급수 (수학)

Question: 무한급수란?


수학에서, 급수(級數, , )는 수열의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, )와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수</b>와 그렇지 않은 발산 급수</b>로 분류된다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다.
수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.
정의
수열 



(

a

n



)

n
=
0


∞




{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}

에 대한 (무한) 급수 




∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,





∑

n
=
0


∞



a

n


=

a

0


+

a

1


+

a

2


+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }


급수 




∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

의 부분합(部分合, ) 




∑

n
=
0


N



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}}

은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,





∑

n
=
0


N



a

n


=

a

0


+

a

1


+

a

2


+
⋯
+

a

N




{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}}


부분합의 수열 






(


∑

n
=
0


N



a

n



)


N
=
0


∞





{\displaystyle \textstyle \left(\sum _{n=0}^{N}a_{n}\right)_{N=0}^{\infty }}

이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. 수렴급수 




∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

의 합</b>은, 그 부분합의 극한이며, 이 역시 




∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

로 표기한다. 즉,





∑

n
=
0


∞



a

n


=

lim

N
→
∞



∑

n
=
0


N



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}}







∑

n
=
0


∞



|


a

n



|



{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}

도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다.
가산 첨수 급수
가산 무한 집합 



I


{\displaystyle I}

 및, 자연수 집합 




N



{\displaystyle \mathbb {N} }

과 



I


{\displaystyle I}

 사이의 일대일 대응 



i
:

N

→
I


{\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 



a
:
I
→

R



{\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} }

에 대한 급수 




∑

i
∈
I



a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}

는 다음과 같이 정의된다.





∑

i
∈
I



a

i


=

∑

n
=
0


∞



a


i

n






{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{i_{n}}}


다만, 이 정의가 유효하려면, 급수 




∑

i
∈
I



a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}

의 합이 일대일 대응 



i


{\displaystyle i}

의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의 



i


{\displaystyle i}

에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든 



i


{\displaystyle i}

에 대해서도 절대 수렴하며, 




∑

i
∈
I



a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}

의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의 



i


{\displaystyle i}

에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는 



i


{\displaystyle i}

가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록 



i


{\displaystyle i}

를 취할 수 있다.
임의 첨수 급수
임의의 집합(특히 비가산 집합) 



I


{\displaystyle I}

가 주어졌다고 하자. 모든 



i
∈
I


{\displaystyle i\in I}

에 대해 




a

i


≥
0


{\displaystyle a_{i}\geq 0}

이라고 가정하자. 급수 




∑

i
∈
I



a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}

를 다음과 같이 정의할 수 있다.





∑

i
∈
I



a

i


=

sup

J
⊂
I
,

|

J

|

<
∞



∑

i
∈
J



a

i


≤
∞


{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,|J|<\infty }\sum _{i\in J}a_{i}\leq \infty }


이때 집합 




I
′

=
{
i
∈
I
:

a

i


≠
0
}


{\displaystyle I'=\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}}

가 비가산 집합이면 




∑

i
∈
I



a

i


=
∞


{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\infty }

이다.
즉 




∑

i
∈
I



a

i


<
∞


{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}<\infty }

이라면





I
′

=

⋃

n
=
0


∞




{

i
∈
I
:

a

i


>


1
n



}




{\displaystyle I'=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}}


이며





|

{

i
∈
I
:

a

i


>


1
n



}

|

<
n

∑

i
∈
I



a

i


<
∞

(
∀
n
∈

N

)


{\displaystyle \left|\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}\right|<n\sum _{i\in I}a_{i}<\infty \qquad (\forall n\in \mathbb {N} )}


이므로, 




I
′



{\displaystyle I'}

이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 



a
:
I
→
[
0
,
∞
]


{\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]}

에 대한 급수 




∑

i
∈
I



a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}}

는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.





∑

i
∈
I



a

i


=

∑

i
∈

I
′




a

i




{\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{i\in I'}a_{i}}


수렴성
급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.
발산 급수
수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.
예를 들어, 영이 아닌 상수항 급수





∑

n
=
0


∞


1
=
1
+
1
+
1
+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1=1+1+1+\cdots }


는 발산 급수이다.
또한 다음의  조화급수 역시 발산한다.





∑

n
=
1


∞




1
n


=


1
1


+


1
2


+


1
3


+


1
4


+


1
5


+


1
6


+


1
7


+


1
8


+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots }








=


1
1


+

(


1
2


)

+

(



1
3


+


1
4



)

+

(



1
5


+


1
6


+


1
7


+


1
8



)

+
⋯


{\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots }






>


1
1


+

(


1
2


)

+

(



1
4


+


1
4



)

+

(



1
8


+


1
8


+


1
8


+


1
8



)

+
⋯


{\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots }










=


1
1


+

(


1
2


)

+

(


1
2


)

+

(


1
2


)

+
⋯


{\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots }










=
1
+
0.5
+
0.5
+
0.5
+
0.5
+
⋯


{\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots }










=
1
+
1
+
1
+
⋯


{\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots }






∴



1
1


+


1
2


+


1
3


+


1
4


+


1
5


+


1
6


+


1
7


+


1
8


+
⋯
>
1
+
1
+
1
+
⋯


{\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots }


또한 이것은 아래의 리만 제타 함수 



ζ
(
1
)


{\displaystyle \zeta (1)}

이기도 하다.






1

1

1




+


1

2

1




+


1

3

1




+


1

4

1




+


1

5

1




+


1

6

1




+


1

7

1




+


1

8

1




+
⋯


{\displaystyle {1 \over 1^{1}}+{1 \over 2^{1}}+{1 \over 3^{1}}+{1 \over 4^{1}}+{1 \over 5^{1}}+{1 \over 6^{1}}+{1 \over 7^{1}}+{1 \over 8^{1}}+\cdots }


조건 수렴
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다.
예를 들어, 교대급수





∑

n
=
1


∞


(
−
1

)

n
−
1




1
n


=
1
−


1
2


+


1
3


−
⋯


{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-\cdots }


는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.
절대 수렴
급수 




∑

n
=
0


∞



a

n




{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}

에 항별로 절댓값을 취한 급수 




∑

n
=
0


∞



|


a

n



|



{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}

이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다.
예를 들어, 기하급수





∑

n
=
0


∞




(

−


1
2



)


n


=
1
−


1
2


+


1
4


−
⋯


{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-\cdots }


는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한





∑

n
=
0


∞




(


1
2


)


n


=
1
+


1
2


+


1
4


+
⋯


{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }


도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.
수렴 판정법

(n항판정법) 만약 limn→∞ an = 0이지 않으면, ∑an은 발산한다.
(비교판정법) 궁극적으로 |an| ≤ |bn|인 경우, ∑bn이 절대수렴하면 ∑an도 절대수렴하며, ∑an이 절대수렴하지 않으면 ∑bn도 절대수렴하지 않는다.
(비판정법) 만약 궁극적으로  < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로  > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
(근판정법) 만약 궁극적으로 |an| < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an| > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
(적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = an(n = 1, 2, ...)이면, ∑an과 ∫∞
1 f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(코시 응집판정법) an이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑an과 ∑2ka2k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
(교대급수판정법) 만약 an이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)nan은 수렴한다.
(디니 판정법)
같이 보기
총합
수렴 판정법
수열의 곱
조화급수
베르누이 수
e
수열의 합
참고 문헌


분류:미적분학