濫用符號

數學中，濫用符號（英語：Abusing notation）雖然不嚴格，並非按數學符號的字面定義來運用，但有時能使數學論證更清晰，或引導讀者明白其直觀意義（英语：Mathematical intuition），同時減少犯錯和增進理解。不過，符號是否嚴格使用，或句法（英语：syntax (logic)）上是否正確，很視乎時代和學科背景。某些用法，在某些場合算為濫用，在另一種背景下卻是嚴格正確。某理論在嚴格化前，若已引入新的符號，則該些符號是否屬濫用，就可能取決於時代，因為有時該理論發展後，邏輯根基得到鞏固，統一符號用法，而使符號變成嚴格正確。濫用符號不等於誤用符號，因為前者是表意與嚴格性兩方面的取捨，而後者則僅是錯誤，應當避免。誤用積分常數為後者一例。 相似的概念是濫用語文（英語：abusing language）或濫用術語（英語：abusing terminology），此時濫用的是詞語，而非符號。例如，「表示」的正式含義，是由某個群 G {\displaystyle G} 到某向量空間 V {\displaystyle V} 上的一般線性群 G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} 的群同態，但經常會將 V {\displaystyle V} 稱為 G {\displaystyle G} 的表示。另一個常見濫用，是稱兩個典範同構（英语：Canonical isomorphism）但不相等的物件為等同。類似還有：視常數函數與其值等同、視群（一個基集與其上二元運算組成的二元組）與其基集等同、視集合笛卡兒積 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 與三維歐氏空間（配備幾何結構）等同。 許多教科書中，會寫「設函數 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 為⋯⋯（填入關於 x {\displaystyle x} 的式子）」。此為濫用符號，因為函數的名稱應為 f {\displaystyle f} ，而 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 應表示函數 f {\displaystyle f} 在其定義域中某處 x {\displaystyle x} 的取值。嚴格的寫法為：「設 f {\displaystyle f} 為函數，在 x {\displaystyle x} 處取值為⋯⋯」或「設 f {\displaystyle f} 為函數 x ↦ ⋯ {\displaystyle x\mapsto \cdots } 」此種濫用非常廣泛，因為可簡化寫法，而嚴格的寫法可能顯得過於執着細節。 類似的濫用尚有「考慮函數 x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} ⋯⋯」，因為 x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} 並非函數，真正的函數是將 x {\displaystyle x} 對應到 x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} 的運算，用匿名函數的寫法可將該函數寫成 x ↦ x 2 + x + 1 {\displaystyle x\mapsto x^{2}+x+1} 。同樣，此種濫用亦廣泛出現，因為避免拘泥小節，同時一般不會造成混淆。 許多數學物件是由一個集合（通常稱為基集，英語：underlying set）及其上的額外結構組成。此種結構可以是數學運算、關係或拓撲結構。經常濫用同一個符號，同時表示基集及整個數學結構（此現象稱為「壓參數」，英語：suppression of parameters）。舉例， Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 表示整數集，但同時可以表示整數集與加法組成的群，還可以是整數集連同加法、乘法組成的環。一般而言，此類用法中，若所指的物件為所熟知，則不會引起讀者混淆；若刻意避免濫用，反而可能略嫌冗餘，使數學論述更難理解。實在混淆時，可以寫出整個結構以作區分，即以 ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} 表示整數的加法群， ( Z , + , ⋅ ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+,\cdot )} 表示整數環。 同理，拓扑空间由基集 X {\displaystyle X} 與拓撲結構 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 兩部分構成，後者是 X {\displaystyle X} 若干子集構成的族，該些子集稱為开集。通常，只考慮 X {\displaystyle X} 上某一個拓撲，於是一經指定，就無需再次提及，可用同一個符號 X {\displaystyle X} 同時表示基集及 X {\displaystyle X} 與拓撲結構 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 組成的二元組，而不引起混淆，即使嚴格而言，兩者為不同的數學物件。不過，有時要同時考慮同一個基集上的兩個拓撲（如拓撲向量空間上的強拓撲（英语：strong topology）和弱拓撲（英语：weak topology），或實數線上的歐氏拓撲和下限拓撲），此時則須當心使用結構的全寫，如 ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} 和 ( X , T ′ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}')} ，以作區分。 等价关系中，元素 x {\displaystyle x} 所在等价类嚴格地可記為 [ x ] {\displaystyle [x]} ，但有時亦濫用符號記為 x {\displaystyle x} 。