ホッジ構造
ホッジ構造や混合ホッジ構造を基礎とする機構は、アレクサンドル・グロタンディークにより予想されたモチーフという理論に対しては、大部分が未だに予想にとどまっている。非特異代数多様体 "X" の数論的な情報は、l-進コホモロジーに作用するフロベニウス元の固有値にエンコードされているが、複素代数多様体として考えた "X" から生ずるホッジ構造を共通にあるものを持っている。セルゲイ・ゲリファンド（Sergei Gelfand）とユーリ・マーニン（Yuri Manin）は1988年に彼らの著作 "Methods of homological algebra" の中で、他のコホモロジー群の上に作用しているガロア対称性とは異なり、形式的ではあるが「ホッジ対称性」の原点は非常に神秘的であると指摘している。ホッジ対称性はド・ラームコホモロジー上にの非完全な群 formula_18 の作用を通して表現される。従って、この神秘性はミラー対称性の発見と定式化という深さを持っている。