Ordinär differentialekvation

En ordinär differentialekvation (eller ODE) är en ekvation för bestämning av en obekant funktion av en oberoende variabel där förutom funktionen en eller flera av funktionens derivator ingår.

Till exempel ger Newtons andra rörelselag differentialekvationen

för rörelsen hos en partikel med massan m. Kraften F beror av partikelns position och därför finns den obekanta funktionen i differentialekvationens båda led.

Ordinära differentialekvationer bör skiljas från partiella differentialekvationer där det förekommer partiella derivator med avseende på flera oberoende variabler.

Ordinära differentialekvationer förekommer i många olika sammanhang såsom geometri, mekanik och astronomi. Många berömda matematiker har studerat differentialekvationer och bidragit till forskningsfältet, såsom Newton, Leibniz, flera i släkten Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert och Euler.

Mycket arbete har lagts ned på att finna lösningsmetoder till ordinära differentialekvationer.

I fallet då ekvationen är linjär med konstanta koefficienter kan den lösas med analytiska metoder (med "papper och penna"). Många intressanta differentialekvationer är icke-linjära och kan i allmänhet inte lösas exakt. Genom datorberäkningar (numerisk analys) kan lösningarna beräknas approximativt och ofta med godtyckligt hög noggrannhet.

Definition 
En allmän ODE har formen
,
för någon funktion . Genom att låta  vara en vektorvärd funktion går det att täcka in system av differentialekvationer.  kan anta värden i allmänna Banachrum men här behandlas endast fallet då . 

Ekvationen används vanligen på normalform vilket innebär att den skrivs

En ekvation på normalform kan reduceras till en ekvation av första graden 

genom att sätta 
.

Vanligtvis finns också ett begynnelsevärdesvillkor

Den obekanta funktionen  sägs vara den beroende variabeln och variabeln  den oberoende variabeln.

Existens och entydighet 
För att garantera existensen av lösningar till

i något intervall kring t0 räcker det att F är kontinuerlig.

För att lösningen ska vara entydig krävs det ytterligare villkor varav det mest använda är att F är Lipschitzkontinuerlig i den första variabeln.

Autonom ODE 
En ODE är autonom om den oberoende variabeln inte förekommer explicit. Ekvationerna

är exempel på autonoma ODE:s.
Exempel på en icke-autonom ODE:

där t är den oberoende variabeln.

Linjär ODE 
ODE:n

är linjär om F är linjär med avseende på alla former av den beroende variabeln y, det vill säga alla

Homogen och inhomogen ODE
Om högerledet är noll är ODE:n homogen:

där högerledet antas bestå av alla termer som endast beror av den oberoende variabeln. Om ODE:n inte är homogen kallas den inhomogen.

Lösningen till en inhomogen, linjär ekvation är summan av lösningarna till motsvarande homogena ekvation och den partikulära, alltså lösningen då högerledet är nollskilt:

Ekvationer av 1:a ordningen

Separabla ekvationer
Dessa är av formen

Ekvationen löses med direkt integration:

Exempel

Homogena ekvationer
Dessa kan skrivas

Ekvationen kan lösas genom substitution:

Ekvationen är separabel och

Exempel

, vilket efter återsubstitution av z ger

Linjära ekvationer
Linjära ekvationer är ekvationer av första graden i y och dess derivator:

Först löses den homogena ekvationen

vilken är separabel:

För att lösa den allmänna ekvationen, försöker man bestämma c som en funktion av x, så att

blir en lösning. Genom insättning fås

Exempel

Differentialekvationer av högre ordning
En ekvation av slaget

löses genom att integreras n gånger:

Exempel:

Linjära differentialekvationer
Ekvationen

är linjär då den obekanta funktionen och dess derivator uppträder linjärt. Om

är ekvationen homogen, annars inhomogen eller fullständig.

Linjära homogena differentialekvationer med konstanta koefficienter
Ekvationen

där alla  är konstanter, löses med ansatsen

Genom insättning finner man att  måste satisfiera karaktäristiska ekvationen:

vars lösning ger de n rötterna

Om alla rötterna är olika blir den allmänna lösningen

Finns det däremot multipelrötter, till exempel
 
blir den allmänna lösningen

Rötterna till karaktäristiska ekvationen kan naturligtvis vara komplexa, men om dess koefficienter är reella, blir rötterna parvis konjugerat komplexa. Det är då lämpligt att införa trigonometriska funktioner.

Exempel:

Om

så fås

där c3 och c4 är godtyckliga konstanter.

Linjära, fullständiga differentialekvationer med konstanta koefficienter
Den fullständiga lösningen är summan av lösningen till den homogena ekvationen

och den partikulära lösningen, det vill säga lösningen till

Först bestäms den homogena lösningen, till exempel som

Variation av konstanten
För att få lösningen till den fullständiga ekvationen antar man att  är funktioner av x och försöker bestämma dessa genom insättningar. y är en lösning om följande ekvationssystem är satisfierat:

Systemet löses för  och  bestäms genom integrering.

Exempel:

Karaktäristiska ekvationen blir

och den homogena lösningen blir därmed

Variera  och :

Ansatser
En ofta använd och bekväm metod är att bestämma den partikulära lösningen med en ansats, det vill säga, sätta upp ett uttryck för lösningen, där vissa obestämda element ingår och sedan bestämma dessa genom insättning.

Om  är ett polynom

görs ansatsen i form av ett polynom av grad m. Är

görs först substitutionen

i differentialekvationen.

Ansatsen är

om  inte är en rot till den karaktäristiska ekvationen. Är :ansatsen  en r-faldig rot, görs ansatsen
.

Om högerledet är en exponentialekvation

och k ej är en rot till den karaktäristiska ekvationen, görs ansatsen

Har den karaktäristiska ekvationen k som r-faldig rot, blir ansatsen

Exempel
Lös ekvationen

Lösningen till den homogena ekvationen är

Gör ansatsen

Sätt in denna funktion i differentialekvationen och jämför de olika x-potenserna. Då fås

eller

Den partikulära lösningen blir

Allmänna lösningen till den fullständiga ekvationen är alltså

System av ordinära differentialekvationer
Systemet

De sökta funktionerna är

och koefficienterna

är funktioner av den oberoende variabeln x.

Detta system har många egenskaper gemensamma med de linjära homogena differentialekvationerna. Man får på samma sätt lösningen till det fullständiga systemet, det vill säga då högerleden är funktioner

av den oberoende variabeln, genom att till lösningen av det homogena systemet addera en speciell lösning till det fullständiga systemet.

Man kan också använda metoden med variation av koefficienterena.

System med konstanta koefficienter
För korthets skull behandlas här endast system med tre obekanta funktioner.

Man gör ansatsen

Då fås följande villkor:

För lösbarhet fordras

Evaluering av determinanten ger 3 -värden,

som för enkelhets skull antas vara olika. Till vart och ett av dessa bestäms motsvarande -värden:

I var och en av dessa tre grupper kan ett värde väljas godtyckligt, till exempel

Allmänna lösningen blir

där

är godtyckliga konstanter.

Exempel
Lös systemet

Determinanten blir

med rötterna

vilket ger

Lösningen blir

Bibliografi 
 A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. 
 A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. 
 D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.
 Hartman, Philip, Ordinary Differential Equations, 2nd Ed., Society for Industrial & Applied Math, 2002. .
 W. Johnson, A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations, John Wiley and Sons, 1913, in University of Michigan Historical Math Collection
 E.L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications, 1958,  
 Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications,

Se även 
linjär differentialekvation
homogen differentialekvation
autonom differentialekvation
differentialekvationer av första ordningen
Partiell differentialekvation
Sturm-Liouvilles

Externa länkar 

Ordinära differentialekvationer