l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_2
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * A₁ᵀ * Pᵀ * J = ↑v⁻¹ * x

Next tactic:
rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
      

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_2
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
this : x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹
⊢ Pᵀ⁻¹ * (A₁ᵀ * Pᵀ * J) = ↑v⁻¹ * x

Next tactic:
rfl
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
      rfl
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x = y * ↑u⁻¹

Next tactic:
rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
      rfl
  rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * x * ↑u = y

Next tactic:
conv_rhs => rw [mul_assoc]
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
      rfl
  rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]
  conv_rhs => 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
| ↑v⁻¹ * x * ↑u = y

Next tactic:
rw [mul_assoc]
theorem Matrix.isAdjointPair_equiv (P : Matrix n n R) (h : IsUnit P) :
    (Pᵀ * J * P).IsAdjointPair (Pᵀ * J * P) A₁ A₁ ↔
      J.IsAdjointPair J (P * A₁ * P⁻¹) (P * A₁ * P⁻¹) := by
  have h' : IsUnit P.det := P.isUnit_iff_isUnit_det.mp h
  let u := P.nonsingInvUnit h'
  let v := Pᵀ.nonsingInvUnit (P.isUnit_det_transpose h')
  let x := A₁ᵀ * Pᵀ * J
  let y := J * P * A₁
  -- TODO(mathlib4#6607): fix elaboration so `val` isn't needed
  suffices x * u.val = v.val * y ↔ (v⁻¹).val * x = y * (u⁻¹).val by
    dsimp only [Matrix.IsAdjointPair]
    simp only [Matrix.transpose_mul]
    simp only [← mul_assoc, P.transpose_nonsing_inv]
    -- porting note: the previous proof used `conv` and was causing timeouts, so we use `convert`
    convert this using 2
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc J]
      rfl
    · rw [mul_assoc, mul_assoc, ← mul_assoc _ _ J]
      rfl
  rw [Units.eq_mul_inv_iff_mul_eq]
  conv_rhs => rw [mul_assoc]
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
P : Matrix n n R
h : IsUnit P
h' : IsUnit (det P)
u : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit P h'
v : (Matrix n n R)ˣ := nonsingInvUnit Pᵀ (_ : IsUnit (det Pᵀ))
x : Matrix n n R := A₁ᵀ * Pᵀ * J
y : Matrix n n R := J * P * A₁
⊢ x * ↑u = ↑v * y ↔ ↑v⁻¹ * (x * ↑u) = y

Next tactic:
rw [v.inv_mul_eq_iff_eq_mul]
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (∃ y, IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁) ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
constructor
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · 

Proof state:
case mp
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ (∃ y, IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁) → Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
rintro ⟨f, hf, hA⟩
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    

Proof state:
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) f
hA : toMatrix' f = A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by 

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) f
hA : toMatrix' f = A₁
⊢ f = toLin' A₁

Next tactic:
rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    

Proof state:
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) f
hA : toMatrix' f = A₁
hf' : f = toLin' A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
rw [hf'] at hf
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    rw [hf'] at hf
    

Proof state:
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) (toLin' A₁)
hA : toMatrix' f = A₁
hf' : f = toLin' A₁
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁

Next tactic:
rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    rw [hf'] at hf
    rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
    

Proof state:
case mp.intro.intro
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
f : Module.End R (n → R)
hf : IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) (toLin' A₁)
hA : toMatrix' f = A₁
hf' : f = toLin' A₁
⊢ LinearMap.IsAdjointPair (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) (toLin' A₁) (toLin' A₁)

Next tactic:
exact hf
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    rw [hf'] at hf
    rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
    exact hf
  · 

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ → ∃ y, IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁

Next tactic:
intro h
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    rw [hf'] at hf
    rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
    exact hf
  · intro h
    

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
⊢ ∃ y, IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) y ∧ toMatrix' y = A₁

Next tactic:
refine' ⟨toLin' A₁, _, LinearMap.toMatrix'_toLin' _⟩
@[simp]
theorem mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ pairSelfAdjointMatricesSubmodule J J₂ ↔ Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁ := by
  simp only [pairSelfAdjointMatricesSubmodule, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.toMatrix'_apply,
    Submodule.mem_map, mem_isPairSelfAdjointSubmodule]
  constructor
  · rintro ⟨f, hf, hA⟩
    have hf' : f = toLin' A₁ := by rw [← hA, Matrix.toLin'_toMatrix']
    rw [hf'] at hf
    rw [← isAdjointPair_toLinearMap₂']
    exact hf
  · intro h
    refine' ⟨toLin' A₁, _, LinearMap.toMatrix'_toLin' _⟩
    

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
h : Matrix.IsAdjointPair J J₂ A₁ A₁
⊢ IsPairSelfAdjoint (toLinearMap₂' J) (toLinearMap₂' J₂) (toLin' A₁)

Next tactic:
exact (isAdjointPair_toLinearMap₂' _ _ _ _).mpr h
@[simp]
theorem mem_selfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A₁ := by
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ Matrix.IsSelfAdjoint J A₁

Next tactic:
erw [mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule]
@[simp]
theorem mem_selfAdjointMatricesSubmodule :
    A₁ ∈ selfAdjointMatricesSubmodule J ↔ J.IsSelfAdjoint A₁ := by
  erw [mem_pairSelfAdjointMatricesSubmodule]
  

Proof state:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
M : Type u_4
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₁' : Type u_7
M₂' : Type u_8
n : Type u_9
m : Type u_10
n' : Type u_11
m' : Type u_12
ι : Type u_13
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁶ : Module R M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Fintype n'
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis n' R M₂
J J₂ : Matrix n n R
J' : Matrix n' n' R
A : Matrix n' n R
A' : Matrix n n' R
A₁ : Matrix n n R
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : DecidableEq n'
⊢ Matrix.IsAdjointPair J J A₁ A₁ ↔ Matrix.IsSelfAdjoint J A₁

Next tactic:
rfl