l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem condexpL2_comp_continuousLinearMap (hm : m ≤ m0) (T : E' →L[ℝ] E'') (f : α →₂[μ] E') :
    (condexpL2 E'' 𝕜' hm (T.compLp f) : α →₂[μ] E'') =ᵐ[μ]
    T.compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E') := by
  refine' Lp.ae_eq_of_forall_set_integral_eq' 𝕜' hm _ _ two_ne_zero ENNReal.coe_ne_top
    (fun s _ hμs => integrableOn_condexpL2_of_measure_ne_top hm hμs.ne _) (fun s _ hμs =>
      integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne) _ _ _
  · intro s hs hμs
    rw [T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne),
      ← lpMeas_coe, ← lpMeas_coe, integral_condexpL2_eq hm f hs hμs.ne,
      integral_condexpL2_eq hm (T.compLp f) hs hμs.ne, T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top f fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne)]
  · rw [← lpMeas_coe]; exact lpMeas.aeStronglyMeasurable' _
  · 

Proof state:
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ

Next tactic:
have h_coe := T.coeFn_compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E')
theorem condexpL2_comp_continuousLinearMap (hm : m ≤ m0) (T : E' →L[ℝ] E'') (f : α →₂[μ] E') :
    (condexpL2 E'' 𝕜' hm (T.compLp f) : α →₂[μ] E'') =ᵐ[μ]
    T.compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E') := by
  refine' Lp.ae_eq_of_forall_set_integral_eq' 𝕜' hm _ _ two_ne_zero ENNReal.coe_ne_top
    (fun s _ hμs => integrableOn_condexpL2_of_measure_ne_top hm hμs.ne _) (fun s _ hμs =>
      integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne) _ _ _
  · intro s hs hμs
    rw [T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne),
      ← lpMeas_coe, ← lpMeas_coe, integral_condexpL2_eq hm f hs hμs.ne,
      integral_condexpL2_eq hm (T.compLp f) hs hμs.ne, T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top f fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne)]
  · rw [← lpMeas_coe]; exact lpMeas.aeStronglyMeasurable' _
  · have h_coe := T.coeFn_compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E')
    

Proof state:
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2)
h_coe : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a = T (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ

Next tactic:
rw [← EventuallyEq] at h_coe
theorem condexpL2_comp_continuousLinearMap (hm : m ≤ m0) (T : E' →L[ℝ] E'') (f : α →₂[μ] E') :
    (condexpL2 E'' 𝕜' hm (T.compLp f) : α →₂[μ] E'') =ᵐ[μ]
    T.compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E') := by
  refine' Lp.ae_eq_of_forall_set_integral_eq' 𝕜' hm _ _ two_ne_zero ENNReal.coe_ne_top
    (fun s _ hμs => integrableOn_condexpL2_of_measure_ne_top hm hμs.ne _) (fun s _ hμs =>
      integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne) _ _ _
  · intro s hs hμs
    rw [T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne),
      ← lpMeas_coe, ← lpMeas_coe, integral_condexpL2_eq hm f hs hμs.ne,
      integral_condexpL2_eq hm (T.compLp f) hs hμs.ne, T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top f fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne)]
  · rw [← lpMeas_coe]; exact lpMeas.aeStronglyMeasurable' _
  · have h_coe := T.coeFn_compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E')
    rw [← EventuallyEq] at h_coe
    

Proof state:
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2)
h_coe : (fun a => ↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a) =ᵐ[μ] fun a => T (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f))) μ

Next tactic:
refine' AEStronglyMeasurable'.congr _ h_coe.symm
theorem condexpL2_comp_continuousLinearMap (hm : m ≤ m0) (T : E' →L[ℝ] E'') (f : α →₂[μ] E') :
    (condexpL2 E'' 𝕜' hm (T.compLp f) : α →₂[μ] E'') =ᵐ[μ]
    T.compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E') := by
  refine' Lp.ae_eq_of_forall_set_integral_eq' 𝕜' hm _ _ two_ne_zero ENNReal.coe_ne_top
    (fun s _ hμs => integrableOn_condexpL2_of_measure_ne_top hm hμs.ne _) (fun s _ hμs =>
      integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne) _ _ _
  · intro s hs hμs
    rw [T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top _ fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne),
      ← lpMeas_coe, ← lpMeas_coe, integral_condexpL2_eq hm f hs hμs.ne,
      integral_condexpL2_eq hm (T.compLp f) hs hμs.ne, T.set_integral_compLp _ (hm s hs),
      T.integral_comp_comm
        (integrableOn_Lp_of_measure_ne_top f fact_one_le_two_ennreal.elim hμs.ne)]
  · rw [← lpMeas_coe]; exact lpMeas.aeStronglyMeasurable' _
  · have h_coe := T.coeFn_compLp (condexpL2 E' 𝕜 hm f : α →₂[μ] E')
    rw [← EventuallyEq] at h_coe
    refine' AEStronglyMeasurable'.congr _ h_coe.symm
    

Proof state:
case refine'_3
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
T : E' →L[ℝ] E''
f : ↥(Lp E' 2)
h_coe : (fun a => ↑↑(compLp T ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f)) a) =ᵐ[μ] fun a => T (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a)
⊢ AEStronglyMeasurable' m (fun a => T (↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) f) a)) μ

Next tactic:
exact (lpMeas.aeStronglyMeasurable' (condexpL2 E' 𝕜 hm f)).continuous_comp T.continuous
theorem condexpL2_indicator_ae_eq_smul (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') :
    condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
      (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) : α → ℝ) a • x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x

Next tactic:
rw [indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp hs hμs x]
theorem condexpL2_indicator_ae_eq_smul (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') :
    condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
      (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) : α → ℝ) a • x := by
  rw [indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp hs hμs x]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x

Next tactic:
have h_comp :=
    condexpL2_comp_continuousLinearMap ℝ 𝕜 hm (toSpanSingleton ℝ x)
      (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ))
theorem condexpL2_indicator_ae_eq_smul (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') :
    condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
      (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) : α → ℝ) a • x := by
  rw [indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp hs hμs x]
  have h_comp :=
    condexpL2_comp_continuousLinearMap ℝ 𝕜 hm (toSpanSingleton ℝ x)
      (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ))
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp :
  ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x

Next tactic:
rw [← lpMeas_coe] at h_comp
theorem condexpL2_indicator_ae_eq_smul (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') :
    condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
      (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) : α → ℝ) a • x := by
  rw [indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp hs hμs x]
  have h_comp :=
    condexpL2_comp_continuousLinearMap ℝ 𝕜 hm (toSpanSingleton ℝ x)
      (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ))
  rw [← lpMeas_coe] at h_comp
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp :
  ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x

Next tactic:
refine' h_comp.trans _
theorem condexpL2_indicator_ae_eq_smul (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') :
    condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) =ᵐ[μ] fun a =>
      (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ)) : α → ℝ) a • x := by
  rw [indicatorConstLp_eq_toSpanSingleton_compLp hs hμs x]
  have h_comp :=
    condexpL2_comp_continuousLinearMap ℝ 𝕜 hm (toSpanSingleton ℝ x)
      (indicatorConstLp 2 hs hμs (1 : ℝ))
  rw [← lpMeas_coe] at h_comp
  refine' h_comp.trans _
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp :
  ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (compLp (toSpanSingleton ℝ x) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))
⊢ ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) =ᵐ[μ] fun a =>
    ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x

Next tactic:
exact (toSpanSingleton ℝ x).coeFn_compLp _
theorem condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') : (condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α →₂[μ] E') =
    (toSpanSingleton ℝ x).compLp (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =
    compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))

Next tactic:
ext1
theorem condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') : (condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α →₂[μ] E') =
    (toSpanSingleton ℝ x).compLp (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) := by
  ext1
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))

Next tactic:
rw [← lpMeas_coe]
theorem condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') : (condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α →₂[μ] E') =
    (toSpanSingleton ℝ x).compLp (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) := by
  ext1
  rw [← lpMeas_coe]
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ↑↑↑((condexpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))

Next tactic:
refine' (condexpL2_indicator_ae_eq_smul 𝕜 hm hs hμs x).trans _
theorem condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') : (condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α →₂[μ] E') =
    (toSpanSingleton ℝ x).compLp (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) := by
  ext1
  rw [← lpMeas_coe]
  refine' (condexpL2_indicator_ae_eq_smul 𝕜 hm hs hμs x).trans _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))

Next tactic:
have h_comp := (toSpanSingleton ℝ x).coeFn_compLp
    (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α →₂[μ] ℝ)
theorem condexpL2_indicator_eq_toSpanSingleton_comp (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') : (condexpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α →₂[μ] E') =
    (toSpanSingleton ℝ x).compLp (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) := by
  ext1
  rw [← lpMeas_coe]
  refine' (condexpL2_indicator_ae_eq_smul 𝕜 hm hs hμs x).trans _
  have h_comp := (toSpanSingleton ℝ x).coeFn_compLp
    (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α →₂[μ] ℝ)
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁸ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁵ : CompleteSpace E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹² : CompleteSpace E'
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁴ : IsROrC 𝕜'
inst✝³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝¹ : CompleteSpace E''
inst✝ : NormedSpace ℝ E''
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : E'
h_comp :
  ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) a =
      (toSpanSingleton ℝ x) (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a)
⊢ (fun a => ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)) a • x) =ᵐ[μ]
    ↑↑(compLp (toSpanSingleton ℝ x) ↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1)))

Next tactic:
rw [← EventuallyEq] at h_comp