Teorema monyet tak terhingga
Teorema monyet takhingga (Bahasa Inggris: Infinite monkey theorem) menyatakan bahwa seekor monyet yang secara acak menekan tombol-tombol pada sebuah mesin tik untuk lama waktu tak hingga akan hampir pasti dapat mengetik sebuah teks yang diberikan, misalnya karya William Shakespeare.
Dalam konteks ini, "hampir pasti" merupakan istilah matematika dengan sebuah pengertian yang persis, dan "monyet" bukan benar-benar seekor monyet, melainkan hanyalah sebuah metafora untuk sebuah peralatan yang menghasilkan barisan acak huruf-huruf sampai takhingga (ad infinitum). Teorema ini mengilustrasikan bahaya dari pemikiran atau pertimbangan mengenai takhingga dengan
membayangkannya sebagai bilangan yang sangat besar namun terhingga, ataupun sebaliknya. Probabilitas seekor monyet mengetik seuntai teks tertentu, katakanlah Hamlet, sangatlah kecil. Apabila sebuah eksperimen dilakukan, kemungkinan ia benar-benar terjadi dalam jangka waktu seumur alam semesta sangatlah kecil, namun bukanlah nol.
Variasi teorema ini meliputi beberapa atau tak terhingga banyaknya pengetik, dan teks yang diberikan berkisar dari keseluruhan perpustakaan sampai dengan sebuah kalimat. Sejarah pernyataan ini dapat ditilik kembali pada tulisan Aristoteles De Generatione et Corruptione dan tulisan Cicero De natura deorum, sampai dengan Blaise Pascal dan Jonathan Swift, dan akhirnya menjadi pernyataan modern dengan
mesin tik. Pada awal abad ke-20, Émile Borel dan Arthur Eddington menggunakan teorema ini untuk mengilustrasikan implisit skala waktu pada landasan mekanika statistis. Berbagai apologet Kristen di lain pihak, dan Richard Dawkins di pihak lainnya, telah berdebat mengenai ketepatan monyet ini digunakan sebagai metafora untuk evolusi.
Terdapat pembuktian langsung untuk teorema ini. Jika dua kejadian secara statistik bebas (yakni keduanya tidak memengaruhi satu sama lainnya), maka probabilitas keduanya terjadi bersamaan sama dengan hasil kali probabilitas keduanya terjadi secara independen. Sebagai contoh, jika peluang hujan di Sydney pada hari tertentu adalah 0.3 dan peluang gempa bumi di San
Fransisco pada hari itu adalah 0.008, maka peluang keduanya terjadi pada hari yang sama adalah 0.3  0.008 = 0.0024.
Misalnya mesin tik mempunyai 50 tombol, dan kata yang perlu diketik adalah "banana". Dengan mengetik secara acak, peluang huruf pertama yang diketik merupakan b adalah 1/50, dan kemungkinan huruf ke dua yang diketik merupakan a juga adalah 1/50, dst. Sehingga peluang enam huruf pertama merupakan banana adalah
Dengan alasan yang sama, peluang enam huruf selanjutnya merupakan banana juga (1/50) 6, dst.
Dari perhitungan di atas, peluang untuk tidak mengetik banana dalam 6 blok huruf yang diberikan adalah 1(1/50) 6. Karena setiap blok diketik secara independen, peluang Xn dari tidak mengetik banana di setiap n blok pertama enam huruf adalah: X n = (1  1 50 6) n. displaystyle X_n=left (1-frac 1506right)n.
Seiring dengan meningkatnya n, Xn menjadi semakin kecil. Untuk n satu juta, Xn kira-kira 0.9999 (yakni peluang tidak mengetik banana kira-kira 99.9%), namun untuk n 10 miliar, Xn adalah kira-kira 0.53 (yakni peluang tidak mengetik banana adalah kira-kira 53%), demikian pula untuk n 100 miliar, peluangnya adalah 0.0017.
Seiring n mendekati takhingga, probabiltas Xn mendekati nol; yakni dengan membuat n cukup besar, Xn dapat dibuat sekecil yang diinginkan.
Argumen yang sama juga menunjukkan bahwa mengapa paling tidak satu di antara banyaknya monyet-monyet tak terhingga akan "hampir pasti" menghasilkan sebuah teks secepat yang akan dihasilkan oleh pengetik manusia. Dalam kasus ini Xn = (1(1/50) 6) n, dengan Xn mewakili probabilitas bahwa tidak ada n monyet pertama yang mengetik banana secara tepat
pada usaha pertama mereka. Ketika terdapat 100 miliar monyet, probabilitas ini menurun menjadi 0.17%, seiring dengan meningkatnya jumlah n monyet, nilai Xn mendekati nol. Limit n mendekati takterhingga adalah nol.
