Teorema Terakhir Fermat
Teorema Terakhir Fermat (Inggris: "Fermat's Last Theorem") adalah salah satu teorema paling terkenal dalam matematika, dicetuskan oleh Pierre de Fermat pada abad ke-17. Teorema ini mengatakan:
Pada tahun 1637, Fermat menulis teorema tersebut pada pinggiran salah satu halaman bukunya. Ia mengklaim telah menemukan bukti dari teori tersebut, hanya saja ia tidak bisa menuliskannya karena pinggiran halaman bukunya tidak muat lagi. Akan tetapi, selama 357 tahun berikutnya, para matematikawan dunia tidak dapat
membuktikannya, dan teorema ini menjadi salah satu teka-teki terbesar dalam matematika. Akhirnya, pada tahun 1994, matematikawan Inggris bernama Andrew Wiles berhasil membuktikan kebenaran teorema ini.
Sekitar tahun 1637, Fermat menulis teorema tersebut pada pinggiran salah satu halaman buku "Arithmetica" (karangan Diophantus) miliknya, yang artinya:
Namun, tidak diketahui apakah Fermat benar-benar menemukan bukti untuk semua pangkat formula_1. Satu-satunya bukti Fermat tentang itu yang masih bertahan adalah bukti untuk formula_2.
Kasus untuk bilangan pangkat formula_3 dibuktikan oleh Fermat sendiri. Ia menggunakan teknik "infinite descent" untuk membuktikan bahwa persamaan formula_4 tidak memiliki solusi primitif (solusi dengan formula_5 tiap pasangnya relatif prima). Hal tersebut mengakibatkan Teorema Fermat Terakhir berlaku untuk formula_2, karena persamaan formula_7 bisa ditulis formula_8. Setelah Fermat membuktikan kasus formula_2, tersisa
untuk membuktikan kasus bahwa formula_1 prima ganjil. Dengan kata lain, tersisa untuk membuktikan bahwa persamaan formula_11 tidak memiliki solusi bulat formula_12 jika formula_1 bilangan prima yang ganjil. Hal ini karena jika ada suatu solusi formula_12 untuk pangkat formula_1, maka ada solusi untuk pangkat semua faktor positif formula_1.
Sebagai contoh, misalkan formula_17, dengan formula_18 dan formula_19 faktor formula_1. Maka, formula_11 ekuivalen dengan formula_22. Jadi, ada solusi untuk pangkat formula_19 yang merupakan faktor formula_1.
Jadi, untuk membuktikan bahwa persamaan Fermat tidak memiliki solusi untuk formula_25, cukup untuk membuktikan bahwa tidak ada solusi untuk faktor prima manapun dari setiap formula_1. Setiap bilangan bulat formula_25 habis dibagi formula_3 atau bilangan prima ganjil (atau keduanya). Jadi, Teorema Terakhir Fermat bisa dibuktikan untuk semua formula_1 jika bisa dibuktikan untuk formula_2 dan semua formula_31 dengan formula_32 prima ganjil.
Strategi yang pada akhirnya menghasilkan bukti Teorema Terakhir Fermat muncul dari Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama "teorema modularitas" (Inggris: "modularity theorem")), yang dicetuskan sekitar 1955. Pada tahun 1980-an, Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, dan Ken Ribet menghubungkan konjektur tersebut dengan persamaan yang dicetuskan Fermat. Dengan menemukan bukti sebagian dari konjektur tersebut pada 1994, Andrew Wiles akhirnya berhasil membuktikan Teorema Terakhir Fermat.
Sekitar 1955, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengamati kemungkinan hubungan antara dua bidang berbeda dalam matematika, yaitu kurva eliptik dan bentuk modular. Mereka mencetuskan suatu konjektur yang disebut Konjektur Taniyama-Shimura-Weil, yang menyatakan bahwa setiap kurva eliptik bersifat modular, yang berarti ia bisa dihubungkan dengan tepat satu bentuk modular. Dalam 1984, Gerhard Frey
mengamati suatu hubungan antara persamaan Fermat dan Konjektur Taniyama-Shimura-Weil (sekarang bernama "teorema modularitas"). Jika persamaan Fermat memiliki solusi formula_12 untuk pangkat formula_34, maka dapat ditunjukkan bahwa kurva eliptik semistabil
memiliki sifat-sifat yang tidak biasa, sehingga Frey menduga bahwa kurva eliptik tersebut tidak modular. Hal ini berlawanan dengan teorema modularitas yang menyatakan bahwa semua kurva eliptik bersifat modular. Oleh karena itu, jika teorema modularitas berhasil dibuktikan, maka Teorema Terakhir Fermat mungkin juga terbukti.
Mengikuti strategi ini, sebuah bukti Teorema Terakhir Fermat membutuhkan dua langkah. Pertama, membuktikan teorema modularitas, setidaknya untuk kurva eliptik semistabil. Kedua, menunjukkan bahwa dugaan Frey benar: jika suatu kurva eliptik dibuat dengan cara ini, dengan bilangan-bilangan yang merupakan solusi persamaan Fermat, maka kurva eliptik yang dihasilkan tidak modular. Hal
ini disebut "konjektur epsilon" (Inggris: "epsilon conjecture"). Pada 1986, konjektur ini dibuktikan oleh Ken Ribet, dan sekarang disebut sebagai Teorema Ribet (Inggris: "Ribet's theorem"). Setelah mendengar keberhasilan Ribet membuktikan Teorema Ribet, Andrew Wiles, seorang matemtikawan Inggris, memutuskan untuk menyelesaikan langkah berikutnya: membuktikan teorema modularitas untuk kurva eliptik semistabil.
Pada tahun 1993, Wiles merasa telah meyelesaikan bukti Teorema Terakhir Fermat. Namun, kemudian ditemukan suatu kesalahan dalam bukti Wiles. Sekitar satu tahun kemudian, pada 1994 Wiles berhasil memperbaiki buktinya. Pada akhirnya, Teorema Terakhir Fermat terbukti, 357 tahun setelah dicetuskan.