Lorentztransformation

Lorentztransformationen är en uppsättning ekvationer inom relativitetsteorin som anger hur tids- och rumskoordinater mäts i olika inertialsystem. Dessa ekvationer används för att transformera dessa storheter mellan olika inertialsystem. En storhet som inte ändras av en Lorentztransformation sägs vara Lorentzinvariant. 

Relativitetsteorin postulerar att ljusets hastighet är densamma i alla referenssystem, vilket är ett tillräckligt antagande för att härleda Lorentztransformationen.

Historik 
Lorentztransformationen är uppkallad efter Hendrik Lorentz, som tillkännagav sina slutsatser 1904 utan att känna till att Woldemar Voigt redan 1887 hade publicerat kring detta. Voigts arbete blev inte uppmärksammat förrän långt senare, vilket Ernst & Hsu (2001) menar försenade insikterna som ledde fram till den speciella relativitetsteorin. Voigttransformationens sätt att nalkas problemen har också erkänts av såväl Hermann Minkowski som Lorentz själv.

Matematisk formulering 
Lorentztransformationen relaterar rumtidskoordinaterna i två olika inertialsystem  och , som rör sig i förhållande till varandra. Antag att  rör sig med hastigheten  längs -axeln och att en händelse äger rum vid tiden  och koordinaterna  i systemet  och vid  och  i systemet . Då ges  och  enligt Lorentztransformationen av
 
 
 
 
där  är ljushastigheten i vakuum och
  
är Lorentzfaktorn, som alltid är större eller lika med 1. 

Koordinaterna i  fås genom att inse att  håller hastigheten  relativt -axeln i inertialsystemet .

Hastighetstransformation 
Hastigheten i inertialsystemet S definieras som  och hastigheten i inertialsystemet S' definieras som .

Hastighetskomponenten i -led kan relateras till koordinaterna i S enligt
 
Resterande komponenter fås analogt och är 

Hastighetskomponenterna ,  och  i S erhålls, precis som för lägeskoordinaterna, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför .

Hastighetstransformationerna kan användas för att addera hastigheter. En partikel håller hastigheten  i -led relativt ett inertialsystem S och en annan partikel håller hastigheten  i -led relativt den första partikeln. Då kan det inertialsystem där partikeln med hastighet  är i vila användas för att ta fram den andra partikelns hastighet relativt S enligt

alltså den inversa hastighetsadditionen i -led. Om  erhålls

alltså kan den andra partikeln inte nå en högre hastighet än  relativt S.

Accelerationstransformation 
Accelerationen i inertialsystemet S definieras som  och accelerationen i inertialsystemet S' definieras som .  härleds med enligt

Vid deriveringen av används kvotregeln. Övriga komponenter fås på motsvarande vis.

Accelerationskomponenterna  ,  och  i S erhålls, även här, genom att byta plats på primmade och oprimmade komponenter samt sätta ett minustecken framför .

Konsekvenser från Lorentztransformationen 
Speciella relativitetsteorins postulat om konstant ljushastighet och avsaknad av absoluta referensramar har flera konsekvenser som intuitivt kan uppfattas som bisarra.

Samtidighet 

Två händelser som tycks ske samtidigt (men på olika platser) ur en observatörs synpunkt, kan uppfattas ske vid olika tidpunkter och i godtycklig ordning av andra observatörer som är i rörelse relativt den första observatören.

Tidsdilatation 

Tidsskillnaden mellan två händelser är inte något objektivt, utan beror på observatörers rörelse i förhållande till varandra. En observatör O mäter tiden till att gå snabbare med en faktor  i sitt eget inertialsystem, jämfört med vad O mäter tiden till att gå för en observatör O' som rör sig med en hastighet  relativt O. Om O mäter ett tidsintevall i inertialsystemet där O' är stationär till att vara , mäter O tidsintervallet i sitt eget inertialsystem till att vara
 .
Det omvända gäller också, alltså ser O' det som att dess tid gårsnabbare med en faktor  vad tiden går för O. Detta har gett upphov till tvillingparadoxen, där misstaget begås att blanda ihop inertialsystem med referenssystem.

