胡列维茨定理

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以維托爾德·胡列維茨（英语：Witold Hurewicz）命名。 胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。 对于任意空间 X {\displaystyle X} 和任意正整数 k {\displaystyle k} ，都存在群同态（构造见本小节末尾） h ∗ : π k ( X ) → H k ( X ) {\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{k}(X)\to H_{k}(X)\,\!} 称为从 k {\displaystyle k} 阶同伦群到 k {\displaystyle k} 阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当 k = 1 {\displaystyle k=1} 且 X {\displaystyle X} 道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射 h ∗ : π 1 ( X ) → π 1 ( X ) / [ π 1 ( X ) , π 1 ( X ) ] → H 1 ( X ) . {\displaystyle h_{\ast }\colon \,\pi _{1}(X)\to \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)]\to H_{1}(X).\,\!} 胡列维茨定理声明，若 X {\displaystyle X} 是(n -1)-连通空间，那么对于所有 k ≤ n {\displaystyle k\leq n} ，胡列维茨同态都是群同构（当 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ）或阿贝尔化（当 n = 1 {\displaystyle n=1} ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群： H 1 ( X ) ≅ π 1 ( X ) / [ π 1 ( X ) , π 1 ( X ) ] . {\displaystyle H_{1}(X)\cong \pi _{1}(X)/[\pi _{1}(X),\pi _{1}(X)].\,\!} 因此，如果 X {\displaystyle X} 道路连通且 π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} 是完美群，那么 X {\displaystyle X} 的第一同调群为零。 此外，当 X {\displaystyle X} 是(n -1)-连通时（ n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ），胡列维茨同态 π n + 1 ( X ) → H n + 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{n+1}(X)\to H_{n+1}(X)} 都是满同态（满射）。 胡列维茨同态由如下方式给定：设 u n ∈ H n ( S n ) {\displaystyle u_{n}\in H_{n}(S^{n})} 为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类 f ∈ π n ( X ) {\displaystyle f\in \pi _{n}(X)} 映射到 f ∗ ( u n ) ∈ H n ( X ) {\displaystyle f_{*}(u_{n})\in H_{n}(X)} 。 拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。 设 X {\displaystyle X} 为单连通拓扑空间，并对于所有 i ≤ r {\displaystyle i\leq r} 满足 π i ( X ) ⊗ Q = 0 {\displaystyle \pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} =0} 。那么胡列维茨映射 h ⊗ Q : π i ( X ) ⊗ Q ⟶ H i ( X ; Q ) {\displaystyle h\otimes \mathbb {Q} :\pi _{i}(X)\otimes \mathbb {Q} \longrightarrow H_{i}(X;\mathbb {Q} )} 对于 1 ≤ i ≤ 2 r {\displaystyle 1\leq i\leq 2r} 为同构，且对于 i = 2 r + 1 {\displaystyle i=2r+1} 是满射。 Goerss, P. G.; Jardine, J. F., Simplicial Homotopy Theory, Progress in Mathematics 174, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1999, ISBN 978-3-7643-6064-1 , III.3.6, 3.7 Klaus, S.; Kreck, M., A quick proof of the rational Hurewicz theorem and a computation of the rational homotopy groups of spheres, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 2004, 136: 617–623, doi:10.1017/s0305004103007114  Cartan, H.; Serre, J. P., Espaces fibres et groupes d'homotopie, II, Applications, C. R. Acad. Sci. Paris, 1952, 2 (34): 393–395  Brown, R., Triadic Van Kampen theorems and Hurewicz theorems, Contemporary Mathematics, 1989, 96: 39–57, ISSN 0040-9383, doi:10.1090/conm/096/1022673  Brown, Ronald; Higgins, P. J., Colimit theorems for relative homotopy groups, Journal of Pure and Applied Algebra, 1981, 22: 11–41, ISSN 0022-4049, doi:10.1016/0022-4049(81)90080-3  Brown, R.; Loday, J.-L., Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series, 1987, 54: 176–192, ISSN 0024-6115, doi:10.1112/plms/s3-54.1.176  Brown, R.; Loday, J.-L., Van Kampen theorems for diagrams of spaces, Topology, 1987, 26 (3): 311–334, ISSN 0040-9383, doi:10.1016/0040-9383(87)90004-8  Rotman, Joseph J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics 119, Springer-Verlag, 19881998-07-22, ISBN 978-0-387-96678-6  Whitehead, George W., Elements of Homotopy Theory, Graduate Texts in Mathematics 61, Springer-Verlag, 1978, ISBN 978-0-387-90336-1