拉比判别法

拉比判別法（英語：Raabe's Test）是判斷一個實級數收歛的方法。在判断比几何级数收敛得慢的级数时，比柯西判别法、达朗贝尔判别法更有效。 对任意级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 如果存在 r > 1 {\displaystyle r>1} ， n 0 ∈ N ∗ {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ^{*}} ,使得当 n > n 0 {\displaystyle n>n_{0}} 时，有 n ( | a n a n + 1 | − 1 ) ≥ r {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\geq r} ， 那么级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 绝对收敛。 如果对充分大的 n {\displaystyle n} ，有 n ( | a n a n + 1 | − 1 ) ≤ 1 {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1} ， 那么级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 发散。 对任意级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ，令 lim n → ∞ n ( | a n a n + 1 | − 1 ) = r , {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r,} r > 1 {\displaystyle r>1} 时级数绝对收敛 r < 1 {\displaystyle r<1} 时說明级数 ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|} 发散(沒有絕對收斂)，原級數 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 可能收斂也可能發散。 r = 1 {\displaystyle r=1} 时级数可能收敛也可能发散 当 r > 1 {\displaystyle r>1} 时，存在 p {\displaystyle p} 使得 r > p > 1 {\displaystyle r>p>1} . 则: lim n → ∞ n ( | a n a n + 1 | − 1 ) = r > p = lim n → ∞ n ( ( 1 + 1 n ) p − 1 ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)=r>p=\lim _{n\to \infty }n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)} ⇒ n ( | a n a n + 1 | − 1 ) > n ( ( 1 + 1 n ) p − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow \quad n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\quad } 对充分大的 n {\displaystyle n} ⇒ | a n a n + 1 | > ( n + 1 ) p n p {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>{\frac {(n+1)^{p}}{n^{p}}}} ⇒ | a n + 1 a n | < 1 ( n + 1 ) p 1 n p {\displaystyle \Rightarrow \quad \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {\frac {1}{(n+1)^{p}}}{\frac {1}{n^{p}}}}} 因为当 p > 1 {\displaystyle p>1} 时级数 ∑ n − p {\displaystyle \sum n^{-p}} 收敛，故级数 ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|} 在 r > 1 {\displaystyle r>1} 时收敛，即级数 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 绝对收敛。 当 r < 1 {\displaystyle r<1} 时，有 n ( | a n a n + 1 | − 1 ) ≤ 1 , {\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)\leq 1,} ，则 | a n a n + 1 | ≤ 1 + 1 n = n + 1 n {\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq 1+{\frac {1}{n}}={\frac {n+1}{n}}} ，即 | a n + 1 a n | ≥ n n + 1 = 1 n + 1 1 n {\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq {\frac {n}{n+1}}={\frac {\frac {1}{n+1}}{\frac {1}{n}}}} 由于 ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} 发散，故 ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} 发散。 当 r = 1 {\displaystyle r=1} 时无法判断其敛散性，举例如下: 已知有 n + 1 n ( ln ⁡ ( n + 1 ) ln ⁡ n ) α = 1 + 1 n + α n ln ⁡ n + o ( 1 n ln ⁡ n ) {\displaystyle {\frac {n+1}{n}}({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}})^{\alpha }=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\alpha }{n\ln n}}+o({\frac {1}{n\ln n}})} 令 a n = 1 n ( ln ⁡ n ) α {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n(\ln n)^{\alpha }}}} 已知当 α > 1 {\displaystyle \alpha >1} 时， ∑ n = 2 ∞ a n < + ∞ {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}<+\infty } ；当 α ≤ 1 {\displaystyle \alpha \leq 1} 时， ∑ n = 2 ∞ a n = ∞ {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }a_{n}=\infty } ，然而由上式得 n ( a n a n + 1 − 1 ) = 1 + α ln ⁡ n + o ( 1 ln ⁡ n ) → 1 ( n → ∞ ) {\displaystyle n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1+{\frac {\alpha }{\ln n}}+o({\frac {1}{\ln n}})\rightarrow 1(n\rightarrow \infty )} 这说明当 r = 1 {\displaystyle r=1} 时，拉比判别法无效。 常庚哲，史济怀. 数学分析教程（下册）. 安徽合肥: 中国科学技术大学出版社. 2013: 第173页. ISBN 9787312031311.  谢惠民. 数学分析习题课讲义. 北京: 高等教育出版社. 2004: 第8页. ISBN 9787040129410.  Weisstein, Eric W. (编). Raabe's Test. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始内容存档于2015-04-02） （英语）.  Mathumatiks :: Raabes Test and Logarithmic Test. mathumatiks.org. [2015-09-03]. （原始内容存档于2016-03-04）.  Weisstein, Eric W. (编). Wolfram MathWorld (首頁). at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2015-09-02]. （原始内容存档于2015-09-05） （英语）.