潤德勒座標

相對論中，「雙曲加速參考系」座標構成了平直閔考斯基時空中重要且有用的座標卡系統。狹義相對論中，一均勻加速的物體進行所謂的雙曲運動（英语：hyperbolic motion (relativity)）；在其固有參考系中，該物體是靜止的。這現象可與均勻重力場相應。關於平直時空中之加速度的一般性論述，參見狹義相對論中的加速度。 本文中，光速定義為c = 1，慣性座標系為(X,Y,Z,T)，雙曲座標系則為(x,y,z,t)。這類雙曲座標系可主要分為兩大類，與加速觀察者位置有關：若觀察者時間T = 0時位在X = 1/α（其中α為常數值的固有加速度，由共動的加速規測得），則雙曲座標系稱為「潤德勒座標」（或譯林德勒座標；英語：Rindler coordinates），與之相應的是「潤德勒度規」（Rindler metric）若觀察者時間T = 0時位在X = 0，則雙曲座標系有時稱為「穆勒座標」（Møller coordinates）或「寇特勒-穆勒座標」（Kottler-Møller coordinates），與之相應的是「寇特勒-穆勒度規」（Kottler-Møller metric）。透過採用雷達座標，可得到一常與雙曲運動觀察者有關的替代座標卡（Chart）。雷達座標有時也稱作「拉斯座標」（Lass coordinates） 寇特勒-穆勒座標以及拉斯座標也常標示為潤德勒座標。 關於潤德勒座標的歷史，這樣的座標系在狹義相對論發表不久後即被引入，在研究雙曲運動此一概念的同時也被研究：與平直閔考斯基時空的關係如阿爾伯特·愛因斯坦（1907年，1912年）、馬克斯·玻恩（1909年）、阿諾·索末菲（1910年）、馬克斯·馮·勞厄（1911年）、亨德里克·勞侖茲（1913年）、弗里德里希·寇特勒（英语：Friedrich Kottler）（1914年）、沃夫岡·包立（1921年）、Karl Bollert（1922年）、Stjepan Mohorovičić（1922年）、喬治·勒梅特（1924年）、愛因斯坦與納森·羅森（1935年）、Christian Møller（1943年，1952年）、Fritz Rohrlich（1963年）、哈利·拉斯（英语：Harry Lass）（1963年）；與廣義相對論中平直或彎曲時空的關聯性：沃夫岡·潤德勒（1960年，1966年）。 以沿 X {\displaystyle X} -direction方向、常數值固有加速度 α {\displaystyle \alpha } 進行雙曲運動的物體，其世界線為原時 τ {\displaystyle \tau } 以及快度 α τ {\displaystyle \alpha \tau } 的函數，關係式為： T = x sinh ⁡ ( α τ ) , X = x cosh ⁡ ( α τ ) {\displaystyle T=x\sinh(\alpha \tau ),\quad X=x\cosh(\alpha \tau )} 。 其中 x = 1 / α {\displaystyle x=1/\alpha } 為常數， α τ {\displaystyle \alpha \tau } 為變數。這樣的世界線形態為雙曲線 X 2 − T 2 = x 2 {\displaystyle X^{2}-T^{2}=x^{2}} 。阿諾·索末菲展示了此方程組可重新表示為： x {\displaystyle x} 為變數，而 α τ {\displaystyle \alpha \tau } 為常數；如此可表現出共動觀察者所測量到雙曲運動物體的「靜止型態」。設定 τ = t {\displaystyle \tau =t} ，也就是採用了觀察者的原時作為整體雙曲加速參考系的時間，則慣性座標與雙曲座標之間的轉換式變為： 逆轉換式為： t = 1 α artanh ⁡ ( T X ) , x = X 2 − T 2 , y = Y , z = Z {\displaystyle t={\frac {1}{\alpha }}\operatorname {artanh} \left({\frac {T}{X}}\right),\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y=Y,\quad z=Z} 對其微分並代入閔考斯基度規 d s 2 = − d T 2 + d X 2 + d Y 2 + d Z 2 {\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2}} ，則雙曲加速系的度規張量為 引用错误：没有为名为born的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Einstein的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Sommerfeld的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Laue的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Lorentz的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Kottler的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Pauli的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Bollert的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Mohoro的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Lemaitre的参考文献提供内容 引用错误：没有为名为Møller的参考文献提供内容 Øyvind Grøn. 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