/-- One can reformulate smoothness on a set as continuity on this set, and smoothness in any
extended chart in the target. -/
theorem contMDiffOn_iff_target :
    ContMDiffOn I I' n f s ↔
      ContinuousOn f s ∧
        ∀ y : M',
          ContMDiffOn I 𝓘(𝕜, E') n (extChartAt I' y ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source) := by
  simp only [contMDiffOn_iff, ModelWithCorners.source_eq, chartAt_self_eq,
    PartialHomeomorph.refl_localEquiv, PartialEquiv.refl_trans, extChartAt,
    PartialHomeomorph.extend, Set.preimage_univ, Set.inter_univ, and_congr_right_iff]
  intro h
  constructor
  · refine' fun h' y => ⟨_, fun x _ => h' x y⟩
    have h'' : ContinuousOn _ univ := (ModelWithCorners.continuous I').continuousOn
    convert (h''.comp' (chartAt H' y).continuousOn_toFun).comp' h
    simp
  · 

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝³⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝³⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝³⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³³ : TopologicalSpace M
inst✝³² : ChartedSpace H M
inst✝³¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
E' : Type u_5
inst✝³⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝²⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝²⁸ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝²⁷ : TopologicalSpace M'
inst✝²⁶ : ChartedSpace H' M'
inst✝²⁵ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
E'' : Type u_8
inst✝²⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝²³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝²² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝²¹ : TopologicalSpace M''
inst✝²⁰ : ChartedSpace H'' M''
F : Type u_11
inst✝¹⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁸ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_12
inst✝¹⁷ : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_13
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace N
inst✝¹⁵ : ChartedSpace G N
inst✝¹⁴ : SmoothManifoldWithCorners J N
F' : Type u_14
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F'
G' : Type u_15
inst✝¹¹ : TopologicalSpace G'
J' : ModelWithCorners 𝕜 F' G'
N' : Type u_16
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N'
inst✝⁹ : ChartedSpace G' N'
inst✝⁸ : SmoothManifoldWithCorners J' N'
F₁ : Type u_17
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F₁
F₂ : Type u_18
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F₂
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F₂
F₃ : Type u_19
inst✝³ : NormedAddCommGroup F₃
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F₃
F₄ : Type u_20
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F₄
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F₄
e : PartialHomeomorph M H
e' : PartialHomeomorph M' H'
f f₁ : M → M'
s s₁ t : Set M
x : M
m n : ℕ∞
h : ContinuousOn f s
⊢ (∀ (y : M'),
      ContinuousOn (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f)
          (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source) ∧
        ∀ (x : M),
          E' →
            ContDiffOn 𝕜 n
              (↑𝓘(𝕜, E').toPartialEquiv ∘
                (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘ f) ∘
                  ↑(PartialEquiv.symm ((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv)))
              (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
                ↑(PartialEquiv.symm ((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv)) ⁻¹'
                  (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))) →
    ∀ (x : M) (y : M'),
      ContDiffOn 𝕜 n
        (↑((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv) ∘
          f ∘ ↑(PartialEquiv.symm ((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv)))
        (((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv).target ∩
          ↑(PartialEquiv.symm ((chartAt H x).toPartialEquiv ≫ I.toPartialEquiv)) ⁻¹'
            (s ∩ f ⁻¹' ((chartAt H' y).toPartialEquiv ≫ I'.toPartialEquiv).source))

Next tactic:
exact fun h' x y => (h' y).2 x 0