Ruang (matematika)
adalah homeomorfik bagi bola (permukaan bola) tetapi tidak homeomorfik bagi torus. Dua ruang euklidean yang berbeda dimensi tidaklah saling homeomorfik, yang sepintas menjadi bukti, tetapi sebenarnya tidak mudah untuk membuktikan ini. Dimensi suatu ruang topologi adalah sukar dibuktikan; "dimensi induktif" dan
"dimensi selimut Lebesgue" adalah digunakan. Setiap subhimpunan suatu ruang topologi adalah ruang topologi juga (sebaliknya, hanya subhimpunan "linear" dari suatu ruang linear adalah ruang-ruang linear). Sembarang ruang topologi, diselidiki oleh topologi umum (disebut pula sebagai topologi himpunan-titik) adalah terlalu beranekaragam untuk suatu klasifikasi
lengkap (hingga homeomorfisma). Mereka tak-homogen (pada umumnya). Ruang topologi padat adalah sebuah kelas penting dari ruang topologi ("spesies" dari "jenis" ini). Setiap fungsi kontinu adalah terbatas pada ruang yang bersangkutan. Interval tertutup formula_10 dan garis real yang diperpanjang formula_12 adalah padat; sedangkan interval terbuka formula_8 dan garis formula_9
tidaklah padat. Topologi geometri menyelidiki lipatan ("spesies" lain dari "jenis" ini); yang ini adalah ruang topologi yang homeomorfik secara lokal terhadap ruang euklidean. Lipatan berdimensi-rendah adalah terklasifikasi sepenuhnya (hingga homeomorfisma).
Dua struktur yang dibahas di atas (linear dan topologi) mendasari struktur-struktur dari struktur "ruang topologi linear". Ia adalah sebuah ruang topologi linear, baik itu ruang linear (real atau kompleks) dan ruang topologi (homogen, faktanya demikian). Bagaimanapun, sebuah kombinasi sembarang dari kedua-dua struktur ini pada umumnya bukanlah ruang topologi linear; kedua-dua struktur tersebut haruslah sesuai, yakni, operasi linear yang terlibat haruslah kontinu.
Semua ruang linear (real ataupun kompleks) yang berdimensi-hingga adalah ruang topologi linear dalam artian bahwa ia hanya hanya memuat satu dan hanya satu topologi yang menjadikannya ruang topologi linear. Kedua-dua struktur itu, "ruang linear (real dan kompleks) yang berdimensi-hingga" dan "ruang topologi berdimensi-hingga", adalah dengan demikian
ekivalen, yakni, saling mendasari. Kemudian dari fakta ini, diperoleh bahwa setiap transformasi linear yang memiliki invers/balikan dari suatu ruang topologi linear berdimensi-hingga adalah sebuah homeomorfisma. Meskipun demikian, dalam topologi-topologi berdimensi-hingga yang berbeda adalah konform/bersesuaian dengan struktur linear yang diberikan, dan transformasi-transformasi linear yang terinverskan pada umumnya bukanlah homeomorfisma.
Adalah cukup untuk memperkenalkan ruang afin dan ruang projektif melalui pemahaman ruang linear, sebagai berikut ini. Suatu subruang linear berdimensi-formula_2 dari suatu ruang linear berdimensi-formula_16, dirinya sendiri adalah ruang linear berdimensi-formula_2, tidak homogen; ia memuat sebuah titik spesial, yakni titik asal. Dengan menggesernya
menggunakan sebuah vektor eksternal kepadanya, seseorang memperoleh sebuah ruang afin berdimensi-formula_2. Ia homogen. Dalam perkataan John Baez, "ruang afin adalah ruang vektor yang melupakan titik asalnya". Garis lurus dalam ruang afin, menurut definisi, adalah perpotongannya dengan dengan suatu subruang linear berdimensi-dua (bidang yang melalui titik asal) dari ruang linear berdimensi-formula_16. Semua ruang linear adalah juga ruang afin.
Setiap titik pada ruang afin adalah perpotongannya dengan suatu subruang linear berdimensi-satu (garis yang melalui titik asal) dari ruang linear berdimensi formula_16. Bagaimanapun, beberapa subruang berdimensi-satu adalah sejajar dengan ruang afin; dalam beberapa pengertian, mereka memotongnya di ketakhinggaan. Himpunan semua subruang linear berdimensi-satu dari suatu ruang linear
berdimensi-formula_16, menurut definisi, adalah suatu ruang projektif berdimensi-formula_2. Dengan memilih ruang afin berdimensi-formula_2 seperti sebelumnya, seseorang melihat bahwa ruang afin tersebut terlekat sebagai subhimpunan wajar ke dalam ruang projektif. Tetapi, ruang projektif itu sendiri homogen. Suatu garis lurus dalam ruang projektif, menurut
definisi, berkorespondensi dengan subruang linear berdimensi-dua dari ruang linear berdimensi-formula_16.
