Repräsentantenhaus von North Dakota
Burke besuchte die örtlichen Schulen seiner Heimat. Anschließend studierte er Jura an der University of Iowa. Dort machte er 1886 sein Examen. Im Jahr 1888 zog er in das Dakota-Territorium, wo er als Erntehelfer und Lehrer arbeitete. Bald betätigte er sich auch als Rechtsanwalt und Richter im Rolette County. Später wurde er in diesem Bezirk auch Staatsanwalt. Er war Mitglied der Demokratischen Partei. Im Jahr 1891 wurde er in das Repräsentantenhaus von North Dakota gewählt; zwischen 1893 und 1895 saß er im Staatssenat 1906 wurde er mit 52:44 Prozent der Stimmen gegen Amtsinhaber Elmore Y. Sarles zum neuen Gouverneur seines Staates gewählt. Er war der erste Demokrat, der zum Gouverneur von North Dakota gewählt wurde, und erst der zweite Gouverneur, der nicht den Republikanern angehörte.