0 (luku)

Question: Onko nolla suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku?



Nolla ilmaisee lukumäärää ”ei yhtään”. Nollaa alettiin käyttää suhteellisen myöhään ja tapa on peräisin intialaisilta. Nollaa ei ole perinteisesti pidetty luonnollisena lukuna ja vasta 1800-luvun lukuteoreetikot alkoivat keskustella sen asemasta. Kyseessä on heidänkin mukaansa lähinnä määrittelykysymys.
Vaikka nolla ilmaisee määrän ”ei mitään”, on sen mukaanotto paikkamerkinnässä vaikuttanut merkittävästi laskutoimitusten sujuvuuteen. Monet laskutoimituksien algoritmit vaativat nolla-merkin käyttöä lukuesityksessä toimiakseen ilman poikkeussääntöjä. Laskuja on voitu tehdä kirjoittamalla paperille välitulokset muistiin ja viemällä laskut loppuun ilman apuvälineitä. Laskemisesta on näin tullut suurten ihmisjoukkojen opittavissa oleva taito.
Nolla desimaalijärjestelmässä
Luvun desimaaliesityksen paikkamerkinnässä nolla ilmaisee puuttuvaa kymmenpotenssikerrointa. Esimerkiksi luvussa 4206 nollalla on merkitty kymmenien lukumäärää. Luku muodostetaan siten, että lasketaan yhteen 4 tuhatta, 2 sataa ja 6. Kymmeniä ei luvun muodostamiseen tarvita, joten niiden lukumäärää merkitään nollalla.
Monissa muinaisissa paikkamerkintää käyttävissä lukujärjestelmissä ei nollaa aina käytetty. Muun muassa babylonialaiset luvut kirjoitettiin jättämällä tyhjä paikka puuttuvalle kertoimelle.
Nollan aritmetiikka
Luonnollisen luvun määritelmässä ei oteta nollaa aina mukaan, mutta joskus näin tehdään. Nolla on suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku. Nolla itse ei ole positiivinen eikä negatiivinen.
Nolla on parillinen luku. Nolla on myös ainoa luku, joka on sekä reaaliluku että imaginaariluku, koska 




0
=
0
i



{\displaystyle \scriptstyle 0=0i}

.
Yhteenlaskussa toinen operandi voi olla nolla. Nolla ei vaikuta summaan, joka saa toisen operandin arvon. Nollaa kutsutaankin yhteenlaskussa neutraalialkioksi.




a
+
0
=
0
+
a
=
a


{\displaystyle a+0=0+a=a}


Vähennyslaskussa nolla liittyy vastaluvun käsitteeseen.




a
−
0
=
a

 sekä 

0
−
a
=
−
a


{\displaystyle a-0=a{\text{ sekä }}0-a=-a}


Kun kertolaskussa toinen operandi on nolla, saadaan tuloksi nolla.




a
⋅
0
=
0
⋅
a
=
0


{\displaystyle a\cdot 0=0\cdot a=0}


Jakolaskussa nolla voi olla vain osoittajana.






0
a


=
0


{\displaystyle {\frac {0}{a}}=0}


Jos nolla asetetaan nimittäjäksi, on tulos määrittelemätön.Potenssimerkinnässä sallitaan kaksi nollan käyttötapaa.





0

a


=
0

 ja 


a

0


=
1


{\displaystyle 0^{a}=0{\text{ ja }}a^{0}=1}


Jos molemmat ovat nollia, on tulos määrittelemätön. Nollan kertoma eli




0
!
=
1


{\displaystyle 0!=1}


määritelmän mukaan.
Nollalla jakaminen
Pääartikkeli: Nollalla jakaminen
Nollalla ei voi jakaa, koska on mahdotonta määritellä reaalilukujen jakolaskua siten, että nollalla jakaminen olisi mahdollista ja että tutut jakolaskun laskusäännöt olisivat yhä voimassa. Asiaa havainnollistetaan joskus esittämällä nollalla jakamisen absurdeja seurauksia. Esimerkkinä "osoitetaan" seuraavassa, että 



1
=
0


{\displaystyle 1=0}

.
Olkoot 



x


{\displaystyle x}

 ja 



y


{\displaystyle y}

 sama luku, siis 



x
=
y


{\displaystyle x=y}

. Siirtämällä molemmat termit yhtälön samalle puolelle saadaan 



x
−
y
=
0


{\displaystyle x-y=0}

. Jaetaan yhtälö nyt puolittain luvulla 



x
−
y


{\displaystyle x-y}

. Vasemmalle puolelle jää luku 1, sillä luku jaettuna itsellään on 1. Oikealle puolelle jää 0, sillä nolla jaettuna millä tahansa nollasta eroavalla luvulla on 0. Järjenvastaisen tuloksen syynä on luvulla 



x
−
y


{\displaystyle x-y}

 jakaminen. Koska jakava luku 



x
−
y


{\displaystyle x-y}

 on kuitenkin nolla, saadaan virheellisesti "todistettua", että 1 olisi yhtä kuin 0.
Historia
Varhaisimmissa lukujärjestelmissä ei ollut nollan käsitettä lainkaan. Niissä luvut olivat laadullisia. Luvut vastasivat kysymyksiin, kuten "kuinka monta halkoa olemme kasanneet". Tällaisessa lähtötilanteessa nollalla ei ole juurikaan merkitystä.
Nollaa vastaavaa symbolia käyttivät ensimmäistä kertaa babylonialaiset osana lukujärjestelmänsä paikkamerkintää jo noin 300-luvulla eaa. tai aiemmin. Luvulla, joka kuvattiin kahdella vinolla nuolenpäämerkillä, merkittiin luvun keskellä olevan nollan paikkaa, mutta ei koskaan luvun lopussa olevia nollia.[1]
Kreikkalainen Ptolemaios Aleksanterilainen käytti nollaa jännetaulukoissaan jo vuonna 130 jaa. osana kuusikymmenlukujärjestelmää. Muita lukuja hän merkitsi joonialaisilla kirjaimilla aikansa normaaliin tapaan. Ptolemaioksen nolla oli pieni ympyrä, jonka päälle oli vedetty pitkä viiva. Merkintä on saattanut tulla tyhjää merkitsevästä sanasta "ouden", jonka ensimmäinen kirjain omikron se olisi.[1]

Aristoteles tunsi nollan tai tyhjän käsitteen mutta ei pitänyt sitä merkityksellisenä. Hänen mukaansa nolla ja ääretön olivat käsitteitä, jotka liittyivät lukuihin mutta jotka eivät olleet lukuja. Aristoteleen mukaan ei voi olla 0 jotakin; nolla jostakin tarkoittaa, että ei ole mitään jostakin. Tällöin ei ole mitään. Aristoteles perusteli nollan hyödyttömyyttä myös sillä, että nollaan ei ikinä päädytä jakamalla. Tavaroita voi jakaa siten, että joku saa 1:n tai jopa murto-osia 1:stä, mutta ei nollaa.
Intialaiset saivat nollan käsitteen ilmeisesti kreikkalaisilta. He liittivät sen lukujärjestelmäänsä menestyksekkäällä tavalla. Nollaa pidettiin ilmeisesti myös lukuna, jolla voitiin laskea. Brahmagupta kirjoitti Keski-Intiassa vuoden 628 jaa. tienoilla kirjan Brahmasphuta Siddhāntan. Siinä hän luettelee joitakin nollaan ja negatiivisiin lukuihin liittyviä ominaisuuksia vapaasti suomennettuna: "Nollan ja negatiivisen luvun summa on negatiivinen. Nollan ja positiivisen luvun summa on positiivinen. Kahden nollan summa on nolla. Positiivisen ja negatiivisen luvun summa on lukujen erotus tai nolla, jos ne ovat yhtä suuret. Positiivien- tai negatiivisen luvun jakolaskun tulos, kun nolla on jakajana, on murtoluku, jossa nolla on jakaja. Nolla jaettuna positiivisella tai negatiivisella luvulla on nolla tai murtoluku, jossa osoittajana on nolla ja nimittäjänä on mainittu luku. Nolla jaettuna nollalla on nolla." Viimeinen lause, jossa nolla jaetaan nollalla, ei vastaa nykykäsitystä laskun tuloksesta.[1]
Nykyisen Pakistanin alueelta Bakhshalin kylästä on löytynyt nollia sisältävä käsikirjoitus. Käsikirjoituksen vanhimmat osat ovat ajalta 224–383 jaa. Käsikirjoitus koostuu 70 koivuntuohen palasesta, joissa on sanskriitinkielistä tekstiä ja matemaattisia kaavoja.[2]
Intialaisarabialaisessa lukujärjestelmässä nollasymbolia käytti ensimmäistä kertaa intialainen matemaatikko Aryabhata noin vuonna 500. Intiassa ja osassa Arabian niemimaata käytetään nollan symbolina edelleen alkuperäisen kaltaista keskitettyä pistettä eurooppalaistyylisen ympyrän tai soikion sijaan. Ensimmäinen voimallinen yritys kotiuttaa indoarabialainen lukujärjestelmä Eurooppaan on Gerbert d'Aurillacin ansiota. Hän vietti paljon aikaa Espanjassa, missä hän tutustui luonnontieteisiin ja arabien matematiikkaan. Myöhemmin hän opetti tietojaan eri puolilla Eurooppaa ennen valintaansa Paavi Sylvester II:ksi vuonna 999.[3]
Nollaa käyttivät yleisesti myös mayat omassa lukujärjestelmässään, mahdollisesti jopa aiemmin kuin intialaiset. Mayojen lukujärjestelmällä ei kuitenkaan tiettävästi ollut vaikutusta intialaisten nollan keksimiseen. Mayojen käyttämä nollasymboli muistuttaa ulkomuodoltaan silmää.[4]
Eurooppalaisia nollaa mainitsevia tekstejä on vain muutamia ennen sen yleistä käyttöä laskemisessa. Vuodelta 1247 olevasta teoksesta löytyy sauvanumeroilla kirjoitettuna luku 1405536 siten, että nollana käytettiin soikeaa ympyrää. 1300-luvun Bysantissa käytettiin jo kymmenjärjestelmää numeroinaan yhdeksän ensimmäistä kreikkalaista kirjainta. Nollan virkaa hoiti ylösalaisin kirjoitettu h-merkki. Nicolas Chuquet esitteli vuonna 1484 julkaistussa Triparty'ssa arabialaisista numeroita ja nollan, sanoen sen olevan "ei mitään" tai "se ei tarkoita arvoa" tai "numero, jolla ei ole arvoa". Leonardo Pisalainen eli Fibonacci kirjoitti vuonna kirjassaan Liber abaci arabialaisista numeroista ja paikkamerkinnästä ylistäen sitä. Hän mainitsee nollan arabialaisen nimen "zephirum", joista saatiin eurooppalaisiin kieliin nimet "cipher" ja "zero".[1]
Elias Lönnrot ehdotti vuonna 1839 suomen kielen nolla-sanaksi tyhjykkää.
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Barrow John D.| title = Lukujen taivas| others = Translated by Vilikko, Risto| location = Smedjebacken, Ruotsi| publisher = Art House| year = 1999| id = ISBN 951-884-231-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Boyer, Carl| title = Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia osa I ja II| others = Translated by Kimmo Pietiläinen| location = Juva| publisher = Art House| year = 1994| id = ISBN 951-884-159-4}}
Viitteet

Muuta
Luku 0 on ollut ja on kutsumerkkien numerotunnus Ahvenanmaan maakunnassa
Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Rikkonen, Harri| title = Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku| location = Helsinki| publisher = Otakustantamo| year = 1969| id = ISBN 951-671-022-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Pitkäranta, Juhani| title = Calculus Fennicus| location = Helsinki| publisher = Avoimet oppimateriaalit ry| year = 2015| id = ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)}}
Aiheesta muualla
 Yle, 2017
Luokka:Luonnolliset luvut
*
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit