Girards sats

Girards sats, eller Harriot-Girards sats, är en sats inom sfärisk trigonometri som säger att ytan av en sfärisk triangel  (blå i figur 1) med hörnvinklarna ,  och  på en enhetssfär är:

Inom sfärisk geometri ger satsen att för en sfärisk triangel på en sfär med radien  är ytan:

Ytan av en triangel på en sfär med given radie avgörs alltså endast och entydigt av hörnvinklarna och dess yta bestäms av hur mycket vinkelsumman överstiger 180°. Detta vinkelöverskott kallas sfäriskt överskott eller sfärisk excess (från engelskans Spherical excess) och betecknas ofta med , sålunda:

Eftersom sfäriska polygoner låter sig uppdelas i sfäriska trianglar och polygonens vinkelsumma är lika med vinkelsumman av de ingående trianglarna gäller satsen i nedanstående något modifierade form även för en sfärisk polygon med  hörn och hörnvinklarna :

där fallet med triangeln således motsvarar  och  är vinkelsumman i en plan polygon med  hörn.

Bevis

Trianglar
Nedan bevisas satsen för  i figur 1 enligt Eulers metod.

Tre storcirklar delar in sfärens yta i åtta trianglar, vilka parvis har samma hörnvinklar, sidor och areor. I figur 1 är dessa par:
 och  med hörnvinklarna ,  och 
 och  med hörnvinklarna ,  och 
 och  med hörnvinklarna ,  och 
 och  med hörnvinklarna ,  och 
I figur 2 har dessa par givits var sin färg och ur denna figur ser vi att varje halvsfär består av en triangel ur vardera paret. Eftersom enhetssfärens yta är  så är summan av areorna för de fyra trianglarna på en halvsfär  och vi väljer för beviset de fyra med ett gemensamt hörn i , det vill säga:

Genom att lägga ihop två trianglar med en gemensam sida bildas en "biangel" som har ett hörn i vardera av två motstående poler och begränsas av två meridianer. Ytan av en sådan biangel är dubbla hörnvinkeln i endera polen, ty hela sfärens area är ju  och den andel som biangeln upptar är lika stor som den hörnvinkeln upptar av ett helt varv, det vill säga av .  ingår i tre bianglar: vardera med en av de gulmarkerade trianglarna i figur 1, med "polvinklarna" ,  respektive , sålunda

Om vi summerar dessa tre areor (och utnyttjar likheten inom parentes i den första av dem) får vi:

Vi ser här att de fyra triangelareorna i vårt uttryck för halvsfärens area finns med så vi ersätter dessa fyra med  och får:

Vilket förkortas med två och stuvas om till:

och beviset är därmed klart.

"Bianglar"
I förbigående kan noteras att formeln även gäller för "bianglar" (med ett hörn i vardera av två motstående poler på sfären och begränsade av två meridianer mellan dessa):

För diskussion, se ovan under trianglar.

Polygoner

Betrakta polygonsidan  i figur 3. Om vi lägger till triangeln  till denna sida av den -hörniga polygonen , med arean , vinkelsumman  och för vilken Girards formel gäller, får vi för vår nya polygon, med ett hörn mer, arean:

Och om formeln gäller för , så gäller den för vår nya polygon med ett hörn mer. Så, eftersom den gäller för trianglar (), så gäller den för . 

Formeln gäller även för konkava polygoner (med någon eller flera innervinklar större än 180°). I figur 4 tas triangeln  bort från . Vi får för ytan för den nya polygonen med ett hörn mer:

Historia
Satsen publicerades 1629 av den fransk/nederländske matematikern Albert Girard i Invention nouvelle En L'Algebre (inte i Trigonometrie 1626 som ofta påstås), men återfanns senare i opublicerade anteckningar från 1603 av den engelske matematikern Thomas Harriot. Ett bättre bevis publicerdes 1632 av Bonaventura Cavalieri i Directorium generale uranometricum in quo trigonomrtriae logarithmicae fundamenta<ref name=boris>Boris A. Rosenfeld, 2012, A History of Non-Euclidean Geometry, sid. 31. .</ref> och ett mycket enkelt bevis gavs 1781 i De mensura angulorum solidorum'' av Euler.

Referenser och noter

Sfärisk trigonometri
Sfärisk geometri