五階六邊形鑲嵌

在幾何學中，五階六邊形鑲嵌（英語：Order-5 hexagonal tiling）是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用{6,5}表示。五階六邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點，頂點周圍包含了五個不重疊的六邊形，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出，或以正則地區圖的形式存在。 五階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點所構成的鑲嵌結構。一般而言這種鑲嵌結構僅能存在於雙曲面上並無窮延伸。然而透過取出區面的局部將其轉成其他虧格的環面則可將其轉換為有限的正則地區圖。在施萊夫利符號中五階六邊形鑲嵌可以用{6,5}表示，這個符號表是每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點。而在正則地區圖中，五階六邊形鑲嵌會表達為{6,5}p，其中下標的p表示這個正則地區圖對應的皮特里多邊形為p邊形。 做為有限的正則地區圖，五階六邊形鑲嵌從虧格為9開始存在，其中可定向的{6,5}正則地區圖有皮特里多邊形為六邊形、八邊形、十邊形、十二邊形等的正則地區圖，不可定向的有皮特里多邊形為四邊形、五邊形、六邊形和十邊形的正則地區圖。 皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有大十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大十二面體為由大十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大十二面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。 由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由10個面、30條邊和12個頂點組成。 皮特里大十二面體是一個不可定向且虧格為10的幾何結構。皮特里大十二面體由10個扭歪六邊形組成，每個頂點都是5個扭歪六邊形的公共頂點，其對應的正則地區圖為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用{6,5}5表示。 皮特里小星形十二面體是小星形十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有小星形十二面體上取皮特里多邊形構成，其拓樸結構與皮特里大十二面體同構。是施萊夫利符號為{6,5}的120階元素對稱性抽象多面體的一種具象化結果。 皮特里小星形十二面體、小星形十二面體、大十二面體、皮特里大十二面體的關係如下： 其中，「 ↔ π {\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}} 」表示互為皮特里對偶；「 ↔ δ {\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}} 」表示互為對偶多面體。 大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，皆由10個面、30條邊和12個頂點組成，且每個頂點都是5個扭歪六邊形的公共頂點，對應的正則地區圖同為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用{6,5}5表示。然而其構成面面有些許不同，且來自不同原像，因此可以被視為{6,5}的不同具象化方式。 該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點為五個多邊形的公共頂點的多面體及鑲嵌相關，這類幾何結構施萊夫利符號皆為{n,5}、考克斯特符號（英语：Coxeter-Dynkin diagram）為，其中n從2到無窮。 該鑲嵌在拓樸學上頂點圖為65，其餘頂點圖為6n的幾何結構有： 五階六邊形鑲嵌可以透過康威多面體變換成一系列鑲嵌圖： 维基共享资源上的相关多媒体资源：五階六邊形鑲嵌 四階五邊形鑲嵌 正六邊形鑲嵌 John H. Conway; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. A K Peters（英语：A K Peters）. [2022-05-28]. ISBN 978-1-56881-220-5. （原始内容存档于2010-09-19）. (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations) Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678.  Razafindrazaka, Faniry and Polthier, Konrad; et al. Regular surfaces and regular maps. Proceedings of Bridges. 2014: 225–234.  引文格式1维护：显式使用等标签 (link) Schlafli, Glossary. weddslist.com. [2021-08-09]. （原始内容存档于2021-05-07）.  Regular maps in the orientable surface of genus 9. weddslist.com. [2021-08-09]. （原始内容存档于2021-10-19）.  Regular maps in the orientable surface of genus 17 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 41 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 45 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 49 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 55 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 65 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 81 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 89. weddslist.com. [2021-08-09]. （原始内容存档于2021-08-09）.  Regular maps in the non-orientable surface of genus 10 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 42 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 46 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 50 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 66 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, genus 90. weddslist.com. [2021-08-09]. （原始内容存档于2021-08-09）.  Gorini, Catherine A., Geometry at Work, MAA Notes 53, Cambridge University Press: 181, 2000, ISBN 9780883851647  McMullen, Peter. Rigidity of Regular Polytopes. Rigidity and Symmetry (Springer). 2014: 253––278.  S4:{5,5}. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30].  N10.5′. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-07-30]. （原始内容存档于2021-08-05）.  McMullen, P., Schulte, E. Regular Polytopes in Ordinary Space. Discrete & Computational Geometry. 1997/06/01, 17 (4): pp.449-478 [2021-08-09]. ISSN 1432-0444. doi:10.1007/PL00009304. （原始内容存档于2018-06-03）.  请检查|date=中的日期值 (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link) 引文格式1维护：日期与年 (link) Aranas, Jonn Angel L and Loyola, Mark L. Geometric realizations of abstract regular polyhedra with automorphism group H3. Acta Crystallographica Section A: Foundations and Advances (International Union of Crystallography). 2020, 76 (3): 358–368.  Klitzing, Richard. Noble Polytopes. bendwavy.org. [2021-08-09]. （原始内容存档于2021-10-24）.  埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld.  埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld.  Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery（页面存档备份，存于互联网档案馆） KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆） Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）