二元关系

数学上，二元关系（英語：Binary relation，或简称关系）用於讨论两种物件的连系。诸如算术中的「大於」及「等於」、几何学中的「相似」或集合论中的「为……之元素」、「为……之子集」。 设 A , B {\displaystyle A,B} 为集合， A × B {\displaystyle A\times B} 的任何子集称作 A {\displaystyle A} 到 B {\displaystyle B} 的二元关系，特别是当 A = B {\displaystyle A=B} 时，称作 A {\displaystyle A} 上的二元关系,一般记作 R {\displaystyle R} 。若 R ⊆ A × B {\displaystyle R\subseteq A\times B} , R {\displaystyle R} 是从 A {\displaystyle A} 到 B {\displaystyle B} 的二元关系；若 R ⊆ A × A {\displaystyle R\subseteq A\times A} ,那么 R {\displaystyle R} 是 A {\displaystyle A} 上的二元关系 或是以正式的邏輯符號表述為 ( ∀ r ∈ R ) ( ∃ x ) ( ∃ y ) [ r = ( x , y ) ] {\displaystyle (\forall r\in R)(\exists x)(\exists y)[\,r=(x,\,y)\,]} 例一：有四件物件 {球，糖，车，枪} 及四个人 {甲，乙，丙，丁} 。若甲擁有球、乙擁有糖、丙一無所有但丁擁有车，则「擁有」的二元关系可以寫為 R {\displaystyle R} = {(球，甲), (糖，乙), (车，丁)} 其中二元有序对的第一项是被擁有的物件，第二项是擁有者。 例二：實數系 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的「大於關係」可定義為 > := { ( a , b ) ∈ R 2 | ( ∃ r ∈ R ) [ ( a = b + r ) ∧ ( r ≠ 0 ) ] } {\displaystyle >\,:=\{\,(a,\,b)\in {\mathbb {R} }^{2}\,|\,(\exists r\in \mathbb {R} )[\,(a=b+r)\wedge (r\neq 0)\,]\}} 由於習慣上 ( a , b ) ∈ > {\displaystyle (a,\,b)\in \,>} 通常都是寫為 a > b {\displaystyle a>b} ，更一般來說，不引起混淆的話會把 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,\,y)\in R} 簡寫成 x R y {\displaystyle xRy} 。 集合 X {\displaystyle X} 与集合 Y {\displaystyle Y} 上的二元关系則定義為 R = ( X , Y , G ( R ) ) {\displaystyle R=(X,Y,G(R))} ，当中 G ( R ) ⊆ X × Y {\displaystyle G(R)\subseteq X\times Y} ( 請參見笛卡儿积 ) ，称为 R {\displaystyle R} 的图。若 ( x , y ) ∈ G ( R ) {\displaystyle (x,y)\in G(R)} 则称 x {\displaystyle x} 与 y {\displaystyle y} 有关系 R {\displaystyle R} ，并记作 x R y {\displaystyle xRy} 或 R ( x , y ) {\displaystyle R(x,y)} 。 但经常地我们把关系与其图等价起来，即若 R ⊆ X × Y {\displaystyle R\subseteq X\times Y} 则 R {\displaystyle R} 是一个关系。 话虽如此，我们很多時候索性把集合間的關係 R {\displaystyle R} 定义为 G ( R ) {\displaystyle G(R)} 而 “有序对 ( x , y ) ∈ G ( R ) {\displaystyle (x,y)\in G(R)} ” 即是 “ ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} ”。 设 A {\displaystyle A} 是一个集合，则 空集 ∅ {\displaystyle \varnothing } 称作 A {\displaystyle A} 上的空关系 E A = A × A {\displaystyle E_{A}=A\times A} 称作 A {\displaystyle A} 上的全域关系（完全關係） I A = { ( x , x ) | x ∈ A } {\displaystyle I_{A}=\{(x,x)|x\in A\}} 称作 A {\displaystyle A} 上的恒等关系 设 X = { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}} 及 Y = { y 1 , y 2 , … , y m } {\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m}\}} ， R {\displaystyle R} 是 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 上的关系，令 r i j = { 1 ( x i , y j ) ∈ R 0 ( x i , y j ) ∉ R {\displaystyle r_{ij}={\begin{cases}1&(x_{i},y_{j})\in R\\0&(x_{i},y_{j})\notin R\end{cases}}} 则0,1矩阵 ( r i j ) = [ r 11 r 12 ⋯ r 1 m r 21 r 22 ⋯ r 2 m ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ r n 1 r n 2 ⋯ r n m ] {\displaystyle (r_{ij})={\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}&\cdots &r_{1m}\\r_{21}&r_{22}&\cdots &r_{2m}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\r_{n1}&r_{n2}&\cdots &r_{nm}\end{bmatrix}}} 称为 R {\displaystyle R} 的关系矩阵，记作 M R {\displaystyle M_{R}} 。 