クイズ問題: ルート2や円周率などのように、分数の形で表すことのできない数を何というでしょう?
答え: 無理数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: ランダム
text: ランダム性は、log(2)や円周率(π)などの数値で発生する。πの小数部は無限の数列を構成し、循環的に繰り返されることはない。πなどの数字は正規数であると考えられている。これは、数字が統計的意味でランダムであることを意味する。
title: 超越数
text: よく知られた超越数にネイピア数(自然対数の底)や円周率があり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。
title: 分数
text: 分母、分子ともに整数である分数で表す事ができる数を有理数という。また分子・分母が数式(関数)であるような分数を分数式(分数関数)といい、特に多項式の商として表される分数式を有理式とよぶ。分数式まで視野に入れると、何かに占める割合といった分数の意味は薄れるが、それは商(除法)の概念がそうであるのと同様である。
title: 2の平方根
text: 2 の平方根(にのへいほうこん、英: square root of two)とは、平方して 2 になる複素数のことである。すなわち、
title: 楕円曲線DSA
text: 逆数の逆数は元と同じであることと、逆数と元の積は O {\\displaystyle O} であることから
title: 行列の対数
text: 与えられた正方行列 A に対して、e = A を満たす正方行列 B を、A の(行列の)対数と呼び B = log(A) あるいは ln(A) などで表す。複素数の場合と同様、行列の対数はしばしば一意ではない(後述)。
title: スカラー (数学)
text: 四元数の実部(実成分)のことをスカラー部(スカラー成分)とも呼ぶ。
title: 行列の平方根
text: 数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix)は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B = BB が A に等しいときに言う。
title: コンピュータの数値表現
text: つまり、十進で有限小数で表せる数が二進で有限小数になるとは限らない。これを回避する方法として、小数ではなく分子と分母を別々に格納した一種の分数として内部で保持する方式がある。しかし、平方根を求めるなどといった演算はできない。また、分数同士の加減算では通分によって分母が表現できないほど大きな値になる可能性があるため、「有理数型」というデータ型として、分母分子ともに多倍長整数で表すことが普通である。
title: ドット積
text: ベクトルの自分自身とのドット積の(正の)平方根
title: 複素数型
text: 複素数型の値は通常、2つの浮動小数点数によって表される。あまりないが極座標表現を併用するものや場合もある。加減乗除の演算子(+, -, *, /)が複素数を扱えたり、複素数型の値を表現するリテラルがあったりする言語のことを「複素数のサポートがある」などと言ったりする。他に、比較演算や、ライブラリによる文字列との変換、などがある。数学と同様に、虚部が0の複素数型の値を、(何らかの暗黙の型変換システムによって)他の、実数の部分集合となっている数値型の値と同一視できるような場合もある。
title: 連分数
text: 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
title: 分数
text: のように分子・分母がさらに分数を含むような分数を繁分数(はんぶんすう、英: compound fraction)という。
title: ペロン＝フロベニウスの定理
text: A を非負行列とする。添字 i を固定したとき、その添字の周期(period of index)を、(A)ii > 0 が成立するような全ての自然数 m の最大公約数として定義する。A が既約であるとき、全ての添字の周期は等しく、それは A の周期と呼ばれる。実際、A が既約であるとき、その周期は、グラフ GA に含まれる全ての有向閉路の長さの最大公約数として定義される(Kitchens の 16 ページを参照)。
title: 分数
text: 分数は正の整数だけではなく、整数全体や実数、複素数等を用いても定義される。除法としての意味からも分かるように分母が 0 の分数には対応する数がない。しかし極限を取り扱う場合などに便宜上、分母が 0 の分数を使うことがある。それらの分数は数として計算に使われるわけではなく、あくまで説明用に便宜的に表現されただけのものであることが多く、その表現がどういう意味で用いられているのかは前後の文脈から判断する必要がある。フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「分数とは横線によって画された2つの整数の集合であって、この記号によって施すことができる演算を規約によって定義する」と説明している。
title: スプライシング
text: 物理学ではスカラー(英: scalar)とは、大きさのみを持つ量の事をいう。大きさと向きを持つベクトルに対比する概念である。ハミルトンは、「1つのスケール上に含まれるマイナス無限大からプラス無限大までの、すべての数値」と表現した。
title: 分数
text: のように分母が数と分数の和でありさらにその分母が数と分数であるといった形のものを連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)という。
title: 数学的直観主義
text: ブラウワーは「AであるかAでないかが分からない場合もある」を説明する例として、「円周率の無限小数の中に0が100個続く部分があるかどうか分からない」というものをあげていた。
title: 公倍数
text: 公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、 2 {\\displaystyle 2} と 3 {\\displaystyle 3} の最小公倍数は 6 {\\displaystyle 6} である。
title: 実数型
text: 浮動小数点数データ型は、有理数型の柔軟性と固定小数点数の演算の速さの中間に位置する折衷案と言える。浮動小数点数ではデータ中の多少のビットを指数用に使い、残りを仮数に使う(通常、符号にも 1 ビット使われる)。仮数は通常 (0, 1] の範囲になる(通常、0の表現は特別扱いされる)。指数部分の値を予め定めておいた基数(通常2)で乗じた数を仮数にかけたものが、その浮動小数点数が表現する値となる。これを式にすると、仮数を f、指数の値を e、基数を b として f * b ということである。
title: 符号 (数学)
text: 対照的に、実数は符号を一つのビットに割り当て、値は浮動小数点数として扱われる。浮動小数点数では値は三つの独立した要素(仮数、冪数、符号)として保持している。こうして符号ビットが分けて与えられるから、正の零と負の零は互いに別の数値としてどちらも表すことができる。大半のプログラミング言語では正の零と負の零はともに同じ値を持つように扱われるが、にもかかわらずそれらの違いを検知することができるという意味で異なる対象を提供している。
title: 根号
text: 非負の実数の平方根(のうち根号で表される方)は 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 乗であり、根号の代わりに冪乗で表すこともある。
title: アポロニウスのギャスケット
text: ここで複号が存在するが、これは複素数の平方根をとる(一般に2つの値を与える)操作に対応するものと考えて差し支えなく、式(1)における複号とは無関係である(同順でも逆順でもない)。したがって1つの k4 の値に対して2つの z4 が与えられるが、そのうち正しい値となるのは一方のみである。
title: ヒルの式
text: log [θ/(1-θ)]とlog[L]を表したグラフをヒルプロットという。
title: 符号付数値表現
text: なお、「1の補数」表現とは、英語では \"ones' complement\" 、すなわちoneの複数形onesの所有格であり、「2の補数」が \"two's complement\"、すなわちtwoの単数形の所有格であるのと異なる。これは、1の補数が実際には 1 がずらっと並んだものから元の数を引くことで符号を反転させるためである。2の補数では単一の2のべき乗から元の数を引いて符号を反転させる。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: 符号 (数学)
text: 任意の数は複数の属性 (attribute) を持つ(例えば、値、符号、大きさなど)。実数が正であるとは、その値(大きさではない)が零より大きいときに言い、負であるとは零より小さいときに言う。正または負の何れであるかという属性をその数の符号と呼ぶ。この場合、零それ自身は符号を持つとは考えられない。また、複素数に対してその符号を定義することはできないが、偏角はある意味で符号の一般化と考えられる。
title: 広義の記数法
text: 中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている(i は虚数単位)。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。
title: 楕円曲線暗号
text: スカラー倍算(Scalar Multiplication)は楕円曲線上における掛け算である。楕円曲線上の点と点を掛けるのではなく、点に整数(スカラー)を掛けることに注意。
title: 小数
text: 有限小数では正確に表現できない数(正確には、実数)が存在する。そのような数を、無限桁の小数で表現したものを無限小数と呼ぶ。上に挙げた例では円周率は無限小数でなければ表現できないが、逆に無限小数を用いることによってどんな実数をも表現することができるようになる。
title: 除法
text: 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。
title: 整数型
text: 正負両方の整数を表せる符号あり整数型と、非負(0または正)の整数だけを表せる符号なし整数型とがある。固定長では、符号あり整数型は、負数を表せるかわりに、表せる値の範囲の約半分が負の側に移動する。
title: 複素数
text: 逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張した乗法的ノルムとして特徴付けられる。
title: コラッツの問題
text: コラッツマップは、通分したときに奇数の分母を持つ(正または負の)有理数に拡張できる。数値は、分子が奇数か偶数かに応じて、「奇数」または「偶数」と見なす。その場合、マップの式は、定義域が整数の場合とまったく同じとする。「偶数」のような有理数は2で除算する。「奇数」のような有理数には3を掛けてから、1を足す。密接に関連する事実は、コラッツマップが2進数のリングに拡張されていることです。これには、サブリングとして奇数の分母を持つ有理数のリングが含まれています。
title: 乗法
text: 算術における乗法 (じょうほう、英: multiplication) は、算術の四則と呼ばれるものの一つで、整数では、一方の数 (被乗数、ひじょうすう、英: multiplicand) に対して他方の数 (乗数、じょうすう、英: multiplier) の回数だけ繰り返し和をとる(これを掛けるまたは乗じるという。)ことにより定義できる演算である。掛け算(かけざん)、乗算(じょうざん)とも呼ばれる。代数学においては、変数の前の乗数(例えば 3y の 3)は係数(けいすう、英: coefficient)と呼ばれる。
title: 周長
text: 多角形の周長は四則演算だけで計算できるが、円の周長は円周率が無理数であるため式は簡素でも小数点表記では厳密な値を表現することはできず、楕円の周長は四則演算だけでは表すことができない。
title: 離散フーリエ変換
text: 正規化係数(DFT は 1, IDFT は 1/N)や指数の符号は単なる慣習的なものであり、上式とは異なる式を扱うことがある。DFT と IDFT の差について、それぞれの正規化係数を掛けると 1 / N になることと、指数の符号が異符号であるということがだけが重要であり、根本的には同一の変換作用素と考えられる。DFT と IDFT の正規化係数を両方とも 1 N {\\displaystyle {\\frac {1}{\\sqrt {N}}}} にすると、両方ともユニタリ作用素(ユニタリ変換)になる。理論的にはユニタリ作用素にするのが好ましいが、実用上数値計算を行うときは上式のように正規化係数を1つにまとめて、スケーリングを一度に行うことが多い。
title: テトレーション
text: 冪は冪根と対数の二つの逆関係を持つ。これに倣って、以下テトレーションの逆関係をそれぞれ超冪根(英: super-root)と超対数(英: super-logarithm)と呼ぶ。
title: 逆数
text: 通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x のように表される。
title: 行列の平方根
text: また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る。実際、2 × 2 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。
title: 整数
text: コンピュータの内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、2進法を用いて整数を表現するのが基本である。通常は、2 バイト(16 ビット)または 4 バイト(32 ビット)の範囲で表現できる範囲の数を扱う。負の値を扱う場合は、2の補数表現などが用いられる。通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして無限の整数を扱う方法もある。
title: 実数型
text: 内部表現は整数型の仮数で、それがスケーリングされる。仮数が整数 n のとき、実数 n / 10 を表す。10 をスケールファクタ(英語版)と呼ぶ。
title: P進数
text: なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法(2進法)やその結果得られる記号列(2進列)も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。
title: 六万五千五百三十七角形
text: の実部と虚部が共に、有理数から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。
title: 床関数と天井関数
text: 任意の有理数は帯分数で表せる、すなわち整数と真分数とに分解して表示できるが、この整数と真分数との関係は実数の整数部分と小数部分の関係に拡張され、任意の実数は整数部分と小数部分とに分解して表示できる。
title: 浮動小数点数
text: 浜田穂積が提案した方式で、Universal Representation of Real numbersの意でURRと名付けられている。-∞ ~ 0 ~ ∞ の区間を、次のように分割しながら、二進法による表現に対応付ける、というのが基本的な考え方で、「符号と絶対値」形ではなく、浮動小数点の表現としては比較的珍しい2の補数の形をしている。
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 循環小数
text: 小数部分が循環しない小数は循環小数より多く存在し、これを無理数という。例えば円周率や2の平方根が挙げられる。有理数は循環小数で表せ、逆に、循環小数で表せる実数は有理数に限る。
title: 空間ベクトル
text: 研究の結果、最終的に四次元(数が4組)の四元数へとたどり着くこととなった。三次元空間を記述するのに、数が三組では記述が不可能でなぜか四組必要だったのである。二次元では、二組の数である複素数を用いることによって、複素平面を二次元ユークリッド平面と同等みなすとベクトルに似た概念(回転やスカラー倍など)が記述できるというのに、三次元空間を記述するのに四次元の数が必要だったのである。ハミルトンは1846年に四元数の複素数における実部と虚部に相当するものとしてスカラーとベクトルという用語を導入した(今日の用法とは異なることに注意されたい):
title: ジョン・ウォリス
text: 今では当たり前となっている負数が 0 より小さいという考え方をウォリスは不合理だとして拒絶し、スイス人数学者レオンハルト・オイラーと同様に負数は無限大より大きいという見方を支持した。負数が無限大より大きいという考え方は、x を正の大きな数から 0 に近づけていくと 1/x の値が無限大になることを根拠としている。それにもかかわらず、負数を左、正数を右に描く数直線の考え方はウォリスが考案したとされている。
title: テトレーション
text: 複素数の累乗が可能なことから、テトレーションは複素数の底に対しても定義できる。
title: 計算機イプシロン
text: コンピュータで扱われる浮動小数点数は、指数部と仮数部に分かれており、単に小さい数を表すだけであれば指数部を小さくすれば表現が可能である。一方、「1より大きい最小の数」のような場合は、仮数部を使って微小な差を表現することとなる。その限界が計算機イプシロンである。
title: 平面における直線の標準形
text: の形の式で、A, B の少なくとも一方が 0 でなく、さらに A, B, C は最大公約数が 1 の整数となるものである。ただし、A が 0 でないならば A > 0 となるようにし、A = 0 のときは B > 0 となるようにするのが普通である。整標準形を一般形に直すのは容易いが、A か B の一方が 0 のときにこれをほかの形に直せるとは限らない。この形で表せる直線はある程度限られてくるので、数学的にはさほど魅力があるわけでもないので、この形の標準形について触れられていない文献も少なくはない。たとえば、直線 x + y = √2 は √2 が無理数であるから、そもそも整数係数に直すことができない。
title: 正規数
text: 一般論としてほとんど全ての実数が正規数であることが知られているが、その証明は構成的でないため、正規数であることが判明している具体的な数は非常に限られている。例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数はそれぞれ正規数だと信じられているが、その通りか否かは未だ謎である。
title: 4つの4
text: 対数関数 log  x {\\displaystyle \\log x} (底は任意でよい)または2変数関数としての対数 log x  y {\\displaystyle \\log _{x}y} を用いてよい場合、次の式によって4つの4ですべての有理数が表現できる。 以下に正の有理数の場合を示すが、負の有理数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。
title: 有理数
text: 有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる(もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある)。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。
title: グラフ (関数)
text: R から R への関数だとしても、実際にグラフを描画できるとは限らない。例として、ディリクレの関数、すなわち有理数に対しては 1 を、無理数に対しては 0 を対応させる関数を考える。
title: 広義の記数法
text: 商は K進法で cncn-1...c0 となり、 余りは r-1 となる。 ただし記数法によっては、 0.XXX... の形で表記できる範囲がフラクタルを描くため QK が作れなくなり、除算が不可能となる。 またこの操作をさらに続けると、循環小数が商として得られる。
title: 複素数
text: 1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。
title: 平方根
text: 0 の平方根は 0 のみである。元の数 a が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの絶対値は等しい。そのうち正である方を根号(こんごう、radical symbol) {\\displaystyle {\\sqrt {\\;}}} を用いて
title: 解析学
text: ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 ∫ {\\displaystyle \\int } を導入したりした。
title: 虚数
text: しかし当時は、0 や負の数ですら架空のもの、役に立たないものと考えられており、負の数の平方根である虚数はなおさらであった。ルネ・デカルトも否定的にとらえ、1637年の著書『La Géométrie(幾何学)』で初めて 仏: \"nombre imaginaire\"(「想像上の数」)と名付けた。これが英語の \"imaginary number\"、日本語の「虚数」の語源になった。
title: 分数
text: L としては最小公倍数がよく用いられるが、最小公倍数が分からない場合には単純に2つの数の積 L = a × c を用いればよい。
title: 算術
text: 加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
title: 行列の平方根
text: 「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応して
title: 平方根
text: 一般に、正方行列 A に対して、X =A を満たす正方行列 X を A の平方根行列と呼び、記号で √A あるいは A と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 I2 は無数の平方根を持つ。ただしその中で正定値となるのはただ一つ I2 自身である。
title: シルヴェスターの慣性法則
text: なる関係を持つ。差 sign(A) = n− − n+ を普通は符号数と呼ぶ(が、A の正負の慣性指数と退化次数の三つ組 (n0, n+, n−) を符号数と呼ぶ文献もある。与えられた次数の非退化形式に対しては、どちらで書いても同じ情報を与えるが、一般には三つ組のほうが情報が多い)。
title: 実数
text: 有理数の集合 Q 上に通常の意味での大小関係を考えて、それをもとにした Q の分割の方法として実数を定めることもでき、この方法は切断と呼ばれる。この考え方では実数 r に対して Q を { q ∈ Q : q < r } と Ur = { q ∈ Q : r ≤ q } に分ける方法が対応する。2の平方根のような無理数 r によって与えられる切断 Ur は有理数の範囲では最小の数を持たない。一方実数の範囲ではその定義からいつでも r が Ur の最小の数になっている。
title: 冪乗
text: アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を ax + bxx + cx + d のように書いた。
title: 虚数
text: ただし、「虚数」と訳されている英語の \"imaginary number\" は、しばしば「2乗した値が 0 以下の実数になる複素数」を意味する場合がある。
title: エンジン
text: 数学において 1 との乗算は演算前と演算後で値に変化が見られないことから省略される。そのため全ての実数が積であるともいうことが可能である
title: 演算子の優先順位
text: 平方根記号 √ は被開数(平方根を求める対象となっている数)をグループ化する記号を必要とする。通常使われるグループ化の記号は被開数の上にひかれる横線(括線(英語版))である。他の一般的関数は曖昧さを防ぐために入力を括弧で囲むが、入力が単項式等であれば括弧を省くこともある。例えば、sin x = sin(x) だが、sin x + y = sin(x) + y となる。なぜなら x + y が単項式でないためである。計算機では、一般に全ての関数の入力を括弧で囲む必要がある。
title: 分数
text: となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を、分数の簡約(かんやく、英: reduction)あるいは縮めて約分(やくぶん)と呼ぶ。m と n が互いに素である分数 n/m を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)といい、ある分数が既約分数であることを「(その分数は)既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約(かやく、英: reducible)または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。
title: 行列
text: のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の回転行列は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に四元数やクリフォード代数においても可能である。
title: 分数
text: これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる(a →a/1)。逆に分母が 1 である分数は、分母を省略し分数ではない数としても扱える(a/1 →a)。
title: 0.999...
text: 公理的集合論を用いて、実数の集合を有理数の集合上で組み立てられた(英語版)ある種の構造として明示的に定義する方法はいくつか存在する。まず、自然数とは、ものを数えるときに用いる番号のことであり、0 から始めて 0, 1, 2, ... と、+1 ずつ添加していくことにより得られる。自然数を拡張して整数全体を得るには、各自然数の反数を添加すればよい。さらにそれらの商を添加すると、有理数全体が得られる。これらの数体系には、加減乗除という四則演算が付随しており、さらに、任意の2数を比較しての大小関係(どちらが大きいか、小さいか、等しいか)という順序をも備えている。
title: 循環小数
text: 無限小数は、厳密には極限の概念を用いて定義される。特に、循環小数が表す数は無限等比級数、すなわち等比数列の和の極限と見なすことができ、ゆえに有理数である。例えば、
title: 代数的数
text: しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底(ネイピア数)e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
title: コンウェイのチェーン表記
text: 加法を反復すると乗法、乗法を反復すると累乗が得られる。このとき累乗を上向き矢印によって a ↑ b = a と表して、さらに ↑ の反復を ↑↑(テトレーション)、↑↑ の反復を ↑↑↑(ペンテーション)、というように矢印を増やしていくことで累乗の先の演算を表せるようにしたものをクヌースの矢印表記と呼ぶ。
title: J (プログラミング言語)
text: 有理数は〈分子〉r〈分母〉と表記する。(例 2r3 → 2/3を意味する)
