Riemanns zetafunktion

Riemanns zetafunktion eller Euler–Riemanns zetafunktion är en av de viktigaste funktionerna inom den komplexa analysen. Den används bland annat inom fysik, sannolikhetsteori och statistik. Det finns även en koppling mellan funktionen och primtalen, se Riemannhypotesen. Hypotesen är ett av såväl Hilbertproblemen som Millennieproblemen och är fortfarande obevisad.

Funktionen är den analytiska fortsättningen av serien

Historia 
Under 1700-talet undersökte Euler serien med reella värden på s:

Serien konvergerar när s > 1.
Han upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en oändlig produkt över alla primtal.

Bernhard Riemann undersökte den i det komplexa talplanet och bevisade att funktionen konvergerar för hela komplexa talplanet då Re(s) > 1. Sedan dess används beteckningen ζ(s) för Riemanns zetafunktion.

Definition 
Man kan definiera Riemanns zeta-funktion ζ(s) på två sätt, med hjälp av en Dirichletserie samt som en Eulerprodukt.

Dirichletserie 
Riemanns zeta-funktion definieras för {s ∈ C: Re(s)>1}, d.v.s. s= σ + it, σ>1, enligt:

Enligt Cauchys intergraltest är denna serie konvergent inom det intervallet. Enligt Weierstrass kriterium är funktionen ζ(s) holomorfisk för Re(s)= σ >1 och därmed absolutkonvergent.

Eulerprodukt 
Euler visade år 1737 att serien 
 
kan skrivas om som en produkt över alla primtal:

Man kan börja skriva om högerledet som en geometrisk serie:

där pi är det i:e primtalet.

I nästa steg utvecklar vi produkten av summan och vi får:

Nu kan vi med hjälp av  aritmetikens fundamentalsats skriva om summorna: Eftersom varje primtalsuppdelning är unik, och alla tal kan skrivas som en produkt av primtal (och en oändlig mängd ettor), så kommer varje heltal att dyka upp en och endast en gång, och därmed kan vi skriva

Funktionalekvation
För alla  gäller funktionalekvationen
 
Den kan skrivas i den symmetriska formen

Riemann definierade en annan funktion, Riemanns xi-funktion, med hjälp av vilken funktionalekvationen kan skrivas ännu kortare. Dess definition är 

och dess funktionalekvation är

Serierepresentationer

Laurentserie
Riemanns zeta-funktion är meromorfisk med en  simpel pol för s = 1. Därför kan den utvecklas i en Laurentserie runt s = 1:

Konstanterna γn kallas Stieltjeskonstanterna och kan definieras som

 

Konstanttermen γ0 är Eulers konstant.

Globalt konvergerande serier
En globalt konvergerande serie för zetafunktionen valid för alla komplexa tal s utom  för något heltal n förmodades av Konrad Knopp och bevisades av Helmut Hasse 1930:

Hasse bevisade även serien

Övriga serier
En serie med Pochhammersymbolen är

Integralrepresentationer
För alla  gäller
 
 
och
 

För  gäller

En annan integral för  är

 .

Några specialfall för  och  är

 

 .

En integral för zetafunktionens derivata är

som gäller för alla komplexa tal utom 1.

För alla  kan zetafunktionen skrivas som multipelintegralen

Egenskaper
Även om  är

 

det vill säga zetafunktionen har en  simpel pol vid s = 1 med residy 1.

Speciella värden

Jämna positiva heltal
 
 
 
 
 
 
 

och i allmänhet

för n ∈ N.

Udda positiva heltal
 
 
 
 
 

Man känner inte till någon sluten form för zetafunktionens udda värden, men flera snabbt konvergerande serier har bevisats:

Negativa heltal

Derivata
Zetafunktionens derivata för negativa jämna heltal ges av

De första värdena blir

Andra värden är

 

och

 

där A är Glaisher–Kinkelins konstant.

Relation till andra funktioner
Zetafunktionen kan formellt ges som Mellintransformationen

med hjälp av Jacobis thetafunktion

Integralen konvergerar dock inte för något värde på s, men kan modifieras till följande uttryck för zetafunktionen:

Användning
Kopplingen mellan zetafunktionen och primtalen gör att zetafunktionen fortfarande är av intresse för matematiker. Riemannhypotesen som handlar om nollställen av zeta i sin tur som skulle kunna bestämma utbredning av alla primtal, en bättre approximation av de olika aritmetiska funktioner som t.ex. primtalfunktionen π(x).

Man kan hitta ett användningsområde av denna funktion även i statistik som ”Zipfs lag” och i matematiska teorier för stämning av musik. Inom fysik utnyttjas den i kaos i klassiska och kvantmekaniska system.

Formler som innehåller zetafunktionen

där ψ0 är digammafunktionen.

Serier relaterade till Eulers konstant är

En serie för Catalans konstant är

Några serier av Adamchik och Srivastava:

och

där  är Bernoullitalen och  är Stirlingtalen av andra ordningen.

Övrigt 
Man kan uttrycka det inverterade värdet av zeta-funktionen med hjälp av Möbiusfunktionen μ(n) på följande sätt:

för varje komplext tal s med realdel > 1.

Se även
 Dirichlets betafunktion
 Dirichlets etafunktion
 Hurwitzs zetafunktion
 Riemannhypotesen
 Stieltjeskonstanter

Referenser

Noter

Allmänna källor 
 
 
 
 

 
 
 
  Innehåller en engelsk översättning av Riemannss artikel.
 
 
  (Globalt konvergent serieutveckling.)
 
 
 
 
  Chapter 6.
 
 . I Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Återutgiven av Dover, New York (1953).
 
 
 E.T. Whittaker och G.N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).

Externa länkar

Analytisk talteori
Zeta- och L-funktioner