Numerisk analys

Numerisk analys eller beräkningsvetenskap är en gren inom matematiken och datavetenskapen där lösningar fås med hjälp av numeriska beräkningar; läran om konstruktion och analys av algoritmer. Till skillnad från vanlig matematisk analys, den analytiska, utgår numeriken från analytiska uppställningar som kan delas in i stegintervall, diskretiseras, för att lösas.

Numeriken begränsas av de fel denna diskretisering medför, samt de problem som kommer från den analytiska uppställningen. En tredje felkälla är de avrundningsfel som uppstår på grund av datorernas oförmåga att representera godtyckliga reella tal. Avrundningsfelen är i många tillämpningar försumbara då man använder flyttal i dubbel precision, men den numeriska analysen tar hänsyn till situationer där så inte nödvändigtvis är fallet.

Historik 
Även om matematik alltid har använts, var den först inriktad på att lösa rent praktiska behov. Liu Hui kom exempelvis 263 på en metod att lösa linjära ekvationssystem, så kallad Gausselimination. Med Nya tiden behövdes precisa positionsbestämningar, och lösningar med differenser, interpolation, extrapolation, med mera, utarbetades. Matematiker som Henry Briggs, Isaac Newton och Leonhard Euler ägnade alla mycket tid åt numeriska beräkningar. Under den tid som följde revolutionerade flera stora matematiska namn matematiken; Joseph Louis Lagrange, Laplace, Legendre, Gauss, och så vidare.

Under 1800-talet utvecklades de numeriska beräkningarna än mer. Carl Gustav Jacobi utarbetade en metod för matrisegenvärden, som på nytt började användas igen med de första datorerna 100 år senare. J.C. Adams angav en metod för att lösa ordinära differentialekvationer, exempelvis. Under 1900-talet försökte man lösa partiella differentialekvationer genom numerisk beräkning. Lewis Fry Richardson och Richard Courant blev stora namn inom området.

Även om de flesta metoder utvecklades av personer som Newton, Euler och Gauss m.fl., brukar man tillskriva införandet av datorer som den främsta orsaken till dess spridning. De första datorerna efter andra världskriget användes för att beräkna skjuttabeller och bombers sprängverkan. Personer som var viktiga inom denna nya gren var exempelvis John von Neumann och James Hardy Wilkinson.

I Sverige gjordes stora insatser för att etablera numerisk analys som en akademisk disciplin under 1960-talet av Carl-Erik Fröberg och Germund Dahlquist, bland annat startades tidskriften BIT Numerical Mathematics av Fröberg år 1961 och KTH/NADA etablerades av Dahlquist år 1963.

Metoder

Ekvationer 
Ekvationer på formen  brukar lösas med någon av följande metoder:
 Intervallhalvering
 Fixpunktsiteration
 Newton-Raphsons metod
 Sekantmetoden
 Bisektionsmetoden

Integraler 
Bestämda integraler på formen  kan approximeras genom numerisk integration, även kallad numerisk kvadratur. Två exempel på metoder för detta är:
 Trapetsregeln
 Simpsons metod

Ordinära differentialekvationer 
Ordinära differentialekvationer brukar lösas med följande metoder.
 Eulers metod
 Taylorseriemetoder
 Heuns metod
 Mittpunktsmetoden
 Runge–Kuttametoden
 Extrapoleringsmetoden
 Flervärdesmetoden
 Trapetsmetoden

Partiella differentialekvationer 
Lösning av partiella differentialekvationer är ett stort område inom numerisk analys. Två lösningsmetoder är:
 Finita differensmetoden
 Finita elementmetoden

Felanalys 

 Fel
 Datafel
 Beräkningsfel
 Relativfel
 Lokala fel
 Globala fel
 Trunkeringsfel
 Avrundningsfel
 Noggrannhet
 Stabilitet (skeppsteknik)
 Stabilitet (flygmekanik)
 Tillämpad matematik
 Konditionering
 Kancellation
 Absolutgräns
 Relativgräns
 Felfortplantning

Referenser

Noter

Källor 
 Higham, Nicholas J. (1996). Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics.
 Gautschi, W. (1997). Numerical analysis. Springer Science & Business Media.
 Leader, Jeffery J. (2004). Numerical Analysis and Scientific Computation. Addison Wesley.
 Quarteroni, A., Sacco, R., & Saleri, F. (2010). Numerical mathematics. Springer Science & Business Media.
 Stoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introduction to numerical analysis. Springer Science & Business Media.
 Conte, S. D., & De Boor, C. (2017). Elementary numerical analysis: an algorithmic approach. Society for Industrial and Applied Mathematics.
 Greenspan, D. (2018). Numerical Analysis. CRC Press.
 Linz, P. (2019). Theoretical numerical analysis. Courier Dover Publications.

Externa länkar 

 
Wikipedia:Basartiklar