Krull dimension
永田は任意の素イデアルが高さ有限であるにもかかわらずクルル次元が無限になるような環の例を与えた。 さらに永田は、必ずしも全ての鎖が極大鎖に拡張できるわけではないような環の例も与えている。任意の素イデアル鎖を極大鎖に拡張することができるような環はとして知られる。