Noetherian ring
"R" を関係 "yx" = "y"2 = 0 をもった元 "x" と "y" で生成される Z-代数とすると、これは左ネーター環だが右ネーター環でない。証明。formula_1 と直和分解し、formula_2 は部分環であるがヒルベルトの基底定理（後述）よりネーター環なので、"R" はネーター環 formula_2 上左加群として有限生成なのでネーター加群、したがって "R" 上でもネーター加群、すなわち左ネーター環である。また、仮に "R" が右ネーター環であるとすると、"R" のイデアル formula_4 は有限生成右 "R" 加群であり、"x" と "y" は "I" に右から自明に作用するので、 "I" は有限生成アーベル群となる。これは