l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
/-- For disjoint `f1` and `f2`, and function `g`, the product of the products of `g`
over `f1` and `f2` equals the product of `g` over `f1 + f2` -/
@[to_additive
      "For disjoint `f1` and `f2`, and function `g`, the sum of the sums of `g`
      over `f1` and `f2` equals the sum of `g` over `f1 + f2`"]
theorem prod_add_index_of_disjoint [AddCommMonoid M] {f1 f2 : α →₀ M}
    (hd : Disjoint f1.support f2.support) {β : Type*} [CommMonoid β] (g : α → M → β) :
    (f1 + f2).prod g = f1.prod g * f2.prod g := by
  have :
    ∀ {f1 f2 : α →₀ M},
      Disjoint f1.support f2.support → (∏ x in f1.support, g x (f1 x + f2 x)) = f1.prod g :=
    fun hd =>
    Finset.prod_congr rfl fun x hx => by
      simp only [not_mem_support_iff.mp (disjoint_left.mp hd hx), add_zero]
  classical 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g✝ : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β✝ : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
f1 f2 : α →₀ M
hd : Disjoint f1.support f2.support
β : Type u_16
inst✝ : CommMonoid β
g : α → M → β
this : ∀ {f1 f2 : α →₀ M}, Disjoint f1.support f2.support → ∏ x in f1.support, g x (f1 x + f2 x) = prod f1 g
⊢ prod (f1 + f2) g = prod f1 g * prod f2 g

Next tactic:
simp_rw [← this hd, ← this hd.symm, add_comm (f2 _), Finsupp.prod, support_add_eq hd,
      prod_union hd, add_apply]
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ prod f1 g1 ∣ prod f2 g2

Next tactic:
classical
    simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
    rw [← sdiff_union_of_subset h1, prod_union sdiff_disjoint]
    apply dvd_mul_of_dvd_right
    apply prod_dvd_prod_of_dvd
    exact h2
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  classical
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ prod f1 g1 ∣ prod f2 g2

Next tactic:
simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  classical
    simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ ∏ a in f1.support, g1 a (f1 a) ∣ ∏ a in f2.support, g2 a (f2 a)

Next tactic:
rw [← sdiff_union_of_subset h1, prod_union sdiff_disjoint]
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  classical
    simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
    rw [← sdiff_union_of_subset h1, prod_union sdiff_disjoint]
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ ∏ a in f1.support, g1 a (f1 a) ∣ (∏ x in f2.support \ f1.support, g2 x (f2 x)) * ∏ x in f1.support, g2 x (f2 x)

Next tactic:
apply dvd_mul_of_dvd_right
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  classical
    simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
    rw [← sdiff_union_of_subset h1, prod_union sdiff_disjoint]
    apply dvd_mul_of_dvd_right
    

Proof state:
case h
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ ∏ a in f1.support, g1 a (f1 a) ∣ ∏ x in f1.support, g2 x (f2 x)

Next tactic:
apply prod_dvd_prod_of_dvd
theorem prod_dvd_prod_of_subset_of_dvd [AddCommMonoid M] [CommMonoid N] {f1 f2 : α →₀ M}
    {g1 g2 : α → M → N} (h1 : f1.support ⊆ f2.support)
    (h2 : ∀ a : α, a ∈ f1.support → g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)) : f1.prod g1 ∣ f2.prod g2 := by
  classical
    simp only [Finsupp.prod, Finsupp.prod_mul]
    rw [← sdiff_union_of_subset h1, prod_union sdiff_disjoint]
    apply dvd_mul_of_dvd_right
    apply prod_dvd_prod_of_dvd
    

Proof state:
case h.h
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1✝ : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f1 f2 : α →₀ M
g1 g2 : α → M → N
h1 : f1.support ⊆ f2.support
h2 : ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)
⊢ ∀ a ∈ f1.support, g1 a (f1 a) ∣ g2 a (f2 a)

Next tactic:
exact h2
lemma indicator_eq_sum_attach_single [AddCommMonoid M] {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) :
    indicator s f = ∑ x in s.attach, single ↑x (f x x.2) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ indicator s f = ∑ x in attach s, single (↑x) (f ↑x (_ : ↑x ∈ s))

Next tactic:
rw [← sum_single (indicator s f), sum, sum_subset (support_indicator_subset _ _), ← sum_attach]
lemma indicator_eq_sum_attach_single [AddCommMonoid M] {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) :
    indicator s f = ∑ x in s.attach, single ↑x (f x x.2) := by
  rw [← sum_single (indicator s f), sum, sum_subset (support_indicator_subset _ _), ← sum_attach]
  · 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ ∑ x in attach s, single (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∑ x in attach s, single (↑x) (f ↑x (_ : ↑x ∈ s))

Next tactic:
refine' Finset.sum_congr rfl (fun _ _ => _)
lemma indicator_eq_sum_attach_single [AddCommMonoid M] {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) :
    indicator s f = ∑ x in s.attach, single ↑x (f x x.2) := by
  rw [← sum_single (indicator s f), sum, sum_subset (support_indicator_subset _ _), ← sum_attach]
  · refine' Finset.sum_congr rfl (fun _ _ => _)
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ attach s
⊢ single (↑x✝¹) ((indicator s f) ↑x✝¹) = single (↑x✝¹) (f ↑x✝¹ (_ : ↑x✝¹ ∈ s))

Next tactic:
rw [indicator_of_mem]
lemma indicator_eq_sum_attach_single [AddCommMonoid M] {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) :
    indicator s f = ∑ x in s.attach, single ↑x (f x x.2) := by
  rw [← sum_single (indicator s f), sum, sum_subset (support_indicator_subset _ _), ← sum_attach]
  · refine' Finset.sum_congr rfl (fun _ _ => _)
    rw [indicator_of_mem]
  · 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
⊢ ∀ x ∈ s, x ∉ (indicator s f).support → single x ((indicator s f) x) = 0

Next tactic:
intro i _ hi
lemma indicator_eq_sum_attach_single [AddCommMonoid M] {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) :
    indicator s f = ∑ x in s.attach, single ↑x (f x x.2) := by
  rw [← sum_single (indicator s f), sum, sum_subset (support_indicator_subset _ _), ← sum_attach]
  · refine' Finset.sum_congr rfl (fun _ _ => _)
    rw [indicator_of_mem]
  · intro i _ hi
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
i : α
a✝ : i ∈ s
hi : i ∉ (indicator s f).support
⊢ single i ((indicator s f) i) = 0

Next tactic:
rw [not_mem_support_iff.mp hi, single_zero]
@[to_additive (attr := simp)]
lemma prod_indicator_index_eq_prod_attach [Zero M] [CommMonoid N]
    {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) {h : α → M → N} (h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1) :
    (indicator s f).prod h = ∏ x in s.attach, h ↑x (f x x.2) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ prod (indicator s f) h = ∏ x in attach s, h (↑x) (f ↑x (_ : ↑x ∈ s))

Next tactic:
rw [prod_of_support_subset _ (support_indicator_subset _ _) h h_zero, ← prod_attach]
@[to_additive (attr := simp)]
lemma prod_indicator_index_eq_prod_attach [Zero M] [CommMonoid N]
    {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) {h : α → M → N} (h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1) :
    (indicator s f).prod h = ∏ x in s.attach, h ↑x (f x x.2) := by
  rw [prod_of_support_subset _ (support_indicator_subset _ _) h h_zero, ← prod_attach]
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
⊢ ∏ x in attach s, h (↑x) ((indicator s f) ↑x) = ∏ x in attach s, h (↑x) (f ↑x (_ : ↑x ∈ s))

Next tactic:
refine' Finset.prod_congr rfl (fun _ _ => _)
@[to_additive (attr := simp)]
lemma prod_indicator_index_eq_prod_attach [Zero M] [CommMonoid N]
    {s : Finset α} (f : ∀ a ∈ s, M) {h : α → M → N} (h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1) :
    (indicator s f).prod h = ∏ x in s.attach, h ↑x (f x x.2) := by
  rw [prod_of_support_subset _ (support_indicator_subset _ _) h h_zero, ← prod_attach]
  refine' Finset.prod_congr rfl (fun _ _ => _)
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : Zero M
inst✝ : CommMonoid N
s : Finset α
f : (a : α) → a ∈ s → M
h : α → M → N
h_zero : ∀ a ∈ s, h a 0 = 1
x✝¹ : { x // x ∈ s }
x✝ : x✝¹ ∈ attach s
⊢ h (↑x✝¹) ((indicator s f) ↑x✝¹) = h (↑x✝¹) (f ↑x✝¹ (_ : ↑x✝¹ ∈ s))

Next tactic:
rw [indicator_of_mem]
lemma sum_cons [AddCommMonoid M] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M) :
    (sum (cons i σ) fun _ e ↦ e) = i + sum σ (fun _ e ↦ e) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
⊢ (sum (cons i σ) fun x e => e) = i + sum σ fun x e => e

