theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [← id_tensor_comp, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.inv]
  slice_rhs 3 4 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.invAux]
  slice_rhs 2 2 => rw [id_tensor_comp]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      (((𝟙 M.X ⊗ f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
            (𝟙 M.X ⊗
              colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)))
                WalkingParallelPair.one)) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
              ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
            (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
              coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
                ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
          (_ :
            (tensorLeft M.X).map (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
                  (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                    coequalizer.π ((tensorBimod M N').actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                      ((α_ (tensorBimod M N').X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M N').X ⊗ P.actLeft)) =
              (tensorLeft M.X).map ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ≫
                (α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
                  (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
                    coequalizer.π ((tensorBimod M N').actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                      ((α_ (tensorBimod M N').X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M N').X ⊗ P.actLeft)))

Next tactic:
slice_rhs 3 5 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]