l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem comp_toLinearMap_symm_eq (f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃) (g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃) :
    g.comp e₁₂.symm.toLinearMap = f ↔ g = f.comp e₁₂.toLinearMap := by
  constructor <;> intro H <;> ext
  · 

Proof state:
case mp.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
H : LinearMap.comp g ↑(symm e₁₂) = f
x✝ : M₁
⊢ g x✝ = (LinearMap.comp f ↑e₁₂) x✝

Next tactic:
simp [← H, ← e₁₂.toEquiv.comp_symm_eq f g]
theorem comp_toLinearMap_symm_eq (f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃) (g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃) :
    g.comp e₁₂.symm.toLinearMap = f ↔ g = f.comp e₁₂.toLinearMap := by
  constructor <;> intro H <;> ext
  · simp [← H, ← e₁₂.toEquiv.comp_symm_eq f g]
  · 

Proof state:
case mpr.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
g : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
H : g = LinearMap.comp f ↑e₁₂
x✝ : M₂
⊢ (LinearMap.comp g ↑(symm e₁₂)) x✝ = f x✝

Next tactic:
simp [H, e₁₂.toEquiv.comp_symm_eq f g]
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g ↔ LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g

Next tactic:
constructor
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g → LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g

Next tactic:
intro H
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g → f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g

Next tactic:
intro H
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> intro H <;> 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g
⊢ LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g

Next tactic:
ext
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> intro H <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g
⊢ f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g

Next tactic:
ext
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> intro H <;> ext
  · 

Proof state:
case mp.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : f = LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g
x✝ : M₃
⊢ (LinearMap.comp (↑e₁₂) f) x✝ = g x✝

Next tactic:
simp [H, e₁₂.toEquiv.eq_symm_comp f g]
theorem eq_toLinearMap_symm_comp (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    f = e₁₂.symm.toLinearMap.comp g ↔ e₁₂.toLinearMap.comp f = g := by
  constructor <;> intro H <;> ext
  · simp [H, e₁₂.toEquiv.eq_symm_comp f g]
  · 

Proof state:
case mpr.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : LinearMap.comp (↑e₁₂) f = g
x✝ : M₃
⊢ f x✝ = (LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g) x✝

Next tactic:
simp [← H, ← e₁₂.toEquiv.eq_symm_comp f g]
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f ↔ g = LinearMap.comp (↑e₁₂) f

Next tactic:
constructor
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  constructor <;> 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f → g = LinearMap.comp (↑e₁₂) f

Next tactic:
intro H
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  constructor <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
⊢ g = LinearMap.comp (↑e₁₂) f → LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f

Next tactic:
intro H
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  constructor <;> intro H <;> 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f
⊢ g = LinearMap.comp (↑e₁₂) f

Next tactic:
ext
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  constructor <;> intro H <;> 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : g = LinearMap.comp (↑e₁₂) f
⊢ LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f

Next tactic:
ext
theorem toLinearMap_symm_comp_eq (f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁) (g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂) :
    e₁₂.symm.toLinearMap.comp g = f ↔ g = e₁₂.toLinearMap.comp f := by
  constructor <;> intro H <;> ext
  · 

Proof state:
case mp.h
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
M : Type u_7
M₁ : Type u_8
M₂ : Type u_9
M₃ : Type u_10
N₁ : Type u_11
N₂ : Type u_12
N₃ : Type u_13
N₄ : Type u_14
ι : Type u_15
M₄ : Type u_16
inst✝¹⁷ : Semiring R
inst✝¹⁶ : Semiring S
inst✝¹⁵ : Semiring R₁
inst✝¹⁴ : Semiring R₂
inst✝¹³ : Semiring R₃
inst✝¹² : AddCommMonoid M
inst✝¹¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₄
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
module_M : Module R M
module_S_M₂ : Module S M₂
σ : R →+* S
σ' : S →+* R
re₁ : RingHomInvPair σ σ'
re₂ : RingHomInvPair σ' σ
e e' : M ≃ₛₗ[σ] M₂
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
module_N₁ : Module R₁ N₁
module_N₂ : Module R₁ N₂
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
σ₂₁ : R₂ →+* R₁
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
σ₃₁ : R₃ →+* R₁
inst✝⁵ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁴ : RingHomCompTriple σ₃₂ σ₂₁ σ₃₁
re₁₂ : RingHomInvPair σ₁₂ σ₂₁
re₂₃ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝³ : RingHomInvPair σ₁₃ σ₃₁
re₂₁ : RingHomInvPair σ₂₁ σ₁₂
re₃₂ : RingHomInvPair σ₃₂ σ₂₃
inst✝² : RingHomInvPair σ₃₁ σ₁₃
e₁₂ : M₁ ≃ₛₗ[σ₁₂] M₂
e₂₃ : M₂ ≃ₛₗ[σ₂₃] M₃
inst✝¹ : RingHomCompTriple σ₂₁ σ₁₃ σ₂₃
inst✝ : RingHomCompTriple σ₃₁ σ₁₂ σ₃₂
f : M₃ →ₛₗ[σ₃₁] M₁
g : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
H : LinearMap.comp (↑(symm e₁₂)) g = f
x✝ : M₃
⊢ g x✝ = (LinearMap.comp (↑e₁₂) f) x✝

Next tactic:
simp [← H, ← e₁₂.toEquiv.symm_comp_eq f g]