theorem sum_embeddings_eq_finrank_mul [FiniteDimensional K F] [IsSeparable K F]
    (pb : PowerBasis K L) :
    ∑ σ : F →ₐ[K] E, σ (algebraMap L F pb.gen) =
      finrank L F •
        (@Finset.univ _ (PowerBasis.AlgHom.fintype pb)).sum fun σ : L →ₐ[K] E => σ pb.gen := by
  haveI : FiniteDimensional L F := FiniteDimensional.right K L F
  haveI : IsSeparable L F := isSeparable_tower_top_of_isSeparable K L F
  letI : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
  letI : ∀ f : L →ₐ[K] E, Fintype (haveI := f.toRingHom.toAlgebra; AlgHom L F E) := ?_
  rw [Fintype.sum_equiv algHomEquivSigma (fun σ : F →ₐ[K] E => _) fun σ => σ.1 pb.gen, ←
    Finset.univ_sigma_univ, Finset.sum_sigma, ← Finset.sum_nsmul]
  

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
this : (f : L →ₐ[K] E) → Fintype (F →ₐ[L] E) := ?refine_1
⊢ ∑ a : L →ₐ[K] E, ∑ s : F →ₐ[L] E, { fst := a, snd := s }.fst pb.gen = ∑ x : L →ₐ[K] E, finrank L F • x pb.gen
case refine_2
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this✝² : FiniteDimensional L F
this✝¹ : IsSeparable L F
this✝ : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
this : (f : L →ₐ[K] E) → Fintype (F →ₐ[L] E) := ?refine_1
⊢ ∀ (x : F →ₐ[K] E), x ((algebraMap L F) pb.gen) = (algHomEquivSigma x).fst pb.gen
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝²⁰ : CommRing R
inst✝¹⁹ : CommRing S
inst✝¹⁸ : CommRing T
inst✝¹⁷ : Algebra R S
inst✝¹⁶ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹² : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹¹ : Field F
inst✝¹⁰ : Algebra R L
inst✝⁹ : Algebra L F
inst✝⁸ : Algebra R F
inst✝⁷ : IsScalarTower R L F
inst✝⁶ : Algebra K F
inst✝⁵ : IsScalarTower K L F
E : Type u_7
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : IsAlgClosed E
inst✝¹ : FiniteDimensional K F
inst✝ : IsSeparable K F
pb : PowerBasis K L
this✝¹ : FiniteDimensional L F
this✝ : IsSeparable L F
this : Fintype (L →ₐ[K] E) := PowerBasis.AlgHom.fintype pb
⊢ (f : L →ₐ[K] E) → Fintype (F →ₐ[L] E)

Next tactic:
refine' Finset.sum_congr rfl fun σ _ => _