l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
    (colimMap
        (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X)
          ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
          (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
          (_ :
            ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
              (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))) ⊗
      𝟙 P.X)
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| colimit.ι
    (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
      ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
    WalkingParallelPair.one

Next tactic:
rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        ((𝟙 M.X ⊗
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                  (_ :
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                  (_ :
                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                      ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
                ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P)))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P

Next tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      ((𝟙 M.X ⊗
            (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P)))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.inv M N' P

Next tactic:
dsimp [AssociatorBimod.inv]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      ((𝟙 M.X ⊗
            (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))
                WalkingParallelPair.one) ≫
          colimit.ι
            (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P)))
            WalkingParallelPair.one) ≫
        coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N' P)
          (_ :
            (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N' P).X) ≫ AssociatorBimod.invAux M N' P =
              ((α_ M.X X.X (tensorBimod N' P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N' P).actLeft)) ≫
                AssociatorBimod.invAux M N' P)

Next tactic:
slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => 

Proof state:
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| colimit.ι
      (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
        ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P)))
      WalkingParallelPair.one ≫
    coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N' P)
      (_ :
        (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N' P).X) ≫ AssociatorBimod.invAux M N' P =
          ((α_ M.X X.X (tensorBimod N' P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N' P).actLeft)) ≫
            AssociatorBimod.invAux M N' P)
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (α_ M.X N.X P.X).hom
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| 𝟙 M.X ⊗
    (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one

Next tactic:
rw [coequalizer.π_desc]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (𝟙 M.X ⊗
          (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.invAux M N' P

Next tactic:
dsimp [AssociatorBimod.invAux]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (𝟙 M.X ⊗ f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
        (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
          (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))

Next tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 2 3 => 

Proof state:
case a.a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (𝟙 M.X ⊗ f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (α_ M.X N'.X P.X).inv
case a.a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
    ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (α_ M.X N.X P.X).hom

Next tactic:
rw [associator_inv_naturality]
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 2 3 => rw [associator_inv_naturality]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ⊗ 𝟙 P.X)) ≫
          (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X)) ≫
        coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))

Next tactic:
slice_rhs 1 3 => rw [Iso.hom_inv_id_assoc]