1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Question: 1 − 2 + 3 − 4 + ··· เป็นอนุกรมที่ถูกคิดขึ้นมาเมื่อใด?


ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + ··· เป็นอนุกรมอนันต์ที่แต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกลำดับถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและลบสลับกัน ผลรวม m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ผลรวมได้ในรูป





∑

n
=
1


m


n
(
−
1

)

n
−
1




{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}


อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาลิมิตที่เป็นจำนวนจำกัดใด ๆ อย่างไรก็ตาม มีปฏิทรรศน์จำนวนมากที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้เขียนสมการซึ่งเขายอมรับว่าเป็นปฏิทรรศน์ต่อไปนี้




1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
=


1
4




{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}


เป็นเวลานานกว่าจะมีคำอธิบายอย่างชัดเจนถึงสมการดังกล่าว ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2433 แอร์เนสโต เชซะโร, เอมีล บอแรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีการนิยามผลรวมของอนุกรมลู่ออกทั่วไป วิธีเหล่านั้นจำนวนมากต่างได้นิยามค่า 1 − 2 + 3 − 4 + … ให้ "เท่ากับ" 1/4 ผลรวมเซซาโรเป็นหนึ่งในวิธีการที่ไม่สามารถนิยามค่าของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ อนุกรมนี้จึงเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ต้องใช้วิธีการที่แรงกว่าเพื่อนิยามค่า เช่น ผลรวมอาเบล
อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของอนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาบาเซิล ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันที่ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
คำอธิบายเกี่ยวกับปฏิทรรศน์
ในทางคณิตศาสตร์ ถ้ามีชุดของกฎที่สอดคล้องกับตัวมันเองแล้ว เราจะสามารถใช้งานกฎเหล่านั้นได้ แม้ตามนิยามของคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ที่เราใช้กันอยู่ทุกวันนี้ อาจไม่สามารถอธิบายให้ 1 – 2 + 3 – 4 + ... เท่ากับค่าใดค่าหนึ่งได้ แต่ยังมีอีกหลายวิธีที่จะนิยามคำว่า "ผลรวม" และ "เท่ากับ" ซึ่งไม่ขัดกับสามัญสำนึก และยังสามารถนิยามค่าของอนุกรมดังกล่าวได้ ตัวอย่างวิธีการหนึ่งเช่น หากนำอนุกรม (1 – 2 + 3 – 4 + ...) มาหาผลบวกกับตัวเอง 4 ครั้งในตำแหน่งที่เหมาะสม พจน์ที่เป็นจำนวนเต็มบวกและจำนวนเต็มลบจะตัดกันไปหมด ยกเว้น "1" ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมนี้ซ้ำกัน 4 ครั้งมีค่าเท่ากับ 1 ตัวอนุกรมนี้จึงมีค่าเท่ากับ 1/4
  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 
การลู่ออกของอนุกรม
แต่ละพจน์ของอนุกรม (1, −2, 3, −4, ...) ไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์ จากการทดสอบพจน์จึงสรุปได้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ลู่ออก นอกจากนี้ ยังสามารถสังเกตการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมนี้ได้จากลำดับของผลรวมจำกัดพจน์ของอนุกรม ดังต่อไปนี้[1]
1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
…
ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ (และจะรวมศูนย์ด้วยหากนับผลรวมว่าง) ลำดับดังกล่าวจึงแสดงให้เห็นว่าเซต 




Z



{\displaystyle \mathbb {Z} }

 ของจำนวนเต็มเป็นเซตนับได้[2] เห็นได้ชัดว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก
การหาผลรวมของอนุกรม
ความเสถียรและความเป็นเชิงเส้น
แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ s = 1 − 2 + 3 − 4 + … สำหรับบางจำนวน s เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = ​1⁄4 ได้ดังนี้[3]








4
s


=



(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)





=



(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



+
(
1
−
2
)
+
(
3
−
4
+
5
−
6
⋯
)





=



(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



−
1
+
(
3
−
4
+
5
−
6
⋯
)





=


1
+


(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
+
⋯
)



+
(
3
−
4
+
5
−
6
⋯
)





=


1
+
[


(
1
−
2
−
2
+
3
)



+
(
−
2
+
3
+
3
−
4
)



+
(
3
−
4
−
4
+
5
)



+
(
−
4
+
5
+
5
−
6
)
+
⋯
]





