Symmetria

Question: Mikä on kierteinen symmetria?


Symmetria merkitsee tasasuhtaisuutta, kokonaisuuden eri osien välistä yhden­mukaisuutta.[1]
Laajemmassa merkityksessä symmetria voi tarkoittaa sopu­suhtaista ja kaunista suhdetta ja tasapainoa.[2][3] Täsmällisemmässä matemaattisessa merkityksessä symmetrialla tarkoitetaan jonkin kokonaisuuden eri osien yhtäläisyyttä, joka voidaan osoittaa jossakin muodollisessa järjestelmässä kuten geometriassa tai fysiikassa.
Sana symmetria johtuu kreikan kielen sanoista συμμετρεῖν (symmetrein), joka merkitsee yhteis­mitallisuutta.[1]
Vaikka nämä kaksi merkitystä voidaan erottaa toisistaan, ne liittyvät läheisesti toisiinsa, minkä vuoksi tässä artikkelissa käsitellään molempia.[3][4]
Matemaattinen symmetria voidaan havaita
suhteessa kuluvaan aikaan;
avaruudellisissa suhteissa;
geometrisissa muunnoksissa kuten mittakaavan muutoksessa, peilauksessa ja rotaatiossa;
muunlaisissa funktio­naali­sissa muunnoksissa;[5] ja
piirteenä abstraktiokäsitteissä, tieteellisessä mallintamisessa, kielessä, musiikissa ja tiedossa itsessäänkin.[6] Symmetrinen kohde voi olla aineellinen, kuten henkilö, kide, vuode­peite, lattia­laatoitus tai molekyyli, tai abstrakti käsite kuten matemaattinen yhtälö tai sävel­kulku musiikissa.
Tämä artikkeli käsittelee symmetria­käsitteitä neljältä näkö­kannalta. Ensimmäinen on symmetria geometriassa, joka on monille henkilöille tutuin symmetrian muoto. Toinen on symmetrian yleisempi merkitys koko matematiikassa. Kolmas käsittelee symmetriaa sellaisena kuin se esiintyy tieteessä ja teknologiassa. Tässä mielessä symmetria liittyy modernin fysiikan syvällisimpiin tuloksiin, myös käsityksiin ajasta ja avaruudesta. Neljäs näkökohta liittyy symmetriaan humanistisilla aloilla ja käsittelee sen rikasta ja moni­muotoista käyttöä historiassa, arkkitehtuurissa, taiteessa ja uskonnossa.
Symmetrian vastakohta on asymmetria.
Symmetria geometriassa
Monille ihmisille tutuin symmetrian muoto on geo­metrinen symmetria. Kuvion tai kappaleen geo­metrinen symmetria merkitsee sitä, että on olemassa joukko geometrisia kuvauksia, jotka säilyttävät kuvion kappaleen ennallaan. Nämä kuvaukset muodostavat aina jonkin algebrallisen ryhmän, jota sanotaan kuvion tai kappaleen symmetriaryhmäksi. Kappaleen symmetria­ryhmän määrittelee se, missä eri muunnoksissa se säilyy muuttumattomana.
Tärkeitä geometrisia kuvauksia ovat erityisesti yhtenevyyskuvaukset eli isometriat, joita ovat peilaukset, rotaatiot, translaatiot ja näistä yhdistetyt kuvaukset.[7]
Peilisymmetria

Usein symmetrialla tarkoitetaan nimenomaan peili­symmetria eli bilate­raalista symmetriaa, joka merkitsee symmetriaa peilauksen suhteen.
Kohdetta, joka on yhtäläinen peilikuvansa kanssa, sanotaan peili­symmetriseksi. Yksi­ulotteisella peili­symmetrisellä kohteella on symmetria­keskus, kaksi­ulotteisella symmetria-akseli ja kolmi­ulotteisella symmetria­taso.
Kaksi­ulotteisen kuvion symmetria-akseli on sellainen suora, että jos sille piirretään normaali, mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka ovat tällä normaalilla yhtä etäällä symmetria-akselista, joko kuuluvat molemmat kyseiseen kuvioon tai kumpikaan ei siihen kuulu. Toinen tapa käsittää asia on, että jos kuvio taitetaan akselia pitkin, molemmat puoliskot ovat samanlaiset; ne ovat toistensa peili­kuvia. Niinpä neliöllä on neljä symmetria-akselia, koska on neljä tapaa taittaa se niin, että kaikki sivut sattuvat kohdalleen. Ympyrällä on vastaavasta syystä äärettömän monta symmetria-akselia; jokainen sen keski­pisteen kautta kulkeva suora on sen symmetria-akseli. Jos kolmiolla on symmetria-akseli, se on tasa­kylkinen.
Tasokuvio voidaan siirtää tasossa trans­laatioiden ja rotaa­tioiden avulla peili­kuvansa päälle, jos ja vain jos sillä on ainakin yksi symmetria-akseli.[8] Samoin jokainen kolmi­ulotteinen kappale, jolla on ainakin yksi symmetria­taso, voidaan siirtää kolmi­ulotteisessa avaruudessa peilikuvansa päälle. On kuitenkin olemassa myös kolmiulotteisia kappaleita, joilla ei ole symmetria­tasoa, mutta jotka kuitenkin voidaan siirtää peilikuvansa päälle. Sellaisilla kappaleilla on roto­refleksio­symmetria (katso jälkempää).[9]
Symmetriakeskus ja muut involutiiviset symmetriat
Peili­symmetrian yleistyksinä voidaan pitää muita mm-ulotteisen avaruuden iso­metrioita, jotka ovat involuutioita, kuten 
(x1, … xm) ↦ (−x1, … −xk, xk+1, … xm)
jossakin karteesisessa koordinaatistossa. Tämä peilaa avaruuden jonkin m-k -ulotteisen affiinin aliavaruuden suhteen.
Jos k=m, tällaista muunnosta sanotaan peilaukseksi pisteen suhteen, joka tasossa (m=2) on sama kuin 180 asteen rotaatio.
Tällainen "peilaus" säilyttää orientaation, jos ja vain jos k on parillinen. Tästä seuraa, että kolmi­ulotteisen avaruuden peilauksessa pisteen suhteen orientaatio ei säily, vaan vasen ja oikea vaihtuvat saman tapaan kuin peili­kuvassa. Tästä syystä fysiikassa termiä P-symmetria käytetään viittaamaan sekä symmetriaa pisteen että tason suhteen; P tulee sanasta pariteetti.
Piste, jonka suhteen peilattaessa jokin kuvio pysyy ennallaan, on tämän kuvion symmetriakeskus. Esimerkiksi suunnikkailla on symmetriakeskus, joka on sen lävistäjien leikkauspiste. Esimerkkeinä taso­kuvioista, joilla on symmetria­keskus, mutta ei symmetria-akselia, voidaan mainita S-kirjain ja hakaristi.
Pyörähdyssymmetria

Pyörähdyssymmetria on symmetriaa kaikkien tai joidenkin rotaatioiden suhteen m-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Rotaatiot ovat suoria isometrioita, toisin sanoen niissä orientaatio säilyy. Tämän vuoksi rotaatio­symmetrian symmetria­ryhmä on jokin E+(m):n aliryhmä.
Pyörähdyskappale on kappale, joka on symmetrinen kaikkien tietyn akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Esimerkiksi kartio ja lieriö ovat pyörähdys­kappaleita.
Tasokuviosta ympyrä on symmetrinen kaikkien sen keskipisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Jokainen säännöllinen n-kulmio on symmetrinen sellaisten sen keski­pisteen ympäri rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360°/n tai jokin tämän monikerta.
Jos jokin asia on symmetrinen kaikkien, minkä tahansa pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, se on myös symmetrinen kaikkien siirtojen suhteen, minkä vuoksi symmetriaryhmä on koko E+(m). Tällaisia kappaleita ei ole, koska ne täyttäisivät koko avaruuden, mutta tällainen symmetria on monilla fysikaalisilla laeilla.
Kun kohde on symmetrinen jonkin pisteen ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen, tämä piste voidaan valita origoksi. Nämä rotaatiot muodostavat spesiaalisen orto­gonaalisen ryhmän SO(m), joka on isomorfinen sellaisten ortogonaalisten m×m-matriisien ryhmän kanssa, joiden
determinantti on 1. Kun m=3, kyseessä on rotaatioryhmä SO(3).
Fysiikan lait ovat SO(3)-symmetrisiä, jos ne eivät tee eroa avaruuden eri suuntien välillä. Noetherin teoreeman mukaan fysikaalisen systeemin pyörähdys­symmetria on yhtäpitävä impulssi­momentin säilymislain kanssa.
Siirtosymmetria
Siirtosymmetria eli translationaalinen symmetria merkitsee sitä, että kohde pysyy ennallaan joko kaikissa tai joissakin avaruuden translaatioissa






T

a


(
p
)

=

p

+

a



{\displaystyle \scriptstyle T_{a}(p)\;=\;p\,+\,a}

.
Liukuheijastussymmetria

Liukuheijastussymmetria (kolmessa ulottuvuudessa liuku­taso­symmetria) merkitsee sitä, että peilaus suoran tai tason suhteen yhdistettynä siirtoon tätä suoraa tai tasoa pitkin tuottaa tuloksena alku­peräisen kohteen. Jos kohteella on tällainen symmetria, se on myös siirto­symmetrinen sellaisen trans­laation suhteen, jossa siirto­vektori on kaksin­kertainen. Symmetria­ryhmä on isomorfinen kokonaislukujen joukon 




Z



{\displaystyle \mathbb {Z} }

 kanssa.
Rotorefleksiosymmetria

Kolmessa ulottuvuudessa rotorefleksio eli epäaito rotaatio merkitsee rotaatiota jonkin akselin ympäri yhdistettynä peilaukseen jonkin sitä vastaan kohti­suoran tason suhteen, johon tämä akseli sisältyy. Tällaisen roto­refleksion symmetria­ryhmä on eri tapauksissa erilainen: se voi olla joko:
jos kulmalla ei ole yhteistä tekijää 360°:n kanssa, symmetria­ryhmä ei ole diskreetti
2<i data-parsoid='{"dsr":[11668,11673,2,2]}'>n-kertainen roto­refleksion (kierto­kulma 180°/n) symmetria­ryhmä on S2<i data-parsoid='{"dsr":[11756,11761,2,2]}'>n (ei sama kuin symmetrinen ryhmä, jolle käytetään myös samaa merkintää; abstrakti ryhmä C2n); erikois­tapauksena kun n=1 on kyseessä peilaus pisteen suhteen, sillä tulos ei tällöin riipu akselista eikä tasosta, ainoastaan niiden leikkaus­pisteestä
Cnh (kiertokulma 360°/n); kun n on pariton, tuloksena on yksinkertainen symmetria, ja abstrakti ryhmä on C2<i data-parsoid='{"dsr":[12178,12183,2,2]}'>n.
Jos taas n on parillinen, tämä ei ole perustava symmetria vaan yhdistelmä.
Roto­refleksio­symmetrisillä kappaleilla ei yleensä ole symmetria­tasoa, mutta siitä huolimatta ne voidaan siirtää kolmiulotteisessa avaruudessa peili­kuvansa päälle. Yksin­kertaisin sellainen kappale voidaan helposti tehdä taittelemalla neliön­muotoisen paperi­palan reunoja. Tällaista symmetriaa esiintyy myös kiderakenteissa.[9]
Kierteinen symmetria

Kierteinen eli helikaalinen symmetria on monilla tutuilla esineillä kuten kierre­jousilla, poranterillä ja ruuveilla.
Symmetria­operaation muodostaa tällöin rotaatio akselin ympäri yhdistettynä tietyn suuruiseen siirtoon tätä akselia pitkin. Tämä voidaan ajatella saatavan aikaan kun se siirtyy tätä akselia pitkin tasaisella nopeudella. Joka hetki näiden liikkeiden välillä on vakiona pysyvä kulma, kierto­kulma, jonka mukaan kohteen ominaisuudet tarkemmin määräytyvät. Jos kulmanopeus on suuri ja etenemisnopeus pieni, kiertokulma on lähellä nollaa, Jos taas pyöriminen on hidasta ja eteneminen nopeaa, kiertokulma on lähellä 90 astetta.
Kiertokulman ja akselin suuntaisten siirto­symmetrioiden perusteella voidaan erottaa kolme erityyppistä kierteistä symmetriaa:
Ääretön kierteinen symmetriaJos kierteisen kappaleen poikki­leikkaus missä tahansa kohdassa on saman­lainen, sillä on ääretön kierteinen symmetria. Esimerkkeinä ovat tyypilliset kierre­jouset ja poran­terät.
n-kertainen kierteinen symmetriaJos lievennetään ehtoa, että kappaleen poikki­leikkauksen on oltava joka kohdassa samanlainen, voidaan määritellä muita lievempiä kierteisiä symmetrioita. Esimerkiksi kappaleen poikki­leikkaus voi vaihdella muodoltaan mutta toistua saman­laisena aina, kun akselia pitkin edetään tietyn suuruinen väli­matka. Tämän seurauksena symmetria ilmenee, kun kappaletta kierretään tietyn kulman θ verarn ja samalla siirretään akselin suunnassa tietyn matkan verran. Jos tämä kulma θ on 360 astetta jaettuna jollakin kokonais­luvulla, tulos on säännöllisen moni­kulmion kierteinen vastine. Tätä sanotaan n-kertaiseksi kierteiseksi symmetriaksi. Käsitettä voidaan edelleen yleistää siten, että θ on jokin täyden kierroksen eli 360°:n moni­kerta; tällöin on tehtävä useampi täysi kierros, ennen kuin kappale palautuu ennalleen.
ei-toistuva kierteinen symmetriaTämä saadaan, jos kierto­kulma, joka tarvitaan symmetrian toteamiseksi, on irrationaalinen. Tällöin kierto ei koskaan toistu täysin samanlaisena, kierrettiinpä kappaletta akselinsa ympäri kuinka monta kertaa tahansa.
Ei-isometriset symmetriat
Geometrisen symmetrian määritelmää voidaan laajentaa niin, että se käsittää muitakin kuin euklidiset isometriat. Esimerkkejä laajemmista geometrisista symmetriaryhmistä ovat;
yhdenmuotoisuuskuvaukset, toisin sanoen affiinit kuvaukset, joita esittävä
matriisi{A} on ortogonaalinen matriisi kerrottuna jollakin skalaarilla. Jos siis homotetia lisätään, itse­similaarisuus on symmetria.
Niiden affiinien kuvausten ryhmä, joiden matriisin determinantti on 1 tai 1; toisin sanoen kuvaukset, joissa pinta-ala säilyy.
Kaikkien bijektiivisten affiini­kuvausten ryhmä
Möbius-kuvausten ryhmä, joissa kaksoissuhde säilyy.
Felix Kleinin Erlangenin ohjelmassa jokainen mahdollinen symmetria­ryhmä määrittelee geometrian, jossa kohteet, jotka jokin symmetria­ryhmän alkio yhdistää toisiinsa, katsotaan yhtäläisiksi. Esimerkiksi euklidinen ryhmä määrittelee euklidisen geometrian, kun taas Möbius-kuvausten ryhmä määrittelee projek­tiivisen geo­metrian.
Skaalasymmetria ja fraktaalit
Skaala­symmetria viittaa käsitykseen, että jos kappaleen kokoa suurennetaan tai pienennetään, tuloksena saadulla kappaleella on samat ominaisuudet kuin alkuperäisellä. Skaala­symmetriasta on huomattava, että useimmilla fysikaalilla systeemeillä sitä ei ole, mihin ensimmäisenä kiinnitti huomionsa Galileo Galilei. Esimerkkinä skaala­symmetrian puuttumisesta voidaan mainita, että eri­kokoisilla eläimillä, esimerkiksi elefanteilla ja hiirillä raajojen suhteellinen osuus eläimen massasta ja niiden voimakkuus on aivan erilainen, samoin se seikka, että jos pehmeästä vahasta valmistettu kynttilä tehtäisiin suuren puun kokoiseksi, se luhistuisi välittömästi oman painonsa vuoksi.
Skaala­symmetriaa kuitenkin voidaan havainnollistaa fraktaaleilla. Benoit Mandelbrot määritteli fraktaalin matemaattiseksi olioksi, joka näyttää saman­kaltaiselta tai jopa täysin saman­laiselta riippumatta siitä, kuinka suurella suurennuksella sitä katsotaan. Rantaviiva on usein mainittu esimerkki luonnossa esiintyvästä fraktaalista, sillä se näyttää jokseenkin yhtä mutkikkaalta kaikilla tasoilla, katsottinpa sitä satelliitti­kuvasta tai tutkimalla mikro­skoopilla, miten vesi työntyy yksittäisten hiekan­jyvästen väliin. Samaan tapaan puiden pienet oksat ovat muodoltaan usein ikään kuin kokonaisen puun pienoismalleja. Matemaattisesti merkittävämpi esimerkki fraktaalista on Mandelbrotin joukko. Fraktaalit ovat saaneet huomattavan merkityksen myös tieto­kone­grafiikassa.
Symmetria matematiikassa

Matemaattisen objektin sanotaan olevan symmetrinen jonkin matemaattisen operaation suhteen, jos tässä operaatiossa jokin objektin ominaisuus säilyy. Operaatiot, jotka säilyttävät jonkin tietyn ominaisuuden, muodostavat aina ryhmän. Kaksi eri objektia ovat keskenään symmetrisiä jonkin operaatioiden ryhmän suhteen, jos kumpikin niistä saadaan toisistaan
jollakin näistä operaatioista.
Symmetriaryhmiä käytetään erityisesti kvanttikemian, spektroskopian, kristallografian ja hiukkasfysiikan tutkimuksessa. Symmetrian matemaattisia ominaisuuksia käsitellään ryhmäteoriassa.
Symmetrian matemaattinen malli
Annetun joukon X kaikkiin alkioihin kohdistuvien kaikkien symmetria­operaatioiden joukkoa voidaan mallintaa ryhmäoperaatiolla g: G × X → X, missä g on ryhmään G kuuluva operaatio, ja x:n kuva X:ssä merkitään g•x.
Jos jollakin g:llä pätee g•x = y, sanotaan x:n ja y:n olevan symmetrisiä toisiinsa nähden. 
Jokaista alkiota x kohti ne operaatiot g, joille pätee g•x = x, muodostavat ryhmän, alkion symmetriaryhmän, joka on G:n aliryhmä.
Jos symmetriaryhmä x on triviaali ryhmä, jossa on vain neutraalialkio, x:n sanotaan olevan asymmetrinen, muussa tapauksessa symmetrinen.
Annetussa symmetria­ryhmässä kohteen osan ominaisuudet määrittävä koko kohteen. Jos katsotaan ekvivalenteiksi ne pisteet, joilla on symmetrian vuoksi samat ominaisuudet, ekvivalenssiluokkia ovat koko avaruuden ryhmäoperaation radat. Koko kohteen määrittämiseksi on vain tiedettävä x:n arvo jokaisen radan yhdessä pisteessä.
Vektoriavaruuden tapauksessa trans­latio­naalinen symmetria ei kuitenkaan merkitse heijastus­symmetriaa: funktion arvo on vakio, mutta jos siihen sisältyy muitakin kuin nollavektori, ei ole heijastus­symmetriaa. Jos myös heijastus­symmetria esiintyy, vakio­funktio ei sisällä muita vektoreita kuin nolla­vektorin, mutta sillä voi olla nollasta poikkeavia pseudo­vektoreita. Tällaisen kolmi­ulotteisen esimerkin muodostaa ääretön lieriö, jossa on sen akselia vastaan kohtisuora sähkövirta; magneettikenttä, joka on pseudo­vektori, on lieriön suuntainen ja vakio, mutta ei nolla. Vektorit, erityisesti virrantiheys, ovat symmetrisiä jokaisen tason suhteen, joka on kohti­suorassa lieriötä vastaan, ja myös sylinteri­symmetriset. Tämä sylinteri­symmetria ilman symmetria­tasoja on ainoa mahdollinen tämän symmetria­ominaisuuden määrittämässä vektori­kentässä. Vastaavanlaisen esimerkin muodostaa akselinsa ympäri pyörivä sylinteri, jolloin magneetti­kenttää ja virran­tieheyttä vastaavat kulmanopeus ja nopeus.
Symmetriaryhmän sanotaan vaikuttavan johonkin kohteen toistuvaan ominaisuuteen transitiivisesti, jos jokaista tämän ominaisuuden esiintymien paria kohti on olemassa symmetria­operaatio, joka kuvaa näistä ensimmäisen toiselle. Esimerkiksi yhdessä ulottuvuudessa joukon {…, 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, …} symmetria­ryhmä vaikuttaa transitiivisesti kaikkiin tämän joukon pisteisiin, kun taas joukossa {…, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, …} näin ei ole asian laita.
Symmetriset funktiot
Symmetrinen funktio on funktio, joka pysyy ennallaan kaikissa sen muuttujien permutaatioissa. Esimerkiksi x + y + z ja xy + yz + xz ovat symmetrisiä funktioita, kun taas x2 − yz ei ole. Kokonais- tai reaalilukujen yhteen- ja kertolasku samoin kuin muutkin eri algebrallisissa struktuureissa
määritellyt vaihdannaiset lasku­toimitukset ovat symmetrisiä funktioita.
Funktio saattaa myös pysyä ennalleen niissä muunnoksissa, jotka kuuluvat johonkin sen argumenttien permutaatioryhmän aliryhmään. Esimerkiksi ac + 3<i data-parsoid='{"dsr":[21747,21753,2,2]}'>ab + bc pysyy ennallaan, jos a ja b vaihdetaan keskenään; sen symmetria­ryhmä on isomorfinen C2:n kanssa.
Logiikassa
Kaksipaikkaista relaatiota eli binäärirelaatiota R sanotaan symmetriseksi, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavan ehdon:

aina jos Rab, on myös Rba, eli jos a on relaatiossa b:n kanssa, on myös b relaatiossa a:n kanssa.
Esimerkiksi relaatio "on saman ikäinen kuin" on symmetrinen, sillä jos Pauli on samanikäinen kuin Mari, on myös Mari samanikäinen kuin Pauli. Sen sijaan relaatio "on vanhempi kuin" ei ole symmetrinen, sillä henkilöt eivät voi molemmat olla toisiaan vanhempia.
Symmetrisiä binäärisiä loogisia konnektiiveja ovat konjunktio ("ja"), disjunktio (tai), looginen ekvivalenssi ("jos ja vain jos"), "ei molemmat" (NAND), poissulkeva tai (XOR) ja "ei.. eikä.." (NOR).
Tieteessä ja luonnossa
Fysiikassa
Fysiikassa symmetrian käsitettä on yleistetty merkitsemään invarianssia eli kohteen pysymistä muuttumattomina tietyn tyyppisissä muunnoksissa, esimerkiksi yleisissä koordinaatiston muunnoksissa. Käsite on tullut yhdeksi fysiikan käyttökelpoisimmista työkaluista, sillä on käynyt ilmi, että lähes kaikki luonnon­lait perustuvat symmetrioihin. Itse asiassa tämä seikka sai Nobelin palkinnon saaneen Philip Warren Andersonin vuonna 1972 kirjoittamaan lajaalti luetussa artikkelissaan More is Different, että "on vain vähän liioiteltua sanoa, että fysiikka on oppi symmetriasta." 
Noetherin teoreema osoittaa yksin­kertaistetusti sanottuna, että jokaista jatkuvaa matemaattista symmetriaa kohti on olemassa jotakin fysikaalista suuretta koskeva säilymislaki. Samaan tapaan Wignerin mukaan jokainen fysiikan lakien symmetria määrittelee jonkin luonnossa esiintyvän hiukkasen ominaisuudet.
Fyysiset kappaleet
Klassiset kappaleet
Vaikka jokin tavan­omainen kappale saattaa näyttää aivan saman­laiselta jonkin symmetria­operaation kuten rotaation tai kahden identtisen osan keskenään vaihtamisen jälkeen, on kuitenkin ilmeistä, että sellainen symmetria pätee vain liki­määrin, olipa kyseessä mikä kappale tahansa.
Jos esimerkiksi koneen tarkasti valmistamaa alumiinista tasa­sivuista kolmiota kierretään 120 astetta keski­pisteensä ympäri, tavallinen havaitsija, joka saapuu paikalle ennen kiertoa ja uudestaan sen jälkeen, ei voisi havaita, onko kierto suoritettu vai ei. Todellisuudessa sen kukin kulma on kuitenkin aina ainut­laatuinen, jos sitä tutkitaan riittävän tarkasti. Havaitsija, jolla olisi mukanaan tarpeeksi tarkka mittausväline kuten optinen tai elektronimikroskooppi toteaisi asian helposti; hän havaitsi heti, että esineen asentoa on vaihdettu tarkkailemalla sen yksityiskohtia kuten kiderakennetta ja pieniä muodon epä­säännölli­syyksiä.
Tällainen ajatuskoe osoittaa, että tavan­omaisten fyysisten esineiden symmetrioissa on aina kysymys liki­määräisestä samankaltaisuudesta eikä tarkasta matemaattisesta yhtäläisyydestä. Tärkein seuraus tästä symmetrioiden liki­määräisestä luonteesta on, että niillä on vain vähän tai ei lainkaan vaikutusta sellaisten kappaleiden fysiikkaan. Näin ollen vain vain syvällisemmällä avaruuden ja ajan symmetrialla on oleellista merkitystä klassisessa fysiikassa, tosin sanoen suurten, tavan­omaisten kappaleiden fysiikassa.
Kvanttifysikaaliset kappaleet
Huomattavaa kuitenkin on, että on olemassa fysiikan osa-alue, jossa todellisten kappaleiden yksin­kertaiset matemaattiset symmetriat eivät ole vain liki­määräisiä. Näin on laita kvantti­fysiikassa, joka pääasiassa on hyvin pienten ja hyvin yksin­kertaisten kohteiden kuten elektronien, protonien, valon ja atomien fysiikkaa.
Toisin kuin joka­päiväisestä elämästä tutuilla kohteilla, esimerkiksi elektroneilla on vain hyvin rajoitettu määrä mahdollisia olo­tiloja, joita sanotaan kvanttitiloiksi. Tämä merkitsee, että jos niihin kohdistetaan symmetria­operaatioita kuten kahden elektronin paikkojen vaihtaminen keskenään, tuloksena saatua olotilaa ei voida erottaa alku­peräisestä, tutkittiinpa sitä kuinka tarkkaan tahansa. Tämän vuoksi tarpeeksi pienille ja yksin­kertaisille kohteille yleinen matemaattinen symmetria­oletus F(x)=x ei enää ole likimääräinen vaan kokeellisesti tarkka ja täsmällinen kuvaus todelli­sesta tilan­teesta.
Kvanttisymmetrian seurauksia
Vaikka on järkevää olettaa, että symmetriat ovat eksakteja, kun on kysymys hyvin yksin­kertaisista kohteista, välitön intuitio on, että tämän seikan ei pitäisi vaikuttaa kohteiden fysiikkaan millään merkittävällä tavalla. Tämä johtuu osittain siitä, että on hyvin vaikea käsittää todellisten fyysisten kappaleiden täydellistä yhtäläisyyttä. Intuitiivinen mieli­kuvamme sellaista tilanteista on säännöllisesti sama, jota sovellamme suurempiin kohteisiin: kuvittelemme kappaleet tai rakenteet hyvin, hyvin saman­laisiksi, kuitenkin siten, että jos voisimme tarkatella vielä lähempää, voisimme lopulta havaita eroja.
Kuitenkin oletus, että hyvin pienten kohteiden täydellinen symmetria ei vaikuttaisi niiden fysiikkaan, osoittautui 1900-luvun alku­puolella täysin vääräksi. Tilanteesta teki hyvän yhteen­vedon Richard Feynman luento­sarjansa Feynman Lectures on Physics III osan kohdassa 3.4, Identical particles, joka kuitenkin jätettiin pois, kun luennot julkaistiin kirjana.
… jos jossakin fysikaalisessa tilanteessa on mahdotonta tietää, mitä kautta se tapahtui, se aina interferoi; tämä ei koskaan jää tapahtumatta.

Interferenssillä tarkoitetaan tässä sitä, että sellaiset kohteet kuuluvat kvantti­mekaniikan alaan, jossa ne muistuttavat enemmänkin inter­fe­roivia aaltoja kuin tavan­omaisia suuria kappaleita.
Lyhyesti, jos kohde on niin yksinkertainen, että jokin symmetria­oletus muotoa F(x) = x pitää täsmälli­sesti paikkansa, x ei enää noudata klassisen fysiikan sääntöjä, vaan sitä on mallinnettava kvantti­mekaniikan moni­mutkaisemmilla ja yleensä enemmän intuition vastaisilla säännöillä.
Tämä siirtymä tarjoaa samalla merkittävän näkymän siihen, miksi symmetrian matematiikka kytkeytyy niin syvällisellä tavalla kvantti­mekaniikan matema­tiikkaan. Kun fysikaaliset systeemit siirtyvät liki­määräisten symmetrioiden alueelta täsmällisten symmetrioiden alueelle, symmetrioiden matemaattiset ilmaisut lakkaavat olemasta liki­arvoja ja muuttuvat kyseisten kohdeiden luonteen täsmällisiksi määritelmiksi. Tästä eteen­päin kohteet liittyvät niin läheisesti matemaattisiin kuvauksiinsa, että näitä kahta on vaikea erottaa toisistaan.
Luonnonlakien symmetria ja pariteetti
Pitkään oletettiin, että kaikki fysiikan lait ovat bilate­raali­sesti symmet­risiä siinä mielessä, että
jos jokin fysi­kaali­nen ilmiö on mahdollinen, myös saman ilmiön peili­kuva on mahdollinen. Kaikki klassisen meka­niikan ja myös sähkömagnetismin lait ovat tässä mielessä symmetrisiä; on tosin huomattava, että magneettikenttä on luonteel­taan pseudovektori. Tämä luonnon­lakien symmetrisyys on yhtäpitävää sen kanssa, että pariteetti säilyy.
Vuonna 1957 kuitenkin osoittautui, että pari­teetti ei säily kaikissa heikon vuorovaikutuksen aikaansaamissa hiukkasreaktioissa. Ensimmäiseksi tämä havaittiin tutkittaessa koboltti-60:n beeta­hajoamista matalissa lämpötiloissa. Sen sijaan kaikissa tunnetuissa ilmiöissä pätee CPT-symmetria: jokainen luonnon­lakien mukainen ilmiö on mahdollinen myös siten muunnettuna, että tapahtuman paikal­linen ympäristö käännetään peili­kuvakseen, kaikki ilmiöön osallistuvat hiukkaset korvataan anti­hiukkasillaan ja ilmiö tapahtuu ajalli­sesti taka­perin.[10]
Ajan nuoli
Kaikki klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin perus­lait ovat symmetrisiä myös ajan suhteen siten, että jos jokin ilmiö on niiden mukaan mahdollinen, se on mahdollinen myös käänteiseen suuntaan. Niinpä mikään fysiikan laki ei estäisi esimerkiksi planeettoja kiertämästä Auringon ympäri päin­vastaiseen suuntaan.
Joka­päiväisen kokemuksemme perusteella aika vaikuttaa kuitenkin perustavalla tavalla epä­symmetri­seltä: mennei­syy­dellä ja tule­vai­suu­della näyttää olevan ratkaiseva ero. Tämä ilmenee erityisesti siinä, että muistamme mennei­syyden mutta emme tule­vai­suutta,[11] toisaalta voimme vaikuttaa tule­vai­suu­teen mutta emme mennei­syy­teen, ja yleensäkin syy on aina ennen seurausta. Viimeksi mainittu seikka ilmaistaan suppeassa suhteellisuus­teoriassa kausali­teetin invari­anssina. Lisäksi useimmat ympärillämme havaitsemamme ilmiöt ovat selvästi irrever­sii­be­lejä eli ne eivät voi tapahtua päinvastaiseen suuntaan: esimerkiksi pöydältä lattialle pudonnut astia saattaa särkyä, mutta sen sirpaleet eivät itsestään kokoonnu takaisin ehjäksi astiaksi. Niinpä jos mitä elokuvaa näytetään takaperin, katsojat huomaavat asian yleensä heti.[11]. Arthur Eddington antoi tälle ajan epäsymmetrisyydelle nimen ajan nuoli. Kosmologisella tasolla ajan epä­symmetri­syys ilmenee maailman­kaikkeuden metri­senä laaje­nemi­sena.[11]
On osoittautunut, että arki­elämän ilmiöiden ajallinen epä­symmetria eli irrever­sii­beliys perustuu kaikissa tapauk­sissa viime kädessä termo­dymaniikan toiseen pää­sääntöön
jonka mukaan minkä tahansa fysi­kaali­sen systeemin epä­järjestys tai sitä mittaava suure, entropia, pyrkii kasvamaan.[11]
Biologiassa
Symmetrialla on merkitys myös biologiassa. Monet eläimet, myös ihmiset, ovat ainakin likipitäen bilateraalisesti symmetrisiä eli vasen-oikea-symmetrisiä. Esimerkiksi kädellisillä on tutkittu symmetrian merkitystä parinvalinnassa.[12] Toisaalta esimerkiksi meritähtien symmetria saattaa olla viisi- tai kahdeksanparista.
Useimpien kasvien lehdet ovat myös bilateraalisesti symmetrisiä. Monet kukat ovat likipitäen säteittäisesti symmetrisiä, toisin sanoen symmetrisiä sellaisten rotaatioiden suhteen, joissa kiertokulma on 360° jaettuna kukan terälehtien lukumäärällä tai jokin tämän kulman monikerta.
Kemiassa
Symmetria on tärkeä myös kemiassa, koska se selittää monet spektroskopian, kvanttikemian ja kiderakenteiden tutkimuksen havainnot.
Useimmat epäorgaaniset ja monet orgaanisetkin molekyylit ovat ainakin bilate­raali­sesti symmetrisiä; joillakin, esimerkiksi metaanimolekyylillä on useampiakin symmetria­tasoja. On kuitenkin olemassa runsaasti myös epä­symmet­risiä molekyylejä. Tällaisissa tapauksissa yhdisteellä on kaksi optista isomeeria, ja aine, joka sisältää vain toista iso­meeria, on optisesti aktiivista.[13] Optisten isomeerien fysi­kaaliset ja kemialli­set ovat muutoin samat paitsi että ne kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastak­kaisiin suuntiin.[13] Sitä vastoin niiden fysio­logiset vaikutukset ovat yleensä erilaiset, mikä johtuu soluissa ennestään olevista optisesti aktiivi­sista aineista.[13]
Esimerkkejä biologisesti merkittävistä optisesti aktiivi­sista aineista ovat sokerit[14] sekä glysiiniä lukuun ottamatta kaikki amino­hapot ja proteiinit.[15]
Kvartsin kiderakenne on myös epä­symmet­rinen, minkä vuoksi kvartsi on optisesti aktiivista. On siis olemassa kahden­laisia kvartsi­kiteitä, jotka raken­teeltaan ovat toistensa peili­kuvia ja kiertävät polari­soitu­nutta valoa vastakkaisiin suuntiin.[16]
Historiassa, uskonnossa ja kulttuurissa

