kalixlouiis/myanmar-wikipedia-corpus huggingface dataset:
သဘာဝကိန်းများကို ရေတွက်ကိန်းများ (counting numbers) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။
ဂဏန်း ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့မှာ သဘာဝကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။
အချို့သင်္ချာသမားနှင့် စာအုပ်စာတမ်းများ (သာဓက၊ ဘိုဘာကီ ၁၉၆၈Bourbaki, N. Elements of Mathematics: Theory of Sets. Paris, France: Hermann, 1968. နှင့် ဟဲမော့ ၁၉၇၄Halmos, P. R. Naive Set Theory. New York: Springer-Verlag, 1974. )Weisstein, Eric W. "Natural Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.တွင် သုညကို သဘာဝကိန်းဟု သတ်မှတ်ပြီး ကျန်အချို့က သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် မထည့်သွင်းပါ။
မည်သို့ဖြစ်စေ သဘာဝကိန်းစု၏ အသုံးများသောသင်္ကေတမှာ ဖြစ်သည်။
သုညကို သဘာဝကိန်းအဖြစ် သတ်မှတ်/မသတ်မှတ် ရှင်းလင်းစေချင်သောအခါတွင် သင်္ကေတ နှင့် တို့ကို သုညပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း၊ သင်္ကေတ နှင့် တို့ကို သုညမပါသော သဘာဝကိန်းစုအတွက်လည်းကောင်း သုံးကြသည်။
ကိန်းပြည့်များ (Integers) တွက်ချက်၊ ရေတွက်၊ တိုင်းတာမှုများတွင် သဘာဝကိန်းများသက်သက်ဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းပြည့်များကို သုံးရသည်။
သုညနှင့် အပေါင်းကိန်းများ ဖြစ်သည့် ၀၊ ၁၊ ၂၊ ၃၊ ၄၊ ... စသည်တို့အပြင် အနုတ်ကိန်းများ ဖြစ်သည့် -၁၊ -၂၊ -၃၊ -၄၊ ... စသည်တို့ကို စုပေါင်း၍ ကိန်းပြည့်များဟုခေါ်သည်။
အနုတ်ကိန်းများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် ရှိရင်းစွဲဖြစ်သည့် သုညအပါအဝင် သဘာဝကိန်းများနှင့် နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှုတစ်ခုဖြစ်သည့် ပေါင်းခြင်းကိုသုံး၍ သတ်မှတ်သည်။
သာဓကအနေဖြင့်၊ -၃ ဆိုသည်မှာ ၃နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ် သတ်မှတ်သည်၊ -၄ ဆိုသည်မှာ ၄နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်၊ ယေဘုယျဆိုရသော် -n ဆိုသည်မှာ n နှင့်ပေါင်းပါက သုညရသည့် ဂဏန်းအဖြစ်သတ်မှတ်သည်။
ကိန်းပြည့်များ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းပြည့်ဖြစ်သော်လည်း၊ ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်းမဟုတ်ပေ။
(သာဓက၊ အနုတ်ကိန်းပြည့်များမှာ သဘာဝကိန်းများ မဟုတ်။
) ကိန်းပြည့်အစုကို သင်္ကေတ သုံး၍ ရေးသည်။
ကိန်းဂဏန်းများဟု အနက်ရသည့် ဂျာမန်စာလုံး "Zahlen“ ကိုအရင်းပြု၍ သုံးခြင်းဖြစ်သည်။
Dummit, D. and Foote, R., Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., p. 1, 2004. ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (Rational Numbers) ရာရှင်နယ်ကိန်း (ခေါ်) အတိပြကိန်း ဆိုသည်မှာ (ဥပမာအားဖြင့် နှင့် ဟူသော) စုံလိုက်သင့်လျော်ရာ ကိန်းပြည့် ၂ခုဖြင့် ( ဟူသော) အပိုင်းကိန်းဖွဲ့ကာ ၎င်း၏ တန်ဖိုးကို အတိအပပြနိုင်သည့် ကိန်းများ ဖြစ်သည်။
သာဓကအားဖြင့် ၁/၃၊ ၇/၈၊ -၁/၂ စသည်တို့မှာ (ဤသို့ အပိုင်းကိန်းအဖြစ် ရေးသည်ဖြစ်စေ၊ ဒသမကိန်းအဖြစ် ချရေးသည်ဖြစ်စေ) ရာရှင်နယ် (ဝါ) အတိပြကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။
ပိုင်းခြေ သုညမဖြစ်ရခြင်းမှာ အရေးကြီးသည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြစ်သည်၊ သို့မှသာ တန်ဖိုးပမာဏ သတ်မှတ်၍ ရသော သင်္ချာကိန်းအဖြစ် ရှိနေမည်။
မြန်မာဘာသာဖြင့် ရေရွတ်သောအခါ ၁/၃၊ ၇/၈ နှင့် -၁/၂ တို့ကို "သုံးပုံ၊ တစ်ပုံ၊" "ရှစ်ပုံ၊ ခုနစ်ပုံ၊" "အနုတ် နှစ်ပုံ၊ တစ်ပုံ၊" စသည်ဖြင့် ပိုင်းခြေကိန်းကို ဦးစွာ ရေရွတ်ရသည်။
("ပုံ" အစား "ပိုင်း" ဟုလည်း သုံးကြသည်။
) တစ်စုံတစ်ခုကို သုံးပုံ၊ သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းပြီးနောက် တစ်ပုံနှင့် ညီမျှသော ပမာဏ၊ စသည့်ဖြင့် အနက်ကောက်ယူနိုင်သည်။
ကိန်းတစ်ခုတည်းကို အပိုင်းကိန်းဖြင့်ရေးရာတွင် တစ်မျိုးထက်ပို၍ ရေးနိုင်သည်။
သာဓကအားဖြင့် ၂/၄ နှင့် ၁/၂ နှစ်မျိုးစလုံးမှာ ကိန်းတစ်ခုတည်းကို ကိုယ်စားပြုသည်။
ထို့အတူ -၁/၂ ကို အနေဖြင့်လည်းကောင်း၊ အနေဖြင့်လည်းကောင်း ရေးနိုင်သည်။
သို့ရာတွင် အနုတ်ကိန်းကို ပိုင်းဝေမှာထား၍ ရေးခြင်းက ပို၍တွင်ကျယ်သည်။
သဘာဝကိန်းတိုင်းမှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ ဖြစ်သည်ကို သတိပြုသင့်သည်။
