加托導數

数学上，加托导数(英文: Gâteaux derivative)是微分学中的方向导数的概念的推广。它以勒內·加托命名，他是一位法国数学家，年青时便死于第一次世界大战。它定义于局部凸的拓扑向量空间上，可以和巴拿赫空间上的弗雷歇导数作对比。二者都经常用于形式化泛函导数的概念，常见于變分法和物理学，特别是量子场论。和其他形式的导数不同，加托导数是非线性的。 假设 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 是局部凸拓扑向量空间，（例如巴拿赫空间）， U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} 是開集合(open set)，且 F : X → Y {\displaystyle F:X\rightarrow Y} 。 F {\displaystyle F} 在點 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 沿着 ψ ∈ X {\displaystyle \psi \in X} 方向的加托偏微分(Gâteaux differential) d F ( u , ψ ) {\displaystyle dF(u,\psi )} 定义为 d F ( u , ψ ) = lim τ → 0 F ( u + τ ψ ) − F ( u ) τ = d d τ F ( u + τ ψ ) | τ = 0 {\displaystyle dF(u,\psi )=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(u+\tau \psi )-F(u)}{\tau }}=\left.{\frac {d}{d\tau }}F(u+\tau \psi )\right|_{\tau =0}} 如果极限存在。固定 u {\displaystyle u} 若 d F ( u , ψ ) {\displaystyle dF(u,\psi )} 对于所有 ψ ∈ X {\displaystyle \psi \in X} 都存在，则称 F {\displaystyle F} 在 u ∈ U {\displaystyle u\in U} 是加托可微(Gâteaux differentiable )。若 F {\displaystyle F} 在 u {\displaystyle u} 是加托可微，稱 d F ( u , ⋅ ) {\displaystyle dF(u,\cdot )} 為在 u {\displaystyle u} 的加托導數。 称 F {\displaystyle F} 是在 U {\displaystyle U} 中连续可微的若 d F : U × X → Y {\displaystyle dF:U\times X\rightarrow Y} 是连续的。 若加托导数存在，则其为唯一。 对于每个 u ∈ U {\displaystyle u\in U} ，加托导数是一个算子 d F : X → Y . {\displaystyle dF:X\rightarrow Y.} 。 该算子是齐次的，使得 d F ( u , α ψ ) = α d F ( u , ψ ) {\displaystyle dF(u,\alpha \psi )=\alpha dF(u,\psi )\,} ，但是它通常不是可加的，并且，因此而不总是线性的，不像Fréchet导数。 令 X {\displaystyle X} 为一个在欧几里得空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 勒贝格可测集 Ω {\displaystyle \Omega } 上的平方可积函数的希尔伯特空间，也就是說 X = { u : Ω ↦ R ∣ ∫ Ω u 2 < ∞ , Ω ⊆ R n {\displaystyle X=\{u:\Omega \mapsto \mathbb {R} \mid \int _{\Omega }u^{2}<\infty ,\,\,\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}} 是勒貝格可測集 } {\displaystyle \}} 。泛函 E : X → R {\displaystyle E:X\rightarrow \mathbb {R} } 由 E ( u ) = ∫ Ω F ( u ( x ) ) d x {\displaystyle E(u)=\int _{\Omega }F\left(u(x)\right)dx} 给出，其中 F {\displaystyle F} 是一个定義在實數上的可微实值函数且 F ′ = f {\displaystyle F'=f\,} 而 u {\displaystyle u} 為定義在 Ω {\displaystyle \Omega } 的實數值函數，则加托导数为 d E ( u , ψ ) = ( f ( u ) , ψ ) , ( f ( u ) , ψ ) {\displaystyle dE(u,\psi )=(f(u),\psi ),\quad \quad (f(u),\psi )} 這符號代表 ∫ Ω f ( u ( x ) ) ψ ( x ) d x {\displaystyle \int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx\,} . 更詳細的說： E ( u + τ ψ ) − E ( u ) τ = 1 τ ( ∫ Ω F ( u + τ ψ ) d x − ∫ Ω F ( u ) d x ) {\displaystyle {\frac {E(u+\tau \psi )-E(u)}{\tau }}={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }F(u+\tau \psi )dx-\int _{\Omega }F(u)dx\right)} = 1 τ ( ∫ Ω ∫ 0 1 d d s F ( u + s τ ψ ) d s d x ) {\displaystyle \quad \quad ={\frac {1}{\tau }}\left(\int _{\Omega }\int _{0}^{1}{\frac {d}{ds}}F(u+s\tau \psi )\,ds\,dx\right)} = ∫ Ω ∫ 0 1 f ( u + s τ ψ ) ψ d s d x . {\displaystyle \quad \quad =\int _{\Omega }\int _{0}^{1}f(u+s\tau \psi )\psi \,ds\,dx.} 令 τ → 0 {\displaystyle \tau \rightarrow 0} (并假设所有积分有定义)，得到加托导数 d E ( u , ψ ) = ∫ Ω f ( u ( x ) ) ψ ( x ) d x , {\displaystyle dE(u,\psi )=\int _{\Omega }f(u(x))\psi (x)\,dx,} 也就是，内积 ( f ( u ) , ψ ) . {\displaystyle (f(u),\psi ).\,} 导数 (推广) R Gâteaux. Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques. Comptes rendus de l'académie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913): 325–327. [2006-07-30]. （原始内容存档于2016-12-18） （法语）.