Riesz representationssats

Riesz representationssats är ett samlingsnamn för ett antal satser inom funktionalanalysen. Det de har gemensamt är att de beskriver hur dualrummet för något normerat vektorrum kan representeras som ett visst Banachrum. Alltså givet ett normerat vektorrum V, så ger Riesz representationssats en isometrisk isomorfism från  till X, där X är något annat Banachrum.

Riesz representationssats (funktionaler på Hilbertrum)  

Varje begränsad linjär funktional (f) på ett Hilbertrum (H) kan representeras i term av Hilbertrummets inre produkt:

Det unika elementet  benämns funktionalens representant i Hilbertrummet och har en norm som sammanfaller med normen av funktionalen:

Diskussion

Om Hilbertrummet innehåller ett element (z) som representerar den linjära funktionalen via rummets inre produkt, så som Riesz representationssats föreskriver, vilka egenskaper har detta element? 
 För det första kan det inte vara lika med noll-elementet, eftersom funktionalen då måste vara lika med noll-funktionalen:

 För det andra, om x är ett element i funktionalens nollrum, så är z ortogonalt mot detta element; det vill säga att z är ett element i det ortogonala komplementet till funktionalens nollrum. 

Vi bör därför söka efter det speciella elementet  i nollrummets ortogonala komplement; därför studerar vi funktionalens nollrum.

Bevis av Riesz representationssats

Det finns representanter

Nollrummet till en funktional (f) på ett Hilbertrum (H) är en mängd som består av alla de element i Hilbertrummet som avbildas på det komplexa talet noll:
 
antingen är detta en äkta delmängd av Hilbertrummet, eller så är det lika med hela Hilbertrummet:

Om nollrummet är lika med hela Hilbertrummet, så avbildas varje element i det på talet noll; funktionalen har därför samma effekt på Hilbertrummets element, som den inre produkten med avseende på Hilbertrummets noll-element har: 

det speciella elementet är i detta fall Hilbertrummets noll-element:
 

Om nollrummet är lika med en äkta delmängd av Hilbertrummet, så innehåller Hilbertrummet minst ett element (w) som inte avbildas på det komplexa talet noll:

 
Det faktum att funktionalen är linjär gör att dess nollrum är ett underrum till Hilbertrummet; det faktum att funktionalen är begränsad gör att den är kontinuerlig, vilket i sin tur medför att nollrummet är en sluten delmängd av Hilbertrummet. Det finns en sats (Ortogonal projektion i Hilbertrum) som säger att om ett Hilbertrum innehåller ett slutet underrum så kan Hilbertrummet skrivas som en direkt summa av detta underum och dess ortogonala komplement. Eftersom nollrummet är ett slutet underrum till Hilbertrummet så kan vi hävda att varje element i Hilbertrummet antingen ligger i nollrummet eller i dess ortogonala komplement; därför ligger det speciella elementet w i nollrummets ortogonala komplement. Med hjälp av detta element bildar vi en avbildning som associerar element i Hilbertrummet med varandra: 

Värdemängden för denna avbildning är lika med nollrummet , vilket följande beräkning visar: 

Det speciella elementet w ligger i nollrummets ortogonala komplement, vilket innebär att varje inre produkt mellan w och Tx är lika med noll:
 
Detta ger oss en ekvation som innehåller det komplexa talet f(x) och den inre produkten mellan elementen w och x: 
 
Ur denna ekvation kan vi lösa ut f(x) för att få en representation av det som en inre produkt: 

Vi har lyckats visa att Hilbertrummet innehåller ett element () som är sådant att varje komplext tal f(x) kan skrivas som den inre produkten mellan x och z: 

Det återstår att visa att Hilbertrummet innehåller ett enda sådant element () som representerar funktionalen f – vilket därför förtjänar en beteckning som indikerar detta, exempelvis  – och att normen av detta element sammanfaller med normen av funktionalen:

Det finns endast en representant
Vi antar att det finns två eller fler element likanade z och visar att detta leder fram till en motsägelse. 

Låt därför u och v vara två element i Hilbertrummet, som båda representerar samma begränsade linjära funktional f:

På grund av att den inre produkten är linjär, kan vi dra slutsatsen att den inre produkten mellan det godtyckliga elementet x och det speciella elementet  är lika med noll:

Om vi väljer x till att vara just differensen , så ser vi att normen av  är lika med noll, vilket endast kan inträffa om  är lika med Hilbertrummets noll-element:

Vi har härmed nått fram till en motsägelse:

Det var därför fel av oss att anta att det fanns två eller fler speciella element som representerade den begränsade linjära funktionalen f. Härmed har vi visat att det bara finns ett speciellt element i Hilbertrummet som representerar funktionalen f, och vi döper detta element till  och kallar det för representanten till funktionalen f:

Isometri
Det återstår att bevisa att normen av representanten är lika med normen av funktionalen: 

I det fall då f är noll-funktionalen har vi sett att dess representant är Hilbertrummets noll-element; båda dessa objekt har normer som är lika med noll:

Vi kan därför utgå från att f inte är lika med noll-funktionalen. Då är dess representant inte lika med noll-elementet, vilket innebär att dess norm är ett positivt tal:

Det faktum att funktionalen f är begränsad innebär att det finns ett positivt tal (C) som, tillsammans med normen av elementet x, ger en övre begränsning av absolutbeloppet av det komplexa talet f(x):

Det kan finnas många sådana positiva tal C; det minsta av dessa benämner man normen av funktionalen f och skriver :

Tillsammans med ovanstående framställning av det positiva talet  kan vi dra slutsatsen att normen av representanten inte är större än normen av funktionalen som den representerar:

För att bevisa att vi även har en olikhet åt andra hållet noterar vi att normen av funktionalen även kan uppfattas som supremum av en viss mängd av positiva tal:

(Supremum för en mängd av reella tal (C) är den minsta övre begränsningen av talen.)

Tillsammans med den berömda Cauchy–Schwarz olikhet kan vi dra slutsatsen att normen av funktionalen inte är större än normen av dess representant:
 
Normen av funktionalens representant är tydligen en övre begränsning till kvoterna ; den måste därför vara större än, eller möjligen lika med, den minsta av alla övre begränsningar till sådana kvoter, det vill säga: 

Våra beräkningar visar att normen av funktionalen sammanfaller med normen av dess representant:

Härmed är beviset av Riesz representationssats fullbordat.

Konsekvenser
Om H är ett Hilbertrum så kan man bunta ihop alla begränsade linjära funktionaler på H till en mängd som man brukar beteckna med symbolen . (Läs: H-stjärna) Denna mängd kallar man dualrummet till Hilbertrummet H; Riesz representationssats sammanfattas då i en enda ekvation:

Ett sätt att tolka denna ekvation på är att det finns lika många begränsade linjära funktionaler på ett Hilbertrum som det finns element i Hilbertrummet; ett Hilbertrum har väldigt många element. Riesz representationssats visar för oss att det finns tillräckligt många begränsade linjära funktionaler (åtminstone på Hilbertrum) för att det skall vara meningsfullt att studera dem. 

Man kan fråga sig om det bara är på Hilbertrum som det finns många begränsade linjära funktionaler, eller om det kanske finns många sådana funktionaler på mer generella rum? En av konsekvenserna till den berömda Hahn-Banachs sats säger att det finns väldigt många begränsade linjära funktionaler på Banachrum; ett Hilbertrum är ett specialfall av ett Banachrum; i allmänhet saknar Banachrum en inre produkt, men när det har en så blir det ett Hilbertrum.

Riesz representationssats för -rum

Låt tripeln  vara ett måttrum bestående av en icke-tom mängd (), en sigma-algebra () bestående av delmängder till , och ett sigma-ändligt mått () på denna mängd – ett mått på  är sigma-ändligt om  kan delas upp i uppräkneligt många bitar som var och en har ett ändligt -mått. Låt vidare p och q vara två konjugerade exponenter; det vill säga att de är två positiva tal som är relaterade till varandra via följande ekvation: 

Mängden  består av alla komplexvärda funktioner (x) på mängden  som är sådana att den p:te potensen av deras absolutbelopp är integrerbara funktioner med avseende på måttet :

mer korftattat kan man säga att rummet  består av alla p-integrerbara funktioner.

Satsens lydelse
Om talet p är större än, eller lika med, talet ett, så representeras varje begränsad komplex-värd linjär funktional (f) på rummet  av en unik funktion () i rummet :

vidare sammanfaller normen av funktionalen med normen av dess representant:

Symbolen  betecknar konjugatet av det komplexa talet :

Anmärkning

Om talet p är lika med talet ett, så är dess motsvarande konjugerade exponent q lika med 'talet' oändligheten; Familjen  består (ungefär) av alla begränsade komplexvärda mätbara funktioner på mängden ; mer exakt är  följande samling av funktioner:

Vi kan notera att om den komplexvärda funktionen x på mängden  är mätbar, så kommer mängden  att vara ett element i sigma-algebran , för varje val av det positiva talet N; det är därför tillåtet att applicera måttet  på denna mängd.

Diskussion
Man kan visa att ett -rum är ett Hilbertrum om, och endast om, exponenten p är lika med talet två, i vilket fall integralen i representationen ovan utgör en inre produkt på rummet .
Uttryckt i termer av dualrum kan satsen sammanfattas av en enda ekvation:

Riesz representationssats för positiva linjära funktionaler på  (Riesz-Markovs sats)  
Låt X vara ett lokalt kompakt Hausdorffrum. Med  betecknas mängden av kontinuerliga funktioner med kompakt stöd. Utrustat med normen  är detta ett normerat vektorrum. Riesz-Markovs sats säger att givet en positiv linjär funktional  på , så existerar en σ-algebra S, innehållande Borel -algebran B(X), och ett mått  på S så att 

Måttet  uppfyller dessutom:
 för alla kompakta 
 för alla 
 om E antingen är öppen eller ,
med andra ord  är ett Radonmått.

Riesz representationssats för  
X betecknar fortfarande ett lokalt kompakt Hausdorffrum. Låt  beteckna mängden av kontinuerliga funktioner på X, sådana att, givet ε > 0, så finns en kompakt mängd K, sådan att för alla funktioner , gäller det att . Man kan visa att  är ett Banachrum och att  är tät i . Låt Λ vara en kontinuerlig linjär funktional på . Riesz representationssats säger nu att det existerar ett unikt mått med tecken  på Borel σ-algebran B(X) så att 
.

Låt  vara Jordanuppdelningen av . Man kan nu visa att mängden av mått med tecken på Borel σ-algebran B(X) bildar ett vektorrum med normen , även kallad den totala variationen av μ. Rummet är även ett Banachrum under denna norm.
Måttet med tecken  uppfyller nu:

Källor
 M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
 F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
 F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
 P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
 P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).

 Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, .
 

Satser inom funktionalanalys
Dualitetsteorier