绝对赋值

绝对赋值是Hensel引进p进数后发展出的一个概念，常用于单变量代数函数论或者类域论方面的研究。 确切的说，绝对赋值是一个函数，是整环或域的元素的“大小”的度量。更确切地说，对整环D，一个绝对赋值| x |是从D到实数R，且满足下列条件的任何映射： |x| ≥ 0, |x| = 0 当且仅当 x = 0, |xy| = |x||y|, |x + y| ≤ |x| + |y|. 从第二条和第三条可以看出，| 1 |=1, | -1| = 1。此外，对于任意正整数 n， | 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n. 注意有些英文书绝对赋值叫赋值（valuations）、范数（norm）、量值（magnitude）。 如果|x+ y|满足更强的属性 |x+ y|≤MAX（|x|，|y|），那麽|x|被称为超度量或非阿基米德绝对赋值，否则就叫阿基米德绝对赋值。每一个整环有至少有一个绝对赋值，称为平凡赋值。这种绝对赋值是：当x= 0时|x|= 0，x≠ 0时|x|= 1，有限域只能有平凡赋值。| x |1 < 1 当且仅当 | x |2 < 1.，那么这两个绝对赋值相等.如果两个非平凡绝对赋值是相等的，那么一些指数e，有 | x |1e = | x |2。（请注意，不能提高绝对赋值的次幂来获得另一个不同的绝对赋值，例如对实数，一个绝对赋值平方后产生另一个不同值，这种情况就不是一个绝对赋值函数。）绝对赋值可导致到等价类来理解，换言之绝对赋值的等价类，被称为一个素点。奥斯特洛夫斯基定理指出，有理数Q中，p-adic数是非平凡绝对赋值，每一个素数p的绝对赋值是有理数Q的素点： q = pn(a/b), 其中a，b是不被p整除的整数。 | p n a b | p = p − n . {\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.} 素点的定义就来自上面普通绝对赋值和p的绝对赋值。 设 R = C [ x , y ] {\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {R}}=\mathbb {C} [x,y]} 是在复域的两个变量的多项式环， K = C ( x , y ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} =\mathbb {C} (x,y)} 为有理函数，并考虑收敛： f ( x , y ) = y − ∑ n = 3 ∞ x n n ! ∈ C { x , y } {\displaystyle f(x,y)=y-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\in \mathbb {C} \{x,y\}} t {\displaystyle t} 参数化后解析零点集为 V f {\displaystyle \scriptstyle V_{f}\,} ，则作为多项式环的形式幂级数环： V f = { ( x , y ) ∈ C 2 | f ( x , y ) = 0 } = { ( x , y ) ∈ C 2 | ( x , y ) = ( t , ∑ n = 3 ∞ t n ) } {\displaystyle V_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,f(x,y)=0\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,(x,y)=\left(t,\sum _{n=3}^{\infty }t^{n}\right)\right\}} 。 映射 v : C [ x , y ] → Z {\displaystyle \scriptstyle v:\mathbb {C} [x,y]\rightarrow \mathbb {Z} } ，则可能得在 C [ x , y ] {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} [x,y]} 中的多项式 P {\displaystyle P} 的限制： v ( P ) = o r d t ( P | V f ) = o r d t ( P ( t , ∑ n = 3 + ∞ t n ) ) ∀ P ∈ C [ x , y ] {\displaystyle v(P)=\mathrm {ord} _{t}\left(P|_{V_{f}}\right)={\mathrm {ord} }_{t}\left(P\left(t,\sum _{n=3}^{+\infty }t^{n}\right)\right)\quad \forall P\in \mathbb {C} [x,y]} 逆映射也可能得到延拓（扩张）： v ( P / Q ) = { v ( P ) − v ( Q ) ∀ P / Q ∈ C ( x , y ) ∗ ∞ P ≡ 0 ∈ C ( x , y ) {\displaystyle v(P/Q)={\begin{cases}v(P)-v(Q)&\forall P/Q\in {\mathbb {C} (x,y)}^{*}\\\infty &P\equiv 0\in \mathbb {C} (x,y)\end{cases}}} 若形式幂级数环不是多项式环产生的，则容易证明上面逆映射延拓是赋值，在几何上叫曲线（一维解析代数簇）的交点。 如： v ( x ) = o r d t ( t ) = 1 v ( x 6 − y 2 ) = o r d t ( t 6 − t 6 − 2 t 7 − 3 t 8 − ⋯ ) = o r d t ( − 2 t 7 − 3 t 8 − ⋯ ) = 7 v ( x 6 − y 2 x ) = o r d t ( − 2 t 7 − 3 t 8 − ⋯ ) − o r d t ( t ) = 7 − 1 = 6 {\displaystyle {\begin{array}{l}v(x)=\mathrm {ord} _{t}(t)=1\\v(x^{6}-y^{2})=\mathrm {ord} _{t}(t^{6}-t^{6}-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=7\\v\left({\frac {x^{6}-y^{2}}{x}}\right)=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )-\mathrm {ord} _{t}(t)=7-1=6\end{array}}} Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd, New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9, Zbl 0694.16001 . A masterpiece on algebra written by one of the leading contributors. Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8  Danilov, V.I., Valuation, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Discrete valuation at PlanetMath. Valuation at PlanetMath. 埃里克·韦斯坦因. Valuation. MathWorld.