Pi
Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-10), yang hasilnya adalah 0. Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit pada bit ke-dua kuadriliun (ke-210), yang hasilnya juga nol.
Karena berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips. juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.
muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan misalnya:
Dalam integral tersebut, fungsi formula_30 mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya formula_31 menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu "x".
Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut. memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2 radian. Hal ini berarti 180° sama dengan radian, dan 1° =/180 radian.
Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari, sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2, sehingga untuk sudut "" apapun dan bilangan bulat apapun, formula_32 and formula_33
Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi. Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang dijatuhkan kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar satuan, dan jika dari kali ia jatuh melintasi garis (> 0), maka aproksimasi dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perswegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan.
Metode Monte Carlo untuk memperkirakan sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.
Bilangan kompleks apapun, sebut saja, dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan nyata. Dalam sistem koordinat polar, satu bilangan (jari-jari atau "r") digunakan untuk menyatakan jarak dari pusat bidang kompleks sedangkan (sudut atau) menyatakan a putaran berlawanan arah jarum jam dari garis nyata positif sebagai berikut:
dengan adalah satuan imajiner dari = 1. Setingnya penggunaan dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponential variabel kompleks, yang dijelaskan oleh formula Euler:
dengan tetapan adalah basis logaritma natural. Formula ini menghasilkan hubungan antara daya imajiner dan titik-titik pada satuan lingkaran yang berpusat pada pusat bidang kompleks. Pengaturan = dalam formula Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima tetapan matematika paling penting:
Sebanyak bilangan kompleks yang berbeda dalam persamaan, disebut "akar persatuan ("root of unity") ke ". Mereka dinyatakan dalam persamaan:
Formula integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan: Keberadaan dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991. Dia mempelajari perilaku humpunan
Mandelbrot dekat "leher" pada (-0.75, 0). Jika dianggap titik dengan koordinat (-0.75, ), dengan  cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan  konvergen menuju. Titik (0.25, ) di titik puncak "lembah" besar di sisi himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat  cenderung mendekati.
Fungsi gama memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat non-negatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat nyata negatif. Ketika fungsi gama dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi; sebagai contoh
Fungsi gama dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti untuk besar: yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.
Fungsi zeta Riemann digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada fungsi ini dapat ditulis sebagai:
Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan. Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang bersifat prima relatif (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan. Probabilitas
ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima adalah (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah, dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah. Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat
dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:
Bidang probabilitas dan statistik seringkali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal. Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata dan simpangan baku, pada dasarnya adalah:
Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:
Meskipun bukan konstanta fisika, hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode pendulum sederhana dengan panjang, yang mengayun dengan amplitudo adalah percepatan gravitasi bumi):
Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel () dan momentum () keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan adalah tetapan Planck):
Dalam ranah kosmologi, muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu formula fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi: dengan formula_50 adalah tensor lengkungan Ricci, adalah lengkungan skalar, formula_51 adalah tensor metrik, adalah tetapan kosmologi, adalah tetapan
gravitasi Newton, adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan formula_52 adalah tensor energi tegangan.
Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik (dan) yang dipisahkan oleh jarak (dengan mewakili permitivitas ruang hampa:
Fakta bahwa nilai mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus adalah dengan adalah massa elektron.