Zorns lemma

Zorns lemma är inom mängdläran, en sats av fundamental betydelse. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.

För att kunna förstå Zorns lemma introduceras några begrepp som är av vikt även utanför denna artikel.

Definitioner 
En partiellt ordnad mängd är ett par  där
  är en icke-tom mängd;
 Symbolen  betecknar en binär relation på  med tre egenskaper:
 (Reflexivitet) Varje element  uppfyller relationen 
 (Antisymmetri) Om  och  så är 
 (Transitivitet) Om  och  så är 

En totalt ordnad mängd är en partiellt ordnad mängd  med egenskapen att om  och  är två element i mängden  så är  eller 

Ett element  är en övre begränsning till en totalt ordnad delmängd  av den partiellt ordnade mängden  om varje element  i mängden  uppfyller relationen 

Ett element  är ett maximal-element till mängden  om det har egenskapen att närhelst  är ett element i  sådant att , så är .

Med dessa förberedelser gjorda kan vi formulera det centrala resultatet i denna artikel.

Zorns lemma 

Låt  vara en icke-tom partiellt ordnad mängd. Antag att varje totalt ordnad delmängd av  har en övre begränsning. Då finns det minst ett maximal-element till mängden .

Tillämpning: Existens av en Hamelbas i ett vektorrum 

Varje vektorrum  har en Hamelbas.

Bevis 

Låt  vara en samling bestående av alla linjärt oberoende delmängder, , till vektorrummet . Mängden  är alltså ett element i .

Eftersom  så finns det ett element  i vektorrummet . Detta element ger i sin tur upphov till en-punkts-mängden , som är en linjärt oberoende delmängd: Det enda sättet på vilket ekvationen  kan uppfyllas, är om det komplexa talet  Detta visar att  är ett element i samlingen
, varför denna är en icke-tom mängd.

Paret  är en partiellt ordnad mängd, där den binära relationen '' betecknar mängd-inklusion:  betyder att  är en delmängd till mängden .

Låt  vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av . Varje objekt  är en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet . Unionen av dessa delmängder, , är också en linjärt oberoende delmängd av , varför . Objektet  är enligt konstruktion en övre begränsning till . Detta visar att varje total ordnad delmängd av
 har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss då dra slutsatsen att samlingen  har minst ett maximal-element. Låt  vara ett maximal-element till . Betraktad som ett element i samlingen , är  en linjärt oberoende delmängd av vektorrummet . Det är därför meningsfullt att studera det linjära spannet  av .

Enligt definitionen av linjärt spann är  en delmängd av . Vi skall visa att  genom att anta motsatsen. Vi antar alltså att det finns ett element  som inte är ett element i . Detta element ger upphov till den linjärt oberoende mängden  som, tillsammans med , ger den linjärt oberoende delmängden  av vektorrummet . Vi ser att , varför vi måste dra slutsatsen att
 eftersom  är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden . Detta innebär att , vilket motsäger antagandet att .

Sammanfattningsvis har vi visat att det finns en linjärt oberoende delmängd  som är sådan att , det vill säga: Mängden  är en Hamelbas för vektorrummet .

 Tillämpning: Existens av en ortonormal bas i ett Hilbertrum Varje Hilbertrum  har en ortonormal bas. Bevis 

Låt  vara en samling bestående av alla ortonormala delmängder av Hilbertrummet . Det finns ett element  i detta Hilbertrum, eftersom vi antar att . Detta element ger upphov till den ortonormala mängden , där elementet , vilket visar att samlingen  är icke-tom.

Paret  utgör en partiellt ordnad mängd, där symbolen  betecknar mängd-inklusion.

Låt  vara en godtycklig totalt ordnad delmängd av . Elementen i  utgörs av ortogonala delmängder till Hilbertrummet . Unionen av dessa delmängder, , är också en ortogonal delmängd av . Eftersom varje mängd  är en delmängd av , det vill säga , är  en övre begränsning till samlingen , med avseende på den partiella ordningen ''. Detta visar att varje totalt ordnad delmängd av  har en övre begränsning.

Zorns lemma låter oss dra slutsatsen att samlingen  har ett maximal-element, som vi betecknar med symbolen . Detta maximal-element är en ortonormal delmängd av Hilbertrummet . Om vi kan visa att  även är en total delmängd av , så är  en ortonormal bas till Hilbertrummet.

Det slutna höljet  av det linjära spannet  är en delmängd av . Vi vill visa att . För att göra detta antar vi motsatsen och visar att detta leder till en motsägelse.

Vi antar därför att det finns ett element, , i Hilbertrummet  som är sådant att . Detta element är ortogonalt mot mängden F. Tillsammans bildar de den ortonormala mängden , där elementet . Vi ser att , vilket innebär att vi tvingas dra slutsatsen att , eftersom  är ett maximal-element till den partiellt ordnade mängden
. Detta leder fram till motsägelsen:  och .

Sammanfattningsvis har vi visat att varje Hilbertrum  har en ortonormal bas.

 Resultat ekvivalenta med Zorns lemma 

Zorns lemma är ekvivalent med Urvalsaxiomet: Låt E vara en mängd. Då finns det en funktion  som avbildar varje delmängd  på ett element .

Urvalsaxiomet är också ekvivalent med Tychonoffs teorem inom topologi: Låt  vara en familj av kompakta topologiska rum. Då är paret  ett kompakt topologiskt rum, där  betecknar
produkt-topologin på .

Zorns lemma är ekvivalent med Hausdorffs maximalitetsprincip: Låt  vara en partiellt ordnad mängd. Då finns det en totalt ordnad mängd  sådan att;Om  är sådan att , så är  inte en totalt ordnad mängd.Ett annat sätt att uttrycka Hausdorffs maximalitetsprincip är: Varje partiellt ordnad mängd har en maximal totalt ordnad delmängd.Zorns lemma är ekvivalent med principen om väl-ordning: För varje icke-tom mängd X går det att konstruera en ordningsrelation  på X, sådan att paret  är en välordnad mängd.Zorns lemma är en sats inom mängdläran. Lemmat används till exempel för att visa existens av maximalideal i ringar, baser i vektorrum samt i många andra fall när urvalsaxiomet behövs i ett existensbevis. Troligen är Zorns lemma den vanligaste formen av urvalsaxiomet i matematiska bevis.Givet en icke-tom partiellt ordnad mängd M som är sådan att varje kedja har en övre gräns, så existerar ett maximalt element i M.''

Zorns lemma visas med hjälp av urvalsaxiomet. Vidare kan urvalsaxiomet, givet mängdlärans övriga axiom, visas med hjälp av Zorns lemma. Därmed är Zorns lemma och urvalsaxiomet ekvivalenta givet axiomen i ZF.

Mängdteori