theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (f.hom ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P)) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (M'.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
          ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
        ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
              (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M' N) ⊗ P.actLeft))
              ((colimMap
                    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                      (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                      (_ :
                        (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                      (_ :
                        ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                  𝟙 Y.X) ⊗
                𝟙 P.X)
              (colimMap
                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                    (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                    (_ :
                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                    (_ :
                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                𝟙 P.X)
              (_ :
                ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                    ((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      (𝟙 P).hom) =
                  (((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        𝟙 Y.X) ⊗
                      (𝟙 P).hom) ≫
                    ((mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X))
              (_ :
                ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                    ((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      (𝟙 P).hom) =
                  (((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        𝟙 Y.X) ⊗
                      (𝟙 P).hom) ≫
                    (α_ (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X Y.X
                          P.X).hom ≫
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                        P.actLeft))) ≫
          AssociatorBimod.hom M' N P

Next tactic:
dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]