Kontinuerlig funktion

Inom matematiken är en kontinuerlig funktion en funktion som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott, så att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För en reellvärd funktion f med ett reellt argument kan man precisera detta som att man för varje givet reellt tal x0 där funktionen är definierad och varje given noggrannhet kan vara säker på att f(x) approximerar f(x0) med minst denna noggrannhet för alla x som ligger tillräckligt nära x0. 

Begreppet kontinuitet är dock mycket använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte så lätt låter sig omformuleras i en stringent definition. Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. Där definieras en funktion mellan två topologiska rum som kontinuerlig, om varje urbild av en öppen mängd är öppen. Man kan visa att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.

Exempel 
En funktion f definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt  i funktionens definitionsmängd Df om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

Att f är kontinuerlig betyder att den är kontinuerlig i varje punkt i Df. Exempelvis är f definierad av  för alla x skilda från 0 kontinuerlig, trots att dess graf "hoppar" i punkten 0.

Formella definitioner av "kontinuerlig funktion" 
Den intuitiva beskrivningen med hjälp av "noggrannhet" brukar traditionellt formaliseras i termer av ε (som uttalas epsilon och här betecknar "utvärdesnoggrannheten") och δ (delta, "invärdesnoggrannheten"). Detta ger följande precisa definition i det mest grundläggande fallet.

På reella tallinjen 
En reellvärd funktion f av en reell variabel (alltså sådan att dess definitionsmängd ) är:
 kontinuerlig i punkten  om det för vart  existerar ett  sådant att  och  medför . 
 kontinuerlig i ett intervall (exempelvis [a, b] eller ]a, b[) om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.
 kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt x i Df.

Man kan göra liknande definitioner exempelvis för funktioner mellan delmängder av olika ändligtdimensionella reella vektorrum, så snart man har preciserat vad  betyder. Exempelvis brukar man på Rn definiera detta som det euklidiska avståndet:
.

Mellan metriska rum 
Allmännare räcker det om både definitionsmängden och målmängden är försedda med metriker, avståndsfunktioner som uppfyller triangelolikheten. Med andra ord, om (X, dx) och (Y, dy) är metriska rum är funktionen  kontinuerlig i  om det för varje  existerar ett  så att .

Om  och  ges den vanliga metriken dR definierad genom , är denna definition ekvivalent med den förra definitionen.

Mellan topologiska rum 
För allmänna topologiska rum X och Y gäller att en funktion  är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för varje öppen mängd  gäller att f -1(U) är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att .
Om X och Y är metriska rum, så är denna definition ekvivalent med den klassiska .

Riktad kontinuerlighet 

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även 
 Differentierbarhet
 Diskret funktion
 Kontinuum
 Lipschitz-kontinuitet
 Likformig kontinuitet

Externa länkar