Geometri projektif
Di dalam matematika, geometri projektif adalah kajian sifat-sifat geometris yang invarian di bawah transformasi projektif. Ini berarti bahwa geometri projektif memiliki tatanan, ruang projektif, dan himpunan selektif yang berbeda dibandingkan konsep-konsep geometri elementer. Intuisi-intuisi dasarnya adalah bahwa ruang projektif memiliki "lebih banyak" titik daripada ruang euklides, di
dalam dimensi yang diberikan, dan bahwa transformasi geometris adalah diizinkan untuk memindahkan titik-titik ekstra (yang disebut "titik di ketakhinggaan") ke titik-titik tradisional, dan begitu juga sebaliknya.
Sifat-sifat yang penuh makna di dalam geometri projektif disokong oleh gagasan baru transformasi ini, yang lebih radikal dalam efek-efeknya dibanding keterekspresiannya oleh suatu matriks transformasi dan translasi (transformasi afin). Isu pertama bagi para ahli geometri adalah bahasa geometri manakah yang memadai bagi situasi baru ini? Tidaklah mungkin untuk memperbincangkan
sudut dalam geometri projektif karena ia ada dalam geometri euklides, karena sudut adalah sebuah contoh dari konsep yang tidak invarian di bawah transformasi projektif, seperti yang tampak jelas dalam gambar perspektif. Satu sumber untuk geometri projektif adalah tentu saja teori perspektif. Perbedaan lainnya dari geometri elementer adalah cara dimana garis-garis sejajar dapat dikatakan
saling bertemu di sebuah titik di ketakhinggaan, ketika konsep ini ditranslasikan ke dalam suku-suku geometri projektif. Dan lagi, gagasan ini memiliki landasan intuitif, misalnya rel kereta api yang bertemu di cakrawala menurut gambar perspektif. Lihatlah bidang projektif untuk dasar-dasar geometri projektif dalam dua dimensi.
Sementara beberapa gagasan telah hadir terlebih dahulu, geometri projektif sebagian besarnya merupakan hasil pengembangan dari abad ke-19. Satu rancang bangun raksasa dari berbagai penelitian telah menjadikannya sebagai cabang geometri yang paling representatif pada masa itu. Geometri projektif adalah teori tentang ruang projektif kompleks, karena koordinat-koordinat yang digunakan (koordinat
homogen) adalah bilangan kompleks. Beberapa lembaran utama matematika yang lebih abstrak (termasuk teori invarian, mazhab Italia geometri aljabar, dan program Erlangen-nya Felix Klein yang mengarah pada kajian grup klasik) dibangun di atas geometri aljabar. Geometri projektif juga merupakan subjek dengan banyak praktisi yang bekerja deminya, di bawah panji-panji geometri sintetis. Cabang lain yang muncul dari kajian-kajian aksiomatis geometri projektif adalah geometri berhingga.
Cabang geometri projektif sendiri saat ini dibagi ke dalam banyak sub-cabang penelitian, dua contoh darinya adalah geometri aljabar projektif (kajian varietas projektif) dan geometri diferensial projektif (kajian invarian diferensial transformasi projektif).
Geometri projektif adalah sebuah bentuk tak-metrik elementer dari geometri, artinya bahwa geometri projektif tidak didasarkan pada konsep jarak. Di dalam dua dimensi, geometri projektif bermula dengan kajian konfigurasi titik dan garis. Tentu saja terdapat beberapa kepentingan geometri di dalam tatanan yang langka ini dipandang sebagai geometri projektif yang dikembangkan oleh Desargues dan lain-lain di dalam penggalian mereka akan prinsip-prinsip seni perspektif.
Di dalam ruang-ruang yang berdimensi lebih tinggi terdapat hiperbidang dan subruang linear lainnya, yang memperlihatkan prinsip dualitas. Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang projektif, dimana pernyataan "dua titik yang berbeda menentukan sebuah garis unik" (yakni garis yang melaluinya) dan "dua garis yang berbeda menentukan satu titik unik" (yakni titik perpotongannya) menunjukkan struktur yang sama sebagai proposisi.
