循序可测过程

在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。 设有 概率空间 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} ； 测度空间 ( X , A ) {\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})} ，状态空间； σ-代数 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 上的参考族 { F t | t ⩾ 0 } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geqslant 0\}} ； 随机过程 X : T = [ 0 , ∞ ) × Ω → X = ( X t ) t ∈ T {\displaystyle X:T=[0,\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}} （指标集 T {\displaystyle T} 也可以是有限时间 [ 0 , T 0 ] {\displaystyle [0,T_{0}]} 或离散时间 N {\displaystyle \mathbb {N} } ）。 则随机过程 ( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 是循序可测过程当且仅当对任意的时刻 t ∈ T {\displaystyle t\in T} ，映射 X | [ 0 , t ] : [ 0 , t ] × Ω ⟶ X {\displaystyle X\left|_{[0,t]}:\,\,[0,t]\times \Omega \,\,\longrightarrow \,\,\mathbb {X} \right.} ( s , ω ) ↦ X s ( ω ) {\displaystyle (s,\omega )\quad \mapsto \,\,X_{s}(\omega )} 都是 B o r e l ( [ 0 , t ] ) ⊗ F t {\displaystyle \mathrm {Borel} ([0,t])\otimes {\mathcal {F}}_{t}} -可测的:110。 ( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 是循序可测过程可以推出它必然是适应过程:5。 子集 P ⊆ [ 0 , ∞ ) × Ω {\displaystyle P\subseteq [0,\infty )\times \Omega } 是循序可测集合当且仅当指示过程： X s ( ω ) := 1 P ( s , ω ) {\displaystyle X_{s}(\omega ):=\mathbf {1} _{P}(s,\omega )} 是循序可测过程。所有循序可测的子集 P {\displaystyle P} 构成 [ 0 , ∞ ) × Ω {\displaystyle [0,\infty )\times \Omega } 上的一个σ-代数，一般记为 P r o g {\displaystyle \mathrm {Prog} } 。一个随机过程 ( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 是循序可测过程当且仅当它（在被看作 [ 0 , ∞ ) × Ω {\displaystyle [0,\infty )\times \Omega } 上的随机变量时）是 P r o g {\displaystyle \mathrm {Prog} } -可测的:190。 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程:191。 设 W = ( W t ( ω ) ; t ∈ T , ω ∈ Ω ) {\displaystyle W=\left(W_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)} 是一维的标准布朗运动过程， H = ( H t ( ω ) ; t ∈ T , ω ∈ Ω ) {\displaystyle H=\left(H_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)} 为关于 W {\displaystyle W} 的参考族 { F t W } {\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}} 的（实值的）循序可测过程，并且满足 E [ ∫ T H ( t ) 2 d t ] < ∞ {\displaystyle \mathbb {E} [\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t]<\infty } ，那么我们可以定义 H {\displaystyle H} 关于 W {\displaystyle W} 的随机积分： ∫ T H ( t ) d W t {\displaystyle \int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}} :146-147，而且满足 E [ ( ∫ T H ( t ) d W t ) 2 ] = E [ ∫ T H ( t ) 2 d t ] . {\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{T}H(t)\mathrm {d} W_{t}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{T}H(t)^{2}\mathrm {d} t\right].} :192:141。 一个随机过程 X = ( X t ( ω ) ; t ∈ T , ω ∈ Ω ) {\displaystyle X=\left(X_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)} 的修正（modification）是指另一个随机过程 Y = ( Y t ( ω ) ; t ∈ T , ω ∈ Ω ) {\displaystyle Y=\left(Y_{t}(\omega )\,;\,\,t\in T,\,\omega \in \Omega \right)} ，满足 ∀ t ∈ T , P ( X t = Y t ) = 1. {\displaystyle \forall t\in T,\,\,\mathbb {P} (X_{t}=Y_{t})=1.} 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正:110。 圖模式 马尔可夫链 马尔可夫逻辑网络 适应过程 可预测过程 （英文）Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8.  （英文）Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801.  （英文）Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188.