သာဓကဆိုသော် သဘာဝကိန်း ၅ ကို ၅/၁ ဟုရေး၍ ရသောကြောင့် ၅ မှာ ရာရှင်နယ်ကိန်းလည်း ဖြစ်သည်။
သို့သော် သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများစွာရှိ၏။
သာဓက၊ ၁/၂၊ ၄/၅၊ -၁၃/၁၄။
ရာရှင်နယ်ကိန်းစုကို သင်္ကေတ သုံး၍ ရေးသည်။
အချိုး (ratio) ဟု အနက်ရသည့် “Quotient” ဆိုသည့် ဂျာမန်စာလုံးကို အရင်းပြုထားခြင်းဖြစ်သည်။
ဤသင်္ကေတကို ၁၉၆၀ ပြည့်လွန်နှစ်များဆီက ဘိုဘာကီရေး Algèbre တွင်စတင် အသုံးပြုသည်။
Weisstein, Eric W. "Rational Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. ကိန်းစစ်များ (Real Numbers) လက်တွေ့တိုင်းတာရာတွင် သုံးသည့်နံပါတ်များ၊ ကိန်းများအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။
တစ်နည်းဆိုသော် ကိန်စစ်မျဉ်း (real number line) ပေါ်တွင် နေရာချထား၍ ရသောကိန်းအားလုံးမှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။
ကိန်းစစ်မျဉ်းဆိုသည်မှာ မျဉ်းဖြောင့်တစ်ခုပေါ်တွင် နံပါတ်များကို အညီအမျှတိုင်းတာ၍ မှတ်သားထားသော အလျားလိုက်မျဉ်းဖြစ်သည်။
လက်တွေ့ဥပမာအားဖြင့် ကျောင်းသုံးပေတံမှာ ကိန်းစစ်မျဉ်း၏ တစ်စိတ်တစ်ဒေသဖြစ်သည်။
ကိန်းပြည့်တစ်ခုနှင့် နောက်ကပ်လျက်ကိန်းတစ်ခု၏ အကွာအဝေးကို တစ်လက်မဟု သတ်မှတ်ပါလျှင်၊ တစ်ပေရှည်သော ပေတံသည် သုညနှင့် ၁၂အပါအဝင်နှင့် ယင်းကိန်းနှစ်ခုကြားရှိ ကိန်းစစ်များ အားလုံးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။
သာဓကဆိုရသော် ၂.၅ ဆိုသည့်ကိန်းစစ်ကို ပေတံပေါ်ရှိ နှစ်လက်မ အမှတ်နှင့် သုံးလက်မ အမှတ်ကြားရှိ အလယ်တည့်တည့်အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။
ထို့အတူ ၁/၃ ကို သုညနှင့် ၁လက်မ အမှတ်ကြား အကွာအဝေးကို သုံးပိုင်း အညီအမျှပိုင်းကာ သုညဘက်မှစ၍ ရေတွက်ပါက တစ်ပိုင်းမြောက် အမှတ်ဖြင့် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။
ထို့အတူ သင်္ချာကိန်းသေ သည်လည်း ၃လက်မနှင့် ၄လက်မကြားရှိ တစ်နေရာတွင် ရှိပေလိမ့်မည်။
ကိန်းစစ်များကို ဒသမကိန်းစနစ်သုံး၍လည်း ရေးနိုင်သည်။
သာဓက၊ ၃.၅၊ -၆.၉၉၂၀၊ ၀.၃၃၃...၊ ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄... အစရှိသဖြင့်။
ဒသမကိန်းတစ်ခုတွင် ဒသမပွိုင့် (decimal point) နောက်ပါ ဂဏန်းတွဲမှာ အဆုံးသတ်သည်လည်း ရှိသည်၊ အဆုံးမသတ်သည်လည်း ရှိသည်။
သာဓကဆိုသော် ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၂ ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၀.၅ ဖြစ်၍ အဆုံးသတ်သည့် ဒသမကိန်း (terminating decimal number) ဟုခေါ်သည့် ကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။
ရာရှင်နယ်ကိန်း ၁/၃ကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေးပါမူ ၀.၃၃၃... ဟူ၍ ဒသမနောက်တွဲ ၃ ဂဏန်းမှာ အဆုံးမရှိ ထပ်ကာထပ်ကာ ပေါ်နေရာ အဆုံးမသတ်သည့် ဒသမကိန်း (non-terminating decimal number) တစ်ခုဖြစ်သည်။
သို့သော် ၁/၃ ကို ဟူ၍ ပြန်ထပ်သည့် ဂဏန်းများအပေါ် မျဉ်းတိုတစ်ခုတင်၍ ရေးနိုင်သည်။
၎င်းဒသမကိန်းမျိုးကို ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း (recursive/repeating decimal number) ဟုခေါ်သည်။
နောက်ဆုံးအနေဖြင့် ၊ အစရှိသည့် ကိန်းများကို ဒသမကိန်းပုံစံဖြင့်ရေးပါက ၃.၁၄၁၅၉၂၆၅၄...၊ ၁.၄၁၄၂၁၃၅၆... ဟူ၍ ဂဏန်းတွဲမှာ ဆုံးလည်း မဆုံး၊ ပြန်လည်းမထပ် ဖြစ်နေရာ ၎င်းကိန်းအမျိုးအစားကို ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း (non-recursive/non-repeating decimal number) ဟု ခေါ်သည်။
အဆုံးသတ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်ထပ်ဒသမကိန်း၊ ပြန်မထပ်ဒသမကိန်း အားလုံးကို စုပေါင်း၍ ကိန်းစစ်များဟု ခေါ်သည်။
ကိန်းစစ်များကို ပို၍စနစ်တကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်လိုပါက ကဲကုလသင်္ချာမှ လားရာစုစည်းသည့် ကိန်းစဉ်တန်း (convergent sequence)၊ ကိန်းစဉ်တန်းတို့၏ လားရာဆုံချက် (limit) အစရှိသည့် သဘောတရားတို့ကို သုံးလေ့ရှိသည်။
ထိုသို့အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ရသော် ကိန်းစစ်တစ်ခု ဟူသည်မှာ ကိုရှီရာရှင်နယ်ကိန်းစဉ်တန်း (Cauchy sequence of rational numbers) တစ်ခု၏ လားရာဆုံချက် (limit) ဖြစ်သည်။
ယခုဖော်ပြပြီးဖြစ်သည့် ကိန်းစုများအနက် ကိန်းစစ်အစု သည် (ပြင်သစ်သင်္ချာပညာရှင် ကိုရှီကို ဂုဏ်ပြုမှည့်ဆိုထားသော) ကိုရှီကိန်းစဉ်တန်းတိုင်း၏ လားရာဆုံချက်အားလုံးပါဝင်သည့် အသေးဆုံးသော အစုဖြစ်သည်။
အပိုင်းကိန်းအားလုံးကို ဒသမပုံစံဖြင့်ရေး၍ ရသောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။
သို့သော် အပိုင်းကိန်းပုံစံဖြင့် ရေး၍မရသော ကိန်းစစ်များစွာရှိသည်။
သာဓက၊ ၊ အစရှိသဖြင့်။
ကိန်းစစ်အစုကို သင်္ကေတ သုံး၍ရေးသည်။
ကိန်းထွေးများ (Complex Numbers) သင်္ချာပညာ အဆင့်မြင့်လာသည်နှင့်အမျှ အချို့ကိစ္စများတွင် ကိန်းစစ်များဖြင့်သာ မလုံလောက်သည့် အခြေအနေကို ရောက်ရှိလာသည်။
သာဓကပြရသော် အချို့သော ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) မှာ ကိန်းစစ်အဖြေမရှိပါ။
ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း ကို အတွက်ဖြေရှင်းပါက ၁ နှင့် -၁ ဟူ၍ ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ နှစ်ခုရှိသော်လည်း၊ ကို ဖြေရှင်းပါက ကိန်းစစ်ကိန်းရင်းအဖြေ (real root) တစ်ခုမျှမရှိသည်ကို တွေ့ရမည်။
(မည်သည့် ကိန်းစစ် ကိုမဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပြီးပါက ၏တန်ဖိုးမှာ အနည်းဆုံး သုညဖြစ်ရာ တစ်သာထပ်ပေါင်းပါက ပေါင်းလဒ်မှာ သုညထက် အနည်းဆုံး တစ်ယူနစ်ပိုကြီးနေမည် ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် သည် သုညနှင့် မည်သို့မှ ညီမည်မဟုတ်ပါ။
) ဤအခြေအနေမျိုးကို ကျော်လွှားနိုင်ရန် ကိန်းအသစ်များလိုအပ်လာသည်။
ထိုအခါ ၏ (ကိန်းစစ်မဖြစ်နိုင်သော) ကိန်းရင်းအဖြေတစ်ခုကို i ဟု သတ်မှတ်ကာ ၎င်းကို ကိန်းတေး (imaginary unit) ဟုခေါ်သည်။
(ဖော်ပြပါ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်းကို ရှင်းပါက ဟုထွက်ရာ i ကို -၁ ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဟုလည်း ခေါ်ကြသည်။
i သည် -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖြစ်ပါက -i သည်လည်း -၁၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း တစ်ခုဖြစ်ကြောင်း သတိချပ်သင့်သည်။
) အချုပ်ဆိုရသော် i ဆိုသည်မှာ နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ ရသည့် ကိန်းသစ်တစ်ခုဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။
မည်သည့်ကိန်းစစ်မဆို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ပါက -၁ မရနိုင်ရာ i မှာ ကိန်းစစ်မဟုတ်သည့် ကိန်းအသစ်တစ်ခု ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားသည်။
အထက်ပါ ကိန်းတေးကို အသုံးပြု၍ ကိန်းထွေးများကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်နိုင်သည်။
ကိန်းထွေးတစ်ခု ဆိုသည်မှာ a+bi သဏ္ဌာန်ရှိသည့် ကိန်းတစ်တွဲလုံးကို ဆိုသည်။
ဤတွင် a နှင့် b မှာ ကိန်းစစ်များဖြစ်သည်။
သာဓက၊။
ကိန်းထွေး -2+(1/3)i ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်း (real part) မှာ -2 ဖြစ်ပြီး ကိန်းတေးပိုင်း (imaginary part) မှာ 1/3 ဖြစ်သည်။
ယေဘုယျဆိုရသော် ကိန်းထွေး a+bi ၏ ကိန်းစစ်ပိုင်းမှာ a ဖြစ်၍၊ ကိန်းတေးပိုင်းမှာ b ဖြစ်သည်။
ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အထွေထွေခြုံကြည့်မှု (generalization) အားဖြင့်မူ ကိန်းစစ်တိုင်းမှာ ကိန်းထွေးဖြစ်သည်။
အကြောင်းမှာ ကိန်းစစ် 4 ကို 4+0i ဟူ၍ ရေးနိုင်သောကြောင့် ကိန်းစစ် ၄မှာ ကိန်းစစ်ပိုင်း ၄ရှိပြီး ကိန်းတေးပိုင်း သုညရှိခြင်းဖြင့် ဖော်ဆောင်နေသည့် ကိန်းထွေးတစ်ခုဖြစ်သည်။
သို့သော် ကိန်းထွေးတိုင်း ကိန်းစစ်မဟုတ်ပါ။
ပို၍ တိတိကျကျ ဆိုရသော် ကိန်းတေးပိုင်း သုညမဟုတ်သည့် ကိန်းထွေးတိုင်းမှာ ကိန်းစစ်များအတွင်း မပါဝင်ကြတော့။
ကိန်းထွေးစုကို သင်္ကေတ သုံး၍ ရေးနိုင်သည်။
ကိန်းထွေးအစုကို ပို၍စနစ်ကျစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ် တည်ဆောက်လိုပါက သဘောနက် အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) ရှိ ကွင်း (ring) များ တိုးချဲ့တည်ဆောက်ခြင်းဟူသည့် သဘောတရားကို သုံးလေ့ရှိသည်။
ထိုသို့အဓိပ္ပာယ် ဖွင့်လိုပါက ဆိုသည်မှာ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းများဖြင့် ထပ်ဖြည့်တည်ဆောက်ထားသည့်အစု (algebraic closure of ) ဖြစ်သည်။
ကိန်းအမျိုးအစားအသီးသီးတို့ ဆက်နွယ်ချက် သဘာဝကိန်းတိုင်း ကိန်းပြည့်ဖြစ်သည်၊ ဤအချက်ကြောင့် သဘာဝကိန်းအစု သည် ကိန်းပြည့်အစု ၏ အစုငယ် (subset) တစ်ခုဖြစ်သည်ဟု ပြောလေ့ရှိသည်။
သင်္ကေတအားဖြင့် ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။
သို့သော် ကိန်းပြည့်တိုင်း သဘာဝကိန်း ဖြစ်သည်ဟု မဆိုသာ၊ သဘာဝကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များ ရှိ၍ဖြစ်သည်။
ထို့ကြောင့် သဘာဝကိန်းစုနှင့် ကိန်းပြည့်စုနှစ်ခုမှာ မတူညီ။
ဤသည်ကို ဟု ရေးနိုင်သည်။
ဤ နှင့် နှစ်ချက်ကို ပေါင်း၍ ဟူ၍ ရေးနိုင်သည်။
ထိုအခါ ကိန်းစုအမျိုးမျိုးကြား ဆက်နွယ်မှုကို ဟု သင်္ချာသင်္ကေတများသုံး၍ ရေးနိုင်သည်။
ကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ စုံကိန်းနှင့် မကိန်း (Even vs. Odd) ကိန်းပြည့်များထဲတွင် ...၊ -၄၊ -၂၊ ၀၊ ၂၊ ၄၊ ... အစရှိသည်တို့ကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။
အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့် စား၍ပြတ်သော (ဝါ) အကြွင်းမကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို စုံကိန်းများဟု ခေါ်သည်။
သုညကို ၂ ဖြင့်စားလျှင် အကြွင်းသုညသာ ကျန်သောကြောင့် သုညသည်လည်း စုံကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။
နှစ်ခုတွဲ အစုံလိုက် အစုံလိုက် တွဲ၍ရသော ပမာဏများ ဖြစ်သောကြောင့် စုံ ဆိုသည့် ဝေါဟာရကို သုံးခြင်းဖြစ်သည်။
မြန်မာပြည် ကျေးလက်ဒေသအချို့တွင် တစ်စုံကို “တစ်ပြူ”မြကေတု။
“ကလေးမှတ်ဉာဏ် တစ်ပြူ တစ်လံ။
” စာပေတန်ဆောင်။
၁၉၆၇။
ဟုလည်း ခေါ်လေ့ရှိရာ ကိန်းပြည့် ၂ ကို မြန်မာလို တစ်ပြူဟု ခေါ်သည်လည်း ရှိသည်။
မြန်မာကျေးလက်ရှိ ကလေးများ ရေတွက်တတ်စေရန် ၂၊ ၄၊ ၆၊ ၈၊ ၁၀ စသည့် စုံကိန်းပြည့်များကို “တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အကျိုး” ဟု စကားပုံဆောင်၍ မှတ်သည်လည်း ရှိသည်။
စုချစ်။
“တစ်ပြူ၊ တစ်လံ၊ ညောင်ကန်၊ ထမ်းပိုး၊ အချိုး (အကျိုး/ချိုး)။
” စုချစ်သူ။
၂၀၁၂။
စုံကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းပြည့်များကို မ ကိန်းဟုခေါ်သည်။
...၊ -၃၊ -၁၊ ၁၊ ၃၊ ... စသည့် ကိန်းပြည့်များမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။
အတိအကျဆိုရသော် ကိန်းပြည့် ၂ ဖြင့်စားသောအခါ အကြွင်း ၁ ကျန်သော ကိန်းပြည့်ဟူသမျှကို မကိန်းများဟု ခေါ်သည်။
စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစုကို သင်္ကေတအဖုံဖုံ သုံး၍ကိုယ်စားပြုတတ်ကြသည်။
အုပ်စုသီအိုရီ (group theory) မှလာသည့် နှင့် ကို စုံကိန်းစုနှင့် မကိန်းစု အသီးသီးတို့ကို ဖော်ပြရန် သင်္ချာပညာရှင်များကြားတွင် သုံးလေ့ရှိသည်။
သုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ (Prime Integers) တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်တစ်ခုသည် ၎င်းကိန်းပြည့်ကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားဆခွဲကိန်းမရှိပါက ၎င်းကိန်းပြည့်ကို သုဒ္ဓကိန်းပြည့်ဟု အများအားဖြင့် ခေါ်ကြသည်။
တစ်နည်းဆိုရသော် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုကို ၎င်းကိန်းကိုယ်တိုင်နှင့် ကိန်းပြည့် ၁ မှအပါး အခြားမည်သည့် အပေါင်းကိန်းပြည့်နှင့်မှ စား၍မပြတ်ပါ။
သာဓကအားဖြင့် ဆိုရသော် ၂၊ ၃၊ ၅၊ ၇၊ ... အစရှိသည်တို့မှာ အပေါင်းသုဒ္ဓကိန်းပြည့်များ ဖြစ်ကြသည်။
သုဒ္ဓကိန်းများ၏ လူသိများသော အထက်ဖော်ပြပါ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အပြင် ပို၍ယေဘုယျကျသော၊ ပို၍တိကျသော အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ကွင်းသီအိုရီ (ring theorey) တွင်တွေ့နိုင်သည်။
၎င်းအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ယူနစ် (unit) (ဆိုလိုသည်မှာ တစ်နှင့် အနှုတ်တစ်) မဟုတ်သည့် ကိန်းပြည့် သည် ကိန်းနှစ်ခု၏မြှောက်လဒ် ကို စား၍ပြတ်ပါက ၎င်းကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း စား၍ပြတ်မှသာ (ဆိုလိုသည်မှာ သည် ကိုသော်လည်းကောင်း၊ ကိုသော်လည်းကောင်း စား၍ပြတ်မှသာ) ထိုကိန်းပြည့် ကို သုဒ္ဓကိန်းဟုခေါ်သည်။
သာဓကအရ ကိန်းပြည့် ၂ ကိုကြည့်ပါ။
မည်သည့်ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်ကိုမဆို ၂ ဖြင့်စား၍ပြတ်ပါက ထိုကိန်းနှစ်လုံးထဲမှ အနည်းဆုံးတစ်လုံးကိုလည်း ၂ ဖြင့်စား၍ ပြတ်သည်၊ ထို့ကြောင့် ၂ သည် သုဒ္ဓကိန်းတစ်ခုဖြစ်သည်။
ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရဆိုလျှင် ကိန်းပြည့်စုထဲရှိ -၂၊ -၃၊ -၅၊ -၇၊ ... စသည်တို့သည်လည်း သုဒ္ဓကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။
