クイズ問題: 素数の中で、唯一の偶数は何でしょう?
答え: 2

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 素数の間隔
text: 最初で最小で唯一奇数の素数の間隔は、唯一偶数の素数である 2 と最初の奇数の素数である 3 の間の1である。他の素数の間隔はすべて偶数である。値 2 の間隔が連続しているのは素数 3, 5, 7 の間の間隔である g2 と g3 の1組だけである。
title: 900
text: 997: 素数、3桁では最大の素数である。
title: 三つ子素数
text: この形は (3, 5, 7) のみであるからと、p が5以上の素数の場合、「(p + 2, p + 4)」のいずれかが必ず3の倍数になるからである。
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: フィボナッチ素数
text: 最初の10個の、素数番目のフィボナッチ数のうち、p が 2 と 19 のときを除いた8個で Fp は素数となる。2 と 19 のときは F2 = 1, F19 = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、p が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の1229個の素数の中で、Fp が素数になるのは26個しかない。
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 3 個の素数のうち偶数の素数である 2 は 2 個か 0 個であり、残りの 1 個もしくは 3 個全てが奇素数である。
title: 十二進法
text: 5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、即ち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば:
title: 完全数
text: 偶数の完全数は、Mp = 2 − 1 が素数のときの 2Mp に限る(ユークリッド、オイラー)。
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。
title: 平衡素数
text: 例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数である47と59を足すと106になり、その半分は53なので、53は平衡素数である。
title: 700
text: 751 : 素数、エマープ(751 ←→ 157)、陳素数
title: 300
text: 337 = 素数、エマープ(337 ←→ 733)、32番目の4n + 1型の素数、32番目の3n + 1型の素数、14番目の8n + 1型の素数、6番目の24n + 1型の素数、8番目の六芒星数
title: メルセンヌ数
text: 48から51番目は、2018年12月時点でより小さなメルセンヌ素数の個数を検証できていないことによる暫定的な順位である。過去には29番目のメルセンヌ素数は30, 31番目が発見された後に発見されている。また47番目の後に45, 46番目が発見されている。
title: 直角三角形
text: 素数のうち、2のみが偶数であり、他の素数が奇数であることに着目すれば、条件を、
title: 素数
text: この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2p 未満」とも言い換えられる。したがって、2017年5月現在知られている最大の素数 2 − 1 の次の素数は 2 − 2 未満である。
title: 四つ子素数
text: 2019年2月現在発見されている四つ子素数 (p, p + 2, p + 6, p + 8) で最大の p は、10132桁の 667674063382677 × 2 − 1 である。
title: ピタゴラス素数
text: である。ディリクレの算術級数定理により、この数列は無限数列である。さらには、ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数はほぼ均等に分布することが従う。しかし、具体的に正整数 N を取ると、しばしば N 以下のピタゴラス素数は非ピタゴラス素数よりも少ない。この現象はチェビシェフの偏りとして知られる。 例えば、600,000 までの整数 N に対し、N 以下のピタゴラス素数が(奇数の)非ピタゴラス素数よりも多いような N は、26861, 26862 の2個しか存在せず、その次は 616,841 になる。
title: 線形合同法
text: 下位ビットのランダム性が低い。Mの値によっては、最下位に近いビットはほとんどランダムでなく、完全に規則性を持っていることすらある。たとえばMが偶数の場合(コンピュータでの実装が楽であるために、Mに2の冪を採用した場合はこれに当たる)、最下位ビットは、同じものが出続けるか、0と1が交互にでるかのどちらかである。すなわち、偶数ばかりが出る、奇数ばかりが出る、偶数と奇数が交互に出る、のどれかになるということである(最大周期ならば偶数と奇数が交互に出る)。
title: 800
text: 840 = 2 × 3 × 5 × 7。13番目の高度合成数であり、約数を32個持つ。1 から 10 までの数のうち9 を除いて全ての数で割り切れる最小の数、ハーシャッド数、双子素数の和(419 + 421)
title: 素数
text: は n = 0, ..., 44 で絶対値は全て素数となる。
title: 差集合
text: P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 以下の奇数の集合) Q = {2, 3, 5, 7} (10 以下の素数の集合) このとき
title: テリー (犬)
text: 2組のいとこ素数に属するのは7だけである。(n, n+4, n+8)は、どれかひとつは必ず3で割り切れてしまうため、3者とも素数であるのはn=3の場合のみである。
title: 0
text: 数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。一方、0 は偶数である。
title: 安全素数
text: となる。簡単に確かめられることであるが、5 以外の安全素数は4で割ると3余る。また7以外の安全素数は3で割ると2余る。よって、7より大きな安全素数は12で割ると11余る。
title: ハーシャッド数
text: ハーシャッド数は 1 桁の素数と 10 自体が素数である場合を除いて全て合成数である。
title: 四つ子素数
text: 四つ子素数(よつごそすう、英: prime quadruplet)とは、4個の素数の組で、(p, p + 2, p + 6, p + 8) のタイプのもののことをいう。ここで、(p, p + 2) および (p + 6, p + 8) はいずれも双子素数であり、(p + 2, p + 6) はいとこ素数であり、(p, p + 6) および (p + 2, p + 8) はいずれもセクシー素数であり、(p, p + 2, p + 6) および (p + 2, p + 6, p + 8) はいずれも三つ子素数である。
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 高度合成数
text: を満たす数である (p(b)は 2 から数えてb番目の素数)。また素因数には 2 から p(b) までの全ての素数を含む。なお 4 と 36 以外の高度合成数では ap = 1 である。したがって高度合成数のうち平方数は 4 と 36 のみであり、それ以外の累乗数は高度合成数にはなりえない。
title: 完全数
text: その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 2(2 − 1) = 33550336, 2(2 − 1) = 8589869056, 2(2 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。
title: 700
text: 769 : 素数、エマープ(769 ←→ 967)、陳素数
title: 素数の一覧
text: また、別の計算によるともしリーマン予想が真であれば、10 以下に 184垓3,559京9,767兆3,492億0,086万7,866個(約 2×10個) の素数が存在する。
title: 素数
text: は n = 0, ..., 44 で全て素数となる。 同様に
title: 三つ子素数
text: であるらしい。10 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である。
title: パンデジタル数
text: 十進法で最小のパンデジタル素数は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数(十桁のパンデジタル数のうち素数であるもの)は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。
title: 完全トーティエント数
text: ほとんどの完全トーシェント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーシェント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の累乗数 (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...) は全て完全トーシェント数である。これは 3 の累乗数 3 が
title: 階乗素数
text: 階乗素数は少ないことと、自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。n! ± k (2 ≤ k ≤ n) は 2 以上の自然数 k で割りきれるから、連続する n − 1 個の合成数である。例えば、素数 13! − 23 = 6227020777 の次の素数は 13! + 67 = 6227020867 であり、これらの間の89個の自然数はすべて合成数である。しかし、2つの素数の間の長いギャップはこの方法により得られるものがすべてではない。例えば、素数 360653 と 360749 の間には95個の合成数が並んでいる。
title: バルケスィル県
text: 全ての2桁以上の置換可能素数は1,3,7,9で構成されている。これは、2以外の偶数は素数ではなく、5以外の素数は5で割り切れないからである。1,3,7,9の4つの数字のうちの3つを含む置換可能素数が存在しないこと、1,3,7,9から選択された2つの数字の各々が2つ以上から構成される置換可能素数が存在しないことは証明されている。
title: 600
text: 641 : 素数、双子素数(641, 643)、オイラー素数、ソフィー・ジェルマン素数、陳素数、フェルマー数は F5 = 2+ 1 = 4294967297 で初めて合成数になる。この数は641を最小素因数にもつ。
title: グラハム数
text: G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい(しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい)。G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑(二重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。
title: 素数の間隔
text: 2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、最初に40を超えるものは、41.93878373であり、87桁の素数293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227においてであった。この素数と次の素数の間の素数の間隔は8350である。
title: 300
text: 371 = 7 × 53、117番目の半素数、3連続奇数の平方和(9 + 11 + 13)、5連続三角数の平方和(1 + 3 + 6 + 10 + 15)
title: 300
text: 377 = 13 × 29、14番目のフィボナッチ数、118番目の半素数、最初の6個の素数の2乗の総和
title: 200
text: 253 = 11 × 23、22番目の三角数、81番目の半素数、7番目の六芒星数
title: 擬似完全数
text: 奇数の擬似完全数のうち最も小さい数は 945 である。擬似完全数の倍数は全て擬似完全数であり、したがって偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在する。
title: 完全数
text: 2021年5月現在発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく51個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数は無数に存在するか?」、「奇数の完全数は存在するか?」という問題は未解決である。
title: 200
text: 204 = 2 × 3 × 17、ハーシャッド数、四角錐数(204 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)、4つの連続する素数の平方和(204 = 3 + 5 + 7 + 11)、6つの連続した素数の和(204 = 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43)、双子素数の和(101 + 103)
title: メビウス関数
text: 例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 2 × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。
title: 倍積完全数
text: p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合(すなわち m が単偶数である場合)、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。
title: フェルマー数
text: 2 + 1 (m ≥ 2) の形の素数はフェルマー数である。一般に、a + 1 (a ≥ 2) が素数ならば、a は偶数で m は 2 の累乗となる。実際、a + 1 は奇数だから a すなわち a は偶数である。また、m が 1 より大きい奇数 k で割れるならば a + 1 で割れる。
title: 素数の一覧
text: ゴールドバッハの予想検証プロジェクトは、4 × 10 以下のすべての素数(9京5,676兆2,609億0,388万7,607個、つまり約 10個)を計算したと報告したが、結果は保存されていない。しかしながら、「素数計数関数」(指定された値 n 以下の素数の個数)を計算するには、実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、10 以下に 19垓2,532京0,391兆6,068億0,396万8,923個 (約 2×10個)の素数があると計算された。
title: 素数階乗素数
text: コールドウェルとギャロットは、2002年までに、10 以下の全ての素数 p に対して p# ± 1 が素数であるかどうか検査した。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである。
title: ベルトランの仮説
text: ゴールドバッハの予想 ― n > 2 に対し 2n と 2n + 2 は2つの素数の和として表せる。n が素数でないとき 2n の場合の2つのうち大きい方は、n より大きく 2n − 2 より小さい。n が素数のとき 2n + 2 の場合の2つのうち大きい方は、n + 1 より大きく 2n より小さい。
title: フィボナッチ素数
text: n が3以上のとき、n が m で割り切れるときのみ Fn が Fm で割り切れる。
title: 400
text: 461 : 素数、オイラー素数、陳素数、双子素数(461, 463)
title: 擬似完全数
text: 例えば、40 の約数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 のうち 1, 4, 5, 10, 20 の5つを選ぶと、それらの和は 1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40 と元の数に等しいので 40 は擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。
title: 四つ子素数
text: また、p − 6, p + 14 はいずれも 5 の倍数になるため、双子素数3つからなる (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14) の形の「六つ子」は、(5, 7, 11, 13, 17, 19) しか存在しない。
title: 四つ子素数
text: p − 2 および p + 10 は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は (p − 2, p, p + 2, p + 6, p + 8) の形の (3, 5, 7, 11, 13) しか存在しない。
title: 素数
text: さらに、1000以下の素数は100以下のものを含め168個存在する(100以下を除けば143個)。101以上で1000以下の素数は小さい順に次の通りである。
title: 500
text: 571 : 素数、陳素数、双子素数(569, 571)、中心つき三角数
title: 100
text: 177 = 3 × 59、半素数
title: 素数
text: は n = 0, ..., 25 で絶対値は全て素数となる。 ただし n − 34n + 381n − 1511 の n = 9, 12, 13 で −107 を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。
title: 100
text: 183 = 3 × 61、半素数、完全トーシェント数
title: ズッカーマン数
text: 一方、(1111, 1112, 1113) や (1111111, 1111112, 1111113) のように一の位以外の数字が全て 1 で一の位が 1, 2, 3 であり、桁数が 3 を法として 1 と合同である数はズッカーマン数であるから、3 つ連続した自然数が全てズッカーマン数となる組は無数に存在する。
title: 200
text: 208 = 2 × 13、5つの連続する素数の平方和(208 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11)、テトラナッチ数
title: シェルピンスキー数
text: 2016年10月31日には、k = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 × 2 + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい(6番目までは全てメルセンヌ素数)。。
title: 900
text: 945 = 3 × 5 × 7、9の二重階乗、奇数の過剰数のうち最小のもの、奇数の擬似完全数のうち最小のもの
title: ゼロの偶奇性
text: 「偶数」の標準的な定義は、ゼロが偶数であることの直接的な証明に利用できる。ある数は、それが2の整数倍であるとき「偶数」と呼ばれる。例えば 10が偶数であるのは、それが2×5に等しいことが理由である。同様にゼロも2の整数倍である。すなわち0=2×0。ゆえに0は偶数である。
title: 500
text: 569 : 素数、陳素数、双子素数(569, 571)
title: 自然数
text: 差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは双子素数である。双子素数は無限にあるか、という「双子素数の予想」は未解決である。
title: 素数が無数に存在することの証明
text: である。素数全体を2つのグループに分け、p1, ..., pk を「小さい」素数、pk+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N1、後者の個数を N2 とおく。当然 N = N1 + N2 である。
title: ダイハツ・ネイキッド
text: スーパー素数(スーパーそすう、英:super prime)は、素数の数列における素数番目の素数のことである。例えば11は5番目の素数であり、5は素数であることから、11はスーパー素数となる。最も小さいスーパー素数は、最小の素数は2であることから、2番目の素数3が当てはまる。また、1は素数でないことから、1番目の素数2はスーパー素数ではない。スーパー素数は無限に存在する。3から順にスーパー素数を並べると
title: 200
text: 289 = 17、平方数、90番目の半素数、9番目のフリードマン数((8 + 9))
title: 100
text: 111 = 3 × 37、半素数、完全トーシェント数、ハーシャッド数
title: 300
text: 327 = 3 × 109、105番目の半素数、11番目の完全トーティエント数
title: 素数
text: 分散コンピューティング・プロジェクト GIMPS により、史上最大の素数の探求が行われている。2018年12月現在で知られている最大の素数は、2018年12月に発見された、それまでに分かっている中で51番目のメルセンヌ素数 2 − 1 であり、十進法で表記したときの桁数は2486万2048桁に及ぶ。
title: パンデジタル数
text: 11桁のパンデジタル素数で最大のものは98876532401である。
title: 500
text: 557 : 素数、陳素数
title: 合成数
text: 最小の素数は2であり、これを2乗した4が最小の合成数となる。合成数は無数にあり、4から小さい順に列記すると次のようになる。
title: リュカ–レーマー・テストの証明
text: p が奇素数のとき、メルセンヌ数 Mp = 2 − 1 が素数となるための必要十分条件は、S0 = 4, Sn = Sn−1 − 2 (n ≧ 1) と定義したときに Sp−2 が Mp で割り切れることである。
title: 完全数
text: 2018年12月現在、メルセンヌ素数は51個まで知られている(ただし、順番が確定しているものは、47番目までであり、さらに48, 49, 50, 51番目の候補として p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 が挙がっており、間に素数がないかどうか検証中である)。
title: 素数
text: 2015年に、ゴールドバッハの予想検証プロジェクトは 4 × 10 以下の全ての素数(9京5676兆2609億388万7607個、約 10個)を計算したと報告したが、結果は保存されていない。しかしながら、素数計数関数を計算するには、実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、10 以下に 19垓2532京391兆6068億396万8923個(約 2×10個)の素数があると計算された。
title: 指数 (初等整数論)
text: 原始根が存在するのは n が 2, 4, p, 2p (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる。
title: 完全数
text: 偶数の完全数は無数に存在するか、つまり Mp = 2 − 1 が素数となる素数 p は無数に存在するかどうかは未解決である。
title: Stream Control Transmission Protocol
text: 例として、7番目のフォーチュン数を算出する。始めに最初の7つの素数の積 p7# = 510510 (=2×3×5×7×11×13×17) を考える。510510 に 2 を加えると偶数になり、3 を加えると3の倍数となる。18 までの全ての自然数は除外され、そして 19 を加えた 510529 は素数となる。よって 19 はフォーチュン数である。n 番目のフォーチュン数は、常に n 番目の素数 pn を上回る。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 7 以上の奇数が n を 自然数、p を奇素数として
title: 超過剰数
text: を満たすことを証明した。n が 4 と 36 のときを除けば ap = 1 である。つまり超過剰数のうち平方数は 4 と 36 のみである。
title: 擬似完全数
text: n を自然数、p を p < 2 を満たす奇素数として、2p の形で表される数は全て擬似完全数である。
title: 偶数
text: より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という。
title: 500
text: 599 : 素数、陳素数、双子素数(599, 601)
title: ツォルキン
text: と呼ばれる。つまり1イミシュの翌日は、2イックとなり、最小公倍数の260の組み合わせが終わると、また1イミシュにもどる。
title: 800
text: 877 : 素数、ベル数、陳素数
title: シェルピンスキー数
text: 2004年12月30日には、k = 28433 の系列で2,357,207桁の素数 28433 × 2 + 1 が発見された。発見時には、38番目のメルセンヌ素数である 2 - 1(2,098,960桁)を抜いて、当時知られていた素数の中では4番目に大きなものとして記録された。2007年5月5日には、k = 19249 の系列で3,918,990桁の素数 19249 × 2 + 1 が発見された。2012年6月の時点で知られている素数の中では10番目に大きい(9番目までは全てメルセンヌ素数)。
title: ピタゴラス素数
text: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
title: 合成数
text: 例えば、15は1と15自身以外に3と5を約数に持つ(または 3×5 と素数の積で表される)ので合成数である。
title: 半素数
text: 例えば、15 は 3×5 で 2 つの素数の積に素因数分解されるので半素数である。最小の半素数は、最小の素数 2 の 2 乗の 4 である。
title: ニコラス・サンチェス (サッカー選手)
text: −1(マイナスいち)は、最大の負の整数であり、整数を小さい順に並べたとき、−2 の次で 0 の前である(0 からマイナス無限大へ数えれば、最初の負の数で、0 の次で −2 の前である)。
title: ムーアの法則
text: となる。したがって、2年後には2倍、5年後には5.66倍、7年後には11.3倍、10年後には32倍、15年後には181.0倍、20年後には1024倍ということになる。
title: 200
text: 257 = 素数、3番目のフェルマー素数、陳素数、3連続整数の8乗和(0 + 1 + 2)
title: 約数関数
text: となる。例えば n = pq (p, q は素数)とすると、σ(n) = (1 + p)(1 + q) = n + p + q + 1, d(n)=(1 + 1)(1 + 1) = 4 となる。