Russellsche Antinomie
Solche echten logischen Widersprüche sind erst dann beweisbar, wenn naiv angenommene Axiome die Existenz aller Mengen zu beliebigen Eigenschaften festschreiben. Das gilt etwa für die Mengenlehre, die Dedekind seiner Arithmetik 1888 zugrunde legte, da er dort alle Systeme (Klassen) zu Dingen und Elementen erklärte. Bekannter wurde der jüngere widersprüchliche mengentheoretische Kalkül aus Freges Arithmetik von 1893, da in ihm Russell 1902 die Russellsche Antinomie nachwies. Diese frühen Mengen-Kalküle sind daher sicher als naive Mengenlehren einzustufen, obwohl gerade sie die ersten Versuche sind, die Mengenlehre axiomatisch zu präzisieren.