クイズ問題: 整数の中でも、2つ以上の素数に因数分解できる数のことを特に何というでしょう?
答え: 合成数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 約数
text: どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 素数
text: 素数(そすう、英: prime number)とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。
title: 完全数
text: 偶数の完全数は、Mp = 2 − 1 が素数のときの 2Mp に限る(ユークリッド、オイラー)。
title: ピタゴラス素数
text: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 素数
text: 素数ではない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。
title: 素数
text: 素数とは、自明な正の因数(1 と自分自身)以外に因数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。 つまり、正の因数の個数が 2 である自然数である。
title: 最小公倍数
text: 多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
title: 調和数
text: 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず 2 なので調和数である。
title: 偶数
text: より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という。
title: ガウス整数
text: これは「2つの平方数の和で表せる素数は 2 と 4n + 1 の形のものに限る」という定理(フェルマーの二平方和定理)と、ガウス素数が素元であることによる。有理素数の単数以外による分解は 2 または 4n + 1 型に限られ、その分解は
title: ゼロの偶奇性
text: 「2の倍数であるような整数」を意味する「偶数」のような、数学の用語に対する正確な定義は、究極的には一つの風習である。「偶数」とは違い、ある数学的概念は、自明な例や退化した例を排除するための目的を持って構成された。素数は有名な例である。20世紀以前に素数の定義は一貫性がなく、ゴールドバッハ、ランベルト、ルジャンドル、ケイリー、クロネッカーのような有名な数学者が「1は素数である」と書いていた。現代の「素数」の定義は「厳密に2つの異なる約数(1とその数自身)を持つ正の整数」である。この定義によれば1は素数ではない。この定義は、素数に関する数学的定理に対して、(1を素数に含める場合と比較して)より自然に適合することがわかる。それによりこの定義を合理化できる。例えば算術の基本定理は、1を素数として考慮しない場合の方が主張としてより簡単になる。
title: チャンパーノウン定数
text: 0.4938271564044485256606... は、一見すると何の変哲もない無理数のようだが、これは実際のところチャンパーノウン定数を4倍して得られる数である。このように、規則性がある数に乗法や累乗などの演算をほどこすとその規則性が消えて(見えなくなって)しまう。
title: 奇数
text: 奇数(きすう、英: odd number)とは、2 で割り切れない整数である。対義語で、2 で割り切れる整数は偶数という。
title: 平方因子をもたない整数
text: 数学において、無平方数(むへいほうすう、英: square-free integer)または平方因子を持たない整数 (integer without square factors) とは、平方因子を持たない数、すなわち 1 より大きい完全平方で割り切れないような整数(通例として正の整数)をいう。与えられた整数が無平方数であるとき、その整数は無平方 (square-free, quadratfrei) であるともいう。例えば、10 は無平方だが、18 は 9 = 3 で割り切れるので無平方数でない。無平方な正整数は小さい順に
title: ユークリッドの補題
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。...1
title: ガウス整数
text: 1に対する一つの答として、「最大」とはノルムが最大と解釈すればよい。2と3についてはそれほど明らかではないが、後述するように、ガウス整数環においては素因数分解の一意性が成り立つことから、答は肯定的である。ただし、正確には最大公約数は完全に一意に決定するのではなく、同伴の違いにより4つ存在することになる(有理整数環における通常の最大公約数も、正のものと負のものの2つが存在する)。逆に言うと、素因数分解の一意性が成り立たない整数環においては、公約数や最大公約数を定義する意義があまりない。
title: 素因数
text: 素因数(そいんすう、英: prime factor)とは、数学における自然数の約数になる素数のことである。ある数の素因数を求めてその積の形で表すことを素因数分解という。例えば 60 は 2×3×5 と素因数分解されるので 60 の相異なる素因数は 2, 3, 5 の3つである。また、7 は素数であるため、7 の素因数は 7 自身のみとなる。素因数のことを素因子(そいんし)、素因数分解のことを素因子分解ということもある。
title: 半素数
text: 数学において、半素数(はんそすう、英: semiprime, biprime)とは、2 つの素数(2 つは同じでもよい)の積で表される自然数(合成数)である。約数が3~4個の数。
