方針としては`trim(mb_convert_kana($value, "s"))`で合ってます。
ただ、代入している変数が$valueのため、これでは$valueの上書きをどんどんやってしまってます。

- 最初のループ
 - $valueに全角スペースを半角化したfamily_nameを代入
 - $valueにtrimした$valueを代入
- 次のループ
 - $valueに全角スペースを半角化したgiven_nameを代入
 - $valueにtrimした$valueを代入
- 以下同じ・・・

なのでトリミングしたものを$_POSTに上書きするか、別途フォームデータを格納する配列を用意してそれに代入する必要があります。
環境変数の値を変更するのは好ましくないので(環境を維持するための変数なので)、後者の方法を試してみてください。