Dubbelförhållande

Med dubbelförhållande avses inom geometri ett avståndsförhållande mellan fyra punkter på en rät linje som definieras som kvoten mellan två delningsförhållanden (hur sträckan  delas av punkterna  respektive  - beteckningar enligt figur 1):

Dubbelförhållandet 

En mycket viktig egenskap hos dubbelförhållanden är att de är invarianta under centralprojektion.

Ett viktigt fall är när dubbelförhållandet är -1, vilket kallas harmonisk delning.

Dubbelförhållanden kan även definieras för ett linjeknippe med fyra linjer genom samma punkt, vilket kan utvidgas till fyra plan som skär varandra längs samma linje. Det finns även en definition för cirklar och andra kägelsnitt.

Ett praktiskt tillämpningsområde för dubbelförhållanden är fotogrammetriska beräkningar, speciellt eftersom ett dubbelförhållande förblir detsamma på bilder tagna från olika punkter. Dubbelförhållanden används även för att korrigera för distortioner orsakade av den använda optiken,

En motsvarighet till dubbelförhållanden kan definieras för fem punkter i ett plan och bygger på triangelareor enligt:

Historia
Dubbelförhållandets princip användes redan av Pappos på 300-talet e.Kr. i "hexagon-satsen", vilken publicerades i bok VII av Μαθηματική συναγωγή ("Mathematike synagoge", på latin Mathematicae Collectiones, på svenska "Matematiska samlingar"). Lazare Carnot introdcerade användandet av riktade sträckor i sin Géométrie de Position 1803 och dubbelförhållanden studerades sedan även av, speciellt, August Möbius och Michel Chasles, medan Karl von Staudt definierade dubbelförhållandet inom projektiv geometri (oberoende av sträckornas längd - i stället för som tidigare euklidisk där längden var grundläggande) genom sina verk Geometrie der Lage (1847) och Beiträge zu Geometrie der Lage I-III (1856-1860). 1873 visade Felix Klein i Über die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie att den euklidiska geometrins begrepp vinklar och längder kunde beskrivas i termer av von Staudts abstrakta dubbelförhållande och "förenade" därmed de båda geometrierna igen.

24 permutationer, men högst sex olika värden
Med de fyra punkterna kan 24 (=4!) olika dubbelförhållanden skrivas, men dessa är sinsemellan lika fyra och fyra, vilket framgår om man betraktar nedanstående fyra dubbelförhållanden. Genom att utnyttja  ser vi att de har samma värde:

Vi får på detta sätt sex möjliga värden på dubbelförhållandena:

2 erhålls enkelt ur 1 direkt från dubbelförhållandets definition. På samma sätt erhålls 4 ur 3 samt 6 ur 5. 3, (A,C;B,D)=1-r, erhålls ur 1, (A,B;C,D)=r, genom substitutionerna ,  och  (samt att ).

Vi har:
 och .
Eftersom nämnaren nu är lika bekymrar vi oss tills vidare bara om täljaren.

:
vilket vi sätter in i 

På motsvarande sätt erhålls 5 enkelt ur 2, men enklare är att konstatera att 5 (A,D;B,C) förhåller sig till 2 (A,B;D,C) på samma sätt som 3 (A,C,B,D) förhåller sig till 1 (A,B,;C,D), byte av de två mellersta punkterna mot varandra, och värdet på 5 förhåller sig alltså till värdet på 2 på samma sätt som värdet på 3 förhåller sig till värdet på 1.

Beroende på värdet på  blir värdet stundom detsamma för två olika "permutationsserier", Exempelvis om  blir ,  och , det vill säga tre olika värden, eller om  blir  och , medan  och , det vill säga fyra olika värden.

Tre minnesregler
Om man byter position mellan två punkter och även mellan de båda övriga förblir värdet oförändrat.
Om man byter position mellan de två första eller mellan de två sista punkterna inverteras värdet: .
Om man byter position mellan de två mellersta punkterna eller mellan den första och sista punkten ändras värdet från  till .
Med dessa tre regler kan värdet för vilken som helst av permutationerna beräknas från ett känt värde på en av dem.

Dubbelförhållanden för linjeknippen
Arean på triangeln  kan, bland annat, beräknas dels med basen multiplicerad med halva höjden och dels med areasatsen:
det vill säga 
Eftersom vi arbetar med riktade sträckor i dubbelförhållanden definierar vi här riktade vinklar så att vinkeln  har samma tecken som  (och således har  samma tecken som ). Vi får då "areor" enligt:

Eftersom alla vinklar nedan är riktade så utelämnas pilen ovanför vinkeln hädanefter.

I figur 2 ligger de fyra punkterna , ,  och  på samma linje och från en femte punkt , som ej ligger på linjen, går ett knippe linjer (en genom varje av de fyra punkterna) vilka tillsammans med "baslinjen" bildar tio olika trianglar som alla har samma höjd. För dessa trianglar gäller det ovan givna förhållandet : (där  och  är två av punkterna på linjen).

Betrakta nu ett dubbelförhållande 

,

där de fyra punkterna  till  valts godtyckligt ur  till , så att de betecknar varsin av dessa punkter. Vi har då för sträckorna i dubbelförhållandet:

Insättning ger:

Ett dubbelförhållande är således endast beroende av vinklarna mellan linjena och således delar linjeknippet genom  även punkterna , ,  och  på den röda linjen i samma dubbelförhållande. Betrakta nu figur 3. De båda linjeknippena måste ha samma dubbelförhållande. och således måste varje linje som delas i ett dubbelförhållande av det ena knippet delas i samma dubbelförhållande av det andra. Ett dubbelförhållande, exempelvis (a,b;c,d), för det ena linjeknippet är således lika med, i exempelfallet (a',b';c'd'), för det andra linjeknippet (och med (A,B;C,D), dubbelförhållandet för skärningspunkerna på en linje genom knippet).
Slutsats: Dubbelförhållanden är invarianta under centralprojektion.

I figur 4 fortsätter linjerna på andra sidan om punkten . Den röda linjen  skär linjeknippet i punkterna , ,  och  medan den gröna linjen  skär linjeknippet i punkterna , ,  och , där  ligger på motsatt sida om  som . Ett godtyckligt dubbelförhållande kan alltid permuteras så att en viss punkt står först med bibehållet värde och vi väljer därför det av dem där  står först (,  och  representerar de övriga , , ):

Således har alla linjer som skär linjeknippet , oavsett på vilken sida om  skärningspunkterna ligger, samma dubbelförhållande (linjer parallella med någon i knippet behandlas under Oändlighetspunkter nedan). Man kan således betrakta dubbelförhållandet som en egenskap hos linjeknippet i stället för hos de linjer som skär detsamma.

Att dubbelförhållanden även är invarianta under parallellprojektion inses om man placerar  på oändligt avstånd, men fås även ur definitionen att dubbelförhållandet är en kvot mellan två delningsförhållanden vilka är invarianta under parallellprojektion.

Oändlighetspunkter
Om vi i ett dubbelförhållande  låter en av punkterna, exempelvis , gå mot oändligheten får vi
.

På motsvarande sätt får vi:
,  och 

Och samma resultat fås om vi låter punkterna gå mot minus oändligheten. Således har vi:
, ,  och 

där  står för oändlighetspunkten (inom projektiv geometri sammanfaller plus och minus oändligheten på en linje i samma punkt). 

Eftersom
 har vi även att:
, , : och .

Oändlighetspunkter och linjeknippen
Betrakta figur 5. Linjeknippet genom  skär den gröna linjen i punkterna , ,  och . Om vi vrider linjen kring punkten  till läget , så att den blir parallell med , så blir  och linjen får "nya" skärningspunkter i  och . I figuren har vi två par av likformiga trianglar, vilka ger:
 och

vilket ger

Att motsvarande även gäller för övriga 23 möjliga dubbelförhållanden visas i enlighet med avsnittet 24 permutationer, men högst sex olika värden ovan.

Från fyra linjer till fyra plan

Figur 6 föreställer en perspektivteckning av fyra (gula) plan som skär varandra i linjen  och som går genom punkterna , ,  respektive  på den blå linjen . Dessa fyra punkter delar  i ett dubbelförhållande som vi kallar  (ett av de 24 möjliga dubbelförhållandena, godtyckligt vilket). Genom de fyra planen går en godtycklig röd linje  som skär de fyra planen i punkterna , ,  och . Dessa fyra punkter och linjen ligger i ett plan  genom punkten  på . Detta plan skär ett plan som går genom linjen  i linjen  och som (för enkelhets skull) är parallellt med . Eftersom  ligger i samma plan som  delas de båda linjerna i samma dubbelförhållande av linjeknippet genom . Men då  ligger i samma plan som även innehåller ,  och  så är  parallell med . På motsvarande sätt är även ,  och  parallella med  och således är linjen  med punkterna , ,  respektive  en parallellprojektion av  med punkterna , ,  respektive  och således är , vilket i sin tur innebär att även . Detta medför alltså att alla linjer som skär de fyra gula planen har samma dubbelförhållande.

Vi kan också konstatera detta genom att betrakta de gröna linjerna, som är parallella med , från punkterna på  till planet . Dessa fyra gröna linjers skärningspunkter med  ligger på en rät linje (också denna grön) som delas i  av samma linjer från  som delar  i . Och då de fyra gröna linjerna är parallella så är skärningspunkterna mellan dem och  en parallellprojektion av  och således har även  dubbelförhållandet .

På samma sätt som man kan betrakta dubbelförhållandet som en egenskap som tillhör de fyra linjerna i ett linjeknippe, i stället för att bara tillhöra de linjer som skär detsamma, kan man betrakta dubbelförhållandet som en egenskap hos fyra plan som skär varandra längs samma linje.

Dubbelförhållande på en cirkel

Dubbelförhållandet på en cirkel definieras som ett delningsförhållande mellan riktade cikelbågar mellan fyra punkter som vi benämner , ,  och  (den inbördes ordningen är godtycklig) på cirkelns omkrets, vars "längd" definieras som sinus för den riktade randvinkeln i en godtycklig punkt  som också ligger på cirkelns omkrets. Dubbelförhållandet definieras som:
.

Jämför med dubbelförhållandet för ett linjeknippe som delar en rät linje som skär detta - det är samma dubbelförhållande!

Randvinkelsatsen säger att randvinkeln är konstant för en given cirkelbåge och punkten  kan således väljas godtyckligt (se figur 7: ). Randvinkelsatsen säger också att medelpunktsvinkeln är dubbla randvinkeln, så om  är cirkelns medelpunkt så kan vi även definiera dubbelförhållandet som:

.

Betrakta nu de likbenta trianglarna , ,  och , samt snegla på figur 8.
Cirkelns radie 
.
Insättning ger, efter förkortning:

Det vill säga att dubbelförhållandet även gäller för de riktade kordorna mellan punkterna, vilket är ytterligare en definition av dubbelförhållandet.

Dubbelförhållanden på ellipser, parabler och hyperbler
{{Dubbel bild|right|Dubbelförhållande cirkel ellips.svg|200|Dubbelförhållande cirkel ellips 2.svg|200|Figur 9."Perspektivbild" av en orange kon med cirkulärt tvärsnitt och spetsen i P. En (grön) ellips ligger i skärningen mellan ett plan som ej bildar en rät vinkel mot konens längsaxel (som det vinkelräta planet med den orange cirkeln gör) och den koniska ytan.|Figur 10.Ett liknande förhållande som i figur 9 men parallellprojicerat (parallellt med konens längsaxel) vinkelrätt uppifrån mot den orange cirkelns plan (den gröna ellipsen avbildas nästan som en cirkel på detta plan)<ref> Detta "noterades" av Albrecht Dürer. Se Daniel S. Silver, Slicing a Cone for Art and Science på American Scientist och Durer and Conic Sections på Matemeticas Visuales.</ref>). Linjen från A" till B" är skärningslinjen mellan planen och delas i samma dubbelförhållande av linjeknippena (EA,EB,EC,ED) respektive (E'A,'E'B',E'C,'E'D').}}
Ett valfritt kägelsnitt kan konstrueras genom att låta ett plan skära en kon med ett cirkulärt tvärsnitt och varje kägelsnitt kan därför avbildas på en cirkel genom centralprojektion på ett plan, projektionsplanet, från en väl vald projektionspunkt . I figur 9 illustreras hur en grön ellips projiceras på ett plan som en orange cirkel (vilken avbildas som en ellips på grund av perspektivet!). Inom projektiv geometri motsvaras en punkt,  i projektionsplanet av en linje  och en linje  i projektionsplanet av ett plan genom ,  och . Punkten  i projektionsplanet motsvaras sålunda av punkten  i ellipsens plan, då de båda ligger på  och på samma sätt motsvaras linjen  i projektionsplanet av . Ett dubbelförhållande mellan de fyra punkterna , ,  och  på ellipsen definieras som dubbelförhållandet mellan motsvarande punkter på cirkeln. Vi har då dessutom för dubbelförhållandet för linjeknippet från en punkt  på ellipsens periferi genom punkterna  till  att:

:

det vill säga att punkten  kan väljas godtyckligt på ellipsens periferi, precis som  på cirkelns.

Eftersom linjerna  och  ligger i samma plan genom  så skär de också varandra i samma punkt på skärningslinjen mellan ellipsens plan och projektionsplanet ("cirkelns plan") och sålunda delar både linjeknippet : och linjeknippet  skärningslinjen i samma dubbelförhållande. Detta illustreras i figur 10. På samma sätt delas skärningslinjen av linjer från  och , men i andra punkter, i samma dubbelförhållande (dessa linjer är ej utritade i figuren).

På samma sätt definieras (och fungerar) dubbelförhållanden för parabler och hyperbler. Notera dock att eftersom parabler och hyperbler är öppna kurvor så måste cirkeln ligga i oändligheten för att få en fullständig bijektion mellan punkter på cirkeln och parabeln/hyperbeln (parabeln har en punkt på oändligt avstånd från , hyperbeln två). Detta saknar dock i princip betydelse eftersom dubbelförhållanden för kägelsnitt handlar om vinklar och förhållanden vilka inte påverkas av absoluta längdbelopp.

