クイズ問題: 一つの円が一直線上をすべることなく転がるとき、この円の円周上の一定点が描く軌跡を英語で何というでしょう?
答え: サイクロイド

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: インボリュート曲線
text: 運動学的に見れば、速度と回転速度を一定に保ったまま運動する物体の描く軌跡が円の伸開線となる。速度が一定で、回転速度が線型に増加する物体が描く軌跡がクロソイドであることから、円の伸開線の別名として反クロソイドの名がある。
title: サイクロイド
text: 定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという(→生成アニメーション)。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。
title: サイクロイド
text: サイクロイド (英語: cycloid) とは、円がある規則にしたがって回転するときの円上の定点が描く軌跡として得られる平面曲線の総称である。一般にサイクロイドといえば定直線上を回転するものを指すことが多い。擺線(はいせん)とも呼ばれる。サイクロイドと併せて外サイクロイドや内サイクロイドについても解説する。
title: 回転
text: 物理的または数学的な文脈での回転とは、特に断らなくとも、回転中心や回転軸から回転する点への距離が一定の運動、つまり円運動を指すことが多い。また、回転した点の軌跡が円の一部である円弧(扇形の曲線部)の場合を指すことも多い。これらの円や扇形の半径を回転半径という。回転の軌跡である円弧の中心角、すなわち、回転中心から回転する点の始めにおける位置へ引いた直線と、終わりにおける位置へ引いた直線とのなす角を回転角という。単位時間当たりの回転角を、その回転運動の角速度という。回転半径と角速度が一定な回転運動を等速円運動という。特に断らなくとも、回転という言葉が等速円運動の意味に限定されていることも多い。
title: サイクロイド
text: 定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド(がい-)という(→生成アニメーション)。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線(がいはいせん)とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。
title: サイクロイド
text: 定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド(ない-)という(→生成アニメーション)。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線(ないはいせん)とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。
title: 双曲線
text: 双曲線(そうきょくせん、英: hyperbola)とは、2次元ユークリッド空間 R 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。
title: 円運動
text: 円運動(えんうんどう、英: circular motion)とは、物体の運動の向きとは垂直な方向に働く力によって引き起こされる運動である。特に中心力(常に円軌道の中心を向き、大きさが距離のみに依存する力)が働くことにより引き起こされる。
title: 神奈川県々歌
text: 空間幾何学において空間内の2本の直線がねじれの位置(ねじれのいち)にあるまたは skew lines であるとは、それらが互いに平行でなく交叉(英語版)もないときに言う。
title: 楕円
text: 楕円(だえん、橢円ともいう。英: ellipse)とは、平面上のある2定点からの距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。
title: 海野荘
text: 偶力(ぐうりょく、英: couple)とは、作用線が平行で、互いに大きさが等しく、方向が反対向きの2つの力 (F, −F) のことである。偶力が働くと物体は回転をはじめるが、並進運動をさせる効果はない。
title: メビウス変換
text: α が 0(または 2π の整数倍)ならば、その変換は双曲型であるという。双曲型変換では、各点は不動点の一方から他方へ円軌道に沿って動く。
title: 向心力
text: 向心力(こうしんりょく、Centripetal force)または求心力(きゅうしんりょく)は物体を曲線軌道で動かす力のこと。その方向は常に物体の速度とは垂直方向(経路の瞬間的な接触円の中心)を向いている。
title: 楕円軌道
text: 万有引力の法則やクーロンの法則は逆二乗の法則で表される。このような力の作用の下で運動する物体がとる軌道は、力の中心を焦点とする2次曲線となる。2次曲線の軌道のうち、距離が有限にとどまる軌道、すなわち束縛軌道が楕円軌道である。
title: アステロイド (曲線)
text: 半径 a の円内をその1/4の半径を持つ円が滑ることなく転がるとき、内円の円周上の任意の一点の軌跡はアステロイド
title: 放物線
text: 放物線(ほうぶつせん、希:παραβολή「parabolē」、羅、英: parabola、独: Parabel)とは、その名の通り地表(つまり重力下)で投射した物体の運動(放物運動)が描く軌跡のことである。 放物線をその対称軸を中心として回転させた曲面を放物面という。
title: 円 (数学)
text: 数学において、円(えん、英: circle)とは、平面(2次元ユークリッド空間)上の、定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。ここで現れる定点 O を円の中心と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心と円周上の 1 点を結ぶ線分を輻(や)とよび、その長さを半径というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。定幅図形の一つ。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 1:1 のときカージオイド、2:1 のときネフロイド(英語版)となる。
title: 無角和種
text: 当時の自然哲学では、地球より外側の世界では真円の軌道をとり常に等速運動するものと考えられていた。実際は楕円軌道を描いている惑星の軌道を真円のみで説明しようとしたため、惑星は大きな円(従円)の円周を中心とする小さな円(周転円)の円周上を運動するという円軌道の組み合わせと考えられていた。いずれも左回りで、黄道とほぼ平行にされていた。この系での惑星の軌跡をエピトロコイドという。
title: 垂直
text: 垂線 (perpendicular) に関連して垂線の「足」(\"foot\") という術語がしばしば用いられる。考える図形の向きは如何様にも変えることができるから、足と謂えどもそれが必ずしも図形の下方にあるわけではない。
title: 縮閉線
text: である。γ(s) の曲率半径の大きさは、その点において曲線を最もよく二次近似する円、つまりその点で曲線と二次の接触をもつような円(すなわち接触円)の半径に一致する。曲率半径の符号は、その接点における曲線と同じ向きに進むように媒介変数をとれば、接触円がどちらの向きに動くかを指し示すものとなる(接触円は、正ならば反時計回り、負ならば時計回りに動く)。
title: 鉛直
text: 地球の重力ポテンシャルを完全な球対称(球体)とした場合、地表上のあらゆる鉛直線は地球の中心の一点で交わる。また重力の方向と一致することから、物体を自由落下させた時、物体が辿る経路は鉛直線に一致する。
title: メビウス変換
text: ρ も α も 0 でないときは、その変換は斜航型であるという。斜航型変換では、各点は一方の不動点から他方の不動点へSの字の軌道を描いて動く。
title: トロコイド
text: トロコイド (英語: trochoid) とは、円をある曲線(円や直線はその特殊な場合)にそってすべらないように転がしたとき、その円の内部または外部の定点が描く曲線。余擺線(よはいせん)とも呼ばれる。この記事ではトロコイドと併せて外トロコイドと内トロコイドについても解説する。
title: 回転数 (数学)
text: xy 平面において向き付けられた閉曲線を与えられたとしよう。曲線を何らかの対象の動きの道として、向き付けは対象が動く向きを示すとして、想像することができる。すると曲線の回転数 (winding number) は対象が原点の周りに作った反時計回りの turn の総数に等しい。
title: 線分
text: また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。
title: ルカ・ベットーリ
text: 速度は多くの場合、直線を移動する速さ、すなわち単位時間当たりに進んだ距離を表す。 位相速度は円の外周の1点がどれだけの速度で移動するかを表す。定位置で回転する円の外周の1点の高さだけに注目するとそれは上下することとなるが、その上下の状態を縦軸とし、横軸を時間軸とするとその1点は正弦波で表される。円周上の1点は正弦波の波一つの山であったり、谷であったりする。
title: 円錐
text: また、直円錐は直線を交わる直線を軸にして得られた回転体であったが、仮に直線をそれに平行な直線を軸にして回転させると直柱体になり、\"ねじれの位置\" にある直線を軸にして回転させると回転双曲面になる。
