オイラー標数
曲面のコンパクト性は極めて重要である。例として、境界のない非コンパクトなリーマン面である曲率が 0 でオイラー標数が 1 の単位開円板を考えてみると、ガウス・ボネの定理はうまく機能しない。しかし、定理は同じくオイラー標数が 1 のコンパクトな単位閉円板に対しては正しい。境界での積分の値が 2 だからである。