Yhdensuuntaisprojektio

Question: Mikä on yhdensuuntaisprojektio?

Yhdensuuntaisprojektio on analyyttisen tasogeometrian tapa kuvata kolmiulotteinen kappale kaksiulotteisessa mediassa. Siinä kuvaussäteet ovat keskenään yhdensuuntaisia ja leikkaavat kuvatason jokaisessa pisteessä samassa kiinteässä kulmassa. Yhdensuuntaisprojektio kuvaa pisteet pisteiksi, suorat suoriksi, yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi ja janojen jakosuhteet samansuuruisiksi. Siispä kuvatason suuntaiset kuviot säilyvät oikean mittaisina.

Yhdensuuntaisprojektiolla voidaan projisoida koko avaruus kuvatasoon, toisin kuin esimerkiksi keskusprojektiolla eli perspektiivillä.
Yhdensuuntaisprojektio voi olla
koordinaattiakseleiden suuntainen eli ortografinen yhdensuuntaisprojektio
koordinaattiakseleiden suhteen vino eli vino yhdensuuntaisprojektio
Ortografinen projektio
Ortografiset yhdensuuntaisprojektiot (ts. ortogonaaliprojektiot) voivat olla joko yhdensuuntaisia tasoprojektioita tai aksonometrisiä projektioita. Ortografinen projektio on kuvien muodostuksessa luontevampi kuin vino yhdensuuntaisprojektio, koska kuvaa katsotaan normaalisti lähes kohtisuoraan paperin tasoa vastaan.
Tasoprojektio
Yleisin kuvaustapa ovat ortografiset yhdensuuntaiset tasoprojektiot. Projisointitapa kappaleiden mallintamisessa on yksinkertainen. Kappale ikään kuin heijastetaan ympärillä olevan kuvitteellisen laatikon sisäpinnoille. Tästä saadaan kaksi pohjapiirrosta ja neljä sivunäkymää. Kaksiulotteinen esitys saadaan, kun laatikko ”taitetaan auki”, jolloin sisäpintojen projektiot saadaan näkyville. Tasoprojektioita käytetään teknisessä piirtämisessä. Esimerkkinä näistä ovat kone-, asema-, pohja-, leikkaus- ja julkisivupiirustukset.
Aksonometrinen projektio

Aksonometrisellä projektiolla saadaan parhaiten aikaan kolmiulotteinen vaikutelma.
Aksonometrisen projektion tyypit ovat 
Isometrinen projektio
Yleisin aksonometrisistä projektioista.
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, esim. 120°.
Dimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden välisistä kulmista kaksi ovat yhtä suuria, esim. 105°, 105° ja 150°.
Trimetrinen projektio
Projektion x-, y- ja z-akseleiden väliset kulmat ovat erisuuria, esim. 155,1°, 106,1° ja 98,79°.
Vino projektio
Vinot projektiot ovat yleisiä niiden yksinkertaisen piirtämisen vuoksi, vaikka pituudet eivät näytäkään aivan luonnollisilta. Niitä käytetään yksinomaan piirtämiseen, eikä niinkään muodollisiin laskutoimituksiin. Pystyjanat pyritään havainnollisuuden vuoksi suuntaamaan aina suoraan ylöspäin. Akseleiden välisistä kulmista yksi on tasan 90° ja muut kaksi kulmaa ovat mielivaltaisia.
Vinoja yhdensuuntaisprojektioita ovat esimerkiksi kavaljeeri- ja sotilasprojektio.
Lauseita yhdensuuntaisprojektiolle
Bijektio 




R



{\displaystyle \mathbb {R} }

²→ 




R



{\displaystyle \mathbb {R} }

² on yhdensuuntaisprojektio, jos sen antamat kuvaussuorat ovat yhdensuuntaisia.
Huom.
Kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste ei välttämättä ole yhdensuuntaisprojektio.
Lause
Yhdensuuntaisprojektio
kuvaa suoran suoraksi
kuvaa yhdensuuntaiset suorat yhdensuuntaisiksi
säilyttää janan osien suhteet.
Lause
Yhdensuuntaisprojektio on affiini kuvaus.
Lause
Jokainen affiini kuvaus on kahden yhdensuuntaisprojektion yhdiste.
Katso myös
Perspektiivi
Projektio (lineaarialgebra)
Analyyttinen geometria
Affiini kuvaus
Tekninen piirtäminen
Luokka:Projektiivinen geometria

Lähteet
D. A. Brannan, M. F. Esplen ja J. J. Gray: Geometry, Cambridge University Press 1999
Dosentti Petteri Harjulehdon luentomuistiinpanot 14.4.2010 Geometrian kurssilla Helsingin yliopistossa 
Petteri Harjulehto: Kavaljeeri- ja sotilasprojektiot, artikkeli matematiikkalehti Solmussa 2/2007
Erkki Rosenberg: Geometria, Limes ry, Helsinki 1991