సమబాహు త్రిభుజం

Question: త్రిభుజం చుట్టు కొలత కనుగొనడానికి సూత్రం ఏంటి?


జ్యామితి లో "సమబాహు త్రిభుజం" అనగా మూడు భుజాలు సమానంగా ఉన్న త్రిభుజం. సాంప్రదాయకంగా లేదా యూక్లీడియన్ జ్యామితిలో "సమబాహు త్రిభుజం" అనగా "సమకోణ త్రిభుజం" అని అర్థము. దానిలోని అన్ని అంతర కోణాలు సమానంగా ఉండి ప్రతి కోణం విలువ 60° ఉంటుంది. ఈ త్రిభుజాలు క్రమ బహుభుజులైనందిన వీటిని క్రమ త్రిభుజాలు అనవచ్చును.
ముఖ్య ధర్మములు

ఒక సమబాహు త్రిభుజం లోని ప్రతి భుజం కొలత a అయితే మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఈ క్రింది విషయాలు కనుగొనవచ్చు. అవి:
వైశాల్యం 



A
=



3

4



a

2




{\displaystyle A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}


చుట్టు కొలత 



p
=
3
a




{\displaystyle p=3a\,\!}


పరివృత్త వ్యాసార్థం 



R
=



3

3


a


{\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{3}}a}


అంతర వృత్త కేంద్రం 



r
=



3

6


a


{\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a}


త్రిభుజ జ్యామితీయ కేంద్రం దాని పరివృత్త కేంద్రము లేదా అంతర వృత్త కేంద్రము అవుతుంది.
త్రిభుజం లోని ఒక భుజం నుండి ఉన్నతి 



h
=



3

2


a


{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a}

.


అనేక పరిమాణాల విలువలు దాని ఉన్నతి ("h")తో సాధారణ సంబంధాలతో కూడి ఉంటాయి.ఉన్నతి అనగా ఏదైనా శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజానికి గీయబడిన లంబం.
వైశాల్యం 



A
=



h

2



3





{\displaystyle A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}}


ప్రతి భుజం నుండి దాని కేంద్రానికి గల ఎత్తు. 



A
=


h
3




{\displaystyle A={\frac {h}{3}}}


దాని పరివృత్త వ్యాసార్థం 



R
=



2
h

3




{\displaystyle R={\frac {2h}{3}}}


దాని అంతర వృత్త వ్యాసార్థం 



r
=


h
3




{\displaystyle r={\frac {h}{3}}}




సమబాహు త్రిభుజంలో ఉన్నతులు, కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, లంబ సమద్విఖండన రేఖలు మరియు మద్యగత రేఖలు అన్నీ మిళితములు.
ఉపయోగించే పదాలు
ఒక త్రిభుజం ABC లో భుజాలు a, b, c లు , అర్థ చుట్టుకొలత s, వైశాల్యము T, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు ra, rb, rc ( a, b, c ల స్పర్శరేఖలు వరుసగా ), మరియు R మరియు r లు పరివృత్త మరియు అంతరవృత్త వ్యాసార్థాలు . ప్రతి సమబాహు త్రిభుజం ఈ క్రింది ఎనిమిది వర్గాలలో ఏదైనా ఒక దానికి పాటిస్తుంది. ఈ క్రింది లక్షణాలు కూడా సమబాహు త్రిభుజానికి చెందినవే.
భుజములు






a

2


+

b

2


+

c

2


=
a
b
+
b
c
+
c
a
.



{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca.}

[1]





a
b
c
=
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)


(Lehmus)




{\displaystyle \displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\quad {\text{(Lehmus)}}}

[2]







1
a


+


1
b


+


1
c


=



25
R
r
−
2

r

2




4
R
r



.



{\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}.}

[3]
అర్థ చుట్టుకొలత





s
=
2
R
+
(
3


3


−
4
)
r


(Blundon)




{\displaystyle \displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad {\text{(Blundon)}}}

[4]






s

2


=
3

r

2


+
12
R
r
.



{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr.}

[5]






s

2


=
3


3


T
.



{\displaystyle \displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T.}

[6]





s
=
3


3


r



{\displaystyle \displaystyle s=3{\sqrt {3}}r}







s
=



3


3



2


R



{\displaystyle \displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R}


కోణములు





A
=
B
=
C
=

60

∘





{\displaystyle \displaystyle A=B=C=60^{\circ }}







cos
⁡

A

+
cos
⁡

B

+
cos
⁡

C

=


3
2





{\displaystyle \displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}}







sin
⁡


A
2


sin
⁡


B
2


sin
⁡


C
2


=


1
8


.



{\displaystyle \displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}.}

[2]
వైశాల్యం





T
=




a

2


+

b

2


+

c

2




4


3







(Weizenbock)




{\displaystyle \displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad {\text{(Weizenbock)}}}

[7]





T
=



3

4


(
a
b
c

)





2
3





.



