Cauchy sequence
d("x","y") = lim"n" d("x""n","y""n")（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从"Lp"到formula_6），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令"ξx" = {"y"是"M"上的柯西序列：formula_7}，"M' "={"ξx：x ∈ M"}，原空间"M"就以"x"formula_8"ξx"的映射方式嵌入到新的完备度量空间"M' "中。易于验证，"M"等距同构于"M' "的稠密子空间。