theorem whisker_right_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom f (𝟙 (N.tensorBimod P)) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        tensorHom (tensorHom f (𝟙 N)) (𝟙 P) ≫ (associatorBimod M' N P).hom := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X)
        ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
          (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
      (Hom.mk
          (colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
              (M'.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P)) (f.hom ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              (_ :
                (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                    (f.hom ⊗ (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) =
                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) ≫
                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X))
              (_ :
                ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                      (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                    (f.hom ⊗ (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) =
                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P))).hom) ≫
                    (α_ M'.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                      (𝟙 M'.X ⊗
                        (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft))))).hom =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X)
        ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
          (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
      ((isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M N P) (AssociatorBimod.inv M N P))
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                  (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M N P) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actLeft)
              (_ :
                (tensorBimod (tensorBimod M N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M N P =
                  (AssociatorBimod.hom M N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M (tensorBimod N P)).actRight)).inv ≫
          Hom.mk
              (colimMap
                (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft))
                  (TensorBimod.actRight M' N ⊗ 𝟙 P.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M' N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M' N) ⊗ P.actLeft))
                  ((colimMap
                        (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                          (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                          (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                          (_ :
                            (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                          (_ :
                            ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                              ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                      𝟙 Y.X) ⊗
                    𝟙 P.X)
                  (colimMap
                      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                        (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X)
                        (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                        (_ :
                          (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                        (_ :
                          ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))) ⊗
                    𝟙 P.X)
                  (_ :
                    ((mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                        ((Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                  (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                  (_ :
                                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                        (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                          (𝟙 P).hom) =
                      (((Hom.mk
                                (colimMap
                                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                    (_ :
                                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                    (_ :
                                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                          (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                            𝟙 Y.X) ⊗
                          (𝟙 P).hom) ≫
                        ((mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).actRight ⊗
                          𝟙 P.X))
                  (_ :
                    ((α_ (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X Y.X P.X).hom ≫
                          (𝟙 (mk (TensorBimod.X M N) (TensorBimod.actLeft M N) (TensorBimod.actRight M N)).X ⊗
                            P.actLeft)) ≫
                        ((Hom.mk
                              (colimMap
                                (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                  (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                  ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                  (_ :
                                    (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                  (_ :
                                    ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                      ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                        (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                          (𝟙 P).hom) =
                      (((Hom.mk
                                (colimMap
                                  (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))
                                    (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))
                                    ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ 𝟙 N.X) (f.hom ⊗ 𝟙 N.X)
                                    (_ :
                                      (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫ (M'.actRight ⊗ 𝟙 N.X))
                                    (_ :
                                      ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 N).hom) =
                                        ((f.hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗ (𝟙 N).hom) ≫
                                          (α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M'.X ⊗ N.actLeft))))).hom ⊗
                            𝟙 Y.X) ⊗
                          (𝟙 P).hom) ≫
                        (α_ (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X Y.X
                              P.X).hom ≫
                          (𝟙 (mk (TensorBimod.X M' N) (TensorBimod.actLeft M' N) (TensorBimod.actRight M' N)).X ⊗
                            P.actLeft)))) ≫
            (isoOfIso (Iso.mk (AssociatorBimod.hom M' N P) (AssociatorBimod.inv M' N P))
                (_ :
                  (tensorBimod (tensorBimod M' N) P).actLeft ≫ AssociatorBimod.hom M' N P =
                    (𝟙 W.X ⊗ AssociatorBimod.hom M' N P) ≫ (tensorBimod M' (tensorBimod N P)).actLeft)
                (_ :
                  (tensorBimod (tensorBimod M' N) P).actRight ≫ AssociatorBimod.hom M' N P =
                    (AssociatorBimod.hom M' N P ⊗ 𝟙 Z.X) ≫ (tensorBimod M' (tensorBimod N P)).actRight)).hom).hom

Next tactic:
dsimp