Differentialekvationer av första ordningen

I differentialekvationer av första ordningen ingår en funktion och funktionens förstaderivata. Det finns flera lösningsmetoder för differentialekvationer av första ordningen, och vilken metod som används beror på av vilken typ differentialekvationen är.

Differentialekvationer med separabla variabler

En ekvation har separabla variabler när den kan skrivas om så att dess respektive variabel, inklusive differential, hamnar på varsin sida om likhetstecknet. Differentialekvationen ska alltså kunna skrivas på formen

För att lösa ekvationen multipliceras med  och divideras med  och därefter integreras båda leden. Detta ger

med (den implicita) lösningen

Exempel på differentialekvation med separabla variabler
Exemplet visar hur en differentialekvation med separabla variabler löses.

Multiplicera båda leden med , dividera med  och integrera:

 

De båda konstanterna kan lika gärna skrivas som en konstant , och därefter löses  ut:

Linjära differentialekvationer

En linjär differentialekvation av första ordningen kan skrivas på följande form, som kallas standardform:

För att lösa denna ekvation bestäms en funktion , som är sådan att om ekvationen multipliceras med denna, så blir vänsterledet derivatan av produkten . Funktionen  kallas integrerande faktor, och bestäms genom

Multiplicera båda leden i ekvationen med 

Vänsterledet är nu derivatan av produkten 

och lösningen på differentialekvationen är

Exempel på linjär differentialekvation
Exemplet visar hur man löser den linjära differentialekvationen

Beräkna den integrerande faktorn. Integrationskonstanten utelämnas, eftersom man senare integrerar en gång till, och får en ny konstant.

Multiplicera differentialekvationen med den integrerande faktorn:

vilket förenklas till

Integrera båda leden och lös därefter ut

Bernoulli-ekvationer

En Bernoulli-ekvation kan skrivas på formen

Om  är 0 eller 1 är ekvationen linjär, se Linjära differentialekvationer ovan, i annat fall löses den på följande sätt:

Dividera först med  vilket ger

Gör substitutionen

och derivera  med avseende på  , med resultatet

Ersätt   med   i differentialekvationen

Denna ekvation är linjär och löses som i avsnittet  Linjära differentialekvationer ovan, varefter man åter ersätter

för att få resultatet som en funktion i .

Homogena ekvationer

Om högra ledet i följande differentialekvation kan uttryckas som en funktion i förhållandet , kallas ekvationen homogen.

För att lösa en homogen ekvation görs substitutionen

Derivera  med avseende på :

Sätt in i den ursprungliga ekvationen

Denna differentialekvation är nu en differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man  med  för att få svaret i de ursprungliga variablerna.

Ekvationer där högerledet är en funktion av (ax + by)

I ekvationer av denna form gör man substitutionen

som ger att

Sätt in i den ursprungliga ekvationen

vilket är en  differentialekvation med separabla variabler och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Slutligen ersätter man  med  för att få svaret i de ursprungliga variablerna.

Ekvationer med linjära koefficienter

Ekvationer med linjära koefficienter är av formen

Om  är ekvationen av formen dy/dx = f(ax + by) och löses som i avsnittet ovan som behandlar sådana. Om  är ekvationen homogen och löses som i avsnittet Homogena ekvationer. I andra fall gör man följande substitutioner

Där  och   är konstanter som fås fram genom att lösa ekvationssystemet

De nya variablerna insatta i differentialekvationen ger den homogena ekvationen

som löses som i avsnittet Homogena ekvationer.

Exakta ekvationer

Alla differentialekvationer av första ordningen kan skrivas på formen

Denna ekvation sägs vara exakt om

Då är

Denna ekvation integreras med avseende på  vilket ger

som deriveras med avseende på  vilket ger

Ur denna funktion löses  som därefter integreras för att få . (Vid denna integration sätts integrationskonstanten till 0, eftersom den ingår i den implicita lösningen.) Därmed är  klar, och den implicita lösningen till differentialekvationen är

Man kan lika gärna börja med

och integrera med avseende på . Man väljer  eller  beroende på vilken som är lättast att integrera.

Om differentialekvationen inte är exakt, kan man i vissa fall multiplicera med en integrerande faktor , som gör ekvationen exakt.

Om

bara beror av  är den integrerande faktorn  upphöjt till integralen med avseende på  av detta uttryck.

Om

bara beror av  är den integrerande faktorn  upphöjt till integralen med avseende på  av detta uttryck.

Exempel på en exakt differentialekvation
Här löses differentialekvationen

Först testas om ekvationen är exakt. Här är

vilket ger

Alltså är differentialekvationen exakt.

Alltså är

Detta integreras (och integrationskonstanten sätts till 0):

och den implicita lösningen är

Just i detta fallet kan man lösa ut  och få den explicita lösningen

Se även
 Differentialekvation

Differentialekvationer