Permutationsmatris

En permutationsmatris är en kvadratisk matris som har precis en etta i varje rad och varje kolumn och vars övriga element är noll.

Permutationsmatriser är ortogonalmatriser, eftersom deras rader är omkastningar av raderna i en enhetsmatris och matriserna är således inverterbara.

Om en permutationsmatris multipliceras med en vektor permuteras vektorns rader eller kolumner beroende på om matrisen står till vänster eller höger om multiplikationstecknet.

Alla permutationer i den symmetriska gruppen  kan skrivas som en n × n-permutationsmatris och dessa matriser bildar en grupp under matrismultiplikation, med enhetsmatrisen som neutralt element. Inversen till en permutation med matrisen P ges av , där T betecknar transponat.

Matrisspåret av en permutationsmatris är antalet fixpunkter för permutationen.

Definition
Givet en permutation π av m element,

representerad i form av två rader av 

finns det två naturliga sätt att associera permutationen med en permutationsmatris, nämligen att starta med en m × m enhetsmatris, Im och endera permutera kolumnerna eller raderna i Im i enlighet med . Båda sätten att definiera en permutationsmatris förekommer i litteraturen och egenskaperna uttryckta i den ena representationen kan enkelt översättas till den andra representationen. Denna artikel behandlar blott den ena representationen med undantag av när det finns särskilda skäl för att uppmärksamma skillnaden.

m × m-permutationsmatrisen P = (pij) erhållen genom permutation av kolumnerna av idetitetsmatrisen Im, det vill säga, för varje i är pij = 1 om j = (i) eller 0 i övriga fall, kommer att refereras till som kolumnrepresentation i denna artikel. Då elementen i rad i är alla 0 med undantag för en 1:a som förekommer i (i), kan vi skriva

där , en standardbasvektor, betecknar en radvektor av längden m med 1 i position j och 0 i övriga positioner.

Exempelvis är, permutationsmatrisen P svarande mot permutationen  

Observera att kolumn j av I5 i identitetsmatrisen nu uppträder som (j)-kolumnen hos P.

Den andra representationen, erhållen genom permutering av raderna hos identitetsmatrisen Im, det vill säga, för varje j, är pij = 1 om i = (j) och 0 i övrigt,  refereras till som radrepresentationen.

Egenskaper 
Kolumnrepresentationen av en permutationsmatris används genomgående i detta avsnitt om inte annat anges. 

Att multiplicera  med en kolumnvektor g permuterar vektors rader:

Upprepad användning av detta resultat visar att om  är en korrekt dimensionerad matris, är produkten,  en permutation av raderna i . Emellertid, observationen att 

för varje  visar att permutationer av rader ges av −1.

Då permutationsmatriserna är ortogonala matriser (exempelvis, ), existerar den inversa matrisen och kan skrivas som

Multiplikation av en radvektor med   permuterar vektorns kolumner:

Återigen, upprepad tillämpning av detta resultat, det vill säga, multiplikation av en matris  med permutationsmatrisen , enligt , resulterar i en permutation av M:s kolumner. Notera också att

Givet två permutationer  and  av  element, är de motsvarande permutationsmatriserna  and  som verkar på kolumnvektorer, komponerade enligt

Samma matriser verkande på radvektorer (multiplikation enligt mönstret  ) är sammansatta enligt samma regel

För klarhets skull, ovanstående uttryck använder prefixnotation för permutationssammansättningar, det vill säga

Låt  vara permutationsmatrisen som svarar mot  i dess radrepresentation. Egenskaperna hos denna representation kan bestämmas från de med kolumnrepresentation då  Speciellt, 

Från detta följer 

och på liknande sätt,

Exempel

Permutation av rader och kolumner
När en permutationsmatris P multipliceras från vänster med en matris M (PM) permuterar den M:s rader (här, en kolumnvektors element),

när P multipliceras från höger med M (MP) kommer den att permutera M:s kolumner (här, en radvektors element):

Permutation av rader
Permutationsmatrisen Pπ motsvarande permutationen
 är

Givet en vektor g,

Referenser

Noter

Matriser
Permutationer