ကိန်းအုံ

alt=Two tall square brackets with m-many rows each containing n-many subscripted letter 'a' variables. Each letter 'a' is given a row number and column number as its subscript.||အရွယ်အစား ရှိသော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ နေရာတွင် ကိန်းတစ်ခု ထည့်လိုက်လျှင် ၎င်းက အလျားလိုက် တန်း အရေအတွက် ဖြစ်ပြီး၊ နေရာတွက် ကိန်းတစ်ခု ထည့်လိုက်လျှင် ၎င်းက ထောင်လိုက် တိုင် အရေအတွက် ဖြစ်အံ့။ ထိုကိန်းအုံအတွင်းရှိ ကိန်းလုံးတစ်ခုစီကို တန်းနံပါတ်၊ တိုင်နံပါတ်တို့ဖြင့် ဖော်ပြလတ္တံ့။ ဥပမာအားဖြင့် ဟု ရေးလိုက်ခြင်းသည် ဒုတိယတန်းနှင့် ပထမတိုင် ဆုံရာနေရာရှိ ကိန်းလုံးကို ညွှန်းဆို၏။ သင်္ချာရှိ ကိန်းအုံ (matrix) ဆိုသည်မှာ ကိန်းများ (သို့မဟုတ် အခြားသော တန်ဖိုးလုံးများ) ကို အတန်းလိုက် တိုင်လိုက် စီရီလျက် စုစည်းထားသော အစုအဝေး ဖြစ်သည်။ ထိုအစုအဝေးတစ်ခုလုံးကို ကိန်းအုံ(matrix) ဟု ခေါ်ပြီး တစ်ခုချင်းကို ကိန်းလုံး(element) ဟု ခေါ်နိုင်သည်။ တန်း(row)များမှာ အလျားလိုက် ဖြစ်ပြီး တိုင်(column)များမှာ ထောင်လိုက် ဖြစ်သည်။ ကိန်းအုံတစ်ခုသည် သင်္ချာတွင် အသုံးဝင်သော သင်္ချာဇာတ်ကောင်များ (mathematical objects) ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဤသည်မှာ တန်း၂တန်း တိုင်၃တိုင်ဖြင့် စုဖွဲ့ထားသော ကိန်းအုံ ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် သည်တစ်ခုကို "၂×၃ ကိန်းအုံ" သို့မဟုတ် " ကိန်းအုံ" ဟု အရွယ်အစားကို ဖော်ပြခေါ်ဝေါ်နိုင်သည်။ (ရှေ့တွင် ထားပြောသည်မှာ တန်းနှင့်ဆိုင်ပြီး နောက်တွင် ထားပြောသည်မှာ တိုင်နှင့်ဆိုင်မြဲ ဖြစ်သည်ကို သတိပြုပါ။) ကိန်းအုံအချင်းချင်း ပေါင်းနုတ်မြှောက်စား ပြုလုပ်သည့်အခါ လိုက်နာရမည့် သင်္ချာနည်းစနည်များရှိပြီး ကိန်းတစ်လုံးချင်း ကိုင်တွယ်ရသည်ထက် အဆင့်အနည်းငယ် ပိုကဲသည်။ ကိန်းအုံ၏ အရွယ်အစား ကိန်းအုံ၌ အလျားလိုက် တန်း(row) မည်မျှ၊ ထောင်လိုက် တိုင်(column) မည်မျှ ပါဝင်နေသနည်း ဟူသည်က ၎င်း၏ အရွယ်အစား (size) ပင် ဖြစ်သည်။ တန်းအရေအတွက် m နှင့် တိုင်အရေအတွက် n ရှိသော ကိန်းအုံကို m×n ကိန်းအုံ တခု ဟု ‌ခေါ်သည်။ တန်းအရေအတွက်ကို အစဉ် ရှေ့၌ ထားရှိသုံးနှုန်းသည်။ m နှင့် n ကိုယ်စီကို တိုင်းကြောင်းအရေအတွက် ဟုလည်း နားလည်နိုင်သည်။ ဟူသော ကိန်းအုံကို ဥပမာပြရလျှင် ၎င်းက 3×2 ကိန်းအုံ တခု ဖြစ်ချေမည်။ တန်းအရေအတွက် ၁ သာ ဖြစ်လျက် တိုင်အရေအတွက် တခုမက ရှိနေသော ကိန်းအုံတို့ကို တန်းထီးကိန်းအုံ (row matrix or row vector) ဟု၊ တိုင်အရေအတွက် ၁ သာ ဖြစ်လျက် တန်းအရေအတွက် တခုမက ရှိနေသော ကိန်းအုံတို့ကို တိုင်ထီးကိန်းအုံ (column matrix or column vector) ဟု၊ (၁ခု မကစီ ဖြစ်လျက်) တိုင်အရေအတွက်နှင့် တန်းအရေအတွက် တူနေသော ကိန်းအုံတို့ကို ထောင့်စက် ကိန်းအုံ ဟု ခေါ်သည်။ အချို့တွက်ချက်သဘောတရားများ၌ တိုင်နှင့် တန်းအရေအတွက်တို့ သုညချည်းသာ ဖြစ်နေသော ကိန်းအုံများကိုလည်း လိုအပ်တတ်သည်။ ထိုသို့ ပါဝင်ကိန်းလုံး ကင်းမဲ့နေသော ကိန်းအုံတို့ကို ဗလာကိန်းအုံ (empty matrix) ဟု