Aljabar linear
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan a_12 dan a_13a_21 dan a_22 dan a_23a_31 dan a_32 dan a_33endbmatrix
det (A) = a11 [ a 22 a 23 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_22 dan a_23a_32 dan a_33endbmatrix- a12 [ a 21 a 23 a 31 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_21 dan a_23a_31 dan a_33endbmatrix + a13 [ a 21 a 22 a 31 a 32 ] displaystyle
beginbmatrixa_21 dan a_22a_31 dan a_32endbmatrix = a11 (a22a33- a23a32)- a12 (a21a33- a23a31) + a13 (a21a32- a22a31) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31- a12a21a33- a11a23a32
A = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
det (A) = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix = 1 [ 5 4 2 1 ] displaystyle beginbmatrix5 dan 42 dan 1endbmatrix- 2 [ 4 4 3 1 ] displaystyle beginbmatrix4 dan 43 dan 1endbmatrix + 3 [ 4 5 3 2 ] displaystyle beginbmatrix4 dan 53 dan 2endbmatrix = 1 (-3)- 2 (-8) + 3 (-7) =-8
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan a_12 dan a_13a_21 dan a_22 dan a_23a_31 dan a_32 dan a_33endbmatrix
det (A) = a11 [ a 22 a 23 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_22 dan a_23a_32 dan a_33endbmatrix- a21 [ a 21 a 23 a 31 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_21 dan a_23a_31 dan a_33endbmatrix + a31 [ a 21 a 22 a 31 a 32 ] displaystyle
beginbmatrixa_21 dan a_22a_31 dan a_32endbmatrix = a11 (a22a33- a23a32)- a21 (a21a33- a23a31) + a31 (a21a32- a22a31) = a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32- a22 (a31) 2- (a21) 2a33- a11a23a32
A = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
det (A) = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix = 1 [ 5 4 2 1 ] displaystyle beginbmatrix5 dan 42 dan 1endbmatrix- 4 [ 2 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 32 dan 1endbmatrix + 3 [ 2 3 5 4 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 35 dan 4endbmatrix = 1 (-3)- 4 (-4) + 3 (-7) =-8
A = [ a b c d e f g h i ] displaystyle beginbmatrixa dan b dan cd dan e dan fg dan h dan iendbmatrix tentukan determinan A
A = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix tentukan determinan A dengan metode sarrus
det (A) = [ 1 2 3 1 2 4 5 4 4 5 3 2 1 3 2 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 3 dan 1 dan 24 dan 5 dan 4 dan 4 dan 53 dan 2 dan 1 dan 3 dan 2endbmatrix = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2)- (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53- 61 =-8
Terdapat tiga tipe Operasi Baris Elementer (OBE) dan beberapa sifat determinan matriks. Namun, hanya satu tipe OBE dan yang digunakan untuk menghitung determinan matriks.
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka d e t (A) displaystyle det (A) adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.
A = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix tentukan determinan A dengan metode OBE!
[ 1 2 3 0  3  8 0  4  8 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 30 dan -3 dan -80 dan -4 dan -8endbmatrix B2-4B1, B3-3B1
[ 1 2 3 0  3  8 0 0 8/3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 30 dan -3 dan -80 dan 0 dan 8/3endbmatrix B3-4/3B2
Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka d e t (A) displaystyle det (A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
d e t (A) = a 11 a 22  a n n displaystyle det (A)=a_11a_22cdots a_nn
[ 2 7  3 8 3 0  3 7 5 1 0 0 6 7 6 0 0 0 9 8 0 0 0 0 4 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 7 dan -3 dan 8 dan 30 dan -3 dan 7 dan 5 dan 10 dan 0 dan 6 dan 7 dan 60 dan 0 dan 0 dan 9 dan 80 dan 0 dan 0 dan 0 dan 4endbmatrix = (2)(-3)(6)(9)(4) =-1296
A = [ 3 2  1 1 6 3 2 4 0 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 2 dan -11 dan 6 dan 32 dan 4 dan 0endbmatrix
[  12 6  8  4 2  8 12  10 8 ] displaystyle beginbmatrix-12 dan 6 dan -8-4 dan 2 dan -812 dan -10 dan 8endbmatrix
adj (A) = [  12  4 12 6 2  10  8  8 8 ] displaystyle beginbmatrix-12 dan -4 dan 126 dan 2 dan -10-8 dan -8 dan 8endbmatrix
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I, maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A  1 displaystyle B=A-1 (B sama dengan invers A). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan A = B  1 displaystyle A=B-1. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.
