布朗运动

布朗运动（英語：Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。 它是在西元1827年英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。 自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性： 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。 粒子的運動永不停止。 在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。 爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。[來源請求] 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动[來源請求]。 他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（ Δ {\displaystyle \Delta } 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 φ ( Δ ) {\displaystyle \varphi (\Delta )} 。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。 ρ ( x , t ) + τ ∂ ρ ( x ) ∂ t + ⋯ = ρ ( x , t + τ ) = ∫ − ∞ + ∞ ρ ( x + Δ , t ) ⋅ φ ( Δ ) d Δ = ρ ( x , t ) ⋅ ∫ − ∞ + ∞ φ ( Δ ) d Δ + ∂ ρ ∂ x ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ = ρ ( x , t ) ⋅ 1 + 0 + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}} 第一行中的第二个等式是被 φ {\displaystyle \varphi } 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系： ∂ ρ ∂ t = ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + (更 高 阶 的 项 ) {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}} 拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 Δ {\displaystyle \Delta } ，让 D 为质量扩散系数： D = ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ {\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta } 那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程： ∂ ρ ∂ t = D ⋅ ∂ 2 ρ ∂ x 2 , {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},} 假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解 ρ ( x , t ) = ρ 0 4 π D t e − x 2 4 D t . {\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.} 满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动 这个鞅是关于时间连续的。 他的平方减去时间项也是一个鞅。 ( M t ) {\displaystyle (M_{t})} 是一个布朗运动当且仅当 ( M t ) {\displaystyle (M_{t})} 为鞅，且 ( M t 2 − t ) {\displaystyle (M_{t}^{2}-t)} 也为鞅. 一维的定义 一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ： （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量 B t − B s {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}} 独立于时间s前的过程 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}} 。 （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量 B t − B s {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}} 服从均值为0方差为t−s的正态分布。 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )} 是连续的. 通常假设 B 0 = 0 {\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0} 。这种布朗运动我们称它为标准的。 等价定义 一维布朗运动 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是关于时间t的一个随机过程，他满足 ： ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列： t 1 ≤ t 2 ≤ . . . ≤ t n {\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}} ,随机向量： ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t n ) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})} 服从高维高斯分布（正态分布）。 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} 几乎处处连续。 对于所有s和t,均值 E [ B t ] = 0 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0} ，协方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)} . 高维定义 ( B t ) t ≥ 0 := ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t d ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}} 是d维布朗运动，只需满足 B 1 , B 2 , . . . , B d {\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}} 为独立的布朗运动。 换句话说，d维布朗运动 取值于 R d {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}} ，而它在 R , R 2 , . . . , R d − 1 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}} 空间上的投影均为布朗运动。 Wiener测度的定义 设 C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} 为从 R + {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}} 到 R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } 的连续函数空间， ( Ω , T , P ) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )} 为概率空间。布朗运动为映射 B : Ω ⟶ C ( R + , R ) {\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}           ω ↦ ( t ↦ B t ( ω ) ) {\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)} . Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为 W ( d ω ) {\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )} ,是映射B关于 P ( d ω ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )} 的图测度。 换句话说， W是 C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} 上的一个概率测度，满足对于任何 A ⊂ C ( R + , R ) {\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )} ，有 W ( A ) = P ( ( B t ) t ≥ 0 ∈ A ) {\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)} 。 备忘 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为 t {\displaystyle t} 的随机过程为布朗运动。 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何 ω ∈ Ω {\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega } ,轨道 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )} 为一个连续但是零可微的函数。 协方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)} 。 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件 [ T < ∞ ] {\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]} ,过程 ( B t T ) t ≥ 0 := ( B T + t − B T ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}} 为一个独立于 ( B s ) 0 ≤ s < T {\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}} 的布朗运动。 它的Fourier变换或特征函数为 E [ e i u B t ] = e − t u 2 2 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}} 。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, ( B t + s − B s ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}} 是一个独立于 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}} 的布朗运动。 -B是一个布朗运动。 （稳定性） 对于c > 0， ( c B t c 2 ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}} 是布朗运动。 （时间可逆性） ( t B 1 t ) t > 0 {\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}} 在t=0之外是布朗运动。 （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：       如果 d ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}} ,集合 { t ≥ 0 , B t = x } {\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}} 不是有界的，对于任何 x ∈ R d {\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}} ，       如果 d ≥ 3 , lim t → ∞ | | B t | | = + ∞ {\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty } （几乎处处）。 （反射原理） P [ sup 0 ≤ s ≤ t B s ≥ a ] = 2 P [ B t ≥ a ] = P [ | B t | ≥ a ] . {\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].} 设 ( f t ) t ∈ R + {\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}} 为 L 2 ( R + ) {\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})} 空间中一列实值函数。设： ∀ ( u , v ) ∈ R + ,  s ( u , v ) = ⟨ f u , f v ⟩ L 2 ( R + ) = ∫ R + f u ( x ) f v ( x ) d x {\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx} 这列函数满足： ∀ k ∈ N ∗ {\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}} ，任意的 t 1 , . . . , t k ∈ R + {\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}} ,矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} 为对称半正定的。 利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程 { Y t } t ∈ R + {\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}} ，它的均值 m {\displaystyle m} 任意， 协方差为上面定义的 s {\displaystyle s} 。 当 ( f t ) t ∈ R + = ( c .1 1 [ 0 , t ] ) t ∈ R + {\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}} ， c > 0 {\displaystyle c>0} 为不依赖于t的常数， 1 1 [ 0 , t ] {\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}} 为 [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} 上的示性函数。则： s ( u , v ) = c ∫ R 1 1 [ 0 , u ] ( s ) 1 1 [ 0 , v ] ( s ) d s = c.min ( u , v ) {\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)} 在这个情况下，矩阵 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}} 是对称且正定的。 我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。 c = V a r ( B 1 ) {\displaystyle c=Var(B_{1})} ，当 c = 1 {\displaystyle c=1} 时， 称之为 标准的布朗运动. Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。 ( 1 σ n ( ∑ k = 1 [ n t ] U k + ( n t − [ n t ] ) U [ n t ] + 1 ) ) 0 ≤ t ≤ 1 ⟹ n → ∞ ( B t ) 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}} 其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。 设2列独立的正态 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)} 随机变量序列 ( N k , k ∈ N ) {\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )} 和 ( N k ′ , k ∈ N ) {\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )} 。定义 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}} ： B t := t N 0 + ∑ k = 1 + ∞ 2 2 π k ( N k cos ⁡ ( 2 π k t − 1 ) + N k ′ sin ⁡ ( 2 π k t ) ) {\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)} 为布朗运动。 值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。[來源請求] 一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。[來源請求] 在日本，以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辞典』、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論（上）』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。[來源請求] 直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。[來源請求] 维纳过程 部分紀錄為1828年。 李育嘉. 漫談布朗運動. [2012-12-14]. （原始内容存档于2019-07-18）.  BROWNIAN MOTION. : 5.  Feynman, R. The Brownian Movement. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. 1964: 41-1 [2018-02-05]. （原始内容存档于2021-02-14）.  該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。 漫談布朗運動 （页面存档备份，存于互联网档案馆） Brownian motion - an overview