theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => 

Proof state:
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| (coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ⊗ 𝟙 P.X) ≫
    (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft))).inv ≫
      coequalizer.desc
        ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
          (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
            coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)))
        (_ :
          (tensorRight P.X).map (M.actRight ⊗ 𝟙 N.X) ≫
              (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                    ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)) =
            (tensorRight P.X).map ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N.actLeft)) ≫
              (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod N P).X)
                    ((α_ M.X X.X (tensorBimod N P).X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ (tensorBimod N P).actLeft)))
case a.a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| colimMap
    (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
      ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P)) (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
      ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P))
      ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
      (𝟙 M.X ⊗
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
      (_ :
        (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
            ((𝟙 M).hom ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
          (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
            (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X))
      (_ :
        ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
              (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
            ((𝟙 M).hom ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
          (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
              (Hom.mk
                  (colimMap
                    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                      (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X)
                      (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                      (_ :
                        (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                      (_ :
                        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                          ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
            (α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X).hom ≫
              (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
| AssociatorBimod.inv M N' P

Next tactic:
rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]