Regneregler for differentiation

Her er nogle regneregler for differentiation. Det forudsættes at alle funktioner er differentiable og dermed kontinuerte for den givne definitionsmængde:

 , hvor  er en konstant, har den afledede 
 (1): , hvor  er en konstant, har den afledede 
  har den afledede , og heraf
  har den afledede , undtagen for x=0

Funktioner der er sammensatte funktioner samt funktioner der er summen, differensen, produktet eller kvotienten af to differentiable funktioner er selv differentiable (med visse, åbenlyse begrænsninger i definitionsmængderne). Differentialkvotienterne kan udregnes efter følgende regler:
  (kædereglen)
 (2):  (sumreglen)
  (differensreglen)
  (produktreglen)
 , undersøges for g(x)=0
 , undersøges for g(x)=0 (følger af  og )

 Differentiation er linear. (følger af (1) og (2) )

 Sinus-funktionen  har differentialkvotienten 
 Cosinus-funktionen  har differentialkvotienten 
 Tangens, , har differentialkvotienten 
 Den naturlige eksponentialfunktion, , er pr. definition lig med sin differentialkvotient. Dvs. at konstanten e er defineret til at være det reelle tal som opfylder ligningen . 
 Eksponentialfunktionen  hvor  er en konstant, har differentialkvotient , hvor  er den naturlige logaritmefunktion
 Den naturlige logaritme, , har differentialkvotienten

Differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner 
Sumreglen lader differentialkvotienten af summen af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning 
En funktion, f(x), der er givet som en sum:

har differentialkvotienten

Dvs. differentialkvotienten af summen er lig med summen af funktionernes differentialkvotienter.

Bevis 
Først finder vi sekantens hældning, eller differenskvotienten:

Da f(x)=v(x)+u(x), får vi:

Ovenstående ligning kan let omskrives til følgende:

Hvis (dvs. tilvæksten på x-aksen bliver uendelig lille), så går brøken mod grænseværdierne. Det er hermed bevist, at

Differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner 

Produktreglen lader differentialkvotienten af produktet af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning 
En funktion, f(x), der er givet som et produkt:

har differentialkvotienten

Bevis 
Først findes sekantens hældning, eller differenskvotienten:

Hvilket, idet f(x) = v(x)u(x), bliver

Der lægges følgende til differenskvotientens tæller, hvorpå det samme trækkes fra igen. Dette giver 0, således er dette fuldt lovligt. 

u(x) og v(x+dx) kan nu sættes uden for parentes, og derefter kan brøkstregen deles op:

Differentialkvotienten bliver således:

Hvilket i det generelle tilfælde er:

Der kan nu ses at dette bliver til; hvis de overordnede fire led tages grænseværdien af:

Umiddelbart ville man ikke tro at , og dette er heller ikke fuldstændig rigtigt, dette gælder kun hvis v(x) er kontinuert. Det er hermed bevist at (kortere skrevet, "(x)" udlades):

Differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner 

Kvotientreglen lader differentialkvotienten af brøken af to differentiable funktioner beregnes.

Sætning 
En funktion, f(x), der er givet som en brøk:

har differentialkvotienten

Eksterne henvisninger 

 Sum-/differens- og konstantreglen Fra Matlet.dk.
 Regneregler for differentialkvotienten Fra Web-matematik.

Differentialregning
Matematiske beviser