Peano axioms
不完全性定理により、標準モデルでは真であるがペアノの公理系においては決定不能であるような文（ゲーデル文）formula_24 が存在する。このとき、完全性定理より、ペアノの公理系 formula_4 に formula_26 を加えた公理系にモデルが存在する。標準モデルで formula_24 は真なので、このモデルは超準モデルでなければいけない。このように、formula_26 を満たすことは、そのモデルが超準的である為の十分条件となる。しかし、これは必要条件ではない。いかなるゲーデル文 formula_24 に対しても、formula_24 が真であるようなあらゆる濃度のモデルが存在する。