クイズ問題: 本業は弁護士であった17世紀フランスの数学者で、「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる」という言葉で有名な「最終定理」で知られるのは誰でしょう?
答え: ピエール・ド・フェルマー

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: ブレーズ・パスカル
text: 「人間は考える葦である」などの多数の名文句やパスカルの賭けなどの多数の有名な思弁がある遺稿集『パンセ』は有名である。その他、パスカルの三角形、パスカルの原理、パスカルの定理などの発見で知られる。ポール・ロワヤル学派に属し、ジャンセニスムを代表する著作家の一人でもある。
title: レーモン・ルーセル
text: モンテスキューは『アフリカの印象』『ロクス・ソルス』にも好意的な評を書き、ルーセルの手法を「一見解けそうもない事実の方程式を出しておいて、そのあとで、全く議論の余地を残さないほどもっともらしく、やすやすとそれらを解いてみせる代数的情熱」と述べており、ルーセルも『私はいかにして』の中でこの表現を引用している。モンテスキューはヌイイ居住時には隣人同士で、ルーセルの姉の前夫シャルル・ド・ブルトイユ侯爵とも旧知であったことから交際もあり、モンテスキューの死まで文通が続いていた。
title: 省察
text: デカルトは、1637年に公刊された『方法序説』において、自説が論駁に値すると思う者はそれを知らせてほしい、との文章を載せ、反論を公募しており、この『省察』初版(第1版)の公刊前に、メルセンヌが手配をして、カテルス、アルノー、ホッブズ、ガッサンディ、ブルダンなど当時の著名な学者に原稿を渡して反論をもらっておき、それに対しての再反論をあらかじめ付し、メルセンヌ自身も反論を書いた。このような経緯で、本書は、本文の他、反論とそれに対する答弁からなる。
title: フェルマーの最終定理
text: 17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー(1607年 - 1665年)は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(たとえばフェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのはゴットフリート・ライプニッツである)。
title: ブレーズ・パスカル
text: ノート、メモ類は、パスカルの死後整理され、『パンセ』として出版されることになり、そこに残された深い思索の痕跡が、後々まで人々の思想に大きな影響を与え続けることになった。神の存在について確率論を応用しながら論理学的に思考実験を行った「パスカルの賭け」など、現代においてもよく知られているパスカル思想の多くが記述されている。
title: ジャン＝ジャック・ルソー
text: こうした状況の1750年、ルソーは『メルキュール・ド・フランス』という雑誌の広告を目にし、ディジョン科学アカデミー(フランス語版)が「学問及び芸術の進歩は道徳を向上させたか、あるいは腐敗させたか」という課題の懸賞論文を募集していることを知る。ルソーに突然の閃きが生じて、三十分にわたり精神が高揚して動けなくなってしまったという。ルソーはこのときの感想を「これを読んだ瞬間、わたくしは他の世界を見た。わたくしは他の人間になってしまった。」と述べている。『ファブリキウスの弁論』という小論をディドロに読んで聞かせて感想を求めた。ディドロは速やかに論文を執筆するように助言し、ルソーは早速執筆をすすめアカデミーに論文を提出した。
title: フランスの歴史
text: 1650年代にはブーレーズ・パスカルが「パンセ」を著したほか、数学的な発見をした。
title: 自己言及のパラドックス
text: アーサー・プライアは、嘘つきのパラドックスには逆説的なところは何もないとした。彼は、全ての文は暗黙のうちにそれ自身の真実性を表明しているとした(彼はこの考え方をチャールズ・サンダース・パースとジャン・ビュリダンに帰している)。従って例えば「2足す2は4であるは真だ」という文は「2足す2は4である」という文以上の情報を全く含んでいない。つまり「...は真である」はあらゆる文に常に暗黙のうちに付属している。嘘つきのパラドックスの自己言及的要素において、「...は真である」は「この文全体は真であり、かつ...である」と言い換えられる。
title: アンリ・ポアンカレ
text: 広範な範囲で生産的な活動をしたが、その論文には多くの不正確な部分がある。数学者のジャン・ガストン・ダルブーはポアンカレの学位論文を読んで、その曖昧さを指摘している。何よりも直感を信じるポアンカレの立場は「数学者とは不正確な図を見ながら正確な推論のできる人間のことである」という彼の言葉が示す通りであった。
title: 主語
text: 主語は元々三段論法など伝統論理学の用語であった。三段論法では2つの前提文から結論文を正しく導くことが目的になる。ここで「文」とは「全てのバラは 赤い」のような平叙文であり、真偽の判定ができる、いわゆる命題のことである。
title: 円積問題
text: 円の正方形化が不可能だと数学的に証明されても、それを認めようとせず、何年も解法を求め続けた数学者も多かった。トマス・ホッブズも死ぬまでの24年間もの間、解法を得たと信じたため、否定したジョン・ウォリスを非難し続けた。英語圏では、square the circle(円を四角にする)という言葉を、不可能なことを企てる人の喩えとして用いる。
title: エセー
text: 『エセー』(仏: Les Essais)もしくは『随想録』(ずいそうろく)は、フランスのモラリスト、ミシェル・ド・モンテーニュが107の随筆を集めて1580年に刊行した書物である。モンテーニュは随筆(エッセイ、エセー)という、特定の話題に関する主観的な短い文章の形式を発明したのであり、この書物はそのエセーを収めている。人間のあらゆる営為を断続的な文章で省察することによりモンテーニュは人間そのものを率直に記述しようとし、モラリスト文学の伝統を開いた。フランス語のessaiは「試み」や「企て」という意味である。
title: 肩をすくめるアトラス
text: 本作品は3部から成り、それぞれの部が10章で構成される。ロバート・ジェームズ・ビディノットは、「各部、各章のタイトルが、重層的な意味を示唆している。たとえば各部のタイトルは、アリストテレスの論理的推論の法則に敬意を表して付けられている。第1部のタイトルは『非矛盾(Non-Contradiction)』、第2部は『二者択一(Either-Or)』、第3部は『AはAである(A Is A)』であり、これらはアリストテレスの同一律から取られている」と指摘している。
title: ブレーズ・パスカル
text: 「パスカルの賭け」については、そちらの頁を参照されたい。
title: Q.E.D.
text: ルネサンス期のヨーロッパの数学書は普通ラテン語で書かれていたため、\"quod erat demonstrandum\" のような言い回しが証明の最後にしばしば用いられた。哲学の議論における Q.E.D. の代表的な使用例としてバールーフ・デ・スピノザの代表作『エチカ』(1677、ラテン語) が挙げられる。スピノザ自身がこの本のスタイルを称して「幾何学的な秩序によっている」と宣言したように、(彼の推論が演繹的として適切かはともかくとして)定義、公理ののちに命題が述べられ、 Q.E.D. で終わる証明が続くというスタイルで記述されている。これは日記の形式で書かれていたルネ・デカルトによる『省察』と比べて、スピノザにとって大きな進展だった。
title: マリー＝アンヌ・ピエレット・ポールズ
text: この翻訳書は1788年に出版され、大きな反響を呼んだ。オラス=ベネディクト・ド・ソシュールはフロギストン説の支持者であったが、同書を読んで考えを改め、「貴方は私の疑いに打ち勝たれたのです」と、マリー・アンヌの仕事を称賛する手紙を書いた。当のカーワンは、1789年に反論を執筆したが、1791年には、フールクロワ宛の手紙で、「ついに私は鉾を納め、フロギストンを放棄します」と綴った。
title: 無限降下法
text: 数学における無限降下法(むげんこうかほう、英: infinite descent, 仏: méthode de descente infinie、羅: la descente infinie)とは、自然数が整列集合であるという性質を利用した、証明の一手法である。背理法の一種であり、数学的帰納法の一型とも見なせる。17世紀の数学者ピエール・ド・フェルマーによって始められたとされ、彼はこの証明法を好んで用いた。最も古い使用例は『原論』にある。典型的な例は『原論』第7巻 命題31の証明で、ユークリッドは「すべての合成数は素数で割り切れる(『原論』の用語では「通約できる」)」ことを無限降下法で示した。
title: 全能の逆説
text: この考えでは、必然的に「全能者も論理法則を破ることはできない」という論点を受け入れることになり、確かにこの逆説全体がこのような論点を強力に正当化している。このため、哲学者イブン=ルシュド は全能の逆説をさらに進め、その考えはパリ司教であったエティエンヌ(ステファン)・タンピエ (en:Étienne Tempier) の激しい糾弾を浴びることになった(第一回、第二回断罪 (en:University of Paris (Condemnations) 参照)。石を用いた表現のかわりにイブン=ルシュドは次のように問うた。「神は内角の総和が180度ではない三角形を作ることができるのだろうか。」
title: パスカルの賭け
text: パスカルの賭けは発表当時から様々な批判にさらされてきた。ヴォルテールは「無作法で子供っぽい... 信じることで利益が得られることが実在の証明にはならない」と書いた。しかしパスカルはこの賭けが神の実在の証明だとは言っていない。それは単に、確実性に対する彼の論証の帰結であり、理性が信用できないという観念と炯眼な神の実在が「コイントス」で決まるという観念によるものである。神が存在するかどうかという問題において理性が信頼できるなら、賭けはそもそも不要である。
title: ことばの梯子
text: 一般に、連鎖が短いほど良い解だとされる。また、文字数の多いお題に対する解の方が価値が高いとされる。実際、キャロルはこの考えを反映した解の評価式を考案した。
title: ジャン・デュドネ
text: 彼はブルバキの数学原論の構想を練ったことで知られる。特にデュドネは幼い頃から百科事典などを読むのが好きで、分類などが得意であったため、数学原論執筆にもその才能を十二分に発揮することとなったのである 。もしブルバキと出会わなければ、解析学の非常に狭い分野の専門家として、生涯を終えただろう、とも述べている。ブルバキの数学原論の大半は彼が執筆したとされており、ブルバキの分身と謳われるほどであった。また非常に論争好きな性格であり、数学原論執筆時もメンバーのヴェイユと激しく論争し、シュヴァレーが仲裁に入ったとされる。
title: ソフィ・ジェルマン
text: 13歳の時、バステューユ襲撃が起こり、都市の革命的な空気は彼女を引きこもらせた。気晴らしのために父の書庫に向かったところ、J・E・モンテュクラのL'Histoire des Mathématiques(数学の歴史)を見つけ、アルキメデスの死の話に興味をそそられた。
title: トマス・ホッブズ
text: 1655年に円積問題の解を見つけたと公表し、数学者のジョン・ウォリスとの論争に発展した。ホッブズは終始この問題の本質を理解することができず、自分の解の誤りを認識できずに死ぬまで激しい論争を続けた。
title: エネルギー
text: デカルトの考え方とライプニッツの考え方では、数式上異なった結論が導き出される。デカルト派の人々とライプニッツ派の人々の間で「ちから」の解釈に関する論争が起き、この論争は実に50年ほども続いた。この論争を活力論争と言う。
title: Q.E.D. 証明終了
text: 題名は、エラリー・クイーンの口癖で数学用語のQ.E.D.にちなむ。新シリーズ、iffの由来は同値を表す英語「if and only if」より。
title: アルゴリズム
