Teorema Taylor
Dalam kalkulus, teorema Taylor menyatakan bahwa suatu fungsi yang terdiferensiasi dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat atau suku banyak (polinomial). Koefisien polinomial tersebut hanya tergantung pada turunan fungsi pada titik yang bersangkutan. Lebih lanjut, teorema ini juga memberikan estimasi nilai galat dari seberapa banyaknya barisan dalam
deret yang digunakan. Teorema ini mendapat nama dari matematikawan Brook Taylor, yang menyatakannya pada tahun 1712, meskipun hasilnya sudah ditemukan pertama kali tahun 1671 oleh James Gregory.
Teorema Taylor menyatakan setiap fungsi mulus dapat dihampiri dengan polinomial. Contoh sederhana penerapan teorema Taylor adalah hampiran fungsi eksponensial "e" di dekat "x" = 0:
Hampiran ini dinamakan hampiran Taylor orde ke-"n terhadap "e" karena menghampiri nilai fungsi eksponensial menggunakan polinomial derajat "n". Hampiran ini hanya berlaku untuk "x" mendekati nol, dan bila "x" bergerak menjauhi nol, hampiran ini menjadi semakin buruk. Kualitas hampiran dinyatakan oleh suku sisa"':
Lebih umum lagi, teorema Taylor berlaku untuk setiap fungsi yang dapat diturunkan , dengan hampiran untuk "x" di dekat titik "a", dalam bentuk:
Meskipun rumus eksplisit untuk suku sisa ini jarang digunakan, teorema Taylor juga memberikan estimasi nilai sisanya. Dengan kata lain, untuk "x" cukup dekat terhadap "a", suku sisa haruslah cukup "kecil". Teorema Taylor memberikan informasi persis seberapa kecil suku sisa tersebut.
Pernyataan cermat teorema ini adalah sebagai berikut: bila "n"  0 adalah bilangan bulat dan "f" adalah fungsi yang terturunkan kontinu pada selang tertutup ["a", "x"] dan terturunkan kali pada selang terbuka ("a", "x"), maka
Di sini "n"! melambangkan "n" faktorial dan "R"("x") adalah suku sisa, melambangkan beda antara polinomial Taylor derajat-"n" terhadap fungsi asli. Suku sisa "R"("x") tergantung pada "x", dan kecil bila "x" cukup dekat terhadap "a". Ada beberapa pernyataan untuk suku sisa ini.
Bentuk Lagrange dari suku sisa menyatakan bahwa terdapat bilangan  antara "a" dan "x" sedemikian sehingga
Ini mengungkapkan teorema Taylor sebagai perampatan teorema nilai rata-rata. Sebenarnya, teorema nilai rata-rata digunakan untuk membuktikan teorema Taylor dengan suku sisa bentuk Lagrange.
Secara umum, bila "G"("t") adalah fungsi kontinu pada selang tertutup ["a","x"], yang terturunkan dengan turunan tidak nol pada ("a","x"), maka ada suatu bilangan  antara "a" dan "x" sehingga
Bentuk di atas terbatas pada fungsi riil. Namun bentuk integral dari suku sisa juga berlaku untuk fungsi kompleks, yaitu:
dengan syarat, seperti yang biasa ditemui, "f" kontinu mutlak dalam. Ini menunjukkan teorema ini sebagai perampatan teorema dasar kalkulus.
Secara umum, suatu fungsi tidak perlu sama dengan deret Taylor-nya, karena mungkin saja deret Taylor tersebut tidak konvergen, atau konvergen menuju fungsi yang "berbeda". Namun, untuk banyak fungsi "f"("x"), kita dapat menunjukkan bahwa suku sisa "R" mendekati nol saat "n" mendekati . Fungsi-fungsi tersebut dapat dinyatakan sebagai deret Taylor pada persekitaran titik "a", dan disebut sebagai fungsi analitik.
Versi umum teorema Taylor lainnya berlaku pada selang tempat variabel "x" mengambil nilainya. Perumusan teorema ini memiliki keuntungan bahwa mungkin mengendalikan ukuran suku-suku sisa, dan dengan demikian kita dapat menghitung hampiran fungsi yang sahih pada seluruh selang, dengan batas yang cermat untuk mutu hampirannya.
Versi yang cermat untuk teorema Taylor dalam bentuk ini adalah sebagai berikut. Misalkan  adalah fungsi yang terturunkan kontinu "n" kali pada selang tertutup dan terturunkan kali pada selang terbuka Bila ada konstanta positif riil "M" sedemikian sehingga  ("x")  "M" untuk semua "x"  maka
untuk semua "x"  Ini disebut sebagai estimasi seragam galat pada polinomial Taylor yang terpusat pada "a", karena ini berlaku seragam untuk setiap "x" dalam selang.
Bila  adalah fungsi mulus pada maka konstanta positif "M" ada untuk tiap"n" = 1, 2, 3,... sedemikian sehingga  ("x")  "M" untuk semua "x"  Tambahan lagi, jika mungkin memilih konstanta ini, sehingga
maka  adalah fungsi analitik pada Secara khusus, suku sisa pada hampiran Taylor, "R"("x") cenderung menuju nol secara seragam saat "n". Dengan kata lain, fungsi analitik adalah limit seragam dari polinomial Taylornya pada sebuah selang.
Persamaan pertama diperoleh dengan memisalkan formula_17 dan persamaan kedua didapatkan dengan mencatat bahwa formula_18; yang ketiga didapatkan dengan mengeluarkan faktor yang sama.
Proses ini dapat diformalkan dengan menerapkan teknik induksi matematika. Jadi misalkan teorema Taylor berlaku unutk "n" tertentu, yaitu, misalkan
Kita dapat menulis ulang integral dengan integrasi parsial. Sebuah antiturunan sebagai fungsi dari "t" diberikan sebagai sehingga
Mensubstitusikan ini dalam (*) membuktikan teorema Taylor untuk dan karenanya untuk semua "n" bilangan bulat non-negatif.
Suku sisa dalam bentuk Lagrange dapat diturunkan dengan teorema nilai rata-rata untuk integral dengan cara berikut:
dimana "" adalah suatu bilangan dari selang ["a", "x"]. Integral terakhir dapat dievaluasi langsung, yang menghasilkan
Secara lebih umum, untuk tiap fungsi "G"("t"), teorema nilai rata-rata menjamin eksistensi "" dalam selang ["a","x"] yang memenuhi