クイズ問題: 紀元前4世紀頃のギリシャの数学者で、「二分法」「アキレスと亀」などの4つのパラドックスで知られるのは誰でしょう?
答え: ゼノン

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: 「亀がアキレスに言ったこと」(かめがアキレスにいったこと、What the Tortoise Said to Achilles)は、1895年にルイス・キャロルが哲学雑誌『Mind』に書いた短い対話編。この文章の中でキャロルによって提示された問題は現在「ルイス・キャロルのパラドックス」(Lewis Caroll's Paradox)、または単に「キャロルのパラドックス」と呼ばれることもある。文中で対話を行う「アキレス」と「亀」は、アキレスが決して亀を追い抜くことができない、という運動に関するゼノンのパラドックスから取られている。キャロルはこの2人の対話を通して、論理学の基礎的な問題をユーモラスに提示してみせた。
title: エウブリデス
text: エウブリデスは7つのパラドックスの形式を発明したことで有名である。ただし、その一部はディオドロス・クロノスが考案したとも言われている。
title: 無限後退
text: また、ルイス・キャロルのあらわした『亀がアキレスに言ったこと』は、(タイトルから察せられるように)ゼノンのパラドックスとの類似性を示した例でもある。
title: カルネアデスの板
text: カルネアデスの板(カルネアデスのいた、Plank of Carneades)は、古代ギリシアの哲学者、カルネアデスが出したといわれる問題。カルネアデスの舟板(カルネアデスのふないた)ともいう。
title: アルゴリズム
text: 記録に残る最古のアルゴリズムは、エウクレイデスの原論のものである。その中でも、二つの整数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法は、典型的なアルゴリズムとして知られている。
title: 三角ゲーム・ピタゴラス
text: 番組は、単に「ピタゴラス」とも呼ばれていた。タイトルの「ピタゴラス」は、三角形にまつわる「ピタゴラスの定理」に由来するもので、解答席の上にはピタゴラスが考えているイラストが掲げられていた。
title: ディオファントス方程式
text: ディオファントス方程式(ディオファントスほうていしき、Diophantine equation)とは、整係数多変数高次不定方程式である。文脈として、整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語であり、主に数論の研究課題と考えられている。古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』で、その有理数解が研究されたのにちなんだ名称である。
title: ゼノンのパラドックス
text: 二つの条件(亀がアキレスの前からスタートする、亀はアキレスより遅い)の下において、追付くか否かが問題とされている。純粋に数学的に見れば、この条件下では、それは定まらない。ゼノン式に捉えたとしてもそれは同じである。従って、ゼノンの誤りは、何れとも決せられないことであるのに、一方を断じていることである。そのことは、アリストテレスを始めとする、ゼノン式の捉え方そのものが問題を孕むのだとする論議は、追付かないケースもある事を見ていない限りにおいて、何処かに問題を孕んでいる可能性があることを示唆している。
title: カメ
text: 古代ギリシアの無限に関する哲学的パラドックスとして有名な「アキレスと亀のパラドックス」では、俊足で知られる英雄アキレスに対して、歩みの遅いものの象徴として亀が用いられている。「先行する亀にアキレスが永遠に追いつけない」という常識的に受け入れがたい結論を導くパラドックスであり、アキレスに比べ亀が遅いものであるとの共通認識が無ければそもそもパラドックスとして成り立たない。
title: 数学パズル
text: 最古の数学パズルともいわれるリンド数学パピルスの問題も計算問題である。ディオファントスの問題やアルキメデスの牛の問題など紀元前から多くの問題が作られている。ディオファントス方程式を用いた問題としては「サルとココナッツ」もよく知られている。他によくあらわれる数としては、フィボナッチ数・三角数・平方数などがある。「どんなディオファントス方程式についても可能な整数範囲での一般解法」は存在しないため、ディオファントス方程式に帰着するような数学パズルは未解決問題かもしれないし、効率的な解法が存在しない問題かもしれないし、解法が存在するか否かもわからないかもしれない、という場合もあるというのは数学パズルの複雑さの一面でもある。
title: 代数的整数論
