布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。 布里渊函数形式为： B J ( x ) = 2 J + 1 2 J coth ⁡ ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J coth ⁡ ( 1 2 J x ) {\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)} 其中， x {\displaystyle x} 为实数， J {\displaystyle J} 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（ x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } ）到1（ x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } ）。 布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度 M {\displaystyle M} 与外加 磁场 B {\displaystyle B} 、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出： M = N g μ B J ⋅ B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)} 其中， N {\displaystyle N} 单位体积内原子的数目， g {\displaystyle g} 为g因數（英语：g-factor (physics)）， μ B {\displaystyle \mu _{B}} 为玻尔磁子， x {\displaystyle x} 为外场中磁矩的塞曼能（英语：Zeeman energy）与无规热能 k B T {\displaystyle k_{B}T} 之比： x = g μ B J B k B T {\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}} 其中， k B {\displaystyle k_{B}} 为 波尔兹曼常数， T {\displaystyle T} 为绝对温度。 在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向， J → ∞ {\displaystyle J\to \infty } ，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为： L ( x ) = coth ⁡ ( x ) − 1 x {\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}} 在高分子物理学中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述： < R >= b N ( coth ⁡ ( f b / k B T ) − 1 f b / k B T ) {\displaystyle <R>=bN\left(\coth(fb/k_{B}T)-{\frac {1}{fb/k_{B}T}}\right)} 其中， b {\displaystyle b} 为 库恩长度， N {\displaystyle N} 为高分子链长， f {\displaystyle f} 为施加在链末端的外力。 当x为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似： L ( x ) = 1 3 x − 1 45 x 3 + 2 945 x 5 − 1 4725 x 7 + … {\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots } 郎之万函数还可以由以下连分式近似： L ( x ) = x 3 + x 2 5 + x 2 7 + x 2 9 + … {\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}} 郎之万函数的逆函数可由下式近似： L − 1 ( x ) ≈ x 3 − x 2 1 − x 2 , {\displaystyle L^{-1}(x)\approx x{\frac {3-x^{2}}{1-x^{2}}},} 其中，x的取值范围为(-1, 1)。 当x比较小时，一个更好的近似为： L − 1 ( x ) = 3 x 35 − 12 x 2 35 − 33 x 2 + O ( x 7 ) {\displaystyle L^{-1}(x)=3x{\frac {35-12x^{2}}{35-33x^{2}}}+O(x^{7})} 郎之万逆函数的泰勒级数为： L − 1 ( x ) = 3 x + 9 5 x 3 + 297 175 x 5 + 1539 875 x 7 + … {\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots } 当 x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} 时，即 μ B B / k B T {\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T} 很小，磁矩可以由居里定律近似： M = C ⋅ B T {\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}} 其中 C = N g 2 J ( J + 1 ) μ B 2 3 k B {\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}} 为常数， g J ( J + 1 ) {\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}} 为有效波尔磁子数目。 当 x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } ，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有 M = N g μ B J {\displaystyle M=Ng\mu _{B}J} C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8 Darby, M.I. Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization. Brit. J. Appl. Phys. 1967, 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP...18.1415D. doi:10.1088/0508-3443/18/10/307.  Michael Rubinstein and Ralph H. Colby. Polymer Physics. Oxford University Press. 2003: 76. ISBN 978-0-19-852059-7.  Cohen, A. A Padé approximant to the inverse Langevin function. Rheologica Acta. 1991, 30 (3): 270–273. doi:10.1007/BF00366640.  Johal, A. S.; Dunstan, D. J. Energy functions for rubber from microscopic potentials. Journal of Applied Physics. 2007, 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP...101h4917J. doi:10.1063/1.2723870.