l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem exists_injOn_iff_injective [Nonempty β] :
    (∃ f : α → β, InjOn f s) ↔ ∃ f : s → β, Injective f :=
  ⟨fun ⟨f, hf⟩ => ⟨_, hf.injective⟩,
   fun ⟨f, hf⟩ => by
    

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : ↑s → β
hf : Injective f
⊢ ∃ f, InjOn f s

Next tactic:
lift f to α → β using trivial
theorem exists_injOn_iff_injective [Nonempty β] :
    (∃ f : α → β, InjOn f s) ↔ ∃ f : s → β, Injective f :=
  ⟨fun ⟨f, hf⟩ => ⟨_, hf.injective⟩,
   fun ⟨f, hf⟩ => by
    lift f to α → β using trivial
    

Proof state:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
inst✝ : Nonempty β
x✝ : ∃ f, Injective f
f : α → β
hf : Injective fun i => f ↑i
⊢ ∃ f, InjOn f s

Next tactic:
exact ⟨f, injOn_iff_injective.2 hf⟩
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t

Next tactic:
apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t ⊆ f '' (s ∩ t)

Next tactic:
intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

Next tactic:
have : y = z := by
    apply hf (hs ys) (ht zt)
    rwa [← hz] at hy
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
  have : y = z := by
    

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ y = z

Next tactic:
apply hf (hs ys) (ht zt)
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
  have : y = z := by
    apply hf (hs ys) (ht zt)
    

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
⊢ f y = f z

Next tactic:
rwa [← hz] at hy
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
  have : y = z := by
    apply hf (hs ys) (ht zt)
    rwa [← hz] at hy
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : z ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

Next tactic:
rw [← this] at zt
lemma InjOn.image_inter {s t u : Set α} (hf : u.InjOn f) (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) :
    f '' (s ∩ t) = f '' s ∩ f '' t := by
  apply Subset.antisymm (image_inter_subset _ _ _)
  intro x ⟨⟨y, ys, hy⟩, ⟨z, zt, hz⟩⟩
  have : y = z := by
    apply hf (hs ys) (ht zt)
    rwa [← hz] at hy
  rw [← this] at zt
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
x : β
y : α
ys : y ∈ s
hy : f y = x
z : α
zt : y ∈ t
hz : f z = x
this : y = z
⊢ x ∈ f '' (s ∩ t)

Next tactic:
exact ⟨y, ⟨ys, zt⟩, hy⟩
theorem _root_.Disjoint.image {s t u : Set α} {f : α → β} (h : Disjoint s t) (hf : u.InjOn f)
    (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) : Disjoint (f '' s) (f '' t) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : Disjoint s t
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ Disjoint (f '' s) (f '' t)

Next tactic:
rw [disjoint_iff_inter_eq_empty] at h ⊢
theorem _root_.Disjoint.image {s t u : Set α} {f : α → β} (h : Disjoint s t) (hf : u.InjOn f)
    (hs : s ⊆ u) (ht : t ⊆ u) : Disjoint (f '' s) (f '' t) := by
  rw [disjoint_iff_inter_eq_empty] at h ⊢
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f✝ f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s t u : Set α
f : α → β
h : s ∩ t = ∅
hf : InjOn f u
hs : s ⊆ u
ht : t ⊆ u
⊢ f '' s ∩ f '' t = ∅

Next tactic:
rw [← hf.image_inter hs ht, h, image_empty]
theorem surjOn_iff_exists_map_subtype :
    SurjOn f s t ↔ ∃ (t' : Set β) (g : s → t'), t ⊆ t' ∧ Surjective g ∧ ∀ x : s, f x = g x :=
  ⟨fun h =>
    ⟨_, (mapsTo_image f s).restrict f s _, h, surjective_mapsTo_image_restrict _ _, fun _ => rfl⟩,
    fun ⟨t', g, htt', hg, hfg⟩ y hy =>
    let ⟨x, hx⟩ := hg ⟨y, htt' hy⟩
    ⟨x, x.2, by 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
x✝ : ∃ t' g, t ⊆ t' ∧ Surjective g ∧ ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
y : β
hy : y ∈ t
t' : Set β
g : ↑s → ↑t'
htt' : t ⊆ t'
hg : Surjective g
hfg : ∀ (x : ↑s), f ↑x = ↑(g x)
x : ↑s
hx : g x = { val := y, property := (_ : y ∈ t') }
⊢ f ↑x = y

