测度

在数学中，测度是一種將几何空間的度量（长度、面积、体积）和其他常见概念（如大小、质量和事件的概率）廣義化後產生的概念。传统的黎曼积分是在区间上进行的，為了把积分推广到更一般的集合上，人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度，它從 n {\displaystyle n} 维欧式空间 R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 出發，概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。 研究測度的學問被統稱為测度论，因為指定的數值通常是非負实数，所以测度论通常會被視為实分析的一个分支，它在数学分析和概率论有重要的地位。 定義 —  ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma )} 為可测空间，函数 μ : Σ → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )} 若满足： μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} (空集合的测度为零) 可数可加性( σ {\displaystyle \sigma } -可加性)： 若集合序列 { E n ∈ Σ } n ∈ N {\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }} 對所有不相等正整數 i ≠ j {\displaystyle i\neq j} 都有 E i ∩ E j = ∅ {\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing } ，則 μ ( ⋃ n ∈ N E n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})} 。 那 μ {\displaystyle \mu } 被稱為定義在 Σ {\displaystyle \Sigma } 上的一個非負測度，或簡稱為測度。為了敘述簡便起見，也可稱 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 为一测度空间。 直觀上，測度是「體積」的推廣；因為空集合的「體積」當然為零，而且互相獨立的一群（可數個）物體，總「體積」當然要是所有物體「體積」直接加總（的極限）。而要定義「體積」，必須先要決定怎樣的一群子集合，是「可以測量的」，詳細請見σ-代數。 如果將 μ {\displaystyle \mu } 的值域擴展到複數，也就是說 μ : Σ → C {\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} } ，那 μ {\displaystyle \mu } 會被進一步稱為複數測度。 若照著上述定義，根據可数可加性，不少母集合本身的測度值會變成无穷大（如對 R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} 本身取勒贝格测度），所以實際上不存在。但某些書籍會形式上將无穷大視為一個數，而容許測度取值為無窮大；這樣定義的書籍，會把只容許有限实数值的測度稱為（非負）有限測度。但這樣"定義"，會造成可數可加性與數列收斂的定義產生矛盾。 所以要延續體積是一種＂度量＂的這種直觀概念（也就是嚴謹的定義勒贝格测度），那就必須把σ-代數換成條件比較寬鬆的半集合環（英语：Semiring#Semiring_of_sets），然後以此為基礎去定義一個對應到＂體積＂的前測度（英语：Pre-measure）。 更進一步的，如果對測度空間 ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 來說，母集合 X {\displaystyle X} 可表示為 Σ {\displaystyle \Sigma } 內的某可測集合序列 { E n ∈ Σ } n ∈ N {\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }} 的并集： X = ⋃ n ∈ N E n {\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}} 且 μ {\displaystyle \mu } 只容許取有限值，則 μ {\displaystyle \mu } 會被進一步的稱為（非負）σ-有限测度。 测度 μ   {\displaystyle \mu \ } 的单调性： 若 E 1   {\displaystyle E_{1}\ } 和 E 2   {\displaystyle E_{2}\ } 为可测集，而且 E 1 ⊆ E 2 {\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}} ，则 μ ( E 1 ) ≤ μ ( E 2 ) {\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})} 。 若 E 1 , E 2 , E 3 ⋯ {\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots } 为可测集（不必是两两不交的），则集合 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）： μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) ≤ ∑ i = 1 ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})} 如果还满足并且对于所有的 n   {\displaystyle n\ } ， E n   {\displaystyle E_{n}\ } ⊆ E n + 1   {\displaystyle E_{n+1}\ } ，则如下极限式成立： μ ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) . {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).} 若 E 1 , E 2 , ⋯ {\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots } 为可测集，并且对于所有的 n   {\displaystyle n\ } ， E n + 1   {\displaystyle E_{n+1}\ } ⊆ E n   {\displaystyle E_{n}\ } ，则 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的交集是可测的。进一步说，如果至少一个 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的测度有限，则有极限： μ ( ⋂ i = 1 ∞ E i ) = lim i → ∞ μ ( E i ) {\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})} 如若不假设至少一个 E n   {\displaystyle E_{n}\ } 的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，令 E n = [ n , ∞ ) ⊆ R {\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} } 这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。 定義 —  ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 是测度空间，若 N ∈ Σ {\displaystyle N\in \Sigma } 且 μ ( N ) = 0   {\displaystyle \mu (N)=0\ } ，则 N {\displaystyle N} 被称为零测集（null set ）。 若所有零测集的子集都可测，则 μ {\displaystyle \mu } 称为完备的（complete）。 直觀上，因為測度的單調性，只要包含於零測集的集合，也「應該」是零測集，完備測度的定義體現了這個直觀的想法。更進一步的，任意测度可以按如下的定理擴展为完备测度： 定理 —  ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )} 是测度空间，若取： Σ ⋆ := { S | ( S ⊆ X ) ∧ ( ∃ A ) ( ∃ B ) { ( A , B ∈ Σ ) ∧ ( A ⊆ S ⊆ B ) ∧ [ μ ( B − A ) = 0 ] } } {\displaystyle \Sigma ^{\star }:={\bigg \{}S\,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\}{\bigg \}}} 那 Σ ⋆ {\displaystyle \Sigma ^{\star }} 是一個Σ-代数，此時若定義： μ ⋆ := { ⟨ S , r ⟩ | ( S ⊆ X ) ∧ ( ∃ A ) ( ∃ B ) { ( A , B ∈ Σ ) ∧ ( A ⊆ S ⊆ B ) ∧ [ μ ( B − A ) = 0 ] ∧ [ r = μ ( A ) ] } } {\displaystyle \mu ^{\star }:={\bigg \{}\langle S,\,r\rangle \,{\bigg |}\,(S\subseteq X)\wedge (\exists A)(\exists B)\{(A,\,B\in \Sigma )\wedge (A\subseteq S\subseteq B)\wedge [\mu (B-A)=0]\wedge [r=\mu (A)]\}{\bigg \}}} 那 μ ⋆ {\displaystyle \mu ^{\star }} 是定義在 Σ ⋆ {\displaystyle \Sigma ^{\star }} 上的完備測度，且有： ( ∀ S ∈ Σ ) [ μ ⋆ ( S ) = μ ( S ) ] {\displaystyle (\forall S\in \Sigma )[\mu ^{\star }(S)=\mu (S)]} 下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。 计数测度　定义为 μ ( S ) = S   {\displaystyle \mu (S)=S\ } 的「元素个数」。 一维勒贝格测度是定义在 R {\displaystyle \mathbb {R} } 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 μ ( [ 0 , 1 ] ) = 1   {\displaystyle \mu ([0,1])=1\ } 的唯一测度。 Circular angle测度是旋转不变的。 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。 恆零测度定义为 μ ( S ) = 0   {\displaystyle \mu (S)=0\ } ，对任意的 S   {\displaystyle S\ } 。 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。 外测度（Outer measure） 幾乎處處（Almost everywhere） 勒贝格测度（Lebesgue measure） 勒貝格積分 法圖引理(Fatou's lemma) 富比尼定理(Fubini's theorem) 可測基數 Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.  Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.  Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1974: 29-29. ISBN 0070542333.  R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press. D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin. Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co. M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley. Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral. Hazewinkel, Michiel (编), Measure, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4  Tutorial: Measure Theory for Dummies（为初学者准备的测度论教学） （页面存档备份，存于互联网档案馆）