克劳修斯-莫索提方程式

克劳修斯-莫索提方程式（Clausius-Mossotti equation）表達了線性介電質的極化性和相對電容率之間的關係，是因義大利物理學者莫索提（Ottaviano-Fabrizio Mossotti）和德國物理學者魯道夫·克勞修斯而命名。這方程式也可以更改為表達極化性和折射率之間的關係，此時稱為洛倫茲-洛倫茨方程式（Lorentz-Lorenz equation）。 極化性是一種微觀屬性，而相對電容率則是在介電質內部的一種巨觀屬性，所以，這方程式式連結了介電質關於電極化的微觀屬性與巨觀屬性。 一個分子的極化性 α {\displaystyle \alpha } 定義為 p   = d e f   α E {\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ \alpha \mathbf {E} } ； 其中， p {\displaystyle \mathbf {p} } 是分子的感應電偶極矩， E {\displaystyle \mathbf {E} } 是作用於分子的電場。 介電質的電極化強度定義為總電偶極矩每單位面積： P ( r )   = d e f   ∑ j N j ( r ) p j ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\mathbf {p} _{j}(\mathbf {r} )} ； 其中， P {\displaystyle \mathbf {P} } 是電極化強度， r {\displaystyle \mathbf {r} } 是檢驗位置， N j {\displaystyle N_{j}} 、 p j {\displaystyle \mathbf {p} _{j}} 分別是分子 j {\displaystyle j} 的數量每單位面積與電偶極矩。 總合介電質內每一種分子的貢獻，就可以計算出介電質的電極化強度。將極化性的定義式代入，可以得到 P ( r ) = ∑ j N j ( r ) α j E ( r ) {\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\sum _{j}N_{j}(\mathbf {r} )\alpha _{j}\mathbf {E} (\mathbf {r} )} 。 當計算這方程式時，必需先知道在分子位置的電場，稱為「局域電場」 E l o c a l {\displaystyle \mathbf {E} _{local}} 。介電質內部的微觀電場，從一個位置到另外位置，其變化可能會相當劇烈，在電子或質子附近，電場很大，距離稍微遠一點，電場呈平方反比減弱。所以，很難計算這麼複雜的電場的物理行為。幸運地是，對於大多數計算，並不需要這麼詳細的描述。所以，只要選擇一個足夠大的區域（例如，體積為 V ′ {\displaystyle V'} 、內中含有上千個分子的圓球體 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} ）來計算微觀電場 E m i c r o {\displaystyle \mathbf {E} _{micro}} 的平均值，稱為「巨觀電場」 E m a c r o {\displaystyle \mathbf {E} _{macro}} ，就可以足夠準確地計算出巨觀物理行為： E m a c r o = 1 V ′ ∫ V ′ E m i c r o   d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {E} _{macro}={\frac {1}{V'}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {E} _{micro}\ \mathrm {d} ^{3}r'} 。 對於稀薄介電質，分子與分子之間的距離相隔很遠，鄰近分子的貢獻很小，局域電場可以近似為巨觀電場　 E m a c r o {\displaystyle \mathbf {E} _{macro}} ： E l o c a l ≈ E m a c r o {\displaystyle \mathbf {E} _{local}\approx \mathbf {E} _{macro}} 。 但對於緻密介電質，分子與分子之間的距離相隔很近，鄰近分子的貢獻很大，必需將鄰近分子的貢獻 E 1 {\displaystyle \mathbf {E} _{1}} 納入考量： E l o c a l = E m a c r o + E 1 {\displaystyle \mathbf {E} _{local}=\mathbf {E} _{macro}+\mathbf {E} _{1}} 。 因為巨觀電場已經包括了電極化所產生的電場（稱為「去極化場」） E p {\displaystyle \mathbf {E} _{p}} ，為了不重覆計算，在計算 E 1 {\displaystyle \mathbf {E} _{1}} 時，必需將鄰近分子的真實貢獻 E n e a r {\displaystyle \mathbf {E} _{near}} 減掉去極化場： E 1 = E n e a r − E p {\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\mathbf {E} _{near}-\mathbf {E} _{p}} 。 舉一個簡單案例，根據洛倫茲關係（Lorentz Relation），對於立方晶系結構的晶體或各向同性的介電質，由於高度的對稱性， E n e a r = 0 {\displaystyle \mathbf {E} _{near}=0} 。 現在思考以分子位置 r {\displaystyle \mathbf {r} } 為圓心、體積為 V ′ {\displaystyle V'} 的圓球體 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} ，感受到外電場的作用， V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 內部的束縛電荷會被電極化，從而產生電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 。假設在 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 內部的電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 相當均勻，則電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 與 V ′ {\displaystyle \mathbb {V} '} 的電偶極矩之間的關係為 p = P V ′ {\displaystyle \mathbf {p} =\mathbf {P} V'} 。 這線性均勻介電質圓球體內部的電場為 E p = − P 3 ϵ 0 {\displaystyle \mathbf {E} _{p}=-{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}}} 。 綜合前面得到的結果： P = ∑ j N j α j ( E m a c r o − E p ) = ∑ j N j α j ( E m a c r o + P 3 ϵ 0 ) {\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}-\mathbf {E} _{p})=\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}(\mathbf {E} _{macro}+{\frac {\mathbf {P} }{3\epsilon _{0}}})} 。 對於各向同性、線性、均勻的介電質，電極化率 χ e {\displaystyle \chi _{e}} 定義為 P   = d e f   ϵ 0 χ e E m a c r o {\displaystyle \mathbf {P} \ {\stackrel {def}{=}}\ \epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} _{macro}} 。 電極化率與極化性的關係為 χ e χ e + 3 = 1 3 ϵ 0 ∑ j N j α j {\displaystyle {\frac {\chi _{e}}{\chi _{e}+3}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}} 。 由於相對電容率 ϵ r {\displaystyle \epsilon _{r}} 與電極化率的關係為 ϵ r = 1 + χ e {\displaystyle \epsilon _{r}=1+\chi _{e}} 。 所以，電容率與極化性的關係為 ϵ r − 1 ϵ r + 2 = 1 3 ϵ 0 ∑ j N j α j {\displaystyle {\frac {\epsilon _{r}-1}{\epsilon _{r}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}} 。 這方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。 電介質的折射率 n {\displaystyle n} 為 n = ϵ r μ r ≈ ϵ r {\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{r}\mu _{r}}}\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}} ； 其中， μ r {\displaystyle \mu _{r}} 是相對磁導率。 對於大多數介電質， μ r = 1 {\displaystyle \mu _{r}=1} ，所以，折射率近似為 n ≈ ϵ r {\displaystyle n\approx {\sqrt {\epsilon _{r}}}} 。將折射率帶入克劳修斯-莫索提方程式，就可以給出洛倫茲-洛倫茨方程式： n 2 − 1 n 2 + 2 = 1 3 ϵ 0 ∑ j N j α j {\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{n^{2}+2}}={\frac {1}{3\epsilon _{0}}}\sum _{j}N_{j}\alpha _{j}} 。 O. F. Mossotti, Discussione analitica sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850) R. Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, vol. 2, p. 143, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1867). Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 161, 1998, ISBN 0-13-805326-X  引文格式1维护：冗余文本 (link) Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 460–465, 2005, ISBN 978-0-471-41526-8  引文格式1维护：冗余文本 (link) 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修, 費曼物理學講義II (4)電磁與物質, 台灣: 天下文化書: pp. 177ff, 2006, ISBN 978-986-216-476-1  引文格式1维护：冗余文本 (link)