クイズ問題: 二項係数を次々に並べてつくられる三角形状の配列を、フランス人哲学者の名をとって「誰の三角形」という?
答え: パスカルの三角形

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: フェルマー点
text: フェルマー点(フェルマーてん、トリチェリ点・等角中心とも呼ばれる)は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。
title: 二項定理
text: 1544年にミハエル・シュティーフェル(英語版)は「二項係数」(\"binomial coefficient\") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a) を (1 + a) で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を論文(英語版) Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。
title: ペルガのアポロニウス
text: 著書『円錐曲線』 (Κωνικά) において、円錐を頂点を通らない平面で切断した断面の図形「楕円(だえん、ellipse)」・「放物線(ほうぶつせん、parabola)」・「双曲線(そうきょくせん、hyperbola)」について詳細な研究をおこなった。「楕円」・「放物線」・「双曲線」の名称は、アポロニウスがそれぞれ「ellipsis(不足する)」・「parabole(一致する)」・「hyperbole(超越する)」と呼んだことに由来する。離心円ならびに従円と周転円の概念の発案者でもある。
title: 行列の対数
text: より豊かな例として、初めに ピタゴラスの三つ組(英語版) (p, q, r) をとって a = ln(p + r) − ln q とおくと
title: アポロニウスの問題
text: アポロニウスの問題とは3つの与えられた円、直線、点等のオブジェクトに接する1つ以上の円を平面上に描くものであった。これは10種類のアポロニウスの問題に分けることができる。それぞれ円、直線、点を組み合わせた問題であり、C, L, P のアルファベットでどのオブジェクトが与えられている問題なのかを表す。Cは与えられたオブジェクトが円(Circle)であることを示し、Lは与えられたオブジェクトが直線(Line)であることを示し、Pは与えられたオブジェクトが点(Point)であることを示す (表 1)。例えば、円、直線、点の3つのオブジェクトが与えられたアポロニウスの問題はCLPと表す。
title: フォードの円
text: フォードの円は互いに接する円の特別なケースであり、基準線 (y = 0) は無限大の半径を持つ円と考えられる。互いに接する円の体系は、アポロニウスの問題やアポロニウスのギャスケットなどに名が残るペルガのアポロニウスによって研究された。17世紀にはルネ・デカルトが、互いに接する円の半径の逆数間の関係に関するものであるデカルトの定理を発見した。
title: 三体問題
text: 円制限三体問題において、共動回転系において第三体が静止することが可能な5つの点をラグランジュ点と呼び、記号 L1, L2, L3, L4, L5 により表される。このうち L1 から L3 の3点は第一体、第二体、第三体が一直線上に並ぶもので、オイラーの直線解として知られる。一方 L4 と L5 は三体が正三角形を描くもので、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュによって1772年に発見された。ラグランジュの正三角形解は一般三体問題の場合にも存在する。
title: アポロニウスの問題
text: アポロニウスの問題は、10の特別なケースがあり、円(Circle, C)、直線(Line, L)、点(Point, P)などの「与えられた3つのオブジェクト」の性質によって分類される。慣習的に、これらの10のケースは、CCPなどの3文字のコードで区別される。ビエトはこれら10のケースすべてに対して、コンパスと定規のみを使った作図問題を解決した。ビエトは、似たケースの解法を、より複雑なケースを解くのに利用した。
title: パスカルの三角形
text: パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。
title: ブレーズ・パスカル
text: 「人間は考える葦である」などの多数の名文句やパスカルの賭けなどの多数の有名な思弁がある遺稿集『パンセ』は有名である。その他、パスカルの三角形、パスカルの原理、パスカルの定理などの発見で知られる。ポール・ロワヤル学派に属し、ジャンセニスムを代表する著作家の一人でもある。
title: 差商
text: 隣り合う二項から次の階数の項が次々に作られる様子は、パスカルの三角形の類似で、差商を三角形状に並べるとわかりよい。
title: ラグランジュ点
text: 1760年頃、オイラーが制限三体問題の解として、主星と伴星を結ぶ直線上にある L1, L2, L3 までの解を発見した。これらはオイラーの直線解と呼ばれる。その後、ラグランジュが1772年に『三体問題に関するエッセイ』Essai sur le problème des trois corps という論文を発表し、オイラーの解は一般の三体問題の場合にも成り立つこと、主星・伴星を一辺とする正三角形の頂点 L4, L5 も解(三角解)であることを示した。この業績によってラグランジュとオイラーはこの年のフランス科学アカデミー賞を共同受賞した。
title: アポロニウスの問題
text: ソディの円は、3つの与円とともに考えると、6点で互いに接する4つの円の組となる。これら4つの円の半径はデカルトの定理として知られる等式で関連づけられている。1643年に、エリザベス・ステュアートに宛てた手紙にて、ルネ・デカルトは以下を示した。
title: 1+2+3+4+…
text: によって与えられる。この等式はピタゴラス学派によって紀元前6世紀ごろには早くも知られていた。この形で与えられる数は、各項を点を三角形状に並べることで数えられることから、三角数と呼ばれる数である。
title: 八元数
text: 図に示した単位八元数の積を記憶する便利な記憶術がある。これはケイリーとグレイブスの乗積表を表すものである 七つの点と七つの直線(1,2,3 を通る円も直線のひとつ)を持つこの図はファノ平面と呼ばれる。直線には向きがつけられており、また七つの点は純虚八元数の空間 Im(O) の標準基底に対応する。相異なる点の対ごとにそれらを通る直線が一意的に定まり、また各直線にはちょうど三つの点が載っている。
title: 図形数
text: 図形数(ずけいすう、英: figurate numbers)とは、一定の規則で図形状に並べられた点の個数として表される自然数の総称である。その歴史は、古代ギリシアのピタゴラス学派が「万物は数である」との思想のもと、図形と数を結び付けたところにまで遡る。例えば、図形として正方形を考えると、数としては平方数を得る。平方数を図形数として見るときには、これを特に「四角数」と呼ぶ。
title: 直積集合
text: 有名な歴史的な例としては、解析幾何学における直交座標系がある。ルネ・デカルトは、数を用いて幾何学的な図形を表現したり、図形から数の情報を得たりするために、平面のそれぞれの点に実数の組を対応させ、その点の座標と名付けた。ふつう、このような組の1番目および2番目の要素は、それぞれ x および y 座標と呼ばれる。したがって、実数の組のすべての集合、すなわち R×R(R は実数)という直積集合は、平面上のすべての点の集合に対応する。
title: ブーケ (数学)
text: n-弁のブーケは一つの円周上の n-点を同一視することでも得られる。二弁のブーケは「8の字」(figure eight) としても知られる。
title: 代数方程式
text: 代数方程式は、面積を求める幾何学的な問題や、ディオファントス方程式などの算術的な問題として、古来から数学において重要な研究対象となってきた。ピタゴラスの定理 a + b = c を満たす自然数の組 (a, b, c)(ピタゴラス数)を求める問題やその一般化として17世紀にフェルマーが考察した a + b = c などが代数方程式とその研究の例として挙げられる。後者の例については、これを満たす自然数の組は自明なもの(abc = 0 の場合)を除いて存在しないという主張がフェルマーの最終定理として知られる。
title: アステロイド (曲線)
text: アステロイド(英: astroid)の語義はギリシア語: aster(星の)+ -oid(ようなもの)であり、星芒形(せいぼうけい)、星形とも呼ばれる。アステロイドは四つの尖点を持つ内サイクロイド(四尖点内擺線)であり、四尖点形 (tetracuspid) の名称も古くから用いられている(ほかには、cubocycloid, paracycle など)。アステロイドを縮閉、伸開、包絡などの概念を用いて他の曲線から得ることができる。類似の曲線として楕円の縮閉線がある。また、アステロイドはスーパー楕円の一種である。
title: 代数幾何学
text: ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として \"x + ay − 1\" という多項式を考えると、これの零点のなす R の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。
title: 天体力学
text: レオンハルト・オイラーは三体問題を求積するために運動の積分を探し求めたものの、必要な数の積分を得ることはできなかった。そこで三体が同一直線に乗る配位の特殊解に目を向け、1766年に三体問題に関する論文 Considerationes de motu corporum coelestium の中で制限三体問題の平衡点であるラグランジュ点のうち直線解と呼ばれる L1, L2 を発見した。ラグランジュは1772年にすべての平衡点、特に正三角形解を発見した。ラグランジュはまた一般三体問題の18本の方程式を7本の方程式に帰着できることを示している。
title: 平行線公準
text: ジョルダーノ・ヴィターレ(英語版) (1633-1711) は自身の著書Euclide restituo(1680年、1686年)の中で、クリストファー・クラヴィウスが与えた平行線公準の証明は、ある直線と等距離にある曲線はそれ自体が直線であるという前提に依存していると指摘した。そこで、サッケーリの四角形において、上辺CD上に3つの点をとり、底辺ABに下ろした垂線がすべて同じ長さであれば、ABとCDは等距離であるということを示した。これは過去600年間の中で、平行線公準に対する理解が真に進んだ初の成果である。
title: 幾何学
text: ヒルベルトは論理的整合性のために感覚から完全に分離された幾何学を唱え、この本では点や線といった専門用語を机や椅子などに置換してすら成立するとまで言われたが、それにしては図が沢山あるため小平邦彦などによって批判された。図すら一切存在しない初等幾何の基礎付けはジャン・デュドネの「線形代数と初等幾何」を待たねばならないだろう。デュドネの本には図すら存在せず、ある意味専門用語ですら無意味であるというヒルベルトの精神を体現しているといえる。
title: アレクサンドリアのディオファントス
text: ディオファントスが解いた方程式で最も知られているものは、ピタゴラスの定理から派生するものだ。a + b = c を成り立たせる整数の組 a, b, c をピタゴラス数と呼ぶが、ディオファントスは、可能な解すべてを見出している。彼が与えたレシピは、任意の整数2つの組について、それらの平方の差、それらの積の2倍、それらの平方和をとるというものだ。得られた3つの数は、つねにピタゴラス数となる。
title: 三角ゲーム・ピタゴラス
text: 番組は、単に「ピタゴラス」とも呼ばれていた。タイトルの「ピタゴラス」は、三角形にまつわる「ピタゴラスの定理」に由来するもので、解答席の上にはピタゴラスが考えているイラストが掲げられていた。
title: 虚数
text: 実係数の三次方程式を解の公式により解くと、相異なる3個の実数解をもつ場合、虚数の立方根が現れ、係数の加減乗除と冪根だけでは表せない(還元不能)。虚数はこの過程で認識されるようになった。ルネ・デカルトは1637年に、複素数の虚部を 仏: \"Nombre imaginaire\"(「想像上の数」)と名付けた。
title: 直角三角形
text: 直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理(三平方の定理)と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。
title: ライプニッツの調和三角形
text: ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。
title: ピタゴラスの定理
text: また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 (a, b, c) に対して、S = 1/2ab(直角三角形の面積)は平方数でないことを無限降下法により証明した。
title: 劉徽
text: 劉徽は注釈本の中で、ギリシアのピュタゴラス(紀元前580年 - 紀元前500年)のピタゴラスの定理と全く同じことを記述している。その定理を表した図について劉徽は、「この図は斜辺とその他の2辺の合計と差分の関係を表したもので、3辺のうち2辺が既知であれば、残る1辺を求めることができる」と記している。平面および立体図形の取り扱いについて、劉徽は経験主義的な立体幾何学に多大な貢献をしている。例えば、楔(くさび)の形状は四角錐と三角錐に分けられることを明らかにしている。さらに、底辺が台形で両面が傾斜している楔を四角錘と2つの三角錐に分割できることも示した。
title: ベル数
text: ベル数はパスカルの三角形と類似の方法で計算ができる。 まず最初のベル数1を縦に並べて書く。
title: アポロニウスの問題
text: ビエトはPPP(3つの点)のケースを、ユークリッドの原論に記載されている手法に従って解くことから始めた。ここから、ビエトは方べきの定理に相当する補題を得た。ビエトはこの補題を用いて、LPP(1本の直線と2つの点)のケースを解決した。再度ユークリッドの手法に従い、角の二等分線定理(英語版)を用いて、ビエトはLLL(3本の直線)のケースを解決した。そして、ビエトは、1点を通り、角の二等分線に対して垂直な直線を描くための補題を得た。そしてこれを、ビエトはLLP(2本の直線と1つの点)のケースを解くために用いたのである。以上はアポロニウスの問題の最初の4つのケース(これらのケースは円を含まない)を説明するものである。
title: 曲線
text: 一般に平面代数曲線論が始まるのは18世紀からである。ニュートンは、実点集合が「卵形」になることに関する一般記述において、三次曲線(英語版)を研究した。ベズーの定理の主張は、当時の幾何学が直接的に扱えない数々の側面を示しており、特異点や複素数解も併せて扱う必要がある。
title: ブレーズ・パスカル
text: パスカルは幼少の頃から天才ぶりを発揮していた。例外の多い語学への影響を懸念した父親によって数学から遠ざけられていたが、まだ10歳にもならない頃に、三角形の内角の和が二直角である事や、1からnまでの和が(1+n)n/2である事を自力で証明して見せたと言われている。
title: アルキメデス
text: 『放物線の求積法』でアルキメデスは、放物線が直線で切られた部分の面積が、放物線と直線の交点(英語版)と直線と平行な接線が接触する3点を頂点とする三角形の面積の⁄3倍になることを証明した。これは、無限級数と公比(en)を用いる。最初の三角形の面積を1とし、この三角形の2辺を割線とし、放物線の隙間に同様な手段で2つの新しい三角形を想定すると、この面積の和は1/4となる。これを無数に繰り返して放物線の切片を取り尽くすと、面積は、
title: ベズーの定理
text: ベズーの定理(ベズーのていり、Bézout's theorem)は、2つの平面代数曲線の交点の個数に関する、代数幾何学における定理である。おおまかには、m 次の曲線と n 次の曲線は mn 個の交点を持つ、という内容である。ただし、複素数の範囲(一般には基礎体の代数閉包)で考えること、無限遠点を考慮に入れた射影平面で考えること、「重複」して交わっている場合を適切に扱うことが必要であり、また、2つの曲線が共通成分を持つような特殊な場合は除かなければならない。定理には18世紀のフランスの数学者、エティエンヌ・ベズーの名が冠されているが、後述のように、厳密な証明を与えたのは別人である。
title: 焦点 (幾何学)
text: 初等幾何学(特に平面射影幾何学)における焦点(しょうてん、英: focus)は、ある種の一連の曲線群に属する任意の曲線を構成するための特別な参照点の対である。焦点を用いて、例えば円錐曲線(円、楕円、放物線、双曲線)やさらにカッシーニの卵形線やデカルトの卵形線(英語版)なども定義することができる。
title: ピタゴラスの定理
text: 初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理は
title: ウラムの螺旋
text: ロバート・サックスは1994年にウラムの螺旋の亜種を考案した。ウラムの螺旋が四角の螺旋状だったのに対して、サックスの螺旋はアルキメデスの螺旋状に非負の整数を並べ、1周ごとに平方数が来るようにする(ウラムの螺旋では1周につき2つの平方数が含まれる)。オイラーの素数生成多項式x − x + 41はxの値が0, 1, 2, ...と動くとき、1本のカーブとして現れる。曲線は図の左半分側にて、漸近的に水平線に近づいていく(ウラムの螺旋では、オイラーの素数生成多項式による数字は2本の斜線を形作る。上半分はxが偶数の場合、下半分はxが奇数の場合に相当する)。
title: 角度
text: ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した公理系(英語版)では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典や国語辞典が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
title: 円積問題
text: 正方形化を定規とコンパスだけを使って作図する問題として提示したのはキオスのオイノピデスが最初だと考えられている。ジェームズ・グレゴリーは、1667年に「Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura(円と双曲線の正方形化)」において、円積問題は不可能だと証明しようとした。結果的に彼の証明は間違っていたが、円積問題に対して初めて円周率 (π) の代数的な性質に基づいた議論を試みたものになった。1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが円周率の超越性を証明したことで、円積問題が不可能であることの厳密な証明が得られた。
title: 図形数
text: エウクレイデス『原論』の第2巻では、正方形のみならず平行四辺形に対して、大きな平行四辺形の頂点から相似の平行四辺形を切り取ってできる平行六辺形を表す言葉に拡張してグノーモーンという語を定義している。アレクサンドリアのヘロンは、その部品を付加することによって元の図形と相似な図形を得るようなものと定義した。矩形数の場合、L字形の部品を加えると、元の矩形と新しい矩形は縦横比が異なるため、厳密には相似とはいえないが、このような場合にもグノモンの語が用いられる。
title: パオロ・ルフィニ
text: ラグランジュは並べ替えの数学に興味を示さず、ルフィニが並べ替えから群論を生み出し、群論と方程式の関連性を主張した。
title: 全能の逆説
text: 注意して欲しいのだが、後の非ユークリッド幾何学の発見はこの逆説を解決するためには役立たない。次のようにも問うことができるからだ。「楕円幾何学の公準が成立するとして、そこで全能者は内角の総和が180度を超えない三角形を作ることができるか。」 いずれの場合も、本当の質問は、全能者は自分の創造した公理系において論理的に導かれる結果を破る能力を持つのか、という点である。
title: 有限群
text: 任意の有限群G に対して、G の任意の部分群 H の位数(元の個数)は Gの位数を割り切る。この定理はジョゼフ=ルイ・ラグランジュにちなんで名付けられた。
title: アポロニウスの問題
text: ビエトはこのアプローチを与円の1つを点になるまで縮めるために用いた。このように、ビエトは問題そのものをより単純な、すでに解決済みのものへと変えてしまったのである。ビエトは最初にCLL(1つの円と2本の直線)のケースを、円を点に縮めて、LLPのケースにすることで解決した。ビエトはそれから、CLP(1つの円と1本の直線、1つの点)のケースを3つの補題を用いることで解決した。ビエトは再度、円の1つを点にまで縮め、CCLのケースをCLPのケースに変え、解決した。それから、CPP(1つの円と2つの点)のケースを解決し、さらに2つの補題を用いてCCPのケースを解決した。最後に、ビエトは一般のCCC(3つの円)のケースを、円の1つを点にまで縮め、問題をCCPのケースに変えることで解決した。
title: スムマ
text: 代数学についての最初の印刷された書籍であり、2次方程式の解法について書き、のちの研究者に影響を与えた。第1論考はプラスとマイナス、第2論考は根の計算、第3論考は2項和と2項差、第4論考はベキの乗法、第5論考は2次方程式、第6論考は2次方程式に還元できない高次方程式について書かれている。2次方程式は6つの標準型が紹介され、レオナルド・フィボナッチの『算盤の書』(1202年)と同様の内容も見られる。記憶のために、ラテン語詩で解法を説明している。
title: 図形数
text: 紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法では
title: フィボナッチ多項式
text: に等しい。ここで n と k は異なるパリティ(奇偶性)を持つ。このことから、右図のようにパスカルの三角形からフィボナッチ多項式の係数を求めることが出来る。
title: アポロニウスの問題
text: 与円のうち2つが同心円であるとき、アポロニウスの問題はガウスの方法を使って簡単に解くことができる。3つの与円の半径の値は既知であるが、同心円の共通の中心から同心でない円までの距離 dnon も同様に既知の値である(図 7)。解円はその半径 rs、角度 θ、解円の中心から同心円の共通の中心までの距離 ds、解円の中心から同心でない円の中心までの距離 dT によって決定される。
title: ピタゴラス素数
text: ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。また、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして p 自身が現れること、といっても差し支えない。なぜならば、p = x + y であるとき、
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:
title: パスカルの三角形
text: に等しい。これは、パスカルによって示された以下の式に基づいている。
title: 松葉杖
text: ピタゴラスは、宇宙の万物は数から成り立つこと、そして宇宙を構成する数は、調和した比を保っていると信じていた。ある資料では、ヒッパソスは正方形の研究をしているうち、その辺と対角線の長さの比は整数でも分数でも表せない未知の数、すなわち無理数であることを発見した。ピタゴラスと教団は教義の反証であるこの発見に動揺し、不都合な事実を隠すため、発見者のヒッパソスを処刑したという。
title: アポロニウスの問題
text: 2つめの族(図 8)においては、解円は内側の同心円を内包する。一般的にそれぞれの族に対して4つの解が存在し、8つの可能な解を生み出すが、これは代数学的解法とも矛盾しない。
title: エヴァンジェリスタ・トリチェリ
text: トリチェリは幾何学者としても有名であった。フェルマーはトリチェリに「三角形の各頂点からの距離の和が最小になる点(フェルマー点)を求めよ」という問題を出したことがあり、これはトリチェリの問題と呼ばれている。
title: 複素数
text: 17世紀になりルネ・デカルトによって、虚 (imaginary) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。
title: 中線定理
text: この性質を中線定理という。これはスチュワートの定理の特別な場合である。二等辺三角形に対してはピタゴラスの定理と同等になる。
title: 割線
text: を考えよう。点 P が円の内側にある場合は『原論』の第III巻の35であるが、P が円の外側にある場合については『原論』に記述はない。しかし、ロバート・シムソン(英語版)はクリストファー・クラヴィウスに従い、彼らのユークリッドについての解説書において、こんにち割線・割線定理(英語版)とも呼ばれるこの結果を示した。
title: ソディの6球連鎖
text: 連鎖する6球の軌跡はデュパンのサイクライド(英語版)となる。デュパンのサイクライドは1803年にガスパール・モンジュの弟子シャルル・デュパン(英語版)が発表したものであり、ソディの6球連鎖定理より早い。
title: 直観主義論理
text: 古典命題論理において、論理積、論理和または実質含意を基本的なものとすれば、他は否定を用いてウカシェヴィッチの命題論理のようにして定義できる。またこれら4つをパースの矢印(NOR)やシェファーの棒(NAND)のようなただひとつの論理結合子を用いて定義することもできる。同様に、古典一階述語論理において、一方の量化子は他方と否定を用いて定義できる。
title: 三角法
text: 三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。平面三角法においては、このうち、SSS, SAS, ASA, AAS の場合に三角形が一意に特定されることが知られており、このことはエウクレイデスの『原論』においても幾何学的に証明されている。図1.1に示すように、ASSの場合、2通りの三角形に決定する。AAAの場合、三角形が決定しない。他方で、球面三角法においては、AAAの場合でも一意に特定される。
