l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
  · exact c
  

Proof state:
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ⇑s) x }).2) =ᶠ[nhds x₀] fun p => c • (↑e { proj := p, snd := s p }).2

Next tactic:
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
  · exact c
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  

Proof state:
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet,
    (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ⇑s) x }).2) x = (fun p => c • (↑e { proj := p, snd := s p }).2) x

Next tactic:
intro x hx
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
  · exact c
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  intro x hx
  

Proof state:
case refine'_2
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ⇑s) x }).2) x = (fun p => c • (↑e { proj := p, snd := s p }).2) x

Next tactic:
apply (e.linear 𝕜 hx).2
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯

Next tactic:
refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((-⇑s) x)

Next tactic:
intro x₀
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((-⇑s) x)) x₀

Next tactic:
have hs := s.contMDiff x₀
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((-⇑s) x)) x₀

Next tactic:
rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (-⇑s) x }).2) x₀

Next tactic:
set e := trivializationAt F V x₀
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-⇑s) x }).2) x₀

Next tactic:
refine' hs.neg.congr_of_eventuallyEq _
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' hs.neg.congr_of_eventuallyEq _
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-⇑s) x }).2) =ᶠ[nhds x₀] fun x => -(↑e { proj := x, snd := s x }).2

Next tactic:
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' hs.neg.congr_of_eventuallyEq _
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet, (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-⇑s) x }).2) x = (fun x => -(↑e { proj := x, snd := s x }).2) x

Next tactic:
intro x hx
instance instNeg : Neg Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s => ⟨-s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' hs.neg.congr_of_eventuallyEq _
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  intro x hx
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (-⇑s) x }).2) x = (fun x => -(↑e { proj := x, snd := s x }).2) x

Next tactic:
apply (e.linear 𝕜 hx).map_neg
@[simp]
theorem coe_nsmul (s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) (k : ℕ) : ⇑(k • s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) = k • ⇑s := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
k : ℕ
⊢ ⇑(k • s) = k • ⇑s

Next tactic:
induction' k with k ih
@[simp]
theorem coe_nsmul (s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) (k : ℕ) : ⇑(k • s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) = k • ⇑s := by
  induction' k with k ih
  · 

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(Nat.zero • s) = Nat.zero • ⇑s

Next tactic:
simp_rw [Nat.zero_eq, zero_smul]
@[simp]
theorem coe_nsmul (s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) (k : ℕ) : ⇑(k • s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯) = k • ⇑s := by
  induction' k with k ih
  · simp_rw [Nat.zero_eq, zero_smul]; 

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ⇑(0 • s) = 0

Next tactic:
rfl