最速降線問題

最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法证明。 1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·伯努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各布·伯努利、萊布尼茲和洛必達都得出同一結論，即正确的答案应该是摆线的一段。除了洛必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。 费马原理说明，两点间光线传播的路径是所需时间最少的路径。约翰·伯努利利用该原理,对此问题进行解决。 运用机械能守恒定律，可以导出在恒定重力场中运动的物体的速度满足 v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} , 式中y表示物体在竖直方向上落下的距离，g为重力加速度。通过机械能守恒可知，经不同的曲线落下，物体的速度与水平方向的位移无关。 通过假设光在光速v在满足: v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} 的傳輸介質中运动形成的轨迹来导出最速降线。 约翰·伯努利注意到，根据折射定律，一束光在密度不均的介质中传播时存在一常数 sin ⁡ θ v = 1 v d x d s = 1 v m {\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}} , 式中vm为常数(可认为为真空中光速c，θ为轨迹与竖直方向的夹角，dx为水平方向路径微分，ds为运动方向路径微分。 通过上述方程，我们可以得到两条结论： 在刚开始，当质点的速度为零时，夹角也必然是零。因此，最速降线在起始处与竖直方向相切。 当轨迹变为水平即夹角变为90°时，速度达到最大。 为了简化过程，我们假设质点（或光束）相对于原点(0,0)有坐标(x,y)，且当下落了竖直距离D后达到了最大速度，则 v m = 2 g D {\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}} . 整理折射定律式中的各项并平方得到 v m 2 ( d x ) 2 = v 2 ( d s ) 2 = v 2 ( ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ) {\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})} 可以解得dx对dy有 d x = v d y v m 2 − v 2 {\displaystyle dx={\frac {vdy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}} . 代入v和vm的表达式得到 d x = y D − y d y {\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy} 这是一个由直径为D的圆所形成的倒过来的摆线的微分方程。 约翰的哥哥雅各布·伯努利说明了如何从二阶微分得到最短时间的情况。一种现代版本的证明如下。 如果我们从最短时间路径发生微小移动，那么形成三角形满足 d s 2 = d x 2 + d y 2 {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}} . dy不变求微分，得到 2 d s   d 2 s = 2 d x   d 2 x {\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x} 最后整理得到 d x d s d 2 x = d 2 s = v   d 2 t {\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t} 最后的部分即二阶微分下距离的改变量与给定的时间的关系。现在考虑下图中的两条相邻路径，中间的水平间隔为d2x。对新旧两条路径，改变量为 d 2 t 1 = 1 v 1 d x 1 d s 1 d 2 x {\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x} d 2 t 2 = 1 v 2 d x 2 d s 2 d 2 x {\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x} 对于最短时间的路径，两个时间相等，故得到 d 2 t 2 − d 2 t 1 = 0 = ( 1 v 2 d x 2 d s 2 − 1 v 1 d x 1 d s 1 ) d 2 x {\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x} 因此最短时间的情况为 1 v 2 d x 2 d s 2 = 1 v 1 d x 1 d s 1 {\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}} 在垂直平面上，自原點 ( 0 , 0 ) {\displaystyle \left(\,0,\,0\right)} 至目的地 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \left(\,x_{1},\,y_{1}\right)} 的最速降線具有以下數學形式： x = 1 2 k 2 ( θ − sin ⁡ θ ) ,   y = 1 2 k 2 ( 1 − cos ⁡ θ ) . {\displaystyle x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).} 這裡的 y {\displaystyle y} 座標軸方向向下，且 y 1 ≥ 0 {\displaystyle y_{1}\geq 0} ； θ {\displaystyle \theta } 為此擺線參數表達式的參數，原點處 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 。 物體自原點沿最速降線滑至 θ = θ 1 {\displaystyle \theta =\theta _{1}} 處所需的時間可由以下積分式給出： t = ∫ θ = 0 θ = θ 1 d t = ∫ θ = 0 θ = θ 1 d s v {\displaystyle t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm {d} t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm {d} s}{v}}} 。 利用 d s = d x 2 + d y 2 {\displaystyle ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}} 以及 v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} ，並以 θ {\displaystyle \theta } 作為參數，整理後得 d s v = k 2 g d θ {\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta } t = k 2 g θ 1 {\displaystyle t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}} 。 自此擺線的參數式中易知 y {\displaystyle y} 的最大值為 k 2 {\displaystyle k^{2}} ，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑 2 r {\displaystyle 2r} ，因此 k = 2 r {\displaystyle k={\sqrt {2r}}} t = θ 1 r g {\displaystyle t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}} 。 現假設終點與原點直線距離   l   {\displaystyle \ l\ } ，且終點對原點的仰角為 ϕ {\displaystyle \phi } 。利用此擺線的參數式，可知 l = x 1 2 + y 1 2 = r ( θ − sin ⁡ θ ) 2 + ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 {\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}} tan ⁡ ϕ = y 1 x 1 = 1 − cos ⁡ θ θ − sin ⁡ θ {\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}} 利用 l {\displaystyle l} 的關係式求出 r {\displaystyle r} ，並代回下滑時間中，得 t ( l , θ ) = l g θ ( θ − sin ⁡ θ ) 2 + ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 4 {\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}} 綜合上述，討論在   l   {\displaystyle \ l\ } 已知的情況下，下滑時間 t {\displaystyle t} 與俯角 ϕ {\displaystyle \phi } 的關係為 ( ϕ , t ) = ( arctan ⁡ 1 − cos ⁡ θ θ − sin ⁡ θ , l g θ ( θ − sin ⁡ θ ) 2 + ( 1 − cos ⁡ θ ) 2 4 ) {\displaystyle \left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)} 。 Brachistochrone Construction：計算兩點之間，質點使用不同路徑所需的時間（Java Applet，（英文）） 重力下的最快下降曲線[永久失效連結]：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。 Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （页面存档备份，存于互联网档案馆）：有詳細的公式證明。（英文） Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld. [2014-08-10]. （原始内容存档于2020-11-12）.