Kvantharmonisk oscillator

En kvantharmonisk oscillator är den kvantmekaniska motsvarigheten till den klassiska fysikens harmoniska oscillator. Det är ett system vars återdrivande kraft är proportionell mot avvikelsen från jämviktsläget. Det proportionella förhållandet mellan den återdrivande kraften och avvikelsen från jämviktsläget leder till en kvadratisk potential för systemet. Eftersom en godtycklig potential kan approximeras med en kvadratisk potential kring ett stabilt jämviktsläge är den harmoniska oscillatorn en av de viktigaste modellerna inom kvantmekaniken. Det är dessutom en av få modeller som har en exakt analytisk lösning.

Endimensionell oscillator

Hamiltonoperator 

Hamiltonoperatorn  för en partikel i en endimensionell potential  ges av

där  är partikelns massa och  är rörelsemängdsoperatorn. För en harmonisk oscillator med vinkelfrekvensen  gäller att potentialen ges av , vilket tillsammans med det allmänna uttrycket för Hamiltonoperatorn ger

Den första termen i Hamiltonoperatorn motsvarar partikelns kinetiska energi medan den andra termen motsvarar den potentiella energin, som för den harmoniska oscillatorn är kvadratiskt beroende av positionen. Uttrycket för energin är precis samma som för den klassiska harmoniska oscillatorn, men till skillnad från det klassiska fallet så kommuterar inte operatorerna  och  i kvantmekaniken. Istället uppfyller de den kanoniska kommutatorrelationen

Schrödingerekvationen och tidsutveckling 
Tidsutvecklingen av ett kvantsystems tillstånd  erhålls från Schrödingerekvationen:

En särskild typ av lösning ges på formen . Ett sådant tillstånd har en väldefinierad energi  och kallas för ett egentillstånd till Hamiltonoperatorn eftersom Schrödingerekvationen reduceras till egenekvationen

.

Lösningarna till denna tidsoberoende Schrödingerekvation ger de möjliga egentillstånden och egenenergierna. Varje annat tillstånd kan beskrivas som en superposition av egentillstånd eftersom egentillstånden spänner upp hela rummet av möjliga tillstånd.

Ofta projiceras kvanttillstånden på egentillstånden  till positionsoperatorn . Detta ger partikelns vågfunktion

.

Vågfunktionen beskriver partikelns rörelse, till exempel ges sannolikhetstätheten för att partikeln befinner sig vid position  av .

Egentillstånd och egenenergier 

Genom att lösa den tidsoberoende Schrödingerekvationen med någon lämplig metod, till exempel en spektralmetod, kan egentillstånden och egenenergierna för den harmoniska oscillatorn erhållas. Egentillstånden ges av

där  betecknar de olika Hermitepolynomen som ges av

.

De tillhörande egenenergierna ges av

Detta energispektrum är intressant av tre anledningar. För det första är energierna kvantiserade, vilket innebär att bara vissa diskreta energivärden är möjliga. Detta är ett allmänt fenomen hos kvantmekaniska system med instängda partiklar.

För det andra är avståndet mellan två energinivåer konstant, vilket är en viktig skillnad från till exempel Bohrs atommodell eller en partikel i låda.

För det tredje är den lägsta möjliga energin (energin som ges av , även kallat grundtillståndet) inte lika med potentialens minimum, utan  ovan minimumet; detta kallas för nollpunktsenergi. På grund av nollpunktsenergin är positionen och rörelsemängden för oscillatorn i grundtillståndet inte fixerats så som är fallet för den klassiska oscillatorn. Detta är en följd av Heisenbergs osäkerhetsrelation som gäller för alla observabler som inte kommuterar. Nollpunktsenergin har betydande konsekvenser för kvantfältteori och kvantgravitation.

Notera att grundtillståndets sannolikhetstäthet är koncentrerad till . Detta betyder att partikeln tillbringar största delen av sin tid i botten av potentialbrunnen, vilket förväntas av ett tillstånd med låg energi. När energin ökar kommer sannolikhetstätheten att koncentreras till de klassiska ”vändpunkterna”, där den potentiella energin är samma som tillståndets energi. Detta är konsistent med den klassiska harmoniska oscillatorn där partikeln tillbringar mest tid vid vändpunkterna. Korrespondensprincipen är därmed uppfylld. Så kallade koherenta tillstånd oscillerar på ett liknande sätt som klassiska objekt, så som illustrerat i figuren; de är inte egentillstånd till Hamiltonoperatorn.

Stegoperatorer 

Metoden med stegoperatorer är ett enkelt sätt att erhålla egentillstånden och egenenergierna för den harmoniska oscillatorn. Metoden kan dessutom generaliseras till mer komplicerad problem inom kvantfältteori. Metoden bygger på användandet av stegoperatorer som definieras genom

Omvänt kan operatorerna  och  uttryckas i termer av stegoperatorerna  och  som

Det följer direkt av definitionen av  och  och den kanoniska kommutatorrelationen att

Således kan Hamiltonoperatorn för den harmoniska oscillatorn skrivas om som

där nummeroperatorn  har införts.

Om  betecknar ett egentillstånd till  med egenvärdet  så gäller att

vilket innebär att  räknar antalet kvanta,  minskar antalet kvanta med ett och  ökar antalet kvanta med ett.

Givet ett egentillstånd  kan nya egentillstånd med lägre antal kvanta erhållas genom att applicera  upprepade gånger. Till slut är antalet kvanta lika med noll, vilket motsvarar egentillståndet med egenenergi . Detta är grundtillståndet och brukar betecknas med . Om  appliceras ytterligare gånger kommer inget nytt tillstånd att erhållas, det vill säga .

Alla egentillstånd kan uttryckas i termer av grundtillståndet och :

Vågfunktionerna erhålls genom att projicera tillstånden på . För grundtillståndet gäller till exempel

Naturliga längd- och energiskalor 
Beskrivningen av kvantharmoniska oscillatorn förenklas om längd- och energiskalorna görs dimensionslösa genom att normaliseras med lämpliga enheter. Om energin mäts i enheter av  och avstånd i enheten  så blir Hamiltonoperatorn

samtidigt som egenfunktionerna och egenenergierna ges av

där  betecknar Hermitepolynomen. I vissa fall är dessa naturliga längd- och energiskalor fördelaktiga eftersom det förenklar uttrycken. I andra sammanhang kan det vara fördelaktigt att skriva ut beroendet av  explicit.

Fasrumslösningar 
I fasrumsformuleringen av kvantmekaniken kan lösningarna till den kvantharmoniska oscillatorn ges på sluten form i flera olika representationer av kvasisannolikhetsfördelningen. Den mest använda är Wigners kvasisannolikhetsfördelning är

där

och  betecknar Laguerrepolynomen. Detta exempel visar hur Hermitepolynomen och Laguerrepolynomen är relaterade till varandra genom Wigner–Weyltransformen.

N-dimensionell oscillator 
Den -dimensionella oscillatorn är en generalisering av den endimensionella. Istället för att beskriva partikelns läge med en enda koordinat  beskrivs den nu av  olika koordinater . De kanoniska kommutatorrelationerna är

Hamiltonoperatorn ges då av

Formen på Hamiltonoperatorn avslöjar att den -dimensionella harmoniska oscillatorn är exakt samma sak som  stycken oberoende harmoniska oscillatorer med samma massa  och vinkelfrekvens . Koordinaterna  kan ses som beskrivningar av  olika partiklar.

Lösningen till den -dimensionella kvantharmoniska oscillatorn kan erhållas direkt från lösningen till den endimensionella oscillatorn. Vågfunktionen ges av

Analog med endimensionella fallet definieras stegoperatorerna av

Hamiltonoperatorn ges av

Energinivåerna för systemet blir

där  betecknar antalet kvanta i den :te dimensionen.

En viktig skillnad mellan den endimensionella och den -dimensionella oscillatorn är att den -dimensionella oscillatorn har degenererade tillstånd, det vill säga flera olika tillstånd kan ha samma energi. Degenerationsgraden ges av

Notera att  oavsett , det vill säga grundtillståndet är aldrig degenererat.

Fördelningsfunktion 

Sannolikheten för att ett tillstånd är besatt av en partikel ges av en fördelningsfunktion. Vid termisk jämvikt ges fördelningsfunktionen av Planckfördelningen, vilket är ett resultat av att den kvantharmoniska oscillatorn har jämnt fördelade energinivåer med konstanta avstånd. Den storkanoniska tillståndssumman ges av

Väntevärdet för hur många partiklar som har besatt ett tillstånd ges då av

Detta samband gäller för varje energinivå och resulterar i Bose-Einstein-statistik. Om antalet partiklar inte är väldefinierat gäller att  och Planckfördelningen erhålls

Tillämpningar

Fotoner och fononer 
Den kvantharmoniska oscillatorn används bland annat för att beskriva fotoner, fononer, magnoner och andra partiklar eller kvasipartiklar.

Se även 
 Harmonisk oscillator

Källor

Externa länkar 

Kvantmodeller