黎曼曲率張量

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼張量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率，包括无扭率或有撓率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络) ∇ {\displaystyle \nabla } (或者叫协变导数)由下式给出: R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w − ∇ [ u , v ] w . {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.} 这里 R ( u , v ) {\displaystyle R(u,v)} 是一个流形切空间的线性变换；它对于每个参数都是线性的。 注意有些作者用相反的符号定义曲率. 如果 u = ∂ / ∂ x i {\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}} 与 v = ∂ / ∂ x j {\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}} 是坐标向量场则 [ u , v ] = 0 {\displaystyle [u,v]=0} 所以公式简化为 R ( u , v ) w = ∇ u ∇ v w − ∇ v ∇ u w {\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w} 也就是说曲率张量衡量协变导数的反交换性。 线性变换 w ↦ R ( u , v ) w {\displaystyle w\mapsto R(u,v)w} 也称曲率变换。 进一步,由上式定义了如下的三重线性映射 R : ( w , u , v ) → R ( u , v ) w , {\displaystyle R:(w,u,v)\rightarrow R(u,v)w,} 映射 R {\displaystyle R} 关于每一个自变量都是 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 线性的, 故 R {\displaystyle R} 是 M {\displaystyle M} 上的 ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} 型光滑张量场, 称之为仿射联络空间 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 的曲率张量. 在坐标向量场下， R {\displaystyle R} 可以表示为 R = R k i j l d x k ⊗ ∂ ∂ x l ⊗ d x i ⊗ d x j . {\displaystyle R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.} 还可以定义四重线性映射，如下 R : ( w , z , u , v ) → g ( R ( u , v ) w , z ) , {\displaystyle R:(w,z,u,v)\rightarrow g(R(u,v)w,z),} 则映射 R {\displaystyle R} 关于每一个自变量都是 C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} 线性的, 故 R {\displaystyle R} 是黎曼流形 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上的 ( 0 , 4 ) {\displaystyle (0,4)} 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, R {\displaystyle R} 可以表示为 R = R k l i j d x k ⊗ d x l ⊗ d x i ⊗ d x j . {\displaystyle R=R_{klij}dx^{k}\otimes dx^{l}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.} 注：上述纺射联络空间 ( M , ∇ ) {\displaystyle (M,\nabla )} 上的曲率张量 R {\displaystyle R} 与黎曼流形 ( M , g ) {\displaystyle (M,g)} 上的黎曼曲率张量 R {\displaystyle R} 是同一个对象的不同表现形式. 注 R k l i j = g l m R k i j m {\displaystyle R_{klij}=g_{lm}R_{kij}^{m}} . 黎曼曲率张量有如下的对称性: R ( u , v ) = − R ( v , u ) {\displaystyle R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}} ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = − ⟨ R ( u , v ) z , w ⟩ {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}} R ( u , v ) w + R ( v , w ) u + R ( w , u ) v = 0 {\displaystyle R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}} 最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。 这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有 n 2 ( n 2 − 1 ) / 12 {\displaystyle n^{2}(n^{2}-1)/12} 个独立分量。 另一个有用的恒等式可以由上面这些导出: ⟨ R ( u , v ) w , z ⟩ = ⟨ R ( w , z ) u , v ⟩ {\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}} 比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数: ∇ u R ( v , w ) + ∇ v R ( w , u ) + ∇ w R ( u , v ) = 0 {\displaystyle \nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0} 给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为: R a b c d = − R b a c d {\displaystyle R_{abcd}=-R_{bacd}\,} R a b c d = R c d a b {\displaystyle R_{abcd}=R_{cdab}\,} 第一（代數）比安基恒等式： R a b c d + R a d b c + R a c d b = 0 {\displaystyle R_{abcd}+R_{adbc}+R_{acdb}=0\,} 或等價地寫為 R a [ b c d ] = 0 {\displaystyle R_{a[bcd]}=0\,} 第二（微分）比安基恒等式： ∇ e R a b c d + ∇ d R a b e c + ∇ c R a b d e = 0 {\displaystyle \nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,} 或等價地寫為 R a b [ c d ; e ] = 0 {\displaystyle R_{ab[cd;e]}=0\,} 其中方括号表示对下标的反對稱化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。 黎曼流形的曲率 截面曲率 曲率形式 （英文）Wolfram MathWorld —— Riemann Tensor（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Bianchi identity（页面存档备份，存于互联网档案馆）、Contracted Bianchi identity（页面存档备份，存于互联网档案馆）