l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebra [NormOneClass A] : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1 := by
  cases isEmpty_or_nonempty ι
  · simp [norm_mkPiAlgebra_of_empty]
  · 

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : Nonempty ι
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1

Next tactic:
refine' le_antisymm norm_mkPiAlgebra_le _
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebra [NormOneClass A] : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1 := by
  cases isEmpty_or_nonempty ι
  · simp [norm_mkPiAlgebra_of_empty]
  · refine' le_antisymm norm_mkPiAlgebra_le _
    

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : Nonempty ι
⊢ 1 ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖

Next tactic:
convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) fun _ => 1
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebra [NormOneClass A] : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A‖ = 1 := by
  cases isEmpty_or_nonempty ι
  · simp [norm_mkPiAlgebra_of_empty]
  · refine' le_antisymm norm_mkPiAlgebra_le _
    convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) fun _ => 1
    

Proof state:
case h.e'_3
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedCommRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
h✝ : Nonempty ι
⊢ 1 = ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra 𝕜 ι A) fun x => 1‖ / ∏ i : ι, ‖1‖

Next tactic:
simp
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n) A‖ ≤ 1

Next tactic:
refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin (Nat.succ n) → A
⊢ ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n) A) m‖ ≤ 1 * ∏ i : Fin (Nat.succ n), ‖m i‖

Next tactic:
simp only [ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply, one_mul, List.ofFn_eq_map,
    Fin.prod_univ_def, Multiset.coe_map, Multiset.coe_prod]
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
  simp only [ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply, one_mul, List.ofFn_eq_map,
    Fin.prod_univ_def, Multiset.coe_map, Multiset.coe_prod]
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin (Nat.succ n) → A
⊢ ‖List.prod (List.map m (List.finRange (Nat.succ n)))‖ ≤
    List.prod (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange (Nat.succ n)))

Next tactic:
refine' (List.norm_prod_le' _).trans_eq _
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
  simp only [ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply, one_mul, List.ofFn_eq_map,
    Fin.prod_univ_def, Multiset.coe_map, Multiset.coe_prod]
  refine' (List.norm_prod_le' _).trans_eq _
  · 

Proof state:
case refine'_1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin (Nat.succ n) → A
⊢ List.map m (List.finRange (Nat.succ n)) ≠ []

Next tactic:
rw [Ne.def, List.map_eq_nil, List.finRange_eq_nil]
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
  simp only [ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply, one_mul, List.ofFn_eq_map,
    Fin.prod_univ_def, Multiset.coe_map, Multiset.coe_prod]
  refine' (List.norm_prod_le' _).trans_eq _
  · rw [Ne.def, List.map_eq_nil, List.finRange_eq_nil]
    

Proof state:
case refine'_1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin (Nat.succ n) → A
⊢ ¬Nat.succ n = 0

Next tactic:
exact Nat.succ_ne_zero _
theorem norm_mkPiAlgebraFin_succ_le : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n.succ A‖ ≤ 1 := by
  refine op_norm_le_bound _ zero_le_one fun m => ?_
  simp only [ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin_apply, one_mul, List.ofFn_eq_map,
    Fin.prod_univ_def, Multiset.coe_map, Multiset.coe_prod]
  refine' (List.norm_prod_le' _).trans_eq _
  · rw [Ne.def, List.map_eq_nil, List.finRange_eq_nil]
    exact Nat.succ_ne_zero _
  

Proof state:
case refine'_2
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
m : Fin (Nat.succ n) → A
⊢ List.prod (List.map norm (List.map m (List.finRange (Nat.succ n)))) =
    List.prod (List.map (fun i => ‖m i‖) (List.finRange (Nat.succ n)))

Next tactic:
rw [List.map_map, Function.comp_def]
theorem norm_mkPiAlgebraFin_le_of_pos (hn : 0 < n) :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1 := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
hn : 0 < n
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1

Next tactic:
obtain ⟨n, rfl⟩ := Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero hn.ne'
theorem norm_mkPiAlgebraFin_le_of_pos (hn : 0 < n) :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ ≤ 1 := by
  obtain ⟨n, rfl⟩ := Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero hn.ne'
  

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝³ : NormedRing A
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 A
n : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
hn : 0 < Nat.succ n
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n) A‖ ≤ 1

Next tactic:
exact norm_mkPiAlgebraFin_succ_le
theorem norm_mkPiAlgebraFin_zero : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖(1 : A)‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖1‖

Next tactic:
refine' le_antisymm _ _
theorem norm_mkPiAlgebraFin_zero : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖(1 : A)‖ := by
  refine' le_antisymm _ _
  · 

Proof state:
case refine'_1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ ≤ ‖1‖

Next tactic:
refine op_norm_le_bound _ (norm_nonneg (1 : A)) ?_
theorem norm_mkPiAlgebraFin_zero : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖(1 : A)‖ := by
  refine' le_antisymm _ _
  · refine op_norm_le_bound _ (norm_nonneg (1 : A)) ?_
    

Proof state:
case refine'_1
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ∀ (m : Fin 0 → A), ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A) m‖ ≤ ‖1‖ * ∏ i : Fin 0, ‖m i‖

Next tactic:
simp
theorem norm_mkPiAlgebraFin_zero : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖(1 : A)‖ := by
  refine' le_antisymm _ _
  · refine op_norm_le_bound _ (norm_nonneg (1 : A)) ?_
    simp
  · 

Proof state:
case refine'_2
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖1‖ ≤ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖

Next tactic:
convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A) fun _ => (1 : A)
theorem norm_mkPiAlgebraFin_zero : ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A‖ = ‖(1 : A)‖ := by
  refine' le_antisymm _ _
  · refine op_norm_le_bound _ (norm_nonneg (1 : A)) ?_
    simp
  · convert ratio_le_op_norm (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A) fun _ => (1 : A)
    

Proof state:
case h.e'_3
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁶ : Fintype ι
inst✝¹⁵ : Fintype ι'
inst✝¹⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁸ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁶ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝³ : NormedAddCommGroup G'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝¹ : NormedRing A
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
⊢ ‖1‖ = ‖(ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 0 A) fun x => 1‖ / ∏ i : Fin 0, ‖1‖

Next tactic:
simp
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebraFin [NormOneClass A] :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1 := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
n : ℕ
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
Ei : Fin (Nat.succ n) → Type wEi
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝⁷ : (i : Fin (Nat.succ n)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝ : NormOneClass A
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1

Next tactic:
cases n
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebraFin [NormOneClass A] :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1 := by
  cases n
  · 

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 Nat.zero A‖ = 1

Next tactic:
rw [norm_mkPiAlgebraFin_zero]
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebraFin [NormOneClass A] :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1 := by
  cases n
  · rw [norm_mkPiAlgebraFin_zero]
    

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
Ei : Fin (Nat.succ Nat.zero) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ Nat.zero)) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖1‖ = 1

Next tactic:
simp
@[simp]
theorem norm_mkPiAlgebraFin [NormOneClass A] :
    ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 n A‖ = 1 := by
  cases n
  · rw [norm_mkPiAlgebraFin_zero]
    simp
  · 

Proof state:
case succ
𝕜 : Type u
ι : Type v
ι' : Type v'
E : ι → Type wE
E₁ : ι → Type wE₁
E' : ι' → Type wE'
G : Type wG
G' : Type wG'
inst✝¹⁷ : Fintype ι
inst✝¹⁶ : Fintype ι'
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁴ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹³ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝¹² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E₁ i)
inst✝¹¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E₁ i)
inst✝¹⁰ : (i : ι') → NormedAddCommGroup (E' i)
inst✝⁹ : (i : ι') → NormedSpace 𝕜 (E' i)
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
A : Type u_1
inst✝⁴ : NormedRing A
inst✝³ : NormedAlgebra 𝕜 A
inst✝² : NormOneClass A
n✝ : ℕ
Ei : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝)) → Type wEi
inst✝¹ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedAddCommGroup (Ei i)
inst✝ : (i : Fin (Nat.succ (Nat.succ n✝))) → NormedSpace 𝕜 (Ei i)
⊢ ‖ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebraFin 𝕜 (Nat.succ n✝) A‖ = 1

Next tactic:
refine' le_antisymm norm_mkPiAlgebraFin_succ_le _