@[simp]
theorem prime_of_aleph0_le (ha : ℵ₀ ≤ a) : Prime a := by
  refine' ⟨(aleph0_pos.trans_le ha).ne', _, fun b c hbc => _⟩
  · rw [isUnit_iff]
    exact (one_lt_aleph0.trans_le ha).ne'
  rcases eq_or_ne (b * c) 0 with hz | hz
  · rcases mul_eq_zero.mp hz with (rfl | rfl) <;> simp
  wlog h : c ≤ b
  · cases le_total c b <;> [skip; rw [or_comm]] <;> apply_assumption
    

Proof state:
case refine'_2.inr.inr.inl.b
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ Cardinal.{u}
case refine'_2.inr.inr.inl.n
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℕ
case refine'_2.inr.inr.inl.m
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℕ
case refine'_2.inr.inr.inl.ha
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℵ₀ ≤ a
case refine'_2.inr.inr.inl.hbc
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ a ∣ b * c
case refine'_2.inr.inr.inl.hz
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ b * c ≠ 0
case refine'_2.inr.inr.inl.h
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : c ≤ b
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ c ≤ b
case refine'_2.inr.inr.inr.b
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ Cardinal.{u}
case refine'_2.inr.inr.inr.n
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℕ
case refine'_2.inr.inr.inr.m
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℕ
case refine'_2.inr.inr.inr.ha
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ ℵ₀ ≤ a
case refine'_2.inr.inr.inr.hbc
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ a ∣ c * b
case refine'_2.inr.inr.inr.hz
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ c * b ≠ 0
case refine'_2.inr.inr.inr.h
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
ha : ℵ₀ ≤ a
b c : Cardinal.{u}
hbc : a ∣ b * c
hz : b * c ≠ 0
this :
  ∀ {a : Cardinal.{u}} {b : Cardinal.{u}} {n m : ℕ},
    ℵ₀ ≤ a → ∀ (b c : Cardinal.{u}), a ∣ b * c → b * c ≠ 0 → c ≤ b → a ∣ b ∨ a ∣ c
h : ¬c ≤ b
h✝ : b ≤ c
hz_symm : 0 ≠ b * c
⊢ b ≤ c

Next tactic:
assumption'