Hilbert space
により定義するとformula_1はこの距離に関して距離空間の公理を満たす。この距離空間が完備であるとき、複素計量ベクトル空間formula_19を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。紛れがなければ以下内積formula_12を省略し、記号formula_1だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。