Noetherian ring
の長さを "r" と定める。"P" で始まる素イデアルの真の減少列の長さの最大値を "P" の高さ (height) といい、ht "P" で表す。また、"A" の素とは限らないイデアル "I" に対しては、その高さ ht "I" を "I" を含む素イデアルの高さの最小値と定める。"A" がネーター環であるならば、クルルの主イデアル定理 (Krull's principal ideal theorem)によって任意の素イデアルの高さは有限である。ネーター環 "A" のクルル次元（Krull dimension）を、"P" が "A" の素イデアル全体を動くときの ht "P" の最大値と定義する。ネーター環の次元は、"A" の素イデアルの真の上昇列の長さ（これは、ネーター環の定義から有限）の最大値と一致する。ネーター環のクルル次元は常に有限になるとは限らない。