Fibonaccital

Fibonaccital är tal som ingår i en heltalsföljd, Fibonaccis talföljd, där varje tal är summan av de två föregående Fibonaccitalen; de två första talen är 0 och 1. Fibonaccitalen är en sekvens , definierad rekursivt enligt:

De första Fibonaccitalen är

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, …

Bakgrund 

Talen är uppkallade efter matematikern Leonardo Pisano Fibonacci som på 1200-talet använde dem för att beskriva tillväxten hos kaniner. Talen beskriver antalet kaninpar i en grupp kaniner efter n månader om man antar att:

 det endast finns ett par nyfödda kaniner den första månaden.
 nyfödda kaniner blir könsmogna vid två månaders ålder.
 det inte uppstår genetiska problem på grund av inavel.
 det varje månad föds en unge per könsmogen kanin.
 ingen av kaninerna dör.

Fibonaccitalen beskrevs dock redan under 500-talet f.Kr. av den indiske matematikern Pingala.

Anknytning till det gyllene snittet 
Fibonaccisekvensen är relaterad till det gyllene snittet, talet

Särskilt gäller att kvoten mellan efterföljande Fibonaccital konvergerar mot det gyllene snittet:

En konsekvens av det här är

Med hjälp av det gyllene snittet kan man även ange det n:e Fibonaccitalet på explicit form:

Den här identiteten är känd som Binets formel efter Jacques Binet.

Ekvationen

kan användas till att skriva  som en linjär kombination av  och 1. Med induktion kan man bevisa att

Talteoretiska egenskaper 
Fibonaccitalens delbarhet har studerats flitigt inom talteorin. De kan bland annat visas uppfylla

där sgd betecknar den största gemensamma delaren. Det följer att F(n) är delbart med F(m) om och endast om n är delbart med m, med triviala undantag för n mindre än 4.

Frågan om huruvida det finns oändligt många primtal i Fibonacciföljden är ett berömt olöst matematiskt problem. Med undantag för n = 4 kan F(n) endast vara ett primtal om n också är det, men omvändningen gäller inte: om n är ett primtal behöver inte nödvändigtvis F(n) också vara primtal.

De första prima fibonaccitalen är:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917, 475420437734698220747368027166749382927701417016557193662268716376935476241 … 

Det största Fibonaccital som bevisats vara primt är det 17103-siffriga F(81839). Ännu större Fibonaccital är kända som klarar pseudoprimtalstest, det största F(604711) med 126377 siffror.

Känt är att Fibonaccitalens faktoriseringar innehåller oändligt många olika primtal. Robert Daniel Carmichael har visat att varje Fibonaccital efter F(12) har minst en primtalsfaktor som inte delar något tidigare tal i följden.

Fibonacciföljden är periodisk modulo varje positivt heltal m. Exempelvis är Fibonaccitalen modulo 2 lika med följden 1, 1, 0, 1, 1, 0, …,  som har perioden 3. Perioden π(m), döpt till "pisanoperioden", är för m = 1, 2, … lika med 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, 24, 18, 60, 16, 30, 48, 24, 100, 84, 72, 48, 14, 120, 30, 48, 40, 36, 80, 24, 76, 18, 56, 60, 40, 48, 88, 30, 120, 48, 32, 24, 112, 300, 72, 84, 108, 72, 20, 48, 72, 42, 58, 120, 60, 30, 48, 96, 140, 120, 136, … .

Eftersom periodiciteten innefattar alla tiopotenser m = 10n upprepas varje siffra och grupp av siffror periodiskt: till exempel upprepas samma avslutande siffra alltid vart π(10) = 60:e Fibonaccital, och samma två avslutande siffror återkommer vart π(100) = 300:e Fibonaccital. Då n > 3 ges perioden för de n sista siffrorna av den explicita formeln 15 · 10n−1. Ett alternativt perspektiv är att det för varje Fibonaccital F(n) finns oändligt många större Fibonaccital vars siffror slutar med F(n).

Om  är Legendresymbolen 

är

Matrisform 
Följande matrisidentitet ger en explicit formel för Fibonaccitalen som lämpar sig särskilt väl för att med dator beräkna mycket stora Fibonaccital:

Förekomst i naturen 

Fibonaccitalen förekommer i spiralstrukturer i naturen, exempelvis i kottar, snäckor och solrosor. Antalet spiraler räknat motsols respektive medsols utgör i sådana strukturer två efterföljande Fibonaccital. Så stora Fibonaccital som 233 har påträffats.

