Implicita funktionssatsen

Den implicita funktionssatsen är ett verktyg inom flervariabelanalys som i stor utsträckning handlar om att ge en konkret parameterframställning åt implicit definierade kurvor och ytor.
Satsen är nära besläktad med den inversa funktionssatsen och är en av den moderna matematikens viktigaste och äldsta paradigm. Ursprunget till idén för den implicita funktionssatsen finns i skrifter av Isaac Newton (1642-1727) och Joseph Louis Lagrange (1763-1813) tog fram en sats som i grund och botten är en version av den implicita funktionssatsen. Dock var det Augustin Louis Cauchy (1789-1857) som först närmade sig den implicita funktionssatsen strikt matematisk och är allmänt erkänd som satsens upptäckare. 
Satsen formulerades först med termer från komplex analys och komplexa potensserier men har med tiden utvecklats. Med växande intresse och djupare förståelse för reell analys så växte en ny form av satsen fram med reella variabler. Denna version generaliserades slutligen av Ulisse Dini (1845-1918) till att gälla för funktioner av godtyckligt antal variabler.

Inledande exempel
Nivåkurvan

utgör inte en funktionsgraf då det för varje x större än -1 och mindre än 1 svarar två olika y-värden. I de allra flesta fall kan dock x2 + y2 = 1 lokalt tolkas som en kurva av formen y = f(x). Om (a, b) är en punkt på kurvan x2 + y2 = 1 och finns i området där y är större än noll och definitionsmängden för kurvan inskränks till en omgivning kring (a, b) så blir 

Då y är mindre än noll och (a, b) är en punkt i detta område samt kurvans definitionsmängd inskränkts till en omgivning kring (a, b) definierar F(x, y) = 1 på likartat sätt funktionssambandet 
 

Notera att det inte finns några omgivningar kring punkterna (-1, 0) och (1, 0) som definierar en funktion y = f(x).

Den implicita funktionssatsen
Låt F(x, y) vara en reellvärd C1-funktion definierad i en omgivning kring punkten (a, b).

Vi antar att F(x, y) uppfyller de båda villkoren 

Då gäller: 
Det finns en öppen omgivning U kring (a, b) och en entydigt bestämd C1-funktion, y = f(x), som uppfyller 

och som implicit definieras av restriktionen av nivåkurvan till .

Derivatan för denna funktion blir

Anmärkningar
Konstanten C kan ersättas med 0 utan förlust av generalitet eftersom 

Notera även att om F’x(a, b) ≠ 0 kan rollerna för x och y bytas. Då definierar ekvationen  på motsvarande sätt en funktion  i en omgivning av punkten .

Fler än två variabler
Det finns även en motsvarighet för funktioner av fler än två variabler. För funktionen F(x,y,z) är villkoret  tillräckligt för att man lokalt kring  skall kunna anse att sambandet

är en funktionsyta 

med partiella derivator

Bevis
Då matematiker fick bättre och bättre förståelse för den implicita funktionssatsen framkom det alternativa bevis samt en mängd generaliseringar av satsen. Bevis kan till exempel utföras genom utnyttjande av den inversa funktionssatsen.

Exempel
Betrakta nivåkurvan y5 + xy - 4  0 och punkten (3, 1). Då

finns det enligt satsen en kontinuerlig och deriverbar funktion i en öppen omgivning av (3, 1) sådan att y = f(x). Derivatan av denna funktion är

Speciellt

Referenser
Persson, Arne; Lars-Christer Böiers: Analys i flera variabler, Studentlitteratur, 2005, sid. 146-151. .
Krantz, Steven G; Harold R. Parks: The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Application, Birkhauser Boston 2002. 

Satser inom reell analys