卜瓦松二項分布

在機率论和统计学中，卜瓦松二项分布是一個基於独立伯努利试验之和的离散機率分布。这一概念以西梅翁·德尼·泊松的名字命名。 换句话说，它是成功概率分別為 p 1 , p 2 , … , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}} 的n次独立伯努利试验中，成功次数的機率分布。普通二项分布是卜瓦松二项分布在所有成功機率相同（即 p 1 = p 2 = ⋯ = p n {\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}} ）时的特例。 n次试验中有k次成功的機率可以写为以下总和 Pr ( K = k ) = ∑ A ∈ F k ∏ i ∈ A p i ∏ j ∈ A c ( 1 − p j ) {\displaystyle \Pr(K=k)=\sum \limits _{A\in F_{k}}\prod \limits _{i\in A}p_{i}\prod \limits _{j\in A^{c}}(1-p_{j})} 其中 F k {\displaystyle F_{k}} 是 {1,2,3,..., n } 的全體k元子集的集合。例如，如果n = 3，那么 F 2 = { { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle F_{2}=\left\{\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\right\}} 。 A c {\displaystyle A^{c}} 是 A {\displaystyle A} 的补集，也就是 A c = { 1 , 2 , 3 , … , n } ∖ A {\displaystyle A^{c}=\{1,2,3,\dots ,n\}\setminus A} 。 F k {\displaystyle F_{k}} 将包含 n ! / ( ( n − k ) ! k ! ) {\displaystyle n!/((n-k)!k!)} 個元素，因此上述总和在實務中是很難計算的，除非试验次数n很小（例如，如果n = 30， F 15 {\displaystyle F_{15}} 包含超过1020个元素）。然而，还有其他更有效的方法可以计算 Pr ( K = k ) {\displaystyle \Pr(K=k)} 。 只要成功機率都不等于 1，就可以使用递归公式计算出k次成功的機率： Pr ( K = k ) = { ∏ i = 1 n ( 1 − p i ) k = 0 1 k ∑ i = 1 k ( − 1 ) i − 1 Pr ( K = k − i ) T ( i ) k > 0 {\displaystyle \Pr(K=k)={\begin{cases}\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})&k=0\\{\frac {1}{k}}\sum \limits _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}\Pr(K=k-i)T(i)&k>0\\\end{cases}}} 其中 T ( i ) = ∑ j = 1 n ( p j 1 − p j ) i . {\displaystyle T(i)=\sum \limits _{j=1}^{n}\left({\frac {p_{j}}{1-p_{j}}}\right)^{i}.} 递归公式在数值上不稳定，在 n {\displaystyle n} 约大于20時应避免使用。另一种方法是使用分治算法：假设 n = 2 b {\displaystyle n=2^{b}} 是2的幂，並以 f ( p i : j ) {\displaystyle f(p_{i:j})} 表示成功概率為 p i , … , p j {\displaystyle p_{i},\dots ,p_{j}} 的卜瓦松二项分布， ∗ {\displaystyle *} 表示卷积，則 f ( p 1 : 2 b ) = f ( p 1 : 2 b − 1 ) ∗ f ( p 2 b − 1 + 1 : 2 b ) {\displaystyle f(p_{1:2^{b}})=f(p_{1:2^{b-1}})*f(p_{2^{b-1}+1:2^{b}})} 。 另一种可能性是使用离散傅立叶变换。 Pr ( K = k ) = 1 n + 1 ∑ l = 0 n C − l k ∏ m = 1 n ( 1 + ( C l − 1 ) p m ) {\displaystyle \Pr(K=k)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{l=0}^{n}C^{-lk}\prod \limits _{m=1}^{n}\left(1+(C^{l}-1)p_{m}\right)} 其中 C = exp ⁡ ( 2 i π n + 1 ) {\displaystyle C=\exp \left({\frac {2i\pi }{n+1}}\right)} ， i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} 。 Chen和Liu在“卜瓦松二项式和条件伯努利分布的统计应用”中描述了其他方法。 由于卜瓦松二项式分布變數是n个独立伯努利分布變數的总和，因此其均值和方差将是n个伯努利分布的均值和方差之和： μ = ∑ i = 1 n p i {\displaystyle \mu =\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}} σ 2 = ∑ i = 1 n ( 1 − p i ) p i {\displaystyle \sigma ^{2}=\sum \limits _{i=1}^{n}(1-p_{i})p_{i}} 當平均值（ μ {\displaystyle \mu } ）和次數（n）為定值，且所有成功機率相等時，我们會得到二项式分布，變異數此時最大。当平均值固定时，變異數的上界為具有相同均值的卜瓦松分布的變異數，該上界在n趋于无穷大時可以渐近取得。[來源請求] 卜瓦松二項式分佈的熵沒有簡單的公式，但熵的上限是具有相同數字參數和相同均值的二項式分佈的熵。因此，熵也不大於相同均值的卜瓦松分佈的熵。 謝普-奧爾金凹性猜想由勞倫斯·謝普（英语：Lawrence Shepp）和英格拉姆·奧爾金（英语：Ingram Olkin）於1981年提出，指出卜瓦松二項式分佈的熵是成功機率 p 1 , p 2 , … , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}} 的凹函數。這個猜想由 Erwan Hillion 和 Oliver Johnson 於2015年證明。1981年同一篇論文亦提出謝普-奧爾金單調性猜想：若 p i ≤ 1 / 2 {\displaystyle p_{i}\leq 1/2} ，則熵對 p i {\displaystyle p_{i}} 為單調遞增。這個猜想也被 Hillion 和 Johnson 於 2019 年證明。 Wang, Y. H. On the number of successes in independent trials (PDF). Statistica Sinica. 1993, 3 (2): 295–312 [2023-07-29]. （原始内容存档 (PDF)于2016-03-03）.  Shah, B. K. On the distribution of the sum of independent integer valued random variables. American Statistician. 1994, 27 (3): 123–124. JSTOR 2683639.  Chen, X. H.; A. P. Dempster; J. S. Liu. Weighted finite population sampling to maximize entropy (PDF). Biometrika. 1994, 81 (3): 457 [2023-07-29]. doi:10.1093/biomet/81.3.457. （原始内容存档 (PDF)于2022-01-07）.  Fernandez, M.; S. Williams. Closed-Form Expression for the Poisson-Binomial Probability Density Function. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 2010, 46 (2): 803–817. Bibcode:2010ITAES..46..803F. S2CID 1456258. doi:10.1109/TAES.2010.5461658.  Chen, S. X.; J. S. Liu. Statistical Applications of the Poisson-Binomial and conditional Bernoulli distributions. Statistica Sinica. 1997, 7: 875–892.