Sannolikhetsrum

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Definition 

Låt  vara en icke-tom mängd och  en sigma-algebra i . En funktion  är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran  om den besitter de två egenskaperna:

 Funktionen  är ett mått
 

Ett sannolikhetsrum är en trippel .  är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, , på ett reellt tal,  (sannolikheten för händelsen A).

Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.

Tillämpningar 

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum 

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

där  och sannolikhetsmåttet är ,

där  är kardinaliteten för mängden A.

 Geometriska sannolikhetrum Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om  är ett måttrum där  kan man definiera ett sannolikhetsmått ,

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet  är en trippel . 

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om ,  och  (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum 

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt  vara ett sannolikhetsrum och  en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

där

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är :s bildmått  med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

 Förteckningar  

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

 Stokastisk variabel Huvudartikel: Stokastisk variabel

En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt  vara ett sannolikhetsrum. En funktion  är en stokastisk variabel om

 för alla Borelmängder 

Detta innebär att en funktion  är -mätbara.

Väntevärde 

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt  vara ett sannolikhetsrum. Om  är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

.

Här är  en måttintegral med avseende på måttet .

 Varians och kovarians Huvudartiklar: Varians och kovarians

Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.

Variansen för ett stokastisk variabel , med , är talet

,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler  är ett tal

.

Konvergenssatser 

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

 Om  är händelser så är

.

 Om  är händelser så är

.

Fatous lemma: om  är stokastiska variabler får man att

Monotona konvergenssatsen: om  är stokastiska variabler med  finns det  och 

Dominerade konvergenssatsen: om  och  är stokastiska variabler med  för alla  och  finns det  och

Se även 

Måtteori

Sannolikhetsteori