Subnormale undergrupper

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad  være en gruppe (matematik), en undergruppe  i  siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

 For alle  gælder 
 For alle  gælder 
 For alle  gælder 

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper.
En undergruppe N af index 2 i  er altid normal.
Hvis en undergruppe N i  er normal skrives det som .

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE .

Eksempel 
Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

  kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til . 
 Dvs. 
 hvor . Vi skriver  når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde . Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som . Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

 
 
 

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad , den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer.  har orden 4! = 24.  er ikke abelsk da eksempelvis . Lad K være Klein's Vierer-gruppe, ,
så . K er abelsk, og der findes en undergruppe  af orden 2 i K så . Vi kan nu tage alle  og se at . Vi har altså fundet , men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.

Hvis  så er  og .

Bevis Antag , dvs. at der �findes

Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet  er .
Fra antagelsen er  og , kan vi finde minimalrækker. Sæt  og . Som vist ovenfor findes der
en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde
m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor
længde . Alstå .

Nilpotent 
Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved:
Den aftagende centralrække for G

er fastlagt ved at

Den voksende centralrække for G

er fastlagt ved

Definition
En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et  så . Det mindste tal m med  kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:
  G er nilpotent.
  For enhver undergruppe  er .
  For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
  G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Egenskaber 
Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad , hvor G er en gruppe, og antag  er en
vilkårlig undergruppe, så er .

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er .

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at . Så er .

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver
undergruppe af G er subnormal.

Bevis: "  " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper

hvor , da ellers H=G. Så der findes . Da  gælder at  (normalisatoren), så da  er . Dette er ækvivalent til at G er nilpotent.
"  " Antag nu at G er nilpotent, så , hvor . Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index  at . Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at . Så er  og , dette betyder at . Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at  er subnormal i G. Dvs. at 

Gruppeteori