l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality]
  slice_rhs 1 3 => 

Proof state:
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (α_ M.X N.X P.X).hom ≫ (α_ M.X N.X P.X).inv ≫ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ⊗ 𝟙 P.X)
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
    ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))

Next tactic:
rw [Iso.hom_inv_id_assoc]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality]
  slice_rhs 1 3 => rw [Iso.hom_inv_id_assoc]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
        (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X)) ≫
      coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))

Next tactic:
slice_lhs 1 1 => rw [comp_tensor_id]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality]
  slice_rhs 1 3 => rw [Iso.hom_inv_id_assoc]
  slice_lhs 1 1 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
      colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one ⊗
    𝟙 P.X
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| colimit.ι
    (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
      ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
    WalkingParallelPair.one

Next tactic:
rw [comp_tensor_id]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) = tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g

Next tactic:
dsimp [tensorHom]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 M.X ⊗ g.hom)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)))) ≫
      Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))) =
    Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
      Hom.mk
        (colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))))

Next tactic:
ext
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
              ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 M.X ⊗ g.hom)
              (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
              (_ :
                ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) =
                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)))) ≫
        Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
              ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
              (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
              (_ :
                ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))))).hom =
    (Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
              (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
              (_ :
                ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
        Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
              ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
              (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
              (_ :
                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))))).hom

Next tactic:
apply coequalizer.hom_ext
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      (Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
                ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 M.X ⊗ g.hom)
                (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
                (_ :
                  ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) =
                    (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)))) ≫
          Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
                ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
                (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
                (_ :
                  ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))))).hom =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      (Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                (_ :
                  ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                    ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
          Hom.mk
            (colimMap
              (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
                ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
                (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
                (_ :
                  ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                    (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))))).hom

Next tactic:
dsimp
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 M.X ⊗ g.hom)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))) =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
    colimMap
      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
        ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 M.X ⊗ g.hom)
        (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
        (_ :
          ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ g.hom) =
            (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimMap
    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
      ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
      (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
      (_ :
        ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]