Индиос
Оррантия — воспитанник клуба «УНАМ Пумас». 25 апреля 2010 года в матче против «Индиос» он дебютировал в мексиканской Примере. 6 февраля 2011 года в поединке против «Пуэблы» Эмилио забил свой первый гол за «пум». В том же году он стал чемпионом Мексики.