クイズ問題: 496、28、6のように、その数自身は含めない約数の合計が元の数と同じになる数のことを何数というでしょう?
答え: 完全数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 約数
text: どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。
title: 友愛数
text: なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。
title: 社交数
text: ある数(A)の自分自身を除いた約数の和が他の数(B)になり、(B)の自分自身を除いた約数の和が他の数(C)になる。これを続けていき、元の数(A)に戻るような数の組のことをいう。
title: ユークリッドの補題
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。...1
title: 素数
text: 素数(そすう、英: prime number)とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。
title: 四元数
text: 故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 自然数
text: 完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 四平方定理
text: 全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 調和数
text: 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず 2 なので調和数である。
title: 合成数
text: 言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。
title: 正の数と負の数
text: 負でない数は非負(ひふ)であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)実数を、非負実数(ひふじっすう)という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数(ひふせいすう)という。
title: 四元数
text: 共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積が 1 である数)が得られる:
title: ピタゴラス素数
text: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
title: 2の冪
text: 指数に負の整数を許すならば、2の冪乗(この場合、それらは自然数ではなく有理数である)の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2), 1/2 (2), 1/4 (2), 1/8 (2), 1/16 (2) ... というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。
title: 分数
text: このように、1024 と 1296 は最大公約数が 16 なので、分子・分母を16で割った 64/81 が既約分数になる。
title: 最小公倍数
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。
title: 十六進法
text: 割り切れない小数の循環部は下線で示す。「10」となる十六には因数に奇数が含まれていないため、1/3や1/5といった「1÷奇数」が全て割り切れない。小数を分数化しても、「m/奇数」となる小数が全く現れない。従って、偶数も、1/6{1÷(2×3)}や1/A{1÷(2×5)}といった「1÷奇数で割り切れる偶数」は割り切れない。六の倍数も十の倍数も逆数にすると全て割り切れないので、単位分数は無限小数が充ち溢れ、逆数が有限小数になる例は2の冪数だけになる。
title: 平方完成
text: このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。
title: 偶奇性
text: 偶奇性の定義される最も基本的な対象は整数であり、2で割り切れるものを偶数、2で割り切れないものを奇数と呼ぶ。しばしば、「0は偶数か」というような形式の疑問が持たれることがあるが、それはその文脈で全体として想定している数の範囲が自然数全体であるか整数全体であるかということに完全に依存している。すなわち、自然数の範囲内で考えるならば
title: 数
text: これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数、八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。
title: 偶数
text: より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 合成数
text: ただし自然数の内 1 は合成数や素数ではない。また自然数に 0 を含む場合は 0 も合成数や素数ではない。
title: 分数
text: となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を、分数の簡約(かんやく、英: reduction)あるいは縮めて約分(やくぶん)と呼ぶ。m と n が互いに素である分数 n/m を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)といい、ある分数が既約分数であることを「(その分数は)既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約(かやく、英: reducible)または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。
title: 四平方定理
text: により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。
title: 多冪数
text: 奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは
title: 単偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 複偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: 多角数定理
text: 三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
title: 循環小数
text: 素数を、逆数の循環節の長さが奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である(より厳密な表現では、N 以下の素数について数え上げた場合の N → ∞ への極限がその比率となる)。
title: 素数
text: 素数ではない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。
title: 自然数
text: 自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。無限に存在する。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 正の数と負の数
text: 負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。
title: 単偶数
text: 単偶数(たんぐうすう、英: singly even number)とは、2 で割り切れる(偶数である)が、4 では割り切れない整数である。半偶数(はんぐうすう)ともいう。「奇数の二倍」である整数ともいえる。
title: 偶数
text: 偶数と奇数は、偶数全体、奇数全体をそれぞれ一つの元と見て、二つの元からなる有限体の例を与える。
title: 二重平方数
text: 全ての自然数は高々19個の四乗数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の四乗数の和として表すことができる。
title: 六進法
text: となる。また、六と十の累乗数が最も接近するのは、十の七乗と六の九乗(両方とも一千万前後)で、1000,0000(10)=5,5420,0144(6)、1007,7696(10)=10,0000,0000(6) となり、「十の冪指数が7の倍数 (14)」と「六の冪指数が9の倍数 (10)」の時にも、かなり接近する。このため、無理数の小数部分の換算では、十進小数の七桁を六進小数の九桁に換算する。
title: ゴールドバッハの予想
text: これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである(奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない)。
title: 自然数
text: 自然数を 1, 2, 3, ... とする流儀と、0, 1, 2, 3, ... とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることが多い。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。
title: 循環小数
text: 2 と 5(一般には、基数の約数たる素数)以外の素数 p の逆数の循環節の長さは、p − 1 の約数である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5(基数の約数たる素数)もこの条件を満たす。
title: 六乗数
text: 六乗数は、五乗数に数値 n をかけたものであり、二重平方数に平方数をかけたもの、立方数に同じ立方数をかけたもの、および平方数を3乗したものである。
title: 多角数定理
text: 2008年4月23日、孫智偉らは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。
title: 正の数と負の数
text: 被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。
title: 奇数
text: 奇数(きすう、英: odd number)とは、2 で割り切れない整数である。対義語で、2 で割り切れる整数は偶数という。
title: ガウス整数
text: 1に対する一つの答として、「最大」とはノルムが最大と解釈すればよい。2と3についてはそれほど明らかではないが、後述するように、ガウス整数環においては素因数分解の一意性が成り立つことから、答は肯定的である。ただし、正確には最大公約数は完全に一意に決定するのではなく、同伴の違いにより4つ存在することになる(有理整数環における通常の最大公約数も、正のものと負のものの2つが存在する)。逆に言うと、素因数分解の一意性が成り立たない整数環においては、公約数や最大公約数を定義する意義があまりない。
title: 公倍数
text: 与えられた2つ(以上)の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。
title: 分数
text: 一方、1以上となる分数を仮分数(かぶんすう、英: improper fraction)という。分子と分母が同等量(即ち1)か、分子が分母より大きい分数である。例として、4/3, 8/5, 16/9 といった分数に該当する。真分数は整数ではないが、仮分数は整数でないとは限らない。例えば 2/1, 6/3, 48/12 などは整数だが、仮分数として表わすことができる。仮分数が整数である場合、分母は分子の約数になっている。また、仮分数を小数に直す場合には、帯分数化して整数と真分数に分けて換算する。
title: 三つ子素数
text: なお、双子素数は「2つの素数の組 (p, p + 2)」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「(p, p + 2, p + 4)」と定義していない。
title: 八進法
text: 10となる八は素因数分解すると2なので、2でしか割り切れない。即ち、1/3や1/5など奇数分割ができない。単位分数も、2の冪数以外は全て無限小数になる。素因数が複数となる六進小数(2と3)や十進小数(2と5)との対比も示す。
title: 平方因子をもたない整数
text: 数学において、無平方数(むへいほうすう、英: square-free integer)または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち 1 より大きい完全平方で割り切れないような整数(通例として正の整数)をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free, quadratfrei) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 3 で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に
title: 素数
text: 素数とは、自明な正の因数(1 と自分自身)以外に因数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。 つまり、正の因数の個数が 2 である自然数である。
title: 奇数
text: 約数の和で表せる奇数は、大抵の表せる個数は1個である。2個以上の約数の和で表せる奇数が無数にあるかどうかは分かっていない。
title: エジプト式分数
text: 分母が奇数である単位分数に限れば、その和も分母が奇数になる。逆に、分母が奇数である分数は、分母が奇数である単位分数展開が可能であることが知られている。しかし、分母を奇数に限った場合に、強欲算法が有限回で終了するかどうかは知られていない。
title: 互いに素
text: 二つの整数 a, b が互いに素(たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to)であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。
title: ゼロ除算
text: 「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」
title: 六進法
text: 十二の累乗数とでは、六の四乗と十二の三乗が3:4の割合になる(12000(6)=1000(12))が、最も接近するのは六の七乗と十二の五乗になる(520,0000(6)=10,0000(12))。二十の累乗数とでは、「六の冪指数が5の倍数」と「二十の冪指数が3の倍数」の時に最も接近する(101012(6)=1000(20))。
title: チャンパーノウン定数
text: 0.4938271564044485256606... は、一見すると何の変哲もない無理数のようだが、これは実際のところチャンパーノウン定数を4倍して得られる数である。このように、規則性がある数に乗法や累乗などの演算をほどこすとその規則性が消えて(見えなくなって)しまう。
title: 六進法
text: 十の累乗数との関係では、「十の冪指数が3の倍数 (14)」と「六の冪指数が4の倍数 (10)」の時に、かなり接近する。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
title: 五乗数
text: 算術演算および代数演算において、五乗数(ごじょうすう、英語: fifth power)とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、底(英語版)を n 、冪指数を 5 とする冪乗( n = n × n × n × n × n )である。
title: 七乗数
text: 七乗数(しちじょうすう)は、同じ数を7乗してできる数。n番目の七乗数は、n = n × n × n × n × n × n × nと表され、n番目の六乗数をn倍するか、n番目の五乗数をn番目の平方数倍するか、n番目の四乗数をn番目の立方数倍するかで求められる。最初のいくつかの自然数(0を含む)の七乗数は下の通りである。
title: ゼロの偶奇性
text: 「2の倍数であるような整数」を意味する「偶数」のような、数学の用語に対する正確な定義は、究極的には一つの風習である。「偶数」とは違い、ある数学的概念は、自明な例や退化した例を排除するための目的を持って構成された。素数は有名な例である。20世紀以前に素数の定義は一貫性がなく、ゴールドバッハ、ランベルト、ルジャンドル、ケイリー、クロネッカーのような有名な数学者が「1は素数である」と書いていた。現代の「素数」の定義は「厳密に2つの異なる約数(1とその数自身)を持つ正の整数」である。この定義によれば1は素数ではない。この定義は、素数に関する数学的定理に対して、(1を素数に含める場合と比較して)より自然に適合することがわかる。それによりこの定義を合理化できる。例えば算術の基本定理は、1を素数として考慮しない場合の方が主張としてより簡単になる。
title: 六進法
text: 六進命数法は、0(零)から「10」となる六までを一つの名詞として命名し、七から十一までを「6+1」「6+2」...「6+5」という形式で命名し、六の倍数は「2×6」「3×6」「4×6」「5×6」という形式で命名する。その次は、100となる三十六や、1000となる二百十六など六の冪数(6)で新しい数詞が付けられる。「m×6」となる数も、200となる七十二は「六の二乗の二倍」「二倍の三十六」、300となる百八は「六の二乗の三倍」、4000となる八百六十四は「六の三乗の四倍」「四倍の二百十六」、5000となる千八十は「六の三乗の五倍」として命名される。
title: 最小公倍数
text: 多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
title: 床関数と天井関数
text: 任意の有理数は帯分数で表せる、すなわち整数と真分数とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。
title: 籌算
text: 『九章算術』では約分術という名で分母と分子の最大公約数を求めて約分を行うアルゴリズムが記載されている。分母と分子のうち大きい方から小さい方を引き、それを繰り返していって分母と分子が等しくなるとそれが最大公約数である。この方法はユークリッドの互除法と同一のものである。600/375 の最大公約数75を求める手順を以下に示す。
title: ゼロの偶奇性
text: 「偶数」の標準的な定義は、ゼロが偶数であることの直接的な証明に利用できる。ある数は、それが2の整数倍であるとき「偶数」と呼ばれる。例えば 10が偶数であるのは、それが2×5に等しいことが理由である。同様にゼロも2の整数倍である。すなわち0=2×0。ゆえに0は偶数である。
title: 正の数と負の数
text: 両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。
title: 立方数
text: 1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。
title: 階乗
text: 1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(2 と 5 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ(英語版)。
title: 億
text: 億は「上数」でも「中数」の万万進・万進でも同様に 10 となる。
title: 二十進法
text: また、素因数が2と5なので、冪数以外でも、5が因数に含まれない数が被除数になると、割り切れる場合がある。
title: 0
text: 数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。一方、0 は偶数である。
title: 陳景潤
text: 全ての自然数は、37個以下の正の5乗数の和で表せる。
title: 六進法
text: 十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10-1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=3)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。
title: 分数
text: L としては最小公倍数がよく用いられるが、最小公倍数が分からない場合には単純に2つの数の積 L = a × c を用いればよい。
title: 完全数
text: 完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。
title: 偶数
text: 偶数(ぐうすう、英: even number) とは、2 で割り切れる整数である。対義語で、2 で割り切れない整数は奇数という。
title: 最大公約数
text: 正整数 a, b に対して、a と b の最大公約数 gcd (a, b) と最小公倍数 lcm (a, b) との間には
title: 擬似完全数
text: 例えば、40 の約数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 のうち 1, 4, 5, 10, 20 の5つを選ぶと、それらの和は 1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40 と元の数に等しいので 40 は擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。
title: じょ
text: 後に行われた「上数」では、秭は垓 (10) の垓倍で 10 を指した。「中数」の万万進では垓 (10) の億倍で 10、万進では垓 (10) の万倍で 10 となる。しかし下数以外で「秭」はほとんど使われることがない。
title: 素数が無数に存在することの証明
text: である。素数全体を2つのグループに分け、p1, ..., pk を「小さい」素数、pk+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N1、後者の個数を N2 とおく。当然 N = N1 + N2 である。
title: 算術の基本定理
text: 等々、これは、4の倍数に1を加えた形になる正の整数の全体である。こうした数同士を掛けても同じ性質が保たれるので、このタイプの数を同じタイプより小さな数を掛け合わせて合成することができる。((4m + 1)(4n + 1) = 4(4mn + m + n) + 1 だから 4n + 1 の形をした整数全体の集合は積という演算で閉じている。) そこで、ふつうの整数の世界で素数を考えたのと同様のやり方で、「擬素数」というものを定義しよう。擬素数とはこのタイプ数であって、同じタイプのより小さな数の積としては表せない数のことである。たとえば、9は擬素数である。上のリストを見てわかるように、9より小さな同じタイプの数は1と5であり、9はこれらの積では表せないからだ(もちろん 3 × 3 = 9 ではあるが3はリスト外の数である)。
title: 四平方定理
text: 以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明された。 Q.E.D.
title: 草津線
text: 不足数(ふそくすう、英: deficient number)とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。
title: 素因数
text: 素因数(そいんすう、英: prime factor)とは、数学における自然数の約数になる素数のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば 60 は 2×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また、7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子(そいんし)、素因数分解のことを素因子分解ということもある。
title: 除法
text: 除算は商 (英: quotient) と剰余 (英: remainder) の 2 つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。
title: 四平方定理
text: 従って、全ての素数に関して高々四個の四角数の和に表されることを証明すれば、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表されることになる。
title: 冪根
text: どのような数の範囲で冪根を考えているかは意識しておかねばならない。考えている数の範囲によっては、n 乗根が複数存在する場合もあるし、1つも存在しない場合もある。複素数体のような代数的閉体では、n乗根は重複度も込めてちょうど n個存在する。初等的には実数の特に正数の冪根を扱うことが多い。正数の n乗根は、n が偶数ならば正と負の 2つが存在し、n が奇数ならば正のものがただ1つ存在する。負数の n乗根は、奇数乗根は実数でも定義できるが、偶数乗根は実数では定義できない。
title: 2の冪
text: 2の冪(にのべき)は、適当な自然数 n を選べば、2 の n 乗 2 の形に表せる自然数の総称である。平たく言うと2の累乗数(にのるいじょうすう)である。
title: 籌算
text: 籌算による除算で、各桁の数を除したときに剰余が出たならば、剰余と除数は上下に並べて置いておかなければならない。劉徽による『九章算術』の注釈では、上の数は「实(実)」、下の数は「法」と呼ばれていた。『孫子算経』では上の数は「子」または「分子」、下の数は「母」または「分母」とされており、現代中国語・日本語の分数用語と同じである。右図の例では、1が分子(剰余)、7が分母(除数)であり、それら2つを合わせて分数 1/7 となる。前節の除算 309/7 の商は 441/7 と読むこともできる。劉徽は『海島算経(中国語版)』において分数を含む計算を多数行った。
title: 合同算術
text: 19世紀の初頭には、それまで数学者が用いていた大仕掛けな道具立て(手法や表記法)も、単純な原理を導入することによって徐々に必要なくなっていった。「二つの平方数の和で 4 を法とする剰余が 3 であるようなものは存在するか」という有名な 3 に対する二平方和問題を例に取ろう。証明の内容としては「a および b を二つの平方数とする。a, b ともに偶数であるかともに奇数であればそれらの和の 4 を法とする剰余は 0 か 2 である。a が偶数で b が奇数とすると、偶数 a の平方は 4 の倍数であり、奇数 b は b = 2c + 1 と表せて、その平方は 4c + 4c + 1 となるので、b の 4 を法とする剰余は 1 となり、したがって所期の平方和の 4 を法とする剰余は 1 であるとわかる」といった感じであるが、ここでいくつかの道具立てが用いられている。
title: 命数法
text: その後、千万の次を億とし、十億(10)、百億(10)と続けていく方法が考案された。これを中数(ちゅうすう)という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万(10)倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億(10)、万億(10)、十万億(10)と続き、億の万万倍を兆(10)、兆の万万倍を京(10)とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆(10)とする万進に移行した。
title: 偶奇性
text: などと表せる。ここで、慣習に従い自然数の全体を N, 整数の全体を Z で表した。また、自然数には 0 を含めないものとし、0 および自然数をあわせた全体を N0 で表している。
title: 兆
text: 10倍ごとに位取りの名称を定める下数で「兆」は 10、上数では兆は億 (10) の億倍で 10 を指し、中数の万万進では上数と同じく 10、万進では億の万倍で 10 となった。
title: 2の平方根
text: 2 の平方根には正負の 2 つがある。その内正である方を