Dijkstras algoritm

Dijkstras algoritm är en matematisk algoritm för att hitta den kortaste eller billigaste vägen från en given nod till alla andra noder i en viktad graf med positiva bågkostnader. Grafen kan vara riktad eller oriktad. Algoritmen har fått sitt namn efter Edsger Dijkstra, som utvecklade den år 1959. Den är en algoritm som systematiskt löser Bellmans ekvationer. Dijkstras algoritm är lite av ett specialfall när det kommer till algoritmer. I inledande steg är den att liknas vid en girig algoritm som alltid väljer den kortaste vägen mellan två noder. Den avslutas emellertid med att söka igenom hela den genomgångna grafen efter den totalt sett kortaste vägen, vilket gör algoritmen till ett mellanting mellan en girig algoritm och en algoritm som använder sig av dynamisk programmering.

Lösningar till problemet med den billigaste vägen behövs inom många områden, exempelvis inom ruttplanering för att hitta den kortaste vägen när transportsträckor läggs ut. Den används också inom webbaserade reseplanerare för kollektivtrafik för att hitta snabbaste vägen.

Algoritmbeskrivning 
Beskrivningen nedan löser problemet att finna den billigaste vägen från startnoden  till terminalnoden  där  beskriver kostnaden på bågen . Låt  representera den kortaste vägen till nod  och  dess föregångare.

 Sätt . För alla andra noder, sätt .
 Finn den nod  med lägst nodpris  som ännu inte är avsökt.
 Undersök varje båge  som utgår från nod . Om den representerar en billigare väg till nod , det vill säga att , uppdateras värdena för nod  med  och .
 Gå till steg 2 om inte alla noder är avsökta.

När algoritmen är färdig återfinns den billigaste vägen genom att avläsa föregångaren  till slutnoden, sedan den nodens föregångare, och så vidare tills startnoden påträffas.

Exempel 

Bilden visar ett exempel av Dijkstras algoritm, där de olika variablernas värden visas under körning. Den optimala vägen från nod a till nod b beräknas. Initialt sätts nodpriserna till  för alla noder utom startnoden, som får nodpris . För varje nod beräknas de närliggande nodpriserna, och noden markeras därefter som avsökt genom den röda fyllningen. 

När slutnoden b avsöks har den optimala vägen beräknats.

Varianter 
Dijkstras algoritm ger inte alltid en lösning av problemet när vissa bågkostnader är negativa. Bellman-Fords algoritm löser detta genom att i steg 3 markera nod  som icke avsökt. Med icke-negativa bågkostnader är  redan icke avsökt.

Bevis 
Efter att nod  i algoritmbeskrivningen markerats som avsökt har alla avsökta noder fått permanenta nodpriser, som representerar priset av den billigaste vägen från startnoden dit. Varje ännu ej avsökt nod har ett nodpris, som är priset på den billigaste vägen från startnoden dit genom de redan avsökta noderna. Denna egenskap behålls i varje iteration av algoritmen. När alla noder är markerade som avsökta är alltså även varje nodpris det optimala. 

Att egenskapen behålls i varje iteration kan bevisas genom att antaga att den nod  som väljs att avsöka har nodpriset  som inte är optimalt. Då skulle det finnas en väg genom de ej avsökta noderna som är billigare. Kalla en av dessa noder för nod . Eftersom alla bågar i grafen är positiva (annars är Dijkstras algoritm inte applicerbar) måste priset för billigaste vägen från nod  till nod  vara positiv. Billigaste vägen från startnoden till nod  är nodpriset . Det betyder att vägen från startnoden till nod  är dyrare än vägen till nod .

Från metoden med vilken vi valde nod  ser vi dock att nodpriset  inte är lägre än nodpriset . Där ligger en motsägelse. Alltså var det ursprungliga antagandet felaktigt, och nodpriset  är optimalt.

Komplexitet 
Om man implementerar prioritetskön med hjälp av en Fibonacci heap så har algoritmen tidskomplexiteten , där  är antalet noder och  är antalet vägar i grafen.

Implementering 
Följande program är en implementering av Dijkstras algoritm i pseudokod.

    DIJKSTRA (Graf G, startnod s)
        // Vi initierar alla noder i grafen.
        // Billigaste vägen (avståndet) är oändligt
        // och föregående nod är odefinierad.
        för i ∈ Noder(G) gör
            avstånd[i] = OÄNDLIGT
            föregångare[i] = NULL
        // Avståndet till startnoden är 0.
        avstånd[s] = 0
        // Markera startnoden som avsökt.
        Avsökt( s )
        medan inte alla noder avsökta gör
            // Finn den ej avsökta nod som har lägst nodpris
            // tills alla är avsökta.
            i = Minimum( ej avsökta noder )
            för j ∈ närliggande(i) gör
                // Undersök om det finns en billigare väg
                // via nod i till närliggande noder.
                om avstånd[j] > avstånd[i] + kostnad(i, j) gör
                    avstånd[j] = avstånd[i] + kostnad(i, j)
                    föregångare[j] = i
            Avsökt( i )

Referenser 
 Jan Lundgren, Mikael Rönnqvist och Peter Värbrand. Optimeringslära, upplaga 3:1. Studentlitteratur 2003. .

Noter

Grafalgoritmer