Båglängd

Båglängd är längden av en kroklinje, båge, mellan två givna punkter.

Beräkning av båglängd
För att bestämma båglängden en hos en (icke-linjär) kurva delar man upp kurvan i olika segment med hjälp av räta linjer. Då det är lättare att beräkna längden hos en rät linje (Pythagoras sats) än en icke-rät linje. Den allra enklaste uppdelningen som går att göra är att sätta in en rät linje mellan kurvans ändpunkter  och  och sedan med hjälp av Pythagoras beräkna linjens längd. Då fås en ganska grov uppskattning av kurvans längd, problemet här är att vi inte kollat på hur kurvan ser ut mellan dessa punkter. Kurvan skulle till exempel kunna sticka iväg en bra bit uppåt i positiv y-riktning för att sedan vid ändpunkten  vara nere på negativt y-värde.

För att kunna få med detta i beräkningen av längden delas istället kurvan upp i väldigt många korta räta linjer. Där varje rät linje har sin startpunkt och sin ändpunkt på kurvan så att de går utmed ursprungliga kurvan. Om då avståndet mellan startpunkten och ändpunkten på de små räta linjerna görs väldigt litet, fås något som liknar den ursprungliga kurvan fast med räta linjer. För att sedan få fram längden av denna nya kurva med räta linjer beräknas bara längden av alla små kurvsegment och summerar dessa.

Om nu kurvan där längden ska beräknas är linjär innebär det att den redan är en rät linje. Om det skulle göras likadant på denna som på en icke-linjär kurva skulle det inte hjälpa speciellt mycket, då uppskattningen skulle bli likadan som kurvan själv –  vilket betyder att det är mycket lättare att räkna ut båglängden hos en linjär kurva.

Visualisering

Ett enkelt exempel 

Betrakta kurvan , om vi vill uppskatta längden av den på ett givet intervall kommer vi att behöva dela upp kurvan i små segment . 
Där varje segment  fås av

.
Om vi då kollar i bild 2 är det ganska lätt att föreställa sig att om  och  är väldigt små kommer  att ligga väldigt nära den ursprungliga kurvan. Detta skulle i sådant fall bara ett av dessa segment, för att få en bra uppskattning krävs det ett godtyckligt antal av dessa segment (beror lite på hur kurvan ser ut). 
Man borde alltså kunna uppskatta hela kurvans längd med

Mer generell visualisering 
Om vi kollar på en kurva  som ges av funktionen 

Där f är en kontinuerlig funktion på det givna intervallet . Om vi studerar bild 2 och tänker oss att vi vill göra den indelningen på hela kurvan , vi vill alltså dela in intervallet  i mindre delintervall med så kallade delningspunkter 

och motsvarande punker , på kurvan.

Om vi då studerar två punkter  och  på kurvan  för . Då kan man observera att längden av kurvan mellan dessa två punkter måste vara minst lika stor som längden mellan  och  som fås genom pythagoras sats, d.v.s.
 
.

Alltså måste hela kurvan  ha en längd  som är minst lika stor som summan av längden av alla dessa små delintervall,

.

Utöver detta bör även längden av  hur nära den riktiga längden som helst med sådana summor uppskattas, om indelningarna av  är tillräckligt små.

Definition
Definitionen av längden av en båglängd är:
Om  är en kontinuerlig funktion på ett intervall , definieras längden s av kurvan  med ekvation , , genom att
,
Där  är mängden av alla summor  som kan bildas med delsningspunkter .

Här existerar  som ett reellt tal enligt supremumaxiomet, ifall mängden  är begränsad uppåt. I detta fall säger man också att kurvan  är rektifierbar. Om  inte skulle vara begränsa uppåt, tolkas definitionen så att kurvan har oändlig längd. Antag nu att  även har kontinuerlig derivata  på intervallet . Vi kan då visa att kurvan  har ändlig längd  och att den kan räknas ut med formeln

Bevis
För varje val av delningspunkter  gäller enligt medelvärdessatsen för derivator, att

med något tal  för .
Vi sätter in detta i  och får
.
Den sista summan här är en Riemannsumma för funktionen  på intervallet  och enligt en sats för Riemannsummor gäller att om finheten 

kommer motsvarande summas värde att gå mot integralen
.

Kurvor på parameterform
Om vi istället betraktar kurvan
 och , ,
där g och h är kontinuerliga funktioner på ett intervall . Så kan man på liknande sätt som ovan bevisa att längden av denna kurva uppskattas med hjälp av integralen

Exempel
Exemplen är tagna ur Analys i en variabel, Forsling, Neymark

Ej på parameterform
Beräkna längden av kurvan

.
Vi använder oss av formeln

där . Insatt i formeln får vi då

via partialbråksuppdelning fås

Parameterform
Beräkna längden av kurvan

Vi använder oss då av formeln 

där  och . Alltså är  och , om vi då sätter in detta formeln fås följande

.

Historiskt

Antiken
Under större delen av den matematiska historien ansåg man, även de främsta matematikerna att det var omöjlig att beräkna längden av en icke-rät linje. Trots att Arkimedes hade tagit fram ett sätt för att få fram arean under en kurva med exhaustionsmetoden, trodde väldigt få att det var möjligt för icke-räta kurvor att ha definierbara längder. Det var för när man använde sig av uppskattning som man började göra framsteg inom detta område. Det man gjorde var att man började rita in polygoner under kurvorna och beräknade längderna på dessa. Ju mindre man gjorde dessa polygoner och ju mer man ritade in desto bättre uppskattning av längden fick man. Till exempel lyckades Arkimedes uppskatta  till  genom att rita in en polygon med många sidor i en cirkel.

1600-talet
Innan den formella utvecklingen av matematiska analysen hade Pierre de Fermat och Hendrik van Heuraet under 1600-talet tagit fram basen för den moderna integralform som vi idag känner till. Det började med att Hendrik van Heuraet år 1659 publicerade ett bevis där han visade att problemet med att bestämma båglängden hos en kurva kunde överföras till att beräkna arean under kurvan. Som exempel hade han bestämt båglängden hos en parabel genom att först beräkna arean under kurvan.År 1660 publicerade Fermat en mer generell teori angående detta, även han hade kommit fram till samma resultat. 

Fermats metod för att bestämma båglängden byggde på hans tidigare verk angående tangenter, där han använde sig av kurvan 
.
Vars tangent i punkten  har lutningen
.
Alltså har tangentlinjen i punkten  ekvationen

.
Sedan ökade han  med ett litet tal , vilket medför att segmentet AC (bild 3) blir en relativt bra uppskattning av kurvans längd från A till D. För att då finna längden av segmentet AC använde han sig av Pythagoras sats 
. 
När man då tar kvadratroten ur detta får man 
.
För att då uppskatta kurvans båglängd adderade Fermat flera korta segment och på så sätt fick han en relativt bra uppskattning av längden.

Källor 

 Farouki, Rida T. (1999). Curves from motion, motion from curves. In P-J. Laurent, P. Sablonniere, and L. L. Schumaker (Eds.), Curve and Surface Design: Saint-Malo 1999, pp. 63–90, Vanderbilt Univ. Press. .

Externa länkar 
 
 Math Before Calculus
 The History of Curvature
 
 Båglängd ab Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007
 Famous Curves Index The MacTutor History of Mathematics archive
 Båglängdsapproximation av Chad Pierson, Josh Fritz och Angela Sharp, The Wolfram Demonstrations Project
 Längd av en kurva-experiment

Integrationsteori
Kurvor