クイズ問題: 2、3、5、7、11のように、1とその数自身でしか割り切れない数を何というでしょう?
答え: 素数

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 草津線
text: 全ての素数 p は約数の総和が σ(p) = 1 + p < 2p であるので不足数である。また、5 以上の素数 p を 2 倍した偶数 2p の約数の総和は σ(2p) = 1 + 2 + p + 2p < 2p × 2 となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。
title: 偶数
text: より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という。
title: 循環小数
text: 素数を、逆数の循環節の長さが奇数のものと偶数のものに分けると、2/3 が偶数、1/3 が奇数である(より厳密な表現では、N 以下の素数について数え上げた場合の N → ∞ への極限がその比率となる)。
title: 二重平方数
text: 一般に p を素数とすると p は 1, p, p, p, p の5つの約数を持つ。例えば 2 の約数は 1(=2), 2(=2), 4(=2), 8(=2), 16(=2) の5つである。逆に、約数をちょうど5つ持つ自然数は素数の四乗である。
title: 複偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: 単偶数
text: 複偶数にも類型があり、「奇数で割り切れない複偶数」と、「奇数で割り切れる複偶数」の二つに分かれる。小さい順から十進表記で、奇数で割り切れない複偶数は4, 8, 16, 32, 64...などの「2の累乗数」であり、奇数で割り切れる複偶数は12, 20, 24, 28, 36, 40, 44...などの「素因数分解すると\"2×奇数\"で、pが2以上の数」となる。
title: ダース
text: 通常は12の倍数にのみ使用され、12の倍数以外では使われない例が多い。例えば、36個を「3ダース」(3012)、60個を「5ダース」(5012)という用法が通例で、45個や100個をわざわざ「3ダースと9個」「8ダースと4個」という用法は稀である。6で割り切れて12で割り切れない数は、6個が「半ダース」、30個が「2ダース半」(2612)、90個が「7ダース半」(7612)というように「Mダース半」というように用いられる。
title: 平方因子をもたない整数
text: 4 の倍数は平方因子 4 = 2 をもつから、4 つ連続する整数がすべて無平方であることはありえない。一方、 4n +1, 4n +2, 4n +3 が 3 つとも無平方となる n は無数に存在する。というのは十分大きな n に対して4n +1, 4n +2, 4n +3 の少なくとも 1 つが平方因子をもつなら、4 の倍数と合わせて、平方因子をもつ整数は整数全体の少なくともほぼ半数を占めることになり、
title: 十六進法
text: 割り切れない小数の循環部は下線で示す。「10」となる十六には因数に奇数が含まれていないため、1/3や1/5といった「1÷奇数」が全て割り切れない。小数を分数化しても、「m/奇数」となる小数が全く現れない。従って、偶数も、1/6{1÷(2×3)}や1/A{1÷(2×5)}といった「1÷奇数で割り切れる偶数」は割り切れない。六の倍数も十の倍数も逆数にすると全て割り切れないので、単位分数は無限小数が充ち溢れ、逆数が有限小数になる例は2の冪数だけになる。
title: 十二進法
text: 可分性が最も上がる例は、「5の倍数」が被除数になるパターンである。このパターンでは、7の倍数とB(十一)の倍数を除いてほぼ割り切れる。「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンでは、16(12)=18(10)までの3の倍数のうち、割り切れない数は13(12)=15)(10)だけとなる。
title: 魔方陣
text: その1: 2のべき乗{1,2,4}と3のべき乗{1,3,9}を掛け合わせたものの例
title: 平方剰余
text: つまり、 n を法とする平方剰余の数は、 n/2 + 1( n が偶数)または (n + 1)/ 2( n が奇数)を超えることはない。
title: 多冪数
text: 奇数や 4 の倍数は多冪数、特に平方数の差で表されるが、ゴロムは
title: 二十進法
text: 二十進法は「4×5=10」となるので、数列は、4の倍数や5の倍数が進みやすいという傾向を持つ。従って、4で割り切れる十二進法(4×3=10)や、5で割り切れる十進法(2×5=10)との親和性が見られる。素因数は十進法と同じく2と5であるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は十二進法と同じである。
title: グラハム数
text: G(2) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、G(3) ですら既に3の累乗を7兆6,255億回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、16$Pickoverの方が遥かに大きい(しかし3↑↑↑4よりは遥かに小さい)。G(4) はその十進以下の表記が現実的に不可能な G(3) − 1 の数だけ ↑↑(二重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっている。
title: ユークリッドの補題
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。...1
title: 魔方陣
text: その2: 奇数{1,3,5,7}と2のべき乗{1,2,4,8}を掛け合わせたものの例
title: 循環小数
text: 基数に素因数として含まれない素数 p の逆数に対しては、循環節を m 桁とすると 10 - 1 は p で割り切れ、商が循環節となるので、p - 1 の約数それぞれに対し 10 - 1 が p で割り切れるかを試せばよい。m が小さい順に試せば、計算量を節約できる(たとえば ⁄3 = 0.333... に対しては 3 (m = 1) も 33 (m = 2) もこれを満たすので、小さい順でなければならない)。
title: 最大公約数
text: 例えば、12 と 16 の公約数は 1, 2, 4 であるから、最大公約数は 4 である。
title: 線形合同法
text: 下位ビットのランダム性が低い。Mの値によっては、最下位に近いビットはほとんどランダムでなく、完全に規則性を持っていることすらある。たとえばMが偶数の場合(コンピュータでの実装が楽であるために、Mに2の冪を採用した場合はこれに当たる)、最下位ビットは、同じものが出続けるか、0と1が交互にでるかのどちらかである。すなわち、偶数ばかりが出る、奇数ばかりが出る、偶数と奇数が交互に出る、のどれかになるということである(最大周期ならば偶数と奇数が交互に出る)。
title: 300
text: 340 = 2 × 5 × 17、4の累乗和(4+4+4+4)
title: 奇数
text: 奇数(きすう、英: odd number)とは、2 で割り切れない整数である。対義語で、2 で割り切れる整数は偶数という。
title: 300
text: 371 = 7 × 53、117番目の半素数、3連続奇数の平方和(9 + 11 + 13)、5連続三角数の平方和(1 + 3 + 6 + 10 + 15)
title: 単偶数
text: 単偶数(たんぐうすう、英: singly even number)とは、2 で割り切れる(偶数である)が、4 では割り切れない整数である。半偶数(はんぐうすう)ともいう。「奇数の二倍」である整数ともいえる。
title: 分数
text: このように、1024 と 1296 は最大公約数が 16 なので、分子・分母を16で割った 64/81 が既約分数になる。
title: 完全数
text: Mp = 2 − 1 は奇数になるから、2 と Mp は互いに素になる。
title: ツォルキン
text: と呼ばれる。つまり1イミシュの翌日は、2イックとなり、最小公倍数の260の組み合わせが終わると、また1イミシュにもどる。
title: 冪剰余
text: 4 は 67,108,864 であり、これを 497 で割ると、剰余の c は 445 であることがわかる。
title: 完全数
text: その後、オイラーが登場するまでは、完全数は 2(2 − 1) = 33550336, 2(2 − 1) = 8589869056, 2(2 − 1) = 137438691328 が発見されただけであった。
title: 偶奇性
text: 偶奇性の定義される最も基本的な対象は整数であり、2で割り切れるものを偶数、2で割り切れないものを奇数と呼ぶ。しばしば、「0は偶数か」というような形式の疑問が持たれることがあるが、それはその文脈で全体として想定している数の範囲が自然数全体であるか整数全体であるかということに完全に依存している。すなわち、自然数の範囲内で考えるならば
title: 平方剰余
text: たとえば11を法とすると、6未満の剰余は4つ(1, 3, 4, 5)だが、非剰余は1つだけ(2)である。
title: 二十進法
text: 二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、(10)20以下の3の倍数で割り切れない数は9とI(十八)、4の倍数は(14)20=(24)10まで全てで割り切れ、5の倍数は(1A)20=(30)10までの全てで割り切れる例になる。
title: 200
text: 294 = 2 × 3 × 7、4連続平方数の和(7 + 8 + 9 + 10)
title: 0.999...
text: 1/3 を小数表示すると、小数点以下の位はすべて 3 であることを利用する。1/3 は 1 ÷ 3 の商であり、割り算の筆算により、循環小数 0.333... となる。ここで 3 は無限に続く。この小数点以下の各位は 3 倍するといずれも 9 となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算ができるとみなせば、無限小数 0.333... を 3 倍すると0.999... に等しい。一方、1/3 × 3 = 1 である。したがって 0.999... = 1 である。同様な別証明として、1/9 = 0.111... の両辺に 9 を掛けることでもできる。
title: 度 (角度)
text: また、360は約数が多く、除算のしやすい数である。1 と 360 以外に22個の約数を持ち、1 から 10 までの数のうち、割り切れない数は 7 だけである。1 から 10 までの全ての数で割り切れる最小の数は2520であるが、これは大き過ぎて使いやすい数ではない。
title: 比例代表制
text: ちなみに÷2、÷4、÷6と除数を偶数で割った場合は、ドント式の商すべてを2で割った場合と同じであり、結果、ドント式と結果が一致する。
title: 0
text: 数 0 は正でも負でもなく、素数でも合成数でも単数でもない。一方、0 は偶数である。
title: 最小公倍数
text: 公倍数は最小公倍数の倍数である。
title: ゼロの偶奇性
text: 「偶数」の標準的な定義は、ゼロが偶数であることの直接的な証明に利用できる。ある数は、それが2の整数倍であるとき「偶数」と呼ばれる。例えば 10が偶数であるのは、それが2×5に等しいことが理由である。同様にゼロも2の整数倍である。すなわち0=2×0。ゆえに0は偶数である。
title: ゴールドバッハの予想
text: これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである(奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない)。
title: 弱いゴールドバッハ予想
text: 3 個の素数の和は 6 以上なので、5 以下の奇数を 3 個の素数の和で表すことはできない。また 3 個の奇素数の和は 9 以上なので、7 は 3 個の奇素数の和で表すことはできない。
title: 100
text: 116 = 2 × 29、連続する3つの偶数の平方数の和 (116 = 4 + 6 + 8)
title: 偶数
text: 0 と負の整数を含める場合には、0 と負の偶数も偶数に含まれる。具体的な偶数の例として −8, 0, 2, 14, 100, 526 などが挙げられる。これらはそれぞれ (−4) × 2, 0 × 2, 1 × 2, 7 × 2, 50 × 2, 263 × 2 に等しいため、2 で割っても余りを出さず、 2 で割り切ることができる。
title: 位取り記数法
text: Nの平方数も、三十六である(100)6は4(=2)でも3でも9(=3)でも二十七(=3)でも割り切れる(※二十七分割は (100÷43 = 1.2)6 で有限小数となる)し、百である(100)10は4(=2)でも5でも二十五(=5)でも割り切れるのに対して、六十四である(100)8と二百五十六である(100)16は2の冪数でしか割り切れない。
title: 階乗
text: 1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(2 と 5 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾には 0 が並ぶ(英語版)。
title: 六進法
text: 十二の累乗数とでは、六の四乗と十二の三乗が3:4の割合になる(12000(6)=1000(12))が、最も接近するのは六の七乗と十二の五乗になる(520,0000(6)=10,0000(12))。二十の累乗数とでは、「六の冪指数が5の倍数」と「二十の冪指数が3の倍数」の時に最も接近する(101012(6)=1000(20))。
title: 十二進法
text: 十二進法は奇数の因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が2×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が3だと、逆数の分子は2=2になる(→詳細はこちらも参照すること)。冪指数が小さい場合でも、六進法だと1/3は0.2、1/9 (1/136) は0.04(分子が2)に対して、十二進法では 1/3は0.4(分子が2)、1/9は0.14(分子が2)になる。
title: 三つ子素数
text: この形は (3, 5, 7) のみであるからと、p が5以上の素数の場合、「(p + 2, p + 4)」のいずれかが必ず3の倍数になるからである。
title: ピタゴラス素数
text: 二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。
title: 2の冪
text: 指数に負の整数を許すならば、2の冪乗(この場合、それらは自然数ではなく有理数である)の中には「半分」の概念も含まれてくる。実際、1 (2), 1/2 (2), 1/4 (2), 1/8 (2), 1/16 (2) ... というようなものも、2の冪乗として表すことができる有理数である。
title: 剰余演算
text: もちろん、どのような奇数も、剰余は 1 または -1 となるため、下記のような実装もできる。
title: 四元数
text: 故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ(0 についてはただ一つ)である。
title: 完全数
text: 偶数の完全数は、Mp = 2 − 1 が素数のときの 2Mp に限る(ユークリッド、オイラー)。
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: 上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n - n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n + 56n - 41n - 39n + 14)/60 である。
title: 十二進法
text: 5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、即ち 3 と 9 を除く奇数になる。例えば:
title: 素数が無数に存在することの証明
text: である。素数全体を2つのグループに分け、p1, ..., pk を「小さい」素数、pk+1 以降を「大きい」素数と呼ぶことにする。N 以下の自然数で、「大きい」素数で割れる数と、「小さい」素数でしか割れない数に分け、前者の個数を N1、後者の個数を N2 とおく。当然 N = N1 + N2 である。
title: ゼロの偶奇性
text: 積を導入し、算術表現を使うことで、偶奇性はより公式的な方法でアプローチできる。すべての整数は(2 × □) + 0か、(2 × □) + 1のどちらかである。この形式的な数は前者が偶数、後者が奇数である。例えば、1は1=(2 × 0) + 1だから奇数であり、0は0 = (2 × 0) + 0だから偶数である。これを表にまとめてみれば、上の数直線の絵による説明が補強される。
title: 奇数
text: 正負を問わず、−15, −3, 1, 7, 19 などはすべて奇数である。十進法では、一の位が 1, 3, 5, 7, 9 である数は奇数である。二進法では、2 の位(即ち一の位)が 1 ならば奇数で、一の位が 0 ならば偶数である。一般に 2n 進法(n は自然数)において、ある数が偶数であるか奇数であるかは、一の位(n の位)を見るだけで判別できる。
title: 同値関係
text: この関係によって集合 Z が3つの同値類(この場合、剰余類 とも呼ばれる)に分割される。それぞれの同値類は 3 で割り切れるもの全体 [0]、1 余るもの全体 [1]、2 余るもの全体 [2] に対応している。
title: 循環小数
text: 2 と 5(一般には、基数の約数たる素数)以外の素数 p の逆数の循環節の長さは、p − 1 の約数である。有限小数の循環節の長さを1とするなら、2 と 5(基数の約数たる素数)もこの条件を満たす。
title: 約数
text: どのような自然数 N に対しても、1 と自分自身 N は N の約数である。2 以上の自然数はさらに、約数の個数が 2 であるかそれより大かで分けられる。1 と自分自身以外に約数をもたない自然数を素数といい、そうでない自然数を合成数という。合成数は重複を許した2個以上の素数の積である。
title: 草津線
text: 半素数は6を除き全て不足数。
title: メビウス関数
text: 例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 2 × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。
title: 多冪数
text: 例えば、36 は 2 × 3 であるから 36 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 で割り切れるので多冪数である。12 は 2 × 3 であるから 12 の素因数 2, 3 の平方 4, 9 となるが 9 では割り切れないので多冪数でない。
title: 循環小数
text: 循環節の短さは、10 −1 ならびに 10 − 1 を素因数分解した時にどんな数が来るかによって決まる。
title: 200
text: 208 = 2 × 13、5つの連続する素数の平方和(208 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11)、テトラナッチ数
title: 多角数定理
text: 三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから
title: ダース
text: 「グロス」も通常は144の倍数、「大グロス」も通常は1728の倍数に用いられるのが通例で、倍数以外には用いないことが多い。例えば、432個を「3グロス」(30012)、8640個を「5大グロス」(500012)という用法が通例で、270個を「1グロス10ダース6個」(1A612)、2010個を「1大グロス1グロス11ダース6個」(11B612)という用法は稀である。144で割り切れて1728で割り切れない数は、2016個が「14グロス」(120012)、2592個が「18グロス」(160012)というように、「M大グロスMグロス」ではなく「Mグロス」というように用いられる例もある。
title: 六進法
text: 十進法と六進法は、「10が素数二つの積」「10-1が6未満の素数かその冪数」という同じ構造を持っており、2の冪数の扱いは同じになる。しかし、六進法では「5+1 = 10」「2×3 = 10」となるので、十進法と比べた時に、3と5の立場が逆転するだけではなく、9(=13(6)=3)と5の立場も逆転する。つまり、六進法では3とその冪数が優位に立ち、5とその冪数は劣位に落ちる。更に、2と3の冪指数が同じなので、2の冪数と3の冪数が同等の地位になる。
title: 平方剰余
text: したがって、0 以外の数が 8, 16, ... を法として剰余となるのは、その数が 4 (8 n + 1) の形で表現できる場合でかつその場合に限る。
title: ゼロ除算
text: 「正または負の数をゼロで割ると、分母がゼロの分数となる。ゼロを正または負の数で割ると、ゼロになるか、またはゼロを分子とし有限数を分母とする分数になる。ゼロをゼロで割るとゼロになる」
title: 調和数
text: 完全数は、正の約数の個数が偶数、正の約数の逆数和が必ず 2 なので調和数である。
title: 偶数
text: 偶数(ぐうすう、英: even number) とは、2 で割り切れる整数である。対義語で、2 で割り切れない整数は奇数という。
title: 最小公倍数
text: 多項式の最小公倍数は定数倍を除いて1つしか存在しない。
title: アルキメデスの牛の問題
text: 最後の2つの条件は、W + B が平方数であり、Y + D が三角数であることを意味する。
title: 除法
text: 「割り切れない」という用語はしばしば「小数点以下が無限に続く」の意で不適切に用いられることがあるが、「割り切れない」からといってそうであるとは限らない(たとえば上記の例では、「22は4で割り切れない」が、その有理数除算における商は「5.5」であり小数第一位までで表現できる)。
title: 100
text: 194 = 2 × 97、半素数、3つの連続した平方数の和(194 = 7 + 8 + 9)
title: カプレカー数
text: となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられる(1111 の倍数、およびそれらに 1, 10, 100 または 1000 を足すか引くかしたものだけが 0 になり,その他は 6174 になる)。カプレカル自身は4桁の数だけを考察したが、任意の桁数の整数で同じことが考えられる。ある桁数の整数は有限個であるから、この操作を繰り返すと、最終的に必ずループになる。ループの周期が 1 である場合に、その整数をカプレカー数と呼ぶのである。
title: サン＝ラグ方式
text: サン=ラグ方式は、ドント方式と同様に除数方式である。 ドント方式の除数が整数(1から順に1ずつ増える)であるのに対して、サン=ラグ方式は奇数(1から順に2ずつ増える)である(0.5から順に1ずつ増えると言っても数学上同じ)。
title: グラハム数
text: F(3) までは関数電卓やパソコンでも普通に計算できるが、F(4) ですら既に2の累乗を6万回以上繰り返した数であるため、現実世界の現象で例えることなど到底不可能な巨大数になっており、後述するように十進法以下の表記で表すことすら現実的には不可能であるが、9$Pickoverよりは遥かに小さい。F(5) はその十進以下の表記が現実的に不可能な F(4) − 1 の数だけ↑↑↑↑(四重矢印)を繰り返した数であるため、想像を絶する大きさとなっており、ましてやそれと同様の操作を繰り返したF(12)はなおさらである。
title: 正の数と負の数
text: 負数による乗算も、加算の繰り返しと見なすことができる。例えば、3 × −2は各グループが−2を含む3つのグループと考えられる。
title: 平方完成
text: このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に 2 以上であることが示される。
title: 1
text: 0 以外の任意の数の0乗は 1 である。
title: 擬似完全数
text: 例えば、40 の約数 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 のうち 1, 4, 5, 10, 20 の5つを選ぶと、それらの和は 1 + 4 + 5 + 10 + 20 = 40 と元の数に等しいので 40 は擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。
title: 八進法
text: 10となる八は素因数分解すると2なので、2でしか割り切れない。即ち、1/3や1/5など奇数分割ができない。単位分数も、2の冪数以外は全て無限小数になる。素因数が複数となる六進小数(2と3)や十進小数(2と5)との対比も示す。
title: 二重平方数
text: 四乗数の末位は0, 1, 5, 6の4通りに限られる。下2桁は次の12通りに限られる。下3桁は52通り。
title: 素数の間隔
text: 最初で最小で唯一奇数の素数の間隔は、唯一偶数の素数である 2 と最初の奇数の素数である 3 の間の1である。他の素数の間隔はすべて偶数である。値 2 の間隔が連続しているのは素数 3, 5, 7 の間の間隔である g2 と g3 の1組だけである。
title: 平方因子をもたない整数
text: Q(x) を x を超えない無平方数の個数とする。大きい n に対して、n より小さい正の整数の 3/4 は 4 で割り切れない、8/9 は 9 で割り切れない、など。これらの事象は独立であるから、次の近似を得る。
title: 六進法
text: 六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。
title: 500
text: 557 : 素数、陳素数
title: 平方剰余
text: すべての奇数の平方数は ≡ 1 (mod 8) であり、それ故に ≡ 1 (mod 4) でもある。 a が奇数で、 m = 8、 16、またはそれよりも大きな2のべき乗の場合、 a は m を法とする剰余であり、これは a ≡ 1 (mod 8) と同値である。
title: 2の冪
text: 1以外の2の冪を十進法で表したとき、一の位は 2, 4, 6, 8 のいずれかである。また、1以外の2の冪 2n を二進法で表したとき、一番上の位は 1 であとに 0 が n 個続く数になる。
title: 二重平方数
text: 全ての自然数は高々19個の四乗数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の四乗数の和として表すことができる。
title: 四つ子素数
text: p − 2 および p + 10 は必ず 3 の倍数であるため、これらを含んだ「五つ子」は (p − 2, p, p + 2, p + 6, p + 8) の形の (3, 5, 7, 11, 13) しか存在しない。
title: 四平方定理
text: 全ての自然数は高々四個の正の平方数の和で表される。しかし、「高々」を外すと、四個の正の平方数で和で表されない自然数が無数に存在する。例えば、2であるが、仮りに2が四個の正の平方数の和で表されると仮定すると、法8で考えて四個の偶数の平方数の和でなければならないから、
title: パスカルの三角形
text: 更に単純な性質は1段目が11の0乗 (= 1)、2段目が11の1乗 (= 11)、3段目が11の2乗 (= 121)...... というように、n 段目の数字の列を一つの数字と見なすと 11 の n − 1 乗になる (ただし6段目以降の2桁以上の数は繰り上がりさせる)。これは、11 = (10 + 1) を二項展開することで容易に示すことができる。
title: 超階乗
text: 2↑↑↑↑3 は 2↑↑65,536 なので、8$=8!↑↑8!=8!↑{8!↑↑(8! - 1)} = 8! = 2! よりもさらに巨大な数だが、9$よりは遥かに小さい。
title: 900
text: 997: 素数、3桁では最大の素数である。
title: 六進法
text: となる。また、六と十の累乗数が最も接近するのは、十の七乗と六の九乗(両方とも一千万前後)で、1000,0000(10)=5,5420,0144(6)、1007,7696(10)=10,0000,0000(6) となり、「十の冪指数が7の倍数 (14)」と「六の冪指数が9の倍数 (10)」の時にも、かなり接近する。このため、無理数の小数部分の換算では、十進小数の七桁を六進小数の九桁に換算する。
title: 100
text: 174 = 2 × 3 × 29、楔数、4つの連続した平方数の和(174 = 5 + 6 + 7 + 8)