Kalkulus diferensial
Di sini "u"("x", "t") adalah temperatur tongkat pada posisi "x" dan waktu "t" dan  adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.
Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika "f"("x") adalah fungsi yang bernilai real dan "a" dan "b" adalah bilangan dengan "a"  "b", maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik ("a", "f"("a")) dan ("b", "f"("b")) adalah sama dengan
kemiringan garis singgung "f" di titik "c" di antara "a" and "b". Dengan kata lain: Dalam praktiknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan "f" memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah
benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik "f" haruslah sama dengan kemiringan salah satu garis singgung di "f". Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.
Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real "f"("x") pada suatu titik "x" adalah linearisasi polinomial "a" + "b"("x"- "x"), dan sangat mungkin untuk mendapatkan
pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik "a" + "b"("x"- "x") + "c"("x"- "x") 2. Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik "a" + "b"("x"- "x") + "c"("x"- "x") 2 + "d"("x"- "x") 3, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi. Untuk setiap polinomial
ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk "a", "b", "c", dan "d" yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.
Untuk "a", pilihan nilai yang terbaik selalu bernilai "f"("x"), dan untuk "b" selalu bernilai "f'"("x"). Untuk "c", "d", dan koefisien berderajat tinggi lainnya, koefisien-koefisien ini ditentukan dengan turunan berderajat tinggi dari "f". "c" haruslah "f""("x")/2, dan "d" haruslah
"f"'"("x")/3!. Dengan menggunakan koefisen ini, kita mendapatkan "polinomial Taylor" dari "f". Polinomial taylor berderajat "d" adalah polinomial dengan derajat "d" yang memberikan pendekatan yang paling baik terhadap "f", dan koefisiennya dapat ditentukan dengan perampatan dari rumus di atas. Teorema Taylor memberikan batasan-batasan yang detail akan seberapa baik pendekatan
tersebut. Jika "f" adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan "d", maka polinomial Taylor dengan derajat "d" sama dengan "f".
Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai "deret Taylor". Deret Taylor biasanya merupakan pendekatan yang cukup dekat dengan fungsi asalnya. Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik. Adalah tidak mungkin untuk fungsi yang tidak kontinu atau memiliki sudut yang tajam untuk menjadi fungsi analitik. Namun terdapat pula fungsi mulus yang bukan analitik.
Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik fungsi. Jika "F"("x", "y") = "x"2 + "y"2, maka lingkaran adalah himpunan pasangan ("x", "y") dimana "F"("x", "y") = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong) dari "F". Ini tidaklah sama dengan grafik "F", yang berupa kerucut. Teorema
fungsi implisit mengubah relasi seperti "F"("x", "y") = 0 menjadi fungsi. Teorema ini menyatakan bahwa jika "F" adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol dari "F" tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik dimana hal ini tidak benar ditentukan pada kondisi turunan "F". Lingkaran
dapat digabungkan bersama dengan grafik dari dua fungsi formula_8. Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga bertemu di (-1, 0) dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).
Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan bersama.