Geometri projektif
Sifat dasar yang mengkhususkan semua geometri projektif adalah sifat insidensi "eliptik" bahwa sembarang dua garis yang berbeda "L" dan "M" di dalam bidang projektif memotong tepat satu titik "P". Kasus khusus di dalam geometri analitik garis-garis "sejajar" dikumpulkan dalam bentuk garis yang lebih halus "di ketakhinggaan" tempat "P" berada. Dengan demikian, "garis di ketakhinggaan"
adalah garis seperti yang lainnya dalam teori ini: ia berada dalam cara yang tidak khusus atau dibedakan. (Dalam roh program Erlangen seseorang dapat menunjukkan jalan grup transformasi dapat memindahkan sembarang garis ke "garis di ketakhinggaan").
Diberikan sebuah garis "l" dan sebuah titik "P" yang tidak berada pada garis, sifat sejajar eliptik bertentangan dengan sifat sejajar euklides dan sifat sejajar hiperbolik sebagai berikut ini:
Sifat sejajar eliptik adalah gagasan kunci yang mengarah pada prinsip dualitas projektif, yakni mungkin sifat terpenting dimana semua geometri projektif hidup bersama.
Pada tahun 1825, Joseph Gergonne mengajukan prinsip dualitas yang mengkarakterisasi geometri bidang projektif: diberikan sembarang teorema atau definisi geometri itu, lakukan substitusi "titik" untuk "garis", "terletak pada" untuk "melalui", "kolinear" untuk "konkuren", "memotong" untuk "menggabungi", atau begitu juga sebaliknya, menghasilkan teorema atau definisi sahih lainnya,
"dual" dari yang pertama. Sama halnya dalam dimensi-3, relasi dualitas berlaku antara titik dan bidang, membolehkan sembarang teorema ditransformasi dengan cara mempertukarkan "titik" dan "bidang," "dimuat oleh" dan "memuat." Lebih umumnya, untuk bidang-bidang projektif berdimensi-N, terdapat sebuah dualitas antara subruang-subruang berdimensi-R dan
berdimensi NR1. Untuk N = 2, bidang projektif ini menspesialisasi ke bentuk dualitas yang paling lazim dikenal-yakni antara titik dan garis. Prinsip dualitas juga telah ditemukan secara terpisah oleh Jean-Victor Poncelet.
Untuk membangun dualitas hanya diperlukan teorema yang sudah ada, yakni versi dual dari aksioma untuk dimensi yang dipertanyakan. Dengan demikian, untuk ruang-ruang berdimensi-3, seseorang harus membuktikan bahwa (1*) setiap titik berada dalam 3 bidang yang berbeda, (2*) setiap dua bidang berpotongan pada sebuah garis unik dan versi dual dari (3*)
dampaknya: jika perpotongan bidang P dan Q koplanar dengan perpotongan bidang R dan S, maka perpotongan bidang P dan R juga koplanar dengan perpotongan Q dan S (dengan menganggap bahwa bidang P dan S berbeda dengan Q dan R).
Dalam praktiknya, prinsip dualitas membolehkan kita untuk menentukan "korespondensi dual" antara dua konstruksi geometri. Yang paling terkenal darinya adalah polaritas atau resiprositas dua gambar dalam kurva irisan kerucut (dalam dimensi-2) atau permukaan kuadrik (dalam dimensi-3). Sebuah contoh lazim ditemukan dalam resiprokasi polihedron simetris dalam bola konsentrik untuk mendapatkan polihedron dual.
Sembarang geometri yang diberikan dapat dideduksi dari sehimpunan aksioma-aksioma yang bersesuaian. Geometri projektif dikarakterisasi oleh aksioma "sejajar eliptik", yakni bahwa "dua bidang sembarang selalu bertemu pada hanya satu garis", atau pada suatu bidang, "dua garis sembarang selalu bertemu pada hanya satu titik." Dalam perkataan lain, tidak ada
hal-hal seperti garis paralel atau bidang paralel dalam geometri projektif. Banyak himpunan aksioma-aksioma alternatif untuk geometri projektif yang telah diajukan (misalnya lihatlah contoh dalam Coxeter 2003, Hilbert dan Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).
Aksioma berikut ini didasarkan pada karya Whitehead, "The Axioms of Projective Geometry" ("Aksioma Geometri Projektif"). Terdapat dua jenis, titik dan garis, dan satu relasi "insidensi" antara titik dan garis. Ketiga aksioma ini adalah:
Alasan tiap-tiap garis dianggap memuat paling sedikit 3 titik adalah untuk mencoret beberapa kasus yang mendegenerasi. Ruang-ruang yang memenuhi 3 aksioma ini memiliki paling banyak satu garis, atau merupakan ruang-ruang projektif dari beberapa dimensi meliputi gelanggang perbagian, atau merupakan bidang-bidang non-Desarguesian.
Seseorang dapat menambahkan aksioma-aksioma lebih lanjut yang membatasi gelanggang koordinat atau dimensi. Contohnya, "Projective Geometry" karya Coxeter, merujuk Veblen dalam tiga aksioma di atas, bersama-sama dengan 5 aksioma lanjutan yang membuat dimensi-3 dan gelanggang koordinat sebuah lapangan karakteristik komutatif tidak dua.
Seseorang dapat mengikuti aksiomatisasi dengan cara mempostulatkan sebuah relasi terner, [ABC] untuk mendenotasi ketika tiga titik (tidak perlu semuanya berbeda) adalah kolinear. Sebuah aksiomatisasi dapat dituliskan juga dalam suku-suku relasi ini:
Untuk dua titik yang berbeda, A dan B, garis AB didefinisi sebagai memuat semua titik di C sehingga [ABC]. Aksioma C0 dan C1 kemudian menyediakan sebuah formalisasi G2; C2 untuk G1, dan C3 untuk G3.
Konsep garis diperumum menjadi bidang dan subruang-subruang berdimensi lebih besar. Dengan demikian, sebuah subruang, AB...XY dapat didefinisi secara rekursif dalam suku-suku subruang AB...X karena ia memuat semua titik pada garis YZ, karena Z merentang pada AB...X. Kemudian kolinearitas diperumum menjadi relasi "independensi". Sebuah himpunan titik-titik A, B,...,
Z adalah independen, [AB...Z] jika A, B,..., Z merupakan suatu subhimpunan yang membangung minimal untuk subruang AB...Z.
Aksioma projektif dapat diperlengkap oleh aksioma lebih lanjut yang mempostulatkan limit pada dimensi ruang. Dimensi minimum ditentukan oleh keujudan suatu himpunan independen ukuran yang diperlukan. Untuk dimensi yang paling kecil, persyaratan yang relevan dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat:
Dimensi maksimum boleh juga ditentukan dalam gaya yang serupa. Untuk dimensi terkecil, mereka berbentuk seperti berikut ini. Sebuah ruang projektif memiliki syarat-syarat: dan begitu seterusnya. Ini adalah sebuah teorema umum (konsekuensi dari aksioma (3)) bahwa semua garis koplanar berpotongan-peruntukan asli yang sangat prinsipal dari
geometri projektif. Oleh karena itu, sifat (M3) dapat secara ekivalen menyatakan bahwa semua garis saling berpotongan satu sama lain.
Pada umumnya diasumsikan bahwa ruang projektif paling kecil berdimensi-2. Dalam beberapa kasus, jika fokus adalah pada bidang projektif, varian M3 dapat dipostulatkan. Aksioma-aksioma pada (Eves 1997: 111), misalnya, melibatkan (1), (2), (L3) dan (M3). Aksioma (3) menjadi benar-benar hampa di bawah (M3) dan oleh karenanya tidak diperlukan dalam konteks ini.
Dalam geometri insidensi, sebagian besar penulis memberikan suatu perlakuan yang melingkupi bidang Fano PG (2, 2) sebagai bidang projektif berhingga minimal. Sebuah sistem aksioma yang menerimanya adalah yang berikut ini:
Buku karya Coxeter, "Introduction to Geometry" memberikan sebuah daftar berisi lima aksioma untuk suatu konsep yang lebih terbatas tentang bidang projektif yang berkaitan dengan Bachmann, menambahkan teorema Pappus ke dalam daftar aksioma di atas (yang mencoret bidang-bidang non-Desarguesian), dan tidak melibatkan bidang-bidang projektif pada lapangan berkarakteristik 2 (yaitu mereka
tidak memenuhi aksioma Fano). Bidang-bidang terbatas yang diberikan dalam hal ini amatlah mirip dengan bidang projektif real.