theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
            (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))
            ((colimMap
                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom)
                    (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                    (_ :
                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                    (_ :
                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))) ⊗
                𝟙 Y.X) ⊗
              𝟙 P.X)
            (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X)
                  ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                  (_ :
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                  (_ :
                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                      (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))) ⊗
              𝟙 P.X)
            (_ :
              ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                  ((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                            ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                    (𝟙 P).hom) =
                (((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                              ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                      𝟙 Y.X) ⊗
                    (𝟙 P).hom) ≫
                  ((mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                    (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                  ((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                            ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                    (𝟙 P).hom) =
                (((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                              ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                      𝟙 Y.X) ⊗
                    (𝟙 P).hom) ≫
                  (α_ (mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).X Y.X P.X).hom ≫
                    (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).X ⊗
                      P.actLeft))))).hom =
    ((isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N P) (AssociatorBimod.inv M N P))
            (_ :
              (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N P) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actLeft)
            (_ :
              (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                (AssociatorBimod.hom M N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actRight)).hom ≫
        Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
                ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
                (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
                ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P))
                ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                  colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
                (𝟙 M.X ⊗
                  colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
                (_ :
                  (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                      ((𝟙 M).hom ⊗
                        (Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                                (_ :
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                                (_ :
                                  ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                      (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                    (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                        (Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                                (_ :
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                                (_ :
                                  ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                      (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                      (M.actRight ⊗
                        𝟙 (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X))
                (_ :
                  ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                        (𝟙 M.X ⊗
                          (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                      ((𝟙 M).hom ⊗
                        (Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                                (_ :
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                                (_ :
                                  ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                      (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                    (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                        (Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                                (_ :
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                                (_ :
                                  ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                      (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                      (α_ M.X X.X
                            (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X).hom ≫
                        (𝟙 M.X ⊗
                          (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).actLeft)))) ≫
          (isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N' P) (AssociatorBimod.inv M N' P))
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N') P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N' P =
                  (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N' P) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N' P)).actLeft)
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N') P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N' P =
                  (AssociatorBimod.hom M N' P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N' P)).actRight)).inv).hom

Next tactic:
apply coequalizer.hom_ext