행렬식

Question: 배의 부피를 계산하는 데 필요한 공식은 무엇인가?

선형대수학에서, 행렬식(行列式, )은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.
역사
역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"()는 "디터민"()(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기에 지롤라모 카르다노가 



2
×
2


{\displaystyle 2\times 2}

 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.
정의
체 



K


{\displaystyle K}

 위의 



n
×
n


{\displaystyle n\times n}

 정사각행렬




A
=
(

a

i
j


)
=


(




a

11




⋯



a

1
n






⋮


⋱


⋮





a

n
1




⋯



a

n
n





)




{\displaystyle A=(a_{ij})={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}


의 행렬식은




det
A
=
det
(

a

i
j


)
=
det


(




a

11




⋯



a

1
n






⋮


⋱


⋮





a

n
1




⋯



a

n
n





)




{\displaystyle \det A=\det(a_{ij})=\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}


또는





|

A

|

=

|


a

i
j



|

=


|




a

11




⋯



a

1
n






⋮


⋱


⋮





a

n
1




⋯



a

n
n





|




{\displaystyle |A|=|a_{ij}|={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}}


와 같이 표기할 수 있으며, 다음과 같은 세 방법을 통해 정의할 수 있다.
선형성을 통한 정의
체 



K


{\displaystyle K}

 위의 



n
×
n


{\displaystyle n\times n}

 정사각행렬의 집합을 



Mat
⁡
(
n
;
K
)


{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}

로 쓰자. 그렇다면, 행렬식</b>은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 



det
:
Mat
⁡
(
n
;
K
)
→
K


{\displaystyle \det \colon \operatorname {Mat} (n;K)\to K}

이다.
각 행에 대하여 선형적이다.
두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다.
단위 행렬의 행렬식은 1이다.
즉, 행렬식은 표준화된 교대 다중 선형 형식이다. 행렬식은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
다른 조건을 그대로 두고, 첫번째 조건을 "첫 행에 대하여 선형적이다"로 약화할 수 있다.
다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 "이웃하는 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다"로 약화할 수 있다.
다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 앞부분만 취할 수 있다. 즉, 앞부분은 뒷부분을 함의한다.
유리수 · 실수 · 복소수 체를 비롯한, 체의 표수가 0인 경우, 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 뒷부분만 취할 수 있다. 그러나, 일반적으로 뒷부분은 앞부분보다 약한 조건이다.
라플라스 전개를 통한 정의

행렬식 



det




n


:
Mat
⁡
(
n
;
K
)
→
K


{\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{n}\colon \operatorname {Mat} (n;K)\to K}

는 



n


{\displaystyle n}

에 대하여 재귀적으로 정의할 수 있다.




det




0




(

)


=
1


{\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{0}{\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}=1}






det




1




(



a



)


=
a
det




0




(

)




{\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{0}{\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}}






det




2




(



a


b




c


d



)


=
a
det




1




(



d



)


−
b
det




1




(



c



)




{\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}d\end{pmatrix}}-b\operatorname {det} \!{}_{1}{\begin{pmatrix}c\end{pmatrix}}}






det




3




(



a


b


c




d


e


f




g


h


i



)


=
a
det




2




(



e


f




h


i



)


−
b
det




2




(



d


f




g


i



)


+
c
det




2




(



d


e




g


h



)




{\displaystyle \operatorname {det} \!{}_{3}{\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}=a\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix}}-b\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix}}+c\operatorname {det} \!{}_{2}{\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}}}






⋯


{\displaystyle \cdots }


라이프니츠 공식을 통한 정의
행렬식은 라이프니츠 공식()으로 정의할 수 있다. 즉, 



A
∈
Mat
⁡
(
n
;
K
)


{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;K)}

의 행렬식은 다음과 같다.




det
A
=

∑

σ
∈

S

n




sgn
⁡
σ

∏

i
=
1


n



a

i
,
σ
(
i
)




{\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}


여기서,





S

n




{\displaystyle S_{n}}

은 치환 



σ
:
{
1
,
…
,
n
}
→
{
1
,
…
,
n
}


{\displaystyle \sigma \colon \{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}}

의 집합이다.




sgn
⁡
σ


{\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma }

는 치환의 부호이다. 즉, 



σ


{\displaystyle \sigma }

가 짝치환이면 1, 홀치환이면 -1이다.
이에 따라, 우변은 



n
!


{\displaystyle n!}

개 항을 갖는 



n


{\displaystyle n}

차 동차 다항식이다. 



n
≥
2


{\displaystyle n\geq 2}

인 경우, 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.
예
3 × 3 미만 행렬
0 × 0 행렬의 행렬식은 1이다.




det


(

)


=
1


{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}\end{pmatrix}}=1}


1 × 1 행렬의 행렬식은 그 유일한 항이다.




det


(



a



)


=
a


{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}}=a}


2 × 2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.




det


(



a


b




c


d



)


=
a
d
−
b
c


{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc}


3 × 3 행렬

3 × 3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.








det


(



a


b


c




d


e


f




g


h


i



)





=
a
e
i
+
b
f
g
+
c
d
h
−
c
e
g
−
b
d
i
−
a
f
h






=
a
det


(



e


f




h


i



)


−
b
det


(



d


f




g


i



)


+
c
det


(



d


e




g


h



)








{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\\&=a\det {\begin{pmatrix}e&f\\h&i\end{pmatrix}}-b\det {\begin{pmatrix}d&f\\g&i\end{pmatrix}}+c\det {\begin{pmatrix}d&e\\g&h\end{pmatrix}}\end{aligned}}}


3 × 3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스의 도식()으로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같은 과정을 거쳐 계산한다.
첫번째 및 두번째 열을 행렬 오른쪽에 옮겨 적는다.
첫번째 행의 세 항으로부터, 실선 대각선을 내려 긋는다.
마지막 행의 세 항으로부터, 점선 대각선을 올려 긋는다.
각 실선 대각선에 놓인 항을 곱하여 더한다.
각 점선 대각선에 놓인 항을 곱하여 뺀다.
그러나 이는 더 큰 행렬에 대해 확장할 수 없다.
3 × 3 실수 행렬의 행렬식은 은 스칼라 삼중곱의 표현이기도 하다. 즉, 3차원 벡터의 스칼라 삼중곱은 정규 직교 기저 아래 벡터 좌표 성분에 대한 3 × 3 행렬식으로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 실수 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱의 절댓값은 둘 다 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 나타낸다. 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱은 둘 다 치환 아래 특별한 대칭성을 갖는 데 주의하자. 즉, 이들의 부호는 세 3차원 벡터의 방향의 개념과 일치한다. 이 기하 직관은 높은 차원으로 확장할 수 있다.
4 × 4 행렬
4 × 4 행렬의 행렬식은 다음과 같다.








det


(



a


b


c


d




e


f


g


h




i


j


k


l




m


n


o


p



)





=





a
f
k
p
−
a
f
l
o
−
a
g
j
p
+
a
g
l
n
+
a
h
j
o
−
a
h
k
n
−
b
e
k
p
+
b
e
l
o
+
b
g
i
p
−
b
g
l
m
−
b
h
i
o
+
b
h
k
m






+
c
e
j
p
−
c
e
l
n
−
c
f
i
p
+
c
f
l
m
+
c
h
i
n
−
c
h
j
m
−
d
e
j
o
+
d
e
k
n
+
d
f
i
o
−
d
f
k
m
−
d
g
i
n
+
d
g
j
m










=
a
det


(



f


g


h




j


k


l




n


o


p



)


−
b
det


(



e


g


h




i


k


l




m


o


p



)


+
c
det


(



e


f


h




i


j


l




m


n


p



)


−
d
det


(



e


f


g




i


j


k




m


n


o



)








=


|



a


b




e


f



|


⋅


|



k


l




o


p



|


−


|



a


c




e


g



|


⋅


|



j


l




n


p



|


+


|



a


d




e


h



|


⋅


|



j


k




n


o



|


+


|



b


c




f


g



|


⋅


|



i


l




m


p



|


−


|



b


d




f


h



|


⋅


|



i


k




m


o



|


+


|



c


d




g


h



|


⋅


|



i


j




m


n



|








{\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\i&j&k&l\\m&n&o&p\end{pmatrix}}&={\begin{aligned}&afkp-aflo-agjp+agln+ahjo-ahkn-bekp+belo+bgip-bglm-bhio+bhkm\\&+cejp-celn-cfip+cflm+chin-chjm-dejo+dekn+dfio-dfkm-dgin+dgjm\end{aligned}}\\&=a\det {\begin{pmatrix}f&g&h\\j&k&l\\n&o&p\end{pmatrix}}-b\det {\begin{pmatrix}e&g&h\\i&k&l\\m&o&p\end{pmatrix}}+c\det {\begin{pmatrix}e&f&h\\i&j&l\\m&n&p\end{pmatrix}}-d\det {\begin{pmatrix}e&f&g\\i&j&k\\m&n&o\end{pmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}a&b\\e&f\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}k&l\\o&p\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}a&c\\e&g\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}j&l\\n&p\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a&d\\e&h\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}j&k\\n&o\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}b&c\\f&g\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}i&l\\m&p\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}b&d\\f&h\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}i&k\\m&o\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}c&d\\g&h\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}i&j\\m&n\end{vmatrix}}\end{aligned}}}


