Grup simetri
Grup simetri dari bentuk geometri adalah "grup" dengan "kekongruenan" yang bersifat "invarian" dan mempunyai fungsi "komposisi" sebagai operasinya
Dalam "geometri Euclid". grup simetri yang diskrit terbagi kedalam dua jenis yaitu grup titik finit yang hanya meliputi rotasi dan refleksi (pencerminan) sedangkan grup lattice infinit tidak hanya rotasi dan refleksi tetapi ditambah dengan translasi dan "refleksi geser". Ada juga grup simetri "kontinu" yang memiliki rotasi dengan perubahan sudut yang kecil dan translasi dengan perubahan jarak
yang kecil. Grup dari semua simetri bentuk bola "SO (3)" (special orthogonal group) adalah contoh dari grup simetri kontinu, secara umum grup simetri kontinu dipelajari sebagai "grup Lie" (menunjukkan struktur analisis) Jika bentuk geometrinya terbatas, semua elemen dari grup simetri hanya mempunyai satu "fixed point" (pengoperasian dengan input = output) yang sama.
Pada kasus n=1 (simetri rendah), diketahui bahwa C1 adalah grup yang hanya memiliki operasi identitas dan itu terjadi jika bentuk geometrinya tidak memiliki operasi simetri sama sekali. D1 adalah grup dengan dua elemen yang memiliki satu sumbu "simetri bilateral". Grup dihedral D3, D4,... adalah grup yang termasuk kedalam poligon reguler.
Dengan bentuk geometri yang terbatas dan "tertutup" secara "topologi" (merupakan grup titik yang "sempurna"), kemungkinan lainnya adalah grup SO (2) yang memiliki semua rotasi pada "fixed point" dan refleksi pada berbagai sumbu yang melalui "fixed point"-nya. Keadaan akhir (penutup) pada bentuk di atas adalah bidang yang dapat dianggap "bentuk geometri" sebagaimana set dari
semua poin dalam "bundaran unit" dengan koordinat "rasional". Grup simetri dari set tadi mempunyai beberapa (tidak semua), hanya rotasi dengan perubahan sudut yang kecil.
Untuk bentuk geometri tak terbatas, grup simetri dapat memiliki translasi dan memungkinkan tujuh belas "wallpaper group" dan tujuh " friezer group"
Pembahasan pada ruang tiga dimensi ini lebih rumit dibanding pembahsan sebelumnya sejak mempunyai kemungkinan berbagai sumbu rotasi pada grup titik. Pertama, terdapat grup trivial dengan tiga jenisnya yaitu C3 (Clh), Ci, dan C2 yang mempunyai satu operasi simetri refleksi pada bidang, pada titik simetri, dan pada garis (sama dengan rotasi sejauh 180)
Ada yang dinamakan dengan grup uniaksial Cn, yang dirotasikan dengan sudut sejauh 360/n. Dapat juga terdapat sebuah cermin yang tegak lurus terhadap sumbu utama, dinamakan Cnh, atau set dari "n" bidang sumbu yang sejajar sumbu simetri, dinamakan Cnv.
Jika pada grup itu terdapat bidang cermin horisontal dan vertikal, maka ada n sumbu rotasi sejauh 180, tidak lagi dinamakan grup uniaksial tetapi grup Dnh. Subgrup rotasi yang disebut Dn tetap mempunyai sumbu rotasi (2) yang tegak lurus sumbu rotasi utama (tanpa bidang cermin). Grup lain yaitu Dnd (atau Dnv) yang bidang cermin vertikalnya mempunyai
sumbu rotasi utama tapi terletak setengah dari jarak kedua sumbu, maka bidang yang tegak lurus itu tidak terletak di sana. Dnh dan Dnd merupakan grup simetri untuk bentuk umum dari "prisma" dan "antiprisma", Dn adalah grup simetri dari prisma terotasi parsial.
Grup lain pada ruang tiga dimensi adalah Sn, dengan "rotasi improper" sejauh 360/n, operasi rotasi diikuti dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus pada sumbu simetrinya. Untuk n ganjil, rotasi dan refleksinya menghasilkan bentuk geometri yang sama, dapat pula disebut Cnh, keadaan ini tidak berlaku sama untuk n yang genap.
Dalam grup simetri, ada yang dikenal dengan simetri tinggi atau simetri polihedral karena grup ini mempunyai lebih dari satu sumbu rotasi. Dengan menggunakan Cn sebagai sumbu rotasi yang melalui 360/n dan Sn sebagai sumbu "rotasi improper" dengan sudut yang sama pula, ada beberapa grup dalam simetri tinggi ini, di antaranya:
Dalam konteks yang lebih luas, grup simetri merupakan bagian dari grup transformasi atau grup "automorfism". Ketika kita mengetahui "struktur matematika" yang kita dalami, kita dapat mengetahui "pemetaan" dari struktur itu. Simetri dapat mengartikan struktur, atau dapat dituliskan sebagai "invarian", bahasa geometri yang merupakan salah satu media untuk mengenal "program Erlangen".