Rotationsyta

En rotationsyta är den yta som uppkommer då en kurva roterar kring en annan kurva eller linje.

Satser

Rotationsarea för en funktion y1(x)  vid vertikal rotation kring en horisontell linje y = c

Låt y1(x) vara definierad i ett intervall , då varje y, givet av y1(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om  inom intervallet ges den rotationsyta som uppstår då y1(x) roterar kring  inom intervallet av

Rotationsarea för en funktion y(x) vid horisontal rotation kring en vertikal linje x = c

Låt y(x) vara definierad i ett intervall , då varje y, givet av y(x) inom intervallet, ligger helt på en och samma sida om en horisontell linje  ges den rotationsyta som uppstår då y(x) roterar kring  inom intervallet av

Bevis

Rotationsarea för vertikal rotation

Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y₁(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring  och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. 
I vårt fall är radien Δp`s avstånd till  och Δp's avstånd till  ges av y₁(x), således är radien på Δp`s cirkelväg.
 
.

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring .

. 

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

Således har vi nu 

 

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y₁(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y₁(x), då vi låter y₁(x) vara definierat i något intervall  får vi

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

Rotationsarea för horisontell rotation
Låt oss tänka att vi tar ett väldigt litet bågelement Δp av kurvan y1(x). Eftersom detta bågelementet är väldigt litet så kan vi hantera det som en kort linje med längden av Δp. Vi låter nu Δp rotera kring  och får då en cylinder med höjden Δp, Mantelarean av denna cylinder är den rotationsarea som Δp ger upphov till. Mantelarean av en cylinder kan skrivas som 2πrh, där h är höjden och r är radien. 
I vårt fall är radien Δp`s avstånd till  och Δp`s avstånd till  ges av ||, således är radien på Δp`s cirkelväg
 

Höjden på cylindern är längden av Δp, således har vi nu ett uttryck för mantelarean på den cylinder som Δp ger upphov till vid rotation kring 

Båglängden av bågelementet Δp kan skrivas som

Således har vi nu 

 

Eftersom vi vill ha rotationsytan för hela y1(x) så summerar vi rotationsytan för alla små bågelement Δp utmed y1(x), då vi låter y1(x) vara definierat i något intervall  får vi

Sedan är det bara att bryta ut 2π ur integralen för att få den slutliga formeln

Exempel

Vertikal rotation

Fråga
Vilken area har den yta som uppkommer då , i intervallet , roterar kring den horisontella linjen ?

Lösning
Vi använder satsen för vertikal rotation:

 

I vårt fall är: 

Vi får således:

x³ är alltid positivt mellan 0 och 1, således behöver vi inte ha absolutbeloppet av x³. Derivatan, med avseende på x, av x³ är 3x² och  således har vi nu:

 
Integrerar och får:

Svar: Arean på ytan som uppkommer är  areaenheter.
Euklidisk geometri
Ytor