Fouriertransformation

Fouriertransformation også kaldet Fourierafbildning er en matematisk funktion der bruges inden for blandt andet signalbehandling. En Fouriertransformation benyttes til at omregne mellem et tidsdomæne (tidssignal) til et frekvensdomæne (superposition af frekvenser).

For eksempel kan man med Fouriertransformation "måle" hvilke rene toner, der indgår i en digital indspilning af en stump musik. Man kan betragte en Fouriertransformation som en måde at nedbryde en funktion, så alle dens frekvenskomponenter bliver adskilt i et frekvensspektrum. Omvendt vil en invers-Fouriertransformation af et spektrum ideelt set resultere i funktionen selv. Man kan sammenligne det med at tage en akkord (funktionen) og adskille den i de enkelte toner (frekvenser), som den indeholder.

Fouriertransformationen er en uendelig linearkombination af sinus og cosinus funktioner, omskrevet til komplekse funktioner. Den er opkaldt efter den franske matematiker Joseph Fourier.
Fourierrækker er et nært beslægtet område.

Matematikken bag Fouriertransformationen 
Fouriertransformation af et kontinuert-tidssignal  er givet ved følgende integral:
 .
Her er  vinkelfrekvensen,  er grundtallet for den naturlige logaritme og  er den imaginære enhed.
Denne operation betegnes også som Fourieranalyse.
Tilsvarende kan den inverse Fouriertransformation defineres som:
 
Den inverse operation betegnes også som Fouriersyntese.
I mange sammenhænge er  en reel funktion, mens  ofte bliver til en kompleks funktion.

Bruger man den cykliske frekvens  i stedet for vinkelfrekvensen  får man Fourierintegralerne til at blive:
 
 

Med Eulers formel kan man omskrive Fourierintegralerne så de bliver udtrykt med sinus og cosinus funktionerne:

Alternative definitioner 
Fouriertransformationen og dens inverse transformation kan også defineres på andre måder:
.
 
Her skal det gælde at .
Indenfor visse områder bruger man følgende normalisering: .

Diskret Fouriertransformation 
Hvis tiden  og (vinkel)frekvensen  bliver diskretiseret og er endelige taler man om diskret Fouriertransformation (DFT).
DFT udføres sædvanligvis med en hurtig algoritme kaldet FFT efter engelsk fast Fourier transform.
Den diskrete Fouriertransformation kan defineres som:
 
Den tilsvarende inverse diskrete Fouriertransformation defineres da som

Tabel over vigtige Fouriertransformationer 
De følgende tabeller viser nogle closed-form Fouriertransformationer. For funktioner f(x), g(x) og h(x) vises deres Fouriertransformationer ved henholdsvis ,  og . Kun de tre mest almindelige Fouriertransformationskonventioner er inkluderet.

Det kan være nyttigt at bemærke at 105 giver en sammenhæng mellem en Fouriertransformation af en funktion og den oprindelige funktion, hvilket kan ses ved sammenhængen mellem Fouriertransformation og dens inverse.

Funktionelle sammenhænge 
Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954 eller Kammler2000.

Kvadratisk-integrable funktioner 
Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i CampbellFoster1948, Erdélyi1954 eller appendiks af Kammler2000.

Fordelinger 
Fouriertransformationer i denne tabel kan findes i Erdélyi1954 eller appendiks i Kammler2000.

To-dimensionelle funktioner

Formler for generelle n-dimensionelle funktioner

Kilder/referencer

Se også 
 Diskret cosinustransformation (DCT)
 Fast Fourier Transform (FFT)
 Wavelet-transformation (WT)
 Diskret wavelet-transformation (DWT)
 Fast wavelet-transformation (FWT)
 Hilbertrum

Henvisning 
 Mogens Oddershede Larsen, Fourieranalyse , 2. udgave, 2007.

Fourieranalyse
Signalbehandling