title: 焦点 (幾何学)
text: になる。焦点までの距離を固定して、準線を無限遠直線(英語版)へ飛ばせば離心率は 0 となり、円錐曲線は円になる。
title: 回転
text: 回転(廻転、かいてん、英: rotation)は、大きさを持たない点または大きさを持つ物体が、ある点を中心としてあるいは直線を軸として、あるいは別の物体の周りを回る運動。この点を回転中心、この直線を回転軸という。回転中心や回転軸が回転する物体の内部にある場合を特に自転というときもある。まさに運動している状態を指す場合も、運動の始状態から終状態への変化や移動を指す場合もある。前者の意味を強調したい場合は回転運動ということもある。
title: 弧長
text: 平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られる折線で近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるから、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。
title: 向き付け可能性
text: 数学では、向き付け可能性(orientability)とは、ユークリッド空間内の曲面の性質であり、曲面のすべての点で法線の方向を整合性を持って選択できるか否かという性質である。曲面の法線の方向の選択は、例えばストークスの定理に必要であるように、右手の法則を使い曲面内のループの「時計回り」方向を決めことができる。より一般に、抽象的な曲面や多様体の向き付け可能性とは、多様体内のすべてのループの「時計回り」方向を整合性を持って選択可能か否かという性質である。同じことであるが、曲面が向き付け可能であるとは、空間内の のような二次元の図形が、空間の中を(連続的に)動き回って、スタート地点へ戻ってきても、決して自分自身の鏡像 にはならない場合を言う。
title: 向き付け可能性
text: ユークリッド空間 R 内の曲面 S は、二次元の図形(例えば、)が曲面上を動き回ってスタート地点へ戻った時に、鏡像()になるようにできない場合に、向き付け可能であるという。そうでない場合を向き付け不可能であるという。抽象的な曲面(つまり二次元多様体)が向き付け可能とは、連続的に動かすことで整合性をもって曲面上に時計回りの回転を定義できる場合をいう。いわば、曲面上のある向きのループを、(自己交叉することなく)反対向きのループへ連続変形できない場合、向き付け可能と言う。このことは、曲面がメビウスの帯に同相な部分集合を含まないかどうかという問いと同値であることが分かる。したがって曲面については、メビウスの帯は向き付け不可能さのすべての根源だと考えることができよう。
title: 回転 (数学)
text: 初等幾何学および線型代数学における回転(かいてん、英: rotation)は、平面あるいは空間において固定された一点の周りでの剛体の運動を記述する。回転は、不動点を持たない平行移動とは違うし、剛体を「裏返し」にしてしまう鏡映とも異なる。回転を含めたこれらの変換は等距変換、即ちこれらの変換の前後で二点間の距離を変えない。
title: 割線
text: 初等幾何学における曲線の割線(かっせん、かつせん、英: secant line, secant; 正割線)は、その曲線と(相異なる)ふたつ以上の点で交わる直線を言う。 割線を意味する英語の secant はラテン語: secare に由来し、「割ること」(to cut) の意である。円の割線の場合、円と割線はちょうど二点で交わり、それら二点を結ぶ線分は円の弦になる—すなわち、円の割線から円によって切り取られる区間が円の弦である。
title: 渦巻
text: 渦巻(スパイラル)は、旋回するにつれ中心から遠ざかる2次元曲線だが、螺旋(ヘリックス)は、旋回するにつれ旋回面に垂直成分を持つ方向に動く3次元曲線である。螺旋の例としては螺旋階段、ねじの溝、DNA分子などがある。
title: 円 (数学)
text: 一方、円周は割線によって 2 つの部分に分けられる。このそれぞれの部分を 円弧 (arc) または単に弧という。
title: 軌道速度
text: 中心方向に対して横向きの軌道速度は、角運動量保存の法則、もしくはそれと等価なケプラーの法則のために、中心の物体との距離と反比例する。物体が軌道をある一定時間の間に周回する時、重心と物体を結ぶ線分が作る領域の面積は、その時物体が占めている軌道の位置によらず常に等しいということである。このことは近地点では遠地点より物体は速く動くことを意味する。なぜならより物体がより短い距離にある時は、同じ面積を掃くためにはより大きな角度を動く必要があるからである。この法則は通常「面積速度一定の法則」と呼ばれる。
title: 向心力
text: 力の方向は、円運動の場合には物体が運動している円の中心を向いている。運動経路が円ではない場合には、部分的な経路に最も一致する接触円の中心を向いている。
title: ペルガのアポロニウス
text: 著書『円錐曲線』 (Κωνικά) において、円錐を頂点を通らない平面で切断した断面の図形「楕円(だえん、ellipse)」・「放物線(ほうぶつせん、parabola)」・「双曲線(そうきょくせん、hyperbola)」について詳細な研究をおこなった。「楕円」・「放物線」・「双曲線」の名称は、アポロニウスがそれぞれ「ellipsis(不足する)」・「parabole(一致する)」・「hyperbole(超越する)」と呼んだことに由来する。離心円ならびに従円と周転円の概念の発案者でもある。
title: メビウス変換
text: ρ = 0 の場合、不動点は反発的でも吸引的でもなく中立的であり、そのような変換は楕円型であるという。楕円型変換では任意の点が二つの不動点の周りをまわる円に沿って動く。一方の不動点が無限遠の場合は、これは一点の周りのアフィン回転を行うことと同値である。
title: インボリュート曲線
text: 一つの円とそれに接する一つの直線を取る。円に沿って直線を滑ることなく回転させるとき、直線上の任意の点が描く軌跡は円の伸開線と相似になる。
title: 円運動
text: 物体をひもにつけて回転させると、物体には常に回転の中心を向く力が働く。力の大きさはひもの張力に比例するので、半径、すなわち物体と回転中心の間の距離によって一意的に決まり、方向によらない。このように、力が常に固定点の方向に向き、その大きさが固定点からの距離 r の関数である場合に、その力を中心力という。
title: コリオリの力
text: コリオリの力を例を使って解説する。慣性系で静止している質点を、等速で回転する座標系から観測する場合を考える。この際、その質点は等速円運動をしている。回転座標系では、見かけの力である遠心力が円運動の中心から離れる方向に働くことが知られている。また、等速円運動では質点の加速度の向きは、常に円の中心向きである。ところが回転座標系でニュートンの運動方程式が成り立つと仮定すると、みかけの力の遠心力を考えただけではこの加速度を得ることができない。回転座標系で等速円運動を続けるためには、物体に中心向きの見かけの力が働いている必要がある。この物体の運動方向を変える力がコリオリの力である。
title: 天体力学
text: ケプラー運動には楕円軌道の他に放物線軌道、双曲線軌道が存在する。これらはいずれも円錐曲線である。
title: 回転面
text: ユークリッド空間における回転面あるいは回転曲面(かいてんきょくめん、英: surface of revolution)は、空間内の直線を軸 (axis) に、空間内の曲線を回転させて得られる曲面を言う。この曲線は回転曲面を生成する母曲線あるいは母線 (generatrix) と呼ぶ。
title: 双曲幾何学
text: 以上は数学的な双曲幾何学だったが、物理学的な双曲幾何学によりこれを現実の世界に応用することができる。 高速で回転する円盤上ではローレンツ収縮により物体の長さが縮む。このとき円盤の中心から遠ざかるにつれて回転速度が速くなるため、端に行くほどローレンツ収縮の効果が強く出ることになる。このような場合では二点間を結ぶ最短距離は(円盤の直径を除いて)回転の遅い中心よりの線になり止まった状態の円盤から見ると曲線になる。つまり高速で円盤を回転させたために直線が曲がり3次元の空間が負の曲率を持ったのである。
title: 平行移動
text: ユークリッド幾何学における平行移動(へいこういどう、英: translation)は全ての点を決まった方向に一定の距離だけ動かす写像である。
title: 三体問題
text: 多くの場合に、制限三体問題のうち二体が楕円軌道を描く状況が興味の対象となる。特にその軌道が円軌道 (離心率 e = 0 {\\displaystyle e=0} ) である場合を円制限三体問題 (circular restricted three-body problem) と呼ぶ。この場合、共動回転系では第一体および第二体が静止し数学的な取り扱いが容易になるため、しばしば採用される。この座標系では円制限三体問題の運動方程式は遠心力とコリオリ力を含む次の形を取る。
title: ⌒
text: ⌒は、幾何学において円における弧(こ)を示すことに使用される記号である。円周上の頂点Aから頂点Bに円弧がある場合に⌒の下にABを記述する。
title: 等高線
text: 等高線(とうこうせん)とは、同じ高さの点の集まりでできる線、およびそれらがある一定の間隔でつらなった線群のこと。水平曲線、コンター(contour)ともいう。
title: 軌道 (力学)
