Kvanttisuperpositio

Question: Mitä tarkoittaa superpositio?

Kvanttisuperpositio on kvanttimekaniikan formalismista juontuva ominaisuus, jonka mukaan tietty systeemi voi olla useassa eri tilassa yhdellä kertaa. Useat havainnot osoittavat tämän ominaisuuden kuvaavan myös luonnossa tavattuja rakenteita. Kvanttisuperposition olemassaolon vuoksi luonto on sisäisesti satunnainen – kun yleensä satunnaiset ominaisuudet liitetään useista mikrosysteemeistä koostuvaan kokonaisuuteen, kvanttimekaniikan mukaan joka ainoassa yksittäisessä mikrosysteemissä on satunnaisia piirteitä.
Mitattaessa superpositiotiloja vain yksi johonkin kyseiseen superpositioon kuuluvaan tilaan liittyvä ominaisuus saadaan mittaustuloksena. Mittaustuloksen todennäköisyys saadaan Neumannin mittaushypoteesin mukaan kyseisen tilan painokertoimesta koko systeemin kokonaistilassa.
Formaali kuvaus
Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi että systeemiä voidaan kuvata diskreetillä (eli numeroituvalla) määrällä ominaistiloja, jotka muodostavat täydellisen ortonormaalin kannan systeemiä kuvaavalle Hilbertin avaruudelle. Merkitään noita tiloja merkinnällä 




|

n
⟩


{\displaystyle |n\rangle }

, missä 



n


{\displaystyle n}

 on kokonaisluku. Näitä tiloja vastaa jokin mitattava ominaisuus, observaabeli, jota vastaa lineaarioperaattori 






O
^





{\displaystyle {\hat {O}}}

, siten, että




⟨
n

|




O
^




|

n
⟩
=

O

n


.


{\displaystyle \langle n|{\hat {O}}|n\rangle =O_{n}.}


Toisin sanoen, mitattaessa observaabelia 



O


{\displaystyle O}

 systeemin ollessa tilassa 




|

n
⟩


{\displaystyle |n\rangle }

 saadaan  mittausten odotusarvona tulos 




O

n




{\displaystyle O_{n}}

.
Oletetaan että systeemi preparoidaan ajanhetkellä 



t
=
0


{\displaystyle t=0}

 (normitettuun) alkutilaan 




|

ψ
(
t
)
⟩
=

|


n

0


⟩


{\displaystyle |\psi (t)\rangle =|n_{0}\rangle }

 joka ei ole systeemiä kuvaavan Hamiltonin operaattorin 



H


{\displaystyle H}

 ominaistila. Tällöin myöhemmällä ajanhetkellä 



t
>
0


{\displaystyle t>0}

 systeemin tila menee superpositioon tiloista 




|

n
⟩


{\displaystyle |n\rangle }

, tilaan





|

ψ
(
t
)
⟩
=

∑

n



c

n



|

n
⟩
.


{\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}|n\rangle .}


Tässä kompleksikertoimet 




c

n




{\displaystyle c_{n}}

 saadaan Hamiltonialaista vastaavan aikakehitysoperaattorin matriisielementtinä,





c

n


=
⟨
n

|


e

−
i
H
t

/

ℏ



|


n

0


⟩
,


{\displaystyle c_{n}=\langle n|e^{-iHt/\hbar }|n_{0}\rangle ,}


missä 



ℏ


{\displaystyle \hbar }

 on Diracin vakio. Valitsemalla 



H


{\displaystyle H}

 sopivasti voidaan systeemi periaatteessa viedä mielivaltaiseen superpositioon tiloista 




|

n
⟩


{\displaystyle |n\rangle }

. Ainoa ehto kompleksiluvuille 




c

n




{\displaystyle c_{n}}

 saadaan tilan normin säilymisestä:




⟨
ψ
(
t
)

|

ψ
(
t
)
⟩
=

∑

n



|


c

n




|


2


=
1.


{\displaystyle \langle \psi (t)|\psi (t)\rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}=1.}


Mittaamalla tällaisesta tilasta ominaisuus 



O


{\displaystyle O}

 saadaan satunnaisesti jokin niistä arvoista 




O

n




{\displaystyle O_{n}}

, joille 




c

n


≠
0


{\displaystyle c_{n}\neq 0}

. Tämä kyseinen arvo saadaan Neumannin mittaushypoteesin mukaan todennäköisyydellä 




|


c

n




|


2




{\displaystyle |c_{n}|^{2}}


(olettaen että mittaus on projektiivinen).
Esimerkki
Valolla eli sähkömagneettisella kentällä on diskreetti vapausaste, polarisaatio. Tietyntyyppinen polarisaatio kenttään saadaan aikaiseksi polaroid-suodattimilla, joita on mm. aurinkolaseissa. Valo koostuu fotoneista - tosin tavallisesti näkemässämme valossa niitä on suuri määrä eri taajuuksilla. Sen sijaan laserilla tuotetussa koherentissa valossa kaikkien fotonien taajuus on sama. Sen sijaan ilman erillistä suodatusta fotonien polarisaatio on mielivaltainen.
Lineaarisesti polarisoitu fotoni voi olla joko pitkittäisessä tai poikittaisessa polarisaatiotilassa. Merkitään näitä tiloja merkinnällä 




|

↕
⟩


{\displaystyle |\updownarrow \rangle }

 ja 




|

↔
⟩


{\displaystyle |\leftrightarrow \rangle }

. Vastaavasti ympyräpolarisoitunut valo voi olla joko "oikealle" tai "vasemmalle" polarisoitunut, eli joko tilassa 




|

R
⟩


{\displaystyle |R\rangle }

 tai 




|

L
⟩


{\displaystyle |L\rangle }

. Nämä neljä tilaa eivät kuitenkaan ole toisiaan vastaan kohtisuorassa, vaan niille pätee





|

R
⟩
=
(

|

↕
⟩
+
i

|

↔
⟩
)

/



2




{\displaystyle |R\rangle =(|\updownarrow \rangle +i|\leftrightarrow \rangle )/{\sqrt {2}}}







|

L
⟩
=
(

|

↕
⟩
−
i

|

↔
⟩
)

/



2




{\displaystyle |L\rangle =(|\updownarrow \rangle -i|\leftrightarrow \rangle )/{\sqrt {2}}}


Preparoidaan nyt fotoni esimerkiksi tilaan 




|

R
⟩


{\displaystyle |R\rangle }

 lähetetään se lineaarisen polarisaation suodattavaan suodattimeen. Tämä siis päästää lävitseen esimerkiksi pitkittäisesti polarisoidun valon. Nyt fotoni voi joko mennä suodattimen läpi (jolloin mitattiin tila 




|

↕
⟩


{\displaystyle |\updownarrow \rangle }

 tai heijastua (jolloin mitattu tila oli 




|

↔
⟩


{\displaystyle |\leftrightarrow \rangle }

). Todennäköisyys pystypolarisoidun tilan mittaukselle on 




|


c

↕




|


2


=
(
1

/



(


2
)

)

2


=
1

/

2


{\displaystyle |c_{\updownarrow }|^{2}=(1/{\sqrt {(}}2))^{2}=1/2}

 ja vastaavasti todennäköisyys vaakapolarisoidun tilan mittaukselle on 




|


c

↔




|


2


=
(
i

/



2



)

2


=
1

/

2


{\displaystyle |c_{\leftrightarrow }|^{2}=(i/{\sqrt {2}})^{2}=1/2}

.
Käyttö
Kvanttisuperpositiota käytetään hyväksi mm. kvanttilaskennassa, joka tosin vaatii myös useiden tilojen lomittumisen, sekä kvanttisalauksessa.
Historiaa
Erityisesti kvanttisuperpositio oli tieteellinen oletus, jota Albert Einsteinin oli vaikea hyväksyä. Hänen mukaansa "Jumala ei heitä noppaa".
Katso myös
Tilojen lomittuminen
Kvanttisalaus
bra-ket-notaatio
Luokka:Kvanttimekaniikka
Luokka:Systeemit