Fermat’n suuri lause

Question: Kuka kirjoitti Pythagoraan lauseen?

Fermat’n suuri lause, Fermat’n viimeinen teoreema tai lyhyesti Fermat’n lause on matemaatikko Pierre de Fermat’n 1600-luvulla esittämä lukuteoreettinen väite:
Ei ole olemassa positiivisia kokonaislukuja 



a


{\displaystyle a}

, 



b


{\displaystyle b}

 ja 



c


{\displaystyle c}

, jotka toteuttaisivat yhtälön 





a

n


+

b

n


=

c

n




{\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}

 
kun 



n


{\displaystyle n}

 on luonnollinen luku ja suurempi kuin 



2


{\displaystyle 2}

.

Väite pitää paikkansa, mutta tämän todisti vasta Andrew Wiles 1900-luvulla. Väite pysyi siis yli 300 vuotta todistamattomana. Lausetta kutsutaan suureksi erotukseksi Fermat’n pienestä lauseesta, joka käsittelee kokonaan eri asiaa.
Historiaa

Fermat kirjoitti kuuluisan lauseensa vuonna 1637 Diofantoksen Arithmetican marginaaliin.[1] Väittämän alapuolelle hän kirjoitti latinaksi: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet" (Olen keksinyt väittämälle ihmeellisen todistuksen, mutta marginaalissa ei riitä sille tilaa). Lause löytyi Fermat’n kuoltua vuonna 1665. Fermat’n oma kappale kirjasta on kuitenkin kadonnut.[1]

Mahdollisesti Fermat tarkasteli potenssitaulukoita ns. nexus-lukujen eli perättäisten kokonaislukujen saman potenssin erotusten summana. Kun kokonaislukujen potenssit kirjoitetaan nexus-lukujen summana muotoon 



1
+
(

2

n


−

1

n


)
+
(

3

n


−

2

n


)
+


{\displaystyle 1+(2^{n}-1^{n})+(3^{n}-2^{n})+}

 ... 



+
[

X

n


−
(
X
−
1

)

n


]


{\displaystyle +[X^{n}-(X-1)^{n}]}

, on helppo huomata että vain neliötaulukossa (n=2) nexus-lukujen ja niiden perättäissummien joukossa on neliöitä. Kuutiotaulukon (n=3) nexus-lukujen tai niiden perättäissummien joukossa ei koskaan ole kuutioita. Samoin kaikkien korkeampien potenssien taulukoissa nexus-lukujen ja nexus-summien joukossa ei koskaan esiinny kokonaislukujen vastaavia potensseja. Tämä on helppo osoittaa myös geometrisesti, koska kaikkien kokonaislukujen  parillisten eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöitä ja parittomien eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöjonoja.  Näiden sivut ovat myös samojen kantalukujen alempia potensseja, jotka voidaan kirjoittaa samoin edelläkuvattuun 1+nexussumman muotoon. Sen sijaan kahden kokonaisluvun saman potenssin erotuksesta tai summasta muodostetun ko. potenssia  edustavan neliön tai neliöjonon sivujen pituutta tai pinta-alaa  on mahdoton kirjoittaa  minkään kokonaisluvun ko. potenssia edustavan 1+ nexussumman muotoon, koska ne jäävät aina kahden perättäisen kokonaisluvun ko. potenssin välille.  Siten kahden kokonaisluvun saman potenssin erotus (eli etäisyys kyseisessä potenssitaulukossa) on aina nexus-luku tai perättäisten nexus-lukujen summa, joka ei voi olla minkään kokonaisluvun vastaava potenssi, jos n on kahta suurempi kokonaisluku. Tällainen havainto on "suuren lauseen" kanssa yhdenmukainen ja mahdollinen selitys sille, että "demonstraatio" ei mahtunut marginaaliin. Fermat ehkä perusti "demonstraationsa" ja "todistuksensa" kahden luvun summan symmetriaan: Summan muodostavat kaksi lukua ovat aina symmetrisesti summan puolikkaan molemmin puolin eli keskeltä taitetulla summajanalla samalla vaakaviivalla a--A--b.  Tämä pitää paikkansa kokonaisluvuilla ja kokonaislukujen neliöillä, mutta ei enää kuutioilla ja korkeammilla potensseilla, joten nk. Pytagoraan lause a^n+b^n=c^n voi toteutua kokonaisluvuilla,jos n=2, mutta ei, jos n=3 tai suurempi kokonaisluku, kuten Fermat nk. suuressa lauseessa kirjoittaa.
Lauseen tekee merkittäväksi se, että se oli viimeinen todeksi osoitettu Fermat’n luoma teoreema. Suurimmassa osassa lauseistaan Fermat oli kirjoittanut marginaaliin viitteitä oman todistuksensa kulkuun. Näiden viitteiden avulla myöhempi todistaminen helpottui huomattavasti, mutta Fermat’n suuren lauseen kanssa oli aloitettava alusta.
Fermat’n suurta lausetta oli yritetty todistaa moneen kertaan aikaisemminkin. Useaan kertaan tunnetutkin matemaatikot ovat väittäneet pystyvänsä sen todistamaan, mutta aina todistuksessa on ollut virhe. Vain muutama vuosi ennen Wilesin todistusta väitti japanilainen matemaatikko Yoichi Miyaoka todistaneensa lauseen, mutta todistuksesta löytyi lopulta virhe. Osia Fermat’n suuresta lauseesta oli kuitenkin pystytty todistamaan. Esimerkiksi Euler oli todistanut Fermat’n suuren lauseen kun potenssi 



n


{\displaystyle n}

 on 



3


{\displaystyle 3}

 tai 



4


{\displaystyle 4}

.
Myöhemmin Fermat’n suuren lauseen ratkaisemisesta luvattiin palkkio, jota useat matemaatikot ja sitäkin useammat maallikot tavoittelivat. Ajatus siitä, että Fermat oli itse väittänyt 1600-luvun osaamisellaan pystyvänsä lauseen todistamaan, antoi myös maallikolle rohkaisun. Tuon ajan matemaattisen tiedon omaksuminen ei ole mahdoton tehtävä.
Todistus pääpiirteissään
Englantilainen Andrew Wiles todisti Fermat’n suuren lauseen vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Toisin kuin Fermat kuuluisassa marginaalissaan kirjoitti, hän ei todennäköisesti ollut löytänyt virheetöntä todistusta: Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa – erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä modulimuotoja ja elliptisiä käyriä – mikä oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.
Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava[2]: Fermat’n suuri lause on voimassa eksponenteilla 



l
=
3


{\displaystyle l=3}

 ja 



l
=
4


{\displaystyle l=4}

. On riittävää osoittaa, että lause on voimassa alkulukueksponenteilla 



l
>
4


{\displaystyle l>4}

. On myös riittävää olettaa, että 



syt
⁡
(
A
,
B
,
C
)
=
1


{\displaystyle \operatorname {syt} (A,B,C)=1}

, 



C
≡
−
1


(
mod

4
)



{\displaystyle C\equiv -1{\pmod {4}}}

 ja 



B


{\displaystyle B}

 on parillinen. Tarkastellaan elliptistä käyrää 




E


C

l


,

B

l






{\displaystyle E_{C^{l},B^{l}}}

, jonka määrittelee yhtälö 




y

2


=
x
(
x
−

C

l


)
(
x
−

B

l


)


{\displaystyle y^{2}=x(x-C^{l})(x-B^{l})}

. Nyt on voimassa lause: Jos 



E


{\displaystyle E}

 on puolivakaa elliptinen käyrä yli rationaalilukujen ja 



N


{\displaystyle N}

 on 



E


{\displaystyle E}

:n konduktori, on 



E


{\displaystyle E}

 modulimuoto ja tasoa 



N


{\displaystyle N}

. Tämän mukaan 



E
=

E


C

l


,

B

l






{\displaystyle E=E_{C^{l},B^{l}}}

 on modulimuoto. Mutta tällöin 



E
[
ℓ
]


{\displaystyle E[\ell ]}

:n 



ℓ


{\displaystyle \ell }

-torsiopisteiden muodostama ryhmä olisi tasoa kaksi oleva modulimuoto. Kuitenkaan ei ole olemassa nollasta poikkeavaa modulimuotoa, jonka taso on yksi tai kaksi.
Loppuvaiheessa myös Nick Katz ja Richard Taylor auttoivat Wilesiä viimeistelemään todistuksen.
Todistukseen siis käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä, eivätkä useimmat matemaatikot ja tiedehistorioitsijat enää usko, että Fermat'lla olisi ollut pitävää todistusta lauseelle kaikilla eksponenteilla 



n


{\displaystyle n}

.
Todistuksen tarina on lähes yhtä erikoinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun hän julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21.–23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioilla. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olleen aukon. Wiles ja Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta aukon paikatuksi käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.
Fermat’n suuren lauseen tapaus 



n
=
2


{\displaystyle n=2}


Tässä osiossa esitetään matemaattinen todistus Fermat’n suurelle lauseelle tapauksessa 



n
=
2.


{\displaystyle n=2.}

 Todistuksessa tarvitaan seuraavia matemaattisia käsitteitä: suurin yhteinen tekijä (syt), jaollisuus ja kongruenssi. Huomaa yhteys Pythagoraan lauseeseen.





Olkoon




x
>
0
,

y
>
0
,

z
>
0
,



syt


(
x
,
y
)
=
1



{\displaystyle x>0,\;y>0,\;z>0,\;{\textrm {syt}}(x,y)=1\,}

 ja 




2
∣
x
.

(
1
)


{\displaystyle \,2\mid x.\qquad (1)}


Tällöin yleinen ratkaisu yhtälölle





x

2


+

y

2


=

z

2



(
2
)


{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\qquad (2)}


on




x
=
2
a
b
,


{\displaystyle x=2ab,}

 



y
=

a

2


−

b

2




{\displaystyle y=a^{2}-b^{2}}

 ja 



z
=

a

2


+

b

2


,

(
3
)


{\displaystyle z=a^{2}+b^{2},\qquad (3)}


missä 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

 ovat eri pariteettia olevia luonnollisia lukuja. Lisäksi 





syt


(
a
,
b
)
=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}(a,b)=1}

 ja 



a
>
b
>
0


{\displaystyle a>b>0}

.
Edelleen jokaista tällaista paria 



(
a
,
b
)


{\displaystyle (a,b)}

 vastaa tarkalleen yksi kolmikko 



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

, joka toteuttaa ehdot (1) ja (2).
Todistus: Oletetaan, että yhtälö (2) pätee ehdoilla (1). Edellä nähtiin, että 



y


{\displaystyle y}

 on pariton, ja selvästi myös 



z


{\displaystyle z}

 on pariton ja 





syt


(
y
,
z
)
=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}(y,z)=1}

.
Näin ollen 





1
2


(
z
−
y
)


{\displaystyle {\frac {1}{2}}(z-y)}

 ja 





1
2


(
z
+
y
)


{\displaystyle {\frac {1}{2}}(z+y)}

 ovat kokonaislukuja ja






syt



(




z
−
y

2


,



z
+
y

2



)

=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}\left({\frac {z-y}{2}},{\frac {z+y}{2}}\right)=1}

.
Muutoin olisi olemassa 



d
>
1


{\displaystyle d>1}

 siten että 



d
∣



z
−
y

2




{\displaystyle d\mid {\frac {z-y}{2}}}

 ja 



d
∣



z
+
y

2




{\displaystyle d\mid {\frac {z+y}{2}}}

,
jolloin 



d
∣



z
−
y

2


±



z
+
y

2




{\displaystyle d\mid {\frac {z-y}{2}}\pm {\frac {z+y}{2}}}

 eli 



d
∣
z


{\displaystyle d\mid z}

 ja 



d
∣
−
y


{\displaystyle d\mid -y}

, ja seuraisi ristiriita.
Yhtälön (2) nojalla






(


x
2


)


2


=

(



z
−
y

2


)


(



z
+
y

2


)

,

(
4
)


{\displaystyle \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {z-y}{2}}\right)\left({\frac {z+y}{2}}\right),\qquad (4)}


ja molempien puolten alkulukuhajotelmia tarkastelemalla huomataan, että yhtälön oikeanpuoleisten tekijöiden on oltava neliöitä, koska niiden suurin yhteinen tekijä on 1.Täten







z
+
y

2


=

a

2


,




z
−
y

2


=

b

2


,

(
5
)


{\displaystyle {\frac {z+y}{2}}=a^{2},\quad {\frac {z-y}{2}}=b^{2},\qquad (5)}


joillekin




a
>
0
,


{\displaystyle a>0,}

 



b
>
0
,


{\displaystyle b>0,}

 joille 



a
>
b


{\displaystyle a>b}

 ja 





syt


(
a
,
b
)
=
1.


{\displaystyle {\textrm {syt}}(a,b)=1.}


On myös voimassa kongruenssi




a
+
b
≡

a

2


+

b

2


=
z
≡
1


{\displaystyle a+b\equiv a^{2}+b^{2}=z\equiv 1}

 (mod 2)



mistä nähdään, että alkiot 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

 ovat eri pariteettia. Kongruenssin 



a
+
b
≡

a

2


+

b

2




{\displaystyle a+b\equiv a^{2}+b^{2}}

 (mod 2) näkee todeksi sijoittamalla alkioiden 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

 tilalle luvut 0 ja 1 eri kombinaatioina.
Täten kaikki yhtälön (2) ratkaisut, jotka toteuttavat ehdot (1), ovat muotoa




x
=
2
a
b
,


{\displaystyle x=2ab,}

 



y
=

a

2


−

b

2




{\displaystyle y=a^{2}-b^{2}}

 ja 



z
=

a

2


+

b

2


,

(
6
)


{\displaystyle z=a^{2}+b^{2},\qquad (6)}


missä 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot






syt


(
a
,
b
)
=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}(a,b)=1}

 ja 



a
>
b
>
0.

(
7
)


{\displaystyle a>b>0.\qquad (7)}


Ratkaisu (6) nähdään todeksi yhtälöiden (4) ja (5) avulla.
Oletetaan toisaalta, että 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot (7), ja että kaavat (3) ovat voimassa. Silloin





x

2


+

y

2


=
4

a

2



b

2


+
(

a

2


−

b

2



)

2


=
(

a

2


+

b

2



)

2


=

z

2


,


{\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}b^{2}+(a^{2}-b^{2})^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}=z^{2},}


missä




x
>
0
,


{\displaystyle x>0,}

 



y
>
0
,


{\displaystyle y>0,}

 



z
>
0


{\displaystyle z>0}

 ja 



2
∣
x
.


{\displaystyle 2\mid x.}


Edelleen, jos 





syt


(
x
,
y
)
=
d


{\displaystyle {\textrm {syt}}(x,y)=d}

, niin




d
∣
y
=

a

2


−

b

2


,

d
∣
z
=

a

2


+

b

2


.


{\displaystyle d\mid y=a^{2}-b^{2},\quad d\mid z=a^{2}+b^{2}.}


Vähentämällä ja summaamalla edelliset toisistaan saadaan 



d
∣
2

a

2




{\displaystyle d\mid 2a^{2}}

 ja 



d
∣
2

b

2




{\displaystyle d\mid 2b^{2}}

.
Koska 





syt


(
a
,
b
)
=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}(a,b)=1}

, niin 



d
=
1


{\displaystyle d=1}

 tai 



d
=
2


{\displaystyle d=2}

. Koska muuttuja 



y


{\displaystyle y}

 on pariton, on luvun 



d


{\displaystyle d}

 oltava 



1


{\displaystyle 1}

. Näin ollen 





syt


(
x
,
y
)
=
1


{\displaystyle {\textrm {syt}}(x,y)=1}

.
Täten jos ratkaisu 



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

 tunnetaan, niin sitä vastaavat yksikäsitteiset 



a


{\displaystyle a}

 ja 



b


{\displaystyle b}

, jotka saadaan yhtälöistä (5). Toisaalta jokaista ehdot (7) toteuttavaa eri pariteettista paria 



(
a
,
b
)


{\displaystyle (a,b)}

 vastaa yksikäsitteinen yhtälön (2) ratkaisu 



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

, joka saadaan yhtälöistä (3).
Tästä seuraa, että jokaista paria 



(
a
,
b
)


{\displaystyle (a,b)}

 vastaa tarkalleen yksi kolmikko 



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

.
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Aczel, Amir D.| title = Fermat'n teoreema| others = Translated by Risto Varteva| location = Porvoo Helsinki Juva| publisher = Otava| year = 1997| version = (Alkuteos: Fermat's Last Theorem: Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem, 1996)| id = ISBN 951-0-22202-X}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Hardy, G. H. & Wright, E. M.| title = An Introduction to the Theory of Numbers| location = Oxford| publisher = University Press| year = 1960| isbn = 978-0199219865}}
Viitteet

Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Singh, Simon| title = Fermat’n viimeinen teoreema: Kertomus ongelmasta, joka piinasi maailman parhaita matemaatikoita 358 vuoden ajan| location = Helsinki| publisher = Tammi| year = 1998| version = (Fermat’s enigma: The epic quest to solve the world's greatest mathematical problem, 1998.) Esipuhe: John Lynch| id = ISBN 951-31-1118-0}}
Wiles, Andrew (1995): , Annals of Mathematics (141) (3), 443-551.
Luokka:Diofantoksen yhtälöt
Luokka:Matemaattiset teoreemat
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit