Fjärdegradsekvation

En fjärdegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen

där a ≠ 0.

Fjärdegradsekvationen har alltid fyra lösningar (rötter) räknade med multiplicitet. Om koefficienterna a, b, c, d och e alla är reella tal kommer även antingen alla fyra lösningarna, två av lösningarna eller ingen av lösningarna vara reella tal.

Fjärdegradsekvationen är den högsta graden av polynomiell ekvation som är lösbar i den generella formen av radikaler.

Bakgrund 
Den allmänna fjärdegradsekvationen löstes först efter det att den generella lösningsskissen för tredjegradsekvationen tagits fram. Detta skedde på 1500-talet av Cardanos elev L. Ferrari, men publicerades av Cardano i Ars Magna år 1545. Principen för lösningen av fjärdegradekvationen är att transformera den till en tredjegradsekvation och sedan lösa denna enligt lösningen för tredjegradsekvationer.

Lösningsskiss 

Det enklaste sättet att lösa en fjärdegradsekvation är att hitta en rot (r) och sedan dividera ekvationen med (x − r), för att på så sätt få en tredjegradsekvation som blir lättare att lösa.

Enklare fall

Begränsat fall 
Om e (konstanttermen) = 0 så kommer även en av rötterna att vara x = 0, och övriga rötter kan då finnas genom att dividera polynomet med x och sedan lösa den tredjegradsekvation man då får.

Uppenbara rötter: 1, −1 och −k 
Antag att P(x) är en fjärdegradsekvation. Då  är . Därav följer att om  så är P(1) = 0 och därigenom är x = 1 en rot till P(x). På samma sätt gäller även att om  så är x = −1 en rot.

Om b är en multipel (k) av a, e är en multipel (k) av d och c = 0, så är även x = −k en rot till ekvationen. Detta följer om ekvationen skrivs
.

Om polynomet i exemplen divideras med (x − 1), (x + 1) respektive (x + k), fås en tredjegradsekvation som sedan löses för att få fram övriga rötter.

Bikvadratisk ekvation 
En fjärdegradsekvation där b och d är lika med 0 (alltså ) löses enkelt genom ett variabelbyte (), som ger oss en andragradsekvation  som sedan löses på sedvanligt sätt. Observera att lösningen av  ger oss 1 eller 2 rötter, som sedan vid insättning i  ger oss 2 eller 4 rötter.

Halvsymmetrisk ekvation 

Om vår fjärdegradsekvation ser ut enligt följande, så har vi en halvsymmetrisk ekvation:
 

En halvsymmetrisk ekvation löses genom att första dela ekvationen med x 2 och sedan genomföra ett variabelbyte (z = x + m/x). Då får man åter igen en andragradsekvation som enkelt löses enligt gängse rutin.

Allmän lösning, enligt Ferraris modell 

Ferrari fann en metod för att lösa fjärdegradsekvationer som kan ta fram samtliga rötter oavsett multiplicitet. 

Först konverteras fjärdegradsekvationen till en komprimerad fjärdegradsekvation.

Konvertering till en komprimerad fjärdegradsekvation 
Båda leden i ekvationen divideras med a,

Nästa steg är att eliminera x3-termen, vilket görs genom variabelbytet

vilket ger

Därefter utvecklas ekvationen:

Efter förenkling erhålls

Därefter ges koefficienterna till u beteckningar enligt

Resultatet blir

vilket är en komprimerad fjärdegradsekvation.

Om  så är ekvationen en Bikvadratisk ekvation, vilket enkelt löses enligt ovan.

Om  så är en av rötterna u = 0, vilket är ett begränsat fall, vilket också löses enkelt enligt ovan.

Ferraris lösning 
Om både  och  så kan den komprimerade fjärdegradsekvationen lösas enligt Lodovico Ferraris metod.
När fjärdegradsekvationen är komprimerad adderas 

till ekvation (1), vilket ger

Nästa steg är att addera en variabel y i parentesen i vänstra ledet i ekvation (2), och en motsvarande term 2y i koefficienten till u2-termen på högra sidan. Detta kan ske med hjälp av följande två samband i ekvation (2):

och

Adderas dessa två samband erhålls

som efter addition med ekvation (2) ger

vilket är ekvivalent med

Nästa steg är att välja ett värde på y så att det högra ledet av ekvationen (3) blir en perfekt kvadrat. Detta görs enklast genom att låta diskriminanten av den kvadratiska funktionen bli noll. 

För att göra om det högra ledet av ekvation (3) till en perfekt kvadrat måste följande ekvation lösas:

Multiplicera ihop parenteserna

Dividera båda sidorna med −4, och flytta −β2/4:

vilket är en tredjegradsekvation i y, i vilken båda leden delas med 2,

Genom ytterligare ett variabelbyte 
 
blir ekvation (4)

Expansion och förenkling ger ekvationen

Koefficienterna ges beteckningar enligt

vilket ger tredjegradsekvationen

Lösningarna till ekvation (5), (vilken som helst fungerar med valfri komplex rot) räknas ut enligt

där

och V räknas ut enligt definitionerna som 
 
och 

Detta ger att 

Med y given av ekvation (6) är det klart att det högra ledet av ekvation (3) är en perfekt kvadrat av formen 

(Detta gäller oavsett valt tecken framför rottecknen om samma tecken väljs för båda)

Detta gör att ekvationen kan skrivas om enligt
.
Observera: Om β ≠ 0 så är α + 2y ≠ 0. Om β = 0 så skulle detta vara en bikvadratisk ekvation, vilket redan har behandlats.

Ekvation (3) kan därför skrivas:
.

Förenkling, utveckling och samlande av termer ger ekvationen
.
Anmärkning: Index s i  och  är där för att visa att de beror på varandra.

Ekvation (8) är en andragradsekvation till u med lösningen

Förenklas denna lösning något erhålls slutligen

Vilket ger lösningen på den ursprungliga fjärdegradsekvationen:

Kom ihåg att de två  kommer från ekvation 8 och skall ha samma tecken, medan  kan vara både positiv och negativ, oberoende av .

Sammanfattning av Ferrari's lösningsmetod 
Om vi har en given ekvation:

så kan man få ut dess lösningar med hjälp av följande beräkningar:

Om  så får vi

Om , så får vi istället:

(Både plus och minus framför rottecknet fungerar.)

(Har tre komplexa rötter, vilken som av dessa fungerar)

Båda ±s måste ha samma tecken medan ±t är oberende av de andra två. För samtliga lösningar, beräkna x med samtliga kombinationer av plus och minus för ±s och ±t.

Femtegradsekvation 
Fjärdegradsekvationen är den ekvation av högst grad som är lösningsbar enligt en generell mall där endast de fyra räknesätten och rotutdragning används. Detta visade Paolo Ruffini, men då hans resonemang hade vissa brister har beviset tillskrivits Niels Henrik Abel, norsk matematiker. Abel bevisade snarare att femtegradsekvationen är omöjlig att lösa enbart genom algebraiska operationer.

Källor 

 Weisstein, Eric W. "Quartic Equation." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com
 Thompson, Jan, Matematiklexikon (1991), Whalström och Widstrand, 

Algebra
Ekvationer