Deportivo Maldonado
Рафаэль Акоста начинал свою карьеру футболиста в уругвайском клубе «Депортиво Мальдонадо», выступавшем тогда во Втором дивизионе. С сентября 2013 года он стал игроком уругвайского «Атенаса». 16 августа 2014 года Акоста дебютировал в Чемпионате Уругвая, выйдя в основном составе в домашнем матче с «Ривер Плейтом». 9 ноября того же года он впервые забил на высшем уровне, окрыв счёт в домашнем поединке против «Такуарембо».