分离公理

在拓扑学及相关的数学领域裡，通常对于所讨论的拓扑空间加有各种各样的限制条件，分离公理即是指之中的某些限制條件。这些分离公理有时候被叫做吉洪诺夫分离公理，得名于安德烈·尼古拉耶维奇·吉洪諾夫。部分分離公理以字母T開頭，是由德文单词“Trennung”而來，意義是分离。 分離公理之所以稱為公理，是因為以前定義拓撲空間時，有些人會將其也做為公理來定義，而得出較現在意思狹義的拓撲空間。但在拓撲空間的公理化完成後，那些都成了「各種」的拓撲空間。然而，「分離公理」這一詞就這樣固定了下來。 在定义分离公理之前，讓我们先了解在拓扑空间中，可分离的集合(和点)的具体含意。（須注意的是，可分离的集合不一定等同于下一節所定义的「分离空间」。） 分離公理是利用拓撲的方法來分辨不相交的集合及相區別的點。不只要拓撲空間內的元素是相區別的，更要這些元素是「拓撲可區別的」；不只要拓撲空間內的子集是不相交的，更要這些子集是（以某种方式）「可分離的」。分離公理聲稱，無論如何，若點或集合在某些較弱意思下是可區別的或可分離的，也必須在某些較強的意思下是可區別或可分離的。 设 X {\displaystyle X} 為一拓扑空间， A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} ， R {\displaystyle \mathbb {R} } 是实数集，定义： 拓扑可区分 A , B {\displaystyle A,B} 称为拓扑可区分的，当且仅当 A , B {\displaystyle A,B} 的邻域系 U ( A ) {\displaystyle U(A)} 和 U ( B ) {\displaystyle U(B)} 不相等（即，存在某个 A {\displaystyle A} 的邻域，不是 B {\displaystyle B} 的邻域，或反之）。 可分离 A , B {\displaystyle A,B} 稱為可分離的，当且仅当 A ∩ B ¯ {\displaystyle A\cap {\bar {B}}} 和 A ¯ ∩ B {\displaystyle {\bar {A}}\cap B} 都为空。（ A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 是 A {\displaystyle A} 的闭包）。注意： A ¯ ∩ B ¯ {\displaystyle {\bar {A}}\cap {\bar {B}}} 可以不为空。 邻域可分离 A , B {\displaystyle A,B} 称为邻域可分离的，当且仅当存在 A {\displaystyle A} 的邻域 U {\displaystyle U} 和 B {\displaystyle B} 的邻域 V {\displaystyle V} ，使得 U ∩ V {\displaystyle U\cap V} 为空。 闭邻域可分离 A , B {\displaystyle A,B} 称为闭邻域可分离的，当且仅当存在 A {\displaystyle A} 的闭邻域 U {\displaystyle U} 和 B {\displaystyle B} 的闭邻域 V {\displaystyle V} ，使得 U ∩ V {\displaystyle U\cap V} 为空。 函数可分离 A , B {\displaystyle A,B} 称为函数可分离的，当且仅当存在连续函数 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } ，使得 f ( A ) = { 0 } {\displaystyle f(A)=\{0\}} ， f ( B ) = { 1 } {\displaystyle f(B)=\{1\}} 。 函数完全分离 A , B {\displaystyle A,B} 称为函数完全分离的，当且仅当存在连续函数 f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } ，使得 f − 1 ( { 0 } ) = A {\displaystyle f^{-1}(\{0\})=A} ， f − 1 ( { 1 } ) = B {\displaystyle f^{-1}(\{1\})=B} 。 对于 X {\displaystyle X} 中的点 x , y {\displaystyle x,y} （或点 x {\displaystyle x} 和子集 A {\displaystyle A} ），称它们为拓扑可分，可分离，邻域可分离等等，当且仅当单元素集合 { x } {\displaystyle \{x\}} 和 { y } {\displaystyle \{y\}} （或 { x } {\displaystyle \{x\}} 和子集 A {\displaystyle A} ）是拓扑可分，可分离，邻域可分离等等。 以上这些条件是按强度依序给出的：任何两个拓扑可区分的点也必然是相區分的，任何两个分离的点也必然是拓扑可区分的。更進一步地說，任何两个可分离的集合也必然是不相交的，任何两个领域上可分离的集合也必然是可分离的，以此类推。 上述条件更詳細的敘述(包括分离公理外的用途)，请参见分离集合和拓扑不可区分性等條目。 下面的定義都會直接使用到上面的初步定義。 大部份的分離公理都會有另一個等價的定義。下面所給出的定義會維持一致的模式，以和上一節所定義的許多分離的概念相連結。