text: 代数的整数論の始まりはディオファントス方程式までさかのぼることができる。これは3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスに因んで名づけられたもので、彼はそれを研究し、ある種のディオファントス方程式を求める手法を発達させた。典型的なディオファントス問題は、2つの整数 x と y であって、それらの和とそれらの平方の和が与えられた2つの数 A と B にそれぞれ等しくなるようなものを見つけることである:
title: ゼノンのパラドックス
text: アリストテレスが、自らの運動論の展開に利用し且つ対質しつつ伝えるゼノンの四つ議論は、それぞれが、後世いろいろの解釈のもと論ぜられてきた。二分法(dichotomy)は、race courseなどとも呼ばれるが、アリストテレスはもっとも力を入れ、繰り返し論じている。「アキレスと亀」は、もっとも遅い者の代表として、ウサギとカメのイソップ寓話の連想から古くから亀の名が登場している。
title: 数学史
text: タレスは、幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸から船までの距離を計算する等の問題を解決した。ピタゴラスの定理について、ピタゴラス以前からその主張には長い歴史があるものの、定理に最初の証明を与えたのが彼であるとの名声をもつ。エウクレイデス(ユークリッド)によるピタゴラスの論評において、プロクロスはピタゴラスが彼の名を冠する定理を述べ、幾何学的でなく代数学的にピタゴラス数を構成したと述べている。アカデメイアは、「幾何学に精通しない者はここに入るべからず」とのモットーを持っていた。
title: アルキメデスの牛の問題
text: 『牛の問題』(うしのもんだい、英: cattle problem、羅: problema bovinum)は、古代ギリシアの数学者アルキメデスが提示したとされる、ある条件を満たす牛の頭数を問う問題である。現代的な用語を用いれば、あるディオファントス方程式の整数解を求める問題と見なせる。解は無数にあるが、最小のものでも牛の頭数は二十万桁(二十万「頭」ではない)以上という現実世界ではありえないレベルの数に達する。
title: フェルマーの最終定理
text: フェルマー自身の証明は、ディオファントスの『算術』に記された45番目の書き込みに含まれている。フェルマーは以下の手法、法則、定理を使い証明した。
title: エピメニデスのパラドックス
text: エピメニデスのパラドックス (Epimenides paradox) は論理の問題の一つである。クレタ島出身の哲学者クノッソスのエピメニデス(紀元前600年ごろ)の名を冠している。
title: ゼノン (エレア派)
text: 彼の論法は、もし存在が多であるならば、それは有限であると共に無限であるというような矛盾した結論を、相手方の主張を前提とすることから導き出して、これを反駁するところに特色がある。これらの論証は、パルメニデスの唯一不動の存在の考えを弁護する立場からなされている。この一と多の関係についての議論のなかから、有名なゼノンのパラドックスが提示された。運動不可能を論じた〈アキレウスと亀〉〈飛ぶ矢は動かず〉等の論証は有名だが、特に前者はパルメニデスのものであるとも言われる。「実在するものが世界のすべてであり、変化も運動も存在しない」。これこそゼノンがパルメニデスから継承した命題であり、レウキッポスに影響を与えた。
title: ユークリッドの補題
text: ユークリッドの補題の名は、古代ギリシアの数学者アレクサンドリアのエウクレイデスの著作『原論』第7巻の命題30で示されたことによる。
title: ワニのパラドックス
text: ワニのパラドックスは、自己言及のパラドックスのひとつ。人食いワニのジレンマともいわれる。このパラドックスは、古くはルキアノスの著作『人生登攀』22-23にも見え、不思議の国のアリスの作者として知られる数学者ルイス・キャロルが、クロコディルズ(ラテン語: Crocodilus)というタイトルで発表した 。
title: アルキビアデスI
text: ただし、アルキビアデスという重要人物を扱う作品としては内容が簡素で『プロタゴラス』『ゴルギアス』『饗宴』など傑作とされる作品と比べると不足感を感じさせるため、偽作であると主張する学者も一定数いる。
title: 行列の対数
text: より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組(英語版) (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと
title: 三次方程式
text: 古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数 p, q から
title: ゼノンのパラドックス
