Principia Mathematica
（カントールによって暗に、フレーゲやプリンキピア・マテマティカにおいて明確に示されていた）基数の最も古い定義は、集合全体からなるクラスを濃度による同値関係で割ったときの同値類としての定義である。つまり の濃度 は と一対一対応のつくであるすべての集合からなるクラスとして定義される。これは、ZFCや関連する集合論の公理系ではうまく機能しない。実際、 を空でない集合としたとき、集合 に を対応させる写像を考える事によって、宇宙から への単射が存在し、サイズの限界()より、 は真のクラスである。