theorem inv_hom_id : inv P Q L ≫ hom P Q L = 𝟙 _ := by
  dsimp [hom, homAux, inv, invAux]
  apply coequalizer.hom_ext
  slice_lhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]
  refine' (cancel_epi ((tensorLeft _).map (coequalizer.π _ _))).1 _
  rw [tensorLeft_map]
  

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
A B : Mon_ C
M : Bimod A B
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (𝟙 P.X ⊗ coequalizer.π (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))) ≫
      ((PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft P.X) (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X)
              ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ P.X Q.X L.X).inv ≫
              (coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ Q.actLeft)) ⊗ 𝟙 L.X) ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight P Q ⊗ 𝟙 L.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X P Q) T.X L.X).hom ≫ (𝟙 (TensorBimod.X P Q) ⊗ L.actLeft)))
            (_ :
              (tensorLeft P.X).map (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ≫
                  (α_ P.X Q.X L.X).inv ≫
                    (coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ Q.actLeft)) ⊗ 𝟙 L.X) ≫
                      coequalizer.π ((tensorBimod P Q).actRight ⊗ 𝟙 L.X)
                        ((α_ (tensorBimod P Q).X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod P Q).X ⊗ L.actLeft)) =
                (tensorLeft P.X).map ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft)) ≫
                  (α_ P.X Q.X L.X).inv ≫
                    (coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ Q.actLeft)) ⊗ 𝟙 L.X) ≫
                      coequalizer.π ((tensorBimod P Q).actRight ⊗ 𝟙 L.X)
                        ((α_ (tensorBimod P Q).X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod P Q).X ⊗ L.actLeft)))) ≫
        coequalizer.desc
          ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ⊗ 𝟙 Q.X)
                ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ Q.actLeft))).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                (𝟙 P.X ⊗ coequalizer.π (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))) ≫
                  coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 (TensorBimod.X Q L))
                    ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ TensorBimod.actLeft Q L)))
              (_ :
                (tensorRight L.X).map (P.actRight ⊗ 𝟙 Q.X) ≫
                    (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                      (𝟙 P.X ⊗ coequalizer.π (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))) ≫
                        coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod Q L).X)
                          ((α_ P.X S.X (tensorBimod Q L).X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ (tensorBimod Q L).actLeft)) =
                  (tensorRight L.X).map ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ Q.actLeft)) ≫
                    (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                      (𝟙 P.X ⊗ coequalizer.π (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))) ≫
                        coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod Q L).X)
                          ((α_ P.X S.X (tensorBimod Q L).X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ (tensorBimod Q L).actLeft))))
          (_ :
            ((tensorBimod P Q).actRight ⊗ 𝟙 L.X) ≫ homAux P Q L =
              ((α_ (tensorBimod P Q).X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 (tensorBimod P Q).X ⊗ L.actLeft)) ≫ homAux P Q L) =
    (𝟙 P.X ⊗ coequalizer.π (Q.actRight ⊗ 𝟙 L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ (𝟙 Q.X ⊗ L.actLeft))) ≫
      coequalizer.π (P.actRight ⊗ 𝟙 (tensorBimod Q L).X)
          ((α_ P.X S.X (tensorBimod Q L).X).hom ≫ (𝟙 P.X ⊗ (tensorBimod Q L).actLeft)) ≫
        𝟙 (TensorBimod.X P (tensorBimod Q L))

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slice_lhs 1 3 => rw [id_tensor_π_preserves_coequalizer_inv_desc]