莱姆克-豪森算法

莱姆克-豪森算法（英語：Lemke–Howson algorithm）是一种计算双矩阵博弈的纳什均衡的算法，以其提出者卡尔顿·E·莱姆克和J.T.豪森的名字命名。据说它是“寻找纳什均衡的组合算法中最著名的算法”。 该算法需要输入两个参与者的博弈矩阵G，这些参与者分别有m和n个纯策略。G由两个m × n的博弈矩阵A和B组成，它们分别是参与者1和2在所有决策下的收益。在这一算法中，我们假设所有的收益都是正的。 G有两个相应的多胞形（称为最佳回应多胞形） P 1 {\displaystyle P_{1}} 和 P 2 {\displaystyle P_{2}} ，分别为m维和n维，定义如下: P 1 {\displaystyle P_{1}} 在集合 R m {\displaystyle R^{m}} 中，其坐标用{ x 1 {\displaystyle x_{1}} ,..., x m {\displaystyle x_{m}} }表示。并且 P 1 {\displaystyle P_{1}} 的范围是被 x i ≥ 0 {\displaystyle x_{i}\geq 0} （其中 i ∈ { 1 ⋯ m } {\displaystyle i\in \{1\cdots m\}} ）这 m {\displaystyle m} 个不等式以及 B 1 , j x 1 + ⋯ + B m , j x m ≤ 1 {\displaystyle B_{1,j}x_{1}+\cdots +B_{m,j}x_{m}\leq 1} （其中 j ∈ { 1 ⋯ n } {\displaystyle j\in \{1\cdots n\}} ）这 n {\displaystyle n} 个不等式所规定的。 P 2 {\displaystyle P_{2}} 在集合 R n {\displaystyle R^{n}} 中，其坐标用{ x m + 1 {\displaystyle x_{m+1}} ,..., x m + n {\displaystyle x_{m+n}} }表示。并且 P 2 {\displaystyle P_{2}} 的范围是被 x m + i ≥ 0 {\displaystyle x_{m+i}\geq 0} （其中 i ∈ { 1 ⋯ n } {\displaystyle i\in \{1\cdots n\}} ）这 n {\displaystyle n} 个不等式以及 A i , 1 x m + 1 + ⋯ + A i , n x m + n ≤ 1 {\displaystyle A_{i,1}x_{m+1}+\cdots +A_{i,n}x_{m+n}\leq 1} （其中 j ∈ { 1 ⋯ m } {\displaystyle j\in \{1\cdots m\}} ）这 m {\displaystyle m} 个不等式所规定的。 P 1 {\displaystyle P_{1}} 表示参与人1的 m {\displaystyle m} 个纯策略的非归一化概率分布集合，即参与人2的期望收益最多为1。前 m {\displaystyle m} 个约束条件要求概率是非负的，其他 n {\displaystyle n} 个约束条件要求参与人2的n个纯策略的期望收益不超过1， P 2 {\displaystyle P_{2}} 同理。 P 1 {\displaystyle P_{1}} 的每个顶点 v {\displaystyle v} 都与集合 j ∈ { 1 ⋯ m + n } {\displaystyle j\in \{1\cdots m+n\}} 中的一组标签相关联。对于 i ∈ { 1 ⋯ m } {\displaystyle i\in \{1\cdots m\}} ，如果在顶点 w {\displaystyle w} 处存在 x i = 0 {\displaystyle x_{i}=0} ，顶点 v {\displaystyle v} 就会得到标签 i {\displaystyle i} 。对于 j ∈ { 1 ⋯ n } {\displaystyle j\in \{1\cdots n\}} ，当 B 1 , j x 1 + ⋯ + B m , j x m = 1 {\displaystyle B_{1,j}x_{1}+\cdots +B_{m,j}x_{m}=1} 时，顶点 v {\displaystyle v} 就会得到标签 m + j {\displaystyle m+j} 。假设 P 1 {\displaystyle P_{1}} 是非退化的，每个顶点都关联到 P 1 {\displaystyle P_{1}} 的 m {\displaystyle m} 个刻面，并且有 m {\displaystyle m} 个标签。在这里需要注意的是，原点也是 P 1 {\displaystyle P_{1}} 的一个顶点，它所拥有的标签集合是 { 1 ⋯ m } {\displaystyle \{1\cdots m\}} 。 同理， P 2 {\displaystyle P_{2}} 的每个顶点 w {\displaystyle w} 都与集合 j ∈ { 1 ⋯ m + n } {\displaystyle j\in \{1\cdots m+n\}} 中的一组标签相关联。