Geometri

Geometri (grekiska: γεωμετρια geometria, av γεω geo ”jord”, och μετρια metria ”mäta”) är en gren av matematiken där man studerar vilka egenskaper figurer har i ett rum eller, mer generellt, rumsliga samband. Geometrin var en av de två ursprungliga matematiska disciplinerna vid sidan av talteorin, det vill säga studiet av talen. I modern tid har geometrin generaliserats till en hög abstraktionsnivå och komplexitet. Många av dess grenar berörs idag av matematisk analys och abstrakt algebra och kan vara mycket svåra att känna igen som ättlingar till den tidigaste geometrin. Beroende på vilka axiom man utgår ifrån får man olika geometrier, det vill säga geometriska teorier.

Historia 

Den allra äldsta, bevarade geometrin, som kommer från det gamla Egypten och Babylonien med början omkring 3 000 f.Kr., var en samling empiriskt härledda principer om längd, vinklar, ytor och volymer, som man utvecklat för att tillfredsställa de praktiska behov som uppstått ur lantmäteri, konstruktion, astronomi och olika hantverk. Flera av dessa principer var förvånansvärt sofistikerade och dagens matematiker kan ha svårt att härleda dem utan att blanda in matematisk analys. Till exempel kände både egyptierna och babylonierna till Pythagoras sats omkring 1 500 år före Pythagoras. Egyptierna kunde korrekt beräkna volymen på en stympad pyramid med kvadratisk bas och babylonierna hade trigonometriska tabeller.

I Kina hade man med största sannolikhet kommit lika långt inom matematiken.

Den grekiska perioden (600 f.Kr.–600 e.Kr.) 
Grekerna utvecklade geometrin till att omfatta många nya figurer, kurvor, ytor och kroppar. De ersatte tidigare induktiva metoder med logiska, deduktiva, de insåg att geometrin studerar abstrakta, ideala former och de upptäckte det axiomatiska system som, under mer än 2 000 år, betraktats som det ideala paradigmet för alla vetenskapliga teorier.

Thales skrev deduktiva bevis för fem geometriska satser, men dessa bevis är försvunna. Pythagoras upptäckte inte den sats som idag bär hans namn, men han var den förste som kunde presentera ett deduktivt bevis för den. Pythagoreerna och hans lärjungar studerade matematik, musik och filosofi och tillsammans utforskade de det mesta av den geometri som idag studeras på gymnasiet. Dessutom upptäckte man, till sin egen förtvivlan, inkommensurabla sträckor och därmed de irrationella talen.

Matematiker accepterade Platons övertygelse att geometrin uteslutande skulle använda sig av passare och en ograderad linjal och aldrig någon form av mätverktyg, gradskiva eller något annat verktyg som man förknippade med praktiskt hantverk. Detta maxim gjorde att man fördjupade sig i konstruktioner med passare och linjal och dess tre klassiska konstruktionsproblem: kubens fördubbling, vinkelns tredelning och cirkelns kvadratur. De bevisades omöjliga i dessa konstruktioner först på 1800-talet. Aristoteles skrev en traktat om metodisk argumentation i deduktiva bevis, en metodlära som förblev oförändrad ända fram till 1800-talet.

Euklides skrev Geometrins elementa, en axiomatisk beskrivning av geometrin.

Arkimedes utvecklade metoder som starkt påminner om den analytiska geometrins koordinatsystem och integralkalkylens approximationer. Detta enda som saknades för att han skulle kunna skapa dessa matematiska discipliner var verkningsfulla algebraiska beteckningar som kunde uttrycka hans idéer.

Medeltiden, renässansen och reformationen 
Den islamiska dominansen i Mellanöstern, Nordafrika och Spanien inleddes omkring 640 e.Kr. Biblioteket i Alexandria brändes ned. De första framstående persiska matematikerna ägnade sig mer åt algebra än geometri även om exempelvis poeten och geometrikern Omar Khayyam bidrog med viktiga kommentarer till ämnet. I Europa förföll matematiken till den grad att till och med de klassiska verken gick förlorade där och bara överlevde via de islamiska lärdomscentrerna.

Under medeltidens slut studerades de klassiska grekiska och romerska verken i islamiska bibliotek och översattes från arabiska till latin. Man återupptäckte Euklides Elementa och geometrins deduktiva metoder återerövrades. Utvecklingen av geometrin i enlighet med Euklides metoder återupptogs och ett stort antal viktiga och till och med eleganta satser och begrepp tillkom.

1600-talet och början av 1700-talet 
Descartes och Fermat introducerade analytisk geometri med koordinater och ekvationer. Desargues studerade projektiv geometri utan användning av måttenheter, egenskaper som inte påverkas av projektion (till exempel hur punkter relaterar sig till varandra). 

I slutet av 1600-talet utvecklade, oberoende av varandra, Newton (1642–1727) och Leibniz (1646–1716) differentialkalkylen. Det blev början på ett helt ny gren inom matematiken som idag kallas analys som gjorde det enkelt att hitta tangenten till godtyckliga kurvor och att finna arean hos en yta som omsluts av sådana kurvor.

Parallellpostulatets fall 
Saccheri, Lambert och Legendre gjorde var och en för sig viktiga upptäckter kring detta beviset för Euklides parallellpostulat under 1700-talet, men ingen av dem lyckades hitta lösningen. I början av 1800-talet valde Gauss, Bolyai och Lobatjevskij en annan väg. Oberoende av varandra drog de slutsatsen att det var omöjligt att bevisa parallellpostulatet och började istället utveckla en icke-euklidisk geometri där postulatet var falskt. 1854 presenterade Riemann, som studerat för Gauss, ett banbrytande arbete där han visade hur differentialkalkylen kunde appliceras på rum med godtyckligt antal dimensioner, det vill säga en fristående geometri som var giltig för alla släta ytor.

Eugenio Beltrami bevisade 1868 att den icke-euklidiska geometrin var fristående. En lång och noggrann undersökning hade till sist uppdagat logiska brister i Euklides resonemang och outtalade antaganden som hans argumentation vilade på. Samtidigt drabbades differentialkalkylen och den numeriska analysen av en kris sedan man misslyckats med att hantera betydelsen av oändliga processer som konvergens och kontinuitet. I geometrin fanns ett påtagligt behov av en ny uppsättning postulat som var helt oklanderliga och stod helt oberoende av bilder på ett papper och vår intuitiva bild av ett rum. David Hilbert presenterade en ny uppsättning geometriska axiom 1894. Även om liknande axiom presenterats några år tidigare, kunde de inte mäta sig med Hilberts som var lika sparsamma och eleganta som Euklides.

Grundläggande begrepp 
Några grundläggande begrepp inom geometrin är:

Punkt 

En punkt betecknar inom geometri ett objekt utan någon utsträckning. För att ange en punkts läge används koordinater. Antalet koordinater som behövs för att ange punktens läge bestäms av dimensionen.

Linje 

En linje är en utsträckning i rummet med en dimension, det vill säga att läget för en punkt på linjen bestäms av en koordinat, vilket är det samma som ett matematiskt tal. Med linje menar man oftast en rät linje, men kan generellt sett vara vilken kurva som helst.

Plan 

Ett plan är en utsträckning i rummet med två dimensioner sådan att en rät linje som förbinder två punkter på ytan ligger till hela sin längd i ytan. En punkts läge i ett plan bestäms alltså av två koordinater. Koordinaterna anger punktens läge i förhållande till ett koordinatsystem. En yta är också tvådimensionell och utgör en yttre begränsning av en kropp, eller en avgränsning mellan två kroppar.

Kropp 

En kropp är ett objekt i tre dimensioner. Volymen är ett mått på kroppens innehåll.

Symmetri 

Ett annat grundläggande begrepp inom geometri är symmetri. I geometrien avser man med symmetri oftast spegelsymmetri, vilket innebär att ett föremål är identiskt med spegelbilden av ett annat föremål i något plan.

Geometriska former 
Några av de allra vanligaste geometriska objekten är:
 Kvadrat – består av fyra hörn på 90 grader och fyra lika långa sidor. Area = sidlängd². Diagonalerna halverar varandra.
 Rektangel – består av fyra hörn på 90 grader. Area = längd x höjd. Diagonalerna halverar varandra.
 Cirkel – en oändlig mängd punkter med samma avstånd från en central punkt. Area = pi × radie².

Grenar 
Det finns flera grenar inom geometri, bland annat:

Analytisk geometri 

Analytisk geometri är en gren av geometrin där algebraiska metoder främst från linjär algebra används för att lösa geometriska problem.

Metoder från analytisk geometri används inom alla tillämpade vetenskaper, men särskilt inom fysiken, till exempel för att beskriva planeternas banor. Ursprungligen behandlade analytisk geometri endast frågor rörande planet och den rumsliga (euklidiska) geometrin. Mera allmänt beskriver den analytiska geometrin affina rum av godtyckliga dimensioner över godtyckliga kroppar.

Euklidisk geometri 

I euklidisk geometri gäller Euklides fem axiom, av vilka ett är det så kallade parallellaxiomet. De geometriska teorier som inte bygger på parallellaxiomet kallas icke-euklidiska geometrier. 

De olika teorierna ger olika sanningsvärden för vissa geometriska påståenden. I euklidisk geometri är det till exempel sant att vinkelsumman i en triangel alltid är 180 grader, vilket inte är fallet i icke-euklidisk geometri.

Den Euklidiska geometrin är den konventionella form av geometri som lärs ut i skolorna, då den har otaliga praktiska tillämpningar. Man kan grovt göra följande uppdelning:

 polygoner och polyedrar - inkluderar
 triangeln
 kvadraten

 beräkningar med vinklar (trigonometri)
 kägelsnitt - inkluderar
 cirklar 
 ellipser
 parabler
 hyperbler

Icke-euklidisk geometri 

En icke-euklidisk geometri är en geometrisk teori där Euklides femte axiom, det så kallade parallellaxiomet, inte gäller. Både hyperbolisk och elliptisk geometri är icke-euklidiska, och står i kontrast till euklidisk geometri. Den väsentliga skillnaden mellan euklidisk och icke-euklidisk geometri är de parallella linjernas natur. I euklidisk geometri, om vi startar i en punkt A och en linje l, så kan vi dra endast en linje genom A som är parallell med l. Å andra sidan, i hyperbolisk geometri finns det oändligt många linjer genom A parallella med l, och i elliptisk geometri existerar inte parallella linjer.

Ett annat sätt att beskriva skillnaderna mellan dessa geometrier är som följande: betrakta två linjer i ett plan som båda är vinkelräta mot en tredje linje. I euklidisk och hyperbolisk geometri är då de två linjerna parallella. I euklidisk geometri förblir emellertid de två linjerna på ett konstant avstånd, medan i hyperbolisk geometri "böjer de av" från varandra med ökande avstånd i takt med att avståndet från skärningspunkten med den gemensamma vinkelräta linjen ökar. I elliptisk geometri "kröker" linjerna mot varandra, och slutligen skär de varandra; således existerar inga parallella linjer i elliptisk geometri.
Beteende hos linjer med gemensam ortogonal linje i vardera av de tre sorternas geometri

Differentialgeometri 

Differentialgeometri är studier av differentierbara mångfalder, det vill säga topologiska rum som lokalt ser ut som en öppen delmängd i , vilket möjliggör nyttjandet av metoder från matematisk analys.

Den har många tillämpningar i fysik, särskilt i relativitetsteorin. Centralt inom differentialgeometrin är studiet av riemannska mångfalder (se även riemanngeometri): geometriska objekt som exempelvis ytor som lokalt liknar ett euklidiskt rum och därför medger definition av analytiska koncept som tangentvektorer, tangentrum, differentierbarhet, vektorfält och tensorfält.

Dessa mångfalder är utrustade med metrik, som tillåter geometri därför att de medger mätning av distans och vinkel lokalt och definierar koncept som geodeter, krökning och torsion.

Topologi 

Topologi är en form av geometri där endast formen på objekten, och inte några avstånd, betraktas. 

En topologi beskriver ett antal volymers fysiska form och formen på deras gemensamma rum såsom de gemensamma resulterande öppningarna och överbryggningarna. En topologisk beskrivning kan till exempel vara ett schema över hållplatserna för kollektivtrafiken i en stad som inte tar hänsyn till avstånden. Topologi är viktigt för att avgöra logistik då man adderar anläggningar av industrikomplex i flera plan och i många byggnader. Topologi används också då man anlägger datanätverk på ett kontor och väljer hur datorerna skall kopplas samman i förhållande till varandra i nätverk.

Topologi föddes i början av 1900-talet och är därför ett relativt nytt område inom matematiken. Den har visat sig mycket användbar och tillämpas idag inom andra grenar av matematik såsom analys och algebra, såväl som inom andra vetenskaper som till exempel fysik och genetik.

I geografiska databaser är topologi en förutsättning för att kunna göra vissa GIS-analyser, såsom närmaste väg mellan två noder, se vilka objekt som finns intill varandra osv.

Topologin generaliserar begreppen kontinuerlig funktion och öppen mängd. Den introduceras ofta genom att först definiera "topologiska rum", sedan "kontinuerliga funktioner" mellan dessa rum. Därefter studerar man olika "topologiska egenskaper" hos dessa. Se definitioner nedan.

Algebraisk geometri 

Algebraisk geometri är en gren inom matematiken och kan sägas vara en kombination av linjär algebra och algebra. Det man gör är att studera geometriska strukturer till ekvationer i en och flera variabler. Man vill alltså, med hjälp av algebraiska ekvationer, kunna definiera kurvor och ytor. Eftersom det inte alltid går att få fram ett exakt svar är man mer, i algebraisk geometri, intresserad av att förstå strukturen på geometrin av systemet av ekvationer än själva lösningen.

Källor 
 
 Boyer, C. B. A History of Mathematics, 2nd ed. rev. by Uta C. Merzbach. New York: Wiley, 1989  (1991 pbk ed. ).
 Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos,  Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
 Mlodinow, M.; Euclid's window (the story of geometry from parallel lines to hyperspace), UK edn. Allen Lane, 1992.
Bengt Stolt, "Geometri - euklidisk och icke euklidisk". Prisma 1968

Fotnoter

Se även 

 
Grundläggande matematik
Wikipedia:Basartiklar