オイラー標数
第一の場合は、正のオイラー標数を持つすべての曲面の場合であり、球面や実射影平面を含んでいる。第二の場合は、オイラー標数が 0 であるすべての曲面の場合であり、ユークリッド平面、円柱、トーラスを含んでいる。第三の場合は、すべての負のオイラー標数の曲面であり、ほとんどすべて(almost all)の曲面が双曲的である。閉曲面に対し、この分類はガウス・ボネの定理と整合していて、ガウス・ボネの定理は、定曲率の閉曲面に対して、オイラー標数の符号と曲率の符号とは一致するはずであるという定理である。