Geometri projektif dapat juga dipandang sebagai geometri konstruksi dengan hanya satu "straightedge" (sisi-lurus). Karena geometri projektif tidak melibatkan konstruksi jangka, maka tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada garis sejajar, dan tidak ada konsep intermediasi. Dimaklumi bahwa teorema-teorema yang
digunakan di dalam geometri projektif adalah pernyataan-pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya irisan-irisan kerucut yang berbeda adalah semuanya ekivalen di dalam geometri projektif (kompleks), dan beberapa teorema mengenai lingkaran dapat dilihat sebagai kasus khusus dari teorema-teorema umum ini.
Pada permulaan abad ke-19, karya Poncelet, Lazare Carnot, dan yang lainnya mendirikan geometri projektif sebagai cabang tersendiri dari matematika. Dasar-dasar yang saksama ini diajukan oleh Karl von Staudt dan disempurnakan oleh orang Italia Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa, dan Gino Fano pada penghujung abad ke-19.
Geometri projektif, seperti geometri afin dan geometri euklides, dapat juga dikembangkan dari program Erlangen-nya Felix Klein; geometri projektif dikarakterisasi oleh invarian-invarian di bawah transformasi-transformasi grup projektif.
Setelah banyak karya yang memuat sedemikian banyaknya teorema dalam subjek ini, dasar-dasar geometri projektif menjadi lebih terpahami. Struktur insidensi dan rasio silang adalah invarian fundamental di bawah transformasi projektif. Geometri projektif dapat dimodelkan oleh bidang afin (atau ruang afin) ditambah sebuah garis (hiperbidang) "di ketakhinggaan" dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hiperbidang) sebagai sesuatu yang "biasa".
Sebuah model aljabar untuk mengerjakan geometri projektif di dalam gaya geometri analitik diberikan oleh koordinat-koordinat homogen. Di pihak lain, kajian-kajian aksiomatik justru menyibak keberadaan bidang non-desarguesian, contoh-contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma-aksioma insidensi dapat dimodelkan (hanya dalam dua dimensi) oleh struktur-struktur yang tidak aksesibel untuk penalaran melalui sistem koordinat homogen.
Di dalam artian yang mendasar, geometri projektif dan geometri terurut adalah elementer karena mereka melibatkan aksioma sesedikit mungkin dan kedua-duanya dapat digunakan sebagai fondasi bagi geometri afin dan geometri euklides. Geometri projektif tidaklah "terurut" dan dengan demikian geometri projektif adalah fondasi yang berbeda dari geometri.
Sifat-sifat geometri pertama dari sifat projektif ditemukan pertama kali pada abad ke-8 oleh Pappus dari Iskandariyah. Filippo Brunelleschi (1404-1472) mulai menyelidiki geometri perspektif pada tahun 1425 (lihatlah sejarah perspektif untuk pembahasan lebih lanjut tentang karya dalam bidang seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri projektif).
Johannes Kepler (1571-1630) dan Gérard Desargues (1591-1661) secara terpisah mengembangkan konsep berporos tentang "titik di ketakhinggaan". Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membikin gambar perspektif dengan memperumum penggunaan titik hilang untuk menyertakan kasus ketika titik-titik ini berjarak jauh tak terhingga. Dia membuat geometri euklides, dimana garis-garis sejajar adalah benar-benar sejajar, ke
dalam kasus khusus dari sistem geometri yang meliputi semuanya. Pengkajian Desargues terhadap bagian-bagian kerucut melukiskan perhatian seorang Blaise Pascal yang berumur 16 tahun dan membantunya merumuskan teorema Pascal.
Karya-karya Gaspard Monge pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 adalah penting bagi pengembangan geometri projektif berikutnya. Karya Desargues diabaikan sampai Michel Chasles berkesempatan membaca salinan sebuah tulisan tangan pada tahun 1845. Sementara itu, Jean-Victor Poncelet telah menerbitkan risalah dasar tentang geometri projektif pada tahun 1822.
Poncelet memisahkan sifat-sifat projektif objek-objek dalam kelas individual dan mendirikan hubungan antara sifat-sifat metrik dan projektif. Geometri non-euklides yang ditemukan tak lama kemudian sebenarnya diperagakan untuk mendapatkan model-model, seperti model Klein tentang ruang hiperbolik, yang berhubungan dengan geometri projektif.