クイズ問題: 2桁の素数で最も小さいのは11ですが、最も大きいのはいくつでしょう?
答え: 97

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 900
text: 997: 素数、3桁では最大の素数である。
title: パンデジタル数
text: 11桁のパンデジタル素数で最大のものは98876532401である。
title: パンデジタル数
text: 十進法で最小のパンデジタル素数は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数(十桁のパンデジタル数のうち素数であるもの)は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。
title: 素数の間隔
text: しかし、n個の数の素数の間隔は、n!よりもずっと小さい数で生じることがある。例えば、素数の間隔が14よりも大きい最初の場所は523と541の間であるが、その一方で15!は非常に大きな数1307674368000である。
title: 行き止まりの挽歌
text: である。過剰数という名前を使っているが、すべての高度過剰数が過剰数とは限らない。特に最初の9つの高度過剰数のうち、 1, 2, 3, 4, 8, 10, 16 は不足数、6 は完全数であり過剰数ではない。12 と 18 以上の高度過剰数は全て過剰数である。
title: 平衡素数
text: 例えば、53は16番目の素数である。15番目と17番目の素数である47と59を足すと106になり、その半分は53なので、53は平衡素数である。
title: 素数
text: さらに、1000以下の素数は100以下のものを含め168個存在する(100以下を除けば143個)。101以上で1000以下の素数は小さい順に次の通りである。
title: 十二進法
text: 5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、即ち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば:
title: 素数の間隔
text: 最初で最小で唯一奇数の素数の間隔は、唯一偶数の素数である 2 と最初の奇数の素数である 3 の間の1である。他の素数の間隔はすべて偶数である。値 2 の間隔が連続しているのは素数 3, 5, 7 の間の間隔である g2 と g3 の1組だけである。
title: パンデジタル数
text: 10桁のパンデジタル数のうち最大の平方数は 9814072356=99066 である。
title: ニコラス・サンチェス (サッカー選手)
text: −1(マイナスいち)は、最大の負の整数であり、整数を小さい順に並べたとき、−2 の次で 0 の前である(0 からマイナス無限大へ数えれば、最初の負の数で、0 の次で −2 の前である)。
title: 超階乗
text: 5$ は 3$ や 4$ よりさらに巨大な数であるため、桁数の正確な計算すら事実上不可能であるが、120 = 12 × 10 であるため、下位約48.09%の桁で 0 が連続して並ぶ自然数である。
title: 行き止まりの挽歌
text: 例えば、5 は高度過剰数でない。なぜなら σ(5) = 5+1 = 6 となり 5 より小さな 4 が σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7 となり σ(5) よりも大きいからである。8 は高度過剰数である。なぜなら σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 となり 8 未満の数で σ(8) を上回る数は存在しないからである。
title: 100
text: 177 = 3 × 59、半素数
title: メルセンヌ数
text: 48から51番目は、2018年12月時点でより小さなメルセンヌ素数の個数を検証できていないことによる暫定的な順位である。過去には29番目のメルセンヌ素数は30, 31番目が発見された後に発見されている。また47番目の後に45, 46番目が発見されている。
title: 差集合
text: P = {1, 3, 5, 7, 9} (10 以下の奇数の集合) Q = {2, 3, 5, 7} (10 以下の素数の集合) このとき
title: カーマイケル数
text: であり、無数に存在することが知られている。ただし、n が大きくなるにつれてカーマイケル数は極めてまれになっていく。たとえば、1 から 10 の間には 20,138,200 個のカーマイケル数があり、これはおよそ 5*10個にひとつの割合である。
title: 200
text: 235 = 5 × 47、77番目の半素数、10番目の七角数
title: 過剰数
text: 自然数のうち過剰数が占める割合は 0.2474 から 0.2480 の間であると証明されている。
title: フィボナッチ素数
text: 最初の10個の、素数番目のフィボナッチ数のうち、p が 2 と 19 のときを除いた8個で Fp は素数となる。2 と 19 のときは F2 = 1, F19 = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、p が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の1229個の素数の中で、Fp が素数になるのは26個しかない。
title: 超階乗
text: 5! = 120 であり、10 の倍数でもあるため、5$ および 6$ 以降もまた、末尾でいくつもの 0 が並ぶ巨大数であることがわかる。
title: 超過剰数
text: を満たすことを証明した。n が 4 と 36 のときを除けば ap = 1 である。つまり超過剰数のうち平方数は 4 と 36 のみである。
title: パンデジタル数
text: 二進法で数を表せば 2 − 1 の形である 111...1(レピュニット)以外の自然数は全てパンデジタル数であるといえる。
title: 素数
text: は n = 0, ..., 44 で絶対値は全て素数となる。
title: 700
text: 751 : 素数、エマープ(751 ←→ 157)、陳素数
title: 素数の一覧
text: また、別の計算によるともしリーマン予想が真であれば、10 以下に 184垓3,559京9,767兆3,492億0,086万7,866個(約 2×10個) の素数が存在する。
title: 素数の間隔
text: 2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、最初に40を超えるものは、41.93878373であり、87桁の素数293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227においてであった。この素数と次の素数の間の素数の間隔は8350である。
title: 冪剰余
text: 4 は 67,108,864 であり、これを 497 で割ると、剰余の c は 445 であることがわかる。
title: 安全素数
text: となる。簡単に確かめられることであるが、5 以外の安全素数は4で割ると3余る。また7以外の安全素数は3で割ると2余る。よって、7より大きな安全素数は12で割ると11余る。
title: ネイピア数
text: 特に 11/4 = 2.75, 19/7 = 2.714..., ... などは e の近似値である。
title: 円周率
text: 5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りである。全てほぼ等しく(約0.0005%の違いに収まる)、最も多いのは 8 で、最も少ないのは 6 である。
title: 超階乗
text: 2↑↑↑↑3 は 2↑↑65,536 なので、8$=8!↑↑8!=8!↑{8!↑↑(8! - 1)} = 8! = 2! よりもさらに巨大な数だが、9$よりは遥かに小さい。
title: 500
text: 557 : 素数、陳素数
title: 素数
text: この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2p 未満」とも言い換えられる。したがって、2017年5月現在知られている最大の素数 2 − 1 の次の素数は 2 − 2 未満である。
title: 300
text: 337 = 素数、エマープ(337 ←→ 733)、32番目の4n + 1型の素数、32番目の3n + 1型の素数、14番目の8n + 1型の素数、6番目の24n + 1型の素数、8番目の六芒星数
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 800
text: 840 = 2 × 3 × 5 × 7。13番目の高度合成数であり、約数を32個持つ。1 から 10 までの数のうち9 を除いて全ての数で割り切れる最小の数、ハーシャッド数、双子素数の和(419 + 421)
title: 四つ子素数
text: となる。最小のもの以外は、(30n + 11, 30n + 13, 30n + 17, 30n + 19)(n は 0 以上の整数)の形になる。したがって最小のものを除き、四つ子素数の一の位の数は小さい順に (1, 3, 7, 9) となり、十の位以上の桁の数字は全て共通となる。
title: パンデジタル数
text: 例えば十進法では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数に当たる。パンデジタル数は無数にあり、その内、十進法において最も小さいものは1023456789である。
title: 100
text: 169 = 13、平方数、半素数、ペル数
title: 完全数
text: 2018年12月現在、メルセンヌ素数は51個まで知られている(ただし、順番が確定しているものは、47番目までであり、さらに48, 49, 50, 51番目の候補として p = 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 が挙がっており、間に素数がないかどうか検証中である)。
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 3 個の素数のうち偶数の素数である 2 は 2 個か 0 個であり、残りの 1 個もしくは 3 個全てが奇素数である。
title: 自己同形数
text: 2つの数の合計は 10 + 1 となる。 この2つの数で小さな方の数が 10 より小さい場合、例えば k = 4 である2つの数は9376と625である。 この場合 k 桁の自己同形数にするために小さな方 (k 桁未満) の数にたりない分の桁だけ上位桁に0を付け加える必要がある。(例.9376 + 0625 = 10001)
title: ピタゴラス素数
text: である。ディリクレの算術級数定理により、この数列は無限数列である。さらには、ピタゴラス素数と非ピタゴラス素数はほぼ均等に分布することが従う。しかし、具体的に正整数 N を取ると、しばしば N 以下のピタゴラス素数は非ピタゴラス素数よりも少ない。この現象はチェビシェフの偏りとして知られる。 例えば、600,000 までの整数 N に対し、N 以下のピタゴラス素数が(奇数の)非ピタゴラス素数よりも多いような N は、26861, 26862 の2個しか存在せず、その次は 616,841 になる。
title: ウシ
text: 2013年発表のデータでは、世界推定総計が約14億7488.8万頭(1,474,887,717千頭)、そのうち第1位は約2億1822.5万頭(218,225,177千頭)のブラジル、第2位は約1億8598.7万頭(185,987,136千頭)と数を減らしたインド、第3位は約9191.8万頭(91,918,000千頭)のアメリカ合衆国、第4位は約8437.6万頭(84,376,350千頭)の中華人民共和国、第5位はアルゼンチンを上回った約5948.7万頭(59,486,667千頭)のエチオピアであった。日本は約382.4万頭(3,824,000千頭)であった。
title: 素数
text: は n = 0, ..., 25 で絶対値は全て素数となる。 ただし n − 34n + 381n − 1511 の n = 9, 12, 13 で −107 を取るなど、同じ素数が何度も出現する場合がある。
title: 100
text: 159 = 3 × 53、半素数
title: 階乗素数
text: 2017年8月現在48個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは 208003! − 1 である。十進法表示したときの桁数は101万5842桁にも及ぶ。
title: ウシ
text: 2008年には再びインドが第1位になったものの、インド・ブラジル両国の頭数はほぼ拮抗している。第3位は約9380万頭のアメリカ合衆国、第4位は約8370万頭の中華人民共和国、第5位は約4390万頭のアルゼンチンで、これら3か国の飼育頭数はいずれも10年来ほぼ横這いである。
title: ムーアの法則
text: となる。したがって、2年後には2倍、5年後には5.66倍、7年後には11.3倍、10年後には32倍、15年後には181.0倍、20年後には1024倍ということになる。
title: 倍精度浮動小数点数
text: 2=4,503,599,627,370,496 と 2=9,007,199,254,740,992 の間で表現できる数値は正確に整数に対応している。2 から 2 までの範囲では、常にその2倍となるので、偶数しか表現できない。逆に 2 と 2 の間の範囲では間隔が0.5になる。
title: 素数の一覧
text: ゴールドバッハの予想検証プロジェクトは、4 × 10 以下のすべての素数(9京5,676兆2,609億0,388万7,607個、つまり約 10個)を計算したと報告したが、結果は保存されていない。しかしながら、「素数計数関数」(指定された値 n 以下の素数の個数)を計算するには、実際に素数を数えるより高速な公式が存在する。この公式を使って、10 以下に 19垓2,532京0,391兆6,068億0,396万8,923個 (約 2×10個)の素数があると計算された。
title: 200
text: 205 = 5 × 41、半素数
title: 200
text: 203 = 7 × 29、半素数、ベル数
title: 100
text: 158 = 2 × 79、半素数
title: ケプラー89
text: 大きさから木星の83%の大きさを持つdは巨大ガス惑星、それぞれ木星の31%と49%(地球の3.5倍と5.5倍)の大きさを持つcとeは海王星サイズのガス惑星、地球の1.45倍の大きさしか持たないbは地球のような岩石惑星であるとされている。
title: 200
text: 253 = 11 × 23、22番目の三角数、81番目の半素数、7番目の六芒星数
title: 度 (角度)
text: また、360は約数が多く、除算のしやすい数である。1 と 360 以外に22個の約数を持ち、1 から 10 までの数のうち、割り切れない数は 7 だけである。1 から 10 までの全ての数で割り切れる最小の数は2520であるが、これは大き過ぎて使いやすい数ではない。
title: グレイコード
text: 数学的には、実数の 10 の表現には 10.000000... と 9.999999... の 2 通りがある(一般に、任意の有限小数は、このような二通りの無限小数として表現できる)。二進法では、1010.000000... と 1001.111111... の 2 種類があることになるが、この時、ある桁から下が、0 と 1 が反転したパターンになってしまう。これを、グレイコードを使って、最初の一桁だけが不定となった後、残りの桁は一致するように表現できる。
title: 100
text: 145 = 5 × 29、半素数、五角数
title: パンデジタル数
text: 11桁のパンデジタル数の個数は 10! × (11 × 10 ÷ 2) × (9 ÷ 10) = 179625600 個である。
title: 素数
text: は n = 0, ..., 44 で全て素数となる。 同様に
title: ピアポント素数
text: 経験的には、ピアポン素数は特に珍しかったりまばらに分布しているわけではないようである。10 未満には42個あり、10 までに65個、10 までに157個、10 までに795個存在する。
title: 素数階乗素数
text: コールドウェルとギャロットは、2002年までに、10 以下の全ての素数 p に対して p# ± 1 が素数であるかどうか検査した。ホイヤーがコールドウェルに非公式に伝えたところによると、2004年までに 42,507番目の素数 (512,903) 以下の p に対して、p# + 1 が素数であるかどうかは検査済みである。
title: グラハム数
text: G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい(しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい)。G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑(二重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。
title: ベルトランの仮説
text: ゴールドバッハの予想 ― n > 2 に対し 2n と 2n + 2 は2つの素数の和として表せる。n が素数でないとき 2n の場合の2つのうち大きい方は、n より大きく 2n − 2 より小さい。n が素数のとき 2n + 2 の場合の2つのうち大きい方は、n + 1 より大きく 2n より小さい。
title: 200
text: 215 = 5 × 43、半素数
title: ズッカーマン数
text: 一方、(1111, 1112, 1113) や (1111111, 1111112, 1111113) のように一の位以外の数字が全て 1 で一の位が 1, 2, 3 であり、桁数が 3 を法として 1 と合同である数はズッカーマン数であるから、3 つ連続した自然数が全てズッカーマン数となる組は無数に存在する。
title: 400
text: 499 : 素数、陳素数
title: 200
text: 289 = 17、平方数、90番目の半素数、9番目のフリードマン数((8 + 9))
title: ID3
text: 同様にC12 の出力は哺乳類 = 1、爬虫類 = 0、鳥類 = 1 であるから、
title: 平方因子をもたない整数
text: Q(x) を x を超えない無平方数の個数とする。大きい n に対して、n より小さい正の整数の 3/4 は 4 で割り切れない、8/9 は 9 で割り切れない、など。これらの事象は独立であるから、次の近似を得る。
title: 奇数
text: 正負を問わず、−15, −3, 1, 7, 19 などはすべて奇数である。十進法では、一の位が 1, 3, 5, 7, 9 である数は奇数である。二進法では、2 の位(即ち一の位)が 1 ならば奇数で、一の位が 0 ならば偶数である。一般に 2n 進法(n は自然数)において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、一の位(n の位)を見るだけで判別できる。
title: 北半球
text: 南半球に比べ、陸地の面積比、特に温帯に位置する陸地の比率が高いことが、人口・気候の両面に影響を与えている。北半球全体の陸地の面積比は39.4%であり、南半球の陸地の面積比18.4%よりも高い。温帯の例として北緯30度-40度(北半球)における陸地面積比が43%であるのに対し、南緯30度-40度では11%と少ない。このため、四大文明の発祥を始めとして人口は歴史的に北半球に偏ってきた。世界人口の約87%が北半球に居住する(世界人口年鑑 2019により算出)。特に中華人民共和国の14億人、2位インドの13億人など、アジアに偏っている。
title: 900
text: 945 = 3 × 5 × 7、9の二重階乗、奇数の過剰数のうち最小のもの、奇数の擬似完全数のうち最小のもの
title: 900
text: 907: 素数、エマープ(907 ←→ 709)
title: 三つ子素数
text: であるらしい。10 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である。
title: ウェアリングの問題
text: 617597724 が 15 個の個数を要求する 1.3×10 よりも小さい最大の数であり、51033617 が 11 個の個数を要求する 1.3×10 よりも小さい最大の数である。
title: 地球
text: 地球の質量は5.972 ×10 kgである。万有引力定数と地心重力定数から計算される。体積と質量から平均密度が求まり、5514 kg/m (5.514 g/cm) である。これは水の5.5倍、花崗岩の2倍、鉄の0.7倍程度に相当する。地球は太陽系で最も密度の高い惑星である。逆に、一番密度が低いのは土星である。水星や金星の密度は地球に近い。
title: 軌道離心率
text: 地球の軌道離心率は惑星間重力の相互作用により、長年の間にほぼ0から約0.05までの間を振れており、現在は約0.0167である(月は0.0549)。水星は0.2056と、太陽系の他の惑星と比べてかなり大きい値を持つ。準惑星の冥王星はさらに大きく、0.248である。太陽系の小惑星のほとんどは0から0.35の間で、その平均は0.17であるが、比較的大きい値を持つものは、木星の強力な重力の影響による。太陽系の中で最も値が小さいのは、海王星の衛星トリトンの0.000016である。
title: 安全素数
text: 5と11を除く安全素数の一の位は 3, 7, 9 のいずれかである。
title: ファクトリオン
text: nをd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10 ≤ n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの積の意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。
title: 巨大な素数の一覧
text: 発見済みの巨大な素数の多くがメルセンヌ数に属する。2018年12月現在までに発見された素数の大きさを比べると、上位8位までを全てメルセンヌ数が占め、9位に初めてメルセンヌ数ではない素数が入る。
title: Riesel Sieve
text: プロジェクトが始まった2003年8月の時点で、509,203よりも小さなリーゼル数 k の候補として101個が知られていた。2008年8月の時点で、30以上の k の候補が外された。中でもこのプロジェクトによって発見された最も大きな素数は、485,767 × 2 - 1 で、108万6,531桁にもなるものであった。また、残った k 候補については2,000,000よりも小さなnが存在しないことも確認された。
title: 200
text: 214 = 2 × 107、半素数
title: 200
text: 295 = 5 × 59、92番目の半素数
title: ズッカーマン数
text: 例えば、315 は各位の総乗が 3 × 1 × 5 = 15 であり、15 は 315 の約数であるので 315 はズッカーマン数である。
title: 100
text: 115 = 5 × 23、半素数
title: 700
text: 769 : 素数、エマープ(769 ←→ 967)、陳素数
title: 二十進法
text: 別のN進法と互換できる一桁小数として、二十進法の0.5は、十二進法の0.3と同値になる(両方とも1/4が奇数)。同じく、二十進法の0.4は、十進法の0.2と同じ値になる(両方とも1/5)。
title: 過剰数
text: 20 が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が 00, 20, 40, 60, 80 である数は全て過剰数となる。
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。
title: メガ素数
text: メガ素数は、100万桁以上の素数である。
title: シェルピンスキー数
text: 2016年10月31日には、k = 10223 の系列で9,383,761桁の素数 10223 × 2 + 1 が発見された。2016年11月の時点で知られている素数の中では7番目に大きい(6番目までは全てメルセンヌ素数)。。
title: 直角三角形
text: 素数のうち、2のみが偶数であり、他の素数が奇数であることに着目すれば、条件を、
title: 0.999...
text: 十進法表示の有限小数に 10 を掛けると、数字は変化することなく、小数点が1つ右に移動する。このことが無限小数に対しても成り立つと見なせば、0.999... × 10 = 9.999... であり、これはもとの数に比べて 9 大きい。引き算が位ごとに扱えることが無限小数に対しても成り立つと見なせば、9.999... − 0.999... = 9.000... である。ところが、小数点以下に無数に続く 0 は数を変化させないので、この差はまさしく 9 に等しい。問題の小数 0.999... を c と置くと、10c − c = 9 であり、この方程式を解くと、c = 1 が得られ、証明が完了する。つまり、導出は以下のようになる。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 600
text: 652 = 2 × 163 、σ(n) − n が完全数になる5番目の数である。1つ前は496、次は8128。(ただしσは約数関数)
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 巨大な素数の一覧
text: 以下の表は、時代と共に次々と大きな素数が発見されてきた経緯を時系列で示したものである。ここでは Mn = 2 − 1 は指数 n のメルセンヌ数とする。「発見された中で最大の素数」としての扱いを受けた最長期間記録の素数は、M19 の 524,287 である。この素数は144年間にわたって「最大の素数」の座を守り続けた。ただし1456年以前の最長記録は不明。