Energi kinetis
Energi kinetis atau energi gerak (disebut juga energi kinetik) adalah energi yang dimiliki oleh sebuah benda karena gerakannya.
Energi kinetis sebuah benda didefinisikan sebagai usaha yang dibutuhkan untuk menggerakkan sebuah benda dengan massa tertentu dari keadaan diam hingga mencapai kecepatan tertentu.
Energi kinetis sebuah benda sama dengan jumlah usaha yang diperlukan untuk menyatakan kecepatan dan rotasinya, dimulai dari keadaan diam.
Aturan di dalam mekanika klasik yang menyatakan bahwa E  mv2 pertama kali dikembangkan oleh Gottfried Leibniz dan Johann Bernoulli, yang menyatakan bahwa energi kinetik itu adalah gaya yang hidup, vis viva. Willem 's Gravesande dari Belanda melakukan percobaan untuk membuktikan persamaan ini. Dengan menjatuhkan benda dari ketinggian yang berbeda-beda ke dalam
blok tanah liat, 's Gravesande menyatakan bahwa kedalaman pada tanah liat berbanding lurus dengan kuadrat kecepatan. Émilie du Châtelet menyadari implikasi eksperimen ini dan mempublikasikan sebuah penjelasan.
Dalam mekanika klasik energi kinetik dari sebuah titik objek (objek yang sangat kecil sehingga massanya dapat diasumsikan di sebuah titik), atau juga benda diam, maka digunakan persamaan:
E k displaystyle E_k; energi kinetik translasi m displaystyle m; massa benda v displaystyle v; kecepatan linier benda
Jika satuan menggunakan sistem SI, maka satuan dari massa adalah kilogram, kecepatan dalam meter per detik, dan satuan energi kinetik dinyatakan dalam joule.
Contoh, energi kinetik dari sebuah benda yang bermassa 80 kilogram bergerak dengan kecepatan 18 meter per detik, maka energi kinetiknya adalah
Karena besaran energi kinetik berbanding lurus dengan kuadrat kecepatannya, maka sebuah objek yang kecepatannya meningkat dua kali lipat, maka benda itu mempunyai energi kinetik 4 kali lipat dari semula. Contohnya adalah, sebuah mobil yang bergerak dengan kecepatan 2 kali dari kecepatan mobil lainnya, maka mobil itu juga membutuhkan jarak 4 kali lebih jauh untuk berhenti, diasumsikan besar gaya pengeremannya konstan.
Usaha yang dilakukan akan mempercepat sebuah partikel selama interval waktu dt, berasal dari perkalian dot antara gaya dan perpindahan:
F  d x = F  v d t = d p d t  v d t = v  d p = v  d (m v), displaystyle mathbf F cdot dmathbf x =mathbf F cdot mathbf v dt=frac dmathbf p dtcdot mathbf v dt=mathbf v cdot dmathbf p =mathbf v cdot d (mmathbf v),,
dimana kita mengasumsikan hubungan p=m v. (Meskipun begitu, lihat juga turunan relativitas khusus di bawah ini.)
d (v  v) = (d v)  v + v  (d v) = 2 (v  d v). displaystyle d (mathbf v cdot mathbf v)=(dmathbf v)cdot mathbf v +mathbf v cdot (dmathbf v)=2 (mathbf v cdot dmathbf v).
v  d (m v) = m 2 d (v  v) = m 2 d v 2 = d (m v 2 2). displaystyle mathbf v cdot d (mmathbf v)=frac m2d (mathbf v cdot mathbf v)=frac m2dv2=dleft (frac mv22right).
Karena ini adalah total diferensial (hanya bergantung pada keadaan terakhir, bukan bagaimana partikel menuju ke situ), maka kita dapat mengintegralkan persamaan itu dan mendapatkan rumus energi kinetik:
E k =  F  d x =  v  d (m v) =  d (m v 2 2) = m v 2 2. displaystyle E_k=int mathbf F cdot dmathbf x =int mathbf v cdot d (mmathbf v)=int dleft (frac mv22right)=frac mv22.
Persamaan ini menyatakan bahwa energi kinetik (Ek) sama dengan integral perkalian dot antara kecepatan (v) dan perubahan momentum suatu benda (p). Diasumsukan bahwa benda itu mulai bergerak tanpa energi kinetik awal (tidak bergerak/diam).
Jika suatu benda diam berputar pada garis-garis yang melalui titik pusat massa benda, maka benda itu memiliki energi kinetik rotasi (E r displaystyle E_r,) yang merupakan penjumlahan dari seluruh energi kinetik yang dihasilkan dari bagian-bagian benda yang bergerak, dan persamaannya:
E r =  v 2 d m 2 =  (r ) 2 d m 2 =  2 2  r 2 d m =  2 2 I = 1 2 I  2 displaystyle E_r=int frac v2dm2=int frac (romega)2dm2=frac omega 22int r2dm=frac omega 22I=beginmatrixfrac 12endmatrixIomega 2
E k displaystyle E_k; energi kinetik rotasi I displaystyle I; momen inersia benda, sama dengan  r 2 d m displaystyle int r2dm.  displaystyle omega ; kecepatan sudut benda
Gunakan m untuk massa diam, v dan v untuk kelajuan dan kecepatan objek, dan c untuk kecepatan cahaya pada ruang hampa, kita dapat mengasumsikan untuk momentum linear bahwa momentum: p = m  v displaystyle mathbf p =mgamma mathbf v , dengan  = 1/1  v 2 c 2 displaystyle gamma =1/sqrt frac 1-v2c2.
E k =  v  d p =  v  d (m  v) = m  v  v   m  v  d v = m  v 2  m 2   d (v 2) displaystyle E_k=int mathbf v cdot dmathbf p =int mathbf v cdot d (mgamma mathbf v)=mgamma mathbf v
cdot mathbf v-int mgamma mathbf v cdot dmathbf v =mgamma v2-frac m2int gamma d (v2)
Ingat bahwa  = (1  v 2 c 2)  1/2 displaystyle gamma =left (frac 1-v2c2right)-1/2!, maka kita mendapat:
E k = m  v 2   m c 2 2   d (1  v 2 c 2) = m  v 2 + m c 2 (1  v 2 c 2) 1/2  E 0 displaystyle beginalignedE_k dan =mgamma v2-frac -mc22int gamma dleft (frac 1-v2c2right) dan =mgamma v2+mc2left (frac 1-v2c2right)1/2-E_0endaligned
E k = m  (v 2 + c 2 (1  v 2/c 2))  E 0 = m  (v 2 + c 2  v 2)  E 0 = m  c 2  E 0 displaystyle beginalignedE_k dan =mgamma (v2+c2(1-v2/c2))-E_0 dan =mgamma (v2+c2-v2)-E_0 dan =mgamma c2-E_0endaligned
Konstanta integral E0 ditemukan dalam penelitian, bahwa ketika v = 0,  = 1 displaystyle mathbf v =0, gamma =1! dan E k = 0 displaystyle E_k=0!, sehingga
E k = m  c 2  m c 2 = m c 2 1  v 2/c 2  m c 2 = (  1) m 0 c 2 displaystyle E_k=mgamma c2-mc2=frac mc2sqrt 1-v2/c2-mc2=(gamma-1) m_0c2
E k displaystyle E_k; energi kinetik relativistik  displaystyle gamma ; konstanta transformasi m 0 displaystyle m_0; massa diam benda c displaystyle c; kecepatan cahaya