クイズ問題: 数の単位で、1万を1万倍すると1億になりますが、1億を1億倍するといくつになるでしょう?
答え: 1京

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 億
text: 億は「上数」でも「中数」の万万進・万進でも同様に 10 となる。
title: 命数法
text: その後、千万の次を億とし、十億(10)、百億(10)と続けていく方法が考案された。これを中数(ちゅうすう)という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万(10)倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億(10)、万億(10)、十万億(10)と続き、億の万万倍を兆(10)、兆の万万倍を京(10)とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆(10)とする万進に移行した。
title: じょ
text: 後に行われた「上数」では、秭は垓 (10) の垓倍で 10 を指した。「中数」の万万進では垓 (10) の億倍で 10、万進では垓 (10) の万倍で 10 となる。しかし下数以外で「秭」はほとんど使われることがない。
title: 兆
text: 10倍ごとに位取りの名称を定める下数で「兆」は 10、上数では兆は億 (10) の億倍で 10 を指し、中数の万万進では上数と同じく 10、万進では億の万倍で 10 となった。
title: 二重平方数
text: 日本語で用いられる一万、一億、一兆などの数詞が指す数は 10 = (10) より全て四乗数である。
title: 億
text: ベトナム語の億(ức)は 10 を意味する。10 は「một trăm triệu」(文字通りには一百兆、兆は百万にあたる)という。
title: 不可説不可説転
text: 1無量大数は10、グーゴルは10である。不可説不可説転はこれらよりも遥かに大きい。無量大数の5400溝乗がおよそ1不可説不可説転になる。
title: グーゴルプレックス
text: グーゴルプレックス (googolplex) とは、数の単位であり、1グーゴルプレックスは10の1グーゴル乗 (10)、すなわち10の10の100乗乗 (10) である。1グーゴルプレックスは1の後に0を1グーゴル個つけることによって表される整数である。
title: コンマ
text: 実際には後者の「4桁ごと」はほとんど使われておらず、桁数の多い数を表現するには「1,234兆5,678億9,012万3,456」のように「万」、「億」、「兆」などを組み合わせて表現する。
title: 埃 (数)
text: 中国の『算学啓蒙』(朱世傑 1299)は、万万進に則っているので、埃は塵(万万進では 10 = ⁄1京)の10(= ⁄1億)倍の 10(= ⁄1秭)とする。
title: 命数法
text: 漢代あたりから、上数(じょうすう)が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億(10)であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆(10)、兆兆が京(10)となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。
title: グーゴルプレックスプレックス
text: グーゴルプレックスプレックスは1の後に1グーゴルプレックス個の0が続く数であるため、十進法で全てを書き下すのは、たとえ観測可能な宇宙の物質を紙とインクに変えても不可能である。
title: 六乗数
text: ここには、西洋の命数法において重要な十進法の数10(100万)、100(1兆)、1000(100京)が含まれる。
title: 二十進法
text: 複数の素因数を持つN進法の中で、二十進法の桁の繰り上がりは、三乗レベルで十二進法より五倍遅く、十進法より八倍遅く、六進法より四十倍遅い{11C0(20) = 5000(12) = 8640(10) = 104000(6)}。四乗レベルでは十二進法より八倍遅く、十進法より十六倍遅い{10EE8(20) = 80000(12) = 165888(10)}。億レベルで二十の累乗数は、(6400万)10 に当たる (10)20 が最も近い。
title: 京 (数)
text: 中華人民共和国では、近代まで万進と万万進が混用されており、「億」を越える数単位はあまり用いられなかった。現在、10 は「万万億」または「億億(亿亿)」のように称するか、科学的用途では指数表現を用いる。
title: 二十進法
text: 累乗数の接近では、十二の累乗数と二十の累乗数が (300万)10前後で最も接近し、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する{1000000(12) = ID4J4(20) = 2985984(10) , 10A3A28(12) = 100000(20) = 3200000(10)}。この他には、六の五乗、二十の三乗、十の四乗の三つが 1000(20)(= 8000(10) = 101012(6)})前後で最も接近する{100000(6) = J8G(20) = 7776(10) , 114144(6) = 1500(20) = 10000(10)}。
title: 命数法
