哈密顿向量场

在数学与物理中，哈密顿向量场是辛流形上一个向量场，定义在任何能量函数或哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式，哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中称为典范变换，在数学中称为（哈密顿）辛同胚。 哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 f 与 g 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场，其哈密顿函数由 g 与 f 的泊松括号给出。 假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化，诱导了切丛 T M {\displaystyle TM} 与余切丛 T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} 的一个线性同构 ω : T M → T ∗ M {\displaystyle \omega :TM\to T^{*}M} 以及逆 Ω : T ∗ M → T M , Ω = ω − 1   . {\displaystyle \Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}\ .} 从而，流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来，故任何可微函数 H : M → R {\displaystyle H:M\to \mathbb {R} } 确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH)，称为哈密顿函数 H 的哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y，等式 d H ( Y ) = ω ( X H , Y )   , {\displaystyle \mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)\ ,} 一定成立。 注：一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号；需注意物理与数学著作的不同习惯。 假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理，我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 ( q 1 , … , q n , p 1 , … , p n ) {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})} ，在这个坐标系下辛形式表示为 ω = ∑ i d q i ∧ d p i . {\displaystyle \omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i}.} 则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式 X H = ( ∂ H ∂ p i , − ∂ H ∂ q i ) = Ω d H   , {\displaystyle X_{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H\ ,} 这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵 Ω = [ 0 I n − I n 0 ]   . {\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\ .} 假设 M = R2n 是 2n 维具有（整体）典范坐标的辛向量空间。 如果 H = p i {\displaystyle H=p_{i}} 则 X H = ∂ / ∂ q i   ; {\displaystyle X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;} 如果 H = q i {\displaystyle H=q^{i}} 则 X H = − ∂ / ∂ p i   ; {\displaystyle X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;} 如果 H = 1 / 2 ∑ ( p i ) 2 {\displaystyle H=1/2\sum (p_{i})^{2}} 则 X H = ∑ p i ∂ / ∂ q i   ; {\displaystyle X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;} 如果 H = 1 / 2 ∑ a i j q i q j , a i j = a j i {\displaystyle H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}} 则 X H = − ∑ a i j p i ∂ / ∂ q j   . {\displaystyle X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .} 映射 f ↦ X f {\displaystyle f\mapsto X_{f}} 线性的，所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。 假设 ( q 1 , … , q n , p 1 , … , p n ) {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})} 是 M 上的典范坐标。则曲线 γ ( t ) = ( q ( t ) , p ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(q(t),p(t))} 是哈密顿向量场 XH 的积分曲线当且仅当它是哈密顿方程的一个解： q ˙ i = ∂ H ∂ p i , p ˙ i = − ∂ H ∂ q i   . {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\ .} 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数，这就是 H ( γ ( t ) ) {\displaystyle H(\gamma (t))} 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒。 更一般地，如果两个函数 F 与 H 的泊松括号为零（见下），则 F 沿着 H 的积分曲线为常数；类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。 辛形式 ω {\displaystyle \omega } 在哈密顿流下不变；或等价地，李导数 L X H ω = ( ι X f ∘ d + d ∘ ι X f ) ω = d ∘ d f = 0   . {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})\omega =d\circ df=0\ .} 这里 ι {\displaystyle \iota } 是内乘，用到了李导数的嘉当公式。 哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子，这就是泊松括号，由如下公式定义 { f , g } = ω ( X f , X g ) = d f ( X g ) = L X g f   , {\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=df(X_{g})={\mathcal {L}}_{X_{g}}f\ ,} 这里 L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} 表示沿着向量场 X 的李导数。此外，我们可以验证有恒等式： X { f , g } = − [ X f , X g ] , {\displaystyle X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],} 这里右边表示哈密顿函数 g 与 g 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有： ι [ X f , X g ] ω = ( L X f ∘ ι X g − ι X g ∘ L X f ) ω = L X f ∘ ι X g ω = ( ι X f ∘ d + d ∘ ι X f ) d g = d ( ι X f ) d g ) = − d { f , g } {\displaystyle {\begin{aligned}&\iota _{[X_{f},X_{g}]}\omega \\=&({\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}-\iota _{X_{g}}\circ {\mathcal {L}}_{X_{f}})\omega \\=&{\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}\omega \\=&(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})dg\\=&d(\iota _{X_{f}})dg)\\=&-d\{f,g\}\\\end{aligned}}} 作为一个推论，泊松括号满足雅可比恒等式。 { { f , g } , h } + { { g , h } , f } + { { h , f } , g } = 0   , {\displaystyle \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,} 这意味着 M 上可微函数组成的向量空间，赋予泊松括号，是 R 上的一个李代数，且映射 f ↦ X f {\displaystyle f\mapsto X_{f}} 是一个李代数反同态，其核由局部常值函数组成（如果 M 连通则为常数）。 Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 978-0-821-84438-0.  引文使用过时参数coauthors (帮助)See section 3.2. Arnol'd, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin etc: Springer. 1997. ISBN 0-387-96890-3.  Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1.  McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助)