Next tactic:
rw [hfg, hx, Subtype.coe_mk]
theorem SurjOn.congr (h : SurjOn f₁ s t) (H : EqOn f₁ f₂ s) : SurjOn f₂ s t := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : SurjOn f₁ s t
H : EqOn f₁ f₂ s
⊢ SurjOn f₂ s t

Next tactic:
rwa [SurjOn, ← H.image_eq]
theorem SurjOn.inter_inter (h₁ : SurjOn f s₁ t₁) (h₂ : SurjOn f s₂ t₂) (h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)) :
    SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
⊢ SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂)

Next tactic:
intro y hy
theorem SurjOn.inter_inter (h₁ : SurjOn f s₁ t₁) (h₂ : SurjOn f s₂ t₂) (h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)) :
    SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂) := by
  intro y hy
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
y : β
hy : y ∈ t₁ ∩ t₂
⊢ y ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)

Next tactic:
rcases h₁ hy.1 with ⟨x₁, hx₁, rfl⟩
theorem SurjOn.inter_inter (h₁ : SurjOn f s₁ t₁) (h₂ : SurjOn f s₂ t₂) (h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)) :
    SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂) := by
  intro y hy
  rcases h₁ hy.1 with ⟨x₁, hx₁, rfl⟩
  

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)

Next tactic:
rcases h₂ hy.2 with ⟨x₂, hx₂, heq⟩
theorem SurjOn.inter_inter (h₁ : SurjOn f s₁ t₁) (h₂ : SurjOn f s₂ t₂) (h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)) :
    SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂) := by
  intro y hy
  rcases h₁ hy.1 with ⟨x₁, hx₁, rfl⟩
  rcases h₂ hy.2 with ⟨x₂, hx₂, heq⟩
  

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
x₂ : α
hx₂ : x₂ ∈ s₂
heq : f x₂ = f x₁
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)

Next tactic:
obtain rfl : x₁ = x₂ := h (Or.inl hx₁) (Or.inr hx₂) heq.symm
theorem SurjOn.inter_inter (h₁ : SurjOn f s₁ t₁) (h₂ : SurjOn f s₂ t₂) (h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)) :
    SurjOn f (s₁ ∩ s₂) (t₁ ∩ t₂) := by
  intro y hy
  rcases h₁ hy.1 with ⟨x₁, hx₁, rfl⟩
  rcases h₂ hy.2 with ⟨x₂, hx₂, heq⟩
  obtain rfl : x₁ = x₂ := h (Or.inl hx₁) (Or.inr hx₂) heq.symm
  

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h₁ : SurjOn f s₁ t₁
h₂ : SurjOn f s₂ t₂
h : InjOn f (s₁ ∪ s₂)
x₁ : α
hx₁ : x₁ ∈ s₁
hy : f x₁ ∈ t₁ ∩ t₂
hx₂ : x₁ ∈ s₂
heq : f x₁ = f x₁
⊢ f x₁ ∈ f '' (s₁ ∩ s₂)

Next tactic:
exact mem_image_of_mem f ⟨hx₁, hx₂⟩
lemma surjOn_id (s : Set α) : SurjOn id s s := by 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set α
⊢ SurjOn id s s

Next tactic:
simp [SurjOn, subset_rfl]
lemma SurjOn.comp_left (hf : SurjOn f s t) (g : β → γ) : SurjOn (g ∘ f) s (g '' t) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : SurjOn f s t
g : β → γ
⊢ SurjOn (g ∘ f) s (g '' t)

