Fourier series
この定理はフーリエ級数の抽象版であり、任意の正規直交基底がフーリエ級数における三角多項式の成す直交系の役割を果たす。上記の添字集合は任意の可算集合としてよい（また実は、ヒルベルト空間の項にあるように、そうして得られる空間は全て、適当な集合上で定義された となる）ことに注意。特に、フーリエ級数に関して