クイズ問題: 「サモスの賢人」とも称された古代ギリシャの数学者の名がついた「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」という定理を何という?
答え: ピタゴラスの定理

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 直角三角形
text: 直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理(三平方の定理)と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。
title: テアイテトス (対話篇)
text: テアイテトスは理解し、最近友人である少年ソクラテス(参照 :『政治家』)と数学・幾何学の議論をした時にも、同類の話が出てきたと言う。それは「平方根」(二乗根)についての議論で、「3・5・6・7・・・といった面積を持つ正方形」の「一辺の長さ」は、自然数には収まらないが、こうした例は無限に出すことができてしまうので、もっと端的な表現方法を考え、まず「4・9・16・・・といった自然数の2乗(平方)として表現できる数」を「正方形数(等辺数)」と名付け、次に「それ以外」(すなわち、先の3・5・6・7・・・)を「長方形数(不等辺数)」と名付けた上で、「長方形数(不等辺数)を面積とする正方形の一辺の長さ」として、それを表現することにしたと言う。また、同様のことは立方体(すなわち「立方根」(三乗根))についても言えると述べる。
title: 松葉杖
text: ピタゴラスは、宇宙の万物は数から成り立つこと、そして宇宙を構成する数は、調和した比を保っていると信じていた。ある資料では、ヒッパソスは正方形の研究をしているうち、その辺と対角線の長さの比は整数でも分数でも表せない未知の数、すなわち無理数であることを発見した。ピタゴラスと教団は教義の反証であるこの発見に動揺し、不都合な事実を隠すため、発見者のヒッパソスを処刑したという。
title: 和算
text: 和算における解析学に関連した研究を円理といい、関孝和の登場以降大いに発達した。円理という名は、円周率や円積率、球の体積や表面積が主な問題となったことによる。関孝和は円に接する正多角形の辺の長さを用い、円周率を11桁まで得ている。
title: アルキメデス
text: また、三角形の面積を求めるヘロンの公式もアルキメデスの発案に源泉があるとも唱えられた。しかし、この公式について信頼に足る証拠は1世紀にアレクサンドリアのヘロンが提唱したものしか無い。
title: フォードの円
text: フォードの円は互いに接する円の特別なケースであり、基準線 (y = 0) は無限大の半径を持つ円と考えられる。互いに接する円の体系は、アポロニウスの問題やアポロニウスのギャスケットなどに名が残るペルガのアポロニウスによって研究された。17世紀にはルネ・デカルトが、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理を発見した。
title: アルキメデス
text: 『放物線の求積法』でアルキメデスは、放物線が直線で切られた部分の面積が、放物線と直線の交点(英語版)と直線と平行な接線が接触する3点を頂点とする三角形の面積の⁄3倍になることを証明した。これは、無限級数と公比(en)を用いる。最初の三角形の面積を1とし、この三角形の2辺を割線とし、放物線の隙間に同様な手段で2つの新しい三角形を想定すると、この面積の和は1/4となる。これを無数に繰り返して放物線の切片を取り尽くすと、面積は、
title: ピタゴラスの定理
text: 初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理は
title: ブラフマグプタ
text: ブラフマグプタが見いだしたものは他にもある。ブラフマグプタの公式と呼ばれる式がその一つである。円の内接四角形の面積を求めるその式は、ヘロンの公式を内包している。2つの公式の関係は、ちょうど余弦定理がピタゴラスの定理を内包しているのに似ている。
title: アレクサンドリアのディオファントス
text: ディオファントスが解いた方程式で最も知られているものは、ピタゴラスの定理から派生するものだ。a + b = c を成り立たせる整数の組 a, b, c をピタゴラス数と呼ぶが、ディオファントスは、可能な解すべてを見出している。彼が与えたレシピは、任意の整数2つの組について、それらの平方の差、それらの積の2倍、それらの平方和をとるというものだ。得られた3つの数は、つねにピタゴラス数となる。
title: 図形数
text: エウクレイデス『原論』の第2巻では、正方形のみならず平行四辺形に対して、大きな平行四辺形の頂点から相似の平行四辺形を切り取ってできる平行六辺形を表す言葉に拡張してグノーモーンという語を定義している。アレクサンドリアのヘロンは、その部品を付加することによって元の図形と相似な図形を得るようなものと定義した。矩形数の場合、L字形の部品を加えると、元の矩形と新しい矩形は縦横比が異なるため、厳密には相似とはいえないが、このような場合にもグノモンの語が用いられる。
title: アルゴリズム
text: 記録に残る最古のアルゴリズムは、エウクレイデスの原論のものである。その中でも、二つの整数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法は、典型的なアルゴリズムとして知られている。
title: 外接円
text: 辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。
title: ブラーマグプタの公式
text: ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラスの定理より、p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れるということである。√p のみならず、p 自身もそのような性質を持つ。例えば、ピタゴラス素数 5 に対し、√5 は直角を挟む2辺の長さが 1, 2 の直角三角形の斜辺の長さであるし、5 自身は直角を挟む2辺の長さが 3, 4 の直角三角形の斜辺の長さである。
title: 図形数
text: 図形数(ずけいすう、英: figurate numbers)とは、一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称である。その歴史は、古代ギリシアのピタゴラス学派が「万物は数である」との思想のもと、図形と数を結び付けたところにまで遡る。例えば、図形として正方形を考えると、数としては平方数を得る。平方数を図形数として見るときには、これを特に「四角数」と呼ぶ。
title: ブレーズ・パスカル
text: パスカルは幼少の頃から天才ぶりを発揮していた。例外の多い語学への影響を懸念した父親によって数学から遠ざけられていたが、まだ10歳にもならない頃に、三角形の内角の和が二直角である事や、1からnまでの和が(1+n)n/2である事を自力で証明して見せたと言われている。
title: 1+2+3+4+…
text: によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていた。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。
title: インディアナ州円周率法案
text: グッドウィンの本来の目標は、円周の長さを測定することではなく、円を四角にすることだった。彼はそれを文字通りに円と同じ面積を持つ正方形を見つけることだと解釈した。彼は、アルキメデスの円の面積の公式(直径に円周の 1/4 を掛けること)が円を四角にする古代の問題の解決策にならないことを知っていた。これは、その問題がコンパスと定規だけを使用してその面積を作図することであって、アルキメデスは円周と同じ長さの直線を作図する方法を与えなかったからなのであるが、グッドウィンはこの重要な必要事項に明らかに気付いていなかった。つまり彼は、アルキメデスの公式に関する問題とはそれが間違った結果を与えることであって円積問題はそれを「正しい」公式に置き換えれば解けるものと信じていたのである。
title: 定規とコンパスによる作図
text: 正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が著した『原論』に記されており、よく知られていた。長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した。同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち
title: 籌算
text: 『九章算術』では約分術という名で分母と分子の最大公約数を求めて約分を行うアルゴリズムが記載されている。分母と分子のうち大きい方から小さい方を引き、それを繰り返していって分母と分子が等しくなるとそれが最大公約数である。この方法はユークリッドの互除法と同一のものである。600/375 の最大公約数75を求める手順を以下に示す。
title: 取り尽くし法
text: アルキメデスは、取り尽くし法を使って円の面積を計算した。円に多角形を内接させ、その多角形の辺の数を増やしていったのである。この多角形の面積を円の半径を1辺とする正方形の面積で割ると、その商は辺の数を増やすにつれてπに近づく。このことから半径 r の円の面積が πr であることを証明し、πは円周と直径の比率と定義した。付随して、円周の長さと96角形の内接多角形と外接多角形の外周の長さから、3+10/71 < π < 3 + 1/7 という式を導き出した。
title: 三角法
text: 任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。
title: 無理数
text: 無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかしピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。また、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして p 自身が現れること、といっても差し支えない。なぜならば、p = x + y であるとき、
title: 単位料金区域
