l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    case hp n ih => simp [add_smul, ih]
    case hn n ih => 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
n : ℕ
ih : fₗ (-↑n • x) = -↑n • fₗ x
⊢ fₗ ((-↑n - 1) • x) = (-↑n - 1) • fₗ x

Next tactic:
simp [sub_smul, ih]
theorem toLinearMap_injective {f g : M →+[R] M₂} (h : (f : M →ₗ[R] M₂) = (g : M →ₗ[R] M₂)) :
    f = g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f g : M →+[R] M₂
h : ↑f = ↑g
⊢ f = g

Next tactic:
ext m
theorem toLinearMap_injective {f g : M →+[R] M₂} (h : (f : M →ₗ[R] M₂) = (g : M →ₗ[R] M₂)) :
    f = g := by
  ext m
  

Proof state:
case a
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R M₂
f g : M →+[R] M₂
h : ↑f = ↑g
m : M
⊢ f m = g m

Next tactic:
exact LinearMap.congr_fun h m
theorem isLinearMap_smul {R M : Type*} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (c : R) :
    IsLinearMap R fun z : M ↦ c • z := by
  

Proof state:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R
⊢ IsLinearMap R fun z => c • z

Next tactic:
refine' IsLinearMap.mk (smul_add c) _
theorem isLinearMap_smul {R M : Type*} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (c : R) :
    IsLinearMap R fun z : M ↦ c • z := by
  refine' IsLinearMap.mk (smul_add c) _
  

Proof state:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c : R
⊢ ∀ (c_1 : R) (x : M), c • c_1 • x = c_1 • c • x

Next tactic:
intro _ _
theorem isLinearMap_smul {R M : Type*} [CommSemiring R] [AddCommMonoid M] [Module R M] (c : R) :
    IsLinearMap R fun z : M ↦ c • z := by
  refine' IsLinearMap.mk (smul_add c) _
  intro _ _
  

Proof state:
R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R✝
inst✝⁶ : AddCommMonoid M✝
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R✝ M✝
inst✝³ : Module R✝ M₂
R : Type u_17
M : Type u_18
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
c c✝ : R
x✝ : M
⊢ c • c✝ • x✝ = c✝ • c • x✝

Next tactic:
simp only [smul_smul, mul_comm]
theorem AddMonoidHom.toNatLinearMap_injective [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toNatLinearMap M M₂ _ _) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
⊢ Injective toNatLinearMap

Next tactic:
intro f g h
theorem AddMonoidHom.toNatLinearMap_injective [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toNatLinearMap M M₂ _ _) := by
  intro f g h
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : toNatLinearMap f = toNatLinearMap g
⊢ f = g

Next tactic:
ext x
theorem AddMonoidHom.toNatLinearMap_injective [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toNatLinearMap M M₂ _ _) := by
  intro f g h
  ext x
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid M₂
f g : M →+ M₂
h : toNatLinearMap f = toNatLinearMap g
x : M
⊢ f x = g x

Next tactic:
exact LinearMap.congr_fun h x
theorem AddMonoidHom.toIntLinearMap_injective [AddCommGroup M] [AddCommGroup M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toIntLinearMap M M₂ _ _) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup M₂
⊢ Injective toIntLinearMap

Next tactic:
intro f g h
theorem AddMonoidHom.toIntLinearMap_injective [AddCommGroup M] [AddCommGroup M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toIntLinearMap M M₂ _ _) := by
  intro f g h
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup M₂
f g : M →+ M₂
h : toIntLinearMap f = toIntLinearMap g
⊢ f = g

Next tactic:
ext x
theorem AddMonoidHom.toIntLinearMap_injective [AddCommGroup M] [AddCommGroup M₂] :
    Function.Injective (@AddMonoidHom.toIntLinearMap M M₂ _ _) := by
  intro f g h
  ext x
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : AddCommGroup M₂
f g : M →+ M₂
h : toIntLinearMap f = toIntLinearMap g
x : M
⊢ f x = g x

Next tactic:
exact LinearMap.congr_fun h x
theorem AddMonoidHom.toRatLinearMap_injective [AddCommGroup M] [Module ℚ M] [AddCommGroup M₂]
    [Module ℚ M₂] : Function.Injective (@AddMonoidHom.toRatLinearMap M M₂ _ _ _ _) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
⊢ Injective toRatLinearMap

Next tactic:
intro f g h
theorem AddMonoidHom.toRatLinearMap_injective [AddCommGroup M] [Module ℚ M] [AddCommGroup M₂]
    [Module ℚ M₂] : Function.Injective (@AddMonoidHom.toRatLinearMap M M₂ _ _ _ _) := by
  intro f g h
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
f g : M →+ M₂
h : toRatLinearMap f = toRatLinearMap g
⊢ f = g

