Функция табиғаты

Функция - бір айнымалы шаманың әрбір мәніне екінші айнымалы шаманың бір ғана мәні сәйкес болатын айнымалы шамалар арасындағы тәуелділік. Шамалардың бірі тәуелді айнымалы болады, оны функцияның мәні немесе функция деп атайды және әдетте, у әрпімен белгіленеді. Айнымалы шамалар жұбының екіншісі тәуелсіз айнымалы болады, оны аргумент деп атайды және әдетте, х әрпімен белгілейді. Бірақ, біз білетіндей, тәуелсіз айнымалылар кей кезде барлық мәндерді қабылдамайды, оның қабылдайтын бар мәндерді – анықталу облысы деп атайды. Егер функцияны қарастыру кезінде тәуелсіз айнымалының нақты мәндері көрсетілмесе, онда функцияның анықталу облысы ретінде тәуелсіз айнымалының барлық мүмкін болатын мәндер алынады. Мысалы, у30х функциясы үшін айнымалының мүмкін болатын мәндер жиыны кез келген сан, сондықтан анықталу облысы (-∞;+∞) сан аралығы болады; у120/х функциясы үшін айнымалының мүмкін болатын мәндер жиыны нөл санынан басқа барлық сандар (өйткені нөлге бөлуге болмайды), сондықтан анықталу облысы (-∞;0)U(0;+∞) сан аралығы болады. Аргументтің үлкен/кіші мәніне функцияның үлкен/кіші мәні сәйкес болғанда ғана функция өспелі функция деп аталады. Аргументтің үлкен/кіші мәніне функцияның үлкен/кіші мәні сәйкес болғанда ғана функция кемімелі функция деп аталады. Жалпы функция әртүрлі тәсілдермен берілуі мүмкін. Функцияны беру – берілген аргументтің мәндеріне сәйкес функцияның мәндерін табуды көрсету. Оның бірінші түрі: формуламен берілуі. Жалпы осы түрі жиі кездеседі. Функцияны формула арқылы беру функцияны аналитикалық тәсілмен беру деп аталады. Мысалы, қандай да бір жылдамдықпен 2 сағ-та жүрілген жолдың формуласын қарастырайық. Егер жылдадық өзгерсе, онда белгілі бір уақытта жүрілген жол ұзындығы өзгереді. Демек, бұл мысалда жылдамдық тәуелсіз айнымалы, оны х деп белгілейміз, ал жүрілген жол ұзындығы тәуелді айнымалы, оны у арқылы өрнектейміз. Сонда жүрілген жол ұзындығының қозғалыс жылдамдығына тәуелділігін у=2х формуласымен жазуға болады. Оның екінші түрі: Функцияны графиктік тәсілмен беру. Абциссалары тәуелсіз айнымалыға (х аргументіне), ал ординаталары тәуелді айнымалыға (у функцияның мәніне) тең болатын координаталар жазықтығының нүктелер жиыны функцияның графигі деп аталады. Функцияның графигі координаталар жазығының бір немесе бірнеше нүктесінен немесе сызықты құрайтын шексіз көп нүктеден тұруы мүмкін. Мысалы, графигі үш нүктеден тұратын функцияның х2 аргументіне функцияның у3 мәні сәйкес, өйткені бұл мәндер А(2;3) нүктесінің координаталары болып табылады. Егер функцияның графигі түзу сызық болса, онда аргумент пен функцияның сәйкес мәндерін былай табады. График бойынша аргументі 3-ке тең функцияның сәйкес мәнін табу үшін абциссасы 3 санына тең нүкте арқылы Ох осіне перпендикуляр жүргізеді. Одан кейін осы перпендикулярдың функия графигімен қиылысу нүктесі табылады. Оу осіне перпендикуляр жүргізіледі, ендеше аргументтің 3-ке тең мәніне функцияның 4-ке тең мәні сәйкес. Осыдан, функцияның графигтік тәсілдеріндегі қасиеттері мен ерекшелікерін қарастыруға болады. Пайда болу тарихы Егер функцияның пайда болу тарихына назар аударатын болсақ, онда Вавилон ғалымдары (4-5 мың жыл бұрын) санасыз, шеңбердің ауданы оның радиусының функциясы болып табылатындығын анықтады: S = 3 r2. Функцияның кестелік тапсырмасының мысалдары ретінде вавилондардың, ежелгі гректер мен үндістердің астрономиялық кестелері, ал функцияның ауызша тапсырмасының мысалдары - шеңбер мен квадрат алаңдарының оның диаметріндегі қарым-қатынасының тұрақтылығы туралы теорема немесе конустық қималардың антикалық анықтамалары, бұл қисықтардың өздері сәйкес тәуелділіктің геометриялық үлгісі ретінде шығып тұрды. Функцияның ұғымының пайда болуына жол 17 ғасырда француз ғалымдары Франсуа Виет пен Рене Декартқа салынды; олар көп ұзамай жалпыға танылған бірыңғай әріптік математикалық символиканы әзірледі. Бірыңғай белгі енгізілді: белгісіз - латын әліпбиінің соңғы әріптерімен X, y, z, ... - белгілі-сол алфавиттің бастапқы әріптерімен-a, b, c,... және т. б. осылайша жалпы формулаларды жазу мүмкіндігі пайда болды. Сонымен қатар, Декарттың және фермалардың геометриялық жұмыстарында айнымалы шаманың және координаттардың тікбұрышты жүйесінің айқын көрінісі пайда болады. 1637 жылы Декарт өзінің" геометриясында " функцияның түсінігін береді, оның абсцисстерінің өзгеруіне байланысты нүктенің ординатасының өзгеруі ретінде; ол тек алгебралық теңдеулердің көмегімен дәл елестетуге болатын қисықтарды ғана жүйелі түрде қарастырды. Бірте - бірте функцияның түсінігі, осылайша аналитикалық өрнек-формуламен бірдей болды. 1671 жылы Ньютон функцияны айнымалы шаманы түсіне бастады, ол уақыт ағымымен өзгереді. Геометрияда" Декарттың және Ферма, Ньютон және Лейбництың жұмыстарында функция ұғымы мәні бойынша интуитивті сипатқа ие болды және геометриялық немесе механикалық көріністермен байланысты болды. Сондай-ақ, 1698 жылдан бастап Лейбниц «айнымалы» және «константа» терминдерін егізген. 1718 жылы швейцариялық математик И.Бернулли функцияға дәлірек анықтама берді: «Айнымалы шаманың функциясы деп осы айнымалы мен тұрақтыдан қандай да бір тәсілмен құрылған шаманы айтады». Л.Эйлер «Анализге кіріспе» (1748 ж.) кітабында функция анықтамасын былай тұжырымдайды: «Айнымалы шаманың функциясы дегеніміз – осы айнымалы шама мен сандардан немесе тұрақты шамадан құрылған аналитикалық өрнек». Л.Эйлер қазіргі кезде қабылданған функцияның белгілеулерін енгізген. Ал, 19 ғасырда математикалық ғылымның одан әрі дамуы классикалық болған Дирихле функциясын жалпы анықтауға негізделді. 20 ғасырдың басынан бастап Дирихле анықтамасы математиктер бөлігінің арасында кейбір күмән тудырды. Жалпы түрде жалпылама функция ұғымын француз Лоран Шварц енгізді. 1936 жылы 28 жасар Кеңес математигі және механигі С. Л. Соболев бірінші болып дельта-функцияны қамтитын жалпыланған функцияның жеке жағдайын қарады және Дирихле математикалық физиканың бірқатар есептерін шешуге құрылған теорияны қолданды. Қорытылған функция теориясының дамуына Шварцтің оқушылары мен ізбасарлары - И. М. Гельфант, Г. Е. Шилов және т. б. маңызды үлес қосты. Енді мектеп алгебра — функциясының төртінші китіне жүгінеміз. "Функция" сөзі латын functio-орындау, жүзеге асыру. Математикада ол алғаш рет XVII ғ.ж. Лейбницпен қолданылған, яғни салыстырмалы түрде жақында ғана, бірақ олардың міндеттері мен тапсырмаларын адамдардың өздері бұрыннан зерттеген — сандар мен теңдеулер сияқты айтуға болады. Дерек көздері 1. Алгебра: Әбілқасымова А. Е., Шойынбеков К. Д. - Алматы: Мектеп, 2007. - 69 бет. 2. Алгебра: И. Бекбоев, А. Абдиев, З. Жұмағұлова. - Алматы: Мектеп, 2007. - 112-132 бет. 3. Алгебра және анализ бастамалары: А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын -Алматы: Просвещение-Казахстан, 2004. - 228-260 бет. 4. Алгебра және анализ бастамалары: Шыныбеков Ә. Н. - Алматы: Атамұра, 2007. - 200 бет 5. Математика: Әбілқасымова А. Е., Т. П. Кучер, - Алматы: Мектеп, 2011. - 400 бет. 6. Математика: Әбілқасымова А. Е., - Алматы: Мектеп, 2009. - 300 бет. 7. Алгебра және анализ бастамалары: Шыныбеков Ә.Н. - Алматы: Атамұра, 2007. - 250 бет.