Sfärisk triangel

En sfärisk triangel är en triangel på ytan av en sfär. Triangeln begränsas av storcirkelbågar. Vinkelsumman ligger mellan 180 grader för en liten triangel och 540 för en triangel som upptar nästan en hel halvsfärs yta, under förutsättning att ingen vinkel får vara större än 180 grader (eulersk triangel). Om detta villkor inte gäller är den övre gränsen för vinkelsumman 900 grader.

Area och sfäriskt överskott
Arean av den sfäriska  triangeln kan beräknas med hjälp av de inre vinklarna (i radianer) och sfärens radie enligt Girards sats:

Jämfört med det plangeometriska fallet, sägs den sfäriska triangeln ha ett vinkelöverskott eller sfäriskt överskott, det vill säga summan  av de inre vinklarna  är större än 180 grader, eller, med alla vinklar givna i radianer, är överskottet

För en allmän sfärisk triangel gäller

och för en eulersk triangel

Genom att tillämpa sfärisk trigonometri kan vinkelöverskottet E beräknas med hjälp av triangelns sidolängder a, b och c enligt L'Huiliers sats:
 
där s = (a + b + c)/2 är triangelns semiperimeter (halva omkrets). Genom sambandet med Girards sats kan sedan triangelns area beräknas.

Beräkning av sidor och hörnvinklar

Om man känner alla tre sidlängderna, två sidlängder och en hörnvinkel, en sidlängd och två hörnvinklar eller, till skillnad från plana trianglar, alla tre hörnvinklarna, kan man beräkna de övriga med hjälp av formler från den sfäriska trigonometrin. (Observera att sfärisk trigonometri arbetar med en enhetssfär och uttrycker sidlängder i vinkelmått.)
Tre sidor kända: Beräkna vinklarna med hjälp av sfäriska cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva vinkeln.
Två sidor och en vinkel kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om vinkeln är mellanliggande, annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående vinkeln (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 3) och därefter Napiers analogier.
Två vinklar och en sida kända: Använd de sfäriska cotangensformlerna om sidan är mellanliggande, annars först sfäriska sinussatsen för att få den andra motstående sidan (observera att det i detta fall ofta finns två lösningar, även för en eulersk triangel - se figur 4) och därefter Napiers analogier.
Tre vinklar kända: Beräkna sidorna med hjälp av duala cosinussatsen eller de sfäriska formlerna för halva sidan.

Om en hörnvinkel är rät eller om en sida har längden π/2 finns det enklare metoder enligt nedan. Formlerna för den rätvinkliga triangeln kan även användas för andra trianglar (man måste dock känna antingen två sidor och ett hörn, eller två hörn och en sida), om man delar denna i två rätvinkliga trianglar - det blir två sidor och en vinkel till att räkna ut, men beräkningarna blir å andra sidan enklare. Speciellt effektiv är metoden om två sidor eller två hörnvinklar är lika, eftersom man då har en likbent triangel som kan delas i två kongruenta rätvinkliga trianglar.

Rätvinkliga sfäriska trianglar
I det fall en hörnvinkel i en sfärisk triangel är rät fås många enkla samband ur den sfäriska trigonometrins formler genom att cosinus och cotangens för en rät vinkel är noll, och sålunda försvinner många termer som innehåller cosinus eller cotangens för denna vinkel ur dessa formler (och i fallet med sinussatsen försvinner en faktor eftersom sinus är lika med ett för vinkeln). Nedan ges en uppsättning på tio enkla formler (under en rubrik som anger varifrån de härletts) som gäller för den sfäriska triangeln , med sidlängderna ,  och , med de motstående hörnvinklarna ,  respektive den rätvinkliga .
Sfäriska sinussatsen: 

Sfäriska cotangensformlerna: 

Duala cosinussatsen:

Sfäriska cosinussatsen:

Napiers minnesregel

Om man ritar en figur med fem "tårtbitar" som den längst till höger i figur 5 och anger sidor och vinklar, med undantag för den räta vinkeln, i den ordning de kommer i triangeln, men i stället för de båda icke räta vinklarna och den sida som är hypotenusa anger komplementvinkeln, lyder Napiers minnesregel: Välj en av de fem, sinus för denna är produkten av tangens för de båda intilliggande och produkten av cosinus för de båda övriga.

Exempel: Vi väljer sidan b. Minnesregeln säger då 
 
som återfinns som den tredje formeln från sfäriska cotangensformlerna ovan. Minnesregeln säger också 
 
som vi återfinner som den andra formeln från sfäriska sinussatsen.

