クイズ問題: 数学で、xが2倍、3倍となるとき、yも2倍、3倍となるなら、xとyの関係は何と呼ばれる?
答え: 比例

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 2の平方根
text: 2 の平方根(にのへいほうこん、英: square root of two)とは、平方して 2 になる複素数のことである。すなわち、
title: 正の数と負の数
text: 負でない数は非負(ひふ)であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)実数を、非負実数(ひふじっすう)という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数(ひふせいすう)という。
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 平面における直線の標準形
text: の形の式で、A, B の少なくとも一方が 0 でなく、さらに A, B, C は最大公約数が 1 の整数となるものである。ただし、A が 0 でないならば A > 0 となるようにし、A = 0 のときは B > 0 となるようにするのが普通である。整標準形を一般形に直すのは容易いが、A か B の一方が 0 のときにこれをほかの形に直せるとは限らない。この形で表せる直線はある程度限られてくるので、数学的にはさほど魅力があるわけでもないので、この形の標準形について触れられていない文献も少なくはない。たとえば、直線 x + y = √2 は √2 が無理数であるから、そもそも整数係数に直すことができない。
title: 平方根
text: 0 の平方根は 0 のみである。元の数 a が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの絶対値は等しい。そのうち正である方を根号(こんごう、radical symbol) {\\displaystyle {\\sqrt {\\;}}} を用いて
title: 符号 (数学)
text: 任意の数は複数の属性 (attribute) を持つ(例えば、値、符号、大きさなど)。実数が正であるとは、その値(大きさではない)が零より大きいときに言い、負であるとは零より小さいときに言う。正または負の何れであるかという属性をその数の符号と呼ぶ。この場合、零それ自身は符号を持つとは考えられない。また、複素数に対してその符号を定義することはできないが、偏角はある意味で符号の一般化と考えられる。
title: 行列の平方根
text: 数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix)は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B = BB が A に等しいときに言う。
title: 連分数
text: 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
title: 分数
text: となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を、分数の簡約(かんやく、英: reduction)あるいは縮めて約分(やくぶん)と呼ぶ。m と n が互いに素である分数 n/m を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)といい、ある分数が既約分数であることを「(その分数は)既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約(かやく、英: reducible)または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。
title: 分数
text: のように分母が数と分数の和でありさらにその分母が数と分数であるといった形のものを連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)という。
title: 平方根
text: 一般に、正方行列 A に対して、X =A を満たす正方行列 X を A の平方根行列と呼び、記号で √A あるいは A と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 I2 は無数の平方根を持つ。ただしその中で正定値となるのはただ一つ I2 自身である。
title: 定符号二次形式
text: 数学において実ベクトル空間 V 上で定義された二次形式 Q が定符号(ていふごう、英: definite)であるとは、V の任意の非零ベクトルに対して Q が同じ符号をもつことを言う。定符号二次形式は、至る所正となるか、または至る所負となるかに従ってさらに、正の定符号(positive definite; 正値、正定値)または負の定符号(negative definite; 負値、負定値)に分けられる。
title: ド・モルガンの法則
text: x が 1 から 100 までの数を表す変数だとする。このとき「全ての x に対し A(x)」は、「A(1) かつ A(2) かつ ...... かつ A(100)」を意味する。これの否定は、命題論理のド・モルガンの法則から
title: 楕円曲線DSA
text: 逆数の逆数は元と同じであることと、逆数と元の積は O {\\displaystyle O} であることから
title: 正の数と負の数
text: 零は増減の無い状態であるため、正でも負でもない。負でない数 (non-negative number) とは零より小さくない、つまり零または正の実数である。正でない数 (non-positive number) とは零より大きくない、つまり零または負の実数である。
title: 正の数と負の数
text: 負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。
title: 互いに素
text: 二つの整数 a, b が互いに素(たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to)であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。
title: 分数
text: 分母、分子ともに整数である分数で表す事ができる数を有理数という。また分子・分母が数式(関数)であるような分数を分数式(分数関数)といい、特に多項式の商として表される分数式を有理式とよぶ。分数式まで視野に入れると、何かに占める割合といった分数の意味は薄れるが、それは商(除法)の概念がそうであるのと同様である。
title: 分数
text: のように分子・分母がさらに分数を含むような分数を繁分数(はんぶんすう、英: compound fraction)という。
title: ド・モルガンの法則
text: となり、さらに「A(2) かつ A(3) かつ ...... A(100)」の否定についても同様の操作をくりかえすことにより、「¬A(1) または ¬A(2) または ... または ¬A(100)」が得られる。これは「ある x に対し ¬A(x)」ということと等しい。
title: 行列の平方根
text: また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る。実際、2 × 2 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。
title: ゼロ除算
text: 「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」
title: 算術
text: 加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
title: ド・モルガンの法則
text: また、逆に、「ある x に対し A(x)」は「A(1) または A(2) または...... A(100)」ということだが、これの否定は
title: 行列の平方根
text: このように行列の平方根は無数に存在しうるが、半正定値行列の範疇で行列の主平方根 (principal square root) の概念が定義できて「半正定値行列の主平方根はただ一つ」である(これは「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応する)。
title: 冪乗
text: この操作を「x の n 乗を取る」などといい、特に n を固定して x を入力とする関数(特に実数 x の函数)と見るときは、冪関数という。 x の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 英: square)、立方 (りっぽう、 英: cube) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。
title: 冪根
text: n を 2 以上の自然数とする。数 a に対して、代数方程式 x = a の解 x を、a の n乗根 (root of n-th power, n-th root) といい、また n を特に固定せずに冪根、累乗根と総称する。特に、2乗根、3乗根は、それぞれ平方根 (square root)、立方根 (cube root) ともいう。
title: 根号
text: 非負の実数の平方根(のうち根号で表される方)は 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 乗であり、根号の代わりに冪乗で表すこともある。
title: 除法
text: 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。
title: 正の数と負の数
text: 被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。
title: 行列の平方根
text: 「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応して
title: 山里亮太
text: 恒等式(こうとうしき、英: identity)は、恒真な等式、すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の \"値\" が等しいもののことを言う。変数の動く範囲は、文脈によって異なる。恒等式であることを明示するとき、= の代わりに ≡ が使われる。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
title: アポロニウスのギャスケット
text: ここで複号が存在するが、これは複素数の平方根をとる(一般に2つの値を与える)操作に対応するものと考えて差し支えなく、式(1)における複号とは無関係である(同順でも逆順でもない)。したがって1つの k4 の値に対して2つの z4 が与えられるが、そのうち正しい値となるのは一方のみである。
title: ウントリセプチウム
text: 陽子数138以上では平方根の中がマイナスとなり、エネルギーが虚数になってしまう(負のエネルギーが存在しうる波動関数のパラドックス)。
title: 係数
text: 係数(けいすう、coefficient)は、多項式の各項(単項式)を構成する因子において、変数(不定元)を除いた、定数等の因子である。例えば、4α+3β+2における、4と3と2である。この例では2がそれであるが、それ自体で項全体となっている項(あるいは、形式的には 1に掛かっている係数)を、特に定数項と呼ぶ。
title: 分数
text: は分数式の約分である。分数式の分子分母における x は不定元であり、特別な値を持たない。x を不定元でなく具体的な数であると見なす場合、上記の分数表現は破綻することに注意しなければならない。左辺の可約な分数に x = 2 を代入した場合、分子も分母も因数として (x − 2) を持つために、分数は 0/0 となり、(通常の代数においては)未定義の数となるが、しかし右辺の既約分数に対しては代入の結果が 1/5 に定まる。どちらの結果が適切であるかは場合によって異なり、x = 2 という条件の下で左辺の分数が得られたならばその数は未定義となるし、右辺の分数が得られたならその値は 1/5 に定まる。
title: 分数
text: これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる(a →a/1)。逆に分母が 1 である分数は、分母を省略し分数ではない数としても扱える(a/1 →a)。
title: シルヴェスターの慣性法則
text: なる関係を持つ。差 sign(A) = n− − n+ を普通は符号数と呼ぶ(が、A の正負の慣性指数と退化次数の三つ組 (n0, n+, n−) を符号数と呼ぶ文献もある。与えられた次数の非退化形式に対しては、どちらで書いても同じ情報を与えるが、一般には三つ組のほうが情報が多い)。
title: 関数の零点
text: 奇数次(英語版)のすべての実多項式は(重複度を考慮に入れて)奇数個の実根をもつ。同様に、偶数次の実係数多項式は偶数個の実根をもたなければならない。したがって、奇数次の実多項式は少なくとも1つの実根をもたなければならない(なぜなら1が最小の正の奇数だから)が、一方偶数次の多項式は実根をもたなくてもよい。この原理は中間値の定理を参照することによって証明できる。多項式関数は連続であるから、関数は負から正にあるいは正から負に変わる過程で0を横切らなければならない。
title: 不等式
text: 両辺に同じ数値を加えたり減じたりする場合には不等号の向きは変化しないが、両辺に同じ負の数を乗じたり除したりする場合には、不等号の向きが変わる。乗数・除数が変数であったり文字式であったりと正負が不定の場合は、場合分けして計算する必要がでてくる。
title: 符号付数値表現
text: なお、「1の補数」表現とは、英語では \"ones' complement\" 、すなわちoneの複数形onesの所有格であり、「2の補数」が \"two's complement\"、すなわちtwoの単数形の所有格であるのと異なる。これは、1の補数が実際には 1 がずらっと並んだものから元の数を引くことで符号を反転させるためである。2の補数では単一の2のべき乗から元の数を引いて符号を反転させる。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: ジョン・ウォリス
text: 今では当たり前となっている負数が 0 より小さいという考え方をウォリスは不合理だとして拒絶し、スイス人数学者レオンハルト・オイラーと同様に負数は無限大より大きいという見方を支持した。負数が無限大より大きいという考え方は、x を正の大きな数から 0 に近づけていくと 1/x の値が無限大になることを根拠としている。それにもかかわらず、負数を左、正数を右に描く数直線の考え方はウォリスが考案したとされている。
title: 平方根
text: a<0 のときは、a の平方根は実数にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。
title: 正の数と負の数
text: 負数は現代まで十分に理解されていなかった。つい18世紀まで、スイスの数学者レオンハルト・オイラーは負数が無限大より大きいと信じており(この見解はジョン・ウォリスと共通である)、方程式が返すあらゆる負の解を意味がないものとして無視することが普通だった。負数が無限大より大きいという論拠は、 1 x {\\displaystyle {\\frac {1}{x}}} の商と、x が正の側から x = 0 の点に近づき、交差した時何が起きるかの考察によって生じている。
title: 乗法
text: 算術における乗法 (じょうほう、英: multiplication) は、算術の四則と呼ばれるものの一つで、整数では、一方の数 (被乗数、ひじょうすう、英: multiplicand) に対して他方の数 (乗数、じょうすう、英: multiplier) の回数だけ繰り返し和をとる(これを掛けるまたは乗じるという。)ことにより定義できる演算である。掛け算(かけざん)、乗算(じょうざん)とも呼ばれる。代数学においては、変数の前の乗数(例えば 3y の 3)は係数(けいすう、英: coefficient)と呼ばれる。
title: 符号付数値表現
text: 0が二種類の表現を持つという問題、キャリーを戻して加算しなければならない問題は、2の補数という体系を使うことで回避できる。2の補数では、負の数は(符号なしの感覚で言うと)1の補数より1だけ大きいビットパターンで表される。
title: 単振動
text: B1 と B2 は実数であるから、C1 + C2 は実数に、C1 − C2 は純虚数になる必要がある。この制約から、C1 と C2 を共役複素数とする必要性が理解できる。
title: 逆数
text: 上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。 x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、(0 ≠ 1 であれば)0 に対する逆数は存在しない。 また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は x = y = 1 以外には存在しない。0 を除く任意の数 x について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。
title: 定符号二次形式
text: 半定符号 (semidefinite) 二次形式も、至る所「正」および「負」としていたところを、至る所「負でない」および「正でない」に置き換えて同様に定義される。正の値も負の値も取るような二次形式は不定符号 (indefinite) であると言う。
title: 四元数
text: 共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積が 1 である数)が得られる:
title: リース空間
text: ベクトル束 X の元 p が正 (positive) あるいは非負 (non-negative) であるとは、0 ≤ p となることをいう。X の正の元全体 X はしばしば正錐 (positive cone) と呼ばれる。各元 f に対して、|f| := f ∨ (−f) を f の絶対値 (modulus) と呼ぶ。また、f := 0 ∨ f を f の正の成分 (positive part) といい、f := 0 ∨ (−f) を f の負の成分 (negative part) と呼ぶ。任意の f に対して、f, f はともに正の元で、f = f − f, |f| = f + f を満たす。
title: エンジン
text: 数学において 1 との乗算は演算前と演算後で値に変化が見られないことから省略される。そのため全ての実数が積であるともいうことが可能である
title: 関数の零点
text: 複素数の概念は(判別式が負の値となる)二次方程式や三次方程式の根(負の数の平方根等が含まれる)を扱うために発展したものである。
title: 行列の対数
text: 与えられた正方行列 A に対して、e = A を満たす正方行列 B を、A の(行列の)対数と呼び B = log(A) あるいは ln(A) などで表す。複素数の場合と同様、行列の対数はしばしば一意ではない(後述)。
title: 代数方程式
text: を満たすものが存在するとき、α を f(x) の k 重根(じゅうこん、multiple root)または k 位の零点といい、k を根 α の重複度(ちょうふくど、multiplicity)または位数という。ただし、k = 1 のときは単根(たんこん、simple root, simple zero)と言う。また、単に重根と呼ぶときは、文脈により単根でない根を総称する場合と、二重根のことのみを指す場合とがある。重複度まで込めれば、代数方程式の根とは
title: 符号 (数学)
text: したがって、非負の数とは正の数または零のことであり、非正の数とは負の数または零のことを言う。例えば、実数の絶対値は常に非負であって、それは必ずしも正である必要はない。
title: 社交数
text: ある数(A)の自分自身を除いた約数の和が他の数(B)になり、(B)の自分自身を除いた約数の和が他の数(C)になる。これを続けていき、元の数(A)に戻るような数の組のことをいう。
title: 四次函数
text: 四次函数のグラフの概形は、最高次係数の正負、重根・三重根・四重根の有無、導函数の零点の有無、導函数の重根・三重根の有無などによって分類することは可能である。
title: 対数
text: 以下の節において、a, b は 1 ではない正の実数、x, y は正の実数、p は実数、ln x は自然対数を表す。
title: 複素数
text: 1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。
title: 多重根号
text: に対し、両辺の係数比較(英語版)(両辺の有理成分同士、無理成分同士がそれぞれを等しいとおく)によって、問題は「和が a {\\displaystyle a} に等しく、積が b 2 c 4 {\\displaystyle {\\frac {b^{2}c}{4}}} に等しい二数 d , e {\\displaystyle d,e} を求めること」に帰着される。これは根と係数の関係により、特定の二次方程式を解く問題として解決することができる。
title: 正の数と負の数
text: 両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。
title: 行列
text: 任意の行列 B に対し、その成分をそれぞれの成分の加法逆元に全て取り換えた行列を −B と書けば、同じサイズの行列 A, B の和 A + (−B) を A − B と略記して差を定めることができる。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー (−1)-倍は (−1)B = −B を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。
title: 完全数
text: 完全数の定義は、正の約数の総和が自分自身の2倍に等しいことと同値である。すなわち、N が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(N) = 2N が成り立つことであると表現できる。また、正の約数の逆数和が 2 であると表現することもできる。
title: 排他的論理和
text: 2を法とする剰余体 Z / [ 2 ] {\\displaystyle \\mathbb {Z} /[2]} での加算(この体では加算と減算は等しい)は、0 を偽、1 を真とみなすと、排他的論理和となる。つまり、偶数 (0, 偽) どうしまたは奇数 (1, 真) どうしを加えると偶数 (0, 偽) になり、偶数 (0, 偽) と奇数 (1, 真) を加えると奇数 (1, 真) になる。
title: 多項式
text: 数学において、多項式(たこうしき、英: polynomial)とは、数と不定元(変数とも呼ばれる)をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。たとえば、3x − 7x + 2x − 23 は x を不定元とする多項式である。多項式は不定元を複数もつ場合もある。
title: 行列の平方根
text: 冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。
title: 階差機関
text: バベッジの階差機関では、負の数を10の補数で表現する。そのようにして、減算を負数の加算として計算できる(補数#補数を利用した減算)。これは、現代のコンピュータが負数を2の補数で表現しているのと全く同じである。
title: ビット演算
text: ビット単位NOTあるいは補数とは論理否定を各ビットに対して行う単項演算。0 は 1 になり、1 は 0 になる。
title: 外積代数
text: になっている。ここで I は恒等写像で、内積は計量符号数 (p , q) (プラスが p 個、マイナスが q 個)を持つ。
title: 分数
text: 分母が同じ分数の和や差は分子の和や差に置き換えることができる。
title: スカラー (数学)
text: 四元数の実部(実成分)のことをスカラー部(スカラー成分)とも呼ぶ。
title: 分離拡大
text: 多項式が相異なる根をもつかどうかテストするために、体の拡大を明示的に考えたり根を計算したりする必要はない。多項式が相異なる根をもつことと多項式とその微分の最大公約数(英語版)が定数であることは同値である。例えば、上の段落の多項式 g(X) = X + 1 の微分は 2X であり、標数が 2 でない体上では g(X) − ((1/2) X) 2X = 1 であるので、ベズーの等式により、最大公約数は定数である。一方、2 = 0 であるような体上では、最大公約数は g であり、g(X) = (X + 1) は 1 = −1 を二重根としてもつ。一方、多項式 h は係数体がなんであれ相異なる根をもたない、実際 h(X) = (X − 2) の微分は 2(X − 2) であり h を割り切るので、(X − α) の形の因子を α = 2 に対して確かにもつ。
title: 論理回路
text: 正論理では「H」を真偽値の「真」に、負論理では「L」を真偽値の「真」に対応させる。
title: 三角関数
text: 三角関数に用いられる独特な記法として、三角関数の累乗と逆関数に関するものがある。通常、関数 f (x) の累乗は (f (x)) = f (x)・f (x) や (f (x)) = 1 / f (x) のように書くが、三角関数の累乗は sinx のように書かれることが多い。逆関数については通常の記法 (f (x)) と同じく、sinx などと表す(この文脈では従って、三角関数の逆数は分数を用いて 1/sin x のように、あるいは (sin x) などと表される)。文献あるいは著者によっては、通常の記法と三角関数に対する特殊な記法との混同を避けるため、三角関数の累乗を通常の関数と同様にすることがある。また、三角関数の逆関数として −1 と添え字する代わりに関数の頭に arc とつけることがある(たとえば sin の逆関数として sin の代わりに arcsin を用いる)。
title: 行列の平方根
text: 「実数の平方根は必ずしも実数にならないが、複素数は必ず複素数の範囲で平方根を持つ」ことに対応する事実として、実行列の平方根は(存在しても)必ずしも実行列にならないが、複素行列が平方根を持てばそれは必ず複素行列の範囲で取れる。
title: 0の0乗
text: 0 の 0 乗(ゼロのゼロじょう、英: zero to the power of zero, 0 to the 0th power)は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論、集合論などの文脈ではしばしば 1 と定義される一方で、解析学の文脈では二変数関数 x が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合が多い。
title: 二次方程式
text: と同値であるから、解は m の平方根に等しい。平方根は 0 以外は複数あり、実数なら正の方を √m で表す。このとき解は
title: 平方根
text: 複素数の範囲では、代数学の基本定理より、そのような数は、0 を除いて2個だけ存在する。
title: 立方根
text: 立方根(りっぽうこん、cubic root、root of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。
title: 除法
text: 実数の除法を用いれば複素数の除法が、被除数が 0 の場合を除いた任意の 2 つの複素数について定義できる。 2 つの複素数 z, w について、w の共役複素数 w を用いれば、複素数の除法 z/w は次のように計算できる(ただし除数 w は 0 でないとする)。
title: 抽象解釈
text: 静的解析の目標は、いくつかの点で計算可能な意味解釈を抽出することである。例えば、整数の変数を具体的な値ではなくその符号(正、負、ゼロ)だけで表すことでプログラムの状態を表す。乗算などの基本演算について、このような抽象化では精度は失われない。積の符号を知るには、引数の符号がわかれば十分である。他の演算については、この抽象化で精度を失う可能性がある。例えば、引数が正と負の2つであった場合、その和の符号を知ることはできない。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 「a 引く b」(b is subtracted from a) または「a マイナス b」(a minus b) と読む。反数に使われる「−」(負号)と引き算に使われる「−」(減算記号)をあわせて「マイナス記号」と呼ぶ。 また、反数を与える − は単項演算子と見なすことができ、単項マイナス演算子 (unary minus operator) と呼ばれる。一方、減算を表す演算子としての − は、項を 2 つとるの二項演算子なので、二項マイナス演算子 (binary minus operator) と呼ばれる。
title: 行列の平方根
text: B がエルミート(実係数の場合は対称)ならば、B は上で述べたAの平方根と一致する。任意の正定値エルミート行列 A に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)と呼ぶ。
title: 代数関数
text: x ≤ 3 4 3 {\\displaystyle x\\leq {\\frac {3}{\\sqrt[{3}]{4}}}} に対して、平方根は実でありしたがって立方根は唯一の実根として問題なく定義される。一方、 x > 3 4 3 {\\displaystyle x>{\\frac {3}{\\sqrt[{3}]{4}}}} に対しては、平方根は実でなく、実でない平方根のいずれかを選ばなければならない。そして立方根は 3 つの非実数の中から選ばなければならない。公式の 2 つの項において同じ選択がされれば、3 乗根の 3 つの選択は添付の画像のように 3 つの分枝を与える。
title: 行列の対数
text: このような A の対数が(A が実行列の場合でさえ)複素行列となりうることは、各成分が実かつ正の行列が(にも拘らず)負のあるいはさらに複素数の固有値を持ち得る(それは回転行列の例においても言えることである)という事実から従う。この種の行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから生じてくる。
title: 冪根
text: 根号を用いて冪根を表す場合、それは非負の値を持つ一価関数として扱われる。このような冪根を主要根 (principal root) と呼び、特に 2乗根の主要根を主平方根 (principal square root) と呼ぶ。
title: パスカルの三角形
text: 1次のものは無数の1が並ぶ。これはただ一つの項 x を何乗しても係数は1で変わらないことを示す。
title: 重根 (多項式)
text: 重根(じゅうこん、英称:multiple root)とは、1 変数多項式 f(x) の根のうち重複度が2以上のもののことをいう。
title: 行列の対数
text: 実係数の範囲内で考えるならば答はより込み入ってくる。実行列が実行列を対数に持つための必要十分条件は、それが可逆かつ負の固有値に属する各ジョルダン細胞が偶数回あらわれることである。可逆な実行列が、このジョルダン細胞に関する条件を満たさないならば、その対数は実でない複素行列の中でしか考えられない。この状況はスカラーの場合にすでに生じていることであり、実際 −1 の(複素)対数は実数でない複素数である。2×2 実行列の実対数の存在性については後述する。
title: 平方完成
text: このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。
title: 符号 (数学)
text: 同様の用語法はしばしば実数値または整数値の函数に対しても用いられる。例えば、函数が正(あるいは正値)とはその取りうる値が全て正であるときに言い、同じく非負(あるいは半正値)とはその取りうる値が全て非負なるときに言う。
title: 平方根
text: と表す。これは a の「正の(あるいは非負の)平方根」(principal square root; 主平方根)である(文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある)。このとき、他方の「負の平方根」は − a {\\displaystyle -{\\sqrt {a}}} である。また、2つの平方根を併せて ± a {\\displaystyle \\pm {\\sqrt {a}}} と表記することもできる。例えば、9 の平方根は ±3、すなわち +3 と −3 の2つであり、 9 {\\displaystyle {\\sqrt {9}}} は正である 3 の方を表す。 0 {\\displaystyle {\\sqrt {0}}} は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。
title: バーンサイドの定理
text: ζ およびその共役数はいずれも1の冪根(ρ(g) の固有値)の算術平均なので、絶対値は1以下である。一方それらの積 N(ζ) は1以上だから、絶対値はちょうど1でなければならない。
title: 分数
text: 分数は正の整数だけではなく、整数全体や実数、複素数等を用いても定義される。除法としての意味からも分かるように分母が 0 の分数には対応する数がない。しかし極限を取り扱う場合などに便宜上、分母が 0 の分数を使うことがある。それらの分数は数として計算に使われるわけではなく、あくまで説明用に便宜的に表現されただけのものであることが多く、その表現がどういう意味で用いられているのかは前後の文脈から判断する必要がある。フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「分数とは横線によって画された2つの整数の集合であって、この記号によって施すことができる演算を規約によって定義する」と説明している。
title: 剰余演算
text: ところが、剰余が0でない場合、その符号は不確定なものとなる。数論上は、余りは常に正の数となるが、プログラミング言語によっては a および n の符号によって剰余の符号が正となるか負となるかが定められる。標準的なPascalおよびAlgol68は除数が負数であっても正の剰余(もしくは0)を出力する。しかし、C90のような、他のプログラミング言語では、n または a が負の数の場合にはそうならないことがある。詳細は右表を参照。多くのシステムでは a の 0での剰余は未定義だが、いくつかはaを出力するように定義されている。
title: 多項式
text: これらの条件をみたす多項式 Q, R の組は必ず存在し、しかも一意的である。Q のことを f を g で割った商、R のことを余り(または剰余)という。f を g で割った余りが 0 のとき、すなわち f = gQ をみたす Q が存在するとき、f は g で割り切れるという。
title: 天元術
text: 相消とは等しい数を減じて0の値を得ることで、西洋数学の等号で結ぶこと、また等式の右辺を0にすることにあたる。