Ruang (matematika)
Ruang-ruang matematika seringkali membentuk hierarki, yakni, satu ruang dapat mewarisi semua karakteristik ruang induk. Misalnya, semua ruang hasil kali dalam adalah juga ruang vektor bernorma, karena hasil kali dalam "menginduksi" norma pada ruang hasil kali dalam:
Di dalam matematika kuno, "ruang" adalah abstraksi geometri ruang berdimensi-tiga yang dapat diamati dalam kehidupan sehari-hari. Metode aksiomatik telah menjadi alat penelitian utama sejak Euklides (kira-kira 300 SM). Metode koordinat (geometri analitik) diangkat oleh René Descartes pada tahun 1637. Pada masa itu, teorema-teorema geometri diperlakukan
sebagai kebenaran objektif mutlak yang dapat diketahui melalui intuisi dan nalar, serupa dengan objek-objek pada ilmu alam; dan aksioma-aksioma diperlakukan sebagai implikasi yang jelas dari definisi yang ada.
Dua relasi ekivalen (atau hubungan kesetaraan) antar-gambar geometri digunakan: kongruensi dan keserupaan. Translasi (pergeseran), rotasi (bukan "spin", bukan pula "revolusi"), dan refleksi (pencerminan) mentransformasi sebuah gambar menjadi gambar yang kongruen; homotetis- ke dalam gambar yang serupa. Misalnya, semua lingkaran adalah saling-serupa, tetapi elips
tidak serupa dengan lingkaran. Hubungan kesetaraan yang ketiga, diperkenalkan oleh geometri projektif (Gaspard Monge, 1795), berkorespondensi dengan transformasi projektif. Tidak hanya elips, tetapi juga parabola dan hiperbola berubah menjadi lingkaran di bawah transformasi projektif yang bersesuaian; mereka semua adalah gambar-gambar yang setara secara projektif.
Hubungan antar-dua-geometri, euklidean dan projektif, menunjukkan bahwa objek-objek matematika tidaklah diberikan kepada kita "disertai dengan struktur mereka". Melainkan, tiap-tiap teori matematika menjelaskan objek-objeknya oleh "beberapa" sifat mereka, tepatnya sifat-sifat yang diletakkan sebagai kumpulan aksioma pada dasar-dasar teori yang berkenaan.
Jarak dan sudut tidak pernah disebutkan dalam aksioma-aksioma geometri projektif, dan oleh karenanya tidak dapat muncul di dalam teorema-teoremanya. Pertanyaan tentang "berapakah jumlah dari tiga sudut suatu segitiga" sangatlah berarti di dalam geometri euklidean tetapi tidak bermakna apa-apa dalam geometri projektif.
Situasi yang berbeda terjadi pada abad ke-19: dalam beberapa geometri jumlah dari tiga sudut suatu segitiga telah terdefinisi dengan baik tetapi berbeda bila dibandingkan dengan nilai klasik (180 derajat). Geometri hiperbola non-euklidean, diperkenalkan oleh Nikolai Lobachevsky pada tahun 1829 dan János Bolyai pada tahun 1832 (dan Carl Gauss pada tahun 1816, tidak
diterbitkan) yang menyatakan bahwa jumlah yang dimaksud adalah bergantung kepada bentuk segitiga dan selalu lebih kecil daripada 180 derajat. Eugenio Beltrami pada tahun 1868 dan Felix Klein pada tahun 1871 memperoleh "model-model" euklidean dari geometri hiperbola non-euklidean, dan dengan demikian lengkaplah justifikasi akan teori ini.
Temuan ini memaksa pembebasan diri akan segala pretensi terhadap kebenaran mutlak geometri euklidean. Temuan ini menunjukkan bahwa aksioma-aksioma yang telah ada tidaklah "jelas", tidak pula "implikasi dari definisi-definisi". Melainkan, mereka hanyalah hipotesis. Kepada perluasan yang manakah mereka akan berkorespondensi dengan realitas
eksperimental? Masalah fisis penting ini tidak lagi berkaitan dengan matematika. Bahkan jika suatu "geometri" tidak berkoresponden dengan suatu realitas eksperimental, maka teorema-teoremanya sekadar menyatakan "kebenaran matematika".
Sebuah model euklidean dari geometri non-euklidean adalah pilihan yang cerdas dari beberapa objek yang hadir dalam ruang euklidean dan beberapa hubungan di antara objek-objek ini yang memenuhi semua aksioma (oleh karenanya pula, semua teorema) geometri non-euklidean. Objek-objek dan hubungan euklidean ini "memainkan" geometri
non-euklidean seperti aktor kontemporer yang memainkan peran kuno. Hubungan-hubungan antar para aktor hanya menirukan hubungan-hubungan di antara para tokoh dalam peran. Demikian juga, hubungan-hubungan terpilih di antara objek-objek terpilih dari model euklidean hanya menirukan hubungan-hubungan non-euklidean. Ia menunjukkan bahwa hubungan-hubungan di antara
objek-objek adalah penting di dalam matematika, sementara sifat objek-objek itu tidaklah penting.
Menurut Nicolas Bourbaki, periode antara tahun 1795 ("Geometrie descriptive" karya Monge) sampai tahun 1872 ("program Erlangen" karya Klein) dapat disebut sebagai zaman keemasan geometri. Geometri analitik membuat kemajuan yang besar dan berjaya menggantikan teorema-teorema geometri klasik dengan komputasi melalui invarian grup-grup transformasi. Sejak periode itulah teorema-teorema baru geometri klasik berhasil menarik minat para amatir dibanding matematikawan profesional.
Tetapi, bukan berarti bahwa pusaka geometri klasik hilang begitu saja. Menurut Bourbaki, "berlalu di dalam perannya sebagai sebuah sains yang mandiri dan tetap hidup, geometri klasik dengan demikian ditransfigurasi (dialihgambarkan) menjadi bahasa universal dari matematika kontemporer".
Menurut kuliah perdana yang terkenal yang dibawakan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1854, setiap objek matematika yang diparametrisasi oleh bilangan real formula_2 dapat diperlakukan sebagai titik pada ruang berdimensi-formula_2 dari objek-objek itu. Kini para matematikawan mengikuti gagasan ini secara rutin dan menemukannya sangat sugestif untuk menggunakan terminologi geometri klasik hampir di semua tempat.
Untuk mengapresiasi keumuman pendekatan ini seseorang harus mengetahui bahwa matematika adalah "teori murni tentang bentuk, yang memiliki tujuan, bukan kombinasi kuantitas-kuantitas, atau gambar-gambar mereka, bilangan-bilangannya, melainkan objek-objek pemikiran" (Hermann Hankel, 1867).
Fungsi adalah objek matematika yang penting. Biasanya fungsi itu membentuk ruang berdimensi tak-hingga, seperti yang sudah dinyatakan oleh Riemann dan dielaborasi pada abad ke-20 oleh analisis fungsional.
Suatu objek yang diparametrisasi oleh formula_2 bilangan kompleks dapat diperlakukan sebagai sebuah titik pada sebuah ruang kompleks berdimensi-formula_2. Tetapi, objek yang sama adalah juga diparametrisasi oleh bilangan real formula_6 (bagian real dan bagian imajiner adalah unsur-unsur bilangan kompleks), dengan demikian, sebuah titik pada ruang real
berdimensi-formula_6. Dimensi kompleks berbeda dengan dimensi real. Ini hanyalah puncak gunung es. Konsep "aljabar" tentang dimensi yang berlaku pada ruang linear. Konsep "topologi" tentang dimensi berlaku pada ruang topologi. Juga terdapat dimensi Hausdorff untuk ruang metrik; yang ini dibolehkan untuk yang bukan bilangan bulat (khususnya untuk fraktal). Beberapa jenis ruang (misalnya, ruang ukuran) tidak menerima konsep dimensi sama sekali.
Ruang asli yang diselidiki oleh Euklides adalah kini dikenal sebagai "ruang euklides berdimensi-tiga". Aksiomatisasinya, dimulai oleh Euklides 23 abad lalu, dan dilengkapkan pada abad ke-20 oleh David Hilbert, Alfred Tarski, dan George Birkhoff. Pendekatan ini menjelaskan ruang melalui primitif-primitif yang tidak terdefinisi (seperti "titik", "antara", "kongruen")
yang dibatasi oleh sejumlah aksioma. Definisi yang "berasal dari corat-coret" ini kini jarang digunakan, karena tidak menyibak hubungan ruang yang satu dengan ruang lainnya. Pendekatan modern mendefinisikan ruang euklidean berdimensi-tiga secara lebih aljabaris, melalui ruang linear dan bentuk kuadratik, yakni, sebagai ruang afin yang ruang selisihnya adalah ruang hasil kali dalam berdimensi-tiga.
Juga ruang projektif berdimensi-tiga adalah kini didefinisikan secara tak-klasik, sebagai ruang dari semua subruang berdimensi-satu (yaitu, garis-garis lurus yang melalui titik asal/titik nol) pada ruang linear berdimensi-empat.