Paradoks gagak
Paradoks gagak, atau Paradoks Hempel, Gagak Hempel, atau paradoks ornitologi dalam, adalah sebuah paradoks yang muncul dari pertanyaan "apa yang membenarkan bukti dari sebuah pernyataan". Mengamati benda-benda bukan hitam dan bukan gagak dapat meningkatkan secara formal kemungkinan bahwa semua burung gagak berwarna hitam meskipun, secara intuitif, pengamatan ini tidak terkait.
Masalah ini diajukan oleh ahli logika Carl Gustav Hempel pada tahun 1940-an untuk menggambarkan kontradiksi antara logika induktif dan intuisi.
Dalam semua situasi dimana (2) benar, (1) juga benar-dan juga, dalam semua situasi dimana (2) salah (yaitu, jika dibayangkan sebuah dunia dimana tidak ada sesuatu yang berwarna hitam, tetapi ada gagak), (1) juga salah.
Dengan pernyataan umum seperti "semua gagak berwarna hitam", sebuah bentuk pernyataan serupa yang mengacu pada contoh spesifik dari kelas umum biasanya dianggap sebagai bukti untuk pernyataan umum tersebut. Sebagai contoh, adalah bukti pendukung hipotesis bahwa "semua gagak berwarna hitam".
Paradoks muncul saat proses yang sama diterapkan pada pernyataan (2). Saat melihat apel hijau, seseorang dapat mengamati: Dengan penalaran serupa, pernyataan ini adalah bukti bahwa (2) "jika ada sesuatu yang tidak hitam maka itu bukan seekor gagak." Tapi karena (seperti di atas) pernyataan ini secara logis setara dengan (1) "semua gagak berwarna hitam", maka hasil pengamatan apel hijau
adalah bukti yang mendukung gagasan bahwa semua burung gagak berwarna hitam. Kesimpulan ini tampaknya paradoks, karena menyiratkan bahwa informasi tentang gagak bisa diperoleh dengan melihat apel.
Postulat Nicod menyatakan bahwa seharusnya "hanya pengamatan burung gagak mempengaruhi pandangan seseorang tentang apakah semua gagak itu hitam". Mengamati lebih banyak contoh gagak hitam harus mendukung pandangan tersebut, mengamati gagak berwarna putih atau berwarna lain selain hitam harus membantahnya, dan pengamatan non-gagak tidak akan berpengaruh.
Kondisi kesetaraan Hempel menyatakan bahwa ketika sebuah proposisi, X, memberikan bukti yang mendukung proposisi lain Y, maka X juga memberikan bukti yang mendukung proposisi apapun yang secara logis setara dengan Y.
Secara realistis, himpunan gagak itu terbatas. Himpunan barang non-hitam tidak terbatas atau diluar penghitungan manusia. Untuk mengkonfirmasi pernyataan 'Semua burung gagak itu hitam', perlu mengamati semua burung gagak. Ini sulit tapi mungkin. Untuk mengkonfirmasi pernyataan 'Semua benda non-hitam itu bukan gagak', perlu untuk memeriksa semua hal yang tidak hitam.
Ini tidak mungkin. Mengamati seekor burung gagak hitam bisa dianggap sebagai bukti konfirmasi yang terbatas, namun mengamati seekor burung gagak yang tidak hitam akan menjadi bukti infinitesimal.
Paradoks tersebut menunjukkan bahwa kriteria Nicod dan kondisi kesetaraan Hempel tidak saling konsisten. Sebuah resolusi untuk paradoks harus menolak setidaknya salah satu dari:
Resolusi yang memuaskan juga harus menjelaskan "mengapa" secara naif hal ini tampak menjadi paradoks. Solusi yang menerima kesimpulan paradoks dapat melakukan hal ini dengan menghadirkan sebuah proposisi yang secara intuitif kita ketahui salah, tapi mudah dicampuradukan dengan (PC), sementara solusi yang menolak (EC) atau (NC) harus menyajikan sebuah proposisi yang secara intuitif kita ketahui akan menjadi benar tapi itu mudah dicampuradukan dengan (EC) atau (NC).
Meskipun kesimpulan paradoks ini tampaknya kontra-intuitif, beberapa pendekatan menerima bahwa pengamatan terhadap non-gagak (berwarna) sebenarnya bisa merupakan bukti yang benar untuk mendukung hipotesis mengenai (kehitaman universal) burung gagak.
Hempel sendiri menerima kesimpulan paradoks tersebut, dengan penalaran bahwa alasan mengapa hasilnya tampak paradoks adalah karena kita memiliki informasi sebelumnya yang dengannya (informasi itu) pengamatan non-gagak dan non-hitam memang akan memberi bukti bahwa semua burung gagak itu berwarna hitam.
