Топ (математика)

Топ – қазіргі математиканың негізгі ұғымдарының бірі. Топтар теориясы математикада және оның қолданбалы салаларында жиі кездесетін амалдарды (сандарды көбейту, бөлу, векторларды көбейту, біртіндеп түрлендіру, т.б.) мейлінше жалпыланған түрде зерттейді. Сөйте тұра, топтар теориясы амалдардың барлығын бірдей қарастыра бермейді, тек топтардың анықтамасында келтірілген негізгі шарттарды (олар төменде келтірілген) қанағаттандыратын амалдарды ғана зерттейді. Топтың нақты емес (формальды) анықтамасы мынадай: G – кез келген бос емес жиын болсын. Бұл жиында * (жұлдызша) бинарлы алгебралық амал анықталсын, яғни G-дың кез келген екі a, b элементтеріне сол жиынның бір (тек қана бір!) (a*b) элементі сәйкес қойылсын. Осыған қоса : 1) G жиынындағы кез келген a, b, с үшін (a*b)*сa*(b*с) теңдігі орындалса; 2) G жиынындағы кез келген a элементі үшін (a*е)е*aa теңдігі орындалатындай е элементі бар болса (е – бірлік, кейде бейтарап элемент деп аталады); 3) G жиынындағы кез келген a элементі үшін a*bb*a=е теңдігі орындалатындай b элементі бар болса (b элементі а элементіне кері элемент деп аталады да a^{-1} арқылы белгіленеді, мұндағы "^" белгісі дәрежені білдіреді), онда G жиыны Топ деп аталады. Мыс., амал ретінде қозғалыстар композициясы алынатын (f, g – G жиынындағы екі қозғалыс болса, онда олардың композицияларының нәтижесі ретінде f*g қозғалысы алынады) евклид кеңістігіндегі әр түрлі қозғалыстардың G жиыны фигуралар симметриясының тобын құрайды. Бұл топтың бірлік элементі ретінде жазықтықтың тепе-теңдік түрленуі, ал f элементіне кері – f түрлендіруінің кері түрлендіруі алынады. G жиыны үлкен болған сайын, ондағы симметриялар саны да көбейеді. Мыс., квадрат симметриясының тобы сегіз қозғалыстан (квадрат центрінің айналасында төрт бұрылыс және төрт шағылу: екі диагонал және қарама-қарсы қабырғаларының ортасын қосатын екі түзу), дөңгелек симметриясының тобы шексіз көп элементтерден (мыс., центрінің айналасындағы барлық бұрылыстар) тұрады. Бүтін сандар жиыны қосу амалына (бірлік элемент – нөл) қарағанда, рационал сандар жиыны көбейту, қосу амалдарына (бірлік элемент – бір) қарағанда топ құрады. Бір жиында әрі қосу, әрі көбейту амалдарының қатысуына орай құрылған Топтарды сәйкесінше аддитивті және мультипликативті топ деп бөледі. Иррационал сандар топ құрмайды, өйткені екі иррационал санның қосындысы да, көбейтіндісі де иррационал сан бола бермейді. Әуел баста Галуа теориясының мұқтаждығынан циклдік топ пайда болған. Бұл топ алмастырулардан тұрады. Алмастыру дегеніміз – ақырлы а1, а2, …, аn жиынын өзіне-өзін түрлендіру. Егер бұл түрлендіруде аі (і=1, 2, …, n) элементі элементіне көшсе, алмастыруды түрінде жазады. Алмастыруды көбейту үшін түрлендірулерді біртіндеп орындау керек. Демек, алмастырулардың көбейтіндісі алмастыру болады. Жиынның әрбір элементін өзіне көшіріп алмастыруды бірлік алмастыру дейді, мыс., . Кері алмастыру жасау үшін жолдардың орнын ауыстырса болғаны. Сонымен а1, а2, …, аn элементтерінен жасалған барлық n! алмастырулар тп құрайды. Топ анықтамасындағы көбейту коммутативтік заңға бағынса (ab=ba) топ Абель тобы деп аталады. Абель тобының математикадағы маңызды рөлінің арқасында алгебрадан коммутативтік алгебра өз алдына теория болып бөлініп шықты. G жиынында үзіліссіздігімен байланысқан топтар мен тополтопологиялық кеңістіктер топологиялық топ деп аталады. Топ теориясы жиындарды бейнелеу мен түрлендірулер қатысатын ғылым салаларында (геометрия, топология, функционалдық анализ, операторлар теориясы, физика, т.б.) қолданылады. 1771 ж. топ ұғымын алмастыруды алғаш алгебралық теңдеулерді радикалдар арқылы шешу теориясында француз математиктері Ж.Лагранж (1736 – 1813) бен А.Вандермонд (1735 – 96) қолданған. Топтың алмастыру қасиеттері мен теңдеулердің қасиеттері арасындағы байланысты 1824 ж. Н.Абель (1802 – 29) және 1830 ж. Э.Галуа (1811 – 32) тапқан. Топтар теориясы бойынша “Топтардың абстрактілі теориясы” атты (Киев, 1916) тұңғыш оқулықты Солтүстік Антарктиканы зерттеушілердің бірі академик О.Ю. Шмидт шығарған. Қазақстанда Б.Оразбаев пен оның шәкірттері Абель өрісі бойынша ҚР Ұлттық ғылым академиясының академик А.Жұмаділдаев пен шәкірттері Ли алгебрасы тарауларына зерттеулер жүргізген. ҚР Ұлттық ғылым академиясының академик М.Өтелбаев, т.б. ғалымдардың да еңбектерінде топтар теориясы қолданыс тапқан. Дереккөздер