四維矢量

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如， x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 或 x μ {\displaystyle {x}_{\mu }\,\!} 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， ( x ) 2 {\displaystyle (x)^{2}\,\!} 表示 x {\displaystyle x\,\!} 平方；而 x 2 {\displaystyle {x}^{2}\,\!} 是 x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 的第二個分量。 在相對論裏，四維向量（four-vector）是實值四維向量空間裏的矢量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，通過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。 本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。 在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量（一組標準基底的四個坐標） x μ = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle {x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})} 來表示；其中，上標 μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mu =0,\,1,\,2,\,3} 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為 x μ   = d e f   ( c t , x , y , z ) {\displaystyle {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,x,\,y,\,z)} ； 其中， c {\displaystyle c} 是光速， t {\displaystyle t} 是時間， ( x , y , z ) {\displaystyle (x,\,y,\,z)} 是位置的三維直角坐標。 為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 x 0   = d e f   c t {\displaystyle {x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct} 。 「四維位移」定義為兩個事件之間的矢量差。在時空圖裏，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當矢量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 Δ x μ {\displaystyle \Delta {x}^{\mu }} 表示為 Δ x μ   = d e f   ( Δ c t ,   Δ x ,   Δ y ,   Δ z ) {\displaystyle \Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)} 。 帶有上標的四維向量 U μ {\displaystyle {U}^{\mu }} 稱為反變矢量，其分量標記為 U μ =   ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) {\displaystyle {U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})} 。 假若，標號是下標，則稱四維向量 U μ {\displaystyle {U}_{\mu }} 為協變矢量。其分量標記為 U μ =   ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) =   ( U 0 , − U 1 , − U 2 , − U 3 ) {\displaystyle {U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})} 。 在這裡，閔考斯基度規 η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} 被設定為 η μ ν   = d e f   ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)} 。 採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為 U μ = η μ ν U ν {\displaystyle U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu }} 。 閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 η μ ν {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }} 相等： η μ ν   = d e f   ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)} 。 給予兩個慣性參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 、 S ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}} ；相對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ，參考系 S ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}} 以速度 v = v x ^ {\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}} 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 Λ μ ν {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }} 是 Λ μ ν =   ( γ − γ β 0 0 − γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)} ； 其中， γ = 1 1 − ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}} 是勞侖茲因子， β = v c {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} 是「貝塔因子」。 對於這兩個參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 、 S ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}} ，假設一個事件的四維坐標分別為 x μ {\displaystyle {x}^{\mu }} 、 x ¯ μ {\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }} 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為 x ¯ μ = Λ μ ν   x ν {\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }} 、 x μ = Λ ¯ μ ν   x ¯ ν {\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }} ； 其中， Λ ¯ μ ν {\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }} 是 Λ μ ν {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }} 的反矩阵， Λ ¯ μ ν =   ( γ γ β 0 0 γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)} 。 將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到 x ¯ μ = Λ μ ν   x ν = Λ μ ν   Λ ¯ ν ξ   x ¯ ξ {\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }} 。 因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性： Λ μ ν   Λ ¯ ν ξ = δ μ ξ {\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }} ； 其中， δ μ ξ {\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi }} 是克羅內克函數。 另外一個很有用的特性為 Λ ¯ μ ν = η α ν   η β μ   Λ α β {\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }} ； 給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，通過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 、 S ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}} ，具有這種有用性質的四維向量 U μ {\displaystyle {U}^{\mu }} 、 U ¯ μ {\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }} 滿足 U ¯ μ = Λ μ ν   U ν {\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }} 、 U μ = Λ ¯ μ ν   U ¯ ν {\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }} 。 在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變量；改變慣性參考系不會改變不變量。 假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」（momentarily comoving reference frame）。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 τ {\displaystyle \tau } 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。 這物體的運動可以用一條世界線 x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 Δ τ {\displaystyle \Delta \tau } 與從別的慣性參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 所觀測到的微小時間間隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 的關係為 Δ t = γ Δ τ {\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau } 。 所以，固有時 τ {\displaystyle \tau } 對於其它時間 t {\displaystyle t} 的導數為 d τ d t = 1 γ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}} 。 在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 U μ {\displaystyle U^{\mu }} 與 V μ {\displaystyle V_{\mu }} 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為： U μ V μ   = d e f   U 0 V 0 − U 1 V 1 − U 2 V 2 − U 3 V 3 {\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}} 。 由於這內積並不具正定性，即 U μ U μ = ( U 0 ) 2 − ( U 1 ) 2 − ( U 2 ) 2 − ( U 3 ) 2 {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}} 可能會是負數；而歐幾里得內積一定不是負數。 許多學者喜歡使用相反正負號的 η {\displaystyle \eta } ： η μ ν   = d e f   ( − 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)} 。 這樣， U μ {\displaystyle U^{\mu }} 與 V μ {\displaystyle V_{\mu }} 的內積改變為 U μ V μ = − U 0 V 0 + U 1 V 1 + U 2 V 2 + U 3 V 3 {\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}} 。 其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。 從參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 改換至另一參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} ， U μ {\displaystyle U^{\mu }} 與 V μ {\displaystyle V_{\mu }} 的內積為 U μ V μ = Λ ¯ μ α   U ¯ α   η μ β V β = Λ ¯ μ α   U ¯ α   η μ β   Λ ¯ β ξ   V ¯ ξ = Λ ¯ μ α   U ¯ α   η μ β   Λ ¯ β ξ   η ξ ζ   V ¯ ζ = Λ ¯ μ α   U ¯ α   Λ ¯ ζ μ   V ¯ ζ = δ ζ α   U ¯ α   V ¯ ζ = U ¯ α V ¯ α {\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }} 。 所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變量： U μ V μ = U ¯ μ V ¯ μ {\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }} 。 四維向量可以分類為類時，類空，或類光（零矢量）： 類時矢量： U μ U μ > 0 {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0} ， 類空矢量： U μ U μ < 0 {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0} ， 類光矢量： U μ U μ = 0 {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0} 。 設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 x μ ( τ ) {\displaystyle x^{\mu }(\tau )} 的四維速度 U μ {\displaystyle U^{\mu }} 定義為 U μ   = d e f   d x μ d τ = d t d τ   d x μ d t = ( γ c ,   γ u ) {\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)} ； 其中， u = ( d x 1 d t , d x 2 d t , d x 3 d t ) {\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)} 是三維速度，或經典速度矢量。 U μ {\displaystyle U^{\mu }} 的空間部分與經典速度 u {\displaystyle \mathbf {u} } 的關係為 ( U 1 , U 2 , U 3 ) = γ u {\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} } 。 四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變量： U μ U μ = c 2 {\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}} 。 在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為 ( c , 0 , 0 , 0 ) M C R F {\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF}} ， 其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 e ^ 0 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) M C R F {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}} 同向； 其中， M C R F {\displaystyle MCRF} 表示從瞬間共動參考系觀察得到的數據。 四維加速度 α μ {\displaystyle \alpha ^{\mu }} 定義為 α μ   = d e f   d U μ d τ = ( γ γ ˙ c , γ γ ˙ u + γ 2 u ˙ ) {\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)} 。 經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數： γ ˙ = d γ d t = γ 3 ( u ⋅ a ) / c 2 {\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}} ； 其中， a = d u d t {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}} 是經典加速度。 所以，四維加速度 α μ {\displaystyle \alpha ^{\mu }} 可以表示為 α μ = ( γ 4 ( u ⋅ a ) / c , γ 2 a + γ 4 ( u ⋅ a ) u / c 2 ) {\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)} 。 由於 U μ U μ {\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }} 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零： α μ U μ = 1 2 d ( U μ U μ ) d τ = 0 {\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0} 。 對於每一條世界線，這計算結果都成立。 注意到在瞬間共動參考系裡， U μ {\displaystyle U_{\mu }} 只有時間分量不等於零，所以， α μ {\displaystyle \alpha ^{\mu }} 為的時間分量為零： α μ = ( 0 , γ 2 a ) M C R F {\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}} 。 一個靜止質量為 m {\displaystyle m} 的粒子的四維動量 P μ {\displaystyle P^{\mu }} 定義為 P μ   = d e f   m U μ = ( γ m c , γ m u ) {\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)} 。 經典動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } 定義為 p   = d e f   m r e l u = γ m u {\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} } ； 其中， m r e l {\displaystyle m_{rel}} 是相對論性質量。 所以， P μ {\displaystyle P^{\mu }} 的空間部分等於經典動量 p {\displaystyle \mathbf {p} } ： ( P 1 , P 2 , P 3 ) = p {\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} } 。 作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數： F μ   = d e f   d P μ d τ {\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}} 。 提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度： F μ = m d U μ d τ = m α μ {\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }} 。 因此，四維力可以表示為 F μ = m ( γ 4 ( u ⋅ a ) / c , γ 2 a + γ 4 ( u ⋅ a ) u / c 2 ) {\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)} 。 經典力 f {\displaystyle \mathbf {f} } 定義為 f   = d e f   d p d t {\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}} 。 所以， F μ {\displaystyle F^{\mu }} 的空間部分等於 γ f {\displaystyle \gamma \mathbf {f} } ： ( F 1 , F 2 , F 3 ) = γ f {\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} } 。 在四維向量的表述裏，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。 假設，在微小時間間隔 d t {\displaystyle \mathrm {d} t} ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 f {\displaystyle \mathbf {f} } 的施加，而這粒子的微小位移為 d x {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} } 。那麼，作用力 f {\displaystyle \mathbf {f} } 對於這粒子所做的微小機械功 d W {\displaystyle \mathrm {d} W} 為 d W = f ⋅ d x {\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} } 。 因此，這粒子的動能的改變 d K {\displaystyle \mathrm {d} K} 為 d K = d W = f ⋅ d x {\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} } 。 粒子的動能 K {\displaystyle K} 對於時間的導數為 d K d t = f ⋅ d x d t = f ⋅ u {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} } 。 將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到 d K d t = m γ 3 ( u ⋅ a ) = m c 2 d γ d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}} 。 這公式的反微分為 K = γ m c 2 + K 0 {\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0}} 。 當粒子靜止時，動能等於零。所以， K = γ m c 2 − m c 2 {\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2}} 。 這公式的右手邊第二個項目就是靜止能量 E 0   = d e f   m c 2 {\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}} 。動能 K {\displaystyle K} 加上靜止能量 E 0 {\displaystyle E_{0}} 等於總能量 E {\displaystyle E} ： E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}} 。 再加簡化，以相對論性質量 m r e l {\displaystyle m_{rel}} 表示： E = m r e l c 2 {\displaystyle E=m_{rel}c^{2}} 。 這方程式稱為質能方程式。 使用質能方程式 E = m r e l c 2 = γ m c 2 {\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}} ，四維動量可以表示為 P μ = ( E c , p ) {\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)} 。 四維動量與自己的內積為 P μ P μ = E 2 c 2 − ( p ) 2 {\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}} 。 改以四維速度來計算內積： P μ P μ = m 2 U μ U μ = m 2 c 2 {\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}} 。 所以，能量-動量關係式為 E 2 = ( p c ) 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}} 。 在電磁學裏，四維電流密度 J μ {\displaystyle J^{\mu }} 是一個四維向量，定義為 J μ   = d e f   ( ρ c , j ) {\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )} ； 其中， ρ {\displaystyle \rho } 是電荷密度， j {\displaystyle \mathbf {j} } 是三維電流密度。 在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 ρ 0 = ρ / γ {\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma } 。四維電流密度與四維速度的關係為 J μ = ρ 0 U μ {\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }} 。 電荷守恆定律能以三維矢量表示為 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0} 。 這定律也能以四維電流密度表示為 ∂ J μ ∂ x μ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0} 。 從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。 電磁四維勢是由電勢 ϕ {\displaystyle \phi \,} 與矢量勢 A {\displaystyle \mathbf {A} } 共同形成的，定義為 A μ   = d e f   ( ϕ / c , A ) {\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )} 。 黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係： ◻ A μ = μ 0 J μ {\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}  ; 其中， μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} 是磁常數， ◻ = ∂ 2 = ∂ α ∂ α = ( 1 c 2   ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) {\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)} 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。 一個平面電磁波的四維頻率 ν μ {\displaystyle {\nu }^{\mu }} 定義為 ν α   = d e f   ( f , f n ) {\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )} ； 其中， f {\displaystyle f} 是電磁波的頻率， n {\displaystyle \mathbf {n} } 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。 四維頻率與自己的內積永遠等於零： ν α ν α = ( f ) 2 ( 1 − n 2 ) = 0 {\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0} 。 一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波矢量 K α {\displaystyle {K}^{\alpha }} 來描述： K α   = d e f   ( 2 π f c , k ) {\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)} 。 其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是三維波矢量。 四維波矢量與四維頻率之間的關係為 K α = 2 π ν α c {\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}} 。 洛侖茲協變性 Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2.  Carver A. Mead. Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism. MIT Press. 2002: 37–38. ISBN 9780262632607.  Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.