クイズ問題: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
答え: ポアンカレ予想

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 天体力学
text: 重力相互作用する3天体の運動を求める問題は三体問題として知られる。第三体の質量が他の二体に比べて極めて小さく、二体に及ぼす重力が無視できるとき制限三体問題と呼び、特に二体が円運動するときを円制限三体問題と呼ぶ。この問題は多くの人の手によって調べられてきており、三体問題は求積法により解くことはできないものの、特殊解のひとつであるラグランジュ点はよく知られている。
title: ヒルベルトの23の問題
text: この問題はヒルベルトの弟子マックス・デーンによって、否定的に解決された。つまり、任意の四面体に対して、同体積でありながら有限個に分割して組みなおすのでは移りあわないような四面体が存在する。この問題は23問題中最初に解決されたものとなった。
title: ヒルベルト立方体
text: 数学において、ヒルベルト立方体(英: Hilbert cube)は位相空間のひとつであり、トポロジーにおけるいくつかのアイデアの示唆的な例を与える。名称はダフィット・ヒルベルトに因む。多くの興味のある位相空間はヒルベルト立方体に埋め込むことができる。すなわちヒルベルト立方体の部分空間と見做すことができる(後述)。
title: ラグランジュ点
text: ラグランジュ点(ラグランジュてん、英語: Lagrangian point(s)、略称:L 点)とは、天体力学における円制限三体問題の5つの平衡解、すなわち天体と天体の重力で釣り合いが取れる「宇宙の中で安定するポイント」である。名はその存在を18世紀後半にレオンハルト・オイラーと共に確認したジョゼフ=ルイ・ラグランジュにちなむ。
title: OUR BEST (赤西仁のアルバム)
text: 任意のk-次元凸ポリトープのスケルトン(英語版)は、 k-頂点連結グラフを形成する(バリンスキーの定理、Balinski 1961)。 その部分的な逆として、シュタイニッツの定理(英語版)では、任意の3-頂点連結平面グラフは凸多面体のスケルトンを形成する、ということが述べられている。
title: 一般相対性理論の概説
text: 幾何学の基本的な物体(点、線、三角形)は伝統的に3次元空間もしくは2次元表面で定義される。1907年、スイス工科大学でアインシュタインの数学教授を務めていたヘルマン・ミンコフスキーはアインシュタインの特殊相対性理論の幾何学的定式化を導入した。ここには空間だけでなく時間も含まれていた。この新しい幾何学の基本的な実体は4次元時空である。動く物体の軌道は時空の曲線である。方向を変えずに一定速度で移動する物体の軌道は直線に対応する。
title: ポリトープ
text: 三次元より高次の超多面体を最初に考え出したのはルートヴィッヒ・シュレーフリ(英語版)である。ドイツの数学者ラインホルト・ホッペ(英語版)によりドイツ語: polytopが造語され、それを polytopeとして英語に導入したのはアメリカ人数学者のアリシア・ブール・スコット(英語版)である。
title: ハミルトン閉路問題
text: ハミルトン閉路問題(ハミルトンへいろもんだい)とは、与えられたグラフについて、全ての頂点を一度だけ通る閉路が存在するかどうか調べる問題である。名称はこの問題を最初に研究した数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンの名に因む。
title: 代数幾何学
text: 3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。
title: ポリトープ
text: 1882年にラインホルト・ホッペ(英語版)はドイツ語で、この多角形や多面体をより一般化する概念を言い表すのに Polytop という語を造語した。やがてアリシア・ブール・スコット(英語版)(論理学者ジョージ・ブールの娘)が英語風に polytope と改変して英語に持ち込んでいる。
title: 長さの収縮
text: 収縮の式を表面的に適用することにより、いくつかのパラドックスが生じる可能性がある。例としては梯子のパラドックス(英語版)やベルの宇宙船パラドックス(英語版)がある。しかし、これらのパラドックスは同時性の相対性を正しく適用することで簡単に解決することができる。他の有名なパラドックスには、エーレンフェストのパラドックス(英語版)があり、このパラドックスは剛体の概念が相対性理論と両立できないことを示し(ボルン剛性のように条件が制限される)、ともに回転している観測者にとって幾何学が実際に非ユークリッド的であることを示した。
title: オイラー標数
text: オイラー標数(オイラーひょうすう、英: Euler characteristic)とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。
title: アポロニウスの問題
text: アポロニウスの問題を繰り返し解き内接円を求め続けることによって、互いに接する円の隙間を任意の粒度で埋めることができ、アポロニウスのギャスケット、ライプニッツパッキング、またはアポロニウスパッキングと呼ばれるものを形成する。このギャスケットはフラクタルであり、自己相似で、正確な値はわかっていないが、およそ1.3である次元 d を持つ。正則曲線もしくは有限長の曲線(d = 1)よりも高く、平面(d = 2)よりは低い。アポロニウスのギャスケットはゴットフリート・ライプニッツによって初めて17世紀に詳述され、これはシェルピンスキーのギャスケットの先駆となるものであった。アポロニウスのギャスケットは数学の他領域と深いつながりを持っており、例えば、アポロニウスのギャスケットはクライン群(英語版)の極限集合である。
title: サイクロイド
text: 定円に内接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を内サイクロイド(ない-)という(→生成アニメーション)。ハイポサイクロイド (hypocycloid)、内擺線(ないはいせん)とも呼ばれる。内サイクロイドは内トロコイドの一種と見なすことができる。
title: 位相幾何学
text: 多面体の頂点、辺、面の数を各々 n0, n1, n2 とおくと、これらが n0 − n1 + n2 = 2 の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学、代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポワンカレの一連の研究による。
title: 三体問題
text: ふたつの質点が互いにニュートン重力を及ぼし合って運動するとき、その軌道は楕円、放物線、双曲線のいずれかになることが知られている(ケプラーの法則)。三体問題はこの系にさらにひとつの質点が加わった場合の進化を求めるもので、太陽-地球-月系や、太陽-木星-土星系など、天体力学の様々な局面で必要となるため古くから調べられてきた。現実的に三体問題を取り扱う場合、問題の簡略化のために、いくつかの仮定がなされることがある。三体ともに同一平面上を運動するという仮定を置く場合、平面三体問題と呼ばれる。三体のうち、一体の質量が他の二体に影響を及ぼさないほど微小で無視できるとする仮定を置いた場合、制限三体問題と呼ばれる。特に制限三体問題において、残り二体の軌道を円軌道と仮定する場合、円制限三体問題と呼ばれる。
title: 三体問題
text: 円制限三体問題において、共動回転系において第三体が静止することが可能な5つの点をラグランジュ点と呼び、記号 L1, L2, L3, L4, L5 により表される。このうち L1 から L3 の3点は第一体、第二体、第三体が一直線上に並ぶもので、オイラーの直線解として知られる。一方 L4 と L5 は三体が正三角形を描くもので、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュによって1772年に発見された。ラグランジュの正三角形解は一般三体問題の場合にも存在する。
title: H定理
text: 一方エルンスト・ツェルメロは、ポアンカレの再帰性定理に基づき、「もとと同じ微視的状態に限りなく近づくことがあるはずだ」と主張した(ツェルメロの再帰性批判)。
title: ポリトープ
text: 多角形や多面体の高次元における対応物について初めて考察したのはルートヴィヒ・シュレーフリ(英語版)である。シュレーフリは六つの凸正多胞体(英語版)を1852年に記述しているが、その成果は彼の死後6年を経た1901年まで公表されなかった。1854年ごろリーマンの教授資格論文(英語版)が高次元の幾何学を確固たるものとして打ち立ててより、以って n-次元超多面体の概念も是とされたのである。シュレーフリの超多面体は、彼の生前にあってさえ、数十年の間に幾度も再発見されたのである。
title: 特殊相対性理論
text: 運動している質点がミンコフスキー空間内に描く軌跡を世界線と言う。
title: バタフライ効果
text: 一方、上記の講演からではなく、ローレンツがこの講演以前に研究・発表した、ローレンツ方程式と呼ばれる次の3元連立非線形常微分方程式が生み出すストレンジアトラクターの形状に由来するという考えもある。
title: 幾何化予想
text: しかし、リッチフローには特異点という計算不可能な点を産み出すことがあるという問題があった(=リッチフローの特異点問題)。ハミルトンは解決を試み幾つかの特異点を消すことに成功はしたものの、最終的な解決はグリゴリー・ペレルマンを待つことになる。
title: 花相撲
text: ヒルベルト曲線(ヒルベルトきょくせん、Hilbert curve)は、フラクタル図形の一つで、空間を覆い尽くす空間充填曲線の一つ。ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが1891年に考案した。
title: 立方体グラフ
text: グラフ理論を初めて扱った、1736年のレオンハルト・オイラーによる論文の一部分において証明された握手補題(英語版)によると、すべての立方体グラフの頂点の数は偶数であることが分かる。
title: ペンローズの三角形
text: 1934年、スウェーデンの芸術家オスカー・ロイテルスバルト(英語版)が考案した。1950年代にライオネル・ペンローズとその息子のロジャー・ペンローズがそれとは独立に「不可能性の最も純粋な形」として考案し、一般に広めた。芸術家マウリッツ・エッシャーが不可能図形を多く扱ったが、その発想の一部となった。
title: 小林俊行
text: 正の定曲率を持つ完備なローレンツ多様体は決してコンパクトにはならないが、その一方で基本群は必ず有限群になる。この奇妙な現象はカラビ・マルクス現象と呼ばれるが、小林はこの現象の必要十分条件を示した。これをきっかけとし、リーマン幾何の枠組みを超えた等質空間の不連続群論に小林は世界で最初に本格的に取り組み、その基盤作りを行った。
