Carathéodorys konstruktion

Carathéodorys konstruktionen är en effektiv metod i måtteori för att konstruera Borels yttre mått i metriska rum som kallas yttre Carathéodorymåttet. Metoden uppkallat efter grekisk matematikern Constantin Carathéodory.

Carathéodorys idé var att använda den metriska strukturen så att vi täcka en mängd med vissa testmängder och "mäta" dem med ett testmått. Sedan definierar man måttet på samma sätt som Lebesguemåttet.

Definitioner 
Först behövs några definitioner för konstruktionen. Låt  vara ett metriskt rum.
 
Mängden  är en testmängdfamilj om det för varje  finns mängder  så att

  och ,

för alla .  är diametern för .

Låt  vara en testmängdfamilij. Funktionen  är ett testmått om det för varje  finns en mängd  så att

  och .

Om , definierar man att en uppräknelig familj  är en -övertäckning för mängden  om

  och  

för alla .

Konstruktion 
Låt  vara ett metriskt rum,  en testmängdfamilij och  ett testmått.

För  och  definierar vi

Eftersom  är en testmängdfamilj finns det även en -övertäckning för X. Så att  är en funktion

,

som kallas -Carathéodoryinnehållet.

Om  och  finns det mindre -övertackningar för , dvs funktionen  är växande när . Därför existerar gränsvärden , dvs vi kan definiera gränsfunktionen

,

som kallas yttre Carathéodorymåttet.

Man kan visa att yttre Carathéodorymåttet är ett Borel yttre mått och om  så är yttre Carathéodorymåttet ett Borelregelbundet yttre mått.

Exempel 
Carathéodorys konstruktion är en mycket effektiv metod, då man kan definiera många naturliga mått med det.

Yttre Hausdorffmått 
Huvudartikel: Hausdorffmått.

Det viktigaste exemplet är det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet. Konstrionen går till så att testmängderna är alla mängder och testmåttet är diametern upphöjat till s.

Mer precist, om  och
metriska rummet  är separabelt, 
testmängdfamiljen är  och 
testmåttet  för  
så är -Carathéodoryinnehållet det s-dimensionella -Hausdorffinnehållet

och yttre Carathéodorymåttet det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet
.

Yttre Lebesguemått 
Huvudartikel: Lebesguemått.

Andra exempel är det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet som är -Carathéodoryinnehållet i . Vi konstruerar det så att alla n-intervall är testmängder och testmåttet är det geometriska måttet för n-intervall.

Mer precist, om  och
metriska rummet ,
testmängdfamiljen är  (familjen av alla n-intervall) och 
testmåttet är geometriska måttet  för  
så är -Carathéodoryinnehållet det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet

Yttre Favardmått 
Huvudartikel: Favardmått.

Ett speciellt exempel för Carathéodorys konstruktion är att man kan konstruera Favardmåttet i  med det. Vi konstruerar det så att alla Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciellt integralen definierad med hjälp av Grassmannmåttet.

Mer precist, om , ,  och
metriska rummet ,
testmängdfamiljen är  och 
testmåttet för  är:
 
där 

 mängden  är Grassmannmångfalden, 

 måttet  är Grassmannmåttet, 

 funktionen  är ortogonal projektionen över delrummet  och 

 operatoren  är väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet . 

Då är yttre Carathéodorymåttet det m-dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten :
.

Se även 

 Yttre mått

Referenser 

 A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, Introductory Real Analysis, Dover, New York, 1970  

Måtteori