クルル次元
体 "K" の部分環 "R" が "K" の付値環 "D" を含めば、定義 1 を確認することによって、"R" もまた "K" の付値環である。とくに、"R" は局所環であり、その極大イデアルは "D" のある素イデアルと交わる。formula_21 としよう。すると formula_31 である、なぜならば formula_14 は formula_33 を支配し、これはイデアルが全順序付けられているから付値環である。この考察は以下に含まれている。全単射な対応 formula_34 "D" を含む "K" のすべての部分環の集合、が存在する。とくに、"D" は整閉であり、"D" のクルル次元は "D" を含む "K" の真の部分環たちの濃度である。