체르멜로-프렝켈 집합론
선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)에서, 도달 불가능한 기수 formula_5에 대해 폰 노이만 전체의 단계 formula_6는 그로텐디크 전체를 이루며 ZFC의 모형이다. 또한, 체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)에서, 약하게 도달 불가능한 기수 formula_5에 대해 구성 가능 전체의 부분 집합 formula_41는 ZFC의 모형이다. 따라서 ZF + "약하게 도달 불가능한 기수의 존재"는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다. 즉, 불완전성 정리에 의하여 만약 ZF가 일관적이라면 ZFC에서는 도달 불가능한 기수의 존재를 보일 수 없다.