text: 記録に残る最古のアルゴリズムは、エウクレイデスの原論のものである。その中でも、二つの整数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法は、典型的なアルゴリズムとして知られている。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: アラン・ソーカルとジャン・ブリクモンは、脱近代主義(ポストモダニズム)に対する論評『「知」の欺瞞』の中で、「ゲーデルの定理こそ汲めども尽きぬ知的濫用の泉である」と述べ、レジス・ドブレ、ミシェル・セールらの文章を批判している。また、哲学者によるゲーデル関係の本が、フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、哲学者の本は専門誌によって酷評された。その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、ゲーデルの証明の核(不動点定理)について、根本的な勘違いをしたまま説明していた。同様の間違いは他の入門書などにもあり、田中は
title: エウテュデモス (対話篇)
text: エウテュデモスとディオニュソドロスが、クレイニアスを相手に「相手が二択のどちらを選んでも論駁することが可能」な論争術(詭弁術)を披露。
title: ある数学者の生涯と弁明
text: 本の中でハーディは「弁明」という言葉を「許しを請う」という意味ではなく、「正当化」若しくは「(プラトンの『ソクラテスの弁明』に使われているような)防衛」の意味で使っている。ハーディは後述する二つの主な理由から、自身の人生における数学の業績を「正当化」する必要性があった。
title: 無限の猿定理
text: この他、R・A・ラファティの短編「寿限無、寿限無」(1970年)やラッセル・マロニーの短編『頑固な論理』は、この定理自身がメイン・プロットとなっている作品である。
title: ルキウス・アンナエウス・セネカ
text: 後世の文筆家はセネカの作品から多くを引用しているが、中でも16世紀の哲学者ミシェル・ド・モンテーニュは『エセー』で、セネカを最も多く引用した一人として知られている。
title: 完全順列
text: 完全順列の総数をモンモール数 (英: Montmort number) という。モンモール数はしばしば !n とかかれる。これはフランスの数学者 ピエール・モンモール(フランス語版) にちなんで名づけられた。
title: パスカルの三角形
text: パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: 何人かの哲学者がこのキャロルのパラドックスを解決しようとしてきた。バートランド・ラッセルは「プリンキピア・マテマティカ」(1903年)で簡単な議論をしている。それによれば、自明ではない命題間の関係である含意 implication (「pならばqである」という形式による結びつき)と、自明である命題間の関係である推論 inference (「pであるゆえにqである」という形式による結びつき)を区別すべきだという。この違いを明確にすることでラッセルは、AとBが等しいことからZだという含意 によって論じようとする、あるいは仮言的な「AとBが正しいならば、Zは正しい」ということへの合意へと議論を依存させようとする亀の試みを否定できるとしている。
title: モンティ・ホール問題
text: エルデシュはこの問題の解答を最初に間違いだと断定、立腹して外出する。一時間程経過してから帰って来るはずではない時間にエルデシュがカンカンに怒って帰ってきて、この問題(と解)をエルデシュに教えた弟子を「君はなぜ選択を変更するのか言ってくれなかった!どうして言わなかったのか!」と苛立った口調で問い詰める。これには弟子も適切な説明が出来ず師に謝罪。エルデシュは益々不機嫌になったという。
title: ミシェル・ノストラダムス師の予言集
text: 信奉者ではあったものの、「ルーヴィカンの隠者」ことジャン・ル・ルーも、重要な貢献を行っている。彼は『ノストラダムスの鍵』(1710年)にて、ノストラダムスの文体が、フランシスクス・シルウィウスの著書『雄弁術論』(1528年)を参考にしたラテン語の統語論に則ったものであることを初めて指摘した(『雄弁術論』を実際に参照したかどうかはともかく、ラテン語の統語論を用いたことは現代の実証的な論者たちにも支持されている)。
title: エヴァリスト・ガロア
text: ガロアの遺書となった友人宛の手紙には、後の数学者たちにとって永年の研究対象となる理論に対する着想が「僕にはもう時間がない」 (je n'ai pas le temps) という言葉と共に書き綴られている。例えば代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在を予言し、そのアイデアを記している。なお、この手法はガロアの死後50年の時を経てシャルル・エルミートによって確立される。
title: 亀がアキレスに言ったこと
text: ここで亀はアキレスに「この結論が前提から論理的に導かれているかどうか」を尋ねる。するとアキレスは「明らかにそうだ」と答える。亀は再び訊ねる。「ユークリッド原論の読者のなかには、『前提Aと前提Bの両方が真である』という事は拒否しつつ、かつ、それでも『この論証の形式自体は論理的に妥当だ』と認める者がいるのではなかろうか」と。アキレスは「そのような読者はいるだろう」と答える。つまり「もし前提Aと前提Bが真であるならばZも真でなければならない」とは認めつつも、「前提Aと前提Bが真である」とは認めない(つまり前提を否定する人間、論証の健全性を否定する人間)はいるだろう、と。
title: パオロ・ルフィニ
text: ラグランジュは並べ替えの数学に興味を示さず、ルフィニが並べ替えから群論を生み出し、群論と方程式の関連性を主張した。
title: アレクサンドル・デュマ・ペール
text: 「いいとも」と、タルマ。「余はシェクスピアとコルネイユとシラーの名において、汝を詩人として洗礼する」
title: プリンキピア・マテマティカ
text: ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22とよばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。
title: アーベル-ルフィニの定理
text: 一方、ガロアはアーベルとは独立にほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められてクレレ誌に載ったアーベルの論文を読み、高く評価した。コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。
title: スムマ
text: 代数学についての最初の印刷された書籍であり、2次方程式の解法について書き、のちの研究者に影響を与えた。第1論考はプラスとマイナス、第2論考は根の計算、第3論考は2項和と2項差、第4論考はベキの乗法、第5論考は2次方程式、第6論考は2次方程式に還元できない高次方程式について書かれている。2次方程式は6つの標準型が紹介され、レオナルド・フィボナッチの『算盤の書』(1202年)と同様の内容も見られる。記憶のために、ラテン語詩で解法を説明している。
title: ベルヌーイ数
text: ヤコブ・ベルヌーイは彼の著書『推測術』でベルヌーイ数を導入した際、べき乗和を上に書いたような 0 から n − 1 にわたる和でなく、1 から n にわたる和:
title: ニコラ・ブルバキ
text: ニコラ・ブルバキ(仏: Nicolas Bourbaki, ブールバキとも)は架空の数学者であり、主にフランスの若手の数学者集団のペンネームである。当初この数学者集団は秘密結社として活動し、ブルバキを一個人として活動させ続けた。日本で出版された38冊に及ぶ数学原論や、定期的に開催されるセミネール・ブルバキ(英語版)で有名。
title: ピエール・ガッサンディ
text: 青年時代のガッサンディは、懐疑論者シャロンなどの影響によりアリストテレスの権威から解き放たれ、スコラ学者が解釈したアリストテレスを揶揄攻撃するパンフレットを書いて一部を出版し、その激しさを懸念した友人の忠告により5巻分は焼却した。
title: 典薬寮
text: アラード=バロン・ヌープ(1715年)、メサイア(1716年)と並んで、「三大ストラディバリウス」の一つとされる。
title: ジャン＝ピエール・ファイユ
text: 1954年から最初の小説の執筆に取りかかり、1958年から1970年までの間に実験的な前衛小説6作をいずれもスイユ出版社から発表した。この六部作はパスカルの定理の六芒星(神秘の六角形)に因んで「六芒星」と名付けられ、うち、1964年発表の『水門』は同年のルノードー賞を受賞した。
title: ポール・ロワイヤル修道院
text: ポール・ロワヤルでの学問やジャンセニズムのために集った者の中には多くの重要な人物もおり、数学者のブレーズ・パスカルもその一人であった。彼は1657年にはカトリック教会におけるイエズス会からの批判にジャンセニストとして反駁するために『プロヴァンシアル』を著した。アルノー家からはルイ14世の外務卿となるシモン・アルノー・ド・ポンポンヌが出るなど、ジャンセニスムは隆盛を極めた。また劇作家ジャン・ラシーヌはポール・ロワイヤルで学んだ。
title: フェルマーの最終定理
text: 48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによって、フェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。
title: パラドックス
text: 日本語では逆説、逆理、背理と訳される。語源はギリシャ語(παράδοξον < παρα-, para-:反対の + δόξα, dóxa: 意見)。有名なものに、自己言及のパラドックス、リシャールのパラドックス、ベリーのパラドックスがある。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: Gはゲーデル文と呼ばれる。
title: 全能の逆説
text: ルネ・デカルトはこのような議論を批判して「あらゆることが可能な無制限の力を人間の論理で制限する、全能の逆説のような議論は意味がない、そのような逆説を議論するよりも数学的探求をすることの方がより有意義だ。」と述べた。
title: ミラビリス・リベル
text: 第30章は第83葉表面途中から裏面途中までで、『問題解決の書』 (Le livre du lucidaire) という文献に基づくとされている。「問題解決」(lucidaire)という語は、本来はオータンのホノリウス (Honorius of Autun) の『エルキダリウム』(Elucidarium) のフランス語名だが、具体的な出典の特定にはつながっていない。
title: 政治家 (対話篇)
text: 前作『ソピステス』に続いて、「分割法(二分割法, ディアイレシス)」と呼ばれる、「対象の内容を、二分割(二者択一)を繰り返して絞り込んでいく」という特徴的な手法が用いられている。
title: パスカルの賭け
text: パスカルの賭け(パスカルのかけ、フランス語: Pari de Pascal, 英: Pascal's Wager, Pascal's Gambit)は、フランスの哲学者ブレーズ・パスカルが提案したもので、理性によって神の実在を決定できないとしても、神が実在することに賭けても失うものは何もないし、むしろ生きることの意味が増す、という考え方である。『パンセ』の233節にある。『パンセ』は、パスカルが晩年にキリスト教弁証学についての書物を構想して書き綴った断片的ノートを死後にまとめたものである。
title: エジプト式分数
text: フィボナッチは、強欲算法の手続きが有限回で終了することの証明を与えてはいない。後にシルベスターはこの方法を再発見し、有限回で終了することの証明も与え、1880年に発表した。実際、一度の手続きで分子は少なくとも 1 小さくなるので、a/b は多くとも a 個の単位分数の和で表せる。2人の名を取って、強欲算法は「フィボナッチ=シルベスターのアルゴリズム」とも呼ばれる。
title: 王の道
text: エウクレイデスは、数学の学習においてより安易な道はないものかと、エジプトのプトレマイオス王に尋ねられ、「幾何学を学ぶに王道はない」と答えたと言われている。この箴言は、『銀の弾丸などない (No Silver Bullet) 』という随想のなかで、ソフトウェア工学に関してフレデリック・ブルックスが述べた、「王道はないが、道は存在する」という現代の言葉のなかでも利用されている。
title: ルネ・デカルト
text: また、当時学術的な論文はラテン語で書かれるのが通例であった中で、デカルトは『方法序説』を母語であるフランス語で書いた。その後のフランス文学が「明晰かつ判明」を指標とするようになったのは、デカルトの影響が大きい、ともいわれる。
title: ジャン・デュドネ
text: レオン・モチャーンに根回ししてIHÉSを設立させた。数学者としても非常に優れており、デュドネ理論は現在において非常に重要な理論である。著書『人間精神の名誉のために』で「数学をするとは人間精神の自由な発露であり、人間精神の名誉ために数学をする」という文句を残している。
title: アントワーヌ・アルノー
text: デカルトの『省察』を読んで反論を執筆し(第四駁論)、デカルト自身にも高く評価された。彼はもっともはやくデカルト哲学を受け入れた学者の一人であり、代表的なデカルト主義者とされる。
title: 三段論法
text: また、ジョン・スチュアート・ミルは、如上のソクラテス云々の場合、結論を知っていないならば、大前提の全称判断は得られないのだから、三段論法は一種の循環論証であると批判した。
title: ミシェル・ド・モンテーニュ
text: エセーの意味は<試み>である。体系的な哲学書ではなく、自分自身の経験や古典の引用を元にした考察を語っている。宗教戦争の狂乱の時代の中で、寛容の精神に立ち、正義を振りかざす者に懐疑の目を向けた。プラトン、アリストテレス、プルタルコス、セネカなど古典古代の文献からの引用が多く、聖書からの引用はほとんどない点が特徴的である。17世紀のデカルトやパスカルにも多大な影響を与え、後には無神論の書として禁書とされた(1676年)。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: 概要でも説明したように、ゲーデル数というテクニックを使って間接的に自己言及を可能とし、ゲーデル文を構成する。
title: 代数的整数論
text: フェルマーの最終定理は最初ピエール・ド・フェルマーによって1637年に予想された。Arithmetica のコピーの余白に、余白が狭すぎて書ききれない証明を持っていると彼が主張したことは有名である。358年間の数学者の不断の努力にもかかわらず、1995年まで完全な証明が出版されなかった。未解決だった問題は19世紀の代数的整数論の発展と20世紀のモジュラー性定理の証明を刺激した。
title: 佐藤賢一
text: 歴史学で博士課程を満期退学した経歴を生かし、フランス語史料も駆使して緻密に時代背景を描写する作風である。また、地の文から切れ目無く独白に入り、最後にカギカッコ付きの独白で締めるという独特の文体を多用する。『黒い悪魔』『褐色の文豪』『象牙色の賢者』では、3代にわたるアレクサンドル・デュマ(トマ、大デュマ、小デュマ)について、それぞれの生涯を1冊ずつ書いている。
title: 言語哲学
text: その後、近世哲学の創始者ルネ・デカルト (Rene Descartes, Renatus Cartesius 1596-1650) らは言語を軽視した(彼のすべてを疑う方法的懐疑において 'je suis, je existe'(「わたしはある、わたしは存在する」)、'je pense, donc je suis'といった表現が、彼の直観を正しく表現しているか否かについてさえ全く疑いを持たないところに、その時代の状況が明白に現れている。ただし彼の論理思想はポール・ロワイヤル学派において展開され、当時のフランス・カトリック思想界で基本的教科書として使用された。
title: 暗号史
text: 17世紀にあったエピソードに、ニュートンがライプニッツに向けて、微分法と微分方程式の解法に関して述べた文を「暗号文」にして送った、というものがある(これは、両者の関係が決裂的になる以前の話である)。ラテン語で書いた原文を元に、それに使用したアルファベットを順に使用した個数並べた、アナグラムの一種で(最初の部分を示すと \"aaaaaa cc d æ\" といったようなものである)、現代の暗号学の観点から言うと、解読可能な暗号と言えるようなものではない。暗号のつもりであったのか、自分の発見であることを示すための、一種の言うならばハッシュ関数による署名のようなものであったのかは謎とされている。
title: ゼノンのパラドックス
text: 以下は、多とその他の論考を、断片などから再現しパラドックス風に整形したものである。
title: カルネアデスの板
text: カルネアデスの板(カルネアデスのいた、Plank of Carneades)は、古代ギリシアの哲学者、カルネアデスが出したといわれる問題。カルネアデスの舟板(カルネアデスのふないた)ともいう。
title: ジャン・デュドネ
text: 当時のフランスのメディアでは、「数学だけが人間精神の名誉となっているわけではない」、「大げさすぎて時代遅れではないか」、更には「この本を買い支えたのは数学教師ではないか」という意見すらあったが、パリのアシェット社の《歴史と哲学》叢書として出版されるや、本書は、2ヶ月も立たない間に1万2千冊という数学書としては異例の売り上げをあげ、デュドネ自身が書評番組「ベルナール・ピボーのアポストロフ」に出演し、同書について滔々とまくしたてて注目された。
title: 楽天主義
text: フランスのヴォルテールは匿名で発表した小説「カンディード」で最善説を揶揄・批判した。
title: 蒙昧主義
text: ほかに、アラン・ソーカルは『知の欺瞞』においてジャック・ラカンやジル・ドゥルーズといったフランス現代思想の思想家や哲学者たちが衒学のために必要もないのに数式や数学的概念をいい加減に用い、記述を分かりやすくするどころか曖昧で難解にして無意味な言説に思想が有るかのようにレトリックを駆使しているとの批判を加えた。
title: ルネ・デカルト
text: 1614年、デカルトは18歳で学院を卒業する。その後ポワティエ大学に進み、法学・医学を修めた。1616年、デカルト20歳のとき、法学士の学位を受けて卒業する。この後2年間は、自由気ままに生活したと考えられる。パリで学院時代の友人であるメルセンヌに再会し、偉大な数学者フランシス=ヴィエタ(ヴィエタについては#数学への功績も参照)の後を継ぐものと騒がれた数学者クロード・ミドルジと知り合うなど、交際を広げた。
title: ジャック・カゾット
text: 1775年頃、カゾットは彼自身が予言の能力を持っていることを宣してイルミナティの見識を受け入れた。このことはジャン=フランソワ・ド・ラ・アルプが代筆した有名な『警句』においてカゾットがフランス革命に関する最も詳細な予言を残したことによっても裏付けられている。
title: ヒュームの法則
text: ヒュームの法則(ヒュームのほうそく、Hume's law)、またはヒュームのギロチン(Hume's guillotine)とは、「~である」(is)という命題からは推論によって「~すべき」(ought)という命題は導き出せないという原理である。
title: ジャック・ペルチエ・デュ・マン
text: ジャック・ペルチエ・デュ・マン(Jacques Peletier du Mans, 1517年7月25日 - 1582年)は、フランスの数学者、詩人。名前は「ル・マンのジャック・ペルチエ」の意味であり、本名はジャック・ペルチエである。
title: エヴァリスト・ガロア
text: 宣誓書提出の少し前に、ガロアは以前コーシーが紛失した論文を書き直した上で、改めてフランス学士院に提出した。だが、その審査員で論文を預かっていたジョゼフ・フーリエが急死したため、またしても論文は紛失してしまった。こうして立て続けに起きた不運や挫折は、ガロアの政治活動をますます活発にさせた。
title: 非ユークリッド幾何学
text: ジョバンニ・ジローラモ・サッケーリは、1773年、論文「あらゆる汚点から清められたユークリッド」(Euclides ab Omni Naevo Vindicatus)において、鋭角仮定・直角仮定・鈍角仮定という互いに背反かついずれかは成立するような仮定を設定し、直角仮定から平行線公準を導けることを示した。
title: ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
text: さらに彼は、五次以上の方程式がベキ根によっては解けないことについても研究し、根の置換など群論の先駆けとなるような研究も行っている。この問題は後にアーベルによって証明された。(もっともラグランジュ自身は解けるための条件を示したのであり、可解という可能性は捨てていなかった)
title: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
text: 1535年の初めごろ、アントニオ・マリア・フィオールに数学の公開論戦を申し込まれ、これを受諾した。三次方程式の問題を互いに30問出し合い、30日後に多く解けた方が勝ちとした。タルタリアはこれに勝利し、名声を高めた。一方のフィオールのその後についてはほとんど知られていない。
title: 我々は知らない、知ることはないだろう
text: レーモンは解決不可能な問題について説明する場合に、いくつかの場面でフランスの数学者ピエール=シモン・ラプラスによって唱えられたラプラスの悪魔のアイデアを使用した。人間の考えうる認識の最高段階に達していると思える知性によっても理解できないことならば、我々人間が理解することは到底期待できないだろう、といった議論においてである。以下、デュ・ボア=レーモンがラプラスの悪魔を引き合いに出した部分の一例である。
title: 数学ガール
text: 「僕」の従妹のユーリは中学2年生。ある休日ユーリはいつものように「僕」の部屋に入り浸って本を読んでいるとき、ふとしたことから「僕」に数学を教えてもらうことになる。「僕」はミルカやテトラ、そしてユーリとともに数学の世界を旅していきピタゴラスの定理、素数、背理法などの問題を解いていく。「群論は明日だ」ミルカは確かにそう言った。しかし、その約束は守られなかった。
title: ゴルギアス
text: レトリックの性質・価値双方についての討論はゴルギアスとともに始まる。『ゴルギアス』と題されたプラトンの対話篇は、ゴルギアスのレトリックの利用・そのエレガントな形式・遂行的性質への反論を著したものである。 レトリックは実際にはテクネーと見なされるだけの必要条件を満たしておらず、弁論家とその聴衆の両方に働きかけるいささか危険な「経験(要領、コツ)」である。なぜなら、それは人々に対して、無知な人を専門家以上に物知りに見せる力を与えるからだ——ということを示すことが、この対話篇の中で試みられている。
title: エヴァリスト・ガロア
text: さらにその同月または1ヵ月後には、彼は再び理工科学校への受験に挑戦したが失敗した。伝説によれば、この時の口述試験の担当者が対数に関する愚問をしつこく出し、ガロアの回答に満足しなかったために、頭に来たガロアがその試験官に向かって黒板消しを投げつけたという。理工科学校は最も高等な数学が教えられ、さらに自由主義的な雰囲気に満ちていたためにガロアは入学を切望していたが、その入学試験は2回までと制限されていたため、ガロアの望みは絶たれてしまった。
title: 方法序説
text: 序説と訳されるDiscoursは、Traitéが教科書のように体系的に書かれた論説であるのに対して、形式ばらない論考の意であり、デカルト自身がメルセンヌへの書簡で「方法の試み」であると呼んでいる。哲学的な内容はその後に出版された『省察 Meditationes de prima philosophia』とほぼ重なっているが、『方法序説』は自伝の記述をふくみ、思索の順序を追ってわかりやすく書かれているため、この一冊でデカルト哲学の核心を知ることができる。当時、多くの本がラテン語で書かれることが多い中、ラテン語の教育を受ける可能性が低かった当時の女性や子供たちでも読めるように、フランス語で書かれ、6つの部分に分かれている。
title: 冪乗
text: 17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、ルネ・デカルトが著書 La Géométrie の一巻において導入した。
title: フェルマーの最終定理
text: と書き残した。彼の残した他の書き込みは、全て真か偽かの決着がつけられたが、最後まで残ったこの予想だけは、誰も証明することも反例を挙げることもできなかった。そのため「フェルマーの最終定理」と呼ばれるようになった。内容自体は三平方の定理程度の知識があれば理解できるものであったため、プロ・アマチュアを問わず、無数の数学者がその証明に挑んだ。見事に証明した者には、賞金を与えるという話も出てきて、フェルマーの最終定理の存在が、一般にも徐々に知られるようになっていった。
title: アラリオ
text: 1694年、ロピタルは彼の著書へアイデアを使用させてもらう謝礼として毎年300フラン支払うというベルヌーイとの約束を反故にした。1704年にロピタルが死ぬとベルヌーイはその約束を世間に公開し、ロピタルの著書の中の結果の多くはベルヌーイのアイデアであることを公表した。1922年にベルヌーイの主張を裏付けるテキストが発見された。ロピタル自身がロピタルの定理を発見したという信用を得ようとしたという話は間違いである。なぜなら、彼はその本を匿名で出版し、序章でベルヌーイの助力によるものと謝辞を入れており、しかもロピタルの定理の発見の主張は全くしていない。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: フランセーンによれば、数学者ダヴィット・ヒルベルトは「数学に“イグノラビムス(ignorabimus, 永遠に知られないこと)”はない」と述べた。数学上に不可知は無く、全ての問題は最終的に解決されるというヒルベルトのこの見方は、「ノン・イグノラビムス」として知られている。ゲーデルの不完全性定理は、「決してこのヒルベルトの楽天的な見方を否定するものではない」とされている。何故なら、不完全性定理によって否定されたものとは単に、「ノン・イグノラビムス」へ到達する手段の一つとしてヒルベルトが提案したもの ―― すなわち、「すべての数学の問題が解けるような単一の形式体系」 ―― であり、「ノン・イグノラビムス」自体は否定されていないからである。
title: 数学の哲学
text: フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは、数学的美の感覚は現場の数学者たちにとって普遍的なものであると述べている。例えば、数学者たちが√2が無理数であることを証明する仕方には2種類ある。第1のやり方はエウクレイデス(ユークリッド)によって始められた伝統的な証明法で、背理法を用いる。第2のやり方は算術の基本定理に関連するもっと直接的な証明法であるが、デイヴィスとハーシュによれば、これが問題の核心を衝くものである。つまり、第1の証明法より第2の証明法の方が問題の本質に近いがゆえに、数学者たちは後者の方を美的関心をそそられる。
title: 哲学
text: と批判している。田中によると、ゲーデルの不完全性定理について哲学者が書いた本が、フランセーンの本と同じ頃に書店販売されていたが、哲学者の本は専門誌によって酷評された。その本は全体として読みやすく一般読者からの評判は高かったが、ゲーデルの証明の核(不動点定理)について、根本的な勘違いをしたまま説明していた。同様の間違いは他の入門書などにも見られる。
title: ジャン・ビュリダン
text: 哲学で身を立てる者の典型から外れて、彼は神学の博士号を取得に熱心でなく、人文学科で多くの時間を使った。また修道会に加わらず教区の聖職者に留まることに傾注し、それにより知的独立を保った。1340年までには、先輩格の哲学者オッカムのウィリアムと渡り合えるだけの地位を確立した。彼の運動理論は懐疑主義と科学革命の夜明けであり、ガリレオ・ガリレイの研究の露払い的な意義があったと今日では評価されている。ビュリダンはまた複数のパラドックス(嘘つきのパラドックスなど)の正しい解釈を書き残している。1358年、パリで没。その後、オッカム派の運動によってビュリダンの著作は1474年から81年の間『禁書目録』にリストアップされた。
title: ステファヌ・マラルメ
text: 最晩年、『コスモポリス』誌に『骰子一擲』を発表。これは「詩と偶然」について扱われたものだが、さまざまに異なる書体や文字の大きさを用い、それまでの西洋詩のもつ諸概念を根本的に覆した。「賽(サイコロ)の一振りは決して偶然を排さないだろう」\"UN COUP DE DÉS JAMAIS N'ABOLIRA LE HASARD\"という軸になる一文と、それにまつわる複数の挿入節の文章で構成されている。詩の内容のみならず、その視覚的形態はいまなお革新的で斬新である。
title: エピメニデスのパラドックス
text: エピメニデスの言葉をパラドックスとして扱う場合、もっと難しい論理問題である自己言及のパラドックス、ラッセルのパラドックス、ブラリ=フォルティのパラドックスなどと密接に関連付けられる。これらはいずれも自己言及を特徴とする。実際、エピメニデスのパラドックスは自己言及のパラドックス(嘘つきのパラドックス)の一種として扱われ、時には区別されないこともある。自己言及の研究は20世紀における論理学と数学の発展に重要な役割を果たした。
title: アレクサンドリアのディオファントス
text: フェルマーの最終定理を含めてフェルマーが余白に書き込みをしたのは、1621年刊行のバシェによるラテン語版『算術』である。フェルマーの書き込みが知られるようになったのは、1670年にフェルマーの息子のサミュエルが書き込みを追加した『算術』を出版してからである。
title: ゲーデルの不完全性定理
text: 数学者・論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。
title: 整数
text: ヨーロッパで整数の概念が現れるのは遅く、よく知られた二整数の積に対する符号の規則は一般にステヴィン (1548 - 1620) に帰せられる。またダランベール (1717 - 1783) は、彼の百科全書において整数が危うい概念であると述べている。
title: オウィディウス
text: その他にもオウィディウスに大きな影響を受けた作家は枚挙に暇がない。例えば、ミシェル・ド・モンテーニュは『随想録』の中で陰に陽にオウィディウスを引用しており、特に「子弟の教育」の段では次のようなことを言っている。
title: アルキビアデスI
text: そこでアルキビアデスは、自分がソクラテスに質問されるままに振り回されてふぬけのような格好であると動揺する。それに対してソクラテスは、「眼の数」「手の本数」といった分かり切った「知っている」ことについては「いつも同じ答え」をするものであり、逆に自分の意に反して「矛盾する答え」を言うということはその事柄を「知っていない」ことを示している、そしてそれゆえにアルキビアデスはこれまでの問答から「正・不正」「美・醜」「善・悪」「利・不利」を「知っていない」のだということを指摘し、アルキビアデスも同意する。