Simplexmetoden

Simplexmetoden eller simplexalgoritmen är en metod inom optimeringsläran för att effektivt lösa linjärprogrammeringsproblem. Metoden uppfanns av den amerikanske matematikern George Dantzig och är i dag den i särklass mest använda algoritmen för att lösa LP-problem och som nästan helt dominerar den kommersiella marknaden.

Enligt linjärprogrammeringens fundamentalsats erhålles alltid optimum i minst en hörnpunkt till den tillåtna mängden och dessa hörn motsvaras av en (eller i det degenererade fallet flera) baslösningar. Simplexmetoden söker den bästa lösningen genom att systematisk flytta sig från en baslösning till en annan närliggande på ett sådant sätt att målfunktionsvärdet förbättras. Den söker inte igenom samtliga hörnpunkter då det även för förhållandevis "små" LP-problem finns oerhört många, men eftersom problemet är konvext kommer den hörnpunkt för vilka ingen närliggande hörnpunkt har ett bättre målfunktionsvärde att vara optimallösningen till problemet.

Basbyten 
Givet en tillåten baslösning  till ett LP-problem kan en sökriktning  bestämmas för varje icke-basvariabel. Riktningen svarar mot att variabeln i fråga tillåts växa och övriga variblers värden erhålls ur bivillkoren för den tidigare icke-basvariabel som tillåts bli nollskild och som kallas för ingående basvariabel.

Om det tillåtna området är begränsat finns det en största steglängd  för vilken den nya punkten  är en tillåten punkt (det vill säga alla variabler ); den variabel som först når noll begränsar steglängden och kallas utgående basvariabel. Om  och  väljs på detta sätt i varje iteration kommer den nya lösningen  att vara en tillåten baslösning. Att på detta sätt röra sig mellan olika lösningar kallas för basbyte. 

Simplexmetoden itererar på samma sätt mellan tillåtna baslösningar med det tillägget att sökriktningen endast får väljas så att målfunktionen förbättras (inte sällan finns flera alternativ, det har då visat sig lämpligt att välja den riktning som snabbast förbättrar målfunktionen; man säger att den har mest reducerad kostnad, det är emellertid inte garanterat att det ger den enklaste lösningen).

Eftersom målfunktionen ständigt förbättras och antalet baslösningar är ändligt (om än stort), är det säkert att simplexmetoden finner lösningen. 

För att lösa ett generellt LP-problem måste det först överföras till standardform och därefter måste en tillåten baslösning identfieras.

Algoritmen 

 (Försteg) Börja med en tillåten baslösning  och sätt iterationsräknaren k till 0.
 (Steg 1) Beräkna reducerade kostnader för alla icke-basvariabler eventuellt genom omskrivning av målfunktionen.
 Sätt den variabel med mest reducerad kostnad till inkommande variabel. Om ingen förbättrande variabel finns är lösningen funnen.
 Beräkna sökriktning  och bestäm steglängden  till det största tal för vilket  är en tillåten lösning. (om t tillåts gå mot oändligheten har problemet obegränsad bra lösning).
 Sätt  och stega vidare med k := k+1 och gå till steg 1.

Exempel 

Betrakta LP-problemet
Maximera 
då
Bivillkor 1
Bivillkor 2
 
som kan överföras på standarform genom introduktion av slackvariablerna  och  enligt
Maximera 
då
 
 
 

Vi kan enkelt identifiera ur figuren att  är en tillåten lösning som ger upphov till ekvationssystemet

vilket ger upphov till baslösningen där  är basvariabler lika med 6 respektive 2 och  är icke basvariabler ( = 0).

Ur målfunktionen kan vi utläsa att en ökning av  innebär en ökning av z med 4 enheter samt att motsvarande värde för  är ett (de reducerade kostnaderna är 4 respektive 1). Eftersom båda icke-basvariabler ger förbättrande sökrikningar väljs den snabbaste förbättringen och således väljs  som inkommande basvariabel.

Ur omskrivningen av bivillkoren erhålles

Vilket motsvarar en sökriktning längs ,  = [1 0 -2 -1] 

och vi ser att  först kommer att nå noll när  ökar (detta sker för  så ) det vill säga att  blir utgående basvariabel och vår nya baslösning blir att  är basvariabler lika med 4 respektive 2 och att  är icke-basvariabler ( = 0).

Inför nästa iteration måste målfunktionen uttryckas i icke-basvariabler (så att vi kan se hur de påverkar) , vilket görs med hjälp av ekvationerna i bivillkoren.

Här erhålles att  genererar en förbättrande riktning medan  inte gör det. Vi kan också se att optimallösningen kommer att vara minst 8 eftersom det är en konstantterm i målfunktionen, vilket i sig inte är ett viktigt resultat men bra för senare kontroll.

Proceduren upprepas och vi når i , ,   och en omskrivning av målfunktion ger 

Här kan ingen förbättrande sökriktning hittas (om  eller  ökar minskar z), vilket innebär att baslösningen är optimalösningen och att funktionsvärdet är 8,667.

Källor 
 Lundgren, Jan & Rönnqvist, Mikael & Värbrand Peter: Optimeringslära, 2003, upplaga 3:1. .

Noter 

Algoritmer
Optimeringslära
Optimeringsalgoritmer