theorem comp_whisker_left_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) (N : Bimod X Y)
    {P P' : Bimod Y Z} (f : P ⟶ P') :
    tensorHom (𝟙 (M.tensorBimod N)) f =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        tensorHom (𝟙 M) (tensorHom (𝟙 N) f) ≫ (associatorBimod M N P').inv := by
  dsimp [tensorHom, tensorBimod, associatorBimod]
  ext
  apply coequalizer.hom_ext
  dsimp
  slice_lhs 1 2 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]
  

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M✝ : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ f.hom) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P'.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P'.actLeft)))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ⊗ 𝟙 P.X)
        ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X M N) ⊗ P.actLeft)) ≫
      AssociatorBimod.hom M N P ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P))
              (M.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X N P'))
              ((α_ M.X X.X (TensorBimod.X N P')).hom ≫ (𝟙 M.X ⊗ TensorBimod.actLeft N P'))
              ((𝟙 M.X ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                    (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                    (_ :
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                    (_ :
                      ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
              (𝟙 M.X ⊗
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                    (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft)) ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom)
                    (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                    (_ :
                      (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                    (_ :
                      ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                        (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))
              (_ :
                (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X) ≫
                    ((𝟙 M).hom ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                              ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                    (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                              ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                    (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
                    (M.actRight ⊗ 𝟙 (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X))
              (_ :
                ((α_ M.X X.X (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).X).hom ≫
                      (𝟙 M.X ⊗ (mk (TensorBimod.X N P) (TensorBimod.actLeft N P) (TensorBimod.actRight N P)).actLeft)) ≫
                    ((𝟙 M).hom ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                              ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                    (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) =
                  (((𝟙 M).hom ⊗ 𝟙 X.X) ⊗
                      (Hom.mk
                          (colimMap
                            (parallelPairHom (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft))
                              (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))
                              ((𝟙 N.X ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) (𝟙 N.X ⊗ f.hom)
                              (_ :
                                (N.actRight ⊗ 𝟙 P.X) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫ (N.actRight ⊗ 𝟙 P'.X))
                              (_ :
                                ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P.actLeft)) ≫ ((𝟙 N).hom ⊗ f.hom) =
                                  (((𝟙 N).hom ⊗ 𝟙 Y.X) ⊗ f.hom) ≫
                                    (α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ (𝟙 N.X ⊗ P'.actLeft))))).hom) ≫
                    (α_ M.X X.X
                          (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).X).hom ≫
                      (𝟙 M.X ⊗
                        (mk (TensorBimod.X N P') (TensorBimod.actLeft N P') (TensorBimod.actRight N P')).actLeft))) ≫
          AssociatorBimod.inv M N P'

Next tactic:
dsimp [TensorBimod.X, AssociatorBimod.hom]