l3lab/ntp-mathlib huggingface dataset:
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ ((𝟙 M.X ⊗ g.hom) ≫
        colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)))
          WalkingParallelPair.one) ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
          ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
          (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
          (_ :
            ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
              ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))) =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimit.ι (parallelPair (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft))) WalkingParallelPair.one ≫
    colimMap
      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
        ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 Q.X) (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
        (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
        (_ :
          ((α_ M.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ Q.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 Q).hom) =
            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 Q).hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| 𝟙 M.X ⊗ g.hom

Next tactic:
rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (𝟙 M.X ⊗ g.hom) ≫
      (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X) ≫
        colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
          WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| (𝟙 M.X ⊗ g.hom) ≫ (f.hom ⊗ 𝟙 Q.X)
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))) WalkingParallelPair.one

Next tactic:
rw [id_tensor_comp_tensor_id]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ⊗ g.hom) ≫
      colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
      colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
            (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
            (_ :
              ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
                ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
            ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
            (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
            (_ :
              ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
                (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
slice_rhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  slice_rhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| coequalizer.π (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫
    colimMap
      (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ 𝟙 P.X) (f.hom ⊗ 𝟙 P.X)
        (_ : (M.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) = ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X))
        (_ :
          ((α_ M.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ P.actLeft)) ≫ (f.hom ⊗ (𝟙 P).hom) =
            ((f.hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ (𝟙 P).hom) ≫ (α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimMap
    (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
      ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
      (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
      (_ :
        ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
          (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  slice_rhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ⊗ g.hom) ≫
      colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    ((f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
        colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)))
          WalkingParallelPair.one) ≫
      colimMap
        (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
          ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
          (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
          (_ :
            ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
              (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))

Next tactic:
slice_rhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  slice_rhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))) WalkingParallelPair.one ≫
    colimMap
      (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
        ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
        (_ : (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) = (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X))
        (_ :
          ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ g.hom) =
            (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ g.hom) ≫ (α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| f.hom ⊗ 𝟙 P.X

Next tactic:
rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  slice_rhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
⊢ (f.hom ⊗ g.hom) ≫
      colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫
      (𝟙 N.X ⊗ g.hom) ≫
        colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft)))
          WalkingParallelPair.one

Next tactic:
slice_rhs 1 2 => rw [tensor_id_comp_id_tensor]
theorem whisker_exchange_bimod {X Y Z : Mon_ C} {M N : Bimod X Y} {P Q : Bimod Y Z} (f : M ⟶ N)
    (g : P ⟶ Q) : tensorHom (𝟙 M) g ≫ tensorHom f (𝟙 Q) =
      tensorHom f (𝟙 P) ≫ tensorHom (𝟙 N) g := by
  dsimp [tensorHom]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 1 2 => rw [id_tensor_comp_tensor_id]
  slice_rhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 2 3 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_rhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| (f.hom ⊗ 𝟙 P.X) ≫ (𝟙 N.X ⊗ g.hom)
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M N : Bimod X Y
P Q : Bimod Y Z
f : M ⟶ N
g : P ⟶ Q
| colimit.ι (parallelPair (N.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ N.X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ Q.actLeft))) WalkingParallelPair.one

Next tactic:
rw [tensor_id_comp_id_tensor]
theorem pentagon_bimod {V W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod V W) (N : Bimod W X) (P : Bimod X Y)
    (Q : Bimod Y Z) :
    tensorHom (associatorBimod M N P).hom (𝟙 Q) ≫
      (associatorBimod M (N.tensorBimod P) Q).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (associatorBimod N P Q).hom =
      (associatorBimod (M.tensorBimod N) P Q).hom ≫
        (associatorBimod M N (P.tensorBimod Q)).hom := by
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ tensorHom (associatorBimod M N P).hom (𝟙 Q) ≫
      (associatorBimod M (tensorBimod N P) Q).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (associatorBimod N P Q).hom =
    (associatorBimod (tensorBimod M N) P Q).hom ≫ (associatorBimod M N (tensorBimod P Q)).hom

Next tactic:
dsimp [tensorHom, associatorBimod]
theorem pentagon_bimod {V W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod V W) (N : Bimod W X) (P : Bimod X Y)
    (Q : Bimod Y Z) :
    tensorHom (associatorBimod M N P).hom (𝟙 Q) ≫
      (associatorBimod M (N.tensorBimod P) Q).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (associatorBimod N P Q).hom =
      (associatorBimod (M.tensorBimod N) P Q).hom ≫
        (associatorBimod M N (P.tensorBimod Q)).hom := by
  dsimp [tensorHom, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  dsimp only [AssociatorBimod.hom]
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  slice_lhs 2 3 => rw [coequalizer.π_desc]
  slice_rhs 1 2 => 

Proof state:
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
| coequalizer.π (TensorBimod.actRight (tensorBimod M N) P ⊗ 𝟙 Q.X)
      ((α_ (TensorBimod.X (tensorBimod M N) P) Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X (tensorBimod M N) P) ⊗ Q.actLeft)) ≫
    coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux (tensorBimod M N) P Q)
      (_ :
        ((tensorBimod (tensorBimod M N) P).actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫ AssociatorBimod.homAux (tensorBimod M N) P Q =
          ((α_ (tensorBimod (tensorBimod M N) P).X Y.X Q.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod (tensorBimod M N) P).X ⊗ Q.actLeft)) ≫
            AssociatorBimod.homAux (tensorBimod M N) P Q)
case a
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
| coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (tensorBimod P Q))
    (_ :
      ((tensorBimod M N).actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod P Q).X) ≫ AssociatorBimod.homAux M N (tensorBimod P Q) =
        ((α_ (tensorBimod M N).X X.X (tensorBimod P Q).X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod M N).X ⊗ (tensorBimod P Q).actLeft)) ≫
          AssociatorBimod.homAux M N (tensorBimod P Q))

Next tactic:
rw [coequalizer.π_desc]
theorem triangle_bimod {X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod X Y) (N : Bimod Y Z) :
    (associatorBimod M (regular Y) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitorBimod N).hom =
      tensorHom (rightUnitorBimod M).hom (𝟙 N) := by
  

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
X Y Z : Mon_ C
M : Bimod X Y
N : Bimod Y Z
⊢ (associatorBimod M (regular Y) N).hom ≫ tensorHom (𝟙 M) (leftUnitorBimod N).hom =
    tensorHom (rightUnitorBimod M).hom (𝟙 N)

Next tactic:
dsimp [tensorHom, associatorBimod, leftUnitorBimod, rightUnitorBimod]