l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    

Proof state:
case h.refine'_1.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
hx_fst : x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1

Next tactic:
refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    

Proof state:
case h.refine'_1.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
hx_fst : x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x✝ ∈ openSegment 𝕜 (x₁, x✝.2) (x₂, x✝.2)

Next tactic:
rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    

Proof state:
case h.refine'_1.left
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : E
hx₁ : x₁ ∈ s
x₂ : E
hx₂ : x₂ ∈ s
hx_fst : x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x✝ ∈ (fun x => (x, x✝.2)) '' openSegment 𝕜 x₁ x₂

Next tactic:
exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · 

Proof state:
case h.refine'_1.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
⊢ ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2

Next tactic:
rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    

Proof state:
case h.refine'_1.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : F
hx₁ : x₁ ∈ t
x₂ : F
hx₂ : x₂ ∈ t
hx_snd : x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2

Next tactic:
refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
    

Proof state:
case h.refine'_1.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : F
hx₁ : x₁ ∈ t
x₂ : F
hx₂ : x₂ ∈ t
hx_snd : x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x✝ ∈ openSegment 𝕜 (x✝.1, x₁) (x✝.1, x₂)

Next tactic:
rw [← Prod.image_mk_openSegment_right]
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_right]
    

Proof state:
case h.refine'_1.right
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h : ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝
x₁ : F
hx₁ : x₁ ∈ t
x₂ : F
hx₂ : x₂ ∈ t
hx_snd : x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x✝ ∈ (fun y => (x✝.1, y)) '' openSegment 𝕜 x₁ x₂

Next tactic:
exact ⟨_, hx_snd, rfl⟩
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_right]
    exact ⟨_, hx_snd, rfl⟩
  · 

Proof state:
case h.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h :
  (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧
    ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2
⊢ ∀ ⦃x₁ : E × F⦄, x₁ ∈ s ×ˢ t → ∀ ⦃x₂ : E × F⦄, x₂ ∈ s ×ˢ t → x✝ ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝

Next tactic:
rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ ⟨a, b, ha, hb, hab, hx'⟩
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_right]
    exact ⟨_, hx_snd, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ ⟨a, b, ha, hb, hab, hx'⟩
    

Proof state:
case h.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h :
  (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧
    ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2
x₁ : E × F
hx₁ : x₁ ∈ s ×ˢ t
x₂ : E × F
hx₂ : x₂ ∈ s ×ˢ t
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : a • x₁ + b • x₂ = x✝
⊢ x₁ = x✝ ∧ x₂ = x✝

Next tactic:
simp_rw [Prod.ext_iff]
@[simp]
theorem extremePoints_prod (s : Set E) (t : Set F) :
    (s ×ˢ t).extremePoints 𝕜 = s.extremePoints 𝕜 ×ˢ t.extremePoints 𝕜 := by
  ext
  refine' (and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h ↦ _, fun h ↦ _⟩).trans and_and_and_comm
  constructor
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_fst
    refine' (h (mk_mem_prod hx₁ hx.2) (mk_mem_prod hx₂ hx.2) _).imp (congr_arg Prod.fst)
        (congr_arg Prod.fst)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_left]
    exact ⟨_, hx_fst, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hx_snd
    refine' (h (mk_mem_prod hx.1 hx₁) (mk_mem_prod hx.1 hx₂) _).imp (congr_arg Prod.snd)
        (congr_arg Prod.snd)
    rw [← Prod.image_mk_openSegment_right]
    exact ⟨_, hx_snd, rfl⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ ⟨a, b, ha, hb, hab, hx'⟩
    simp_rw [Prod.ext_iff]
    

Proof state:
case h.refine'_2.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : Set E
t : Set F
x✝ : E × F
hx : x✝ ∈ s ×ˢ t
h :
  (∀ ⦃x₁ : E⦄, x₁ ∈ s → ∀ ⦃x₂ : E⦄, x₂ ∈ s → x✝.1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.1 ∧ x₂ = x✝.1) ∧
    ∀ ⦃x₁ : F⦄, x₁ ∈ t → ∀ ⦃x₂ : F⦄, x₂ ∈ t → x✝.2 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x✝.2 ∧ x₂ = x✝.2
x₁ : E × F
hx₁ : x₁ ∈ s ×ˢ t
x₂ : E × F
hx₂ : x₂ ∈ s ×ˢ t
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
hx' : a • x₁ + b • x₂ = x✝
⊢ (x₁.1 = x✝.1 ∧ x₁.2 = x✝.2) ∧ x₂.1 = x✝.1 ∧ x₂.2 = x✝.2

Next tactic:
exact and_and_and_comm.1
        ⟨h.1 hx₁.1 hx₂.1 ⟨a, b, ha, hb, hab, congr_arg Prod.fst hx'⟩,
          h.2 hx₁.2 hx₂.2 ⟨a, b, ha, hb, hab, congr_arg Prod.snd hx'⟩⟩
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x : E
s : (i : ι) → Set (π i)
⊢ extremePoints 𝕜 (pi univ s) = pi univ fun i => extremePoints 𝕜 (s i)

Next tactic:
ext x
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ x ∈ extremePoints 𝕜 (pi univ s) ↔ x ∈ pi univ fun i => extremePoints 𝕜 (s i)

Next tactic:
simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
⊢ ((∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧
      ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
        (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
          ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x) ↔
    (∀ (i : ι), x i ∈ s i) ∧
      ∀ (x_1 : ι), ∀ x₁ ∈ s x_1, ∀ x₂ ∈ s x_1, x x_1 ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x x_1 ∧ x₂ = x x_1

Next tactic:
refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · 

Proof state:
case h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
⊢ ∀ x₁ ∈ s i, ∀ x₂ ∈ s i, x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x i ∧ x₂ = x i

Next tactic:
rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
    

Proof state:
case h.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ = x i ∧ x₂ = x i

Next tactic:
refine' (h (update x i x₁) _ (update x i x₂) _ _).imp (fun h₁ ↦ by rw [← h₁, update_same])
        fun h₂ ↦ by rw [← h₂, update_same]
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
    refine' (h (update x i x₁) _ (update x i x₂) _ _).imp (fun h₁ ↦ by 

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
h₁ : update x i x₁ = x
⊢ x₁ = x i

Next tactic:
rw [← h₁, update_same]
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
    refine' (h (update x i x₁) _ (update x i x₂) _ _).imp (fun h₁ ↦ by rw [← h₁, update_same])
        fun h₂ ↦ by 

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
h₂ : update x i x₂ = x
⊢ x₂ = x i

Next tactic:
rw [← h₂, update_same]
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
    refine' (h (update x i x₁) _ (update x i x₂) _ _).imp (fun h₁ ↦ by rw [← h₁, update_same])
        fun h₂ ↦ by rw [← h₂, update_same]
    

Proof state:
case h.refine'_1.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₁ i_1 ∈ s i_1
case h.refine'_1.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₂ i_1 ∈ s i_1
case h.refine'_1.refine'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Next tactic:
iterate 2
      rintro j
      obtain rfl | hji := eq_or_ne j i
      · rwa [update_same]
      · rw [update_noteq hji]
        exact hx _
@[simp]
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜 := by
  ext x
  simp only [mem_extremePoints, mem_pi, mem_univ, true_imp_iff, @forall_and ι]
  refine' and_congr_right fun hx ↦ ⟨fun h i ↦ _, fun h ↦ _⟩
  · rintro x₁ hx₁ x₂ hx₂ hi
    refine' (h (update x i x₁) _ (update x i x₂) _ _).imp (fun h₁ ↦ by rw [← h₁, update_same])
        fun h₂ ↦ by rw [← h₂, update_same]
    iterate 2
      

Proof state:
case h.refine'_1.refine'_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₁ i_1 ∈ s i_1
case h.refine'_1.refine'_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₂ i_1 ∈ s i_1
case h.refine'_1.refine'_3
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 F
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
A B : Set E
x✝ : E
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Next tactic:
rintro j