Aljabar linear
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
[ 3 4  2 5 1  5 2 7 2 1  3 9 ] displaystyle beginbmatrix3 dan 4 dan -2 dan 51 dan -5 dan 2 dan 72 dan 1 dan -3 dan 9endbmatrix
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1). Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih dari leading 1 di atasnya. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
[ 1 4  2 5 0  5 2 7 0 0  3 9 0 0  8 8 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 4 dan -2 dan 50 dan -5 dan 2 dan 70 dan 0 dan -3 dan 90 dan 0 dan -8 dan 8endbmatrix
[ 1 4  2 5 0  5 2 7 0 0  3 9 0 0 0 0 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 4 dan -2 dan 50 dan -5 dan 2 dan 70 dan 0 dan -3 dan 90 dan 0 dan 0 dan 0endbmatrix
[ 1 4  2 5 0 1 2 7 0 0  3 9 0 0 0 0 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 4 dan -2 dan 50 dan 1 dan 2 dan 70 dan 0 dan -3 dan 90 dan 0 dan 0 dan 0endbmatrix
[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 0 dan 00 dan 1 dan 0 dan 00 dan 0 dan 1 dan 00 dan 0 dan 0 dan 1endbmatrix
[ 1 0 0 0 0 1 2 5 0 0 3 0 0 0 0 6 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 0 dan 00 dan 1 dan 2 dan 50 dan 0 dan 3 dan 00 dan 0 dan 0 dan 6endbmatrix
Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan
mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
x + 2 y + z = 6 displaystyle x+2y+z=6 x + 3 y + 2 z = 9 displaystyle x+3y+2z=9 2 x + y + 2 z = 12 displaystyle 2x+y+2z=12
[ 1 2 1 6 1 3 2 9 2 1 2 12 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 61 dan 3 dan 2 dan 92 dan 1 dan 2 dan 12endarrayright]
[ 1 2 1 6 1 3 2 9 2 1 2 12 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 61 dan 3 dan 2 dan 92 dan 1 dan 2 dan 12endarrayright] B1 x 1, Untuk mengubah a11 menjadi 1
[ 1 2 1 6 0 1 1 3 2 1 2 12 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 60 dan 1 dan 1 dan 32 dan 1 dan 2 dan 12endarrayright] B2- 1.B1, Untuk mengubah a21 menjadi 0
[ 1 2 1 6 0 1 1 3 0  3 0 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 60 dan 1 dan 1 dan 30 dan -3 dan 0 dan 0endarrayright] B3- 2.B1, Untuk mengubah a31 menjadi 0
[ 1 2 1 6 0 1 1 3 0  3 0 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 60 dan 1 dan 1 dan 30 dan -3 dan 0 dan 0endarrayright] B2 x 1, Untuk mengubah a22 menjadi 1
[ 1 2 1 6 0 1 1 3 0 0 3 9 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 60 dan 1 dan 1 dan 30 dan 0 dan 3 dan 9endarrayright] B3 + 3.B2, Untuk mengubah a32 menjadi 0
[ 1 2 1 6 0 1 1 3 0 0 1 3 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 60 dan 1 dan 1 dan 30 dan 0 dan 1 dan 3endarrayright] B3 x 1/3, Untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
x + 2 y + z = 6 displaystyle x+2y+z=6 y + z = 3 displaystyle y+z=3 z = 3 displaystyle z=3
y + z = 3 displaystyle y+z=3 y + 3 = 3 displaystyle y+3=3 y = 0 displaystyle y=0
x + 2 y + z = 6 displaystyle x+2y+z=6 x + 0 + 3 = 6 displaystyle x+0+3=6 x = 3 displaystyle x=3
Jadi nilai dari x = 3 displaystyle x=3, y = 0 displaystyle y=0,dan z = 3 displaystyle z=3
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks
teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
x + 2 y + 3 z = 3 displaystyle x+2y+3z=3 2 x + 3 y + 2 z = 3 displaystyle 2x+3y+2z=3 2 x + y + 2 z = 5 displaystyle 2x+y+2z=5
[ 1 2 3 3 2 3 2 3 2 1 2 5 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 32 dan 3 dan 2 dan 32 dan 1 dan 2 dan 5endarrayright]
[ 1 2 3 3 0  1  4  3 2 1 2 5 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 30 dan -1 dan -4 dan -32 dan 1 dan 2 dan 5endarrayright] B2- 2.B1
[ 1 2 3 3 0  1  4  3 0  3  4  1 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 30 dan -1 dan -4 dan -30 dan -3 dan -4 dan -1endarrayright] B3- 2.B1
[ 1 2 3 3 0  1  4  3 0 0 8 8 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 30 dan -1 dan -4 dan -30 dan 0 dan 8 dan 8endarrayright] B3- 3.B2
[ 1 2 3 3 0 1 4 3 0 0 1 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 30 dan 1 dan 4 dan 30 dan 0 dan 1 dan 1endarrayright] 1/8.B3 dan-B2
[ 1 2 3 3 0 1 0  1 0 0 1 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 3 dan 30 dan 1 dan 0 dan -10 dan 0 dan 1 dan 1endarrayright] B2- 4.B3
[ 1 2 0 0 0 1 0  1 0 0 1 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 0 dan 00 dan 1 dan 0 dan -10 dan 0 dan 1 dan 1endarrayright] B1- 3.B3
[ 1 0 0 2 0 1 0  1 0 0 1 1 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 0 dan 0 dan 20 dan 1 dan 0 dan -10 dan 0 dan 1 dan 1endarrayright] B1- 2.B2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 displaystyle x=2, y =  1 displaystyle y=-1,dan z = 1 displaystyle z=1
Yaitu sistem persamaan linear (SPL) yang semua suku konstan atau nilai ruas kanannya adalah nol.
a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = 0 am1x1 + am2x2 +... + amnxn = 0
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
[ a 11 a 12 a 13 0 a 21 a 22 a 32 0 a 31 a 32 a 33 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr ra_11 dan a_12 dan a_13 dan 0a_21 dan a_22 dan a_32 dan 0a_31 dan a_32 dan a_33 dan 0endarrayright]
Contoh: [ 1 2 1 0 1 3 2 0 2 1 2 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 01 dan 3 dan 2 dan 02 dan 1 dan 2 dan 0endarrayright]
[ 1 2 1 0 0 1 1 0 0  3 0 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 00 dan 1 dan 1 dan 00 dan -3 dan 0 dan 0endarrayright] B2- B1, B3- 2.B1
[ 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 3 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 00 dan 1 dan 1 dan 00 dan 0 dan 3 dan 0endarrayright] B3 + 3.B2
Contoh: [ 1 2 1 0 1 3 2 0 2 1  1 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 01 dan 3 dan 2 dan 02 dan 1 dan -1 dan 0endarrayright]
[ 1 2 1 0 0 1 1 0 0  3  3 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 00 dan 1 dan 1 dan 00 dan -3 dan -3 dan 0endarrayright] B2- B1, B3- 2.B1
[ 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 2 dan 1 dan 00 dan 1 dan 1 dan 00 dan 0 dan 0 dan 0endarrayright] B3 + 3.B2
[ 1 0  1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ] displaystyle left[beginarrayrrr r1 dan 0 dan -1 dan 00 dan 1 dan 1 dan 00 dan 0 dan 0 dan 0endarrayright] B1- 2.B2
Maka, [ x 1 x 2 x 3 ] displaystyle beginbmatrixx_1x_2x_3endbmatrix = [ 1  1 1 ] displaystyle beginbmatrix1-11endbmatrix t
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.