text: 2つのMA間の距離(km)は三平方の定理(ピタゴラスの定理)から算出された「2つのMA間に存在する2kmの個数」に2を掛けることにより求められる。
title: 三角関数の公式の一覧
text: ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。
title: タレス
text: 一般の人によく知られているのは哲学よりも、中学校の数学の教科書に必ず出てくるターレスの定理であろう。これは「半円に内接する角は直角である」という定理である。タレス自身が円周上の点と円の中心を結び、2つの二等辺三角形を作ってこの定理を証明したために、この名前がついたという。ちなみに「ターレスの定理」とよばれるものは5つある。
title: アポロニウスの問題
text: ビエトはPPP(3つの点)のケースを、ユークリッドの原論に記載されている手法に従って解くことから始めた。ここから、ビエトは方べきの定理に相当する補題を得た。ビエトはこの補題を用いて、LPP(1本の直線と2つの点)のケースを解決した。再度ユークリッドの手法に従い、角の二等分線定理(英語版)を用いて、ビエトはLLL(3本の直線)のケースを解決した。そして、ビエトは、1点を通り、角の二等分線に対して垂直な直線を描くための補題を得た。そしてこれを、ビエトはLLP(2本の直線と1つの点)のケースを解くために用いたのである。以上はアポロニウスの問題の最初の4つのケース(これらのケースは円を含まない)を説明するものである。
title: サービト・イブン・クッラ
text: 数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。
title: 劉徽
text: 劉徽は注釈本の中で、ギリシアのピュタゴラス(紀元前580年 - 紀元前500年)のピタゴラスの定理と全く同じことを記述している。その定理を表した図について劉徽は、「この図は斜辺とその他の2辺の合計と差分の関係を表したもので、3辺のうち2辺が既知であれば、残る1辺を求めることができる」と記している。平面および立体図形の取り扱いについて、劉徽は経験主義的な立体幾何学に多大な貢献をしている。例えば、楔(くさび)の形状は四角錐と三角錐に分けられることを明らかにしている。さらに、底辺が台形で両面が傾斜している楔を四角錘と2つの三角錐に分割できることも示した。
title: 全能の逆説
text: 注意して欲しいのだが、後の非ユークリッド幾何学の発見はこの逆説を解決するためには役立たない。次のようにも問うことができるからだ。「楕円幾何学の公準が成立するとして、そこで全能者は内角の総和が180度を超えない三角形を作ることができるか。」 いずれの場合も、本当の質問は、全能者は自分の創造した公理系において論理的に導かれる結果を破る能力を持つのか、という点である。
title: 行列の対数
text: より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組(英語版) (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと
title: 円積問題
text: 正方形化を定規とコンパスだけを使って作図する問題として提示したのはキオスのオイノピデスが最初だと考えられている。ジェームズ・グレゴリーは、1667年に「Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura(円と双曲線の正方形化)」において、円積問題は不可能だと証明しようとした。結果的に彼の証明は間違っていたが、円積問題に対して初めて円周率 (π) の代数的な性質に基づいた議論を試みたものになった。1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが円周率の超越性を証明したことで、円積問題が不可能であることの厳密な証明が得られた。
title: 垂直
text: 直角の作図法の基礎としてピュタゴラスの定理を用いることができる。例えば、長さの比が 3 : 4 : 5 となるような棒を節で繋いだ鎖を使って三角形を作れば、一番長い辺の対角が直角になる。
title: 図形数
text: 紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法では
title: インディアナ州円周率法案
text: ギリシアの三大作図問題(角の三等分、立方体の倍積、円の平方化)が肯定的に解けたとする間違った主張は、トンデモ系の「数学」に典型的なものである(不可能と証明されたのであって、諦められたのではないことにも注意)。特に角の三等分と立方体の倍積は、トンデモ作品ではありふれている。
title: 実数
text: 数の体系としての実数をとらえる試みは古代ギリシャにおける「大きさの理論」にさかのぼることができる。この「大きさ」とは大小比較や加法、自然数倍ができるようなものとして定式化される。幾何学における線分の長さなどがこの大きさの理論を適用できる概念になるが、こうして考えられた量が自然数(あるいは整数)の比である有理数だけではとらえきれないという紀元前500年頃のピタゴラス学派による発見は大きな意義をもっていた。
title: 余弦定理
