Σ-有限测度

σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，若测度 μ {\displaystyle \mu } 其對任意 A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } 的取值 μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)} 是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。若有限測度的母集合 X {\displaystyle X} 可表示为 Σ {\displaystyle \Sigma } 的某可測集合序列 { E n ∈ Σ } n ∈ N {\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }} 的并集： X = ⋃ n ∈ N E n {\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}} 則么就称这个测度为σ-有限测度:24。進一步的，如果 X {\displaystyle X} 的某个子集能够表示为 Σ {\displaystyle \Sigma } 之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。 勒贝格测度：实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为 R {\displaystyle \mathbb {R} } 可以表示为所有形如 [ − n , n ] {\displaystyle [-n,n]} 的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于 2 n {\displaystyle 2n} ）： R = ⋃ n = 1 ∞ [ − n , n ] . {\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].} :24 计数测度：实数集 R {\displaystyle \mathbb {R} } 上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大:20-21。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集:30。不过，自然数集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 上的计数测度就是σ-有限测度:29，因为全集 N {\displaystyle \mathbb {N} } 可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集： N = ⋃ n = 1 ∞ { n } . {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.} 局部紧群：设 G {\displaystyle G} 是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群 G {\displaystyle G} 上的哈尔测度是σ-有限测度:42。 σ-有限测度中，全集可以表示为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的可数个有限测度子集的并集： Ω = ⋃ n = 1 ∞ B n {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}} ，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令 ∀ n ∈ N , C n = ⋃ k = 1 n B k ∈ A , {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},} 那么 ∀ n ∈ N , μ ( C n ) ⩽ ∑ k = 1 n μ ( B k ) {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})} ，也就是说 ( C n ) n ∈ N {\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} 也是一系列有限测度的子集，并且 C 1 ⊂ C 2 ⊂ ⋯ ⊂ C n ⊂ C n + 1 ⊂ ⋯ {\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n+1}\subset \cdots } ，所以 μ ( C 1 ) ⩽ μ ( C 2 ) ⩽ ⋯ ⩽ μ ( C n ) ⩽ μ ( C n + 1 ) ⩽ ⋯ {\displaystyle \mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n+1})\leqslant \cdots } 。随着下标增大， C n {\displaystyle C_{n}} 的测度越来越大，趋向正无穷大，并且 Ω = ⋃ n = 1 ∞ C n {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}} 。这称为全集的升序表示。而如果令： C 0 = ∅ , ∀ n ∈ N , D n = C n ∖ C n − 1 ∈ A , {\displaystyle C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},} ， 那么 ( D n ) n ∈ N {\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} 也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且 Ω = ⋃ n = 1 ∞ D n {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}} 。 ( D n ) n ∈ N {\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} 被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。 与σ-有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致σ-有限测度。一致σ-有限测度是一类特殊的σ-有限测度。它不仅要求全集 Ω {\displaystyle \Omega } 能够表示为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 中的可数个有限测度子集的并集： Ω = ⋃ n = 1 ∞ B n {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}} ，而且要求存在一个正实数 m {\displaystyle m} ，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于 m {\displaystyle m} 。 Ω = ⋃ n = 1 ∞ B n , B n ∈ A , | μ ( B n ) | < m , {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},\qquad B_{n}\in {\mathcal {A}},\quad |\mu (B_{n})|<m,} 勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致σ-有限测度。但并非所有的σ-有限测度都是一致σ-有限测度。比如说自然数集上如下定义的σ-有限测度 μ c {\displaystyle \mu _{c}} ： ∀ E ∈ N , μ c ( E ) = ∑ k ∈ E k {\displaystyle \forall E\in \mathbb {N} ,\;\;\mu _{c}(E)=\sum _{k\in E}k} 就不是一致σ-有限测度:30。 半有限测度则是比σ-有限测度更宽泛的一种定义。如果 ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} 上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的σ-有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是σ-有限测度:30。 给定 ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} ，其上的任何σ-有限测度 μ {\displaystyle \mu } 都等价于一个 ( Ω , A ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} 的概率测度。具体的构造方法是：令 ( B n ) n ∈ N {\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} 为全集 Ω {\displaystyle \Omega } 的一个不交覆盖（划分），并且每个 B n {\displaystyle B_{n}} 在 μ {\displaystyle \mu } 下的测度都是有限的；再令 ( ω n ) n ∈ N {\displaystyle \left(\omega _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} 为一个由正实数构成的数列，并且级数和 ∑ n = 1 ∞ w n = 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.} 那么以下方式定义的测度 ν {\displaystyle \nu } ： ∀ A ∈ A , ν ( A ) = ∑ n = 1 ∞ w n μ ( A ∩ B n ) μ ( B n ) {\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\;\;\nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu (A\cap B_{n})}{\mu (B_{n})}}} 就是一个与 μ {\displaystyle \mu } 等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。 富比尼定理 叶戈罗夫定理 拉东-尼科迪姆定理 （英文）Vladimir I. Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 9783540345145.  （英文）Carlos S. Kubrusly. Measure Theory: A First Course. Gulf Professional Publishing，插图版. 2007. ISBN 9780123708991.  （英文）A. B. Kharazishvili. Topics in Measure Theory and Real Analysis. Springer. 2009. ISBN 9789491216367.