Digon

Digon (från grekiska διγωνον digonon "tvåhörning", av δι- di- "två-" och γωνία gonia "hörn") eller biangel (latin bis, "två" och angulus "hörn" eller "vinkel") används ofta som beteckning för en "tvåhörning" inom sfärisk geometri, men en allmänt vedertagen svensk beteckning saknas. Även benämningen månskära, jämför engelska (spherical) lune, har använts.

Inom Euklidisk plangeometri anses en digon vara en degenererad polygon, ett linjesegment. De båda hörnvinklarna i linjesegmentets ändpunkter är lika med noll (0°) och de båda "sidorna" utgörs av segmentets båda sidor. Antalet sidor är lika med antalet hörn och formeln för vinkelsumman hos en polygon gäller tack vare denna "något krystade" definition för den plangeometriska digonen.

Digonens Schläfli-symbol är {2}.

Sfäriska digoner
En sfärisk digon definieras av två storcirklar, vilka skär varandra i två diametralt motsatta antipoder: digonens hörn. De båda hörnvinklarna är lika stora (och har samma värde som vinkeln mellan de båda storcirkelplanen). 

Digonens båda sidor har samma längd: på en enhetssfär är sidlängden lika med  och på en sfär med radien  är sidlängden 

Arean  ges av:

där  är hörnvinkeln och  är sfärens radie. Hörnvinkeln tar upp  av ett helt varv, , och digonen täcker såunda  av sfärens totala area, vilken är .

På en enhetssfär (med ) är arean:

På samma sätt är volymen  av den "klyfta" som begränsas av digonen och de båda storcirkelplanen lika med

eftersom  volymen är  av sfärens totala volym, vilken är .

"Kolunära" trianglar

Om en tredje storcirkel skär digonens sidor delas den i två sfäriska trianglar. Dessa trianglar används i en del härledningar inom sfärisk trigonometri (som Girards sats och Napiers analogier). De kallas co-lunar triangles på engelska, men saknar vedertagen beteckning på svenska. Här kallas de "kolunära trianglar" som direkt försvenskning av det engelska uttrycket.

Betrakta den kolunära triangeln (figur till höger)  till  som har sidan  och hörnen  och  gemensamma med  medan hörnet  är diametralt motsatt . Om sidlängderna för   betecknas ,  och  och hörnvinklarna ,  och  har vi:

 

Motsvarande gäller för de kolunära trianglarna  (som har sidan  gemensam) och  (som har sidan  gemensam).

Om man kan visa att en formel som gäller för sidlängderna och hörnvinklarna i  även gäller med sidlängderna och hörnvinklarna för en till  kolunär triangel har man visat att den gäller för alla de åtta trianglar som definieras av de tre storcirklarna. Dessa åtta trianglar är parvis kongruenta eftersom, exempelvis, både  och den diametralt motstående  har samma hörnvinklar och sidlängder. Tre storcirklar definierar sålunda fyra par av kongruenta trianglar på en sfärs yta, vilka representeras av vardera , ,  respektive  - det vill säga av en triangel och de tre med denna kolunära trianglarna.

Hosoeder
En tessellation av en sfär i digoner kallas hosoeder (grekiska οσόεδρο, osoedro, "mångsiding", från οσόσ osos, många). Beteckningen härstammar från den italienske astronomen och matematikern Vito Caravelli som behandlade den i tredje boken (De Hosoedris) av Archimedis theoremata 1751. Är digonerna likstora kallas hosoedern regelbunden och digonernas hörnvinklar är , där  anger antalet sidor (=digoner). Hosoederns Schläfli-symbol är {2,n}.

Referenser och noter
Spherical lune och Spherical wedge på Wolfram MathWorld.

Sfärisk geometri
Polygoner