l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • (x + y) + z - (I • x - z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + (z + z) = I • x + I • y + z - (I • x - z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • (x + y) + z - (I • x - z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • (x + y) + z - (I • x - z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + (z + z) = I • x + I • y + z - (I • x - z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ =
    (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖) / 2 - ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖

Next tactic:
rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)

Next tactic:
have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)

Next tactic:
convert h₀ using 4
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) - z + (I • x + z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) - z + (I • x + z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • x + I • x + I • y = I • x + I • y - z + (I • x + z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) - z + (I • x + z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) - z + (I • x + z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • x + I • x + I • y = I • x + I • y - z + (I • x + z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • x + I • y - z - (I • x + z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • (x + y) - z - (I • x + z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux6 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) - z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x + z‖ * ‖(I : 𝕜) • x + z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) - z) ((I : 𝕜) • x + z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z + (I • x + z)‖ +
      ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ * ‖I • (x + y) - z - (I • x + z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ + ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • x + I • y - z - (I • x + z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖

Next tactic:
apply eq_sub_of_add_eq
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ + ‖I • y‖ * ‖I • y‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
convert h₀ using 4
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • y + z + z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • y + z + z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + (z + z) = I • y + z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • y + z + z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • y + z + z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]