l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
this : ↑(l z) ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
⊢ ↑(l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
this : ∃ l_1 ∈ Finsupp.supported R R p, (Finsupp.total A A R _root_.id) l_1 = ↑(l z)
⊢ ↑(l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.total A A R _root_.id) l2 = ↑(l z)
⊢ ↑(l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
have := @Finsupp.total_apply A A R
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.total A A R _root_.id) l2 = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ↑(l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
rw [this] at hl
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    rw [this] at hl
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ↑(l z) * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    rw [this] at hl
    rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ (Finsupp.sum l2 fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) ∈ span R (p * q)

Next tactic:
refine' sum_mem _
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    rw [this] at hl
    rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
    refine' sum_mem _
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
⊢ ∀ c ∈ l2.support, (fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) c (l2 c) ∈ span R (p * q)

Next tactic:
intro t ht
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    rw [this] at hl
    rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
    refine' sum_mem _
    intro t ht
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t✝)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ (fun a c => c • _root_.id a * _root_.id z) t (l2 t) ∈ span R (p * q)

Next tactic:
change _ * _ ∈ _
theorem fg_trans (h1 : (adjoin R s).toSubmodule.FG) (h2 : (adjoin (adjoin R s) t).toSubmodule.FG) :
    (adjoin R (s ∪ t)).toSubmodule.FG := by
  rcases fg_def.1 h1 with ⟨p, hp, hp'⟩
  rcases fg_def.1 h2 with ⟨q, hq, hq'⟩
  refine' fg_def.2 ⟨p * q, hp.mul hq, le_antisymm _ _⟩
  · rw [span_le]
    rintro _ ⟨x, y, hx, hy, rfl⟩
    change x * y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    refine' Subalgebra.mul_mem _ _ _
    · have : x ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := by
        rw [← hp']
        exact subset_span hx
      exact adjoin_mono (Set.subset_union_left _ _) this
    have : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) := by
      rw [← hq']
      exact subset_span hy
    change y ∈ adjoin R (s ∪ t)
    rwa [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin]
  · intro r hr
    change r ∈ adjoin R (s ∪ t) at hr
    rw [adjoin_union_eq_adjoin_adjoin] at hr
    change r ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin (adjoin R s) t) at hr
    rw [← hq', ← Set.image_id q, Finsupp.mem_span_image_iff_total (adjoin R s)] at hr
    rcases hr with ⟨l, hlq, rfl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A (adjoin R s)
    rw [this, Finsupp.sum]
    refine' sum_mem _
    intro z hz
    change (l z).1 * _ ∈ _
    have : (l z).1 ∈ Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s) := (l z).2
    rw [← hp', ← Set.image_id p, Finsupp.mem_span_image_iff_total R] at this
    rcases this with ⟨l2, hlp, hl⟩
    have := @Finsupp.total_apply A A R
    rw [this] at hl
    rw [← hl, Finsupp.sum_mul]
    refine' sum_mem _
    intro t ht
    change _ * _ ∈ _
    

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine'_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
s t✝ : Set A
h1 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s))
h2 : FG (Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t✝))
p : Set A
hp : Set.Finite p
hp' : span R p = Subalgebra.toSubmodule (adjoin R s)
q : Set A
hq : Set.Finite q
hq' : span (↥(adjoin R s)) q = Subalgebra.toSubmodule (adjoin (↥(adjoin R s)) t✝)
l : A →₀ ↥(adjoin R s)
hlq : l ∈ Finsupp.supported (↥(adjoin R s)) (↥(adjoin R s)) q
this✝ :
  ∀ [inst : Semiring ↥(adjoin R s)] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module (↥(adjoin R s)) A] {v : A → A}
    (l : A →₀ ↥(adjoin R s)), (Finsupp.total A A (↥(adjoin R s)) v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
z : A
hz : z ∈ l.support
l2 : A →₀ R
hlp : l2 ∈ Finsupp.supported R R p
hl : (Finsupp.sum l2 fun i a => a • _root_.id i) = ↑(l z)
this :
  ∀ [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid A] [inst_2 : Module R A] {v : A → A} (l : A →₀ R),
    (Finsupp.total A A R v) l = Finsupp.sum l fun i a => a • v i
t : A
ht : t ∈ l2.support
⊢ l2 t • _root_.id t * _root_.id z ∈ span R (p * q)

Next tactic:
rw [smul_mul_assoc]