l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
x : S
y : T
z : Q
⊢ (x • y) • z = x • y • z

Next tactic:
rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
x : S
y : T
z : Q
⊢ (algebraMap S T) x • y • z = x • y • z

Next tactic:
rfl
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i

Next tactic:
have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
⊢ IsScalarTower R S Q

Next tactic:
refine' ⟨fun x y z => _⟩
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ (x • y) • z = x • y • z

Next tactic:
change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • (algebraMap S T) y • z

Next tactic:
rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this : IsScalarTower S T Q
x : R
y : S
z : Q
⊢ x • (IsScalarTower.toAlgHom R S T) y • z = x • (algebraMap S T) y • z

Next tactic:
rfl
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ ∃! g', ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i

Next tactic:
refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      

Proof state:
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i) (lift hg (lift hf i))

Next tactic:
ext
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
x✝ : M
⊢ (↑R (lift hg (lift hf i)) ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f) x✝ = i x✝

Next tactic:
simp [IsBaseChange.lift_eq]
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
⊢ ∀ (y : O →ₗ[T] Q), (fun g' => ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i) y → y = lift hg (lift hf i)

Next tactic:
rintro g' (e : _ = _)
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
  rintro g' (e : _ = _)
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ g' = lift hg (lift hf i)

Next tactic:
refine' hg.algHom_ext' _ _ (hf.algHom_ext' _ _ _)
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
  rintro g' (e : _ = _)
  refine' hg.algHom_ext' _ _ (hf.algHom_ext' _ _ _)
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R (↑S (lift hg (lift hf i)) ∘ₗ g) ∘ₗ f

Next tactic:
rw [IsBaseChange.lift_comp, IsBaseChange.lift_comp, ← e]
theorem IsBaseChange.comp {f : M →ₗ[R] N} (hf : IsBaseChange S f) {g : N →ₗ[S] O}
    (hg : IsBaseChange T g) : IsBaseChange T ((g.restrictScalars R).comp f) := by
  apply IsBaseChange.of_lift_unique
  intro Q _ _ _ _ i
  letI := Module.compHom Q (algebraMap S T)
  haveI : IsScalarTower S T Q :=
    ⟨fun x y z => by
      rw [Algebra.smul_def, mul_smul]
      rfl⟩
  have : IsScalarTower R S Q := by
    refine' ⟨fun x y z => _⟩
    change (IsScalarTower.toAlgHom R S T) (x • y) • z = x • algebraMap S T y • z
    rw [AlgHom.map_smul, smul_assoc]
    rfl
  refine'
    ⟨hg.lift (hf.lift i), by
      ext
      simp [IsBaseChange.lift_eq], _⟩
  rintro g' (e : _ = _)
  refine' hg.algHom_ext' _ _ (hf.algHom_ext' _ _ _)
  rw [IsBaseChange.lift_comp, IsBaseChange.lift_comp, ← e]
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type v₁
N : Type v₂
S : Type v₃
inst✝²⁷ : AddCommMonoid M
inst✝²⁶ : AddCommMonoid N
inst✝²⁵ : CommRing R
inst✝²⁴ : CommRing S
inst✝²³ : Algebra R S
inst✝²² : Module R M
inst✝²¹ : Module R N
inst✝²⁰ : Module S N
inst✝¹⁹ : IsScalarTower R S N
f✝ : M →ₗ[R] N
h : IsBaseChange S f✝
P : Type u_2
Q✝ : Type u_3
inst✝¹⁸ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁷ : Module R P
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid Q✝
inst✝¹⁵ : Module S Q✝
T : Type u_4
O : Type u_5
inst✝¹⁴ : CommRing T
inst✝¹³ : Algebra R T
inst✝¹² : Algebra S T
inst✝¹¹ : IsScalarTower R S T
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid O
inst✝⁹ : Module R O
inst✝⁸ : Module S O
inst✝⁷ : Module T O
inst✝⁶ : IsScalarTower S T O
inst✝⁵ : IsScalarTower R S O
inst✝⁴ : IsScalarTower R T O
f : M →ₗ[R] N
hf : IsBaseChange S f
g : N →ₗ[S] O
hg : IsBaseChange T g
Q : Type (max v₁ u_5 u_4)
inst✝³ : AddCommMonoid Q
inst✝² : Module R Q
inst✝¹ : Module T Q
inst✝ : IsScalarTower R T Q
i : M →ₗ[R] Q
this✝¹ : Module S Q := Module.compHom Q (algebraMap S T)
this✝ : IsScalarTower S T Q
this : IsScalarTower R S Q
g' : O →ₗ[T] Q
e : ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f = i
⊢ ↑R (↑S g' ∘ₗ g) ∘ₗ f = ↑R g' ∘ₗ ↑R g ∘ₗ f

Next tactic:
ext