圆外切梯形

在欧几里得几何中，圆外切梯形（英語：Tangential trapezoid，也称为切线梯形）是指存在内切圆的梯形，或者说有一对边平行的圆外切四边形。存在圆外切等腰梯形和圆外切直角梯形等子类型。菱形、正方形也可以看成是是特殊的圆外切梯形。 根据皮托定理：圆外切四边形对边和相等，可得到圆外切梯形的两腰长和与两底长和相等，则周长 P 为 P = 2 ( a + b ) = 2 ( c + d ) {\displaystyle \displaystyle P=2(a+b)=2(c+d)} 其中a, b分别为梯形的上下底长，c, d为两腰长。 另外，半周长为 s = a + b = c + d {\displaystyle s=a+b=c+d} ，中位线为 m = ( a + b ) / 2 = ( c + d ) / 2 {\displaystyle m=(a+b)/2=(c+d)/2} 。 将上述由皮托定理得出的半周长 s = a + b = c + d {\displaystyle \displaystyle s=a+b=c+d} 代入梯形的半周长面积公式 S = a + b | b − a | ( s − b ) ( s − a ) ( s − b − c ) ( s − b − d ) {\displaystyle S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {(s-b)(s-a)(s-b-c)(s-b-d)}}} ，得到圆外切梯形的面积S为： S = a + b | b − a | a b ( a − c ) ( c − b ) {\displaystyle S={\frac {a+b}{|b-a|}}{\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}} 其中a、b为两底长，c为任意一腰长。 由于圆外切梯形的高与内切圆直径相等，则由中位线面积公式可得： S = m h = m D = 2 m r = ( a + b ) r = ( c + d ) r {\displaystyle S=mh=mD=2mr=(a+b)r=(c+d)r} 此外，设四条不同点出发的切线长为e, f, g, h，则面积为： S = e f g h 4 ( e + f + g + h ) = s e f g h 4 {\displaystyle S={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h)=s{\sqrt[{4}]{efgh}}} 由四边形内切圆半径公式 r = S s {\displaystyle r={\frac {S}{s}}} ，和上述两个面积公式得到： r = a b ( a − c ) ( c − b ) | b − a | {\displaystyle r={\frac {\sqrt {ab(a-c)(c-b)}}{|b-a|}}} r = e f g h 4 {\displaystyle r={\sqrt[{4}]{efgh}}} 更一般的，若e, f, g, h中，e, h、f, g分别是同一腰上的切线长，则根据梯形高与腰构成的直角三角形的勾股定理 ( e + h ) 2 − ( e − h ) 2 = 4 r 2 = ( f + g ) 2 − ( f − g ) 2 {\displaystyle (e+h)^{2}-(e-h)^{2}=4r^{2}=(f+g)^{2}-(f-g)^{2}} 得到： r = e h = f g {\displaystyle r={\sqrt {eh}}={\sqrt {fg}}} 由此式能得到上述四切线长有关的半径公式和面积公式。 圆外切直角梯形（英語：right tangential trapezoid）是指底角为直角的圆外切梯形，设其上下底长分别为a, b，则由皮托定理得出斜腰长 c = a + b − h = a + b − 2 r {\displaystyle c=a+b-h=a+b-2r} ，由斜腰三角形勾股定理 ( a + b − 2 r ) 2 = ( 2 r ) 2 + ( b − a ) 2 {\displaystyle (a+b-2r)^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}} 可得到内切圆半径为： r = a b a + b {\displaystyle r={\frac {ab}{a+b}}} 内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的调和平均数，暨 D = h = 2 a b a + b {\displaystyle D=h={\frac {2ab}{a+b}}} 将上式代入梯形的面积公式 S = 1 2 ( a + b ) h {\displaystyle S={\frac {1}{2}}(a+b)h} ，可得出面积为两底长之积： S = a b {\displaystyle \displaystyle S=ab} 同时，将上式代入斜腰三角形勾股定理 c 2 = ( 2 r ) 2 + ( b − a ) 2 {\displaystyle c^{2}=(2r)^{2}+(b-a)^{2}} ，可得到 c 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 ( a + b ) 2 {\displaystyle c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{(a+b)^{2}}}} 。 圆外切等腰梯形（英語：isosceles tangential trapezoid）是指两腰相等的圆外切梯形，由于等腰梯形是一种圆内接四边形，因此圆外切等腰梯形同时拥有内切圆和外接圓，暨圆外切等腰梯形属于一类双心四边形。 设两底长为a, b，由皮托定理得出腰长为上下底的算术平均数，暨 c = ( a + b ) / 2 {\displaystyle c=(a+b)/2} ，通过勾股定理 ( ( a + b ) / 2 ) 2 = ( 2 r ) 2 + ( ( a − b ) / 2 ) 2 {\displaystyle ((a+b)/2)^{2}=(2r)^{2}+((a-b)/2)^{2}} 可得到内切圆半径为： r = 1 2 a b {\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}} 内切圆的直径与梯形的高相等，为上下底的几何平均数，暨 D = h = a b {\displaystyle D=h={\sqrt {ab}}} 因此，圆外切等腰梯形也可以作为均值不等式中，算术平均数大于几何平均数的几何解释。这一类问题也是日本算額中的常见问题。 将半径代入圆外切四边形面积公式 r = S s {\displaystyle r={\frac {S}{s}}} ，可以得到圆外切等腰梯形的面积为： S = 1 2 a b ( a + b ) {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {ab}}(a+b)} 另外，由均值不等式中，几何平均数大于调和平均数可知，在两底长a, b相同的情况下，圆外切等腰梯形的半径、高、圆面积、梯形面积都大于圆外切直角梯形。 更一般的，在所有由相同a, b所构成的圆外切梯形中，圆外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中，e, h、f, g分别是同一腰上的切线长， e + f = a {\displaystyle e+f=a} ， g + h = b {\displaystyle g+h=b} ， r 2 = e f g h ≤ a b 4 {\displaystyle r^{2}={\sqrt {efgh}}\leq {\tfrac {ab}{4}}} ，当且仅当e=f，g=h时取等于号，此时两腰相等。 R.A.约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译，第158页，上海教育出版社，ISBN 7-5320-6392-5 Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPS. artofproblemsolving.com. [2022-02-10].  H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154. Josefsson, Martin, Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2010, 10: 119–130 . Josefsson, Martin, The diagonal point triangle revisited (PDF), Forum Geometricorum, 2014, 14: 381–385 . Inscribed Circle and Trapezoid | Mathematical Association of America. www.maa.org. [2022-02-10].  Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.