theorem comp_whisker_left_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) (N : Bimod X Y)
    {P P' : Bimod Y Z} (f : P ⟶ P') :
    tensorHom (𝟙 (M.tensorBimod N)) f =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom (𝟙 N) f) ≫ (associatorBimod M N P').inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
          (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
      (Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
              (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P'.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P'.actLeft))
              ((𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ f.hom)
              (_ :
                ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                    ((𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N))).hom ⊗ f.hom) =
                  (((𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N))).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗
                      f.hom) ≫
                    ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
              (_ :
                ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                    ((𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N))).hom ⊗ f.hom) =
                  (((𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N))).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗
                      f.hom) ≫
                    (α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P'.X).hom ≫
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                        P'.actLeft))))).hom =
    coequalizer.π ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
          (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
      ((isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N P) (AssociatorBimod.inv M N P))
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                  (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N P) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actLeft)
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                  (AssociatorBimod.hom M N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actRight)).hom ≫
          Hom.mk
              (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
                  ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
                  (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P'))
                  ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P'))
                  ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                    colimMap
                      (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                        (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                        (_ :
                          (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                            (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                        (_ :
                          ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                            (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
                  (𝟙 M.X ⊗
                    colimMap
                      (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                        (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                        (_ :
                          (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                            (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                        (_ :
                          ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                            (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
                  (_ :
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                        ((𝟙 M).hom ⊗
                          (Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                                  ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                                  (_ :
                                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                        (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
                      (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                          (Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                                  ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                                  (_ :
                                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                        (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
                        (M.actRight ⊗
                          𝟙 (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X))
                  (_ :
                    ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                          (𝟙 M.X ⊗
                            (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                        ((𝟙 M).hom ⊗
                          (Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                                  ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                                  (_ :
                                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                        (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
                      (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                          (Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                                  (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                                  ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                                  (_ :
                                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                        (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
                        (α_ M.X X.X
                              (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X).hom ≫
                          (𝟙 M.X ⊗
                            (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P')
                                (TensorBimod.actRight N P')).actLeft)))) ≫
            (isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N P') (AssociatorBimod.inv M N P'))
                (_ :
                  (tensorBimod (tensorBimod M N) P').actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N P' =
                    (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N P') ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P')).actLeft)
                (_ :
                  (tensorBimod (tensorBimod M N) P').actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N P' =
                    (AssociatorBimod.hom M N P' ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P')).actRight)).inv).hom

Next tactic:
dsimp