クイズ問題: ドイツでは「ルドルフの数」と呼ばれ、日本ではギリシャ文字のπで表される数といえば何でしょう?
答え: 円周率

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: ネイピアの骨
text: ネイピアの骨は、ギリシャ語で「棒」を意味する ραβδoς (rabdos) と、「言葉」を意味する λóγoς (logos) の合成語である ラブドロジー (Rabdology) とも呼ばれる。ネイピアは、1617年の末にエディンバラで Rabdologiæ という名前で発表した。ネイピアの骨には九九の表が組み込まれており、複数の桁からなる正の整数と、1桁の正の整数の掛け算の計算を足し算だけで済ますことができる。
title: 円周率
text: 数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率(圓周率)」、ドイツの「Kreiszahl」(Kreis は円(周)、Zahl は数の意)の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」(英: Archimedes' constant)、「ルドルフ数」(英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl)などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
title: 無限
text: 「ウロボロスが由来となっている。」や、「ジョン・ウォリスが無限大の記号として採用したのが最初である。」などの説が存在するが、「ローマ数字のↀ(CIƆ)が変化したものである。」という説が有力とされている。
title: ルドルフ・ファン・コーレン
text: 1596年には、著書『円について』を著し、没するまでに最終的に正2(=約461京1686兆)角形を使って π の35桁目までを正しく評価した。ドイツでは彼の名にちなんで、円周率をルドルフ数と呼ぶ事もある。
title: 小数
text: 現代の数学の系譜であるヨーロッパの数学においては、小数の導入は遅れた。これはエジプト式分数表記が普及していたためである。ヨーロッパで初めて小数を提唱したのは、オランダのシモン・ステヴィンである。1585年に出版した「十進分数論」の中で、初めて小数を発表した。その名が示す通り、分数の分母を十の累乗に固定した場合に計算が非常にやりやすくなると主張し、それが小数の発明となった。
title: エラトステネス
text: 地球の大きさを初めて測定した人物として、また素数の判定法であるエラトステネスの篩(ふるい)を発明したことで知られる。その業績から「第2のプラトン」とも呼ばれた。また「β」(ベータ)ともあだ名されている。その由来は、「世界で2番目に物事をよく知っている人」という意味である。ここでは1番の人は「α」(アルファ)と呼ばれることになる。
title: 二進法
text: 数学的に二進法を確立したのは17世紀のゴットフリート・ライプニッツで、\"Explication de l'Arithmétique Binaire\" という論文も発表している。ライプニッツは現代の二進法と同じく、1 と 0 を使って二進法を表した。ライプニッツは中国愛好家でもあり、後に「易経」を知って、その六十四卦に 000000 から 111111 を対応させ、彼の賞賛してきた中国の哲学的数学の偉大な成果の証拠だとした。
title: ネイピア数の無理性の証明
text: ネイピア数の無理性の証明(ねいぴあすうのむりせいのしょうめい)は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。
title: Eureka
text: カール・フリードリヒ・ガウスは1796年の日記(英語版)にアルキメデスを真似て \"ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ\" と書いている。これは、「全ての自然数は高々3個の三角数の和である」ことを発見したことを書いたものである。これは「ガウスのエウレカ定理」と呼ばれており、今日では多角数定理の特別な場合として知られている。
title: Google
text: \"googol\"という言葉は、アメリカ合衆国の数学者、エドワード・カスナーの甥のミルトン・シロッタによって作られたもので、1グーゴルは10(1のあとに0が100個続く数・10の100乗と読む)である。
title: 合同記号
text: カール・フリードリヒ・ガウスは、1801年に『Disquisitiones Arithmeticae』で数の合同の記号として使用した。当時の形は
title: 合同算術
text: 17歳のガウス (1777 - 1855) は平方剰余の相互法則を示した。翌1796年3月30日、ガウスは17次の円分方程式を解くというきわめて算術的な研究の過程で、古来から未解決の幾何学的問題であった定規とコンパスによる正十七角形の作図が可能であることに気付く。最終的に1801年、ガウスは \"Disquisitiones Arithmeticae\"(『算術の研究』)を著して数学王子と渾名された。
title: 素数
