電極化率

在電磁學裏，介電質因響應外電場的施加而極化的程度，可以用電極化率（electric susceptibility， χ e {\displaystyle \chi _{e}} ）來衡量。電極化率又可以用來計算物質的電容率。因此，電極化率會影響這物質內各種其它可能發生的現象，像電容器的電容、光波傳播於物質內部的光速等等。 對於均向性、線性的介電質，電極化率 χ e {\displaystyle \chi _{e}} 可透過電極化強度 P {\displaystyle \mathbf {P} } 和電場 E {\displaystyle \mathbf {E} } 定義： P = ε 0 χ e E {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} } ； 其中 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} 是電常數。 由於電位移 D {\displaystyle \mathbf {D} } 定義為 D   = d e f   ε 0 E + P {\displaystyle \mathbf {D} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} } 。 所以，對於均向性、線性的介電質，電位移與電場成正比： D = ε 0 ( 1 + χ e ) E = ε E {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E} =\varepsilon \mathbf {E} } ； 其中 ε {\displaystyle \varepsilon } 是該介電質的電容率。 相對電容率 ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} 定義為電容率與電常數的比例： ε r   = d e f   ε ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{r}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}} 。 那麼，一個均向性、線性的介電質的電極化率與相對電容率的關係式為 χ e   = ε r − 1 {\displaystyle \chi _{e}\ =\varepsilon _{r}-1} 。 由此亦可知，自由空間的電極化率為0。 若介電質是各向异性的，則電極化率是一個二階張量。 一般而言，物質無法為了要響應一個含時外電場的變化而瞬時地電極化。因此，更廣義的表述必須將時間 t {\displaystyle t} 納入考量： P ( t ) = ε 0 2 π ∫ − ∞ t χ e ( t − t ′ ) E ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \mathbf {P} (t)={\frac {\varepsilon _{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{t}\chi _{e}(t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'} 。 那就是，電極化是先前時間的電場與含時電極化率 χ e ( Δ t ) {\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)} 的摺積。假設每當 Δ t < 0 {\displaystyle \Delta t<0} 時， χ e ( Δ t ) = 0 {\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=0} ，則這積分的上限可以延伸至無窮大： P ( t ) = ε 0 2 π ∫ − ∞ ∞ χ e ( t − t ′ ) E ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \mathbf {P} (t)={\frac {\varepsilon _{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{e}(t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'} 。 瞬時的響應對應於狄拉克δ函數電極化率 χ e ( Δ t ) = χ e δ ( Δ t ) {\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=\chi _{e}\delta (\Delta t)} 。 對於一個線性系統，可以簡單地做一個傅立葉變換，將這關係式寫為頻率 ω {\displaystyle \omega } 的函數： P ( ω ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ P ( t ) e i ω t d t = ε 0 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ χ e ( t − t ′ ) E ( t ′ ) d t ′ ] e i ω t d t = ε 0 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ χ e ( t − t ′ ) e i ω ( t − t ′ ) d t ] E ( t ′ ) e i ω t ′ d t ′ = ε 0 2 π ∫ − ∞ ∞ [ ∫ − ∞ ∞ χ e ( t ″ ) e i ω ( t ″ ) d t ″ ] E ( t ′ ) e i ω t ′ d t ′ = ε 0 2 π [ ∫ − ∞ ∞ χ e ( t ″ ) e i ω ( t ″ ) d t ″ ] [ ∫ − ∞ ∞ E ( t ′ ) e i ω t ′ d t ′ ] = ε 0 χ e ( ω ) E ( ω ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} (\omega )&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {P} (t)e^{i\omega t}\,dt\\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{e}(t-t')\mathbf {E} (t')\,dt'\right]e^{i\omega t}\,dt\\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{e}(t-t')e^{i\omega (t-t')}\,dt\right]\mathbf {E} (t')e^{i\omega t'}\,dt'\\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{e}(t'')e^{i\omega (t'')}\,dt''\right]\mathbf {E} (t')e^{i\omega t'}\,dt'\\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2\pi }}\left[\int _{-\infty }^{\infty }\chi _{e}(t'')e^{i\omega (t'')}\,dt''\right]\left[\int _{-\infty }^{\infty }\mathbf {E} (t')e^{i\omega t'}\,dt'\right]\\&=\varepsilon _{0}\chi _{e}(\omega )\mathbf {E} (\omega )\\\end{aligned}}} 。 這結果是摺積定理的一個範例。 電極化率跟頻率有關，這導致電容率跟頻率有關。電極化率隨著頻率而變化的曲線的樣子描繪出物質的色散性質。 更加地，由於因果關係，電極化只能跟先前時間的電場有關（也就是說，每當 Δ t < 0 {\displaystyle \Delta t<0} 時，設定 χ e ( Δ t ) = 0 {\displaystyle \chi _{e}(\Delta t)=0} ）。這事實迫使電極化率 χ e ( 0 ) {\displaystyle \chi _{e}(0)} 必須遵守克拉莫-克若尼約束。 高斯定律 磁化率 馬克士威方程組 克勞修斯-莫索提方程式