黎曼几何
为了能够将电磁理论纳入广义相对论的几何学中，赫尔曼·外尔对广义相对论所依赖的黎曼几何进行了推广：他建立了一种更广义的无穷小几何。他注意到在一个流形上的连接两个点的路径上除了度规场外还可以存在额外的自由度，他通过用规范场的语言引入一种能够比较这类路径上局部尺度的基本方法，试图籍此来推广黎曼几何。这种几何学作为黎曼几何的推广，还在度规场formula_1的基础上引入了一个矢量场formula_2，两者结合可以生成电磁场和引力场。这个理论在数学上合理，但形式很复杂，并会导出很难求解的高阶场方程。理论中关键的数学要素，包括拉格朗日量和曲率张量，被外尔和其同事解出。其后外尔向爱因斯坦等其他物理学家广泛讨论了这个理论在物理上的正确性，但最终这个理论被证明是在物理上不合理的。尽管如此，外尔所用到的规范不变性原理，在其形式被修正后应用到了量子场论中。