Binär relation

Inom matematiken är en binär relation , mellan två mängder  och , en delmängd av den cartesiska produkten mellan
 och :

"Binär" betyder i detta sammanhang "tvåställig". Det finns även ternära (treställiga) relationer, kvaternära (fyrställiga) relationer och så vidare – som delmängder av cartesiska produkter av tre eller fler mängder – men dessa är sällan förekommande i "vanlig" matematik. Därför används ofta relation som synonymt med binär relation.

Ett element  är relaterat till ett element
 via relationen  om det
ordnade paret  är ett element i mängden , det vill säga om . Istället för att skriva  kan man skriva  vilket utläses: ' är relaterat till  via .'

Tre viktiga typer av binära relationer inom matematiken är ekvivalensrelationer, ordningsrelationer och avbildningar.

Ekvivalensrelationer 

En ekvivalensrelation  på en mängd
 är en delmängd av den cartesiska produkten  som besitter följande tre egenskaper:
 (Reflexivitet) Varje element  är relaterat till sig själv: 
 (Symmetri) Elementet  är relaterat till elementet  om och endast om elementet  är relaterat till elementet :  om och endast om 
 (Transitivitet) Om  är relaterad till , vilken i sin tur är relaterad till , så är  relaterad till : 

Ekvivalensklassen , associerad med ett element , är mängden av alla element  som är relaterade till :

Ekvivalensklasserna  och  associerade med två distinkta element  är disjunkta mängder:

Vidare kan mängden  skrivas som unionen av alla dessa ekvivalensklasser:

Denna representation av en mängd är ofta förekommande inom matematiken: Exempelvis inom funktionalanalys är det vanligt att två element i ett -rum identifieras om de tillhör samma ekvivalensklass.

Ordningsrelationer

Partiell ordning 
Huvudartikel: Partiellt ordnad mängd

En partiell ordningsrelation (partiell ordning) R – som vi för intuitionens skull betecknar med symbolen  vilken utläses: "mindre än eller lika med" – på en mängd  är en delmängd av den cartesiska produkten  som besitter följande tre egenskaper: 
 (Reflexivitet) Varje element  är relaterat till sig själv: 
 (Antisymmetri) Om elementet  är relaterat till elementet  och om elementet  är relaterat till elementet , så är :  
 (Transitivitet) Om  är relaterad till , vilken i sin tur är relaterad till , så är  relaterad till z: 

Paret  säges vara en partiellt ordnad mängd.

Total ordning 
Huvudartikel: Totalt ordnad mängd, se Linjär ordning

En total ordningsrelation (total ordning, linjär ordning) på en mängd  är en partiell ordningsrelation, , som även besitter egenskapen att, för varje val av två element , antingen är  eller . 

Paret  säges vara en totalt ordnad mängd.

Välordning 

En välordning-relation (välordning, god ordning(?)) på en mängd  är en total ordningsrelation, , som även besitter egenskapen att varje icke-tom delmängd  har ett unikt minsta element.

Paret  säges vara en välordnad mängd.

Avbildningar 

En avbildning av en mängd  på en mängd  är en delmängd av den cartesiska produkten  som besitter följande egenskap: 
 Varje element  är relaterat till ett unikt element .

För att göra associationen mellan  och det motsvarande unika elementet  tydlig, brukar man skriva

Själva relationen,  mellan  och  brukar skrivas

och utläses 'f avbildar X på Y'.
Avbildningar går även under namnet funktioner, men ofta reserverar man namnet funktion till en avbildning 

 

från en mängd  till mängden av komplexa tal , eller en delmängd av de komplexa talen. Följande är synonymer för avbildning: transformation, funktionsrelation, abstrakt funktion.

En avbildning, 

 

associerar inte bara enskilda element i  med enskilda element i ; man kan även associera delmängder av  med delmängder av : En godtycklig delmängd  associeras med bildmängden

Detta utläses som: 'f(A) är lika med mängden av alla element y i Y, som är sådana att det existerar ett element x i A, med egenskapen att y = f(x).' (Se artikeln om predikatlogik för mer information om den så kallade existenskvantorn .)
Mängden  kallas för avbildningens 

 

definitionsmängd och den speciella bildmängden 

 

kallas avbildningens värdemängd.

Det är även möjligt att associera delmängder av  med delmängder av : En godtycklig delmängd  associeras med den så kallade urbilden 

Notera att dessa två sätt att associera delmängder inte är likvärdiga: Om vi låter  vara en en-punktsmängd, , så är bildmängden 

 
också en en-punktsmängd; definitionen av begreppet avbildning tvingar fram denna situation. Om vi å andra sidan låter  vara en en-punktsmängd, , så är dess urbild 

 

inte nödvändigtvis en en-punktsmängd; det kan mycket väl finnas två eller fler element i  som avbildas på elementet
.

I de fall då urbilden av en en-punktsmängd är en en-punktsmängd, säger man att avbildningen  är injektiv: Varje element  i värdemängden associeras då med endast ett element  och vice versa. Ett annat sätt att uttrycka detta på är att säga att avbildningen 

 

är bijektiv. (Notera att vi har ersatt mängden Y med bildmängden f(X).)

I de fall då avbildningens 

 

värdemängd  sammanfaller med mängden , det vill säga då 

säger man att avbildningen 

 

är surjektiv.

Den praktiska innebörden av begreppen injektiv och surjektiv 

Att en avbildning  är surjektiv innebär att det för varje element  existerar minst en lösning till ekvationen .

Att en avbildning  är injektiv innebär att om ekvationen  har en lösning, så är den unik. 

Om avbildningen  är bijektiv – både injektiv och surjektiv – så existerar det för varje element  en unik lösning  till ekvationen .

I vardagligt språk har egentligen relation samma betydelse som den formaliserade inom mängdteori nedan. Oftast är det relationer mellan människor som avses, se till exempel släktskapsrelation. Ibland används ordet också som synonym till mellanmänskliga förhållanden eller mer allmänt om sådant som rör kärlek, samlevnad och parbildningar mellan människor.

Mängdteori 
I mängdteori menas med relation en mängd av ordnade par, det vill säga ett tvåställigt predikat. Man tänker sig att objekten i de ingående paren har en viss relation till varandra. Om man till exempel från en mängd av människor plockar ut alla par (x, y) där x är far till y och samlar dessa i en mängd har man bildat relationen far. Om relationen är en tom mängd finns det inga par av objekt som står i detta förhållande till varandra. Ett specialfall av relation, när det för varje x bara finns ett element y, är funktion.

I en mer generell betydelse kan relation också vara n-ställiga predikat (med n > 1). Ettställiga predikat kallas dock normalt egenskaper och inte relationer.

Exempel på tvåställiga relationer i talteori: 
 lika med
 större än
 större än eller lika med
 efterföljarrelationen

Tvåställiga relationer kan klassificeras efter huruvida de har följande egenskaper:
 reflexivitet / irreflexivitet
 symmetri / asymmetri / antisymmetri
 transitivitet / intransitivitet

En relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv är en ekvivalensrelation.
En relation som är reflexiv, antisymmetrisk och transitiv är en partialordning, se "partiellt ordnad mängd".

Mängdteori
Matematiska relationer
Tvåtal