二元运算

二元运算是種数学运算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元数为2的运算。比如說，兩個整數的加法是二元运算，因整數相加以後仍然是整數。 二元運算的定義 — 一個集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算是一個定義域是 A × A {\displaystyle A\times A} 、對應域 A {\displaystyle A} 的函数。 如果從集合 A {\displaystyle A} 對自己的笛卡儿积 （也就是 A × A {\displaystyle A\times A} ）取出的任意 ( a , b ) {\displaystyle (a,\,b)} ，都會對應 A {\displaystyle A} 的某個值 F ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)} ，那對應規則 F {\displaystyle \mathrm {F} } 的本身就被稱為二元運算。 F ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)} 通常写为 a F b {\displaystyle a\mathrm {F} b} ，而且比起使用字母，二元运算時常以某种运算符表示，來跟普通的函數作區別。 事實上 F : A × A → A {\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A} 這個記號本身就保證了：「只要 a , b ∈ A {\displaystyle a,\,b\in A} 就會有 a F b ∈ A {\displaystyle a\mathrm {F} b\in A} 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。 关于二元运算有很多常见的性质和术语，列举如下： 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算， e ∈ A {\displaystyle e\in A} ，则： 称 e {\displaystyle e} 为一個 A {\displaystyle A} 的左幺元，若 e {\displaystyle e} 满足： ∀ a ∈ A , e ∘ a = a {\displaystyle \forall a\in A,e\circ a=a} ； 称 e {\displaystyle e} 为一個 A {\displaystyle A} 的右幺元，若 e {\displaystyle e} 满足： ∀ a ∈ A , a ∘ e = a {\displaystyle \forall a\in A,a\circ e=a} ； 称 e {\displaystyle e} 为 A {\displaystyle A} 的幺元，若 e {\displaystyle e} 既是左幺元、又是右幺元。 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上帶有單位元 e {\displaystyle e} 的二元运算， a , a ′ ∈ A {\displaystyle a,a'\in A} 。则： 称 a ′ {\displaystyle a'} 是一個 a {\displaystyle a} 的左逆元，若 a , a ′ {\displaystyle a,a'} 满足： a ′ ∘ a = e {\displaystyle a'\circ a=e} 。 称 a ′ {\displaystyle a'} 是一個 a {\displaystyle a} 的右逆元，若 a , a ′ {\displaystyle a,a'} 满足： a ∘ a ′ = e {\displaystyle a\circ a'=e} 。 称 a ′ {\displaystyle a'} 是 a {\displaystyle a} 的逆元，若 a ′ {\displaystyle a'} 既是 a {\displaystyle a} 的左逆元、又是 a {\displaystyle a} 的右逆元。這種情況下 a ′ {\displaystyle a'} 常被寫作 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} 或 − a {\displaystyle -a} 。 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算， z ∈ A {\displaystyle z\in A} ，则： 称 z {\displaystyle z} 为一個左零元，若 z {\displaystyle z} 满足： ∀ a ∈ A , z ∘ a = z {\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z} ； 称 z {\displaystyle z} 为一個右零元，若 z {\displaystyle z} 满足： ∀ a ∈ A , a ∘ z = z {\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z} ； 称 z {\displaystyle z} 为零元，若 z {\displaystyle z} 既是左零元、又是右零元。 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的帶有零元素 z {\displaystyle z} 的二元运算， a ∈ A {\displaystyle a\in A} 且 a ≠ z {\displaystyle a\neq z} 。则： 称 a {\displaystyle a} 是一個左零因子，若 a {\displaystyle a} 满足： ∃ b ∈ A ∖ { z } {\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\}} ，使得 a ∘ b = z {\displaystyle a\circ b=z} 。 称 a {\displaystyle a} 是一個右零因子，若 a {\displaystyle a} 满足： ∃ b ∈ A ∖ { z } {\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\}} ，使得 b ∘ a = z {\displaystyle b\circ a=z} 。 称 a {\displaystyle a} 是一個零因子，若 a {\displaystyle a} 既是左零因子、又是右零因子。 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，则： 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足交换律，若： ∀ a , b ∈ A , a ∘ b = b ∘ a {\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a} ； 设 ∘ : A × A → A {\displaystyle \circ :A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，则： 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足结合律，若： ∀ a , b , c ∈ A , ( a ∘ b ) ∘ c = a ∘ ( b ∘ c ) {\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)} ； 设 ∘ {\displaystyle \circ } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，则： 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足左消去律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 满足： ∀ a , b , c ∈ A , if  a ≠ b , then  c ∘ a ≠ c ∘ b {\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b} 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足右消去律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 满足： ∀ a , b , c ∈ A , if  a ≠ b , then  a ∘ c ≠ b ∘ c {\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c} 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足消去律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 同时满足左消去律与右消去律。 设 ∘ {\displaystyle \circ } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，则： 称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足幂等律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 满足： ∀ a ∈ A , a ∘ a = a {\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a} ； 设 ∘ {\displaystyle \circ } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，i是 A {\displaystyle A} 在 ∘ {\displaystyle \circ } 下的幺元， 则：称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足幂幺律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 满足： ∀ a ∈ A , a ∘ a = i {\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i} （显然此时每个元素都是它自己的逆元）； 设 ∘ {\displaystyle \circ } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的二元运算，z是 A {\displaystyle A} 在 ∘ {\displaystyle \circ } 下的零元， 则：称 ∘ {\displaystyle \circ } 满足幂零律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 满足： ∀ a ∈ A {\displaystyle \forall a\in A} ，有 a ∘ a = z {\displaystyle a\circ a=z} （显然此时每个元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）； 设 ∘ {\displaystyle \circ } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 和 ⋄ {\displaystyle \diamond } : A × A → A {\displaystyle A\times A\to A} 是集合 A {\displaystyle A} 上的两个二元运算，则： 称 ∘ {\displaystyle \circ } 对 ⋄ {\displaystyle \diamond } 满足左分配律，若 ∘ {\displaystyle \circ } ， ⋄ {\displaystyle \diamond } 满足： ∀ a , b , c ∈ A {\displaystyle \forall a,b,c\in A} ，有 a ∘ ( b ⋄ c ) = ( a ∘ b ) ⋄ ( a ∘ c ) {\displaystyle a\circ (b\diamond c)=(a\circ b)\diamond (a\circ c)} ； 称 ∘ {\displaystyle \circ } 对 ⋄ {\displaystyle \diamond } 满足右分配律，若 ∘ {\displaystyle \circ } ， ⋄ {\displaystyle \diamond } 满足： ∀ a , b , c ∈ A {\displaystyle \forall a,b,c\in A} ，有 ( b ⋄ c ) ∘ a = ( b ∘ a ) ⋄ ( c ∘ a ) {\displaystyle (b\diamond c)\circ a=(b\circ a)\diamond (c\circ a)} ； 称 ∘ {\displaystyle \circ } 对 ⋄ {\displaystyle \diamond } 满足分配律，若 ∘ {\displaystyle \circ } 對 ⋄ {\displaystyle \diamond } 同時滿足左分配律和右分配律。