クイズ問題: 「平面上の二つの定点からの距離の和が一定な点の軌跡」といえばどのような図形のことでしょう?
答え: 楕円

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 楕円
text: 楕円(だえん、橢円ともいう。英: ellipse)とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。
title: 円 (数学)
text: 数学において、円(えん、英: circle)とは、平面(2次元ユークリッド空間)上の、定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。ここで現れる定点 O を円の中心と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心と円周上の 1 点を結ぶ線分を輻(や)とよび、その長さを半径というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。定幅図形の一つ。
title: 双曲線
text: 双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
title: ペルガのアポロニウス
text: 著書『円錐曲線』 (Κωνικά) において、円錐を頂点を通らない平面で切断した断面の図形「楕円(だえん、ellipse)」・「放物線(ほうぶつせん、parabola)」・「双曲線(そうきょくせん、hyperbola)」について詳細な研究をおこなった。「楕円」・「放物線」・「双曲線」の名称は、アポロニウスがそれぞれ「ellipsis(不足する)」・「parabole(一致する)」・「hyperbole(超越する)」と呼んだことに由来する。離心円ならびに従円と周転円の概念の発案者でもある。
title: 切片 (数学)
text: 切片(せっぺん、英: intercept)とは、座標平面上の曲線などのグラフと座標軸の交点のことである。
title: 円 (数学)
text: 円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線 (tangent) といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径(接点半径)は、接線と接点で直交する。
title: 内接円
text: 内接円の中心と2本の対角線の中点は、同一直線上にある(ニュートンの定理)。
title: 投影図
text: 視点が無限遠に存在すると仮定すると、立体物上の点と視点とを結ぶと投影線は互いに平行になる(図参照)。これを平行投影 (Parallel projection) という。
title: アポロニウスの円
text: 点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
title: 方向
text: 数学における方向(ほうこう)とは、2つの向き(むき)を合わせた表現。向き(むき)を空間上の位置を極座標で表したとき、数値が持つ距離以外の情報である。向きと大きさを持つベクトルから、大きさを取り去った残りの情報と言ってもよい。 一つの方向に沿った距離や移動, 速度等を考えるとき、一方の向きを正の値で表すならば、もう一方の向き は負の値を以て表される。 n 次元空間での向きの自由度は、n から大きさの 1 を引いた n - 1 である。向きは単位ベクトル、あるいは、単位球(2次元空間内なら単位円)上の1点で表すことができる。
title: 放物線
text: 放物線(ほうぶつせん、希:παραβολή「parabolē」、羅、英: parabola、独: Parabel)とは、その名の通り地表(つまり重力下)で投射した物体の運動(放物運動)が描く軌跡のことである。 放物線をその対称軸を中心として回転させた曲面を放物面という。
title: 円錐
text: このとき、点 p をこの円錐の頂点、頂点と底面との距離をこの円錐の高さといい、直線 l (と円錐との共通部分)をこの円錐の母線という。また、円錐と平面 P との共通部分をこの円錐の底面といい、そうでない面を側面という。底面は回転軸と平面 P との交点を中心とするような円になる。また、円錐の展開図を書くと、側面は扇形である。この扇形の半径となるような線分も母線と呼ばれ、この扇形の中心角は円錐の頂角と呼ばれる。
title: 楕円軌道
text: 万有引力の法則やクーロンの法則は逆二乗の法則で表される。このような力の作用の下で運動する物体がとる軌道は、力の中心を焦点とする2次曲線となる。2次曲線の軌道のうち、距離が有限にとどまる軌道、すなわち束縛軌道が楕円軌道である。
title: アポロニウスの問題
text: 上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。しかしながら、距離の比 TZ/TA もまた既知の値であるため、点 Z は既知の円上にも存在する。なぜなら、円が、2つの固定された点に対して所与の距離の比率を持つ点の集合だと定義することができるとアポロニウスが示したためである(この定義は双曲座標(英語版)の基礎となっている)。このため、アポロニウスの問題に対する解は円と直線の交点となるのである。
title: 角度
text: ユークリッドの著作『原論』では第1巻の定義8において、「互いに交わる2つの線 (line) の傾き (inclination)」(引用文献のままの表現ではない)と定義されている。\"傾き\" (inclination) という語の解釈次第では2つの直線で分割された領域のいずれかを含むと解釈することも可能であり、そう解釈している辞典もある。またこの定義と同じように「\"傾き\"である」という定義を採用している国語辞典もある。またこの定義での2つの線は線(原論では定義2)であって直線(原論では定義4)ではないので、曲線も含まれる。2つの半直線の傾きとしての角、つまりヒルベルトの定義による角は、定義9で直線角 (rectilinear) という名称で定義されている。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径となり、4:1 のときアステロイドとなる。
title: 三重積 (ベクトル解析)
text: 外積代数あるいは幾何代数(英語版)において、2つのベクトルの外積は2-ベクトル(英語版)であり、3つのベクトルの外積は3-ベクトル(英語版)である。通常のベクトルである1-ベクトルが向き付けられた線分 (線要素) であるように、2-ベクトルは向き付けられた面積要素(面要素)であり、3-ベクトルは向き付けられた体積要素 (立体要素) である。
title: 直積集合
text: 有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち R×R(R は実数)という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
title: 円 (数学)
text: 2つの点(焦点と呼ばれる)からの距離の和が一定であるような点の軌跡を楕円という。楕円は一般に円を潰したような形をしており、楕円のうち特別な場合――2つの焦点が一点で一致する場合――が円である(このとき、焦点は「円の中心」と呼ばれる)。一般の楕円でなく円であることを特に明示したいときには、円のことを正円(せいえん)または真円(しんえん)と呼ぶことがある。
title: 方法 (アルキメデスの著書)
text: 線分ACが放物線の対称軸に平行であるとする。さらに線分BCがBで放物線に接する線上にあるとすると、最初の命題は次のようになる。
title: 離心率
text: 円錐曲線、すなわち円・楕円・放物線・双曲線はいずれも、焦点 F からの距離と、準線 d からの距離の比 e が一定となる点の集合である。この比 e が離心率である。すなわち、円錐曲線上の任意の点 M について、焦点 F からの距離を FM、準線 d からの距離を MM' と表すと
title: サイクロイド
text: サイクロイド (英語: cycloid) とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線(はいせん)とも呼ばれる。サイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときネフロイド(英語版)となる。
title: 単位ベクトル
text: また、曲線や曲面に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えたとき、主な方向へ向かう単位ベクトルとして接線単位ベクトル(単位接ベクトル)、法線単位ベクトル(単位法ベクトル)、従法線単位ベクトル(単位従法ベクトル)などが挙げられる。そのベクトルの絶対値が 1 であることを表すために「単位ベクトル」という語が付されている。
title: アポロニウスの円
text: したがって、点Pの軌跡は線分QRを直径とする円になる。
title: アポロニウスの円
text: これより、点Pの軌跡は線分QRの中点Oを中心とする半径 1 2 Q R {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}\\mathrm {QR} } の円、すなわち線分QRを直径とする円になる。
title: 放物線
text: 平面幾何学において放物線(ほうぶつせん、parabola)とは、準線 (directrix) と呼ばれる直線 L と、その上にない焦点 (focus) と呼ばれる一点 F が与えられるとき、準線 L と焦点 F とをともに含む唯一つの平面 π 上の点 P であって、P から焦点 F への距離 PF と等しい距離 PQ を持つような準線 L 上の点 Q が存在するようなものの軌跡として定義される平面曲線である。
title: 天体力学
text: 第1法則が主張する楕円軌道の形状は長半径 (英: semi-major axis) a {\\displaystyle a} 、離心率 (英: eccentricity) e {\\displaystyle e} によって特定される。中心天体との距離が最も小さくなる軌道上の点を近点 (英: pericenter) と呼ぶが、特に太陽のまわりを運動する天体の場合は近日点 (英: perihelion)、地球のまわりを運動する天体の場合は近地点 (英: perigee) などと呼ぶ。中心天体との距離が最も大きくなる軌道上の点が遠点 (英: apocenter) である。中心天体と問題の天体の距離(動径) r {\\displaystyle r} は、中心天体と近点を結ぶ線分(これはアプス線(英語版)と呼ばれる)と動径がなす角 f {\\displaystyle f} を用いて
