Den gyldne spiral

I geometri er den gyldne spiral en logaritmisk spiral hvis vækstrate er , det gyldne snit. Den gyldne spiral bliver større og større (i takt med at den kommer længere væk fra origo) med en faktor på  for hver kvarte omgang.

Formel 
Den polære ligning for den gyldne spiral er den samme som for andre logaritmiske spiraler, men med en særlig værdi for vækstraten :

eller

hvor  er den naturlige logaritmes grundtal,  er en vilkårlig positiv reel konstant, og  et tal som gør ligningen nedenfor sand når  er en ret vinkel (en kvart omgang i hver retning):

Derfor er  givet ved

Den numeriske værdi  afhænger af om den rette vinkel er målt som 90 grader eller som  radianer; og da vinklen kan være i begge retning er det nemmest at skrive formlen med den absolutte værdi af  (da  der også kan have en negativ værdi):

 for  i grader;

 for  i radianer.

En alternativ formel for en logaritmisk og gylden spiral er:

hvor konstanten  er givet ved:

for hvilket den gyldne spiral giver  værdien aff:

hvis  måles i grader og

hvis  måles i radianer

Approksimationer af den gyldne spiral 

Der findes adskillige lignende spiraler som approksimerer, men ikke helt præcist rammer den gyldne spiral. Disse bliver ofte forvekslet med den gyldne spiral.

Eksempelvis kan en gylden spiral approksimeres ved at starte med et rektangel, hvor forholdet mellem længden og bredden er det gyldne snit. Dette rektangel kan derefter deles i et kvadrat og et lignende rekangel, og dette mindre rektanglet kan herefter deles på samme måde. Ved at fortsætte denne proces et arbitrært antal gange, resulterer det i en næsten fuldstændig opdelen af rektanglerne ud i kvadrater. Hjørnerne af disse kvadrater kan forbindes med kvarte cirkelbuer, og resultatet tilnærmer sig den gyldne spiral, dog uden at være det.

En anden approksimation er Fibonacci-spiralen, der bliver konstrueret på lignende vis, med undtagelse af, at man starter med et rektangel, der består af to kvadrater, og ved hvert trin tilføjer et kvadrat med samme sidenlængde som rektanglets længste side. Da forholdet mellem på hinanden følgende Fibonacci-tal tilnærmer sig det gyldne snit, når Fibonacci-tallene går mod uenddelig vil spiralen ligeledes tilnærmes den gyldne spiral mere og mere for højere Fibonacci-tal.

Spiraler i naturen 
Approksimationer af logaritmiske spiraler kan optræde i naturen, eksempelvis armene på en spiralgallakse eller bladstillingen på planter); gyldne spiraler ern et særligt tilfælde af disse logaritmiske spiraler. En nylig analyse af spiraler observeret i hornhindeceller i mus indikerede at nogle af disse kan karakteriseres som gyldne spiraler, og andre som lignende typer spiraler. Undertiden hævdes det, at spiralgallakser og skallen på nautil bliver større med samme rate som den gyldne spiral, og at de begge skulle være forbundet til  og Fibonacci-tallen.
Spiralgallakser og nautilskaller (og mange andre bløddyrsskaller) udviser en logaritmisk spiralvækst, men med flere forskellige vinkler, der normalt er meget anderledes en den gyldne spiral. Dette mønster tillader organismen at vokse uden at ændre form.

Se også 
 Gylden vinkel
 Det gyldne snit
 Gyldent rektangel
 Logaritmisk spiral

Referencer 

Geometriske former