罗素悖论
在1900年左右許多數學家發現樸素集合論會產生一些矛盾的情形，稱為二律背反或是悖论，伯特兰·罗素和恩斯特·策梅洛均發現了最簡單的悖论，也就是現在所稱的罗素悖论：考慮「由所有不包含集合自身的集合所構成的集合」，記之為 "S"。不管假設 "S" 是或不是 "S" 自身的元素，按照 "S" 的定義都會導致矛盾。罗素悖论也造成了第三次數學危機。