Masalah Monty Hall
Masalah Monty Hall adalah sebuah teka-teki yang melibatkan probabilitas dan berasal dari sebuah acara permainan Amerika "Let's Make a Deal". Nama masalah ini berasal dari nama pembawa acara tersebut, Monty Hall. Masalah ini juga disebut sebagai paradoks Monty Hall; ia adalah paradoks dalam artian penyelesaian masalah tersebut adalah berlawanan dengan intuisi seseorang.
Pernyataan yang terkenal dari masalah ini dipublikasikan di majalah "Parade": Terjemahannya: Oleh karena pemain tidak tahu apa yang ada di belakang kedua pintu sisanya, kebanyakan orang akan berasumsi bahwa setiap pintu akan memiliki probabilitas yang sama dan mengambil kesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan menaikkan probabilitas pemain untuk memenangkan mobil tersebut dari 1/3 menjadi 2/3.
Ketika masalah dan penyelesaiannya muncul di "Parade", sekitar 10000 pembaca, termasuk beratus-ratus profesor matematika, menulis surat kepada majalah tersebut dan mengklaim penyelesaian yang dipublikasikan adalah salah. Beberapa kontroversi ini disebabkan oleh pernyataan "Parade" atas masalah ini yang ambigu secara teknik. Namun, bahkan jika masalah ini dinyatakan secara tidak ambigu dan
disertai dengan penjelasan-penjelasan, simulasi-simulasi, dan bukti matematika formal, banyak orang yang masih tidak percaya akan jawaban masalah tersebut.
Steve Selvin menulis sebuah surat kepada majalah "The American Statistician" pada tahun 1975 yang menanyakan masalah yang berdasarkan pada acara permainan "Let's Make a Deal" (Selvin 1975 a). Dalam surat tersebut, ia menamakannya "Masalah Monty Hall" (Selvin 1975b). Masalah ini secara matematika sama dengan (Morgan et al., 1991) Masalah Tiga Tahanan yang dideskripsikan pada kolom Permainan Matematika ("Mathematical Games") Martin Gardner di majalah "Scientific American" pada tahun 1959 (Gardner 1959).
Terjemahannya: Sebenarnya terdapat beberapa ambiguitas dalam formulasi masalah ini, yaitu tidaklah jelas apakah pembawa acara tersebut akan selalu membuka pintu yang lainnya, menawarkan pilihan untuk mengalihkan pilihan, atau bahkan apakah ia akan membuka pintu yang di dalamnya terdapat mobil (Mueser and Granberg 1999). Analisis standar pada masalah ini memiliki
asumsi bahwa pembawa acara tersebut dibatasi untuk selalu membuka pintu yang menampakkan kambing, menawarkan pemain untuk mengalihkan pilihannya, dan membuka dua pintu sembarang jika pilihan pertama pemain sebenarnya adalah mobil (Barbeau 2000:87). Oleh karena itu, pernyataan masalah yang lebih tepat adalah sebagai berikut: Terjemahannya: Perlu dicatat
bahwa pemain pada awalnya memilih pintu sembarang (bukan hanya pintu 1) dan pembawa acara membuka pintu yang terdapat kambing (tidak seperlunya pintu 3). Selain itu, kita juga berasumsi bahwa pemain tersebut berusaha untuk memenangkan mobil tersebut.
Keseluruhan probabilitas kemenangan dari pengalihan pilihan adalah tergantung pada lokasi mobil tersebut. Apabila kita mengikuti asumsi masalah di atas dan pemain memilih pintu 1, maka terdapat tiga skenario:
Pemain yang memilih untuk mengalihkan pilihannya akan menang jika mobil tersebut berada di dua pintu yang tidak terpilih. Dalam dua kasus tersebut, masing-masing terdapat 1/3 probabilitas kemenangan jika mengalihkan pilihan, sehingga total probabilitas kemenangan adalah 2/3.
Penalaran di atas berlaku untuk semua kondisi tanpa perlu kita tahu pembuka acara akan membuka pintu yang mana (Morgan dkk. 1991). Hal ini berarti jika banyak pemain secara acak memilih untuk mengalihkan pilihan atau tetap pada pilihan semula, maka 1/3 dari mereka yang memilih untuk tetap pada pilihan semula dan 2/3 dari mereka yang memilih untuk mengalihkan pilihan akan
memenangkan mobil tersebut. Hasil ini telah diverifikasi secara eksperimen dengan menggunakan komputer dan teknik-teknik simulasi lainnya. (Lihat pula bagian Simulasi di bawah).
Ketika masalah Monty Hall ini pertama kali dipaparkan, mayoritas orang akan berasumsi bahwa setiap pintu memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak akan ada bedanya (Mueser and Granberg, 1999). Dari 228 responden pada sebuah kajian, hanya 13% yang memilih untuk mengalihkan pilihan (Granberg and Brown, 1995:713). Dalam bukunya, Kekuatan Berpikir Secara
Logika ("The Power of Logical Thinking"), vos Savant (1996:15) mengutip perkataan psikolog kognitif Massimo Piattelli-Palmarini, "... tidak ada teka-teki statistik lain yang begitu membodohi semua orang di setiap waktu" dan "[menyadari] bahwa bahkan fisikawan penerima hadiah Nobel pun secara sistematis memberikan jawaban yang salah, dan mereka "bersikeras" pada jawaban mereka yang salah itu, serta bersedia untuk mencacimaki siapapun yang memberikan jawaban yang benar."
Kebanyakan pernyataan masalah ini, terutama yang terdapat pada "Majalah Parade" tidak mengikuti peraturan acara kuis TV yang sebenarnya, dan tidak menjelaskan tingkah laku pembawa acara dan lokasi mobil yang acak secara jelas (Granberg and Brown, 1995:712). Krauss dan Wang (2003:10) memberikan konjektur bahwa orang akan membuat asumsi standar bahkan jika tidak diberitahukan
secara eksplisit. Walaupun ketidakjelasan pernyataan ini merupakan masalah yang sangat signifikan dalam matematika, bahkan ketika kita mengatasi faktor-faktor ketidakjelasan ini hampir semua orang masih tetap berpikir bahwa masing-masing pintu yang tidak terbuka akan memiliki probabilitas yang sama dan berkesimpulan bahwa mengalihkan pilihan tidak ada bedanya.
(Mueser and Granberg, 1999). Asumsi "probabilitas sama" ini berakar kuat pada intuisi seseorang (Falk 1992:202). Kebanyakan orang memiliki kecenderungan yang kuat untuk berpikir bahwa probabilitas akan terdistribusi secara seimbang di setiap anu (unknown) yang tersedia, baik itu benar maupun tidak. (Fox and Levav, 2004:637).
Intuisi lainnya yang juga bertanggung jawab atas kerancuan ini adalah keyakinan bahwa pemberitahukan informasi yang telah kita ketahui tidak akan memengaruhi probabilitas (Falk 1992:207). Intuisi ini adalah dasar penyelesaian dari masalah yang menegaskan bahwa pembawa acara yang membuka sebuah pintu tidak akan mengubah probabilitas pemain sebesar 1/3
untuk memilih mobil. Untuk masalah yang eksplisit, intuisi ini akan mengantarkan kita pada jawaban yang benar, yaitu 2/3 peluang menang jika mengalihkan pilihan, namun intuisi ini juga mengantarkan kita pada jawaban yang sama ketika diberikan variasi masalah yang berbeda, dan jawaban intuisi tersebut tidaklah benar (Falk 1992:207).
Sumber kerancuan lainnya terdapat pada susunan kata-kata dari penyataan masalah yang menanyakan probabilitas bersyarat kemenangan dengan memberitahukan pintu mana yang pembawa acara buka ketimbang probabilitas keseluruhan atau probabilitas takbersyarat. Kedua hal ini adalah pertanyaan yang berbeda secara matematika dan memiliki jawaban yang berbeda bergantung pada bagaimana pembawa acara
memilih pintu yang dia buka apabila pilihan awal pemain adalah mobil (Morgan dkk., 1991; Gillman 1992). Sebagai contoh, jika pembawa acara sebisa mungkin berusaha membuka Pintu 3, maka probabilitas kemenangan pemain yang pada awalnya memilih Pintu 1 dan kemudian mengalihkan pilihan adalah 2/3, namun probabilitas ini akan menjadi 1/2 apabila pembawa acara telah membuka
Pintu 3. Oleh karena itu, bentuk kalimat pernyataan yang tidak menjelaskan secara detail tingkah laku pembawa acara menjadikan jawaban probabilitas 2/3 tidak dibenarkan secara matematika. Kebanyakan penyelesaian yang diberikan mengalamatkan probabilitas takbersyarat dan menghiraukan pintu mana yang pembawa acara buka; Morgan dkk. menjulukinya sebagai "penyelesaian salah" (false solutions) (1991).
Kebanyakan orang akan mengira kejadian yang lampau (pembawa acara membuka pintu yang di belakangnya terdapat kambing) dapat diabaikan ketika kita memperkirakan probabilitas masalah ini dan tidak ada hubungan antara pilihan pemain dengan pintu yang pembawa acara buka. Namun sebenarnya pilihan pemain akan memengaruhi pilihan pembawa acara.