Henry VI
1156年にライン宮中伯となる。甥にあたる皇帝ハインリヒ6世はコンラートの一女アグネスをフランス王フィリップ2世と結婚させようと考えていたが、1194年にコンラートの妻イルミンガルトは夫の留守中に当時ハインリヒ6世と対立していたヴェルフ家ハインリヒ獅子公の長子ハインリヒをシュターレック城に呼び、アグネスと結婚させた。これにより、ハインリヒ6世はコンラートの仲介でハインリヒおよびその父ハインリヒ獅子公と和解するに至った。