l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem set_integral_condexpL2_indicator (hs : MeasurableSet[m] s) (ht : MeasurableSet t)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (hμt : μ t ≠ ∞) :
    ∫ x in s, (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 ht hμt 1) : α → ℝ) x ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal :=
  calc
    ∫ x in s, (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 ht hμt 1) : α → ℝ) x ∂μ =
        ∫ x in s, indicatorConstLp 2 ht hμt (1 : ℝ) x ∂μ :=
      @integral_condexpL2_eq α _ ℝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ hm (indicatorConstLp 2 ht hμt (1 : ℝ)) hs hμs
    _ = (μ (t ∩ s)).toReal • (1 : ℝ) := (set_integral_indicatorConstLp (hm s hs) ht hμt 1)
    _ = (μ (t ∩ s)).toReal := by 

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
⊢ ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • 1 = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s))

Next tactic:
rw [smul_eq_mul, mul_one]
theorem set_integral_condexpIndSMul (hs : MeasurableSet[m] s) (ht : MeasurableSet t)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (hμt : μ t ≠ ∞) (x : G') :
    ∫ a in s, (condexpIndSMul hm ht hμt x) a ∂μ = (μ (t ∩ s)).toReal • x :=
  calc
    ∫ a in s, (condexpIndSMul hm ht hμt x) a ∂μ =
        ∫ a in s, (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 ht hμt 1) : α → ℝ) a • x ∂μ :=
      set_integral_congr_ae (hm s hs)
        ((condexpIndSMul_ae_eq_smul hm ht hμt x).mono fun x hx _ => hx)
    _ = (∫ a in s, (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 ht hμt 1) : α → ℝ) a ∂μ) • x :=
      (integral_smul_const _ x)
    _ = (μ (t ∩ s)).toReal • x := by 

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁹ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁶ : CompleteSpace E
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹³ : CompleteSpace E'
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁶ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁵ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝² : CompleteSpace E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E''
inst✝ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
ht : MeasurableSet t
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
hμt : ↑↑μ t ≠ ⊤
x : G'
⊢ (∫ (a : α) in s, ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 ht hμt 1)) a ∂μ) • x = ENNReal.toReal (↑↑μ (t ∩ s)) • x

Next tactic:
rw [set_integral_condexpL2_indicator hs ht hμs hμt]
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))

Next tactic:
have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))

Next tactic:
refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h

Next tactic:
refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ 0 ≤ᵐ[Measure.trim μ hm] AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h

Next tactic:
refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α),
    MeasurableSet s_1 →
      ↑↑(Measure.trim μ hm) s_1 < ⊤ →
        IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h) s_1

Next tactic:
rintro t - -
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
⊢ IntegrableOn (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h) t

Next tactic:
refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h)

Next tactic:
refine' Integrable.trim hm _ _
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    refine' Integrable.trim hm _ _
    · 

Proof state:
case refine'_1.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
⊢ Integrable (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h)

Next tactic:
rw [integrable_congr h.ae_eq_mk.symm]
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    refine' Integrable.trim hm _ _
    · rw [integrable_congr h.ae_eq_mk.symm]
      

Proof state:
case refine'_1.refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
⊢ Integrable ↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))

Next tactic:
exact integrable_condexpL2_indicator hm hs hμs _
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    refine' Integrable.trim hm _ _
    · rw [integrable_congr h.ae_eq_mk.symm]
      exact integrable_condexpL2_indicator hm hs hμs _
    · 

Proof state:
case refine'_1.refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
⊢ StronglyMeasurable (AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h)

Next tactic:
exact h.stronglyMeasurable_mk
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    refine' Integrable.trim hm _ _
    · rw [integrable_congr h.ae_eq_mk.symm]
      exact integrable_condexpL2_indicator hm hs hμs _
    · exact h.stronglyMeasurable_mk
  · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
⊢ ∀ (s_1 : Set α),
    MeasurableSet s_1 →
      ↑↑(Measure.trim μ hm) s_1 < ⊤ →
        0 ≤
          ∫ (x : α) in s_1,
            AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h x ∂Measure.trim μ hm

Next tactic:
intro t ht hμt
theorem condexpL2_indicator_nonneg (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    [SigmaFinite (μ.trim hm)] : (0 : α → ℝ) ≤ᵐ[μ]
    condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) := by
  have h : AEStronglyMeasurable' m (condexpL2 ℝ ℝ hm (indicatorConstLp 2 hs hμs 1) : α → ℝ) μ :=
    aeStronglyMeasurable'_condexpL2 _ _
  refine' EventuallyLE.trans_eq _ h.ae_eq_mk.symm
  refine' @ae_le_of_ae_le_trim _ _ _ _ _ _ hm (0 : α → ℝ) _ _
  refine' ae_nonneg_of_forall_set_integral_nonneg_of_sigmaFinite _ _
  · rintro t - -
    refine @Integrable.integrableOn _ _ m _ _ _ _ ?_
    refine' Integrable.trim hm _ _
    · rw [integrable_congr h.ae_eq_mk.symm]
      exact integrable_condexpL2_indicator hm hs hμs _
    · exact h.stronglyMeasurable_mk
  · intro t ht hμt
    

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
E : Type u_2
E' : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝²⁰ : IsROrC 𝕜
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹⁷ : CompleteSpace E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁴ : CompleteSpace E'
inst✝¹³ : NormedSpace ℝ E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁷ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t✝ : Set α
E'' : Type u_8
𝕜' : Type u_9
inst✝⁶ : IsROrC 𝕜'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜' E''
inst✝³ : CompleteSpace E''
inst✝² : NormedSpace ℝ E''
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm✝ hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
h : AEStronglyMeasurable' m (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) μ
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : ↑↑(Measure.trim μ hm) t < ⊤
⊢ 0 ≤
    ∫ (x : α) in t,
      AEStronglyMeasurable'.mk (↑↑↑((condexpL2 ℝ ℝ hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs 1))) h x ∂Measure.trim μ hm

Next tactic:
rw [← set_integral_trim hm h.stronglyMeasurable_mk ht]