l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
this :
  (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
      ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
          ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
            ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                    (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                      (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
rw [this]
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; 

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
this :
  (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
    ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
      ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
          ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
            ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                    (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                      (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv)
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
            (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
              ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                  (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                      (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                        (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
clear this
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; clear this
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
            (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
              ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                  (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                      (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                        (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
slice_lhs 2 4 => rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, tensor_μ_def₁, tensor_comp, tensor_comp]
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; clear this
  slice_lhs 2 4 => rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, tensor_μ_def₁, tensor_comp, tensor_comp]
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      (((((((((((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
                          ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ Y₁).hom ⊗ 𝟙 Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃))) ≫
                        (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv) ≫
                      ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                    ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                  (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom)) ≫
              (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom)) ≫
            (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv) ≫
          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom)) ≫
        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
slice_lhs 4 5 => rw [← tensor_id, associator_inv_naturality]
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; clear this
  slice_lhs 2 4 => rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, tensor_μ_def₁, tensor_comp, tensor_comp]
  slice_lhs 4 5 => rw [← tensor_id, associator_inv_naturality]
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (((((((((α_ (X₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫ (((𝟙 X₁ ⊗ (β_ X₂ Y₁).hom ⊗ 𝟙 Y₂) ⊗ 𝟙 X₃) ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                          ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                      (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom)) ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom)) ≫
                (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv) ≫
              (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom)) ≫
            (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
slice_lhs 5 6 => rw [← tensor_comp, associator_naturality, tensor_comp]
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; clear this
  slice_lhs 2 4 => rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, tensor_μ_def₁, tensor_comp, tensor_comp]
  slice_lhs 4 5 => rw [← tensor_id, associator_inv_naturality]
  slice_lhs 5 6 => rw [← tensor_comp, associator_naturality, tensor_comp]
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
      ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            (((((((((α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ ((β_ X₂ Y₁).hom ⊗ 𝟙 Y₂) ⊗ 𝟙 X₃) ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                          ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃)) ≫
                        (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                      (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom)) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom)) ≫
                  (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv) ≫
                (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom)) ≫
              (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) =
    ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
      tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃))

Next tactic:
slice_lhs 6 7 =>
    rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, associator_naturality, tensor_comp, tensor_comp]
set_option maxHeartbeats 400000 in
theorem associator_monoidal (X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C) :
    tensor_μ C (X₁ ⊗ X₂, X₃) (Y₁ ⊗ Y₂, Y₃) ≫
        (tensor_μ C (X₁, X₂) (Y₁, Y₂) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫ (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ X₂ X₃).hom ⊗ (α_ Y₁ Y₂ Y₃).hom) ≫
        tensor_μ C (X₁, X₂ ⊗ X₃) (Y₁, Y₂ ⊗ Y₃) ≫ (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ tensor_μ C (X₂, X₃) (Y₂, Y₃)) := by
  have :
    (α_ (X₁ ⊗ Y₁) (X₂ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom =
      ((α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                (α_ X₁ ((Y₁ ⊗ X₂) ⊗ Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom ≫
                  (𝟙 X₁ ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ X₂) (Y₂ ⊗ X₃) Y₃).hom) ≫
                    (𝟙 X₁ ⊗ (α_ Y₁ X₂ ((Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom) ≫
                      (α_ X₁ Y₁ (X₂ ⊗ (Y₂ ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).inv ≫
                        (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₂ X₃ Y₃).hom) ≫
                          (𝟙 (X₁ ⊗ Y₁) ⊗ (α_ X₂ Y₂ (X₃ ⊗ Y₃)).inv) :=
    by pure_coherence
  rw [this]; clear this
  slice_lhs 2 4 => rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, tensor_μ_def₁, tensor_comp, tensor_comp]
  slice_lhs 4 5 => rw [← tensor_id, associator_inv_naturality]
  slice_lhs 5 6 => rw [← tensor_comp, associator_naturality, tensor_comp]
  slice_lhs 6 7 =>
    rw [← tensor_comp, ← tensor_comp, associator_naturality, tensor_comp, tensor_comp]
  have :
    ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
          (α_ (X₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
            ((α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (X₂ ⊗ Y₁) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) =
      (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom ≫
        (𝟙 (X₁ ⊗ X₂) ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv) ≫
          (α_ X₁ X₂ (((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom ≫
            (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) Y₃).inv) ≫
              (α_ X₁ (X₂ ⊗ (Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) Y₃).inv ≫
                ((𝟙 X₁ ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₁ Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫
                  ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ (Y₂ ⊗ X₃)).inv) ⊗ 𝟙 Y₃) :=
    by 

