l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ 2 • z + y = y + z + z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ 2 • z + y = y + z + z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ 2 • z + y = y + z + z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ 2 • z + y = y + z + z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ z + z + y = y + z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ z + z + y = y + z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux3 (y z : E) :
    ‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ = 2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq
  convert parallelogram_identity (y + z) z using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ y = y + z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖

Next tactic:
apply eq_sub_of_add_eq'
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ ‖y‖ * ‖y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ ‖y‖ * ‖y‖ + ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)

Next tactic:
convert h₀ using 4
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - 2 • z = y - z - z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - 2 • z = y - z - z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - 2 • z = y - z - z

Next tactic:
try rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - 2 • z = y - z - z

Next tactic:
rw [two_smul]
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y = y - z + z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - (z + z) = y - z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux4 (y z : E) :
    ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ := by
  apply eq_sub_of_add_eq'
  have h₀ := parallelogram_identity (y - z) z
  convert h₀ using 4 <;> (try rw [two_smul]) <;> 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
h₀ : ‖y - z + z‖ * ‖y - z + z‖ + ‖y - z - z‖ * ‖y - z - z‖ = 2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖)
⊢ y - (z + z) = y - z - z

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux4' (y z : E) :
    (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 =
    ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 = ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖

Next tactic:
rw [add_left_aux3, add_left_aux4]
private theorem add_left_aux4' (y z : E) :
    (‖2 • z + y‖ * ‖2 • z + y‖ - ‖y - 2 • z‖ * ‖y - 2 • z‖) / 2 =
    ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖ := by
  rw [add_left_aux3, add_left_aux4]; 

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
y z : E
⊢ (2 * (‖y + z‖ * ‖y + z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖ - (2 * (‖y - z‖ * ‖y - z‖ + ‖z‖ * ‖z‖) - ‖y‖ * ‖y‖)) / 2 =
    ‖y + z‖ * ‖y + z‖ - ‖y - z‖ * ‖y - z‖

Next tactic:
ring
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ =
    (‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖) / 2 - ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖

Next tactic:
rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)

Next tactic:
have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ ‖I • (2 • x + y)‖ * ‖I • (2 • x + y)‖ + ‖I • y + 2 • z‖ * ‖I • y + 2 • z‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)

Next tactic:
convert h₀ using 4
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) + z + (I • x - z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) + z + (I • x - z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • x + I • x + I • y = I • x + I • y + z + (I • x - z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) + z + (I • x - z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • (2 • x + y) = I • (x + y) + z + (I • x - z)

Next tactic:
simp only [two_smul, smul_add]
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · try simp only [two_smul, smul_add]; 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_6.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • x + I • x + I • y = I • x + I • y + z + (I • x - z)

Next tactic:
abel
private theorem add_left_aux5 (x y z : E) :
    ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ * ‖(I : 𝕜) • (x + y) + z‖ =
    (‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ * ‖(I : 𝕜) • (2 • x + y)‖ +
    ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖ * ‖(I : 𝕜) • y + 2 • z‖) / 2 -
    ‖(I : 𝕜) • x - z‖ * ‖(I : 𝕜) • x - z‖ := by
  rw [eq_sub_iff_add_eq, eq_div_iff (two_ne_zero' ℝ), mul_comm _ (2 : ℝ), eq_comm]
  have h₀ := parallelogram_identity ((I : 𝕜) • (x + y) + z) ((I : 𝕜) • x - z)
  convert h₀ using 4 <;> · 

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6.h.e'_5.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : IsROrC 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : InnerProductSpaceable E
x y z : E
h₀ :
  ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z + (I • x - z)‖ +
      ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ * ‖I • (x + y) + z - (I • x - z)‖ =
    2 * (‖I • (x + y) + z‖ * ‖I • (x + y) + z‖ + ‖I • x - z‖ * ‖I • x - z‖)
⊢ I • y + 2 • z = I • (x + y) + z - (I • x - z)

Next tactic:
try simp only [two_smul, smul_add]; abel