含時微擾理論

在量子力學裏，含時微擾理論研究一個量子系統的含時微擾所產生的效應。這理論由狄拉克首先發展成功。由於系統的含微擾哈密頓量含時間，伴隨的能級與本徵態也含時間。所以，不同於不含時微擾理論，含時微擾理論解析問題的目標為： 給予初始量子態，求算某個可觀測量 A {\displaystyle A} 的含時間期望值。 一個量子系統的含時間量子態，仍舊是這系統的不含時零微擾哈密頓量 H 0 {\displaystyle H_{0}} 的本徵態的線性組合。求算這系統的量子態處於某個本徵態的機率幅。 第一個結果的重要性是，它可以預測由實驗測量得到的答案。例如，思考一個氫原子的電子，其所在位置的 x-坐標的期望值 ⟨ x ⟩ {\displaystyle \langle x\rangle } ，當乘以適當的係數後，給出這電子的含時間偏振。將一個恰當的微擾（例如，一個震盪的電位）作用於氫氣，應用含時微擾理論，我們可以計算出交流電的電容率。詳細內容，請參閱條目介電譜學 (dielectric spectroscopy) 。 第二個結果著眼於量子態處於每一個本徵態的機率。這機率與時間有關。在雷射物理學裏，假若我們知道這機率，我們就可以計算一個氣體，因為含時間電場的作用，處於某個量子態的機率密度函數。這機率也可以用來計算譜線的量子增寬 (quantum broadening) 。 讓我們簡略的解釋，含時微擾理論的狄拉克表述，其背後的點子。先為零微擾系統選擇一個能量本徵態的正交基 | n ⟩ {\displaystyle {|n\rangle }} 。這些本徵態與時間無關。 假若，在時間 t = 0 {\displaystyle t=0} ，零微擾系統處於本徵態 | j ⟩ {\displaystyle |j\rangle } 。那麼，隨著時間流逝，這系統的量子態可以表達為（採用薛丁格繪景：量子態隨著時間流逝而演化，而對應於可觀察量的算符則與時間無關） | j ( t ) ⟩ = e − i E j t / ℏ | j ⟩ {\displaystyle |j(t)\rangle =e^{-iE_{j}t/\hbar }|j\rangle } ； 其中， E j {\displaystyle E_{j}} 是本徵態 | j ⟩ {\displaystyle |j\rangle } 的能級， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數。 現在，添加一個含時間的哈密頓量微擾 V ( t ) {\displaystyle V(t)} 。包括微擾系統在內的哈密頓量 H {\displaystyle H} 是 H = H 0 + V ( t ) {\displaystyle H=H_{0}+V(t)} 。(1) 標記 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 為含微擾系統在時間 t {\displaystyle t} 的量子態。它遵守含時薛丁格方程式: H | ψ ( t ) ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle } 。(2) 在任何時間，量子態可以表達為本徵態的線性組合： | ψ ( t ) ⟩ = ∑ n c n ( t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle } ；(3) 其中， c n ( t ) {\displaystyle c_{n}(t)} 是複函數，稱為幅度。在這裏，我們顯性地表示出公式右手邊的相位因子 e − i E n t / ℏ {\displaystyle e^{-iE_{n}t/\hbar }} 。這只是為了便利因素。並不會因此而失去一般性。 假若系統的初始量子態是 | j ⟩ {\displaystyle |j\rangle } ，而又沒有微擾作用，則幅度會有很理想的性質：隨著時間的演化， c j ( t ) = 1 {\displaystyle c_{j}(t)=1} ， c n ( t ) = 0 , n ≠ j {\displaystyle c_{n}(t)=0,\quad n\neq j} 。 回思公式 (3) ，幅度 c n ( t ) {\displaystyle c_{n}(t)} 的絕對平方是 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 在時間 t {\displaystyle t} 處於本徵態 | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } 的機率： | c n ( t ) | 2 = | ⟨ n | ψ ( t ) ⟩ | 2 {\displaystyle \left|c_{n}(t)\right|^{2}=\left|\langle n|\psi (t)\rangle \right|^{2}} 。 將公式 (1) 與 (3) 代入含時薛丁格方程式 (2) ，可以得到 [ H 0 + V ( t ) ] ∑ n c n ( t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t ( ∑ n c n ( t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ ) = ∑ n ( i ℏ ∂ c n ( t ) ∂ t + c n ( t ) E n ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ {\displaystyle {\begin{aligned}\left[H_{0}+V(t)\right]\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle &=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \right)\\&=\sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}+c_{n}(t)E_{n}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle \\\end{aligned}}} 。 