Poincaré duality
（"X" を向き付けられた滑らかな閉多様体というような）緩やかな条件の下で、オイラー類は、次のような方法で "E" の切断が消滅する（0 となる）ことへ対応する。σ : "X" → "E" を(generic)滑らかな切断とし、"Z" ⊆ "X" をその軌跡とすると、"Z" は "X" の余次元 "r" のホモロジー類 ["Z"] を表し、"e"("E") は ["Z"] のポアンカレ双対を表す。