Eisensteinserie

Inom matematiken är en Eisensteinserie, uppkallad efter den tyska matematikern Gotthold Eisenstein, vissa modulära former med oändliga serieexpansioner som kan skrivas ner direkt. Även om de ursprungligen definierades för den modulära gruppen kan de generaliseras i teorin av automorfiska former.

Eisensteinserien för modulära gruppen

Låt τ vara ett komplext tal med strikt positiv imaginär del. Den analytiska Eisensteinserien G2k(τ) av vikt 2k, där k ≥ 2 är ett heltal, definieras som 

Denna serie konvergerar absolut mot en analytisk funktion av τ i övre planhalvan och dess Fourierexpansion given nedan bevisar att den kan fortsättas till en analytisk funktion vid τ = i∞. Den är anmärkningsvärt att Eisensteinserien är en modulär form. Den är invariant under gruppen SL(2, Z); mer explcit, om a, b, c d ∈ Z och ad−bc = 1 är

och G2k är härmed en modulär from av vikt 2k. Notera att det är viktigt att anta att k ≥ 2emedan man annars inte kan byta ordningen av summeringen, och SL(2, Z)-invariansen skulle inte nödvändigtvis gälla. Faktiskt finns det inga otriviala modulära former av vikt 2. Dock kan man definiera en analogi av analytiska Eisensteinserien för k = 1, men det resulterar enbart i en kvasimodulär form.

Relation till modulära invarianter
Modulära invarianterna g2 och g3 av en elliptisk kurva kan uttryckas med hjälp av Eisensteinserier som

Differensekvation
En godtycklig analytisk modulär form för modulära gruppen kan skrivas som ett polynom i G4 och G6. Speciellt kan Eisensteinserierna G2k av högre ordning skrivas med hjälp av G4 och G6 genom en differensekvation. Låt dk =(2k+3)k!G2k+4. Då satsisfierar koefficienterna dk relationen 

 

för alla n ≥ 0. Här är  en binomialkoefficient och  och .

Koefficienterna dk förekommer i serieexpansionen av Weierstrass elliptiska funktion:

Fourierserie

Definiera  (några äldre böcker definierar istället , men beteckningen  är numera standard inom talteori). Då är Fourierserien av Eisensteinserie

där koefficienterna c2k ges av

Här betecknar Bn Bernoullitalen, ζ(z) är Riemanns zetafunktion och σp(n) is the sigmafunktionen, summan av p:te potenserna av delarna av n. Speciellt är

Summan kan skrivas som en Lambertserie; ekvationen 

gäller för alla komplexa |q| ≤ 1 och a. Då man arbetar med q-expansionen av Eisensteinserien används ofta den alternativa beteckningen

Identiteter med Eisensteinserier

Som thetafunktioner

Givet , låt

och definiera

där  och  är alternativa beteckningar för Jacobis thetafunktioner. Då är

av vilket ett uttrtyck relaterat till modulära diskriminanten följer:

  

Emedan  och  leder detta även till

Produkter av Eisensteinserier
Eisensteinserier är de mest explicita exempel av modulära former för den fulla modulära gruppen SL(2, Z). Eftersom rummet av modulära former av vikt 2k har dimension 1 för 2k = 4, 6, 8, 10, 14 måste olika produkter av Eisensteinserier med ovannämnda vikter vara konstanta multiplar av varann. Exempel på detta är

Genom att använda q-expansionerna av Eisensteinserierna beskrivna ovan kan dessa formler skrivas som identiteter med sigmafunktionen:

 

och härmed

och likadant med de andra. Ännu mer intressantare är thetafunktionen av ett åttadimensionellt jämnt unimodulärt gitter Γ är en modulär form av vikt 4 för den fulla modulära gruppen, vilket ger följande identitet:

för antalet rΓ(n) vektorer av kvadrerad längd 2n i E8-gittret.   

Likadana tekniker med analytiska Eisensteinserier böjda av en Dirichletkaraktär ger formler för antalet representationer av ett positivt heltal n som summan av två, fyra eller åtta kvadrater med hjälp av delarna av n.

Genom att använda differensekvationen ovan kan alla E2k av högre ordning skrivas som polynom i E4 och E6. Exempelvis är

Många relationer mellan produkter av Eisensteinserier kan skrivas i elegant form genom att  använda Hankeldeterminanter, exempelvis Garvans identitet

 

där

 

är den modulära diskriminanten.

Ramanujans identiteter 
Srinivasa Aiyangar Ramanujan gav flera intressanta identiteter mellan de första Eisensteinserierna och deras derivator. Låt

Då är

Ur dessa identiteter följer aritmetiska identiteter med sigmafunktionen. För att skriva dessa identiteter i sin enklaste form utvidgar vi, efter Ramanujan, domänen av σp(n) även till noll genom att definiera

    T.ex.

Då gäller exempelvis

  

Andra identiteter av denna typ, dock inte direkt relaterade till relationerna ovan mellan funktionerna L, M och N, har bevisats av Ramanujan och Melfi, exempelvis

Se även
 Reell analytisk Eisensteinserie
 Klingens Eisensteinserie
 Siegels Eisensteinserie

Källor 
 
 Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island 
 Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York 
 Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI  (See chapter 3)
 Serre, Jean-Pierre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.

Fotnoter

Matematiska serier
Modulära former
Analytisk talteori
Fraktaler