クイズ問題: 銀河の後退する速度は、そこまでの距離に比例するという法則を、提唱した科学者の名前から何の法則というでしょう?
答え: ハッブルの法則

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 宇宙の距離梯子
text: ハッブルの法則とは、天体の後退速度と天体までの距離は正比例するという法則である。天体の赤方偏移を測定して後退速度を求め、この法則を用いれば、特に遠方の天体までの距離の測定には効果を発揮する。ハッブルの法則式を変形すると、以下の方程式が得られる。
title: ニュートンの運動方程式
text: この方程式では力が質量と加速度の積に等しいことを示している。しかし、後にこの方程式は近似的にしか成り立たない事が分かった。相対性理論によると、物体の速度は光速を越えることはないが、この方程式では一定の力をかけ続ければいつかは光速を越えることを意味する。したがってニュートンの運動方程式を適用できる範囲は物体の速度が光速に比べて十分に小さいときのみである。とはいっても、我々が日常で会う物体のほとんどは秒速100kmにも満たない速度で運動しているため、この式に数値を当てはめて計算しても全く問題がないほど小さな誤差しか生じない。いっぽう物体の速度が光速に近い場合には相対性理論の運動方程式を適用しなければならない。
title: ハッブル=ルメートルの法則
text: ハッブル=ルメートルの法則が成り立つ「距離」とは、共動距離、つまり、その銀河の現在位置までの距離である。「速度」とは、その時間微分である。観測上、遠方の天体ほど、ハッブル=ルメートルの法則に従わなくなる。これは光速が有限なため観測上遠方の天体が過去の距離(宇宙論的固有距離)と速度を表し、かつ過去のハッブル定数が現在のハッブル定数と異なるからである。
title: エルンスト・マッハ
text: この業績にちなみ、圧縮流体中における物体の速度を音速との比であらわした値について、彼の名前を冠し「マッハ数」と呼ばれている(遷音速での飛行機の空力特性など、対気速度そのものよりも音速との比が重要な場合について使われる値である)。
title: 長さ
text: ニュートンは空間を絶対のものとする体系(ニュートン力学)を作った。というよりも、暗黙裡にそうだと仮定されていたと言ったほうがよいのかも知れない、というのは(一般には)誰も疑いもしなかったのであるし、アインシュタインが現れるまで、空間や距離や時間というものは「自明のもの」として、根本的に問い直したり、疑うことをしなかったのだから、と茂木は述べた。(ただし哲学の領域ではカントが空間や時間についても徹底して検討しようとしたことがあるにはあったのではあるが)。ニュートン力学では長さは絶対のものと暗黙裡に仮定されていた。アインシュタインの相対性理論によって、ニュートン力学の絶対空間は否定され、物体の速度が光速に近づくにつれ、進行方向に空間が縮み、物体の長さが縮む、とされるようになった。例えば光速の60%で進む乗り物があったとしたら、それは進行方向について20%縮む、という。
title: 物理学における時間
text: マクスウェル方程式が任意の慣性系(等速の基準系)に保持されていると仮定したとき、光が常に速度 c で移動すると予測されるという事実は、ガリレイの相対性原理と矛盾する。ガリレイ変換によれば、光に対して併走(または逆行)する観察者の基準系における光の速度は減少(または増加)することが予測されるからである。
title: 長さの収縮
text: 長さの収縮 (length contraction) は、運動する物体の長さが、自身の静止系で測定される長さである固有長(proper length)よりも短く測定される現象。ローレンツ収縮やローレンツ・フィッツジェラルド収縮(ヘンドリック・ローレンツとジョージ・フィッツジェラルドにちなむ)とも呼ばれる。物体が進んでいる方向のみに生じる。普通の物体ではこの効果は日常的な速度では無視でき、物体が観察者に対して光速に近づくときのみ重要となる。
title: エーテル (物理)
text: ガリレイ変換とは、観測者の視点を変えることである。例えば時速80キロメートルで走る電車の中を、進行方向に向かって時速4キロメートルで歩いている乗客は、別の乗客からは、時速4キロメートルで動いているように見える。しかし、電車の外にいる人からは、この乗客は時速84キロメートルで動いているように見える。見る人が変われば運動も異なって見える、その見え方の違いを定式化したものがガリレイ変換である。そしてニュートンの運動方程式は、ガリレイ変換をしても、つまり誰から見ても、成立する。このように、常に成立することを「不変」という。
title: ハッブル=ルメートルの法則
text: v {\\displaystyle v} を天体が我々から遠ざかる速さ(後退速度)、 D {\\displaystyle D} を我々からその天体までの距離とすると、
title: 光速
text: 光速は一般に記号 c または c0 で表される。これはヴィルヘルム・ヴェーバーによる「ヴェーバー定数」(Weber's constant)に由来するとともに、ラテン語で速さを意味する celeritas にも由来するものである。
title: 万有引力
text: ニュートンは、太陽を公転する地球の運動や木星の衛星の運動を統一して説明することを試み、ケプラーの法則に、運動方程式を適用することで、万有引力の法則(逆2乗の法則)が成立することを発見した。これは、『2つの物体の間には、物体の質量に比例し、2物体間の距離の2乗に反比例する引力が作用する』と見なす法則である。力そのものは、瞬時すなわち無限大の速度で伝わると考えた。式で表すと、万有引力の大きさ F {\\displaystyle F} は、物体の質量を M , m {\\displaystyle M,m} 、物体間の距離を r {\\displaystyle r} として、
title: エーテル (物理)
text: の関係があり、この速さは、実験的に知られていた光の速さと一致した。この事実から、光は電磁波の一種であると推定された。しかし、ニュートン力学においての基準座標系同士の関係(ガリレイ変換)を前提とすると、光の速さは、その光と同じ方向に進む観測者からは遅く、逆方向に進む観測者からは速く見えるはずである。従って、上式のような関係は一般には成立できない(どの基準座標系でも成立するわけではない)と考えられた。そこで、エーテルの運動を基準とした絶対座標系が存在し、その座標系でのみマクスウェルの方程式は厳密に成立すると推定された。マクスウェルやフィッツジェラルドらは、このようなエーテルのモデルを提唱した。
title: 運動の第2法則
text: 質点の速さが光速より十分小さければ γ → 1 となり、ニュートン力学とほぼ同じ意味を持つ式となる。
title: ケプラーの法則
text: 第2法則は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味している。これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる事も有るが、面積速度とは、惑星の位置ベクトルと速度ベクトルの外積に他ならず、ニュートン力学における、角運動量保存の法則に相当する。
title: ロバート・フック
text: 最近の研究で、重力が距離の2乗に反比例するという仮説は1660年代末までには広く知られており、様々な人々が様々な理由でそれを発展させていたことがわかっている。ニュートン自身も1660年代に惑星が円軌道だと仮定したとき、中心方向へ引っ張られる力は中心との距離と逆2乗の関係にあることを示した。1686年5月にフックが逆2乗の法則を自分のものだと主張したとき、ニュートンはその反論として他者のフック以前の業績を示した。さらにニュートンはフックから最初に逆2乗の法則について聞いたのがもし事実だとしても、それを数学的に定式化したのは自分であり、フックは単に観察から大まかに推論したに過ぎないと主張した。
title: 円運動
text: 物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期 T といい、角速度をωとするとT は
title: 特殊相対性理論
text: 本節では光速を超えずに移動する観測者 A の感じる時間の長さ(観測者の固有時間)s が、A の世界線の(ミンコフスキー計量で図った)「長さ」に一致することを示す。
title: 宇宙の年齢
text: ハッブルの法則によれば、あらゆる銀河は距離に比例した速度で遠ざかっており、その比例定数がハッブル定数である。膨張速度が一定ならば、ハッブル定数の逆数で定義される時間だけ過去には、全ての銀河は一点に集まっていたことになる(図の Ω = 0 {\\displaystyle \\Omega =0} )。この時間をハッブル時間と呼ぶ。
title: オーレ・レーマー
text: レーマーのこの比を計算せず、光速の値も与えなかったが、他の多くの人々がデータから速度を計算した。最初に行ったのはクリスティアーン・ホイヘンスである。彼はレーマーと通じ多くのデータを引き出した後、光が1秒で地球の直径の16 ⁄3倍の距離を移動したと推定した。これは約212,000 km/sである。
title: 時間微分
text: ニュートン力学やラグランジュ力学においては、基本変数として位置と、その時間微分である速度を用いる。速度を時間微分したものを加速度、さらに時間微分したものを躍度(加加速度)と呼ぶ。
title: 光速
text: 現代の国際単位系では長さの単位メートルは光速と秒により定義されている。光速度は電磁波の伝播速度でもあり、マクスウェルの方程式で媒質を真空にすると光速が一定となるということが相対性理論の根本原理の由来になっている。
title: コリオリパラメータ
text: コリオリパラメータとは、地球など回転する惑星上において運動する物体に働くコリオリの力の水平成分の係数であり、惑星渦度とも呼ばれ、一般に f で示される。緯度に依存して変化するパラメータであり、緯度を φ、惑星の自転角速度を Ω とすると f = 2Ω sin φ で与えられる。地球流体力学では、コリオリの力を f k×u と表記する。
title: 音速
text: 1762年、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュは音速理論の問題を解決させる1つの方法を提案した。それは、ニュートンが『プリンキピア』で採用した、弾性力が密度に正比例するという仮定を取り去ることである。こうすることにより、音速の理論値は変わる。そしてラグランジュは、弾性力は密度のべき乗に比例すると直感して計算し、その結果、弾性力が密度の3分の4乗に比例する場合、音速の理論値は実験値と比例することを示した。しかしこの計算は物理的な根拠に乏しいため、ラグランジュはこの仮説を「はかない憶測」だとして捨ててしまった。
title: 電磁波
text: また波動方程式から得られる真空中を伝播する電磁波の速さは一定である。そのため、相対性原理を仮定するならば、どのような慣性系についても、すなわち観測者がどのような方向と速度で動いていたとしても、観測される電磁波の速さは不変である。これを光速度不変の原理という。 その速さは真空中の光速に等しく 299,792,458 m/s(約 30 万キロメートル毎秒)である。光速度が不変であることは、有名なマイケルソン・モーリーの実験をはじめとして様々な実験により確かめられている。この真空中の光速は最も重要な物理定数の一つである。光速度不変の原理から、光速を用いて長さと時間の単位を定義することができる(メートル、秒の定義を参照)。
title: ローレンツ変換
text: ローレンツ変換は、マイケルソン・モーリーの実験結果を矛盾なく説明する手段として提案された。ローレンツは、時間の流れや光速度はすべての基準座標系において同一と考えたため、「大きな速度で動く座標系では、2点間の距離(物体の長さ)は縮む」というローレンツ収縮を示した(ローレンツ・フィッツジェラルド収縮仮説)。しかし、ローレンツ収縮は実験結果と矛盾した。後に、アインシュタインは、光速度の不変性と物理法則の相対性(「物理法則はあらゆる慣性系間で同一である」)の 2 つを原理として、特殊相対性理論を築いた。そこでは、ローレンツ変換からの帰結として、時間の進み方が観測者によって異なることが示された。
title: 光速
text: 1729年にジェームズ・ブラッドリーは季節による星の光行差から光速を求めた。彼の測定値は301000km/sであった。
title: 長谷部康平
text: 回転速度に 2π ラジアンをかけると、角速度の大きさになる。回転速度を n [s]、角速度の大きさを ω [rad/s] とすれば、回転速度と角速度の関係は以下のように表すことができる。
title: ハッブル=ルメートルの法則
text: 光速度をハッブル定数で割った値、つまり、光速度とハッブル時間の積を、ハッブル距離
title: ヨハネス・ケプラー
text: ケプラーの法則は「距離の二乗に反比例する力によって惑星が太陽に引かれている」と示唆する。ケプラーはそのことに気付いており、「太陽と惑星の間に、磁力のような力が存在する」と述べた。その力は、後にアイザック・ニュートンによって「万有引力」であるとされた。ただし、正確には万有引力は惑星を太陽系中心に引き付けているだけで、公転を続けるのは惑星の、軌道に接する面の方向の慣性、角運動量保存の法則による。
title: ケプラーの法則
text: ケプラーの法則に従う運動をケプラー運動ともいう。
title: 光
text: 光速(光の速度)は、光源の運動状態にかかわらず、不変である(光速度不変の原理)。また、光は物質のない真空中の空間を伝播することができる。光の強さは光源からの距離の2乗に反比例する(ケプラーの光の逆2乗の法則)。
title: 角速度
text: 運動学において、角速度(かくそくど、英: angular velocity)は、ある点をまわる回転運動の速度を、単位時間に進む角度によって表わした物理量である。言い換えれば角速度とは、原点と物体を結ぶ線分、すなわち動径が向く角度の時間変化量である。特に等速円運動する物体の角速度は、物体の速度を円の半径で割ったものとして与えられる。従って角速度の量の次元は、通常の並進運動の速度とは異なり、時間の逆数 T となる。
title: マイケルソン・モーリーの実験
text: マイケルソン・モーリーの実験(マイケルソン・モーリーのじっけん、英: Michelson-Morley experiment)とは、1887年にアルバート・マイケルソンとエドワード・モーリーによって行なわれた光速に対する地球の速さの比 (β = v/c) の二乗 β を検出することを目的とした実験である。
title: 三浦関造
text: 1801年にニュートンの万有引力の法則から光子に質量があると仮定した時の天体の重力による、光線の曲がる角度を計算したことでも知られる(光子の質量がわからなくても、曲がる角度は計算することができる。ヘンリー・キャヴェンディッシュも1783年に計算している)。これらの値はアルベルト・アインシュタインは一般相対性理論を使って、光が天体の重力によって曲げられる角度は万有引力の法則で得られる角度の2倍であることを示し、これが観測によって確認された。
title: 軌道 (力学)
text: 科学計算や宇宙探査計画のための目的には、微分方程式の形式が使われる。ニュートンの法則によれば、全ての力の合計は質量と加速度の積で表される (F = ma)。従って、加速度を位置の関数として表すことができる。この形式を使うと摂動項をずっと簡単に記述できる。初期状態での位置と速度から未来の位置と速度を予言する計算は微分方程式の初期値問題を解くことに対応する。すなわち、初期値から時刻が少し後の天体の位置と速度を数値的に計算し、これを繰り返すことで解を得る。しかしこの方法では、計算機が持つ演算精度の限界によって微小な計算誤差が生じるため、数値積分の方法によっては誤差が累積し、解の精度も制限される。
