Kolmogorovs axiom

Inom sannolikhetsteorin är Kolmogorovs axiom de tre axiom som entydigt bestämmer begreppet sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsteorin axiomatiserades 1933 av den ryske matematikern A. Kolmogorov i det numera klassiska verket Foundations of the Theory of Probability.

Kolmogorovs tre axiom 
En reell funktion  på händelser i utfallsrummet  är en sannolikhetsfunktion om den uppfyller de tre nedanstående axiomen. En funktion som inte uppfyller dessa axiom är inte en sannolikhetsfunktion.

Första axiomet 
Icke-negativitet

För en godtycklig händelse  gäller .

Andra axiomet
Normalisering 

För utfallsrummet  gäller .

Tredje axiomet
Ändlig additivitet

Om utfallsrummet är ändligt och om  så är 
.

Uppräknelig additivitet

Om utfallsrummet är oändligt så gäller för en oändlig följd av händelser  om  för alla , att 
.

Följdsatser

Monotonitet 
Om  gäller att .

Bevis 
 kan skrivas som  (A eller (B men inte A)). Det är enkelt att se att dessa två mängder är disjunkta och enligt Kolmogorovs tredje axiom får vi

Högerledet består, enligt Kolmogorovs första axiom, av två positiva sannolikheter. Det är då tydligt att .

Det numeriska intervallet 
För en händelse  gäller

Bevis
Med monotonitetsegenskapen ovan får vi direkt  och tillsammans med Kolmogorovs första axiom följer påståendet.

Komplementsannolikheten 
Sannolikheten för komplementhändelsen  till  är

Bevis
Antag att , då gäller att komplementhändelsen . Ett godtyckligt element ur  tillhör antingen  eller , det vill säga
. 
Detta medför att 

Vi behöver nu bara konstatera att om ett element tillhör  tillhör det inte , vilket är innebörden av komplementhändelse. Mer formellt har vi 
 
som leder till den logiska slutsatsen att 
. 

Kolmogorovs tredje axiom ger då

Sannolikhetsteorins additionslag 

För två händelser  och  gäller

Bevis
Notera att mängden  kan skrivas som . Detta inses enklast genom att tillämpa välkända mängdteoretiska räkneregler: 

Då  och  är disjunkta händelser gäller att  och  är disjunkta händelser. Vi har alltså, från Kolmogorovs tredje axiom, att

Genom att på liknande sätt skriva 
 
och använda Kolmogorovs tredje axiom igen har vi

Om uttrycket  från (2) sätts in i (1) erhålls

Sannolikheten för den tomma mängden

Bevis 
. 

Enligt Kolmogorovs tredje axiom har vi

Klassisk sannolikhetsdefinition 
För ett slumpexperiment med ändligt utfallsrum  och likformig sannolikhetsfördelning gäller för en händelse  att

Bevis 
Antag att  består av  händelser . 

Enligt Kolmogorovs andra och tredje axiom gäller

Enligt antagandet om likformig sannolikhetsfördelning är alla händelser  där  lika sannolika, vilket ger

Därmed kan  beräknas:

Exempel

Problem om komplementsannolikhet 
Sannolikheten att ett äpple faller på Isaac Newtons huvud uppskattas av honom själv till 0.0003. Vad är sannolikheten att äpplet inte faller?

För att lösa uppgiften genom att använda Kolmogorovs axiomsystem måste vi införa lämpliga beteckningar. Beteckna händelsen att äpplet faller på Isaac Newtons huvud med A. P(A) betyder då sannolikheten att äpplet faller på Newtons huvud. Enligt uppgiften är P(A) = 0.0003. Händelsen att äpplet inte faller kan betecknas . Med hjälp av Kolmogorovs axiomsystem får vi sannolikheten att äpplet inte faller till 
.

Vad som inte är tydligt i lösningen av problemet är utfallsrummet . I typuppgifter som denna brukar man helt enkelt betrakta  som .

Problem om sannolikhetsteorins additionslag 
Sannolikheten för att antingen den ena eller den andra händelsen inträffar är 0.5, sannolikheten att den ena inträffar är 0.1 och sannolikheten att den andra inträffar är 0.2. Vad är sannolikheten att båda inträffar?

Beteckna den ena händelsen som  och den andra som . Från uppgiften har vi 
 
Enligt Kolmogorovs axiomsystem (sannolikhetsteorins additionslag) gäller alltid att 
 
Vi sätter in de kända talen för att lösa ut det okända:

Men enligt Kolmogorovs första axiom måste sannolikheten för en händelse vara större än noll. Alltså kan inte problemet lösas.

Problem om klassisk sannolikhetsdefinition 
Åtta torn placeras slumpmässigt på ett schackbräde. Vad är sannolikheten att inget torn kan slå ett annat?

Låt  beteckna händelsen att inget av de åtta tornen kan slå ett annat. Lösningen erhålls genom att beräkna  och  och sedan tillämpa den klassiska sannolikhetsdefinitionen.

Utfallsrummet är de sätt som åtta torn kan placeras på ett schackbräde. Det första tornet kan placeras på 8⋅8 = 64 sätt, det andra på 64 - 1, det tredje på 64 - 2 sätt och så vidare till det åttonde tornet vilket kan placeras på 64 - 7 = 57 sätt. Enligt multiplikationsprincipen är därmed 

För att beräkna  noterar vi att första tornet kan placeras på 8⋅8 platser. När det andra tornet skall placeras är den rad och kolumn där det första tornet är placerat upptagna. De möjliga rutorna att placera det andra tornet på kan bilda ett bräde med 7 rader och 7 kolumner vilket ger 7⋅7 möjligheter. Nästa torn kan placeras på 6⋅6 sätt och så vidare till det åttonde tornet vilket kan placeras på 1⋅1 sätt. Enligt multiplikationsprincipen är då 

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen kan nu användas för att beräkna den sökta sannolikheten:

Således är sannolikheten att inget av de åtta tornen kan slå ett annat ungefär 9 på miljonen.

Se även 
 Sannolikhetsteori
 Mängdteori
 Axiom
 Matematiskt bevis

Källor 
 Stokastik av Sven Erick Alm, Tom Britton, 20011, sida 10.

Externa länkar
 Kolmogorov's Axioms, Wolfram MathWorld.
 Kolmogorov`s probability calculus, Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Sannolikhetsteori
Satser