theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux, AssociatorBimod.hom]
  refine' (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorLeft_map]
  slice_rhs 1 3 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
      (f.hom ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair
            (M'.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
              (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
        ((colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X)
                  ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                  (_ :
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                  (_ :
                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
              𝟙 P.X) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
                  (𝟙 (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft)))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P)
            (_ :
              ((tensorBimod M' N).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ AssociatorBimod.homAux M' N P =
                ((α_ (tensorBimod M' N).X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M' N).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                  AssociatorBimod.homAux M' N P)

Next tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]