Skalärprodukt

Skalärprodukt, också kallad inre produkt, är inom vektoralgebran en operation på två vektorer a och b vars resultat är en skalär och som i ett euklidiskt rum kan definieras som

där θ är vinkeln mellan vektorerna. Skalärprodukten kan tolkas som längden av a:s projektion på b multiplicerad med b:s längd.

Om vektorernas komponenter är kända i en ortonormerad bas kan skalärprodukten även ges en algebraisk definition

Definition
En skalärprodukt kan definieras algebraiskt eller geometriskt. Den geometriska definitionen är grundad på begrepp som vinklar och avstånd (vektorers magnitud). Ekvivalensen mellan dessa två definitioner kräver ett kartesiskt koordinatsystem i det euklidiska rummet.

I moderna framställningar av euklidisk geometri, är punkterna i rummet kartesiska koordinater och det eukldiska rummet självt är vanligen identifierat med den reella koordinatrymden Rn. I en sådan framställning, är begreppen längd och vinklar definierade med hjälp av skalärprodukten. En vektors längd är definierad som kvadratroten av skalärprodukten av en vektor med sig själv och cosinus av den icke orienterade vinkeln mellan två vektorer av längd 1, är definierad som deras skalärprodukt. Ekvivalensen av de två definitionerna av skalärprodukt är en del av ekvivalensen mellan den klassiska och de moderna framställningarna av euklidisk geometri.

Algebraisk definition
Skalärprodukten av två vektorer  och  är definierad som:

där Σ betecknar summation och n vektorrummets dimension. Till exempel, i ett tredimensionellt rum, är skalärprodukten av vektorerna  och  

Om vektorerna identifieras med radmatriser, kan skalärprodukten även skrivas som matrisprodukten

där  betecknar transponatet av .

Uttryckt på  detta sätt, är en 1 × 3 matris (radvektor) multiplicerad med en 3 × 1 matris (kolumnvektor)  en 1 × 1 matris

Geometrisk definition

I ett euklidiskt rum, är en euklidisk vektor ett geometriskt objekt som har både en storlek och en riktning. En vektor kan avbildas som en pil. Dess storlek är dess längd och dess riktning är riktningen i vilket pilen pekar. Magnituden av en vektor a betecknas som . Skalärprodukten av  två euklidiska vektorer a och b är definierad som

där  är vinkeln mellan  och .

Om vektorerna  och  är ortogonala (deras mellanliggande vinkel är  eller 90°) och då , vilket implicerar

Vid den andra ytterligheten, om de är motriktade, är vinkeln mellan dem 0 

Detta implicerar att skalärprodukten av en vektor a med sig själv är

som ger
 
vilket är formeln för en vektors euklidiska längd.

Egenskaper
Om a, b och c är reella vektorer är skalärprodukten kommutativ

Skalärprodukten är skalbar i båda variablerna, det vill säga, för varje skalär α:

Den är också distributiv:

vilket kan sammanfattas som att den skalära produkten är en bilinjär form. Den är dessutom positivt definit, vilket innebär att  aldrig är negativ och är noll om och endast om , nollvektorn.

De algebraiska och geometriska definitionerna är ekvivalenta
Om e1, ..., en är standardbasvektorer i Rn, kan vi skriva

Vektorerna ei är en ortonormal bas, vilket innebär att de är av enhetslängd och är inbördes vinkelräta mot varandra. Således, då dessa vektorer är av enhetslängd

och är rätvinkliga mot varandra och om , är

Således gäller i allmänhet

där δ  ij  är Kroneckerdeltat.

Dessutom, i enlighet med den geometriska definitionen, för varje vektor ei och en vektor a gäller

där ai är komponenten av vektorn a i riktningen ei.

Applicera distributiviten på den geometriska versionen av skalärprodukten:

vilket är den algebraiska definitionen av skalärprodukten. Alltså är den geometriska skalärprodukten ekvivalent med den algebraiska skalärprodukten.

Exempel

Tillämpning på cosinussatsen
Givet två vektorer a och b åtskilda av en vinkel θ, som bildar en triangel med en tredje sida .  Skalärprodukten av  c med sig själv är

vilket är cosinussatsen.

Inom fysiken

Inom fysiken är vektorlängderna en skalär i fysikalisk mening, det vill säga, en fysikalisk storhet som är oberoende av koordinatsystemet, uttryckt som en  produkt av ett  numeriskt värde och en fysikalisk enhet, inte bara som ett tal. Skalärprodukten är också en skalär i denna mening, den är oberoende av koordinatsystemet. Exempel är:
 Mekaniskt arbete är skalärprodukten av kraft och förskjutningvektor
 Effekt är skalärprodukten av kraft och hastighet

Komplexa vektorer
För vektorer med komplexa tal som komponenter, leder den gängse definitionen av skalärprodukten till avvikande egenskaper. Till exempel, skalärprodukten av en vektor med sig själv är ett godtyckligt komplext tal och kan vara noll utan att vektorn är nollvektorn, vilket i sin tur har konsekvenser för begrepp som längder och vinklar. Egenskaper som den positiva-definita normen kan offras till priset av att ge upp de symmetriska och bilinjära egenskaperna hos skalärprodukten genom den alternativa definitionen

där bi är komplexkonjugatet av bi. Då är skalärprodukten av en vektor med sig själv ett icke-negativt reellt tal och är nollskilt med undantag för nollvektorn. Emellertid är denna skalärprodukt sesquilinjär snarare än bilinjär: den är linjär i sin konjugerade form och icke-linjär i a och inte
symmetrisk eftersom

Vinkeln mellan två komplexa vektorer ges då av 

Denna typ av skalärprodukt är inte desto mindre användbar och leder bland annat till generella definitioner av inre produktrum.

Se även
Inre produktrum

Referenser

Externa länkar 

Bilinjära former
Vektorer