Juventud de Las Piedras
Леандро Родригес является воспитанником футбольного клуба «Ривер Плейт» из Монтевидео. Дебют футболиста в основном составе команды состоялся 25 августа 2012 года в матче против клуба «Хувентуд Лас-Пьедрас». 30 сентября 2012 года Родригес забил свой первый гол в профессиональной карьере, поразив ворота «Ливерпуля» из Монтевидео. Всего в свой дебютный сезон футболист принял участие в 24 матчах и забил 3 гола.