Sfäriska sinussatsen

Den sfäriska sinussatsen är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att för en sfärisk triangel, med sidorna ,  och  och respektive motstående hörnvinklar ,  och  (se figur 1) gäller att:

Ur den sfäriska sinussatsen kan den sfäriska tangenssatsen härledas. Denna säger (figur 1):

Satserna upptäcktes av den persiske astronomen och matematikern Abu l-Wafa på 900-talet, eller av dennes elev Abu Nasr Mansur. Den sfäriska trigonometrin vidareutvecklades sedan ur dessa upptäckter av främst Nasir al-Din al-Tusi på 1200-talet och denne anses ofta som definitiv fader till satserna i modern mening (även om Abu l-Wafa eller Mansur var före).

Bevis
Den sfäriska sinussatsen kan bevisas på flera sätt. Nedan ges ett algebraiskt bevis med vektorprodukt (kryssprodukt) och ett bevis som bara använder elementär trigonometri. Den sfäriska tangenssatsen bevisas enkelt med den sfäriska sinusstsen.

Algebraiskt bevis av den sfäriska sinussatsen
Givet en sfärisk triangel  med hörnvinklarna ,  och  vilka har de motstående sidorna ,  respektive , på en enhetssfär med origo i .

Vektorn  är normal mot  och . På samma sätt är vektorn  är normal mot  och . Planet som spänns upp av  och  är alltså ett normalplan till  och vinkeln mellan  och  är  (som också ligger i ett normalplan till ). Med hjälp av definitionen av vektorprodukt:

får vi att:

Eftersom 

 och

får vi:

På samma sätt får vi:

Men då den skalära trippelprodukten är identisk under cirkulär permutation, det vill säga:

får vi

.

Trigonometriskt bevis för den sfäriska sinussatsen

Vi bevisar satsen för  (figur 2) på en enhetssfär, det vill säga:

Vi har även:
,  och .

 är fotpunkt till  på planet .  är fotpunkt till  och  på  och  är fotpunkt till  och  på . Vi noterar att:

 och 
Vi får då:
 och
, vilket ger (radien , men hade den haft ett annat värde hade den förkortas bort):

Uttrycket för  och  visas analogt.

Om triangeln är trubbvinklig (figur 3) har vi att , men då  får vi samma utgångsformler och således samma slutresultat.

Ur figur 1 framgår att det på samma sida av en storcirkel finns ytterligare tre trianglar som definieras av de tre storcirklarna. I förhållande till hörnet  har de antingen den motsatta sidlängden  och hörnvinkeln  eller sidlängden  och hörnvinkeln  och sålunda har vi:

och satsen gäller även för dessa trianglar.

Om vi nu betraktar en "triangel" bestående av tre sådana trianglar (två stycken bildar bara en digon och alla fyra bildar en halvsfär - ingen av dem med tre hörn) har den, exempelvis, sidorna ,  och  och därmed hörnvinklarna ,  och  får vi:

som ger:

Sålunda gäller den sfäriska sinussatsen för alla trianglar vars hela yta ligger på samma halvsfär.

Betrakta nu en triangel med samma sidor som  men med de yttre hörnvinklarna ,  och . Vi får då:

Vilket ger:

och sålunda gäller den sfäriska sinsussatsen för alla trianglar.

Härledning av den sfäriska tangenssatsen
Härledningen av den sfäriska tangenssatsen ur den sfäriska sinussatsen är analog med härledningen av den planära tangenssatsen ur den planära sinussatsen.

Sätt 

Detta ger:
 och
.
Vi får då :

Utnyttjande av:

ger då direkt:

Den sfäriska tangenssatsen fås också enkelt ur Napiers analogier genom att dividera formeln för  med den för  eller formeln för  med den för .

Referenser och noter

Sfärisk trigonometri