Pii (vakio)

Question: Miten alkuluvut määrittyvät?


Luku pii, jota merkitään pienellä kreikkalaisella π-kirjaimella, on matemaattinen vakio, joka esiintyy monilla matematiikan ja fysiikan alueilla. Se tunnetaan myös nimillä Arkhimedeen vakio ja (erityisesti saksankielisellä alueella) Ludolfin luku. 
Piin likiarvo katkaistuna 100 desimaalin jälkeen on
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.
Määritelmän mukaan pii on yhtä kuin ympyrän kehän suhde halkaisijaan (euklidisessa geometriassa). Vaihtoehtoisesti pii voidaan määritellä r-säteisen ympyrän pinta-alan suhteena r-sivuisen neliön pinta-alaan: 






π

r

2




r

2




=
π


{\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{r^{2}}}=\pi }

. Joissain analyysin kirjoissa pii määritellään pienimmäksi positiiviseksi luvuksi 



x


{\displaystyle x}

, jolle 



sin
⁡
(
x
)
=
0


{\displaystyle \sin(x)=0}

.
Eukleideen Alkeet-teoksen luvussa XII todistetaan, että kahden ympyrän alan suhde on sama kuin niiden halkaisijoiden neliöiden suhde. Tästä seuraa, että ympyrän pinta-ala on vakio (= π / 4) kertaa sen halkaisijan neliö. Pii on irrationaaliluku eli luku, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Ferdinand Lindemann todisti vuonna 1882 piin olevan transsendenttiluku, eli luku, joka ei ole minkään rationaalilukukertoimisen polynomin nollakohta.
Piin historia

Koska pii on transsendenttiluku, sitä ei voi esittää päättyvänä lausekkeena peruslaskutoimituksia, potenssiinkorotusta ja juurenottoa käyttäen. Sitä on kuitenkin kauan arvioitu likimääräisesti. Vanhan testamentin Ensimmäisessä kuninkaiden kirjassa 



π


{\displaystyle \pi }

 on 3: "Hiram valoi myös pyöreän altaan, jota kutsuttiin mereksi. Se oli reunasta reunaan kymmenen kyynärän levyinen, korkeutta sillä oli viisi kyynärää, ja vasta kolmenkymmenen kyynärän pituinen mittanuora ulottui sen ympäri".[1]
Ensimmäisiä säällisiä säilyneitä 



π


{\displaystyle \pi }

:n likiarvoja on egyptiläisen matemaatikko Ahmosen käyttämä. Se on säilynyt laskutehtävissä, jotka sisältyvät niin sanottuun Rhindin papyrukseen. Sen mukaan ympyrän pinta-ala on yhtä suuri kuin sellaisen neliön, jonka sivu on 8/9 ympyrän halkaisijasta. Tämä vastaa 



π


{\displaystyle \pi }

:n likiarvoa 256/81 eli noin 3,16. Noin 2000 vuotta ennen ajanlaskun alkua babylonialaiset otaksuivat, että 



π


{\displaystyle \pi }

 on joko 3 tai 





25
8




{\displaystyle {\frac {25}{8}}}

 (yksi desimaali oikein). Myös likiarvo 





22
7




{\displaystyle {\frac {22}{7}}}

 (kaksi des. oik.) on tiedetty pitkään.
Kreikkalainen filosofi ja matemaatikko Arkhimedes todisti ympyrän sisään ja ympärille piirrettyjen monikulmioiden avulla, että ympyrän kehän ja halkaisijan suhde on lukujen 



3


1
7




{\displaystyle 3{\frac {1}{7}}}

 ja 



3


10
71




{\displaystyle 3{\frac {10}{71}}}

 välillä.[2] Ptolemaios käytti 



π


{\displaystyle \pi }

:n arvoa 





377
120




{\displaystyle {\frac {377}{120}}}

 (kolme des. oik.). Kiinalainen Tsi Ch'ung-Chi löysi 400-luvulla 



π


{\displaystyle \pi }

:lle arvon 





355
113




{\displaystyle {\frac {355}{113}}}

 (kuusi des. oik.), jota parempi murtolukuarvio on vasta 





103993
33102




{\displaystyle {\frac {103993}{33102}}}

 (yhdeksän des. oik.). 
Luku 



π


{\displaystyle \pi }

 todistettiin irrationaaliluvuksi 1700-luvulla.
Sarjakehitelmät
Piin voi esittää päättymättömänä sarjana. Eräs varhainen ja yksinkertainen tapa määritellä pii sarjana on Gottfried Leibnizin kehittämä Gregory–Leibniz-sarja:




π
=


4
1


−


4
3


+


4
5


−


4
7


+


4
9


−


4
11


⋯



{\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots \,}


Tämä sarja suppenee kuitenkin liian hitaasti, jotta sitä kannattaisi käyttää piin likiarvojen laskemiseen. Siitä olisi laskettava vähintään 294 ensimmäistä termiä, jotta saataisiin edes kaksidesimaalinen likiarvo 3,14. Vuonna 1706 John Machin todisti kuitenkin seuraavan yhtälön:






π
4


=
4

arctan
⁡


1
5


−
arctan
⁡


1
239





{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}\!}


Koska arkustangentin Taylorin sarjakehitelmä on




arctan

x
=
x
−



x

3


3


+



x

5


5


−



x

7


7


+
⋯



{\displaystyle \arctan \,x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \!}


saatiin tästä piille nopeasti suppeneva ja käyttökelpoinen sarjakehitelmä:






π
4


=


4
5


−


4

3
⋅

5

3





+


4

5
⋅

5

5





−


4

7
⋅

5

7





+
.
.
.
.
−


1
239


+


1

3
⋅

239

3





−


1

5
⋅

239

5





+


1

7
⋅

239

7





−
.
.
.


{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {4}{5}}-{\frac {4}{3\cdot 5^{3}}}+{\frac {4}{5\cdot 5^{5}}}-{\frac {4}{7\cdot 5^{7}}}+....-{\frac {1}{239}}+{\frac {1}{3\cdot 239^{3}}}-{\frac {1}{5\cdot 239^{5}}}+{\frac {1}{7\cdot 239^{7}}}-...}


Machin itse laski tällä kaavalla piin 100 desimaalin tarkkuudella, ja myöhemminkin tätä sarjaa on paljon käytetty yhä tarkempien likiarvojen laskemiseen.
Alkulukujen 7, 11, 13,... avulla on johdettu tulokaava[3]




π
=
[
945
(



7

6




7

6


−
1



⋅



11

6




11

6


−
1



⋅



13

6




13

6


−
1



⋅
.
.
.
)

]


1
6





{\displaystyle \pi =[945({7^{6} \over 7^{6}-1}\cdot {11^{6} \over 11^{6}-1}\cdot {13^{6} \over 13^{6}-1}\cdot ...)]^{1 \over 6}}


Edellistä pienemmistä alkuluvuista 2, 3, 5, ... lähtien pätee myös tulokaava[3]




(
1
−


1

2

2




)
(
1
−


1

3

2




)
(
1
−


1

5

2




)
.
.
.
=


6

π

2






{\displaystyle (1-{1 \over 2^{2}})(1-{1 \over 3^{2}})(1-{1 \over 5^{2}})...={6 \over \pi ^{2}}}


Vuorottelevista sarjoista voidaan mainita tulos[3]





∑

k
=
1


∞





(
−
1

)

k
−
1




k

2




=



π

2


12




{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{(-1)^{k-1} \over k^{2}}={\pi ^{2} \over 12}}

,
josta saadaan




π
=


12
(
1
−


1
4


+


1
9


−


1
16


+


1
25


−
.
.
.
)




{\displaystyle \pi ={\sqrt {12(1-{1 \over 4}+{1 \over 9}-{1 \over 16}+{1 \over 25}-...)}}}


Muita äärettömiä sarjoja:





∑

k
=
0


∞





k
!


(
2
k
+
1
)
!
!



=

∑

k
=
0


∞






2

k


k

!

2




(
2
k
+
1
)
!



=


π
2





{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}\!}









3


6

5





∑

k
=
0


∞





(
(
4
k
)
!

)

2


(
6
k
)
!



9

k
+
1


(
12
k
)
!
(
2
k
)
!




(



127169

12
k
+
1



−


1070

12
k
+
5



−


131

12
k
+
7



+


2

12
k
+
11




)

=
π



{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi \!}








1

2

6





∑

n
=
0


∞






(
−
1
)


n



2

10
n





(

−



2

5



4
n
+
1



−


1

4
n
+
3



+



2

8



10
n
+
1



−



2

6



10
n
+
3



−



2

2



10
n
+
5



−



2

2



10
n
+
7



+


1

10
n
+
9




)

=
π



{\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi \!}







∑

n
=
1


∞






3

n


−
1


4

n





ζ
(
n
+
1
)
=
π



{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi \!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



1


=


1
1


−


1
3


+


1
5


−


1
7


+


1
9


−
⋯
=
arctan
⁡

1

=


π
4





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{1}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}\!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



2


=


1

1

2




+


1

3

2




+


1

5

2




+


1

7

2




+
⋯
=



π

2


8





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}\!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



3


=


1

1

3




−


1

3

3




+


1

5

3




−


1

7

3




+
⋯
=



π

3


32





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}\!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



4


=


1

1

4




+


1

3

4




+


1

5

4




+


1

7

4




+
⋯
=



π

4


96





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}\!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



