Ruang (matematika)
hilbert real.) Banyak ruang barisan atau ruang fungsi adalah ruang hilbert berdimensi-takhingga. Ruang hilbert adalah sangat penting bagi teori kuantum.
Semua hasil kali dalam real berdimensi-formula_2 adalah saling isomorfik. Seseorang boleh mengatakan bahwa ruang euklidean berdimensi-formula_2 adalah ruang hasil kali dalam real berdimensi-formula_2 yang melupakan titik asalnya.
Lipatan terdiferensialkan tidak disebut "ruang", tetapi mungkin saja demikian. Fungsi, lintasan, dan peta yang terdiferensialkan (halus), yang diberikan dalam lipatan halus, menyebabkan ruang tangen. Setiap lipatan halus adalah lipatan (topologis). Permukaan halus (terdiferensialkan) di dalam ruang linear berdimensi-hingga (seperti
permukaan elipsoid, bukan politop) adalah lipatan halus. Setiap lipatan halus dapat dilekatkan kepada ruang linear berdimensi-hingga. Sebuah lintasan halus di dalam lipatan halus memiliki vektor tangen (pada setiap titik), menjadi milik bagi ruang tangen (melekat pada titik ini). Ruang tangen bagi lipatan halus berdimensi formula_2 adalah ruang linear
berdimensi-formula_2. Sebuah fungsi halus memiliki diferensial (di setiap titik),- fungsional linear pada ruang tangen. Ruang-ruang projektif, afin, dan linear berdimensi-hingga real (ataupun kompleks) adalah juga lipatan halus.
Lipatan riemannian, atau ruang riemann, adalah lipatan halus yang ruang tangennya diberkati dengan hasil kali dalam (memenuhi beberapa syarat). Ruang euklidean adalah juga ruang riemann. Permukaan halus (terdiferensialkan) di dalam ruang euklidean adalah ruang riemann. Ruang no-euklidean hiperbolik adalah juga ruang riemann. Kurva di
dalam ruang riemann memiliki panjang. Ruang riemann merupakan lipatan halus dan ruang metrik; panjang kurva terpendek adalah jarak. Sudut antara dua kurva yang berpotongan pada suatu titik adalah sudut antara garis-garis tangennya.
Dengan mengecualikan kepositifan hasil kali dalam pada ruang tangen, seseorang memperoleh ruang riemann-semu (khususnya, lorentzian) yang sangat penting bagi relativitas umum.
Dengan mengecualikan jarak dan sudut, sambil mempertahankan volume (dari bangun geometris) seseorang bergerak menuju teori ukuran. Di samping volume, ukuran memperumum luas, panjang, sebaran massa (atau muatan), dan juga sebaran peluang, menurut pendekatan Andrey Kolmogorov terhadap teori peluang.
"Bangun geometris" matematika klasik jauh lebih teratur ("regular") daripada sekadar himpunan titik. Batas suatu bangun adalah volume nol. Dengan demikian, volume bangun adalah volume bagian dalamnya, dan bagian dalam tersebut dapat diperkurus oleh sebarisan takhingga kubus. Sebaliknya, batas himpunan sembarang titik-titik boleh jadi volume tak-nol (misalnya: himpunan semua
titik rasional di dalam kubus yang diberikan). Teori ukuran berjaya memperluas gagasan volume (atau ukuran lainnya) menjadi sebuah kelas himpunan yang luas/besar cakupannya, disebut pula himpunan terukur. Jelaslah, himpunan-himpunan takterukur tidak pernah muncul di dalam terapan, tetapi, teori ini harus membatasi dirinya sendiri hanya pada himpunan-himpunan (dan fungsi-fungsi) terukur.
Himpunan terukur, diberikan dalam ruang terukur menurut definisi, mengarah kepada peta dan fungsi terukur. Untuk mengubah ruang topologi menjadi ruang terukur, seseorang memberkatinya dengan aljabar- (baca: "aljabar-sigma"). Aljabar- dari himpunan borel adalah yang paling popular, tetapi bukan satu-satunya pilihan (himpunan baire, himpunan terukur semesta. kadang-kadang
digunakan juga). Kemungkinan lain, aljabar- dapat dihasilkan oleh suatu kumpulan himpunan (atau fungsi) yang diberikan, tidak bergantung pada topologi manapun. Cukup sering, topologi-topologi yang berbeda mengarah kepada aljabar- (misalnya, topologi norma dan topologi lemah pada suatu ruang hilbert terpisahkan). Setiap subhimpunan dari suatu ruang terukur adalah juga ruang terukur.
Ruang terukur baku (disebut juga "ruang borel baku") adalah berguna secara khusus. Setiap himpunan borel (khususnya, setiap himpunan tertutup dan setiap himpunan terbuka) di dalam ruang euklidean (dan lebih umumnya, dalam ruang metrik terpisahkan lengkap) adalah ruang terukur baku. Semua ruang terukur baku yang takterhitung adalah saling isomorfik.
Ruang ukuran adalah ruang terukur yang diberkati dengan ukuran. Ruang euklidean dengan ukuran Lebesgue adalah ruang ukuran. Teori Integral mendefinisikan keterintegralan dan integral fungsi terukur pada ruang ukuran.
Himpunan ukuran 0, disebut himpunan nol, adalah dapat diabaikan. Oleh karena itu, ismorfisma formula_43 terdefinisi sebagai isomrfisma antara subhimpunan-subhimpunan berukuran penuh (yakni, dengan komplemen yang dapat diabaikan).
Ruang peluang adalah ruang ukuran, sedemikian sehingga ukuran keseluruhan ruang adalah sama dengan 1. Hasil kali sembarang keluarga (berhingga atau tidak) dari ruang-ruang peluang adalah juga ruang peluang. Sebaliknya, untuk ruang ukuran secara umum, hanya hasil kali ruang-ruang (terhingga banyaknya) yang terdefinisi.
Oleh karena itu, ada banyak ukuran peluang berdimensi-takhingga (khususnya, ukuran gaussian), tetapi tidak ada ukuran lebesgue yang berdimensi-takhingga.
Ruang peluang baku adalah berguna secara khusus. Setiap ruang peluang pada ruang terukur baku mengarah kepada ruang peluang baku. Hasil kali sebarisan (berhingga ataupun tidak) dari ruang-ruang peluang baku adalah juga ruang peluang baku. Semua ruang peluang baku non-atomik adalah saling isomorfik formula_44 salah satu dari mereka adalah interval formula_8 dengan ukuran Lebesgue.
Ruang-ruang ini adalah tidak begitu geometris. Khususnya, gagasan tentang dimensi, terterapkan (dalam satu bentuk atau bentuk lainnya) terhadap semua ruang lainnya, tidak berlaku bagi ruang terukur, ruang ukuran, dan ruang peluang.