Manifold
Dalam matematika, manifold adalah suatu ruang topologis yang secara lokal menyerupai ruang euklides di dekat setiap titiknya. Lebih tepatnya, setiap titik dalam "n"-dimensi manifold memiliki lingkungan yang homeomorfis ke ruang Euklides dimensi "n".
Manifold berdimensi-satu meliputi garis dan lingkaran, tetapi tidak termasuk angka delapan (karena mereka memiliki "titik persimpangan" yang secara lokal tidak homeomorfis ke ruang Euklides berdimensi-1). Manifold berdimensi-dua juga disebut permukaan. Contohnya termasuk bidang, bulatan, dan torus, yang semuanya dapat tertanam (terbentuk tanpa
swa-simpang, atau tanpa titik potong) dalam ruang nyata tiga dimensi, tetapi juga termasuk Botol Klein dan bidang proyektif nyata, yang akan selalu memiliki swa-simpang ketika terbenam dalam ruang tiga dimensi nyata.
Meskipun manifold secara lokal menyerupai ruang Euklides, tetapi secara global tidaklah serupa. Misalnya, permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euklides, tetapi dalam suatu daerah dapat dipetakan dengan proyeksi peta daerah itu ke dalam bidang euklides (dalam konteks manifold mereka disebut "grafik"). Ketika suatu daerah muncul dalam dua grafik berdekatan, dua representasi tidak
bertepatan persis dan transformasi yang diperlukan untuk melampaui dari satu ke yang lain disebut " peta transisi ".
Konsep manifold adalah pusat dari banyak bidang geometri dan matematika fisikal modern. Karena konsep ini memungkinkan struktur yang lebih rumit untuk dijelaskan dan dipahami dalam sifat relatif yang dapat dipahami dari ruang Euklides. Manifold secara alami muncul sebagai solusi set sistem persamaan dan sebagai grafik fungsi. Manifold mungkin memiliki fitur tambahan. Salah satu kelas penting dari manifold adalah
kelas manifold terdiferensiasi. struktur terdiferensiasi ini memungkinkan penerapan kalkulus pada manifold. Sebuah Metrik Riemannian pada manifold memungkinkan jarak dan sudut diukur. Manifold simplektik berfungsi sebagai ruang fase dalam formalisme Hamiltonian dalam mekanika klasik, sedangkan model empat-dimensi Manifold Lorentzian adalah model ruang-waktu dalam relativitas umum.
Setelah garis, lingkaran adalah contoh paling sederhana dari manifold topologis. Topologi mengabaikan pembengkokan, sehingga sepotong kecil lingkaran diperlakukan persis sama dengan sepotong kecil garis. Perhatikan, misalnya, bagian atas satuan lingkaran, "x" + "y" = 1, dimana koordinat-"y" adalah positif (ditunjukan oleh busur kuning pada "Gambar 1"). Setiap titik busur
ini dapat dijelaskan secara khusus oleh koordinat-"x". Jadi, proyeksi ke koordinat pertama adalah kontinyu, dan terbalik, pemetaan dari busur atas ke interval terbuka ( 1.1):
Fungsi tersebut bersama dengan daerah terbuka yang mereka petakan disebut "grafik l". Demikian pula, ada grafik untuk bagian bawah (merah), (biru), dan (hijau) bagian dari lingkaran:
Grafik atas dan tumpang tindih: persimpangan mereka terletak pada kuartal lingkaran dimana kedua koordinat " x " dan " y " positif. Dua grafik  dan  masing-masing memetakan bagian ini ke interval (0, 1). Dengan demikian fungsi "T" dari (0, 1) untuknya sendiri dapat disusun, yang pertama menggunakan invers dari grafik atas untuk mencapai lingkaran dan kemudian mengikuti grafik kembali ke interval. Misalkan 'a' sembarang bilangan di (0, 1), maka:
Grafik atas, bawah,, dan menunjukan bahwa lingkaran adalah sebuah manifold, tetapi mereka tidak membentuk satu-satunya atlas yang mungkin terbentuk. Grafik tidak memerlukan proyeksi geometris, dan bilangan dalam grafik adalah persoalan pemilihan. Perhatikan grafik
Disini "s" adalah kemiringan garis yang melalui titik pada koordinat ("x","y") dan titik poros tetap (1, 0); "t" sama-sama mengikuti, tapi dengan titik poros (+1, 0). Invers pemetaan dari "s" ke ("x", "y") diberikan oleh
Hal ini dengan mudahnya menegaskan bahwa "x" + "y" = 1 untuk semua nilai kemiringan "s". Dua grafik ini menjadi atlas kedua untuk lingkaran, dengan
Setiap grafik menghilangkan satu titik, baik (1, 0) untuk "s" atau (+1, 0) untuk "t", jadi tak ada satu grafik yang cukup untuk menutupi seluruh lingkaran. Hal ini dapat membuktikan bahwa tidak mungkin untuk menutupi lingkaran penuh dengan grafik tunggal. Sebagai contoh, meskipun ada kemungkinan untuk membangun sebuah lingkaran dari interval baris
tumpang tindih dan "menempelkan" ujung, ini tidak menghasilkan grafik; sebagian dari lingkaran akan dipetakan ke kedua ujungnya sekaligus, kehilangan keterbalikan.