クイズ問題: 3分の1は真分数、3分の5は仮分数ですが、3分の3は真分数、仮分数のどちらでしょう?
答え: 仮分数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: ローマ数字
text: これらの数は減算則を使わず表現することも可能(例:4 を「IIII」、9を「VIIII」)だが、通常は減算則を用いて表記する。なお、減算則が用いられるのは4(、40、400)と9(、90、900)を短く表記する場合だけであり、それ以外で使うことは通常行われない(例外は#異表記)を参照のこと)。つまり、8を「IIX」と表記したり、位ごとの分離を破って45を「VL」、999を「IM」と表記することは基本的でない書き方とされる。
title: 六進法
text: 二桁で数えるので、(1)「一の位」と「六の位」、(2)「一の位」と「六分の一の位」、(3)「六分の一の位」と「三十六分の一の位」、の三種類が計算可能になり、1.1以降の小数や仮分数も表現できる。小数は0.01(十進分数1/36)から5.5(5と5/6)までをカウントできる。 前述の左手が「3」で右手が「2」なら、32(6)で「20(10)」の他に、3.2(6)で「3と1/3」、それに0.32(6)で「5/9」(=十進分数20/36)を表現できる。 「75(10)パーセント」即ち3/4も、3/4=(27/36)10=(43/100)6から、左手が「4」と右手が「3」で0.43(6) として表現できる。
title: アバカス
text: 全体で13桁で1桁を7珠で表すので、全部で91個の珠がある。7と13、それらを掛け合わせた91という数は、様々な自然現象や天の運行を表す数字とされていた。例えば、91は季節(1年の4分の1)の日数、91の2倍の182はトウモロコシの栽培にかかる日数、91の3倍の273は妊娠期間、91の4倍の364は約1年(1⁄4日だけ短い)とされていた。nepohualtzintzin の計算できる範囲は天文学的数値から極小の量まで広範囲であり、現代のコンピュータに換算すれば10桁から18桁の浮動小数点数に匹敵した。
title: エジプト式分数
text: のような恒等式を用いる。フィボナッチは、例として 8/11 を挙げた。まず、分母に 1 を加えた 12 を分子が割るように、2/11 + 6/11 と分解し、それから恒等式を適用して
title: 十二進法
text: また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が0.1111...となって1111(6)=259(10)(=(37×7)(10))の倍数となって循環し、5 = (m/41)6 = (m/25)10の小数は 0.01235... となって1235(6)=311(10)の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497...で四桁になり、これに最も近い37(10)の倍数は 2494(12)(=31104(6)=4144(10)=(37×7×16)(10)となる。
title: 900
text: 907: 素数、エマープ(907 ←→ 709)
title: 二重平方数
text: 四乗数の末位は0, 1, 5, 6の4通りに限られる。下2桁は次の12通りに限られる。下3桁は52通り。
title: 分数
text: 一方、1以上となる分数を仮分数(かぶんすう、英: improper fraction)という。分子と分母が同等量(即ち1)か、分子が分母より大きい分数である。例として、4/3, 8/5, 16/9 といった分数に該当する。真分数は整数ではないが、仮分数は整数でないとは限らない。例えば 2/1, 6/3, 48/12 などは整数だが、仮分数として表わすことができる。仮分数が整数である場合、分母は分子の約数になっている。また、仮分数を小数に直す場合には、帯分数化して整数と真分数に分けて換算する。
title: 分数
text: このように、1024 と 1296 は最大公約数が 16 なので、分子・分母を16で割った 64/81 が既約分数になる。
title: 700
text: 709 : 素数、エマープ(709 ←→ 907)
title: 冪剰余
text: 4 は 67,108,864 であり、これを 497 で割ると、剰余の c は 445 であることがわかる。
title: 近似値
text: 3パーセント(十進法の0.03)を十進法の単位分数にすると 1/33.333... になるため、1/3が割り切れるN進法では、3パーセントの近似値は 1/36 の小数になる。十進法の100÷36 = 2.777...である「2と77/100」を「2と77/99」に丸めると、約分した値が「2と7/9」になる。
title: 奈良県立十津川高等学校
text: 利点としては、各象限に十進法で切りの良い100グラードが割り当てられて居るため、四象限の認識が明確かつ簡単になる事である。例えばある人が117グラードの方向(北を基準にして)に向かっているとしたとき、左に曲がると17グラードに、右に曲がると217グラードに、反対の方向に向かうと317グラードにというように、百の位を変えるだけですぐに求めることができる。 他方、400は360に比べて約数が少なく、3でも割り切れない為、数学的に意味深い30度や60度をグラードで表す場合は分数もしくは小数を用ねばならない点は欠点である。
title: 小数
text: のように表現する(なお、日本では、小数点として、ピリオドを用いることがほとんどである)。小数点より左を整数部(分)と呼んで、右から一の位、十の位の数を記述する。小数点より右は小数部(分)と呼んで、1 より小さい位として、左から十分の一の位、百分の一の位の数を順に記述する。上に挙げた数の場合には、十の位は「1」、一の位は「4」、十分の一の位は「2」、百分の一の位は「5」となる。より小さい数を表現する場合には、この後に「千分の一の位」や「一万分の一の位」と順に位を増やすことで対応することができる。
title: 位取り記数法
text: 従って、六進法、十進法、十二進法、二十進法などは、8がNの約数に含まれていないが、1÷8 は割り切れる。これは、8が2であり、Nが偶数なので2が約数に含まれているからである。また、六進法や十二進法は、9がNの約数に含まれていないが、1÷9 は割り切れる。これは、9が3であり、3がNの約数に含まれているからである。
title: 近似値
text: 4パーセントは十進法で1/25になるので、4の倍数ではm/25となる。このため、十進法の「56/100」、これを約分した「14/25」の近似値は、五桁で311(10)の倍数で「4354/7776」を意味する小数になり、四桁に縮めると52(10)の倍数で「728/1296」を意味する小数になる。1/3が割り切れるN進法では、「九分の五」または「十二分の七」が割り切れる近似値となるが、「九分の五」の方がより近い小数になる。
title: 二重平方数
text: 二十進法では、末位は0, 1, 5, G(=1610)の4通り。下2桁は12通り。
title: 十二進法
text: 十二進法では 0.1(12) が「十二分の一」になるため、0.3(12) は 1/4 になり、0.4(12) は 1/3 になり、0.6(12) は 1/2 になり、0.A(12)(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/d として分数化できる一桁小数として、0.8(12)は 2/3 となり、0.9(12)は 3/4 となる。
title: 六進法
text: 六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。小数でも、六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。
title: 六進法
text: 分数を六進法の小数に変換すると、「二分の一」と「三分の一」が小数第一位、「四分の一」と「九分の一」が小数第二位、「八分の一」と「二十七分の一」が小数第三位となる。つまり、2と3がそのまま「小数第n位」になる。しかし、五分の一だけが割り切れず、循環節が一桁になる。
title: 循環小数
text: 素数を、逆数の循環節の長さが奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である(より厳密な表現では、N 以下の素数について数え上げた場合の N → ∞ への極限がその比率となる)。
title: ローマ数字
text: なお、0 を表す記号は存在しない。また、(パターンを守ろうとすると)4000以上の数値を表すことは不可能である。更に、整数と小数が一貫しておらず、整数が十進法(二五進法)である一方、小数には十二進法が適用され、1/12や1/144の小数が作られている(→en:Roman numerals#Special values)。小数は、3/12 (= 1/4)が「点3つ」、6/12 (= 1/2)が「S」、9/12 (= 3/4)が「Sに点3つ」として、六で一旦繰り上がる方法で表記されている。
title: 二重平方数
text: 六進法では、末位は0, 1, 3, 4の4通りに限られる。下2桁は00, 01, 04, 13, 21, 24, 41, 44の8通りに限られ、00, 13に関してはそれぞれ下4桁が0000, 1213であることまで確定する。
title: エジプト式分数
text: と続くが、『算盤の書』では例として分母が 6, 8, 12, 20, 24, 60, 100 であるものについて、単位分数展開のリストを与えている。例えば、5/12 の分子 5 は、分母 12 の約数の和として 4 + 1 と表せるので、5/12 = 1/3 + 1/12 である。
title: 0.999...
