Skeva linjer

Inom tredimensionell geometri betecknar skeva linjer två linjer som inte skär varandra och inte är parallella. Ett enkelt exempel på skeva linjer är två motstående kanter på en tetraeder. Två linjer som ligger i samma plan måste antingen skära varandra eller vara parallella, så skeva linjer kan bara finnas i system med tre eller fler dimensioner. Två linjer är skeva om och endast om de inte är koplanära.

Figur 1 avbldar den röda linjen  och den blå linjen . De båda linjerna är skeva, De ligger vardera i ett (unikt) plan som är parallellt med den andra linjen. De båda planen spänns upp av en av linjerna och den andra linjens riktningsvektor. Om man parallellprojicerar den ena linjen på den andra linjens plan (projektionerna är streckade i figuren), och vice versa, i normalriktningen till de båda planen, kommer linjerna att skäras av varandras avbildningar i punkterna  respektive . Linjen  (grön) är den gemensamma normalen till de båda linjerna och avståndet mellan skärningspunkterna längs denna är lika med avståndet mellan de båda planen och därmed är det också det kortaste avståndet mellan de båda linjerna.

Den gemensamma normalen

Avståndet mellan linjerna
Om linjerna skrivs på parameterform som:

där  och  är respektive linjes riktningsvektor, har vi att kryssprodukten mellan dessa, , är en normalvektor till de båda planen. Enhetsvektorn i samma riktning som  fås av:

 och  är två godtyckliga punkter, en på vardera linjen. Längden av vektorns  projektion på linjen  (eller på ) är lika med avståndet mellan planen och därigenom lika med normen av  som ju är lika med avståndet mellan de båda linjerna. Vi finner detta värde direkt genom skalärprodukten

eftersom  är en enhetsvektor.

Bestämning av skärningspunkterna

Metod 1 - skärningspunkten mellan två linjer i samma plan
Punkten  ligger på projektionen av  på planet genom . Vi har alltså två linjer i detta plan, vilka skär varandra i , således har vi:
 och

vilka kan lösas på önskat sätt.

Därefter erhålls . Ekvationen för den gemensamma normalen ges av, exempelvis, .

Metod 2 - endast skalärprodukter
Den gemensamma normalen kan även erhållas endast med hjälp av skalärprodukt.<ref>Se Lars- Åke Lindahl, 2000, Vektorgeometri och andragradsytor, sid. 25 för ett exempel.</ref> Lösningen ges genom att finna en linje mellan en punkt på vardera linjen sådan att riktningsvektorn för linjen mellan punkterna är ortogonal mot båda linjerna. Om punkterna kallas  och  innebär det att lösa systemet  och .

Metod 3 - formeln för skärningspunkten mellan en linje och ett plan

Den gemensamma normalen och dess fotpunkter på de båda linjerna kan även beräknas med nedanstående formel (se figur 2):
, där 

I figur 2 spänns det gula planet upp av  och . Vektorn  är en normalvektor till detta plan. För att härledningen förhoppningsvis blir lättare att förstå använder vi enhetsvektorn:

i  stället för .

Betrakta nu linjen genom  med riktningsvektorn . Längden för ortogonalprojektionen av  på denna linje ges av  och för ortogonalprojektionen av  av . Kvoten   ger då att om man förflyttar sig  från  så hamnar man i  och om man gör det från  så hamnar man i . Alltså har vi nu:
.

Då  har vi nu härlett formeln.

Formeln kan också visas genom att konstatera att det för alla punkter i planet som spänns upp av  och , och således även för , gäller att  eftersom  är en normalvektor till planet. För  gäller även  eftersom den ligger på . Insättning ger:

Test av skevhet
Om  är en punkt på  och  är en punkt på  och . och , så är linjerna skeva. Förhållandet innebär att  inte är koplanär med ett plan som spänns upp av  och  och således är ej heller linjerna koplanära.

Referenser

Externa länkar
 Per-Anders Svensson, Vektorgeometri för gymnasister - Räta linjens och planets ekvationer III'', sid 21-25, samt Föreläsning (video) - skeva linjer från 36:02. Fakulteten för teknik, Linnéuniversitetet.
Geometri