Matriks A = [ a b c d ] displaystyle beginbmatrixa dan bc dan dendbmatrix dapat di-invers apabila ad- bc  0
A  1 = 1 d e t (A) [ d  b  c a ] = 1 a d  b c [ d  b  c a ] = [ d a d  b c  b a d  b c  c a d  b c a a d  b c ] displaystyle A-1=frac 1det (A)beginbmatrixd dan -b-c dan aendbmatrix=frac
1ad-bcbeginbmatrixd dan -b-c dan aendbmatrix=beginbmatrixfrac dad-bc dan -frac bad-bc-frac cad-bc dan frac aad-bcendbmatrix
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan (A B)  1 = B  1 A  1 displaystyle (AB)-1=B-1A-1
A = [ 2  5  1 3 ] displaystyle beginbmatrix2 dan -5-1 dan 3endbmatrix dan B = [ 3 5 1 2 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 51 dan 2endbmatrix
AB = [ 2  5  1 3 ] displaystyle beginbmatrix2 dan -5-1 dan 3endbmatrix [ 3 5 1 2 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 51 dan 2endbmatrix = [ 1 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 00 dan 1endbmatrix = I (matriks identitas)
BA = [ 3 5 1 2 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 51 dan 2endbmatrix [ 2  5  1 3 ] displaystyle beginbmatrix2 dan -5-1 dan 3endbmatrix = [ 1 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 00 dan 1endbmatrix = I (matriks identitas)
A = [ 1 1 3 4 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 13 dan 4endbmatrix dan B = [ 2 5 3 4 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 53 dan 4endbmatrix
AB = [ 1 1 3 4 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 13 dan 4endbmatrix [ 2 5 3 4 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 53 dan 4endbmatrix = [ 3 4 6 8 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 46 dan 8endbmatrix
BA = [ 2 5 3 4 ] displaystyle beginbmatrix2 dan 53 dan 4endbmatrix [ 1 1 3 4 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 13 dan 4endbmatrix = [ 17 21 15 19 ] displaystyle beginbmatrix17 dan 2115 dan 19endbmatrix
Jawab: A  1 = 1 (3) (2)  (5) (1) [ 2  1  5 3 ] = 1 6  5 [ 2  1  5 3 ] = 1 1 [ 2  1  5 3 ] = [ 2  1  5 3 ] displaystyle A-1=frac 1(3)(2)-(5)(1)beginbmatrix2 dan -1-5 dan 3endbmatrix=frac 16-5beginbmatrix2 dan -1-5 dan 3endbmatrix=frac 11beginbmatrix2 dan -1-5 dan 3endbmatrix=beginbmatrix2 dan -1-5 dan 3endbmatrix
A = [ 1 2 1 3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 21 dan 3endbmatrix, B = [ 3 2 2 2 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 22 dan 2endbmatrix, AB = [ 7 6 9 8 ] displaystyle beginbmatrix7 dan 69 dan 8endbmatrix
A  1 = [ 3  2  1 1 ] displaystyle A-1=beginbmatrix3 dan -2-1 dan 1endbmatrix, B  1 = [ 1  1  1 3 2 ] displaystyle B-1=beginbmatrix1 dan -1-1 dan frac 32endbmatrix, (A B)  1 = [ 4  3  9 2 7 ] displaystyle (AB)-1=beginbmatrix4 dan -3-frac 92 dan 7endbmatrix
B  1 A  1 = [ 1  1  1 3 2 ] displaystyle B-1A-1=beginbmatrix1 dan -1-1 dan frac 32endbmatrix [ 3  2  1 1 ] displaystyle beginbmatrix3 dan -2-1 dan 1endbmatrix = [ 4  3  9 2 7 ] displaystyle beginbmatrix4 dan -3-frac 92 dan 7endbmatrix
A = [ 1 5 5  1  1 0 2 4 3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 5 dan 5-1 dan -1 dan 02 dan 4 dan 3endbmatrix
[  3 3  2 5  7 6 5  5 4 ] displaystyle beginbmatrix-3 dan 3 dan -25 dan -7 dan 65 dan -5 dan 4endbmatrix
a d j (A) = [  3 5 5 3  7  5  2 6 4 ] displaystyle adj (A)=beginbmatrix-3 dan 5 dan 53 dan -7 dan -5-2 dan 6 dan 4endbmatrix