theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux, AssociatorBimod.hom]
  refine' (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorLeft_map]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
      (f.hom ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair
            (M'.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
              (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
          WalkingParallelPair.one =
    (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
      (((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).inv ≫
                (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                  coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
                    ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft)))
              (_ :
                (tensorLeft M.X).map (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
                      (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                        coequalizer.π ((tensorBimod M N).actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                          ((α_ (tensorBimod M N).X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M N).X ⊗ P.actLeft)) =
                  (tensorLeft M.X).map ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫
                    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
                      (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                        coequalizer.π ((tensorBimod M N).actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                          ((α_ (tensorBimod M N).X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M N).X ⊗ P.actLeft)))) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
                (𝟙 (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
              (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
                (𝟙 (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
              ((colimMap
                    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                      (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                      (_ :
                        (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                      (_ :
                        ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                  𝟙 Y.X) ⊗
                𝟙 P.X)
              (colimMap
                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                    (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                    (_ :
                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                    (_ :
                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                𝟙 P.X)
              (_ :
                ((mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                          (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗
                      𝟙 P.X) ≫
                    ((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      (𝟙 P).hom) =
                  (((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        𝟙 Y.X) ⊗
                      (𝟙 P).hom) ≫
                    ((mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                          (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗
                      𝟙 P.X))
              (_ :
                ((α_
                          (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                              (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X
                          Y.X P.X).hom ≫
                      (𝟙
                          (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                              (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                        P.actLeft)) ≫
                    ((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      (𝟙 P).hom) =
                  (((Hom.mk
                            (colimMap
                              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                (_ :
                                  (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                (_ :
                                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                      (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                        𝟙 Y.X) ⊗
                      (𝟙 P).hom) ≫
                    (α_
                          (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                              (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X
                          Y.X P.X).hom ≫
                      (𝟙
                          (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                              (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                        P.actLeft)))) ≫
        coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P)
          (_ :
            ((tensorBimod M' N).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ AssociatorBimod.homAux M' N P =
              ((α_ (tensorBimod M' N).X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M' N).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                AssociatorBimod.homAux M' N P)

Next tactic:
slice_rhs 1 3 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]