有界輸入有界輸出穩定性

在信號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。 對於信號若存在有限的定值 B > 0 {\displaystyle B>0} 使得信號的振幅不會超過 B {\displaystyle B} ，則此信號為有界的，也就是說   | y [ n ] | ≤ B ∀ n ∈ Z {\displaystyle \ |y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} } 針對離散訊號，或   | y ( t ) | ≤ B ∀ t ∈ R {\displaystyle \ |y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R} } 針對連續訊號 針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數 ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t}=\|h\|_{1}<\infty } 針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數   ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\|h\|_{1}<\infty } 假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應   h [ n ] {\displaystyle \ h[n]} 和輸入   x [ n ] {\displaystyle \ x[n]} 和輸出   y [ n ] {\displaystyle \ y[n]} 之間會有以下的關係：   y [ n ] = h [ n ] ∗ x [ n ] {\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]} 其中 ∗ {\displaystyle *} 為卷積 則依卷積的定義：   y [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ h [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}} 令 ‖ x ‖ ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }} 為   | x [ n ] | {\displaystyle \ |x[n]|} 的最大值 | y [ n ] | = | ∑ k = − ∞ ∞ h [ n − k ] x [ k ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[n-k]x[k]}\right|} ≤ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | | x [ k ] | {\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|}} （根據三角不等式） ≤ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | ‖ x ‖ ∞ {\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }}} = ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | {\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[n-k]\right|}} = ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | {\displaystyle =\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}} 若 h [ n ] {\displaystyle h[n]} 是絕對可求和，則 ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty } 且 ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 {\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}} 因此若 h [ n ] {\displaystyle h[n]} 是絕對可求和，且 | x [ n ] | {\displaystyle \left|x[n]\right|} 有界，則因為 ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty } ， | y [ n ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|} 也會有界。 連續時間的情形也可以依類似的方式證明。 對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為收斂橫坐標（英语：abscissa of convergence）。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。 可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下： ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d ⁡ t {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\,\operatorname {d} t}} = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | | e − j ω t | d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|dt}} = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) ( 1 ⋅ e ) − j ω t | d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|dt}} = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) ( e σ + j ω ) − t | d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|dt}} = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) e − s t | d t {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\left|h(t)e^{-st}\right|dt}} 其中 s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } ，且 Re ( s ) = σ = 0 {\displaystyle {\mbox{Re}}(s)=\sigma =0} . 因此收斂區域必須包括虛軸。 對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。 可以用類似的方式推導穩定性準則： ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | | e − j ω n | {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|}} = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] ( 1 ⋅ e ) − j ω n | {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|}} = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] ( r e j ω ) − n | {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|}} = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] z − n | {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\left|h[n]z^{-n}\right|}} 其中 z = r e j ω {\displaystyle z=re^{j\omega }} ，且 r = | z | = 1 {\displaystyle r=|z|=1} 因此收斂區域必須包括單位圓。 线性时不变系统理论 有限脉冲响应（FIR）濾波器 無限脈衝響應（IIR）濾波器 奈奎斯特图 羅斯-霍維茨穩定性準則 波德圖 相位裕度 根軌跡法 超穩定性 Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6 John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X Proof of the necessary conditions for BIBO stability. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577