迭代函数

在数学中，迭代函数是在碎形和动力系统中深入研究的对象。迭代函数是重复的与自身复合的函数，这个过程叫做迭代。 在集合 X {\displaystyle X} 上的迭代函数的形式定义为: 设 X {\displaystyle X} 是集合和 f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} 是函数。定义 f {\displaystyle f} 的 n {\displaystyle n} 次迭代 f n {\displaystyle f^{n}} 为 f 0 = id X {\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}} 而 f n + 1 = f ∘ f n {\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}} ，这里的 id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} 是在 X {\displaystyle X} 上的恒等函数。 在上述中， f ∘ g {\displaystyle f\circ g} 指示函数复合；就是说 ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} 。 換句話說，迭代函数也可以表示為以下的形式： f n ( x ) = f ( f ( f ( . . . f ( f ⏟ n ( x ) ) . . . ) ) ) {\displaystyle f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))} f 0 ( x ) {\displaystyle f^{0}(x)} 定義為 x {\displaystyle x} 。 f − n ( x ) {\displaystyle f^{-n}(x)} 定義為 f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} 的反函數。（如果 f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} 的反函數不存在，則 f − n ( x ) {\displaystyle f^{-n}(x)} 也不存在） 因此， f 1 ( x ) {\displaystyle f^{1}(x)} 就是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} ， f 2 ( x ) {\displaystyle f^{2}(x)} 是 f ( f ( x ) ) {\displaystyle f(f(x))} ， f 0 ( x ) {\displaystyle f^{0}(x)} 是恆等函數 x {\displaystyle x} ， f − 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的反函數（如果存在的話），而 f 1 2 ( x ) {\displaystyle f^{\frac {1}{2}}(x)} 就是能夠使得合成函數 g ( g ( x ) ) {\displaystyle g(g(x))} 正好是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的函數 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 。 注意，一般情況下， f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} 並不等於 ( f ( x ) ) n {\displaystyle (f(x))^{n}} 或 f ( x n ) {\displaystyle f(x^{n})} ，而例如 sin − 1 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin ^{-1}(x)} 是 sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} 的反函數，亦即 arcsin ⁡ ( x ) {\displaystyle \arcsin(x)} ，而不是 1 sin ⁡ ( x ) = csc ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)} 。 一些特殊函數的冪次為（其中 a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle b} 、 n {\displaystyle n} 可為任意複數，亦即 a , b , n ∈ C {\displaystyle a,b,n\in \mathbb {C} } ）： f ( x ) = a {\displaystyle f(x)=a} ， f n ( x ) = a  if  n ∈ R ∧ n > 0 , f n ( x ) = x  if  n = 0 {\displaystyle f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0} （在 n {\displaystyle n} 是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比 0 n {\displaystyle 0^{n}} 在 n {\displaystyle n} 是負實數或虛數的時候也沒有定義） f ( x ) = x + a {\displaystyle f(x)=x+a} ， f n ( x ) = x + n a {\displaystyle f^{n}(x)=x+na} f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=ax} ， f n ( x ) = a n x {\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x} f ( x ) = x a {\displaystyle f(x)=x^{a}} ， f n ( x ) = x a n {\displaystyle f^{n}(x)=x^{a^{n}}} （注意迭代冪次要由右往左算） f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} ， f n ( x ) = a n x + a n − 1 a − 1 b {\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b} （ a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ） f ( x ) = b x a {\displaystyle f(x)=bx^{a}} ， f n ( x ) = b a n − 1 a − 1 x a n {\displaystyle f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}} （ a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ） （注意任何非零複數的任何複數次方都有定義： a n = e n ln ⁡ a = e Re ( n ln ⁡ a ) ( cos ⁡ ( Im ( n ln ⁡ a ) + i sin ⁡ ( Im ( n ln ⁡ a ) ) {\displaystyle a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))} ，當 a {\displaystyle a} 為負實數或虛數時， ln ⁡ ( a ) = ln ⁡ ( | a | ) + i arg ( a ) {\displaystyle \ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)} ，其中 | a | {\displaystyle |a|} 為複數 a {\displaystyle a} 的絕對值， arg ( a ) {\displaystyle {\text{arg}}(a)} 為複數 a {\displaystyle a} 的主幅角， Re ( a ) {\displaystyle {\text{Re}}(a)} 為複數 a {\displaystyle a} 的實部， Im ( a ) {\displaystyle {\text{Im}}(a)} 為複數 a {\displaystyle a} 的虛部） 函數冪亦有類似指數律的定理，其中 m {\displaystyle m} 、 n {\displaystyle n} 可為任意複數，亦即 m , n ∈ C {\displaystyle m,n\in \mathbb {C} } ： f m ( f n ( x ) ) = f m + n ( x ) {\displaystyle f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)} ( f m ) n ( x ) = f m n ( x ) {\displaystyle (f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)} 注意函數的合成是不可交換的（ g f ( x ) {\displaystyle gf(x)} 並不一定等於 f g ( x ) {\displaystyle fg(x)} ）但因為可結合（ h ( g f ) ( x ) {\displaystyle h(gf)(x)} 一定等於 ( h g ) f ( x ) {\displaystyle (hg)f(x)} ），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。 這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算 P n m {\displaystyle P_{n}^{m}} 、 C n m {\displaystyle C_{n}^{m}} 拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的 n {\displaystyle n} 次方以及微分 n {\displaystyle n} 次（ n {\displaystyle n} 為負整數時等同於積分 − n {\displaystyle -n} 次），也都可以用這種方式，把 n {\displaystyle n} 拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的 ∑ x = m n f ( x ) {\displaystyle \sum _{x=m}^{n}f(x)} 與 ∏ x = m n f ( x ) {\displaystyle \prod _{x=m}^{n}f(x)} 中， f ( x ) {\displaystyle f(x)} 為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候， m {\displaystyle m} 跟 n {\displaystyle n} 也能拓展到任意複數，就跟積分式 ∫ m n f ( x ) {\displaystyle \int _{m}^{n}f(x)} 一樣），至於超運算 a [ n ] b {\displaystyle a[n]b} 能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。 函数 f n {\displaystyle f^{n}} 的序列叫做 Picard 序列，得名于埃米尔·皮卡。对于一个给定 x ∈ X {\displaystyle x\in X} ， f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} 的值的序列叫做 x {\displaystyle x} 的轨道。 如果对于某个整数 m {\displaystyle m} 有 f n ( x ) = f n + m ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)} ，则轨道叫做周期轨道。对于给定 x {\displaystyle x} 最小的这种 m {\displaystyle m} 值叫做轨道的周期。点 x {\displaystyle x} 自身叫周期点。 如果m=1，就是说如果对于某个X中的x有f(x) = x，则x被称为迭代序列的不动点。不动点的集合经常指示为Fix（f）。存在一些不动点定理保证在各种情况下不动点的存在性，包括巴拿赫不动点定理和Brouwer不动点定理。 有很多技术通过不动点迭代（英语：Fixed-point iteration）产生了序列收敛加速。例如，应用于一个迭代不动点的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收敛。 不动点理论同样也适用于经济学领域。 通过迭代，可以发现有向一个单一点收缩和会聚的一个集合。在这种情况下，会聚到的这个点叫做吸引不动点。反过来说，迭代也可以表现得从一个单一点发散；这种情况叫不稳定不动点。 当轨道的点会聚于一个或多个极限的时候，轨道的会聚点的集合叫做极限集合或 ω-极限集合。 吸引和排斥的想法类似推广；依据在迭代下小邻域行为，可把迭代分类为稳定集合和不稳定集合。 其他极限行为也有可能；比如，游荡点是总是移动永不回到甚至接近起点的点。 著名的迭代函数包括曼德博集合和迭代函数系统。 如果 f 是一个群元素在一个集合上的作用，则迭代函数对应于自由群。 旋转数（英语：Rotation number） Sarkovskii定理（英语：Sharkovskii's theorem） 疊代iteration. 國家教育研究院辭書資訊網. [2021-11-07]. （原始内容存档于2021-11-08）. 名詞解釋：指重複的一序列指令或事件；如程式的迴圈。  Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7