l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem lTensor_comp : (g.comp f).lTensor M = (g.lTensor M).comp (f.lTensor M) := by
  ext m n
  

Proof state:
case H.h.h
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : M
n : N
⊢ ((compr₂ (TensorProduct.mk R M N) (lTensor M (g ∘ₗ f))) m) n =
    ((compr₂ (TensorProduct.mk R M N) (lTensor M g ∘ₗ lTensor M f)) m) n

Next tactic:
simp only [compr₂_apply, mk_apply, comp_apply, lTensor_tmul]
theorem lTensor_comp_apply (x : M ⊗[R] N) :
    (g.comp f).lTensor M x = (g.lTensor M) ((f.lTensor M) x) := by 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (lTensor M (g ∘ₗ f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)

Next tactic:
rw [lTensor_comp, coe_comp]
theorem lTensor_comp_apply (x : M ⊗[R] N) :
    (g.comp f).lTensor M x = (g.lTensor M) ((f.lTensor M) x) := by rw [lTensor_comp, coe_comp]; 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (⇑(lTensor M g) ∘ ⇑(lTensor M f)) x = (lTensor M g) ((lTensor M f) x)

Next tactic:
rfl
theorem rTensor_comp : (g.comp f).rTensor M = (g.rTensor M).comp (f.rTensor M) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
⊢ rTensor M (g ∘ₗ f) = rTensor M g ∘ₗ rTensor M f

Next tactic:
ext m n
theorem rTensor_comp : (g.comp f).rTensor M = (g.rTensor M).comp (f.rTensor M) := by
  ext m n
  

Proof state:
case H.h.h
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
m : N
n : M
⊢ ((compr₂ (TensorProduct.mk R N M) (rTensor M (g ∘ₗ f))) m) n =
    ((compr₂ (TensorProduct.mk R N M) (rTensor M g ∘ₗ rTensor M f)) m) n

Next tactic:
simp only [compr₂_apply, mk_apply, comp_apply, rTensor_tmul]
theorem rTensor_comp_apply (x : N ⊗[R] M) :
    (g.comp f).rTensor M x = (g.rTensor M) ((f.rTensor M) x) := by 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (rTensor M (g ∘ₗ f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)

Next tactic:
rw [rTensor_comp, coe_comp]
theorem rTensor_comp_apply (x : N ⊗[R] M) :
    (g.comp f).rTensor M x = (g.rTensor M) ((f.rTensor M) x) := by rw [rTensor_comp, coe_comp]; 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (⇑(rTensor M g) ∘ ⇑(rTensor M f)) x = (rTensor M g) ((rTensor M f) x)

Next tactic:
rfl
theorem lTensor_id_apply (x : M ⊗[R] N) : (LinearMap.id : N →ₗ[R] N).lTensor M x = x := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : M ⊗[R] N
⊢ (lTensor M id) x = x

Next tactic:
rw [lTensor_id, id_coe, id.def]
theorem rTensor_id_apply (x : N ⊗[R] M) : (LinearMap.id : N →ₗ[R] N).rTensor M x = x := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f : N →ₗ[R] P
x : N ⊗[R] M
⊢ (rTensor M id) x = x

Next tactic:
rw [rTensor_id, id_coe, id.def]
@[simp]
theorem lTensor_comp_rTensor (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) :
    (g.lTensor P).comp (f.rTensor N) = map f g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ lTensor P g ∘ₗ rTensor N f = map f g

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem rTensor_comp_lTensor (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) :
    (f.rTensor Q).comp (g.lTensor M) = map f g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ rTensor Q f ∘ₗ lTensor M g = map f g

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem map_comp_rTensor (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) (f' : S →ₗ[R] M) :
    (map f g).comp (f'.rTensor _) = map (f.comp f') g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
f' : S →ₗ[R] M
⊢ map f g ∘ₗ rTensor N f' = map (f ∘ₗ f') g

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem map_comp_lTensor (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) (g' : S →ₗ[R] N) :
    (map f g).comp (g'.lTensor _) = map f (g.comp g') := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
g' : S →ₗ[R] N
⊢ map f g ∘ₗ lTensor M g' = map f (g ∘ₗ g')

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem rTensor_comp_map (f' : P →ₗ[R] S) (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) :
    (f'.rTensor _).comp (map f g) = map (f'.comp f) g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem lTensor_comp_map (g' : Q →ₗ[R] S) (f : M →ₗ[R] P) (g : N →ₗ[R] Q) :
    (g'.lTensor _).comp (map f g) = map f (g'.comp g) := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
g' : Q →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ lTensor P g' ∘ₗ map f g = map f (g' ∘ₗ g)

