Värmeledningsekvationen

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas
 
där  betecknar förändringshastigheten hos funktionen  med avseende på tiden, och  betecknar laplaceoperatorn. 

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum. Funktionen  betecknar då temperaturen i mediet och  är  materialets termiska diffusivitet.

Den endimensionella värmeledningsekvationen

Det homogena fallet
Låt funktionen  beteckna värmen i punkten  vid tidpunkten . Vi kan då beskriva  med hjälp av värmeledningsekvationen:

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd  som ligger längs x-axeln. 
Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven. 

Normal praxis är att också införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges av

vi låter värmen i stavens ändpunkter  och  ges av funktionerna  och . 
Randvillkoren brukar de vara av typen Dirichletvillkor som kan beskrivas enligt  

men givetvis finns det andra villkor kan införa t.ex. Neumannvillkor.

Det inhomogena fallet
Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen  betecknar den tillförda värmen till staven i punkten  vid tidpunkten . Funktionen u(x,y) beskrivs då av:

Den n-dimensionella värmeledningsekvationen
För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det  oberoende variabler nämligen  och tiden  och en beroende variabel  som lyder under ekvationen

Lösningar till värmeledningsekvationen
För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till  är på formen . 

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut 
.
Varken höger- eller vänsterledet är beroende av  eller  därför måste de vara lika med någon konstant :
  och  
Som vi kan skriva om som
 resp. 
Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren . Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en stav till 

 kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av :

(1) För  d.v.s.  ges lösningarna av
:
Randvillkoren ger oss då:

Alltså existerar inga negativa egenvärden. 

(2) För  ges lösningarna av. 

Randvillkoren ger oss då:

Den enda lösningen vi får är 
 och enligt definitionen av en egenfunktion är därför  inte ett egenvärde.

(3) För  d.v.s.  ges lösningarna av:
 
Randvillkoren ger då

 där   ∈ Z+

Vi har nu de positiva egenvärdena 
 
med de tillhörande egenfunktionerna 
 
Vi har tagit fram att  så vad gäller lösningar till   ser vi att de ges av  

Med detta får vi nu till slut lösningarna

Se även
Vågekvationen
Schrödingerekvationen
Partiell differentialekvation
Partiell derivata
Transportfenomen

Referenser 
 http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap4.pdf 
 https://web.archive.org/web/20140515003147/http://www.mai.liu.se/~halun/kurser/TATA51/variabelseparation2010.pdf 
 http://www.cmi.ac.in/~vipul/studenttalks/theheatequation.pdf
 http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/heateqn.pdf

Externa länkar 

Partiella differentialekvationer
Termodynamik
Värmeöverföring