菲涅耳方程

菲涅耳方程（或称菲涅耳条件）是由法国物理学家奥古斯丁·菲涅耳推导出的一组光学方程，用於描述光在两种不同折射率的介质中传播时的反射和折射。方程中所描述的反射因此还被称作“菲涅耳反射”。 当光从一种折射率为 n 1 {\displaystyle n_{1}\,} 的介质向另一种折射率为 n 2 {\displaystyle n_{2}\,} 的介质传播时，在两者的交界处（通常称作界面（英语：Interface (matter)））可能会同时发生光的反射和折射。菲涅尔方程描述了光波的不同分量被折射和反射的情况，也描述了波反射时的相变。 方程成立的条件是：介质间界面是光滑平面，介质是均匀并且各向同性的；入射光是平面波；边际效应可被忽略。 有两个系数可以描述入射光的两种不同的线偏振分量。由于任何偏振状态都可以分解成两个正交的线性偏振波的组合，所以两个系数就足够了。以下是两种情况（由于电场分量、磁场分量、光的传播方向由右手螺旋定则确定，所以仅讨论电场方向的偏振）： 偏振入射光的电场分量与入射光及反射光所形成的平面相互垂直。此时的入射光状态称为「s偏振态」，源于德语「垂直（senkrecht）」。 偏振入射光的电场分量与入射光及反射光所形成的平面相互平行。此时的入射光状态称为「p偏振态」，源于德语「平行（parallel）」。 在右图中，入射光线PO到达两种介质交界面上的点O时，部分光线被反射，反射光为OQ，而另一部分被折射，折射光为OS。定义入射光线、反射光线和折射光线各自与法线形成的夹角分别为 θ i {\displaystyle \theta _{i}\,} 、 θ r {\displaystyle \theta _{r}\,} 和 θ t {\displaystyle \theta _{t}\,} 。 入射角与反射角之间的关系由反射定律给出： θ i = θ r {\displaystyle \theta _{\mathrm {i} }=\theta _{\mathrm {r} }} 入射角与折射角之间的关系由斯涅尔定律给出： sin ⁡ θ i sin ⁡ θ t = n 2 n 1 {\displaystyle {\frac {\sin \theta _{\mathrm {i} }}{\sin \theta _{\mathrm {t} }}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}} 一定功率的入射光被界面反射的比例称为反射比 R {\displaystyle R\,} ；折射的比例称为透射比 T {\displaystyle T\,} 。对反射比和透射比的计算需要用到电动力学中的电磁波传播理论，具体方法可参考玻恩的《光学原理：光的传播、干涉和衍射的电磁理论》以及杰克逊的《经典电动力学》。 反射比和透射比的具体形式还与入射光的偏振有关。如果入射光的电矢量垂直於右图所在平面（即s偏振），反射比为 R s = [ sin ⁡ ( θ t − θ i ) sin ⁡ ( θ t + θ i ) ] 2 = ( n 1 cos ⁡ θ i − n 2 cos ⁡ θ t n 1 cos ⁡ θ i + n 2 cos ⁡ θ t ) 2 = [ n 1 cos ⁡ θ i − n 2 1 − ( n 1 n 2 sin ⁡ θ i ) 2 n 1 cos ⁡ θ i + n 2 1 − ( n 1 n 2 sin ⁡ θ i ) 2 ] 2 {\displaystyle R_{s}=\left[{\frac {\sin(\theta _{t}-\theta _{i})}{\sin(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}\cos \theta _{t}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}\cos \theta _{i}-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{i}+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}}}\right]^{2}} 其中 θ t {\displaystyle \theta _{t}\,} 是由斯涅尔定律从 θ i {\displaystyle \theta _{i}\,} 导出的，并可用三角恒等式化简。 如果入射光的电矢量位于右图所在平面内（即p偏振），反射比为 R p = [ tan ⁡ ( θ t − θ i ) tan ⁡ ( θ t + θ i ) ] 2 = ( n 1 cos ⁡ θ t − n 2 cos ⁡ θ i n 1 cos ⁡ θ t + n 2 cos ⁡ θ i ) 2 = [ n 1 1 − ( n 1 n 2 sin ⁡ θ i ) 2 − n 2 cos ⁡ θ i n 1 1 − ( n 1 n 2 sin ⁡ θ i ) 2 + n 2 cos ⁡ θ i ] 2 {\displaystyle R_{p}=\left[{\frac {\tan(\theta _{t}-\theta _{i})}{\tan(\theta _{t}+\theta _{i})}}\right]^{2}=\left({\frac {n_{1}\cos \theta _{t}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}\cos \theta _{t}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right)^{2}=\left[{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{i}}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{i}\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{i}}}\right]^{2}} 透射比无论在哪种情况下，都有 T = 1 − R {\displaystyle T=1-R\,} 。 