عملية كظومة

Question: في الديناميكا الحرارية ما هي العَمَلِيَّة الكَظِيمَة؟

في الديناميكا الحرارية، العَمَلِيَّة الكَظِيمَة[1] أو العَمَلِيَّة الكَظُومَة[2] أو الأديباتيكية[3] أو اللاتبادلية[4]  هو الإجراء الديناميكي الحراري التي لا يوجد فيها تبادل حراري بين المنظومة والوسط المحيط. أي أنه معزول حراريا.




V

T

α


=
constant


{\displaystyle VT^{\alpha }=\operatorname {constant} }


حيث T درجة الحرارة المطلقة.
يمكن كتابة هذه المعادلة أيضا بالصورة:




T

V

γ
−
1


=
constant


{\displaystyle TV^{\gamma -1}=\operatorname {constant} }


اشتقاق الصيغة المتصلة
يقتضي تعريف العملية الأديباتية بأن الانتقال الحراري للنظام هو صفر، 



Q
=
0


{\displaystyle Q=0}

. وفقا لـالقانون الأول للديناميكا الحرارية:





(1)


d
U
+
δ
W
=
δ
Q
=
0
,


{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad dU+\delta W=\delta Q=0,}


حيث أن dU هي التغير في الطاقة الداخلية للنظام و<i data-parsoid='{"dsr":[1468,1474,2,2]}'>δW هو الشغل المبذول بواسطة النظام.
يتم الشغل المبذول (δW) على حساب الطاقة الداخلية U، نظرا لعدم دخول حرارة إلى النظام من الوسط المحيط . يعرف "شغل الضغط-الحجم" δW للنظام بأنه:





(2)


δ
W
=
P

d
V
.


{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \delta W=P\,dV.}


لكن, P لاتبقى ثابتة أثناء العملية الكظومة وإنما تتغير مع تغير V.
لذلك يكون من الأفضل معرفة كيفية ارتباط dP و<i data-parsoid='{"dsr":[1859,1865,2,2]}'>dV أثناء انجاز العملية الأديباتية.
تعطى الطاقة الداخلية لغاز مثالي بالعلاقة: 





(3)


U
=
α
n
R
T
,


{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad U=\alpha nRT,}


حيث R هو ثابت الغاز العام و<i data-parsoid='{"dsr":[2031,2036,2,2]}'>n عدد المولات في النظام (ثابت). 
بمفاضلة المعادلة (3) وباستعمال قانون الغاز المثالي, 



P
V
=
n
R
T


{\displaystyle PV=nRT}

, ينتج





(4)


d
U
=
α
n
R

d
T
=
α

d
(
P
V
)
=
α
(
P

d
V
+
V

d
P
)
.


{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad dU=\alpha nR\,dT=\alpha \,d(PV)=\alpha (P\,dV+V\,dP).}


المعادلة (4) يعبر عنها غالبا 



d
U
=
n

C

V



d
T


{\displaystyle dU=nC_{V}\,dT}


لأن 




C

V


=
α
R


{\displaystyle C_{V}=\alpha R}

.
والان بتعويض المعادلات (2) و(4) في المعادلة (1) نحصل على




−
P

d
V
=
α
P

d
V
+
α
V

d
P
,


{\displaystyle -P\,dV=\alpha P\,dV+\alpha V\,dP,}


بالتبسيط:




−
(
α
+
1
)
P

d
V
=
α
V

d
P
,


{\displaystyle -(\alpha +1)P\,dV=\alpha V\,dP,}


وبقسمة كلا الطرفين على PV:




−
(
α
+
1
)



d
V

V


=
α



d
P

P


.


{\displaystyle -(\alpha +1){dV \over V}=\alpha {dP \over P}.}


بعد مكاملة كلا الطرفين من 




V

0




{\displaystyle V_{0}}

 إلى V ومن 




P

0




{\displaystyle P_{0}}

 إلى P وبتغيير الأطراف على الترتيب,




ln
⁡

(


P

P

0




)

=

−



α
+
1

α



ln
⁡

(


V

V

0




)

.


{\displaystyle \ln \left({P \over P_{0}}\right)={-{\alpha +1 \over \alpha }}\ln \left({V \over V_{0}}\right).}


برفع كلا الطرفين للأس,





(


P

P

0




)

=


(


V

V

0




)


−



α
+
1

α




,


{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V \over V_{0}}\right)^{-{\alpha +1 \over \alpha }},}


وبعزل الإشارة السالبة لبيان أن





(


P

P

0




)

=


(



V

0


V


)




α
+
1

α



.


{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)=\left({V_{0} \over V}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }.}


لذا,





(


P

P

0




)



(


V

V

0




)




α
+
1

α



=
1


{\displaystyle \left({P \over P_{0}}\right)\left({V \over V_{0}}\right)^{\alpha +1 \over \alpha }=1}


و




P

V



α
+
1

α



=

P

0



V

0




α
+
1

α



=
P

V

γ


=
constant
.


{\displaystyle PV^{\alpha +1 \over \alpha }=P_{0}V_{0}^{\alpha +1 \over \alpha }=PV^{\gamma }=\operatorname {constant} .}


اشتقاق الصيغة المتقطعة
يكون التغير في الطاقة الداخلية لنظام ما، مقاسا من الحالة 1 إلى الحالة 2 مساويا لـ:





(1)


Δ
U
=
α
R

n

2



T

2


−
α
R

n

1



T

1


=
α
R
(

n

2



T

2


−

n

1



T

1


)


{\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \Delta U=\alpha Rn_{2}T_{2}-\alpha Rn_{1}T_{1}=\alpha R(n_{2}T_{2}-n_{1}T_{1})}


في الوقت يكون الشغل المبذول بواسطة التغير في الضغط الحجمي نتيجة لهذه العملية مساويا لـ:





(2)


W
=

∫


V

1





V

2




P

d
V


{\displaystyle {\text{(2)}}\qquad W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV}


بما أننا بصدد عملية كظومة، ينبغي أن تكون المعادلة التالية صحيحة





(3)


Δ
U
+
W
=
0


{\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \Delta U+W=0}


من الاشتقاق السابق,





(4)


P

V

γ


=

constant

=

P

1



V

1


γ




{\displaystyle {\text{(4)}}\qquad PV^{\gamma }={\text{constant}}=P_{1}V_{1}^{\gamma }}


بإعادة الترتيب (4) نحصل على




P
=

P

1




(



V

1


V


)


γ




{\displaystyle P=P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }}


بالتعويض في (2)




W
=

∫


V

1





V

2





P

1




(



V

1


V


)


γ



d
V


{\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}P_{1}\left({\frac {V_{1}}{V}}\right)^{\gamma }\,dV}


بالتكامل,




W
=

P

1



V

1


γ






V

2


1
−
γ


−

V

1


1
−
γ




1
−
γ





{\displaystyle W=P_{1}V_{1}^{\gamma }{\frac {V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }}{1-\gamma }}}


بالتعويض



γ
=



α
+
1

α




{\displaystyle \gamma ={\frac {\alpha +1}{\alpha }}}

,




W
=
−
α

P

1



V

1


γ



(


V

2


1
−
γ


−

V

1


1
−
γ



)



{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}^{\gamma }\left(V_{2}^{1-\gamma }-V_{1}^{1-\gamma }\right)}


باعتبار,




W
=
−
α

P

1



V

1



(



(



V

2



V

1




)


1
−
γ


−
1

)



{\displaystyle W=-\alpha P_{1}V_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}


باستخدام قانون الغاز المثالي وبافتراض كمية مولية ثابتة (كما هو الحال عادة في الحالات العملية)، 




W
=
−
α
n
R

T

1



(



(



V

2



V

1




)


1
−
γ


−
1

)



{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{1-\gamma }-1\right)}


من الصيغة المتصلة,







P

2



P

1




=


(



V

2



V

1




)


−
γ




{\displaystyle {\frac {P_{2}}{P_{1}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{-\gamma }}


أو,






(



P

2



P

1




)




−
1

γ



=



V

2



V

1






{\displaystyle \left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{-1 \over \gamma }={\frac {V_{2}}{V_{1}}}}


وبالتعويض في التعبير السابق 



W


{\displaystyle W}

,




W
=
−
α
n
R

T

1



(



(



P

2



P

1




)




γ
−
1

γ



−
1

)



{\displaystyle W=-\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}


بتعويض هذا التعبير و(1) في (3) نحصل على




α
n
R
(

T

2


−

T

1


)
=
α
n
R

T

1



(



(



P

2



P

1




)




γ
−
1

γ



−
1

)



{\displaystyle \alpha nR(T_{2}-T_{1})=\alpha nRT_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}


بالتبسيط,





T

2


−

T

1


=

T

1



(



(



P

2



P

1




)




γ
−
1

γ



−
1

)



{\displaystyle T_{2}-T_{1}=T_{1}\left(\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1\right)}


بالتبسيط,







T

2



T

1




−
1
=


(



P

2



P

1




)




γ
−
1

γ



−
1


{\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1=\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}-1}


بالتبسيط,





T

2


=

T

1




(



P

2



P

1




)




γ
−
1

γ





{\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {P_{2}}{P_{1}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}}


انظر أيضُا
ديناميكا حرارية
دورة كارنوت
دالة حالة
دالة عملية
علاقات ماكسويل
مراجع




تصنيف:إنتروبيا
تصنيف:ديناميكا حرارية جوية
تصنيف:عمليات ديناميكية حرارية