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝⁷ : MonoidalCategory C
inst✝⁶ : BraidedCategory C
D : Type u₂
inst✝⁵ : Category.{v₂, u₂} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : BraidedCategory D
E : Type u₃
inst✝² : Category.{v₃, u₃} E
inst✝¹ : MonoidalCategory E
inst✝ : BraidedCategory E
X₁ X₂ X₃ Y₁ Y₂ Y₃ : C
⊢ ((α_ X₁ X₂ (Y₁ ⊗ Y₂)).hom ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
      ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ Y₂).inv) ⊗ 𝟙 (X₃ ⊗ Y₃)) ≫
        (α_ (X₁ ⊗ (X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv ≫
          ((α_ X₁ ((X₂ ⊗ Y₁) ⊗ Y₂) X₃).hom ⊗ 𝟙 Y₃) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ (X₂ ⊗ Y₁) Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) =
    (α_ (X₁ ⊗ X₂) (Y₁ ⊗ Y₂) (X₃ ⊗ Y₃)).hom ≫
      (𝟙 (X₁ ⊗ X₂) ⊗ (α_ (Y₁ ⊗ Y₂) X₃ Y₃).inv) ≫
        (α_ X₁ X₂ (((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) ⊗ Y₃)).hom ≫
          (𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ ((Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) Y₃).inv) ≫
            (α_ X₁ (X₂ ⊗ (Y₁ ⊗ Y₂) ⊗ X₃) Y₃).inv ≫
              ((𝟙 X₁ ⊗ 𝟙 X₂ ⊗ (α_ Y₁ Y₂ X₃).hom) ⊗ 𝟙 Y₃) ≫ ((𝟙 X₁ ⊗ (α_ X₂ Y₁ (Y₂ ⊗ X₃)).inv) ⊗ 𝟙 Y₃)

Next tactic:
pure_coherence
instance : SMulHomClass (X →[M'] Y) M' X Y where
  coe := MulActionHom.toFun
  coe_injective' f g h := by 

Proof state:
M' : Type u_1
X : Type u_2
inst✝²³ : SMul M' X
Y : Type u_3
inst✝²² : SMul M' Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SMul M' Z
M : Type u_5
inst✝²⁰ : Monoid M
A : Type u_6
inst✝¹⁹ : AddMonoid A
inst✝¹⁸ : DistribMulAction M A
A' : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddGroup A'
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M A'
B : Type u_8
inst✝¹⁵ : AddMonoid B
inst✝¹⁴ : DistribMulAction M B
B' : Type u_9
inst✝¹³ : AddGroup B'
inst✝¹² : DistribMulAction M B'
C : Type u_10
inst✝¹¹ : AddMonoid C
inst✝¹⁰ : DistribMulAction M C
R : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction M S
S' : Type u_14
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction M S'
T : Type u_15
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction M T
f g : X →[M'] Y
h : f.toFun = g.toFun
⊢ f = g

Next tactic:
cases f
instance : SMulHomClass (X →[M'] Y) M' X Y where
  coe := MulActionHom.toFun
  coe_injective' f g h := by cases f; 

Proof state:
case mk
M' : Type u_1
X : Type u_2
inst✝²³ : SMul M' X
Y : Type u_3
inst✝²² : SMul M' Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SMul M' Z
M : Type u_5
inst✝²⁰ : Monoid M
A : Type u_6
inst✝¹⁹ : AddMonoid A
inst✝¹⁸ : DistribMulAction M A
A' : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddGroup A'
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M A'
B : Type u_8
inst✝¹⁵ : AddMonoid B
inst✝¹⁴ : DistribMulAction M B
B' : Type u_9
inst✝¹³ : AddGroup B'
inst✝¹² : DistribMulAction M B'
C : Type u_10
inst✝¹¹ : AddMonoid C
inst✝¹⁰ : DistribMulAction M C
R : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction M S
S' : Type u_14
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction M S'
T : Type u_15
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction M T
g : X →[M'] Y
toFun✝ : X → Y
map_smul'✝ : ∀ (m : M') (x : X), toFun✝ (m • x) = m • toFun✝ x
h : { toFun := toFun✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun = g.toFun
⊢ { toFun := toFun✝, map_smul' := map_smul'✝ } = g

