Grup (matematika)
Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner, seperti perkalian atau penjumlahan, yang memenuhi beberapa aksioma yang disebut "aksioma grup". Misalnya, himpunan bilangan bulat adalah suatu grup terhadap operasi penjumlahan. Cabang matematika yang mempelajari grup disebut teori grup.
Banyak sekali objek yang dipelajari dalam matematika berupa grup. Hal ini mencakup sistem bilangan, seperti bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks terhadap penjumlahan, atau bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks yang tak-nol, masing-masing terhadap perkalian. Contoh penting lainnya misalnya matriks non-singular terhadap perkalian, dan secara umum, fungsi terinverskan
terhadap komposisi fungsi. Teori grup memungkinkan sifat-sifat sistem-sistem ini dan berbagai sistem lain untuk dipelajari dalam lingkup yang umum, dan hasilnya dapat diterapkan secara luas. Teori grup juga merupakan sumber kaya berbagai teorema yang berlaku dalam lingkup grup.
Asal usul teori grup berawal dari kerja Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan dengan radikal. Sebelum kerja Galois, grup lebih banyak dipelajari secara konkrit, dalam bentuk permutasi; beberapa aspek teori grup abelian dikenal dalam teori bentuk-bentuk kuadrat.
Suatu grup adalah suatu himpunan formula_1 beserta satu operasi biner formula_2 yang memenuhi "aksioma-aksioma grup" berikut:
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis seperti perkalian ("notasi perkalian"):
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis seperti penjumlahan ("notasi penjumlahan"):
Biasanya, hanya grup abelian (grup yang operasinya komutatif untuk setiap dua unsur himpunan grup tersebut) yang ditulis dalam bentuk penjumlahan walaupun grup tersebut dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian. Ketika bersifat "noncommittal", kita dapat menggunakan notasi (dengan formula_2) dan istilah yang dikemukakan dalam definisi menggunakan notasi formula_22 sebagai invers dari formula_23.
Bila formula_36 adalah sub himpunan dari formula_1 dan formula_38 unsur dari formula_1 maka dalam notasi perkalian formula_40 merupakan himpunan dari semua hasil perkalian formula_41 untuk formula_42 dalam formula_36 (dengan kata lain, formula_44). Hal yang sama juga dapat dilihat pada notasi formula_45, dan untuk dua sub himpunan formula_36 dan formula_47 dari formula_1 kita dapat menulis formula_49 untuk formula_50. Dalam notasi penjumlahan, kita menuliskan formula_51 dan formula_52 untuk masing-masing pasangan.
Contoh grup yang pernah diperkenalkan saat di sekolah dasar salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan "'Z"' merupakan himpunan bilangan bulat, ...,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4... dan simbol "+" sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, ("'Z"',+) merupakan suatu grup.
Bilangan bulat terhadap penjumlahan dan perkalian membentuk struktur aljabar cincin yang lebih kompleks. Sebenarnya, elemen dari cincin apa saja membentuk sebuah grup abelian terhadap penjumlahan yang disebut "grup penjumlahan" dari cincin.
Bilangan bulat terhadap perkalian yang dilambangkan dengan " "' '" " Maka ("'Z'", "' '") bukan sebuah grup:
Karena tidak semua elemen dari ("'Z'", "' '") mempunyai invers maka ("'Z'", "' '") bukan merupakan grup. Kita dapat menyebut ("'Z'", "' '") sebuah monoid komutatif.
Misalkan "'Q'" sebagai himpunan bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan "a"/"b" dengan "a" dan "b" merupakan bilangan bulat dan"b" bukan nol. Misalkan pula operasi perkalian dinyatakan dengan simbol ""' '" ". Karena bilangan rasional 0 tidak memiliki invers untuk perkalian maka ("'Q'", "' '"), sebagaimana juga ("'Z'", "' '") bukan sebuah grup.
Akan tetapi, kalau kita menggunakan himpunan "'Q'"  0, yang mencakup setiap bilangan rasional "kecuali nol " maka ("'Q'"0,"' '") merupakan grup abelian. Invers "a"/"b" adalah "b"/"a" dan aksioma grup lainnya mudah diperiksa kebenarannya. Kita tidak kehilangan closure dengan menghilangkan nol karena hasil kali dua bilangan rasional tidak nol tidak akan pernah nol.
Sama seperti bilangan bulat yang membentuk cincin, demikian juga bilangan rasional yang membentuk struktur aljabar dari bidang. Sebenarnya, elemen bukan nol dari medan apapun akan membentuk grup terhadap perkalian yang disebut "grup perkalian" dari bidang.
Misalkan tiga buah blok berwarna (merah, hijau, dan biru) yang mula-mula diletakkan dengan susunan MHB. Misalkan "a" merupakan aksi "menukarkan blok pertama dan blok kedua" dan "b" aksi "menukarkan blok kedua dan ketiga".
Dalam bentuk perkalian, kita menuliskan "x""y" untuk aksi "pertama kali lakukan "y" kemudian lakukan "x" " sehingga "a""b" adalah aksi MHB ®MBH®BMH yaitu "ambil blok terakhir dan pindahkan ke depan". Bila kita menuliskan "e" untuk aksi " biarkan blok sebagaimana adanya" (aksi identitas) maka kita dapat menulis enam permutasi dari himpunan tiga blok sebagai berikut:
Perhatikan bahwa aksi "a""a" akan menyebabkan MHB ® HMB ® MHB atau aksi tersebut sama saja dengan aksi "biarkan blok sebagaimana adanya". Dengan demikian, kita dapat menuliskan "a""a" = "e". Demikian pula,
Grup ini disebut simetri grup pada tiga huruf, atau "S"3. Grup tersebut mempunyai orde 6 (atau 3 "faktorial"), dan bukan merupakan grup abelian (karena sebagai contoh "a""b"  "b""a"). Karena "S"3 dibangun dari aksi dasar "a" dan "b" maka kita dapat mengatakan bahwa himpunan "a","b" membangun "S"3.
Setiap grup dapat diungkapkan dalam grup permutasi seperti "S"3. Hasilnya merupakan Teorema Cayley dan dipelajari sebgai bagian dari subyek aksi grup.
Untuk beberapa contoh lanjutan dari grup untuk berbagai aplikasi lihat contoh-contoh grup dan daftar grup kecil.
Faktor ini dan faktor dasar lainnya juga berlaku untuk semua grup tertentu yang membentuk bidang dari teori grup elementer.