theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux, AssociatorBimod.hom]
  refine' (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorLeft_map]
  slice_rhs 1 3 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [comp_tensor_id]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
      (f.hom ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair
            (M'.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
              (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      ((((f.hom ⊗ 𝟙 N.X) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
            (colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                WalkingParallelPair.one ⊗
              𝟙 P.X)) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X)
              ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
            (𝟙 M'.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
              coequalizer.π (M'.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
                ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
          (_ :
            (tensorRight P.X).map (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫
                (α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
                  (𝟙 M'.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                    coequalizer.π (M'.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                      ((α_ M'.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)) =
              (tensorRight P.X).map ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ≫
                (α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
                  (𝟙 M'.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                    coequalizer.π (M'.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                      ((α_ M'.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)))

Next tactic:
slice_rhs 3 5 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]