Hilberts problemer

Hilberts problemer er en liste bestående af 23 matematiske problemer, der blev fremsat af den tyske matematiker David Hilbert på den internationale matematikkongres i Paris i år 1900. Problemerne var alle uløste dengang, og flere af dem viste sig at være meget betydningsfulde for matematikken i det 20. århundrede. Hilbert præsenterede ti af problemerne (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 og 22) på konferencen, da han holdt tale den 8. august i Sorbonne, mens den fulde liste blev udgivet senere.

I dag er der udgivet mere eller mindre bredt accepterede løsninger til 17 af problemerne. Af de resterende seks problemer er to fortsat uløste, mens fire betragtes som værende for løst formuleret til nogensinde at blive afklaret.

Problemernes natur og indflydelse 
Selvom der har været efterfølgende forsøg på at gentage succesen for Hilberts liste, har ingen anden bredt baseret samling af problemer eller formodninger haft en lignende effekt på udviklingen af det pågældende emne eller opnået en brøkdel af listens stjernestatus. For eksempel er Weils formodninger berømte, men blev annonceret på en mere henkastet vis. André Weil var måske rent temperamentmæssigt ikke glad for at indgå i en kappestrid med Hilbert. Landaus' problemer omhandler kun primtalteori. John von Neumann udfærdigede en liste ved den internationale matematikkongres i 1954 i Amsterdam, men den opnåede ikke universel hyldest.

Ved første øjekast kan man fristes til at forklare listens succes ud fra forfatterens berømmelse. Hilbert var ved højden af sine kræfter og sit omdømme på det tidspunkt, og han ville derefter fortsætte med at lede den enestående matematikskole på Universitetet i Göttingen. Ved nærmere eftertanke er sagen ikke helt så simpel. Matematikken på den tid var stadig stærkt baseret på logik. I år 1900 kunne Hilbert ikke appellere til den aksiomatiske mængdeteori, Lebesgue-integraler, topologiske rum eller Church-Turing-tesen, hvilket alle er koncepter, der uigenkaldeligt ville ændre deres område af matematikken. Funktionsanalyse, der i en vis forstand blev grundlagt af Hilbert selv som det centrale begreb i analysen af Hilbertrum, blev endnu ikke skelnet fra variationsregning. Der er to problemer på listen, som omhandler variationsmatematik, men ingenting om spektralteori, på trods af at Hilbert var ophavsmanden til dette begreb.

I den forstand var listen altså ikke forudseende. Den registrerede eller foregreb ikke den hurtige ankomst af topologi, gruppeteori og målteori i det 20. århundrede, ligesom den ikke stemte overens med den matematiske logiks udvikling. Derfor er dens værdi som et dokument snarere som et essay: et partisk, personligt syn på tingene. Den foreslår nogle forskningsprogrammer og åbne, ubegrænsede undersøgelser.

Visse af problemerne betragtes stadig som åbne for fortolkning med hensyn til, hvad problemformuleringen egentlig består af, hvilket delvist skyldes datidens ikkeaksiomatiske matematiksprog.

Listens berømmelse skyldes nok først og fremmest dens hurtige accept i matematiske kredse. Problemerne blev minutiøst studeret, og at løse et af dem gav et stort ry.

Problemernes stil var lige så betydningsfuld som selve indholdet. Hilbert ønskede afklaring. Han ønskede principielle løsninger til algoritmiske spørgsmål og ikke praktiske algoritmer. Han ønskede et stærkt fundament i dele af matematikken, der stadig var styret af vage og intuitive koncepter.

Resumé af problemerne 
Oprindeligt havde Hilbert tænkt sig at inkludere 24 problemer på listen, men besluttede sig for at slette et af dem fra udgivelsen. "Det 24. problem", der omhandlede et kritierie for simplicitet og generelle metoder i bevisteori, blev genopdaget i Hilberts originale manuskriptnoter af den tyske historiker Rüdiger Thiele i 2000.

Af de klart formulerede Hilbert-problemer har nr. 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19 og 20 en løsning, der er accepteret ved konsensus. På den anden side har problemerne 1, 2, 5, 9, 15, 18, 21 og 22 løsninger, der er delvist accepteret, men hvor der hersker nogen strid om, hvorvidt problemet er fuldstændigt løst.

Løsningen til problem 18 baserer sig på et computerassisteret bevis, et begreb der er anakronistisk for et Hilbert-problem og også i nogen grad kontroversielt i sig selv på grund af umuligheden af, at et menneske kan verificere det over et overskueligt tidsrum.

Dermed er nr. 8 (Riemann-hypotesen og Goldbachs formodning) og 12, som begge omhandler talteori, uløste. I denne klassifikation er problem 4, 6, 16 og 23 for løst formuleret til nogensinde at blive beskrevet som afklarede. Det tilbagetrukne problem nr. 24 ville også falde inden for denne kategori.

Information i tabelform 

Hillbert 23 problemer er som følger:

Noter

Litteraturliste

Bøger

Andet 
 On Hilbert and his 24 Problems. Findes i: Proceedings of the Joint Meeting of the CSHPM 13(2002)1-22 (det canadiske selskab for matematikhistorie og -filosofi, 26. møde, red. M. Kinyon).
 Browder, Felix E. (red.) (1976). Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, fra Symposia in Pure Mathematics XXVIII, det amerikanske matematikselskab. En samling af essays fra eksperter i hver af de 23 problemer med fokus på den nuværende udvikling.
 Matiyasevich, Yuri (1993). Hilbert's Tenth Problem. MIT Press. En redegørelse for det 10. problem af matematikeren, der færdiggjorde løsningen til problemet.

Eksterne henvisninger 
 Kort dansk beskrivelse af Hilbert og hans 23 problemer 
 Liste over de 23 problemer med beskrivelser af, hvilke der er blevet løst 
 Original tysk tekst til Hilberts tale
 Engelsk oversættelse af Hilberts tale fra år 1900
 Detaljer om løsningen af det 18. problem 
 Artikel fra The Mathematical Gazette, marts 2000 (s. 2-8): "100 Years On" 
 "Om Hilberts 24. problem: Report om en ny kilde og nogle bemærkninger."
 Parisproblemerne
 Siden for Hilberts 10. problem!

Matematikkens historie