Banach space
バナッハ空間が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。開写像定理の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続かつ全射な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で開写像である」ことをいい、その系としての有界逆写像定理は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続全単射な線型写像は（逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で）同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる。開写像定理は閉グラフ定理と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが閉集合となることである」ことを主張するものである。ヒルベルト空間の場合には、これが非有界作用素の研究において基本になる（閉作用素参照）。