l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem setToFun_congr_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (h : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s)
    (f : α → E) : setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left' T T' hT hT' h]
theorem setToFun_congr_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (h : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = T' s)
    (f : α → E) : setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_congr_left' T T' hT hT' h]
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = T' s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_undef _ hf]
theorem setToFun_add_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (f : α → E) :
    setToFun μ (T + T') (hT.add hT') f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
theorem setToFun_add_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (f : α → E) :
    setToFun μ (T + T') (hT.add hT') f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left hT hT']
theorem setToFun_add_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (f : α → E) :
    setToFun μ (T + T') (hT.add hT') f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left hT hT']
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ (T + T') (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (T + T') (C + C')) f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_undef _ hf, add_zero]
theorem setToFun_add_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C'')
    (h_add : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s) (f : α → E) :
    setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
theorem setToFun_add_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C'')
    (h_add : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s) (f : α → E) :
    setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left' hT hT' hT'' h_add]
theorem setToFun_add_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C'')
    (h_add : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T'' s = T s + T' s) (f : α → E) :
    setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_add_left' hT hT' hT'' h_add]
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
hT'' : DominatedFinMeasAdditive μ T'' C''
h_add : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T'' s = T s + T' s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T'' hT'' f = setToFun μ T hT f + setToFun μ T' hT' f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_undef _ hf, add_zero]
theorem setToFun_smul_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) (c : ℝ) (f : α → E) :
    setToFun μ (fun s => c • T s) (hT.smul c) f = c • setToFun μ T hT f := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
theorem setToFun_smul_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) (c : ℝ) (f : α → E) :
    setToFun μ (fun s => c • T s) (hT.smul c) f = c • setToFun μ T hT f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left hT c]
theorem setToFun_smul_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) (c : ℝ) (f : α → E) :
    setToFun μ (fun s => c • T s) (hT.smul c) f = c • setToFun μ T hT f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left hT c]
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ (fun s => c • T s) (_ : DominatedFinMeasAdditive μ (fun s => c • T s) (‖c‖ * C)) f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_undef _ hf, smul_zero]
theorem setToFun_smul_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (c : ℝ)
    (h_smul : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s) (f : α → E) :
    setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
theorem setToFun_smul_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (c : ℝ)
    (h_smul : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s) (f : α → E) :
    setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left' hT hT' c h_smul]
theorem setToFun_smul_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C') (c : ℝ)
    (h_smul : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T' s = c • T s) (f : α → E) :
    setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · simp_rw [setToFun_eq _ hf, L1.setToL1_smul_left' hT hT' c h_smul]
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'
c : ℝ
h_smul : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T' s = c • T s
f : α → E
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T' hT' f = c • setToFun μ T hT f

Next tactic:
simp_rw [setToFun_undef _ hf, smul_zero]
@[simp]
theorem setToFun_zero (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) : setToFun μ T hT (0 : α → E) = 0 := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
⊢ setToFun μ T hT 0 = 0

Next tactic:
erw [setToFun_eq hT (integrable_zero _ _ _), Integrable.toL1_zero, ContinuousLinearMap.map_zero]
@[simp]
theorem setToFun_zero_left {hT : DominatedFinMeasAdditive μ (0 : Set α → E →L[ℝ] F) C} :
    setToFun μ 0 hT f = 0 := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
@[simp]
theorem setToFun_zero_left {hT : DominatedFinMeasAdditive μ (0 : Set α → E →L[ℝ] F) C} :
    setToFun μ 0 hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0

Next tactic:
rw [setToFun_eq hT hf]
@[simp]
theorem setToFun_zero_left {hT : DominatedFinMeasAdditive μ (0 : Set α → E →L[ℝ] F) C} :
    setToFun μ 0 hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · rw [setToFun_eq hT hf]; 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : Integrable f
⊢ (L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) = 0

Next tactic:
exact L1.setToL1_zero_left hT _
@[simp]
theorem setToFun_zero_left {hT : DominatedFinMeasAdditive μ (0 : Set α → E →L[ℝ] F) C} :
    setToFun μ 0 hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · rw [setToFun_eq hT hf]; exact L1.setToL1_zero_left hT _
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ 0 C
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ 0 hT f = 0

Next tactic:
exact setToFun_undef hT hf
theorem setToFun_zero_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (h_zero : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0) : setToFun μ T hT f = 0 := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
⊢ setToFun μ T hT f = 0

Next tactic:
by_cases hf : Integrable f μ
theorem setToFun_zero_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (h_zero : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0) : setToFun μ T hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = 0

Next tactic:
rw [setToFun_eq hT hf]
theorem setToFun_zero_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (h_zero : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0) : setToFun μ T hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · rw [setToFun_eq hT hf]; 

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : Integrable f
⊢ (L1.setToL1 hT) (Integrable.toL1 f hf) = 0

Next tactic:
exact L1.setToL1_zero_left' hT h_zero _
theorem setToFun_zero_left' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C)
    (h_zero : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0) : setToFun μ T hT f = 0 := by
  by_cases hf : Integrable f μ
  · rw [setToFun_eq hT hf]; exact L1.setToL1_zero_left' hT h_zero _
  · 

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → ↑↑μ s < ⊤ → T s = 0
hf : ¬Integrable f
⊢ setToFun μ T hT f = 0

Next tactic:
exact setToFun_undef hT hf
theorem setToFun_add (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) (hf : Integrable f μ)
    (hg : Integrable g μ) : setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
hf : Integrable f
hg : Integrable g
⊢ setToFun μ T hT (f + g) = setToFun μ T hT f + setToFun μ T hT g

Next tactic:
rw [setToFun_eq hT (hf.add hg), setToFun_eq hT hf, setToFun_eq hT hg, Integrable.toL1_add,
    (L1.setToL1 hT).map_add]
theorem setToFun_finset_sum' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) {ι} (s : Finset ι)
    {f : ι → α → E} (hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) :
    setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i)
⊢ setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)

Next tactic:
revert hf
theorem setToFun_finset_sum' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) {ι} (s : Finset ι)
    {f : ι → α → E} (hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) :
    setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) := by
  revert hf
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ i ∈ s, Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i)

Next tactic:
refine' Finset.induction_on s _ _
theorem setToFun_finset_sum' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) {ι} (s : Finset ι)
    {f : ι → α → E} (hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) :
    setToFun μ T hT (∑ i in s, f i) = ∑ i in s, setToFun μ T hT (f i) := by
  revert hf
  refine' Finset.induction_on s _ _
  · 

Proof state:
case refine'_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ i ∈ ∅, Integrable (f i)) → setToFun μ T hT (∑ i in ∅, f i) = ∑ i in ∅, setToFun μ T hT (f i)

Next tactic:
intro _