text: 当初は万(10)を区切りとして十万(10)、百万(10)、千万(10)まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億(10)、兆(10)、と名付けていた。これを下数(かすう)と呼ぶ。
title: 不可説不可説転
text: つまり、倶胝(くてい、千万(10))から始めて倶胝の倶胝倍(倶胝の2乗、百兆(10))を阿庾多、阿庾多の阿庾多倍を那由他(穣(10)と同じで、現在の那由他(10)とは異なる)というように、それまでに登場した単位をすべて使って数が表現できなくなったときに、新しい単位を作っている(これを上数といい、2乗すると次の単位になるため、二重指数関数に当たる増え方となる)。不可説不可説転はこの系列の最後、122番目になるから、
title: 十二進法
text: また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が0.1111...となって1111(6)=259(10)(=(37×7)(10))の倍数となって循環し、5 = (m/41)6 = (m/25)10の小数は 0.01235... となって1235(6)=311(10)の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497...で四桁になり、これに最も近い37(10)の倍数は 2494(12)(=31104(6)=4144(10)=(37×7×16)(10)となる。
title: 位取り記数法
text: Nの平方数も、三十六である(100)6は4(=2)でも3でも9(=3)でも二十七(=3)でも割り切れる(※二十七分割は (100÷43 = 1.2)6 で有限小数となる)し、百である(100)10は4(=2)でも5でも二十五(=5)でも割り切れるのに対して、六十四である(100)8と二百五十六である(100)16は2の冪数でしか割り切れない。
title: 劫
text: 『仏祖統紀』での劫の定義は上記と異なっていて、寿命が84000歳から始まって100年に1歳ずつ縮んでいき、10歳になった後、また100年に1歳ずつ増えていき、84000歳になるまでを小劫、20小劫を中劫、4中劫を1大劫とする。
title: 砂粒を数えるもの
text: アルキメデス以前には、万までの数に固有の呼び名があり、万を数えることによって万の万(億、10)までは数えることができた。そこで、10 までの数は「第1級の数」、10 を「第2級の数の単位」と呼び、これを億まで数えることにより、10 から 10 までを「第2級の数」と呼んだ。以下同様に、第3級の数、第4級の数と進み、第億級の数まで考えた。この最後の数は
title: 十二進法
text: また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する{両者とも(300万)10前後。10A3A28(12) = 100000(20) = 3200000(10)}。十二の累乗数と十八の累乗数も同じく、十二の六乗と十八の五乗が最も接近する{両者とも(200万)10前後。771600(12) = 100000(18) = 1889568(10)}。
title: 2進接頭辞
text: 二進法ベースのシステムでは、その数量について2の冪乗(2の冪)がよく現れる。そこで大きな量を表す際、SI接頭辞キロが表す乗数1000に近い1024 (= 2の10乗(2)) やSI接頭辞メガが表す乗数1 000 000に近い1 048 576 (= 2) について、キロやメガを接頭辞として主にバイトやビットといったデータの大きさの単位と組み合わせて使用されるようになった。例えば1キロバイトや1メガバイトは、記号を使用して1KB、1MBと書き、また、会話において当事者同士で単位について暗黙または明示的な合意があると認識している場合、単位を省略して1キロ、1メガといった言い方を慣用的に使ってきた。その後、データ規模の拡大に伴い、より大きな乗数を表すギガ、テラ、ペタなども同様に使われる様になった。
title: 兆
text: 中国では、近代まで万万進と万倍が混用され、「兆」はあまり使われていなかった。中華人民共和国では10 のことは「万億(万亿)」という。現在では「兆」は主にメガ(100万)の翻訳語として使われるが、これは下数に相当する。なお、「テラ」は音訳して「太」(または太拉)という。一方、中華民国ではメガの意味で「百万」を、テラの意味で「兆」を使用しているため、混乱の元になっている。
title: 京 (数)
text: 当初は、10倍ごとに位取りの名称を定める「下数」が行われていたので、一・十・百・千・万・億・兆・京で「京」は 10 となる。後に行われた「上数」では、京は兆 (10) の兆倍で 10 を指した。「中数」の万万進では兆 (10) の億倍で 10、万進では兆 (10) の万倍で 10 となる。
title: 循環小数
text: 一方で、十進数の 3456 は六進数だと 24000 だが、素因数分解すると 24000 = 2×3 となるので、分子が 3で、116桁 = 7桁の有限小数になる。よって、1/24000 = 0.0000213 となる。
title: グーゴル
text: グーゴル (googol) とは、数の単位であり、1グーゴルは10の100乗 (10) である。
title: 六進法
text: となる。また、六と十の累乗数が最も接近するのは、十の七乗と六の九乗(両方とも一千万前後)で、1000,0000(10)=5,5420,0144(6)、1007,7696(10)=10,0000,0000(6) となり、「十の冪指数が7の倍数 (14)」と「六の冪指数が9の倍数 (10)」の時にも、かなり接近する。このため、無理数の小数部分の換算では、十進小数の七桁を六進小数の九桁に換算する。