Next tactic:
rw [sum_fintype _ _ (fun _ => rfl), sum_fintype _ _ (fun _ => rfl)]
lemma sum_cons [AddCommMonoid M] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M) :
    (sum (cons i σ) fun _ e ↦ e) = i + sum σ (fun _ e ↦ e) := by
  rw [sum_fintype _ _ (fun _ => rfl), sum_fintype _ _ (fun _ => rfl)]
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : AddCommMonoid B
inst✝¹ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝ : AddCommMonoid M
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
⊢ ∑ i_1 : Fin (n + 1), (cons i σ) i_1 = i + ∑ i : Fin n, σ i

Next tactic:
exact Fin.sum_cons i σ
lemma sum_cons' [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid N] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M)
    (f : Fin (n+1) → M → N) (h : ∀ x, f x 0 = 0) :
    (sum (Finsupp.cons i σ) f) = f 0 i + sum σ (Fin.tail f) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ sum (cons i σ) f = f 0 i + sum σ (Fin.tail f)

Next tactic:
rw [sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h), sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h)]
lemma sum_cons' [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid N] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M)
    (f : Fin (n+1) → M → N) (h : ∀ x, f x 0 = 0) :
    (sum (Finsupp.cons i σ) f) = f 0 i + sum σ (Fin.tail f) := by
  rw [sum_fintype _ _ (fun _ => by 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
x✝ : Fin (n + 1)
⊢ f x✝ 0 = 0

Next tactic:
apply h
lemma sum_cons' [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid N] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M)
    (f : Fin (n+1) → M → N) (h : ∀ x, f x 0 = 0) :
    (sum (Finsupp.cons i σ) f) = f 0 i + sum σ (Fin.tail f) := by
  rw [sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h), sum_fintype _ _ (fun _ => by 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
x✝ : Fin n
⊢ Fin.tail f x✝ 0 = 0

Next tactic:
apply h
lemma sum_cons' [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid N] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M)
    (f : Fin (n+1) → M → N) (h : ∀ x, f x 0 = 0) :
    (sum (Finsupp.cons i σ) f) = f 0 i + sum σ (Fin.tail f) := by
  rw [sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h), sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h)]
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ ∑ i_1 : Fin (n + 1), f i_1 ((cons i σ) i_1) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)

Next tactic:
simp_rw [Fin.sum_univ_succ, cons_zero, cons_succ]
lemma sum_cons' [AddCommMonoid M] [AddCommMonoid N] (n : ℕ) (σ : Fin n →₀ M) (i : M)
    (f : Fin (n+1) → M → N) (h : ∀ x, f x 0 = 0) :
    (sum (Finsupp.cons i σ) f) = f 0 i + sum σ (Fin.tail f) := by
  rw [sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h), sum_fintype _ _ (fun _ => by apply h)]
  simp_rw [Fin.sum_univ_succ, cons_zero, cons_succ]
  

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i✝ : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : AddCommMonoid N
n : ℕ
σ : Fin n →₀ M
i : M
f : Fin (n + 1) → M → N
h : ∀ (x : Fin (n + 1)), f x 0 = 0
⊢ f 0 i + ∑ x : Fin n, f (Fin.succ x) (σ x) = f 0 i + ∑ i : Fin n, Fin.tail f i (σ i)

Next tactic:
congr
theorem Finsupp.sum_sum_index' : (∑ x in s, f x).sum t = ∑ x in s, (f x).sum t :=
  Finset.induction_on s rfl fun a s has ih => by
    

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid A
inst✝¹ : AddCommMonoid B
inst✝ : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih : sum (∑ x in s, f x) t = ∑ x in s, sum (f x) t
⊢ sum (∑ x in insert a s, f x) t = ∑ x in insert a s, sum (f x) t

Next tactic:
simp_rw [Finset.sum_insert has, Finsupp.sum_add_index' h0 h1, ih]
theorem Finsupp.sum_mul (b : S) (s : α →₀ R) {f : α → R → S} :
    s.sum f * b = s.sum fun a c => f a c * b := by 

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_2
γ : Type u_3
A : Type u_4
B : Type u_5
C : Type u_6
inst✝⁴ : AddCommMonoid A
inst✝³ : AddCommMonoid B
inst✝² : AddCommMonoid C
t : ι → A → C
h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0
h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y
s✝ : Finset α
f✝ : α → ι →₀ A
i : ι
g : ι →₀ A
k : ι → A → γ → B
x : γ
β : Type u_7
M : Type u_8
M' : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
G : Type u_12
H : Type u_13
R : Type u_14
S : Type u_15
inst✝¹ : NonUnitalNonAssocSemiring R
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring S
b : S
s : α →₀ R
f : α → R → S
⊢ sum s f * b = sum s fun a c => f a c * b

Next tactic:
simp only [Finsupp.sum, Finset.sum_mul]