title: 単偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 素数冪
text: 素数冪は、一つの素数でしか割り切れない正整数である。素数冪は準素分解(primary decomposition)になぞらえて準素数(primary number)とも呼ばれる。
title: 合成数
text: ただし自然数の内 1 は合成数や素数ではない。また自然数に 0 を含む場合は 0 も合成数や素数ではない。
title: 素数が無数に存在することの証明
text: である。素数全体を2つのグループに分け、p1, ..., pk を「小さい」素数、pk+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N1、後者の個数を N2 とおく。当然 N = N1 + N2 である。
title: 合成数
text: 言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。
title: 複偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 四元数
text: 共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積が 1 である数)が得られる:
title: 多冪数
text: 奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは
title: 0
text: 数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。一方、0 は偶数である。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: ピタゴラス素数
text: とおくと、N の素因子は全てピタゴラス素数である。なぜならば、素数 q が N を割ると、平方数 4(p1 ... pk) が q を法として -1 と合同になって、第一補充法則に反するからである。さて、N を p1, ..., pk で割った余りは 1 なので、N はこれらを素因子には持たない。よって、N を割るピタゴラス素数は、リストにはない新しいピタゴラス素数である。これは矛盾であり、したがってピタゴラス素数は無数に存在する。
title: 偶奇性
text: 偶奇性の定義される最も基本的な対象は整数であり、2で割り切れるものを偶数、2で割り切れないものを奇数と呼ぶ。しばしば、「0は偶数か」というような形式の疑問が持たれることがあるが、それはその文脈で全体として想定している数の範囲が自然数全体であるか整数全体であるかということに完全に依存している。すなわち、自然数の範囲内で考えるならば
title: 多項式の内容と原始多項式
text: 代数学における多項式の内容(ないよう、英: content; 容量)は、与えられた多項式のすべての係数の最大公約数を言い、内容が 1 に等しい多項式は原始多項式(げんしたこうしき、英: primitive polynomial)であるという。この場合の多項式は、整係数(あるいはより一般にUFDなど、最大公約数の定義できる整域(GCD整域))で考えるものとする。
title: ガウス整数
text: 有理素数がガウス素数であるかどうかについて、2 と 4n + 1 型の有理素数は2つの共役なガウス素数に因数分解できるので、実質1つのガウス素数の平方であると解釈できる。この状況を「2 は分岐する」と表現する。また、4n + 3 型の有理素数はガウス素数でもある。この状況を「3 は惰性する」と表現する。
title: 素数
text: 例えば、2 は、正の因数が 1, 2 のみなので素数である。
title: 多冪数
text: 自然数 n が多冪数(たべきすう、英: powerful number)であるとは、素数 p が n を割り切るとき、p の平方も n を割り切ることをいう。
title: 無理数
text: 有理数の無理数度は 1, ディリクレの定理およびロスの定理より代数的無理数の無理数度は 2, リウヴィル数の無理数度は ∞ である。ディリクレの定理より無理数の無理数度は全て 2 以上である。e の無理数度は 2 であることが知られている。
title: 三つ子素数
text: なお、双子素数は「2つの素数の組 (p, p + 2)」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「(p, p + 2, p + 4)」と定義していない。
title: 四元数
text: 故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
title: 互いに素
text: 二つの整数 a, b が互いに素(たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to)であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。
title: ピタゴラス素数
text: 平方剰余の相互法則の主張は次のようなものである。異なる奇素数 p, q に対し、少なくとも一方がピタゴラス素数であれば、p が q を法とする平方剰余であることと、q が p を法とする平方剰余であることは同値である。また、両方とも非ピタゴラス素数であれば、p が q を法とする平方剰余であることと、q が p を法とする平方非剰余であることは同値である。
title: 完全数
text: その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 2(2 − 1) = 33550336, 2(2 − 1) = 8589869056, 2(2 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。
title: 七乗数
text: レオナード・E・ディクソンは七乗数についてのウェアリングの問題について研究し、全ての非負整数は高々258個の非負七乗数の和で表され、47個以上の非負整数が必要なのは有限個しかなく、負の冪乗も許せば高々12個でよいことを証明した。
title: 正の数と負の数
text: 負でない数は非負(ひふ)であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)実数を、非負実数(ひふじっすう)という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数(ひふせいすう)という。
title: シュタイニッツ数
text: とすることで整除可能性も超自然数に対して拡張でき、最小公倍数や最大公約数も
title: 単偶数
text: 単偶数(たんぐうすう、英: singly even number)とは、2 で割り切れる(偶数である)が、4 では割り切れない整数である。半偶数(はんぐうすう)ともいう。「奇数の二倍」である整数ともいえる。
title: 羽根川竜
text: 素数 p が陳素数(ちんそすう、Chen prime)であるとは、p + 2 が素数または2つの素数の積(=半素数)であることを意味する。例えば 19 は素数であり、2 を加えた 21 は 3 × 7 と2素数の積で表されるので陳素数である。この名前は、そのような素数は無限に存在すると証明した陳景潤による。
title: 完全数
text: 奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数は乗法的 (英: multiplicative) であることから、二平方数の和であることが古くから知られていた。もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。
title: 擬素数
text: 擬素数は、大きな数を素因数分解することの難しさを利用する公開鍵暗号において最も重要である。カール・ポメランスは1988年に144桁の数字を因数分解するのに1000万ドル、200桁の数を因数分解するのに1000億ドルかかると見積もっていた(今日ではこれよりずっと安くなっているが、それでも法外に高額である)。しかし、これを用いるのに必要な2つの大きな素数を見つけるのにも費用がかかるため、様々な確率的素数判定が用いられ、まれに素数ではなく合成数が不適切に素数と判定される場合もある。一方でAKS素数判定法などの決定的素数判定法では偽陽性が生じることはなく、擬素数はない。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラス素数(ピタゴラスそすう、英: Pythagorean prime)とは、4n + 1 の形をした素数である。ピタゴラス素数は、二個の平方数の和で表される奇数の素数に他ならないことが知られている。
title: 四平方定理
text: 以上により、全ての奇素数が高々四個の平方数の和で表されることが証明された。 Q.E.D.
title: 多角数定理
text: 2008年4月23日、孫智偉らは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。
title: 二個の平方数の和
text: 合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方(冪指数が偶数)になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。
title: 有限単純群の分類
text: 以下の表において、nは自然数、pは素数、qは素数の冪を意味する。
title: 自然数
text: 完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 最小公倍数
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。
title: ロバート・ウィケンズ
text: 四素合成数(よんそごうせいすう)とは、相異なる 4 つの素数の積で表される自然数(合成数)のことである。
title: 高度合成数
text: を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap = 1 である。したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。
title: 友愛数
text: なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。
title: ハーシャッド数
text: ハーシャッド数は 1 桁の素数と 10 自体が素数である場合を除いて全て合成数である。
title: 最大公約数
text: 正整数 a, b に対して、a と b の最大公約数 gcd (a, b) と最小公倍数 lcm (a, b) との間には
title: 偶数
text: 偶数(ぐうすう、英: even number) とは、2 で割り切れる整数である。対義語で、2 で割り切れない整数は奇数という。
title: 三つ子素数
text: 三つ子素数(みつごそすう、prime triplet)もしくは三つ組素数とは、3個の素数の組で、(p, p + 2, p + 6) または (p, p + 4, p + 6) のタイプのもののことである。
title: 自然数
text: 自然数を 1, 2, 3, ... とする流儀と、0, 1, 2, 3, ... とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることが多い。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。
