リッチテンソル
リッチ曲率はリーマン多様体の断面曲率により定まるが、一般にはそれよりも情報を持っていない。実際、もし formula_6 が -次元リーマン多様体上の単位ベクトルであるとすると、 は、断面曲率の formula_6 を含む全ての二次元平面にわたる平均値のちょうど 倍となる。そのような二次元平面は -次元の族を成すので、2次元および3次元においてのみリッチテンソルから完全な曲率テンソルを決定することができる。特記すべき例外として、多様体があらかじめユークリッド空間上の超曲面として与えられている場合がある。を通じて完全な曲率を決定するは、それ自体がリッチテンソルにより決定され、超曲面の主方向もリッチテンソルの固有方向により決定される。リッチテンソルは、この理由によりリッチが導入したものである。