=


1
+
[


0
+
0
+
0
+
0
+
⋯
]




4
s


=


1






{\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}



จึงได้ว่า 



s
=


1
4




{\displaystyle s={\frac {1}{4}}}

 ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา
ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ​1⁄4 ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ ​1⁄4 เสมอ[4] นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ








2
s


=



(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)


+


(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)





=


1
+



(
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)



+
1
−
2



+
(
3
−
4
+
5
⋯
)





=


0
+



(
−
2
+
3
)
+
(
3
−
4
)
+
(
−
4
+
5
)
+
⋯




2
s


=



1
−
1
+
1
−
1
⋯






{\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+{}&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&{}+(3-4+5\cdots )\\&=&0+{}&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}


ซึ่ง 



s
=


1
4




{\displaystyle s={\frac {1}{4}}}

 ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = ​1⁄2[5]
ผลคูณโคชี
ใน พ.ศ. 2434 แอร์เนสโต เชซะโร ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากในแคลคูลัส เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ ​1⁄4"[6] สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …
นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σ<i data-parsoid='{"dsr":[6200,6205,2,2]}'>an = Σ<i data-parsoid='{"dsr":[6225,6230,2,2]}'>bn = Σ (−1) n เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้









c

n




=




∑

k
=
0


n



a

k



b

n
−
k


=

∑

k
=
0


n


(
−
1

)

k


(
−
1

)

n
−
k








=




∑

k
=
0


n


(
−
1

)

n


=
(
−
1

)

n


(
n
+
1
)







{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}


ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ





∑

n
=
0


∞


(
−
1

)

n


(
n
+
1
)
=
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }


ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ ​1⁄2 จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ ​1⁄4 เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี
วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)[7]
วิธีต่าง ๆ ในการหาผลรวม
มีหลายวิธีการในการนิยามผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น
เซซาโรและเฮิลเดอร์

การหาผลรวมเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ทำโดยการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมจำกัดพจน์ ผลรวมจำกัดพจน์เหล่านั้นได้แก่
1, −1, 2, −2, 3, −3, …
ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ
1, 0, ​2⁄3, 0, ​3⁄5, 0, ​4⁄7, …
ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลรวมเซซาโรของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้
มีอย่างน้อยสองวิธีในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไป  วิธีแรกประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ เริ่มจาก (H, 1) คือผลรวมเซซาโร และผลรวมขั้นที่สูงขึ้นเกิดจากการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมขั้นที่ต่ำกว่าซ้ำอีกครั้ง เช่น ในตัวอย่างข้างต้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คู่ลู่เข้าสู่ ​1⁄2 ส่วนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์คี่เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้น หากเราหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต<i data-parsoid='{"dsr":[8176,8199,2,2]}'>ของค่าเฉลี่ยเลขคณิต</i>เหล่านั้นทั้งหมดอีกครั้ง คำตอบที่ได้จะลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0 และ ​1⁄2 นั่นคือ ​1⁄4[8] ดังนั้น 1 − 2 + 3 − 4 + ... สามารถหาผลรวมได้แบบ (H, 2) ซึ่งเท่ากับ ​1⁄4
อักษร "H" มาจากชื่อของ ออทโท เฮิลเดอร์ ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ถึงความเชื่อมโยงระหว่างผลรวมอาเบลและผลรวม (H, n) ในปี พ.ศ. 2425 โดยอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นตัวอย่างแรกที่เขาใช้[9] การที่ ​1⁄4 เป็นผลรวม (H, 2) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้ยืนยันว่ามันเป็นผลรวมอาเบลของอนุกรมดังกล่าวเช่นกัน
อีกวิธีหนึ่งในการขยายผลรวมเซซาโรไปสู่รูปทั่วไปประกอบด้วยลำดับของวิธีการ (C, n) ซึ่งได้มีการพิสูจน์ว่าผลรวม (C, n) และ (H, n) จะมีค่าเท่ากันเสมอ แม้ว่าวิธีทั้งสองจะมีที่มาแตกต่างกัน ในปี พ.ศ. 2430 เซซาโรได้ยกตัวอย่างของการหาผลรวม (C, n) จำนวนหนึ่ง และได้นิยามวิธีการดังกล่าวอย่างเป็นทางการในปี พ.ศ. 2433 พร้อมกับเสนอทฤษฎีบทของเขาที่พิสูจน์ว่าผลคูณโคชีของอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, m) และอนุกรมที่หาผลรวมได้แบบ (C, n) จะหาผลรวมได้แบบ (C, m + n + 1)[10]
ผลรวมอาเบล

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลรวมให้ได้:

ออยเลอร์ได้เสนอรูปทั่วไปของคำว่า "ผลรวม" หลายครั้ง ในกรณีของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... แนวคิดของเขาคล้ายคลึงกับผลรวมอาเบล:

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ |x| < 1 จะได้ว่า




1
−
2
x
+
3

x

2


−
4

x

3


+
⋯
=


1

(
1
+
x

)

2







{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}


ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฝั่งขวาของสมการ หรือโดยขั้นตอนการหารยาวพหุนาม หากเริ่มจากฝั่งซ้ายของสมการ เราสามารถคูณ (1+x) สองครั้ง หรือสามารถยกกำลังสองอนุกรมเรขาคณิต 1 − x + x2 − .... นอกจากนี้ ออยเลอร์ได้แนะนำให้หาอนุพันธ์ทีละพจน์ของอนุกรมดังกล่าว[11]
ในมุมมองปัจจุบัน อนุกรม 1 − 2<i data-parsoid='{"dsr":[11493,11498,2,2]}'>x + 3<i data-parsoid='{"dsr":[11502,11507,2,2]}'>x2 − 4<i data-parsoid='{"dsr":[11523,11528,2,2]}'>x3 + … ไม่นิยามเป็นฟังก์ชันเมื่อ x = 1 เราจึงไม่สามารถแทนค่า x = 1 โดยตรงเพื่อให้เกิดนิพจน์ดังกล่าวได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันนี้ได้นิยามค่าสำหรับทุก |x| < 1 เราจึงสามารถหาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ได้ และเป็นนิยามของผลรวมอาเบลดังนี้





lim

x
→

1

−





∑

n
=
1


∞


n
(
−
x

)

n
−
1


=

lim

x
→

1

−






1

(
1
+
x

)

2





=


1
4




{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}


ออยเลอร์และบอแรล

ออยเลอร์ได้พัฒนาวิธีการอื่นในการหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เรียกว่าการแปลงออยเลอร์ วิธีคำนวณการแปลงออยเลอร์นั้นเริ่มจากลำดับของจำนวนเต็มบวกที่ประกอบกันเป็นอนุกรมสลับ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a0
จากนั้น สร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับ 1, 2, 3, 4, ... ซึ่งจะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δ<i data-parsoid='{"dsr":[12436,12441,2,2]}'>a0 การแปลงออยเลอร์นั้นขึ้นกับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ในขั้นที่สูงขึ้นไปเรื่อย ๆ แต่ในกรณีนี้ลำดับขั้นต่อ ๆ ไปจะเป็นศูนย์ทั้งหมด การแปลงออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย






1
2



a

0


−


1
4


Δ

a

0


+


1
8



Δ

2



a

0


−
⋯
=


1
2


−


1
4


=


1
4




{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}


จึงกล่าวได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาผลรวมแบบออยเลอร์ได้ ซึ่งเท่ากับ ​1⁄4
ผลรวมออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลรวมของอนุกรมในวิธีอื่น เริ่มจากการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ในรูป





∑

k
=
0


∞



a

k


=

∑

k
=
0


∞


(
−
1

)

k


(
k
+
1
)


{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}


เราจะได้อนุกรมที่ลู่เข้าทุกจุด




a
(
x
)
=

∑

k
=
0


∞





(
−
1

)

k


(
k
+
1
)

x

k




k
!



=

e

−
x


(
1
−
x
)


{\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}


ผลรวมบอแรลของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... จึงมีค่าเท่ากับ[12]





∫

0


∞



e

−
x


a
(
x
)

d
x
=

∫

0


∞



e

−
2
x


(
1
−
x
)

d
x
=


1
2


−


1
4


=


1
4




{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{4}}}


การแยกสเกล
ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = ​1⁄4 โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์เรื่อง<i data-parsoid='{"dsr":[13436,13494,2,2]}'>การคลายตัวในปริมาณเล็กน้อย (infinitesimal relaxation)  และ<i data-parsoid='{"dsr":[13498,13536,2,2]}'>การแยกสเกล (separation of scales)  หลักการเหล่านี้ได้นำไปสู่นิยามของกลุ่มของ "วิธีการหาผลรวมแบบ φ" ซึ่งวิธีการทั้งหมดหาผลรวมของอนุกรมนี้ได้เท่ากับ ​1⁄4
ถ้า φ (x) เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองได้ในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ (0) = 1 และลิมิตของ φ (x) และ x</i>φ (x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้วจะได้ว่า[13]





lim

δ
↓
0



∑

m
=
0


∞


(
−
1

)

m


(
m
+
1
)
φ
(
δ
m
)
=


1
4




{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}


ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นรูปทั่วไปของผลรวมอาเบล ซึ่งเกิดจากการให้ φ (x) = exp (−x) ผลลัพธ์ในรูปทั่วไปนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการจับคู่พจน์ในอนุกรมและแปลงนิพจน์ให้เป็นอินทิกรัลแบบรีมันน์ การพิสูจน์อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... ด้วยวิธีเดียวกันอาศัยทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในการพิสูจน์ แต่สำหรับอนุกรมนี้ต้องอาศัยทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ในรูปแบบลากร็องฌ์
รูปทั่วไป

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลรวมอาเบลและผลรวมออยเลอร์เป็น ​1⁄8[14] ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนทรงสี่หน้า โดยมีผลรวมอาเบลเป็น ​1⁄16
รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยคืออนุกรม 1 − 2n + 3n − 4n + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n อนุกรมดังกล่าวจะสามารถหาผลรวมอาเบลได้ดังนี้:[15]




1
−

2

n


+

3

n


−
⋯
=




2

n
+
1


−
1


n
+
1




B

n
+
1




{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}


เมื่อ Bn เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับจำนวนเต็มบวกคู่ n = 2<i data-parsoid='{"dsr":[15392,15397,2,2]}'>k ผลรวมจะสามารถลดรูปได้เป็น




1
−

2

2
k


+

3

2
k


−
⋯
=
0


{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}


ผลรวมสุดท้ายนั้นได้ถูกกล่าวถึงในเชิงขบขันโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469:

อาจารย์ของเชซะโร เออแฌน ชาร์ล กาตาล็อง เป็นผู้ที่ไม่สนใจในอนุกรมลู่ออกเช่นกัน ด้วยอิทธิพลของกาตาล็อง ในตอนแรกเชซะโรเคยเรียกสูตรทั่วไปของ 1 − 2n + 3n − 4n + ... ว่าเป็น "สมการที่น่าขัน" ต่อมาในปี พ.ศ. 2426 เขาได้แสดงความเห็นว่าสูตรนั้นผิดแต่มีประโยชน์ จนในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เชซะโรจึงได้เริ่มศึกษาสูตรดังกล่าวด้วยวิธีสมัยใหม่ และได้ตีพิมพ์เป็นผลงานชื่อ Sur la multiplication des séries ("ว่าด้วยการคูณอนุกรม")[16]
ได้มีการศึกษาอนุกรมนี้สำหรับค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ ส่วนหนึ่งของแรงบันดาลใจที่ทำให้ออยเลอร์ศึกษาอนุกรมที่เกี่ยวข้องกับ 1 − 2 + 3 − 4 + ... คือสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันอีตา ซึ่งนำไปสู่สมการเชิงฟังก์ชันฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้มีชื่อเสียงจากการหาค่าของฟังก์ชันดังกล่าวสำหรับจำนวนคู่ (รวมถึงปัญหาบาเซิล) และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน ฟังก์ชันอีตานั้นง่ายกว่าที่จะจัดการด้วยวิธีของออยเลอร์ เนื่องจากลำดับดิริชเลต์ของมันสามารถหาผลรวมอาเบลได้ในทุกจุด ในขณะที่ฟังก์ชันซีตานั้นหาผลรวมได้ยากในจุดที่มันลู่ออก[17] ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... คืออนุกรม 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ซึ่งต้องใช้วิธีการที่ยากมากในการหาผลรวม
ดูเพิ่ม
อนุกรมแกรนดี
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์
อ้างอิง

บรรณานุกรม


Unknown parameter |month= ignored (help)
CS1 maint: multiple names: authors list (link) Originally published as 
Unknown parameter |month= ignored (help)


Unknown parameter |month= ignored (help)


CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Unknown parameter |month= ignored (help)

Unknown parameter |month= ignored (help)

หมวดหมู่:อนุกรม
หมวดหมู่:ปฏิทรรศน์ทางคณิตศาสตร์