古德斯坦定理

古德斯坦定理是數理邏輯中的一個關於自然數的敘述，是在 1944 年由魯本·古德斯坦所證明。其主要是在說明「古德斯坦序列」最終會結束於 0 。柯比和柏麗斯 證明它在皮亞諾算術中是不可證明的（但它可以在一個更強的系統如二階算術中被證明）。這是繼哥德爾不完備定理構造的命題（ C o n s ( P A ) {\displaystyle {\mathsf {Cons(PA)}}} ）和 1943 年格哈德·根岑直接證明皮亞諾算術中 ε0-induction 不可被證明之後，第三個（對自然數為真的）命題被證明在皮亞諾算術中不可證明。之後的例子是柏麗斯–哈靈頓定理。 勞倫斯·柯比和傑夫·柏麗斯介紹了一個圖論中的九頭蛇遊戲，其行為類似古德斯坦序列：「九頭蛇」是一棵有根的樹，而序列每一步是砍掉它的一顆頭（即樹的分支），然後九頭蛇則對應地會依據某些規則來增加有限數量的頭。柯比和柏麗斯則證明，不管赫拉克勒斯使用何種策略來砍頭，九頭蛇最終會被斬殺（儘管這個過程可能會非常漫長）。如古德斯坦序列，柯比和柏麗斯證明其在皮亞諾算術中是不可證明的。 古德斯坦序列是由一種「以n為基底的瓜瓞式表示法」的概念來定義的。這個表示法與平常的 n 進位制表示法很像，但一般的進位表示法無法達到古德斯坦定理的目的。在原本的 n 進位表示法，n 是一個大於 1 的自然數，而任一個自然數 m 則被改寫為一些由 n 的冪次的乘積的相加之和： m = a k n k + a k − 1 n k − 1 + ⋯ + a 0 , {\displaystyle m=a_{k}n^{k}+a_{k-1}n^{k-1}+\cdots +a_{0},} 其中，每個係數 ai 滿足0 ≤ ai < n，且ak ≠ 0。如在 2 進位中， 35 = 32 + 2 + 1 = 2 5 + 2 1 + 2 0 . {\displaystyle 35=32+2+1=2^{5}+2^{1}+2^{0}.} 所以， 35 的二進位是 100011（25 + 2 + 1）。類似地，由 3 進位表示的 100 是 10201: 100 = 81 + 18 + 1 = 3 4 + 2 ⋅ 3 2 + 3 0 . {\displaystyle 100=81+18+1=3^{4}+2\cdot 3^{2}+3^{0}.} 然而需注意的是，這些指數仍非是基於 n 的表述法。如上述表示式中的 25 和 34 。 將一個 n 進位表示轉換為瓜瓞式n基底表示法，首先要將每個指數改為 n 基底表示法。然後改寫指數中的指數，持續這個動作直到每個數都被改為以 n 為基底表示法。 譬如， 2 進位的 35 為 100011 ，將它改寫成以 n 為基底的瓜瓞式表示法為： 35 = 2 2 2 + 1 + 2 + 1 , {\displaystyle 35=2^{2^{2}+1}+2+1,} (5 = 22 + 1.) 。類似的，以3為基底的瓜瓞式表示法的 100 為 100 = 3 3 + 1 + 2 ⋅ 3 2 + 1. {\displaystyle 100=3^{3+1}+2\cdot 3^{2}+1.} 古德斯坦序列 G(m) 是一個自然數的序列。第一項為 m 本身。第二項則是先將 m 以 2 為基底得出其的瓜瓞式表示法，再將所有的 2 改為 3，再減去 1。更一般地，第 (n + 1) 項的 G(m)(n + 1) 為： 將 G(m)(n) 轉為以 n + 1 為基底的瓜瓞式表示法。 將所有的 n + 1 改為 n + 2 。 減 1。 重復這個過程，直到結果為 0 則停止。 前幾個古德斯坦序列會很快地終止，如 G(3) 結束於第 6 步： 之後的古德斯坦序列則成長到很龐大的數字，如 G(4) A056193 開始如下： G(4) 會一直遞增，直到基底為 3 ⋅ 2 402 653 209 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}} 時，會達到最大值 3 ⋅ 2 402 653 210 − 1 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,210}-1} ，並在這裡停留 3 ⋅ 2 402 653 209 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,209}} 步後，然後開始遞減。 這個序列到達 0 時，當時的基底為 3 ⋅ 2 402 653 211 − 1 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1} 。（有趣的是，這是個胡道爾數： 3 ⋅ 2 402 653 211 − 1 = 402 653 184 ⋅ 2 402 653 184 − 1 {\displaystyle 3\cdot 2^{402\,653\,211}-1=402\,653\,184\cdot 2^{402\,653\,184}-1} 。