Kalkulus diferensial
Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang
bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.
Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan ("differentiation"). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.
Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.
Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.
Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya ("generalization") sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.
Misalkan "x" dan "y" adalah bilangan real dimana "y" adalah fungsi dari "x", yaitu "y" = "f"("x"). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, "y" = "f"("x") = "m" "x" + "c", dimana "m" dan "c" adalah bilangan real yang tergantung pada
garis mana grafik tersebut ditentukan. "m" disebut sebagai kemiringan dengan rumus: dimana simbol  (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena Diikuti pula "y" = "m" "x".
Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari "f" pada titik "x" adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan "f" pada titik "x", biasanya ditandai dengan "f'"("x") atau "dy"/"dx". Bersama dengan nilai "f" di "x", turunan dari "f" menentukan
pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari "f" di dekat titik "x". Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.
Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi. Bilamana "x" dan "y" adalah variabel real, turunan dari "f" pada "x" adalah kemiringan dari garis singgung grafik "f di titik "x". Karena sumber dan target dari "f" berdimensi satu, turunan dari "f" adalah bilangan real. Jika "x" dan "y" adalah vektor, maka pendekatan linear
yang paling mendekati grafik "f" tergantung pada bagaimana "f" berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan "y"/"x". Linearisasi dari "f" ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total"'. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia
menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari "f". Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.
Jika "f" adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan "x" adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari "f", maka turunan dari "f" di titik "x" adalah nol; titik-titik dimana "f" '("x") = 0 disebut "titik kritis" atau "titik pegun" (dan nilai dari "f" di "x" disebut "nilai kritis"). (Definisi dari titik kritis kadang
kala diperluas sampai meliputi titik-titik dimana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis "x" dari "f" dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari "f" di "x":
Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai "f" ' di kedua sisi titik kritis.
Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir.
Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.
Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik dimana gradien fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisis titik-titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut
adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.
Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva yang paling pendek.
Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.
Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"-laju perubahan terhadap perubahan waktu- sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan
waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah:
Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke
turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:
Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial