アーベル群
"自由アーベル"群は2つのケースを除いて自由群"ではない"ことに注意しよう： 空基底をもつ自由アーベル群（ランク 0 で、自明群になる）あるいはただ1つの元を基底にもつ自由アーベル群（ランク 1 で、無限巡回群になる）。他のアーベル群は自由群でない、なぜならば自由群において "ab" は "a" と "b" が基底の異なる元であれば "ba" とは異ならなければならないが、自由アーベル群においてそれらは等しくなければならない。自由群は群の圏においてである、つまり、与えられた数の生成元での"最も一般的な"あるいは"最も制約のない"群である一方で、自由アーベル群はアーベル群の圏における自由対象である。一般の群の圏において、"ab = ba" を要求することは付加的な制約であるが、アーベル群の圏においてはこれは必要な性質である。