Egenvärde, egenvektor och egenrum

Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.

Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.

Definitioner

Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum.
En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att
,
för något tal  är en egenvektor till F med 
egenvärdet .

Om F kan framställas som en matris A är
,
där matrisen U är en matris av egenvektorer.

Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.

Sekularekvationen 
Antag en linjär avbildning av n-dimensionella vektorer definierade av en n × n-matris A,

eller

där, för varje rad,
.

Om v är en skalär multipel av w, det vill säga om 

då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som svarar mot egenvektorn. Ekvation (1) är egenvärdesekvationen till matrisen A och kan formuleras som

där I är identitetsmatrisen.

Ekvation (2) har en nollskild lösning v om och endast om determinanten till matrisen (A − λI) är noll. Egenvärdena till A är därför de λ som satisfierar sekularekvationen till A:

Vänsterledet till ekvation (3) är ett polynom i λ av grad n, 

vilket kallas det karaktäristiska polynomet till A.

Algebrans fundamentalsats innebär att karaktäristiska polynomet kan faktoriseras som

där varje λi kan vara ett reellt eller komplext tal. Talen λ1, λ2, ... λn, är polynomets nollställen och är egenvärdena till A.

Om  är en multipelrot som förekommer m gånger sägs  ha den algebraiska multipliciteten m.

Triangulär matris
Determinanten till en triangulär matris
 
är produkten av elementen i diagonalen:

Sekularekvationen för en triangulär matris blir då

vilken uppenbarligen har lösningarna

En n×n-matris kan överföras till en triangulär matris utan att dess egenvärden ändras.

Om A är en godtycklig n×n-matris gäller därför
 A:s spår är

 Determinanten till A är

 Egenvärdena till  är

Exempel 
Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt

Sekularekvationen 

blir

där det karakteristiska polynomet i λ har rötterna

vilka alltså är avbildningens egenvärden. 

Enligt ekvationen

är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen
 
Det första systemet har lösningen
 
och det andra lösningen 

De till egenvärdena

hörande egenvektorerna är alltså
 
och alla vektorer som är parallella med dessa.

Egenrum
Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.

Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.

För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen 

som löses för vektorn x för alla egenvärden, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.

Transformationer i planet
Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer.

Tillämpningar 
Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år.
Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen. 

Inom hållfasthetsläran används egenvärdesanalys för att studera spännings- och töjningstensorer. Egenvärdena ger tensorernas extremvärden som används för bedömning av risk för brott eller plastisk deformation. 

Även inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.

Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.

Se även 
 Generaliserad egenvektor
 Egenfunktion

Källor 

Linjär algebra
Abstrakt algebra
Matristeori