Determinant

En determinant er et tal, der karakteriserer en matrix. En determinant kan kort beskrives som "arealet" af den flade som vektorerne(søjlerne) udspænder. Her er det vigtigt at holde sig for øje, at det godt kan være et negativt tal. Der findes flere forskellige måder at bestemme determinanter på, og flere forskellige nyttige regneregler for determinanter, som er gennemgået herunder.

Bestemmelse af determinanter 
Determinanter er kun definerede for kvadratiske matricer. For en matrix  siger man, at determinanten  er af n'te orden.

Leibniz-formlen 
For en matrix  kan determinanten fås af Leibniz-formlen:

hvor  angiver en permutation af tallene {1, 2, 3, ..., n},  er mængden af mulige permutationer af disse tal,  er fortegnet for permutationen og  angiver et produkt (på samme måde som  angiver en sum). Specielt fås for n-værdierne 1-3:

Udvikling efter række eller søjle 
Determinanten af matricen  kan også udtrykkes vha. n underdeterminanter af (n – 1)'te orden; dette gøres ved at udvikle efter en række eller søjle i  Denne metode er specielt nyttig, hvis en række eller søjle indeholder mange nuller, idet der så ved udvikling efter denne vil bortfalde lige så mange af leddene i den passende formel herunder:

Ved udvikling efter den i'te række fås determinanten af
{|
|
|
|-
|
|
|}

Ved udvikling efter den j'te søjle fås determinanten af
{|
|
|
|-
|
|
|}

Herover betegner  den (i, j)'te underdeterminant hørende til  dvs. determinanten til den matrix, der fremkommer ved at fjerne den i'te række og den j'te søjle fra  Størrelsen

kaldes komplementet til matrixelementet

Regneregler og særtilfælde

Matrixegenskaber og determinanter 
For en enhedsmatrix  gælder

For en diagonal- eller trekantmatrix  gælder

Hvis en kvadratisk matrix  indeholder en nulrække, da gælder

For en kvadratisk matrix  er følgende tre udtryk ækvivalente:
  er regulær
 
 
NB: En matrix behøver ikke være kvadratisk for at kunne være regulær.

Transponering, invertering og multiplikation af matricer 
For en kvadratisk matrix  gælder

For en regulær kvadratisk matrix  gælder

For to matricer  og  gælder

Elementaroperationer på matricer 
Hvis en matrix  frembringes ved én af disse elementaroperationer på en anden matrix  fås dens determinant af:

 Ombytning af 2 rækker:

 Multiplikation af 1 række med tal k:

 Rækkeoperation (træk en række fra en anden):

Beviser 
I dette afsnit vil vi bevise nogle af de overstående
påstande, men vi starter med en simpel definition af determinanter:

Definition 
Lad . Hvis
 defineres . Hvis 
defineres determinanten rekursivt ved

hvor  fremkommer af  ved at fjerne
i'te række og j'te søjle.

Rækkeombytning 
Lad  fremkomme af  ved at bytte om på to
rækker, da gælder at

Dette kan bevises induktivt. Hvis  og 
fremkommer ved at bytte om på de to rækker i , da har vi at

Antags eller at resultatet gælder for , må vi vise at
det gælder for . Hvis vi ikke har byttet om på første
række må

idet  fremkommer af  ved at bytte om på to rækker, og
induktionsantagelsen derfor virker.

Ellers må 1'te og j'te række være ombyttet. Dan  ved at
bytte om på 2. og j'te række i . Dan  ved
at bytte om på 2. og j'te række i , da fremkommer
 også ved at bytte om på 1. og 2. række i
, og det må gælde at ,
af induktionsantages får vi at  og
 så

Ens rækker 
Hvis  har to ens rækker er .

Dette er nemt at indse. Dan  ved at bytte om på de to ens række i , da har vi at  men  og  er jo ens, så , dette kan kun lade sig gøre hvis

Rækkeaddition 
Hvis  er dannet af , ved at lægge i'te række r gange til j'te række. da vil 

Dette kan bevises som følger. Dan  ved at bytte på 1. og j'te række i . Dan  ved at bytte om på 1. og j'te række i , af reglen om række ombytning er det nok at vise at , idet vi bemærker at
 også fremkommver ved at lægge i'te række r gange til 1. række af  bliver det klart at

 

Hvor  fremkommer af  ved at restatte 1. med i'te række, men så har  to ens rækker og så har den jo determinant 0.

Rækkeskalering 
Hvis  er dannet af , ved at gange i'te række igennem med r (ikke 0), da er

Dette kan bevises som følger. Som før kan vi af rækkeombytnings-egenskaben og uden tab af generalitet antage at i=1, så

Invertibilitet 
Matricen A er invertibel hvis og kun hvis .

Der findes H i RREF så , denne transformation fremkommer som en følge af rækkeoperationer af de foregående regler ved vi at  hvor  men

Men  præcis har H har fuld rang, og H har fuld rang præcis når A er invertibel.

Determinant af produkt 
Om matrixprodukter gælder at .

Her gælder følgende bevis. Hvis A er diagonal følger det af rækkeskalationsreglen at

Hvis A er singulær er AB singulær. Af invertibilitetsreglen følger så, at de begge har determinant 0, ellers må A være invertibel, og med rækkeadditioner og r række ombytninger kan man danne D fra A så D er diagonal. Af de ovenstående regler ses at

Lad E være produktet af de tilhørende rækkeoperationsmatricer så , men så må

i kan altså udføre de samme rækkeoperationer på AB, så

Determinant af invers 
Hvis A er invertibel vil 

Med overstående regel er det nemt at se, da  så

Determinant af transponeret 
Det gælder altid at 

Hvis A er singulær er  det også og så vil , ellers kan A opskrives som et produkt af
række ombytnings matricer og række additions matricer og en diagonal matice så,

Hvis  er en række-ombytnings-matrice, så er  det også. Af række-ombytnings-reglen har de samme determinant nemlig -1. Ellers må  være en række-additions-matrice, og så er  også være det, af række-additions-reglen har de samme determinant nemlig 1, af produktreglen ses at

Se også 
 Wronski-determinant
 Slater-determinant

Matricer