Frobenius algebra

I matematik er en frobeniusalgebra kort sagt en endelig, unitær, associativ algebra over et legeme udstyret med en særlig ekstra struktur kaldet en frobeniusform. En Frobeniusalgebra tager sit navn fra den tyske matematiker Ferdinand Georg Frobenius.

Definition

Indledende definitioner 

-vektorrum. Lad  være et legeme og  en abelsk gruppe. Vi siger, at  er et -vektorrum, hvis det er et -modul, dvs. at der er en associativ, distributiv og unitær afbildning .

-algebra. Lad  være et -vektorrum. Vi siger, at  er en -algebra, hvis den er udstyret med en bilineær afbildning  kaldet multiplikation. Vi kalder også  for en associativ algebra over  eller blot algebra over . Vi kalder algebraen  unitær, hvis enhedsafbildningen  tilfredsstiller enhedsrelationerne. Således er tuplen  en monoid.

Definition af frobeniusalgebra via frobeniusformen 

Lad  være en -algebra og lad  være en lineær funktional således, at  ikke indeholder nogen ikke-trivielle idealer af . Vi betegner da  for en frobeniusalgebra og kalder desuden  for frobeniusformen.

Ækvivalente definitioner af frobeniusalgebra 
I det følgende vil vi se to ækvivalente definitioner af frobeniusalgebra. Begge tjener det formål at give mening til en grafisk repræsentation, der viser sig anvendelig i forbindelse med at forstå topologiske kvantefeltteorier i dimension 2.

Via frobeniusparring 

Lad  være en -algebra og  være en associativ ikke-degenereret parring. Vi betegner da  for en frobeniusalgebra og kalder desuden  for en frobeniusparring.

Via frobeniusrelationen 

Lad  være et vektorrum med multiplikation , enhed , co-multiplikation  og co-enhed  være givet således, at følgende relation, som vi benævner frobeniusrelationen, , gælder. Vi siger da, at  udgør en frobeniusalgebra.

Anvendelser

Topologisk Kvantefeltteori 

Det gælder, at kategorien af topologisk kvantefeltteori af dimension 2 og kategorien af kommutative frobeniusalgebraer er ækvivalente som kategorier. Topologisk kvantefeltteori er i litteraturen ofte forkortet som TQFT efter det engelske Toplological Quantum Field Theory. Man kan tænke på 2 dimensional TQFT som (symmetriske monoidale) funktorer fra cobordismer mellem disjunkte foreninger af cirkler til vektorrum over et legeme.

I det følgende præsenteres en grafisk beskrivelse af frobeniusalgebra, som kan anvendes til at se sammenhængen med topologisk kvantefeltteori.

Den grafiske beskrivelse er begrænset på den måde, at den ikke kan beskrive alle de algebraiske entiteter, der er anvendt til at udtrykke den algebraiske struktur af en første definition af en frobeniusalgebra. Den kan for eksempel ikke beskrive, hvad et ideal er. Sagt på en anden måde: Det grafiske vokabular er begrænset. Det grafiske vokabular er dog i stand til formelt at tale om multiplikation , enhed , co-multiplikation , co-enhed  – også kendt som frobeniusformen – samt frobeniusparringen .

Den grafiske beskrivelse tager udgangspunkt i afbildninger mellem et legeme , -vektorrum  og tensor produkter af , som for eksempel . En afbildning af den type beskrives grafisk som en cobordisme mellem to disjunkte foreninger af cirkler. Således vil en afbildning fra  til  være en cobordisme fra en cirkel til en anden. En afbildning fra  til  vil være en cobordisme fra en disjunkt forening af  cirkler til en disjunkt forening af  cirkler. Vi kan også tænke på en afbildning fra  til , og det beskrives som en cobordisme fra en disjunkt forening af ingen cirkler, dvs. den tomme mængde, til en disjunkt forening af  cirkler.

Lad os for eksempel og som udgangspunkt se på de afbildninger, der konstituerer en -algebra : Multiplikation  og enhed  samt identiteten , som beskrives i nævnt rækkefølge således:

Det første billede, som udtrykker multiplikationen , bliver populært kaldet et par bukser. Vi kan se, at buksebenene har en naturlig ordning vertikalt. Vi kan vælge at læse dem oppe fra og ned, ligesom vi læser faktorerne i tensorproduktet fra venstre mod højre.

Co-multiplikation  og co-enheden, eller frobeniusformen,  fra co-algebraen over  beskrives således:

Sluttelig kan en parring , en co-parring  samt en transpositionsafbilding  beskrives grafisk således:

Komposition af afbildning mellem vektorrum kan også beskrives grafisk ved at klistre cobordismerne efter hinanden. I det tilfælde, det er nødvendigt, som ved komposition af buksepar til at udtrykke associativitet af multiplikation, tilføjes identitetsafbildningen. Det vil se ud således:

Og således indikeres også, hvordan afbildninger af typen  hvor  og  skal beskrives grafisk, nemlig ved en disjunkt forening af de cobordismer, der beskriver henholdsvis  og . Dette er også udtrykt i, at cobordismer er en monoidal kategori med hensyn til disjunkt forening og den tomme mængde.

Ydermere til eksempel kan definition af, at parringen er ikke-degenerativ, beskrives grafisk via den såkaldte slangerelation, dvs. således:

En parring siges at være ikke-degenereret, hvis der findes en co-parring således

Afsluttende kan frobeniusrelationen beskrives grafisk således:

Ud over commutativitet af multiplikation, som ses ovenfor, kan relationen angående co-associativ af co-multiplikationen samt relationerne angående enhed og co-enhed beskrives således:

Med andre ord kan kan en frobeniusalgebra på den måde beskrives grafisk. Yderligere kan vi beskrive en kommutativ (eller symmetrisk) frobeniusalgebra således:

Se også 
 Topologisk kvantefeltteori

Referencer

Links 
http://mat.uab.es/~kock/TQFT.html 

http://ncatlab.org/nlab/show/Frobenius+algebra 

Algebra
Topologi
Algebraisk topologi
Kategoriteori