ペアノの公理
コンパクト性定理を用いて超準モデルの存在を示すことができる。証明の概略は、formula_3 を新たな定数として、ペアノの公理系 formula_4 に formula_5 という形の無限個の公理を付け加えた公理系 formula_6 を考え、コンパクト性定理により formula_6 を満たすモデル formula_8 の存在を示すというものである。formula_6 はペアノの公理系を拡張したものであるため、当然ペアノの公理を満たしている。また通常の自然数では定数 formula_3 をいかように解釈しても formula_6 を満たすようにはできないため、formula_3 は超準数であり、formula_8 は超準モデルとなる。