theorem comp_whisker_left_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) (N : Bimod X Y)
    {P P' : Bimod Y Z} (f : P ⟶ P') :
    tensorHom (𝟙 (M.tensorBimod N)) f =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom (𝟙 N) f) ≫ (associatorBimod M N P').inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux, AssociatorBimod.inv]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
      (𝟙 (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ f.hom) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P'.X)
            ((α_ (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) Y.X P'.X).hom ≫
              (𝟙 (coequalizer (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))) ⊗ P'.actLeft)))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        ((𝟙 M.X ⊗
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X)
                  ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                  (_ :
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                  (_ :
                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                      (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))) ≫
            colimit.ι
              (parallelPair
                (M.actRight ⊗ 𝟙 (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
                ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)))).hom ≫
                  (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P')))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          coequalizer.desc (AssociatorBimod.invAux M N P')
            (_ :
              (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P').X) ≫ AssociatorBimod.invAux M N P' =
                ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P').X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P').actLeft)) ≫
                  AssociatorBimod.invAux M N P')

Next tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]