Aljabar linear
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka k A = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau-A adalah matriks yang diperoleh dari A
dengan cara mengalikan semua elemennya dengan-1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks:
a.) A + B = B + A b.) A + (B + C) = (A + B) + C c.) k (A + B) = + kB = (A + B) k, k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j +... + aip bpj
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh:
[ 1 0 0 0  5 0 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 00 dan -5 dan 00 dan 0 dan 1endbmatrix
[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 0 dan 00 dan 1 dan 0 dan 00 dan 0 dan 1 dan 00 dan 0 dan 0 dan 1endbmatrix
[ d 1 0  0 0 d 2  0    0 0  d n ] displaystyle beginbmatrixd_1 dan 0 dan cdots dan 00 dan d_2 dan cdots dan 0vdots dan vdots dan dan vdots 0 dan 0 dan cdots dan d_nendbmatrix
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut: D  1 displaystyle D-1 = [ 1/d 1 0  0 0 1/d 2  0    0 0  1/d n ] displaystyle beginbmatrix1/d_1 dan 0 dan cdots dan 00 dan 1/d_2 dan cdots dan 0vdots dan vdots dan dan vdots 0 dan 0 dan cdots dan 1/d_nendbmatrix
D k displaystyle Dk = [ d 1 k 0  0 0 d 2 k  0    0 0  d n k ] displaystyle beginbmatrixd_1k dan 0 dan cdots dan 00 dan d_2k dan cdots dan 0vdots dan vdots dan dan vdots 0 dan 0 dan cdots dan d_nkendbmatrix
Contoh: A= [ 1 0 0 0  3 0 0 0 2 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 00 dan -3 dan 00 dan 0 dan 2endbmatrix
maka A 5 displaystyle A5 = [ 1 0 0 0  243 0 0 0 32 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 0 dan 00 dan -243 dan 00 dan 0 dan 32endbmatrix
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di bawah garis diagonal utama nol.
[ a 11 a 12 a 13 a 14 0 a 22 a 23 a 24 0 0 a 33 a 34 0 0 0 a 44 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan a_12 dan a_13 dan a_140 dan a_22 dan a_23 dan a_240 dan 0 dan a_33 dan a_340 dan 0 dan 0 dan a_44endbmatrix
[ a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a 41 a 42 a 43 a 44 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan 0 dan 0 dan 0a_21 dan a_22 dan 0 dan 0a_31 dan a_32 dan a_33 dan 0a_41 dan a_42 dan a_43 dan a_44endbmatrix
Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah. Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol. Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Matriks segitiga yang bisa di invers A = [ 1 3  1 0 2 4 0 0 5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 3 dan -10 dan 2 dan 40 dan 0 dan 5endbmatrix
Inversnya adalah A  1 displaystyle A-1 = [ 1  3/2 7/5 0 1/2  2/5 0 0 1/5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan -3/2 dan 7/50 dan 1/2 dan -2/50 dan 0 dan 1/5endbmatrix
B = [ 3  2 2 0 0  1 0 0 1 ] displaystyle beginbmatrix3 dan -2 dan 20 dan 0 dan -10 dan 0 dan 1endbmatrix
Contoh matriks simetris [ 7  3  3 5 ] displaystyle beginbmatrix7 dan -3-3 dan 5endbmatrix
[ 1 4 5 4  3 0 5 0 7 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 4 dan 54 dan -3 dan 05 dan 0 dan 7endbmatrix
Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
A T displaystyle AT adalah simetris A + B dan A- B adalah simetris k A adalah simetris (A B) T = B T A T = B A displaystyle (AB)T=BTAT=BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka A  1 displaystyle A-1 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = A T displaystyle A=AT maka:
(A A T) T = (A T) T A T = A A T displaystyle (AAT)T=(AT)TAT=AAT dan (A T A) T = A T (A T) T = A T A displaystyle (ATA)T=AT(AT)T=ATA
A adalah matriks 2 X 3 A = [ 1  2 4 3 0  5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan -2 dan 43 dan 0 dan -5endbmatrix
lalu A T A displaystyle ATA = [ 1 3  2 0 4  5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 3-2 dan 04 dan -5endbmatrix [ 1  2 4 3 0  5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan -2 dan 43 dan 0 dan -5endbmatrix = [ 10  2 11  2 4  8  11  8 41 ] displaystyle beginbmatrix10 dan -2 dan 11-2 dan 4 dan -8-11 dan -8 dan 41endbmatrix
A A T displaystyle AAT = [ 1  2 4 3 0  5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan -2 dan 43 dan 0 dan -5endbmatrix [ 1 3  2 0 4  5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 3-2 dan 04 dan -5endbmatrix = [ 21  17  17 34 ] displaystyle beginbmatrix21 dan -17-17 dan 34endbmatrix
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka A A T displaystyle AAT dan A T A displaystyle ATA juga bisa di inverse
Yang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
A = [ 2  5 1  1 3 3 5 4 8 ] displaystyle beginbmatrix2 dan -5 dan 1-1 dan 3 dan 35 dan 4 dan 8endbmatrix ditranspose menjadi AT = [ 2  1 5  5 3 4 1 3 8 ] displaystyle beginbmatrix2 dan -1 dan 5-5 dan 3 dan 41 dan 3 dan 8endbmatrix
B = [ 1 3 5 7 9 5 7 4 4 1 5 3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 3 dan 5 dan 79 dan 5 dan 7 dan 44 dan 1 dan 5 dan 3endbmatrix ditranspose menjadi BT = [ 1 9 4 3 5 1 5 7 5 7 4 3 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 9 dan 43 dan 5 dan 15 dan 7 dan 57 dan 4 dan 3endbmatrix
1. ((A) T) T = A displaystyle ((A)T)T=A 2. (A + B) T = A T + B T displaystyle (A+B)T=AT+BT dan (A  B) T = A T  B T displaystyle (A-B)T=AT-BT 3. (k A) T = k A T displaystyle ()T= T dimana k adalah skalar 4. (A B) T = B T A T displaystyle (AB)T=BTAT
A = [ a b c d ] displaystyle beginbmatrixa dan bc dan dendbmatrix tentukan determinan A
det (A) = [ 1 2 4 5 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 24 dan 5endbmatrix = 1x5- 4x2 =-3
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan a_12 dan a_13a_21 dan a_22 dan a_23a_31 dan a_32 dan a_33endbmatrix tentukan determinan A
M11 = [ a 22 a 23 a 32 a 33 ] displaystyle beginbmatrixa_22 dan a_23a_32 dan a_33endbmatrix = detM = a22a33- a23a32
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau- maka kita bisa melihat matriks di bawah ini
[ +  +  +   +  +   +  +  +   +  +        ] displaystyle beginbmatrix+ dan - dan + dan - dan + dan cdots - dan + dan - dan + dan - dan cdots + dan - dan + dan - dan + dan cdots - dan + dan - dan + dan - dan cdots vdots dan vdots dan vdots dan vdots dan vdots dan endbmatrix
M32 = [ a 11 a 13 a 21 a 23 ] displaystyle beginbmatrixa_11 dan a_13a_21 dan a_23endbmatrix = detM = a11a23- a13a21
A = [ 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ] displaystyle beginbmatrix1 dan 2 dan 34 dan 5 dan 43 dan 2 dan 1endbmatrix tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktor
c11 = (-1) 1+1 [ 5 4 2 1 ] displaystyle beginbmatrix5 dan 42 dan 1endbmatrix = 1 (-3) =-3 c12 = (-1) 1+2 [ 4 4 3 1 ] displaystyle beginbmatrix4 dan 43 dan 1endbmatrix =-1 (-8) = 8 c13 = (-1) 1+3 [ 4 5 3 2 ] displaystyle beginbmatrix4 dan 53 dan 2endbmatrix = 1 (-7) =-7