0.999...
Kolom surat kabar "The Straight Dope" edisi 2003 mendiskusikan 0.999... via  dan limit, dan mengenai miskonspesi ini berkata,
The lower primate in us still resists, saying:.999 doesn't really represent a "number", then, but a "process". To find a number we have to halt the process, at which point the.999 = 1 thing falls apart.
Hewan primata yang lebih rendah di antara kita masih saja menolak, mengatakan,999 tidaklah benar-benar mewakili sebuah "bilangan", namun "proses". Untuk menemukan sebuah bilangan kita harus menghentikan proses tersebut, pada titik mana 0.999 = 1 proses ini runtuh.
Omong kosong. Permasalahan 0.999... juga tampaknya merupakan topik yang populer dalam tujuh tahun pertama forum Battle.net Blizzard Entertainment, sehingga perusahaan tersebut mengeluarkan sebuah "siaran pers" pada April Mop tahun 2004 bahwa 0.999... adalah 1:
We are very excited to close the book on this subject once and for all. We've witnessed the heartache and concern over whether.999 does or does not equal 1, and we're proud that the following proof finally and conclusively addresses the issue for our customers.
Kami sangat senang mengakhiri subjek diskusi ini untuk selamanya. Kami telah menyaksikan kepiluan dan kepedulian terhadap masalah apakah,999 iya atau tidak sama dengan 1, dan kami bangga bahwa pembuktian berikut akhirnya dan secara konklusif mengalamatkan isu ini untuk para pelanggan kami. Dua pembuktian kemudian diberikan, didasarkan pada limit dan perkalian dengan 10.
Walaupun sistem bilangan real membentuk sebuah sistem bilangan yang sangat berguna, keputusan untuk menginterpretasikan frasa "0.999..." sebagai penamaan sebuah bilangan real pada akhirnya merupakan sebuah konvensi, dan Timothy Gowers berargumen dalam "Mathematics: A Very Short Introduction" bahwa identitas 0.999... = 1 itu sendiri juga merupakan sebuah konvensi:
However, it is by no means an arbitrary convention, because not adopting it forces one either to invent strange new objects or to abandon some of the familiar rules of arithmetic. Namun, ia bukanlah konvensi yang sembarangan, karena dengan tidak mengadopsinya, akan memaksa seseorang untuk menciptakan sesuatu yang baru ataupun meninggalkan beberapa kaidah aritmetika yang telah kita kenali. Seseorang dapat menentukan sistem bilangan lainnya yang menggunakan aturan yang
berbeda; dalam sistem bilangan seperti ini, pembuktian di atas perlu diinterpretasi ulang, dan seseorang mungkin akan menemukan bahwa, dalam sistem bilangan ini, 0.999... dan 1 bisa tidak identik. Namun, kebanyakan sistem bilangan merupakan perluasan dari sistem bilangan real, dan bukannya sistem bilangan alternatif yang berdiri sendiri, sehingga 0.999... = 1 tetap berlaku. Walaupun begitu, adalah penting
untuk mengkaji sistem bilangan alternatif, bukan hanya bagaimana kelakuan 0.999..., namun juga kelakukan fenomena-fenomena terkait. Jika fenomena tersebut berbeda dari yang ada dalam sistem bilangan real, maka paling tidak satu asumsi yang dibangun ke dalam sistem itu haruslah telah patah/runtuh.
Beberapa pembuktian 0.999... = 1 bergantung pada sifat-sifat Archimedes bilangan real standar, yakni tidaklah ada bilangan kecil tak hingga (infinitesimal) bukan nol. Terdapat struktur aljabar yang tidak mengikuti sifat Archimedes, meliputi berbagai alternatif real standar. Arti 0.999... bergantung pada struktur mana yang kita gunakan. Sebagai contoh, bilangan dual memasukkan sebuah unsur kecil tak terhingga baru
, yang beranalogi dengan satuan imajiner "i" dalam bilangan kompleks, kecuali bahwa 2 = 0. Struktur ini sangat berguna dalam diferensiasi automatik. Bilangan dual dapat diberikan urutan leksikografis, sehingga perkalian  menjadi unsur non-Archimedes. Namun, sebagai perluasan bilangan real, bilangan dual masih memiliki identitas 0.999...=1. Selain itu, manakala  terdapat dalam bilangan dual, begitu
pula dengan /2, sehingga  bukanlah "bilangan dual positif paling kecil yang memungkinkan". Dalam bilangan real, tidak terdapat bilangan seperti itu.
Analisis nonstandar dapat memberikan kita suatu sistem bilangan dengan susunan penuh infinitesimal (dan balikannya). A.H. Lightstone mengembangkan ekspansi desimal non standar untuk bilangan real dalam (0, 1). Lightstone menunjukkan bagaimana kita dapat mengasosiasikan tiap-tiap bilangan real yang diperluas ke sebuah barisan digit yang diindeks menggunakan bilangan asli yang diperluas. Walaupun ia tidak secara langsung
mendiskusikan bilangan 0.999..., ia menunjukkan bahwa bilangan real 1/3 diwakili oleh 0.333...;...333..., yang merupakan konsekuensi dari prinsip transfer. Dengan mengalikannya dengan 3, kita mendapatkan fakta bahwa hal ini juga berlaku bagi ekspansi desimal dengan 9 berulang. Lightstone menunjukkan bahwa dalam sistem in, ekspresi "0.333...;...000..." dan "0.999...;...000..." tidak memiliki padanan ke bilangan apapun.
Ketika ditanyakan mengenai 0.999..., para pemula sering kali percaya bahwa bilangan ini haruslah memiliki angka "9 paling akhir" dan percaya bahwa 1  0.999... adalah bilangan positif yang dapat ditulis sebagai "0.000...1". Tak peduli apakah hal ini masuk akal, alasan dari pemikiran ini adalah sangat jelas: dengan menambahkan angka "1" pada digit "9" terakhir pada 0.999... akan membuat
semua "9" menjadi "0" dan menghasilkan nilai 1. Namun pemikiran ini tidak dapat diterapkan karena ketiadaan angka "9 terakhir" pada bilangan 0.999... Walaupun demikian, terdapat suatu sistem bilangan alternatif yang mengandung barisan angka 9 tak terhingga namun memiliki angka 9 yang terakhir.
Bilangan "p"-adic adalah sistem bilangan alternatif dalam teori bilangan. Seperti bilangan real pada umumnya, bilangan "p"-adic dapat dibangun dari bilangan rasional melalui barisan Cauchy. Konstruksi ini memiliki sistem yang berbeda, yakni 0 lebih dekat dengan "p", dan lebih dekat lagi dengan "p", daripada dengan 1. Bilangan "p"-adic membentuk medan untuk "p" prima dan cincin untuk "p" lainnya.
Dalam bilangan 10-adic, analogi untuk ekspansi desimalnya berjalan ke arah. Ekspansi bilangan 10-adic...999 memiliki angka 9 terakhir dan tidak memiliki angka 9 paling awal. Seseorang dapat menambahkan angka 1 pada posisi 9 terakhir, dan ia akan menyebabkan bilangan ini menjadi berangka 0 sampai tak terhingga: 1 +...999 =...000 = 0, sehingga...999 = 1. Kita juga dapat menurunkannya menggunakan
deret geometri. Deret tak terhingga yang diimplikasikan oleh "...999" tidak berkonvergen ke bilangan real manapun, namun ia berkonvergen kepada bilangan 10-adic, sehingga kita dapat menggunakan rumus:
Oleh karena 0.999... = 1 (dalam sistem bilangan real) dan...999 = 1 (dalam bilangan 10-adic), maka berdasarkan "keyakinan buta dan penyulapan simbol-simbol" seseorang dapat menambahkan kedua persamaan tersebut dan berakhir pada...999.999... = 0. Persamaan ini tidak masuk akal baik sebagai ekspansi 10-adic maupun sebagai ekspansi desimal yang biasa. Namun ini akan menjadi sangat bermakna dan betul apabila kita mengembangkan "teori desimal ganda".