ポントリャーギン双対
のための必要条件は、数 "xi" と 1 が有理数体上で線型独立であることであり、これは同時に十分条件でもあるというものである。ここで、"xi" と 1 の非ゼロな有理数係数での線型結合 formula_11 が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 "T" の(trivial character)以外の指標 χ が "P" 上で値 1 をとることが容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、"T′" を χ の核の部分集合とすることができ、故に "T" 全体には等しくない。