Акхисар Беледиеспор
Акгюн является воспитанником футбольной академии стамбульского «Галатасарай», присоединившись к академии в 2011 году. 5 августа 2018 года дебютировал в основном составе «жёлто-красных» в матче Суперкубка Турции против клуба «Акхисар Беледиеспор».