三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。 在三角形ABC中，这个式子用标量可以写作 A B ¯ + B C ¯ ≥ A C ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BC}}\geq {\overline {AC}}} 。 当该式取不等号时，可以由欧几里得第五公设导出；欧几里得给出的证明记载于《几何原本》第一卷命题20：（证明所用的辅助图像见右） 现在，我们有三角形ABC。延长 A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} 至点D，并使 B D ¯ = B C ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}} ，联结 D C ¯ {\displaystyle {\overline {DC}}} 。 那么，三角形BCD为等腰三角形，所以 ∠ B D C = ∠ B C D {\displaystyle \angle BDC=\angle BCD} 。记它们均为 α {\displaystyle \alpha } 。 根据欧几里得第五公设，角 β {\displaystyle \beta } 也就是 ∠ A C D {\displaystyle \angle ACD} 大于角 α {\displaystyle \alpha } （ ∠ B C D {\displaystyle \angle BCD} ，也就是 ∠ B D C {\displaystyle \angle BDC} ）； 由于角 β {\displaystyle \beta } 对应边 A D ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}} ，角 α {\displaystyle \alpha } 对应边 A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} ，因此 A D ¯ > A C ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}} （大角对大边，命题19）。 又由于 D B ¯ = B C ¯ {\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}} ，所以 A D ¯ = A B ¯ + B D ¯ = A B ¯ + B C ¯ > A C ¯ {\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}} ，即证。 如果我们将该式左右各减去 B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} ，便能得到 A B ¯ > A C ¯ − B C ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}>{\overline {AC}}-{\overline {BC}}} ，这便是三角不等式的另一种表达方法：三角形的两边之差小于第三边。 当该式取等号的时候，其已经不属于欧氏几何的范畴，这种情况只有可能在球面三角形中出现，此时 | a − b | ≤ c ≤ a + b {\displaystyle \left|a-b\right|\leq c\leq a+b} ，而a, b, c为三角形三边的长。 用向量的写法，这个不等式可以写成： | A C → | ≤ | A B → | + | B C → | {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|} 上式和标量的写法明显是等价的。 考虑到 A B → + B C → = A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}} ，该式也可以写成： | A B → + B C → | ≤ | A B → | + | B C → | {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}\right|\leq \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|} ，这种情况的形式和下方实数中的形式是一致的。 如果根据向量构建平面直角坐标系，则可以用代数的方式予以证明。 还是以右图中的三角形为例子。假设在坐标系中，向量 A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} 的方向向量为 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} ，向量 B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} 的方向向量为 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} ， 那么因为 A B → + B C → = A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}} ，得向量 A C → {\displaystyle {\overrightarrow {AC}}} 的方向向量为 ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) {\displaystyle (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})} 。 因此， | A B → | + | B C → | = x 1 2 + y 1 2 + x 2 2 + y 2 2 {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}+{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}} ， | A C → | = ( x 1 + x 2 ) 2 + ( y 1 + y 2 ) 2 {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AC}}\right|={\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}+(y_{1}+y_{2})^{2}}}} 。 所以， | A B → | + | B C → | − | A C → | = 2 x 1 2 x 2 2 + x 1 2 y 2 2 + x 2 2 y 1 2 + y 1 2 y 2 2 − 2 x 1 x 2 − 2 y 1 y 2 {\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|-\left|{\overrightarrow {AC}}\right|=2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}-2x_{1}x_{2}-2y_{1}y_{2}} 。 而 ( 2 x 1 2 x 2 2 + x 1 2 y 2 2 + x 2 2 y 1 2 + y 1 2 y 2 2 ) 2 = 4 x 1 2 x 2 2 + 4 x 1 2 y 2 2 + 4 x 2 2 y 1 2 + 4 y 1 2 y 2 2 {\displaystyle (2{\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}}})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}^{2}y_{2}^{2}+4x_{2}^{2}y_{1}^{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}} ， ( 2 x 1 x 2 + 2 y 1 y 2 ) 2 = 4 x 1 2 x 2 2 + 8 x 1 x 2 y 1 y 2 + 4 y 1 2 y 2 2 {\displaystyle (2x_{1}x_{2}+2y_{1}y_{2})^{2}=4x_{1}^{2}x_{2}^{2}+8x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}+4y_{1}^{2}y_{2}^{2}} ， 两者相减再配方，得到 ( 2 x 1 y 2 − 2 x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle (2x_{1}y_{2}-2x_{2}y_{1})^{2}} ，该式实际上是 ( | A B → | + | B C → | ) 2 − ( | A C → | ) 2 {\displaystyle (\left|{\overrightarrow {AB}}\right|+\left|{\overrightarrow {BC}}\right|)^{2}-(\left|{\overrightarrow {AC}}\right|)^{2}} 的值。 当且仅当 x 1 y 2 = x 2 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{2}=x_{2}y_{1}} 时，该式的值为0，而此时我们可以推出 x 1 = k x 2 , y 1 = k y 2 , k ∈ ℜ {\displaystyle x_{1}=kx_{2},y_{1}=ky_{2},k\in \Re } ，这说明 x 1 {\displaystyle x_{1}} 和 x 2 {\displaystyle x_{2}} 、 y 1 {\displaystyle y_{1}} 和 y 2 {\displaystyle y_{2}} 都是平行的。而由于 x 1 {\displaystyle x_{1}} ，也就是向量 A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} 的终点和 x 2 {\displaystyle x_{2}} ，也就是向量 B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} 的起点是相同的，显然 A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} 和 B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} 共线。这种情况在欧氏几何中是不可能的，只有在非欧几何的情况下才能成立。用 y 1 {\displaystyle y_{1}} 和 y 2 {\displaystyle y_{2}} 平行也一样能够推出 A B → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}} 和 B C → {\displaystyle {\overrightarrow {BC}}} 共线。 其他任何情况，也就是 x 1 y 2 ≠ x 2 y 1 {\displaystyle x_{1}y_{2}\neq x_{2}y_{1}} 时，该式取到不等号，适用于欧氏几何。 将向量形式的三角不等式两边减去相同的向量，同样能够推出三角形的两边之差小于第三边。 在实数中，此式依然成立： | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle \left|a+b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|} 。 證明如下： 考慮到實數的平方必然是非负数，將兩邊平方，使它剩下一套絕對值符號： a 2 + 2 a b + b 2 ≤ a 2 + | 2 a b | + b 2 {\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}\leq a^{2}+\left|2ab\right|+b^{2}} 2 a b ≤ | 2 a b | {\displaystyle 2ab\leq \left|2ab\right|} 對於 ( a < 0 , b > 0 ) ∨ ( b < 0 , a > 0 ) {\displaystyle (a<0,b>0)\lor (b<0,a>0)} （即a, b彼此異號）， 2 a b < | 2 a b | {\displaystyle 2ab<\left|2ab\right|} ； 對於 ( a , b ≤ 0 ) ∨ ( a , b ≥ 0 ) {\displaystyle (a,b\leq 0)\lor (a,b\geq 0)} （即a, b彼此同號）， 2 a b = | 2 a b | {\displaystyle 2ab=\left|2ab\right|} 。 像几何中的情况一样，该式的推论为： | | a | − | b | | ≤ | a ± b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle \left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\leq \left|a\pm b\right|\leq \left|a\right|+\left|b\right|} 。 在閔考斯基時空，三角不等式是反方向的： ||x + y|| ≥ ||x|| + ||y||     对所有 x, y ∈ {\displaystyle \in } V，使得||x|| ≥ 0, ||y|| ≥ 0 和 tx ty ≥ 0 這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。 次可加性 Euclid's Elements, Book I, Proposition 20. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. （原始内容存档于2017-08-15）.  Euclid's Elements, Book I, Proposition 19. mathcs.clarku.edu. [2018-07-09]. （原始内容存档于2021-12-08）.