对于 j ∈ { 1 ⋯ n } {\displaystyle j\in \{1\cdots n\}} ，如果在顶点 w {\displaystyle w} 处存在 x m + i = 0 {\displaystyle x_{m+i}=0} ，顶点 w {\displaystyle w} 就会得到标签 m + i {\displaystyle m+i} 。对于 i ∈ { 1 ⋯ m } {\displaystyle i\in \{1\cdots m\}} ，当 A i , 1 x m + 1 + ⋯ + A i , n x m + n = 1 {\displaystyle A_{i,1}x_{m+1}+\cdots +A_{i,n}x_{m+n}=1} 时，顶点 w {\displaystyle w} 就会得到标签 i {\displaystyle i} 。假设 P 2 {\displaystyle P_{2}} 是非退化的，每个顶点都关联到 P 2 {\displaystyle P_{2}} 的 n {\displaystyle n} 个刻面，并且有 n {\displaystyle n} 个标签。在这里需要注意的是，原点也是 P 2 {\displaystyle P_{2}} 的一个顶点，它所拥有的标签集合 { m + 1 ⋯ m + n } {\displaystyle \{m+1\cdots m+n\}} 。 对于顶点对 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} ，其中 v ∈ P 1 {\displaystyle v\in P_{1}} 且 w ∈ P 2 {\displaystyle w\in P_{2}} ，如果满足 v {\displaystyle v} 与 w {\displaystyle w} 的并集包含集合 { 1 ⋯ m + n } {\displaystyle \{1\cdots m+n\}} 中所有的标签，那么我们可以定义这样一个顶点对是完全标记的。如果 v {\displaystyle v} 与 w {\displaystyle w} 分别为 P 1 {\displaystyle P_{1}} 与 P 2 {\displaystyle P_{2}} 的原点，那么顶点对 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 是完全标记的。如果与 v ∪ w {\displaystyle v\cup w} 包含了集合 { 1 ⋯ m + n } {\displaystyle \{1\cdots m+n\}} 中除 g {\displaystyle g} 之外的所有标签，我们就定义顶点对 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 几乎完全标记，在这种情况下 v ∩ w {\displaystyle v\cap w} 中存在一个标签。 主元运算如下所示：取某顶点对 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} ，用 P 1 {\displaystyle P_{1}} 中某个与 v {\displaystyle v} 相邻的顶点替换 v {\displaystyle v} ，或者用 P 2 {\displaystyle P_{2}} 中某个与 w {\displaystyle w} 相邻的顶点替换 w {\displaystyle w} 。这步操作的意义是在 v {\displaystyle v} 被替换的情况下用另一个标签替换 v {\displaystyle v} 的某个标签。被替换的标签就会立刻被丢弃。对于 v {\displaystyle v} 的任何标签，都可以通过移动到与 v {\displaystyle v} 相邻且不包含与该标签关联的超平面的顶点来删除该标签。 算法从由两个原点组成的完全标记对 ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} 开始。 该算法最多能找到 n + m {\displaystyle n+m} 个不同的纳什均衡，最初放弃标签的任何选择决定了最终由算法找到的均衡。 C. E. Lemke and J. T. Howson. Equilibrium points of bimatrix games. SIAM Journal on Applied Mathematics. 1964, 12 (2): 413–423. doi:10.1137/0112033.  Nisan, Noam; Roughgarden, Tim; Tardos, Éva; Vazirani, Vijay V. Algorithmic Game Theory (PDF). Cambridge, UK: Cambridge University Press. 2007: 33. ISBN 978-0-521-87282-9. （原始内容 (PDF)存档于2015-02-11）.