text: ユークリッド原論第2巻命題12では、鈍角三角形の鈍角に対応する第二余弦定理がピタゴラスの定理を用いて示されている。現代的に書けば
title: シュルバ・スートラ
text: 主に幾何学についてのテキストで構成される。文献のうち、バウダーヤナは3章にわかれており、ピタゴラスの定理の一般的な説明、2の平方根を小数点第5位まで求める方法、円の方形化(円積問題)をはじめとする等面積変換などが書かれている。次に古いアーパスタンバは6章からなり、バウダーヤナが扱ったことを詳しく解説している。マーナヴァには、古典期の新しい要素が含まれている。既存の祭壇の2倍の面積をもつものなどを作る必要などから、無理数の近似方法が発達したとされる。
title: 二項定理
text: 1544年にミハエル・シュティーフェル(英語版)は「二項係数」(\"binomial coefficient\") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a) を (1 + a) で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を論文(英語版) Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。
title: 三角法
text: 三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。平面三角法においては、このうち、SSS, SAS, ASA, AAS の場合に三角形が一意に特定されることが知られており、このことはエウクレイデスの『原論』においても幾何学的に証明されている。図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。
title: ピタゴラスの定理
text: また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でないことを無限降下法により証明した。
title: アンティポン
text: アンティポンは、仲間のヘラクレアのブリュソン(Bryson of Heraclea)とともに、円の周りに多角形を内接させ、それから外接させ、最後に多角形の面積を計算することで、円周率の値の上限と下限を求めた最初の人物でもある。この方法は円積問題に適用された。
title: ペルガのアポロニウス
text: 著書『円錐曲線』 (Κωνικά) において、円錐を頂点を通らない平面で切断した断面の図形「楕円(だえん、ellipse)」・「放物線(ほうぶつせん、parabola)」・「双曲線(そうきょくせん、hyperbola)」について詳細な研究をおこなった。「楕円」・「放物線」・「双曲線」の名称は、アポロニウスがそれぞれ「ellipsis(不足する)」・「parabole(一致する)」・「hyperbole(超越する)」と呼んだことに由来する。離心円ならびに従円と周転円の概念の発案者でもある。
title: 2の平方根
text: 無理数はピタゴラス教団のメタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。
title: 中国の数学
text: 劉徽の『九章算術』に関する注釈本は、入手可能な原文テキストの最初期の編集本である。劉徽は漢代直後の数学者だと大半の人に信じられている。自身の解説の中で、劉徽は代数的あるいは幾何学的観点からいくつかの問題に条件を付けて証明した。例えば、『九章算術』を通して円や球に関する問題では円周率は3に等しいと見なされている。解説の中で、劉徽は取り尽くし法を用いてより正確な円周率の推定値を見つけた。取り尽くし法では、円の中に内接した多角形を作成して、最終的に高次多角形の面積が円と同じになるよう収束させていく。この方法から、劉徽は円周率の値が約3.14である(これは中国で徽率とも呼ばれる)と主張した。劉徽はまた古代ギリシアの方法と同じに、平方根と立方根の開平法の幾何学的証明を提示した。これは、正方形または立方体を任意の線または断面で切断し、残りの長方形の対称性によって平方根を決定するというものである。
title: アニュラス
text: アニュラスの面積はアニュラスの中に完全に置ける最長の線分の長さ(添付図の 2d)から得られる。これはピタゴラスの定理によって証明できる。
title: 宇宙の形
text: Ω=1以外では、ピタゴラスの定理は有効ではない。しかし差異が検出されるのは、三角形の一辺の長さが10程度の尺の場合のみである。
title: 無理数
text: しかしプラトンが現れると、彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。
title: 三角法
text: 三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。
title: 自乗
text: 自乗が平方と呼ばれるのはその幾何学的な意味に由来する。数を辺の長さによって表現すれば、その数の自乗は自乗される数に等しい辺の長さを持つ正方形の面積を与える。
title: 余弦定理
text: に対応するものも考えてみると、C から AB に下ろした垂線の足を H としたとき、辺 AB の長さは AH と HB の長さの和ということを示しているだけの定理なので、三角形の辺の長さの関係を表し、特に第一余弦定理を表しているといえる命題といったものはユークリッド原論の中にはない。敢えて言えば、三角形ではなく線分の内分、外分に関する命題ということになる。
title: 代数方程式
text: 代数方程式は、面積を求める幾何学的な問題や、ディオファントス方程式などの算術的な問題として、古来から数学において重要な研究対象となってきた。ピタゴラスの定理 a + b = c を満たす自然数の組 (a, b, c)(ピタゴラス数)を求める問題やその一般化として17世紀にフェルマーが考察した a + b = c などが代数方程式とその研究の例として挙げられる。後者の例については、これを満たす自然数の組は自明なもの(abc = 0 の場合)を除いて存在しないという主張がフェルマーの最終定理として知られる。
title: 平行線公準
text: ジョルダーノ・ヴィターレ(英語版) (1633-1711) は自身の著書Euclide restituo(1680年、1686年)の中で、クリストファー・クラヴィウスが与えた平行線公準の証明は、ある直線と等距離にある曲線はそれ自体が直線であるという前提に依存していると指摘した。そこで、サッケーリの四角形において、上辺CD上に3つの点をとり、底辺ABに下ろした垂線がすべて同じ長さであれば、ABとCDは等距離であるということを示した。これは過去600年間の中で、平行線公準に対する理解が真に進んだ初の成果である。
title: アルマゲスト
text: 円運動に基づき、また地球中心で天を球体としている点はエウドクソスと同様だったが、従円と周転円、離心円、エカント、クランク機構、軌道面の振動といったより技巧的な仕組みを導入した。また、純粋に幾何学的な理論に終始したエウドクソスに対して、プトレマイオスの理論は、幾何学に基づきながらも、非常に数値的だった。幾何学的と数値を結び付けるための必須だったのが、「弦の表」である。これは円弧の長さと弦の長さを表にしたもので、今の三角法の起源である。
title: 合成代数
text: 平方和の合成則に関する言及は古くからいくつか存在している。ディオファントスは、今日ではブラーマグプタ–フィボナッチの公式と呼ばれる、二つの平方数の和を含む式について記しているが、これは複素数のユークリッドノルムが複素数の積に関して持つ乗法性と見れば事態をはっきりさせることができる。オイラーは1748年に四平方和の公式を論じたが、それは後にハミルトンが四元数の成す四次元多元環を構成することに通じている。1848年にテッサリン(英語版)が述べられたことで双複素数に初めて光が当てられた。
title: ピタゴラスの定理
text: ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:
title: 逆三角関数
text: 逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、直角三角形の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを 0 ≤ x ≤ 1 にとってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい(表中の図を参照)。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。
title: 多角数
text: となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、(矩形に並べられることができないことから)素数である。
title: 定規とコンパスによる作図
text: この作図はエウクレイデス(ユークリッド)の『原論』が扱っている幾何学の範囲を超えるものであり、エウクレイデスの幾何学では neusis に関する公理も定理もそもそもその存在さえも扱われておらず、したがってそれをつかった作図もすることはできない。この広い意味の幾何学では、既知の長さから三次または四次方程式の解として得られる比を持つ長さならば作図できる。これは目盛りの打てる定規と neusis を使えば角の三等分および立方倍積ができるということである(一方、円積問題についてはやはり不可能なままではあるが)。これによって、正七角形などいくつかの正多角形が作図可能となり、ジョン・コンウェイはそのようなもののいくつかについて作図法を与えている。それでも正十一角形など無数に作図不可能なものが存在するのである。
title: ヘロンの公式
text: ヘロンの公式(ヘロンのこうしき、英: Heron's formula)とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。
title: 三角ゲーム・ピタゴラス
text: 番組は、単に「ピタゴラス」とも呼ばれていた。タイトルの「ピタゴラス」は、三角形にまつわる「ピタゴラスの定理」に由来するもので、解答席の上にはピタゴラスが考えているイラストが掲げられていた。
title: 中線定理
text: 中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。
title: サッポロファインフーズ
