クイズ問題: ニュートンの「運動の3法則」といえば、「慣性の法則」「運動の法則」と何でしょう?
答え: 作用反作用の法則

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 運動量保存の法則
text: 運動量保存の法則(うんどうりょうほぞんのほうそく)とは、ある系に外部からの力が加わらないかぎり、その系の運動量の総和は不変であるという物理法則。運動量保存則ともいう。最初、デカルトが『哲学原理』の中で、質量と速さの積の総和を神から与えられた不変量として記述したが、ベクトルを用いて現在の形の運動量とその保存則を導いたのはホイヘンスである。
title: 力 (物理学)
text: ニュートン力学では、運動の第3法則が成り立つ。運動の第3法則は「作用反作用の法則」とも呼ばれ、作用(力)に対してその対となる反作用が必ず存在することを述べる。例えば物体Aから物体Bに及ぼされる力 FA → B が存在するとき、それを打ち消す力 FB → A が物体Bから物体Aへ及ぼされる。両者の和を考えるとこれは常に 0 に等しくなる。
title: 力 (物理学)
text: ニュートンはその著書『自然哲学の数学的諸原理』において、運動量 (quantity of motion) を物体の速度と質量 (quantity of matter) の積として定義し、運動の法則について述べている。ニュートンの運動の第2法則は「運動の変化は物体に与えられた力に比例し、その方向は与えられた力の向きに生じる 」というもので、これは現代的には以下のように定式化される。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: またラグランジアンから一般化運動量、一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化でき、 これらを用いると、オイラー=ラグランジュ方程式は一般化力=(一般化運動量の時間微分)という形に書ける。 ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。
title: 力 (物理学)
text: 解析力学における力は、ニュートン力学の定義と異なり、オイラー=ラグランジュ方程式を通じて一般化運動量 (generalized momentum) の時間微分に等しくなる関数として与えられる。一般化運動量の時間微分という意味での力は、一般化力 (generalized force) あるいは広義の力と呼ばれ、ニュートン力学における力とは区別される。
title: エネルギー保存の法則
text: ゴットフリート・ライプニッツは、運動の量というのを初めて数式で表現してみようと試みたが、デカルトとは異なって mv の総和が保存されている、と主張した。ライプニッツはこの量を vis viva(living force, 活力)と呼んだ。この vis viva という概念は、釣り合いなどの場面で想定される動きとしては見えない vis mortua(dead force, 潜在的な力)と対比しつつ置かれた概念である。
title: エネルギー保存の法則
text: デカルトが主張した quantitas motus(quantity of motion, 運動の量)という概念は、現代の運動量とある程度似てはいるが、厳密には異なる概念である。デカルトは「質量」という概念を持っていなかったし、デカルトは速度の大きさだけを重視し、向きが変わることについては考慮していなかった。したがって、デカルトの quantitas motus を現代の運動量に対応する量と見なすことはできない。
title: チューブラーベル
text: その後時代が過ぎるにつれ、そのような「神学」からの離脱に成功した哲学や、やがては科学により、またケプラーやガリレイやニュートンといった人々により、相対速度(ガリレイ変換)・慣性(運動の第1法則)・質量と加速度と力の関係(運動の第2法則)・作用と反作用(運動の第3法則)といった力学の(運動の)基本原理がうちたてられていった。後述する相対論的力学に対して、ニュートン力学という(なお、古典力学という語は相対論までをも含み、量子力学に対する語である)。
title: ニュートン力学
text: ニュートン力学は古典物理学の不可欠の一角を成している。「絶対時間」と「絶対空間」を前提とした上で、3 つの運動の法則(運動の第1法則、第2法則、第3法則)と、万有引力の法則を代表とする二体間の遠隔作用として働く力を基礎とした体系である。広範の力学現象を演繹的かつ統一的に説明し得る体系となっている。
title: 運動量
text: が成り立つ。 つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。これは運動量保存の法則 (law of conservation of momentum) と呼ばれる。運動量保存の法則は、ニュートン力学においては作用反作用の法則から導かれるが、運動量保存則自体は作用反作用の法則より一般的に成り立つ法則である。たとえば、電磁気学などの場の理論では近接作用論の立場をとり、遠隔作用論的な法則である作用反作用の法則をその基礎には置かない。しかしながら、電磁気学においても運動量保存の法則は成り立ち、それに伴い運動量の定義も拡張される。
title: 新田義宗
text: 運動の第1法則(うんどうのだい1ほうそく、英語: Newton's first law)または慣性の法則(かんせいのほうそく) は、慣性系における力を受けていない質点の運動を記述する経験則である。ガリレイやデカルトによってほぼ同じ形で提唱されていたものをニュートンが基本法則として整理した。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: オイラー=ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである最小作用の原理から導かれる。 これは、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの差を与える関数をラグランジアンと呼び、ラグランジアンの時間積分を作用と呼ぶとき、物理現象は作用を最小化(厳密には極小化)するように動くことを主張する原理である。 オイラー=ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡を変分法で求める事によって導出された方程式である。
