Aljabar linear
A  1 = 1 d e t (A) a d j (A) displaystyle A-1=frac 1det (A)adj (A)
A  1 = 1 d e t (A) a d j (A) = 1 2 [  3 5 5 3  7  5  2 6 4 ] = [  3 2 5 2 5 2 3 2  7 2  5 2  1 3 2 ] displaystyle A-1=frac 1det (A)adj (A)=frac 12beginbmatrix-3 dan 5 dan 53 dan -7 dan -5-2 dan 6 dan 4endbmatrix=beginbmatrix-frac 32 dan frac
52 dan frac 52frac 32 dan -frac 72 dan -frac 52-1 dan 3 dan 2endbmatrix
A = [ 1 5 5  1  1 0 2 4 3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 5 dan 5-1 dan -1 dan 02 dan 4 dan 3endbmatrix
Diawali dengan [ 1 5 5 1 0 0  1  1 0 0 1 0 2 4 3 0 0 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 0-1 dan -1 dan 0 dan 0 dan 1 dan 02 dan 4 dan 3 dan 0 dan 0 dan 1endarrayright]
[ 1 5 5 1 0 0 0 4 5 1 1 0 2 4 3 0 0 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 00 dan 4 dan 5 dan 1 dan 1 dan 02 dan 4 dan 3 dan 0 dan 0 dan 1endarrayright] B2 + B1
[ 1 5 5 1 0 0 0 4 5 1 1 0 0  6  7  2 0 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 00 dan 4 dan 5 dan 1 dan 1 dan 00 dan -6 dan -7 dan -2 dan 0 dan 1endarrayright] B3- 2.B1
[ 1 5 5 1 0 0 0 4 5 1 1 0 0 0 1 2  1 2 3 2 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 00 dan 4 dan 5 dan 1 dan 1 dan 00 dan 0 dan frac 12 dan -frac 12 dan frac 32 dan 1endarrayright] B3 + 3/2.B1
[ 1 5 5 1 0 0 0 1 5 4 1 4 1 4 0 0 0 1  1 3 2 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 00 dan 1 dan frac 54 dan frac 14 dan frac 14 dan 00 dan 0 dan 1 dan -1 dan 3 dan 2endarrayright] 1/4.B2, 2.B3
[ 1 5 5 1 0 0 0 1 0 3 2  7 2  5 2 0 0 1  1 3 2 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 5 dan 1 dan 0 dan 00 dan 1 dan 0 dan frac 32 dan -frac 72 dan -frac 520 dan 0 dan 1 dan -1 dan 3 dan 2endarrayright] B2- 5/4.B3
[ 1 5 0 6  15  10 0 1 0 3 2  7 2  5 2 0 0 1  1 3 2 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 5 dan 0 dan 6 dan -15 dan -100 dan 1 dan 0 dan frac 32 dan -frac 72 dan -frac 520 dan 0 dan 1 dan -1 dan 3 dan 2endarrayright] B1- 5.B3
[ 1 0 0  3 2 5 2 5 2 0 1 0 3 2  7 2  5 2 0 0 1  1 3 2 ] displaystyle left[beginarrayrrr rrr1 dan 0 dan 0 dan -frac 32 dan frac 52 dan frac 520 dan 1 dan 0 dan frac 32 dan -frac 72 dan -frac 520 dan 0 dan 1 dan -1 dan 3 dan 2endarrayright] B1- 5.B2
A  1 = [  3 2 5 2 5 2 3 2  7 2  5 2  1 3 2 ] displaystyle A-1=beginbmatrix-frac 32 dan frac 52 dan frac 52frac 32 dan -frac 72 dan -frac 52-1 dan 3 dan 2endbmatrix
Jika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det (A) 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
x 1 = d e t (A 1) d e t (A), x 2 = d e t (A 2) d e t (A), , x n = d e t (A n) d e t (A) displaystyle x_1=frac det (A_1)det (A),x_2=frac det (A_2)det (A),cdots,x_n=frac det (A_n)det (A)
x 1 + 2 x 3 = 6 displaystyle x_1+2x_3=6  3 x 1 + 4 x 2 + 6 x 3 = 30 displaystyle-3x_1+4x_2+6x_3=30  x 1  2 x 2 + 3 x 3 = 8 displaystyle-x_1-2x_2+3x_3=8
A = [ 1 0 2  3 4 6  1  2 3 ] b = [ 6 30 8 ] displaystyle A=beginbmatrix1 dan 0 dan 2-3 dan 4 dan 6-1 dan -2 dan 3endbmatrixb=beginbmatrix6308endbmatrix
A 1 = [ 6 0 2 30 4 6 8  2 3 ] A 2 = [ 1 6 2  3 30 6  1 8 3 ] A 3 = [ 1 0 6  3 4 30  1  2 8 ] displaystyle A_1=beginbmatrix6 dan 0 dan 230 dan 4 dan 68 dan -2 dan 3endbmatrixA_2=beginbmatrix1 dan 6 dan 2-3 dan 30 dan 6-1 dan 8 dan 3endbmatrixA_3=beginbmatrix1 dan 0 dan 6-3 dan 4 dan 30-1 dan -2 dan 8endbmatrix
x 1 = d e t (A 1) d e t (A) =  40 44 =  10 11 displaystyle x_1=frac det (A_1)det (A)=frac -4044=frac -1011 x 2 = d e t (A 2) d e t (A) = 72 44 = 18 11 displaystyle x_2=frac det (A_2)det (A)=frac 7244=frac 1811 x 3 = d e t (A 3) d e t
(A) = 152 44 = 38 11 displaystyle x_3=frac det (A_3)det (A)=frac 15244=frac 3811
d e t (R) = d e t (E r)  d e t (E 2) d e t (E 1) d e t (E A) displaystyle det (R)=det (E_r)cdots det (E_2) det (E_1) det (E_A)
Jika A dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements, maka R = I, jadi det (R) = 1  0 dan det (A)  0. Sebaliknya, jika det (A)  0, maka det (R)  0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat diinvers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
A = [ 1 2 3 1 0 1 2 4 6 ] displaystyle A=beginbmatrix1 dan 2 dan 31 dan 0 dan 12 dan 4 dan 6endbmatrix
x 1 + 3 x 2 =  x 1 displaystyle x_1+3x_2=lambda x_1 4 x 1 + 2 x 2 =  x 2 displaystyle 4x_1+2x_2=lambda x_2
[ 1 3 4 2 ] [ x 1 x 2 ] =  [ x 1 x 2 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 34 dan 2endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=lambda beginbmatrixx_1x_2endbmatrix
A = [ 1 3 4 2 ] displaystyle A=beginbmatrix1 dan 34 dan 2endbmatrix dan x = [ x 1 x 2 ] displaystyle x=beginbmatrixx_1x_2endbmatrix
[ x 1 x 2 ]  [ 1 3 4 2 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] displaystyle lambda beginbmatrixx_1x_2endbmatrix-beginbmatrix1 dan 34 dan 2endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=beginbmatrix00endbmatrix
[ 1 0 0 1 ] [ x 1 x 2 ]  [ 1 3 4 2 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] displaystyle lambda beginbmatrix1 dan 00 dan 1endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix-beginbmatrix1 dan 34 dan
2endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=beginbmatrix00endbmatrix
[   1  3  4   2 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] displaystyle beginbmatrixlambda-1 dan -3-4 dan lambda-2endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=beginbmatrix00endbmatrix
sehingga didapat bentuk  I  A = [   1  3  4   2 ] displaystyle lambda I-A=beginbmatrixlambda-1 dan -3-4 dan lambda-2endbmatrix
d e t ( I  A) = 0 displaystyle det (lambda I-A)=0;  adalah eigenvalue dari A
d e t ( I  A = [   1  3  4   2 ] = 0 displaystyle det (lambda I-A=beginbmatrixlambda-1 dan -3-4 dan lambda-2endbmatrix=0
dan dari hasil faktorisasi di dapat  1 =  2 displaystyle lambda _1=-2 dan  2 = 5 displaystyle lambda _2=5
dengan memasukkan nilai  pada persamaan d e t ( I  A = 0 displaystyle det (lambda I-A=0, maka eigenvector bisa didapat
[  3  3  4  4 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] displaystyle beginbmatrix-3 dan -3-4 dan -4endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=beginbmatrix00endbmatrix
dengan mengasumsikan x 2 = t displaystyle x_2=t maka didapat x 1 =  t displaystyle x_1=-t. jadi x = [  t t ] displaystyle x=beginbmatrix-ttendbmatrix
[ 4  3  4 3 ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] displaystyle beginbmatrix4 dan -3-4 dan 3endbmatrixbeginbmatrixx_1x_2endbmatrix=beginbmatrix00endbmatrix
dengan mengasumsikan x 2 = t displaystyle x_2=t maka didapat x 1 = 3 4 t displaystyle x_1=frac 34t. jadi x = [ 3 4 t t ] displaystyle x=beginbmatrixfrac 34ttendbmatrix
Vektor di dalam n-Ruang Definisi: Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n- grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda: ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n-
grup topel (a1, a2,...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah "poin umum" atau "vector umum"- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0.1,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
Jika u = (u1, u2,...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh-u dan dijelaskan oleh