Arizona Diamondbacks
Веласкес родился 22 апреля 1994 года в Бронксе. В бейсбол он начал играть во время учёбы в Фордемской подготовительной школе, которую окончил в 2012 году. На драфте Эндрю был выбран клубом «Аризона Даймондбэкс» под общим 243 номером. Скаут команды Тодд Донован отмечал игру руками и скорость Веласкеса, считая что они выше среднего уровня. При этом на позицию шортстопа он перешёл только в выпускном классе, до этого действуя в роли аутфилдера.