设 A = { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}} ， R {\displaystyle R} 是 A {\displaystyle A} 上的关系，令图 G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} ，其中顶点集合 V = A {\displaystyle V=A} ，边集合为 E {\displaystyle E} ，且对于任意的 x i , x j ∈ V {\displaystyle x_{i},x_{j}\in V} ，满足 ( x i , x j ) ∈ E {\displaystyle (x_{i},x_{j})\in E} 当且仅当 ( x i , x j ) ∈ R {\displaystyle (x_{i},x_{j})\in R} 。则称图 G {\displaystyle G} 是关系 R {\displaystyle R} 的关系图，记作 G R {\displaystyle G_{R}} 。 关系的基本运算有以下几种： 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， R {\displaystyle R} 中所有有序对的第一元素构成的集合称为 R {\displaystyle R} 的定义域，记作 dom ( R ) {\displaystyle {\mbox{dom}}(R)} 。形式化表示为 dom ( R ) = { x | ( ∃ y ) [ ( x , y ) ∈ R ] } {\displaystyle {\mbox{dom}}(R)=\{\,x\,|\,(\exists y)[\,(x,y)\in R\,]\,\}} 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， R {\displaystyle R} 中所有有序对的第二元素构成的集合称为 R {\displaystyle R} 的值域，记作 ran ( R ) {\displaystyle {\mbox{ran}}(R)} 。形式化表示为 ran ( R ) = { y | ( ∃ x ) [ ( x , y ) ∈ R ] } {\displaystyle {\mbox{ran}}(R)=\{\,y\,|\,(\exists x)[\,(x,y)\in R\,]\,\}} 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， R {\displaystyle R} 的定义域和值域的并集称作 R {\displaystyle R} 的域，记作 fld ( R ) {\displaystyle {\mbox{fld}}(R)} ，形式化表示为 fld ( R ) = dom ( R ) ∪ ran ( R ) {\displaystyle {\mbox{fld}}(R)={\mbox{dom}}(R)\cup {\mbox{ran}}(R)} 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， R {\displaystyle R} 的逆关系，简称 R {\displaystyle R} 的逆，记作 R − 1 {\displaystyle R^{-1}} ，其中 R − 1 = { p | ( ∃ x ) ( ∃ y ) [ ( x , y ) ∈ R ∧ p = ( y , x ) ] } {\displaystyle R^{-1}=\{\,p\,|\,(\exists x)(\exists y)[\,(x,y)\in R\wedge p=(y,x)\,]\,\}} 设 F , G {\displaystyle F,G} 为二元关系， G {\displaystyle G} 與 F {\displaystyle F} 的合成關係记作 F ∘ G {\displaystyle F\circ G} ，其中 F ∘ G = { ( x , y ) | ∃ t ,   ( x , t ) ∈ F ∧ ( t , y ) ∈ G } {\displaystyle F\circ G=\{(x,y)|\exists t,~(x,t)\in F\wedge (t,y)\in G\}} 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， A {\displaystyle A} 是一个集合。 R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上的限制记作 R ↾ A {\displaystyle R\upharpoonright A} ，其中 R ↾ A = { ( x , y ) | ( x , y ) ∈ R ∧ x ∈ A } {\displaystyle R\upharpoonright A=\{(x,y)|(x,y)\in R\wedge x\in A\}} 设 R {\displaystyle R} 为二元关系， A {\displaystyle A} 是一个集合。 A {\displaystyle A} 在 R {\displaystyle R} 下的像记作 R [ A ] {\displaystyle R[A]} ，其中 R [ A ] = ran ( R ↾ A ) {\displaystyle R[A]={\mbox{ran}}(R\upharpoonright A)} 设 R {\displaystyle R} 为 A {\displaystyle A} 上的二元关系，在右复合的基础上可以定义关系的幂运算： R 0 = I A   {\displaystyle R^{0}=I_{A}\ } R n + 1 = R n ∘ R   {\displaystyle R^{n+1}=R^{n}\circ R\ } 关系的性质主要有以下五种： 自反性： ∀ x ∈ A ,   ( x , x ) ∈ R {\displaystyle \forall x\in A,~(x,x)\in R} 在集合X上的关系R，如对任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，有 ( x , x ) ∈ R {\displaystyle (x,x)\in R} ，则称R是自反的。 