Southeastern United States
팔메이로는 1964년 9월 24일 쿠바의 수도 아바나에서 출생하였다. 팔메이로는 마이애미 잭슨 고등학교를 나와 1982년 8라운드에서 뉴욕 메츠의 지명을 받았으나 사인하진 않았다. 이후 미시시피주립대학교로 진학하였고 SEC(미국 남동부 대학리그)에서 트리플 크라운을 달성하였고 1985년 시카고 컵스에 입단하였다.