l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem L1.norm_eq_integral_norm (f : α →₁[μ] H) : ‖f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  simp only [snorm, snorm', ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one, Lp.norm_def, if_false,
    ENNReal.one_ne_top, one_ne_zero, _root_.div_one]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae (eventually_of_forall (by 

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1)
⊢ ∀ (x : α), OfNat.ofNat 0 x ≤ ‖↑↑f x‖

Next tactic:
simp [norm_nonneg]
theorem L1.norm_eq_integral_norm (f : α →₁[μ] H) : ‖f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  simp only [snorm, snorm', ENNReal.one_toReal, ENNReal.rpow_one, Lp.norm_def, if_false,
    ENNReal.one_ne_top, one_ne_zero, _root_.div_one]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae (eventually_of_forall (by simp [norm_nonneg]))
      (Lp.aestronglyMeasurable f).norm]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : ↥(Lp H 1)
⊢ ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑f a‖₊ ∂μ) = ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal ‖↑↑f a‖ ∂μ)

Next tactic:
simp [ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
theorem L1.dist_eq_integral_dist (f g : α →₁[μ] H) : dist f g = ∫ a, dist (f a) (g a) ∂μ := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1)
⊢ dist f g = ∫ (a : α), dist (↑↑f a) (↑↑g a) ∂μ

Next tactic:
simp only [dist_eq_norm, L1.norm_eq_integral_norm]
theorem L1.dist_eq_integral_dist (f g : α →₁[μ] H) : dist f g = ∫ a, dist (f a) (g a) ∂μ := by
  simp only [dist_eq_norm, L1.norm_eq_integral_norm]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g✝ : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f g : ↥(Lp H 1)
⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(f - g) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖↑↑f a - ↑↑g a‖ ∂μ

Next tactic:
exact integral_congr_ae <| (Lp.coeFn_sub _ _).fun_comp norm
theorem L1.norm_of_fun_eq_integral_norm {f : α → H} (hf : Integrable f μ) :
    ‖hf.toL1 f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ ‖Integrable.toL1 f hf‖ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ

Next tactic:
rw [L1.norm_eq_integral_norm]
theorem L1.norm_of_fun_eq_integral_norm {f : α → H} (hf : Integrable f μ) :
    ‖hf.toL1 f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  rw [L1.norm_eq_integral_norm]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ ∫ (a : α), ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖ ∂μ = ∫ (a : α), ‖f a‖ ∂μ

Next tactic:
refine' integral_congr_ae _
theorem L1.norm_of_fun_eq_integral_norm {f : α → H} (hf : Integrable f μ) :
    ‖hf.toL1 f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  rw [L1.norm_eq_integral_norm]
  refine' integral_congr_ae _
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) =ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖

Next tactic:
apply hf.coeFn_toL1.mono
theorem L1.norm_of_fun_eq_integral_norm {f : α → H} (hf : Integrable f μ) :
    ‖hf.toL1 f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  rw [L1.norm_eq_integral_norm]
  refine' integral_congr_ae _
  apply hf.coeFn_toL1.mono
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
⊢ ∀ (x : α), ↑↑(Integrable.toL1 f hf) x = f x → (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) x = (fun a => ‖f a‖) x

Next tactic:
intro a ha
theorem L1.norm_of_fun_eq_integral_norm {f : α → H} (hf : Integrable f μ) :
    ‖hf.toL1 f‖ = ∫ a, ‖f a‖ ∂μ := by
  rw [L1.norm_eq_integral_norm]
  refine' integral_congr_ae _
  apply hf.coeFn_toL1.mono
  intro a ha
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
hf : Integrable f
a : α
ha : ↑↑(Integrable.toL1 f hf) a = f a
⊢ (fun a => ‖↑↑(Integrable.toL1 f hf) a‖) a = (fun a => ‖f a‖) a

Next tactic:
simp_rw [ha]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

Next tactic:
have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ

Next tactic:
apply lintegral_congr
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
⊢ ∀ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p

Next tactic:
intro x
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
x : α
⊢ ENNReal.ofReal (‖f x‖ ^ ENNReal.toReal p) = ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p

Next tactic:
rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

Next tactic:
simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

Next tactic:
rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]; 

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p
case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ

Next tactic:
rotate_left
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]; rotate_left
  · 

Proof state:
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ 0 ≤ᵐ[μ] fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p

Next tactic:
exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]; rotate_left
  · exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
  · 

Proof state:
case hfm
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) μ

Next tactic:
exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]; rotate_left
  · exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
  · exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹ =
    ENNReal.ofReal (ENNReal.toReal (∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ) ^ (ENNReal.toReal p)⁻¹)

Next tactic:
rw [A, ← ofReal_rpow_of_nonneg toReal_nonneg (inv_nonneg.2 toReal_nonneg), ofReal_toReal]
theorem Memℒp.snorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : Memℒp f p μ) :
    snorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹) := by
  have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖₊ ^ p.toReal ∂μ := by
    apply lintegral_congr
    intro x
    rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_coe_nnnorm]
  simp only [snorm_eq_lintegral_rpow_nnnorm hp1 hp2, one_div]
  rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]; rotate_left
  · exact eventually_of_forall fun x => Real.rpow_nonneg_of_nonneg (norm_nonneg _) _
  · exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable
  rw [A, ← ofReal_rpow_of_nonneg toReal_nonneg (inv_nonneg.2 toReal_nonneg), ofReal_toReal]
  

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁵ : CompleteSpace F
G : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
X : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : Memℒp f p
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ ENNReal.toReal p) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ^ ENNReal.toReal p ∂μ ≠ ⊤

Next tactic:
exact (lintegral_rpow_nnnorm_lt_top_of_snorm_lt_top hp1 hp2 hf.2).ne