Aljabar
matrikss dua-kali-dua, himpunan semua polinomial berderajat 2 ("ax" + "bx" + "c"), himpunan semua vektor dua dimensi pada bidang, dan berbagai grup berhingga seperti grup siklis, yang merupakan grup-grup modulo bilangan bulat "n". Teori himpunan adalah sebuah cabang dari logika dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.
Operasi biner: Maksud perjumlahan (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah "operasi biner", katakanlah . Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen "a" dan "b" dalam himpunan "S", "a"  "b" adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut ketertutupan. Perjumlahan (+), perkurangan
(), perkalian (), dan perbagian () dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.
Elemen identitas: Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu "elemen identitas" untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum  elemen identitas "e" harus memenuhi "a"  "e" = "a" dan "e"  "a" = "a", dan harus tunggal, jika ia
ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai "a" + 0 = "a" dan 0 + "a" = "a" dan perkalian "a"  1 = "a" dan 1  "a" = "a". Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3,...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.
Elemen invers atau unsur balikan: Bilangan negatif memunculkan konsep "elemen invers". Untuk perjumlahan, invers "a" ditulis sebagai "a"; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai "a". Elemen invers umum untuk dua-pihak "a" memenuhi sifat bahwa "a"  "a" = "e" dan "a"  "a" = "e", dimana "e" adalah elemen identitas.
Asosiativitas: Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya:. Secara umum, ini menjadi ("a"  "b")  "c" = "a"  ("b"  "c"). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk perkurangan, atau perbagian, atau perkalian oktonion.
Komutativitas: Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi "a"  "b" = "b"  "a". Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuaternion, kedua-duanya tidak bersifat komutatif.
Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: grup. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan "S" dan satu operasi biner , didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut: Jika grup ini juga komutatif, yaitu untuk setiap dua anggota "a" dan "b" dari "S", "a"  "b" adalah identik untuk "b"  "a"-maka grup tersebut dikatakan abelian.
Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat di bawah operasi perjumlahan merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen "a" adalah negasinya, "a". Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat "a", "b", dan "c", ("a" + "b") + "c" = "a" + ("b" + "c")
Bilangan rasional tak-nol membentuk grup di bawah operasi perkalian. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1  "a" = "a"  1 = "a" untuk setiap bilangan rasional "a". Invers dari "a" adalah 1/"a", karena "a"  1/"a" = 1.
Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah 14, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.
Teori mengenai grup dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan grup-grup sederhana berhingga menjadi kira-kira 30 jenis dasar.
Semigrup, kuasigrup, dan monoid adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. Semigrup memiliki operasi biner "asosiatif", tetapi tidak memiliki elemen identitas. Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen
identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Kuasigrup memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian- atau perkalian- yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.
Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah gelanggang, dan medan.
Sebuah gelanggang memiliki dua Operasi biner (+) dan (), dengan  distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk "grup abelian". Di bawah operator kedua (), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari "a" ditulis sebagai a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.
Sifat distributif memperumum "hukum distributif" untuk bilangan. Untuk bilangan bulat dan dan  dikatakan "distributif" di atas +.
Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai domain integral, atau daerah bilangan bulat, atau ranah bilangan bulat.
Sebuah medan atau lapangan adalah "gelanggang" dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk "grup abelian" di bawah . Identitas perkalian () ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari "a" ditulis sebagai "a".