l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem mfderivWithin_inter (ht : t ∈ 𝓝 x) :
    mfderivWithin I I' f (s ∩ t) x = mfderivWithin I I' f s x := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
ht : t ∈ 𝓝 x
⊢ mfderivWithin I I' f (s ∩ t) x = mfderivWithin I I' f s x

Next tactic:
rw [mfderivWithin, mfderivWithin, extChartAt_preimage_inter_eq, mdifferentiableWithinAt_inter ht,
    fderivWithin_inter (extChartAt_preimage_mem_nhds I x ht)]
theorem mfderivWithin_of_mem_nhds (h : s ∈ 𝓝 x) : mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x

Next tactic:
rw [← mfderivWithin_univ, ← univ_inter s, mfderivWithin_inter h]
theorem mfderivWithin_eq_mfderiv (hs : UniqueMDiffWithinAt I s x) (h : MDifferentiableAt I I' f x) :
    mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x

Next tactic:
rw [← mfderivWithin_univ]
theorem mfderivWithin_eq_mfderiv (hs : UniqueMDiffWithinAt I s x) (h : MDifferentiableAt I I' f x) :
    mfderivWithin I I' f s x = mfderiv I I' f x := by
  rw [← mfderivWithin_univ]
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
hs : UniqueMDiffWithinAt I s x
h : MDifferentiableAt I I' f x
⊢ mfderivWithin I I' f s x = mfderivWithin I I' f univ x

Next tactic:
exact mfderivWithin_subset (subset_univ _) hs h.mdifferentiableWithinAt
theorem mdifferentiableAt_iff_of_mem_source {x' : M} {y : M'}
    (hx : x' ∈ (chartAt H x).source) (hy : f x' ∈ (chartAt H' y).source) :
    MDifferentiableAt I I' f x' ↔
      ContinuousAt f x' ∧
        DifferentiableWithinAt 𝕜 (extChartAt I' y ∘ f ∘ (extChartAt I x).symm) (Set.range I)
          ((extChartAt I x) x') :=
  mdifferentiableWithinAt_univ.symm.trans <|
    (mdifferentiableWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans <| by
      

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (chartAt H x).toPartialEquiv.source
hy : f x' ∈ (chartAt H' y).toPartialEquiv.source
⊢ ContinuousWithinAt f univ x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(PartialEquiv.symm (extChartAt I x)))
        (↑(PartialEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' univ ∩ range ↑I) (↑(extChartAt I x) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑(extChartAt I' y) ∘ f ∘ ↑(PartialEquiv.symm (extChartAt I x))) (range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x')

Next tactic:
rw [continuousWithinAt_univ, Set.preimage_univ, Set.univ_inter]
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Next tactic:
suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · 

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x

Next tactic:
rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝[s] x

Next tactic:
apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
    

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
⊢ (extChartAt I' (f x)).source ∈ 𝓝 (f x)

Next tactic:
exact extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
    exact extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x

Next tactic:
rw [mdifferentiableWithinAt_iff]
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
    exact extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)
  rw [mdifferentiableWithinAt_iff]
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ ContinuousWithinAt f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I' x f)
      ((extChartAt I x).target ∩ ↑(PartialEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source))
      (↑(extChartAt I x) x)

Next tactic:
exact ⟨hf.1.mono (inter_subset_left _ _), (hf.2.differentiableWithinAt hn).mono (by mfld_set_tac)⟩
theorem ContMDiffWithinAt.mdifferentiableWithinAt (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x)
    (hn : 1 ≤ n) : MDifferentiableWithinAt I I' f s x := by
  suffices h : MDifferentiableWithinAt I I' f (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) x
  · rwa [mdifferentiableWithinAt_inter'] at h
    apply hf.1.preimage_mem_nhdsWithin
    exact extChartAt_source_mem_nhds I' (f x)
  rw [mdifferentiableWithinAt_iff]
  exact ⟨hf.1.mono (inter_subset_left _ _), (hf.2.differentiableWithinAt hn).mono (by 

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
n : ℕ∞
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x
hn : 1 ≤ n
⊢ (extChartAt I x).target ∩ ↑(PartialEquiv.symm (extChartAt I x)) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) ⊆
    ↑(ModelWithCorners.symm I) ⁻¹' (↑(PartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) ⁻¹' s) ∩ range ↑I

Next tactic:
mfld_set_tac
theorem tangentMapWithin_subset {p : TangentBundle I M} (st : s ⊆ t)
    (hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.1) (h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.1) :
    tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f t p := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
p : TangentBundle I M
st : s ⊆ t
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.proj
⊢ tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f t p

Next tactic:
simp only [tangentMapWithin, mfld_simps]
theorem tangentMapWithin_subset {p : TangentBundle I M} (st : s ⊆ t)
    (hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.1) (h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.1) :
    tangentMapWithin I I' f s p = tangentMapWithin I I' f t p := by
  simp only [tangentMapWithin, mfld_simps]
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
p : TangentBundle I M
st : s ⊆ t
hs : UniqueMDiffWithinAt I s p.proj
h : MDifferentiableWithinAt I I' f t p.proj
⊢ (mfderivWithin I I' f s p.proj) p.snd = (mfderivWithin I I' f t p.proj) p.snd

Next tactic:
rw [mfderivWithin_subset st hs h]
theorem tangentMapWithin_univ : tangentMapWithin I I' f univ = tangentMap I I' f := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
⊢ tangentMapWithin I I' f univ = tangentMap I I' f

Next tactic:
ext p : 1
theorem tangentMapWithin_univ : tangentMapWithin I I' f univ = tangentMap I I' f := by
  ext p : 1
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f f₀ f₁ : M → M'
x : M
s t : Set M
g : M' → M''
u : Set M'
Is : SmoothManifoldWithCorners I M
I's : SmoothManifoldWithCorners I' M'
I''s : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
f' f₀' f₁' : TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace I' (f x)
g' : TangentSpace I' (f x) →L[𝕜] TangentSpace I'' (g (f x))
p : TangentBundle I M
⊢ tangentMapWithin I I' f univ p = tangentMap I I' f p

Next tactic:
simp only [tangentMapWithin, tangentMap, mfld_simps]