သုဒ္ဓကိန်းများကို သင်္ချာသန့်သန့်နယ်ပယ်တွင်သာမက အသုံးချသင်္ချာ၊ သိပ္ပံနှင့် နည်းပညာ စသည့် ဘာသာရပ် နယ်ပယ်အသီးအသီးတို့တွင် တွေ့နိုင်သည်။
သုဒ္ဓကိန်းတို့၏ ဂုဏ်သတ္တိ မြောက်မြားစွာအနက် အချို့မှာ လူသိများသည်။
ကိန်းပြည့် ၂ သည် တစ်ခုတည်းသော အပေါင်း စုံ သုဒ္ဓကိန်းဖြစ်ပြီး၊ ကျန် အပေါင်း သုဒ္ဓကိန်းများမှာ မကိန်းများဖြစ်သည်။
တစ်ထက်ကြီးသော အပေါင်းကိန်းပြည့်များကို သုဒ္ဓကိန်းများသက်သက်သာ သုံး၍ ဆခွဲကိန်း ခွဲနိုင်သည်။
(ဤအချက်ကို ဂဏန်းသင်္ချာ၏ အခြေခံသီအိုရမ် Fundamental Theorem of Arithmetic ဟုခေါ်သည်။
) သုဒ္ဓကိန်းများနှင့် ပတ်သက်၍ သက်သေမပြရသေးသောအဆိုများ (conjectures) များလည်းရှိ၏။
၎င်းတို့အနက် “နှစ်ထက်ကြီးသော စုံကိန်းများကို သုဒ္ဓကိန်းနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သည်” ဆိုသည့် ဂိုးဘ၏ အဆို (Goldbach's conjecture) သည် ထင်ရှားသည်။
အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများ အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းပြည့်များအပြင် သင်္ချာနှင့် အခြားပညာရှင်များ လေ့လာစူးစမ်းသည့် အခြားကိန်းပြည့်အမျိုးအစားများလည်း ရှိသည်။
ထင်ရှားသော သာဓကများမှာ ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ်တန်း (Fibonacci sequence) (OEIS ရှိ A000045) နှင့် ဆခွဲပေါင်းကိန်းဟု ခေါ်ဆိုနိုင်မည့် perfect number (OEIS ရှိ A000396) တို့ဖြစ်သည်။
ကျန်ရှိသော ကိန်းစဉ်တန်းအမျိုးအစားများကို On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) တွင် ကြည့်နိုင်သည်။
ကိန်းထွးအမျိုးအစားများ ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းတေး (Real vs. Imaginary) အထက်ပါ ကိန်းထွေး ခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်အတိုင်း၊ ကိန်းစစ်များဖြင့် မလုံလောက်သောအခါ ကိန်းထွေးများကိုလည်း အသုံးပြုရန်လိုအပ်လာသည်။
ကိန်းစစ်စုနှင့် ကိန်းထွေးစုတို့အကြား ဆက်နွယ်ချက်မှာ ဖြစ်သည်။
တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းစစ်တိုင်း ကိန်းထွေးဖြစ်သော်လည်း ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကိန်းထွေးများလည်း ရှိသည်။
ထိုသို့ ကိန်းစစ်မဟုတ်သော ကွန်ကိန်းထွေးများကို ကိန်းတေးသီးသန့်များ (pure imaginary numbers) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။
ထိုကိန်းတေးများသည် bi ပုံသဏ္ဌာန် (ဤတွင် b မှာ ကိန်းစစ်တစ်ခု) ရှိကြသည်။
ကိန်းစစ်များကို ကိန်းစစ်မျဉ်းတစ်ခုတည်းဖြင့် ဖော်ပြ၍ ရသော်လည်း ကိန်းထွေးများကိုမူ ကိန်းမျဉ်းနှစ်ခု (ကိန်းစစ်ပိုင်းအတွက် အလျားလိုက်ဝင်ရိုး၊ ကိန်းတေးပိုင်းအတွက် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုး) သုံးမှ ဖော်ပြနိုင်သည်။
ထိုသို့ဖော်ပြသည့်စနစ်ကို ကိန်းထွေးပြင် (complex plane) ဟုခေါ်သည်။
ကိန်းစစ်များသည် ကိန်းထွေးပြင်တွင် အလျားလိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်ပြီး၊ ကိန်းတေးများသည် ထောင်လိုက်ဝင်ရိုးပေါ်ရှိ ကိန်းများဖြစ်သည်။
ကိန်းတေး(သီးသန့်) အစုကို ဟု သင်္ကေတပြု၍ ဖော်ပြနိုင်သည်။
ရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်နှင့် အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ် (Rational vs. Irrational) ရာရှင်နယ်ကိန်းများခေါင်းစဉ်အောက်တွင် ဖော်ပြခဲ့သည့်တိုင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းသည် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော်လည်း ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များလည်းရှိသည်။
ထို ရာရှင်နယ်ကိန်းမဟုတ်သော ကိန်းစစ်များကို အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) (ဝါ) အပိုင်းကိန်း အတိဖော်ပြမှု မရနိုင်သည့် ကိန်းစစ်များ ဟု ခေါ်သည်။
တစ်နည်းဆိုရသော် အဆုံးလည်းမသတ်၊ ပြန်လည်းမထပ်သည့် ဒသမကိန်းများမှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်သည်။
သာဓကအားဖြင့် နှင့် တို့မှာ အီရာရှင်နယ် (အတိမပြ)ကိန်းစစ်များ ဖြစ်ကြသည်။
အစုသီအိုရီရှိ အစုအရွယ်အစား (cardinality of a set) သဘောအရဆိုလျှင် ကိန်းစစ်စုအတွင်းရှိ ကိန်း “အားလုံးနီးပါး” (almost all) မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြစ်ကြသည်။
(ဤတွင် “အားလုံးနီးပါး” ဟူသောအသုံးမှာ သာမန်မြန်မာစာ အသုံးမဟုတ်ဘဲ အစုသီအိုရီနှင့် အတိုင်းအတာသီအိုရီ (measure theory) ဆိုင်ရာ တိကျသည့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ရှိသည်။
) အီရာရှင်နယ်ကိန်းစစ်အစုကို ဟုသင်္ကေတပြုနိုင်သည်။
ကိန်းရင်းနှင့် ကိန်းလွန် (Algebraic vs. Transcendental) ကွန်ပလက်စ်ကိန်းတစ်ခုကို ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်း (integer coefficient) များသာပါဝင်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ ကိန်းရင်းအဖြေ (root) အဖြစ်ဖော်ပြနိုင်ပါက ၎င်းကွန်ပလက်ကိန်းကို ကိန်းရင်းဟု ခေါ်သည်။
သာဓကဆောင်ရသော် -၃ မှာ ၏ အဖြေတစ်ခုအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းတစ်ခုဖြစ်သည်။
ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ a/b (ဤတွင် b မှာ သုညမဟုတ်) သဏ္ဌာန်ရှိ၍ ပိုလီနိုမီရယ်ညီမျှခြင်း၏ အဖြေဖြစ်ရာ ရာရှင်နယ်ကိန်းတိုင်းမှာ ကိန်းရင်းများဖြစ်သည်။
ထို့အတူ နှင့် တို့မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်းနှင့် ကိန်းယောင်အသီးသီး ဖြစ်သော်လည်း နှင့် တို့၏ မသိကိန်းအဖြေများ အသီးသီးဖြစ်သောကြောင့် ၎င်းတို့မှာလည်း ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ကြသည်။
ကိန်းရင်းမဟုတ်သော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များ (transcendental numbers) ဟုခေါ်သည်။
တစ်နည်းဆိုရသော် ကိန်းပြည့်အမြှောက်ကိန်းသက်သက်ပါ ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းတစ်ခု၏ အဖြေအဖြစ် ဖော်ပြ၍မရသော ကိန်းထွေးများကို ကိန်းလွန်များဟု ခေါ်သည်။
သာဓကဆိုရသော် ၊ အစရှိသည်တို့ဖြစ်သည်။
အခြားကိန်း အမျိုးအစားများ အထက်ဖော်ပြပါ ကိန်းအမျိုးအစားများအပြင် တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ (computable numbers)၊ “p-အခြေခံကိန်းများ” ဟုခေါ်ဆိုနိုင်မည့် p-adic ကိန်းများ၊ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ် (hypercomplex) ကိန်းများ၊ စံမဟုတ်သည့် ကိန်းများ (non-standard numbers) စသည်ဖြင့် ကိန်း၏သဘောတရားကို ချဲ့ထွင်ပြုပြင်ထားသော ကိန်းများစွာလည်းရှိသေးသည်။
သမိုင်းကြောင်း ကိန်းများစတင်အသုံးပြုလာခြင်း သမိုင်းဦးမတင်မီခေတ်ကပင် ကိန်းများကိုစတင်အသုံးပြုလာသော အထောက်အထားများရှိသည်။
တိရစ္ဆာန်အရိုးစသည့် ပစ္စည်းများတွင် ကိုက်ရာများဖြင့် တာလီမှတ်ခဲ့သည်ဟု ခန့်မှန်းကြသည်။
Marshak, A. The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation. London: Weidenfeld & Nicolson, 1972, pp. 81ff. သို့သော် တာလီစနစ်တွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုး (positional value) သဘောကို အသုံးမပြုသောကြောင့် အကန့်အသတ်များ ရှိသည်။
ရှေးအကျဆုံးသော ကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် အီဂျစ်၊ ရောမ၊ ဟီဘရူးနှင့် ဂရိကိန်းစနစ်များတွင် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးမပြုသော်လည်း၊ အခြားကိန်းစနစ်များဖြစ်သည့် ဘေဘီလုံ ကိန်းစနစ်၊ အိန္ဒိယကိန်းစနစ်တစ်မျိုး၊ တရုတ်ကိန်းစနစ်တစ်မျိုးနှင့် မာယာကိန်းစနစ်တို့တွင် နေရာကို အခြေခံ၍ တန်ဖိုးတွက်သည့် သဘောကိုတွေ့နိုင်သည်။
“Numeral system”. Encyclopædia Britannica. Encyclopædia Britannica Online. Encyclopædia Britannica Inc., 2014. Web. 25 Dec. 2014 . သုညကို စတင်အသုံးပြုလာခြင်း သုညကို စတင်၍ အမှတ်အသားပြုသူတို့မှာ ဆူမယ်ရီယန် (Sumerian) များဖြစ်သည်ဟု ခန့်မှန်းရသည်။
Wallin, N. “The History of Zero. ” From YaleGlobal Online--Web. 25 Dec 2014. သို့သော် သုည၏သဘောတရား၊ သုည၏နေရာလိုက်တန်ဖိုး စသည်တို့ကိုမူ ဆူမယ်ရီယန်တို့ အသေအချာ နားလည်ခဲ့ပုံမရချေ။
သင်္ချာအခြေခံများကို အီဂျစ်တို့ထံမှ သင်ယူခဲ့သည့် ဂရိပညာရှင်သည်လည်း ထိုသဘောကို နားလည်ကြောင်း အထောက်အထား အခိုင်အမာ မတွေ့ရပေ။
သုညကို သင်္ကေတအဖြစ်သာမကဘဲ သဘောတရားတစ်ခုအဖြစ်ပါ အသေအချာ စတင်အသုံးပြုခဲ့သူများမှာ အိန္ဒိယလူမျိုးများဖြစ်သည်။
အိန္ဒိယမှ ဗြာဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် ၆၅၀စီအီးတွင် သုညကိုသုံး၍ ဂဏန်းသင်္ချာတွက်ချက်ခြင်းကို စနစ်တကျလုပ်ဆောင်ခဲ့သည်။
သင်္ကရိုက် (Sanskrit) ဘာသာဖြင့် သုညကို “sunya” ဟုခေါ်ရာမှ မြန်မာဘာသာရှိ ပါဠိမွေးစားစကားလုံး “သုည” ဖြစ်လာဟန်ရှိသည်။
