线性微分方程

线性微分方程（英語：Linear differential equation）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)} 其中方程左侧的微分算子 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。 线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)} 其中的 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} 是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数 y 1 {\displaystyle y_{1}} 和 y 2 {\displaystyle y_{2}} 以及两个常数 λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} 和 λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} ，那么： L ( λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 L ( y 1 ) + λ 2 L ( y 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2})=\lambda _{1}{\mathcal {L}}(y_{1})+\lambda _{2}{\mathcal {L}}(y_{2}).} 如果f是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数： y 1 , y 2 , ⋯ , y m {\displaystyle y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}} 以及同样多的常数系数： λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}} ，线性组合 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + ⋯ + λ m y m {\displaystyle \lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\cdots +\lambda _{m}y_{m}} 仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程： L ( y ) = 0 … ( ∗ ∗ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(**)} 设 y s {\displaystyle y^{s}} 是方程(*)的一个解函数。 y {\displaystyle y} 方程(**)的任意一个解函数。则它们的和 y s + y {\displaystyle y^{s}+y} 仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数： y 1 s {\displaystyle y_{1}^{s}} 和 y 2 s {\displaystyle y_{2}^{s}} 。则它们的差 y 1 s − y 2 s {\displaystyle y_{1}^{s}-y_{2}^{s}} 会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成 y s + y , y ∈ V {\displaystyle y^{s}+y,\;y\in V} 的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且 V ′ = y s + V {\displaystyle V'=y^{s}+V} 。 一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有 e z x {\displaystyle e^{zx}} 的形式，其中 z {\displaystyle z} 是某个复数。因此，对于以下方程： d n y d x n + A 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + A n y = 0 {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0} 我们设 y = e z x {\displaystyle y=e^{zx}} ，可得： z n e z x + A 1 z n − 1 e z x + ⋯ + A n e z x = 0. {\displaystyle z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.} 两边除以e zx，便得到了一个n次方程： F ( z ) = z n + A 1 z n − 1 + ⋯ + A n = 0. {\displaystyle F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,} 这个方程F(z) = 0称为特征方程。 一般地，把微分方程中以下的项 d k y d x k ( k = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle {\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).} 换成zk，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。 如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + …… + Cne znx，其中C1、C2、……、Cn是常数。 以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 mz 重根，那么，对于 k ∈ { 0 , 1 , … , m z − 1 } {\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,m_{z}-1\}\,} ， y = x k e z x {\displaystyle y=x^{k}e^{zx}\,} 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 mz 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。 一般地，如果微分方程的系数Ai都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e (a + bi)x和y = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e axsinbx。于是，y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。 求微分方程 y ″ − 4 y ′ + 5 y = 0 {\displaystyle y''-4y'+5y=0\,} 的通解。特征方程是 z 2 − 4 z + 5 = 0 {\displaystyle z^{2}-4z+5=0\,} ，它的根是2+i和2−i。于是， y = C 1 e 2 x cos ⁡ x + C 2 e 2 x sin ⁡ x {\displaystyle y=C_{1}e^{2x}\cos {x}+C_{2}e^{2x}\sin {x}} 就是微分方程的通解。 欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法（日语：定数変化法）求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。 考虑以下的微分方程： d y d x = y + e 2 x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!} 对应的齐次方程是： d y d x = y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y.} 它的通解是： y = c e x . {\displaystyle y=ce^{x}.\!} 由于非齐次的部分是( e 2 x {\displaystyle e^{2x}} )，我们猜测特解的形式是： y p = A e 2 x . {\displaystyle y_{p}=Ae^{2x}.\!} 把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A： d d x ( A e 2 x ) = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A e 2 x = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle 2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A = A + 1 {\displaystyle 2A=A+1\,\!} A = 1. {\displaystyle A=1.\,\!} 因此，原微分方程的解是： y = c e x + e 2 x . {\displaystyle y=ce^{x}+e^{2x}.\!} ( c ∈ R {\displaystyle c\in R} ) 假设有以下的微分方程： y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) {\displaystyle y^{\prime \prime }+py^{\prime }+qy=f(x)} 我们首先求出对应的齐次方程的通解   y = C 1 y 1 + C 2 y 2 {\displaystyle \ y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}} ，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是： y = u 1 y 1 + u 2 y 2 .     ( 1 ) {\displaystyle y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm {(1)} } 两边求導數，可得： y ′ = u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ . {\displaystyle y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.