Geometri diferensial
Geometri diferensial adalah sebuah disiplin matematika yang menggunakan teknik-teknik kalkulus diferensial dan kalkulus integral, juga aljabar linear dan aljabar multilinear, hingga masalah-masalah kajian dalam geometri. Teori kurva ruang dan bidang dalam ruang euklides tiga dimensi membentuk basis untuk pengembangan geometri diferensial pada abad ke-18 dan abad ke-19. Sejak akhir abad ke-19, geometri
diferensial telah berkembang menjadi sebuah lapangan yang memperhatikan secara lebih umum dengan struktur geometri pada lipatan terdiferensialkan. Geometri diferensial berhubungan dekat dengan topologi diferensial, dan dengan aspek-aspek geometri pada teori persamaan diferensial. Geometri diferensial permukaan menangkap banyak gagasan penting dan karakteristik teknik pada lapangan ini.
Geometri Riemannian mengkaji lipatan Riemannian, lipatan mulus dengan "metrik Riemannian". Ini adalah sebuah konsep tentang jarak yang disajikan dalam artian bentuk bilinear simetris definit positif mulus yang terdefinisi pada ruang tangen pada tiap-tiap titik. Geometri Riemannian memperumum geometri euklides kepada ruang-ruang yang tidak harus datar/rata (flat), meskipun mereka masih menyerupai ruang
euklides pada tiap-tiap titik secara infinitesimal, yaitu dalam hampiran orde satu. Berbagai konsep yang didasarkan pada panjang, seperti panjang lengkungan suatu kurva, luas suatu bidang, dan volume suatu padatan; semuanya memiliki analogi natural dalam geometri Riemannian. Gagasan tentang turunan berarah suatu fungsi dari kalkulus peubah banyak diperluas dalam geometri Riemannian menjadi
gagasan turunan kovarian suatu tensor. Ada banyak konsep dan teknik analisis dan persamaan diferensial yang telah diperumum untuk berurusan dengan lipatan Riemannian.
Difeomorfisma yang mengawetkan jarak antara lipatan-lipatan Riemannian disebut isometri. Gagasan ini dapat pula didefinisikan secara "lokal", yaitu untuk lingkungan titik-titik yang kecil. Dua kurva beraturan sembarang adalah isometris secara lokal. Tetapi, Theorema Egregium yang diajukan Carl Friedrich Gauss menunjukkan bahwa untuk permukaan, keujudan suatu isometri lokal memaksakan
kondisi-kondisi kompatibilitas yang kuat pada metrik-metrik mereka: kurvatur Gaussian pada titik-titik yang bersesuaian pastilah sama. Dalam dimensi yang lebih tinggi, tensor kurvatur Riemann adalah suatu invarian titik-demi-titik yang penting yang berasosiasi dengan lipatan Riemannian yang mengukur seberapa dekat ia untuk dikatakan datar/rata. Sebuah kelas penting
lipatan Riemannian adalah ruang simetris Riemannian, yang kurvaturnya tidak harus konstan. Hal ini adalah analog terdekat dengan bidang dan ruang "biasa" yang diperhatikan dalam geometri euklides dan non-euklides.
Geometri Riemannian semu memperumum geometri Riemannian kepada kasus dimana tensor metrik tidak harus definit positif. Sebuah kasus khusus hal ini adalah "Lipatan Lorentzian", yakni basis matematika untuk teori relativitas umum tentang gravitasi-nya Einstein.
Geometri Finsler memiliki "Lipatan Finsler" sebagai objek kajian utama. Ini adalah lipatan diferensial dengan suatu metrik Finsler, yaitu norma Banach yang terdefinisi pada tiap-tiap ruang tangen. Metrik Finsler adalah struktur yang jauh lebih umum daripada metrik Riemannian. Struktur Finsler pada suatu lipatan "M" adalah fungsi "F": T"M"  [0,) sedemikian sehingga:
Geometri simplektis adalah kajian tentang lipatan simplektis. Lipatan yang hampir simplektis adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan bentuk bilinear matriks asimetris non-degenerat bervariasi mulus pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu bentuk-2 "" non-degenerat, yang disebut "bentuk simplektis". Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis dimana bentuk simplektis "" adalah tertutup: d"" = 0.
Difeomorfisma antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut simplektomorfisma. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada ruang vektor berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah permukaan yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma
adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. Ruang fasa suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya Joseph Louis Lagrange tentang mekanika analitik dan kemudian dalam mekanika Hamiltonian karya Carl Gustav Jacobi dan William Rowan Hamilton.
Berbeda dengan geometri Riemannian, dimana kurvatur menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, teorema Darboux menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali)
teorema Poincaré-Birkhoff, yang diperdugakan oleh Henri Poincaré dan kemudian dibuktikan oleh G.D. Birkhoff pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu anulus melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.
Geometri kontak berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam mekanika klasik. Suatu "struktur kontak" pada lipatan "M" berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus "H" dalam bundel tangen, yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan
himpunan level fungsi terdiferensialkan pada "M" (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap "). Di dekat titik "p", distribusi bidang-hiper ditentukan oleh bentuk-1 yang tidak menghilang di manapun formula_1, yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:
Bentuk-1 lokal pada "M" adalah "bentuk kontak" jika batasan turunan eksterior terhadap "H" adalah bentuk-dua non-degenerat dan dengan demikian menginduksi struktur simplektis pada "H" di tiap-tiap titik. Jika distribusi "H" dapat didefinisikan oleh bentuk-satu global formula_1, maka bentuk ini adalah kontak jika dan hanya jika bentuk berdimensi-puncak
adalah sebuah bentuk volume pada M, yaitu tidak menghilang di manapun. Sebuah analog kontak dari teorema Darboux menyatakan: semua struktur kontak pada lipatan berdimensi-ganjil adalah isomorfik secara lokal dan dapat dibawa ke bentuk normal lokal tertentu oleh suatu sistem koordinat terpilih yang sesuai.
"Geometri diferensial kompleks" adalah kajian lipatan kompleks. Suatu lipatan hampir kompleks adalah lipatan "real" formula_5, yang diperlengkapi dengan tensor berjenis (1, 1), yaitu endomorfisma bundel vektor (disebut "struktur hampir kompleks")
Lipatan hampir kompleks dikatakan "kompleks" jika formula_8, dimana formula_9 adalah tensor berjenis (2, 1) yang berhubungan dengan formula_10, yang disebut tensor Nijenhuis (atau kadang-kadang "torsi"). Lipatan hampir kompleks adalah kompleks jika dan hanya jika ia mengizinkan koordinat atlas holomorfik. "Struktur hampir Hermitian" diberikan oleh struktur hampir kompleks "J", bersama-sama dengan metrik Riemannian "g", memenuhi syarat kompatibilitas
Dua syarat berikut ini adalah ekivalen:dimana formula_15 adalah koneksi Levi-Civita dari formula_16. Dalam kasus ini, formula_17 disebut "struktur Kähler", dan "lipatan Kähler" adalah lipatan yang diperlengkapi dengan struktur Kähler. Secara khusus, lipatan Kähler adalah lipatan simplektis dan kompleks. Kelas yang lebih besar dari lipatan Kähler (kelas lipatan Hodge) diberikan oleh semua varietas projektif kompleks mulus.