ウリヤノフスク州
リャプノフは帝政ロシア時代にヤロスラヴリで生まれた。彼の父ミハイル・ワシレーヴィッチ・リャプノフはデミドフ・リセウム（現:ヤロスラヴリ州立大学）に勤務していた天文学者。兄のセルゲイ・リャプノフは才能ある作曲家でありピアニストだった。1863年、父リャプノフは科学者職を引退し、妻の故郷シンビルスク州（現:ウリヤノフスク州）のボロボノフへと一家で引っ越した。1868年に父親が死去してからは、叔父のR・M・セチェノフ（生理学者イヴァン・セチェノフの兄弟）に教育を施された。叔父の家では、遠い従妹であるナターリヤ・ラファイロヴナと学ぶが、1886年に彼女を妻としている。1870年、リャプノフの母親は息子とともにニジニ・ノヴゴロドに移り、そこでギムナジウムの第3学年に進む。1876年、卓越した成績でギムナジウムを卒業した。