Oktogon

Oktogon eller oktagon, åttahörning, är en polygon med åtta hörn. En liksidig och likvinklig (135° = 3π/4) oktogon kallas för en regelbunden oktogon och har Schläfli-symbolen .

I Sverige och flera andra länder har stoppskyltar, det vill säga skyltar som visar att stopplikt gäller, formen av en regelbunden oktogon.

Vinkelsumman i en oktogon är 1080° (6π).

Regelbundna oktogoner
[[Fil:OctagonText.svg|miniatyr|Figur 2.]]

För en regelbunden oktogon med sidlängden  gäller (se figur 2):

Area
En regelbunden oktogon har arean: HärledningEn regelbunden åttahörning är en kvadrat med fyra avskurna hörn (som i figur 3). Dessa hörn är rätvinkliga trianglar med hypotenusan  och de liklånga kateterna är sålunda  vilket ger att den hela kvadraten har sidlängden  och därmed arean . De fyra bortskurna trianglana har sammanlagt arean  vilket subtraheras från kvadraten och ger resten .

Diagonaler

Diagonalerna (figur 2) har längderna:

 HärledningLängden för  visades ovan under Area vara  
Betrakta den rätvinkliga triangeln  i figur 2 vars hypotenusa har längden  och vars kateter har längderna  och . Pythagoras sats ger

Betrakta en rätvinklig triangel  där  (ej utmärkt i figur 2 men ligger i skärningspunkten mellan r1 och d2) är fotpunkt till  på . Dess hypotenusa har längden  och, eftersom  är en likbent rätvinklig triangel med hypotenusan  och följdakligen båda kateterna  , har kateterna i  längderna  respektive .

Pythagoras sats ger:

De inskrivna och omskrivna cirklarna
Radierna fås direkt genom halvering av de två av diagonalerna som är liklånga med cirklarnas respektive diametrar:

Den inskrivna cirkelns radie är 

Den omskrivna cirkelns radie är 

Cirklarnas omkretser och areor fås därefter givetvis av  respektive .

"Silversnittet" och "cordobasnittet"

De om- och inskrivna cirklarnas radier och diametrar eller, om man så vill, diagonalerna  och , anses ha spelat roll inom arkitektur och konst, där kvoten mellan dessa och oktogonens sidlängd stundom använts. "Cordobasnittet" (engelska Cordovan ratio, uppkallad efter proportioner hos byggnader, särskilt stora moskén, i Cordoba, Spanien) är kvoten mellan den omskrivna cirkelns radie och oktogonens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "cordobatrianglen" (Cordovan triangle), medan cirkelns diameter och sida bildar sidorna i "cordobarektangeln" (Cordovan rectangle med proportionerna ). "Silversnittet" (på engelska silver ratio), eller det "silverne snittet" i analogi med det "gyllene snittet" (som är förhållandet mellan sidlängd och diagonal i en regelbunden pentagon, "femhörning"), är kvoten mellan den inskrivna cirkelns diameter och oktogonens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "silverrekttangeln" (silver rectangle med proportionerna ).Tomas Gil-Lopez, 2012, The Vault of the Chapel of the Presentation in Burgos Cathedral: "Divine Canon? No, Cordovan Proportion", Nexus Network Journal, 14:1. "Silversnittet" betecknas  eller . Ett papper av A-format (exempelvis ett vanligt A4-papper) kan delas i en kvadrat och en "silverrektangel" eftersom ett sådant papper har proportionerna  och tar man bort en kvadrat med sidlängden 1 från detta har den återstående remsan proportionerna .Hemmapysslaren kan sålunda enkelt av ett A4-papper framställa en "silverrektangel" med måtten 210×87 mm och, med hjälp av denna som mall , tillverka en regelbunden oktogon med sidlängden 87 mm av den återstående kvadraten (vik rektangeln längs med på mitten, vik ut den igen och lägg vecket längs kvadratens diagonaler).

Konstruktion från en kvadrat

Hur man viker en regelbunden oktogon utgående från ett kvadratiskt papper framgår av figuren till höger, men är materialet "styvare" får man ta till andra sätt, som passare och linjal (samma princip som pappersvikningen: dra diagonalerna med linjal, mät ut kvadratens sida med passaren på diagonalen och konstruera mittpunktsnormalen till den återstående biten av diagonalen) eller direkt mätning:

Se figur 3. Eftersom kateterna på de gröna rätvinkliga trianglar som skall "skäras bort" från kvadraten har längden  och hela kvadraten har sidlängden  (se ovan under Diagonaler) i förhållande till den önskade oktogonens sidlängd , har vi att kateterna på de trianglar som skall skäras bort har längden:
.I praktiken'Multiplicera din spånskivekvadrats sidlängd med 0,293 och märk ut punkter på kvadratens sidor med detta avstånd från hörnen. Dra räta linjer mellan punkterna och följ linjerna när du sågar. Om du vill ha en regelbunden oktogon med en bestämd sidlängd utgår du från en kvadrat med sidor som är  gånger så långa som denna önskade längd.

Konstruktion från en given sida med passare och linjal

Givet sidan  (svart) i figuren till höger.

Dra mittpunktsnormalen (brun konstruktion) till  och kalla sidans mittpunkt . Placera passaren i  och avsätt  på mittpunktsnormalen (symboliserat av röd cirkelbåge) och kalla denna punkt . Dra den räta linjen genom  och  (orange). Sätt passaren i  och avsätt  på den nyss dragna (orange) linjen genom  och  (symboliserat av grön cirkelbåge) och kalla denna punkt . Vi har nu fått sidan ! Konstruera mittpunktsnormalen (blå konstruktion) till . De två mittpunktsnormalerna (till  respektive ) skär varandra i , oktoederns mittpunkt och den omskrivna cirkelns mittpunkt. Placera passaren i  och rita den omskrivna cirkeln (violett) med radien . Avsätt sedan  runt denna cirkel hörn för hörn  (symboliserat av streckade linjer).

 Etymologi 
Namnet oktogon(/oktagon kommer från senlatinets oc'togonum/oc'tagonon Dit har ordet hämtats från det grekiska adjektivet Οκτάγωνος ok'tagōnos (av ὀκτώ oktōʹ 'åtta' och -γωνος -gō'nos 'vinklig'). I båda språken har ordet betydelsen 'åttahörning'. Begreppet stavas i olika europeiska språk antingen med centralt -a- (i analogi med oktaeder och andra lånord från grekiskan) eller -o- (i analogi med oktober och andra latinska bildningar baserade på grekiska lånord). I svenska språket förekommer båda varianterna, även om oktogon''-stavningen numera är den vanligaste.

Referenser och noter

Polygoner
Åttal