藏本模型

藏本模型（Kuramoto model）是一种用来描述同步的数学模型，由日本物理学家藏本由纪（Kuramoto Yoshiki）首先提出。具体说来，它描述了大量耦合振子的同步行为。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如神经振荡，以及振荡火焰的动力学。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合约瑟夫森结的阵列。 这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。 在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的自然频率 ω i {\displaystyle \omega _{i}} ，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } 的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全非线性的模型是可以精确求解的。 这个模型最常见的形式由以下方程组给出： d θ i d t = ω i + K N ∑ j = 1 N sin ⁡ ( θ j − θ i ) , i = 1 , ⋯ , N {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}},\quad i=1,\cdots ,N} 系统由 N {\displaystyle N} 个极限环振子组成， θ i {\displaystyle \theta _{i}} 是第 i {\displaystyle i} 个振子的相位， K {\displaystyle K} 是耦合强度。 也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为 d θ i d t = ω i + K N ∑ j = 1 N sin ⁡ ( θ j − θ i ) + ζ i , i = 1 , ⋯ , N {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}+\zeta _{i},\quad i=1,\cdots ,N} 其中 ζ i {\displaystyle \zeta _{i}} 是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则： ⟨ ζ i ( t ) ⟩ = 0 , {\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0,} ⟨ ζ i ( t ) ζ j ( t ′ ) ⟩ = 2 D δ i j δ ( t − t ′ ) {\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')} 其中 D {\displaystyle D} 代表噪声强度。 使得这个模型（至少在 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } 的极限下）能够精确求解的变换如下所示： 定义“序”参量 R e i ψ = 1 N ∑ j = 1 N e i θ j {\displaystyle Re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{e^{i\theta _{j}}}} R {\displaystyle R} 表征了这群振子的相位相关性， ψ {\displaystyle \psi } 是平均相位。方程两边乘以 e − i θ i {\displaystyle e^{-{\text{i}}\theta _{i}}} ，只考虑虚部得到： d θ i d t = ω i + K R sin ⁡ ( ψ − θ i ) {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+KR\sin {(\psi -\theta _{i})}} 因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即 ψ = 0 {\displaystyle \psi =0} ）。最终，方程变为： d θ i d t = ω i − K R sin ⁡ θ i {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-KR\sin {\theta _{i}}} 考虑 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } 的情况。自然频率的分布记为 g ( ω ) {\displaystyle g(\omega )} （假设已经归一化）。设在时刻 t {\displaystyle t} ，在所有自然频率为 ω {\displaystyle \omega } 的振子中，相位为 θ {\displaystyle \theta } 的振子所占比例为 ρ ( θ , ω , t ) {\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)} 。归一化要求 ∫ 0 2 π ρ ( θ , ω , t ) d θ = 1 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta ,\omega ,t)d\theta }=1} 振子密度的连续性方程为 ∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ v ) ∂ θ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial \theta }}=0} 其中 v = ω + K R sin ⁡ ( ψ − θ ) {\displaystyle v=\omega +KR\sin {(\psi -\theta )}} 是振子的漂移速度。 最终，在连续统极限下重新写出序参量。 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到 R e i ψ = ∫ 0 2 π ∫ − ∞ ∞ ρ ( θ , ω , t ) g ( ω ) e i θ d ω d θ {\displaystyle Re^{i\psi }=\int _{0}^{2\pi }{\int _{-\infty }^{\infty }{\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )e^{i\theta }d\omega }d\theta }} 所有振子随机漂移的不相关态对应均匀分布解 ρ = 1 2 π {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2\pi }}} 。这种情况 R = 0 {\displaystyle R=0} ，振子之间没有关联。系统整体处于统计稳定态，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。 当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。 部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子 ρ = δ ( θ − ψ − arcsin ⁡ ω K R ) {\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin {\frac {\omega }{KR}}\right)} 对漂移的振子， ρ ∝ 1 ω − K R sin ⁡ ( θ − ψ ) {\displaystyle \rho \propto {\frac {1}{\omega -KR\sin {(\theta -\psi )}}}} 耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密顿系统中，哈密顿量具有形式： H = ∑ i = 1 N 1 2 ω i ( q i 2 + p i 2 ) + K 4 N ∑ i , j = 1 N ( q i p j − q j p i ) ( q j 2 + p j 2 − q i 2 − p i 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\omega _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}{(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}} 用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为 I i = 1 2 ( q i 2 + p i 2 ) {\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})} ，角度（相位） θ i = arctan ⁡ q i p i {\displaystyle \theta _{i}=\arctan {\frac {q_{i}}{p_{i}}}} ，在作用量 I i ≡ I {\displaystyle I_{i}\equiv I} 为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量 H = ∑ i = 1 N ω i I i − K N ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N I j I i ( I j − I i ) sin ⁡ ( θ j − θ i ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\omega _{i}I_{i}}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}} 哈密顿运动方程为 d I i d t = − ∂ H ∂ θ i = − 2 K N ∑ j = 1 N I j I i ( I j − I i ) cos ⁡ ( θ j − θ i ) {\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\cos {(\theta _{j}-\theta _{i})}}} d θ i d t = ∂ H ∂ I i = ω i + K N ∑ j = 1 N I j / I i ( I i + I j ) sin ⁡ ( θ j − θ i ) {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}/I_{i}}}(I_{i}+I_{j})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}} 因为 d I i d t = 0 {\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0} ，所以 I i = I {\displaystyle I_{i}=I} 确定的流形是不变的，并且相位动力学 d θ i d t {\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}} 就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括玻色-爱因斯坦凝聚。 模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。 除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的复杂网络拓扑也可以用同样的平均场处理。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。 藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即 Γ ( ϕ ) = sin ⁡ ϕ {\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi } ，其中 ϕ = θ j − θ i {\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}} 。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似 Γ ( ϕ ) = sin ⁡ ϕ + a 1 sin ⁡ ( 2 ϕ + b 1 ) + ⋯ + a n sin ⁡ ( 2 n ϕ + b n ) {\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi +a_{1}\sin {(2\phi +b_{1})}+\cdots +a_{n}\sin {(2n\phi +b_{n})}} 例如，对于弱耦合Hodgkin-Huxley神经元的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如异宿环、部分同步态、以及奇美拉态。 Kuramoto, Yoshiki (1975). 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