Kompakt lineær operator

I funktionalanalysen, en gren af matematikken, betegner en kompakt lineær operator en lineær afbildning mellem to Banachrum X og Y, som opfylder, at billedet af enhver begrænset følge i X har en konvergent delfølge i Y. Mængden af kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden af begrænsede lineære operatorer. På Hilbertrum er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension. 

Klassen af kompakte lineære operatorer på Hilbertrum ligner på mange måder klassen af lineær afbildninger mellem endelig dimensionale vektorrum. For eksempel kan mange resultater om spektrum af matricer generaliseres til kompakte operatorer på Hilbertrum. Studiet af kompakte operatorer har rødder og mange anvendelser i integrallignings-teorien.

Definition 
Lad  og  være Banachrum og  en lineær afbildning. Operatoren  kaldes kompakt, hvis der for enhver begrænset følge  i  gælder, at billedfølgen  har en konvergent delfølge i .
Vi betegner mængden af alle kompakte operatorer fra  til  med . Hvis , skriver man kort .

For alternative definitioner se afsnittet egenskaber.

Eksempler 
 Enhver lineær afbildning mellem Banachrum med billedmængde af endelig dimension er kompakt. Dette følger af kompakheden af afsluttede kugler i endelig dimensionale Banachrum.
 Det følger af Riesz' Lemma at identitetsoperatoren på et Banachrum  er kompakt, hvis og kun hvis  er endelig dimensionalt. 
 Lad  være et Hilbertrum med ortonormalbasis  og lad  være en begrænset følge af komplekse tal. Vi definerer  og udvider  ved linearitet og kontinuitet til en lineær operator på , det vil sige, vi definerer 

 . 

 Denne operator hedder diagonaloperatoren med diagonal . Operatoren  er kompakt, hvis og kun hvis der for diagonalen gælder, at .  Dette kan indses ved at vise, at  er grænseværdien (med hensyn til operatornormen) af diagonaloperatorerne , hvor  har diagonal . 
 Enhver Hilbert-Schmidt-operator  på Hilbertrum er kompakt.  er en Hilbert-Schmidt-operator, hvis der gælder  for en ortonormalbasis .  
 Lad  være et målrum og lad . Så er operatoren  defineret for  ved 
  for alle 

 en Hilbert-Schmidt-operator og derfor kompakt. 
 Det følger af ovenstående at Volterra-operatoren på  er kompakt. For  er denne operator defineret ved
  for alle .
 Operatoren unilateral shift  defineret som  for alle basisvektorer  er ikke kompakt. Dette gælder, fordi følgen  ikke har nogen konvergent delfølge.
 Hvis  og  er defineret ved  for alle , så er  kompakt. Mere generelt er nukleare operatorer på Hilbertrum kompakte.

Egenskaber

Ækvivalente definitioner 
Der findes en række egenskaber, der er ækvivalente med definitionen af en kompakt operator og som let kan indses ved hjælp af grundlæggende egenskaber af Banachrum. Der findes eksempelvis følgende karakteriseringer, der tydeliggør navnet kompakt operator:

Lad  være en lineær afbildning mellem to Banachrum. So er  en kompakt operator, hvis og kun hvis følgende ækvivalente udsagn gælder:
 For enhver begrænset mængde  har  en kompakt afslutning. 
 Billedet  af enhedskuglen  i  har en kompakt afslutning.

Egenskaber for Banachrum 
I det følgende antager vi, at  og  er -Banachrum. 
 Det følger umiddelbart af definitionen, at enhver kompakt lineær operator er begrænset, vi har altså , hvor  betegner mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra  til .
 Da begrænsethed og kontinuitet er ækvivalente for lineære afbildninger, er enhver kompakt lineær operator også kontinuert.
 Mængden  af alle kompakte lineære operatorer er et afsluttet lineært delrum af mængden  af alle begrænsede lineære operatorer. Det vil sige, at følgende gælder:
 Givet operatorer  og et tal , så gælder der, at  og  også er kompakte operatorer. 
 Hvis  er en følge i , som konvergerer mod en operator , så er  også kompakt.
 En operator, der er sammensat af en kompakt og en begrænset operator er kompakt. Det vil sige det følgende:
 Hvis  og , så er . 
 Hvis  og , så er . 
 I tilfældet hvor  betyder dette, at  er et to-sidet ideal i . 
 Det følgende resultat er kendt som Schauders Sætning: 
 Hvis , så er  kompakt, hvis og kun hvis den adjungerede operator  er kompakt.
 I modsætning til Hilbertrum, gælder der for Banachrum  generelt ikke, at  er afslutningen (med hensyn til operatornormen) af mængden  af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Dette blev vist af Per Enflo i 1987. Det gælder dog for en speciel klasse af Banachrum, nemlig for Banachrum som har en Schauder-basis. Man siger, at disse Banachrum har approksimationsegenskaben. Et eksempel på et Banachrum med approksimationsegenskaben, som ikke nødvendigvis er et Hilbertrum er mængden , som består af alle kontinuerte funktioner på et kompakt Hausdorffrum .

Egenskaber for Hilbertrum 
Et vigtigt resultat for kompakte operatorer mellem Hilbertrum er det følgende. Lad  og  være -Hilbertrum. Mængden  af kompakte lineære operatorer er afslutningen af mængden  af lineære operatorer med billedmængde af endelig dimension. Følgelig er enhver kompakt lineær operator grænseværdien af en følge af operatorer med billedmængde af endelig dimension. Vi har altså følgende: . Dette er en følge af Spektralsætning for kompakte lineære operatorer. Der er mange andre vigtige resultater for Hilbertrum, som omhandler spektrum af en kompakt lineær operator (se næste afsnit).

Spektralteori for kompakte lineære operatorer

Resultater om spektrum 
Ligesom for lineære afbildninger på et endelig dimensionalt vektorrum (som kan identificeres med kvadratiske matricer) kan man definere egenværdier for lineære begrænsede operatorer på et Banachrum. Et tal  hedder altså egenværdi for en operator , hvis , hvor  betegner identitetsoperatoren. For alle ikke-trivielle egenværdier, det vil sige , defineres det tilsvarende egenrum som  og en vektor  hedder egenvektor for . Yderligere defineres spektrum af  som . Denne mængde består for begrænsede linære operatorer i modsætning til matricer ikke altid kun af egenværdierne, men for kompakte operatorer er dette tilfældet. 

Vigtige resultater vedrørende egenværdier af kompakte lineære operatorer på et Banachrum er:
 Enhver kompakt lineær operator har højst et endeligt eller uendeligt tælleligt antal egenværdier. Hvis der er uendeligt mange egenværdier , så gælder der  og alle egenrum for ikke-trivielle egenværdier er endelig dimensionale.
 Der findes kompakte lineære operatorer, der ikke har nogen ikke-trivielle egenværdier. Et eksempel er Volterra-operatoren. 
 Det følgende vigtige resultat er kendt som Fredholms Alternativ :
 Lad  og . Så gælder der
 Hvis  er injektiv, så er  invertibel.
 Hvis  er surjektiv, så er  invertibel.
 Hvis man tænker på ovenstående resultat som et udsagn om ligninger af formen  for givet , så kan man formulerer (1.) og (2.) på en anden måde:
 Hvis en løsning til  er unik, så findes en løsning til denne ligning.
 Hvis der findes en løsning til  for alle , så er disse unikke. 
 Det følger af Fredholms Alternativ, at , det vil sige, spektrum af en kompakt lineær operator består kun af egenværdierne. 
 For en kompakt selvadjungeret lineær operator  på et Hilbertrum gælder . Yderligere er  eller  en egenværdi af . I modsætning til generelle kompakte operatorer har vi altså en garanti for eksistensen af ikke-trivielle egenværdier for selvadjungerede kompakte lineære operatorer. 
 For normale kompakte lineære operatorer på Hilbertrum kan man let indse, at egenvektorer for forskellige egenværdier er ortogonale.

Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte lineære operatorer 
Et vigtigt resultat for kompakte lineære operatorer på Hilbertrum er Spektralsætningen for selvadjungerede kompakte operatorer:

 Lad  være et -Hilbertrum og  selvadjungeret, det vil sige der gælder . Der findes en (muligvis endelig) følge  i  med  og et (muligvis endeligt) ortogonalsystem  af , så at der gælder 
  for alle .
 Yderligere gælder der for operatornormen af , at .
 Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Her betegner  det indre produkt på . Følgen  består af alle ikke-trivielle egenværdier af  og  er en egenvektor for  for alle .

Spektralsætningen for normale kompakte lineære operatorer 
Ovenstående sætning for selvadjungerede kompakte operatorer kan generaliseres til normale operatorer, det vil sige operatorer, der opfylder .

Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorer 
Man kan endelig bevise en generel version af spektralsætningen for en vilkårlig kompakt lineær operator på et Hilbertrum. Herfor viser man først de følgende to vigtige resultater ved hjælp af Spektralsætningen for normale operatorer:

 For enhver kompakt operator  findes der en unik positiv selvadjungeret operator  så at . Man skriver .
 Der findes yderligere en unik partiel isometri  så at  og . Denne præsentation kaldes polarformen af . 
Man opnår hermed den følgende vigtige sætning: 

 Spektralsætningen for generelle kompakte lineære operatorer 

 Lad  være -Hilbertrum og . Der findes en (muligvis endelig) følge  i  med  og (muligvis endelige) ortogonalsystemer  af  og  af  så at der gælder 
  for alle .
 Her betegner  det indre produkt på . Ovenstående sum konvergerer med hensyn til operatornormen. Følgen  består af alle ikke-trivielle egenværdier af .

Anvendelser 

Spektralteorien for kompakte lineære operator kan bruges til at bestemme løsninger til integralligninger, for eksempel ligninger af formen

 for .

Lad  for næsten alle  og lad  med  og . Så svarer ovenstående integralligning til . Denne slags integralligning kaldes Fredholmske integralligninger. Da  er en selvadjungeret kompakt operator, kan man ved hjælp af Spektralsætningen bestemme en løsning  (afhængig af egenværdierne og egenvektorerne).

Referencer 

Funktionalanalyse