Polär triangel

Den polära triangeln  i figur 1 är en dual till den sfäriska triangeln . Om två av hörnen i  ligger på en "ekvator" till sfären så är den av de två "polerna" som ligger på samma sida om ekvatorsplanet som det tredje hörnet i  ett hörn i .

Om  är den polära triangeln till , så är  den polära triangeln till .

Notera att sidlängderna för sfäriska trianglar uttrycks i radianer. För att omvandla till längdmått får man alltså multiplicera med sfärens radie.

En viktig egenskap hos den polära triangeln är den polära dualitetssatsen som säger att supplementvinklarna till den ena triangelns sidor är lika med den andra triangelns hörnvinklar. Sålunda gäller för hörn och vinklar i  (beteckningar enligt figur 2):.
 
och motsvarande för .

Konstruktion
Hörnen i den polära triangeln konstrueras på följande sätt, nedan exemplifierat av hörnet .

Dra normalen genom sfärens origo, , till det plan som definieras av  och  (och innehåller sidan  i ). Hörnet  är den av normalens skärningspunkter med sfärens yta som ligger på samma sida om planet som .

Den polära triangelns båda övriga hörn  och  konstrueras på motsvarande sätt genom normalerna till storcirkelplanen innehållande  respektive .

Egenskaper

Den polära triangeln  är en dual till  i bland annat meningen att  är den polära triangeln till .

Bevis
 är vinkelrät mot både  ( är ju normalen till planet ) och  ( är ju normalen till planet ). Således utgör  normalen genom origo till planet  och  ligger på samma sida om planet som  eftersom vinkeln  är mindre än 90° (  valdes ju som den skärningspunkt som ligger ju på samma sida om planet  som  och vinkeln kan därför inte överstiga 90°). Att samma sak gäller övriga hörn i  visas analogt.

En sfärisk triangel med alla sidor (och därmed alla hörnvinklar) lika med  är självdual, det vill säga att dess polära triangel är identisk med triangeln själv.

Bevis
 är vikelrät mot planet  eftersom den är vinkelrät mot både  och .  har också sin fotpunkt i origo. Detta är exakt de egenskaper som  skall ha och alltså är  eftersom de har samma riktning (båda ligger ju på samma sida om planet ). Detsamma gäller såklart de båda övriga polparen  och .

Om den storcirkel i vilken en sida i den ena triangeln ingår utgör "ekvator" på sfären, utgör det motsvarande motstående hörnet i den andra triangeln en av polerna.

Exempel
 är pol på sfären om , storcirkelbågen från  till , ingår i ekvatorn eftersom  är normalen genom origo till planet . På samma sätt är  en pol till sfären om  ingår i ekvatorn.

Eftersom meridianer (storcirklar som går genom en pol) skär ekvatorn i rät vinkel är vinklarna i , , , ,  och  räta (figur 2). Alla storciklar genom polen bildar ju storcirkelplan som innehåller vektorn från origo till polen, vilken ju är vinkelrät mot ekvatorsplanet. Härav följer också att höjden (höjderna är gröna i figur 3) till ett hörn i en sfärisk triangel går genom den motsatta sidans pol (höjden är ju vinkelrät mot denna sida och alltså en meridian till polen). Eftersom denna storcirkel går genom en pol till vardera triangeln delar alltså de båda trianglarnas höjder storcirklar och, eftersom höjderna i en sfärisk triangel skär varandra i ortocentrum, är även ortocentrum gemensamt för båda trianglarna.

Exempel
 ligger i det plan som storcirkeln genom  och  genererar och  är vinkelrät mot ekvatorsplanet i vilket  ligger: således är vinkeln i , vinkeln mellan meridianplanet och ekvatorsplanet, rät.

Den kanske viktigaste egenskapen är att supplementvinkeln till en hörnvinkel i den ena triangeln är den motsvarande motstående sidan i den andra, det vill säga att summan av den ena triangelns sida och den andra triangelns motsvarande motstående hörnvinkel är lika med , således (beteckningar enligt figur 2):

eller, för sidor och hörn i :
 
och för sidor och hörn i :
 
Denna omständighet kallas för polära dualitetssatsen och innebär att om man har ett förhållande som gäller för hörnvinklar och sidor i en sfärisk triangel kan man byta hörnvinklarna mot supplementen till sidorna och sidorna mot supplementen till hörnvinklarna och få ett annat förhållande för den polära triangeln. Härledningen av den duala cosinussatsen för  ur att den sfäriska cosinussatsen gäller för dess polära triangel  är ett exempel på detta.

Bevis
Vi har i figur 4:
 (ekvatorn till polen  går ju genom )
 (ekvatorn till polen  går ju genom )
vilket ger:

 och  visas analogt.

Vi har också (eftersom , ty både  och  ligger ju på ekvatorn till polen ) i figur 5:
 (ekvatorn till polen  går ju genom )
 (ekvatorn till polen  går ju genom )
vilket ger:

 och  visas analogt.

Summan av radierna för en sfärisk triangels inskrivna cirkel och dess polära triangels omskrivna cirkel är lika med  och cirklarna har samma origo på sfärens yta.

Bevis
Betrakta den inskrivna cirkeln (turkos) med radien  i den blå triangeln  och den omskrivna cirkeln (orange) till den polära triangeln (röd)  i figur 6. Den inskrivna cirkelns radier till tangeringspunkterna ,  och  är vinkelräta mot cirkeln och därmed också mot respektive triangelsida. En storcirkel som är vinkelrät mot en triangelsida är en meridian som går genom polen till sidan: cirkelbågarna ,  och  är alltså samtliga meridianer och eftersom de går från respektive ekvator till dess pol har de alla längden . Vi noterar då att . Avståndet från P till de tre polerna i vilken den omskrivna cirkeln tangerar den polära triangeln är alltså lika och detta innebär att P är origo i även den omskrivna cirkeln (origo är ju den enda punkt som kan ha samma avstånd till tre olika punkter på en cirkel) och att denna cirkel har radien .

Referenser och noter
Isaac Todhunter, 1886,  Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, Macmillan & Co, sid. 10-12. Faksimil PDF (3 MB), TeX PDF (789 kB). 1883 års upplaga online på Google Books. 
Christoffer Engqvist, 2019, Sfärisk Geometri, Matematiska institutionen, Stockholms universitet, sid. 15-17.

Sfärisk trigonometri
Sfärisk geometri
Trianglar