锁相环

鎖相迴路（PLL: Phase-locked loops）是利用回授（Feedback）控制原理实现的频率及相位的控制系統，其作用是将电路输出的信號与其外部的参考信號保持同步，当参考信號的频率或相位发生改变时，鎖相迴路会检测到这种变化，并且通过其内部的回授系统来调节输出频率，直到两者重新同步，这种同步又称为“鎖相”（Phase-locked）。 鎖相迴路有許多種，最簡單的鎖相迴路會包括變頻振盪器（英语：variable frequency oscillator）以及鉴相器，形成回授迴路。振盪器產生訊號，鉴相器比較輸出訊號和輸入週期訊號之間的相位，調整振盪器輸出，設法和輸入週期訊號同步。 若讓輸出訊號和輸入訊號之間的相位一致，則兩者的頻率也會一致。因此，鎖相迴路除了讓相位一致之外，也可以追蹤輸入訊號的頻率，或是產生頻率是輸入訊號整數倍的信號。此特性可以用在電腦時脈的同步、解調變（英语：demodulation）及頻率合成（英语：frequency synthesis）。 鎖相迴路常用在无线电、电信、电子计算机及其他電子設備中。鎖相迴路也可以用來解調變訊號、從高雜訊的通訊頻道中恢復原始信號、產生頻率為輸入信號頻率整數倍的頻率（頻率合成）、或在數位電路（例如微处理器）中產生準確的時鐘脈衝。因為單一的積體電路即可提供完整的鎖相迴路機能，此技術已普遍使用在現在的電子設備中，輸出頻率從1Hz以下，到數GHz。 鎖相迴路可以用賽車來說明：考慮兩部車進行的繞圈賽車，一部車代表輸入信號，另一部車代表鎖相迴路的輸出，也就是壓控振盪器（VCO）頻率。每一圈代表一個完整的週期。每小時的圈數代表頻率，兩部車之間的距離代表信號之間的相位差。 大部份賽車的過程中，兩部車都可以超過對方或落過對方，這類似鎖相迴路的非鎖相狀態。 但若有事故，賽車場會出現黃色警告旗，此時，任何一部車輛都不允許超過其他的車，也不允許被其他的車超過。此時的兩部車就代表鎖相迴路在鎖相狀態下的輸入信號和輸出信號。每一個駕駛者都會量測其車輛和其他車輛的相位差。若和前車保持的距離太遠了，會設法加速使距離拉近，若和前車保持的距離太近了，會設法減速使距離拉遠。因此，兩部車會保持固定的距離。因為車輛不允許超過其他的車，因此在相同時間內，兩車繞的圈數會相同，因此兩個信號的頻率相同。 相位和時間成正比，因此相位差可以用時間差來表示。時鐘相對其他時鐘而言，某程度上會有鎖相（固定時間差），但準確度可能有些不同。 若讓時鐘自行運作，各時鐘計時的速率會有些微的差距。例如牆上的鐘每一小時可能會比國家標準技術研究所的鐘快了幾秒，隨著時間過去，時間差會越來越大。 若要讓牆上的鐘和參考時鐘同步，可以每一週比較牆上的鐘和參考時鐘的時間（相位比較），然後調整牆上的鐘。若沒有調整，牆上的鐘和參考時鐘的偏差會越來越大。 有些時鐘有計時調整功能，若比較時鐘和標準時鐘，發現時鐘太快了，會設法讓時鐘的計時慢一點，若時鐘太慢了，會設法讓時鐘的計時快一點。若順利的話，時鐘和標準時鐘的誤差會漸漸縮小。幾週後，時鐘就會準確的對應標準時鐘（在時鐘本身的穩定性範圍內，頻率和相位都和標準時鐘一致）。 早期电动机械学中也有鎖相迴路，例如1921年的Shortt-Synchronome鐘（英语：Shortt-Synchronome clock）。 荷兰物理學家克里斯蒂安·惠更斯早在1673年就發現弱耦合的摆钟會有自發性同步的情形。在19世紀時，瑞利男爵發現弱耦合的風琴管及音叉也有同步的情形。1919年時，威廉·埃克爾斯（英语：William Eccles）和J. H. Vincent發現二個調諧到頻率略有差異的電子振盪器，若在諧振電路中耦合，會以相同的頻率共振。電子振盪器的自動同步是由爱德华·阿普尔顿在1923年發現的。 1925年時，布里斯托尔大学電機系的大衛·羅賓森（David Robertson）教授，在威尔斯纪念大楼Great George鐘敲鐘出聲的時鐘控制電路中，引入了锁相的概念。羅賓森教授設計的鐘有一個機電裝置可以調整擺鐘的振動速率，所用的修正訊號是來自一個比較電路，在每天上午格林威治時間10點時，比較格林威治天文台的電報脈衝以及擺鐘的相位。其中除了現在電子鎖相迴路中會有的每一個組件之外，羅賓森的設計還有一個特點，其相位比較器是用繼電器邏輯的方式實現相位/頻率比較的機能，一直到1970年代之後才在電子電路中看到類似的設計。羅賓森的研究比後來1932年提出，後來命名為「鎖相迴路」（phase-lock loop）的研究要早。1932年的研究是英國科學家設法想找到可以代替埃德温·霍华德·阿姆斯特朗的超外差收音机、同差檢測（英语：Homodyne detection）或直接變換接收機（英语：direct-conversion receiver）的方案。在同差系統中，會將本機振盪器（英语：local oscillator）調到想要的頻率，再乘上輸入的信號。所得的輸出信號會包括原始的調變資訊。原意是想發展一種調諧電路比超外差收音机要少的電路。因為本機振盪器的頻率會快速的飄移，會有自動修正信號加到振盪器上，使其頻率和相位和輸入信號相同。此技術是在1932年時，在Henri de Bellescize發表在法文期刊L'Onde Électrique的論文中所提及。 至少從1930年代起，類比電視接收器的鎖相迴路垂直掃描和水平掃描電路，都會和廣播信號的同步信號鎖相。 西格尼蒂克在1969年推出了具有完整鎖相迴路機能的單片集成电路（例如NE565），類似技術的應用就不斷的增加。後來RCA推出了CD4046互補式金屬氧化物半導體的微功率鎖相迴路IC，是當時廣為使用的積體電路。 一个鎖相迴路电路通常由以下模块构成： 鉴频鉴相器（PFD） 低通滤波器（LPF） 压控振荡器（VCO） 反馈回路（通常由一个分频器来实现） 每个模块的简单原理描述如下： 鉴频鉴相器： 对输入的参考信号和反馈回路的信号进行频率和相位的比较，输出一个代表两者差异的信号至低通滤波器。 低通滤波器： 将输入信号中的高频成分滤除，保留直流部分送至压控振荡器。 压控振荡器： 输出一个周期信号,其频率由输入电压所控制。 反馈回路 ： 将压控振荡器输出的信号送回至鉴频鉴相器。通常压控振荡器的输出信号的频率大于参考信号的频率，因此需在此加入分频器以降低频率。 按照实现技术，可以分为模拟鎖相迴路（APLL，Analog PLL）和数字鎖相迴路（DPLL，Digital PLL）。 模拟鎖相迴路（Analog PLL）是指類比的鉴相器，濾波器可能是主動的，也可能是被動的。使用压控振荡器，若其迴路在原點恰有一個極點，則此APLL稱為type II鎖相迴路。 数字鎖相迴路（Digital PLL）是指數位的鉴相器，若濾波器、振盪器也都是數位的（如數控振盪器（英语：Numerically-controlled oscillator）），則稱為全數位鎖相迴路（ADPLL，All digital PLL） 按照反馈回路，可以分为整数倍分频鎖相迴路（Integer-N PLL）和分数倍分频鎖相迴路（Fractional-N PLL）。 按照鉴频鉴相器的实现方式，可以分为電荷泵鎖相迴路（Charge-Pump PLL）和非电荷泵鎖相迴路。 按照环路的带宽，它可以分为宽带鎖相迴路（Wide band loop PLL）和窄带鎖相迴路（Narrow band loop PLL）。 種類和階數 鎖相迴路頻率範圍：hold-in範圍（追蹤範圍）、捕獲範圍、鎖定範圍 稳定性指标：迴路頻寬，相位裕度（Phase margin）。 暫態響應：例如過沖、到特定精度（例如50 ppm）的安定時間。 穩態誤差：相位誤差或是時序誤差。 輸出頻譜純淨度：例如特定VCO調諧電壓漣波的邊帶。 相位雜訊：定義為特定頻帶的雜訊能量（例如載波上下10 kHz）。這和VCO相位雜訊、PLL頻寬高度相關。 通用參數：例如能耗、電源範圍、輸出振幅。 鎖相迴路的理想特性是是參考時脈和回授時脈的邊緣可以對正。在PLL已經鎖定時，兩者相位的平均誤差稱為靜態相位偏移（static phase offset）或穩態相位誤差（steady-state phase error）。二個相位之間的變異稱為追隨抖动。理想上，靜態相位偏移要是0，追隨抖动越小越好[可疑]。 相位雜訊（英语：Phase noise）是鎖相迴路會有的另一種抖動，是因為振盪器本身以及振盪器的頻率控制電路元件所造成。在此一層面上，已有一些技術比其他技術的性能更好。最早的數位鎖相迴路是用射極耦合邏輯電路（英语：Emitter coupled logic）（ECL）組成，不過其功耗很高。若要讓鎖相迴路有小的相位雜訊，最好避免使用電晶體－電晶體邏輯（TTL）或的互補式金屬氧化物半導體（CMOS）等飽和邏輯特性的零件。 鎖相迴路的另一個理想特性是在電源及地的電壓突然變化時,其產生的時脈頻率和相位不會受到影響。這稱為電源電壓抑制比，抑制比越高越好。 若要改善輸出的相位雜訊，其VCO可以用注入鎖定振盪器（英语：injection locked oscillator）。 鎖相迴路常用在同步應用中，例如太空同調解調（英语：coherent demodulation）和門限擴展（threshold extension）的通訊、位元同步（英语：bit synchronization）和符號同步。鎖相迴路也用在频率调制信號的解調變。在無線電發射機中，會用PLL來合成新的頻率，是參考頻率的倍數，和參考頻率有相同的穩定度。 其他的應用有： 频率调制（FM）訊號的解調變：若PLL鎖定FM訊號，VCO會追蹤輸入信號的瞬時頻率。濾波後的誤差電壓會控制VCO，並且和輸入信號鎖定，這就是解調變後的FM輸出。VCO轉遞特徵會決定解調變輸出的線性度。因為用在PLL積分電路中的VCO是高度線性的信號,因此可以實現高線性度的FM解調變器。 頻率偏移調變（FSK）的解調變：用在數位資料通訊以及電腦週邊上，透過在二個事先設定頻率之間切換的信號來傳輸二進位資料。 小信號的恢复（用锁相放大器來追蹤參考頻率） 恢复資料流（例如來自碟盤存儲資料）的時脈資訊 微处理器的倍頻器（英语：CPU multiplier），讓內部的處理器元件可以運行的比外部的時脈更快，而且有準確的比例關係。 调制解调器的解調變，以及电信和遙控訊號的音頻信號。 影響信號的数字信号处理。鎖相迴路也用來同步影片訊號的相位和頻率，因此可以取樣及進行數位處理。 非接觸式的原子力显微镜，偵測探針和表面的交叉作用產生的共振頻率。 直流电动机电机控制器 有些資料流，特別是高速的串列資料流（例如硬碟磁頭讀到的原始資料流），在傳送時不會將其時脈信號一起送出。接收器利用類似的參考頻率來產生時脈，再利用PLL將其時脈和接收資料的相位鎖定同步。此程序稱為時脈恢復（英语：clock recovery）。為了時脈功能，資料流中必須有夠快的資料切換，以校正PLL振盪器的頻率飄移。一般而言，會使用一些线路码（例如8b/10b），讓二次資料切換時間間隔有一個明確的上限值 。 若時脈和資料一起傳送，會用時脈為準來進行資料取樣。因為時脈接收後需放大，才能驅動正反器取樣資料。時脈邊緣和接收的資料窗之間會有一個有限大小的時間延遲，長度隨過程、溫度、電壓而不同。此時間延遲會限制傳送資料的速率。有一種消除延遲的方式是在接收端加入一個偏移校正（deskew）的PLL，使得每一次資料正反器的時脈都接收到的時間同相位。此應用中，常會使用一種特殊的鎖相迴路，稱為延遲鎖定迴路（英语：delay-locked loop）（DLL）。 所有的電子系統都會發射一些不想要的無線電訊號。有許多的機構（例如美國的联邦通信委员会）會限制這些發射的能量，以及其帶來的干擾。發射的雜訊其頻率一般會有一個尖銳的頻譜峰值（一般是在元件的工作頻率，或是其幾倍的諧波）。系統設計者可以用展頻（spread-spectrum）PLL，將頻譜上的能量分散在其他頻段，使峰值降低，以減少對高Q值接收器的干擾。例如，將工作頻率略為往上或往下調整（約1%），工作在數百MHz的元件，可以將其干擾頻譜擴展到數MHz的頻寬範圍內，這可以大幅減少對调频广播頻道（其頻寬是數萬Hz）的干擾。 一般來說，晶片的參考時脈會驅動晶片中的鎖相迴路（PLL），接著驅動晶片內的時脈分配。時脈分配一般會以平衡分配，設法讓時脈可以同時到達晶片的各個端點。其中一個端點是鎖相迴路的回授輸入。鎖相迴路的功能是比較分配的時脈以及參考時脈，並且調整分配時脈的相位以及頻率，使其分配時脈的相位以及頻率和參考輸入同步。 鎖相迴路無所不在，包括在距離數公尺的系統時鐘校準，也用在晶片中的時脈裡。有時參考信號不一定是單純的時脈信號，也有可能是有夠快資料轉換的資料流，讓鎖相迴路可以從資料流中取得正常且夠快的時脈訊號。有時參考時脈的頻率和分配時脈相同，也有可能分配時脈的頻率和參考頻率之間有有理數的比例關係。 鎖相迴路可以同步的解調變調幅（AM）信號。鎖相迴路會從調幅信號的載波中還原頻率以及相位資料。VCO收到的相位會和載波差90度，因此會調整相位差使其同步，再送到乘法器中。乘法器的輸出包括頻率信號的和以及差，再經過低通濾波後取得解調變信號。因為PLL只會針對很接近VCO輸出的載波頻率有反應，因此PLL AM偵測器有高度的選擇性以及雜訊抑制能力，這是傳統峰值型解調變器作不到的。不過，若調幅訊號的調變深度到100%，鎖相迴路可能會無法鎖定（lose lock）。 在數位無線通訊系統（例如GSM、CDMA等）中，在傳輸時會用PLL針對本地振盪器進行上轉換（up-conversion），在接收時也會對本地振盪器進行數位下轉換（英语：Digital down converter）。大部份的行動電話中，此一機能已整合到單一的積體電路中，以減小行動電話的成本及體積。在基地站，因為訊號需要的高性能，需要用分立元件來達到所需的性能。GSM本地振盪器模組一般會用頻率合成器（英语：frequency synthesizer）積體電路及分立的共振腔壓控振盪器[來源請求]。 鑒相器會比較兩個輸入信號，並產生和其相位差成正比的誤差信號，誤差信號會經過低通濾波，之後驅動壓控振盪器（VCO），以產生輸出相位。此輸出會透過回授迴路（可能再加上除頻器）再成為系統的回授輸入，因此形成负反馈。若輸出相位偏移，誤差信號會增加，使壓控振盪器的相位往另一個方向變化，以減少相位誤差。因此輸出相位可以鎖定另一輸入信號（稱為參考信號）的相位[來源請求]。 類比的鎖相迴路是由類比的鑒相器、低通濾波器以及壓控振盪器組成，形成负反馈的組態。數位的鎖相迴路則會有數位的鑒相器，也可能在參考信號、反馈路徑（或兩者都有）加上除頻器，讓PLL輸出的頻率可以維持為參考信號頻率的有理数。若將反馈路徑的除以N除頻器改為可程式化的吞脉冲计数器，也可以讓輸出信號的頻率是參考信號的非整數倍。 振盪器會產生週期性的輸出信號。假設一開始振盪器的頻率幾乎和參考信號相同，若振盪器的相位落後參考信號，鑒相器會增加振盪器的控制電壓，使其頻率加快。若振盪器的相位領先參考信號，鑒相器會降低振盪器的控制電壓，使其頻率減慢。因為一開始振盪器的頻率可能會和參考信號的頻率差很多。實務上的鑒相器也會回應頻率差，目的是增加可允許輸入的鎖定範圍。依應用的不同，可能會用壓控振盪器的輸出作為PLL系統的輸出，也可能是以給振盪器的控制信號作為系統輸出[來源請求]。 鑒相器（phase detector，簡稱PD）會產生對應二信號相位差的電壓。在鑒相器中，鑒相器的信號輸入分別是參考輸入，以及壓控振盪器（VCO）輸出的回授信號。鑒相器的輸出可以用來控制壓控振盪器，使二信號之間的相位差可以調整為定值，因此整個系統是負回授系統 。 不同種類的鑒相器有不同的性能特性。 例如，混频器會產生諧波，因此會產生不希望出現的頻率邊帶，也稱為參考突波（reference spurs），若希望壓控振盪器（VCO）產生的是單一頻率的訊號，這就會增加設計的複雜性。在濾波器設計需求中，會因為這部份的濾波而降低捕獲範圍，或是拉長鎖定時間。在這些應用中會使用比較複雜的數位鑒相器，其輸出不會有嚴重的參考突波問題。而且在鎖波時，其輸入的穩態的相差會接近90度[來源請求]。 在鎖相迴路應用中，常需要知道鎖相迴路是否有失鎖（out of lock）的情形，比較複雜的數位鑒相器會有對應失鎖的輸出信號。 數位鎖相迴路中常會使用XOR 门當作簡易鑒相器。若對線路作一些簡單的修改，也可以用在類比鎖相迴路中。 鎖相迴路濾波器（多半是低通濾波器）一般會有兩種不同的功能。 第一個功能是決定迴路的動態特性（也稱為穩定性）。這是指迴路對擾動（例如參考頻率的變動、田回授除頻器的變化，或是啟動）的響應特性。常見的考量是迴路可以鎖定的範圍（pull-in範圍、鎖定範圍、捕獲範圍），迴路鎖定的速度（lock時間，lock-up時間或安定時間）、阻尼（英语：Damping factor）特性等。依應用的不同，濾波器可能會是以下幾種的一種或多種：單純的比例（P，增益或衰減量）、积分（I，低通濾波器）、导数（D，高通滤波器）。迴路的參數常會用波德圖及相位裕度進行檢驗。控制理论中的常用概念（包括PID控制器）用設計此功能。 第二個功能是限制參考信號的頻率能量範圍（漣波），這是鑒相器輸出以及VCO控制輸入上的信號。此信號上若有不希望出現的頻率邊帶，即為參考突波（reference spurs）。 此模組的設計可能主要會是上述二個功能中的一個，也有可能是比較複雜的模組，設法達到上述二功能。常見的取捨可能是增加系統頻寬，但是會降低穩定值，或是加入阻尼使穩定性變好，但是降低系統反應速度，增加安定時間。上述的調整也會影響相位雜訊。 所有的鎖相迴路都會有可以調整輸出頻率的振盪器，可以是由類比電路驅動的類比振荡器（類比鎖相迴路），或是像部份數位鎖相迴路（DPLL）的作法，使用數位類比轉換器（D-A converter）。若是全數位鎖相迴路（ADPLL），會用純數位的振荡器[來源請求]。 可以在PLL的振盪器和回授輸入之間加入除頻器，以進行頻率合成（英语：Frequency synthesizer）。在無線電發射器的應用中常會用到可程式的除頻器，因為可以用穩定、準確但昂貴的單一頻率石英晶体谐振器產生許多不同的頻率。 有些PLL在參考時脈和給鑒相器的參考輸入之間加入除頻器。若回授回路有除 N {\displaystyle N} 的除頻器，而參考輸入有除 M {\displaystyle M} 的除頻器，可以讓PLL的頻率為參考頻率的 N / M {\displaystyle N/M} 倍。直接給鎖相迴路較低頻率的參考輸入似乎不難，不過有時參考頻率因為其他因素而受到限制，因此會改在參考時脈和給鑒相器的參考輸入之間加入除頻器。 乘頻率的PLL也可以用將电子振荡器的輸出鎖定在參考信號的N次諧波來實現。此時就不用單純的鑒相器，會用諧波混合器（harmonic mixer）。諧波混合器會將參考信號變成有許多諧波的脈衝序列，。VCO的輸出會大約調整到接近其中的一個諧波。因此，想要的諧波混合器輸出（表示N次諧波和VCO輸出的差異）落在濾波器通帶頻率範圍內。 回授迴路中也不一定只能用除頻器。回授迴路中也可以用乘頻器或頻率混合器。乘頻器會讓VCO的輸出是參考頻率的幾分之一。也可以是這些元件的組合。例如頻率混合器加上除頻器：這可以讓除頻器運作在很低的頻率，但不會影響迴路增益。 用類比乘法器作為鑒相器，使用線性濾波器的類比PLL，可以用以下方式來推導其方程式。令鑒相器的參考輸入為 f 1 ( θ 1 ( t ) ) {\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))} ，VCO的輸出為 f 2 ( θ 2 ( t ) ) {\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))} ，相位分別是 θ 1 ( t ) {\displaystyle \theta _{1}(t)} 和 θ 2 ( t ) {\displaystyle \theta _{2}(t)} 。 f 1 ( θ ) {\displaystyle f_{1}(\theta )} 和 f 2 ( θ ) {\displaystyle f_{2}(\theta )} 是各信號波形的函數。則鑒相器的輸出 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} 為 φ ( t ) = f 1 ( θ 1 ( t ) ) f 2 ( θ 2 ( t ) ) {\displaystyle \varphi (t)=f_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t))} VCO頻率會是VCO輸入的函數 g ( t ) {\displaystyle g(t)} θ ˙ 2 ( t ) = ω 2 ( t ) = ω free + g v g ( t ) {\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}(t)=\omega _{2}(t)=\omega _{\text{free}}+g_{v}g(t)\,} 其中 g v {\displaystyle g_{v}} 為VCO的靈敏度，其單位為Hz / V， ω free {\displaystyle \omega _{\text{free}}} 是VCO的自由運行頻率。 迴路濾波器可以用以下線性微分方程系統來表示 x ˙ = A x + b φ ( t ) , g ( t ) = c ∗ x , x ( 0 ) = x 0 , {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (t),\\g(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\quad x(0)=x_{0},} 其中 φ ( t ) {\displaystyle \varphi (t)} 是濾波器輸入 g ( t ) {\displaystyle g(t)} 是輸波器輸出， A {\displaystyle A} 是 n {\displaystyle n} 維方陣， x ∈ C n , b ∈ R n , c ∈ C n , {\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n},\quad b\in \mathbb {R} ^{n},\quad c\in \mathbb {C} ^{n},\quad } . x 0 ∈ C n {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {C} ^{n}} 是濾波器的初始狀態。星號表示共轭转置。 因此PLL的系統如下 x ˙ = A x + b f 1 ( θ 1 ( t ) ) f 2 ( θ 2 ( t ) ) , θ ˙ 2 = ω free + g v ( c ∗ x ) x ( 0 ) = x 0 , θ 2 ( 0 ) = θ 0 . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+bf_{1}(\theta _{1}(t))f_{2}(\theta _{2}(t)),\\{\dot {\theta }}_{2}&=&\omega _{\text{free}}+g_{v}(c^{*}x)\\\end{array}}\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{2}(0)=\theta _{0}.} 其中 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} 是初始的相位偏差量。 考慮PLL的參考輸入 f 1 ( θ 1 ( t ) ) {\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))} 和VCO的輸出 f 2 ( θ 2 ( t ) ) {\displaystyle f_{2}(\theta _{2}(t))} 是高頻訊號。 則針對任何片段可微的 2 π {\displaystyle 2\pi } 週期函數 f 1 ( θ ) {\displaystyle f_{1}(\theta )} and f 2 ( θ ) {\displaystyle f_{2}(\theta )} ，存在一函數 φ ( θ ) {\displaystyle \varphi (\theta )} 使得濾波器 G ( t ) {\displaystyle G(t)} 的輸出 x ˙ = A x + b φ ( θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) ) , G ( t ) = c ∗ x , x ( 0 ) = x 0 , {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t)),\\G(t)&=&c^{*}x,\end{array}}\quad x(0)=x_{0},} 在相位域上漸近等於在時域模型中濾波器的輸出（ G ( t ) − g ( t ) {\displaystyle G(t)-g(t)} 的差值，相對頻率而言很小） 。 此處 φ ( θ ) {\displaystyle \varphi (\theta )} 是鑒相器特性函數。 相位差標示為 θ Δ ( t ) {\displaystyle \theta _{\Delta }(t)} θ Δ = θ 1 ( t ) − θ 2 ( t ) . {\displaystyle \theta _{\Delta }=\theta _{1}(t)-\theta _{2}(t).} 則以下的动力系统可以描述PLL的行為 x ˙ = A x + b φ ( θ Δ ) , θ ˙ Δ = ω Δ − g v ( c ∗ x ) . x ( 0 ) = x 0 , θ Δ ( 0 ) = θ 1 ( 0 ) − θ 2 ( 0 ) . {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\dot {x}}&=&Ax+b\varphi (\theta _{\Delta }),\\{\dot {\theta }}_{\Delta }&=&\omega _{\Delta }-g_{v}(c^{*}x).\\\end{array}}\quad x(0)=x_{0},\quad \theta _{\Delta }(0)=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0).} 此處 ω Δ = ω 1 − ω free {\displaystyle \omega _{\Delta }=\omega _{1}-\omega _{\text{free}}} ; ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} 是參考振盪器的頻率（假設 ω free {\displaystyle \omega _{\text{free}}} 是定值）。 考慮弦波信號 f 1 ( θ 1 ( t ) ) = A 1 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) ) , f 2 ( θ 2 ( t ) ) = A 2 cos ⁡ ( θ 2 ( t ) ) {\displaystyle f_{1}(\theta _{1}(t))=A_{1}\sin(\theta _{1}(t)),\quad f_{2}(\theta _{2}(t))=A_{2}\cos(\theta _{2}(t))} 以及作為濾波器的單極點RC電路。其時域模型如下 x ˙ = − 1 R C x + 1 R C A 1 A 2 sin ⁡ ( θ 1 ( t ) ) cos ⁡ ( θ 2 ( t ) ) , θ ˙ 2 = ω free + g v ( c ∗ x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=-{\frac {1}{RC}}x+{\frac {1}{RC}}A_{1}A_{2}\sin(\theta _{1}(t))\cos(\theta _{2}(t)),\\[6pt]{\dot {\theta }}_{2}&=\omega _{\text{free}}+g_{v}(c^{*}x)\end{aligned}}} 此信號的鑒相器特性等於 φ ( θ 1 − θ 2 ) = A 1 A 2 2 sin ⁡ ( θ 1 − θ 2 ) {\displaystyle \varphi (\theta _{1}-\theta _{2})={\frac {A_{1}A_{2}}{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})} 因此相位域模型如下 x ˙ = − 1 R C x + 1 R C A 1 A 2 2 sin ⁡ ( θ Δ ) , θ ˙ Δ = ω Δ − g v ( c ∗ x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=-{\frac {1}{RC}}x+{\frac {1}{RC}}{\frac {A_{1}A_{2}}{2}}\sin(\theta _{\Delta }),\\[6pt]{\dot {\theta }}_{\Delta }&=\omega _{\Delta }-g_{v}(c^{*}x).\end{aligned}}} 此系統方程式和單擺的數學方程式等效 x = θ ˙ 2 − ω 2 g v c ∗ = ω 1 − θ ˙ Δ − ω 2 g v c ∗ , x ˙ = θ ¨ 2 g v c ∗ , θ 1 = ω 1 t + Ψ , θ Δ = θ 1 − θ 2 , θ ˙ Δ = θ ˙ 1 − θ ˙ 2 = ω 1 − θ ˙ 2 , 1 g v c ∗ θ ¨ Δ − 1 g v c ∗ R C θ ˙ Δ − A 1 A 2 2 R C sin ⁡ θ Δ = ω 2 − ω 1 g v c ∗ R C . {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {{\dot {\theta }}_{2}-\omega _{2}}{g_{v}c^{*}}}={\frac {\omega _{1}-{\dot {\theta }}_{\Delta }-\omega _{2}}{g_{v}c^{*}}},\\[6pt]{\dot {x}}&={\frac {{\ddot {\theta }}_{2}}{g_{v}c^{*}}},\\[6pt]\theta _{1}&=\omega _{1}t+\Psi ,\\[6pt]\theta _{\Delta }&=\theta _{1}-\theta _{2},\\[6pt]{\dot {\theta }}_{\Delta }&={\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2}=\omega _{1}-{\dot {\theta }}_{2},\\[6pt]&{\frac {1}{g_{v}c^{*}}}{\ddot {\theta }}_{\Delta }-{\frac {1}{g_{v}c^{*}RC}}{\dot {\theta }}_{\Delta }-{\frac {A_{1}A_{2}}{2RC}}\sin \theta _{\Delta }={\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{g_{v}c^{*}RC}}.\end{aligned}}} 鎖相迴路也可以進行拉普拉斯变换，當做控制系統來分析。其迴路響應可以寫為下式： θ o θ i = K p K v F ( s ) s + K p K v F ( s ) {\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {K_{p}K_{v}F(s)}{s+K_{p}K_{v}F(s)}}} 其中 θ o {\displaystyle \theta _{o}} 是輸出相位，單位為弧度。 θ i {\displaystyle \theta _{i}} 是輸入相位，單位為弧度。 K p {\displaystyle K_{p}} 是鑒相器增益，單位是V/rads K v {\displaystyle K_{v}} 是壓控振盪器增益，單位是rads/V-s F ( s ) {\displaystyle F(s)} 是迴路濾波器傳遞函數（無因次） 迴路中可以加入不同的迴路濾波器，以控制迴路特性。最簡單的濾波器是一個極點的RC電路。其迴路傳遞函數如下 F ( s ) = 1 1 + s R C {\displaystyle F(s)={\frac {1}{1+sRC}}} 迴路響應為： θ o θ i = K p K v R C s 2 + s R C + K p K v R C {\displaystyle {\frac {\theta _{o}}{\theta _{i}}}={\frac {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}{s^{2}+{\frac {s}{RC}}+{\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}}} 這是標準的諧振子型式。其分母和以下的二階系統有關： s 2 + 2 s ζ ω n + ω n 2 {\displaystyle s^{2}+2s\zeta \omega _{n}+\omega _{n}^{2}} 其中 ζ {\displaystyle \zeta } 是阻尼比， ω n {\displaystyle \omega _{n}} 是迴路的自然頻率。 針對單極點的RC濾波器 ω n = K p K v R C {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{RC}}}} ζ = 1 2 K p K v R C {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2{\sqrt {K_{p}K_{v}RC}}}}} 迴路的自然頻率是量測迴路的響應時間，阻尼比則是和過沖和振鈴（ringing）有關。理想上，自然頻率越高越好，阻尼比應接近0.707（臨界阻尼）。不過針對單極點濾波器，自然頻率和阻尼比兩者無法個別獨立調整。考慮臨界阻尼 R C = 1 2 K p K v {\displaystyle RC={\frac {1}{2K_{p}K_{v}}}} ω c = K p K v 2 {\displaystyle \omega _{c}=K_{p}K_{v}{\sqrt {2}}} 另外一種比較有效的濾波器，超前－滯後濾波器（lag-lead filter），其中有一個極點和一個零點，可以用二個電阻和一個電容實現，其傳遞函數為 F ( s ) = 1 + s C R 2 1 + s C ( R 1 + R 2 ) {\displaystyle F(s)={\frac {1+sCR_{2}}{1+sC(R_{1}+R_{2})}}} 此濾波器有二個時間常數 τ 1 = C ( R 1 + R 2 ) {\displaystyle \tau _{1}=C(R_{1}+R_{2})} τ 2 = C R 2 {\displaystyle \tau _{2}=CR_{2}} 自然頻率和阻尼比和時間常數的關係如下 ω n = K p K v τ 1 {\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {K_{p}K_{v}}{\tau _{1}}}}} ζ = 1 2 ω n τ 1 + ω n τ 2 2 {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2\omega _{n}\tau _{1}}}+{\frac {\omega _{n}\tau _{2}}{2}}} 因此給定自然頻率和阻尼比，可以針算迴路濾波器的時間常數 τ 1 = K p K v ω n 2 {\displaystyle \tau _{1}={\frac {K_{p}K_{v}}{\omega _{n}^{2}}}} τ 2 = 2 ζ ω n − 1 K p K v {\displaystyle \tau _{2}={\frac {2\zeta }{\omega _{n}}}-{\frac {1}{K_{p}K_{v}}}} 真實應用中的迴路濾波器設計會更複雜，可能會使用高階的濾波器去降低特定來源的相位雜訊（可以參考以下D Banerjee的參考資料）。 數位鎖相迴路可以用硬體來實現，例如用像是CMOS 4046的積體電路。不過微處理器的速度越來越快，因此若鎖相的頻率沒有到MHz的等級，這類的應用（例如精準的控制馬達速度）可以用軟體來實現鎖相迴路。用軟體實現數位鎖相迴路有幾個好處，對於反饋迴路的客製比比較簡單（包括參考信號和輸出信號的除頻、倍頻或頻率比例關係）。而且，軟體實現容易瞭解，也容易作實驗。以下是一個用MATLAB實現的數位鉴相器，這類的鉴相器強健性高，而且容易實現。 % This example is written in MATLAB % Initialize variables vcofreq = zeros(1, numiterations); ervec = zeros(1, numiterations); % Keep track of last states of reference, signal, and error signal qsig = 0; qref = 0; lref = 0; lsig = 0; lersig = 0; phs = 0; freq = 0; % Loop filter constants (proportional and derivative) % Currently powers of two to facilitate multiplication by shifts prop = 1 / 128; deriv = 64; for it = 1:numiterations % Simulate a local oscillator using a 16-bit counter phs = mod(phs + floor(freq / 2 ^ 16), 2 ^ 16); ref = phs < 32768; % Get the next digital value (0 or 1) of the signal to track sig = tracksig(it); % Implement the phase-frequency detector rst = ~ (qsig & qref); % Reset the "flip-flop" of the phase-frequency % detector when both signal and reference are high qsig = (qsig | (sig & ~ lsig)) & rst; % Trigger signal flip-flop and leading edge of signal qref = (qref | (ref & ~ lref)) & rst; % Trigger reference flip-flop on leading edge of reference lref = ref; lsig = sig; % Store these values for next iteration (for edge detection) ersig = qref - qsig; % Compute the error signal (whether frequency should increase or decrease) % Error signal is given by one or the other flip flop signal % Implement a pole-zero filter by proportional and derivative input to frequency filtered_ersig = ersig + (ersig - lersig) * deriv; % Keep error signal for proportional output lersig = ersig; % Integrate VCO frequency using the error signal freq = freq - 2 ^ 16 * filtered_ersig * prop; % Frequency is tracked as a fixed-point binary fraction % Store the current VCO frequency vcofreq(1, it) = freq / 2 ^ 16; % Store the error signal to show whether signal or reference is higher frequency ervec(1, it) = ersig; end 在此例子中，假設tracksig陣列中有要追蹤的參考信號。振盪器是用計數器來實現，計數器的最高位元表示振盪器開啟或是關閉。程式模擬二個D型触发器，可以作為相位和頻率的比較器。不論參考信號或回授信號出現上緣時，對應的触发器會為高準位，當二個触发器都是高準位時，會將触发器重置。二個触发器中何者為高準位，表示參考信號領先回授信號或落後回授信號。誤差信號是這二個触发器值的差值。超前－滯後濾波器是用在濾波誤差信號中入誤差信號以及其導數所得。接下來要進行整合以找到其自然頻率。 在實務上，可以在鎖相迴路的回授中加入其他的動作。例如鎖相迴路是要實現倍頻器，則振盪信號可以先除頻，再和參考信號比較。 頻率鎖定迴路（英语：Frequency-locked loop） 電荷泵鎖相迴路 載波恢復（英语：Carrier recovery） 科斯塔斯循環（英语：Costas loop） 延遲鎖定迴路（英语：Delay-locked loop）（DLL） 直接變換接收機（英语：Direct conversion receiver） 直接数字合成 卡尔曼滤波 多位元鎖相迴路（英语：PLL multibit） Shortt–Synchronome clock（英语：Shortt–Synchronome clock）：相位鎖定主單擺的單擺（約1921年） 佛洛依德·加德納（英语：Floyd M. Gardner）：锁相迴路研究的專家，有提出電荷泵鎖相迴路猜想（Gardner's conjecture on charge-pump phase-locked loops），鎖定範圍問題（Gardner's problem on the lock-in range）也和他有關。 威廉·伊根（英语：William F. Egan），有提出對type II類比鎖相迴路鎖定範圍的猜想（Egan's conjecture on the pull-in range of type II APLL） 若頻率為常數，初始相位為零，弦波的相位就和時間成正比 一般而言，參考弦波會驅動步進恢復二極體（英语：step recovery diode）產生脈衝序列。脈衝序列會驅動取樣率 Christiaan Huygens, Horologium Oscillatorium … (Paris, France: F. Muguet, 1673), pages 18–19. From page 18: " … illudque accidit memoratu dignum, … brevi tempore reduceret." ( … and it is worth mentioning, since with two clocks constructed in this form and which we suspend in like manner, truly the cross beam is assigned two fulcrums [i.e., two pendulum clocks were suspended from the same wooden beam]; the motions of the pendulums thus share the opposite swings between the two [clocks], since the two clocks at no time move even a small distance, and the sound of both can be heard clearly together always: for if the innermost part [of one of the clocks] is disturbed with a little help, it will have been restored in a short time by the clocks themselves.) English translation provided by Ian Bruce's translation of Horologium Oscillatorium … （页面存档备份，存于互联网档案馆）, pages 16–17. See: Lord Rayleigh, The Theory of Sound (London, England: Macmillan, 1896), vol. 2. The synchronization of organ pipes in opposed phase is mentioned in §322c, pages 221–222. Lord Rayleigh (1907) "Acoustical notes — VII," Philosophical Magazine, 6th series, 13 : 316–333. 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