Fullständig fyrsiding

En fullständig fyrsiding är en geometrisk figur bestående av fyra linjer ("sidor") som två och två skär varandra i sex olika punkter ("hörn"). Hörn som inte har någon gemensam sida kallas "motstående" och en linje genom två motstående hörn kallas "diagonal". Sammanlagt finns tre diagonaler och dessa skär varandra i tre "diagonalpunkter".

På varje diagonal finns således två hörn och två diagonalpunkter. Dessa ligger i ett harmoniskt delningsförhållande så att diagonalpunkterna är harmoniska konjugat till sträckan mellan hörnen och hörnen är harmoniska konjugat till sträckan mellan diagonalpunkterna.

En fullständig fyrsiding kan användas för att konstruera en harmonisk delning endast med hjälp av linjal.

Dualen till den fullständiga fyrsidingen, en fullständig fyrhörning, är en figur bestående av fyra punkter ("hörn") i vilka sammanlagt sex linjer ("sidor") skär varandra tre och tre.

Harmonisk delning
Att en diagonal delas harmoniskt av skärningspunkterna med de två andra diagonalerna samt de två hörn som diagonalen går genom visas nedan:

Betrakta triangeln  i figur 1. De tre cevianerna ,  och  skär varandra i punkten  vilket enligt Cevas sats ger:

Betrakta linjen  vilken skär sidorna på  i punkterna ,  och . Menelaos sats ger oss att:

Division av 1 med 2 ger att dubbelförhållandet :

Det vill säga att punkterna , ,  och  delar  harmoniskt.

Betrakta nu linjeknippet (,,,) genom punkten , vilket delar   harmoniskt. Men eftersom dubbelförhållanden och harmonisk delning är invarianta under centralprojektion följer att detta linjeknippe även delar diagonalen  harmoniskt i punkterna , ,  och .

Linjeknippet (,,,) genom punkten  delar också  harmoniskt och således delas den tredje diagonalen, , harmoniskt av detta linjeknippe i punkterna , ,  och .

Konstruktion av den fjärde harmoniska delningspunkten enbart med hjälp av linjal eller rätskiva

Givet: Två punkter  och  (se figur 3) samt antingen en inre delningspunkt  (som inte får vara mittpunkt på sträckan  eftersom den yttre delningspunkten då ligger i oändligheten) eller en yttre delningspunkt  på den räta linjen genom  och . Den givna delningspunkten får heller inte vara lika med  eller .

Välj en godtycklig punkt  (företrädesvis, men ej nödvändigtvis, så att dess fotpunkt på linjen genom  och  ligger mellan dessa båda punkter och närmare den av punkterna som ligger närmast den givna delningspunkten) och dra från denna räta linjer till  och . Välj därefter den godtyckliga punkten  på  eller den godtyckliga punkten  på 

Om den inre delningspunkten  är given:

Dra linjen  och därfter antingen linjen  eller linjen , beroende på om  eller  valts. vilket ger punkten  på . Dra därefter den andra av  eller  genom . Linjen genom  och  ger då  som skärningspunkt med linjen genom  och .

Om den yttre delningspunkten  är given:

Dra en linje från  till , vilket ger oss , eller till  vilket ger oss . Dra sedan linjerna  och  och kalla skärningspunkten mellan dessa för . Linjen  skär då  i den inre delningspunkten .

Att konstruktionen ger den fjärde delningspunkten framgår direkt ur förhållandet att linjerna , ,  och  bildar en fullständig fyrsiding och att ,  och  är diagonaler i denna.

Referenser

Projektiv geometri