계산
행렬식의 필산 기법 또는 계산 알고리즘에는 가우스 소거법, 라플라스 전개 등이 있다.
가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.
라플라스 전개는 행렬식을 소행렬식의 선형 결합으로 전개한다. 따라서 위 예시에서도 알 수 있듯, 라플라스 전개는 큰 행렬의 복잡한 행렬식을 작은 행렬의 간단한 행렬식으로 귀결시킨다.
성질
행렬식 



det
:
Mat
⁡
(
n
;
K
)
→
K


{\displaystyle \det \colon \operatorname {Mat} (n;K)\to K}

는 다음과 같은 성질을 갖는다.




det
I
=
1


{\displaystyle \det I=1}

. 즉, 단위 행렬의 행렬식은 1이다.




det
A
B
=
det
A
det
B


{\displaystyle \det AB=\det A\det B}

. 즉, 행렬식은 행렬 곱셈을 보존한다.
특히, 



det
c
A
=

c

n


det
A


{\displaystyle \det cA=c^{n}\det A}

이다.




det

A

−
1


=
(
det
A

)

−
1




{\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1}}

. 즉, 행렬식은 역행렬을 보존한다.




det

A

T


=
det
A


{\displaystyle \det A^{\operatorname {T} }=\det A}

. 즉, 서로 전치 행렬의 행렬식은 서로 같다.
라플라스 전개에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 더 작은 행렬식의 결합으로 표현된다.








det
A



=

a

i
1



C

i
1


+

a

i
2



C

i
2


+
⋯
+

a

i
n



C

i
n








=

a

1
j



C

1
j


+

a

2
j



C

2
j


+
⋯
+

a

n
j



C

n
j








{\displaystyle {\begin{aligned}\det A&=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in}\\[3px]&=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\end{aligned}}}


여기서 




C

i
j




{\displaystyle C_{ij}}

는 



A


{\displaystyle A}

의 여인자이다.
라이프니츠 공식에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 표현할 수 있다.




det
A
=

∑

σ
∈

S

n




sgn
⁡
σ

∏

i
=
1


n



a

i
,
σ
(
i
)




{\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}}






det
A
=

∑

σ
∈

S

n




sgn
⁡
σ

∏

i
=
1


n



a

σ
(
i
)
,
i




{\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i}}






det
A
=


1

n
!




∑

σ
,
τ
∈

S

n




sgn
⁡
σ
sgn
⁡
τ

∏

i
=
1


n



a

σ
(
i
)
,
τ
(
i
)




{\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma ,\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} \sigma \operatorname {sgn} \tau \prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),\tau (i)}}


응용
행렬식이 0인지 여부는 가역 행렬를 판단하는 필요 충분 조건이다.
크라메르 공식은 연립일차방정식의 해를 행렬식을 통해 표현한다.
행렬의 특성 다항식은 행렬식을 통해 정의된다.
실수 정사각행렬을 각 열벡터에 대한 순서 있는 나열로 볼 때, 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저의 방향을 정의한다.
행렬식은 벡터 미적분학에서 부피를 계산하는 데 쓰인다. 실수 벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과, 선형 변환 



f
:


R


n


→


R


n




{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}

과 가측 집합 



S
⊆


R


n




{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

에 대하여, 



f
(
S
)
⊆


R


n




{\displaystyle f(S)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

의 부피는 항상 



S


{\displaystyle S}

의 부피의 




|

det
f

|



{\displaystyle \left|\det f\right|}

배이다. 보다 일반적으로, 선형 사상 



f
:


R


n


→


R


m




{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}

과 가측 집합 



S
⊆


R


n




{\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}

에 대하여, 



f
(
S
)
⊆


R


m




{\displaystyle f(S)\subseteq \mathbb {R} ^{m}}

의 



n


{\displaystyle n}

차원 부피는 



S


{\displaystyle S}

의 부피의 





det

A

T


A




{\displaystyle {\sqrt {\det A^{T}A}}}

배로 주어진다.
같이 보기
가우스 소거법
퍼머넌트
파피안
단위행렬
영행렬
소행렬식
크라메르 공식
판별식
역행렬
외부 링크



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