密度矩陣

在量子力學裏，密度算符（英語：density operator）與其對應的密度矩陣（英語：density matrix）專門描述混合態量子系統的物理性質。純態是一種可以直接用態向量 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 來描述的量子態，混合態則是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、 | ψ 3 ⟩ {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } 、……的機率分別為 w 1 {\displaystyle w_{1}} 、 w 2 {\displaystyle w_{2}} 、 w 3 {\displaystyle w_{3}} 、……，則這混合態量子系統的密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為 ρ = ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\rho }=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} 。 注意到所有機率的總和為1： ∑ i w i = 1 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1} 。 假設 { | b i ⟩ , i = 1 , 2 , 3 , … , n } {\displaystyle \{|b_{i}\rangle ,\quad i=1,2,3,\dots ,n\}} 是一組規範正交基，則對應於密度算符的密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } ，其每一個元素 ϱ i j {\displaystyle \varrho _{ij}} 為 ϱ i j = ⟨ b i | ρ | b j ⟩ = ∑ k w k ⟨ b i | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | b j ⟩ {\displaystyle \varrho _{ij}=\langle b_{i}|\rho |b_{j}\rangle =\sum _{k}w_{k}\langle b_{i}|\psi _{k}\rangle \langle \psi _{k}|b_{j}\rangle } 。 對於這量子系統，可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值為 ⟨ A ⟩ = ∑ i w i ⟨ ψ i | A | ψ i ⟩ = ∑ i ⟨ b i | ρ A | b i ⟩ = tr ⁡ ( ρ A ) {\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{i}w_{i}\langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\langle b_{i}|{\rho }{A}|b_{i}\rangle =\operatorname {tr} ({\rho }{A})} ， 是可觀察量 A {\displaystyle A} 對於每一個純態的期望值 ⟨ ψ i | A | ψ i ⟩ {\displaystyle \langle \psi _{i}|{A}|\psi _{i}\rangle } 乘以其權值 w i {\displaystyle w_{i}} 後的總和。 混合態量子系統出現的案例包括，處於熱力學平衡或化學平衡的系統、製備歷史不確定或隨機變化的系統（因此不知道到底系統處於哪個純態）。假設量子系統處於由幾個糾纏在一起的子系統所組成的純態，則雖然整個系統處於純態，每一個子系統仍舊可能處於混合態。在量子退相干理論裏，密度算符是重要理論工具。 密度算符是一種線性算符，是自伴算符、非負算符（英語：nonnegative operator）、跡數為1的算符。關於密度算符的數學形式論是由約翰·馮·諾伊曼與列夫·郎道各自獨立於1927年給出。 假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 。幾種純態依照機率組成的量子態稱為混合態。例如，假設一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 的機率都為50%，則這量子系統處於混合態。密度矩陣專門用來表示混合態。任何量子態，不管是純態，還是混合態，都可以用密度矩陣表示。 混合態與疊加態的概念不同，幾種純態通過量子疊加所組成的疊加態仍舊是純態。例如， ( | ψ 1 ⟩ + | ψ 2 ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}}} 是個純態。 光子的兩種圓偏振態，右旋圓偏振態與左旋圓偏振態，分別以態向量 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 、 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 標記。光子也可能處於疊加態，例如，垂直偏振態與水平偏振態分別為 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 、 ( | R ⟩ − | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle -|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 。更一般地，光子偏振所處於的疊加態可以表示為 α | R ⟩ + β | L ⟩ {\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle } ；其中， α {\displaystyle \alpha } 、 β {\displaystyle \beta } 是係數。這一般式可以表示平面偏振態、圓偏振態、橢圓偏振態等等。 假若讓處於疊加態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的光子通過左旋圓偏振器，則出射的光子處於左旋圓偏振態 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } ；假若通過右旋圓偏振器，則出射的光子處於右旋圓偏振態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 。對於這兩種圓偏振模，光子強度都會減半，貌似意味著疊加態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的一半光子處於量子態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } ，另一半處於量子態 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } ，但這種解釋並不正確，處於量子態 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 與 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 的光子都有可能被垂直平面偏振器吸收，但是處於量子態 ( | R ⟩ + | L ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R\rangle +|L\rangle )/{\sqrt {2}}} 的光子不會被垂直平面偏振器吸收。 從白熾燈發射出的光子是一種非偏振態光子，不能用疊加態 α | R ⟩ + β | L ⟩ {\displaystyle \alpha |R\rangle +\beta |L\rangle } 來描述。特別而言，與平面偏振態光子不同，它通過任何偏振器後都會失去50%強度，與圓偏振態光子不同，使用波片（waveplate）不能直接將它改變為平面偏振態光子。非偏振態光子可以描述為，處於 | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } 的機率是50%，處於 | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } 的機率是50%。它也可以描述為，處於垂直偏振態的機率是50%，處於水平偏振態的機率是50%。 非偏振態光子的量子態不是純態，而是由幾種純態依照統計機率組成。它可以由50%右旋圓偏振態與50%左旋圓偏振態組成，或者，它可以由50%垂直偏振態與50%水平偏振態組成。這兩種組合無法做實驗辨識區分，因此它們被視為同樣的混合態。密度算符含有混合態的所有資料，足夠計算任何關於混合態的可測量性質。 混合態到底源自何處？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態（microstate），伴隨每一個微觀態都有其發生的機率（波茲曼因子），它們會因熱力學漲落（thermal fluctuation）從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程序，例如，將光束通過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為 ( | R , L ⟩ + | L , R ⟩ ) / 2 {\displaystyle (|R,L\rangle +|L,R\rangle )/{\sqrt {2}}} ，整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。 一般而言，混合態時常會出現於幾種純態的統計性混合（例如熱力學平衡）、製備程序的不確定性（例如光子可能移動於稍微不同路徑）、包含在糾纏系統內的子系統（例如EPR機制）。 假設一個量子系統的量子態是純態，則這量子態可以用態向量表示為 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，對應的密度算符定義為 ρ   = d e f   | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |} 。 從密度算符的形式，可以推論密度算符是自伴算符： ρ † = ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) † = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = ρ {\displaystyle \rho ^{\dagger }=(|\psi \rangle \langle \psi |)^{\dagger }=|\psi \rangle \langle \psi |=\rho } 。 假設，物理量 A {\displaystyle A} 是這量子系統的可觀察量，其本徵值為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態 | a i ⟩ , i = 1 ,   2 ,   3 ,   ⋯ , n {\displaystyle |a_{i}\rangle ,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots ,n} 形成一個規範正交基 { | a i ⟩ } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle \}} ，則對可觀察量 A {\displaystyle A} 做測量得到 a i {\displaystyle a_{i}} 的機率 P ( a i ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})} 為 P ( a i )   = d e f   | ⟨ a i | ψ ⟩ | 2 = ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ k ⟨ a k | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a k ⟩ = ∑ k ⟨ a k | Λ ( a i ) ρ | a k ⟩ = tr ( Λ ( a i ) ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(a_{i})&\ {\stackrel {def}{=}}\ |\langle a_{i}|\psi \rangle |^{2}=\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{k}\rangle \\&=\sum _{k}\langle a_{k}|\Lambda (a_{i})\rho |a_{k}\rangle \\&={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )\\\end{aligned}}} ； 其中， Λ ( a i )   = d e f   | a i ⟩ ⟨ a i | {\displaystyle \Lambda (a_{i})\ {\stackrel {def}{=}}\ |a_{i}\rangle \langle a_{i}|} 是對應於本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的投影算符， tr ( ) {\displaystyle {\hbox{tr}}()} 是跡數。 