此處等價類的意思是，若集合 X {\displaystyle X} 分劃成等價關係 ∼ {\displaystyle \sim } 的等價類，則對每個 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，等價類 { y ∈ X : y ∼ x } {\displaystyle \{y\in X:y\sim x\}} 記為 [ x ] {\displaystyle [x]} 。但實用上，若取商集後，餘下討論僅關心等價類，而非原集合的元素，則常會棄用方括號。 例如，模算術中，有等價關係 ∼ {\displaystyle \sim } ，其定義中， x ∼ y {\displaystyle x\sim y} 當且僅當 x ≡ y ( mod n ) {\displaystyle x\equiv y{\pmod {n}}} 。將整數集按 ∼ {\displaystyle \sim } 劃分，可以得到等價類 [ 0 ] , [ 1 ] , … , [ n − 1 ] {\displaystyle [0],[1],\ldots ,[n-1]} ，關於加法組成一個 n {\displaystyle n} 階循環群，但實用上，該群的元素常簡記為 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1} 。 另一個例子是，某測度空間上，可測函數（類）組成的向量空間，或勒貝格可積函數（類）組成的向量空間。此處等價關係為「幾乎處處相等」。 許多數學構造是以某性質來刻劃其定義（經常是泛性質），如直積、張量積、自由積。選定所需性質後，可能有多種方法構造出具該性質的結構，各結構嚴格而言，固然是不同的物件，但因為性質完全一樣（「同构」），不能藉其性質區分各同構物件，即使實際不等亦常逕稱「相等」。 以笛卡儿积為例，常以為可結合： ( E × F ) × G = E × ( F × G ) = E × F × G , {\displaystyle (E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G,} 實則不然，因為若 x ∈ E , y ∈ F , z ∈ G {\displaystyle x\in E,y\in F,z\in G} ，則有序對之間的等式 ( ( x , y ) , z ) = ( x , ( y , z ) ) {\displaystyle ((x,y),z)=(x,(y,z))} 會推出 ( x , y ) = x {\displaystyle (x,y)=x} 和 z = ( y , z ) {\displaystyle z=(y,z)} ，而 ( ( x , y ) , z ) = ( x , y , z ) {\displaystyle ((x,y),z)=(x,y,z)} 甚至不合式，是句法錯誤。不過，在範疇論中，得以自然變換的概念，將上述「結合律」修正。 類似濫用亦常見於談論結構「個數」的句子。舉例「恰有兩個8階非交換群」嚴格而言可寫作「8階非交換群的同構類（英语：Isomorphism class）恰有兩個」或「不別同構之異，恰有兩種8階非交換群」。 數學分析中，導函數的萊布尼茲記法 d y d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} ，算是濫用了分數符號。此種寫法的好處是，形式上得以沿用分數的運算法則，方便計算，例如複合函數求導的連鎖律，按萊布尼茲記法為： d y d x = d y d u ⋅ d u d x , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}},} 狀似分數乘法。 類似濫用出現於解微分方程的分離變數法，常將方程 d y d x = g ( x ) h ( y ) {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x)}{h(y)}}} 左邊的導數，如分數般「移項」寫成 h ( y ) d y = g ( x ) d x {\displaystyle h(y)\mathrm {d} y=g(x)\mathrm {d} x} ，然後兩邊積分。還有積分記號中，將 ∫ 1 x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\mathrm {d} x} 的 d x {\displaystyle \mathrm {d} x} 看成因子，與 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} 的分子相乘，寫成 ∫ d x x . {\displaystyle \int {dx \over x}.} 但在微分形式理論中，有 d y {\displaystyle \mathrm {d} y} 和 d x {\displaystyle \mathrm {d} x} 的嚴格定義，此時，上述寫法不再是濫用。 設實向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})} ， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {\displaystyle {\boldsymbol {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})} ，則兩者的叉積可用形式行列式定義為： a × b = | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | , {\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{matrix}}\right|,} 其中頂行的三項是三個方向的單位向量，沿該行用餘子式展開可得結果。此種濫用有助記憶，實際計算亦有用。其所以為濫用，是因為一般僅定義環上某矩陣的行列式，但向量 i ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {i} \in \mathbb {R} ^{3}} 與純量 a 1 ∈ R {\displaystyle a_{1}\in \mathbb {R} } 等不在同一環內（除非考慮幾何代數（英语：Geometric algebra））。 倒三角算子 ∇ {\displaystyle \nabla } 是將偏微分算子組裝成類似向量的形式： ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) , {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},\,{\frac {\partial }{\partial y}},\,{\frac {\partial }{\partial z}}\right),} 以便用向量運算表示梯度 ∇ f {\displaystyle \nabla f} 、散度 ∇ ⋅ v {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}} 、旋度 ∇ × v {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {v}}} 。但是，倒三角算子並未齊備向量的全部性質，例如與其他向量的內積不可換。此觀點下，是濫用向量符號。 使用大O符號時，常以 f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=O(g(x))} 表示「當 x {\displaystyle x} 充分大（英语：sufficiently large）時， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 至多為 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 的常數倍」。這可以看成濫用了等號，因為如德布魯因（英语：Nicolaas Govert de Bruijn）所言， O ( x ) = O ( x 2 ) {\displaystyle O(x)=O(x^{2})} 但 O ( x 2 ) ≠ O ( x ) {\displaystyle O(x^{2})\neq O(x)} 。 一種用法是否屬濫用符號，視乎學科背景和上下文。大部分數學科目中，以 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} 表示偏函數（英语：partial function），皆算為濫用，但範疇論中則不一定，因為 f {\displaystyle f} 在集合和偏函數構成的範疇中，確實是态射。 尼古拉·布爾巴基在《數學原本》起首的「本書用法」中，稱任何數學書若不濫用語文或符號，則易拘於小節（pédantesque）甚至不堪卒讀（illisible）。陶哲軒認為，論文的嚴格論證中，所用符號應當明確而不含糊，但即使如此，仍允許一定程度的濫用符號。 數學符號——數學對象和思想的象徵表徵系統 誤稱（英语：Misnomer） 英文常用搭配為"by abuse of notation"，意即「藉濫用符號」。 Common Errors in College Math [大學數學常犯錯誤]. math.vanderbilt.edu. [2019-11-03]. （原始内容存档于2021-10-04） （英语）.  Glossary — Abuse of notation. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. （原始内容存档于2021-12-22）.  More about the languages of math — Suppression of parameters. www.abstractmath.org. [2019-11-03]. （原始内容存档于2021-05-06）.  Abuse of Math Notation. xahlee.info. [2019-11-03]. （原始内容存档于2021-11-20）.  Stewart, James. Multivariable Calculus 6th. Brooks/Cole. 2007: 822–823. ISBN 0-495-01163-0 （英语）.  N. G. de Bruijn. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland. 1958: 5–7 [2021-11-06]. ISBN 978-0-486-64221-5. （原始内容存档于2021-11-06） （英语）.  Bourbaki, Nicolas. Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. : Mode d'emploi de ce traité. doi:10.1007/978-3-540-34035-5 （法语）. …, les abus de langage ou de notation, sans lesquels tout texte mathématique risque de devenir pédantesque et même illisible, … 有英譯本 Bourbaki, Nicolas. Theory of Sets. Elements of Mathematics. 1968. doi:10.1007/978-3-642-59309-3 （英语）.  Tao, Terence. Use good notation (網誌). [2021-11-05]. （原始内容存档于2021-11-07） （英语）. A certain amount of abuse of notation is permitted, though, as long as this is properly pointed out.