Spektrum (funktionsanalyse)

Begrebet spektrum bliver brugt inden for funktionsanalyse som en generalisering af konceptet af egenværdier af en matrix.
I det følgende ses der på spektrum for begrænsede operatorer.

Definition 

Hvis  er en begrænset lineær operator på et Banachrum , så er spektret af  mængden af komplekse tal  hvor  ikke er invertibel, hvor  er identitetsoperatoren. Spektret af  skrives som .

Spektret kan også anses som værende komplementet til hvad der kaldes resolvent mængden  som er mængden af  hvor  er invertibel. Lidt mere formelt er  mængden  hvor  eller  og  er domænet for .

Elementer i spektrum 

Man spørger nok sig selv om at siden spektrum er en generalisering af egenværdier af matricer, hvornår et element i spektrum er en egenværdi.

Sætning: Hvis  er et normeret rum som er forskellig fra 0, så er spektret  ikke tomt.

Sætning: Resolvent mængden  og åben, og spektret  er kompakt.

for en operator  gælder det at den er invertibel hvis og kun hvis  er bijektiv. Dvs. at vi har to måder hvorpå vores operator ikke længere er invertibel, hvilket er hvis  ikke er injektiv eller surjektiv.

Element er en egenværdi i spektrum 

Hvis  ikke er injektiv, hvilket vil sige at funktionen  ikke er injektiv, da må der eksistere et  sådan så . Dette er definitionen for hvornår  er en egenværdi, så hvis  ikke er injektiv er  en egenværdi i spektret for .

Element er ikke en egenværdi i spektrum 

Hvis et element  ikke er en egenværdi, da er  ikke surjektiv (på). Dette kan ske på to måder:

 Billedmængden af , som ikke er hele  er tæt i . Denne del af spektret kaldes for det kontinuerte spektrum.
 Lukningen af billedmængden af  er en ægte delmængde af . Denne del af spektret kaldes for det residuale spektrum.

Typer af spektrum 

En generelt brugt måde at opdele spektret på er den følgende:

Vi ved at en begrænset lineær operator på et Hilbertrum er invertibel hvis og kun hvis den er begrænset nedefra og har en tæt billedmængde. Dette vil sige at et komplekst tal  er i spektret for  hvis og kun hvis  ikke er begrænset nedefra og/eller at  ikke har tæt billedmængde. Dette fortæller os at man kan opdele spektret i to muligvis overlappende delmængder:

 Omtrentligt punkt spektrum (approximate point spectrum) af  er  ikke begrænset nedefra .
 Kompressions spektret (compression spectrum) af  er  har ikke en tæt billedmængde .

Det omtrentlige punkt spektrum består igen af to disjunkte dele som er de elementer som er egenværdier af , som skrives , og komplementet af denne.

Man kan også opdele spektret i tre andre disjunkte dele:

 Punkt spektret (point spectrum) af  er  ikke er en-til-en/injektiv . Så igen ser vi at punkt spektret består præcis af alle egenværdier af .
 Det kontinuerte spektrum (the continuous spectrum) af  er  er en-til-en/injektiv . Dette spektrum består af de  hvor billedmængden for  er tæt men er ikke lig med hele .
 Det residuale spektrum (the recidual spectrum) af  er  er en-til-en/injektiv . Dette spekre består af de  hvor billedmængden af  ikke er tæt.

Disse tre spektrum har den samme definition for Banachrum.

Egenskaber for spektret 

Spektret for en operator på et Hilbert eller Banachrum indeholder vigtig information omkring operatoren.

Den er også en konjugeringsinvariant da:

Sætning: Hvis  er en operator i  for et Banachrum , og hvis  er en invertibel operator i , så er .

Ovenstående sætning angiver blot en måde hvorpå spektret ikke ændres, men det er ikke den eneste måde. For hvis  er komplekse Hilbert rum som er forskellige fra 0, hvor  og , dvs,  er invertibel, så gælder

 .
 .
 .

Ved at disse holder, så gælder det også for spektret, resolvent mængden og for spektral radius.

Hvis  også var unitær gælder også 

Hvis vi antager at  er et komplekst Hilbert rum og at  er enhedscirklen omkring origo i det komplekse plan, så gælder følgende:

 Hvis  er hyponormal (dvs.  eller ) så er  og .
 Hvis  er normal så er  og .
 Hvis  er unitær så er .
 Hvis  er selvadjungeret så er .
 Hvis  er positiv så er .
 Hvis  er strengt positiv hvis  hvor .
 Hvis  er en ikke triviel projektion så er .

Flere egenskaber kan ses i.

Selvadjungerede operatorer 

Generelt for en selvadjungeret operator i  gælder der at enhver egenværdi for  er reel og at egenvektorerne for forskellige egenværdier er ortogonale.

Kompakte selvadjungerede operatorer i  

For en selvadjungeret begrænset operator  på et Hilbertrum  er .

Dette kan bruges til at vise at for en kompakt selvadjungeret operator i  så er mindst et tallene  eller  en egenværdi for , hvilket vil sige at mindst en af disse er et element i .

Kompakte operatorer 

Resultatet som bruges til at karakterisere de kompakte operatorer på et komplekst Hilbert rum  kaldes 'the Fredholm Alternative' som siger følgende:

Sætning (Fredholm Alternative): Lad  være en kompakt operator på et Hilbert rum , og antag at  og . Så har vi følgende:

 Hvis  er injektiv så er  invertibel.
 Hvis  afbilder surjektivt fra  til , så er  invertibel.

En anden sætning giver at ethvert punkt i spektret som er forskellig fra 0 på en kompakt operator altid er egenværdier for operatoren.

Vi kan også yderligere beskrive elementerne i spektret for en kompakt operator ved følgende sætning.

Sætning: Tag en kompakt operator  som er mængden af kompakte lineære transformationer, så har vi følgende:

 0 er det eneste akkumuleringspunkt af .
 Hvis , så er  et isoleret punkt af .
  er en diskret delmængde af .
  er tællelig.

Spektralmapping for polynomier 

Hvis  er et polynomium med komplekse koefficienter, så for enhver delmængde  er .

Sætning (Spektral mapping sætningen for polynomier): Tag en operator , hvor  er et komplekst Banachrum. Hvis  er et polynomium med komplekse koefficienter, så er .

Denne sætning gælder også specielt hvis  er en unital Banach algebra hvor , så er .

Eksempel: Hvis  er et element i en unital Banach algebra som opfylder at , og lad . Så er  hvilket medfører at . Dvs at  for alle , hvilket giver os at .

Denne sætning kan også udvides til at gælde for polynomier som gælder for normale operatorer i et Hilbertrum . Lad  og  være arbitrære delmængder af  og lad  være et polynomium i to variable med komplekse koefficienter, hvor . Hvis vi i særdeleshed ser på , da er .

Sætning (Spektral mapping sætningen for normale operatorer): Hvis  er normal og  er et polynomium i to variable, så er .

Eksempler 

 Hvis  er en øvre triangulær  matrix, så består  af elementerne på diagonalen af matricen .
 Hvis , hvor  er et kompakt Hausdorff rum, så er  for alle .
  er rummet af alle kvadratisk summable sekvenser, som også er et Banach rum. Den unilaterale skift operatoren  er  og dens inverse er . Her er den nemmeste måde at bestemmespektrum for  er ved først at bestemme spektrum for , da  ikke indeholder nogen egenværdier. Det første vi kan se er at spektret for  er indeholdt i mængden . Som det næste kan vi vise at  er indeholdt i  og er egenværdier. Vi ser at hvis vi vælger vektoren  hvor , så vil  være opfyldt og dermed er  egenværdier for . Og da spektret er lukket er . Så ved at bruge at hvis  ikke er invertibel så er  heller ikke invertibel, og dermed, da  så ser vi at .

Kommutative Banach algebraer 

Når vi arbejder med Banach algebraer (og dermed også C* algebraer) så har vi at , hvor  er en kommutativ unital Banach algebra,  og  er et kompakt Hausdorff rum.

Dette kommer af at komplekse homomorfier på en unital kommutativ Banach algebra er en ikke triviel multiplikativ lineær funktional , som er kontinuer med norm 1. Samlingen af alle disse ikke trivielle multiplikative lineære funktionaler kaldes det maksimale ideal rum og skrives .

Måden hvorpå vi ser at spektrum er af denne form kommer af følgende:

Hvis vi vælger et  og antager at , da er  ikke invertibel og mængden  en ægte delmængde, da den ikke kan indholde . Ud fra dette kan man så se at den må være indeholdt i et maksimalt ideal som ved er kernen af en multiplikativ lineær funktional . Så da  da er .

Omvendt, hvis , så kan vi finde et  sådan så . Så givet et hvilket som helst ikke triviel multiplikativ lineær funktional  på , da har vi at . Dette giver os så at  eller  for ethvert .

Sætning (Gelfand): Hvis  er et element i en unital Bananch algebra , så er .

Egenskaber 

Hvis  er en unital C* algebra og  er normal holder følgende:

  er selvadjungeret hvis og kun hvis .
  er unitær hvis og kun hvis .
  hvis og kun hvis .

Hvis  er et selvadjungeret element i en unital C* algebra , så siges  at være positiv hvis , og så skrives  og de positive elementer i  skrives som .

Sætning: Hvis vi lader  være en lukket delalgebra af en unital Banach algebra  som indeholde enheden for , så gælder følgende:

 Mængden  er en clopen (dvs. lukket og åben) delmængde af .
 For ethvert  gælder det at  og .
 Hvis  og  ikke har nogen huller, så er .

Her ses det a vi ved hjælp af spektrum får vigtig information omkring operatoren.

Spektralradius 

Det kan godt være vanskeligt at bestemme hvad spektret for en operator præcist er, så vi vil ønske at kunne indskrænke vores søgeområde. Dette er lige netop hvad den næste sætning giver os mulighed for at gøre.

Sætning (spektral radius formel): Hvis , som er en unital Banach algebra, da er spektral radius 

Med denne sætning ved hånden, kan vi nu bestemme hvilket område i  som spektret ligger i, og dermed indskrænke vores eftersøgningsområde for at bestemme spektret.

Eksempel: Hvis vi har , hvor  er et kompakt Hausdorff rum og dermed at  er en Banach algebra, så ses det at , hvor , så .
Benytter vi os af spektral radius formlen, så ses det at  da .

Anvendelser 

Spektret bruges som tidligere nævnt til at bestemme vigtige egenskaber ved en operator, så som om den er selvadjungeret, normal eller positiv.

Spektret for en operator bruges til klassifikation af operatoren i form af spektral sætningen (der findes flere versioner af denne). Dette skal ses som en udvidelse af den klassifikation som man ser i lineær algebra hvor der gøres brug af egenværdier, egenrum, minimal og karakteristiske polynomier.

Spektrum bruges også indenfor kvantemekanik, hvor spektret for en operator relateres til forklaringen af spektret for atomer.

References 

 C. Kubrusly, Spectral Theory of Operators on Hilbert spaces, 
 B. MacCluer, Elementary Functional Analysis, 
 G. Murphy, C*-Algebras and Operator Theory, 

Funktionalanalyse