Geometri projektif
Geometri projektif pada abad ke-19 ini merupakan sebuah batu loncatan dari geometri analitik ke geometri aljabar. Ketika diperlakukan dalam suku-suku koordinat homogen, geometri projektif tampak seperti perluasan atau perbaikan teknis penggunaan koordinat untuk mengurangi masalah-masalah geometri terhadap aljabar, yakni sebuah perluasan dengan mengurangi banyaknya kasus khusus. Kajian rinci dari
kuadrik dan "geometri garis"-nya Julius Plücker masih membentuk sehimpunan kaya contoh-contoh bagi para ahli geometri untuk bekerja dengan konsep-konsep yang lebih umum.
Karya Poncelet, Steiner dan lain-lain tidak ditujukan untuk memperluas geometri analitik. Teknik-teknik ini dianggap sebagai "geometri sintetis": pengaruhnya, ruang projektif yang kini dipahami dulunya diperkenalkan secara aksiomatis. Hasilnya, perumusan kembali karya dini tentang geometri projektif supaya ia memenuhi standar-standar kekakuan saat ini kadang-kadang dapat
menjadi sulit. Bahkan dalam kasus bidang projektif sendiri, pendekatan aksiomatis terhadap model tidak dapat dijelaskan melalui aljabar linear.
Periode ini dalam geometri telah diambil-alih oleh penelitian mengenai kurva aljabar umum oleh Clebsch, Riemann, Max Noether, dan lain-lain, yang merentangkan teknik-teknik yang telah ada, dan kemudian oleh teori invarian. Mendekati akhir abad ke-19 mazhab Italia geometri aljabar (Enriques, Segre, Severi) memecah pokok bahasan tradisional menjadi wilayah-wilayah yang memerlukan teknik-teknik yang lebih dalam.
Pada bagian akhir abad ke-19, kajian rinci tentang geometri projektif menjadi kurang bergaya lagi, meski pustaka yang membahasnya sangat banyak. Beberapa karya penting telah dibikin dalam bidang geometri enumeratif khususnya, oleh Schubert, yang kini dipandang sebagai antisipasi teori kelas Chern, diambil untuk menyajikan topologi aljabar Grassmannian.
Paul Dirac mengkaji geometri projektif dan menggunakannya sebagai basis untuk pengembangan konsep-konsepnya mengenai mekanika kuantum, meskipun karya-karyanya yang diterbitkan selalu berbentuk aljabar. Lihatlah sebuah artikel blog yang merujuk pada sebuah artikel dan buku tentang pokok bahasan ini, juga pada ceramah Dirac yang disajikan dalam audiensi umum tahun 1972 di Boston mengenai geometri projektif, tanpa menspesifikasi aplikasi dalam fisikanya.
Geometri projektif tidaklah begitu mengungkung bila dibandingkan dengan geometri euklides atau geometri afin. Ia secara intrinsik merupakan geometri non-metrik, yang fakta-faktanya tidak bergantung pada struktur metrik manapun. Di bawah transformasi projektif, struktur insidensi dan relasi sekawan harmonik projektif dipelihara. Rentang projektif adalah dasar satu dimensi. Geometri projektif memformalkan salah satu prinsip sentral seni
perspektif: bahwa garis-garis sejajar bertemu di ketakhinggaan, dan oleh karenanya digambarkan seperti itu. Intinya, geometri projektif dapat dipikirkan sebagai perluasan geometri euklides dimana "arah" tiap-tiap garis dimasukkan ke dalam garis sebagai "titik" ekstra, dan dimana sebuah "cakrawala" arah yang berpadanan dengan garis-garis koplanar dipandang sebagai "garis". Dengan demikian, dua garis sejajar bertemu pada garis mendatar karena mereka memiliki arah yang sama.
Arah yang teridealisasi dirujuk sebagai titik di ketakhinggaan, sementara cakrawala teridealisasi dirujuk sebagai garis di ketakhinggaan. Pada gilirannya, semua garis ini terletak pada bidang di ketakhinggaan. Tetapi, ketakhinggaan berada dalam konsep metrik, jadi dalam hal ini geometri projektif murni tidaklah mengasingkan titik, garis, atau bidang manapun; semua yang berada di ketakhinggaan diperlakukan sama seperti yang lainnya.
Karena geometri euklides dibahas di dalam geometri projektif, dimana geometri projektif memiliki fondasi yang lebih sederhana, hasil-hasil umum dalam geometri euklides boleh jadi tiba di dalam gaya yang lebih transparan, dimana teorema-teorema yang terpisah tetapi serupa di dalam geometri euklides dapat ditangani secara kolektif di dalam kerangka kerja geometri projektif.
Contohnya, garis-garis yang sejajar dan tidak sejajar tidak mesti diperlakukan sebagai kasus yang terpisah- kita mengasingkan beberapa bidang projektif sembarang sebagai bidang ideal dan menempatkannya "di ketakhinggaan" menggunakan koordinat homogen.
Sifat-sifat lainnya dari yang memiliki kepentingan mendasar di antaranya Teorema Desargues dan Teorema Pappus. Di dalam ruang projektif berdimensi tiga atau lebih besar, terdapat suatu konstruksi yang membolehkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues. Tetapi untuk dimensi dua, ia mesti dipostulatkan secara terpisah.
Dengan bantuan Teorema Desargues, dipadukan dengan aksioma-aksioma lain, adalah dimungkinkan untuk mendefinisikan operasi-operasi dasar aritmetika secara geometris. Operasi-operasi yang dihasilkan memenuhi aksioma-aksioma lapangan, kecuali bahwa kekomutatifan perkalian memerlukan Teorema Segienam Pappus. Hasilnya, titik-titik di tiap-tiap garis berkoresponden
satu-satu dengan lapangan yang diberikan, F, yang disertai sebuah unsur tambahan, W, sedemikian sehingga rW = W, W = W, r+W = W, r/0 = W, r/W = 0, Wr = rW = W. Tetapi, 0/0, W/W, W+W, WW, 0 W dan W0 tidak terdefinisi.
Geometri projektif juga menyertakan sebuah teori irisan kerucut yang lengkap, sebuah pokok bahasan yang telah dikembangkan dengan begitu baik dalam geometri euklides. Terdapat keuntungan-keuntungan yang jelas ketika seseorang mampu memikirkan hiperbola dan elips sebagai dua hal yang berbeda hanya dari fakta bahwa hiperbola "terletak melintasi garis di ketakhinggaan";
dan bahwa parabola dibedakan hanya oleh tangen terhadap garis yang sama. Seluruh keluarga lingkaran dapat dipandang sebagai "kerucut-kerucut yang melalui dua titik yang diberikan pada garis di ketakhinggaan"-memerlukan koordinat-koordinat kompleks. Karena koordinat tidaklah "sintetik", seseorang menggantinya dengan menetapkan sebuah garis dan dua titik padanya, dan
memandang "sistem linear" semua kerucut melalui titik-titik itu sebagai objek dasar pengkajian. Pendekatan ini terbukti sangat menarik bagi para penggiat geometri yang berbakat, dan lapangan ini dikembangkan dengan sangat saksama. Sebuah contoh pendekatan ini adalah risalah dengan banyak jilid karya Henry Frederick Baker.
Ada banyak geometri projektif, yang dapat digolongkan sebagai diskret dan kontinu: geometri "diskret" terdiri dari sehimpunan titik-titik, yang banyaknya bisa saja "berhingga" atau "tidak berhingga"; sedangkan geometri "kontinu" memiliki tak-hingga banyaknya titik tanpa jarak di antaranya.
Satu-satunya geometri projektif berdimensi 0 (nol) adalah sebuah titik tunggal. Geometri projektif berdimensi 1 (satu) terdiri dari sebuah garis tunggal yang memuat paling sedikit 3 (tiga) titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmetika tidak dapat dilakukan dalam kedua-dua kasus ini. Untuk dimensi 2 (dua), terdapat struktur yang kaya berdasar atas ketidakhadiran Teorema Desargues.
Menurut Greenberg (1999) dan lain-lain, geometri projektif berdimensi-2 yang paling sederhana adalah bidang Fano, yang memiliki 3 titik pada setiap garis, dengan 7 titik dan garis yang semuanya diatur dengan jadual kolinearitas berikut ini:
dengan koordinat-koordinat afin A = 0.0, B = 0.1, C = 0,W = 1,W, D = 1.0, E = W,0 = W,1, F = 1.1, G = W, W. Koordinat-koordinat di dalam sebuah bidang Desarguesian untuk titik-titik yang didesain untuk menjadi titik-titik di ketakhinggaan (dalam contoh ini: C, E, dan G) pada umumnya tidak terdefinisi secara tak-ambigu.
Istilah "geometri projektif" kadang-kadang digunakan untuk mengindikasi geometri abstrak pokok yang diperumum, dan kadang-kadang untuk mengindikasi geometri khusus dengan kepentingan yang lebih luas, misalnya geometri metrik bidang datar yang kita analisis melalui penggunaan koordinat homogen, dan dimana geometri euklides mungkin tertanam (oleh karenanya bernama, 'bidang euklides yang diperluas').