虛功

在分析力學裏，施加於某物體的作用力，由於給定的虛位移，所做的機械功，稱為虛功（英語：virtual work）。以方程式表達，虛功 δ W {\displaystyle \delta W} 是 δ W = F ⋅ δ r {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \cdot \delta \mathbf {r} } ； 其中， F {\displaystyle \mathbf {F} } 是作用力， δ r {\displaystyle \delta \mathbf {r} } 是虛位移。 在這篇文章裏，位移指的是平移運動所造成的位移或旋轉運動所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個虛位移既是自變量（independent variable），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述矩陣方程式： R T r = R T B q {\displaystyle \mathbf {R} ^{T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {q} } ； 其中， R ,   r ,   q {\displaystyle \mathbf {R} ,\ \mathbf {r} ,\ \mathbf {q} } 都是向量， B {\displaystyle \mathbf {B} } 是方塊矩陣。 假若， R {\displaystyle \mathbf {R} } 是個任意非零向量，則可以將任意項目 R {\displaystyle \mathbf {R} } 從方程式中除去，得到 r = B q {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {B} \mathbf {q} } 。 虛功原理闡明，一個物理系統處於靜態平衡（static equilibrium），若且唯若，所有施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所做的虛功的總和等於零。以方程式表達， δ W = ∑ i F i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 。 考慮一個由一群質點組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點 P i {\displaystyle P_{i}} 可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和 F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}} 等於零： F i ( T ) = 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}=0} 。 給予這質點 P i {\displaystyle P_{i}} 虛位移 δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} ，則合力 F i ( T ) {\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{(T)}} 所做的虛功 δ W i {\displaystyle \delta W_{i}} 為零： δ W i = F i ( T ) ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \delta W_{i}=\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 。 總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零： δ W = ∑ i   F i ( T ) ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\ \mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 。 將合力細分為外力 F i {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} 與約束力 C i {\displaystyle \mathbf {C} _{i}} ： δ W = ∑ i F i ⋅ δ r i + ∑ i C i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 。 假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零： ∑ i C i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} ， 則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式： δ W = ∑ i F i ⋅ δ r i = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0} 。 注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是牛頓第三定律的反作用力。因此，可以稱此假設為反作用力的虛功假設：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從牛頓運動定律推導出來。 在動力學裏，虛功原理會被推廣為達朗貝爾原理。這原理是拉格朗日力學的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。 在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零： 剛體的約束條件是一種完整約束，以方程式表達， ( r i − r j ) 2 = L i j 2 {\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=L_{ij}^{2}} ；其中，剛體內部的質點 P i {\displaystyle P_{i}} 、 P j {\displaystyle P_{j}} 的位置分別為 r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} 、 r j {\displaystyle \mathbf {r} _{j}} ，它們之間的距離 L i j {\displaystyle L_{ij}} 是個常數。所以，兩個質點的虛位移 δ r i {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}} 、 δ r j {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{j}} 之間的關係為 δ ( r i − r j ) 2 = 2 ( r i − r j ) ( δ r i − δ r j ) = 0 {\displaystyle \delta (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}=2(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})(\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0} 。 在這裏，有兩種可能的狀況： 1、 δ r i = δ r j {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\delta \mathbf {r} _{j}} ： 對於這狀況，由於 C j i = − C i j {\displaystyle \mathbf {C} _{ji}=-\mathbf {C} _{ij}} ，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說， C i j ⋅ δ r i + C j i ⋅ δ r j = 0 {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=0} ， 所以，約束力所做的虛功的總合是零。 2、 ( r i − r j ) ⊥ ( δ r i − δ r j ) {\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\perp (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})}  : 由於 C i j   ‖   C j i   ‖   ( r i − r j ) {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\ \|\ \mathbf {C} _{ji}\ \|\ (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})} ， C i j ⋅ δ r i + C j i ⋅ δ r j = C i j ⋅ δ r i − C i j ⋅ δ r j = C i j ⋅ ( δ r i − δ r j ) = 0 {\displaystyle \mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {C} _{ji}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} _{ij}\cdot \delta \mathbf {r} _{j}=\mathbf {C} _{ij}\cdot (\delta \mathbf {r} _{i}-\delta \mathbf {r} _{j})=0} 。 所以，約束力所做的虛功的總合是零。 所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。 思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。。 將一般的作用力和坐標分別變換為以廣義力 F i {\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}} 和廣義坐標 q i {\displaystyle q_{i}} 表達， δ W = ∑ i F i δ q i = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}{\mathcal {F}}_{i}\delta q_{i}=0} 。 設定一個 N {\displaystyle N} 維位形空間，其坐標為 ( q 1 , q 2 , … , q N ) {\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})} ，其內中表示位置的點稱為位形點。想像這物理系統移動於這位形空間。在這位形空間裏，廣義力 F = ( F 1 , F 2 , … , F N ) {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},\dots ,F_{N})} 垂直於符合約束條件的虛位移 δ q = ( δ q 1 , δ q 2 , … , δ q N ) {\displaystyle \delta \mathbf {q} =(\delta q_{1},\delta q_{2},\dots ,\delta q_{N})} 。 假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力 F {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}} 不可能垂直於 N {\displaystyle N} 維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力 F {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}} 必須等於零。 假設，這物理系統有 L {\displaystyle L} 個約束條件，則自由度為 N − L {\displaystyle N-L} ，位形點必需處於位形空間的某 N − L {\displaystyle N-L} 維子空間，而廣義力 F {\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {F}}}} 必須垂直於這子空間，因此必需使用 N − L {\displaystyle N-L} 個運動方程式來表達這物理系統。 假設這系統是保守系統，則每一個廣義力都是純量的廣義位勢函數 V ( q 1 , q 2 , … , q N ) {\displaystyle V(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N})} 的對於其對應的廣義坐標的負偏導數： F i = − ∂ V ∂ q i {\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}} 。 虛功與廣義位勢的關係為 δ W = ∑ i − ∂ V ∂ q i δ q i = − δ V = 0 {\displaystyle \delta W=\sum _{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}=-\delta V=0} 。 由於位勢的變分 δ V {\displaystyle \delta V} 等於零，一個靜態平衡系統的位勢 V {\displaystyle V} 乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢 V {\displaystyle V} 必須是個局域極小值。 柔度法（英语：flexibility method） 拉格朗日力学 哈密頓力学 Lanczos, Cornelius, The Variational Principles of Mechanics, Dovers Publications, Inc: pp. 74–87, 1970, ISBN 978-0-486-65067-8  引文格式1维护：冗余文本 (link) Torby, Bruce, Advanced Dynamics for Engineers, HRW Series in Mechanical Engineering, United States of America: CBS College Publishing: pp. 263, 1984, ISBN 0-03-063366-4 （英语）  引文格式1维护：冗余文本 (link) Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. Addison Wesley. 1980: pp. 17. ISBN 0201657023 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 虚功原理的应用实例 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）