フロベニウスの定理
四元数は除法が可能であるから、 は多元体（乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造）である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、フロベニウスの定理はそれが のちょうど3種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体はノルム多元環となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、はそれが の四種類（ は八元数全体）であることを述べる。四元数全体はまた、合成代数や単位的バナッハ環の一例でもある。