Dom zu Riga
Kukk wurde am 18. Januar 1899 im Dom zu Riga zum Geistlichen geweiht. Nach seinem Probejahr in Rõuge 1897/1898 war er zunächst 1899/1900 als Vikar in der Propstei Võru angestellt, anschließend von 1900 bis 1902 als Hilfspfarrer der Kirchengemeinde von Rõuge. Von 1902 bis 1904 war er Hilfspfarrer der estnischsprachigen Johannis-Gemeinde in Sankt Petersburg und 1904/1905 der Marien-Gemeinde von Tartu.