Artinian ring
をアルティン環（例えば体）として、 を 上の有限生成次数付き加群で、 とする。このとき のポワンカレ級数は、 で割られる整係数の多項式である。今日の標準的な証明は、 に関する帰納法である。ヒルベルトのもともとの証明は（ の射影分解）を利用しており、これはよりホモロジー的な情報を与える。