Masalah Monty Hall
Hal ini dapat kita mengerti apabila kita bandingkan dengan variasi masalah yang diajukan vos Savant pada bulan November 2006. Dalam versi yang berbeda ini, Monty Hall lupa pintu mana yang di belakangnya terdapat mobil. Dia kemudian membuka pintu secara acak dan lega setelah mengetahui pintu yang dia buka ternyata terdapat kambing. Apabila ditanyai apakah kontestan ingin mengalihkan pilihan, vos Savant menjawab,
"Jika pembawa acara saja tidak tahu, maka tidak ada bedanya antara tetap pada pilihan maupun mengalihkan pilihan. Jika dia tahu, maka alihkanlah pilihan." (vos Savant, 2006).
Dalam teka-teki versi ini, pemain memiliki kesempatan untuk menang yang sama baik dia beralih maupun tidak. Terdapat enam kemungkinan kejadian yang dapat terjadi, masing-masing memiliki probabilitas 1/6:
Dalam dua kasus pertama, pembawa acara menampakkan mobil. Namun seperti yang telah dinyatakan dalam masalah awal, pembawa acara pasti akan menampakkan kambing, sehingga:
Probabilitas pemain untuk memenangkan permainan dengan mengalihkan pilihannya akan naik menjadi 2/3 karena dalam dua kasus pertama, pembawa acara dipaksa untuk menampakkan kambing. Perubahan ini mengubah probabilitas "Pintu ke-3" untuk terdapat mobil menjadi dua kali lipat. Inilah alasannya mengapa mengalihkan pilihan akan meningkatkan peluang kemenangan jika pembawa acara tersebut tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut.
Penyelesaian masalah ini akan lebih mudah dimengerti apabila jumlah pintu dalam permasalahan ini adalah 1000000 pintu daripada hanya 3 pintu saja (vos Savant 1990). Dalam kasus ini, pembawa acara membuka 999998 pintu yang terdapat kambing dan hanya menyisakan pintu pilihan pemain dan satu pintu sisanya. Pembawa acara kemudian menawarkan pemain
kesempatan untuk mengalihkan pilihan. Pintu yang tersisa akan memiliki probabilitas 999999/1000.0000 untuk terdapat mobil karena pintu yang dipilih pemain memiliki probabilitas 999999/1000.0000 untuk terdapat kambing. Pemain yang berpikiran rasional akan mengalihkan pilihannya.
Daripada membuka salah satu pintu dan menunjukkan bahwa pintu tersebut terdapat kambing, kita dapat melakukan tindakan yang setara dengan menggabungkan dua pintu yang tidak dipilih pemain. Kedua tindakan tersebut adalah setara karena pemain tidak bisa dan tidak akan memilih pintu yang telah terbuka (Adams 1990; Devlin 2003; Williams 2004; Stibel dkk., 2008). Oleh
karena itu pemain hanya memiliki dua pilihan, yaitu tetap pada pilihan semula dengan probabilitas kemenangan 1/3 atau mengubah pilihannya ke pintu lainnya yang memiliki probabilitas 2/3.
Asumsi permainan sangat penting dalam hal ini; tidakan mengalihkan pilihan setara dengan memilih dua pintu secara bersamaan jika dan hanya jika pembawa acara tahu apa yang ada di belakang pintu-pintu tersebut, membuka pintu yang terdapat kambing, dan memilih salah satu dari pintu yang terdapat kambing (jika pilihan pemain adalah pintu yang terdapat mobil)
secara acak. Analisis masalah yang menggunakan formalisme teori probabilitas Bayes (Gill 2002) menerangkan secara eksplisit pentingnya penetapan asumsi dalam masalah ini. Dalam teori ini, probabilitas diasosiasikan dengan proposisi dan tergantung pada informasi "latar belakang" apapun yang diketahui.Untuk masalah ini, informasi latar belakangnya adalah peraturan permainan, dan proposisnya adalah:
Sebagai contoh, formula_3 menandakan proposisi "mobil di belakang pintu 1" dan formula_4 menandakan "pembawa acara membuka pintu 2 setelah pemain memilih pintu 1". Dengan mengindikasikan informasi latar dengan formula_5, asumsi dapat dinyatakan secara formal sebagai berikut:
Pertama-tama, mobil dapat berada di pintu manapun, dan semua pintu secara "a priori" memiliki peluang yang sama menyembunyikan mobil. Dalam hal ini, "a priori" berarti "sebelum permainan di mulai", atau "sebelum melihat kambing". Karenanya, probabilitas awal proposisi formula_1 adalah:
Kedua, pembawa acara akan selalu membuka pintu yang tidak terdapat mobil di belakangnya dan memilih salah satu dari dua pintu yang pemain tidak pilih. Jika kedua pintu tersebut memungkinkan untuk dibuka, maka kedua-duanya memiliki peluang yang sama untuk dibuka. Aturan ini menentukan probabiltas bersyarat dari proposisi formula_2 tergantung pada keberadaan mobil tersebut:
Masalah ini dapat diselesaikan sekarang dengan menentukan probabilitas posterior kemenangan pada setiap kemungkinan. Tanpa menghilangkan generalitas, kita asumsikan pemain memilih pintu 1 dan pembawa acara membuka pintu 3 dan menampakkan kambing. Dengan kata lain, pembawa acara "melakukan" proposisi formula_9.
Probabilitas posterior kemenangan dengan "tidak" beralih pada pintu yang lain, bergantung pada peraturan permainan dan formula_9, ditulis formula_11. Dengan menggunakan Teorema Bayes, hal ini dapat diekspresikan sebagai:
Tetapan penormalan pada penyebut dapat dievaluasi dengan mengembangkannya menggunakan definisi probabilitas marginal dan probabilitas bersyarat:
Perhatikan bahwa ini sama dengan probabilitas awal mobil berada di belakang pintu yang dipilih, hal ini berarti tindakan pembawa acara belum memberikan kontribusi apapun pada probabilitas.
Probabilitas kemenangan dengan mengalihkan pilihan menjadi pintu 2, formula_16, dapat dievaluasi dengan mengambil keseluruhan probabilitas posterior proposisi sebagai 1:
Tidak ada mobil di belakang pintu 3 karena pembawa acara telah membukanya, maka formula_18 haruslah 0. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Bayes dan hasil perhitungan sebelumnya:
Ini menunjukkan bahwa strategi untuk memenangkan permainan adalah mengalihkan pilihan ke pintu 2. Ini juga menjelaskan tindakan pembawa acara yang menunjukkan kambing berada di pintu 3 mengakibatkan "transfer" probabilitas "a priori" sebesar 1/3 ke pintu sisanya yang tidak dibuka maupun dipilih, sehingga menjadikan pintu tersebut memiliki peluang yang lebih besar untuk terdapat mobil.