theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 1 2 => 

Proof state:
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
| coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
      ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
        (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)) ≫
    coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P)
      (_ :
        (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P =
          ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P)
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
| colimMap
    (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
      ((α_ (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
        (𝟙 (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
      (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
      ((α_ (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P.X).hom ≫
        (𝟙 (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P.actLeft))
      ((colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X)
              ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
              (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
              (_ :
                ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
          𝟙 Y.X) ⊗
        𝟙 P.X)
      (colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X)
            ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
            (_ :
              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
        𝟙 P.X)
      (_ :
        ((mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) (TensorBimod.actLeft M N)
                  (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗
              𝟙 P.X) ≫
            ((Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                      (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                      (_ :
                        (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                      (_ :
                        ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
              (𝟙 P).hom) =
          (((Hom.mk
                    (colimMap
                      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                        (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                        (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                        (_ :
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                        (_ :
                          ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                𝟙 Y.X) ⊗
              (𝟙 P).hom) ≫
            ((mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                  (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗
              𝟙 P.X))
      (_ :
        ((α_
                  (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X
                  Y.X P.X).hom ≫
              (𝟙
                  (mk (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                P.actLeft)) ≫
            ((Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                      (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                      (_ :
                        (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                      (_ :
                        ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
              (𝟙 P).hom) =
          (((Hom.mk
                    (colimMap
                      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                        (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                        (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                        (_ :
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                        (_ :
                          ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                𝟙 Y.X) ⊗
              (𝟙 P).hom) ≫
            (α_
                  (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X
                  Y.X P.X).hom ≫
              (𝟙
                  (mk (coequalizer (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                P.actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
| AssociatorBimod.hom M' N P

Next tactic:
rw [coequalizer.π_desc]