如果入射光是无偏振的（含有等量的s偏振和p偏振），反射比是两者的算数平均值： R = R s + R p 2 {\displaystyle R={\frac {R_{s}+R_{p}}{2}}\,} 。 反射和折射光波的振幅与入射光波振幅的比值（通常称为反射率和透射率）也可用类似的方程给出，这些方程也称作菲涅耳方程。根据不同的体系和符号习惯，它们可以有不同形式。反射率和透射率通常用小写的 r {\displaystyle r\,} 和 t {\displaystyle t\,} 表示。在某些体系中，它们满足条件： R = | r | 2 , {\displaystyle R=|r|^{2},} T = n 2 cos ⁡ θ t n 1 cos ⁡ θ i | t | 2 {\displaystyle T={\frac {n_{2}\cos \theta _{t}}{n_{1}\cos \theta _{i}}}|t|^{2}} 对於给定的折射率 n 1 {\displaystyle n_{1}\,} 和 n 2 {\displaystyle n_{2}\,} 且入射光为p偏振光时，当入射角为某一定值时 R p {\displaystyle R_{p}\,} 为零，此时p偏振光被完全透射而无反射光出射。这个角度被称作布儒斯特角，对於空气或真空中的玻璃介质约为56°。注意这个定义只是对於两种折射率都为实数的介质才有意义，对於会吸光的物质，例如金属和半导体，折射率是一个复数，从而 R p {\displaystyle R_{p}\,} 一般不为零。 当光从光密介质向光疏介质传播时（即 n 1   > n 2 {\displaystyle n_{1}\ >n_{2}\,} 时），存在一个临界的入射角，对於大于此入射角的入射光 R s = R p = 1 {\displaystyle R_{s}=R_{p}=1\,} ，此时入射光完全被界面反射。这种现象称作全内反射，临界角被称作全反射临界角，对於空气中的玻璃约为41°。 当光线以近法线入射（ θ i ≈ θ t ≈ 0 {\displaystyle \theta _{i}\approx \theta _{t}\approx 0\,} ）时，反射比和透射比分别为： R = R s = R p = ( n 1 − n 2 n 1 + n 2 ) 2 {\displaystyle R=R_{s}=R_{p}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}} T = T s = T p = 1 − R = 4 n 1 n 2 ( n 1 + n 2 ) 2 {\displaystyle T=T_{s}=T_{p}=1-R={\frac {4n_{1}n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}}}} 对於普通的玻璃，反射比大约为4%。注意窗户对光波的反射包括前面一层以及后面一层，因而少量光波会在两层之间来回振荡形成干涉。如忽略这种干涉效应，这两层合并后的反射比为 2 R 1 + R {\displaystyle {\frac {2R}{1+R}}\,} （见下）。 需要指出的是这里所有的讨论都假设介质的磁导率 μ {\displaystyle \mu \,} 都等于真空磁导率 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,} 。对於大多数电介质而言这是近似正确的，但对其他类型的物质来说不正确，因而若考虑这一点则菲涅耳方程的形式会更加复杂。 当光在两层以上平行表面发生多重反射时，多列反射光波往往会互相发生干涉，从而有可能会使系统总的透射光和反射光振幅表达起来相当复杂，这通常是波长（或频率）的函数。一个例子是漂浮在水面上的油膜，在光照下会产生多种色彩；其他例子还包括法布里－珀罗干涉仪、透镜等光学仪器表面所用的能极大降低反射率的镀膜（增透膜），以及各种光学滤波器。对这些效应的定量计算仍然是基于菲涅耳方程的，但也要考虑额外产生的干涉所带来的影响，通常可以采用光学中的传递矩阵方法来计算这些问题。 菲涅耳棱镜，菲涅耳用於产生圆偏光的仪器。 镜面反射 反射係數 透射係數 Hecht (1987), p. 100. Max Born; Emil Wolf. Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th Edition) (Hardcover). Cambridge University Press. October 13, 1999: 334 [2010-01-13]. ISBN 0521642221. （原始内容存档于2021-02-20）.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Jackson, J D. Classical Electrodynamics (3rd). New York: Wiley. 1999. ISBN ISBN 0-471-30932-X.  Hecht (2002), p. 120. Hecht, Eugene. Optics 2nd. Addison Wesley. 1987. ISBN 0-201-11609-X.  Hecht, Eugene. Optics 4th. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-321-18878-0.  Fresnel Equations （页面存档备份，存于互联网档案馆） – Wolfram Research FreeSnell （页面存档备份，存于互联网档案馆） – 免费的计算机软件，用於计算多层材料的光学性质 Thinfilm （页面存档备份，存于互联网档案馆） – 计算薄膜以及多层材料光学性质（反射和透射系数等）的Web网页 计算单界面的反射和折射角、以及光强的Web网页. （页面存档备份，存于互联网档案馆） ReflectionCoefficient.INFO – 光学反射率计算器 Reflection and transmittance for two dielectrics [失效連結] - 用Mathematica编写的演示折射率与反射关系的工具