Jokaisessa inhimillisessä pyrimyksessä, jossa tavoitellaan vaikuttavaa näkyvää tulosta, symmetrialla on syvällinen merkitys. Synnynnäinen mieltymys symmetriaan voidaan havaita reaktioistamme suuresti symmetrisiin luonnon kohteisiin kuten täydellisesti muodostuneisiin kiteisiin tai kauniisti kiertyneisiin simpukankuoriin. Ensimmäinen reaktiomme löytäessämme sellaisen kohteen on usein olettaa, että kyseessä on toisen ihmisen aikaan­saannos, mikä pian vaihtuu yllättävään toteamukseen, että huomiota herättävät symmetriat ovatkin luonnon tuotteita.
Sosiaalisessa vuorovaikutuksessa
Ihmiset havaitsevat monissa tilanteissa sosiaalisen vuoro­vaikutuksen symmetrisen luonteen, johon usein kuitenkin liittyy myös epä­symmetristä tasapainoa. Esimerkkeinä ovat arviot vasta­vuoroisuudesta, empatiasta, anteeksi­pyynnöstä,
dialogista, kunnioituksesta, oikeudesta ja kostosta. Symmetriset vuoro­vaikutukset lähettävät viestin "olemme kaikki samaa", kun taas asymmetriset vuoro­vaikutukset lähettävät viestin "Minä olen erikoinen, parempi kuin sinä." Tasa­vertaiset ihmis­suhteet perustuvat symmetriaan, valta­suhteet asymmetriaan.[17]
Arkkitehtuurissa

