ペアノの公理
『プリンキピア・マテマティカ』は、先駆的な仕事であったものの、現代的には批判もあり、自然数の定義として通常採用されるのはペアノの公理である。それによると、自然数の間に「後者関数」と呼ばれる関数 suc("a") が与えられ、（自然数に 0 を含める場合）0 の「後者」suc(0) が 1、その「後者」suc(1)が 2 と定義される。一方、加法は "n" + 0 = "n" および "n" + suc("m") = suc("n" + "m") によって再帰的に定義される。したがってこれらと等号公理により 1 + 1 = 1 + suc(0) = suc(1 + 0) = suc(1) = 2 である。