Besselfunktion

Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen
.
Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater.

Definition

Besselfunktionerna av första slaget definieras av:
.

Om  är ett heltal kan Besselfunktionerna definieras som integralen
.
En integral för alla värden på α är

Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även Besselfunktioner av andra slaget:
.
 är inte begränsad då , vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl. För heltal n måste Besselfunkttionen av andra slaget definieras som gränsvärdet

.

Gränsvärdet ges av uttrycket

där  är Eulers konstant och  är det n:te harmoniska talet.

En integralrepresentation för Re(x) > 0 är

Sfäriska Besselfuntioner
I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:

Denna har de sfäriska Besselfunktionerna som lösningar.

Se vidare Klotytefunktion.

Hankelfunktioner
En annan viktig formulering av två linjärt oberoende lösningar på Bessels ekvation är Hankelfunktionerna 
Hα(1)(x) och Hα(2)(x) som definieras som

där i är imaginära enheten. De är även kända som Besselfunktioner av tredje slaget. De är uppkallade efter Hermann Hankel.

Hankelfunktionerna kan uttryckas som

Om α är ett heltal måste gränsvädet räknas. Oberoende om α är ett heltal eller inte gäller följande relationer:

Modifierade Besselfunktioner
Ett viktigt specialfall av Besselfunktionerna är set då argumentet är rent imaginärt. I det fallet kallas funktionerna för modifierade Besselfunktioner (eller ibland för hyperboliska Besselfunktioner) av första och andra slaget, och definieras som

De är reellvärda för positiva reella argument x.

Om −π < arg(x) ≤ π/ är
,
och om −π/2 < arg(x) ≤ π är
.

För −π < arg(z) ≤ π/2 är

Iα(x) och Kα(x) är två linjärt oberoende lösningar av modifierade Besselekvationen

Två integralformler för Re(x) > 0 är

Modifierade Besselfunktionerna K1/3 and K2/3 kan skrivas som de snabbt konvergerande integralerna

Modifierade Besselfunktionerna av andra slaget har även kallats för:
 Bassetfunktioner efter Alfred Barnard Basset
 Modifierade Besselfunktioner av tredje slaget
 Modifierade Hankelfunktioner
 Macdonaldfunktioner efter Hector Munro Macdonald
 Weberfunktionwe
 Neumannfunktioner

Riccati-Besselfunktioner

Riccati-Besselfunktionerna definieras som

De satisfierar differentialekvationen

Multiplikationsteorem
Besselfunktionerna satisfierar multiplikationsteoremet

där λ och ν är godtyckliga kompexa tal. Den analoga formeln för modifierade Besselfunktioner är

och

Egenskaper
Besselfunktionerna satisfierar de användbara rekursionerna

.

För heltal α = n kan Jn  definieras via Laurentserien

Andra liknande relationer för heltal n är

och

För ν > −1/2 och z ∈ C kan Besselfunktionerna definieras som integralerna

Besselfunktionerna satisfierar ortogonalitetsrelationen

En annan integral är

Relation till andra funktioner
Besselfunktionerna är relaterade till generaliserade hypergeometriska serier enligt

Besselfunktionerna är även relaterade till Laguerrepolynomen enligt

där t är ett godtyckligt tal.

Identiteter

Se även
 Lerche–Newbergers summaregel
 Lommelpolynom

Externa länkar 

Speciella funktioner

it:Armoniche cilindriche#Funzioni di Bessel