title: 漢数字
text: 現在は万万を億、万億を兆と呼ぶ。古くは万までしか位が無かったので、十万、百万、千万までだった。後に億、兆などが作られたが、その意味する位は一定しなかった。
title: 十二進法
text: 一方で、六進法は2と3の冪指数が同じなので、1728(10)=12000(6)=1000(12)の1/8である「二百十六分率」{216(10)=1000(6)=160(12)}で1/8と(1/27)10の両方が収容可能で、1000(12)の6/8である「千二百九十六分率」{1296(10)=10000(6)=900(12)}で(1/16)10と(1/81)10の両方(つまり2と3の両方で四回分割)まで収容可能となり、いずれも1000(12)に満たない。別の言い方をすると、六進法は「四分割は36(10)まで待たねばならない」が「八分割と二十七分割は216(10)まで待てばよい」のに対して、十二進法は「二十七分割は1728(10)まで待たねばならない」。
title: ガンダ語
text: ただし、amanda amakumi ana 「40個の電池」を省略して amanda ana と言うと「4個の電池」という意味になり、embwa amakumi ana 「40匹の犬」を省略して embwa ana と言うと nnya を embwa とともに使うと ana となるので「4匹の犬」という意味になるため、このような場合は10の累乗数を省略できない。nkumi 「1,000」も形容詞的数詞がこれを修飾する時の形が数を数える場合の形と同じなので省略できない。3,000は必ず nkumi ssatu となる。
title: グラハム数
text: G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい(しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい)。G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑(二重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。
title: 十二進法
text: 576(10) を十進数で分解すると、十進法では 5×10 + 7×10 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×12 で 400(12)となる。50(12) は 60(10) なので、4 を加えた 54(12) も 64(10) に等しい。別の言い方をすると、「五百七十六個の九分割は六十四個」は「四グロスを九人で分けて、五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。このように、十二進法では、「400個」の物品を3人や9人でぴったり分けることができる。
title: 十二進法
text: (m/27)10の小数は、六進法では 12(6)=8=2の倍数だが、十二進法では 54(12)=64(10)=2の倍数になる。そして、(m/81)10の小数は、六進法では 24(6)=16(10)の倍数だが、十二進法では 194(12)=256(10)の倍数まで膨れてしまう。
title: グーゴル
text: また、グーゴルから派生した巨大数としては、グーゴルプレックス(10の1グーゴル乗 =10、すなわち10の(10の100乗)乗 =10)やグーゴルプレックスプレックス(10の1グーゴルプレックス乗 =10、すなわち10の(10の(10の100乗)乗)乗 =10)、スーパーグーゴル (supergoogol)は10の(1000の......(1000の1000乗)乗)乗)......乗)[1000回行う](1 supergoogol=101000回)), ウルトラグーゴル(ultragoogol) は10のsupergoogolのsupergoogolの... supergoogol乗乗乗 スーパーグーゴル回=10スーパーグーゴル回)といったものもある。
title: 億
text: 当初は、10倍ごとに位取りの名称を定める「下数」が行われていたので、一・十・百・千・万・億で「億」は 10 となる。しかし漢代にはすでに 10 を億とすることが一般に行われており、『漢書』律暦志には「一億三千四百八萬二千二百九十七」のような数が見える。
title: 福翁百話
text: そして、星々の数は「何千萬億(なんぜんまんおく)」の限りもないもので、
title: 命数法
text: 中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭辞のメガ(10)に「兆」(下数における 10)の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 10、「兆」は下数の 10 の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆(10)は「万億」といい、京以上については、例えば 10 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾や韓国には日本の命数法(万進)が導入されていたので、兆は 10 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。
title: 0.999...
