合成列

在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 { 0 } = M 0 ⊂ ⋯ ⊂ M n = M {\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M} ，使每個子商 M i / M i + 1 {\displaystyle M_{i}/M_{i+1}} 皆為單模；這些單模稱為合成因子， n {\displaystyle n} 稱為合成長度，都是 M {\displaystyle M} 的不變量。亦可考慮 M {\displaystyle M} 的子模範疇 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ，此時 [ M ] ∈ K ( A ) {\displaystyle [M]\in K({\mathcal {A}})} 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。 合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。 設 G {\displaystyle G} 為群， G {\displaystyle G} 的合成列是對應於一族子群 { e } = H 0 ⊂ H 1 ⊂ ⋯ ⊂ H n = G {\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G} 滿足 H i ◃ H i + 1 {\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}} ，使其子商 H i + 1 / H i {\displaystyle H_{i+1}/H_{i}} 皆為非平凡的單群；易言之， H i {\displaystyle H_{i}} 是 H i + 1 {\displaystyle H_{i+1}} 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。 固定環 R {\displaystyle R} 及 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 。 M {\displaystyle M} 的合成列是一族子模 { 0 } = J 0 ⊂ ⋯ ⊂ J n = M {\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M} 其中每個子商 J k + 1 / J k {\displaystyle J_{k+1}/J_{k}} 皆為非平凡的單模 。易言之， J k {\displaystyle J_{k}} 是 J k + 1 {\displaystyle J_{k+1}} 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 R {\displaystyle R} 是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 R {\displaystyle R} -模皆有合成列。 例子. 考慮 12 階循環群 C 12 {\displaystyle C_{12}} ，它具有三個相異的合成列 C 1 ◃ C 2 ◃ C 6 ◃ C 12 {\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}} , C 1 ◃ C 2 ◃ C 4 ◃ C 12 {\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}} , C 1 ◃ C 3 ◃ C 6 ◃ C 12 {\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}} 合成因子分別為 C 2 , C 3 , C 2 {\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}} C 2 , C 2 , C 3 {\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}} C 3 , C 2 , C 2 {\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}} 其間僅差個置換。 定理. 若群 G {\displaystyle G} 〔或 R {\displaystyle R} -模 M {\displaystyle M} 〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。 略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列 { 0 } = M 0 ⊂ ⋯ ⊂ M r = M {\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M} { 0 } = M 0 ′ ⊂ ⋯ ⊂ M s ′ = M {\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M} 對 m i n ( r , s ) {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)} 行數學歸納法。若 m i n ( r , s ) = 0 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0} 則 M = 0 {\displaystyle M=0} ，若 m i n ( r , s ) = 1 {\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1} 則 M {\displaystyle M} 是單模。以下假定 r , s ≥ 2 {\displaystyle r,s\geq 2} 。 若 M r − 1 = M s − 1 {\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}} ，據歸納法假設， r − 1 = s − 1 {\displaystyle r-1=s-1} 且 M i + 1 / M i {\displaystyle M_{i+1}/M_{i}} 與 M i + 1 ′ / M i ′ {\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}} （ 0 ≤ i ≤ r − 2 {\displaystyle 0\leq i\leq r-2} ）之間僅差置換。此外 M / M r − 1 = M / M s − 1 ′ {\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}} ，故定理成立。 設 M r − 1 ≠ M s − 1 ′ {\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}} 。此時必有 M r − 1 + M s − 1 ′ = M {\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M} 。置 N := M r − 1 ∩ M s − 1 ′ {\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}} ，於是 M / M r − 1 = ( M r − 1 + M s − 1 ′ ) / M r − 1 ≃ M s − 1 ′ / N {\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N} M / M s − 1 ′ = ( M r − 1 + M s − 1 ′ ) / M s − 1 ′ ≃ M r − 1 / N {\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N} 取 N {\displaystyle N} 的合成列 { 0 } = K 0 ⊂ ⋯ ⊂ K t = N {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N} ，依上式知 { 0 } = K 0 ⊂ ⋯ ⊂ K t = N ⊂ M r − 1 ⊂ M … ( ∗ ) {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)} { 0 } = K 0 ⊂ ⋯ ⊂ K t = N ⊂ M s − 1 ′ ⊂ M … ( ∗ ∗ ) {\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)} 皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 M {\displaystyle M} ，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 M ∙ , M ∙ ′ {\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }} 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。 正規列 長度 (模論) O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4