Trianglar med en sida med längden π/2
Eftersom den polära triangeln har sidor som är supplementvinklar till triangelns hörn, innebär det att den polära triangeln till en rätvinklig triangel har en sida med längden , det vill säga att sidan är en storcirkelkvadrant. Vi kan således använda den polära dualitetssatsen på ovanstående formler för den rätvinkliga triangeln och få att för den sfäriska triangeln , med hörnvinklarna ,  och  och de motstående sidlängderna ,  respektive storcirkelkvadranten  gäller:

Man kan konstruera en liknande minnesregel som för de rätvinkliga trianglarna, men enklare är att bara byta vinklar mot motstående sidor och vice versa, samt ändra tecken om cosinus förekommer en gång (ty ; även tangens och cotangens byter ju tecken för supplementvinkeln, men dessa förekommer endast parvis i formlerna).

Geometriska egenskaper

Den inskrivna cirkeln

Liksom för en plan triangel skär hörnvinklarnas bisektriser varandra i en gemensam punkt, den inskrivna cirkelns medelpunkt.
Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln  i figur 6 till höger. Punkten  ligger på bisektrisen (blå) till vinkeln i hörnet  medan  är "fotpunkt" till  på  och  är "fotpunkt" till  på . Eftersom de båda trianglarna  och  delar sträckan  som sida (hypotenusa), båda har samma vinkel i  och deras vinklar i  respektive  båda är lika (räta) är trianglarna kongruenta.  ligger även på bisektrisen till vinkeln i , så samma sak gäller trianglarna  och , vilket ger att . Den cirkel som har medelpunkt i  och radien  är sålunda den inskrivna cirkeln till  ty dess omkrets tangerar triangelns sidor i punkterna ,  och  (vinkeln mellan sidan och radien till respektive sida är ju rät i respektive punkt). Att  även ligger på bisektrisen till vinkeln i  framgår på samma sätt ur att trianglarna  och  är kongruenta och således skär alla tre bisektriserna varandra i samma punkt.

Den inskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns omskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden  av radien i den inskrivna cirkeln till triangeln  (på en enhetssfär) med sidlängderna ,  och , och hörnvinklarna ,  respektive  i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

där .

Härledning
I triangeln i figur 6 har vi ,  och , vilket ger oss:

Eftersom  vinkeln i  är rät kan vi utnyttja  (se ovan under avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar, tredje formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med bytta beteckningar) för triangeln , vilket, med beteckningarna för triangeln i figur 6 ger:

Enligt den sfäriska formeln för tangens för halva vinkeln är , vilket ger:

Den omskrivna cirkeln

Liksom i fallet med en plan triangel skär mittpunktsnormalerna till en sfärisk triangels sidor varandra i en gemensam punkt. Denna punkt är medelpunkt för den omskrivna cirkeln till triangeln.

Bevis
Betrakta triangeln  i figur 7. Den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i . Sträckorna (storcirkelbågarna) från  till triangelhörnen är radier i den omskrivna cirkeln, det vill säga . Alltså är ,  och  likbenta trianglar och således går mittpunktsnormalerna till dessa trianglars tredje sida, ,  respektive , genom triangelhörnet .

Den omskrivna cirkelns medelpunkt är även medelpunkt till den polära triangelns inskrivna cirkel. För bevis se artikeln Polär triangel.

Längden  av radien i den omskrivna cirkeln till triangeln  (på en enhetssfär) med sidlängderna ,  och , och hörnvinklarna ,  respektive  i de till dessa sidor motstående hörnen fås genom:

där .

Härledning
Triangeln  i figur 7 delas av radierna från  till triangelhörnen upp i de tre likbenta ,  och  vars vinklar i hörnen  och ,  och  respektive  och  är inbördes lika, i figuren benämnda  (blå),  (orange) respektive  (grön). Sålunda har vi:

vilket ger:

Eftersom triangeln  är rätvinklig i hörnet , har hypotenusan  med längden  och kateten  med längden  (eftersom  är mittpunktsnormal till  som har längden ) kan vi utnyttja  (se avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan, första formeln från de sfäriska cotangensformlerna - med ändrade beteckningar), vilket med beteckningarna i figur 7 ger:

Den sfäriska formeln för tangens för halva sidan, , ger vidare:

Höjder och ortocentrum

En höjd i en sfärisk triangel är en storcirkelbåge som går genom ett hörn och skär den motstående sidan, eller dess förlängning, i rät vinkel. 

Storcirklarna till de tre höjderna i en sfärisk triangel, med högst ett rätvinkligt hörn, skär varandra i en gemensam punkt kallad ortocentrum - eller, rättare sagt i två punkter, eftersom storcirklar alltid skär varandra i två diametralt motsatta punkter. För ett bevis se artikeln Ortocentrum. Om ett, och endat ett, hörn i en sfärisk triangel är rätvinkligt, ligger ortocentrum i detta hörn. Ifall att exakt två hörn är rätvinkliga är det tredje hörnet pol till ekvatorn genom de båda rätvinkliga hörnen och således är alla storcirkebågar från polen till ekvatorn höjder för det icke rätvinkliga hörnet. Om alla tre vinklarna är rätvinkliga kan höjden till ett hörn ligga på vilken storcirkel som helst genom hörnet och en skärningspunkt mellan höjderna således åstadkommas varhelst man önskar på sfärens yta.

Höjdernas storcirklar i en sfärisk triangel sammanfaller med höjdernas storcirklar i den polära triangeln och därmed sammanfaller även de båda trianglarnas ortocentra. Se artikeln Polär triangel för bevis.

Höjderna beräknas genom att använda formlerna för rätvinkliga trianglar (se formlerna från sfäriska sinussatsen i avsnittet Rätvinkliga sfäriska trianglar ovan). Om vi vill beräkna höjden  från hörnet  till sidan  kan vi använda

där  är vinkeln i  och .

Medianer och tyngdpunkt

I en sfärisk triangel är en median en storcirkelbåge som går genom en sidas mittpunkt och det till sidan motstående hörnet. Medianerna skär varandra i en gemensam punkt. 

Bevis
Betrakta den sfäriska triangeln  på en enhetssfär med medelpunkt i  i figur 9. Den räta linjen  är bisektris till  och delar triangelsidan  i två lika delar.  delar också den rätlinjiga kordan från  till  i två lika delar, vi kallar skärningspunkten  (ej utmärkt i figuren). Samma sak gäller linjerna  och  gentemot respektive (sfäriska) triangelsidor och kordor. De tre kordorna bildar sidor i en plan triangel och i en sådan skär medianerna varandra i en gemensam punkt (se artikeln Median (geometri) för bevis) som vi kallar  (ej utmärkt). De tre plan som spänns upp av respektive av de tre medianerna i den plana triangeln och sfärens medelpunkt skär varandra alltså längs den räta linjen  (grön i figur 9). Eftersom  ligger på  ligger den rätlinjiga medianen  i det plan som spänns upp av  och . Men detta plan är ju detsamma som storcirkelplanet för den sfäriska medianen  (gröntonat i figur 9). Således skär också de tre sfäriska medianplanen varandra längs linjen , och således skär de tre medianerna i den sfäriska triangeln varandra i en punkt (betecknad ) som ligger på 

Längden av en median beräknas med hjälp av den sfäriska cosinussatsen eftersom två sidor och deras mellanliggande vinkel är kända. Således för, exempelvis,  i figur 9 har vi sidorna  och  samt vinkeln  i hörnet :

I en plan triangel delar medianen triangeln i två trianglar med lika area. Detta är inte fallet för en sfärisk triangel om den inte är likbent kring medianen.

Hos en plan triangel är medianernas skärningspunkt också triangelns tyngdpunkt, men detta gäller normalt inte för en sfärisk triangel (se figur 10 för ett tydligt exempel på detta). En median i en plan triangel delar triangeln i två trianglar med lika bas och lika höjd och som därför har sin respektive tyngdpunkt på samma avstånd från medianen, varför de båda trianglarnas gemensamma tyngdpunkt ligger på medianen. För en sfärisk triangel gäller att tyngdpunkten ligger på en median endast om den delar en likbent triangel (i det mellanliggande hörnet till de lika sidorna) och för att tyngdpunkten skall ligga på alla tre medianerna måste triangeln således vara liksidig.

Vektorn  till den sfäriska triangelns tyngdpunkt, på en enhetssfär, ges av:

där  är det sfäriska överskottet (se ovan under Area och sfäriskt överskott).

Med  den polära triangeln  till  förenklas ovanstående uttryck till:

Referenser och noter
Isaac Todhunter, 1886,  Spherical Trigonometry: For the Use of Colleges and Schools, Macmillan & Co. Faksimil PDF (3 MB), TeX PDF (789 kB). 1883 års upplaga online på Google Books.
John Casey, 1889, A Treatise on Spherical Trigonometry, and Its Application to Geodesy and Astronomy, with Numerous Examples, Dublin, Hodges, Figgis, & co. Online på Archive.org. PDF (5,5 MB).

Geometri
Trianglar
Sfärisk trigonometri