クイズ問題: 140と195、48と75などのように、1とそれ自身を除いた約数の和が互いに他方と等しくなるような1組の自然数を何という?
答え: 婚約数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 約数
text: どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。
title: 友愛数
text: なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自分自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。
title: 社交数
text: ある数(A)の自分自身を除いた約数の和が他の数(B)になり、(B)の自分自身を除いた約数の和が他の数(C)になる。これを続けていき、元の数(A)に戻るような数の組のことをいう。
title: ユークリッドの補題
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。...1
title: 互いに素
text: 二つの整数 a, b が互いに素(たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to)であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。a, b が互いに素であることを、記号で a ⊥ b と表すこともある。なお、「互いに素」を意味する英単語には coprime と disjoint があるが、coprime は整数について「互いに素」「共通点を持たない」という意味で使用される。
title: 自然数
text: 完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 四元数
text: 共軛とノルムにより、四元数の逆数(自身との積が 1 である数)が得られる:
title: 最小公倍数
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。
title: 調和数
text: 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず 2 なので調和数である。
title: 三つ子素数
text: なお、双子素数は「2つの素数の組 (p, p + 2)」と定義されるのに対し、3つの素数の組である三つ子素数を「(p, p + 2, p + 4)」と定義していない。
title: 同値関係
text: この関係によって集合 Z が3つの同値類(この場合、剰余類 とも呼ばれる)に分割される。それぞれの同値類は 3 で割り切れるもの全体 [0]、1 余るもの全体 [1]、2 余るもの全体 [2] に対応している。
title: 最大公約数
text: 正整数 a, b に対して、a と b の最大公約数 gcd (a, b) と最小公倍数 lcm (a, b) との間には
title: 符号付数値表現
text: なお、「1の補数」表現とは、英語では \"ones' complement\" 、すなわちoneの複数形onesの所有格であり、「2の補数」が \"two's complement\"、すなわちtwoの単数形の所有格であるのと異なる。これは、1の補数が実際には 1 がずらっと並んだものから元の数を引くことで符号を反転させるためである。2の補数では単一の2のべき乗から元の数を引いて符号を反転させる。
title: 公倍数
text: 与えられた2つ(以上)の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。
title: 倍数性
text: ゲノム1セットに相当する染色体数を基本数といい、x(まれに b)で示す。倍数性は基本数の倍数で x, 2x, 3x, ... のように表され、それぞれ一倍性(半数性: monoploidy, haploidy)、二倍性 (diploidy)、三倍性 (triploidy)、... という。それらの倍数性の生物(倍数体)は、それぞれ一倍体(半数体)、二倍体、三倍体、... という。
title: 数
text: これらを更に別の観点から拡張した体系が存在する。例えば、ものの個数の概念である自然数を拡張して基数が、ものの順番を表す意味での自然数の拡張として順序数が定義される。複素数を更に拡張したものとして、四元数、八元数・十六元数などの体系がある。あるいは、実数に加えて無限小や無限大を含む超実数などの体系もある。
title: 合成数
text: 言い換えれば、「1 と素数と合成数から自然数が構成される」とも捉えることが出来る。解釈によっては、これに 0 を加える。
title: 素数
text: 素数(そすう、英: prime number)とは、1 より大きい自然数で、正の約数が 1 と自分自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。1 より大きい自然数で素数でないものは合成数と呼ばれる。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 偶数
text: 偶数と奇数は、偶数全体、奇数全体をそれぞれ一つの元と見て、二つの元からなる有限体の例を与える。
title: 0の0乗
text: 0 における 0 を2つとも基数、あるいは2つとも順序数と考えた場合、0 = 1 は基数あるいは順序数の冪の定義から示すことのできる定理である。
title: 偶数
text: より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という。
title: 正の数と負の数
text: 負でない数は非負(ひふ)であるといわれる。ゼロに等しいかそれより大きい(すなわち正であるかゼロである)実数を、非負実数(ひふじっすう)という。非負実数は負でない。実数は、負の実数か、非負実数のいずれかである。非負実数のうち整数となるものを非負整数(ひふせいすう)という。
title: 連分数
text: 連分数(れんぶんすう、英: continued fraction)とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す。分子が全て 1 である場合には特に単純連分数または正則連分数(英: regular continued fraction)ということがある。単に連分数といった場合、正則連分数を指す場合が多い。具体的には次のような形である。
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 1982年の中日ドラゴンズ
text: 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 (multiplicative inverse) と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、0 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。
title: 商群
text: G/N が商群と呼ばれる理由は整数の除法から来る。12 を 3 で割ると答えは 4 である、なぜならば 12 個のモノを 3 コのモノからなる 4 つのグループに分けることができるからである。商群は同じ思想であるが、最終的な答えは数ではなく群である、なぜならば群はモノの任意の集まりよりも多くの構造を持っているからである。
title: 二重平方数
text: 全ての自然数は高々19個の四乗数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の四乗数の和として表すことができる。
title: 四元数
text: 故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
title: 最小公倍数
text: 多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
title: 四つ子素数
text: 四つ子素数 (p, p + 2, p + 6, p + 8) について、p − 4 または p + 12 がさらに素数であれば、それらを加えた5つ組を五つ子素数(いつつごそすう、prime quintuplet)という。特に p − 4 と p + 12 の両方が素数であれば、その6つ組を六つ子素数(むつごそすう、prime sextuplet)という。
title: 分数
text: 正の分数の中でも、分子が分母より小さい分数を真分数(しんぶんすう、英: proper fraction)という。真分数は 1 より小さいという性質を持つ。このことは n/m を真分数であるとして、1 および n/m の m 倍の数について大小を比較することで確認できる。
title: 分数
text: となる。このように分母と分子を公約数で割る操作を、分数の簡約(かんやく、英: reduction)あるいは縮めて約分(やくぶん)と呼ぶ。m と n が互いに素である分数 n/m を既約分数(きやくぶんすう、英: irreducible fraction)といい、ある分数が既約分数であることを「(その分数は)既約である」という。ある分数が既約である場合、分母と分子の最大公約数が 1 であるため、約分によって別の分数表現を得ることはできない。分数が既約でない場合、その分数は可約(かやく、英: reducible)または約分可能であるという。可約な分数は常に既約分数に直すことができ、逆に既約分数を可約分数に書き直すこともできる。
title: ピタゴラス素数
text: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
title: 素数
text: 素数ではない 2 以上の自然数を合成数と呼ぶ。
title: 公倍数
text: 公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、 2 {\\displaystyle 2} と 3 {\\displaystyle 3} の最小公倍数は 6 {\\displaystyle 6} である。
title: ルース＝アーロン・ペア
text: ルース=アーロン・ペア(英: Ruth–Aaron pair)とは、2 つの連続した自然数のそれぞれの素因数の和が、互いに等しくなる組のことである。非常に少なく、20000 以下では 26 組しか存在しない。
title: 2の冪
text: 指数に負の整数を許すならば、2の冪乗(この場合、それらは自然数ではなく有理数である)の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2), 1/2 (2), 1/4 (2), 1/8 (2), 1/16 (2) ... というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。
title: 正の数と負の数
text: 両方の数が同じ符号を持つなら、商は(両方が負数であっても)正数となる。
title: 偶奇性
text: 偶奇性の定義される最も基本的な対象は整数であり、2で割り切れるものを偶数、2で割り切れないものを奇数と呼ぶ。しばしば、「0は偶数か」というような形式の疑問が持たれることがあるが、それはその文脈で全体として想定している数の範囲が自然数全体であるか整数全体であるかということに完全に依存している。すなわち、自然数の範囲内で考えるならば
title: 整数型
text: 正負両方の整数を表せる符号あり整数型と、非負(0または正)の整数だけを表せる符号なし整数型とがある。固定長では、符号あり整数型は、負数を表せるかわりに、表せる値の範囲の約半分が負の側に移動する。
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 四平方定理
text: 全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
title: 循環小数
text: 素数を、逆数の循環節の長さが奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である(より厳密な表現では、N 以下の素数について数え上げた場合の N → ∞ への極限がその比率となる)。
title: ガウス整数
text: 2つのガウス整数が同伴であるとは、その比が単数であることをいう。これはガウス整数の同値関係である。単数は、4個の単数を約数に持ち、それ以外の任意のガウス整数は、4個の単数および自身と同伴なもの4個の計8個を約数に持つ。これを自明な約数という。
title: 互いに素
text: すべての互いに素な正の整数の組 (m, n)(ただし m > n)は、二つの互いに素な完全三分木(英語版)を用いて並べることができる。片方の木は (2, 1) から始まり偶数・奇数および奇数・偶数の組を、もう片方は (3, 1) から始まり奇数・奇数の組を生成する。このときノード (m, n) から生成される三つの子ノードはそれぞれ次のように表される。
title: 自然数
text: 自然数を 1, 2, 3, ... とする流儀と、0, 1, 2, 3, ... とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる(詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照)。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることが多い。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。
title: 冪根
text: どのような数の範囲で冪根を考えているかは意識しておかねばならない。考えている数の範囲によっては、n 乗根が複数存在する場合もあるし、1つも存在しない場合もある。複素数体のような代数的閉体では、n乗根は重複度も込めてちょうど n個存在する。初等的には実数の特に正数の冪根を扱うことが多い。正数の n乗根は、n が偶数ならば正と負の 2つが存在し、n が奇数ならば正のものがただ1つ存在する。負数の n乗根は、奇数乗根は実数でも定義できるが、偶数乗根は実数では定義できない。
title: 平方完成
text: このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。
title: 五乗数
text: 算術演算および代数演算において、五乗数(ごじょうすう、英語: fifth power)とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、底(英語版)を n 、冪指数を 5 とする冪乗( n = n × n × n × n × n )である。
title: 6
text: 2の次の数で結合・分割・比較・対立が可能となる最小の奇数「3」、3の次の数で2つが対立する「4」、4の次の数で2つの対立に属しない「5」、そして5の次の数で「2つ組が3つ」「3つ組が2つ」となる「6」は、偶数にも奇数にも分割できる最小の数である。従って、六個一組の概念は、「2つ組が3つ」と「3つ組が2つ」の要素を併せ持っているのが特徴である。
title: 立方数
text: 1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。
title: 分数
text: L としては最小公倍数がよく用いられるが、最小公倍数が分からない場合には単純に2つの数の積 L = a × c を用いればよい。
title: 四平方定理
text: により、各々高々四個の平方数の和に表される二数の積は高々四個の平方数の和に表される。
title: 正の数と負の数
text: 被除数と除数の符号が異なるなら、商は負数となる。
title: 単偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 多元数
text: 19世紀には、数学の文献において四元数 (quaternion), 双複素数 (tessarine), 余四元数(英語版) (coquaternion), 双四元数(英語版) (biquaternion) および八元数 (octonion) と呼ばれる数体系が実数や複素数に加えて確立された概念となっていた。多元数 (hypercomplex number) の概念はこれらすべてを包含するものであり、またこれらを説明し分類するための指針を示唆する呼称である。
title: ゼロの偶奇性
text: 積を導入し、算術表現を使うことで、偶奇性はより公式的な方法でアプローチできる。すべての整数は(2 × □) + 0か、(2 × □) + 1のどちらかである。この形式的な数は前者が偶数、後者が奇数である。例えば、1は1=(2 × 0) + 1だから奇数であり、0は0 = (2 × 0) + 0だから偶数である。これを表にまとめてみれば、上の数直線の絵による説明が補強される。
title: 四平方定理
text: 従って、全ての素数に関して高々四個の四角数の和に表されることを証明すれば、全ての合成数も高々四個の四角数の和に表されることになる。
title: 複偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 自然数
text: 自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。無限に存在する。小さい方から列挙すると次の通りである。
title: 素数
