Binomialsatsen

Binomialsatsen är en sats inom den matematiska analysen. Satsen används för att utveckla potenser av binom.

Definition 
Låt  och  vara två godtyckligt valda reella eller komplexa nollskilda tal där . För varje naturligt tal  gäller för exponentieringen av binomet :
där talet 

är en binomialkoefficient (utläses n över k eller n välj k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

 Historik 

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

 Tillämpningar av binomialsatsen 

 Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand. 
Detta kan illustreras med utvecklingen av :

Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas

 Om  är en mängd bestående av  stycken element, så anger binomialkoefficienten, , antalet delmängder till  bestående av  stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas  delmängder av mängden : 
Det finns  delmängder bestående av noll element och  delmängder bestående av ett element och  delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det 
 
delmängder till mängden . Binomialsatsen ger — med  och  — 

 Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av   element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.

Om binomialsatsen tillämpas för de två talen  och  ger detta

Om heltalet  är jämnt finns det

stycken delmängder med ett jämnt antal element, och

delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då  är ett udda tal.

 Newtons generaliserade binomialsats 

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

där  kan vara ett godtyckligt komplext tal och . Binomialkoefficienterna ges då av

När  reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

 Andra generaliseringar 
 Abel 

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

som gäller för  och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när .

 Cauchy 

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

där  och  är beteckningar för

 Bevis av binomialsatsen 

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet . Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet . Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: . Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal .

Det räcker att bevisa satsen då talet , eftersom 

 
Låt  vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet : 

vilket är det så kallade induktionsantagandet. 

För det efterföljande naturliga talet  utvecklas potensen  och koefficienterna grupperas:

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

Induktionsantagandet innebär att koefficienten 
 
och följande beräkning, uttrycker summan  som binomialkoefficienten 
Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger

Följaktligen är koefficienterna  sådana att 

vilket innebär att utvecklingen av potensen  kan skrivas som

där det faktum används att  

Utvecklingen av potensen  kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet .

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen  — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet  och att det även är sant för talets efterföljare, , så är påståendet sant för alla naturliga tal. 

Eftersom talet  var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:För varje (reellt eller komplext) tal  och för varje naturligt tal , kan potensen  utvecklas enligt:''

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet :

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se även 
 Binomialfördelning
 Multinomialsatsen
 Pascals triangel

Externa länkar 

Matematisk analys
Satser inom algebra
Kombinatorik