فضاء هيلبرت
نظرية التمثيل هي أداة قوية لأنها تقلل مشاكل الجبر المجرد إلى مشاكل في الجبر الخطي، وهي مادة مفهومة جيدًا. علاوةً على ذلك، فإنه يمكن لمتجه المسافة التي تتمثل فيه مجموعة (على سبيل المثال) أن يكون لا نهائي الأبعاد، وبالسماح بحدوث ذلك، يمكن تطبيق فضاء هيلبرت، وهي أساليب التحليل على نظرية المجموعات. تعد نظرية التمثل أيضًا هامة في الفيزياء لأنها، على سبيل المثال، تصف كيف يؤثر زمرة التماثل لنظامٍ فيزيائي على حلول المعادلات التي تصف هذا النظام.