l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem IsBigO.smul (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₁ x✝‖ * ‖f' x✝‖ = ‖k₁ x✝ • f' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigO.smul (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
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inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
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inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
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inst✝⁴ : SeminormedRing R'
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inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
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h₂ : f' =O[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₂ x‖ * ‖g' x‖ = ‖k₂ x • g' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsBigO.smul (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =O[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
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h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₂ x✝‖ * ‖g' x✝‖ = ‖k₂ x✝ • g' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigO.smul_isLittleO (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
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h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x

Next tactic:
refine' ((h₁.norm_norm.mul_isLittleO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm
theorem IsBigO.smul_isLittleO (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isLittleO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
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E'' : Type u_9
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G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
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⊢ ∀ (x : α), ‖k₁ x‖ * ‖f' x‖ = ‖k₁ x • f' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsBigO.smul_isLittleO (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isLittleO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
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inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
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h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₁ x✝‖ * ‖f' x✝‖ = ‖k₁ x✝ • f' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigO.smul_isLittleO (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isLittleO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
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inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
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inst✝⁶ : SeminormedRing R
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f' : α → E'
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h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₂ x‖ * ‖g' x‖ = ‖k₂ x • g' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsBigO.smul_isLittleO (h₁ : k₁ =O[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isLittleO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
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G : Type u_5
E' : Type u_6
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𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
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inst✝⁶ : SeminormedRing R
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h₁ : k₁ =O[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₂ x✝‖ * ‖g' x✝‖ = ‖k₂ x✝ • g' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsLittleO.smul_isBigO (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
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⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x

Next tactic:
refine' ((h₁.norm_norm.mul_isBigO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm
theorem IsLittleO.smul_isBigO (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
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  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isBigO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
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G : Type u_5
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E''' : Type u_12
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𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
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inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
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h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₁ x‖ * ‖f' x‖ = ‖k₁ x • f' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsLittleO.smul_isBigO (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
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    · intros; 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
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𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
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l l' : Filter α
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k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₁ x✝‖ * ‖f' x✝‖ = ‖k₁ x✝ • f' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsLittleO.smul_isBigO (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isBigO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
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f : α → E
g : α → F
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l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₂ x‖ * ‖g' x‖ = ‖k₂ x • g' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsLittleO.smul_isBigO (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =O[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul_isBigO h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
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𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =O[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₂ x✝‖ * ‖g' x✝‖ = ‖k₂ x✝ • g' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsLittleO.smul (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x

Next tactic:
refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm
theorem IsLittleO.smul (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₁ x‖ * ‖f' x‖ = ‖k₁ x • f' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsLittleO.smul (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₁ x✝‖ * ‖f' x✝‖ = ‖k₁ x✝ • f' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsLittleO.smul (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
⊢ ∀ (x : α), ‖k₂ x‖ * ‖g' x‖ = ‖k₂ x • g' x‖

Next tactic:
intros
theorem IsLittleO.smul (h₁ : k₁ =o[l] k₂) (h₂ : f' =o[l] g') :
    (fun x => k₁ x • f' x) =o[l] fun x => k₂ x • g' x := by
  refine' ((h₁.norm_norm.mul h₂.norm_norm).congr _ _).of_norm_norm <;>
    · intros; 

Proof state:
case refine'_2
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹⁵ : Norm E
inst✝¹⁴ : Norm F
inst✝¹³ : Norm G
inst✝¹² : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁶ : SeminormedRing R
inst✝⁵ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝⁴ : SeminormedRing R'
inst✝³ : NormedField 𝕜
inst✝² : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝ : NormedSpace 𝕜' F'
k₁ : α → 𝕜
k₂ : α → 𝕜'
h₁ : k₁ =o[l] k₂
h₂ : f' =o[l] g'
x✝ : α
⊢ ‖k₂ x✝‖ * ‖g' x✝‖ = ‖k₂ x✝ • g' x✝‖

Next tactic:
simp only [norm_smul]
theorem IsBigOWith.sum (h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) :
    IsBigOWith (∑ i in s, C i) l (fun x => ∑ i in s, A i x) g := by
  

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g
⊢ IsBigOWith (∑ i in s, C i) l (fun x => ∑ i in s, A i x) g

Next tactic:
induction' s using Finset.induction_on with i s is IH
theorem IsBigOWith.sum (h : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g) :
    IsBigOWith (∑ i in s, C i) l (fun x => ∑ i in s, A i x) g := by
  induction' s using Finset.induction_on with i s is IH
  · 

Proof state:
case empty
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ ∅, IsBigOWith (C i) l (A i) g
⊢ IsBigOWith (∑ i in ∅, C i) l (fun x => ∑ i in ∅, A i x) g

Next tactic:
simp only [isBigOWith_zero', Finset.sum_empty, forall_true_iff]