而且，對於所有起始值大於 4 的數，都是如此。[來源請求]） 不過，G(4) 仍無法很好地展示古德斯坦序列的項數是如何快速地成長。G(19) 成長更迅速，其開頭幾項如下： 儘管其成長如此迅速，古德斯坦定理說明了無論起始值為何，每個古德斯坦最終會終止於 0。 古德斯坦定理的證明（需要使用皮亞諾算術以外的技巧）如下： 對於每個給定的古德斯坦序列 G(m) ，我們可以建造一個由序數所組成的平行序列 P(m) ，而且是嚴格遞減和終止。所以G(m) 也必將停止，並且它只在達到 0 時才會終止。 對這個證明的常見的誤解在於認 G(m) 達到 0 是「因為」它被 P(m) 所支配。事實是，P(m) 對支配 G(m) 毫無作用。其重點在於： G(m)(k) 存在當且僅當 P(m)(k) 存在。於是，如果 P(m) 終止，則 G(m) 也如此。而 G(m) 只有在到逹 0 時才會終止。 我們可以定義函數 f(x)，將 x 改為以k為基底的表示法，並將每個 k 換成第一個無窮序数 ω。 而序列 P(m) 中的每一項 P(m)(n) 則定義為 f(G(m)(n),n+1)。譬如，G(3)(1) = 3 = 21 + 20 和 P(3)(1) = f(21 + 20,2) = ω1 + ω0 = ω + 1 。序數的加法、乘法和指數都是良好定義的。 我們可聲明 f ( G ( m ) ( n ) , n + 1 ) > f ( G ( m ) ( n + 1 ) , n + 2 ) {\displaystyle f(G(m)(n),n+1)>f(G(m)(n+1),n+2)} 。在古德斯坦序列中，將 G(m)(n) 改換基底後，將其記為 G ′ ( m ) ( n ) {\displaystyle G'(m)(n)} 。明顯的， f ( G ( m ) ( n ) , n + 1 ) = f ( G ′ ( m ) ( n ) , n + 2 ) {\displaystyle f(G(m)(n),n+1)=f(G'(m)(n),n+2)} ，現在我們套用 -1 運算後，因為 G ′ ( m ) ( n ) = G ( m ) ( n + 1 ) + 1 {\displaystyle G'(m)(n)=G(m)(n+1)+1} ，所以 f ( G ′ ( m ) ( n ) , n + 2 ) > f ( G ( m ) ( n + 1 ) , n + 2 ) {\displaystyle f(G'(m)(n),n+2)>f(G(m)(n+1),n+2)} 。 譬如， G ( 4 ) ( 1 ) = 2 2 {\displaystyle G(4)(1)=2^{2}} 乃 G ( 4 , 2 ) = 2 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 + 2 {\displaystyle G(4,2)=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2} ，所以 f ( 2 2 , 2 ) = ω ω {\displaystyle f(2^{2},2)=\omega ^{\omega }} 和 f ( 2 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 + 2 , 3 ) = 2 ω 2 + 2 ω + 2 {\displaystyle f(2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+2,3)=2\omega ^{2}+2\omega +2} 是嚴格變小。需注意的是，若要計算 f(G(m)(n),n+1) ，我們要先將 G(m)(n) 改為以 n+1 為基底的表示法。所以如 ω ω − 1 {\displaystyle \omega ^{\omega }-1} 等的表示式，既不會是無意義的也非等同 ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} 。 P(m) 是嚴格遞減的。而標準排序運算元 < 在序數上是良基关系，一個無窮的嚴格遞減序列是不可能存在的。換句話說，每個嚴格遞減的序數序列會停止（不可能無限）。但P(m)(n) 是由 G(m)(n) 計算出來的。 G(m)(n) 也必然停止，這意味著它會達到 0 。 雖然這個證明相當簡單，但柯比-柏麗斯定理 （證明了在皮亞諾算術中不會有古德斯坦定理）則是非常專門且相當困難。它使用了皮亞諾算術中的可數非標準模型（英语：Non-standard model of arithmetic）。 假設古德斯坦定理的定義中的「將b改為b+1」的這個動作，將它改為 b+2，那麼這個序列會終止嗎？ 更一般地，讓 b1, b2, b3, … 為任意整數列，然後讓第 n+1 項的 G(m)(n+1) 變成： 將 G(m)(n) 改為 bn 的表示法，將 bn 改為 bn+1 再減 1 。 我們仍可斷言這個序列仍會終止。 擴展的證明則將 P(m)(n) = f(G(m)(n), n) 定義為如下： 將 G(m)(n) 改為 bn 表示法，再將所有的 bn 改為第一個無限序数 ω。 古德斯坦序列中，從G(m)(n)到G(m)(n+1)的換底運算並不會改變 f 的值。 譬如，如果 bn = 4 且 bn+1 = 9， 則 f ( 3 ⋅ 4 4 4 + 4 , 4 ) = 3 ω ω ω + ω = f ( 3 ⋅ 9 9 9 + 9 , 9 ) {\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)=3\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega =f(3\cdot 9^{9^{9}}+9,9)} 。因此，序數 f ( 3 ⋅ 4 4 4 + 4 , 4 ) {\displaystyle f(3\cdot 4^{4^{4}}+4,4)} 是 嚴格大於序數 f ( ( 3 ⋅ 9 9 9 + 9 ) − 1 , 9 ) {\displaystyle f((3\cdot 9^{9^{9}}+9)-1,9)} 。 古德斯坦函數 G ( n ) {\displaystyle {\mathcal {G}}(n)} 定義為由 n 為起始值的古德斯坦序列的長度。因為古德斯坦序列會終止，所以這是一個完全函數。要測定 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 的快速成長，可由多種藉由標準基於序數體系中的函數，如Hardy hierarchy（英语：Hardy hierarchy） 中的 H α {\displaystyle H_{\alpha }} 函數，和 Löb and Wainer 的 高成長體系（英语：fast-growing hierarchy） f α {\displaystyle f_{\alpha }} 函數。 Kirby and Paris (1982) 證明 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 有著和 H ϵ 0 {\displaystyle H_{\epsilon _{0}}} 近似的成長速度（等同於 f ϵ 0 {\displaystyle f_{\epsilon _{0}}} ）; 更精確地說，對每個 α < ϵ 0 {\displaystyle \alpha <\epsilon _{0}} ， G {\displaystyle {\mathcal {G}}} 控制 H α {\displaystyle H_{\alpha }} ，且 H ϵ 0 {\displaystyle H_{\epsilon _{0}}} 控制 G {\displaystyle {\mathcal {G}}\,\!} 。 (對兩個函數 f , g : N → N {\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {N} } ，我們說 f {\displaystyle f} 控制 g {\displaystyle g} 是指，如果對於所有足夠大的 n {\displaystyle n} ，都有 f ( n ) > g ( n ) {\displaystyle f(n)>g(n)} 。） Cichon (1983) 證明 G ( n ) = H R 2 ω ( n + 1 ) ( 1 ) − 1 , {\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=H_{R_{2}^{\omega }(n+1)}(1)-1,} 其中 R 2 ω ( n ) {\displaystyle R_{2}^{\omega }(n)} 是將 n 改為以 2 為基底的瓜瓞式表示法，並將所有 2 改為 ω 的結果（即古德斯坦定理的證明中所做的事）。 Caicedo (2007) 證明如果 n = 2 m 1 + 2 m 2 + ⋯ + 2 m k {\displaystyle n=2^{m_{1}}+2^{m_{2}}+\cdots +2^{m_{k}}} 且有 m 1 > m 2 > ⋯ > m k , {\displaystyle m_{1}>m_{2}>\cdots >m_{k},} then G ( n ) = f R 2 ω ( m 1 ) ( f R 2 ω ( m 2 ) ( ⋯ ( f R 2 ω ( m k ) ( 3 ) ) ⋯ ) ) − 2 {\displaystyle {\mathcal {G}}(n)=f_{R_{2}^{\omega }(m_{1})}(f_{R_{2}^{\omega }(m_{2})}(\cdots (f_{R_{2}^{\omega }(m_{k})}(3))\cdots ))-2} . 一些例子如下： （對於阿克曼函數和葛立恆數的界限，請參考高成長體系（英语：fast-growing hierarchy#Functions in fast-growing hierarchies）。） 古德斯坦定理可用於構造一個全可计算函数，但皮亞諾算術卻不能證明它是全函數。图灵机可以有效地列舉古德斯坦序列；所以存在一個特殊的圖靈機來計算古德斯坦函數。這個圖靈機只需列舉出 n 的古德斯坦序列，並在遇到 0 時結束，並傳回其長度。因為每個古德斯坦序列終將結束，所以這個函數是完全的。但因為皮亞諾算術不能證明古德斯坦序列會終止，皮亞諾算術不能證明這個圖靈機計算了一個完全函數。 Non-standard model of arithmetic（英语：Non-standard model of arithmetic） 高成長體系（英语：Fast-growing hierarchy） Paris–Harrington theorem（英语：Paris–Harrington theorem） Kanamori–McAloon theorem（英语：Kanamori–McAloon theorem） Kruskal's tree theorem Kirby, L.; Paris, J. Accessible Independence Results for Peano Arithmetic (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 1982, 14 (4): 285 [2019-02-20]. CiteSeerX 10.1.1.107.3303 . doi:10.1112/blms/14.4.285. （原始内容存档 (PDF)于2021-01-16）.  Goodstein, R., On the restricted ordinal theorem, Journal of Symbolic Logic, 1944, 9 (2): 33–41, JSTOR 2268019, doi:10.2307/2268019 . Cichon, E., A Short Proof of Two Recently Discovered Independence Results Using Recursive Theoretic Methods, Proceedings of the American Mathematical Society, 1983, 87 (4): 704–706, JSTOR 2043364, doi:10.2307/2043364 . Caicedo, A., Goodstein's function (PDF), Revista Colombiana de Matemáticas, 2007, 41 (2): 381–391 [2019-02-20], （原始内容存档 (PDF)于2011-10-09） . 埃里克·韦斯坦因. Goodstein Sequence. MathWorld.  Some elements of a proof that Goodstein's theorem is not a theorem of PA, from an undergraduate thesis by Justin T Miller（页面存档备份，存于互联网档案馆） A Classification of non standard models of Peano Arithmetic by Goodstein's theorem - Thesis by Dan Kaplan, Franklan and Marshall College Library Definitions of Goodstein sequences in the programming languages Ruby and Haskell, as well as a large-scale plot （页面存档备份，存于互联网档案馆） The Hydra game implemented as a Java applet （页面存档备份，存于互联网档案馆） Javascript implementation of a variant of the Hydra game （页面存档备份，存于互联网档案馆） Goodstein Sequences: The Power of a Detour via Infinity（页面存档备份，存于互联网档案馆） - 對古德斯坦序列和九頭蛇遊戲有很好的解譯。