ميكانيكا هاملتوني

Question: ما هو علم ميكانيكا الهاميلتوني؟



ميكانيكا الهاميلتوني Hamiltonian mechanics هو إعادة صياغة للميكانيك الكلاسيكي تم إيجاده من قبل ويليام روان هاميلتون عام 1833، وقد نجحت النظرية في الخروج بنفس النتائج التي توقعتها الميكانيكا الكلاسيكية غير الهاميلوتنية، فالنظرية تستخدم صياغات رياضية مختلفة وتقدم فهماً أكثر تجريداً للميكانيكا الكلاسيكية، بالإضافة إلى أنها قدمت مساهمات هامة في مجال ميكانيكا الكم، نشأ ميكانيكا هاميلتون من ميكانيكا لاجرانج ، وهو صياغة أخرى للميكانيكا الكلاسيكية وضعه جوزيف لويس لاغرانج Joseph Louis Lagrange عام 1788.[1] لكن بجميع الأحوال يمكن إشتقاق ميكانيكا هاملتون دون الرجوع لميكانيكا لاجرانج بإستخدام الفضاءات السمبلكتية symplectic spaces.
إعادة صياغة ميكانيك لاغرانج
اعتمادا على ميكانيك لاغرانج ، تكون معادلات الحركة المستندة على الإحداثيات المعممة





{



q

j



|

j
=
1
,
.
.
.
,
N


}

.


{\displaystyle \left\{\,q_{j}|j=1,...,N\,\right\}.}


والتي تطابق السرعات:





{






q
˙




j



|

j
=
1
,
.
.
.
,
N


}

.


{\displaystyle \left\{\,{\dot {q}}_{j}|j=1,...,N\,\right\}.}


يمكن لنا كتابة اللاغرانجي




L
(

q

j


,




q
˙




j


,
t
)
,


{\displaystyle L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t),}


يهدف ميكانيك الهاميلتوني إلى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بالعزم المقترن أو المقابل (conjugate):
من أجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المقترن الذي يكتب كما يلي:





p

j


=



∂
L


∂




q
˙




j





.


{\displaystyle p_{j}={\partial L \over \partial {\dot {q}}_{j}}.}


في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة إحداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي ، في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .
الهاميلتوني هو عبارة:




H

(


q

j


,

p

j


,
t

)

=

∑

i






q
˙




i



p

i


−
L
(

q

j


,




q
˙




j


,
t
)
.


{\displaystyle H\left(q_{j},p_{j},t\right)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{j},{\dot {q}}_{j},t).}


إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t ، فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.
كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا:








d
H


=



∑

i



[


(



∂
H


∂

q

i





)

d

q

i


+

(



∂
H


∂

p

i





)

d

p

i



]

+

(



∂
H


∂
t



)

d
t










=



∑

i



[





q
˙




i



d

p

i


+

p

i



d




q
˙




i


−

(



∂
L


∂

q

i





)

d

q

i


−

(



∂
L


∂




q
˙




i





)

d




q
˙




i



]

−

(



∂
L


∂
t



)

d
t
.






{\displaystyle {\begin{matrix}dH&=&\sum _{i}\left[\left({\partial H \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}+\left({\partial H \over \partial p_{i}}\right)dp_{i}\right]+\left({\partial H \over \partial t}\right)dt\qquad \qquad \quad \quad \\\\&=&\sum _{i}\left[{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+p_{i}\,d{\dot {q}}_{i}-\left({\partial L \over \partial q_{i}}\right)dq_{i}-\left({\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}\right)d{\dot {q}}_{i}\right]-\left({\partial L \over \partial t}\right)dt.\end{matrix}}}


باستبدال التعريف السابق للعزم المقترن ضمن المعادلة ومطابقة معاملات المعدلة ، نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني







∂
H


∂

q

j





=
−




p
˙




j


,




∂
H


∂

p

j





=




q
˙




j


,




∂
H


∂
t



=
−



∂
L


∂
t



.


{\displaystyle {\partial H \over \partial q_{j}}=-{\dot {p}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial p_{j}}={\dot {q}}_{j},\qquad {\partial H \over \partial t}=-{\partial L \over \partial t}.}


معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى ، لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية.
لكن العمليات التي تقود إلى معادلات الحركة أكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة وميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني ، ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة إلى عزم مقترن ، لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم المقترن.
مراجع


تصنيف:ميكانيك هاملتوني
تصنيف:أنظمة حركية
تصنيف:مفاهيم علمية المسمى
تصنيف:ميكانيكا كلاسيكية