Театр на Таганке
Алексей Эйбоженко был женат на Наталье Владимировне Кенигсон (17 ноября 1939 — 27 октября 2018, Германия), в 1960—1980-х годах — режиссёре литературно-драматической редакции «Останкино». Наталья, как и Алексей, училась в училище им. Щепкина у Веры Пашенной, только курсом позже, но познакомились они, когда Наталья пришла работать в Театр на Таганке.