เพนดูลัมผกผัน

Question: ใครเป็นผู้คิดค้น segway?



เพนดูลัมผกผัน  (English: Inverted pendulum) เป็นปัญหาพื้นฐานที่ใช้ในการเรียนการสอนและในการสาธิตการประยุกต์ทฤษฎีระบบควบคุม เพนดูลัมผกผันเป็นระบบที่มีจุดสมดุลอยู่รอบแกนหมุนด้วยกันสองจุด ได้แก่จุดที่เพนดูลัมตั้งตรงอยู่ในแนวดิ่ง และจุดที่เพนดูลัมอยู่ทิ้งตัวลงในดิ่ง แต่จุดที่มีเสถียรภาพเมื่อไม่มีตัวควบคุมนั้นจะมีจุดเดียวคือ จุดที่แกนทิ้งตัวลงเท่านั้น ไม่ว่าเราจะปล่อยเพนดูลัมที่จุดใดก็ตาม เพนดูลัมจะตกลงสู่จุดนี้เสมอ การที่จะทำให้เพนดูลัมนี้สามารถตั้งตรงในแนวดิ่งได้นั้นขึ้นกับการใส่ตัวควบคุมที่เหมาะสมเข้าไปในระบบซึ่งมีได้หลากหลายวิธี และอีกทั้งยังสามารถออกแบบตัวควบคุมให้เป็นเชิงเส้น หรือแบบไม่เชิงเส้นก็ได้ ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้ออกแบบและความเหมะสม [1]
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผัน[2][3]
ในที่นี้เราจะหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเพนดูลัมผกผันโดยใช้กลศาสตร์แบบลากรางจ์  (Lagrange's equations) และตั้งสมุมติฐานเพื่อความง่ายต่อความเข้าใจและยังคงไม่สูญเสียความเป็นรูปแบบทั่วไปว่าระบบเคลื่อนที่อยู่ในระนาบ 2 มิติ แกน 



x
−
y


{\displaystyle x-y}

 ได้เท่านั้น โดยตัวแปรต่างๆเราจะอ้างอิงตัวแปรเดียวกับที่ปรากฏในภาพ กล่าวคือ 



θ
(
t
)


{\displaystyle \theta (t)}

 คือ มุมที่แท่งเพนดูลัมทำกับแนวตั้งฉากกับพื้นโลก และให้แท่งเพนดูลัมมีความยาว 



l


{\displaystyle l}

 ให้แรงจากภายนอกเป็น 



F


{\displaystyle F}

 กระทำในทิศ  



x


{\displaystyle x}

 ดังภาพ และแรงโน้มถ่วงของโลกกระทำในแนวแกน 



y


{\displaystyle y}

 และกำหนดให้ 



x
(
t
)


{\displaystyle x(t)}

 เป็นระยะของรถในแกน 



x


{\displaystyle x}

 ที่แปรผันตามเวลา และสมการลากรางจ์ (Lagrangian) ของระบบเป็นดังต่อไปนี้[4] 



L
=
T
−
V


{\displaystyle L=T-V}

  โดย 



T


{\displaystyle T}

 คือพลังงานจลน์ของระบบ และ 



V


{\displaystyle V}

 คือพลังงานศักย์ของระบบ





L
=


1
2


M

v

1


2


+


1
2


m

v

2


2


−
m
g
ℓ
cos
⁡
θ


{\displaystyle L={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mg\ell \cos \theta }



โดย 




v

1




{\displaystyle v_{1}}

 เป็นความเร็วของของตัวรถ 




v

2




{\displaystyle v_{2}}

 เป็นความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล 



m


{\displaystyle m}

 ของมวลบนแท่งเพนดูลัม.

ทั้งนี้ 




v

1




{\displaystyle v_{1}}

 และ 




v

2




{\displaystyle v_{2}}

 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ 



x


{\displaystyle x}

 และ 



θ


{\displaystyle \theta }

 ดังต่อไปนี้ 





v

1


2


=




x
˙




2




{\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2}}







v

2


2


=


(



d

d
t





(

x
−
ℓ
sin
⁡
θ

)



)


2


+


(



d

d
t





(

ℓ
cos
⁡
θ

)



)


2




{\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {d}{dt}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {d}{dt}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}}


ทำการลดรูป 




v

2




{\displaystyle v_{2}}

 ได้ผลเป็น





v

2


2


=




x
˙




2


−
2
ℓ



x
˙






θ
˙



cos
⁡
θ
+

ℓ

2






θ
˙




2




{\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}}


แทนสมการข้างต้นลงในสมการลากรางจ์ ได้ว่า:




L
=


1
2



(

M
+
m

)





x
˙




2


−
m
ℓ



x
˙






θ
˙



cos
⁡
θ
+


1
2


m

ℓ

2






θ
˙




2


−
m
g
ℓ
cos
⁡
θ


{\displaystyle L={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta }


และสมการการเคลื่อนที่:







d



d

t






∂

L



∂



x
˙






−



∂

L



∂
x



=
F


{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {L} \over \partial x}=F}









d



d

t






∂

L



∂



θ
˙






−



∂

L



∂
θ



=
0


{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}


แทนที่ 



L


{\displaystyle L}

 ในสมการข้างต้นจะได้สมการที่อธิบายการเลือนที่ของเพนดูลัมแบบผกผันดังนี้ 





(

M
+
m

)




x
¨



−
m
ℓ



θ
¨



cos
⁡
θ
+
m
ℓ




θ
˙




2


sin
⁡
θ
=
F


{\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}






ℓ



θ
¨



−
g
sin
⁡
θ
=



x
¨



cos
⁡
θ


{\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }


จะเห็นได้ว่าสมการที่ได้เป็นสมการไม่เชิงเส้นซึ่งยากที่จะนำไปออกแบบตัวควบคุม ในทางปฏิบัติผู้ออกแบบจะนิยมแปรงสมการไม่เชิงเส้นให้เป็นสมการเชิงเส้นก่อน โดยสมมุติว่าแท่งเพนดุลัมแกว่งอยู่ในช่วงมุมเล็กๆซึ่งประมาณเป็น  



0


{\displaystyle 0}

 ได้ ( 



θ
≈
0


{\displaystyle \theta \approx 0}

 ) ทั้งนี้เพื่อความง่ายต่อการออกแบบตัวควบคุม และง่ายต่อการอธิบายพฤติกรรมของระบบ
ดูเพิ่ม
ทฤษฎีระบบควบคุม
Segway
เพนดูลัมผกผันแบบฟูรุตะ (Furuta pendulum)
อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น
มหาวิทยาลัยคาร์เนกีเมลลอน
Katsuhiko Ogata, Modern control engineering (Edition	5), Prentice Hall, 2010, ISBN 0136156738,9780136156734
Franklin; et al. (2005). Feedback control of dynamic systems, 5, Prentice Hall. ISBN 0-13-149930-0
Norman S. Nise, Control Systems Engineering (Edition	6), John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0470547561, 9780470547564
เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)
วิบูลย์ แสงวีระพันธุ์ศิริ,  ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล  คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย "การควบคุมระบบพลศาสตร์ (Control of Dynamic Systems)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2548 (ISBN 974-13-3393-5)



หมวดหมู่:ทฤษฎีระบบควบคุม
หมวดหมู่:วิศวกรรมศาสตร์
หมวดหมู่:คณิตศาสตร์
หมวดหมู่:เทคโนโลยี
หมวดหมู่:สิ่งประดิษฐ์และการประดิษฐ์