Ideel kæde

Den ideelle kæde (engelsk: ideal chain eller freely jointed chain (FJC)) er den simpleste model for en polymers konformation og giver et mål for dens udstrækning.

Modellen 
I modellen betragtes en polymer som en lineær kæde, der består af mindre led. Hvert led er helt stift og har længden . Hvis der er  led i kæden, er kædelængden  følgelig:

Hvert led kan indtage en hvilken som helst vinkel i forhold til det forrige led, inklusiv overlapning. Polymeren følger altså en random walk.

Afstanden fra den ene ende til den anden 
Hvis et led  kan beskrives med en enhedsvektor , er den den samlede vektor  fra den ene ende af polymeren til den anden givet ved:

Prikproduktet - dvs. længden af  i anden - er:

Dette resultat afhænger af den specifikke konfiguration, men et gennemsnit over alle konfigurationer kan findes:

Da  og  er placeret tilfældigt, vil prikproduktet i gennemsnit give nul med undtagelse af , da vektoren i så fald ganges med sig selv, hvilket giver én. Det kan skrives som Kroneckers delta :

Da der er  led i kæden, vil summen også give :

Tages kvadratroden har man en root-mean-square-længde :

Denne størrelse udtrykker, hvor langt polymeren strækker sig eller mere præcist afstanden fra den ene ende af polymeren til den anden. Det ses, at afstanden vokser med , hvilket er langsommere end den fulde kædelængde, der vokser med . Dette kan også udtrykkes med kædelængden:

En polymer vil altså have tendens til at krølle sig sammen, hvilket kaldes en polymer coil. I denne model betragtes polymerens sammenkrølning som et rent entropisk fænomen. Mere avancerede modeller medregner andre bidrag såsom ekskluderet volumen, stivhed i de enkelte led og elektrostatisk frastødning eller tiltrækning etc.

Gyrationsradius 
En lignende værdi, der kan beregnes, er gyrationsradiussen, som beskriver den gennemsnitlige afstand mellem polymerens massemidtpunkt  og hvert enkelt led:

For at finde et udtryk for gyrationsradiussen for den ideelle kæde kan koordinatsystemet for det første vælges således, at massemidpunktet ligger i origo, og positionsvektoren derfor er nul:

For at relatere det til den tidligere fundne RMS-længde betragtes nu en sum af afstandene mellem de enkelte led. Afstanden  mellem  og  er givet ved:

Så:

Det sidste led er blot et produkt af massemidpunkter og derfor nul

Mens resten bliver:

Dermed kan gyrationsradiussen skrives som:

Det ses, at elementerne i summen er RMS-længder, så de kan erstattes af det forrige fundne udtryk:

hvor  her er erstattet af , hvilket er antallet af led i hver RMS-længde. Denne dobbeltsum kan skrives som to separate summer

og disse summer kan evalueres:

For store værdier af  er det andet led i tælleren negligibelt, og gyrationsradiussen er derfor givet ved:

Gyrationsradiussen kan altså også skrives som:

eller

Det ses, at gyrationsradiussen altså har samme afhængighed af  som RMS-længden.

Persistenslængde 
For den ideelle kæde er persistenslængden nul. Dvs. at det enkelte led ikke afhænger af de andre led. Dette kan vises ved at beregne korrelationsfunktionen mellem led  og led , der ligesom ved beregningen af  er lig med Kroneckers delta:

Hvis der i stedet er en bøjningsenergi fobundet med vinklen mellem naboled - som det fx er tilfældet i den diskrete Kratky-Porod-model og den kontinuere ormelignende kæde - vil persistenslængden være større end nul.

Kildehenvisninger 

Polymerfysik