歸一條件

在量子力學裏，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一條件（歸一化，或規範化，英語：be normalized），也就是說，在空間內，找到粒子的機率必須等於 1 {\displaystyle 1} 。這性質稱為歸一性。用數學公式表達， ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x ) ψ ( x )   d x = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\ dx=1}  ; 其中， x {\displaystyle x} 是粒子的位置， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是波函數。 一般而言，波函數 ψ {\displaystyle \psi } 是一個複函數。可是， ψ ∗ ψ =∣ ψ ∣ 2 {\displaystyle \psi ^{*}\psi =\mid \psi \mid ^{2}} 是一個實函數，大於或等於 0 {\displaystyle 0} ，稱為「機率密度函數」。所以，在區域 [ x ,   x + Δ x ] {\displaystyle [x,\ x+\Delta x]} 內，找到粒子的機率 Δ P {\displaystyle \Delta P} 是 Δ P =∣ ψ ∣ 2 Δ x {\displaystyle \Delta P=\mid \psi \mid ^{2}\Delta x} ；(1) 。 既然粒子存在於空間，機率是 1 {\displaystyle 1} 。所以，積分於整個一維空間： P = ∫ − ∞ ∞ ∣ ψ ∣ 2 d x = 1 {\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\mid \psi \mid ^{2}dx=1} 。(2) 假若，從解析薛丁格方程而得到的波函數 ψ {\displaystyle \psi } ，其機率 P {\displaystyle P} 是有限的，但不等於 1 {\displaystyle 1} ，則可以將波函數 ψ {\displaystyle \psi } 乘以一個常數，使機率 P {\displaystyle P} 等於 1 {\displaystyle 1} 。或者，假若波函數內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率 P {\displaystyle P} 等於 1 {\displaystyle 1} 。 在一維空間內，束縛於區域 [ 0 ,   ℓ ] {\displaystyle [0,\ \ell ]} 內的一個粒子，其波函數是 ψ ( x ,   t ) = { A e i ( k x − ω t ) , 0 ≤ x ≤ ℓ 0 , e l s e w h e r e {\displaystyle \psi (x,\ t)={\begin{cases}Ae^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&elsewhere\end{cases}}} ； 其中， k {\displaystyle k} 是波數， ω {\displaystyle \omega } 是角頻率， A {\displaystyle A} 是任意常數。 計算能夠使波函數歸一化的常數值 A {\displaystyle A} 。將波函數代入： ∣ ψ ∣ 2 = A 2 e i ( k x − ω t ) e − i ( k x − ω t ) = A 2 {\displaystyle \mid \psi \mid ^{2}=A^{2}e^{i(kx-\omega t)}e^{-i(kx-\omega t)}=A^{2}} 。 積分於整個粒子存在的區域： ∫ 0 ℓ A 2 d x = 1 {\displaystyle \int _{0}^{\ell }A^{2}dx=1} 。 稍加運算， A 2 ℓ = 1 ⇒ A = ( 1 ℓ ) {\displaystyle A^{2}\ell =1\qquad \Rightarrow \qquad A=\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)} 。 歸一化的波函數是： ψ ( x , t ) = { ( 1 ℓ ) e i ( k x − ω t ) , 0 ≤ x ≤ ℓ 0 , elsewhere {\displaystyle \psi (x,t)={\begin{cases}\left({\frac {1}{\sqrt {\ell }}}\right)e^{i(kx-\omega t)},&0\leq x\leq \ell \\0,&{\text{elsewhere}}\end{cases}}} 。 薛丁格方程為 − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數， V ( x ) {\displaystyle V(x)} 是位勢， E {\displaystyle E} 是能量。 將波函數 ψ {\displaystyle \psi } 歸一化為 ψ ′ = A ψ {\displaystyle \psi \,'=A\psi } 。則薛丁格方程成為 − ℏ 2 2 m A d 2 ψ d x 2 + V ( x ) A ψ ( x ) = E A ψ ( x ) {\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}A{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)A\psi (x)=EA\psi (x)} ⇒ A ( − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) ) = A ( E ψ ( x ) ) {\displaystyle \Rightarrow A\left({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)\right)=A\left(E\psi (x)\right)} ⇒ − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)} 。 薛丁格方程的形式不變。對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程式。 一個表達粒子量子態的波函數，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然 ψ {\displaystyle \psi } 和 ψ ′ {\displaystyle \psi \,'} 都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函數，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函數，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。 給予一個歸一化的波函數．隨著時間的變化，波函數也會改變．假若，隨著時間改變的波函數不再滿足歸一條件，則勢必要重新將波函數歸一化．這樣，歸一常數 A {\displaystyle A} 變得含時間．很幸運地，滿足薛丁格方程的波函數的歸一性是恆定的．設定波函數 ψ ( x ,   t ) {\displaystyle \psi (x,\ t)} 滿足薛丁格方程與歸一條件： − ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 + V ( x ) ψ = i ℏ ∂ ψ ∂ t {\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+V(x)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} ， P = ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ψ   d x = 1 {\displaystyle P=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}\psi \ dx=1} ； 假若，歸一性是恆定的，則機率 P {\displaystyle P} 不含時間。為了顯示這一點，先計算 d P d t {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}} ： d P d t = d d t ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x ,   t ) ψ ( x ,   t )   d x = ∫ − ∞ ∞ ∂ ∂ t ( ψ ∗ ( x ,   t ) ψ ( x ,   t ) )   d x {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t)\ dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}(x,\ t)\psi (x,\ t))\ dx} 。 展開被積函數 ∂ ∂ t ( ψ ∗ ψ ) = ∂ ψ ∗ ∂ t ψ + ψ ∗ ∂ ψ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )={\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}\psi +\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}} 。 編排薛丁格方程，可以得到波函數 ψ {\displaystyle \psi } 對於時間的偏導數： ∂ ψ ∂ t = i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 − i ℏ V ( x ) ψ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi } 。 共軛波函數 ψ ∗ {\displaystyle \psi ^{*}} 對於時間的偏導數為 ∂ ψ ∗ ∂ t = − i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∗ ∂ x 2 + i ℏ V ( x ) ψ ∗ {\displaystyle {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}} 。 將 ψ {\displaystyle \psi } 與 ψ ∗ {\displaystyle \psi ^{*}} 代入被積函數 ∂ ∂ t ( ψ ∗ ψ ) = ( − i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∗ ∂ x 2 + i ℏ V ( x ) ψ ∗ ) ψ + ψ ∗ ( i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 − i ℏ V ( x ) ψ ) = ( − i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∗ ∂ x 2 ) ψ + ψ ∗ ( i ℏ 2 m ∂ 2 ψ ∂ x 2 ) = ( i ℏ 2 m ) ∂ ∂ x ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ x − ∂ ψ ∗ ∂ x ψ ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\psi ^{*}\psi )&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi ^{*}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {i}{\hbar }}V(x)\psi \right)\\&=\left({\frac {-i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial x^{2}}}\right)\psi +\psi ^{*}\left({\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\right)\\&=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\\\end{aligned}}} 。 代入 d P d t {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}} 的方程式: d P d t = ( i ℏ 2 m ) [ ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ x − ∂ ψ ∗ ∂ x ψ ) | ∞ − ( ψ ∗ ∂ ψ ∂ x − ∂ ψ ∗ ∂ x ψ ) | − ∞ ] {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=\left({\frac {i\hbar }{2m}}\right)\left[\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{\infty }-\left.\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial x}}\psi \right)\right|_{-\infty }\right]} 。 可是，在 x = ± ∞ {\displaystyle x=\pm \infty } ， ψ {\displaystyle \psi } 與 ψ ∗ {\displaystyle \psi ^{*}} 都等於 0 ．所以， d P d t = 0 {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=0} 。 機率 P = 1 {\displaystyle P=1} 不含時間。波函數的歸一化是恆定的。 Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 12–14. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 正則變換 么正性 Middlebury 大學講義：歸一化