Isogonalkonjugat

Inom triangelgeometri utgörs isogonalkonjugatet till en punkt , som inte ligger på en triangels sidor, av skärningspunkten  mellan isogonallinjerna till de tre cevianer som går genom . 

Givet en triangel  och en punkt . Genom denna punkt går tre cevianer, linjer genom vardera av de tre hörnen. Genom att spegla vardera av dessa tre linjer i bisektrisen till det hörn respektive linje går genom erhålles tre nya linjer. Dessa linjer är "isogonala" till linjerna som går genom , det vill säga de bildar samma vinkel mot bisektrisen. Dessa tre isogonallinjer skär varandra i  som är det isogonla konjugatet till .  är samtidigt isogonalkonjugat till , eftersom man genom att upprepa proceduren kommer tillbaka till utgångspunkten. 

Alla punkter som inte ligger på någon av triangelns sidor (eller förlängningar av dessa) har ett isogonalt konjugat. I fyra fall sammanfaller dock  med : medelpunkterna i triangelns inskrivna cirkel och de tre vidskrivna cirklarna. För punkter på den omskrivna cirkeln ligger det isogonala konjugatet i en punkt i oändligheten och de parallella isogonallinjerna är vinkelräta mot Simsons linje.

Det isogonala konjugatet till den omskrivna cirkelns medelpunkt är ortocentrum (höjdernas skärningspunkt), och vice versa. Det isogonala konjugatet till tyngdpunkten (medianernas skärningspunkt) är, per definition, symmedianernas skärningspunkt, symmedianpunkten, och vice versa. Första och andra Brocardpunkterna är varandras isogonalkonjugat.

Anledningen till att isogonalkonjugatet inte är definierat för punkter på triangelsidorna eller deras förlängningar är att alla punkter på en sida (hörnpunkterna undantagna) avbildas i motstående hörn och hörnpunkternas "konjugat" utgörs på samma sätt av hela den motstående sidan och dess förlängning. Det finns alltså ingen bijektivitet.

Punkter på den omskrivna cirkeln

Om  ligger på den  omskrivna cirkeln till , låt säga mellan  och  som i figur 2, så bildar  en cyklisk fyrhörning. Eftersom vinkelsumman av motstående hörn i en cyklisk fyrhörning är lika med  så har vi alltså att . men  är även lika med vinkeln mellan  och isogonallinjen genom  och på samma sätt är  lika med vinkeln mellan  och isogonallinjen genom  och sålunda är vinkeln mellan dessa isogonallinjer också  och alltså är de parallella. 

Vi ser också att  (randvinkelsatsen: två trianglar med den gemesamma sidan ). Sålunda är  vilket (tillsammans med föregående uttryck) ger oss att .  bildar alltså vinkeln  mot . Detta medför att isogonallinjen till  genom  bildar vinkeln  mot . Men detta gör ju även isogonallinjen genom  och sålunda är alla tre isogonallinjerna parallella.

Det isogonala konjugatet ligger alltså i en punkt i oändligheten. Det omvända resonemanget gäller också: om en punkt ligger i oändligheten kommer dess cevianer genom triangelhörnen att vara parallella och sålunda ligger isogonalkonjugatet på den omskrivna cirkeln. 

Linjerna till punkten i oändligheten är vinkelräta mot Simsons linje.
Bevis
Se figur 2b. Simsons linje (grön) går genom fotpunkterna ( och ;  är ej utritad) till  på triangelns sidor. Vinklarna  och  är båda räta och ligger därför på en cirkel med  som diameter. Fyrhörningen  är således cyklisk. Beteckna skärningspunkten mellan Simsons linje och den nedre röda linjen till punkten i oändligheten genom  med . Vinkeln  är lika med vinkeln  eftersom båda ligger på den omskrivna cirkeln till fyrhörningen och båda spänner över . Vi har vidare att  eftersom  ligger på isogonallinjen till . Sålunda finner vi att trianglarna  och  är likformiga. Eftersom vinkeln  är rät är därför även  rät och isogonallinjen är alltså vinkelrät mot Simsons linje.

Vi noterar också att vi har en bijektivitet - riktningen på isogonallinjerna bestäms av var punkten  ligger på cirkelns omkrets och vice versa ( och  ändras kontinuerligt allteftersom vi flyttar punkten längs cirkeln).

Existens, en fundamentalsats och trilinjära koordinater

Att varje punkt som inte ligger på en sida har ett isogonalkonjugat är en följd av följande fundamentala sats (figur 3).
För en punkt  på linjen  och en godtycklig punkt  på den mot  isogonala linjen  i förhållande till triangelhörnet  i  gäller

  (1)

där , ,  och  betecknar fotpunkterna till  respektive  på triangelsidorna  och .
Bevis
Betrakta fyrhörningarna  och . Hörnvinklarna i  och  respektive  och  är räta, hörnvinklarna i  är lika och sålunda är även hörnvinklarna i  och  lika. Fyrhörningarna är alltså likformiga, men spegelvända, och alltså gäller vår inversa likhet.

Om vi nu betraktar cevianen från  genom  så kan vi konstatera att dess isogonallinje måste skära  eller vara parallell med . Om den skär  kan vi placera punkten  i denna skärningspunkt. Förhållandet (1) gäller såklart fortfarande, men nu ger vår "fundamentalsats" det nya förhållandet

  (2)

Vi multiplicerar (1) och (2) och får

vilket visar att  även ligger på isogonallinjen till  och vi har härigenom visat att de tre isogonallinjerna till de tre cevianerna till  skär varandra i samma punkt i det fall isogonallinjerna inte är parallella. Fallet med parallella isogonallinjer behandlas under punkter på den omskrivna cirkeln ovan.

Ur det ovanstående får vi en mer generellt formulerad "fundamentalsats":

Vilken ger oss (om vi påstår att alla leden är lika med ) att
,       och   

Vilket innebär att om  har de trilinjära koordinaterna  så har isogonalkonjugartet till  koordinaterna .

Fotpunktscirkel och fotpunktstrianglar

Fotpunktscirklarna till en punkt och till dess isogonalkonjugat sammanfaller.
Bevis
Betrakta fyrhörningarna  och  i figur 3. Hörnvinklarna i  och  respektive  och  är räta, hörnvinklarna i  är lika och sålunda är även hörnvinklarna i  och  lika. Fyrhörningarna är alltså likformiga, men spegelvända. Vinkeln  är sålunda lika med  vilket innebär att summan av   och  är lika med . Dessa vinklar utgör motstående hörn i fyrhörningen  och eftersom deras summa är  är fyrhörningen cyklisk och punkterna ligger alltså på samma cirkel.  och  är kordor i denna cirkel och deras mittpunktsnormaler skär varandra i cirkelns medelpunkt, vilken man enkelt konstaterar sammanfaller med mittpunkten på . På samma sätt visas att även  och  ligger på denna cirkel, och beviset är klart.

Fotpunktstriangelns sidor till en punkt skärs vardera av en av isogonallinjerna till isogonalkonjugatet i rät vinkel. Närmare bestämt förenas de två sidorna av  på vilka de två fotpunkterna ligger i det hörn genom vilken isogonallinjen i fråga löper. I figur 3 utgör  en sida i fotpunktstriangeln till .  ligger på ,  ligger på  och dessa linjer förenas i . Isogonallinjen  skär alltså  i rät vinkel (i punkten ).
Bevis
Eftersom summan av  och  är lika med  (båda är ju räta) är fyrhörningen  cyklisk. Vinklarna  och  är sålunda lika eftersom de spänner över samma korda. Även vinklarna  och  är lika, vilket innebär att den tredje vinkeln i  måste vara lika med den tredje vinkeln i .  är rät och således är vinkeln  också rät.

Eftersom fotpunkterna till en punkt på triangelns omskrivna cirkel inte bildar hörn i en triangel utan ligger på en rät linje (Simsons linje) blir begreppet fotpunktscirkel lite diffust. Men eftersom isogonalkonjugatet i detta fall ligger i en oändligt avlägsen punkt kan man betrakta den räta linjen som omkretsen på en oändligt stor cirkel. Även uttalandet om fotpunktstriangeln blir diffust, eftersom triangelsidorna kollapsat till Simsons linje. Men, isogonallinjerna är, som visats i avsnittet om punkter på den omskrivna cirkeln, vinkelräta mot linjen och således mot det som kan sägas representera fotpunktstriangelns sidor.

En fundamental vinkelsats
För en triangel  och en inre punkt  med isogonalkonjugatet  gäller att . (För yttre punkter gäller satsen också men då för yttre vinklar om punkten ligger på motsatt sida om .)
Bevis
Beviset är enkelt och utnyttjar bara att vinkelsumman i en triangel är  och att summan av vinklarna till punkten respektive dess konjugat är densamma som hörnvinkeln eftersom konjugatet ligger på en isogonallinje. 
  (1)
  (2)
  (3)
(1)+(2) ger efter förenkling

och insättning av likheten i (3) ger det sökta resultatet.

Avbildningar av linjer

Alla punkter som ligger på samma cevian kommer ju självklart att avbildas på en rät isogonallinje (också den en cevian genom samma hörn). Men punkterna på en rät linje som inte går genom hörnen kommer att avbildas på ett kägelsnitt. Punkter på den omskrivna cirkeln avbildas på en punkt i oändligheten, så om den räta linjen inte skär eller tangerar den omskrivna cirkeln kommer isogonalkonjugaten av punkterna på linjen inte att "nå" oändligheten utan att ligga på en ellips. Tangerar linjen den omskrivna cirkeln har den ett isogonalkonjugat i oändligheten och då ligger konjugaten på en parabel, skär linjen cirkeln har den två konjugat i oändligheten och avbildningen blir en hyperbel. Om linjen går genom den omskrivna cirkelns medelpunkt är hyperbeln liksidig (ett exempel på en sådan liksidig hyperbel är Kiepert-hyperbeln i figuren). Kägelsnitten går genom triangelns hörn.

Referenser

Geometri
Trianglar