Kalkulus
limit "h" mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva  (x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi  (x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.
Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar "y" =  (x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi  ("x") ditulis sebagai ′("x") ataupun hanya ′.
Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila "y" = ""("t"), maka formula_10 mewakili turunan "y" terhadap "t". Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
Notasi Euler menggunakan operator diferensial "D" yang diterapkan pada fungsi "" untuk memberikan turunan pertamanya "Df". Apabila "y" = ""("x") adalah variabel terikat, maka sering kali "x" dilekatkan pada "D" untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel "x". Notasi Euler kemudian ditulis sebagai: Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah formula_13, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari ""Sum"" yang berarti penjumlahan).
secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik "", sumbu-x, dan garis vertikal "x" = "a" dan "x" = "b".
Pada notasi integral di atas: "a" adalah "batas bawah" dan "b" adalah "batas atas" yang menentukan domain pengintegralan, "" adalah integran yang akan dievaluasi terhadap "x" pada interval [a,b], dan "dx" adalah variabel pengintegralan. Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman
didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi "" pada interval tertutup ["a","b"]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval ["a","b"] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah "n"-1 titik "x", "x", "x"..., "x" antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan formula_16 tersebut kita sebut sebagai partisi ["a","b"], yang membagi ["a","b"] menjadi sejumlah "n" subinterval formula_17. Lebar subinterval pertama ["x","x"] kita nyatakan sebagai "x", demikian pula lebar subinterval ke-"i" kita nyatakan sebagai "x" = "x"- "x". Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval
ke-"i" tersebut kita memilih titik sembarang t. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar "x" dan tingginya berawal dari sumbu "x" sampai menyentuh titik ("t", ""("t")) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ""("t") "x" dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan "S" disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk "" pada interval ["a","b"]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi formula_19 mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.
Diberikan ""("x") sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup ["a","b"]. Kita katakan bahwa bilangan "I" adalah integral tertentu "" di sepanjang ["a","b"] dan bahwa "I" adalah limit dari penjumlahan Riemann formula_20 apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan  > 0 apapun terdapat sebuah bilangan  > 0 yang berkorespondensi
dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi formula_21 di sepanjang ["a","b"] dengan formula_22 dan pilihan "t" apapun pada ["x", "t"], kita dapatkan Secara matematis dapat ditulis:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah "n" subinterval yang sama, maka lebar "x" = ("b"-"a")/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.
Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu formula_26, yakni mencari luas daerah "A" di bawah kurva "y"="x" pada interval [0,"b"], "b">0, maka perhitungan integral tertentu formula_26 sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah formula_28
Pemilihan partisi ataupun titik "t" secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi "P" membagi-bagi interval [0,"b"] menjadi n subinterval yang berlebar sama "x" = ("b"- 0)/"n" = "b"/"n" dan titik "t"' yang dipilih adalah titik akhir setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:
Dalam praktiknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut. Apabila
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi "" adalah integral tak tentu ataupun primitif dari "" terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai: Ekspresi "F (x) + C" adalah antiderivatif umum "" dan "C" adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi formula_36, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk formula_38 adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:formula_39 adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang "C".
Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.
Jika sebuah fungsi "f" adalah kontinu pada interval ["a","b"] dan jika "F" adalah fungsi yang mana turunannya adalah "f" pada interval ("a","b"), maka
Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral formula_42, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.