Kommutativitet

Inom matematiken, speciellt inom abstrakt algebra, är kommutativitet en egenskap hos en binär operator.

Operatorn  på en mängd  är kommutativ om och endast om det för alla element  och  i  gäller att

.

Operatorn är alltså kommutativ om operandernas ( och  ovan) ordning saknar betydelse. De mest kända exemplen på kommutativa operatorer är addition och multiplikation av naturliga tal, till exempel
4 + 5 = 5 + 4 (båda uttrycken ger 9)
2 · 3 = 3 · 2 (båda uttrycken ger 6)

Exempel på icke kommutativa operationer är
subtraktion: 5 - 4 = 1 men 4 - 5 = -1
exponentiering: 25 = 32 men 52 = 25

Subtraktion är dock antikommutativ, se nedan.

Ytterligare exempel på kommutativa binära operatorer är addition och multiplikation av reella tal och komplexa tal, addition av vektorer, samt snitt och unioner av mängder.

Som en direkt följd av att multiplikation av reella tal är kommutativt, gäller det samma även för uttryck på formen x % av y.

Viktiga operatorer som generellt är icke-kommutativa är multiplikation av matriser, sammansättning av funktioner och kvaternionmultiplikation.

Kommutativitet och algebraiska strukturer 
En abelsk grupp definieras som en grupp (en mängd där (endast) en operation, till exempel addition eller multiplikation, behöver vara definierad) vars operator är kommutativ. Abelsk grupp och kommutativ grupp är alltså synonymer.

En ring (en mängd där likt de reella talen två sammanhängande operationer, motsvarande addition och multiplikation) kallas kommutativ om dess multiplikation är kommutativ, eftersom addition alltid är kommutativ, genom hur ringen är definierad. Slutligen definieras en kropp (engelska field), som en kommutativ ring, där varje element skilt från det additiva identitetselementet har multiplikativ invers.

Antikommutativitet 
En antikommutativ binär operator  på en ring uppfyller
 för alla  och . Förutom subtraktion är även kryssprodukt,  en sådan operator.

Antikommutativa operatorer används också inom kvantmekaniken för att beskriva elektroner och andra så kallade fermioniska partiklar som lyder under Paulis uteslutningsprincip.

Kommutator 
En kommutator i en grupp är ett element som kan skrivas på formen

för några element  och  i gruppen.
Enhetselementet  kan alltid skrivas som

och därför är alltid  en kommutator i varje grupp, abelsk såväl som icke-abelsk. Man kan därför säga att intressanta egenskaper hos grupper uppstår först när man har andra kommutatorer än enhetselementet .

Observera att om operatorn  är kommutativ, så reduceras varje kommutator till enhetselementet . Det beror på att man kan då skriva 

.

eftersom det bara är att byta ordningen på operanderna i en kommutativ grupp. Därför kan man säga att det är ointressant studera kommutatorer i kommutativa grupper, man vet ju redan precis hur de ser ut: de är alla enheten .

Kommutator-undergruppen  till en grupp  är mängden av alla kommutatorer till gruppen. Den bildar en normal undergrupp till ursprungsgruppen  och då blir kvotgruppen  också kommutativ.

Löst uttryckt kan man därför säga att kvotgruppen  (men även kommutatorundergruppen ) ger värdefull information om ursprungsgruppen , till exempel vilken struktur den har, trots att kvotgruppen oftast bara utgör en liten del av ursprungsgruppen. Det beror på att man reducerat problemet att finna egenskaper hos en icke-kommutativ grupp till en som är kommutativ. På köpet brukar kvotgruppen bli betydligt mindre och inte så oöverskådlig som ursprungsgruppen möjligen var, vilket kan vara fördelaktigt. Matematiken förstår generellt sett kommutativa grupper bättre än icke-kommutativa, se struktursatsen för abelska grupper, och mindre grupper bättre än större.

Kommutatorn i en ring definieras för två element  och  via så kallade Poisson-hakar genom relationen:

och är därmed en antikommutativ binär operator. Man ser att om vi kan kasta om ordningen hos operatorn  kommer kommutatorn bli noll. Den används i fysik till exempel för att studera kvantmekaniska invarianter. Den är närbesläktat med abstrakt algebraiska begrepp som centre och centralizer.

På liknande sätt definieras antikommutatorn

Se även 
 Abelsk grupp
 Associativitet
 Distributivitet

Referenser

Externa länkar 

Abstrakt algebra
Binära operationer