Generaliseringar

Utökning av index 
Genom att lösa ut F(n) som differensen F(n+2) − F(n+1) kan Fibonacciföljden utökas i negativ riktning till

…, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

som uppfyller F(−n) = (−1)n+1 F(n) för alla heltal n. Samma utökning fås genom direkt insättning av negativa index i Binets formel, som även låter Fibonaccifunktionen F(x) definieras för reella och komplexa tal x. Den kontinuerliga funktionen F(x) har de oändligt många nollställena x = 0 och x ≈ 0,18380, 1,5708, 2,4704, 3,5109, … som precis svarar mot lösningarna till ekvationen

och närmar sig n + 1/2 för stora negativa n.

Andra begynnelsevärden 
Fibonaccitalen definieras genom differensekvationen

och två begynnelsevärden. Andra val av begynnelsevärden ger upphov till andra följder, exempelvis Lucastalen som ges av L(1) = 1, L(2) = 3 och fortsätter med 4, 7, 11, 18, 29, etcetera. Sådana följder uppfyller egenskaper liknande dem hos Fibonaccitalen: exempelvis har alla följder på denna form det gyllene snittet som gränsvärde för kvoten mellan intilliggande tal.

De funktioner g som löser Fibonacciföljd differensekvation har formen

för godtyckliga tal a och b, och kallas ibland mer allmänt för Fibonacciföljder. Fibonacciföljderna utgör ett vektorrum med funktionerna n ↦ F(n) och n ↦ F(n + 1) som basvektorer. En följd är att Lucastal kan omvandlas till Fibonaccital och vice versa genom basbyte. Exempelvis ges det n-te Lucastalet av L(n) = 2F(n) + F(n+1).

Fibonaccitalen kan ytterligare generaliseras genom att variera formen på differensekvationen. Exempelvis definieras Pelltal av ekvationen P(n) = 2P(n−1) + P(n-2) med samma begynnelsevärden som för Fibonacciföljden. Genom att låta varje tal i följden vara summan av fler än två föregående tal fås följande generaliseringar:

För följden av ordning n kan antingen n stycken tvåpotenser eller (n − 1) stycken nollor följda av en etta väljas som begynnelsevärden. Flera av de generaliserade Fibonacciföljderna har intressanta kombinatoriska tolkningar.

Andra objekt än tal 
Fibonaccipolynomen är en polynomföljd som definieras av

De första Fibonaccipolynomen är:

Värdet av det n:te Fibonaccipolynomet för x = 1 är lika med det n:te Fibonaccitalet.

Om två textsträngar b och a används som begynnelsevärden och addition tolkas som konkatenering fås på liknande sätt följden

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, …

Identiteter 

Catalans identitet:

Cassinis identitet:

d'Ocagnes identitet:

där Ln är det n:te Lucastalet.

Genererande funktion 
Fibonaccitalens genererande funktion är

Serien konvergerar för  och kan skrivas i sluten form som

vilket kan bevisas med

En lösning av ekvationen

ger resultatet ovan.

Oändliga serier med Fibonaccital 
Oändliga serier med Fibonaccital kan ibland skrivas i sluten form med hjälp av thetafunktioner. Exempelvis är summan av reciprokerna av Fibonaccitalen med udda index

och summan av reciprokerna av Fibonaccitalens kvadrater är

Några serier som resulterar i enklare konstanter är

och

Man känner inte till någon sluten formel för summan av reciprokerna av Fibonaccitalen, men man vet att den reciproka Fibonaccikonstanten

är irrationell.

En överraskande identitet är

som följer av formeln

Fibonacciprimtal
Fibonacci-primtal är tal som är både Fibonaccital och primtal. Det finns bara 10 av dessa mindre än 1 miljard, nämligen: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229 och 433494437. Det är (2023) inte känt om det finns oändligt många Fibonacci-primtal.

Övrigt 
 

 Fibonaccitalen kan skrivas med hjälp av Chebyshevpolynomen som

Källor

Externa länkar 
 Webbmatte om fibonaccital
 http://umu.diva-portal.org/smash/get/diva2:479176/FULLTEXT01.pdf

 
Heltalsmängder
Talföljder