Teorema dasar kalkulus
Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan dan pengintegralan.
Bagian pertama dari teorema ini, kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.
Bagian kedua, kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengizinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.
Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan murid Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646-1716) menyistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.
Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.
Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.
Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai "x"("t"), dengan "t" adalah waktu dan "x"("t") berarti "x" adalah fungsi dari "t". Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, d"x", per perubahan infinitesimal waktu,
d"t" (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan "v" partikel. Dalam notasi Leibniz:
Dengan logika di atas, sebuah perubahan "x" (atau "x") adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal d"x". Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengizinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.
Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bagian pertama berkutat pada turunan sebuah antiturunan, sedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan dan integral tertentu.
Misalkan "f" adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah interval tertutup ["a", "b"]. Misalkan juga "F" adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua "x" pada ["a", "b"], dengan Maka "F" adalah kontinu pada ["a", "b"], terdiferensialkan ("differentiable") pada interval terbuka ("a", "b"), dan untuk semua "x" pada ("a", "b")
Misalkan "f" adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada interval tertutup ["a", "b"]. Misalkan juga "F" adalah antiturunan dari "f", yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua "x" pada ["a", "b"], Maka
Misalkan "f" adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah interval tertutup ["a", "b"]. Misalkan juga "F" adalah sebuah fungsi yang untuk semua "x" pada ["a", "b"], Maka untuk semua "x" pada ["a", "b"], dan
Misalkan terdapat dua bilangan "x" dan "x" + "x" pada ["a", "b"]. Sehingga didapatkan dan Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan
Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah "c" pada ["x", "x" + "x"] sehingga
Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. "c" ada pada interval ["x", "x" + "x"], sehingga "x"  "c"  "x" + "x".
Fungsi "f" kontinu pada "c", sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan yang menyelesaikan pembuktian
Misalnya "f" kontinu pada interval ["a", "b"], dan "F" adalah antiturunan dari "f". Dimulai dengan kuantitas
Sekarang kita tambahkan setiap "F"("x") bersamaan dengan balikan aditif ("inverse additive"), sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama:
Misalkan "F" kontinu pada interval tertutup ["a", "b"] dan terdiferensialkan pada interval terbuka ("a", "b"). Maka terdapat "c" pada ("a", "b") yang
Fungsi "F" terdiferensialkan pada interval ["a", "b"]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval "x". Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,
Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata, merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa formula_50 tidak perlulah sama untuk setiap nilai formula_48, atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat
berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan formula_52 persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.
Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.
Baik "F"("b") maupuan "F"("a") tidak bergantung pada , sehingga limit pada bagian sisi tetaplah "F"("b")- "F"("a").
Ekspresi pada sisi persamaan merupakan definisi dari integral terhadap "f" dari "a" ke "b". Sehingga kita dapatkan: yang menyelesaikan pembuktian.
Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan "f" pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika "f" adalah setiap fungsi terintegral Lebesgue pada ["a", "b"] dan "x" adalah bilangan pada ["a", "b"] sehingga "f" kontinu pada "x", maka
terdiferensialkan untuk "x" = "x" dengan "F'"("x") = "f"("x"). Kita dapat melonggarkan kondisi "f" lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi "F" terdiferensialkan hampir dimana-mana dan "F'"("x") = "f"("x") hampir dimana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.
Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral ("integrable fungction") Lebesgue "f" yang mempunyai sebuah antiturunan "F" (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).
Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat ("error term") sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan ("generalization") dari teorema dasar.
Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan "U" adalah himpunan terbuka pada "C" dan "f": "U"  C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik "F" pada "U". Maka untuk setiap kurva : ["a", "b"]  "U", integral kurva dapat dihitung sebagai
Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.
Salah satu pernyataan yang paling kuasa ("powerful") adalah teorema Stokes: Diberikan "M" sebagai manifold mulus sesepenggal dimensi "n" berorientasi dan formula_58 adalah sebuah bentuk "n"1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada "M" kelas C. Jika "M" menandakan sempadan "M" dengan orientasi terinduksinya, maka
Teorema ini seringkali digunakan dalam situasi ketika "M" adalah submanifold berorientasi terbenam ("embedded oriented submanifold") dari manifold yang lebih besar dimana bentuk formula_58 didefinisikan