由於 H 0 | n ⟩ = E n | n ⟩ {\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle } ，這公式左手邊的 H 0 {\displaystyle H_{0}} 項目於右手邊的 E n {\displaystyle E_{n}} 項目相抵銷。所以， ∑ n ( i ℏ ∂ c n ( t ) ∂ t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ = ∑ n c n ( t ) V ( t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ {\displaystyle \sum _{n}\left(i\hbar {\frac {\partial c_{n}(t)}{\partial t}}\right)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)V(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle } 。 將 ⟨ m | {\displaystyle \langle m|} 內積於這公式兩邊，可以得到一組聯立的偏微分方程式： ∂ c m ∂ t = − i ℏ ∑ n ⟨ m | V ( t ) | n ⟩ c n ( t ) e − i ( E n − E m ) t / ℏ {\displaystyle {\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{n}\langle m|V(t)|n\rangle \,c_{n}(t)\,e^{-i(E_{n}-E_{m})t/\hbar }} 。 矩陣元素 ⟨ m | V ( t ) | n ⟩ {\displaystyle \langle m|V(t)|n\rangle } 的角色，影響到量子態的幅度改變的速率 ∂ c m ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial c_{m}}{\partial t}}} 。可是，注意到這遷移內中含有一個相位因子。經過一段超久於 ℏ / ( E n − E m ) {\displaystyle \hbar /(E_{n}-E_{m})} 的間隔時間，相位會轉繞很多圈次。 一直到此，我們尚未嘗試取近似值。所以，這一組偏微分方程式仍舊是精確的。通過給予初始值 c n ( 0 ) {\displaystyle c_{n}(0)} ，原則上，我們可以找到（非微擾的）精確解。對於雙態系統，只有兩個能級 ( n = 1 , 2 {\displaystyle n=1,\,2} ) 的量子系統，可以很容易的找到答案。而且，很多量子系統，像氨分子，氫分子離子 (Hydrogen molecular ion) ，苯分子等等，都可以用雙態系統模型來分析。但是對於更多能級的系統，找到精確解是非常困難的。我們只好尋找微擾解。我們可以用積分式來表達幅度： c n ( t ) = c n ( 0 ) + − i ℏ ∑ k ∫ 0 t d t ′ ⟨ n | V ( t ′ ) | k ⟩ c k ( t ′ ) e − i ( E k − E n ) t ′ / ℏ {\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}(0)+{\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(t')\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }} 。 重覆的將 c n ( t ) {\displaystyle c_{n}(t)} 的表達式代入這公式的右手邊，可以得到一個迭代解： c n ( t ) = c n ( 0 ) + c n ( 1 ) + c n ( 2 ) + ⋯ {\displaystyle c_{n}(t)=c_{n}^{(0)}+c_{n}^{(1)}+c_{n}^{(2)}+\cdots } ； 其中，舉例而言，一階項目是 c n ( 1 ) ( t ) = − i ℏ ∑ k ∫ 0 t d t ′ ⟨ n | V ( t ′ ) | k ⟩ c k ( 0 ) e − i ( E k − E n ) t ′ / ℏ {\displaystyle c_{n}^{(1)}(t)={\frac {-i}{\hbar }}\sum _{k}\int _{0}^{t}dt'\;\langle n|V(t')|k\rangle \,c_{k}(0)\,e^{-i(E_{k}-E_{n})t'/\hbar }} 。 應用含時微擾理論，可以得到更多進一步的結果，像費米黃金律 (Fermi's golden rule) 或戴森級數 (Dyson series) 。費米黃金律計算，因為含時微擾，從某個能量本徵態發射至另外一個能量本徵態的躍遷率。通過應用上述迭代法於時間演化算符，可以得到戴森級數。這是費曼圖方法的起點之一。 雙態系統 吸收 自發射 (spontaneous emission) 受激發射 (stimulated emission) 拉比問題 (Rabi problem) 費曼, 理查; 雷頓, 羅伯; 山德士, 馬修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台灣: 天下文化書. 2006: pp. 71–108. ISBN 986-417-672-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 圣地牙哥加州大学物理系量子力学視聽教學：含時微擾理論