Riemann hypothesis
يمكن تحقيق نتائج أفضل في ظل فرضية ريمان. أثبت هارالد كرامر أنه إذا كانت فرضية ريمان صحيحة فهذا يعني أن الفجوة formula_1 تستوفي المعادلة الآتية:formula_54بحيث ترمز formula_55 إلى تمثيل O الكبرى، بعدها قام كرامر بحدس أن الفجوة تستوفي أيضا المعادلة الآتية :formula_56تنص حدسية فيروزباخت على أن formula_57 هي دالة تناقصية قطعياً، أي أن :formula_58 لكل formula_59إذا كانت هذه الحدسية صحيحة فإن فإن دالة الفجوة الأولية formula_60 تستوفي المتفاوتة formula_61 لكل formula_62 هذه الحدسية تشير إلى نسخة قوية من حدسية كرامر ولكنها لا تتوافق مع اقتراح غرانفيل وبينتز الذي ينص على أن التفاوتة formula_63 صحيحة لعدد لانهائي من formula_15، لكل formula_65، بحيث formula_49 هو ثابت أويلر-ماسكيروني.