クイズ問題: 数学で、二本の直線が交わったときに出来る、向かい合った2つの角のことを特に何というでしょう?
答え: 対頂角

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 内接円
text: 内接円の中心と2本の対角線の中点は、同一直線上にある(ニュートンの定理)。
title: 円 (数学)
text: 円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線 (tangent) といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径(接点半径)は、接線と接点で直交する。
title: 角度
text: 単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角(へいめんかく、英: plane angle)を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線(はんちょくせん、英: ray)によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点(かくのちょうてん、英: vertex of angle)と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺(かくのへん、英: side of angle)と呼ばれる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。
title: 神奈川県々歌
text: 空間幾何学において空間内の2本の直線がねじれの位置(ねじれのいち)にあるまたは skew lines であるとは、それらが互いに平行でなく交叉(英語版)もないときに言う。
title: 幾何中心
text: 三角形の重心は、三角形の三つの中線(各中線は各頂点とその対辺の中点を結ぶ)の交点である。三角形の重心は、その三角形のオイラー線上にあり、オイラー線はまた垂心や外心といった種々の中心も結ぶ。
title: 角度
text: 2つの半直線が共有する端点 O を角の頂点、ある角の頂点から出る2つの半直線を角の辺という。
title: ペルガのアポロニウス
text: 著書『円錐曲線』 (Κωνικά) において、円錐を頂点を通らない平面で切断した断面の図形「楕円(だえん、ellipse)」・「放物線(ほうぶつせん、parabola)」・「双曲線(そうきょくせん、hyperbola)」について詳細な研究をおこなった。「楕円」・「放物線」・「双曲線」の名称は、アポロニウスがそれぞれ「ellipsis(不足する)」・「parabole(一致する)」・「hyperbole(超越する)」と呼んだことに由来する。離心円ならびに従円と周転円の概念の発案者でもある。
title: 三角形
text: 三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わる。この点のことを重心という。また、それぞれの線分を中線といい、重心は中線を 2 : 1 の比で分割する。
title: 三角形の内接円と傍接円
text: 内心は、3つの角の二等分線上にある。傍心は、1つの角の二等分線と他の2つの角の外角の二等分線上にある。内心と傍心は「三角形の3つの頂点と垂心」という位置関係にある。
title: 円 (数学)
text: 数学において、円(えん、英: circle)とは、平面(2次元ユークリッド空間)上の、定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。ここで現れる定点 O を円の中心と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心と円周上の 1 点を結ぶ線分を輻(や)とよび、その長さを半径というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。定幅図形の一つ。
title: 垂直
text: 垂線 (perpendicular) に関連して垂線の「足」(\"foot\") という術語がしばしば用いられる。考える図形の向きは如何様にも変えることができるから、足と謂えどもそれが必ずしも図形の下方にあるわけではない。
title: 始皇帝
text: 対角線(たいかくせん、英: diagonal)は、多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分のうち辺を除く線分のことである。三角形以外の多角形は全て2本以上の対角線を持つ。
title: 三角形
text: 三角形の 1 つの内角と他の 2 つの外角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを傍心(ぼうしん)という。三角形に傍心は 3 つある。傍心は 1 つの辺と 2 つの辺の延長線と等距離にあり、傍心を中心として半径がその距離である円を傍接円という。
title: 円 (数学)
text: 一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧 (arc) または単に弧という。
title: 円錐
text: このとき、点 p をこの円錐の頂点、頂点と底面との距離をこの円錐の高さといい、直線 l (と円錐との共通部分)をこの円錐の母線という。また、円錐と平面 P との共通部分をこの円錐の底面といい、そうでない面を側面という。底面は回転軸と平面 P との交点を中心とするような円になる。また、円錐の展開図を書くと、側面は扇形である。この扇形の半径となるような線分も母線と呼ばれ、この扇形の中心角は円錐の頂角と呼ばれる。
title: 直交
text: このことは、直線と曲線または曲線同士、あるいは平面と曲面または曲面同士、もしくは曲線と曲面などの場合にも、交点において曲線の接線(または法線)あるいは曲面の接平面(または法線)などを考えることにより拡張できる。すなわち接線同士(または法線同士)の直交を以って二つの曲線の直交を定義するのである。注意すべきこととして、これら対象の直交性をベクトルによって定めるならば、(ベクトルは平行移動不変であるから)直交するそれらの対象は必ずしも「交わらない」。また非標準的な内積に関する直交性を考えるならば、直交するふたつのベクトルは必ずしも直角を成さない。
title: 対岸の彼女
text: われわれに馴染みの深い平面上における角とは、平面上の一点(角の頂点)から出る二つの半直線によって区切られた部分のことをいい、この2半直線の開き具合を角度という。角度は、角の頂点を中心とする半径1の円から、2半直線が切り取る円弧の長さで表すことができる。
title: 楕円
text: 楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。
title: 角度
text: ユークリッドの著作『原論』では第1巻の定義8において、「互いに交わる2つの線 (line) の傾き (inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。\"傾き\" (inclination) という語の解釈次第では2つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある。またこの定義と同じように「\"傾き\"である」という定義を採用している国語辞典もある。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれる。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角 (rectilinear) という名称で定義されている。
title: 空間ベクトル
text: 二つのベクトル a, b の和 a + b を、それらの始点を合わせたときにできる平行四辺形の(始点を共有する)対角線に対応するベクトルと定める(三つ以上のベクトルの和も、二つの和をとる演算から帰納的に定める)。a, b がどんなものであっても a + b = b + a が成り立っていることに注意されたい。
title: 中線定理
text: 平行四辺形の対角線が互いの中点を通るという事実から、平行四辺形ABCD に対し
title: 三角形
text: 底辺を除く 2 つの辺それぞれの中点を結ぶ線分を、三角形の中点連結という。どの辺を底辺と見るかによって、三角形には 3 つの中点連結を考えることができる。三角形の中点連結は、底辺と平行で、長さは底辺の半分に等しい(三角形の中点連結定理)。
title: 角度
text: この定義の前記定義との違いは 2つの半直線が挟む領域を含めていないことである。ヒルベルトの公理系ではそのかわり、平面 α が角(2つの半直線)により分割されて生じる 2つの領域の一方を角の内部、他方を角の外部として区別している。角度の小さい領域が内部になるのだが、この段階では角度はまだ定義されていないため、別の方法での定義をしている。そして定理20で角の大小関係を定義している。すなわち、1辺を共有する2つの角のうち一方の角 θ1 の辺が他方の角 θ2 の内部にあれば、θ1 < θ2 であると定義する。すなわち、角の大小関係として劣角の角度の大小関係を採用したことになる。
title: 大圏コース
text: 球面と平面が交差している場合、共有する曲線は円となる。この内、球の中心を通る平面と球面がなす円を大円と呼ぶ。球面上に存在する2つの点を結ぶ弧のうち最短距離となるのは、弧が大円の一部である場合である。
title: 楕円
text: 楕円(だえん、橢円ともいう。英: ellipse)とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。
title: 三角形
text: 三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる。この点のことを垂心という。
title: 錐体
text: このとき、点 O をこの錐体の頂点、頂点 O と平面 P との距離を錐体の高さという。また、曲線 C が囲む平面 P の領域を、この錐体の底面といい、底面以外の面すなわち、頂点 O と閉曲線 C 上の各点とを結ぶ線分の軌跡のことを側面という。
title: 割線
text: 初等幾何学における曲線の割線(かっせん、かつせん、英: secant line, secant; 正割線)は、その曲線と(相異なる)ふたつ以上の点で交わる直線を言う。 割線を意味する英語の secant はラテン語: secare に由来し、「割ること」(to cut) の意である。円の割線の場合、円と割線はちょうど二点で交わり、それら二点を結ぶ線分は円の弦になる—すなわち、円の割線から円によって切り取られる区間が円の弦である。
title: 曲線の特異点
text: 「節点」(node; ノード) という語は、結節点 (crunode) あるいは孤立点 (acnode) を指し示すために使われる、言い換えればカスプでない二重点である。曲線上のノードの個数とカスプの個数はプリュッカーの公式(英語版)において使われる不変量のうちの 2 つである。
title: 接線
text: 接線が「接する」という直観的概念は、(函数の定める曲線上の)二点 A, B を通る割線の列を考えることにより、より陽な形で表すことができる。点 A における接線は、もう一方の点 B を A に近づけるときの割線の極限として与えられる。接線の存在と一意性は、ある種の数学的滑らかさ、すなわち微分可能性に依存する。例えば、二つの円弧がとがった点(頂点)で交わるならば、その頂点での接線は一意に定義できない(この場合、割線の極限の様子は B を頂点にどちらから近づけるかで変わってしまう)。
title: 斜辺
text: 斜辺(しゃへん、hypotenuse)は、直角三角形において、直角と相対する位置にある最も長い辺であり、隣辺以外の辺のことである。直角三角形の斜辺の長さは、ピタゴラスの定理により計算で求めることができる。
title: 円 (数学)
text: 円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を扇形 (sector) O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む中心角という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは比例する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときネフロイド(英語版)となる。
title: 三角形
text: 三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを内心という。内心は 3 つの辺から等距離であり、内心を中心として半径がその距離である円は 3 つの辺に接する。この円のことを内接円という。
title: 三角形
text: 1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺にたてた垂線といい、垂線とその辺との交点を垂線の足または垂足という。ある辺にたてた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点との距離をその三角形の高さという。高さは 3 つの辺それぞれに対して定義できる。ある頂点 A の対辺 a に対する高さを ha とするとき、面積 S は
title: 直交
text: 初等幾何学における直交(ちょっこう、英: orthogonal)は「垂直に交わる」こと、すなわちユークリッド空間内の交わる二つの直線や平面のなす角が直角であることを意味する。
title: 割線
text: 直線と円は二点または一点で交わるか、さもなくば交わらないかである。二点で交わる直線を割線、一点で交わる直線を接線、交点を持たない直線は外線 (exterior line; 外部直線)と言う。円の弦とは円周上の相異なる二点を結ぶ線分のことであったから、任意の弦は割線に一意的に延長され、逆に任意の割線は円の弦を一意的に定める。
title: ベズーの定理
text: 定理より、任意の円錐曲線は無限遠直線と2点で交わる。双曲線の場合、それは2つの漸近線の方向に対応した点である。楕円の場合、無限遠直線との2つの交点は互いに複素共役の関係にある(例えば円ではそれは [1 : i : 0] と [1 : -i : 0] であった)。放物線の場合、無限遠直線と1点でしか交わらないが、それは接点であってその点で2回交わっていると見なされる。
title: 三角形
text: また、∠ACD のように 1 つの辺と他の辺の延長との間にできる角を三角形の外角という。三角形である頂点(内角)について考えるとき、内角の2辺を除いた残りの辺をその頂点(内角)の対辺という。また、三角形のある辺について考えるとき、辺の両端を除いた残りの頂点(内角)をその辺の対頂点(対角)という。
title: 幾何中心
