割圜密率捷法

割圜密率捷法,清代数学家明安图积三十年之功写成；后子明新、弟子陳際新根据明安图遗稿整理、推究于乾隆三十九年（1774年）出版，时明安图已去世十年。 《割圜密率捷法》根据连比例三角形的性质，详细推导圆周率的九个无穷级数。中算史家李儼说“数与形的结合，堪与笛卡尔所创立的解析几何媲美”。 卷一 步法 圆径求周 2 ∗ π ∗ r = 3 ∗ 2 ∗ r 4 0 ∗ 1 ! + 1 2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ r 4 1 ∗ 3 ! + 1 2 ∗ 3 2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ r 4 3 ∗ 5 ! + 1 2 ∗ 3 2 ∗ 5 2 ∗ 7 2 ∗ 9 2 ∗ 11 2 ∗ 13 2 ∗ 15 2 ∗ 17 2 ∗ 19 2 ∗ 3 ∗ 2 ∗ r 4 1 0 ∗ 21 ! {\displaystyle 2*\pi *r={\frac {3*2*r}{4^{0}*1!}}+{\frac {1^{2}*3*2*r}{4^{1}*3!}}+{\frac {1^{2}*3^{2}*3*2*r}{4^{3}*5!}}+{\frac {1^{2}*3^{2}*5^{2}*7^{2}*9^{2}*11^{2}*13^{2}*15^{2}*17^{2}*19^{2}*3*2*r}{4^{1}0*21!}}} +………… 可以改写成 π 3 = ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ) 2 4 n ∗ ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n-1)!!)^{2}}{4^{n}*(2n+1)!}}} 。 此展开式被清代数学家称为“杜氏第一术”，出自牛顿。 弧背求正弦 杜氏九术之二，出自格列高里:. 弧背为a,半径为r,通弦为c c 2 = r s i n ( α ) = a − a 3 3 ! ∗ r 2 − a 5 5 ! ∗ r 4 + a 7 7 ! ∗ r 6 + {\displaystyle {\frac {c}{2}}=rsin(\alpha )=a-{\frac {a^{3}}{3!*r^{2}}}-{\frac {a^{5}}{5!*r^{4}}}+{\frac {a^{7}}{7!*r^{6}}}+} …… 弧背求正矢 “杜氏九术”之三，出自格列高里 b = r v e r s α = a 2 2 ! ∗ r − a 4 4 ! ∗ r 3 + a 6 6 ! ∗ r 5 + {\displaystyle b=rvers\alpha ={\frac {a^{2}}{2!*r}}-{\frac {a^{4}}{4!*r^{3}}}+{\frac {a^{6}}{6!*r^{5}}}+} ………… 弧背求通弦 2 ∗ π ∗ r = 2 ∗ a − ( 2 a ) 3 4 ∗ 3 ! ∗ r 2 + ( 2 ∗ a ) 5 4 2 ∗ 5 ! ∗ r 4 + ( 2 ∗ a ) 7 4 3 ∗ 7 ! ∗ r 6 {\displaystyle 2*\pi *r=2*a-{\frac {(2a)^{3}}{4*3!*r^{2}}}+{\frac {(2*a)^{5}}{4^{2}*5!*r^{4}}}+{\frac {(2*a)^{7}}{4^{3}*7!*r^{6}}}} +…… 弧背求矢 h = ( 2 ∗ a ) 2 4 ∗ 2 ! ∗ r − ( 2 ∗ a ) 4 4 2 ∗ 4 ! ∗ r + ( 2 ∗ a ) 6 4 3 ∗ 6 ! ∗ r {\displaystyle h={\frac {(2*a)^{2}}{4*2!*r}}-{\frac {(2*a)^{4}}{4^{2}*4!*r}}+{\frac {(2*a)^{6}}{4^{3}*6!*r}}} +………… 通弦求弧背 出自明安图： 2 a = ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 ∗ c 2 n + 1 4 n ∗ ( 2 n + 1 ) ! ∗ r 2 n {\displaystyle 2a=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n-1)!!]^{2}*c^{2n+1}}{4^{n}*(2n+1)!*r^{2n}}}} 。 正弦求弧背 出自明安图 a = ∑ n = 0 ∞ [ ( 2 n − 1 ) ! ! ] 2 ∗ ( r ∗ s i n α ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ∗ r 2 n {\displaystyle a=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n-1)!!]^{2}*(r*sin\alpha )^{2n+1}}{(2n+1)!*r^{2n}}}} 。 正矢求弧背 a 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n ! ) 2 ∗ ( 2 b ) n + 1 ( 2 n + 2 ) ! ∗ r n − 1 {\displaystyle a^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}*(2b)^{n+1}}{(2n+2)!*r^{n-1}}}} 。 矢求弧背 ( 2 a ) 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 ∗ ( n ! ) 2 ∗ ( 8 ∗ r ∗ v e r s α ) n + 1 4 n ∗ ( 2 n + 2 ) ! ∗ r n − 1 {\displaystyle (2a)^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2*(n!)^{2}*(8*r*vers\alpha )^{n+1}}{4^{n}*(2n+2)!*r^{n-1}}}} 。 余弧求正弦正矢 r v e r s ( 90 − α ) = r c v e r s ( α ) {\displaystyle rvers(90-\alpha )=rcvers(\alpha )} r − r c o v e r s ( α ) = r s i n ( α ) {\displaystyle r-rcovers(\alpha )=rsin(\alpha )} r s i n ( 90 − α ) = r c o s ( α ) {\displaystyle rsin(90-\alpha )=rcos(\alpha )} r − r c o s ( α ) = r v e r s ( α ) {\displaystyle r-rcos(\alpha )=rvers(\alpha )} 余矢余弦求本弧 借弧背求正弦余弦 借正弦余弦求弧背 卷二 用法 角度求八线 直线三角形边角相求 弧线三角形边角相求 卷三 法解上 分弧通弦率数求全弧通弦率法解 弧背求通弦法解 通弦求弧背法解 弧背正弦相求法解 卷四 法解下 分弧正矢率数求全弧正矢率数法解 弧背求正矢法解 正矢求弧背法解 弧矢相求法解 弧矢弦正余互用法解 借弧背求正弦余弦法解 借正弦余弦求弧背法解 吴文俊主编 《中国数学史大系》第七卷 447页 李儼 《明清算家的割圆术研究》《李儼钱宝琮科学史全集》第7卷第 297页 罗见今 第20页 罗见今 第22页 罗见今 第28页 罗见今 30页 罗见今 31页 罗见今 33页 明安图著 《割圜密率捷法》卷一、二、三 明安图原著 罗见今译注 《割圜密率捷法》释注 内蒙古教育出版社 1998 Yoshio Mikami Development of Mathematics in China and Japan, Leipzig, 1912 Jami C, Etude du Livre "Methods Rapides des Trigonometrie et du Rapport Precis du Cercle" de Ming Antu,1985. 维基文库中的相关原始文献：割圜密率捷法