Harmonisk delning

Harmonisk delning betecknar inom geometri ett avståndsförhållande mellan fyra punkter (se figur 1) belägna på en rät linje sådant att delningsförhållandena:

 alternativt 
.

Om  så är :

Att dubbelförhållandet för en harmonisk delning  framgår direkt ur definitionen.

 och  är harmoniska konjugat till varandra i förhållande till  liksom  och  är harmoniska konjugat till varandra i förhållande till 

 kan inte vara mittpunkt på  (och ej heller kan  vara lika med  eller ). (Se avsnittet Harmonisk delning och en punkt på en cirkel nedan).

De båda delningspunkterna ligger på samma sida om mittpunkten på den sträcka de delar.

Några bevis
Att , det vill säga att om  och  delar  harmoniskt, så delas även  harmoniskt av  och , visas enkelt genom:

Att  innebär att  visas nedan:
Vi har:
, vilket utnyttjas i:

, vilket utnyttjas i:

Således har vi från 1 och 3 att 
och från 2 och 4 att .

Grafisk konstruktion av en harmonisk delning

Betrakta figur 2. Om man har en given sträcka med ändpunkterna  och  samt endera av de båda delningspunkterna, antingen den inre delningspunkten  eller den yttre , kan den andra delningspunkten erhållas på ett flertal sätt. Nedan beskrivs ett av de enklare sätten:

Dra en godtycklig linje (ljusblå i figur 2) genom  och en linje genom  (också denna ljusblå i figur 2) som är parallell med linjen genom . Avsätt en godtycklig punkt  på linjen genom  och dra en linje från  (röd) genom den givna delningspunkten. Skärningspunkten med linjen genom  ger oss punkten  om  var given eller  om det i stället var . Markera nu den andra punkten  eller  på samma avstånd från  men på andra sidan om  och dra en linje (röd) genom denna punkt och . Där denna linje skär linjen genom  och  har vi den sökta delningspunkten.

Att så är fallet visas enkelt genom att konstatera att triangeln  är likformig med  och att  är likformig med . Den första likformigheten ger att  och den andra ger  och således är .

En närbesläktad metod att konstruera en harmonisk delning med ett givet delningsförhållande i form av en kvot beskrivs i avsnittet Grafisk konstruktion av ett delningsförhållande i artikeln Delningsförhållande.

En konstruktionsmetod som enbart använder en linjal (rätskiva) beskrivs i avsnittet Konstruktion av den fjärde harmoniska delningspunkten enbart med hjälp av linjal eller rätskiva av artikeln Fullständig fyrsiding. Det nedanstående avsnittet Harmonisk delning och en punkt på en cirkel ger ytterligare ett förhållande som kan utnyttjas för konstruktion (åtminstone i teorin - rent praktiskt finns det enklare sätt).

Harmonisk delning och en punkt på en cirkel

I figur 3 visas en cirkel med medelpunkten  och med diametern . För en punkt  på cirkelns omkrets gäller att dess fotpunkt  på diametern och skärningspunkten  mellan cirkelns tangent i  och diameterns förlängning delar sträckan  harmoniskt.

Bevis
 ger:
,
,
 samt
.

Om  och  delar  harmoniskt gäller:
 

Insättning av 1 till 4 ger:

Då  är likformig med  har vi att:

Insättning ger:

och således delas   harmoniskt av  och . QED!

Förhållandet innebär också att om  så är tangenten i  parallell med  och skär alltså inte  (eller, om man så vill: skärningspunkten "ligger i" plus/minus oändligheten). Härur följer också att båda delningspunkterna till en sträcka ligger på samma sida om sträckans mittpunkt. Om  eller  finns inte heller någon harmonisk delning av . 

Se även avsnittet Reciprokation och projektiv dualitet i artikeln Pol och polar för detta samband.

Referenser
 Reimund Albers, Harmonische Teilung, AG Didaktik der Mathematik, Universität Bremen

Affin geometri
Projektiv geometri