四維頻率

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r {\displaystyle \mathbf {r} \,\!} 表示；而其大小則用 r {\displaystyle r\,\!} 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如， x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 或 x μ {\displaystyle {x}_{\mu }\,\!} 。為了避免歧意，四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如， ( x ) 2 {\displaystyle (x)^{2}\,\!} 表示 x {\displaystyle x\,\!} 平方；而 x 2 {\displaystyle {x}^{2}\,\!} 是 x μ {\displaystyle {x}^{\mu }\,\!} 的第二個分量。 在電磁學裏，平面電磁波的四維頻率 f μ {\displaystyle f^{\mu }} 以公式定義為 f μ   = d e f   ( f , f n ) {\displaystyle f^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(f,\,f\mathbf {n} \right)} ； 其中， f {\displaystyle f} 是電磁波的頻率， n {\displaystyle \mathbf {n} } 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量。 四維頻率與自己的內積永遠等於零： f μ f μ = ( f ) 2 ( 1 − n 2 ) = 0 {\displaystyle {f}^{\mu }{f}_{\mu }=(f)^{2}(1-n^{2})=0} 。 類似地，四維角頻率 ω μ {\displaystyle \omega ^{\mu }} 以公式定義為 ω μ   = d e f   ( ω , ω n ) {\displaystyle \omega ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left(\omega ,\,\omega \mathbf {n} \right)} ； 其中， ω {\displaystyle \omega } 是電磁波的角頻率。 顯然地， ω μ = 2 π f μ {\displaystyle \omega ^{\mu }=2\pi f^{\mu }} 。 四維波向量 k μ {\displaystyle {k}^{\mu }} 與四維角頻率有密切的關係，定義為 k μ = ( k , k ) {\displaystyle {k}^{\mu }=\left(k,\,\mathbf {k} \right)} ； 其中， k {\displaystyle \mathbf {k} } 是電磁波的波向量。 在本篇文章裏，閔可夫斯基度規的形式被規定為 d i a g ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) {\displaystyle diag(1,-1,-1,-1)} ，這是参考了約翰·傑克森（John D. Jackson）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定。 給予兩個慣性參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 、 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} ；相對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ，參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} 以速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 移動。對於這兩個參考系，相關的勞侖茲變換矩陣 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} 是 Λ ν μ = [ γ − β x γ − β y γ − β z γ − β x γ 1 + ( γ − 1 ) β x 2 β 2 ( γ − 1 ) β x β y β 2 ( γ − 1 ) β x β z β 2 − β y γ ( γ − 1 ) β y β x β 2 1 + ( γ − 1 ) β y 2 β 2 ( γ − 1 ) β y β z β 2 − β z γ ( γ − 1 ) β z β x β 2 ( γ − 1 ) β z β y β 2 1 + ( γ − 1 ) β z 2 β 2 ] {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta _{x}\,\gamma &-\beta _{y}\,\gamma &-\beta _{z}\,\gamma \\-\beta _{x}\,\gamma &1+(\gamma -1){\frac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{y}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\beta _{z}\,\gamma &(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\frac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\frac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}} ； 其中， γ = 1 1 − ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}} 是勞侖茲因子， β = v c {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} 是貝他因子， β x {\displaystyle \beta _{x}} 、 β y {\displaystyle \beta _{y}} 、 β z {\displaystyle \beta _{z}} 分別是參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} 對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度 v x {\displaystyle v_{x}} 、 v y {\displaystyle v_{y}} 、 v z {\displaystyle v_{z}} 的貝他因子。 設定一個朝著 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} 方向傳播於真空的平面電磁波，對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ，這平面電磁波以公式表達為 E = E 0 e − i ( k μ x μ ) η ^ 1 {\displaystyle \mathbf {E} =E_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}} 、 B = B 0 e − i ( k μ x μ ) η ^ 2 {\displaystyle \mathbf {B} =B_{0}e^{-i(k^{\mu }x_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}} ； 其中， E {\displaystyle \mathbf {E} } 、 B {\displaystyle \mathbf {B} } 分別是電磁波的電場、磁場， E 0 {\displaystyle E_{0}} 、 B 0 {\displaystyle B_{0}} 分別是其波幅， k μ {\displaystyle k^{\mu }} 是四維波向量， x μ = ( c t , − x ) {\displaystyle x_{\mu }=(ct,-\mathbf {x} )} 是四維位置， x {\displaystyle \mathbf {x} } 是位置， η ^ 1 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}} 、 η ^ 2 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}} 分別垂直於 k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} ，而且 η ^ 2 = k ^ × η ^ 1 {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}} 。 那麼，對於參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} ，這平面電磁波以公式表達為 E ¯ = E ¯ 0 e − i ( k ¯ μ x ¯ μ ) η ^ 1 {\displaystyle {\overline {\mathbf {E} }}={\overline {E}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{1}} 、 B ¯ = B ¯ 0 e − i ( k ¯ μ x ¯ μ ) η ^ 2 {\displaystyle {\overline {\mathbf {B} }}={\overline {B}}_{0}e^{-i({\overline {k}}^{\mu }{\overline {x}}_{\mu })}{\hat {\boldsymbol {\eta }}}_{2}} 。 四維波向量 k ¯ μ {\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }} 與 k μ {\displaystyle {k}^{\mu }} 之間的關係為 k ¯ μ = Λ ν μ k ν {\displaystyle {\overline {k}}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }{k}^{\nu }} 。 經過一番運算，可以求得 k ¯ = k ¯ 0 = γ ( k − β x k x − β y k y − β z k z ) = k μ v μ / c {\displaystyle {\overline {k}}={\overline {k}}^{0}=\gamma (k-\beta _{x}k_{x}-\beta _{y}k_{y}-\beta _{z}k_{z})=k^{\mu }v_{\mu }/c} ； 其中， v μ = ( γ c , − γ v ) {\displaystyle v_{\mu }=(\gamma c,\,-\gamma \mathbf {v} )} 是參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} 相對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的四維速度， v {\displaystyle \mathbf {v} } 是參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} 相對於參考系 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的速度。 在真空裏，四維頻率與四維波向量之間的關係為 f μ = c k μ / 2 π {\displaystyle f^{\mu }=ck^{\mu }/2\pi } 。 所以， f ¯ = f ¯ 0 = f μ v μ / c {\displaystyle {\overline {f}}={\overline {f}}^{0}=f^{\mu }v_{\mu }/c} 。 這也是參考系 S ¯ {\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}} 的觀察者所觀察到的頻率。 四維向量 電磁張量 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1  引文格式1维护：冗余文本 (link) Woodhouse, N.M.J. Special Relativity. London: Springer-Verlag. 2003: 84-90. ISBN 1852334266.  Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X.  引文格式1维护：冗余文本 (link)