差分

差分，又名差分函數或差分運算，一般是指有限差分（英語：Finite difference），是数学中的一个概念，将原函数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 映射到 f ( x + a ) − f ( x + b ) {\displaystyle f(x+a)-f(x+b)} 。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。 差分分为前向差分和逆向差分。 函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} ，如果在等距节点： x k = x 0 + k h , ( k = 0 , 1 , . . . , n ) {\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n)}   Δ f ( x k ) = f ( x k + 1 ) − f ( x k ) {\displaystyle \ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k})} 则称   Δ f ( x ) {\displaystyle \ \Delta f(x)} ，函数在每个小区间上的增量 y k + 1 − y k {\displaystyle y_{k+1}-y_{k}} 为   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 一阶差分。 在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 是多项式时，前向差分为Delta算子（称 Δ {\displaystyle \Delta } 为差分算子），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。 对于函数   f ( x k ) {\displaystyle \ f(x_{k})} ，如果：   ∇ f ( x k ) = f ( x k ) − f ( x k − 1 ) . {\displaystyle \ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}).\,} 则称   ∇ f ( x k ) {\displaystyle \ \nabla f(x_{k})} 为   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 的一阶逆向差分。 一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：   Δ n [ f ] ( x ) {\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)} 为   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} 的   n {\displaystyle \ n} 阶差分。 如果 根据数学归纳法，有   Δ n [ f ] ( x ) = ∑ i = 0 n ( n i ) ( − 1 ) n − i f ( x + i ) {\displaystyle \ \Delta ^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{n-i}f(x+i)} 其中，   ( n i ) {\displaystyle \ {n \choose i}} 为二项式系数。 特别的，有   Δ 2 [ f ] ( x ) = f ( x + 2 ) − 2 f ( x + 1 ) + f ( x ) {\displaystyle \ \Delta ^{2}[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)} 前向差分有时候也称作数列的二项式变换 对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有： 如果C为常数，则有 Δ C = 0 {\displaystyle \Delta C=0} 线性：如果   a {\displaystyle \ a} 和   b {\displaystyle \ b} 为常数，则有 Δ ( a f + b g ) = a Δ f + b Δ g {\displaystyle \Delta (af+bg)=a\Delta f+b\Delta g} 乘法定则(此处步长 h ≡ 1 {\displaystyle h\equiv 1} )： Δ ( f g ) = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g {\displaystyle \Delta (fg)=f\Delta g+g\Delta f+\Delta f\Delta g} ∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f − ∇ f ∇ g {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f-\nabla f\nabla g} 除法定则： ∇ ( f g ) = 1 g det [ ∇ f ∇ g f g ] det [ g ∇ g 1 1 ] − 1 {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}^{-1}} Δ ( f g ) = 1 g det [ Δ f Δ g f g ] det [ g Δ g − 1 1 ] − 1 {\displaystyle \Delta \left({\dfrac {f}{g}}\right)={\dfrac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\Delta f&\Delta g\\f&g\end{bmatrix}}\det {\begin{bmatrix}g&\Delta g\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}} 或 ∇ ( f g ) = g ∇ f − f ∇ g g ⋅ ( g − ∇ g ) {\displaystyle \nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\nabla f-f\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}} Δ ( f g ) = g Δ f − f Δ g g ⋅ ( g + Δ g ) {\displaystyle \Delta \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\Delta f-f\Delta g}{g\cdot (g+\Delta g)}}} 级数： ∑ n = a b Δ f ( n ) = f ( b + 1 ) − f ( a ) {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)=f(b+1)-f(a)} ∑ n = a b ∇ f ( n ) = f ( b ) − f ( a − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)=f(b)-f(a-1)} 牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。 當 x {\displaystyle x} 值間隔為單位步長 1 {\displaystyle 1} 時，有： f ( x ) = f ( a ) + x − a 1 [ Δ 1 [ f ] ( a ) + x − a − 1 2 ( Δ 2 [ f ] ( a ) + ⋯ ) ] = f ( a ) + ∑ k = 1 n Δ k [ f ] ( a ) ∏ i = 1 k [ ( x − a ) − i + 1 ] i = ∑ k = 0 n ( x − a k )   Δ k [ f ] ( a ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{1}}\left[\Delta ^{1}[f](a)+{\frac {x-a-1}{2}}\left(\Delta ^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}\Delta ^{k}[f](a)\prod _{i=1}^{k}{\frac {[(x-a)-i+1]}{i}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{x-a \choose k}~\Delta ^{k}[f](a)\\\end{aligned}}} 這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式 ( x k ) = ( x ) k k ! ( x ) k = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − k + 1 ) {\displaystyle {x \choose k}={\frac {(x)_{k}}{k!}}\quad \quad (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)} 是二項式係數，其中的 ( x ) k {\displaystyle (x)_{k}} 是“下降階乘冪”(另一種常見的標記法為 x k _ {\displaystyle x^{\underline {k}}} )，空積 ( x ) 0 {\displaystyle (x)_{0}} 被定義為 1 {\displaystyle 1} 。這裡的 Δ k [ f ] ( x ) {\displaystyle \Delta _{k}\left[f\right](x)} 是“前向差分”的特定情況，即間距 h = 1 {\displaystyle h=1} 。 為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x0（標示了下劃線）的這些差分代換入公式， x Δ 0 Δ 1 Δ 2 Δ 3 1 1 _ 3 _ 2 4 2 _ 5 0 _ 3 9 2 7 4 16 f ( x ) = Δ 0 + Δ 1 ( x − x 0 ) 1 ! + Δ 2 ( x − x 0 ) ( x − x 0 − 1 ) 2 ! ( x 0 = 1 ) = 1 + 3 ⋅ x − 1 1 + 2 ⋅ ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 = 1 + 3 ( x − 1 ) + ( x − 1 ) ( x − 2 ) = x 2 {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline x&\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}&\Delta ^{3}\\\hline 1&{\underline {1}}&&&\\&&{\underline {3}}&&\\2&4&&{\underline {2}}&\\&&5&&{\underline {0}}\\3&9&&2&\\&&7&&\\4&16&&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}+\Delta ^{1}{\dfrac {(x-x_{0})}{1!}}+\Delta ^{2}{\dfrac {(x-x_{0})(x-x_{0}-1)}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\&=1+3\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\\&=x^{2}\end{aligned}}\end{matrix}}} 對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為： f ( x ) = f ( a ) + x − a h [ Δ h 1 [ f ] ( a ) + x − a − h 2 h ( Δ h 2 [ f ] ( a ) + ⋯ ) ] = f ( a ) + ∑ k = 1 n Δ h k [ f ] ( a ) k ! h k ∏ i = 0 k − 1 [ ( x − a ) − i h ] = f ( a ) + ∑ k = 1 n Δ h k [ f ] ( a ) k ! ∏ i = 0 k − 1 ( x − a h − i ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\frac {x-a}{h}}\left[\Delta _{h}^{1}[f](a)+{\frac {x-a-h}{2h}}\left(\Delta _{h}^{2}[f](a)+\cdots \right)\right]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!h^{k}}}\prod _{i=0}^{k-1}[(x-a)-ih]\\&=f(a)+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta _{h}^{k}[f](a)}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}\left({\frac {x-a}{h}}-i\right)\end{aligned}}} 在最終公式中hk被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P204. 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P205. Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1 递归 招差术 遞迴關係式 拉格朗日多项式 吉尔布雷斯猜想 牛顿多项式 牛顿级数表 泰勒级数 时标微积分 分部求和法 Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M [永久失效連結].