Analytisk geometri

Den analytiska geometrin är en gren av geometrin där algebraiska metoder från främst linjär algebra används för att lösa geometriska problem. Att de reella talens algebra kan användas för lösning av geometriska problem vilar på Cantor-Dedekinds axiom.

Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för beskrivningen av planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.

Koordinatsystem

Grundläggande för analytisk geometri är begagnandet av ett koordinatsystem. Vanligen används ett kartesiskt koordinatsystem .

Analytisk geometri i R2

Koordinatsystem och transformationer
Med (x, y) betecknas de ursprungliga koordinaterna och med (x', y') de nya.

Parallellförskjutning
Om x0, y0 är koordinaterna för origo i det nya systemet, så gäller:

Rotation
Om rotationsvinkeln  räknas positiv (den vinkel som positiva x-axeln behöver vridas för att sammanfalla med positiva y-axeln) blir transformationsformlerna

Avståndet mellan två punkter
Avståndet mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2) är

Arean av en triangel
Om triangelns hörn har koordinaterna (x1, y1),
(x2, y2) och
(x3, y3), är dess area

För att T skall vara positiv, måste punkterna (x1,y1),
(x2, y2) och
(x3, y3) följa på varandra i positiv led, det vill säga moturs.

Delning av en sträcka
Delas sträckan mellan punkterna (x1, y1) och (x2, y2), i förhållandet m/n blir delningspunktens koordinater

Vinkelkoefficienten för en rät linje
Låt  vara den vinkel en linje bildar med x-axeln. Om linjen går genom punkterna (x1, y1) och (x2,y2) blir vinkelkoefficienten

Räta linjens ekvation
Räta linjens ekvation är en förstgradsekvation i x och y och den allmänna formen är

Varje ekvation av första graden representerar en linje.

betyder en rät linje parallell med y-axeln och

är en linje parallell med x-axeln.

är en linje genom origo.

k-formen
Räta linjen kan skrivas på formen

om linjen ej är parallell med y-axeln, det vill säga B är nollskild. Här är k linjens vinkelkoefficient

och m y-koordinaten för linjens skärning med y-axeln.

Interceptformen
Interceptformens parametrar är linjens skärningspunkter med x-axeln respektive y-axeln och skrivs

där a är x-koordinaten för linjens skärningspunkt med x-axeln och b är y-koordinaten för linjens skärningspunkt med y-axeln eller

Normalformen

är normalformen för den räta linjen.
 och m bestäms ur

Kvadratrotens tecken väljs så att m blir positivt.

m är längden av normalen från origo till linjen och  är denna normals vinkel med x-axeln.

Avståndet från en punkt till en rät linje
Räta linjen skrivs på normalformen

Då är avståndet från punkten P med koordinaterna (x1,y1):

där tecknet + väljs om origo och P ligger på olika sidor om linjen.

Enpunktsformen
Ekvationen för en rät linje genom punkten (x1, y1) med vinkelkoefficienten k är

Tvåpunktsformen
Ekvationen för en rät linje genom punkterna (x1, y1) och  (x2, y2) är

Vinkeln mellan två linjer
Om linjernas vinkelkoefficienter är k1 respektive k2 bestäms vinkeln mellan linjerna av

Plana kurvor
En kurva i ett ortogonalt koordinatsystem ger ett funktionssamband mellan koordinaterna x och y.

Kurvans ekvation kan vara i explicit form

i implicit form

eller i parameterform

I polära koordinater  blir kurvans ekvation

eller

Tangenten

Vinkelkoefficienten för tangenten till en kurva i rätvinkliga koordinater är lika med funktionens derivata i tangeringspunkten:

Asymptoter
Med en asymptot till en kurva menas en linje sådan att avståndet mellan linjen och en punkt på kurvan går mot noll då punkten går mot oändligheten.

Om en asymptot till kurvan y = f(x) har ekvationen y = kx + m, bestäms k och m enligt

Analytisk geometri i R3

Koordinatsystem
Som koordinatsystem i R3 används tre plan, vanligtvis vinkelräta mot varandra. Planens skärningspunkter kallas x-, y- och z-axlarna. De tre planen betecknas efter ingående axlar som xy-planet, yz-planet och xz-planet .

Rätvinkliga koordinater

Riktningscosiner

En punkt P:s koordinater (x, y, z) är de vinkelräta avstånden till yz-, xz- och xy-planen.
Om  är vinklarna mellan ortsvektorn med längden r och axlarna är

där

är riktningscosinerna vilka betecknas a, b och c och för vilka gäller

Vinkeln mellan två riktningar
Om två riktningar är givna, OA1 med riktningscosinerna a1, b1 och c1 och OA2 med riktningscosinerna a2, b2 och c2, så gäller för vinkeln  mellan OA1 och OA2:

Rotation av koordinatsystem
Vid övergång från ett rätvinkligt koordinatsystem (xyz) till ett annat (x'y'z''') med gemensamt origo men olika axelriktningar och med riktningscosinerna i xyz-planet betecknade
för x-axeln med 
för y'''-axeln med 
för z-axeln med 
blir transformationformlerna

Avståndet mellan två punkter
Avståndet d mellan punkterna (x1, y1, z1) och (x2, y2, z2) är

Om a, b och c är riktningscosinerna för en linje genom de båda punkterna, beräknas dessa som

Plan i R3

Om (x0, y0, z0) är en ortsvektor till en punkt i planet och (A, B, C) en normalvektor till planet, kan planets ekvation skrivas som skalärprodukten av normalvektorn och vektorn (x - x0, y - y0, z - z0):

vilket ger den allmänna formen av planets ekvation som

där D är

En ekvation av första graden representerar alltid ett plan. Riktningscosinerna för planets normal är

Tecknet framför roten väljs så att
 alltid är positiv. Därigenom är normalen riktad mot planets "positiva" sida.

Normalform
Genom division med

erhålls planets ekvation på normalform

där  är de vinklar som planets normal bildar med koordinataxlarna och p är längden av normalen från origo till planet.

Vektorform

Ekvationen för ett plan med normalvektorn n, en given punkt r0 och med r som ortsvektor för en godtycklig punkt (x, y, z) i planet är

Avståndet från en punkt till ett plan
Punktens koordinater sätts in i planets normalform

och avståndet är då lika med vänsterledet med tecknet '-' om punkt och origo ligger på samma sida om planet, annars med tecknet '+'.

Exempel:

Beräkna avståndet från punkten (1, -3, 2) till planet

Planets ekvation i normalform

Vinkeln mellan två plan
Vinkeln  mellan planen

bestäms av ekvationen

Om planens normalvektorer är kända kan skalärprodukten av normalvektorerna användas för att bestämma vinkeln mellan planen:

Räta linjen

Räta linjen kan betraktas som skärningen mellan två plan och representeras av förstagradsekvationerna

En linje är bestämd av en punkt P = (x0, y0, z0) på linjen och en riktningsvektor u:

I parameterform gäller för en punkt (x, y, z) på linjen:

eller

där a, b och c är riktningskoefficienter, eller efter eliminering av parametern

I vektorform kan linjens ekvation skrivas

Kurvor i R3
En kurva i R3 kan framställas på flera sätt:

Som skärningen mellan två ytor:

I parameterform:

I vektorform:

Exempel:

Skruvlinjen kan framställas i parameterform som

Båglängd
Längden av ett bågelement på kurvan är

Längden av kurvbågen mellan t0 och t är

Tangent
Tangentens ekvation i vektorform är

Normalplanet

Ekvationen i vektorform för normalplanet i punkten s är

Oskulerande planet
I en punkt på en kurva i R3 kan i allmänhet läggas oändligt många tangentplan till kurvan. Det tangentplan som närmast ansluter till kurvan kallas oskulerande planet och har ekvationen

där A, B och C bestäms ur formlerna

eller i vektorform

Principalnormal
Den normal till kurvan som ligger i det oskulerande planet kallas principalnormal. Dess riktning är den samma som för vektorn

Längden av denna vektor benämns krökning K, varför vektorn också kallas krökningsvektor:

Krökningsradie
Krökningsradien är krökningens inverterade värde:

Den punkt på principalnormalen som ligger på avståndet R från kurvan kallas krökningscentrum och kan i vektorform anges som

Ytor i R3
En yta i R3 kan skrivas i parameterform

eller i vektorform

Ekvationen kan också vara given på formen

eller

I det senare fallet kan x och y betraktas som parametrar, varvid ekvationen i parameterform blir:

Linjeelement

Tangentplanets ekvation
Om ekvationen för ytan är

kan tangentplanets ekvation skrivas om tangeringspunkten är (x0, y0, z0):

eller i vektorform som

Ytnormalens ekvation
Om ytans ekvation är

så gäller för ytnormalen i punkten (x0, y0, z0):

eller

Se även
 Cirkel
 Ellips (matematik)
 Hyperbel

Referenser

Externa länkar