プリンキピア・マテマティカ
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）集合 の濃度の最も古い定義は、 と一対一対応のつくであるすべての集合からなるクラス としての定義である。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。それは、 が空でないならば、一対一対応のつくであるすべての集合をあつめたものは集合にしては大きすぎるからである。実際、 を空でない集合としたとき、集合 に を対応させる写像を考える事によって、宇宙から への単射が存在し、より、 は真のクラスである。