Separation af de variable

Separation af de variable er en matematisk metode til at løse separabel første ordens differentialligninger.

Metoden anvendes, hvor differentialkvotienten af  er lig med en funktion af  multipliceret med en funktion af :

 Først tager man forbehold:  og så separerer man de variable: Man dividerer med  og multiplicerer med  sådan:

 Man fjerner gange-tegn og tilføjer integral-tegn på begge sider: Det ubestemte integrale af  divideret med funktionen af  er lig med det ubestemte integral af funktionen af :

 Herefter omdanner man til en almindelig ligning ved at skrive to stamfunktioner:

 er et reelt tal og fælles integrationskonstant for de to stamfunktioner.

Den almindelige ligning 
Ved at anvende separation af de variable samt skrive to stamfunktioner og den fælles integrationskonstant (gerne med et græsk bogstav) er der fremkommet en almindelig ligning.

Så er det lettere at isolere  i den almindelige ligning. Når man har isoleret , så har man beregnet differentialligningens fuldstændige løsning. Ved at isolere konstanten c og indsætte løsningskurvens punkts koordinater i den fuldstændige løsning beregner man den partikulære løsning, der indeholder det punkt, som løsningskurven gennemskærer.

Illustrationer 
De fire illustrationer formidler det budskab, at en separabel første ordens differentialligning kan opfattes som to ubestemte integraler: et ubestemt integrale af  og et andet ubestemt integrale af . Men der er gået kludder i de to ubestemte integraler. Så samler man alt, der har med  at gøre på den ene side af lighedstegnet; mens alt, som har med  at gøre, samler man på den anden side af lighedstegnet.

Software 
Der findes CAS-software, som kan foretage separation af de variable: bl.a. Xcas

Xcas foretager separation af de variable med denne kommando:

split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Referencer

Kilder 
Bøger

 Carstensen, Jens & Frandsen, Jesper (1985): Matematik 2 - Matematik for gymnasiets matematisk-fysiske gren. Forlaget Systime, Herning. 
 Hebsgaard, Thomas m.fl. (1990): Matematik højniveau 2. Forlaget Trip, Vejle. 

Refererede online
 Bentzen, Steen (uden år): ”Matematik for Gymnasiet. Differentialligninger og matematiske modeller”. url: https://uvmat.dk/bentzen/DIFF%202%20-%20Kap.%201-7.pdf (dansk)
 Camilus, Astrid Krogstrup (2012): Valideringssituationer i undervisningsforløb om differentialligninger og radioaktivitet. url: https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie27/27-Astrid-Camilus.pdf  (dansk)
 Fedun, Viktor (uden år): Integration and Differential Equations. url: http://v-fedun.staff.shef.ac.uk/Integration%20and%20Differential%20Equations/ACS123_lecture_4.html  (engelsk)
 Grothaus, Christoph (uden år): Beispiele einfacher Differentialgleichungen aus der Natur. url: https://www.spektrum.de/spektrum/projekt2/gaes3.htm  (tysk)
 Hjersing, Niels m.fl. (2002): Differentialligninger. Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning. url: https://science-gym.dk/mat/20002010/difflign.pdf (dansk)
 Khan Academy (uden år): Separable differential equations: url: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differential-equations-new/ab-7-6/a/applying-procedures-for-separable-differential-equations (engelsk)
 Larsen, Jacob (uden år): Separation af de variable. HTX Slagelse. url: http://www.nqrd.dk/Naturvidenskab/Sider/Matematik/Seperation%20af%20de%20variable.pdf (dansk)
 Math Insight (uden år): Solving linear ordinary differential equations using an integrating factor. url: https://mathinsight.org/ordinary_differential_equation_linear_integrating_factor (engelsk)
 Raumzeit für Alle (uden år): Die homogene Differentialgleichung. url: http://www.raumzeit-fuer-alle.de/Tutorial%20GDGLn%20Band%201%20Exzerpt.pdf (tysk)
 Stoustrup, Sofie (2010): En analyse af differentialligninger på Aniveau i STX ud fra den antropologiske didaktiske teori. url: https://www.ind.ku.dk/publikationer/studenterserien/studenterserie18/Speciale_Sofie_Stoustrup.pdf  (dansk)
 Søgaard Hansen, Henrik (uden år): Differentialligninger. url: http://intranet.sctknud-gym.dk/lrere/HS/Noter/Differentialligninger_Nspire.pdf (dansk)
 Varsity Tutors (uden år): Differential Equations: Separable Variables. url: https://www.varsitytutors.com/differential_equations-help/separable-variables (engelsk)
 Wehinger, Gert D. (1996): Hohe und chronische Inflation. Probleme, Entstehung und Stabilisierung in theoretischer Analyse. url: http://gert.wehinger.free.fr/GW_Buch.pdf (tysk)

Øvrige online
 http://www2.gcc.edu/dept/math/faculty/BancroftED/teaching/handouts/sep_of_var_examples.pdf (engelsk)
 https://www.math24.net/separable-equations/ (engelsk)
 How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? (engelsk)
 https://tu-dresden.de/bu/umwelt/hydro/iak/ressourcen/dateien/systemanalyse/studium/folder-2009-01-29-lehre/systemanalyse/folder-2010-04-12-1173264546/wws-05.pdf?lang=en (tysk)

Differentialligninger