Pi
Bilangan formula_1 (kadang-kadang ditulis pi) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai formula_1 dalam 20 tempat desimal adalah 3.14159265358979323846. Banyak rumus dalam matematika, sains, dan teknik yang menggunakan , yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting. adalah bilangan
irasional, yang berarti nilai  tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai eksak.) Oleh karena itu pula, representasi desimal tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen.
Digit-digit desimal tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan. adalah bilangan transendental, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi memiliki implikasi pada ketidakmungkinan teka-teki matematika kuno "mengkuadratkan lingkaran dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapat dipecahkan.
Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan. Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan hingga keakuratan yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai. Mulai abad ke-15, algoritme
baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai. Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan.
Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal sampai dengan lebih 10 triliun (10) digit. Penerapan bilangan dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari beberapa ratus digit desimal dan bahkan kurang. Motivasi utama penghitungan ini
adalah menemukan algoritme yang lebih efisien untuk menghitung rangkaian bilangan panjang sekaligus memecahkan rekor. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritme perkalian presisi tinggi. Pada tahun 1973, manusia berhasil menemukan 1 juta digit desimal dari .
Karena definisi berhubungan dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometri, terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola. juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Keberadaan yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta
matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini terbukti dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan hari Pi, dan pemberitaan-pemberitaan yang luas manakala perhitungan digit berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan dengan rekor 67000 digit.
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi "pi" menggunakan huruf latin. Huruf kecil (atau  dalam gaya huruf sans-serif) berbeda dengan huruf besar, yang mewakili perkalian barisan.
umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran dengan diameternya: Rasio bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio akan tetap sama. Definisi seperti ini secara implisit
menggunakan geometri Euklides. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam geometri non-Euklides, namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus. Terdapat pula definisi lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni: adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil yang mana sama dengan 0.
adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Karena irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik "reductio ad absurdum". Sejauh mana bilangan dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.
Digit-digit tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya. Hipotesis bahwa adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah. Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit telah berhasil
dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun. Walaupun digit-digit telah melewati uji keacakan statistik, mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya titik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762.
Sama seperti semua bilangan irasional lainnya, tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu:
Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap. Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk tidak memiliki pola-pola tertentu, matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:
Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589-2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah  6.2857. Nilai ini mendekati 2  6.2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan dan dengan
sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada butki lain apapun yang mendukungnya.
Pendekatan tertulis terhadap nilai paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan sebagai 25/8 = 3.1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini
sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai sebagai ()  3.1605.
Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai sebesar ()  3.088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan sama dengan formula_9  3.1622.
Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran. Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan
pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah "Mishnat ha-Middot" yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai sebesar tiga dan sepertujuh.