theorem comp_whisker_left_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) (N : Bimod X Y)
    {P P' : Bimod Y Z} (f : P ⟶ P') :
    tensorHom (𝟙 (M.tensorBimod N)) f =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom (𝟙 N) f) ≫ (associatorBimod M N P').inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux, AssociatorBimod.inv]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_rhs 1 3 => 

Proof state:
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
| (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
    (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))).inv ≫
      coequalizer.desc
        ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
          (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
            coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
        (_ :
          (tensorRight P.X).map (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫
              (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                    ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)) =
            (tensorRight P.X).map ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫
              (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                    ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)))
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
| colimMap
    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))))
      ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))).hom ≫
        (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
      (M.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
      ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))).hom ≫
        (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P'))
      ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X)
            ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
      (𝟙 M.X ⊗
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X)
            ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
      (_ :
        (M.actRight ⊗
              𝟙
                (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))
                    (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
            ((𝟙 M).hom ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                      (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
          (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                      (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
            (M.actRight ⊗
              𝟙
                (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))
                    (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X))
      (_ :
        ((α_ M.X X.X
                  (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
              (𝟙 M.X ⊗
                (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))
                    (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
            ((𝟙 M).hom ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                      (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
          (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                      (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
            (α_ M.X X.X
                  (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))
                      (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X).hom ≫
              (𝟙 M.X ⊗
                (mk (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))
                    (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
| coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P')
    (_ :
      (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P').X) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P' =
        ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P').X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P').actLeft)) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P')

Next tactic:
rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]