l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
@[ext high]
theorem ext_ring_op {σ : Rᵐᵒᵖ →+* S} {f g : R →ₛₗ[σ] M₃} (h : f (1 : R) = g (1 : R)) :
    f = g :=
  ext fun x ↦ by
    -- Porting note: replaced the oneliner `rw` proof with a partially term-mode proof
    -- because `rw` was giving "motive is type incorrect" errors
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ f x = g x

Next tactic:
rw [← one_mul x, ← op_smul_eq_mul]
@[ext high]
theorem ext_ring_op {σ : Rᵐᵒᵖ →+* S} {f g : R →ₛₗ[σ] M₃} (h : f (1 : R) = g (1 : R)) :
    f = g :=
  ext fun x ↦ by
    -- Porting note: replaced the oneliner `rw` proof with a partially term-mode proof
    -- because `rw` was giving "motive is type incorrect" errors
    rw [← one_mul x, ← op_smul_eq_mul]
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ f (MulOpposite.op x • 1) = g (MulOpposite.op x • 1)

Next tactic:
refine (f.map_smulₛₗ (MulOpposite.op x) 1).trans ?_
@[ext high]
theorem ext_ring_op {σ : Rᵐᵒᵖ →+* S} {f g : R →ₛₗ[σ] M₃} (h : f (1 : R) = g (1 : R)) :
    f = g :=
  ext fun x ↦ by
    -- Porting note: replaced the oneliner `rw` proof with a partially term-mode proof
    -- because `rw` was giving "motive is type incorrect" errors
    rw [← one_mul x, ← op_smul_eq_mul]
    refine (f.map_smulₛₗ (MulOpposite.op x) 1).trans ?_
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ σ (MulOpposite.op x) • f 1 = g (MulOpposite.op x • 1)

Next tactic:
rw [h]
@[ext high]
theorem ext_ring_op {σ : Rᵐᵒᵖ →+* S} {f g : R →ₛₗ[σ] M₃} (h : f (1 : R) = g (1 : R)) :
    f = g :=
  ext fun x ↦ by
    -- Porting note: replaced the oneliner `rw` proof with a partially term-mode proof
    -- because `rw` was giving "motive is type incorrect" errors
    rw [← one_mul x, ← op_smul_eq_mul]
    refine (f.map_smulₛₗ (MulOpposite.op x) 1).trans ?_
    rw [h]
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring S
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid N₂
inst✝³ : AddCommMonoid N₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R M₂
inst✝ : Module S M₃
σ✝ : R →+* S
fₗ gₗ : M →ₗ[R] M₂
f✝ g✝ : M →ₛₗ[σ✝] M₃
σ : Rᵐᵒᵖ →+* S
f g : R →ₛₗ[σ] M₃
h : f 1 = g 1
x : R
⊢ σ (MulOpposite.op x) • g 1 = g (MulOpposite.op x • 1)

Next tactic:
exact (g.map_smulₛₗ (MulOpposite.op x) 1).symm
/-- Composition of two linear maps is a linear map -/
def comp : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃ where
  toFun := f ∘ g
  map_add' := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
⊢ ∀ (x y : M₁), (⇑f ∘ ⇑g) (x + y) = (⇑f ∘ ⇑g) x + (⇑f ∘ ⇑g) y

Next tactic:
simp only [map_add, forall_const, Function.comp_apply]
/-- Composition of two linear maps is a linear map -/
def comp : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃ where
  toFun := f ∘ g
  map_add' := by simp only [map_add, forall_const, Function.comp_apply]
  map_smul' r x := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
r : R₁
x : M₁
⊢ AddHom.toFun { toFun := ⇑f ∘ ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M₁), f (g (a + a_1)) = f (g a) + f (g a_1)) } (r • x) =
    σ₁₃ r • AddHom.toFun { toFun := ⇑f ∘ ⇑g, map_add' := (_ : ∀ (a a_1 : M₁), f (g (a + a_1)) = f (g a) + f (g a_1)) } x

Next tactic:
simp only [Function.comp_apply, map_smulₛₗ, RingHomCompTriple.comp_apply]
/-- The linear map version of `Function.Injective.comp_left` -/
lemma _root_.Function.Injective.injective_linearMapComp_left (hf : Injective f) :
    Injective fun g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂ ↦ f.comp g :=
  fun g₁ g₂ (h : f.comp g₁ = f.comp g₂) ↦ ext fun x ↦ hf <| by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring S
inst✝⁷ : Semiring R₁
inst✝⁶ : Semiring R₂
inst✝⁵ : Semiring R₃
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
f' : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g' : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
hf : Injective ⇑f
g₁ g₂ : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂
h : comp f g₁ = comp f g₂
x : M₁
⊢ f (g₁ x) = f (g₂ x)

Next tactic:
rw [← comp_apply, h, comp_apply]
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : LeftInverse g ⇑f
h₂ : Function.RightInverse g ⇑f
⊢ M₂ →ₛₗ[σ'] M

Next tactic:
dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
⊢ M₂ →ₛₗ[σ'] M

Next tactic:
exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]; simp [h₂]
      map_smul' := fun a b ↦ by
        dsimp only
        rw [← h₁ (g (a • b)), ← h₁ (σ' a • g b)]
        simp [h₂] }
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
x y : M₂
⊢ g (x + y) = g x + g y