5


=


1

1

5




−


1

3

5




+


1

5

5




−


1

7

5




+
⋯
=



5

π

5



1536





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}\!}







∑

n
=
0


∞





(



(
−
1

)

n




2
n
+
1



)



6


=


1

1

6




+


1

3

6




+


1

5

6




+


1

7

6




+
⋯
=



π

6


960





{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)}^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}\!}






π
=


12




(

1
−


1

3
⋅
3



+


1

5
⋅

3

2





−


1

7
⋅

3

3





+
⋯

)



{\displaystyle \pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)}






π
=
8

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


∞




1

(
4
m
−
2

)

2
k





=
4

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


∞






m

2


−

k

2




(

m

2


+

k

2



)

2





=



360

∑

k
=
1


∞



∑

m
=
1


k




1

m
(
k
+
1

)

3







4







{\displaystyle \pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}}

.
Muutama BBP-kaava:








π



=



1
2




∑

k
=
0


∞





1

16

k






(




8

8
k
+
2




+



4

8
k
+
3




+



4

8
k
+
4




−



1

8
k
+
7





)







=



1
4




∑

k
=
0


∞





1

16

k






(




8

8
k
+
1




+



8

8
k
+
2




+



4

8
k
+
3




−



2

8
k
+
5




−



2

8
k
+
6




−



1

8
k
+
7





)







=



∑

k
=
0


∞






(
−
1

)

k




4

k






(




2

4
k
+
1




+



2

4
k
+
2




+



1

4
k
+
3





)

.






{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right).\end{aligned}}}


Äärettömiä tuloja
Wallisin tulo:





∏

n
=
1


∞





4

n

2




4

n

2


−
1



=


2
1


⋅


2
3


⋅


4
3


⋅


4
5


⋅


6
5


⋅


6
7


⋅


8
7


⋅


8
9


⋯
=


4
3


⋅


16
15


⋅


36
35


⋅


64
63


⋯
=


π
2





{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdot {\frac {64}{63}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}\!}


Viètan kaava:







2

2


⋅



2
+


2



2


⋅



2
+


2
+


2





2


⋅
⋯
=


2
π





{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots ={\frac {2}{\pi }}\!}

.
Muita äärettömiä tuloja:




π
=
2


3



∏

k
=
1


∞







(

2
k
−
1

)




1
2


−
k




(

2
k
+
3

)


k
+


1
2






2
k
+
1





(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle \pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}








π
e


=
2

∏

k
=
1


∞




(



2
k
+
1


2
k
−
1



)


2
k
−
1




(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle {\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}






π
⋅
e
=
6

∏

k
=
1


∞




(



2
k
+
3


2
k
+
1



)


2
k
+
1




(


k

k
+
1



)


2
k




{\displaystyle \pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}}






π
=


3
2


⋅



3

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


2
3


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}}






π
=


4
3


⋅



2

2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


3
4


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}






π
=


6
5


⋅


1
2



∏

k
=
1


∞





k

2




k

2


−


(


5
6


)


2







{\displaystyle \pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}}






π
=


9
2


⋅



3

2



∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


2
9







{\displaystyle \pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}}






π
=


36
5


⋅


1
2



∏

k
=
1


∞






k

2


+
k



k

2


+
k
+


5
36





.


{\displaystyle \pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}.}


Approksimaatioita
kaksi oikeaa desimaalia:






2


+


3


=

3.146

+




{\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=3.146^{+}}








15


−


3


+
1
=

3.140

+




{\displaystyle {\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+1=3.140^{+}}


kolme oikeaa desimaalia:






31

3



=

3.1413

+




{\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}=3.1413^{+}}


kolme oikeaa desimaalia:






7
+


6
+


5






=

3.1416

+




{\displaystyle {\sqrt {7+{\sqrt {6+{\sqrt {5}}}}}}=3.1416^{+}}

[4]
Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kolme oikeaa desimaalia:






9
5


+



9
5



=

3.1416

+




{\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}


neljä oikeaa desimaalia:







7

7



4

9




=

3.14156

+




{\displaystyle {\frac {7^{7}}{4^{9}}}=3.14156^{+}}


kuusi oikeaa desimaalia:






355
113


=
3.14159


29

+




{\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}


Ramanujanin kehittämä approksimaatio, kahdeksan oikeaa desimaalia:








3

4


+

2

4


+


1

2
+
(


2
3



)

2







4



=



2143
22


4



=
3.14159


2652

+




{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}}


yhdeksän oikeaa desimaalia:






63
25


×



17
+
15


5




7
+
15


5





=
3.14159


26538

+




{\displaystyle {\frac {63}{25}}\times {\frac {17+15{\sqrt {5}}}{7+15{\sqrt {5}}}}=3.14159\ 26538^{+}}


yhdeksän oikeaa desimaalia:








10

100


11222.11122


193



=
3.14159


26536

+




{\displaystyle {\sqrt[{193}]{\frac {10^{100}}{11222.11122}}}=3.14159\ 26536^{+}}


17 oikeaa desimaalia:







80


15


(

5

4


+
53


89



)


3
2





3308
(

5

4


+
53


89


)
−
3


89







{\displaystyle {\frac {80{\sqrt {15}}(5^{4}+53{\sqrt {89}})^{\frac {3}{2}}}{3308(5^{4}+53{\sqrt {89}})-3{\sqrt {89}}}}}


29 oikeaa desimaalia:







ln
⁡
(

640320

3


+
744
)


163



=
3.14159

26535

89793

23846

26433


83279

+




{\displaystyle {\frac {\ln(640320^{3}+744)}{\sqrt {163}}}=3.14159\ 26535\ 89793\ 23846\ 26433\ 83279^{+}}


51 oikeaa desimaalia:







ln
⁡
(

5280

3


(
236674
+
30303


61



)

3


+
744
)


427





{\displaystyle {\frac {\ln(5280^{3}(236674+30303{\sqrt {61}})^{3}+744)}{\sqrt {427}}}}


160 oikeaa desimaalia:







ln
⁡


(


(
2
u

)

6


+
24


)




3502





{\displaystyle {\frac {\ln {\big (}(2u)^{6}+24{\big )}}{\sqrt {3502}}}}


missä




u
=
(
a
+



a

2


−
1



)

2


(
b
+



b

2


−
1



)

2


(
c
+



c

2


−
1


)
(
d
+



d

2


−
1


)


{\displaystyle u=(a+{\sqrt {a^{2}-1}})^{2}(b+{\sqrt {b^{2}-1}})^{2}(c+{\sqrt {c^{2}-1}})(d+{\sqrt {d^{2}-1}})}


ja








a



=



1
2



(
23
+
4


34


)




b



=



1
2



(
19


2


+
7


17


)




c



=
(
429
+
304


2


)




d



=



1
2



(
627
+
442


2


)






{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{2}}(23+4{\sqrt {34}})\\b&={\tfrac {1}{2}}(19{\sqrt {2}}+7{\sqrt {17}})\\c&=(429+304{\sqrt {2}})\\d&={\tfrac {1}{2}}(627+442{\sqrt {2}})\end{aligned}}}

.
Piin desimaalien laskeminen
Englantilainen matemaatikko William Shanks laski 20 vuoden ajan piin desimaaleja käsin ja ratkaisi luvun 707 desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1945 kuitenkin huomattiin, että laskun 528. desimaali oli laskettu virheellisesti.[5]
Nykyään piin desimaaleja lasketaan tietokoneilla.
1900-luvulla pii tunnettiin jo yli miljardin desimaalin tarkkuudella, ja nykyään siitä tiedetään ensimmäiset noin 2,5 biljoonaa desimaalia.[6] 1990-luvulla kehitettiin tapoja laskea piin heksadesimaaliesityksen numeroita mistä tahansa kohdasta ilman, että aiempia numeroita tarvitsee tietää.
Muita esimerkkejä

Kun kolikko heitetään satunnaisesti neliöruudukolle, jossa kunkin neliön sivun pituus on sama kuin kolikon halkaisija (eli kaksi kertaa säde r), niin todennäköisyys, että kolikko peittää neliöiden risteyskohdan kuvassa esitetyllä tavalla, on π/4. Toistamalla koe lukuisia kertoja saadaan piille kokeellinen likiarvo.[7]
Avoimia kysymyksiä
Vaikka piistä tiedetään paljon, on vielä useita avoimia kysymyksiä sen desimaaleihin liittyen:
Onko desimaaleissa toistuvia kuvioita, vai onko ketju hahmoton?[5]
Toistuvatko jotkin numerot tai luvut piissä useammin kuin toiset?[5]
Katso myös
Luettelo piin laskukaavoista
Feynmanin piste
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Pappas, Theoni| title = Lisää matematiikan iloja| others = Translated by Juha Pietiläinen| location = Helsinki| publisher = Terra Cognita| year = 1991| version = (Alkuteos: More Joy of Mathematics. Exploring Mathematics All Around You)| id = ISBN 952-5202-46-1}}
Viitteet

Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Beckmann, Petr| title = π: Erään luvun tarina| location = Helsinki| publisher = Terra Cognita| year = 2000| version = (A history of π, 1971.) Suomentanut Hannele Salminen| id = ISBN 952-5202-28-3}}
Aiheesta muualla
 Gutenberg-projektin teksti, jossa on ensimmäiset 10 miljoonaa desimaalia
 voi itse laskea piin ja muiden vakioiden arvoja erittäin tarkasti

 Pii-laskin, joka toimii selaimessa

*
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit