theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
          (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft))
          ((colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X)
                  ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                  (_ :
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                  (_ :
                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                      (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))) ⊗
              𝟙 Y.X) ⊗
            𝟙 P.X)
          (colimMap
              (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X)
                ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                (_ :
                  ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                    (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))) ⊗
            𝟙 P.X)
          (_ :
            ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                ((Hom.mk
                      (colimMap
                        (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom)
                          (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                          (_ :
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                              (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                          (_ :
                            ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                              (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                  (𝟙 P).hom) =
              (((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                            ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                    𝟙 Y.X) ⊗
                  (𝟙 P).hom) ≫
                ((mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).actRight ⊗ 𝟙 P.X))
          (_ :
            ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                  (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗ P.actLeft)) ≫
                ((Hom.mk
                      (colimMap
                        (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom)
                          (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                          (_ :
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                              (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                          (_ :
                            ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                              (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                  (𝟙 P).hom) =
              (((Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))
                            ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) (𝟙 M.X ⊗ f.hom)
                            (_ :
                              (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X))
                            (_ :
                              ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ ((𝟙 M).hom ⊗ f.hom) =
                                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft))))).hom ⊗
                    𝟙 Y.X) ⊗
                  (𝟙 P).hom) ≫
                (α_ (mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).X Y.X P.X).hom ≫
                  (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N') (TensorBimod.actLeft M N') (TensorBimod.actRight M N')).X ⊗ P.actLeft))) =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft)) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
              (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P))
              ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                    (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                    (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                    (_ :
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                    (_ :
                      ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
              (𝟙 M.X ⊗
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                    (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                    (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                    (_ :
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                    (_ :
                      ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                        ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
              (_ :
                (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                    ((𝟙 M).hom ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                    (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                    (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X))
              (_ :
                ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                      (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                    ((𝟙 M).hom ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                    (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫
                                    (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                    (α_ M.X X.X
                          (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X).hom ≫
                      (𝟙 M.X ⊗
                        (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).actLeft))) ≫
          AssociatorBimod.inv M N' P

Next tactic:
slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]