Next tactic:
ext x
theorem AddMonoidHom.toRatLinearMap_injective [AddCommGroup M] [Module ℚ M] [AddCommGroup M₂]
    [Module ℚ M₂] : Function.Injective (@AddMonoidHom.toRatLinearMap M M₂ _ _ _ _) := by
  intro f g h
  ext x
  

Proof state:
case h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module ℚ M
inst✝¹ : AddCommGroup M₂
inst✝ : Module ℚ M₂
f g : M →+ M₂
h : toRatLinearMap f = toRatLinearMap g
x : M
⊢ f x = g x

Next tactic:
exact LinearMap.congr_fun h x
instance : SMul S (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨fun a f ↦
    { toFun := a • (f : M → M₂)
      map_add' := fun x y ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring R₂
inst✝¹⁶ : Semiring R₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : Monoid S
inst✝⁷ : DistribMulAction S M₂
inst✝⁶ : SMulCommClass R₂ S M₂
inst✝⁵ : Monoid S₃
inst✝⁴ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝³ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝² : Monoid T
inst✝¹ : DistribMulAction T M₂
inst✝ : SMulCommClass R₂ T M₂
a : S
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
x y : M
⊢ (a • ⇑f) (x + y) = (a • ⇑f) x + (a • ⇑f) y

Next tactic:
simp only [Pi.smul_apply, f.map_add, smul_add]
instance : SMul S (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨fun a f ↦
    { toFun := a • (f : M → M₂)
      map_add' := fun x y ↦ by simp only [Pi.smul_apply, f.map_add, smul_add]
      map_smul' := fun c x ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁸ : Semiring R
inst✝¹⁷ : Semiring R₂
inst✝¹⁶ : Semiring R₃
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₃
inst✝¹² : Module R M
inst✝¹¹ : Module R₂ M₂
inst✝¹⁰ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁹ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁸ : Monoid S
inst✝⁷ : DistribMulAction S M₂
inst✝⁶ : SMulCommClass R₂ S M₂
inst✝⁵ : Monoid S₃
inst✝⁴ : DistribMulAction S₃ M₃
inst✝³ : SMulCommClass R₃ S₃ M₃
inst✝² : Monoid T
inst✝¹ : DistribMulAction T M₂
inst✝ : SMulCommClass R₂ T M₂
a : S
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
c : R
x : M
⊢ AddHom.toFun { toFun := a • ⇑f, map_add' := (_ : ∀ (x y : M), a • f (x + y) = a • f x + a • f y) } (c • x) =
    σ₁₂ c • AddHom.toFun { toFun := a • ⇑f, map_add' := (_ : ∀ (x y : M), a • f (x + y) = a • f x + a • f y) } x

Next tactic:
simp [Pi.smul_apply, smul_comm]
/-- The constant 0 map is linear. -/
instance : Zero (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨{  toFun := 0
      map_add' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
⊢ ∀ (x y : M), OfNat.ofNat 0 (x + y) = OfNat.ofNat 0 x + OfNat.ofNat 0 y

Next tactic:
simp
/-- The constant 0 map is linear. -/
instance : Zero (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨{  toFun := 0
      map_add' := by simp
      map_smul' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
⊢ ∀ (r : R₁) (x : M),
    AddHom.toFun { toFun := 0, map_add' := (_ : M → M → 0 = 0 + 0) } (r • x) =
      σ₁₂ r • AddHom.toFun { toFun := 0, map_add' := (_ : M → M → 0 = 0 + 0) } x

Next tactic:
simp
@[simp]
theorem comp_zero (g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃) : (g.comp (0 : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) : M →ₛₗ[σ₁₃] M₃) = 0 :=
  ext fun c ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
g : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
c : M
⊢ (comp g 0) c = 0 c

Next tactic:
rw [comp_apply, zero_apply, zero_apply, g.map_zero]
/-- The sum of two linear maps is linear. -/
instance : Add (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨fun f g ↦
    { toFun := f + g
      map_add' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ∀ (x y : M), (⇑f + ⇑g) (x + y) = (⇑f + ⇑g) x + (⇑f + ⇑g) y

Next tactic:
simp [add_comm, add_left_comm]
/-- The sum of two linear maps is linear. -/
instance : Add (M →ₛₗ[σ₁₂] M₂) :=
  ⟨fun f g ↦
    { toFun := f + g
      map_add' := by simp [add_comm, add_left_comm]
      map_smul' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ∀ (r : R₁) (x : M),
    AddHom.toFun
        { toFun := ⇑f + ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M), f (a + a_1) + g (a + a_1) = f a + g a + (f a_1 + g a_1)) }
        (r • x) =
      σ₁₂ r •
        AddHom.toFun
          { toFun := ⇑f + ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M), f (a + a_1) + g (a + a_1) = f a + g a + (f a_1 + g a_1)) }
          x