text: 十進法表示の有限小数に 10 を掛けると、数字は変化することなく、小数点が1つ右に移動する。このことが無限小数に対しても成り立つと見なせば、0.999... × 10 = 9.999... であり、これはもとの数に比べて 9 大きい。引き算が位ごとに扱えることが無限小数に対しても成り立つと見なせば、9.999... − 0.999... = 9.000... である。ところが、小数点以下に無数に続く 0 は数を変化させないので、この差はまさしく 9 に等しい。問題の小数 0.999... を c と置くと、10c − c = 9 であり、この方程式を解くと、c = 1 が得られ、証明が完了する。つまり、導出は以下のようになる。
title: 10の冪
text: 十進法においては、nが自然数(1以上の整数)の場合、10の n 乗 (10) は1の後に0が n 個続く数となる。
title: グーゴルプレックスプレックス
text: グーゴルプレックスプレックス (googolplexplex) とは、数の単位であり、1グーゴルプレックスプレックスは10の1グーゴルプレックス乗 (10)、すなわち10の10の10の100乗乗乗 (10) である。グーゴルデュプレックス (googolduplex) あるいはグーゴルプレクシアン (googolplexian) とも呼ばれる。
title: 八進法
text: 10となる八は素因数分解すると2なので、2でしか割り切れない。即ち、1/3や1/5など奇数分割ができない。単位分数も、2の冪数以外は全て無限小数になる。素因数が複数となる六進小数(2と3)や十進小数(2と5)との対比も示す。
title: 垓
text: 中華人民共和国では、近代まで万進と万万進が混用されており、また「億」より大きな命数についてはあまり使われなかった。10をどのように表現すべきかは意見の一致を見ないが、科学的用途には指数表記がなされるのであまり問題にはならない。
title: テラバイト
text: テラバイトは、国際単位系 (SI) の定めに従いバイトの一兆(= 10)倍(= 1000(10)ギガバイトの1000(10)倍)を示す場合と、国際規格などで定められていない俗習としてバイトの1,099,511,627,776(= 2)倍(= 1024(2)ギビバイトの1024(2)倍)を表す場合がある。
title: デシベル
text: さらに1 000倍×1 000倍といった値を扱う分野では1/100万 (=10)から100万 (=10)のように幅広い桁数の値を扱うことになるが、ベルの値であれば-6から+6と扱い易い値でとりあつかうことができる。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: パンデジタル数
text: 十進法で最小のパンデジタル素数は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数(十桁のパンデジタル数のうち素数であるもの)は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + ... + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。
title: 0.999...
text: 0.999... という小数点以下の位に無数の 9 を加えていくという定義自体が解析的である。これが 1 に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。0.999... という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。
title: 自己同形数
text: 2つの数の合計は 10 + 1 となる。 この2つの数で小さな方の数が 10 より小さい場合、例えば k = 4 である2つの数は9376と625である。 この場合 k 桁の自己同形数にするために小さな方 (k 桁未満) の数にたりない分の桁だけ上位桁に0を付け加える必要がある。(例.9376 + 0625 = 10001)
title: ギガバイト
text: ギガバイトは、国際単位系 (SI) の定めに従いバイトの十億(= 10)倍(= 1000(10)メガバイトの1000(10)倍)を示す場合と、国際規格などで定められていない俗習としてバイトの1,073,741,824(= 2)倍(= 1024(2)メビバイトの1024(2)倍)を表す場合がある。
title: ダース
text: 「グロス」も通常は144の倍数、「大グロス」も通常は1728の倍数に用いられるのが通例で、倍数以外には用いないことが多い。例えば、432個を「3グロス」(30012)、8640個を「5大グロス」(500012)という用法が通例で、270個を「1グロス10ダース6個」(1A612)、2010個を「1大グロス1グロス11ダース6個」(11B612)という用法は稀である。144で割り切れて1728で割り切れない数は、2016個が「14グロス」(120012)、2592個が「18グロス」(160012)というように、「M大グロスMグロス」ではなく「Mグロス」というように用いられる例もある。
title: ニュートン算
text: (或いは、もし10日分を単位とすることに抵抗があれば、「牛1頭の1日分の消費量」を1[頭分]と書くことにして、数字の方を10倍にしても(2000,3000,5000,6000にしても)良い)
title: 六進法
text: 十二の累乗数とでは、六の四乗と十二の三乗が3:4の割合になる(12000(6)=1000(12))が、最も接近するのは六の七乗と十二の五乗になる(520,0000(6)=10,0000(12))。二十の累乗数とでは、「六の冪指数が5の倍数」と「二十の冪指数が3の倍数」の時に最も接近する(101012(6)=1000(20))。
title: パンデジタル数
text: 10桁のパンデジタル数のうち最大の平方数は 9814072356=99066 である。
title: 十二進法
text: また、 12 は 4×3 であり、1 とその数以外の約数が 2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、4 までの全てで割り切れる点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。十進法の 10 は、1 とその数以外の約数が、2 と 5 の 計 2 個しかない。六進法の 6 は、1 とその数以外の約数が 2 と 3 の計 2 個で便利であるが、4 分割ができず、4 分割は 2 倍 の 12 か、平方数の 36 まで待たねばならない。
title: 分数
text: このように、1024 と 1296 は最大公約数が 16 なので、分子・分母を16で割った 64/81 が既約分数になる。
title: グレイコード
text: 数学的には、実数の 10 の表現には 10.000000... と 9.999999... の 2 通りがある(一般に、任意の有限小数は、このような二通りの無限小数として表現できる)。二進法では、1010.000000... と 1001.111111... の 2 種類があることになるが、この時、ある桁から下が、0 と 1 が反転したパターンになってしまう。これを、グレイコードを使って、最初の一桁だけが不定となった後、残りの桁は一致するように表現できる。
title: ダース
text: 通常は12の倍数にのみ使用され、12の倍数以外では使われない例が多い。例えば、36個を「3ダース」(3012)、60個を「5ダース」(5012)という用法が通例で、45個や100個をわざわざ「3ダースと9個」「8ダースと4個」という用法は稀である。6で割り切れて12で割り切れない数は、6個が「半ダース」、30個が「2ダース半」(2612)、90個が「7ダース半」(7612)というように「Mダース半」というように用いられる。
title: 超階乗
text: 5$ は 3$ や 4$ よりさらに巨大な数であるため、桁数の正確な計算すら事実上不可能であるが、120 = 12 × 10 であるため、下位約48.09%の桁で 0 が連続して並ぶ自然数である。