text: 紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数に関する知識が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。例えば分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。しかし、記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシア人が最初である。紀元前約300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。また、ユークリッドはメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩(ふるい)は、素数を列挙するための計算方法である。
title: エジプト式分数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、任意の分数を単位分数の和に表すアルゴリズムをいくつか発表した。まず、分母 n が性質「n 未満の任意の自然数は、いくつかの n の約数の和で表せる」を持つとき、分子を n の約数の和で表して約分することにより、単位分数の和に表せる。そのような性質を持つ n は
title: 第18回ワールドスーパージョッキーズシリーズ
text: クラメールはベルヌーイ家の二人の長兄 (ヤコブ・ベルヌーイ、ヨハン・ベルヌーイ) の業績を編集し、惑星の回転楕円体形状とその楕円軌道の物理的理由 (1730年)、そしてアイザック・ニュートンの3次曲線の扱い (1746年) について執筆した。クラメールはジュネーヴ大学の教授を務め、en:Bagnols-sur-Cèzeで死亡した。
title: 素数
text: 素数の定義を「自明でない(1 と自分自身以外)約数の積に分解できない自然数」と考えた場合、「1 を素数の定義に含めるか含めないか」が問題となる。古代ギリシアでは、1 はそもそも数(自然数)であるとさえ見なされなかったので、1 は素数ではなかった。一方、19世紀には、1 は素数であると考える数学者が多く存在した。例えば、レーマーの 10,006,721 までの素数表(後の1956年に再版)では、素数は 1 から始まるものとして書かれている。アンリ・ルベーグは、1 を素数だと考えた最後の専門的な数学者だと言われている。
title: Πの歴史
text: 『πの歴史』(パイのれきし、英語: A History of π、A History of Pi)は、ペートル・ベックマン(英語版)が数学定数である円周率 (π) の概念を素人向けに入門として紹介したノンフィクションである。
title: 六万五千五百三十七角形
text: 65537 は 2 2 4 + 1 {\\displaystyle 2^{2^{4}}+1} の形で表され、2018年2月現在知られているうちで最大のフェルマー素数である。カール・フリードリヒ・ガウスは1801年に出版した『整数論の研究』において、p がフェルマー素数ならば正 p 角形は定規とコンパスで作図可能であることを証明した。また、逆に、奇素数 p に対して正 p 角形が作図可能ならば、p はフェルマー素数であることも証明した。知られているフェルマー素数は、ガウス以前から
title: ネイピア数
text: この数に初めて定数記号を割り当てたのはゴットフリート・ライプニッツだとされている。1690年と1691年のクリスティアーン・ホイヘンス宛ての手紙の中で、記号 b を用いた。レオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 e を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を e で表した最初の出版物となった。その後しばらくは c によってこの数を表す流儀もあったが、やがて e が標準的な記号として受け入れられるようになった。
title: カール・フリードリヒ・ガウス
text: ガウスが7歳の時、算数の授業で教師が「1から100までの数字すべてを足せ」という問題を出し、生徒たちが問題を解くには相当な時間がかかるだろうと考えていたが、ガウスはわずか数秒で「5050」という解答を出し、教師を驚かせた。1から100までの数字を足していくと、1+100=101、2+99=101、...、50+51=101で、101の集まりが50個できるため、101×50=5050になるとガウスは計算したのである。この逸話が事実であれば、ガウスは等差級数の和の公式をわずか7歳で独自に発見していたことになる。
title: 葵 (名古屋市)
text: ナノプシャンの名は、10億分の1を表す接頭辞の「ナノ」と、『ガリバー旅行記』に登場する小人の国・リリパット王国の住人を意味する「リリプシャン」を掛け合わせた造語で、「ナノメートル世界の小人」という意味を表す。実際ナノプシャンの身長は約2nmほどである。
title: ガラタサライSK (サッカー)
text: 名前は数学用語のレピュニット(\"repeated unity\"、レプユニットなどとも表記される。全ての桁が1である自然数)に由来する。小惑星番号「11111」がレピュニットであることから命名された。
title: 円周率
text: 円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・コーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは小数点以下35桁まで計算した。小数点以下35桁までの値は次の通りである。
title: 虚数単位
text: 虚数単位 √−1 を i で表したのはオイラーで、1770年頃である。i は imaginary の頭文字から採られている。
title: ∞
text: ローマ数字の1000であるↀ(CIƆ)をもとに作られたといわれている。ジョン・ウォリスは1655年に自著の『De sectionibus conicis』で無限大の文字を使用した。 ギリシア文字の最後の文字であるωを基にしているといるともいわれている。
title: ファインマン・ポイント
text: ファインマン・ポイント(英語:Feynman point)とは、円周率を十進法で表記したときに、小数点以下762桁目から始まる6個の「9」の並びのことである。この名称は、リチャード・ファインマンが円周率をこの桁まで暗記したいと講義の中で述べたとされることから名づけられた。ファインマンはこれを暗誦し、最後に「9, 9, 9, 9, 9, 9 など (and so on.)」と締めくくったという。ファインマンがいつこの発言をしたのか、そもそも本当にこの発言をしたのかは不明確である。公開された伝記や彼の自伝で言及されていないし、彼の伝記を著したジェームス・グリーク(英語版)も、この話は知らないという。
title: 素数の一覧
text: 素数の一覧(そすうのいちらん)では、素数すなわち 1 と自分自身以外に正の約数を持たない 1 を除く自然数を、不完全であるがリストにした。なお、ユークリッドの著書『原論』によって素数が無数に存在することが証明されている。
title: 自然数
text: 19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーが「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、自然数という用語が定着したとされる。
title: ジョン・ネイピア
text: ネイピアの数ある発明の中で、後世に特に大きな影響を与えたものは、対数とネイピアの骨である。いずれも科学で必要な計算を少しでも簡単にしようとして生み出された計算のための技術であり、他の人々の手によって形が変えられているものの、現代の科学技術の礎ともなっている。また、小数点の発案者でもある。
title: 先天図
text: 1703年、ドイツの数学者ライプニッツはイエズス会宣教師ジョアシャン・ブーヴェから朱熹の「伏羲六十四卦方位図」を送られ、その次序の中に自らが編み出していた2進法の計算術があるとして、陰爻 ¦ を0、陽爻 | を1と解釈し、方図の左上端の坤 ¦¦¦¦¦¦ (000000)を0として右へ剥 ¦¦¦¦¦| (000001)を1、比 ¦¦¦¦|¦ (000010)を2、観 ¦¦¦¦|| (000011)を3、豫 ¦¦¦|¦¦ (000100)を4...と番号を振っていき、右下端の乾 |||||| (111111)を63と規定した。
title: ルドルフ・ファン・コーレン
text: ファン・クーレンはデルフトに移住し、フェンシングと数学を教えた。1594年にはライデンにフェンシングの養成学校を開校した。1600年にはライデン大学初の数学教授となった。高等教育は受けていなかったが、円積問題や円周率をめぐる数学上の論争に巻き込まれ、1590年(50歳)ごろから円周率に興味を持ち始めたと言われている。後半生の殆どを、数学定数π(円周率)の正式な値を計算する事に費やし、クーレンが生きた時代の1700年以上前に考え出されたアルキメデスの手法と同じやり方で計算した。まず、正5×2(=約2億)角形、正4×2(=約10億)角形、正3×2(=約60億)角形を用いて、円周率をそれぞれ12桁、16桁、18桁まで求めた。さらに、正15×2(=32,212,254,720)角形に基づき次の評価を与えた:
title: 広義の記数法
text: 中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている(i は虚数単位)。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。
title: オイラー線
text: ヨタが正式に定められる前、イタリア語で「8」を意味する otto(ギリシャ語の ὀκτώ (okto) とする説もある)に由来するオタ (otta) という接頭辞が非公式に導入されていた。8 は、10 = 1000 だからである。しかし、otta ではその記号が「0(ゼロ)」とまぎらわしい「O(オー)」になってしまうことから、otta を変形した yotta が導入されることとなった。
title: プラクティカル数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、有理数のエジプト式分数での表現を見つける手法を列挙した。このうち、最初の処理は、その数が単位分数であるかの判別であるが、2つめの処理は、上述のように分母の約数の合計として分子の表現を探索することに対応する。この手法はプラクティカル数である分母に対してのみ成功することが保証されている。フィボナッチは分母として、6, 8, 12, 20, 24, 60, 100を用い、これらについての表を与えた。.
title: 七乗数
text: ロバート・レコードの考案したゼンジゼンジゼンジック(英語版)では、七乗数は「5乗から2つ目」と呼ばれた。
title: 関孝和
text: また暦の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、1681年頃に正131072角形を使って小数第11位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159265359微弱」だったが、エイトケンのΔ2乗加速法を用いた途中計算では小数点以下第16位まで正確に求めている。これは世界的に見ても、数値的加速法の最も早い適用例の一つである(西洋でエイトケンのΔ2乗加速法が再発見されたのは1876年、H.von.Nägelsbachによってである)。ヤコブ・ベルヌーイとは独立かつやや早くにベルヌーイ数を発見していたことも知られている。
title: 林清一
text: 1991年に導入されたもので、ギリシャ語で「8」を意味する οκτώ (octo) に由来する。8は、10 が 1/1000 だからである。\"y\" がついたのは、\"octo\" では記号が \"o\"(オー)になり、\"0\"(ゼロ)とまぎらわしいためである(ヨタも参照のこと)。
title: 整数
text: ヨーロッパで整数の概念が現れるのは遅く、よく知られた二整数の積に対する符号の規則は一般にステヴィン (1548 - 1620) に帰せられる。またダランベール (1717 - 1783) は、彼の百科全書において整数が危うい概念であると述べている。
title: ガウス賞
text: 受賞者には金メダルと賞金が授与される。本賞の基金には1998年にベルリンで開かれた国際数学者会議で生じた余剰金が充てられている。メダルの意匠は表面がガウスの肖像、裏面がセレスの軌道を表す曲線と円(小惑星)、正方形(square:最小二乗法に因む)。
title: 正の数と負の数
text: しかし、ヨーロッパの数学者はそのほとんどが、17世紀まで負数の概念に抵抗を見せた。ただしフィボナッチは、『算盤の書』(1202年)の第13章で負数を負債と解釈し、後には『精華』で損失と解釈して金融問題に負の解を認めた。同時に、中国人は右端のゼロでない桁に斜線を引くことによって負数を表した。ヨーロッパ人の著書で負数が使われたのは、15世紀中のシュケによるものが最初であった。彼は負数を指数として使ったが、「馬鹿げた数」であると呼んだ。
title: 変ロ長調
text: 小惑星番号 3142 が円周率 π(パイ)の約1,000倍であることから命名された。
title: 虚数単位
text: 1770年頃、オイラーは虚数単位 √−1 を i と表した。i は imaginary の頭文字から採られている。
title: 十七角形
text: 正十七角形がコンパスと定規で作図できることは1796年3月30日の朝に19歳のカール・フリードリヒ・ガウスが目覚めてベッドから起き上がる時に発見した。これは任意の三角関数において、その変数としての角が 2π/17 radのとき、関数の値が有理数と平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。例えば cos の値は以下のように表される。
title: ウィリアム・ジョーンズ (数学者)
text: ウィリアム・ジョーンズ(William Jones, FRS、1675年 – 1749年7月3日) はウェールズの数学者。円周と直径の比を表すのにギリシア文字のπを最初に使ったことで有名。ニュートンやハレーとは近しい友人であった。1711年11月に王立協会フェローとなり、その後副会長にもなった。
title: プラクティカル数
text: 1202年、フィボナッチは算盤の書で、エジプト式分数として有理数を表す問題にプラクティカル数を用いた。フィボナッチはプラクティカル数を正確に定義したわけではないが、フィボナッチはプラクティカル数を分母とする分数のエジプト式分数表現の表を与えた。
title: 合成代数
text: 1818年ごろデンマークの学者フェルディナンド・デゲンが示した八平方和の公式(英語版)は、後に八元数体の元のノルムに関連付けられた。
title: WAッ!熊が出た!!
text: エマープ(emirp)とは、素数でありかつ10進数表記で逆から数字を読むと元の数とは異なる素数になる自然数のことである。例えば 1097 は素数で、かつ 7901 も素数であるためこの2つの数はエマープである。語源は prime(素数)の逆さ綴り。『素数大百科』では、数素(すうそ)という訳を当てている。
title: アルス・マグナ (カルダーノの著書)
text: と挙げた。虚数の概念がまだ確立しておらず、カルダーノはこの結果に物理的に意味は無いとして「sophistic(詭弁)」と呼んだが、「それでも我々は計算できる」と書き、積は正確に 40 になることを計算して数学的に正しいことを立証している。カルダーノはこの答えを「とらえどころのないくらいに役に立たない」と結んでいる。
title: 除算記号
text: 「:」はドイツのゴットフリート・ライプニッツが 1684年に Acta eruditorum で使ったのが最初とされ、主にドイツで使われる。他の国ではもっぱら比の記号として使われる。
title: ×
text: この記号の起源は聖アンデレの斜め十字架であるとされ、乗法の記号としてこの記号が使われだしたのは17世紀に入ってからであり、最初に使ったのはウィリアム・オートレッドの著書『数学の鍵』(1648年)だった。ただし、ヨーロッパではあまり普及せず、ライプニッツが使用した「∙」が一般的である。日本でも中等数学以降では「∙」が使われる。
title: Qiita
text: 父親のアドリアン・アンソニスは1585年に円周率の近似値として355/113を求めた数学者で、メチウスが後の著書で父親の発見を紹介したので355/113はメチウス数と呼ばれたことがあった。
title: ジャン・メーウス
text: 地球の特定の地点・特定の日における太陽の位置(日の出や日の入りなど)の計算、コンプトゥス(復活祭の日曜日の計算アルゴリズム)など、さまざまな天文計算式を著書『アストロノミカル・アルゴリズムス』(Astronomical Algorithms) などで紹介している。小惑星番号 13579 の天体にオール・オッド(「全部奇数」)、24680 の天体にオール・イーヴン(「全部偶数」)という名称を提案した。
title: 円周率
text: 円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語 περίμετρος(ペリメトロス)あるいは περιφέρεια(ペリペレイア)の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより(現代と同じく)円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
title: シモン・ステヴィン
text: 1585年に著した『十進法(オランダ語版、英語版)(蘭: De Thiende, 仏: La Disme)』で十進数による小数の理論を提唱した。現在、19.178と表す小数を「19011728」のように表した。また、ステヴィンは他にも加算や減算を表す+や-のように様々な記号を導入した。
title: 長いs
text: 1675年、ゴットフリート・ライプニッツは、ラテン語で総和を意味する summa の頭文字から積分記号 ∫ {\\displaystyle \\int } を考案した。記号の形状は、長いsのイタリック体 ( s ) を縦に長く引き伸ばしたものである。
title: 700
text: 709 : 素数、エマープ(709 ←→ 907)
title: ネイピア数
text: 厳密にネイピア数そのものを見い出したのはヤコブ・ベルヌーイと言われており、複利の計算で
title: ジョン・マチン
text: 1706年、ジョン・マチンは彼の名を冠するマチンの公式を発見し、それを利用して更に円周率を 100 桁まで計算した。
title: ローマ数字
text: 古代ローマ共和国時代の算盤では、記号の上に横棒を引いて1000倍を表したものもある。この方法では、10000は「X」の上に横棒を1本引いたもので表される。100000(10万)や1000000(100万)は「C」や「M」の上に横棒を1本を引いて表した。たとえば10000は「X」となる。
title: 対数
text: を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p のことを ネイピアの対数(英: Napierian logarithm)という。この値は、−10 ln (x/10) と 7 桁の精度で一致する。ネイピアは、1594年に対数の概念に到達し、この定義を用いて20年間計算を続け、7 桁の数の対数表を完成させて1614年に発表した。
title: 図形数
text: と表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、
title: フェルマー数
text: しかし F5 以降は(17世紀当時の計算技術から見ると)相当に巨大な数であると同時に小さな素因数を含んでいないことが、フェルマーを幻惑し反証の発見にはオイラーを待つこととなった要因の一つである。
title: ネイピア数
text: e は無理数である(ネイピア数の無理性の証明、オイラー、1744年)だけでなく超越数でもある(シャルル・エルミート、1873年)。
title: アルス・マグナ (カルダーノの著書)
text: アルス・マグナは複素数を記述した最初の例でもある(XXXVII 章)。負の数の平方根を導いてしまう問題例として:
title: 床関数と天井関数
text: などと書かれる。3つめの記号はガウス記号と呼ばれる。カール・フリードリヒ・ガウスが7つの証明を示した平方剰余の相互法則の3番目の証明に用いた(1808年)ことに由来する。日本、中国、ドイツなどでよく使われている。日本の高校数学や大学入試ではガウス記号が使われることがほとんどである。
title: ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
text: また数論に関する業績もある。全ての自然数が高々四つの平方数の和によって表されるという定理はラグランジュの四平方定理と呼ばれる(1770年)。また、ウィルソンの定理の証明のうちの一つを発見した(1773年)。
title: 完全数
text: 完全数に関する最初の成果は紀元前3世紀頃のユークリッドである。彼は『原論』(第9巻、命題36)で、2 − 1 が素数ならば、2(2 − 1) は完全数であることを証明した。2 − 1 が素数となるには n が素数である必要があるため、これにより、2 − 1 が素数となる素数 p の探求に終始されることとなる。2 − 1 を通常 Mp で表し、メルセンヌ数という。メルセンヌ数が素数であるかの判定法が考案され(リュカ1876年、デリック・ヘンリー・レーマー(英語版)1930年代)、1950年代からコンピュータが使われるようになり、現在では分散コンピューティング GIMPS による探求が行われている(詳細はメルセンヌ数を参照)。
title: 円周率
text: π は無理数である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは1761年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。
title: ガウス和
text: カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、R が奇素数 p を法とする剰余体 Z/pZ で χ がルジャンドル記号である二次ガウス和(英語版)であった。ガウスは、いわゆるガウス和の符号を決定し
title: 実数
text: 6世紀にはインドの数学者によって負数の概念が発明されており、ほどなくして中国の数学者たちも独立にその概念を発明した。ヨーロッパでは16世紀まで負数が用いられていなかったし、1700年代後半のレオンハルト・オイラーでさえ方程式の負の解をあり得ないものとして切り捨てている。
title: 900
text: 907: 素数、エマープ(907 ←→ 709)
title: 素数階乗素数
text: 素数に限らず、p# + 1 の形の数をユークリッド数 (Euclid number) と呼ぶ。名の由来は、素数が無数に存在することの証明のために、ユークリッドがこの数を用いたと広く信じられていることによる。初めのいくつかのユークリッド数は、以下の通り。
title: 虚数
text: 虚数を発見したのはカルダーノで、1545年の代数の本に、10 を積が 40 になる2つの数に分ける問題が載せられている。カルダーノは、この問題は不可能だが形式的に解を求めれば
title: チャイニーズリング
text: イタリアの数学者カルダーノが1550年に書いた本でチャイニーズリングを論じている。なおイタリアではチャイニーズリングを「カルダノの輪」と呼んでいる。
title: 積分記号
