Cirkel

En cirkel är mängden av punkter i planet som ligger på samma avstånd, cirkelns radie, till en given punkt, cirkelns medelpunkt, centrum eller mittpunkt. Cirkeln är en av de grundläggande formerna inom euklidisk geometri.

I dagligt tal och i delar av skolmatematiken används också ordet cirkel för det område som cirkeln innesluter. Detta område benämns i vedertagen matematisk terminologi som  cirkelskiva. 

I tre dimensioner är sfären en analogi till cirkeln. Även i högre dimensioner används ordet sfär för en mängd av punkter på konstant avstånd till en given punkt.

Med hjälp av analytisk beskrivning av cirkeln går det att visa att kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter är en konstant, alltså oberoende av vilken cirkel som väljs. Denna kvot är talet π som uttalas pi. Man brukar säga att Pi är ungefär 3,14 om man  skulle räkna omkretsen eller Arean.

Definitioner 

 Längden av den kurva som en cirkel utgör kallas cirkelns omkrets

En sträcka mellan två punkter på cirkeln och genom medelpunkten kallas för en diameter i cirkeln. Även längden av en sådan sträcka kallas diameter
 
Tangent är en linje genom en punkt på cirkeln och som är vinkelrät mot en radie till samma punkt

En korda är en sträcka mellan två punkter på cirkeln
 
 En sekant är en linje som skär cirkeln i två punkter

 En punkt som ligger i det område som en cirkel omsluter, men inte på cirkeln, sägs ligga i det inre av cirkeln. En punkt på cirkeln sägs ibland vara en punkt på periferin
 
 En cirkel som går genom samtliga hörn på en given triangel sägs vara en omskriven cirkel. En cirkel som tangerar samtliga sidor på en triangel sägs vara en inskriven cirkel
 
 En vinkel mellan två kordor AB, BC sägs vara en periferivinkel. En vinkel mellan två radier AM, MB sägs vara en medelpunktsvinkel
 
 En sammanhängande del av cirkeln kallas för en cirkelbåge

 En sammanhängande sektor av cirkeln kallas cirkelsektor

Cirkelns ekvation 
 I ett kartesiskt koordinatsystem kan en cirkel med medelpunkt i (x0, y0) och radien r, beskrivas som mängden av punkter som uppfyller ekvationen

Ekvationen kan ställas upp genom utnyttjande av Pythagoras sats för avståndet mellan punkterna  och .

 I polära koordinater är cirkelns ekvation

där a är cirkelns radie,  är de polära koordinaterna för en punkt på cirkeln och  är de polära koordinaterna för cirkelns centrum.

 I det komplexa talplanet har en cirkel med centrum i c och med radien r, ekvationen . I parametrisk form kan detta skrivas 

 Cirkeln kan beskrivas som en plan, parametriserad kurva på flera sätt. Till exempel ges en cirkel med medelpunkt i origo och radie r av parametriseringen

För r = 1 erhålls enhetscirkeln, det vill säga en cirkel med radien 1 och med medelpunkten i origo.

Area 
Cirkelskivans area är 
 
eller 
.
Omkretsen är

Beräkning av cirkelskivans area

Med koncentriska skal

Om cirkelskivan delas upp i koncentriska ringar med omkretsen  kan arean beräknas med integralen

Med trianglar

Cirkelskivan kan approximativt uppdelas i likbenta trianglar med toppvinklarna  samt höjderna r och dess area beräknas med integralen

Cirkeln inom Euklidisk geometri 
Cirkeln är ett primitivt objekt i den euklidiska geometrin och introduceras i axiomet enligt vilket, givet en sträcka, det finns en cirkel med medelpunkt i en av sträckans ändpunkter och med sträckan som radie. Cirklar används bland annat för att konstruera räta vinklar och för att dela sträckor i två lika delar. Vidare finns ett antal satser i euklidisk geometri om cirklars egenskaper:
 Om A, B och C är punkter på en cirkel och AC är en diameter är vinkeln ABC rät

 För varje triangel finns en och endast en omskriven cirkel

 För varje triangel finns en och endast en inskriven cirkel

 Om A,B,C,D är punkter på en cirkel och M är skärningspunkten mellan kordorna AB och CD, så gäller att |AM||MB|=|CM||MD|

Apollonius cirkel

Apollonius av Perga visade att en cirkel kan definieras som mängden punkter i ett plan vars avstånd till två fixa punkter har ett konstant förhållande (skilt från 1). 

Om de fixa punkterna är A och B (se bild) så gäller för en punkt P på cirkeln att

där punkten C på linjen AB anger det konstanta förhållandet.

Se även 
 Ellips
 Cirkelsektor
 Cirkelsegment
 Cirkelbåge
 Cirkelresonemang  (Cirkelargumentation)  
 Cirkeldefinition

Referenser

Externa länkar 

Geometriska figurer
Geometri
Grundläggande matematik