l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((⇑s - ⇑t) x)) x₀

Next tactic:
have hs := s.contMDiff x₀
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((⇑s - ⇑t) x)) x₀

Next tactic:
have ht := t.contMDiff x₀
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀
ht : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (t x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((⇑s - ⇑t) x)) x₀

Next tactic:
rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := s x }).2) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := t x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (⇑s - ⇑t) x }).2) x₀

Next tactic:
set e := trivializationAt F V x₀
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (⇑s - ⇑t) x }).2) x₀

Next tactic:
refine' (hs.sub ht).congr_of_eventuallyEq _
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (hs.sub ht).congr_of_eventuallyEq _
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x₀
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (⇑s - ⇑t) x }).2) =ᶠ[nhds x₀] fun x =>
    (↑e { proj := x, snd := s x }).2 - (↑e { proj := x, snd := t x }).2

Next tactic:
refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (hs.sub ht).congr_of_eventuallyEq _
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x₀
⊢ ∀ x ∈ e.baseSet,
    (fun x => (↑e { proj := x, snd := (⇑s - ⇑t) x }).2) x =
      (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2 - (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x

Next tactic:
intro x hx
instance instSub : Sub Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun s t => ⟨s - t, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  have ht := t.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ht ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (hs.sub ht).congr_of_eventuallyEq _
  refine' eventually_of_mem (e.open_baseSet.mem_nhds <| mem_baseSet_trivializationAt F V x₀) _
  intro x hx
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t✝ s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
ht : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x₀
x : M
hx : x ∈ e.baseSet
⊢ (fun x => (↑e { proj := x, snd := (⇑s - ⇑t) x }).2) x =
    (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2 - (↑e { proj := x, snd := t x }).2) x

Next tactic:
apply (e.linear 𝕜 hx).map_sub
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯

Next tactic:
refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
⊢ ContMDiff I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ⇑s) x)

Next tactic:
intro x₀
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ⇑s) x)) x₀

Next tactic:
have hs := s.contMDiff x₀
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x (s x)) x₀
⊢ ContMDiffAt I (ModelWithCorners.prod I 𝓘(𝕜, F)) n (fun x => TotalSpace.mk' F x ((c • ⇑s) x)) x₀

Next tactic:
rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑(trivializationAt F V x₀) { proj := x, snd := (c • ⇑s) x }).2) x₀

Next tactic:
set e := trivializationAt F V x₀
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := (c • ⇑s) x }).2) x₀

Next tactic:
refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
instance instSMul : SMul 𝕜 Cₛ^n⟮I; F, V⟯ := by
  refine' ⟨fun c s => ⟨c • ⇑s, _⟩⟩
  intro x₀
  have hs := s.contMDiff x₀
  rw [contMDiffAt_section] at hs ⊢
  set e := trivializationAt F V x₀
  refine' (contMDiffAt_const.smul hs).congr_of_eventuallyEq _
  · 

Proof state:
case refine'_1
𝕜 : Type u_1
inst✝²⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_3
inst✝²² : NormedAddCommGroup E'
inst✝²¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H : Type u_4
inst✝²⁰ : TopologicalSpace H
H' : Type u_5
inst✝¹⁹ : TopologicalSpace H'
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_6
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁷ : ChartedSpace H M
M' : Type u_7
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝¹⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝¹² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M''
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H'' M''
inst✝⁹ : SmoothManifoldWithCorners I M
F : Type u_11
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
V : M → Type u_12
inst✝⁶ : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst✝⁵ : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst✝⁴ : (x : M) → Module 𝕜 (V x)
inst✝³ : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst✝² : FiberBundle F V
inst✝¹ : VectorBundle 𝕜 F V
inst✝ : SmoothVectorBundle F V I
s✝ t : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
c : 𝕜
s : Cₛ^n⟮I; F, V⟯
x₀ : M
e : Trivialization F TotalSpace.proj := trivializationAt F V x₀
hs : ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, F) n (fun x => (↑e { proj := x, snd := s x }).2) x₀
⊢ 𝕜

Next tactic:
exact c