{\displaystyle \displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}.}

[6]
పరివృత్త వ్యాసార్థము, అంతరవృత్త వ్యాసార్థము మరియు బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు





R
=
2
r


(Chapple-Euler)




{\displaystyle \displaystyle R=2r\quad {\text{(Chapple-Euler)}}}

[1]





9

R

2


=

a

2


+

b

2


+

c

2


.



{\displaystyle \displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.}

[1]





r
=




r

a


+

r

b


+

r

c



9


.



{\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}.}

[2]






r

a


=

r

b


=

r

c


.



{\displaystyle \displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}.}


సమాన కొలతలు=
మూడు రకాల కొలతలు సమబాహు త్రిభుజాలలో ఒకే విధంగా ఉంటాయి.:[8]
మూడు ఉన్నతుల పొడవులు సమానము.
మూడు మధ్యగత రేఖల పొడవులు సమానము.
మూడు కోణ సమద్విఖండన రేఖల పొడవులు సమానము.
ఏకీభవించిన త్రిభుజ కేంద్రాలు
ప్రతి త్రిభుజ కేంద్రము దాని గురుత్వ కేంద్రం తో ఏకీభవిస్తుంది. వివిధ త్రిభుజ కేంద్రాలు ఒకే దగ్గర ఏకీభవిస్తే అది సమబాహు త్రిభుజం అవుతుంది. ఒక త్రిభుజం సమబాహు అగుటకు దాని పరివృత్త కేంద్రము, అంతరవృత కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి. ఉన్నతులు, గురుత్వ కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి..[9] It is also equilateral if its circumcenter coincides with the Nagel point, or if its incenter coincides with its nine-point center.[1]
Six triangles formed by partitioning by the medians
For any triangle, the three medians partition the triangle into six smaller triangles.
A triangle is equilateral if and only if any three of the smaller triangles have either the same perimeter or the same inradius.[10]:Theorem 1
A triangle is equilateral if and only if the circumcenters of any three of the smaller triangles have the same distance from the centroid.[10]:Corollary 7
జ్యామితీయ నిర్మాణము

An equilateral triangle is easily constructed using a compass and straightedge. Draw a straight line, and place the point of the compass on one end of the line, and swing an arc from that point to the other point of the line segment. Repeat with the other side of the line. Finally, connect the point where the two arcs intersect with each end of the line segment
Alternate method:
Draw a circle with radius r, place the point of the compass on the circle and draw another circle with the same radius. The two circles will intersect in two points. An equilateral triangle can be constructed by taking the two centers of the circles and either of the points of intersection.
The proof that the resulting figure is an equilateral triangle is the first proposition in Book I of Euclid's Elements.

సమాజం మరియు సంస్కృతిలో
Equilateral triangles have frequently appeared in man made constructions:
Some archaeological sites have equilateral triangles as part of their construction, for example Lepenski Vir in Serbia.
వైశాల్యం యొక్క సమీకరణ ఉత్పాదన
పైధాగరస్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి
The area of a triangle is half the base a times the height h,




A
=


1
2


a
h
.


{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ah.}



The legs of the right triangle are half of the base and the height, while the hypotenuse is the side or base of the equilateral triangle. The height of an equilateral triangle can be found using the Pythagorean theorem






(


a
2


)


2


+

h

2


=

a

2


.


{\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}.}


The equation can be rearranged to find the square of the height





h

2


=

a

2


−


(


a
2


)


2


.


{\displaystyle h^{2}=a^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}.}


The height is the square root of the equation. Thus




h
=



a

2


−


(


a
2


)


2




=



a

2


−



a

2


4




=




3
4



a

2




=



3

2


a
.


{\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\sqrt {{\frac {3}{4}}a^{2}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}


By substituting 



h
=





3

2



a



{\displaystyle h={{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}a}}

, the formula for the area of an equilateral triangle can be derived according to




A
=


1
2


a
×



3

2


a
=



3

4



a

2


.


{\displaystyle A={\frac {1}{2}}a\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}a={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}


త్రికోనమితి ఉపయోగించి
Using trigonometry, the area of a triangle with any two sides a and b, and an angle C between them is




A
=


1
2


a
b
sin
⁡
C
.


{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin C.}


Each angle of an equilateral triangle is 60°, so




A
=


1
2


a
b
sin
⁡

60

∘


.


{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.}


The sine of 60° is 







3

2





{\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}

. Thus




A
=


1
2


a
b
×



3

2


=



3

4


a
b
=



3

4



a

2




{\displaystyle A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}


since all sides of an equilateral triangle are equal.
ఇవి కూడా చూడండి

మూలాలు

ఇతర లింకులు