Russells paradoks

Russells paradoks er udviklet af filosoffen Bertrand Russell som kritik af Gottlob Freges bog, Grundlagen der Arithmetik. Paradokset er altså ligeledes opkaldt efter sin ophavsmand. Formelt lyder paradokset:
Mængden R indeholder alle mængder som ikke indeholder sig selv. Indeholder R sig selv?

I en populær version nævnes en barber i en by som kun barberer alle dem der ikke barberer sig selv. "Hvem barberer da barberen?". Barberer barberen sig selv, barberer barberen jo en der barberer sig selv, og bliver barberen barberet af en anden, barberer barberen ikke alle der ikke barberer sig selv; barberen ville jo mangle at barbere sig selv. Derfor er eksemplet et paradoks. Hver person skal forstås som en mængde der indeholder alle personer ("mængder") som personen ikke barberer. Barberens mængde indeholder alle de mængder ("personer") der ikke indeholder sig selv (ikke barberer sig selv): ergo er dette ækvivalent med Russels paradoks.

Paradokset 
Betegnelsen "klasse" er et vigtigt ord, som man både bruger i matematikken, logikken, samt i hverdagssprog, og det er dette ord der ender med at volde logiske problemer i dette paradoks. Man kan betegne en klasse ved f.eks. klassen af antikkens filosoffer, klassen af anarkistiske samfund, eller klassen af pattedyr – altså er en klasse altid en klasse af noget, og dette noget angiver de egenskaber som medlemmerne af den pågældende klasse nødvendigvis må have for at kunne tilhøre denne klasse. 

Spørgsmålet er så om en klasse kan være medlem af sig selv. Hvis man f.eks. siger klassen af alle pattedyr, så ville medlemmerne af denne pågældende klasse være nødt til at besidde egenskaben "pattedyr" for at kunne være medlem af denne klasse, og her ville det virke uberettiget at sige at klassen af pattedyr selv skulle være et pattedyr. Derfor ville det være ulogisk hvis klassen af pattedyr skulle tilhøre sig selv. Anderledes står det derimod til med klassen af abstrakte begreber, da klassen selv i dette tilfælde lader til at besidde de egenskaber (nemlig egenskaben af abstrakt begreb) som man må have for at tilhøre denne klasse. Er denne klasse da medlem af sig selv? Man kunne her indvende at man må skelne mellem klasser der er medlem af sig selv, og klasser der ikke er medlem af sig selv. Men så må man også tale om klassen af klasser der ikke er medlem af sig selv – og er denne klasse nu medlem af sig selv? Problemet opstår her netop i at man ender i en modsigelse uanset om man svarer ja eller nej. 

Hævder man at klassen af alle klasser der ikke er medlemmer af sig selv, er medlem af sig selv, siger man både at den er medlem af sig selv og at den ikke er medlem af sig selv, da betingelsen for at være medlem af klassen af alle klasser der ikke er medlemmer af sig selv, jo netop er at være en klasse der ikke er medlem af sig selv. Og siger man at klassen af alle klasser der ikke er medlem af sig selv, ikke er medlem af sig selv, siger man også på samme ti, at den er medlem af sig selv, da alle klasser, der ikke er medlem af sig selv har de egenskaber der gør at de nødvendigvis må være medlemmer af alle de klasser, der ikke er medlemmer af sig selv.

Løsning 
Russell forslog også en løsning på paradokset. Løsning bestod i at man kan dele alle mængder i typer. Type-0 er den type af mængder der kun indeholder tal. En mængde af type-1 indholder kun type-0 mængder og tal. En mængde af type-2 indholder type-1 mængder og tal. Og så videre. Type-uendelig (f.eks. mængden fra Russels paradoks) er altså en mængde som er umulig at arbejde med (ligesom det at dividere med 0).

Man fandt dog hurtigt ud af at denne løsning er tung at arbejde med, og derfor foreslog man Zermelo-Fraenkel-systemets 6. aksiom som løsning. Denne løsning er meget nemmere at arbejde med.

Se også 
 Bertrand Russell
 Paradoks

Filosofi
Paradokser
Mængdelære