Mätbarhet

Mätbarheten är ett matematiskt begrepp inom måtteori. Man kan definiera mätbarheten för till exempel mängder, funktioner och predikat.

Mätbara mängder 

Huvudartikel: Sigma-algebra

Mätbara mängder är medlemmarna i en sigma-algebra. Mer precist, om  är en mängd och  är en sigma-algebra i X så kallas paret

ett mätbart rum och mängderna  mätbara mängder.

Detta är den grundläggande definition för mätbarheten eftersom alla andra mätbara begrepp är definierad med hjälp av mätbara mängder. Sigma-algebra är en naturlig selektion för mätbara mängder eftersom det är en uppräknelig konstruktion och uppräknelighet är viktig inom måtteori.

Tillämpningar 

Mätbara mängder har tillämpningar inom måtteori.

Måttrum 

Huvudartikel: Mått

Den viktiga tillämpningen för mätbara mängder är måttrummet. Måttrummet är en trippel

där  är ett mätbart rum och  är ett mått.

Sannolikhetsrum 

Huvudartikel: Sannolikhetsrum

En annan tillämpning av mätbara mängder är sannolikhetsrummet. Sannolikhetsrummet är en trippel

där  är ett mätbart rum och  är en sannolikhet. I sannolikhetsrummet kallas mätbara mängder händelser.

Vad är naturliga mätbara mängder? 

Man kunde välja att låta alla mängder vara mätbara eftersom alla mängder bildar en sigma-algebra. Å andra sidan går det alltid att definiera mätbara mängder med avseende på ett mått, som då går att mäta på ett rimligt sätt. Triviala mått, exempelvis Diracmåttet och räknemåttet, är alla mätbara. Därför är de måtten definierade över alla mängder. Å andra sidan, med ett icke-trivialt mått, exempelvis Lebesguemåttet och Hausdorffmåttet, finns det mängder som inte kan tilldelas ett mått.

Yttre mått 

Huvudartikel: Yttre mått

Ett viktigt exempel på icke-triviala mått är måttet som definieras med hjälp av yttre måttet. Mätbarheten definieras först med Carathéodorys kriterium: om  är en mängd och  är ett yttre mått definierad i X så är en mängd  µ*-mätbar för  om

Dessa µ*-mätbara mängder är precis de mängder som är mätbara. Man kan visa att en familj

är en sigma-algebra, det vill säga en familj av mätbara mängder.

Yttre mått är definierade så att yttre mått över µ*-mätbara mängder är ett mått. Mer precist, funktionen 

är ett mått för dessa mängder.

Icke-trivialt exempel: icke-Lebesguemätbara mängder 

Huvudartikel: Konstruktion av en icke-mätbar mängd.

Lebesguemåttet är definierad med hjälp av Carathéodorys kriterium från yttre Lebesguemåttet och man kallar sedan mätbara mängder Lebesguemätbara. Existensen av mängder i euklidiska rum som inte går att mäta med Lebesguemåttet beror helt på om man accepterar urvalsaxiomet eller inte. Alla bevis som visar på en existens av en icke-mätbar mängd måste använda sig av detta. Idag använder sig alla matematiker av detta axiom, så gott som utan undantag. Urvalsaxiomet innebär att givet en stor samling mängder går det att välja exakt ett element ur var och en av dessa mängder. Det kan tyckas trivialt, men om samlingen är mycket stor får det icke-triviala följder som nämnts ovan.

Mätbara funktioner 

Huvudartikel: Mätbar funktion.

En mätbar funktion är inom matematiken en speciell sorts funktion mellan mätbara rum som bevarar mätbarheten.

Formell definition

Låt  och  vara mätbara rum.

En funktion  är mätbar om

 

för alla .

Man kan också säga att en funktion är -mätbar eller -mätbar.

Notera att man inte behöver ha något mått definierat på rummen för att avgöra om en funktion är mätbar.

Integration 

Huvudartikel: Lebesgueintegration

Motivationen för mätbara funktioner är att man kan "mäta" storleken med måttintegralen. Man definierar måttintegralen med hjälp av mått och mätbara mängder.

Mätbara predikat 

Huvudartikel: Mätbart predikat.

Ett mätbart predikat är inom matematiken en speciell sorts predikat som definierar en mätbar mängd.

Formell definition 

Låt  vara ett mätbart rum. Ett predikat  är mätbar om mängden

Nästan överallt 

Huvudartikel: Nästan överallt

Exempel på mätbara predikat finns nästan överallt. Man kan inte definiera en mätbar mängd utan mätbara predikat.

Mätbar sigma-algebra och mätbart mått 

Man kan även definiera mätbarheten för sigma-algebra och måttet. Låt  och  vara mätbara rum. Sigma-algebran  är mätbar med avseende på sigma-algebran , om

.

Om  är ett mått så är µ mätbart med avseende på  om måttets definitionsmängd  är mätbar med avseende på .

Borelmått 

Huvudartikel: Borelmått

Ett viktigt exempel på mätbart mått är Borelmåttet. Det är ett mått definierat i ett topologiskt rum så att det är mätbart med avseende på Borelmängder. Mer precist, om X är ett topologiskt rum och µ ett mått i X så är måttet µ Borelmåttet om

där dom(µ) är µ:s definitionsmängd, det vill säga en sigma-algebra i X.

Se även

Mått
Borelmängd
Integrerbarhet

Källor
G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)

Måtteori