title: 900
text: 997: 素数、3桁では最大の素数である。
title: 近似値
text: 4パーセントは十進法で1/25になるので、4の倍数ではm/25となる。このため、十進法の「56/100」、これを約分した「14/25」の近似値は、五桁で311(10)の倍数で「4354/7776」を意味する小数になり、四桁に縮めると52(10)の倍数で「728/1296」を意味する小数になる。1/3が割り切れるN進法では、「九分の五」または「十二分の七」が割り切れる近似値となるが、「九分の五」の方がより近い小数になる。
title: 超階乗
text: 5! = 120 であり、10 の倍数でもあるため、5$ および 6$ 以降もまた、末尾でいくつもの 0 が並ぶ巨大数であることがわかる。
title: ガンダ語
text: 同様に200から500は100の複数形に2から5を付け加えて作られる。600から1,000は名詞で、同じく6から10までの名詞と同じ語根から派生したものである。このやり方は1万まで繰り替えされ、1万、10万、100万には通常の名詞が使われる。
title: 十二進法
text: 更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では 400÷9 = 54 となる。
title: 近似値
text: 3パーセント(十進法の0.03)を十進法の単位分数にすると 1/33.333... になるため、1/3が割り切れるN進法では、3パーセントの近似値は 1/36 の小数になる。十進法の100÷36 = 2.777...である「2と77/100」を「2と77/99」に丸めると、約分した値が「2と7/9」になる。
title: 六進法
text: 六進法の「1000人」は十進法で「216人」、同じく「200人」は十進法で「72人」になる。従って、「1000人の1/3で200人」「1000人の1/2で43人」「1000人の1/3で12人」といった計算が可能になる。従って、単位分数以外でも2の冪数や3の冪数を分母にして「1000人の『(5×2)/3』で212人」「1000人の『5/2』で343人」といった計算も可能になる。
title: 六進法
text: として表現できる。即ち、10000 は 2×3の数になる。10は六の六乗で 1000000 となり、二の六乗(2 = 144)と三の六乗(3 = 3213)の積になる(144×3213=1000000)。10 も六の六二乗(つまり八乗)であり、六進数で 100000000 、十進数で 1679616 と表記される数になる。
title: 2の冪
text: 例えば、十進法の位取り(十進数)では、1 を2の累乗数で割っていくと、小数には5の累乗数が現れる。(1 ÷ 2 = 0.5 (5) 、1 ÷ 4 = 0.25 (5) 、1 ÷ 8 = 0.125 (5)、1 ÷ 16 = 0.0625 (5)) これらは
title: 十二進法
text: 十二進法では 0.1(12) が「十二分の一」になるため、0.3(12) は 1/4 になり、0.4(12) は 1/3 になり、0.6(12) は 1/2 になり、0.A(12)(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/d として分数化できる一桁小数として、0.8(12)は 2/3 となり、0.9(12)は 3/4 となる。
title: 十六進法
text: 割り切れない小数の循環部は下線で示す。「10」となる十六には因数に奇数が含まれていないため、1/3や1/5といった「1÷奇数」が全て割り切れない。小数を分数化しても、「m/奇数」となる小数が全く現れない。従って、偶数も、1/6{1÷(2×3)}や1/A{1÷(2×5)}といった「1÷奇数で割り切れる偶数」は割り切れない。六の倍数も十の倍数も逆数にすると全て割り切れないので、単位分数は無限小数が充ち溢れ、逆数が有限小数になる例は2の冪数だけになる。
title: 二十進法
text: 二十進法は「4×5=10」となるので、数列は、4の倍数や5の倍数が進みやすいという傾向を持つ。従って、4で割り切れる十二進法(4×3=10)や、5で割り切れる十進法(2×5=10)との親和性が見られる。素因数は十進法と同じく2と5であるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は十二進法と同じである。
title: 度 (角度)
text: また、360は約数が多く、除算のしやすい数である。1 と 360 以外に22個の約数を持ち、1 から 10 までの数のうち、割り切れない数は 7 だけである。1 から 10 までの全ての数で割り切れる最小の数は2520であるが、これは大き過ぎて使いやすい数ではない。
title: 循環小数
text: 循環節の短さは、10 −1 ならびに 10 − 1 を素因数分解した時にどんな数が来るかによって決まる。
title: 循環小数
text: 素数を、逆数の循環節の長さが奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である(より厳密な表現では、N 以下の素数について数え上げた場合の N → ∞ への極限がその比率となる)。
title: 君は海を見たか
text: ビリオネア(英語: billionaire)とは、“1 billion(ビリオン、西洋の命数法を参照)= 1,000,000,000”(10億)から派生した語。
title: グーゴルプレックス
text: 1グーゴルプレックスは10進表記 (n′は10の約数)では1の後に(1グーゴル/n′)個の0が続く数であるため、十進法以下で全てを書き下すのは、たとえ観測可能な宇宙の物質を紙とインクに変えても不可能である。TeXの1ポイントのフォントは0.3514598mmとほとんど読めないくらい小さいが、この大きさでこの数を書くと、n進表記の場合に{logn10×(3.5×10)}mの長さになる。観測可能な宇宙の直径は7.4×10mに過ぎないため、この長さは観測可能な宇宙の直径の{logn10×(4.7×10)}倍にあたる。もし1秒に2文字の数字を書ける人がこの数を書き下すとすると、2021年5月現在の宇宙の年齢の{logn10×(1.1×10)}倍の時間が必要となる。
title: 倍数
text: とりわけ、六進数と十進数では、素因数に2, 3, 5が含まれる倍数の判定が容易である。これは、六進数では10 = 2×3 = 5+1 となり、十進数では 10 = 2×5 = 3+1 となり、\"10\"の素因数と\"10-1\"の素因数に2, 3, 5のどれかが含まれているからである(その上に10の素因数も複数ある)。例えば、2×3×5 = 1400(6) = 360(10)の倍数も、六進数だと「下三桁が200, 400, 000のどれかで、各桁の和が5の倍数」で計3種類(1400, 3200, 5000, 10400...)、十進数だと「一の位が0、整数第二位~第三位で4の倍数が現れ、各桁の和が9の倍数」で計2510種類(360, 720, 1080, 1440...)となる。
title: 富県
text: 8 ビットは 1 バイトと等しいので、1 ギガビットは 125 メガバイトと等しい。
title: 六進法
text: 六進法では「5 + 1 = 10」「2×3 = 10」になるので、2と3という基本的な数による演算が非常に容易である。小数でも、六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。
title: 過剰数
text: 20 が過剰数なので、その倍数つまり下 2 桁が 00, 20, 40, 60, 80 である数は全て過剰数となる。
title: データ量の比較
text: SI接頭辞の「キロ」「メガ」などは厳密には10の累乗である。2の累乗は、2進接頭辞の「キビ」「メビ」などである。したがって、8,000ビットは「キロオクテット」であり、8,192ビットは「キビオクテット」である。
title: 四平方定理
text: 全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
title: SI接頭辞
text: 体積など次元に高い次数(体積では3)を持つ物理量の単位では、桁が開きすぎてしまう。たとえば、キロは1000倍なので、立方キロメートルは10億 (10) 立方メートルになる。このため、1万立方メートル - 1億立方メートル程度の体積が、立方メートル単位では桁が大きくなりすぎて、使いづらいという問題が起こる。
title: 二十進法
text: 小数数の (22.F)20 は「855/20」を意味し、小数の (2.2F)20は「855/400」という意味になる。従って、十進数の 42.75 は二十進数では (22.F)20 となり、十進数の 2.1375 は二十進数では (2.2F)20となる。前者は 42 + 75/100 (= 3/4) と 42 + 15/20 (= 3/4) が同値となり、後者は 2 + 1375/10000 (= 1375/10 = 11/80) と 2 + 55/400 (= 55/20 = 11/80) が同値になるからである。
title: 六進法
text: 十進数では m/3 (= m/27(10)) は割り切れず、37(10) (= 101(6)) の倍数三桁が循環するが、六進数では m/3 (= m/43(6))は割り切れて2=12(6)=8(10)の倍数になる。m/2 の小数も、十進数では 5 (= 125(10) = 325(6))の倍数だが、六進数では 3 (= 43(6) = 27(10))の倍数になる。 従って、六進数では、2 (=12(6)=8(10))で割ると被除数の3 (=43(6)=27(10))倍の数が現れ、3 (=43(6)=27(10))で割ると被除数の2 (=12(6)=8(10))倍の数が現れる。
