Poincaré conjecture
このようにポアンカレ予想を 次元に一般化すると での成立は古典的な事実であり、 の場合は20世紀後半に証明が得られていた。 の時はスティーヴン・スメイルによって 、 の時はマイケル・フリードマンによって 証明された。2人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメイルの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決である）。