Deportivo Quito
Вега начал профессиональную карьеру в клубе «Имбабура». В 2007 году он дебютировал в эквадорской Примере. В начале 2012 года Эдисон перешёл в «Депортиво Кито». 11 февраля в матче против «Манты» он дебютировал за новую команду. 12 июля 2014 года в поединке против «Манты» Вега забил свой первый гол за «Депортиво Кито». В начале 2015 года Эдисон перешёл в «Барселону» из Гуаякиль. 8 февраля в матче против «Гуаякиль Сити» он дебютировал за новый клуб. 21 февраля в поединке против «Эль Насьональ» Вега забил свой первый гол за «Барселону».