力矩

力矩（moment of force，moment）在物理学中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。 使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment，moment of rotation）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩（bending moment）。 力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 等於径向向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 与作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 的叉積。 根據国际单位制，力矩的单位是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺 ⋅ {\displaystyle \cdot } 磅。力矩的表示符号是希腊字母 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} ，或 M {\displaystyle \mathbf {M} \,\!} 。 力矩與三個物理量有關：施加的作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 、從轉軸到施力點的位移向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、兩個向量之間的夾角 θ {\displaystyle \theta \,\!} 。力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以向量方程式表示為 τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 力矩的大小為 τ = r F sin ⁡ θ {\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!} 。 力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定，也可以用叉乘计算。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。 更一般地，如圖右，假設作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 施加於位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的粒子。選擇原點為參考點，力矩 τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!} 以方程式定義為 τ   = d e f   r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 力矩大小為 τ = | r | | F | sin ⁡ θ {\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!} ； 其中， θ {\displaystyle \theta \,\!} 是兩個向量 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 與 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 之間的夾角。 力矩大小也可以表示為 τ = r F ⊥ {\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!} ； 其中， F ⊥ {\displaystyle F_{\perp }\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 對於 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 的垂直分量。 任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。 從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 和作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。 假設一個粒子的位置為 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} ，動量為 p {\displaystyle \mathbf {p} \,\!} 。選擇原點為參考點，此粒子的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 為 L = r × p {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!} 。 粒子的角動量對於時間的導數為 d L d t = d r d t × p + r × d p d t = v × m v + r × m d v d t = r × m a {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!} ； 其中， m {\displaystyle m\,\!} 是質量， v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 是速度， a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 是加速度。 應用牛頓第二定律， F = m a {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!} ，可以得到 d L d t = r × F {\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} 。 按照力矩的定義， τ   = d e f   r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!} ，所以， τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。 作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量 L {\displaystyle \mathbf {L} \,\!} 對於時間 t {\displaystyle t\,\!} 的導數。 假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩 τ n e t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!} 共同決定角動量的對於時間的變化： τ 1 + ⋯ + τ n = τ n e t = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!} 。 關於物體的繞著固定軸的旋轉運動， L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!} ； 其中， I {\displaystyle I\,\!} 是物體對於固定軸的轉動慣量， ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 是物體的角速度。 所以，取上述方程式對時間的導數： τ n e t = d L d t = d ( I ω ) d t = I d ω d t = I α {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ； 其中， α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 是物體的角加速度。 力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米，而不是米 ⋅ {\displaystyle \cdot } 牛顿。 根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿 ⋅ {\displaystyle \cdot } 米的力矩，作用1 全转，需要恰巧 2 π {\displaystyle 2\pi \,\!} 焦耳的能量： E = τ θ {\displaystyle E=\tau \theta \,\!} 。 其中， E {\displaystyle E\,\!} 是能量， θ {\displaystyle \theta \,\!} 是移动的角度，单位是弧度。 根據英制，力矩的单位是英尺 ⋅ {\displaystyle \cdot } 磅。 在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义： τ = ( moment arm ) ⋅ force {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!} 。 右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 、作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} （force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。 当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是 ∑ F x = 0 {\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!} ， ∑ F y = 0 {\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!} ， ∑ τ = 0 {\displaystyle \sum \tau =0\,\!} 。 这里， F x ,   F y {\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!} 是作用力 F {\displaystyle \mathbf {F} \,\!} 分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。 假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達， W = ∫ θ 1 θ 2 τ   d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!} ； 其中， W {\displaystyle W\,\!} 是機械功， θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,\!} 、 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,\!} 分別是初始角和終結角， d θ {\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!} 是無窮小角位移元素。 根據功能定理， W {\displaystyle W\,\!} 也代表物體的旋轉動能 K r o t {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!} 的改變，以方程式表達， K r o t = 1 2 I ω 2 {\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!} 。 功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率 P {\displaystyle P\,\!} 以方程式表達為 P = τ ⋅ ω {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 。 請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。 實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。 在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。 力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達， ( r × F 1 ) + ( r × F 2 ) + ⋯ = r × ( F 1 + F 2 + ⋯ ) {\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!} 。 https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2 存档副本. 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