クイズ問題: 数学で、「a・b」を実数、「i」を虚数単位とするとき、「a+bi」の形で表される数のことを何という?
答え: 複素数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 行列の対数
text: 与えられた正方行列 A に対して、e = A を満たす正方行列 B を、A の(行列の)対数と呼び B = log(A) あるいは ln(A) などで表す。複素数の場合と同様、行列の対数はしばしば一意ではない(後述)。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: 超越数
text: よく知られた超越数にネイピア数(自然対数の底)や円周率があり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの π + e すら超越数かどうか分かっていない。
title: 行列の平方根
text: 数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん、英: square root of a matrix)は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 B が行列 A の平方根であるとは、行列の積に関して B = BB が A に等しいときに言う。
title: 単位分数
text: 数学において、単位分数(たんいぶんすう、unit fraction)とは、分数として書かれる有理数のうち、分子が 1 であり、分母が自然数であるものをいう。つまり、自然数 n の逆数 1/n で表される。単位分数は大きい順に
title: 除法
text: 除法は ÷ や /, % といった記号を用いて表される。除算する 2 つの数のうち一方の項を被除数 (英: dividend) と呼び、他方を除数 (英: divisor) と呼ぶ。有理数の除法について、その演算結果は被除数と除数の比を与え、分数を用いて表すことができる。このとき被除数は分子 (英: numerator)、除数は分母 (英: denominator) に対応する。被除数と除数は、被除数の右側に除数を置いて以下のように表現される。
title: 平方根
text: 0 の平方根は 0 のみである。元の数 a が正の数である場合は、その平方根は正と負の2つ存在するが、それらの絶対値は等しい。そのうち正である方を根号(こんごう、radical symbol) {\\displaystyle {\\sqrt {\\;}}} を用いて
title: 分数
text: 分母、分子ともに整数である分数で表す事ができる数を有理数という。また分子・分母が数式(関数)であるような分数を分数式(分数関数)といい、特に多項式の商として表される分数式を有理式とよぶ。分数式まで視野に入れると、何かに占める割合といった分数の意味は薄れるが、それは商(除法)の概念がそうであるのと同様である。
title: 平方根
text: 一般に、正方行列 A に対して、X =A を満たす正方行列 X を A の平方根行列と呼び、記号で √A あるいは A と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 I2 は無数の平方根を持つ。ただしその中で正定値となるのはただ一つ I2 自身である。
title: 虚数
text: 実係数の三次方程式を解の公式により解くと、相異なる3個の実数解をもつ場合、虚数の立方根が現れ、係数の加減乗除と冪根だけでは表せない(還元不能)。虚数はこの過程で認識されるようになった。ルネ・デカルトは1637年に、複素数の虚部を 仏: \"Nombre imaginaire\"(「想像上の数」)と名付けた。
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 分数
text: 分数は正の整数だけではなく、整数全体や実数、複素数等を用いても定義される。除法としての意味からも分かるように分母が 0 の分数には対応する数がない。しかし極限を取り扱う場合などに便宜上、分母が 0 の分数を使うことがある。それらの分数は数として計算に使われるわけではなく、あくまで説明用に便宜的に表現されただけのものであることが多く、その表現がどういう意味で用いられているのかは前後の文脈から判断する必要がある。フランスの数学者、アンリ・ポアンカレは「分数とは横線によって画された2つの整数の集合であって、この記号によって施すことができる演算を規約によって定義する」と説明している。
title: 正の数と負の数
text: 負でない数は非負(ひふ)であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)実数を、非負実数(ひふじっすう)という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数(ひふせいすう)という。
title: 2の平方根
text: 2 の平方根(にのへいほうこん、英: square root of two)とは、平方して 2 になる複素数のことである。すなわち、
title: 符号 (数学)
text: 任意の数は複数の属性 (attribute) を持つ(例えば、値、符号、大きさなど)。実数が正であるとは、その値(大きさではない)が零より大きいときに言い、負であるとは零より小さいときに言う。正または負の何れであるかという属性をその数の符号と呼ぶ。この場合、零それ自身は符号を持つとは考えられない。また、複素数に対してその符号を定義することはできないが、偏角はある意味で符号の一般化と考えられる。
title: スカラー (数学)
text: 四元数の実部(実成分)のことをスカラー部(スカラー成分)とも呼ぶ。
title: 逆数
text: 以下に具体例をいくつか挙げる。ここで e はネイピア数、i は虚数単位、r は複素数の絶対値、θ は複素数の偏角を表す。また、z は複素数 z の共役複素数、|a| は数 a の絶対値を表す。
title: 円周率の無理性の証明
text: ルジャンドルは π が無理数であることを示したが、現在では π の累乗は全て無理数であることが知られている(実は円周率は超越数であり,(非零有理数をべき指数とする)超越数のべき乗も超越数になるので(非零有理数をべき指数とする)円周率のべき乗は超越数になる。そうして超越数は無理数である)。実際、ドイツのリンデマンは、1882年に π が超越数であることを示した。これは、さらに一般的なリンデマンの定理の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、ネイピア数 e, 2の自然対数 log 2, 1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。また、ネステレンコは π と e が Q 上代数的独立であることを示した。この事実は、π が無理数であることや超越数であることを内包している。
title: 行列の平方根
text: 「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応して
title: 除法
text: と表してもよい。 また有理数は分母と分子がともに整数である分数を用いて表すことができる。2 つの有理数 a, b をそれぞれ整数 p, q, r, s を用いて分数表記する。
title: 虚数
text: しかし当時は、0 や負の数ですら架空のもの、役に立たないものと考えられており、負の数の平方根である虚数はなおさらであった。ルネ・デカルトも否定的にとらえ、1637年の著書『La Géométrie(幾何学)』で初めて 仏: \"nombre imaginaire\"(「想像上の数」)と名付けた。これが英語の \"imaginary number\"、日本語の「虚数」の語源になった。
title: 根号
text: 根号(こんごう, radical symbol) “ {\\displaystyle {\\sqrt {\\;}}} ”は平方根を表す記号。“ {\\displaystyle {\\sqrt {\\;}}} ”の用例がみられる印刷物は、ドイツの数学者クリストッフ・ルドルフによる1525年の著作 “Coss”(『代数』)が最初のようである。ラテン語の radix(根、根源の意; 英語の root に相当)の頭文字の r を変形したものであるといわれるが諸説あるようである。上に横棒を引くのは1637年ルネ・デカルトによる。
title: 虚数
text: 虚数(きょすう、英: imaginary number)とは、実数ではない複素数のことである。すなわち、虚数単位 i = √−1 を用いて表すと、
title: 分数
text: のように分子・分母がさらに分数を含むような分数を繁分数(はんぶんすう、英: compound fraction)という。
title: 広義の記数法
text: 中には底が自然数でないものも考えられている。コンピュータでは二進法を用いている場合がほとんどだが、符号の扱いが難しい。そこで、底を −2 とした記法が考えられた。この方法では、0 と 1 を用いてすべての整数を表すことが出来る。その他に複素数を表記するため、−1 + i を底としたものも考えられている(i は虚数単位)。これらはドナルド・クヌースにより考案されたが、演算が複雑なため実際に用いられることは稀である。
title: 特異値
text: 数学の線型代数学分野において、行列 A の特異値(とくいち、英: Singular values)とは、A の随伴行列 A との積 AA の固有値の非負の平方根のことである。
title: 数式
text: 代数式とは加減乗除冪根の6種類の符号によって連結されている数式をいい、それ以外の式を超越式という。代数式には有理式と無理式がある。
title: 多重根号
text: 代数学における多重根号(たじゅうこんごう)の式 は、少なくとも一つの根号(平方根号や立方根号など)の中に無理式 を含む無理式を言う。例を挙げると
title: 算術
text: 加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
title: 行列の平方根
text: このため、ジョルダン標準形 J = P − 1 A P {\\displaystyle J=P^{-1}AP} の全ての平方根 K {\\displaystyle K} を知ることができれば、 B = P K P − 1 {\\displaystyle B=PKP^{-1}} により、 A {\\displaystyle A} の全ての平方根 B {\\displaystyle B} を知ることができる。
title: 有理関数
text: 数学における有理関数(ゆうりかんすう、英: rational function)は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。
title: 根号
text: 非負の実数の平方根(のうち根号で表される方)は 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 乗であり、根号の代わりに冪乗で表すこともある。
title: 分数
text: のように分母が数と分数の和でありさらにその分母が数と分数であるといった形のものを連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)という。
title: 常用対数
text: 任意の正の数 x に対し、x = 10 により定められる実数 a を、10 を底 (base) とする x の常用対数 (common logarithm) といい、記号 log10 x で表す。つまり、
title: 対数
text: 以下の節において、a, b は 1 ではない正の実数、x, y は正の実数、p は実数、ln x は自然対数を表す。
title: 4つの4
text: 対数関数 log  x {\\displaystyle \\log x} (底は任意でよい)または2変数関数としての対数 log x  y {\\displaystyle \\log _{x}y} を用いてよい場合、次の式によって4つの4ですべての有理数が表現できる。 以下に正の有理数の場合を示すが、負の有理数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。
title: 山里亮太
text: 恒等式(こうとうしき、英: identity)は、恒真な等式、すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の \"値\" が等しいもののことを言う。変数の動く範囲は、文脈によって異なる。恒等式であることを明示するとき、= の代わりに ≡ が使われる。
title: 「知」の欺瞞
text: しかし、代数学的な意味においてプロトニツキーは「すべての虚数および複素数は、定義上は無理数である」と述べているが、数学者たちは複素数を無理数とはみなさないソーカルとブリクモンの側に立っている。実際、有理数という概念は、ガウス整数とガウス有理数においては複素数の領域に拡張される。
title: 複素数
text: 1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。
title: 六万五千五百三十七角形
text: の実部と虚部が共に、有理数から始めて四則および平方根を取る操作を有限回組み合わせて表現できることを意味する。
title: 行列の平方根
text: 適当な冪零行列 N を用いて I + N の形に書ける行列の平方根 (I + N) は、二項級数に対する汎函数計算で求められる。同様に、行列の指数函数 exp, 対数函数 log が既知ならば、 exp(1⁄2⋅log(A)) を A の(主)平方根とすることができる(収束性に注意せよ)。
title: 虚数単位
text: 虚数単位(きょすうたんい、英: imaginary unit)とは、2乗して −1 になる数のことである。そのような数は2つだけあり、その内の一つを記号 i を用いて表す(どちらかに特定することはできない):
title: 行列の平方根
text: 冪等行列の平方根は、自身を平方根に持つ。
title: 行列の平方根
text: このように行列の平方根は無数に存在しうるが、半正定値行列の範疇で行列の主平方根 (principal square root) の概念が定義できて「半正定値行列の主平方根はただ一つ」である(これは「非負実数が非負の平方根(主平方根)をただ一つだけ持つ」という事実に対応する)。
title: 複素数
text: 複素数 a + bi に対して、虚部 b を反数にした複素数 a − bi を z の共役(きょうやく、conjugate, 本来は共軛)複素数といい、記号で z(または z*)と表す。
title: 平方根
text: と表す。これは a の「正の(あるいは非負の)平方根」(principal square root; 主平方根)である(文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある)。このとき、他方の「負の平方根」は − a {\\displaystyle -{\\sqrt {a}}} である。また、2つの平方根を併せて ± a {\\displaystyle \\pm {\\sqrt {a}}} と表記することもできる。例えば、9 の平方根は ±3、すなわち +3 と −3 の2つであり、 9 {\\displaystyle {\\sqrt {9}}} は正である 3 の方を表す。 0 {\\displaystyle {\\sqrt {0}}} は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。
title: 冪根
text: n を 2 以上の自然数とする。数 a に対して、代数方程式 x = a の解 x を、a の n乗根 (root of n-th power, n-th root) といい、また n を特に固定せずに冪根、累乗根と総称する。特に、2乗根、3乗根は、それぞれ平方根 (square root)、立方根 (cube root) ともいう。
title: 複素数型
text: 複素数型の値は通常、2つの浮動小数点数によって表される。あまりないが極座標表現を併用するものや場合もある。加減乗除の演算子(+, -, *, /)が複素数を扱えたり、複素数型の値を表現するリテラルがあったりする言語のことを「複素数のサポートがある」などと言ったりする。他に、比較演算や、ライブラリによる文字列との変換、などがある。数学と同様に、虚部が0の複素数型の値を、(何らかの暗黙の型変換システムによって)他の、実数の部分集合となっている数値型の値と同一視できるような場合もある。
title: 符号 (数学)
text: 対照的に、実数は符号を一つのビットに割り当て、値は浮動小数点数として扱われる。浮動小数点数では値は三つの独立した要素(仮数、冪数、符号)として保持している。こうして符号ビットが分けて与えられるから、正の零と負の零は互いに別の数値としてどちらも表すことができる。大半のプログラミング言語では正の零と負の零はともに同じ値を持つように扱われるが、にもかかわらずそれらの違いを検知することができるという意味で異なる対象を提供している。
title: 正規数
text: 一般論としてほとんど全ての実数が正規数であることが知られているが、その証明は構成的でないため、正規数であることが判明している具体的な数は非常に限られている。例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数はそれぞれ正規数だと信じられているが、その通りか否かは未だ謎である。
title: 代数的数
text: 代数的数(だいすうてきすう、英: algebraic number)とは、 複素数であって、有理数係数(あるいは同じことだが、分母を払って、 整数係数)の 0 でない一変数多項式の根(すなわち多項式の値が 0 になる値)となるものをいう。全ての整数や有理数は代数的数であり、また全ての整数の冪根も代数的数である。実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である(#集合論的性質)。
title: 虚数
text: 虚数を発見したのはカルダーノで、1545年の代数の本に、10 を積が 40 になる2つの数に分ける問題が載せられている。カルダーノは、この問題は不可能だが形式的に解を求めれば
title: 虚数単位
text: 1637年、ルネ・デカルトは、複素数の虚部を \"仏: Nombre imaginaire\"(「想像上の数」)と名付けた。負の数でさえあまり認められていない時代に、実数直線上にない数の導入には懐疑的であった。
title: 虚数
text: ただし、「虚数」と訳されている英語の \"imaginary number\" は、しばしば「2乗した値が 0 以下の実数になる複素数」を意味する場合がある。
title: 数論の有効な結果
text: 計算可能性の要求は、数論の結果を証明するための解析的整数論で使われる方法に反映されると同時に対比もされる。例えば、ランダウの記号の使用やそれが存在を暗示する定数に関して疑問が生ずる。「ランダウの記号はそのような定数が単に存在することを示すのか?もしくは、暗黙の定数の代わりに(例えば)1000 が使われるバージョンを再現できるか?」というものである。言い換えると、符号が変わる M > N が存在し、ある陽関数 G (例えばべき乗、対数、指数)に対して
title: 連分数
text: 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
title: 代数的数
text: しかしながら、全ての無理数が代数的数であるかというと、そうではないことが知られている。たとえば円周率 π や 自然対数の底(ネイピア数)e は、0 以外のいかなる有理数係数多項式に対しても、根になることはない。
title: 分数
text: これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる(a →a/1)。逆に分母が 1 である分数は、分母を省略し分数ではない数としても扱える(a/1 →a)。
title: 平方根
text: において、その値域は(虚数も含めた)代数的数(の一部)からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は(有理数の範囲での)平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 d に対して √d は二次の無理数であって、Q に √d を付け加えて得られる体(たい)は二次体と総称される。
title: 約数
text: 自然数 N の正の約数の和を、約数関数 σ(N) で表す。素因数分解により、正の約数の和も式で表すことができる。
title: 約数
text: 数学において、整数 N の約数(やくすう、英: divisor)とは、N を割り切る整数またはそれらの集合のことである。割り切るかどうかということにおいて、符号は本質的な問題ではないため、N を正の整数(自然数)に、約数は正の数に限定して考えることも多い。自然数や整数の範囲でなく文字式や抽象代数学における整域などで「約数」と同様の意味を用いる場合は、「因数」(いんすう)、「因子」(いんし、英: factor)が使われることが多い。
title: 無理数
text: 2の平方根は代数的無理数であり、log2 3, e, π, e といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。
title: ネイピア数の無理性の証明
text: ネイピア数の無理性の証明(ねいぴあすうのむりせいのしょうめい)は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。
title: 余代数
text: が可換であるとき、組 ( C , Δ , ε ) {\\displaystyle (C,\\Delta ,\\varepsilon )} を余代数という。また、 Δ {\\displaystyle \\Delta } を余積、 ε {\\displaystyle \\varepsilon } を余単位という。
title: 対数
text: 通常の対数 logb x は真数 x, 底 b を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。
title: ピタゴラス素数
text: 上記の式を理解するひとつの方法は、ガウス整数、すなわち実部と虚部が共に整数である複素数を利用することである。ガウス整数 x + yi のノルムは x + y であるから、ピタゴラス素数(および 2)はガウス整数のノルムとして表せ、その他の素数はそのようには表せない。ピタゴラス素数は、ガウス整数の世界ではもはや素数ではなく、
title: 平方根
text: a<0 のときは、a の平方根は実数にはならず、2つある平方根を数の大小で区別することはできなくなる。
title: 行列の平方根
text: B がエルミート(実係数の場合は対称)ならば、B は上で述べたAの平方根と一致する。任意の正定値エルミート行列 A に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)と呼ぶ。
title: 代数的数
text: 上記のことから、無理数度が 2 よりも大きい実数は超越数となるが、超越数ならば無理数度が 2 よりも大きくなるわけではない。たとえば、自然対数の底 e の無理数度は、2 である。
title: 二次方程式
text: と同値であるから、解は m の平方根に等しい。平方根は 0 以外は複数あり、実数なら正の方を √m で表す。このとき解は
title: 四元数
text: 四元数 a + bi + cj + dk に対して、a をその実部 (real part) またはスカラー部 (scalar part) といい、bi + cj + dk をその虚部 (imagenary part) または ベクトル部 (vector part) という。四元数のスカラー部は実数であり、ベクトル部は 0 または純虚である。任意の四元数は4次元ベクトル空間のベクトルではあるけれども、ここではベクトルあるいはベクトル元という言葉を、専ら純虚四元数を指すのに用いる。この規約の下、ベクトル元ということはベクトル空間 R の元ということと同じ意味になる。
title: ド・モルガンの法則
text: x が 1 から 100 までの数を表す変数だとする。このとき「全ての x に対し A(x)」は、「A(1) かつ A(2) かつ ...... かつ A(100)」を意味する。これの否定は、命題論理のド・モルガンの法則から
title: 行列の平方根
text: また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る。実際、2 × 2 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。
title: 存在記号
text: 数理論理学で存在量化を表す存在記号は \"∃\"(サンセリフ体の \"E\" を裏返した字)で表される。なお、これは英語で存在を意味するexistに由来する。 故に、P(a, b, c) が \"a·b = c\" を表す述語で、N が自然数の集合であるとすると、
title: 約数
text: 自然数 N の正の約数の個数を d(N) で表す。
title: 冪根
text: つまり、冪根 x n {\\displaystyle {\\sqrt[{n}]{x}}} の n乗は x に等しく、この意味で x n {\\displaystyle {\\sqrt[{n}]{x}}} を x の n乗根 (nth root of x) と呼ぶ。 n は指数 (index) と呼ばれ、記号 {\\displaystyle {\\sqrt {}}} は根号 (radical sign, radix) と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数 x は時に被開平数 (radicand) と呼ばれる。
title: 有理数
text: 有理数(ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)を用いて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。
title: 正規数
text: 正規数の例として人工的に作られたものではない数たちの正規性を示すことは一般には難しい。例えば、2の平方根、円周率、ネイピア数、log 2 といった数学的に重要な定数が正規数であるか否かは未だに知られていない。いくつかの傍証によってこれらは正規数であると強く信じられているが、十進小数表示においてそれぞれの数字が無限回現れるか否かさえ知られていない。2001年の論文で、Bailey と Crandall は「無理数かつ代数的数である数は正規数である」と予想した。しかし解決への道のりは遠く、反例も知られていないし、正規である代数的数の例も知られていない。
title: 楕円曲線DSA
text: 逆数の逆数は元と同じであることと、逆数と元の積は O {\\displaystyle O} であることから
title: 三次方程式
text: の解が ω を 1 の虚立方根として
title: ガウス整数
text: ガウス整数 α = a + bi は二次方程式 x − 2ax + (a + b) = 0 の解である(ゆえにガウス整数は代数的整数である)。この方程式のもう一つの解は a − bi である。これを α の共役といい、α で表す(この場合、α は α の複素共役でもある)。方程式の係数に現れる、共役との和 2a を α のトレース(英: trace、もしくはシュプール、独: Spur)、共役との積 a + b を α のノルムという。すなわち、ガウス整数のノルムとは
title: 分数
text: 一方、1以上となる分数を仮分数(かぶんすう、英: improper fraction)という。分子と分母が同等量(即ち1)か、分子が分母より大きい分数である。例として、4/3, 8/5, 16/9 といった分数に該当する。真分数は整数ではないが、仮分数は整数でないとは限らない。例えば 2/1, 6/3, 48/12 などは整数だが、仮分数として表わすことができる。仮分数が整数である場合、分母は分子の約数になっている。また、仮分数を小数に直す場合には、帯分数化して整数と真分数に分けて換算する。
title: 代数方程式
text: を満たすものが存在するとき、α を f(x) の k 重根(じゅうこん、multiple root)または k 位の零点といい、k を根 α の重複度(ちょうふくど、multiplicity)または位数という。ただし、k = 1 のときは単根(たんこん、simple root, simple zero)と言う。また、単に重根と呼ぶときは、文脈により単根でない根を総称する場合と、二重根のことのみを指す場合とがある。重複度まで込めれば、代数方程式の根とは
title: 逆数
text: 通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x のように表される。
title: 正の数と負の数
text: 数学における正の数(せいのすう、英: positive number; 正数)は、0より大きい実数を言う。対照的に、負の数(ふのすう、英: negative number)は、0より小さい実数である。(とくに初等数学・算術や初等数論などの)文脈によっては、(暗黙の了解のもと)特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある(負の数も同様)。
title: アポロニウスのギャスケット
text: ここで複号が存在するが、これは複素数の平方根をとる(一般に2つの値を与える)操作に対応するものと考えて差し支えなく、式(1)における複号とは無関係である(同順でも逆順でもない)。したがって1つの k4 の値に対して2つの z4 が与えられるが、そのうち正しい値となるのは一方のみである。
title: 根体
text: 例えば、K = Q を有理数体、P(X) = X − 2 のとき、Q[√2] は P(X) の根体(のひとつ)になる。多項式の根体は必ずしもその多項式の全ての根を含むわけではない。実際、体 Q[√2] は P(X) の残り二つの虚根(すなわち、ω を 1 の虚立方根として、ω√2 および ω √2)を含まない。
title: 循環小数
text: 小数部分が循環しない小数は循環小数より多く存在し、これを無理数という。例えば円周率や2の平方根が挙げられる。有理数は循環小数で表せ、逆に、循環小数で表せる実数は有理数に限る。
title: 無理数
text: オイラー定数 γ, π + e, eπ, その他 P(e, π)(P(X, Y) は X, Y 双方について次数が 1 以上である多項式)は有理数であるか無理数であるか知られていない。e, π, π といった数も同様である。
title: 基数
text: を | X | を底、| Y | を指数とする冪という。
title: 点字郵便物
text: 3の平方根(さんのへいほうこん)は、平方して 3 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は
title: 虚数単位
text: 1770年頃、オイラーは虚数単位 √−1 を i と表した。i は imaginary の頭文字から採られている。
title: ベン図
text: 論理演算をベン図で表す場合、円は論理演算の入力値を表す論理変数に対応し、円の内部はその変数の値(真理値)が真(1、もしくはT)であること、円の外部は偽(0、もしくはF)であることを表す。論理演算の出力値を真にする入力値の組に対応する領域に斜線を引いたり色を付けたりすることで、入力値と出力値の関係を表す。例えば、図4は左の円をP、右の円をQとして、PとQの論理積 (AND) P ∧ Q をベン図で表したものである。これは集合 A と集合 B の共通部分 A ∩ B を表すベン図と見かけは同じだが、論理演算 P ∧ Q を表すものとみなす場合、円は集合を意味するものではないことに注意が必要である。
title: 有理関数
text: 有理方程式とは、二つの有理式を等しいとおいて得られる方程式である。これには通常の(数の比である)分数と同様に、分母を払う等の操作を行ってよい。ただしそうして得た解のうち、分母が0になるようなものは元の有理方程式の解として不適切として除かれる。
title: 解析学
text: ライプニッツが考案した記号としては例えば曲線の接線問題を解くにあたって無限小量であるdy、dxの比dy/dxを用いたり、ラテン語のsumma(和の意)の頭文字Sから積分記号 ∫ {\\displaystyle \\int } を導入したりした。
title: 実数
text: 有理数の集合 Q 上に通常の意味での大小関係を考えて、それをもとにした Q の分割の方法として実数を定めることもでき、この方法は切断と呼ばれる。この考え方では実数 r に対して Q を { q ∈ Q : q < r } と Ur = { q ∈ Q : r ≤ q } に分ける方法が対応する。2の平方根のような無理数 r によって与えられる切断 Ur は有理数の範囲では最小の数を持たない。一方実数の範囲ではその定義からいつでも r が Ur の最小の数になっている。
title: 符号 (数学)
text: 算術その他の分野で用いられる一般的な数の記法において、数の符号はその数に + や − を前置することで表される。例えば、+3 は「正の3」であり、−3 は「負の3」である。数値に符号を前置しない場合は、標準的な解釈としてその数は正である。この記法や負の数を減法を通じて定義するという理由から、負号は負符号を持つ負の数と強く結びつけられ、同様に正号は正の数と結び付けられる。
title: 単振動
text: B1 と B2 は実数であるから、C1 + C2 は実数に、C1 − C2 は純虚数になる必要がある。この制約から、C1 と C2 を共役複素数とする必要性が理解できる。
title: 実数型
text: 一般的に有理数を表すには分子と分母を整数として記憶する方法が用いられる。整数型も参考のこと。
title: 分数
text: は分数式の約分である。分数式の分子分母における x は不定元であり、特別な値を持たない。x を不定元でなく具体的な数であると見なす場合、上記の分数表現は破綻することに注意しなければならない。左辺の可約な分数に x = 2 を代入した場合、分子も分母も因数として (x − 2) を持つために、分数は 0/0 となり、(通常の代数においては)未定義の数となるが、しかし右辺の既約分数に対しては代入の結果が 1/5 に定まる。どちらの結果が適切であるかは場合によって異なり、x = 2 という条件の下で左辺の分数が得られたならばその数は未定義となるし、右辺の分数が得られたならその値は 1/5 に定まる。