ベルンハルト・リーマン
結果として得られた幾何学はニコライ・ロバチェフスキー、ベルンハルト・リーマン、そしてアンリ・ポアンカレによって双曲幾何学（鋭角の場合）と楕円幾何学（鈍角の場合）へと発展していった。平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的にであることは、最終的には1868年、によって示された。