เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

Question: เมทริกซ์ คืออะไร?

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (English: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น
นิยาม
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน  และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น






[



1


56


3




0


15


4




5


−
31


−
4



]




{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&56&3\\0&15&4\\5&-31&-4\end{bmatrix}}}


เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี 



m


{\displaystyle m}

 แถว และ 



n


{\displaystyle n}

 หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 เราเรียกจำนวน 



m


{\displaystyle m}

 และ 



n


{\displaystyle n}

 ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ 



A
=
(

a

i
,
j



)

m
×
n




{\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}}

 เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 ซึ่งมี 



m


{\displaystyle m}

 แถว และ 



n


{\displaystyle n}

 หลัก โดยที่ 




a

i
,
j




{\displaystyle a_{i,j}}

 (หรือ 




a

i
j




{\displaystyle a_{ij}}

) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว 



i


{\displaystyle i}

 และ หลัก 



j


{\displaystyle j}

 ของเมทริกซ์




A
=

A

m
×
n


=


[




a

11





a

12




⋯


⋯



a

1
n







a

21





a

22




⋯


⋯



a

2
n






⋮



⋱



⋮




⋮




⋱


⋮





a

m
1





a

m
2




⋯


⋯



a

m
n





]




{\displaystyle A=A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}}


การกระทำระหว่างเมทริกซ์
การบวก

ให้ 



A
=
(

a

i
,
j



)

m
×
n




{\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}}

 และ 



B
=
(

b

i
,
j



)

m
×
n




{\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}}

 เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก 



A
+
B


{\displaystyle A+B}

 ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก 



C
=
(

c

i
,
j



)

m
×
n


=
A
+
B


{\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times n}=A+B}

 แล้ว





c

i
,
j


=

a

i
,
j


+

b

i
,
j




{\displaystyle c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}}


ยกตัวอย่างเช่น






[



1


3


2




1


0


0




1


2


2



]


+


[



0


0


5




7


5


0




2


1


1



]


=


[



1
+
0


3
+
0


2
+
5




1
+
7


0
+
5


0
+
0




1
+
2


2
+
1


2
+
1



]


=


[



1


3


7




8


5


0




3


3


3



]




{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}


การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
การคูณด้วยสเกลาร์
กำหนดเมทริกซ์ 



A
=
(

a

i
,
j



)

m
×
n




{\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}}

 และจำนวน 



c


{\displaystyle c}

 เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ 



c
A


{\displaystyle cA}

 ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 ที่คำนวณโดยการนำ 



c


{\displaystyle c}

 ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ 



A


{\displaystyle A}

 กล่าวคือ หาก 



B
=
(

b

i
,
j



)

m
×
n


=
c
A


{\displaystyle B=(b_{i,j})_{m\times n}=cA}

 แล้ว 




b

i
,
j


=
c

a

i
,
j




{\displaystyle b_{i,j}=ca_{i,j}}

 ยกตัวอย่างเช่น




2


[



1


8


−
3




4


−
2


5



]


=


[



2
×
1


2
×
8


2
×
−
3




2
×
4


2
×
−
2


2
×
5



]


=


[



2


16


−
6




8


−
4


10



]




{\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}


จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ 



m
n


{\displaystyle mn}

 ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง
การคูณ
ถ้า 



A
=
(

a

i
,
j



)

m
×
n




{\displaystyle A=(a_{i,j})_{m\times n}}

 และ 



B
=
(

b

i
,
j



)

n
×
p




{\displaystyle B=(b_{i,j})_{n\times p}}

 เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ 



A


{\displaystyle A}

 เท่ากับจำนวนแถวของ 



B


{\displaystyle B}

 แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ 



A
B


{\displaystyle AB}

 ว่าเป็นเมทริกซ์ 



C
=
(

c

i
,
j



)

m
×
p




{\displaystyle C=(c_{i,j})_{m\times p}}

 โดยที่





c

i
,
j


=

a

i
,
1



b

1
,
j


+

a

i
,
2



b

2
,
j


+
⋯
+

a

i
,
n



b

n
,
j


=

∑

k
=
1


n



a

i
,
k



b

k
,
j




{\displaystyle c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}}


กล่าวคือสมาชิกในแถว 



i


{\displaystyle i}

 หลัก 



j


{\displaystyle j}

 ของผลคูณ 



A
B


{\displaystyle AB}

 คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก 



i


{\displaystyle i}

 ของ 



A


{\displaystyle A}

 และสมาชิกของคอลัมน์ 



B


{\displaystyle B}

 ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง 



n


{\displaystyle n}

 ผลคูณนั้นมาบวกกัน
การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ 




a

i


=
(

a

i
,
1


,

a

i
,
2


,
…
,

a

i
,
n


)


{\displaystyle a_{i}=(a_{i,1},a_{i,2},\ldots ,a_{i,n})}

 เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว 



i


{\displaystyle i}

 ของ 



A


{\displaystyle A}

 และให้ 




b

j


=
(

b

1
,
j


,

b

2
,
j


,
…
,

b

n
,
j


)