title: アンティポン
text: アンティポンは、仲間のヘラクレアのブリュソン(Bryson of Heraclea)とともに、円の周りに多角形を内接させ、それから外接させ、最後に多角形の面積を計算することで、円周率の値の上限と下限を求めた最初の人物でもある。この方法は円積問題に適用された。
title: ルネ・デカルト
text: 2つの実数によって平面上の点の位置(座標)を表すという方法は、デカルトによって発明され、『方法序説』の中で初めて用いられた。この座標はデカルト座標と呼ばれ、デカルト座標の入った平面をデカルト平面という。デカルト座標、デカルト平面によって、後の解析幾何学の発展の基礎が築かれた。座標という考え方は今日、小学校の算数で教えられるほど一般的なものとなっている。
title: 共円四辺形
text: (最初の等号は、アルキメデスの『補題の書』(英語版)の命題11による)が成り立つ。ここで D は外接円の直径である。これが成り立つのは、二つの対角線が円の弦に垂直であることによる。これら等式から、外半径 R は
title: アポロニウスの問題
text: ここで、新たな定数 C は簡潔さのために定義されたものであり、下付きの記号は解円の内接・外接を示している。三角関数を用いて整理することで、4つの解を導きだすことができる。
title: テアイテトス (対話篇)
text: テアイテトスは理解し、最近友人である少年ソクラテス(参照 :『政治家』)と数学・幾何学の議論をした時にも、同類の話が出てきたと言う。それは「平方根」(二乗根)についての議論で、「3・5・6・7・・・といった面積を持つ正方形」の「一辺の長さ」は、自然数には収まらないが、こうした例は無限に出すことができてしまうので、もっと端的な表現方法を考え、まず「4・9・16・・・といった自然数の2乗(平方)として表現できる数」を「正方形数(等辺数)」と名付け、次に「それ以外」(すなわち、先の3・5・6・7・・・)を「長方形数(不等辺数)」と名付けた上で、「長方形数(不等辺数)を面積とする正方形の一辺の長さ」として、それを表現することにしたと言う。また、同様のことは立方体(すなわち「立方根」(三乗根))についても言えると述べる。
title: オイラー線
text: オイラー線(オイラーせん、英: Euler line )は、三角形の外心・重心・垂心を通る直線であり、その名称は存在を見出した数学者レオンハルト・オイラーに由来している。オイラー線は正三角形以外の全ての三角形に対して定義できる。三角形におけるオイラー線の概念は、四角形や三角錐などの図形にも拡張されている。
title: Utah teapot
text: ジム・ブリンがこの件について、IEEE CG&A 誌 1987年11月号のコラムにジョークとして「6番めの正多面体が発見された」と書いたところ、CGに関する雑学的知識のなかった数学者から当惑の手紙が編集部に送られてきたという。体積(縮小前(後述))は、ほぼ42だという。また、ジム・ブリンは、制作に携わった数学教育用ビデオシリーズ \"Project Mathematics!\" の中の一作(1988年制作の \"The Theorem of Pythagoras\")で、ピタゴラスの定理をユニークな方法で説明した。直角三角形のそれぞれの辺に2Dのティーポットを置いたとき、斜辺のティーポットの面積は他の二辺のティーポットの面積を足し合わせたものに等しいというのである。
title: ライプニッツの調和三角形
text: である。さらに、調和三角形は左右対称であり、その第 r 行は、パスカルの三角形の第 r 行の逆数を r で割ったものである。また第 c 列は、パスカルの三角形の第 c + 1 列の逆数を c で割ったものである。このため第2列は矩形数の逆数になる。
title: 外接円
text: 辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。
title: ジョン・ウォリス
text: ウォリスの最も重要な著作 Arithmetica Infinitorum は1656年に出版された。この論文はデカルトとカヴァリエーリの解析的手法を体系化して拡張したものである。円錐曲線についての節の後、べき乗の標準的記法を自然数から有理数に次のように拡張している。
title: ジャンカルロ・アルバラード
text: で表される曲線である。連珠形(れんじゅけい)とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。
title: ユークリッド原論
text: 『原論』ではいくつかの定義からはじまり、5つの公準(要請)と、5つ(又は9つ)の公理(共通概念)が提示されている。議論の前提となる点や線、直線、面、角、円、中心などの概念が定義され、次のような5つの公準を真であるとして受け入れることにより、作図の問題の基礎を明確にしている。
title: サイコロ
text: まず前述の式を変形し、パスカルの三角形の母関数を導き出す。
title: 三部作 (プッチーニ)
text: プッチーニの没後早い段階で刊行された伝記は、この名称Il tritticoがトッレ・デル・ラーゴのプッチーニ邸に招かれた友人画家(複数)との雑談中に考案されたとの逸話を伝えている。それによればプッチーニ自身は辞書を片手に「三角形」、「三位一体」、「三脚」など「三」に関連した様々の言葉を並べ挙げ、それに対して画家のひとりが三幅対を意味するtritticoを提案したという。
title: トレミーの定理
text: トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):
title: 円積問題
text: 円の正方形化が不可能だと数学的に証明されても、それを認めようとせず、何年も解法を求め続けた数学者も多かった。トマス・ホッブズも死ぬまでの24年間もの間、解法を得たと信じたため、否定したジョン・ウォリスを非難し続けた。英語圏では、square the circle(円を四角にする)という言葉を、不可能なことを企てる人の喩えとして用いる。
title: 円 (数学)
text: を満たす点 (x, y) 全体の軌跡である。この方程式を、円の方程式と言う。これは、中心 (a, b) と円上の任意の点 (x, y) との二点間の距離が r であるということを述べたものに他ならず、半径を斜辺とする直角三角形にピタゴラスの定理を適用しすることで導出できる(直角を挟む二辺は、各座標の絶対差 |x − a|, |y − b| を長さとする)。
title: 完全順列
text: 完全順列の総数をモンモール数 (英: Montmort number) という。モンモール数はしばしば !n とかかれる。これはフランスの数学者 ピエール・モンモール(フランス語版) にちなんで名づけられた。
title: アポロニウスの問題
text: Newton (1687) はファン・ルーメンの解法を、解円の中心が、直線と円の交点になるように改良した。ニュートンはアポロニウスの問題を三辺測量(英語版)の問題として再定義した。すなわち、点 Z から3つの与えられた点 A, B, C までの距離の差が既知の値であるときに、これらの3つの点から点 Z の位置を特定する問題である。これらの4つの点(点 Z と点 A, B, C)は、解円の中心(点 Z)と3つの与円の中心(点 A, B, C)に対応している。
title: 反転幾何学
text: 三角形 ABC の内接円に関する反転変換で、内接三角形の中点三角形は三角形 ABC に写る。これはつまり、中点三角形の外心は内接三角形の九点心であって、三角形 ABC の内心および外心と共線であることを意味する。
title: 二項係数
text: F(n) で n 番目のフィボナッチ数を表せば、パスカルの三角形の対角和に関する等式 ∑⌊⁄2⌋k=0 (n−kk) = F(n + 1) を得る。これは等式 (3) を用いた帰納法、あるいはゼッケンドルフの表現によって示すことができる(左辺は {F(2), ..., F(n)} の連続した元を含まない部分集合の総数を与えるものであり、そのようなものはまた F(n + 1) 以下の数の全体を成すということに他ならないことに注意)。組合せ論的証明は後述。
title: 多項係数
text: 二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形(単体)が対応し、パスカルの r-単体(英語版)と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数(ドイツ語版)に対するパスカルの三角錐(英語版)と呼ばれる。
title: ピアポント素数
text: 1895年、ジェームズ・ピアポンがこのクラスの正多角形を研究した。ピアポン素数の名はこの業績に由来する。ピアポンはそれまでに作図された点に由来する係数を持つ円錐曲線を描く能力を加えることで、コンパスと定規による作図を上記とは異なるやり方で一般化した。彼が示したように、これらの操作で作図することができる正 N 角形は N のトーシェントが 3-smooth であるようなものである。素数のトーシェントは自身から1を引いて得られるから、ピアポンの作図手法により作られる素数 N はまさしくピアポン素数である。しかし、ピアポンは 3-smooth なトーシェントを持つ合成数の形については記述しなかった。後に Gleason が示したように、これらの数は先述した 23ρ という形のものに他ならない。
title: フワーリズミー
text: 最古の代数学書のひとつ。のちにラテン語に訳され、アル=ジャブルという語は、英語のアルジェブラ(代数学)の語源となった。jabrは「バラバラのものを再結合する」という意味の jabara を語根とする語で「移項する」を原義とし、方程式の両辺に等しいものを加えて負の項を消去する過程を表している。また、a'l muqābalaは「縮小」を意味し、方程式の両辺の正の数から同じ数を引いて同類項を消去する過程を表している。
title: タレス
text: 一般の人によく知られているのは哲学よりも、中学校の数学の教科書に必ず出てくるターレスの定理であろう。これは「半円に内接する角は直角である」という定理である。タレス自身が円周上の点と円の中心を結び、2つの二等辺三角形を作ってこの定理を証明したために、この名前がついたという。ちなみに「ターレスの定理」とよばれるものは5つある。
title: 幾何学
text: 解析幾何学はデカルトの哲学体系では数と図形の統一を目指したものであるが、アポロニウスの残した未解決問題、例えば三定点からの和が一定の曲線の研究なども目的とされていた。現代においてはコンピュータの画面表示などにも座標の概念が応用されている。また、幾何学の問題は現代では線形代数すら応用されて解かれることも多い。
title: 位相幾何学
text: 多面体の頂点、辺、面の数を各々 n0, n1, n2 とおくと、これらが n0 − n1 + n2 = 2 の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学、代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポワンカレの一連の研究による。
title: ベン図
text: 例えば、オイラーは、集合 A が集合 B の部分集合であることを、図1のように表した。
title: 三角法
text: 三角形の辺と内角以外の諸量、例えば高さ、外角、中線の長さなど(三角形の副次量)が与えられた場合に三角形が解けるケースがある。三角形を解くための要素が、他の幾何学的図形の各要素の量的関係から間接的に決定される場合もある。他の幾何学的図形の平面三角法における一例を挙げると、外接円、内接円、傍心円などがある。平面上の三角形は独立の3情報から決定されるため、「平面三角形は自由度(degree of freedom)が3である」とされる。
title: 接線
text: 1630年代にフェルマーは擬等式の方法(英語版)を発明して、接線の計算などの解析学における問題に取り組み、その手法で放物線の接線を計算した。擬等式の方法は二値の差 f(x) − f(x) を二点間の差 h の冪で割るというような手法である。それとは独立にデカルトは法線の方法(英語版)を用いたが、それは円の半径が常に円自身の法線となるという観察に基づくものである。
title: 不動点定理
text: 元の個数が奇数であるような有限集合上の任意の対合は不動点を持つ。より一般に、元の有限集合上の任意の対合に対して、不動点の数と元の数の偶奇性は一致する。ドン・ザギエはこれらの項sつの下でフェルマーの二平方和定理の一文証明を与えた。これは整数の三つ組の成す同じ集合上の二つの対合を記述することで成り立っており、一方はただ一つの不動点を持つことが平易にわかるもので、他方は与えられた素数 (ただし mod 4 で 1 のもの) を二平方和でおのおの表現したものに対する不動点を持つ。前者は奇数個の不動点を持つから後者もそうで、従って必ず所期の形の表現が存在することがわかる。
title: サービト・イブン・クッラ
text: 数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。
title: カルネアデスの板
text: カルネアデスの板(カルネアデスのいた、Plank of Carneades)は、古代ギリシアの哲学者、カルネアデスが出したといわれる問題。カルネアデスの舟板(カルネアデスのふないた)ともいう。
title: ベン図
text: 論理演算をベン図で表す場合、円は論理演算の入力値を表す論理変数に対応し、円の内部はその変数の値(真理値)が真(1、もしくはT)であること、円の外部は偽(0、もしくはF)であることを表す。論理演算の出力値を真にする入力値の組に対応する領域に斜線を引いたり色を付けたりすることで、入力値と出力値の関係を表す。例えば、図4は左の円をP、右の円をQとして、PとQの論理積 (AND) P ∧ Q をベン図で表したものである。これは集合 A と集合 B の共通部分 A ∩ B を表すベン図と見かけは同じだが、論理演算 P ∧ Q を表すものとみなす場合、円は集合を意味するものではないことに注意が必要である。
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: 何人かの哲学者がこのキャロルのパラドックスを解決しようとしてきた。バートランド・ラッセルは「プリンキピア・マテマティカ」(1903年)で簡単な議論をしている。それによれば、自明ではない命題間の関係である含意 implication (「pならばqである」という形式による結びつき)と、自明である命題間の関係である推論 inference (「pであるゆえにqである」という形式による結びつき)を区別すべきだという。この違いを明確にすることでラッセルは、AとBが等しいことからZだという含意 によって論じようとする、あるいは仮言的な「AとBが正しいならば、Zは正しい」ということへの合意へと議論を依存させようとする亀の試みを否定できるとしている。
title: チェバの定理
text: チェバの定理はメネラウスの定理を使って容易に証明できる。 三角形ACFに対して線分BOEが交差するので、メネラウスの定理より、
title: インディアナ州円周率法案
text: ギリシアの三大作図問題(角の三等分、立方体の倍積、円の平方化)が肯定的に解けたとする間違った主張は、トンデモ系の「数学」に典型的なものである(不可能と証明されたのであって、諦められたのではないことにも注意)。特に角の三等分と立方体の倍積は、トンデモ作品ではありふれている。