Next tactic:
rw [SurjOn, image_comp g f]
lemma SurjOn.comp_left (hf : SurjOn f s t) (g : β → γ) : SurjOn (g ∘ f) s (g '' t) := by
  rw [SurjOn, image_comp g f]; 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g✝ g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : SurjOn f s t
g : β → γ
⊢ g '' t ⊆ g '' (f '' s)

Next tactic:
exact image_subset _ hf
lemma SurjOn.comp_right {s : Set β} {t : Set γ} (hf : Surjective f) (hg : SurjOn g s t) :
    SurjOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s) t := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
s : Set β
t : Set γ
hf : Surjective f
hg : SurjOn g s t
⊢ SurjOn (g ∘ f) (f ⁻¹' s) t

Next tactic:
rwa [SurjOn, image_comp g f, image_preimage_eq _ hf]
theorem surjective_iff_surjOn_univ : Surjective f ↔ SurjOn f univ univ := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ Surjective f ↔ SurjOn f univ univ

Next tactic:
simp [Surjective, SurjOn, subset_def]
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : MapsTo f s t
⊢ Surjective (restrict f s t h) ↔ SurjOn f s t

Next tactic:
refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · 

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
⊢ b ∈ f '' s

Next tactic:
obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    

Proof state:
case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : restrict f s t h { val := a, property := ha } = { val := b, property := hb }
⊢ b ∈ f '' s

Next tactic:
replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    replace ha' : f a = b := by 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : restrict f s t h { val := a, property := ha } = { val := b, property := hb }
⊢ f a = b

Next tactic:
simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
    

Proof state:
case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ b ∈ f '' s

Next tactic:
rw [← ha']
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
    rw [← ha']
    

Proof state:
case refine_1.intro.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : Surjective (restrict f s t h)
b : β
hb : b ∈ t
a : α
ha : a ∈ s
ha' : f a = b
⊢ f a ∈ f '' s

Next tactic:
exact mem_image_of_mem f ha
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
    rw [← ha']
    exact mem_image_of_mem f ha
  · 

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, restrict f s t h a = { val := b, property := hb }

Next tactic:
obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := h' hb
@[simp]
theorem MapsTo.restrict_surjective_iff (h : MapsTo f s t) :
    Surjective (MapsTo.restrict _ _ _ h) ↔ SurjOn f s t := by
  refine ⟨fun h' b hb ↦ ?_, fun h' ⟨b, hb⟩ ↦ ?_⟩
  · obtain ⟨⟨a, ha⟩, ha'⟩ := h' ⟨b, hb⟩
    replace ha' : f a = b := by simpa [Subtype.ext_iff] using ha'
    rw [← ha']
    exact mem_image_of_mem f ha
  · obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := h' hb
    

Proof state:
case refine_2.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
h : MapsTo f s t
h' : SurjOn f s t
x✝ : ↑t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
⊢ ∃ a_1, restrict f s t h a_1 = { val := f a, property := hb }

Next tactic:
exact ⟨⟨a, ha⟩, rfl⟩
theorem image_eq_iff_surjOn_mapsTo : f '' s = t ↔ s.SurjOn f t ∧ s.MapsTo f t := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ f '' s = t ↔ SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t

Next tactic:
refine' ⟨_, fun h => h.1.image_eq_of_mapsTo h.2⟩
theorem image_eq_iff_surjOn_mapsTo : f '' s = t ↔ s.SurjOn f t ∧ s.MapsTo f t := by
  refine' ⟨_, fun h => h.1.image_eq_of_mapsTo h.2⟩
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ f '' s = t → SurjOn f s t ∧ MapsTo f s t

Next tactic:
rintro rfl
theorem image_eq_iff_surjOn_mapsTo : f '' s = t ↔ s.SurjOn f t ∧ s.MapsTo f t := by
  refine' ⟨_, fun h => h.1.image_eq_of_mapsTo h.2⟩
  rintro rfl
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ SurjOn f s (f '' s) ∧ MapsTo f s (f '' s)

