Russell's paradox
Frege vertritt nun außerdem ein Substitutionsprinzip, welches aussagt, dass es für jedes Prädikat F mit einer freien Variablen x einen korrespondierenden Begriff gibt bzw. eine Menge gibt, welche alle Objekte einschließt, die unter F fallen. Dies ist eine Variante eines unbeschränkten "Komprehensionsaxioms" (engl. "axiom schema of specification", auch " of separation" oder "of comprehension"). Die naiven Mengenlehren des 19. Jahrhunderts hatten üblicherweise die Existenz bzw. Erzeugbarkeit solcher Mengen zugelassen. Beide Prinzipien zusammen genommen haben aber zur Folge, dass in Freges System die Russellsche Antinomie erzeugbar ist (z. B. als "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten").