Polynom

Ett polynom är ett matematiskt uttryck bestående av icke-negativa heltalspotenser av variabler och konstanter kombinerade genom enbart addition, subtraktion och multiplikation. Uttryckets högsta heltalspotens är polynomets gradtal. Exempelvis är 
 

ett andragradspolynom i variabeln  medan  inte är ett polynom överhuvudtaget. 

Standardformen för ett polynom av en variabel  är

där konstanterna  kallas koefficienter. 

Den högsta förekommande exponenten av  (här lika med  om ) är polynomets grad. Ofta talar man synonymt om polynomet  och den funktion som avbildar  på .

Enklaste slaget av polynom benämns monom och har endast en term.
Ett polynom med två termer kallas för ett binom.

Ett polynom kan också beskrivas som en koefficient multiplicerad med en variabel upphöjd till ett icke-negativt tal. Exempelvis är 2x, 2x + 5, 2x2, 1x1 och 7 alla polynom.

Gradtal och benämningar 
Polynom av grad 0 till 5 benämns ofta enligt följande tabell:

Det finns ingen enighet om hur graden av nollpolynomet, det vill säga det polynom vars alla koefficienter är 0, skall definieras. Vissa författare föredrar att definiera graden av detta som −1, andra definierar det som −∞; ytterligare andra låter det vara odefinierat.

Ett polynom där högstagradskoefficienten är 1 kallas för moniskt.

Elementära egenskaper 
Polynom är de enklaste elementära funktionerna. Summor och produkter av polynom är polynom, och även derivator och integraler av polynom är polynom.

Nollställen 
En rot eller ett nollställe är ett tal  sådant att . Att hitta rötter till en ekvation eller att lösa en algebraisk ekvation, är ett av matematikens äldsta problem. En del polynom, som exempelvis , har ingen reell rot. Men genom att utvidga mängden av möjliga nollställen till de komplexa talen, uppnår man att det alltid finns rötter till ett polynom (se Algebrans fundamentalsats). Konjugatet till en imaginär rot är också en rot till ekvationen om alla koefficienter är reella.

Det är intressant att notera att det är försök att lösa ekvationer som starkt bidragit till att införa de olika utvidgningarna av de naturliga talen: för att lösa till exempel  behövs negativa tal, för att lösa  krävs rationella tal, till  behövs irrationella tal och de komplexa talen behövs för att lösa .

Ett polynom med grad större eller lika med fem har ingen generell kompletteringsformel (jfr kvadratkomplettera). Det betyder att en polynomekvation av grad större eller lika med fem ofta måste lösas numeriskt.

Ett flertal numeriska metoder för beräkning av nollställen till polynom är kända. Generellt tillämpbara metoder är exempelvis Newtons metod, Laguerres metod och Durand-Kerners metod. Numerisk rotberäkning för polynom kan vara ett illakonditionerat problem och avancerade metoder kan krävas för att hantera polynom med högt gradtal.

Om x = a är ett nollställe till polynomet f(x) innebär detta enligt faktorsatsen att x − a är en delare, och endast då, till polynomet f(x).

Om det rationella talet p/q, där p och q är relativt prima, är ett nollställe till ett polynom  med heltalskoefficienter så gäller att  och .

Polynomvärde 
För att beräkna ett polynomvärde i en viss punkt  så evaluerar man lämpligen inte hela uttrycket. Det är effektivare att använda Horners algoritm. Om man skall beräkna polynomvärden för flera likaseparerade punkter så är Newtons differensschema ännu effektivare.

Flervariabelpolynom 
I flervariabelanalys består polynomen av flera variabler. Man säger att totala graden är summan av variablernas maximala potenser i en term. För

 

är den totala graden 2 + 1 + 3 = 6.

Se även 
 Chebyshevpolynom
 Hermitska polynom
 Legendrepolynom
 Multiplicitet
 Polynominterpolation

Referenser

Externa länkar