text: 素数とは、自明な正の因数(1 と自分自身)以外に因数を持たない自然数であり、1 でない数のことである。 つまり、正の因数の個数が 2 である自然数である。
title: ゴールドバッハの予想
text: これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである(奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない)。
title: 乗法
text: (いずれも 0 でない)自然数 m (被乗数)と n (乗数)に対して、m を n 個分加えた数
title: 三つ子素数
text: 三つ子素数(みつごそすう、prime triplet)もしくは三つ組素数とは、3個の素数の組で、(p, p + 2, p + 6) または (p, p + 4, p + 6) のタイプのもののことである。
title: 分数
text: このように、1024 と 1296 は最大公約数が 16 なので、分子・分母を16で割った 64/81 が既約分数になる。
title: ガウス整数
text: 1に対する一つの答として、「最大」とはノルムが最大と解釈すればよい。2と3についてはそれほど明らかではないが、後述するように、ガウス整数環においては素因数分解の一意性が成り立つことから、答は肯定的である。ただし、正確には最大公約数は完全に一意に決定するのではなく、同伴の違いにより4つ存在することになる(有理整数環における通常の最大公約数も、正のものと負のものの2つが存在する)。逆に言うと、素因数分解の一意性が成り立たない整数環においては、公約数や最大公約数を定義する意義があまりない。
title: 無理数
text: 無理数(むりすう、 英: irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比 = 英: ratio)として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
title: 魔方陣
text: その1: 2のべき乗{1,2,4}と3のべき乗{1,3,9}を掛け合わせたものの例
title: 冪乗
text: 特定の冪指数に対して、固有の名前が付けられている。例えば、冪指数が 2 である冪(2 乗) b は「b の平方 (square of b)」または「b-自乗 (b-squared)」と呼ばれ、冪指数が 3 である冪(3 乗) b は「b の立方 (cube of b, b-cubed)」と呼ばれる。それ以降は 4 乗、5 乗、... というように「n 乗」という言い方が一般的である。
title: 倍数性
text: 例えば、基本数が 9 (x = 9) の四倍性 (4x) の倍数体生物がいるとすると、その生物の体細胞 (2n) における染色体数は、「2n = 4x = 36」「2n = 36 の四倍体」などと示される。動物の場合、特殊なものを除いてほぼ全てが二倍体 (2x) であり、二倍体であることを強調したい場合でない限り、「2x =」という表現はされない。
title: 偶奇性
text: などと表せる。ここで、慣習に従い自然数の全体を N, 整数の全体を Z で表した。また、自然数には 0 を含めないものとし、0 および自然数をあわせた全体を N0 で表している。
title: 七乗数
text: 七乗数(しちじょうすう)は、同じ数を7乗してできる数。n番目の七乗数は、n = n × n × n × n × n × n × nと表され、n番目の六乗数をn倍するか、n番目の五乗数をn番目の平方数倍するか、n番目の四乗数をn番目の立方数倍するかで求められる。最初のいくつかの自然数(0を含む)の七乗数は下の通りである。
title: 立方根
text: 立方根(りっぽうこん、cubic root、root of third power)とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根(さんじょうこん)ともいう。
title: 二個の平方数の和
text: であり、符号と順序を区別すれば12個になる。
title: 循環小数
text: 2 と 5(一般には、基数の約数たる素数)以外の素数 p の逆数の循環節の長さは、p − 1 の約数である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5(基数の約数たる素数)もこの条件を満たす。
title: アイゼンシュタイン整数
text: 2つのアイゼンシュタイン整数が同伴であるとは、その比が単数であることをいう。例えば、1 + 3ω = (2 − ω) × ω であるので、1 + 3ω と 2 − ω は同伴である。単数は、6個の単数を約数に持ち、それ以外の任意のアイゼンシュタイン整数は、6個の単数および自身と同伴なもの6個の計12個を約数に持つ。これを自明な約数という。
title: 多角数定理
text: 三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
title: 多冪数
text: 奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは
title: 素数が無数に存在することの証明
text: n は2以上の整数とする。n と n + 1 は互いに素なので、N2 := n(n + 1) は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、N2 と N2 + 1 は互いに素なので、N3 := N2(N2 + 1) は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。
title: 複数
text: 多くの言語には双数形も存在する。様々な言語に存在するその他の文法的な数には、3個の対象を示す三数形 (trial)、曖昧ながら少ない個数の対象を示す少数形 (小数形、paucal) がある。双数形、三数形、少数形を持つ言語において、複数形はそれらより多い個数について当てはめられる。しかし、単数形、複数形、(種類は少ないが)双数形以外は、非常に稀にしか見られない。日本語や中国語といった助数詞を持つ言語は、示差的となる文法的な数の仕組みを全く持たないが、人称代名詞に複数形を持つ傾向がある(例: 彼 → 彼ら、你 → 你们)。
title: 四元数
text: で定義される。これを q, q, q, ~q などで表す。共軛をとる操作は対合、つまり自身を自身の逆とする変換であり、一つの元の共軛を二度とればもとの元に戻る。2つの四元数の積の共軛は、それぞれの四元数の共軛を「順番を逆にして」掛けたものになる。つまり p, q を四元数とすれば
title: 2の平方根
text: 2 の平方根には正負の 2 つがある。その内正である方を
title: 正の数と負の数
text: 負数を掛けることは、正負の方向を逆転させることになる。負数に正数を掛けると、積は負数のままとなる。しかし、負数に負数を掛けると、積は正数となる。
title: 四元数
text: に対応するものである。C の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
title: 単偶数
text: 単偶数(たんぐうすう、英: singly even number)とは、2 で割り切れる(偶数である)が、4 では割り切れない整数である。半偶数(はんぐうすう)ともいう。「奇数の二倍」である整数ともいえる。
title: 六乗数
text: 7つの六乗数の合計として表現できる六乗数の例は多くあるが、6つの六乗数の合計として表現可能な六乗数の例はまだ知られていない。これにより指数k = 1, 2, ... , 8の累乗の間で一意となり、その他はそれぞれk個のk乗数の和として表すことができる。さらにその一部は(オイラーの累乗の和の予想に反して)それより少ないk乗数の和で表すことができる。
title: 半素数
text: 数学において、半素数(はんそすう、英: semiprime, biprime)とは、2 つの素数(2 つは同じでもよい)の積で表される自然数(合成数)である。約数が3~4個の数。
title: 2の冪
text: 2の冪(にのべき)は、適当な自然数 n を選べば、2 の n 乗 2 の形に表せる自然数の総称である。平たく言うと2の累乗数(にのるいじょうすう)である。
title: 最大公約数
text: 例えば、12 と 16 の公約数は 1, 2, 4 であるから、最大公約数は 4 である。
title: オイラーのφ関数
text: 自然数 n, d で d が n を割り切るものとすると、1 から n までの自然数のうち n との最大公約数が n/d であるものの数は φ(d) 個である。特に、1 から n までの自然数は n との最大公約数によって類別されるから、d が n の正の約数全てをわたる和に関して等式
title: 分数
text: これにより全ての演算は分数同士の演算と見なすことができる(a →a/1)。逆に分母が 1 である分数は、分母を省略し分数ではない数としても扱える(a/1 →a)。
title: 次数 (グラフ理論)
text: 次数の総和の公式から、総和が奇数となるような数列(例えば (3, 3, 1))はグラフの次数列としてはあり得ないことが分かる。逆もまた真であり、数列の総和が偶数であれば、グラフの次数列としてありうる。
title: 奇数
text: 約数の和で表せる奇数は、大抵の表せる個数は1個である。2個以上の約数の和で表せる奇数が無数にあるかどうかは分かっていない。
title: 関数の零点
text: 奇数次(英語版)のすべての実多項式は(重複度を考慮に入れて)奇数個の実根をもつ。同様に、偶数次の実係数多項式は偶数個の実根をもたなければならない。したがって、奇数次の実多項式は少なくとも1つの実根をもたなければならない(なぜなら1が最小の正の奇数だから)が、一方偶数次の多項式は実根をもたなくてもよい。この原理は中間値の定理を参照することによって証明できる。多項式関数は連続であるから、関数は負から正にあるいは正から負に変わる過程で0を横切らなければならない。
title: 冪根
text: n を 2 以上の自然数とする。数 a に対して、代数方程式 x = a の解 x を、a の n乗根 (root of n-th power, n-th root) といい、また n を特に固定せずに冪根、累乗根と総称する。特に、2乗根、3乗根は、それぞれ平方根 (square root)、立方根 (cube root) ともいう。
title: 正の数と負の数
text: 負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。
title: 閉路グラフ
text: 有向閉路グラフの各頂点は常に入次数が1で、出次数が1である。
title: 整列集合
text: N における別な整列順序としては、例えば、どの偶数もどんな奇数よりも小さいものとし、偶数同士あるいは奇数同士では通常の大小関係を適用することで得られる順序
title: 算術の基本定理
text: 等々、これは、4の倍数に1を加えた形になる正の整数の全体である。こうした数同士を掛けても同じ性質が保たれるので、このタイプの数を同じタイプより小さな数を掛け合わせて合成することができる。((4m + 1)(4n + 1) = 4(4mn + m + n) + 1 だから 4n + 1 の形をした整数全体の集合は積という演算で閉じている。) そこで、ふつうの整数の世界で素数を考えたのと同様のやり方で、「擬素数」というものを定義しよう。擬素数とはこのタイプ数であって、同じタイプのより小さな数の積としては表せない数のことである。たとえば、9は擬素数である。上のリストを見てわかるように、9より小さな同じタイプの数は1と5であり、9はこれらの積では表せないからだ(もちろん 3 × 3 = 9 ではあるが3はリスト外の数である)。