肯普納級數

肯普納級數（英語：Kempner series）是十進制寫法不含數字9的正整數的倒數和。用符號可寫成 ∑ n = 1 n 缺  9 ∞ 1 n , {\displaystyle \sum _{\begin{smallmatrix}n=1\\n{\text{缺 }}9\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {1}{n}}_{,}} 其中「缺9」意思是「十進制表示中，不含數字9」，下同。奧伯利·肯普納（英语：Aubrey J. Kempner）於1914年最早研究該級數。肯普納級數是由調和級數刪走含數字9的項所得，但肯普納級數收斂，調和級數則發散。肯普納證明，級數之和小於90。羅伯特·貝利證明，級數準確到小數點後20位的值為22.92067661926415034816（OEIS數列A082838）。 直觀理解，級數收斂是因為大部分「大數」都有齊0至9的全部數字。例如，均勻隨機選一個100位的正整數，很易包含至少一個數字9，於是級數不計該數的倒數。 施梅爾策與貝利找到高效算法，給定任意數字串為輸入，計算缺該串的正整數倒數和。此問題推廣了原本的級數求值問題。舉例，考慮所有缺數字串「42」的正整數 n {\displaystyle n} ，其倒數和約為228.44630415923081325415。又舉例，缺數字串「314159」的正整數倒數和約為2302582.33386378260789202376。（上述數值皆四捨五入至末位。） 許多文獻中，級數未有命名。MathWorld用Kempner series為條目名。朱利安·哈維爾所著《伽瑪》（論歐拉-馬斯刻若尼常數）亦採用同一名稱。 肯普納對數列收斂之證明，載於若干教科書，如哈代與賴特合著《數論導論》，亦是阿波斯托《數學分析》的習題。證明如下。 將級數各項按分母的位數分組。由乘法原理，缺「9」的 n {\displaystyle n} 位正整數共有 8 × 9 n − 1 {\displaystyle 8\times 9^{n-1}} 個，因為最高位有8個選擇（1至8，首位不為零），而其後 n − 1 {\displaystyle n-1} 位，每位有9種選擇（0至8），且各位的選擇互相獨立。任何 n {\displaystyle n} 位數皆不小於 10 n − 1 {\displaystyle 10^{n-1}} ，故其倒數至多為 10 1 − n {\displaystyle 10^{1-n}} 。所以，缺「9」的 n {\displaystyle n} 位正整數之倒數，對級數的貢獻，至多是 8 × ( 9 10 ) n − 1 {\displaystyle 8\times \left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}} 。因此，將各組貢獻加總，全個級數至多為 8 ∑ n = 1 ∞ ( 9 10 ) n − 1 = 80. {\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=80.} 若將禁止出現的「9」換成其他非零數字，則同樣的論證仍成立。至於缺「0」的情況，缺「0」的 n {\displaystyle n} 位正整數共有 9 n {\displaystyle 9^{n}} 個，故缺「0」正整數的倒數和至多為： 9 ∑ n = 1 ∞ ( 9 10 ) n − 1 = 90. {\displaystyle 9\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {9}{10}}\right)^{n-1}=90.} 若刪去含有某串 k {\displaystyle k} 位子字串的項，例如忽略所有分母含子字串「42」的項，則級數同樣收斂。證明方法幾乎一樣，先觀察在 10 k {\displaystyle 10^{k}} 進制中，刪去含有該字串為「位」的項，則前述證明適用，證出新級數收斂。但是，新級數比欲證收斂的級數更大，原因是欲證收斂的級數中，不僅刪走以該字串為 10 k {\displaystyle 10^{k}} 進制位的項，還刪走了跨 10 k {\displaystyle 10^{k}} 進制位而含該字串的項。接續前一個例子，百進制的新級數略過4217（百進制的首位是42）和1742（百進制的末位是42），但未略過1427，而欲證收斂的級數中，連1427也一併略去。 巴基爾·法喜研究恰有 n {\displaystyle n} 個數字 d {\displaystyle d} （滿足 0 ≤ d ≤ 9 {\displaystyle 0\leq d\leq 9} ）的正整數倒數和 S ( d , n ) {\displaystyle S(d,n)} ，此為肯普納級數的推廣，因為原級數即為 S ( 9 , 0 ) {\displaystyle S(9,0)} 。法喜證明，對每個 d {\displaystyle d} ，數列 S ( d , n ) {\displaystyle S(d,n)} 由 n = 1 {\displaystyle n=1} 起取值遞減，且當 n {\displaystyle n} 趨向無窮大時，收斂到 10 ln ⁡ 10 {\displaystyle 10\ln 10} 。不過，數列一般並非由 n = 0 {\displaystyle n=0} 起遞減，例如原級數值為 S ( 9 , 0 ) ≈ 22.921 < 23.026 ≈ 10 ln ⁡ 10 {\displaystyle S(9,0)\approx 22.921<23.026\approx 10\ln 10} ，比 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 時任意一個 S ( 9 , n ) {\displaystyle S(9,n)} 更小。 級數收斂得很慢。貝利寫道，即使計算前1024項和，其後餘項仍超過1。 80是很粗略的上界。弗蘭克·厄文較仔細地分析後，證明級數值接近23。此後，再由貝利改進到前述的22.92067…。 貝利以 s ( i , j ) {\displaystyle s(i,j)} 表示缺某指定數字的所有 i {\displaystyle i} 位正整數的 j {\displaystyle j} 次方倒數和，然後推導出，只要有齊 s ( i , j + n ) {\displaystyle s(i,j+n)} 對所有非負整數 n {\displaystyle n} 的值，就能遞歸計算 s ( i + 1 , j ) {\displaystyle s(i+1,j)} 。於是，祗需較少的計算，已得到原級數 s ( 1 , 1 ) + s ( 1 , 2 ) + ⋯ {\displaystyle s(1,1)+s(1,2)+\cdots } 的準確估計。 倒數和收斂 倒數和列表（英语：List of sums of reciprocals） Kempner, A. 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