Dia menggambarkan hal ini dengan contoh generalisasi "Semua garam natrium terbakar dengan api kuning," dan meminta kita untuk mempertimbangkan pengamatan yang terjadi saat seseorang memegang sebatang es murni dengan api tidak berwarna yang tidak menjadi kuning:
Salah satu usulan penyelesaian yang paling populer adalah menerima kesimpulan bahwa pengamatan apel hijau memberikan bukti bahwa semua burung gagak berwarna hitam. Solusi ini juga untuk membuktikan bahwa jumlah konfirmasi yang diberikan sangat kecil, karena perbedaan besar antara jumlah gagak dan jumlah benda non-hitam. Menurut penyelesaian ini, kesimpulan akan tampak
paradoks karena kita secara intuitif memperkirakan jumlah bukti yang diberikan oleh pengamatan apel hijau menjadi nol, padahal sebenarnya tidak nol tetapi sangat kecil.
Presentasi I. J. Good dari argumen ini pada tahun 1960 mungkin yang paling dikenal, dan variasi argumen ini telah populer sejak saat itu, meskipun sebenarnya telah dipresentasikan pada 1958 dan bentuk awal dari argumen ini telah muncul jauh lebih awal lagi, yaitu tahun 1940.
Argumen Good melibatkan perhitungan bobot bukti yang disediakan oleh pengamatan gagak hitam atau sepatu putih yang mendukung hipotesis bahwa semua gagak dalam sekumpulan objek tersebut berwarna hitam. Bobot bukti tersebut merupakan algoritme dari Faktor Bayes, yang dalam kasus ini hanyalah faktor dimana peluang hipotesis berubah saat observasi dilakukan. Argumennya adalah sebagai berikut:
Banyak pendukung resolusi dan varian ini telah menjadi pendukung probabilitas Bayesian. Solusi ini sekarang sering disebut Solusi Bayesian, walaupun Chihara mengamati bahwa, "tidak ada yang namanya "solusi Bayesian". Ada banyak 'solusi' berbeda yang telah diajukan, Bayesian mengemukakannya menggunakan teknik Bayesian." Pendekatan yang patut diperhatikan dengan menggunakan teknik Bayesian antara lain
Earman, Eells, Gibson, Hosiasson-Lindenbaum, Howson dan Urbach, Mackie, dan Hintikka, yang mengklaim bahwa pendekatannya "lebih Bayesian daripada apa yang disebut 'solusi Bayesian' dari paradoks serupa". Pendekatan Bayesian yang memanfaatkan teori inferensi induktif Carnap antara lain Humburg, Maher, dan Fitelson et al. Sementara itu Vranas memperkenalkan istilah "Penyelesaian Standar Bayesian" untuk menghindari kebingungan.
Untuk mencapai (ii), dia mengajukan banding atas teori probabilitas induktif Carnap, yaitu (dari sudut pandang Bayesian) suatu cara untuk menetapkan probabilitas sebelumnya yang secara alami menerapkan induksi. Menurut teori Carnap, probabilitas posterior, formula_16, yang merupakan objek, formula_17, dan akan mempunyai predikat, formula_18, setelah bukti formula_19 telah diamati, adalah:
dimana formula_21 adalah probabilitas awal bahwa formula_17 memiliki predikat formula_18; formula_24 adalah jumlah benda yang telah diperiksa (menurut bukti formula_19 yang ada); formula_26 adalah jumlah objek yang diperiksa yang ternyata memiliki predikat formula_18, dan formula_28 adalah konstanta yang mengukur ketahanan terhadap generalisasi.
Jika formula_28 mendekati nol, formula_16 akan sangat dekat dengan satu setelah pengamatan tunggal dari objek yang ternyata memiliki predikat formula_18, dimana jika formula_28 jauh lebih besar dari formula_24, formula_16 akan sangat dekat dengan formula_21 terlepas dari pecahan objek yang diamati yang memiliki predikat formula_18.
Dengan menggunakan pendekatan Carnapian ini, Maher mengidentifikasi sebuah proposisi yang secara intuitif (dan benar) kita ketahui salah, tapi mudah dibingungkan dengan kesimpulan paradoks. Proposisi yang dimaksud adalah bahwa mengamati non-gagak memberi tahu kita tentang warna burung gagak. Meskipun ini salah secara intuitif dan juga salah menurut teori induksi Carnap, mengamati non-gagak
(sesuai dengan teori yang sama) menyebabkan kita mengurangi perkiraan jumlah keseluruhan burung gagak, dan dengan demikian mengurangi perkiraan jumlah kemungkinan contoh sebaliknya untuk pernyataan bahwa semua gagak berwarna hitam.