รูปสี่เหลี่ยม

Question: เรขาคณิต มีทั้งหมดกี่รูป ?


ในเรขาคณิตแบบยูคลิด รูปสี่เหลี่ยม คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน (หรือขอบ) และมุมสี่มุม (หรือจุดยอด)
รูปสี่เหลี่ยมมีทั้งที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่าย (ไม่มีด้านที่ตัดกันเอง) และรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน (มีด้านที่ตัดกันเอง หรือเรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมไขว้) รูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายอาจเป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน (convex) หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า (concave) อย่างใดอย่างหนึ่ง
มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมอย่างง่ายรวมกันได้ 360 องศา ส่วนรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อน เนื่องจากมุมภายในที่ด้านตรงข้ามเป็นมุมกลับ ทำให้รวมกันได้ 720 องศา [1]
รูปสี่เหลี่ยมนูนทุกรูปสามารถปูเต็มปริภูมิโดยการหมุนรอบจุดกึ่งกลางที่ด้านของมัน 
การจำแนกชั้น

การจำแนกชั้นของรูปสี่เหลี่ยมสามารถแสดงได้ตามแผนภาพทางขวามือ รูปแบบที่ต่ำกว่าเป็นกรณีพิเศษของรูปแบบที่สูงกว่า คำว่า trapezium ในภาพเป็นชื่อแบบบริเตน (ชื่อแบบอเมริกันคือ trapezoid) คือรูปสี่เหลี่ยมคางหมูทั่วไป และ kite นอกจากจะหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวแล้ว ยังหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศรด้วย
รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มด้านขนาน
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านขนานกันสองคู่ เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามมีความยาวเท่ากัน หรือมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนด้วย
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือรูปสี่เหลี่ยมข้าวหลามตัด หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกันและมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน หรือเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมุมไม่ฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากันและมุมทั้งสี่ไม่เป็นมุมฉาก มีความหมายตรงข้ามกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก นั่นคือมุมเท่ากันทุกมุม เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าเส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรวมไปถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปสี่เหลี่ยมปรกติ หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากันและมุมทั้งสี่เป็นมุมฉาก เทียบเท่ากับเงื่อนไขว่าด้านตรงข้ามขนานกัน และ</u>เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งและตั้งฉากซึ่งกันและกัน และ</u>ด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมจะถือว่าเป็นจัตุรัสก็ต่อเมื่อถูกจัดว่าเป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวไม่เท่ากัน นั่นคือไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
รูปสี่เหลี่ยมนูน: กลุ่มอื่น ๆ
รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว คือรูปสี่เหลี่ยมซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ เป็นนัยว่าถ้าลากเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นแบ่งรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าวออกเป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายสองรูป จะได้ว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามเส้นทแยงมุมมีขนาดเท่ากัน และเส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน (สมบัติเหล่านี้อาจหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร ในบริบทของเทสเซลเลชัน แต่ในแนวคิดทั่วไปหมายถึงรูปสี่เหลี่ยมนูนอย่างเดียว)
รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก คือรูปสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน หมายรวมถึงรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว และรูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร
รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกันหนึ่งคู่
รูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน มีขนาดเท่ากัน เป็นนัยว่าด้านอื่นอีกสองด้านยาวเท่ากัน และเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน คำนิยามอื่นคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีแกนสมมาตรแบ่งครึ่งด้านคู่ขนานหนึ่งคู่
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดทั้งสี่อยู่บนรูปวงกลมแนบนอก รูปสี่เหลี่ยมจะเป็นวงกลมล้อมก็ต่อเมื่อมุมตรงข้ามรวมกันได้ 180 องศา
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่ด้านทั้งสี่สัมผัสกับรูปวงกลมแนบใน
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและสัมผัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่เป็นทั้งรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมและรูปสี่เหลี่ยมวงกลมสัมผัส
รูปสี่เหลี่ยมด้านไม่ขนาน หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมไม่ปรกติ คือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่มีด้านใดขนานกันเลย แต่บางกรณีบางด้านและบางมุมอาจมีขนาดเท่ากันก็ได้
รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ
รูปสี่เหลี่ยมหัวลูกศร คือรูปสี่เหลี่ยมเว้าที่แปลว่าพูดได้ซึ่งด้านที่อยู่ติดกันยาวเท่ากันสองคู่ สมบัติเหมือนรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว แต่มีมุมภายในมุมหนึ่งเป็นมุมกลับ
รูปสี่เหลี่ยมไขว้ หรือรูปสี่เหลี่ยมผีเสื้อ หรือรูปสี่เหลี่ยมหูกระต่าย คือรูปสี่เหลี่ยมซับซ้อนซึ่งมีด้านที่ตัดกันเอง
รูปสี่เหลี่ยมเบ้ คือรูปสี่เหลี่ยมที่จุดยอดไม่อยู่บนระนาบสองมิติ สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างหน้าบนขอบ และมุมระหว่างขอบที่อยู่ติดกัน ได้รับทอดมาจากการศึกษาสมบัติของโมเลกุลเช่นไซโคลบิวเทน ซึ่งมีวงแหวนที่ประกอบด้วยอะตอมสี่ตัวร่นเข้าหากันอย่าเชื่อพิกิมีเดียมากนะคะเพราะมันสามารถเปลี่นเนื้อหาของเราได้ค่ะ ด้วยความหวังดีนะคะ [2]
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูน
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนูนทั่วไปสามารถคำนวณได้หลายสูตรดังต่อไปนี้
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD สามารถคำนวณโดยใช้เวกเตอร์ กำหนดให้เวกเตอร์ AC และเวกเตอร์ BD เป็นเส้นทแยงมุมจาก A ไปยัง C และจาก B ไปยัง D ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ




A
r
e
a
=


1
2



|


A
C

×

B
D


|



{\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|{AC}\times {BD}|}


ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AC กับเวกเตอร์ BD ถ้าเขียนแทนเวกเตอร์เหล่านี้ด้วยเวกเตอร์ลอยตัวในปริภูมิสองมิติแบบยูคลิด นั่นคือเวกเตอร์ AC เขียนเป็น 



(

x

1


,

y

1


)


{\displaystyle (x_{1},y_{1})}

 และเวกเตอร์ BD เขียนเป็น 



(

x

2


,

y

2


)


{\displaystyle (x_{2},y_{2})}

 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมนี้คือ




A
r
e
a
=


1
2



|


x

1



y

2


−

x

2



y

1



|



{\displaystyle Area={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}


พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมก็ยังสามารถเขียนด้วยพจน์ตรีโกณมิติได้เป็น [3]




A
r
e
a
=


1
2


p
q
⋅
sin
⁡
θ


{\displaystyle Area={\frac {1}{2}}pq\cdot \sin \theta }


เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุมและ θ คือมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกัน (มุมใดก็ได้เมื่อผ่านฟังก์ชันไซน์จะได้ค่าเดียวกัน) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉาก อาทิรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และรูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว สูตรนี้จะลดรูปกลายเป็น 






1
2



p
q


{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}pq}

 เนื่องจาก θ เท่ากับ 90°
สูตรของเบรทชไนเดอร์ (Bretschneider's formula) [4] คำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุมดังนี้








A
r
e
a



=


(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−



1
2



a
b
c
d

[
1
+
cos
⁡
(
γ
+
λ
)
]








=


(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−
a
b
c
d

[


cos

2


⁡

(




γ
+
λ

2



)


]







s



=


1
2


(
a
+
b
+
c
+
d
)






{\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(\gamma +\lambda )]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {\gamma +\lambda }{2}}\right)\right]}}\\s&={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\\\end{aligned}}}


เมื่อ a, b, c, d คือความยาวของด้านทั้งสี่ s คือครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป และ γ, λ คือมุมที่อยู่ตรงข้ามคู่ใด ๆ สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะ (Brahmagupta's formula) สำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเมื่อ γ + λ = 180°
อีกสูตรหนึ่งสำหรับคำนวณพื้นที่ด้วยขนาดของด้านและมุม เมื่อ γ อยู่ระหว่างด้าน b กับ c และ λ อยู่ระหว่างด้าน a กับd (ด้านคู่ประชิดของมุมนั้น)




A
r
e
a
=


1
2


b
c
⋅
sin
⁡
γ
+


1
2


a
d
⋅
sin
⁡
λ


{\displaystyle Area={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin \gamma +{\frac {1}{2}}ad\cdot \sin \lambda }


ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม สูตรนี้จะกลายเป็น




A
r
e
a
=


1
2


(
b
c
+
a
d
)
sin
⁡
γ


{\displaystyle Area={\frac {1}{2}}(bc+ad)\sin \gamma }


และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เนื่องจากด้านตรงข้ามมีขนาดเท่ากันและมุมตรงข้ามก็มีขนาดเท่ากัน สุดท้ายแล้วสูตรจะลดรูปเหลือเพียง 



a
b
⋅
sin
⁡
γ


{\displaystyle ab\cdot \sin \gamma }


สูตรต่อไปนี้เป็นสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้วยขนาดของด้านและเส้นทแยงมุม [5]








A
r
e
a



=


(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
−



1
4



(
a
c
+
b
d
+
p
q
)
(
a
c
+
b
d
−
p
q
)








=


1
4




4

p

2



q

2


−


(


a

2


+

c

2


−

b

2


−

d

2



)


2










{\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}


เมื่อ p และ q เป็นความยาวของเส้นทแยงมุม สูตรนี้จะลดรูปลงเป็นสูตรของพรัหมคุปตะสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมเช่นเดียวกัน เมื่อ 



p
q
=
a
c
+
b
d


{\displaystyle pq=ac+bd}


นอกจากนี้ยังมีสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่คำนวณจากด้านทั้งสี่ และมุมที่เส้นทแยงมุมทั้งสองตัดกันเท่ากับ θ ซึ่งไม่เท่ากับ 90° [6]




A
r
e
a
=




|

tan
⁡
θ

|


4


⋅

|


a

2


+

c

2


−

b

2


−

d

2



|



{\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|}


ในกรณีของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน สูตรนี้จะกลายเป็น




A
r
e
a
=




|

tan
⁡
θ

|


2


⋅

|


a

2


−

b

2



|



{\displaystyle Area={\frac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|}


สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมชนิดพิเศษ
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมไขว้หรือรูปสี่เหลี่ยมเว้า ไม่ตัดกันภายในรูปสี่เหลี่ยม
เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งมุมภายในพอดี
กำหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับและมีด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; ให้ E เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม และให้ F กับ G เป็นจุดจุดหนึ่งที่อยู่บนด้าน DA กับ BC ตามลำดับซึ่งทำให้ FEG ขนานกับด้านคู่ขนาน AB กับ DC ; จะได้ว่า FG คือมัชฌิมฮาร์มอนิกของ AB กับ DC นั่นคือ






1

F
G



=


1
2



(



1

A
B



+


1

D
C




)



{\displaystyle {\frac {1}{FG}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{AB}}+{\frac {1}{DC}}\right)}


รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันคือรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า 



p
q
=
a
c
+
b
d


{\displaystyle pq=ac+bd}


รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ มีด้าน a=AB, b=BC, c=CD, d=DA และมีเส้นทแยงมุม p=AC, q=BD จะมีสมบัติว่า






p
q


=



a
d
+
c
b


a
b
+
c
d





{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+cb}{ab+cd}}}







p

2


=



(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)


a
b
+
c
d





{\displaystyle p^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}







q

2


=



(
a
c
+
b
d
)
(
a
b
+
d
c
)


a
d
+
b
c





{\displaystyle q^{2}={\frac {(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}}}


รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับและครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูป s ; รัศมีของรูปวงกลมแนบนอกคำนวณได้จาก [7]






1
4






(
a
b
+
c
d
)
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)


(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)






{\displaystyle {\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}


รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับโดยที่ d=b, c=a และมีเส้นทแยงมุม p, q จะมีสมบัติว่า





p

2


+

q

2


=

a

2


+

b

2


+

c

2


+

d

2




{\displaystyle p^{2}+q^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}


กำหนดให้ P เป็นจุดใด ๆ ที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, C, D เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า




(
A
P

)

2


+
(
C
P

)

2


=
(
B
P

)

2


+
(
D
P

)

2




{\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}}


เส้นตรงใด ๆ ที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะแบ่งครึ่งพื้นที่เสมอ
รูปสี่เหลี่ยมเส้นทแยงมุมตั้งฉากที่มีด้าน a, b, c, d เรียงตามลำดับ จะมีสมบัติว่า 




a

2


+

c

2


=

b

2


+

d

2




{\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}

 [6][8]:p.136
ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเลขคณิตและ</u>มีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ [9]
ไม่มีรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ที่มีด้านยาวไม่เท่ากันเป็นจำนวนตรรกยะในการก้าวหน้าเรขาคณิตและ</u>มีพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะ [9]
สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
ความยาวของเส้นทแยงมุมที่อยู่ตรงข้ามกับด้าน a และ b ที่อยู่ติดกันและทำมุม θ คือ 






a

2


+

b

2


−
2
a
b
cos
⁡
θ




{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta }}}

 ซึ่งกลายมาจากกฎของโคไซน์
เมื่อเชื่อมจุดกึ่งกลางบนแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เข้าด้วยกัน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก และเส้นรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานภายในก็ยาวเท่ากับผลบวกของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมภายนอก
สมมติให้รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ รูปหนึ่ง มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบอยู่บนด้านทั้งสี่ ซึ่งมีขนาดเท่ากับแต่ละด้านของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ตรงข้าม จะยาวเท่ากันและตั้งฉากซึ่งกันและกัน
ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม รวมทั้งสามเส้นจะตัดกันที่จุดเดียว และแบ่งครึ่งของส่วนของเส้นตรงนั้น ๆ ด้วย [8]:p.125
ผลรวมของกำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เท่ากับสองเท่าของผลรวมของกำลังสองของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามจำนวนสองคู่ [8]:p.126
เส้นแบ่งครึ่งมุมภายในทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เมื่อประกอบกันจะทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม [8]:p.127
อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น


 Analytic Geometry of Quadrilaterals
,  and   of Quadrilaterals from cut-the-knot
 and  from Mathopenref

 at 
 by Michael de Villiers


4