Euklidinen avaruus

Question: Miten määritellään euklidinen?

Euklidinen avaruus on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat.[1] Euklidista avaruutta voidaan merkitä 






R


n





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

 tai 






E


n





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} ^{n}}

, missä 




(
n
∈

N

)



{\displaystyle \scriptstyle (n\in \mathbb {N} )}

.
Tunnetuin euklidinen avaruus on 






R


1





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{1}}

 eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso 




(


R


2


)



{\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ^{2})}

 ja kolmiulotteinen avaruus 




(


R


3


)



{\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ^{3})}

. 
Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.
Johdanto

Esimerkiksi vektoriavaruuden 






R


3





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}

 alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot 



(
x
,
y
,
z
)


{\displaystyle (x,y,z)}

. Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain: 



(
1
,
2
,
3
)
+
(
20
,
30
,
40
)
=
(
21
,
32
,
43
)


{\displaystyle (1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43)}

. 
Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esim. 



7
⋅
(
1
,
2
,
3
)
=
(
7
,
14
,
21
)


{\displaystyle 7\cdot (1,2,3)=(7,14,21)}

. Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.
Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, esim. 



(
a
,
b
,
c
)
⋅
(
x
,
y
,
z
)
=
a
x
+
b
y
+
c
z


{\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)=ax+by+cz}

. Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen 






R


3





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}

 normi eli pituusmitta: 



‖
(
a
,
b
,
c
)
‖
=



(
a
,
b
,
c
)
⋅
(
a
,
b
,
c
)


=




a

2


+

b

2


+

c

2








{\displaystyle \|(a,b,c)\|=\scriptstyle {\sqrt {(a,b,c)\cdot (a,b,c)}}=\scriptstyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}

. Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin 






x
¯



,



y
¯



∈



R


3





{\displaystyle {\bar {x}},{\bar {y}}\in \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}

 etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi: 



d
(
x
,
y
)
=
‖



x
¯



−



y
¯



‖


{\displaystyle d(x,y)=\|{\bar {x}}-{\bar {y}}\|}

.
Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa 






R


n





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

, kuten alla täsmennetään.
Määritelmiä
Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli 





R




{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }

:n karteesisena tulona itsensä kanssa n kertaa. Tätä voidaan merkitä lyhyesti





∏

i
=
1


n



A

i




{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i}}

, jossa 




A

i


=

R

.


{\displaystyle A_{i}=\mathbb {R} .}


Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä n-jonoja, eli niissä on n kappaletta alkioita. Esimerkiksi




x
=
(

x

1


,

x

2


,
…
,

x

n


)
.


{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}


Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat n kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:






e


1


=
(
1
,
0
,
0
,
…
,
0
)
,


{\displaystyle \mathbf {e} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),}








e


2


=
(
0
,
1
,
0
,
…
,
0
)
,


{\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),}






⋮


{\displaystyle \vdots }








e


n


=
(
0
,
0
,
0
,
…
,
1
)
.


{\displaystyle \mathbf {e} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1).}









R


n





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

:n mielivaltainen vektori merkitään







x
¯



=
(

x

1


,

x

2


,
.
.
.
,

x

n


)
,
(

x

i


∈

R

)
,


{\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n}),(x_{i}\in \mathbb {R} ),}


missä 





x

i





{\displaystyle \scriptstyle x_{i}}

:t ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:





∑

i
=
1


n




e


i



x

i


.


{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbf {e} _{i}x_{i}.}


Lukua 0 vastaa nollavektori







0
¯



=




(
0
,
0
,
…
,
0
)

⏟



n

k
p
l


.


{\displaystyle {\bar {0}}=\underbrace {(0,0,\ldots ,0)} _{n\ kpl}.}


Kahden 





R


n




{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}

: vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:







x
¯



+



y
¯



=

∑

i
=
1


n


(

x

i


+

y

i


)
.


{\displaystyle {\bar {x}}+{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i}).}


Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:




a



x
¯



=

∑

i
=
1


n


(
a

x

i


)
.


{\displaystyle a{\bar {x}}=\sum _{i=1}^{n}(ax_{i}).}


Laskusääntöjä
Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. 






R


n





{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}

:n vektoreille 






x
¯





{\displaystyle {\bar {x}}}

 ja 






y
¯





{\displaystyle {\bar {y}}}

 se on







x
¯



⋅



y
¯



=

∑

i
=
1


n


(

x

i



y

i


)
.


{\displaystyle {\bar {x}}\cdot {\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i}).}


Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:




‖



x
¯



‖
=



∑

i
=
1


n


(

x

i



)

2




.


{\displaystyle \|{\bar {x}}\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}


Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille 



x


{\displaystyle x}

 ja 



y


{\displaystyle y}

 se on




d
(
x
,
y
)
=
‖
x
−
y
‖
=



∑

i
=
1


n


(

x

i


−

y

i



)

2






{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}


Kulma vektoreiden 






x
¯





{\displaystyle {\bar {x}}}

 ja 






y
¯





{\displaystyle {\bar {y}}}

 välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:




θ
=

cos

−
1


⁡

(







x
¯



⋅



y
¯





‖
x
‖
‖
y
‖




)

.


{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\dfrac {{\bar {x}}\cdot {\bar {y}}}{\|x\|\|y\|}}\right).}


Katso myös
Eukleides
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Väisälä, Jussi| title = Topologia I| location = Helsinki| publisher = Limes ry| year = 2002| isbn = 951-745-192-X}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Martio, Olli| title = Vektorianalyysi| location = Helsinki| publisher = Limes ry| year = 2004| isbn = 951-745-205-5}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Mendelson, Bert| title = Introduction to Topology| publisher = Dover Publications| year = 1990| language = Transclusion error: {{En}} is only for use in File namespace. Use {{lang-en}} or {{en icon}} instead.}}
Viitteet

Kirjallisuutta
Citation error, replace with{{cite book| author = Kivelä, Simo K.| title = Algebra ja geometria| location = Espoo| publisher = Otatieto| year = 1989| id = ISBN 951-672-103-6}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Rikkonen, Harri| title = Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria| location = Helsinki| publisher = Otakustantamo| year = 1969| id = ISBN 951-671-067-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Pitkäranta, Juhani| title = Calculus Fennicus| location = Helsinki| publisher = Avoimet oppimateriaalit ry| year = 2015| id = ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)}}



Luokka:Lineaarialgebra
Luokka:Euklidinen geometria
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit