theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
            (M'.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
            ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P)) (f.hom ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
            (_ :
              (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                  (f.hom ⊗ (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                    (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) ≫
                  (M'.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X))
            (_ :
              ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                    (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                  (f.hom ⊗ (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                    (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) ≫
                  (α_ M'.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                    (𝟙 M'.X ⊗
                      (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft))))).hom =
    ((isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N P) (AssociatorBimod.inv M N P))
            (_ :
              (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N P) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actLeft)
            (_ :
              (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                (AssociatorBimod.hom M N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actRight)).inv ≫
        Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
                (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M' N) ⊗ P.actLeft))
                ((colimMap
                      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                        (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                        (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                        (_ :
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                        (_ :
                          ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                    𝟙 Y.X) ⊗
                  𝟙 P.X)
                (colimMap
                    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                      (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                      (_ :
                        (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                      (_ :
                        ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                  𝟙 P.X)
                (_ :
                  ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                      ((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        (𝟙 P).hom) =
                    (((Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                  (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                  (_ :
                                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                        (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                          𝟙 Y.X) ⊗
                        (𝟙 P).hom) ≫
                      ((mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗
                        𝟙 P.X))
                (_ :
                  ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                        (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                          P.actLeft)) ≫
                      ((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        (𝟙 P).hom) =
                    (((Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                  (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                  (_ :
                                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                        (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                          𝟙 Y.X) ⊗
                        (𝟙 P).hom) ≫
                      (α_ (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X Y.X
                            P.X).hom ≫
                        (𝟙 (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                          P.actLeft)))) ≫
          (isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M' N P) (AssociatorBimod.inv M' N P))
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M' N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M' N P =
                  (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M' N P) ≫ (tensorBimod M' (tensorBimod N P)).actLeft)
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M' N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M' N P =
                  (AssociatorBimod.hom M' N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M' (tensorBimod N P)).actRight)).hom).hom

Next tactic:
apply coequalizer.hom_ext