l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
/-- Let `b` be a basis for a submodule `N` of `M`. If `y : M` is linear independent of `N`
and `y` and `N` together span the whole of `M`, then there is a basis for `M`
whose basis vectors are given by `Fin.cons y b`. -/
noncomputable def mkFinCons {n : ℕ} {N : Submodule R M} (y : M) (b : Basis (Fin n) R N)
    (hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0) (hsp : ∀ z : M, ∃ c : R, z + c • y ∈ N) :
    Basis (Fin (n + 1)) R M :=
  have span_b : Submodule.span R (Set.range (N.subtype ∘ b)) = N := by
    rw [Set.range_comp, Submodule.span_image, b.span_eq, Submodule.map_subtype_top]
  Basis.mk (v := Fin.cons y (N.subtype ∘ b))
    ((b.linearIndependent.map' N.subtype (Submodule.ker_subtype _)).fin_cons' _ _
      (by
        rintro c ⟨x, hx⟩ hc
        rw [span_b] at hx
        exact hli c x hx hc))
    fun x _ => by
      rw [Fin.range_cons, Submodule.mem_span_insert', span_b]
      

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x✝¹ y✝ : M
b✝ : Basis ι R M
n : ℕ
N : Submodule R M
y : M
b : Basis (Fin n) R ↥N
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N
span_b : span R (Set.range (⇑(Submodule.subtype N) ∘ ⇑b)) = N
x : M
x✝ : x ∈ ⊤
⊢ ∃ a, x + a • y ∈ N

Next tactic:
exact hsp x
@[simp]
theorem coe_mkFinCons {n : ℕ} {N : Submodule R M} (y : M) (b : Basis (Fin n) R N)
    (hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0) (hsp : ∀ z : M, ∃ c : R, z + c • y ∈ N) :
    (mkFinCons y b hli hsp : Fin (n + 1) → M) = Fin.cons y ((↑) ∘ b) := by
  -- porting note: without `unfold`, Lean can't reuse the proofs included in the definition
  -- `mkFinCons`
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y✝ : M
b✝ : Basis ι R M
n : ℕ
N : Submodule R M
y : M
b : Basis (Fin n) R ↥N
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N
⊢ ⇑(mkFinCons y b hli hsp) = Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)

Next tactic:
unfold mkFinCons
@[simp]
theorem coe_mkFinCons {n : ℕ} {N : Submodule R M} (y : M) (b : Basis (Fin n) R N)
    (hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0) (hsp : ∀ z : M, ∃ c : R, z + c • y ∈ N) :
    (mkFinCons y b hli hsp : Fin (n + 1) → M) = Fin.cons y ((↑) ∘ b) := by
  -- porting note: without `unfold`, Lean can't reuse the proofs included in the definition
  -- `mkFinCons`
  unfold mkFinCons
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : CommRing R₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup M''
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R M''
c d : R
x y✝ : M
b✝ : Basis ι R M
n : ℕ
N : Submodule R M
y : M
b : Basis (Fin n) R ↥N
hli : ∀ (c : R), ∀ x ∈ N, c • y + x = 0 → c = 0
hsp : ∀ (z : M), ∃ c, z + c • y ∈ N
⊢ ⇑(let_fun span_b := (_ : span R (Set.range (⇑(Submodule.subtype N) ∘ ⇑b)) = N);
      Basis.mk (_ : LinearIndependent R (Fin.cons y (⇑(Submodule.subtype N) ∘ ⇑b)))
        (_ : ∀ x ∈ ⊤, x ∈ span R (Set.range (Fin.cons y (⇑(Submodule.subtype N) ∘ ⇑b))))) =
    Fin.cons y (Subtype.val ∘ ⇑b)

Next tactic:
exact coe_mk (v := Fin.cons y (N.subtype ∘ b)) _ _
@[simp]
theorem finTwoProd_zero (R : Type*) [Semiring R] : Basis.finTwoProd R 0 = (1, 0) := by
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R✝ M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R✝ M'
inst✝¹ : Module R✝ M''
c d : R✝
x y : M
b : Basis ι R✝ M
R : Type u_10
inst✝ : Semiring R
⊢ (Basis.finTwoProd R) 0 = (1, 0)

