/-- “Divide” a functor by a faithful functor. -/
protected def Faithful.div (F : C ⥤ E) (G : D ⥤ E) [Faithful G] (obj : C → D)
    (h_obj : ∀ X, G.obj (obj X) = F.obj X) (map : ∀ {X Y}, (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y))
    (h_map : ∀ {X Y} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)) : C ⥤ D :=
  { obj, map := @map,
    map_id := by
      intros X
      apply G.map_injective
      apply eq_of_heq
      trans F.map (𝟙 X)
      · exact h_map
      · rw [F.map_id, G.map_id, h_obj X]
    map_comp := by
      intros X Y Z f g
      refine G.map_injective <| eq_of_heq <| h_map.trans ?_
      simp only [Functor.map_comp]
      convert HEq.refl (F.map f ≫ F.map g)
      

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_3
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ G.obj (obj X) = F.obj X
case h.e'_3.h.e'_4
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ G.obj (obj Z) = F.obj Z
case h.e'_4.e'_3
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e_3✝ : (G.obj (obj X) ⟶ G.obj (obj Z)) = (F.obj X ⟶ F.obj Z)
⊢ G.obj (obj X) = F.obj X
case h.e'_4.e'_4
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e_3✝ : (G.obj (obj X) ⟶ G.obj (obj Z)) = (F.obj X ⟶ F.obj Z)
⊢ G.obj (obj Y) = F.obj Y
case h.e'_4.e'_5
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e_3✝ : (G.obj (obj X) ⟶ G.obj (obj Z)) = (F.obj X ⟶ F.obj Z)
⊢ G.obj (obj Z) = F.obj Z
case h.e'_4.e'_6
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e_3✝¹ : (G.obj (obj X) ⟶ G.obj (obj Z)) = (F.obj X ⟶ F.obj Z)
e_3✝ : G.obj (obj X) = F.obj X
e_4✝ : G.obj (obj Y) = F.obj Y
⊢ HEq (G.map (map f)) (F.map f)
case h.e'_4.e'_7
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} E
F✝ F' : C ⥤ D
G✝ : D ⥤ E
F : C ⥤ E
G : D ⥤ E
inst✝ : Faithful G
obj : C → D
h_obj : ∀ (X : C), G.obj (obj X) = F.obj X
map : {X Y : C} → (X ⟶ Y) → (obj X ⟶ obj Y)
h_map : ∀ {X Y : C} {f : X ⟶ Y}, HEq (G.map (map f)) (F.map f)
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
e_3✝ : (G.obj (obj X) ⟶ G.obj (obj Z)) = (F.obj X ⟶ F.obj Z)
e_4✝ : G.obj (obj Y) = F.obj Y
e_5✝ : G.obj (obj Z) = F.obj Z
⊢ HEq (G.map (map g)) (F.map g)

Next tactic:
all_goals { first | apply h_obj | apply h_map }