Next tactic:
simp [smul_add]
/-- The negation of a linear map is linear. -/
instance : Neg (M →ₛₗ[σ₁₂] N₂) :=
  ⟨fun f ↦
    { toFun := -f
      map_add' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
⊢ ∀ (x y : M), (-⇑f) (x + y) = (-⇑f) x + (-⇑f) y

Next tactic:
simp [add_comm]
/-- The negation of a linear map is linear. -/
instance : Neg (M →ₛₗ[σ₁₂] N₂) :=
  ⟨fun f ↦
    { toFun := -f
      map_add' := by simp [add_comm]
      map_smul' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
⊢ ∀ (r : R₁) (x : M),
    AddHom.toFun { toFun := -⇑f, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M), -f (a + a_1) = -f a + -f a_1) } (r • x) =
      σ₁₂ r • AddHom.toFun { toFun := -⇑f, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M), -f (a + a_1) = -f a + -f a_1) } x

Next tactic:
simp
/-- The subtraction of two linear maps is linear. -/
instance : Sub (M →ₛₗ[σ₁₂] N₂) :=
  ⟨fun f g ↦
    { toFun := f - g
      map_add' := fun x y ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
x y : M
⊢ (⇑f - ⇑g) (x + y) = (⇑f - ⇑g) x + (⇑f - ⇑g) y

Next tactic:
simp only [Pi.sub_apply, map_add, add_sub_add_comm]
/-- The subtraction of two linear maps is linear. -/
instance : Sub (M →ₛₗ[σ₁₂] N₂) :=
  ⟨fun f g ↦
    { toFun := f - g
      map_add' := fun x y ↦ by simp only [Pi.sub_apply, map_add, add_sub_add_comm]
      map_smul' := fun r x ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁹ : AddCommGroup N₁
inst✝⁸ : AddCommGroup N₂
inst✝⁷ : AddCommGroup N₃
inst✝⁶ : Module R₁ M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
inst✝³ : Module R₁ N₁
inst✝² : Module R₂ N₂
inst✝¹ : Module R₃ N₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f g : M →ₛₗ[σ₁₂] N₂
r : R₁
x : M
⊢ AddHom.toFun { toFun := ⇑f - ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (x y : M), f (x + y) - g (x + y) = f x - g x + (f y - g y)) }
      (r • x) =
    σ₁₂ r •
      AddHom.toFun { toFun := ⇑f - ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (x y : M), f (x + y) - g (x + y) = f x - g x + (f y - g y)) }
        x

Next tactic:
simp [Pi.sub_apply, map_smul, smul_sub]
theorem _root_.Module.End_isUnit_apply_inv_apply_of_isUnit
    {f : Module.End R M} (h : IsUnit f) (x : M) :
    f (h.unit.inv x) = x :=
  show (f * h.unit.inv) x = x by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : Module.End R M
h : IsUnit f
x : M
⊢ (f * (IsUnit.unit h).inv) x = x

Next tactic:
simp
theorem _root_.Module.End_isUnit_inv_apply_apply_of_isUnit
    {f : Module.End R M} (h : IsUnit f) (x : M) :
    h.unit.inv (f x) = x :=
  (by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : Module.End R M
h : IsUnit f
x : M
⊢ ((IsUnit.unit h).inv * f) x = x

Next tactic:
simp
theorem pow_map_zero_of_le {f : Module.End R M} {m : M} {k l : ℕ} (hk : k ≤ l)
    (hm : (f ^ k) m = 0) : (f ^ l) m = 0 := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k✝ : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommGroup N₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N₁
inst✝² : Monoid S
inst✝¹ : DistribMulAction S M
inst✝ : SMulCommClass R S M
f : Module.End R M
m : M
k l : ℕ
hk : k ≤ l
hm : (f ^ k) m = 0
⊢ (f ^ l) m = 0

Next tactic:
rw [← tsub_add_cancel_of_le hk, pow_add, mul_apply, hm, map_zero]
theorem commute_pow_left_of_commute
    [Semiring R₂] [AddCommMonoid M₂] [Module R₂ M₂] {σ₁₂ : R →+* R₂}
    {f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂} {g : Module.End R M} {g₂ : Module.End R₂ M₂}
    (h : g₂.comp f = f.comp g) (k : ℕ) : (g₂ ^ k).comp f = f.comp (g ^ k) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k✝ : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹⁰ : Semiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommGroup N₁
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N₁
inst✝⁵ : Monoid S
inst✝⁴ : DistribMulAction S M
inst✝³ : SMulCommClass R S M
inst✝² : Semiring R₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₂
inst✝ : Module R₂ M₂
σ₁₂ : R →+* R₂
f : M →ₛₗ[σ₁₂] M₂
g : Module.End R M
g₂ : Module.End R₂ M₂
h : comp g₂ f = comp f g
k : ℕ
⊢ comp (g₂ ^ k) f = comp f (g ^ k)

Next tactic:
induction' k with k ih