マクスウェル分布
が結論される。これがボルツマンの定理である。そして はこの粒子系のエントロピー と と関係付けられるから（ はボルツマン定数）、これは粒子系のエントロピーが時間とともに増大するか一定値にとどまるだけで、減少することはないことを意味する。そしてさらに、それが一定値にとどまるためには全領域で が成立することが必要となる。そのとき はマクスウェル分布であることが示される。