Aljabar
Aljabar (dari bahasa arab ""al-jabr"" yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak") adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini; aljabar adalah benang pemersatu dari
hampir semua bidang matematika. Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika,
ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.
Aljabar elementer berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam formula_1 huruf formula_2 tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: formula_3. Dalam, huruf formula_4 dan formula_5
adalah variabel, dan huruf formula_6 adalah konstanta, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.
Kata "aljabar" juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.
Kata "aljabar" berasal dari bahasa arab ("al-jabr" secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku "Ilm al-jabr wa'l-mubala" karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyol, italia, atau Pertengahan Latin.
Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad keenam belas.
Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat formula_8 bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa formula_9 tidak dapat bernilai formula_10), dan rumus kuadrat dapat digunakan
untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas formula_2 yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.
Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu
kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri. Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan medan.
Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmetika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kalkulus infinitesimal sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam
bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.
Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam Klasifikasi Subjek Matematika dimana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut "aljabar". Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-aljabar komutatif, 15-aljabar linear dan multilinear; teori matriks,
16-aljabar asosiatif, 17-aljabar tak-asosiatif, 18-teori kategori; aljabar homologis, 19-teori-K, dan 20-teori grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-teori bilangan dan 14-geometri aljabar.
Akar aljabar dapat ditelusuri hingga bangsa Babilonia kuno, yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut, yang dengannya mereka dapat melakukan perhitungan menurut gaya algoritme. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanya diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat, dan persamaan taktentu. Sebaliknya, sebagian besar orang Mesir
era ini, serta Yunani dan Tiongkok pada milenium 1 SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam "Papirus Matematika Rhind", "Elemen Euklides", dan "Sembilan Bab mengenai Seni Matematika". Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam "Elemen", menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem
yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya Matematika Islam abad pertengahan.
Pada zaman Plato, matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, dimana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka. Diofantus (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari Iskandariyah dan penulis serangkaian buku yang disebut
"Arithmetica". Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian persamaan aljabar, dan telah menuntun pada hadirnya persamaan Diofantin dalam teori bilangan.
Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan Persia, Muammad ibn Ms al-Khwrizm (kira-kira 780-850). Dia kemudian menulis "Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan", yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada geometri dan aritmetika.
Matematikawan periode Hellenistik, Heron dari Iskandariyah dan Diofantus, juga Matematikawan India seperti Brahmagupta meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun "Arithmetica"-nya Diophantus dan "Brhmasphuasiddhnta"-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi. Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk
persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya "Brahmasphutasiddhanta". Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia seringkali menggunakan metode "ad hoc" istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih
Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, bilangan negatif, atau nol, dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.
Di dalam konteks dimana aljabar diidentifikasi dengan teori persamaan, Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin "al-jabr", layak menyandang gelar itu. Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa