อนุพันธ์

Question: อนุพันธ์ คืออะไร?


ในวิชาคณิตศาสตร์ อนุพันธ์</b>ของฟังก์ชันของตัวแปรจริงเป็นการวัดการเปลี่ยนแปลงของค่าของฟังก์ชันเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์ (ค่าที่ป้อนเข้าหรือตัวแปรต้น) อนุพันธ์เป็นเครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์ของตำแหน่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่เทียบกับเวลา คือ ความเร็วของวัตถุนั้น ซึ่งเป็นการวัดว่าตำแหน่งของวัตถุมีการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วเพียงใดเมื่อเวลาผ่านไป
อนุพันธ์ของฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ตัวแปรต้นใด ๆ คือความชันของเส้นสัมผัสที่สัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น เส้นสัมผัสคือการประมาณเชิงเส้นของฟังก์ชันที่ดีที่สุดใกล้กับตัวแปรต้นนั้น ด้วยเหตุนี้ อนุพันธ์มักอธิบายได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่ง" ซึ่งก็คืออัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงขณะใดขณะหนึ่งของตัวแปรตามต่อตัวแปรต้นหรือตัวแปรอิสระ
กระบวนการหาอนุพันธ์เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation หรือ การดิฟเฟอเรนชิเอต) ส่วนกระบวนการที่กลับกันเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (antidifferentiation) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่าการหาปฏิยานุพันธ์เหมือนกันกับการหาปริพันธ์ (integration หรือ การอินทิเกรต) การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นตัวดำเนินการพื้นฐานในแคลคูลัสตัวแปรเดียว[Note 1]
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นมโนทัศน์หนึ่งในสองมโนทัศน์หลักของแคลคูลัส (อีกมโนทัศน์หนึ่งคือปฏิยานุพันธ์ ซึ่งคือตัวผกผันของอนุพันธ์)
การหาอนุพันธ์และอนุพันธ์
การหาอนุพันธ์ เป็นการคำนวณเพื่อที่จะได้มาซึ่งอนุพันธ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = f(x) ของตัวแปร x คืออัตราที่ค่า y ของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงไปต่อการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x เรียกว่า อนุพันธ์</i>ของ f เทียบกับ x ถ้า x และ y เป็นจำนวนจริง และถ้ากราฟของฟังก์ชัน f ลงจุดเทียบกับ x อนุพันธ์ก็คือความชันของเส้นกราฟในแต่ละจุด

กรณีที่ง่ายที่สุด นอกเหนือจากกรณีของฟังก์ชันคงตัว คือเมื่อ y เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ x ซึ่งหมายถึงกราฟของ y จะเป็นเส้นตรง ในกรณีนี้ y = f(x) = m x + b สำหรับจำนวนจริง m และ b และความชัน m ซึ่งกำหนดโดยการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x ดังสมการ




m
=



Δ
y


Δ
x





{\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}


เมื่อสัญลักษณ์ Δ (เดลตา) แทนคำว่า "การเปลี่ยนแปลง" สูตรนี้เป็นจริง เพราะว่า




y
+
Δ
y
=
f

(

x
+
Δ
x

)

=
m

(

x
+
Δ
x

)

+
b
=
m
x
+
m

Δ
x
+
b
=
y
+
m

Δ
x


{\displaystyle y+\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)=m\left(x+\Delta x\right)+b=mx+m\,\Delta x+b=y+m\,\Delta x}


เพราะฉะนั้น จะได้




y
+
Δ
y
=
y
+
m

Δ
x


{\displaystyle y+\Delta y=y+m\,\Delta x}


ทำให้ได้




Δ
y
=
m

Δ
x


{\displaystyle \Delta y=m\,\Delta x}


ซึ่ง m เป็นค่าที่ถูกต้องของความชันของเส้นกราฟ ถ้าฟังก์ชัน f ไม่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือ กราฟของมันไม่เป็นเส้นตรง) แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x จะมีค่าแตกต่างกันออกไป การหาอนุพันธ์จึงเป็นวิธีการที่จะหาค่าที่ถูกต้องของอัตราการเปลี่ยนแปลงที่ค่าตัวแปรต้น x ใด ๆ

แนวคิดนี้ ซึ่งแสดงดังรูปที่ 1 ถึงรูปที่ 3 คือการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงจากค่าลิมิตของอัตราส่วนของผลต่าง Δ<i>y / Δ<i>x เมื่อ Δ<i>x เข้าใกล้ค่าที่น้อยมาก
สัญกรณ์

มีสัญกรณ์สำหรับอนุพันธ์สองแบบที่ใช้กันโดยทั่วไป แบบหนึ่งมาจากไลบ์นิซ และอีกแบบหนึ่งมาจากลากรางจ์
ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากของ x แสดงได้เป็น dx และอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เขียนได้ดังนี้







d
y


d
x







{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\!}


แสดงถึงอัตราส่วนของปริมาณที่น้อยมากสองปริมาณ (ข้างบนอ่านว่า "อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x" หรือ "d y บาย d x" รูปแบบ "d y d x" นี้ใช้กันในการสนทนาอย่างบ่อยครั้ง แต่มันอาจทำให้สับสนได้)
ส่วนสัญกรณ์ของลากรางจ์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับ x แสดงได้เป็น f'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ของ of x") หรือ fx'(x) (อ่านว่า "f ไพรม์ x ของ x")
อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x ในเชิงเรขาคณิต คือ ความชันของเส้นสัมผัสของกราฟ f ที่ x เราไม่สามารถหาความชันของเส้นสัมผัสจากฟังก์ชันที่กำหนดให้โดยตรงได้ เพราะว่าเรารู้เพียงจุดบนเส้นสัมผัส ซึ่งก็คือ (x, f (x)) เท่านั้น ในทางอื่น เราจะประมาณความชันของเส้นสัมผัสด้วยเส้นตัด (secant line) หลาย ๆ เส้น ที่มีจุดตัดทั้ง 2 จุดอยู่ห่างกันเป็นระยะทางสั้น ๆ เมื่อหาลิมิตของความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ เราจะได้ความชันของเส้นสัมผัส ดังนั้น อาจนิยามอนุพันธ์ว่าคือ ลิมิตของความชันของเส้นตัดที่เข้าใกล้เส้นสัมผัส
เพื่อหาความชันของเส้นตัดที่จุดตัดอยู่ใกล้กันมาก ๆ ให้ h เป็นจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ h จะแทนการเปลี่ยนแปลงน้อย ๆ ใน x ซึ่งจะเป็นจำนวนบวกหรือลบก็ได้ ดังนั้น ความชันของเส้นที่ลากผ่านจุด (x,f (x) ) และ (x+h,f (x+h) ) คือ







f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)

h




{\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over h}}


ซึ่งนิพจน์นี้ก็คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) อนุพันธ์ของ f ที่ x คือ ลิมิตของค่าของผลหารเชิงผลต่าง ของเส้นตัดที่เข้าใกล้กันมาก ๆ จนเป็นเส้นสัมผัส:





f
′

(
x
)
=

lim

h
→
0





f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)

h




{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}}



ตัวอย่าง

ฟังก์ชันกำลังสอง f(x) = x2 หาอนุพันธ์ได้ที่ x = 3 และอนุพันธ์ของมันที่ตำแหน่งนั้นเท่ากับ 6 ผลลัพธ์นี้มาจากการคำนวณลิมิตของอัตราส่วนของผลต่างของ f(3) เมื่อ h เข้าใกล้ศูนย์:









f
′

(
3
)



=

lim

h
→
0





f
(
3
+
h
)
−
f
(
3
)

h


=

lim

h
→
0





(
3
+
h

)

2


−

3

2



h








=

lim

h
→
0





9
+
6
h
+

h

2


−
9

h


=

lim

h
→
0





6
h
+

h

2



h


=

lim

h
→
0



(
6
+
h
)







{\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(3+h)-f(3)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(3+h)^{2}-3^{2}}{h}}\\[10pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {9+6h+h^{2}-9}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {6h+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{(6+h)}\end{aligned}}}


นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ 6 + h เมื่อ h ≠ 0 และไม่นิยามเมื่อ h = 0 เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ h = 0 ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ h เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า 6 + h เมื่อ h มีค่าน้อยลงมาก ๆ





lim

h
→
0



(
6
+
h
)

=
6
+
0
=
6


{\displaystyle \lim _{h\to 0}{(6+h)}=6+0=6}


ดังนั้น ความชันของกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่จุด (3, 9) คือ 6 และอนุพันธ์ของมันที่ x = 3 คือ f′(3) = 6
ต่อไปนี้เป็นการคำนวณในทำนองเดียวกันในกรณีทั่วไป ซึ่งแสดงให้เห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลังสองที่ x = a คือ f′(a) = 2<i>a:









f
′

(
a
)



=

lim

h
→
0





f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)

h


=

lim

h
→
0





(
a
+
h

)

2


−

a

2



h








=

lim

h
→
0






a

2


+
2
a
h
+

h

2


−

a

2



h


=

lim

h
→
0





2
a
h
+

h

2



h








=

lim

h
→
0



(
2
a
+
h
)

=
2
a






{\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2ah+h^{2}}{h}}\\[0.3em]&=\lim _{h\to 0}{(2a+h)}=2a\end{aligned}}}


ความต่อเนื่องและการหาอนุพันธ์ได้

อนุพันธ์ในรูปฟังก์ชัน

อนุพันธ์อันดับสูง

จุดเปลี่ยนเว้า

จุดที่อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย (จากจำนวนจริงลบเป็นจำนวนจริงบวก หรือในทางกลับกัน) เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า[1] ที่จุดเปลี่ยนเว้า อนุพันธ์อันดับสองอาจเป็นศูนย์ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x3 หรืออนุพันธ์อันดับสองอาจหาค่าไม่ได้ ดังในกรณีที่จุดเปลี่ยนเว้าที่ x = 0 ของฟังก์ชัน y = x1/3 ฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากฟังก์ชันเว้าไปเป็นฟังก์ชันนูนหรือในทางกลับกันที่จุดเปลี่ยนเว้า
รายละเอียดสัญกรณ์

สัญกรณ์ของไลบ์นิซ

สัญลักษณ์ dx, dy และ dx/dy เสนอโดยกอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ในปี ค.ศ. 1675[2] สัญลักษณ์นี้ใช้กันอย่างทั่วไปเมื่อสมการ y = f(x) ซึ่งแสดงถึงความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างตัวแปรต้นและตัวแปรตาม อนุพันธ์อันดับหนึ่งเขียนได้ดังนี้







d
y


d
x



,




d
f


d
x



(
x
)
,



o
r





d

d
x



f
(
x
)


{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d}{dx}}f(x)}


อนุพันธ์อันดับสูงจะแสดงโดยใช้สัญลักษณ์








d

n


y


d

x

n





,





d

n


f


d

x

n





(
x
)
,



o
r






d

n



d

x

n





f
(
x
)


{\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x),\;\;\mathrm {or} \;\;{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}


สำหรับอนุพันธ์อันดับที่ n ของ y = f(x) (เทียบกับ x) ข้างบนเป็นสัญลักษณ์ย่อของการใช้ตัวดำเนินการอนุพันธ์หลายตัว ยกตัวอย่างเช่น








d

2


y


d

x

2





=


d

d
x




(



d
y


d
x



)



{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}


ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ เราสามารถเขียนอนุพันธ์ของ y ที่จุด x = a ในรูปที่แตกต่างกันสองแบบ:










d
y


d
x



|


x
=
a


=



d
y


d
x



(
a
)


{\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)}


สัญกรณ์ของไลบ์นิซช่วยให้สามารถระบุตัวแปรในการหาอนุพันธ์ได้ (ในตัวส่วน) โดยเฉพาะในเรื่องการหาอนุพันธ์ย่อย และยังทำให้ง่ายต่อการจำกฎลูกโซ่อีกด้วย:[Note 2]







d
y


d
x



=



d
y


d
u



⋅



d
u


d
x



.


{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}


สัญกรณ์ของลากรางจ์
ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง สัญกรณ์ไพรม์[3] หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เขียนได้ในรูป f′(x) หรือ f′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้




(

f
′


)
′

=

f
″




{\displaystyle (f')'=f''\,}

  และ  



(

f
″


)
′

=

f
‴



{\displaystyle (f'')'=f'''}


เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:





f


i
v







{\displaystyle f^{\mathrm {iv} }\,\!}

  หรือ  




f

(
4
)




{\displaystyle f^{(4)}}


สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ f (n) สำหรับอนุพันธ์อันดับ n ของ f สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก
สัญกรณ์ของนิวตัน
สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า y = f(t) แล้ว







y
˙





{\displaystyle {\dot {y}}}

  และ  






y
¨





{\displaystyle {\ddot {y}}}


หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ y เทียบกับ t ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์[4][5] โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น
สัญกรณ์ของออยเลอร์
สัญกรณ์ของออยเลอร์จะใช้ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ D ซึ่งจะใช้กับฟังก์ชัน f เพื่อที่จะได้อนุพันธ์อันดับหนึ่ง Df ส่วนอนุพันธ์อันดับสองเขียนได้ในรูป D2f และอนุพันธ์อันดับ n เขียนได้ในรูป Dnf
ถ้า y = f(x) เป็นตัวแปรตาม แล้ว x จะเป็นตัวห้อยอยู่ใต้ D เพื่อบ่งบอกว่ากำลังเทียบกับตัวแปรต้น x ดังข้างล่าง





D

x


y



{\displaystyle D_{x}y\,}

  or  




D

x


f
(
x
)



{\displaystyle D_{x}f(x)\,}

,
แต่ตัวห้อย x มักจะถูกละไว้ในฐานที่เข้าใจเพื่อความรวดเร็ว เมื่อมีตัวแปรต้นนี้อยู่ตัวเดียว
สัญกรณ์ของออยเลอร์มีประโยชน์ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น
กฎการคำนวณ

กฎสำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน
การหาอนุพันธ์ของเลขยกกำลัง: ถ้า




f
(
x
)
=

x

r




{\displaystyle f(x)=x^{r}}


เมื่อ r เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว





f
′

(
x
)
=
r

x

r
−
1




{\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}}


เมื่อไรก็ตามที่ฟังก์ชันนี้สามารถหาค่าได้ ตัวอย่างเช่น ถ้า 



f
(
x
)
=

x

1

/

4




{\displaystyle f(x)=x^{1/4}}

 แล้ว





f
′

(
x
)
=
(
1

/

4
)

x

−
3

/

4




{\displaystyle f'(x)=(1/4)x^{-3/4}}


และฟังก์ชันอนุพันธ์สามารถหาค่าได้เฉพาะสำหรับค่า x ที่เป็นบวก ไม่ใช่ x = 0 เมื่อ r = 0 กฎนี้จะให้ค่า f′(x) เป็นศูนย์สำหรับ x ≠ 0 ซึ่งกรณีนี้ก็คือกฎค่าคงที่
กฎค่าคงที่: ถ้า f(x) คือค่าคงที่ แล้ว





f
′

=
0


{\displaystyle f'=0}


ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม:






d

d
x




e

x


=

e

x




{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}








d

d
x




a

x


=

a

x


ln
⁡
(
a
)


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}








d

d
x



ln
⁡
(
x
)
=


1
x


,

x
>
0


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0}








d

d
x




log

a


⁡
(
x
)
=


1

x
ln
⁡
(
a
)





{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}


ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:






d

d
x



sin
⁡
(
x
)
=
cos
⁡
(
x
)


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}








d

d
x



cos
⁡
(
x
)
=
−
sin
⁡
(
x
)


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}








d

d
x



tan
⁡
(
x
)
=

sec

2


⁡
(
x
)
=


1


cos

2


⁡
(
x
)



=
1
+

tan

2


⁡
(
x
)


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}


จากกฎผลคูณและกฎผลหารทำให้ได้






d

d
x



csc
⁡
(
x
)
=
−
csc
⁡
x
cot
⁡
x


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=-\csc x\cot x}








d

d
x



sec
⁡
(
x
)
=
sec
⁡
x
tan
⁡
x


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\sec x\tan x}








d

d
x



cot
⁡
(
x
)
=
−

csc

2


⁡
x


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=-\csc ^{2}x}


ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:






d

d
x



arcsin
⁡
(
x
)
=


1

1
−

x

2





,
−
1
<
x
<
1


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}








d

d
x



arccos
⁡
(
x
)
=
−


1

1
−

x

2





,
−
1
<
x
<
1


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},-1<x<1}








d

d
x



arctan
⁡
(
x
)
=


1

1
+

x

2







{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}


กฎสำหรับฟังก์ชันหลายฟังก์ชันรวมกัน
ในหลายกรณี การใช้วิธีอัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตันแบบตรง ๆ จะทำให้การคำนวณลิมิตยุ่งยากได้ ซึ่งหลีกเลี่ยงโดยการใช้กฎการหาอนุพันธ์เหล่านี้
กฎผลรวม:




(
α
f
+
β
g

)
′

=
α

f
′

+
β

g
′




{\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'\,}

 สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g และจำนวนจริงทั้งหมด 



α


{\displaystyle \alpha }

 และ 



β


{\displaystyle \beta }


กฎผลคูณ:




(
f
g

)
′

=

f
′

g
+
f

g
′




{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}

 สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ในกรณีพิเศษ กฎนี้รวมถึงข้อเท็จจริงที่ว่า 



(
α
f

)
′

=
α

f
′



{\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}

 เมื่อไรก็ตามที่ 



α


{\displaystyle \alpha }

 เป็นค่าคงที่ เพราะว่า 




α
′

f
=
0
⋅
f
=
0


{\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}

 จากกฎค่าคงที่
กฎผลหาร:






(


f
g


)

′

=




f
′

g
−
f

g
′



g

2






{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}

 สำหรับฟังก์ชันทั้งหมด f และ g ของตัวแปรต้นทั้งหมดโดยที่ g ≠ 0.
กฎลูกโซ่: ถ้า 



f
(
x
)
=
h
(
g
(
x
)
)


{\displaystyle f(x)=h(g(x))}

 แล้ว





f
′

(
x
)
=

h
′

(
g
(
x
)
)
⋅

g
′

(
x
)



{\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\,}


ตัวอย่างการคำนวณ
อนุพันธ์ของ




f
(
x
)
=

x

4


+
sin
⁡
(

x

2


)
−
ln
⁡
(
x
)

e

x


+
7



{\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,}


คือ









f
′

(
x
)



=
4

x

(
4
−
1
)


+



d

(

x

2


)



d
x



cos
⁡
(

x

2


)
−



d

(

ln
⁡

x


)



d
x




e

x


−
ln
⁡
(
x
)



d

(

e

x


)



d
x



+
0






=
4

x

3


+
2
x
cos
⁡
(

x

2


)
−


1
x



e

x


−
ln
⁡
(
x
)

e

x








{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}\end{aligned}}}


ในพจน์ที่สองของ f คำนวณโดยใช้กฎลูกโซ่ และพจน์ที่สามใช้กฎผลคูณ นอกจากนี้ยังใช้กฎการหาอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันพื้นฐาน ได้แก่ x2, x4, sin(x), ln(x) และ exp(x) = ex รวมถึงค่าคงที่ 7 ในพจน์สุดท้าย
ทั่วไป

ดูเพิ่ม

กณิกนันต์
คณิตวิเคราะห์
ปฏิยานุพันธ์
ปริพันธ์
ตัวผกผันการคูณ
หมายเหตุ

อ้างอิง

แหล่งข้อมูลอื่น

Khan Academy: 

 from Wolfram Alpha.
หมวดหมู่:แคลคูลัส
หมวดหมู่:ฟังก์ชันและการจับคู่
หมวดหมู่:คณิตวิเคราะห์