/-- The constructed `pullbackConeOfLeft` is indeed limiting. -/
def pullbackConeOfLeftIsLimit : IsLimit (pullbackConeOfLeft f g) :=
  PullbackCone.isLimitAux' _ fun s => by
    refine' ⟨LocallyRingedSpace.Hom.mk (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift
        f.1 g.1 (PullbackCone.mk _ _ (congr_arg LocallyRingedSpace.Hom.val s.condition))) _,
      LocallyRingedSpace.Hom.ext _ _
        (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift_fst f.1 g.1 _),
      LocallyRingedSpace.Hom.ext _ _
          (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift_snd f.1 g.1 _), _⟩
    · intro x
      have :=
        PresheafedSpace.stalkMap.congr_hom _ _
          (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift_snd f.1 g.1
            (PullbackCone.mk s.fst.1 s.snd.1 (congr_arg LocallyRingedSpace.Hom.val s.condition)))
          x
      change _ = _ ≫ PresheafedSpace.stalkMap s.snd.1 x at this
      rw [PresheafedSpace.stalkMap.comp, ← IsIso.eq_inv_comp] at this
      rw [this]
      

Proof state:
case refine'_1
C : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.491994, u_1} C
X Y Z : LocallyRingedSpace
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
s : PullbackCone f g
x : ↑↑s.pt.toPresheafedSpace
this :
  PresheafedSpace.stalkMap
      (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f.val g.val
        (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
          (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val)))
      x =
    inv
        (PresheafedSpace.stalkMap (PullbackCone.snd (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f.val g.val))
          ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f.val g.val
                (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                  (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val))).base
            x)) ≫
      eqToHom
          (_ :
            PresheafedSpace.stalk Y.toPresheafedSpace
                ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f.val g.val
                        (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                          (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val)) ≫
                      PullbackCone.snd (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f.val g.val)).base
                  x) =
              PresheafedSpace.stalk Y.toPresheafedSpace
                ((PullbackCone.snd
                      (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                        (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val))).base
                  x)) ≫
        PresheafedSpace.stalkMap (PullbackCone.snd s).val x
⊢ IsLocalRingHom
    (inv
        (PresheafedSpace.stalkMap (PullbackCone.snd (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f.val g.val))
          ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f.val g.val
                (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                  (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val))).base
            x)) ≫
      eqToHom
          (_ :
            PresheafedSpace.stalk Y.toPresheafedSpace
                ((PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeftLift f.val g.val
                        (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                          (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val)) ≫
                      PullbackCone.snd (PresheafedSpace.IsOpenImmersion.pullbackConeOfLeft f.val g.val)).base
                  x) =
              PresheafedSpace.stalk Y.toPresheafedSpace
                ((PullbackCone.snd
                      (PullbackCone.mk (PullbackCone.fst s).val (PullbackCone.snd s).val
                        (_ : (PullbackCone.fst s ≫ f).val = (PullbackCone.snd s ≫ g).val))).base
                  x)) ≫
        PresheafedSpace.stalkMap (PullbackCone.snd s).val x)

Next tactic:
infer_instance