Next tactic:
cases g
instance : SMulHomClass (X →[M'] Y) M' X Y where
  coe := MulActionHom.toFun
  coe_injective' f g h := by cases f; cases g; 

Proof state:
case mk.mk
M' : Type u_1
X : Type u_2
inst✝²³ : SMul M' X
Y : Type u_3
inst✝²² : SMul M' Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SMul M' Z
M : Type u_5
inst✝²⁰ : Monoid M
A : Type u_6
inst✝¹⁹ : AddMonoid A
inst✝¹⁸ : DistribMulAction M A
A' : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddGroup A'
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M A'
B : Type u_8
inst✝¹⁵ : AddMonoid B
inst✝¹⁴ : DistribMulAction M B
B' : Type u_9
inst✝¹³ : AddGroup B'
inst✝¹² : DistribMulAction M B'
C : Type u_10
inst✝¹¹ : AddMonoid C
inst✝¹⁰ : DistribMulAction M C
R : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction M S
S' : Type u_14
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction M S'
T : Type u_15
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction M T
toFun✝¹ : X → Y
map_smul'✝¹ : ∀ (m : M') (x : X), toFun✝¹ (m • x) = m • toFun✝¹ x
toFun✝ : X → Y
map_smul'✝ : ∀ (m : M') (x : X), toFun✝ (m • x) = m • toFun✝ x
h : { toFun := toFun✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ }.toFun = { toFun := toFun✝, map_smul' := map_smul'✝ }.toFun
⊢ { toFun := toFun✝¹, map_smul' := map_smul'✝¹ } = { toFun := toFun✝, map_smul' := map_smul'✝ }

Next tactic:
congr
/-- Composition of two equivariant maps. -/
def comp (g : Y →[M'] Z) (f : X →[M'] Y) : X →[M'] Z :=
  ⟨g ∘ f, fun m x =>
    calc
      g (f (m • x)) = g (m • f x) := by 

Proof state:
M' : Type u_1
X : Type u_2
inst✝²³ : SMul M' X
Y : Type u_3
inst✝²² : SMul M' Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SMul M' Z
M : Type u_5
inst✝²⁰ : Monoid M
A : Type u_6
inst✝¹⁹ : AddMonoid A
inst✝¹⁸ : DistribMulAction M A
A' : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddGroup A'
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M A'
B : Type u_8
inst✝¹⁵ : AddMonoid B
inst✝¹⁴ : DistribMulAction M B
B' : Type u_9
inst✝¹³ : AddGroup B'
inst✝¹² : DistribMulAction M B'
C : Type u_10
inst✝¹¹ : AddMonoid C
inst✝¹⁰ : DistribMulAction M C
R : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction M S
S' : Type u_14
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction M S'
T : Type u_15
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction M T
g : Y →[M'] Z
f : X →[M'] Y
m : M'
x : X
⊢ g (f (m • x)) = g (m • f x)

Next tactic:
rw [f.map_smul]
@[simp]
theorem id_comp (f : X →[M'] Y) : (MulActionHom.id M').comp f = f :=
  ext fun x => by 

Proof state:
M' : Type u_1
X : Type u_2
inst✝²³ : SMul M' X
Y : Type u_3
inst✝²² : SMul M' Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SMul M' Z
M : Type u_5
inst✝²⁰ : Monoid M
A : Type u_6
inst✝¹⁹ : AddMonoid A
inst✝¹⁸ : DistribMulAction M A
A' : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddGroup A'
inst✝¹⁶ : DistribMulAction M A'
B : Type u_8
inst✝¹⁵ : AddMonoid B
inst✝¹⁴ : DistribMulAction M B
B' : Type u_9
inst✝¹³ : AddGroup B'
inst✝¹² : DistribMulAction M B'
C : Type u_10
inst✝¹¹ : AddMonoid C
inst✝¹⁰ : DistribMulAction M C
R : Type u_11
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : MulSemiringAction M R
R' : Type u_12
inst✝⁷ : Ring R'
inst✝⁶ : MulSemiringAction M R'
S : Type u_13
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : MulSemiringAction M S
S' : Type u_14
inst✝³ : Ring S'
inst✝² : MulSemiringAction M S'
T : Type u_15
inst✝¹ : Semiring T
inst✝ : MulSemiringAction M T
f : X →[M'] Y
x : X
⊢ (comp (MulActionHom.id M') f) x = f x

Next tactic:
rw [comp_apply, id_apply]