Paradoks gagak
Oleh karena itu, dari sudut pandang Bayesian-Carnapian, pengamatan seekor burung gagak tidak memberi tahu kita apa-apa tentang warna gagak, tapi memberi tahu kita tentang prevalensi burung gagak, dan mendukung "Semua burung gagak itu hitam" dengan mengurangi perkiraan jumlah gagak yang mungkin tidak hitam.
Sebagian besar pembahasan tentang paradoks pada umumnya dan pendekatan Bayesian secara khusus berpusat pada relevansi latar belakang pengetahuan. Anehnya, Maher menunjukkan bahwa, untuk kelas besar kemungkinan konfigurasi latar belakang pengetahuan, pengamatan non-hitam non-gagak menyediakan jumlah konfirmasi yang "sama persis" dengan jumlah pengamatan gagak hitam. Konfigurasi pengetahuan
latar belakang yang ia maksud adalah yang disediakan oleh "proposisi sampel", yaitu proposisi yang merupakan konjungsi dari proposisi atom, yang masing-masing dianggap sebagai predikat tunggal untuk satu individu, tanpa dua proposisi atom yang melibatkan individu yang sama. Dengan demikian, proposisi dari bentuk "A adalah gagak hitam dan B adalah sepatu putih" dapat dianggap sebagai proposisi sampel dengan mengambil "gagak hitam" dan "sepatu putih" menjadi predikat.
Bukti Maher tampaknya bertentangan dengan hasil argumen Bayesian, yaitu bahwa pengamatan non-hitam non-gagak memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Alasannya adalah bahwa latar belakang pengetahuan yang baik dan orang lain gunakan tidak dapat diungkapkan dalam bentuk proposisi sampel- khususnya, varian dari pendekatan standar Bayesian sering mengandaikan
(seperti yang Good lakukan dalam argumen yang dikutip di atas) bahwa jumlah total gagak, benda-benda non-hitam dan/atau jumlah objek, adalah kuantitas yang diketahui. Maher berkomentar bahwa, "Alasan kita berpikir ada lebih banyak benda-benda bukan hitam daripada gagak adalah karena itu telah benar dari hal-hal yang telah kita amati
sampai saat ini. Bukti semacam ini dapat diwakili oleh proposisi sampel. Tapi... diberikan proposisi sampel apa pun sebagai bukti latar belakang, non-hitam non-gagak menegaskan A sama kuatnya dengan gagak hitam... Jadi analisis saya menunjukkan bahwa respons terhadap paradoks [yaitu Standar Bayesian] tidak bisa benar."
memeriksa kondisi dimana pengamatan non-hitam non-gagak memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Mereka menunjukkan bahwa, jika formula_17 adalah objek yang dipilih secara acak, formula_38 adalah proposisi bahwa objek itu hitam, dan formula_39 adalah proposisi bahwa objeknya adalah seekor gagak, maka kondisi:
cukup untuk pengamatan non-hitam non-gagak untuk memberikan lebih sedikit bukti daripada pengamatan gagak hitam. Di sini, garis atas proposisi menunjukkan negasi logis dari proposisi itu.
Kondisi ini tidak memberitahukan kepada kita "seberapa besar" perbedaan dalam bukti yang tersedia, tetapi kalkulasi berikutnya dalam "paper" yang sama menunjukan bahwa berat bukti oleh gagak hitam melampaui berat bukti yang disediakan oleh non-gagak non-hitam sekitar formula_41. Ini sama dengan jumlah informasi tambahan (dalam bit, jika basis logaritma adalah
2) yang disediakan ketika gagak yang warnanya tidak diketahui ditemukan menjadi hitam, mengingat hipotesis bahwa tidak semua gagak berwarna hitam.
Para penulis menunjukkan bahwa analisis mereka sepenuhnya konsisten dengan anggapan bahwa non-hitam non-gagak memberikan sejumlah kecil bukti meskipun mereka tidak berusaha untuk membuktikannya; mereka hanya menghitung selisih antara jumlah bukti yang diberikan gagak hitam dan jumlah bukti bahwa non-hitam non-gagak menyediakannya.