무리수

Question: 분수로 표현이 불가능한 비율이 있는가?

무리수(無理數, irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 즉, 분수로 나타낼 수 없는 소수이다. 
이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수(분수)라 한다. 이것도 소수이다. 
유리수의 집합은 




Q

=

{



m
n


:
m
,
n
∈

Z

,
n
≠
0

}



{\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}

로 정의하고,
무리수의 집합은 




I

=

R

−

Q



{\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} -\mathbb {Q} }

로 정의한다.
무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다.
무리수는 다시 





2




{\displaystyle {\sqrt {2}}}

와 같은 대수적 수인 무리수와 



π


{\displaystyle \pi }

 등의 초월수로 나뉜다.
역사와 어원
무리수가 존재한다는 것을 처음 증명한 것은 고대 그리스 피타고라스 학파로 전해진다. 히파소스는 이등변 직각삼각형의 밑변과 빗변의 비는 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했다.[1] 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현될 수 있다고 믿었던 피타고라스 학파의 동료들이 히파소스를 죽였다는 전설이 있다.
에우클레이데스의 원론 10권을 포함한 고대 그리스 수학책에서는 유리수 비로 나타낼 수 있는 길이를 ‘말할 수 있는(ῥητός)’ 길이, 그렇지 못한 것을 ‘말할 수 없는(ἄλογος)’ 길이라고 불렀다. 알로고스는 글자 그대로 로고스가 없다는 뜻의 단어로, 말 없음·이성 없음 등을 뜻한다. 이것이 라틴어 numerus irrationalis로 번역되어 지금에 이른다.
몇 가지 무리수의 증명
특수한 로그 꼴의 수
가장 간단히 무리수임이 증명되는 수는 




log

2


⁡
3


{\displaystyle \log _{2}3}

과 같은 꼴의 수일 것이다. 증명은 귀류법을 사용하며, 다음과 같다:





log

2


⁡
3


{\displaystyle \log _{2}3}

을 유리수라 하자. 그러면, 어떤 자연수 



m
,
n


{\displaystyle m,n}

에 대해, 




log

2


⁡
3
=


m
n




{\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}}

을 만족한다.
따라서, 




2


m
n



=
3


{\displaystyle 2^{\frac {m}{n}}=3}

이 되고.
변형하면, 




2

m


=

3

n




{\displaystyle 2^{m}=3^{n}}

이다.
그런데, 




2

m




{\displaystyle 2^{m}}

은 짝수이고, 




3

n




{\displaystyle 3^{n}}

은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다.
따라서, 가정이 틀렸다. 즉, 




log

2


⁡
3


{\displaystyle \log _{2}3}

은 무리수이다.
2의 제곱근

무리수를 최초로 발견한 것은 일반적으로, 2의 제곱근이 유리수가 아님을 발견한 피타고라스와 그 제자들로 알려져 있다.
이에 대한 증명의 한 가지 방법은 다음처럼 귀류법을 사용하는 것이다.






2




{\displaystyle {\sqrt {2}}}

가 유리수라 하자.
그러면, 





2




{\displaystyle {\sqrt {2}}}

는 기약분수 





a
b




{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

로 쓸 수 있다. 다시 말해, 서로소인 정수 



a
,
b


{\displaystyle a,b}

에 대해, 





(


a
b


)


2


=
2


{\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=2}

.
위 식을 풀면







a

2



b

2




=
2


{\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}







a

2


=
2

b

2




{\displaystyle a^{2}=2b^{2}}


따라서, 




a

2




{\displaystyle a^{2}}

은 짝수.
짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로, 



a


{\displaystyle a}

는 짝수여야 한다.
따라서, 




a

2




{\displaystyle a^{2}}

는 4의 배수.
즉, 






a

2


2




{\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}}

는 짝수.
(3)에서, 






a

2


2


=

b

2




{\displaystyle {\frac {a^{2}}{2}}=b^{2}}

이다.
(7)과 (8)로부터, 




b

2




{\displaystyle b^{2}}

가 짝수임을 알 수 있다.
(4), (5)과 같은 방법으로, 



b


{\displaystyle b}

는 짝수.
(5)와 (10)에 의해, 



a


{\displaystyle a}

와 



b


{\displaystyle b}

는 모두 짝수. 이는 





a
b




{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

가 기약분수라는 (2)의 가정에 위배.
모순에 의해 (1)의 





2




{\displaystyle {\sqrt {2}}}

가 유리수라는 가정이 틀렸다는 걸 알 수 있다.
이 방법을 일반화하여, 제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수임을 증명할 수 있다.
무리수+유리수






2


+
3


{\displaystyle {\sqrt {2}}+3}

을 유리수라 가정하자.
위의 식이 유리수라면 





2


+
3
=
c


{\displaystyle {\sqrt {2}}+3=c}

를 만족하는 유리수 c가 있을 것이다.
두 번째 식에서 3을 이항시키면 





2


=
c
−
3


{\displaystyle {\sqrt {2}}=c-3}

이 된다.
그런데 유리수는 뺄셈에 대하여 닫혀 있으므로 유리수 c에서 3을 뺀 값은 유리수이다.
위의 소제목에서 





2




{\displaystyle {\sqrt {2}}}

가 유리수가 아니라는 것이 증명되었다. 이는 





2


+
3


{\displaystyle {\sqrt {2}}+3}

이 유리수라는 가정과 위배된다.
모순에 의해 





2


+
3


{\displaystyle {\sqrt {2}}+3}

이 유리수가 아니라는 것이 증명되었다.
각주

같이 보기
소수점 표기
분수 (수학)