Броммапойкарна
Чельстрём — воспитанник клубов «Хаммарбю» и «Броммапойкарна». 27 июля 2012 года в матче против «Кальмара» в Аллсвенскан лиге. 15 марта в поединке Кубка Швеции против «Отвидаберга» Чельстрём забил свой первый гол за «Броммапойкарна». 3 мая 2014 года в поединке против «Норрчёпинга» Йеспер забил первый гол в чемпионате.