Euler characteristic
从一个更先进的观点来看：向量场的每个零点具有一个（非零的）"指标"，并且可以证明，所有零点的指标之和必为2。这是因为2维球面的欧拉示性数为2，因此，必定存在至少一个零点。这是由庞加莱-霍普夫定理导出的推论。在圆环的情况下，欧拉示性数等于0，因此"抚平长满毛的甜甜圈"是可能的。推广而言，对于任意欧拉示性数非0的紧致正则2维流形，任何连续的切向量场都有至少一个零点。