title: 三体問題
text: よく知られた特殊解としては、円制限三体問題におけるラグランジュ点や、三体の質量が等しい場合に8の字型の軌道をとる8の字解等が存在する。
title: リーマン幾何学
text: アルベルト・アインシュタインは、重力、即ち、一様ではなく湾曲した時空を記述するのに擬リーマン多様体の枠組みが有効であることを見いだし、リーマン幾何学を数学的核心とした一般相対性理論を構築した。
title: レイ・ボルジャー
text: 三体問題で衛星が安定でいられる領域を指すヒル球に名を残す。ヒル微分方程式の名も彼にちなむ。
title: エルハート多項式
text: 数学において、整面多面体(英語版)は付随するエルハート多項式(エルハートたこうしき、英: Ehrhart polynomial)を持つ。エルハート多項式は、多面体の体積とそれが含む整点 (integer point) との間に成り立つ関係を情報として含む。エルハート多項式の理論はユークリッド平面におけるピックの定理の高次元への一般化とみることができる。 エルハート多項式の名称は1960年代にこれらの多項式について研究したウジェーヌ・エルハート (Eugène Ehrhart) に因む。
title: シェルピンスキーのギャスケット
text: 同様のフラクタル図形の例として、0次元と1次元の間の値をとる「カントール集合」(0.6309...次元)や、2次元と3次元の間の値をとる「メンガーのスポンジ」(2.7268...次元)などがある。
title: ポアンカレの定理
text: と書ける。これは質量比 ε {\\displaystyle \\epsilon } を摂動パラメータとみなすとき第一体がつくる重力場中のケプラー運動という可積分系に摂動が加わったものと解釈できる。ポアンカレの定理は(技術的な工夫を要するものの)円制限平面三体問題に対して適用可能であり、ブルンスの定理と併せて三体問題の非可積分性(従って求積不可能性)を示すものとみなされている。
title: メビウス変換
text: 恒等変換でないメビウス変換は一般に、抛物型、楕円型、双曲型と斜航型のよっつのタイプに分類される(ただし、双曲型は斜航型の部分クラスである)。この分類は代数的な意味と幾何学的な意味の両方を備えている。幾何学的には、異なるタイプの変換はガウス平面上の変換として後で図示するような図形的な意味で異なる性質を示す。
title: ヘルマン・ミンコフスキー
text: 1907年ごろにミンコフスキーは、(アインシュタインの)特殊相対性理論における「時空」が、時間の一つの次元と空間の三つの次元を、あるやりかたで組み合わせた四次元の空間としてエレガントに記述されることを見いだした(なお、通常の三次元に同じようにもう1軸を加えただけの「四次元ユークリッド空間」とは全く異なる)。この四次元の時空はミンコフスキー空間またはミンコフスキー時空と呼ばれている。
title: 微分位相幾何学
text: 微分幾何学はカール・フリードリヒ・ガウスやベルンハルト・リーマン等による曲率の研究に、位相幾何学(トポロジー)はゴットフリート・ライプニッツやレオンハルト・オイラー等による位置の解析に端を発するが、微分幾何学と位相幾何学の初期の学際はアンリ・ポアンカレによる三(多)体問題の解析がある。三(多)体問題とは天体力学から派出したもので静かな空間に3つ(もしくはそれ以上)の物体が浮かんでいるときその物体はどのような運動をするかという力学系(従って解析学)の問題である。ポアンカレはこの力学系を定める微分方程式のベクトル場がある多様体を作ることに注目して、その多様体にトポロジー的知見から迫ることでニュートンの時代からある難問を解いた。ポアンカレはカオス的な振る舞いをする力学系を初めて発見した解析学者であり、トポロジーを1つの学問として定式化したトポロジストでもある。
title: 不可能図形
text: スウェーデンの芸術家オスカー・ロイテスバルトが初めて意図的に多数の不可能物体をデザインした。そのため「不可能図形の父」と呼ばれている。1934年、ロジャー・ペンローズより先にペンローズの三角形を描いている。ただしロイテスバルトのものは、立方体を並べて三角形を形成している。
title: サイクロイド
text: 定円に外接しながら円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡を外サイクロイド(がい-)という(→生成アニメーション)。エピサイクロイド (epicycloid)、外擺線(がいはいせん)とも呼ばれる。外サイクロイドは外トロコイドの一種と見なすことができる。
title: フラクタル
text: フラクタルの特徴は直感的には理解できるものの、数学的に厳密に定義するのは非常に難しい。マンデルブロはフラクタルを「ハウスドルフ次元が位相次元を厳密に上回るような集合」と定義した。完全に自己相似なフラクタルにおいては、ハウスドルフ次元はミンコフスキー次元(英語版)と等しくなる。
title: 人工衛星の軌道
text: また、二体問題では物体を質点として扱うが、地球‐人工衛星の系の場合、後者はともかく前者は現実には質点ではない。一応、軌道計算では球対称であれば質点と看做しても構わないが、地球は真球体ではないため、これも考慮する必要がある。通常は回転楕円体として扱う(ベッセル楕円体、GRS80楕円体)。
title: 特異点定理
text: 特異点定理(とくいてんていり)またはペンローズ・ホーキングの特異点定理(Penrose–Hawking singularity theorems)は、重力は重力の特異点を必要とするかどうか、という問いへの、一般相対性理論による結論のまとめである。
title: シュレーフリ記号
text: なお、一様多胞体は各頂点の近傍が合同なため、拡張シュレーフリ記号以外に、ディンキン図形(コクセター・ディンキン図形)や頂点形状でも記述できる(ただし、4次元以上の一様多胞体の頂点形状を簡潔に記述することは難しい)。一様多面体はワイソフ記号でも記述できる。またすでに述べたとおり、アルキメデスの正角柱(およびその高次元への一般化)はシュレーフリ記号の直積でも記述できる。
title: 複雑ネットワーク
text: 1959年にポール・エルデシュとアルフレッド・レーニィ(英語版)は、グラフの一種であるランダムグラフ(英語版)を作るエルデシュ=レーニィモデル(英語版)を考案した。エルデシュ=レーニィモデルは、各種の興味深い性質を有し、グラフの解析的な取り扱いを大きく進歩させた。だが、その後はグラフ理論の分野では目立った進展はあまり起きていなかった。
title: 球充填
text: 2次元ユークリッド空間(平面)については、カール・フリードリヒ・ガウスが最も密度の高い円の正規配置は六方充填配置であることを証明した。これは、円の中心が六方格子(ハニカム構造のようなもの)になっており、それぞれの円は6個の円で囲まれている。その充填密度は
title: トーラス
text: ここまで長方形を例に挙げたが、実は平行四辺形なら平坦トーラスを作るのに必要十分である。たとえば、二重周期を持つ楕円関数は、二つの基本周期が描く平行四辺形から構成される平坦トーラスの上で、自然に定義される関数であると解釈される。
title: バナッハの不動点定理
text: 数学におけるバナッハの不動点定理(バナッハのふどうてんていり、英: Banach fixed-point theorem)は、距離空間の理論において重要な役割を担う不動点定理であり、縮小写像の定理あるいは縮小写像の原理としても知られる。この定理はある自己写像の不動点の存在と一意性を保証するものであり、そのような不動点の構成法を提供するものである。1922年に初めて提唱したステファン・バナッハ(1892-1945)の名にちなむ。
title: フレデリック・ソディ
text: 1936年に六球連鎖の定理を再発見した。この問題に登場する内接した円弧は「ソディの円弧」として知られていることがある。月のクレーターであるソディ(Soddy (crater))は彼にちなんで名付けられた。ソディは1956年にブライトンで死去した。
title: フェリックス・クライン
text: 位相幾何学(トポロジー)では連続変換(ホメオモルフィズム)が許されておりこのときは図形の連結性以外は保存されない。トポロジーにおける不変量としてはオイラー標数やベッチ数、ホモトピー群などがあるが完全な分類に使えるものは発見されていない。これはポアンカレ予想にもつながるものだが、前述のようにクラインはトポロジーの基礎を築き上げたポアンカレと対立していたためこの問題の解決にも相当な知恵を傾けたといわれる。この特徴付けの最も大きな意味はいままで雑多に創り出されてきた数々の幾何学が分類しなおされたことである。
title: 多面体
text: この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。オイラー標数の記事も参照。
title: 鳩の巣原理
text: 鳩の巣原理はさらに一般化され、グラフなどのより複雑な数学的構造、また算術的な関係などに対しても類似の定理が知られている(ラムゼーの定理など)。それらをラムゼー型の定理という。
title: ブラックホール
text: ホイーラーが「最終状態の問題」とデリケートな言い回しで表現した問題を、ロジャー・ペンローズは強力な定理やエレガントな証明を用いて、まるで四次元における幾何学問題であるかのようにアプローチした。一般相対性理論に対しては多くの科学者が、特異点というのは架空のものであり数学的な理想化の産物と考えており「星は回転で物質は跳ね飛ばされ、中心の周りで渦を巻き、一体になって特異点を形成するようなことはない」信じられていたのである。ところが1965年に、ペンローズが星の崩壊は特異点に収束することを証明した。物質とエネルギーが充分に集まっている所ならどこでも時空に終わりが来ることがあると証明したのである。シアマはこれを「一般相対論にとって最も重要な貢献」と呼んだ。
title: 創発
text: 生命は創発現象の塊である。動物の体表に現れる縞模様や、植物が描くタイガーブッシュ、フェアリー・サークルなどの現象を、一見相関がないような組織や個体の生命活動の結果が巨視的に現れたものとしたアラン・チューリングの仮説(チューリング・パターン)が知られている。また、脳は、ひとつひとつの神経細胞は比較的単純な振る舞いをしていることが分かってきているが、そのことからいまだに脳全体が持つ知能を理解するには至っていない。さらに進化論では、突然変異や交叉による遺伝子の組み合わせによって思いもよらぬ能力を獲得することがある。進化論においては個々の個体による相互作用のほかに、環境との相互作用という側面も加わっている。創発の定義において、このような非対称な要素を認める場合もある。
title: 幾何化予想
text: 幾何化予想(きかかよそう、英: geometrization conjecture)は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフローを用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。
title: ヘリーの定理
text: 数学の離散幾何学の分野におけるヘリーの定理(ヘリーのていり、英: Helly's theorem)とは、凸集合がお互いに共通部分を持つ状況に関する基本的な結果である。エードゥアルト・ヘリーによって1913年に発見されたが、1923年まで出版されることはなく、その間に Radon (1921) や König (1922) によって代替的な証明が与えられていた。ヘリーの定理を元に、ヘリー族(英語版)の概念が生まれた。
title: フラクタル次元
text: 例えば、シェルピンスキーの三角形(図2)は 1⁄2 に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる:
title: 先天盲からの回復
text: 先天盲開眼研究の発端となったモリヌークス問題はもともと「立方体と球」を先天盲開眼者が視覚のみで識別できるかを問うものであった。それ以前に、両眼視が可能とみなされる開眼者のほとんどが、「立体である球」とそのシルエット(断面)である「平面の円」を最初は見分けられなかったとゼンデンは報告している。
title: 三体問題
text: 三体問題の解のうち周期解(ある時間 T {\\displaystyle T} が経過するともとの配位に戻る解)には特に興味が持たれてきた。ジョージ・ヒルは円制限三体問題において(ある近似のもとで)周期解を発見した。アンリ・ポアンカレはヒルの研究に触発されて(回転を除いて)周期的な解が平面制限三体問題に無限に存在することを証明し、これらの解について次のように記述している。
title: ジョン・ウィラード・ミルナー
text: ミルナーの最も大きな業績は、非標準的微分構造を持った7次元(英語版)エキゾチック球面(英語版)の存在を証明したことである。後にMichel Kervaireとの共同研究で、彼は7次元球面上には15種類(向きも考えると28種類)の微分構造が存在することを示した。非標準的微分構造を持ったn次元球面は、ミルナーの提唱でエキゾチック球面(Exotic sphere)と呼ばれている。
title: ヘルマン・ミンコフスキー
text: ミンコフスキーが学界に認められるきっかけとなった研究は、自然数を5個の平方数の和として表すことに関係したパリ科学アカデミーの懸賞問題であった。二次形式論はカール・フリードリヒ・ガウスが2,3変数の二次形式の理論を大きく発展させて以来、多くの数学者が研究していた。ミンコフスキーはn変数の二次形式について、自身がディオファントス近似(ディオファントス方程式にちなむ)と名づけた不等式を用い、格子と凸体という幾何学的概念を導入して研究した。そしていくつもの数論の定理を幾何学的に証明したり、新しい定理を得た。その後この方法は、数の幾何学(英語版)として独立した大きな分野を形作ることとなった。これらの研究は、後に関数解析の理論や線形位相空間論に応用されることになる。彼の導入した「格子」は結晶学や金属学などで応用されている。
title: アーエイチ・ビング
text: 1959年、ビングはどんな3次元多様体でも幾つかの四面体によって形成される多様体に変形させられることを証明した。これはビングの業績の中でも最も重要なものに数えられる。この定理は2次元多様体における三角形分割が3次元においても可能だということを述べており、3次元多様体は全て滑らかで微分可能な多様体に変形できるという事実が導かれる。これにより多様体に解析学の方法を使うことが可能になり、ルネ・トムに始まる微分トポロジーにも大きな影響を与えることになった。(ビングが生涯を懸けたポアンカレ予想は微分幾何学を用いてグリゴリー・ペレルマンによって解かれることになるが、この方法が成り立つためには全ての3次元多様体を微分可能に変形できることが大前提となる。)
title: 西分駅
text: ハミルトン路とは、グラフ上の全ての頂点を 1 度ずつ通る路のこと。特に、グラフ上の全ての頂点を 1 度ずつ通る閉路はハミルトン閉路という。また、ハミルトン閉路を含むグラフのことをハミルトングラフといい、ハミルトン路は含むがハミルトン閉路は含まないようなグラフのことを準ハミルトングラフという。
title: ローレンツ群
text: 放物型ローレンツ変換はしばしばヌル回転 (null rotations) と呼ばれる。なぜなら、回転が時間的ベクトルを保存したりブーストが空間的ベクトルを保存するのと同様に、ヌルベクトルが保存されるからである。この型のローレンツ変換は恒等変換以外の四種類のローレンツ変換(楕円型、双曲型、斜航型、放物型)の中でも最もなじみのないなので、放物型ローレンツ変換の例がどのような影響をミンコフスキー時空上に与えるのかをここで例示する。
title: ピアスンのパペッティア人
text: ただし、この語には問題がある。『リングワールド』では、正多角形の頂点に配置された等質量の天体からなる系が「ケンプラーのばら飾り」とされている。このような系が平衡である(ただし安定ではない)のは事実だが、「ケンプラー」はミススペルであり、しかも意味も異なる。
title: ジオデシック・ドーム
text: ジオデシック・ドームは、球に近い正多面体である正十二面体ないし正二十面体、あるいは半正多面体の切頂二十面体を、さらに対称性をできるだけ持たせながら正三角形に近い三角形で細分割し、球面をその測地線(ジオデシック)ないし測地線を近似する線分の集まりで構成したドーム、特に、そのような構造を均質な構造材を多数並べることによってくみ上げたドーム状構造物である。ジオデシックを訳して測地線ドーム、考案者の名からフラードームとも呼ばれる。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: マチャセビッチによるヒルベルトの第10問題の解決により、決定不能な命題の例が得られる。そのような例はディオファントス方程式の外側に存在量化子を幾つか並べた形として得られる。すなわち不完全性定理の前提条件を満たす形式的体系において、解の存在が証明も反証もできないようなディオファントス方程式が存在する。
title: ハイパー
text: 幾何学では、次元数が任意であることを意味する。3次元以下では別の言い方があるため4次元以上の場合に使うことが多いが、4次元以上に限定されるものではない。この場合、日本語では「超」と約す。たとえば、ハイパーキューブ (hypercube) = 超立方体は、任意の次元での立方体に相当する図形を意味する。任意の次元について述べていることが自明なときは、ハイパーが外される語もある。
title: 球面
text: ダフィット・ヒルベルトとシュテファン・コーン゠フォッセン(英語版)の著書 Geometry and the Imaginationで彼らは、球面の11の性質を記述し、それらの性質が球面を一意に決定するかどうかについて論じた。それらのうちのいくつかは(半径無限大の球面と看做せる)平面も満足する。それら11性質とは:
title: 三体問題
text: 多くの場合に、制限三体問題のうち二体が楕円軌道を描く状況が興味の対象となる。特にその軌道が円軌道 (離心率 e = 0 {\\displaystyle e=0} ) である場合を円制限三体問題 (circular restricted three-body problem) と呼ぶ。この場合、共動回転系では第一体および第二体が静止し数学的な取り扱いが容易になるため、しばしば採用される。この座標系では円制限三体問題の運動方程式は遠心力とコリオリ力を含む次の形を取る。
title: アポロニウスの問題
text: さらにアポロニウスの問題は d 次元に拡張することが可能であり、このとき与えられた d + 1 超球面に接する超球面を描く問題となる 。1936年のフレデリック・ソディのデカルトの定理の(再)導出に従えば、数人がそれぞれ独立に d 次元のソディの円に対応する互いに接する場合に解を与えている。
title: フラクタル
text: フラクタル(仏: fractale, 英: fractal)は、フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。ラテン語の fractus から。図形の部分と全体が自己相似(再帰)になっているものなどをいう。なお、マンデルブロが導入する以前から以下で述べるような性質を持つ形状などはよく考えられてきたものであり、また、そういった図形の一つである高木曲線は幾何ではなく解析学上の興味によるものである。
title: フラクタル圧縮
text: コラージュ定理が、縮小関数の反復関数系は必ず不動点を持つという不動点定理の応用に基づいており、それがそのままフラクタル圧縮の原理となっている。
title: 方法 (アルキメデスの著書)
text: アルキメデスのアイデアは、放物線(上積分される曲がった領域)と同じ材料で作られた三角形と機械的に均衡をとるというものである。放物線はx-y平面内でxが0から1に変化したときのx軸とy = xの間の領域である。三角形はx-y平面内でxが0から1に変化したときのx軸とy = xの間の領域である。
title: ジョージ・フィッツジェラルド
text: 1901年にフィッツジェラルドが死去した4年後、アインシュタインは特殊相対性理論を発表した。その中でフィッツジェラルド‐ローレンツ収縮は、物体の変形ではなく空間そのものの収縮という新しい意味を与えられた。
title: フェルマーの最終定理
text: フェルマーの最終定理(フェルマーのさいしゅうていり、Fermat's Last Theorem)とは、3 以上の自然数 n について、x + y = z となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理のことである。フェルマーの大定理とも呼ばれる。ピエール・ド・フェルマーが驚くべき証明を得たと書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理あるいはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
title: ラグランジュ点
text: ある天体Eの周りを何らかの天体Aが回っているとし、EとA以外に天体がない場合、Aが描くべき軌道は簡単に導くことが可能である。このとき、Aは楕円軌道を描く。この問題を二体問題といい、その解はすでにアイザック・ニュートンによって知られていた。例えばEを地球として、Aを小惑星など地球の引力に束縛された何らかの天体とすると、他に天体が存在しないならばAの軌道は二体問題を解くことによって求められる。
title: ネットワーク理論
text: ネットワーク理論は、複雑なデータを解析する手段としてさまざまな分野で言及される。この理論の最初期の論文は、1736年にレオンハルト・オイラーによって書かれた有名な「七つの橋」の問題である。オイラーの頂点と辺による数学的証明はグラフ理論の基礎となった。グラフ理論は発展して化学に応用された。
title: 次元 (数学)
text: 複雑な構造を持つ集合、特にフラクタルに対して、ハウスドルフ次元の概念は有効である。ハウスドルフ次元は、ハメル次元が定義できないようなものも含めた任意の距離空間に対して定義することができて、その値は必ずしも整数でない実数となる。同様の考え方に、ボックス次元やミンコフスキー次元などがある。一般に、より特異な集合に対しても整数とは限らない正の実数値を割り当てることができるフラクタル次元の概念が他にも存在する。フラクタルは多くの自然にある物体や自然現象を記述するのに有効なものとして発見された。
title: コッホ曲線
text: コッホ曲線(コッホきょくせん、英: Koch curve)はフラクタル図形の一つ。スウェーデンの数学者ヘルゲ・フォン・コッホ (Helge von Koch) が考案した。線分を3等分し、分割した2点を頂点とする正三角形の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが 4/3 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは無限大である。高木曲線などと同様に、連続でありながら至るところで微分不可能な曲線である。
title: ピエール・ド・フェルマー
text: 最後に残された、という意味でフェルマーの最終定理とも呼ばれるようになった有名な命題(3 以上の自然数 n について、x + y = z となる 0 でない自然数 (x, y, z) の組み合わせが存在しない)は、中学生でも理解できる単純な内容であるにもかかわらず、プロ・アマ誰一人として証明も否定も成功せず、360年にわたって数学の原動力の一つであり続けた。この問題は最終的に1995年、アンドリュー・ワイルズが谷山–志村予想の一部を証明したことによってようやく解決され、20世紀数学の掉尾を飾る金字塔となった。
title: ポリトープ
text: 1895年、トロルド・ゴセット(英語版)は、シュレーフリの正超多面体の再発見のみならず、半正超多面体(英語版)および高次元の空間充填分割についても調べている。そのころ、双曲空間などの非ユークリッド空間における超多面体の研究も始まった。
title: 一般相対性理論
text: 逆に特殊相対性理論の側から一般相対性理論をみると、特殊相対性理論の数学的定式化であるミンコフスキー空間は、全ての点に同一のミンコフスキー計量をいれた平坦なローレンツ多様体である。
title: 正多面体
text: 正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体(別名:アルキメデスの立体)にも拡張することができる。
title: アーエイチ・ビング
text: 彼の名が最初に注目を浴びたのは1946年、博士号取得の僅か1か月後に発表したクラインの球面特徴付け問題の証明による。この問題はムーアの教え子であったジョン・ロバート・クラインにより提起されたもので多様体が2次元球面であるときの条件(多様体を円で切断したとき必ず2つの異なる部分に分かれる)を示したものである。(この業績は当時プリンストン大学の教授だった位相幾何学者ソロモン・レフシェッツの耳に入り、職の誘いを受ける。しかし、このとき既にレフシェッツはトポロジーは今後衰退の道をたどっていくと考えていたといわれ、そのためかビングはトポロジーの研究をやめるよう薦められた。このためビングはこの誘いを断り、ウィスコンシン大学に就職しそこに25年間留まることになる。)
title: ザイフェルト曲面
text: どのような結び目に対しても、そのような曲面が存在することを最初に証明したのはフランクル-ポントリャーギン(1930年)であるが、後に実際にそのような曲面を構成するアルゴリズムを見付けたザイフェルト(1934年)に因んで、ザイフェルト曲面と呼ばれる。
title: 角度
text: ダフィット・ヒルベルトがその著書の『幾何学基礎論』において示した公理系(英語版)では、「端点を共有する 2つの半直線の組」(引用文献のままの表現ではない)として角を定義しており、日本でもこの主旨の定義を採用している数学辞典や国語辞典が多く、最も受け入れられた数学的定義と見なせる。
title: コラッツの問題
text: コラッツの問題(コラッツのもんだい、Collatz problem)は、数論の未解決問題のひとつである。1937年にローター・コラッツが問題を提示した。問題の結論の予想を指してコラッツの予想と言う。固有名詞に依拠しない表現としては3n+1問題とも言われ、初期にこの問題に取り組んだ研究者の名を冠して、角谷(かくたに)の問題、米田の予想、ウラムの予想、他にはSyracuse問題などとも呼ばれる。数学者ポール・エルデシュは「数学はまだこの種の問題に対する用意ができていない」と述べ、解決した人に500ドルを提供すると申し出た。 ジェフリー・ラガリアスは2010年に、コラッツの予想は「非常に難しい問題であり、現代の数学では完全に手が届かない」と述べた。
title: シュレーフリ記号
text: 一様多胞体とは、各ファセットが1次元低い一様多胞体(必ずしも合同ではない)で、各頂点の近傍が合同な多胞体である。たとえば、一様多面体(3次元一様多胞体)には正多面体、半正多面体、アルキメデスの正角柱、アルキメデスの反正角柱、およびそれらを一般化した星型多面体が含まれる。
title: ポワンカレの円板モデル
text: 非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ円板模型(ポワンカレえんばんもけい、英: Poincaré disk model)、ポワンカレ球体模型(ポワンカレきゅうたいもけい、英: Poincaré ball model)あるいは共形円板模型 (conformal disk model) とは、n-次元双曲幾何学のモデルで、その幾何のもとでの各点が n-次元円板あるいは球体に属し、かつその幾何のもとでの直線がその円板に含まれる円板の境界と直交する円弧または直径によって与えられるものを言う。円板模型は、クライン模型、ポワンカレ上半平面模型とともに、ユージニオ・ベルトラミ(英語版)によって提案され、ベルトラミはそれらを用いて双曲幾何学とユークリッド幾何学との等無矛盾性 (equiconsistency) を示した。
title: フェルマー点
text: フェルマー点(フェルマーてん、トリチェリ点・等角中心とも呼ばれる)は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。
title: 量子条件
text: ゾンマーフェルトは1自由度(円運動)に限られていたボーアの量子条件を多自由度の場合まで拡張して次の形にまとめた。
title: クロス積
text: 3次元のクロス積はハミルトンの4元数の概念をもとにして、ウィラード・ギブズとオリヴァー・ヘヴィサイドがそれぞれ独立に、ドット積と対になる数学的概念として考案した。
title: レオンハルト・オイラー
text: 幾何学においては、位相幾何学のはしりとなったオイラーの多面体定理(ただしオイラーは証明を与えていない)や「ケーニヒスベルクの橋の問題」が特に有名である。特性類の一つであるオイラー類は本質的にこのオイラーの多面体定理によって特徴付けられるものである。「ケーニヒスベルクの橋の問題」は一種の一筆書き問題であるが、オイラーはこれに取り組んで一筆書きが可能になるための必要十分条件を求めた。これはグラフ理論の起源となり、今日では一筆書き可能なグラフはオイラーグラフと呼ばれる。解析幾何学でも古代ギリシャのアポロニウスによる円錐曲線の理論を解析幾何学的手法によって近代化をはかっている。
title: ポリトープ
text: もともとの考え方はルートヴィヒ・シュレーフリ(英語版)、ソロルド・ゴセット(英語版)らにより広く探られた、二次元および三次元のそれぞれ多角形および多面体の概念の、四次元あるいはそれ以上における対応物への拡張である。
title: サイクロイド
text: 定直線に沿って円が滑らずに回転するときの円周上の定点の軌跡をサイクロイドという(→生成アニメーション)。サイクロイドはトロコイドの一種と見なすことができる。
title: ポアンカレ予想
text: NHKスペシャル『100年の難問はなぜ解けたのか 〜天才数学者 失踪の謎〜』では、ポエナル博士の説明を取材し「宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻って来たとする。ロケットがどんな軌道を描いた場合でもロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できるようであれば、宇宙の形は概ね球体である(ドーナツ型のような穴のある形、ではない)といえるのではないか、というのが(3次元)ポアンカレ予想の主張である」と説明している。ただしこれは直観的な説明の一つではあるが厳密性には欠ける。もし球体形(円板形)であれば閉多様体でない。また3次元空間内の真部分集合で3次元多様体は閉多様体でない。
title: ナディア・ブーランジェ
text: ポアンカレ・レフシェッツ双対定理、レフシェッツの不動点定理、レフシェッツの跡公式、レフシェッツペンシル等に名前を残す。
title: アポロニウスのギャスケット
text: アポロニウスのギャスケット(英: Apollonian gasket)は、互いに接する3つの円から生成されるフラクタル図形の一種である。アポロニウスの網(英: Apollonian net)とも呼ばれる。紀元前のギリシャ人数学者であるペルガのアポロニウスにちなむ。
title: 図形の一覧
text: ここでは図形を次元で分類するが、まず埋め込み可能なユークリッド空間の次元で分類し、次に位相次元で分類する。たとえば、球面は3次元図形で位相次元は2、コッホ曲線は2次元図形で位相次元は1である。最後に、フラクタル図形を別扱いにし、ハウスドルフ次元(フラクタル次元) dimH を併記する。ハウスドルフ次元は、フラクタル図形では位相次元より大きく、それ以外では位相次元に等しい。主な図形は以下の通り。
title: ヤコブ・シュタイナー
text: シュタイナーによる他の幾何学的結果には、平面による空間の分割(n個の平面により作成される部分の最大数)の公式の開発、有名なシュタイナーの接する円の連鎖に関するいくつかの定理、及び等周定理の証明(後に証明に欠陥が見つかるが、ワイエスシュトラスにより修正された)がある。
title: ミンコフスキー空間
text: 厳密にいえば、特殊相対性理論によってミンコフスキー空間をひろがりのある系を記述するために用いることができるのは重力がほとんど無視できる場合のニュートン極限に限られる。重力が無視できない場合には時空は歪み、特殊相対性理論の代わりに一般相対性理論を考えることが必要になる。
title: 面積
text: 選択公理を受け入れると、「意味のある面積が定義できない図形」が存在することを証明できる (ルベーグ測度を参照)。 このような「図形」(簡単に図示することは出来ない)はタルスキーの円積問題 (en:Tarski's circle-squaring problem) に関係している(三次元における類似の例として、「体積の定義できない図形」とバナッハ=タルスキーのパラドックスがある)。 このような集合は実用上現実の世界では生じない。