波尔文积分

波尔文积分（英語：Borwein integral）是一种由波尔文父子发现的性质特殊的积分，常用于作为看似存在的数学规律最终失效的例子。2001年，大卫·波尔文和乔纳森·波尔文（英语：Jonathan Borwein）共同发表了这个涉及sinc函数的积分。 常见的例子为： ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x d x = π 2 ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ ( x / 3 ) x / 3 d x = π 2 ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ ( x / 3 ) x / 3 sin ⁡ ( x / 5 ) x / 5 d x = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\\[10pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}{\frac {\sin(x/5)}{x/5}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} 这种规律一直到 ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ⁡ ( x / 13 ) x / 13 d x = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/13)}{x/13}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.} 都是成立的。 但是到了下一个数，这个规律就突然失效了： ∫ 0 ∞ sin ⁡ ( x ) x sin ⁡ ( x / 3 ) x / 3 ⋯ sin ⁡ ( x / 15 ) x / 15 d x = 467807924713440738696537864469 935615849440640907310521750000   π = π 2 − 6879714958723010531 935615849440640907310521750000   π ≃ π 2 − 2.31 × 10 − 11 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}{\frac {\sin(x/3)}{x/3}}\cdots {\frac {\sin(x/15)}{x/15}}\,dx&={\frac {467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&={\frac {\pi }{2}}-{\frac {6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}}~\pi \\[5pt]&\simeq {\frac {\pi }{2}}-2.31\times 10^{-11}.\end{aligned}}} 对于给定的一系列非零实数，即 a 0 , a 1 , a 2 ⋯ {\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\cdots } ，可以给出 ∫ 0 ∞ ∏ k = 0 n sin ⁡ ( a k x ) a k x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x} 的封闭公式形式。为了计算这个公式，其中需要做的就是计算含有 a k {\displaystyle a_{k}} 相关的量之和。特别的，设 γ = ( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n ) ∈ { ± 1 } n {\displaystyle \gamma =(\gamma _{1},\gamma _{2},\cdots ,\gamma _{n})\in \{\pm 1\}^{n}} 即由 ± 1 {\displaystyle \pm 1} 构成的 n {\displaystyle n} 元组，于是可以写成 b γ = a 0 + γ 1 a 1 + γ 2 a 2 + ⋯ + γ n a n {\displaystyle b_{\gamma }=a_{0}+\gamma _{1}a_{1}+\gamma _{2}a_{2}+\cdots +\gamma _{n}a_{n}} 即有关 a k {\displaystyle a_{k}} 的各种加减形式的总和，并且令 ε γ = γ 1 γ 2 ⋯ γ n {\displaystyle \varepsilon _{\gamma }=\gamma _{1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{n}} （其结果为 ± 1 {\displaystyle \pm 1} ）。基于上述定义，可以得到该积分的值为： ∫ 0 ∞ ∏ k = 0 n sin ⁡ ( a k x ) a k x d x = π 2 a 0 ⋅ C n {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}{\frac {\sin(a_{k}x)}{a_{k}x}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2a_{0}}}\cdot C_{n}} 其中： C n = 1 2 n ⋅ n ! ∏ k = 1 n a k ⋅ ∑ γ ∈ { ± 1 } n ε γ b γ n sgn ⁡ ( b n ) {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{2^{n}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\cdot \sum _{\gamma \in \{\pm 1\}^{n}}\varepsilon _{\gamma }b_{\gamma }^{n}\operatorname {sgn} (b_{n})} 在这里如果 a 0 > | a 1 | + | a 2 | + ⋯ + | a n | {\displaystyle a_{0}>|a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|} ，那么有 C n = 1 {\displaystyle C_{n}=1} 。 进一步地，如果存在一个 n {\displaystyle n} 对于每个 k = 0 , ⋯ , n − 1 {\displaystyle k=0,\cdots ,n-1} 总有 0 < a n < 2 a k {\displaystyle 0<a_{n}<2a_{k}} 成立，并且有 a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 < a 0 < a 1 + a 2 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}<a_{0}<a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}} ，即 n {\displaystyle n} 为首次超过 a 0 {\displaystyle a_{0}} 的前几项之和时的元素数量，即当 k = 0 , ⋯ , n − 1 {\displaystyle k=0,\cdots ,n-1} 时有 C k = 1 {\displaystyle C_{k}=1} ，但在其他情况时： C n = 1 − ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n − a 0 ) n 2 n − 1 ⋅ n ! ∏ k = 1 n a k {\displaystyle C_{n}=1-{\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}-a_{0})^{n}}{2^{n-1}\cdot n!\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}} 在这里令 a k = 1 2 k + 1 {\displaystyle a_{k}={\frac {1}{2k+1}}} ，即当 n = 7 {\displaystyle n=7} 时 a 7 = 1 15 {\displaystyle a_{7}={\frac {1}{15}}} ，此时 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 ≈ 0.955 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\approx 0.955} 但是 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + 1 15 ≈ 1.02 {\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}\approx 1.02} ，又由于 a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1} ，于是该公式成立（并且移去其中任何因子也成立）： ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x ⋅ sin ⁡ x 3 x 3 ⋯ sin ⁡ x 13 x 13 d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{13}}}{\frac {x}{13}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}} 但在另一方面，则有： ∫ 0 ∞ sin ⁡ x x ⋅ sin ⁡ x 3 x 3 ⋯ sin ⁡ x 15 x 15 d x = π 2 [ 1 − ( 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 13 + 1 15 − 1 ) 7 2 6 ⋅ 7 ! ⋅ ( 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 ) − 1 ] {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {\sin {\frac {x}{3}}}{\frac {x}{3}}}\cdots {\frac {\sin {\frac {x}{15}}}{\frac {x}{15}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\left[1-{\frac {\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{15}}-1\right)^{7}}{2^{6}\cdot 7!\cdot (3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)^{-1}}}\right]} 即与前面给出的公式的结果相同。 Borwein, David; Borwein, Jonathan M., Some remarkable properties of sinc and related integrals [sinc函数及其相关积分的一些引人注意的性质], The Ramanujan Journal, 2001, 5 (1): 73–89, ISSN 1382-4090, MR 1829810, doi:10.1023/A:1011497229317 （英语）