/-- Auxiliary definition for `unit'` -/
def app' (Y : ModuleCat S) : Y →ₗ[S] (restrictScalars f ⋙ coextendScalars f).obj Y :=
  { toFun := fun y : Y =>
      { toFun := fun s : S => (s • y : Y)
        map_add' := fun s s' => add_smul _ _ _
        map_smul' := fun r (s : S) => by
          dsimp
          erw [smul_eq_mul, mul_smul]
          simp }
    map_add' := fun y1 y2 =>
      LinearMap.ext fun s : S => by
        -- Porting note: double dsimp seems odd
        dsimp
        rw [LinearMap.add_apply, LinearMap.coe_mk, LinearMap.coe_mk, LinearMap.coe_mk]
        dsimp
        rw [smul_add]
    map_smul' := fun s (y : Y) => LinearMap.ext fun t : S => by
      -- Porting note: used to be simp [mul_smul]
      

Proof state:
R✝ : Type u₁
S✝ : Type u₂
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : CommRing S✝
f✝ : R✝ →+* S✝
R : Type u₁
S : Type u₂
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
Y : ModuleCat S
s : S
y : ↑Y
t : S
⊢ (AddHom.toFun
        {
          toFun := fun y =>
            {
              toAddHom :=
                { toFun := fun s => s • y,
                  map_add' := (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
              map_smul' :=
                (_ :
                  ∀ (r : R) (s : S),
                    AddHom.toFun
                        { toFun := fun s => s • y,
                          map_add' :=
                            (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                        (r • s) =
                      (RingHom.id R) r •
                        AddHom.toFun
                          { toFun := fun s => s • y,
                            map_add' :=
                              (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                          s) },
          map_add' :=
            (_ :
              ∀ (y1 y2 : ↑Y),
                (fun y =>
                      {
                        toAddHom :=
                          { toFun := fun s => s • y,
                            map_add' :=
                              (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                        map_smul' :=
                          (_ :
                            ∀ (r : R) (s : S),
                              AddHom.toFun
                                  { toFun := fun s => s • y,
                                    map_add' :=
                                      (_ :
                                        ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                  (r • s) =
                                (RingHom.id R) r •
                                  AddHom.toFun
                                    { toFun := fun s => s • y,
                                      map_add' :=
                                        (_ :
                                          ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                    s) })
                    (y1 + y2) =
                  (fun y =>
                        {
                          toAddHom :=
                            { toFun := fun s => s • y,
                              map_add' :=
                                (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                          map_smul' :=
                            (_ :
                              ∀ (r : R) (s : S),
                                AddHom.toFun
                                    { toFun := fun s => s • y,
                                      map_add' :=
                                        (_ :
                                          ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                    (r • s) =
                                  (RingHom.id R) r •
                                    AddHom.toFun
                                      { toFun := fun s => s • y,
                                        map_add' :=
                                          (_ :
                                            ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                              (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                      s) })
                      y1 +
                    (fun y =>
                        {
                          toAddHom :=
                            { toFun := fun s => s • y,
                              map_add' :=
                                (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                          map_smul' :=
                            (_ :
                              ∀ (r : R) (s : S),
                                AddHom.toFun
                                    { toFun := fun s => s • y,
                                      map_add' :=
                                        (_ :
                                          ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                    (r • s) =
                                  (RingHom.id R) r •
                                    AddHom.toFun
                                      { toFun := fun s => s • y,
                                        map_add' :=
                                          (_ :
                                            ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                              (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                      s) })
                      y2) }
        (s • y))
      t =
    ((RingHom.id S) s •
        AddHom.toFun
          {
            toFun := fun y =>
              {
                toAddHom :=
                  { toFun := fun s => s • y,
                    map_add' := (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                map_smul' :=
                  (_ :
                    ∀ (r : R) (s : S),
                      AddHom.toFun
                          { toFun := fun s => s • y,
                            map_add' :=
                              (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                          (r • s) =
                        (RingHom.id R) r •
                          AddHom.toFun
                            { toFun := fun s => s • y,
                              map_add' :=
                                (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                            s) },
            map_add' :=
              (_ :
                ∀ (y1 y2 : ↑Y),
                  (fun y =>
                        {
                          toAddHom :=
                            { toFun := fun s => s • y,
                              map_add' :=
                                (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                          map_smul' :=
                            (_ :
                              ∀ (r : R) (s : S),
                                AddHom.toFun
                                    { toFun := fun s => s • y,
                                      map_add' :=
                                        (_ :
                                          ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                    (r • s) =
                                  (RingHom.id R) r •
                                    AddHom.toFun
                                      { toFun := fun s => s • y,
                                        map_add' :=
                                          (_ :
                                            ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                              (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                      s) })
                      (y1 + y2) =
                    (fun y =>
                          {
                            toAddHom :=
                              { toFun := fun s => s • y,
                                map_add' :=
                                  (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                            map_smul' :=
                              (_ :
                                ∀ (r : R) (s : S),
                                  AddHom.toFun
                                      { toFun := fun s => s • y,
                                        map_add' :=
                                          (_ :
                                            ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                              (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                      (r • s) =
                                    (RingHom.id R) r •
                                      AddHom.toFun
                                        { toFun := fun s => s • y,
                                          map_add' :=
                                            (_ :
                                              ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                                (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                        s) })
                        y1 +
                      (fun y =>
                          {
                            toAddHom :=
                              { toFun := fun s => s • y,
                                map_add' :=
                                  (_ : ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))), (s + s') • y = s • y + s' • y) },
                            map_smul' :=
                              (_ :
                                ∀ (r : R) (s : S),
                                  AddHom.toFun
                                      { toFun := fun s => s • y,
                                        map_add' :=
                                          (_ :
                                            ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                              (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                      (r • s) =
                                    (RingHom.id R) r •
                                      AddHom.toFun
                                        { toFun := fun s => s • y,
                                          map_add' :=
                                            (_ :
                                              ∀ (s s' : ↑((restrictScalars f).obj (mk S))),
                                                (s + s') • y = s • y + s' • y) }
                                        s) })
                        y2) }
          y)
      t

Next tactic:
rw [RingHom.id_apply, LinearMap.coe_mk, CoextendScalars.smul_apply', LinearMap.coe_mk]