text: 積分記号はドイツの数学者のゴットフリート・ライプニッツによって17世紀末に発表された。長いs(s)を変形させた記号である。
title: ベル数
text: ベル数はパスカルの三角形と類似の方法で計算ができる。 まず最初のベル数1を縦に並べて書く。
title: 小数
text: なお、ステヴィンの提唱した小数の表記法は、現代の「0.135」であれば、これを「113253」と表記する。現代のような小数点による表記となったのは、20年ほど後にジョン・ネイピアの提唱による。
title: ウェアリングの問題
text: 1770年のラグランジュの四平方定理は、全ての自然数は多くとも 4 個の平方数の和であることを言っていて、3 個の平方数では十分ではないので、この定理は g(2) = 4 であることを意味している。ラグランジュの四平方定理は、クロード・バシェの1621年のディオファントゥスのアリトメティカ(英語版)(Arithmetica)の編集で述べられている。フェルマー(Pierre de Fermat)は証明したと主張したが、著書としていない。
title: キロ
text: キロは、ギリシア語で1000を意味する χίλιοι (khilioi) に由来する。
title: スーパーコンピュータ技術史
text: 17世紀に、対数を元にして、精度は限られるが計算尺で乗除算が行えるようになった。数値的にはネイピアによるネイピアの骨の発明と、後述する数表の一種である対数表がある。同じ頃、パスカルやライプニッツによる機械式計算機により、繰り上がりや繰り下がりが自動になった。
title: 冪乗
text: もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルがラテン語: \"exponens\" を造語し、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注としてラテン語: \"index\" を(スティーフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で)用いたのがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index はサミュエル・ジーク(英語版)が1696年に導入した。
title: 合成代数
text: 平方和の合成則に関する言及は古くからいくつか存在している。ディオファントスは、今日ではブラーマグプタ–フィボナッチの公式と呼ばれる、二つの平方数の和を含む式について記しているが、これは複素数のユークリッドノルムが複素数の積に関して持つ乗法性と見れば事態をはっきりさせることができる。オイラーは1748年に四平方和の公式を論じたが、それは後にハミルトンが四元数の成す四次元多元環を構成することに通じている。1848年にテッサリン(英語版)が述べられたことで双複素数に初めて光が当てられた。
title: 円周率
text: 17世紀、ドイツのルドルフ・ファン・コーレンが正325億角形を使い、小数点以下第35位まで計算。1699年(または1706年)にエイブラハム・シャープが小数点以下第72~127位まで求めた。
title: 無理数
text: 無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかしピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。
title: プラス記号とマイナス記号
text: Earliest Uses of Various Mathematical Symbolsのウェブサイトによると、 + と − を最初に加算と減算に使った本として知られているのは、1518年にヘンリカス・グランマテウス(英語版)が出版した書籍である。
title: ライプニッツの調和三角形
text: ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。
title: 行列式
text: 楊輝(中国、1238年?~1298年)は『詳解九章算術』で数字係数の二元連立一次方程式の解をクラメルの公式の形で、行列式的なものを含んだ形で与えている。また1545年にジェロラモ・カルダノは、著書 Ars Magna の中で同じく2×2の場合のクラメルの公式を与えている。この公式は regula de modo(ラテン語で「様態に関するの規則」の意味)と呼ばれている。彼らは「行列式」を定義したわけではないが、その概念の萌芽を見てとることができる。
title: アルキメデス
text: 『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を⁄153(約1.7320261)と⁄780(約1.7320512)の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラス素数(ピタゴラスそすう、英: Pythagorean prime)とは、4n + 1 の形をした素数である。ピタゴラス素数は、二個の平方数の和で表される奇数の素数に他ならないことが知られている。
title: 無限降下法
text: フェルマーはまた、友人カルカヴィへの手紙の中で、「4 で割って 1 余る素数が二個の平方数の和で表せる」という命題を「直角三角形の基本定理」と呼び、この命題を無限降下法で示したと述べた。フェルマーの語る証明の概略はおおよそ次の通りである。
title: 除算記号
text: その後ジョン・ペルクが記した書籍で一般に認知されるようになった。その後ノルウェーやデンマークを含むヨーロッパの一部で除算記号として使用されたことや、アイザック・ニュートンなどがこの記号をよく使ったため、一般に使用されるようになる。
title: 図形数
text: ということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式
title: ガウス整数
text: ガウス整数(ガウスせいすう、英語: Gaussian integer)とは、実部と虚部が共に整数である複素数のことである。すなわち、a + bi(a, b は整数)の形の数のことである。ここで i は虚数単位を表す。ガウス整数という名称は、カール・フリードリヒ・ガウスが導入したことに因む。ガウス自身はガウス整数のことを複素整数(ドイツ語: Komplexe Ganze Zahl)と呼んだが、今日ではこの呼称は一般的ではない。
title: ジャック・ペルチエ・デュ・マン
text: ペルチエは、ニコラ・シュケ本来の仕組みを維持しつつ、6桁単位から現代西洋式の3桁単位に数の分け方が変わる時に、中間の位の名前を提案した。彼は既に存在していた\"-illion\"のつく名前との対比で、\"-illard\"のつく名前を考案した。このルールは英語圏では用いられていないものの、ブラジル、ギリシャ、トルコ、ロシア、プエルトリコといった多くの国などで用いられている。
title: 数学史
text: 復元された粘土板の大部分は紀元前1800〜1600年の時代であり、分数、代数、二次および三次方程式、およびピタゴラス数の概念が扱われている(プリンプトン322参照)。粘土板にはまた、乗算表、三角法表および一次と二次方程式の解法が含まれている。バビロニアの粘土板YBC 7289は、2の平方根の小数点第5位まで正確な近似値を出している。円周率の値として、実際的な計算のためにはしばしば 3 が用いられていたが、22/7 などのより精確な近似値も知られていた。(円周率の歴史も参照のこと)
title: 萩原仁
text: 1975年に定められたもので、ギリシャ語で「6」を意味する ἕξ (hex) に由来する。6 は、10 = 1000 だからである。6 を意味する接頭辞 εξα- (exa-) もこの ἕξ に由来するが、/h/ は発音されなくなった。
title: 森宗意軒
text: ゼタが公表される前の数年間、10 倍の接頭辞としてヘパ (hepa) が非公式に導入されていたことがあった。ヘパはギリシャ語で 7 を意味する ἑπτά (hepta) に由来する。ヘパは正式なものではなく、現在では使用されていない。
title: ガウス賞
text: カール・フリードリヒ・ガウスの生誕225周年を記念し、2002年にドイツ数学会と国際数学連合が共同で設けた賞で、第1回授賞は2006年。その名はガウスが1801年に一旦は発見されながら見失われてしまった小惑星セレスの軌道を最小二乗法の改良により突き止め、再発見を成功させた故事に由来する。
title: アルキメデスの牛の問題
text: 最後の2つの条件は、W + B が平方数であり、Y + D が三角数であることを意味する。
title: 西洋の命数法
text: ただ、現在では非公式だが一般に用いられている -ilion- という接尾辞 (10) を用いることで曖昧を避けようとする方向に向かっている。これは10のべき乗を表すために追加されたもので、例えばduiliono(duはエスペラントで「二」)は 10 = 10、triiliono(triはエスペラントで「三」)は 10 = 10 を表す。