title: ゴールドバッハの予想
text: これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである(奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない)。
title: 階乗
text: 1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(2 と 5 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ(英語版)。
title: 自然数
text: 自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。無限に存在する。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: ロバート・ウィケンズ
text: 6つの素数を約数に持つ数(最小は30030)は六素合成数という。
title: 四つ子素数
text: 四つ子素数 (p, p + 2, p + 6, p + 8) について、p − 4 または p + 12 がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数(いつつごそすう、prime quintuplet)という。特に p − 4 と p + 12 の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数(むつごそすう、prime sextuplet)という。
title: 約数関数
text: 6, 28, 496 などが完全数として知られている。偶数の完全数全体はメルセンヌ素数 2 − 1 に対して 2(2 − 1) と表されるもの全体と一致することが知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは古くからの数論の未解決問題として有名である。
title: メルセンヌ数
text: 2(2 − 1) は明らかに偶数であるが、偶数の完全数でこの生成式から得られるもの以外はないのか2000年間にわたって未解決であったが、18世紀にオイラーによりこの形に限ることが証明された。
title: 2の冪
text: 指数に負の整数を許すならば、2の冪乗(この場合、それらは自然数ではなく有理数である)の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2), 1/2 (2), 1/4 (2), 1/8 (2), 1/16 (2) ... というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。
title: ピタゴラス素数
text: である。ディリクレの算術級数定理により、この数列は無限数列である。さらには、ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数はほぼ均等に分布することが従う。しかし、具体的に正整数 N を取ると、しばしば N 以下のピタゴラス素数は非ピタゴラス素数よりも少ない。この現象はチェビシェフの偏りとして知られる。 例えば、600,000 までの整数 N に対し、N 以下のピタゴラス素数が(奇数の)非ピタゴラス素数よりも多いような N は、26861, 26862 の2個しか存在せず、その次は 616,841 になる。
title: 平方剰余の相互法則
text: 4k + 1 型の素数は二個の平方数の和で表すことができる。また逆にある奇素数が二つの平方数の和で表すことができるならば、4k + 1 型の素数である。そして、二つの平方数の順序を別にすればこの分解は一意的である。
title: ガウス整数
text: 「約数」「倍数」の概念を、有理整数環 Z 上のみならずガウス整数環上でも自然に定義することができる。2つのガウス整数 α, β に対して、β = αγ を満たすガウス整数 γ が存在するとき、β は α の倍数(β は α で割り切れる)、α は β の約数(α は β を割り切る)であるといい、α | β と表す。
title: 合成数
text: 最小の素数は2であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると次のようになる。
title: 加群の直和
text: レオナード・E・ディクソンが四元数を二重化して八元数を得るためにこの構成を発明しており、直和 A ⊕ A を利用するこの二重化法はケイリー–ディクソン構成と呼ばれる。実例として、K = R(実数体)から始めれば、系列として複素数、四元数、八元数、十六元数が生成される。また K = C(複素数体)と自明なノルム N(z) = z から始めれば、以下双複素数、双四元数(英語版)、双八元数と続く。
title: 平方剰余
text: 素数 p を法として、 n R p かつ n + 1 R p、または n N p と n + 1 R p 等となるペア n, n + 1 の数はほぼ同じである。より正確には、 p を奇素数として、 i, j = 0, 1 によって以下の集合を定義し
title: アルキメデスの牛の問題
text: 最後の2つの条件は、W + B が平方数であり、Y + D が三角数であることを意味する。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
title: 自乗
text: 自然数の自乗は平方数と呼ばれる。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラス素数 p に対する有限体 Z/p において、方程式 x = -1 は2つの根を持つ。すなわち、p がピタゴラス素数のとき、p を法として -1 は平方剰余である。逆に、p がピタゴラス素数でないとき、p を法として -1 は平方非剰余である(第一補充法則)。
