Грузинское царство
В июне 1367 года десятилетняя цесаревна стала второй женой грузинского царя Баграта V, также известного под именем Баграта Великого. Первая жена царя, царица Елена умерла в 1366 году во время эпидемии чумы, оставив ему по себе двух сыновей. В Грузинское царство Анну сопровождали сам император и её бабка по отцовской линии Ирина Трапезундская.