Naturlig logaritme

Den naturlige logaritme,  er en af de vigtigste matematiske funktioner, og den har utallige teoretiske og praktiske anvendelser. Det er en trancendent funktion, hvilket vil sige at den ikke kan defineres ved hjælp af polynomier og roduddragning men er defineret ved hjælp af infinitisimalregning. Det er en logaritmefunktion med grundtallet e, , for hvilken der gælder at 

Den naturlige logaritme er den inverse funktion af den naturlige eksponentialfunktion.

Til forskel fra andre logaritmer, der som oftest betegnes , hvor a repræsenterer grundtallet, bruger man hyppigst blot notationen  for den naturlige logaritme. Mange steder i litteraturen benyttes dog, lidt misvisende,  til at betegne den naturlige logaritme.

Siden man begyndte at bruge lommeregnere og computere til at foretage beregninger, er man i mange tilfælde gået over til at anvende naturlige logarimer i stedet for 10-talslogaritmer.

Definition 

Den naturlige logaritme i punktet  er defineret som integralet af funktionen  fra 1 til 

.

Regneregler 

Ud fra definitionen af naturlig logaritme kan man bevise følgende logaritmeregler:

Den første af disse logaritmeregler kan vises ved at benytte substitutionen  som vist her

{|
| ||  
|-
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|}

De øvrige regneregler kan vises på lignende måde ud fra definitionen. Derudover gælder følgende regneregler:

Differentiation og integration 

Differentialkvotienten af  er givet ved følgende: 

hvilket følger umiddelbart af definitionen.

Det ubestemte integral af  er givet ved

Rækkerepræsentationer 

Maclaurinrækken for funktionen  kaldes Mercators række og er givet ved

Foretages substitutionen , finder man følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme:

Denne række, er den simpleste rækkerepræsentation for den naturlige logaritme, men den konvergerer kun forholdsvis langsomt og er altså kun gyldigt i et mindre værdiområde.

Ved at kombinere Mercators række med de basale regneregler for den naturlige logaritme kan man fremkomme med andre interessante rækkerepræsentationer. Foretager man f.eks. substitutionen  skifter fortegnet på alle de ulige led i Mercators rækken

Ved hjælp af rækkerepræsentationerne for  og  findes da

Dette er en interessant række, idet argumentet  antager alle mulige positive reelle værdier for . Dette kan benyttes til at udlede en generel rækkerepræsentation for  gældende for hele funktionens værdiområde. Hvis vi definerer

kan vi udtrykke  som

Derved findes følgende rækkerepræsentation for den naturlige logaritme

som altså er gældende for alle positive reelle tal. Rækken konvergerer hurtigst for værdier omkring , som vist i figuren.

Specielle værdier 

Af definitionen på den naturlige logaritme fremgår det at

Indsættes  i Maclaurin rækken for  fremkommer den alternerende harmoniske række

{|
| || 
|-
| || 
|-
| || 
|}

Relation til andre logaritmefunktioner 
Logaritmefunktionen med grundtal a er relateret til den naturlige eksponentialfunktion ved ligningen

Denne ligning kan bruges til at definere de øvrige logaritmefunktioner ud fra den naturlige logaritmefunktion og regnereglerne for for de øvrige logaritmefunktioner følger også umiddelbart ud fra denne ligning. Tilsvarende gælder at 

Den naturlige logaritmefunktion skiller sig ud blandt logaritmefunktionerne ved at den er simplere at differentiere og integrere.Funktioner

Logaritme