Weierstrass elliptiska funktion

Inom matematiken är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion uppkallad efter Karl Weierstrass. Funktionen betecknas vanligen med .
Symbolen för Weierstrass -funktion

Definition 

Weierstrass elliptiska funktion kan definieras på tre nära relaterade sätt. Den första definitionen är som en funktion av en komplex variabel z och ett gitter Λ i övre planhalvan.  En annan definition är med hjälp av z och två komplexa tal ω1 och ω2 som genererar och utgör ett periodpar för gittret. Den tredje definitionen är med hjälp av z och ett  komplext tal τ i övre planhalvan. Den här är relaterad till den förra definitionen enligt τ = ω2/ω1. Då bildar Weierstrass funktion för fixerat z en modulär funktion av τ. 

Med hjälp av perioderna är Weierstrass elliptiska funktion en elliptisk funktion med perioder ω1 och ω2 definierad som

Då är  punkterna vid periodgittret, så att

för ett godtyckligt par av generatorer av gittret definierar Weierstrass -funktion en funktion av en komplex variabel och ett gitter.

Om  är ett komplext tal i övre planhalvan är

Summan ovan är homogen av grad minus två, från vilket vi kan definiera -funktion för ett godtyckligt periodpar som

Weierstrass -funktion kan beräknas väldigt snabbt med hjälp av thetafunktioner enligt formeln

Invarianterna

I en omgivning av origo är Laurentserien av  

där

Talen g2 och g3 är kända som invarianterna. Summorna efter koefficienterna 60 och 140 är de två första Eisensteinserierna, som är modulära former då de betraktas som funktioner G4(τ) respektive G6(τ)) av τ = ω2/ω1 med Im(τ) > 0. 

Notera att g2 och g3 är homogena funktioner av grader −4 och −6; i andra ord,

Därför skrivs vanligen  och  med hjälp av periodkvotet  där  antas vara i övre planhalvan som  och .

Fourierserien av  and  kan skrivas med hjälp av variabeln  som

där  är sigmafunktionen. Denna formel kan skrivas med hjälp av Lambertserier.

Invarianterna kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner. Denna metod är väldigt användbar för numeriska räkningar emedan thetafunktionernas serier konvergerar väldigt snabbt. I beteckningen av Abramowitz och Stegun, men genom att beteckna de primitiva halvperioderna med , satisfierar invarianterna

där

och  är periodkvotet,  och  och  är alternativa beteckningar.

Differentialekvation
Weierstrass funktion satisfierar differentialekvationen

Integralekvation
Weierstrass elliptiska funktion kan ges som inversen av en elliptisk integral. Låt

där g2 och g3 ses som konstanter. Då är

Detta följer direkt genom att integrera differentialekvationen.

Konstanterna e1, e2 och e3
Betrakta tredjegradsekvationen 4t3 − g2t − g3 = 0 med rötterna e1, e2 och e3. Dess diskriminant är 16 gånger den modulära diskriminanten Δ = g23 − 27g32. Om den inte är noll är alla dessa rötter skilda. Eftersom den kvadratiska termen av detta kubiska polynom är noll är rötterna relaterade enligt ekvationen

De linjära och konstanta koefficienterna (g2 och g3) är relatrede till rötterna enligt ekvationerna (se elementära symmetriska polynom). 
 

Rötterna e1, e2 och e3 av ekvationen  beror på τ och kan skrivas med hjälp av Jacobis thetafunktioner.Som tidigare, låt

då är

Eftersom  och  kan även dessa skrivas med hjälp av thetafunktioner. I förenklad form är

I fallet av reella invarianter bestämmer tecknet av Δ = g23 − 27g32 naturen av rötterna. Om  är alla tre rötterna reella och det är konventionellt att namge dem så att . Om  är det konventionellt att skriva  (där , ), av vilket  följer, och  är rellt och icke-negativt.

Halvperioderna ω1/2 and ω2/2 av Weierstrass elliptiska funktion är relaterade till rötterna enligt

där . Eftersom kvadraten av derivatan av Weierstrass elliptiska funktion är lika med den kubiska funktionen ovan av funktionens värde är  för . Om igen funktionens värde är lika med en rot av polynomet är derivatan lika med noll.

Om g2 och g3 är reella och Δ > 0 är ei alla reella, och  är rell vid randen av rektangeln med hörnen 0, ω3, ω1 + ω3 och ω1. Om rötterna ordnas såsom ovan (e1 > e2 > e3) är första halvperioden reell:

emedan den tredje halvperioden är rent imginär:

Additionformler

Weierstrass elliptiska funktion satisfierar flera intressanta identiteter:

(en symmetrik version är

där u + v + w = 0).

Den satisfierar även

och

bara 2z inte är en period.

Referenser

Noter

Källor
 
 
 N. I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island 
 Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York  (See chapter 1.)
 K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag 
 Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republished in English translation as Theory of Functions (1996), Dover 
 Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, 
 
 E.T. Whittaker och G.N. Watson,  A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, chapters 20 and 21

Externa länkar 
 
 
 Weierstrass elliptiska funktion på MathWorld 
 Elliptiska funktioner, Hans Lundmarks sida för komplex analys 

Elliptiska funktioner
Modulära former
Algebraiska kurvor