Komplext vektorrum

Ett komplext vektorrum har många likheter med det "vanliga" reella vektorrummet. Den största skillnaden är att skalärerna är komplexa tal. Vanliga beteckningar för reella vektorrum är  medan komplexa vektorrum ofta betecknas med . Fortfarande bygger det komplexa vektorrummet på linjära strukturer med addition och multiplikation likt det reella fast med några få skillnader. 

samt att
.

Som vi ser tillåts konstanten  vara ett komplext tal.

__INNEHÅLLSFÖRTECKNING__

Definition  

Med hjälp av addition och multiplikation definieras ett komplext vektorrum  av följande:

  gäller att 
  gäller att 
  sådant att  gäller att 
  sådant att 
  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  och  gäller att 
  gäller att 

Komplexa underrum definieras på samma sätt som reella underum.

Skalärprodukt 

Definitionen av skalärprodukt i ett komplext vektorrum är likt den för reella vektorrum.
Om
 
så är 

där 
 
är komplexkonjugatet till 

Notera att om  och  skulle tillhöra  är definitionen av skalärprodukt den samma som för reella vektorrum, ty komplexkonjugatet förändras inte om imaginärdelen av det komplexa talet är noll.

Egenskaper för skalärprodukt 
Låt  och  vara vektorer i  och  vara ett komplext tal. Då gäller följande egenskaper för skalärprodukt:

 
 
 
 
 
 

Definitionen och egenskaperna ovan är den vanligaste definition för skalärprodukt i ett komplext vektorrum. Men den kan bli mer generell genom några få symboländringar och kallas då komplex inre produkt. Ett komplext vektorrum med en komplex inre produkt kallas komplext inre produktrum eller unitärt rum.

Vektorlängd 

Definitionen av längden (eller normen) av en vektor i ett komplext rum är samma som för ett reellt rum.

Notera att  kan med hjälp av konjugatregeln skrivas som 

Därmed har vi visat egenskap nummer 5 ovan.

Matriser  

Avbildningar i komplexa vektorrum kan likt avbildningar i reella vektorrum beskrivas av matriser, till exempel som

I reella vektorrum är ortogonala och symmetriska matriser väsentliga. I komplexa vektorrum finns motsvarande matriser. Dessa kallas unitära respektive hermiteska matriser.

Unitär matris  
En komplex matris  kallas unitär om
 där 
det vill säga, A är lika med sitt komplexkonjugerade transponat.

Om  är komplexa matriser och  är ett komplext tal gäller

 
 
 
 

Vidare gäller att
en n  n matris A är unitär  A:s radvektorer (eller kolonnvektorer) är en ortogonal bas i .

Hermitesk matris 
En komplex kvadratisk matris  kallas hermitesk om

Sats 1

Om  är en hermitek matris, så är dess egenvärden reella. 

Bevis

Om  är ett egenvärde till  med tillhörande egenvektor . 

Om ekvationen  multipliceras med  så fås

Vidare framgår att

Av likheten
 
och att  är en hermitesk  matris följer att  måste vara reell.

VSB.

Det finns en liknande sats för reella vektorrum, men i det fallet måste matrisen vara symmetrisk istället för hermitesk. 

Sats 2

Om  är en  hermitesk matris så är
 egenvektorerna för motsvarande egenvärden ortogonala.
  är unitärt diagonaliserbar.

Bevis  (1)

Låt  och  vara egenvektorer till motsvarande egenvärden,  och . 

Eftersom  och  får vi följande ekvationer från matrisprodukten 

Av detta fås att

 
Eftersom .

VSB.

Notera att egenvektorerna hos en symmetrisk matris också är ortogonala mot varandra. 

Bevis (2)

Se spektralsatsen.

Referenser 

Vektorer
Linjär algebra