Laguerrepolynom

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet  som svarar mot parametern , definierat enligt

där  är ett reellt tal så att .

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet  samt viktfunktionen
.

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen  respektive .

Olikheten för parametern  som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen 
 
inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:
 

Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen

Alternativa definitioner

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar
 
 
och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:
 

En sluten formel är
 

Rodirgues formel för dem är
 

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

Egenskaper
 De första Laguerrepolynomen med parametern α är
 

 

 Ln(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet 

 Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av

 
 

 som kan sammanfattas som

  

där  är Besselfunktionen.

Identiteter
Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

 .

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

 

 

 

Dessutom är

 

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

 

En intressant identitet för heltal i och n är

 

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

Multiplikationsteorem

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

och

Derivator

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

 

Dessutom gäller följande ekvation

 

som kan generaliseras till

 

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

 

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

Ortogonalitet

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

som följer ur

Relation till andra funktioner

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

 

där  är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

 

och

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom

Anta att funktionen f har serieexpansionen

 

Då är

 

Monom kan skrivas som

 

Binomialkoefficienterna har expansionen

 

som leder till formeln

 

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

 

En annan oändlig serie är

Övrigt

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

 

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

Se även 
 Q-Laguerrepolynom

Källor
 Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
 B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
 Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.

Externa länkar 

Ortogonala polynom