Euler–Mascheronis konstant

Euler–Mascheronis konstant (eller enbart Eulers konstant) är en matematisk konstant definierad som gränsvärdet

där Hn är det n:e harmoniska talet och ln betecknar den naturliga logaritmen. Talet, som är uppkallat efter Leonhard Euler (och ej bör förväxlas med Eulers tal e ≈ 2,71828), förekommer i många olika formler inom matematiken och har djupa kopplingar till talteori och Riemanns zetafunktion. Det är ännu inte bevisat huruvida γ är ett irrationellt tal.

Härledning 

Det n:te harmoniska talet ges av den trunkerade harmoniska serien

som kan visas divergera då n går mot oändligheten. Divergensen är dock mycket långsam (mer än 1,5 · 1043 termer krävs exempelvis för att nå en summa över 100). I själva verket växer Hn med ungefär samma hastighet som ln n, vilket kan förstås genom att tolka den naturliga logaritmen som ytan under grafen till y = 1/x,

(figurerna 1 och 2 ger en visuell jämförelse). Funktionerna är dock inte exakt lika, och Leonhard Euler visade att differensen då n går mot oändligheten är en konstant mellan 0 och 1. Euler kallade talet C, beräknade dess värde med sex decimalers noggrannhet, och publicerade år 1735 resultatet i avhandlingen De Progressionibus harmonicus observationes.

Numeriskt värde 
Värdet på Euler–Mascheronis konstant kan i praktiken inte beräknas direkt utifrån Eulers gränsvärde, eftersom konvergensen är långsam. Exempelvis är

Euler härledde i stället formeln

och kunde med dess hjälp ge uppskattningen C ≈ 0,577218.

Konvergensen i Eulers gränsvärde kan förbättras genom att ta med en grov uppskattning av felet i beräkningen. En sådan uppskattning är

med vars hjälp n = 10 ger två korrekta decimaler. Termen −1/2n är i själva verket den första i en serie som ger ännu bättre uppskattningar. Genom att tillämpa Euler-Maclaurins formel på funktionen y = 1/x fås

där B2k är ett Bernoullital, med de första termerna utskrivna:

Detta är en asymptotisk serie som divergerar för varje n men vars fel vid lämplig trunkering går mot 0 då n → ∞. Euler valde n = 10 och beräknade serien till och med n14-termen, vilket gav uppskattningen 0,577 215 664 901 532 5, med 16 korrekta decimaler.

Lorenzo Mascheroni använde år 1790 Eulers metod för att beräkna 32 decimaler, som han publicerade i avhandlingen Adnotationes ad calculum integrale Euleri. Dessvärre erhöll Johann von Soldner år 1809, vid en beräkning av de 24 första decimalerna, ett värde som skilde sig från Mascheronis efter den 19:e decimalen. En ny räkning med 40 decimalers noggrannhet, genomförd 1812 av det 19-åriga räknegeniet F G B Nicolai (1793–1846) på Carl Friedrich Gauss anmodan, visade överensstämmelse med Soldners. Mascheronis felräkning ledde till minst åtta oberoende omräkningar för att bekräfta Soldners resultat, och under flera år cirkulerade båda värdena till stor förvirring. På grund av detta missöde, och att Mascheroni i sin avhandling infört beteckningen γ, kallas talet ibland Euler–Mascheronis konstant.

Numerisk representation 
De första 250 siffrorna i γ:s decimalutveckling är

0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495146314472498070824809605040144865428362241739976449235362535003337429373377376739427925952582470949160087352039481656708532331517766115286211995015080.

Talet har kedjebråksframställningen

[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, ...]

som ger upphov till de rationella närmevärdena

Samband med speciella funktioner

Gammafunktionen 
Euler–Mascheronis konstant är relaterad till gammafunktionen via Weierstrassprodukten

och uppträder i Maclaurinserien för den reciproka gammafunktionen,

Den kan också beräknas som en derivata av gammafunktionen,

eller via gränsvärdet

Andra gränsvärden är

Riemanns zetafunktion 
Kopplingen till Riemanns zetafunktion framgår exempelvis av

Andra serier som innehåller zetafunktionen är

  0,0173192269903….

Ett intressant gränsvärde är

En annan formel är

där ζ(s,k) är Hurwitzs zetafunktion.

Integraler 
Det finns ett stort antal integraler som är lika med Euler–Mascheronis konstant:

 
Integraler som resulterar i mer komplicerade konstanter är

En dubbelintegral för gamma är

Det är intressant att notera att

En integral av Catalan är

Oändliga serier 
En oändlig serie av Euler är 

Andra oändliga serier är

Andra serier av Vacca är

En annan formel är

Oändliga produkter 
Några oändliga produkter som innehåller Euler–Mascheronis konstant är

Övriga formler 
En formel av de la Vallée-Poussin

Generaliseringar 
Genom att i stället för den harmoniska serien välja den harmoniska primtalsserien, och dess asymptot ln ln, fås Meissel–Mertens konstant

Gränsvärdet för Euler–Mascheronis konstant kan generaliseras till

där f är en godtycklig positiv, avtagande funktion. Funktionen

ger exempelvis upphov till Stieltjes konstanter, varav Euler–Mascheronis konstant är den nollte. Funktionen 

ger vidare

Speciellt gäller gränsvärdet

för Euler–Mascheronis konstant.

Ytterligare en generalisering är Masser–Gramains konstant, som uppkommer genom ett liknande gränsvärde men i det komplexa talplanet i stället för längs den reella tallinjen.

Euler–Lehmers konstanter definieras som

Deras enklaste egenskaper är

och om gcd(a,q) = d,

Talteori 
Euler–Mascheronis konstant förekommer i ett stort antal formler inom talteori, såsom

En olikhet för Eulers fi-funktion är
.

Euler–Mascheronis konstant har djupa konnektioner med primtal:

Källor 
 Havil, Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press. .
 Dunham, William (1999). Euler, The Master of Us All (Dolciani Mathematical Expositions, No 22). The Mathematical Association of America. .

Externa länkar 

Leonhard Euler
Matematiska konstanter
Olösta matematiska problem