Längdkontraktion 

Ett föremåls observerade storlek beror på observatörens relativa hastighet. Om en stav med längd L rör sig med hastighet en  relativt en observatör, kommer staven att uppfattas som kortare i dess färdriktning med en faktor  enligt observatören. Om staven har längden  i vila är stavens längd enligt observatören
 .

Dessa fenomen uppfattas inte vid vardagliga hastigheter utan blir väsentliga först vid hastigheter av ungefär 10% av ljusets hastighet i vakuum. Ekvationerna ger till exempel att ett föremål som färdas i 90% av ljusets hastighet är endast 44% av sin längd i rörelseriktningen, jämfört med när föremålet är i vila. Tidsdilatationen har observerats experimentellt, till exempel hos myoner i kosmisk strålning som har för kort livslängd för att kunna nå jordytan om inte tidsdilatationen existerade.

Klassisk fysik: Relativ rörelse mellan partiklar och vågfronter 

En situation då Lorentzfaktorn uppstår naturligt är vid relativ rörelse mellan partiklar och vågfronter i ett homogent medium såsom stillastående luft.

Om vi lite motsägelsefullt säger att partiklarna varken interagerar med varandra eller med mediet (förutom att de kan sända ut vågfronter i det) så kommer de att röra sig med konstant hastighet, se figur.

Antag att partikel 2 vid tiden  detekterar en sfärisk vågfront som skapats av partikel 1 vid tiden . Hur långt är avståndet  mellan partikel 2 och vågens centrum? Notera skillnaden mot det relativa avståndet  (som till skillnad från  är avståndet mellan partiklarna).

Mediet är homogent och vågor i det rör sig med den konstanta farten  så att sfäriska vågor endast ändrar radie och amplitud, inte form. Det antas även att den sfäriska vågen inte "ärver" något av hastigheten hos partikel 1 som sände ut den (om man släpper en sten i vattnet från en båt som rör sig så följer ju inte centrum hos ringarna på vattenytan efter båten med samma hastighet). Mediet (förutom de små störningarna på grund av vågorna) antas vidare överallt vara stillastående i förhållande till vårt absoluta koordinatsystem. Det finns inte heller några hinder i vägen, så vågfronten kan ta (och tar) kortaste vägen. Sambandet mellan tiden  och avståndet  blir därför . Avståndet  och vektorn  tillhörande detta avstånd uppfyller ekvationen

I detta specialfall med rätlinjig partikelrörelse kan ett explicit uttryck för  härledas. Ur

fås genom insättning att

Kvadrerade absolutbeloppet blir

Resultatet blir en andragradsekvation i :

Ett exempel 

I specialfallet då skalärprodukten i föregående ekvation är noll (dvs då partikel 1 har samma hastighetskomponent i partikel 2:s riktning som partikel 2, se figur) fås

dvs samma uttryck som för Lorentz-faktorn men med den relativa farten ersatt med den absoluta farten hos mottagarpartikel 2. Avståndet  mellan partikel 2 och vågens centrum blir alltså längre än avståndet  mellan partiklarna då partikel 1 rör sig relativt mediet. Om farten  överskrider utbredningsfarten  kommer vågfronten från partikel 1 aldrig att kunna komma förbi partikel 2 oavsett hur nära varandra de befinner sig, vilket visar sig genom att  blir imaginär eller oändlig i den matematiska modellen.

Lorentztransformationen i kulturen 
Lorentztransformationen illustreras i romanen Orbitsville av Bob Shaw.

Se även 
 Galileitransformation
 Tidsdilatation
 Längdkontraktion

Referenser

Noter

Externa länkar 

Relativitetsteori