Weil conjectures
を代入すると、複素変数 τ の函数 formula_6 のフーリエ展開の形に書くことができ、従って、q-展開の係数は formula_7 のフーリエと考えることができる。この方法で得られた函数は、注目すべきことに、ウェイト 2 でレベル N のカスプ形式であり、（モジュラ形式でもあるので）ヘッケ作用素の固有ベクトルとなっている。これがハッセ・ヴェイユ予想(Hasse–Weil conjecture)であり、モジュラリティ定理より従うこととなる。