Teori grup
Silakan melihat Glosari Teori Grup untuk melihat berbagai definisi yang digunakan dalam Teori Grup. Lihat pula Daftar topik Teori Grup.
Ada tiga akar sejarah teori grup: teori persamaaan aljabar, teori bilangan dan geometri. Euler, Gauss, Lagrange, Abel, dan Galois merupakan para peneliti awal dalam bidang teori grup. Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang mengaitkan teori grup dan teori medan, dengan teorinya yang sekarang disebut teori Galois.
Sumber pertama muncul dalam hal cara membuat suatu persamaan tingkat ke-m yang memiliki akar m seperti akar dari suatu persamaan tingkat ke-n (mHudde"(1659). "Saunderson"(1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari peernyataan bikuadratik biasanya menghasilkan suatu persamaan sektik, dan "Le Soeur" (1748) dan "Waring" (1762 sampai 1782) masih menganalisi data lebih lanjut.
Fondasi umum yang digunakan dalam teori persamaan dasar dari "permutasi grup" ditemukan oleh "Lagrange"(1770, 1771), dan berhasil merumuskan teori substitusi. Lagrange menemukan bahwa akan dari seluruh resolvent yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan yang bersangkutan. Untuk mempelajari sifat-sifat dari fungsi-fungsi ini, Lagrange mengusulkan
suatu Calcul des Combinaisons. Hasil kerja dari "Vandermonde" (1770) juga turut mewarnai teori-teori berikutnya. Ruffini (1799) berusaha membuktikan kemungkinan untuk menyelesaikan persamaan quintic dan persamaan lain dengan tingkat lebih tinggi.
"Ruffini" (1799) membedakan intransitif dan "transitif", dan grup "imprimitif" dan primitif, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan yang disebut l'assieme della permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari "Abbati" untuk dirinya sendiri, yang di dalamnya berisi tentang ide tentang grup.
"Galois" menemukan bahwa jika r_1, r_2, Idots r_n merupakan akar-akar n dari suatu persamaan, maka selalu ada suatu grup permutasi dari r yang (1) setiap fungsi akar yang bersifat invariabel dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan (2), kebalikannya, setiap fungsi akar yang dapat ditentukan secara rasioanl bersifat invarian dalam proses
substitusi grup. Galois juga merumuskan teori "persamaan modular" dan "fungsi eliptik". Punlikasi pertama Galois dalam bidang teori grup diluncurkan saat usianya mencapai 18 tahun (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi paper-paper koleksinya pada tahun 1846 (Liouville, Vol. XI).
"Arthur Cayley" dan "Augustin Louis Cauchy" merupakan orang-oarang pertama yang menghargai pentingnya teori itu, yang selanjutnya secara khusu berhubungan dengan teori-teori penting yang lain. Materi ini turut dipopulerkan oleh "Serret", yang merelakan bagian VI dari aljabarnya untuk teori itu; oleh "Camille Jordan", yang Traité des Substitutions bersifat klasik; dan kepada
"Netto" (1882), yang kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Ahli-ahli teori grup yang lain dari "abad ke-19" adalah "Bertrand", "Charles Hermite", "Frobenius", "Leopold Kronecker", dan "Mathieu".
Pembahasan mengenai "grup Lie", dan "subgrup diskrit", sebagai "grup transformasi", mulai secara sistematis pada tahun 1884 oleh "Sophus Lie"; diikuti oleh "Killing", "Study", "Schur", dan "Maurer". Teori diskontinu ("grup diskrit") dicetuskan oleh "Felix Klein", Lie, "Poincaré", and "Charles Emile Picard", dihubungkan dengan "bentuk modular" dan "monodromi".
Ahli matematika lainnya yang turut berkecimpung dalam masalah ini adalah "Emil Artin", "Emmy Noether", "Sylow" dan masih banyak lagi.
Grup digunakan dalam dunia matematika dan ilmu pengetahuan alam, di antaranya untuk menemukan simetri internal dari struktur lain, dalam bentuk grup automorfis. Sebuah simetri internal dari suatu struktur biasanya diasosiasikan dengan satu sifat invarian, dan berbagai macam transformasi yang mengubah sifat invarian ini, bersama dengan oprasi komposisi suatu transformasi, dari sebuah grup yang disebut grup simetri.
Dalam teori Galois, yang merupakan origin sejarah konsep grup, seseorang menggunakan grup untuk menggambarkan simetri persamaan yang diselesaikan dengan suatu persamaan polinom. Grup yang dapat diselesaikan dinamai seperti itu karena sifat-sifatnya yang tetap dalam teori ini.
Dalam topologi aljabar, grup digunkan untuk menggmabarkan sifat invarian dari ruang topologis (nama torsi subgrup dari suatu grup infinitif yang menunjukkan dalam medan). Disebut 'invarian' karena mereka didefinisikan melalui suatu cara yang mana mereka tidak berubah jika ruangnya dideformasi. Contohnya termasuk grup fundamental, grop homolog, dan grup co-homolog.
Konsep grup Lie (yang dinamai sesuai ahli matematika Sophus Lie) bersifat penting untuk mempelajari persamaan diferensial dan manifolds; teori ini menggambungkan analisi dan teori grup serta objek yang tepat untuk menggambarkan simetri dari struktur yang dianalisis. Analisis yang dilakukan pada suatu grup dengan cara tersebut dinamakan analisis harmonik.
Dalam kombinatorik, grup permutasi dan konsep pergerakan grup sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan satu set objek; lihat Burnside's lemma.
Pemahaman terhadap teori grup juga sangat penting dalam ilmu-ilmu fisik. Dalam kimia, grup digunakan untuk mengklasifikasikan struktur kristal, polihedra reguler, dan simetri molekul. Dalam fisika, grup bersifat penting karena dapat menggambarkan simetri yang bisasanya ada dalam fisika. Para ahli fisika sangat tertarik pada representasi grup, terutama grup Lie, karena representasinya sering kali membuka celah munculnya teori fisika baru.
Beberapa hasil dasar dalam teori grup elementer Butterfly lemma Teorema fundamental homomorfik Teorema Jordan-Hölder Teorema Krull-Schmidt Teorema Lagrange Teorema Sylow
Dalam aljabar abstrak, kita mendapatkan beberapa struktur yang mirip dengan suatu grup dengan melonggarkan beberapa aksioma yang diberikan di awal artikel ini.  Jika kita eliminasi persyaratan yang menyebutkan bahwa setiap unsur memiliki invers, maka kita akan mendapatkan sebuah monoid  Jika kita juga tidak melibatkan identitas, maka kita dapatkan suatu semigrup  Oleh karena itu, jika kita
melonggarkan persyaratan yang menyebutkan bahwa operasi bersifat asosiatif sementara masih mensyaratkan kemungkinan suatu divisi, maka kita dapatkan sebuah loop.  Jika kita juga mengabaikan identitas, maka kita dapatkan suatu quasigrup  Jika kita abaikan seluruh aksioma operasi biner, maka kita mendapatkan suatu magma
Grupoid, yang bersifat mirip dengan grup kecuali dalam hal komposisi "a"*"b" tidak perlu didefinisikan untuk semua "a" dan "b", muncul sebgai suatu studi dari berbagai macam simetri terkait, terutama dalam hal topologi dan analisis struktur. Groupoid merupakan bagian khusus kategori.
Grup Lie, grup aljabar, dan grup topologis merupakan contoh grup objek: struktur seperti grup yang menempati kategori selain kategori yang lumrah.
Grup Abelian membentuk prorotip untuk konsep suatu kategori Abelian, yang diaplikasikan dalam ruang vektor.