三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 本身則是全體等距同構的歐氏群 E ( 3 ) {\displaystyle E(3)} 的子群。 立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。 立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具手性（英语：chirality (mathematics)）。 三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。 有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。 n {\displaystyle n} 階考克斯特群是由 n {\displaystyle n} 個鏡射生成，可以考克斯特－丹金圖（英语：Coxeter–Dynkin diagram）表示。考克斯特符號（英语：Coxeter notation）則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 是直接歐氏群 E + ( 3 ) {\displaystyle E^{+}(3)} 的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 僅含保持原點不變的直接等距同構。 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 則是 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 與點反演生成的群 { I , − I } {\displaystyle \{I,-I\}} 的直積：（此處點反演以其矩陣 − I {\displaystyle -I} 表示，即單位矩陣 I {\displaystyle I} 乘上 − 1 {\displaystyle -1} 。） O ( 3 ) = S O ( 3 ) × { I , − I } . {\displaystyle O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.} 所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外， O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 中僅由直接等距變換組成的子群 H {\displaystyle H} （必包含在 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 中，亦與 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 中含有點反演的子群 K {\displaystyle K} 一一對應。對應關係如下： K = H × { I , − I } , {\displaystyle K=H\times \{I,-I\},} H = K ∩ S O ( 3 ) . {\displaystyle H=K\cap SO(3).} 例如，若 H {\displaystyle H} 為 C 2 {\displaystyle C_{2}} ，則 K {\displaystyle K} 為 C 2 h {\displaystyle C_{\mathrm {2h} }} ；若 H {\displaystyle H} 為 C 3 {\displaystyle C_{3}} ，則 K {\displaystyle K} 為 S 6 {\displaystyle S_{6}} 。（定義載於下文。） 若直接等距同構群 H {\displaystyle H} 有指數（英语：Index of a subgroup）為 2 {\displaystyle 2} 的子群 L {\displaystyle L} ，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群 M = L ∪ ( ( H ∖ L ) × { − I } ) , {\displaystyle M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),} 含有間接等距變換，但不含點反演。式中 ( A , I ) {\displaystyle (A,I)} 與 A {\displaystyle A} 視為等同。舉例 H {\displaystyle H} 為 C 4 {\displaystyle C_{4}} ，而 M {\displaystyle M} 為 S 4 {\displaystyle S_{4}} 。 換言之， M {\displaystyle M} 是將 H ∖ L {\displaystyle H\setminus L} 中的變換，乘上 − I {\displaystyle -I} 得到。此群 M {\displaystyle M} 作為抽象群與 H {\displaystyle H} 同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。 二維情況下， k {\displaystyle k} 重旋轉的循環群 C k {\displaystyle C_{k}} 皆是 O ( 2 ) {\displaystyle O(2)} 和 S O ( 2 ) {\displaystyle SO(2)} 的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的 k {\displaystyle k} 重循環群 C k {\displaystyle C_{k}} ，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為 2 {\displaystyle 2} 的子群必正規， C n {\displaystyle C_{n}} 在 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 中正規，也在 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 中正規。此處 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 是向 C n {\displaystyle C_{n}} 添加過旋轉軸的反射面生成，而 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 則是向 C n {\displaystyle C_{n}} 添加與軸垂直的反射面生成。 R 3 {\displaystyle \mathrm {R} ^{3}} 的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群 O ( 3 , R ) {\displaystyle O(3,\mathbb {R} )} ，簡記為 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 。其元素分類如下： 子群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 中： 單位（恆等變換）； 繞過原點某軸的旋轉，且角度不為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ； 繞過原點某軸的旋轉，且角度為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ； 及以上變換但額外乘上點反演（將向量 x {\displaystyle x} 映去 − x {\displaystyle -x} ），即： 點反演； 繞過原點的某軸，作角度不為 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 的旋轉，後再作一次鏡射，鏡射面過原點，且與旋轉軸垂直； 關於過原點某平面的鏡射。 後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。） 連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。 比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群 H 1 , H 2 {\displaystyle H_{1},H_{2}} 在 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 中為共軛子群，即存在 g ∈ O ( 3 ) {\displaystyle g\in O(3)} ，使 H 1 = g − 1 H 2 g {\displaystyle H_{1}=g^{-1}H_{2}g} 。 舉例： 兩件立體各僅有鏡射對稱，即使並非關於同一鏡面，仍屬同樣的對稱類； 同樣，若各僅有三重旋轉對稱，即使軸向不同，仍屬同樣的對稱類。 若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉 g {\displaystyle g} ，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的 g {\displaystyle g} 不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取 g {\displaystyle g} 為旋轉。（但空間群則不然，有 11 {\displaystyle 11} 對空間群具有手性，因為有螺旋變換。） 有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為 π {\displaystyle \pi } 的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。一般而言（英语：Generic property），此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。 作為拓撲群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的拓撲閉子群： 整個 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 是球對稱群、 相應的旋轉群是 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 、 其他無窮等距變換群有五個，皆含有過原點的某軸，繞該軸的所有旋轉，另外可以： 添加或不添加過軸的各鏡面反射， 另添加或不添加過原點與軸垂直的鏡面反射。（共四個） 最後，若以上兩種反射都無添加，則可以只添加兩者的複合，相當於添加與原旋轉軸垂直的軸上的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 旋轉。（一個） 添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。 此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 、 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為 ∞ ,   ∞ 2 ,   ∞ / m ,   ∞ m m ,   ∞ / m m ,   ∞ ∞ ,   ∞ ∞ m {\displaystyle \infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} } ，次序在下文明確給出。 三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見球面有限對稱群列表（英语：List of finite spherical symmetry groups）。 不別共軛之異，三維有限點群只有： 7 {\displaystyle 7} 個無窮列，此七類群中，每個群至多一條旋轉軸有多於兩重旋轉。該些群皆是圓柱面的對稱群（的有限子群），其中圓柱面有限長或無限長是等價的，有時稱為軸向點群（英語：axial point groups）或棱柱點群（英語：prismatic point groups）。 7 {\displaystyle 7} 個其他點群，每個有至少兩條至少三重的旋轉軸；也可以等價寫成有至少兩條三重旋轉軸，因為全部七個都有多條三重旋轉軸。若數出其三重以上的旋轉軸，所有可能組合有： 4 {\displaystyle 4} 條三重軸、 4 {\displaystyle 4} 條三重軸及 3 {\displaystyle 3} 條四重軸、 10 {\displaystyle 10} 條三重軸及 6 {\displaystyle 6} 條五重軸。 根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散平移對稱（英语：translational symmetry）相容：七列軸向點群中，有 27 {\displaystyle 27} 個；七個其他點群中，有 5 {\displaystyle 5} 個，合共 32 {\displaystyle 32} 個，稱為晶體學點群。 有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數 n {\displaystyle n} 標示。每列第 n {\displaystyle n} 個群，含繞某軸的 n {\displaystyle n} 重旋轉，即旋轉 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} ，故 n = 1 {\displaystyle n=1} 對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱循環對稱（英语：Cyclic symmetry in three dimensions）），另三列有其他二重旋轉軸（稱二面對稱（英语：dihedral symmetry））。該些群可以視為二維點群（英语：point groups in two dimensions）添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與帶群（英语：frieze group）相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複 n {\displaystyle n} 次。 下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的熊夫利記號（英语：Schönflies notation）、軌形記號（英语：orbifold notation）、考克斯特記號（英语：Coxeter notation）。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於牆紙群（英语：wallpaper group）與帶群（英语：frieze group）。晶體群的 n {\displaystyle n} 僅能取 1 , 2 , 3 , 4 , 6 {\displaystyle 1,2,3,4,6} （晶體學限制定理），而若移除該限制，則 n {\displaystyle n} 可取任意正整數。七列軸向點群為： 對奇數 n {\displaystyle n} ，有抽象群同構 Z 2 n ≅ Z n × Z 2 {\displaystyle Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}} 及 D i h 2 n ≅ D i h n × Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}} 。 群 C n {\displaystyle C_{n}} （包括平凡群 C 1 {\displaystyle C_{1}} ）及 D n {\displaystyle D_{n}} 有手性，其他則無手性。 術語水平（horizontal, h）與豎直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。 最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群 Z 2 {\displaystyle Z_{2}} ，但是 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的不同子群（即不共軛）： C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} （等同 S 2 {\displaystyle S_{2}} ）——點反演對稱 C 2 {\displaystyle C_{2}} ——二重旋轉對稱 C s {\displaystyle C_{\mathrm {s} }} （等同 C 1 h {\displaystyle C_{1\mathrm {h} }} 和 C 1 v {\displaystyle C_{1\mathrm {v} }} ）——反射對稱，生物學（英语：Symmetry in biology）又稱兩側對稱（英語：bilateral symmetry）。 第一組單軸循環群中， C n {\displaystyle C_{n}} 的階為 n {\displaystyle n} （二維情況同樣適用），是由單一個角度為 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} 的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} ，階為 2 n {\displaystyle 2n} 。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入 n {\displaystyle n} 塊通過軸的鏡面，則得到 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} ，階亦為 2 n {\displaystyle 2n} 。後者是正 n {\displaystyle n} 稜錐的對稱群。具 C n {\displaystyle C_{n}} 或 D n {\displaystyle D_{n}} 的典型物體是螺旋槳。 若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到 n {\displaystyle n} 條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 旋轉，故群不再單軸。新群的階為 4 n {\displaystyle 4n} ，記為 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 。其旋轉子群為 2 n {\displaystyle 2n} 個元素的二面體群 D n {\displaystyle D_{n}} ，仍有與主（ n {\displaystyle n} 重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。 注意，在二維， D n {\displaystyle D_{n}} 包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群 D n {\displaystyle D_{n}} 有翻轉但無鏡射。 餘下一類是 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} （或 D n v {\displaystyle D_{n\mathrm {v} }} ），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉 180 ∘ / n {\displaystyle 180^{\circ }/n} 。 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 是正 n {\displaystyle n} 棱柱和雙稜錐的對稱群。 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 則是正 n {\displaystyle n} 角反棱柱的對稱群，亦是正 n {\displaystyle n} 方偏方面體的對稱群。最後， D n {\displaystyle D_{n}} 是稍稍扭過的正 n {\displaystyle n} 棱柱的對稱群。 D 2 {\displaystyle D_{2}} 及 D 2 h {\displaystyle D_{2\mathrm {h} }} 較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。 D 2 {\displaystyle D_{2}} 是下節所有多面體對稱群的子群，而 D 2 h {\displaystyle D_{2\mathrm {h} }} 則是多面體群 T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} 與 O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} 的子群。 D 2 {\displaystyle D_{2}} 可以作為下列化學品的對稱群： 刀豆蛋白A等同四聚體（英语：homotetramer）、 四個相同具手性配位基（英语：chiral ligand）的四面體形配合物、 四個同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。 D 2 {\displaystyle D_{2}} 的元素，與利普希茨四元數（英语：Lipschitz quaternion）的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。 群 S n {\displaystyle S_{n}} 由「先關於水平面作鏡射，再旋轉 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} 」生成。對於奇數 n {\displaystyle n} ，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} ，階為 2 n {\displaystyle 2n} ，故不必用到記號 S n {\displaystyle S_{n}} 。然而，對偶數 n {\displaystyle n} ，兩個群有差異，且 S n {\displaystyle S_{n}} 僅有 n {\displaystyle n} 個元素。與 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。 七列軸向群的元素僅有下列四對重複： C 1 h {\displaystyle C_{1\mathrm {h} }} 及 C 1 v {\displaystyle C_{1\mathrm {v} }} ：階數為 2 {\displaystyle 2} ，由獨一個鏡射生成。又稱 C s {\displaystyle C_{\mathrm {s} }} 。 D 1 {\displaystyle D_{1}} 與 C 2 {\displaystyle C_{2}} ：階數為 2 {\displaystyle 2} ，由獨一個 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 旋轉生成。 D 1 h {\displaystyle D_{1\mathrm {h} }} 與 C 2 v {\displaystyle C_{2\mathrm {v} }} ：階數為 4 {\displaystyle 4} ，由一個鏡射與鏡面上一條軸的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 旋轉生成。 D 1 d {\displaystyle D_{1\mathrm {d} }} 與 C 2 h {\displaystyle C_{2\mathrm {h} }} ：階數為 4 {\displaystyle 4} ，由一個鏡射與一條垂直於鏡面的軸的 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 旋轉生成。 S 2 {\displaystyle S_{2}} 是由獨一個點反演生成的 2 {\displaystyle 2} 階群，又記為 C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} 。 此處「重複」是指作為 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} 的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的 2 {\displaystyle 2} 階群，但祇有一個 2 {\displaystyle 2} 階抽象群。類似，也有 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 與 Z 2 n {\displaystyle Z_{2n}} 抽象同構。 群的構造亦可描述如下： C n {\displaystyle C_{n}} 是由獨一個元素生成，生成元亦稱為 C n {\displaystyle C_{n}} ，是繞軸轉 2 π / n {\displaystyle 2\pi /n} 。群的元素是： E {\displaystyle E} （單位元）， C n , C n 2 , … , C n n − 1 {\displaystyle C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}} ，對應旋轉角 0 ,   2 π / n ,   4 π / n ,   … ,   2 ( n − 1 ) π / n {\displaystyle 0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n} 。