Median (geometri)

Inom geometri betecknar median (från latin medianus, "mitterst", från medius "i mitten") en linje från ett hörn i en triangel till den motstående sidans mittpunkt. De tre medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt. Medianerna är cevianer.

Begreppet kan utsträckas till att omfatta tetraedrar.

Förhållande till tyngdpunkten
Eftersom  (se figur 1) har trianglarna  och  samma yta (deras höjd med avseende på basen  respektive  är ju densamma). Eftersom de har samma yta så har de också samma höjd, , med avseende på basen . En triangels tyngdpunkt ligger på avståndet  från basen och tyngdpunkterna för  och  ligger alltså lika långt från . Deras gemensamma tyngdpunkt (alltså tyngdpunkten för ) ligger alltså mitt emellan dessa tyngdpunkter (trianglarna har ju samma yta och därmed samma "vikt"), det vill säga på medianen .

Likaledes har vi att  och  och på samma sätt som ovan finner vi att tyngdpunkten även ligger på  och . Därmed har vi visat att triangelns medianer skär varandra i den geometriska tyngdpunkten.

Att triangelns tyngdpunkt ligger på medianen inses också om man betraktar alla sträckor från  till  som är parallella med . Deras mittpunkter (=tyngdpunkter) ligger ju alla på samma linje - medianen  - och sålunda ligger deras gemensamma tyngdpunkt också på linjen.

I figur 2 ser vi att trianglarna  och  är likformiga och eftersom  så är . Tyngdpunkten delar alltså medianen så att sträckan från tyngdpunkten till hörnet är dubbelt så lång som sträckan från tyngdpunkten till den motstående sidans mittpunkt.

Sex likstora trianglar
Eftersom en median delar en triangel (figur 1) i två delar med samma yta (se "Förhållande till tyngdpunkten" ovan), har vi att:
   (1)
   (2)
   (3)
   (4)
   (5)
   (6)

Vi har med hjälp av (1) att:
   (7)
Vi sätter in likheterna (4), (5) och (6) i (7) och får:

På samma sätt får vi från (2) respektive (3) att  och .

Sålunda har vi funnit att:
.

Medianerna delar alltså en triangel i sex likstora trianglar.

Och eftersom detta även innebär att  ger det att medianernas skärningspunkt, triangelns tyngdpunkt, har de barycentriska koordinaterna .

Medianernas längd
 
Betrakta parallellogrammen  i figur 3. Det kan delas i de två kongruenta ("identiska i allt utom plats och riktning") trianglarna  och .  delar  på mitten och vice versa. Medianens längd, som vi kan kalla , i  från hörnet  till sidan  är alltså halva . Parallellogramlagen ger oss:

och analogt:

Att summan av kvadraterna på två triangelsidor är lika med summan av halva kvadraten på den tredje sidan och dubbla kvadraten på medianen till denna kallas Apollonios sats (efter Apollonios från Perga). Exempelvis kan vi skriva om uttrycket för  som:

Summerar vi kvadraterna på dessa tre uttryck för medianlängderna finner vi att:

Vilket även ger, exempelvis:

Tetraeder

I en tetraeder går medianerna från ett hörn till den motstående sidans tyngdpunkt och de skär varandra i tetraederns tyngdpunkt. Att de gör så inses om man betraktar alla trianglar som är parallella med "bastriangelns" yta och som har sina hörn i tetraederkanterna. Dessa trianglar är ju likformiga och eftersom deras hörn sammanbinds av de rätlinjiga tetraederkanterna, så ligger också deras tyngdpunkter på samma räta linje: tetraedermedianen. Tyngdpunkten delar dock inte medianerna i förhållandet 1:2, utan 1:3. Detta förhållande kallas Commandinos sats, efter den italienske 1500-talsmatematikern Federico Commandino.

Referenser

Trianglar