Herons formel

Herons formel er en formel som Heron beskrev og anførte et bevis for: Den angiver arealet  af en trekant med siderne ,  og :

hvor  er trekantens halve omkreds, dvs.

I specialtilfældet  (ligesidet trekant), fås

i overensstemmelse med en beregning byggende på Pythagoras' læresætning.

Herons formel er et vigtigt teorem i plangeometrien. Skønt der kun indgår længder af linjestykker (ingen vinkler) i Herons formel, ville man i dag udlede den på basis af trigonometri; det er bemærkelsesværdigt at man på Herons tid kunne klare sig foruden.

Historie 
Herons beskrivelse og bevis for formlen optræder i hans bog Metrica fra omkring år 60: Dette værk er en sammenfatning af den matematiske viden som grækerne besad på hans tid, så formlen har formodentlig været kendt længe inden Metrica blev udgivet – nogen gætter endda på at Arkimedes kendte til denne formel.

Kineserne har siden udledt en anden formel med samme betydning, uafhængigt af grækerne. I Qin Jiushaos værk Shushu Jiuzhang, udgivet i 1247, optræder formlen på denne form:

Bevis 
På tegningen til højre er vist en "vilkårlig" trekant , som ved hjælp af højden  er blevet delt op i to retvinklede trekanter. Denne højde deler også siden  i to dele med længderne  og .

Ved at bruge Pythagoras' læresætning på de to retvinklede trekanter, får man:
For trekanten til venstre for højden:

For trekanten til højre for højden:

Bemærk de to udtryk til højre for dobbeltpilene; de giver to forskellige regneudtryk for samme størrelse, nemlig . Derfor kan vi sætte disse to udtryk lig med hinanden, og det giver

Nu er  blevet isoleret på venstre side af lighedstegnet. Ved hjælp af regneregler for kvadratet på en toleddet størrelse kan udtrykket på højre side reduceres lidt:

Den sidste ligning skrives nu om, så  er isoleret:

For at regne videre med dette , "skaffer" man sig et regneudtryk med denne størrelse ved at bruge Pythagoras sætning på trekanten til venstre for den indtegnede højde:

Ved at erstatte  med det regneudtryk det blev udledt i forrige ligning, får man:

For at få  "bygget ind" i brøken under kvadratrodstegnet, omskrives dette led ved at multiplicere ("forlænge") det med :

Ved at erstatte  i forrige ligning med det sidste udtryk herover, kan hele udtrykket under kvadratrodstegnet skrives som én brøk:

Udtrykket under kvadratrodstegnet består nu af differensen mellem kvadratet på to størrelser: Nu bruges reglen om at  til at omskrive denne del af udtrykket:

I den sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" under kvadratrodstegnet blevet hævet, så der nu står produktet af to parenteser. I den første parentes skal man bemærke , som per reglerne for kvadratet af toledede størrelser kan omskrives til . I udtrykket for højden  kan den første parentes i brøkens tæller altså omskrives sådan her:

Noget tilsvarende kan gøres for den sidste parentes – her skal man på grund af fortegnene i stedet udnytte at

og så kan udtrykket for  forenkles på denne måde:

Nu indeholder hver parentes differensen mellem kvadratet på to tal, og kan således hver især omskrives til produktet at de to tals hhv. sum og differens:

I sidste linje herover er de små "parenteser i parenteser" blevet hævet.

Højden  er tegnet ud fra grundlinjen , og ud fra de to størrelser beregnes trekantens areal  som:

Hvis man i dette udtryk indsætter det udtryk for  ovenfor og siden reducerer udtrykket, får man:

Den sidste del af beviset går ud på at demonstrere, at man fra Herons formel kan "regne sig tilbage" til samme udtryk for trekantens areal som ovenfor:

For at få hhv. ,  og  "bygget ind" i brøkerne, skal de "forlænges" så de optræder med nævneren 2 – herefter kan udtrykket reduceres:

Da dette udtryk essentielt er det samme som det udtryk den første del af beviset endte med, er Herons formel hermed bevist.

Trekant geometri
Matematiske beviser
Areal