l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem condexpIndL1Fin_add (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x y : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) =
    condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs y)

Next tactic:
refine' EventuallyEq.trans _
    (EventuallyEq.add (Memℒp.coeFn_toLp q).symm (Memℒp.coeFn_toLp q).symm)
theorem condexpIndL1Fin_add (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x y : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) =
    condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
  refine' EventuallyEq.trans _
    (EventuallyEq.add (Memℒp.coeFn_toLp q).symm (Memℒp.coeFn_toLp q).symm)
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (x + y)) =ᵐ[μ] fun x_1 =>
    ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1

Next tactic:
rw [condexpIndSMul_add]
theorem condexpIndL1Fin_add (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x y : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) =
    condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
  refine' EventuallyEq.trans _
    (EventuallyEq.add (Memℒp.coeFn_toLp q).symm (Memℒp.coeFn_toLp q).symm)
  rw [condexpIndSMul_add]
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x + condexpIndSMul hm hs hμs y) =ᵐ[μ] fun x_1 =>
    ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1

Next tactic:
refine' (Lp.coeFn_add _ _).trans (eventually_of_forall fun a => _)
theorem condexpIndL1Fin_add (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x y : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (x + y) =
    condexpIndL1Fin hm hs hμs x + condexpIndL1Fin hm hs hμs y := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_add _ _).symm
  refine' EventuallyEq.trans _
    (EventuallyEq.add (Memℒp.coeFn_toLp q).symm (Memℒp.coeFn_toLp q).symm)
  rw [condexpIndSMul_add]
  refine' (Lp.coeFn_add _ _).trans (eventually_of_forall fun a => _)
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x y : G
a : α
⊢ (↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y)) a =
    (fun x_1 => ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) x_1 + ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs y) x_1) a

Next tactic:
rfl
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x

Next tactic:
ext1
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
rw [condexpIndSMul_smul hs hμs c x]
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul hs hμs c x]
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul hs hμs c x]
  refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
theorem condexpIndL1Fin_smul (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (c : ℝ) (x : G) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul hs hμs c x]
  refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
  refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : ℝ
x : G
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y

Next tactic:
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply, hy]
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x

Next tactic:
ext1
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
rw [condexpIndSMul_smul' hs hμs c x]
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul' hs hμs c x]
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul' hs hμs c x]
  refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᵐ[μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)

Next tactic:
refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
theorem condexpIndL1Fin_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (hs : MeasurableSet s)
    (hμs : μ s ≠ ∞) (c : 𝕜) (x : F) :
    condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x := by
  ext1
  refine' (Memℒp.coeFn_toLp q).trans _
  refine' EventuallyEq.trans _ (Lp.coeFn_smul _ _).symm
  rw [condexpIndSMul_smul' hs hμs c x]
  refine' (Lp.coeFn_smul _ _).trans _
  refine' (condexpIndL1Fin_ae_eq_condexpIndSMul hm hs hμs x).mono fun y hy => _
  

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : IsROrC 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y

Next tactic:
rw [Pi.smul_apply, Pi.smul_apply, hy]
theorem norm_condexpIndL1Fin_le (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x : G) :
    ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖ := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖

Next tactic:
have : 0 ≤ ∫ a : α, ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x a‖ ∂μ :=
    integral_nonneg fun a => norm_nonneg _
theorem norm_condexpIndL1Fin_le (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x : G) :
    ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖ := by
  have : 0 ≤ ∫ a : α, ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x a‖ ∂μ :=
    integral_nonneg fun a => norm_nonneg _
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ ENNReal.toReal (↑↑μ s) * ‖x‖

Next tactic:
rw [L1.norm_eq_integral_norm, ← ENNReal.toReal_ofReal (norm_nonneg x), ← ENNReal.toReal_mul, ←
    ENNReal.toReal_ofReal this,
    ENNReal.toReal_le_toReal ENNReal.ofReal_ne_top (ENNReal.mul_ne_top hμs ENNReal.ofReal_ne_top),
    ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm]
theorem norm_condexpIndL1Fin_le (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x : G) :
    ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖ := by
  have : 0 ≤ ∫ a : α, ‖condexpIndL1Fin hm hs hμs x a‖ ∂μ :=
    integral_nonneg fun a => norm_nonneg _
  rw [L1.norm_eq_integral_norm, ← ENNReal.toReal_ofReal (norm_nonneg x), ← ENNReal.toReal_mul, ←
    ENNReal.toReal_ofReal this,
    ENNReal.toReal_le_toReal ENNReal.ofReal_ne_top (ENNReal.mul_ne_top hμs ENNReal.ofReal_ne_top),
    ofReal_integral_norm_eq_lintegral_nnnorm]
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ↑‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖₊ ∂μ ≤ ↑↑μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹² : IsROrC 𝕜
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁶ : CompleteSpace F'
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'
inst✝³ : NormedSpace ℝ G'
inst✝² : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (Measure.trim μ hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : ↑↑μ s ≠ ⊤
x : G
this : 0 ≤ ∫ (a : α), ‖↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ ∂μ
⊢ Integrable fun a => ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) a

Next tactic:
swap