ボレル測度
局所コンパクト空間 とその上の全測度 の正則ボレル測度 からは の作用するヒルベルト空間 と 上の状態 が得られるし、ヒルベルト空間 上の -環 の状態を 内の単位的ベクトルから得ることができるが、これらのヒルベルト空間 や とそれぞれへの環の作用は、環と状態 や についての情報のみから復元することができる。実際、-環 上の状態 が与えられたとき、ベクトル空間としての は内積 によって前ヒルベルト空間となっており、さらに の元を左からかける操作は内積から定まるノルムについて連続になっている。従ってこの前ヒルベルト空間を完備化したヒルベルト空間 上に を表現することができる。これを状態 に関するGelfand-Naimark-Segal表現（GNS表現）とよぶ。この表現について の元 は少なくとも作用素ノルム を持っている。従って、どんな -環も十分に多くの状態を持っていることを示せばGelfand-Naimarkの定理が得られることになる。