原根

在数论，特别是整除理论中，原根（英語：Primitive root）是一个很重要的概念。 對於两个正整数 g c d ( a , m ) = 1 {\displaystyle gcd(a,m)=1} ，由欧拉定理可知，存在正整数 d ≤ m − 1 {\displaystyle d\leq m-1} ， 比如说欧拉函数 d = φ ( m ) {\displaystyle d=\varphi (m)} ，即小于等于 m {\displaystyle m} 的正整数中与 m {\displaystyle m} 互質的正整数的个数，使得 a d ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}} 。 由此，在 g c d ( a , m ) = 1 {\displaystyle gcd(a,m)=1} 時，定義 a {\displaystyle a} 对模 m {\displaystyle m} 的指数 δ m ( a ) {\displaystyle \delta _{m}(a)} 為使 a d ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}} 成立的最小的正整数 d {\displaystyle d} 。由前知 δ m ( a ) {\displaystyle \delta _{m}(a)} 一定小于等于 φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} ，若 δ m ( a ) = φ ( m ) {\displaystyle \delta _{m}(a)=\varphi (m)} ，則稱 a {\displaystyle a} 是模 m {\displaystyle m} 的原根。 设 m = 7 {\displaystyle m=7} ，则 φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} 等于6。 设 a = 2 {\displaystyle a=2} ，由于 2 1 ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{1}\equiv 2{\pmod {7}}} ， 2 2 ≡ 4 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{2}\equiv 4{\pmod {7}}} ， 2 3 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{3}\equiv 1{\pmod {7}}} ， 2 4 ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{4}\equiv 2{\pmod {7}}} ， 2 5 ≡ 4 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{5}\equiv 4{\pmod {7}}} ， 2 6 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 2^{6}\equiv 1{\pmod {7}}} ，因此有 O r d 7 ( 2 ) = 3 ≠ φ ( 7 ) = 6 {\displaystyle Ord_{7}(2)=3\neq \varphi (7)=6} ，所以 2 不是模 7 的一个原根。 设 a = 3 {\displaystyle a=3} ，由于 3 1 ≡ 3 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{1}\equiv 3{\pmod {7}}} ， 3 2 ≡ 2 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}} ， 3 3 ≡ 6 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{3}\equiv 6{\pmod {7}}} ， 3 4 ≡ 4 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{4}\equiv 4{\pmod {7}}} ， 3 5 ≡ 5 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{5}\equiv 5{\pmod {7}}} ， 3 6 ≡ 1 ( mod 7 ) {\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}}} ，因此有 O r d 7 ( 3 ) = 6 = φ ( 7 ) {\displaystyle Ord_{7}(3)=6=\varphi (7)} ，所以 3 是模 7 的一个原根。 可以证明，如果正整数 ( a , m ) = 1 {\displaystyle (a,m)=1} 和正整数 d 满足 a d ≡ 1 ( mod m ) {\displaystyle a^{d}\equiv 1{\pmod {m}}} ，则 O r d m ( a ) {\displaystyle Ord_{m}(a)} 整除 d。因此 O r d m ( a ) {\displaystyle Ord_{m}(a)} 整除 φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} 。在例子中，当 a = 3 {\displaystyle a=3} 时，我们仅需要验证 3 的 2、3 次方模 7 的余数即可，如果其中有一个是1，则3就不是原根。 记 δ = O r d m ( a ) {\displaystyle \delta =Ord_{m}(a)} ，则 a 0 , a 1 , a 2 ⋯ , a δ − 1 {\displaystyle a^{0},a^{1},a^{2}\cdots ,a^{\delta -1}} 模 m 两两不同余。因此当 a {\displaystyle a} 是模 m {\displaystyle m} 的原根时， a 0 , a 1 , a 2 ⋯ , a δ − 1 {\displaystyle a^{0},a^{1},a^{2}\cdots ,a^{\delta -1}} 构成模 m 的简化剩余系。 模 m {\displaystyle m} 有原根的充要條件是 m = 1 , 2 , 4 , p n , 2 p n {\displaystyle m=1,2,4,p^{n},2p^{n}} ，其中 p {\displaystyle p} 是奇質數， n {\displaystyle n} 是任意正整數。 对正整数 ( a , m ) = 1 {\displaystyle (a,m)=1} ，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 Z/mZ 的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）Zm×的一个生成元。由于Zm×有 φ ( m ) {\displaystyle \varphi (m)} 个元素，而它的生成元的个数就是它的可逆元个数，即 φ ( φ ( m ) ) {\displaystyle \varphi (\varphi (m))} 个，因此当模 m {\displaystyle m} 有原根時，它有 φ ( φ ( m ) ) {\displaystyle \varphi (\varphi (m))} 個原根。 除了直接運算以外，至今還沒有一個辦法可以找到模特定m時的原根，但假如已知模m有一個原根，則可找出它其他的原根。 模 p 的最小原根 g p 定義為在 1 到 p-1 中最小的原根。數學家已經給出最小原根的上界及下界的一些限制。 伯吉斯(1962)證明對任何 ε>0，存在一個 C>0，使得 g p ≤ C p 1 4 + ϵ {\displaystyle g_{p}\leq Cp^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }} 。 Emil Grosswald (1981) 證明如果 p > e e 24 {\displaystyle p>e^{e^{24}}} ，則 g p < p 0.499 {\displaystyle g_{p}<p^{0.499}} 。 参考 http://www.infosec.sdu.edu.cn/jpkc/resource/4yuangen.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆） 費馬小定理 同餘 離散對數