Tredjegradsekvation

En tredjegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen 

(vanligen för reella koefficienter a, b, c och d). Lösningsformeln till dessa kallas Cardanos formel, efter Hieronymus Cardanus.

En tredjegradsekvation med reella koefficienter har tre lösningar, av vilka minst en (och annars alla tre) tillhör de reella talen.

Lösning för reella koefficienter
Ekvationen kan skrivas om på formen 

Genom substitutionen 
 
kan ekvationen reduceras till formen

där 
 
och 

Genom att bilda diskriminanten

och sedan

fås rötterna till den ursprungliga ekvationen som

Historik
Via studierna av lösningarna till tredjegradsekvationen kom matematiker för första gången i kontakt med den imaginära enheten, i, som slarvigt kan skrivas , vilket senare gav upphov till den gren inom modern matematik som kallas komplex matematisk analys.

Det visar sig att lösningsformeln ger representationer av reella tal i termer av uttryck involverande uttrycket , vilket till exempel sker om man tillämpar vissa andra lösningsformler på ekvationen , varvid uttrycket

dyker upp. Trots detta har ekvationen lösningarna
.

Det var mysterier av detta slag som ledde matematiker till att så småningom introducera begreppet komplexa tal.

Många nutida läroböcker inom matematik för gymnasieskolan introducerar symbolen i som en av lösningarna till andragrads-ekvationen . Det var dock inte alls denna ekvation som ledde forna tiders matematiker att introducera komplexa tal, då de ansåg att ekvationen  var meningslös.

del Ferros formel
Matematikern Scipione del Ferro (1465-1526), som var verksam vid universitetet i Bologna, kunde reducera varje tredjegrads-ekvation

till en tredjegrads-ekvation som saknar andragrads-term på samma sätt som ovan:

genom att sätta
,
vilket ger
 och .

Första steget mot lösningen av ekvationen  består i att skriva det okända talet x som en summa av två tal: . Detta ger oss ekvationen

del Ferros idé var att skapa en ekvation som är bestämd av p och en ekvation som är bestämd av q. Han lade till villkoret att 3uv + p = 0 som ger följande ekvationssystem:

Ekvationen  gör att man kan skriva v som 
 
Om detta sätts in i ekvationen  så fås ekvationen

Denna andragrads-ekvation i variablen u3 har de två lösningarna

Eftersom u kan bytas ut mot v i lösningen ovan kan v tas att vara den andra roten. Sambandet  ger oss slutligen en lösning till tredjegrads-ekvationen :

Det skall nämnas att del Ferro endast studerade ekvationer  med positiva koefficienter p och q. Sådana ekvationer har endast en reell lösning, vilket kan visas med hjälp av begreppet derivata och Bolzanos sats om mellanliggande värden.

Derivatan till funktionen  är  vilket är ett positivt tal oavsett värdet på det reella talet x. Detta visar att funktionen f är strängt växande. Talet  är negativt, eftersom q är ett positivt tal. Vidare gäller att om väljer ett tal a som är tillräckligt stort, blir talet f(a) positivt. 

Eftersom funktionen f är kontinuerlig, säger Bolzanos sats om mellanliggande värden att funktionen f antar alla värden som ligger mellan talen -q och f(a). Speciellt antar funktionen värdet noll (0) för något värde x som ligger mellan talen 0 och a. Detta tal, x, är därför en lösning till ekvationen , det vill säga . Det faktum att funktionen f är strängt växande innebär att detta är den enda lösningen till tredjegrads-ekvationen.

Det är när man tillåter negativa koefficienter p och q i ekvationen  som intressanta saker inträffar med del Ferros formel.

Härledning av de (möjligen) komplexa rötterna
Låt  vara den reella roten,  till ekvationen  Då kan polynomfunktionen  skrivas som en produkt 

En kvadratkomplettering av andragradspolynomet  visar att

En tillämpning av konjugatregeln ger slutligen följande faktorisering av tredjegradspolynomet  i förstagradspolynom:

Denna faktorisering visar att tredjegradspolynomet  har tre distinkta reella rötter om ; Det har två distinkta reella rötter om   och det har en reell rot och två distinkta komplexa rötter om

Komplexa representationer av reella tal
Betrakta tredjegrads-ekvationen  igen. del Ferros formel ger, med koefficienterna p = -15 och q = 4, resultatet

När man ser ett sådant svar, innehållande kvadratroten ur ett negativt tal, kan man lätt tro att ekvationens lösningar kommer att vara komplexa tal och att man borde ha varit noggrannare. I själva verket är det så att ekvationen 
 
har tre reella lösningar:
 
Uttrycket

är alltså ett av dessa tre tal. Vilket av dem det är, är mindre intressant; det intressanta är att vi här har ett exempel där uttrycket  är involverat i beskrivningen av ett reellt tal.

Se även 
Algebraisk ekvation
Andragradsekvation
Fjärdegradsekvation

Källor
Kunskapsbanken - Stockholms universitet

Externa länkar 

Grundläggande algebra
Ekvationer