Next tactic:
exact ⟨s.surjOn_image f, s.mapsTo_image f⟩
theorem EqOn.cancel_right (hf : s.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f)) (hf' : s.SurjOn f t) : t.EqOn g₁ g₂ := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s
hf' : SurjOn f s t
⊢ EqOn g₁ g₂ t

Next tactic:
intro b hb
theorem EqOn.cancel_right (hf : s.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f)) (hf' : s.SurjOn f t) : t.EqOn g₁ g₂ := by
  intro b hb
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b✝ : β
hf : EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s
hf' : SurjOn f s t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ g₁ b = g₂ b

Next tactic:
obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := hf' hb
theorem EqOn.cancel_right (hf : s.EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f)) (hf' : s.SurjOn f t) : t.EqOn g₁ g₂ := by
  intro b hb
  obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := hf' hb
  

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a✝ : α
b : β
hf : EqOn (g₁ ∘ f) (g₂ ∘ f) s
hf' : SurjOn f s t
a : α
ha : a ∈ s
hb : f a ∈ t
⊢ g₁ (f a) = g₂ (f a)

Next tactic:
exact hf ha
@[simp] lemma bijOn_singleton : BijOn f {a} {b} ↔ f a = b := by 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
⊢ BijOn f {a} {b} ↔ f a = b

Next tactic:
simp [BijOn, eq_comm]
theorem LeftInvOn.mapsTo (h : LeftInvOn f' f s) (hf : SurjOn f s t) :
    MapsTo f' t s := fun y hy => by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : LeftInvOn f' f s
hf : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t
⊢ f' y ∈ s

Next tactic:
let ⟨x, hs, hx⟩ := hf hy
theorem LeftInvOn.mapsTo (h : LeftInvOn f' f s) (hf : SurjOn f s t) :
    MapsTo f' t s := fun y hy => by
  let ⟨x, hs, hx⟩ := hf hy
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : LeftInvOn f' f s
hf : SurjOn f s t
y : β
hy : y ∈ t
x : α
hs : x ∈ s
hx : f x = y
⊢ f' y ∈ s

Next tactic:
rwa [← hx, h hs]
theorem LeftInvOn.image_inter' (hf : LeftInvOn f' f s) : f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s

Next tactic:
apply Subset.antisymm
theorem LeftInvOn.image_inter' (hf : LeftInvOn f' f s) : f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s := by
  apply Subset.antisymm
  · 

Proof state:
case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f '' (s₁ ∩ s) ⊆ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s

Next tactic:
rintro _ ⟨x, ⟨h₁, h⟩, rfl⟩
theorem LeftInvOn.image_inter' (hf : LeftInvOn f' f s) : f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s := by
  apply Subset.antisymm
  · rintro _ ⟨x, ⟨h₁, h⟩, rfl⟩
    

Proof state:
case h₁.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
x : α
h₁ : x ∈ s₁
h : x ∈ s
⊢ f x ∈ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s

Next tactic:
exact ⟨by rwa [mem_preimage, hf h], mem_image_of_mem _ h⟩
theorem LeftInvOn.image_inter' (hf : LeftInvOn f' f s) : f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s := by
  apply Subset.antisymm
  · rintro _ ⟨x, ⟨h₁, h⟩, rfl⟩
    exact ⟨by 

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
x : α
h₁ : x ∈ s₁
h : x ∈ s
⊢ f x ∈ f' ⁻¹' s₁

Next tactic:
rwa [mem_preimage, hf h]
theorem LeftInvOn.image_inter' (hf : LeftInvOn f' f s) : f '' (s₁ ∩ s) = f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s := by
  apply Subset.antisymm
  · rintro _ ⟨x, ⟨h₁, h⟩, rfl⟩
    exact ⟨by rwa [mem_preimage, hf h], mem_image_of_mem _ h⟩
  · 

Proof state:
case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
hf : LeftInvOn f' f s
⊢ f' ⁻¹' s₁ ∩ f '' s ⊆ f '' (s₁ ∩ s)

Next tactic:
rintro _ ⟨h₁, ⟨x, h, rfl⟩⟩