l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
@[simp]
theorem image₂_right [DecidableEq β] (h : s.Nonempty) : image₂ (fun _ y => y) s t = t :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁸ : DecidableEq α'
inst✝⁷ : DecidableEq β'
inst✝⁶ : DecidableEq γ
inst✝⁵ : DecidableEq γ'
inst✝⁴ : DecidableEq δ
inst✝³ : DecidableEq δ'
inst✝² : DecidableEq ε
inst✝¹ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
inst✝ : DecidableEq β
h : Finset.Nonempty s
⊢ image2 (fun x y => y) ↑s ↑t = ↑t

Next tactic:
exact image2_right h
theorem image₂_assoc {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ} {f' : α → ε' → ε}
    {g' : β → γ → ε'} (h_assoc : ∀ a b c, f (g a b) c = f' a (g' b c)) :
    image₂ f (image₂ g s t) u = image₂ f' s (image₂ g' t u) :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
⊢ ↑(image₂ f (image₂ g s t) u) = ↑(image₂ f' s (image₂ g' t u))

Next tactic:
push_cast
theorem image₂_assoc {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ} {f' : α → ε' → ε}
    {g' : β → γ → ε'} (h_assoc : ∀ a b c, f (g a b) c = f' a (g' b c)) :
    image₂ f (image₂ g s t) u = image₂ f' s (image₂ g' t u) :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → ε' → ε
g' : β → γ → ε'
h_assoc : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = f' a (g' b c)
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 f' (↑s) (image2 g' ↑t ↑u)

Next tactic:
exact image2_assoc h_assoc
theorem image₂_comm {g : β → α → γ} (h_comm : ∀ a b, f a b = g b a) : image₂ f s t = image₂ g t s :=
  (image₂_swap _ _ _).trans <| by 

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f' : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : β → α → γ
h_comm : ∀ (a : α) (b : β), f a b = g b a
⊢ image₂ (fun a b => f b a) t s = image₂ g t s

Next tactic:
simp_rw [h_comm]
theorem image₂_left_comm {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : α → δ → ε} {g : β → γ → δ}
    {f' : α → γ → δ'} {g' : β → δ' → ε} (h_left_comm : ∀ a b c, f a (g b c) = g' b (f' a c)) :
    image₂ f s (image₂ g t u) = image₂ g' t (image₂ f' s u) :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ ↑(image₂ f s (image₂ g t u)) = ↑(image₂ g' t (image₂ f' s u))

Next tactic:
push_cast
theorem image₂_left_comm {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : α → δ → ε} {g : β → γ → δ}
    {f' : α → γ → δ'} {g' : β → δ' → ε} (h_left_comm : ∀ a b c, f a (g b c) = g' b (f' a c)) :
    image₂ f s (image₂ g t u) = image₂ g' t (image₂ f' s u) :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f' : α → γ → δ'
g' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' b (f' a c)
⊢ image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) = image2 g' (↑t) (image2 f' ↑s ↑u)

Next tactic:
exact image2_left_comm h_left_comm
theorem image₂_right_comm {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ}
    {f' : α → γ → δ'} {g' : δ' → β → ε} (h_right_comm : ∀ a b c, f (g a b) c = g' (f' a c) b) :
    image₂ f (image₂ g s t) u = image₂ g' (image₂ f' s u) t :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ ↑(image₂ f (image₂ g s t) u) = ↑(image₂ g' (image₂ f' s u) t)

Next tactic:
push_cast
theorem image₂_right_comm {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ}
    {f' : α → γ → δ'} {g' : δ' → β → ε} (h_right_comm : ∀ a b c, f (g a b) c = g' (f' a c) b) :
    image₂ f (image₂ g s t) u = image₂ g' (image₂ f' s u) t :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f' : α → γ → δ'
g' : δ' → β → ε
h_right_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f' a c) b
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u = image2 g' (image2 f' ↑s ↑u) ↑t

Next tactic:
exact image2_right_comm h_right_comm
theorem image₂_image₂_image₂_comm {γ δ : Type*} {u : Finset γ} {v : Finset δ} [DecidableEq ζ]
    [DecidableEq ζ'] [DecidableEq ν] {f : ε → ζ → ν} {g : α → β → ε} {h : γ → δ → ζ}
    {f' : ε' → ζ' → ν} {g' : α → γ → ε'} {h' : β → δ → ζ'}
    (h_comm : ∀ a b c d, f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)) :
    image₂ f (image₂ g s t) (image₂ h u v) = image₂ f' (image₂ g' s u) (image₂ h' t v) :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ✝ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝¹⁰ : DecidableEq α'
inst✝⁹ : DecidableEq β'
inst✝⁸ : DecidableEq γ✝
inst✝⁷ : DecidableEq γ'
inst✝⁶ : DecidableEq δ✝
inst✝⁵ : DecidableEq δ'
inst✝⁴ : DecidableEq ε
inst✝³ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ✝
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
δ : Type u_15
u : Finset γ
v : Finset δ
inst✝² : DecidableEq ζ
inst✝¹ : DecidableEq ζ'
inst✝ : DecidableEq ν
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)
⊢ ↑(image₂ f (image₂ g s t) (image₂ h u v)) = ↑(image₂ f' (image₂ g' s u) (image₂ h' t v))

