ハール測度
位相群が局所コンパクト群となるのはその群の単位元 "e" がコンパクト近傍を持つときであり、かつそのときに限る。この条件は "e" を含む開集合 "V" で、その "G" の位相に関する閉包がコンパクトであるようなものが存在することを意味する。局所コンパクト群に関して最も特筆すべき事実のひとつは、それが（右不変）ハール測度と呼ばれる自然な測度を本質的にただひとつ持ち、それにより "G" の十分素性の良い部分集合の「大きさ」を測ることができるということにある。ここでいう「十分素性の良い部分集合」 というのはボレル集合、つまり "G" のコンパクト部分集合の全体が生成する完全加法族の元のことである。もう少し明確に述べれば、局所コンパクト群 "G" 上の右不変ハール測度 とは、"G" のボレル集合族上で定義される可算加法的測度 μ であって、"G" の各元 "x" と各ボレル集合 "A" に関して μ("Ax") = μ("A") が成り立つという意味で右不変であり、さらに適当な正則性 条件を満たすもののことである（詳細はハール測度の項を参照）。群がコンパクトであることとハール測度の有限性が同値であり、一般に正の定数倍の違いを除いて（右不変）ハール測度は一意的に存在する。コンパクト群や可換群の場合には右不変ハール測度は左不変でもあり、単にハール測度と呼ばれる。