Lipschitzkontinuitet

Lipschitzkontinuitet är ett villkor inom matematisk analys utvecklat av och namngett efter den tyske matematikern  Rudolf Otto Sigismund Lipschitz. Grafiskt kan villkoret ses som ett ”mjukhetsvillkor” för funktioner, där funktionens lutning måste vara begränsad i alla punkter för att uppfylla villkoret.

Begreppet Lipschitz-kontinuitet ligger mellan begreppen  kontinuitet och deriverbarhet. En deriverbar funktion är alltid Lipschitzkontinuerlig, och en Lipschitzkontinuerlig funktion är alltid kontinuerlig. Dock gäller inte omvändningen. En kontinuerlig funktion behöver inte vara Lipschitzkontinuerlig, samtidigt som en Lipschitzkontinuerlig funktion inte behöver vara deriverbar.

Definitioner
Givet två metriska rum  och , där  är avståndsfunktionen för mängden  och  avståndsfunktionen för , kallas en funktion  Lipschitzkontinuerlig om det existerar en reell konstant  sådan att för alla ,

.

Lipschitzkontinuitet i en variabel
Funktionen  är Lipschitzkontinuerlig på  intervallet  om det finns en lipschitzkonstant  sådan att för alla för alla  så gäller .

Lipschitzkontinuitet i flera variabler
Funktionen  är Lipschitzkontinuerlig på  mängden  om det finns en lipschitzkonstant  sådan att för alla  så gäller

Lokal Lipschitzkontinuitet
En funktion  sägs vara lokalt Lipschitzkontinuerlig i en punkt  om och endast om det finns någon omgivning kring punkten  där funktionen  är Lipschitzkontinuerlig.

Egenskaper
Att en funktion är Lipschitzkontinuerlig betyder att dess lutning måste vara begränsad. För en variabel kan man grafiskt tänka sig att en Lipschitzkontinuerlig funktion f kan inneslutas i två koner med axlarna längs x-axeln, vars toppar ligger i en gemensam punkt  på funktionen  (se bilden).
Ifall det för varje punkt på  finns ett , där  är lutningen på konernas sidor, så att  är helt innesluten av konen, så har vi en lokalt Lipschitzkontinuerlig funktion. Om det dessutom finns ett och samma k för alla punkter på funktionen som gör att  alltid ligger inom konen, så kan vi säga att  är globalt Lipschitzkontinuerlig.

Då en funktion har en Lipschitzkonstant 0 < k < 1 sägs funktionen vara en sammandragning.

Villkoret för Lipschitzkontinuitet används i Picards sats, som nyttjas för att avgöra existensen för lösningar till differentialekvationer med begynnelsevärden.

Samband mellan  kontinuitet, Lipschitzkontinuitet samt deriverbarhet

Lipschitzkontinuitet och deriverbarhet

 En funktion  som är deriverbar är också lokalt Lipschitz-kontinuerlig. Då  derivatan av  är begränsad, är  även globalt Lipschitzkontinuerlig.

Enligt definitionen av riktningsderivata kan riktningsderivatan av funktionen  skrivas som 

Omskrivning ger

Detta medför att  är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla punkter på  definitionsmängden, eftersom det finns en omgivning kring varje punkt  där

Detta innebär dock inte att  är globalt Lipschitzkontinuerlig, eftersom  inte behöver vara obegränsad överallt även om den existerar. Ett exempel är funktionen , vars derivata existerar på hela  definitionsmängden och därför är lokalt Lipschitzkontinuerlig överallt, men som däremot inte är globalt Lipschitzkontinuerlig eftersom   då  .

Men då  är begränsad på hela  definitionsmängden kan man se att

vilket är  ekvivalent med att  är globalt Lipschitzkontinuerlig.

 Att en funktion är Lipschitzkontinuerlig medför inte att den samtidigt är deriverbar.

Detta visas enklast genom ett exempel på en funktion som är Lipschitzkontinuerlig men inte deriverbar. Ett sådant exempel är . I punkten  saknas derivata, men funktionen är fortfarande Lipschitzkontinuerlig, eftersom funktionen är kontinuerlig och dess lutning är begränsad.

Lokal och global Lipschitzkontinuitet
 En funktion som är globalt Lipschitzkontinuerlig är även lokalt Lipschitzkontinuerlig i alla punkter. Däremot gäller i allmänhet inte det omvända.

Detta samband kan utläsas direkt ur definitionerna. För en globalt Lipschitzkontinuerlig funktion gäller att för alla punkter  på funktionen så är lutningen till alla punkter  på funktionen begränsad. Därav följer även att det finns någon omgivning kring alla punkter  där lutningen mellan punkten  och alla punkter i den omgivningen är begränsad. 

Funktionen  är ett exempel på en funktion som är lokalt Lipschitzkontinuerlig, men inte globalt. Kring varje enskild punkt  kan vi hitta en omgivning där lutningen är begränsad, vilket medför att  är lokalt Lipschitzkontinuerlig för alla . Däremot kommer lutningen att växa oändligt för stora positiva och negativa . Därför finns ingen Lipschitzkonstant k så att  för alla , och funktionen är därför inte globalt Lipschitzkontinuerlig.

Kontinuitet och Lipschitzkontinuitet
 Lipschitzkontinuerliga funktioner är även  kontinuerliga.

För en Lipschitzkontinuerlig funktion  gäller enligt definitionen att

detta uttryck ska gälla för alla  och  där  och  ligger i  definitionsmängden, vilket ger att det även gäller då  går mot 0.

Då  går mot 0 får vi direkt

vilket är definitionen för  kontinuitet.

 Att en funktion är kontinuerlig medför inte att den även är Lipschitzkontinuerlig

Detta visas enklast genom att hitta en kontinuerlig funktion som inte är Lipschitzkontinuerlig. Ett exempel på detta är .
 Derivatan till denna funktion existerar i alla punkter utom . Däremot är , vilket medför att  är kontinuerlig. 

Då vi låter  kommer vi få att . Det saknas alltså en omgivning kring punkten  där vi har en begränsad lutning på funktionen , vilket innebär att funktionen inte är lokalt Lipschitzkontinuerlig, och därmed inte heller globalt Lipschitzkontinuerlig.

Källor
 PlanetMath.org - Lipschitz condition and differentiability
 University of Sussex - Spring 2006 Handout 3: Lipschitz condition and Lipschitz continuity
 Åbo Akademi - 8. Residykalkyl
 Michael Björklund, KTH - Existens och entydighet för ordinära differentialekvationer
 Analys i flera variabler, Arne Persson, Lars-Christer Böiers
 Matematisk Analys en variabel, Göran Forsling, Mats Neymark

Se även
  Kontinuitet
 Deriverbarhet
 Hölderkontinuitet
 Picards sats

Lipschitzfunktioner
Strukturer på mångfalder