做實驗測量可觀察量 A {\displaystyle A} 獲得的期望值為 ⟨ A ⟩   = d e f   ∑ i a i P ( a i ) = ∑ i a i ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ i a i ⟨ a i | ρ | a i ⟩ = ∑ i ⟨ a i | A ρ | a i ⟩ = tr ( A ρ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle A\rangle &\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}a_{i}{\mathcal {P}}(a_{i})=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}a_{i}\langle a_{i}|\rho |a_{i}\rangle =\sum _{i}\langle a_{i}|A\rho |a_{i}\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )\\\end{aligned}}} 。 這種可觀察量的期望值與跡數運算之間的關係稱為跡定則（trace rule）。對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。採用任何規範正交基，都可以計算出同樣跡數。另外，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這是很優良的性質，這意味著機率公式與期望值公式也適用於幾個密度算符的線性組合。 由於 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 被歸一化， 密度算符的跡數為1： tr ( ρ ) = tr ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) = ∑ i ⟨ a i | ψ ⟩ ⟨ ψ | a i ⟩ = ∑ i ⟨ ψ | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\hbox{tr}}(\rho )&={\hbox{tr}}(|\psi \rangle \langle \psi |)=\sum _{i}\langle a_{i}|\psi \rangle \langle \psi |a_{i}\rangle \\&=\sum _{i}\langle \psi |a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =\langle \psi |\psi \rangle =1\\\end{aligned}}} 。 對於任意歸一化量子態 ϕ {\displaystyle \phi } ， 0 ≤ ⟨ ϕ | ρ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ ⟨ ψ | ϕ ⟩ = | ⟨ ϕ | ψ ⟩ | 2 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle \psi |\phi \rangle =|\langle \phi |\psi \rangle |^{2}\leq 1} ， 所以，密度算符是非負算符（nonnegative operator）。 將先前純態密度算符的定義式加以延伸，假設在一個量子系統處於純態 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle } 、 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{2}\rangle } 、 | ψ 3 ⟩ {\displaystyle |\psi _{3}\rangle } 、……的機率分別為 w 1 {\displaystyle w_{1}} 、 w 2 {\displaystyle w_{2}} 、 w 3 {\displaystyle w_{3}} 、……，則這混合態量子系統的密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為 ρ   = d e f   ∑ i w i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\rho }\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}w_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} 。 每一個機率都是非負實值，所有機率的總和為1： 0 ≤ w i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq w_{i}\leq 1} ， ∑ i w i = 1 {\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1} 。 按照「無知詮釋」，這種量子系統確定是處於某個純態 ψ i {\displaystyle \psi _{i}} ，但是無法知道到底是哪一個純態。這種可以用無知詮釋來論述的量子系統稱為「真混合物」（proper mixture），否則，稱為「瑕混合物」（improper mixture）。 回想在純態段落裏，機率公式與期望值公式對於密度算符都具有線性，這意味著對於混合態的密度算符，這些公式也都適用。加以延伸後的密度算符，也具有先前純態的密度算符所擁有的性質： 密度算符是自伴算符： ρ = ρ † {\displaystyle \rho =\rho ^{\dagger }} 。 密度算符的跡數為1： tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho )=1} 。 對可觀察量 A {\displaystyle A} 做測量得到 a i {\displaystyle a_{i}} 的機率為 P ( a i ) = tr ( Λ ( a i ) ρ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{i})={\hbox{tr}}(\Lambda (a_{i})\rho )} 。 做實驗測量可觀察量 A {\displaystyle A} 獲得的期望值為 ⟨ A ⟩ = tr ( A ρ ) {\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )} 。 密度算符是非負算符： 0 ≤ ⟨ ϕ | ρ | ϕ ⟩ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1} 。 由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 是自伴算符，它具有譜表示 ρ = ∑ i a i | a i ⟩ ⟨ a i | {\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|} ； 其中， | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 是本徵值為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態，所有 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 形成一個規範正交基。 按照自伴算符的定義，每一個本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 是它自己的共軛： a i = a i ∗ {\displaystyle a_{i}=a_{i}^{*}} 。 由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 是非負算符，每一個本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 都是非負值。 由於密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 的跡數為1， ∑ i a i = 1 {\displaystyle \sum _{i}a_{i}=1} 。 給定一個量子系統，其所有可能的密度算符組成一個凸集。假設 ρ i , i = 1 , 2 , 3 , . . . , n {\displaystyle \rho _{i},\quad i=1,2,3,...,n} 屬於這凸集，則 ρ = ∑ i c i ρ i {\displaystyle \rho =\sum _{i}c_{i}\rho _{i}} 也屬於這凸集；其中， 0 ≤ c i ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c_{i}\leq 1} 是係數， ∑ i c i = 1 {\displaystyle \sum _{i}c_{i}=1} 。 由於純態的密度算符定義式為 ρ   = d e f   | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho \ {\stackrel {def}{=}}\ |\psi \rangle \langle \psi |} ， 所以純態的密度算符具有特徵 ρ 2 = ρ {\displaystyle \rho ^{2}=\rho } 。 tr ( ρ 2 ) = tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})={\hbox{tr}}(\rho )=1} 。 否則，非純態的密度算符遵守關係式 tr ( ρ 2 ) < tr ( ρ ) = 1 {\displaystyle {\hbox{tr}}(\rho ^{2})<{\hbox{tr}}(\rho )=1} 。 另外，將純態的密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 對角化後，只能有一個對角元素等於1，其它對角元素都等於0，例如，一種形式為 ϱ = [ 0 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 ] {\displaystyle \varrho ={\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}} 。 量子態的純度（英语：purity (quantum mechanics)） γ {\displaystyle \gamma } 定義為 γ = tr ( ρ 2 ) {\displaystyle \gamma ={\hbox{tr}}(\rho ^{2})} 。 純態的純度為1。處於N維希爾伯特空間、完全混合的混合態，其對角元素的數值為 1 / N {\displaystyle 1/N} 、非對角元素的數值為0，其純度為 1 / N {\displaystyle 1/N} 。 馮諾伊曼熵是另一種描述量子態混合程度的量度。 位置是一種連續性可觀察量，具有連續性本徵值譜，用這種可觀察量的連續性本徵態為基底，密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 含有兩個位置參數 x ′ {\displaystyle x'} 、 x ″ {\displaystyle x''} ： ϱ ( x ′ , x ″ ) = ∑ i w i ψ i ( x ′ ) ψ i ∗ ( x ″ ) {\displaystyle \varrho (x',x'')=\sum _{i}w_{i}\psi _{i}(x')\psi _{i}^{*}(x'')} 。 可觀察量 A {\displaystyle A} 的期望值為 ⟨ A ⟩ = tr ( A ρ ) = ∫ d x ′ ∫ d x ″ ⟨ x ′ | A | x ″ ⟩ ⟨ x ″ | ρ | x ′ ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )=\int \mathrm {d} x'\int \mathrm {d} x''\langle x'|A|x''\rangle \langle x''|\rho |x'\rangle } 。 假設密度算符為 ρ {\displaystyle \rho } 的複合系統是由兩個子系統 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 組成，這兩個子系統的物理行為分別由其對應約化密度算符（reduced density operator） ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 、 ρ B {\displaystyle \rho _{B}} 描述： ρ A = tr B ( ρ ) {\displaystyle \rho _{A}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )} 、 ρ B = tr A ( ρ ) {\displaystyle \rho _{B}={\hbox{tr}}_{A}(\rho )} ； 其中， tr B {\displaystyle {\hbox{tr}}_{B}} 、 tr A {\displaystyle {\hbox{tr}}_{A}} 分別是對於子系統 B {\displaystyle B} 、 A {\displaystyle A} 的偏跡數（partial trace）。 這複合系統的兩個子系統之間沒有任何關聯（沒有任何量子關聯或經典關聯），若且唯若 ρ {\displaystyle \rho } 是 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 與 ρ B {\displaystyle \rho _{B}} 的張量積： ρ = ρ A ⊗ ρ B {\displaystyle \rho =\rho _{A}\otimes \rho _{B}} 。 約化密度算符最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設兩個希爾伯特空間 H A {\displaystyle H_{A}} 、 H B {\displaystyle H_{B}} 的規範正交基分別為 { | a i ⟩ A } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle _{A}\}} 、 { | b j ⟩ B } {\displaystyle \{|b_{j}\rangle _{B}\}} ，分別在這兩個希爾伯特空間 H A {\displaystyle H_{A}} 、 H B {\displaystyle H_{B}} 的兩個子系統 A {\displaystyle A} 、 B {\displaystyle B} 所組成的複合系統，其量子態為純態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，其密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 為 ρ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |} 。 取密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 對於子系統 B {\displaystyle B} 的偏跡數，可以得到子系統 A {\displaystyle A} 的約化密度算符 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} ： ρ A   = d e f   ∑ j ⟨ b j | B ( | ψ ⟩ ⟨ ψ | ) | b j ⟩ B = tr B ( ρ ) {\displaystyle \rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}\langle b_{j}|_{B}\left(|\psi \rangle \langle \psi |\right)|b_{j}\rangle _{B}={\hbox{tr}}_{B}(\rho )} 。 例如，糾纏態 | ψ ⟩ A B = ( | 0 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B − | 1 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ) / 2 {\displaystyle |\psi \rangle _{AB}=(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})/{\sqrt {2}}} ，其子系統 A {\displaystyle A} 的約化密度算符 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 為 ρ A = 1 2 ( | 0 ⟩ A ⟨ 0 | A + | 1 ⟩ A ⟨ 1 | A ) {\displaystyle \rho _{A}={\frac {1}{2}}{\bigg (}|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}{\bigg )}} 。 如同預想，這公式演示出，子系統 A {\displaystyle A} 的約化密度算符 ρ A {\displaystyle \rho _{A}} 為混合態。 如右圖所示，使用z-軸方向的斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，依照自旋的z-分量 S z {\displaystyle S_{z}} 分裂成兩道，一道的 S z {\displaystyle S_{z}} 為上旋，標記為 | z + ⟩ {\displaystyle |z+\rangle } ，另一道的 S z {\displaystyle S_{z}} 為下旋，標記為 | z − ⟩ {\displaystyle |z-\rangle } 。 態向量： | z + ⟩ = [ 1 0 ] {\displaystyle |z+\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ z + = | z + ⟩ ⟨ z + | = [ 1 0 ] [ 1 0 ] = [ 1 0 0 0 ] {\displaystyle \varrho _{z+}=|z+\rangle \langle z+|={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}} 。 態向量： | z − ⟩ = [ 0 1 ] {\displaystyle |z-\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ z − = | z − ⟩ ⟨ z − | = [ 0 1 ] [ 0 1 ] = [ 0 0 0 1 ] {\displaystyle \varrho _{z-}=|z-\rangle \langle z-|={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}} 。 態向量： | x + ⟩ = [ 1 2 1 2 ] {\displaystyle |x+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ x + = | x + ⟩ ⟨ x + | = [ 1 2 1 2 ] [ 1 2 1 2 ] = [ 1 2 1 2 1 2 1 2 ] {\displaystyle \varrho _{x+}=|x+\rangle \langle x+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。 態向量： | x − ⟩ = [ 1 2 − 1 2 ] {\displaystyle |x-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ x − = | x − ⟩ ⟨ x − | = [ 1 2 − 1 2 ] [ 1 2 − 1 2 ] = [ 1 2 − 1 2 − 1 2 1 2 ] {\displaystyle \varrho _{x-}=|x-\rangle \langle x-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。 態向量： | y + ⟩ = [ 1 2 i 2 ] {\displaystyle |y+\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ y + = | y + ⟩ ⟨ y + | = [ 1 2 i 2 ] [ 1 2 − i 2 ] = [ 1 2 − i 2 i 2 1 2 ] {\displaystyle \varrho _{y+}=|y+\rangle \langle y+|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。 態向量： | y − ⟩ = [ 1 2 − i 2 ] {\displaystyle |y-\rangle ={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}} 。 密度矩陣： ϱ y − = | y − ⟩ ⟨ y − | = [ 1 2 − i 2 ] [ 1 2 i 2 ] = [ 1 2 i 2 − i 2 1 2 ] {\displaystyle \varrho _{y-}=|y-\rangle \langle y-|={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} 。 完全隨機粒子束的量子態不是純態，它可以由50% | z + ⟩ {\displaystyle |z+\rangle } 純態與50% | z − ⟩ {\displaystyle |z-\rangle } 純態組成： ϱ = 1 2 ϱ z + + 1 2 ϱ z − = 1 2 [ [ 1 0 0 0 ] + [ 0 0 0 1 ] ] = [ 0.5 0 0 0.5 ] {\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{z+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{z-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}} 。 它也可以由50% | x + ⟩ {\displaystyle |x+\rangle } 純態與50% | x − ⟩ {\displaystyle |x-\rangle } 純態組成： ϱ = 1 2 ϱ x + + 1 2 ϱ x − = 1 2 [ [ 0.5 0.5 0.5 0.5 ] + [ 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 ] ] = [ 0.5 0 0 0.5 ] {\displaystyle \varrho ={\frac {1}{2}}\varrho _{x+}+{\frac {1}{2}}\varrho _{x-}={\frac {1}{2}}\left[{\begin{bmatrix}0.5&0.5\\0.5&0.5\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0.5&-0.5\\-0.5&0.5\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}} 。 另外，它還可以由50% | y + ⟩ {\displaystyle |y+\rangle } 純態與50% | y − ⟩ {\displaystyle |y-\rangle } 純態組成，因此可見，不同的組合仍可得到同樣的混合態。 一般而言，完全隨機粒子束的 N × N {\displaystyle N\times N} 密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } ，經過對角化之後，可以寫為 ϱ = 1 N [ 1 0 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle \varrho ={\frac {1}{N}}{\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\\end{bmatrix}}} 。 对于一组能量本征态 | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } ，热平衡下的混态： ρ = ∑ n ω n | ψ n ⟩ ⟨ ψ n | {\displaystyle \rho =\sum _{n}\omega _{n}|\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n}|} 其中 p n = exp ⁡ ( − E n / k T ) / Z {\displaystyle p_{n}=\exp(-E_{n}/kT)/Z} ，以及 Z = ∑ n exp ⁡ ( − E n / k T ) {\displaystyle Z=\displaystyle {\textstyle \sum _{n}}\exp(-E_{n}/kT)} 是配分函数。对于不含时哈密顿算符，热平衡的混态是不随时间演化的。 薛丁格方程式描述純態怎樣隨著時間流逝而演化，馮諾伊曼方程式描述密度算符怎樣隨著時間流逝而演化。實際而言，這兩種方程式等價，因為它們彼此都可以推導出對方。假設，在時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} ，量子系統的密度算符為 ρ ( t 0 ) = ∑ i w i | ψ i ( t 0 ) ⟩ ⟨ ψ i ( t 0 ) | {\displaystyle \rho (t_{0})=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|} ； 其中，量子系統在時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 處於純態 | ψ i ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}(t_{0})\rangle } 的機率是 w i {\displaystyle w_{i}} 假若不攪擾這量子系統，則機率 w i {\displaystyle w_{i}} 跟時間無關。在時間 t {\displaystyle t} ，純態 | ψ i ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle } 遵守含時薛丁格方程式 i ℏ ∂ ∂ t | ψ i ( t ) ⟩ = H | ψ i ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{i}(t)\rangle =H|\psi _{i}(t)\rangle } ， 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， H {\displaystyle H} 是哈密頓算符。 所以，馮諾伊曼方程式表示為 i ℏ ∂ ∂ t ρ ( t ) = ∑ i w i ( H | ψ i ( t ) ⟩ ⟨ ψ i ( t ) | − | ψ i ( t ) ⟩ ⟨ ψ i ( t ) | H ) = − [ ρ , H ] {\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}(H|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|-|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|H)\\&=-[\rho ,H]\\\end{aligned}}} ； 其中，方括弧代表對易算符。 注意到只有當採用薛丁格繪景時（必須採用薛丁格繪景來計算密度算符）這方程式才成立，雖然這方程式看起來很像海森堡繪景的海森堡方程式，唯一差別是關鍵的正負號： d A ( H ) d t = −   i ℏ [ A ( H ) , H ] {\displaystyle {\frac {dA^{(H)}}{dt}}=-\ {\frac {i}{\hbar }}[A^{(H)},H]} ； 其中， A ( H ) {\displaystyle A^{(H)}} 是某種採用海森堡繪景的算符。 在海森堡繪景裏，密度算符與時間無關，正負號差別確使期望值 ⟨ A ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle } 對於時間的導數會得到與薛丁格繪景相同的結果。 假若哈密頓算符不含時，則可從馮諾伊曼方程式推導出 ρ ( t ) = e − i H t / ℏ ρ ( 0 ) e i H t / ℏ {\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }} 。 在量子統計力學（quantum statistical mechanics）裏，馮諾伊曼熵（von Neumann entropy）是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於密度矩陣為 ϱ {\displaystyle \varrho } 的混合態，馮諾伊曼熵定義為 σ   = d e f   − t r ( ϱ ln ⁡ ϱ ) {\displaystyle \sigma \ {\stackrel {def}{=}}\ -\mathrm {tr} (\varrho \ln \varrho )} 。 這公式涉及到矩陣對數（logarithm of a matrix），似乎很難計算，但密度算符 ρ {\displaystyle \rho } 是自伴算符，具有譜表示 ρ = ∑ i a i | a i ⟩ ⟨ a i | {\displaystyle \rho =\sum _{i}a_{i}|a_{i}\rangle \langle a_{i}|} ； 其中， | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 是本徵值為 a i {\displaystyle a_{i}} 的本徵態，所有 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 形成一個規範正交基。 因此，可以將密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 對角化，將馮諾伊曼熵更簡單地以對角化後的密度矩陣 ϱ {\displaystyle \varrho } 定義為 σ = − ∑ i ϱ i i ln ⁡ ϱ i i {\displaystyle \sigma =-\sum _{i}\varrho _{ii}\ln \varrho _{ii}} 。 馮諾伊曼熵 σ {\displaystyle \sigma } 又可以寫為 σ = − ∑ i a i ln ⁡ a i {\displaystyle \sigma =-\sum _{i}a_{i}\ln a_{i}} 。 從這形式，可以推論馮諾伊曼熵與經典信息論裏的夏農熵（Shannon entropy）相關。 在這裏，可以視每一個本徵值 a i {\displaystyle a_{i}} 為處於本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的機率。假若某事件的發生機率為零，則這事件不應貢獻出絲毫馮諾伊曼熵。從數學而言，以下極限為零： lim a → 0 a log ⁡ a = 0 {\displaystyle \lim _{a\to 0}a\log a=0} 。 因此，可以採用約定 0 log ⁡ 0 = 0 {\displaystyle 0\log 0=0} 。 純態的馮諾伊曼熵為零，因為其密度矩陣對角化之後，只有一個元素為1，其它均為0。即所有對角元素 a i {\displaystyle a_{i}} 必定滿足 a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} 或 ln ⁡ a i = 0 {\displaystyle \ln a_{i}=0} 。 完全隨機混合態的 N × N {\displaystyle N\times N} 密度矩陣，其馮諾伊曼熵 σ {\displaystyle \sigma } 為 σ = − ∑ i 1 N ln ⁡ 1 N = ln ⁡ N {\displaystyle \sigma =-\sum _{i}{\frac {1}{N}}\ln {\frac {1}{N}}=\ln N} 。 假若，將馮諾伊曼熵視為量子系統失序現象的一種量度，則純態擁有最小的馮諾伊曼熵 0 {\displaystyle 0} ，而完全隨機混合態擁有最大的馮諾伊曼熵 ln ⁡ N {\displaystyle \ln N} 。 每一次做投影測量，馮諾伊曼熵都會增加，永遠不會減少，但是，對於廣義測量（generalized measurement），馮諾伊曼熵可能會減少。混合態的馮諾伊曼熵永遠不小於零。因此，純態可以通過投影測量改變為混合態，但是，非純態的混合態永遠無法通過投影測量改變為純態。投影測量這動作促成了一種基本不可逆性的對於密度算符的改變，如同波函數塌縮。實際而言，相當反直覺地，投影測量這動作抹除了複合系統的量子相干性。更詳盡內容，請參閱條目量子退相干。 一個量子系統的子系統可以從混合態改變為純態，但是所附出的代價是其它部分的馮諾伊曼熵會增加，就好似將一個物體放進冰箱來降低其熵，冰箱熱交換器外的空氣會變暖，而所增加的熵會比物體所減少的熵更多。更詳盡內容，請參閱條目熱力學第二定律。 玻恩法則（Born rule） 格里森定理（Gleason's theorem） 密度泛函理論 對於本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 的投影算符 Λ ( a i ) {\displaystyle \Lambda (a_{i})} ，假若作用於量子態 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ，則會得到 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 與對應機率幅的乘積： Λ ( a i ) | ψ ⟩ = | a i ⟩ ⟨ a i | ψ ⟩ = c i | a i ⟩ {\displaystyle \Lambda (a_{i})|\psi \rangle =|a_{i}\rangle \langle a_{i}|\psi \rangle =c_{i}|a_{i}\rangle } ； 其中， c i {\displaystyle c_{i}} 是在本徵態 | a i ⟩ {\displaystyle |a_{i}\rangle } 裏找到 | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } 的機率幅。 給定兩個規範正交基 { | a i ⟩ } , { | b i ⟩ } {\displaystyle \{|a_{i}\rangle \},\{|b_{i}\rangle \}} ，對於任意算符 W {\displaystyle W} ， tr ⁡ ( W ) = ∑ i ⟨ a i | W | a i ⟩ = ∑ i , j ⟨ a i | b j ⟩ ⟨ b j | W | a i ⟩ = ∑ i , j ⟨ b j | W | a i ⟩ ⟨ a i | b j ⟩ = ∑ j ⟨ b j | W | b j ⟩ {\displaystyle \operatorname {tr} (W)=\sum _{i}\langle a_{i}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle a_{i}|b_{j}\rangle \langle b_{j}|W|a_{i}\rangle =\sum _{i,j}\langle b_{j}|W|a_{i}\rangle \langle a_{i}|b_{j}\rangle =\sum _{j}\langle b_{j}|W|b_{j}\rangle } 。 因此，對於不同的規範正交基，跡數是個不變量。 在量子退相干裏，約化密度算符代表的是反常混合物，它不能被視為處於某個未知的純態；它是依賴環境與系統之間的相互作用使得所有的非對角元素趨於零，實際而言，這些非對角元素所表現的量子相干性已被遷移至環境，只有從整個密度算符才能查覺到這量子相干性的存在。 在薛丁格繪景裏，純態隨著時間而演化的形式為 | ψ i ( t ) ⟩ = e − i H ( t − t 0 ) | ψ i ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}(t)\rangle =e^{-iH(t-t_{0})}|\psi _{i}(t_{0})\rangle } 。 因此，密度算符與時間無關： ρ ( t ) = ∑ i w i | ψ i ( t ) ⟩ ⟨ ψ i ( t ) | = ∑ i w i ( | ψ i ( t 0 ) ⟩ e i H ( t − t 0 ) e − i H ( t − t 0 ) ⟨ ψ i ( t 0 ) | ) = ∑ i w i ( | ψ i ( t 0 ) ⟩ ⟨ ψ i ( t 0 ) | ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (t)&=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle e^{iH(t-t_{0})}e^{-iH(t-t_{0})}\langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\&=\sum _{i}w_{i}\left(|\psi _{i}(t_{0})\rangle \langle \psi _{i}(t_{0})|\right)\\\end{aligned}}} 。 採用薛丁格繪景來計算密度算符這動作很合理，因為密度算符是由薛丁格左矢與薛丁格右矢共同組成，而這兩個向量都是隨著時間流逝而演進。 矩陣對數（logarithm of a matrix）也是矩陣；後者的矩陣指數等於前者。這是純對數的推廣。這運算是矩陣指數的反函數。並不是所有矩陣都有對數，有些矩陣有很多個對數。 von Neumann, John, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten, 1927, 1: 245–272  Ballentine, Leslie. 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