การยกกำลัง

Question: เลขยกกำลังถูกค้นพบเมื่อไหร่?


การยกกำลัง คือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง เขียนอยู่ในรูป an ซึ่งประกอบด้วยสองจำนวนคือ ฐาน a และ เลขชี้กำลัง (หรือ กำลัง) n การยกกำลังมีความหมายเหมือนการคูณซ้ำ ๆ กัน คือ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก





a

n


=




a
×
⋯
×
a

⏟



n




{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}


คล้ายกับการคูณซึ่งมีความหมายเหมือนการบวกซ้ำ ๆ กัน




a
×
n
=




a
+
⋯
+
a

⏟



n




{\displaystyle a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}}


โดยปกติเลขชี้กำลังจะแสดงเป็นตัวยกอยู่ด้านขวาของฐาน จำนวน an อ่านว่า a ยกกำลัง n หรือเพียงแค่ a กำลัง n ในภาษาอังกฤษอาจเรียกการยกกำลังบางตัวต่างออกไปเช่น a2 จะเรียกว่า square และ a3 เรียกว่า cube เป็นต้น เมื่อตัวยกไม่สามารถใช้ได้เช่นในข้อความแอสกี ก็มีรูปแบบการเขียนอย่างอื่นที่ใช้กันอาทิ a^n และ a**n เป็นต้น
เลขยกกำลัง an อาจนิยามให้ n เป็นจำนวนเต็มลบก็ได้เมื่อค่า a ไม่เป็นศูนย์ ตามปกติไม่สามารถกระจายจำนวนจริง a กับ n ได้ทุก ๆ ค่าโดยธรรมชาติ แต่เมื่อฐาน a เป็นจำนวนจริงบวก จำนวน an สามารถนิยามเลขชี้กำลัง n ได้ทุกค่าแม้แต่จำนวนเชิงซ้อนผ่านฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ez ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการยกกำลังได้
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเมทริกซ์ใช้สำหรับการหาคำตอบของระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
การยกกำลังก็ใช้งานในความรู้สาขาอื่นอย่างแพร่หลายเช่นเศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในการใช้งานคำนวณอย่างเช่นดอกเบี้ยทบต้น การเพิ่มประชากร จลนพลศาสตร์เคมี พฤติกรรมของคลื่น และการเข้ารหัสลับแบบกุญแจอสมมาตร เป็นต้น

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
การดำเนินการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็ม เป็นข้อกำหนดที่จำเป็นของพีชคณิตมูลฐานเท่านั้น
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
นิพจน์ a2 = a·a เรียกว่า square หมายถึงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสอง) เพราะรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีพื้นที่เท่ากับ a2 ตารางหน่วย
นิพจน์ a3 = a·a·a เรียกว่า cube หมายถึงทรงลูกบาศก์ (ดูเพิ่มที่การยกกำลังสาม) เพราะทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาวด้านละ a หน่วย มีปริมาตรเท่ากับ a3 ลูกบาศก์หน่วย
เลขชี้กำลังเป็นตัวบ่งบอกว่าจะนำฐานมาคูณกันกี่ตัว (ไม่ใช่คูณกันกี่ครั้ง) ตัวอย่างเช่น 35 = 3·3·3·3·3 = 243 ดังนี้ฐาน 3 ปรากฏ 5 ครั้งในการคูณเพราะเลขชี้กำลังเป็น 5; ค่า 243 เป็น กำลัง ของ 3 คือผลลัพธ์ที่ได้จาก 3 ยกกำลัง 5
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก อาจนิยามได้จากความสัมพันธ์เวียนเกิด an+1=a·an โดยให้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น a1=a
เลขชี้กำลังเป็น 0 หรือ 1
เนื่องจาก a1 หมายถึงผลคูณของ a เพียง 1 ตัว ซึ่งถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ a
จากความสัมพันธ์เวียนเกิดอีกรูปแบบหนึ่ง an − 1 = an/a เมื่อสมมติให้ n = 1 จะได้ a0 = 1
หรือกล่าวอีกทางหนึ่งว่า กำหนดให้ n, m, และ n−m เป็นจำนวนเต็มบวก (โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์) จะได้ความสัมพันธ์







a

n



a

m




=

a

n
−
m




{\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}


ในกรณีที่ n และ m มีค่าเท่ากัน สมการดังกล่าวจะกลายเป็น




1
=



a

n



a

n




=

a

n
−
n


=

a

0




{\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}}


เนื่องจากตัวเศษและตัวส่วนมีค่าเท่ากัน ดังนั้นจึงสามารถนิยามค่าของ a0 = 1 นำไปสู่กฎสองประการ
จำนวนใด ๆ ยกกำลัง 1 จะได้ตัวมันเอง
จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ยกกำลัง 0 จะได้ 1 ซึ่งเป็นการตีความมาจากผลคูณว่าง สำหรับกรณี 00 ดูเพิ่มที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0
ความหมายทางคณิตศาสตร์เชิงการจัด
สำหรับ n และ m ที่เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ (จำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์) เลขยกกำลัง nm จะหมายถึงภาวะเชิงการนับ (cardinality) ของเซตของ m สิ่งอันดับ (m-tuple) ที่ได้จากเซตที่มีสมาชิก n ตัว หรือพูดอีกนัยหนึ่งคือ เป็นจำนวนของคำที่มีตัวอักษร m ตัว จากชุดตัวอักษร n ตัว



















05 = │ {} │ = 0ไม่มีห้าสิ่งอันดับ จากเซตว่าง14 = │ { (1, 1, 1, 1) } │ = 1มีสี่สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 1 ตัว23 = │ { (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2) } │ = 8 มีสามสิ่งอันดับ 8 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว32 = │ { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3) } │ = 9มีสองสิ่งอันดับ (คู่อันดับ) 9 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 3 ตัว41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4มีหนึ่งสิ่งอันดับ 4 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 4 ตัว50 = │ { () } │ = 1มีศูนย์สิ่งอันดับ 1 ชุด จากเซตที่มีสมาชิก 5 ตัว
ดูเพิ่มเติมที่หัวข้อการยกกำลังบนเซต
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ
จากนิยาม จำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ เมื่อยกกำลังด้วย −1 จะทำให้เกิดส่วนกลับหรือตัวผกผันการคูณ





a

−
1


=


1
a




{\displaystyle a^{-1}={\frac {1}{a}}}


จึงสามารถนิยามว่า





a

−
n


=
(

a

n



)

−
1


=


1

a

n






{\displaystyle a^{-n}=(a^{n})^{-1}={\frac {1}{a^{n}}}}


เมื่อ a เป็นจำนวนใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แต่สำหรับจำนวน 0 ยกกำลังจำนวนลบ จะทำให้เกิดกรณีการหารด้วยศูนย์ จึงไม่มีการนิยาม
นิยามของ a−n สำหรับค่า a ใด ๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ทำให้เอกลักษณ์ aman=am+n เป็นจริงบนทุกช่วงจำนวนเต็มของ m กับ n (ทั้งบวก ลบ และศูนย์) จากเดิมเป็นจริงเฉพาะเมื่อ m กับ n เป็นจำนวนเต็มไม่เป็นลบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการใช้เอกลักษณ์นี้โดยกำหนดให้ m=−n จะทำให้





a

−
n




a

n


=

a

−
n

+

n


=

a

0


=
1


{\displaystyle a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1}


เมื่อ a0 ได้นิยามเช่นนั้นแล้ว เป็นเหตุให้นำไปสู่การนิยาม a−n=1/an ดังที่ได้กล่าวแล้ว
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ อาจสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของการหารซ้ำ ๆ จาก 1 ด้วยฐานก็ได้ ตัวอย่างเช่น





3

−
4


=
(
(
(
1

/

3
)

/

3
)

/

3
)

/

3
=


1
81


=


1

3

4






{\displaystyle 3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}}


เอกลักษณ์และสมบัติ
เอกลักษณ์สำคัญที่สุดของการยกกำลังที่สอดคล้องกับกรณีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มคือ





a

m
+
n


=

a

m


⋅

a

n




{\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}}


เอกลักษณ์นี้จึงเป็นผลที่ตามมา





a

m
−
n


=



a

m



a

n




;

a
≠
0


{\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}};\;a\neq 0}


และ




(

a

m



)

n


=

a

m
⋅
n




{\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}}


เอกลักษณ์พื้นฐานอีกอันหนึ่งคือ




(
a
⋅
b

)

n


=

a

n


⋅

b

n




{\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}


ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการสลับที่ เช่น 2+3 = 5 = 3+2 และ 2·3 = 6 = 3·2 แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการสลับที่ เช่น 23 = 8 แต่ 32 = 9
และเช่นเดียวกัน ในขณะที่การบวกและการคูณมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ เช่น  (2+3) +4 = 9 = 2+ (3+4) และ  (2·3) ·4 = 24 = 2· (3·4) แต่การยกกำลังไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ตัวอย่างเช่น "23 ยกกำลัง 4" จะได้ผลลัพธ์เป็น 84 หรือเท่ากับ 4,096 แต่ "2 ยกกำลัง 34" จะได้ผลลัพธ์เป็น 281 หรือ 2,417,851,639,229,258,349,412,352 ถ้าหากเขียนเลขยกกำลังซ้อนกันโดยไม่ใส่วงเล็บ ลำดับของการคำนวณจะทำจากตัวบนสุดมาก่อน นั่นคือ





a


b

c




=

a

(

b

c


)


≠
(

a

b



)

c




{\displaystyle a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}}


กำลังของ 10

ในระบบเลขฐานสิบ กำลังจำนวนเต็มของ 10 สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 ตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 จำนวนหนึ่ง ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่างเช่น 103 = 1,000 และ 10−4 = 0.0001 เป็นต้น
การยกกำลังด้วยฐาน 10 ถูกใช้ในสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ เพื่อใช้อธิบายจำนวนขนาดใหญ่หรือเล็กมาก ตัวอย่างเช่น จำนวน 299,792,458 เมตรต่อวินาที (ความเร็วแสงในสุญญากาศ) สามารถเขียนได้เป็น 2.99792458×108 m/s หรือเท่ากับประมาณ 2.998×108 m/s
คำอุปสรรคในหน่วยเอสไอที่มีพื้นฐานบนกำลังของ 10 ก็ถูกใช้อธิบายปริมาณที่ใหญ่หรือเล็กมากได้เช่นกันเช่น คำอุปสรรค กิโล หมายถึง 103 = 1,000 ดังนั้น 1 กิโลเมตรจึงเท่ากับ 1,000 เมตร
กำลังของ 2
กำลังจำนวนเต็มบวกของ 2 เป็นสิ่งที่สำคัญในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เพราะว่าตัวแปรฐานสองขนาด n บิต จะมีค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2n ค่า
กำลังของ 2 ก็เป็นสิ่งสำคัญในทฤษฎีเซต เนื่องจากเซตเซตหนึ่งที่มีสมาชิก n ตัว จะมีเซตกำลังที่มีสมาชิก 2n ตัว (เซตกำลังคือเซตของเซตย่อยทั้งหมดจากเซตต้นแบบ)
กำลังจำนวนเต็มลบของ 2 ก็ใช้กันทั่วไป เช่น 2−1 =  หมายถึงครึ่ง (half), 2−2 =  คือหนึ่งในสี่ (quarter) เป็นต้น
ในระบบเลขฐานสอง กำลังจำนวนเต็มของ 2 ก็สามารถเขียนแทนได้ด้วยเลข 1 แล้วตามด้วยหรือนำโดยเลข 0 ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายและขนาดของเลขชี้กำลัง ตัวอย่าง 23 เขียนในเลขฐานสองว่า 10002 เป็นต้น
กำลังของ 1
กำลังจำนวนเต็มของ 1 ทุกจำนวนมีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ 1n = 1
กำลังของ 0
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวก เลขยกกำลังของ 0 จะได้ 0 นั่นคือ 0n = 0; n > 0
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ เลขยกกำลังของ 0 จะไม่นิยาม เนื่องจากทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์
ถ้าเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ผู้แต่งตำราบางท่านได้นิยามว่า 00 = 1 ในขณะที่บางท่านก็คงไว้ว่าไม่นิยาม ดูที่หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0
กำลังของ −1
ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จะได้ (−1) n = 1
ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จะได้ (−1) n = −1
จากสมบัติดังกล่าว กำลังของ −1 จึงมีประโยชน์ในการแสดงลำดับที่มีการสลับเครื่องหมาย ส่วนกรณีที่คล้ายกันสำหรับจำนวนเชิงซ้อน i ดูที่หัวข้อกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
เลขชี้กำลังขนาดใหญ่
ลิมิตของลำดับของกำลังของจำนวนที่มากกว่า 1 จะลู่ออก หมายความว่าจะมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่จำกัด
an → ∞ เมื่อ n → ∞ ถ้า a > 1
อาจเรียกได้ว่า a ยกกำลัง n จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์ถ้า n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ เมื่อ a มีค่ามากกว่า 1
สำหรับกำลังของจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 ลิมิตของลำดับจะลู่เข้าค่า 0
an → 0 เมื่อ n → ∞ ถ้า |a| < 1
และกำลังของ 1 จะได้ค่า 1 เสมอ
an = 1 สำหรับทุกค่าของ n ถ้า a = 1
แต่หากฐาน a มีค่าเข้าใกล้ 1 พร้อมกับเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ ลิมิตของมันไม่สำคัญว่าจะต้องเท่ากับ 1 ตัวอย่างกรณีหนึ่งที่สำคัญคือ
(1 + n−1) n → e เมื่อ n → ∞
ดูเพิ่มในกำลังของ e
กำลังจำนวนจริงของจำนวนจริงบวก
การยกกำลังจำนวนจริงบวก ด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม สามารถคำนวณได้สองวิธีนั่นคือ
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ สามารถนิยามให้เป็นรากที่ n และเลขชี้กำลังที่ไม่เป็นศูนย์สามารถนิยามได้จากความต่อเนื่อง
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง สามารถนิยามให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
เอกลักษณ์และสมบัติที่แสดงไว้ด้านบนซึ่งนิยามไว้สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม ก็ยังคงเป็นจริงอยู่สำหรับเลขชี้กำลังจำนวนจริงบวกที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์นี้




(

a

r



)

s


=

a

r
⋅
s




{\displaystyle (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}}


ไม่สามารถขยายแนวคิดได้อย่างคงเส้นคงวาถ้า a เป็นจำนวนจริงลบ ดูเพิ่มที่หัวข้อรากที่ n ที่เป็นลบ ความผิดพลาดของเอกลักษณ์นี้เป็นมูลฐานของปัญหาที่เกี่ยวกับกำลังของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งได้อธิบายไว้แล้วที่หัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม
รากที่ n มุขสำคัญ


รากที่ n ของจำนวน a คือจำนวน x ที่ซึ่ง xn = a
ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จะมีคำตอบสำหรับ xn = a ที่เป็นจำนวนจริงบวกหนึ่งจำนวนอย่างแน่นอน คำตอบดังกล่าวเรียกว่า รากที่ n มุขสำคัญของ a (principal n-th root) เขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ 





x

n





{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}

 เมื่อ 


{\displaystyle {\sqrt {\,\,}}}

 คือกรณฑ์ หรือเขียนอีกรูปแบบหนึ่งเป็น a1/n เช่น 41/2 = 2, 81/3 = 2
เมื่อพูดถึงรากที่ n ของจำนวนจริงบวก a มักจะหมายถึงรากที่ n มุขสำคัญของ a ดังที่ได้กล่าวแล้ว
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
กำลังของจำนวนจริงบวก a ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด สอดคล้องกับ





a

m

/

n


=


(

a

m


)


1

/

n


=



a

m



n





{\displaystyle a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}


เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนเต็มบวก
กำลังของ e

e หรือค่าคงตัวของออยเลอร์ เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญค่าหนึ่ง มีค่าประมาณ 2.718 และเป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ใช้เป็นแนวทางนำไปสู่การนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นจำนวนเต็ม ค่าคงตัวนี้นิยามโดยลิมิตต่อไปนี้ ซึ่งเลขชี้กำลังมีค่าเข้าใกล้อนันต์ในขณะที่ฐานมีค่าเข้าใกล้ 1




e
=

lim

n
→
∞




(

1
+


1
n



)


n




{\displaystyle e=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}


ฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งนิยามโดยลิมิตต่อไปนี้





e

x


=

lim

n
→
∞




(

1
+


x
n



)


n




{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}


มี x เป็นเลขชี้กำลังเพิ่มเข้ามา และสอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลัง





e

x
+
y


=

e

x


⋅

e

y




{\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}


ฟังก์ชันเลขชี้กำลังนิยามขึ้นสำหรับ x ที่เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นอกจากนี้ก็สามารถขยายการยกกำลังไปบนสิ่งอื่นที่ไม่ใช่จำนวนได้เช่นเมทริกซ์จัตุรัส อย่างไรก็ตามเอกลักษณ์การยกกำลังที่ยกมาจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ x และ y สามารถสลับที่กันได้เท่านั้น
การพิสูจน์อย่างสั้นว่า e ยกกำลังจำนวนเต็มบวก k เหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ek แสดงได้ดังนี้








(
e

)

k





=


[


lim

n
→
∞




(

1
+


1
n



)


n



]


k


=

lim

n
→
∞




[


(

1
+


1
n



)


n


]


k








=

lim

n
→
∞




(

1
+


k

n
⋅
k




)


n
⋅
k


=

lim

n
⋅
k
→
∞




(

1
+


k

n
⋅
k




)


n
⋅
k








=

lim

m
→
∞




(

1
+


k
m



)


m


=

e

k








{\displaystyle {\begin{aligned}(e)^{k}&=\left[\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}=\lim _{n\cdot k\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}\\&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}=e^{k}\end{aligned}}}


แสดงให้เห็นว่า ex</i>+<i data-parsoid='{"dsr":[14156,14161,2,2]}'>y สอดคล้องกับเอกลักษณ์การยกกำลังเมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก ผลจากการพิสูจน์ยังคงสอดคล้องสำหรับจำนวนทุกจำนวนด้วย ไม่เพียงแค่จำนวนเต็มบวก
เลขชี้กำลังเป็นจำนวนจริง
เนื่องจากจำนวนจริงสามารถประมาณค่าได้ด้วยจำนวนตรรกยะ การยกกำลังด้วยจำนวนจริง x ทุกจำนวนจึงสามารถนิยามได้ด้วยความต่อเนื่องด้วยกฎดังนี้





b

x


=

lim

r
→
x



b

r



(
r
∈

Q

,

x
∈

R

)


{\displaystyle b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} )}


ลิมิตดังกล่าวซึ่ง r ที่มีค่าเข้าใกล้ x ถูกนำมาแทนที่เฉพาะจำนวนตรรกยะ r
ยกตัวอย่าง ถ้า




x
≈
1.732


{\displaystyle x\approx 1.732}


ดังนั้น





5

x


≈

5

1.732


=

5

433

/

250


=



5

433



250



≈
16.241


{\displaystyle 5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241}


การยกกำลังด้วยจำนวนจริงโดยปกติก็สามารถทำให้สำเร็จได้ด้วยลอการิทึม แทนที่จะใช้ลิมิตของจำนวนตรรกยะ
ลอการิทึมธรรมชาติ ln (x) เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ex ซึ่งนิยามไว้สำหรับ b > 0 และสอดคล้องกับเงื่อนไข




b
=

e

ln
⁡
b





{\displaystyle b=e^{\ln b}\,}


ถ้า bx ถูกนิยามขึ้นโดยยังคงรักษากฎต่าง ๆ ของลอการิทึมและการยกกำลัง จะได้ว่า





b

x


=
(

e

ln
⁡
b



)

x


=

e

x
⋅
ln
⁡
b




{\displaystyle b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}}


สำหรับจำนวนจริง x แต่ละจำนวน
สิ่งนี้สามารถใช้เป็นนิยามทางเลือกของการยกกำลังด้วยจำนวนจริง bx และสอดคล้องกับวิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะกับความต่อเนื่อง นิยามดังกล่าวเป็นวิธีการปกติสามัญในบริบทของจำนวนเชิงซ้อนอีกด้วย
รากที่ n ที่เป็นลบ
กำลังของจำนวนจริงบวกจะมีค่าเป็นจำนวนจริงบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม คำตอบของสมการ x2 = 4 อาจเป็น 2 หรือ −2 ก็ได้ ค่ามุขสำคัญของ 41/2 คือ 2 แต่ −2 ก็เป็นรากที่สองที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่งด้วย หากนิยามของการยกกำลังของจำนวนจริงขยายแนวคิดให้มีผลลัพธ์เป็นจำนวนลบได้ ผลของการยกกำลังอาจลักลั่น
ถ้า n เป็นจำนวนคู่ จากสมการ xn = a ถ้า a เป็นบวกจะมีสองคำตอบ ได้แก่รากที่ n ที่เป็นบวกและลบ แต่ถ้า a เป็นลบจะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
ถ้า n เป็นจำนวนคี่ จากสมการ xn = a จะมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงหนึ่งจำนวน ถ้า a เป็นบวกก็จะได้คำตอบนั้นเป็นบวก และถ้า a เป็นลบก็จะได้คำตอบนั้นเป็นลบ
สำหรับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุด ถ้า m เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์จะเป็นบวก; ในกรณีที่ a เป็นลบ ถ้า m กับ n เป็นจำนวนคี่ ผลลัพธ์จะเป็นลบ; ในกรณีที่ a เป็นบวกและ n เป็นจำนวนคู่ ผลลัพธ์อาจเป็นบวกหรือลบอย่างใดอย่างหนึ่ง ตัวอย่างเช่น (−27) 1/3=−3, (−27) 2/3=9, 43/2 มีสองคำตอบคือ 8 กับ −8 และเนื่องจากไม่มีจำนวนจริง x ที่ทำให้ x2=−1 ดังนั้นนิยามของ am/n ในกรณีที่ a เป็นลบและ n เป็นจำนวนคู่ จึงจำเป็นต้องใช้หน่วยจินตภาพ i เข้ามาเกี่ยวข้อง
ไม่ว่าวิธีการใช้ลอการิทึมหรือเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ก็ไม่สามารถนิยาม ar ให้เป็นจำนวนจริงได้ สำหรับ a ที่เป็นจำนวนจริงลบและทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r และทำนองเดียวกัน er ให้ผลลัพธ์เป็นบวกสำหรับทุกช่วงค่าของจำนวนจริง r ดังนั้น ln (a) ซึ่งเป็นฟังก์ชันผกผันจึงไม่อาจนิยามให้เป็นจำนวนจริงได้สำหรับ a ≤ 0 (ในทางตรงข้าม กำลังเชิงซ้อนของจำนวนลบ a สามารถนิยามได้ด้วยลอการิทึมเชิงซ้อนของ a)
วิธีการใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะไม่สามารถใช้ได้กับค่า a ที่เป็นลบ เพราะวิธีการนี้ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่อง หมายความว่า ฟังก์ชัน f (r) = ar เป็นการขยายจำนวนตรรกยะไปเป็นจำนวนจริงอย่างต่อเนื่องเพียงหนึ่งเดียวเมื่อ a > 0 แต่ในกรณี a < 0 ฟังก์ชัน f ไม่ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง r ที่กำหนดไว้แต่ละค่า
ตัวอย่าง สมมติให้ a = −1 รากที่ n ของ −1 เท่ากับ −1 สำหรับจำนวนคี่บวก n ทุกจำนวน; แต่ถ้า n เป็นจำนวนคู่บวก (−1)  (m/n)  = −1 เมื่อ m เป็นจำนวนคี่, (−1)  (m/n)  = 1 เมื่อ m เป็นจำนวนคู่ ดังนั้นเซตของจำนวนตรรกยะ q ที่ทำให้ (−1) q = 1 เป็นเซตหนาแน่น (dense set) ในจำนวนตรรกยะ เช่นเดียวกับเซตของ q ที่ทำให้ (−1) q = −1 สิ่งนี้หมายความว่าฟังก์ชัน (−1) q ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนตรรกยะ q ใด ๆ ที่กำหนดไว้แต่ละค่า
เมื่อใช้เอกลักษณ์การยกกำลังกับรากที่ n ที่เป็นลบ จำเป็นต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ ตัวอย่างเช่น −27= (−27)  ( (2/3) × (3/2) ) = ( (−27) 2/3) 3/2=93/2=27 ซึ่งผิดอย่างชัดเจน ปัญหาอยู่ที่การใช้รากที่สองที่เป็นบวก แทนที่จะใช้รากที่สองที่เป็นลบในขั้นตอนสุดท้าย แต่โดยทั่วไปปัญหาที่คล้ายกันนี้มักเกิดขึ้นกับจำนวนเชิงซ้อน ดังที่ได้อธิบายไว้ในหัวข้อความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
กำลังจำนวนจินตภาพของ e


การทำความเข้าใจ eix สำหรับจำนวนจริง x ต้องทราบถึงการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตของการดำเนินการบนจำนวนเชิงซ้อน และนิยามกำลังของ e ดังที่กล่าวไว้แล้วข้างต้น พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  (0, 1, 1 + ix/n) สำหรับจำนวน n ที่มีขนาดใหญ่มาก ๆ รูปสามเหลี่ยมนั้นจะมีลักษณะเข้าใกล้เซกเตอร์ของรูปวงกลมมากยิ่งขึ้น โดยมีมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ x/n เรเดียน และรูปสามเหลี่ยมอื่น ๆ  (0, (1 + ix/n) k, (1 + ix/n) k+1) ก็เป็นรูปสามเหลี่ยมคล้ายร่วมกันสำหรับ k ทุกค่า เพราะฉะนั้น สำหรับจำนวน n ขนาดใหญ่ จุดที่เป็นขอบเขตของ  (1 + ix/n) n ก็คือจุดที่อยู่บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมุมที่วัดจากแกนจำนวนจริงบวกเท่ากับ x เรเดียน พิกัดเชิงขั้วของจุดนี้คือ (r, θ) = (1, x) และพิกัดคาร์ทีเซียนคือ  (cos x, sin x) ดังนั้นในท้ายที่สุด eix = cos x + i sin x เรียกว่าสูตรของออยเลอร์ ซึ่งเชื่อมโยงพีชคณิตกับตรีโกณมิติด้วยความหมายของจำนวนเชิงซ้อน
คำตอบของสมการ ez = 1 คือพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π<i data-parsoid='{"dsr":[20663,20668,2,2]}'>i




{
z
:

e

z


=
1
}
=
{
2
k
π
i
:
k
∈

Z

}


{\displaystyle \{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}


ในกรณีทั่วไป ถ้ากำหนดให้ eb = a ดังนั้นคำตอบของสมการ ez = a หาได้โดยการบวก b เข้ากับพหุคูณจำนวนเต็มของ 2π<i data-parsoid='{"dsr":[20889,20894,2,2]}'>i




{
z
:

e

z


=
a
}
=
{
b
+
2
k
π
i
:
k
∈

Z

}


{\displaystyle \{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}}


ดังนั้นฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic function) ซึ่งมีคาบเท่ากับ 2π<i data-parsoid='{"dsr":[21065,21070,2,2]}'>i
นอกจากนี้ก็ยังมีสูตรอื่น ๆ อีกเช่น eiπ = −1; ex + iy = ex (cos y + i sin y)
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จากการแปลงสูตรของออยเลอร์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ โคไซน์และไซน์ถูกแปลงเป็น




cos
⁡
(
z
)
=




e

i
⋅
z


+

e

−
i
⋅
z



2


;

sin
⁡
(
z
)
=




e

i
⋅
z


−

e

−
i
⋅
z




2
⋅
i





{\displaystyle \cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}};\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}}


โคไซน์และไซน์ถูกนิยามขึ้นโดยทางเรขาคณิตก่อนมีการประดิษฐ์จำนวนเชิงซ้อนในประวัติศาสตร์ สูตรทั้งสองด้านบนเป็นการลดรูปสูตรที่ซับซ้อนของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกเป็นสูตรการยกกำลังอย่างง่ายว่า





e

i
⋅
(
x
+
y
)


=

e

i
⋅
x


⋅

e

i
⋅
y




{\displaystyle e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}}


การใช้การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเชิงซ้อน อาจช่วยลดรูปปัญหาในตรีโกณมิติไปเป็นพีชคณิตได้
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของ e
การยกกำลัง z = ex</i>+<i data-parsoid='{"dsr":[21898,21903,2,2]}'>i·y สามารถคำนวณได้จาก ex · ei·y; ตัวประกอบส่วนจริง ex คือค่าสัมบูรณ์ของ z และตัวประกอบส่วนจินตภาพ ei·y ระบุทิศทางของ z
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก
กำหนดให้ a เป็นจำนวนจริงบวก และ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ การยกกำลัง az นิยามโดย ez·ln (a)  เมื่อ x = ln (a) เป็นคำตอบจำนวนจริงเพียงหนึ่งเดียวของสมการ ex = a ดังนั้นวิธีการเดียวกันที่ใช้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงก็ยังคงใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น
2i = e i·ln (2)  = cos (ln (2) ) + i·sin (ln (2) ) ≈ 0.76924 + 0.63896<i data-parsoid='{"dsr":[22627,22632,2,2]}'>i
ei ≈ 0.54030 + 0.84147<i data-parsoid='{"dsr":[22677,22682,2,2]}'>i
10i ≈ −0.66820 + 0.74398<i data-parsoid='{"dsr":[22725,22730,2,2]}'>i
(e2π) i ≈ 535.49i ≈ 1
กำลังของจำนวนเชิงซ้อน
กำลังจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์นิยามโดยการคูณหรือการหารซ้ำ ๆ เช่นเดียวกับที่ได้กล่าวแล้ว ถ้า i คือหน่วยจินตภาพและ n คือจำนวนเต็มแล้ว in จะมีค่าเท่ากับ 1, i, −1 หรือ −i ขึ้นอยู่กับค่า n ว่าสมภาคกับ 0, 1, 2 หรือ 3 มอดุโล 4 ตามลำดับ (หรืออีกนัยหนึ่งคือ n หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเท่าใด) ด้วยสาเหตุนี้ กำลังของ i จึงมีประโยชน์ในการเขียนแทนลำดับที่มีคาบแบ่งเป็น 4 ช่วง
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวกได้นิยามผ่านทาง ex ตามที่อธิบายไว้ในหัวข้อกำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนจริงบวก ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
การขยายแนวคิดของฟังก์ชันเหล่านี้ไปเป็นกรณีทั่วไปคือ กำลังที่ไม่เป็นจำนวนเต็มของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก ทำให้เกิดความยุ่งยาก นั่นคือต้องนิยามฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องหรือฟังก์ชันหลายค่าอย่างใดอย่างหนึ่ง แต่ไม่ว่าทางเลือกใดก็ไม่สามารถนิยามให้สอดคล้องเพียงพอทั้งหมดได้
กำลังจำนวนตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนต้องเป็นคำตอบของสมการเชิงพีชคณิตสมการหนึ่ง ดังนั้นมันจึงมีคำตอบที่เป็นไปได้จำนวนจำกัดหนึ่งเสมอ ตัวอย่างเช่น w = z1/2 ต้องเป็นคำตอบของสมการ w2 = z แต่เมื่อ w เป็นคำตอบแล้ว −w ก็เป็นคำตอบด้วยเช่นกันเพราะว่า (−1) 2 = 1 คำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่ถูกเลือกโดยค่อนข้างปราศจากเหตุผลเรียกว่าค่ามุขสำคัญ (principal value) สามารถเลือกโดยใช้กฎทั่วไปซึ่งใช้กับกำลังที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะด้วย
กำลังและลอการิทึมเชิงซ้อนโดยธรรมชาติถือว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียวบนผิวรีมันน์ (Riemann surface) รูปแบบค่าเดียวถูกนิยามขึ้นโดยการเลือกผิวขึ้นมาอันหนึ่ง ค่าของมันไม่มีความต่อเนื่องตามแนวส่วนตัดกิ่ง (branch cut) การเลือกหนึ่งคำตอบจากหลายคำตอบเป็นค่ามุขสำคัญก็ยังคงได้ฟังก์ชันที่ไม่มีความต่อเนื่อง และกฎต่าง ๆ ที่ใช้จัดการกับการยกกำลังตามปกติอาจนำไปสู่ความผิดพลาดได้
กำลังจำนวนอตรรกยะของจำนวนเชิงซ้อนมีคำตอบที่เป็นไปได้ไม่จำกัด เพราะธรรมชาติของลอการิทึมเชิงซ้อนสามารถมีคำตอบได้หลายค่า ค่ามุขสำคัญคือค่าค่าหนึ่งที่ถูกเลือกด้วยกฎอย่างหนึ่งท่ามกลางคุณสมบัติอื่น ๆ ที่ทำให้แน่ใจว่า กำลังของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จะมีค่าเหมือนกับกำลังของจำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
การยกกำลังจำนวนจริงด้วยจำนวนเชิงซ้อนเป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้อง อย่างไรก็ตามในกรณีของจำนวนจริงบวก ค่ามุขสำคัญนั้นเหมือนกัน
กำลังของจำนวนจริงลบนั้นไม่ได้ถูกนิยามเสมอไป และไม่ต่อเนื่องแม้ว่าจะได้นิยามแล้ว ดังนั้นเมื่อพบกับจำนวนเชิงซ้อน ควรใช้การดำเนินการสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแทน
กำลังจำนวนเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน a และ b ซึ่ง a ≠ 0 สัญกรณ์ ab เกิดความกำกวมในคำตอบเหมือนกับ log a
เพื่อหาค่าของ ab ขั้นตอนแรกจะต้องเลือกลอการิทึมของ a ขึ้นมาค่าหนึ่ง ทางเลือกนั้นอาจเป็น Log a  (คือค่ามุขสำคัญของ log a โดยปริยายหากมิได้กำหนดเงื่อนไขอื่นเพิ่ม) หรืออาจเป็นค่าหนึ่งจากกิ่งอื่นของ log z ที่กำหนดตายตัว ดังนั้นจึงสามารถนิยามโดยใช้ฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนดังนี้





a

b


=

e

b
log
⁡
a





{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}\!}


เพราะนิยามนี้สอดคล้องกับนิยามที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ ในกรณีที่ a เป็นจำนวนจริงบวกและค่ามุขสำคัญของ log a (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) ได้ถูกเลือก
ถ้า b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นค่าของ ab จะไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของ log a เพราะสอดคล้องกับนิยามการยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ถ้า b เป็นจำนวนตรรกยะ m/n ในพจน์น้อยที่สุดโดยที่ n > 0 ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัดให้ค่าที่แตกต่างกัน n จำนวนสำหรับ ab ซึ่งค่าเหล่านี้คือจำนวนเชิงซ้อน z ที่เป็นคำตอบของสมการ zn = am
ถ้า b เป็นจำนวนอตรรกยะ ดังนั้นจะมีตัวเลือกของ log a เป็นจำนวนไม่จำกัด นำไปสู่ค่าของ ab ที่แตกต่างกันเป็นจำนวนไม่จำกัดเช่นกัน
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการแปลงฐาน a เป็นรูปแบบเชิงขั้ว ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง การสร้างที่คล้ายก็สามารถใช้ควอเทอร์เนียน (quaternion) ได้ด้วย
รากเชิงซ้อนของ 1 (รากปฐมฐาน)


จำนวนเชิงซ้อน a ที่ทำให้ an = 1 สำหรับจำนวนเต็มบวก n เรียกว่า รากที่ n ของ 1 (n</i>th root of unity) หรือเรียกสั้น ๆ ว่า รากของ 1 (root of unity) รากเหล่านี้มี n คำตอบและวางตัวคล้ายจุดยอดของรูป n เหลี่ยมปรกติ บนรูปวงกลมหนึ่งหน่วยบนระนาบเชิงซ้อน ซึ่งมีจุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่จำนวนจริง 1
ถ้า zn = 1 แต่ zk ≠ 1 สำหรับจำนวนธรรมชาติ k ตามเงื่อนไข 0 < k < n แล้ว z จะเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n (primitive n</i>th root of unity) ตัวอย่างเช่น −1 เป็นรากปฐมฐานที่สองเพียงตัวเดียว, รากปฐมฐานที่สี่มีสองตัวได้แก่ i และ −i (ไม่นับรากปฐมฐานที่สอง) เป็นต้น
จำนวน e2<i data-parsoid='{"dsr":[27548,27554,2,2]}'>πi (1/n)  คือรากปฐมฐานที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นบวกน้อยที่สุด (บางครั้งอาจเรียกว่า รากปฐมฐานที่ n "มุขสำคัญ" ถึงแม้ว่าการใช้คำนี้จะไม่แพร่หลายและอาจทำให้สับสนกับ ค่ามุขสำคัญของรากที่ n ของ 1 ซึ่งหมายถึงค่า 1 [1])
ส่วนรากของ 1 จำนวนอื่น ๆ คำนวณได้จาก






(

e

2
π
i

/

n


)


k


=

e

2
π
i
k

/

n




{\displaystyle \left(e^{2\pi i/n}\right)^{k}=e^{2\pi ik/n}}


สำหรับ 2 ≤ k ≤ n
รากของจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป
แม้ว่าลอการิทึมเชิงซ้อนมีค่าที่เป็นไปได้มากมายไม่จำกัด แต่ก็มีค่าเป็นจำนวนจำกัดเท่านั้นที่เป็นคำตอบของ az โดยเฉพาะในกรณีที่ z = 1/n และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ค่าเหล่านี้คือรากที่ n ของ a ซึ่งเป็นคำตอบของสมการ xn = a
ในทางคณิตศาสตร์ เราอาจทำให้การคำนวณสะดวกขึ้นโดยนิยาม a1/n ให้เป็นค่ามุขสำคัญของราก ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก จะสามารถเลือกคำตอบเป็นจำนวนจริงบวกเป็นค่ามุขสำคัญได้อย่างง่ายดาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนโดยทั่วไป รากที่ n ที่มีอาร์กิวเมนต์น้อยที่สุดมักจะถูกเลือกเป็นค่ามุขสำคัญของราก เช่นเดียวกับค่ามุขสำคัญของรากของ 1
เซตของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน a หาได้จากการคูณค่ามุขสำคัญของ a1/n ด้วยรากที่ n ของ 1 แต่ละจำนวน ตัวอย่างเช่น รากที่สี่ของ 16 ได้แก่ 2, −2, 2<i data-parsoid='{"dsr":[29546,29551,2,2]}'>i และ −2<i data-parsoid='{"dsr":[29558,29563,2,2]}'>i เพราะว่าค่ามุขสำคัญของรากที่สี่ของ 16 คือ 2 และรากที่สี่ของ 1 ได้แก่ 1, −1, i และ −i
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อน
การคำนวณกำลังจำนวนเชิงซ้อนสามารถทำได้ง่ายขึ้นโดยเขียนเป็นการยกกำลังในรูปแบบเชิงขั้ว จำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้วดังนี้




z
=
r

e

i
θ


=

e

ln
⁡
(
r
)
+
i
θ





{\displaystyle z=re^{i\theta }=e^{\ln(r)+i\theta }\,}


เมื่อ r คือจำนวนจริงไม่เป็นลบและ θ คืออาร์กิวเมนต์ของ z (ซึ่งเป็นจำนวนจริง) รูปแบบเชิงขั้วมีการแปลความหมายเชิงเรขาคณิตว่า ถ้าจำนวนเชิงซ้อน u + iv แทนได้ด้วยจุด (u, v) บนระนาบเชิงซ้อนโดยระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น (r, θ) ก็คือจุดเดียวกันในระบบพิกัดเชิงขั้ว นั่นหมายความว่า r คือ "รัศมี" ที่มีค่าตาม r2 = u2 + v2 และ θ คือ "มุม" ที่มีค่าตาม θ = atan2 (v, u) (ฟังก์ชัน atan2 มาจากฟังก์ชัน arctan ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม) มุมเชิงขั้ว θ มีความกำกวมเนื่องจาก θ สามารถบวกด้วยพหุคูณใด ๆ ของ 2π แล้วไม่ทำให้จุดเปลี่ยนตำแหน่งไปจากเดิม ตัวเลือกแต่ละค่าของ θ โดยทั่วไปจะให้ผลการยกกำลังที่แตกต่างกัน ส่วนตัดกิ่งส่วนหนึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อเลือกค่าที่เจาะจง ค่ามุขสำคัญ (ส่วนตัดกิ่งที่สามัญที่สุด) สอดคล้องกับ θ ที่ถูกเลือกในช่วงค่า (−π, π] สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกและส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ซึ่งใช้ค่ามุขสำคัญเช่นนั้น จะให้ผลลัพธ์เดียวกับการใช้จำนวนจริงที่เกี่ยวข้อง
เพื่อที่จะคำนวณกำลังเชิงซ้อน ab ขั้นแรกเขียน a ในรูปแบบเชิงขั้ว




a
=
r

e

i
θ





{\displaystyle a=re^{i\theta }\,}


ดังนั้น




log
⁡
a
=
log
⁡
r
+
i
θ



{\displaystyle \log a=\log r+i\theta \,}


และจะได้





a

b


=

e

b
log
⁡
a


=

e

b
(
log
⁡
r
+
i
θ
)





{\displaystyle a^{b}=e^{b\log a}=e^{b(\log r+i\theta )}\,}


ถ้า b ถูกแบ่งออกเป็น c + di ดังนั้นสูตรสำหรับ ab จึงเขียนให้ชัดเจนยิ่งขึ้นได้เป็น





(


r

c



e

−
d
θ



)


e

i
(
d
log
⁡
r
+
c
θ
)


=

(


r

c



e

−
d
θ



)


[

cos
⁡
(
d
log
⁡
r
+
c
θ
)
+
i
sin
⁡
(
d
log
⁡
r
+
c
θ
)

]



{\displaystyle \left(r^{c}e^{-d\theta }\right)e^{i(d\log r+c\theta )}=\left(r^{c}e^{-d\theta }\right)\left[\cos(d\log r+c\theta )+i\sin(d\log r+c\theta )\right]}


สูตรสุดท้ายนี้ช่วยคำนวณการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนได้โดยง่าย จากการแบ่งฐานกับเลขชี้กำลังออกเป็นรูปแบบเชิงขั้วกับรูปแบบคาร์ทีเซียนตามลำดับ สูตรดังกล่าวแสดงผลลัพธ์ทั้งรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียน (ผ่านทางเอกลักษณ์ของออยเลอร์)
ตัวอย่างต่อไปนี้จะใช้ค่ามุขสำคัญคือส่วนตัดกิ่งที่ทำให้ θ อยู่ในช่วงค่า (−π, π] กำหนดโจทย์ ii ขั้นแรกเขียน i ในรูปแบบเชิงขั้วและรูปแบบคาร์ทีเซียนดังนี้




i
=
1
⋅

e

i
π

/

2





{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2}\,}






i
=
0
+
1
i



{\displaystyle i=0+1i\,}


จากการแปลงด้านบน จะได้ว่า r = 1, θ = π/2, c = 0 และ d = 1 ดังนั้น






i

i


=

(


1

0



e

−
π

/

2



)


e

i
(
1
⋅
log
⁡
1
+
0
⋅
π

/

2
)


=

e

−
π

/

2


≈
0.2079


{\displaystyle \ i^{i}=\left(1^{0}e^{-\pi /2}\right)e^{i(1\cdot \log 1+0\cdot \pi /2)}=e^{-\pi /2}\approx 0.2079}


เช่นเดียวกันสำหรับโจทย์ (−2) 3 + 4<i data-parsoid='{"dsr":[32156,32161,2,2]}'>i หารูปแบบเชิงขั้วของ −2 ได้เป็น




−
2
=
2

e

i
π





{\displaystyle -2=2e^{i\pi }\,}


แล้วใช้สูตรด้านบนคำนวณจนได้คำตอบ




(
−
2

)

3
+
4
i


=

(


2

3



e

−
4
π



)


e

i
(
4
log
⁡
(
2
)
+
3
π
)


≈
(
2.602
−
1.006
i
)
⋅

10

−
5




{\displaystyle (-2)^{3+4i}=\left(2^{3}e^{-4\pi }\right)e^{i(4\log(2)+3\pi )}\approx (2.602-1.006i)\cdot 10^{-5}}


ค่าของการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนขึ้นอยู่กับกิ่งที่เลือก ตัวอย่างเช่น ถ้าเลือกรูปแบบเชิงขั้วของ i = 1<i data-parsoid='{"dsr":[32495,32500,2,2]}'>ei (5π/2)  เพื่อคำนวณ ii คำตอบจะกลายเป็น e−5π/2 แต่ค่ามุขสำคัญของ ii คือ e−π/2 ดังตัวอย่างที่แสดงไว้แล้ว เซตของค่าทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับ ii สามารถหาได้จากเงื่อนไข [2]




i
=
1
⋅

e

i
π

/

2
+
i
2
π
k




{\displaystyle i=1\cdot e^{i\pi /2+i2\pi k}}







i

i


=

e

i

(

i
π

/

2
+
i
2
π
k

)



=

e

−

(

π

/

2
+
2
π
k

)





{\displaystyle i^{i}=e^{i\left(i\pi /2+i2\pi k\right)}=e^{-\left(\pi /2+2\pi k\right)}}


เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มจำนวนหนึ่ง ดังนั้นคำตอบที่เป็นไปได้ของ ii จึงมีจำนวนไม่จำกัดสำหรับค่า k แต่ละค่า คำตอบทั้งหมดมีส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงอาจกล่าวได้ว่า ii มีค่าเป็นจำนวนจริงและมีเป็นอนันต์
ความผิดพลาดของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึม
เอกลักษณ์การยกกำลังและลอการิทึมบางอย่างที่ใช้กับจำนวนจริงบวก ใช้งานไม่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน ไม่ว่าการยกกำลังเชิงซ้อนและลอการิทึมเชิงซ้อนถูกนิยามขึ้นอย่างไร ยกตัวอย่าง
เอกลักษณ์ log (ab) = b · log<i data-parsoid='{"dsr":[33658,33663,2,2]}'>a เป็นจริงเมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกและ b เป็นจำนวนจริง แต่สำหรับกิ่งมุขสำคัญ (principal branch) ของลอการิทึมเชิงซ้อนจะได้ว่า
:: 



i
π
=
log
⁡
(
−
1
)
=
log
⁡
(
(
−
i

)

2


)

≠

2
log
⁡
(
−
i
)
=
2
(
−
i
π

/

2
)
=
−
i
π


{\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log((-i)^{2})\,\neq \,2\log(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi }


: ไม่ว่ากิ่งใดของลอการิทึมจะถูกเลือก ความผิดพลาดดังกล่าวก็ยังคงมีอยู่ แนวทางที่ดีที่สุด (เมื่อต้องการใช้ผลลัพธ์เท่านั้น) คือการกำหนดให้
:: 



log
⁡
(

a

b


)
≡
b
⋅
log
⁡
(
a
)


(
mod

2
π
i
)



{\displaystyle \log(a^{b})\equiv b\cdot \log(a){\pmod {2\pi i}}}


: เอกลักษณ์นี้ก็ไม่เป็นจริงหากพิจารณาว่าลอการิทึมเป็นฟังก์ชันหลายค่า ค่าที่เป็นไปได้ของ log (ab) จะมีค่า b · log<i data-parsoid='{"dsr":[34245,34250,2,2]}'>a เหล่านั้นเป็นเพียงเซตย่อยเซตหนึ่ง ค่าที่เป็นไปได้ทั้งสองข้างของเอกลักษณ์ซึ่งแสดงด้วย Log (a)  แทนค่ามุขสำคัญของ log (a) และ m กับ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ว่า
:: 




{

log
⁡
(

a

b


)

}

=

{

b
⋅
Log
⁡
(
a
)
+
b
⋅
2
π
i
n
+
2
π
i
m

}



{\displaystyle \left\{\log(a^{b})\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in+2\pi im\right\}}


:: 




{

b
⋅
log
⁡
(
a
)

}

=

{

b
⋅
Log
⁡
(
a
)
+
b
⋅
2
π
i
n

}



{\displaystyle \left\{b\cdot \log(a)\right\}=\left\{b\cdot \operatorname {Log} (a)+b\cdot 2\pi in\right\}}


เอกลักษณ์ (ab) c = acbc และ (a/b) c = ac/bc ใช้ได้เฉพาะเมื่อ a กับ b เป็นจำนวนจริงบวกและ c เป็นจำนวนจริง แต่การคำนวณโดยใช้กิ่งมุขสำคัญแสดงให้เห็นว่า
:: 



1
=
(
−
1
×
−
1

)

1

/

2


≠
(
−
1

)

1

/

2


(
−
1

)

1

/

2


=
−
1


{\displaystyle 1=(-1\times -1)^{1/2}\not =(-1)^{1/2}(-1)^{1/2}=-1}


: และ
:: 



i
=
(
−
1

)

1

/

2


=


(


1

−
1



)


1

/

2


≠



1

1

/

2



(
−
1

)

1

/

2





=


1
i


=
−
i


{\displaystyle i=(-1)^{1/2}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{1/2}\not ={\frac {1^{1/2}}{(-1)^{1/2}}}={\frac {1}{i}}=-i}


: ในทางตรงข้าม เมื่อ c เป็นจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้จะใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวน
: ถ้าการยกกำลังถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า ดังนั้นค่าที่เป็นไปได้ของ (−1×−1) 1/2 คือ {1, −1} เอกลักษณ์ยังคงเป็นจริง แต่การกล่าวว่า {1}={ (−1×−1) 1/2} นั้นผิด
เอกลักษณ์ (ea) b = eab เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง a และ b แต่การสมมติให้เอกลักษณ์นี้เป็นจริงสำหรับจำนวนเชิงซ้อนนำไปสู่ปฏิทรรศน์ต่อไปนี้ ซึ่งค้นพบโดยโทมัส คลาวเซน (Thomas Clausen) เมื่อ ค.ศ. 1827 [3]
: สำหรับจำนวนเต็ม n ใด ๆ จะได้ว่า
:# 




e

1
+
2
π
i
n


=

e

1



e

2
π
i
n


=
e
⋅
1
=
e



{\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e\,}


:# 





(

e

1
+
2
π
i
n


)


1
+
2
π
i
n


=
e



{\displaystyle \left(e^{1+2\pi in}\right)^{1+2\pi in}=e\,}


:# 




e

1
+
4
π
i
n
−
4

π

2



n

2




=
e



{\displaystyle e^{1+4\pi in-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}


:# 




e

1



e

4
π
i
n



e

−
4

π

2



n

2




=
e



{\displaystyle e^{1}e^{4\pi in}e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=e\,}


:# 




e

−
4

π

2



n

2




=
1



{\displaystyle e^{-4\pi ^{2}n^{2}}=1\,}


: แต่สิ่งนี้เป็นเท็จเมื่อจำนวนเต็ม n ไม่เท่ากับศูนย์
: การให้เหตุผลดังกล่าวมีปัญหาเกิดขึ้นหลายปัญหา ความผิดพลาดหลักคือการเปลี่ยนอันดับของการยกกำลัง จากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม ได้เปลี่ยนค่ามุขสำคัญที่จะถูกเลือกใช้
: จากมุมมองของฟังก์ชันหลายค่า ความผิดพลาดอย่างแรกเกิดขึ้นก่อนหน้านั้นซึ่งเห็นได้โดยปริยายจากบรรทัดแรกแต่ไม่เด่นชัด คือ e เป็นจำนวนจริงในขณะที่ผลลัพธ์ของ e1+2π<i data-parsoid='{"dsr":[36855,36861,2,2]}'>in เป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งควรเขียนแทนด้วย e+0<i data-parsoid='{"dsr":[36913,36918,2,2]}'>i มากกว่า การแทนที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนสำหรับจำนวนจริงในบรรทัดที่สอง ทำให้การยกกำลังมีคำตอบที่เป็นไปได้หลายค่า การเปลี่ยนอันดับของการยกกำลังจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดที่สาม จึงส่งผลต่อค่าที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ว่ามีเป็นจำนวนเท่าใดด้วย
0 ยกกำลัง 0

ผู้เขียนตำราส่วนมากเห็นพ้องกับประโยคที่เกี่ยวข้องกับ 00 ในรายการสองรายการด้านล่าง รายการแรกไม่เกี่ยวกับความต่อเนื่อง ส่วนรายการถัดไปเกี่ยวกับความต่อเนื่อง แต่ "ตัดสินใจ" ไม่เหมือนกันเพื่อที่จะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม (ดูรายละเอียดที่มุมมองที่แตกต่างในอดีต)
ในการกำหนดที่ไม่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่องของเลขชี้กำลัง การตีความว่า 00 คือ 1 ช่วยให้สูตรต่าง ๆ ง่ายขึ้นและไม่จำเป็นต้องนำเอาทฤษฎีบทอื่นมาอธิบายเป็นกรณีพิเศษ ตัวอย่างเช่น
การพิจารณา a0 ให้เป็นผลคูณว่างซึ่งมีค่าเป็น 1 แม้ว่า a จะเท่ากับ 0
การตีความทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดถือว่า 00 คือจำนวนของศูนย์สิ่งอันดับของสมาชิกจากเซตว่าง ดังนั้นจึงมีศูนย์สิ่งอันดับหนึ่งตัว
ในทางเดียวกัน การตีความทางทฤษฎีเซตของ 00 คือจำนวนฟังก์ชันจากเซตว่างไปยังเซตว่าง ซึ่งมีเพียงหนึ่งฟังก์ชันเท่านั้นนั่นคือ ฟังก์ชันว่าง (empty function) [4]
สัญกรณ์ 




∑

a

n



x

n





{\displaystyle \textstyle \sum a_{n}x^{n}}

 สำหรับพหุนามและอนุกรมกำลังขึ้นอยู่กับการนิยามให้ 00 = 1 เอกลักษณ์อย่างเช่น 





1

1
−
x



=

∑

n
=
0


∞



x

n




{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}

 และ 




e

x


=

∑

n
=
0


∞





x

n



n
!





{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}

 และทฤษฎีบททวินาม 



(
1
+
x

)

n


=

∑

k
=
0


n





(


n
k


)




x

k




{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}

 จะใช้งานไม่ได้เมื่อ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1 [5]
ในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ กฎการยกกำลัง 






d

d
x




x

n


=
n

x

n
−
1





{\displaystyle \textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}

 จะใช้ไม่ได้สำหรับ n = 1 ที่ x = 0 ถ้าไม่กำหนดให้ 00 = 1
ในทางตรงข้าม เมื่อ 00 เกิดจากลิมิตในรูปแบบ 




lim

(
x
,
y
)
→
(
0
,
0
)



x

y




{\displaystyle \lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y}}

 ซึ่งเป็นการกำหนดที่เกี่ยวข้องกับความต่อเนื่อง จะถูกพิจารณาให้เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด (indeterminate form)
ลิมิตที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการเชิงพีชคณิต มักจะสามารถประเมินค่าได้ด้วยการแทนที่นิพจน์ย่อยด้วยลิมิตของมัน ถ้านิพจน์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่สามารถกำหนดลิมิตดั้งเดิมได้ นิพจน์นั้นจะเรียกว่าเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด [6] หาก f (t) และ g (t) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ (เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้จำนวนจริงจำนวนหนึ่งหรือ ±∞) โดยที่ f (t) > 0 แล้วฟังก์ชัน f (t) g (t)  ไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ 1 เสมอไป; ลิมิตของ f (t) g (t)  อาจให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เป็นลบหรือ +∞ หรืออาจไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับ f และ g ว่านิยามไว้อย่างไร ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันด้านล่างนี้อยู่ในรูปแบบ f (t) g (t)  ซึ่ง f (t), g (t) →0 เมื่อ t→0+ แต่ลิมิตของมันมีค่าต่างกันดังนี้
:: 




lim

t
→

0

+






t


t


=
1
,


lim

t
→

0

+




(

e

−
1

/


t

2





)

t


=
0
,


lim

t
→

0

+




(

e

−
1

/


t

2





)

−
t


=
+
∞
,


lim

t
→

0

+




(

e

−
1

/

t



)

a
t


=

e

−
a




{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}}


: ดังนั้น 00 จึงเป็นรูปแบบยังไม่กำหนดชนิดหนึ่ง พฤติกรรมนี้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy แม้ว่าจะต่อเนื่องบนเซต { (x, y): x > 0} ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตใด ๆ ที่รวม (0, 0) อยู่ด้วย ไม่ว่า 00 จะถูกนิยามขึ้นอย่างไร [7] อย่างไรก็ตาม ภายใต้เงื่อนไขเฉพาะเช่นเมื่อ f กับ g เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) ทั้งคู่และ f ไม่เป็นลบ ลิมิตทางด้านขวาจะเท่ากับ 1 เสมอ [8][9][10]
ในโดเมนเชิงซ้อน ฟังก์ชัน zw ถูกนิยามขึ้นสำหรับ z ไม่เท่ากับศูนย์ โดยเลือกกิ่งหนึ่งของ log z และกำหนดให้ zw:= ew</i>log<i data-parsoid='{"dsr":[43176,43181,2,2]}'>z แต่ไม่มีกิ่งของ log z ที่นิยามไว้สำหรับ z เท่ากับศูนย์ จึงทิ้งไว้เป็นไม่นิยาม [11]
มุมมองที่แตกต่างในอดีต
ผู้แต่งตำราหลายคนตีความสถานการณ์ข้างต้นในวิธีที่แตกต่างกันเช่น
กลุ่มหนึ่งให้เหตุผลว่าค่าที่ดีที่สุดของ 00 ขึ้นอยู่กับบริบท และการนิยามครั้งหนึ่งเพื่อใช้กับทุกกรณีเป็นต้นไปทำให้เกิดปัญหา [12] เบนสัน (Benson) กล่าวว่า "ทางเลือกว่าจะนิยาม 00 หรือไม่นิยาม ขึ้นอยู่กับความสะดวก ไม่ใช่ความถูกต้อง" [13]
อีกกลุ่มหนึ่งแย้งว่า 00 ควรจะเท่ากับ 1 คนูธบอกว่าจำนวนนี้ "ต้องเป็น 1" แม้เขาก็ได้กล่าวต่อไปอีกว่า "โคชีก็มีเหตุผลที่ดีในการพิจารณา 00 ให้เป็น รูปแบบลิมิต ที่ไม่นิยาม" และกล่าวอีกว่า "ในความรู้สึกที่แรงกล้าอย่างมาก ค่าของ 00 ได้ถูกนิยามไว้น้อยกว่าค่าของ 0+0 เป็นต้นเสียอีก" [14]
การถกเถียงเกิดขึ้นในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นอย่างน้อย ในเวลานั้นนักคณิตศาสตร์ส่วนมากยอมรับว่า 00 = 1 จนกระทั่งโคชี (Cauchy) ได้แสดงรายการ 00 พร้อมกับนิพจน์อื่น ๆ เช่น  ในตารางรูปแบบที่ไม่นิยาม [15]
ในช่วงคริสต์ทศวรรษ 1830 ลิบรี (Libri) ได้เผยแพร่เกี่ยวกับการให้เหตุผลที่ทำให้ไม่น่าเชื่อว่า 00 = 1 [16][17] กล่าวคือ การอ้างว่า 




lim

t
→

0

+




f
(
t

)

g
(
t
)


=
1


{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1}

 เมื่อใดก็ตามที่ 




lim

t
→

0

+




f
(
t
)
=

lim

t
→

0

+




g
(
t
)
=
0


{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}

 เป็นการสันนิษฐานที่ผิด และเมอบิอุส (Möbius) ก็เห็นด้วยกับเขา [18] ผู้ออกความเห็นคนหนึ่งที่ใช้ชื่อว่า "S" ได้ให้ตัวอย่างของการโต้แย้ง (e−1/t) t ตัวอย่างนี้ทำให้การถกเถียงสงบเงียบลงชั่วระยะเวลาหนึ่ง ผลสรุปที่ปรากฏของเรื่องนี้คือ 00 ไม่ควรนิยาม [14]
การปฏิบัติในคอมพิวเตอร์
มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE
มาตรฐานจำนวนจุดลอยตัว IEEE 754-2008 ใช้ในการออกแบบไลบรารีเกี่ยวกับจำนวนจุดลอยตัวเป็นส่วนมาก มาตรฐานดังกล่าวได้แนะนำฟังก์ชันที่แตกต่างกันสำหรับคำนวณการยกกำลังต่อไปนี้ [19]
pow ให้ค่า 00 เป็น 1 ฟังก์ชันนี้เป็นรุ่นที่นิยามไว้เก่าที่สุด ถ้ากำลังเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ผลลัพธ์จะเหมือนกับ pown หากไม่เป็นเช่นนั้นผลลัพธ์จะเหมือนกับ powr (ยกเว้นกรณีพิเศษบางกรณี)
pown ให้ค่า 00 เป็น 1 กำลังต้องเป็นจำนวนเต็มอย่างแน่ชัด ฟังก์ชันนี้ได้นิยามสำหรับฐานที่เป็นลบด้วยเช่น pown (−3, 5)  ให้ผลลัพธ์ −243
powr ให้ค่า 00 เป็น NaN (ไม่ใช่จำนวน คือไม่นิยาม) ฟังก์ชันนี้ก็ยังให้ผลลัพธ์เป็น NaN ในกรณีฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์เช่น powr (−3, 2)  ค่าของมันนิยามขึ้นจาก eเลขชี้กำลัง×log (ฐาน) 
ภาษาโปรแกรม
ภาษาโปรแกรมส่วนใหญ่ที่มีฟังก์ชันการยกกำลังถูกนำมาทำให้เกิดผลโดยใช้ฟังก์ชัน pow ของ IEEE ดังนั้นมันจึงให้ค่า 00 เป็น 1 มาตรฐานภาษาซีและภาษาซีพลัสพลัสในเวลาต่อมาได้อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นพฤติกรรมเชิงบรรทัดฐาน (normative) [20] มาตรฐานภาษาจาวาก็ประกาศให้ใช้พฤติกรรมนี้ [21] System.Math.Pow ในดอตเน็ตเฟรมเวิร์ก ก็ให้ค่า 00 เป็น 1 เช่นกัน [22]
ซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์
เซจ ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข [23] ไม่ลดรูป 0a และให้ค่า 00 เป็น 1
เมเพิล ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข (แต่รูปแบบอย่างหลังสามารถใช้งานได้เฉพาะเมื่อกำหนดค่า a > 0) และให้ค่า 00 เป็น 1
แมกซิมา ก็ลดรูป a0 เป็น 1 และ 0a เป็น 0 ด้วยเช่นกัน ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข แต่จะเกิดข้อผิดพลาดสำหรับ 00
แมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟา ลดรูป a0 เป็น 1 ถ้า a ไม่กำหนดเงื่อนไข [24] แมเทอแมติกาไม่ลดรูป 0a ในขณะที่วุลแฟรมแอลฟาให้ผลลัพธ์สองอย่างคือ 0 และรูปแบบยังไม่กำหนด [25] ทั้งแมเทอแมติกาและวุลแฟรมแอลฟาให้ค่า 00 เป็นรูปแบบยังไม่กำหนด [26]
หมายเหตุ "ลดรูป" หมายถึง ให้ค่าผลลัพธ์โดยอัตโนมัติ แม้จะไม่ระบุค่าของ a
ลิมิตของการยกกำลัง
หัวข้อ 0 ยกกำลัง 0 ได้แสดงตัวอย่างลิมิตของรูปแบบยังไม่กำหนด 00 ไว้จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเหล่านี้มีลิมิตต่าง ๆ แต่มีค่าแตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันสองตัวแปร xy ไม่มีลิมิตที่จุด (0, 0) จึงอาจเกิดคำถามว่าฟังก์ชันนี้มีลิมิตที่จุดไหนบ้าง
เพื่อความถูกต้องยิ่งขึ้น พิจารณาฟังก์ชัน f (x, y) =xy ที่นิยามบนโดเมน D={ (x, y) ∈R2:x>0} ดังนั้น D อาจถูกมองว่าเป็นเซตย่อยของ R2 (นั่นคือเซตของคู่อันดับ (x, y) ทั้งหมด ซึ่ง x, y อยู่บนเส้นจำนวนจริงขยาย R=[−∞, +∞] โดยสร้างขึ้นจากทอพอโลยีผลคูณ) ซึ่งจะรวมจุดต่าง ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชัน f มีลิมิต
โดยข้อเท็จจริง f จะมีลิมิตที่จุดสะสม (accumulation point) ต่าง ๆ ของ D ยกเว้น (0, 0), (+∞, 0), (1, +∞) และ (1, −∞) [27] ด้วยเหตุนี้เราจึงสามารถนิยามการยกกำลัง xy ด้วยความต่อเนื่องเมื่อใดก็ตามที่ 0≤x≤+∞, −∞ ≤y≤+∞ โดยยกเว้น 00, (+∞) 0, 1+∞ และ 1−∞ ซึ่งเหลือเป็นรูปแบบยังไม่กำหนด
ภายใต้การนิยามโดยความต่อเนื่องนี้ จะได้
a+∞ = +∞ และ a−∞ = 0 เมื่อ 1 < a ≤ +∞
a+∞ = 0 และ a−∞ = +∞ เมื่อ 0 ≤ a < 1
0b = 0 และ (+∞) b = +∞ เมื่อ 0 < b ≤ +∞
0b = +∞ และ (+∞) b = 0 เมื่อ −∞ ≤ b < 0
กำลังเหล่านี้ได้มาจากการหาลิมิตของ xy สำหรับค่า x ที่เป็นบวก วิธีการนี้ไม่อนุญาตให้นิยาม xy เมื่อ x<0 เพราะคู่อันดับ (x, y) ต่าง ๆ ที่ x<0 ไม่ใช่จุดสะสมของ D
ในอีกทางหนึ่ง เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม การยกกำลัง xn มีความหมายอยู่แล้วสำหรับ x ทุกค่าซึ่งรวมทั้งค่าลบด้วย สิ่งนี้อาจทำให้การนิยาม 0n=+∞ ที่ได้มาข้างต้นสำหรับค่า n ที่เป็นลบเกิดปัญหาเมื่อ n เป็นจำนวนคี่ เนื่องจากกรณีนี้ tn→+∞ เมื่อ t มีค่าเข้าใกล้ 0 ทางบวก แต่ไม่ใช่ทางลบ
การคำนวณกำลังจำนวนเต็มอย่างมีประสิทธิภาพ
วิธีการคำนวณที่ง่ายที่สุดของ an คือการคูณเป็นจำนวน n−1 ครั้ง แต่มันก็อาจคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้ เช่นโจทย์ให้คำนวณ 2100 แต่เราทราบว่า 100 = 64 + 32 + 4 เราอาจคำนวณตามลำดับดังนี้
22 = 4
(22) 2 = 24 = 16
(24) 2 = 28 = 256
(28) 2 = 216 = 65,536
(216) 2 = 232 = 4,294,967,296
(232) 2 = 264 = 18,446,744,073,709,551,616
264 232 24 = 2100 = 1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376
ขั้นตอนเหล่านี้จำเป็นต้องใช้การคูณเพียงแค่ 8 ครั้ง (ผลคูณในขั้นตอนสุดท้ายใช้การคูณ 2 ครั้ง) แทนที่จะต้องคูณถึง 99 ครั้ง
จำนวนครั้งของการคูณที่จำเป็นสำหรับคำนวณ an โดยทั่วไปสามารถลดให้เหลือ Θ (log n) โดยใช้การยกกำลังด้วยกำลังสอง (exponentiation by squaring) หรือโดยนัยทั่วไปขึ้นอีกคือ การยกกำลังด้วยลูกโซ่การบวก (addition-chain exponentiation) การหาลำดับของการคูณ น้อยที่สุด ของ an (ลูกโซ่การบวกสั้นที่สุดของเลขชี้กำลัง) เป็นข้อปัญหาที่ยากข้อหนึ่ง เพราะขั้นตอนวิธีอันมีประสิทธิภาพยังไม่เป็นที่ทราบในปัจจุบัน (ดูเพิ่มที่ปัญหาผลรวมเซตย่อย) แต่ขั้นตอนวิธีแบบศึกษาสำนึก (heuristic) ที่มีประสิทธิภาพอย่างสมเหตุสมผลก็มีให้ใช้มากมาย [28]
สัญกรณ์ยกกำลังสำหรับชื่อฟังก์ชัน
การใส่ตัวยกจำนวนเต็มถัดจากชื่อหรือสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน ซึ่งดูเหมือนว่าฟังก์ชันนั้นกำลังถูกยกกำลัง โดยทั่วไปจะหมายถึงการประกอบฟังก์ชัน (function composition) มากกว่าจะเป็นการคูณซ้ำ ๆ ดังนั้น f3 (x) จึงอาจหมายถึง f (f (f (x) ) ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง f−1 (x) ตามปกติใช้แสดงถึงฟังก์ชันผกผันของ f; ฟังก์ชันซ้อน (iterated function) ที่เกิดจากการประกอบฟังก์ชันเป็นประโยชน์ในการศึกษาแฟร็กทัลและระบบเชิงพลวัต (dynamical system) ชาร์ลส แบบเบจ เป็นคนแรกที่เริ่มศึกษาปัญหาการหาค่าของรากที่สองเชิงฟังก์ชัน f1/2 (x)
อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติก็ใช้สัญกรณ์พิเศษเช่นนั้นด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์ กล่าวคือ เลขชี้กำลังที่เป็นบวกถูกวางไว้หลังชื่อย่อของฟังก์ชัน หมายถึงผลลัพธ์ของการยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังนั้น ในขณะที่เลขชี้กำลัง −1 แสดงถึงฟังก์ชันผกผัน ตัวอย่างเช่น sin2x เป็นการเขียนอย่างย่อแทน (sin<i data-parsoid='{"dsr":[54381,54386,2,2]}'>x) 2 โดยไม่ใช้วงเล็บ แต่ในขณะเดียวกัน sin−1x หมายถึงฟังก์ชันผกผันของไซน์คือ arcsin<i data-parsoid='{"dsr":[54503,54508,2,2]}'>x เพราะมันไม่จำเป็นต้องมีส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติเนื่องจากมันมีชื่อและชื่อย่อของมันเองอยู่แล้ว เช่น 1/ (sin<i data-parsoid='{"dsr":[54625,54630,2,2]}'>x) = (sin<i data-parsoid='{"dsr":[54644,54649,2,2]}'>x) −1 ก็คือ csc<i data-parsoid='{"dsr":[54680,54685,2,2]}'>x เป็นต้น สัญนิยมที่คล้ายกันนี้ก็ใช้กับลอการิทึมด้วย เช่น log2x หมายถึง (log<i data-parsoid='{"dsr":[54781,54786,2,2]}'>x) 2 ไม่ใช่ loglog<i data-parsoid='{"dsr":[54826,54831,2,2]}'>x
การวางนัยทั่วไป
พีชคณิตนามธรรม
การยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม สามารถนิยามขึ้นสำหรับโครงสร้างที่ค่อนข้างทั่วไปในพีชคณิตนามธรรม
กำหนดให้ X เป็นเซตที่มีการดำเนินการทวิภาคอย่างหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง (power associativity) และเขียนอยู่ในรูปแบบการคูณแล้ว xn ถูกนิยามให้เป็นผลคูณของ x จำนวน n ตัว สำหรับสมาชิก x ใด ๆ ของ X และจำนวนธรรมชาติ n ใด ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งนิยามแบบเวียนเกิดได้ว่า





x

1


=
x



{\displaystyle x^{1}=x\;}







x

n


=

x

n
−
1


x
;



for 


n
>
1


{\displaystyle x^{n}=x^{n-1}x;\quad {\hbox{for }}n>1}


จะมีสมบัติต่าง ๆ ดังต่อไปนี้




(

x

i



x

j


)

x

k


=

x

i


(

x

j



x

k


)



{\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\;}

 (สมบัติการเปลี่ยนหมู่ของกำลัง)





x

m
+
n


=

x

m



x

n





{\displaystyle x^{m+n}=x^{m}x^{n}\;}






(

x

m



)

n


=

x

m
n





{\displaystyle (x^{m})^{n}=x^{mn}\;}


ถ้าการดำเนินการนี้มีสมาชิกเอกลักษณ์ทั้งสองด้านเป็น 1 (มักแสดงด้วย e) ดังนั้น x0 จะถูกนิยามให้เท่ากับ 1 สำหรับค่า x ใด ๆ




x
1
=
1
x
=
x



{\displaystyle x1=1x=x\;}

 (เอกลักษณ์สองด้าน)





x

0


=
1



{\displaystyle x^{0}=1\;}


ถ้าการดำเนินการนี้ก็มีสมาชิกผกผันทั้งสองด้านและการคูณเปลี่ยนหมู่ได้ จะทำให้แม็กม่า (magma) กลายเป็นกรุป ตัวผกผันของ x สามารถแสดงได้ด้วย x−1 และเป็นไปตามกฎปกติทั้งหมดของเลขชี้กำลัง




x

x

−
1


=

x

−
1


x
=
1



{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1\;}

 (ตัวผกผันสองด้าน)




(
x
y
)
z
=
x
(
y
z
)



{\displaystyle (xy)z=x(yz)\;}

 (การคูณเปลี่ยนหมู่ได้)





x

−
n


=


(

x

−
1


)


n





{\displaystyle x^{-n}=\left(x^{-1}\right)^{n}\;}







x

m
−
n


=

x

m



x

−
n





{\displaystyle x^{m-n}=x^{m}x^{-n}\;}


ถ้าการคูณสามารถสลับที่ได้ (ตัวอย่างเช่นในอาบีเลียนกรุป) จะทำให้การดำเนินการมีสมบัตินี้ด้วย




(
x
y

)

n


=

x

n



y

n





{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}\;}


ถ้าการดำเนินการทวิภาคนั้นเขียนอยู่ในรูปแบบการบวก ซึ่งมักใช้กับอาบีเลียนกรุป ดังนั้นวลี "การยกกำลังคือการคูณซ้ำ ๆ" จึงสามารถตีความได้เป็น "การคูณคือการบวกซ้ำ ๆ" เพราะฉะนั้นกฎแต่ละข้อของการยกกำลังข้างต้นก็เทียบเคียงได้กับกฎต่าง ๆ ของการคูณ
เมื่อเรามีการดำเนินการหลายอย่างแล้ว การดำเนินการใด ๆ อาจถูกกระทำซ้ำโดยใช้การยกกำลัง การแสดงว่าการดำเนินการกำลังถูกกระทำซ้ำ โดยปกติจะใส่สัญลักษณ์กำกับตัวยก อาทิ x∗n หมายถึง x ∗ ··· ∗ x หรือ x#n หมายถึง x # ··· # x ไม่ว่า ∗ กับ # จะเป็นการดำเนินการอะไรก็ตาม
สัญกรณ์ตัวยกก็มีใช้เช่นกัน โดยเฉพาะในเรื่องทฤษฎีกรุป เพื่อแสดงการสังยุค (conjugation) อาทิ gh = h−1gh เมื่อ g และ h เป็นสมาชิกของกรุปบางกรุป แม้ว่าการสังยุคจะปฏิบัติตามกฎของการยกกำลังเหมือนกัน แต่ไม่ใช่ตัวอย่างของการคูณซ้ำในกรณีใด ๆ ; ควอนเดิล (quandle) เป็นโครงสร้างเชิงพีชคณิตชนิดหนึ่งที่มีกฎของการสังยุคเหล่านี้เป็นบทบาทหลัก
เซต

ถ้า n เป็นจำนวนธรรมชาติและ A เป็นเซตใด ๆ นิพจน์ An มักถูกใช้เพื่อแสดงเซตของ n สิ่งอันดับของสมาชิกของ A สิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้ An หมายถึงเซตของฟังก์ชันจาก {0, 1, 2, ..., n−1} ไปยัง A; n สิ่งอันดับ (a0, a1, a2, ..., an−1) เป็นตัวแทนของฟังก์ชันที่ส่งค่าจาก i ไปยัง ai
กำหนดให้จำนวนเชิงการนับ κ ที่ไม่จำกัดและเซต A เซตหนึ่ง สัญกรณ์ Aκ ก็ยังใช้แสดงถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่มีขนาดเท่ากับ κ ไปยัง A บางครั้งก็เขียนในรูปแบบ κA เพื่อทำให้แตกต่างจากการยกกำลังเชิงการนับ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป
การยกกำลังแบบนัยทั่วไปสามารถนิยามขึ้นได้สำหรับการดำเนินการบนเซต หรือสำหรับเซตที่มีโครงสร้างพิเศษเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นในพีชคณิตเชิงเส้น เราสามารถแจกแจงดัชนีผลบวกตรงของปริภูมิเวกเตอร์บนเซตดัชนีใด ๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า





⨁

i
∈

N




V

i




{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }V_{i}}


เมื่อ Vi แต่ละตัวคือปริภูมิเวกเตอร์ปริภูมิหนึ่ง ดังนั้นถ้า Vi = V สำหรับแต่ละค่า i แล้ว ผลลัพธ์จากผลบวกตรงสามารถเขียนให้อยู่ในสัญกรณ์ยกกำลังเป็น V⊕N หรือเขียนเพียงแค่ VN โดยทำความเข้าใจว่าเป็นผลบวกตรงโดยปริยาย นอกจากนี้เราอาจแทนที่เซต N ด้วยจำนวนเชิงการนับ n เพื่อให้ได้ Vn แม้ว่าไม่ต้องเลือกเซตมาตรฐานเจาะจงที่มีภาวะเชิงการนับเป็น n สิ่งนี้สามารถนิยามโดยขึ้นอยู่กับสมสัณฐาน (isomorphism) เพียงเท่านั้น เมื่อนำเอา V มาเป็นฟีลด์ R สำหรับจำนวนจริง (เทียบได้กับปริภูมิเวกเตอร์บนตัวเอง) และ n เป็นจำนวนธรรมชาติบางจำนวน จะได้ปริภูมิเวกเตอร์สามัญที่สุดที่ศึกษากันในพีชคณิตเชิงเส้น นั่นคือปริภูมิแบบยุคลิด Rn
ถ้าหากฐานของการดำเนินการยกกำลังเป็นเซต การดำเนินการนั้นจะเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนเมื่อไม่มีเงื่อนไขอื่นเพิ่มเติม เนื่องด้วยผลคูณคาร์ทีเซียนต่าง ๆ ให้ผลเป็น n สิ่งอันดับ (n-tuple) ซึ่งสามารถแสดงแทนด้วยฟังก์ชันบนเซตที่มีภาวะเชิงการนับที่เหมาะสม ดังนั้น SN จึงหมายถึงเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก N ไปยัง S ในกรณีนี้





S

N


≡
{
f
:
N
→
S
}


{\displaystyle S^{N}\equiv \{f\colon N\to S\}}


สิ่งนี้เข้ากันได้กับการยกกำลังของจำนวนเชิงการนับในแง่ที่ว่า |SN| = |S||N| เมื่อ |X| หมายถึงภาวะเชิงการนับของ X; เมื่อ "2" ถูกนิยามเป็นเซต {0, 1} เราจะได้ |2X| = 2|X| เมื่อ 2X ซึ่งโดยปกติแสดงด้วย P (X) คือเซตกำลังของ X; เซตย่อย Y แต่ละเซตของ X สอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับฟังก์ชันบน X ที่ให้ค่า 1 สำหรับ x∈Y และค่า 0 สำหรับ x∉Y
ทฤษฎีประเภท

ในเรื่องของประเภทปิดคาร์ทีเซียน (Cartesian closed category) การดำเนินการยกกำลังถูกใช้เพื่อกำหนดให้อ็อบเจกต์ใด ๆ เป็นกำลังของอ็อบเจกต์อีกอย่างหนึ่ง สิ่งนี้เป็นการวางนัยทั่วไปของผลคูณคาร์ทีเซียนในประเภท (category) ของเซต ถ้า 0 เป็นอ็อบเจกต์เริ่มต้น (initial object) ในประเภทปิดคาร์ทีเซียน ดังนั้นอ็อบเจกต์เลขชี้กำลัง (exponential object) 00 จะสมสัณฐานกับอ็อบเจกต์ปลายทาง 1 ใด ๆ
จำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่

ในทฤษฎีเซต ก็มีการยกกำลังสำหรับจำนวนเชิงการนับและจำนวนเชิงอันดับที่เช่นกัน
กำหนดให้ κ และ λ เป็นจำนวนเชิงการนับ นิพจน์ κλ หมายถึงภาวะเชิงการนับของ เซตของฟังก์ชันจากเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ λ ไปยังเซตใด ๆ ที่มีภาวะเชิงการนับ κ [4] ถ้า κ และ λ เป็นจำนวนจำกัด นิพจน์นี้จะคล้อยตามการดำเนินการยกกำลังเชิงเลขคณิตธรรมดา ตัวอย่างเช่น เซตของสามสิ่งอันดับ ของสมาชิกจากเซตของสองสิ่งอันดับ จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากับ 8 = 23
การยกกำลังของจำนวนเชิงการนับแตกต่างจากการยกกำลังของจำนวนเชิงอันดับที่ ซึ่งนิยามโดยกระบวนการลิมิตที่เกี่ยวข้องกับอุปนัยเชิงอนันต์ (transfinite induction)
การยกกำลังซ้อน
เนื่องจากการยกกำลังของจำนวนธรรมชาติมีเหตุมาจากการคูณซ้ำ ๆ จึงมีความเป็นไปได้ที่จะนิยามการดำเนินการที่มีเหตุมาจากการยกกำลังซ้ำ ๆ เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้บางครั้งเรียกว่า เทเทรชัน (tetration) และเทเทรชันซ้ำ ๆ ก็สามารถนำไปสู่การดำเนินการอีกอย่างหนึ่งเช่นกัน เป็นเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ ลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ได้ถูกแสดงไว้ด้วยฟังก์ชันอัคเคอร์มันน์ (Ackermann function) และสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ (Knuth's up-arrow notation) และเนื่องด้วยการยกกำลังมีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการคูณ การคูณก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการบวก ดังนั้นเทเทรชันก็มีอัตราเพิ่มขึ้นมากกว่าการยกกำลัง ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่า (3, 3) ให้กับฟังก์ชันการบวก การคูณ การยกกำลัง และเทเทรชัน จะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น 6, 9, 27 และ 7,625,597,484,987 ตามลำดับ
ในภาษาโปรแกรม
สัญกรณ์ตัวยก xy สะดวกในการเขียนด้วยมือ แต่อาจไม่สะดวกในการกดบนเครื่องพิมพ์ดีดหรือคอมพิวเตอร์เทอร์มินัล ซึ่งจัดอักขระทุกตัวอยู่บนเส้นบรรทัดเดียวกัน ภาษาโปรแกรมหลายภาษามีวิธีการอย่างอื่นในการแสดงการยกกำลังโดยไม่ใช้ตัวยก อาทิ
x ↑ y: อัลกอล, คอมโมดอร์เบสิก
x ^ y: เบสิก, เจ, แมตแล็บ, อาร์, ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เทกซ์ (TeX และตัวต่อยอดอื่น ๆ), ทีไอ-เบสิก, บีซี (เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ), ลัว (Lua), เอเอสพี และระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่
x ^^ y: แฮสเกลล์ (ฐานเศษส่วน เลขชี้กำลังจำนวนเต็ม), ดี
x ** y: เอดา, แบช, โคบอล, ฟอร์แทรน, ฟอกซ์โพร, กนูพล็อต, โอแคเมล, เพิร์ล, พีแอล/วัน, ไพทอน, เรกซ์ (REXX), รูบี, แซส (SAS), ทีซีแอล, อาบัป, แฮสเกลล์ (เลขชี้กำลังจำนวนจุดลอยตัว), ทัวริง, วีเอชดีแอล
x⋆y: เอพีแอล
Power (x, y) : ไมโครซอฟท์ เอ็กเซล, เดลฟี/ปาสกาล (ประกาศในยูนิต Math)
pow (x, y) : ซี, ซีพลัสพลัส, พีเอชพี, ทีซีแอล
math.pow (x, y) : ไพทอน
Math.pow (x, y) : จาวา, จาวาสคริปต์, มอดูลา-3, เอ็มแอลมาตรฐาน
Math.Pow (x, y)  หรือ BigInteger.Pow (x, y) : ซีชาร์ป (และภาษาอื่นที่ใช้บีซีแอล)
 (expt x y) : คอมมอนลิสป์, สกีม
math:pow (x, y) : เออร์แลง
สัญลักษณ์ ^ ที่ไม่เกี่ยวกับการยกกำลังเช่น ในแบช ซี ซีพลัสพลัส ซีชาร์ป จาวา จาวาสคริปต์ เพิร์ล พีเอชพี ไพทอน และรูบี หมายถึงการดำเนินการ XOR ระดับบิต; ในปาสกาล หมายถึงการอ้างถึงทางอ้อม (indirection); ในโอแคเมลและเอ็มแอลมาตรฐาน หมายถึงการต่อสายอักขระ (concatenation)
ประวัติของสัญกรณ์
คำว่า กำลัง (power) ถูกใช้โดยยุคลิด นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก สำหรับยกกำลังสองเส้นตรง [29] ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 มุฮัมมัด อิบน์ มูซา อัลคอวาริซมีย์ (Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) ใช้คำว่า มัล (mal) สำหรับยกกำลังสองและ กับ (kab) สำหรับยกกำลังสาม ในเวลาต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวอิสลามได้ใช้ m และ k เป็นสัญกรณ์คณิตศาสตร์ตามลำดับ ดังเห็นได้จากงานเขียนของ อะบู อัลฮะซัน อิบน์ อะลี อัลเกาะละศอดี (Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī) ในคริสต์ศตวรรษที่ 15 [30]
นีโกลา ชูว์เก (Nicolas Chuquet) ใช้รูปแบบสัญกรณ์ยกกำลังในคริสต์ศตวรรษที่ 15 ต่อมาในคริสต์ศตวรรษที่ 16 เฮนรีคุส กรัมมาทอยส์ (Henricus Grammateus) และมีคาเอล ชตีเฟิล (Michael Stifel) ก็ใช้เช่นกัน แซมวล จีก (Samuel Jeake) ได้แนะนำให้ใช้คำว่า ดัชนี (index) ในปี ค.ศ. 1696 [29] ในคริสต์ศตวรรษที่ 16 โรเบิร์ต เรคอร์ด (Robert Recorde) ใช้คำว่า สแควร์ (square), คิวบ์ (cube), เซนซิเซนซิก (zenzizenzic), เซอร์ฟอไลด์ (surfolide), เซนซิคิวบ์ (zenzicube), เซเคินด์เซอร์ฟอไลด์ (second surfolide) และ เซนซิเซนซิเซนซิก (zenzizenzizenzic) สำหรับการยกกำลังสองถึงแปดตามลำดับ [31] นอกจากนี้ก็มีการใช้คำว่า ไบควอเดรต (biquadrate) เพื่ออ้างถึงการยกกำลังสี่อีกด้วย
นักคณิตศาสตร์บางคน (เช่นไอแซก นิวตัน) ใช้เลขชี้กำลังเฉพาะเมื่อมีกำลังมากกว่าสอง และนิยมแสดงกำลังสองเป็นการคูณซ้ำสองตัว ดังนั้นเมื่อพวกเขาเขียนพหุนาม พวกเขาจะเขียนเป็นรูปแบบดังตัวอย่าง ax + bxx + cx3 + d เป็นต้น
คำอีกคำหนึ่งที่มีความหมายเหมือนการยกกำลังในอดีตคือ อินโวลูชัน (involution) [32] แต่ในปัจจุบันความหมายที่สามัญกว่าของคำนี้คือ อาวัตนาการ (involution) คือฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของตัวเอง
อ้างอิง

ดูเพิ่ม
ลอการิทึม
ลอการิทึมเชิงซ้อน
การเสื่อมสลายแบบเลขชี้กำลัง
การเติบโตแบบเลขชี้กำลัง
ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง
การยกกำลังมอดุลาร์
รากที่ n
เทเทรชัน
แหล่งข้อมูลอื่น


 with derivation and examples
 on AskAMathematician.com


การยกกำลัง
หมวดหมู่:การดำเนินการทวิภาค