l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
⊢ (B (a • x)) y = 0 → (B x) y = 0

Next tactic:
intro H
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : (B x) y = 0
⊢ (B (a • x)) y = 0

Next tactic:
rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
  · 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : (B (a • x)) y = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
rw [map_smulₛₗ₂, smul_eq_zero] at H
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ₂, smul_eq_zero] at H
    

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : I₁ a = 0 ∨ (B x) y = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
cases' H with H H
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ₂, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · 

Proof state:
case mpr.inl
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : I₁ a = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
rw [map_eq_zero I₁] at H
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ₂, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · rw [map_eq_zero I₁] at H
      

Proof state:
case mpr.inl
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : a = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
trivial
theorem ortho_smul_left {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₁} (ha : a ≠ 0) :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B (a • x) y := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ₂, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ₂, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · rw [map_eq_zero I₁] at H
      trivial
    · 

Proof state:
case mpr.inr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₁
ha : a ≠ 0
H : (B x) y = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
exact H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
⊢ IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y)

Next tactic:
dsimp only [IsOrtho]
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
⊢ (B x) y = 0 ↔ (B x) (a • y) = 0

Next tactic:
constructor
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
⊢ (B x) y = 0 → (B x) (a • y) = 0

Next tactic:
intro H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
⊢ (B x) (a • y) = 0 → (B x) y = 0

Next tactic:
intro H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : (B x) y = 0
⊢ (B x) (a • y) = 0

Next tactic:
rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : (B x) (a • y) = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
    

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : I₂ a = 0 ∨ (B x) y = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
cases' H with H H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · 

Proof state:
case mpr.inl
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : I₂ a = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
simp at H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · simp at H
      

Proof state:
case mpr.inl
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : a = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
exfalso
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · simp at H
      exfalso
      

Proof state:
case mpr.inl.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : a = 0
⊢ False

Next tactic:
exact ha H
theorem ortho_smul_right {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K} {x y} {a : K₂} {ha : a ≠ 0} :
    IsOrtho B x y ↔ IsOrtho B x (a • y) := by
  dsimp only [IsOrtho]
  constructor <;> intro H
  · rw [map_smulₛₗ, H, smul_zero]
  · rw [map_smulₛₗ, smul_eq_zero] at H
    cases' H with H H
    · simp at H
      exfalso
      exact ha H
    · 

Proof state:
case mpr.inr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₂ →ₛₗ[I₂] K
x : V₁
y : V₂
a : K₂
ha : a ≠ 0
H : (B x) y = 0
⊢ (B x) y = 0

Next tactic:
exact H
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
⊢ LinearIndependent K₁ v

Next tactic:
classical
    rw [linearIndependent_iff']
    intro s w hs i hi
    have : B (s.sum fun i : n ↦ w i • v i) (v i) = 0 := by rw [hs, map_zero, zero_apply]
    have hsum : (s.sum fun j : n ↦ I₁ (w j) * B (v j) (v i)) = I₁ (w i) * B (v i) (v i) := by
      apply Finset.sum_eq_single_of_mem i hi
      intro j _hj hij
      rw [isOrthoᵢ_def.1 hv₁ _ _ hij, mul_zero]
    simp_rw [B.map_sum₂, map_smulₛₗ₂, smul_eq_mul, hsum] at this
    apply (map_eq_zero I₁).mp
    exact eq_zero_of_ne_zero_of_mul_right_eq_zero (hv₂ i) this
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
⊢ LinearIndependent K₁ v

Next tactic:
rw [linearIndependent_iff']
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    rw [linearIndependent_iff']
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
⊢ ∀ (s : Finset n) (g : n → K₁), ∑ i in s, g i • v i = 0 → ∀ i ∈ s, g i = 0

Next tactic:
intro s w hs i hi
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    rw [linearIndependent_iff']
    intro s w hs i hi
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i in s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
⊢ w i = 0

Next tactic:
have : B (s.sum fun i : n ↦ w i • v i) (v i) = 0 := by rw [hs, map_zero, zero_apply]
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    rw [linearIndependent_iff']
    intro s w hs i hi
    have : B (s.sum fun i : n ↦ w i • v i) (v i) = 0 := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i in s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
⊢ (B (∑ i in s, w i • v i)) (v i) = 0

Next tactic:
rw [hs, map_zero, zero_apply]
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    rw [linearIndependent_iff']
    intro s w hs i hi
    have : B (s.sum fun i : n ↦ w i • v i) (v i) = 0 := by rw [hs, map_zero, zero_apply]
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i in s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
this : (B (∑ i in s, w i • v i)) (v i) = 0
⊢ w i = 0

Next tactic:
have hsum : (s.sum fun j : n ↦ I₁ (w j) * B (v j) (v i)) = I₁ (w i) * B (v i) (v i) := by
      apply Finset.sum_eq_single_of_mem i hi
      intro j _hj hij
      rw [isOrthoᵢ_def.1 hv₁ _ _ hij, mul_zero]
/-- A set of orthogonal vectors `v` with respect to some sesquilinear form `B` is linearly
  independent if for all `i`, `B (v i) (v i) ≠ 0`. -/
theorem linearIndependent_of_isOrthoᵢ {B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K} {v : n → V₁}
    (hv₁ : B.IsOrthoᵢ v) (hv₂ : ∀ i, ¬B.IsOrtho (v i) (v i)) : LinearIndependent K₁ v := by
  classical
    rw [linearIndependent_iff']
    intro s w hs i hi
    have : B (s.sum fun i : n ↦ w i • v i) (v i) = 0 := by rw [hs, map_zero, zero_apply]
    have hsum : (s.sum fun j : n ↦ I₁ (w j) * B (v j) (v i)) = I₁ (w i) * B (v i) (v i) := by
      

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
Mₗ₁ : Type u_8
Mₗ₁' : Type u_9
Mₗ₂ : Type u_10
Mₗ₂' : Type u_11
K : Type u_12
K₁ : Type u_13
K₂ : Type u_14
V : Type u_15
V₁ : Type u_16
V₂ : Type u_17
n : Type u_18
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : Field K₁
inst✝⁴ : AddCommGroup V₁
inst✝³ : Module K₁ V₁
inst✝² : Field K₂
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K₂ V₂
I₁ : K₁ →+* K
I₂ : K₂ →+* K
I₁' : K₁ →+* K
J₁ J₂ : K →+* K
B : V₁ →ₛₗ[I₁] V₁ →ₛₗ[I₁'] K
v : n → V₁
hv₁ : IsOrthoᵢ B v
hv₂ : ∀ (i : n), ¬IsOrtho B (v i) (v i)
s : Finset n
w : n → K₁
hs : ∑ i in s, w i • v i = 0
i : n
hi : i ∈ s
this : (B (∑ i in s, w i • v i)) (v i) = 0
⊢ ∑ j in s, I₁ (w j) * (B (v j)) (v i) = I₁ (w i) * (B (v i)) (v i)

Next tactic:
apply Finset.sum_eq_single_of_mem i hi