text: ゼノンのパラドックスとは、エレア派のゼノンの議論で、特にパルメニデスを擁護してなされたいくつかの論駁を指す。多・場所・運動・粟粒等の論があったと伝えられているが、本人の書は失われ、断片が残るだけである。アリストテレスが『自然学』の中で、ゼノンに対する反論として引用した議論が、比較的詳しいものであり、重要なものとして取り上げられてきた。そのなかで運動のパラドックスと呼ばれるものは、運動があるとするとこのような不合理が帰結すると論じられた。シンプリキウスがアリストテレスを注釈しつつ他の議論に触れているものおよびその他の断片から、多(多数性plurality)の議論もいくつか残った。
title: アルキメデスの牛の問題
text: レッシングは、自分の発見した問題が本当にアルキメデスによるものかどうかは疑っていたが、古代において「牛の問題」(羅: problema bovinum)あるいは「アルキメデスの問題」(羅: problema Archimedis)がしばしば難問として言及されていることもあり、アルキメデスの研究で著名なハイベア(英語版)は、これがアルキメデスによるオリジナルの問題を正確に伝えていると考えた。
title: アナムネーシス (哲学)
text: 『メノン』において、プラトンのキャラクター(そしてかつての師)のソクラテスはメノンから挑戦を受ける。これはソフィストのパラドックス、もしくは知識のパラドックスとして知られるようになった:
title: 無理数
text: 無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかしピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。
title: アレクサンドリアのディオファントス
text: ディオファントスが解いた方程式で最も知られているものは、ピタゴラスの定理から派生するものだ。a + b = c を成り立たせる整数の組 a, b, c をピタゴラス数と呼ぶが、ディオファントスは、可能な解すべてを見出している。彼が与えたレシピは、任意の整数2つの組について、それらの平方の差、それらの積の2倍、それらの平方和をとるというものだ。得られた3つの数は、つねにピタゴラス数となる。
title: エウテュデモス (対話篇)
text: 他にソフィストを扱った対話篇としては、初期のものでは『ヒッピアス (大)』『ヒッピアス (小)』『プロタゴラス』『ゴルギアス』が、後期のものでは『ソピステス』がある。
title: 2の平方根
text: 無理数はピタゴラス教団のメタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。
title: フェルマーの最終定理
text: 17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー(1607年 - 1665年)は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(たとえばフェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのはゴットフリート・ライプニッツである)。
title: ことばの梯子
text: 生物学者ジョン・メイナード=スミスは、キャロルによるお題「猿を人間に進化させよ」(Evolve MAN from APE) を引き合いに出し、ことば梯子で語が変化する様子と、生物の進化の過程で DNA の配列が変化する様子が類似していると語った。マーティン・ガードナーが『サイエンティフィック・アメリカン』誌のコラム「数学ゲーム」において、このお題に対するキャロル自身の解
title: 素数判定
text: Pythonによる素数判定(エラトステネスの篩)のプログラム例を示す。
title: エウテュデモス (対話篇)
text: エウテュデモスとディオニュソドロスが、クレイニアスを相手に「相手が二択のどちらを選んでも論駁することが可能」な論争術(詭弁術)を披露。
title: ゼノンのパラドックス
text: ゼノンのパラドックスの中でも最もよく知られたものの一つであり、多数の文献は彼の手に帰しているが、歴史家パボリノスの説によれば、この議論を創始したのはパルメニデスであるという。
title: ゼノンのパラドックス
text: その議論やキャラクターの面白さから、アキレスと亀という組み合わせは、この論自体とともに多くの作家に引用された。たとえば、ルイス・キャロルの『亀がアキレスに言ったこと』や、ダグラス・ホフスタッターの啓蒙書『ゲーデル、エッシャー、バッハ』に主役として登場する。
title: 数学史
text: ピタゴラス学派は無理数の存在を発見した。エウドクソス(紀元前408〜355年頃)は、現在の積分法の先駆である、取り尽くし法を開発した。アリストテレス(紀元前384〜233年頃)は最初に論理学の法を書いた。エウクレイデスは今日の数学でも使用される形式である、定義、原理、定理、証明の最も初期の例である。彼はまた円錐曲線の研究も行った。彼の本、『ユークリッド原論』は、20世紀の中頃まで、西洋で教育を受けたものすべてに知られていた。ピタゴラスの定理などの幾何学のよく知られた定理に加えて、『ユークリッド原論』には2の平方根が無理数であることや素数が無限に存在することの証明が記述されている。素数の発見にはエラトステネスの篩(紀元前230年頃)が使用された。
title: ピタゴラス
text: 彼の教団は現代にまで伝わる、さまざまな数学的な定理を発見したが、その中には有名なピタゴラスの定理のように現代にまで至る数学の基礎となったものがある。ピタゴラスの定理はピタゴラスが一人で発見したのではなく、この教団による成果であり、教団ではこの定理の重大性を記念して、百頭の牡牛を生贄に捧げて発見を祝ったという。
title: 双子素数
text: 素数が無数に存在することは古代ギリシアで既に分かっており、ユークリッドの『原論』に証明がある。これに対し、双子素数は無数に存在するかという問題、いわゆる「双子素数の予想」や「双子素数の問題」は、いまだに数学上の未解決問題である。無数に存在するだろう、とは、多くの数論学者が予想している。
title: 立方体倍積問題
text: プルタルコスによると、プラトンはエウドクソス、アルキタス、メナイクモスにこの問題を出題した。メナケムスは、機械的手段でこの問題を解いたが、プラトンから、純粋に数学的な方法で解決していないと非難された (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)。これが、紀元前350年代の『シシュポス』の中で、この問題が未解決問題として引用された原因かもしれない。
title: 素数
text: 素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』の中で証明している。
title: プロタゴラス (対話篇)
text: 『プロタゴラス』(プロータゴラス、希: Πρωταγόρας、英: Protagoras)とは、プラトンの初期対話篇の1つ。副題は「ソフィストたち」。
title: 数学ガール
text: 「僕」の従妹のユーリは中学2年生。ある休日ユーリはいつものように「僕」の部屋に入り浸って本を読んでいるとき、ふとしたことから「僕」に数学を教えてもらうことになる。「僕」はミルカやテトラ、そしてユーリとともに数学の世界を旅していきピタゴラスの定理、素数、背理法などの問題を解いていく。「群論は明日だ」ミルカは確かにそう言った。しかし、その約束は守られなかった。
title: ゲーデル、エッシャー、バッハ
text: 『ゲーデル、エッシャー、バッハ』は、複数の話が織り交ざる物語の形をとる。主な章は架空のキャラクターによる対話が交互に現れる。多くは、最初にエレアのゼノンが、後に『亀がアキレスに言ったこと』でルイス・キャロルが使ったアキレスと亀の対話である。これらの起源は最初の2つの対話に関連しており、後の対話では蟹などの新しいキャラクターが紹介される。これらの対話は、しばしば自己参照とメタフィクションに浸る。
title: 代数的整数論
text: ディオファントス方程式は数千年の間研究されてきた。例えば、二次のディオファントス方程式 x + y = z の解はピタゴラスの三つ組(英語版)によって与えられ、初めはバビロニア人ら (c. 1800 BC) によって解かれた。26x + 65y = 13 のような線型ディオファントス方程式の解は、ユークリッドの互除法 (c. 5th century BC) を用いて見つけることができる。
title: バビロニア数学
text: バビロン第1王朝時代の粘土板には、現在で言うところのピタゴラスの定理を研究した記録がある。スーサで発見された粘土板には、ピタゴラスの定理を用いた最も古い例が見られる。また、イラクのテル・ハーマルで発見された紀元前2000年ほど前の粘土板からは、のちにエウクレイデスが触れた相似三角形について理解していたことがわかる。
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: 何人かの哲学者がこのキャロルのパラドックスを解決しようとしてきた。バートランド・ラッセルは「プリンキピア・マテマティカ」(1903年)で簡単な議論をしている。それによれば、自明ではない命題間の関係である含意 implication (「pならばqである」という形式による結びつき)と、自明である命題間の関係である推論 inference (「pであるゆえにqである」という形式による結びつき)を区別すべきだという。この違いを明確にすることでラッセルは、AとBが等しいことからZだという含意 によって論じようとする、あるいは仮言的な「AとBが正しいならば、Zは正しい」ということへの合意へと議論を依存させようとする亀の試みを否定できるとしている。
title: 二次方程式の解の公式
