theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    tensorHom (tensorHom (𝟙 M) f) (𝟙 P) =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom f (𝟙 P)) ≫ (associatorBimod M N' P).inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  dsimp [AssociatorBimod.hom]
  slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  dsimp [AssociatorBimod.homAux]
  refine' (cancel_epi ((tensorRight _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorRight_map]
  slice_lhs 1 2 => rw [← comp_tensor_id, ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 3 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ f.hom) ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ N'.actLeft)))
            WalkingParallelPair.one ⊗
        𝟙 P.X) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ⊗ 𝟙 P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N') ⊗ P.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
          (𝟙 M.X ⊗ coequalizer.π (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
            coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
            (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N' P))
            ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N' P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N' P))
            ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                  (_ :
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                  (_ :
                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                      ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
            (𝟙 M.X ⊗
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
                  ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                  (_ :
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                  (_ :
                    ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                      ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))
            (_ :
              (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                  ((𝟙 M).hom ⊗
                    (Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                            (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                            (_ :
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                            (_ :
                              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                    (Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                            (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                            (_ :
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                            (_ :
                              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                  (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X))
            (_ :
              ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                    (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                  ((𝟙 M).hom ⊗
                    (Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                            (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                            (_ :
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                            (_ :
                              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) =
                (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                    (Hom.mk
                        (colimMap
                          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                            (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))
                            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
                            (_ :
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N'.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
                            (_ :
                              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N'.X ⊗ P.actLeft))))).hom) ≫
                  (α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).X).hom ≫
                    (𝟙 M.X ⊗
                      (mk (TensorBimod.X N' P) (TensorBimod.actLeft N' P) (TensorBimod.actRight N' P)).actLeft)))) ≫
      AssociatorBimod.inv M N' P

Next tactic:
slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]