0.999...
Hasil penjumlahan deret geometri itu sendiri telah ada sebelum Euler. Penjabaran abad-18 yang umumnya dilakukan adalah dengan menggunakan manipulasi suku per suku yang mirip dengan pembuktian aljabar di atas. Pada akhir tahun 1811, pada buku teks Bonnycastle "An Introduction to Algebra", ia menggunakan argumen deret geometri untuk membenarkan pembuktian 0.999... tersebut. Reaksi abad 19 yang
menentang metode penjumlahan liberal tersebut memunculkan definisi penjumlahan yang sampai sekarang masih mendominasi, yakni: penjumlahan sebuah deret di"definisi"kan sebagai limit barisan dari jumlah parsialnya. Pembuktian teorema ini secara eksplisit menghitung barisan tersebut.
Sebuah barisan (atau deret) ("x", "x", "x",...) mempunyai limit "x" jika jarak "x"  "x" menjadi sangat kecil ketika "n" bertambah. Penyataan 0.999... = 1 itu sendiri dapat diinterpretasikan dan dibuktikan sebagai limit:
Pada bagian terakhir,- formula_13- dibenarkan oleh aksioma yang menyatakan bahwa bilangan real mempunyai sifat Archimedes. Pandangan terhadap 0.999... yang berdasarkan limit ini mungkin akan lebih mudah diingat, namun kuranglah tepat. Sebagai contoh, buku teks "The University Arithmetic" tahun 1846 menjelaskan, ",999 + berlanjut sampai tak terhingga = 1 karena setiap
aneksasi 9 membawa nilai itu semakin dekat dengan 1"; buku "Arithmetic for Schools" tahun 1895 mengatakan, "...ketika sejumlah bilangan 9 yang sangat banyak dibawa, perbedaan antara 1 dan,99999... akan menjadi tidak bisa dibayangkan kecilnya". Heuristik seperti ini sering diinterpretasikan oleh para siswa mengimplikasikan 0.999... itu sendiri lebih kecil daripada 1.
Definisi deret di atas merupakan salah satu cara yang mudah untuk mendefinisikan bilangan real yang berasal dari ekspansi desimal. Pendekatan komplementer lainnya menggunakan proses yang berlawanan, yaitu untuk sebuah bilangan real yang diberikan, definisikan ekspansi desimalnya.
Jika diketahui sebuah bilangan real "x" berada dalam interval tertutup [0, 10] (yakni lebih besar atau sama dengan 0 dan lebih kecil atau sama dengan 10), seseorang dapat membagi interval tersebut menjadi 10 interval yang bertumpang tindih hanya pada titik akhirnya: [0, 1], [1, 2], [2, 3],dan seterusnya sampai [9, 10]. Bilangan "x" haruslah berada dalam salah satu interval
ini; jika ia ada dalam [2, 3], maka simpan digit "2" dan bagi interval tersebut menjadi [2, 2.1], [2.1, 2.2],..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Kelanjutan proses ini akan menghasilkan barisan tak terhingga interval bersarang, yang ditandai oleh barisan tak terhingga digit-digit "b", "b", "b", "b",..., dan dapat ditulis
Pada formalisme ini, identitas 1 = 0.999... dan 1 = 1.000... merefleksikan fakta bahwa 1 berada di baik interval [0, 1] maupun [1, 2], sehingga seseorang dapat memilih salah satu subinterval tersebut untuk menemukan digitnya. Untuk memastikan notasi ini tidak menyalahgunakan tanda "=", seseorang perlulah menemukan cara untuk merekonstruksi sebuah bilangan real tunggal untuk setiap desimal. Hal ini dapat dilakukukan dengan menggunakan limit, namun terdapat pula cara-cara lainnya.
Salah satu pilihan yang tepat sasaran adalah teorema interval bersarang, yang memastikan bahwa untuk sebuah barisan tersarang dengan interval tertutup yang panjangnya menjadi sangat kecil, interval-intervalnya akan mengandung persis satu bilangan real pada perpotongannya. Sehingga "b","b""b""b"... didefinisikan menjadi bilangan tunggal yang terkandung dalam semua interval
["b", "b" + 1], ["b","b", "b","b" + 0.1], dan seterusnya. Maka 0.999... adalah bilangan real tunggal yang berada pada semua interval [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], dan [0.99...9, 1] untuk setiap untaian 9 yang terhingga. Oleh karena 1 merupakan elemen pada setiap interval ini, 0.999... = 1.
Teorema interval bersarang ini biasanya bertumpu pada karakteristik dasar bilangan real, yaitu keberadaan batas atas terkecil atau "suprema". Untuk secara langsung menggunakan karakteristik ini, seseorang dapat mendefinisikan "b","b""b""b"... sebagai batas atas himpunan hampiran "b", "b","b", "b","b""b",.... Kita kemudian dapat menunjukkan bahwa definisi ini (atau definisi interval bersarang) konsisten dengan prosedur subdivisi, mengimplikasikan 0.999... = 1. Tom Apostol berkesimpulan,
Fakta bahwa sebuah bilangan real mungkin memiliki dua representasi desimal yang bebeda hanyalah merupakan refleksi dari fakta bahwa dua himpunan bilangan real yang berbeda dapat memiliki batas atas terkecil ("suprema") yang sama. Beberapa pendekatan secara eksplisit mendefinisikan bilangan real sebagai struktur tertentu yang dibangun dari bilangan rasional menggunakan teori himpunan aksiomatik. Bilangan asli- 0,
1, 2, 3, dan seterusnya- dimulai dari 0 dan berlanjut ke atas, sehingga setiap bilangan mempunyai penerusnya. Kita dapat memperluas bilangan asli dengan nilai negatifnya, sehingga didapatkan bilangan bulat, lebih jauh lagi bisa diperluas menjadi pecahan, sehingga didapatkanlah bilangan rasional. Sistem bilangan ini diikuti oleh aritmetika penjumlahan, pengurangan, perkalian,
dan pembagian. Lebih rinci lagi, sistem ini melibatkan pengurutan, sehingga bilangan yang satu dapat dibandingkan dengan bilangan yang lain, sehingga terdapat hubungan lebih kecil, sama dengan, dan lebih besar.
Lang perluasan bilangan rasional menjadi bilangan real adalah perluasan yang sangat besar. Terdapat paling sedikit dua cara untuk melakukannya. Kedua cara ini dipublikasikan pada tahun 1872, yakni potongan Dedekind dan barisan Cauchy. Pembuktian 0.999... = 1 yang secara langsung menggunakan konstruksi ini dapat ditemukan dalam buku-buku teks analisis real.
Dalam pendekatan potongan Dedekind, setiap bilangan real "x" didefinisikan sebagai himpunan takhingga dari semua bilangan rasional yang lebih kecil daripada "x". Secara spesifik, bilangan real 1 adalah himpunan semua bilangan rasional yang lebih kecil dari 1. Setiap ekspansi desimal positif dapat dengan mudah menentukan potongan Dedekind, yakni himpunan bilangan rasional yang lebih kecil dari beberapa tahap
ekspansi. Sehingga bilangan real 0.999... adalah himpunan bilangan rasional "r" sedemikian rupanya "r"  0, atau "r"  0.9, atau "r"  0.99, atau "r" lebih kecil dari bilangan lainnya yang berbentuk formula_14. Setiap unsur 0.999... adalah lebih kecil dari 1, sehingga ia adalah unsur dari bilangan real 1. Kebalikannya, bilangan 1 adalah bilangan rasional formula_15, yang
mengimplikasikan formula_16. OLeh karena 0.999... dan 1 mengandung bilangan rasional yang sama, 0.999... dan 1 adalah himpunan yang sama, sehingga 0.999... = 1.
Definisi bilangan real sebagai potongan Dedekind pertama kali dipublikasikan oleh pada tahun 1872. Pendekatan seperti di atas dengan penunjukkan sebuah bilangan ke setiap ekspansi desimalnya pertama kali terdapat dalam naskah yang berjudul "Is 0999... = 1?" oleh Fred Richman pada majalah "Mathematics Magazine" yang ditujukan ke para pengajar matematika tingkat perguruan tinggi, terutama tingkat
junior/senior, dan murid-muridnya. Richman menemukan bahwa dengan mengambil potongan Dedekind pada subhimpunan rapat bilangan rasional apapun akan menghasilkan hasil yang sama; khususnya, dia menggunakan pecahan desimal, dimana pembuktiannya dapat langsung terlihat: "Maka kita melihat bahwa dalam definisi tradisional bilangan real, persamaan 0.9* = 1 dari awalnya sudah dibangun."
Pendekatan konstruksi bilangan real lainnya adalah dengan menggunakan pengurutan bilangan rasional secara tidak langsung. Pertama-tama, jarak antara "x" dan "y" didefinisikan sebagai nilai mutlak "x"  "y" dengan nilai mutlak "z" didefinisikan sebagai nilai terbesar "z" dan "z", sehingga ia tidak pernah negatif. Sehingga bilangan real didefinisikan sebagai barisan