title: 完全数
text: ユークリッドの生成式以外から得られる偶数の完全数は存在しないのかという問題は18世紀までは未解決であったが、レオンハルト・オイラーは偶数の完全数はこの形に限ることを証明した。
title: 陳景潤
text: p + 2 が高々2つの素数の積である素数 p は無数に存在する。
title: 分数
text: L としては最小公倍数がよく用いられるが、最小公倍数が分からない場合には単純に2つの数の積 L = a × c を用いればよい。
title: 半素数
text: 素数を2乗した半素数は
title: 合成数
text: 9や25など素数を2乗した数は1つしか素因数を持たないが、9 = 3×3 のように2つの素数の積で表せる合成数である。
title: フィボナッチ素数
text: 最初の10個の、素数番目のフィボナッチ数のうち、p が 2 と 19 のときを除いた8個で Fp は素数となる。2 と 19 のときは F2 = 1, F19 = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、p が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の1229個の素数の中で、Fp が素数になるのは26個しかない。
title: 完全数
text: N を偶数の完全数とする。N を 2 で割り切る最大回数を n とすると、N = 2K(n は自然数、K は奇数)とおける。2 と K は互いに素であるので、σ(n) を約数関数とすると、約数関数は乗法的なので、N の正の約数の総和 σ(N) は以下のようになる。
title: 代数的数
text: 代数的数 α を根とする 0 ではない整数係数多項式で、最高次の係数が 1 であるもの(モニック多項式と呼ぶ)が存在するとき、α は代数的整数 (algebraic integer) であるという。代数的数の中で整なものの意味である。特に、整数や、√2, i は、代数的整数である。整数 0, ±1, ±2, ... ∈ Z を代数的整数の中で特に区別する必要がある場合、Z の元のことを有理整数 (rational integer) と呼ぶ。
title: 完全数
text: 偶数の完全数は無数に存在するか、つまり Mp = 2 − 1 が素数となる素数 p は無数に存在するかどうかは未解決である。
title: 素数
text: 素数の定義を「自明でない(1 と自分自身以外)約数の積に分解できない自然数」と考えた場合、「1 を素数の定義に含めるか含めないか」が問題となる。古代ギリシアでは、1 はそもそも数(自然数)であるとさえ見なされなかったので、1 は素数ではなかった。一方、19世紀には、1 は素数であると考える数学者が多く存在した。例えば、レーマーの 10,006,721 までの素数表(後の1956年に再版)では、素数は 1 から始まるものとして書かれている。アンリ・ルベーグは、1 を素数だと考えた最後の専門的な数学者だと言われている。
title: 十六進法
text: 割り切れない小数の循環部は下線で示す。「10」となる十六には因数に奇数が含まれていないため、1/3や1/5といった「1÷奇数」が全て割り切れない。小数を分数化しても、「m/奇数」となる小数が全く現れない。従って、偶数も、1/6{1÷(2×3)}や1/A{1÷(2×5)}といった「1÷奇数で割り切れる偶数」は割り切れない。六の倍数も十の倍数も逆数にすると全て割り切れないので、単位分数は無限小数が充ち溢れ、逆数が有限小数になる例は2の冪数だけになる。
title: メルセンヌ数
text: 紀元前3世紀頃のユークリッド原論において知られる完全数の生成式で見出されている。そこから素数であるメルセンヌ数を見つけることこそが完全数を見つけることとなった。Mn = 2 − 1 が素数ならば n もまた素数である。古代ギリシア数学者は p = 5 と 7 のとき Mp が素数であることを見つけた。しかし p が素数であってもMp は素数とは限らない(例:M11 = 2047 = 23 × 89)。そのため完全数の探索は困難をきわめた。
title: 素数階乗素数
text: 素数階乗素数(そすうかいじょうそすう、英: primorial prime)とは、p を素数として、p# ± 1 の形で表される素数である。ここで、p# は素数階乗(p 以下の素数の総乗)である。素数階乗素数は、n! ± 1 の形の素数である階乗素数の類似の概念である。2017年8月現在、42個が知られている。
title: 分数
text: となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を、分数の簡約(かんやく、英: reduction)あるいは縮めて約分(やくぶん)と呼ぶ。m と n が互いに素である分数 n/m を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)といい、ある分数が既約分数であることを「(その分数は)既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約(かやく、英: reducible)または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。
title: 二個の平方数の和
text: 4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。
title: 700
text: 769 : 素数、エマープ(769 ←→ 967)、陳素数
title: 擬似完全数
text: n を自然数、p を p < 2 を満たす奇素数として、2p の形で表される数は全て擬似完全数である。