Next tactic:
simp only [lTensor, rTensor, ← map_comp, id_comp, comp_id]
@[simp]
theorem rTensor_pow (f : M →ₗ[R] M) (n : ℕ) : f.rTensor N ^ n = (f ^ n).rTensor N := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)

Next tactic:
have h := TensorProduct.map_pow f (id : N →ₗ[R] N) n
@[simp]
theorem rTensor_pow (f : M →ₗ[R] M) (n : ℕ) : f.rTensor N ^ n = (f ^ n).rTensor N := by
  have h := TensorProduct.map_pow f (id : N →ₗ[R] N) n
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
h : map f id ^ n = map (f ^ n) (id ^ n)
⊢ rTensor N f ^ n = rTensor N (f ^ n)

Next tactic:
rwa [id_pow] at h
@[simp]
theorem lTensor_pow (f : N →ₗ[R] N) (n : ℕ) : f.lTensor M ^ n = (f ^ n).lTensor M := by
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)

Next tactic:
have h := TensorProduct.map_pow (id : M →ₗ[R] M) f n
@[simp]
theorem lTensor_pow (f : N →ₗ[R] N) (n : ℕ) : f.lTensor M ^ n = (f ^ n).lTensor M := by
  have h := TensorProduct.map_pow (id : M →ₗ[R] M) f n
  

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f : N →ₗ[R] N
n : ℕ
h : map id f ^ n = map (id ^ n) (f ^ n)
⊢ lTensor M f ^ n = lTensor M (f ^ n)

Next tactic:
rwa [id_pow] at h
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x : M ⊗[R] N
⊢ -0 + 0 = 0

Next tactic:
rw [add_zero]
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x : M ⊗[R] N
⊢ -0 = 0

Next tactic:
apply (Neg.aux R).map_zero
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ -x ⊗ₜ[R] y + x ⊗ₜ[R] y = 0

Next tactic:
convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; 

Proof state:
case h.e'_3
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ 0 = (-x + x) ⊗ₜ[R] y

Next tactic:
rw [add_left_neg, zero_tmul]
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0

Next tactic:
suffices : -x + x + (-y + y) = 0
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = 0

Next tactic:
rw [← this]
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · rw [← this]
      

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ -(x + y) + (x + y) = -x + x + (-y + y)

Next tactic:
unfold Neg.neg neg
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · rw [← this]
      unfold Neg.neg neg
      

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ { neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 (x + y) + (x + y) = { neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 x + x + ({ neg := ⇑(Neg.aux R) }.1 y + y)

Next tactic:
simp only
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · rw [← this]
      unfold Neg.neg neg
      simp only
      

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ (Neg.aux R) (x + y) + (x + y) = (Neg.aux R) x + x + ((Neg.aux R) y + y)

Next tactic:
rw [map_add]
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · rw [← this]
      unfold Neg.neg neg
      simp only
      rw [map_add]
      

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
this : -x + x + (-y + y) = 0
⊢ (Neg.aux R) x + (Neg.aux R) y + (x + y) = (Neg.aux R) x + x + ((Neg.aux R) y + y)

Next tactic:
abel
protected theorem add_left_neg (x : M ⊗[R] N) : -x + x = 0 :=
  x.induction_on
    (by rw [add_zero]; apply (Neg.aux R).map_zero)
    (fun x y => by convert (add_tmul (R := R) (-x) x y).symm; rw [add_left_neg, zero_tmul])
    fun x y hx hy => by
    suffices : -x + x + (-y + y) = 0
    · rw [← this]
      unfold Neg.neg neg
      simp only
      rw [map_add]
      abel
    

Proof state:
case this
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
x✝ x y : M ⊗[R] N
hx : -x + x = 0
hy : -y + y = 0
⊢ -x + x + (-y + y) = 0

Next tactic:
rw [hx, hy, add_zero]
instance addCommGroup : AddCommGroup (M ⊗[R] N) :=
  { TensorProduct.addCommMonoid with
    neg := Neg.neg
    sub := _
    sub_eq_add_neg := fun _ _ => rfl
    add_left_neg := fun x => TensorProduct.add_left_neg x
    zsmul := fun n v => n • v
    zsmul_zero' := by 

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
src✝ : AddCommMonoid (M ⊗[R] N) := addCommMonoid
⊢ ∀ (a : M ⊗[R] N), (fun n v => n • v) 0 a = 0

Next tactic:
simp [TensorProduct.zero_smul]