text: 古代ギリシアの数学者ユークリッド(およそ紀元前300年)は原論という自身の著作の中で二次方程式を解くのに幾何学的方法を使った。原論は非常に大きな影響を与えた数学の学術文献である。およそ紀元前200年の中国の九章算術には二次方程式に対する解法が登場する。古代ギリシアの数学者ディオファントス(およそ紀元前250年)は、自身の著作算術において二次方程式を解いたが、彼の手法はユークリッドの幾何学的手法と比較してより代数学的であったとされる。ディオファントスの解は、たとえ2つの解が共に正であっても1つの解のみを与える。
title: 代数方程式
text: 代数方程式は、面積を求める幾何学的な問題や、ディオファントス方程式などの算術的な問題として、古来から数学において重要な研究対象となってきた。ピタゴラスの定理 a + b = c を満たす自然数の組 (a, b, c)(ピタゴラス数)を求める問題やその一般化として17世紀にフェルマーが考察した a + b = c などが代数方程式とその研究の例として挙げられる。後者の例については、これを満たす自然数の組は自明なもの(abc = 0 の場合)を除いて存在しないという主張がフェルマーの最終定理として知られる。
title: 素数が無数に存在することの証明
text: 素数が無数に存在することの証明は、古くは紀元前3世紀頃のユークリッドの『原論』に記され、その後も多くの証明が与えられている。素数が無数に存在することは、しばしばユークリッドの定理(英: Euclid's theorem)と呼ばれる。
title: アッバース朝
text: サービト・イブン=クッラはペルガのアポロニウス、アルキメデス、エウクレイデス、クラウディオス・プトレマイオスの著書を訳した。また、友愛数の発見者とされる。
title: 幾何学
text: 人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。
title: ゴルギアス (対話篇)
text: ゴルギアス、ポロス、カリクレスの3人と順々に、ソクラテスが対話・問答する構成となっており、文量としては、前半はゴルギアスとポロスが半分ずつ、後半は丸々カリクレスとの対話が展開される。したがって、『ゴルギアス』という題名とは裏腹に、メインの対話者はカリクレスとなっている。更に、「弁論術について」という副題が付いているものの、弁論術についての話題は、ポロスとの対話の途中から後景に退いて行き、現実政治における正・不正、善・悪といった話題が中心を占めるようになる。
title: たのしい算数
text: アリスとテレスの名前はアリストテレスに由来する。
title: サービト・イブン・クッラ
text: 数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。
title: ブルンの定理
text: ヴィーゴ・ブルンはここから双子素数の逆数の和が収束することを導いた。証明にはエラトステネスの篩を基にした篩の方法が使われ、その中でメビウス関数などが、用いられている。また補題として算術の基本定理が使われている。これは篩の方法が最初に本格的な結果を得るために使われた事例であると同時に双子素数に関する最初の理論的な成果であり、双子素数に関する研究の出発点となった。
title: 帰謬法 (修辞学)
text: ギリシャの数学者たちは帰謬法を使って基礎的な命題の証明を行っていた。エウクレイデス(ユークリッド)と、アルキメデスは初期の好例である。
title: アントニオ・ホセ・デ・スクレ
text: カルネアデス(希:Καρνεάδης, ラテン文字転記:CarneadesまたはKarneades, 紀元前214年 - 紀元前129年)は、古代ギリシアの哲学者。カルネアデスの板という問題を出したことで有名である。
title: 1+1
text: 初等教育では 1+1=2 は自明のこととして扱われるが、公理から出発して証明された命題のみを真実として認める、というエウクレイデス以来の哲学からすると、1+1=2 の論理的な位置付けを明らかにすることが望まれる。数学基礎論が整備されつつあった時代に、ホワイトヘッドとラッセルは、数学の基礎的な部分を完全に形式的に展開することを目標として『プリンキピア・マテマティカ』を著した。この書物では、記号論理学的な準備に数百項が費やされており、実際に十進法の演算が定義されて 1+1=2 が証明されるまで700ページあまりを必要としている。
title: ジョン・ウォリス
text: 1650年代中頃、ウォリスとトマス・ホッブズとの間に論争が起き、それが長く続くことになった。ホッブズの著作『物体論』(1655年)に数学的誤りがあることを数学者らが指摘したことが発端となった。ホッブズは円積問題を解いたと主張し、1670年代まで両陣営が主張し合う形で論争が続いた。
title: アキレスと亀 (映画)
text: タイトルの『アキレスと亀』の元々の意味は、俊足であるはずの人間が鈍足の亀と競争しても勝てないことを証明する数式上の逆説(パラドックス)である。
title: 三次方程式