text: 1/3 を小数表示すると、小数点以下の位はすべて 3 であることを利用する。1/3 は 1 ÷ 3 の商であり、割り算の筆算により、循環小数 0.333... となる。ここで 3 は無限に続く。この小数点以下の各位は 3 倍するといずれも 9 となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算ができるとみなせば、無限小数 0.333... を 3 倍すると0.999... に等しい。一方、1/3 × 3 = 1 である。したがって 0.999... = 1 である。同様な別証明として、1/9 = 0.111... の両辺に 9 を掛けることでもできる。
title: 循環小数
text: 小数部分が3桁の「252」で終わって、1104÷43 = 13.252 となる。割り切れる小数「0.252」に相当する六進分数 252/1000 は、十六進法で 68/D8、十進法で 104/216 となり、既約分数にすると六進法で 21/43、十六進法で D/1B、十進法で 13/27 となる。
title: 単偶数
text: 十進法では、−82, −38, 6, 10, 22, 54, 90, 138 などが単偶数で、−40, −16, 8, 12, 28, 64, 120 などが複偶数である。二進法では、下二桁が 00 になっていれば複偶数である。
title: 循環小数
text: 有理数が有限小数表示を持つのは、十進法表示なら、分母の素因数が 2, 5 のみであるときに限る。一般の N進法表示では、分母の素因数が N の素因数になっていることである。例えば、十八進法なら分母の素因数が 2, 3 のみであるときである。
title: 籌算
text: 籌算による除算で、各桁の数を除したときに剰余が出たならば、剰余と除数は上下に並べて置いておかなければならない。劉徽による『九章算術』の注釈では、上の数は「实(実)」、下の数は「法」と呼ばれていた。『孫子算経』では上の数は「子」または「分子」、下の数は「母」または「分母」とされており、現代中国語・日本語の分数用語と同じである。右図の例では、1が分子(剰余)、7が分母(除数)であり、それら2つを合わせて分数 1/7 となる。前節の除算 309/7 の商は 441/7 と読むこともできる。劉徽は『海島算経(中国語版)』において分数を含む計算を多数行った。
title: 逆数
text: 例えば、4 × 2 ≡ 1 (mod 7) となるので、法 7 において 2 は 4 の逆数である。通常の逆数と同様、逆数の逆数は同じ数であり、0 の逆数は存在せず、1 や −1 の逆数はそれ自身である。合同式の性質から、m の倍数の逆数は存在せず、(km ± 1) の逆数はそれ自身になる。
title: エジプト式分数
text: その他の合成数 n については、n の約数 m に対する 1/m の単位分数展開から得られる。例えば、2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 を 5 で割ることにより、2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 を得る。実際は、1/380 + 1/570 = 1/228 であるから、より簡単な展開を得るが、リンド・パピルスでは簡約化されていないものが記されている。3つ以上の素数の積、27, 45, 63, 75, 81, 99 に対してもこの方法で説明が付く。
title: 終止符
text: ヨーロッパ大陸(フランス、ドイツ、イタリア、スペイン、ロシア)などでは、大きな数の3桁ごとの区切り(千、百万、十億など)に終止符を用いる。例:12.345 (一万二千三百四十五)。空白を用いる場合もある。例:12 345。なお、この場合、小数点にはコンマを用いる。例:1,23 (一点二三)。 13.344.556,677 889 92(1334万4千5百5十6点六六七 八八九 九二:小数の桁区切りには空白を用いるのが普通)
title: 位取り記数法
text: 不可分の例として:「八進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」「十進法は 1/3 が割り切れない」「十二進法は 1/5 が割り切れない」「十五進法は 1/2 も 1/4 も割り切れない」「十六進法は 1/3 も 1/5 も割り切れない」が挙げられる。これらの要因は、八や十六は奇数(3や5など)が約数に含まれていないから、九や十五は偶数(2や4など)が約数に含まれていないから、十には3が約数に含まれていないから、十二には5が約数に含まれていないからである。各数を素因数分解すると、八は2、十六は2、九は3、十五は3×5、十は2×5、十二は2×3となる。
title: ハーシャッド数
text: 例えば195の場合は 約数は(1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195)で、各位の和は 1 + 9 + 5 = 15 となり、15は195の約数であるので195はハーシャッド数となる。
title: 小数
text: 例えば、十進法で 1425 の百分の一に相当する数は、小数と小数点(ピリオドまたはコンマ)を用いて、
title: 2の12乗根
text: 有効数字20桁の2の12乗根は7000105946309435929♠1.0594630943592952646である。正則連分数展開によるディオファントス近似は1, ⁄16, ⁄17, ⁄84, ⁄185, ⁄1379, ⁄1564, ⁄2943, ⁄7450, ⁄17843 ... である。
title: 循環小数
text: 十進数の 1/891 の循環節は、891 = 3×11 なので、3 と 1/11 の循環節の長さを掛けたものになる。十進数では 3 は 3 桁、1/11 は2桁の循環節なので、3×2 = 1810桁の循環小数になる。よって 1/891 = 0.001122334455667789... となる。
title: 魔方陣
text: その1: 2のべき乗{1,2,4}と3のべき乗{1,3,9}を掛け合わせたものの例
title: 2の冪
text: 例えば、十進法の位取り(十進数)では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には5の累乗数が現れる。(1 ÷ 2 = 0.5 (5) 、1 ÷ 4 = 0.25 (5) 、1 ÷ 8 = 0.125 (5)、1 ÷ 16 = 0.0625 (5)) これらは
title: 循環小数
text: 循環節の短さは、10 −1 ならびに 10 − 1 を素因数分解した時にどんな数が来るかによって決まる。
title: エジプト式分数
text: 例えば 2/5 は単位分数の和として 1/5 + 1/5 と表せるが、エジプト式分数では同じ単位分数を繰り返し用いることはせず、2/5 = 1/3 + 1/15 のように表す。いかなる分数に対してもこのような単位分数展開が必ず存在することは自明ではないが、後述するように今日ではあらゆる分数が無数に多くの単位分数展開を持つことが証明されている(#強欲算法の節参照)。さらに例を挙げると、3/7 = 1/4 + 1/7 + 1/28 = 1/6 + 1/7 + 1/14 + 1/21 であって、前者の展開は項数が最小であり、後者の展開は最大分母の値が最小である。このように、どのような単位分数展開が最も「単純」であるか、は明らかではない。
title: 五進法
text: 表記には 0, 1, 2, 3, 4 の 5 個の数字を用い、五を 10、六を 11、七を 12...と表記する。五進法では一桁に入る数は4までであり、一桁に入る数が5までなのは六進法である。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に 1 桁ずれると 5 倍になり、右に 1 桁ずれると 1/5 になる。(14)5 という表記において、左の「1」は五を表し、右の「4」は四を表し、合わせて九を表す。
title: 十二進法
text: 従って、ある数値に 0.4(12) を掛けると 1/3 になり、0.9(12) を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる(ただし、五分割はできない)。他のN進法との連関では、1/3 である 0.4(12) は六進法の 0.2(6) や十八進法の 0.6(18)と同値になり、1/4 である 0.3(12) は二十進法の 0.5(20) と同値になる。
title: 十二進法
text: そして、5 = (m/21)12の小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁と長く、先頭五桁が05915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1)(10))となる。十二進法における5の循環節は 4×5 となり、5が四桁、5が二十桁、5が百桁になる。逆に、六進法では 5 = 0.01235...で五桁、十八進法でも5 = 0.0CH5...で四桁となる。
title: エジプト式分数
text: 1 の単位分数展開で分母の和が 50 および 100 となるものは、それぞれ
title: 西洋の命数法
text: 英語(日本での千進法表示と同じ)での 91,234,567.890123 を 91 234 567.890 123 又は 91 234 567,890 123 と表示することにより異なる言語圏間での理解が容易になる。
title: 二重平方数
text: 十二進法では、末位は0, 1, 4, 9の4通り。下2桁は8通り。
title: 700
text: 769 : 素数、エマープ(769 ←→ 967)、陳素数
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 六進法
text: 十進数では m/3 (= m/27(10)) は割り切れず、37(10) (= 101(6)) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/3 (= m/43(6))は割り切れて2=12(6)=8(10)の倍数になる。m/2 の小数も、十進数では 5 (= 125(10) = 325(6))の倍数だが、六進数では 3 (= 43(6) = 27(10))の倍数になる。 従って、六進数では、2 (=12(6)=8(10))で割ると被除数の3 (=43(6)=27(10))倍の数が現れ、3 (=43(6)=27(10))で割ると被除数の2 (=12(6)=8(10))倍の数が現れる。
title: 循環小数
text: 同じ数に対してでも、何進法で表示するかによって表示は変わる。例えば、2/3 を二進法の小数で表すと、0.101010... であり、循環節が 10 の循環小数である。他にも、六進法の 1/5 = 0.1111... であり、循環節が 1 の循環小数である。二十進法の 4/B (十一分の四) = 0.7591G7591G... であり、循環節が 7591G の循環小数である。
title: リゲル
text: 質量はそれぞれ、太陽の23倍(A)、3.84倍(Ba)、2.94倍(Bb)、3.84倍(C)、0.38倍(D)である。
title: エジプト式分数
text: 用いることができる単位分数に制限をかけると、より深みのある類似の問題が多く考えられる。例えば、分母を奇数に限ると、強欲算法によって 1 は13個の単位分数の和に表され、最後の項の分母は
title: 草津線
text: 半素数は6を除き全て不足数。
title: アラビア語の数詞
text: 前述のように基本的には使われないが、1と2は性別の規則が例外となり、男性形は男性名詞に、女性形は女性名詞にそれぞれ使われる。また、この規則は11以上の数でも1の位の数には適用されるため、無視することはできない。11以上で、かつ1の位がゼロではない数では、1の位を除いた桁は名詞の性別に倣う。したがって、男性名詞であれば男性形が用いられ、女性名詞であれば女性形になる。すなわち、男性名詞に13という数を添えるときは ثلاثة عشر になり、女性名詞であれば ثلاث عشرة になる。11と12に限り、1の位が特殊な活用をする。なお、10以外で10で割り切れる数、すなわち20、30、40、あるいは100、1000、10000といった数には性の区別はない。
title: 分数
text: 例えば、仮分数の 100/60 は 1 + 40/60 に分解でき、帯分数として 1 40/60 と表すことができる。特に、小数にすると割り切れない分数と整数の和を、{k + (m/n)}というように二種類の括弧を用いた帯分数で表記する場合がある。
title: 六星占術
text: また、各運命星にはプラス(+)とマイナス(-)があり、生年が子・寅・辰・午・申・戌のときにプラスとなり、丑・卯・巳・未・酉・亥のときにマイナスとなる。運命星と合わせて土星人(+)、金星人(-)のように表記する。これも十二支の陰陽によっている。
title: 位取り記数法
text: Nの平方数も、三十六である(100)6は4(=2)でも3でも9(=3)でも二十七(=3)でも割り切れる(※二十七分割は (100÷43 = 1.2)6 で有限小数となる)し、百である(100)10は4(=2)でも5でも二十五(=5)でも割り切れるのに対して、六十四である(100)8と二百五十六である(100)16は2の冪数でしか割り切れない。
title: 二進法
text: 二進法を用いれば 0 と 1 の二種類の数字のみで零を含む任意の自然数が表現可能であり、負号と合わせることで整数が表現可能である。更に小数点を合わせて四種類の記号のみで実数の表現が可能である。
title: 度 (角度)
text: また、360は約数が多く、除算のしやすい数である。1 と 360 以外に22個の約数を持ち、1 から 10 までの数のうち、割り切れない数は 7 だけである。1 から 10 までの全ての数で割り切れる最小の数は2520であるが、これは大き過ぎて使いやすい数ではない。
title: 不可説不可説転
text: 1無量大数は10、グーゴルは10である。不可説不可説転はこれらよりも遥かに大きい。無量大数の5400溝乗がおよそ1不可説不可説転になる。
title: 二重平方数
text: 十六進法では、末位は0, 1の2通り。下2桁は01, 11, ..., E1, F1 および 00, 10 の18通り。これは二進法の下4桁と下8桁に相当する。
title: アルキメデス
text: 『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を⁄153(約1.7320261)と⁄780(約1.7320512)の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している。
title: 小数
text: 小数は、実数を整数 a0 と 0 から 9 までのどれかにあたる an (n ≥ 1) を用いて
title: 八進法
text: 10となる八は素因数分解すると2なので、2でしか割り切れない。即ち、1/3や1/5など奇数分割ができない。単位分数も、2の冪数以外は全て無限小数になる。素因数が複数となる六進小数(2と3)や十進小数(2と5)との対比も示す。
title: 十六進法
text: 割り切れない小数の循環部は下線で示す。「10」となる十六には因数に奇数が含まれていないため、1/3や1/5といった「1÷奇数」が全て割り切れない。小数を分数化しても、「m/奇数」となる小数が全く現れない。従って、偶数も、1/6{1÷(2×3)}や1/A{1÷(2×5)}といった「1÷奇数で割り切れる偶数」は割り切れない。六の倍数も十の倍数も逆数にすると全て割り切れないので、単位分数は無限小数が充ち溢れ、逆数が有限小数になる例は2の冪数だけになる。
title: 循環小数
text: 一方で、十進数の 891 は十八進数だと 2D9 で、素因数分解は 2D9 = 3×B となる。10 = 2×3 なので、1/B の循環節は 1010桁に対して、3 は 4桁ではなく2桁に縮まり、2桁の後に 1010桁の循環節が来る。よって、1/2D9 = 0.0069ED1B834G... となる。
title: ド・モルガンの法則
text: となり、さらに「A(2) かつ A(3) かつ ...... A(100)」の否定についても同様の操作をくりかえすことにより、「¬A(1) または ¬A(2) または ... または ¬A(100)」が得られる。これは「ある x に対し ¬A(x)」ということと等しい。
title: ネイピアの骨
text: を n 行目の値とする演算である。 4 行目なら 134×4 = 536 に等しい。平方根を求める計算ではこの演算がとても重要になる。
title: 階乗
text: 1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(2 と 5 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ(英語版)。
title: 十二進法
text: 一方で、六進法は2と3の冪指数が同じなので、1728(10)=12000(6)=1000(12)の1/8である「二百十六分率」{216(10)=1000(6)=160(12)}で1/8と(1/27)10の両方が収容可能で、1000(12)の6/8である「千二百九十六分率」{1296(10)=10000(6)=900(12)}で(1/16)10と(1/81)10の両方(つまり2と3の両方で四回分割)まで収容可能となり、いずれも1000(12)に満たない。別の言い方をすると、六進法は「四分割は36(10)まで待たねばならない」が「八分割と二十七分割は216(10)まで待てばよい」のに対して、十二進法は「二十七分割は1728(10)まで待たねばならない」。
title: 十二進法
text: 十二進法で循環節が長くなる例として、5(1/21)が20(10)桁、7(1/41)が42(10)桁が挙げられる。逆に、十進法では22(10)桁、二十進法では55(10)桁、六進法や十八進法でも110(10)桁になるB(1/A1)は、十二進法では僅B(12)桁=11(10)桁になる。
title: 循環小数
text: 十進法で最も簡単な循環小数として 1/3 = 0.3333... がある。循環節とは、小数部分の循環で最小の繰り返し単位(周期)のことである。この例では循環節は、「33」や「333」でなく 3 である。循環節の末尾が 0 になることもある。例えば、十進法の 2/3 = 64/27 = 2.370370... においては、循環節は「37」ではなく「370」となる。
title: STS-124
text: 5の平方根(ごのへいほうこん)は、平方して 5 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は
title: 循環小数
text: 一方で、十進数の 3456 は六進数だと 24000 だが、素因数分解すると 24000 = 2×3 となるので、分子が 3で、116桁 = 7桁の有限小数になる。よって、1/24000 = 0.0000213 となる。
title: 循環小数
text: 2 と 5(一般には、基数の約数たる素数)以外の素数 p の逆数の循環節の長さは、p − 1 の約数である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5(基数の約数たる素数)もこの条件を満たす。
title: 十二進法
text: 前述の 3.9(12)を一桁下げた 0.39(12)は、十進数では 0.3125(10)、六進数で 0.1513(6) になる。 これは、素因数分解の上既約分数にすると 5/2 の小数だが、十進数だと5×0.0625(分子が5)で0.3125、 六進数だと5×0.0213(分子が3)で0.1513になるのに対して、十二進数だと5×0.09(分子が3)で0.39になる。 このように、十進数だと「2の4乗には5の4乗」、六進数だと「2の4乗には3の4乗」なのに対して、十二進数では「2の4乗には3の2乗」となり、2の冪指数が偶数だと分子となる3の冪指数は1/2になる。
title: ズッカーマン数
text: 例えば、315 は各位の総乗が 3 × 1 × 5 = 15 であり、15 は 315 の約数であるので 315 はズッカーマン数である。
title: 十二進法
text: また、 12 は 4×3 であり、1 とその数以外の約数が 2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、4 までの全てで割り切れる点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。十進法の 10 は、1 とその数以外の約数が、2 と 5 の 計 2 個しかない。六進法の 6 は、1 とその数以外の約数が 2 と 3 の計 2 個で便利であるが、4 分割ができず、4 分割は 2 倍 の 12 か、平方数の 36 まで待たねばならない。
title: エジプト式分数
text: 大きめの奇素数 p (13, 17, 19, 29, ...) に対しては、恒等式 2/p = 1/A + 2A − p/Ap が用いられている。ここで、A は p/2 < A < p を満たし、約数を多く持つ数が選ばれる。2A − p/Ap について、分子が A のいくつかの約数の和に表すことができれば、約分して単位分数の和を得る。例えば、p = 37 に対して A = 24 とすると、2A − p = 11 = 3 + 8 で 3 と 8 は 24 の約数であるから、リンド・パピルスの展開 2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 を得る。A を取り替えたり、約数の和に分解する方法を変えたりすると別の展開を得る。
title: 二重平方数
text: 四乗数の下2桁は、十進法では 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。一般の記数法については後述する。
title: 二重平方数
text: 六十進法では、末位(便宜上十進数2桁で表記する)は0, 1, 16, 21, 25, 36, 40, 45の8通り。下2桁は48通り。
title: 六進法
text: 又、十進法と六進法に共通する特徴として、割り切れない小数に37(10)=101(6)の倍数が現れる。これは、十の三乗と六の四乗が、37(10)=101(6)の倍数の次に来るためである。実際に、十進法999(= 1000-1)は六進法4343(十進換算で3×37=999)、六進法5555(= 10000-1)は十進法1295(六進換算で5×11×101=5555、十進換算で5×7×37=1295)である。6までの逆数を見ても、全体的に六進法と十進法は循環節が短い傾向が見られ、十進法で3の循環節が3桁に対して、六進法の5も循環節が5桁である。
title: 700
text: 739 : 素数、エマープ(739 ←→ 937)、入れ替えた379、397も素数
title: 2の補数
text: 2の補数(にのほすう)は、2、ないし2のべき乗の補数、またそれによる負の値の表現法である。特に二進法で使われる。(数学的あるいは理論的には、三進法における減基数による補数、すなわち 3 − 1 = 2222....2222(3) による補数も「2の補数」であるが、まず使われることはない)
title: 等比数列
text: 例えば 4, 12, 36, 108, ... という数列 (an)∞n=1 は、各項が直前の項に 3 を掛けたものになっているから、初項が 4, 公比が 3 の等比数列である。
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 奇数
text: 正負を問わず、−15, −3, 1, 7, 19 などはすべて奇数である。十進法では、一の位が 1, 3, 5, 7, 9 である数は奇数である。二進法では、2 の位(即ち一の位)が 1 ならば奇数で、一の位が 0 ならば偶数である。一般に 2n 進法(n は自然数)において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、一の位(n の位)を見るだけで判別できる。
title: ギリシアの数字
text: この方法では3桁までしか表記できないため、1000~9999(4桁)の表記は先頭に,(コンマ)を用い(例として4321は、イオニア式では,δτκα'となる)、10000以上(5桁以上)はαΜを先頭につけて2倍、3倍になるような倍数表記と4桁以下の部分の組み合わせで表記する(例として88888は、イオニア式ではαΜη', ,ηωπη'となる)。ただし、現代では通常は4桁以上は算用数字を用いることになる。
title: 厘
text: なお、「分」は、1/10である。したがって「九分九厘間違いない」という場合は、0.99(=99%)間違いないということである(詳細は、分 (数)#1⁄100との誤解を参照のこと)。
title: 音程
text: このように両端の音を数えているため、「度数」を普通の計算式で計算できないという事態が生じる。すなわち、3度と4度を加えると6度となる。計算するには「度数は常に1多く唱えられる」と考える。すなわち、計算する前にまず1を減じ、計算後に1を加える。3度と4度の例では ( 3 - 1 ) + ( 4 - 1 ) + 1 である(いわゆる植木算の留意点と同じ)。
title: 四平方定理
text: 全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
title: 300
text: 365 = 5 × 73、116番目の半素数、2連続平方の和(13 + 14)、3連続平方の和(10 + 11 + 12)
title: 十二進法
text: 3×5/4、即ち十進分数の 15/4、六進分数の 23/4 に当たる小数は、十進数では3.75(10)、六進数では3.43(6)に対して、十二進数では3.9(12)となり小数点以下が一桁になる。これは、十進数や六進数では2の冪指数が1つ(即ち底が単偶数)なのに対して、十二進数では2の冪指数が2つ含まれているからである。 これらの小数を分解すると、十進数では 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となる。六進数でも、3 + 43/100 (= 3/4) と 3 + 13/20(= 3/4) が 23/4 で同値となる。
title: 十二進法
text: 十二進法は奇数の因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が2×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が3だと、逆数の分子は2=2になる(→詳細はこちらも参照すること)。冪指数が小さい場合でも、六進法だと1/3は0.2、1/9 (1/136) は0.04(分子が2)に対して、十二進法では 1/3は0.4(分子が2)、1/9は0.14(分子が2)になる。
title: 十二進法
text: 5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、即ち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば:
title: 演算子の優先順位
text: 除法を逆数による乗法として扱うことができ、減法を加法的逆元の加法として扱うことができる。すなわち、3 ÷ 4 = 3 • 1⁄4 である。言い換えれば、3を4で割った商は、3と 1⁄4 をかけた積と等しい。同様に 3 − 4 = 3 + (−4) であり、3と4の差は正の3と負の4の和と等しい。この理解により、 1 − 3 + 7 という式は1と負の3と7の和とみなすことができ、任意の順序で計算可能である。すなわち (1 − 3) + 7 = −2 + 7 = 5 と計算することもできるし、 (7 − 3) + 1 = 4 + 1 = 5 と計算することもできる。項の順序を入れ替える際、負号を常に3に付属させることが重要である。1 − (3 + 7) = 1 − 10 = − 9 と計算してはいけない。
title: 十二進法
text: 桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576(10) は 64×9 だが、576(12) は 810(10)、つまり十進数換算値が 90×9 である。576(12)を十進数で分解すると、5×12 + 7×12 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。
title: 位取り記数法
text: から、5213 = 3 + 2 × 5 + 3 × 5 + 1 × 5 + 3 × 5 + 1 × 5 となるので、五進表記では 131323 と表すことができる。また、5 = 3125, 5 = 15625 であるから、5 ≤ 5213 < 5 が成り立っているので、対数を取ると
title: 二十進法
text: 二十進法と十進法が決定的に異なる点は、「10÷4 = 5」「5の3倍がF」「十進法の110が5A」という点である。二十進法では百は「50」と表記され、十二進法で「30」と表記される三十六と同等の扱いになる。二十進法での「4F+F = 5A」の構図も、十二進法での「49+9 = 56」と同じ構図になる。