ခေါ်သည်။ +အရွယ်အစားအလိုက် ကိန်းအုံ အခေါ်အဝေါ်အမျိုးမျိုး အမျိုးအစား အရွယ်အစား ဥပမာ ဖော်ပြချက် တန်းထီးကိန်းအုံ 1×n တန်းအရေအတွက် ၁ သာ ဖြစ်လျက် တိုင်အရေအတွက် တခုမက ရှိနေသော ကိန်းအုံ တိုင်ထီးကိန်းအုံ n×1 တိုင်အရေအတွက် ၁ သာ ဖြစ်လျက် တန်းအရေအတွက် တခုမက ရှိနေသော ကိန်းအုံ ထောင့်စက် ကိန်းအုံ n×n တိုင်အရေအတွက်နှင့် တန်းအရေအတွက် တူနေသော ကိန်းအုံ။ တိုင်ထီးကိန်းအုံ၊ တန်းထီးကိန်းအုံတို့က ကိုယ်စားပြုသော ဗှတ္တာများကို ဤထောင့်စက်ကိန်းအုံတို့နှင့် မြှောက်ခြင်းအားဖြင့် ၎င်းဗှတ္တာတို့ကို လှည့်ခြင်းအမျိုးမျိုး ပြုသကဲ့သို့ သက်ရောက်မှု ပြုနိုင်သဖြင့်၊ ထောင့်စက်ကိန်းအုံများက သင်္ချာလုပ်ဆောင်ချက် (mathematical operator) များ ဖြစ်နိုင်သည်။ အခြေခံ သင်္ချာလုပ်ဆောင်မှုများ ကိန်းအုံချင်း ပေါင်းခြင်း၊ ကိန်းထီးနှင့် မြှောက်ခြင်း၊ ကိန်းအုံကို အလှဲအထောင်ပြုခြင်း +ကိန်းအုံတို့အပေါ် သင်္ချာဆောင်ရွက်ချက် အချို့ ဆောင်ရွက်ချက် အမျိုးအစား ဆောင်ရွက်နည်း ဖွင့်ဆိုချက် ဥပမာ ကိန်းအုံချင်း ပေါင်းခြင်း တန်း-m နှင့် တိုင်-n ကိုယ်စီဖြင့် အရွယ်အစားချင်း တူသော A နှင့် B ကိန်းအုံ၂ခုကို အချင်းချင်း အပေါင်းအနုတ် ပြုနိုင်သည်။ ပေါင်းလဒ် A+B ကို ဤသို့ တွက်ထုတ်၏။ (A + B) = A + B ဟု တိုင်မြောက်၊ တန်းမြောက်ချင်း (နေရာချင်း) တူရာ ကိန်းလုံးချင်းကို ပေါင်းရ၏။ ကိန်းလုံးထီးနှင့် မြှောက်ခြင်း c ဟူသော စကေလာ (ခေါ်) ကိန်းထီး နှင့် A ဟူသော ကိန်းအုံကို မြှောက်လျှင် cA ဟူသော မြှောက်လဒ် (ရလဒ်)က ၎င်းကိန်းအုံ၏ ပါဝင်ကိန်းလုံးတိုင်းကို c နှင့် မြှောက်ထားခြင်း ဖြစ်အံ့။ (cA) = c · A. အလှဲအထောင် (ကိန်းအုံ) တန်းရေ-m နှင့် တိုင်ရေ-n ရှိသော ကိန်းအုံ A ကို အလှဲအထောင် ပြုလိုက်လျှင် တန်းရေ-n နှင့် တိုင်ရေ-m ရှိသော အလှဲအထောင်ပြုရလဒ် ကိန်းအုံ A (A သို့မဟုတ် A ဟုလည်း သင်္ကေတ ပြုကြတတ်) ဟူသည်ကို ရရှိပေမည်။ (A) = A. ကိန်းအုံချင်း ပေါင်းခြင်းသည် ပါဝင်ဇာတ်ကောင်တို့ကို ရှေ့နောက် အစီအစဉ် ဖလှယ်လျှင်လည်း ရလဒ်မပြောင်းသော၊ ဖလှယ်ရသတ္တိ ရှိသော သင်္ချာလုပ်ဆောင်ချက် ဖြစ်သည်။ A+B နှင့် B+A ဟူသော ကိန်းအုံချင်း ပေါင်းလဒ်၂မျိုးမှာ အတူတူသာ ဖြစ်အံ့။ ကိန်းအုံချင်း မြှောက်ခြင်း AB of two matrices ကိန်းအုံ A နှင့် ကိန်းအုံ B တို့၏ မြှောက်လဒ်အဖြစ် ကိန်းအုံ AB ကို တွက်ထုတ်နည်း ပုံကြမ်း ကိန်းအုံချင်း မြှောက်ခြင်းမှာမူ ဖလှယ်ရသတ္တိမရှိသည့် သင်္ချာလုပ်ဆောင်ချက် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် AB နှင့် BA ဟူသော မြှောက်လဒ်၂မျိုးမှာ ယေဘုယျအားဖြင့် တူညီမှု မရှိ။ (တိုက်ဆိုင်မှုသတ်သတ်ကြောင့်သာ ရံဖန်ရံခါ တူနိုင်သည်။) အရွယ်အစား × ရှိသော ကိန်းအုံကို ရှေ့၌ထားရှိလျှင် အရွယ်အစား × ရှိသော ကိန်းအုံကို နောက်ဆက်၍သာ ကိန်းအုံချင်း မြှောက်နိုင်သည်။ (ရှေ့၌ ထားမြှောက်မည့် ကိန်းအုံ၏ တိုင်အရေအတွက်နှင့် နောက်၌ ထားမြှောက်မည့် ကိန်းအုံ၏ တန်းအရေအတွက်က တူညီနေမှ။) ထို့နောက်လျှင် မြှောက်လဒ်အဖြစ် ထွက်ပေါ်လာမည့် ကိန်းအုံ၏ အရွယ်အစားက × ဖြစ်နေမည်။ အကိုးအကား ကဏ္ဍ:သင်္ချာ