Trilinjära koordinater

Inom geometri betecknar (homogena) trilinjära koordinater tre tal, , vilka anger en punkts relativa riktade vinkelräta avstånd till en triangels sidor. De infördes av den tyske matematikern och fysikern Julius Plücker under 1829-1846.

De trilinjära koordinaterna  är proportionella mot de faktiska avstånden till triangelsidorna, ,  och  (figur 1), med en proportioanlitetskonstant  så att:
. Konstanten  kan vara ett godtyckligt reellt tal större än noll.  kan beräknas ur de givna koordinaterna  genom
 där  betecknar triangelns area. 
Om man anger de faktiska avstånden talar man om exakta trilinjära koordinater. Oavsett värdet på  är de trilinjära koordinaterna identiska så länge deras relativa storlek inte ändras:  är detsamma som  eller .

Är ettdera av talen i tripletten lika med noll ligger punkten på triangelsidan ifråga (avståndet till sidan är ju noll). Är två av dem lika med noll ligger punkten i det hörn i vilket de två sidorna möts. Alla tre kan självklart inte vara noll. Triangelhörnen ,  och  anges ofta som ,  respektive  (exakt  etc., där  är triangelns area).

Avstånden är riktade, vilket innebär att för alla punkter på "rätt" sida av triangelsidan har koordinaten i fråga ett positivt värde, medan den för punkter på "fel" sida har ett negativt värde. Är alla tre koordinaterna positiva ligger punkten inom triangeln, annars utanför. Alla tre koordinaterna kan inte vara negativa - någon av dem måste vara större än noll.

Förhållande till barycentriska koordinater
En punkt med de trilinjära koordinaterna  har de barycentriska koordinaterna .

Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna  de trilinjära koodinaterna .

De homogena barycentriska koordinaterna  motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna .

Bevis
De barycentriska koordinaterna för punkten  är enligt definition 
Om  är homogena är de alltså lika med , och omvänt är de exakta trilinjära koordinaterna .

Trilinjära koordinater för utvalda punkter
Om en punkt har de trilinjära koordinaterna  så har punktens isogonalkonjugat de trilinjära koordinaterna . 

Den inskrivna cirkelns medelpunkt har ju samma avstånd (dess radie ) till triangelsidorna och har därför de trilinjära koordinaaterna  (eller exakt ). De vidskrivna cirklarna till ,  och  har av samma skäl koordinaterna , respektive  (exakt  etc.).

Triangelns tyngdpunkt (medianernas skärningspunkt) har de barycentriska koordinaterna  och har därför de trilinjära koordinaterna  eller . 

Symmedianpunkten är isogonalkonjugat till triangelns tyngdpunkt och har därför de trilinjära koordinaterna , eller via sinussatsen, 

Den omskrivna cirkelns medelpunkt har koordinaterna  och ortocentrum, som är medelpunktens isogonalkonjugat, har alltså därför koordinaterna .

Mittpunkten på en triangelsida, exempelvis  har koordinaterna  (exakt , där  betecknar triangelns area).

De exakta trilinjära koordinaterna för fotpunkten till höjden från exempelvis  till  är . De trilinjära koordinaterna kan alltså anges som .

Se även
 Homogena koordinater

Referenser
William Allen Whitworth, 1866, Trilinear coordinates and other methods of modern analytical geometry of two dimensions, Cambridge University Press.

Geometri
Koordinatsystem