Heine–Borels sats

Heine-Borels sats eller Heine-Borels övertäckningssats är en matematisk sats om kompakta mängder uppkallad efter Eduard Heine och Émile Borel.

Heine-Borels sats har två formuleringar; en för ändligtdimensionella -rum och en för allmänna metriska rum. Den första formuleringen säger att:
En delmängd  är kompakt om och endast om S är sluten och begränsad.
Inom reell analys används ibland den andra delen av satsen som definitionen på kompakt mängd, men i allmänna metriska rum gäller bara att kompakthet implicerar slutenhet och begränsning. Det finns istället en allmännare form av Heine-Borels sats:
En delmängd till ett metriskt rum är kompakt om och endast om mängden utgör ett fullständigt rum och är sluten och totalt begränsad.

Bevis 
Bevis av den första formuleringen;  kompakt omm S sluten och begränsad. Implikationen att kompakthet ger slutenhet och begräsning visas för metriska rum. Kom ihåg definitionen för kompakt mängd; att varje öppen övertäckning av mängden har en ändlig delövertäckning som täcker mängden.

Kompakthet ger slutenhet 
Låt  (komplementet till S). För alla  existerar disjunkta omgivningar  som innehåller x och  som innehåller y. Det följer att alla -mängder bildar en öppen övertäckning av S, . S är kompakt, så det existerar en ändlig delövertäckning som täcker S av mängder , så att  är en omgivning till y som inte ligger i S, så y kan inte vara en randpunkt till S. Då y valdes godtyckligt ger detta att S innehåller alla sina randpunkter och är därmed sluten.

Kompakthet ger begränsning 
I allmänna metriska rum innebär att en mängd är begränsad  där d är metriken på S.
En öppen övertäckning till S är mängden av klot med radie 1 med mittpunkt i x, betecknad  för alla x i S. Denna övertäckning har då en ändlig delövertäckning  som täcker S. Antag att  och  och , som 

då x och y valdes godtyckligt ger detta att S är begränsad.

Slutenhet och begränsning ger kompakthet 
Om en mängd  är begränsad kan den stängas in i en n-låda:

med  och . Kalla denna n-låda för .
Man kan nu dela upp  i flera små dellådor genom att dela varje sida i två. Vi får då  dellådor.

Antag att  inte är kompakt, då givet en öppen övertäckning C av  måste finnas minst en dellåda till  som kräver oändligt många öppna mängder för att täckas, kalla denna låda . Fortsätt sedan med samma resonemang, dela upp  i  dellådor och plocka ut , osv. Man får då en följd av T-mängder

vars längd, projicerat på -axeln, går mot noll då n går mot oändligheten:

Då ger Cantors inkapslingssats: , dvs det finns en punkt . Eftersom C täcker S finns en mängd  så att . Då A är öppen finns ett n-klot , så att för tillräckligt stora k gäller , så att de oändligt många mängderna som behövs för att täcka  kan ersättas med endast en, vilket ger en motsägelse. Alltså är  kompakt.

S är alltså en sluten delmängd av en kompakt mängd, då resultatet nedan ger att S är kompakt.

Sluten delmängd till kompakt mängd är kompakt 
Låt S vara en sluten delmängd till den kompakt mängden T i . Låt  vara en öppen övertäckning av S. Om  också täcker T så existerar det en ändlig delövertäckning av  som täcker T, anta därför att  inte täcker T.

 är då en öppen mängd som innehåller punkter i T som inte täcks av . Låt  vara en öppen övertäckning av T. Eftersom T är kompakt så har  en ändlig delövertäckning. Då  innehåller punkter i T som inte täcks av  måste , så att , där  måste vara en ändlig delövertäckning av  eftersom  inte täcker  så 

Satser inom topologi
Satser inom reell analys
Egenskaper hos topologiska rum