Operasi biner
Dalam matematika, sebuah operasi biner pada himpunan adalah perhitungan yang menggabungkan dua elemen dari himpunan (disebut operan) untuk menghasilkan unsur lain yang ditetapkan. Secara lebih formal, sebuah operasi biner merupakan operasi dari arity dua yang dua domain dan satu kodomain adalah set yang sama. Contohnya termasuk aritmetika dasar operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Contoh
lain yang mudah ditemukan di daerah yang berbeda dari matematika, seperti penjumlahan vektor, perkalian matriks dan konjugasi dalam grup.
Lebih jelasnya, sebuah operasi biner pada himpunan "S" adalah pemetaan yang memetakan unsur-unsur dari hasil kali Cartesian "S"  "S" untuk "S": Karena hasil dari operasi pada sepasang elemen dari "S" adalah unsur "S", operasi ini disebut operasi biner tertutup pada "S" (atau kadang-kadang dikatakan memiliki sifat ketertutupan). Jika "f" bukan fungsi, tetapi
merupakan fungsi parsial, hal ini disebut operasi biner parsial. Misalnya, pembagian bilangan real adalah operasi biner parsial karena tidak bisa membagi dengan nol: "a"/0 tidak didefinisikan untuk setiap "bilangan real a". Namun perlu dicatat bahwa di aljabar dan teori model kedua operasi biner tersebut dianggap didefinisikan pada semua "S"  "S".
Operasi biner adalah dasar dari struktur aljabar yang dipelajari dalam aljabar abstrak: mereka sangat penting dalam definisi grup, monoid, semigrup, gelanggang, dan banyak lagi. Paling umumnya, "magma" adalah satu set bersama dengan operasi biner yang didefinisikan di dalamnya.
Contoh yang khas dari operasi biner adalah penjumlahan (+) dan perkalian () dari bilangan dan matrik serta komposisi fungsi pada satu set. Misalnya, Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal bersifat komutatif, yaitu memenuhi "f"("a", "b") = "f"("b", "a") untuk semua elemen-elemen "a" dan "b" di "S", atau asosiatif, yaitu memenuhi
"f"("f"("a", "b"), "c") = "f"("a", "f"("b", "c")) untuk semua "a", "b" dan "c" di "S". Banyak juga yang memiliki elemen identitas dan elemen invers.
Pada himpunan bilangan real R, pengurangan, yaitu, "f"("a", "b") = "a"  "b", adalah operasi biner yang tidak komutatif karena, secara umum, "a"  "b"  "b"  "a". operasi tersebut juga tidak asosiatif, karena, secara umum, "a"  ("b"  "c")  ("a"  "b")  "c"; misalnya, 1  (2  3) = 2 tapi (1  2)  3 = 4.
Pada himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, "f"("a","b") = "a", tidak komutatif karena, secara umum, "a"  "b" dan juga tidak asosiatif karena "f"("f"("a", "b"), "c")  "f"("a", "f"("b", "c")). Misalnya, dengan memilih "a" = 2, "b" = 3 dan "c" = 2, "f"(2.2) = "f"(8.2) = 64, tetapi
"f"(2.3) = "f"(2.9) = 512. Dengan mengganti himpunan N menjadi himpunan bilangan bulat Z, operasi biner ini menjadi operasi biner parsial karena sekarang operasi tersebut tidak terdefinisi apabila "a" = 0 dan "b" adalah sembarang bilangan bulat negatif. Pada himpunan N dan Z, operasi ini memiliki" identitas " (yaitu 1) karena "f"("a", 1) = "a" untuk semua "a" dalam
dalam himpunan tersebut, tapi 1 bukan merupakan "identitas" (identitas dan) karena "f"(1, "b")  "b" pada umumnya.
Pembagian (/), sebuah operasi biner parsial pada himpunan bilangan real atau bilangan rasional, tidak komutatif atau asosiatif. Tetration (), sebagai operasi biner pada bilangan asli tidak komutatif atau asosiatif dan tidak memiliki elemen identitas.
Operasi biner yang sering ditulis dengan menggunakan notasi infix seperti "a"  "b", "a" + "b", "a"  "b" atau (oleh penjajaran dengan tidak ada simbol) "ab" dibanding dengan notasi fungsional dengan bentuk "f"("a", "b"). Pangkat biasanya juga ditulis tanpa operator, tapi dengan argumen kedua sebagai superscript.
Operasi biner kadang-kadang menggunakan prefix atau (mungkin lebih sering) notasi postfix, yang keduanya dipisahkan dengan tanda kurung. notasi itu juga disebut, masing-masing, notasi polandia dan reverse Polish notation.
Sebuah operasi biner, "ab", tergantung pada pasangan terurut ("a, b") sehingga ("ab")"c" (dimana kurung di sini berarti operasi pertama dilakukan pada pasangan ("a", "b") dan kemudian operasi selanjutnya pada hasil sebelumnya menggunakan pasangan (("ab"), "c")) tergantung secara umum pada pasangan (("a", "b"), "c"). Dengan demikian, secara umum, kasus non-asosiatif, operasi biner dapat direpresentasikan dengan pohon biner.
Sebuah operasi biner "f" pada himpunan "S" dapat dilihat sebagai relasi "terner" di "S", yaitu himpunan dari tiga pasangan ("a", "b", "f (a,b)") di "S"  "S"  "S" untuk semua "a" dan "b" di "S".
Sebuah operasi biner eksternal adalahfungsi biner dari "K"  "S" ke "S". Ini berbeda dari operasi biner dalam arti "K" tidak perlu menjadi "S"; unsur-unsurnya datang dari "luar".
Contoh operasi biner eksternal adalah perkalian skalar dalam aljabar linear. Di sini "K" adalah suatu lapangan dan "S" adalah ruang vektor atas lapangan itu.
Perhatikan bahwa hasil kali titik dari dua vektor bukan operasi biner, eksternal atau sebaliknya, karena operasi tersebut memetakan "S" "S" ke "K", dimana "K" adalah sebuah lapangan dan "S" adalah ruang vektor atas "K".