title: 力 (物理学)
text: 光速に対して速度の大きさ v が極めて小さければ、相対論的な運動量はニュートン力学における定義とほとんど一致する。たとえば音速は光速の 0.0001% 程度であり、地球上で起こる大抵の運動に関してはニュートン力学を適用することができる。
title: 運動量
text: アイザック・ニュートンは運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した。
title: 速さ
text: 以上の例で、速度(平均速度)は符号付きのスカラー量、速さ(平均の速さ)は正のスカラー量になっていることに注意されたい。
title: MM-QUBE
text: 速さはスカラー量であり、「ベクトル量である速度の大きさ」と定義される。速さと速度の違いについては、速度#速度と速さをも参照のこと。
title: 空間
text: 19世紀後半には、ニュートン力学の再構成が盛んになり、できれば「絶対空間」という概念(仕組み)は抜きで運動を理解しよう、とする試みが盛んに行なわれるようになった。なぜなら、たとえばマクスウェルの方程式(1864)から、光速はいかなる観測者からも一定、という、絶対空間と絶対時間という枠組から見ると奇妙な結論が得られる。そういったほころびが目立つようになってきたからである。
title: 重力
text: また(上でも述べた)ホイヘンスは、遠心力の公式を発見した。地球の自転はすでに明らかになっていたので、重力は万有引力そのものではなく、万有引力と地球の自転による遠心力との合力だということになった。
title: 運動量
text: 角運動量は、ニュートンの運動方程式と同様な方程式、
title: 運動量保存の法則
text: 運動量保存の法則(うんどうりょうほぞんのほうそく)とは、ある系に外部からの力が加わらないかぎり、その系の運動量の総和は不変であるという物理法則。運動量保存則ともいう。最初、デカルトが『哲学原理』の中で、質量と速さの積の総和を神から与えられた不変量として記述したが、ベクトルを用いて現在の形の運動量とその保存則を導いたのはホイヘンスである。
title: 人工衛星の軌道要素
text: なお、平均運動(1日に軌道を周回する回数)と、軌道の(半)長径との関係はケプラーの第3法則により一意に定まるので、平均運動が軌道の大きさを示すことになる。実用上は、軌道の長径を直接測定できないが、周期(周回速度の逆数)は測定できるため、人工衛星のパラメータとしてはもっぱら平均運動を用いる。
title: 大気循環
text: 18世紀にイギリスの気象学者ジョージ・ハドレーは、当時知られていた貿易風と偏西風を説明する理論的な大気循環モデルを提案した。低緯度で暖まった大気が上昇して高緯度に向かい冷やされて下降することで、大気上層では低緯度から高緯度へ、地表付近を含む大気下層ではこれを補うために高緯度から低緯度へ大気が移動する。そして地球の自転により高緯度から低緯度へ向かう下層の風は西向き(東風)に、低緯度から高緯度へ向かう上層の風は東向き(西風)に曲がるが、運動量保存の法則から風はだんだんと加速されるため、高緯度では下層でも西風が卓越する。また低緯度の下層の実際の東風は運動量保存を考えた時よりも遅いが、これは摩擦による減速の為だと考えた。ここでハドレーが考えた運動量保存は正しくなく、実際には角運動量が保存される(角運動量保存の法則)のだが、モデル自体は一部正しかった。
title: 観測的宇宙論
text: 1929年に、エドウィン・ハッブルとミルトン・ヒューメイソンにより、天体が我々から遠ざかる速さとその距離に比例関係があるという、ハッブルの法則が発表された。この時に用いられたケフェイド変光星の変光周期と絶対光度の関係は、その後の観測から修正がなされており、ハッブルパラメータは現在の値と比べて1桁程度大きいが、宇宙が膨張している証拠とされた。
title: 超壕機 TG
text: 遠心加速度(えんしんかそくど)とは、回転運動をする系において物体に加わる遠心力の大きさを加速度の形で表したもの。回転の中心からの距離の絶対値および回転運動の角速度の二乗に比例して大きくなる。すなわち、遠心加速度a は
title: 天体力学
text: 中心天体(例えば太陽)からの重力(万有引力の法則)を受ける天体(例えば惑星)の運動はケプラー運動と呼ばれる。ケプラー運動では、天体の位置 r {\\displaystyle \\mathbf {r} } はニュートンの運動方程式
title: 新田義宗
text: 運動の第1法則(うんどうのだい1ほうそく、英語: Newton's first law)または慣性の法則(かんせいのほうそく) は、慣性系における力を受けていない質点の運動を記述する経験則である。ガリレイやデカルトによってほぼ同じ形で提唱されていたものをニュートンが基本法則として整理した。
title: 特殊相対性理論
text: 光速度原理は前述したマイケルソン・モーリーの実験の結果から帰結される。実際、この実験の結果によれば、地球から見た光速度は季節によらず同一であった。地球の運動方向や速度は季節によって異なるので、この実験の結果は、光速度が系の運動方向や速度によらないことを意味し、これはすなわちどの慣性系から見ても光速度が不変である事を強く示唆しているのである。
title: 逆2乗の法則
text: 万有引力の法則は逆2乗の法則の中でもよく知られている。引力に関する逆 2 乗則の発見者としてロバート・フックとアイザック・ニュートンは特に有名である。フックとニュートンはケプラーの考え方を拡張し、またニュートンはフックの示唆もあって「万有引力は全方位に影響を与え、その強さは距離の 2 乗に反比例する」と考えた。1680年にフックはこの法則について述べた書簡をニュートンに送っている。万有引力について満足いく結果が得られたのはニュートンが著した『自然哲学の数学的諸原理』においてであり、その初版は1687年に出版されている。
title: 天体力学
text: まず第1巻でニュートンは質量 (quantity of matter) および運動量 (quantity of motion) を定義し、力 (force) について論じている。続いて運動の法則を定式化し、中心力場のもとでは面積速度が一定であること(そして逆に面積速度が一定であるならば中心力が働いていること)、円錐曲線を描いて運動する物体には距離の二乗に反比例する中心力が作用していること、その場合に楕円軌道を描く物体の周期は楕円の長半径の1.5乗に比例することを示した。
title: 特殊相対性理論
text: 両者の齟齬が特に先鋭化したのは、光の速度に関する解釈である。ガリレイの相対性原理を前提とした場合、光の速度は慣性系に依存するはずであるので、光の速度を異なる慣性系で計測すれば、マクスウェル方程式が成立するただ一つの「静止基準系」を見つけることができるはずである。この発想からマイケルソン・モーリーの実験が行われたが、後述のようにどれもが「静止基準系」であるかのような結果が得られてしまった。
title: エーテル (物理)
text: しかし、マクスウェルの方程式によれば、光の速さは誘電率と透磁率から定まるが、この値は、観測者の運動に依存しない。つまり、電車に乗っている人にとっても、外にいる人にとっても、光の速さは同じでなければならないことになる。すなわち、マクスウェルの方程式はガリレイ変換について不変ではない。全ての物理学理論はガリレイ変換について不変であるべきだと考えられていたため、「エーテルに対する絶対座標系」が存在し、マクスウェルの方程式はこの座標系においてのみ厳密に成立すると考えられた。
title: 特殊相対性理論
text: そしてマクスウェル方程式を解くことにより、電磁波の速度を計算したところ、これが光速度 c と一致したため、光の正体は電磁波であると考えられるようになった(そしてそれは正しかった)。
title: 軌道力学
text: ケプラーの法則は、周回する天体が中心の天体からの重力のみを受けていると見なせる場合には、ニュートンの法則から導くことができる。推力が働く場合、ニュートンの法則は適用できるが、ケプラーの法則は成り立たなくなる。推力が止まると、結果として軌道は変わるが、再びケプラーの法則が適用できるようになる。ケプラーの3法則は、次のとおりである。
title: 特殊相対性理論
text: 本節では光速を超えずに移動する観測者 A の世界線 C が曲線である場合に対して A の固有時間を求める方法を述べる。
title: マクスウェルの方程式
text: 19世紀後半を通じて物理学者の大半は、マクスウェルの方程式において光速度が全ての観測者に対して不変になるという予測と、ニュートン力学の運動法則がガリレイ変換に対して不変を保つことが矛盾することから、これらの方程式は電磁場の近似的なものに過ぎないと考えた。しかし、1905年にアインシュタインが特殊相対性理論を提出したことによって、マクスウェルの方程式が正確で、ニュートン力学の方を修正すべきだったことが明確になった。これらの電磁場の方程式は、特殊相対性理論と密接な関係にあり、ローレンツ変換に対する不変性(共変性)を満たす。磁場の方程式は、光速度に比べて小さい速度では、相対論的変換による電場の方程式の変形に結び付けられる。
title: ケプラーの法則
text: アイザック・ニュートンは、自分が発見した運動の法則と、このケプラーの法則などを元に万有引力の法則を導き出した。一方、ケプラーの法則は万有引力の法則を、惑星のポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの和が負である(すなわち、惑星が無限遠まで飛んでいかない)という条件の下、太陽の質量に比べ惑星の質量が十分小さい(すなわち、太陽は静止していると見なせ、惑星間の相互作用は無視できる)という近似を行って解くことによって導くことができる。ケプラーが太陽系の惑星の運動について述べたことは、ある質点とその周囲を回るそれに比べて十分に質量の小さな質点という、2つの任意の質点間に対しても同様に成り立つことが分かる。
title: 天体力学
text: 上述のように、アイザック・ニュートンはプリンキピアにおいて惑星軌道が円錐曲線であるならば逆二乗則に従う中心力が作用していることを示したものの、逆に逆二乗則の重力を受けて運動する物体の軌道がどのようなものかという問題に対しては十分な回答を著述しなかった。この問題は1710年の Jakob Hermann の研究、そしてそれに続くヨハン・ベルヌーイの研究によって解決された。