Next tactic:
push_cast
theorem image₂_image₂_image₂_comm {γ δ : Type*} {u : Finset γ} {v : Finset δ} [DecidableEq ζ]
    [DecidableEq ζ'] [DecidableEq ν] {f : ε → ζ → ν} {g : α → β → ε} {h : γ → δ → ζ}
    {f' : ε' → ζ' → ν} {g' : α → γ → ε'} {h' : β → δ → ζ'}
    (h_comm : ∀ a b c d, f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)) :
    image₂ f (image₂ g s t) (image₂ h u v) = image₂ f' (image₂ g' s u) (image₂ h' t v) :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ✝ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝¹⁰ : DecidableEq α'
inst✝⁹ : DecidableEq β'
inst✝⁸ : DecidableEq γ✝
inst✝⁷ : DecidableEq γ'
inst✝⁶ : DecidableEq δ✝
inst✝⁵ : DecidableEq δ'
inst✝⁴ : DecidableEq ε
inst✝³ : DecidableEq ε'
f✝ f'✝ : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ✝
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
δ : Type u_15
u : Finset γ
v : Finset δ
inst✝² : DecidableEq ζ
inst✝¹ : DecidableEq ζ'
inst✝ : DecidableEq ν
f : ε → ζ → ν
g : α → β → ε
h : γ → δ → ζ
f' : ε' → ζ' → ν
g' : α → γ → ε'
h' : β → δ → ζ'
h_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ) (d : δ), f (g a b) (h c d) = f' (g' a c) (h' b d)
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) (image2 h ↑u ↑v) = image2 f' (image2 g' ↑s ↑u) (image2 h' ↑t ↑v)

Next tactic:
exact image2_image2_image2_comm h_comm
theorem image_image₂_distrib {g : γ → δ} {f' : α' → β' → δ} {g₁ : α → α'} {g₂ : β → β'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (s.image g₁) (t.image g₂) :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ ↑(image g (image₂ f s t)) = ↑(image₂ f' (image g₁ s) (image g₂ t))

Next tactic:
push_cast
theorem image_image₂_distrib {g : γ → δ} {f' : α' → β' → δ} {g₁ : α → α'} {g₂ : β → β'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (s.image g₁) (t.image g₂) :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β' → δ
g₁ : α → α'
g₂ : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ a) (g₂ b)
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g₁ '' ↑s) (g₂ '' ↑t)

Next tactic:
exact image_image2_distrib h_distrib
/-- Symmetric statement to `Finset.image₂_image_left_comm`. -/
theorem image_image₂_distrib_left {g : γ → δ} {f' : α' → β → δ} {g' : α → α'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g' a) b) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (s.image g') t :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ ↑(image g (image₂ f s t)) = ↑(image₂ f' (image g' s) t)

Next tactic:
push_cast
/-- Symmetric statement to `Finset.image₂_image_left_comm`. -/
theorem image_image₂_distrib_left {g : γ → δ} {f' : α' → β → δ} {g' : α → α'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g' a) b) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (s.image g') t :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α' → β → δ
g' : α → α'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' a) b
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (g' '' ↑s) ↑t

Next tactic:
exact image_image2_distrib_left h_distrib
/-- Symmetric statement to `Finset.image_image₂_right_comm`. -/
theorem image_image₂_distrib_right {g : γ → δ} {f' : α → β' → δ} {g' : β → β'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' a (g' b)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' s (t.image g') :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)
⊢ ↑(image g (image₂ f s t)) = ↑(image₂ f' s (image g' t))

Next tactic:
push_cast
/-- Symmetric statement to `Finset.image_image₂_right_comm`. -/
theorem image_image₂_distrib_right {g : γ → δ} {f' : α → β' → δ} {g' : β → β'}
    (h_distrib : ∀ a b, g (f a b) = f' a (g' b)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' s (t.image g') :=
  coe_injective <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : α → β' → δ
g' : β → β'
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' a (g' b)
⊢ g '' image2 f ↑s ↑t = image2 f' (↑s) (g' '' ↑t)

Next tactic:
exact image_image2_distrib_right h_distrib
/-- The other direction does not hold because of the `s`-`s` cross terms on the RHS. -/
theorem image₂_distrib_subset_left {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : α → δ → ε} {g : β → γ → δ}
    {f₁ : α → β → β'} {f₂ : α → γ → γ'} {g' : β' → γ' → ε}
    (h_distrib : ∀ a b c, f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)) :
    image₂ f s (image₂ g t u) ⊆ image₂ g' (image₂ f₁ s t) (image₂ f₂ s u) :=
  coe_subset.1 <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
⊢ ↑(image₂ f s (image₂ g t u)) ⊆ ↑(image₂ g' (image₂ f₁ s t) (image₂ f₂ s u))

Next tactic:
push_cast
/-- The other direction does not hold because of the `s`-`s` cross terms on the RHS. -/
theorem image₂_distrib_subset_left {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : α → δ → ε} {g : β → γ → δ}
    {f₁ : α → β → β'} {f₂ : α → γ → γ'} {g' : β' → γ' → ε}
    (h_distrib : ∀ a b c, f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)) :
    image₂ f s (image₂ g t u) ⊆ image₂ g' (image₂ f₁ s t) (image₂ f₂ s u) :=
  coe_subset.1 <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : α → δ → ε
g : β → γ → δ
f₁ : α → β → β'
f₂ : α → γ → γ'
g' : β' → γ' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f a (g b c) = g' (f₁ a b) (f₂ a c)
⊢ image2 f (↑s) (image2 g ↑t ↑u) ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑t) (image2 f₂ ↑s ↑u)

Next tactic:
exact Set.image2_distrib_subset_left h_distrib
/-- The other direction does not hold because of the `u`-`u` cross terms on the RHS. -/
theorem image₂_distrib_subset_right {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ}
    {f₁ : α → γ → α'} {f₂ : β → γ → β'} {g' : α' → β' → ε}
    (h_distrib : ∀ a b c, f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)) :
    image₂ f (image₂ g s t) u ⊆ image₂ g' (image₂ f₁ s u) (image₂ f₂ t u) :=
  coe_subset.1 <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)
⊢ ↑(image₂ f (image₂ g s t) u) ⊆ ↑(image₂ g' (image₂ f₁ s u) (image₂ f₂ t u))

Next tactic:
push_cast
/-- The other direction does not hold because of the `u`-`u` cross terms on the RHS. -/
theorem image₂_distrib_subset_right {γ : Type*} {u : Finset γ} {f : δ → γ → ε} {g : α → β → δ}
    {f₁ : α → γ → α'} {f₂ : β → γ → β'} {g' : α' → β' → ε}
    (h_distrib : ∀ a b c, f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)) :
    image₂ f (image₂ g s t) u ⊆ image₂ g' (image₂ f₁ s u) (image₂ f₂ t u) :=
  coe_subset.1 <| by
    push_cast
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ✝ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ✝
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f✝ f' : α → β → γ✝
g✝ g'✝ : α → β → γ✝ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u✝ u' : Finset γ✝
a a' : α
b b' : β
c : γ✝
γ : Type u_14
u : Finset γ
f : δ → γ → ε
g : α → β → δ
f₁ : α → γ → α'
f₂ : β → γ → β'
g' : α' → β' → ε
h_distrib : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), f (g a b) c = g' (f₁ a c) (f₂ b c)
⊢ image2 f (image2 g ↑s ↑t) ↑u ⊆ image2 g' (image2 f₁ ↑s ↑u) (image2 f₂ ↑t ↑u)

Next tactic:
exact Set.image2_distrib_subset_right h_distrib
theorem image_image₂_antidistrib {g : γ → δ} {f' : β' → α' → δ} {g₁ : β → β'} {g₂ : α → α'}
    (h_antidistrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (t.image g₁) (s.image g₂) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ image g (image₂ f s t) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)

Next tactic:
rw [image₂_swap f]
theorem image_image₂_antidistrib {g : γ → δ} {f' : β' → α' → δ} {g₁ : β → β'} {g₂ : α → α'}
    (h_antidistrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (t.image g₁) (s.image g₂) := by
  rw [image₂_swap f]
  

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g' : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β' → α' → δ
g₁ : β → β'
g₂ : α → α'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g₁ b) (g₂ a)
⊢ image g (image₂ (fun a b => f b a) t s) = image₂ f' (image g₁ t) (image g₂ s)

Next tactic:
exact image_image₂_distrib fun _ _ => h_antidistrib _ _
/-- Symmetric statement to `Finset.image₂_image_left_anticomm`. -/
theorem image_image₂_antidistrib_left {g : γ → δ} {f' : β' → α → δ} {g' : β → β'}
    (h_antidistrib : ∀ a b, g (f a b) = f' (g' b) a) :
    (image₂ f s t).image g = image₂ f' (t.image g') s :=
  coe_injective <| by
    

Proof state:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
ζ : Type u_11
ζ' : Type u_12
ν : Type u_13
inst✝⁷ : DecidableEq α'
inst✝⁶ : DecidableEq β'
inst✝⁵ : DecidableEq γ
inst✝⁴ : DecidableEq γ'
inst✝³ : DecidableEq δ
inst✝² : DecidableEq δ'
inst✝¹ : DecidableEq ε
inst✝ : DecidableEq ε'
f f'✝ : α → β → γ
g✝ g'✝ : α → β → γ → δ
s s' : Finset α
t t' : Finset β
u u' : Finset γ
a a' : α
b b' : β
c : γ
g : γ → δ
f' : β' → α → δ
g' : β → β'
h_antidistrib : ∀ (a : α) (b : β), g (f a b) = f' (g' b) a
⊢ ↑(image g (image₂ f s t)) = ↑(image₂ f' (image g' t) s)

Next tactic:
push_cast