text: メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題は
title: 詭弁
text: 詭弁と似たものにパラドックスがある。パラドックスは詭弁に比べて、より正確で厳密な推論を進めることに特徴がある。パラドックスの例としては、ゼノンのパラドックスのように論理展開が正しいように見えて結論が誤っているものや、双子のパラドックスや誕生日のパラドックスのように結論が誤っているように見えるが正しいもの、自己言及のパラドックスのように矛盾に関連したものなどがある。
title: ブレーズ・パスカル
text: 「人間は考える葦である」などの多数の名文句やパスカルの賭けなどの多数の有名な思弁がある遺稿集『パンセ』は有名である。その他、パスカルの三角形、パスカルの原理、パスカルの定理などの発見で知られる。ポール・ロワヤル学派に属し、ジャンセニスムを代表する著作家の一人でもある。
title: プロタゴラス (対話篇)
text: という主張によって、プロタゴラスが論破されることになるが、実はこの命題は、「勇気」を主題として扱った対話篇『ラケス』においては、ニキアスによって提示され、ラケスによって「それぞれの分野・対象の専門知がなければ、何が恐ろしくて何が恐ろしくないかを、見分けることなどできない」と批判され、斥けられている命題でもある。
title: 三角数
text: 特に三角数 10 (= 1 + 2 + 3 + 4) はピタゴラス(学派)にとって「完全なる数」として大事な数とされた。
title: ヒッピアス (大)
text: 他にソフィストを扱った対話篇としては、初期のものでは『プロタゴラス』『エウテュデモス』『ゴルギアス』が、後期のものでは『ソピステス』がある。
title: 素数
text: 紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数に関する知識が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。例えば分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。しかし、記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシア人が最初である。紀元前約300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。また、ユークリッドはメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩(ふるい)は、素数を列挙するための計算方法である。
title: 算盤の書
text: 第三部では多くの数学の問題について論じている。例として、中国の剰余定理、完全数、メルセンヌ素数などである。同様に等差数列や四角錐数の公式についても論じている。また、この章では兎の頭数の増加について述べているが、それはフィボナッチ数列の起源となり、このため今日でもフィボナッチの名が広く知られるようになった。
title: ギリシャ七賢人
text: プラトンが『プロタゴラス』の中で挙げたのは次の通りである。
title: トマス・ホッブズ
text: 1655年に円積問題の解を見つけたと公表し、数学者のジョン・ウォリスとの論争に発展した。ホッブズは終始この問題の本質を理解することができず、自分の解の誤りを認識できずに死ぬまで激しい論争を続けた。
title: 素数
text: 素数が無数に存在することは、紀元前3世紀頃のユークリッドの著書『原論』で既に証明されていた。
title: ピタゴラス
text: ピタゴラスは紀元前6世紀に、あらゆる事象には数が内在していること、そして宇宙のすべては人間の主観ではなく数の法則に従うのであり、数字と計算によって解明できるという思想を確立した。彼は和音の構成から惑星の軌道まで、多くの現象に数の裏付けがあることに気がついた。そしてついには、宇宙の全ては数から成り立つと宣言した。彼がこの思想にもとづいて創始したピタゴラス教団は、数の性質を研究することにより、宇宙の真理を追究しようとした。教団に入門するには数学の試験があったが、この試験は相当難しく、数学に適性のある者だけが選抜されて教団に集まった。そしてピタゴラス教団は、古代世界で最も著名な数学の研究機関となった。この学派は10を完全な数と考え、10個の点を三角形の形に配置したテトラクテュスを紋章とした。
title: 正の数と負の数
text: プトレマイオス朝エジプトではディオファントスが3世紀に『算術』で 4x + 20 = 0 (解は負となる)と等価な方程式に言及し、この方程式はばかげていると言っており、古代地中海世界に負数の概念がなかったことを示している。
title: 池田美恵
text: 主な論文に「エウクレイデスの無理量について」、「ソポクレスの宗教性」がある。
title: プラトン
