Bernoullital

Bernoullitalen är en sekvens av rationella tal som ofta förekommer inom matematiken, främst inom talteori. De betecknas Bn och är för n = 0, 1, 2, ... lika med

1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ...

där täljarna och nämnarna ges av  respektive  i OEIS. Bortsett från att talen är noll för udda n större än två saknas ett enkelt uttryck för det n:te Bernoullitalet.

Historik

Bernoullitalen studerades i Europa först av Jakob Bernoulli (1654–1705) och namngavs därefter av Abraham de Moivre (1667–1754). De upptäcktes oberoende, och kanske ännu tidigare, av Seki Shinsuke Kowa (1637–1708).

Bernoullitalen har även en liten roll i datorernas historia, då Ada Lovelace 1842 beskrev en algoritm för att beräkna Bernoullital med den analytiska maskinen. Därmed var Bernoullitalen ämnet för ett av de första datorprogrammen någonsin.

Det största Bernoullital som beräknats år 2005 var B5000000. Nämnaren innehåller 27332507 siffror.

Förekomst i serier

Bernoullitalen kan definieras med den genererande funktionen

De förekommer i många andra Taylorserier, exempelvis för tangensfunktionen

samt för den hyperboliska tangensfunktionen

Bernoullitalen är en viktig komponent i Euler-Maclaurins formel 

som används för att omvandla svåra integraler till mer lätthanterliga summor, eller omvänt att omvandla långsamt konvergerande serier till integraler. Bernoullitalen figurerar som en följd i otaliga serier som kan härledas med hjälp av Euler-Maclaurins formel, exempelvis den utökade versionen av Stirlings formel för gammafunktionen samt ett flertal formler för Eulers konstant.

Följande resonemang av Adrien-Marie Legendre kan användas för att motivera Bernoullitalens förekomst i Euler-Maclaurins formel: Differensoperatorn Δ kan skrivas

där D är differentialoperatorn och I är identitetsoperatorn. Eftersom summationsoperatorn Σ är invers till differensoperatorn gäller att

.

Högerledet är väsentligen Bernoullitalens genererande funktion, och därmed är

En fullständig härledning är dock omständligare.

Summa av potenser
Bernoullitalen kan användas för att skriva summan av m:te potenserna av de n första positiva heltalen. För m, n ≥ 0 definiera

Då säger Bernoullis formel att

 

där B1 = +1/2 .

Samband med Riemanns zetafunktion

Bernoullitalen är intimt sammanbundna med Riemanns zetafunktion, ζ. Likheten

innebär att zetafunktionen av ett positivt jämnt heltal kan uttryckas på sluten form med hjälp av Bernoullitalen, eller omvänt att Bernoullitalen kan uttryckas på sluten form i termer av zetafunktionen. Leonhard Euler upptäckte formeln som en mer generell version av hans ursprungliga lösning till Baselproblemet.

På liknande sätt sammanbinder formeln

där n > 1, Bernoullitalen med zetafunktionen för negativa heltalsargument.

Tillväxthastighet

Eulers formel gör det möjligt att beräkna Bernoullitalen numeriskt med hjälp av serien för zeta-funktionen,

Eftersom  snabbt går mot 1 då s växer, utgör

där fakulteten ersatts med Stirlings formel i högerledet, en mycket god uppskattning av Bernoullitalens storlek för jämna index.

Talteoretiska egenskaper

De enda kända Bernoullital vars täljare är primtal är Bn för n = 10, 12, 14, 16, 18, 36, och 42 , med täljarna 5, -691, 7, -3617, 43867, -26315271553053477373, och 1520097643918070802691 .

Ett reguljärt primtal är ett primtal p som inte delar någon av täljarna i B2, B4, ..., Bp-3. Ernst Kummer visade 1850 att Fermats stora sats uppfylls för exponenter som är reguljära primtal. Johann Ludwig Jensen visade 1915 att antalet icke reguljära primtal är oändligt, men motsvarande resultat för de reguljära primtalen saknas.

Von Staudt-Clausens sats

Karl von Staudt (1798–1867) och Thomas Clausen (1801–1885) upptäckte oberoende av varandra att Bernoullitalen uppfyller

där An är ett heltal och pk det k:te primtalet. Med andra ord ges det n:te Bernoullitalet av ett heltal plus en summa över inversen till alla primtal pk sådana att pk-1 delar n. Av von Staudt-Clausens sats följer omedelbart att alla Bernoullitalens nämnare är kvadratfria och delbara med 6.

En viktig tillämpning av von Staudt-Clausens sats är beräkningen av mycket stora Bernoullital. Genom att bestämma täljaren exakt med ovanstående formel och beräkna Bn numeriskt med hög noggrannhet kan även det exakta värdet för Bn fastställas, genom att avrunda det erhållna numeriska värdet för An till närmaste heltal.

Kombinatoriska identiteter

Bernoullitalen uppfyller en mängd rekursiva samband innehållande binomialkoefficienter, exempelvis

med begynnelsevärdet B0 = 1, vilket kan utnyttjas för att beräkna små Bernoullital (i praktiken upp till exempelvis B1000).

Srinivasa Ramanujan upptäckte även att

vilket kan utnyttjas för att snabba upp beräkningen av det n:te Bernoullitalet, då det räcker att först beräkna Bk för k < n som är kongruenta med n (mod 6).

Ytterligare identiteter på liknande form är

och

Samband med Eulertal

Genom att studera Bernoullitalens och Eulertalens asymptotiska tillväxt kan man bevisa att

 

Bernoullitalen kan skrivas med hjälp av Eulertalen och Eulertalen med hjälp av Bernoullitalen:

Övriga identiteter
Bernoullitalen kan skrivas som följande determinant:

.

Låt n ≥ 1. Då är (Leonhard Euler)

 

Låt n ≥ 1.  Då är (von Ettingshausen 1827)

 

Låt n ≥ 0.  Då är (Leopold Kronecker 1883)

 

Låt n ≥ 1 och m ≥ 1.  Då är (Carlitz 1968)

 

Låt n ≥ 4 och definiera

 ,

de harmoniska talen. Då är (H. Miki 1978)

 

Låt n ≥ 4. Då är (Yuri Matiyasevich 1997)

 

Faber-Pandharipande-Zagier-Gessel identiteten: för n ≥ 1,

 

Låt n ≥ 0 och [b] = 1 om b är sant, och 0 i övriga fall. Då är

och

Generaliseringar och relaterade sekvenser
 Bernoullipolynom
 Polybernoullital
 Eulertal

Referenser
 Julian Havil (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, .
 Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2002), "Introduction on Bernoulli's numbers", Numbers, Constants and Computation
 Eric W. Weisstein (2006), "Bernoulli Number", MathWorld.

Externa länkar

 Program för att beräkna Bernoullital
 De 10 000 första Bernoullitalen

Talteori