Galton-Watson processen

Galton-Watson-processen är en stokastisk förgreningsprocesses som ursprungligen användes av Francis Galton och Henry William Watson under den andra halvan av 1800-talet för att undersöka hur familjenamn sprider sig genom generationer, och med vilka sannolikheter olika efternamn eventuellt dör ut. I modellen så sprids efternamn från fader till son, där spridningen beror på hur många söner mannen får under en generation. Om mannen inte får några söner alls så har efternamnet dött ut.

Galton-Watson-processen kan användas för att beskriva många andra slags företeelser där det sker förgreningar mellan individer, exempelvis inom populationsforskning och sjukdomsspridning.

Matematisk beskrivning 
Galton-Watson-processen är en Markovkedja, där storleken av en viss generation bara beror på storleken av den föregående generationen samt hur många barn som föds. Låt  beteckna antalet individer vid generation , med , det vill säga, populationen startar med en individ. Processen kan då beskrivas efter rekursionsformelndär  är en stokastisk variabel som betecknar antalet barn som individ  födde i generation , och som för alla  är fördelad efter den så kallade reproduktionsfördelningen:Varje individ ger alltså upphov till  barn med samma sannolikhet .Följden  beskriver då populationens storlek efter varje generation.

Förväntad generationsstorlek efter  generationer 
Låt  beteckna reproduktionsfördelningens väntevärde, det vill säga det genomsnittliga antalet avkommor som varje individ ger upphov till. Väntevärdet av  ges då av . Långsiktigt, då , kan vi se att det finns tre fall för den förväntade generationsstorleken:De tre fallen ,  och  benämns de subkritiska, kritiska respektive superkritiska fallen för processen. Väntevärdet  är alltså helt avgörande för populationens tillväxt och långsiktiga utseende.

Som ett exempel, antag en Galton-Watson-process vars reproduktionsfördelning ärdet vill säga att varje individ dör ut med sannolikhet  eller förgrenas till två delar med sannolikhet . Denna fördelning är en uppskalad Bernoullifördelning. Då blir , och processen är subkritisk om , kritisk om  samt superkritisk om . 

Vidare ges variansen av generationsstorlekar avSom kan ses så är variansen oändlig det i kritiska och superkritiska fallet.

Utrotningssannolikhet 
Det är möjligt att beräkna en Galton-Watson-process utrotningssannolikhet, , genom att använda sig av sannolikhetsgenererande funktioner. Låt  beteckna reproduktionsfördelningens sannolikhetsgenererande funktion, det vill sägaDå är  lika med den minsta icke-negativa lösningen till ekvationen . I det kritiska och subkritiska fallet så gäller det oavsett reproduktionsfördelningen att , det vill säga att populationen är garanterad att eventuellt dö ut. Däremot i det superkritiska fallet så kommer vi generellt att ha , så att processen fortsätter i all evighet.

Tag åter reproduktionsfördelningensom ett exempel. Denna fördelningens sannolikhetgenererande funktion är , vilket ger ekvationen , som har lösningarna  och . Mycket riktigt så är  endast när , vilket är ekvivalent med att .

För att betrakta långsiktigt beteende av Galton-Watson-processen kan det också vara relevant att betrakta upprepad applicering av sannolikhetsgenererande funktionen . Här är LF-fördelningen användbar för att få den genererande funktionen på en enklare form, särskilt efter upprepad applikation av funktionen.

Totala antalet individer 
Det totala antalet individer ges av , där  alltså betecknar antal individer i generation . För en godtycklig Galton-Watson-process så är 

där  är reproduktionsfördelningens väntevärde. Om , till exempel, så är . Notera att utrotningssannolikheten i kritiska fallet 100% men väntevärdet av totalt antal individer i kritiska fallet är oändligt. För variansen gäller följande:I det kritiska fallet är alltså både väntevärdet och variansen oändliga. Fortsättningsvis kan ett förhållande mellan den sannolikhetsgenererande funktionen  för  och reproduktionsfördelningens sannolikhetsgenererande funktionen  härledas. Vi får Genom att sätta  får vi ekvationen  att lösa för att bestämma .

Referenser 

Sannolikhetsteori
Stokastiska processer