Bilangan riil
Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2.4871773339... atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan 23/129, dan bilangan irasional, seperti  dan 2 displaystyle sqrt 2. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.
Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat- dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik- merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik
yang keseluruhannya teratur lengkap (R; +; ; ), sampai ke suatu isomorfisma, sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik
Bilangan riil, beserta operasi penjumlahan dan perkalian, memenuhi aksioma berikut.. Misalkan x,y dan z merupakan anggota himpunan bilangan riil R, dan operasi x+y merupakan penjumlahan, serta xy merupakan perkalian. Maka:
Aksioma 1 (hukum komutatif): x+y = y+x, dan xy = yx Aksioma 2 (hukum asosiatif): x+(y+z) = (x+y)+z dan x (yz) = (xy) z Aksioma 3 (hukum distributif): x (y+z) = (xy + xz) Aksioma 4: Eksistensi unsur identitas. Terdapat dua bilangan riil berbeda, yang dilambangkan sebagai 0 dan 1, sehingga
untuk setiap bilangan riil x kita mendapatkan 0+x=x dan 1.x=x. Aksioma 5: Eksistensi negatif, atau invers terhadap penjumlahan. Untuk setiap bilangan riil x, terdapat bilangan riil y sehingga x+y=0. Kita dapat juga melambangkan y sebagai-x. Aksioma 6: Eksistensi resiprokal, atau invers terhadap perkalian. Untuk setiap bilangan riil x tidak sama dengan 0, terdapat bilangan riil y sehingga xy=1. Kita dapat melambangkan y sebagai 1/x.
Himpunan yang memenuhi sifat-sifat ini disebut sebagai medan, dan karena itu aksioma di atas dinamakan sebagai aksioma medan.
Kita akan mengasumsikan terdapat himpunan R+, yang disebut sebagai bilangan positif yang merupakan himpunan bagian dari R. Misalkan juga x dan y adalah anggota R+. Himpunan bagian ini memenuhi aksioma urutan berikut ini:
Aksioma 7: x+y dan xy merupakan anggota R+ Aksioma 8: Untuk setiap x yang tidak sama dengan 0, x anggota R+ atau-x anggota R+, tetapi tidak mungkin keduanya sekaligus Aksioma 9: 0 bukan anggota R+.
Aksioma 10: Setiap himpunan bilangan riil S yang memiliki batas atas memiliki supremum, yakni ada suatu bilangan riil B sehingga B=sup (S).
Bilangan asli Bilangan bulat Bilangan cacah Bilangan imajiner Bilangan kompleks Bilangan rasional Bilangan irasional Bilangan prima Bilangan komposit Pecahan
Transclusion error: En is only for use in File namespace. Use lang-en or en icon instead. Transclusion error: En is only for use in File namespace. Use lang-en or en icon instead. Transclusion error: En is only for use in File namespace. Use lang-en or en icon instead. (in Indonesian)