Next tactic:
rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]; 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
x y : M₂
⊢ g (f (g (x + y))) = g (f (g x + g y))

Next tactic:
simp [h₂]
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]; simp [h₂]
      map_smul' := fun a b ↦ by
        

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
a : S
b : M₂
⊢ AddHom.toFun { toFun := g, map_add' := (_ : ∀ (x y : M₂), g (x + y) = g x + g y) } (a • b) =
    σ' a • AddHom.toFun { toFun := g, map_add' := (_ : ∀ (x y : M₂), g (x + y) = g x + g y) } b

Next tactic:
dsimp only
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]; simp [h₂]
      map_smul' := fun a b ↦ by
        dsimp only
        

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
a : S
b : M₂
⊢ g (a • b) = σ' a • g b

Next tactic:
rw [← h₁ (g (a • b)), ← h₁ (σ' a • g b)]
/-- If a function `g` is a left and right inverse of a linear map `f`, then `g` is linear itself. -/
def inverse [Module R M] [Module S M₂] {σ : R →+* S} {σ' : S →+* R} [RingHomInvPair σ σ']
    (f : M →ₛₗ[σ] M₂) (g : M₂ → M) (h₁ : LeftInverse g f) (h₂ : RightInverse g f) :
    M₂ →ₛₗ[σ'] M := by
  dsimp [LeftInverse, Function.RightInverse] at h₁ h₂
  exact
    { toFun := g
      map_add' := fun x y ↦ by rw [← h₁ (g (x + y)), ← h₁ (g x + g y)]; simp [h₂]
      map_smul' := fun a b ↦ by
        dsimp only
        rw [← h₁ (g (a • b)), ← h₁ (σ' a • g b)]
        

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁸ : Semiring R
inst✝⁷ : Semiring S
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
inst✝ : RingHomInvPair σ σ'
f : M →ₛₗ[σ] M₂
g : M₂ → M
h₁ : ∀ (x : M), g (f x) = x
h₂ : ∀ (x : M₂), f (g x) = x
a : S
b : M₂
⊢ g (f (g (a • b))) = g (f (σ' a • g b))

Next tactic:
simp [h₂]
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
c : ℤ
x : M
⊢ fₗ (c • x) = c • fₗ x

Next tactic:
induction c using Int.induction_on
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    

Proof state:
case hz
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
⊢ fₗ (0 • x) = 0 • fₗ x
case hp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
i✝ : ℕ
a✝ : fₗ (↑i✝ • x) = ↑i✝ • fₗ x
⊢ fₗ ((↑i✝ + 1) • x) = (↑i✝ + 1) • fₗ x
case hn
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
i✝ : ℕ
a✝ : fₗ (-↑i✝ • x) = -↑i✝ • fₗ x
⊢ fₗ ((-↑i✝ - 1) • x) = (-↑i✝ - 1) • fₗ x

Next tactic:
case hz => simp
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
⊢ fₗ (0 • x) = 0 • fₗ x

Next tactic:
case hz => simp
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
⊢ fₗ (0 • x) = 0 • fₗ x

Next tactic:
simp
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    

Proof state:
case hp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
i✝ : ℕ
a✝ : fₗ (↑i✝ • x) = ↑i✝ • fₗ x
⊢ fₗ ((↑i✝ + 1) • x) = (↑i✝ + 1) • fₗ x
case hn
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
i✝ : ℕ
a✝ : fₗ (-↑i✝ • x) = -↑i✝ • fₗ x
⊢ fₗ ((-↑i✝ - 1) • x) = (-↑i✝ - 1) • fₗ x

Next tactic:
case hp n ih => simp [add_smul, ih]
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
n : ℕ
ih : fₗ (↑n • x) = ↑n • fₗ x
⊢ fₗ ((↑n + 1) • x) = (↑n + 1) • fₗ x

Next tactic:
case hp n ih => simp [add_smul, ih]
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    case hp n ih => 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
n : ℕ
ih : fₗ (↑n • x) = ↑n • fₗ x
⊢ fₗ ((↑n + 1) • x) = (↑n + 1) • fₗ x

Next tactic:
simp [add_smul, ih]
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    case hp n ih => simp [add_smul, ih]
    

Proof state:
case hn
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
i✝ : ℕ
a✝ : fₗ (-↑i✝ • x) = -↑i✝ • fₗ x
⊢ fₗ ((-↑i✝ - 1) • x) = (-↑i✝ - 1) • fₗ x

Next tactic:
case hn n ih => simp [sub_smul, ih]
instance CompatibleSMul.intModule {S : Type*} [Semiring S] [Module S M] [Module S M₂] :
    CompatibleSMul M M₂ ℤ S :=
  ⟨fun fₗ c x ↦ by
    induction c using Int.induction_on
    case hz => simp
    case hp n ih => simp [add_smul, ih]
    

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S✝ : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S✝
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
module_M : Module R M
module_M₂ : Module S✝ M₂
σ : R →+* S✝
f : M →ₛₗ[σ] M₂
S : Type u_17
inst✝² : Semiring S
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : Module S M₂
fₗ : M →ₗ[S] M₂
x : M
n : ℕ
ih : fₗ (-↑n • x) = -↑n • fₗ x
⊢ fₗ ((-↑n - 1) • x) = (-↑n - 1) • fₗ x

Next tactic:
case hn n ih => simp [sub_smul, ih]