Kedua pernyataan di atas dapat dinyatakan secara lebih umum dan lebih ringkas menggunakan konsep untai, yang merupakan barisan karakter yang dipilih dari sejumlah alfabet terhingga:
Diberikan sebuah untai karakter takhingga dimana setiap karakter dipilih secara merata dan acak, setiap untai karakter terhingga yang diberikan hampir pasti merupakan sub-untai dari untai takhingga tersebut pada beberapa posisi (dan sesungguhnya pada banyak tak terhingga posisi). Diberikan sebuah barisan takhingga dari untai takhingga, dimana setiap karakter dari
setiap untai dipilih secara merata dan acak, setiap untai terhingga yang diberikan hampir pasti merupakan prefiks dari salah satu untai-untai takhingga ini (dan sesungguhnya merupakan prefiks dari tak terhingga banyaknya untai-untai pada barisan)
Untuk teorema ke dua, misalkan Ek adalah kejadian bahwa untai ke-k dimulai dengan teks yang diberikan. Karena ia memiliki probabilitas p bukan nol yang tetap, Ek-nya adalah independen, dan penjumlahan di bawah ini divergen,
i = 1  P (E k) =  i = 1  p = , displaystyle sum _i=1infty P (E_k)=sum _i=1infty p=infty,
probabilitas bahwa takhingga banyaknya Ek yang terjadi adalah 1. Teorema pertama ditunjukkan dengan cara yang sama; seseorang dapat membagi untai acak menjadi beberapa blok yang tidak saling tumpang tindih dan menentukan ukuran blok ini dengan ukuran teks yang diinginkan, menjadikan kejadian Ek sebagai kejadian dimana blok ke-k sama dengan untai yang diinginkan.
Dengan mengabaikan tanda baca, spasi, dan kapitalisasi, seekor monyet yang mengetik huruf-huruf secara merata dan acak mempunyai peluang 1/26 untuk mengetik huruf pertama dari Hamlet. Ia mempunyai peluang 1/676 (2626) untuk mengetik dua huruf pertama Hamlet tersebut. Karena probabilitasnya menurun secara eksponensial, untuk 20 huruf, ia hanya akan mempunyai peluang 1
di antara 2620 = 19928148895209409152340197376 (hampir 2 x 1028). Dalam kasus keseluruhan teks Hamlet, probabilitasnya adalah sangat-sangat kecil. Teks Hamlet mengandung sekitar 130000 huruf. Sehingga terdapat probabilitas 1 di antara 3.410183946 untuk mendapatkan teks ini benar pada usaha pertama. Jumlah rata-rata huruf yang perlu diketik sampai teks ini muncul juga adalah 3.410183946.
Bahkan jika seluruh alam semesta dipenuhi oleh monyet-monyet yang mengetik setiap saat, probabilitas total mereka untuk menghasilkan Hamlet masih lebih kecil dari 1 di antara 10183.800.
Dalam salah satu bentuk yang mana para pakar probabilitas mengenal teorema ini dengan "dactylographic"-nya (monyet yang mengetik), muncul di artikel "Mécanique Statistique et Irréversibilité" (Mekanika statistis dan ireversibilitas) tahun 1913 dan buku "Le Hasard" tahun 1914 oleh Émile Borel. "Monyet" ini bukanlah monyet yang sebenarnya; ia adalah metafora untuk sebuah cara
imajiner untuk menghasilkan barisan acak huruf-huruf yang banyak. Borel mengatakan bahwa jika satu juta monyet mengetik 10 jam per hari, adalah sangat tidak mungkin keluaran mereka akan persis sama dengan seluruh buku perpustakaan paling lengkap di dunia; namun, dalam perbandingan, adalah lebih tidak mungkin lagi bahwa hukum-hukum mekanika statistis akan pernah dilanggar.
If I let my fingers wander idly over the keys of a typewriter it might happen that my screed made an intelligible sentence. If an army of monkeys were strumming on typewriters they might write all the books in the British Museum. The chance of their doing so is decidedly more favourable than the chance of the molecules returning to one half of the vessel.
Gambaran ini mengundang para pembaca untuk memperhatikan ketidakmungkinan yang sangat besar dari sejumlah besar namun terhingga monyet yang bekerja dengan sejumlah besar namun terhingga waktu untuk menghasilkan hasil kerja yang signifikan dan membandingkannya dengan ketidakmungkinan yang lebih besar dari kejadian-kejadian fisika tertentu. Proses fisika apapun yang kemungkinannya lebih