P-gruppe

Givet et primtal p, kalder vi en gruppe G for en p-gruppe, når ordenen af ethvert element i G er en potens af p. G er en endelig p-gruppe hvis og kun hvis ordenen af G er en potens af p. Af Sylows sætninger følger det at enhver endelig gruppe har undergrupper, som er p-grupper.

 Eksempler 
Lad p være et primtal, da er følgende eksempler på p-grupper
 Endelige p-grupper 
 Den cykliske gruppe  er en abelsk p-gruppe af orden p.
 Det direkte produkt  er en abelsk p-gruppe af orden p2.
 Diedergruppen  er en ikke-abelsk 2-gruppe af orden 8 som sammen med Quaterniongruppen  udgør de mindste ikke-abelske p-grupper.

 Uendelige p-grupper 
 Betragt delmængden af de rationale tal på formen , hvor a er et heltal og k et ikke-negativt heltal. Med kompositionen addition udgør disse tal modulo 1 en uendelig abelsk p-gruppe. Enhver gruppe isomorf med denne er en -gruppe og kaldes en quasicyklisk gruppe eller en Prüfer p-gruppe efter Heinz Prüfer. Disse grupper er vigtige hvad angår klassificeringen af de endelige abelske grupper.
 Betragt en uendelig gruppe G, hvor enhver ikke-triviel undergruppe har p elementer. Da er G en uendelig simpel p-gruppe. Gruppen kalder vi for en Tarski p-gruppe opkaldt efter Alfred Tarski og bliver også omtalt som Tarskis monster gruppen. Alexander Ol'shanskii beviste i 1979 at sådanne grupper rent faktisk eksisterede og at der findes en Tarski p-gruppe for ethvert primtal . Grupperne viser sig somme tider at være vigtige, når der skal findes modeksempler til gruppeteoretiske formodninger, bl.a. i forbindelse med Burnside's problem.

 Egenskaber 
Lad p være et primtal og lad G være en endelig p-gruppe, da har G følgende egenskaber.

1) Hvis , har G et ikke-trivielt centrum.Bevis. Lad Z(G) være centret af G og lad CG(x) være centralisatoren for . Da gælder ifølge Klasseligningen at

hvor der i summationen er valgt ét element xj fra hver konjugeretklasse udefor centret. Da  idet , så er  og  er ifølge Lagranges Indekssætning divisor i ordenen af G som jo er en potens af p, men da må p også være divisor i , da , hvilket viser at Gs centrum er ikke-trivielt. 

2) Lad G have orden p2. Da er G abelsk.Bevis. Fra 1) ved vi at der findes et ikke-trivielt element g i Gs centrum som enten må have orden p eller p2. Hvis ordenen af g er p2 er  cyklisk og dermed specielt abelsk. Antag derfor at ordenen af g er p og lad . Da g ligger i centrum af G, kommuterer g med alle elementer i G og specielt er undergruppen frembragt af g normal. Altså er  en gruppe som foruden at indeholde undergruppen frembragt af g også indeholder h, så da ordenen af G er p2, må vi have at . G består derfor af alle produkter på formen higj som kommuterer, da g og h kommuterer, hvilket betyder at G er abelsk. 

3) Lad G have orden pn. Da findes en kæde af normale undergrupper,

hvor Gi har orden pi. Specielt er G nilpotent.Bevis. Vi anvender induktion efter n og da påstanden er klar for n=1, antages det at den gælder for n-1 og at n>1. Vi ved fra 1) at der findes et element h forskellig fra identiteten i G'''s centrum som har orden pk for et ikke-negativt heltal k, da G er en p-gruppe. Erstatter vi h med hpk-1, kan vi antage, at h har orden p og den cykliske undergruppe G1 frembragt af h har derfor orden p. Da ethvert hi ligger i centret, kommuterer det med samtlige elementer i G, så ghig-1=hi som er et element i G. Heraf følger det at G1 er en normal undergruppe af G. Betragt nu kvotientgruppen  som må have orden pn-1, da G1 har orden p. Induktivt findes derfor i  en kæde af normale undergrupper

hvor  har orden pi. Lad  være den kanoniske homomorfi og betragt originalmængden  for i=1,...,n. Her er  og det følger af Noethers anden Isomorfisætning, at Gi er en normal undergruppe i G og . Altså har Gi orden pi''.

Gruppeteori