text: プラトンはイソクラテスの影響を受け、中期より文体を変えていることが分かっている。文章に使われる語彙や母音の連続などを調べる文体統計学により、現代ではかなりの作品の執筆順序について学者間の意見は一致している。たとえばトラシュロスが『クリトン』の後においた『パイドン』(ソクラテスの死の直前、ピュタゴラス学派の二人とソクラテスが対話する)は、中期の作品に属することが分かっている。ただしその内容から、いくつかの作品については執筆年代についての論争がある。
title: エラトステネス
text: エラトステネスの考案したとされる素数判定の方法で、篩(ふるい)のように数表を用意して合成数を逐次消去していくことにより素数の一覧を得る手法として広く知られている。
title: ピタゴラス
text: 一方でピタゴラスは数の調和や整合性を不合理なほど重視し、完全数や友愛数を宗教的に崇拝した。そのため教団の1人が無理数を発見したとき、その存在を認めようとするかわり、発見者を死刑にしてしまった。分数でも整数でも書き表せない奇怪な数が存在することは、彼の思想を根本から否定するものだったからである。
title: エピメニデス
text: エピメニデスの詩と称されるものが、新約聖書・「使徒行伝」17章28節と「テトスへの手紙」1章12節に言及され、特に後者は「エピメニデスのパラドックス」として「自己言及のパラドックス」の例に挙げられる。1908年にバートランド・ラッセルが型理論についての論文で、この「すべてのクレタ人は嘘つきだ、とクレタの預言者が言った」という一節を有名にしたのである。
title: エラトステネスの篩
text: エラトステネスの篩 (エラトステネスのふるい、英: Sieve of Eratosthenes) は、指定された整数以下の全ての素数を発見するための単純なアルゴリズムである。古代ギリシアの科学者、エラトステネスが考案したとされるため、この名がついている。
title: 算術 (書物)
text: 『算術』(さんじゅつ、希: Αριθμητικα)は、3世紀に書かれたとされる古代ギリシアの数学書。数学者ディオファントスの著書である。代数の問題130問と解が記されている。同書に記されている方程式の一部はディオファントス方程式と呼ばれる。
title: ヒッピアス (小)
text: 他にソフィストを扱った対話篇としては、初期のものでは『プロタゴラス』『エウテュデモス』『ゴルギアス』が、後期のものでは『ソピステス』がある。
title: ヘウレーカ
text: 『ヘウレーカ』 (HEUREKA) は、岩明均による古代ローマ時代を舞台とした歴史漫画。全6話。タイトルのヘウレーカはアルキメデスがアルキメデスの原理を発見した際に叫んだ言葉であるヘウレーカ (ΕΥΡΗΚΑ / εὕρηκα, /hěurɛːka/, 古代ギリシャ語で、\"I have found (it)\" の意味) から。
title: プロタゴラス (対話篇)
text: 他にソフィストを扱った対話篇としては、初期のものでは『ヒッピアス (大)』『ヒッピアス (小)』『エウテュデモス』『ゴルギアス』が、後期のものでは『ソピステス』がある。
title: プラトン
text: また、初期末の『メノン』、そして、『饗宴』『パイドン』といった中期の作品は、ピタゴラス学派の影響が色濃いこともあり、紀元前388年-紀元前387年の第一回シケリア旅行の後、またその直後の紀元前387年にアカデメイアの学園が開設された後に、すなわち40代になってから、数年の間に書かれたものであるという見解も、概ね合意されている。
title: ユークリッドの互除法
text: 明示的に記述された最古のアルゴリズムとしても知られ、紀元前300年頃に記されたユークリッドの『原論』第 7 巻、命題 1 から 3 がそれである。
title: 王の道
text: エウクレイデスは、数学の学習においてより安易な道はないものかと、エジプトのプトレマイオス王に尋ねられ、「幾何学を学ぶに王道はない」と答えたと言われている。この箴言は、『銀の弾丸などない (No Silver Bullet) 』という随想のなかで、ソフトウェア工学に関してフレデリック・ブルックスが述べた、「王道はないが、道は存在する」という現代の言葉のなかでも利用されている。
title: ピタゴラス
text: ピタゴラス(古代ギリシャ語: Πυθαγόρας, ラテン文字転写: Pȳthagórās、ラテン語: Pythagoras、英: Pythagoras、紀元前582年 - 紀元前496年)は、古代ギリシアの数学者、哲学者。「サモスの賢人」と呼ばれた。ピュタゴラスとも表記される。
title: 無理数
text: しかしプラトンが現れると、彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。
title: ピエール・ド・フェルマー
