Andengradspolynomium

Et andengradspolynomium er et polynomium, hvori den uafhængige variabel indgår i op til anden potens. Det har altså følgende forskrift:

hvor  er en funktion af den uafhængige variabel , og ,  og  er konstanter.

En funktion uden andenordensleddet er et førstegradspolynomium. En funktion, hvor det højeste led er af tredje orden, er et tredjegradspolynomium.

Konstanternes rolle 

Hvis konstanten  ændres, ændrer funktionsværdierne sig lige så meget. Konstanten  afgør sammen med , hvor funktionens ekstremum er, mens  alene bestemmer krumningen eller den anden afledte, idet:

Det ses, at krumningen bliver større, når  bliver større, og et negativt  giver en negativ krumning.

Nulpunkter 

For andengradspolynomiets nulpunkter eller rødder  gælder

hvilket er en andengradsligning.

Løsning 
Nulpunkterne er givet ved

hvor udtrykket i kvadratroden er diskriminanten :

Diskriminanten er afgørende for hvilke løsninger, der er mulige. Det gælder:
 : 2 reelle løsninger:
 : 1 reel løsning; denne løsning kaldes en dobbeltrod.
 : Ingen reelle løsninger, men 2 komplekst konjugerede løsninger. Dette sker, fordi kvadratroden tages af et negativt tal.

Symmetri 
Andengradspolynomiet er symmetrisk omkring ét enkelt punkt  givet ved:

Bevis for symmetri 
Det kan vises ved at teste, om der findes et punkt, der opfylder symmetribetingelsen:

hvor  er en konstant. Forskriften skrives ud og forsimples så vidt muligt:

Kun nul kan være lig med minus sig selv. Da  er større end nul, må udtrykket i parentesen være nul:

Det ses, at der altså er et punkt, som polynomiet er symmetrisk omkring. Dette er også polynomiets ekstremum, da funktionen enten er stigende på begge sider af punktet eller faldende på begge sider af punktet.

Ekstremum 
Et andengradspolynomium har altid ét ekstremum , og koordinaterne for dette er bestemt ved følgende formel:

Det vil enten være et minimum eller et maksimum afhængigt af, om konstanten  er positiv eller negativ.

Udledning af ekstremum 
Da -værdien for polynomiet allerede er fundet under Symmetri, kan den indsættes i funktionsforskriften for at finde -værdien:

hvilket er det ønskede udtryk.

Udledning ved differentiation 
Hvis -værdien ikke allerede kendes fra symmetrien, kan den findes ved at differentiere andengradspolynomiet, da hældningen i et ekstremum er nul. Hældningen er givet ved:

Dette sættes til nul, så  kan findes:

Det ses, at ekstremum er det samme som symmetripunktet.

Omskrivninger 
Forskriften for et andengradspolynomium kan omskrives, så forskellige aspekter ved polynomiet bliver tydeligere. Herunder præsenteres faktorisering og toppunktsnotation.

Faktorisering 
For at gøre rødderne tydelige kan et andengradspolynomium skrives som:

Bevis for faktorisering 
At polynomiet kan udtrykkes med rødderne, kan vises. Først ganges parenteserne sammen:

Generelt er rødderne:

Dette indsættes:

Udtrykket for diskriminanten indsættes nu:

Hvilket er det oprindelige udtryk.

Toppunktsnotation 
For at gøre polynomiets ekstremum tydeligt, kan forskriften skrives som:

Bevis for toppunktsnotation 
Ligesom faktorisering kan denne notation vises ved at indsætte udtrykkene for ekstremum:

Udtrykket for diskriminanten indsættes:

Hvilket er det oprindelige udtryk.

Litteratur 
 Karush, William (1962): Matematisk opslagsbog, Politikens Forlag (2. udg., 4. opl. 2000); .

Eksterne henvisninger 
 MatLex – Andengradsligninger 
 Quadratic Equation -- from MathWorld 
 Online lommeregnere - Andengradspolynomium

Polynomier
Matematiske beviser