Delningsförhållande

Med delningsförhållande avses inom geometri ett avståndsförhållande mellan tre punkter på en rät linje vilket definieras enligt (se Figur 1):

För de tre kollinjära punkterna A, B och T gäller att T delar den riktade sträckan  i delningsförhållandet - vanligen betecknat (A,B;T):

Andra beteckningar förekommer dock, som (T;A,B) eller μ(T;A,B),

En viktig egenskap hos delningsförhållanden är att de är invarianta under affina avbildningar och parallellprojektioner.

Värden

Värdet på delningsförhållandet beror av var på linjen punkten T ligger i förhållande till . Ligger T mellan A och B, är en inre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta positiva värden - från noll (om T=A) till oändligheten (då T närmar sig B). Ligger T utanför . är en yttre delningspunkt, kommer delningsförhållandet att anta negativa värden (då en, och endast en, av  och  kommer att vara riktad i en negativ riktning): om T ligger på samma sida om B som A kommer värdena att ligga mellan noll (då T ligger nära A) och -1 då avståndet (åt vänster i figur 1) närmar sig -∞, medan det i motsatt fall, då T ligger längre från A än från B, delningsförhållandets värde ändras från -∞ till -1 ju längre från B som punkten T ligger.

Eftersom  kan skrivas som  och  som  har vi att delningsförhållandet:

Härur följer att:

 och  där

Egenskaper

Reciprocitet
Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:
 

Bevis

Cyklisk permutation
Om A, B och C är tre kollinjära (och ej sammanfallande) punkter, gäller:
 (A,B;C)⋅(B,C;A)⋅(C,A;B) = 1

Bevis

Invarians under parallellprojektion

Betrakta figur 3. De tre punkterna A' , B'  och C'  på linjen b är parallellprojektioner av punkterna A, B respektive C på linjen a. De prickade blå linjerna genom punkterna A respektive B är parallella med linjen b. Då de gröna projektionslinjerna är  parallella medför detta att ,  och . Det vill säga att:

,  och 

Då de tre trianglarna ,  och  är likformiga, får vi att:

Vi får således att, exempelvis, delningsförhållandet

och motsvarande gäller övriga möjliga delningsförhållanden.

Permutationer
De tre punkterna kan permuteras på sex (=3!) olika sätt vilket leder till sex möjliga delningsförhållanden, vars värden beror av varandra enligt nedan:

1 är vårt valda referensförhållande. 3 och 5 erhålls enkelt genom substitutionen  (samt utnyttjande av att ). 2, 4 och 6 erhålls genom "invertering" av 1, 3 respektive 5 i enlighet med avsnittet Reciprocitet ovan.

Grafisk konstruktion av ett delningsförhållande

Om man har en linje med två punkter A och B och vill konstruera punkten T som som delar  i förhållandet m:n, det vill säga

kan man förfara enligt följande: Man drar två parallella linjer, en genom A och en genom B. På linjen genom A avsätter man en punkt A' belägen m enheter av en lämpligt vald längd från A och på linjen genom B avsätter man en punkt B'  belägen n enheter av samma längd från B - på motsatta sidan i förhållande till på linjen genom A om m:n>0 och på samma sida om m:n<0 - och förbinder dessa erhållna punkter med en rät linje. Denna linje skär linjen genom A och B i en punkt T med det önskade delningsförhållandet. (Att så är fallet visas enkelt genom att de uppkomna trianglarna AA'T och BB'T är likformiga och eftersom  så är därför även .)

Harmonisk delning
Betrakta sträckan  med en inre delningspunkt, T, vars delningsförhållande har samma belopp som en yttre delningspunkt, S, men med motsatt tecken, som i figur 4. Det vill säga att

Det vill säga att punkterna A och B på ett motsvarande sätt delar sträckan  i förhållanden med samma belopp, men med motsatt tecken. Denna relation kallas harmonisk delning och punkterna A och B säges vara harmoniskt konjugerade i förhållande till , liksom S och T är det i förhållande till .

Om  så är

Referenser

Litteratur 
 

Projektiv geometri
Affin geometri