Gränsvärde

Ett gränsvärde (limes) (matematisk symbol: lim) för en funktion beskriver funktionens värde när dess argument kommer tillräckligt nära en viss punkt eller växer sig oändligt (eller tillräckligt) stora. Gränsvärden används inom matematisk analys, bland annat för att definiera kontinuitet och derivata.

För gränsvärden används notationen

alternativt f(x) → A då x → a.

Båda utläses som ”gränsvärdet av f(x) då x går mot a är lika med A” eller ”limes av f(x) …”, alternativt ”f(x) går mot A då x går mot a”, och innebär att när x är "nästan a" kommer f(x) att vara "nästan A".

Funktioner av en variabel

Antag att f : R → R är definierad på den  reella tallinjen och att a, A ∈ R. Gränsvärdet av f, då x närmar sig a, är A och skrivs

om villkoret

För varje reellt ε > 0, existerar ett reellt δ > 0 sådant att för alla reella x, 0 < | x − a | < δ impliceras | f(x) − A | < ε

är uppfyllt. Formellt kan villkoret skrivas

Gränsvärdet beror inte av värdet av f(a), eller ens av att a tillhör f:s definitionsmängd.

Mer generella definitioner är tillämpbara på delmängder av den reella linjen.
Låt (a, b) vara ett öppet intervall i R och låt p vara en punkt som tillhör (a, b).  Låt f vara en reellvärd  funktion definierad på alla (a, b) utom möjligen p själv.  Det sägs då att gränsvärdet av f, då x närmar sig p, är A om, för varje reellt ε > 0, det existerar ett reellt δ > 0 sådant att 0 < | x − p | < δ där x ∈ (a, b) implicerar | f(x) − A | < ε.

Även här beror inte gränsvärdet av att f(p) är väldefinierad. Om till exempel

är  odefinierad, men om  närmar sig 1 tillräckligt mycket, kommer  att närma sig 2:
{| class="wikitable"
|f(0.9)||f(0.99)||f(0.999)|| f(1.0) ||f(1.001)||f(1.01)||f(1.1)
|-
|    1.900 ||     1.990 ||      1.999 || odefinierad ||      2.001 ||     2.010 ||    2.100
|}
Således kan  närma sig 2 obegränsat genom att  obegränsat närmar sig . Med andra ord är

vilket enkelt inses om täljaren faktoriseras.

Epsilon-delta-definitionen

Augustin Louis Cauchy, följd av Karl Weierstrass, formaliserade 1821 definitionen av en funktions gränsvärde, vilken under 1800-talet blev känd som (ε, δ)-definitionen för gränsvärden.

Definitionen använder  för att representera ett litet positivt tal, så att " kommer godtyckligt nära  " vilket betyder att  eventuellt ligger i intervallet . Frasen ”när  närmar sig " refererar till värden av  vars avstånd till  är mindre än ett visst tal :

Räkneexempel
Ett exempel på tillämpning av (ε, δ)-definitionen är ett bevis för att varje linjär funktion

är kontinuerlig i varje punkt.

Vad som skall visas är att för varje  finns ett  sådant att
när  så är .

Vi har 
.
Det är tydligt att
om  så är .
Därmed uppfyller

kravet för alla .

Funktioner av flera variabler

Genom att intervallet |x − p| representerar ett avstånd, kan definitionen av gränsvärden för funktioner av en variabel utsträckas till funktioner av flera variabler. 

I fallet med en funktion f :  R2 → R, existerar gränsvärdet

om det för varje ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att för alla 
(x, y) med 0 < ||(x, y) − (p, q)|| < δ, är |f(x, y) − A| < ε
där ||(x, y) − (p, q)|| representerar det euklidiska avståndet. 
Förfarandet kan utökas till godtyckligt antal variabler.

Gränsvärden och oändligheter

Gränsvärden vid oändligheten

För den reella funktionen f(x) , betecknas "gränsvärdet av f då x går mot oändligheten är A"

vilket betyder att för alla , existerar ett a sådant att
 
när x > a. Eller, symboliskt:

På liknande sätt betecknas "gränsvärdet av f då x går mot negativa oändligheten är A"

vilket betyder att för alla  existerar ett a sådant att  närhelst x < a. Eller i symbolisk form:

Exempelvis är

Oändliga gränsvärden
Gränsvärden kan också anta oändliga värden (dessa kallas oftast oegentliga gränsvärden). Till  exempel betecknas "gränsvärdet av f då x går mot oändligheten"

vilket betyder att för alla  existerar ett  sådant att  när .

Ensidiga gränsvärden

En funktion kan i en given punkt ha två skilda gränsvärden; ett vänstergränsvärde då x närmar sig punkten ”från vänster” genom ökande värden och ett högergränsvärde då x närmar sig punkten "från höger" genom minskande värden.

De två gränsvärdena för en reell funktion f(x) av en reell variabel x betecknas med endera av

när x är minskande, eller med endera av

när x är ökande.

De två ensidiga gränsvärdena existerar och är lika om gränsvärdet till f(x) existerar när x närmar sig a.
I vissa fall när gränsvärdet

inte existerar, kan höger- och vänstergränsvärden ändå existera.

Högergränsvärdet kan rigoröst definieras enligt

och vänstergränsvärdet som

där I representerar något intervall i f:s definitionsmängd.

Exempel

Ett exempel på en funktion som har olika höger- och vänstergränsvärden är

medan däremot

Standardgränsvärden
Vissa gränsvärden är särskilt användbara för att bland annat beräkna andra gränsvärden och brukar refereras till som standardgränsvärden, vilka dock inte utgör någon entydigt bestämd grupp. Ett beräkningsuttryck för ett okänt gränsvärde transformeras, om möjligt, så att gränsvärdesdelarna reduceras till ett eller flera standardgränsvärden varefter det sökta gränsvärdet enkelt kan beräknas. En lista över några sådana användbara gränsvärden:

Stirlings formel:

Exempel på användning av standardgränsvärde
Beräkning av

Direkt substitution ger det obestämda uttrycket . Gör istället substitutionen

där standardgränsvärdet

använts.

Se även
L'Hôpitals regel
Infinitesimalkalkyl
Instängningssatsen
Talföljd (konvergens och divergens)

Referenser
 Hylten-Cavallius Sandgren, Matematisk analys, Studentlitteratur 1968
Matematisk analys

Noter