l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤ (↑m / (↑m + 1)) ^ 2

Next tactic:
rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤ 1 - 2 * (1 / (↑m + 1)) + (1 / (↑m + 1)) ^ 2

Next tactic:
refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 1 - ε ^ 5 / 50 ≤ 1 - 2 * (1 / (↑m + 1))

Next tactic:
rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by norm_num), div_div,
    one_div_le coe_m_add_one_pos, one_div_div]
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < 2

Next tactic:
norm_num
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by norm_num), div_div,
    one_div_le coe_m_add_one_pos, one_div_div]
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 50 * 2 / ε ^ 5 ≤ ↑m + 1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < ε ^ 5 / (50 * 2)

Next tactic:
refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right zero_le_one)
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by norm_num), div_div,
    one_div_le coe_m_add_one_pos, one_div_div]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right zero_le_one)
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 50 * 2 / ε ^ 5 ≤ ↑m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < ε ^ 5 / (50 * 2)

Next tactic:
norm_num
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by norm_num), div_div,
    one_div_le coe_m_add_one_pos, one_div_div]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right zero_le_one)
  norm_num
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 100 / ε ^ 5 ≤ ↑m
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < ε ^ 5 / (50 * 2)

Next tactic:
apply hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε
private theorem one_sub_le_m_div_m_add_one_sq [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5) :
    ↑1 - ε ^ 5 / ↑50 ≤ (m / (m + 1 : ℝ)) ^ 2 := by
  have : (m : ℝ) / (m + 1) = 1 - 1 / (m + 1) := by
    rw [one_sub_div coe_m_add_one_pos.ne', add_sub_cancel]
  rw [this, sub_sq, one_pow, mul_one]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right <| sq_nonneg _)
  rw [sub_le_sub_iff_left, ← le_div_iff' (show (0 : ℝ) < 2 by norm_num), div_div,
    one_div_le coe_m_add_one_pos, one_div_div]
  refine' le_trans _ (le_add_of_nonneg_right zero_le_one)
  norm_num
  apply hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
this : ↑m / (↑m + 1) = 1 - 1 / (↑m + 1)
⊢ 0 < ε ^ 5 / (50 * 2)

Next tactic:
sz_positivity
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ((↑m + 1) / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49

Next tactic:
rw [same_add_div]
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑m ≠ 0

Next tactic:
swap
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ ↑m ≠ 0

Next tactic:
sz_positivity
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49

Next tactic:
have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100

Next tactic:
rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 1 / ↑m ≤ 1 / (100 / ε ^ 5)

Next tactic:
exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
⊢ 0 < 100 / ε ^ 5

Next tactic:
sz_positivity
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ (1 + 1 / ↑m) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49

Next tactic:
refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ 0 ≤ 1 + 1 / ↑m

Next tactic:
positivity
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ (1 + ε ^ 5 / 100) ^ 2 ≤ 1 + ε ^ 5 / 49

Next tactic:
rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by norm_num), mul_assoc, sq]
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ 0 < 100 ^ 2

Next tactic:
norm_num
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by norm_num), mul_assoc, sq]
  

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ ε ^ 5 * ε ^ 5 ≤ ε ^ 5 * ((1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2)

Next tactic:
refine' mul_le_mul_of_nonneg_left _ (by sz_positivity)
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by norm_num), mul_assoc, sq]
  refine' mul_le_mul_of_nonneg_left _ (by 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ 0 ≤ ε ^ 5

Next tactic:
sz_positivity
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by norm_num), mul_assoc, sq]
  refine' mul_le_mul_of_nonneg_left _ (by sz_positivity)
  

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ ε ^ 5 ≤ (1 / 49 - 2 / 100) * 100 ^ 2

Next tactic:
exact (pow_le_one 5 (by sz_positivity) hε₁).trans (by norm_num)
private theorem m_add_one_div_m_le_one_add [Nonempty α]
    (hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ P.parts.card * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) : ((m + 1 : ℝ) / m) ^ 2 ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 49 := by
  rw [same_add_div]
  swap; · sz_positivity
  have : ↑1 + ↑1 / (m : ℝ) ≤ ↑1 + ε ^ 5 / 100 := by
    rw [add_le_add_iff_left, ← one_div_div (100 : ℝ)]
    exact one_div_le_one_div_of_le (by sz_positivity) (hundred_div_ε_pow_five_le_m hPα hPε)
  refine' (pow_le_pow_left _ this 2).trans _
  · positivity
  rw [add_sq, one_pow, add_assoc, add_le_add_iff_left, mul_one, ← le_sub_iff_add_le',
    div_eq_mul_one_div _ (49 : ℝ), mul_div_left_comm (2 : ℝ), ← mul_sub_left_distrib, div_pow,
    div_le_iff (show (0 : ℝ) < ↑100 ^ 2 by norm_num), mul_assoc, sq]
  refine' mul_le_mul_of_nonneg_left _ (by sz_positivity)
  exact (pow_le_one 5 (by 

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
P : Finpartition univ
hP : IsEquipartition P
G : SimpleGraph α
ε : ℝ
U : Finset α
hU : U ∈ P.parts
V : Finset α
𝒜 : Finset (Finset α)
s : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : Finset.card P.parts * 16 ^ Finset.card P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ Finset.card P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
this : 1 + 1 / ↑m ≤ 1 + ε ^ 5 / 100
⊢ 0 ≤ ε

Next tactic:
sz_positivity