Kuboformalismen

Kuboformalismen är en formalism som beskriver en kvantobservabels linjära respons till följd av en tidsberoende störning. Formalismen kan till exempel användas för att beräkna ett systems konduktivitet (både elektrisk och termisk) eller susceptibilitet (både elektrisk och magnetisk). Den har fått sitt namn efter den japanske fysikern Ryogo Kubo.

Kuboformeln

Respons i tidsdomänen 
Om ett system, som beskrivs av en (tidsoberoende) Hamiltonoperator , i jämvikt utsätts för en tidsberoende störning , till exempel ett externt elektriskt eller magnetiskt fält, ges förändringen i en kvantobservabels väntevärde vid tiden  av

där  är Heavisides stegfunktion,  är operatorer i växelverkansbilden,  är en kommutator och  betecknar jämviktsväntevärdet med avseende på Hamiltonoperatorn . Notera att  garanterar att den linjära responsen är kausal; kvantobservabelns väntevärde vid en viss tidpunkt kan inte påverkas av störningar vid senare tidpunkter.

Kuboformeln gäller endast om störningen är svag, det vill säga högre ordningens effekter måste vara försumbara. Om systemet utsätts för flera olika störningar, , ges den totala responsfunktionen av  eftersom störningarnas inverkan på systemet är oberoende av varandra i den linjära responsregimen.

Om ,  och  är tidsoberoende i Schrödingerbilden och det ostörda systemet är i jämvikt, det vill säga beskrivs av täthetsmatrisen  med tillståndssumman , är systemet stationärt och responsfunktionen blir följaktligen tidsinvariant:

Notera att en kvantobservabels respons i detta fall ges av en faltning mellan störningen och responsfunktionen.

Respons i frekvensdomänen 
För system som är stationära, och vars responsfunktioner därmed är tidsinvarianta, kan responsen till följd av en störning beskrivas särskilt enkelt i frekvensdomänen:

där  och  betecknar Fouriertransformen.

Härledning 
Kuboformeln kan härledas genom växelverkansbilden; nedan betecknar indexet  operatorer i växelverkansbilden. Väntevärdet för en kvantobservabel, som representeras av en operator , ges vid tiden  av

där  betecknar systemets täthetsmatris. Kuboformalismen förutsätter att störningen på systemet slås på adiabatiskt och att omgivningens inverkan på systemet kan försummas, det vill säga systemet kan ses som slutet. Detta göra att tidsutvecklingen för täthetsmatrisen ges av Liouville–von Neumann-ekvationen:

där  betecknar störningen. Den formella lösningen till Liouville–von Neumann-ekvationen ges till första ordningen (vilket är tillräckligt om störningen är svag) av

Om  betecknar tidpunkten då störningen slås på, gäller att  är väntevärdet på  för det ostörda systemet. Skillnaden i väntevärde mellan det störda och det ostörda systemet vid en viss tidpunkt , , ges nu av

där sambandet  följer av spårets cykliska egenskap. Om  erhålls

vilket är den slutgiltiga formen för Kuboformeln.

Egenskaper hos  
För att vara fysikaliskt rimlig måste responsfunktionen  vara reell. Dess Fouriertransform  behöver däremot inte vara reell, utan är i allmänhet komplex och brukar av konvention skrivas som

där  och  betecknar real- respektive imaginärdelen av responsfunktionen .

Reaktiva responsdelen  
Den reella delen  av responsen brukar kallas för den reaktiva responsdelen och kan skrivas som

Notera att det från ovanstående uttryck följer att , det vill säga den reella delen av responsfunktionen i frekvensdomänen är en jämn funktion. Den beror också symmetriskt på  och .

Absorptiva/dissipativa responsdelen  
Den imaginära delen  av responsen brukar kallas för den absorptiva eller dissipativa responsdelen och kan skrivas som

Notera att det från ovanstående uttryck följer att , det vill säga den imaginära delen av responsfunktionen i frekvensdomänen är en udda funktion. Den beror också asymmetriskt på  och . Den absorptiva eller dissipativa responsdelen är nollskild endast om responsfunktionen  inte är invariant under transformationen . Således är  direkt kopplat till tidspilen. Den beskriver hur mycket energi systemet absorberar eller dissiperar till följd av en störning.

Kramers–Kronig-relationerna 

Kausalitet innebär att responsfunktionen  måste uppfylla kravet  för . Detta får följder även för den Fouriertransformerade responsfunktionen . Relationen mellan dem ges av

Om  kan integralen utvärderas genom en konturintegral som utsträcker sig i den övre halvan av det komplexa talplanet. Eftersom  för , måste  sakna poler i den övre halvan av det komplexa talplanet.

Detta kausalitetskrav medför att  och  inte är helt oberoende av varandra. Istället är de direkt relaterade till varandra genom de så kallade Kramers–Kronig-relationerna:

där  betecknar principalvärdet av integralen.

Fluktuation-dissipationsteoremet 

Kuboformalismen är direkt kopplad till fluktuation-dissipationsteoremet, som innebär att brusspektrumet  i en viss observabel vid jämvikt är direkt relaterad till responsfunktionen:

Se även 
 Växelverkansbilden

Referenser 
 
 

Kvantfysik