text: 四面体はその面が四つの三角形であるような三次元空間内の図形である。四面体の頂点から対面の重心へ結んだ線文は中線 (median) と言い、二つの対辺の中点同士を結ぶ線分は陪中線 (bimedian) と呼ぶ。よって四面体には四つの中線と三つの陪中線があることになるが、これら七つの線分はすべて四面体の重心において交わる。この中線は重心によって 3 : 1 に分けられる。四面体の重心は、その四面体のモンジュ点と外心(外接球面の中心)との中点であり、これら三点が載った「オイラー線」は三角形のオイラー線の四面体版である。
title: 直角三角形
text: 直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角 と呼ぶ。それらの大きさの和は、直角に等しい。 直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を 直角をはさむ2辺 または単に隣辺と言う。
title: 外接円
text: 四角形が特定の条件—例えば対角が補角(互いに加えて180°あるいはπラジアン)となること—を満たすとき、円を外接させることができる。
title: 頂垂線 (三角形)
text: 垂心 H, 重心 G, 外心 O, および九点円の中心 N はすべて同一直線上にあり、その直線はオイラー線と呼ばれる。九点円の中心は垂心と外心を結ぶオイラー線の中点の位置にあり(したがって O H = 2 N H {\\textstyle OH=2NH} )、重心と外心の間の距離は重心と垂心との距離の半分に等しい( 2 O G = G H {\\textstyle 2OG=GH} )。
title: 神奈川県々歌
text: 2直線が平行であるか、交差するならば、その2直線は同一平面上に存在し、逆に同一平面上にある2直線は、交差するか、平行であるかのいずれかである。 一方、任意の2直線が同一平面上に存在しない時、またその時に限り、ねじれの位置にあると言う。 そのため、ねじれの位置にある2直線は3次元以上の空間でのみ存在する。 言い換えると、空間内での2つの直線の位置関係は以下の3つのどれかである。
title: 垂直
text: 垂直(すいちょく、英: perpendicular)であること、すなわち垂直性 (perpendicularity) はある一方の直線を適当に平行移動させた時、直角に交わる二つの直線の間の関係性を言う。つまり、その2直線が交わっても、ねじれでも垂直の場合がある。但し、中学校までは、交わる場合のみを扱うことが多い。この性質は関連するほかの幾何学的対象に対しても拡張される。
title: 光の八十八ヶ所めぐり
text: 頂点(ちょうてん、vertex)とは角の端にある点のことである。多角形では2本の辺が接しているか交わっている点、多面体では3本以上の辺が共有している点のことをいう。直観的には図形の周上にある点のうち周辺のどの点よりも突出していて\"尖った点\"のことを頂点という。転じて日常語としては最高点を指し、「頂点に上り詰める」等と言う。
title: 三角形
text: 三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。この点のことを外心という。外心は3つの頂点から等距離であり、外心を中心として半径がその距離である円は3つの頂点を通る。この円のことを外接円という。
title: アポロニウスの問題
text: 与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である(図 7)。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
title: 直角三角形
text: 直角三角形の斜辺は、3辺のうち最も長い。斜辺の中点は、直角三角形の3頂点まで等しい距離にある(外心)。 直角三角形の斜辺の長さは、外接円の直径に等しく、また、直角をはさむ2辺の長さの和から、内接円の直径を引いた差に等しい。
title: 角度
text: 上記の点 O と2つの半直線が定まると、それらにより平面 α が分割されて生じる2つの領域 α1, α2 にそれぞれ対応して2つの角が生じる。この2つの角のうち角度が大きいほうを優角、小さいほうを劣角と呼ぶ。明らかにどんな一組の頂点と2辺についても、その優角と劣角との角度の和は、2π で一定である。
title: 線分
text: また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
title: 三角形
text: 斜辺を除く残りの 2 辺のことを、直角をはさむ 2 辺と呼ぶ。 直角をはさむ 2 辺 a,b と、斜辺 c の間には、次の関係が成り立つ(ピタゴラスの定理)。
title: 多様体
text: 直線と円周の直積 R × S を考えれば、直線を軸とした無限に伸びる円柱の側面を多様体と見ることもできるし、円周同士の直積 T = S × S を考えればトーラスを多様体とみることもできる。
title: 放物線
