등차수열

Question: 수열이란?

수학에서, 등차수열(等差數列, , )은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공</b>통적으로 나타나는 차</b>이므로, 공차(common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다.
수열의 첫항을 




a

1




{\displaystyle a_{1}}

, 공차를 



d


{\displaystyle d}

라고 할 때, 일반항을 다음과 같이 나타낼 수 있다.





a

n


=

a

1


+
(
n
−
1
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}


등차수열 구하기
등차수열의 항과 공차 이용




i


{\displaystyle i}

번째 항을 




a

i




{\displaystyle a_{i}}

, 공차를 



d


{\displaystyle d}

라 하면
등차수열의 일반항은 다음과 같다.





a

n


=

a

i


+
(
n
−
i
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{i}+(n-i)d}


물론 여기에 



i
=
1


{\displaystyle i=1}

을 대입하면 잘 알려진 일반항으로 다음을 얻는다.





a

n


=

a

1


+
(
n
−
1
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}





이를테면 제5번째 항이 9이고, 공차가 2라면





a

n


=

a

5


+
(
n
−
5
)
d


{\displaystyle a_{n}=a_{5}+(n-5)d}







a

n


=
9
+
2
(
n
−
5
)


{\displaystyle a_{n}=9+2(n-5)}







a

n


=
2
n
−
1


{\displaystyle a_{n}=2n-1}


공차
등차수열에서 연속하는 두 수의 차이를 공차(公差)라고 한다. 보통 



d


{\displaystyle d}

로 표시한다.
예시를 들면 다음과 같다.
1, 2, 3, 4,…으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 



d


{\displaystyle d}

는 1이다.
2, 10, 18, 26, …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 



d


{\displaystyle d}

는 8이다.
1, 1, 1, 1, 1, … 이런 수열이 있을 때, 공차



d


{\displaystyle d}

는 0이다.(특히, 이런 수열을 상수수열이라고 한다)
342, 345, 348, 351 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차



d


{\displaystyle d}

는 3이다.
23461234, 23843963, 24226692, 24609421, …으로 증가하는 수열이 있을 때 공차



d


{\displaystyle d}

는 382729이다.
0, -1, -2, -3, -4 …으로 증가하는 수열이 있을 때, 공차 



d


{\displaystyle d}

는 -1이다.
등차중항
세 수 



a


{\displaystyle a}

, 



b


{\displaystyle b}

, 



c


{\displaystyle c}

가 이 순서로 등차수열을 이룰때, 



b


{\displaystyle b}

를 



a


{\displaystyle a}

와 



c


{\displaystyle c}

의 등차중항이라고 한다.
세 수 



a


{\displaystyle a}

, 



b


{\displaystyle b}

, 



c


{\displaystyle c}

에 대하여 



b


{\displaystyle b}

가 



a


{\displaystyle a}

와 



c


{\displaystyle c}

의 등차중항이면 등차수열의 정의에 의해서 



b
−
a
=
c
−
b


{\displaystyle b-a=c-b}

 이므로 다음이 성립한다.




b
=



a
+
c

2




{\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}


등차중항은 두 수를 1:1로 내분하는 등분점이라고 생각하면 쉽다. 세 수 



a


{\displaystyle a}

, 



b


{\displaystyle b}

, 



c


{\displaystyle c}

가 이 순서로 등차수열을 이룰때, 



b


{\displaystyle b}

는 



a


{\displaystyle a}

와 



c


{\displaystyle c}

의 이등분점이다. 네 수 



a


{\displaystyle a}

, 



b


{\displaystyle b}

, 



c


{\displaystyle c}

 



d


{\displaystyle d}

가 이 순서로 등차수열을 이룰때, 



b


{\displaystyle b}

는 



a


{\displaystyle a}

와 



d


{\displaystyle d}

의 1:2 내분점이고 



c


{\displaystyle c}

는 



a


{\displaystyle a}

와 



d


{\displaystyle d}

의 2:1 내분점이다. 즉, 



b


{\displaystyle b}

와 



c


{\displaystyle c}

는 삼등분점이 된다.
수열의 정의상 함수처럼 생각하면 이를 내분점, 혹은 외분점의 의미로 받아 들일 수 있다. 항의 비로 표현이 가능하다. [1]
등차급수
등차급수(, )는 등차수열의 합이다. 초항부터 n번째 항까지의 합 




S

n




{\displaystyle S_{n}}

는 다음과 같은 공식으로 나타난다.





S

n


=



n
(

a

1


+

a

n


)

2


=



n
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]

2




{\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}


이것은 다음과 같은 방법으로 증명할 수 있다.





S

n


=

a

1


+

a

2


+
⋯
+

a

n
−
1


+

a

n




{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}}







S

n


=

a

n


+

a

n
−
1


+
⋯
+

a

2


+

a

1




{\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}}






2

S

n


=
(

a

1


+

a

n


)
+
(

a

2


+

a

n
−
1


)
+
⋯
+
(

a

n
−
1


+

a

2


)
+
(

a

n


+

a

1


)


{\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}






2

S

n


=
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]
+
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]
+
⋯
+
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]
+
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]


{\displaystyle 2S_{n}=[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]+\dots +[2a_{1}+(n-1)d]+[2a_{1}+(n-1)d]}






2

S

n


=
n
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]


{\displaystyle 2S_{n}=n[2a_{1}+(n-1)d]}







S

n


=



n
[
2

a

1


+
(
n
−
1
)
d
]

2




{\displaystyle S_{n}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}


결론적으로 등차급수는 {




a

n




{\displaystyle a_{n}}

}의 평균값 x {




a

n




{\displaystyle a_{n}}

}의 항의 개수</b>로 정리 할 수 있다.(단, {




a

n




{\displaystyle a_{n}}

}은 유한수열)
등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용된다.
또 다른 방법
사람들은 다음과 같은 형태의 합을 쉽게 계산 할 수 있다.
S = -5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5
S = 0임을 쉽게 알 수 있다.
등차수열의 합도 이와같은 방법을 이용할 수 있다.
즉 양끝의 합이 0이 되도록 양끝의 합의 평균을 구해 항의 갯수만큼 빼주는 것이다.
그 평균값을 m이라 하면
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2+an-1+an
양변 m을 n개 빼주면 우변은 위와 같은 형태로 쉽게 0이 되어버린다.
Sn - m * n = 0
Sn = m * n
Sn = (a1 + an)/2 * n
Sn = n(a1+an)/2
각주

같이 보기
등비수열
소수로 이루어진 등차수열
수열 슬라이드 자료 (위키버시티)
분류:수열