Homogena koordinater

Homogena koordinater, eller fullständigare homogena kartesiska koordinater, är en typ av koordinater som framför allt används inom projektiv och analytisk geometri. Praktisk användning förekommer främst inom datorgrafik.

Homogena koordinater kan, till skillnad från vanliga kartesiska koordinater, förutom att beteckna finita punkter även beteckna punkter i oändligheten. De homogena koordinaterna  för den finita punkten  i kartesiska koordinater definieras som:

där  kan betraktas som en skalningsfaktor. Normalt brukar man sätta  så att
.
men ur definitionen framgår att varje finit punkt kan representeras av ett oändligt antal homogena koordinater på formen  med .

Observera!
Det förekommer även att koordinaterna anges med "skalfaktorn" först (vilken då ofta kallas ). I det tvådimensionella fallet således , så att 

Om  betecknar koordinaterna en punkt i oändligheten på en linje  med  (värdet på  är oväsentligt så länge det är ändligt - alla parallella linjer har samma oändlighetspunkt). Om  så ligger oändlighetspunkten i y-axelns riktning.

,  och  kan inte alla vara noll och  saknar således innebörd. Origo representeras av , eller snarare av .

En linje  i kartesiska koordinater motsvaras i homogena koordinater av .

Taltrippeln  beskriver linjens läge och riktning och kallas linjens koordinater, dess linjekoordinater.

Ovan har tvådimensionella homogena koordinater beskrivits (att avbilda tredimensionella strukturer på ett tvådimensionellt plan är den vanligaste tillämpningen av projektiv geometri), men de kan definieras för från en till så många dimensioner man önskar. För en dimension har vi , för tre dimensioner  etcetera.

Ursprungligen avsågs med beteckningen "homogena koordinater" sådana koordinater som avsåg detsamma om man multiplicerade (eller dividerade) dem med en skalningsfaktor, så att de representerade kvotförhållanden och inte absoluta värden - exempelvis blir punkten  punkten  (som ligger dubbelt så långt från origo, som , men i samma riktning) om man multiplicerar koordinaterna med , medan punkten  förblir en och samma punkt vid multiplikation av alla koordinaterna med . Därför talar man exmpelvis även om "homogena barycentriska koordinater" och "homogena trilinjära koordinater". Jämför homogen funktion (av grad 1).

Historia
Homogena koordinater anses ofta ha införts av August Ferdinand Möbius i Der barycentrische Calkul 1827, men det Möbius införde var barycentriska koordinater, vilka i och för sig fungerar på ett liknande sätt som homogena koordinater. Homogena koordinater i striktare mening beskrevs av Julius Plücker 1835 i System der analytischen Geometrie. Punkter (och linjer) i oändligheten hade dock tidigare behandlats av Jean-Victor Poncelet i Essai sur les propriétés projectives des sections coniques 1820.

Notation
Homogena koordinater kan dels skrivas med komma som separator, men även kolon förekommer , vilket anses poängtera kvotförhållandet. Ibland används hakparenteser  för att markera mångfalden av koordinattripplar som betecknar samma punkt. Ibland används bådadera  och ibland, speciellt i äldre litteratur, används inga parenteser alls .

Homogena (kartesiska) linjekoordinater
Precis som  inte kan beskriva punkter i oändligheten, kan grundskolans och gymnasiets klassiska linjeekvation  med linjekoordinaterna  inte beskriva linjer som är parallella med y-axeln (med en oändlig riktningskoefficient och en skärningspunkt med y-axeln i oändligheten). För detta behövs en tredje linjekoordinat, vilket kan lösas med  och de motsvarande linjekoordinaterna . Då är  en linje parallell med y-axeln genom punkten , y-axeln motsvaras således av , och  en linje parallell med x-axeln genom , med  motsvarande x-axeln. Om vi även använder homogena punktkoordiater , som i  så motsvarar  linjen i oändligheten ( och  kan anta vilka värden som helst och således avses alla punkter på oändlighetslinjen).

Liksom för homogena punktkoordinater saknar  mening och liksom för homogena punktoordinater är  om .

Om  och  går linjen genom origo och har riktningskoefficienten , och om  och  skär linjen y-axeln i  och har riktningskoefficienten .

Dualitet och homogena koordinater

Se även
 Barycentriska koordinater
 Trilinjära koordinater

Referenser
 William Caspar Graustein, 1920, Introduction to Higher Geometry, kapitel III, sid. 29 ff, McMillan, New York (15:e tryckningen 1939).
 Frederick Shenstone Woods, 1864,-Higher Geometry; an Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, sid. 27 ff, Ginn and company, Boston, New York...

Externa länkar
Tom Dalling, 2014, Explaining Homogeneous Coordinates & Projective Geometry.
 Eric W. Weisstein, Homogeneous Coordinates på MathWorld.

Koordinatsystem
Projektiv geometri