九章算术

《九章算术》九卷，是現存最早的中國古代数学著作之一，《算经十书》中最重要的一种。其作者不可考。後集成書約於公元前100年，匯集了周朝以來的古代數學知識，由西漢張蒼彙整。《九章算術》是人類科學史上應用數學的「算經之首」，也是中國古代算法的扛鼎之作，更是一部與《幾何原本》並列為世界兩大數學體系的代表作。全書總共九章，分為二百四十六題二百零二術數學題，並提供其解法，這些算法要比歐洲同類算法早1500多年，對世界數學發展產生了重要影響。 根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。 1984年，在湖北出土了《算数书》书简。据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。 由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法，卻很少有任何解釋和說明，所以有很多人曾為《九章算術》作注，提出了簡括的證明，證明了一些算法的正確性。較為著名的有在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》作注，加上自己的心得体会，使其便于被了解，而可以流传下来。唐代李淳风又重新做注（656年），《算经十书》之一，也是国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。 《九章算术》共收有246个数学问题，分为九大类，在一个或几个问题之后，列出这个问题的解法。 方田章：主要是田亩面积的计算和分数的计算，是世界上最早对分数进行系统叙述的著作。 粟米章：主要是粮食交易的计算方法，其中涉及许多比例问题。 衰分章：主要内容为分配比例的算法。 少广章：主要讲开平方和开立方的方法。 商功章：主要是土石方和用工量等工程数学问题，以体积的计算为主。 均输章：计算税收等更加复杂的比例问题。 盈不足章：双设法的问题。 方程章：主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法，在世界数学史上是第一次出现。 勾股章：勾股 定理，當時社會生活應用，即300年後出現之勾股定理其应用。 《九章算术》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述，但卻加以廣泛應用，以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書，但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如：合分術（加法）、減分術（減法）、乘分術（乘法）、經分術（除法）、課分術（比較大小）、約分術（簡化分數）與平分術（平均數）。 《九章算术》出現負數概念，方程章為了配合方程術的算法，給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之」。加法為「異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之」。其中「除」是減，「益」是加，「無入」是指沒有對方，不過乘除法並未記載。 《九章算术》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述，基本上具備實數系統的雛形。 粟米章所述今有術，即是四項比例算法，按術文「以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一」。 今有術在《九章算术》應用非常廣泛，為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術，為配分比例算法。其術文為：「各置列衰，副併為法，以所分乘未併者各自為實，實如法而一」。 《九章算术》以列衰的倒數為列衰，稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法，就是均輸章的均輸術。《九章算术》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎，發展而匯集起來的各種算法。 盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題，都有確切答案。盈不足術為了推算答案，預先設立一個數字作為答案，依題目核算，若結果合問題，所設之數就是答案；若不合問，非盈即不足；通過兩次假設，即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種，即一盈一不足，兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算术》則匯集這五種問題，並給出算法。 盈不足章除了擁有算術應用問題外，還包括一些初等超越方程問題，用這種模式算法解出前一類問題得到確切解，用以解後一類問題則得近似解。 《九章算术》論述的幾何圖形，多為直線型和圓型的圖形，根據算田畝的需要，《九章算术》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要，《九章算术》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法，這些體積算法的編排，由簡單到複雜，形成獨特的理論體系。 勾股計算，《九章算术》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似。 勾股互求，即是已知勾股的一般線段，推求其他線段。勾股整數，即是《九章算术》給出推求勾、股、弦，都是整數的算法。勾股兩容，為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似，為利用相似勾股形性質，進行簡單測遠、測高的算法。 《九章算术》對幾何問題的處理，分為三部分，有體積算法、面積算法、線段算法，分別隸屬於商功、方田、勾股三章。 《九章算术》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法，可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算术》記載的這些算法非常詳盡，經由這些論述，可以了解中國古代代數學發展的成果。 開平方術、開立方術，不但可以解出二項二次方程、二項三次方程，而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎，在數學的發展也有重要地位。 方程章所論「方程」，地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」，為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思，「直除法」為連續相減消元法，在理論上、算法上與今天加減消元完全一樣。 在方程章所列十八題中，有的相當於二元一次方程組，有的相當於三元一次方程組，也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為：「今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深，綆長各幾何」。所問是六個未知數之值，依題意只能列出五個一次方程，可見這是世界上最早的一次不定方程組。 《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学，它既包含了以前已经解决了的数学问题，又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为，它在数学史上，标志着中国古代数学体系的形成，是中国古代数学体系的初期代表作。 《九章算术》問世之前的中國先秦典籍中，記錄了不少數學知識，但是卻沒有《九章算术》的系統論述，尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例，從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家，都是從此開始學習和研究，唐、宋時，為國家明令規定的教科書，北宋時由政府刊刻，又是世界上最早的印刷本數學書。 《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。 《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。 《九章算术》隋、唐時，流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响，之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲，現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本。 俄译本：«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957. 德译本：Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968 英译本：The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen（沈康身）, John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press 法译本：Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod. 日译本：川原秀城「劉徽註九章算術」（『中国天文学・数学集』所収、1980年11月、朝日出版社） 辭典檢視 九章算術. 中華民國國家教育研究院 教育部重編國語辭典修訂本. [2023-11-23]. （原始内容存档于2023-11-23）.  《九章算術》的方程術. 線代啟示錄. [2023-11-23]. （原始内容存档于2023-11-23）.  王子今. 第五篇〈天文歷算之學〉. 《秦漢史—帝國的建立》. 2009: 346–348.  漢 張蒼等 (编). 九章算術（全譯修訂版）. [2023-11-23]. ISBN 9787229104238. （原始内容存档于2023-11-23）.  胡世慶. 第二十六章第一節〈數學〉. 《中國文化通史》. 2009: 822–831.  HPM通訊第七卷第一期 （页面存档备份，存于互联网档案馆），台師大數學系碩士班研究生 張復凱 地球社編輯部. 第七章第一節〈數學〉. 《中國文明史 第三卷 秦漢時代 中冊》. 1992: 515–531.  龔書鐸. 第五十一章延伸知識〈《九章算術》總結先秦數學〉. 《圖說秦漢》. 2009: 177.  郭书春 译注 《九章算术》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1 维基文库中的相关原始文献：九章算术 从《九章算术》看古代数学与儒学的关系 《九章算术》原文（页面存档备份，存于互联网档案馆）