0.999...
0.999... dalam matematika adalah suatu bilangan desimal yang memuat angka 9 berulang tak terhingga. Juga bisa ditulis sebagai formula_1, formula_2, atau formula_3. Bilangan ini merupakan sebuah bilangan real yang secara matematis memiliki nilai sama dengan 1. Dengan kata lain, "0.999..." mewakili bilangan yang sama dengan angka "1". Persamaan ini telah lama diterima oleh para matematikawan dan diajarkan di buku-buku teks pelajaran. Beberapa pembuktian matematis mengenai identitas ini telah dirumuskan.
Ketidaktunggalan ekspansi bilangan real 0.999... tidaklah terbatas hanya pada sistem bilangan desimal. Fenomena yang sama juga terjadi pada semua sistem berbilangan pokok bulat, dan para matematikawan juga telah mengkuantifikasi cara penulisan 1 ke dalam representasi takbulat. Fenomena ini juga tidak hanya terjadi pada 1: setiap bilangan desimal berakhir bukan nol, memiliki kembaran
dengan angka 9 tak terhingga, misalnya 28.3287 adalah sama dengan 28.32869999.... Atas alasan kesederhanaan, bilangan desimal berakhir tersebut hampir selalu dipilih, yang pada akhirnya terjadi miskonsepsi bahwa ia adalah "satu-satu"nya representasi bilangan tersebut. Bahkan lebih luas lagi, sistem bilangan posisional apapun mengandung sejumlah tak terhingga
bilangan dengan representasi berganda. Berbagai identitas ini telah diterapkan untuk membantu memahami pola ekspansi desimal pecahan dan struktur fraktal sederhana seperti himpunan Cantor.
Pada beberapa dekade ini, para peneliti pendidikan matematika telah melakukan kajian sejauh mana tingkat penerimaan para siswa dalam menerima persamaan ini. Walaupun telah diyakinkan oleh buku teks, guru pengajar, dan penjelasan aritmetika mengenai persamaan ini, para siswa tetap merasa tidak yakin dan melakukan pembenaran lebih lanjut untuk menolak persamaan ini.
Alasan penolakan para siswa biasanya didasarkan pada miskonsepsi umum mengenai bilangan real; yakni setiap bilangan real mempunyai ekspansi desimal yang tunggal, bahwa bilangan real haruslah ada, ataupun ekspansi 0.999... pada akhirnya akan berakhir. Sistem bilangan yang menghapuskan intuisi yang salah ini dapat dibangun, namun hanya dapat dibangun di luar sistem bilangan real standar yang digunakan dalam matematika dasar.
0.999... adalah sebuah bilangan yang ditulis dengan menggunakan sistem bilangan desimal. Beberapa pembuktian sederhana 0.999... = 1 bergantung pada kemudahan sifat-sifat aritmetika sistem ini. Kebanyakan aritmetika desimal (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perbandingan) menggunakan manipulasi pada tingkat digit, yang mirip pada bilangan bulat. Pada bilangan bulat, dua desimal "terhingga" apapun dengan digit berbeda
adalah dua bilangan yang berbeda. Secara khusus, bilangan apapun dalam bentuk 0.99...9, dengan angka 9 yang pada akhirnya berakhir adalah lebih kecil dari 1.
Penafsiran yang salah terhadap arti penggunaan "..." (elipsis) pada 0.999... bertanggung jawab atas miskonspesi mengenai persamaannya dengan 1. Penggunaannya dalam hal ini berbeda dengan penggunaannya dalam bahasa maupun dalam 0.99...9, yang mana elipsis mengalamatkan bagian "terhingga" yang tidak dinyatakan ataupun diabaikan. Ketika digunakan dalam desimal berulang, "..."
berarti bagian "tak terhingga" yang tidak disebutkan, dan hanya bisa diinterpretasikan sebagai sebuah bilangan menggunakan konsep matematika limit. Sehingga, dalam penggunaan matematika konvensional, nilai yang diberikan untuk notasi "0999..." adalah bilangan real dengan limit deret konvergen (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,...).
Tidak seperti pada kasus bilangan bulat dan desimal terhingga, notasi bilangan lainnya dapat mengekspresikan sebuah bilangan dengan banyak cara. Sebagai contoh penggunaan pecahan  = . Desimal tak terhingga, dapat mengekspresikan bilangan yang sama dengan paling banyak dua cara, yakni dengan deret sembilan berulang tak terhingga, dan dengan deret nol berulang tak terhingga (biasanya diabaikan penulisannya).
Terdapat banyak pembuktian dalam berbagai tingkat kecermatan matematika yang membuktikan 0.999... = 1. Salah satu pembuktian cermat itu dapat dinyatakan secara singkat sebagai berikut: dua bilangan real adalah identik jika dan hanya jika perbedaan dua bilangan tersebut adalah nol. Kebanyakan orang akan menyetujui bahwa perbedaan antara 0.999... dengan 1, jika ada, adalah sangat
kecil. Dengan mempertimbangkan barisan konvergen di atas, kita dapat menunjukkan bahwa besaran perbedaan ini haruslah lebih kecil dari kuantitas positif apapun, dan dapat ditunjukkan bahwa bilangan real satu-satunya yang memenuhi sifat ini adalah 0. Oleh karena perbedaannya adalah 0, disimpulkan bahwa bilangan 1 dan 0.999... adalah identik. Argumen yang sama juga menjelaskan mengapa 0.333... = , 0.111... = , dst.
Salah satu alasan mengapa desimal tak terhingga merupakan perluasan yang perlu dari desimal terhingga adalah untuk merepresentasikan pecahan. Dengan menggunakan, pembagian bilangan bulat yang sederhana seperti  akan menghasilkan desimal berulang 0.333.... Desimal berulang ini mempunyai digit yang berulang tanpa akhir. Desimal ini memberikan bukti cepat 0.999... = 1. Perkalian 3 kali 3 menghasilkan 9
pada setiap digit, sehingga 3  0.333... sama dengan 0.999.... Dan 3   sama dengan 1, sehingga 0.999... = 1.
Versi pembuktian yang sama yang lebih mudah dimengerti adalah berdasarkan persamaan berikut:
Oleh karena kedua persamaan berlaku berdasarkan sifat transitif, 0.999... haruslah sama dengan 1. Hal yang sama,/= 1, dan/= 0.999.... Sehingga, 0999... haruslah sama dengan 1.
Bentuk pembuktian lainnya menggunakan desimal berulang lainnya. Ketika sebuah bilangan dalam notasi desimal dikalikan dengan 10, digit itu tidak akan berubah, namun pemisah desimal akan berpindah satu digit ke. Sehingga 10 x 0.999... sama dengan 9999....
Pengurangan 0.999... dari 9.999... dapat dilakukan secara digit per digit; di setiap digit setelah pemisah desimal, hasil 9-9 adalah 0. Namun nol yang berulang-ulang ini tidak akan mengubah sebuah bilangan, sehingga perbedaannya adalah persis 9. Langkah akhirnya kemudian menggunakan aljabar. Misalnya bilangan desimal yang dipertanyakan (0999...) disebut "x". Maka 10"x"  "x" = 9. Ini
adalah sama dengan 9"x" = 9. Pembagian kedua sisi oleh 9 menyelesaikan pembuktian: "x" = 1.
Validitas manipulasi digit pada bukti di atas tidak perlu dianggap sebagai sebuah aksioma; ia mengikuti hubungan dasar antara desimal dengan bilangan yang ia representasikan. Hubungan ini, yang dapat dikembangkan menjadi beberapa cara yang setara, telah membentuk hubungan desimal 0.999... dan 1.000... mewakili bilangan yang sama.
Oleh karena permasalahan 0.999... tidak memengaruhi perkembangan formal matematika, permasalahan ini dapat ditunda sementara sampai kita dapat membuktikan teorema standar analisis real. Satu persyaratannya adalah mengkarakterisasikan bilangan real yang dapat ditulis ke dalam notasi desimal: terdiri dari tanda pilihan, barisan terhingga bilangan apapun dari digit yang membentuk bagian bilangan
bulat, pemisah desimal, dan barisan digit yang membentuk bagian pecahan. Untuk tujuan diskusi 0.999..., bagian bilangan bulat dapat diringkas sebagai "b" dan dapat mengabaikan bilangan negatif, sehingga sebuah ekspansi desimal mempunyai bentuk:formula_6
Adalah penting bahwa bagian pecahan, tidak seperti pada bagian bilangan bulat, tidaklah terbatas pada jumlah digit yang terhingga.
Metode ekspansi desimal yang paling umum digunakan adalah dengan mendefinisikannya sebagai penjumlahan deret tak terhingga. Secara umum:
Oleh karena 0.999... adalah penjumlahan dengan rasio umum formula_10: Pembuktian ini (sebenarnya 10 sama dengan 9.999...) muncul pada tahun 1770 pada buku ""Vollständige Anleitung zur Algebra"" (Bahasa Indonesia: Instruksi lengkap Aljabar) Leonhard Euler.