系统F

系统F，也叫做多态lambda演算或二阶lambda演算，是有类型lambda演算。它由逻辑学家Jean-Yves Girard（英语：Jean-Yves Girard）和计算机科学家John C. Reynolds（英语：John C. Reynolds）独立发现的。系统F形式化了编程语言中的参数多态的概念。 正如同lambda演算有取值于（range over）函数的变量，和来自它们的粘合子（binder）；二阶lambda演算取值自类型，和来自它们的粘合子。 作为一个例子，恒等函数有形如A→ A的任何类型的事实可以在系统F中被形式化为判断 ⊢ Λ α . λ x α . x : ∀ α . α → α {\displaystyle \vdash \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.x:\forall \alpha .\alpha \to \alpha } 这里的α是类型变量（英语：type variable）。 在Curry-Howard同构下，系统F对应于二阶逻辑。 系统F，和甚至更加有表达力的lambda演算一起，可被看作Lambda立方体的一部分。 布尔类型被定义为： ∀ α . α → α → α {\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to \alpha \to \alpha } ，这里的α是类型变量。这产生了下列对布尔值TRUE和FALSE的两个定义： TRUE := Λ α . λ x α λ y α . x {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.x} FALSE := Λ α . λ x α λ y α . y {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }\lambda y^{\alpha }.y} 接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑算子： AND := λ x B o o l e a n λ y B o o l e a n . ( ( x ( B o o l e a n ) ) y ) F A L S E {\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))y)FALSE} OR := λ x B o o l e a n λ y B o o l e a n . ( ( x ( B o o l e a n ) ) T R U E ) y {\displaystyle \lambda x^{Boolean}\lambda y^{Boolean}.((x(Boolean))TRUE)y} NOT := λ x B o o l e a n . ( ( x ( B o o l e a n ) ) F A L S E ) T R U E {\displaystyle \lambda x^{Boolean}.((x(Boolean))FALSE)TRUE} 实际上不需要IFTHENELSE函数，因为你可以只使用原始布尔类型的项作为判定（decision）函数。但是如果需要一个的话： IFTHENELSE := Λ α . λ x B o o l e a n λ y α λ z α . ( ( x ( α ) ) y ) z {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{Boolean}\lambda y^{\alpha }\lambda z^{\alpha }.((x(\alpha ))y)z} 谓词是返回布尔值的函数。最基本的谓词是ISZERO，它返回TRUE当且仅当它的参数是邱奇数 0: ISZERO := λ n. n (λ x. FALSE) TRUE 系统F允许以同Martin-Löf类型论有关的自然的方式嵌入递归构造。抽象结构（S）是使用构造子建立的。有函数被定类型为： K 1 → K 2 → ⋯ → S {\displaystyle K_{1}\rightarrow K_{2}\rightarrow \dots \rightarrow S} 当 S {\displaystyle S} 自身出现类型 K i {\displaystyle K_{i}} 中的一个内的时候递归就出现了。如果你有 m {\displaystyle m} 个这种构造子，你可以定义 S {\displaystyle S} 为： ∀ α . ( K 1 1 [ α / S ] → ⋯ → α ) ⋯ → ( K 1 m [ α / S ] → ⋯ → α ) → α {\displaystyle \forall \alpha .(K_{1}^{1}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\dots \rightarrow (K_{1}^{m}[\alpha /S]\rightarrow \dots \rightarrow \alpha )\rightarrow \alpha } 例如，自然数可以被定义为使用构造子的归纳数据类型 N {\displaystyle N} z e r o : N {\displaystyle {\mathit {zero}}:\mathrm {N} } s u c c : N → N {\displaystyle {\mathit {succ}}:\mathrm {N} \to \mathrm {N} } 对应于这个结构的系统F类型是 ∀ α . α → ( α → α ) → α {\displaystyle \forall \alpha .\alpha \to (\alpha \to \alpha )\to \alpha } 。这个类型的项由有类型版本的邱奇数构成，前几个是： 0 := Λ α . λ x α . λ f α → α . x {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.x} 1 := Λ α . λ x α . λ f α → α . f x {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.fx} 2 := Λ α . λ x α . λ f α → α . f ( f x ) {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(fx)} 3 := Λ α . λ x α . λ f α → α . f ( f ( f x ) ) {\displaystyle \Lambda \alpha .\lambda x^{\alpha }.\lambda f^{\alpha \to \alpha }.f(f(fx))} 如果我们反转curried参数的次序（比如 ∀ α . ( α → α ) → α → α {\displaystyle \forall \alpha .(\alpha \to \alpha )\to \alpha \to \alpha } ），则 n {\displaystyle n} 的邱奇数是接受函数f作为参数并返回f的n次幂的函数。就是说，邱奇数是一个高阶函数 -- 它接受一个单一参数函数f，并返回另一个单一参数函数。 本文用的系统F版本是显式类型的，或邱奇风格的演算。包含在λ-项内的类型信息使类型检查直接了当。Joe Wells（1994）设立了一个"难为人的公开问题"，证明系统 F的Curry-风格的变体是不可判定的，它缺乏明显的类型提示。[1] [2] Wells的结果暗含着系统F的类型推论是不可能的。一个限制版本的系统F叫做"Hindley-Milner"，或简称"HM"，有一个容易的类型推论算法，并用于了很多强类型的函数式编程语言，比如Haskell和ML。 Girard, Lafont and Taylor, 1997. Proofs and Types. Cambridge University Press. J. B. Wells. "Typability and type checking in the second-order lambda-calculus are equivalent and undecidable." In Proceedings of the 9th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), pages 176-185, 1994. [3] （页面存档备份，存于互联网档案馆） Summary of System F （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Franck Binard.