title: アバカス
text: 全体で13桁で1桁を7珠で表すので、全部で91個の珠がある。7と13、それらを掛け合わせた91という数は、様々な自然現象や天の運行を表す数字とされていた。例えば、91は季節(1年の4分の1)の日数、91の2倍の182はトウモロコシの栽培にかかる日数、91の3倍の273は妊娠期間、91の4倍の364は約1年(1⁄4日だけ短い)とされていた。nepohualtzintzin の計算できる範囲は天文学的数値から極小の量まで広範囲であり、現代のコンピュータに換算すれば10桁から18桁の浮動小数点数に匹敵した。
title: 劫
text: つまり、1劫 = 43億2000万年である。
title: メガ素数
text: 「bevaprime」という用語は、10億桁以上の素数に対して提唱されている。10進数で1,000桁以上の素数はタイタニック素数と呼ばれ、10,000桁以上の素数は巨大素数と呼ばれる。
title: 位取り記数法
text: 十進法では、機械的に十倍、百倍、千倍、一万倍...の順で増える。同じく、十二進法では、機械的に十二倍、百四十四倍、千七百二十八倍、二万七百三十六倍...の順で増える。
title: 自然数
text: 自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。無限に存在する。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 位取り記数法
text: バビロニアの六十進法もそろばんに似た方法で、一桁が「一の位」9つと「十の位」5つで構成されており、整数は十倍→六倍→十倍→六倍と交互になり、小数は六分の一→十分の一→六分の一→十分の一と交互になる。この方法では、整数第二位は「六十の位」と「六百の位」に分かれ、整数第三位は「三千六百の位」と「三万六千の位」に分かれ、小数第一位は「六分の一の位」と「六十分の一の位」に分かれ、小数第二位は「三百六十分の一の位」と「三千六百分の一の位」に分かれている。
title: 擬似完全数
text: 例えば、40 の約数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 のうち 1, 4, 5, 10, 20 の5つを選ぶと、それらの和は 1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40 と元の数に等しいので 40 は擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。
title: パンデジタル数
text: 11桁のパンデジタル数の個数は 10! × (11 × 10 ÷ 2) × (9 ÷ 10) = 179625600 個である。
title: グーゴルプレックス
text: などと書くだけで容易にグーゴルプレックスよりも大きい数を表すことができる。これは別の表記法で 10 や 10↑↑6 、 10[4]6 、そして 10→6→2 、またハイパーE表記で E100#2 と書くことができる。また、グーゴルプレックスや10の1グーゴルプレックス乗(グーゴルプレックスプレックスあるいはグーゴルデュプレックス)も単純な指数表記でそれぞれ 10^10^100 や 10^10^10^100 と書くことができる。このようにグーゴルプレックスは累乗を用いれば簡単に表すことができ、巨大数を表す他の表示法によっても表せる。
title: 六進法
text: 十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10-1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=3)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。
title: 十二進法
text: 十進法の 100(10) や 1000(10) など十の冪数、二十進法の 100(20)(=400(10))や 1000(20)(=8000(10))など二十の冪数、十六進法の 100(16)(=256(10))など二の冪数進法による冪数は、3や9で割り切れないが、十二進法では割り切れる(六進法も同様)。十進法の 100(10) は十二進法では 84(12)、十六進法の 100(16) は十二進法では 194(12) となる(→他の商は後述)。
title: 厘
text: なお、「分」は、1/10である。したがって「九分九厘間違いない」という場合は、0.99(=99%)間違いないということである(詳細は、分 (数)#1⁄100との誤解を参照のこと)。
title: 劫
text: ブラフマーの1年は360日(720劫)にあたり、一生(para)は100年、すなわち72000劫 = 311兆400億年である。