text: 天体の軌道の一部が母天体の大気中を通過する場合には、その軌道は抗力によって減衰 (decay) する。すなわち、近点を通過するたびに天体は大気と擦れあってエネルギーを失う。これにより、天体の運動エネルギーがちょうど最大に達する点でエネルギーを失うため、天体の軌道は1周ごとに離心率が小さくなる(円軌道により近づく)。最終的には軌道は円軌道に近づき、螺旋軌道を描いて大気中に落下する。
title: 回転体
text: 母線となる曲線が軸と交わらないものとすれば、回転体の体積は表面積と中心軌跡(英語版)によって記述される円周の長さとの積に等しい(パップスの第二中心軌跡定理)。
title: 軌道 (力学)
text: 開いた軌道の形は双曲線(物体の速度が脱出速度にちょうど等しい場合には放物線)である。この場合、二つの物体は互いにしばらく接近し、最接近の前後で互いの周りを大きく回り込んで再び離れ、二度と帰ってこない。太陽に対して十分に大きな力学的エネルギーを持つ彗星がたまたま太陽に接近するような場合にはこのような軌道をとる。
title: アポロニウスの円
text: 点PをAP:BPが一定となるようにしたときの点Pの軌跡のうち、線分ABの上の点をQ、ABの延長線上の点をRとすると、
title: ルカ・ベットーリ
text: 角速度は円の大きさを問わない物の回転速度をラジアンで表すが、位相速度は或る大きさを持つ回転物の、特定の位相の位置の単位時間での移動距離を速度として表す。
title: 円 (数学)
text: 円周と直線が1つの共有点を持つとき、その直線を円の接線 (tangent) といい、共有点を接点という。円の中心と接点を結ぶ半径(接点半径)は、接線と接点で直交する。
title: アポロニウスの問題
text: 上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。しかしながら、距離の比 TZ/TA もまた既知の値であるため、点 Z は既知の円上にも存在する。なぜなら、円が、2つの固定された点に対して所与の距離の比率を持つ点の集合だと定義することができるとアポロニウスが示したためである(この定義は双曲座標(英語版)の基礎となっている)。このため、アポロニウスの問題に対する解は円と直線の交点となるのである。
title: 回転
text: 点や剛体の、始めの状態から一定の回転角だけ円運動した終わりの状態への移動も単に回転といい、数学的文脈での回転はこの意味であることが多い。この意味の回転は途中の経路は無視しているので、円運動の向きとしては逆回りとなる、回転角θの回転と(θ-2π)の回転とは同値である。また一般に、nを正負の整数として回転角(θ+2nπ)の回転は全て同値である。
title: サイクロイド
text: 定円と回転する円の半径の比が 2:1 のとき定円の直径となり、4:1 のときアステロイドとなる。
title: オイラーのコマ
text: 力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、英: Euler Top)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。
title: 上半平面
text: で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」(測地線)は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周(直線も半径無限大であると見なして円に含める)である。上半平面を単位円板
title: 軌道短半径
text: 軌道短半径(Semi-minor axis)は、幾何学において、楕円や双曲線等の円錐曲線と関連する線分である。軌道長半径と直交し、一端を円錐曲線の中心に置く。曲線の対称軸の1つでもあり、楕円においては短い方、双曲線においては双曲線と交わらない方である。
title: パラメトリック方程式
text: これは3次元の螺旋状の曲線を表しており、半径が a で、1周するごとに 2πb だけ上昇する。なお、z値を除くと円の方程式と全く同じである点に注意。
title: 角運動量
text: 力が作用していないときは等速直線運動となる。等速直線運動においては運動量と角運動量はともに保存する。これに対し等速円運動においては、運動量の大きさは一定であるが向きが時間により変化するため運動量は保存せず、角運動量のみが保存する。
title: 蛇行動
text: 幾何学的蛇行動と同じく車輪単体がレールに対して滑らずに旋回する場合を考えると、輪軸の軌道中心からのずれは以下の式で表される。
title: 回転
text: 角速度や回転半径が変化するような回転運動は、瞬間的な無限小の等速円運動の連続したものとして表せる。これらの等速円運動の回転中心はそれぞれ異なるので、一般的な点の回転の軌跡から唯一の回転中心を特定することはできない。糸に結んだ小石の回転や惑星の公転(一般には等速円運動ではない)のように中心と見なせる物体が存在する場合は、その中心物体の位置を回転の中心と見なすことが多い。
title: ローレンツ群
text: 光円錐上のある特定のヌルラインは不変に保たれる。これは上述したリーマン球面上の不動点に対応する。原点を通る別のヌルラインは変換により「円錐の周りに振り回される」。そのようなヌルラインが α が増えるにつれどのように動くかは、上述の天球上のある円形フロー線に沿って動く点に対応する。
title: ラグランジュ点
text: オイラーが得た 3 つのラグランジュ点は 2 体を結ぶ直線に垂直な平面内でのみ安定である。これは L1 での場合を考えると分かりやすい。L1 に置いたテスト粒子を中央の直線に垂直な方向にずらすと、元の平衡点に戻ろうとする方向に力を受ける。これは 2 体の重力の横方向の成分が足し合わされて引き戻す力を生むためである。一方、軸に平行な成分は互いに釣り合って打ち消し合う。
title: 内接円
text: 内接円の中心と2本の対角線の中点は、同一直線上にある(ニュートンの定理)。
title: 接線
text: 初等幾何学において接する(せっする、英: tangent)とは、その名を「触れること」を意味するラテン語: tangere に由来し、「ただ触れるだけ」という直観的概念を定式化するものである。特に、曲線の接線(せっせん、英: tangent line, tangent)は、平面曲線に対しては、曲線上の一点が与えられたとき、その点において曲線に「ただ触れるだけ」の直線を意味する。ライプニッツは接線を、曲線上の無限に近い二点を通る直線として定義した。より具体的に解析幾何学において、与えられた直線が曲線 y = f(x) の x = c(あるいは曲線上の点 (c, f(c))における接線であるとは、その直線が曲線上の点 (c, f (c)) を通り、傾きが f の微分係数 f'(c) に等しいときに言う。同様の定義は空間曲線やより高次のユークリッド空間内の曲線に対しても適用できる。
title: 近点移動
text: 2つの天体が距離の逆2乗に比例する引力に従って運動すれば、理想的な状況では閉じた楕円軌道となる。しかし、何らかの理由により理想的な状況から外れると、様々な摂動により軌道が乱れる。摂動によって楕円軌道そのものが回転する現象が近点移動である。 近点移動を引き起こす要因には、以下のように様々なものがある。
title: パップス＝ギュルダンの定理
text: 平面上にある有界な曲線 C の長さを s とし、C と同じ平面上にあり C と共有点を持たない軸 l の周りで C を一回転させた回転面の面積を S とする。回転させる曲線 C の重心 G から回転軸 l までの距離を R としたとき、
title: 最速降下曲線
text: 最速降下曲線はサイクロイドである。AとBが与えられAがBよりも高いとき、Aを無限斜面で通り、またBも通りAとBの間で最大値をとらない上下逆のサイクロイドがひとつだけある。これが最速降下曲線である。したがって最速降下曲線は物体の重さと重力定数の強さにはよらない。この問題は変分法を使って解くことが出来る。 注意すべきは、Aで初速度があったり、摩擦が考慮されていると時間を最小にする曲線は上記の曲線から外れることである。
title: ホモクリニック軌道
text: 数学において、ホモクリニック軌道(homoclinic orbit)とは、力学系における流れの軌跡で、鞍点(saddle point)から出て、同じ鞍点に戻ってくる軌道である。
title: 斜方投射
text: となり、十分時間が経過した後、空気(流体)中に斜方投射された物体は鉛直下向きに等速直線運動をすることがわかる。
title: フックの法則
text: このポテンシャルをU-x面に描くと、放物線(二次関数のグラフ)となる。ばねがxの正方向に伸ばされるに伴い、ポテンシャルエネルギーは増加する(ばねを縮めた場合にも同じことが起こる)。また、釣り合いの位置 (x = 0) が最もエネルギーが低いため、ばねはポテンシャルエネルギーを小さくするように釣り合いの位置へと戻ろうとする。これはポテンシャルエネルギーのグラフの上を、重力によるポテンシャルを最小にするようにボールが転がり落ちることに似ている。
title: 最速降下曲線
text: 最速降下曲線(さいそくこうかきょくせん 英: Brachistochrone curve)は、任意の2点間を結ぶ全ての曲線のうちで、曲線上に軌道を束縛された物体に対して重力 (に代表される保存力) のみが作用する仮定の下、物体が速度0でポテンシャルが高い方の点を出発してからもう一方の点に達するまでの所要時間がもっとも短いような曲線である。
title: 二等分線
text: 垂直二等分線は、定規とコンパスにより作図することができる。線分の両端を中心とする同一半径の円弧を描き、各々の円弧の交点と線分を結ぶ。円弧上の交点と線分の各端点によって作成される三角形が合同になることから、円弧上の交点を結ぶ直線が垂直二等分線になる。(図1.)