title: アポロニウスの問題
text: 与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である(図 7)。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
title: 二等分線
text: 二等分線(にとうぶんせん)とは、2次元の幾何学において、線分や角度を二等分する直線のことである。
title: 接線
text: 初等幾何学において接する(せっする、英: tangent)とは、その名を「触れること」を意味するラテン語: tangere に由来し、「ただ触れるだけ」という直観的概念を定式化するものである。特に、曲線の接線(せっせん、英: tangent line, tangent)は、平面曲線に対しては、曲線上の一点が与えられたとき、その点において曲線に「ただ触れるだけ」の直線を意味する。ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した。より具体的に解析幾何学において、与えられた直線が曲線 y = f(x) の x = c(あるいは曲線上の点 (c, f(c))における接線であるとは、その直線が曲線上の点 (c, f (c)) を通り、傾きが f の微分係数 f'(c) に等しいときに言う。同様の定義は空間曲線やより高次のユークリッド空間内の曲線に対しても適用できる。
title: 角度
text: 単に角という場合、多くは平面上の図形に対して定義された平面角(へいめんかく、英: plane angle)を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線(はんちょくせん、英: ray)によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。2つの半直線が共有する端点は角の頂点(かくのちょうてん、英: vertex of angle)と呼ばれ、頂点を挟む半直線は角の辺(かくのへん、英: side of angle)と呼ばれる。また、直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。
title: 平行記号
text: 平行記号の前後には直線、線分、面のいずれかが来ることがほとんどである。4次元以上を扱うときには空間などを入れることもある。
title: 錐体
text: このとき、点 O をこの錐体の頂点、頂点 O と平面 P との距離を錐体の高さという。また、曲線 C が囲む平面 P の領域を、この錐体の底面といい、底面以外の面すなわち、頂点 O と閉曲線 C 上の各点とを結ぶ線分の軌跡のことを側面という。
title: 円 (数学)
text: 円 O の周上に2点 A, B があるとき、半径 OA, OB と弧 AB とで囲まれた図形を扇形 (sector) O-A͡B という。また、扇形に含まれる側の ∠BOA を弧 AB を見込む中心角という。一つの円で考えるとき、中心角とその角が見込む弧の長さは比例する。同様に、中心角とその角が切り取る扇形の面積も比例する。
title: ドット積
text: 数学あるいは物理学においてドット積(ドットせき、英: dot product)あるいは点乗積(てんじょうせき)とは、ベクトル演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、(デカルト座標の入った)ユークリッド空間 R において標準的に定義される内積のことである。
title: 消失点
text: 描く平面に平行で、視点を通る平面が画面と交わる線を消失線と呼ぶ。基面の消失線は地平線である。
title: 神奈川県々歌
text: 空間幾何学において空間内の2本の直線がねじれの位置(ねじれのいち)にあるまたは skew lines であるとは、それらが互いに平行でなく交叉(英語版)もないときに言う。
title: 地平線
text: 地表面を球面と仮定し、地平線を眺める視点の地表面からの高度をh、地球の半径をR、視点から地平線までの直線距離をxとおけば、視点、地平線、地球中心は直角三角形をなすから、ピタゴラスの定理(三平方の定理)により、
title: 複素平面
text: 数学において、複素数平面(ふくそすうへいめん、独: Komplexe Zahlenebene, 英: complex plane)あるいは数平面(すうへいめん、独: Zahlenebene)、z-平面とは、複素数 z = x + iy を直交座標 (x, y) に対応させた直交座標平面のことである。複素数の実部を表す軸を実軸 (real axis)(実数直線)、虚部を表す軸を虚軸 (imaginary axis) という。
title: 単位円板
text: を言う。同様に点 P を中心とする単位閉円板(たんいへいえんばん)もしくは閉単位円板(へいたんいえんばん、英: closed unit disk)とは、点 P からの距離が 1 以下となるような点の軌跡
title: ステレオ投影
text: また、原点を通る各々の平面は単位球面と大円(これを平面のtraceと呼ぶ)で交わる。この円は立体射影により、円に投影される。よって、この投影は、円板中の円弧として、平面を可視化することが出来る。コンピューターが普及する前には、大円のステレオ投影をするには、ビームコンパスを使って書く必要があるほど大きな半径の弧を書くことがあった。現在はコンピューターにより簡単にそれらを描くことができる。
title: 擬ベクトル
text: 擬ベクトル(ぎベクトル、英: pseudo vector)は座標の反転に対し符号が変わらない(向きが反転する)ベクトル。
title: 鉛直
text: 地球の重力ポテンシャルを完全な球対称(球体)とした場合、地表上のあらゆる鉛直線は地球の中心の一点で交わる。また重力の方向と一致することから、物体を自由落下させた時、物体が辿る経路は鉛直線に一致する。
title: 天体力学
text: ケプラー運動には楕円軌道の他に放物線軌道、双曲線軌道が存在する。これらはいずれも円錐曲線である。
title: 4次元
text: 端的にいうと、ある集合 S の一点を指定するのに、他の4つの集合から1つずつ元を選ぶ必要があるときに S は4次元だという。4次元ユークリッド空間を物理空間に対する描像から考察すると、次のようになる。2次元(面)は1次元の対象(線)をそれと独立な方向に並べたものであり、3次元(立体)は2次元の対象(面)を並べてできるものであるから、4次元は3次元の対象(立体)をそれと独立の方向(視覚による知覚はできない)に並べてできると考えられる。4つ目の\"方向\"として時間軸を取れば、3次元の対象を連続移動するときの軌跡を4次元と考えることができる。
title: 共円
text: 初等幾何学における与えられた点の集合が共円(きょうえん、英: concyclic, cocyclic)であるとは、それらの点が全て同一円周上にあることを言う。
title: 直交
text: このことは、直線と曲線または曲線同士、あるいは平面と曲面または曲面同士、もしくは曲線と曲面などの場合にも、交点において曲線の接線(または法線)あるいは曲面の接平面(または法線)などを考えることにより拡張できる。すなわち接線同士(または法線同士)の直交を以って二つの曲線の直交を定義するのである。注意すべきこととして、これら対象の直交性をベクトルによって定めるならば、(ベクトルは平行移動不変であるから)直交するそれらの対象は必ずしも「交わらない」。また非標準的な内積に関する直交性を考えるならば、直交するふたつのベクトルは必ずしも直角を成さない。
title: 実数
text: また、実数の集まりを幾何学的に表示する方法として数直線があげられる。これは実数 0 に対応する原点とよばれる点を持った一つの直線で、直線上のそれぞれの点と原点との向きをこめた位置関係が各実数に対応している。
title: 三体問題
text: ふたつの質点が互いにニュートン重力を及ぼし合って運動するとき、その軌道は楕円、放物線、双曲線のいずれかになることが知られている(ケプラーの法則)。三体問題はこの系にさらにひとつの質点が加わった場合の進化を求めるもので、太陽-地球-月系や、太陽-木星-土星系など、天体力学の様々な局面で必要となるため古くから調べられてきた。現実的に三体問題を取り扱う場合、問題の簡略化のために、いくつかの仮定がなされることがある。三体ともに同一平面上を運動するという仮定を置く場合、平面三体問題と呼ばれる。三体のうち、一体の質量が他の二体に影響を及ぼさないほど微小で無視できるとする仮定を置いた場合、制限三体問題と呼ばれる。特に制限三体問題において、残り二体の軌道を円軌道と仮定する場合、円制限三体問題と呼ばれる。
title: 弧 (幾何学)
text: 幾何学における弧(こ、arc)とは、おおまかには、曲線のつながった一部分のことであるが、より抽象的な概念に一般化される。初等幾何学においては円周の弧を指すことが多く、そのことを明確にしたい場合には円弧と呼ぶ。
title: 単位円
text: 解析幾何学(いわゆる“座標幾何”)では、特に原点(すなわち x 軸と y 軸の交点) O(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの距離が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。
title: 円 (数学)
text: 一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧 (arc) または単に弧という。
title: 縮閉線
text: である。γ(s) の曲率半径の大きさは、その点において曲線を最もよく二次近似する円、つまりその点で曲線と二次の接触をもつような円(すなわち接触円)の半径に一致する。曲率半径の符号は、その接点における曲線と同じ向きに進むように媒介変数をとれば、接触円がどちらの向きに動くかを指し示すものとなる(接触円は、正ならば反時計回り、負ならば時計回りに動く)。
title: ナブラ
text: これらの違いが生じる根本は、∇が単なるベクトルではなくてベクトル作用素であるという事実である。ベクトルが明確に数値的な大きさと方向を持つ対象であるのに対し、∇は何かに作用することができて初めて大きさや向きが明確となる。
title: 二等分線
text: 垂直二等分線は、定規とコンパスにより作図することができる。線分の両端を中心とする同一半径の円弧を描き、各々の円弧の交点と線分を結ぶ。円弧上の交点と線分の各端点によって作成される三角形が合同になることから、円弧上の交点を結ぶ直線が垂直二等分線になる。(図1.)
