Matematika dan arsitektur
Kemungkinan penggunaan segitiga 3-4-5 yang menghasilkan sudut, seperti bidang dasar piramida, dan pengetahuan teorema Pythagoras yang akan diimplikasikan, telah banyak ditegaskan. Ini adalah konjektur pertama yang ditemukan oleh sejarawan Moritz Cantor pada tahun 1882. Telah diketahui bahwa sudut ditemukan secara akurat di Mesir Kuno; dan para surveyor mereka menggunakan tali
pengikat untuk mengukur; Plutarchos mencatatnya dalam "Isis dan Osiris "(sekitar tahun 100 M) bahwa orang Mesir mengagumi segitiga 3-4-5; dan bahwa Papyrus Berlin 6619 dari Kerajaan Pertengahan Mesir (sebelum tahun 1700 SM) dinyatakan sebagai "luas kuadrat 100 sama dengan dua persegi yang lebih kecil. Satu sisi adalah 12 + 14 sisi yang
lain." Sejarawan matematika Roger L. Cooke mengamati bahwa, "Sulit membayangkan ada orang yang tertarik pada kondisi seperti itu, tanpa mengetahui teorema Pythagoras." Berlawanan dengan pendapat ini, Cooke mencatat bahwa tidak ada teks Mesir sebelum 300 SM yang benar-benar menyebutkan penggunaan teorema untuk menemukan panjang sisi segitiga, dan ada beberapa
cara sederhana untuk membangun sudut siku-siku. Cooke menyimpulkan bahwa konjektur Cantor masih tetap tidak pasti: dia juga menduga bahwa orang Mesir Kuno mungkin memang tahu teorema Pythagoras, tapi "tidak ada bukti bahwa mereka menggunakannya untuk membangun sudut ".
Vaastu Shastra adalah kanon arsitektur dan perencanaan kota India kuno yang menggunakan gambar simetris yang disebut mandala. Perhitungan kompleks digunakan untuk sampai pada dimensi bangunan dan komponennya. Desainnya dimaksudkan untuk memadukan arsitektur dengan alam, fungsi relatif berbagai bagian struktur, dan kepercayaan kuno menggunakan pola geometris (yantra), simetri dan
keteraturan arah. Namun, arsitek awal mungkin telah menemukan proporsi matematis dengan tidak sengaja. Ahli matematika Georges Ifrah mencatat bahwa "trik" sederhana dengan tali dan ranting dapat digunakan untuk menyusun bentuk geometri, seperti bentuk elips dan sudut siku-siku.
Matematika fraktal telah digunakan untuk menunjukkan alasan mengapa bangunan yang ada memiliki daya tarik universal dan juga memuaskan secara visual; karena pola-pola ini memberikan ketelitian skala dengan jarak pandang yang berbeda. Misalnya, di gerbang-gerbang gapura tinggi kuil Hindu seperti Kuil Virupaksha di Hampi yang dibangun di abad ke-7, dan yang lainnya seperti Kuil Kandariya
Mahadewa di Khajuraho, bagian dan keseluruhannya memiliki karakter yang sama, dengan dimensi fraktal di kisaran 1.7 sampai 1.8. Sekelompok menara kecil (shikhara, lit. 'gunung') tentang menara tertinggi dan berada di tengah; yang mewakili Gunung Kailash yang suci, tempat tinggal Dewa Siwa, menggambarkan pengulangan tak berujung alam semesta dalam kosmologi Hindu. Sarjana studi agama William J.
Jackson mengamati pola menara yang dikelompokkan di antara menara-menara kecil, dan dikelompokkan di antara menara yang lebih kecil lainnya, bahwa:
Kuil Meenakshi Amman adalah kompleks dengan beberapa tempat suci, dimana jalan-jalan di Madurai terbentang secara konsentris di sekitarnya sesuai yang ditulis dalam shastra. Keempat pintu gerbang menara tinggi (gapura) memiliki struktur fraktal berulang seperti halnya di Hampi. Pagar di sekeliling masing-masing kuil berbentuk persegi panjang, serta dikelilingi tembok-tembok batu yang tinggi.
Pythagoras (sekitar 569- 475 SM) dan pengikutnya, orang-orang Pythagoras, berpendapat bahwa "segala sesuatu adalah bilangan". Mereka mengamati harmoni yang dihasilkan oleh nada dengan rasio frekuensi bilangan bulat kecil tertentu, dan berpendapat bahwa bangunan juga harus dirancang dengan rasio semacam itu. Kata Yunani '"symmetria"' awalnya
melambangkan harmoni bentuk arsitektur, dengan rasio yang tepat dari detail terkecil bangunan hingga keseluruhan desainnya. Parthenon berdiameter, lebar dan tinggi ke atas "cornice" (ornamen di atas bangunan atau pilar). Ini memberi rasio lebar dengan panjang 4:9, dan rasio yang sama untuk tinggi dan lebarnya. Menempatkannya bersama-sama memberi nilai tinggi:lebar:panjang 16:36:81
dari angka Pythagoras 4:6:9. Nilai-nilai ini menetapkan modul 0.858 m. Persegi panjang dengan rasio 4:9 dapat dibangun dengan tiga persegi panjang, yang bersebelahan pada sisi dalam dengan rasio 3:4. Setiap setengah persegi panjang kemudian merupakan segitiga 3:4:5 yang tepat, yang memungkinkan sudut dan sisi-sisinya dapat diperiksa dengan simpul yang sesuai. Area
bagian dalam ("naos") memiliki hal yang sama dengan proporsi 4:9 (dengan lebar, dan panjang 48.3 m); rasio antara diameter kolom luar,, dan jarak pusatnya,, yang juga 4:9.
Parthenon dianggap oleh penulis seperti John Julius Norwich sebagai "Kuil Dorik paling sempurna yang pernah ada". Penyempurnaan arsitekturnya yang rumit mencakup "korespondensi halus antara lengkungan stilobat, dinding lancip "naos" dan "entasis" kolom"." Entasis "mengacu pada penurunan subtil diameter kolom saat menaik. Stilobat adalah platform tempat kolom berdiri. Seperti di
kuil-kuil Yunani klasik lainnya, platform ini memiliki kelengkungan parabolik kecil mengarah ke atas untuk mengalirkan air hujan dan memperkuat bangunan ketika menahan gempa. Oleh karena itu, kolom itu seharusnya condong ke arah luar, tapi ternyata kolom ini sedikit condong ke dalam sehingga jika terus tegak, kolom-kolom ini akan saling bertemu sekitar satu mil di
atas pusat bangunan; karena memiliki ketinggian yang sama, kelengkungan tepi stilobat luar ditransmisikan ke arkitraf dan atap di atas: "semua mengikuti aturan yang dibangun dengan kurva yang rumit".
Rasio emas diketahui pada 300 SM, ketika Euklid menggambarkan metode konstruksi geometris. Telah diketahui bahwa rasio emas digunakan dalam desain Parthenon dan bangunan kuno Yunani lainnya, sama halnya dengan patung, lukisan, dan vas bunga. Penulis terkini seperti Nikos Salingaros, bagaimanapun, meragukan semua klaim ini. Percobaan dengan komputer oleh ilmuwan George Markowsky, gagal menemukan bentuk lain untuk persegi panjang emas.
Sejarawan seni Islam Antonio Fernandez-Puertas mengemukakan bahwa Alhambra, sama seperti Masjid Agung Cordoba, dirancang menggunakan kaki atau "'codo"' Hispano-Muslim, sekitar 0.62 meter (2 ft). Di istana Lions of the Lions, proporsinya mengikuti serangkaian akar dalam matematika. Sebuah persegi panjang dengan sisi 1 dan 2 memiliki nilai (dengan teorema Pythagoras)
diagonal 3, yang menggambarkan segitiga siku-siku yang dibuat oleh sisi-sisi bangunan; seri berlanjut dengan 4 (dengan rasio 1: 2),  5 dan seterusnya. Pola dekoratif juga berbentuk proporsional, 2 menghasilkan persegi di dalam lingkaran dan bintang bersudut delapan, 3 menghasilkan bintang bersudut enam. Tidak ada bukti yang mendukung klaim sebelumnya bahwa
rasio emas digunakan di Alhambra. Istana Lions of the Lions dibatasi oleh Aula Dua Suster dan Aula Abelisrajes; bentuk segi enam dapat ditarik dari pusat dua ruangan ini dan keempat sudut di dalam istana Lions of the Lions. Masjid Selimiye di Edirne, Turki, dibangun oleh Mimar Sinan yang menyediakan ruang dimana mihrab dapat terlihat dari mana saja di dalam gedung. Ruang pusat yang sangat
besar diatur sedemikian rupa sehingga berbentuk segi delapan, yang dibentuk oleh delapan pilar besar, dan dibatasi oleh kubah melingkar berdiameter 31.25 meter (102.5 ft) dan tinggi. Segi delapan dibentuk menjadi persegi dengan bentuk empat semi-kubah, dan secara eksternal dibangun oleh empat menara yang sangat tinggi, ukuran tingginya. Denah bangunan tersebut terdiri dari sebuah lingkaran dalam oktagon yang berada dalam persegi.
Arsitektur Mughal, yang dikenal sebagai peninggalan kota kekaisaran Fatehpur Sikri dan juga kompleks Taj Mahal, memiliki tatanan matematis dan estetika tinggi yang didasarkan pada simetri dan harmoni.