l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y + (z + z) = I • y + z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux7 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y + z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y + z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y + z + z‖ * ‖I • y + z + z‖ + ‖I • y + z - z‖ * ‖I • y + z - z‖ = 2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y + z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖

Next tactic:
apply eq_sub_of_add_eq'
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖I • y‖ * ‖I • y‖ + ‖I • y - 2 • z‖ * ‖I • y - 2 • z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
convert h₀ using 4
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y = I • y - z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - 2 • z = I • y - z - z

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux8 (y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - 2 • z‖ =
    2 * (‖(I : 𝕜) • y - z‖ * ‖(I : 𝕜) • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖(I : 𝕜) • y‖ * ‖(I : 𝕜) • y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> · (try simp only [two_smul, smul_add]); 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖I • y - z + z‖ * ‖I • y - z + z‖ + ‖I • y - z - z‖ * ‖I • y - z - z‖ = 2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ I • y - (z + z) = I • y - z - z

Next tactic:
abel
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z

Next tactic:
simp only [inner_, ← mul_add]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ -
        I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖) =
    4⁻¹ *
      (𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖ +
        (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ -
          I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖))

Next tactic:
congr
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  

Proof state:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 ‖x + y + z‖ * 𝓚 ‖x + y + z‖ - 𝓚 ‖x + y - z‖ * 𝓚 ‖x + y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) + z‖ -
      I * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ * 𝓚 ‖I • (x + y) - z‖ =
    𝓚 ‖x + z‖ * 𝓚 ‖x + z‖ - 𝓚 ‖x - z‖ * 𝓚 ‖x - z‖ + I * 𝓚 ‖I • x + z‖ * 𝓚 ‖I • x + z‖ -
        I * 𝓚 ‖I • x - z‖ * 𝓚 ‖I • x - z‖ +
      (𝓚 ‖y + z‖ * 𝓚 ‖y + z‖ - 𝓚 ‖y - z‖ * 𝓚 ‖y - z‖ + I * 𝓚 ‖I • y + z‖ * 𝓚 ‖I • y + z‖ -
        I * 𝓚 ‖I • y - z‖ * 𝓚 ‖I • y - z‖)

Next tactic:
simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  

Proof state:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) +
      I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) =
    𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) +
      (𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) + I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))

Next tactic:
rw [add_add_add_comm]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  

Proof state:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) +
      I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) =
    𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖) + 𝓚 (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖) +
      (I * 𝓚 (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖) +
        I * 𝓚 (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))

Next tactic:
simp only [← map_add, ← mul_add]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  simp only [← map_add, ← mul_add]
  

Proof state:
case e_a
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ 𝓚 (‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖) +
      I * 𝓚 (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖) =
    𝓚 (‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖)) +
      I *
        𝓚
          (‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ +
            (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖))

Next tactic:
congr
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  simp only [← map_add, ← mul_add]
  congr
  · 

Proof state:
case e_a.e_a.h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖x + y + z‖ * ‖x + y + z‖ - ‖x + (y - z)‖ * ‖x + (y - z)‖ =
    ‖x + z‖ * ‖x + z‖ - ‖x - z‖ * ‖x - z‖ + (‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖)

Next tactic:
rw [← add_sub_assoc, add_left_aux2', add_left_aux4']
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  simp only [← map_add, ← mul_add]
  congr
  · rw [← add_sub_assoc, add_left_aux2', add_left_aux4']
  · 

Proof state:
case e_a.e_a.e_a.h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ - ‖I • (x + y) - z‖ * ‖I • (x + y) - z‖ =
    ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖)

Next tactic:
rw [add_left_aux5, add_left_aux6, add_left_aux7, add_left_aux8]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  simp only [← map_add, ← mul_add]
  congr
  · rw [← add_sub_assoc, add_left_aux2', add_left_aux4']
  · rw [add_left_aux5, add_left_aux6, add_left_aux7, add_left_aux8]
    

Proof state:
case e_a.e_a.e_a.h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + (2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) / 2 -
        ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ -
      ((‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + (2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) / 2 -
        ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖) =
    ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖)

Next tactic:
simp only [map_sub, map_mul, map_add, div_eq_mul_inv]
theorem add_left (x y z : E) : inner_ 𝕜 (x + y) z = inner_ 𝕜 x z + inner_ 𝕜 y z := by
  simp only [inner_, ← mul_add]
  congr
  simp only [mul_assoc, ← map_mul, add_sub_assoc, ← mul_sub, ← map_sub]
  rw [add_add_add_comm]
  simp only [← map_add, ← mul_add]
  congr
  · rw [← add_sub_assoc, add_left_aux2', add_left_aux4']
  · rw [add_left_aux5, add_left_aux6, add_left_aux7, add_left_aux8]
    simp only [map_sub, map_mul, map_add, div_eq_mul_inv]
    

Proof state:
case e_a.e_a.e_a.h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + (2 * (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) * 2⁻¹ -
        ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ -
      ((‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + (2 * (‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖I • y‖ * ‖I • y‖)) *
          2⁻¹ -
        ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖) =
    ‖I • x + z‖ * ‖I • x + z‖ - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖ + (‖I • y + z‖ * ‖I • y + z‖ - ‖I • y - z‖ * ‖I • y - z‖)

Next tactic:
ring
theorem nat (n : ℕ) (x y : E) : inner_ 𝕜 ((n : 𝕜) • x) y = (n : 𝕜) * inner_ 𝕜 x y := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
n : ℕ
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑n • x) y = ↑n * inner_ 𝕜 x y

Next tactic:
induction' n with n ih
theorem nat (n : ℕ) (x y : E) : inner_ 𝕜 ((n : 𝕜) • x) y = (n : 𝕜) * inner_ 𝕜 x y := by
  induction' n with n ih
  · 

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
⊢ inner_ 𝕜 (↑Nat.zero • x) y = ↑Nat.zero * inner_ 𝕜 x y

Next tactic:
simp only [inner_, Nat.zero_eq, zero_sub, Nat.cast_zero, zero_mul,
      eq_self_iff_true, zero_smul, zero_add, mul_zero, sub_self, norm_neg, smul_zero]
theorem nat (n : ℕ) (x y : E) : inner_ 𝕜 ((n : 𝕜) • x) y = (n : 𝕜) * inner_ 𝕜 x y := by
  induction' n with n ih
  · simp only [inner_, Nat.zero_eq, zero_sub, Nat.cast_zero, zero_mul,
      eq_self_iff_true, zero_smul, zero_add, mul_zero, sub_self, norm_neg, smul_zero]
  · 

Proof state:
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y : E
n : ℕ
ih : inner_ 𝕜 (↑n • x) y = ↑n * inner_ 𝕜 x y
⊢ inner_ 𝕜 (↑(Nat.succ n) • x) y = ↑(Nat.succ n) * inner_ 𝕜 x y

Next tactic:
simp only [Nat.cast_succ, add_smul, one_smul]