title: 単位分数
text: 数学において、単位分数(たんいぶんすう、unit fraction)とは、分数として書かれる有理数のうち、分子が 1 であり、分母が自然数であるものをいう。つまり、自然数 n の逆数 1/n で表される。単位分数は大きい順に
title: 分数
text: 帯分数の記法を使うことにより、1 以上の数を整数と真分数の帯分数として表すことができる。
title: 二進法
text: 英語でバイナリ (binary) というが、これはラテン語「binarius」に由来する語で、「binary」と「binarius」は本来「二個一組」「二つから成る」を意味する語である(用例:バイナリ空間分割)。
title: 符号付数値表現
text: 0が二種類の表現を持つという問題、キャリーを戻して加算しなければならない問題は、2の補数という体系を使うことで回避できる。2の補数では、負の数は(符号なしの感覚で言うと)1の補数より1だけ大きいビットパターンで表される。
title: 余代数
text: が可換であるとき、組 ( C , Δ , ε ) {\\displaystyle (C,\\Delta ,\\varepsilon )} を余代数という。また、 Δ {\\displaystyle \\Delta } を余積、 ε {\\displaystyle \\varepsilon } を余単位という。
title: 部分分数分解
text: 代数学における部分分数分解(ぶぶんぶんすうぶんかい、partial fraction decomposition)とは、有理式(あるいは分数式ともいう、多項式の商で表される式のこと)に対し、その有理式の分母が互いに素な多項式の積で表されるとき、その有理式を多項式と複数の有理式(ただし、分子の次数は分母の次数より小さい)の和で表すことをいう。このとき分解された各々の有理式の分母を通分すれば、当然ながら元の有理式の分母となる。
title: 冪根
text: 根号を用いて冪根を表す場合、それは非負の値を持つ一価関数として扱われる。このような冪根を主要根 (principal root) と呼び、特に 2乗根の主要根を主平方根 (principal square root) と呼ぶ。
title: コーシー列
text: 有理数 q は、常に一定値 q を値にとる数列 (q, q, q, ...) と同一視して、有理数全体の成す集合 Q は、有理コーシー数列全体の集合 X に含まれるものと見なす。また、コーシー列に、項同士の四則演算をもとに四則演算を定義することができ、これは有理数同士の四則演算と両立している。特に、X は (0, 0, 0, ...) を零元、(1, 1, 1, ...) を単位元とする環である。ここで、(xn) − (ym) が 0 に収束するという関係 ∼ は同値関係になる。この同値関係 ∼ で割った商環 X/∼ は、同型の違いを除いて一意的に決まる。この X/∼ を R と書き、実数体とよぶ。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
title: 交換演算子
text: のようになるので、 P ^ {\\displaystyle {\\hat {P}}} はユニタリなだけでなく 1 の平方根である必要があり、次のような可能性がある。
title: オーサグラフ
text: \"authalic (面積の等しい)\" + \"graph (図)\" という構成要素から合成された造語である。
title: 情報量
text: 情報量は本来無次元の量である。しかし、対数の底として何を用いたかによって値が異なるので,単位を付けて区別している。前述のように、情報量は確率の逆数の桁数の期待値なので、単位も桁数のそれを流用する。この為、対数の底として2、e、10を選んだときの情報量の単位は、それぞれビット(bit)、ナット(nat)、ディット(dit)である。
title: 最小公倍数
text: 最小公倍数(さいしょうこうばいすう、英: least common multiple)とは、 0 {\\displaystyle 0} ではない複数の整数の公倍数のうち最小の自然数をさす。たびたび、L.C.M.やlcm等の省略形で記述される。
title: 数式
text: 代数式とは加減乗除冪根の6種類の符号によって連結されている数式をいい、それ以外の式を超越式という。代数式には有理式と無理式がある。
title: 行列の平方根
text: また、行列の平方根に限らず、n乗根も同様に計算することができる。
title: 基数
text: を | X | を底、| Y | を指数とする冪という。
title: 2の平方根
text: と書き、「ルート 2」と読む。またこのとき、負の平方根は
title: 行列の平方根
text: このため、ジョルダン標準形 J = P − 1 A P {\\displaystyle J=P^{-1}AP} の全ての平方根 K {\\displaystyle K} を知ることができれば、 B = P K P − 1 {\\displaystyle B=PKP^{-1}} により、 A {\\displaystyle A} の全ての平方根 B {\\displaystyle B} を知ることができる。
title: K·p摂動論
text: kは長さの逆数の次元を持つ3つの実数で構成されるベクトルであり、pは演算子のベクトルであることに留意。明確にするために
title: 多重根号
text: 代数学における多重根号(たじゅうこんごう)の式 は、少なくとも一つの根号(平方根号や立方根号など)の中に無理式 を含む無理式を言う。例を挙げると