Födelse- och dödsprocess

Födelse- och dödsprocess är en speciell stokastisk process i kontinuerlig tid med de icke-negativa heltalen som tillstånd och där de enda förändringarna är födelse och död vilket innebär att man tar ett steg uppåt eller nedåt i tillstånden. Processen har viktiga tillämpningar inom flera områden bl.a. inom demografi för att modellera en folkmängd där invånarna dör och föds, därav den stokastiska processens namn. Det finns även viktiga tillämpningar inom biologi där man beskriver bakterieodlingar, i köteori för att beskriva antalet kunder i en kö och inom epidemiologi för att beskriva antalet smittade i en befolkning.

Matematisk beskrivning
En födsel innebär att tillståndet förändras från i till i + 1 medan en död innebär att tillståndet går från i till i - 1. Processen beskrivs med födelsetal  och dödstal 

En ren födelseprocess är en födelse- dödsprocess där  för alla .

En ren dödsprocess är en födelse- dödsprocess där  för alla .

Användning i köteori
Ett av de direkta användningsområdena för födelse- dödsprocess är i kösystem.

För en kö födelse- dödsprocess gäller att
 När processen befinner sig i tillstånd i ansluter sig kunder som en Poissonprocess med takten .
 Successiva tider mellan anslutningar till kön är exponentiella slumpmässiga variabler. När processen är i tillstånd i har den slumpmässiga variabeln parametern . 
 Successiva betjäningstider är exponentiella slumpmässiga variabler. När processen är i tillstånd i har den slumpmässiga variabeln parametern .

M/M/1 queue

M/M/1-kön har oändlig längd och är en enkel betjäningskö, alltså endast person längst fram kan bli betjänad. I en ickeslumpmässig omgivning tenderar föddelse- dödsprovessen i kömodeller att bli genomsnitt för en lång tid. Den genomsnittliga takten på anslutning ges av  och den genomsnittliga betjäningstiden ges av . Födelse- dödsprocessen är en M/M/1-kö när

Differentialekvation för sannolikheten att processen är i tillståndet k vid tid t är,

M/M/c queue
M/M/c kön har oändlig längd och är en mångbetjäningskö med C stycken kanaler, alltså C kunder kan få service samtidigt. Det enda som separerar den från M/M/1-kön är servicetiden som nu blir

och

då

Användning för att modellera befolkningsutveckling
En linjär födelse- och dödsprocess kan till exempel beskriva hur arter eller populationer utvecklas. Nybildning och utdöd av de individer som processen representerar är proportionell mot antal individer. Födelse- respektive dödstakten för hela processen är  och , där  representerar tillståndet, det vill säga antal individer. Parametrarna  och  är konstanter.

 representerar sannolikheten att processen vid tiden  innehåller  individer, alltså , där  är en stokastisk process.

Parametrarna  och  representerar takten varmed en enskild individ föds respektive dör. Vi vill beskriva sannolikheten att vi har  individer vid tiden , alltså . Det finns olika sätt att härleda processen . I denna härledning utgår vi ifrån att det finns följande olika sätt för processen att hamna på  under tidssteget.

 Det finns  individer och ingenting händer under tidssteget .
 Det finns  individer och en ny individ bildas under tidssteget .
 Det finns  individer och en individ dör ut under tidssteget .
 Det finns  och n individer bildas/dör ut under tidssteget .

För godtyckligt små  kommer då följande ekvation att gälla.

Högerledets första term representerar sannolikheten att ingenting händer under tidssteget. Den andra termen representerar sannolikheten att en individ dör ut och den tredje att en ny individ bildas. Ordo-termen representerar att fler än en händelse förekommer under tiden . Genom att subtrahera  och dividera båda leden i ekvationen med  och låta  får vi en differens- differentialekvation för  i tidpunkten .

Eftersom  kommer sannolikheten att det sker mer än en födelse- eller dödshändelse samtidigt vara noll. För att kunna uttrycka den önskvärda sannolikheten  behöver ekvationen lösas vilket görs genom att multiplicera ekvationen med  och summera över alla möjliga .

Ovanstående uttryck innehåller den sannolikhetsgenererande funktionen samt dess derivator. På så sätt erhålls en partiell differentialekvation

Begynnelsevärdet får man genom att betrakta den sannolikhetsgenererande funktionen utifrån dess tidsberoende.

Sista steget är en följd av att  för alla , där  är det antal individer som existerar vid .

Lösningen till den partiella differentialekvationen erhålls till exempel med karakteristiska metoden.

Den sannolikhetsgenererande funktionen för födelse- och dödsprocessen är en kvot av två linjära funktioner, vilket gör att man kan använda en så kallad Bruten linjär fördelning för att beskriva processen. Alla sannolikhetsfördelningar vars genererande funktion kan skrivas som en kvot av två linjära funktioner följer en bruten linjär fördelning med parametrar  och .

Multiplicerar man uttrycket för  med  och summerar över alla  kan parametrarna  och  uttryckas med hjälp av den sannolikhetsgenererande funktionen.

Parametrarna  och  är funktioner av tid, men kan behandlas som konstanter med avseende på variablerna  och . Vid varje tidpunkt kommer processen att följa den brutna linjära fördelningen. Parametern  faller ut ur den genererande funktionen i punkten , enligt följande ekvation.

Eftersom man kan uttrycka den sannolikhetsgenererande funktionen för processen,  får vi därför följande uttryck för .

För att beräkna  använder vi.

Använder man den sannolikhetsgenererande funktionen för processen, samt parametern  fås parametern .

Genom att använda de explicita uttrycken för parametrarna  och  fås sammanfattningsvis ett analytiskt uttryck för att beskriva sannolikheten att  individer existerar vid tiden , givet födelsetakten  och dödstakten .

Jämviktsläge
En kö sägs vara i jämviktsläge om gränsen  existerar. Om detta ska gälla måste  vara lika med noll.
Vi använder M/M/1-kön som exempel, det stabila tillståndet (jämviktslägets) ekvationer är,

Om  och  för alla  (Det homogena fallet), detta kan reduceras till

Sannolikhetsteori
Köteori