Wellington Phoenix FC
Роджерсон — воспитанник клуба «СК Уондерерс». 12 ноября 2014 года в матче против «Окленд Сити» в чемпионате Новой Зеландии. Летом 2015 года Логан перешёл в «Веллингтон Феникс». 8 октября 2016 года в матче против «Мельбурн Сити» он дебютировал в A-лиге. 25 марта 2018 года в поединке против «Брисбен Роар» Роджерсон забил свой первый гол за «Веллингтон Феникс».