Toinen inhimillinen toiminta, jossa tuloksen ulkonäöllä on suuri merkitys, on arkkitehtuuri. Sekä entisinä että nyky­aikana suurten rakenteiden tarkoitus on usein tehdä vaikutus ne näkeviin ihmisiin tai jopa säikähdyttää heitä, ja tällaisen tavoitteen saavuttaminen edellyttää yleensä symmetrian käyttöä.
Muutamia esimerkkejä muinaisajan arkki­tehtuu­rista, jossa symmetriaa käytettiin voimakkaan vaikutuksen aikaan­saamiseksi, ovat Egyptin pyramidit, Ateenan Parthenon, ensimmäinen ja toinen Jerusalemin temppeli, Kiinan Kielletty kaupunki, Kamputseamn Angkor Wat -rakennusryhmä sekä esi­kolumbi­aanisten kulttuurien monet temppelit ja pyramidit. Myöhäisemmältä ajalta voidaan mainita goottilaiset katedraalit sekä Yhdysvaltain presidentti Thomas Jeffersonin auintalo Monticello. Taj Mahal on myös hyvä esimerkki symmetriasta arkkitehtuurissa.[18]
Mielenkiintoinen esimerkki rikkoutuneesta symmetriasta arkkitehtuurissa on Pisan kalteva torni, jonka kuuluisuus ei johdu mistään sen pienestä osasta eikä sen alun perin tarkoitetusta symmetriasta vaan symmetrian rikkoutumisesta sen kääntyessä kallelleen jo rakennus­vaiheessaan. Nykyaikaisia esimerkkejä arkkitehtuurista, joka tekee vaikutuksen mutkikaalla erilaisten symmetrioiden käytöstä, ovat Sydneyn oopperatalo Australiassa ja yksinkertaisempi Astrodome Houstonissa, Texasissa.
Symmetria löytää tiensä arkkitehtuuriin niin suuressa kuin pienessäkin mitta­kaavassa, alkaen rakennusten yleisnäkymistä ulkoa päin katsottuna sekä pohja­piirroksista aina rakennusten pieniin yksityiskohtiin saakka kuten ovien peileihin, ikkunoiden lasi­maalauksiin, lattia­laatoituksiin, friiseihin, portaikkoihin ja balustereihin. Eri­tasoisten symmetrioiden käytössä islamilainen arkkitehtuuri, josta Taj Mahal on hyvä esimerkki, menee usein paljon pidemmälle kuin minkään muun kulttuurin ja aika­kauden aikaan­saannokset osittain siitä syystä, koska islam kieltää ihmisten ja eläinten kuvaamisen.[19][20]
Savi- ja metalliastioissa

Siitä lähtien, kun saven­valajan pyörää ensimmäisen kerran alettiin käyttää savi­astioiden muotoile­miseen, symmetrialla on ollut keramiikassa tärkeä osuus. Ensinnäkin pyörällä valmistetut savi­astiat väistämättä saavat pyörähdys­symmetrisen muodon, mutta jättävät suuren vapauden muotoilla esine pysty­suorassa suunnassa halutulla tavalla. Tästä alku­peräisestä symmetrisestä lähtö­kohdasta kulttuureilla on muinaisista ajoista saakka ollut taipumus lisätä kuviointeja, jotka käyttävät hyväkseen tai monessa tapauksessa rajoittavat täydellistä pyörähdys­symmetriaa, kunnes jokin tietty ulko­muoto on saavutettu. Esimerkiksi persialaisissa savi­astioissa neljänneltä vuosi­tuhannelta eaa. ja aikai­semmin­kin käytettiin symmetrisiä siksak-kuvioita, neliöitä ja toistuvia kuvioita mutkikkaamman ja visuaalisesti hämmästyttävän kokonais­muotoilun aikaan­saamiseksi.
Metallista valetuilla astioilla ei ole samaa valmistus­tavasta johtuvaa alku­peräistä pyörähdys­symmetriaa kuin pyörän avulla valmistetuilla savi­astioilla, mutta muutoin nekin on varhaisista ajoista saakka koristeltu kuvioilla, jotka miellyttivät niiden käyttäjiä. Esimerkiksi muinaiset kiinalaiset käyttivät symmetrisiä kuviointeja pronssivalussa jo 1600-luvulla eaa. Pronssi­astioissa esiintyy sekä bilateraalinen pää­aihe että toistuvia kuvioita niiden reunoissa.[21][22][23]

Matoissa ja ryijyissä

Symmetrian käytöllä matoissa ja ryijyissä on monissa kulttuureissa pitkät perinteet. Navajot käyttivät sekä dia­gonaalisia että suora­kulmaisia aiheita. Monissa itä­maisissa matoissa on selvä symmetriakeskus ja niiden reunoilla toistuu säännöllinen kuviointi. Mattojen suora­kulmaisen muodon vuoksi ei ole yllättävää, että niissä tyypillisesti käytetään kvadri­late­raalista symmetriaa, toisin sanoen niiden kuviot ovat symmetriset sekä pitkittäisen että poikittaisen akselin suhteen.[24][25]
Musiikissa
Error: Must specify an image in the first line.
Symmetria ei rajoitu kuvataiteeseen. Sen merkitys musiikissa liittyy moniin näkö­kohtiin musiikin luomisessa ja kuuntelemisessa.
Musiikin muodot
Monet säveltäjät ovat käyttäneet tietyllä tavalla symmetrisiä sävellysmuotoja, joita voidaan kuvata esimerkiksi kaaviolla ABCBA. Sellaista ovat käyttäneet Steve Reich, Béla Bartók ja James Tenney. Klassisessa musiikissa Bach käytti symmetria­käsitteitä kuten permutaatiota ja invarianssia.[26]
Sävelasteikkojen rakenteet
Symmetria liittyy huomattavalla tavalla myös musikaalisten sävelasteikkojen ja sointujen muodostumiseen. Perinteinen tonaalinen musiikki kuitenkin perustuu epä­symmetriseen diatoniseen asteikkoon ja niin ikään epäsymmetrisiin duuri- ja mollikolmisointuihin. Symmetristen asteikkojen ja sointujen kuten koko­sävel­asteikon, yli­nousevan kolmi­soinnun ja vähennetyn neli­soinnun sanotaan olevan vailla selvää suuntaa ja etenevää liikettä. Niistä ei ilmene sävellajin perussävel eli tonaalinen keskus. Kuitenkin säveltäjät kuten Alban Berg, Béla Bartók ja George Perle ovat käyttäneet symmetria-akseleita tai intervallien muodostamia syklejä.
Perle selitti asian vuonna 1992 näin: "C-E, D-G ja Es-G ovat saman intervallin eri esiintymiä. … toisenalainen identeetti … liittyy symmetria-akseleihin.
C-E kuuluu symmetrisessä suhteessa toisiinsa olevien dyadien perheeseen seuraavasti:"





























DDisEFFisGGisDCisCHAisAG?
Niinpä sen lisäksi, että C-E kuuluu neljästä puoliaskelesta kuuluvien intervallien perheeseen, se kuuluu myös summa-4 -perheeseen (missä C on 0).











































+23456782101110984444444
Intervallien syklit ovat symmetrisiiä ja näin ollen ei-diatonisia. Kuitenkin seitsemän sävelen osuus sarjasta C5, kvinttien sarjasta, muodostaa diatonisen duuriasteikon. Romantiikan musiikissa kuten Gustav Mahlerin ja Richard Wagnerin sävellyksissä sykliset tonaaliset sointu­kulut muodostavat linkin syklisestä sävelsarjasta modernistien kuten Bartókin, Alexander Scriabinin, Edgard Varèsen ja Wienin koulun atonaaliseen musiikkiin. Samaan aikaan tällaiset sointu­kulut merkitsivät luopumista tonaalisuudesta.
Ensimmäinen laajempi sävellys, joka johdonmukaisesti perustuu sävelten symmetrisiin suhteisiin, oli todennäköisesti Alban Bergin Kvartetti, opus 3 (1910).

Estetiikassa
Symmetrian ja estetiikan suhde on moni­mutkainen. Jotkin yksinkertaiset symmetriat, erityisesti bilate­raalinen symmetria, näyttävät olevan syvällisesti juurtuneet ihmsiten käsitykseen toisten elävien olentojen terveydestä ja kunnosta, minkä osoittaa yksin­kertainen koe, jossa kauniiden kasvojen kuvaa vääristetään toiselta puolelta ja kysytään katsojilta, kuinka viehättävä tuloksena saatu kuva on. Näin ollen ihmisellä näyttää olevan synnynnäinen mieltymys sellaisiin symmetrioihin, jotka jäljittelevät biologiaa, mikä vuorostaan saa aikaan voimakkaan taipumuksen tehdä keino­tekoiset esineet samaan tapaan symmetrisiksi. Biologisesti inspiroitujen symmetrioiden suuren merkityksen ymmärtämiseksi on vain kuviteltava, kuinka vaikea olisi markkinoida hyvin epä­symmetrisiä autoja tai muita kulku­neuvoja.
Toinen symmetrian erityis­piirre on sen yksin­kertaisuus, mikä vuorostaan viittaa turvallisuuteen ja tuttuuteen. Esimerkiksi hyvin symmetrinen huone on samalla sellainen, jossa mikä tahansa poissa paikoiltaan oleva tai potentiaalisesti uhkaava voidaan helposti ja välittömästi tunnistaa. Esimerkiksi henkilöt, jotka ovat kasvaneet täysin suora­kulmaisissa taloissa, joissa on runsaasti keskenään täysin samanlaisia esineitä, voivat kokea ensimmäisen kokemuksensa oleskelusta ei-suora­kulmaisessa huoneessa, jossa ei ole kahta samanlaista esinettä, varsin ärsyttäväksi. Symmetria voi näin ollen olla mukavuuden lähde, ei vain biologisen terveyden vaan myös turvallisen ja hyvin ymmärretyn elin­ympäristön osoittimena.
Toisaalta liiallinen symmetria vaikuttaa helposti kyllästyttävältä ja mielen­kiinnottomalta. Erityisesti ihmisillä on voimakas taipumus käyttää hyväkseen tai tutkia uusia mahdollisuuksia, ja äärimmäisissä muodossaan symmetria voi muodostua esteeksi sellaisille mahdollisuuksille. Useimmat henkilöt suosivat kuvioita, joissa ilmenee tietty määrä yksin­kertaisuutta ja symmetriaa, mutta kuitenkin tarpeeksi moni­mutkaisuutta tekemään ne mielen­kiintoisiksi.[27]
Vielä yksi mahdollisuus on, että kun symmetriat muodostuvat kovin mutkikkaiksi tai haastaviksi, ihmis­mielellä on taipumus "virittää ne pois päältä" ja tulkita ne vielä toisella tavalla: kohinana, joka ei sisällä hyödyllistä informaatiota.
Lopuksi symmetrian havaitseminen ja arvostus riippuu myös kulttuurisesta taustasta. Esimerkiksi paljon suurempi mutkikkaiden geometristen symmetrioiden käyttö monissa islami­laisissa kulttuureissa tekee toden­näköisemmäksi, että sellaisista kulttuureista peräisin olevat henkilöt arvostavat sellaisia taide­muotoja, tai päinvastoin kapinoivat niitä vastaan.
Kuten monissa inhimillisissä toiminnoissa, näiden monien tekijöiden yhteistulos on, että symmetrian tehokas käyttö taiteessa ja arkkitehtuurissa on monimutkainen, intuitiivinen asia ja riippuu suuresti niiden henkilöiden kyvistä, joiden on sovellettava sellaisia tekijöitä luovassa työssään. Rakenteen, värin, mitta­suhteiden ja muiden tekijöiden tavoin symmetria on voimakas aines sellaisissa synteeseissä; tarvitsee vain tutkia Taj Mahalia sen toteamiseksi, kuinka suuri osuus symmetrialla on kohteiden esteettiseen puoleensa­vetävyyteen.
Modernistinen arkkitehtuuri hylkää symmetrian. Sen edustajat ovat sanoneet, että vain huono arkkitehti luottaa symmetriaan. Symmetristen muotojen, massojen ja rakenteiden sijasta modernistinen arkkitehtuuri perustuu siipi­rakennuksiin ja massojen tasapainoon. Jotkut ihmiset pitävät rakennusten ja rakennelmien epäsymmetrisiä muotoja vallan­kumouksellisina, toisten mielestä ne ovat levottomia, kyllästyttäviä ja luonnottomia.
Esimerkkejä symmetrian tietoisemmasta käytöstä on M. C. Escherin taiteessa.
Katso myös
Pariteetti
Lähteet

Kirjallisuus
Citation error, replace with{{cite book| author = Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti| title = Diskreetti matematiikka I| location = Tampere| publisher = Tampereen yliopisto| year = 2001 (1993)| id = ISBN 951-44-3604-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Livio, Mario| title = Yhtälö jota ei voinut ratkaista. Miten matematiikka paljasti symmetrian kielen| others = Translated by Kimmo Pietiläinen| publisher = Terra Cognita| year = 2008}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Häsä, Jokke & Rämö, Johanna| title = Johdatus abstraktiin algebraan| location = Helsinki| publisher = Gaudeamus| year = 2015| id = ISBN 978-952-495-361-0}}
Luokka:Geometria
Luokka:Teoreettinen fysiikka
Luokka:Sommittelu
Luokka:Biologia
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit