布魯薛-培根檢定

在统计学中，布魯薛－培根檢定（英語：Breusch–Pagan test，Breusch-Pagan檢定，常簡稱BP检验）是1979年由布伦斯（英语：Trevor Breusch）和帕甘（英语：Adrian Pagan）提出的方法，用来检验线性回归模型中是否存在异方差的问题。另外，丹尼斯·库克（英语：R. Dennis Cook）和韦斯伯格在1983年独立地提出了类似的方法。异方差的存在意味着模型的方差与自变量是相关的。 设回归模型为 y = β 0 + β 1 x + u , {\displaystyle y=\beta _{0}+\beta _{1}x+u,\,} 对其进行回归可以得到一组残差 u ^ {\displaystyle {\widehat {u}}} 。普通最小二乘法要求方差与自变量无关，这时方差可以由残差平方和的平均值估计得到。但如果这个前提不成立，例如方差与自变量线性相关，就可以通过下列辅助回归，即残差平方对自变量进行回归检验出来： u ^ 2 = γ 0 + γ 1 x + v . {\displaystyle {\widehat {u}}^{2}=\gamma _{0}+\gamma _{1}x+v.\,} 这就是BP检验的一个情形。它实质上是卡方检验，检验统计量渐进于 n χ 2 {\displaystyle n\chi ^{2}} ，自由度与除常数项外的解释变量数相等。如果得到的p值小于一定阈值（如0.05）就可以拒绝零假设并认为异方差存在。 如果BP检验表明存在异方差存在，可以视情况使用加权最小二乘法（英语：weighted least squares）（适用于异方差的分布已知时）或异方差稳健标准误（英语：heteroscedasticity-consistent standard errors）方法。 根据高斯-马尔可夫定理，在同方差的前提下，普通最小二乘估计是最佳的线性无偏估计，意即其方差相较其他任何估计量都更小。如果异方差存在，估计结果仍是无偏的，但其方差并不是最小的。在决定使用哪种估计方法之前，可以先进行BP测试来判断是否存在异方差。BP检验的前提是方差 σ i 2 = h ( x i T γ ) {\displaystyle \sigma _{i}^{2}=h(x_{i}^{T}\gamma )} 与各个自变量有关，其中 x i = ( 1 , x 2 i , … , x p i ) {\displaystyle x_{i}=(1,x_{2i},\ldots ,x_{pi})} 是自变量，这里除去常数项以外共有 p − 1 {\displaystyle p-1} 个解释变量。零假设亦即异方差不存在等价于 ( p − 1 ) {\displaystyle (p-1)} 个约束： γ 2 = ⋯ = γ p = 0. {\displaystyle \gamma _{2}=\cdots =\gamma _{p}=0.} BP测试分为以下三个步骤： 第一步：对原始模型进行普通最小二乘估计 y = X β + ε {\displaystyle y=X\beta +\varepsilon } 并对每个观测都计算出残差 e i {\displaystyle e_{i}} 。 第二步：进行下列辅助回归 e i 2 = γ 1 + γ 2 x 2 i + ⋯ + γ p x p i + η i {\displaystyle e_{i}^{2}=\gamma _{1}+\gamma _{2}x_{2i}+\cdots +\gamma _{p}x_{pi}+\eta _{i}} 第三步：检验统计量LM等于第二步中辅助回归的决定系数乘以样本大小 n {\displaystyle n} ： LM = n R 2 . {\displaystyle {\text{LM}}=nR^{2}\,.} 如果同方差的零假设成立，LM统计量是渐进于 χ p − 1 2 {\displaystyle \chi _{p-1}^{2}} 分布的。 在R语言中，能够完成BP检验的函数包括car包中的ncvTest函数、lmtest包中的bptest函数以及plm包中的plmtest函数等。 而Stata中计算回归后使用estat hettest命令，参数填写所有独立变量，即可进行BP检验。 在Python中，statsmodels.stats.diagnostic（statsmodels包）中的函数het_breuschpagan可进行BP检验。 怀特检验（英语：White test） 布魯薛－培根檢定法 Breusch-Pagan test. 樂詞網. 國家教育研究院.  （繁體中文） Breusch, T. S.; Pagan, A. R. A Simple Test for Heteroskedasticity and Random Coefficient Variation. Econometrica. 1979, 47 (5): 1287–1294. JSTOR 1911963. MR 0545960. doi:10.2307/1911963.  Cook, R. D.; Weisberg, S. Diagnostics for Heteroskedasticity in Regression. Biometrika. 1983, 70 (1): 1–10. doi:10.1093/biomet/70.1.1.  Koenker, R. A note on studentizing a test for heteroskedasticity. Journal of Econometrics. 1981, 17 (1): 107–112. doi:10.1016/0304-4076(81)90062-2.  Wooldridge, Jeffrey M. Introductory Econometrics: A Modern Approach Fifth. South-Western. 2013: 267. ISBN 978-1-111-53439-4.  MRAN: ncvTest {car} (PDF).  bptest function - R Documentation. www.rdocumentation.org. [2019-07-08]. （原始内容存档于2019-07-08）.  Kleiber, Christian; Zeileis, Achim. Applied Econometrics with R. New York: Springer. 2008: 101–102 [2019-07-08]. ISBN 978-0-387-77316-2. （原始内容存档于2019-09-24）.  MRAN: plmtest {plm} (PDF).  regress postestimation — Postestimation tools for regress (PDF). Stata Manual. [2019-07-08]. （原始内容存档 (PDF)于2017-08-29）.  Cameron, A. Colin; Trivedi, Pravin K. Microeconometrics Using Stata Revised. Stata Press. 2010: 97 [2019-07-08]. （原始内容存档于2019-09-24） –通过Google Books.  statsmodels.stats.diagnostic.het_breuschpagan — statsmodels 0.8.0 documentation. www.statsmodels.org. [2017-11-16]. （原始内容存档于2017-11-16）.  Gujarati, Damodar N.; Porter, Dawn C. Basic Econometrics Fifth. New York: McGraw-Hill Irwin. 2009: 385–86. ISBN 978-0-07-337577-9.  Kmenta, Jan. Elements of Econometrics Second. New York: Macmillan. 1986: 292–298. ISBN 0-02-365070-2.  Krämer, W.; Sonnberger, H. The Linear Regression Model under Test. Heidelberg: Physica. 1986.  Maddala, G. S.; Lahiri, Kajal. Introduction to Econometrics Fourth. Chichester: Wiley. 2009: 216–218. ISBN 978-0-470-01512-4.