Dengan pendefinisian ini, ruang afin dan ruang projektif adalah bersifat aljabaris; mereka dapat saja real, kompleks, dan lebih umumnya, pada sembarang lapangan.
Setiap ruang afin atau ruang projektif real (atau juga kompleks) adalah juga ruang topologi. Ruang afin adalah lipatan tak-padat; sedangkan ruang projektif adalah lipatan padat.
Jarak antar-titik terdefinisi dalam ruang metrik. Setiap ruang metrik adalah juga ruang topologi. Himpunan terbatas dan barisan cauchy terdefinisi dalam ruang metrik (tetapi tidak dalam ruang topologi). Isomorfisma antara ruang-ruang metrik disebut isometri. Ruang metrik disebut lengkap jika semua barisan cauchy konvergen. Setiap ruang tak-lengkap
adalah melekat secara isometris ke dalam komplesinya (pelengkapnya). Setiap ruang metrik padat adalah lengkap; garis real adalah padat tetapi lengkap; interval terbuka formula_8 adalah tidak lengkap.
Ruang topologi disebut terukur ("metrizable") jika ia mendasari ruang metrik. Semua lipatan adalah terukur ("metrizable").
Setiap ruang euklidean adalah juga ruang metrik lengkap. Lebih jauhnya, semua pengertian geometris yang tetap melekat pada ruang euklidean dapat dikarakterisasi dalam suku-suku metriknya. Misalnya, ruas-ruas lurus yang menghubungkan dua titik yang diberikan formula_26 dan formula_27 memuat semua titik formula_28 sehingga jarak antara formula_26 dan
formula_27 adalah sama dengan jumlah dua jarak, antara formula_26 dan formula_28 dan antara formula_28 dan formula_27.
Ruang seragam tidak memperkenalkan jarak, tetapi masih mengizinkan seseorang untuk menggunakan kontinuitas seragam, barisan cauchy, kelengkapan dan komplesi. Setiap ruang seragam adalah ruang topologi. Setiap ruang topologi "linear" (terukur atau tidak) adalah juga ruang seragam. Lebih umumnya, setiap grup topologi komutatif adalah juga ruang seragam. Tetapi,
grup topologi non-komutatif memuat dua struktur seragam, yang satu invarian-, yang lainnya invarian-. Ruang topologi linear adalah lengkap dalam dimensi-berhingga tetapi secara umum tak-lengkap dalam dimensi-takhingga.
Vektor-vektor di dalam ruang euklidean adalah ruang linear, tetapi tiap-tiap vektor formula_35 juga memiliki panjang, dalam perkataan lain, norma, formula_36. Sebuah ruang linear (real ataupun kompleks) yang diberkati dengan sebuah norma adalah ruang vektor bernorma. Setiap ruang bernorma adalah ruang topologi linear dan juga ruang metrik. Suatu
ruang banach adalah ruang bernorma lengkap. Banyak ruang barisan atau ruang fungsi adalah ruang banach berdimensi-takhingga.
Himpunan semua vektor yang memiliki norma kurang dari satu disebut bola satuan dari ruang bernorma. Ia adalah himpunan yang konveks, simetrik di pusat, pada umumnya bukan elipsoid; misalnya, ia boleh jadi poligon/segibanyak (pada bidang). Hukum jajar genjang (juga disebut identitas jajar genjang) formula_37 pada umumnya gagal dalam ruang bernorma,
tetapi berlaku untuk vektor-vektor di dalam ruang euklidean, yang mengikuti fakta bahwa norma euklidean kuadrat dari suatu vektor adalah hasil kali dalam terhadap dirinya sendiri.
Suatu ruang hasil kali dalam adalah ruang linear (real ataupun kompleks) yang diberkati dengan suatu bentuk bilinear (atau seskuilinear) yang memenuhi beberapa syarat dan disebut hasil kali dalam. Setiap ruang hasil kali dalam adalah juga ruang vektor bernorma. Suatu ruang bernorma mendasari ruang hasil kali dalam jika dan hanya jika ia
memenuhi hukum jajar genjang, atau ekivalennya, jika bola satuannya berupa elipsoid. Sudut-sudut antara vektor-vektor terdefinisi dalam ruang hasil kali dalam. Sebuah ruang hilbert terdefinisi sebagai ruang hasil kali dalam lengkap. (Beberapa penulis bersikeras bahwa ia mestilah kompleks, yang lainnya juga menerima ruang