text: 数論への傾倒の直接的な契機は、古代ギリシャの数学者ディオファントスが著した『算術』 (Arithmetica) の注釈本を1630年ごろに手に入れて研究したことのようである。 『算術』を熟読していくうちに彼はその余白に有名な48の注釈を書き込んだ。 フェルマーの数論における仕事が世に知られるようになったのは、その死後に長男のサミュエルが『算術』を父の書込み付きで再出版してからであり、数論の研究においては事実的に孤立していた。
title: ディオファントス近似
text: ディオファントス近似(ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation)とはある数(実数など)を別のより単純な構造を持つ数(有理数など)で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。
title: 完全数
text: 完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀頃のユークリッドである。彼は『原論』(第9巻、命題36)で、2 − 1 が素数ならば、2(2 − 1) は完全数であることを証明した。2 − 1 が素数となるには n が素数である必要があるため、これにより、2 − 1 が素数となる素数 p の探求に終始されることとなる。2 − 1 を通常 Mp で表し、メルセンヌ数という。メルセンヌ数が素数であるかの判定法が考案され(リュカ1876年、デリック・ヘンリー・レーマー(英語版)1930年代)、1950年代からコンピュータが使われるようになり、現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われている(詳細はメルセンヌ数を参照)。
title: アルキメデスの牛の問題
text: の整数解を求めることに帰着される。
title: 普遍論争
text: 通説では、中世における最大の論争である普遍論争(the problem of universals)は、西暦三世紀にフェニキア人ポルフュリオス(232/33 - 305頃)によって書かれた『アリストテレス範疇論入門』(Eisagoge eis tas Aristoteles kategorias、通称:イサゴーゲー)の次の一節に端緒を持つと言われる。
title: アルキメデスの牛の問題
text: この問題は、紀元前250年頃、アルキメデスがエラトステネスに宛てた手紙に書かれていたとされる。1773年、ドイツの劇作家ゴットホルト・エフライム・レッシングが、ヴォルフェンビュッテル(英語版)の図書館で発見して公表した。彼は、上記の式で k = 80 としたものに相当する解を与え、全ての条件を満たすとコメントしたが、それは誤りであって最後の2条件を満たさない。
title: パンセ
text: 『パンセ』は箴言を多数含んでいることでも知られている。例えば「人間は考える葦である」という有名な言葉も『パンセ』の中にパスカルが残した言葉である。正確には「人間はひとくきの葦にすぎず、自然の中で最も弱いものである。しかし、考える葦である」がおおよその訳である。「葦のように人間はひ弱なものであるが、思考を行う点で他の動物とは異なっている」という事を示す言葉と言われている。
title: 世界史ちゃんTV 〜何となく歴史が学べるVTR〜
text: 無知の知を提唱したソクラテスが弟子のプラトン、アリストテレスを思いつきで誘って出来たユニット。曲名は「ムチノチじゃんけんぴょん」
title: 三個の平方数の和
text: この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。
title: 微分積分学
text: 微分積分学は、宇宙や時間や運動の性質をより正確に理解するのにも有用である。数学者と哲学者は数世紀にわたり、ゼロ除算や無数の数の総和に関わるパラドックスについて論争してきた。それらの問題は、運動と面積の研究過程で生じた。古代ギリシアの哲学者ゼノンは、ゼノンのパラドックスのような有名な例を示している。微分積分学、特に極限と無限級数を使えば、それらのパラドックスを解決することができる。
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: この対話において、亀はアキレスに対し「論理の力を使って自分を納得させてみろ」と吹っ掛ける。つまり「単純な演繹からでてくる結論を私に認めさせてみろ」と言う。しかし結局アキレスはそれができない。なぜなら、カメが論理学の基本的な推論規則に対して「なぜそうなのか?」という問いを発し続けてアキレスを無限後退に追いやるためである。
title: ヒッピアス (ソフィスト)
text: プラトンは、2つの対話編『ヒッピアス (大)』と『ヒッピアス (小)』でヒッピアスの方法論を非難している。本の趣旨からして誇張してるのは疑いないだろうが、一方で、ヒッピアスは人間について十分な知識を持ち、彼が自称するような階級であったとも書いている。