Papyrus Rhind
Vogel beschäftigte sich mit mathematischen Texten (Rechenbüchern) aus Byzanz, dem Papyrus Rhind (über den er 1929 u. a. bei Heinrich Wieleitner an der Universität München promovierte – "Die Grundlagen der ägyptischen Arithmetik in ihrem Zusammenhang mit der 2:n Tabelle im Papyrus Rhind"), griechischer und babylonischer Mathematik. Noch in Göttingen lernte er im Selbststudium ägyptische Hieroglyphen, was er an der Universität München 1927 bei Wilhelm Spiegelberg fortsetzte. Er war aber auch ein Pionier in der Erforschung babylonischer Mathematik (worüber er mit Otto Neugebauer korrespondierte) und beschäftigte sich mit deutschen Rechenbüchern des 15. und 16. Jahrhunderts, teilweise aus der Bayerischen Staatsbibliothek. Er edierte z. B. das "Bamberger Rechenbuch" von 1485 und den "Algorismus Ratisbonensis" (um 1450). 1963 veröffentlichte er eine Übersetzung von Al-Chwarizmis "Algorismus" (dem frühesten islamischen Rechenbuch mit Dezimalziffern). Später lernte er noch Chinesisch und gab eine Übersetzung der "Neun Bücher arithmetischer Technik" Jiu Zhang Suanshu (1968) heraus, eines der " Zehn Mathematischen Klassiker" in China.