Tb-satsen

Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator  om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion  och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion . Satsen säger då att man måste testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner  och .

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Bakgrund 

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i  är en integraloperator om det finns en kärna  så att man kan formulera

för en funktion f och alla . Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen 

 

och Tf(x) är definierad bara när 

,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator  där  är -rummet för ?

Hilberttransform 

Till exempel, låt , dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är . Definiera

för , dvs  är Hilberttransformen. Då blir kärnan

.

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när . Man kan också definiera Hilbertransformen för Lp-funktioner eftersom  är en tät delmängd i .

Dessutom, med detta kan man visa att det finns  så att om  så är 

.

Därför är H en begränsad operator .

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden 

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna  och , kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen 

Låt  vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns  så att

för alla kuber  där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan 

En kärna  är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

Begränsadvillkor: det finns  så att 

för alla .

Tillväxtvillkor: det finns  och  så att  

för alla .

Svagt begränsat-villkor för operatorer 

Låt  vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är -svagt begränsat om det finns  så att

för alla kuber .

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO) 

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion  är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns  så att

för alla kuber . Om en funktion  är begränsad med mellansvängning skriver man

Tb-satsen 

Låt  vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt  vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att  är definierad för  och dessutom :s transponat  är definierad för .

Då är  en begränsad operator  om och endast om

  är -svagt begränsad,
  och

Skiss av bevis 

Idén är att första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator . Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har  det är lätt att prova  för fixt  eftersom vi kan interpolera med Cotlars olikheten för  och sedan använda dualhetet för .

Nuförtiden finns många olika bevis för . En prov är att vi använder dyadisk kuber:

Om  så är  en dyadisk kub med ordning k, om där finns  så att

Vi betecknar  av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i  och 

 

För varje  dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av  och vi har:

Vi har en begränsad operator  om och endast om vi kan bevisa att

för alla . Eftersom  är en Hilbertrummet med inre produkten

så man kan använda inom funktionalanalys så att

Därför, vi måste använda att

för alla  och 

För  och en para-akkretiv funktion  definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

k-väntevärde: 
k-spridning: 
b-viktad k-väntevärde: 
b-viktad k-spridning: 

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

för  med konvergens vid -norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för  med  vi har

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub ,  , var , och  definirar vi en Haarfunktion  så att

 Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:

 Med BMO-rummets tillämpningar, paraprodukter, Carlesons inbäddningsats och liten dyadisk analys man har:

 Förra är symmetrisk med , dvs man har: 

Därför vi har med triangelolikheten att

,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar 

 Hilberttransformen 

 ,

är en begränsad operator  eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

 Cauchytransformen 

,

är en begränsad operator  eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

Här  är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan  finns nästan överallt.

Se även 

Harmonisk analys
Funktionalanalys

Referenser 

 Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.

Satser inom funktionalanalys