切比雪夫多项式

切比雪夫多项式（英語：Chebyshev polynomials）是与棣莫弗定理有关，以递归定义的一系列正交多项式序列。 通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示， 第二类切比雪夫多项式用Un表示。切比雪夫多项式 Tn 或 Un 代表 n 阶多项式。 切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。 在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程： ( 1 − x 2 ) y ″ − x y ′ + n 2 y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0} 和 ( 1 − x 2 ) y ″ − 3 x y ′ + n ( n + 2 ) y = 0 {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0} 相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。 第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定 T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1\,} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x\,} T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) . {\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,} 也可以用母函数表示 ∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.} 第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出 U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1\,} U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x\,} U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) . {\displaystyle U_{n+1}(x)=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\,} 此时母函数为 ∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.} 第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定 T n ( cos ⁡ ( θ ) ) = cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )\,} 其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . cos ⁡ n θ {\displaystyle \cos n\theta \,} 是关于 cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta \,} 的 n次多项式，这个事实可以这么看： cos ⁡ n θ {\displaystyle \cos n\theta \,} 是: ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = e i n θ = cos ⁡ ( n θ ) + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=e^{in\theta }=\cos(n\theta )+i\sin n\theta \,} 的实部（参见棣莫弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含 sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta \,} 的项中， sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta \,} 都是偶数次的，从而可以表示成 1 − cos 2 ⁡ θ {\displaystyle 1-\cos ^{2}\theta \,} 的幂 。 用显式来表示 T n ( x ) = { cos ⁡ ( n arccos ⁡ ( x ) ) ,   x ∈ [ − 1 , 1 ] cosh ⁡ ( n a r c c o s h ( x ) ) ,   x ≥ 1 ( − 1 ) n cosh ⁡ ( n a r c c o s h ( − x ) ) ,   x ≤ − 1 {\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x)),&\ x\in [-1,1]\\\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (x)),&\ x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,\mathrm {arccosh} (-x)),&\ x\leq -1\\\end{cases}}} 尽管能经常碰到上面的表达式，但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有 T n ( x ) = cos ⁡ ( n arccos ⁡ ( x ) ) = c o s h ( n a r c c o s h ( x ) )   , ∀ x ∈ R . {\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}(x)&=&\cos(n\arccos(x))\\&=&\mathrm {cosh} (n\,\mathrm {arccosh} (x))\end{matrix}}\ ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .} 类似，第二类切比雪夫多项式满足 U n ( cos ⁡ ( θ ) ) = sin ⁡ ( ( n + 1 ) θ ) sin ⁡ θ . {\displaystyle U_{n}(\cos(\theta ))={\frac {\sin((n+1)\theta )}{\sin \theta }}.} 切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程 T i 2 − ( x 2 − 1 ) U i − 1 2 = 1 {\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1\,\!} 在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见 Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出: T i + U i − 1 x 2 − 1 = ( x + x 2 − 1 ) i . {\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.\,\!} 两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出: T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} U − 1 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{-1}(x)=1} T n + 1 ( x ) = x T n ( x ) − ( 1 − x 2 ) U n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)} U n ( x ) = x U n − 1 ( x ) + T n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)=xU_{n-1}(x)+T_{n}(x)} 证明的方式是在下列三角关系式中用 cos ⁡ ϑ {\displaystyle \cos \vartheta } 代替 x {\displaystyle x} T n + 1 ( x ) = T n + 1 ( cos ⁡ ϑ ) = {\displaystyle T_{n+1}(x)=T_{n+1}(\cos \vartheta )={}} cos ⁡ ( ( n + 1 ) ϑ ) = {\displaystyle \cos((n+1)\vartheta )={}} cos ⁡ ( n ϑ ) cos ⁡ ϑ − sin ⁡ ( n ϑ ) sin ⁡ ϑ = {\displaystyle \cos(n\vartheta )\cos \vartheta -\sin(n\vartheta )\sin \vartheta ={}} T n ( cos ⁡ ϑ ) cos ⁡ ϑ − U n − 1 ( cos ⁡ ϑ ) sin 2 ⁡ ϑ = {\displaystyle T_{n}(\cos \vartheta )\cos \vartheta -U_{n-1}(\cos \vartheta )\sin ^{2}\vartheta ={}} x T n ( x ) − ( 1 − x 2 ) U n − 1 ( x ) {\displaystyle xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)} Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系. 第一类切比雪夫多项式带权 1 1 − x 2 , {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},} 即: ∫ − 1 1 T n ( x ) T m ( x ) d x 1 − x 2 = { 0 : n ≠ m           π : n = m = 0 π / 2 : n = m ≠ 0 {\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.