0.999...
bilangan rasional yang mempunyasi sifat barisan Cauchy dengan menggunakan jarak ini, yakni barisan ("x", "x", "x",...). Dalam barisan ("x", "x", "x",...) yang merupakan pemetaan bilangan asli ke bilangan rasional ini, untuk bilangan rasional positif  apapun terdapat "N" sedemikian rupanya "x"  "x"   untuk semua "m", "n" > "N". (Jarak antara setiap suku menjadi lebih kecil dari bilangan rasional positif apapun.)
Jika ("x") dan ("y") adalah dua barisan Cauchy, keduanya didefinisikan sebagai bilangan real yang sama jika barisan ("x"  "y") mempunyai limit 0. Pemenggalan bilangan desimal "b"."b""b""b"... menghasilkan sebuah barisan bilangan rasional Cauchy; ini digunakan untuk mendefinisikan nilai real dari bilangan. Sehingga dalam formalisme ini, tugas kita adalah menunjukkan bahwa barisan bilangan rasional
Limit ini dapat dengan mudah dimengerti; satu pembuktian yang memungkinkan adalah dalam definisi limit barisan, untuk  = "a"/"b" > 0 kita dapat mengambil "N" = "b". Sehingga 0.999... = 1.
Definisi bilangan rasional sebagai barisan Cauchy pertama kali dipublikasi secara terpisah oleh dan Georg Cantor pada tahun 1872.
Hasil 0.999... = 1 dapat digeneralisasi ke dalam dua cara. Pertama-tama, setiap bilangan bukan nol dengan notasi desimal terhingga (atau dengan kata lain akhiran 0 takhingga) memiliki kembaran dengan akhiran 9 tak terhingga. Sebagai contoh, 0.24999... persis sama dengan 0.25. Bilangan-bilangan ini merupakan persis pecahan desimal yang sama dan bilangan-bilangan ini rapat.
Kedua, teorema yang terbandingkan dapat diterapkan pada setiap bilangan pokok (basis). Sebagai contoh, dalam basis 2 (sistem bilangan biner), 0.111... sama dengan 1, dan dalam basis 3 (sistem bilangan terner) 0.222... sama dengan 1. Buku-buku teks analisis real biasanya akan mengabaikan contoh 0.999... dan sebaliknya memberikan contoh-contoh generalisasi ini dari awalnya.
Representasi alternatif 1 juga terjadi pada sistem bilangan berbasis non-integer. Sebagai contoh, dalam basis nisbah keemasan, dua representasi standarnya adalah 1.000... and 0.101010.... Secara umum, untuk hampir semua "q" antara 1 dan 2, terdapat banyak ekspansi basis-"q" 1 yang tak terhitung banyaknya. Di sisi lain, terdapat tak terhingga banyaknya "q" (termasuk pula semua
bilangan asli lebih dari 1) yang mana hanya terdapat satu ekspansi 1 basis-"q" selain 1000.... Hasil ini pertama kali didapatkan oleh Paul Erds, Miklos Horváth, dan István Joó sekitar tahun 1990. Pada tahun 1998 Vilmos Komornik dan Paola Loreti berhasil menentukan basis terkecil yang memungkinkan, yakin tetapan Komornik-Loreti "q" = 1.787231650.... Dalam basis ini, 1 = 0.11010011001011010010110011010011...; digit ini didapatkan dari barisan Thue-Morse yang tidak berulang.
Generalisasi yang paling jauh mengalamatkan sistem bilangan posisional yang paling umum. Sistem-sistem ini juga mempunyai banyak representasi. Sebagai contoh: Marko Petkovek telah membuktikan bahwa ambiguitas ini merupakan konsekuensi yang perlu dalam penggunaan sistem posisional: untuk sistem penamaan semua bilangan real apapun, himpunan bilangan real dengan representasi berganda selalu rapat.
Satu aplikasi 0.999... sebagai representasi 1 dapat terlihat pada teori bilangan dasar. Pada tahun 1802, H. Goodwin mempublikasikan sebuah pengamatan kemunculan 9 dalam representasi desimal berulang pecahan yang penyebutnya merupakan bilangan prima tertentu. Sebagai contoh: E. Midy membuktikan hasil umum dari pecahan tersebut tahun 1836, dan sekarang disebut sebagai "". Publikasi awalnya
tidak ditulis dengan jelas, dan tidakklah jelas apakah pembuktiannya melibatkan 0.999..., namun paling tidak pembuktian modern W. G. Leavitt ada melibatkannya. Jika seseorang dapat membuktikan sebuah bilangan desimal dalam bentuk 0,"b""b""b"... adalah sebuah bilangan bulat positif, maka itu haruslah 0.999..., yang merupakan sumber 9 dalam teorema itu. Investigasi
lebih lanjut dengan arah seperti ini dapat menghasilkan konsep pembagi persekutuan terbesar, aritmetik modular, bilangan prima Fermat, dan timbal balik kuadratik. Kembali ke analisis real, analog basis 3 0.222... = 1 memainkan peran penting dalam karakterisasi himpunan Cantor:
Digit ke-"n" representasi tersebut mencerminkan posisi titik tersebut pada tahap ke-"n" konstruksi. Sebagai contoh, titik 2 mempunyai representasi 0.2 atau 0.2000..., karena ia terletak di sebelah penghapusan pertama dan di sebelah pada setiap penghapusan selanjutnya. Titik  direpresentasikan tidak sebagai 0.1, namun sebagai 0.0222..., karena ia berada di sebelah penghapusan pertama dan di sebelah pada setiap penghapusan selanjutnya.
Sembilan berulang juga terdapat dalam hasil kerja Georg Cantor lainnya. Sembilan berulang ini harus dilibatkan dalam konstruksi pembuktian absah ketaktercacahan interval satuan dengan menerapkan argumen diagonal Cantor ke ekspansi desimal. Pembuktian seperti ini perlulah dapat menentukan pasangan bilangan real tertentu sebagai bilangan yang berbeda berdasarkan ekspansi desimalnya. Sehingga kita perlu menghindari
pasangan seperti 0.2 dan 0.1999.... Varian yang mungkin lebih dekat dengan argumen Cantor awal sebenarnya menggunakan basis 2, dan dengan mengubah ekspansi basis 3 menjadi ekspansi basis 2, seseorang juga dapat membuktikan ketaktercacahan himpunan Cantor.
Para siswa matematika sering menolak persamaan 0.999... dengan 1 oleh karena berbagai alasan, mulai dari penampilan kedua angka yang berbeda sampai dengan ketidakpercayaan terhadap konsep limit dan ketidaksetujuan terhadap sifat-sifat infinitesimal. Terdapat banyak faktor yang berkontribusi pada kebingungan ini: Pemikiran-pemikiran ini merupakan pemikiran yang salah dalam konteks bilangan real standar, walaupun mungkin beberapa pemikiran ini absah dalam sistem bilangan yang lainnya.
Kebanyakan penjelasan-penjelasan ini ditemukan oleh Profesor David Tall yang mempelajari karakteristik pengajaran dan pengenalan yang menyebabkan beberapa kesalahpahaman yang dia temui pada murid-murid universitasnya. Setelah menanyai murid-muridnya untuk mengetahui mengapa mayoritas besar pada awalnya menolak persamaan ini, ia menemukan bahwa "siswa terus
membayangkan 0.999... sebagai sebuah barisan bilangan yang semakin mendekati 1 dan bukanlah nilai yang pasti, karena 'anda belum menentukan seberapa banyak tempat desimal yang ada' atau 'ia merupakan bilangan desimal yang memungkinkan yang paling dekat dengan 1'".
Dengan pembuktian dasar perkalian 0.333... =  dengan 3 sepertinya merupakan stategi yang sukses dalam meyakinkan siswa yang ragu-ragu bahwa 0.999... = 1. Namun, ketika dihadapkan dengan konflik antara kepercayaan mereka terhadap persamaan pertama dan ketidakpercayaan terhadap persamaan kedua, beberapa siswa mulai tidak mempercayai persamaan pertama atau menjadi
frustasi. Metode yang lebih canggih dan rumit juga tidak membantu, siswa yang secara penuh dapat menerapkan definisi cermat masih mungkin terperangkap ke dalam intuisi mereka ketika dikejutkan oleh hasil pembuktian matematika lanjutan. Sebagai contoh, seorang siswa analisis real mampu membuktikan 0.333... =  menggunakan definisi supremum, namun tetap bersikeras
bahwa 0.999...  1 didasari oleh pemahaman pembagian panjangnya. Yang lainnya dapat membuktikan  = 0.333..., namun ketika disodorkan pembuktian pecahan, mereka bersikeras bahwa "logika" melebihi perhitungan matematika.
Dengan berkembangnya internet, debat mengenai 0.999... telah keluar dari ruangan kelas dan merupakan hal yang umum terlihat dalam "newsgroup" dan forum internet, termasuk pula banyak yang sebenarnya tidak berhubungan dengan matematika. Dalam "newsgroup" sci.math, perdebatan mengenai 0.999... merupakan "olahraga yang populer", dan ia merupakan salah satu pertanyaan yang dijawab dalam
"FAQ" situs tersebut. Bagian "FAQ" secara singkat mencakup pembuktian menggunakan , perkalian dengan 10, dan limit, serta juga menyinggung barisan Cauchy.