Störningsteori

Störningsteori är en approximationsmetod i kvantmekaniken där man beskriver ett svårare system som ett enklare (helst analytiskt lösbart) system plus en (liten) avvikelse. Detta möjliggör att vi kan hitta bra lösningar till många analytiskt olösbara system som stämmer bra överens med experimentella observationer. Kanske mest känt är den tydligt framträdande gula så kallade natriumdubbletten i spektrumet för natrium. Störningsteori är att betrakta avvikelsen från ett analytiskt lösbart problem i korrektioner till olika ordningar, i avtagande påverkan, och ta hänsyn till fler och fler detaljer i avvikelsen. Högre ordningars korrektioner ger därmed också noggrannare resultat.

Exempel på tillämpningar 
Ett exempel är lösningsmetoden av Schrödingerekvationen för väteatomen. Man kan få en approximativ lösning med en icke-relativistisk hamiltonoperator. Sedan beaktar man relativistiska effekter genom att ta med dessa som störningstermer.
Andra viktiga exempel är spinn-ban-koppling mellan banrörelsemängdsmomentet och rörelsemängdsmomentet spinn för elektronen, vilket ger finstrukturen för energinivåerna och förklarar den tydligt framträdande natriumdubbletten. Atomer i (tillräckligt svaga) magnetiska fält kan också studeras med störningsteori i den så kallade zeemaneffekten.

Tidsoberoende störningsräkning 
Tidoberoende störningsräkning, när hamiltonianen inte har något tidberoende utan är stationär, föreslogs av Erwin Schrödinger 1926
. I denna publikation refererar Schrödinger till föregående arbete av Lord Rayleigh, som undersökte en strängs harmoniska vibrationer med en liten inhomogen störning. Därför kallas denna störningsteori ibland Rayleigh–Schrödingers störningsteori.

Första ordningens korrektion 
Vi börjar med att identifiera ett känt problem som den ostörda hamiltonianen . Detta system har en känd lösning med kända egentillstånd och egenvärden
.

Om vi nu introducerar en störning  till det kända problemet kan vi med  som en dimensionslös parameter mellan  0 (ingen störning) till 1 (hela störningen), kan vi skriva hela hamiltonianen för problemet som

Energinivåerna och egentillstånden till denna hamiltonian fås från Schrödingerekvationen som

Vi kan då skriva  och  uttryckt i energinivåerna och egentillstånden till det ostörda problemet . Om störningen är tillräckligt liten kan vi taylorutveckla dessa i potenser av 

Genom att sätt in detta i Schrödingerekvationen och hålla ordningen på potenser av  fås att första ordningens korrektion 
till energinivåerna är 

Första ordningens korrektion till vågfunktionen fås genom att använda detta, sätta in i Schrödingerekvationen och använda  vågfunktionernas ortonormalitet,

Andra ordningens korrektion 
Andra ordningens korrektion fås på samma sätt från insättning av utvecklingen i termer av  i Schrödingerekvationen som

för andra ordningens korrektion till energin och andra ordningens korrektion till vågfunktionen blir

Notera att detta gäller för ett icke-degenererat fall.

Tidsberoende störningsräkning 
I tidsberoende störningsräkning, som utvecklades av Paul Dirac, studeras en tidsberoende potential  som störning till den tidsoberoende hamiltonianen 0.
Hamiltonianen till det störda systemet är alltså

Med  som egentillstånd till det störda systemet vid tiden , uppfyller detta den tidsberoende Schrödingerekvationen

Egentillståndet kan uttryckas som en linjärkombination av den kompletta egenbasen , alltså

där  är de komplexa tidsberoende koefficienterna som tolkas som sannolikhetsamplituder för motsvarande tillstånd.
Kvadraten av dessa sannolikhetsamplituder  ger sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet   vid tiden  , eftersom

Insättning i den tidsberoende Schrödingerekvationen ger

En exakt lösning till detta är svårt att hitta, särskilt när det finns många energinivåer. Skriver man om ekvationen ovan på integralform

kan man utveckla lösningen för  som

Första ordningens approximation 
Dessa koefficienter  kan till första ordningens approximation beräknas som 

givet att systemet vid tiden  befinner sig i tillståndet .
Sannolikheten att systemet befinner sig i tillståndet  vid tiden   ges då av

Ytterligare resultat följer av detta, såsom Fermis gyllene regel, vilken relaterar övergångssannolikheten per tidsenhet mellan kvanttillstånd; eller dysonserien som lägger grunden för Feynmandiagram.

Referenser 

Kvantfysik
Teoretisk fysik