{\displaystyle b_{j}=(b_{1,j},b_{2,j},\ldots ,b_{n,j})}

 เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก 



j


{\displaystyle j}

 ของ 



B


{\displaystyle B}

 แล้ว เราจะได้ว่า 




c

i
,
j


=

a

i


⋅

b

j




{\displaystyle c_{i,j}=a_{i}\cdot b_{j}}

 เมื่อ 




a

i


⋅

b

j




{\displaystyle a_{i}\cdot b_{j}}

 คือผลคูณจุดของ 




a

i




{\displaystyle a_{i}}

 และ 




b

j




{\displaystyle b_{j}}

 เช่น
ให้ 



A
=


[




a

1
,
1





a

1
,
2





a

1
,
3







a

2
,
1





a

2
,
2





a

2
,
3





]


=


[




a

1







a

2





]




{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\end{bmatrix}}}

 และ   



B
=


[




b

1
,
1





b

1
,
2







b

2
,
1





b

2
,
2







b

3
,
2





b

3
,
2





]


=


[




b

1





b

2





]




{\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\b_{3,2}&b_{3,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}\\\end{bmatrix}}}


แล้ว 



A
×
B
=


[




a

1


⋅

b

1





a

1


⋅

b

2







a

2


⋅

b

1





a

2


⋅

b

2





]




{\displaystyle A\times B={\begin{bmatrix}a_{1}\cdot b_{1}&a_{1}\cdot b_{2}\\a_{2}\cdot b_{1}&a_{2}\cdot b_{2}\\\end{bmatrix}}}


และ






[



1


0


2




−
1


3


1



]


×


[



3


1




2


1




1


0



]


=


[



(
1
×
3
+
0
×
2
+
2
×
1
)


(
1
×
1
+
0
×
1
+
2
×
0
)




(
−
1
×
3
+
3
×
2
+
1
×
1
)


(
−
1
×
1
+
3
×
1
+
1
×
0
)



]


=


[



5


1




4


2



]




{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}


การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
สมบัติการเปลี่ยนหมู่: 



(
A
B
)
C
=
A
(
B
C
)


{\displaystyle (AB)C=A(BC)}

 สำหรับเมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 ขนาด 



k
×
m


{\displaystyle k\times m}

, 



B


{\displaystyle B}

 ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

, และ 



C


{\displaystyle C}

 ขนาด 



n
×
p


{\displaystyle n\times p}

 ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
สมบัติการแจกแจงทางขวา: 



(
A
+
B
)
C
=
A
C
+
B
C


{\displaystyle (A+B)C=AC+BC}

 สำหรับเมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 และ 



B


{\displaystyle B}

 ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 และ 



C


{\displaystyle C}

 ขนาด 



n
×
p


{\displaystyle n\times p}

 ใดๆ
สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: 



C
(
A
+
B
)
=
C
A
+
C
B


{\displaystyle C(A+B)=CA+CB}

 สำหรับเมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 และ 



B


{\displaystyle B}

 ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 และ 



C


{\displaystyle C}

 ขนาด 



k
×
m


{\displaystyle k\times m}

 ใดๆ
คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 ขนาด 



m
×
n


{\displaystyle m\times n}

 และ 



B


{\displaystyle B}

 ขนาด 



n
×
p


{\displaystyle n\times p}

 ใดๆ 
ถ้า 



m
≠
p


{\displaystyle m\neq p}

 แล้ว ผลคูณ 



B
A


{\displaystyle BA}

 ไม่มีนิยาม
แม้ 



m
=
p


{\displaystyle m=p}

 แต่ถ้า 



m
≠
n


{\displaystyle m\neq n}

 แล้ว 



A
B


{\displaystyle AB}

 เป็นเมทริกซ์ขนาด 



m
×
m


{\displaystyle m\times m}

 ส่วน 



B
A


{\displaystyle BA}

 เป็นเมทริกซ์ขนาด 



n
×
n


{\displaystyle n\times n}

 ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
แม้ 



m
=
n
=
p


{\displaystyle m=n=p}

 แต่ส่วนมากแล้ว 



A
B


{\displaystyle AB}

 มักจะมีค่าไม่เท่ากับ 



B
A


{\displaystyle BA}

 ยกตัวอย่างเช่น






[



1


0




0


2



]




[



3


4




5


6



]


=


[



3


4




10


12



]


≠


[



3


8




5


12



]


=


[



3


4




5


6



]




[



1


0




0


2



]




{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\10&12\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}3&8\\5&12\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}}


เรากล่าวว่าเมทริกซ์ 



A


{\displaystyle A}

 แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ 



B


{\displaystyle B}

 ถ้า 



A
B
=
−
B
A


{\displaystyle AB=-BA}

 เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
การสลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ AT ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น







[



1


2




3


4



]




T







=



[



1


3




2


4



]




{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}


เมทริกซ์จัตุรัส
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1  
เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด  มีคุณสมบัติ MIn=M และ InN= N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:






I


3


=


[



1


0


0




0


1


0




0


0


1



]




{\displaystyle \mathbf {I} _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}


เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ 





A



T



=

A



{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} }

 หรือ 




a

i
,
j


=

a

j
,
i




{\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}}

 สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ 





A



T



=
−

A



{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A} }

หรือ 




a

i
,
j


=
−

a

j
,
i




{\displaystyle a_{i,j}=-a_{j,i}}

สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ 




a

i
,
j


=



a
¯



j
,
i




{\displaystyle a_{i,j}={\overline {a}}_{j,i}}

 หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า 





A


∗


=

A



{\displaystyle \mathbf {A} ^{\ast }=\mathbf {A} }


เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ 






a

i
,
j


=

a

i
+
1
,
j
+
1




{\displaystyle \,\!a_{i,j}=a_{i+1,j+1}}


อ้างอิง