อนุกรม

Question: ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมมีความหมายว่าอะไร?

ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น 



{

a

n


}
=

a

1


,

a

2


,

a

3


,
.
.
.


{\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},...}

 อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ 




a

1


+

a

2


+

a

3


+
.
.
.


{\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...}

 อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ 



{
1

/


2

n


}


{\displaystyle \{1/2^{n}\}}







∑

n
=
1


∞




1

2

n




=


1
2


+


1
4


+


1
8


+
⋯
+


1

2

n




+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }


พจน์ของอนุกรมมักถูกสร้างขึ้นโดยกฎเกณฑ์เฉพาะ เช่นโดยสูตรคณิตศาสตร์ ขั้นตอนวิธี ลำดับของการวัด หรือแม้แต่การสุ่มจำนวน และเนื่องจากพจน์ในอนุกรมมีจำนวนไม่จำกัด อนุกรมจึงอาจเรียกว่าเป็น อนุกรมไม่จำกัด หรือ อนุกรมอนันต์ อนุกรมจำเป็นต้องมีเครื่องมือจากคณิตวิเคราะห์เพื่อที่จะทำความเข้าใจและเพื่อให้สามารถจัดการปรับแต่งได้ ไม่เหมือนกับผลรวมที่มีพจน์จำกัด นอกเหนือจากการใช้งานทั่วไปในคณิตศาสตร์ อนุกรมไม่จำกัดยังถูกใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาวิชาเชิงปริมาณ ตัวอย่างเช่นฟิสิกส์หรือวิทยาการคอมพิวเตอร์
สมบัติพื้นฐาน
อนุกรมสามารถสร้างขึ้นได้จากเซตหลายประเภทรวมทั้งจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน ฯลฯ นิยามต่อไปนี้จะถูกกำหนดบนจำนวนจริง แต่ก็สามารถทำให้เป็นกรณีทั่วไปได้
กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง 



{

a

n


}


{\displaystyle \{a_{n}\}}

 เรานิยามให้





S

N


=

∑

n
=
0


N



a

n


=

a

0


+

a

1


+

a

2


+
⋯
+

a

N




{\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}


เราเรียก 




S

N




{\displaystyle S_{N}}

 ว่าเป็น ผลรวมบางส่วน N พจน์ ของลำดับ 



{

a

n


}


{\displaystyle \{a_{n}\}}

 หรือ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม อนุกรมคือลำดับของผลรวมบางส่วนเข้าด้วยกัน 



{

S

N


}


{\displaystyle \{S_{N}\}}


ความสับสนที่อาจเกิดขึ้น
เมื่อพูดถึงอนุกรม เราอาจหมายถึงลำดับ 



{

S

N


}


{\displaystyle \{S_{N}\}}

 ของผลรวมบางส่วน หรือหมายถึง ผลรวมของอนุกรม อย่างใดอย่างหนึ่ง ขึ้นอยู่กับบริบท





∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}


เพื่อที่จะแยกแยะความแตกต่างของทั้งสองความหมายนี้ จึงมีการซ่อนขอบเขตบนและล่างเครื่องหมายผลรวม เช่น




∑

a

n




{\displaystyle \sum a_{n}}


หมายถึงผลรวมของอนุกรม ซึ่งอาจจะมีหรือไม่มีผลรวมจริงๆ ก็ได้
อนุกรมลู่เข้าและลู่ออก
อนุกรม ∑




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ 



{

S

N


}


{\displaystyle \{S_{N}\}}

 ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ 




S

N




{\displaystyle S_{N}}

 เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม





∑

n
=
0


∞



a

n


=

lim

N
→
∞



S

N


=

lim

N
→
∞



∑

n
=
0


N



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}


วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ 




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้




1
+


1
2


+


1
4


+


1
8


+
⋯
+


1

2

n




+
⋯


{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots }


อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2
นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้




x
=
0.111
…


{\displaystyle x=0.111\dots }


เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม 



0.1
+
0.01
+
0.001
+
.
.
.


{\displaystyle 0.1+0.01+0.001+...}

 แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...)
ตัวอย่างอนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น




1
+


1
2


+


1
4


+


1
8


+


1
16


+
⋯
=

∑

n
=
0


∞




1

2

n






{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}}


และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต





∑

n
=
0


∞



z

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}


จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ 




|

z

|

<
1


{\displaystyle |z|<1}


อนุกรมฮาร์มอนิก คืออนุกรมดังนี้




1
+


1
2


+


1
3


+


1
4


+


1
5


+
⋯
=

∑

n
=
1


∞




1
n




{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}


อนุกรมฮาร์มอนิกเป็นอนุกรมลู่ออก
อนุกรมสลับเครื่องหมาย เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ มีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน ตัวอย่างเช่น




1
−


1
2


+


1
3


−


1
4


+


1
5


−
⋯
=

∑

n
=
1


∞


(
−
1

)

n
+
1




1
n




{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}}


สำหรับอนุกรมนี้





∑

n
=
1


∞




1

n

r






{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}


จะเป็นอนุกรมลู่เข้าเมื่อ r > 1 และเป็นอนุกรมลู่ออกเมื่อ r ≤ 1 ในฐานะฟังก์ชันของ r ผลรวมของอนุกรมนี้คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
สำหรับอนุกรมเทเลสโคปนี้





∑

n
=
1


∞


(

b

n


−

b

n
+
1


)


{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}


จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ 




b

n




{\displaystyle b_{n}}

 ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ 




b

1


−
L


{\displaystyle b_{1}-L}


สมบัติอื่นๆ
อนุกรมมิได้ถูกแบ่งเพียงว่าจะลู่เข้าหรือลู่ออก อนุกรมยังสามารถแบ่งออกไปได้อีกโดยขึ้นอยู่กับสมบัติของพจน์ 




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 (ลู่เข้าสัมบูรณ์หรือลู่เข้าตามเงื่อนไข) ประเภทของการลู่เข้าของอนุกรม (ลู่เข้ารายจุดหรือลู่เข้าสม่ำเสมอ) ประเภทของพจน์ 




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริง ลำดับเรขาคณิต ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) และอื่นๆ อีกมากมาย
พจน์ที่ไม่เป็นลบ
เมื่อ 




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสำหรับทุกค่าของ n ดังนั้นลำดับ 




S

N




{\displaystyle S_{N}}

 ของผลรวมบางส่วนจึงมีค่าที่ไม่ลดลง อนุกรม ∑




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 ซึ่งพจน์ไม่เป็นลบจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับ 




S

N




{\displaystyle S_{N}}

 ของผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขต
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้





∑

n
≥
1




1

n

2






{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}}


เป็นอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากอสมการ






1

n

2




≤


1

n
−
1



−


1
n


,

n
≥
2


{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\leq {\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}},\quad n\geq 2}


และผลรวมเทเลสโคปทำให้สามารถสรุปได้ว่า ผลรวมบางส่วนถูกจำกัดขอบเขตไว้ที่ 2
การลู่เข้าสัมบูรณ์

กำหนดให้อนุกรมหนึ่ง





∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}


จะเรียกว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้าหากอนุกรมของค่าสัมบูรณ์





∑

n
=
0


∞



|

a

n


|



{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}


ลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งด้วย ซึ่งเป็นค่าเดียวกันกับอนุกรมแรก
การลู่เข้าตามเงื่อนไข

อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น





∑

n
=
1


∞





(
−
1

)

n
+
1



n


=
1
−


1
2


+


1
3


−


1
4


+


1
5


−
⋯


{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}=1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots }


เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า 




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S
การทดสอบของอาเบล (Abel's test) เป็นเครื่องมือสำคัญสำหรับอนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข ถ้าหากอนุกรมนั้นอยู่ในรูปแบบ




∑

a

n


=
∑

λ

n



b

n




{\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}}


เมื่อผลรวมบางส่วน 




B

N


=

b

0


+
.
.
.
+

b

N




{\displaystyle B_{N}=b_{0}+...+b_{N}}

 ถูกจำกัดขอบเขต, 




λ

n




{\displaystyle \lambda _{n}}

 เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ 




λ

n



B

n




{\displaystyle \lambda _{n}B_{n}}

 มีลิมิต





sup

N




|



∑

n
=
0


N



b

n




|


<
∞
,


∑

|


λ

n
+
1


−

λ

n



|

<
∞


and



λ

n



B

n




converges



{\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges}}}


แล้วอนุกรม ∑




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 จะลู่เข้า สิ่งนี้เป็นจริงในการลู่เข้ารายจุดของอนุกรมตรีโกณมิติ อาทิ





∑

n
=
2


∞





sin
⁡
(
n
x
)


ln
⁡
n





{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin(nx)}{\ln n}}}


โดยที่ 



0
<
x
<
2
π


{\displaystyle 0<x<2\pi }

 วิธีการของอาเบลประกอบด้วยการเขียน 




b

n
+
1


=

B

n
+
1


−

B

n




{\displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}

 และกระทำการแปลงอย่างหนึ่งซึ่งคล้ายกับการหาปริพันธ์เป็นส่วน (เรียกว่าผลรวมเป็นส่วน) ซึ่งทำให้อนุกรม ∑




a

n




{\displaystyle a_{n}}

 เปลี่ยนเป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ได้ดังนี้




∑
(

λ

n


−

λ

n
+
1


)


B

n




{\displaystyle \sum (\lambda _{n}-\lambda _{n+1})\,B_{n}}


อ้างอิง
Bromwich, T.J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
ดูเพิ่ม
อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเรขาคณิต

หมวดหมู่:แคลคูลัส