title: 大圏コース
text: 球面と平面が交差している場合、共有する曲線は円となる。この内、球の中心を通る平面と球面がなす円を大円と呼ぶ。球面上に存在する2つの点を結ぶ弧のうち最短距離となるのは、弧が大円の一部である場合である。
title: 回転
text: ひとつの平面内の等速円運動の回転の向きは2通りが可能であり、どちらかの向きの回転の角速度を正と定め他方を負と定めれば、可能な全ての回転(等速円運動)を正負の実数で定めた角速度、および正の実数値をとる回転半径の長さ、および回転中心の位置で指定できる。
title: 一般相対性理論における測地線
text: 一般相対性理論において、測地線 (geodesic) は、曲った時空上における、「直線」の一般化である。重力以外の外力を全く受けない粒子の世界線は測地線の一種であり重要である。換言すれば、自由運動、もしくは自由落下をしている粒子は測地線に沿って運動する。
title: 方向
text: 数学における方向(ほうこう)とは、2つの向き(むき)を合わせた表現。向き(むき)を空間上の位置を極座標で表したとき、数値が持つ距離以外の情報である。向きと大きさを持つベクトルから、大きさを取り去った残りの情報と言ってもよい。 一つの方向に沿った距離や移動, 速度等を考えるとき、一方の向きを正の値で表すならば、もう一方の向き は負の値を以て表される。 n 次元空間での向きの自由度は、n から大きさの 1 を引いた n - 1 である。向きは単位ベクトル、あるいは、単位球(2次元空間内なら単位円)上の1点で表すことができる。
title: 内輪差
text: 内輪差(ないりんさ)とは、四輪車またはそれ以上の車輪を持つ車両がカーブを曲がる際に、回転中心側(=内輪)の前輪と後輪が描く円弧の半径に生じる差のこと。または、そのような差が生じる現象のことも指す。
title: ケツァルコアトルス
text: ところがこれにも反証的新説が提示されている。彼ら翼竜類に独特の可動域の広い翼支骨と前皮翼が「円弧翼」を形作るため、ケツァルコアトルスの助走が約40km/hに達しない程度だったとしても、比較的たやすく揚力を得て飛び立つことができたのではないか、とする推論である。円弧翼とは、下面がフラットであるのに対して上面が円弧面を描く、空気力学的基本形と言える翼で、鳥や飛行機の翼にも共通の、大きな揚力を生み出すことができる構造体である。
title: 尖点
text: 幾何学における尖点(せんてん、英: cusp, 古くは尖節点 (spinode))は、曲線に沿って走る動点がそこで向きを逆転するような曲線上の点である。尖点は曲線の特異点の一種ということになる。
title: 円運動
text: 物体が xy 平面上で原点 O を中心とする半径 r の円運動を行うとする。
title: 角度
text: 上述のように決まった図形に対する角度を定義すれば、図形の変形を特徴づける量としても角度を用いることができる。はじめ、頂点 O を共有する2つの半直線が同じ場所に重なっている状態から、一方の半直線を、その端点を点 O から動かさずにその向きを変えるように動かすと、2つの半直線がなす領域 α1 は半直線の運動に応じて変形される。このとき、領域 α1 の角度の変化量として、動かした半直線の回転角を定義することができる。言い換えると、ある1つの半直線の向きを変えた場合に、変える前と変えた後の位置にある半直線のなす角がその半直線の回転角である。この観点からは角度は2つの半直線の開き具合を示す量ともいえる。実際、このような回転から角および角度を定義している事典もある。
title: ブーメラン
text: 以上より、ブーメランの剛体としての回転運動と揚力の水平成分の組合わせによる向心力により、ブーメランは旋回軌道を描くことになる。
title: 自由落下
text: 物体を初速度ゼロで静かに落下させた場合の等加速度直線運動は、この特殊な場合と言える。逆に、放物運動を水平方向の等速直線運動と自由落下(鉛直方向の等加速度直線運動)の合成とする説明もなされる。これらの自由落下に関する事柄は「落体の法則」と呼ばれることがある。
title: 円 (数学)
text: 円周と2 点で交わる直線を割線という。このときの交点を 2 点 A, B とするとき、円周によって、割線から切り取られる線分 AB のことを弦といい、弦 AB と呼ぶ。特に円の中心を通る割線を中心線という。中心線は円の対称軸であり、円の面積を 2 等分する。円周が中心線から切り取る弦を、円の直径という。直径の長さは半径の 2 倍に等しい。円周の長さは、円の大きさによってさまざまであるが、円周の長さの直径の長さに対する比の値は、円に依らず一定であり、これを円周率という。特に断りのない限り、普通、円周率は π で表す。円の半径を r(半径の英語 radiusの頭文字が由来) とすると、円周の長さは 2πr で表される。また、円の面積は、πr で表すことができる。同じ長さの周を持つ閉曲線の中で、面積が最大のものである。(等周問題)
title: デスペレーション
text: 差動回転(さどうかいてん、differential rotation)とは、主に天文学で、天体の各部分が異なる角速度で回転する様子を指す言葉である。微分回転とも言う。これに対して各部分が同じ角速度で一体となって回転することを剛体回転と呼ぶ。
title: ビオ・サバールの法則
text: の関係が得られる。 点Pが閉曲線C1上を一周するようなΩの変化は
title: 渦巻
text: 地球上で一定の方角を保ったまま進んだ時の軌跡、つまり等角航路は、球面上の渦巻(対数螺旋)である。
title: ローレンツ群
text: メビウス変換はリーマン球面(もしくは天球)上の共形変換である。ここで、 SL(2, C) の任意の要素と共役させることにより後述の、楕円型、双曲型、斜航型、放物型ローレンツ変換の任意の要素がそれぞれ得られる。対応する1パラメータ部分群の フロー線 (flow lines) への影響は、共形変換の例に見ることができる。たとえば、楕円型ローレンツ変換は天球状の二つの任意の不動点をもつことができるが、片方の不動点からもう片方の不動点へと弧状のフローを持つ。他の型でも同様である。
title: 角速度
text: 運動学において、角速度(かくそくど、英: angular velocity)は、ある点をまわる回転運動の速度を、単位時間に進む角度によって表わした物理量である。言い換えれば角速度とは、原点と物体を結ぶ線分、すなわち動径が向く角度の時間変化量である。特に等速円運動する物体の角速度は、物体の速度を円の半径で割ったものとして与えられる。従って角速度の量の次元は、通常の並進運動の速度とは異なり、時間の逆数 T となる。
title: シュワルツシルト解
text: シュワルツシルト計量下における粒子は、r > 3rs の場合は安定な円軌道を描くことができる。3rs/2 < r < 3rs の間の場合は円軌道は不安定となり、r < 3rs/2 の場合は円軌道は存在しない。この最小半径 3rs/2 における円軌道は軌道速度が光速となる軌道に対応する。rs < r < 3rs/2 の場合でも円を描かせることはできるが、なんらかの力を加える必要がある。
title: 漸近線
text: 解析幾何学において、平面曲線の漸近線(ぜんきんせん、英: asymptote)とは、十分遠くで曲線との距離が 0 に近づき、かつ曲線と一致しない直線のことである。漸近線は曲線と無限回交わらないことを仮定する場合もあるが、現代ではこれは一般的ではない。
title: 固有値
text: 別の例として、ゴムシートをある固定された一点から全方向に向かって伸ばすような変換を考える。ゴムシート上のあらゆる点と点の間の距離が 2倍になるように引き伸ばすとすると、この変換の固有値は 2 になる。この場合、固定された点からシート上のあらゆる点に向かうベクトルはすべて固有ベクトルになり、固有空間はこれらのベクトルすべてからなるような集合となる。
title: メビウス変換
text: この場合も、二つの不動点が 0 と ∞ であるならば物理的解釈が可能である。観測者がある軸に関して角速度一定で回転しつつ同軸上を一定の速度で移動するものとすれば、このときの夜空の様子は 0 と ∞ を不動点とする斜航型変換全体の成す一径数部分群に従って変化する。実数 ρ および α はそれぞれ軸上の移動速度と軸周りの角速度の大きさを定める。