其他等價的定義則分別寫在個別的條目之中。 在下面所有的定義之中，X是一個拓撲空間，所有的函數都假設為連續的。 X稱為T0空间或「柯尔莫果洛夫空间」，若在X內，任意兩個相區別的點皆為拓撲可區分的。 X稱為R0空间或「对称空间」，若在X內，任意两个拓扑可区分的点都是可分离的。 X稱為T1空间、「可及空間」或「弗雷歇空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是可分離的。X為T1空間，若且唯若X同時為T0及R0空間。 X稱為R1空间或「预正则空间」，若在X內，任意两个拓扑可区分的点都是邻域上可分离的。R1空间必然也是R0空间。 X稱為T2空间或「豪斯多夫空间」，若在X內，任意兩個相區別的點都是鄰域上可分離的。X為豪斯多夫空間，若且唯若X同時為T0及R1空間。豪斯多夫空間必然也是T1空間。 X稱為T2½空間或「烏雷松空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是閉鄰域上可分離的。T2½空間必然也是豪斯多夫空間。 X稱為完全豪斯多夫空間或「完全T2空間」，若在X內，任意兩個相區別的點都是函數上可分離的。完全豪斯多夫空間必然也是T2½空間。 X稱為正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為鄰域上可分離的（實際上，在一個正則空間裡，x和F也同樣會是閉鄰域上可分離的）。正則空間必然也是R1空間。 X稱為正則豪斯多夫空間或「T3空間」，若X同時為T0及正則空間。正則豪斯多夫空間必然也是T2½空間。 X稱為完全正則空間，若在X內，給定一點x及一閉集F，則若x不屬於F，x和F即為函數上可分離的。完全正則空間必然也是正則空間。 X稱為吉洪諾夫空間、「T3½空間」、「完全T3空間」或「完全正則豪斯多夫空間」，若X同時為T0及完全正則空間。吉洪諾夫空間必然同時也是正則豪斯多夫空間及完全豪斯多夫空間。 X稱為正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是鄰域上可分離的（實際上，在正規空間裡，任意兩個相區別的閉子集也同樣會是函數上可分離的；這稱為烏雷松引理）。 X稱為正規豪斯多夫空間或「T4空間」，若X同時為T1及正規空間。正規豪斯多夫空間必然同時也是吉洪諾夫空間及正規正則空間。 X稱為完全正規空間，若在X內，任意兩個相區別的子集都是鄰域上可分離的。完全正規空間必然也是正規空間。 X稱為完全正規豪斯多夫空間、「T5空間」或「完全T4空間」，若X同時為完全正規及T1空間。完全正規豪斯多夫空間必然也是正規豪斯多夫空間。 X稱為完美正規空間，若在X內，任意兩個相區別的閉子集都是函數上完全分離的。完美正規空間必然也是完全正規空間。 X稱為完美正規豪斯多夫空間、「T6空間」或「完美T4空間」，若X同時為完美正規及T1空間。完美正規豪斯多夫空間必然也是完全正規豪斯多夫空間。 T0空間很特別，因為它不只可以當做一個性質加在其他空間上（如完全正則空間加上T0即為吉洪諾夫空間），也可以由某個空間中刪去此一性質（如豪斯多夫空間刪去T0即為R1空間）；更多資訊請見柯爾莫果洛夫商空間。當其應用在分離公理時，便會導致如下表所列的關係： 在表中，利用柯爾莫果洛夫商空間運算，右邊的空間加上T0即為左邊的空間，左邊的空間刪去T0即為右邊的空間。 除了T0的加上及刪去之外，各空間之間的關係則可由下圖指明出來： 在圖中，無T0版本的空間在斜線的左邊，T0版本的空間則在斜線的右邊。之中的字母代表的意思： P為完美（perfectly）、C為完全（completely）、N為正規（normal）、R為正則（regular）。 黑點代表該空間沒有給定名稱。 結合兩個空間的性質最後會產生的空間可由上圖得知，只要看兩點向上的分支會交會在哪一點即可。例如，若有一個空間同時為完全正規（CN）及完全豪斯多夫（CT2）空間，則查看兩點向上的分支，會發覺為「•/T5」。因為完全豪斯多夫空間為斜邊的T0端（即使完全正規空間不是），最後得到的空間便會在斜邊的T0端。亦即，完全正規完全豪斯多夫空間即為T5空間。 再看一次上圖，正規空間及R0空間結合在一起，由於會經過許多右側的分支，也意指會產生許多兩個空間所沒有的其他性質。因為正則性是之中最為人知的性質，結合正規空間及R0空間而成的空間一般稱為「正規正則空間」。基於類似的想法，正規T1空間通常稱為「正規豪斯多夫空間」。上述的慣用名稱可以延伸至其他正則空間與豪斯多夫空間之上。 Michael C. Gemignani; Elementary Topology; ISBN 0486665224 Schechter, Eric; 1997; Handbook of Analysis and its Foundations; Publisher: Academic Press; https://web.archive.org/web/20150307061351/http://www.math.vanderbilt.edu/%7Eschectex/ccc/ 包含 Ri 公理（及其他） Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition). 包含本條目除 Ri 以外之公理和定義 There are several other good books on general topology, but beware that some use slightly different definitions.