title: 時間発展
text: 例えば古典力学の一形式であるニュートン力学では、時間発展はニュートンの運動方程式によって表現する。これと等価なハミルトン力学では、時間発展は正準方程式で表現され、ラグランジュ力学では、時間発展はオイラー・ラグランジュの運動方程式で表現される。
title: コナトゥス
text: また、ライプニッツは「コナトゥス」という概念を使って積分法の原理を発展させ、その言葉の意味を、この場合はニュートンの加速度的な「力」の数学的な相似形を意味するようにしている。そういった「コナトゥス」を無限に数え上げて(つまり現在積分と呼ばれているもの)ライプニッツは持続的な力の効果を計量することができた。彼は、「ウィース・ウィーワ(vis viva)」(つまり「生きている力」)を無活動な「ウィース・モルトゥア(vis mortua)」の総和だと定義したのと全く同様に、「インペトゥス」を物体の「コナトゥス」の総和だと定義している。
title: 時間微分
text: ニュートン力学やラグランジュ力学においては、基本変数として位置と、その時間微分である速度を用いる。速度を時間微分したものを加速度、さらに時間微分したものを躍度(加加速度)と呼ぶ。
title: 位置空間と運動量空間
text: ハミルトン力学では、座標または運動量の一方のみを用いるラグランジュ力学とは異なり、ハミルトン方程式は座標と運動量を対等の立場に置く。 ハミルトニアン H(q, p, t) で表される系の運動方程式は次のように書ける。
title: 力 (物理学)
text: (古典力学の)力は物理学の根幹にかかわるものであるが、力の定義づけは自明ではないともいわれる。アイザック・ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』において力と質量について明確な定義を与えていない。現代的な視点では、ニュートン力学における力は運動の第2法則 F = ma によって定義されるものと解釈されるが、この解釈のもとでは、比例定数の慣性質量 m が未定義な量であるため、力と慣性質量の定義が独立しておらず、不満である。そのため、力と質量の定義を分離すべきという批判がなされている。
title: アイザック・ニュートン
text: これに対し、ニュートンは主著『プリンキピア』においてラテン語: \"Hypotheses non fingo\"(われ仮説を立てず)と宣言した。あくまで観測できる物事の因果関係を示すという哲学、解釈を展開した。これは、「作り話」的な説明もあるデカルトの自然学を批判したものだとされる。万有引力の法則を提示するにあたっても、引力がなぜ発生するか、あるいは引力が何のために存在するのかということではなく、引力がどのような法則によって機能するのかという説明のみに終始し、それをもたらす原因については仮説を立てる必要はないとし、新しい方法論を提示したともされる。また、ニュートン力学は形而上学的な理論に対する答えではなく、多様で広範な現象を計算可能な形で実際に予測する普遍的原理という、物理理論におけるモデルになった。
title: 運動の第2法則
text: 運動の第2法則(うんどうのだい2ほうそく、(英: Newton's second law)またはニュートンの法則(ニュートンのほうそく)は、ニュートン力学の基礎をなす三つの運動法則の一つ。
title: 万有引力
text: ニュートンは、太陽を公転する地球の運動や木星の衛星の運動を統一して説明することを試み、ケプラーの法則に、運動方程式を適用することで、万有引力の法則(逆2乗の法則)が成立することを発見した。これは、『2つの物体の間には、物体の質量に比例し、2物体間の距離の2乗に反比例する引力が作用する』と見なす法則である。力そのものは、瞬時すなわち無限大の速度で伝わると考えた。式で表すと、万有引力の大きさ F {\\displaystyle F} は、物体の質量を M , m {\\displaystyle M,m} 、物体間の距離を r {\\displaystyle r} として、
title: 万有引力
text: 『自然哲学の数学的諸原理』は、1687年に刊行された。同書は三篇で構成されており、第三篇の「世界体系について」で惑星の運動が主として扱われている。例えば、「月は地球に向かって重力で引かれる」という、ニュートンがウールスソープ時代に思いついた命題は、第三篇の命題4において提示されており、逆2乗の引力が木星とその衛星、5つの惑星と太陽の間でも働くことを、ケプラーの第2法則と第3法則からこの引力を逆に導き出しつつ主張した。さらに命題7で重力は物の量(質量)に比例することを述べ、第三篇の命題8において、この宇宙ではどこでも物質には互いに物質の量の積に比例する逆二乗の引力が働いている、すなわち万有引力の法則を主張した。
title: ユリウス・ロベルト・フォン・マイヤー
text: ここでマイヤーが表した「力」は、現在のエネルギーの概念に近い。マイヤーは、「力」の1つである運動の力として、1841年の論文ではmv(現代でいう運動量)、1842年の論文ではmv、1845年の論文ではmv/2(現代でいう運動エネルギー)を当てた。マイヤーの主張(力の不滅性)を運動の力に当てはめれば、力学的エネルギー保存則が導き出せる。
title: フロギストン説
text: 一方で、アーノルド・サックレーは以下のように別の解釈をとっている。ニュートンの影響により、化学反応の際にはたらく力を定量的に求める動きが高まり、化学親和力の概念が導入された。そして、親和力の大きさから化学反応を説明しようとしたが、結果的にそこから得られるものはなかった。そこで、力の大きさではなく、より実践的に、化学的な性質を元にして反応を説明しようとする考えが起こり、その始まりとなったのがシュタールのフロギストン説であった。この動きは以後ラヴォアジエを経てドルトンの原子論に到達した。つまりフロギストン説は化学の進歩において重要な役割を果たしたとする考えである。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: ニュートン方程式は「運動量の微分=力」であったので、オイラー=ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。
