Pequenos ajustes no código.
Arrumando as cores das tabs.
Trocando screen.width por documento.width

Quando testei no HTC One, o Javascript retornava que o tamanho da tela
do celular era de 1080, o que fazia com que em celulares como o HTC
One, várias coisas fossem renderizadas como desktop.
Por isso mudei para document.width, que retornou o exato da tela do
celular.

Ainda não é a melhor forma por que: se você vê em um desktop com a
janela do browser com uma largura pequena, ele carrega como se fosse
mobile, se isso acontecer e você redimensionar a janela, as coisas não
se "transformam" na versão desktop.
Inserindo um build mais leve do RoyalSlider.
Se certificando que o royalslider não está usando esse recurso.
Tirando algum conteúdo desnecessário na home
Flicking no Slider.

Descobri que a causa do lagging do slider em mobiles era por causa das
tabelas. Fui fuçar e vi que formatar tabelas de jeitos estranhos como
estamos fazendo é algo perigoso. O lagging acontecia por que em todas
as TDs da tabela estava aplicado um position: relative. Não sei por que
isso afeta o slider, muito provavelmente por causa de performance.
Coloquei o position: relative apenas no last-child que é onde
precisamos para fazer funcionar as actions da tabela. O  lagging, dessa
forma, melhorou muito. Mas ele só resolve se tirarmos esse position
relative.
Finalizei a tab. Agora quando é mobile ele vira dropdown e corrigi todas as cores
retirando legends de form nos exemplos de formularios.
Melhorando a função da transformação de tabs em dropdown

O nome da tab é definido pelo click em uma das opções do dropdown.
Retirei também a linha que apagava a class active dos elementos.
Arrumando cores das tabs.
Criando documentação de ABAS e arrumando exemplo do manual.
Arrumando comentários e arrumando algumas cores
voltando a deteccao das abas para dropdown em mobiles e não desk-lg
Arrumando cores de thead, trs e outras issues do table-actions
Formatando botões que ficam dentro do dropdown-menu.
Criando função que transforma os botões de ACTIONS (aqueles botoes que aparecem quando selecionamos tabelas) em dropdown
Criando uma função de checkboxes nas tabelas.

Fiz pareando com o @letanure. Ele fez uma parte e eu fiz outra.
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V2