Sigma-algebra

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse för studier inom måtteori och integrationsteori.

Syftet med en sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som går att mäta. En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig hur ett föremål är beskaffat, är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Det går det inte att splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras, är en sigma-algebra. Genom att utesluta vissa "mycket konstiga" delmängder av X erhålls en sigma-algebra som är mycket lättare att hantera.

Formell beskrivning 

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj  av delmängder av X som är sådan att 
  är icke-tom: 
  är sluten under komplementsbildning: . 
  är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna  tillhör , är deras union  också ett element i .

Om  är en sigma-algebra i X kallas ofta paret  ett mätbart rum.

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X. 

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Snitt och unioner av sigma-algebror 

Låt  och  vara två sigma-algebror på mängden X. 
 Snittet  är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både  och . 
 Unionen  är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Följande exempel visar att familjen  inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att familjerna  och  är det.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa sigma-algebror är familjen 

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i familjen .

Sigma-algebra genererad av familj av delmängder 

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, , av olika storlekar som har familjen C som en del av sig:
 
Den minsta av dessa sigma-algebror kallas sigma-algebran genererad av familjen C och betecknas ; den är definierad som snittet av alla sigma-algebror som omfattar C:

Exempel: Borel sigma-algebra 

Ett exempel på en sigma-algebra som är genererad av en familj av delmängder ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

Exempel: Produkt sigma-algebra 

Låt  och  vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten  skall en sigma-algebra konstrueras baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna  och .
En första tanke kanske är att bilda familjen  bestående av alla produkter , där A är ett element i F och B ett element i G:
 

Denna familj behöver inte vara en sigma-algebra på  bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar. 

Låt  = { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och  = { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen 

 

Om vi tar de två elementen  och , så måste deras union 
 
vara ett element i familjen om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten .

Den korrekta definitionen av produkt-σ-algebran på  är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen  ovan; den vanligast förekommande beteckningen för denna är

Sigma-algebra genererad av en avbildning 

Låt  vara en avbildning från det mätbara rummet  till det mätbara rummet . Detta innebär att familjen  är en delfamilj av sigma-algebran . Elementen i denna familj ser ut på följande sätt:

De utgör en sigma-algebra på mängden X – faktum är att detta är den minsta sigma-algebra på X som gör f till en mätbar avbildning.

Man kallar den för sigma-algebran genererad av avbildningen f och skriver σ(f):

Sigma-algebra genererad av flera avbildningar 

Låt  och  vara två avbildningar från det mätbara rummet  till det mätbara rummet . 

Unionen  av det två sigma-algebrorna  och  är inte nödvändigtvis själv en sigma-algebra på ; det är däremot sigma-algebran 

.

Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av avbildningarna f och g, och skriver 

.

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran  genererad av avbildningar  från det mätbara rummet  till det mätbara rummet .

Doob-Dynkins lemma 

Låt f och g vara två avbildningar från det mätbara rummet  till det mätbara rummet :
 

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f om, och endast om, det finns en mätbar avbildning F som "sammanbinder" avbildningarna f och g:

Skrivet på "matematiska":

Bevis av Doob-Dynkins lemma 

Antag att avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av avbildningen f: 

Varje element  motsvaras då av ett element  som är sådant att 

Denna association definierar en mätbar avbildning,  på mängden Y:

Denna avbildning "sammanbinder" de två avbildningarna f och g:

Matematisk analys
Måtteori