title: ダニエル・ベルヌーイ
text: 1738年に出版された最も重要な著書は、Hydrodynamica (『流体力学』)である。すべての結果が一つの原則(この場合はエネルギー保存の法則)に結びついていくところなどは、ラグランジュの Mechanique Analytique (『解析力学』)に似ている。「空気や水の流れがはやくなると、そのはやくなった部分は圧力が低くなる。はやく流れるほど圧力は下がる。」というベルヌーイの定理は、流線や渦線に沿ってベルヌーイ関数が保存されるという形に友人のオイラーが洗練して今日の流体力学の基礎を築いた。
title: 力 (物理学)
text: ここで F は物体に働く力、m は物体の質量、a は物体の加速度を表す。力は向きと大きさによって特徴づけられ、一般にはベクトル量として表現される。この定義はニュートン力学における運動量の定義と運動の第2法則から導かれる。上述の F = ma はしばしばニュートンの運動方程式(あるいは短縮して運動方程式)と呼ばれる。
title: ニュートン力学
text: ニュートン力学はラグランジュ形式やハミルトン形式で再定式化された。これらは、ニュートンの運動法則を座標系の取り方によらずに一般的に成立するように構成されたもので、ラグランジュ形式では、最小作用の原理(変分原理)からニュートンの運動方程式を再現する。ハミルトン形式では、正準変数とポアソン括弧を用いることにより、ニュートンの運動方程式に対応する正準方程式を対称な形で表現することができる。
title: 力 (物理学)
text: ニュートン自身は第2法則を微分を用いた形式では述べていない。運動の変化 (alteration of motion) を運動量の変化と解釈するなら、それは力積に相当する。
title: 力 (物理学)
text: 力の合成とは、ある点に働く複数の力を 1 つの等価な力として表すことを言う。またその逆の操作を力の分解 (decomposition of force) と呼ぶ。合成された力のことを合力 (resultant force) という。 力はベクトルとして定義されているので、ベクトル空間における加法の規則に従い合成と分解を行うことができる。力と運動量がベクトルであることにより、運動方程式を任意の成分に分解することができる。この原理を運動の独立性 (independence of motions) という。
title: 力 (物理学)
text: 熱力学が形成される19世紀前半までは、現在のエネルギーに相当する概念が力(羅: vis, 英: force, 独: Kraft)と呼ばれていた。 たとえば、ルドルフ・クラウジウスは1850年の論文 ,,Über die bewegende Kraft der Wärme \"で熱力学第一法則について述べているが、Kraft という語を用いているし、その英訳でも Force が用いられている。
title: 重力
text: マッハの原理は、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論により体系化された。一般相対性理論によれば、万有引力も慣性の力も等価(等価原理)であり、共に、時空の歪みによる測地線の変化である。ただ、万有引力と慣性の力とでは歪みの原因が異なるにすぎない。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: ニュートン力学の場合、ラグランジアンをルジャンドル変換することでハミルトニアン(=エネルギーに対応する関数)が得られ、 オイラー=ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事でハミルトンの正準方程式が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の1つである。 オイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を解析力学という。 なお、ニュートン力学以外の分野の場合、ラグランジアンからハミルトニアン(あるいはその逆)に容易に変換可能であるとは限らない。
title: 運動の第2法則
text: 『自然哲学の数学的諸原理』における第2法則は力の作用する時間が暗黙に含まれており、前述した「運動状態の変化」は運動量の変化、「力」は今日でいう力積に相当する概念になっている。
title: 最小作用の原理
text: 最小作用の原理(さいしょうさようのげんり、英: principle of least action)は、物理学における基本原理の一つで、特に解析力学の構成において、その基礎付けを与える動力学の原理である。最小作用の原理に従って、力学系の運動(時間発展)は、作用と呼ばれる汎関数を最小にするような軌道に沿って実現される(実際には「最小」になるとは限らず、仮想的な軌道の変化についての(第一)変分が零になる、すなわち「極値(停留)」をとるということなのであるが、既に「最小作用の法則(原理)」は歴史的な名称として定着してしまっているのであり、現代的には変分原理(variational principle)という方がより適切である)。
title: エネルギー
text: ライプニッツは、重さと速さの二乗の積(現在の式で言えば、おおよそ mv に相当する量)こそが「ちから」である、とし、この量が保存されている、と主張した。なお当時、静力学の分野では、vis mortua(死んだ力)という概念があったが、その概念と対比ししつつ、ライプニッツはその力 mv を vis viva(生きている力、活力)と呼んだ。
title: カロリック説
text: 熱の運動説は、後にアイザック・ニュートンの万有引力、およびそれとは逆のはたらきをもつ「斥力」の考えを取り込みながら進展してゆくのだが、やがて徐々に下火になっていった。熱に関する現象のすべてを運動として扱うと、関数があまりに複雑になってしまい、その式を実際に検証する方法は当時では存在しなかったのである。
title: 運動量
text: アイザック・ニュートンは運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した。
title: 運動エネルギー
text: 運動エネルギー(うんどうエネルギー、英語: kinetic energy)は、物体の運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語の κίνησις(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。
title: 力 (物理学)
text: ニュートンは1665年から1666年にかけて数学や自然科学について多くの結果を得た。特に物体の運動について、力の平行四辺形の法則を発見している。この結果は後に『自然哲学の数学的諸原理』(プリンキピア、1687年刊)の中で運動の第2法則を用いて説明されている。
title: 解析力学
text: 一方で動力学は、ガリレオ・ガリレイによって最初の基礎が据えられ、その運動法則を導き出す諸定理はアイザック・ニュートンの『自然哲学の数学的諸原理』(Philosophia Naturalis Principia Mathematica)によって一応の解明がなされた。このとき、ニュートン及びライプニッツは微分積分法を同時に開発したため、物体の運動の法則というものを解析的な方程式に帰着させることができるようになった。そのため、ニュートン以後に力学を扱った数学者たちは、ニュートンの諸定理を一般化した上でそれらを微分的表現に翻訳するようになった。特に、レオンハルト・オイラーは、運動方程式に初めて解析的な表現を与え、さらに定義と論証の連結によって次々に命題を導出する合理的科学として力学体系を提示しようとした。
title: コナトゥス
text: デカルトは、自身の自然の第一法則を発展させる際、「コナトゥス・モウェンディ」、つまり自己保存の「コナトゥス」の概念も引き起こした。この法則は慣性の法則を一般化したもので、以前にガリレオによって経験的に説明され、発展させられていた。この原理はデカルトの死から50年後にアイザック・ニュートンによって定式化され、彼の3つの運動の法則のうちの第一のものとされた。デカルトによる定式化はこうである: 「それぞれのものは、静止している限りではその状態にずっと留まっている。また一旦動き出せば、ずっと動き続ける」。
title: ジャン・ビュリダン
text: ジャン・ビュリダンはピロポノス(Philoponus)の注釈とイブン・スィーナー(アウィケンナ)の著作に基づき、物体はそれ自体が有する何らかの量(運動の初めに与えられた量)によって運動を続けるのだと主張した。ビュリダンはその量を\"impetus\"「インペトゥス」(「駆動力」などの訳語あり)と呼んだ。さらに、彼はインペトゥスが自然に散逸するという考えを否定し、物体は空気抵抗および重力によって止められるのだと断言した。これは従来の理論とは全く逆である。ビュリダンは、物体の持つインペトゥスは、物体が運動し始めた時の速さ(初速)および物体を構成する物質の量(質量)と正の相関関係を持つと考えた。ビュリダンの言うところのインペトゥスが、現代的な運動量の概念と近いことは明白である。彼はインペトゥスを物体の運動の原因と見なした。
title: 運動量
text: 特にハミルトン形式の解析力学においては、正準方程式を通じて与えられる正準変数の一方を座標と呼び他方を運動量と呼ぶ。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量と呼ばれる。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学においても重要な役割を果たす。
title: シュレーディンガー方程式
text: 古典力学における運動方程式はニュートン力学の運動の第2法則であり、これと等価な式としてオイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式(ハミルトン方程式)がある。これらの方程式は、力学系の運動を解き、初期条件や系の配置を指定した時に任意の時間に力学系がどのように振る舞うかを数学的に予測するために使われる。
title: ナビエ–ストークス方程式
text: ナビエ–ストークス方程式(ナビエ–ストークスほうていしき、英: Navier–Stokes equations)は、流体の運動を記述する2階非線型偏微分方程式であり、流体力学で用いられる。アンリ・ナビエとジョージ・ガブリエル・ストークスによって導かれた。日本語の文献だとNS方程式とも略される。ニュートン力学における運動の第2法則に相当し、運動量の流れの保存則を表す。
title: 並進演算子 (量子力学)
text: 初等的な物理学では通常、運動量は質量×速度と定義される。しかし並進演算子の観点から、運動量を定義するより基本的な方法がある。 これはより正確には正準運動量と呼ばれ、電磁場中の荷電粒子の場合などでは運動量は質量×速度と等しくなるとは限らない。この運動量の定義は特に重要である理由は、運動量保存則は正準運動量でのみ成り立ち、以下で示すように運動量が質量×速度(「運動学的運動量」と呼ばれる)として定義されたときは、普遍的に成り立つわけではないためである。
title: 摂動
text: 摂動(せつどう、 英語: perturbation)とは、一般に力学系において、主要な力の寄与(主要項)による運動が、他の副次的な力の寄与(摂動項)によって乱される現象である。摂動という語は元来、古典力学において、ある天体の運動が他の天体から受ける引力によって乱れることを指していたが、その類推から量子力学において、粒子の運動が複数粒子の間に相互作用が働くことによって乱れることも指すようになった。なお、転じて摂動現象をもたらす副次的な力のことを摂動と呼ぶ場合がある。
title: 運動の第2法則
text: 運動の第2法則から、ニュートン力学における物体の運動方程式(ニュートンの方程式)が導かれる。
title: 渦動説
text: デカルトの『哲学原理』は版を重ね、多くの人々に読まれ、この渦動説も当時や後世の哲学者、自然科学者たちに影響を与えた。ホイヘンスやライプニッツらは、渦動説を改良しつつ引き継ぐ形で近接作用を用いて運動を説明した。
title: 運動の積分
text: 運動の積分 (うんどうのせきぶん, integral of motion) とは、古典力学において、系の時間発展に際して時間変化しない物理量のこと。保存量 (conserved quantity) や恒量、運動の定数 (constant of motion)、第一積分 (first integral) あるいは単に積分とも呼ばれる。一般に力学の問題が与えられたとき、系の自由度の数に等しい数の第一積分を見出すことができれば、その問題を「解く(求積する)」ことができる(リウヴィルの定理)ため、その存在あるいは具体的な表示を調べることは力学(特に可積分系)の研究において基本的である。
title: シャルル・フーリエ
text: その後は雇われ店員や行商人を続けながら、1808年に代表的な著作である『四運動の理論』(Théorie des quatre mouvements et des destinées générales)を執筆・刊行する。この中でフーリエは、宇宙には物質的、有機的、動物的、社会的運動の4つの運動があるとし、彼は社会的運動において物質的世界におけるニュートンの万有引力の法則に匹敵する「情念引力の理論」を発見したと宣言する。
title: 作用 (物理学)
text: 物理学において「作用」という言葉は様々な意味で用いられる。たとえば作用・反作用の法則や近接作用論・遠隔作用論の中で論じられる「作用」とは物体に及ぼされる力を指す。本項では力の意味での作用ではなく、解析力学におけるラグランジアンの積分としての作用についてを述べる。
title: 力 (物理学)
text: 現在の運動エネルギーに対応する概念について、1676年から1689年の頃にゴットフリート・ライプニッツは vis viva と名付けた。これは当時の運動に関する保存則の議論の中で、保存量として提案されたものである。
title: 運動エネルギー
text: ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。
title: ニュートンの運動方程式
text: ニュートンの運動方程式から質量 m ≠ 0 {\\displaystyle m\\neq 0} で力 F = 0 {\\displaystyle {\\boldsymbol {F}}=0} ならば加速度 a = 0 {\\displaystyle {\\boldsymbol {a}}=0} が導けるが、これは運動の第1法則の意味を表しているようにも見えるため、運動の第1法則は運動の第2法則に含まれるといわれることもある。しかし、そもそも運動の第1法則(慣性の法則)が成立する系(慣性系)で無ければ運動の第2法則も成立しない事に注意しなくてはならない。そのため、運動の第1法則は、ニュートン力学を適用するための前提となる慣性系の存在を宣言していると現在では解釈されている。ただし、ニュートンは絶対空間の存在を主張しているため、必ずしもこの法則は必要とされない。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: 最小作用の原理はもともとはニュートン力学(さらにさかのぼれば光学におけるフェルマーの原理)で発見されたものだが、 電磁気学、相対性理論等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー=ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式(ニュートンの運動方程式、マクスウェルの方程式、アインシュタイン方程式) と等価になる。(ただしこれらの方程式におけるラグランジアンは前述の「(運動エネルギー)-(ポテンシャルエネルギー)」の形とは限らない)。 このように最小作用の原理からオイラー=ラグランジュ方程式に対応する式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。
title: 長さ
text: ニュートンは空間を絶対のものとする体系(ニュートン力学)を作った。というよりも、暗黙裡にそうだと仮定されていたと言ったほうがよいのかも知れない、というのは(一般には)誰も疑いもしなかったのであるし、アインシュタインが現れるまで、空間や距離や時間というものは「自明のもの」として、根本的に問い直したり、疑うことをしなかったのだから、と茂木は述べた。(ただし哲学の領域ではカントが空間や時間についても徹底して検討しようとしたことがあるにはあったのではあるが)。ニュートン力学では長さは絶対のものと暗黙裡に仮定されていた。アインシュタインの相対性理論によって、ニュートン力学の絶対空間は否定され、物体の速度が光速に近づくにつれ、進行方向に空間が縮み、物体の長さが縮む、とされるようになった。例えば光速の60%で進む乗り物があったとしたら、それは進行方向について20%縮む、という。
title: 運動の積分
text: ラグランジュ形式またはハミルトン形式の物理系に関して、ネーターの定理は系のひとつの連続的な対称性に付随してひとつの第一積分が存在することを主張する。例えば時間並進対称性に付随してハミルトニアン(エネルギー)が、空間並進対称性に付随して運動量が、空間回転対称性に付随して角運動量が第一積分となる。
title: 空間
text: 自然哲学者アイザック・ニュートンは、上述のデカルトの渦動説は本で読んだものの、その体系に相当無理があると気づいていた。ニュートンは一般に公表はされなかったものの、『重力および流体の平衡について』という書きかけの手稿(『自然哲学の数学的諸原理』が出版される相当前に書かれたもの)を残しており、そこでデカルトの渦動説を名指しで批判している。そして、その手稿で「場所とは物体が占める空間の一部」とし、「静止とは同じ場所にとどまること」「運動とは場所の変化である」としていた(ただしこれは公表されなかった)。
title: 量の次元
text: 例えば、ISQにおいて力学量は長さ、質量、および時間を基本量としているが、ニュートンの運動方程式に基づいて力の次元は
title: 軌道力学
text: ケプラーの法則は、周回する天体が中心の天体からの重力のみを受けていると見なせる場合には、ニュートンの法則から導くことができる。推力が働く場合、ニュートンの法則は適用できるが、ケプラーの法則は成り立たなくなる。推力が止まると、結果として軌道は変わるが、再びケプラーの法則が適用できるようになる。ケプラーの3法則は、次のとおりである。
title: 解析力学
text: 解析力学(かいせきりきがく、英: analytical mechanics)とは、一般座標系に対して成り立つ運動方程式を導出して展開される力学体系を言う。その運動方程式はラグランジアンやハミルトニアンと呼ばれる座標変換に対して不変な量に変分法と最小作用の原理等を適用することで導出される。
title: 解析力学
text: 力学の理論は大別して静力学(statics)と動力学(dynamics)からなる。古代より研究されてきた静力学は力の釣り合いの理論であり、力の釣り合いとは、ある力が及ぼす作用に対して別の力が存在し、それらが相殺した結果として生じるものである。静力学の目的は、それら相殺が発生する諸法則を一般的な諸原理に基づいて確立することにあり、それら原理は結局のところ梃子の原理(principle of leverage)、力の合成の原理(principle of composition of forces)、仮想仕事の原理(principle of virtual work)の三つの原理に帰着させることができる。 現代的には、仮想仕事の原理は次のように表される。
title: 力 (物理学)
text: 古典力学における力(英語: force)の、最も初等的な定義は質量と加速度の積を力とするものである。
title: 渦動説
text: ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』(プリンキピア、1687年)において万有引力という概念を提唱したが、こちらのほうは「離れた物体が影響を及ぼす」とする説であった。つまり遠隔作用説を唱えたことになる。近接作用で説明する学説と遠隔作用で説明する学説が、西洋の学会で同時に立てられている状態になり、激しい論争が巻き起こった。ライプニッツやホイヘンスはヨーロッパ大陸において唱え、それに対してニュートンはイングランドで唱える形になった。双方とも譲らず、論戦は実に18世紀半ばまで続いた。この時代のフランス人で、イギリスにも滞在したことのあるヴォルテールが『哲学書簡』(1734年)で「ドーバー海峡をひとつ越えると、世界がまったく違う原理で説明され、宇宙が異なっている」とあきれ果てたように書いた文章が残されている。
title: 国道421号
text: 運動の第3法則(うんどうのだいさんほうそく、英: Newton's third law)または作用・反作用の法則(さよう・はんさようのほうそく)は、2物体が互いに力を及ぼし合うとき、それらの力は向きが反対で大きさが等しいと主張する経験則である。一つだけで物体に働く力は存在せず、必ず逆向きで大きさが等しい力がどこかに存在している事を主張する法則である。
title: 力 (物理学)
text: 一般に力は運動の第2法則を満たし、物体に働く力の総和(合力)は運動量の時間変化に等しい。
title: エーテル (物理)
text: アインシュタインが相対性原理を最も根本的な原理として考えたのに対し、特殊相対性理論の基礎を造ったローレンツは相対性原理の根本がエーテルであると考え、「長さの収縮」や「時間の遅れ」に表されるように、物体の特性はエーテル中の運動により変化すると考えた。アインシュタインとの違いは、長さや時間について絶対的な基準を設けることを可能と考えるか否かである。これは物理哲学の問題であるため、決着はついていない。従って、エーテルの実在性は完全には否定されていないと言える。
title: 電磁誘導
text: 時間変動する電場と磁場が空間を伝わってゆく現象。電磁誘導の法則とアンペールの法則から光速で空間を進行する電磁波の波動方程式が導かれる。電磁波とはその波動方程式の解であり、磁場あるいは電場の時間変化が互いの時間変化を作って空間を伝わっていく解である。また光も電磁波の一種である。
title: ニュートンの運動方程式
text: ニュートンの運動方程式(ニュートンのうんどうほうていしき、英: Newton's equation of motion)は、古典力学において、物体の非相対論的な運動を記述する以下のような微分方程式である:
title: 渦動説
text: 何らかの流体・媒質の作用によって天体の動きを説明しようとした説であり、当初支持者が多かったものの、後にニュートンが提唱した説(ニュートン力学)が現れ、17世紀から18世紀にかけてデカルト派とニュートン派に分かれて大論争に発展した。18世紀なかごろに渦動説に否定的な証拠が得られたが、科学史的・科学哲学的には重要な説である。
title: ポアンカレの定理
text: アイザック・ニュートンらによって古典力学が定式化されると月の運動などへの興味から三体問題は詳細な研究対象となり、18世紀および19世紀を通じてオイラー積分(エネルギー、全運動量、全角運動量、重心運動)以外の運動の積分を見出す試みが継続された。しかしこれらの試みはすべて失敗し、本定理に先行する1887年に Heinrich Bruns によって三体問題には座標、運動量、時刻の代数関数として表される運動の積分はオイラー積分以外に存在しないことが示された。ただしこのブルンスの定理は対象が代数関数に限定されているため、三体問題の求積不可能性を示すためには十分ではなかった。
title: ジョン・スミートン
text: しかし、1759年から1782年にかけての時期には水車についてさらに研究を進め、ドイツのゴットフリート・ライプニッツの提唱した \"vis viva\"(活力、生ける力)理論(エネルギー保存の法則の初期の定式化の1つ)を支持するようになった。ライプニッツの考え方は当時の学界の主流とは異なっており、アイザック・ニュートンの運動量の考え方と両立しないと考えられていたため、スミートンは学界と対立することになった。
title: 天体力学
text: まず第1巻でニュートンは質量 (quantity of matter) および運動量 (quantity of motion) を定義し、力 (force) について論じている。続いて運動の法則を定式化し、中心力場のもとでは面積速度が一定であること(そして逆に面積速度が一定であるならば中心力が働いていること)、円錐曲線を描いて運動する物体には距離の二乗に反比例する中心力が作用していること、その場合に楕円軌道を描く物体の周期は楕円の長半径の1.5乗に比例することを示した。
title: ゼノンのパラドックス
text: アリストテレスは、時間が「不可分割的な今から成るのではない」としてゼノンを否定する一方、「今においては運動も静止もありえない」として、疑似的な論議と見ている風もある。数学的に見れば、瞬間においては運動も静止もないと見ることも可能であるが、同時に、運動方程式は瞬間における速度を示し得るのであって、言葉の定義の問題に過ぎない。しかし、前者の否定は成り立たない。時間が瞬間より成るとしても、運動は否定され得ない。時間が連続体であれば、時間が瞬間=点よりなり、矢が瞬間=点においては静止しているとしたとしても、動くことは出来る。近代解析学においては、ゼノンの結論は否定されるが、アリストテレスの論議も否定される。
title: 力 (物理学)
text: 作用反作用の法則はより一般化され運動量保存の法則として述べれられることがある。運動量保存則に則した立場では、力は物体間(あるいは物体と場の間)で行われる相互の運動量の授受を示すものと理解できる。ある時間に物体に及ぼされる力の総和と時間の積、すなわち力の時間に関する積分は、その時間における物体の運動量の変化量に等しい。この運動量の変化量は力積と呼ばれる。
title: 運動量
text: 運動量(うんどうりょう、(英: momentum)とは、初等的には物体の運動の状態を表す物理量で、質量と速度の積として定義される。この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、運動学的運動量(あるいは動的運動量)と呼ばれる。また、角運動量という運動量とは異なる量と対比する上で、線型運動量などと呼ばれることもある。
title: ニュートン力学
text: ニュートン力学(ニュートンりきがく、(英: Newtonian mechanics)は、アイザック・ニュートンが、運動の法則を基礎として構築した、力学の体系のことである。 「ニュートン力学」という表現は、アインシュタインの相対性理論、あるいは量子力学などと対比して用いられる。
title: オイラー＝ラグランジュ方程式
text: オイラー=ラグランジュ方程式(オイラー=ラグランジュほうていしき、英: Euler–Lagrange equation)は汎関数の停留値を与える関数を求める微分方程式である。 オイラーとラグランジュらの仕事により1750年代に発展した。 単にラグランジュ方程式、またはラグランジュの運動方程式とも呼ばれる。稀にオイラー方程式と呼ばれることもあるが、完全流体に関する運動方程式の名もオイラー方程式であるので、注意する必要がある。
title: 特殊相対性理論
text: ニュートン力学においてすべての慣性座標系は本質的に等価なものであるので、ニュートン力学においては空間に対して「絶対的に静止している座標系」といった概念は意味をなさず、あくまで「慣性系Aが慣性系Bに対して相対的に静止している」という概念のみが意味を持つ。このことから、力学の法則はすべての慣性座標系で同一であることが結論付けられ、この事実を ガリレイの相対性原理 (Galilean invariance) と呼ぶ。
title: 量子力学
text: ポテンシャルの空間微分(古典的には力に対応するもの)の空間的な変化がゆっくりで、波動関数の広がっている範囲で一定と近似できるならば、シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで運動方程式が得られる。即ち位置の期待値と運動量の期待値が古典力学における運動方程式であるハミルトン方程式を満たす。
title: 運動方程式
text: 運動方程式(うんどうほうていしき)とは、物理学において運動の従う法則を数式に表したもの。
title: 四原因説
text: しかし科学史家トーマス・クーンの見る所では、ガリレオやケプラーらの機械論的力学に始まって他領域に拡がった数学的な形式化(formulation)が展開されるにつれ、例えば運動の規則性が方程式という公式(formula)で示されるように形相(form)から結果が導出されることとなり、再びアリストテレス流の形相因による説明と――「実質的にではないが構造的に」――類似するに至っている(「物理学の発達における原因の諸概念」安孫子誠也・佐野正博訳『本質的緊張 科学における伝統と革新 1』みすず書房、一九八七年九月)。
title: 渦動説
text: 渦動説(かどうせつ、cartesian vortex theory)とは、ルネ・デカルト(1596 - 1650)が提唱した、天体などの運動の原理を説明するための学説。
title: 結合定数 (物理学)
text: 物理学において、結合定数(けつごうていすう、英: coupling constant)とは、力学系における相互作用の相対的な大きさを表す物理量である。力学系を記述する作用汎関数、あるいはラグランジュ関数やハミルトン関数は、運動項と相互作用項の和の形で表すことができる。このとき、結合定数は相互作用項における比例係数として現れる。
title: 作用 (物理学)
text: 微分方程式による表現と変分原理による表現の二つのアプローチが互いに等価であることは、ハミルトンの原理(英語版)から導かれる。ハミルトンの原理は任意の系の運動方程式である微分方程式は等価な積分方程式として再定式化することができることを言っている。これは、単に単一粒子の運動に留まらず、電磁場や重力場のような古典場の理論にも適用できる。ハミルトンの原理はまた、量子力学や場の量子論への拡張、特に経路積分の定式化に用いられる。量子系の可能なすべての経路に対して、それぞれの経路の確率振幅がその経路の作用積分によって決定される。
title: 反応速度論
text: 反応速度論(はんのうそくどろん、英語: chemical kinetics)とは反応進行度の時間変化(速度)に関する物理化学の一分野である。物体の速度を扱う力学との類推で、かつては化学動力学と呼ばれていた。反応速度論の目的は反応速度を解析することで、反応機構や化学反応の物理学的本質を解明することにあった。今日においては原子あるいは分子の微視的運動状態は、巨視的な反応速度解析に頼ることなく、量子化学などの理論に基づき計算化学的な手法で評価する分子動力学によって解明できるようになっている。それゆえ、今日の反応速度論は学問的真理の探求よりは、実際の化学反応を制御する場合の基礎論理として利用されている。
title: 絶対時間と絶対空間
text: 絶対時間(ぜったいじかん、英: absolute time )と絶対空間(ぜったいくうかん、英: absolute space )はアイザック・ニュートンが『自然哲学の数学的諸原理』(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, 1687年刊)で初めて導入した概念で、古典力学が発展するための理論的基盤となった。ニュートンによれば、絶対時間と絶対空間はそれぞれ何物にも依存しない客観的実在の一部である。
title: 力 (物理学)
text: 作用反作用の法則は慣性力に対しては成り立たず、この意味で慣性力は見かけの力 (fictitious force) であるということができる。慣性力は慣性系から非慣性系へ視点を移した際に現れる力であり、その反作用は存在しない。ニュートン力学においては慣性力を除くすべての力が物体間の相互作用として理解されるが、電磁場のような場との相互作用を含める場合、物体間だけで相互作用が閉じるという前提は破綻し、その結果として上述の作用反作用の法則が成り立たなくなる。そのため、電磁場を含む力学においては、作用反作用の法則は電磁気学に適合するように修正される。
title: シャルル・フーリエ
text: フーリエは、運命について考察している。フーリエによれば、運命とは、「万有運動に関する神の数学的諸法則の、現在、過去、未来にわたる帰結である」としている。そして、万有運動は、社会的、動物的、有機的、物質的という四つの主要部門に分類されるとした上で、『四運動の理論』のはじめ、定義を述べた第一部において、それらを次のように定義している。
title: ハミルトニアン
text: 解析力学または古典力学においてハミルトニアン H とは、T を運動エネルギー、V をポテンシャルエネルギーとして、全エネルギー を
title: 第二量子化
text: 量子力学は、粒子の位置と運動量を基本変数に選んだ量子論である。 古典的に場であったもの(電磁場など)だけでなく、古典的には粒子とみなされてきた物理系であっても、場を基本変数にしたほうが良く、適用範囲も広いことが判っている。スピンが関わるような物理系がその典型である。「位置と運動量」を基本変数としてもスピンを記述することができないため、量子力学でスピンが関わるような状況では、スピンを新たな基本変数としてつけ加えることをする。しかし「位置と運動量」ではなく「場」を基本変数として電子を扱うとスピンを自然に記述できる。
title: 逆2乗の法則
text: 万有引力の法則は逆2乗の法則の中でもよく知られている。引力に関する逆 2 乗則の発見者としてロバート・フックとアイザック・ニュートンは特に有名である。フックとニュートンはケプラーの考え方を拡張し、またニュートンはフックの示唆もあって「万有引力は全方位に影響を与え、その強さは距離の 2 乗に反比例する」と考えた。1680年にフックはこの法則について述べた書簡をニュートンに送っている。万有引力について満足いく結果が得られたのはニュートンが著した『自然哲学の数学的諸原理』においてであり、その初版は1687年に出版されている。
title: 作用 (物理学)
text: 粒子の運動方程式に対する作用原理を拡張して、電磁場や重力場のような、場の運動方程式を与える作用原理を考えることができる。
title: 不動の動者
text: 不動の動者(ふどうのどうしゃ、希: τὸ κινοῦν ἀκίνητον、英: unmoved mover)とは、アリストテレスが『自然学』や『形而上学』の中で言及した、世界(宇宙)の運動(円運動)の根本原因。第一の不動の動者(だいいちのふどうのどうしゃ、希: τὸ πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον、英: first unmoved mover)、第一動者(だいいちどうしゃ、希: τὸ πρώτη ἀκίνητον、羅: primum movens、英: first mover)、第一原因(だいいちげんいん、希: πρώτη αιτία、羅: causa prima、英: first cause)とも。
title: ラグランジアン (場の理論)
text: ラグランジアンの時間での積分を作用と呼び、S で表す。場の理論において、ラグランジアン L は時間での積分を作用
title: 反応速度論
text: グルベルグとボーゲは、化学平衡式とその基となる反応速度式が物質量のみで決定付けられることからこの関係を質量作用の法則(しつりょうさようのほうそく、en:Law of mass action)と呼んだ。ただしこの法則の和名は「mass」の誤訳であることが知られており、近年では化学平衡の法則への名称変更が提唱されている。
title: 移動現象論
text: 移動現象論(いどうげんしょうろん、英: transport phenomena)は輸送現象論、移動速度論とも呼ばれ、物質(成分)、熱、運動量などの物理量が移動する現象を扱う工学の一分野である。
title: パラメトリック方程式
text: パラメトリック方程式(パラメトリックほうていしき、英: parametric equation)とは、関数を媒介変数(パラメータ)を使って表したもの、またはその手法である。単純な運動学的例として、時間を媒介変数として位置、速度、その他の運動体に関する情報を表す場合が挙げられる。
title: 慣性
text: 慣性力とそれ以外の力を区別するには、運動量が保存する系を知っている必要がある。作用反作用の法則によれば、真の力には必ず反作用が伴うが、慣性力には反作用が加えられる物体が存在しないため、反作用の存在によって慣性力とそれ以外を区別することができる。