クイズ問題: 円周の長さを直径で割ることで求められる、ギリシャ文字のπで表される値は何でしょう?
答え: 円周率

関連するWikipedia記事の抜粋:
title: 円周率
text: 円周率を表すギリシア文字 π は、ギリシア語 περίμετρος(ペリメトロス)あるいは περιφέρεια(ペリペレイア)の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 π をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円周の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 R の円周の長さとして用いた。ウィリアム・ジョーンズ (1706) やレオンハルト・オイラーらにより(現代と同じく)円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
title: 三角法
text: 直角三角形の3辺の長さの比は、測量や天文学の要請によって古代から研究されてきた。イエール大学のバビロニア・コレクション(英語版) No.7289(前2000年頃)には、正方形と2本の対角線が描かれていて、それぞれの長さが楔形文字により60進法で記されている。これに基づく2の平方根の近似値の精度は、10進法で小数点以下5桁まで、現代知られている近似値と一致するほど正確なものであった。前1800年〜前1650年の間のある時期に作られた粘土板(コロンビア大学のプリムプトン・コレクション No.322)には、ピュタゴラスの三ツ組数が記されているとも解せる。メソポタミアにおいては新バビロニア時代に入ると、天文観測上の必要から角度を数値化するという概念も発展し、円の一周を360°に分割する度数法が始まった。
title: アルキメデス
text: 『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を⁄153(約1.7320261)と⁄780(約1.7320512)の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している。
title: ウィリアム・ジョーンズ (数学者)
text: ウィリアム・ジョーンズ(William Jones, FRS、1675年 – 1749年7月3日) はウェールズの数学者。円周と直径の比を表すのにギリシア文字のπを最初に使ったことで有名。ニュートンやハレーとは近しい友人であった。1711年11月に王立協会フェローとなり、その後副会長にもなった。
title: 天文単位
text: 太陽系内の運動を精度よく記述するためには地上とは違う単位が必要だという要請の元、1809年、ガウスは、地球の軌道長半径を長さの単位 A、太陽質量を質量の単位 S、地球の1日を時間の単位 D とする単位系を与え、太陽系の運動を記述する基礎とした。このとき導入されたガウス引力定数 k はこの単位系で表した万有引力定数の平方根となるとともに、1日あたり地球が太陽をめぐる平均角をラジアン単位で表すことになった。この単位系が1938年に国際天文学連合による天文単位系と天文単位の概念に直接引き継がれた。天文単位系では、長さの天文単位 A のほかに太陽質量 S を質量の天文単位、1日の時間の長さ D、すなわち 24×60×60 = 86 400 秒を時間の天文単位と呼ぶ。ただし普通は質量と時間の天文単位が天文単位の名で参照されることはなく、単に天文単位という場合には長さの天文単位を指す。
title: ピュテアス
text: ストラボンはヒッパルコスに倣って度を使っている。ストラボンもヒッパルコスもピュテアスが度を使っていたとは述べていない。ではどうやってピュテアスが緯度(に相当する値)を得ていたかというと、ストラボンによればピュテアスは三角関数の正接(タンジェント)で天体の高度(仰角)を表しており、gnōmōn と呼ばれる器具(日時計の針)を使っていた。つまり、直角三角形の底辺と垂直な辺の比率で角度を表していた。斜辺が天体を指すように調整し、そのときの底辺(gnōmōnと視点の水平距離)と垂直な辺(gnōmōnの高さ)を測定するのである。
title: ピュテアス
text: ストラボンは太陽の高度の測定値として天文学用のキュビット(pēchus、肘から小指の先までの前腕の長さ)を使っている。このときのキュビットの正確な意味は不明である。直線距離なのか円弧に沿った距離なのか不明であり、天球上の距離とは思われず、gnōmōn とも関係がない。ヒッパルコスはこの用語をバビロニアの文献から借用しており、その場合は2度に相当する。古代シュメールからキュビットが導入されたのはかなり古く、バビロニアやイオニアでキュビットと度の間の関係が決まっていたとしても、その定義は現存していない。ストラボンは度を定義するにあたってキュビットまたは大円の比率を使っている。古代ギリシアでも夏至の日の太陽の出ている時間を緯度の測定に使っていた。分点のときの日の出から日没までの時間を12等分したものを分点時間 (hōrai isēmerinai) としていた。
title: 太陽質量
text: 歴史的には、この太陽質量の地上の単位での値を追究することなく、逆にこれを単位とすることで太陽系の運動は記述されてきた。 19世紀のガウスは太陽系の運動を精度よく記述できる単位系として、長さの単位に地球の軌道長半径 A を、時間の単位に太陽日 D を、質量の単位に太陽質量 S を取っている。 このガウスの単位系は現在でも形を変えて天文単位系と天文単位の概念に引き継がれている。 ガウスの単位系で表したとき、G の平方根に相当する値はガウス引力定数と呼ばれ、地球の平均角速度として精度を保ったまま記述することができる。 こうして長い間、地上での単位系と太陽系での単位系はしっかりと結びつくことなく、それぞれの世界でその役割を担ってきた。
title: 数学史
text: 復元された粘土板の大部分は紀元前1800〜1600年の時代であり、分数、代数、二次および三次方程式、およびピタゴラス数の概念が扱われている(プリンプトン322参照)。粘土板にはまた、乗算表、三角法表および一次と二次方程式の解法が含まれている。バビロニアの粘土板YBC 7289は、2の平方根の小数点第5位まで正確な近似値を出している。円周率の値として、実際的な計算のためにはしばしば 3 が用いられていたが、22/7 などのより精確な近似値も知られていた。(円周率の歴史も参照のこと)
