Triangel

Triangeln (trigon) är en tresidig polygon och en av de grundläggande geometriska formerna. En triangel begränsas av tre räta linjer vars skärningpunkter bildar triangelns hörn.

Triangelns hörn betecknas vanligen med A, B, C och motsvarande vinklar med . Triangeln kan refereras till som triangeln ABC eller betecknas .

Sidan a säges vara motstående sida till hörnet A och vinkeln . Hörnet A sägs vara motstående hörn till sidan a.

Semiperimetern är triangelns halva omkrets eller

Artikeln behandlar trianglar i planet; trianglar på sfäriska och hyperboliska ytor har särskilda artiklar.

Typer av trianglar 

En triangel är
Spetsvinklig om alla vinklar är mindre än 90 grader
Rätvinklig om en vinkel är rät (90 grader eller  radianer)
Trubbvinklig om en av vinklarna är större än 90 grader

Likbent om två sidor är lika långa
Liksidig om alla sidor är lika långa

Vinklar 

Supplementvinkeln till en vinkel i en triangel kallas yttre vinkel.

Vinkelsumma 

En linje som dras genom ett av triangelns hörn och är parallell med motstående sida, visar att triangelns vinkelsumma är 180 grader.

Höjder 
En triangels höjder är normaler dragna från en sida, eller en sidas förlängning, till motstående hörn. Höjderna skär varandra i en punkt.

Höjden mot sidan a har längden

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).
Övriga längder beräknas på motsvarande sätt.

Bisektriser 

En bisektris delar en av triangelns vinklar i två lika delar.

Bisektrisen till en yttre vinkel kallas yttre bisektris.

Bisektriserna skär varandra i en punkt som också är den inskrivna cirkelns centrum.

Bisektrisens längd 

Längden av bisektrisen från hörnet A är

Bisektrissatsen 
En bisektris delar motstående sida i samma proportioner som längderna av de sidor som bildar den delade vinkeln:
 (1)
Drag sidan CD med längden AC parallell med sidan AB. Då är trianglarna CDE och ABE likformiga och sambandet (1) följer.

Medianer 

Medianen är en linje från ett av triangelns hörn till motstående sidas mittpunkt. Medianerna skär varandra i triangelns geometriska tyngdpunkt.

Medianernas längder är

Area 
Triangelns area är en höjd multiplicerad med motsvarande sida dividerat med 2 eller

Arean kan också beräknas med herons formel som

där s är semiperimetern (triangelns halva omkrets).

Arean kan även beräknas med den trigonometriska sinusfunktionen enligt areasatsen

Med integral 

Arean av en triangel kan beräknas med integralen

Med vektorer 

Arean av en parallellogram i ett tredimensionellt euklidiskt rum kan beräknas med hjälp av vektorer. Låt vektorerna AB och AC svara mot sträckan från A till B respektive A till C. 
Arean av parallellogrammen ABCD är

vilket är magnituden av kryssprodukten av vektorerna AB och AC.
Arean av triangeln ABC är hälften av denna

Triangelns area kan med hjälp av skalärprodukt skrivas som

I en tvådimensionell euklidisk rymd kan vektorn AB skrivas som (x1,y1) och AC som (x2,y2), vilket ger arean som

Samband mellan sidor och vinklar

Cosinussatsen 
 
 

Om till exempel vinkeln  är rät och då  erhålls Pytagoras sats

Sinussatsen

Tangenssatsen

Cirklar

Omskrivna cirkeln 

Den omskrivna cirkelns centrum ligger i skärningspunkten av sidornas mittpunktsnormaler och

dess radie är

Inskrivna cirkeln 

Den inskrivna cirkelns mittpunkt är bisektrisernas skärningspunkt och dess radie är

där s är semiperimetern.

Vidskrivna cirkeln 

Bisektrisen från A och bisektrisen från B'''s yttre vinkel skär varandra i den vidskrivna cirkelns mittpunkt.
Den vidskrivna cirkelns radie om cirkeln tangerar sidan a är

där T är triangelns area och s semiperimetern.

 Kongruensfall 
Två trianglar är kongruenta om de kan fås att sammanfalla genom rotation, translation och spegling.

Första kongruensfallet (SVS, sida-vinkel-sida)
Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och ∠A = ∠A', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.

Andra kongruensfallet (SSS, sida-sida-sida)
Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', AC = A'C' och BC = B'C', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.

Tredje kongruensfallet (VSV, vinkel-sida-vinkel)
Om för ∆ABC och ∆A'B'C' gäller att AB = A'B', ∠A = ∠A' och ∠B =∠B', så är ∆ABC kongruent med ∆A'B'C'.

 Likformighet 

Om det för två trianglar med sidorna

 respektive , existerar ett tal  , en skalfaktor, sådant att

sägs trianglarna vara likformiga.

Likformighet betecknas

Första likformighetsfallet (SVS, Sida-Vinkel-Sida)
Om för två trianglar ABC och A'B'Coch

är trianglarna likformiga.

Andra likformighetsfallet (SSS, Sida-Sida-Sida)
Om för två trianglar ABC och A'B'C'''

är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet (VV, Vinkel-Vinkel)
Om för två trianglar ABC och A'B'C

är trianglarna likformiga. Den tredje vinkeln C följer av att summan av alla vinklar i en triangel är 180 grader.

Triangelns tyngdpunkt 

En triangelformad ytas masscentrum (tyngdpunkt) ligger på en tredjedel av höjden räknat från basen.

Medianernas skärningspunkt sammanfaller med masscentrum.

Tyngdpunktens avstånd till en sida kan beräknas med en integral. Vi kan anta att ytdensiteten (massa per areaenhet) är = 1. Arean  utövar då momentet  med avseende på origo, vilket för hela triangeln ger

där A är triangelns area. Det moment triangeln utövar kan anses angripa i tyngdpunkten vilket ger

Med lodlina 

Det går att finna ett tunt och plant föremåls tyngdpunkt med hjälp av en lodlina. Lodlina och (i detta fall) triangel hängs fritt från en fästpunkt och lodlinjen markeras. Detta upprepas för en andra fästpunkt. Lodlinjernas skärningspunkt är tyngdpunktens läge.

Se även 
 Triangulering
 Geometri
 Polygon
 Pythagoras sats
 Hyperbolisk triangel
 Sfärisk triangel
 Sierpinskitriangel
 Herons formel
 Cirkel
 Trigonometri
 Areasatsen
 Sinussatsen
 Cosinussatsen
 Märken för fångar i nazistiska koncentrationsläger

Källor
 Weisstein, Eric W. "Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

Externa länkar

Trigonometri
Polygoner
Grundläggande matematik