狄利克雷定理

狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理：对于任意互质正整数对 ( r , N ) {\displaystyle (r,N)} ，模 N {\displaystyle N} 同余 r {\displaystyle r} 的质数集合 { x | r ≡ x mod N ; x   i s   p r i m e } {\displaystyle \{x|r\equiv x{\bmod {N}};x\ is\ prime\}} 相对质数集合 { x | x   i s   p r i m e } {\displaystyle \{x|x\ is\ prime\}} 的密度为 1 ϕ ( N ) {\displaystyle {\frac {1}{\phi (N)}}} 。 狄利克雷定理表明： 若 r , N {\displaystyle r,N} 互质，则 lim x → ∞ π ( x ; N , r ) π ( x ) = 1 ϕ ( N ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}} 其中， ϕ ( N ) {\displaystyle \phi (N)} 为欧拉函数， π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} 为质数计数函数， π ( x ; N , r ) {\displaystyle \pi (x;N,r)} 为模 N {\displaystyle N} 同余 r {\displaystyle r} 集合中小于 x {\displaystyle x} 的质数个数。 狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。 形象地说，在模 N {\displaystyle N} 同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。 以 N = 6 {\displaystyle N=6} 为例：共有 [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 4 ] , [ 5 ] {\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5]} 共 6 {\displaystyle 6} 个模 N {\displaystyle N} 同余集合，其中同余集合 [ 0 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 4 ] {\displaystyle [0],[2],[3],[4]} 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 [ 1 ] , [ 5 ] {\displaystyle [1],[5]} 中： 在不大于 10 , 000 {\displaystyle 10,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 5 ] {\displaystyle [1],[5]} 中的比率分别为 49.67 % {\displaystyle 49.67\%} 和 50.16 % {\displaystyle 50.16\%} ； 在不大于 100 , 000 {\displaystyle 100,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 5 ] {\displaystyle [1],[5]} 中的比率分别为 49.88 % {\displaystyle 49.88\%} 和 50.10 % {\displaystyle 50.10\%} ； 在不大于 1 , 000 , 000 {\displaystyle 1,000,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 5 ] {\displaystyle [1],[5]} 中的比率分别为 49.98 % {\displaystyle 49.98\%} 和 50.02 % {\displaystyle 50.02\%} 。 以 N = 8 {\displaystyle N=8} 为例：共有 [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 4 ] , [ 5 ] , [ 6 ] , [ 7 ] {\displaystyle [0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]} 共 8 {\displaystyle 8} 个模 N {\displaystyle N} 同余集合，其中同余集合 [ 0 ] , [ 2 ] , [ 4 ] , [ 6 ] {\displaystyle [0],[2],[4],[6]} 不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合 [ 1 ] , [ 3 ] , [ 5 ] , [ 7 ] {\displaystyle [1],[3],[5],[7]} 中： 不大于 10 , 000 {\displaystyle 10,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 3 ] , [ 5 ] , [ 7 ] {\displaystyle [1],[3],[5],[7]} 中的比率分别为 23.98 % , 25.28 % , 25.53 % {\displaystyle 23.98\%,25.28\%,25.53\%} 和 25.12 % {\displaystyle 25.12\%} ； 在不大于 100 , 000 {\displaystyle 100,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 3 ] , [ 5 ] , [ 7 ] {\displaystyle [1],[3],[5],[7]} 中的比率分别为 24.85 % , 25.12 % , 25.01 % {\displaystyle 24.85\%,25.12\%,25.01\%} 和 25.01 % {\displaystyle 25.01\%} ； 在不大于 1 , 000 , 000 {\displaystyle 1,000,000} 的质数中，质数在 [ 1 ] , [ 3 ] , [ 5 ] , [ 7 ] {\displaystyle [1],[3],[5],[7]} 中的比率分别为 24.91 % , 25.04 % , 25.00 % {\displaystyle 24.91\%,25.04\%,25.00\%} 和 25.06 % {\displaystyle 25.06\%} ； 歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} 。 算術級數的質數定理：若 a , d {\displaystyle a,d} 互質，則有 ∑ p ≤ x p ≡ a ( mod d ) 1 ∼ 1 ϕ ( d ) x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \sum _{p\leq x\quad p\equiv a{\pmod {d}}}1\sim {\frac {1}{\phi (d)}}{\frac {x}{\ln(x)}}} 。 其中φ是歐拉函數。取 d = 2 {\displaystyle d=2} ，可得一般的質數定理。 林尼克定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數 a + n d {\displaystyle a+nd} 中最小的質數少於 c d L {\displaystyle cd^{L}} ，其中 L {\displaystyle L} 和 c {\displaystyle c} 均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。 柴伯塔瑞夫密度定理（英语：Chebotarev's density theorem）是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。 歐拉曾以 ∑ 1 p = ∞ {\displaystyle \sum {\frac {1}{p}}=\infty } ，來證明質數有無限個。約翰·彼得·狄利克雷得以靈感，借助證明 ∑ p ≡ a ( mod d ) 1 / p = ∞ {\displaystyle \sum _{p\equiv a{\pmod {d}}}{1/p}=\infty } 來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了狄利克雷L函數，應用了一些解析數學的技巧，是解析數論的重要里程碑。 這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的猜想而已，並不是定理。 布尼亞科夫斯基猜想，推廣至>=2次的多項式 狄克森猜想，推廣至>=2個多項式 欣策爾假設H（英语：Schinzel's hypothesis H），上述兩個推廣合併 T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7