Hyperbolske funktioner

Hyperbolske funktioner er matematiske funktioner af en variabel. De er analoge til de mere kendte trigonometriske funktioner som er forbundet med en cirkels egenskaber. På samme måde er de hyperbolske funktioner forbundet med en en hyperbels egenskaber. De vigtigste hyperbolske funktioner er sinh (hyperbolsk sinus), cosh (hyberbolsk cosinus) og tanh (hyperbolsk tangens).

De blev først studeret af den schweiziske matematiker Leonhard Euler før år 1750. Men deres geometriske indhold og matematiske betydning blev klarlagt omkring ti år senere af den italienske matematiker Vincenzo Riccati og hans samtidige Johann Heinrich Lambert. Den sidstnævnte har også givet funktionerne de navne som stadig bruges i dag. Han kom frem til dem i forbindelse med sine undersøgelser af det som i dag kaldes hyperbolsk geometri.

De trigonometriske funktioner sin og cos kan benyttes til at parametrisere en cirkel. I et kartesisk koordinatsystem er enhedscirklen med centrum i origo og radius 1 beskrevet ved ligningen . Ved at skrive  og  hvor vinkelen α  angiver et punkt på cirkelen målt fra x - aksen, følger den fundamentale sammenhæng {{nowrap|cos2α + sin2α  1}}.

I samme koordinatsystem er enhedshyperblen beskrevet ved ligningen . De to vigtigste hyperbolske funktioner kan nu defineres ved parametriseringen  og  hvor den variable a kaldes den hyperbolske vinkel. Den kan identificeres med arealet som er begrænset af hyperbelen vist i figuren. Indsat vil disse to funktioner derfor opfylde den fundamentale ligning {{nowrap|cosh2a - sinh2a  1}}. I modsætning til de trigonometriske funktioner, kan disse to hyperbolske funktioner derfor antage vilkårligt store værdier. Den tredje hyperbolske funktion er defineret som  og antager værdier som altid ligger mellem ±1. Ligesådan kan man definere  som kan antage vilkårlige værdier.

Definitioner 

Funktionernes geometriske indhold som følger fra egenskaber ved hyperbelen, kan videre benyttes til at vise at de kan eksplicit udtrykkes ved den naturlige eksponentialfunktion. Kaldes argumentet nu for x, finder man at

 Hyperbolsk cosinus:

 Hyperbolsk sinus:

 Hyperbolsk tangens:

Dette kan også bruges som definitionerne af disse tre funktioner. Endvidere definerer man sædvanligvis også følgende funktioner

 Hyperbolsk cotangens:

 Hyperbolsk secans:

 Hyperbolsk cosecans:

Algebraiske identiteter 

Fra definitionene kan man nu let verificere at den fundamentale identitet

 

er opfyldt. Endvidere følger additionssætningerne

De er analoge til relationene for de tilsvarende trigonometriske funktioner med summen af to vinkler som argument. Sætter man her , følger det fra den første identitet at

 
mens fra den sidste følger det at

 

Derfor har man også at
 
 

På samme måde gælder

således at

 
 
Heraf følger de tilsvarende relationer

Afledte 

Da den afledte af eksponentialfunktionen tilfredsstiller

 

er de afledte funktioner af de hyperbolske funktioner ganske enkelt givet ved

Det kan så benyttes til at vise at

Taylor-udviklinger 

Fra Taylor-rækken til eksponentialfunktionen følger direkte at

og viser tydelig at det er en ulige funktion, nemlig sinh(-x) = -sinhx. På samme måde er

i overensstemmelse med at den er en lige funktion, nemlig cosh(-x) = cosh(x). Taylor-rækkerne til tangens-funktionerne bliver dermed

hvor Bn  er n-te det Bernoulli-tal.

Inverse hyperbolske funktioner 

Da argumentet til de hyperbolske funktioner har angiver et areal, kaldes de inverse funktioner ofte for area-funktioner. For eksempel benævnes den inverse funktionen til sinh derfor arsinh ("area sinus hyperbolsk"), og den inverse til cosh er arcosh("area cosinus hyperbolsk"). De skal alle opfylde de basale krav til inverse funktioner, for eksempel

Man kan finde et eksplicit funktionsudtryk for  ved først at skifte variabelnavn og dernest benytte substitutionen  eller :

Ved at bruge definitionen af hyperbolsk sinus, fås

Ved multiplikation med  fås

som er en andengradsligning i størrelsen . Formelt er ligningens løsninger

Men da  er positiv, er der kun én løsning, nemlig

For de andre funktioner finder man tilsvarende at

Afledte

Taylor-udviklinger 

og hvorfra man også har .

integraler 

Fra de afledte funktioner af de hyperbolske funkstionene følger direkte integralerne

hvor C  er en integrationskonstant.
Andre integraler kan udtrykkes ved de inverse funktioner. For eksempel i integraler som involverer √(x2 + a2) kan man sætte  sådan at kvadratroden . Sammen med  giver det for eksempel integralet

Samme metode med  giver ligeledes

mens substitutionen  gør det muligt at finde integralet

når |x| < |a|. Hvis ikke, er svaret givet ved arcoth(x/a). Mere komplicerede integraler kan findes med de substitutioner analogt med tilsvarende integraler som kan udtrykkes ved trigonometriske funktioner.

Litteratur 

 M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books, New York (1964). .

Referencer

Eksterne henvisninger 

 J. H. Barnett, The Early Drama of Hyperbolic Functions, Mathematics Magazine, 77, no. 1, 15 - 30 (2004).
 Herman, Edwin “Jed” & Strang, Gilbert (2016): Calculus : Volume 1 : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA.  (online) URL: https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms-prodcms/media/documents/CalculusVolume1-OP_D5aX5TF.pdf

Funktioner