該軸視為豎直軸。 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 由獨一個元素 C 2 n σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }} 生成，其中 σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }} 是水平面的鏡射。群的元素是 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，另加 C 2 n σ h ,   C 2 n 3 σ h ,   C 2 n 5 σ h ,   … ,   C 2 n 2 n − 1 σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }} 。 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 由 C n {\displaystyle C_{n}} 與反射 σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }} 生成。群的元素是 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，另加 σ h ,   C n σ h ,   C n 2 σ h ,   … ,   C n n − 1 σ h {\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }} 。 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 由 C n {\displaystyle C_{n}} 與豎直鏡面的反射 σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }} 生成。群的元素是 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，另加 σ v ,   C n σ v ,   C n 2 σ v ,   … ,   C n n − 1 σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }} 。 D n {\displaystyle D_{n}} 是由 C n {\displaystyle C_{n}} 與繞水平面上某軸 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} 的旋轉 U = σ h σ v {\displaystyle U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }} ，其元素是 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，另加 U ,   C n U ,   C n 2 U ,   … ,   C n n − 1 U {\displaystyle U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U} 。 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 由元素 C 2 n σ h {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }} 與 σ v {\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }} 生成。元素是 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，加上 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 與 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 的額外元素，再加上 C 2 n σ h σ v ,   C 2 n 3 σ h σ v ,   C 2 n 5 σ h σ v ,   … ,   C 2 n 2 n − 1 σ h σ v {\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }} 。 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 由元素 C n ,   σ h ,   σ v {\displaystyle C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }} 生成。其元素為 C n {\displaystyle C_{n}} 的元素，再加上 C n h ,   C n v ,   D n {\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}} 的所有額外元素。 取 n {\displaystyle n} 趨向 ∞ {\displaystyle \infty } 的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）： 餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中， C n {\displaystyle C_{n}} 表示一條 n {\displaystyle n} 重軸，即旋轉角為 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} ， S n {\displaystyle S_{n}} 則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的熊夫利記號（英语：Schönflies notation），然後括號內為軌形記號（英语：orbifold notation），然後為考克斯特記號（英语：Coxeter notation）及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。 相關的連續群有： 旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} ，即所有旋轉的群，亦記作 ∞ ∞ {\displaystyle \infty \infty } 或 K {\displaystyle K} 。 正交群 O ( 3 ) {\displaystyle O(3)} ，所有旋轉和鏡射生成的群，亦記作 ∞ ∞ m {\displaystyle \infty \infty \mathrm {m} } 或 K h {\displaystyle K_{\mathrm {h} }} 。 如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有 K {\displaystyle K} 對稱性，則必有 K h {\displaystyle K_{\mathrm {h} }} 對稱性。 若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於 2 {\displaystyle 2} 除以軌形（英语：orbifold）的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將 2 {\displaystyle 2} 減去軌形記號中，各符號特徵數的總和： 無 ∗ {\displaystyle {}^{*}} 或在 ∗ {\displaystyle {}^{*}} 之前的 n {\displaystyle n} ，值為 ( n − 1 ) / n {\displaystyle (n-1)/n} ； 在 ∗ {\displaystyle {}^{*}} 之後的 n {\displaystyle n} ，值為 ( n − 1 ) / ( 2 n ) {\displaystyle (n-1)/(2n)} ； ∗ {\displaystyle {}^{*}} 與 × {\displaystyle \times } 計為 1 {\displaystyle 1} 。 此公式同樣適用於壁紙群（英语：wallpaper group）與帶群（英语：frieze group）：對該等群，特徵數之和為 2 {\displaystyle 2} ，所以階數是無窮大。亦見壁紙群（英语：wallpaper group）條目。 三維反射點群又稱為考克斯特群，能以考克斯特－鄧肯圖（英语：Coxeter-Dynkin diagram）表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成球面二角形（英语：lune (mathematics)）或半球面。在考克斯特記號（英语：Coxeter notation），該些群是正四面體對稱（英语：tetrahedral symmetry） [ 3 , 3 ] {\displaystyle [3,3]} 、正八面體對稱（英语：octahedral symmetry） [ 4 , 3 ] {\displaystyle [4,3]} 、正二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry） [ 5 , 3 ] {\displaystyle [5,3]} 、二面體對稱（英语：Dihedral symmetry in three dimensions） [ p , 2 ] {\displaystyle [p,2]} 。不可約群的鏡面數是 n h / 2 {\displaystyle nh/2} ，其中 h {\displaystyle h} 是群的考克斯特數（英语：Coxeter number），而 n {\displaystyle n} 是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。 有限旋轉群，即 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 的有限子群，僅有：循環群 C n {\displaystyle C_{n}} （正稜錐的旋轉群）、二面體群 D n {\displaystyle D_{n}} （正稜柱或雙錐體的旋轉群）、 T {\displaystyle T} （正四面體的旋轉群）、 O {\displaystyle O} （正八面體或正六面體的旋轉群）、 I {\displaystyle I} （正二十面體或正十二面體的旋轉群）。 特別地，二面體群 D 3 {\displaystyle D_{3}} 、 D 4 {\displaystyle D_{4}} 等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。 若物體的對稱類為 C n ,   C n h ,   C n v ,   S 2 n {\displaystyle C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}} ，則旋轉群為 C n {\displaystyle C_{n}} 。 若物體的對稱類為 D n ,   D n h ,   D n d {\displaystyle D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }} ，則旋轉群為 D n {\displaystyle D_{n}} 。 若物體的對稱類屬其他七種多面體對稱，則旋轉群是相應無下標的群，即 T ,   O ,   I {\displaystyle T,\ O,\ I} 之一。 當且僅當物體有手性（英语：chirality (mathematics)）時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。 用熊夫利記號（英语：Schönflies notation）、考克斯特記號（英语：Coxeter notation），及括號內的軌形記號（英语：orbifold notation）表示，旋轉群是： 下列群有點反演： n {\displaystyle n} 為偶數時， C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 及 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 、 n {\displaystyle n} 為奇數時， S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 及 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} （特別地， S 2 = C i {\displaystyle S_{2}=C_{\mathrm {i} }} 是僅由點反演生成的群，另有 D 1 d = C 2 h {\displaystyle D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }} 屬於前項）、 T h ,   O h ,   I h {\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }} 。 如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應： C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} （ n {\displaystyle n} 為偶）及 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} （ n {\displaystyle n} 為奇）對應 C n {\displaystyle C_{n}} 。 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} （ n {\displaystyle n} 為偶）及 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} （ n {\displaystyle n} 為奇）對應 D n {\displaystyle D_{n}} 。 T h ,   O h ,   I h {\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }} 分別對應 T , O , I {\displaystyle T,O,I} 。 下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演： C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 、 n {\displaystyle n} 為奇數時， C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 及 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 、 n {\displaystyle n} 為偶數時， S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 及 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 、 T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} 。 上述各群分別對應一個旋轉群 H {\displaystyle H} 及其指標 2 {\displaystyle 2} 的子群 L {\displaystyle L} ，使得該群是由 H {\displaystyle H} 的元素，加上 H ∖ L {\displaystyle H\setminus L} 經點反演後的元素得到，如上文所述： C n {\displaystyle C_{n}} 是 D n {\displaystyle D_{n}} 的指標 2 {\displaystyle 2} 子群，對應 C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} 。 C n {\displaystyle C_{n}} 是 C 2 n {\displaystyle C_{2n}} 的指標 2 {\displaystyle 2} 子群， n {\displaystyle n} 為奇時對應 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} ， n {\displaystyle n} 為偶時則對應 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} 。 D n {\displaystyle D_{n}} 是 D 2 n {\displaystyle D_{2n}} 的指標 2 {\displaystyle 2} 子群， n {\displaystyle n} 為奇時對應 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} ， n {\displaystyle n} 為偶時對應 D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} 。 T {\displaystyle T} 是 O {\displaystyle O} 的指標 2 {\displaystyle 2} 子群，對應 T d {\displaystyle T_{\mathrm {d} }} 。 離散點群中， O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} 和 I h {\displaystyle I_{\mathrm {h} }} 並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是 T h {\displaystyle T_{\mathrm {h} }} 。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得 O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} ，亦可加入五重旋轉對稱而得 I h {\displaystyle I_{\mathrm {h} }} 。 類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群： O h {\displaystyle O_{\mathrm {h} }} 與 D 6 h {\displaystyle D_{6\mathrm {h} }} 。視乎方向，其極大公共子群為 D 3 d {\displaystyle D_{3\mathrm {d} }} 或 D 2 h {\displaystyle D_{2\mathrm {h} }} 。 下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。 最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為： 8 {\displaystyle 8} 階的四元群、 9 {\displaystyle 9} 階的 Z 3 × Z 3 {\displaystyle Z_{3}\times Z_{3}} 、 12 {\displaystyle 12} 階的雙循環群（英语：dicyclic group） D i c 3 {\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}} ，以及十四個 16 {\displaystyle 16} 階群的其中十個。 下表中，「 2 {\displaystyle 2} 階元素數」一列，數算 C 2 , C i , C s {\displaystyle C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }} 三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。 n {\displaystyle n} 重旋轉對稱的對稱群為 C n {\displaystyle C_{n}} 。其抽象同構類是循環群 Z n {\displaystyle Z_{n}} ，亦可記作 C n {\displaystyle C_{n}} 。然而，另有兩列對稱群同構於循環群： 對於偶階數 2 n {\displaystyle 2n} ，瑕旋轉群 S 2 n {\displaystyle S_{2n}} （熊夫利記號），生成元為繞某軸 180 ∘ / n {\displaystyle 180^{\circ }/n} 的旋轉後關於與軸垂直的鏡面反射。 S 2 {\displaystyle S_{2}} 也記為 C i {\displaystyle C_{\mathrm {i} }} ，由點反演生成。 對於奇數 n {\displaystyle n} ，有階數 2 n {\displaystyle 2n} 的群 C n h {\displaystyle C_{n\mathrm {h} }} 。該群有一條 n {\displaystyle n} 重旋轉軸，另有與該軸垂直的鏡射。換言之，群由兩種變換生成，即繞軸 360 ∘ / n {\displaystyle 360^{\circ }/n} 的旋轉，及該鏡射。 C 1 h {\displaystyle C_{1\mathrm {h} }} 又可記作 C s {\displaystyle C_{\mathrm {s} }} ，僅由一個鏡射生成。 故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。） 二維二面體群 D n {\displaystyle D_{n}} 有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。 然而在三維，反射與翻轉須作區分。以 D n {\displaystyle D_{n}} 表示的對稱群，有 n {\displaystyle n} 條二重軸，與 n {\displaystyle n} 重的主旋轉軸垂直，但無反射。 D n {\displaystyle D_{n}} 是正 n {\displaystyle n} 棱柱、正雙 n {\displaystyle n} 角錐、正 n {\displaystyle n} 角反棱柱、 n {\displaystyle n} 方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的手性（英语：chirality (mathematics)）標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令 D n {\displaystyle D_{n}} 為其全對稱群。 相應的抽象群類型是二面體群 D i h n {\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}} ，亦可照樣記為 D n {\displaystyle D_{n}} 。但除 D n {\displaystyle D_{n}} 外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群： C n v {\displaystyle C_{n\mathrm {v} }} ，階為 2 n {\displaystyle 2n} ，是正 n {\displaystyle n} 稜錐的對稱群； D n d {\displaystyle D_{n\mathrm {d} }} ，階為 4 n {\displaystyle 4n} ，是正 n {\displaystyle n} 角反稜柱的對稱群； 對應奇數 n {\displaystyle n} 的群 D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} ，其階為 4 n {\displaystyle 4n} 。當 n = 1 {\displaystyle n=1} 時，等同 D 2 {\displaystyle D_{2}} ，已於上文討論，故此處可取 n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} 。 注意有以下同構： D i h 4 n + 2 ≅ D i h 2 n + 1 × Z 2 . {\displaystyle \mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.} 於是可以整理出下表：（有 12 {\displaystyle 12} 個晶體學點群用粗體標示，另 D 1 d {\displaystyle D_{1\mathrm {d} }} 寫成等價的 C 2 h {\displaystyle C_{2\mathrm {h} }} ） C 2 n h {\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }} 的階數為 4 n {\displaystyle 4n} ，同構於抽象群 Z 2 n × Z 2 {\displaystyle Z_{2n}\times Z_{2}} 。在 n = 1 {\displaystyle n=1} 時， C 2 n h {\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }} 等同 D i h 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}} ，已於上小節討論，故本小節僅考慮 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 的情況。 此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調） D n h {\displaystyle D_{n\mathrm {h} }} 的階數為 4 n {\displaystyle 4n} ，同構於抽象群 D i h n × Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}} 。對於奇數 n {\displaystyle n} ，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為 8 n {\displaystyle 8n} 的群 D 2 n h {\displaystyle D_{2n\mathrm {h} }} ，其抽象群類別為 D i h 2 n × Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}} 。（ n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ） 此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調） 餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調） 點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。 基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全二十面體對稱（英语：icosahedral symmetry）的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。 基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。 考慮三維旋量群 S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 到旋轉群 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 的二重覆疊投映。由於 S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 已是單連通，故為 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 僅有的非平凡連通覆疊。 由子群的對應（英语：Correspondence theorem (group theory)）， S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 與 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} 的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接： S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 子群投映到 S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} ，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是 S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 的子群。注意 S p i n ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)} 可以等價描述成特殊酉群 S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} ，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面 S 3 {\displaystyle S^{3}} 。 有限點群的原像稱為二元多面體群，記作 ⟨ l , n , m ⟩ {\displaystyle \langle l,n,m\rangle } ，與多面體群（英语：polyhedral group） ( l , m , n ) {\displaystyle (l,m,n)} 對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，二十面體群（英语：icosahedral group） ( 2 , 3 , 5 ) {\displaystyle (2,3,5)} 的原像，便是二元二十面體群（英语：binary icosahedral group） ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ {\displaystyle \langle 2,3,5\rangle } 。 二元多面體群為： A n {\displaystyle A_{n}} : 正 n {\displaystyle n} 邊形的二元循環群（英语：binary cyclic group），階數 2 n {\displaystyle 2n} 。 D n {\displaystyle D_{n}} : 正 n {\displaystyle n} 邊形的二元二面體群（英语：binary dihedral group） ⟨ 2 , 2 , n ⟩ {\displaystyle \langle 2,2,n\rangle } ，階數 4 n {\displaystyle 4n} 。 E 6 {\displaystyle E_{6}} : 二元四面體群（英语：binary tetrahedral group） ⟨ 2 , 3 , 3 ⟩ {\displaystyle \langle 2,3,3\rangle } ，階數 24 {\displaystyle 24} 。 E 7 {\displaystyle E_{7}} : 二元八面體群（英语：binary octahedral group） ⟨ 2 , 3 , 4 ⟩ {\displaystyle \langle 2,3,4\rangle } ，階數 48 {\displaystyle 48} 。 E 8 {\displaystyle E_{8}} : 二元二十面體群（英语：binary icosahedral group） ⟨ 2 , 3 , 5 ⟩ {\displaystyle \langle 2,3,5\rangle } ，階數 120 {\displaystyle 120} 。 該些群能按ADE分類（英语：ADE classification），而 C 2 {\displaystyle \mathbb {C} ^{2}} 在二元多面體群作用下的商空間，是杜瓦爾奇點（英语：Du Val singularity）。 對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。 注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在 S p i n ( 3 ) → S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\to SO(3)} 映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在旋量表示（英语：spin representation）或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。 二元多面體群不是射影多面體（英语：projective polyhedra）的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及透鏡空間（英语：lens space）），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。 球對稱群列表（英语：List of spherical symmetry groups） 化學常用三維點群的特徵標表（英语：List of character tables for chemically important 3D point groups） 二維點群（英语：Point groups in two dimensions） 四維點群（英语：Point groups in four dimensions） 對稱——經某種變換後仍與原先相同 歐氏平面等距變換（英语：Euclidean plane isometry） 群作用——在一些集合上從一組到一組雙射的同態 點群——幾何學中，保持某一點不動的等距變換的群 晶系——空間群、格、點群、晶體的分類 空间群——空間中，某結構的對稱群（空间群列表） 小群列表 分子对称性——維持化學分子形狀不變的空間變換 Curie, Pierre. 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