} 可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明. 类似地，第二类切比雪夫多项式带权 1 − x 2 {\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}} 即: ∫ − 1 1 U n ( x ) U m ( x ) 1 − x 2 d x = { 0 : n ≠ m π / 2 : n = m {\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi /2&:n=m\end{cases}}} 其正交化后形成的随机变量是 Wigner 半圆分布). 对每个非负整数 n {\displaystyle n} ， T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} 和 U n ( x ) {\displaystyle U_{n}(x)} 都为 n {\displaystyle n} 次多项式。 并且当 n {\displaystyle n} 为偶（奇）数时，它们是关于 x {\displaystyle x} 的偶（奇）函数， 在写成关于 x {\displaystyle x} 的多项式时只有偶（奇）次项。 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 时， T n {\displaystyle T_{n}} 的最高次项系数为 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} ， n = 0 {\displaystyle n=0} 时系数为 1 {\displaystyle 1} 。 对 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ，在所有最高次项系数为1的 n {\displaystyle n} 次多项式中 ， f ( x ) = 1 2 n − 1 T n ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)} 对零的偏差最小，即它是使得 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 上绝对值的最大值最小的多项式。 其绝对值的最大值为 1 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}} ， 分别在 − 1 {\displaystyle -1} 、 1 {\displaystyle 1} 及 f {\displaystyle f} 的其他 n − 1 {\displaystyle n-1} 个极值点上达到 。 两类切比雪夫多项式间还有如下关系： d d x T n ( x ) = n U n − 1 ( x )  ,  n = 1 , … {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots } T n ( x ) = 1 2 ( U n ( x ) − U n − 2 ( x ) ) . {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).} T n + 1 ( x ) = x T n ( x ) − ( 1 − x 2 ) U n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,} T n ( x ) = U n ( x ) − x U n − 1 ( x ) . {\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x).} 切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例. 切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出： 2 T n ( x ) = 1 n + 1 d d x T n + 1 ( x ) − 1 n − 1 d d x T n − 1 ( x )  ,  n = 1 , 2 , … {\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,2,\ldots } 前几个第一类切比雪夫多项式是 T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1\,} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x\,} T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,} T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,} T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,} T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x {\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,} T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 {\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,} T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x {\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,} T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 {\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,} T 9 ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x . {\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,} 前几个第二类切比雪夫多项式是 U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1\,} U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x\,} U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 {\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,} U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x {\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,} U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1 {\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,} U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x {\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,} U 6 ( x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1. {\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1.\,} 第一类切比雪夫多项式前几阶导数是 T n ′ ( 1 ) = n 2 {\displaystyle T_{n}'(1)=n^{2}\,} T n ′ ( − 1 ) = − ( − 1 ) n ∗ n 2 {\displaystyle T_{n}'(-1)=-(-1)^{n}*n^{2}\,} T n ″ ( 1 ) = ( n 4 − n 2 ) / 3 {\displaystyle T_{n}''(1)=(n^{4}-n^{2})/3\,} T n ″ ( − 1 ) = ( − 1 ) n ∗ ( n 4 − n 2 ) / 3 {\displaystyle T_{n}''(-1)=(-1)^{n}*(n^{4}-n^{2})/3\,} 一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下： p ( x ) = ∑ n = 0 N a n T n ( x ) {\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x)} 多项式按切比雪夫多项式的展开可以用 Clenshaw递推公式计算。 两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes） ，因为是多项式插值时的 插值点 . 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是： x i = cos ⁡ ( 2 i − 1 2 n π )  ,  i = 1 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {2i-1}{2n}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.} 类似地， Un 的n个根分别是： x i = cos ⁡ ( i n + 1 π )  ,  i = 1 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\cos \left({\frac {i}{n+1}}\pi \right){\mbox{ , }}i=1,\ldots ,n.} 切比雪夫节点（英语：Chebyshev nodes） 切比雪夫滤波器 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.