Modulär aritmetik

Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där man räknar med ett begränsat antal tal. Andra tal räknas som jämlika ("kongruenta") med ett av dessa, nämligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man räknar med.

Den modulära aritmetiken används bland annat inom kryptologin.

I den modulära matematiken  analyseras och används kongruensrelationen. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n.
Detta betecknas , och ibland även .

Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här:
 har samma rest vid division med n .

Exempel 

eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.

eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.

Generaliseringar 
Om man låter  beteckna delmängden  av Z, så kan ovanstående definition formuleras . Den avgörande egenskapen hos  är att den är ett ideal. Man låter ofta  betyda  där  är ett ideal i en ring , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).

Moduloräkning 
Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.

Två heltal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (ett heltal som är större än eller lika med 2).

Detta betecknas . Man kan också skriva .

Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta, vilket betecknas

Exempel 
 ,         Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
 ,       Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
 ,    Resten blir olika vid division med 6

De fyra räknesätten 
Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid bara med vissa förbehåll, se exempel nedan.

Bevis
Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen  samt  uppfyller
 och 
 Per definition vet vi att  och 
Det betyder att det finns heltal x och y sådana att

 och

Nu följer

Alltså gäller , vilket betyder att

Beviset ovan bekräftar giltigheten för addition, och därmed även för subtraktion.
Vidare,

 (se ovan under additionsbeviset)

Och därmed 
Det vill säga

Detta bevisar giltigheten för multiplikation vid moduloräkning.

Exempel

Addition 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Subtraktion 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Multiplikation 

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Division 
För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att , men ; det gäller emellertid att om  är heltal, och , så  där  är den största gemensamma delaren till  och . Speciellt gäller att om , så  närhelst  och  är relativt prima (saknar gemensamma delare större än 1).

Se även 
Kinesiska restklassatsen

Referenser

Böcker

Externa länkar 

Matematiska relationer
Matematisk terminologi
Grundläggande algebra