Yhteenlasku

Question: Miten summa määritellään?


Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme tai yksi ynnä kaksi on kolme), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.
Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.[1]
Formaali määritelmä luonnollisilla luvuilla
Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla ℕ on kuvaus +: ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.
Ominaisuuksia
On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c.
Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c))
Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)
Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.
Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d. Toisin sanoen yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.
Esimerkkejä
Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen. 
Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee:
2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2
Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään:






m
n


+


p
q


=



m
q
+
p
n


n
q





{\displaystyle {\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {mq+pn}{nq}}}


Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:

Olkoot 




x

=


(




x

1







x

2






⋮





x

n





)




{\displaystyle {x}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}

 ja 




y

=


(




y

1







y

2






⋮





y

n





)




{\displaystyle {y}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}

 vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa Rn.

Määritellään, että 




x

+

y

=


(




x

1


+

y

1







x

2


+

y

2






⋮





x

n


+

y

n





)




{\displaystyle {x}+{y}={\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\x_{2}+y_{2}\\\vdots \\x_{n}+y_{n}\end{pmatrix}}}

.

Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.
Yhteenlasku allekkain
Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.
Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.
Esimerkki:
  12                  jossa on 0 sataa, 1 kymmentä ja 2 ykköstä
+321                  jossa on 3 sataa, 2 kymmentä ja 1 ykköstä
 333                  jossa on 3 = 2 + 1 ykköstä, 3 = 1 + 2 kymmentä ja 3 = 0 + 3 sataa
Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.
Esimerkki:
 7656
+5555
Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.
   1
 7656
+5555
    1
Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.
  11
 7656
+5555
   11
Ja
1111
 7656
+5555
13211
Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:
Esimerkki:
11222
 34512
 12451
 12455
 31245
 12455
+12467
115585
Lähteet

Luokka:Aritmetiikka
Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit