クイズ問題: 古代ギリシャの数学者の名前がついた「ヘロンの公式」とは、三角形の三辺の長さから三角形の何を求める公式?
答え: 面積

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: アルキメデス
text: また、三角形の面積を求めるヘロンの公式もアルキメデスの発案に源泉があるとも唱えられた。しかし、この公式について信頼に足る証拠は1世紀にアレクサンドリアのヘロンが提唱したものしか無い。
title: 直角三角形
text: 直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理(三平方の定理)と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。
title: テアイテトス (対話篇)
text: テアイテトスは理解し、最近友人である少年ソクラテス(参照 :『政治家』)と数学・幾何学の議論をした時にも、同類の話が出てきたと言う。それは「平方根」(二乗根)についての議論で、「3・5・6・7・・・といった面積を持つ正方形」の「一辺の長さ」は、自然数には収まらないが、こうした例は無限に出すことができてしまうので、もっと端的な表現方法を考え、まず「4・9・16・・・といった自然数の2乗(平方)として表現できる数」を「正方形数(等辺数)」と名付け、次に「それ以外」(すなわち、先の3・5・6・7・・・)を「長方形数(不等辺数)」と名付けた上で、「長方形数(不等辺数)を面積とする正方形の一辺の長さ」として、それを表現することにしたと言う。また、同様のことは立方体(すなわち「立方根」(三乗根))についても言えると述べる。
title: 図形数
text: 紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法では
title: 図形数
text: エウクレイデス『原論』の第2巻では、正方形のみならず平行四辺形に対して、大きな平行四辺形の頂点から相似の平行四辺形を切り取ってできる平行六辺形を表す言葉に拡張してグノーモーンという語を定義している。アレクサンドリアのヘロンは、その部品を付加することによって元の図形と相似な図形を得るようなものと定義した。矩形数の場合、L字形の部品を加えると、元の矩形と新しい矩形は縦横比が異なるため、厳密には相似とはいえないが、このような場合にもグノモンの語が用いられる。
title: ブラーマグプタの公式
text: ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。
title: 松葉杖
text: ピタゴラスは、宇宙の万物は数から成り立つこと、そして宇宙を構成する数は、調和した比を保っていると信じていた。ある資料では、ヒッパソスは正方形の研究をしているうち、その辺と対角線の長さの比は整数でも分数でも表せない未知の数、すなわち無理数であることを発見した。ピタゴラスと教団は教義の反証であるこの発見に動揺し、不都合な事実を隠すため、発見者のヒッパソスを処刑したという。
title: 和算
text: 和算における解析学に関連した研究を円理といい、関孝和の登場以降大いに発達した。円理という名は、円周率や円積率、球の体積や表面積が主な問題となったことによる。関孝和は円に接する正多角形の辺の長さを用い、円周率を11桁まで得ている。
title: 図形数
text: 図形数(ずけいすう、英: figurate numbers)とは、一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称である。その歴史は、古代ギリシアのピタゴラス学派が「万物は数である」との思想のもと、図形と数を結び付けたところにまで遡る。例えば、図形として正方形を考えると、数としては平方数を得る。平方数を図形数として見るときには、これを特に「四角数」と呼ぶ。
title: ブラフマグプタ
text: ブラフマグプタが見いだしたものは他にもある。ブラフマグプタの公式と呼ばれる式がその一つである。円の内接四角形の面積を求めるその式は、ヘロンの公式を内包している。2つの公式の関係は、ちょうど余弦定理がピタゴラスの定理を内包しているのに似ている。
title: 定規とコンパスによる作図
text: 正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が著した『原論』に記されており、よく知られていた。長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した。同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち
title: シュルバ・スートラ
text: 主に幾何学についてのテキストで構成される。文献のうち、バウダーヤナは3章にわかれており、ピタゴラスの定理の一般的な説明、2の平方根を小数点第5位まで求める方法、円の方形化(円積問題)をはじめとする等面積変換などが書かれている。次に古いアーパスタンバは6章からなり、バウダーヤナが扱ったことを詳しく解説している。マーナヴァには、古典期の新しい要素が含まれている。既存の祭壇の2倍の面積をもつものなどを作る必要などから、無理数の近似方法が発達したとされる。
title: 二項定理
text: 1544年にミハエル・シュティーフェル(英語版)は「二項係数」(\"binomial coefficient\") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a) を (1 + a) で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を論文(英語版) Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。
title: インディアナ州円周率法案
text: グッドウィンの本来の目標は、円周の長さを測定することではなく、円を四角にすることだった。彼はそれを文字通りに円と同じ面積を持つ正方形を見つけることだと解釈した。彼は、アルキメデスの円の面積の公式(直径に円周の 1/4 を掛けること)が円を四角にする古代の問題の解決策にならないことを知っていた。これは、その問題がコンパスと定規だけを使用してその面積を作図することであって、アルキメデスは円周と同じ長さの直線を作図する方法を与えなかったからなのであるが、グッドウィンはこの重要な必要事項に明らかに気付いていなかった。つまり彼は、アルキメデスの公式に関する問題とはそれが間違った結果を与えることであって円積問題はそれを「正しい」公式に置き換えれば解けるものと信じていたのである。
title: ピタゴラスの定理
text: また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でないことを無限降下法により証明した。
title: 幾何学
text: 人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。
title: サービト・イブン・クッラ
text: 数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。
title: ピタゴラスの定理
text: 初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理は
title: ネイピアの骨
text: ネイピアの骨は、ギリシャ語で「棒」を意味する ραβδoς (rabdos) と、「言葉」を意味する λóγoς (logos) の合成語である ラブドロジー (Rabdology) とも呼ばれる。ネイピアは、1617年の末にエディンバラで Rabdologiæ という名前で発表した。ネイピアの骨には九九の表が組み込まれており、複数の桁からなる正の整数と、1桁の正の整数の掛け算の計算を足し算だけで済ますことができる。
title: 劉徽
text: 劉徽は注釈本の中で、ギリシアのピュタゴラス(紀元前580年 - 紀元前500年)のピタゴラスの定理と全く同じことを記述している。その定理を表した図について劉徽は、「この図は斜辺とその他の2辺の合計と差分の関係を表したもので、3辺のうち2辺が既知であれば、残る1辺を求めることができる」と記している。平面および立体図形の取り扱いについて、劉徽は経験主義的な立体幾何学に多大な貢献をしている。例えば、楔(くさび)の形状は四角錐と三角錐に分けられることを明らかにしている。さらに、底辺が台形で両面が傾斜している楔を四角錘と2つの三角錐に分割できることも示した。
title: 三角法
text: 任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。
title: 円積問題
text: 正方形化を定規とコンパスだけを使って作図する問題として提示したのはキオスのオイノピデスが最初だと考えられている。ジェームズ・グレゴリーは、1667年に「Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura(円と双曲線の正方形化)」において、円積問題は不可能だと証明しようとした。結果的に彼の証明は間違っていたが、円積問題に対して初めて円周率 (π) の代数的な性質に基づいた議論を試みたものになった。1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが円周率の超越性を証明したことで、円積問題が不可能であることの厳密な証明が得られた。
title: アレクサンドリアのディオファントス
text: ディオファントスが解いた方程式で最も知られているものは、ピタゴラスの定理から派生するものだ。a + b = c を成り立たせる整数の組 a, b, c をピタゴラス数と呼ぶが、ディオファントスは、可能な解すべてを見出している。彼が与えたレシピは、任意の整数2つの組について、それらの平方の差、それらの積の2倍、それらの平方和をとるというものだ。得られた3つの数は、つねにピタゴラス数となる。
title: 外接円
text: 辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。
title: ブレーズ・パスカル
text: パスカルは幼少の頃から天才ぶりを発揮していた。例外の多い語学への影響を懸念した父親によって数学から遠ざけられていたが、まだ10歳にもならない頃に、三角形の内角の和が二直角である事や、1からnまでの和が(1+n)n/2である事を自力で証明して見せたと言われている。
title: フォードの円
text: フォードの円は互いに接する円の特別なケースであり、基準線 (y = 0) は無限大の半径を持つ円と考えられる。互いに接する円の体系は、アポロニウスの問題やアポロニウスのギャスケットなどに名が残るペルガのアポロニウスによって研究された。17世紀にはルネ・デカルトが、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理を発見した。
title: 三角関数の公式の一覧
text: ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。
title: 1+2+3+4+…
text: によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていた。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。
title: アンティポン
text: アンティポンは、仲間のヘラクレアのブリュソン(Bryson of Heraclea)とともに、円の周りに多角形を内接させ、それから外接させ、最後に多角形の面積を計算することで、円周率の値の上限と下限を求めた最初の人物でもある。この方法は円積問題に適用された。
title: 直角三角形
text: 明治初期の日本では、直角三角形は「勾股弦の形」と呼ばれていた。この名の起源は漢の『九章算術』「勾股」章にまで遡ることができる。なお、『九章算術』は現代の中国はもちろんのこと、日本の和算にも引き継がれている。また「勾股弦」の語は現在の日本の伝統建築の規矩術でも用いられている。(斜辺を「玄」、隣辺を「勾」、「殳」とあらわす。)
title: 三角ゲーム・ピタゴラス
text: 番組は、単に「ピタゴラス」とも呼ばれていた。タイトルの「ピタゴラス」は、三角形にまつわる「ピタゴラスの定理」に由来するもので、解答席の上にはピタゴラスが考えているイラストが掲げられていた。
title: タレス
text: 一般の人によく知られているのは哲学よりも、中学校の数学の教科書に必ず出てくるターレスの定理であろう。これは「半円に内接する角は直角である」という定理である。タレス自身が円周上の点と円の中心を結び、2つの二等辺三角形を作ってこの定理を証明したために、この名前がついたという。ちなみに「ターレスの定理」とよばれるものは5つある。
title: 図形数
text: 紀元前2世紀のヒュプシクレス(英語版)は、三角数や四角数を一般化した多角数を定義した。その後、スミュルナのテオン、ニコマコス、イアムブリコスらが多角数について論じた。
title: 中国の数学
text: 劉徽の『九章算術』に関する注釈本は、入手可能な原文テキストの最初期の編集本である。劉徽は漢代直後の数学者だと大半の人に信じられている。自身の解説の中で、劉徽は代数的あるいは幾何学的観点からいくつかの問題に条件を付けて証明した。例えば、『九章算術』を通して円や球に関する問題では円周率は3に等しいと見なされている。解説の中で、劉徽は取り尽くし法を用いてより正確な円周率の推定値を見つけた。取り尽くし法では、円の中に内接した多角形を作成して、最終的に高次多角形の面積が円と同じになるよう収束させていく。この方法から、劉徽は円周率の値が約3.14である(これは中国で徽率とも呼ばれる)と主張した。劉徽はまた古代ギリシアの方法と同じに、平方根と立方根の開平法の幾何学的証明を提示した。これは、正方形または立方体を任意の線または断面で切断し、残りの長方形の対称性によって平方根を決定するというものである。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。また、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして p 自身が現れること、といっても差し支えない。なぜならば、p = x + y であるとき、
title: 図形数
text: ということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式
title: 三角法
text: 直角三角形の3辺の長さの比は、測量や天文学の要請によって古代から研究されてきた。イエール大学のバビロニア・コレクション(英語版) No.7289(前2000年頃)には、正方形と2本の対角線が描かれていて、それぞれの長さが楔形文字により60進法で記されている。これに基づく2の平方根の近似値の精度は、10進法で小数点以下5桁まで、現代知られている近似値と一致するほど正確なものであった。前1800年〜前1650年の間のある時期に作られた粘土板(コロンビア大学のプリムプトン・コレクション No.322)には、ピュタゴラスの三ツ組数が記されているとも解せる。メソポタミアにおいては新バビロニア時代に入ると、天文観測上の必要から角度を数値化するという概念も発展し、円の一周を360°に分割する度数法が始まった。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラスの定理より、p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れるということである。√p のみならず、p 自身もそのような性質を持つ。例えば、ピタゴラス素数 5 に対し、√5 は直角を挟む2辺の長さが 1, 2 の直角三角形の斜辺の長さであるし、5 自身は直角を挟む2辺の長さが 3, 4 の直角三角形の斜辺の長さである。
title: 行列の対数
text: より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組(英語版) (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと
title: 定規とコンパスによる作図
text: この作図はエウクレイデス(ユークリッド)の『原論』が扱っている幾何学の範囲を超えるものであり、エウクレイデスの幾何学では neusis に関する公理も定理もそもそもその存在さえも扱われておらず、したがってそれをつかった作図もすることはできない。この広い意味の幾何学では、既知の長さから三次または四次方程式の解として得られる比を持つ長さならば作図できる。これは目盛りの打てる定規と neusis を使えば角の三等分および立方倍積ができるということである(一方、円積問題についてはやはり不可能なままではあるが)。これによって、正七角形などいくつかの正多角形が作図可能となり、ジョン・コンウェイはそのようなもののいくつかについて作図法を与えている。それでも正十一角形など無数に作図不可能なものが存在するのである。
title: 七角形
text: 紀元前にアルキメデス(前287~前212)はその著書『円に含まれる七角形について』(英題: On the Heptagon in the Circle)において円錐曲線の交わりを使って正七角形を作図していたとみられるが、この本は現存しない。サービト・イブン・クッラ(826~901)などのイスラムの数学者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作図しているという。
title: インディアナ州円周率法案
text: ギリシアの三大作図問題(角の三等分、立方体の倍積、円の平方化)が肯定的に解けたとする間違った主張は、トンデモ系の「数学」に典型的なものである(不可能と証明されたのであって、諦められたのではないことにも注意)。特に角の三等分と立方体の倍積は、トンデモ作品ではありふれている。
title: ブラーマグプタの公式
text: ブラーマグプタの公式(ブラーマグプタのこうしき、英: Brahmagupta's formula)とは、円に内接する四角形の四辺の長さからその四角形の面積を求める公式である。
title: 三個の平方数の和
text: この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。
title: パスカルの三角形
text: 中国では11世紀に数学者の賈憲(英語版)、13世紀に数学者の楊輝がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。
title: アルマゲスト
text: 円運動に基づき、また地球中心で天を球体としている点はエウドクソスと同様だったが、従円と周転円、離心円、エカント、クランク機構、軌道面の振動といったより技巧的な仕組みを導入した。また、純粋に幾何学的な理論に終始したエウドクソスに対して、プトレマイオスの理論は、幾何学に基づきながらも、非常に数値的だった。幾何学的と数値を結び付けるための必須だったのが、「弦の表」である。これは円弧の長さと弦の長さを表にしたもので、今の三角法の起源である。
title: 半周長
text: 円に内接する四角形の面積を求めるブラーマグプタの公式は、ヘロンの公式に似た単純な形をしている。
title: 三角法
text: 三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。平面三角法においては、このうち、SSS, SAS, ASA, AAS の場合に三角形が一意に特定されることが知られており、このことはエウクレイデスの『原論』においても幾何学的に証明されている。図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。
title: エジプト式分数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、任意の分数を単位分数の和に表すアルゴリズムをいくつか発表した。まず、分母 n が性質「n 未満の任意の自然数は、いくつかの n の約数の和で表せる」を持つとき、分子を n の約数の和で表して約分することにより、単位分数の和に表せる。そのような性質を持つ n は
title: プラクティカル数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、有理数のエジプト式分数での表現を見つける手法を列挙した。このうち、最初の処理は、その数が単位分数であるかの判別であるが、2つめの処理は、上述のように分母の約数の合計として分子の表現を探索することに対応する。この手法はプラクティカル数である分母に対してのみ成功することが保証されている。フィボナッチは分母として、6, 8, 12, 20, 24, 60, 100を用い、これらについての表を与えた。.
title: アルゴリズム
text: 記録に残る最古のアルゴリズムは、エウクレイデスの原論のものである。その中でも、二つの整数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法は、典型的なアルゴリズムとして知られている。
title: ヘロンの公式
text: ヘロンの公式(ヘロンのこうしき、英: Heron's formula)とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。
title: 代数方程式
text: 代数方程式は、面積を求める幾何学的な問題や、ディオファントス方程式などの算術的な問題として、古来から数学において重要な研究対象となってきた。ピタゴラスの定理 a + b = c を満たす自然数の組 (a, b, c)(ピタゴラス数)を求める問題やその一般化として17世紀にフェルマーが考察した a + b = c などが代数方程式とその研究の例として挙げられる。後者の例については、これを満たす自然数の組は自明なもの(abc = 0 の場合)を除いて存在しないという主張がフェルマーの最終定理として知られる。
title: 取り尽くし法
text: アルキメデスは、取り尽くし法を使って円の面積を計算した。円に多角形を内接させ、その多角形の辺の数を増やしていったのである。この多角形の面積を円の半径を1辺とする正方形の面積で割ると、その商は辺の数を増やすにつれてπに近づく。このことから半径 r の円の面積が πr であることを証明し、πは円周と直径の比率と定義した。付随して、円周の長さと96角形の内接多角形と外接多角形の外周の長さから、3+10/71 < π < 3 + 1/7 という式を導き出した。
title: アルキメデス
text: 『放物線の求積法』でアルキメデスは、放物線が直線で切られた部分の面積が、放物線と直線の交点(英語版)と直線と平行な接線が接触する3点を頂点とする三角形の面積の⁄3倍になることを証明した。これは、無限級数と公比(en)を用いる。最初の三角形の面積を1とし、この三角形の2辺を割線とし、放物線の隙間に同様な手段で2つの新しい三角形を想定すると、この面積の和は1/4となる。これを無数に繰り返して放物線の切片を取り尽くすと、面積は、
title: 垂直
text: 直角の作図法の基礎としてピュタゴラスの定理を用いることができる。例えば、長さの比が 3 : 4 : 5 となるような棒を節で繋いだ鎖を使って三角形を作れば、一番長い辺の対角が直角になる。
title: 宇宙の形
text: Ω=1以外では、ピタゴラスの定理は有効ではない。しかし差異が検出されるのは、三角形の一辺の長さが10程度の尺の場合のみである。
title: 無理数
text: 無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかしピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。
title: 2の平方根
text: 無理数はピタゴラス教団のメタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。
title: ヘロンの公式
text: 一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。
title: 合成代数
text: 平方和の合成則に関する言及は古くからいくつか存在している。ディオファントスは、今日ではブラーマグプタ–フィボナッチの公式と呼ばれる、二つの平方数の和を含む式について記しているが、これは複素数のユークリッドノルムが複素数の積に関して持つ乗法性と見れば事態をはっきりさせることができる。オイラーは1748年に四平方和の公式を論じたが、それは後にハミルトンが四元数の成す四次元多元環を構成することに通じている。1848年にテッサリン(英語版)が述べられたことで双複素数に初めて光が当てられた。
title: ピタゴラス
text: ピタゴラスは紀元前6世紀に、あらゆる事象には数が内在していること、そして宇宙のすべては人間の主観ではなく数の法則に従うのであり、数字と計算によって解明できるという思想を確立した。彼は和音の構成から惑星の軌道まで、多くの現象に数の裏付けがあることに気がついた。そしてついには、宇宙の全ては数から成り立つと宣言した。彼がこの思想にもとづいて創始したピタゴラス教団は、数の性質を研究することにより、宇宙の真理を追究しようとした。教団に入門するには数学の試験があったが、この試験は相当難しく、数学に適性のある者だけが選抜されて教団に集まった。そしてピタゴラス教団は、古代世界で最も著名な数学の研究機関となった。この学派は10を完全な数と考え、10個の点を三角形の形に配置したテトラクテュスを紋章とした。
title: アポロニウスの問題
text: アポロニウスの問題は、10の特別なケースがあり、円(Circle, C)、直線(Line, L)、点(Point, P)などの「与えられた3つのオブジェクト」の性質によって分類される。慣習的に、これらの10のケースは、CCPなどの3文字のコードで区別される。ビエトはこれら10のケースすべてに対して、コンパスと定規のみを使った作図問題を解決した。ビエトは、似たケースの解法を、より複雑なケースを解くのに利用した。
title: ピタゴラスの定理
text: 「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が伝えられているが、この定理はピタゴラスが発見したかどうか正確には判っていない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。
title: 円周率
text: 江戸初期、1600年代前半頃から、円を対象とした和算的研究である「円理」が始まる。その最初のテーマの一つが円周率を数学的に計算する努力であり、1663年に日本で初めて村松茂清が『算爼(さんそ)』において「円の内接多角形の周の長さを計算する方法」で3.14...という値を算出した。『算爼』では円に内接する正8角形から角数を順次2倍していき、内接2 = 32768角形の周の長さで、
title: 冪乗
text: 歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 \"power\" はギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また、「原論」において指数法則 a × a = a に相当する命題に言及しているが、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた。
title: 数学史
text: ヴェーダ数学は器時代の初期に始まり、シャタパタ・ブラーフマナ(紀元前9世紀頃)で円周率を小数点第2位まで概算していた。シュルバ・スートラ(紀元前800〜500年頃)は幾何学テキストであり、無理数、素数、帰一算、立方根を使用し、2の平方根を小数点第5位まで計算し、円積問題の方法論を与え、線型方程式と二次方程式を解き、ピタゴラス数の理論の代数的な展開と、ピタゴラスの定理の記述および数値的な証明が与えられている。
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: と無限に続く足し算の等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式の左端は n (平方数)、中央は n(n + 1) (矩形数)である。n を n 個の n に、または n(n + 1) を n 個の n + 1 に分け、左辺のその他の項に加えれば右辺の項を得る。等式の値3, 15, 42,・・は n 番目の三角数(1から n までの和)の 2n + 1 倍、四角錐数(1から n までの自乗和)の3倍であり、奥行き、幅、高さが n, n + 1/2, n + 1 の直方体の体積に等しい。1段目から n 段目までの総和は、1から n までの立方和(n 番目の三角数の自乗)の 1 + 2/n 倍であり、連続三角数の積である。
title: ライプニッツの調和三角形
text: ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。
title: 逆三角関数
text: 逆三角関数の三角関数を以下の表に示す。表にある関係を導くには、単純には幾何学的な考察から、直角三角形の一辺の長さを 1 とし、他方の辺の長さを 0 ≤ x ≤ 1 にとってピタゴラスの定理と三角比の定義を適用すればよい(表中の図を参照)。このような幾何学的な手段を用いない、純代数学的導出はより長いものとなる。
title: スムマ
text: 代数学についての最初の印刷された書籍であり、2次方程式の解法について書き、のちの研究者に影響を与えた。第1論考はプラスとマイナス、第2論考は根の計算、第3論考は2項和と2項差、第4論考はベキの乗法、第5論考は2次方程式、第6論考は2次方程式に還元できない高次方程式について書かれている。2次方程式は6つの標準型が紹介され、レオナルド・フィボナッチの『算盤の書』(1202年)と同様の内容も見られる。記憶のために、ラテン語詩で解法を説明している。
title: ベル数
text: ベル数はパスカルの三角形と類似の方法で計算ができる。 まず最初のベル数1を縦に並べて書く。
title: 中国の数学
text: 宋と元の時代に、特に12世紀と13世紀に優れた数学者が4人出てきた。楊輝、秦九韶、李冶、朱世傑である。600年前に彼らは全員がホーナー法とルフィニのルールを使って、特定のタイプの連立方程式、根、二次方程式、三次方程式、および四次方程式を解いた。楊輝はまた「パスカルの三角形」を発見して、その二項証明も一緒に証明した最初の人物だった(ただし中国ではパスカルの三角形に関する最初の言及が11世紀以前に存在する)。一方で李冶は天元術に基づいた代数幾何学の形式について調べた。 彼の著書『測円海鏡』は、ピタゴラスの定理を使う従来の方法ではなく、代数によってこの幾何学問題を回すことにより円を三角形に内接するというアイデア革命をもたらした。この時代の郭守敬はまた、正確な天文計算のために球面三角法に取り組んだ。 数学史のこの時点では、現代西洋数学の多くが中国の数学者によってすでに発見されていた。
title: 実数
text: 数の体系としての実数をとらえる試みは古代ギリシャにおける「大きさの理論」にさかのぼることができる。この「大きさ」とは大小比較や加法、自然数倍ができるようなものとして定式化される。幾何学における線分の長さなどがこの大きさの理論を適用できる概念になるが、こうして考えられた量が自然数(あるいは整数)の比である有理数だけではとらえきれないという紀元前500年頃のピタゴラス学派による発見は大きな意義をもっていた。
title: 平面充填
text: 1種類で平面を充填できる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。これらは正平面充填形 (Regular Tessellation) とも呼ばれる。
title: パスカルの三角形
text: この三角形について確認できる最古の文献は、インドの数学者ピンガラ(英語版)の著作に対して10世紀にハラーユダ(英語版)が書いた注釈『ムリタサンジーヴァニー』である。ピンガラの原文は断片的にしか現存していないが、ハラーユダはピンガラの Meru-prastaara『須弥山の階段』という言葉をパスカルの三角形のことだと解釈している。ハラーユダは、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していた。
title: アルキメデス
text: この2つの側面を併せ持つアルキメデスは、数学に限らずこの時代の学者としては異例な存在だった。しかし、この矛盾する2つの側面をアルキメデスは共存させながら、ピタゴラス的な数の概念とは大きく異なる「天文学的数字」を『砂の計算』で想定したり、現代の積分法に繋がる方法で面積を求めつつエウドクソスの方法で証明しなおしたりと、自己内に相克を見せた。だが、このような論理と技術の鬩ぎ合いは特に近代ヨーロッパ以降で表面化した数学の現象であり、それが数学を進歩させた原動力となった。アルキメデスが生きた時代にはこのような矛盾を孕んだ発展は望むべくも無く、彼以後のギリシア数学は形骸化した権威に沈んだ。
title: 余弦定理
text: ユークリッド原論第2巻命題12では、鈍角三角形の鈍角に対応する第二余弦定理がピタゴラスの定理を用いて示されている。現代的に書けば
title: 中国の数学
text: 『九章算術』の問題では、球の表面積など円や球に関連した問題を計算する際に、円周率を3に等しいとしている。円周率が3であると計算するための明示公式はテキストに出てこないが、この数値は『九章算術』のほか同時代に作成された『考工記』の問題でも共に使用されている。歴史家は、円周率の数値が円周と円の直径の間の(およそ)3:1という関係を用いて計算されたと考えている。幾人かの漢代の数学者はこの数値を改善しようと試みており、例えば劉キンは円周率を3.154と推定したと考えられている。彼がこの推定値をどのように計算したかについての明確な方法や記録はない。
title: 単位料金区域
text: 2つのMA間の距離(km)は三平方の定理(ピタゴラスの定理)から算出された「2つのMA間に存在する2kmの個数」に2を掛けることにより求められる。
title: 三角法
text: 三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。
title: 周長
text: 多角形の周長は四則演算だけで計算できるが、円の周長は円周率が無理数であるため式は簡素でも小数点表記では厳密な値を表現することはできず、楕円の周長は四則演算だけでは表すことができない。
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: 上記のように自乗和の三角形から漏れた数にも、足し算の三角形と興味深い関係がある。即ち 2n - 1 番目の三角数(n 番目の六角数)から 2n 個の連続数の n 個ずつの自乗和の差は、足し算の三角形の1段目から 2n - 1 段目までの総和に等しく、連続三角数の積である。例えば 6 + 7 と 8 + 9 の差60は足し算の三角形の1段目から3段目までの総和に等しく、 6 × 10 である。上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n + n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n + 104n + 31n - 51n - 4)/60 である。n 段目の連続三角数の積は等号の右の平方数と足し算の三角形の n 段目の左端の平方数の差に等しいため、下記のようにも表現できる。
title: 中国の数学
text: 数学者で仏教の僧侶でもある一行は、正接表を計算したとされている。 正弦、正接、正割を使用する平面三角関数の実用的使用が知られてはいたものの、昔の中国人は代わりにチョンチャとして知られる経験的置換を使っていた。一行はその博識が有名で、囲碁ゲームで可能なポジションの数を計算したことでも知られる(ただし、ゼロ記号なしでその数を表すのは困難だった)。
title: 全能の逆説
text: 注意して欲しいのだが、後の非ユークリッド幾何学の発見はこの逆説を解決するためには役立たない。次のようにも問うことができるからだ。「楕円幾何学の公準が成立するとして、そこで全能者は内角の総和が180度を超えない三角形を作ることができるか。」 いずれの場合も、本当の質問は、全能者は自分の創造した公理系において論理的に導かれる結果を破る能力を持つのか、という点である。
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:
title: アニュラス
text: アニュラスの面積はアニュラスの中に完全に置ける最長の線分の長さ(添付図の 2d)から得られる。これはピタゴラスの定理によって証明できる。
title: クラウディオス・プトレマイオス
text: 天文学書『アルマゲスト』幾何学的な描像と、数値的な計算を結び付けるための強力な道具として用いられたのが、「弦の表」、すなわち円弧の長さと弦の長さの間の関係を表にしたものである。『アルマゲスト』では、これをヒッパルコスの発明としている。また、『アルマゲスト』には、「弦の表」の様々な性質、例えば加法定理に相当するものなども示されている。ただし中世以降は、プトレマイオス以前に分岐して独自に発展を遂げた、インド流の三角法に置き換えられていく。
title: アポロニウスの問題
text: ソディの円は、3つの与円とともに考えると、6点で互いに接する4つの円の組となる。これら4つの円の半径はデカルトの定理として知られる等式で関連づけられている。1643年に、エリザベス・ステュアートに宛てた手紙にて、ルネ・デカルトは以下を示した。
title: 中線定理
text: この性質を中線定理という。これはスチュワートの定理の特別な場合である。二等辺三角形に対してはピタゴラスの定理と同等になる。
title: 和算
text: また、長谷川寛は新たに極形術と変形術というものを発明している。極形術は、扱いづらい数や図形を扱いやすいもの(極形という。たとえば長方形や菱形なら正方形に、三角形なら正三角形や直角二等辺三角形に、大きさが等しくないものは等しいものに)に置き換えて、問題を解きやすくするという術であり、変形術は図形の形を引き伸ばしたり回したりすることで形を変えて問題を解きやすくする術である。これらによって、図形問題の解法は大いに簡略化されるかに見えたが、極形術にてはある問題においては正しく解けずに誤った答えが導かれると言う事態が起こった。いくらかこれに他の数学者たちから批判の声があがったものの、ついに修正改良されることを得なかった。他方、内田五観の門人法道寺善もまた形を変えて解くという同様の考えにより、接円の問題などにおいて円を直線に変えて解く、別の方法を編み出している(反転法に相当する)。
title: 数学史
text: イシャンゴの骨といわれる遺物が、ナイル川源流地域(コンゴ民主共和国北東部)で発見されており、紀元前2万年頃のものと推測されている。この骨が表現している内容は、最初期の素数列や、古代エジプトのかけ算であると考えられている。また、紀元前5000年代のエジプト原始王朝のエジプト人は幾何学的・空間的デザインの絵画表現を残している。紀元前3000年代以降のイングランドやスコットランドにおける巨石記念物には、円、楕円、ピタゴラス数、などの数学的概念が織り込まれているとの指摘がある。
title: 数学史
text: タレスは、幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸から船までの距離を計算する等の問題を解決した。ピタゴラスの定理について、ピタゴラス以前からその主張には長い歴史があるものの、定理に最初の証明を与えたのが彼であるとの名声をもつ。エウクレイデス(ユークリッド)によるピタゴラスの論評において、プロクロスはピタゴラスが彼の名を冠する定理を述べ、幾何学的でなく代数学的にピタゴラス数を構成したと述べている。アカデメイアは、「幾何学に精通しない者はここに入るべからず」とのモットーを持っていた。
title: 図形数
text: と表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、
title: 円周率
text: 円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語 περίμετρος(ペリメトロス)あるいは περιφέρεια(ペリペレイア)の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより(現代と同じく)円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
title: デルタ合板
text: 胞、面、辺、頂点の数はパスカルのピラミッド(英語版)の第5段(Layer 4)の三角形の各段の数字の総和に等しい。超立方体の対角線に沿って見た場合、胞、面、辺、頂点は各段の数字通りのグループに分割される。また面、辺、頂点に集まる図形の数はそれぞれの形状により、線分の端点の数(パスカルの三角形の第3段)、正三角形の頂点と辺の数(第4段)、正四面体の頂点と辺と面の数(第5段)に等しい。
title: 解析学
text: 解析学の起源は、エウドクソスが考案し、アルキメデスが複雑な図形の面積や体積を求める為に編み出した「取り尽くし法」にまでさかのぼれる。彼らの業績は、ある意味で今日の積分の始まりとも呼べるものであろう。しかしながら近世までは一般的理論は存在せず、あくまで個々の図形に適用されるにとどまった。
title: ユークリッドの互除法
text: ユークリッドの互除法(ユークリッドのごじょほう、英: Euclidean Algorithm)は、2 つの自然数の最大公約数を求める手法の一つである。
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):
title: 合同算術
text: オイラーにより、素数を亙るある無限積が単位円の面積の平方の⁄6(つまり、π/6)に等しいことが発見され、数の理解に対する新たなアプローチの仕方が生まれた。ディリクレはこれを用いて整数の合同類環の単数群が素数を無限に含むことを示した。今日ではこれはディリクレの算術級数定理と呼ばれる。