title: 平方根
text: 単位長と任意の長さ a が与えられたとき、a の正の平方根の長さは定規とコンパスを用いて作図することができる。
title: 虚数単位
text: 虚数単位 √−1 を i で表したのはオイラーで、1770年頃である。i は imaginary の頭文字から採られている。
title: ギリシア文字
text: 単位として使われる「Ω」やSI接頭辞の「μ」、角度の「θ」、標準偏差を表す「σ」、増分の「Δ」、円周率の「π」、総和の「Σ」や総乗の「Π」、ラムダ計算、カイ二乗分布、ガンマ関数などはよく知られる。詳細は個々の文字を参照。
title: 0
text: 古代ギリシャでは高度な数学と天文学が発展したが、ギリシャ数字は計算が非常に面倒だったので、天文学のような大がかりな計算にはバビロニアから伝わった六十進法を使った。最も古い例は130年、プトレマイオスが零と六十進法を用いて計算をした記録がある。ギリシャの数学者はこの方法で時間や角度を計算し、1時間、また角度の1度の1/60を1分、1/60分を1秒とした。しかし整数部分である1時間単位や角度そのものには零を使わず、12時の次は0時ではなく1時であった。ギリシャでは、バビロニアのゼロ記号にはギリシア文字のオミクロン「ο」を当てた。アラビア数字の0と形が似ているが、これはおそらく偶然であったとされる。
title: 変ロ長調
text: 小惑星番号 3142 が円周率 π(パイ)の約1,000倍であることから命名された。
title: 虚数単位
text: 1770年頃、オイラーは虚数単位 √−1 を i と表した。i は imaginary の頭文字から採られている。
title: 十七角形
text: 正十七角形がコンパスと定規で作図できることは1796年3月30日の朝に19歳のカール・フリードリヒ・ガウスが目覚めてベッドから起き上がる時に発見した。これは任意の三角関数において、その変数としての角が 2π/17 radのとき、関数の値が有理数と平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。例えば cos の値は以下のように表される。
title: 弦 (数学)
text: 三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表(英語版)で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している(0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった)。
title: ピュテアス
text: 彼らが正接の値から逆正接値、つまり角度を求めることができたとは思えない。現代なら計算機がなくとも数表があれば角度を知ることができる。ヒッパルコスはいくつかの角度についてそのような数表を作っていたと言われている。このときの角度は70度47分50秒だが、これは緯度ではない。
title: アルマゲスト
text: 円運動に基づき、また地球中心で天を球体としている点はエウドクソスと同様だったが、従円と周転円、離心円、エカント、クランク機構、軌道面の振動といったより技巧的な仕組みを導入した。また、純粋に幾何学的な理論に終始したエウドクソスに対して、プトレマイオスの理論は、幾何学に基づきながらも、非常に数値的だった。幾何学的と数値を結び付けるための必須だったのが、「弦の表」である。これは円弧の長さと弦の長さを表にしたもので、今の三角法の起源である。
title: 林清一
text: 1991年に導入されたもので、ギリシャ語で「8」を意味する οκτώ (octo) に由来する。8は、10 が 1/1000 だからである。\"y\" がついたのは、\"octo\" では記号が \"o\"(オー)になり、\"0\"(ゼロ)とまぎらわしいためである(ヨタも参照のこと)。
title: 中国の数学
text: 『九章算術』の問題では、球の表面積など円や球に関連した問題を計算する際に、円周率を3に等しいとしている。円周率が3であると計算するための明示公式はテキストに出てこないが、この数値は『九章算術』のほか同時代に作成された『考工記』の問題でも共に使用されている。歴史家は、円周率の数値が円周と円の直径の間の(およそ)3:1という関係を用いて計算されたと考えている。幾人かの漢代の数学者はこの数値を改善しようと試みており、例えば劉キンは円周率を3.154と推定したと考えられている。彼がこの推定値をどのように計算したかについての明確な方法や記録はない。
title: ネイピアの骨
text: 平方根を求める計算には、平方数 1, 4, 9, ... 81 を並べた棒が必要になる。この棒は一番右に置いて使う。ここでは例として、 1 の棒、 3 の棒と平方数の棒を並べた図を用いる。ネイピアの骨の基本的な演算と同じく、足し算によって求めた各行の値を右端に付記した。
title: 天文学史
text: 後は月までの距離が分かれば、重要な数値が全て揃う。月の直径を測定により算出したのは、ギリシアのヒッパルコスである。エラトステネスの90年後、紀元前150年であった。ヒッパルコスは三角法の正確な数表を作り上げ、角度から辺の長さが分かるように準備した。その後、地球上の異なる点から月を観察し、視差によって生まれる特定の恒星と月の位置関係の変化をまとめた。これによって、地球-月間の距離は地球の直径の30倍であるとした。エラトステネスが計算した4万kmという地球の大円の周長に当てはめると、月までは38万4000kmと計算できた。21世紀の現在では月の平均軌道半径が38万4400kmと分かっている。
title: オイラーの等式
text: オイラーの等式(オイラーのとうしき、英: Euler's identity)とは、ネイピア数 e、虚数単位 i、円周率 π の間に成り立つ等式のことである:
title: 数学史
text: アリヤバータは、西暦499年に正矢関数 (en:Versine, 1 - cos θ) を導入し、正弦の最初の三角法表を作成し、代数学、無限小、微分方程式の解法とアルゴリズムを開発し、現代と同等な手法により線型方程式の解を求め、また万有引力の地動説に基づく正確な天文学の計算を行った。彼の著作『アーリヤバティーヤ』 (Aryabhatiya) は、アラビア語翻訳が8世紀に、ラテン語の翻訳が13世紀に行われた。彼はまた、円周率の値を小数点以下第4位の3.1416まで計算した。後の14世紀に、サンガマグラーマのマーダヴァは、円周率を小数点以下第11位まで計算した。
title: 中国の数学
text: 劉徽の『九章算術』に関する注釈本は、入手可能な原文テキストの最初期の編集本である。劉徽は漢代直後の数学者だと大半の人に信じられている。自身の解説の中で、劉徽は代数的あるいは幾何学的観点からいくつかの問題に条件を付けて証明した。例えば、『九章算術』を通して円や球に関する問題では円周率は3に等しいと見なされている。解説の中で、劉徽は取り尽くし法を用いてより正確な円周率の推定値を見つけた。取り尽くし法では、円の中に内接した多角形を作成して、最終的に高次多角形の面積が円と同じになるよう収束させていく。この方法から、劉徽は円周率の値が約3.14である(これは中国で徽率とも呼ばれる)と主張した。劉徽はまた古代ギリシアの方法と同じに、平方根と立方根の開平法の幾何学的証明を提示した。これは、正方形または立方体を任意の線または断面で切断し、残りの長方形の対称性によって平方根を決定するというものである。
title: ネイピアの骨
text: ネイピアの骨は、ギリシャ語で「棒」を意味する ραβδoς (rabdos) と、「言葉」を意味する λóγoς (logos) の合成語である ラブドロジー (Rabdology) とも呼ばれる。ネイピアは、1617年の末にエディンバラで Rabdologiæ という名前で発表した。ネイピアの骨には九九の表が組み込まれており、複数の桁からなる正の整数と、1桁の正の整数の掛け算の計算を足し算だけで済ますことができる。
title: 円周率
text: 数 π を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率(圓周率)」、ドイツの「Kreiszahl」(Kreis は円(周)、Zahl は数の意)の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」(英: Archimedes' constant)、「ルドルフ数」(英: Ludolph's constant、独: Ludolphsche Zahl)などがある。一般にドイツ語を除くヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
title: 先天図
text: 1703年、ドイツの数学者ライプニッツはイエズス会宣教師ジョアシャン・ブーヴェから朱熹の「伏羲六十四卦方位図」を送られ、その次序の中に自らが編み出していた2進法の計算術があるとして、陰爻 ¦ を0、陽爻 | を1と解釈し、方図の左上端の坤 ¦¦¦¦¦¦ (000000)を0として右へ剥 ¦¦¦¦¦| (000001)を1、比 ¦¦¦¦|¦ (000010)を2、観 ¦¦¦¦|| (000011)を3、豫 ¦¦¦|¦¦ (000100)を4...と番号を振っていき、右下端の乾 |||||| (111111)を63と規定した。
title: 円周率
text: 円周率(えんしゅうりつ、英: Pi、独: Kreiszahl)とは、円の直径に対する円周の長さの比率のことで、数学定数である。通常、ギリシア文字 πで表される。円の直径から円周の長さや円の面積を求めるときに用いる。また、数学をはじめ、物理学、工学といった科学の様々な理論の計算式にも出現し、最も重要な数学定数とも言われる。
title: 二百五十七角形
text: 正二百五十七角形がコンパスと定規で作図できることは、任意の三角関数において、その変数としての角が 2π/257 radのとき、関数の値が有理数と平方根の組み合わせのみで表現できることを意味する。
title: バビロニア
text: バビロニア人は明らかに三平方の定理や円周率を知っていた。ただし円周率はほとんどの場合3で計算された。これは精密な計算が不可能であったわけではなく、バビロニアの数学における実用重視の側面の現れであったと思われる。バビロニア人の数学的関心は厳密な円周率の近似値を求めることではなく、円周や円の面積をどのように効率的に計算するかにあった。
title: £
text: 古代ローマの通貨リーブラのアルファベット表記である libra の頭文字 L から採られた。リーブラは天秤を意味し、そこから質量の単位、質量1リーブラの銀の価値へ変化した。なお、「#」とは同じ由来である。
title: 最後の授業
text: オクタグラムは、ギリシャ語の倍数接頭辞で八を意味する octa- と、「線」を意味するギリシャ語γραμμή (grammḗ)から来た接尾辞-gramを組み合わせた語である。
title: ルドルフ・ファン・コーレン
text: 1596年には、著書『円について』を著し、没するまでに最終的に正2(=約461京1686兆)角形を使って π の35桁目までを正しく評価した。ドイツでは彼の名にちなんで、円周率をルドルフ数と呼ぶ事もある。
title: アバカス
text: 算盤のもう1つの起源と考えられるのが、中国の算木で、十進法で数を表すが桁のプレースホルダーとしての0の概念がなかった。中国にゼロの概念が伝えられたのは唐の時代 (618-907 AD) と見られている。そのころ中国の商人がインド洋を航海してインドや中東と直接接触し、ゼロの概念や小数点の概念をインド人商人や数学者から教えられ、中国に伝えたと見られている。
title: クラウディオス・プトレマイオス
text: なお、本書は地球の周長の値を1800スタジオンとし、それを「(一般に)受け入れられている値」としている。距離の単位「スタジオン」が時代や地域によって長さがまちまちであるため、現代の計測結果との比較は難しいが、大きく見積もっても誤差は数割程度で、また原理的には正しい計測方法を用いている。
title: エラトステネス
text: このエラトステネスが求めた地球の大きさの値が現在の単位でどれだけであるかについては、断言が難しい。スタディオン(スタディアの単数形)の大きさが時代や場所によって異なっており、エラトステネスが用いたスタディオンの現在の単位での値ははっきりしていないからである。歴史学者カール・フリードリヒ・レーマン=ハウプト(英語版)は、スタディオンには少なくとも6種類のものがあったと主張している。もっとも可能性が高いとされるのは、天文学者デニス・ローリンズ(英語版)などによる説で、1スタディオンは185メートルであるとされ、このとき 252,000 スタディアは地球の全周長よりおよそ 17% 大きな 46,250 キロメートルとなる。
title: 分 (角度)
text: 分は、度の60分の1である。1度が円弧の360分の1の角度と定義されているので、1分は円弧の7004216000000000000♠21600分の1となり、(π/7004108000000000000♠10800) ラジアンである。
title: 地球平面説
text: 『淮南子』に記されているように、紀元前2世紀の中国の天文学者はエラトステネスによる地球の曲率の計算を上手く反転させて地球から太陽までの距離を計算した。地球が平面だという前提を置けば10万里という結果が得られたが、これは実際の3分の1の大きさであった。
title: Πの歴史
text: 『πの歴史』(パイのれきし、英語: A History of π、A History of Pi)は、ペートル・ベックマン(英語版)が数学定数である円周率 (π) の概念を素人向けに入門として紹介したノンフィクションである。
title: クラウディオス・プトレマイオス
text: しかし、バビロニアの数理天文学の算術的な方法の方が、数値的な予測にははるかに優れていた。そこでバビロニアの長所(算術やデータ、天文定数)を取り入れつつも、幾何学的な説明を主軸にした独自の天文学がアポロニウスやヒッパルコス(BC190年?-BC120年?)らによって生み出された。それをさらに発展させたのがプトレマイオスであった。円運動に基づき、地球中心で天を球体としている点はエウドクソスと同様だったが、より技巧的な仕組みを導入した。また、幾何的な説明を数値に結びつけたのが「弦の表」である。これは、円弧の長さと弦の長さ間の関係を表にしたもので、今の三角法の起源である。
title: モスクワ数学パピルス
text: 以上から、古代エジプト人は円周率の近似値として、次の値を使っていたことがわかる。
title: 周長
text: 多角形の周長は四則演算だけで計算できるが、円の周長は円周率が無理数であるため式は簡素でも小数点表記では厳密な値を表現することはできず、楕円の周長は四則演算だけでは表すことができない。
title: 奈良県立十津川高等学校
text: 1グラードは直角(90度)の100分の1である。すなわち、1回転(360度)は400グラードとなる。グラードの倍数単位には、グラードの100分の1のセンチグラード()と、センチグラードの100分の1のセンチセンチグラード()がある。
title: 実数
text: 紀元前1000年頃のエジプトで帯分数がすでに使われており、紀元前600年頃のインド「シュルバ・スートラ」(サンスクリット語で「コードの規則」)では無理数の使用や円周率の近似値として 3.16 が与えられている。
title: 瓦部
text: 近代になり西洋の自然科学用語が流入した際、日本では重さの単位であるグラムを「瓦」(瓦蘭姆の略)で表記し、「瓱」(ミリグラム)・「瓰」(デシグラム)・「甅」(センチグラム)・「瓧」(デカグラム)・「瓸」(ヘクトグラム)・「瓩」(キログラム)・「瓲」(トン)といった和製漢字も作られた。「瓦」が偏の位置に置かれるのが特徴である。
title: 近似値
text: この円周率の近似値として、3.14 や 3.14159 が度々用いられるが、このような「区切りのいい数字」で書かれる値ばかりが近似値ではない。例えば、アルキメデスが正九十六角形を用いて円周率の詳しい値を計算したという話は有名であるが、それにより円周率の近似値 22/7 や 223/71 が得られる。さらに精度の高い近似値として 355/113 が用いられる。他にも 10 {\\displaystyle {\\sqrt {10}}} や 2 + 3 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}+{\\sqrt {3}}} などの無理数を円周率の近似値として用いることもある。(平方根は代数的数なので、超越数である円周率よりはまだ計算に向いているため、このような近似も意味があるわけである。)
title: 数学史
text: バビロニア数学は、六十進法(60を底とする)の位取り記数法を記述していた。ここから、現在1分が60秒、1時間が60分、および円が360度 (60 × 6) の用法が由来している。60には多くの約数があるという事実により、バビロニア数学の進歩が促進された。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学と異なり、バビロニア数学は正しい位取り記数法を持ち、左の列に書かれる数字が、十進法より大きな値を示す、しかしながら、小数点に相当するものが欠けているため、数字によって実際に表されている数値はしばしば文脈から推論しなければならなかった。
title: インディアナ州円周率法案
text: グッドウィンの本来の目標は、円周の長さを測定することではなく、円を四角にすることだった。彼はそれを文字通りに円と同じ面積を持つ正方形を見つけることだと解釈した。彼は、アルキメデスの円の面積の公式(直径に円周の 1/4 を掛けること)が円を四角にする古代の問題の解決策にならないことを知っていた。これは、その問題がコンパスと定規だけを使用してその面積を作図することであって、アルキメデスは円周と同じ長さの直線を作図する方法を与えなかったからなのであるが、グッドウィンはこの重要な必要事項に明らかに気付いていなかった。つまり彼は、アルキメデスの公式に関する問題とはそれが間違った結果を与えることであって円積問題はそれを「正しい」公式に置き換えれば解けるものと信じていたのである。
title: 黄金比
text: 伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス(Φειδίας, 紀元前490年頃 - 紀元前430年頃)が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
title: クラウディオス・プトレマイオス
text: 天文学書『アルマゲスト』幾何学的な描像と、数値的な計算を結び付けるための強力な道具として用いられたのが、「弦の表」、すなわち円弧の長さと弦の長さの間の関係を表にしたものである。『アルマゲスト』では、これをヒッパルコスの発明としている。また、『アルマゲスト』には、「弦の表」の様々な性質、例えば加法定理に相当するものなども示されている。ただし中世以降は、プトレマイオス以前に分岐して独自に発展を遂げた、インド流の三角法に置き換えられていく。
title: ウィリアム・オートレッド
text: 元は牧師であったが余暇の全てを数学の研究に費やしたことで知られる。ジョン・ネイピアが対数を発明し、エドマンド・ガンターが対数尺を発明した後、オートレッドが2つの対数尺を組み合わせることで乗法と除法を直接計算できる計算尺を1622年に発明した。また、乗法の記号である \"×\" や、三角関数を \"sin\" や \"cos\" と表記する方法もオートレッドの考案である。
title: 角度
text: 『図説 数学の事典』では、π < θ < 2π の角を優角ではなく折り返り角と記しているが、原著はドイツ語であり、そこからの翻訳なので英語との対応は不明である。また θ = 2π の角を周角ではなく全角と記している。
title: 天文単位
text: やはりその著作は失われているが、クレオメデスによれば、ポセイドニオスも紀元前90年ごろに月と太陽までの距離を評価している。ポセイドニオスは地球の影を円柱だと考え、月食の影の大きさから月が地球の半分の直径をもつとした。さらに月の見かけの大きさと、知られていた地球の大きさから地上の単位で月までの距離を見積もった。その5百万スタディオンという値は、実際より 2.1–2.6 倍過大であった。これは地球の影を円錐だと考えず、月を実際のおよそ2倍の大きさだと見積もったことによる。一方で太陽までの距離の見積もりは根拠に乏しい推測的なものにとどまっている。
title: ナスィールッディーン・トゥースィー
text: 1272年に惑星の位置を計算し、恒星の名を記した天文表『イルハン天文表』を作成した。2つの円運動から直線状の動きを得る、トゥースィーの対円 (Tusi-couple) と呼ばれる惑星モデルを考え、クラウディオス・プトレマイオスの惑星運行モデルの難点の一つであったエカントの除去に成功した。地動説が現れるまで、トゥースィーの宇宙の体系は最も進んでいた。また天文上の分点の歳差が51秒であることを計算した。
title: アバカス
text: 古代ローマでの一般的な計算方法はギリシアと同じで、滑らかなテーブル上で計数用の珠を動かして計算した。もともとは小石を使っていた(これを calculus と呼んだ)が、後にジェトン(英語版)という硬貨のようなものができ、中世ヨーロッパでも使われた。ローマ数字の体系に沿って、5や10などを印のついた線で表す。このような計数用の珠を並べるシステムがローマ帝国後期から中世ヨーロッパにかけて使われ続け、19世紀まで細々と存続した。ローマ教皇シルウェステル2世がアバカスをより便利にする改良を加えたため、11世紀にヨーロッパで広く使われることになった。
title: 外接円
text: で表すことができる(ブラーマグプタの公式)。s は周長の半分である。
title: 半周長
text: 円に内接する四角形の面積を求めるブラーマグプタの公式は、ヘロンの公式に似た単純な形をしている。
title: リラ (通貨)
text: ラテン語で天秤を意味し、質量の単位でもあったリーブラ (libra) が語源。貨幣としては、質量1リーブラの銀の価値を表した。イタリア語の法則により、2重子音の1つ目が脱落しリラ (lira) となった。
title: ピュテアス
text: ピュテアスはマッシリアでの太陽の高度(仰角)を夏至の正午に計測した。正接の比率は120(gnōmōnの高さ)と41と5分の4(影の長さ)だった。ヒッパルコスはこの比率がビュザンティオンで同様の計測をしたときと同じだと述べており、マッシリアとビュザンティオンは同緯度だということになる。ナンセンなどは、これを余接(コタンジェント)で209/600のように正接の反対の比率で表すことを好む。いずれにしてもこの場合の角度は45度より大きい。当時は小数がなかったが、このときの正接を小数で表すと約2.87になる。
title: 円理
text: 江戸時代初期の日本では、円周率を3.16として円周の長さ等を求める手法などが見られたが、その値自体が不正確であることからも伺えるように、数学的に探求されたものとは言えない状況であった。そういったこともあり、円周率の理をつまびらかにすることが、この分野の最初の研究であった。「円理」という言葉を初めて用いたのは、沢口一之で、寛文11年(1671年)に著した『古今算法記』でこの言葉を用い、これを知ることの難しさを指摘している。実際に円理の研究の先駆者として知られているのは今村知商・村松茂清であった。続く関孝和は、円に内接する正131072角形の周長を計算し、そこから円周率が355/113 (≒3.1415929) に近い値であることを求め、最終的には円周率を小数第10位まで正確な値で求めることに成功した。そこから円積率・玉率もほぼ正確に求まった。
title: メートル法化
text: 十進法は、接頭辞を付けて分量・倍量を表すメートル法では必須の部分である。これにより計算が簡素化される。インド人は数学的な計算のために十進法を使用したが、日常の目的のために十進法の使用を最初に主張した人物はシモン・ステヴィンであり、1585年の著書『十進法』(La Thiende)によってであった。彼の小数の表記法は使いづらいものであったが、後に小数点の導入によって克服された。小数点は、バルトロメオ・ピティスクス(英語版)が書いたとされる『三角法』(1595年)で最初に使われたものである。
title: 天文単位
text: プトレマイオス(トレミー)とパップスは、紀元前2世紀のギリシアのヒッパルコスが日食の見え方が各地で異なることを利用して地球の半径を基準とした月や太陽までの距離を見積もっていたことに言及している。ヒッパルコスが求めた太陽までの距離は地球半径の 490 倍以上というものであった(実際の値は約 23 500 倍)。ヒッパルコスの著作そのものは現存しておらず、その具体的な算出方法は伝えられていないが、断片的言及から現在ではその巧妙な幾何学的方法がほぼ再構築されている。
title: 度 (角度)
text: メートル法は十進法に基づいているため、メートル法導入当初、角度にも10の累乗数を取り入れる試みがあった。その単位はグラード(grade)またはゴン(gon)といい、一周を400グラードとする。この単位では、直角を100等分したものとなる。グラードは充分な支持を得られなかったが、計算しやすい点から、現在でも多くの科学用計算機で採用されている。
title: 度 (角度)
text: 日本においては、江戸時代に全円周が360度であるという概念が入ってきた。池田好運の「元和航海書(1630年頃完成)」では、全円周は360度との記述があり、「度」のことはガラブと書いている。一部、ガラブの訳語として「段」の表記が用いられている。他にも1695年、渋川春海が作った地球儀には、30度ずつ12本の経線が引かれており、全周を360度としている。中国のマテオ・リッチらが著した幾何原本(中国語版)が輸入されたり、蘭学者がオランダ人から学んだりした知識などが広まり、日本でも「度」の概念が知られるようになった。
title: リンド数学パピルス
text: 初期のエジプト数学から、84題の例題と解答が書かれている。特徴としてエジプト式分数と呼ばれる方式で単位分数が多用されている。これは、報酬を現物支給するための食糧の配分、土地の分割、製造のための配合などを計算するために実生活で乗法と除法が必要だったためと考えられている。計算を助けるための速算表が掲載されており、分母 2n+1 が3から101までの奇数である分数 2/2n+1 を単位分数の和に分解するための分解表が最初の部分にある。修辞的な代数が用いられており、単独方程式や連立方程式、等差級数や等比級数が見られる。幾何では、長方形、直角三角形、二等辺三角形の面積のほか、円の面積の近似値を求める方法などが書かれている。
title: 三進法
text: 重みを持つ各桁の値を負の側にも振る、平衡位取り記数法の最も単純な方式である(同様の考え方を拡張すれば、平衡五進法や平衡七進法が考えられる)。amの値を-1,0,1とする。位取り記数法の内に負数も含めて綺麗に表現できるという性質があり、ドナルド・クヌースのように「おそらく、あらゆる記数法の中で最も美しい」と言う者もいる。しかし、二進法などと比べて応用も多くないため、ほとんど使われていない。ここでは-1を 1 ̄ {\\displaystyle {\\bar {1}}} と表示することとする。また、この表記法は天秤で「1g,3g,9g,27gの分銅を用いて1~40gの質量を量る方法」とも似ている。
title: メートル
text: 1675年にはイタリアの科学者ティト・リビオ・ブラッティーニ(英語版)が著作『Misura Universale』の中で、古代ギリシャ語の「μέτρον καθολικόν(メトロン・カトリコン)」から普遍的測定単位を「metro cattolico」と書き表した。これが1797年にフランス語に伝わり「mètre」となり、次いで英語の「metre」となった。なお、現代ギリシャ語では μέτρο(メトロ)という。
title: 天動説
text: 黄経の計算のために、紀元前3世紀頃のアポロニウスや紀元前2世紀のヒッパルコスは、バビロニア天文学とは根本的に異なる、幾何学的な方法を発展させており、エウドクソスのような地球中心の円運動に加えて、離心円や従円と周転円といった機構を用いていた。プトレマイオスはさらにエカントとよばれる機構を付け加えた。水星と月をのぞくと、プトレマイオスの扱った天体の軌道は円に非常に近い(軌道離心率が小さい)ため、円運動を組み合わせるこの手法は非常に効果的であった。
title: 度 (角度)
text: 数学においては、360に約数が多いという点はそれほど重要ではないため、度はほとんど用いられない。数学においては、弧度法を用い、単位としてラジアン(rad、円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度)を使用するのが一般的である。円周は2πであるので、360° = 2π rad, 1° ≈ 0.0174533 rad, 1 rad ≈ 57.29578° となる。ラジアンは国際単位系(SI)における角度の単位である。
title: 度 (角度)
text: 360という数は、1年の日数に由来すると言われる。ペルシア暦のような初期の暦法では、1年は360日とされていた。1周を360度とすることで、星が北極星を中心とする円を1日1度回ることになり、星を観測する際に便利である。これを幾何学における角度の測定に応用した人物は、ギリシャのタレスであると考えられている。タレスは、ギリシャ人の間に幾何学を普及させた人物であり、アナトリア(現在のトルコ)においてエジプトとバビロンの両方に関係していた人々と共に住んでいた。
title: 六万五千五百三十七角形
text: 正65537角形がコンパスと定規で作図可能であることは、1の原始65537乗根(のひとつ)
title: 経度の歴史
text: その後、紀元前の天文学者であるヒッパルコスは、天球と同様に地球を自転軸を持つ球とみなし球面上の角度として経緯度を定義し、360分割した経線と緯線を考え、さらにその分割した1つの区間(1度)を60分、さらにその1分を60秒で表すといった、現在のような等間隔の経緯線網を考案した。
title: ラジアン
text: ラジアン(英: radian, 記号: rad)は、国際単位系 (SI) における角度(平面角)の単位である。円周上でその円の半径と同じ長さの弧を切り取る2本の半径が成す角の値と定義される。弧度(こど)とも言い、平面角の大きさをラジアンで測ることを弧度法と呼ぶ。あるいはラジアンで測った平面角を弧度法の角という呼び方をすることもある。ラジアンは、立体角のステラジアンに対応するものである。
title: プラクティカル数
text: 1202年、フィボナッチは『算盤の書』において、有理数のエジプト式分数での表現を見つける手法を列挙した。このうち、最初の処理は、その数が単位分数であるかの判別であるが、2つめの処理は、上述のように分母の約数の合計として分子の表現を探索することに対応する。この手法はプラクティカル数である分母に対してのみ成功することが保証されている。フィボナッチは分母として、6, 8, 12, 20, 24, 60, 100を用い、これらについての表を与えた。.
title: 平方度
text: 平方度(へいほうど)は、立体角の非SI単位である。1 平方度は、一辺を 1 度(度数法による)とする正方形と同じ面積を持つ球面を切り取る立体角である。平方度の単位記号は、deg がよく使われる。
title: 小数
text: 現代の小数と同じ十進法における小数は、記録に残る所では古代中国が最古である。劉徽は263年に九章算術という数学書の注釈本を著していて、現代のアラビア数字表記での8.660254寸を「八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二」と書いている(小数第6位を表す単位が無いため、分数との併記になっている)。しかしこの時代の分はあくまで計量単位で『(長さの場合は常に)寸の1/10』を表しているのであり、現代的な無名数の小数が成立するのはもっと後の時代になる。
title: 測地学
text: と求めることに成功した。エラトステネスの計算した地球の円周の長さは現在の最も精確な値に比べてわずか15%大きいだけであり、当時の技術水準からみても驚くほどの水準であったと言われる。今日、この業績をたたえて、彼は『測地学の父』と呼ばれる。
title: ギリシアの数字
text: アッティカ式はローマ数字の記数法と似ており、百・千・万といった各桁ごとの単位を2種類(または1種類)のみであらわす。例えば1は縦棒(|)で表し、4はこれを4つ並べて表す(||||)。各桁の数文字はその桁を指す言葉の頭文字を使う傾向があることから、頭音法式(英: acrophonic system)とも呼ばれる。例えば10を表す数文字は△であるが、これはギリシア語で十を指す「デカ ΔΕΚΑ」の頭文字Δに由来するのである。アッティカ式がローマ数字の数記法と似ていることから、ローマ数字のことをギリシャ数字と呼ぶ例が多くみられるが、使われる数文字が全く異なるため、誤りである。アッティカ式は現代ギリシアでは使われていない。
title: 地球球体説
text: キュレネのエラトステネス(紀元前276年-紀元前194年)は紀元前240年頃に地球の周長を概算した。シエネでは夏至の日に太陽が真上にくるのに対してアレクサンドリアでは夏至でも影ができることを彼は聞いた。三角法によって導出するために様々な角度の影を用いて、彼は周長を250000スタディオンだと概算した。1スタディオンの長さは精確には知られていないが、エラトステネスの出した値は5-15%程度しか実際とずれていないという。エラトステネスは大雑把な概算と大雑把な数値を用いたが、スタディオンの長さによって、彼の概算結果は実際の子午線の長さ40,008キロメートル (24,860 mi) とは2-20%程の差がある。エラトステネスは、太陽までの距離が非常に大きく太陽光は基本的に平行だという仮定に基づいて、地球の周長を計算できたにすぎないことに注意。
title: シュルバ・スートラ
text: 主に幾何学についてのテキストで構成される。文献のうち、バウダーヤナは3章にわかれており、ピタゴラスの定理の一般的な説明、2の平方根を小数点第5位まで求める方法、円の方形化(円積問題)をはじめとする等面積変換などが書かれている。次に古いアーパスタンバは6章からなり、バウダーヤナが扱ったことを詳しく解説している。マーナヴァには、古典期の新しい要素が含まれている。既存の祭壇の2倍の面積をもつものなどを作る必要などから、無理数の近似方法が発達したとされる。
title: 月の軌道
text: 地球と月の距離を最初に測定した人物は、紀元前2世紀の天文学者、地理学者のヒッパルコスで、単純な三角法を用いた。彼は、実際の長さから約2万6,000km短い値を得て、その誤差は約6.8%であった。
title: 角度
text: 度数法の表示と比較して、円周率 π を含むため初学者には親しみにくいが、微分、積分などの解析的操作を行うとき直接扱うことができるという大きな利点があり頻用される。ラジアンは便宜的な単位であり、いつでも外すことができる。すなわち、ラジアンで表された量は換算なしに単位なしの無次元量に置き換えられる。ラジアンを使用する目的は専ら、ある数量が角度を表す量であることを示すためであり、特に必要のない場合は単位なしの無次元量として扱うことが多い。
title: 秒
text: 漢字「秒」の本来の意味は、小麦や稲などの穂先の堅い毛すなわち芒(のぎ)のことである。そこから、わずかなもの、微細なものの意味となった。『孫子算経』では、小数の位取りに「秒」を用い、「毛(毫)」の10分の1(すなわち0.0001、1万分の1)を「秒」としている。宋時代にこの秒は「糸」に置き替えられた。明時代に西洋の時法が伝わったとき、わずかな時間である「second」に「秒」の字が宛てられた。
title: 七芒星 (図形)
text: heptagramは、ギリシャ語の倍数接頭辞で7を意味する hepta- と、「線」を意味するギリシャ語γραμμή (grammḗ)から来た接尾辞-gramを組み合わせた語である。
title: 三国時代 (中国)
text: 魏の劉徽は『九章算術』の注釈のなかで、円周率を計算して、3.1416という近似値を得ている(「円周率の歴史」参照)。
title: 乗法
text: ジョン・ネイピアは、科学で必要な計算を簡単にするべく計算技術として対数の概念を導入し、対数表(英語版)(1598年)を発表した。古くから A B = e log  A + log  B {\\displaystyle AB=\\mathrm {e} ^{\\log {}A+\\log {}B}} という等式を利用する乗算の方法が知られており、対数表によって積の計算を和の計算に置き換えて近似値を求めることが出来るようになった。対数の導入によって、ヨハネス・ケプラーの天体軌道計算などの科学計算が可能となり、科学の急激な発展をもたらした。 エドマンド・ガンターが対数尺(1620年)を、ウィリアム・オートレッドが2つの対数尺を組み合わせた計算尺(1632年)を発明し、電卓が普及する1980年代まで使用された。
title: MW (漫画)
text: また、直角は稀ではあるものの角度の単位としても用いられることがあり、それぞれ2直角=180°、3直角=270°、4直角=360°、...である。
title: 関孝和
text: また暦の作成にあたって円周率の近似値が必要になったため、1681年頃に正131072角形を使って小数第11位まで算出した。関が最終的に採用した近似値は「3.14159265359微弱」だったが、エイトケンのΔ2乗加速法を用いた途中計算では小数点以下第16位まで正確に求めている。これは世界的に見ても、数値的加速法の最も早い適用例の一つである(西洋でエイトケンのΔ2乗加速法が再発見されたのは1876年、H.von.Nägelsbachによってである)。ヤコブ・ベルヌーイとは独立かつやや早くにベルヌーイ数を発見していたことも知られている。
title: ルドルフ・ファン・コーレン
text: ファン・クーレンはデルフトに移住し、フェンシングと数学を教えた。1594年にはライデンにフェンシングの養成学校を開校した。1600年にはライデン大学初の数学教授となった。高等教育は受けていなかったが、円積問題や円周率をめぐる数学上の論争に巻き込まれ、1590年(50歳)ごろから円周率に興味を持ち始めたと言われている。後半生の殆どを、数学定数π(円周率)の正式な値を計算する事に費やし、クーレンが生きた時代の1700年以上前に考え出されたアルキメデスの手法と同じやり方で計算した。まず、正5×2(=約2億)角形、正4×2(=約10億)角形、正3×2(=約60億)角形を用いて、円周率をそれぞれ12桁、16桁、18桁まで求めた。さらに、正15×2(=32,212,254,720)角形に基づき次の評価を与えた:
title: スタディオン
text: エラトステネスはアレクサンドリアとシエネ(現在のアスワン)の間の緯度差と距離から、地球の大きさを当時としてはかなりの精度で求めているが、その距離はスタディオンで表されていた。
title: 地理学 (プトレマイオス)
text: 第2巻から第7巻まではヨーロッパからはじめて約8100の地点の経度と緯度を列挙している。当時の技術で緯度はある程度正確にわかったが、経度を直接測定するのは不可能だったため、行程から推測しており、地中海沿岸では比較的正確だが、辺境に向かうにつれて不正確になる。地球の円周の長さとしてはマリノスに従ってポセイドニオスによる18万スタディオン(1スタディオンを180mとすると32,400km)とする説を採用したが、これは実際の値に比べて過少であり、その一方で各地点の間の経度差は過大であった。各地点について北から南、西から東という原則で述べ、ヨーロッパ西北端のイウェルニア島(アイルランド)から記述をはじめる。
title: 祖沖之
text: 円周率πの値を 3.1415926 と 3.1415927 の間であると推算し、その密率を 355/113 と決め、近似値(約率)を 22/7 とした。彼には『綴術』という数学の著作があったことが知られているが、現在に伝わっていない。なお彼の息子、祖暅(そこう、「こう」は「日+恒」)も数学者であり、半径 r の球の体積が 4 3 π r 3 {\\displaystyle {\\frac {4}{3}}\\pi r^{3}} で求められることを考え出したことで知られる。
title: 松葉杖
text: ピタゴラスは、宇宙の万物は数から成り立つこと、そして宇宙を構成する数は、調和した比を保っていると信じていた。ある資料では、ヒッパソスは正方形の研究をしているうち、その辺と対角線の長さの比は整数でも分数でも表せない未知の数、すなわち無理数であることを発見した。ピタゴラスと教団は教義の反証であるこの発見に動揺し、不都合な事実を隠すため、発見者のヒッパソスを処刑したという。
title: キログラム
text: 漢字ではグラムが「瓦蘭姆」と音訳され、ここから「瓦」一字だけでグラムの意味を表すようになった。日本では明治時代、中央気象台(現気象庁)が「瓦」をその中に含む以下のような倍量・分量単位の漢字を作り、1891年から各気象台で気象観測の月報などに使用して、一般にも広まった。中国では、「瓦」はワットを表し、グラムには「克」の字を当てているため、それに合わせて「兛」(キログラム)、「兞」(ミリグラム)といった漢字が作られている。
title: 国分利人
text: 八分儀(はちぶんぎ、Octant)は天体や物標の高度、水平方向の角度を測るための道具。測量や航海に用いられ、弧が45°(360°の八分の一)であるところからこの名がついた。測定には平面鏡の反射を利用しており、45°の弧に90°までの目盛りが書き込まれている。
title: アルキメデス
text: 『砂の計算』では、アルキメデスは宇宙空間を砂ですべて充填するとした時、果たして何粒が必要かという試算に挑んだ。ジェーロ王(en)(ヒエロン2世の息子)を始めそのような数は無限と言える膨大なものとしか捉えられない中、アルキメデスはミリアド(en)(希: μυριάς)という古代ギリシアで10,000を表す単位を元に大数単位を設定し、最終的に宇宙を埋める砂の数は 10(1000那由他)を超えないと結論づけた。
title: 0
text: アルキメデスは「ある数とある数を足せば、結果は元の数より大きくなる」という「アルキメデスの公理」を定立したが、足しても増えない性質を持つゼロは、この公理上、数ではないことになる。古代ギリシア人は「ο」を単に小数点のような位取りを表す補助記号として使い、数のうちに含めなかった。ギリシア数字にはゼロを示す文字がなく、ギリシャの数体系を継承したローマ数字にもゼロにあたる数字がない。
title: 中国の数学
text: 漢代では、数字は10進法体系で発展し、空白がゼロを表す9個の記号から成る算木のセットを算盤上で使う籌算と呼ばれる計算法が使用された。負の数および分数も、当時の偉大な数学テキストの解に組み込まれていた。当時の数学テキスト『算数書』と『九章算術』は、加算、減算、乗算、除算などの基本的な算術問題を解くものだった。さらに、それらは平方根と立方根を求めるためのプロセスを与え、最終的にそれは二次方程式を解いたり最高で三次式を解くのに適用された。どちらのテキストも線形代数、すなわち複数の未知数がある連立方程式を解くことに関してかなりの進歩を遂げた。両方のテキストで円周率の値は3に等しいとされている。しかし、数学者の劉歆および張衡(78年-139年)は、前世紀の中国人が使っていたよりも正確な円周率の概算を出した。