Parillinen luku

Question: Onko nolla parillinen luku?

Kokonaisluku on parillinen, jos se on jaollinen luvulla kaksi. Parillisuus oli alkujaan luonnollisen luvun ominaisuus, mutta kun negatiiviset luvut tulivat yleiseen käyttöön, laajennettiin sääntöä koskemaan myös niitä. Parillisuus oli siten kokonaisluvun itseisarvon ominaisuus.
Parilliset luonnolliset luvut ovat 



{
0
,
2
,
4
,
6
,
8
,
…
}


{\displaystyle \{0,2,4,6,8,\dots \}}

 [1] ja parilliset kokonaisluvut ovat 



{
…
,
−
6
,
−
4
,
−
2
,
0
,
2
,
4
,
6
,
8
,
…
}


{\displaystyle \{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,8,\dots \}}

. Nämä muodostavat luonnollisten- ja kokonaislukujen osajoukon. Vielä pitkään sen jälkeen, kun nolla oli hyväksytty luvuksi, ei sitä pidetty parillisena. Nykyään se luetaan aina osaksi parillisia kokonaislukuja, mutta määritelmästä riippuu, kuuluuko se vielä parillisiin luonnollisiin lukuihin vai ei.
Luvut, jotka eivät ole parillisia, ovat parittomia.
Parilliset luvut ovat myös vanhanaikaisesti sanottuna säntillisiä lukuja.
Formaaliset määritelmät
Parillisen luvun 




p

k




{\displaystyle p_{k}}

 voi muodostaa lausekkeella 




p

k


=
2
k


{\displaystyle p_{k}=2k}

, missä 



k


{\displaystyle k}

 on luonnollinen luku. Jos tulkitaan 



k


{\displaystyle k}

 järjestysluvuksi, voidaan ajatella 




p

k




{\displaystyle p_{k}}

:n olevan 



k


{\displaystyle k}

:nnes parillinen luonnollinen luku. Esimerkiksi 103. parillinen luku on 




p

103


=
2
⋅
103
=
206


{\displaystyle p_{103}=2\cdot 103=206}

.
Parillisten luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus 



f
(
n
)
=
2
n


{\displaystyle f(n)=2n}

 on bijektio, mikä riittää perusteluksi.
Kun parillisten lukujen 




p

k




{\displaystyle p_{k}}

 määritelmässä sallitaan myös 



k


{\displaystyle k}

:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön.
Parillisuustestit
Luvun parillisuus voidaan tutkia hyödyntämällä lukujen ominaisuuksia. Tämän mukaisesti luvun parillisuus johtuu luvun tekijästä 2, jonka vuoksi parillinen luku on jaollinen kahdella. Esimerkiksi luku 22 voidaan esittää tulona 2·11, jolloin luku on jaollinen kahdella: 22/2 = 11. [2]
Desimaalijärjestelmässä parillisella kokonaisluvulla on viimeinen numeromerkki aina jokin luvuista 0, 2, 4, 6 tai 8. Tämän mukaan luku 234 on parillinen ja 1331 taas pariton.
Kahdesti parillinen luku on parillinen jonka lisäksi myös sen puolikas parillinen. Luvulla on siten tekijöinään vähintään kaksi kakkosta eli luku on jaollinen neljällä. Se saadaan laskemalla lausekkeen 



4
k


{\displaystyle 4k}

 arvo edelliseen tapaan. [3] Ne parilliset luvut, jotka eivät ole kahdesti parillisia, ovat yhdesti parilliset. Ne saadaan lausekkeella 



4
k
+
2.


{\displaystyle 4k+2.}

[4]
Aritmetiikkaa
Kahden luvun laskutoimitukset vaiktuttavat tuloksen parillisuuteen säännöllisillä tavoilla.
Kahden luvun summan ja erotuksen pariteetti voidaan päätellä siitä, saadaanko yhteiseksi tekijäksi luku 2:
parillinen ± parillinen = parillinen, koska 



2
k
±
2
n
=
2
(
k
±
n
)


{\displaystyle 2k\pm 2n=2(k\pm n)}


pariton ± parillinen = pariton, koska 



(
2
k
+
1
)
±
2
n
=
2
(
k
±
n
)
+
1


{\displaystyle (2k+1)\pm 2n=2(k\pm n)+1}

 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
parillinen ± pariton = pariton, koska 



(
2
k
)
±
(
2
n
+
1
)
=
2
(
k
±
n
)
±
1


{\displaystyle (2k)\pm (2n+1)=2(k\pm n)\pm 1}

 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
pariton + pariton = parillinen, koska 



(
2
k
+
1
)
+
(
2
n
+
1
)
=
2
(
k
+
n
)
+
2
=
2
(
k
+
n
+
1
)


{\displaystyle (2k+1)+(2n+1)=2(k+n)+2=2(k+n+1)}


pariton - pariton = parillinen, koska 



(
2
k
+
1
)
−
(
2
n
+
1
)
=
2
(
k
−
n
)
−
0
=
2
(
k
−
n
)


{\displaystyle (2k+1)-(2n+1)=2(k-n)-0=2(k-n)}


Kahden luvun tulon pariteetti voidaan päätellä samalla tavalla:
parillinen 



⋅


{\displaystyle \cdot }

 parillinen = parillinen, koska 



2
k
⋅
2
n
=
4
k
n
=
2
(
2
k
n
)


{\displaystyle 2k\cdot 2n=4kn=2(2kn)}


pariton 



⋅


{\displaystyle \cdot }

 parillinen = parillinen, koska 



(
2
k
+
1
)
⋅
2
n
=
2
n
(
2
k
+
1
)


{\displaystyle (2k+1)\cdot 2n=2n(2k+1)}


pariton 



⋅


{\displaystyle \cdot }

 pariton = pariton, koska 



(
2
k
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
=
4
k
n
+
2
(
k
+
n
)
+
1


{\displaystyle (2k+1)\cdot (2n+1)=4kn+2(k+n)+1}

 ja lukua kaksi ei saada yhteiseksi tekijäksi.
Kun jakolasku ei mene tasan, jolloin osamäärä on puhdas rationaaliluku, ei voida enää puhua parillisuudesta. Jos jakolasku menee tasan, jakaa nimittäjä 



n


{\displaystyle n}

 osoittajan 



m


{\displaystyle m}

 ja on siten eräs sen tekijä eli 



m
=
p
n


{\displaystyle m=pn}

. Silloin






m
n


=



p
n

n


=
p


{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {pn}{n}}=p}


ja osamäärän parillisuus riippuu ainoastaan osoittajan tekijästä 



p


{\displaystyle p}

 eikä ollenkaan nimittäjästä 



n


{\displaystyle n}

.
Lukuteorian tuloksia
Edellisestä parillisuustarkastelusta selviää, että kun laskutoimitukseen osallistuu vain parillisia lukuja, saadaan tulokseksi parillisia lukuja. Parillisten lukujen joukko on siten suljettu yhteen-, vähennys- ja kertolaskun suhteen.
Historia
Muun muassa Abraham Seidenberg on esittänyt, että laskeminen on voinut saada alkunsa tarkkaan harkituista heimorituaaleista, missä suuren ihmisjoukon hallinta olisi vaatinut osaanottajien laajempaa roolitusta. Melko pitkälle kehittyneiden seremonioiden hallinta on vaatinut osanottajien numerointia. Alkeellisesti elävien heimojen keskuudesta on havaittu laajalle levinnyt tapa, jossa osaanottajat jaotellaan miehiin ja naisiin numeroimalla heidät parillisilla ja parittomilla luvuilla pareiksi. Samat heimot käyttävät 2-kantaista lukujärjestelmääkin muiden lukujärjestelmien rinnalla, ja riitit saattavat olla tähän yhtenä syynä. Pythagoralaiset kuvasivat parillisia lukuja naisellisina ja parittomia miehisinä lukuina. [5][6].
Euklideen Elementan kirjassa XI, että "luku on parillinen, jos se voidaan puolittaa". Tämä alkeellinen määritelmä viittaa vanhaan tapaan hahmottaa luvut pikkukivillä, joita voitiin järjestellä kuvioiksi. Lukumäärää vastaava kivikasa voidaan siten puolittaa eli järjestää kahteen yhtäsuureen kasaan. [7] Antiikin kreikkalaiset eivät pitäneet lukua yksi parillisena tai parittomana lukuna. Luvut yksi ja kaksi eivät olleet alkulukuja, sillä niitä pidettiin parillisten ja parittomien lukujen synnyttäjinä. [8]
Vielä antiikin aikana oli tapana mainita erikseen kokonaan parilliset luvut. Jerusalemin lähellä noin 100 jaa. eläneen uuspythagoralaisen Nikomakhos Gerasalaisen kirjoittamassa kirjassa Introductio arithmeticae esitellään parillisesti parilliset luvut, joilla tarkoitettiin kahden potensseja eli 




2

n




{\displaystyle 2^{n}}

, ja parillisesti parittomat luvut, joilla oli tekijänä pariton luku eli 




2

n


⋅
p


{\displaystyle 2^{n}\cdot p}

, missa 



p
>
1


{\displaystyle p>1}

 ja pariton luku. [9]
Lähteet
Citation error, replace with{{cite book| author = Fuchs, Walter R.| title = Matematiikka| others = Translated by Mattila, Pekka| location = Länsi-Saksa| publisher = Kirjayhtymä| year = 1968}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Barrow John D.| title = Lukujen taivas| others = Translated by Vilikko, Risto| location = Smedjebacken, Ruotsi| publisher = Art House| year = 1999| id = ISBN 951-884-231-0}}
Citation error, replace with{{cite book| author = Boyer, Carl| title = Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia osa I ja II| others = Translated by Pietiläinen, Kimmo| location = Juva| publisher = Art House| year = 1994| id = ISBN 951-884-159-4}}
Viitteet

Luokka:Aritmetiikka
Luokka:Luonnolliset luvut
Luokka:Kokonaisluvut