Trigonometria

Question: Mikä on trigonometria?




Trigonometria (, kolmekulmainen, ja , métron, mitata), kolmiomitanto, on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala.
Trigonometrian perustana on se tosiasia, että kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on suoran kulman lisäksi toinen yhtä suuri kulma, ovat keskenään yhdenmuotoisia. Koska yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhteet ovat samat, suorakulmaisen kolmion sivujen suhteet määräytyvät vain kolmion (ei-suorasta) kulmasta. Nämä suhteet ovat siis pelkästään kulman funktioita  . 
Suorakulmaisen kolmion 



A
B
C


{\displaystyle ABC}

, 



∠
B
C
A
=

90

∘




{\displaystyle \angle BCA=90^{\circ }}

, kolmesta sivusta 



B
C
=
a


{\displaystyle BC=a}

, 



C
A
=
b


{\displaystyle CA=b}

 ja 



A
B
=
c


{\displaystyle AB=c}

 voidaan muodostaa kuusi suhdetta. Nämä on tapana nimittää kulman 



∠
B
A
C
=
α


{\displaystyle \angle BAC=\alpha }

 funktioiksi seuraavasti: 
sin(



α


{\displaystyle \alpha }

) on 





a
c




{\displaystyle {\frac {a}{c}}}

 eli kulman 



α


{\displaystyle \alpha }

 vastakkainen sivu jaettuna hypotenuusalla; 
cos(



α


{\displaystyle \alpha }

) on 





b
c




{\displaystyle {\frac {b}{c}}}

 eli viereinen sivu jaettuna hypotenuusalla ja 
tan(



α


{\displaystyle \alpha }

) on  





a
b




{\displaystyle {\frac {a}{b}}}

 eli vastainen jaettuna viereisellä. 
Lisäksi 





b
a




{\displaystyle {\frac {b}{a}}}

 on 



α


{\displaystyle \alpha }

:n kotangentti, 





c
b




{\displaystyle {\frac {c}{b}}}

 on 



α


{\displaystyle \alpha }

:n sekantti ja 





c
a




{\displaystyle {\frac {c}{a}}}

 on 



α


{\displaystyle \alpha }

:n kosekantti. 
Näiden suhteiden eli trigonometristen funktioiden arvoja on aikojen kuluessa taulukoitu ja muita menetelmiä niiden tuottamiseksi kehitetty. Trigonometristen funktioiden, erityisesti sinin ja kosinin, arvojen tuntemus ja sinilauseen ja kosinilauseen käyttö tekevät mahdolliseksi kolmion tuntemattomien osien laskemisen, kun kolmiosta tunnetaan vähintään kaksi osaa, joista ainakin yksi on kolmion sivun pituus. 
Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa. 
Trigonometrisista funktioista
Pääartikkeli: Trigonometrinen funktio
Klassiset määritelmät
Suorakulmaisessa kolmiossa 



A
B
C


{\displaystyle ABC}

, 



∠
B
C
A
=

90

∘




{\displaystyle \angle BCA=90^{\circ }}

,  sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman 



∠
B
A
C
=
α


{\displaystyle \angle BAC=\alpha }

 (



0
<
α
<

90

∘




{\displaystyle 0<\alpha <90^{\circ }}

) suuruus, ei kolmion koko. Kolmion pisintä sivua 



A
B
=
c


{\displaystyle AB=c}

 kutsutaan sen hypotenuusaksi, lyhempiä sivuja 



B
C
=
a


{\displaystyle BC=a}

 



α


{\displaystyle \alpha }

:n vastaiseksi ja 



A
C
=
b


{\displaystyle AC=b}

 



α


{\displaystyle \alpha }

:n viereiseksi kateetiksi. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi. 
SINI sin α = a/c;
KOSINI cos α = b/c
TANGENTTI tan α = a/b
KOTANGENTTI cot α = b/a
SEKANTTI sec α = c/b
KOSEKANTTI csc α = c/a
Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä 




a

2


+

b

2


=

c

2




{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

 kutsutaan nimellä Pythagoraan lause. Se on erikoistapaus kosinilauseesta.
Yleensä käytetään vain kahta tai kolmea ensimmäistä funktiota, koska kotangentti, sekantti ja kosekantti saadaan tangentin, kosinin ja sinin (vastaavasti) käänteisarvoina ja tangentti on sinin ja kosinin osamäärä.
Yleisempi määritelmä

Piirretään suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon yksikköympyrä eli ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, ja tarkastellaan ympyrän kehän tason ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa pistettä 



(
x
,
y
)


{\displaystyle (x,y)}

. Jos 



x


{\displaystyle x}

-akselin ja pisteen origoon yhdistävän janan välinen kulma on 



ϕ


{\displaystyle \phi }

, niin sinin ja kosinin määritelmän perusteella 



x
=
cos
⁡
ϕ


{\displaystyle x=\cos \phi }

 ja 



y
=
sin
⁡
ϕ


{\displaystyle y=\sin \phi }

. Tämä antaa aiheen laajentaa sinin ja kosinin määritelmät myös sellaisille kulmille 



ϕ


{\displaystyle \phi }

, jotka eivät toteuta ehtoa 



0
<
ϕ
<

90

∘




{\displaystyle 0<\phi <90^{\circ }}

. Määritelmä syntyy sijoittamalla kulma niin, että sen kärki on origo ja oikea kylki on positiivinen 



x


{\displaystyle x}

-akseli. Jos vasen kylki leikkaa yksikköympyrän pisteessä 



(
x
,
y
)


{\displaystyle (x,y)}

, asetetaan 



cos
⁡
ϕ
=
x


{\displaystyle \cos \phi =x}

 ja 



sin
⁡
ϕ
=
y


{\displaystyle \sin \phi =y}

. Kun 



ϕ


{\displaystyle \phi }

:n ajatellaan syntyvän kiertona positiivisesta 



x


{\displaystyle x}

-akselista vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan, kun 



ϕ


{\displaystyle \phi }

 on positiivinen, ja myötäpäivään eli negatiiviseen kiertosuuntaan, kun 



ϕ


{\displaystyle \phi }

 on negatiivinen, saadaan määritelmä koskemaan kaikkia kulmia (tai kiertoja). 
Muut trigonometriset funktiot ovat sinin ja kosinin suhteita tai käänteislukuja. Niiden yleiset määritelmät palautuvat siis sinin ja kosinin yleiseen määritelmään. Koska sini ja kosini saavat tietyillä kulmilla arvon 0, niin tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti eivät ole määriteltyjä kaikilla kulmilla. 
Koska kulmia mitataan eri yksiköin, on trigonometristen funktioiden avulla laskettaessa otettava huomioon käytettävä mittayksikkö (asteet, piirut, radiaanit jne.). Silloin, kun trigonometrisia funktioita käytetään alkuperäisestä geometrisesta yhteydestään irrotettuina, oletetaan yleensä, että niiden argumentit ovat paljaita lukuja. Kulmiin palautettuna tämä tarkoittaa kulman yksikköä radiaani eli ns. absoluuttista kulman yksikköä.
Sarjakehitelmät
Sini-ja kosinifunktion arvot voidaan laskea niiden sarjakehitelmistä kaikilla reaaliluvuilla 



x


{\displaystyle x}

:




sin
⁡
x
=
x
−



x

3



3
!



+



x

5



5
!



−



x

7



7
!



+
⋯
=

∑

n
=
0


∞





(
−
1

)

n



x

2
n
+
1




(
2
n
+
1
)
!





{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}

,




cos
⁡
x
=
1
−



x

2



2
!



+



x

4



4
!



−



x

6



6
!



+
⋯
=

∑

n
=
0


∞





(
−
1

)

n



x

2
n




(
2
n
)
!





{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}

.
Näistä sarjoista voidaan johtaa myös muiden trigonometristen funktioiden sarjakehitelmiä, esimerkiksi 




tan
⁡
x
=
x
+



x

3


3


+



2

x

5



15


+



17

x

7



315


+
⋯
=

∑

n
=
1


∞






2

2
n


(

2

2
n


−
1
)

B

n



x

2
n
−
1




(
2
n
)
!



,


|
x
|

<


π
2




{\displaystyle \tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}

,




csc
⁡
x
=


1
x


+


x
6


+



7

x

3



360


+



31

x

5



15120


+
⋯
=


1
x


+

∑

n
=
1


∞





2
(

2

2
n
−
1


−
1
)

B

n



x

2
n
−
1




(
2
n
)
!



,

0
<

|
x
|

<
π


{\displaystyle \csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<\pi }

,




sec
⁡
x
=
1
+



x

2


2


+



5

x

4



24


+



61

x

6



720


+
⋯
=
1
+

∑

n
=
1


∞






E

n



x

2
n




(
2
n
)
!



,


|
x
|

<


π
2




{\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}

,




cot
⁡
x
=


1
x


−


x
3


−



x

3


45


−



2

x

5



945


−
⋯
=


1
x


−

∑

n
=
1


∞






2

2
n



B

n



x

2
n
−
1




(
2
n
)
!



,

0
<

|
x
|

<
π


{\displaystyle \cot x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<\pi }

.
Näissä 




B

n




{\displaystyle B_{n}}

:t ovat ns. Bernoullin lukuja ja 




E

n




{\displaystyle E_{n}}

:t ns. Eulerin lukuja.
Trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja
Peruskaavoja





sin

2


⁡
x
+

cos

2


⁡
x
=
1

tan
⁡
x
=



sin
⁡
x


cos
⁡
x




cot
⁡
x
=



cos
⁡
x


sin
⁡
x





{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\qquad \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}\qquad \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}

[1]
Muunnoskaavoja




sin
⁡
(
−
x
)
=
−
sin
⁡
x

cos
⁡
(
−
x
)
=
cos
⁡
x


{\displaystyle \sin(-x)=-\sin x\qquad \cos(-x)=\cos x}



Derivointi




D
⁡
sin
⁡
x
=
cos
⁡
x

D
⁡
cos
⁡
x
=
−
sin
⁡
x

D
⁡
tan
⁡
x
=


1


cos

2


⁡
x




D
⁡
cot
⁡
x
=
−


1


sin

2


⁡
x





{\displaystyle \operatorname {D} \sin x=\cos x\qquad \operatorname {D} \cos x=-\sin x\qquad \operatorname {D} \tan x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\qquad \operatorname {D} \cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}


Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esimerkiksi 



sin
⁡
2
x


{\displaystyle \sin 2x}

) voidaan johtaa De Moivren kaavalla.
Integrointi




∫
sin
⁡
x

d
x
=
−
cos
⁡
x
+
C

∫
cos
⁡
x

d
x
=
sin
⁡
x
+
C

∫
tan
⁡
x

d
x
=
−
ln
⁡

|

cos
⁡
x

|

+
C


{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C\qquad \int \cos x\,dx=\sin x+C\qquad \int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|+C}






∫
cot
⁡
x

d
x
=
ln
⁡

|

sin
⁡
x

|

+
C


{\displaystyle \int \cot x\,dx=\ln |\sin x|+C}


Pallotrigonometria
Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee kolmioita, jotka muodostuvat pallon isoympyröiden kaarista. Pallokolmion kulmien ja sivujen suuruus ilmaistaan kulmamitoin.  Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.
Katso myös
Hyperbolinen funktio

Lähteet

Aiheesta muualla


 (pdf)

Luokka:Trigonometria
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit