Alkuluku

Question: Mitä ovat alkuluvut?


Alkuluku on lukua 1 suurempi luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Alkulukuja on ääretön määrä. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Lukua 1 ei lueta alkuluvuksi, vaikka se onkin jaoton luku, jotta alkulukuja koskevien matemaattisten lauseiden muotoilu olisi yksinkertaisempaa. Alkulukujen laskemiseksi on olemassa useita algoritmeja. Yksi yksinkertaisimmista algoritmeista on Eratostheneen seula, joskin se on työläs ja hidas suurten alkulukujen etsimiseen.
Kaksi lukua ovat alkulukuja toistensa suhteen eli keskenään jaottomia, jos niillä ei ole ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä.
Historiaa
1600-luvulla elänyt ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat tarkasteli ensimmäisiä lukuja epänegatiivisten kokonaislukujen 
 n (0, 1, 2, 3, 4, ...) funktiossa





2


2

n




+
1


{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}


ja päätteli virheellisesti, että kaikki näin saadut luvut (3, 5, 17, 257, 65537, ...) olisivat alkulukuja.[1]
Luonnolliset luvut tulona
Jokainen luonnollinen luku paitsi 



1


{\displaystyle 1}

 voidaan jakaa alkulukutekijöihin eli kirjoittaa alkulukujen tulona. Voidaan osoittaa, että tämä tekijöihin jako on yksikäsitteinen lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä (aritmetiikan peruslause). Voidaan esimerkiksi kirjoittaa




23

244
=

2

2


⋅
3
⋅
13
⋅
149


{\displaystyle 23\,244=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 149}

.
Tekijöihinjakoa, jossa alkulukutekijät ovat suuruusjärjestyksessä, kutsutaan kanoniseksi alkulukuhajotelmaksi.
Ominaisuuksia
Jos p on alkuluku, niin 



(
p
−
1
)
!
≡
−
1


(
mod

p
)



{\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}}

. (Wilsonin lause)
Mikäli 



a


{\displaystyle a}

 ja 



d


{\displaystyle d}

 ovat keskenään jaottomia, niin on olemassa äärettömän monta alkulukua   muotoa 



a
+
n
d


{\displaystyle a+nd}

, missä 



n


{\displaystyle n}

 on luonnollinen luku.
Mikäli 



p


{\displaystyle p}

 on alkuluku ja 



a


{\displaystyle a}

 on kokonaisluku, niin 




a

p


−
a


{\displaystyle a^{p}-a}

 on jaollinen luvulla 



p


{\displaystyle p}

. (Fermat'n pieni lause)
Jokaiselle alkuluvulle 



p
>
2


{\displaystyle p>2}

 on olemassa luonnollinen luku 



n


{\displaystyle n}

 siten että 



p
=
4
n
±
1


{\displaystyle p=4n\pm 1}


Jokaiselle alkuluvulle 



p
>
3


{\displaystyle p>3}

 on olemassa luonnollinen luku 



n


{\displaystyle n}

 siten että 



p
=
6
n
±
1


{\displaystyle p=6n\pm 1}


Määrän äärettömyys
Eukleides antoi vanhimman tunnetun todistuksen alkulukujen määrän äärettömyydelle. Todistus on lyhyesti seuraava:
Ota äärellinen joukko perättäisiä alkulukuja. Kerro ne kaikki keskenään ja lisää yksi. Tulos ei ole jaollinen valitun joukon alkuluvuilla, koska jakojäännökseksi jää tällöin yksi. Niinpä sen täytyy olla joko uusi alkuluku tai jaollinen alkuluvulla, joka ei kuulunut valittuun joukkoon.
Alkuluvuille on olemassa laskufunktio 



π
(
n
)


{\displaystyle \pi (n)}

. Merkintä 



π
(
n
)


{\displaystyle \pi (n)}

 tarkoittaa lukua n pienempien alkulukujen määrää.
Alkulukujen tiheys on laskeva. 

Alkulukulause antaa asymptoottisen arvion 



π
(
n
)


{\displaystyle \pi (n)}

-funktion käyttäytymiselle. Sen nojalla




π
(
x
)
∼


x

ln
⁡
x





{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}


Tämä merkintä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden arvojen erotus lähestyy nollaa, kun x lähestyy ääretöntä, vaan sitä, että niiden arvojen osamäärä lähestyy yhtä, kun x lähestyy ääretöntä. Arvion antama virhe voi siis olla suurikin, mutta suhteutettuna x:ään se on tarpeeksi pieni, jotta arvio on hyödyllinen.
Alkulukuteoreeman esitti ensimmäisen kerran Gauss konjektuurina 1800-luvulla. Sen todistivat toisistaan riippumatta Hadamard ja de la Vallée Poussin vuonna 1896.
Alkulukukaavoja
Seuraava yhtälö tuottaa luonnollisen luvun 



n


{\displaystyle n}

 eri arvoilla kaikki alkuluvut ja vain ne: 




f
(
n
)
=
2
+
(
2
(
n
!
)

mod

(


n
+
1
)
)


{\displaystyle f(n)=2+(2(n!){\bmod {(}}n+1))}

.
Tämän lausekkeen arvo on 



n
+
1


{\displaystyle n+1}

, jos tämä on alkuluku, muussa tapauksessa 2.  Luvun 



n


{\displaystyle n}

 arvoilla 1 – 12 lauseke saa arvot 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 2, 2, 11, 2 ja 13. 
Kaavan hyöty on kuitenkin lähinnä teoreettinen, koska kertoman laskeminen on erittäin työlästä tietokoneillekin.
Esimerkiksi alkulukua 



f
(
23
)


{\displaystyle f(23)}

 varten täytyy laskea luvun 



22


{\displaystyle 22}

 kertoma, joka on 



1

124

000

727

777

607

680

000


{\displaystyle 1\,124\,000\,727\,777\,607\,680\,000}

.
Ohjelman pseudokoodi:
define factorial(n):
  if n == 0 or n == 1:
      return 1
  else:
      return n*factorial(n-1)

k = read_integer()
 
for n in 1 to k:
  c = factorial(n)
  prime = 2 + (2*c mod (n + 1))

  if prime not in seen_primes:
      seen_primes.insert(prime)
      print prime
Suurimpia tunnettuja alkulukuja

Suurin tunnettu alkuluku on 




2

77

232

917


−
1


{\displaystyle 2^{77\,232\,917}-1}

. Tässä luvussa on 23249425 numeroa. Se on 50. tunnettu Mersennen alkuluku.[2]
Toiseksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

74

207

281


−
1


{\displaystyle 2^{74\,207\,281}-1}

. Tässä luvussa on 22338618 numeroa. Se on 49. tunnettu Mersennen alkuluku.[3] Alkuluvun löysi 7. tammikuuta 2016 GIMPS-projektissa mukana ollut tietokone.
Kolmanneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

57

885

161


−
1


{\displaystyle 2^{57\,885\,161}-1}

. Tässä luvussa on noin 17 miljoonaa numeroa. Se on 48. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 25. tammikuuta 2013 Central Missourin yliopiston professori Curtis Cooperin tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin.[4]
Neljänneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

43

112

609


−
1


{\displaystyle 2^{43\,112\,609}-1}

. Tässä luvussa on 12978189 numeroa. Se on 45. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 23. elokuuta 2008 University of California, Los Angelesin matematiikan osaston tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin.
Viidenneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

42

643

801


−
1


{\displaystyle 2^{42\,643\,801}-1}

.  Tässä luvussa on 12837064 numeroa. Se on 47. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 12. kesäkuuta 2009 Odd Magnar Strindmo, joka osallistui GIMPS-projektiin.
Kuudenneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

37

156

667


−
1


{\displaystyle 2^{37\,156\,667}-1}

. Tässä luvussa on 11185272 numeroa. Se on 46. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 6. syyskuuta 2008 Hans-Michael Elvenich Saksan Langenfeldistä, joka osallistui GIMPS-projektiin. Tämä oli ensimmäinen epäjärjestyksessä löytynyt Mersennen alkuluku sitten vuoden 1988.
Seitsemänneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

32

582

657


−
1


{\displaystyle 2^{32\,582\,657}-1}

. Tässä luvussa on 9808358 numeroa. Se on 44. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi 4. syyskuuta 2006 University of Central Missourin ryhmä, joka osallistui GIMPS-projektiin.
Kahdeksanneksi suurin tunnettu alkuluku on 




2

30

402

457


−
1


{\displaystyle 2^{30\,402\,457}-1}

 . Tässä luvussa on 9152052 numeroa. Se on 43. tunnettu Mersennen alkuluku, jonka löysivät professorit Curtis Cooper ja Steven Boone GIMPS-projektin avulla 15. joulukuuta 2005.
Suurin tunnettu alkuluku joka ei ole Mersennen alkuluku on 



19249
×

2

13

018

586


+
1


{\displaystyle 19249\times 2^{13\,018\,586}+1}

. Siinä on 3918990 numeroa. Se löydettiin Seventeen or Bust -projektin avulla 26.3.2007.
Avoimia kysymyksiä
Matematiikassa on monia alkulukuja koskevia avoimia kysymyksiä, joista varmastikin tunnetuin on Riemannin hypoteesi. Alla on lueteltu muita tunnettuja avoimia kysymyksiä.
Voidaanko jokainen lukua 2 suurempi parillinen luku esittää kahden alkuluvun summana? (Goldbachin konjektuuri)
Onko Fibonaccin lukujonossa ääretön määrä alkulukuja (Fibonaccin alkuluvut)?
Onko olemassa äärettömän monta sellaista alkulukua, joiden etäisyys lähimmästä alkuluvusta on 2, toisin sanoen, onko alkulukupareja äärettömän monta?
Katso myös
Jaksollinen funktio, Esimerkki 3.
Yhdistetty luku
Lähteet

Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Derbyshire, John| title = Alkulukujen lumoissa| publisher = Terra Cognita| year = 2006| id = ISBN 952-5202-75-5}}
Aiheesta muualla
, jonka tarkoituksena on löytää suuria alkulukuja ja määrittää pienin Sierpinskin luku.
, jonka tarkoituksena on etsiä suuria Mersennen alkulukuja
.

Luokka:Lukujonot
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit
Luokka:Alkuluvut