ,9995,9997,9999,\cdots } 。 这就是一个等差数列，因为第二项与第一项的差和第三项与第二项的差相等，都等于 2 {\displaystyle 2} ； 9999 {\displaystyle 9999} 与 9997 {\displaystyle 9997} 的差也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的差称之为公差，符号为 d {\displaystyle d} ，但是 d {\displaystyle d} 可为0。 若設首項 a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} ，則等差數列的通項公式為 a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} 。 多阶等差数列：又称高阶等差数列，中國则称之为“质数相关数列”。 把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，如果这个新的数列是普通等差数列，原数列就称为二阶等差数列。 由此类推，把一个数列的所有后项与前一项之差组成一个新的数列，再把这个新的数列的所有后项与前一项之差组成另一个新的数列，如此进行下去，直到最后的数列如果是普通等差数列，那么原数列就是多阶等差数列。 普通等差数列可以视为一阶等差数列，因而常数数列实际就是零阶等差数列。 等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。 例如数列 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ⋯ , 2 197 , 2 198 , 2 199 , ⋯ {\displaystyle 2,4,8,16,32,\cdots ,2^{197},2^{198},2^{199},\cdots } 。 这就是一个等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，都等于2， 2 198 {\displaystyle 2^{198}} 与 2 197 {\displaystyle 2^{197}} 的比也等于2。我们把像2这样的后一项与前一项的比称之为公比，符号为 r {\displaystyle r} 。 若設首項 a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} ，則等比數列的通項公式為 a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} 。 斐波那契数列：是一种特殊数列。它的特点是：首兩項均是1，从第3项起，每一项均為前兩項的和。 以數學符號表示，即 a 1 = a 2 = 1 {\displaystyle a_{1}=a_{2}=1} ，且對於 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ， a n = a n − 1 + a n − 2 {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}} 。 斐波那契数列的通项公式為 a n = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]} 。 質數數列：目前找不到規律的特殊數列，即：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,………… 正负相间： ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} 或 ( − 1 ) n − 1 {\displaystyle (-1)^{n-1}} 隔项有零： 1 2 [ ( − 1 ) n + 1 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n}+1]} 或 1 2 [ ( − 1 ) n − 1 + 1 ] {\displaystyle {\frac {1}{2}}[(-1)^{n-1}+1]} 通常对第1项到第 n {\displaystyle n} 项求和，记为 S n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} 。此求和符号是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉使用和推广的。 一个特殊数列求和：奇数数列。1，3，5，7，9，...。其和为项数 n {\displaystyle n} 的平方。例如：1+3=22,1+3+5=32。 通常，从实际问题中会先得到一个递推关系式，但是可能会难以观察出数列中某一项的项数和具体大小之间的规律。所以需要求出这个数列的通项公式。以下是一些常见的递推式化简方法。通项公式的求解在积分学、线性代数、概率论、组合数学、趣味数学、数学物理、数学建模、数值分析、分形等领域中都会遇到。并不存在一种通用的解法。求不出通项公式或只能进行估算的情形也可能出现。 求出该数列的前数项，归纳其通项公式，然后用数学归纳法证明公式正确。 数学归纳法是最基本的方法，但对观察和归纳的能力要求比较高。如果猜不出规律，则不能使用此方法。 给定数列差 d n {\displaystyle d_{n}} 时逐差全加，例如： a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} ， d n = a n − a n − 1 = 2 n {\displaystyle d_{n}=a_{n}-a_{n-1}=2n} , 求 a n {\displaystyle a_{n}} a n = a 1 + ∑ k = 2 n d k = n 2 + n − 1 {\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}d_{k}=n^{2}+n-1} 给定数列比 r n {\displaystyle r_{n}} 时逐差全乘，例如： a 1 = 1 {\displaystyle a_{1}=1} ， r n = a n a n − 1 = n n − 1 {\displaystyle r_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {n}{n-1}}} ，求 a n {\displaystyle a_{n}} a n = a 1 ∏ k = 2 n r k = n {\displaystyle a_{n}=a_{1}\prod _{k=2}^{n}r_{k}=n} 如果已知数列和的公式，那么通项的求解非常容易。由 S n = ∑ k = 1 n a n {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{n}} 可知 S n − S n − 1 = a n {\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}} 把 S n {\displaystyle S_{n}} 看成一个数列，可以先对 S n {\displaystyle S_{n}} 进行求解，然后得出 a n {\displaystyle a_{n}} 。 换元法用于从形式上简化表达式，以突出问题的本质。换元法一般不单独使用，而是和其它方法结合使用。中学数学中常用的有对数换元法、三角函数换元法，还有用得很少的双曲函数换元法。 对于形如齐次分式的递推关系，可利用不动点来推导。 已知 A a n + 1 + B a n + C = 0 {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0} ，其中 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 、 C {\displaystyle C} 都是常数，求 a n {\displaystyle a_{n}} 。 求这类数列的通项公式，一般的方法就是将之化成一个新的等比数列。 如果 A ≠ − B {\displaystyle A\neq -B} ，那么这个式子就可以化成下面的形式： A ( a n + 1 + k ) = − B ( a n + k ) {\displaystyle A(a_{n+1}+k)=-B(a_{n}+k)} 。 求出 k {\displaystyle k} ，那么数列 a n + k {\displaystyle {a_{n}+k}} 就是一个等比数列，从而求出通项公式。 如果 A = − B {\displaystyle A=-B} ，这个递推关系就不能化为等比数列。如果 A = − B {\displaystyle A=-B} ，那么它就是等差数列。另外，当 A = B {\displaystyle A=B} 的时候，它是一个等和数列。从这个问题我们可以看到，等和数列也可以化成一个等比数列。 除此之外也可以这样将之化成等比数列： A a n + 1 + B a n + C = 0 {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+C=0} A a n + B a n − 1 + C = 0 {\displaystyle Aa_{n}+Ba_{n-1}+C=0} 两边相减就有： A ( a n + 1 − a n ) + B ( a n − a n − 1 ) = 0 {\displaystyle A(a_{n+1}-a_{n})+B(a_{n}-a_{n-1})=0} ，如此就化成了一个等比数列。 已知 A a n + 1 + B a n + C a n − 1 + D = 0 {\displaystyle Aa_{n+1}+Ba_{n}+Ca_{n-1}+D=0} ,其中 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 、 C {\displaystyle C} 、 D {\displaystyle D} 都为常数，求 a n {\displaystyle a_{n}} ； 与上述数列一样，它们一定可以化成下面的形式： A a n + 1 + E a n = k ( A a n + E a n − 1 ) − D {\displaystyle Aa_{n+1}+Ea_{n}=k(Aa_{n}+Ea_{n-1})-D} 求出对应系数，于是就转化成了前面那种形式，然后就可以求出数列 A a n + E a n − 1 {\displaystyle {Aa_{n}+Ea_{n-1}}} 的通项公式，然后求出 a n {\displaystyle a_{n}} 的通项公式。实际上这是一种逐步化简的方法。 其它常用方法包括导数求通项法、组合数学中的母函数方法、特征方程法，这些一般是在大学课程或是部分高中的进阶课程中学到。其中特征方程法专门用于线性递推关系式的化简，与求解线性微分方程的特征方程法非常类似。 整数数列线上大全 (OEIS) 谭杰锋; 郑爱武. 高等数学. 清华大学出版社; 北京交通大學出版社. 2007. ISBN 978-7-8108-2647-1 （中文（中国大陆））. 。