Liouville's theorem
が複素平面上のすべての点で定義され、かつ有界である。しかし、レゾルベント関数 "R" は領域上で正則であることが示せる。ベクトル値に関するリウヴィルの定理により、この関数は定数であり、かつ無限遠で 0 であるので、すべての点で 0 となる。これは矛盾である。