Kasteparabel

Kasteparablen er vejen, en genstand følger tæt på Jordens overflade - fx ved et kast. Parablen gælder, når kun tyngdekraften virker på genstanden, mens luftmodstand ignoreres. Problemet kaldes også for det skrå kast.

Parablen 
For et legeme der skydes af sted fra startpunktet  med startfarten  og affyringsvinklen  i forhold til vandret (-retningen), er kasteparablen givet ved

hvor  er tyngdeaccelerationen. Her bevæger legemet sig i -planet, og tyngdekraften virker modsat -retningen.

Udledning af parablen
Når formlen for kasteparablen udledes, tages luftmodstanden ikke i betragtning, da den umuliggør både en parabel og den analytiske metode i det hele taget – se også afsnittet om det skrå kast ved luftmodstand. Dette er en god model, så længe luftmodstanden er meget lille i forhold til tyngdekraften.

Kasteparablen beskriver et legeme, der bliver sendt afsted uden luftmodstand ved en given vinkel, , i forhold til vandret; denne vinkel kaldes elevationen. Legemet har en given starthastighed  givet ved

Så snart legemet er sendt af sted, er det ikke påvirket af andre kræfter end tyngdekraften. Tyngdeaccelerationen er lodret og nedadrettet. Derfor må hastigheden i x-aksens retning være konstant og givet ved

På samme måde kan legemets position på et givent tidspunkt  bestemmes:

hvor  er positionen til tiden .

Accelerationen i lodret plan er en konstant, negativ acceleration  jf. Galileis faldlov, og bevægelsen i y-aksens retning er derfor:

og den tilsvarende position er:

hvor  er positionen til tiden .

Den samlede hastighed som funktion af tiden er altså:

og positionen  som funktion af tiden er:

At kastebanen har form som en matematisk parabel kan ikke umiddelbart ses ud fra dette. For at genkende parablen, skal -koordinaten udtrykkes som funktion af  i stedet for . Først kan  isoleres i udtrykket for :

Dette indsættes i formlen for -koordinaten:

Det ses, at leddene foran  og  udelukkende består af konstanter, og dermed er udtrykket for en parabel.

Hvis bevægelsen starter i , reducerer kasteparablen til

og det bliver mere tydeligt, at det er en parabel.

Rækkevidde 
Kasteparablens praktiske styrke er, at den muliggør beregning af, hvor langt et projektil kan nå.

Kastelængde 

Ovenstående udtryk for kasteparablen giver al den nødvendige information til at beregne hvor langt og hvor højt et legeme vil bevæge sig. For enkelthedens skyld, antages det at startpositionen er . 

Det første man kan beregne er hvornår legemet rammer jorden. Denne situation svarer til at kasteparablen skærer x-aksen, dvs. ,

som løses ved brug af standardløsningsformlen for nulpunkter i et andengradspolynomium,

Løsningen  giver bare skæringen med y-aksen i startpunktet , og er derfor ikke relevant. Den anden løsning giver derimod den maksimale kastelængde,

hvor det er brugt, at

Hvis  skal være størst muligt, skal . Da , må den optimale kastevinkel være halvdelen af :

Dette resultat ændrer sig, hvis genstanden lander i en anden højde, end den kastes fra, for eksempel i et spydkast eller kuglestød.

Kastehøjde 
Der, hvor legemet er højest oppe, kan findes ved at bruge symmetri. Parablen er symmetrisk omkring toppunktet, dvs. der hvor legemet vender retning og har opnået sin maksimale højde. Dette betyder, at x-værdien for toppunktet ligger midt mellem parablens skæringer med x-aksen,

Herfra findes højden i dette punkt, ved at indsætte  i udtrykket for ,

Heraf ses det, at den maksimale højde nås ved et lodret kast, dvs. med en affyringsvinkel på , da . Den maksimale højde er da givet ved:

hvor  er lagt til som en arbitrær starthøjde.

Generel rækkevidde 

Hvis et projektil kan sendes afsted med en maksimal startfart, men med forskellige vinkler, er der et helt område i -planet, som kan rammes af projektilet. Dette område er afgrænset af kasteparablens indhylningskurve.

En funktion  lig med nul kan opstilles:

Den afledte med hensyn til  er da:

Dermed er  givet ved:

eller

Dette indsættes i udtrykket for , og  isoleres:

Dette er indhylningskurven.

Beregning af hastigheden 
Den resulterende hastighed kan beregnes ud fra x-hastigheden og y-hastigheden.
Da der er tale om vektorer, kan man tegne kræfternes parallelogram, der dog ikke har noget med kræfter at gøre i denne anvendelse.

Da hastighederne har en x-retning og en y-retning, må de være vinkelret på hinanden. Dermed danner de med den resulterende hastighed en retvinklet trekant, hvor x-hastigheden er den ene katete, y-hastigheden er den anden katete, og den resulterende hastighed er hypotenusen. Ifølge den pythagoræiske læresætning har man at

Med de tidligere fundne udtryk for x-hastigheden og y-hastigheden har man:

Korrektioner 
Kasteparablen er en simpel model og kan forbedres ved at ændre antagelserne. Det følgende præsenterer korrektioner til kasteparablen.

Luftmodstand 

En af de meste praktiske korrektioner er inklusion af luftmodstand, der generelt gør et projektils rækkevidde kortere.

Newtonsk tyngdekraft 

For kasteparablen antages det, at det kastede objekt er tæt på jordoverfladen, og at tyngdeaccelerationen derfor kan betragtes som konstant. For større afstande over jordoverfladen beskrives gravitionen dog bedre af newtonsk tyngdekraft:

hvor  er den universelle gravitationskonstant,  er Jordens masse,  er afstanden til Jordens centrum, og  angiver retningen væk fra Jorden.
Tilsvarende er den potentielle energi:

Hvis  er Jordens radius, er tyngdeaccelerationen i kasteparablen givet ved:

Lodret kast 
Betydningen af Newtonsk tyngdekraft er lettest at vise med et lodret kast. Ligning  kan udledes ved at sætte den kinetiske energi i starten til at være lig ændringen i potentiel energi fra start til top. Derved fås:

Tilsvarende udledning er mulig med potentialet i Newtonsk tyngdekraft. Ændringen i potentiel energi er da:

hvor  er målt for jordoverfladen, og  er Jordens radius.

Dette sættes lig den kinetiske energi, og  isoleres:

Dette udtryk kan forsimples lidt ved at dividere med  og indsætte tyngdeaccelerationen:

Hvis  er nul, bliver udtrykket simplere:

For en lille startfart reducerer udtrykket til:

hvilket stemmer overens med kasteparablen. Højden divergerer dog, når nævneren går mod nul. Dette sker ved en fart  givet ved:

Dette er undvigelseshastigheden og er den lavest mulige fart, der skal til for at forlade Jorden. Da tyngdeaccelerationen ved kasteparablen er konstant, har den model ikke nogen undvigelseshastighed.

Skråt kast 

For et skråt kast generelt, hvor hastigheden ikke overstiger undvigelseshastigheden, er kasteparablen egentlig en approksimation af en del af et elliptisk kredsløb beskrevet med Keplers love.

Med andre ord er kasteparablen et Taylorpolynomium til anden  orden. Dette kan vises ved at tage udgangspunkt i udtrykket for et elliptisk kredsløb:

hvor  er afstanden til Jordens centrum,  er vinklen, og  og  er konstanter. Den første konstant er givet ved:

hvor  er impulsmomentet,  er den universelle gravitationskonstant,  er Jordens masse, og  er den kastede genstands masse.
Taylorpolynomiet af  er givet ved:

hvor  er startvinklen i forhold til Jordens centrum. Ved denne vinkel er afstanden til Jorden centrum blot lig med Jordens radius:

Størrelsen  er den rejste vinkel. Da en cirkels omkreds er radius gange , er den rejste afstand  ved jordoverfladen givet ved:

Så:

Højden  over jordoverfladen er derfor:

Den første og anden afledte til  skal altså findes. Den første afledte er:

Starthældningen skal være lig med tangens til affyringsvinklen:

Jf. relationen mellem  og :

Og for den anden afledte:

Udtrykket for den første afledte indsættes:

Det andet led indeholder to konstanter, som helst skal udtrykkes ved andre størrelser for at stemme overens med kasteparablen. Pga. udtrykket for , er konstanten  er givet ved:

Dette indsættes til at starte med i den anden afledte:

For et objekt der kastes ved Jordens overflade, kan impulsmomentet udtrykkes vha. startfarten, og affyringsvinklen:

hvor  er Jordens radius. Dermed er :

fordi

Dette udtryk for  indsættes:

Tangens-funktionen kan med fordel omskrives til cosinus:

Den anden afledte bliver da:

Endelig kan et udtryk for  opstilles:

For små afstande meget mindre end Jordens radius

er brøkerne med radiussen i nævneren tilnærmelsesvist 0:

Dermed er kasteparablen blevet udledt fra Keplers første lov.

Kildehenvisninger 

Ballistik
Klassisk mekanik