Spektralsatsen

Spektralsatsen är en samling satser inom linjär algebra. Satserna anger vilka linjära avbildningar som har en bas av ortonormerade egenvektorer och alltså kan diagonaliseras i denna bas, det vill säga huruvida matrisen A kan uttryckas som 

där D är en diagonalmatris och U är en unitär matris. 

Satsen anger dels att vissa matriser är diagonaliserbara, dels att det inte är nödvändigt att beräkna en invers, vilket är fallet vid allmänna diagonaliseringar, då matrisen skrivs 
.

Spektralsatser
Spektralsatsen finns i flera utföranden. Spektralsatsen för symmetriska avbildningar är oftast den enda som lärs ut i en grundkurs i linjär algebra.

Symmetriska avbildningar
Om  är ett ändligt-dimensionellt reellt euklidiskt rum gäller följande:

 är en symmetrisk linjär avbildning
 har en ortonormerad bas av egenvektorer till  och egenvärdena är reella.

Hermitska avbildningar
Om  är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 är en hermitsk linjär avbildning
 har en ortonormerad bas av egenvektorer till  och egenvärdena är reella.

Normala avbildningar
Om  är ett ändligt-dimensionellt komplext euklidiskt rum gäller följande:

 är en normal linjär avbildning
 har en ortonormerad bas av egenvektorer till  (men egenvärdena är i allmänhet inte reella).

Notera ekvivalensen: Normala linjära avbildningar är alltså exakt de avbildningar som kan diagonaliseras med en bas av ortonormerade egenvektorer.

Bevis

Symmetriska avbildningar
Spektralsatsen bevisas för en reell symmetrisk avbildning F genom matematisk induktion över dimensionen p för vektorrummet  som F verkar på.

Visa att satsen gäller för p = 1.

Låt vektorn  vara talet 1. Eftersom avbildningsmatrisen har dimensionen 1x1 och är reell avbildas  på en reell multipel av sig själv, så egenvärdet är reellt.

 är alltså en normerad egenvektor till  och därmed den sökta basen till .

Anta vidare att satsen är sann för rum av dimensionen p. Visa då att satsen även är sann för rum av dimensionen p + 1.

Symmetriska matriser är hermitska, och hermitska matriser har endast reella egenvärden. Välj ett (reellt) egenvärde  för  i rummet  och låt vektorn  vara en normerad egenvektor till denna.

Bilda mängden  som innehåller alla vektorer i  som är ortogonala mot . Dimensionen för  blir alltså . Låt  ha ortonormala basvektorer . Notera att dessa inte nödvändigtvis är egenvektorer till .

Fyll ut med  till en ON-bas för .

Transformationsmatrisen  blir då ortonormal, så . Avbildningsmatrisen i den nya basen, , blir då symmetrisk eftersom . Den får då formen .

Då V har dimension p och är symmetrisk existerar ortonormala egenvektorer  till F begränsat till rummet V enligt induktionsantagandet.

Det betyder i sin tur att  är en ortonormerad bas bestående av egenvektorer till 

Eftersom satsen är sann för dimensionen  och om den är sann för ett rum av dimensionen  så är den även sann för rum av dimensionen , är satsen sann för alla heltalsdimensioner.

Normala avbildningar
Schurs sats kan användas för att bevisa att en normal matris kan diagonaliseras med en unitär matris.

Låt A vara en normal matris. Det finns då, enligt Schurs sats, en unitär matris U så att A = UTUH, där T är en uppåt triangulär matris med A:s egenvärden på diagonalen. Man får då att:
.
Då A är normal och U inverterbar ger detta att TTH = THT. T är uppåt triangulär och TH är nedåt triangulär, så för att produkterna TTH och THT ska vara lika måste T vara diagonal.

Historia
Spektralsatsen utformades under början av 1800-talet av Augustin-Louis Cauchy.

Tillämpningar

Kvadratiska former
En kvadratisk form kan skrivas som en symmetrisk matris och kan därför diagonaliseras med en ortonormerad bas. Den blir då mer lätthanterlig. Spektralsatsen kan i vissa fall vara formulerad som att en kvadratisk form i ett euklidiskt rum har en kanonisk ortonormerad bas. Detta gör att spektralsatsen kan användas för att bestämma olika andragradsytors huvudaxlar.

Exempelvis kan den kvadratiska formen 
 
skrivas på matrisform som

och där egenvärdena är
, 
så att k i den nya basen kan skrivas 
.

Referenser
 Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2007, MAI (Linköpings Universitet)
 Thompson, Jan, Matematiklexikon, 2005, Wahlström & Widstrand
 Treil, Sergei, Linear Algebra Done Wrong, 2004, elektroniskt tillgänglig http://www.math.brown.edu/%7Etreil/papers/LADW/LADW.html

Linjär algebra
Matristeori