Stone–Weierstrass sats

Inom matematiken -- mer specifikt inom matematisk analys -- är Stone-Weierstrass sats ett viktigt resultat som rör approximation av kontinuerliga funktioner.

Den klassiska varianten av satsen, kallad Weierstrass approximationssats, visades först av Karl Weierstrass år 1885
och säger att det, för varje kontinuerlig funktion

går att finna en sekvens  av
polynom

som konvergerar likformigt mot funktionen 

Weierstrass approximationssats generaliserades senare av
Marshall Stone, som visade ett liknande resultat för kontinuerliga funktioner definierade på ett godtyckligt
kompakt Hausdorffrum. (Det slutna och begränsade intervallet  är ett exempel på ett kompakt hausdorffrum.) Stone-Weierstrass sats visar även att man kan approximera kontinuerliga funktioner med andra funktioner än polynom.

Weierstrass ursprungliga resultat lyder som följer:

Låt  
vara en kontinuerlig funktion. Det existerar en sekvens
 av polynom  som är sådana att

En nackdel med Weierstrass approximationssats är att den endast garanterar existensen av approximerande polynom. Det finns emellertid ett bevis av satsen som ger en explicit konstruktion av sekvensen . Detta bevis, som ges nedan, är ett exempel på hur man kan använda sannolikhetsteori
för att bevisa resultat inom matematisk analys.

Sannolikhetsteoretiskt bevis av Weierstrass approximationssats

Vi börjar med att konstruera en sekvens
 av polynom; de så kallade
bernsteinpolynomen. Därefter visar vi att de fyller sin funktion.

Välj ett godtyckligt heltal  och ett godtyckligt tal  Låt 

 

vara oberoende, diskreta,
stokastiska variabler, alla med samma frekvensfunktion:

Summan av dessa stokastiska variabler är en diskret stokastisk variabel,  vars frekvensfunktion är

där heltalet  och symbolen
 är en så kallad binomialkoefficient.

Kvoten  antar värden som ligger i intervallet
 vilket innebär att vi kan applicera funktionen
 på dessa värden. Detta ger upphov till en diskret stokastisk variabel,
 som antar värden ur mängden
.
Väntevärdet för denna stokastiska variabel är det reella talet

Den kända frekvensfunktionen för summan  låter oss uttrycka väntevärdet som

Funktionen 
definierad av

är ett polynom av grad . Detta polynom kallas för bernsteinpolynomet av grad n, associerat med funktionen f.

Eftersom heltalet  valdes godtyckligt, har vi härmed lyckats konstruera en sekvens  av polynom. 

De tre första bernsteinpolynomen är: 
 
 

Vi skall nu visa att sekvensen av bernsteinpolynom 
konvergerar likformigt mot funktionen , vilket, med vår konstruktion av bernsteinpolynomen som väntevärden av en sekvens av stokastiska variabler
 innebär att gränsvärdet

För att göra detta väljer vi ett godtyckligt tal 
 och visar att

där  är ett godtyckligt valt positivt tal och  är ett positivt tal som bara beror på talet  och inte på talet . Därmed är talet

en övre begränsning till mängden av tal

Då är talet

större än den minsta övre begränsningen (supremum) till mängden , det vill säga

Denna övre begränsning är giltig för varje val av heltalet . Därför kan vi välja detta heltal så stort — större än ett visst heltal  — att talet

Då får vi resultatet att det för varje tal
 går att finna ett heltal  som är sådant att

för varje heltal  Detta är detsamma som att säga att

vilket i sin tur är samma sak som att säga att sekvensen av bernsteinpolynom  konvergerar likformigt mot den kontinuerliga funktionen  på intervallet .

Det är endast en länk som fattas för att ovanstående resonemang skall bli korrekt: Vi måste visa att vi, för varje heltal  kan begränsa väntevärdet

uppåt enligt

där  är ett godtyckligt valt positivt tal och  är ett positivt tal som bara beror på talet  och inte på talet .

Jensens olikhet tillämpad på den konvexa funktionen 
 
låter oss begränsa väntevärdet uppåt med

Härnäst väljer vi ett godtyckligt reellt tal  och splittrar upp väntevärdet

 

i en summa bestående av två termer, beroende på om den stokastiska variabeln 

är större eller mindre än talet :

Eftersom funktionen 

 

är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet  så är den likformigt kontinuerlig på detta intervall och värdet 

 

är ändligt.

Välj nu ett godtyckligt tal . Den likformiga kontinuiteten ger oss då ett tal
 — som endast beror på talet
 — som är sådant att, om 

 

så är den stokastiska variabeln

Det är därför lämpligt att låta det tidigare godtyckligt valda talet talet  vara just detta tal
, vilket innebär att vi kan uppskatta det första väntevärdet i ovanstående summa enligt

För att uppskatta den andra summan använder vi
Triangelolikheten för reella tal och de faktum att 

 

samt

 

för att få

där vi har använt oss av sambandet

mellan väntevärde och sannolikhet, giltigt för varje
mätbar mängd . (Mängden
 
är mätbar.) 

Markovs olikhet
låter oss uppskatta sannolikheten

enligt:

Eftersom väntevärdet för den stokastiska variabeln  är 

,

så är väntevärdet

där  betecknar
variansen för den stokastiska variabeln  och kan beräknas exakt:

En kvadratkomplettering visar att det för varje värde på talet
 gäller att

vilket låter oss uppskatta sannolikheten

enligt

Sammanfattningsvis har vi funnit den sökta övre begränsningen av väntevärdet

Därmed är beviset av Weierstrass approximationssats fullbordat.

Stone-Weierstrass sats för komplex-värda funktioner 

Låt  vara ett kompakt Hausdorffrum och låt  vara en sluten, komplex
delalgebra till mängden 
av alla komplex-värda kontinuerliga funktioner  Om algebran
 separerar punkter i 
och är sluten under komplex-konjugering, så gäller endera av följande två fall: 

Det finns en punkt  som är sådan att

En delmängd  till mängden
 separerar punkter i
 om det, för varje val av två distinkta punkter
 och  i Hausdorffrummet
 går att finna en funktion  som skiljer på dessa punkter, det vill säga att de komplexa talen  och  är olika.

Stone-Weierstrass sats medför Weierstrass resultat: Mängden av alla polynom på det kompakta Hausdorffrummet  är en delalgebra av de kontinuerliga funktionerna, eftersom summor och produkter av polynom också är ett polynom. Vidare är den konstanta funktionen 1 ett polynom av grad 0 utan nollställe, och givet någon punkt x i ett intervall finns det polynom
 sådana att .

Stone–Weierstrass sats har stor betydelse inom många delar av den matematiska analysen.

Lokal-kompakt version av Stone-Weierstrass sats 

Det finns även en variant av Stone-Weierstrass sats som gäller för lokalt kompakta Hausdorffrum som inte är kompakta.

Låt  vara ett lokal-kompakt hausdorffrum som inte är kompakt och låt  vara en sluten delalgebra av mängden
. Om mängden  separerar punkter i
 så gäller endera av följande två fall:

.
Det finns en punkt  sådan att
.Mängden  består av alla kontinuerliga funktioner

som försvinner i oändligheten'', i den bemärkelsen att

är en kompakt delmängd av  för varje val av det reella talet .
Satser inom analys
Kontinuerliga funktioner
Satser inom approximationsteori