Segitiga sama sisi
Dalam geometri, segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang. Dalam geometri euklides, segitiga sama sisi juga merupakan equiangular; yaitu, semua tiga sudut internal juga kongruen satu sama lain dan masing-masing 60°. Mereka poligon reguler, dan karena itu dapat juga disebut sebagai segitiga regular.
Jika panjang sisi segitiga sama sisi dinyatakan dengan "a", dengan menggunakan teorema Pythagoras kita dapat menentukan bahwa: Dengan menyatakan jari-jari lingkaran luar sebagai "R", dengan menggunakan trigonometri kita dapat menentukan bahwa: Beberapa persamaan ini memiliki hubungan sederhana dengan altitude ("h") dari setiap sudut pada sisi berlawanan:
Dalam sebuah segitiga sama sisi, ketinggian, bisectors sudut, tegak lurus bisectors dan median untuk setiap sisi bertepatan.
Segitiga "ABC" yang memiliki sisi-sisi "a", "b", "c", semiperimeter "s", daerah "T", exradii "r", "r", "r" (tangen untuk "a", "b", "c" masing-masing), dan dimana "R" dan "r" masing-masing adalah jari-jari lingkaran luar dan lingkaran dalam, disebut segitiga sama sisi jika dan hanya jika salah satu dari sembilan pernyataan berikut ini adalah
benar. Dengan demikian berikut ini adalah sifat yang unik untuk segitiga sama sisi. Tiga jenis cevians yang sama untuk (dan hanya untuk) segitiga sama sisi:
Setiap pusat segitiga dari sebuah segitiga sama sisi bertepatan dengan centroid, yang menyiratkan bahwa segitiga sama sisi adalah satu-satunya segitiga dengan tidak memiliki garis euler yang menghubungkan beberapa pusat. Untuk beberapa pasangan pusat segitiga, fakta bahwa mereka bertepatan cukup untuk memastikan bahwa segitiga adalah sama sisi. Secara khusus:
Untuk setiap segitiga, tiga median membagi segitiga menjadi enam segitiga yang lebih kecil.Teorema Morley trisector menyatakan bahwa, dalam setiap segitiga, tiga titik persimpangan yang berdekatan sudut trisectors membentuk segitiga sama sisi.
Teorema Napoleon menyatakan bahwa, jika segitiga sama sisi dibangun di setiap sisi segitiga, baik ke luar atau ke dalam, masing-masing pusat dari tiga segitiga sama sisi tersebut membentuk sebuah segitiga sama sisi.
Versi isoperimetric inequality untuk segitiga menyatakan bahwa segitiga yang paling luas di antara yang ada dengan suatu perimeter adalah segitiga sama sisi.
Teorema Viviani menyatakan bahwa, untuk setiap titik interior "P" pada sebuah segitiga sama sisi dengan jarak "d", "e", dan "f" dari sisi dan ketinggian "h", independen dari lokasi "P".
Teorema Pompeiu menyatakan bahwa, jika "P" adalah sebuah titik di dalam segitiga sama sisi "ABC", maka ada sebuah segitiga dengan sisi panjang "PA", "PB "dan "PC". Artinya, "PA", "PB", "PC" memenuhi ketidaksamaan segitiga bahwa jumlah dua dari sisinya harus lebih besar dari sisi ketiga.
Berdasarkan ketidaksamaan Euler, segitiga sama sisi memiliki rasio terkecil "R"/"r" dari circumradius ke inradius dari setiap segitiga: khusus, "R"/"r" = 2.
Segitiga dengan luas area terbesar dari semua yang dapat dibuat dalam sebuah lingkaran adalah segitiga sama sisi, dan segitiga dengan luas area terkecil dengan lingkaran di dalamnya adalah segitiga sama sisi.
Rasio luas dari incircle dengan luas area sebuah segitiga sama sisi, formula_33 adalah lebih besar dari non-segitiga sama sisi.
Rasio luas area segitiga sama sisi dengan kuadrat keliling, formula_34 adalah lebih besar dari segitiga bukan sama sisi.
Jika sebuah segmen membagi sebuah segitiga sama sisi menjadi dua wilayah dengan keliling yang sama, dan dengan area "A" dan "A", maka
Jika sebuah segitiga ditempatkan di bidang kompleks dengan sudut kompleks "z", "z", dan "z", maka baik untuk non-real cube root formula_36 1 sebuah segitiga sama sisi jika dan hanya jika Dengan suatu titik "P" dalam interior sebuah segitiga sama sisi, rasio jumlah jarak dari simpul dengan jumlah jarak dari sisi lebih besar dari atau sama dengan 2, kesetaraan terjadi ketika "P"
adalah centroid. Tidak ada titik di segitiga lain dimana rasio ini adalah sekecil 2. Ini adalah ketidaksetaraan Erdos-Mordell; bentuk lebih kuat dari itu adalah ketidaksetaraan Barrow, yang menggantikan jarak tegak lurus ke sisi dengan jarak dari "P" ke titik dimana sudut bisectors dari "APB", "BPC", dan "CPA" yang berhadapan dengan sisi ("A", "B", dan "C" menjadi simpul).
Untuk setiap titik P pada bidang, dengan jarak "p", "q", dan "t" dari masing-masing simpul-simpul A, B, dan C,
Untuk setiap titik P pada lingkaran dalam dari sebuah segitiga sama sisi, dengan jarak "p", "q", dan "t" dari simpul-simpul, dan Untuk setiap titik P pada busur minor BC dari circumcircle, dengan jarak "p", "q", dan "t" dari masing-masing A, B, dan C, dan selain itu, jika titik D pada sisi BC membagi PA ke segmen PD dan DA dengan DA memiliki panjang "z" dan PD memiliki panjang
"y", maka yang juga sama dengan formula_44 jika "t"  "q"; dan yang merupakan persamaan optik.
Ada banyak ketidaksamaan segitiga yang menjadi kesetaraan jika dan hanya jika sebuah segitiga adalah sama sisi.
Sebuah segitiga sama sisi adalah segitiga yang paling simetris, memiliki 3 garis refleksi dan rotasi simetri dengan order 3 dari pusatnya. Simetri grupnya adalah grup dihedral order 6 "D".
Segitiga sama sisi adalah satu-satunya segitiga yang Steiner inellipsenya adalah lingkaran (secara khusus, itu adalah incircle).
Segitiga sama sisi banyak ditemukan di berbagai konstruksi geometri. Persimpangan lingkaran dengan pusat radius lebar terpisah adalah sepasang busur lengkung sama sisi, yang masing-masing dapat membentuk sebuah segitiga sama sisi. Segitiga sama sisi membentuk bidang seragam dan teratur polyhedra. Tiga dari lima padatan Platonis terdiri dari segitiga sama sisi. Secara khusus, tetrahedron
memiliki empat segitiga sama sisi untuk bidangnya dan dapat dianggap sebagai bentuk analog tiga dimensi. Bidang dapat diubin menggunakan segitiga sama sisi menghasilkan pengubinan segitiga.
Sebuah segitiga sama sisi dapat dengan mudah dibangun menggunakan jangka dan garis lurus, sebagaimana 3 adalah Fermat prime. Buat garis lurus, dan tempatkan ujung jangka pada salah satu ujung garis, kemudian ayunkan busur dari titik itu ke titik lain dari segmen garis. Ulangi dengan sisi lain dari garis. Terakhir, hubungkan titik dimana kedua busur berpotongan dengan masing-masing ujung segmen garis
Metode alternatif adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dengan radius "r", tempatkan ujung jangka pada lingkaran dan gambar lingkaran lain dengan jari-jari yang sama. Dua lingkaran akan berpotongan di dua titik. Sebuah segitiga sama sisi dapat dibangun dengan mengambil dua pusat lingkaran dan juga titik-titik persimpangan lingkaran.
Bukti bahwa bentuk yang dihasilkan adalah sebuah segitiga sama sisi adalah proposisi pertama di Buku I Elemen Euklides. Rumus luas area formula_46 dalam hal panjang sisi dapat diturunkan secara langsung dengan menggunakan teorema Pythagoras atau menggunakan trigonometri.
Kaki-kaki baik sebelah segitiga yang dibentuk oleh ketinggian segitiga sama sisi adalah setengah dari basis "a", dan sisi miring dengan sisi "a" dari segitiga sama sisi. Ketinggian segitiga sama sisi dapat ditemukan dengan menggunakan teorema Pythagoras sehingga dengan memasukkan "h" ke rumus luas area (1/2)"ah" menjadikan rumus luas area untuk segitiga sama sisi:
Menggunakan trigonometri, luas segitiga dengan dua sisi "a" dan "b", dan sudut "C" antara mereka adalah Setiap sudut dari sebuah segitiga sama sisi adalah 60°, sehingga Sinus dari 60° adalah formula_53. Dengan demikian karena semua sisi dari sebuah segitiga sama sisi adalah sama.