非自反性（自反性的否定的強型式）： ∀ x ∈ A ,     ( x , x ) ∉ R {\displaystyle \forall x\in A,~~(x,x)\notin R} 在集合X上的关系R，如对任意 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ，有 ( x , x ) ∉ R {\displaystyle (x,x)\notin R} ，则称R是非自反的。 对称性： ∀ x , y ∈ A ,   ( x , y ) ∈ R ⟹ ( y , x ) ∈ R {\displaystyle \forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\in R} 在集合X上的关系R，如果有 ( x , y ) ∈ R {\displaystyle (x,y)\in R} 且 x ≠ y {\displaystyle x\neq y} 必有 ( y , x ) ∈ R {\displaystyle (y,x)\in R} ，则称R是对称的。 反对称性（不是對稱性的否定）： ∀ x , y ∈ A ,   ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , x ) ∈ R ) ⟹ x = y {\displaystyle \forall x,y\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\implies x=y} 非對稱性（對稱性的否定的強型式）： ∀ x , y ∈ A ,   ( x , y ) ∈ R ⟹ ( y , x ) ∉ R {\displaystyle \forall x,y\in A,~(x,y)\in R\implies (y,x)\notin R} 非對稱性是 滿足非自反性的反對稱性。 传递性： ∀ x , y , z ∈ A ,   ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ R ) ⟹ ( x , z ) ∈ R {\displaystyle \forall x,y,z\in A,~((x,y)\in R\wedge (y,z)\in R)\implies (x,z)\in R} 设 R {\displaystyle R} 为集合 A {\displaystyle A} 上的关系，下面给出 R {\displaystyle R} 的五种性质成立的充要条件： R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上自反，当且仅当 I A ⊆ R {\displaystyle I_{A}\subseteq R} R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上非自反，当且仅当 R ∩ I A = ∅ {\displaystyle R\cap I_{A}=\emptyset } R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上对称，当且仅当 R = R − 1   {\displaystyle R=R^{-1}\ } R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上反对称，当且仅当 R ∩ R − 1 ⊆ I A {\displaystyle R\cap R^{-1}\subseteq I_{A}} R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上非對稱，当且仅当 R ∩ R − 1 = ∅ {\displaystyle R\cap R^{-1}=\emptyset } R {\displaystyle R} 在 A {\displaystyle A} 上传递，当且仅当 R ∘ R ⊆ R {\displaystyle R\circ R\subseteq R} 设 R {\displaystyle R} 是非空集合 A {\displaystyle A} 上的关系， R {\displaystyle R} 的自反（对称或传递）闭包是 A {\displaystyle A} 上的关系 R ′ {\displaystyle R'} ，满足 R ′ {\displaystyle R'} 是自反的（对称的或传递的） R ⊆ R ′ {\displaystyle R\subseteq R'} 对 A {\displaystyle A} 上任何包含 R {\displaystyle R} 的自反（对称或传递）关系 R ″ {\displaystyle R''} 有 R ′ ⊆ R ″ {\displaystyle R'\subseteq R''} 一般将 R {\displaystyle R} 的自反闭包记作 r ( R ) {\displaystyle r(R)} ，对称闭包记作 s ( R ) {\displaystyle s(R)} ，传递闭包记作 t ( R ) {\displaystyle t(R)} 。 下列三个定理给出了构造闭包的方法： r ( R ) = R ∪ R 0 {\displaystyle r(R)=R\cup R^{0}} s ( R ) = R ∪ R − 1 {\displaystyle s(R)=R\cup R^{-1}} t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ R 3 ∪ ⋯ {\displaystyle t(R)=R\cup R^{2}\cup R^{3}\cup \cdots } 对于有限集合 A {\displaystyle A} 上的关系 R {\displaystyle R} ，存在一个正整数 r {\displaystyle r} ，使得 t ( R ) = R ∪ R 2 ∪ ⋯ ∪ R r {\displaystyle t(R)=R\cup R^{2}\cup \cdots \cup R^{r}} 求传递闭包是图论中一个非常重要的问题，例如给定了一个城市的交通地图，可利用求传递闭包的方法获知任意两个地点之间是否有路相连通。可以直接利用关系矩阵相乘来求传递闭包，但那样做复杂度比较高；好一点的办法是在计算矩阵相乘的时候用分治法降低时间复杂度；但最好的方法是利用基于动态规划的Floyd-Warshall算法来求传递闭包。 有序对 二元集合 笛卡儿积 偏序关系 等价关系 相容关系