Bolzanos sats

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden är en matematisk sats, som ofta kan användas då man vill undersöka om en ekvation, , går att lösa. Det enda kravet på funktionen  är att den skall vara kontinuerlig.

Bolzanos sats eller satsen om mellanliggande värden
Låt  vara en kontinuerlig funktion på ett slutet och begränsat intervall . Antag att funktionsvärdena  och  är olika. Om  är ett tal som ligger mellan talen  och , så finns det ett motsvarande tal, , som ligger mellan talen
 och  med egenskapen att
.

Användningar av Bolzanos sats
Vi är intresserade av att lösa ekvationen , där  är en kontinuerlig icke-linjär funktion, exempelvis tredjegradspolynomet 
 
Vi ser att funktionsvärdena  och  är olika och att talet 0 (noll) ligger mellan dem. 

Bolzanos sats säger att det finns minst ett tal , som ligger mellan talen 3 och 5, som är sådant att . Det existerar därför en lösning till ekvationen  och denna lösning är ett element i det slutna och begränsade intervallet [3,5].

Man kan lokalisera lösningen genom att halvera intervallet [3,5] och undersöka hur funktionsvärdet, , i intervallets mittpunkt förhåller sig till värdena  och  : Om , så ligger lösningen till ekvationen någonstans i intervallet [3,4]. Om , så ligger lösningen någonstans i intervallet [4,5]; I detta fall råkar det vara så att , vilket visar att  är en lösning till tredjegrads-ekvationen 

Denna metod att lokalisera lösningar till ekvationer kallas Intervallhalverings-metoden.

Bevis av Bolzanos sats
Vi antar att funktionsvärdet  är mindre än  och väljer ut ett godtyckligt tal, , som ligger mellan dessa värden: 
 
Associerat med detta tal bildar vi mängden 
 
(Mängden  är icke-tom, eftersom det innehåller talet : ) 

Talet  är en övre begränsning till mängden  – Det kan finnas flera övre begränsningar. Vi betecknar med symbolen  den minsta av alla möjliga övre begränsningar, det vill säga supremum över mängden :
 
(Supremum existerar eftersom paret  är en välordnad mängd.)

Vi skall visa att talet  har den önskade egenskapen att , genom att utesluta de två övriga möjligheterna  och 

Om funktionsvärdet  så är  också, om talet  ligger tillräckligt nära talet . Anledningen till detta är att funktionen  är kontinuerlig i punkten .
Kontinuiteten hos funktionen  i punkten  innebär att talet  ligger nära talet  :
 
om talet  ligger tillräckligt nära talet , 
 
Vi har tillåtelse att välja det positiva talet  som vi vill. Om vi väljer det positiva talet , så ser vi att 

Det går att välja talet  så litet att det öppna intervallet 
 
helt ligger innanför det slutna intervallet  .

Det finns alltså tal  i mängden  med egenskapen att . Eftersom  ligger i mängden , måste  vara mindre än varje övre begränsning av , speciellt måste  vara mindre än den minsta övre begränsningen av : Talet  Detta innebär att vi har fått en motsägelse: 

Talen  besitter de två motstridiga egenskaperna att  och 

Vi måste därför dra slutsatsen att det inte finns sådana tal. Men vi kunde hävda att sådana tal fanns, genom att vi utgick från att funktionsvärdet  Därför har vi lyckats visa att olikheten  inte gäller.

På liknande sätt som i fallet då , visar man att olikheten  inte gäller heller. Den enda möjligheten som återstår är att  vilket var vad vi ville bevisa. 

Eftersom talet  var godtyckligt valt, har vi härmed bevisat Bolzanos sats.

Källor

Satser inom reell analys
Kontinuerliga funktioner