Stokastisk process

En stokastisk process är den matematiska beskrivningen av en tidsordnad slumpprocess. Teorin för stokastiska processer har inneburit en betydande utvidgning av sannolikhetsteorin och är grunden för den stokastiska analysen.

Processer som kan beskrivas av en stokastisk process är exempelvis antalet bilar som passerar en viss punkt på motorvägen, antalet kunder i en affär vid en viss tidpunkt, och tillförlitligheten av ett system som består av komponenter.

Definition
Givet
 ett sannolikhetsrum ,
 en fullständigt ordnad parameter- eller indexmängd  som kallas för tid, och
 ett mätbart tillståndsrum 
så är en stokastisk process en funktion  vilken är -mätbar för varje 

Vanligtvis utelämnas beroendet av  och man skriver  för att beteckna den stokastiska processen. Vid användandet av den här beteckningen förstår man varför den stokastiska processen även definieras som en familj av stokastiska variabler.

Parametermängden  kallas även indexmängd, eftersom det för varje  finns en stokastisk variabel. Beroende på om parametermängden är diskret eller kontinuerlig kommer den stokastiska processen kallas för detsamma. Enligt konvention så är parametermängden alltid oändlig.

För ett visst utfall  så är  en funktion som antar värden i  och den betraktas som realisering av den stokastiska processen.

Naturlig filtrering
En filtrering över ett sannolikhetsrum  är en ordnad familj σ-algebror    där  d.ä.  är grövre än  närhelst  
En stokastisk process naturliga filtrering är den familj σ-algebror som är tillbakadragna genom urbilderna under processen X av de där σ-algebror som är genererade av cylindermängderna;  d.v.s. den naturliga filtrering är  där

Den naturliga filtreringen blir finare och finare som tiden t ökas, därför att fler och fler händelser blir utskiljbara—eller mätbara—under denna filtrering precis som processen utvecklas med tid.

Exempel
Exempel på stokastiska processer:
Markovprocess
Poissonprocessen
Weinerprocessen
Lévyprocessen
Genetisk drift

Egenskaper

Sannolikhetsfördelningen för en reellvärd stokastisk variabel är ett
sannolikhetsmått  på Borel sigma-algebran på mängden av de reella talen
: 

 

De ändligt-dimensionella fördelningarna för en reellvärd stokastisk process är mängden 
av alla tänkbara flerdimensionella sannolikhetsfördelningar associerade med den stokastiska processen:

 

där index  och mängderna
 för varje val av heltalet 

Associerade med en stokastisk process är dess väntevärdesfunktion
 
 

och dess kovariansfunktion 

 

Dessa är definierade av följande integraler med avseende på sannolikhetsmåttet .

och

,
 
där väntevärdet  beräknas på produktrummet 

Om det råkar vara så att de ändligt-dimensionella fördelningarna för den stokastiska processen X är absolutkontinuerliga med avseende på Lebesgue-måttet, så kan ovanstående väntevärden skrivas som

och

där funktionen  är Radon-Nikodym derivatan av sannolikhetsfördelningen för den stokastiska variabeln  med avseende på Lebesgue-måttet på 

 

Denna derivata kallas inom sannolikhetsteori och statistik för den stokastiska variabelns täthetsfunktion. På motsvarande sätt är funktionen  Radon-Nikodym derivatan

av sannolikhetsfördelningen för den två-dimensionella stokastiska variabeln  med avseende på Lebesgue-måttet i planet 

Stokastiska processer är vanligt förekommande inom såväl teknik som ekonomisk och finansiell teori.

Källor 
https://web.archive.org/web/20131111192632/https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/2843/emarting.pdf?sequence=2

Externa länkar 

Sannolikhetsteori
Statistik