theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux, AssociatorBimod.hom]
  refine' (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorLeft_map]
  slice_rhs 1 3 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
      (f.hom ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair
            (M'.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
              (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
          WalkingParallelPair.one =
    (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫
          (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
              (𝟙 (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
            (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
              (𝟙 (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
            ((colimMap
                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                    (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                    (_ :
                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                    (_ :
                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                𝟙 Y.X) ⊗
              𝟙 P.X)
            (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X)
                  ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                  (_ :
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                  (_ :
                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
              𝟙 P.X)
            (_ :
              ((mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                        (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗
                    𝟙 P.X) ≫
                  ((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                    (𝟙 P).hom) =
                (((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      𝟙 Y.X) ⊗
                    (𝟙 P).hom) ≫
                  ((mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                        (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗
                    𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_
                        (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                            (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X
                        Y.X P.X).hom ≫
                    (𝟙
                        (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                            (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                      P.actLeft)) ≫
                  ((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                    (𝟙 P).hom) =
                (((Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                              (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                              (_ :
                                (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                              (_ :
                                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                      𝟙 Y.X) ⊗
                    (𝟙 P).hom) ≫
                  (α_
                        (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                            (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X
                        Y.X P.X).hom ≫
                    (𝟙
                        (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                            (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                      P.actLeft)))) ≫
      coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P)
        (_ :
          ((tensorBimod M' N).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ AssociatorBimod.homAux M' N P =
            ((α_ (tensorBimod M' N).X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M' N).X ⊗ P.actLeft)) ≫
              AssociatorBimod.homAux M' N P)

Next tactic:
slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]