Boston River
Родригес начал профессиональную карьеру в клубе «Бостон Ривер». 8 октября 2011 года в матче против «Депортиво Мальдонадо» он дебютировал в уругвайской Сегунде. В 2012 году Родригес был отдан в аренду в «Серро». 25 ноября в матче против «Сентраль Эспаньол» Фелипе дебютировал в уругвайской Примере. Летом 2013 года Родригес перешёл в «Эль Танке Сислей». 24 августа в поединке против «Хувентуда» он дебютировал за новый клуб. Сыграв за полгода всего в трёх матчах Фелипе решил сменить команду в поисках игровой практики и в начале 2014 года на правах аренды вернулся в «Бостон Ривер». Летом он вновь присоединился к «Эль Танке Сислей». 24 августа в матче против «Рампла Хуниорс» Родригес забил свой первый гол за клуб, реализовав пенальти в конце второго тайма.