kardosdrur/scandi-wiki huggingface dataset:
Kvasiperfekt tal

Inom talteorin är ett kvasiperfekt tal ett naturligt tal n för vilket summan av alla sina delare är lika med 2n + 1. Kvasiperfekta tal är ymniga. Inga kvasiperfekta tal har hittats hittills, men det har visats att om något kvasiperfekt tal existerar måste det vara större än 1035 och ha åtminstone sju delare.

Heltalsmängder
Sigmafunktionen
Abelsk grupp

Inom den abstrakta algebran är en abelsk grupp (efter Niels Henrik Abel) en grupp som är kommutativ vid tillämpning av gruppoperationen på två element i gruppen.

En abelsk grupp är en generalisering av addition av heltal.

Definition 
En abelsk grupp är en grupp där operationen är kommutativ, det vill säga gruppen (G,*) är abelsk om

för alla a och b i G. 

Övriga egenskaper för en grupp:
Slutenhet För alla a, b i A, är resultatet av operationen  också i A.
Associativitet För alla a, b och c i A, gäller ekvationen .
Neutralt element Det existerar ett element e i A, sådant att för alla element a i A, gäller ekvationen .
Inverst element För alla a i A, finns ett element b i A sådant att , där e är enhetselementet.

Man kan också se om en grupp är abelsk i dess cayleytabell; en grupp är abelsk om och endast om dess cayleytabell är symmetrisk kring huvuddiagonalen, dvs. elementet på rad i och kolumn j ska vara samma som elementet på rad j och kolumn i.

Den ovanstående notationen är för en grupp där operationen benämns multiplikation. För en additiv grupp ersätter man * med + och enhetselementet blir 0.

Historia 
Camille Jordan uppkallade abelska grupper efter den norske matematikern Niels Henrik Abel, då Jordan noterade deras vikt inom problem om lösning med radikaler, ett problem som behandlades av Abel.

Egenskaper 
Om f och g är homomorfier mellan två abelska grupper är även deras summa  en homomorfi. Detta gäller inte i allmänhet för icke-abelska grupper.

Varje delgrupp H av en abelsk grupp är normal, vilket betyder att för ett element a i A är:

Ändliga abelska grupper

Klassificering 
Fundamentalsatsen för ändliga abelska grupper säger att varje ändlig abelsk grupp G kan skrivas som en direkt summa av cykliska delgrupper av primtalpotensordning. Detta är ett specialfall av fundamentalsatsen för ändligt genererade abelska grupper då G har rang noll.

Cykliska gruppen Zmn av ordning mn är isomorf till direkta summan av Zm och Zn om och bara om m och n är relativt prima. Ur detta följer det att varje ändlig abelsk grupp G är isomorf till en direkt summa av formen

på något av följande vis:
 talen k1, ..., ku är primtalspotenser
 k1 delar k2 som delar k3 och så vidare ända upptill ku.

Exempelvis kan Z15 skrivas som direkta summan av två cykliska delgrupper, av ordningarna 3 och 5:  Samma gäller för varje abelsk grupp av ordning 15, vilket leder till det överraskande resultatet att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfa.

Referenser

Noter

Källor

 
Egenskaper av grupper
Kvadratiska reciprocitetssatsen

Den kvadratiska reciprocitetssatsen, förmodad av Euler och Legendre och först bevisad av Gauss, kopplar samman lösbarheten av två relaterade kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik. Satsen, som av Gauss benämndes Theorema Aureum, det gyllene teoremet, gör det möjligt att bestämma lösbarheten för alla kvadratiska kongruenser inom modulär aritmetik.

Antag att p och q är två olika udda primtal. Om åtminstone en av dem är kongruent 1 modulo 4 så har kongruensen

en lösning x om och endast om kongruensen

har en lösning y. (De två lösningarna är i allmänhet olika.) Om å andra sidan båda primtalen är kongruenta 3 modulo 4 så har kongruensen

en lösning x om och endast om kongruensen

saknar lösning.

En alternativ formulering av satsen kan skrivas:

Antingen är båda ekvationerna ovan lösbara eller ingen av dem, såvida inte både p och q är av typen 4n + 3, för i så fall är antingen den ena eller den andra ekvationen lösbar.

Om man använder Legendresymbolen , så kan detta sammanfattas som

Lemmermeyer samlade år 2000 i en bok 196 olika publicerade bevis för den kvadratiska reciprocitetssatsen. Per 2018 finns nästan 250 olika bevis framlagda för denna sats. 

Det finns en kubisk reciprocitetsats och andra högre reciprocetetssatser.

Referenser
 Riesel, Hans: Avsnittet "The Law of Quadratic Reciprocity", pp. 279-281 i Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed., Birkhäuser, Boston, MA, 1994.

Externa länkar 
 F. Lemmermeyers kronologi och bibliografi över bevis för den kvadratiska reciprocitetssatsen (2018-11-20: 246 bevis)

Modulär aritmetik
Satser inom algebraisk talteori
Kvadratisk rest

Inom talteorin kallas ett heltal q  för  kvadratisk rest modulo p, om det finns ett heltal x sådant att:

Antingen finns ingen eller två icke kongruenta lösningar. Om kongruensen ovan inte har någon lösning är q en icke-kvadratisk rest. Om exempelvis p = 13, är de kvadratiska resterna 1, 3, 4, 9, 10 och 12. 

Med hjälp av Eulers kriterium kan man avgöra om kongruenser av detta slag har någon lösning. Om till exempel p är ett udda primtal, finner man med detta kriterium att 
 

är lösbar, endast om p kan skrivas på formen 4n + 1. Om till exempel p = 17, så är x = 4 eller x = 13.

Vidare är exempelvis ett positivt heltal en kvadratisk rest (mod 10) om och endast om dess sista siffra är 0, 1, 4, 5, 6 eller 9.

Allmänt kan man säga, att en kvadratisk rest modulo p är ett tal, som har en kvadratrot i modulär aritmetik när modulen är p. Kvadratiska reciprocitetssatsen ger ett samband för när q är kvadratisk rest (mod p) och p är kvadratisk rest (mod q), för primtal p och q.

Med hjälp av reciprocitetssatsen kan man på ett förhållandevis enkelt sätt beräkna om kongruenser av ovanstående slag kan lösas.

Källor 
 I.N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, 1964.

Modulär aritmetik
Borås Tidning

Borås Tidning, förkortas BT, är en svensk dagstidning med sjudagarsutgivning, som ges ut som morgontidning i Sjuhäradsbygden med huvudredaktion i Borås. Tidningen har en upplaga på 34 200 exemplar varav digital upplaga 8 300. Dess politiska hemvist är moderat. Borås Tidning ingår i Gota Media AB. Stefan Eklund är tidningens chefredaktör.

Tidningen delar årligen ut sportutmärkelsen BT-plaketten, liksom det nationellt hållna, litterära priset Borås tidnings debutantpris och det mer lokalt inriktade Borås Tidnings kulturstipendium till Tore G. Wärenstams minne.

Tore G Wärenstam ledde under många år tidningen.

Historik

Borås Tidning grundades 1826 och är därmed en av de äldsta svenska tidningarna. Då hette tidningen Borås Weckoblad och grundaren var Nils Erik Lundström från Jönköping. Den följdes 1834 av Borås nya tidning, som 1838 köptes av färgerifabrikören C. G. Rydin, vilken gav tidningen dess nuvarande namn. År 1899 blev Borås Tidning aktiebolag.

I december 1949 blev tidningen en sjudagarstidning, med utgivning också på söndagar. Under många år var Tore G Wärenstam tidningens starke man som ägare och chefredaktör. År 1979 flyttade tidningen till det nuvarande BT-huset på Allégatan i Borås. 

2003 skapade Borås Tidnings huvudägare, Tore G. Wärenstams Stiftelse, tillsammans med Barometerns stiftelse mediekoncernen Gota Media. Borås Tidning, Barometern, Ulricehamns Tidning, Smålandsposten och Blekinge Läns Tidning ingick från starten i gruppen. Sydöstran och Kristianstadsbladet kom till senare. De olika tidningarna fortsätter självständigt sin utgivning men samarbetet fördjupas efter hand. Samverkan på IT-sidan har varit betydande. 

År 2006 startade BT, i samarbete med Knallevisionen, utsändningarna av webbteve i anslutning till deras webbtidning. Från 2008 beviljades Borås Tidning TV sändningstillstånd av Radio- och TV-verket för utsändning i det digitala marknätet. Några sådana sändningar blev dock aldrig av. Istället har BT utvecklat webb-TV-sändningar som en del i sin digitala satsning. Där ingår numera även poddradio. År 2006 startade BT i samarbete med Knallevisionen utsändningarna av webbteve i anslutning till deras webbtidning.

I september 2019 skadades entrén till tidningen då en hemmagjord bomb exploderade.

Chefredaktörer
Carl Gustav Rydin, 1846–1877
Albert Rydin, 1877–1886
Ernst Otto Malm, 1886–1891
Carl G. Tengwall, 1891–1892
Anders Marino, 1892–1898
Reinhold Ericson, 1899–1911
Ernst Sewerin, 1911–1940
Henry Johnsson, 1940–1954
Tore G. Wärenstam, 1954–1974
Rune Larsson, 1974–1992
Jan Öjmertz, 1992–2010
Stefan Eklund, 2010–

Kända personer som arbetat på BT
Lars Tunbjörk, fotograf
Negra Efendić, journalist, författare
Nils Horner, mördad utrikeskorrespondent för Sveriges Radio
Jan Hansson, sportjournalist
Stefan Andhé, kåsör, författare
Britta Svensson, krönikör 
Roger Turesson, fotograf
Hasse Persson, fotograf
Niclas Sennerteg, journalist och författare

Se även 
Ulricehamns Tidning

Källor

Noter

Externa länkar 
Borås Tidnings webbupplaga

Dagstidningar startade 1826
Företag i Borås
Sjuhäradsbygden
Svenska dagstidningar
Svenskspråkiga dagstidningar
Extremism

Extremism (latin: extremus) är ett begrepp som används för att beskriva en politisk, filosofisk eller teologisk ståndpunkt eller rörelse som anses avvika kraftigt från samhällets befintliga normer.

Begreppet kan användas som tillmäle för stigmatisera vissa åsikter men används också i akademiska sammanhang rent deskriptivt för att beskriva förhållandet mellan olika strömningar och konventioner.

Det används ibland även mer specifikt för att bemärka övertygelser som motiverar till brott, se exempelvis politisk brottslighet och våldsbejakande extremism.

Kännetecken
Några kännetecken som tenderar att förena olika sorters extremism och som flera forskare tagit fasta på är

 strävan efter ”monism”, det vill säga ett motstånd till politisk pluralism och en vilja att eliminera konkurrens mellan olika åsikter
 strävan efter att koncentrera makt till ett fåtal för att utan insyn och kritik från andra kunna förverkliga sina idéer
 strävan efter enhet, endräkt och harmoni utifrån en förställning om att den egna världsåskådningen är den enda sanna
 intolerans mot ambivalens

Extremism i Sverige 

Enligt Säkerhetspolisen finns det cirka hundra våldsbenägna högerextremister och lika många vänsterextremister samt cirka tvåhundra våldsbejakande unga islamistiska extremister i Sverige. Dessutom finns det militanta djurrättsaktivister.

Enligt Säkerhetspolisen och BRÅ:s gemensamma rapport Våldsam politisk extremism – Antidemokratiska grupperingar på yttersta höger- och vänsterkanten från 2009, där man analyserat antalet brott inom dessa grupper under en tioårsperiod, har 1 409 personer varit skäligen misstänkta för 9 329 brott under perioden. 2 432 bedöms politiskt motiverade och 734 av dessa har lett till fällande dom eller annan lagföring. De två grupperingarna har begått ungefär häften var av de politiskt motiverade brotten. Det vanligaste brottet inom den högerextrema vit makt-miljön är hets mot folkgrupp, det vanligaste inom den autonoma vänstern är brott mot allmän ordning.

Vad gäller våldsbrott är ca 400 fall totalt brott mot liv och hälsa under denna tioårsperiod. Vit makt-miljön står för ca 220 av dessa fall, och är den enda grupperingen som under perioden fullbordat mord eller dråp.

Enligt Säkerhetspolisens rapport Våldsbejakande islamistisk extremism i Sverige från 2010
inbegrep denna grupp knappt 200 personer 2009. Gruppen gjorde sig skyldig till 20 våldsbrott i Sverige under 2009.

Se även
Våldsfrämjande radikalisering
Gruppolarisering
Politisk brottslighet
Högerextremism
Vänsterextremism

Referenser

 
Wikipedia:Projekt neutralitet
Pietro da Cortona

Pietro da Cortona, egentligen Pietro Berettini, född 1 november 1596 i Cortona, död 16 maj 1669 i Rom, var en italiensk målare, arkitekt och stuckatör, verksam i Rom från 1613. Pietro da Cortona var jämte Giovanni Lorenzo Bernini och Francesco Borromini den romerska högbarockens främste företrädare.

Biografi 
Pietro gick först i lära hos den florentinske målaren Andrea Commodi och arbetade sedan från 1613 hos Baccio Ciarpi i Rom. Han blev en hängiven beundrare av Rafael och antikens konst. År 1620 fick Pietro en rekommendation till familjen Barberini av sin mecenat markisen Marcello Sacchetti. Påven Urban VIII Barberini kom att bli hans uppdragsgivare. Åren 1633–1639 utförde Pietro den allegoriska takmålningen Den gudomliga försynens triumf i stora salen i Palazzo Barberini på Quirinalen.

Pietro, som var principe för den romerska konstakademin Accademia di San Luca mellan 1634 och 1638, utövade ett stort inflytande över konstlivet i Rom. Med sina livfulla och av ljus genomflödade fresker anses han vara en innovatör inom högbarockens plafondmåleri.

I egenskap av arkitekt utförde Pietro ett flertal betydelsefulla kyrkoprojekt. År 1634 påbörjade han kyrkan Santi Luca e Martina (fullbordad 1664) vid Forum Romanum. Andra uppmärksammade arkitektoniska verk är fasaden till Santa Maria della Pace (1656–1667) samt fasaden med den ovanliga loggian till Santa Maria in Via Lata (cirka 1660). Därutöver ritade Pietro kupolen till San Carlo al Corso samt Cappella Gavotti i San Nicola da Tolentino.

Målningar i urval 
 Madonnan med helgon (1626–1628) – Museo Comunale, Cortona
 Den gudomliga försynens triumf (1633-1639) – Palazzo Barberini, Rom
 Fresker i piano nobile (1640-1647) – Palazzo Pitti, Florens
 Jungfru Marie födelse (1643) – Pinacoteca Nazionale, Perugia
 Den helige Laurentius martyrium (1653) – Santi Michele e Gaetano, Florens
 Den helige Stefanos martyrium (cirka 1660) – Sant'Ambrogio della Massima, Rom (nu i Eremitaget, Sankt Petersburg)
 Den helige Carlo Borromeos petitionsprocession med anledning av pesten 1576 (1667) – San Carlo ai Catinari, Rom

Fotogalleri

Källor

Noter

Tryckta källor

Vidare läsning 
 Campbell, Malcolm, Pietro da Cortona at the Pitti palace: a study of the planetary rooms and related projects. Princeton 1977.  
 Merz, Jörg Martin, Pietro da Cortona: der Aufstieg zum führenden Maler im barocken Rom. Tübingen: Wasmuth 1991.

Externa länkar 

 

Födda 1596
Avlidna 1669
Män
Italienska barockarkitekter
Italienska konstnärer
Italienska barockmålare
Personer från Cortona
Italienska stuckatörer
Ledamöter av Accademia di San Luca
Nästan-perfekt tal

Inom talteorin är ett nästan-perfekt tal ett naturligt tal n så att summan av alla delare till n är lika med 2n - 1. De enda kända nästan-perfekta tal är av formen 2k för något naturligt tal k. Det har inte visats att alla nästan-perfekta tal är av denna form. 

Nästan-perfekta tal under 1000 är därför: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 och 512.

Nästan-perfekta tal är defekta.

Egenskaper
 Om n är ett udda nästan-perfekt tal är n(2n−1) ett Descartestal.

Heltalsmängder
Sigmafunktionen
Robert Holbrook Smith

Robert Holbrook "Bob" Smith, känd som "Dr Bob", född 8 augusti 1879 i St. Johnsbury, Vermont, död 16 november 1950 i Akron, Ohio, var en amerikansk läkare och, tillsammans med William Griffith Wilson, en av grundarna av AA, Anonyma Alkoholister.

Se även
William Griffith Wilson

Källor

Noter

Amerikanska läkare
Personer från Caledonia County
Alumner från Dartmouth College
Födda 1879
Avlidna 1950
Män
Guldmedalj

Guldmedalj är i allmänhet den högsta valören på en medalj. Guldmedaljer brukar delas ut som belöning för utförandet av olika prestationer inom idrott, kultur eller vetenskap. Även utmärkelser inom militären och kungliga medaljer kan vara av guld.

De flesta "riktiga" guldmedaljer består inte av massivt guld, utan är oftast guldpläterade medaljer av annan metall. Detta gäller bland annat de olympiska guldmedaljerna, som sedan 1912 inte är av massivt guld. Nobelprismedaljer är däremot i massivt guld, de tillverkas i 18 karat guld och pläteras med 24 karat guld. 

Ofta, för att inte säga i de flesta sammanhang, är "guldmedaljen" av symbolisk betydelse och endast en metallbit målad med guldfärg. Guldmedaljer (ädla eller oädla) delas ofta ut till segraren i en tävling. Uttrycket att "ta guld" har blivit synonymt med att vinna en tävling, och används ofta i idrottssammanhang. Tvåan brukar tilldelas en silvermedalj och trean en bronsmedalj.

I de Olympiska sommarspelen delades guldmedalj ut även i målarkonst under åren från 1912 i Stockholm till och med 1948 i London. Det tävlades i minst fem kulturgrenar vid de olympiska sommarspelen, dessa var arkitektur, litteratur, musik, målning och skulptur. Det officiella namnet på kulturtävlingarna var Concours d'Art och dessa inleddes i Stockholm 1912. Medaljer delades ut för konstverk som hade anknytning till de fem kulturgrenarna. Kulturgrenarna var dock inte oomtvistade, och försvann sedermera.

Se även 
 Guld
 Silvermedalj
 Bronsmedalj

Externa länkar 
 

Medaljer
Tävlingar
Guld
Bronsmedalj

Bronsmedalj eller bronspeng är valören på prispenning som i allmänhet utdelas till den som kommit på tredje plats i mästerskapstävling i idrott. I olympiska spelen började man dela ut bronsmedaljer i Saint Louis 1904, i de två föregående spelen fick bara vinnaren och den näst bäste medalj.

I svensk mästerskapsfotboll tilldelas det lag som kommit på fjärde plats bronsmedaljen (då de tre första får respektive guldmedaljen, stora silvermedaljen och lilla silvermedaljen).

Psykologisk studie
1995 genomfördes en studie av socialpsykologerna Victoria Medvec, Scott Madey and Thomas Gilovich om effekterna på kontrafaktiskt tänkande vid olympiska spelen. Studien visade att utövare som vann bronsmedaljen ofta var gladare än silvermedaljören. Silvermedaljören var mer besviken över att ha missat guldmedaljen, medan bronsmedaljören var nöjd med att överhuvudtaget ha fått medalj. Detta märks framförallt i utslagsturneringar, som världsmästerskapet i fotboll för herrar och damer, där bronsmedaljören tilldelas den som vinner en match om tredje pris, medan silvermedaljörerna är de som förlorat finalmatchen.

Se även 
 Brons
 Match om tredje pris
 Guldmedalj
 Silvermedalj

Källor

Noter

Medaljer
Silvermedalj

Silvermedalj är den prispenning som i allmänhet utdelas till den som kommit näst efter vinnaren i mästerskapstävling i idrott.

I svensk mästerskapsfotboll finns två silvermedaljer: stora silver för den som kommit på andra plats och lilla silver för den som kommit på tredje plats.

I de Olympiska sommarspelen delades silvermedalj ut även i målarkonst under åren från 1912 i Stockholm till och med 1948 i London. Det tävlades i minst fem kulturgrenar vid de olympiska sommarspelen, dessa var arkitektur, litteratur, musik, målning och skulptur. Det officiella namnet på kulturtävlingarna var Concours d'Art och dessa inleddes i Stockholm 1912. Medaljer delades ut för konstverk som hade anknytning till de fem kulturgrenarna. Kulturgrenarna var dock inte oomtvistade, och försvann sedermera.

Se även
Silver
Guldmedalj
Bronsmedalj

Medaljer
Tävlingar
Silver
Silver (olika betydelser)

Silver kan syfta på:

 Silver – ett grundämne
 Silver (färg) – den färg som mest liknar silver
 Silver (hästfärg) – en hästfärg
 Silvermedalj – en medaljvalör
 Silver (TV-kanal) – en film-TV-kanal
 Silver (spel) – ett datorrollspel
 "Silver" - en sång av Kent

Personer 
 Alisha Silver, karaktär i Spindelmannen
 Cheyenne Silver, amerikansk porrskådespelare och erotisk dansös
 Frank Silver, amerikansk sångtextförfattare, kompositör, orkesterledare och musiker
 Jenny Silver, svensk sångerska
 Joel Silver, amerikansk filmproducent
 Horace Silver, amerikansk jazzpianist, kompositör och orkesterledare
 Long John Silver, en sjörövare i boken Skattkammarön
 Susan Silver, amerikansk musikmanager
Eulers sats

Eulers sats inom talteorin säger att för positiva heltal a och n sådana att a och n är relativt prima så gäller

där φ(n) betecknar Eulers φ-funktion.

Satsen är en generalisering av Fermats lilla sats.

En viktig tillämpning av satsen är vid RSA-kryptering, då man utnyttjar att det för heltal a och primtal p och q sådana att p ≠ q och SGD(a,p) = SGD(a,q) = 1 gäller att a(p-1)(q-1) ≡ 1 (mod p⋅q), vilket följer av satsen eftersom Φ(p⋅q) = (p-1)(q-1), om p och q är olika primtal och SGD(a,pq) = 1.

Satsen kan användas för att lättare reducera stora potenser modulo n. Betrakta till exempel problemet att hitta den sista decimalsiffran av 7222, dvs 7222 (mod 10). Notera att 7 och 10 är relativt prima, och att φ(10) = 4. Eulers sats ger att 74 = 1 (mod 10), och vi får 7222 = 74·55 + 2 = (74)55·72 = 155·72 = 49 = 9 (mod 10).

Generellt när man reducerar en potens av a modulo n (där a och n är relativt prima) måste man arbeta modulo φ(n) i exponenten till a. Detta är innebörden i en alternativ formulering av Eulers sats, nämligen att om a och n är relativt prima så gäller:

Bevis 

Leonhard Euler publicerade ett bevis 1736. Satsen kan bevisas genom att använda Lagranges teorem från den abstrakta algebran. Talen a som är relativt prima med n bildar en grupp under multiplikation mod n. Detta är enhetsgruppen till ringen Z/nZ. Denna grupp har φ(n) element, och Eulers sats följer sedan från Lagranges teorem.

Nedan följer ett bevis som utnyttjar det faktum att värdet av φ(m) är antalet inverterbara element i Zm = {0, 1, 2, ..., m-1}.

Antag SGD(y,m) = 1. För y = z + r·m (där z,r ε Zm) vill vi visa att SGD(z,m) = 1 och att yφ(m) ≡ zφ(m) (mod m), ty om SGD(z,m) = 1 är zφ(m) ≡ 1(mod m), vilket skulle bevisa satsen.

zφ(m) ≡ 1(mod m) om SGD(z,m) = 1
SGD(z,m) = 1 är ekvivalent med att z är inverterbar i Zm. Ty om z är inverterbar finns ett tal c ε Zm s.a. z·c ≡ 1 (mod m), så z·c - k·m = 1 för något k. En delare till z och m delar z·c och därmed även 1, så SGD(z,m) = 1. Omvänt gäller att om SGD(z,m) = 1 så existerar heltal z' och c' s.a. z·z' + c·c' = 1 (detta inses enklast genom att utföra euklides algoritm baklänges), dvs. z·z' ≡ 1 (mod m), så z är inverterbar.

Låt Um = {x1, x2, ..., xk} vara mängden av alla inverterbara element i Zm och ansätt a,b ε Um. Då är (a·b)−1 = a−1·b−1 (detta gäller för godtyckliga a,b ε Um). (a·b)·(a·b)−1 = (a·b)·a−1·b−1 = a·(b·b−1)·a−1 ≡ a·a−1 ≡ 1 (mod m), så a·Um ⊆ Um. Att b = 1·b ≡ a·a−1·b = a·(a−1·b) (mod m) medför att Um ⊆ a·Um vilket ger att a·Um = Um. Eftersom z är inverterbar följer att (z·x1)·(z·x2)·...·(z·xk) ≡ x1·x2·...·xk (mod m), så zφ(m) ≡ 1 (mod m).

SGD(z,m) = 1 och yφ(m) ≡ zφ(m) (mod m)
En delare till z och m delar även y = z + r·m, så SGD(z,m) = 1 (Vi har ju antagit att SGD(y,m) = 1).

yφ(m) = (z + r·m)φ(m) = (enligt binomialsatsen) = 

Det sista steget i beräkningarna följer av att φ(m) − i ≠ 0 för i ε [0, φ(m) − 1].

QED.

Se även 
 Eulers formel

Modulär aritmetik
Satser inom talteori
Leonhard Euler
Rouen

Rouen  () är en stad, kommun och historisk huvudstad i departementet Seine-Maritime i Normandie i Frankrike.

Staden ligger i nordvästra Frankrike vid floden Seine och är huvudstad i regionen Normandie. Rouen har drygt 100 000 invånare medan Stor-Rouen har drygt 518 000 invånare. Invånarna i staden kallas på franska Rouennais. Stadens största förorter är Sotteville-lès-Rouen, Saint-Étienne-du-Rouvray, Le Grand-Quevilly, Le Petit-Quevilly och Mont-Saint-Aignan.

Rouen är känt för katedralen Notre Dame och för att Jeanne d'Arc 1431 blev bränd på bål i staden. Rouen blev svårt skadat under andra världskriget.

Museer 
 Musée des beaux-arts, Rouens konstmuseum
 Musée maritime fluvial et portuaire, Rouens maritima museum

Utbildning 
 NEOMA Business School

Befolkningsutveckling 
Antalet invånare i kommunen Rouen

Galleri

Se även 
 Lista över kommuner i departementet Seine-Maritime
 Circuit de Rouen-les-Essarts

Referenser

Externa länkar 
 Office de Tourisme de Rouen

 
Kommuner i Seine-Maritime
Orter i Normandie
Tentativa världsarv i Frankrike
Netware

Netware, av företaget skrivet NetWare, är ett operativsystem skapat av Novell. Första versionen lanserades 1983.

Netware är, till skillnad från exempelvis Microsoft Windows, ett operativsystem som är avsett att köras på endast servrar. Det finns dock en separat klientdel som man installerar på användarnas arbetsstationer för att få åtkomst till serverns fil- och skrivartjänster, även om det från och med version 6 av operativsystemet går att använda tjänsterna utan en speciell klient.

Kännetecknande för Netware är stabilitet, god prestanda samt katalogtjänsten NDS.

Vid releasen av NetWare version 6.5. har Novell uppgett att man avser att integrera NetWare-tjänsterna på Linux-kernel. Detta påbörjas i och med utvecklingen av Novell Nterprise Linux Services. NetWare kallas numera Open Enterprise Server (OES) och kan även köras med SUSE Linux Enterprise Server som kernel-os.

Externa länkar 
 http://www.novell.com/products/netware/

Operativsystem