Primtalsfunktionen

Primtalsfunktionen är en viktig funktion inom talteori som definieras som antalet primtal mindre eller lika stora som ett tal x. Denna funktion betecknas vanligtvis som π(x) (utan någon koppling till talet π).

Historia 

På 1700-talet upptäckte Gauss och Legendre att

är en bra approximation för primtalsfunktionen; mer specifikt,

Det här är känt som primtalssatsen; den bevisades i slutet av 1800-talet. Feltermen i approximationen har undersökts mycket och ett starkt resultat säger att

där li(x) betecknar den logaritmiska integralfunktionen

Tabell av π(x), x / ln x och li(x)

Tabellen visar de tre funktionerna π(x), x / ln x och li(x) vid potenser av 10. Se även  och.
{| class="wikitable" style="text-align: right"
! x 
! π(x)
! π(x) − x / ln x
! li(x) − π(x)
! x / π(x)
|-
| 10
| 4
| −0.3
| 2.2
| 2.500
|-
| 102
| 25
| 3.3
| 5.1
| 4.000
|-
| 103
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|-
| 104
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
|-
| 105
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
|-
| 106
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.740
|-
| 107
| 664,579
| 44,158
| 339
| 15.047
|-
| 108
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
|-
| 109
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
|-
| 1010
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
|-
| 1011
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
|-
| 1012
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
|-
| 1013
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
|-
| 1014
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
|-
| 1015
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
|-
| 1016
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 3,214,632
| 35.812
|-
| 1017
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,281
| 7,956,589
| 38.116
|-
| 1018
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
|-
| 1019
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,960
| 99,877,775
| 42.725
|-
| 1020
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,701
| 222,744,644
| 45.028
|-
| 1021
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
|-
| 1022
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
|-
| 1023
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
|-
| 1024
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
|-
| 1025
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
|}

I Nätuppslagsverket över heltalsföljder är π(x) följden  , π(x) - x / ln x är följden  och li(x) − π(x) är följden. Värdet på π(1024) räknades ursprungligen av J. Buethe, J. Franke, A. Jost och T. Kleinjung under antagandet av Riemannhypotesen. Den har sedan dess kontrollerats oberoende av Riemannhypotesen av D. J. Platt.

Olikheter 
 för x ≥ 17.

Olikheten till vänster gäller för x ≥ 17 och olikheten till höger för x > 1.

 för n ≥ 6.

En olikhet av Pierre Dusart är

Första olikheten gäller för alla x ≥ 599 och andra för alla x ≥ 355991.

Littlewoods sats 
1914 bevisade John Littlewood att det finns godtyckligt stora värden på x för vilka

och godtyckligt stora värden på x för vilka

Av det följer att differensen π(x) − Li(x) byter tecken oändligt ofta.

Riemannhypotesen 

Riemannhypotesen är ekvivalent med att

Källor 
 

Aritmetiska funktioner
Analytisk talteori