Jordans normalform

Jordans normalform är inom linjär algebra en form för matriser som visar att en matris  kan uttryckas som en "nästan diagonal" matris genom basbyte. Den "nästan diagonala" matrisen är en Jordanmatris med :s egenvärden i diagonalen. Diagonalisering kan ses som ett specialfall av Jordans normalform.

Jordans normalform är uppkallad efter Camille Jordan.

Bakgrund
En -matris  är diagonaliserbar om och endast om summan av egenrummens dimensioner är n, d.v.s. att dimensionen för varje egenrum till egenvärde , den geometriska multipliciteten är lika med den algebraiska multipliciteten för .  Alla matriser är dock inte diagonaliserbara. Exempel:

:s egenvärden är 1, 2, 4, 4. Nollrummet  är dock endast endimensionellt, så matrisen är inte diagonaliserbar. Jordans normalform är då den bästa formen, närmast diagonalform, med ettor på vissa positioner i superdiagonalen. Det finns en inverterbar matris  så att:

som är Jordanformen av .

Generell beskrivning
Generellt kan en komplex matris  genom basbyte omvandlas till en Jordanmatris , dvs en blockdiagonal matris

Där varje block  är ett Jordanblock på formen:

Matrisen  kallas :s Jordanform.

Diagonalelementen i  är :s egenvärden.
Ettorna i  säges ligga i superdiagonalen och symboliserar de platser som fyllts ut med generaliserade egenvektorer. Notera att platserna för ettor och nollor kan vara blandade längs :s superdiagonal men varje -block innehåller endast ettor i sin diagonal och säges vara en cykel av en viss längd. Olika cykler kan höra till samma egenvärde.

Härledning av Jordans normalform
Följande satser bygger upp varandra för att nå fram till Jordans normalform. Då bevisen är något långa utelämnas dessa förutom det för själva Jordans normalform.

Sats 1 
Ett vektorrum  kan skrivas   där   är generaliserade egenrummen till en avbildningsmatris

Sats 2 
För ett generaliserat egenrum  gäller att  algebraiska multipliciteten för

Sats 3 
Varje linjär avbildning  kan representeras av  där  är en diagonalmatris och  är en nilpotent matris. Det gäller även att  och  kommuterar, d.v.s. att

Definition: cykler av generaliserade egenvektorer
En samling vektorer  består av  stycken cykler där det övre indexet står för vilken cykel vi är i och det undre står för vilken vektor i cykeln vi är i. En cykel består av generaliserade egenvektorer och hör till ett visst egenvärde . Ordet cykel kommer från att  där . 

Anmärkning: En, flera eller alla av cyklerna  kan höra till ett och samma egenvärde. Det meningsfulla med cykler är att vi i varje cykel får ett Jordanblock med endast ettor i superdiagonalen och kan göra en exakt beskrivning.

Sats 4 
Alla cykler av generaliserade egenvektor  är linjärt oberoende

Sats 5 
 nilpotent matris  det existerar en bas för  som är en union av cykler av generaliserade egenvektorer, även kallad en strängbas.

Sats: Jordans normalform
Varje linjär avbildning  kan representeras av 

 
där

med 

varje  kommer från respektive egenvärde  och delas in i Jordanblock , ett för varje cykel som hör ihop med .  fås från basbyte , där  är en inverterbar matris.

Bevis Jordans Normalform
Beviset är trivialt då vi förstår vad sats 5 betyder. Enligt sats 5 kan varje nilpotent  representeras som

Med sats 3 som säger att  diagonalmatris och  nilpotent matris, kan vi nu skapa Jordans Normalform  med egenvärden i diagonalen och ettor på superdiagonalen från de positioner i N som har ettor.

Exempel

Vi söker den bästa basen till A och det får vi genom att söka egenvärden och egenvektorer till A, precis som vid vanlig diagonalisering. Genom att lösa sekularekvationen fås A:s egenvärden till . Här har alltså det multipla egenvärdet  algebraisk multiplicitet 3 och det enkla egenvärdet  algebraisk multiplicitet 1.

:  algebraisk multiplicitet 1.

:  algebraisk multiplicitet 3.

Vi ser att A inte är en diagonaliserbar matris. Vi vill nu fylla ut egenrummet för  till ett generaliserat egenrum, detta gör man genom att fylla ut med en generaliserad egenvektor. För att få fram en generaliserad egenvektor löser vi . Detta ger:

 algebraisk multiplicitet.

Fördelen med att återanvända vektorer ur  är att när vi nu ska skapa en strängbas(Jordan-bas) för att få fram basbytesmatrisen T till jordanformen J så kommer vi börja använda den vektor som ej ligger i egenrummet  vilket vi enkelt ser är vektorn 

För egenvärdet  väljer vi  som basvektor i Jordanbasen. 
Övre siffran i  står för vilken cykel vi är i och den undre siffran står för inre numrering i cykeln (Jämför med utseende av Jordanformen J).

För egenvärdet  söker vi en strängbas  för  där    och   

Först väljs  och med denna plockar vi fram  genom samband ovan. Man får då 

Det som ska gälla för  är att denna vektor ska ligga i  och vara linjärt oberoende med , eftersom  är en av vektorerna i  kan man välja den andra som ju är linjärt oberoende med denna, d.v.s. 

Vi väljer basbytesmatrisen  

Genom vanligt bassamband fås  där J kallas Jordan-formen. Man vet redan i förväg hur denna kommer att se ut, alla egenvärden i diagonalen och ettor i superdiagonalen på de platser man skapat generaliserade egenvektorer. I vårt exempel så blir 

För  som var enkelt egenvärde fick vi endast en vanlig egenvektor som fyllde upp . För  fick två egenvektorer och en generaliserad egenvektor som vi satte sist i T, därför hamnar 1 i superdiagonalen över den sista 3:an där vi alltså fyllde ut med en generaliserad egenvektor.

Tillämpningar
Det finns ett stort användningsområde för Jordans normalform. Om man ser de diagonaliserbara matriserna som ett specialfall av Jordans normalform så kan man använda samma lösningsgång till att byta till den enklaste möjliga basen.
System av differentialekvationer
System av differensekvationer
Byte till enklare bas för kvadratiska former

Se även
 Jordanmatris
 Generaliserad egenvektor
 Matrisfaktorisering

Referenser
 Treil, Sergei. Linear Algebra Done Wrong, 2004, Brown University. Tillgänglig PDF: http://www.math.brown.edu/~treil/index.html

Matrisalgebra
Matristeori