Koch-Kurve
des Randes formula_6 auf den Einheitskreis formula_7 fortsetzen lässt. Der Satz von Carathéodory besagt aber, dass eine solche Fortsetzung dann existiert, wenn der Rand formula_6 eine Jordan-Kurve, also das Bild einer stetigen, injektiven Abbildung formula_9 ist. Dies schließt nichtdifferenzierbare, fraktale Kurven mit ein, zum Beispiel die Koch-Kurve.