Lie-Ableitung
Da die betrachteten Mannigfaltigkeiten (semi-) riemannsche Mannigfaltigkeit sind (hier verschwindet der Torsionstensor), ist der Zusammenhang formula_303 ein sog. Levi-Civita-Zusammenhang, d. h. er ist torsionsfrei bzw. symmetrisch und außerdem ein metrischer Zusammenhang. Da hier der Zusammenhang torsionsfrei ist, entspricht die antisymmetrisierte Richtungsableitung formula_305 genau der Lie-Ableitung formula_306. Während die Richtungsableitung formula_307 linear im Richtungsfeld formula_308 ist (die Richtungsableitung hängt vom Richtungsfeld an nur einem Punkt ab), ist die Lie-Ableitung formula_309 in keinem Argument linear (für die Lie-Ableitung müssen beide Vektorfelder in einer offenen Umgebung bekannt sein).