l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem isBigO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) : (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isBigO_norm_left]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c • f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem isBigO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) : (fun x => c • f' x) =O[l] g ↔ f' =O[l] g := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isBigO_norm_left]
  simp only [norm_smul]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
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c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
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f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) =O[l] g ↔ f' =O[l] g

Next tactic:
rw [isBigO_const_mul_left_iff cne0, isBigO_norm_left]
theorem isLittleO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
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F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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𝕜' : Type u_16
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k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g

Next tactic:
have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
theorem isLittleO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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R' : Type u_14
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𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
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c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g

Next tactic:
rw [← isLittleO_norm_left]
theorem isLittleO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isLittleO_norm_left]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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E''' : Type u_12
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𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
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hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c • f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem isLittleO_const_smul_left {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (fun x => c • f' x) =o[l] g ↔ f' =o[l] g := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isLittleO_norm_left]
  simp only [norm_smul]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
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G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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E''' : Type u_12
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R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁴ : Norm E
inst✝¹³ : Norm F
inst✝¹² : Norm G
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup G'
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hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) =o[l] g ↔ f' =o[l] g

Next tactic:
rw [isLittleO_const_mul_left_iff cne0, isLittleO_norm_left]
theorem isBigO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f' := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
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𝕜' : Type u_16
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⊢ (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f'

Next tactic:
have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
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    (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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𝕜' : Type u_16
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cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f'

Next tactic:
rw [← isBigO_norm_right]
theorem isBigO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isBigO_norm_right]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
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E' : Type u_6
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𝕜' : Type u_16
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hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =O[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =O[l] f'

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem isBigO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =O[l] fun x => c • f' x) ↔ f =O[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
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  simp only [norm_smul]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
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⊢ (f =O[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =O[l] f'

Next tactic:
rw [isBigO_const_mul_right_iff cne0, isBigO_norm_right]
theorem isLittleO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f' := by
  

Proof state:
α : Type u_1
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⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'

Next tactic:
have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
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    (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
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G : Type u_5
E' : Type u_6
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G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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R' : Type u_14
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𝕜' : Type u_16
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l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
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cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f'

Next tactic:
rw [← isLittleO_norm_right]
theorem isLittleO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isLittleO_norm_right]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
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E' : Type u_6
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G' : Type u_8
E'' : Type u_9
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G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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R' : Type u_14
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𝕜' : Type u_16
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l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => ‖c • f' x‖) ↔ f =o[l] f'

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem isLittleO_const_smul_right {c : 𝕜} (hc : c ≠ 0) :
    (f =o[l] fun x => c • f' x) ↔ f =o[l] f' := by
  have cne0 : ‖c‖ ≠ 0 := norm_ne_zero_iff.mpr hc
  rw [← isLittleO_norm_right]
  simp only [norm_smul]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝³ : SeminormedRing R'
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
c✝ c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E'
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
cne0 : ‖c‖ ≠ 0
⊢ (f =o[l] fun x => ‖c‖ * ‖f' x‖) ↔ f =o[l] f'

Next tactic:
rw [isLittleO_const_mul_right_iff cne0, isLittleO_norm_right]
theorem IsBigOWith.smul (h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂) (h₂ : IsBigOWith c' l f' g') :
    IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
⊢ IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x

Next tactic:
refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr rfl _ _).of_norm_norm
theorem IsBigOWith.smul (h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂) (h₂ : IsBigOWith c' l f' g') :
    IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr rfl _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₁ x‖ * ‖f' x‖ = ‖k₁ x • f' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsBigOWith.smul (h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂) (h₂ : IsBigOWith c' l f' g') :
    IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr rfl _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
x✝ : α
⊢ ‖k₁ x✝‖ * ‖f' x✝‖ = ‖k₁ x✝ • f' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigOWith.smul (h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂) (h₂ : IsBigOWith c' l f' g') :
    IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr rfl _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₂ x‖ * ‖g' x‖ = ‖k₂ x • g' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsBigOWith.smul (h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂) (h₂ : IsBigOWith c' l f' g') :
    IsBigOWith (c * c') l (fun x => k₁ x • f' x) fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr rfl _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : IsBigOWith c l k₁ k₂
h₂ : IsBigOWith c' l f' g'
x✝ : α
⊢ ‖k₂ x✝‖ * ‖g' x✝‖ = ‖k₂ x✝ • g' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigO.smul (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x

Next tactic:
refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm
theorem IsBigO.smul (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₁ x‖ * ‖f' x‖ = ‖k₁ x • f' x‖

Next tactic:
intros