အာရပ်ကုန်သည်များသည် အိန္ဒိယမှ ဟင်းခတ်အမွှေးအကြိုင်နှင့် အခြားကုန်ပစ္စည်းအသစ်အဆန်းများအပြင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ သင်္ချာကျမ်းကိုပါ ပြန်လည်သယ်ဆောင်လာကြရာ ၇၇၃စီအီးသို့ရောက်သော် (ယခုခေတ် အီရတ်နိုင်ငံရှိ) ဘဂ္ဂဒက်မြို့သို့ သုည၏သဘောတရား ရောက်ရှိပြီးဖြစ်သည်။
အရှေ့အလယ်ပိုင်းဒေသတွင် သုည၏သဘောတရား ပြန့်ပွားစည်ပင်လာရာ ကိုးရာစုနှစ်သို့ ရောက်သောအခါ မိုဟာမက် အီဘင်မူဆာ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ (Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi) သည် သုညပါ ညီမျှခြင်းများကို စတင်လေ့လာခဲ့ပြီး မြှောက်ခြင်းနှင့် စားခြင်းတို့ကို အမြန်တွက်နည်းတို့ကိုလည်း တီထွင်တွေ့ရှိခဲ့သည်။
အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက သုညကို “sifr” ဟုခေါ်ခဲ့သည်။
ခုနှစ် ၈၇၉စီအီးသို့ရောက်သော် သုညကို မျက်မှောက်ခေတ်ရေးသားပုံအတိုင်း ဘဲဥပုံဖြင့် ရေးသားလာကြသည်။
စပိန်ပြည်တောင်ပိုင်းကို မောတို့ (Moors) သိမ်းပိုက်ရာမှစပြီး တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစုအလယ်ပိုင်းသို့ ရောက်သောအခါ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီ၏ကျမ်းကို ဘာသာပြန်ထားသောကျမ်းများသည် အင်္ဂလန်သို့ တဖြည်းဖြည်း ရောက်ရှိလာသည်။
ကုန်သွယ်စီးပွားရေးရာများတွင် သုညသည် အလွန်အသုံးဝင်သော်လည်း သုညနှင့် နေရာလိုက်တန်ဖိုးကို အသုံးပြုရေးသားထားသော နံပါတ်များကို တုပပြင်ဆင်ရေးသားရန် လွယ်ကူလွန်းသည်ဟုဆိုကာ ဥရောပရှိ အစိုးရများက သုညနှင့် အာရေဗျ ကိန်းစနစ်ကို ပိတ်ပင်ခဲ့သည်များလည်းရှိသည်။
သို့သော် ကုန်သည်များက လျှို့ဝှက်သုံးစွဲခဲ့ရာမှာ “sifr” ခေါ်သုည၏ အာရေဗျအမည်မှ ရွေ့လျောလာသည့် “cipher” ဆိုသည့် မျက်မှောက်ခေတ်စကားလုံးမှာ ဝှက်စာ ဟု အဓိပ္ပာယ်ရလာသည်။
နောင်တွင် ရနေးဒေးကား (Rene Descartes) ၏ နာမည်ကျော် ကာတေးရှန်း ကိုဩဒိနိတ်စနစ်တွင် လည်းကောင်း၊ အခြားသင်္ချာပညာရှင်များဖြစ်သည့် နယူတန် (Newton) နှင့် လိုက်ဘနစ် (Leibniz) စသည်တို့၏ လေ့လာမှုများတွင် သုညကို အသုံးပြုခဲ့ပြီး ကဲကုလပ်နှင့် အခြားသင်္ချာဆိုင်ရာ တိုးတက်မှုများ ပေါ်ပေါက်ခဲ့ပေသည်။
အနုတ်ကိန်းများ စတင်အသုံးပြုလာခြင်း အနုတ်ကိန်းဟူသည့် သဘောတရားကို အစောဆုံး ၁၀၀ ဘီစီအီး နှင့် ၅၀ ဘီစီအီးအကြားတွင် တရုတ်လူမျိုးတို့ သိမြင်နားလည်ခဲ့ပုံရသည်။
Smith, M. K. “History of Negative Numbers.” From M326K: Foundations of Number Systems--Web. 25 Dec 2014. “သင်္ချာအနုပညာနှင့် ပတ်သက်သည့် အခန်းကိုးခန်း” အမည်ရ တရုတ်ကျမ်းတွင် ပုံသဏ္ဌာန်အမျိုးမျိုး၏ ဧရိယာရှာပုံရှာနည်းကို ဖော်ပြရာတွင် အပေါင်းအမြှောက်ကိန်း (positive coefficient) များကို အနီရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း၊ အနုတ်အမြှောက်ကိန်း (negative coefficient) များကို အနက်ရောင်အစက်ပြောက်များနှင့်လည်းကောင်း ကိုယ်စားပြုရေးသားထားသည်။
Staszkow, R. and Bradshaw R. The Mathematical Palette (3rd ed.). Thomson Brooks/Cole, p. 41, 2004. သုံးရာစုနှစ်အတွင်းသို့ ရောက်သောအခါ ဂရိပညာရှင် ဒိုင်အိုဖန်တပ် (Diophantus) ၏ Arithmetica ခေါ် ဂဏန်းသင်္ချာကျမ်းတွင် ဟူ၍ ယခုခေတ်ပုံစံဖြင့် ရေး၍ရမည့် ညီမျှခြင်းကို ဖြေရှင်းရာတွင် ရရှိသည့် အနုတ်ကိန်းအဖြေကို အဓိပ္ပာယ်မရှိဟု ကျမ်းပြုသူကိုယ်တိုင် မှတ်ချက်ချဖူးသည်။
ဒိုင်အိုဖန်တပ်သည် အနုတ်ဂဏန်းပါ တွက်ချက်မှုအချို့ကို ပြုလုပ်ခဲ့သော်လည်း အနုတ်၏ ယေဘုယျသဘောတရားအကြောင်းကို ရှင်းလင်းရေးသားခဲ့ခြင်းမရှိပေ။
Smith, David E. History of Mathematics, Vol. 2. Dover, p. 258, 1958. စီအီး ခုနစ်ရာစုသို့ ရောက်သောအခါမှသာ အိန္ဒိယပညာရှင် ဗြာဟ္မဂုတ္တ၏ကျမ်းတွင် နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို အနုတ်ကိန်းများသုံး၍ ဖော်ပြခဲ့သည်။
Cajori, Florian. History of Mathematics, 5th ed. New York: Chelsea, p. 94, 1991. အနုတ်ကိန်းသုံး၍ တွက်ချက်ရာတွင် လိုက်နာရမည့် စည်းမျဉ်းများကိုလည်း ရေးသားခဲ့သည်။
Katz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 226, 1998. နောက်ပိုင်းရာစုများတွင် အနုတ်ကိန်းအကြောင်းကို ကမ္ဘာအရပ်ရပ်မှ ပညာရှင်တို့ မှတ်ချက်ပြုရေးသားခဲ့သော်လည်း ဤအနုတ်သဘောကို အလွယ်တကူ လက်ခံခဲ့ခြင်းမရှိပေ။
