巴拿赫代数

泛函分析中，得名于斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代数是实数或复数（或非阿基米德完备赋范域）上的结合代数A，同时也是巴拿赫空间，即在范数导出的度量中完备的赋范空间。范数要满足 ‖ x y ‖   ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ ∀ x , y ∈ A . {\displaystyle \|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.} 这确保了乘法运算连续。 若巴拿赫代数对乘法有范数为1的单位元，则称其是含幺的（unital）。若其乘法是可交换的，则称其可交换。任意巴拿赫代数A（无论有无单位元）都可等距同构地嵌入含幺巴拿赫代数 A e {\displaystyle A_{e}} ，从而形成 A e {\displaystyle A_{e}} 的闭理想。通常会先验地假设所考虑的代数是含幺的：因为可以先考虑 A e {\displaystyle A_{e}} ，再在原始代数中应用结果，来发展许多理论。不过并非总如此，例如无法在巴拿赫代数中定义不含单位元的三角函数。 实巴拿赫代数的理论可能异于复巴拿赫代数，例如非平凡复巴拿赫代数中元素的谱不会是空的，而实巴拿赫代数中，某些元素的谱可能是空的。 巴拿赫代数也可以定义在P进数域上。这是P进数分析的一部分。 巴拿赫代数的典型例子是 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} ，即定义在局部紧豪斯多夫空间X上在无穷远处消失的（复值）连续函数空间。当且仅当X是紧空间， C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 含幺。共轭复数是对合，因此 C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} 实际上是C*-代数。更一般地说，C*-代数都是巴拿赫代数。 实数（或复数）集是巴拿赫代数，范数为绝对值。 若给所有实数或复数n阶方阵集合配备服从乘法范数，就成为含幺巴拿赫代数。 取巴拿赫空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} （或 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ），范数为 ‖ x ‖ = max | x i | {\displaystyle \|x\|=\max _{}|x_{i}|} ，并定义乘法分量形式： ( x 1 , … , x n ) ( y 1 , … , y n ) = ( x 1 y 1 , … , x n y n ) . {\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).} 四元数形成了4维实巴拿赫代数，范数为四元数的绝对值。 定义在某集合（具有逐点乘和上确范数）上的有界实值或复值函数的代数是含幺巴拿赫代数。 某局部紧空间（具有逐点乘和上确范数）上的有界连续实值或复值函数的代数是巴拿赫代数。 巴拿赫空间E（以函数复合为乘法，以算子范数为范数）上的连续线性算子的代数是含幺巴拿赫代数。E上所有紧算子的集合是巴拿赫代数，也是闭理想。若 dim ⁡ E = ∞ {\displaystyle \dim E=\infty } ，则没有单位元。 若G是局部紧豪斯多夫拓扑群， μ {\displaystyle \mu } 是其哈尔测度，则G上所有 μ {\displaystyle \mu } 可积函数的巴拿赫空间 L 1 ( G ) {\displaystyle L^{1}(G)} 在卷积 x y ( g ) = ∫ x ( h ) y ( h − 1 g ) d μ ( h ) ,   ∀ x , y ∈ L 1 ( G ) {\displaystyle xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)} 下成为巴拿赫代数。 一致代数：巴拿赫代数，是复代数 C ( X ) {\displaystyle C(X)} 的子代数，具有上确范数，包含常数并分离了X的点（必须是紧豪斯多夫空间）。 自然巴拿赫函数代数：一致代数，其所有特征都在X的点上取值。 C*-代数：某希尔伯特空间上有界算子的代数的闭*-子代数，是巴拿赫代数。 测度代数：包含某局部紧群上所有拉东测度的巴拿赫代数，测度之积由卷积给出。 四元数代数 H {\displaystyle \mathbb {H} } 是实巴拿赫代数，不是复代数，因为四元数的中心是实数。 仿射体代数（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一种巴拿赫代数，是刚性解析几何的基本构件。 一些由幂级数定义的初等函数可在任意含幺巴拿赫代数中定义，如指数函数和三角函数，及更一般的任意整函数（特别地，指数映射可用于定义抽象索引群）。几何级数公式在一般含幺巴拿赫代数中仍有效。二项式定理对巴拿赫代数中两个交换元也成立。 任何含幺巴拿赫代数中的可逆元集合都是开集，其上的逆运算是连续的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓扑群。 若巴拿赫代数有幺元 1 {\displaystyle \mathbf {1} } ，则 1 {\displaystyle \mathbf {1} } 不可能是交换子；即 x y − y x ≠ 1 ,   ∀ x , y ∈ A {\displaystyle xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A} 。这是因为 x y ,   y x {\displaystyle xy,\ yx} 若不是 0 {\displaystyle 0} ，则具有相同的谱。 上述例子给出的各种函数代数具有与标准代数（如实数）迥异的性质，例如： 是除代数的实巴拿赫代数同构于实数、复数或四元数。因此，只有是除代数的复巴拿赫代数是复形。（这就是盖尔范德-马祖尔定理） 没有零除子的含幺实巴拿赫代数的主理想都是闭的，代数同构于实数、复数与四元数。 没有零除子的交换实含幺诺特巴拿赫代数同构于实数或复数。 交换实含幺诺特巴拿赫代数（可有零除子）是有限维的。 巴拿赫代数中的永久奇异元是零的拓扑除子，也就是说，考虑巴拿赫代数A的扩张B，使一些在给定代数A中奇异的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓扑除子在A的任意巴拿赫扩张B中都是永久奇异的。 复数域上的含幺巴拿赫代数为谱理论提供了一个一般环境。元素 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 的谱记作 σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} ，包含所有使 x − λ 1 {\displaystyle x-\lambda \mathbf {1} } 在A中不可逆的复标量 λ {\displaystyle \lambda } 。任意元素x的谱是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 中半径为 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} 、圆心在 0 {\displaystyle 0} 的闭圆盘的闭子集，于是也是紧的。另外，元素x的谱 σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} 也非空，满足谱半径公式： sup { | λ | : λ ∈ σ ( x ) } = lim n → ∞ ‖ x n ‖ 1 / n . {\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.} 给定 x ∈ A {\displaystyle x\in A} ，全纯函数微积分允许为在 σ ( x ) {\displaystyle \sigma (x)} 的邻域全纯的任意函数f定义 f ( x ) ∈ A {\displaystyle f(x)\in A} ；此外，谱映射定理成立： σ ( f ( x ) ) = f ( σ ( x ) ) . {\displaystyle \sigma (f(x))=f(\sigma (x)).} 若巴拿赫代数A是复巴拿赫空间X上的有界线性算子的代数 L ( X ) {\displaystyle L(X)} （例如方阵的代数），则A中的谱与算子理论中的谱重合。对 f ∈ C ( X ) {\displaystyle f\in C(X)} （紧豪斯多夫空间X），可见： σ ( f ) = { f ( t ) : t ∈ X } . {\displaystyle \sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.} C*-代数的正规元素x的范数与谱半径重合，这推广了正规算子的类似事实。 令A为复含幺巴拿赫代数，当中非零元x都可逆（是除代数）。 ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} ，都有 λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } 使 a − λ 1 {\displaystyle a-\lambda \mathbf {1} } 不可逆（因为a的谱非空），于是 a = λ 1 : {\displaystyle a=\lambda \mathbf {1} :} 代数A自然同构于 C {\displaystyle \mathbb {C} } （盖尔范德-马祖尔定理的复数情形）。 令A为 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的含幺交换巴拿赫代数。由于A是含幺交换环，A的不可逆元属于A的某极大理想。由于极大理想 m ∈ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}\in A} 是闭的， A / m {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}} 是巴拿赫代数且是域，且由盖尔范德-马祖尔定理，A的最大理想集与非零同胚 A → C {\displaystyle A\to \mathbb {C} } 集 Δ ( A ) {\displaystyle \Delta (A)} 之间有双射。集合 Δ ( A ) {\displaystyle \Delta (A)} 称作A的“结构空间”或“特征空间”，元素为“特征”。 特征 χ {\displaystyle \chi } 是A上的线性泛函，是乘法函数（ χ ( a b ) = χ ( a ) χ ( b ) {\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b)} 且满足 χ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \chi (\mathbf {1} )=1} 。）每个特征都是 A → C {\displaystyle A\to \mathbb {C} } 且自动连续，因为特征的核是最大理想，是闭的；而且范数（即算子范数）为1。装备了A上逐点收敛拓扑（即由 A ∗ {\displaystyle A^{*}} 的弱*-拓扑诱导的拓扑）后，特征空间 Δ ( A ) {\displaystyle \Delta (A)} 是豪斯多夫紧空间。 ∀ x ∈ A , {\displaystyle \forall x\in A,} σ ( x ) = σ ( x ^ ) {\displaystyle \sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})} q在 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 是x的盖尔范德表示，定义如下： x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 是连续函数 Δ ( A ) → C {\displaystyle \Delta (A)\to \mathbb {C} } ，由 x ^ ( χ ) = χ ( x ) {\displaystyle {\hat {x}}(\chi )=\chi (x)} 给出。 x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} 的谱也是作为紧空间 Δ ( A ) {\displaystyle \Delta (A)} 上复连续函数的代数 C ( Δ ( A ) ) {\displaystyle C(\Delta (A))} 的元素的谱。显式地写， σ ( x ^ ) = { χ ( x ) : χ ∈ Δ ( A ) } . {\displaystyle \sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.} 作为代数，当且仅当含幺交换巴拿赫代数的盖尔范德表示具有平凡核，其是半单的（即其雅各布森根为零）。这种代数的重要例子是交换C*-代数。事实上，若A是交换含幺C*-代数，则其盖尔范德表示是 A ,   C ( Δ ( A ) ) {\displaystyle A,\ C(\Delta (A))} 间的等距*-同构。 巴拿赫*-代数A是复数域上的巴拿赫代数，以及映射 ∗ : A → A {\displaystyle {}^{*}:A\to A} ，满足如下性质： ∀ x ∈ A ,   ( x ∗ ) ∗ = x {\displaystyle \forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x} （于是映射是对合） ∀ x , y ∈ A ,   ( x + y ) ∗ = x ∗ + y ∗ {\displaystyle \forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}} ∀ λ ∈ C ,   x ∈ A ,   ( λ x ) ∗ = λ ¯ x ∗ {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}} ，其中 λ ¯ {\displaystyle {\bar {\lambda }}} 表示 λ {\displaystyle \lambda } 的共轭复数 ∀ x , y ∈ A ,   ( x y ) ∗ = y ∗ x ∗ {\displaystyle \forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}} 也就是说，巴拿赫*-代数是 C {\displaystyle \mathbb {C} } 上的巴拿赫代数，也是*-代数。 在大多数自然例子中，还需要对合是等距的，即 ‖ x ∗ ‖ = ‖ x ‖  for all  x ∈ A . {\displaystyle \|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.} 有人把这性质纳入了巴拿赫*-代数的定义。 巴拿赫*-代数满足 ‖ x ∗ x ‖ = ‖ x ∗ ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|} 是C*-代数。 近似单位 卡普兰斯基猜想 算子代数 希洛夫界 证明：由于交换C*-代数的元素都是正规的，所以盖尔范德表示是等距的；特别是，其是单射，像是闭的。盖尔范德表示的像由魏尔施特拉斯逼近定理是稠密的。 Conway 1990，Example VII.1.8. Conway 1990，Example VII.1.9. Conway 1990，Theorem VII.2.2. García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. （原始内容存档于2023-12-25）.  Takesaki 1979，Proposition 2.8. Bollobás, B. Linear Analysis. Cambridge University Press. 1990. ISBN 0-521-38729-9.  含有內容需登入查看的頁面 (link) Bonsall, F. F.; Duncan, J. Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. 1973. ISBN 0-387-06386-2.  Conway, J. B. A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer Verlag. 1990. ISBN 0-387-97245-5.  Dales, H. G.; Aeina, P.; Eschmeier, J; Laursen, K.; Willis, G. A. Introduction to Banach Algebras, Operators and Harmonic Analysis. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-53584-0. doi:10.1017/CBO9780511615429.  Mosak, R. D. Banach algebras. Chicago Lectures in Mathematics. 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