title: 共線
text: 初等幾何学における点の集合の共線性(きょうせんせい、英: collinearity)は、それら点がすべて同一直線上にあるという性質を言うものである。与えられた点の集合が共線性を持つとき、それらの点は共線(きょうせん、英: collinear, colinear)であると言う。極めて一般に、様々な対象に対してそれらが「一列に」(\"in a line\") あるいは「一行に」(\"in a row\") 並べられたときに、共線という言葉を用いることができる。
title: ルンゲ＝レンツベクトル
text: ルンゲ=レンツベクトルは時間的に変化しない一定ベクトルであり、楕円軌道を含む一定平面内に位置する。その方向は原点である焦点と近日点 (perihelion) を結ぶ方向にある。また、その大きさは
title: 真近点角
text: 真近点離角 f は、主星と軌道の近点がなす半直線 (つまりラプラス・ルンゲ・レンツベクトル) と主星と天体を結ぶ半直線 (つまり位置ベクトル) がなす角として定義される。つまり、左図においてp を天体の位置、z を近点、s を焦点 (主星の位置) としたときの角 ν = ∠ z s p {\\displaystyle \\nu =\\angle zsp} のことを言う。従って、主星と天体の距離 r は、真近点離角 f の関数として
title: 多様体
text: 直線と円周の直積 R × S を考えれば、直線を軸とした無限に伸びる円柱の側面を多様体と見ることもできるし、円周同士の直積 T = S × S を考えればトーラスを多様体とみることもできる。
title: 円 (数学)
text: 2つの円に共通する接線を共通接線という。
title: ユークリッド空間
text: ユークリッド平面を考える一つの方法は、(距離や角度といったような言葉で表される)ある種の関係を満足する点集合と見なすことである。例えば、平面上には二種類の基本操作が存在する。一つは平行移動で、これは平面上の各点が同じ方向へ同じ距離だけ動くという平面のずらし操作である。いま一つは平面上の決まった点に関する回転で、これは平面上の各点が決められた点のまわりに一貫して同じ角度だけ曲がるという操作である。ユークリッド幾何学の基本的教義の一つとして、二つの図形(つまり点集合の部分集合)が等価なもの(合同)であるとは、平行移動と回転および鏡映の有限個の組合せ(ユークリッドの運動群)で一方を他方に写すことができることをいう。
title: 楕円
text: 楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。
title: 弧長
text: 平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。
title: 角度
text: ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した公理系(英語版)では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典や国語辞典が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
title: 座標軸
text: 複素数α=a+bi をベクトルとみなして複素平面で表す場合、一般にはx軸を実軸、y軸を虚軸とする。すなわちx軸が複素数の実数成分を表し、y軸が虚数成分を表す。このとき、複素平面上に表された複素数の加法、減法、定数倍は対応する位置ベクトルの加法、減法、定数倍のベクトル演算に相当する。
title: フーコーの振り子
text: 地球上の実験地点の緯度 θ {\\displaystyle \\theta } と同一緯度の線に沿って接し、地球の自転軸と共通の軸を持つ円錐を考える。円錐を展開すると側面は扇形となり、扇形の中心角 α {\\displaystyle \\alpha } は扇形の弧の長さと扇形の半径の比に等しい。扇形の弧の長さは円錐底面の円周と等しい。また円錐の軸と円錐の母線(扇形の半径)のなす角は緯度 θ {\\displaystyle \\theta } に等しく、さらに円錐底面の円の半径と扇形の半径の比は sin  θ {\\displaystyle \\sin \\theta } と等しい。従って、扇形の中心角 α {\\displaystyle \\alpha } との関係は以下の式となる。
title: 無角和種
text: 当時の自然哲学では、地球より外側の世界では真円の軌道をとり常に等速運動するものと考えられていた。実際は楕円軌道を描いている惑星の軌道を真円のみで説明しようとしたため、惑星は大きな円(従円)の円周を中心とする小さな円(周転円)の円周上を運動するという円軌道の組み合わせと考えられていた。いずれも左回りで、黄道とほぼ平行にされていた。この系での惑星の軌跡をエピトロコイドという。
title: ユークリッド距離
text: で与えられる。ユークリッド空間における点の位置は位置ベクトルで表されるから、さきの p および q をは、空間の原点を始点として終点がそれぞれの点であるような幾何ベクトルと見做すことができる。ベクトルのユークリッドノルム(英: Euclidean norm)、ユークリッド長さ(英: Euclidean length)あるいは大きさ(英: magnitude)
title: 平行移動
text: ユークリッド幾何学における平行移動(へいこういどう、英: translation)は全ての点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。
title: メビウス変換
text: α が 0(または 2π の整数倍)ならば、その変換は双曲型であるという。双曲型変換では、各点は不動点の一方から他方へ円軌道に沿って動く。
title: 線分
text: また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
title: 線分
text: 幾何学における線分(せんぶん、英: Line segment)とは、2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。
title: 三次方程式
text: のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。
title: 点 (数学)
text: ユークリッド幾何学における\"点\"は大きさ、方向など位置以外のあらゆる特徴を持たない。ユークリッドの公理や仮定では、一部の場合には点の存在が明らかだとする。つまり例えば、1平面上の2直線が平行でなければ、その両線上に位置する1点が確実に存在する。
title: 接ベクトル
text: 数学において、接ベクトル(英: tangent vector)とは、曲線や曲面に接するようなベクトルのことである。
title: ベン図
text: 複数の集合を考える際には、各集合をひとつの閉曲線(例えば円)で表し、相関関係をその閉曲線の交わり方によって表すことができる。
title: 複素数
text: 複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点 P を、原点 O(0) からの距離と、正の実軸(英語版)と線分 OP の見込む角を反時計回りに測ったものの対(P の極座標)で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。
title: 平行移動
text: 平行移動は二つの図形の間の一対一対応や、ある平面から別の平面への写像とみることもできる。T が平行移動であるとき、部分集合 A の写像 T による像を、A の T による平行移動と呼ぶ。T が定ベクトル v に対応する平行移動 Tv であるとき、A の Tv による平行移動はしばしば A + v と書かれる。
title: ⌒
text: ⌒は、幾何学において円における弧(こ)を示すことに使用される記号である。円周上の頂点Aから頂点Bに円弧がある場合に⌒の下にABを記述する。
title: 円 (数学)
text: 円周と2 点で交わる直線を割線という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを弦といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を中心線という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦を、円の直径という。直径の長さは半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径の長さに対する比の値は、円に依らず一定であり、これを円周率という。特に断りのない限り、普通、円周率は π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。(等周問題)
title: 半径
text: 古典的な幾何学では円や球の半径 (英: radius) は、その中心から周囲へ渡した任意の線分であり、またより現代的にはそれら線分の長さも表す。
title: メビウス変換
text: 上述の分解から、円に関する反転 (circle inversion) についての非自明な性質がすべてメビウス変換にも遺伝していることが確認できる。たとえば、メビウス変換が等角写像となることは、反転以外の変換は拡大縮小と等距変換(平行移動、鏡映、回転)で明らかに角を保つので、円に関する反転が角を保つことの証明に帰着される。あるいはさらに、円に関する反転が広義の円を広義の円に写すことから、メビウス変換も同じ性質を持つ。ここで「広義の円」とは、直線については無限遠点を通る半径無限大の円と考えて円と直線をひとまとめに扱った概念である。メビウス変換によって狭義の円が直線に、直線が狭義の円に移ることもあり、必ずしも狭義の円が狭義の円に、直線が直線に写されるものとは限らないことに留意すべきである。また、円が円に移る場合においても、一方の円の中心が他方の円の中心に移るとは限らないことにも注意。
title: 不動点
text: 数学において写像の不動点(ふどうてん)あるいは固定点(こていてん、英語: fixed point, fixpoint)とは、その写像によって自分自身に写される点のことである。
title: 大圏コース
text: 球面と平面が交差している場合、共有する曲線は円となる。この内、球の中心を通る平面と球面がなす円を大円と呼ぶ。球面上に存在する2つの点を結ぶ弧のうち最短距離となるのは、弧が大円の一部である場合である。
title: オイラーのコマ
text: 運動エネルギーE と全角運動量の大きさLを指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω1, ω2, ω3)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。
title: 放物線
text: 直線LとL上にない1点Fを固定し、L上に任意の点Pをとると、 直線PFと直線Lのなす角の2等分線は、直線Lを準線、点Fを焦点とする放物線の包絡線となる。
title: 回転体
text: 母線となる曲線が軸と交わらないものとすれば、回転体の体積は表面積と中心軌跡(英語版)によって記述される円周の長さとの積に等しい(パップスの第二中心軌跡定理)。
title: 測地線
text: 球面では測地線は閉曲線となるが、回転楕円体面上など一般には測地線は閉曲線とならない。
title: サイクロイド
text: 定円の半径を rc、動円の半径を rm、回転角を θ、ただし rc > rm > 0 とすると、内サイクロイドの媒介変数表示は
title: 周長
text: 周長(しゅうちょう)は単純閉曲線の始点から終点までの長さ。周囲(ペリメーター、英: perimeter) の長さのこと。英語の perimeter は周囲と周長の両方を指す。
title: 平面における直線の標準形
text: の形に表される方程式である。点・傾き標準形と傾き・切片標準形とは互いに簡単に書き換えられる。
title: 平面における直線の標準形
text: 直線の点・傾き標準形 (point–slope form) は、直線の傾き m と直線上の一点 (x1,y1) に対して、
title: 軌道短半径
text: 軌道短半径(Semi-minor axis)は、幾何学において、楕円や双曲線等の円錐曲線と関連する線分である。軌道長半径と直交し、一端を円錐曲線の中心に置く。曲線の対称軸の1つでもあり、楕円においては短い方、双曲線においては双曲線と交わらない方である。
title: 焦点 (幾何学)
text: 初等幾何学(特に平面射影幾何学)における焦点(しょうてん、英: focus)は、ある種の一連の曲線群に属する任意の曲線を構成するための特別な参照点の対である。焦点を用いて、例えば円錐曲線(円、楕円、放物線、双曲線)やさらにカッシーニの卵形線やデカルトの卵形線(英語版)なども定義することができる。
title: 向心力
text: 力の方向は、円運動の場合には物体が運動している円の中心を向いている。運動経路が円ではない場合には、部分的な経路に最も一致する接触円の中心を向いている。
title: 円周角
text: 円周角(えんしゅうかく)とは、ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。
title: 実数空間
text: R は、ベクトル空間としての R がそれ自身に平行移動として作用するものとして、アフィン空間と看做すことができる。逆に、一つのベクトルを「二点間の変位」と解釈して、ふつうは二点を結び有向線分として描かれる。この違いはつまり、アフィンな n-次元空間では標準的な原点の選び方が存在しない(平行移動でどこへでもやってしまえるから)ということである。
title: インボリュート曲線
text: 運動学的に見れば、速度と回転速度を一定に保ったまま運動する物体の描く軌跡が円の伸開線となる。速度が一定で、回転速度が線型に増加する物体が描く軌跡がクロソイドであることから、円の伸開線の別名として反クロソイドの名がある。
title: 距離
text: 3次元空間において、球面上の異なる2点を結ぶ直線は必ず球体の内部を通る。実際は地球は球体ではないが球体であるとすると、地球上の2点を結ぶ直線も地球内部を通る。通常は地球上の距離は大圏コースによって地表を通る曲線の長さを距離とする。