Aljabar linear
jika u = u 1, u 2,..., u n displaystyle mathbf u =u_1,u_2,...,u_n, v = v 1, v 2,..., v n displaystyle mathbf v =v_1,v_2,...,v_n, dan w = w 1, w 2,..., w n displaystyle mathbf w =w_1,w_2,...,w_n adalah vektor dalam R n displaystyle Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka:
Perkalian dot product u  v displaystyle mathbf u cdot mathbf v  didefinisikan sebagai
Data Eksperimen- Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y 1, y 2,..., y n) displaystyle y=(y1,y2,...,yn) dalam R n displaystyle Rn dalam setiap y 1, y 2,...., y n displaystyle y_1,y_2,....,y_n adalah nilai yang
terukur. Penyimpanan dan Gudang- Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x = (x 1, x 2,..., x 1 5) displaystyle x=(x_1,x_2,...,x_15) dalam setiap x 1 displaystyle x_1 adalah jumlah
truk dalam depot pertama dan x 2 displaystyle x_2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya. Rangkaian listrik- Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R 4 displaystyle R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagai R 3 displaystyle R3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat
yang mengubah setiap vektor input v = (v 1, v 2, v 3, v 4) displaystyle v=(v_1,v_2,v_3,v_4) dalam R 4 displaystyle R4 ke vector keluaran w = (w 1, w 2, w 3) displaystyle w=(w_1,w_2,w_3) dalam R 3 displaystyle R3. Analisis citra- Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer
dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplet bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x, y, h, s, b) displaystyle v=(x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah
kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness. Ekonomi- Pendekatan kita dalam analisis ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s 1,
s 2, s 3,..., s 1 0) displaystyle s=(s_1,s_2,s_3,...,s_10) dalam setiap angka s 1, s 2,..., s 1 0 displaystyle s_1,s_2,...,s_10 adalah output dari sektor individual. Sistem Mekanis- Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka
adalah x 1, x 2,..., x 6 displaystyle x_1,x_2,...,x_6 dan kecepatan mereka adalah v 1, v 2,..., v 6 displaystyle v_1,v_2,...,v_6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6, t) displaystyle V=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6,t) Dalam R 1 3 displaystyle R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
Fisika- Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Di mana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
jika u = (u 1, u 2, u 3,..., u n) displaystyle (u_1,u_2,u_3,...,u_n)
interpolasi polinominal p (x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain. Contohnya, kita mencari interpolasi titik dari data (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
bentuk equivalentnya: p (x)=a3 (x-x0) 3+p (x)=a2 (x-x0) 2+p (x)=a1 (x-x0)+a0
dari kondisi interpolasi p (x0)=yo maka didapatkan a0=yo, sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p (x)=b3 (x-x0)(x-x1)(x-x2)+b2 (x-x0)(x-x1)+b1 (x-x0)+b0 inilah yang disebut newton form dari interpolasi, sehingga kita dapatkan:
p (x3)=b3 (h1+h2+h3)(h2+h3) h3+b2 (h1+h2+h3)(h2+h3)+b1 (h1+h2+h3)+b0
Berdasarkan operator T:R2-> R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
atau dalam bentuk matrik: [  1 0 0 1 ] [ x y ] = [ w 1 w 2 ] displaystyle beginbmatrix-1 dan 00 dan 1endbmatrixbeginbmatrixxyendbmatrix=beginbmatrixw_1w_2endbmatrix
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Berdasarkan operator T:R2-> R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T (x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
atau dalam bentuk matrik: [ 1 0 0 0 ] [ x y ] = [ w 1 w 2 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 00 dan 0endbmatrixbeginbmatrixxyendbmatrix=beginbmatrixw_1w_2endbmatrix
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah: [ T ] = [ 1 0 0 0 ] displaystyle beginbmatrixTendbmatrix=beginbmatrix1 dan 00 dan 0endbmatrix
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R2 melalui sudut  disebut operator rotasi pada R2. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut  positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T (x), dimisalkan  adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r
adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos ; y = r cos  dan w1 = r cos ( + ); w2= r sin ( + )
Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah: [ T ] = [ c o s   s i n  s i n  c o s  ] displaystyle beginbmatrixTendbmatrix=beginbmatrixcosTheta dan -sinTheta sinTheta dan cosTheta endbmatrix
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik (x0,y0)...., (xn,yn). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p (x) = am x m displaystyle xm + am-1 x m  1 displaystyle xm-1 +... + a1x + a0 dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
y 0 = a m x 0 m + a m  1 x 0 m  1 +... + a 1 x 0 + a 0 y 1 = a m x 1 m + a m  1 x 1 m  1 +... + a 1 x 1 + a 0      y n = a m x n m + a m  1 x n m  1 +... + a 1 x n + a 0 displaystyle beginmatrixy_0 dan = dan
a_mx_0m dan + dan a_m-1x_0m-1 dan +...+ dan a_1x_0 dan + dan a_0y_1 dan = dan a_mx_1m dan + dan a_m-1x_1m-1 dan +...+ dan a_1x_1 dan + dan a_0vdots dan dan vdots dan dan vdots dan dan vdots dan dan
vdots y_n dan = dan a_mx_nm dan + dan a_m-1x_nm-1 dan +...+ dan a_1x_n dan + dan a_0endmatrix
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini [ 1 x 0 x 0 2  x 0 m 1 x 1 x 1 2  x 1 m      1 x n  1 x n  1 2  x n  1 m 1 x n x n 2  x n m ] displaystyle beginbmatrix1 dan x_0 dan x_02 dan cdots dan x_0m1 dan
x_1 dan x_12 dan cdots dan x_1mvdots dan vdots dan vdots dan cdots dan vdots 1 dan x_n-1 dan x_n-12 dan cdots dan x_n-1m1 dan x_n dan x_n2 dan cdots dan x_nmendbmatrix [ a 0 a 1  a m
1 a m ] displaystyle beginbmatrixa_0a_1vdots a_m-1a_mendbmatrix = [ y 0 y 1  y n  1 y n ] displaystyle beginbmatrixy_0y_1vdots y_n-1y_nendbmatrix
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p (x):
[ 1 x 0 x 0 2  x 0 n 1 x 1 x 1 2  x 1 n      1 x n  1 x n  1 2  x n  1 n 1 x n x n 2  x n n ] displaystyle beginbmatrix1 dan x_0 dan x_02 dan cdots dan x_0n1 dan x_1 dan x_12 dan cdots dan
x_1nvdots dan vdots dan vdots dan cdots dan vdots 1 dan x_n-1 dan x_n-12 dan cdots dan x_n-1n1 dan x_n dan x_n2 dan cdots dan x_nnendbmatrix [ a 0 a 1  a n  1 a n ] displaystyle
beginbmatrixa_0a_1vdots a_n-1a_nendbmatrix = [ y 0 y 1  y n  1 y n ] displaystyle beginbmatrixy_0y_1vdots y_n-1y_nendbmatrix (1)