စီအီး ကိုးရာစု အရှေ့အလယ်ပိုင်းမှ အယ်ခိုဝါရစ်ဇမီက အနုတ်ကိန်းများကို အသုံးမပြုဘဲ နှစ်ထပ်ကိန်းညီမျှခြင်းရှင်းနည်းကို ခြောက်မျိုးခွဲ၍ရေးသားခဲ့ပြီးKatz, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction, 2nd edition, Reading, MA: Addison-Wesley, p. 245, 1998.၊ တစ်ဆယ့်နှစ်ရာစု အိန္ဒိယမှ ဘက်ရှ်ကာရာ (Bhaskara) က အနုတ်ကိန်းရင်းအဖြေကို “မပြည့်စုံ၍၊ လူတို့သဘောမတူ၍ ယူစရာမလို”Cajori, Florian. History of Mathematics, 5th ed. New York: Chelsea, p. 93, 1991. ဟုလည်းကောင်း၊ ဆယ့်ငါးရာစု ဥရောပမှ ရှူကေး (Chuquet) က “အဓိပ္ပာယ်မရှိသော နံပါတ်များ” ဟူ၍လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခြောက်ရာစု ဥရောပမှ ရှတီဖယ်က သုညထက်နည်းသည့် အတုအယောင်ကိန်း အဖြစ်လည်းကောင်း၊ ဆယ့်ခုနစ်ရာစု ဥရောပမှ ဒေးကားက အနှုတ်ကိန်းရင်းများသော အဖြေမှားများ အဖြစ်လည်းကောင်း အသီးသီး ရေးသားခဲ့ကြသည်။
သမိုင်းအဆက်ဆက်မှ ပညာရှင်အချို့က အနုတ်ကိန်းကို အလုံးစုံသော်လည်းကောင်း၊ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းမျှသာလည်းကောင်း လက်ခံခဲ့သည့် ဖြစ်ရပ်များ ရှိသော်လည်း ၁၉ရာစု နောက်ပိုင်းရောက်မှသာ အနုတ်ကိန်းများကို တဖြည်းဖြည်း တွင်ကျယ်စွာ အသုံးပြုလာဟန်ရှိသည်။
အနော်ရထာမင်းစော သည် ပုဂံဧကရာဇ်နိုင်ငံတော်အား တည်ထောင်သူ ဖြစ်သည်။
ပုဂံဘုရင်ကွမ်းဆော်ကြောင်ဖြူမင်း ၏ သားတော်ဖြစ်သည်။
မြန်မာရာဇဝင်များအရ စတုတ္ထပုဂံခေတ်တွင်မင်းဖြစ်၍ရေတွက်သော၄၂ဆက်မြောက်မင်းဖြစ်လေသည်။
စုက္ကတေးမင်းနဲ့စီးချင်းထိုး၍ပုဂံထီးနန်းကိုရယူခဲ့ခြင်းဖြစ်သည်။
စတုတ္ထပုဂံခေတ်တွင်မင်းဖြစ်၍ရေတွက်သော၄၂ဆက်မြောက်မင်းဖြစ်လေသည်။
ထီးနန်းရရှိပုံ အနော်ရထာမင်းသည် ပထမ ဧကရာဇ်မြန်မာနိုင်ငံတော်ကြီးကို စတင်တည်ထောင်ခဲ့သူဖြစ်သည်။
ပုဂံမင်း ၅၅ ဆက်အနက် ၄၂ ဆက်မြောက် မင်းဖြစ်သည်။
အနော်ရထာကား ပုဂံပြည့်ရှင် ကွမ်းဆော်မင်းဟုလည်းတွင်သော ကြောင်ဖြူမင်းနှင့် မိဖုရားမြောက်ပြင်သည်တို့မှ သက္ကရာဇ် ၃၇၆ ခုနှစ်တွင် ဖွားမြင်သောသားတော်တစ်ဦး ဖြစ်သည်။
ခမည်းတော်အား နန်းချ၍ ထီးနန်းစိုးစံနေသော နောင်တော် စုက္ကတေးနှင့် အနော်ရထာသည် မြင်းစီးချင်းတိုက်၍ အနိုင်ရသောအခါ ခမည်းတော်ရှိရာ ကျောင်းတော်သို့သွား၍ ခမည်းတော်အား မင်းပြုရန် တောင်းပန်လေသည်။
ခမည်းတော်သည် ငါအသက်အရွယ်ကြီးပြီ၊ အမောင်သာ မင်းပြုတော့ဟု မိန့်တော်မူမှ သက္ကရာဇ် ၄၀၆ ခုနှစ်တွင် ရာဇာဘိသေက ခံ၍ နန်းတက်သည်။
ခမည်းတော်အားလည်း မင်းမြှောက်တန်ဆာငါးပါးနှင့်တကွ မင်းဆောင်မင်းယောင် မင်းခမ်းမင်းနားအကုန် ကျင်းပစေ၍ ရဟန်းမင်းပြုစေသည်။
အနော်ရထာမင်း နန်းတက်သက္ကရာဇ်ကို မှန်နန်းရာဇဝင်၌ ၃၇၉ ခုနှစ်ဟုဆို၍ ဦးကုလားမဟာရာဇဝင်၌ ၃၄၆ ခုနှစ်ဟုဆိုသည်။
သို့ရာတွင် ဇာတာတော်ပုံ ရာဇဝင် အရလည်းကောင်း၊ ကျောက်စာ များနှင့် လည်းကောင်း ညှိနှိုင်းကြည့်သောအခါ ၄၀၆ ခုနှစ်ဟု တွေ့ရသည်။
ကွမ်းဆော်ကြောင်ဖြူမင်း ထီးနန်းကျပြီးနောက် သားတော် စုက္ကတေး ထီးနန်းပြုနေခဲ့သည်။
စုက္ကတေး သည် အဖေတူ အမေကွဲ ဖြစ်သော အနော်ရထာ၏ မယ်တော်ကို မိဖုရားအဖြစ်သိမ်းပိုက်ခဲ့သည်။
အနော်ရထာသည် စုက္ကတေးအား မကျေမနပ်ဖြစ်ကာ နန်းတော်မှထွက်ပြီး စစ်တိုက်ရန် စစ်အင်အား စုဆောင်းခဲ့သည်။
ပုဂံကို ပြန်လည်သိမ်းပိုက်ရန် ချီတက်လာပြီးနောက် စစ်ဖြစ်လျှင် လူအများအပြား သေကြေပျက်စီးမည် ကို မလိုလားသဖြင့် နောင်တော် စုက္ကတေး နှင့် မြင်းကပါ အရပ်တွင် တစ်ဦးချင်း စီးချင်းထိုးခဲ့သည်။
နောက်ဆုံးတွင် အနော်ရထာ အနိုင်ရရှိပြီး ပုဂံတွင်မင်းဖြစ်လာခဲ့သည်။
တိုင်းပြည်အတွက် ကြိုးပမ်းပုံ အနော်ရထာမင်း နန်းတက်သောအခါ ပုဂံပြည် ဩဇာ ပြန့်နှံ့ရာအရပ်မှာ ယခု မန္တလေး၊ မိတ္ထီလာ၊ မြင်းခြံ၊ ကျောက်ဆည်၊ ရမည်းသင်း၊ မကွေး၊ စစ်ကိုင်း၊ ကသာ၊ ပခုက္ကူ၊ မင်းဘူးတဝိုက်မျှသာ ကျယ်ဝန်းဟန် တူသည်။
အနော်ရထာမင်းကြီးသည် နန်းတက်သည်နှင့် တပြိုင်နက် နိုင်ငံစီးပွားရေးနှင့် စစ်အင်အားကို စည်းရုံးခဲ့သည်။
စီးပွားရေးအင်အား တောင့်တင်းရန်အတွက် ကျောက်ဆည်နယ်၌ တူးမြောင်းများကို စနစ်တကျ ဆည်ဖို့စေလျက် မြစ်ငယ်မြစ်၊ ပန်းလောင်မြစ်နှင့် စမုန်မြစ်တို့မှ စီးဆင်းလာသော ရေအားဖြင့် စပါးကောက်ပဲသီးနှံ အများအပြား ထွက်အောင် စီမံခန့်ခွဲခဲ့သည်။
ဤသို့ လယ်ယာစိုက်ပျိုးမှုကို ကောင်းစွာ အားပေးပြုစုသဖြင့် ကျောက်ဆည်နယ်သည် ပုဂံပြည်၏ စားရေရိက္ခာ သိုမှီးရာ စပါးကျီသဖွယ် ဖြစ်လာလေသည်။
စားရေရိက္ခာ လုံလောက်ပေါများ လာသောအခါ အနော်ရထာမင်းသည် စစ်သည်ရဲမက်တို့ကို အရေးပေါ်လျှင် ပေါ်သည့်အားလျော်စွာ စုရုံး ဖွဲ့စည်းနိုင်ခဲ့သည်။