text: ピタゴラスの定理によると、隣辺の二乗同士の和は斜辺の二乗の値と等しくなる。
title: 円積問題
text: 与えられた円と等しい面積の正方形を作図するためには、単位長さに対して √π の長さを作図することが必要となる。π が代数的数(代数方程式の解となる複素数)ではなく超越数であることを示すことによって円積問題の不可能性が示される。実際、作図可能な数は代数的数になるので、円の正方形化が可能ならば円周率は代数的数だということになってしまう。円の正方形化の可能性は正方形の円化の可能性と同値なので、こちらの不可能性も示されたことになる。
title: エジプト式分数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、任意の分数を単位分数の和に表すアルゴリズムをいくつか発表した。まず、分母 n が性質「n 未満の任意の自然数は、いくつかの n の約数の和で表せる」を持つとき、分子を n の約数の和で表して約分することにより、単位分数の和に表せる。そのような性質を持つ n は
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: と無限に続く足し算の等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式の左端は n (平方数)、中央は n(n + 1) (矩形数)である。n を n 個の n に、または n(n + 1) を n 個の n + 1 に分け、左辺のその他の項に加えれば右辺の項を得る。等式の値3, 15, 42,・・は n 番目の三角数(1から n までの和)の 2n + 1 倍、四角錐数(1から n までの自乗和)の3倍であり、奥行き、幅、高さが n, n + 1/2, n + 1 の直方体の体積に等しい。1段目から n 段目までの総和は、1から n までの立方和(n 番目の三角数の自乗)の 1 + 2/n 倍であり、連続三角数の積である。
title: フェルマー点
text: フェルマー点(フェルマーてん、トリチェリ点・等角中心とも呼ばれる)は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):
title: 余弦定理
text: が成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。
title: ヘロンの公式
text: 一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。
title: 方法 (アルキメデスの著書)
text: 三角形の質量中心は、アルキメデスにより次の方法で簡単に求めることができる。中線が三角形のいずれかの頂点から反対側の辺Eに引かれる場合、三角形は支点とみなされる中点で釣り合う。その理由は、三角形がEに平行な無限小の線分に分割される場合、各線分は中線の反対側で等しい長さを持ち、対称性により均衡する。この議論は無限小である線の代わりに小さな長方形を使う取り尽くし法により簡単に厳密なものにすることができ、これはアルキメデスが『平面の釣合について』で行っている。
title: ユークリッドの互除法
text: ユークリッドの互除法(ユークリッドのごじょほう、英: Euclidean Algorithm)は、2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。
title: アポロニウスの問題
text: ソディの円は、3つの与円とともに考えると、6点で互いに接する4つの円の組となる。これら4つの円の半径はデカルトの定理として知られる等式で関連づけられている。1643年に、エリザベス・ステュアートに宛てた手紙にて、ルネ・デカルトは以下を示した。
title: 無理数
text: 円周が円の直径の3倍より少し大きいことは古来知られていた。古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 r の円の面積が円周率 π を使って πr であることも知られ、アルキメデスは半径 r の球の体積が 4/3πr であることや、この球の表面積が 4πr (その球の大円の面積の4倍)であることを示していた。円周率 π が無理数であることはすでにアリストテレスによって予想されていたが、実際に証明されたのはそれよりはるかに後の時代のことである(ヨハン・ハインリヒ・ランベルト)。
title: ブラーマグプタの公式
text: ブラーマグプタの公式(ブラーマグプタのこうしき、英: Brahmagupta's formula)とは、円に内接する四角形の四辺の長さからその四角形の面積を求める公式である。
title: 方程式
text: 歴史上の数学の発展において様々な代数方定式の解を求める試みはそれまでになかった新しい数の体系を生み出してきている。その最も古い例として、古代ギリシアにおける無理数の発見をもたらした、正方形の辺と対角線の比 x に関する方程式
title: 共円
text: で与えることができる。この式は15世紀のインドの数学者 Vāṭaśśeri のパラメーシュヴァラ(英語版)まで遡れる。 トレミーの定理により、四つの頂点 A, B, C, D がこの順で並ぶ四辺形の、各二頂点間の距離が与えられているとき、その四辺形が共円となる必要十分条件は、対角線の長さの積が二組の対辺の積の和に等しいこと:
title: 割線
text: を考えよう。点 P が円の内側にある場合は『原論』の第III巻の35であるが、P が円の外側にある場合については『原論』に記述はない。しかし、ロバート・シムソン(英語版)はクリストファー・クラヴィウスに従い、彼らのユークリッドについての解説書において、こんにち割線・割線定理(英語版)とも呼ばれるこの結果を示した。
title: 無限降下法
text: フェルマーはまた、友人カルカヴィへの手紙の中で、「4 で割って 1 余る素数が二個の平方数の和で表せる」という命題を「直角三角形の基本定理」と呼び、この命題を無限降下法で示したと述べた。フェルマーの語る証明の概略はおおよそ次の通りである。
title: 円分多項式
text: 任意の円分多項式の全ての根は、いくつかの有理数から出発して四則と冪根を繰り返すことにより表せることが知られている。実際、Φn(x) のガロア群は Z/nZ の乗法群である。特に n がフェルマー素数のときは、冪根として平方根を用いるだけで表すことが可能であるため、長さ 1 の線分が与えられれば、定規とコンパスを使用して半径 1 の円弧を n 等分する線分が作図可能である。
title: 図形数
text: ということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式
title: 合同算術
text: オイラーにより、素数を亙るある無限積が単位円の面積の平方の⁄6(つまり、π/6)に等しいことが発見され、数の理解に対する新たなアプローチの仕方が生まれた。ディリクレはこれを用いて整数の合同類環の単数群が素数を無限に含むことを示した。今日ではこれはディリクレの算術級数定理と呼ばれる。
title: アルキタス
text: アルキタスは算数学(ロジスティケ)を、科学の基礎で、幾何学よりも優位であると考えていた。ディオゲネス・ラエルティオスは、数学的な原理を機械学(力学)に応用した最初の人物はアルキタスだったと言っている。 アスカロンのエウトキオス (en) によると、アルキタスは立方体倍積問題の問題を幾何学的説明によって解こうとしたという。アルキタスの比例の理論はエウクレイデス(ユークリッド)の『ユークリッド原論』第8巻の、開立に相当する2つの比例中項の作図のところで論じられている。
title: エウクレイデス
text: 『原論』には幾何学だけでなく、数論についての記述もある。完全数とメルセンヌ数の関係、素数が無限に存在すること、因数分解についてのユークリッドの補題(ここから素因数分解の一意性についての算術の基本定理が導かれる)、2つの数の最大公約数を捜すユークリッドの互除法などが含まれる。
title: 三角形
text: 三角形の 3 つの内角の大きさに注目して、すべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形(図 2)、1 つの角が直角である三角形を直角三角形(図 4)、1 つの角が鈍角である三角形を鈍角三角形(図 3)という。
title: 正多角形
text: 正多角形は、角(辺)の数が増えるごとに円に近づいていくので、「周の長さ÷外接円の直径」を角の数が多い正多角形で計算すると、円周率に近づいていく。これは、初期の円周率の求め方で、円周率の歴史上の始まりに位置する。
title: 円積問題
text: 円の正方形化が不可能だと数学的に証明されても、それを認めようとせず、何年も解法を求め続けた数学者も多かった。トマス・ホッブズも死ぬまでの24年間もの間、解法を得たと信じたため、否定したジョン・ウォリスを非難し続けた。英語圏では、square the circle(円を四角にする)という言葉を、不可能なことを企てる人の喩えとして用いる。
title: 三体問題
text: 円制限三体問題において、共動回転系において第三体が静止することが可能な5つの点をラグランジュ点と呼び、記号 L1, L2, L3, L4, L5 により表される。このうち L1 から L3 の3点は第一体、第二体、第三体が一直線上に並ぶもので、オイラーの直線解として知られる。一方 L4 と L5 は三体が正三角形を描くもので、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュによって1772年に発見された。ラグランジュの正三角形解は一般三体問題の場合にも存在する。
title: 弧長
text: 数学史の大半の時期においては、偉大な思想家ですらも、特異な弧の長さを計算することは不可能と考えられた。窄出法(積尽法)と呼ばれる独自の方法を用いて、曲線に囲まれる領域の面積を求めた先駆者であったアルキメデスでさえも、直線が持つのと同様の確かな長さを曲線が持つことが可能であるとはほとんど信じていなかった。しばしば微分積分学の起源と考えられるこの分野が開拓される最初の足掛かりは、近似法を用いることであった。人々は、曲線に内接する多角形を考え、その辺の長さを曲線の幾分精密な長さを知るために計算するということを始めるのである。線分の数を増やして各線分の長さを記述することによって、どんどん精密な近似を得ることができた。特に、円に内接する多角形の辺の数を増やすことによって、円周率 π の近似値が求められた。
title: アポロニウスの問題
text: ビエトはこのアプローチを与円の1つを点になるまで縮めるために用いた。このように、ビエトは問題そのものをより単純な、すでに解決済みのものへと変えてしまったのである。ビエトは最初にCLL(1つの円と2本の直線)のケースを、円を点に縮めて、LLPのケースにすることで解決した。ビエトはそれから、CLP(1つの円と1本の直線、1つの点)のケースを3つの補題を用いることで解決した。ビエトは再度、円の1つを点にまで縮め、CCLのケースをCLPのケースに変え、解決した。それから、CPP(1つの円と2つの点)のケースを解決し、さらに2つの補題を用いてCCPのケースを解決した。最後に、ビエトは一般のCCC(3つの円)のケースを、円の1つを点にまで縮め、問題をCCPのケースに変えることで解決した。
title: アポロニウスの問題
text: アポロニウスの問題とは3つの与えられた円、直線、点等のオブジェクトに接する1つ以上の円を平面上に描くものであった。これは10種類のアポロニウスの問題に分けることができる。それぞれ円、直線、点を組み合わせた問題であり、C, L, P のアルファベットでどのオブジェクトが与えられている問題なのかを表す。Cは与えられたオブジェクトが円(Circle)であることを示し、Lは与えられたオブジェクトが直線(Line)であることを示し、Pは与えられたオブジェクトが点(Point)であることを示す (表 1)。例えば、円、直線、点の3つのオブジェクトが与えられたアポロニウスの問題はCLPと表す。
title: 三角数
text: と無限に続く足し算の等式はタルタリアの三角形と呼ばれる。上から n 段目の等式の値は n 番目の三角数の 2n + 1 倍である。1段目から n 段目までの総和は、1から n までの立方和(n 番目の三角数の自乗)の 1 + 2/n 倍であり、連続三角数の積である。
title: 和算
text: また、長谷川寛は新たに極形術と変形術というものを発明している。極形術は、扱いづらい数や図形を扱いやすいもの(極形という。たとえば長方形や菱形なら正方形に、三角形なら正三角形や直角二等辺三角形に、大きさが等しくないものは等しいものに)に置き換えて、問題を解きやすくするという術であり、変形術は図形の形を引き伸ばしたり回したりすることで形を変えて問題を解きやすくする術である。これらによって、図形問題の解法は大いに簡略化されるかに見えたが、極形術にてはある問題においては正しく解けずに誤った答えが導かれると言う事態が起こった。いくらかこれに他の数学者たちから批判の声があがったものの、ついに修正改良されることを得なかった。他方、内田五観の門人法道寺善もまた形を変えて解くという同様の考えにより、接円の問題などにおいて円を直線に変えて解く、別の方法を編み出している(反転法に相当する)。
title: 直角三角形
text: である(三平方の定理)。これを読み替えて、三角形の3辺の長さがこの式を満たさなければ、角Cは直角ではないことがわかる。 一方、これとは逆に、この式を成り立たせるような3辺をもつ三角形は、直角三角形であることがわかる(三平方の定理の逆)。同様に、直角三角形でない三角形の辺の長さが、この式を成り立たせることはない。
title: 方法 (アルキメデスの著書)
text: 球の表面積を求めるために、アルキメデスは円の面積が円周を回る無限に多くの無限小の直角三角形と考えられるように(円周の測定参照)、球の体積は表面積を底面とし半径に等しい高さを持つ多くの円錐に分割されていると考えることができる。円錐の高さはすべて同じであるため、体積は表面積に高さと1/3をかけたものになる。
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: 上記のように自乗和の三角形から漏れた数にも、足し算の三角形と興味深い関係がある。即ち 2n - 1 番目の三角数(n 番目の六角数)から 2n 個の連続数の n 個ずつの自乗和の差は、足し算の三角形の1段目から 2n - 1 段目までの総和に等しく、連続三角数の積である。例えば 6 + 7 と 8 + 9 の差60は足し算の三角形の1段目から3段目までの総和に等しく、 6 × 10 である。上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n + n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n + 104n + 31n - 51n - 4)/60 である。n 段目の連続三角数の積は等号の右の平方数と足し算の三角形の n 段目の左端の平方数の差に等しいため、下記のようにも表現できる。
title: 冪乗
text: 歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 \"power\" はギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また、「原論」において指数法則 a × a = a に相当する命題に言及しているが、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた。