Cincin Borromean
Dalam matematika, cincin Borromean terdiri dari tiga lingkaran topologi yang terhubung dan membentuk tautan Brunnian (dimana apabila satu cincin keluar, maka akan menghasilkan dua cincin yang tidak terhubung). Dengan kata lain, tidak ada dua dari tiga cincin yang saling berkait satu sama lain sebagai tautan Hopf, tetapi ketiga cincin tersebut tetap saja saling terkait.
Meskipun gambar khas cincin-cincin Borromean (pada gambar sebelah di atas) menyebabkan seseorang berpikir bahwa tautan tersebut dapat terbentuk dari cincin lingkaran geometris yang ideal, tetapi hal ini sebenenarnya merupakan suatu hal yang "tidak mungkin tejadi". Freedman dan Skora (1987) membuktikan bahwa suatu kelas tautan tertentu, seperti pada tautan Borromean,
persisnya tidak dapat saling melingkar. Sebagai alternatif, hal ini dapat dilihat dengan adanya asumsi diagram tautan: jika seseorang mengasumsikan bahwa lingkaran 1 dan 2 menyentuh kedua titik persimpangan masing-masing, maka keduanya akan membentang pada suatu bidang datar atau bola. Dalam kedua kasus tersebut, lingkaran ketiga harus melewati bidang datar atau bola selama empat
kali, tanpa membentang ke dalamnya, dimana hal ini tidak memungkinkan, lihat. Namun, bagaimana pun, hal ini dapat menjadi mungkin, apabila seseorang menggunakan elips (lihat gambar). Hal ini dianggap sebagai eksentrisitas arbitrer kecil; tidak peduli seberapa presisi bentuk lingkarannya, selama tidak berbentuk lingkaran sempurna, maka
lingkaran-lingkaran ini dapat membentuk tautan Borromean jika sesuai; contohnya, lingkaran tipis dari kawat elastis yang dapat ditekuk dapat digunakan sebagai cincin Borromean.
Selain menunjukkan untai mana yang menyilang di atas satu sama lain, diagram tautan menggunakan notasi yang sama dalam menunjukkan dua alur persimpangan, seperti diagram grafik yang digunakan dalam menunjukkan empat sisi yang saling bertemu pada simpul biasa. Dengan demikian, grafik oktahedron reguler dapat diubah menjadi diagram tautan yang dikonversi menjadi untaian yang mengikuti
tepi berturutan, yang dengannya melewati simpul dan melewati bagian bawah berikutnya secara bergantian. Hasilnya terdiri dari tiga putaran ("loop") terpisah, yang dihubungkan bersamaan menjadi cincin Borromean.
Dalam teori simpul, cincin Borromean merupakan contoh sederhana dari tautan Brunnian, dimana masing-masing cincin tidak terhubung, serta tautan tersebut tidak dapat dilepaskan tautannya secara keseluruhan. Terdapat pula beberapa cara untuk melihat hal ini.
Tautan yang paling sederhana adalah kelompok fundamental dari dua lingkaran komplementer, yang tak terkait, yang merupakan kelompok bebas dua generator, "a" dan "b", pada teorema Seifert-van Kampen, kemudian "loop" ketiga memiliki kelas komutator, ["a", "b"] = "aba""b", seperti yang dapat dilihat pada diagram tautan: melampaui yang satu, melampaui yang
berikutnya, kembali lagi ke bagian bawah yang pertama, lalu kembali lagi pada yang kedua. Hal ini bersifat non-trivia dalam kelompok fundamental, dan karenanya cincin Borromean saling bertautan.
Cara lain adalah bahwa kohomologi dari komplementasi yang mendukung konsep "Massey product" yang non-trivia, yang bukan penyebab penghilangan tautan. Hal ini merupakan contoh sederhana dari konsep "Massey product", dimana aljabar sesuai dengan geometri: "Massey product" 3-lipat merupakan "product" 3-lipat yang hanya ditentukan jika semua "product" 2-lipat tidak bertaut, dimana cincin Borromean yang
dipasangkan secara berpasangan ("product" 2-lipat hilang), tetapi terkait secara keseluruhan (dimana "product" 3-lipat tidak hilang).
Dalam topologi aritmatika, terdapat analogi antara simpul dan bilangan prima, yaitu adanya hubungan-hubungan antara bilangan prima. Tiga bilangan prima dihubungkan modulo 2 (simbol Rédei adalah-1), tetapi dipasangkan dengan pasangan modulo 2 (simbol Legendre yang semuanya 1). Oleh karena itu, bilangan prima ini disebut "triple Borromean modulo 2" atau "bilangan prima mod 2 Borromean".
Cincin Borromean merupakan tautan hiperbolik: komplementasi cincin Borromean dalam bola-3 yang memuat metrik hiperbolik lengkap dengan volume terbatas. Dekomposisi polihedral kanonikal (Epstein-Penner) dari komplementasi yang terdiri dari dua oktahedra ideal biasa. Volumenya adalah 16 (/4) = 7.32772... dimana  adalah fungsi Lobachevsky.
Jika seseorang memotong cincin Borromean, maka dapat diperoleh satu iterasi jalinan standar; sebaliknya, jika menghubungkan ujung-ujung (dari satu iterasi) kepang standar, maka dapat diperoleh cincin Borromean. Sama halnya seperti menghilangkan satu cincin Borromean yang dapat memutuskan dua untaian lainnya, dengan mengeluarkan satu untaian kepang standar yang tidak bertaut dengan dua kepang lainnya, dimana keduanya merupakan tautan Brunnian dasar dan kepang Brunnian.
Dalam diagram tautan standar, cincin Borromean disusun secara non-transit, dalam urutan siklis. Dengan menggunakan warna di atas, warna merah di atas biru muda, biru muda di atas biru, biru di atas merah; oleh karenanya setelah mengeluarkan satu cincin, maka dua cincin yang tersisa, dimana yang satu berada di atas yang lainnya, yang keduanya dapat dipisahkan. Demikian pula,
dalam kepang standar, masing-masing untai berada di atas yang lainnya dan pada waktu yang sama berada di bawah yang lainnya.
Nama "cincin Borromean" berasal dari penggunaannya sebagai lambang keluarga aristokrat Borromeo di Italia Utara. Tautan itu sendiri sudah jauh lebih tua dan telah muncul dalam bentuk "valknut" pada gambar batu Suku Norse di abad ke-7. Cincin Borromean telah digunakan dalam konteks berbeda dalam menjelaskan kekuatan dalam kesatuan, misalnya, dalam agama atau
seni. Secara khusus, beberapa diantaranya menggunakan desain ini untuk melambangkan Tritunggal. Psikoanalis terkenal, Jacques Lacan menemukan inspirasi dalam cincin Borromean sebagai model topologi subjektivitas manusia, dimana masing-masing cincin mewakili komponen realitas mendasar Lacanian (yaitu tatanan "riil", "imajiner", dan "simbolik").
Cincin ini juga digunakan sebagai logo bir Ballantine, dan masih digunakan sebagai merek bir Ballantine, yang kini didistribusikan oleh pemilik merek saat ini, yaitu Pabst Brewing Company.
Cincin Borromean, karena sifat matematisnya, ditampilkan oleh Martin Gardner pada kolom "Permainan Matematika" dalam "Scientific American "pada September 1961.
Pada tahun 2006, Serikat Matematika Internasional memutuskan pada Kongres Internasional Matematikawan ke-25 di Madrid, Spanyol supaya menggunakan logo baru yang berdasarkan cincin Borromean.
Sebuah pilar batu di Kuil Marundeeswarar di Thiruvanmiyur, Chennai, Tamil Nadu, India, memiliki sosok seperti ini sebelum abad ke-6. Di Eropa abad pertengahan dan renaisans, sejumlah tanda visual ditemukan yang terdiri dari tiga elemen yang saling terkait sedemikian rupa sehingga cincin Borromean ditunjukkan saling terkait (dalam penggambaran dua dimensi konvensional mereka), tetapi elemen-elemen
individualnya tidak tertutup. Contoh simbol semacam itu adalah tanduk batu Snoldelev dan bulan sabit Diana dari Poitiers. Contoh tiga elemen berbeda misalnya logo Sport Club Internacional. Tanda visual yang kurang terkait mencakup diagram Gankyil dan Venn pada tiga pasangan.
Demikian pula, simpul tinju monyet pada dasarnya adalah representasi cincin Borromean tiga dimensi, meskipun memiliki tiga lapisan, dalam banyak kasus.
Dengan menggunakan pola cincin Borromean yang tidak lengkap, seseorang dapat menyeimbangkan tiga pisau pada tiga penopang, seperti tiga botol atau gelas, yang dapat menopang pada bagian tengah pada botol atau gelas keempat.
Beberapa simpul-teoretis memiliki kelipatan konfigurasi pada cincin Borromean; dimana satu tautan memiliki lima lingkaran ("loop") seperti simbol Diskordianisme, yang didasarkan pada sebuah penggambaran dalam "Principia Discordia".