Matematika dan arsitektur
Taj Mahal menunjukkan arsitektur Mughal, yang keduanya mewakili surga dan menampilkan kekuasaan Kaisar Mughal, Shah Jahan melalui skala, simetri dan dekorasi mahalnya. Mausoleum dengan marmer putih, dihiasi dengan pietra dura; bangunan-bangunan besar lainnya seperti gerbang besar ("Darwaza-i rauza"), taman dan jalan secara bersamaan membentuk desain hirarkis terpadu. Bangunan tersebut
meliputi sebuah masjid pada batu pasir merah di sebelah barat, dan sebuah bangunan Jawab yang hampir identik, yang secara harfiah berarti 'jawaban' berada di sebelah timur, menjaga simetri bilateral kompleks. Kawasan charbagh (taman empat kali lipat) dengan empat bagian yang melambangkan empat sungai surga, dan menampilkan pemandangan dan pantulan mausoleum; yang dibagi menjadi 16 parter.
Kompleks Taj Mahal diletakkan pada sebuah petak, yang terbagi menjadi petak-petak kecil. Sejarawan arsitektur Koch dan Barraud setuju dengan akun tradisional yang memberi lebar kompleks 374 meter Mughal atau gaz, dimana kawasan utama terbagi menjadi tiga persegi berukuran 374-gaz. Ini terbagi di wilayah seperti bazaar dan perhotelan yang terbagi lagi menjadi ruangan-ruangan berukuran 17-gaz;
taman dan teras berada pada luas ruang 23 gaz, dan lebar 368 gaz (16 x 23). Mausoleum, masjid dan pondok tamu ditata di atas petak seluas 7 gaz. Koch dan Barraud mengamati bahwa jika sebuah oktagon digunakan berulang kali dalam sebuah kompleks yang bersisi 7 unit, maka akan memiliki lebar 17 unit, yang akan membantu menjelaskan pilihan nilai rasio pada kompleks.
Basilika patriarkal Kristen Hagia Sophia di Bizantium (sekarang Istanbul), dibangun pertama kali pada tahun 537 (dua kali dibangun ulang), selama seribu tahun merupakan katedral terbesar yang pernah didirikan. Hal ini mengilhami banyak bangunan yang didirikan kemudian seperti Sultan Ahmed dan masjid-masjid lain di kota ini. Arsitektur Bizantium mencakup sebuah nave yang dimahkotai oleh kubah bundar dan dua
buah kubah-setengah berdiameter sama (), dengan lima kubah kecil lainnya membentuk apse dan empat sudut bulat dari bagian dalam persegi panjang yang luas. Bentuk ini ditafsirkan oleh arsitek abad pertengahan yang merepresentasikan hal-hal duniawi yang berada di bawah (dasar bujur sangkar) dan langit Ilahiah yang berada di atas (kubah bola yang meninggi). Kaisar
Yustinianus I menggunakan dua geometri arsitek Isidorus Miletus dan Anthemius dari Tralles; dimana Isidore menyusun karya Archimedes tentang geometri padat, dan dipengaruhi olehnya.
Pentingnya air baptis dalam agama Kristen tercermin dalam skala arsitektur baptisterium. Baptisterium lateran tertua di Roma, dibangun pada tahun 440, menetapkan tren baptisterium oktagonal; dimana bak air pembaptisan di dalam bangunan ini seringkali berbentuk segi delapan, meski baptisterium terbesar berada di Italia, Pisa-yang dibangun antara tahun 1152 dan 1363, berbentuk melingkar, namun bak airnya
berbentuk segi delapan. Tingginya 54.86 meter (180 ft), dengan diameter 34.13 meter (112 ft) (nilai rasio 8: 5). Santo Ambrosius menulis bahwa baik air dan baptisterium berbentuk segi delapan "karena ada pada hari ke-8, Dengan kebangkitan Yesus, Kristus melonggarkan ikatan kematian dan menerima orang mati dari kuburan mereka." Santo Agustinus juga menggambarkan hari ke-8 sebagai "kekal... dikuduskan
oleh kebangkitan Kristus". Baptisterium Saint John yang berbentuk oktagonal, di Firenze yang dibangun antara 1059 dan 1128, adalah salah satu bangunan tertua di kota itu, dan merupakan salah satu bangunan dengan tradisi zaman kuno langsung; hal ini sangat berpengaruh pada Renaisans Firenze berikutnya, dengan arsitek utama seperti Francesco Talenti, Alberti dan Brunelleschi; yang digunakan sebagai model arsitektur klasik.
Nomor lima digunakan 'secara luas' pada tahun 1717 oleh Gereja Ziarah St John dari Nepomuk di Zelená hora, dekat ár nad Sázavou di Republik Ceko, yang dirancang oleh Jan Blaej Santini Aichel. Nave tersebut berbentuk melingkar, dikelilingi oleh lima pasang kolom dan lima kubah oval yang bergantian dengan apse ogival. Gereja selanjutnya memiliki lima gerbang,
lima kapel, lima altar dan lima bintang; sebuah legenda mengklaim bahwa ketika Santo Yohanes dari Nepomuk menjadi martir, lima bintang muncul di atas kepalanya. Arsitektur lima kali lipat juga bisa melambangkan Lima Luka Kudus dan lima huruf dari kata "Tacui" (bahasa Latin: "Saya tetap diam" [tentang rahasia pengakuan dosa]).
Antoni Gaud menggunakan berbagai struktur geometris, yang beberapa di antaranya adalah permukaan minimum di Sagrada Famlia, Barcelona, yang mulai dibangun pada tahun 1882 (dan tidak selesai tahun 2015). Struktur ini termasuk bentuk paraboloid hiperbolik dan revolusi hiperboloid, tesselasi, kurva katener, katenoid, helikoid, dan permukaan teratur. Perpaduan geometri yang beragam ini
dikombinasikan secara kreatif dengan berbagai cara di sekitar gereja. Misalnya, pada Fasad Pasionis Sagrada Famlia, Gaud memasang batu yang ber"cabang" dalam bentuk paraboloid hiperbolik, tanpa tumpang tindih di bagian puncaknya ("directrices"), dan saling bertemu pada satu titik. Sebaliknya, di barisan tiang terdapat permukaan paraboloid hiperbolik yang dengan mulus
bergabung dengan struktur lain membentuk permukaan yang tak terbatas. Selanjutnya, Gaud mengeksplorasi pola alamiah yang matematis pada dirinya sendiri, dengan kolom yang berasal dari bentuk pohon, dan lintel yang terbuat dari basal yang tidak dimodifikasi; namun retak secara alami (akibat pendinginan dari batuan cair) ke dalam kolom heksagonal.
Katedral Saint Mary of the Assumption di San Francisco yang di bangun tahun 1971, memiliki atap pelana yang terdiri dari delapan segmen paraboloid hiperbolik, yang disusun sedemikian rupa sehingga bagian penampang horizontal paling bawah atap adalah persegi dan bagian paling atasnya adalah salib Kristen. Bangunannya berbentuk persegi dengan sisi, dan tingginya. Katedral Braslia yang dibangun tahun 1970 oleh Oscar
Niemeyer menggunakan struktur hiperboloid yang berbeda; yang dibangun dari 16 balok beton identik, masing-masing memiliki berat 90 ton, disusun dalam lingkaran yang membentuk hiperboloid revolusi, balok-balok putih tersebut menciptakan bentuk seperti tangan yang sedang berdoa ke surga. Hanya kubah yang terlihat dari luar, dan sebagian besar bangunan berada di bawah tanah.
Beberapa gereja abad pertengahan di Skandinavia berbentuk melingkar, termasuk empat di pulau Denmark, Bornholm. sterlars Church 1160 adalah salah satu yang tertua, dan memiliki nave yang melingkar di sekitar batu kolom besar yang melingkar, ditembus dengan lengkungan dan dihiasi dengan lukisan dinding. Struktur melingkar memiliki tiga tingkat dan rupanya diberi benteng, Tingkat paling atas digunakan untuk pertahanan.
Bangunan Islam sering dihiasi dengan pola geometris yang biasanya menggunakan beberapa tesselasi matematika, yang terbentuk dari keramik (girih, zellige) yang bisa polos atau dihiasi dengan garis-garis. Bentuk simetri bintang enam, delapan, atau kelipatan delapan titik digunakan dalam pola-pola Islam. Beberapa di antaranya didasarkan pada 'Khatem Sulemani' atau motif segel Salomo, yang berbentuk bintang
dengan delapan sudut yang terbuat dari dua persegi, satu diputar 45 derajat, dari arah lain di pusat yang sama. Pola-pola Islam banyak dikembangkan dari 17 kemungkinan grup kristalografi. Edith Müller menunjukkan 11 grup kristalografi yang digunakan dalam dekorasi Alhambra di awal tahun 1944, sementara pada tahun 1986, Branko Grünbaum mengklaim telah menemukan 13 grup kristalografi di Alhambra, dengan
menyatakan secara kontroversial bahwa 4 kelompok yang tersisa tidak ditemukan di manapun dalam ornamen Islam.