오일러 공식

Question: 오일러의 방정식은 무엇인가?



오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.
오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 허수 지수 ix를 다음과 같이 정의한다.





e

i
x



=

cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x


{\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x}


여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, 



i


{\displaystyle i}

는 제곱하여 -1이 되는(




i

2


=
−
1


{\displaystyle i^{2}=-1}

) 허수단위, 



sin
,
cos


{\displaystyle \sin ,\cos }

은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.




x


{\displaystyle x}

에 



π


{\displaystyle \pi }

를 대입하여, 




e

i
π


+
1
=
0


{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.
역사
오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.




ln
⁡
(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)

=

i
x


{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)\,=\,ix}


지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 (Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.
발견적인 증명
테일러 급수를 이용한 방법
테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.









e

x





=
1
+
x
+



x

2



2
!



+



x

3



3
!



+
⋯



=

∑

n
=
0


∞





x

n



n
!







cos
⁡
x



=
1
−



x

2



2
!



+



x

4



4
!



−



x

6



6
!



+
⋯



=

∑

n
=
0


∞





(
−
1

)

n




(
2
n
)
!




x

2
n






sin
⁡
x



=
x
−



x

3



3
!



+



x

5



5
!



−



x

7



7
!



+
⋯



=

∑

n
=
0


∞





(
−
1

)

n




(
2
n
+
1
)
!




x

2
n
+
1








{\displaystyle {\begin{array}{rll}e^{x}&{}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\\\cos x&{}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}\\\sin x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\\end{array}}}


이때 



x


{\displaystyle x}

가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의</b>한다. 그러면









e

i
z






=
1
+
i
z
+



(
i
z

)

2




2
!



+



(
i
z

)

3




3
!



+



(
i
z

)

4




4
!



+



(
i
z

)

5




5
!



+



(
i
z

)

6




6
!



+



(
i
z

)

7




7
!



+



(
i
z

)

8




8
!



+
⋯







=
1
+
i
z
−



z

2



2
!



−



i

z

3




3
!



+



z

4



4
!



+



i

z

5




5
!



−



z

6



6
!



−



i

z

7




7
!



+



z

8



8
!



+
⋯







=

(

1
−



z

2



2
!



+



z

4



4
!



−



z

6



6
!



+



z

8



8
!



−
⋯

)

+
i

(

z
−



z

3



3
!



+



z

5



5
!



−



z

7



7
!



+
⋯

)








=
cos
⁡
z
+
i
sin
⁡
z






{\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}


가 된다.
미분 계산을 이용한 방법




f
(
x
)
=

e

−
i
x


(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)
⋯
(
1
)


{\displaystyle f(x)=e^{-ix}(\cos x+i\sin x)\cdots (1)}

 라면,






d

d
x



f
(
x
)
=
−
i

e

−
i
x


(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)
+

e

−
i
x


(
−
sin
⁡
x
+
i
cos
⁡
x
)
=

e

−
i
x


(
−
i
cos
⁡
x
+
sin
⁡
x
−
sin
⁡
x
+
i
cos
⁡
x
)
=
0


{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=-ie^{-ix}(\cos x+i\sin x)+e^{-ix}(-\sin x+i\cos x)=e^{-ix}(-i\cos x+\sin x-\sin x+i\cos x)=0}






∴
f
(
x
)
=
C


{\displaystyle \therefore f(x)=C}

 (단, 



C


{\displaystyle C}

는 상수)
(1)에 



x
=
0


{\displaystyle x=0}

을 대입하면,




f
(
0
)
=
1


{\displaystyle f(0)=1}






∴
C
=
1


{\displaystyle \therefore C=1}







e

−
i
x


(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)
=
1


{\displaystyle e^{-ix}(\cos x+i\sin x)=1}







e

i
x


=
(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)


{\displaystyle e^{ix}=(\cos x+i\sin x)}


Q.E.D.
미적분을 이용한 방법
다음과 같은 복소수 



z


{\displaystyle z}

를 생각하자:




z
=
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x



{\displaystyle z=\cos x+i\sin x\,}


양변을 



x


{\displaystyle x}

에 대해 미분하면:







d
z


d
x



=
−
sin
⁡
x
+
i
cos
⁡
x


{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-\sin x+i\cos x}







i

2


=
−
1


{\displaystyle i^{2}=-1}

이므로:







d
z


d
x



=

i

2


sin
⁡
x
+
i
cos
⁡
x
=
i
(
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
)
=
i
z


{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=iz}


양변을 적분하면:










1
z






d
z


d
x






=
i




∫


1
z



d
z



=
∫
i

d
x




ln
⁡
z



=
i
x
+
C






{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\,{\frac {dz}{dx}}&=i\\\int {\frac {1}{z}}\,dz&=\int i\,dx\\\ln z&=ix+C\end{aligned}}}


(여기에서 



C


{\displaystyle C}

는 적분 상수이다.)
이제 



C
=
0


{\displaystyle C=0}

이라는 것을 증명한다. 



x
=
0


{\displaystyle x=0}

일 경우를 계산해보면








ln
⁡
z



=
C




z



=
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x
=
cos
⁡
0
+
i
sin
⁡
0
=
1






{\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=C\\z&=\cos x+i\sin x=\cos 0+i\sin 0=1\end{aligned}}}


따라서








ln
⁡
1



=
C




C



=
0






{\displaystyle {\begin{aligned}\ln 1&=C\\C&=0\end{aligned}}}


따라서 다음과 같은 식이 성립한다:








ln
⁡
z



=
i
x




z



=

e

i
x







e

i
x





=
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x






{\displaystyle {\begin{aligned}\ln z&=ix\\z&=e^{ix}\\e^{ix}&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}


Q.E.D.
미분방정식을 이용한 방법



함수 



g
(
x
)


{\displaystyle g(x)}

 를 다음과 같이 정의한다.




g
(
x
)
=

e

i
x




{\displaystyle g(x)=e^{ix}}


허수단위 



i


{\displaystyle i}

 는 상수이므로 



g
(
x
)


{\displaystyle g(x)}

의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다.









g
′

(
x
)



=
i

e

i
x







g
″

(
x
)



=

i

2



e

i
x


=
−

e

i
x








{\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)&=ie^{ix}\\g''(x)&=i^{2}e^{ix}=-e^{ix}\end{aligned}}}


이로부터





g
″

(
x
)
=
−
g
(
x
)



{\displaystyle g''(x)=-g(x)\ }

 또는





g
″

(
x
)
+
g
(
x
)
=
0



{\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ }

 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,
일차 독립인 두 해가 발생한다.









g

1


(
x
)



=
cos
⁡
x





g

2


(
x
)



=
sin
⁡
x






{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}(x)&=\cos x\\g_{2}(x)&=\sin x\end{aligned}}}


한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.








g
(
x
)



=
A

g

1


(
x
)
+
B

g

2


(
x
)






=
A
cos
⁡
x
+
B
sin
⁡
x





g
′

(
x
)



=
−
A
sin
⁡
x
+
B
cos
⁡
x






{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&=Ag_{1}(x)+Bg_{2}(x)\\&=A\cos x+B\sin x\\g'(x)&=-A\sin x+B\cos x\end{aligned}}}


(



A


{\displaystyle A}

와 



B


{\displaystyle B}

는 상수)
그리고 여기에 함수 



g
(
x
)


{\displaystyle g(x)}

 의 초기 조건








g
(
0
)



=

e

i
0




=
1





g
′

(
0
)



=
i

e

i
0




=
i






{\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=e^{i0}&=1\\g'(0)&=ie^{i0}&=i\end{aligned}}}

 을 대입하면,








g
(
0
)



=


−


A
cos
⁡
0
+
B
sin
⁡
0


=
A





g
′

(
0
)



=
−
A
sin
⁡
0
+
B
cos
⁡
0


=
B






{\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&={\color {White}-}A\cos 0+B\sin 0&=A\\g'(0)&=-A\sin 0+B\cos 0&=B\end{aligned}}}





곧,








g
(
0
)



=
A


=
1





g
′

(
0
)



=
B


=
i






{\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=A&=1\\g'(0)&=B&=i\end{aligned}}}


이므로




g
(
x
)

=


e

i
x


=
cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x


{\displaystyle g(x)\,=\,e^{ix}=\cos x+i\sin x}

 이다.
Q.E.D.
cis 함수
cis 함수 또는 복소 지수 함수</b>는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.




cis
⁡
(
θ
)
=

e

i
θ


=
cos
⁡
θ
+
i
sin
⁡
θ


{\displaystyle \operatorname {cis} (\theta )=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }


이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.
같이 보기
겔폰드 상수
오일러의 등식
분류:복소해석학
분류:항등식
분류:사람 이름을 딴 낱말
분류:레온하르트 오일러
분류:복소해석학 정리