Mekanika klasik
Prinsip Hamilton mengatakan, "Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamis untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan energi potensial.".
Persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energi kinetik partikel dalam sistem koordinat Kartesius adalah fungsi dari kecepatan, energi potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari posisi.
Jika didefinisikan Lagrangian sebagai selisih antara energi kinetik dan energi potensial. Dari prinsip Hamilton, dengan mensyaratkan kondisi nilai stasioner maka dapat diturunkan persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange merupakan persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat umum, kecepatan umum, dan mungkin waktu. Kegayutan Lagrangian terhadap waktu merupakan
konsekuensi dari kegayutan konstrain terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan sistem koordinat Kartesius dan koordinat umum mengandung fungsi waktu. Pada dasarnya, persamaan Lagrange ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika koordinat yang digunakan adalah koordinat Kartesius.
Dalam mekanika Newtonian, konsep gaya diperlukan sebagai kuantitas fisis yang berperan dalam aksi terhadap partikel. Dalam dinamika Lagrangian, kuantitas fisis yang ditinjau adalah energi kinetik dan energi potensial partikel. Keuntungannya, karena energi adalah besaran skalar, maka energi bersifat invarian terhadap transformasi koordinat.
Dalam kondisi tertentu, tidaklah mungkin atau sulit menyatakan seluruh gaya yang beraksi terhadap partikel, maka pendekatan Newtonian menjadi rumit pula atau bahkan tak mungkin dilakukan. Oleh karena itu, pada perkembangan berikutnya dari mekanika, prinsip Hamilton berperan penting karena ia hanya meninjau energi partikel saja.
Banyak cabang mekanika klasik adalah penyederhanaan atau perkiraan dari bentuk akurat; 2 yang paling akurat diantaranya relativitas umum dan mekanika statistika relativistik. Optika geometri adalah perkiraan terhadap teori kuantum cahaya.
Ketika mekanika kuantum dan mekanika klasik tidak dapat digunakan, seperti pada tingkat kuantum dengan banyak derajat kebebasan, maka digunakan teori medan kuantum ("Quantum field theory", QFT). QFT berperan dalam jarak pendek dan kecepatan tinggi dengan banyak derajat kebebasan serta kemungkinan perubahan pada jumlah partikel selagi interaksi. Untuk menghitung derajat kebebasan banyak pada skala makroskopik,
mekanika statistika menjadi penting. Mekanika statistika menjelaskan perilaku objek dalam jumlah besar (namun bisa dihitung) dan interaksinya sebagai kesatuan pada tingkat makroskopik. Mekanika statistika utamanya digunakan pada termodinamika untuk sistem yang terletak diluar batasan asumsi termodinamika klasik. Pada kasus untuk objek dengan kecepatan tinggi mendekati laju cahaya, mekanika
klasik dilengkapi dengan relativitas khusus. Relativitas umum menggabungkan relativitas khusus dengan hukum gravitasi universal Newton, memungkinkan fisikawan untuk memegang gravitasi lebih dalam lagi.
Dalam relativitas khusus, momentum sebuah partikel dirumuskan dengan dengan "m" adalah massa diam partikel, v adalah kecepatan, dan "c" adalah laju cahaya.
Jika "v" bernilai sangat kecil dibandingkan "c", "v"/"c" akan bernilai nol, sehingga Maka persamaan Newton adalah perkiraan persamaan relativistik untuk benda yang bergerak dengan kecepatan rendah jika dibandingkan kecepatan cahaya.
Contohnya, frekuensi siklotron relativistik sebuah siklotron, girotron, atau magnetron bertegangan tinggi dirumuskan dengan dengan "f" adalah frekuensi elektron (atau partikel bermuatan lainnya) dengan energi kinetik "T" dan massa (diam) "m" berputar dalam medan magnet. Massa (diam) elektron adalah 511 keV. Maka koreksi frekuensi sekitar 1% untuk tabung vakum magnetik bertegangan 5.11 kV dengan arus searah.
Perkiraan sinar mekanika klaisk dipatahkan panjang gelombang de Broglie adalah tidak sangat kecil daripada dimensi lain dari sistem. Untuk partikel non-relativistik, panjang gelombangnya adalah
Lagi, hal ini berlaku untuk elektron sebelum digunakan dengan partikel yang lebih berat. Contohnya, elektron yang digunakan oleh Clinton Davisson dan Lester Germer tahun 1927, dipercepat hingga 54 volt, panjang gelombangnya 0167 nm, sudah cukup panjang untuk memperlihatkan difraksi tunggal side lobe ketika dipantulkan dari muka kristal nikel dengan ruang atom 0215 nm. Dengan ruang hampa yang
lebih besar, maka akan terlihat relatif lebih mudah untuk meningkatkan resolusi sudut dari sekitar 1 radian menjadi miliradian dan melihat difraksi kuantum dari pola periodik sirkuit terpadu memori komputer.
Contoh kegagalan lainnya dari mekanika klasik pada skala teknik adalah "quantum tunneling" pada dioda terowongan dan gerbang transistor sangat sempit pada sirkuit terpadu.