text: 直線LとL上にない1点Fを固定し、L上に任意の点Pをとると、 直線PFと直線Lのなす角の2等分線は、直線Lを準線、点Fを焦点とする放物線の包絡線となる。
title: 頂垂線 (三角形)
text: 鋭角三角形および直角三角形に対しては、すべての頂垂線の足は三角形の(延長線上でない)辺上に載っている。(一つの鈍角を含む)鈍角三角形においては、鈍角を持つ頂点からの垂線は対辺の内部に足を降ろすが、残りの鋭角を持つ二頂点からの垂線はそれぞれの対辺の延長線上(すなわち三角形の外)に足を降ろす。
title: 二等分線
text: ブラーマグプタの定理によると、円に内接する四角形の対角線が直角に交差する場合、対角線の交点から四角形の一辺に垂線を引いて作られる直線は、その四角形の対辺を二等分する。
title: 角度
text: ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した公理系(英語版)では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典や国語辞典が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
title: 外接円
text: 三角形の外心はその三角形の重心・垂心と同じ直線上にある。この直線をオイラー線という。三角形の九点円の半径は、外接円の半径の半分である。
title: 三角形の内接円と傍接円
text: 傍接円(ぼうせつえん、excircle)は、三角形の外側にあり1辺と他の2辺の延長線に接する円である。傍接円の中心を傍心(ぼうしん、excenter)と呼ぶ。全ての三角形は、各辺に接する合計3つの傍接円を持つ。
title: 垂心
text: 初等幾何学における垂心(すいしん、英: orthocenter)は、三角形の3つの頂点から対辺に引いた三本の垂線の交点。
title: 中線
text: 幾何学において三角形の中線(ちゅうせん)とは、三角形の頂点と対辺の中点を結んだ直線である。1つの三角形に中線は3本存在する。
title: 軌道短半径
text: 軌道短半径(Semi-minor axis)は、幾何学において、楕円や双曲線等の円錐曲線と関連する線分である。軌道長半径と直交し、一端を円錐曲線の中心に置く。曲線の対称軸の1つでもあり、楕円においては短い方、双曲線においては双曲線と交わらない方である。
title: 向き付け可能性
text: 数学では、向き付け可能性(orientability)とは、ユークリッド空間内の曲面の性質であり、曲面のすべての点で法線の方向を整合性を持って選択できるか否かという性質である。曲面の法線の方向の選択は、例えばストークスの定理に必要であるように、右手の法則を使い曲面内のループの「時計回り」方向を決めことができる。より一般に、抽象的な曲面や多様体の向き付け可能性とは、多様体内のすべてのループの「時計回り」方向を整合性を持って選択可能か否かという性質である。同じことであるが、曲面が向き付け可能であるとは、空間内の のような二次元の図形が、空間の中を(連続的に)動き回って、スタート地点へ戻ってきても、決して自分自身の鏡像 にはならない場合を言う。
title: 双曲線
text: 双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径となり、4:1 のときアステロイドとなる。
title: 角度
text: に限られる。これは、0 でない大きさを持つ2つのベクトルの内積が 0 になる場合、それらが直交していることを示す。ベクトルを図形の辺と見なせば、これは2つの辺のなす角が直角になることに対応する。
title: 線分
text: 幾何学における線分(せんぶん、英: Line segment)とは、2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。
title: 共円
text: である。 ふたつの直線が、一方は線分 AC を含み他方は線分 BD を含んで、点 X で交わるならば、四点 A, B, C, D が共円となるための必要十分条件は
title: 対岸の彼女
text: これを拡張し、空間上における立体角とは、空間上の一点(角の頂点)から出る半直線が動いてつくる錐体面によって区切られた部分のことをいい、この錐体面の開き具合を立体角という。立体角は、角の頂点を中心とする半径1の球から、錐体面が切り取る曲面の面積で表すことができる。
title: 反転幾何学
text: ある円の中心、その円を円反転して得られる円の中心、基準円の中心は共線関係を持つ(同一直線上にある)ことに注意する。この事実は、三角形の内接三角形のオイラー線が、その内心 I と外心 O を通る直線 OI に一致することを示すのに有用である。
title: サイクロイド
text: 定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド(がい-)という(→生成アニメーション)。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線(がいはいせん)とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。
title: 角度
text: 上述のように決まった図形に対する角度を定義すれば、図形の変形を特徴づける量としても角度を用いることができる。はじめ、頂点 O を共有する2つの半直線が同じ場所に重なっている状態から、一方の半直線を、その端点を点 O から動かさずにその向きを変えるように動かすと、2つの半直線がなす領域 α1 は半直線の運動に応じて変形される。このとき、領域 α1 の角度の変化量として、動かした半直線の回転角を定義することができる。言い換えると、ある1つの半直線の向きを変えた場合に、変える前と変えた後の位置にある半直線のなす角がその半直線の回転角である。この観点からは角度は2つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もある。
title: 円錐
text: また、直円錐は直線を交わる直線を軸にして得られた回転体であったが、仮に直線をそれに平行な直線を軸にして回転させると直柱体になり、\"ねじれの位置\" にある直線を軸にして回転させると回転双曲面になる。
title: 径
text: 円の直径は、その円の中心を通り、両端点がその円周上にある任意の線分であり、またその円の最長の弦でもある。球体の直径についても同様。
title: 共円四辺形
text: 四辺形において、一辺に垂直で対辺の中点を通る線分は(「中点からの垂線」の短縮形として)中垂線(英語版) (maltitude) と呼ばれる。共円四辺形の各辺に引いた四つの中垂線は一点で交わる。このときの共通交点は反中心 (anticenter) と呼ばれる。反中心は、「頂点重心」の外心に関する鏡像になっているという特徴を持つ点である。したがって、共円四辺形では外心、「頂点重心」、反中心は同一直線上にある。
title: 円 (数学)
text: 弧 AB に対して、弧 AB 上にない円 O の周上の点 P を取るとき、∠APB を弧 AB に対する円周角という。弧 AB に対する円周角は点 P の位置に依らず一定であり、中心角 AOB の半分に等しい(円周角の定理)。特に弧 AB が半円周のときは、弧 AB に対する円周角は直角である(直径を見込む円周角:ターレスの定理)。
title: 弓形
text: 初等幾何学における弓形(ゆみがた、英: circular segment (記号: ⌓)は、円板から割線または弦によって残りの部分から「切り取られる」部分を言う。より厳密には、円の劣弧(中心角が180°未満の弧)とその円弧の両端点を結ぶ弦で囲まれた二次元の領域を弓形という。
title: タレスの定理
text: タレスの定理(タレスのていり、英: Thales' theorem)とは、直径に対する円周角は直角である、つまり、A, B, C が円周上の相異なる 3 点で、線分 AC が直径であるとき、∠ABC が直角であるという定理である。ターレスの定理、タレースの定理ともいう。
title: 両筑軌道
text: 等脚台形(とうきゃくだいけい、米語:isosceles trapezoid, 英語:isosceles trapezium)は、台形の一種で、1本の底辺の両端の内角が互いに等しい図形である。このとき、もう一組の底辺の両端の内角も互いに等しくなる。等脚台形は線対称な図形であり、その対称軸は2本の底辺それぞれの中点をともに通る直線である。
title: 両筑軌道
text: 等脚台形では右図での辺ABと辺CDのように台形の脚の長さが互いに等しくなる。等脚台形の名称はこの性質に由来するが、一方、平行四辺形も台形の一種であり、この場合、台形の脚の長さも等しくなるので、等脚台形を「脚の長さが等しい台形」と定義するのは誤りである。
title: 半周長
text: 三角形の cleaver(英語版)と呼ばれる線は、辺の中点を通り周を2等分する線である。即ち、cleaver で分割された周の2つの部分は共に半周長の長さを持つ。3つの cleaver は角の二等分線に平行であり、中点三角形の内心で交わる。この交点は、中空の三角形の重心である。
title: 中線
text: 3本の中線はその三角形の重心で交わる。重心は中線を2:1の比に分ける。
title: 三角形の内接円と傍接円
text: 内接円と傍接円は、九点円と接する。この接点をフォイエルバッハ点という。
title: 星型多角形
text: 三角形・四角形では辺の延長上に交点が現れないため、その図形自身のみが星型多角形となる。五角形・六角形では交点が一回現れ、それぞれ五芒星・六芒星と呼ばれる。 また、このような操作を、星型化という。星型多角形では、延長でできた鋭角のみを内角とする。
title: 平行
text: これらの性質は互いに同値であるから、これらのうち任意の一つをユークリッド空間における平行線の定義として採用することができるが、最初と最後のものは長さや角度を測ったりする操作が含まれ、そのぶん真ん中の性質よりは複雑になっている。そこで、真ん中の性質をユークリッド空間における平行性の定義に採用するのが普通である。そしてほかのふたつの性質は平行線の公理からの帰結ということになる。ほかにも、傾きを測る操作を含めれば、直線が互いに平行ということをそれらの傾きが同じであることによって定義することができる。
title: チェバの定理
text: が成り立つ。三角形BCFに対して線分AODが交差するので、メネラウスの定理より、
title: 楕円軌道
text: 万有引力の法則やクーロンの法則は逆二乗の法則で表される。このような力の作用の下で運動する物体がとる軌道は、力の中心を焦点とする2次曲線となる。2次曲線の軌道のうち、距離が有限にとどまる軌道、すなわち束縛軌道が楕円軌道である。
title: 幾何中心
text: 特に平行四辺形の幾何中心はその二つの対角線の交点であるが、ほかの四辺形ではそれは正しくない。
title: アポロニウスの問題
text: ビエトはPPP(3つの点)のケースを、ユークリッドの原論に記載されている手法に従って解くことから始めた。ここから、ビエトは方べきの定理に相当する補題を得た。ビエトはこの補題を用いて、LPP(1本の直線と2つの点)のケースを解決した。再度ユークリッドの手法に従い、角の二等分線定理(英語版)を用いて、ビエトはLLL(3本の直線)のケースを解決した。そして、ビエトは、1点を通り、角の二等分線に対して垂直な直線を描くための補題を得た。そしてこれを、ビエトはLLP(2本の直線と1つの点)のケースを解くために用いたのである。以上はアポロニウスの問題の最初の4つのケース(これらのケースは円を含まない)を説明するものである。
title: 反転幾何学
text: 三角形 ABC の内接円に関する反転変換で、内接三角形の中点三角形は三角形 ABC に写る。これはつまり、中点三角形の外心は内接三角形の九点心であって、三角形 ABC の内心および外心と共線であることを意味する。
title: 円 (数学)
text: 円周と2 点で交わる直線を割線という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを弦といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を中心線という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦を、円の直径という。直径の長さは半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径の長さに対する比の値は、円に依らず一定であり、これを円周率という。特に断りのない限り、普通、円周率は π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。(等周問題)
title: 図形の合同
text: 二つの円錐曲線が合同であるには、それらの離心率が一致し、かつそれ以外にそれらを特徴づける別のパラメータが一つ一致することが十分である。離心率は円錐曲線の形を決定するから、離心率が等しいことは相似性を言うには十分であり、もう一つのパラメータで大きさを決定することになる。二つの円、二つの放物線、二つの直角双曲線は常に同じ離心率(円は 0、放物線は 1、直角双曲線は √2)を持つから、これらの合同判定には、大きさを決めるパラメータが共通値であることのみを知ればよい。
title: 扇形
text: 2本の半径がなす角を扇形の中心角という。中心角が 180° のものは半円であり、円は中心角 360° の扇形と考えることもできる。
title: 内接円
text: 任意の三角形に内接円が存在する。内心は3つの角の二等分線の交点である。
title: ピタゴラスの定理
text: 直径ABの半円Oで、円周上に置いた点Cから直径ABに下した垂線の足をHとする。
title: 弧長
text: 平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。
title: 方法 (アルキメデスの著書)
text: 線分ACが放物線の対称軸に平行であるとする。さらに線分BCがBで放物線に接する線上にあるとすると、最初の命題は次のようになる。
title: 線対称
text: 線対称(せんたいしょう、英: line symmetry)は、図形を特徴づける性質の1つで、ある直線を軸として図形を反転させると自らと重なり合う対称性である。その直線を対称軸という。
title: メビウス変換
text: α が 0(または 2π の整数倍)ならば、その変換は双曲型であるという。双曲型変換では、各点は不動点の一方から他方へ円軌道に沿って動く。
title: グラフ理論
text: 辺 e {\\displaystyle e} の両端の点を端点といい、端点は辺 e {\\displaystyle e} に接合(または接続)しているという。また、辺と辺がある頂点を共有しているとき、その辺どうしは隣接しているという。