薛丁格繪景

薛丁格繪景（Schrödinger picture）是量子力學的一種表述，為紀念物理學者埃爾溫·薛丁格而命名。在薛丁格繪景裏，量子系統的態向量隨著時間流易而演化，而像位置、自旋一類的對應於可觀察量的算符則與時間無關。 薛丁格繪景與海森堡繪景、狄拉克繪景不同。在海森堡繪景裏，對應於可觀察量的算符會隨著時間流易而演化，而描述量子系統的態向量則與時間無關。在狄拉克繪景裏，態向量與算符都會隨著時間流易而演化。 這三種繪景殊途同歸，所獲得的結果完全一致。這是必然的，因為它們都是在表達同樣的物理現象。 在薛丁格繪景裏，負責時間演化的算符是一種么正算符，稱為時間演化算符。假設時間從 t 0 {\displaystyle t_{0}} 流易到 t {\displaystyle t} ，而經過這段時間間隔，態向量 | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle } 演化為態向量 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } ，這時間演化過程以方程式表示為 | ψ ( t ) ⟩ = U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } ； 其中， U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,t_{0})} 是時間演化算符。 假設系統的哈密頓量 H {\displaystyle H} 不含時，則時間演化算符為 U ( t , t 0 ) = e − i H ( t − t 0 ) / ℏ {\displaystyle U(t,t_{0})=e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }} ； 其中， ℏ {\displaystyle \hbar } 是約化普朗克常數，指數函數 e − i H ( t − t 0 ) / ℏ {\displaystyle e^{-iH(t-t_{0})/\hbar }} 必須通過其泰勒級數計算。 在初級量子力學教科書裏，時常會使用薛丁格繪景。 時間演化算符 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 定義為 | ψ ( t ) ⟩   = d e f   U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle \ {\stackrel {def}{=}}\ U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } ； 其中，右矢 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 表示時間為 t {\displaystyle t} 的態向量， U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 是時間演化算符，從時間 t {\displaystyle t} 演化到時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 。 這方程式可以做這樣解釋：將時間演化算符 U ( t , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})} 作用於時間是 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的態向量 | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle } ，則會得到時間是 t {\displaystyle t} 的態向量 | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } 。 類似地，也可以用左矢 ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} 來定義： ⟨ ψ ( t ) | = ⟨ ψ ( t 0 ) | U † ( t , t 0 ) {\displaystyle \langle \psi (t)|=\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})} ； 其中，算符 U † {\displaystyle U^{\dagger }} 是算符 U {\displaystyle U} 的厄米共軛。 由於態向量必須滿足歸一條件，態向量的範數不能隨時間而變： ⟨ ψ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } 。 可是， ⟨ ψ ( t ) | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ ψ ( t 0 ) | U † ( t , t 0 ) U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\langle \psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } 。 所以， U † ( t , t 0 ) U ( t , t 0 ) = I {\displaystyle U^{\dagger }(t,\,t_{0})U(t,\,t_{0})=I}  ; 其中， I {\displaystyle I} 是單位算符。 時間演化算符 U ( t 0 , t 0 ) {\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})} 必須是單位算符 U ( t 0 , t 0 ) = I {\displaystyle U(t_{0},\,t_{0})=I} ，因為， | ψ ( t 0 ) ⟩ = U ( t 0 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{0})\rangle =U(t_{0},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } 。 從初始時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 到最後時間 t {\displaystyle t} 的時間演化算符，可以視為從中途時間 t 1 {\displaystyle t_{1}} 到最後時間 t {\displaystyle t} 的時間演化算符，乘以從初始時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 到中途時間 t 1 {\displaystyle t_{1}} 的時間演化算符： U ( t , t 0 ) = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})} 。 根據時間演化算符的定義， | ψ ( t 1 ) ⟩ = U ( t 1 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t_{1})\rangle =U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } ， | ψ ( t ) ⟩ = U ( t , t 1 ) | ψ ( t 1 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})|\psi (t_{1})\rangle } 。 所以， | ψ ( t ) ⟩ = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } 。 可是，再根據定義， | ψ ( t ) ⟩ = U ( t , t 0 ) | ψ ( t 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t,\,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle } 。 所以，時間演化算符必須滿足閉包性： U ( t , t 0 ) = U ( t , t 1 ) U ( t 1 , t 0 ) {\displaystyle U(t,\,t_{0})=U(t,\,t_{1})U(t_{1},\,t_{0})} 。 為了方便起見，設定 t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} ，初始時間 t 0 {\displaystyle t_{0}} 永遠是 0 {\displaystyle 0} ，則可忽略時間演化算符的 t 0 {\displaystyle t_{0}} 參數，改寫為 U ( t ) {\displaystyle U(t)} 。含時薛丁格方程式為 i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle } ； 其中， H {\displaystyle H} 是哈密頓量。 從時間演化算符的定義式，可以得到 i ℏ ∂ ∂ t U ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ = H U ( t ) | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)|\psi (0)\rangle =HU(t)|\psi (0)\rangle } 。 由於 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 可以是任意恆定態向量（處於 t = 0 {\displaystyle t=0} 的態向量），時間演化算符必須遵守方程式 i ℏ ∂ ∂ t U ( t ) = H U ( t ) {\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}U(t)=HU(t)} 。 假若哈密頓量不含時，則這方程式的解答為 U ( t ) = e − i H t / ℏ {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }} 。 注意到在時間 t = 0 {\displaystyle t=0} ，時間演化算符必須約化為單位算符 U ( 0 ) = I {\displaystyle U(0)=I} 。由於 H {\displaystyle H} 是算符，指數函數 e − i H t {\displaystyle e^{-iHt}} 必須通過其泰勒級數計算： e − i H t / ℏ = 1 − i H t ℏ − 1 2 ( H t ℏ ) 2 + ⋯ {\displaystyle e^{-iHt/\hbar }=1-{\frac {iHt}{\hbar }}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {Ht}{\hbar }}\right)^{2}+\cdots } 。 按照時間演化算符的定義，在時間 t {\displaystyle t} ，態向量為 | ψ ( t ) ⟩ = e − i H t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle } 。 注意到 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 可以是任意態向量。假設初始態向量 | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } 是哈密頓量的本徵態，而本徵值是 E {\displaystyle E} ，則在時間 t {\displaystyle t} ，態向量為 | ψ ( t ) ⟩ = e − i E t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\psi (0)\rangle } 。 這樣，可以看到哈密頓量的本徵態是定態，隨著時間的流易，只有相位因子在進行演化。 假設，哈密頓量與時間有關，但在不同時間的哈密頓量相互對易，則時間演化算符可以寫為 U ( t ) = exp ⁡ ( − i ℏ ∫ 0 t H ( t ′ ) d t ′ ) {\displaystyle U(t)=\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)} 。 假設，哈密頓量與時間有關，而在不同時間的哈密頓量不相互對易，則時間演化算符可以寫為 U ( t ) = T exp ⁡ ( − i ℏ ∫ 0 t H ( t ′ ) d t ′ ) {\displaystyle U(t)=T\exp \left({-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')\,dt'}\right)} ； 其中， T {\displaystyle T} 是時間排序算符。 必須用戴森級數（英语：Dyson series）來表示， U ( t ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − i ℏ ) n ∫ 0 t d t 1 ∫ 0 t 1 d t 2 … ∫ 0 t n − 1 d t n H ( t 1 ) H ( t 2 ) … H ( t n ) {\displaystyle U(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {-i}{\hbar }}\right)^{n}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\dots \int _{0}^{t_{n-1}}dt_{n}H(t_{1})H(t_{2})\dots H(t_{n})} 。 為了便利分析，位於下標的符號 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 、 I {\displaystyle {\mathcal {I}}} 、 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 分別標記海森堡繪景、交互作用繪景、薛丁格繪景。 各種繪景隨著時間流易會呈現出不同的演化： 哈密頓-亞可比方程式 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914  Parker, C.B. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics 2nd. Mc Graw Hill. 1994: 786, 1261. ISBN 0-07-051400-3.  Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht. Quantum mechanics. Schuam's outline series 2nd. McGraw Hill. 2010: 70. ISBN 9-780071-623582.  Robert D. Klauber. Student Friendly Quantum Field Theory: Basic Principles and Quantum Electrodynamics (PDF). Sandtrove Press. 2013 [2015-12-13]. ISBN 978-0-9845139-3-2. （原始内容存档 (PDF)于2015-12-22）.  Shankar, R. Principles of Quantum Mechanics 2. Springer. 1994. ISBN 978-0306447907.