ヤン＝ミルズ理論

Question: チャーン・サイモンズ理論はいつ提唱された？

ヤン＝ミルズ理論（－りろん、）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである[1]。
なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ[2][3]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。
概要
この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。
非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。
この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築された模型である[1]。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れた弱アイソスピンとハイパーチャージのSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。
このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。
現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。
また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。
超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論（Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead.、SYM）と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。
理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead.）と呼ばれる。
また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。
内容
ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。
パラメータ 




ϵ

a




{\displaystyle \epsilon ^{a}}

 で特徴付けられるリー群


を考える。
ここで、T はリー群の生成子である。
群の非可換性を反映して生成子のリー代数は


となる。f は群の構造定数である。
ゲージ変換
局所化されたパラメータ 




ξ

a


(
x
)


{\displaystyle \xi ^{a}(x)}

 で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場 




ϕ

i


(
x
)


{\displaystyle \phi _{i}(x)}

 は


と変換される。
パラメータの一次を考えると


となる。
ここで生成子 




T

i
j


a




{\displaystyle T_{ij}^{a}}

 は、ゲージ変換の下での場 




ϕ

i


(
x
)


{\displaystyle \phi _{i}(x)}

 の属する表現での行列表現である。ゲージ変換の下での場の変換性を決める生成子の表現はチャージと呼ばれる。
gは理論の結合定数で、ゲージ結合定数</b>と呼ばれる。この理論の大きな特徴として、共変微分やヤン＝ミルズ項に含まれる全ての結合定数が等しい事が挙げられる（結合定数の普遍性）。この普遍性は標準模型においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。
共変微分
ヤン＝ミルズ理論において、ラグランジアンに含まれる場の微分 




∂

μ



ϕ

i


(
x
)


{\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{i}(x)}

 は<b data-parsoid='{"dsr":[2543,2553,3,3]}'>共変微分


へと置き換えられる。ここで 




A

μ


a


(
x
)


{\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)}

 はゲージ場である。
ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で


と変換される。
従って共変微分は


と変換し、場と同じ変換性をもつ。
これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る[4]。
種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead.）の理論と呼ばれる。
ヤン＝ミルズ項
ヤン＝ミルズ理論では、ラグランジアンに<b data-parsoid='{"dsr":[3564,3577,3,3]}'>ヤン＝ミルズ項


（各添え字について和を取る）を持つ。 F は<b data-parsoid='{"dsr":[3695,3708,3,3]}'>ゲージ場の強度（Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead.）

である。
非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。
繰り込み群と結合定数
繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。




n

f




{\displaystyle n_{f}}

 個のフレーバーを持つゲージ群の表現 



r


{\displaystyle r}

 に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループベータ関数は、


となる。ただし、




C

2


(
G
)


{\displaystyle C_{2}(G)}

 は 




f

a
c
d



f

b
c
d


=

C

2


(
G
)

δ

a
b




{\displaystyle f^{acd}f^{bcd}=C_{2}(G)\delta ^{ab}}

 によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、



C
(
r
)


{\displaystyle C(r)}

 は表現 



r


{\displaystyle r}

 における生成子の行列表現の規格化定数 




T
r

(

T

a


(
r
)

T

b


(
r
)
)
=
C
(
r
)

δ

a
b




{\displaystyle \mathrm {Tr} (T^{a}(r)T^{b}(r))=C(r)\delta ^{ab}}

 である。
量子色力学においては、




C

2


(
G
)
=
3


{\displaystyle C_{2}(G)=3}

 で、



C
(
r
)
=
1

/

2


{\displaystyle C(r)=1/2}

である。
これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。
脚注

参考文献
論文

書籍
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佐藤勝彦『アインシュタインが考えた宇宙』実業之日本社、2005年
川合光『はじめての超ひも理論』講談社現代新書、2005年
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関連項目
標準模型
ゲージ理論
場の量子論
N=4 超対称ヤン・ミルズ理論