Potens

En potens kallas ett uttryck av typen  där 4 är basen och 5 är exponenten, och utläses "fyra upphöjt till fem". Mer generellt är uttryck på formen  potensuttryck. Operationen att "upphöja" kallas exponentiering. I sammanhang där det är typografiskt omöjligt att skriva upphöjda siffror, liksom i programmeringssammanhang och på många miniräknare, förekommer även skrivsättet .

Definitioner 

I sin enklaste form (som tidigare kallades dignitet)
definieras potenser som resultatet av upprepad multiplikation.
Exempelvis, 43 (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. Mer allmänt gäller:

I denna definition förutsätts att exponenten är ett positivt heltal.

Potenslagarna 
Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan potenslagarna härledas:
 

 

 

 

 

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

Utvidgning till alla heltal 
Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal, följer av den näst sista potenslagen ovan att
 a0 = 1 (om a ≠ 0) om m = n. Exempel: 20 = 1 (läs mer under tom produkt)
 a−n = 1 / an (om a ≠ 0)  om m < n. Exempel: 2−1 = 1/21 = 1/2 .

För a = 0 går det inte att ge en definition för ax annat än om x > 0. Speciellt hör uttrycket 00 till de odefinierbara uttrycken.

Utvidgning för rationella exponenter 
Genom att tillämpa den sista potenslagen kan även potenser med rationella exponenter beräknas, förutsatt att basen är större än noll. 
 x = a p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller xq = ap eftersom  xq = (a p/q)q = ap/q ∙ q = ap .

Speciellt betecknas a1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives) och a1/3 som kubikroten ur a (skrives ).

Om basen är noll eller mindre, är potensen inte definierad, vilket beror på att om p är udda och q är jämnt går det inte att få likhet för negativa tal a. Udda rötter är däremot definierade för alla reella tal.

Utvidgning för alla reella exponenter 
Om exponenten är irrationell, det vill säga reell men inte rationell, utgår man från kontinuitetsprincipen:

Om x1<y<x2 så ska ax1<ay<ax2 gälla (där a>1), och genom att låta x2 − x1 bli allt mindre, bestäms ay som ett gränsvärde. (Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition av exponentialfunktionen 
Det är också möjligt att använda ax = ex ln a för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kan göras med exponentialfunktionens serieutveckling:

eller utgå ifrån en definition av den naturliga logaritmen:

Utvidgning för komplexa tal

Imaginära exponenter med basen e
Ett komplext tal är ett uttryck av formen , där x och y är reella tal och i är den imaginära enheten, ett tal som satisfierar regeln .  Ett komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i (x,y)-planet.  De polära koordinaterna för en punkt i (x,y)-planet består av det icke-negativa talet r och vinkeln θ sådana att  och :

Produkten av två komplexa tal ,  erhålls genom expansion av produkten av binomen och förenkling med hjälp av regeln :

Som en konsekvens av formler för trigonometriska vinkelsummor; om  och  har de polära koordinaterna (r1, θ1), (r2, θ2), så är deras produkt z1z2 i polära koordinater lika med (r1r2, θ1 + θ2).

Lösningarna till ekvationen ez = 1 är heltalsmultiplarna 2πi:

Mera generellt, om , så kan varje lösninig till  erhållas genom addition av en heltalsmultipel 2πi till v:

Således är den komplexa exponentialfunktionen en periodisk funktion med perioden 2πi:
.

Mer om potensers egenskaper 
Till skillnad från addition och multiplikation har operationen exponentiering nästan ingen av "de vanliga" algebraiska egenskaperna, som brukar användas för att förenkla räkningar. Av potenslagarna kan man utläsa, att exponentiering är högerdistributiv med avseende på multiplikation (det vill säga att (a · b)c = ac · bc); och operationen har det högerneutrala elementet 1 (eftersom . Däremot är exponentiering inte vänsterdistributiv, och saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering är inte heller kommutativ. Exempelvis är  och , eftersom addition och multiplikation är kommutativa operationer, men , vilket inte är detsamma som .

Exponentiering är inte heller associativ, till skillnad från addition och multiplikation. Exempelvis är
 och , men 23 upphöjt till 4 är 84 = , medan 2 upphöjt till 34 är 281 = . Observera att om man inte använder parenteser för att ändra prioriteringsordningen, så "beräknas exponenter först", så att till exempel
.

(Detta gäller oberoende av om man använder det vanliga beteckningssättet med "små upphöjda" exponenter, eller i stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^. I datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q''.)

Funktioner med potenser 

Till viktiga funktionstyper som har sitt ursprung ur potenser räknas

Potensfunktioner och rotutdragningar
Polynom
Exponentialfunktioner och logaritmer

Se även 
 Multiplikation
 n:te roten
 Tiopotens

Externa länkar 

Aritmetik
Matematisk terminologi
Grundläggande matematik
Binära operationer