title: ニュートンの運動方程式
text: ニュートンの運動方程式(ニュートンのうんどうほうていしき、英: Newton's equation of motion)は、古典力学において、物体の非相対論的な運動を記述する以下のような微分方程式である:
title: ニュートンの運動方程式
text: ニュートンの運動方程式から質量 m ≠ 0 {\\displaystyle m\\neq 0} で力 F = 0 {\\displaystyle {\\boldsymbol {F}}=0} ならば加速度 a = 0 {\\displaystyle {\\boldsymbol {a}}=0} が導けるが、これは運動の第1法則の意味を表しているようにも見えるため、運動の第1法則は運動の第2法則に含まれるといわれることもある。しかし、そもそも運動の第1法則(慣性の法則)が成立する系(慣性系)で無ければ運動の第2法則も成立しない事に注意しなくてはならない。そのため、運動の第1法則は、ニュートン力学を適用するための前提となる慣性系の存在を宣言していると現在では解釈されている。ただし、ニュートンは絶対空間の存在を主張しているため、必ずしもこの法則は必要とされない。
title: ドミトリー・フォーミン
text: ニュートンの記法(にゅーとんのきほう、英: Newton's notation)は、数学における微分の記法のひとつである。 この記法はアイザック・ニュートンが fluxion(流率・流動率) と呼称した時間に対する変化率を表すために導入したもので、関数名の上部に微分の階数と同数のドット符号を記す。
title: レイノルズ数
text: レイノルズ数が低い状態では、力と速度の関係はストークスの式により与えられる。
title: 運動の第2法則
text: この方程式はニュートンの運動方程式と呼ばれる。
title: 私の愛するテーマ
text: ルイス数(英: Lewis number)とは、熱と物質の移動速度の比を表す無次元の物性値である。熱と物質が同時に移動するような系の解析で重要なパラメータとなる。名称はウォーレン・ルイス(英語版)に由来する。
title: トルク
text: 物体の慣性モーメント I、角加速度 α、トルク N の間には、ニュートンの運動方程式とよく似た関係が成り立つ。
title: 運動の第2法則
text: なお、この運動方程式は、ニュートン自身は直接示しておらず、レオンハルト・オイラーによって、1749年の «Recherches sur le mouvement des corps célestes en général»(『天体の運動一般に関する研究』)で初めて公表された。
title: 特殊相対性理論
text: これはユークリッド空間において曲線の長さを求める弧長積分のミンコフスキー空間版であるので、上の公式は、観測者 A の固有時間が A の描く世界線 C の「長さ」に一致することを意味している。
title: 角速度
text: また、角速度の絶対値(またはノルム)をしばしば角速度の大きさと呼ぶが、文脈によっては、角速度の大きさを含めて単に「角速度」と呼ぶことがある。
title: 高橋至時
text: 至時は著書『新修五星法及図説』において、自らが行った観測結果から、惑星の公転周期を計算した。そして、公転周期の2乗と軌道半径の3乗の比が一定になるという法則、つまりいわゆるケプラーの第3法則を利用して、惑星の軌道半径を計算した(至時はこの法則を剛立から学んでいる)。
title: 角運動量保存の法則
text: ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は
title: 時間の遅れ
text: 特殊相対性理論では、基準となる慣性系内の観測者から見ると、観測者に相対して動いている時計は、観測者の基準系内で静止している時計よりも時間の進みが遅くなって観測されることを示している。相対速度が速ければ速いほど時間の遅れは大きくなり、光速 (299,792,458 m/s) に近づくにつれて時間の進み方がゼロに近くなる。これにより、光速度で移動する質量のない粒子が時間の経過の影響を受けないということになる。
title: 思考実験
text: この結果、ニュートンは引力を形式化する微分を作ることになる。
title: マッハ数
text: マッハ数(マッハすう、英: Mach number)は、流体の流れの速さと音速との比で求まる無次元量である。
title: 運動の第2法則
text: 速度の時間微分、従って位置の2階の時間微分は加速度と呼ばれる。ニュートンの方程式によれば、物体の加速度はその物体が受ける正味の力に比例し、その比例係数は慣性質量となる。
title: 地球の重力
text: 重力加速度と地上の物体に働く下向きの重力の間には、ニュートンの運動方程式 (F = ma) で与えられる直接的な関係がある。しかし、正味の加速度には、地球の自転のような他の要因も寄与する。
title: ヴィルヘルム・ヴェーバー
text: またこの式には、電磁単位系と静電単位系の比c(ヴェーバー定数:Weber's constant)が現れる。そこでヴェーバーは1855年にこの値をコールラウシュ(Rudolf Kohlrausch)とともに測定し、その値が光速に極めて近い、3.1074 x ×10m/s であることを見出し、1856年の論文に記した。ただし、ヴェーバー自身はこれが光速に近いことに言及はしていない。この事実は当時あまり注目されなかったが、後にマクスウェルの電磁気学理論の重要な伏線であることが明らかになった。なお、この1856年の論文におけるヴェーバー定数(Weber's constant)の記号 c は、後にceleritas(ラテン語で「速さ」の意)の\"c\"とともに、光速の記号の元となった。
title: ベルヌーイの定理
text: ベルヌーイの式は流体の速さと圧力と外力のポテンシャルの関係を記述する式で、力学的エネルギー保存則に相当する。この定理により流体の挙動を平易に表すことができる。
title: 一般相対性理論における測地線
text: 測地線の運動方程式のこの表式はコンピュータ計算や、一般相対性理論とニュートン重力を比較する際に便利である。この形式を固有時をパラメータとする形式の測地線の運動方程式から導出するのは連鎖律を用いればすぐに可能である。この方程式の両辺は添字 μ が 0 のときは両辺が零の恒等式になることに気付く。もし、粒子の速度が十分に小さいならば、測地線方程式は次の式に帰着する。
title: ローレンツ変換
text: ガリレイ変換は、等速運動をする慣性系間の座標変換であり、ニュートンの運動方程式は不変な形で変化するが、マクスウェルの方程式では満足されない古典的な座標変換である。ローレンツ変換は、マクスウェル方程式を不変な形で変換する。また慣性系の動く速度 v が、光速度 c に比べて十分小さい場合(v/c → 0 と見なせる場合)を考えると、ローレンツ変換はガリレイ変換を再現する。したがって、非相対論的な極限でガリレイ不変性が成立しているという事実もローレンツ変換で説明できる。
title: 本気汗
text: 視線速度(しせんそくど、radial velocity)とは、天体の移動を速度で表現したもののうち、観測者の視線方向(奥行き方向)に沿った速度成分のことである。
title: 地球流体力学
text: 最初に行われ、ほぼすべての場合で用いられる近似がコリオリの力の鉛直方向成分の無視である。鉛直座標を重力の方向にとるため、角速度ベクトルは極を除き南北方向成分を持つ(Ω = Ω(0, cos φ, sin φ)、ここで φ は緯度)。そのため、コリオリの力の 3 成分は、2Ω×u = (- 2Ωv sin φ + 2Ωw cos φ, 2Ωu sin φ, - 2Ωu cos φ) となる。地球上での流体の運動は水平方向が卓越し、水平方向速度は鉛直方向速度の 10 倍と見積もられ(スケール・アナリシス)、2Ωw cos φ の項は無視できる。この項を無視することにより、保存則を成り立たせるため - 2Ωu cos φ も消去する必要がある。結果として、コリオリの力を f k×u = (- fv, fu, 0) に近似する。ここで f = 2Ω sin φ はコリオリパラメータと呼ばれる。
title: 量子力学
text: ポテンシャルの空間微分(古典的には力に対応するもの)の空間的な変化がゆっくりで、波動関数の広がっている範囲で一定と近似できるならば、シュレーディンガー方程式の期待値を取ることで運動方程式が得られる。即ち位置の期待値と運動量の期待値が古典力学における運動方程式であるハミルトン方程式を満たす。
title: マイケルソン・モーリーの実験
text: この問題に対する説明は、ローレンツ=フィッツジェラルドの収縮仮説、あるいは長さの収縮と呼ばれる仮説により与えられた。この仮説によれば、全ての物体は、運動のエーテルに対する相対的な向きに沿って縮むのである。そのため、エーテルの風により光の速さが変わっても、ちょうどそれを打ち消すように長さが変化するので、干渉縞のずれは生じないのである。1932年に、マイケルソン=モーリーの実験を改良したケネディ=ソーンダイクの実験(英語版)が行われた。この実験では、二つの光線が進む距離は等しくなく、一方だけを極端に短くした。この実験では、長さの収縮に伴って予想される時間の遅れが正しくなければ、地球の運動は干渉縞に影響を与えるはずであった。しかし、そのような影響は観測されなかった。このことは、特殊相対性理論の根幹を成す、長さの収縮と時間の遅れの二つの仮説が正しいことの証拠であると考えられる。
title: コリオリの力
text: ここからは地球の自転によるコリオリの力の大きさを数学的に記述する。地球の角速度を ω {\\displaystyle \\omega } とすると、緯度 φ {\\displaystyle \\phi } における地平面内の南北方向の方向ベクトルの角速度は、 ω sin  φ {\\displaystyle \\omega \\sin \\phi } となるため、地球の自転によるコリオリの力の大きさは物体の速さを v {\\displaystyle v} として
title: 力 (物理学)
text: 現在の運動エネルギーに対応する概念について、1676年から1689年の頃にゴットフリート・ライプニッツは vis viva と名付けた。これは当時の運動に関する保存則の議論の中で、保存量として提案されたものである。
title: 極運動
text: キュストナーは星の位置の観測から、チャンドラーは全く別に200年前の古い星の位置の記録からこの結果を導き出した。チャンドラーが得た結果は変化の周期が305日ではなく428日であったため、人々を驚かせた。それまでは305日周期の変化を発見しようと努力していたからである。この428日周期の極の運動をチャンドラー極運動という。オイラーの誤りは地球を剛体であると仮定したためで、サイモン・ニューカムは地球を弾性体と仮定すれば観測値と適合することを証明した。
title: 音速
text: と表せる。そして、ボイルの法則( PV = 一定)が成り立つとき、k は圧力 P に等しくなり、音速は
title: 軌道速度
text: 中心方向に対して横向きの軌道速度は、角運動量保存の法則、もしくはそれと等価なケプラーの法則のために、中心の物体との距離と反比例する。物体が軌道をある一定時間の間に周回する時、重心と物体を結ぶ線分が作る領域の面積は、その時物体が占めている軌道の位置によらず常に等しいということである。このことは近地点では遠地点より物体は速く動くことを意味する。なぜならより物体がより短い距離にある時は、同じ面積を掃くためにはより大きな角度を動く必要があるからである。この法則は通常「面積速度一定の法則」と呼ばれる。
title: 地球流体力学
text: 回転系における力学が基礎となっており、ナビエ-ストークスの式に外力の項として重力と見かけの力であるコリオリの力が加えられたものが基礎方程式として用いられる。慣習としてコリオリの力は左辺におき、全体を密度 ρ で割った次の式が用いられる。
title: ニュートンの運動方程式
text: 古典的にニュートンの運動方程式からは、質点に加えられた力積が質点の運動量変化に等しいこと、質点に加えられた仕事が運動エネルギーの変化に等しいこと、そして力学的エネルギー保存の法則、運動量保存の法則が導かれる。
title: 光の波動説
text: そういった謎の1つとして、いわゆる「エーテルの風」によって予想されるような現象を検討するマイケルソン・モーリーの実験が1887年に行なわれた。この実験で、エーテルの風を有意に示すような結果は得られなかった。1905年にアインシュタインが発表した特殊相対性理論に関する論文『運動物体の電気力学について』に至り、光速はいかなる(相対)運動をしている観測者からも不変である、ということになり、「光速の基準となるエーテル」の存在は考える必要が無いものとなった。
title: オーレ・レーマー
text: レーマーの光の速度は有限であるという考えは、1727年にジェームズ・ブラッドリーによりいわゆる光行差の測定が行われるまで完全には受け入れられなかった。
title: 特殊相対性理論
text: 相対速度を用いたローレンツ変換の表示 ― 観測者Aから見た観測者Bの相対速度を v とするとき、必要なら空間方向の座標軸を回転させる事で、ローレンツ変換は
title: マイケルソン・モーリーの実験
text: 期待された光の速さの変化は、最大でも、光速に対する地球の公転速度の比、すなわち一万分の一程度であった。19世紀には、多くの物理学者たちがこの種の実験を試みた。しかし、実験装置の精度が不充分であったために、光の速さの微小な変化を捉えることはできなかった。たとえば、フィゾー=フーコーの装置は 5 % の精度で光の速さを測ることができたが、エーテルの風を測定するには不充分であった。
title: 不変質量
text: この方程式は、不変質量は4元ベクトル (E, p) の擬ユークリッド長さであることを意味する。空間と時間の次元がそれぞれ逆符号の相対性理論版のピタゴラスの定理を用いて計算される。この長さは四次元でのローレンツブーストや回転に対して保存する。これは、ベクトルの長さが回転に対して保存することと同様である。
title: 音速
text: 音は空気の膨張・収縮によって伝わるとすると、その際に空気の温度は変化することになる。ニュートンは音の伝播を等温変化(ボイルの法則が成り立つ)として計算したが、音速を正しく求めるならば、温度変化も考えなければならない。ビオはラグランジュの手法を使って、弾性力が密度の1+α乗に比例すると考え、このとき音速は、これまでの理論値の 1 + α {\\displaystyle {\\sqrt {1+\\alpha }}} 倍になると計算した。
title: 気体分子運動論
text: まずルドルフ・クラウジウスが登場し、気体を構成する粒子は必ずしも点粒子でなく、内部自由度をもつことを比熱の議論から示した(1857年)。また圧力から推測される分子の速さ(毎秒数百メートル)が気体中の拡散速度よりはるかに大きいという批判に応えるために分子間衝突を考慮して平均自由行程の概念を導入し、気体の粘性係数などの輸送係数を議論する基礎を作った(1858年)。
title: チューブラーベル
text: しかし、ニュートンには『光学』という著書もあるように、その当時から既に物理学の対象であった光の速さは、人類には謎であった。ニュートン力学の基本的な考え方とされる「絶対時間と絶対空間」についても、むしろ仮定であったと見る向きもある。やがて光速が測定され、マクスウェルによって示された電磁方程式により電磁波の速度がわかると、それが光速と一致すること、そして、どんな場合でもその速度が同じ、という、それまでの物理学における考え方からはどうしても奇妙な現象をどう説明するか、に悩まされることになった。