연접층

대수기하학과 복소기하학에서 연접 가군층(連接加群層, , ) 또는 단순히 연접층(連接層)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 연접 가군층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리나 가가 정리 등 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.

벡터 다발은 수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유 가군층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간  위에 주어진 벡터 다발과 선형 다발 사상의 범주 는 아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 핵과 여핵은 항상 층으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, 가  위의 차원 실수 벡터 다발이고, 가 연속 함수라고 하자. 그렇다면 , 는 선형 다발 사상이다. 만약 가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵  또한 차원 벡터 다발이다. 그러나 가 에서 0이라면, 이 점에서 의 핵 는 0차원이 아니라 차원이며, 반대로 는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 의 핵과 여핵은  벡터 다발을 이루지 않는다.

이 경우, 는 부분 공간  위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, 는 부분 공간  위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이 "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접 가군층이라고 한다.

정의

연접 가군층 
환  위의 왼쪽 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면, 연접 왼쪽 가군(連接-加群, )이라고 한다.
 유한 생성 왼쪽 가군이다.
 임의의 -부분 가군 에 대하여, 만약 이 유한 생성 왼쪽 가군이라면, 유한 표시 왼쪽 가군이다. (즉, 임의의 -가군 준동형 의 핵은 유한 생성 왼쪽 가군이다.)
마찬가지로 연접 오른쪽 가군(連接-加群, )의 개념을 정의할 수 있다.

연접 가군의 개념을 국소화하면, 연접 가군층의 개념을 얻는다. 즉, 국소환 달린 공간  위에서, 다음 조건들을 만족시키는 -가군층 를 연접 가군층이라고 한다.
 -유한 생성 가군층이다.
 임의의 열린집합 , 임의의 자연수  및 임의의 -가군층 사상 에 대하여, (층으로서의) 핵  또한 -유한 생성 가군층이다.

위 정의는 장피에르 세르나 알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.

연접환과 연접 공간 
환 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 연접환(-連接環, )이라고 한다.
 는 연접 왼쪽 가군이다. 즉, 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 유한 표시 왼쪽 가군이다.
  위의 (유한 또는 무한 개의) 평탄 오른쪽 가군들의 직접곱은 평탄 오른쪽 가군이다. (※왼쪽 가군이 아닌 것에 주의)
 임의의 기수 에 대하여, 직접곱 은 평탄 오른쪽 가군이다. (※왼쪽 가군이 아닌 것에 주의)
  위의 모든 유한 표시 왼쪽 가군이 연접 왼쪽 가군이다.
 임의의  및 유한 생성 왼쪽 아이디얼 에 대하여, 는 유한 생성 왼쪽 아이디얼이다.
 임의의 에 대하여 는 유한 생성 왼쪽 아이디얼이며, 임의의 두 유한 생성 왼쪽 아이디얼의 교집합은 유한 생성 왼쪽 아이디얼이다.
오른쪽 연접환(-連接環, )도 마찬가지로 정의된다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

보다 일반적으로, 국소환 달린 공간 에서, 만약 가 (스스로 위의 가군층으로서) 연접 가군층이라면, 를 연접 공간(連接空間, )이라고 한다.

성질

함의 관계 
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
연접 가군층 ⊆ 유한 표시 가군층 ⊆ 준연접층 ∩ 유한 생성 가군층
국소 자유 가군층 ⊆ 준연접층
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
유한 계수 국소 자유 가군층 ⊆ 연접 가군층 = 유한 표시 가군층 = 준연접층 ∩ 유한 생성 가군층

동치 조건 
국소 뇌터 스킴  위의 준연접층 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
 는 연접 가군층이다.
 의 어떤 아핀 열린 덮개 에 대하여, 는 -가군층으로서 어떤 -유한 생성 가군으로부터 유도된 -가군층과 동형이다.

밂과 당김 
스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 “거의 항상” 준연접층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.

즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
 두 스킴 , 
 스킴 사상 
만약 에 대한 가군층의 밂  또는 당김 이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.

연접 가군층의 아벨 범주 
임의의 왼쪽 연접환  위의 연접 왼쪽 가군들의 범주 는 아벨 범주이다. 보다 일반적으로, 임의의 환 달린 공간  위의 연접 가군층들의 범주 는 아벨 범주이다. 즉, 핵과 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주나 쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.

아핀 스킴 위의 연접층 
뇌터 가환환 에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.
  위의 유한 생성 가군
  위의 유한 계수의 국소 자유 가군
 의 스펙트럼 위의 연접 가군층
또한,  위의 유한 생성 가군들의 범주 와 연접 가군층의 범주는 서로 동치이다.

구체적으로, 라면, 이에 대응하여 는 의 유한 생성 가군이다.

예

대수기하학 
모든 왼쪽 뇌터 환은 왼쪽 연접환이며, 오른쪽 뇌터 환은 오른쪽 연접환이다. 국소 뇌터 스킴은 연접 공간이다. 즉, 그 구조층은 연접 가군층을 이룬다. (에는 모든 스킴의 구조층이 연접 가군층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접 가군층의 정의는 여기서 정의된 연접 가군층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)

국소 뇌터 스킴 의 아이디얼 층은 (연접층 의 부분 가군층이므로) 연접층이다. 특히, 국소 뇌터 스킴의 닫힌 부분 스킴 에 대응하는 아이디얼 층은 연접층이다.

복소기하학 
오카 연접성 정리()에 따르면, 복소다양체  위의 정칙 함수의 층은 연접 가군층이다. 보다 일반적으로,  위의 해석적 벡터 다발 이 주어졌을 때, 의 단면층은 연접 가군층이다.

뇌터 환이 아닌 연접환 
가 왼쪽 뇌터 환일 경우, 임의의 집합 에 대하여 다항식환 는 항상 왼쪽 연접환이지만, 만약 가 무한 집합이라면 이는 왼쪽 뇌터 환이 아니다.

역사 
연접 가군층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.

1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.

참고 문헌

외부 링크 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

스킴 이론
복소다양체
층론