} 我们把函数u1、u2加上一条限制： u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 = 0.     ( 2 ) {\displaystyle u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm {(2)} } 于是： y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ .     ( 3 ) {\displaystyle y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm {(3)} } 两边再求導數，可得： y ″ = u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ .     ( 4 ) {\displaystyle y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm {(4)} } 把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ + p u 1 y 1 ′ + p u 2 y 2 ′ + q u 1 y 1 + q u 2 y 2 = f ( x ) . {\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).} 整理，得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + ( u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 ) + ( u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 ) = f ( x ) . {\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).} 由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此 u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 {\displaystyle u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}} 和 u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 {\displaystyle u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}} 都变为零，故方程化为： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ = f ( x ) .     ( 5 ) {\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm {(5)} } (2)和(5)联立起来，便得到了一个 u 1 ′ {\displaystyle u_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyle u_{2}'} 的方程组，便可得到 u 1 ′ {\displaystyle u_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyle u_{2}'} 的表达式；再积分，便可得到 u 1 {\displaystyle u_{1}} 和 u 2 {\displaystyle u_{2}} 的表达式。 这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有： u j ′ = ( − 1 ) n + j W ( y 1 , … , y j − 1 , y j + 1 … , y n ) ( 0 f ) W ( y 1 , y 2 , … , y n ) . {\displaystyle u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.} 其中W表示朗斯基行列式。 n阶的变系数微分方程具有以下形式： p n ( x ) y ( n ) ( x ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + p 0 ( x ) y ( x ) = r ( x ) . {\displaystyle p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).} 一个例子是柯西-欧拉方程： x n y ( n ) ( x ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + a 0 y ( x ) = 0. {\displaystyle x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.} 变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：   D y ( x ) + f ( x ) y ( x ) = g ( x ) . {\displaystyle \ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).} 这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以 e ∫ f ( x ) d x {\displaystyle e^{\int f(x)\,dx}} ： D y ( x ) e ∫ f ( x ) d x + f ( x ) y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x , {\displaystyle Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},} 用乘法定则，可以简化为： D ( y ( x ) e ∫ f ( x ) d x ) = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x {\displaystyle D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}} 两边积分，得： y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c   , {\displaystyle y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,} y ( x ) = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c e ∫ f ( x ) d x   . {\displaystyle y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.} 也就是说，一阶线性微分方程 y ′ ( x ) + p ( x ) y ( x ) = r ( x ) {\displaystyle y'(x)+p(x)y(x)=r(x)} 的解是： y = e − a ( x ) ( ∫ r ( x ) e a ( x ) d x + κ ) {\displaystyle y=e^{-a(x)}\left(\int r(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)} 其中 κ {\displaystyle \kappa } 是积分常数，且 a ( x ) = ∫ p ( x ) d x . {\displaystyle a(x)=\int {p(x)\,dx}.} 考虑以下一阶线性微分方程： d y d x + b y = 1. {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+by=1.} p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为： y ( x ) = e − b x ( e b x b + C ) = 1 b + C e − b x . {\displaystyle y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.} 应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。 首先有以下关系： L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) } = s n L { f } − Σ i = 1 n s n − i f ( i − 1 ) ( 0 ) . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).} 有如下微分方程： ∑ i = 0 n a i f ( i ) ( t ) = ϕ ( t ) . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t).} 该方程可变换为： ∑ i = 0 n a i L { f ( i ) ( t ) } = L { ϕ ( t ) } {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}} 则： L { f ( t ) } = L { ϕ ( t ) } + ∑ i = 1 n a i ∑ j = 1 i s i − j f ( j − 1 ) ( 0 ) ∑ i = 0 n a i s i . {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}={{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.} 其中 f ( k ) ( 0 ) {\displaystyle f^{(k)}(0)} 是初始条件。 f(t) 通过拉普拉斯反变换 L { f ( t ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}} 求得。 拉普拉斯变换 傅里叶变换 里卡蒂方程 伯努利微分方程 柯西-欧拉方程 克莱罗方程 全微分方程 Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.