Barycentriska koordinater

Inom geometri betecknar barycentriska koordinater (från grekiska βαρύς, barys, "tung" och κέντρον, kentron, "centrum") en uppsättning av n+1 tal, vilka anger en punkts läge i förhållande till en n-dimensionell simplex (sträcka, triangel, tetraeder, etcetera) i det n-dimensionella rummet genom att ange relativa vikter som, om de placeras i hörnen på denna simplex, gör punkten till simplexens geometriska tyngdpunkt. I allmänhet avses läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel. De skall inte förväxlas med begreppet "barycentrum" som används inom astronomi för att ange den gemensamma tyngdpunkten för en uppsättning himlakroppar (även om begreppet är närbesläktat). Barycentriska koordinater infördes av August Ferdinand Möbius 1827 i Der Barycentrische Calcul.

Barycentriska koordinater skrivs vanligtvis separerade av kolon (exempelvis  för en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan).

Om alla koordinaterna är större än noll ligger punkten innanför simplexens begränsningar och är en eller flera koordinater noll ligger punkten på begränsningarna. Alla koordinater kan inte vara noll. Är någon koordinat negativ ligger punkten utanför simplexen (det motsvarar att en "negativ vikt", eller en "lyftkraft", måste placeras i hörnet). Någon koordinat måste ha ett positivt värde.

De barycentriska koordinaterna är relativa, vilket innebär att endast deras inbördes förhållanden spelar roll:  är detsamma som  eller .

Med absoluta barycentriska koordinater menas att koordinaterna normerats så att deras summa blir lika med ett. För att normera koordinaterna delar man dem med deras summa. Exempelvis om koordinaterna  divideras med summan av dem () får vi de absoluta barycentriska koordinaterna .

Inom astronomi används termen barycentriskt koordinatsystem för att ange ett koordinatsystem (sfäriskt eller kartesiskt) med origo i systemets tyngdpunkt (exempelvis solsystemets tyngdpunkt).

Barycentriska koordinater i en dimension

Endimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt på en linje i förhållande till en given sträcka på linjen. Låt oss kalla sträckans ändpunkter för  och  som i figur 1. De barycentriska koordinaterna anger då hur mycket massa vi skall placera i (eller hur mycket kraft vi skall applicera på)  respektive  för att tyngdpunkten skall befinna sig i  relativt sett. Placerar vi all massa i  ligger tyngdpunkten i  och  ligger alltså i  och har, exempelvis, koordinaterna  (och motsvarande för  såklart). För att ange de barycentriska koordinaterna för  skall vi alltså beräkna två krafter applicerade i  respektive  (vilket ger oss koordinaterna ) som ger ett motverkande vridmoment i förhållande till , det vill säga att , vilket ger oss koordinaterna . Eftersom endast koordinaternas relativa värden är av intresse kan vi multiplicera dem med , vilket ger oss de likvärdiga koordinaterna . Dessa kan "normeras" genom att dividera dem med  varvid deras summa blir lika med ett. Vi ser att respektive koordinat är proportionell mot det "riktade" avståndet från den andra ändpunkten. I det fall man anger de fakiska avstånden  talar man om de homogena barycentriska koordinaterna med avseende på sträckan .

Barycentriska koordinater i två dimensioner

Tvådimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt  i planet i förhållande till en triangel  i samma plan (se figur 2). Genom att placera tre "vikter" i de tre triangelhörnen (eller applicera tre krafter på hörnen) skall vi "balansera" triangeln i . 

Vi börjar med att placera all vikt  i . Därefter balanserar vi vikten längs linjen  (i enlighet med resonemanget för endimensionella koordinater) så att vi placerar  i  och  i , varefter vi balanserar vikten i  längs  genom att flytta  till  och  till . 

Detta innebär att  fortfarande är tyngdpunkt på , vilket innebär att triangeln fortfarande är balanserad i  och att all vikt befinner sig fördelad på ,  eller . 

Vi noterar av det ovanstående att . På samma sätt kan vi visa att  och .

Detta leder till att  (i det fall arean av en deltriangel ligger helt utanför  är dess area negativ.) är barycentiska koordinter för , eftersom 

 

och på samma sätt är  och . 

Detta ger oss att 

.

Dessa kallas de homogena barycentriska koordinaterna relativt triangeln . Vi kan normera dem genom att dividera var och en av dem med  så att deras summa blir lika med ett, vilket ger oss de absoluta barycentriska koordinaterna (vilka även kallas areal coordinates, "areella koordinater", på engelska):

Barycentriska koordinater i tre eller flera dimensioner

Det tredimensionella fallet: Analogt med det tvådimensionella fallet (i vilket vikterna i triangelhörnen är proportionella mot respektive "motstående deltriangels" area) är vikten i respektive tetraederhörn proportionell mot volymen av dess "motstående deltetraeders" volym. 
Resonemang
Betrakta tetraedern  och punkten  i figur 3. Placera all vikt i  och fördela sedan denna vikt på  och  så att  fortfarande är tyngdpunkt. Den tilldelade vikten i  fördelas sedan på hörnen i triangeln  (se ovan under två dimensioner) så att denna triangel är balanserad i  och varvid tetraedern fortfarande balanserar i . För areorna av deltrianglarna ,  och  gäller 
 
där  betecknar vikten i hörnet . Dessa deltrianglar utgör baserna för tetraedrar med det fjärde hörnet i , vilka sålunda har volymer som är proportionella mot bastriangelns yta (och därmed mot vikten i det "motstående triangelhörnet"). På samma sätt är volymerna av de tre tetraedrarna med de tre deltrianglarna som basytor och det fjärde hörnet i  proportionella mot vikten i respektive "motstående hörn". Detta ger 

. 
Det vill säga att vikterna i tetraederhörnen är proportionella mot volymerna av de "motstående deltetraedrarna", vilka har den till hörnet motstående tetraedersidan som basyta och det fjärde hörnet i  (detta gäller såklart även för  och , vilket ju visas på samma sätt genom att utgå från ett annat hörn och dess motstående tetraedersida).
Punkten  har alltså de barycentriska koordinaterna  i förhållande till tetraedern . De absoluta barycentriska koordinaterna för  är , eftersom deras summa ju är lika med ett.
Fler dimensioner: Ökar vi på antalet dimensioner förfar vi på samma sätt. För fyra dimensioner balanserar vi först mellan ett hörn och skärningspunkten (för linjen genom hörnet och ) med den till hörnet motstående tetraedern, varefter vi balanserar denna tetraeders tilldelade vikt på dess fyra hörn enligt ovan. Vi kan fortsätta att öka på med en dimension i taget på samma sätt. Detta innebär att vi för en n-dimensionell simplex  och en punkt  får 
.
Punkten  har de barycentriska koordinaterna  i förhållande till simplexen .

Ortsvektorer och kartesiska koordinater

I figur 4 visas en triangel  och en punkt  som har de absoluta barycentriska koordinaterna . Vi noterar att, i enlighet med endimensionella koodinater ovan,  och . Därför har vi också att . Om nu triangelhörnen har ortsvektorerna ,  respektive  i förhållande till en punkt  får vi (i sista ledet utnyttjas att de absoluta koordinaternas summa är ett):

Från barycentriska till kartesiska koordinater
Uttrycket för punktens ortsvektor ger direkt att, om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna ,  respektive , så är de kartesiska koordinaterna för :

Speciellt märker vi att om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna ,  och  så har punkten  de absoluta barycentriska koordinaterna .

Från kartesiska till barycentriska koordinater
Om vi skriver om uttrycken för punktens kartesiska koordinater och utnyttjar att  får vi två ekvationer med två obekanta:

vilka har lösningen
 och
.
(ur vilka vi även får )

Trilinjära koordinater
Låt ,  och  beteckna längden av de motstående sidorna till triangelhörnen.
En punkt med de trilinjära koordinaterna  har då de barycentriska koordinaterna .

Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna  de trilinjära koodinaterna .

De homogena barycentriska koordinaterna  motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna .

Bevis

Om  är homogena är de alltså lika med , och omvänt är de exakta trilinjära koordinaterna .

Barycentriska koordinater för vissa punkter

Den geometriska tyngdpunkten
Triangelns geometriska tyngdpunkt har barycentriska koordinater

Bevis
Beviset följer direkt ur att den geometriska tyngdpunkten är medianernas skärningspunkt och att medianerna delar triangeln i sex likstora trianglar.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt
Den inskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som

Bevis
Den inskrivna cirkelns medelpunkt  har samma avstånd till triangelns sidor, dess radie . Radien är lika med deltrianglarnas höjd och de barycentriska koordinaterna är därför

De vidskrivna cirklarnas medelpunkter
Medelpunkterna för de vidskrivna cirklarna till ,  och  har de barycentriska koordinaterna
, 
 respektive 
.

Bevis
Eftersom medelpunkten för den vidskrivna cirkeln, med radien , till  har de trilinjära koordinaterna 
 
 har den de barycentriska koordinaterna 

i enlighet med avsnittet om trilinjära koordinater ovan. Motsvarande gäller de båda övriga vidskrivna cirklarnas medelpunkter.

Den omskrivna cirkelns medelpunkt

Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som

Bevis
Den omskrivna cirkelns medelpunkt  har samma avstånd till triangelhörnen, cirkelns radie . Låt  vara fotpunkt åt  på  (figur 5). Vi har då

I näst sista ledet utnyttjas randvinkelsatsen. ( är ju en korda i den omskrivna cirkeln och vinkeln i medelpunkten är enligt denna sats dubbelt så stor som vinkeln i en punkt på omkretsen.)
 
Samma resonemang för de båda andra triangelsidorna ger oss barycentriska koordinater

Ortocentrum
Ortocentrum har barycentriska koordinater som kan skrivas som

eller
 
Det andra uttrycket erhålls genom multiplikation med 
Bevis
Vi utnyttjar förhållandet mellan barycentriska koordinater och trilinjära koordinater (se avsnittet ovan).
Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater (se ovan)

och därför trilinjära koordinater
 
Ortocentrum är isogonalkonjugat till den omskrivna cirkelns medelpunkt och dess trilinjära koordinater är därför 

vilka motsvarar de barycentriska koordinaterna

Symmedianpunkten
Symmedianpunkten har de barycentriska koordinaterna

Bevis
För beviset utnyttjar vi sambandet mellan barycentriska och trilinjära koordinater och att symmedianpunkten är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten.
Den geometriska tyngdpunkten har barycentriska koordinater

vilket motsvarar de trilinjära koordinaterna

Symmedianpunkten har, eftersom den är isogonalkonjugat till den geometriska tyngdpunkten, de trilinjära koordinaterna

vilka motsvarar de barycentriska koordinaterna

Barycentrisk interpolation

För en funktion av två variabler, , med de kända värdena ,  och  för hörnen i triangeln  kan en linjär interpolation av värdet i en punkt  med de absoluta barycentriska koordinaterna  göras enligt . Barycentrisk interpolation kan enkelt utsträckas till fler dimenensioner. Genom att skapa ett nät av trianglar (ett så kallat "mesh"), eller simplexar av högre dimension, kan beräkningar göras för större områden (ett exempel är beräkningar av isolinjer eller värden för olika platser i ett nät av väderstationer). Mer förfinade interpolationer kan göras med polynomapproximationer i stället för linjära sådana.

Barycentrisk interpolation och generaliseringar av denna till godtyckliga polygoner och polyedrar används inom flera områden, exempelvis finita elementmetoden (FEM), och speciellt noterbart är applikationer inom datorgrafik för exempelvis skuggning och animation.

Se även
Homogena koordinater

Referenser

Geometri
Koordinatsystem