L'Hôpitals regel

L'Hôpitals regel är en matematisk metod som kan göra det enklare att beräkna vissa gränsvärden. Den har fått sitt namn efter den franske matematikern Guillaume François Antoine l'Hôpital.

Historik 

Markis Guillaume François Antoine l'Hôpital utbildades i matematisk analys, den så kallade Leibnizskolan av analysen, av Johann Bernoulli under dennes tid i Paris 1692. När Bernoulli skulle resa så ingick han i ett avtal med l'Hôpital om att han i utbyte mot en årslön på 300 franc skulle delge alla sina upptäckter till markisen, att använda som denne önskade.

1696 gav l'Hôpital ut en bok i matematisk analys kallad Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (ungefär Analysen av de minsta delarna för förståelse av de böjda linjerna) där bland annat regeln som kom att kallas l'Hôpitals regel fanns nedskriven. Mycket i boken hade l'Hôpital fått hjälp med av både Bernoulli och Leibniz  och i boken tackade han speciellt "den unge professorn vid Groningen" (vilket Bernoulli hade blivit utnämnd till 1695), Bernoulli tackade l'Hôpital för denna omnämning per brev, men anklagade honom för plagiat kort efter dennes död. Samtida matematiker fann Bernoullis anklagelser för ogrundade, men i efterhand har brevkorrespondens hittats som tyder på att l'Hôpital hade fått mycket av matematiken från Bernoulli.

Satsen 

Låt f och g vara två funktioner  med följande egenskaper i närheten av ett fixerat reellt tal .
, alternativt .
Derivatorna  och  existerar på två öppna intervall  och  och derivatan  har konstant tecken på vardera intervall.
Gränsvärdet  existerar.

Då gäller följande ekvation:
.

Satsen gäller även om det fixerade talet  är det "reella talet"  eller .

Bevis

Beviset av l'Hopitals regel är en tillämpning av Cauchys medelvärdessats, som säger att om  och  är två funktioner, deriverbara på intervallet  och kontinuerliga på intervallet , och derivatan av  är skild från noll på intervallet, så finns det ett tal , sådant att

.

För fallet "oändligheten delat med oändligheten" 

Vi tittar på två punkter  och  sådana att  eller . 
Vi vet då genom medelvärdessatsen att vi kan beskriva derivatan som: 

 för ett  eller .

Vi kan då skriva om uttrycket till 

Om vi sedan låter y gå mot c så att  går mot sitt gränsvärde och att  för alla  mellan  och .

Härnäst låter vi  och ser därmed att uttrycket antar formen

För fallet "noll delat med noll" 

Vi definierar  detta förändrar inte ekvationen.
Vi tittar därefter på en punkt  nära  och vi ser då att enligt satsen om mellanliggande värde så kan vi skriva om ekvationen på formeln:

då kan vi även skriva att 

vilket bevisar regeln.

Inte ett bevis 

L'Hôpitals regel kan inte användas för att bevisa ett gränsvärde då man redan innan måste veta uttryckets gränsvärde.

Detta faktum visas bäst med ett exempel:
 
Vi vet att då gränsvärdet är ett standardgränsvärde att det konvergerar till värdet 1 samt att båda funktionerna går mot noll och att de är deriverbara.

Vi använder l'Hôpitals regel och får   
vilket vi vet konvergerar mot värdet 1, men vad händer om vi tittar lite närmare på exemplet?

Derivatan av  är enligt derivatans definition 

vilket, då  går mot noll, blir 

och vi är därmed tillbaka i samma problem som tidigare.

Detta leder till en logisk cirkularitet (beviset hänvisar till sig självt) och leder därmed till att det är inkorrekt. L'Hôpitals regel är därmed endast en minnesregel.

Exempel 

För att illustrera hur regeln tillämpas kan vi titta på lite exempel:

 

Detta kan vi räkna ut med  Maclaurinutvecklingen  (Taylorutvecklingen runt noll) genom variabelsubstitutionen .  

Detta ger oss: 

Vi kan sedan tillämpa att  för att få uttrycket 
.

För att skriva om uttrycket på en enklare form använder vi oss sedan av Maclaurinutvecklingen av grad 3 för sinus. 

Maclaurinutvecklingen för sinus ser ut som: 

det vill säga 

Detta ger oss följande uttryck:

 
som vi sedan kan binomialutveckla till 

 

som sedan skrivs om till

Gränsvärdet går alltså mot 0 då x går mot 0.

Om vi istället skulle försöka lösa problemet med l'Hôpitals regel ser vi att alla krav är uppfyllda, så vi kan skriva:

Vilket är betydligt smidigare att räkna ut (förutsatt att vi vet derivatan av )

Exempel då regeln inte kan tillämpas 

Det finns dock ett antal tillfällen då regeln inte kan tillämpas, till exempel då man inte har tillgång till en funktions derivata. Det finns dessutom ett antal gränsvärden som det inte går att tillämpa l'Hôpitals regel på med anledning av att detta får sagda funktion att "gå i cirklar" (oscillera mellan två värden) eller resulterar i ett felaktigt värde. 

Ett exempel:

 

Vi ser att alla förutsättningar är uppfyllda så vi tillämpar l'Hôpitals regel och får:

Vi ser nu att vidare uträkningar med hjälp av l'Hôpitals regel är av ringa värde.

Referenser

Noter

Källor 
Råde, L. och Westergren, B., BETA Mathematics handbook, 2ed, 1990, Studentlitteratur, sid. 123

Satser inom reell analys