Next tactic:
simp [Basis.finTwoProd, LinearEquiv.finTwoArrow]
@[simp]
theorem finTwoProd_one (R : Type*) [Semiring R] : Basis.finTwoProd R 1 = (0, 1) := by
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R✝ : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
v : ι → M
inst✝⁹ : Ring R✝
inst✝⁸ : CommRing R₂
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M''
inst✝⁴ : Module R✝ M
inst✝³ : Module R₂ M
inst✝² : Module R✝ M'
inst✝¹ : Module R✝ M''
c d : R✝
x y : M
b : Basis ι R✝ M
R : Type u_10
inst✝ : Semiring R
⊢ (Basis.finTwoProd R) 1 = (0, 1)

Next tactic:
simp [Basis.finTwoProd, LinearEquiv.finTwoArrow]
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
⊢ P N

Next tactic:
haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
⊢ P N

Next tactic:
have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
⊢ P ⊥

Next tactic:
apply ih
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    

Proof state:
case a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
⊢ (N' : Submodule R M) → N' ≤ ⊥ → (x : M) → x ∈ ⊥ → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N'

Next tactic:
intro N _ x x_mem x_ortho
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    

Proof state:
case a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N✝ : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N✝), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
N : Submodule R M
a✝ : N ≤ ⊥
x : M
x_mem : x ∈ ⊥
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ P N

Next tactic:
exfalso
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    

Proof state:
case a.h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N✝ : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N✝), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
N : Submodule R M
a✝ : N ≤ ⊥
x : M
x_mem : x ∈ ⊥
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ False

Next tactic:
rw [mem_bot] at x_mem
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    

Proof state:
case a.h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N✝ : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N✝), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
N : Submodule R M
a✝ : N ≤ ⊥
x : M
x_mem : x = 0
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ False

Next tactic:
simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
⊢ P N

Next tactic:
induction' n with n rank_ih generalizing N
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · 

Proof state:
case zero
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.zero
⊢ P N

Next tactic:
suffices N = ⊥ by rwa [this]
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · suffices N = ⊥ by 

Proof state:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this✝ : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.zero
this : N = ⊥
⊢ P N

Next tactic:
rwa [this]
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · suffices N = ⊥ by rwa [this]
    

Proof state:
case zero
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.zero
⊢ N = ⊥

Next tactic:
apply Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero b _ fun m hv => le_zero_iff.mp (rank_le _ hv)
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · suffices N = ⊥ by rwa [this]
    apply Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero b _ fun m hv => le_zero_iff.mp (rank_le _ hv)
  

Proof state:
case succ
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih : (N : Submodule R M) → (∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n) → P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.succ n
⊢ P N

Next tactic:
apply ih
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · suffices N = ⊥ by rwa [this]
    apply Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero b _ fun m hv => le_zero_iff.mp (rank_le _ hv)
  apply ih
  

Proof state:
case succ.a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih : (N : Submodule R M) → (∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n) → P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.succ n
⊢ (N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N'

Next tactic:
intro N' N'_le x x_mem x_ortho
/-- If `N` is a submodule with finite rank, do induction on adjoining a linear independent
element to a submodule. -/
def Submodule.inductionOnRankAux (b : Basis ι R M) (P : Submodule R M → Sort*)
    (ih : ∀ N : Submodule R M,
      (∀ N' ≤ N, ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = (0 : M) → c = 0) → P N') → P N)
    (n : ℕ) (N : Submodule R M)
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m ≤ n) :
    P N := by
  haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
  have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
  induction' n with n rank_ih generalizing N
  · suffices N = ⊥ by rwa [this]
    apply Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero b _ fun m hv => le_zero_iff.mp (rank_le _ hv)
  apply ih
  intro N' N'_le x x_mem x_ortho
  

Proof state:
case succ.a
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝³ : Ring R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
b✝ : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_10
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih : (N : Submodule R M) → (∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ n) → P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m ≤ Nat.succ n
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
⊢ P N'

Next tactic:
apply rank_ih