Fotogrammetriska beräkningar - exempel

Storleken på en fotbollsplan
Figur 11 visar ett foto av Friends Arena med uppmätta avstånd i bilden angivna i pixlar. Storleken på målområdet och straffområdet är definierade av FIFA, men planens storlek får variera (bredd 60-90 m, längd 90-120 m - se artikeln Spelplanen (fotboll)).
För beräkning av bredden använder vi dubbelförhållandet (vi bryr oss inte om sträckornas riktning utan använder bara beloppet):
 
om vi använder måtten (i pixlar) i bilden. Enligt FIFA:s regler skall detta motsvara nedanstående dubbelförhållande mätt i meter, med det obekanta avståndet från straffområdet till sidlinjen :
. Vi får alltså:

Bredden är således lika med .

För längden  väljer vi (eftersom beräkningarna blir enkla då det är lika långt till mittlinjen från de båda kortlinjerna) - i pixlar:

Vilket ger i meter (med ett 16,5 meter djupt straffområde ):

Planen är enligt uppgift 68 gånger 105 meter (men detta är inte angivet med decimeternoggrannhet), så ett fel på bara en halv procent med tre "pixelmätningar" för beräkning av vardera längd och bredd är inte så illa, speciellt inte med tanke på att det är kritade linjer (och en centimeter i fel för straffområdets djup, utprojicerat till sidlinjen, gör en decimeter på hela planens längd - och är det innerkanten eller ytterkanten på linjen som räknas?). Ej heller har det kompenserats för distortionseffekterna i kameraoptiken, något som måste göras för noggranna fotogrammetriska mätningar.

En projektion med en flyktpunkt

Om vi i exemplet ovan med fotbollsplanen hade dragit ut planens sidolinjer bortåt i bilden så hade dessa mötts i en punkt, detsamma hade kortlinjerna gjort om vi dragit ut dem till vänster. Denna punkt kallas flyktpunkt och är egentligen en punkt i oändligheten, men som på grund av projektionen avbildas som en punkt i bilden. Denna punkt kan också användas vid beräkningar och detta exemplifieras av figur 12 som är ett foto av en gata med ett hus med känd bredd.

Husgaveln med den röda markisen är 7 meter bred (). I flyktpunkten  möts parallella linjer längs gatan. Vi beräknar avståndet från  till det vita huset vid punkten  med dubbelförhållandet (A,B;C,V) - och använder bara beloppen och struntar i riktningen. I bilden har vi, mätt i "fiktiva bildpixlar" (30 px som anges i bilden är snarare 490 px):

I verkligheten ligger  i oändligheten och vi har (se avsnittet Oändlighetspunkter ovan) i meter:

Fyra  kända punkter och en okänd i ett plan

Figur 13 illustrerar ett plan med fyra röda punkter, , vars lägen är kända - vi kallar detta plan för "kartan". På en avbildning av planet, kanske ett flygfoto - som vi kallar "bilden" - finns dessutom en femte (blå) punkt . Var på kartan ligger den? Vi drar (exempelvis, men lämpligtvis i det här fallet) linjerna  och  (röda) så att de skär varandra (tre av de kända punkterna får inte ligga på samma linje) i punkten . Vi drar också linjer (blå) från  till den ena ändpukten på vardera av de röda linjerna, så att vi får två skärningspunkter  och . Vi väljer linjerna  och  eftersom skärningspunkterna finns i bilden. Vi mäter därefter ut de sju punkternas lägen (alla utom , som inte behövs i de kommande beräkningarna!) i bilden och beräknar ett dubbelförhållande för vardera av de röda linjerna, exempelvis  och . Vi tar med våra uträknade dubbelförhållanden till kartan, beräknar var  och  ligger och konstruerar (eller beräknar) linjerna  och . I skärningspunkten mellan dessa båda linjer ligger vår okända punkt .

En boll på fotbollsplanen?
Om det funnits en boll på fotot av Friends Arena ovan (figur 11) hade vi kunnat beräkna var den låg: Dra planens diagonaler (från hörnstolpe till hörnstolpe) på bilden (dessa skär varandra i mittpunkten vilket ger oss , vilken mäts ut på de båda diagonalerna på bilden) och dra därefter linjer från bollen till hörnstolparna. Mät ut skärningspunkterna för dessa linjer med diagonalerna (i bilden), beräkna dubbelförhållanden och...

 Referenser 
 Lars-Åke Lindahl, 2004, En inledning till geometri, sid. 115–120.
 Zarathustra Elessar Brady, Cross Ratios, MIT.
 John James Milne,1911, An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes'', Cambridge University Press.

Noter 

Projektiv geometri
Affin geometri
Euklidisk geometri